Атомная физика: учебное пособие - Матышев А.А.

Автор: Матышев А.А.
Теги: физика атомная физика учебное пособие
ISBN: 978-5-7422-3449-4
Год: 2012
Похожие
Нанотехнология в электронике. Введение в специальность
Квантовая механика
Основы физики полупроводников
Основы релятивистской квантовой механики
Текст
                    .MsssSE®3c-i3O	тука Рзс^й^о^ Федераций:
САНКТ-ПВ^S^SWrCKHli ГОСУдАРСТ^ВгШЫд!

СШГТВ>H2vsSei i'2Й
Издатальстзо Полкгеззгете^эго уЕнверснгетэ.
3612
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
М34
Рецензенты:
Кандидат физико-математических наук, заместитель директора по науке и заведующий
лабораторией молекулярных и атомных пучков Петербургского института
ядерной физики РАН В.Ф.Ежов
Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры физики
полупроводников и наноэлектроники СПбГПУ С.Н.Лыков
М а т ы ш е в А. А. Атомная физика : учеб, пособие / А.А. Матышев. - СПб.: Изд-во
Политехи, ун-та, 2012. - 864 с.
Изложены основы атомной и квантовой физики. Главное внимание уделено
экспериментальным основам физики атомов и молекул, а также методам определения
мировых констант в области атомной физики.
Не догматически написанное учебное пособие содержит четыре главы: дискретность
вещества, дискретность электрического заряда, дискретность электромагнитного
излучения и дискретность динамических переменных классической физики.
Материал, изложенный в учебном пособии, максимально облегчает необходимость
принятия нерелятивистской квантовой механики в качестве теоретического описания
явлений атомного и субатомного масштаба.
Для контроля знаний в конце каждой из глав приведены задачи, рекомендуемые для
решения.
Табл. 22. Ил. 185.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.
ISBN 978-5-7422-3449-4
© Матышев А.А., 2012
© Санкт-Петербургский государственный
политехнический университет, 2012
Введение
Ростки естествознания стали формироваться еще в древнем мире,
однако они были раздавлены христианской церковью, которая
канонизировала фантастические воззрения на природу Аристо-
теля1 и больше тысячи лет (средние века) жестоко преследова-
ла в Европе всякие попытки изучения и осмысления природы.
Вспомним только две из миллионов жертв церкви — сожжен-
ного на костре Джордано Бруно и узника инквизиции Галилея,
которого церковь заставила отречься от гелиоцентризма (копер-
никанства) и ”не рассуждать более письменно или устно каким-
либо образом о движении Земли”2.
Возрождение наук о природе (естествознания), их под-
линное становление началось лишь после того, как был
сформулирован тезис о решающей роли эксперимента
при изучении природы. Произошло это благодаря усилиям,
прежде всего, основоположника науки об электричестве, вра-
ча Уильяма Гильберта (1544—1603), государственного деятеля
и философа Фрэнсиса Бэкона (1561—1626), а также гениаль-
ных физиков — Галилео Галилея (1564—1642) и Исаака Ньютона
(1642-1727).
гТак что состояние знаний в начале XVI века метко охарактеризовал
Ф. БЗкон: ".. .та мудрость, которую мы почерпнули преимущественно у гре-
ков, представляется каким-то детством науки, обладая той отличительной
чертой, что она склонна к болтовне, но бессильна и не созрела для того,
чтобы рождать" (Цит. по: Бэкон Ф. Соч.: В 2 т. Т. 1. М.: Мысль, 1977. С.60).
2 Цитата из постановления пленарного заседания 16 июня 1633 года кон-
грегации святой (!!! — А.М.) инквизиции под председательством папы Ур-
бана VIII (Цит. по: Кузнецов Б.Г. Галилей. М.: Наука, 1964. С.216).
Для слепо верующих приемлем любой абсурд. "Верю, потому что абсурд-
но" (Credo, quia absurdum est, лат.) — утверждал один из ранних деятелей
христианской церкви Тертуллиан. Однако для ученого абсурд неприемлем,
равно как неприемлема гипотеза о существовании персонифицированного
бога, который бы позволял церковникам отстаивать ложный геоцентризм,
пытать и уничтожать людей, ищущих научную истину.
4
Другими словами, наука возникла лишь тогда, когда натур-
философские измышления древности и теологические спекуля-
ции средневековья были вытеснены индуктивным методом, ко-
гда был сформулирован и общепризнан основной критерий ис-
тинности в науке: выработанные теоретические представления,
описывающие известные экспериментальные факты, считаются
правильными до тех пор, пока не проводится хотя бы один но-
вый эксперимент, противоречащий выводам теории. Кроме того,
отличительными характеристиками науки являются предсказуе-
мость и воспроизводимость результатов.
Выводы естественных наук сформулированы в виде законов,
имеющих известную область применимости и подтвержденных
экспериментально. Знание этих законов при создании определен-
ных условий позволяет делать достоверные предсказания об ис-
ходах опытов. Именно так следует понимать важнейшие особен-
ности естествознания — предсказуемость и воспроизводимость
результатов. Отсюда и польза естественнонаучных знаний, поз-
воливших человечеству выйти на современный уровень разви-
тия.
Следует добавить, что установленные с какой-либо точно-
стью законы на современном этапе развития естествознания яв-
ляются окончательными в своей области действия, так что по-
следующее развитие науки не приведет к отказу от них, а, быть
может, лишь уточнит их область применимости.
К концу XIX века окончательно сложилась классическая фи-
Q
зика , открывшая, как показалось некоторым ученым, все глав-
ные законы природы. Основными разделами классической фи-
зики стали механика, термодинамика, электромагнетизм, вклю-
чивший в себя оптику. Классическая физика хорошо согласуется
с так называемым здравым смыслом, поскольку описывает яв-
ления, знакомые людям из повседневного опыта, хотя по мере
развития физики происходила экстраполяция и за рамки этого
опыта. Например, экстраполяция классических законов за преде-
лы Земли дала превосходные результаты при описании видимого
движения тел Солнечной системы. В мёныпих масштабах клас-
сическая физика достаточно хорошо описывает поведение объек-
тов, еще различимых с помощью светового микроскопа, то есть,
с учетом разрешающей способности последнего, объектов с раз-
мерами порядка одного микрона, изображение которых в свето-
вом микроскопе еще существенно не искажено дифракцией. *
3Термин ’’физика” происходит от греческого слова ’’physis” (природа).
5
Пытаясь определить основные особенности классической фи-
зики, следует охарактеризовать ее как науку, не описывающую
внутреннее устройство тел, хотя с середины XIX века и нача-
ла развиваться молекулярно-кинетическая теория. Однако неко-
торые заслуженные ученые, среди которых были французский
физик-теоретик, член Французской академии наук П. Дюгем; ав-
стрийский физик и философ Э.Мах; лауреат Нобелевской пре-
мии по химии российского происхождения В. Оствальд и дру-
гие, вплоть до начала XX века не признавали реальности моле-
кул, ссылаясь на отсутствие прямых экспериментальных дока-
зательств существования последних.
И только выполненные в 1908 году эксперименты француз-
ского физика Ж.Б. Перрена наконец сломили предубеждение по-
следних скептиков, и с тех пор уже никто не сомневался в ре-
альности существования молекул и атомов.
На рубеже XIX—XX веков в физике началась революция4 5,
связанная с целым рядом величайших достижений: были откры-
ты рентгеновские лучи, радиоактивность, электрон, делимость
атома; возникли концепция квантов и специальная теория отно-
сительности, а также была выяснена невозможность объяснения
новых явлений в рамках классической физики. Всего за 30 лет
(1896—1926) были созданы как основы атомной и ядерной фи-
зики, так и теоретическая дисциплина для описания новых об-
ластей физики — квантовая механика, появившаяся в виде мат-
ричной механики немецкого физика В. Гейзенберга и волновой
механики австрийского физика Э. Шрёдингера.
Более детальное изучение природы на микроуровне, недо-
ступном для классической физики в XIX веке, показало, что
вещество дискретно и состоит из молекул (которые, в свою оче-
редь, оказались состоящими из атомов, то есть делимыми; ато-
мы также оказались составными, то есть делимыми объектами),
что электрический заряд состоит из дискретных единиц (’’ато-
мов электричества”), что электромагнитное излучение состоит
из дискретных объектов (фотонов) и что, наконец, динамиче-
ские характеристики движения атомных и субатомных частиц,
такие, как энергия, момент импульса и другие, иногда могут при-
нимать только дискретный набор значений, то есть, как теперь
£
принято говорить, квантованы0.
4См., например, книгу Луи де Бройля ’’Революция в физике”. М.: Атом-
издат, 1965. 232 с.
5В переводе с латинского слово "quantum” означает ’’некоторое количе-
ство” (то есть дискретная порция чего-либо).
6
Таким образом, пытаясь охарактеризовать атомную физи-
ку, следует определить ее как такое расширение классической
физики, которое описывает строение и поведение материи как
следствие дискретности вещества, заряда, электромагнитного
излучения и динамических переменных классической механики.
Основные экспериментальные факты, касающиеся дискрет-
ности вещества и электрического заряда (главы 1 и 2) еще не
вызывают психологических трудностей при усвоении, так как
они не противоречат повседневному опыту и ’’здравому смыслу”.
По образному выражению английского физика Чарльза Гальто-
на Дарвина (внука ’’настоящего Чарльза Дарвина”, как выразил-
ся о нем в свое время Нильс Бор), факты дискретности вещества
и заряда можно отнести к ’’легким” открытиям, однако не в том
смысле, что их легко было делать, а в том смысле, что, когда
они совершены, их легко понять каждому. Дальнейшее развитие
атомной физики привело к "трудным” открытиям, к рождению
квантовой теории, позволяющей осмыслить свойства вещества
на молекулярно-атомном и субатомном уровнях.
Теперь физик без глубокого освоения идей и методов атом-
ной физики и квантовой механики не может быть успешным, по-
скольку главные достижения физики XX века базируются имен-
но на квантовых процессах. К настоящему времени уже техно-
логия уверенно вышла на наноуровень, и атомная физика с нере-
лятивистской квантовой механикой стали рабочими инструмен-
тами не только физика-исследователя, но и инженера-физика,
работающих в области нанотехнологий.
Однако квантовые законы оказались весьма странными и не-
привычными, если их рассматривать с точки зрения здравого
смысла. Можно сказать даже больше: квантовые законы позво-
лили объяснить то, что оказалось невозможно себе представить,
поскольку поведение микрообъектов не имеет макроскопических
аналогий.
Поэтому главное, что должно стать результатом изуче-
ния курса атомной физики (помимо знания некоторого количе-
ства фактов), — это переход физического мышления обучающе-
гося с классических представлений на более фундаментальные
квантовые. Переход этот психологически трудный, и изложение
хорошего учебника атомной физики должно быть построено та-
ким образом, чтобы — насколько это возможно — облегчить его.
По мнению автора, для облегчения восприятия идей атом-
ной физики существенно необходим элемент историзма при по-
строении курса (то есть описание как истории проведения осо-
7
бенно значимых экспериментов, так и правильных теоретиче-
ских интерпретаций последних, что соответствует фактиче-
скому развитию физики как естественнонаучной дисциплины).
Такой подход противоположен догматическому изложению, при
котором достигнутый уровень знаний излагается аксиоматиче-
ски, а эксперименты упоминаются лишь иногда для иллюстра-
ции того или иного теоретического положения. Получается, что
при догматическом изложении квантовой механики обучаемые
поневоле вынуждены поверить в абсурд (поскольку, как уже от-
мечалось, выводы квантовой механики противоречат здравому
смыслу).
Однако тертуллиановская вера в абсурд психологически при-
емлема далеко не для всех, поэтому и необходим учебник атом-
ной физики, недогматически подводящий обучающегося к при-
нятию выводов квантовой механики, так как именно экспери-
менты заставляли последовательно отказываться от привычных
представлений классической физики и нащупывать новые, кван-
товые законы природы. Таким образом, именно описание факти-
ческого развития физики психологически облегчает восприятие
вскрытых на атомном уровне материи закономерностей и состав-
ляет неотъемлемую часть настоящего курса ’’Атомной физики”.
Соответственно, и стиль изложения при этом должен менять-
ся, чего зачастую на практике не делают, продолжая изложе-
ние физики "легковесно”. Кажущаяся парадоксальность кван-
тового поведения требует большей детальности изложения.
По мнению автора, нельзя излагать соответствующий материал
неполно и бездоказательно, потому что в конечном итоге именно
бездоказательное непонятно и не только проходит мимо созна-
ния читателя, но еще вызывает у него недоверие и антипатию
к бездоказательно представленному разделу естествознания.
Доказательствами в физике являются как проведенные экс-
перименты, так и теоретическая интерпретация последних, су-
щественным образом использующая математику. Освоение на-
стоящего курса требует от учащегося не только хорошего знания
аналитической геометрии и математического анализа, но и на-
стойчивых усилий по усвоению квантовых законов природы.
В третьей главе рассмотрены более сложные для восприя-
тия экспериментальные факты, касающиеся дискретности элек-
тромагнитного излучения. Дискретность излучения, вскрытая
А. Эйнштейном, затрудненно воспринимается "классическим" со-
знанием не из-за того, что на первый взгляд противоречит таким
сугубо волновым процессам, как дифракция и интерференция
8
электромагнитных волн, а из-за вскрывшейся странности по-
ведения фотонов, не воспринимаемой "здравым смыслом". К со-
жалению, теория, адекватно описывающая поведение фотонов —
квантовая электродинамика (экспериментально подтвержденная
с наивысшей в естествознании степенью точности) — выходит
за рамки нерелятивистской атомной физики и нерелятивистской
квантовой механики и лишь упоминается в настоящем курсе.
В последней, четвертой главе обучающийся подводится к не-
обходимости принятия волновой механики Э. Шрёдингера как
теории, описывающей поведение молекул, атомов и субатомных
объектов.
С момента появления квантовой механики как самостоятель-
ного раздела физики, после некоторых споров, в среде теоре-
тиков возобладало мнение в пользу догматического изложения
квантовой механики6, так что существующие курсы квантовой
механики не помогают впервые знакомящемуся с предметом сту-
денту преодолевать возникающие психологические сложности
восприятия.
В настоящем курсе сделана попытка максимально облегчить
психологические сложности восприятия впервые знакомящегося
с квантовой механикой, и в четвертой главе основное внимание
сосредоточено на объяснении обусловленности законов нереля-
тивистской квантовой механики экспериментально вскрытыми
свойствами поведения молекул, атомов и субатомных частиц.
Показано, что нерелятивистская квантовая механика является
более фундаментальной по отношению к механике Ньютона тео-
рией, и что второй закон Ньютона является следствием уравне-
ния Шрёдингера. Более подробно, чем в обычных курсах, про-
ведено описание движения макроскопического гармонического
осциллятора (маятника) в рамках волновой механики.
При изучении атомной физики студенты должны постоянно
помнить, что теоретическая основа атомной физики — кванто-
вая механика — прошла успешное испытание уже почти вековой
практикой.
Выработанные в ходе развития атомной физики представле-
ния позволили создать радиолокацию и телевидение, бытовую
электронику и лазеры, электронные микроскопы и вычислитель-
ные машины, ускорители, космические аппараты, ядерную энер-
6См. Матышев А.А. О преподавании курса атомной физики//Физика
в системе современного образования (ФССО-07). Материалы IX Между-
народной конференции. СПб.: Издательство РГПУ им. А.И. Герцена, 2007.
С. 262-265.
9
гетику и многое другое. Чтобы стать физиком, нужно активно
осваивать идеи атомной физики и нерелятивистской квантовой
механики (если угодно, привыкать к ним). В своей области при-
менимости идеи и методы нерелятивистской квантовой ме-
ханики навсегда останутся незаменимым рабочим инструмен-
том инженера-физика.
Важной составной частью атомной физики является раздел
о мировых константах. Классическая физика выявила очень важ-
ную константу — скорость света в вакууме с, вошедшую в со-
став уравнений релятивистской динамики и уравнений Макс-
велла, а также целый ряд других — гравитационную, электри-
ческую, магнитную, универсальную газовую постоянные, посто-
янные Фарадея и Ридберга. В ходе развития атомной физики
был установлен целый ряд новых констант. Прежде всего, это
постоянная Планка Л, вошедшая в основные формулы кванто-
вой механики, а также постоянные Авогадро Na и Больцмана
/с, элементарный электрический заряд е, массы элементарных
частиц. Все эти постоянные определяют характерные масштабы
атомных и субатомных явлений. Чтобы по-настоящему освоить
атомную физику, константы атомной физики нужно запомнить
хотя бы с точностью до трех значащих цифр и порядка величи-
ны. Без знания констант атомной физики невозможно проведе-
ние никаких численных оценок в области атомных масштабов,
а ведь физики без расчетов не существует.
В учебнике при написании уравнений используется только
система единиц СИ, что, по мнению автора, нисколько не затруд-
няет изучения ни атомной физики, ни квантовой механики. Тем
не менее, масштабы атомного мира часто удобно характеризо-
вать внесистемными единицами измерения (такими как ангстрем
и электронвольт), поэтому в необходимых случаях эти единицы
вводятся, но расчеты проводятся практически всегда в СИ.
Наконец, приступающему к изучению атомной физики следу-
ет помнить, что без решения задач и проведения расчетов атом-
ную физику освоить невозможно. Учебник надо изучать с руч-
кой и листом бумаги и, где необходимо, проводить все промежу-
точные вычисления. По этой же причине каждая глава снабжена
рядом задач, решение которых позволяет лучше освоиться с по-
рядками величин в атомной физике и проверить уровень усво-
ения материала. Если студент не в состоянии решить хотя бы
часть задач, то это сигнал к необходимости повторного изучения
соответствующей главы, а может быть, и повторения забытого
раздела классической физики. Хорошо, если будет решена хотя
10
бы половина предлагаемых задач. Наградой же решившему все
задачи будет внутреннее удовлетворение от ясного понимания
основ атомной физики.
В то же время при отсутствии у читателя интереса или вре-
мени при первом чтении можно опустить материалы, набран-
ные мелким шрифтом. Разумеется, нет нужды запоминать даты
и фамилии. Но все перечисленные материалы, с точки зрения
автора, помогут заинтересованному читателю полнее и глубже
понять обусловленность современных представлений о природе
развитием как техники физического эксперимента, так и теоре-
тической интерпретации открытых явлений.
Завершая введение, автор выражает искреннюю благодар-
ность ректору ФГБОУ ВПО ’’СПбГПУ”, чл.-корр. РАН, д. т. н.,
профессору А.И. Рудскому; декану РФФ, д. ф.-м.н., профессору
В.М. Петрову и директору Департамента по печати и научно-
учебному книгоизданию ФГБОУ ВПО ’’СПбГПУ”, д. т. н., про-
фессору А.В. Иванову за поддержку при осуществлении настоя-
щего издания.
Глава 1
Дискретность вещества
1.1 Развитие атомистических
представлений до начала XX века
Современное представление о том, что все многообразие окружа-
ющих человека веществ объясняется наличием всего 92-х есте-
ственно существующих на Земле элементов1, из атомов которых,
в свою очередь, составлены молекулы, вырабатывалось и полу-
чало экспериментальное подтверждение в течение чрезвычайно
продолжительного промежутка времени.
Как уже отмечалось во введении, в древнем мире науки в со-
временном понимании не существовало, а ее заменяла филосо-
фия. Древние греки все известные им явления природы объяс-
няли умозрительно, исходя при этом из произвольных предполо-
жений. Концепция атомов (не имеющая ничего общего с совре-
менным атомистическим учением, кроме самого термина "атом”)
возникла в Древней Греции, по существу, благодаря достижени-
ям геометрии, в которой был установлен факт несоизмеримости
непрерывных отрезков (например, стороны и диагонали квадра-
та), что, в свою очередь, дало возможность разработать умо-
зрительную концепцию о бесконечной делимости пространства.
1Из числа первых 92-х элементов 4 элемента не имеют стабильных изо-
топов и практически в природе не встречаются из-за малого времени жизни
радиоактивных изотопов. Это 43-й элемент — технеций (Тс), 61-й — проме-
тий (Pm), 85-й — астат (At) и 87-й — франций (Fr).
В естественном виде на Земле не существуют элементы, атомный номер
которых больше атомного номера урана — 92-го элемента, однако к насто-
ящему времени искусственно созданы сверхтяжелые радиоактивные хими-
ческие элементы вплоть до атомного номера 114.
12
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Тогда оставалось лишь поставить и решить вопрос: заполнено
ли пространство веществом полностью или нет? Если ответ на
вопрос утвердительный, то пустоты не существует, а вещество,
как и пространство, делимо безгранично. Таких взглядов, на-
пример, придерживались философы Анаксагор (учитель Сокра-
та), Платон и Аристотель. Последний, в частности, считал, что
материя есть непрерывная извечная субстанция, образованная
четырьмя элементами — теплом, холодом, сухостью и влагой.
Разница в свойствах веществ объяснялась им различным содер-
жанием этих четырех элементов. Философ И. Кант и в XVIII ве-
ке утверждал, что вещество делимо безгранично. И до сих пор
студентов-естественников зачастую принуждают изучать фило-
софское пустословие, чему уже давно пора положить конец, сде-
лав изучение философии строго добровольным.
Иной ответ на вопрос о заполнении пространства веществом
дали Левкипп и его ученик Демокрит в V веке до н.э. Они реши-
ли, что кроме материи существует и пустота, а сама материя при
этом не может быть делима безгранично. Так, при делении капли
воды пополам процесс нельзя повторять сколь угодно долго. Он
должен закончиться на наименьшей частице вещества, которую
уже дальше разделить нельзя. Отсюда и термин атом (qto/w£),
что в переводе с греческого означает "неделимый”. Однако те-
перь наименьшая частица вещества называется молекулой, а не
атомом. Атомом же теперь называется часть молекулы (для од-
ноатомной молекулы атом и молекула — это одно и то же), при-
чем тоже, как и молекула, составная, то есть делимая. И то, что
ныне делимый объект называется словом, в переводе с греческо-
го означающего ’’неделимый” — это следствие несостоятельно-
сти попыток философов предлагать умозрительные объяснения
всему на свете.
Иными словами говоря, случайный ответ (то есть не опира-
ющийся ни на какие эмпирические данные) Левкиппа и Демо-
крита на не ими поставленный вопрос о том, существует ли пу-
стота (и предполагающий лишь два ответа — ”да” или ’’нет”), не
свидетельствует об их особой проницательности, а демонстриру-
ет лишь легкомыслие философов, берущихся рассуждать о том,
о чем они понятия не имеют, что на практике ведет лишь к мно-
гочисленным конфузам: так, Демокрит неверно счел, что суще-
ствует бесконечное число разных атомов, отличающихся друг
от друга формой и другими свойствами. Разнообразие вещей
он объяснил различием атомов в числе, размерах и сочетани-
ях. Например, Демокрит выдумал, что душа человека состоит
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА 13
из тонких, гладких и круглых атомов, подобных атомам огня.
Чувствуется, что Демокрит, как и любой философ, был чело-
веком богатого воображения, а его концепция атомизма, ничем
с реальным миром не связанная — всего лишь произвольная игра
мысли. Однако не менее богатым воображением обладали и фи-
лософы — противники атомизма. И никто из философов, участ-
вуя в бесплодных спорах, не мог доказать свою правоту. А за-
тем древнегреческая цивилизация вообще исчезла, и, как уже
отмечалось, христианская церковь ошибочно отвергла атомизм,
приняв сторону Аристотеля. Утверждая, что выступают от име-
ни бога, церковники явно ошиблись. Деятельность христианской
церкви в Европе затормозила развитие человеческой цивилиза-
ции минимум на целое тысячелетие.
Лишь с ослаблением в XVIII веке религиозного мракобесия
вновь появились работы, исходящие из идеи атомизма, или, дру-
гими словами, дискретности вещества.
Однако считается, что зарождение атомистики в ее современ-
ной форме началось благодаря деятельности школьного учителя
из Манчестера Джона Дальтона (1766—1844). Размышляя над
растворением газов в воде, Дальтон обратился к идее атомиз-
ма, но, в отличие от предшествующих сторонников этой идеи,
он придумал такие следствия атомизма, которые сам же экс-
периментально и подтвердил, то есть подошел к проблеме как
ученый-естествоиспытатель, а не как философ.
Исследуя состав окислов азота, а также таких соединений
углерода, как метан СЩ, этилен С2Н2, окись углерода СО, дву-
окись углерода (углекислота) СО2, Дальтон теоретически при-
шел к закону кратных отношений (1804) как следствию идеи
дискретности вещества:
Если вещество А соединяется с веществом В двумя или
более путями, образуя составные вещества С и D, то при
постоянной массе вещества А массы вещества В, входя-
щие в продукты реакции С и D, относятся друг к другу
как малые целые числа.
Например, азот может образовывать с кислородом несколько
соединений. Если взять, к примеру, ровно 100 г азота, то в раз-
личных условиях это его количество может полностью прореа-
гировать с 57.1 г, 114.2 г, 171.3 г, 228.4 г и 285.5 г кислорода.
Видно, что массы прореагировавшего кислорода относятся друг
к другу как 1 : 2 : 3 : 4 : 5 и, как сейчас хорошо известно, при этих
реакциях образуются соединения N2O, NO, N2O3, NO2, N2O5.
14
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Чтобы сформулировать закон кратных отношений, Дальтон
ввел понятия ’’простых элементарных частиц” (нынешних ато-
мов) и ’’составных частиц” (молекул), азатем экспериментально
подтвердил закон на примере нескольких веществ, что явилось
аргументом в пользу атомистической гипотезы, хоть и косвен-
ным. Действительно, единственной предпосылкой (или правдо-
подобной интерпретацией) подобного закона могло быть пред-
положение, что при соединении исследованные вещества ведут
себя как дискретные сущности (атомы и молекулы), имеющие
вполне определенную массу. При химических реакциях частицы
должны поштучно соединяться друг с другом, образуя новые
частицы. А это, очевидно, и ведет к закону кратных отношений.
Дальтон вслед за Демокритом неправильно решил, что ато-
мы одного и того же вещества одинаковы, но введенное им в нау-
ку важное понятие относительной массы атома оказалось очень
плодотворным. Дальтон впервые составил таблицу относитель-
ных атомных масс, хоть еще и очень несовершенную.
В 1808 году французский физик и химик Ж.Л. Гей-Люссак
открыл закон объемных отношений, который гласит, что:
Если газ А соединяется с газом В, образуя газ С, и если все
газы находятся при одинаковых температуре и давлении,
то объемы А, В и С относятся друг к другу как малые
целые числа.
1 объем
8
оо
Н2
2 объема
<ъ/ : 8*
% 8 ; / оо
I
н2 + С12
(смесь)
2 объема
2HCI
(соединение)
Рис. 1.1. К закону объемных отношений Гей-Люссака (химическая
реакция между водородом и хлором возбуждается светом)
Так, например, один объем водорода, реагируя с одним объ-
емом хлора, образуют два объема хлористого водорода; или два
объема водорода, реагируя с одним объемом кислорода, обра-
зуют два объема водяного пара; или три объема водорода, ре-
агируя с одним объемом азота, образуют два объема аммиака.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
15
В общем, интерпретация закона Гей-Люссака подтверждала за-
кон кратных отношений Дальтона, свидетельствуя, что при ре-
акциях в газообразном состоянии вещества ведут себя снова как
дискретные сущности. Однако возникли и важные вопросы: не
разделяются ли частицы водорода и хлора пополам при обра-
зовании хлористого водорода из водорода и хлора (см. рис. 1.1),
и не разделяются ли частицы кислорода пополам при образова-
нии воды из кислорода и водорода? Действительно, в последнем
случае из одного объема кислорода получается два объема воды.
В 1811 году итальянский физик и химик А. Авогадро, согла-
суй законы Дальтона и Гей-Люссака, предложил уже современ-
ную атомно-молекулярную концепцию. В современных терминах
объяснения Авогадро свелись к следующему: наименьшими ча-
стицами вещества являются молекулы, состоящие, в свою оче-
редь, из атомов2. В частности, молекула может состоять только
из одного атома.
Например, реакция образования хлористого водорода ведет
к предположению, что молекулы водорода и хлора — двухатом-
ные; реакция образования аммиака ведет к предположению, что
азот также состоит из двухатомных молекул; а реакция образо-
вания воды свидетельствует о том, что и кислород состоит из
молекул, содержащих по два атома, молекула же воды состоит
из двух атомов водорода и одного атома кислорода, так что ре-
акцию образования воды можно записать в современном виде:
2Н2 + О2 -> 2Н2О .
Развивая свои взгляды, в том же 1811 году Авогадро пред-
ложил очень важное правило (вытекающее из его атомно-моле-
кулярной гипотезы и закона Гей-Люссака), известное теперь как
закон Авогадро, относящийся к идеальным газам:
При одинаковых температуре и давлении равные объемы
газов содержат равное количество молекул.
Путь к истине порой бывает сложным. Дальтон и другие уче-
ные высмеяли представления Авогадро о двухатомных молеку-
лах, состоящих из атомов одного сорта. Надо сказать, что у них
были на это некоторые основания. Они не могли себе предста-
вить, почему в газовой фазе могут соединяться только два атома,
2 Такая концепция строения материи древнегреческим философам в голо-
ву не пришла, хотя они и были отчаянные фантазеры. Реальный мир оказал-
ся сложнее древнегреческих фантазий. Только экспериментальная практика
дала ключ к разгадке строения материи.
16
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
образовав молекулу, и не могут соединиться все атомы газа, об-
разовав жидкость? Авогадро не мог ответить на этот законный
вопрос, ведь для этого необходимо было понимать сущность ко-
валентной химической связи3. Так и получилось, что совершенно
верная концепция Авогадро его современниками воспринята не
была.
Из-за путаницы при определении состава сложных частиц
(молекул), продолжавшей существовать в первой половине
XIX века, разные химики получали разные атомные массы для
одного и того же элемента. Трудностей и противоречий к сере-
дине XIX века накопилось так много, что многие ученые счи-
тали, что атомно-молекулярные представления не соответству-
ют реальности. И действительно, органы чувств в данном слу-
чае обманывают людей, воспринимающих окружающее вещество
как сплошное, непрерывное. Поэтому для всеобщего признания
молекулярно-кинетических представлений должны были быть
продемонстрированы прямые, а не косвенные эксперименталь-
ные доказательства существования атомов и молекул, которых
в тот период не было4.
Однако с середины XIX века все же началось постепенное призна-
ние существования атомов и молекул. Произошло это благодаря уси-
лиям и физиков, и химиков. Наибольший вклад в развитие идеи ато-
мизма вещества внесли английские физики Дж. Джоуль (1818—1889)
и Дж.К. Максвелл (1831—1879), а также немецкий физик Р. Клаузиус
(1822—1888), построившие молекулярно-кинетическую теорию газов,
объяснившую основные экспериментальные законы, относящиеся к га-
зам: законы Бойля—Мариотта (pV = const при Т = const, XVII век)
и Гей-Люссака (V/T = const при р = const, 1801—1802 гг.). Позднее
особенно значительный вклад в молекулярно-кинетическую теорию
внесли австрийский физик-теоретик Л. Больцман5 (1844—1906) и аме-
риканский физик-теоретик Дж.У. Гиббс (1839—1903).
3 Механизм ковалентной связи был раскрыт только с помощью квантовой
механики, и произошло это на целых сто с лишним лет позже.
4Подробнее о начальным этапе развития атомно-молекулярных представ-
лений см.: Матышев А.А. "Закон Праута" и открытие аргона//УФН, 2005,
т.175, N12. С. 1357-1381.
5Внесший огромный вклад в развитие кинетической теории, Больцман
очень остро переживал не прекращавшуюся вплоть до начала XX века кри-
тику противников атомизма, оспаривавших, естественно, и работы само-
го Больцмана. Считается, что эти нападки способствовали его самоубий-
ству всего за два года до окончательной и полной победы молекулярно-
кинетических представлений.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
17
Кроме того, усилиями химиков и, прежде всего, итальянско-
го химика Канниццаро, был наведен порядок в измерении атом-
ных и молекулярных масс, утвержденный первой в истории чело-
вечества Международной научной конференцией, состоявшейся
в 1860 году в г. Карлсруэ. Первоочередным на конференции был
вопрос о том, ”.. .следует ли проводить различие между выра-
жениями молекула и атом?" Кстати говоря, к единому мнению
по этому вопросу участники конференции так и не пришли.
Ученые того времени еще не могли определять абсолютную
массу (или вес) атомов, но научились хорошо измерять их отно-
сительные массы. Еще Дальтон в 1808 году за единицу измере-
ния выбрал вес атома водорода, так что отношение массы атома
(или молекулы) к массе атома водорода было названо атомной
(молекулярной) массой. При этом атомная масса водорода объ-
являлась единичной. При выборе водорода оказалось, что атом-
ные массы легких элементов были почти целыми числами, од-
нако с ростом массы совпадение с целыми числами ухудшалось.
Положение улучшилось, когда за эталонный атом приняли кис-
лород (так называемая кислородная шкала), атомный вес кото-
рого в 1906 году положили равным целому числу 16. Кислород-
ная шкала просуществовала до 1961 года, причем ее по-разному
использовали физики и химики. Физики считали единицей изме-
рения 1/16 массы изотопа кислорода 16О, а химики — 1/16 сред-
ней массы атомов природного кислорода, состоящего из смеси
трех стабильных изотопов. Поэтому, встретив в старых учебни-
ках и статьях понятие атомной массы, всегда нужно выяснить,
о каких единицах идет речь.
В настоящее время используется новая шкала — углерод-
ная, по которой масса изотопа углерода 12С принимается равной
точно целому числу 12. Другими словами, атомной единицей
массы называется 1/12 (одна двенадцатая) массы изо-
топа углерода 12С. Тогда под атомной (молекулярной)
массой понимается относительное значение массы ато-
ма (молекулы), выраженное в атомных единицах массы.
Природные вещества состоят из смеси изотопов с устойчивым
процентным содержанием компонент, поэтому за атомную мас-
су элемента принимают среднюю массу изотопов при-
родной смеси, выраженную в атомных единицах массы.
Кроме трансурановых элементов, в естественном виде в приро-
де не встречающихся, атомные массы элементов указываются
в периодической системе элементов. Относительные массы, как
правило, обозначаются греческой буквой д.
18
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Признание все бблыпим числом ученых атомно-молекуляр-
ной гипотезы привело к развитию теории идеальных газов.
Оказалось, что известные к середине XIX века свойства га-
зов можно точно теоретически описать, если исходить из трех
гипотез.
Первая (главная) гипотеза подразумевает, что разреженный
(так называемый идеальный) газ дискретен, то есть состоит
из молекул.
Вторая гипотеза конкретизирует содержание первой и под-
разумевает, что молекулы идеального газа (в рамках представ-
лений середины XIX века — упругие объекты наподобие сильно
уменьшенных биллиардных шаров) между собой не взаимодей-
ствуют (если не считать кратковременных соударений) и нахо-
дятся в непрекращающемся движении, которое называется хао-
тическим тепловым движением.
Вторая гипотеза нетривиальна: основоположник современно-
го атомизма Дальтон первоначально ошибочно счел, что части-
цы газа в пространстве покоятся вблизи определенных точек, то
есть уподобил газы твердым кристаллическим телам. Далее эта
гипотеза позволит ввести определение температуры газа.
Наконец, третья гипотеза подразумевает, что газ, не подвер-
женный воздействию извне, — однородная и изотропная среда,
что, в свою очередь, означает, что свойства газа не зависят от
положения начала координат и ориентации осей произвольной
декартовой системы координат, с помощью которой происходит
описание свойств газа, заключенного внутри объема, покоящего-
ся относительно выбранной системы координат.
Назовем макроскопическим объемом такой объем, который
содержит большое (огромное по сравнению с единицей) число
молекул. Фактические размеры макроскопического объема мож-
но определить, если известна концентрация идеального газа, ко-
торая будет указана далее. Анализ систем из огромного числа
молекул стал возможен лишь на основе понятия вероятности,
введенного в физику Максвеллом.
На интуитивном уровне понятие вероятности знакомо каждо-
му человеку с детства. Вероятность Wi события i определяется
как отношение количества благоприятных исходов Ni к полно-
му числу всех независимых равновероятных исходов N:
Wi = Ni/N.	(1.1)
Например, при бросании кубика возможно выпадение шести
разных граней (N = 6), тогда как любое целое число от 1 до 6 со-
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА 19
ответствует выпадению только одной конкретной грани (Ni = 1,
i = 1, так что вероятность выпадения любого числа от
1 до 6 при бросании игрального кубика есть 1/6. Однако в дей-
ствительности кубик может быть "фальшивый” (со смещенным
центром тяжести), что нарушает условие равновероятности вы-
падения граней. Поэтому практически вероятности выпадения
граней измеряют, многократно производя один и тот же опыт
(в данном случае — бросание кубика). Тогда формула (1.1) при-
обретает операциональный смысл: вероятность Wi события есть
предел отношения числа Ni реально осуществившихся г-х собы-
тий к общему числу испытаний N при N —> оо.
Знание вероятности случайного события позволяет пред-
сказать лишь средний результат многократных попыток осу-
ществления заданного исхода. Так, при любом однократном бро-
сании кубика (если кубик не "фальшивый") предсказать исход
невозможно, но вот если кубик бросить 6000000 раз, то с точно-
стью до третьей значащей цифры можно предсказать, что любое
число от 1 до 6 выпадет по 1000000 раз.
Не углубляясь в тонкости определения вероятности, сформу-
лируем два очевидных положения, которые понадобятся в даль-
нейшем.
Во-первых, вероятности исключающих друг друга событий
складываются. Так, вероятность выпадения при бросании куби-
ка либо ’’единицы”, либо ’’двойки” есть 1/3. Как следствие, сум-
ма вероятностей всех исключающих друг друга исходов есть
единица, что, очевидно, следует из формулы (1.1). Например, ве-
роятность выпадения при бросании кубика любого числа от 1 до
6 есть единица, что означает, что при бросании кубика в надле-
жащих условиях (исключающих приземление кубика на верши-
ну или ребро) обязательно выпадет какое-либо число.
Во-вторых, вероятность сложного события, заключающегося
в последовательном наступлении двух (или более) независимых
событий, есть произведение вероятностей каждого из событий
в отдельности. Например, вероятность выпадения двух подряд
"единиц” при двух бросаниях кубика есть 1/36.
Дж. Максвелл в 1859 году определил распределение молекул
в газе по скорости именно на основе понятия вероятности, хотя
в классической физике предполагается, что на самом деле по-
ведение газа детерминировано (то есть молекулы газа в любой
момент времени имеют определенные координаты и скорости,
зависящие от начальных условий и сил, действующими между
молекулами), а использование вероятностного подхода — вынуж-
20
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
денная мера, так как число атомов и молекул в макроскопиче-
ском объеме слишком велико. Понятие же вероятности позволи-
ло обойти практическую невозможность полного описания со-
стояния каждой молекулы газа?.
1.1.1 Распределение Максвелла по скорости
Будем для простоты молекулы газа называть просто частица-
ми. В рамках классической физики предполагается, что каждая
частица движется вдоль некоторой траектории, в каждой точке
которой обладает вполне определенной скоростью с проекция-
ми на оси декартовой системы координат vx, vy и vz. Поэтому
вполне разумно поставить вопрос: какое число частиц газа име-
ет vx в пределах интервала \vx,vx + dvx]?
Пусть газ имеет конечный объем, и в нем всего N » 1 частиц,
из которых AN частиц в определенный момент времени имеют
проекцию скорости vx в интервале [vx,vx + А-иж]. Тогда
л AN
Дш = ^г
(1-2)
есть вероятность обнаружить у случайно выбранной частицы
проекцию скорости в интервале [vx,vx + Avx]. Вообще говоря,
величина Aw является функцией двух переменных — vx и Аг^.
Однако Aw в пределе /\их —> 0 можно разложить в ряд Тейлора,
а затем оставить лишь линейный по dvx член, получив
_ dN / ч ,
dw = — = g(vx)dvx ,	(1.3)
где g(vx) — неизвестная функция одного переменного, называе-
мая плотностью вероятности6 7 обнаружения проекции скорости
в бесконечно малом интервале [vx,vx + dvx\. Обратите внимание
на то, что конечная вероятность соответствует интервалу конеч-
ной величины. Вероятность же обнаружить у частицы строго
определенную скорость vx (когда dvx = 0) равна нулю.
По сформулированной выше третьей гипотезе (см. с. 18) газ
является однородной и изотропной средой, поэтому уравнение
(1.3) должно описывать распределение частиц газа по проекции
скорости вдоль любого направления в пространстве.
6См. по этому поводу приложение 1.
7В данном случае речь идет о плотности в пространстве скоростей.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА 21
Учитывая, что вероятность сложного события, заключающе-
гося в наступлении двух (или более) независимых событий, есть
произведение вероятностей каждого из событий в отдельности,
получим вероятность dw обнаружения у молекулы вектора ско-
рости, составляющие которого лежат внутри бесконечно мало-
го параллелепипеда в пространстве компонент скорости vx,vy, vz
(то есть в интервалах [vx,vx + dvx], [vy,vy + dvy], [vz,vz + dvz]):
dw = g(vx)g(vy)g(vz)dvxdvydvz .	(1.4)
Неизвестную функцию g(vx) оказалось возможным опреде-
лить посредством введения еще одной неизвестной функции F(y).
описывающей распределение частиц газа по абсолютной вели-
чине (модулю) скорости:
dwv = F(v)dv ,	(1.5)
где dwv — вероятность обнаружить в газе молекулу, абсолютная
величина скорости которой лежит в интервале [v, v + dv].
Распределение (1.4) задает вероятность обнаружения у ча-
стицы скорости, лежащей внутри бесконечно малого параллеле-
пипеда, построенного в пространстве компонент скорости вблизи
конца вектора v = vxex + vyey + vzeZj а распределение (1.5) опи-
сывает вероятность обнаружения у молекулы вектора скорости,
лежащего внутри бесконечно тонкого сферического слоя, имею-
щего объем8
dV = 4m)2dv.	(1.6)
Учтя, что газ однороден и изотропен, то есть распределе-
ния (1.4) и (1.5) верны в любой декартовой системе координат,
рассмотрим два кубика одинаковых размеров в пределах одно-
го и того же сферического слоя (1.6), которые можно перевести
друг в друга вращением системы координат вокруг начала коор-
динат. Введем две системы координат (имеющие общее начало)
такие, что ось пройдет через один кубик, а ось Ог^/ — через
второй. Тогда каждый из кубиков относительно своей системы
координат займет одно и то же положение и, следовательно, бу-
дет содержать одно и то же число частиц, так как одна и та же
вероятность dw из (1.4) есть среднее число частиц газа со скоро-
стями, лежащими внутри бесконечно малого кубика, отнесенное
к общему числу частиц газа. Отсюда следует, что число частиц
8 Постройте соответствующие объемы в декартовой системе координат
с осями vx, vy и vz.
22
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
во всех кубиках в пределах одного и того же сферического слоя
(которые могут быть совмещены вращением), одинаково. Други-
ми словами, распределение частиц по скорости в пространстве
компонент скорости — сферически симметричная функция.
Тогда можно составить равенство
F(v)dv = g(yx)g(yy)g(yz)dvxdvydvz	,	(1.7)
dux dvy du z
означающее, что одно и то же число частиц d/V, имеющих модуль
скорости в интервале [v, и + dv], с одной стороны, определяется
уравнением (1.5), а с другой стороны, может быть вычислено как
сумма числа частиц во всех кубиках, заполняющих тот же сфе-
рический слой. Так как объем слоя есть 4?rv2dv, а объем кубика
— dvxdvydvz, то отношение этих объемов есть число кубиков, пол-
ностью заполняющих сферический слой. В то же время в каждом
из кубиков находится одно и то же число частиц, определяемое
соотношением (1.4), что и дает равенство (1.7), в котором диф-
ференциалы сокращаются. Возникает уравнение
/(v) = g(vx)g(yy}g(vz),	(1.8)
где v = y[v2 + v2 + v2z, f(y) = F(v)/(4ttv2).
Решением функционального уравнения (1.8) должна быть та-
кая пара функций f и g одного переменного, которая превращает
его в тождество относительно трех независимых переменных их,
иу и vz.
Продифференцируем по их левую и правую части (1.8), а за-
тем полученное уравнение разделим на (1.8). В результате полу-
v/(v) vxg(vx) ’
где /' и д' — производные функций f и д.
Дифференцируя (1.8) по иу, находим аналогичное уравнение:
/'fo) = д’М
vyg{vy) ‘
Сравнивая два последних уравнения, приходим к равенству
д'(ух) = д'Ю	9х
ухд(ух) Ууд(уу) '
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
23
Левая и правая части (1.9) зависят от двух разных независи-
мых переменных vx и vy. Последнее означает, что левая и правая
части (1.9) должны быть равны одному и тому же вещественно-
му числу. Чтобы это доказать формально, достаточно положить
в (1.9) vy = const, и правая часть станет просто вещественным
числом. Тогда, приравнивая левую часть (1.9) произвольному ве-
щественному числу (—а), приходим к обыкновенному линейному
дифференциальному уравнению первого порядка относительно
функции д:
д'М = -avxg(vx).	(1.10)
Решением (проще всего получаемым методом разделения пе-
ременных) уравнения (1.10) является функция
g(vx) = Cexp	,	(1.11)
где С — произвольная вещественная константа.
Таким образом, функциональное уравнение (1.8) имеет об-
щее решение вида (1.11), содержащее две положительные9 веще-
ственные постоянные.
Чтобы выразить две постоянные С и а через характеристики
газа, необходимо сформулировать два независимых уравнения.
Одно уравнение является нормировкой вероятности на единицу:
+оо	+оо
У dw = У g(yx)dvx = 1.	(1-12)
—сю	—оо
Действительно, величина dw = g(vx)dvx есть вероятность обна-
ружить частицу идеального газа с проекцией скорости в интер-
вале [vx,vx + dvx]. Разумеется, сумма вероятностей всех неза-
висимых событий (соответствующая обнаружению частицы газа
с любой проекцией скорости) должна быть равна единице.
Второе уравнение, необходимое для вычисления констант С
и а, возникает из определения температуры, дополняющего ги-
потезу 2, изложенную на с. 18. Прежде, чем сформулировать
определение температуры в рамках молекулярно-кинетических
представлений, сделаем маленькое отступление.
9Константа С > 0, так как плотность вероятности д(ух) > 0, а константа
а > 0, так как очевидно, что количество частиц в пределе vx ~> +оо должно
стремиться к нулю.
24
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Ощущение тепла и холода знакомо каждому человеку, однако
причины изменения температуры тел долгое время не находили
правильного объяснения. Лишь в конце XVIII века стала осозна-
ваться связь между температурой тела и движением составля-
ющих тело частиц. Так, в классическом эксперименте 1798 го-
да английского физика Бенджамина Томпсона (позднее графа
Румфорда) было доведено до кипения большое количество во-
ды во время сверления ствола пушки тупым сверлом, приводи-
мым в движение лошадьми. Причиной нагревания воды была
лишь механическая работа, совершенная лошадьми при сверле-
нии пушки. В рамках представлений о дискретности вещества
вполне естественным выглядит предположение, что движение
сверла должно передаваться частицам среды, а нагревание веще-
ства есть следствие роста кинетической энергии составляющих
тело частиц.
По определению в рамках молекулярно-кинетических пред-
ставлений, абсолютная температура вводится с помощью со-
отношения
5 = -fcT,	(1.13)
Л
где £ = mv2/2 — средняя кинетическая энергия хаотически дви-
жущихся частиц массы т, v2 — средний квадрат модуля скоро-
сти частиц газа.
Так как термометры (основанные на явлении расширения
жидкостей и газов при нагревании) применялись еще с XVII ве-
ка, и уже существовали температурные шкалы, то в определении
(1.13) стоит коэффициент пропорциональности 3fc/2, где к — по-
стоянная Больцмана, связывающая показания макроскопиче-
ских термометров со средней кинетической энергией молекул га-
за. В частности, из (1.13) следует, что при увеличении темпера-
туры газа на 1 К (или на 1°С) средняя кинетическая энергия
частиц газа возрастает на 3fc/2.
Определение температуры (1.13) позволяет сформулировать
еще одно уравнение относительно функции д. Так как газ изо-
тропен, то, очевидно, v2 = v2 = v2, откуда следует (с учетом
тождества v2 = v2 + v2 + v^), что10
--	-- --- V2
v~ = и?. = г>1 = — .	(1-14)
X у Z Q	\ /
10 Отсюда также следует, что на каждую поступательную степень свободы
в равновесии приходится в среднем энергия кТ/2.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
25
В приложении 1 выводится формула для среднего значения
случайной величины, в соответствии с которой
'х •
(1-15)
Подстановка общего решения (1.11) в уравнения (1.12) и (1.15)
[с учетом (1.13) и (1.14)] дает два интеграла, вычисление которых
приводится в конце приложения 1. В итоге получается система
двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными С и а,
решение которой придает окончательный вид плотности вероят-
ности д:
I---	/ о \
/ ч / Ш	( mvx \
9М=\1шТеХр[-2кт) 
(116)
После определения функции д уравнение (1.7) позволяет по-
лучить и плотность вероятности F:
F(V) = 4” “Р
m(y% + + ^2)
2кТ
(1-17)
Таким образом, окончательно получаем, что вероятность dw
обнаружить у молекулы вектор скорости, составляющие которо-
го лежат внутри параллелепипеда в пространстве компонент ско-
рости, задаваемого тремя интервалами [vx,vx + dvx], [vy,Vy + dvy],
[vz,vz + dvz], есть
3/2
) exP
+ «2)
2kT
dvxdvydvz,
(1-18)
а вероятность dwv обнаружить у молекулы абсолютную величи-
ну скорости в интервале [v, v + dv] есть
1 А ( m \3/2 2 Л ТПУ2\ ,
dwv — 4тг —- — v exp — —— dv .
\2irkTJ	2кТ J
(1.19)
Видно, что плотность вероятности, соответствующая (1.18),
действительно сферически симметричная функция в простран-
стве компонент скорости. Она максимальна в начале координат
и экспоненциально убывает по мере удаления от начала коорди-
нат в любом направлении. Плотность вероятности абсолютной
26
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
величины скорости (1.19) в начале координат обращается в нуль,
что связано с топологией объема, соответствующего в простран-
стве компонент скорости дифференциалу dv11.
Распределение (1.18), полученное Дж. Максвеллом в 1859 го-
ду, называется максвелловским распределением по скорости (ча-
стиц макроскопической физической системы, находящейся
в состоянии термодинамического равновесия в отсутствие внеш-
них силовых полей), а распределение (1.19) называется максвел-
ловским распределением по абсолютной величине скорости.
Нетрудно найти, что распределение по абсолютной скорости
достигает максимума при величине vm, называемой наиболее ве-
роятной скоростью:
vm =	(1.20)
Рис. 1.2. Плотность вероятности
распределения (1.21)
Если скорости частиц газа
измерять в единицах наиболее
вероятной скорости, то есть ес-
ли ввести безразмерную ско-
рость и = v/vm , то максвеллов-
ское распределение по абсолют-
ной величине скорости (1.19)
примет универсальный вид12
(не зависящий ни от температу-
ры, ни от массы частиц):
и2ехр(—и2). (1.21)
аи х/к
На рис. 1.2 показано универсальное распределение по безраз-
мерной абсолютной скорости и. Разумеется, площадь под кривой
равняется единице.
11 Это сферический слой, объем которого 47rv2dv зависит не только от dv,
но и от v. При v —> 0 стремится к нулю и соответствующий объем. Общее
число частиц в таком объеме, естественно, также стремится к нулю несмотря
на то, что конечная плотность частиц вблизи начала координат в простран-
стве компонент скорости максимальна.
12 Можно привести к универсальному виду и распределение (1.18):
dw = 7Г-3/2 ехр(—и2) duxduyduz .
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
27
Изображены также прямая 1, соответствующая наиболее ве-
роятной скорости ит = 1 (при которой плотность вероятности
достигает максимума); прямая 2, соответствующая средней ско-
рости v и прямая 5, соответствующая среднеквадратичной скоро-
сти vrms 13. По определению, среднеквадратичная скорость есть
vrms = у/v^ . В силу же определения температуры (1.13) средне-
квадратичная скорость для максвелловского распределения есть
(1-22)
Она в л/3/2 = 1.225 раз больше наиболее вероятной скорости
vm-
Вычисление средней абсолютной скорости затруднений не вы-
зывает14:
Средняя скорость в ^4/тг = 1.128 раз больше наиболее вероят-
ной скорости vm.
Вычисление наиболее вероятной, средней и среднеквадратич-
ной скоростей молекул любого равновесного газа становится воз-
можным, если известны постоянная Больцмана и масса молеку-
лы газа. Далее в настоящей главе описывается, как были опреде-
лены эти величины, а сейчас, забегая вперед, приведем для све-
дения значения соответствующих скоростей для водорода, моле-
кулы которого Н2 имеют массу т = 3.3472 • 10-27 кг. Если взять
Т = О °C = 273.15 К, то получим
vm = 1501.1 м/с ,
77 = 1693.9 м/с,
Ums = 1838.5 м/с.
Молекулы более тяжелых газов в тех же условиях движут-
ся медленнее в	гДе молекулярная масса водорода имеет
13Индекс отвечает стандартному английскому сокращению словосочета-
ния ”root-mean-square”, означающего ’’среднеквадратичный”.
14В интеграле нужно сделать замену переменных х = v2.
28
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
численное значение /1Н2 = 2.0158, р, — молекулярная масса любо-
го другого газа. Так, для кислорода /1О2 = 31.9988, поэтому ско-
рости для кислорода меньше соответствующих скоростей для во-
дорода (при прочих равных условиях) в 3.9842 раза. Как видно,
молекулы в газах движутся с весьма значительными скоростя-
ми, причем распределения Максвелла (1.18) и (1.19), как сказал
бы математик, дают ненулевую вероятность для сколь угодно
больших скоростей. Физик же, произведя простейшую оценку,
сделает вывод, что максвелловские распределения (1.18) и (1.19)
на самом деле не предсказывают обнаружения молекул с очень
большими скоростями.
Действительно, найдем вероятность появления у молекулы
скорости в интервале [10vm, 10.01vm]. Универсальное максвел-
ловское распределение (1.21) при и = 10, du = 0.01 позволяет
получить соответствующую оценку:
dw ъ 2.26 ехр(—100) « 2.26 • 10-43’4 « 0.9 • 10-43 .
Зная радиус Земли, нетрудно оценить15, что масса атмосфе-
ры Земли составляет примерно 5 • 1018 кг. Так как масса одно-
го моля воздуха — 29 г, то атмосфера Земли содержит прибли-
зительно 1.7 • Ю20 молей16 воздуха и, следовательно, порядка
1044 молекул. Поэтому, если считать атмосферу Земли локально
равновесной, то одновременно порядка 0.9 • 10-43 • 1044 = 9 мо-
лекул могут иметь скорости, превышающие наиболее вероятную
в 10—10.01 раз. Понятно, что можно с полной определенностью
считать, что в любых лабораторных установках в равновесии
отсутствуют молекулы, скорость которых превышает наиболее
вероятную скорость более, чем в 10 раз17.
Универсальное распределение Максвелла (1.21) позволяет ут-
верждать, что вывод об отсутствии в равновесных системах ча-
стиц со скоростью, десятикратно превышающей наиболее веро-
ятную скорость, не зависит ни от природы газа, ни от температу-
ры и давления (лишь бы газ был равновесный). Однако универ-
сализм бывает коварен. Так, глядя на график универсального
максвелловского распределения по абсолютной величине скоро-
сти (см. рис. 1.2) и формулу (1.20) для наиболее вероятной ско-
рости, трудно представить себе эволюцию максвелловского рас-
пределения (1.19) при изменении температуры водорода, изоб-
раженную на рис. 1.3.
15См. задачу 1.2 к главе 1.
16Определение моля см. далее, на стр. 36.
17См. задачу 1.3 к главе 1.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
29
Итак, трех гипотез, из-
ложенных на с. 18, и опре-
деления температуры оказа-
лось достаточно для получе-
ния распределения частиц по
скорости18.
Выведенное теоретически
("на кончике пера"), максвел-
ловское распределение по ско-
рости (1.19) экспериментально
было подтверждено лишь спу-
стя 61 год после его открытия:
в 1920 году немецкий физик
О. Штерн (Нобелевский лау-
реат по физике 1943 года) про-
вел первые прямые измерения
Рис. 1.3. Плотность вероятности
максвелловского распределения
молекул Нг по абсолютной вели-
чине скорости для трех разных
температур
скоростей атомов серебра, испа-
ряемых в газовую фазу (молекула серебра в газовой фазе одно-
атомна).
Схема эксперимента Штер-
на изображена на рис. 1.4.
Платиновая нить (с предвари-
тельно нанесенным на ее по-
верхность серебром) натянута
вдоль оси (перпендикулярной
плоскости чертежа) цилиндра
О с диафрагмой Si. Нить на-
гревается электрическим то-
ком, серебро испаряется, и в
О образуется пар из атомов
серебра. Часть атомов сереб-
ра вылетает сквозь диафраг-
му Si и попадает в вакуумиро-
ванный объем, в котором дав-
ление р ~ 10-6 Торр, и ато-
мы серебра летят без столкно-
Рис. 1.4. Прямое измерение скоро-
сти атомов (О. Штерн, 1920 г.)
вений по прямым. Диафрагма S2 окончательно формирует узкий
пучок атомов серебра.
18 По последней причине максвелловское распределение относится также
и к молекулам жидкостей, если только их движение допустимо описывать
классическими законами. Ведь жидкости также дискретны и почти все изо-
тропны, а наличие взаимодействия между частицами не влияет на приве-
денный выше вывод максвелловского распределения.
30
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Если внешний цилиндр V неподвижен, то атомы серебра оса-
ждаются на внутренней поверхности V в точке Р. Если же ци-
линдр V со всем его содержимым приводится во вращение в на-
правлении, указанном стрелкой, то, имей атомы одну и ту же
скорость, они осели бы в точке Р', причем длина РР', как нетруд-
но понять, есть Rw (R — r}/v, где ы — угловая частота вращения,
R — радиус цилиндра V, R — г — расстояние между S2 и V, v —
скорость атомов. Относительно точки Р' атомы летят по криво-
линейной траектории, показанной на рисунке. Так как скорости
у атомов разные, то вместо точки Р' на съемной стеклянной пла-
стинке возникает полоска. По количественному распределению
осадка (оценивавшемуся по прозрачности пластинки) определя-
лось распределение атомов по скорости, оказавшееся максвел-
ловским, как констатировал О. Штерн, соответствующим темпе-
ратуре Т = 1235 К, до которой нагревалась проволока.
Впоследствии Штерн применил более точный времяпролет-
ный метод, позволяющий выделять из пучка атомы или моле-
кулы определенной скорости. Суть метода сам Штерн пояснил
в своей Нобелевской речи19 следующим образом: "Мы измеряли
скорости <атомов и молекул — А.М.> разными способами. Один
способ заключался в пропускании молекулярного пучка через
систему вращающихся зубчатых колес. Этот метод использовал
Физо для измерения скорости света. Мы поместили на расстоя-
нии нескольких сантиметров два зубчатых колеса на общей оси.
Когда колеса покоились, молекулы проходили <к детектору —
А.М.> через два последовательных зазора. Если колеса враща-
лись, то молекулы, прошедшие через первый зазор, не проходили
через второй, так как второй зазор смещался за время, пока мо-
лекулы летели от первого колеса к второму. Однако при опреде-
ленных условиях молекулы могли пройти через следующий зазор
на втором колесе. Условие заключалось в том, чтобы время про-
лета молекулы между колесами равнялось бы времени поворота
колеса, за которое следующий зазор занимает в точности поло-
жение предыдущего. Определяя это время, то есть фактически
измеряя число оборотов колес в секунду, при котором молекулы
проходили через оба зазора, мы тем самым измеряли скорости
молекул, найдя согласие с теорией Максвелла как относительно
численных значений скорости, так и относительно распределе-
ния молекул по скорости".
19В 1943 году О. Штерн был удостоен Нобелевской премии по физике "за
вклад в развитие метода молекулярных пучков и открытие и измерение
магнитного момента протона".
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА 31
К середине XX века распределение по скорости в атомно-мо-
лекулярных пучках было количественно изучено уже в десятках
специально поставленных экспериментов, и было получено пре-
восходное согласие с максвелловским распределением.
Концентрация, поток и давление идеального газа
Дискретность вещества естественным образом приводит к поня-
тию концентрации частиц п (числу частиц в единице объема).
Из-за хаотического (теплового) движения число частиц в любом
объеме газа все время меняется, или, как говорят, флуктуиру-
ет. Флуктуациям п посвящено приложение 2, в котором пока-
зано, что если в объеме Vo содержится No одинаковых молекул
в газовой фазе (то есть средняя концентрация всего газа есть
п = Nq/Vo), то среднее число частиц N в любой части газа будет
определяться формулой
N = nV,	(1.24)
где V < Vo — объем выделенной части.
Относительное среднеквадратичное отклонение от среднего
числа частиц в объеме V определяется выражением
(1-25)
Последняя формула показывает, что при V —> Vb относитель-
ная величина флуктуаций монотонно уменьшается, обращаясь
в нуль при V = Vo, поскольку во всем объеме число частиц No
не изменяется. С другой стороны, при уменьшении V относи-
тельная величина флуктуаций возрастает. При V Vo форму-
ла (1.25) приобретает особенно простой вид, так как величиной
V/Vo можно пренебречь по сравнению единицей:
N
(1-26)
Последний результат позволяет быстро производить оценку
возможного числа частиц в том или_ином малом объеме. Так,
если в объеме в среднем находится N = 100 частиц, то относи-
тельная среднеквадратичная погрешность будет 10%. Последнее
32
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
означает, что число частиц в объеме на самом деле будет коле-
баться в среднем от 90 до 110 частиц.
Переписав формулу (1.24) в виде N/V = п = TVo/Иь мож-
но заключить, что средняя концентрация частиц в любой ча-
сти газа неизменна и определяется средней концентрацией газа
как целого. Другими словами, равновесный газ однороден и изо-
тропен, характеризуется равномерным распределением частиц
по объему, а также максвелловским распределением частиц по
скорости.
Итак, частицы дискретной среды (газа, жидкости) находят-
ся в постоянном тепловом движении, непрерывно перемещаясь
в пространстве таким образом, что средняя концентрация в лю-
бом месте среды остается постоянной. При этом в равновесном
газе любую мысленно выделенную площадку в среднем с каждой
стороны пересекает определенное количество молекул. "Интен-
сивность перемешивания" среды характеризует величина, назы-
ваемая потоком молекул и являющаяся количеством молекул,
пересекающих площадку единичной площади в единицу времени.
Тогда количество молекул газа, пересекающих с каждой из
сторон любую мысленно выделенную площадь S за время t, мо-
жет быть выражено через величину потока молекул J следую-
щим образом:
N = JSt.	(1.27)
В СИ размерность потока молекул есть м 2 • с
Определим количество частиц,
падающих за время t на площадку S,
изображенную на рис. 1.5. Мыслен-
но ограничим газ стенками, показан-
ными на рисунке. Поток молекул на
площадку S от этого не изменится,
так как средний поток отраженно-
го от стенок газа в точности равен
потоку газа, падающему на стенки.
Другими словами, газ внутри объе-
ма "не знает" о существовании сте-
Рис. 1.5. К вычислению
давления газа
нок, так как отраженный от стенки поток эквивалентен потоку
в любой внутренней точке газа.
Теперь выделим из всех молекул газа те, что имеют проекцию
скорости на ось Ох в интервале [vx,vx + dvx] (причем в данном
случае vx >0), концентрация которых определяется формулой
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА 33
(1.3)20
dn = ndw = ng(vx)dvx ,
где функция д(Ух) задана уравнением (1.16). Тогда можно утвер-
ждать, что за время t на стенку S придет столько же молекул
со скоростью в интервале [vx, vx + dvx\, сколько их содержится в
объеме V = Svxt. Последнее выражение было бы очевидно в том
случае, если бы молекулы двигались без соударений (тогда за
время t до стенки успели бы долететь все молекулы, отстоящие
от нее не более, чем на длину vxt). Однако соударения между мо-
лекулами не меняют сделанного вывода, так как они не влияют
на среднюю концентрацию частиц: если в каком-либо месте по
пути к S молекула со скоростью в интервале [vx,vx + dvx\ испы-
тала соударение, в результате чего изменила свою скорость, то
в другом месте того же слоя в результате другого соударения воз-
никнет молекула со скоростью в том же интервале [vx, vx + dvx\
которая продолжит движение к S.
Таким образом, за время t на площадку S придет dN моле-
кул, имеющих скорость в интервале [vx,vx + dvx], причем
dN = пд(ух) dvx vxSt.	(1.28)
Так как на площадку S слева падают молекулы только с положи-
тельной компонентой vx > 0, то общее число частиц, падающих
на S за время t, определится интегралом
+оо
N = Stn fvxg(vx)dvx-	(l-29)
о
Подстановка g(vx) из (1.16) приводит к элементарному ин-
тегралу, легко сводящемуся (с помощью подстановки, указанной
в примеч. 14 на стр. 27) к интегралу вида f ехр(—х) dx, что в ито-
ге дает для N величину
N = St’i.^=St^,	(1.30)
4 V тгтп 4
где было учтено выражение для средней абсолютной величины
скорости (1.23). Сравнение (1.30) и (1.27) окончательно дает
J=^.	(1.31)
20 С учетом очевидного тождества dN/N = dn/n.
34 ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Далее в настоящем разделе формула для величины потока моле-
кул в газе (1.31) будет выведена еще раз (с использованием более
детальной картины движения молекул, явным образом учитыва-
ющей столкновения).
Таким образом, в рамках классической физики идеальный
газ как совокупность молекул характеризуется распределением
вероятности числа частиц N в заданном объеме V [см. при-
ложение 2, формула (П2.5)], а также максвелловским распреде-
лением молекул по скорости.
Несмотря на неполноту описания состояния газа веро-
ятностными распределениями21, последние дают полное
описание макроскопических характеристик газа!
В частности, к макроскопическим характеристикам газа от-
носятся объем, температура и давление22. Объем газа может ме-
няться в широких пределах, температура характеризует сред-
нюю кинетическую энергию частиц, составляющих газ. Наконец,
газ давит на любое тело, находящиеся с ним в соприкосновении.
Молекулы газа при соударении с препятствием в среднем
упруго отражаются (если бы отражение было неупругим, то это
должно было бы приводить к изменению температуры стенки,
что исключается в состоянии термодинамического равновесия,
когда температуры стенки и газа одинаковы), как это изображе-
но на рис. 1.5.
По определению, давление р есть нормальная к поверхности
сила, отнесенная к единице поверхности: р = F/S. Рассмотрим
стенку площади S, ограничивающую газ (см. рис. 1.5, где теперь
площадка S является границей газа). Найдем давление газа на
стенку, для чего подсчитаем импульс вдоль оси Ох, передаваемый
молекулами стенке в единицу времени.
Сталкивающаяся со стенкой молекула передает последней им-
пульс 2mvx (где т — масса молекулы), так как по закону сохра-
нения импульса замкнутой системы изменение импульса стенки
равно изменению импульса молекулы.
В то же время количество молекул dN (с компонентой скоро-
сти в интервале [vx,vx+dvx]), падающих на площадку S за время
t, было уже вычислено выше [формула (1.28)], что дает возмож-
ность найти суммарный импульс, получаемой стенкой в единицу
21В классической физике под полным описанием системы из № частиц
подразумевается описание положения и скорости каждой из Nq частиц.
22Предполагается, что читатель знаком с методами измерения объема,
температуры и давления.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
35
времени за счет выделенной группы молекул, в виде
dP = 2mvxng(vx)dvxSvxt.
Разделив импульс на время, получим силу, действующую по нор-
мали к поверхности. Разделив силу на площадь, получим вклад
dp в давление газа, обусловленный молекулами с проекцией ско-
рости в интервале [vx,vx + dvx]. Наконец, проинтегрировав по vx
от нуля до бесконечности, получим давление газа:
+оо
р = 2тп j dw .
о
В последнем выражении нужно подставить dw = g(vx)dvx,
функцию g(vx) из (1.16), после чего честно сосчитать интеграл.
Однако если заметить, что
а последний интеграл есть просто v2 = г>2/3, то формула для дав-
ления газа примет вид основного уравнения кинетической тео-
рии газов:
Р=
и
(1-32)
где п — концентрация, S = mv2/2 — средняя кинетическая энер-
гия хаотически движущихся молекул.
В_середине XIX века ни средняя кинетическая энергия моле-
кул 5, ни постоянная Больцмана к измерены еще не были, одна-
ко из уравнений (1.32) и (1.13) можно было получить уравнение
состояния идеального газа, в которое входили только макроско-
пические величины. Действительно, подстановка (1.13) в (1.32)
дает известное выражение для давления
р = пкТ,
(1.33)
которое с учетом определения концентрации п принимает вид
pV = NkT,
(1-34)
где N — общее число молекул газа в объеме V.
36 ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Уравнение (1.34) дает возможность обосновать закон Аво-
гадро (см. с. 15), поскольку из (1.34) непосредственно следует,
что при одинаковых давлении и температуре все идеальные газы
в равных объемах содержат равное число частиц23.
В уравнение состояния газа (1.34) входят измеряемые давле-
ние, объем и температура, а также неизвестные практически весь
XIX век постоянная Больцмана и количество молекул в объеме
газа. Однако произведение двух последних величин легко могло
быть вычислено с помощью уравнения (1.34) после проведения
соответствующих измерений.
Для получения уравнения состояния газа, не содержащего
микроскопических (и, следовательно, неизвестных в XIX веке)
величин, было определено понятие моля вещества (подчеркивая
выбор системы единиц измерения СГС, иногда говорят грамм-
моль). В СИ соответствующая величина называется килограмм-
молем. Под молем в СГС понимают такое количество ве-
щества, масса которого в граммах численно равна мо-
лекулярной массе вещества. В СИ, соответственно, речь
идет о килограмм-моле и о массе в килограммах. Так,
в СИ килограмм-моль изотопа углерода 12 С — это 12 кг изото-
па, а в СГС грамм-моль (моль) — это 12 г изотопа.
Из определения моля следует, что число молекул в моле лю-
бого вещества является мировой постоянной, что легко дока-
зать. Если молекулярная масса произвольного вещества есть р,
то массу грамм-моля р [г], можно выразить как произведение
числа частиц на абсолютную массу одной молекулы, равную,
в свою очередь, произведению молекулярной массы р на атом-
ную единицу массы ти'
• 1 г = рти Na-
Величина р из последнего уравнения сокращается, а число ча-
стиц в моле оказывается численно равным обратной атомной
единице массы.
23Уравнение (1.34) говорит также о том, что при заданной температуре Т
давление в макроскопическом замкнутом объеме определяется общим чис-
лом частиц газа N в объеме V. Земная атмосфера не имеет ’’стенок”, однако
если в газе осуществляется локальное равновесие, то формула (1.34) приме-
нима и для достаточно малого мысленно выделенного объема воздуха V,
так как состояние равновесного газа не изменяется при ограничении любой
его части замкнутой поверхностью. Роль ’’потолка” для атмосферы Земли
выполняет гравитация, а давление воздуха у поверхности Земли однозначно
связано с общим числом молекул в атмосфере, о чем и говорит задача 1.2.
Решите ее.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА 37
Число частиц в грамм-моле, одинаковое для всех ве-
ществ, назвали числом Авогадро (в честь творца соот-
ветствующего закона) и обозначили Na.
Вплоть до начала XX века число Авогадро точно известно не
было, однако эту трудность обошли следующим образом. Пусть
исследуемый газ имеет легко измеряемую (простым взвешивани-
ем) общую массу М. Очевидно, что число молей вещества при
заданной массе можно сосчитать двумя способами: с одной сто-
роны, как отношение числа молекул в этой массе к числу Авога-
дро, а с другой — как отношение общей массы вещества к массе
моля. Тогда получается тождество М/ц = N/Na-
Выражая с помощью последнего тождества число молекул,
содержащихся в известной массе вещества, и подставляя эту ве-
личину в уравнение состояния газа (1.34), получаем уравнение
М
pV= —kNAT.	(1.35)
М
Произведение мировых постоянных к и Na есть, очевидно,
тоже мировая постоянная, названная универсальной газовой по-
стоянной:
R = kNA.	(1.36)
Теперь уравнение состояния идеального газа принимает фор-
му уравнения Клапейрона—Менделеева24, не содержащую мик-
роскопических характеристик газа:
М
pV = —RT.	(1.37)
М
Уравнение Клапейрона—Менделеева служит основой для из-
мерения универсальной газовой постоянной. Действительно, по-
мещая в определенный объем при известной температуре 1 моль
вещества (например, 2.0158 г водорода или 28.0134 г азота, или
31.9988 г кислорода) и измеряя давление газа, можно получить
величину R. Оказалось, что эта величина равна
R = 8.31447 Дж • моль-1 • К-1.
24 В уравнении, впервые полученном в 1834 году французским физиком
и инженером Клапейроном, сомножители MR/р были объединены в один
член. В 1874 году Д.И. Менделеев записал уравнение в форме (1.37), введя
в него универсальную газовую постоянную.
38
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Полезно помнить, что при так называемых нормальных усло-
виях (температура Т = О °C = 273.15 К, давление р = 1атм =
= 760 Торр = 101325 Па) один моль любого идеального газа за-
нимает объем, называемый молярным: = 22.414 л/моль.
В свою очередь, знание молярного объема при нормальных
условиях позволяет вычислять плотность любых газов с извест-
ной молекулярной массой. Например, сухой воздух у поверх-
ности Земли является смесью газов (78.08 % азота, 20.95 % кис-
лорода, 0.94% инертных газов и водорода, 0.03% углекислого
газа, а также небольшое количество иных примесей25) со сред-
ней молекулярной массой /1ВОЗД « 29. Следовательно, при нор-
мальных условиях 29 г воздуха занимают объем 22.4 л, тогда
плотность получается делением массы на объем, то есть
Рвозд ~ [29/(22.4 • 103)] г/см3 = 1.29 • 10"3г/см3.
Рис. 1.6. Вид мгно-
венной проекции на
плоскость слоя га-
за (толщиной поряд-
ка десяти радиусов
молекул) при нор-
мальных условиях
Таким образом, при нормальных условиях 1см3 воздуха имеет
массу 1.29 мг, а 1 м3, соответственно, 1.29 кг. Проведенный рас-
чет показывает, что плотности газов при атмосферном давлении
и равной температуре примерно в тысячу раз меньше, чем плот-
ности жидкостей. Если, в соответствии с классическими воззре-
ниями, считать атомы и молекулы похожими на маленькие упру-
гие шарики и, кроме того, считать, что в жидкостях молекулы
расположены достаточно близко друг от друга (известно, что
жидкости хорошо сохраняют объем, поскольку их сжимаемости
крайне малы), то получается, что в газах при нормальных
условиях расстояния между молекулами
примерно в десять раз превышают разме-
ры молекул.
В качестве наглядного примера на
рис. 1.6 показан сильно увеличенный мгно-
венный вид проекции на плоскость рисунка
слоя газа (толщиной порядка десяти ради-
усов молекул) при нормальных условиях.
По порядку величины правильно соотно-
сятся между собой газокинетические раз-
меры молекул и расстояния между ними.
Видно, что в достаточно тонком слое
молекул не очень много. Если толщину
слоя газа увеличить вдвое, то в плоскости
рисунка появится вдвое больше молекул.
25 Указан процентный состав концентрации частиц.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
39
Ясно, что по мере увеличения толщины слоя газа в поле зре-
ния будет все больше молекул. В конце концов, начиная со слоя
толщиной 100 диаметров молекулы, участков белого цвета (сво-
бодных промежутков) на рисунке практически не останется.
1.1.2 Распределение по длине свободного пробега
Очень важным понятием, выработанным молекулярно-кинети-
ческой теорией газов, стало понятие длины свободного пробега.
Представляя молекулу как уменьшенный биллиардный шар (аб-
солютно упругий), в теории идеального газа считают, что между
столкновениями молекулы летят по прямым (с учетом земной
гравитации — по параболам). В таком случае очевидно, что если
выделить из всего газа одну молекулу, то она будет сталки-
ваться с другими молекулами только в том случае, когда век-
тор ее скорости, направленный из ее центра, будет попадать
в кружки некоторого радиуса d, окружающие другие молекулы.
Ясно, что при непосредственном контакте абсолютно упругих
шаров расстояние d между их центрами будет суммой радиусов
Г1 и Г2 сталкивающихся молекул.
На рис. 1.7 показано, что при столкновении одинаковых мо-
лекул величина d будет равна диаметру молекулы. Если же раз-
мером одного из сталкивающихся объектов можно пренебречь,
то величина d будет равна радиусу бблыпей молекулы.
Модель упругих шаров позволяет дать
наглядный способ вычисления средней ча-
стоты соударений и и средней длины сво-
бодного пробега А молекулы в газе.
В начале примем, что движется лишь
одна молекула, а остальные неподвиж-
ны. Проследим за движущейся молекулой.
Мысленно окружим молекулу кружком ра-
диуса d (см. рис. 1.7). Тогда при движении
молекулы по прямой этот кружок вырежет
в пространстве цилиндр. Если внутри ци-
линдра окажется центр любой из покоящих-
ся молекул, то произойдет столкновение.
Введем концентрацию частиц в газе п
и предположим, что движущаяся молекула
пролетела в газе время t без столкновений. За это время в сред-
нем молекула пройдет расстояние I = vt. Разыскиваемая средняя
частота соударений молекулы и равна обратному среднему вре-
Рис. 1.7. При стол-
кновении упругих
шаров расстояние
d между их цен-
трами есть сумма
радиусов шаров
40
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
мени между двумя соударениями, поскольку частота соударений
— это их число в единицу времени: v = 1/t.
В об_ъеме вырезанного цилиндра в среднем должно содер-
жаться N = nV = nird2l = nird2vt частиц. Ясно, что в среднем
за время 1 движущаяся молекула испытает ровно одно соуда-
рение, если число частиц N в цилиндре окажется равным еди-
нице. Таким образом, получается уравнение для величины
7rd2v£on = irdfivn/vQ = 1, откуда
z/q = ird2vn.
Назовем последнюю формулу упрощенной формулой для сред-
ней частоты соударений, причем частоте (и, соответственно, сред-
нему времени между двумя соударениями), определяемой упро-
щенной формулой, дан индекс в виде нуля, чтобы помнить, что
это частота столкновений с неподвижной средой26.
Теперь формулу для частоты соударений нужно уточнить,
учтя движение всех остальных молекул. Влияние движения мо-
лекул особенно отчетливо можно понять, если представить, что
они не неподвижны, а все движутся навстречу выделенной мо-
лекуле. Тогда частота соударений вырастет ровно вдвое, так как
относительно всего газа молекула, очевидно, будет двигаться со
скоростью 2v, а газ можно считать неподвижным. В этом случае
точный ответ дает уже полученная выше формула при подста-
новке в нее правильной величины относительной скорости.
Учтем теперь, что молекулы в газе движутся хаотически, а их
распределение по скорости является максвелловским. Не произ-
водя громоздкого усреднения по максвелловскому распределе-
нию, приближенно учтем хаотичность движения молекул газа
следующим образом: глядя на молекулы газа, изображенные на
рис. 1.6, будем считать, что 1/6-я их часть движется со средней
скоростью газа на читателя, 1/6-я — от него, 1/6-я — влево, 1/6-я
— вправо, 1/6-я — вниз и 1/6-я — вверх.
Пусть выделенная молекула летит от читателя к чертежу. То-
гда она не будет испытывать вообще никаких соударений с ча-
стью газа, движущегося в ту же сторону. Концентрация частиц,
летящих в любом из шести направлений есть, очевидно, п/6. По
26По поводу последней формулы следует заметить, что, изучая физику (по
крайней мере классическую ее часть), студенты должны стремиться запоми-
нать не формулы (хотя совсем без этого и не обойтись), а представлять себе
модели физических процессов. При таком подходе формулы, вроде только
что полученной, можно выводить в уме за несколько секунд (при некото-
ром навыке), и именно так в случае необходимости физики и поступают,
поскольку все формулы запомнить не может ни один человек.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА 41
упрощенной формуле для средней частоты соударений с молеку-
лами потока, движущегося навстречу, частота соударений будет
равна 7rd22vn/6. Все остальные компоненты газа, движущиеся
вверх-вниз и влево-вправо, относительно выделенной молекулы
имеют скорость движения д/2^, а их общая концентрация есть
2п/3. Тогда частота соударений с ними будет равна 7rd2\/2l72n/3.
Суммируя обе частоты, получаем среднюю частоту соударений
при приближенном учете хаотического движения газа:
V = (1/3 + 2\/2/3) Tvd2vn = 1.276 ircPvn = 1.276 и0 
Корректное усреднение по максвелловскому распределению ско-
ростей молекул дает немного больший коэффициент в форму-
ле для частоты соударений, которая, таким образом, принимает
вид:
и = V2ird2vn =	.	(1.38)
Как видно из проведенного расчета, достаточно грубое разби-
ение газа всего на 6 движущихся со средней скоростью v компо-
нент дало значение численного коэффициента в формуле (1.38)
с довольно приличной точностью в 10%.
Знание средней частоты соударений позволяет сразу найти
и среднюю длину свободного пробега. Действительно, в среднем
молекула проходит между соударениями расстояние
= (1М)
Формула (1.39) дает информацию лишь о среднем расстоя-
нии между соударениями молекулы, тогда как границы возмож-
ных значений длин свободного пробега I заключены между нулем
и размерами сосуда, в котором заключен газ. С точки зрения тео-
рии вероятностей, величина I является непрерывной случайной
величиной и представляет значительный интерес для изучения.
Введем в рассмотрение функцию распределения F(x) случай-
ной величины Z, которая, по определению, представляет собой
вероятность того, что I < х. Другими словами, функция F(x)
(определенная на множестве действительных чисел х >0) есть
вероятность того, что где-либо на отрезке длины х молекула
испытала минимум одно соударение.
Заранее о свойствах функции F(x) можно сделать два утвер-
ждения: что 0 < F(x) < 1 (так как это вероятность) и что F(x)
— монотонно растущая функция (так как шансы испытать со-
ударение в пределах отрезка длины х с ростом х явно растут).
42
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Допустим, что функция распределения дифференцируема27.
Введя обозначения F(0) = ад и F'(0) = а, найдем значение функ-
ции F, соответствующее бесконечно малому отрезку длины dx.
Для этого достаточно выписать разложение в нуле функции F(x)
в ряд Тейлора, сохранив только первые два члена:
F(dx) = ад + adx .
Последнее соотношение означает, что вероятность dw молеку-
ле обязательно испытать соударение на отрезке бесконечно ма-
лой длины dx есть dw = ад + adx. Очевидно, эта вероятность
не должна зависеть от случайного положения молекулы внутри
объема газа, все точки которого совершенно эквивалентны меж-
ду собой. При этом вероятность пролететь расстояние dx без со-
ударения есть 1 — F(dx) и тоже постоянна по всему объему газа.
Если F(x) есть вероятность испытать соударение в пределах
отрезка длины х, то 1 — F(x) есть вероятность того, что на этой
же длине молекула не испытает ни одного соударения.
Чтобы определить возможный вид функции F(x), выразим
двумя способами вероятность того, что на отрезке длины х + dx
молекула не испытает соударений.
Во-первых, искомая вероятность есть 1 — F(x + dx) по опре-
делению. Во-вторых, пролет без соударений длины x + dx можно
рассмотреть как сложное событие: сначала как пролет без со-
ударений отрезка длины ж, а затем как пролет без соударений
отрезка длины dx. Поскольку оба события независимы, вероят-
ность сложного события есть произведение вероятностей этапов,
которые уже известны, так что получается равенство
1	- F(x + dx) = [1 - F(x)](l - ад - adx).	(1.40)
Последнее уравнение позволяет определить вид функции рас-
пределения с учетом сделанного предположения о ее дифферен-
цируемости. Действительно, раскладывая левую часть в ряд Тей-
лора и оставляя только члены первого порядка малости по dx,
из (1.40) получим уравнение
ад[1 - F(x)] - {F'(x) - а[1 - F(x)]} dx = 0.	(1.41)
27Хотя предположение и очень правдоподобно, оно никак не следует из
нашего рассмотрения. Но суть физики в том и состоит: сделанные в ходе
расчетов допущения затем проверяются экспериментально. Если совпаде-
ние теории и эксперимента есть, то сделанные предположения считаются
правильными.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА 43
В пределе dx —> 0 получаем28 29 ао = F(0) = 0, иначе оказалось
бы F(x) = 1, что физически нелепо.
Положив в (1.41) ао = 0, получим линейное неоднородное
дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно функ-
ции F(x) при известном значении искомой функции в нуле:
F'(x) = а[1 - F(x)].	(1.42)
Решением уравнения (1.42) является функция
F(x) = 1 — ехр(—ах).	(1-43)
Из последней формулы видно, что найденное распределение
действительно монотонно растет от нуля до единицы.
Величина а, вошедшая в решение (1.43), является очень важ-
ной микрохарактеристикой газа — это есть плотность вероят-
ности соударения на любом бесконечно малом отрезке траек-
тории длиной dx. Сама величина а имеет размерность обратной
длины.
Найдя распределение F(x) случайной величины Z, легко най-
ти и ее среднее значение. В самом деле, рассуждая уже знако-
мым способом, найдем вероятность dw того, что длина свобод-
ного пробега частицы имеет почти точное значение, то есть что
частица испытывает соударение в пределах отрезка [х,х + dx].
Последнее событие также можно рассматривать как двухэтап-
ное: сначала частица должна пролететь без соударений рассто-
яние х [вероятность этого есть Р(х) = 1 — F(x)], а затем испы-
тать соударение на интервале dx (вероятность чего adx), тогда
искомая вероятность dw есть произведение вероятностей незави-
симых событий:
dw = Р(х) adx = а ехр(-аж) dx.	(1-44)
Теперь среднее значение длины свободного пробега Л может
быть определено с помощью формулы для математического ожи-
дания случайной величины .
4-оо	4-оо
Л= J xdw= j ах ехр(—ах) dx.	(1-45)
о	о
28 Условие F(0) = 0 означает неявно заложенный в основу рассмотрения
учет только парных соударений между молекулами газа. При нормальных
условиях пренебрежение тройными соударениями вполне оправдано.
29См. формулу (П1.6) приложения 1.
44
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Последний интеграл элементарен и легко вычисляется по ча-
стям, что дает для средней длины свободного пробега в газе зна-
чение
Х=1/а.	(1.46)
Формула (1.46) показала, что плотность вероятности а со-
ударения молекулы на бесконечно малом отрезке определяется
средней длиной свободного пробега в газе, а эта длина ранее была
выражена через концентрацию частиц газа и диаметр молекулы
[формула (1.39)]. Следовательно, в модели упругих сфер
а = V2ird2n.	(1-47)
В свою очередь, с учетом (1.46) вероятность того, что мо-
лекула пролетела между соударениями длину, почти равную х
(то есть испытала соударение в пределах интервала [х,х + dx]),
принимает вид
dw = exp
х\ dx
х) Т’
(1-48)
Как видно, эта вероятность с ростом х убывает экспоненциально,
а Л и есть характерная длина, на которой вероятность уменьша-
ется в е = 2.718 раз.
Итоги детального изучения пробегов молекул в газе позволя-
ют сделать следующие выводы: вероятность Р(х) пролететь без
соударений отрезок длины х конечна и равна
F(x) = 1 — F(x) = exp (
х\
х) ’
(1-49)
а вероятность испытать соударение в выбранном бесконечно ма-
лом интервале после пролета длины х, естественно, пропорцио-
нальна величине этого интервала и определяется формулой (1.48)
Знание вероятностей пробега позволяет вычислить поток мо-
лекул в газе таким способом, который максимально ясно рисует
физическую картину движения молекул. Вспомним, что поток J
молекул есть количество частиц, пересекающих площадку еди-
ничной площади за единицу времени, так что площадь dS за
время dt пересекает в одну сторону JdSdt молекул [см. формулу
(1-27)].
Выберем в газе произвольную площадку dS и разобьем по-
лупространство над элементом поверхности dS на элементарные
объемы dV в сферической системе координат так, как это изобра-
жено на рис. 1.8. Как известно, в сферической системе координат
элемент объема имеет вид dV = г2 sin dr dti dip.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
45
Рис. 1.8. К расчету потока идеального газа
Долететь до пло-
щадки dS могут мо-
лекулы, испытавшие
последнее столкно-
вение в любом ма-
лом объеме dV\ вы-
летевшие из этого
объема в направле-
нии dS и долетев-
шие до этой площад-
ки без соударений.
Найдем число та-
ких молекул, для че-
го учтем, что в сред-
нем любая молеку-
ла газа испытывает
у соударений в секунду. Если считать соударения только парны-
ми, то всего в объеме dV за время dt будет происходить vndVdt/2
столкновений, итогом одного парного столкновения будет разлет
обеих сталкивающихся частиц, так что изотропно из объема dV
за время dt будет разлетаться dNy = vndVdt молекул. Послед-
няя формула позволяет легко понять, что от кратности соударе-
ний результат оказывается независящим.
При этом в направлении площадки dS будут лететь лишь
молекулы, скорости которых лежат внутри телесного углаои
dQ = dS cos 19/г2 ,
под которым площадка dS видна из объема dV. Таким обра-
зом, в направлении площадки dS за время dt будет вылетать
dTVydQ/(47r) молекул. Поскольку вероятность F(r) = ехр(—г/А)
пролететь расстояние до площадки без соударений известна, то
число молекул dNs, покидающих объем dV за время dt и попа-
дающих в площадку dS, будет равно
dNs = F(r)dTVvdQ/(47r).
(1.50)
Чтобы найти поток молекул, остается только проинтегрировать
последнее выражение по верхнему полупространству, что дает
30 Вспомните определение телесного угла!
46
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
равенство
JdSdt —
27Г тг/2
sin 19 dd
vndtdS cos 19
4%г2
r2 dr.
Интегрирование по углу сокращение dS и dt, а также выра-
жение для частоты соударений д/, следующее из формулы (1.39),
позволяют преобразовать полученное равенство к виду
_	тг/2	+оо
J =	/ s^n^cos^^	/ exp	dr. (1-51)
о	о
Оба интеграла в правой части последнего равенства вычисля-
ются элементарно, так что выражение для потока в произволь-
ном месте внутри равновесного газа принимает вид, совпадаю-
щий с ранее полученной формулой (1.31):
Теперь не составляет труда найти еще одну важную величи-
ну, которая понадобится при рассмотрении процессов переноса
в газах. Площадку dS (см. рис. 1.8) непрерывно пересекает по-
ток молекул сверху и такой же поток молекул снизу. Проследим
за молекулами, пересекающими площадку dS сверху и найдем
среднее расстояние ~z вдоль оси Oz (то есть вдоль перпендикуля-
ра к площадке), которое проходят после последнего соударения
(в некотором объеме dV) молекулы, пересекающие площадку. Яс-
но, что z должно быть меньше длины свободного пробега, пото-
му что молекулы, пересекающие площадку, могут еще некоторое
расстояние лететь без соударений.
Расчет z не представляет затруднений. Действительно, по
обычному определению средней величины, z определяется со-
отношением:
z= f zdwz= f z	(1.53)
J J J dNs
где dNs — вклад (1.50) в поток через площадку от выбранно-
го элемента объема dV, дающий практически точное значение
z = г cos и поэтому вносящий в числитель формулы для сред-
него арифметического вклад zdNs, a J dNs есть полный поток
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА 47
молекул через площадку, который должен стоять в знаменателе
формулы для средней величины.
Подставляя в (1.53) z = rcosi? и распространяя интегриро-
вание снова на верхнее полупространство, имеем в знаменателе
поток через площадку mJ/4, а в числителе производим расчет по
аналогии с (1.51), окончательно получая
тг/2	+оо
2	г	Г	/ г\ 2
z = — / sin tfcos2!? dd / r exp j dr = - Л .	(1-54)
о	о
Таким образом, о молекулах, пересекающих любую площад-
ку в газе, можно сказать, что в среднем свое последнее соударе-
ние они испытали в плоскости, отстоящей от площадки на 2/3
средней длины свободного пробега31.
Расширим теперь рамки изложения за пределы модели мо-
лекул как твердых сфер. Несмотря на пользу этой модели, диа-
метру молекулы не следует придавать абсолютного смысла. Как
будет показано далее, эксперименты свидетельствуют о том, что
с ростом температуры газа расчетный диаметр молекул несколь-
ко уменьшается. Поэтому желательно, сохранив понятия о плот-
ности вероятности соударения на бесконечно малом отрезке
и о средней длине свободного пробега, выразить их таким об-
разом, чтобы полученные выражения не зависели от какой-либо
конкретной наглядной модели процесса. С этой целью в физике
вводится универсальное понятие эффективного сечения про-
цесса (часто называемого просто сечением). Поскольку сейчас
идет речь о столкновениях молекул, то такое эффективное сече-
ние называется газокинетическим.
Чтобы пояснить понятие сечения, рассмотрим молекулу, на-
летающую на слой газа площадью S и толщиной dx. Можно
представлять, что молекула налетает (см. рис. 1.6) перпендику-
лярно плоскости рисунка, площадь квадрата на котором и есть
S. Тогда, если формально считать, что попадание налетающей
молекулы в кружок а вокруг любой из молекул вызовет какой-
либо эффект (например, упругое рассеяние, или диссоциацию
молекулы на атомы, или возбуждение молекулы и так далее —
каждый такой процесс имеет свою вероятность), а пролет ми-
мо кружка эффекта не вызовет, легко вычислить вероятность
процесса.
31 Интересно, что средний пробег г молекул, пересекающих заданную пло-
щадку после последнего соударения, в точности равен Л. Докажите это.
48
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Действительно, общее число молекул в слое dN = nSdx, при
достаточно тонких слоях кружки ст, спроецированные на пло-
щадь слоя S, перекрываться не будут, и вероятность процесса
при пролете сквозь весь слой покоящихся молекул будет про-
сто отношением площади всех кружков а к общей площади S.
Однако молекулы слоя движутся, и учет их движения, как отме-
чалось выше, дает дополнительный множитель х/2, поэтому для
газа имеем
(1.57)
dw = y/2adN/S = y/Zncrdx .	(1.55)
Обратите внимание на то, что для неподвижных частиц ми-
шени (например, если мишень является твердым телом) из фор-
мулы (1.55) исчезнет множитель у/2.
Таким образом, сечение процесса есть просто мера ве-
роятности процесса, выраженная через фиктивную пло-
щадь, отнесенную к каждой молекуле.
По определению плотности вероятности dw = adx. Сравни-
вая последнее соотношение с (1.55), получаем
a = V2na.	(1.56)
Поскольку средняя длина свободного пробега также была вы-
ражена через а, получаем равенство Максвелла
А=
Таким образом, основные параметры — средняя длина сво-
бодного пробега относительно какого-либо процесса, средняя ча-
стота этого процесса (д/ = v/X} и плотность вероятности а этого
процесса на бесконечно малом отрезке длины dx выражены через
один формальный параметр — эффективное сечение процесса а.
Если же привлечь модельные представления о процессе, как
это делалось при использовании модели молекул как жестких
сфер, и сравнить формулы (1.57) и (1.39), то можно выразить
эффективное газокинетическое сечение рассеяния через диаметр
молекулы, получив результат, наполняющий газокинетическое
сечение рассеяния физическим смыслом:
а = тг<12.	(1.58)
Таким образом, использование каких-либо модельных пред-
ставлений позволяет рассчитывать сечения разных процессов,
а затем сравнение с экспериментально полученными сечениями
позволяет делать заключение о соответствии действительности
выбранной модели.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
49
Ослабление направленного потока частиц в газе
Важным следствием проведенного анализа столкновений моле-
кул является возможность получения закона рассеяния пучка
в газе. Пусть через газ проходит пучок каких-либо частиц (ес-
ли это молекулы, то пучок называется молекулярным, если ато-
мы — атомным, но можно рассматривать и электронный пучок),
имеющих одинаковое для всех значение скорости (и практиче-
ски не имеющих компонент хаотического теплового движения).
В отсутствие газа такой пучок сохранял бы свою форму сколь
угодно долго, поскольку все частицы пучка неподвижны друг от-
носительно друга. В газе будут происходить столкновения, при-
водящие к изменению направления скорости частиц пучка. Разу-
меется, испытавшие столкновение частицы пучка из него выбы-
вают (оставаясь при этом в газе), так что интенсивность потока
частиц убывает по экспоненциальному закону. Покажем это.
Пусть пучок движется в газе вдоль оси Ох, а при х = 0 ве-
личина его потока есть Jq. Ранее уже указывалось, что пото-
ком частиц называется число частиц, пересекающих единичную
площадку (перпендикулярную пучку) в единицу времени. Это
определение потока аналогично обычному определению плотно-
сти электрического тока — количеству заряда, пересекающему
единичное поперечное сечение проводника в единицу времени.
Поток частиц в общем случае является вектором. Кроме того,
иногда говорят об интенсивности потока через заданную пло-
щадку как о полном числе частиц, пересекающих эту площадку
в единицу времени. Определение интенсивности потока анало-
гично определению электрического тока как заряда, пересекаю-
щего поперечное сечение проводника в единицу времени.
Вводя для пары частица пучка—молекула газа (см. рис. 1.7)
эффективное сечение рассеяния и определяя тем самым сред-
нюю длину свободного пробега для частиц пучка в газе по фор-
муле (1.57) и плотность вероятности рассеяния на отрезке dx,
получаем, что убыль частиц из пучка на интервале [ж, х + dx]
будет определяться выражением
dJ = —J(x)dx/X.
Полученное дифференциальное уравнение с учетом начальных
данных дает для интенсивности пучка выражение
J(x) = Jo ехр(—х/А),	(1.59)
где х — расстояние, пройденное пучком в газе; Jq — начальный
поток частиц, падающий на газ.
50
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Формула (1.59), являющаяся основой прямых эксперименталь-
ных методов определения длины свободного пробега в разнооб-
разных условиях, могла непосредственно быть записана в виде
J(x) = F(j;)Jo5 где Р(х) = ехр(—х/Х) — вероятность пролета
отрезка х без соударения, следующая из формулы (1.43).
Когда средние длины свободного пробега сумели оценить, вы-
яснилось, что при нормальных условиях в газах это величины
порядка 10"7 м, в то же время молекулы испытывают за секун-
ду около 1О10 столкновений. В свою очередь, эти данные позво-
лили оценить типичные радиусы молекул, рассматриваемых как
упругие шарики. Оказалось, что атомам и молекулам следует
приписывать радиусы порядка 1О-10 м, поэтому этой внесистем-
ной единице длины было присвоено специальное наименование
— ангстрем (сокращенно А), так что
1А=1О-10 м.
1.1.3 Распределение Больцмана
Выше было рассмотрено состояние газа, не подверженного дей-
ствию внешних сил. Такой газ однороден и изотропен, то есть
имеет равномерное распределение молекул во всем занимаемом
объеме. Однако в земных условиях газ, как минимум, подвержен
действию гравитационного поля Земли.
Под действием гравитации в замкнутом объеме газа термо-
динамически равновесное состояние уже не будет отвечать по-
стоянной по объему концентрации. Гравитация будет стремить-
ся осадить молекулы на дно сосуда, а тепловое движение будет
этому препятствовать. В результате установится динамическое
равновесие, при котором концентрация молекул будет убывать
с высотой по некоторому закону.
Найдем закон убывания концентрации п термодинамически
равновесного газа с высотой32.
Мысленно представим себе вертикальный (цилиндрический)
столб газа с основанием площади S. Будем отсчитывать верти-
кальную координату z от дна объема. Рассмотрим газ в слое
[z, z + dz\. Условием механического равновесия слоя будет ра-
венство нулю суммы сил, действующих на слой. Сверху вниз на
32 При этом распределение молекул по скорости сохранится максвеллов-
ским в каждой точке газа, так что связь между давлением и плотностью
газа по-прежнему будет определяться соотношением р = пкТ.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА 51
слой действуют сила p(z + dz)S, а также вес газа ggSdz, а снизу
вверх — уравновешивающая сила p(z)S, откуда получаем
p(z + dz) — p(z) — —Qgdz.
Раскладывая левую часть в ряд Тейлора с сохранением только
линейного по dz члена, а справа представляя плотность д газа
как пт, где п — концентрация молекул, а т — масса молекулы,
получим линейное дифференциальное уравнение первого поряд-
ка относительно функции n(z):
dn _ mg
~dz = ~kTn'
решение которого имеет вид
n(z) = no exp
/ mgz\
k ~w)
(1.60)
(i.6i)
где no — концентрация частиц газа в плоскости z = 0.
Эта формула дает ответ на вопрос о законе убывания кон-
центрации равновесного газа на небольших высотах от Земли
(пока температуру можно считать постоянной). Однако ей лег-
ко придать более широкий смысл, если заметить, что числитель
U = mgz в экспоненте (1.61) есть потенциальная энергия моле-
кулы в гравитационном поле Земли.
Таким образом, формулу (1.61) можно трактовать следую-
щим образом: эта формула определяет равновесную концентра-
цию молекул в точках г, где их потенциальная энергия есть U(г),
причем по есть, очевидно, концентрация частиц там, где U = 0.
Трудно привести причину, по которой замена гравитационной
силы на любую другую могла бы изменить соотношение (1.61),
которое называется распределением Больцмана
п(у) = по ехр
^(г)~
кТ
(1-62)
и описывает зависимость концентрации молекул равновесного
газа, если на его молекулы действует потенциальное поле любой
природы, определяющее зависимость J7(r) потенциальной энер-
гии молекул от их положения в пространстве33.
33 Об экспериментальном подтверждении формулы (1.61) рассказано в
подразд. 1.3.2.
52 ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Сводка вероятностных распределений,
характеризующих макроскопические системы молекул
Итак, уже в рамках классической физики произошел отказ от
полного описания состояния частиц в макроскопических объе-
мах газа. Основным инструментом описания совокупно-
стей большого числа частиц стало понятие вероятности.
При N 1 газы и большинство жидкостей характеризуются
определенными выше вероятностными распределениями, введе-
ние которых подразумевало три основных физических постула-
та:
1.	Вещество дискретно, то есть состоит из молекул.
2.	Поступательное движение частиц описывается классиче-
ской механикой, то есть уравнениями Ньютона.
3.	Газы и большинство жидкостей — однородны и изотропны.
Тогда оказывается, что в состоянии термодинамического рав-
новесия частицы макроскопической системы имеют максвеллов-
ское распределение по скорости
,	/ т \3/2
aw =	- тл; ехр
\2тг кТ/ F
+ ^ + г?2)
2кТ
dvxdvydvz.
(1.63)
В силу эргодической гипотезы (см. конец приложения 1) воз-
можна двойная трактовка вероятностных распределений.
Во-первых, можно считать, что dw есть вероятность обнару-
жить у случайно выбранной молекулы скорость с компонента-
ми в интервалах \yx,vx + dvx], [vy^vy + dvy], [vz^vz + dvz]. Тогда
dw = dN/N, где dN — число молекул с определенными компо-
нентами скорости в любой момент времени, N — общее число
частиц.
Во-вторых, можно также считать, что dw есть вероятность
обнаружить у фиксированной молекулы скорость с компонента-
ми в тех же интервалах. Последнее означает, что речь идет о до-
ле времени dt/t, которое молекула проводит, имея определенные
компоненты скорости, то есть dw = dt/t.
Помимо распределения по скорости, частицы газа и жидко-
сти характеризуются однородным пространственным распреде-
лением, если система не находится во внешнем силовом поле,
а вероятность dw обнаружения частицы в объеме dV есть
dw = dV/V,	(1.64)
где V — общий объем системы.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ АТОМИЗМА
53
Опять, если речь идет об отдельно выбранной частице, то
последняя вероятность есть доля времени, которое частица про-
водит в заданном объеме, а если рассмотреть всю систему, то,
как было доказано в приложении 2, вероятность (1.64) опреде-
лит среднее число частиц dJV, находящихся в объеме dV, так
что	___
dN _ dV
N ~ V ’
откуда и следует равенство средней локальной концентрации ча-
стиц средней концентрации частиц системы.
Если же система находится во внешнем силовом поле, когда
зависимость потенциальной энергии частицы от декартовых ко-
ординат есть J7(r), то возникает больцмановское распределение
средней концентрации частиц, а формула (1.64) должна быть
видоизменена очевидным образом:
где интеграл в знаменателе появился в силу существования усло-
вия нормировки f dw = 1.
Покажем, что из распределения вероятности (1.65) следует
формула Больцмана (1.62). Используем определение вероятно-
сти dw = dN/N, откуда получим
При подстановке п из (1.62) в условие нормировки f ndV = N
следует завершающее доказательство равенство
N
------Г TTf Я-- = п0-
/ ехр — dV
J х	KI
До начала XX века прямых методов измерения средней дли-
ны свободного пробега не существовало. Длины свободного про-
бега в разных условиях сумели определить, изучая так назы-
ваемые явления переноса в газах. Использование этих явлений
сыграло значительную роль на ранних этапах развития атом-
ной физики, поэтому они вкратце рассматриваются в следующем
разделе.
54
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
1.2 Процессы переноса
В предыдущем разделе была описана картина движения молекул
в газах, выработанная молекулярно-кинетической теорией. При
этом речь шла о термодинамически равновесных состояниях га-
зов. В равновесии газу можно приписать температуру, которая
должна быть постоянной по всему объему, концентрация частиц
описывается больцмановским распределением, а распределение
по скорости — максвелловским.
Однако газы легко выводить из равновесия. Но, предостав-
ленные сами себе после окончания внешнего воздействия, газы
достаточно быстро возвращаются к равновесию. Энтропия газа
при этом возрастает.
Переход газа к равновесному состоянию идет за счет меха-
низмов, называемых процессами переноса. Например, если в газе
создать неравновесную концентрацию частиц (это может быть
распределение молекул только одного сорта, отличающееся от
больцмановского, или внесение в заданный газ посторонней при-
меси также с неравновесной концентрацией), а затем внешнее
воздействие прекратить, то с течением времени концентрация
в газе придет к равновесному больцмановскому распределению.
Установление равновесной концентрации в газе идет за счет диф-
фузии, частным случаем которой является самодиффузия. Та-
ким образом, диффузию корректнее определять не как процесс
взаимного проникновения разных веществ, как несколько наив-
но это делается в некоторых курсах молекулярной физики, а как
универсальный процесс массопереноса при отклонении от равно-
весия, приводящий к установлению равновесного распределения
концентрации.
Другая возможность вывести газ из равновесия — создать
в нем части с разной температурой. Как известно, предостав-
ленные себе тела (замкнутые системы) приходят к постоянству
температуры за счет еще одного процесса переноса — теплопро-
водности. Если при диффузии в газе идет массоперенос, то при
теплопроводности — энергоперенос. Энергия ’’течет” от более на-
гретых частей газа к менее нагретым.
Наконец, газ может быть выведен из равновесия, если движе-
ние частиц в нем перестает быть полностью хаотичным. Когда
одна часть газа начинает двигаться относительно другой (начи-
нает дуть ветер, звучать звук и т.д.), то после окончания внешне-
го воздействия ветер стихает, звук затухает, а движение молекул
газа снова становится полностью хаотичным, отвечающим макс-
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА 55
велловскому распределению. Происходит это за счет вязкости
газа (третий тип явлений переноса), приводящей к тому, что от
одних частей газа к другим передается импульс.
Изучение процессов переноса в газах позволило еще в XIX ве-
ке существенно укрепить атомистическую гипотезу. Эти явления
носят универсальный характер и имеют большое значение для
формирования специалиста-физика. Однако ситуацию с их изу-
чением нельзя считать удовлетворительной, поскольку традици-
онно считается, что эти процессы должны упоминаться в рамках
курса экспериментальной физики (раздел ’’Молекулярная физи-
ка”), когда студенты еще не имеют необходимой математической
подготовки для их восприятия. Поэтому явления переноса вкрат-
це рассматриваются в рамках данного курса.
1.2.1 Диффузия
Рассмотрим газ с небольшим количеством неравномерно распре-
деленной примеси, когда отклонение системы от состояния рав-
44
новесия не слишком велико , то есть изменение концентрации
примеси на средней длине свободного пробега много меньше са-
мой концентрации примеси.
Введем в рассмотрение концентрацию примеси34 35 как функ-
цию четырех переменных — трех пространственных координат
ж, у, z и времени t: п = п(ж, у, г, t). Однако следует иметь в виду,
что там, где концентрация примеси снижается до нуля, флук-
туации концентрации36 станут сравнимы с самой концентра-
цией, поэтому эта величина перестает описывать мгновенное
количество частиц примеси вблизи границы распространения.
Очевидно, что в газе, если нет постоянного подвода примеси,
начальное ее распределение п = n{x,y,z,G), благодаря хаоти-
ческому молекулярному движению, с течением времени стано-
вится однородным по объему. Рассмотрим, как это происходит.
Найдем поток частиц Jx+, пересекающих слева направо площад-
ку, перпендикулярную оси Ох. Такая площадка, очевидно, лежит
в плоскости х = const. В равновесном газе поток частиц опре-
деляется формулой (1.52) и равен Однако в равновесном
34 Рассмотрение сильно неравновесных систем значительно сложнее и про-
водится методами физической кинетики.
35 Конечно же, речь идет о средней концентрации, то есть о среднем числе
частиц в единице объема. Если система сильно неравновесна, то введение
средней концентрации становится затруднительным.
36См. приложение 2.
56
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
газе концентрация однородна по объему, теперь же концентра-
ция примеси есть функция координат, поэтому поток примеси
через выбранную площадку будет определяться концентрацией
частиц в той плоскости, откуда пересекающие выбранную пло-
щадку частицы в среднем стартуют после последнего соударе-
ния. Но такая плоскость известна, а ее местоположение задается
формулой (1.54), в соответствии с которой она отстоит от пло-
щадки х = const на 2А/3 влево. Считая, что пересекающие пло-
щадку частицы в среднем ’’помнят” концентрацию в той плоско-
сти, в которой испытали последнее соударение, можно записать
поток частиц, движущихся через плоскость х = const слева на-
право в виде
1 ( 2А \ ___________	z ч
Jx+ = -^п I х - у, У, ) v •	(I-66)
Аналогично, поток частиц, пересекающих площадку справа
налево, будет определяться выражением
1 / 2А \ _
4П \х+ У’ У' z' J v'
(1-67)
В последнем выражении взят знак ’’минус”, поскольку поток ска-
ляра — векторная величина, а проекция вектора, направленного
в отрицательную сторону оси, естественно, отрицательна.
Суммарный поток через площадку, разумеется, будет равен
векторной сумме обоих потоков, так что
1_ ’
-V 1
 / 2Л \	/ 2Л
п I х ——, у, г, t 1 — п I х + —, у, г, t
(1.68)
Предполагая, что на длине свободного пробега концентрация ме-
няется незначительно (в противном случае газ будет сильно не-
равновесным, а его эволюция будет протекать значительно слож-
нее) и что средняя длина свободного пробега много меньше раз-
меров сосуда37, разность концентраций в точках х — 2А/3
37При нормальных условиях это величина порядка 10”7 м. Если давление
понизить до такой величины, когда длина свободного пробега станет соизме-
римой с размерами сосуда, то характер диффузии кардинально изменится,
поскольку она будет протекать в отсутствие соударений с молекулами ос-
новного газа, фактически с тепловой скоростью молекул диффундирующей
компоненты.
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
57
и Ж + 2А/3 выразим с помощью формулы Тейлора, так что окон-
чательно получим
1 . _ дп
-QXV
3 ох
(1.69)
(x,y,z,t)
Обобщая последнее выражение на случай произвольной ори-
ентации площадки, легко получить векторное уравнение
J = — D grad п,
(1-70)
где величина D называется коэффициентом диффузии, а са-
мо выражение (1.70) — первым законом Фика, открытым
в 1855 году.
По первому закону Фика диффузионный поток прямо про-
порционален взятому с обратным знаком градиенту концентра-
ции (градиент функции есть вектор, направленный от меньших
значений функции к ее бблыпим значениям, в то время как диф-
фузия идет, очевидно, в сторону убывания концентрации), а ве-
личина D, по определению, и есть коэффициент пропорциональ-
ности. Проведенный расчет дал и выражение для коэффициента
диффузии в газах:
D = hv.	(1.71)
О
Как видно из формулы, размерность коэффициента диффузии
2	—1
есть м • с .
По уравнению (1.70) затруднительно установить физический
смысл коэффициента диффузии38 и составить ясное представле-
ние о самом процессе диффузионного распространения примеси
в газе [а также в жидкости или твердом теле, где первый закон
Фика продолжает действовать, но выражение (1.71) для коэф-
фициента диффузии становится неприменимым]. Поэтому ниже
приводится краткое изучение следствий первого закона Фика.
Получение новых уравнений является при этом не самоцелью,
а средством лучшего понимания диффузии, то есть постижения,
как говорят, физического смысла, явления.
Если в газе не происходит химических реакций, то число
диффундирующих частиц, естественно, сохраняется. Рассмот-
рим малый объем V вокруг произвольной точки х, ?/, z газа. Для
38 Хотя формально смысл этого коэффициента вытекает из первого закона
Фика — это есть диффузионный поток при единичном градиенте концентра-
ции.
58
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
вектора J применим формулу Остроградского—Гаусса, по кото-
рой
ЩdivJdV = £ JndS.	(1.72)
V	s
Последнее равенство означает, что объемный интеграл от дивер-
генции любого векторного поля равен поверхностному интегралу
от нормальной компоненты векторного поля, причем направле-
ние нормали к поверхности должно быть направлено наружу от
рассматриваемого объема. Когда векторное поле соответствует
потоку диффундирующего вещества, физический смысл инте-
грала в правой части последнего равенства очевиден: этот ин-
теграл равен полному числу частиц, пересекающих в единицу
времени границу объема в направлении нормали, то есть числу
частиц, покидающих объем в единицу времени. Очевидно, что
положительный поток соответствует уменьшению числа частиц
в объеме в единицу времени, что, в свою очередь, соответствует
отрицательности производной по времени от числа частиц в объ-
еме. Производная же от числа частиц в объеме может быть легко
выражена через объемный интеграл от концентрации частиц:
I4f— <1-
V	V
Таким образом, интеграл в правой части (1.73) равен по абсо-
лютному значению интегралу в правой части (1.72), но эти ин-
тегралы имеют разный знак (если бы нормаль была выбрана не
наружу, а внутрь объема У, тогда бы совпали и знаки). Под-
ставляя в получающееся равенство вместо правой части (1.72)
равную ей левую, получаем:
Щ (^+divj) dV = 0.	(1.74)
V
В силу произвольности объема подынтегральное выражение обя-
зано тождественно равняться нулю, поэтому
^ + divJ = 0.	(1.75)
С/С
Последнее уравнение, являющееся следствием сохранения числа
частиц при диффузии, называется уравнением непрерывно-
сти. Оно связывает изменение концентрации частиц в данной
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА 59
точке с потоком этих частиц через ту же точку. Важность урав-
нения непрерывности — в его универсальности. Если движущие-
ся частицы обладают одним и тем же зарядом, то, домноженное
на этот заряд, уравнение (1.75) превратится в уравнение непре-
рывности для электрического заряда, а домноженное на массу
частицы — в уравнение непрерывности для массы.
Применительно к диффузии уравнение непрерывности позво-
ляет получить еще одно важное уравнение. Действительно, вы-
разим с помощью первого закона Фика поток диффундирующих
частиц через градиент концентрации и подставим его в уравне-
ние непрерывности. В итоге получим уравнение
дть
— = div(D grad n).	(1.76)
(J t
Последнее уравнение называется уравнением диффузии,
или вторым законом Фика. Если предположить, что коэф-
фициент диффузии не зависит от координат (что для газа яв-
ляется вполне разумным предположением), а является просто
вещественной постоянной, определяемой уравнением (1.71), то
число D можно вынести за знак дивергенции, получив наиболее
простой вид уравнения диффузии:
(1.77)
(J с
где использован оператор Лапласа, называемый также лапласи-
аном:
д<2 д2
дх2 + ду2 dz2
Если первый закон Фика устанавливает направление потока
диффундирующей компоненты как функцию концентрации, то
второй закон Фика представляет собой самосогласованное урав-
нение для концентрации, которое позволяет с учетом распреде-
ления вещества в какой-либо момент времени найти его распре-
деление в любой последующий момент, то есть проследить за
процессом диффузии во времени и пространстве.
С математической точки зрения уравнение (1.77) является
линейным дифференциальным уравнением в частных производ-
ных второго порядка (параболического типа) и имеет однознач-
ное решение, если задано начальное значение искомой функции
в произвольный момент времени. Еще раз упростим уравнение
60
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
(1.77), предположив, что концентрация частиц является функци-
ей только одной декартовой координаты х (в таких случаях гово-
рят об одномерной задаче). Тогда уравнение приводится к виду
дп ту^2п
di d?'
(1-78)
Методы решения (детальное описание которых невозможно
в рамках настоящего издания) подобных уравнений хорошо раз-
работаны и подробно излагаются в курсах математической физи-
ки. Однако бывает, что физические соображения помогают нахо-
дить нужные решения уравнений и без обращения к соответству-
ющим математическим руководствам. Именно так обстоит дело
с уравнением диффузии, общее решение которого будет опреде-
лено далее.
Найдем очень важное решение этого уравнения, предвари-
тельно обратив внимание на то, что любое отвечающее реально-
сти его решение должно удовлетворять соотношению
JJf n(r, t) dV = const = Nq ,	(1-79)
v
где интегрирование должно производиться по всему объему рас-
пространения диффундирующей примеси39, No — полное число
диффундирующих частиц.
Последнее соотношение (являющееся просто констатацией со-
хранения общего числа частиц в процессе диффузии) несложно
доказать в общем трехмерном случае, однако далее рассматри-
вается только одномерный вариант уравнения диффузии (1.78),
для которого (1.79) принимает вид
п(я, t) dx = const = Nq ,	(1.80)
а его доказательство завершается в одну строчку:
dt J
п(х, t) dx —
дп	[ д2п
atdx = DJ a^dx = D
дп
дх
Хтпах
= 0,
Xmin
39 Если только не рассматривать какой-нибудь гипотетической диффузии
в масштабах Вселенной, то следует считать конечным начальный объем, за-
нятый диффундирующим веществом при t = 0. Тогда в любой конечный
момент времени t > 0 объем, занятый диффундирующим веществом, также
останется конечным. За пределами этого объема концентрация будет тож-
дественно равна нулю.
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
61
так как за зависящими от времени границами xmin и рас-
пространения примеси ее концентрация всюду равна нулю.
Теперь, чтобы найти хоть какое-нибудь решение одномерно-
го уравнения диффузии (1.78), обратим внимание на то, что
помимо координаты х и времени t, само уравнение содержит
лишь один размерный параметр D. Из трех размерных величин
ж, t и D, очевидно40, можно составить безразмерную величину
x2/(Dt). Эта безразмерная комбинация наводит на мысль поис-
кать решение уравнения диффузии вида
n(x,t) = n0f[x2/(Dt')],
где по — размерная константа [так как одномерная концентра-
ция п(я,£) должна иметь размерность 1/м]. Однако подстанов-
ка предполагаемого решения в условие сохранения числа частиц
(1.80) показывает, что размерная величина по не может быть
постоянной, а должна быть вполне определенной функцией вре-
мени. Действительно, из условия
dx — по
—оо
+оо
dx = n0VDt j f (у2) dy = No
—oo
следует, что правильной формой решения может быть функция
=	//f(y2^dy = At
‘ —оо
(1-81)
где безразмерная комбинация х2/{Dt) обозначена как s, а все
константы сведены в единую размерную постоянную А.
Подстановка (1.81) в (1.78) приводит к обыкновенному диф-
ференциальному уравнению. В самом деле, так как
dn Аз .. . А 9 з ... . дп 2А _з .. .
— = ——t 2/(s) — — x2t 2 f'(s)	— = —xt 2/(s)
dt 2 v ’ D 4 ’ dx D v ’
d2n 2A з ... . 4A n a .... .
a? = V'W +	,
40 Более подробно о составлении безразмерных комбинаций из размерных
величин см. стр. 79.
62
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
то
-4*" V(s) - ^x2t-2f\s) = 2AH/'(s) + ^2г1/"(з).
После сокращения общих сомножителей окончательно полу-
чаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка
относительно функции f(s):
8s/"(s) + (2s + 4)/'(s) + /(s) = 0.	(1.82)
Удача получения вместо дифференциального уравнения в ча-
стных производных обыкновенного дифференциального уравне-
ния несколько уменьшается тем, что последнее уравнение со-
держит переменные коэффициенты, а общего алгоритма поиска
точных решений таких уравнений не существует. Тем не менее,
все коэффициенты в (1.82) являются полиномами степени не вы-
ше первой, тогда имеет смысл попытаться найти решение вида
f = exp (as) с подлежащей определению константой а. И дей-
ствительно, после подстановки экспоненты в (1.82) и ее последу-
ющего сокращения, остается полином первого порядка, который
тождественно обращается в нуль при а = —1/4.
Таким образом, получено решение одномерного уравнения
диффузии, которое из-за своей важности получило название фун-
даментального решения уравнения диффузии:
nf(x,t) =
No
V^VDt
exp
(1.83)
x2 \
4Dt) ’
Рис. 1.9. Вид фундаментально-
го решения уравнения диффузии
для возрастающих моментов вре-
мени ti < t2 < £з
lim п/(х. t) =
t->0 J 4	7
На рис. 1.9 показано фун-
даментальное решение (которое
можно даже несколько обоб-
щить, если вместо х в него
подставить х — хд, где хд —
произвольная постоянная), со-
ответствующее разным момен-
там времени.
Функция (1.83) определена
в любой точке оси Ох при t > 0.
Разберем, как ведет себя реше-
ние при t —> 0. Ответ дает пре-
дел функции п/(х,£) при t —> 0:
0 для х / Хд ,
+оо ДЛЯ X = Хд .
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
63
Теперь начальное распределение Nq диффундирующих ча-
стиц становится понятным: все TVq частиц при t = 0 располага-
ются в плоскости х = xq, а вне этой плоскости вначале диффун-
дирующих частиц нет. Естественно, что и концентрация частиц
в начальный момент времени оказывается бесконечной41.
Как видно (см. рис. 1.9), диффузия частиц приводит к их рас-
плыванию — концентрация уменьшается в максимуме и увели-
чивается на периферии.
С точки зрения математика концентрация становится нену-
левой в сколь угодно малый момент времени сколь угодно далеко
от начальной плоскости, в которой расположены диффундирую-
щие частицы, что формально противоречит специальной теории
относительности, в соответствии с которой скорость материаль-
ной частицы не может превышать скорости света с. Однако кон-
центрация для фундаментального решения с ростом х так быст-
ро падает, что реально ее можно считать обращающейся в нуль42
на некотором конечном удалении от начальной плоскости х = х$.
Выше уже отмечалось, что уравнение диффузии вообще не
годится для областей, где концентрация частиц близка к нулю,
а флуктуации велики. Последнее означает, что уравнение диф-
фузии плохо описывает распространение "фронта” диффунди-
рующих частиц. Тем не менее, уравнение диффузии и его фунда-
ментальное решение все же позволяют получить представление
о ’’скорости диффузии”, то есть дают возможность ответить на
вопрос о том, на каком среднем расстоянии от точки старта ока-
жутся диффундирующие частицы через произвольное время t.
Чтобы ответить на последний вопрос, требуется вычислить сред-
нее значение координаты диффундирующих частиц через опре-
деленный момент времени после начала диффузионного процес-
са.
Для простоты положим xq = 0, тогда распределение частиц
в пространстве станет симметричным. В силу симметрии, сред-
нее значение координаты частиц всегда будет нулевым, однако
среднее квадрата координаты х2 (то есть среднеквадратичное
уклонение) уже нулем не будет.
41 На языке математики это означает, что начальная концентрация частиц
есть по (я) = Nod(x — то), где <5(х — xq) есть так называемая дельта-функция.
Однако свойства дельта-функции в дальнейшем нигде не используются. Ес-
ли читатель не знаком с такими функциями, то пусть примет данное при-
мечание просто к сведению.
42 Аналогично тому, что при максвелловском распределении по скорости
реально отсутствуют частицы со скоростями, десятикратно превышающими
наиболее вероятную скорость (см. стр. 28).
64
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Найдем искомую величину. По формуле для среднего значе-
ния получаем ответ:
(1-84)
—оо
Интеграл в правой части (1.84) аналогичен интегралу, опре-
деляющему среднеквадратичную скорость vrms для максвеллов-
ского распределения. Интеграл такого типа был вычислен ранее
[см. формулу (П1.15) приложения 1], откуда для среднеквадра-
тичного уклонения получаем величину
= 2Dt.	(1.85)
Вот теперь физический смысл коэффициента диффузии D
становится совершенно ясным: за время t с момента начала дви-
жения диффундирующая частица в среднем удаляется от своего
начального положения на длину y/2Dt вдоль любой из декарто-
вых осей. Чтобы оценить порядки получающихся величин, об-
ратимся к табл. 1.1, в которой приведены типичные значения
коэффициента диффузии для различных сред при атмосферном
давлении.
Таблица 1.1
Коэффициенты диффузии в газах, жидкостях и твердых телах
Диффундирую- щее вещество	Основной компонент	Температура, °C	D, м2/с
Пары воды	Воздух	0	2.3 • 10"5
Глюкоза	Вода	15	0.52 • 10"9
Золото	Свинец	20	4.0 • 10"14
Так, из приведенных данных следует, что за одну минуту мо-
лекула воды в воздухе в среднем удаляется от своего начального
положения на расстояние 5.25 см. В то же время средняя ско-
рость теплового движения молекулы воды составляет примерно
567 м/с. Следовательно, полная длина траектории молекулы во-
ды за то же время составляет приблизительно 34 км. Последний
пример показывает, что скорость диффузии в сравнении с тепло-
выми скоростями молекул очень незначительна. Молекулы в га-
зе испытывают огромное число соударений, носящих случайный
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
65
характер и не дающих частицам перемещаться относительно сте-
нок сосуда с тепловой скоростью. Но если давление в газе пони-
зить до уровня, когда средняя длина свободного пробега станет
соизмеримой с размерами сосуда, скорость диффузии возрастет
и, перестав зависеть от давления, станет определяться размера-
ми сосуда и тепловой скоростью молекул.
Как видно (см. табл. 1.1), диффузия в жидкостях и твердых
телах еще медленнее, чем в газах, что объясняется иными зако-
номерностями перемещения диффундирующих частиц.
Найденное фундаментальное решение уравнения диффузии (1.83)
позволяет без труда найти и общее решение уравнения одномерной
диффузии (1.78).
Действительно, пусть в момент времени t = 0 концентрация диф-
фундирующих частиц задана функцией по(ж), определенной на всей
вещественной оси. Тогда можно считать, что вблизи плоскости х = £
в интервале шириной d£ в момент времени t = 0 начинают диффунди-
ровать Nq = no(£)d£ частиц, последующее распространение которых
в пространстве описывается фундаментальным решением уравнения
диффузии при xq = £. Окончательное выражение для концентрации
диффундирующих частиц в любой точке х в произвольный момент
времени t > 0 определится суммированием всех независимых вкла-
дов от частиц, стартовавших в начальный момент времени из разных
бесконечно-малых интервалов d£ на оси, то есть интегралом
оо
• (*-£)2'
4Dt
— ОО
п0(£Х 
1.2.2 Теплопроводность
Теплопроводность — один из механизмов переноса энергии от
более нагретых частей тел к менее нагретым. Рассмотрение теп-
лопроводности газов практически тождественно рассмотрению
диффузии, только необходимо заменить градиент концентрации
градиентом температуры Г, а поток частиц — тепловым пото-
ком Q (то есть количеством тепловой энергии, пересекающим
единичное поперечное сечение вещества в единицу времени).
Если градиент температуры не слишком велик, то первый
закон Фика заменяется на закон Фурье (1822 г.), по которо-
му тепловой поток прямо пропорционален взятому с обратным
знаком градиенту температуры:
Q = — ж grad Г,	(1.86)
66
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
где ае — коэффициент теплопроводности, зависящий от агре-
гатного состояния вещества и макропараметров (давления, тем-
пературы); размерность коэффициента теплопроводности есть
Вт-м-^К"1.
Механизм теплопроводности зависит от агрегатного состоя-
ния. Так, в твердых телах, когда перенос массы незначителен,
энергия передается в результате тепловых колебаний атомов ре-
шетки. Таков фононный механизм теплопроводности в диэлек-
триках. В металлах теплопроводность осуществляется как ре-
шеткой, так и электронным газом. В газах же возможен ме-
ханизм теплопроводности, полностью аналогичный механизму
диффузии. Только диффузия есть перенос молекулами массы,
а при теплопроводности — тепловой энергии. Такой механизм
предполагает отсутствие конвекции^, вообще говоря, возника-
ющей в газах и жидкостях при наличии градиента температуры.
Однако иногда конвекция в газе может быть исключена (или ею
можно пренебречь). Например, если в замкнутом объеме более
нагреты вышележащие слои газа или жидкости, то, очевидно,
конвекции не будет. Последнее может быть обосновано изящным
опытом: если на дно пробирки, наполненной холодной водой, по-
ложить кусочек льда (обернув последний проволокой, чтобы он
оставался на дне), то нагреванием воды в верхней части пробир-
ки ее можно довести до кипения без того, чтобы лед растаял.
Аналогично тому, как было найдено выражение для пото-
ка молекул при диффузии, можно найти выражение для пото-
ка тепловой энергии (через площадку, перпендикулярную оси
Ох) при теплопроводности. Для теплового потока, пересекающе-
го площадку слева направо, по аналогии с формулой (1.66), по-
лучим
Qx+ = ^rivU(x - 2X/3,y,z,t),	(1-87)
поскольку через плоскость х = const в обе стороны идет поток
частиц одной и той же величины^ riv/^, причем каждая части-
ца в среднем несет с собой энергию U(x — 2А/3,у,z,t).
Полный тепловой поток Qx через площадку, по аналогии
43Конвекция (от лат. convectio — доставка) — перенос массы при воз-
никновении в газе или жидкости течения. Если в газе есть градиент тем-
пературы, то конвекция сопровождается конвективным теплообменом, не
рассматриваемым в настоящем издании.
44 При конвекции суммарный поток частиц через площадку не был бы
равен нулю.
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
67
с формулой (1.69), получается равным
1 _х ди
-~nv\ —
3 ах
(x,y,z,t)
(1.88)
В состоянии термодинамического равновесия, как известно,
на каждую степень свободы приходится в среднем энергия кТ/2.
Молекулы всегда имеют три поступательные степени свободы,
а также могут иметь разное число вращательных и колебатель-
ных степеней свободы. Пусть полное число степеней свободы
частиц газа будет г. Тогда молекула переносит через плоскость
энергию
и =	•	(1.89)
Подстановка (1.89) в (1.88) дает и закон Фурье, и коэффициент
теплопроводности газа ае:
1	_	дТ	дТ
Qx = --nvXik — = —ае—— ,	(1.90)
6	дх	дх
где ze=rivXik/§.
Коэффициент теплопроводности принято выражать через те-
плоемкость вещества. Вспомним, что полная тепловая энергия
моля газа есть произведение числа Авогадро на среднюю теп-
ловую энергию частицы, то есть = N^ikT/2. В свою очередь,
молярной теплоемкостью Су при постоянном объеме называет-
ся количество тепла, необходимое для нагрева моля вещества на
один градус, откуда Су =	= iNAk/2. Выражая произ-
ведение ik с помощью последней формулы, получаем коэффици-
ент теплопроводности в следующем виде:
Формула (1.91) принимает окончательный вид, если учесть,
что Су = цСу, где Су — удельная теплоемкость (не моля, а еди-
ницы массы вещества), /1 — молекулярный вес, а тп = ц/Na —
масса одной молекулы:
1	-х 1 -х
ае = -mnvXcy = -QvXcy ,
о	о
(1-92)
где q — тп — плотность газа.
68
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Из формулы для коэффициента теплопроводности газов сле-
дует, что он не зависит от давления газа. Действительно, плот-
ность газа прямо пропорциональна давлению, а средняя дли-
на свободного пробега, в соответствии с формулой (1.39), об-
ратно пропорциональна давлению, так что произведение q и Л
от давления не зависит. На первый взгляд такой результат мо-
жет показаться удивительным, поскольку коэффициент тепло-
проводности увеличивается при переходе от газов к жидкостям,
то есть увеличивается с ростом плотности вещества [например,
при атмосферном давлении и Т = 100 °C для водяного пара
ае=0.0251 Вт/(м-К), а для жидкой воды при тех же условиях
ае=0.6786 Вт/(м-К), то есть выше в 27 раз].
Однако, как уже отмечалось выше, различным фазам веще-
ства отвечают разные механизмы теплопроводности. В газе при
отсутствии конвекции рост давления, с одной стороны, вызывает
увеличение потока частиц через любое сечение, но, с другой сто-
роны, при этом уменьшается длина свободного пробега, так что
разница переносимых каждой молекулой с разных сторон плос-
кости энергий тоже уменьшается. Область давлений, при кото-
рых коэффициент теплопроводности постоянен, сверху ограни-
чена величиной примерно в 10—100 атм (верхний предел зависит
от температуры и определяется выполнением критерия идеаль-
ности для газа), а снизу — условием малости длины свободного
пробега по сравнению с размерами сосуда. Для сосудов с раз-
мером в 10 см последнее условие выполняется при давлениях
р > 10“2 Торр.
Измерения коэффициента теплопроводности газов, выполнен-
ные еще в XIX веке45, дали достаточно хорошее подтверждение
вывода теории о независимости от давления коэффициента теп-
лопроводности.
Основное влияние на коэффициент теплопроводности газа
оказывает средняя тепловая скорость молекул, поэтому с ростом
температуры растет и коэффициент. Кроме того, легкие газы
по той же причине обладают значительно большей теплопровод-
ностью, чем тяжелые. Так, при нормальных условиях кислород
имеет коэффициент теплопроводности 0.024 Вт/(м-К), а водород
уже целых 0.176 Вт/(м-К).
Установим уравнение непрерывности для тепловой энергии.
Применим теорему Остроградского—Гаусса для потока тепловой
энергии подобно тому, как была использована та же теорема для
45Далее в настоящем подразделе описывается один из методов измерения
коэффициента теплопроводности.
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА 69
потока частиц при выводе уравнения непрерывности (1.75). Про-
водя дословно те же рассуждения (с заменой числа частиц в объ-
еме на тепловую энергию частиц в объеме и потока частиц на
поток тепловой энергии)46, получим уравнение
— + divQ = 0,	(1.93)
С/ ь
где и — плотность тепловой энергии (то есть ее количество на
единицу объема), a Q — тепловой поток.
Теперь остается выразить плотность тепловой энергии через
температуру, чтобы получить для последней самосогласованное
уравнение. Чтобы найти iz, необходимо учесть, что энергия од-
ного моля газа есть NAikT/2, молярный объем равен отноше-
нию массы на плотность вещества /х/р. Тогда плотностью тепло-
вой энергии будет результат деления энергии моля на молярный
объем: и = gN^ikT/(2д). Выражая величину ik/2 через удель-
ную теплоемкость так же, как это было сделано выше при вы-
воде коэффициента теплопроводности, окончательно получаем
для плотности тепловой энергии выражение
u = CvqT.	(1-94)
В свою очередь, подстановка (1.94) в (1.93) и использование за-
кона Фурье дают
= <iiv(ae gradT).	(1.95)
ot
Если плотность вещества и коэффициент теплопроводности
примерно постоянны во всех точках вещества47, то из (1.95) окон-
чательно получается уравнение теплопроводности:
ЭТ
-^- = а2ЛТ,	(1.96)
С/С
где постоянная а2 = ае/(^Су) называется коэффициентом темпе-
ратуропроводности.
Уравнение теплопроводности (1.96) того же типа, что и урав-
нение диффузии (1.77). Для уравнения теплопроводности также
46Читателю и следует провести это рассуждение.
47Для жидкостей и твердых тел плотность слабо зависит от температуры,
а для газов должно выполняться условие малости по сравнению с единицей
относительного перепада температуры по всему объему газа.
70
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
можно выписать фундаментальное и общее решения48, а процесс
распространения температуры можно уподобить диффузионно-
му распространению частиц.
Хотя в общем случае скорость распространения тепловой энер-
гии будет определять не коэффициент теплопроводности, а ко-
эффициент температуропроводности, для газа (в предположе-
нии q = const) а2 = D, что следует из формул (1.92) и (1.71).
Последний результат нетрудно было предвидеть, так как и ме-
ханизм переноса массы, и механизм переноса тепловой энергии
(в отсутствие конвекции) один и тот же — хаотическое тепловое
движение молекул газа в пространстве.
Метод измерения коэффициента теплопроводности
В 1888 году Шлейермахер разработал достаточно точный спо-
соб измерения коэффициента теплопроводности, основанный на
явлении стационарной теплопроводности® газа, заключенного
между двумя соосными цилиндрами.
Чтобы разобраться в существе метода Шлейермахера, най-
дем сначала распределение температуры в газе, заполняющем
объем между двумя соосными цилиндрами высотой Н и ради-
усами 7?i, причем — Ri Н. Внутренний цилиндр под-
держивается при температуре 71, а внешний — при температу-
ре 7*2 < 71, так что поток тепла идет от внутреннего цилин-
дра к внешнему. Из-за малости зазора между цилиндрами по
сравнению с их длиной тепловыми потерями через торцы можно
пренебречь, что позволяет решать задачу как двумерную, ко-
гда считается, что Н —> +оо, а распределение температуры 7(р)
в зазоре между цилиндрами есть функция только радиуса р, из-
меняющегося от 7?i до /?2-
Тогда в отсутствие конвекции и лучеиспускания тепловой по-
ток в любой точке объема будет определяться выражением
dT
dp
В свою очередь, тепловая мощность, проходящая через цилин-
дрическую поверхность радиуса р и высоты Н, будет
W = QS = -ае^2тгрН.
dp
48Сделайте это.
49 Если распределение температуры в каком-либо теле не зависит от вре-
мени, то теплопроводность называется стационарной.
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
71
При стационарной теплопроводности температура в любой
точке между внутренним и внешним цилиндрами не зависит от
времени. Последнее означает, что тепловая мощность, проходя-
щая через любую цилиндрическую поверхность радиуса р, (где
R1 < р < от р не зависит и определяется тепловой мощно-
стью Wq нагревателя, поддерживающего постоянной температу-
ру 71 внутреннего цилиндра50.
Таким образом, при стационарной теплопроводности меж-
ду двумя цилиндрами распределение температуры описывается
простым дифференциальным уравнением первого порядка
б/Т* __	___
ае—2тгрН = Wo ,
dp
dp ‘Z'rzqH p
Прямое интегрирование полученного уравнения дает распреде-
ление температуры между цилиндрами
Т(п\ Т W° lr> R2
Т^-Т2=2^й'ПУ
Если в последнее уравнение подставить р = 7?i, то получится
соотношение
<L97>
связывающее стационарную разность температур 7i — ТЪ с теп-
ловой мощностью нагревателя Wq.
Шлейермахер придумал способ измерения коэффициента теп-
лопроводности газов, опирающийся на использование уравнения
(1.97). Рисунок 1.10 иллюстрирует метод Шлейермахера.
Платиновая проволока (затем замененная на никелевую) дли-
ной 320 мм и радиусом Ri = 0.2 мм натягивалась вдоль оси
внешней трубки (Шлейермахер использовал тонкую стеклянную
трубку, но лучше использовать металлическую, так как металлы
имеют бблыпие коэффициенты теплопроводности).
50Если бы это было не так, то существовали бы поверхности с такими pi
и р2 (Ri < pi < р2 < #2), что тепловая мощность, проходящая через эти
поверхности, была бы разная. При этом слой pi < р < рг приобретал или
терял бы тепловую энергию, так что температура внутри него изменялась
бы, что противоречит стационарности теплопроводности.
72
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Нить, Я|
Металличес-
кая трубка,
*2
К источнику
ЭДС
31 Груз для
натяжения
нити
1.10. К методу
Рис.
Шлейермахера (1888 г.)
Внешняя трубка погружалась в со-
суд с водой, температура которой из-
меряется (особенно удобен сосуд с во-
дой и льдом, что автоматически фик-
сирует температуру внешнего цилин-
дра на уровне Т% = О °C).
Измерение проводится следующим
образом. Через проволоку пропуска-
ют электрический ток, что ведет к на-
греванию последней до некоторой ста-
ционарной температуры. Сопротивле-
ние проволоки R растет по мере ее на-
гревания. Сопротивление легко изме-
ряется, так как R = U/I} где I — ток,
текущий через проволоку, U — напря-
жение на проволоке. Когда сопротив-
ление перестает увеличиваться, это
указывает на достижение проволокой
стационарной температуры Т\. В про-
волоке выделяется постоянная тепло-
вая мощность Wq = I2R. Однако
эту величину нельзя непосредственно подставить в выражение
(1.97). Дело в том, что проволока часть мощности излучает,
а часть — отдает из-за неконтролируемой конвекции. Послед-
нюю можно исключить, понижая давление газа.
Действительно, тепловой поток за счет конвективного тепло-
переноса, очевидно, определяется соотношением
Qc = ?zv,	(1.98)
где и — плотность тепловой энергии газа, определяемая уравне-
нием (1.94), v — скорость течения газа в точке, где определяется
тепловой поток51.
Из (1.98) следует, что конвективный поток уменьшается при
понижении плотности (то есть давления) газа, тогда как тепло-
вой поток за счет теплопроводности (1.86) не зависит от давле-
ния в широких пределах. Измерение коэффициента теплопро-
водности проводится несколько раз при все более низком давле-
нии газа, пока определяемая величина не перестает зависеть от
давления, что является признаком того, что влияние конвекции
устранено.
51 Действительно, за время dt через площадку dS, перпендикулярную ско-
рости течения газа v, пройдет объем газа vdtdS.
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА 73
Наконец, влияние лучеиспускания может быть определено
расчетом. В соответствии с законом Стефана-Больцмана52 еди-
ница поверхности черненого металла излучает электромагнит-
ные волны мощностью
е(Т) = (тГ4,
где а — постоянная Стефана-Больцмана, Т — абсолютная тем-
пература.
Нить излучает с единицы поверхности мощность e(7i) = сгТ^,
но одновременно получает мощность е(Т2) = сгТ^ соответству-
ющую лучеиспусканию внешнего цилиндра. Поэтому суммарно
величина выделяемой в нити электрической мощности Wq рассе-
ивается за счет лучеиспускания и теплопроводности, причем на
долю лучеиспускания приходится рассеиваемая мощность
Wrad = [е(Тг) - е(Т2)] S = <т(7? - Т24) 2^#.
Таким образом, с учетом последнего соотношения уравнение
(1.97) должно быть переписано в виде
m m I2R -	- T$)2irRxH , R2
Т\-Т2 =--------- о'гт-------—ln ТГ •
Ki
Определяя установившуюся температуру нити после включения
тока53, находят с помощью уравнения (1.99) коэффициент теп-
лопроводности газа ае.
1.2.3 Вязкость
Вязкость газов и жидкостей (называемая также внутренним тре-
нием) — это третье явление переноса, ответственное за выравни-
вание скоростей слоев газа и жидкости, движущихся друг отно-
сительно друга. Таким образом, вязкость ответственна за дис-
сипацию механической энергии. Механизмы диссипации могут
быть разные для различных режимов течения газа. Далее будут
рассматриваться только ламинарные течения, при которых в га-
зе или жидкости существует непрерывное и стационарное поле
скоростей . В отличие от ламинарных, турбулентные течения
523акон Стефана-Больцмана подробно освещается в главе 3, подразд. 3.2.4
настоящего издания.
53 Причем температура нити однозначно определяется сопротивлением ни-
ти.
74
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
газа нельзя описать непрерывным полем скоростей, поскольку в
газе или жидкости образуются завихрения, носящие случайный,
нерегулярный характер54.
Направление потока
импульса
Рис. 1.11. Поле скоростей в газе:
газ течет вверх, причем скорость
течения vz(x) убывает с ростом х
Если при диффузии че-
рез произвольную площадку S
идет поток массы, при тепло-
проводности — тепловой энер-
гии, то вязкость обязана воз-
никновению потока импуль-
са. Однако импульс — вектор-
ная величина, в общем слу-
чае плотность потока импуль-
са является тензором второго
ранга. Не используя незнако-
мого математического аппара-
та, рассмотрим простейший одномерный случай слоистого тече-
ния газа, суть которого поясняет рис. 1.11. Пусть газ течет вдоль
оси Oz, а модуль его скорости v постоянен вдоль линий скорости,
то есть зависит лишь от одной координаты х: v(z) = vz(z).
Тогда аналогично тому, как рассчитывался поток энергии
в случае теплопроводности, можно рассчитать поток L величи-
ны Pz (проекции импульса на ось Oz), то есть количества проек-
ции импульса Pz, пересекающего единичную площадку в едини-
цу времени. Поток L проекции импульса Pz — векторная вели-
чина, направление которой указано на рис. 1.11.
Уравнение для потока слева направо проекции импульса че-
рез площадку аналогично уравнению (1.87) для потока энергии
(только энергию надо заменить единственной проекцией импуль-
са):
Lx+ = ^nvPz(x - 2Л/3),	(1.100)
где Pz = mvz — импульс направленного движения частиц газа
(не спутайте скорость vz со средней тепловой скоростью молекул
газа й!).
54 Переход режима течения воды от ламинарного к турбулентному можно
наблюдать и дома, пустив струю воды вытекать из крана еще ламинар-
но (для этого нужно выбрать небольшой напор воды). Вытекшая из крана
ламинарная струя ускоряется гравитационным полем, скорость жидкости
растет и приводит к образованию турбулентности. На ламинарном участке
граница струи четко определена и не изменяет своего положения в простран-
стве, переход к турбулентности выражается в хаотизации поля скоростей во-
ды, что ведет к биениям границы жидкости и разбрызгиванию последней.
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
75
Полный поток через площадку следующий:
г г 1 -I дР
L = LX = --nvX —
3 дх
1 _> dv
= ~3svX di 
(х)	3 °Х (х)
(1.101)
Переписывая последнее уравнение в форме, аналогичной пер-
вому закону Фика и закону Фурье, можно получить похожее
уравнение и для вязкости:
_ dv
L=~r>di-
(1.102)
Коэффициент т] в последнем уравнении55 называется коэффици-
ентом динамической вязкости, или коэффициентом внутреннего
трения, причем нами вычислено и приближенное значение этого
коэффициента
(1.103)
О
В СИ единицей измерения вязкости является паскаль-секунда:
Пас= Нс/м2.
Сравнением (1.92) и (1.103) легко устанавливается связь меж-
ду коэффициентами теплопроводности и вязкости газа
ае = т)Су ,
(1.104)
что позволяет сделать вывод о независимости от давления в ши-
роком интервале и коэффициента вязкости.
Связи, аналогичные (1.104), есть и между остальными ко-
эффициентами переноса. Связи отражают единство механизмов
переноса в газах — молекулярного обмена массой, энергией и им-
пульсом. Так, легко убедиться, что кроме (1.104) имеются еще
две связи:
D = tj/q	(1.105)
и
Z? = ae/(pcv).	(1.106)
55 Это не закон, а частный случай, относящийся к одномерному слоисто-
му течению газа или жидкости. Справка для самых любознательных: хотя
плотность потока импульса и есть тензор второго ранга, в предположении
постоянства коэффициента динамической вязкости можно записать в век-
торной форме уравнение движения вязкой жидкости, известное в гидро-
аэродинамике как уравнение Навье—Стокса, но это уравнение, кроме дина-
мической вязкости, содержит еще один коэффициент, называемый второй
вязкостью.
76
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Все величины, входящие в эти связи, макроскопические, под-
дающиеся экспериментальному определению. Однако экспери-
мент подтверждает эти формулы с точностью до коэффициен-
та порядка 2, что является следствием приближений, заложен-
ных в расчет коэффициентов переноса. Например, в соотноше-
ния (1.104) и (1.106) входит удельная теплоемкость газа, клас-
сическое выражение для которой56 Су = zfc/(2m), как было вы-
яснено еще в XIX веке, дает значительные расхождения с полу-
ченными экспериментально величинами. В частности, оказалось,
что Су зависит от температуры, то есть в рамках классической
физики приходится принять число степеней свободы молекулы i
зависящим от температуры газа. При низких температурах мо-
лекулы ведут себя как упругие шары, обладающие только по-
ступательными степенями свободы (г = 3), затем, с повышением
температуры, плавно ’’включаются” вращательные степени сво-
боды, а затем — колебательные. Такое поведение молекул нашло
объяснение только в рамках квантовой физики.
Представление о точности выполнения соотношения (1.104)
дает таблица 1.2. В первых трех столбцах таблицы приведены
экспериментально измеренные значения коэффициентов вязко-
сти, теплопроводности и удельной теплоемкости для ряда газов
при нормальных условиях. В четвертом столбце таблицы стоит
величина ае/(т/Су), которая, в соответствии с уравнением (1.104),
должна была бы быть единицей, однако таковой не является.
Таблица 1.2
Связь между коэффициентами переноса в газах
Газ	7? • 105 , Па-с	ае-102, Вт/(м-К)	Дж/(кг-К)	ae/^Cv)
n2	1.66	2.36	745.2	1.91
02	1.92	2.39	653.0	1.91
со2	1.38	1.42	632.1	1.63
Тем не менее, положение следует признать удовлетворитель-
ным, так как весьма простая модель позволила дать полное ка-
чественное и достаточно хорошее количественное описание явле-
ний переноса в газах.
Соотношение (1.103) впервые было получено Дж.К. Максвел-
лом в 1860 году и так его поразило (ведь казалось, что с ро-
стом давления трение в газах должно было бы возрастать), что
56См. стр. 67.
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА 77
в 1868 году Максвелл сам взялся за его экспериментальную про-
верку, подтвердившую независимость вязкости газов от давле-
ния в широком диапазоне давлений57.
Формуле (1.103) можно придать иную форму, наглядно де-
монстрирующую физические проявления вязкости для рассмат-
риваемого частного случая. Плоскость S (см. рис. 1.11) разби-
вает газ на две половины, через эту плоскость идет поток им-
пульса слева направо, то есть в единицу времени импульс левой
половины газа уменьшается на некоторую величину, а правой —
увеличивается на ту же величину. Но по второму закону Ньюто-
на изменение импульса в единицу времени есть сила, действую-
щая на тело. Импульс (отнесенный к единице поверхности) левой
половины газа уменьшается, следовательно, на левую половину
действует тормозящая сила величины F, направленная против
скорости газа, а импульс правой части газа растет, на правую
часть действует ускоряющая сила величины F!
Картина получилась очень наглядная: хаотическое тепловое
движение перебрасывает молекулы из слоя в слой, в результате
более быстрый слой тормозится, а более медленный ускоряется,
причем сила, называемая по понятной причине силой касатель-
ного напряжения F, отнесенная к единице поверхности сопри-
касающихся слоев, и есть поток импульса L, поэтому формулу
(1.102) можно переписать в виде
F
s дх
(1.107)
Теперь понятно, почему коэффициент вязкости называется
также и коэффициентом внутреннего трения.
Следует добавить, что уравнение (1.107) для жидкостей было
получено еще И. Ньютоном. В его честь жидкости, в которых со-
блюдается тип вязкого трения, описываемый уравнением (1.107),
называются ньютоновскими. Большинство жидкостей и все газы
— ньютоновские, однако некоторые суспензии и растворы поли-
меров — неньютоновские жидкости, свойства их течений изуча-
ются реологией.
57Конечно, это был триумф молекулярно-кинетической теории и одного
из ее творцов — Максвелла, однако скептики продолжали возражать, ссы-
лаясь на то, что представление о существовании атомов и молекул — это,
быть может, лишь удобный ход мысли для вывода некоторых соотношений,
и прямого доказательства существования атомов и молекул проведенные
Максвеллом измерения не дают.
78
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Таким образом, два великих английских физика — И. Ньютон
и Дж. Максвелл внесли значительный вклад в изучение вязкости
жидкостей и газов.
Вязкости газов при атмосферном давлении и Т = 300 К по по-
рядку величины равны 10-5 Па-с, в частности, вязкость воздуха
т] = 1.85 • 10-5 Па-с. Вязкость воды на два порядка больше и при
той же температуре т) = 0.82 -10-3 Па-с. Для сравнения: вязкость
крови человека т) = 2.08-10-3 Па-с. Эта величина оказывает боль-
шое влияние на функционирование сердечно-сосудистой системы
человека.
Вязкость газов с температурой растет, а жидкостей — резко
уменьшается, что свидетельствует о различии механизмов вяз-
кости в жидкостях и газах.
Вязкость жидкостей и газов (но не только она) ответ-
ственна за возникновение силы сопротивления движущимся
в них твердым предметам.
Если твердое тело движется относительно жидкости или газа
с небольшой скоростью так, что поток, его обтекающий, лами-
нарный, сила сопротивления зависит от формы тела. Для шара
такую силу впервые вычислил в 1851 году английский ученый
Дж.Г. Стокс:
Р = -б7Г77^,	(1.108)
Рис. 1.12. Обтекание непо-
движного шара вязкой сре-
дой: показаны линии тока,
касательные к которым сов-
падают с направлением ско-
рости течения
где F — сила сопротивления, ис-
пытываемая твердым шаром ради-
уса R при его медленном посту-
пательном движении со скоростью
v в неограниченной вязкой жидко-
сти с коэффициентом вязкости г).
На самом деле неважно, что дви-
жется — шар или жидкость, важна
относительная скорость их движе-
ния v. Этот случай обтекания шара
ламинарной несжимаемой вязкой
средой именуют течением Стокса
(фрагмент которого изображен на
рис. 1.12), а формулу (1.108) — за-
коном Стокса.
Физическая причина возникно-
вения силы сопротивления движе-
нию шара следующая.
Как указывает опыт, на грани-
це твердых тел, находящихся в со-
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
79
прикосновении с вязкими жидкостями и газами, осуществляется
условие полного прилипания, когда жидкость на границе сопри-
косновения неподвижна относительно тела (а относительно уда-
ленных покоящихся частей жидкости движется, следовательно,
со скоростью v). В жидкости образуется градиент скорости, при
котором, как было выяснено выше, более медленные слои тормо-
зят более быстрые. Слой, прилипший к телу, и испытывает силу
торможения, определяемую для шара законом Стокса (1.108).
Таким образом, закон Стокса можно трактовать и так: чтобы
заставить в жидкости тело двигаться со скоростью v (в режиме
течения Стокса!), необходимо приложить внешнюю силу F, аб-
солютная величина которой определяется уравнением (1.108).
С точностью до численного коэффициента закон Стокса можно
получить, применяя важный для физики анализ размерностей. Дей-
ствительно, сила сопротивления движению шара в жидкости являет-
ся некоторой функцией скорости. В предположении дифференциру-
емости этой функции, ее можно разложить в ряд. Тогда в пределе
малых скоростей (то есть ламинарных течений) достаточно оставить
лишь первый член ряда, линейный по скорости. Но скорость не име-
ет размерности силы, поэтому коэффициент пропорциональности дол-
жен зависеть от параметров задачи, к которым следует отнести ради-
ус шара R и вязкость жидкости rj. Поскольку плотность среды Череды,
в которой движется шар (в данном случае это плотность жидкости
£ж), может влиять на характер течения, то следует включить в рас-
смотрение и ее, чтобы определить, как входят параметры в выражение
для силы сопротивления. В общем случае это должно быть выражение
следующего вида:
F = KRar)b^v,	(1.109)
где К — численный коэффициент пропорциональности; а,Ь и с — та-
кие вещественные числа, при которых размерность выражения справа
будет размерностью силы.
Теперь необходим анализ размерностей для формулы (1.109). Раз-
мерности величин принято обозначать символами этих же величин,
взятыми в квадратные скобки. Естественно, что все механические раз-
мерности должны быть выражены через размерности основных еди-
ниц: массы [М], длины [L] и времени [Т]. В данном случае это следует
сделать для размерностей силы, скорости, вязкости, длины и плот-
ности. Вспоминая, что [F] = [MLT~2], [v] = [LT-1], [g] = [ML~3],
м = [ML-'T-I], [Л] = [L], и подставляя эти величины в уравнение
(1.109), находим, что
[MLT~2] =	=
_ ^Ь+с^а-Ь-Зс+lj—b-l]
(1.110)
80
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Приравнивая степени при соответствующих единицах измерения
физических величин, получаем три уравнения с тремя неизвестными.
Из уравнения для [Т] следует, что b = 1, тогда уравнение для [М] дает
с = 0. Наконец, последнее уравнение для [L] дает а = 1. После подста-
новки найденных значений а, b и с в (1.109), получаем закон Стокса
с точностью до численного множителя 2тг, который и был вычислен
Стоксом. Как видим, буквально из ’’ничего” анализ размерностей не
только позволил получить полезную формулу, но автоматически от-
бросил величину (плотность жидкости), не влияющую на результат.
Каждый физический закон имеет свою область применимо-
сти. Область применимости закона Стокса — ламинарные тече-
ния сплошной среды. Ответ на вопрос, является ли течение ла-
минарным, можно получить, если вычислить число Рейнольдса
Re:
Re=^vR
Л
Число Рейнольдса есть безразмерная комбинация, которую
можно составить из параметров задачи, в чем легко убедиться,
проделав размерный анализ, аналогичный вышеприведенному.
Однако размерный анализ, разумеется, не может ответить на все
вопросы. Критерий ламинарности следует из результатов аэро-
гидродинамики, суть которых заключается в следующем: при
малых скоростях течения силы трения (линейные по v) преоб-
ладают над силами инерции в жидкости (пропорциональными
QymV2, отсюда и появление плотности жидкости в числе Рейнольд-
са), поэтому в жидкости не возникают вихри, и течение лами-
нарное, а при увеличении скорости силы инерции преодолевают
силы трения, и течение постепенно меняет свой характер, стано-
вясь все более нерегулярным.
В аэрогидродинамике доказывается, что закон Стокса спра-
ведлив тогда, когда
Яе<1.	(1П2)
Таким образом, применение закона Стокса должно начинаться
с расчета числа Рейнольдса. Только если выполняется критерий
(1.112), можно использовать формулу (1.108).
Закон Стокса используют для определения коэффициента ди-
намической вязкости сильновязких жидкостей, измеряя скорость
падения шарика известного радиуса. О падении шарика в вязкой
среде будет рассказано в следующем разделе. А для газов и сла-
бовязких жидкостей коэффициент вязкости измеряют, опреде-
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА 81
ляя расход жидкости или газа, прошедшего через капилляр из-
вестного радиуса. Основой этого метода является эксперимен-
тально открытый закон Пуазейля, названный в честь француз-
ского врача и физиолога, исследовавшего движение крови по
капиллярным сосудам (1840 г.). Между тем, закон очень про-
сто выводится теоретически только на основании формулы для
вязкого трения (1.107). Поучительно проделать этот вывод, по-
скольку это самый простой пример, позволяющий глубже понять
роль вязкости при течении жидкостей и газов.
Рассмотрим ламинарный поток жидкости или газа через тру-
бу с внутренним радиусом г и длиной I » г, к концам которой
приложена разность давлений Др, заставляющая жидкость течь
слева направо (рис. 1.13). Для течения жидкости в трубе крите-
рий ламинарности отличается от критерия ламинарности (1.112)
при обтекании шара. В трубе течение будет ламинарным, если
Re < 1000.	(1.113)
В последнем случае все ли-
нии тока будут параллельны
оси трубы, причем в силу осе-
вой симметрии скорость жид-
кости будет функцией толь-
ко ее текущего радиуса внут-
ри трубы: v = v(p). На тор-
цах трубы есть так называе-
мый начальный участок, где
течение только устанавлива-
ется и скорость течения не
обязательно параллельна оси
трубы во всех точках, однако
для длинной трубы наличием
начального и конечного участ-
ков можно пренебречь.
Как будет показано, ско-
рость жидкости максимальна
в центре трубы и убывает до
нуля на стенках трубы. То-
гда можно построить нагляд-
ную картину движения каж-
дого из выделенных цилин-
дрических слоев (см. рис. 1.13)
Рис. 1.13. Ламинарное течение
жидкости в длинной цилиндри-
ческой трубе для двух моментов
времени: начального (а) и по-
следующего (б). Видно, как за
одно и то же время смещаются
цилиндрические слои жидкости
друг относительно друга. Стрелка-
ми обозначены векторы скорости
в разных точках жидкости
82
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Только центральный цилиндр имеет одну граничную поверх-
ность с окружающим его цилиндрическим слоем, который и тор-
мозит движение центрального цилиндра. Сила внутреннего тре-
ния уравновешивается силой за счет разности давлений на тор-
цах трубы, поэтому вдоль трубы частицы жидкости движутся
равномерно и прямолинейно. На каждый из последующих ци-
линдрических слоев действует по три силы — тормозящая си-
ла трения на внешней поверхности, ускоряющая сила трения на
внутренней и ускоряющая сила за счет разности давлений на
торцах трубы Др.
Физическая картина ламинарного течения в трубе (вдоль оси
Oz) позволяет найти распределение скоростей в трубе и расход
жидкости. Действительно, по формуле (1.107) проекция силы
касательного напряжения (силы трения), ускоряющая слой на
внутреннем радиусе, есть
dv
dp
Fz+ = S4
„	, dv
= -2тгр1т/ — ,
dp
так как dv/dp < 0,
а на внешнем радиусе тормозящая сила, соответственно, есть
Fz + dFz = 2тгр Irj -—I- dp— ( т] 2тгр I —
dp dp	dp
Очевидно, что алгебраическая сумма двух последних сил бу-
дет тормозить слой силой dFz, равной
।	d f dv
dFz = F+ + F + dF = dp— ( p 2%pl —
dp \ dp
Силу трения dFz < 0 уравновешивает ускоряющая сила за
счет перепада давления, действующего на торцы, так что сумма
всех сил, действующих на слой, обращается в нуль:
+ Др 2irpdp = 0.
Условие равновесия действующих на цилиндрический слой
сил приводит к простому дифференциальному уравнению отно-
сительно неизвестной функции v(p):
d ( dv\
dp— \р2тг pl — I
dp \ dp J
d
dp
dv\
P dp )
P&P
It]
1.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
83
Найти общее решение последнего уравнения труда не составляет.
Первое интегрирование дает
после чего второе интегрирование дает
v(p) = -^ + Alnp + B,
41т)
где А и В — произвольные постоянные интегрирования. По-
скольку скорость течения в центре трубы — конечная величина,
то константу А следует положить равной нулю. Найти вторую
постоянную В помогает условие полного прилипания на внутрен-
ней поверхности трубы v(r) = 0, откуда немедленно получается
окончательный вид формулы для скорости:
«(р) = ^(г2 - Р2) = umax (1 - ^2} ,	(1-114)
4/77	\	/
где v(p) — скорость жидкости на расстоянии р от оси трубы,
а ^шах ~ максимальная скорость течения на оси трубы. Нетруд-
но подсчитать, что средняя скорость течения в каждом попереч-
ном сечении трубы вдвое меньше vmax. Таким образом, профиль
распределения скоростей ламинарных течений в трубах парабо-
лический (парабола Пуазейля).
Чтобы найти расход через трубу (то есть объем жидкости,
протекающей через трубу в единицу времени), очевидно, следует
взять следующий интеграл:
dV Г	7гг4Др
— = tt2npdp= —Л	(1.115)
di	J	olTj
о
Таким образом, чтобы рассчитать расход жидкости через тру-
бу, надо по формуле (1.114) найти максимальную скорость тече-
ния на оси, проверить выполнение критерия ламинарности для
течения в трубе (1.113) и, в случае удовлетворения последне-
го, найти расход (1.115), пропорциональный градиенту давления
вдоль трубы (то есть падению давления на единицу длины), чет-
вертой степени радиуса трубы и обратно пропорциональный вяз-
кости жидкости или газа. Формула (1.115) называется законом
Пуазейля.
84 ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
1.3 Окончательная победа атомизма
1.3.1 Броуновское движение
В XIX веке были получены веские доказательства существова-
ния атомов и молекул. Однако приближенные оценки размеров
последних говорили о том, что это слишком малые объекты, ко-
торые невозможно ’’разглядеть” с помощью самого совершенно-
го светового микроскопа.
Как известно из оптики, разрешение световых микроскопов
ограничивается дифракционным расплыванием изображения ма-
лых объектов. Расчет показывает, что в лучшем случае можно
различить детали объекта, размеры которых превышают А/3,
где Л — длина волны света, используемого для освещения пред-
мета. Как известно из той же оптики, минимальная длина волны
фиолетового света, еще различимого глазом человека, составля-
ет примерно 390 нм = 3 900 А. Следовательно, самые лучшие
оптические микроскопы не позволяют различить детали объек-
та размером меньше 1000 А=0.1 мкм (вместо деталей объекта
наблюдатель увидит просто дифракционное пятно, если объект
хорошо освещен). Оценки же размеров атомов и молекул, кото-
рые были проведены после экспериментального определения ко-
эффициентов переноса, дали для размеров атомов и молекул ве-
личину порядка ангстрема, что в 1000 раз меньше предела разре-
шения микроскопа. Именно последнее обстоятельство позволяло
твердить противникам атомизма: атомы и молекулы — ненаблю-
даемые объекты, поэтому никогда не удастся доказать, что они
реально существуют, а все теоретические построения на осно-
ве молекулярно-кинетической теории — спекуляция (или, в луч-
шем случае, способ экономно мыслить), физической реальности
за ней нет.
Однако нашлось явление, которое через 80 лет после откры-
тия позволило дать столь веские экспериментальные доказатель-
ства реальности существования атомов и молекул, что у идеи
атомизма не осталось противников. Это явление — броуновское
движение.
В 1827 году английский ботаник Роберт Броун58, наблюдая
в микроскоп частицы цветочной пыльцы, взвешенной в воде, об-
наружил необыкновенное явление — частицы пыльцы беспре-
58Точнее по-русски фамилия Brown произносится как Браун, в русской
литературе встречаются оба варианта написания, так что броуновское и бра-
уновское движения — это одно и то же.
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА 85
станно хаотически перемещались по жидкости, словно живые
существа. Сначала ботаник решил, что они потому и движут-
ся, что растения состоят все же из живых клеток. Однако Броун
оказался настоящим ученым: ему пришла в голову идея прове-
рить, будут ли двигаться в воде частицы пыли и сажи, оседавшие
в те времена в Лондоне в больших количествах. Вероятно, Бро-
ун очень удивился, когда увидел, что частицы и пыли, и сажи
движутся примерно так же, как и частицы пыльцы. Тогда любо-
знательный ботаник размолол камень, но и частицы камня дви-
гались. Тогда ботаник не поленился достать обломок египетского
сфинкса, размолоть его и посмотреть на движение этих частиц.
Частицы из египетского сфинкса беспорядочно двигались!
Только в следующем, 1828 году Броун в статье сообщил о сво-
ем открытии. Это было время, когда большинство физиков не
верило в атомы, поэтому ученые были бессильны решить оче-
редную загадку природы. Действительно, если считать вещество
сплошным, ’’желеобразным”, то совершенно непонятно, почему
в этом желе непрерывно штормит и частицы в жидкости со-
вершают движение подобно кораблю, который океанские волны
швыряют из стороны в сторону. Однако броуновское движение
усиленно изучали экспериментально. И история этого процесса
наглядно показывает, что без каких-либо теоретических пред-
ставлений экспериментатор почти слеп. Он не знает, какие во-
просы задавать природе, и действует наугад, в расчете на удачу.
Так, были предприняты попытки изучить влияние времени су-
ток на броуновское движение, за которым наблюдали днем и но-
чью, но разницы не обнаружили. Изучалось и влияние местно-
сти — наблюдение вели в городе и деревне, разницы не было.
Тогда стали выдвигать возможные причины хаотического дви-
жения мелких частиц взвеси — конвекция жидкости, неравно-
мерность нагрева жидкости падающим светом, возможные элек-
трические силы. Все эти гипотетические объяснения отметались
экспериментом. Тридцать пять лет не было даже намека на пра-
вильное объяснение. Было ясно лишь одно — броуновское движе-
ние определяется свойствами жидкости (или газа, где оно тоже
возможно), а скорость движущихся частиц растет как с ростом
температуры, так и с уменьшением размера частиц до типичного
размера порядка одного микрона — 10”6 м.
Лишь с возрождением идеи атомизма, последовавшим за бес-
спорными успехами молекулярно-кинетической теории (вспом-
ним хотя бы экспериментальное подтверждение Максвеллом его
же собственного объяснения поразительного факта — независи-
86
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
мости коэффициента вязкости от давления, 1858 г.), в 1863 го-
ду появилась первая верная гипотеза (правда, в весьма запу-
танной форме), и лишь к концу 1870-х годов качественно вер-
ное объяснение было дано несколькими учеными. Молекулярно-
кинетическая теория позволила дать чрезвычайно простое объ-
яснение столь длительно просуществовавшей загадке природы.
И, действительно, суть дела оказалось, по крайней мере ка-
чественно, чрезвычайно проста. Молекулы жидкости или газа,
хаотически ударяясь о взвешенную в их среде частицу, оказыва-
ют на последнюю давление. Если частица достаточно велика, то
в среднем все удары молекул среды уравновешивают друг друга,
но по мере уменьшения размеров частицы начинают проявлять-
ся одновременно два эффекта: во-первых, растут относительные
флуктуации давления, приводящие к тому, что частица начина-
ет испытывать совершенно хаотические флуктуации силы, и, во-
вторых, масса частицы уменьшается как куб линейных размеров,
а ее ускорение как реакция на силу при этом, очевидно, растет.
Движение частицы становится заметным при достижении мик-
ронных размеров, если за ней наблюдать в микроскоп.
Однако прошло еще около 30 лет, пока не была построена пол-
ная математическая модель процесса, которую уже можно бы-
ло бы количественно проверять экспериментаторам. Теория бро-
уновского движения разработана сразу двумя учеными незави-
симо друг от друга двумя разными способами — Альбертом Эйн-
штейном (1879—1955) и польским физиком М. Смолуховским.
Впрочем, Эйнштейн опубликовал свои результаты раньше. Еще
через несколько лет, как часто бывает, французский физик П. Ла-
нжевен дал более простое доказательство основного уравнения
броуновского движения, впервые полученного Эйнштейном.
Ниже воспроизводится вывод формулы Эйнштейна для бро-
уновского движения, данный впервые Ланжевеном в 1908 году.
С позиций молекулярно-кинетической теории, любое тело,
находящееся с жидкостью (или газом) в состоянии термодинами-
ческого равновесия, является просто молекулой с большим моле-
кулярным весом. Кинетическая энергия такой молекулы опреде-
ляется соотношением (1.13). Такой результат следует из клас-
сической теоремы о равнораспределении энергии по степеням
свободы. Конечно, у броуновской частицы много степеней сво-
боды — при размерах в один микрон она может содержать по-
рядка 1011 атомов, каждый из которых будет иметь свою теп-
ловую энергию, но поступательных степеней свободы у любого
тела только три, что и позволяет использовать формулу (1.13).
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА
87
Забегая несколько вперед (мы еще "не знаем" значения посто-
янной Больцмана), вычислим среднюю квадратичную скорость
броуновской частицы радиуса г = 1 мкм, плотность которой рав-
на плотности воды q = 103 кг/м3, а температура Т = 18 °C.
Формула (1.13) дает
/3 • 1.38 • IO"23 • 293 м _ 1 7 мм
у 1-3.14-10-18-103 с “ с ’
Как видно, тепловая скорость броуновской частицы полу-
чилась вполне макроскопической, но, глядя в микроскоп, эту
скорость зафиксировать нельзя. Вспомним пример с диффузией
в газах, когда молекула, удаляясь от начала координат всего на
несколько сантиметров, успевает пройти путь в 40 км. Аналогич-
ная ситуация складывается и при броуновском движении — ча-
стица часто меняет направление своего движения, но происходит
это не при соударении с какой-то одной молекулой жидкости, а в
результате возникновения флуктуации давления (то есть силы,
действующей на частицу) определенной величины. Ниже будет
проведена оценка, которая покажет, что смена знака проекции
скорости на любую из декартовых осей происходит в типичном
случае за время порядка 10“6 с. Естественно, инерционность зре-
ния человека (вспомним, что частота смены кадра в телевизорах
и мониторах колеблется от 50 до 100 Гц, а глаз этого не замечает)
не позволяет наблюдать мгновенную скорость частицы непосред-
ственно. Поэтому целью теории броуновского движения должен
быть расчет других характеристик движения.
Каких? Глядя в микроскоп, можно зафиксировать лишь по-
ложение объекта в определенный момент времени, следователь-
но, нахождение формулы для среднего квадрата смещения ча-
стицы ж2, стартовавшей из начала координат и двигавшейся в те-
чение промежутка времени t, — это именно та величина, которую
можно определить экспериментально.
Найдем формулу для среднего квадрата смещения частицы,
пользуясь, в основном, идеями Ланжевена. Первым шагом явля-
ется составление уравнений движения частицы. Для этого надо
знать силу, действующую на нее. Если рассматривать лишь го-
ризонтальное движение частицы (только и наблюдаемое в обыч-
88
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
ном микроскопе), то сила тяжести и архимедова сила из рас-
смотрения исключаются. Если предположить, что частица дви-
жется в воде в среднем с вычисленной выше скоростью порядка
1.7 мм/с, то приближенно можно считать, что частица испыты-
вает силу сопротивления воды, соответствующую закону Стокса
(1.109). Однако закон Стокса справедлив, если число Рейнольдса
(1.111) малб. Вычисляя число Рейнольдса для движения части-
цы микронного радиуса в воде при Т = 300 К, получаем
Re =
103  1.7 • 1(Г3 • 10“6
0.82 • 10-3
= 2.07 • 10"3 « 1.
Таким образом, закон Стокса применим. Тогда, кроме силы
сопротивления воды, на частицу будет действовать совершенно
случайная сила, возникающая из-за флуктуаций давления, сред-
нее значение которой, конечно же, равно нулю. И хотя это рас-
суждение довольно правдоподобное, оно не совсем строгое. Фак-
тически движение происходит не с постоянной, а с переменной
скоростью, и на броуновскую частицу действует лишь одна слу-
чайная сила, связанная с флуктуациями давления на частицу.
Мы же разделяем эту одну случайную силу на регулярную и слу-
чайную компоненты. Тем не менее, именно эксперимент подтвер-
ждает проведенный расчет.
Итак, начнем с уравнения движения броуновской частицы
радиуса г в горизонтальной плоскости вдоль одной из осей де-
картовых координат (пусть это будет ось Ckr):
dr х	dx	z .	z ч
m—у =-7C—+ Xm(i),	(1.116)
at*	at
где К = бтгт/г — коэффициент пропорциональности в законе
Стокса, т) - вязкость жидкости, знак "минус” выбран потому,
что сила трения противоположна направлению скорости; Xm(t)
— случайная сила, действующая со стороны молекул жидкости
на броуновскую частицу.
Из уравнения (1.116) можно оценить длительность интерва-
ла времени, в течение которого частица сохраняет направление
своего движения (то есть найти время релаксации скорости то).
Для этого решим уравнение (1.116) в предположении, что части-
ца в момент времени t = 0 имеет начальную скорость vx = vz(0)
и не испытывает действия случайной компоненты силы
Тогда уравнение (1.116) принимает совсем простой вид
dvx
т —— = —К vx ,
dt	х’
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА 89
решение которого с учетом начального значения скорости следу-
ющее:
vx(t) = ^x(O) exp(-Kt/m).
Полученное решение показывает, что сила трения вызывает
экспоненциальное затухание скорости с характерным временем
tq = т/К. Понятно, что учет случайной силы (частота флук-
туаций которой очень велика и которая одинаково часто будет
подталкивать и тормозить частицу) принципиально не изменит
вывода о том, что за время порядка 1Ото первоначальная величи-
на проекции скорости частицы упадет до нуля. Таким образом,
частица меняет направление своего движения вдоль любой пря-
мой за характерные времена порядка нескольких то, а время ре-
лаксации скорости — это такое характерное время, через которое
частица "забывает" о своих начальных данных движения.
Вычислим то для частицы, взвешенной в воде при комнатной
температуре Т = 300 К. Возьмем типичные параметры части-
цы — радиус г = 1 мкм, а плотность частицы примем равной
плотности воды. Тогда
r„ = (4/3),rrM<W) = ^ = g ; д°82.1010з с = 2.7  10"7 с.
Оказывается, типичная броуновская частица через промежут-
ки времени порядка одной микросекунды меняет направление
своего движения, то есть как бы "дрожит", чего глаз человека
зафиксировать не в состоянии. Тем не менее, это "дрожание"
приводит к тому, что частица постепенно перемещается. Сред-
нее по большому ансамблю частиц перемещение за время t равно
нулю, но вот среднее квадрата перемещения — величина поло-
жительная, которую мы и определим.
Уравнение (1.116) описывает движение только одной части-
цы, нужно же найти среднее квадрата перемещения х2(^). По-
этому необходимо уравнение (1.116) преобразовать к виду, содер-
жащему вместо х квадрат координаты х2. Для этого достаточно
домножить уравнение (1.116) на х и учесть тождество59
//	(гг2),/	/ /\2
хх = -------(^ ) ,
чтобы получить уравнение
md2(x2)	(dx\2	К d(x2}	„
v-V - ™ Ь?	= - y-V+х*гМ.	(пи
2 at*	у at)	2 at
59Убедитесь, что это действительно дифференциальное тождество.
90
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Усредним уравнение (1.117) по большому ансамблю частиц.
Процедура усреднения предполагает, что берется огромное чис-
ло уравнений вида (1.117) для тождественных макроусловий,
складывается и делится на число уравнений. Поскольку опера-
ция дифференцирования линейна, то, очевидно, усреднение даст
уравнение
т d2x2 /dx\2
2 dt2 m\dt J
К dx2
2 dt
+ xXm(t).
(1.118)
Величина x2(t), очевидно, есть монотонно растущая функция
времени, ее производную по времени обозначим буквой Z:
Z(t) =	
(1.119)
Очевидно также, что среднее от произведения xXm(t) есть нуль,
так как флуктуации силы в любой точке жидкости совершенно
случайны и одинаково часто происходят как влево, так и вправо.
Учтем, что в термодинамически равновесной системе на посту-
пательную степень свободы приходится в среднем энергия кТ/2.
Поскольку рассмотрение ведется только для одной проекции ско-
рости (то есть рассматривается лишь одна степень свободы —
движение вдоль оси Ох), то для среднего значения кинетической
энергии, соответствующего этому движению, имеем
т / dx \ 2	кТ RT
Т \ ~dt) ~~2 ~ 2NA *
С учетом введения функции Z и последнего равенства, уравне-
ние (1.118) принимает вид:
dZ_K f 2RT
dt т \KNA
(1.120)
Последнее уравнение — линейное неоднородное дифференци-
альное уравнение первого порядка, решение которого не вызы-
вает затруднений. Имеем:
z(i> = kn-a + z'°> -
2RT
KN1
exp
t
to
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА 91
где то — уже знакомое время релаксации скорости, а величина
Z(0) — неизвестное начальное значение функции Z(t). Однако
Z(0) нам и не понадобится. Действительно, за время порядка
Юто функция Z становится практически постоянной. Нас же ин-
тересует не функция Z(t), а среднее квадрата смещения x2(f).
Чтобы его найти, необходимо проинтегрировать функцию Z(t)
по времени:	t
T2(t) = У Z(r)dr.	(1-121)
О
Если интеграл берется за промежуток времени, превышаю-
щий одну секунду, то отличие функции Z(t) от константы бу-
дет существенным только первые 10”6 с (вспомните рассчитан-
ное ранее типичное время релаксации скорости). Другими слова-
ми, отбрасывание члена с убывающей экспонентой в интеграле
даст относительную ошибку порядка 10-6. Таким образом, если
наблюдать среднее квадрата смещения броуновской частицы за
интервал времени, превышающий секунду, то с высокой степе-
нью точности оно будет определяться выражением, называемым
формулой Эйнштейна:
Дх2(£) = x2(t) = —— t = -----— t.	(1.122)
v v ' KNa 37VT]rNA	v 7
Величины £\x2(t) и x2(i) равны, поскольку рассмотрен случай
движения из начала координат.
Итак, за времена, много бблыпие времени релаксации ско-
рости, средний квадрат смещения броуновской частицы вдоль
любой прямой оказался пропорциональным времени60. Но так
и должно быть, поскольку броуновское движение можно рас-
сматривать и как вариант диффузии. Вспомним о среднеквадра-
тичном смещении диффундирующих частиц вдоль оси Ох. Срав-
нением формул (1.85) и (1.122) непосредственно получаем коэф-
фициент диффузии броуновских частиц в жидкости:
р= RT .
6% Г] rNA
Последнее уравнение и вывел в своей докторской диссерта-
ции двадцатишестилетний Эйнштейн в 1905 году, а уже из фор-
60 При временах порядка времени релаксации скорости средний квадрат
смещения, очевидно, будет пропорционален квадрату времени, поскольку
частица будет двигаться только в одном направлении.
92
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
мулы (1.123), считая броуновское движение диффузионным про-
цессом, Эйнштейн получил и фундаментальное для теории бро-
уновского движения уравнение (1.122). Таким образом, расчет,
проведенный Ланжевеном, привел к прямо противоположному
порядку получения уравнений (1.122) и (1.123).
Последующие работы Эйнштейна затмили его докторскую
диссертацию, и немногие знают, что его работы по броуновско-
му движению имели для физики не менее фундаментальное зна-
чение, чем теория квантов света или специальная теория отно-
сительности. И действительно, уравнение (1.122) было первым
уравнением, позволившим экспериментально определить усколь-
завшее весь XIX век от измерения число Авогадро. В самом де-
ле, наблюдение за одной и той же частицей через определенные
интервалы времени (с учетом эргодической гипотезы, см. прило-
жение 2) позволяет измерить среднеквадратичное уклонение61,
далее остается измерить радиус частицы и вязкость жидкости
— и число Авогадро измерено! Реальность эксперимента Эйн-
штейн продемонстрировал численным примером, приведенным
в его статье 1905 года ”0 движении взвешенных в покоящей-
ся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической тео-
рией теплоты”: среднеквадратичное смещение частиц (радиуса
один микрон) за одну секунду в воде при 17°C (вязкость кото-
рой бралась равной 1.35 • 10-3 Па-с) составит 0.8 мкм, а за одну
минуту — 6 мкм.
Важность для физики броуновского движения — в его уни-
версальности. Броуновское движение присуще не только посту-
пательным степеням свободы, но и вращательным. Изучение вра-
щательного броуновского движения позволяет извлекать ценную
информацию о поведении конденсированных сред. В метрологии
броуновское движение играет фундаментальную роль, посколь-
ку является главным фактором, ограничивающим чувствитель-
ность любых макроскопических измерительных приборов. Пре-
дел точности прибора достигается тогда, когда флуктуационное
(броуновское) смещение подвижных частей прибора по порядку
величины совпадет со смещением, вызываемым измеряемым эф-
фектом. Проиллюстрируем последнее утверждение поучитель-
ным примером.
61 Такой эксперимент заменяет необходимость наблюдения за ансамблем
частиц, так как все точки в жидкости эквивалентны, а через время релак-
сации скорости броуновская частица ’’забывает” о своем предшествующем
движении, поэтому ее смещения за достаточно большие интервалы времени
статистически независимы, то есть, как говорят, нескоррелированы.
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА
93
Элементом чувствительно-
го измерительного прибора
бывает зеркальце, подвешен-
ное на упругой нити. Если
какая-либо измеряемая сила
заставляет нить закручивать-
ся на угол 0 вокруг оси Oz
(рис. 1.14), зеркальце повора-
чивается одновременно с ни-
тью, и луч света, отраженный
от зеркальца, сильно смещает-
ся, даже если угол закручива-
ния нити невелик.
Чувствительность подобно-
го прибора можно повышать,
если увеличивать расстояние
между зеркальцем и измери-
тельной шкалой S. Однако
броуновское движение кладет
предел такому повышению.
В соответствии с молекуляр-
но-кинетической теорией, на
каждую степень свободы зер-
кальца приходится в среднем
энергия кТ/2. Поэтому и зер-
кальце будет совершать бро-
уновские вращательные коле-
е
Рис. 1.14. Сверху — фрагмент чув-
ствительного измерительного при-
бора. Луч света, прошедший че-
рез линзу I/, отражается от зер-
кальца и фокусируется на измери-
тельной шкале S. Снизу — зави-
симость угла поворота зеркальца
из-за вращательного броуновского
движения как функция времени
бания вокруг вертикальной оси подвеса.
Вычислим средний_квадрат угла отклонения зеркальца от по-
ложения равновесия О2. Из механики известно, что кинетическая
энергия вращающегося тела 5 есть 5 = Zcu2/2, где I — момент
инерции зеркальца, w = dQ/dt — угловая скорость вращения. Ма-
лые крутильные колебания являются гармоническими, а из ме-
ханики также известно, что у гармонического осциллятора сред-
няя кинетическая энергия равна средней потенциальной. Для
определения последней запишем уравнение для вращательного
движения зеркальца
Id2e/dt2 = MZ = -D0,
где Mz — момент сил относительно вертикальной оси, равный
при небольших углах закручивания нити величине D0\ D — мо-
дуль кручения нити, а знак ’’минус” указывает, что момент сил
94
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
упругости нити стремится вернуть зеркало в положение равно-
весия. Впрочем, модуль кручения нити можно выразить через
собственную угловую частоту cuq крутильных колебаний, если
переписать последнее уравнение, определяющее, очевидно, гар-
монические колебания, в виде
d2e <> •
откуда можно сравнением обнаружить, что D = Iujq, Умножая
обе части уравнения на dd/dt и интегрируя, получаем интеграл
энергии для крутильных колебаний:
/си2/2 + DO2/2 = const.
Первый член слева есть кинетическая энергия, а второй — по-
тенциальная. Тогда теорема о равнораспределении энергии по
степеням свободы дает уравнение
D(P/2 = kT/2.
Если момент инерции зеркальца, зная его геометрические раз-
меры и плотность, легко сосчитать, то период собственных коле-
баний можно определить, выведя зеркальце из положения рав-
новесия и измерив время одного колебания, после чего можно
найти и собственную угловую частоту. Окончательно получаем
формулу для среднего квадрата угла закручивания зеркальца:
Последняя величина и кладет предел чувствительности прибора.
Если подлежащая измерению сила вызывает отклонение нити на
величину, не превышающую ч/#2, то такая сила не может быть
обнаружена на фоне броуновских блужданий зеркальца. Подоб-
ным же образом может быть проанализирован предел чувстви-
тельности для всех макроскопических приборов, который всегда
конечен при положительной абсолютной температуре.
Теория броуновского движения, разработанная Эйнштейном,
сразу привлекла к себе внимание, потому что броуновское дви-
жение стало ключевым моментом в обосновании молекулярно-
кинетической теории. Как отмечал Эйнштейн, принципиальное
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА
95
значение броуновского движения заключалось в том, что с по-
мощью микроскопа можно непосредственно увидеть часть теп-
ловой энергии молекулярного движения в форме механической
энергии броуновских частиц. Наступила пора решающего экспе-
римента — то есть эксперимента, который подтвердил бы или
опроверг теорию броуновского движения62. Экспериментаторы
взялись за проверку. Однако это оказалось весьма сложной про-
блемой. Первым с ней справился французский физик Жан Ба-
тист Перрен (1870—1942).
1.3.2 Эксперименты Перрена
Перрен приступил к исследованию броуновского движения
в 1908 году. Вначале он решил проверить один из центральных
пунктов молекулярно-кинетической теории — распределение
Больцмана, в соответствии с которым в термодинамически рав-
новесной системе, помещенной во внешнее потенциальное поле,
концентрация частиц описывается выражением (1.62):
п = по ехр
(1.124)
где U — потенциальная энергия частицы, по — концентрация
частиц в том месте, где €7 = 0. Перрен решил применить урав-
нение (1.124) к броуновским частицам, рассматривая их просто
как большие молекулы. Тогда, если броуновские частицы поме-
щены в жидкость, их равновесная концентрация, вообще говоря,
должна описываться распределением Больцмана, для которого
роль потенциального поля играет гравитационное поле Земли.
В этом случае U = mgh (т — разность массы частицы и мас-
сы жидкости, вытесняемой частицей; д — ускорение свободного
падения), а формула (1.124) преобразуется к виду
/ mgh
п = п0 exp I ——
(1.125)
62 Очень выразительно назвал подобный эксперимент Фрэнсис Бэкон —
"experimentum crucis”, что в переводе с латыни означает ’’испытание кре-
стом”. Происхождение несколько странного на первый взгляд термина свя-
зано с тем, что издавна на перекрестках ставился крест для указания дороги.
Так и решающий эксперимент указывает ученым, какая из соперничающих
теорий верна.
96
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Убедившись в правильности формулы (1.125), можно определить
(измерением отношения концентраций частиц на разных высо-
тах) постоянную Больцмана, а вслед за ней и число Авогадро.
Начиная работы по экспериментальному изучению броунов-
ского движения, Перрен не знал о теории броуновского движе-
ния, предложенной Эйнштейном. Однако в процессе работы лю-
бой ученый начинает усиленно интересоваться, что сделано в том
же направлении другими. Естественно, что Перрен вскоре узнал
о формуле Эйнштейна и решил проверить и ее.
Что значить проверить формулу Эйнштейна (1.122)? Это зна-
чит, что необходимо приготовить суспензию (то есть взвесь твер-
дых частиц в жидкости) из одинаковых частиц субмикронных
размеров и строго сферической формы63. Затем надо найти их
среднеквадратичное смещение и убедиться, что оно прямо про-
порционально температуре и времени смещения, а также обрат-
но пропорционально вязкости жидкости и радиусу частицы. Ес-
ли последнее верно, то коэффициент пропорциональности даст
значение числа Авогадро. Характерно, что Перрен в конце кон-
цов выбрал два независимых уравнения — Больцмана и Эйн-
штейна, которые должны были дать значение постоянной Авога-
дро. Совпадение полученных двумя разными способами величин
устранило бы всякие сомнения в справедливости молекулярно-
кинетической теории.
Но какие же трудности возникли перед экспериментатором!
Их можно всегда ощутить, проводя предварительные расчеты
ожидаемых эффектов (грубая оценка числа Авогадро была дана
еще в 1865 году австрийским физиком Лошмидтом). Предполо-
жим, удалось создать одинаковые частицы микронного радиуса
и поместить их в воду. Первоначально, естественно, концентра-
ция частиц неравновесная — частицы начнут оседать на дно.
Такой процесс называется седиментацией (от лат. sedimentum
— оседание), то есть оседанием мелких частиц в газе или жидко-
сти под действием гравитации или центробежных сил. При этом
на частицу в жидкости (если на минуту отвлечься от броуновско-
го движения) действуют три силы: гравитационная, архимедова
и стоксова. Если удельный вес частицы больше удельного веса
жидкости, то равнодействующая веса и архимедовой силы будет
направлена вниз, что приведет к росту вертикальной скорости
частицы. Однако стоксова сила линейна по скорости, и при до-
стижении частицей определенной скорости все три силы уравно-
63Для сравнения укажем, что толщина человеческого волоса приблизи-
тельно 50 — 100 микрон.
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА 97
весятся, после чего частица будет падать в жидкости равномерно
и прямолинейно. Найдем скорость такого падения. Условие ра-
венства нулю силы, действующей в жидкости на частицу, дает
4тгг3
(е - £ж)—5“9 = &M]rv,	(1.126)
О
где £, г и v — плотность, радиус и скорость частицы, дж и г/ —
плотность и коэффициент вязкости жидкости.
Из уравнения (1.126) легко вычисляется скорость падения
шара в жидкости:
„ = 2<g	.	(1.127)
Мотивы выбора вещества для частиц укажем далее, сейчас
лишь отметим, что Перрен использовал гуммигут — желтую
смолу, применявшуюся для приготовления акварельных красок.
У гуммигута плотность q = 1.2 • 103 кг/м3, его частицы имеют
правильную сферическую форму, но радиусы у них разные.
Найдем скорость оседания частиц гуммигута с г = 1 мкм
в воде при Т = 20 °C, когда ее вязкость г) = 10“3Па-с. Тогда
применение формулы (1.127) дает
2 • 0.2 • 103 • 10-12 • 9.8 ,	а ,
v =-------g ig_3------м/с = 0.44 • 10 6 м/с = 3.76 см/день.
Получилась очень маленькая скорость, но все равно нужно про-
верить правильность применения формулы Стокса, для чего необ-
ходимо вычислить число Рейнольдса. Элементарное вычисление
дает для найденной скорости Re = 0.44 • 10-6	1. Выходит,
что если приготовить суспензию гуммигута в воде с частицами
только микронного радиуса, налить ее в пробирку высотой 10 см
и встряхнуть, а затем оставить в покое, то за день частицы бу-
дут оседать на вычисленную глубину, а суспензия вверху будет,
соответственно, просветляться.
Равновесие должно наступить тогда, когда концентрация ча-
стиц гуммигута в суспензии станет удовлетворять больцманов-
скому распределению (1.124). Что последнее значит практиче-
ски? Определим (при прежних условиях), на какой высоте равно-
весная концентрация шариков гуммигута должна уменьшиться
вдвое? Для этого в формулу (1.127) нужно подставить значение
п/по = 1/2 и найти соответствующее h:
98
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
3fcTln2 _ 3 • 1.38 • 10~23 - 277 • 0.69
(# — £ж)47гг3<?	0.2 • 103 • 4 • 3.14 • 10“18 • 9.8 М ’ мкм*
(1.128)
Вычисленная высота показывает, что все частицы через три
с небольшим дня соберутся у самого дна пробирки. Как бы мал£
ни была начальная концентрация броуновских частиц в суспен-
зии, эти частицы соберутся в микронном слое у дна, где начнут-
ся столкновения частиц, приводящие для очень многих веществ
к слипанию. Такой процесс называется коагуляцией. Коагуля-
ция играет очень важную роль при очистке природных и сточ-
ных вод, извлечении ценных продуктов из отходов производства,
приготовлении пищевых продуктов, но вот при проверке больц-
мановского распределения она мешает, так как седиментация за-
канчивается просто выпадением всех частиц на дно в осадок.
Однако Перрен имел глубокие химические знания — позднее
он 30 лет руководил кафедрой физической химии Парижского
университета (Сорбонны), наглядно продемонстрировав пример
пользы, которую физику приносит знание химии. Впрочем, и об-
ратное верно! В результате поисков Перрен и остановился на
гуммигуте, частицы которого при соударениях не слипались и не
прилипали к стенкам сосуда (то есть не коагулировали) и обла-
дали сферической формой. Но частицы гуммигута имели самые
разные радиусы, из которых необходимо было отобрать лишь ча-
стицы определенного радиуса, который, кроме того, необходимо
было измерить.
"Расфасовку” частиц по радиусам Перрен провел методом
центрифугирования фракций. Суть его заключалась в следую-
щем. Пробирка с суспензией наполнялась до высоты 10 см и по-
мещалась в центрифугу с плечом более 15 см. Центрифуга вра-
щалась в течение часа с частотой v = 30 Гц. Нетрудно сосчитать,
что на расстоянии в 15 см от оси центрифуги создается центро-
бежное ускорение, примерно в 543 раза превышающее ускорение
свободного падения д. Тогда в формулу (1.127) для скорости осе-
дания частиц в пробирке, помещенной в центрифугу, нужно бу-
дет (как легко понять) подставлять это центробежное ускорение,
а не д. Поскольку это ускорение пропорционально удалению от
оси вращения, скорость оседания частиц в пробирке будет расти
по мере их приближения ко дну.
После часа работы центрифуга отключалась, но по инерции
вращалась еще несколько минут. За время работы на дне пробир-
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА
99
ки образовывался спрессованный слой осевших частиц, причем
толщина слоя была невелика по сравнению с высотой воды. Ко-
нечно, в слое опять были частицы всех радиусов, однако происхо-
дило и обогащение частицами большйх радиусов. Действитель-
но, скорость оседания частицы растет как квадрат ее радиуса.
Пусть Г1 — такой радиус, который обеспечивает оседание части-
цы с самой поверхности суспензии за час работы центрифуги.
Тогда, очевидно, все частицы с г > и заведомо окажутся на дне
в осадке, но не все частицы с г < и попадут на дно, поскольку
из приповерхностной области они точно не смогут успеть осесть.
Чем меньше радиус частицы, тем меньше их окажется в осадке.
После остановки центрифуги еще мутная суспензия над осад-
ком аккуратно сцеживалась с помощью сифона, пробирка снова
наполнялась дистиллированной водой и встряхивалась. Процесс
центрифугирования повторялся в точности, как в первый раз.
Опять все частицы с г > г\ оказывались на дне в осадке, но сус-
пензия над осадком становилась прозрачней, чем в первый раз.
Ее снова сливали и повторяли процесс до тех пор, пока суспензия
не становилась прозрачной, почти как вода. Последнее означа-
ло, что в осадке оставались частицы лишь с г > и, а частицы
с меньшими радиусами все были удалены.
Последнее центрифугирование проводилось за немного мень-
шее одного часа время. В осадке снова оказались частицы с ра-
диусами, больше некоторого, но граничным значением становит-
ся уже не радиус и, а некоторый другой радиус Г2- При этом
Г2 > и, так как чтобы за мёныпее время пройти ту же длину,
нужна большая скорость (пропорциональная квадрату радиуса).
Осадок содержит частицы разных радиусов, а какие частицы
остались в суспензии после окончания центрифугирования?
Те, у которых г < Г2, так как остальные осели на дно. С дру-
гой стороны, в суспензии перед последним центрифугированием
были лишь частицы с г > п, оседавшие на дно в прежних цик-
лах. Окончательно получается, что в суспензии после остроум-
ной, но трудоемкой операции, содержатся частицы с и < г < Г2-
Далее Перрен двумя методами измерил плотность частиц.
Во-первых, обычным методом измерения плотности больших кус-
ков гуммигута (но не было уверенности в том, что частицы мик-
ронного радиуса имеют такую же плотность, что и большие кус-
ки). Пришлось измерять плотность частиц гуммигута непосред-
ственно в суспензии, для чего были измерены объем V и масса т
суспензии, причем ясно, что V = Коды + Кум, т = тводы+тгум-
Затем вода выпаривалась и производилось взвешивание оставше-
100
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
гося гуммигута, что давало тгум. Теперь сразу же получались
И Остальные величины: ?71воды = т ^тум? ^воды = ^'воды/£?воды,
Кум = V - Коды и, наконец, ргум = тгум/КУм- Оказалось, что
обе измеренные плотности совпали.
Наконец, осталось лишь измерить радиус частиц в суспензии.
И снова Перрен использовал не один, а целых три способа. Ранее
была определена скорость оседания частиц в суспензии [форму-
ла (1.127)]. Суспензия наливалась в капиллярную трубку (чтобы
исключить конвекционные потоки жидкости), капилляр запаи-
вался, встряхивался и помещался в термостат (тепловую ванну).
За сутки частицы опускались на определенную глубину, причем
она могла быть измерена по просветлению верхней части жид-
кости. Тогда формула (1.127) давала возможность определить
радиус частиц. Второй способ заключался в прямом подсчете
числа частиц гуммигута в стандартизованной эмульсии (то есть
эмульсии, для которой было известно, какая масса гуммигута
приходится на единичный объем). Наконец, радиус достаточно
больших частиц (г > 0.5 мкм) определялся при помощи наблю-
дения за цепочками таких частиц в микроскоп. Все три способа
давали согласованные результаты. В различных суспензиях ра-
диусы шариков менялись от 0.14 до 0.52 мкм.
Теперь можно бы-
ло проверять формулу
Больцмана. Для этого
на предметное стекло
микроскопа помещался
диск с отверстием высо-
той Н = 100 мкм, в ко-
торое помещали кап-
лю однородной суспен-
зии, сверху все накры-
валось покровным стек-
Объектив
микроскопа
Покровное стекло
Предметное стекло микроскопа
лом и герметизирова- Рис. 1.15. Эксперимент по прямому изме-
лось. За такой суспензи- рению концентрации броуновских частиц
ей можно было наблю- как функции высоты
дать несколько недель
(рис. 1.15). Необходимо было предпринять особые меры, чтобы
расположить предметное стекло микроскопа строго горизонталь-
но.
Микроскоп для наблюдения за шариками гуммигута в сус-
пензии должен был обладать большим увеличением, но малой
глубиной резкости, чтобы при наблюдении резко видны были
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА 101
лишь частицы, находящиеся в горизонтальном слое малой тол-
щины. Глубина резкости была около 1 мкм. Поднимая или опус-
кая тубус микроскопа, можно было менять слой наблюдения,
причем изменения высоты слоя фиксировались по шкале мик-
рометрического винта микроскопа.
Для проверки больцмановского распределения оставалось оп-
ределить концентрацию шариков гуммигута как функцию вы-
соты, однако это последнее оказалось едва ли не самым слож-
ным во всем эксперименте. Дело в том, что концентрация ча-
стиц при термодинамическом равновесии флуктуирует, причем
относительная флуктуация Дп/п = \/\/п. Поэтому, чтобы полу-
чить точность измерения концентрации хотя бы 10%, необходимо
иметь в поле зрения не менее 100 частиц.
Предоставим слово Перрену: ”... Не представляет труда со-
считать число фиксированных объектов, но в поле зрения микро-
скопа наблюдатель видит несколько сотен беспорядочно пляшу-
щих крупинок, одни из которых исчезают, в то время как другие
появляются; причем все это происходит непрерывно, поэтому он
быстро убеждается в бесполезности каких-либо усилий, которые
можно было бы приложить, чтобы хотя бы грубо определить
среднее число крупинок в наблюдаемом слое".
Казалось бы, можно было многократно фотографировать на-
блюдаемый слой и считать частицы уже на фотографии, однако
размеры крупинок иногда лежали на пределе разрешающей спо-
собности микроскопа, поэтому фотографии получались не рез-
кими. Пришлось с помощью листа бумаги, в котором иглой про-
калывалось отверстие, ограничить поле зрения так, чтобы одно-
временно было видно только несколько частиц, число которых
можно было определить точно, просто бросая взгляд на изоб-
ражение. Повторяя такую операцию каждые 15 с, можно было
получить ряд чисел, среднее значение которых постепенно схо-
дилось к искомой концентрации на данной высоте. Приходилось
выполнять огромную работу. Так, для суспензии с радиусом ча-
стиц г = 0.212 мкм Перрен подсчитал 13 000 крупинок на че-
тырех разных высотах. В итоге проверка формулы Больцмана
показала ее правильность, причем в разных суспензиях масса
броуновских частиц изменялась в 40 раз. Из этих наблюдений
число Авогадро Перрен получил с точностью около 10%.
Как уже отмечалось, после проверки формулы Больцмана
Перрен, теперь вместе с учениками, приступил к проверке фор-
мулы Эйнштейна, которую уже попытались проверить до Перре-
на по крайней мере дважды, причем в обоих случаях эксперимен-
102
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
таторы ошиблись и получили противоречие с выводами теории.
Перрену же необходимо было следить уже за какой-то одной ча-
стицей и отмечать ее положение через каждые 30 секунд.
Рис. 1.16. Примеры трех серий наблю-
дений за положением броуновской части-
цы через каждые 30 с. Цена деления —
3.125 мкм (Ж. Перрен, 1909 г.)
На рис. 1.16 показа-
ны три примера наблю-
дений, выполненных не-
посредственно Ж. Пер-
реном. Показанные изо-
бражения иногда на-
зывают траекториями
броуновских частиц, од-
нако это может ввести
в заблуждение.
Дело в том, что
частицу можно услов-
но считать движущей-
ся в одном направлении
только в течение време-
ни релаксации скорости
(а это примерно 1 мкс),
поэтому, если отмечать положение частицы не через 30 с, а через
1 с, то каждый из отрезков, соединяющих две последовательные
точки (см. рис. 1.16), сам превратится в фигуру, подобную изоб-
раженной64.
Наблюдения велись за частицами разных радиусов, изменя-
лась вязкость воды (добавлением в нее сахара), формула Эйн-
штейна была подтверждена, получено значение числа Авогадро,
превышающее современное точное значение примерно на 15%.
Это не удивительно, поскольку эксперимент был слишком сло-
жен. Для полноты картины необходимо отметить, что существо-
вали и другие способы определения числа Авогадро, и эти зна-
чения не очень сильно отличались от найденных Перреном. Но
теоретическая основа других методов не поддерживалась всеми
физиками.
Современное значение постоянной Авогадро с достоверными
значащими цифрами следующее
NA = 6.022142 • 1023 моль"1.
64Траекторию броуновской частицы можно уподобить случайному фрак-
талу, то есть объекту сильно изрезанной формы, обладающему свойствами
самоподобия. Такие объекты изучаются сравнительно недавно возникшей
фрактальной геометрией.
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА 103
Именно после работ Перрена последние противники атомиз-
ма сложили оружие. Сомнений в реальности существования ато-
мов и молекул не осталось. В 1913 году Перрен выпустил не
потерявшую своего значения и по сей день книгу ’’Атомы”, пере-
веденную на многие языки, в том числе и на русский65. В 1926
году Перрену была присуждена Нобелевская премия по физике
"за работу по дискретной природе материи и, в особенности, за
открытие седиментационного равновесия".
Измерение числа Авогадро позволило получить и точное зна-
чение постоянной Больцмана:
к = R/Na = 1.380 650 • IO"23 Дж/К .
Постоянная Больцмана является одной из фундаментальных фи-
зических констант, входящих в ряд важнейших уравнений физи-
ки. Одно из этих уравнений, позволяющее указать физический
смысл fc, было уже рассмотрено — уравнение (1.13). Однако еще
более фундаментальное значение имеет уравнение, связывающее
энтропию физической системы S с термодинамической вероят-
ностью W ее состояния:
S = k\nW.	(1.129)
Именно работы Эйнштейна и Перрена по броуновскому дви-
жению позволили понять истинный смысл второго начала тер-
модинамики66. Если ранее ему приписывали абсолютный смысл,
как закону сохранения энергии (то есть фактически первому на-
чалу термодинамики), то после работ Эйнштейна и Перрена по-
явилась экспериментально обоснованная трактовка второго на-
чала как закона статистического. Действительно, подъем бро-
уновской частицы вверх означает, что часть тепловой энергии
системы превращается в механическую работу (и этот процесс
можно непосредственно наблюдать), что противоречит трактов-
ке второго начала как абсолютного закона, по которому без изме-
нений вне системы последняя не может превращать внутреннюю
тепловую энергию в работу. В макромире последнее соблюдается
практически достоверно, а вот уже броуновские частицы демон-
стрируют иное поведение. Дело тут в том, что с увеличением раз-
мера частицы вероятность ее подъема вверх резко падает, в чем
легко убедиться с помощью формулы (1.128).
65Перрен Ж. Атомы. М.: Госиздат, 1924.
66Второе начало термодинамики имеет несколько формулировок. Здесь
имеется в виду формулировка о возрастании энтропии замкнутой системы.
104
ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
Знание числа Авогадро открыло путь в мир атомов и моле-
кул. В частности, оно позволило вычислить величину концентра-
ции идеального газа при нормальных условиях. Действительно,
молярный объем идеального газа 22.414 л, а содержится в нем
Na молекул, отсюда
п = 2.687 • 1019 см—3 .	(1.130)
Это число иногда называют постоянной Лошмидта.
В свою очередь, измерение коэффициентов переноса при из-
вестном числе Лошмидта позволяет оценить размеры молекул
в газах. В самом деле, коэффициент диффузии D определяет-
ся формулой (1.71), в которую входят средняя скорость (вычис-
ляемая через температуру) и средняя длина свободного пробе-
га, которая выражается с помощью формулы (1.39) через кон-
центрацию и диаметр молекулы. Таким образом, при известных
концентрации и температуре измерение коэффициента диффу-
зии позволяет непосредственно получить газокинетический ’’ра-
диус” молекулы. Аналогичную информацию дают и вязкость,
и теплопроводность. Табл. 1.3 дает представление о порядке по-
лучающихся величин.
Таблица 1.3
Газокинетические размеры атомов и молекул
Газ	Диаметр молекулы, А	Газ	Диаметр молекулы, А	Газ	Диаметр молекулы, А
н2	2.74	о2	3.61	Аг	3.48
Не	2.56	n2	3.75	Хе	4.36
Бросается в глаза, что газокинетические размеры простей-
ших молекул и атомов одного порядка. Так, атомы благород-
ных газов — аргона и ксенона — различаются по диаметру всего
в 1.25 раза, в то время как ксенон тяжелее аргона почти в 3.3 ра-
за. Кроме того, зависимость коэффициентов переноса от темпе-
ратуры показала, что радиусу молекулы или атома нельзя при-
давать абсолютного значения: с ростом температуры газа вычис-
ляемый диаметр молекул незначительно уменьшается, что дока-
зывает, что молекулу или атом нельзя рассматривать как абсо-
лютно упругий шар неизменного размера. Тем не менее, с опре-
деленной степенью точности имеет смысл приписывать атомам
и молекулам типичный размер порядка нескольких ангстрем.
1.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПОБЕДА АТОМИЗМА
105
Число Авогадро позволило узнать и абсолютные массы ато-
мов и молекул. В первую очередь определяется атомная единица
массы (а.е.м.). Действительно, если моль изотопов углерода 12С
весит 12 г, то, по определению, атомная единица массы будет
равна67:
= 1 /Na = 1.660 539 • IO’27 кг.
Тогда, умножая молекулярную массу на атомную единицу
массы, можно вычислить абсолютную величину средней массы
атома любого элемента или молекулы.
Итак, в начале XX века последние противники атомной ги-
потезы сдались, гипотеза превратилась в экспериментально под-
твержденную теорию.
Оказалось, что вещество, из которого состоят все мате-
риальные тела, окружающие человека, составлены из дискрет-
ных частиц, хотя глаз человека эти частицы не различает,
воспринимая предметы как сплошные, непрерывные.
Молекулярно-атомная теория свела все разнообразие хими-
ческих веществ к элементам, наименьшие частицы которых,
сохраняющие химическую индивидуальность, и являются ато-
мами. Атомы, в свою очередь, могут составлять молекулы,
в том числе и очень большие. Поскольку комбинаций из атомов
составляется много, то и разных молекул и, соответственно,
разных веществ в природе очень много.
Молекулярно-кинетическая теория объяснила микроскопиче-
ский смысл таких макроскопических величин, как давление, тем-
пература, тепловая энергия, энтропия, вязкость, теплопровод-
ность, диффузия. Однако молекулярно-кинетическая теория не
смогла удовлетворительно объяснить ряд важных эксперимен-
тальных результатов по теплоемкости газов, жидкостей и твер-
дых тел.
Кроме того, еще за 10 лет до окончательного триумфа моле-
кулярно-кинетической теории по крайней мере некоторым физи-
кам стало ясно, что атом не является неделимой частицей, а со-
стоит из более элементарных частей, несводимых к уже извест-
ным атомам. Перед физикой встала еще более сложная проблема
- необходимо было выяснить, как устроен атом.
Об этом — в следующих главах.
67Необходимости запоминать атомную единицу массы или число Лошмид-
та нет. Достаточно знать определение и число Авогадро в первом случае
и молярный объем при нормальных условиях и число Авогадро во втором
случае, чтобы без труда вычислить эти величины.
106______________________________________________________
Задачи к главе 1
1.1.	Сколько молей воды находится в стакане объемом 200 мл
при Т = 4 °C?
1.2.	Средний радиус Земли R = 6 371 км. Принимая среднее
давление на земной поверхности р = 1 атм, оценить количество
молекул в земной атмосфере и массу последней.
Указание. Рассмотреть условие механического равновесия произ-
вольного сферического слоя атмосферы в интервале [/г, h -I- d/г], где
h — высота над поверхностью Земли.
При решении задачи учесть, что уже на высоте 100 км давление
падает до одной миллионной от давления на поверхности, что означа-
ет, что "толщина” атмосферы много меньше радиуса Земли.
1.3.	В сосуде объемом V = 22.414 л содержится азот в нор-
мальных условиях. Молекулярная масса азота /iN2 = 28.0134,
газокинетический диаметр молекулы азота 3.75 А.
а)	найти наиболее вероятную скорость vm молекул азота;
б)	найти среднюю длину свободного пробега молекул азота;
в)	воспользовавшись оценкой вероятности на стр. 28, найти
время, в течение которого в среднем совершается следующее со-
бытие: одна из молекул, находящихся в сосуде, в течение одного
свободного пробега имеет абсолютную величину скорости в ин-
тервале [lOVyn, 10.01 Vm].
1.4.	Во сколько раз кратковременно возрастет давление, ес-
ли все молекулы в газе вдруг направятся с тепловой скоростью
в одном и том же направлении — прямо на стену?
1.5.	Предполагая неизменным процентное содержание газов
в воздухе, а атмосферное давление равным 1 атм, найти:
а)	относительное и абсолютное изменение концентрации мо-
лекул кислорода в жаркий летний (Т = 30 °C) и холодный зим-
ний дни (Т = —30°C);
б)	найти массу кислорода, проходящего ежесекундно в одну
сторону через мысленно выделенную площадку с S = 1 см2;
в)	найти абсолютное и относительное изменение числа моле-
кул О2, пересекающих в одну сторону за одну секунду площадку
с S = 1 см2.
1.6.	Стакан объемом 200 мл и высотой 10 см наполнен водой
при Т = 100 °C. Вода находится в равновесии со своим насыщен-
ным паром, так как стакан, в свою очередь, расположен внутри
небольшого замкнутого объема.
107
а)	считая, что каждая молекула пара, падающая на поверх-
ность воды, поглощается, найти число молекул воды, переходя-
щих из жидкости в пар ежесекундно, если известно, что при
Т = 100 °C давление насыщенных паров воды Р = 101325 Па;
б)	если стакан вынуть из замкнутого объема и при той же
температуре непрерывно обдувать абсолютно сухим воздухом,
удаляя тем самым испаряющиеся молекулы воды, то за какое
время стакан опустеет?
в)	какую тепловую мощность нужно подводить к стакану (см.
п. б), чтобы температура воды в процессе испарения оставалась
постоянной, если теплота кипения воды ДЛКИП = 2256.2 Дж/г?
1.7.	Найти среднее расстояние между молекулами воды при
Т = 4°С.
1.8.	Пользуясь данными таблицы 1.3, вычислить для нор-
мальных условий:
а)	среднюю длину свободного пробега в кислороде;
б)	среднее расстояние между молекулами кислорода;
в)	определить, какова вероятность молекуле кислорода про-
лететь без соударений расстояние в 1 мкм;
г)	расположить в порядке возрастания три длины: диаметр
молекулы, среднее расстояние между молекулами, среднюю дли-
ну свободного пробега, выразив все эти длины в диаметрах мо-
лекулы.
1.9.	Определить вероятность того, что молекула в газе не ис-
пытает соударений в течение интервала времени t.
1.10.	Найти постоянную решетки кристалла железа, у которо-
го при комнатной температуре кристаллическая решетка куби-
ческая объемноцентрированная, атомная масса 55.9, а плотность
7.87 г/см3.
Указание: в случае затруднений отложить решение задачи до озна-
комления с материалом, изложенным на с. 339.
1.11.	То же (см. задачу 1.10) для алюминия, у которого кри-
сталлическая решетка кубическая гранецентрированная, атом-
ный вес 27, плотность 2.7 г/см3.
1.12.	При непрерывном двадцатипятидневном контакте золо-
та и свинца при Т = 160 °C атомы золота проникают в свинец
на 4.5 мм. Оценить коэффициент диффузии золота в свинце при
данной температуре.
1.13.	Найти среднее смещение броуновской частицы радиуса
1 мкм в воде при Т = 27 °C за 10 с. Сколько времени нужно
108
частице, чтобы сместиться в среднем на 1 см?
1.14.	Экспериментально определив высоту, на которой убы-
вает в два раза концентрация шариков из гуммигута (радиуса
0.5 мкм и плотности 1.2 г/см3) в воде при Т = 4 °C, можно
определить постоянную Больцмана. Чтобы получить точность
постоянной Больцмана в 5 %, с какой относительной и абсолют-
ной точностью следует измерить высоту?
1.15.	Стена толщиной в кирпич (25 см) отделяет помещение
с Т = 20 °C от улицы с Т = —30 °C. Считая задачу одномерной,
найти распределение температуры в стене, а также определить
количество энергии, уходящей через 1 м2 в секунду, если стена
сделана из силикатного кирпича, у которого ае=0.81 Вт/(м-К).
Во сколько раз уменьшатся потери тепла, если стенку сложить
в два кирпича?
1.16.	Считая задачу одномерной, оценить количество энергии,
уходящей через 1 м2 в секунду через окно, состоящее из двух
стекол толщиной 3 мм, разделенных воздушным промежутком
в 25 см. Внешнюю и внутреннюю температуры взять из преды-
дущей задачи. При Т = 0°С теплопроводность оконного стекла
приблизительно 1 Вт/(м-К), а воздуха — 0.025 Вт/(м-К).
Сравнить результаты этой и предыдущей задачи.
1.17.	Оценить порядок радиуса капли воды, при падении ко-
торой в воздухе при нормальных условиях закон Стокса пере-
стает выполняться.
1.18.	Показать, что закон Стокса при падении парашютиста
с раскрытым парашютом не выполняется. Из размерных сообра-
жений найти для падающего шара радиуса R закон для сопро-
тивления, квадратичный по скорости, и определить его физи-
ческий смысл. Измерения показывают, что численная константа
при ’'квадратичном” законе медленно увеличивается от О.Зтг до
Зтг при возрастании числа Рейнольдса от 10 до 106. Исходя из
этих данных, оценить радиус парашюта, пригодного для исполь-
зования человеком.
Глава 2
Дискретность
электрического заряда
Всеобщее признание дискретности вещества, то есть того фак-
та, что все вещества, имеющие массу, состоят из молекул, не
противоречило духу классической физики и ее законам, а лишь
раскрыло внутреннее устройство материи, недоступное наблюде-
нию человеческим глазом. Одним из следствий победы атомизма
был отказ от ложной теории теплорода, в соответствии с которой
нагревание и остывание тел объяснялось притоком или оттоком
гипотетической невесомой жидкости, называвшейся теплородом.
Кроме теплорода, в физики еще в XIX-м веке верили в суще-
ствование нескольких других невесомых жидкостей. Среди них
центральное место занимала электрическая жидкость (ее назы-
вали также электрическим флюидом). Более того, соперничали
между собой даже две гипотезы — однофлюидная и двухфлюид-
ная. В соответствии с первой, существовала лишь одна невесо-
мая электрическая жидкость, избыток которой в материальном
теле вызывал появление на этом теле электрического заряда од-
ного знака, а недостаток — противоположного. По двухфлюид-
ной теории, существовали два ’’сорта” электрической жидкости,
ответственных за появление соответствующего электрического
заряда. Под электрическим током понималось течение электри-
ческого флюида вдоль проводника тока. В частности, с точки
зрения двухфлюидной гипотезы протекание электрического то-
ка по металлу было "конфликтом", поскольку две жидкости тек-
ли навстречу друг другу в одном и том же проводнике. Только
учет последнего обстоятельства позволяет современному читате-
110
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
лю понять смысл названия статьи 1820 года, в которой датский
физик Ганс Кристиан Эрстед (1777—1851) сообщил об одном из
крупнейших открытий в физике: ’’Опыты по воздействию элек-
трического конфликта на магнитную стрелку”. Открытое Эр-
стедом влияние электрического тока на магнитную стрелку по-
служило толчком к объединению ранее разрозненных разделов
физики (электричества и магнетизма) в единую электромагнит-
ную теорию, чему в немалой степени способствовали эксперимен-
тальные открытия английского физика Майкла Фарадея (1791—
1867), облеченные в математическую форму Дж.К. Максвеллом
в 1860-е годы. Однако теория Максвелла нашла всеобщее при-
знание только в 1890-е годы после экспериментального доказа-
тельства существования радиоволн немецким физиком Генрихом
Герцем (1857-1894).
Максвелловская электродинамика объединили три ранее неза-
висимых раздела физики — электричество, магнетизм и оптику в
единую дисциплину, но не прояснила вопрос о природе электри-
ческого заряда — источника электромагнитного поля. Считалось
лишь, о чем было сообщено выше, что электрический заряд —
гипотетический невесомый флюид, который течет по металличе-
ским проводам, создавая электрический ток. Соответствующий
тип проводимости был назван металлическим.
Этих представлений и закона Ома было достаточно, чтобы
электротехника в XIX веке превратилась в мощную отрасль про-
мышленности. Однако существовали и неметаллические провод-
ники — электролиты, законы протекания тока через которые бы-
ли открыты М. Фарадеем. Соответствующий тип проводимости
был назван электролитическим. Именно законы Фарадея помог-
ли существенно продвинуться в понимании природы электриче-
ского заряда.
2.1 Электролиз
Электролитами называются проводники второго класса, в ко-
торых прохождение электрического тока сопровождается хими-
ческими изменениями и переносом массы. Электролитами явля-
ются растворы солей, кислот, щелочей, а также расплавы солей.
Бывают и твердые электролиты, далее, однако, не рассматрива-
емые.
Электролизом называется совокупность реакций, именуемых
электрохимическими и протекающих на поверхностях металли-
2.1. ЭЛЕКТРОЛИЗ
111
ческих электродов, погруженных в электролит, при пропуска-
нии по цепи электрического тока. Открытие химического дей-
ствия тока (сделанное еще в конце XVIII века при пропускании
электрического разряда через воду1) было одним из величайших
открытий в истории науки. Следует отметить, что оно было по
достоинству оценено современниками, ведь химическое действие
тока показало, что между химией и физикой (то есть между ве-
ществом и гипотетическими невесомыми электрическими флю-
идами) существует какая-то связь.
Открытия такого значения бывают редко и всегда ведут к су-
щественному прогрессу знаний о природе. О впечатляющем про-
грессе физики в XIX веке, приведшем к возникновению электро-
магнитной теории, уже было сказано. Открытие же электроли-
за стало первым толчком к осознанию того, что между химией
и физикой существует глубокое внутреннее единство, что фи-
зические законы служат теоретической основой для понимания
всех химических процессов. В результате позднее родилась новая
наука — физическая химия, а в физике существует направление,
называемое химической физикой.
Чтобы дать представление о возможных вариантах химического
действия тока, перечислим несколько вариантов электролиза.
Электролиз слабого водного раствора серной кислоты при плати-
новых электродах, не взаимодействующих с продуктами разложения
электролита, ведет к образованию водорода, выделяющегося в виде пу-
зырьков на катоде, а на аноде выделяется в виде пузырьков кислород,
причем объем водорода вдвое превышает объем кислорода. Количе-
ство же серной кислоты в растворе не меняется. Описанный процесс
включает в себя несколько промежуточных стадий, но окончательный
итог выражается в виде суммарной формулы, называемой токообра-
зующей (или токопотребляющей) реакцией:
2Н2О = 2Н2 + О2 .
Таким образом, при электролизе слабо подкисленной воды, когда элек-
тролитом служит серная кислота, окончательным результатом явля-
ется химическое разложение растворителя, а не электролита. Кроме
того, у катода концентрация серной кислоты уменьшается, а у анода
— растет.
Если в рассмотренном примере изменить только материал элек-
тродов, заменив платину, например, на медь, то на катоде будет по-
прежнему выделяться водород, а на аноде прекратится выделение кис-
гВ таком случае происходит электролитическое разложение воды на во-
дород и кислород, на электродах появляются заметные пузырьки газа.
112
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
лорода. Медный анод начнет растворяться, в результате образуя рас-
твор медного купороса.
Если кислоту в растворе заменить солью, то на катоде начинает
выделяться металл. Так, результат электролиза медного купороса при
платиновых электродах будет следующим:
2CU.SO4 4- 2Н2О = 2Си 4- 2H2SO4 4- О2 •
На катоде будет выделяться медь и покрывать платину, концен-
трация раствора медного купороса вблизи катода будет уменьшаться.
У анода будет образовываться серная кислота, а на аноде будет выде-
ляться кислород.
Электролиз водных растворов солей щелочных металлов приводит
к образованию вблизи катода щелочи. Так, результаты электролиза
глауберовой соли можно представить следующей токопотребляющей
реакцией:
2Na2SO4 4- 6Н2О = 4NaOH 4- 2Н2 + 2H2SO4 + О2 .
Как видно из приведенных примеров, электрохимические реак-
ции весьма разнообразны и изучаются электрохимией. Эти реакции
протекают на поверхности металлических электродов, помещенных
в электролит. На положительном электроде (аноде) протекают реак-
ции окисления, а на отрицательном электроде (катоде) — реакции вос-
становления.
Водные растворы электролитов входят в состав большинства
живых организмов и участвуют во всех жизненно важных про-
цессах.
Электролиз широко используется для промышленного полу-
чения ряда веществ2 и является огромной пограничной обла-
стью, лежащей на стыке физики и химии. Естественно, что из
всей этой области в курсе атомной физики необходимо рассмот-
реть только принципиальные физические змоменты, которые бы-
ли вскрыты при изучении электролиза и которые помогли лучше
понять природу электрического заряда.
Жидкие электролиты объединяет единый механизм электро-
проводности, а протекание тока через электролиты подчиняется
закону Ома. При этом между массой продуктов электрохими-
ческих реакций, выделяющихся на электродах, и количеством
2Более 10 % мирового производства электроэнергии потребляет электро-
химическая промышленность. Так получают хлор (мировой объем превы-
шает 30 млн.т/год), фтор, алюминий (более 15 млн.т/год, то есть около 3 кг
в год на каждого жителя Земли), ряд других цветных металлов. Использу-
ется электролиз также для синтеза некоторых органических веществ.
2.1. ЭЛЕКТРОЛИЗ
113
электричества, прошедшего через цепь, существуют простые свя-
зи, обнаруженные М. Фарадеем и теперь известные как законы
электролиза Фарадея, опубликованные в 1834 году.
В соответствии с первым законом Фарадея:
Масса вещества, выделяющаяся при электролизе на элек-
тродах, пропорциональна количеству электричества, про-
шедшему через электролит.
Обозначая массу выделенного на электроде вещества через
М, а заряд, прошедший через цепь, через Q, первый закон Фа-
радея можно записать в виде соотношения
M = aQ,	(2.1)
где коэффициент пропорциональности определяется только ве-
ществом и называется электрохимическим эквивалентом веще-
ства. Так, например, протекание по цепи заряда в 1 кулон при
электролизе водного раствора НС1 приведет к выделению на ка-
тоде 0.01044 мг водорода и на аноде 0.3674 мг хлора. При проте-
кании по цепи постоянного тока I за время t по цепи проходит
заряд Q = It, поэтому частный случай первого закона Фарадея
имеет вид М = alt.
Рис. 2.1. Экспериментальные установки для подтверждения: а) — пер-
вого закона Фарадея, б) — второго закона Фарадея
Установки для демонстрации законов Фарадея изображены
на рис. 2.1. Емкости, в которых протекает электролиз, называ-
ются электролизерами. На рис. 2.1, а изображены три электро-
лизера с одним и тем же электролитом. Масса веществ, выде-
ляющихся в электролизерах А, В и С, будет пропорциональна
токам I, 11 и I2, при этом масса, выделившаяся в А, всегда будет
равна сумме масс, выделившихся в В и С.
По существу, первый закон Фарадея привел к необходимости
характеризовать каждый элемент новым числом — электрохими-
ческим эквивалентом, физический смысл которого должен был
114 ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
быть определен. Сам Фарадей и нашел ответ, сформулирован-
ный в виде второго закона Фарадея:
Электрохимический эквивалент вещества пропорционален
его химическому эквиваленту.
Химический же эквивалент известен из химии и численно ра-
вен относительной атомной массе А элемента, деленной на его
валентность Z в данном соединении3, так что второй закон Фа-
радея можно выразить в виде следующего соотношения:
» =	.	(2-2)
Г Z
где 1/F — коэффициент пропорциональности, теперь уже одина-
ковый для всех веществ. Таким образом, второй закон Фарадея
ввел в физику важную константу F, называемую постоянной
Фарадея. Ее смысл становится понятным из сводного зако-
на электролиза. Действительно, подставляя выражение (2.2)
в (2.1), получаем
M = ~Q-	(2.3)
Г Zj
Из сводного закона электролиза следует, что постоянная
Фарадея F есть такой заряд, при протекании которого через
электролит выделится ровно один грамм-эквивалент вещества.
Так, на рис. 2.1, б изображены три последовательно включенных
электролизера с разными электролитами. При пропускании тока
по цепи в них будут выделяться массы вещества, пропорциональ-
ные соответствующим химическим эквивалентам. В частности,
для одновалентного вещества пропускание по цепи заряда, рав-
ного постоянной Фарадея, приведет к выделению на электродах
одного грамм-моля вещества. Постоянная Фарадея может быть
определена с высокой точностью. Ее современное значение, по-
лученное на основе измерений электрохимического эквивалента
серебра, таково:
F = 96485.3 Кл/грамм-эквивалент.
3Число A/Z называют также грамм-эквивалентом вещества. Забегая
несколько вперед, укажем, что с физической точки зрения Z есть просто
кратность заряда соответствующего иона в электролите. Следует помнить,
что валентность элемента может принимать разные значения в зависимости
от состава молекулы.
2.1. ЭЛЕКТРОЛИЗ
115
Постоянная Фарадея позволяет вычислить электрохимиче-
ский эквивалент любого вещества по формуле (2.2). В качестве
примера в табл. 2.1 приведены электрохимические эквиваленты
четырех элементов.
Из законов Фарадея
следует, что при элект-
Таблица 2.1
Электрохимические эквиваленты
ролизе масса вещества связана с определенным количеством электриче- ского заряда, причем заряд, связанный с од- ним грамм-эквивален- том, для всех веществ	Элемент	Атомный вес	Z	а, мг/Кл
	н	1.0079	1	0.01045
	О	15.9994	2	0.08291
	Си	63.546	2	0.3293
	Ag	107.868	1	1.1180
одинаков и равен постоянной Фарадея. Эти непонятные во вре-
мена Фарадея факты требовали осмысления. Уже сам Фарадей
много для этого сделал. По существу вся терминология, относя-
щаяся к электролизу, была предложена именно им. Проводники
первого и второго рода4, электролиз, электролит, электрод, анод,
катод, электрохимический эквивалент, гальванический элемент
— все эти термины до Фарадея не существовали. Особое место
принадлежит понятию ”ион”, также предложенному Фарадеем.
Однако, как уже отмечалось ранее, в середине XIX века атоми-
стическая гипотеза не считалась обоснованной, сам Фарадей не
был уверен в существовании атомов, и вопрос о связи между мас-
сой и зарядом, вытекающий из законов Фарадея, не обсуждался
еще долгое время.
В 1857 году один из основоположников кинетической теории
газов, немецкий физик Рудольф Клаузиус (1822—1888) выдви-
нул гипотезу об электролитической диссоциации под действием
растворителя электронейтральных молекул электролита на по-
ложительно и отрицательно заряженные части — ионы Фарадея.
Однако гипотеза Клаузиуса была встречена с недоверием и не
находила сторонников длительное время.
Лишь в 1880 году немецкий физик, один из творцов закона
сохранения энергии, Герман Гельмгольц (1821—1894) сделал вер-
ный логический вывод из законов Фарадея. Он сопоставил эти
законы с атомистической теорией и пришел к идее об атомисти-
ческом (то есть дискретном) строении электричества. Действи-
тельно, если все вещества для выделения одного грамм-эквива-
лента требуют прохождения по цепи одного и того же заряда
F, а один грамм-эквивалент содержит, очевидно, N&/Z частиц
(атомов или молекул), то, предполагая, что атомы на электродах
4То есть металлы и электролиты.
116 ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
образуются при приходе туда ионов и их нейтрализации, а так-
же предполагая, что все ионы одинаковы и несут один и тот же
заряд, легко найти заряд д, который переносится каждым ионом
в электролите:
, =	(2.4)
Как видно из соотношения (2.4), наименьший заряд переносят
ионы одновалентных веществ (Z = 1), и этот заряд е по опреде-
лению есть
е=£ = а^етКл= 1-6021те'10"9Кл- <2-5>
Вот как Гельмгольц в докладе на Фарадеевских чтениях 1881
года подытожил свои взгляды: ’’Если принять существование
атомов химических элементов, то нельзя удержаться от того,
чтобы не сделать дальнейшего заключения, что также и элек-
тричество, как положительное, так и отрицательное, распадает-
ся на определенные элементарные кванты, которые ведут себя
как атомы электричества. Каждый ион, до тех пор пока он дви-
жется в жидкости, каждой своей валентностью остается связан
с электрическим эквивалентом”.
Следовательно, электрический заряд всегда соединен с мас-
сой химических атомов дискретными порциями, кратными е,
причем сводный закон электролиза позволяет найти очень важ-
ную характеристику частицы — отношение заряда к массе (назы-
ваемое также удельным зарядом иона) для всех типов ионов по
данным электролиза (правда, при одном дополнительном пред-
положении, заключающемся в том, что масса нейтрального ато-
ма принимается равной массе иона, что соответствовало взгля-
дам той эпохи на электричество как на невесомый флюид).
Пусть ион имеет абсолютную массу mi и заряд, кратный
Z элементарным зарядам (2.5). Поскольку протекание заряда
F через электролит ведет к выделению одного грамм-эквивалента
вещества, удельный заряд иона можно представить в следующем
виде:
Ze = ZeNA = ZF = F
rrii т^А A A/Z '
Все величины, входящие в правую часть формулы (2.6), макро-
скопические, поэтому, зная кратность заряда иона Z и относи-
тельную атомную массу вещества, можно определить и удельный
заряд соответствующего иона. Поскольку самый легкий элемент
2.2. ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ДИССОЦИАЦИЯ
117
в природе — водород, то и удельный заряд положительно заря-
женного иона водорода — самый большой по величине среди всех
ионов. Его точное значение:
— = 9.5788 • 107 Кл/кг.	(2.7)
Но запоминать эту важную константу нет необходимости. Ее все-
гда можно вычислить, если знать заряд электрона и число Аво-
гадро (или атомную единицу массы, кому что больше нравится).
Независимо от Гельмгольца к аналогичным взглядам пришел
и замечательный ирландский физик Джонстон Стони, который
в 1891 году для элементарного электрического заряда отрица-
тельных одновалентных ионов (2.5) предложил термин элек-
трон. Необходимо, конечно, понимать, что в то время никто не
знал о существовании одноименной элементарной частицы, так
что Стони предложил лишь особый термин для величины заряда
’’атома электричества”, природа которого оставалась неясной.
Теория электролитической диссоциации своей окончательной
победой обязана усилиям шведского физико-химика Сванте Ар-
рениуса (1859—1927), приложившего немало сил для ее экспери-
ментального обоснования. Эта теория была изложена им в 1884
году в его докторской диссертации. Впрочем, она снова была
встречена с недоверием коллегами Аррениуса, которому при-
шлось вести упорную борьбу за свои научные взгляды5. Борь-
ба Аррениуса позднее была заслуженно оценена — в 1903 году
ему была присуждена Нобелевская премия по химии ’’как факт
признания особого значения его теории электролитической дис-
социации для развития химии”.
2.2 Основные представления
теории электролитов
Подобно тому, как поведение газов удалось объяснить на основе
атомистических представлений о веществе, электролитическая
проводимость нашла свое объяснение на основе объединения ато-
мистических представлений не только о веществе, но и об элек-
трическом заряде.
В соответствии с теорией электролитической диссоциа-
ции электролиты — это вещества, молекулы которых в растворе
5 К активным противникам теории электролитической диссоциации при-
надлежал, в частности, Д.И. Менделеев.
118
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
или расплаве распадаются на ионы в результате взаимодействия
с молекулами растворителя. В более широком смысле электро-
литом называют вещество, обладающее ионной проводимостью,
то есть весь раствор или расплав в целом.
Не все растворы являются электролитами. Например, в воде
молекулы сахара на ионы не распадаются, а плавиковой кислоты
— распадаются на катионы Н+ и анионы F~. Кроме того, веще-
ство может в одном растворителе на ионы распадаться, а в дру-
гом — нет.
Причин, по которым происходит распад молекулы на ионы,
три.
Первая — это строение самой молекулы электролита, которая
состоит из двух частей, связанных с определенным количеством
противоположных электрических зарядов.
Вторая причина — это взаимодействие молекул электроли-
та с молекулами растворителя, ослабляющее силы притяжения
внутри молекулы электролита6. Поэтому наиболее эффектив-
ными растворителями являются полярные жидкости с высокой
диэлектрической проницаемостью (для которых е > 20): вода
(е = 80.08), спирты (этиловый спирт, е = 25.00), кетоны (ацетон,
е = 21.4)7. Особый случай представляют расплавы чистых элек-
тролитов. Если твердое тело представляет собой ионный кри-
сталл, например, это может быть поваренная соль NaCl, в узлах
кристаллической решетки которой расположены положительно
и отрицательно заряженные ионы, то расплавление такого кри-
сталла приводит к тому, что изначально существующие ионы
приобретают возможность перемещаться внутри расплава, со-
храняя при этом величину своего первоначального заряда.
Наконец, третья причина — это тепловое движение. Если ки-
нетическая энергия, которую может получить при соударениях
одна из частей молекулы электролита, достаточна для того, что-
бы преодолеть силы притяжения внутри молекулы, то последняя
распадается на ионы.
Структура раствора электролита очень сложна, тем не менее,
можно сказать, что ионы в растворе образуют сольватные струк-
туры — более или менее устойчивые комплексы из иона и бли-
жайших к нему молекул растворителя, причем между сольвато-
6Вспомним, что напряженность электрического поля точечного заряда
в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е уменьшается в е раз по
сравнению с полем того же заряда в вакууме.
7 Значения диэлектрической проницаемости зависят от температуры и да-
ны для Т = 20 °C.
2.2. ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ДИССОЦИАЦИЯ 119
комплексом8 и остальным раствором идет непрерывный обмен
частицами. В частности, ионы противоположного знака заряда
могут снова соединяться в нейтральную молекулу (такой про-
цесс называется молизацией, или рекомбинацией), в свою оче-
редь, нейтральные молекулы электролита с определенной ско-
ростью снова распадаются на ионы (такой процесс называется
ионизацией, или диссоциацией). В результате между процесса-
ми диссоциации и рекомбинации устанавливается динамическое
равновесие по схеме
КА К+ + А" .
Это равновесное состояние характеризуется коэффициентом
(или степенью) диссоциации а — отношением числа диссо-
циированных молекул электролита к полному их числу, введен-
ному в раствор:
Степень диссоциации зависит от многих факторов — от тем-
пературы, пары электролит-растворитель, наконец, концентра-
ции раствора. В химии есть много разных определений концен-
трации раствора. Чтобы не загромождать изложение, будем по-
нимать под концентрацией с раствора число, равное отношению
числа молей растворяемого электролита к единице объема рас-
твора.
Вычислять степень диссоциации в общем случае не умеют до
сих пор. Тем важнее полученный в 1888 году В. Оствальдом за-
кон, позволяющий сделать оценки степени диссоциации слабых
растворов электролитов, для которых с ~ 0.
Как уже отмечено выше, степень диссоциации есть статисти-
ческий результат протекания двух противоположных процессов
— диссоциации и рекомбинации. Каждая молекула электролита
в данных условиях имеет определенную вероятность диссоции-
ровать, поэтому полное число диссоциаций в растворе в едини-
цу времени будет пропорционально числу недиссоциированных
молекул, то есть равно величине fcrf(l — а)с, где kj — коэффици-
ент пропорциональности. Противоположный процесс (рекомби-
нация) пропорционален числу как положительных, так и отрица-
тельных ионов. Действительно, рассмотрим любой положитель-
ный ион. Очевидно, он имеет вероятность прорекомбинировать
8Если раствор водный, то сольватокомплексы называют гидратирован-
ными ионами.
120 ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
с любым отрицательным ионом раствора, то есть вероятность
рекомбинации одного аниона пропорциональна числу катионов
в растворе. С другой стороны, чтобы вычислить полное количе-
ство рекомбинаций в растворе, нужно просуммировать вероят-
ность рекомбинации для всех анионов, получив число, пропорци-
ональное произведению числа анионов и катионов. Окончатель-
но скорость рекомбинации в растворе можно записать в виде
кга2с2. В равновесии обе скорости равны, откуда
kd(l — а)с = кга2с2,
или
a2	kd
------с = —
1 — а-кг
где К — постоянная закона разбавления Оствальда, зависи-
мость которой от параметров задачи (пара электролит—разба-
витель, температура, давление, концентрация с) неизвестна.
Несмотря на невозможность теоретически рассчитать зависи-
мость постоянной К от параметров, закон Оствальда позволяет
прийти к важному заключению относительно очень слабых рас-
творов электролитов. Предполагая, что К как функция с непре-
рывна в нуле и отлична от нуля9, в пределе с -> 0 знаменатель
формулы (2.9) должен стремиться к нулю. Последнее означает,
что степень диссоциации очень слабых растворов электролитов
близка к единице. Физически это совершенно понятно: в преде-
ле бесконечно малого количества ионов в растворе расстояния
между ними велики, соответственно, столкновения ионов редки,
скорость рекомбинации мала по сравнению со скоростью диссо-
циации, в результате весь электролит диссоциирует, если только
скорость его диссоциации не бесконечно мала, то есть если ве-
щество — электролит. С ростом концентрации раствора степень
диссоциации электролита начинает падать.
Хотя степень диссоциации зависит от концентрации, истори-
чески сложилось разделение электролитов на сильные (а « 1)
и слабые (а ~ 0). К сильным электролитам относят большинство
солей, а также гидроксиды щелочных металлов, соляную кис-
лоту. При гидратации ионов сильных электролитов выделяется
значительная энергия (эта энергия называется теплотой гидра-
тации иона), существенно превышающая тепловую энергию ча-
стиц в растворе (200 — 600 кДж/моль ~ 5 — 15 эВ/молекулу).
9Последнее, очевидно, справедливо для всех электролитов, для которых,
по определению, kd > 0.
2.2. ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ДИССОЦИАЦИЯ
121
В таком случае вероятность вырваться из гидратной оболочки
крайне мала, что препятствует рекомбинации таких ионов и, сле-
довательно, смещает равновесие в сильных электролитах в сто-
рону диссоциации.
Возвращаясь к структуре раствора электролита, следует ре-
шить вопрос о распределении ионов по объему. Очевидно, в рав-
новесии концентрация ионов тц (то есть количество ионов в еди-
нице объема) — величина постоянная. Однако концентрация ча-
Рис. 2.2. К за-
даче об электро-
нейтральности
электролита
стиц — усредненная во времени величина, которая во времени
флуктуирует. В электролите равен нулю только суммарный за-
ряд всего объема. Если же выбрать какой-либо небольшой объем
внутри раствора, то в нем возможны флуктуации заряда. Чем
меньше объем, тем больше флуктуации.
Флуктуации — универсальное явление10,
обусловленное дискретностью как вещества,
так и заряда. В газах в малых объемах суще-
ственно флуктуирует число частиц; в электро-
литах, ионизованных газах, полупроводниках
число частиц также флуктуирует, но с частица-
ми связан заряд, поэтому и заряд также флук-
туирует. Однако между флуктуациями плот-
ности нейтральных и заряженных частиц име-
ется существенная разница, потому что флук-
туации заряда вызывают появление электри-
ческого поля, оказывающего влияние на са-
ми же заряженные частицы. Возникает ’’обрат-
ная связь”, стремящаяся флуктуацию погасить.
К каким последствиям это ведет, поможет по-
нять рис. 2.2, на котором изображен тонкий од-
номерный слой электролита.
Рассмотрим частный случай очень существенной флуктуа-
ции, когда все положительные ионы из изображенного одномер-
ного слоя (см. рис. 2.2) электролита толщиной L сместились к его
правой границе, а отрицательные — к левой, причем кратность
положительных и отрицательных зарядов одинакова и равна Z.
Найдем, каково максимальное значение толщины слоя L, из ко-
торого все заряды могут разойтись в стороны. Принимая слои
разошедшихся ионов за плоскости с поверхностной плотностью
заряда а, можно выразить модуль напряженности электрическо-
го поля в плоском конденсаторе как удвоенную напряженность
10См. приложение 2.
122
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
электрического поля, создаваемого каждым из слоев ионов:
где е — диэлектрическая проницаемость среды (близкая к ди-
электрической проницаемости растворителя для слабых раство-
ров), — диэлектрическая проницаемость вакуума.
Поскольку концентрация ионов есть n_|_ = п_ = щ и рас-
сматривается уход всех ионов из слоя, то поверхностная плот-
ность образовавшегося заряда может быть представлена в виде
а = riiLZe. Между слоями ионов возникнет разность потенци-
алов U = EL. Для того чтобы произошла изображенная (см.
рис. 2.2) флуктуация зарядов, должна была совершиться рабо-
та против сил электростатического притяжения ионов. Работа
идет на увеличение потенциальной энергии иона П = Zetp, где
ip — потенциал той точки электрического поля, в которой на-
ходится ион. Очевидно, что рассматриваемое поле антисиммет-
рично, а потенциалы обкладок по модулю равны U/2 и противо-
положны по знаку. Потенциальная энергия каждого иона поло-
жительна и равна П = \ZeEL/2\. Если рассматривать самопро-
извольную флуктуацию, то потенциальная энергия ионов может
увеличиться только за счет кинетической энергии их теплового
движения. Так как оценивается лишь порядок величин, а на од-
ну степень свободы каждый ион в среднем имеет кинетическую
энергию кТ/2, положим, что вся эта величина уходит на созда-
ние флуктуации заряда. Тогда ширина слоя, в котором возможно
существенное разделение заряда, будет ограничена сверху нера-
венством П С кТ/2 или
I кТеео
у n;(Ze)2 ’
(2.Ю)
Таким образом, в электронейтральной среде, содержащей за-
ряженные частицы, существует характерный масштаб, определя-
ющий размер областей, в которых может происходить временное
существенное нарушение электронейтральности. Если же размер
области значительно превышает этот масштаб, то среда содер-
жит практически одинаковое число положительно и отрицатель-
но заряженных частиц, то есть, как говорят, квазинейтральна.
В честь немецкого физика Петера Дебая (1884—1966), лауре-
ата Нобелевской премии по химии 1936 года, внесшего большой
2.2. ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ДИССОЦИАЦИЯ 123
вклад в теорию электролитов, этот масштаб называют дебаев-
ским радиусом rD, где
_ / кТее$
Г° V 2n,Z2e2 
Важность введенной величины, отличающейся от (2.10) несу-
щественным множителем 1 / д/2 (смысл чего станет ясен далее)
— в ее универсальности. В среде, содержащей подвижные но-
сители заряда [подчиняющиеся классическому больцмановскому
распределению (1.62)], области, линейные размеры которых су-
щественно превышают rD, квазинейтральны.
Кроме того, этот же параметр определяет масштаб экраниро-
вания внешнего по отношению к квазинейтральной среде элек-
трического поля. Такие физические объекты, как электролиты,
плазма, собственные и несобственные полупроводники, метал-
лы11, не дают проникать внешним электрическим полям внутрь
на глубину, значительно превышающую дебаевский радиус, из-
за поляризации. Проиллюстрируем сказанное на примере опре-
деления электрического поля неподвижного точечного заряда д,
внесенного извне в электролит бесконечных размеров.
В диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е вокруг
заряда возникло бы электрическое поле с хорошо известным по-
тенциалом
	(2-12)
47Г££оГ
В электролите же произойдет поляризация среды, заключаю-
щаяся в том, что одноименные заряды будут внесенным зарядом
отталкиваться, а разноименные — притягиваться. Вокруг непо-
движного точечного заряда возникнет сферически-симметрич-
ная плотность пространственного заряда р, определяемая разно-
стью концентраций отрицательных и положительных ионов (уже
не равных друг другу в каждой точке электролита):
р(г) = Ze[n+(r) - п_(г)],	(2.13)
где предполагается, что положительные и отрицательные ионы
имеют одинаковую кратность заряда Z.
11 Вообще говоря, движение свободных носителей заряда в металлах, по-
лупроводниках и плазме не всегда может быть описано классически, что
подразумевается при выводе выражения для дебаевского радиуса.
124
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Потенциальная энергия иона в электростатическом поле есть
произведение его заряда на потенциал, тогда равновесная кон-
центрация ионов определяется формулой Больцмана (1.62), то
есть выражением
п_|_(г) = щ ехр
—Ze^(r)
п- (г) = щ ехр
+Ze</?(r)
(2.14)
где щ — концентрация ионов там, где их потенциальная энер-
гия равна нулю, то есть просто равновесная концентрация ионов
в электролите без внесенного в него точечного заряда.
Уравнение Пуассона определяет потенциал электростатиче-
ского поля, если известна плотность заряда в пространстве:
(2.15)
Подставляя в уравнение Пуассона плотность заряда с помощью
формул (2.13) - (2.14), получим самосогласованное уравнение
для потенциала электрического поля
А 2niZe , (Zeip\
sh (Тг ) ’	<2Л6>
которое, однако, получилось слишком сложным для решения
в общем виде. Оно существенно упрощается лишь для удален-
ных от неподвижного заряда областей, поскольку там потенци-
ал быстро стремится к нулю, аргумент гиперболического сину-
са стремится к нулю вместе с потенциалом, тогда соотношение
эквивалентности shx ~ х при х —> 0 позволяет преобразовать
уравнение (2.16) к виду
2niZ2e2
ееокТ
ИЛИ
(2.17)
где rD — в точности дебаевский радиус (2.11), возникший как
единственный параметр длины и в настоящей задаче.
Поскольку потенциал зависит только от величины г, то в урав-
нении (2.17) лапласиан следует выразить в сферической системе
координат, что дает уравнение
(2-18)
drz г ar rg
2.2. ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ДИССОЦИАЦИЯ
125
Разыскивая решение последнего уравнения в виде 7^(г)/г [весьма
естественный шаг, если вспомнить, что невозмущенный электро-
литом потенциал имел бы вид (2.12)], для функции т^(г) получа-
ем линейное уравнение с постоянными коэффициентами
= 0,	(2-19)
ГО
имеющее общее решение вида
-^(г) = Aexp(+r/rD) + Вехр(—r/rD).	(2.20)
Поскольку на бесконечности потенциал должен стремиться к ну-
лю, следует положить коэффициент А равным нулю.
Вблизи от точечного заряда должна быть область, не содер-
жащая ионов электролита, для которой можно принять, что по-
тенциал в ней ведет себя как потенциал заряда в обычном ди-
электрике, то есть описывается выражением (2.12). Вдали же от
заряда потенциал определяется формулой (2.20). Подбирая для
потенциала единое выражение для любого г, или, как говорят,
сшивая выражения (2.12) и (2.20), нужно, очевидно, коэффици-
ент В выбрать равным величине Ze/(47rsso)- Тогда в пределе
г —> 0 потенциалы (2.12) и (2.20) станут эквивалентными.
Таким образом, хорошим приближением к потенциалу непо-
движного заряда, помещенного в проводящую среду, будет функ-
ция
О	( Т \
¥>(г) = ----ехр (----) .	(2.21)
47Г£6ог	\ rD /
Как видно из выражения (2.21), которое называется потен-
циалом экранированного кулоновского заряда, проводящая сре-
да при г rD практически на потенциал заряда не влияет, но
затем потенциал начинает экспоненциально стремиться к нулю,
что происходит из-за эффекта поляризации среды, благодаря ко-
торому и экранируется действие кулоновского заряда.
Проведенный анализ дает наглядную картину того, как про-
водящие среды, допускающие классическое описание движения
носителей заряда, экранируют любые внешние электростатиче-
ские поля, проникающие извне в среду на расстояния только
порядка дебаевского радиуса, за пределами которого в глубине
среды внешнее поле экспоненциально убывает.
Если сосчитать полный заряд, окружающий в электролите
неподвижный заряд q и определяемый полем (2.21), то окажет-
ся, что он в точности компенсирует этот заряд и равен — q, то есть
126
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
вся бесконечная среда в целом оказывается электронейтраль-
ной. Действительно, потенциал (2.21) создает пространственную
плотность заряда, в соответствии с уравнением Пуассона (2.15),
которое с учетом уравнений (2.17) и (2.21) ведет к цепочке ра-
венств
^(г) = -ееоД^ = --2- = -4=12 ехР ( -- ) •	(2-22)
1 D	' D \	' D /
Зная плотность заряда во всем пространстве, интегрировани-
ем получаем полный заряд Q, ответственный за создание поля
(2-21):
-Foo
Q =	р(г) 4тгг2 dr = — q.	(2.23)
о
Проведенный расчет позволяет сделать вывод о том, что поле
(2.21) описывает экранирующее действие электролита не толь-
ко по отношению к внешним источникам. Приближенно мож-
но считать, что в электролите экранируется действие каждого
из собственных подвижных ионов примерно так же, поскольку
в электронейтральном растворе суммарный заряд всех осталь-
ных ионов как раз равен по величине и противоположен по знаку
заряду любого выбранного иона.
Из-за теплового движения каждый ион электролита движет-
ся, его окружает ионная атмосфера (только в движущейся систе-
ме координат, связанной с этим ионом), а в лабораторной системе
координат (относительно которой электролит в целом покоится)
усредненная по времени плотность зарядов в любой точке, конеч-
но же, равна нулю. Отчетливо разница между системой коорди-
нат, связанной с движущимся ионом, и лабораторной системой
координат видна из следующего: если окружить движущийся за-
ряд q сферой с дебаевским радиусом и подсчитать в этой сфере
средний заряд противоположного знака, то есть произвести ин-
тегрирование в формуле (2.23) не до бесконечности, а до rD, то
получится заряд qD = —g[exp(l) — 2] / exp(l) « —0.26 g. Други-
ми словами говоря, окружающая ион сфера дебаевского радиуса
в среднем заряжена, в ней преобладают ионы противоположного
знака заряда, в то время как в лабораторной системе координат
в электронейтральном растворе любой объем в среднем, есте-
ственно, нейтрален.
Чтобы было ясно, какие дебаевские радиусы могут быть у эле-
ктролитов, оценим по порядку величины дебаевский радиус для
2.2. ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ДИССОЦИАЦИЯ
127
самого распространенного на Земле электролита — океанской во-
ды.
Помимо прочего, в среднем в одном килограмме океанской
воды растворено 35 г солей, которые будем считать полностью
диссоциированными на ионы. Среднее содержание ионов в Ми-
ровом океане показано в табл. 2.2. Как из нее видно, основным
анионом является СГ". Найдем его концентрацию. Относитель-
ная атомная масса хлора 35.45, тогда в литре12 океанской воды
содержится приблизительно 19.36/35.45 = 0.55 грамм-моля ани-
онов хлора. Теперь концентрация анионов хлора легко может
быть определена:
0.55 • 6.02 • 1023	_3	,л26 _3
пс}- = -----—5-------см 3 = 3.31 • 1026 м 3 .
С!	103
Таблица 2.2
Среднее содержание ионов в Мировом океане
Ион	Среднее содержа- ние в Ми- ровом океане, г/кг	Ион	Среднее содержа- ние в Ми- ровом океане, г/кг	Ион	Среднее содержа- ние в Ми- ровом океане, г/кг
Na+	10.77	Са2+	0.41	(SO4)2-	2.70
к+	0.39	Mg2+	1.30	(СО3)2-	0.07
ci-	19.36	Вг~	0.07	Всего	35.07
Подставляя концентрацию анионов хлора в формулу (2.11),
с учетом средней температуры всей толщи воды — около 4 °C,
получим приближенное значение дебаевского радиуса океанской
воды:
Ocean
1.38 • IO"23 • 277 • 81 • 8.85 • IO"12 о
2 • 3.31 • 1026 • 2.56 • 10-38 M “
Если учесть, что эффективный радиус молекулы воды со-
ставляет 1.38 А, то получается, что слой океанской воды толщи-
ной в две молекулы уменьшает величину внешнего электриче-
ского поля примерно в три раза. При этом, если сосчитать число
ионов в объеме океанской воды, равном объему дебаевской сфе-
ры, то окажется, что в такой сфере в среднем будет находиться
12Различием плотностей соленой и пресной воды пренебрегаем.
128
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
около 0.1 катиона и 0.1 аниона. Если же сферой дебаевского ра-
диуса окружить однозарядный ион, то, как отмечалось выше,
средний избыток противоположного заряда в сфере должен со-
ставить 0.26 е. Следовательно, вокруг каждого иона в океанской
воде (и вообще в растворе с высокой концентрацией электролита)
происходит значительное изменение локальной концентрации за-
ряда — ионы противоположного заряда появляются в дебаевской
сфере значительно чаще, чем в неподвижной сфере того же объ-
ема. В таком случае электростатическое взаимодействие между
ионами велико и оказывает существенное влияние на свойства
раствора.
Кровь человека (точнее, ее жидкая компонента — плазма
крови) содержит в литре около 8.5 г растворенной поварен-
ной соли. Соответственно, такое же количество NaCl растворя-
ют в литре дистиллированной воды при получении физиологи-
ческого раствора, широко применяемого для внутривенного вве-
дения. Дебаевский радиус крови и физиологического раствора
всего в два раза больше, чем дебаевский радиус океанской воды.
Таким образом, при внесении уже незначительных количеств
электролита раствор становится квазинейтральным во всем объ-
еме, кроме областей, примыкающих к металлическим электро-
дам, где протекают сложные физико-химические процессы, до
сих пор недостаточно изученные.
2.3 Электролитическая проводимость
Раствор электролита — проводник электричества второго ро-
да. Механизм электропроводности электролита следующий. Как
уже отмечалось, ионы в растворе окружены сольватной оболоч-
кой. И чем меньше радиус иона, тем сильнее он притягивает ди-
польные молекулы растворителя, тем больше так называемое
число сольватации, то есть число молекул растворителя, свя-
занных с ионом достаточно сильно и образующих устойчивую
первичную сольватную оболочку, вокруг которой формируется
вторичная оболочка с часто меняющимися молекулами. Ионы
могут иметь в первой сольватной оболочке от 0 до 15 молекул,
но, в силу описанного эффекта, размеры первой сольватной обо-
лочки разных ионов не очень сильно отличаются друг от друга.
Если к металлическим электродам, помещенным в электро-
лит, приложить разность потенциалов, то электролит будет вы-
веден из состояния равновесия, по цепи пойдет электрический
2 3. ПРОВОДИМОСТЬ ЭЛЕКТРОЛИТОВ
129
гок — еще одно явление переноса (электрического заряда). Усло-
вия, использованные для расчета поля экранированного куло-
новского потенциала (2.21), перестают выполняться. Начинает
действовать закон Ома. Если электроды изготовлены в виде об-
кладок плоского конденсатора, то электрическое поле во всем
объеме электролита будет практически постоянно по величине,
исключение составляют лишь небольшие приэлектродные слои,
где происходят очень сложные процессы, изучаемые электрохи-
мией.
Появление электрического поля в объеме электролита вы-
зывает силу ZeE, заставляющую ион двигаться в направлении
поля. Однако среда действует на ион, окруженный сольватной
оболочкой, с тормозящей силой. Хотя для столь малых объектов
закон Стокса (1.108) не совсем точно применим (поскольку при
(то выводе предполагалось, что среда непрерывна, а в данном
случае размеры движущегося объекта и молекул воды соизмери-
мы), но общее представление о движении иона в растворе закон
Стокса дать может. Действительно, дрейфовая скорость13 * * * * иона v
под действием электрического поля будет увеличиваться до тех
пор, пока она не уравновесится силой сопротивления среды. При
этом в единице объема проводящей среды возникают громадные
суммарные силы.
Если, например, в океанскую воду поместить два плоских
электрода с зазором в 1 см и подать на них напряжение все-
го в 1 В (то есть создать напряженность электрического поля
1 В/см = 100 В/м), то только на анионы хлора в каждом куби-
ческом сантиметре объема будет действовать суммарная сила со
стороны электрического поля
F = е£пС1- = 3.31 • Ю20 • 1.6 • 10"19 • 100 Н/см3 = 540 кг/см3!
Соответственно, на катионы в электролите будет действовать та-
кая же по величине, но противоположно направленная сила.
Сопротивление среды (внутреннее трение) и уравновешивает
силы, действующие на ионы со стороны электрического поля.
Если бы закон Стокса был строго применим, скорость v дрей-
фового движения иона в заданном поле можно было бы опреде-
лить из уравнения ZeE = ()irqrv. На практике последнюю фор-
13Напоминание читателю: дрейфовая скорость носителя заряда есть его
средняя скорость движения. Мгновенно ионы движутся во все стороны
и с разными тепловыми скоростями, то есть примерно так же, как в газе
движутся молекулы. В электрическом поле к этому тепловому движению
как раз и добавляется дрейфовая скорость.
130
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
мулу используют по-другому. Определив скорость иона14, с ее
помощью вычисляют так называемый стоксовский радиус иона,
характеризующий до некоторой степени размер его сольватной
оболочки.
Поскольку теоретически вычислить дрейфовую скорость иона
затруднительно, было введено понятие подвижности ионов /z±
как коэффициента пропорциональности между электрическим
полем и дрейфовой скоростью иона:
v± = ц±Е.	(2.24)
Подвижность носителя заряда — универсальное понятие, приме-
нимое ко всем проводящим средам в не слишком сильных по-
лях. Как следует из определения, это есть дрейфовая скорость,
которую приобретает носитель заряда в электрическом поле еди-
ничной напряженности. Чем меньше сопротивление среды, тем
больше дрейфовая скорость, тем частица "подвижнее”. Из опре-
деления подвижности частицы следует, что это характеристи-
ка не только самой частицы, но и ее взаимодействия со средой.
В разных средах одна и та же частица может иметь разные по-
движности.
В электролитах подвижность ионов зависит от давления, тем-
пературы и концентрации раствора, поскольку все эти факто-
ры влияют на структуру и размер сольватной оболочки иона.
С ростом концентрации раствора электростатическое взаимодей-
ствие между ионами растет, их подвижность падает. В сильно
разбавленных растворах подвижность ионов достигает макси-
мального значения и примерно постоянна. Такую максимальную
подвижность, соответствующую пределу бесконечного разбавле-
ния, принято обозначать как Через подвижность ионов мо-
жет быть выражена электропроводность раствора.
Рассмотрим электролит с Z-кратно заряженными ионами.
Поскольку плотность тока по определению есть количество элек-
трического заряда, пересекающего единичную площадку в еди-
ницу времени, то ее можно выразить в следующем виде:
j = j+ + j- = Zean(v+ + v_) = Zean (дц. + /jl_)E ,	(2.25)
где j_|_ и j- — плотности тока катионов и анионов соответственно,
п — первоначальная концентрация молекул электролита в рас-
творе, а — степень диссоциации электролита.
14Как это делается, станет ясно далее.
2.3. ПРОВОДИМОСТЬ ЭЛЕКТРОЛИТОВ
131
Последняя формула есть закон Ома в дифференциальной
форме, который принято записывать в виде j = аЕ, где коэффи-
циент пропорциональности а называется удельной электропро-
водностью:
а = Zea п (/1_р +	.
(2.26)
Удельная электропроводность обратна удельному сопротив-
лению (а = и имеет* размерность: [а]=Ом"1-м"1.
Из формулы (2.26) следует, что при росте концентрации элек-
тролита удельная электропроводность сначала увеличивается
(так как подвижности ионов и степень диссоциации разбавлен-
ных растворов приблизительно постоянны, а концентрация элек-
тролита растет), достигает максимума, а затем убывает из-за
уменьшения степени диссоциации и подвижности ионов. На
рис. 2.3 приведен график удельной электропроводности раствора
серной кислоты в воде при атмосферном давлении и Т = 18°C
как функция безразмерной весовой концентрации р (то есть от-
ношения веса серной кислоты к весу раствора). Максимум удель-
ной электропроводности а = 73.9 Ом-1*м-1 достигается при
р = 30%. Для сравнения укажем, что медь при той же темпера-
туре имеет удельную электропроводность а = 59.8-106 Ом-1*м-1,
что примерно в миллион раз больше.
Из рисунка не видно, но
и при р = 0 (что соответ-
ствует химически чистой во-
де) электропроводность отлич-
на от нуля, так как и в чи-
стой воде часть молекул дис-
социирована на катионы Н+
и анионы ОН-. Однако полу-
чить химически чистую воду
очень трудно, потому что в ней
растворяются углекислый газ
Рис. 2.3. Удельная электропро-
водность раствора серной кислоты
в воде как функция концентрации
кислоты р
и кислород воздуха, кроме то-
го, растворяются в воде и стен-
ки сосудов. Впервые чистая
вода была получена немецким
физиком Фридрихом Кольрау-
шем в 1894 году путем 42-кратной вакуумной перегонки в специ-
альной аппаратуре. При Т = 18 °C удельная электропроводность
химически чистой воды оказалась равной а = 4.3-10-6 Ом-1*м-1.
132
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Рис. 2.4. Четырехэлектродная
ячейка для измерения электропро-
водности электролитов
На крайние электроды Э1 и Э2
Обычная дистиллирован-
ная вода, находящаяся в кон-
такте с воздухом (так назы-
ваемая равновесная вода), за
счет поглощения СО2 и обра-
зования дополнительных ка-
тионов Н+ и анионов НСО3
имеет удельную электропро-
водность в 20 — 25 раз выше.
Удельная электропровод-
ность измеряется достаточно
просто. Для этого использу-
ют четырехэлектродные ячей-
ки, изображенные на рис. 2.4.
подают разность потенциалов
и измеряют ток, текущий по цепи. Как уже отмечалось выше, на
поверхностях этих электродов идут сложные физико-химические
процессы. В частности, происходит так называемая поляризация
электродов, то есть между электродом и электролитом в очень
тонком слое возникает скачок потенциала, который зависит от
плотности тока. Измерить его невозможно, поэтому применяют
еще одну пару электродов (Эз и Э4) из одинакового материа-
ла, к которым подключен вольтметр. Ток по этим электродам не
течет, поэтому показание вольтметра дает точное значение паде-
ния напряжения в электролите на заданной длине. Так как элек-
тропроводность электролитов повышается на 2—3 % при возрас-
тании температуры на 1 К, температуру ячейки поддерживают
постоянной с точностью до 0.002 К, для чего ячейку термоста-
тируют. Тогда точность и воспроизводимость измерений доходит
до 0.01 %.
Как видно из формулы (2.26), измерение удельной электро-
проводности позволяет определить произведение степени диссо-
циации на сумму подвижностей катионов и анионов. Чтобы опре-
делить подвижности ионов, рассматривают разбавленные рас-
1
творы сильных электролитов , для которых, как уже отмена-
лось, степень диссоциации практически равна единице. Тогда,
разбавляя раствор все больше и больше, экстраполяцией полу-
чают значение	+ М- •
Экстраполяцию существенно облегчает открытый в 1900 году
Кольраушем закон квадратного корня, в соответствии с ко-
15Поведение слабых электролитов здесь не рассматривается.
2 3. ПРОВОДИМОСТЬ ЭЛЕКТРОЛИТОВ 133
торым электропроводность разбавленных бинарных растворов
сильных электролитов есть линейно убывающая функция кор-
ня квадратного от концентрации у/с, то есть
а = ст0 — к у/с,
где к — коэффициент пропорциональности.
Причина уменьшения электропроводности — уменьшение по-
движности при увеличении концентрации. При этом дебаевский
радиус (2.11) в электролите уменьшается, а электростатическое
взаимодействие между ионом и противоположно заряженной ат-
мосферой растет. При протекании тока движущийся ион ’’убега-
ет” от своей атмосферы, да и саму атмосферу поле тянет в про-
тивоположную сторону. Понятно, что это приводит к усилению
торможения иона, то есть к уменьшению его подвижности.
Итак, измерение электропроводности позволяет найти толь-
ко сумму подвижностей катионов и анионов. Для их раздельного
определения нужно еще одно уравнение и, соответственно, еще
одно измерение. Такое уравнение удается сформулировать, рас-
сматривая баланс массы вблизи электродов. С одной стороны,
если по цепи идет постоянный ток, то на электродах выделяется
масса вещества в соответствии с кинетикой электродной реак-
ции16, описываемой сводным законом электролиза (2.3):
М± = A±It/(ZF).	(2.27)
С другой стороны, чисто дрейфовый перенос ионов данного зна-
ка из объема на электрод определяется так называемым числом
переноса к± иона. Числом переноса ионов называют долю
тока, переносимую только катионами /+ или только анионами
Z_:
к± = 1±/1.	(2.28)
Так как I = I+ + Z_, то, очевидно, к+ + к- = 1.
Для бинарного электролита с одинаковой кратностью заряда
ионов числа переноса, как это следует из формулы (2.25), можно
выразить через отношение подвижностей:
=	.	(2.
м+ + м-
16 Ниже рассматривается простейший случай электродной реакции — оса-
ждение катиона на нерасходуемом катоде Kz+ + Ze~ —> К. Нерасходуемые
катоды называются инертными.
134
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
При протекании по цепи электрического тока ионы перено-
сят через любую плоскость, разделяющую электроды, не только
электрический заряд, но и массу. Плотность потока массы ка-
тионов J+ легко найти по аналогии с формулой для плотности
электрического тока (2.25), если обозначить массу одного кати-
она как ту.
т	\ 1 г~1	ТП/ -L к -L 7
J_|_ = m_|_anv_|_ = m+an/z_|_jE’ =	к± Е = —- ,
Ze
(2.30)
где j — плотность электрического тока, текущего через электро-
лит.
Домножением левой и правой частей цепочки равенств (2.30)
на площадь электродов S и время протекания постоянного тока
t левую часть преобразуем в массу катионов, пересекающих лю-
бое поперечное сечение за время t, в правой же части вместо j
получим It, так что = т+ к+ It/{Ze). Домножая в послед-
нем выражении числитель и знаменатель правой части на число
Авогадро, окончательно получаем массу катионов, переносимую
дрейфовым потоком за время t, в виде
М$г = к+^±,	(2.31)
Zj Г
что не совпадает с формулой (2.27)!
Несоответствие между количеством прореагировавшего ве-
щества (2.27) и количеством вещества, подходящего из объема
благодаря дрейфу ионов в электрическом поле (2.31), вызыва-
ет в электролите при стационарном протекании тока дополни-
тельный перенос массы за счет диффузии и конвекции, так что
концентрация вещества в каждой точке со временем не меняется
(если не учитывать медленной убыли общей концентрации элек-
тролита в растворе). В таком режиме чйсла переноса измерить,
следовательно, нельзя.
Если, однако, рассмотреть переходный процесс, то есть рас-
смотреть процесс включения тока, текущего через плоскопарал-
лельные электроды площадью S, то можно сформулировать урав-
нение, содержащее числа переноса.
Пусть до включения тока в цепи в бинарном электролите
с кратностью заряда ионов Z концентрация анионов и катио-
нов одинакова и равна щ = а п. Пусть после включения тока
прошло некоторое время t. За это время на катоде отложатся
2.3. ПРОВОДИМОСТЬ ЭЛЕКТРОЛИТОВ
135
катионы, масса которых определяется законом (2.27) и равна
А/_|_ = А± I t/(ZF). Мысленно проведем через электролит сред-
нюю плоскость, параллельную катоду и аноду. Дрейф катионов
из анодной половины в катодную частично восполнит уход кати-
онов на электрод на величину = к+ I t/ (ZF). Как видно,
общая масса катионов в прикатодном слое за время t уменьшит-
ся на величину
ДМ+ = М+ - M$r = k-A+I t/(ZF) .	(2.32)
Из того же прикатодного слоя анионы будут уходить за счет
дрейфа к аноду, причем убыль массы анионов можно найти, вос-
пользовавшись формулой (2.31), куда нужно лишь подставить
характеристики аниона:
ДМ_ = M<Lr = k_A_I t/(ZF).	(2.33)
Теперь легко сосчитать убыль количества (штук) катионов
ДАГ+ и анионов ДАТ. в прикатодной половине электролита. Из
(2.32) получаем
ДАГ+ = ДМ+/т+ = к. NAI t/(ZF) = I t/(Ze),	(2.34)
а из (2.33), соответственно,
ДАТ. = £±M_/m_ = к. NAIt/(ZF) = к. It/(Ze).	(2.35)
Сравнение двух последних формул показывает, что из прика-
тодной части электролита ушло одинаковое количество катионов
и анионов, то есть прикатодный объем остался электронейтраль-
ным, а масса электролита в нем снизилась, причем убыль массы
электролита в прикатодной части определяется [в соответствии
с формулами (2.32)—(2.33)] полным зарядом, прошедшим по це-
пи, и числом переноса анионов.
При подходящей анодной реакции аналогичный расчет мо-
жет быть произведен и для прианодной части, где убыль кон-
центрации электролита будет пропорциональна числу переноса
катионов.
Немецкий физик Иоганн Гитторф еще в 1853—1859 годах раз-
работал метод экспериментального определения чисел перено-
са ионов, измеряя изменения концентрации электролита вблизи
электродов. Из вышеизложенного ясно, что для этого необходи-
мо пропускать ток через электролит в течение не очень мало-
го и не очень большого промежутка времени. Не очень малого,
136
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
чтобы изменения концентрации, пропорциональные времени, не
были слишком малы и могли быть точно измерены. Не очень
большого, чтобы диффузия не успела привести к искажению ре-
зультатов. Кроме того, необходимо быть уверенным в отсутствии
конвекции, а после пропускания тока немедленно изолировать
друг от друга прианодную и прикатодную части раствора.
В итоге, сумма подвижностей анионов и катионов определя-
ется электропроводностью, а отношение подвижностей — изме-
нениями концентрации у электродов при включении тока. Полу-
чается система двух уравнений с двумя неизвестными, имеющая
элементарное решение, что делает возможным раздельное опре-
деление подвижностей и катионов, и анионов.
Произведя соответствующие тщательные измерения, Коль-
рауш в 1900 году сформулировал еще один закон:
Подвижность иона в разбавленном растворе не зависит от
природы других ионов, имеющихся в растворе.
Этот закон подтверждает, что в разбавленных растворах элек-
тростатическим взаимодействием между ионами можно прене-
бречь и считать, что они дрейфуют в электрическом поле неза-
висимо друг от друга. Оказалось, что предельные подвижности
ионов не сильно различаются между собЬй и лежат в интервале
(6±2)-10~8 м2/(с-В). В табл. 2.3 даны дрейфовые скорости ионов
в воде в электрическом поле напряженностью 1 В/см.
Видно, что дрейфовые скорости ионов невелики (несколько
сантиметров в час) и примерно одинаковы. Последнее, как отме-
чалось выше, объясняется выравниванием эффективного разме-
ра ионов за счет образования сольватной оболочки.
Таблица 2.3
Подвижности ионов в воде
Ион	Дрейфовая скорость в воде при Е = 1 В/см, мкм/с	Путь за один час, см	Ион	. Дрейфовая скорость в воде при Е = 1 В/см, мкм/с	Путь за один час, см
н+	32.63	11.75	(ОН)-	18.02	6.49
Li+	3.46	1.25	С1-	6.77	2.44
Na+	4.50	1.62	(NO3)-	6.39	2.30
к+	6.69	2.41	(СЮз)"	5.70	2.05
Также видно (см. табл. 2.3), что подвижность ионов Н+ (то
есть ядер атома водорода — протонов, о чем читатель узнает
2.3	. ПРОВОДИМОСТЬ ЭЛЕКТРОЛИТОВ 137
далее) существенно превышает подвижность других ионов, что
указывает на особенности их дрейфа в водных растворах.
Несколько забегая вперед, укажем, что протоны взаимодей-
ствуют с молекулами воды не только электростатически, но и ко-
валентно, образуя ион гидроксония (НзО)+, который, в свою оче-
редь, гидратируется, как и остальные ионы. В первичной оболоч-
ке гидроксония находятся три молекулы воды, связанные с по-
следним электростатически. Таким образом, ион Н+ в итоге со-
здает комплекс (HgC>4)+. Далее оказалось, что протон имеет зна-
чительную вероятность при благоприятной взаимной ориента-
ции соседних молекул воды перескакивать от одной молекулы
гидратного комплекса к другой или, как говорят, туннелировать.
Туннельные переходы — чисто квантовое явление, объясненное
квантовой механикой. При наличии в электролите электрическо-
го поля протон перескакивает преимущественно в направлении
поля, приобретая, таким образом, дополнительную подвижность
по сравнению с остальными ионами. Повышенная подвижность
анионов гидроксила объясняется аналогично.
Итак, примерно через сто лет после открытия химическо-
го действия электрического разряда была разработана теория
электролитической диссоциации, встретившая вначале сильное
сопротивление. Но в науке есть критерий истины — экспери-
мент, поэтому теория электролитической диссоциации, выводы
которой соответствовали и объясняли экспериментальные фак-
ты, стала общепризнанной. В основу теории легли атомистиче-
ские представления как на вещество, так и на электрический
заряд. Действительно, ионы, на которые в растворах распада-
ются молекулы, несут на себе положительные и отрицательные
заряды, кратные одной и той же величине (2.5).
Однако все это не привело к универсальному решению про-
блемы электрического заряда. По-прежнему считалось, что в ме-
таллах существует иной тип проводимости — ” металлический",
что по металлу текут невесомые электрические флюиды. В то
же время природа ионов оставалась совершенно загадочной. Это
были лишь весомые составные части молекул, почему-то обла-
давшие дискретными зарядами одной и той же величины Ze. Но
прямых доказательств последнего на самом деле не существо-
вало. Ведь гипотетически могло оказаться, что все ионы имеют
разные заряды, a Ze есть лишь их средняя величина. Тем не
менее, теория электролитической диссоциации создала тот на-
учный задел, который помог найти универсальное решение про-
блемы заряда. Произошло это при изучении проводимости газов.
138
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
2.4	Проводимость газов
В обычных условиях газы обладают очень малой электропро-
водностью, так что практически их можно считать изолятора-
ми. Тем не менее, очень давно было известно, что заряженный
шар на изолирующей подставке в воздухе постепенно теряет свой
заряд, причем скорость потери заряда не зависит от длины и по-
перечных размеров подставки, а зависит только от состояния
окружающего газа.
Было также известно, что через воздух может проскакивать
электрическая искра, а в середине XVIII века пришло понима-
ние, что молния, испокон веков пугавшая людей, есть электри-
17
ческая искра огромных размеров .
Газовый разряд начал изучать еще Фарадей, однако изучение
проводимости газов сдвинулось с мертвой точки только в сере-
дине XIX века, когда немецкий механик и физик Генрих Гейсслер
изобрел сначала ртутный вакуумный насос (1855 г.), а затем —
газоразрядную трубку (1858 г.). Газоразрядная трубка весьма
проста по своему устройству. Фактически это откачанная стек-
лянная трубка с двумя впаянными в стекло электродами — ано-
На рис. 2.5 изобра-
жена простейшая газо-
разрядная трубка 1, ам-
перметр 2, вольтметр
и источник высокого
напряжения 3 (отрица-
тельным полюсом со-
единенный с катодом
К, положительным —
Рис. 2.5. Простейшая газоразрядная с анодом А), вакуум-
трубка	HbIg Кран 4, соединяю-
щий трубку с вакуумным насосом (к которому ведет стрелка 6),
а также манометр 5 для измерения давления в трубке.
Если в такой трубке находится воздух при атмосферном дав-
лении, то при небольших напряжениях между катодом и анодом
17Интересно, что в это же время церковники утверждали, что колоколь-
ный звон может предотвратить удары молнии, а на колоколах помещали
надписи: "Изгоняю бесов, спасаю от молнии”. Если бы бог существовал, ве-
роятно, ему следовало бы послать бедолагам весточку о том, что во время
грозы звонить с высокой колокольни очень опасно. Но весточки не было,
а итоги таковы: только за 30 лет и только в Германии в конце XVIII века
было убито молнией 120 звонарей и разрушено 400 колоколен.
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ 139
тока в цепи практически не будет. Для достижения разряда, име-
ющего вид искры, проскакивающей между катодом и анодом,
в воздухе при атмосферном давлении необходимо создать элек-
трическое поле с напряженностью около 30 кВ/см.
При уменьшении давления в трубке напряжение зажигания
газового разряда начинает уменьшаться, а затем меняется сам
характер разряда.
При понижении давления между электродами возникает све-
тящаяся тонкая нить газа, затем нить начинает расширяться,
резко проявляется различие в свечении прианодной и прикатод-
ной областей, свечение захватывает весь объем трубки. Если дав-
ление в трубке установить примерно на уровне 1 Торр, то напря-
жение зажигания при этом давлении принимает минимальное
значение, а амперметр регистрирует постоянный ток, который
течет по цепи. Цвет свечения зависит от вида газа.
Если в трубке воздух, то он начинает излучать пурпурно-
фиолетовое свечение; неоновые трубки, широко используемые
в световой рекламе, дают красный свет. Более внимательное изу-
чение показыает, что свечение в объеме неоднородно. Весьма
приблизительное описание его таково: оно начинается вблизи
анода и доходит почти до катода. Если продолжать понижать
давление в трубке, то напряжение зажигания, пройдя минимум,
начинает возрастать, свечение газа усиливается, и это позволяет
увидеть темный промежуток, отделяющий область светящегося
газа, начинающуюся на аноде, от более узкой светящейся обла-
сти вблизи катода. В честь Фарадея эту темную область назвали
фарадеевым темным пространством.
При понижении давления до 0.01 Торр свечение газа распада-
ется на отдельные сгустки (называемые стратами) и ослабевает,
напоминая теперь серо-голубой светлый туман. Зато появляется
новый эффект — стекло трубки начинает испускать зеленоватый
свет. При уменьшении давления в трубке до 0.0001 Торр свече-
ние газа исчезает18, зато стенки трубки испускают ярко-зеленое
свечение.
Это свечение было впервые описано Гитторфом в 1869 го-
ду и позднее получило наименование катодных лучей, так как
выяснилось, что оно создается неизвестными лучами, вылетаю-
щими из катода трубки и распространяющимися внутри трубки
прямолинейно.
18 При таком давлении длина свободного пробега молекул начинает пре-
вышать размеры газоразрядной трубки. Столкновения в газе практически
прекращаются, и он перестает светиться.
140
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
На рис. 2.6 изображен клас-
сический опыт английского
химика и физика Уильяма
Крукса, внесшего значитель-
ный вклад в изучение ка-
тодных лучей. Газоразрядная
трубка откачана как раз до
столь малого давления, что
газ в ней уже не светится.
Рис. 2.6. Опыт Крукса (1879 г.) в темной комнате стеклянные
стенки газоразрядной трубки
испускают ярко-зеленое свечение. Если внутрь трубки поместить
какое-либо препятствие, например, мальтийский крест, препят-
ствие начинает отбрасывать тень на сторону трубки, противопо-
ложную катоду. Чем меньше катод, тем резче тень, что и привело
к заключению о том, что из катода перпендикулярно его поверх-
ности исходят катодные лучи, вызывающие свечение стекла.
В силу красоты и разнообразия эффектов, сопровождающих
газовый разряд, а также из-за простоты необходимого оборудо-
вания и загадочности происходящего, многие физики изучали га-
зовый разряд. Они, начиная с Фарадея и заканчивая Гитторфом,
высказывали мысли, что именно изучение газового разряда поз-
волит совершить прорыв в знаниях об электричестве. Эффект
же далеко превзошел все ожидания: изучение газового разря-
да привело к открытию рентгеновских лучей и, как следствие,
открытию радиоактивности. В ходе изучения катодных лучей
было осознано, что атомы не являются первичными составляю-
щими материи, а имеют сложную структуру, при этом был от-
крыт электрон — составляющая часть всех атомов, после чего
началось бурное развитие физической электроники и техниче-
ской электроники, а также атомной физики, что в совокупности
оказало огромное влияние на прогресс человечества в XX веке.
Из-за необыкновенной сложности явлений, сопровождающих
газовый разряд (вкратце описанных выше), многим крупным
ученым длительное время не удавалось понять механизм прово-
димости газов. Только когда была создана теория электролити-
ческой диссоциации, дело сдвинулось с мертвой точки и возник
естественный вопрос: имеет ли проводимость газов металличе-
ский или электролитический характер?
Сам Аррениус пытался изучать проводимость воздуха и сде-
лал вывод о том, что она может быть электролитической, то есть
связанной с переносом массы, а не только с переносом заряда.
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ 141
Однако ведущую роль в раскрытии механизма проводимости
газов сыграл директор знаменитой Кавендишской лаборатории
Джозеф Джон Томсон (1856—1940), получивший в 1906 году Но-
белевскую премию по физике "в знак признания его выдающихся
заслуг в области теоретических и экспериментальных исследова-
ний проводимости в газах”.
Когда Томсон приступил к исследованию газового разряда,
возможности менять электропроводность газов были ограниче-
ны. Было известно, например, что пламя свечи, поднесенное
к изолированному заряду, ускоряет процесс потери заряда. Но
в вакуумированной газоразрядной трубке свечу зажечь невоз-
можно. Соответственно, изучать проводимость газа при напря-
жениях на газоразрядной трубке, меньших напряжения зажи-
гания, было практически невозможно из-за того, что ток был
слишком мал. Тем не менее, Томсону удалось решить пробле-
му воздействия на электропроводность газов. Именно с этих со-
бытий в физике началась революция, которая на протяжении
первой половины XX века существенно повлияла на жизнь че-
ловечества.
28 декабря 1895 года года немецкий физик Вильгельм Рент-
ген, ставший в 1901 году первым лауреатом Нобелевской премии
по физике, опубликовал сообщение о том, что, изучая газовый
разряд, он открыл излучение неизвестной природы19, которое
назвал Х-лучами; основным свойством их была высокая прони-
кающая способность. И Томсон мгновенно подхватил эстафету.
Менее чем через месяц после первого сообщения Рентгена, уже
27 января 1896 года он сообщил об обнаружении эффекта поте-
ри заряда телами, облученными Х-лучами, а Рентген потерял
приоритет в открытии этого свойства рентгеновских лучей, хотя
и знал о нем, но не упомянул в первом сообщении об открытии
лучей, отложив опубликование соответствующего факта до по-
лучения вполне безупречных результатов. Томсон же не боялся
не только сообщать о предварительных результатах, но и мо-
ментально строил на их основе теоретические объяснения, чего
тщательно избегал делать Рентген.
Уже к марту 1896 года Томсон понял, что получил наконец
инструмент для изменения электропроводности газов. Он выдви-
нул гипотезу об ионизирующем действии рентгеновских лучей.
19 Об открытии Рентгена и рентгеновских лучах будет подробно расска-
зано в следующей главе. В Германии и России открытые лучи стали на-
зывать рентгеновскими, а в англоязычных странах их до сих пор именуют
Х-лучами.
142
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Последнее означает, что облучение рентгеновскими лучами вы-
зывает в газе образование некоторого количества отрицательно
и положительно заряженных ионов. Таким образом, за два меся-
ца Томсон понял механизм потери заряда телами при облучении
их Х-лучами. Причина заключалась в ионизации окружающе-
го воздуха. К заряженному телу под действием электрического
поля дрейфуют противоположно заряженные ионы и нейтрали-
зуют заряд.
Забегая немного вперед, опишем процесс ионизации в газах
при давлениях, близких к атмосферному, поскольку он суще-
ственно отличается от электролитической диссоциации. Воздух
примерно на 80 % состоит из молекул азота N2 и на 20 % из мо-
лекул кислорода О2, в которых в силу симметрии нет противо-
положно заряженных частей, как это изначально имеет место
для молекул электролита. Первичным процессом при взаимо-
действии рентгеновского излучения с воздухом является отрыв
электрона от некоторых молекул азота и кислорода, что может
быть изображено в виде реакций
N2 N+ + е~
И
О2 —+ е .
Вырванные из молекул электроны при атмосферном давле-
нии сразу же присоединяются к молекулам кислорода (отрица-
тельные ионы азота неустойчивы), что описывается формулой
О2 + е —> О2 •
Таким образом, в воздухе первоначально образуется равное
число однократно заряженных отрицательных и положительных
молекулярных ионов, но положительные ионы — это ионы мо-
лекул азота и кислорода, а отрицательные — преимущественно
ионы молекул кислорода.
Облучая воздух в газоразрядной трубке рентгеновскими лу-
чами, можно существенно увеличивать его электропроводность
и, тем самым, ток, регистрируемый амперметром даже при на-
пряжениях, много меньших напряжения зажигания разряда. Ес-
ли через газоразрядную трубку ток течет только тогда, когда
работает какой-нибудь внешний ионизатор, то такой разряд на-
зывается несамостоятельным. Соответственно, если ток в газе
идет при отсутствии посторонней ионизации, то такой процесс
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ 143
называется самостоятельным разрядом. Единственной причи-
ной последнего является напряжение, поданное на газоразряд-
ную трубку.
Прохождение тока через газы является предметом изучения
раздела физики, именуемого физикой газового разряда. Фор-
мы газового разряда весьма разнообразны (тлеющий, искровой,
коронный, дуговой разряды), процессы, протекающие при этом
в газе, очень сложны и все еще требуют дальнейшего изучения,
поэтому здесь не рассматриваются.
2.4.1 Несамостоятельный разряд.
Перенос заряда при несамостоятельном разряде внешне аналоги-
чен переносу заряда в электролитах. Количественная теория яв-
ления, подтвержденная многочисленными экспериментами, бы-
ла создана Дж.Дж. Томсоном и его многочисленными ученика-
ми. Теория Томсона об электропроводности газов дошла до на-
шего времени с очень небольшими изменениями. Ниже изложены
ее основные положения.
Ионизация газа рентгеновскими лучами (немного позже был
открыт еще один мощный источник ионизации — радиоактив-
ные вещества) характеризуется скоростью Q (или ’’мощностью”
ионизатора), то есть количеством ионов каждого знака, возни-
кающих в единице объема в единицу времени. Следовательно,
Q имеет размерность: [Q] = м-3-с-1. Теперь известно, что за-
ряды ионов в газах и электролитах кратны одной и той же наи-
меньшей величине (2.5). Однако в конце XIX века это было совер-
шенно неочевидно и предстояло доказать. Поэтому то, что ниже
используется обозначение е для заряда газового иона, никого не
должно вводить в заблуждение. Речь тогда шла о совершенно
неизвестной величине, которую лишь предстояло определить.
Одновременно с ионизацией в объеме идет обратный процесс
рекомбинации. В воздухе это реакции20
О2 + oj —2O2 и О2 + nJ —О2 + N2.
20Подобно тому, как итог сложных процессов при электролизе изобража-
ется токопотребляющей реакцией, здесь приведены лишь суммарные реак-
ции, верные при любых реальных механизмах рекомбинации. При больших
давлениях газа рекомбинация ионов идет путем образования квазимолекулы
с последующим переходом (туннельным) электрона от отрицательного иона
к положительному. При малых давлениях для завершения рекомбинации
необходимо присутствие третьего тела, чтобы снять запрет на одновремен-
ное выполнение законов сохранения импульса и энергии.
144
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Если локальные концентрации ионов есть п±, то скорость реком-
бинации, по аналогии с электролитами, может быть представле-
на в виде кг п_|_ п_. Если в газе создано электрическое поле, то
ионы начинают в нем дрейфовать, так что можно ввести понятие
подвижности /х± ионов в газах, а дрейфовые скорости выразить
через подвижности обычным образом: v^. = V±E.
Тем не менее, между электролитами и газами возникает су-
щественная разница, проявляющаяся, в частности, в том, что
электролиты подчиняются закону Ома, а газы — нет. Помимо
всего прочего, при обычных условиях концентрации ионов в воз-
духе на много порядков меньше концентраций ионов в электро-
литах. Вследствие этого дебаевский радиус в воздухе значитель-
но превышает таковой в электролитах. Например, принимая в ка-
честве типичной при облучении воздуха рентгеновской трубкой
средней мощности величину щ = 4 • 106 см-3, по формуле (2.11)
найдем, что rD ~ 0.42 м. Поскольку газоразрядные трубки имеют
подобные и мёныпие размеры, то в слабоионизованном газе мо-
жет существовать объемный заряд, то есть в ионизованных газах
концентрации положительных и отрицательных ионов в объеме
не обязаны быть равными. Если же концентрации ионов столь
велики, что дебаевский радиус много меньше размеров среды,
то такую среду теперь называют плазмой и по праву считают
четвертым состоянием вещества.
В свою очередь, градиенты концентрации ионов вызывают
появление их диффузионных потоков. Сами потоки описывают-
ся первым законом Фика (1.70), а вклад в скорость локально-
го изменения концентрации ионов из-за диффузии определяет-
ся уравнением диффузии (1.77). Соответственно, положитель-
ные и отрицательные ионы характеризуются коэффициентами
диффузии D±.
Ток насыщения
Представления о процессах в иони-
зованном газе, выработанные пре-
имущественно Томсоном, должны бы-
ли быть обоснованы эксперименталь-
но, а все введенные характеристики
ионов в газах (газовых ионов) — из-
мерены.
В первую очередь, Томсон уста-
Рис. 2.7. ВАХ несамосто- НОвил характерный вид вольт-ампер-
ятельного разряда (Томсон HOg характеристики (ВАХ) несамо-
и езерфорд, г.) стоятельного газового разряда, изоб-
раженный на рис. 2.7. Как видно, эта ВАХ является линейной (то
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ 145
есть соответствующей закону Ома) только при малых напряжен-
ностях электрического поля, затем ток достигает насыщения,
и лишь при очень больших напряженностях поля снова начи-
нается рост тока как предшественник начала самостоятельного
разряда. Развитые Томсоном и его многочисленными учениками
представления позволили объяснить вид измеренной ВАХ.
Найдем уравнения, которые описывают несамостоятельный
газовый разряд в простейшем случае — одномерном. Для это-
го предположим, что электроды (катод и анод) газоразрядной
трубки (см. рис. 2.5) образуют плоский конденсатор, расстояния
между обкладками которого много меньше их высоты, так что
все величины можно считать зависящими только от одной коор-
динаты х, отсчитываемой, для определенности, от катода.
’’Путеводной звездой” в поиске уравнения служит атомизм
вещества и заряда. Действительно, главные ’’действующие ли-
ца” разряда — ионы, несущие одну и ту же величину заряда е.
Попытаемся найти их концентрацию в любой точке объема. Для
этого рассмотрим сначала простейший случай, когда на трубку
напряжение не подано, а источник рентгеновских лучей (рент-
геновская трубка) работает, вызывая равномерную ионизацию
объема со скоростью Q,
В таком случае можно легко выразить скорость изменения
концентрации ионов в любой точке объема:
дп+ dt	— Q krn+n_ 4- D-\-	’	(2.36)
дп- dt	д2п- = Q кгп+п- + D_ 2 .	(2.37)
Смысл двух последних уравнений совершенно ясен: действие
ионизатора создает каждую секунду в единице объема Q штук
положительных и отрицательных ионов, рекомбинация умень-
шает это число, а последний член учитывает возможную диф-
фузию частиц в соответствии с уравнением диффузии (1.77).
Если цепь анод—катод снаружи трубки замкнута, то по цепи мо-
жет пойти ток даже при нулевой внешней разности потенциалов,
а внутри трубки появятся пространственный заряд и электриче-
ское поле. Действительно, в соответствии с первым законом Фи-
ка (1.70) градиент концентрации вызывает диффузионный поток
ионов, несущих заряд ±е. С учетом знака заряда ионов диффу-
146
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
зионную плотность тока можно записать в виде
дпл.	дп_	____
Jdiff = ~е£)+-^ + eD_-~— .	(2.38)
ох	ох
В общем случае в объеме трубки может возникнуть электри-
ческое поле, определяемое уравнением Максвелла
„z ч дЕ	ч е(п_|_ — п_)
div E(rr) = — = р/(ее0) =----—-----•	(2-39)
ОХ	£6о
Электрическое поле, в свою очередь, вызовет дрейфовую ком-
поненту плотности тока по формуле, аналогичной ранее исполь-
зованной для электролитов формуле (2.25):
jdr = e(n+/z+ +	.	(2.40)
Полная плотность тока будет суммой диффузионной и дрей-
фовой компонент, так что
j = | еп+ц+Е — eD+^^- ] + ( еп_ц_Е + eD_^^ ] , (2.41)
у	их J \	ox J
где в скобках даны компоненты плотности тока отдельно поло-
жительных и отрицательных ионов.
Наконец, электрический ток, очевидно, будет влиять на кон-
центрацию ионов в объеме. Таким образом, даже если к трубке не
приложено внешнее напряжение (тем более, если оно приложе-
но), возникает самосогласованная задача, когда действие иони-
затора и электрического поля определяет концентрацию ионов,
а концентрация ионов влияет на электрическое поле в объеме.
Чтобы учесть влияние плотности тока на концентрацию, вспом-
ним об уравнении непрерывности (1.74), являющемся следстви-
ем закона сохранения частиц. Применительно к данному слу-
чаю можно выписать по одному уравнению непрерывности для
положительно и отрицательно заряженных ионов с учетом то-
го обстоятельства, что потоки частиц и заряда для положитель-
ных ионов совпадают, а для отрицательных ионов — направлены
в противоположные стороны:
Эп+	j+	52п+	д z	_
— = -div- = r+^r-/I+^(n+B),	(2.42)
«!п Е).	(2.43)
dt	(—е) ох2	ох
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ
147
Два последних уравнения показывают, как дополнить систе-
му (2.36)—(2.37), чтобы учесть наличие электрического поля
в объеме:
Эп+	Э2п+ д ,	_	,,ч
—	= Q - krn+n_ + D+-^ - ц+ —(п+Е),	(2.44)
<	Эп_	д2п-	д .	.
—	— = Q -krn+n-+ D_—^ + ц-—(п_Е).	(2.45)
ot	ox*	ox
Уравнения (2.44)—(2.45) и (2.39) в принципе позволяют най-
ти три неизвестные функции п+(х), п_(х) и Е(х), после чего
с помощью (2.41) можно вычислить и плотность тока Дх).
Однако эта система нелинейных дифференциальных уравне-
ний слишком сложна для решения в общем случае. Поэтому нач-
нем ее поэтапно упрощать, как это всегда делают физики в по-
добных случаях, чтобы анализ предельных случаев объяснил бы
особенности ВАХ несамостоятельного разряда, изображенной на
рис. 2.7.
Сначала перейдем к рассмотрению стационарных режимов
несамостоятельного разряда, то есть таких режимов, когда ниче-
го от времени не зависит. Тогда частные производные по времени
обращаются в нуль, и вместо системы (2.44)—(2.45) получается
система
Q = кгп+п_ -	+ v+^-tn+E) = кгп+п- 4-	,	(2.46)
ох*	ох	е	ох
д2п_	д	1	di—
Q = кгп^п- -	--ii_ — (n_E') = кгп+п_---— .	(2.47)
ох*	ох	е	ох
Выпишем для полноты еще раз уравнение для электрического
поля:
дЕ е(п+— п)
дх ее$
(2.48)
Система (2.46)—(2.48) определяет концентрацию ионов и на-
пряженность электрического поля для стационарного несамосто-
ятельного газового разряда. Отметим, что в стационарном ре-
жиме в силу закона сохранения заряда ток (а в данном случае
и плотность тока) в любом сечении цепи должен быть постоян-
ным. И действительно, вычитая (2.47) из (2.46), убеждаемся, что
dj/dx = 0.
148
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Любая система дифференциальных уравнений должна быть
дополнена краевыми условиями. Вообще говоря, процессы вза-
имодействия ионов с поверхностями твердых тел весьма слож-
ны и изучаются физической электроникой. Будем для опреде-
ленности полагать, что электроды плоского конденсатора в га-
зоразрядной трубке — металлические. Если электрод заземлен,
то будем считать, что ионы на его поверхности разряжаются,
вновь образуя нейтральные молекулы. Следовательно, на элек-
троде с нулевым потенциалом концентрация любых ионов долж-
на быть нулевой. Если же потенциал электрода положительный,
то подойти к такому электроду и разрядиться могут, очевид-
но, только отрицательные ионы. Наоборот, положительные ио-
ны разряжаются на отрицательном электроде. Это означает, что
на катоде должна быть нулевая концентрация положительных
ионов, а на аноде — отрицательных.
Начнем теперь упрощать систему уравнений (2.46)—(2.47),
описывающую экспериментально измеренную Томсоном ВАХ,
изображенную на рис. 2.7. Правые части уравнений системы со-
держат по три слагаемых, соответствующих вкладам рекомбина-
ции, диффузии и дрейфа. Если одно из слагаемых много меньше
двух остальных, его отбрасывают.
Начнем с предела слабого электрического поля (Е —> 0, что
соответствует увеличению расстояния между обкладками кон-
денсатора при неизменной разности потенциалов между обклад-
ками), когда в системе (2.46)—(2.48) можно пренебречь членами,
линейными по Е.
Тогда система (2.46)—(2.48) имеет очевидное решение:
п_|_ = П_ = const (х) = Пг , Е = const (х) = Ео .
Газ в этом пределе электронейтрален, электрическое поле од-
нородно, а величину постоянной концентрации ионов определя-
ет соотношение скоростей ионизации и рекомбинации. Действи-
тельно, подстановка постоянных и равных концентраций ионов
в (2.46)—(2.47) дает единственное уравнение относительно
Q = кгп? ,	(2.49)
имеющее решение
т = ^Q/kr .	(2.50)
Если же расстояние между электродами большое, но конеч-
ное, а концентрация ионов должна обращаться в нуль на проти-
воположно заряженных электродах, то концентрация ионов не
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ 149
может быть постоянной во всем объеме. Вблизи электродов об-
разуются узкие переходные слои, где концентрация убывает от
максимальной (2.50) до нуля. Соответственно, вблизи электро-
дов возникают и значительные диффузионные токи. Однако ес-
ли толщина переходных слоев много меньше расстояния меж-
ду электродами21, то практически во всем объеме концентрация
ионов будет очень незначительно меняться, вследствие чего диф-
фузионными потоками все же можно пренебречь по сравнению
с рекомбинацией.
Итак, в случае слабого электрического поля Eq = const плот-
ность тока будет определяться уравнением (2.41) с отброшенны-
ми диффузионными членами:
j = eni(p,+ + /z-)Eo .	(2.51)
Последнее уравнение есть закон Ома в дифференциальной фор-
ме. На начальном участке ВАХ, измеренной Томсоном, такой
участок присутствует; это означает, что при малых напряженно-
стях электрического поля в несамостоятельном разряде выводы
теории подтверждаются экспериментом.
Другой случай — очень большие электрические поля, когда
можно пренебречь и диффузией, и рекомбинацией. Тогда урав-
нения (2.46)—(2.47) переходят в систему:
Q = /z+^-(n+E),	(2.52)
ах
Q =	(2.53)
ах
которую нужно дополнить краевыми условиями. Направим ось
Ох от катода к аноду, начало координат х = 0 совместим с ка-
тодом, расстояние между электродами обозначим буквой Л, что
даст следующие граничные условия: п+(0) = 0, п_(Л.) = 0. Ре-
шение системы (2.52)—(2.53) с учетом граничных условий дает
п+Е = Qx/П-Е = Q(h — х)/ц,_. Подставляя два последних
соотношения в выражение для плотности тока (2.41), получаем
js = eQx + eQ(h — х) = eQh,	(2.54)
то есть участок насыщения на экспериментальной ВАХ.
21 Последнее условие будет, очевидно, выполнено, если расстояние между
электродами много больше дебаевского радиуса, так что основная масса газа
будет автоматически электронейтральной.
150
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Физический смысл полученного решения очень прост. Вели-
чина Qh есть полное число ионов каждого знака, создаваемых
ионизатором в секунду в проводящем объеме с единичным осно-
ванием и высотой, равной h. Поскольку величина тока есть ко-
личество заряда, пересекающего поперечное сечение проводника
за секунду, очевидно, что ток во внешней цепи газоразрядной
трубки не может превышать полного числа ионов любого знака
(создаваемых ионизатором между катодом и анодом), умножен-
ного на величину заряда газового иона е.
Как видно из (2.41), на участке насыщения плотность тока
(и ток) не зависит от напряжения, приложенного между катодом
и анодом, и прямо пропорциональна расстоянию h между като-
дом и анодом. Другими словами, увеличение расстояния между
электродами (если, конечно, ионизация объема постоянна) при-
ведет к росту тока, текущего через газоразрядную трубку, по-
скольку теперь в проводящем зазоре создается бблыпее число
ионов в единицу времени. Для сравнения вспомним, что по за-
кону Ома, которому подчиняются проводники первого и второго
рода, при постоянном напряжении ток обратно пропорционален
длине проводника.
Таким образом, Томсон разгадал физический механизм про-
водимости газов и построил математическую модель, правиль-
но описывающую особенности ВАХ несамостоятельного разряда.
Однако природа газовых ионов выглядела совершенно загадоч-
ной, было даже неясно, чему равен их заряд. Если бы величина
заряда газовых ионов была установлена, то это позволило бы, из-
меряя ток насыщения, измерять ’’мощность” ионизатора, то есть
неизвестную заранее величину Q. Необходимо было также изме-
рить коэффициент рекомбинации ионов, их подвижности и ко-
эффициенты диффузии. Все эти задачи были решены Томсоном
и его учениками в конце XIX века.
2.4.2 Экспериментальное определение
характеристик газовых ионов
В данном подразделе описаны наиболее простые эксперименты,
позволяющие определить параметры газовых ионов.
После пионерских исследований Томсона и его школы методы
экспериментального определения характеристик ионов в газах
развивались и усовершенствовались на протяжении многих деся-
тилетий. К середине XX века только методов измерения подвиж-
ностей ионов было предложено больше двадцати. Ниже описаны
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ
151
идеи не самых точных, но зато самых простых методов измере-
ния соответствующих величин.
Подвижность ионов.
Самая простая идея метода измерения подвижности ионов
заключается в сравнении дрейфовой
скорости ионов в известном электри-
ческом поле со скоростью газового
потока. На рис. 2.8 изображена схе-
ма соответствующей установки, со-
зданной учеником Томсона Джоном
Зёлени в 1898 году.
В плоский конденсатор с сетча-
тыми катодом К и анодом А втяги-
вается исследуемый газ, движущий-
ся по трубе слева направо с задан-
ной скоростью V. Газ в конденсато-
ре ионизируется рентгеновскими лу-
чами, испускаемыми рентгеновской
трубкой I и проходящими сквозь от-
верстие в свинцовом экране над кон-
денсатором. Между катодом и ано-
дом приложена небольшая разность
Рис. 2.8. Установка для из-
мерения подвижности ионов
(Дж. Зёлени, 1898 г.)
потенциалов С7, так что можно считать, что газ электроней-
трален, а напряженность электрического поля в нем постоянна
и равна Е = U/h.
Положительно заряженные ионы поток газа будет сносить
вправо со скоростью V, а влево они будут дрейфовать со ско-
ростью = ц+Е. Только тогда, когда > V, положитель-
ные ионы смогут достигать катода и разряжаться на нем, ам-
перметр зафиксирует ток в цепи. Увеличивая от нуля величину
U до тех пор, пока амперметр не начнет показывать ток, можно
найти подвижность положительно заряженных ионов, а меняя
знак потенциала на обкладках, можно найти подвижность и от-
рицательных ионов. Оказалось, что подвижности газовых ионов
примерно на четыре порядка выше подвижностей ионов в элек-
тролитах. При небольших степенях ионизации газа подвижности
ионов не зависят от наличия в газе других ионов, что позволяет
вспомнить закон Кольрауша для электролитов, утверждающий
то же самое относительно ионов при малых концентрациях элек-
тролита в растворе.
При росте давления подвижность ионов падает обратно про-
порционально давлению, что связано, конечно, с увеличением
152
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
частоты столкновений ионов с нейтральными молекулами.
В табл. 2.4 приведены подвижности ионов в воздухе и кисло-
роде при атмосферном давлении и комнатной температуре.
Движение ионов в газе
носит сложный характер. На-
пример, ион поляризует ок-
ружающие его молекулы га-
за. Это ведет к возникнове-
нию сил притяжения между
Таблица 2.4
Газ	м+, м2/(В-с)	м2/(В-с)
Воздух	1.35 • 10“4	1.83 • 10“4
02	1.32 • ИГ4	1.81 • 10“4
ионом и его окружением, при столкновении иона с молекулой
той же природы возможна эстафетная передача заряда от иона
к молекуле. Отрицательно заряженные ионы имеют заметно бо-
лее высокую подвижность, чем положительно заряженные. Этот
факт будет разъяснен в следующем пункте, посвященном изме-
рению коэффициентов диффузии.
Кроме того, в сильных электрических полях или при дав-
лениях, много мёныпих атмосферного, или в газах, молекулы
которых не могут образовывать устойчивых отрицательно заря-
женных молекулярных ионов, носителями отрицательного заря-
да становятся непосредственно электроны.
Все эти явления изучаются физикой газового разряда и фи-
зикой плазмы вот уже более ста лет и здесь не могут быть рас-
смотрены подробнее.
Коэффициент диффузии.
Вспомним, что при большом расстоянии между обкладками
плоского конденсатора диффузией можно пренебречь. Если, на-
оборот, обкладки сильно сблизить и, ионизируя газ, их одновре-
менно заземлить, то максимальной концентрация ионов будет
в середине зазора, при падении до нуля на обкладках. Таким об-
разом, в зазоре возникнут значительные градиенты концентра-
ции положительных и отрицательных ионов, поэтому рекомбина-
цией и дрейфом можно пренебречь по сравнению с диффузией.
Тогда уравнения (2.46)—(2.47) примут единообразный вид:
Q + D±
d2n±
dx2
= 0.
(2.55)
Поскольку обе обкладки заземлены, то последнее дифференци-
альное уравнение второго порядка дополняется граничными усло-
виями n±(0) = n±(/i) = 0.
Решение затруднений не вызывает и дает следующее выраже-
ние для концентраций положительных и отрицательных ионов:
п± = Qx(h — x)/2D± .
(2.56)
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ 153
Пользуясь зависимостью (2.56), легко найти суммарные за-
ряды q± ионов каждого знака между обкладками конденсатора:
h
q± = Se [ п± dx =	.	(2.57)
J	12ь»±
0
Если выключить ионизатор и подать на электроды высокую
разность потенциалов, все положительные ионы уйдут на катод,
а отрицательные — на анод. Заряды, прошедшие по цепям ано-
да и катода, легко измерить, и для определения коэффициен-
тов диффузии останется найти произведение еф, для чего необ-
ходимо измерить ток насыщения (2.54) при действии того же
ионизатора, но не для узкого, а для широкого зазора между об-
кладками. Раздвинув обкладки на расстояние Л, измеряют ток
насыщения Is = SeQH. Подстановка eQ из последней формулы
в (2.57) окончательно дает для коэффициентов диффузии
I h3
= • (2-58)
12±z q±
В правую часть (2.58) входят лишь макроскопические ве-
личины, измерение которых и дает коэффициенты диффузии
ионов в газах. Эксперименты, проведенные другим учеником Том-
сона — Таунсендом — в 1899 году, показали, что коэффициенты
диффузии газовых ионов не зависят от вида ионизатора, а за-
висят лишь от параметров ионизуемого газа — его химической
природы, температуры и давления. В частности, коэффициент
диффузии, как и подвижность иона, обратно пропорционален
давлению газа.
В табл. 2.5 приведены коэф-
фициенты диффузии газовых
ионов при атмосферном давле-
нии и Г = 15 °C. Видно, что по
сравнению с коэффициента-
ми диффузии нейтральных мо-
лекул в тех же условиях коэффициенты диффузии газовых ионов
малы. Так, в разделе 1.2 (см. табл. 1.1) приведен коэффициент
диффузии молекул воды в воздухе: 2.3 • 10-5 м2/с.
Также для сравнения приведем коэффициенты самодиффу-
зии при нормальных условиях для азота 1.7 • 10-5 м2/с и кисло-
рода 1.8 • 10“5 м2/с. Коэффициенты диффузии ионов в воздухе
Таблица 2.5
Газ		- о S'?
Воздух	3.0 • 10-6	4.3 • 10-6
02	2.7 • 10-6	4.0 • 10“б
154
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
примерно на порядок ниже коэффициентов диффузии соответ-
ствующих нейтральных молекул. Зато по порядку величины ко-
эффициенты диффузии ионов в воздухе совпадают с коэффици-
ентом самодиффузии газа с тяжелыми и большими молекулами.
Например, для газообразного соединения урана (шестифтори-
стого урана UFe) D = 1.65 • 10-6 м2/с.
Вспомним формулу (1.71) для коэффициента диффузии мо-
лекул в газах: D = Xv/S. Если считать, что ион, не взаимодей-
ствуя с соседними молекулами, испытывает столкновения в га-
зе с той же частотой, что и нейтральные частицы, а средняя
энергия иона не сильно отличается от тепловой энергии молекул,
то уменьшение коэффициента диффузии может быть объяснено
увеличением массы ионов.
Такой вывод и сделал Томсон: в газах ионы являются центра-
ми агрегации для некоторого числа молекул, что ведет к увели-
чению массы иона и уменьшению его тепловой и дрейфовой ско-
ростей. Точка зрения Томсона подтверждалась также эффектом
"старения” ионов, то есть уменьшением подвижности только что
образованных в газе ионов. Образование устойчивых комплексов
из иона и 10—15 молекул объясняет и неравенство коэффициен-
тов диффузии и подвижности отрицательных и положительных
ионов при высоких давлениях. Положительно заряженный пер-
вичный молекулярный ион имеет меньшие размеры, чем отрица-
тельный ион. Соответственно, электрическое поле в окрестности
положительного иона сильнее, что приводит к его более сильно-
му взаимодействию с окружающими молекулами.
Последующие исследования позволили сделать вывод о том,
что подобное налипание молекул на ионы характерно лишь для
высоких давлений в газе, когда на длине свободного пробега ион
не успевает набрать значительную скорость, в результате чего
столкновение его с молекулами происходит при небольших теп-
ловых скоростях, а оболочка из нейтральных молекул не разру-
шается. При малых давлениях в газе образования устойчивого
комплекса молекул вокруг иона не происходит, но тогда скорость
иона (и, соответственно, его подвижность) уменьшается не из-
за увеличения его массы, а из-за поляризационного притяжения
к нему нейтральных молекул, в результате которого ион и пере-
дает свой импульс нейтральным соседям.
Коэффициент рекомбинации ионов.
Метод измерения коэффициента рекомбинации похож на ме-
тод определения коэффициента диффузии. Нужно лишь выбрать
широкий зазор, тогда в промежутке между заземленными элек-
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ
155
Таблица 2.6
Газ	кг, м3/с
Воздух	1.60-10"12
О2	1.61 • 10-12
тродами примерно постоянная концентрация положительных
и отрицательных ионов при постоянном действии ионизатора бу-
дет определяться формулой (2.50): щ = y/Q/kr. Соответственно,
полные заряды ионов каждого знака q± между обкладками лег-
ко определяются: q± = eShrti. Далее все происходит так же, как
и в предыдущем случае, а для определения коэффициента ре-
комбинации получается формула kr = eIsSh/q±.
Однако если коэффициенты диффузии определялись только
через макроскопически измеряемые величины, в данном методе
коэффициент рекомбинации может быть определен лишь тогда,
когда известен заряд иона. Далее описано, как был измерен за-
ряд газовых ионов. Оказалось, что он в точности равен заряду
ионов в электролитах, определяемому формулой (2.5), что и поз-
волило найти коэффициенты рекомбинации ионов в различных
газах.
В табл. 2.6 приведены коэффициен-
ты рекомбинации ионов при атмосфер-
ном давлении и комнатной температу-
ре. О механизме рекомбинации ионов
выше уже было сказано. Коэффициент
рекомбинации ионов увеличивается с ро-
стом давления и уменьшается с ростом температуры. Кроме то-
го, рекомбинация резко возрастает при загрязнении газа пылью,
дымом или капельками жидкости.
Заряд ионов в газах.
Определение заряда ионов в газах, наряду с установлением
природы проводимости газов, было важнейшей задачей, посколь-
ку могло приблизить физиков к разгадке тайны электрического
заряда. Томсон и его ученики несколькими разными методами
впервые определили величину е для газовых ионов.
Самый остроумный и простой способ измерения е, как оказа-
лось, не требовал никаких других измерений, кроме определения
подвижности и коэффициента диффузии иона. Дело в том, что,
независимо от механизма дрейфа и диффузии иона в среде, меж-
ду этими двумя коэффициентами в слабых электрических полях
должна существовать связь.
Действительно, при дрейфе на частицу действует некоторая
внешняя сила, а среда тормозит частицу, в итоге устанавливает-
ся некий ’’компромисс” между действующей силой и сопротив-
лением среды, уравновешивающими друг друга, в результате же
частица движется в среде с постоянной дрейфовой скоростью.
В то же время каждая из частиц диффузионного потока тор-
156
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
мозится средой по тому же самому закону, что и в случае дрей-
фового движения. В конце концов устанавливается некоторая
’’скорость диффузии”, мерой которой, как было показано в преды-
дущей главе, и является коэффициент диффузии.
Чтобы найти уравнение, связывающее между собой подвиж-
ность иона и коэффициент диффузии, рассмотрим плоский кон-
денсатор, наполненный каким-либо газом.
Для простоты представим, что в газ каким-либо способом
введены только положительные ионы, а на обкладки конденсато-
ра поданы два разных положительных потенциала (но при этом
внешняя цепь газоразрядной трубки разомкнута), так что по-
ложительные ионы не могут попасть на обкладки и их полное
число в газе не изменяется.
В газе установится некоторое стационарное распределения
концентрации п+(ж) и электрического поля Е\ж), подчиняющих-
ся, естественно, уравнениям (2.46)—(2.48) при п_ = 0. Поскольку
внешняя цепь разомкнута, а условия стационарные, то полная
плотность тока положительных ионов в любом сечении равна
нулю, что дает следующее тождество:
/	\	-г- / \ т-'ч	(ж)	z ч
п+(ж)/1+Е(ж) =	—-----.	(2.59)
dx
Кроме условия тождественного равенства нулю плотности
электрического тока, равновесное состояние среды характеризу-
ется и другими условиями. В частности, на любой замкнутый
объем среды в равновесии действует суммарная нулевая сила.
Выделим в промежутке между обкладками произвольный тон-
кий слой газа между точками х и х + Дж с единичной площадью
основания. На ионы в этом слое действует электростатическая
сила е£?(ж)п_|_(ж)Дж. Очевидно, что эта сила уравновешивается
только разностью парциального давления ионов в среде. Обо-
значим парциальное давление положительных ионов через р+.
Вспоминая основное уравнение кинетической теории газов (1.32)
р = 2п£/3 и считая, что в термодинамическом равновесии сред-
няя кинетическая энергия ионов постоянна по объему, можно
найти силы парциального давления ионов на выделенный слой.
Действительно, в положительном направлении оси Ох действует
давление на левую границу слоя, а сила давления на единичную
площадку есть р(х). На правую границу слоя действует сила дав-
ления —р(х + Дж). Суммарная сила давления, действующая на
слой, равна алгебраической сумме р(х) — р(х + Дж). Теперь мож-
но выписать условие равенства нулю полной силы, действующей
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ 157
на выделенный слой:
2 —
е£?(ж)п+(ж)Лж — - £ [п+(ж + Дж) — п+(ж)] = 0.	(2.60)
о
Разделив последнее уравнение на Дж и затем перейдя к пределу
Дж -> 0, получим еще одно тождество, отражающее механиче-
ское равновесие среды:
2^dn+(x)
еЕ(х)п+(х) =- 8 —----
3 ах
(2-61)
Теперь осталось лишь сравнить тождества (2.61) и (2.59).
Еще проще разделить одно тождество на другое, что и дает ис-
комую связь между коэффициентом диффузии иона и его по-
движностью:
eZ>+
М+ 25/3‘
(2.62)
Очевидно, что приведенный вывод распространяется и на отри-
цательные ионы.
Равенство (2.62) упрощают, рассматривая слабые электриче-
ские поля, когда на длине свободного пробега ион набирает энер-
гию, не слишком превышающую его среднюю тепловую энергию.
В таком случае можно считать, что ионы находятся в термодина-
мическом равновесии с газом, распределение по скорости ионов
максвелловское, для них можно ввести понятие температуры,
которая должна совпадать с температурой газа. Поскольку тем-
пература и есть мера средней кинетической энергии частицы,
определяемая формулой (1.13), то тождество (2.62) принимает
окончательный вид:
eD±
М± = ~кТ'
(2.63)
Тождество (2.63) для ионов выполняется тем лучше, чем сла-
бее электрическое поле (возможность ввести температуру для
ионов) и чем меньше концентрация ионов (возможность харак-
теризовать ионы подвижностью и коэффициентом диффузии, не
зависящими от присутствия других ионов в среде). Полученное
тождество носит достаточно универсальный характер. Напри-
мер, оно применимо к разбавленным электролитам, когда вы-
полняется закон Кольрауша.
Аналогичное соотношение между коэффициентом диффузии
броуновской частицы и ее подвижностью было выведено Эйн-
штейном в 1905 году. Действительно, уравнение (1.123) можно
158
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
привести к виду v/F = D/(kT\ где v/F = К = бтгт/г — ве-
личина, аналогичная (с точностью до множителя ё) подвижно-
сти иона. Точно к такому же виду можно привести и уравнение
(2.62), если вспомнить, что для иона = v+/E = ev+/F.
Равенство (2.63) может быть положено в основу метода экс-
периментального определения заряда газового иона.
Первые измерения заряда ионов в газах были выполнены Та-
унсендом и Томсоном в 1897—1898 годах, а в 1900 году Таун-
сенд воспользовался именно равенством (2.63) и уже выполнен-
ными измерениями коэффициентов подвижности и диффузии
ионов для нового определения заряда ионов в газах. Если вос-
пользоваться данными, приведенными в настоящем разделе (см.
табл. 2.4 и 2.5), и вычислить с помощью формулы (2.63) заряд га-
зового иона, то он окажется равным элементарному заряду (2.5)
с погрешностью примерно в 10%, так как точнее коэффициен-
ты подвижности и диффузии в конце XIX века измерить было
22
затруднительно .
Сравнив заряд газовых и электролитических ионов, имеющих
различное происхождение, Томсон высказал оказавшееся совер-
шенно справедливым предположение, что заряд ионов и в элек-
тролитах, и в газах кратен одной и той же величине элемен-
тарного электрического заряда (2.5). Получалось, что и в газах,
и в жидкостях весомая материя связана с неизменным дискрет-
ным количеством электричества22 23, которое можно назвать ”ато-
22В современной литературе уравнение (2.63) называется соотношени-
ем Эйнштейна, что является явной исторической несправедливостью. Эйн-
штейн был великим ученым, и его именем справедливо названо несколько
важнейших уравнений физики, поэтому никакого ущерба для авторитета
Эйнштейна не будет, если восстановить историческую справедливость и на-
зывать уравнение (2.63) уравнением Томсона—Таунсенда. Действительно,
представление о ионах в газах было разработано Томсоном, а все характе-
ристики ионов — заряд, коэффициенты подвижности, диффузии, рекомби-
нации были измерены Томсоном и его учениками. В частности, уравнение
(2.63) в явном виде было получено уже в работе Таунсенда 1900 года, на ос-
новании этого уравнения Таунсенд произвел измерение заряда иона в газах.
В Кембридже это уравнение называли уравнением Таунсенда. Эйнштейн
же на пять лет позже Таунсенда развил теорию движения нейтральных
броуновских частиц, поэтому называть уравнение (2.63) соотношением Эйн-
штейна — это значит допускать историческую несправедливость по отноше-
нию к Томсону и Таунсенду.
23Вспомним, что молекулы электролитов изначально содержат заряжен-
ные фрагменты и разваливаются на ионы уже в растворе, под действием
молекул растворителя. Молекулы же газов (кислорода, азота, водорода)
симметричны и электронейтральны, однако под действием ионизатора тоже
превращаются в ионы.
2.4. ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ 159
мом электричества”.
Тем не менее, природа ионов все еще продолжала оставаться
загадочной, и Томсон, продолжая изучать газовый разряд, со-
вершил величайшее открытие в физике. Он доказал, что атомы,
считавшиеся до того неделимыми, имеют внутреннюю структу-
ру, а также открыл первую элементарную частицу — электрон.
Однако прежде, чем продолжить изучение исследований Том-
сона, остановимся на ионном составе атмосферы и обнаруженной
позднее биологической роли атмосферных ионов.
Биологическое действие атмосферных ионов.
Площадь поверхности (кожи) взрослого человека составляет
1.5—2 м2, а внутренняя поверхность легких24 — около 100 м2!
При спокойном дыхании каждую минуту человек делает 16—20
вдохов, объем легочной вентиляции — 8 л/мин. Все, что содер-
жится в воздухе, попадает на гигантскую внутреннюю поверх-
ность легких. Поэтому можно сказать, что через легкие внеш-
няя среда оказывает огромное воздействие на человека. Важно,
чтобы воздух был чистым и не содержал бы никаких токсинов
и канцерогенов (например, табачного дыма, которым вынужде-
ны дышать некурящие, находящиеся в одном помещении с ку-
рильщиками).
Однако для здоровья человека даже более важным факто-
ром, чем чистота воздуха, является ионный состав атмосферы.
Газы, входящие в состав атмосферы Земли, подвергаются непре-
рывной ионизации.
Над океанами основная ионизация происходит в верхних сло-
ях атмосферы под действием солнечного ультрафиолетового из-
лучения (вредного в больших дозах для здоровья человека и за-
держиваемого преимущественно озонным слоем) и космических
лучей, состоящих на 99 % из быстрых протонов.
В нижних слоях атмосферы над сушей ионизация идет под
действием содержащихся в земной коре и атмосфере радиоак-
тивных веществ.
Таким образом, в атмосфере идет непрерывный процесс иони-
зации и последующей рекомбинации ионов (либо нейтрализации
последних на земной поверхности или поверхностях других пред-
метов). Первичные молекулярные ионы при атмосферном давле-
нии образуют устойчивые комплексы, содержащие по 10—15 мо-
лекул. Эти ионы называются легкими и имеют размеры от 6 до
24 Легче представить себе, что вы находитесь в зале площадью 100 м2. Так
вот, площадь пола примерно равна площади внутренней поверхности ваших
легких.
160
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
80 А.
Если в воздухе находятся частицы аэрозоля, то легкие ионы
оседают на них, образуя тяжелые и ультратяжелые ионы с раз-
мерами 250 А и больше. В атмосфере обнаруживаются и так
называемые средние ионы с размерами 80—250 А, природа кото-
рых еще не вполне ясна.
Концентрация ионов в атмосфере зависит от времени суток,
времени года (летом она больше, зимой меньше), климатических
условий. В Санкт-Петербурге и Москве средняя концентрация
легких ионов по порядку величины составляет около 300 штук на
кубический сантиметр. На рис. 2.9 показан годовой ход концен-
трации легких положительных и отрицательных ионов по трех-
летним наблюдениям, законченным в 1911 году.
Рис. 2.9. Годовой ход концен-
трации легких ионов в Москве
(А.А. Сперанский, 1911 г.)
Если сравнить концентра-
цию легких ионов с числом
Лошмидта п = 2.69-1019 см-3,
то есть количеством молекул
в кубическом сантиметре воз-
духа при нормальных услови-
ях, то окажется, что степень
естественной ионизации воз-
духа ничтожна и составляет
величину порядка 10-17. Од-
нако исследования, проведен-
ные многими учеными в на-
чале XX века, среди которых
следует выделить пионерские
работы А.Л. Чижевского, по-
казали, что легкие атмосфер-
ные ионы обладают заметным
биологическим действием.
Человек, как и прочие мле-
копитающие, есть продукт длительной эволюции, происходив-
шей на Земле, в ходе которой организмы приспособились к окру-
жающим условиям, в том числе и к ионному составу атмосферы.
Опыты на мышах, крысах, кроликах, собаках показали, что от-
сутствие во вдыхаемом воздухе ионов (удаляемых с помощью
фильтра) через несколько дней приводит к смерти животного.
Результаты исследований А.Л. Чижевского можно подыто-
жить его следующим высказыванием: "Отрицательные ионы
кислорода атмосферного воздуха являются обязательными для
живого организма факторами внешней среды, без которых невоз-
2.4 ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ
161
можно длительное сохранение высокоорганизованной жизни11.
Положительные ионы таким же биологическим действием не
обладают, более того, в повышенных дозах они являются небла-
гоприятным фактором для здоровья человека.
В связи с вышеизложенным следует подчеркнуть, что нали-
чие дыма в помещении приводит к резкому уменьшению кон-
центрации легких ионов. Таким образом, курение является фак-
тором, оказывающим всестороннее негативное влияние на здо-
ровье. Так как право некурящих на жизненно необходимый чи-
стый воздух безусловно выше права курильщиков на курение,
то следует признать справедливой и научно обоснованной борь-
бу, ведущуюся во многих цивилизованных странах с курением
в общественных местах.
Концентрация легких ионов
падает и в непроветриваемых
помещениях, где находится мно-
го людей, так как, вдыхая лег-
кие ионы, человек выдыхает
лишь тяжелые ионы, не облада-
ющие полезным биологическим
действием. В качестве приме-
ра на рис. 2.10 показана дина-
мика концентрации легких по-
ложительных и отрицательных
ионов в непроветриваемом по-
мещении объемом 65.5 м3, в котором находится 16 человек. Уже
через час концентрация отрицательных ионов падает до предель-
но низкого уровня, вредного для здоровья людей.
Рис. 2.10. Динамика концентра-
ции легких ионов в непроветрива-
емом помещении с людьми
2.5 Катодные лучи. Открытие электрона
и делимости атома
В предыдущем разделе отмечалось, что понижение давления в га-
зоразрядной трубке ниже 10-4 Торр и подача на трубку напря-
жения в несколько десятков киловольт приводят к испусканию
из катода лучей (названных катодными), попадание которых на
стеклянные стенки трубки вызывает зеленоватое свечение (см.
рис. 2.6).
Наиболее значительный вклад в изучение катодных лучей на
начальном этапе внес английский физик и химик Крукс, выяс-
нивший, что алмазы и рубины, помещенные внутрь газоразряд-
162 ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
ной трубки, фосфоресцируют под действием катодных лучей;
что катодные лучи обладают механическим действием, застав-
ляя вращаться так называемую мельницу Крукса — устройство,
напоминающее лопасти колесного парохода; что сфокусирован-
ные катодные лучи раскаляют платиновую нить. Наконец, Крукс
добился магнитного отклонения катодных лучей и установил,
что параллельные потоки катодных лучей отталкиваются друг
от друга. Подавая на крест (см. рис. 2.6) положительный заряд,
Крукс добивался сужения тени, при отрицательном же заряде
тень расширялась.
Зная сегодня, что катодные лучи являются просто потоком
электронов, легко дать объяснение всем результатам, получен-
ным Круксом. Однако развитие науки диаметрально отличается
от способа ее обычного изложения в учебниках. Ученым XIX ве-
ка нужно было разгадать природу катодных лучей на основании
имеющихся экспериментальных фактов. Сам Крукс придержи-
вался выдвинутого до него мнения, что катодные лучи — это
потоки молекул, соприкоснувшихся с катодом, получивших от
последнего отрицательный заряд и, как следствие, отлетевших
от катода с большой скоростью.
Путаницу в вопрос о катодных лучах внес Генрих Герц. При-
влеченный результатами Крукса будущий первооткрыватель ра-
диоволн, двадцатипятилетний молодой физик в 1882 году потер-
пел единственную в жизни научную неудачу. Исследуя катодные
лучи, он не смог добиться их отклонения в поле плоского конден-
сатора, размещенного вне газоразрядной трубки. Представление
о дебаевском экранировании электрического поля проводящей
средой (см. разд. 2.2) возникло спустя почти полвека после опы-
тов Герца, не подозревавшего, что достаточно слабое электри-
ческое поле вне трубки не проникает в область, где движутся
катодные лучи. Герц в результате своих опытов пришел к заклю-
чению, что катодные лучи не связаны с электричеством, а явля-
ются колебаниями эфира. Такая точка зрения стала на многие
годы почти официальной точкой зрения немецких ученых.
Сам Герц не переставал интересоваться катодными лучами.
Уже открыв радиоволны, в конце своей короткой жизни25 Герц
все же сделал первоклассное открытие, касающееся катодных
лучей. Поместив в газоразрядной трубке на пути катодных лучей
тонкие листки золота, он наблюдал свечение люминофора за зо-
лотом. По существу, Герц видоизменил опыт Крукса с мальтий-
25 Генрих Герц умер в возрасте 36 лет от общего заражения крови.
2.5. ОТКРЫТИЕ ЭЛЕКТРОНА
163
ским крестом, только взял очень тонкие листки золота26, а затем
серебра, алюминия, олова, меди, цинка и платины. Все исследо-
ванные металлы в тонких слоях пропускали катодные лучи, при-
чем алюминиевые листки оказались наиболее долговечными.
Немедленно возник вопрос: не пропускают ли тонкие лист-
ки лучи из-за наличия микроскопических отверстий, невидимых
глазом? Ответ был найден Герцем весьма остроумно. Он изучил
листки под микроскопом и не обнаружил видимых отверстий.
Законно допустив, что если микроотверстия и есть, то они долж-
ны занимать лишь очень маленькую долю площади, Герц сложил
четыре листа в пачку и убедился, что катодные лучи продолжа-
ют проходить и через всю пачку. Следовательно, проницаемость
тонких слоев вещества определялась природой катодных лучей.
Кстати говоря, открытие Герца, по существу, похоронило ги-
потезу, поддерживаемую вслед за Круксом англичанами, что ка-
тодные лучи — отрицательно заряженные молекулы. Ведь было
хорошо известно, что молекулы не в состоянии проникать сквозь
металл. К сожалению, упомянутая работа оказалась последней
для великого немецкого ученого. Тяжелая болезнь, приведшая
к смерти, не позволила продолжить Герцу эксперименты. Осо-
знавая важность сделанного им открытия, Герц поручил своему
ассистенту Ф. Ленарду проверить, можно ли с помощью фольги
выпустить катодные лучи за пределы разрядной трубки?
Ответ был неочевиден по двум причинам. Первая заключа-
лась в том, что было вообще неясно, связаны ли катодные лучи
с явлениями разряда в трубке так тесно, что в принципе не мо-
гут существовать вне ее. Вторая была практического порядка:
выдержит ли фольга толщиной менее 3 мкм перепад давления
в 1 атм, если нужно вывести катодные лучи из трубки прямо
в помещение при атмосферном давлении?
С поставленной задачей Ленард успешно справился, о чем
сообщил в двух статьях 1894 года, вышедших уже после смерти
Герца. Оказалось, что фольга выдерживает перепад давления,
а лучи могут существовать вне разрядной трубки как в вакууме,
так и при атмосферном давлении. Ленард решил, что разгадать
природу катодных лучей ему поможет изучение их взаимодей-
ствия с газами. Он действительно сделал несколько важных от-
крытий, однако тайну катодных лучей не разгадал27.
26 Герц использовал фбльги толщиной несколько микрон, применяемые
в переплетном деле.
27В 1905 году Ленарду была вручена Нобелевская премия по физике "за
работы по катодным лучам”. Позднее он стал ярым нацистом.
164
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
В частности, визуализируя катодные лучи с помощью бумаж-
ного экрана, покрытого люминофором, Ленард обнаружил, что
они при атмосферном давлении в воздухе распространяются на
расстояние до 8 см. Поскольку длины свободного пробега моле-
кул в газах при атмосферном давлении порядка 10-7 м, то это
еще раз подтверждает, что катодные лучи не могут быть пото-
ком отрицательно заряженных ионов. Другим важным открыти-
ем Ленарда оказалось то, что, наблюдая распространение катод-
ных лучей в разных газах — водороде, азоте, воздухе, кислороде,
углекислом газе, двуокиси серы при разных давлениях, он обна-
ружил, что длина распространения катодных лучей практиче-
ски не зависит от химической природы газа, а зависит лишь от
плотности газа. Далее это открытие Ленарда будет рассмотрено
подробнее.
После работ Ленарда 1894 года, продолжавшего считать ка-
тодные лучи колебаниями эфира, никаких "кандидатов” на роль
отрицательно заряженных частиц, из которых могли бы состоять
катодные лучи, в физике того времени не осталось.
Но факты — упрямая вещь! Опыты Крукса однозначно сви-
детельствовали в пользу того, что катодные лучи — это потоки
отрицательно заряженных частиц. В 1897 году загадку решил
Томсон. Уже в начале своего сообщения об открытии электрона
он указал, что существовали две точки зрения на катодные лучи
— эфирная и корпускулярная. Но, подчеркнул Томсон, эфирная
гипотеза бесплодна, поскольку свойства эфира неизвестны, Том-
сон же с самого начала выполнял свои исследования с целью
проверки корпускулярной гипотезы.
Рис. 2.11. Установка Дж .Дж. Томсона для исследования катодных лу-
чей (1897 г.)
Установка Томсона для изучения катодных лучей изображе-
на на рис. 2.11. Слева размещена обычная газоразрядная труб-
ка с катодом С и анодом А, в котором проделана небольшая
щель для пропускания катодных лучей, распространяющихся от
катода перпендикулярно его поверхности. Вторая щель В слу-
2.5. ОТКРЫТИЕ ЭЛЕКТРОНА
165
жит для еще лучшей коллимации пучка, так что в правую часть
трубки входит очень узкий и практически параллельный луч,
оставляющий след в виде небольшой светящейся полоски на лю-
минофоре, покрывающем трубку внутри справа. В сущности, это
был прототип осциллографической электронно-лучевой трубки,
а также кинескопа телевизора и дисплея современного компью-
тера, хотя и считается, что осциллографическая трубка была со-
здана в 1897 году немецким физиком К.Ф. Брауном, лауреатом
Нобелевской премии по физике 1909 года.
Но Томсона интересовала физика, а не техника. С целью вы-
яснения природы катодных лучей, он поместил в правой части
трубки плоский конденсатор с обкладками D и Е, а также элек-
тромагнит (не изображенный на рис. 2.11). Электромагнит мог
создавать примерно однородное магнитное поле в объеме плос-
кого конденсатора, перпендикулярное как электрическому полю,
гак и направлению движения частиц. Томсон предположил, что
катодные лучи есть поток частиц, обладающих массой т, заря-
дом q и движущихся со скоростью v. Сила, с которой электро-
магнитное поле действует на заряд, была известна из электро-
динамики. Сейчас эта сила называется силой Лоренца и может
быть записана в следующем виде:
F = qE + gv х В ,	(2-64)
где q — заряд частицы, Е — напряженность электрического поля,
В — индукция магнитного поля.
Если сила, действующая на частицу, известна, то ее траек-
тория может быть определена с помощью решения уравнений
движения в форме Ньютона. Введем декартову систему коорди-
нат хОу в плоскости рис. 2.11, горизонтальную ось Ох совместим
с неотклоненным пучком, начало координат выберем на левой
границе плоского конденсатора DE, длину обкладок плоского
конденсатора обозначим буквой Z, а расстояние от правой грани-
цы конденсатора до люминофора — буквой L.
Теперь найдем траекторию гипотетических частиц катодных
лучей в том случае, если включено только электрическое поле
в плоском конденсаторе. Будем считать, что при подаче напря-
жения на плоский конденсатор между его обкладками напря-
женность электрического поля постоянна и имеет единственную
вертикальную компоненту Еу = Е, а вне обкладок электриче-
ское поле равно нулю. На самом деле, конечно, электрическое
поле убывает от величины Е до нуля по мере удаления от кон-
денсатора постепенно, однако при небольшом расстоянии между
166 ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
обкладками краевые поля не оказывают заметного влияния на
траектории частиц.
Система уравнений Ньютона тогда принимает вид:
d2x
(2.65)
m^=qE.	(2.66)
Начальные данные, которыми следует дополнить уравнения дви-
жения, таковы:
t — 0 : хо = 0, (dx/dt)o = v,
Уо = 0, (dy/dt)o = 0.
Решая систему уравнений (2.65)—(2.66), можно без труда най-
ти координаты х и у как функции времени t (то есть получить
уравнение траектории в параметрической форме), а затем, ис-
ключив время, найти уравнение траектории в явной форме. Од-
нако в подобных случаях удобнее сразу свести систему к одному
уравнению, описывающему траекторию в явной форме.
Последнее можно получить, если выполнить стандартный
прием перехода в одном из уравнений (2.65)—(2.66) от дифферен-
цирования по времени к дифференцированию по координате.
Когда нужна траектория в явном виде у = у(х), переходят
от дифференцирования по времени к дифференцированию по
координате х, производные по которой обозначаются штрихами.
Тогда, очевидно, получается правило перехода:
d	dx d	d
— =------= v— ,
dt	dt dx	dx
так как в силу (2.65) dx/dt = const (f) = v.
Двукратным применением правила преобразования производ-
ной по времени уравнение (2.66) приводится к виду
mv2y" = qE,	(2.67)
а начальные данные принимают вид х = 0, уо = 0, у$ = 0.
Уравнение (2.67) соответствует движению с постоянным ус-
корением, так что внутри конденсатора частица будет лететь по
параболе у = qEx2/(2mv2). В итоге на выходе из конденсатора
2.5. ОТКРЫТИЕ ЭЛЕКТРОНА 167
(то есть при х = Z) получаем тангенс угла наклона траектории
к оси От = qEl/(mv2} и ординату вылета у/ == qEl2/{2mv2}.
После вылета из конденсатора и до пересечения с люмино-
фором в плоскости х = 1 + L частицы будут двигаться по прямой
у = у/ + у^(х — Z), так что плоскость экрана с люминофором
частицы пересекут в точке с ординатой
Ys = ^(l+1-}.	(2.68)
mvz у	2 J
Проведенный анализ движения заряженной частицы в элек-
тростатическом поле плоского конденсатора показывает, что тра-
ектория частицы, помимо характеристик поля (его протяжен-
ности и напряженности), зависит лишь от отношения электри-
ческого заряда частицы к ее начальной кинетической энергии.
Можно доказать, что такое свойство сохраняется и в общем слу-
чае произвольного электростатического поля, в котором траекто-
рия заряженной частицы фактически определяется ее начальной
кинетической энергией, местом и углом влета в поле. Такое свой-
ство электростатических полей широко используется для опре-
деления кинетической энергии заряженных частиц.
Если в объеме плоского конденсатора создать однородное маг-
нитное поле (см. рис. 2.11), перпендикулярное плоскости чертежа
(скажем, вдоль оси Oz правой системы координат, направленной
на читателя), то магнитная компонента силы Лоренца (2.64) бу-
дет перпендикулярна магнитному полю, то есть лежать в плос-
кости чертежа. Так как частица движется вдоль оси Ох, то сила,
перпендикулярная и скорости, будет направлена строго вдоль
оси Оу. Найдем величину ее проекции, полагая v = г?еж, В = Bez,
где ех и ez — единичные орты соответствующих осей. По прави-
лу векторного произведения находим v х В = vBex хе2= -vBey.
Если считать, что однородные электрическое и магнитное по-
ля действуют одновременно, причем электрическое поле направ-
лено вдоль оси Оу, то при движении частицы вдоль оси Ох сум-
марная сила будет действовать только вдоль оси Оу, а величина
суммарной силы будет равна
F = qE — qvB .	(2.69)
Приравнивая величину силы (2.64) к нулю, получим величи-
ну скорости v, с которой частица может двигаться вдоль оси Ох
равномерно и прямолинейно:
v = Е/В .	(2.70)
168
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Таким образом, если создать электрическое поле Е, направлен-
ное вдоль оси Оу, а магнитное поле В — вдоль оси Oz, то части-
ца, независимо от ее заряда и массы, может двигаться вдоль оси
Ох равномерно и прямолинейно со скоростью (2.70), поскольку
суммарная сила, действующая при этом на частицу, будет равна
нулю.
Опираясь на вышепроведенный анализ, Томсон провел сле-
дующий эксперимент. Он включал только электрическое поле
и измерял отклонение пучка Ys на экране. Вначале, при вклю-
чении электрического поля, Томсон, как и Герц до него, не смог
отклонить пучок катодных лучей. Но Томсон уже построил вер-
ную модель проводимости газов. Он быстро выяснил, что ка-
тодные лучи создают проводимость газов внутри установки (то
есть, как теперь известно, происходит ионизация электронным
ударом остаточного газа в трубке, что приводит к экранирова-
нию внешнего электрического поля), и понизил давление в труб-
ке настолько, что заметное отклонение катодных лучей стало
возникать уже при напряжении на конденсаторе всего 2 В. Если
на верхнюю обкладку прикладывался отрицательный потенци-
ал, то катодный луч отклонялся вниз.
Далее Томсон включал магнитное поле и подбором его ве-
личины (изменением тока в катушках) добивался того, что ка-
тодный луч, первоначально отклоненный в положение Ys, воз-
вращался в начало координат. Последнее означало, что элек-
трическая компонента силы Лоренца уравновешивалась магнит-
ной компонентой, частицы двигались по прямой, а их скорость
определялась уравнением (2.70). Подставляя скорость из (2.70)
в (2.68), можно было получить отношение массы к заряду ча-
стиц, составляющих катодные лучи:
т B2l /
q ЕУД 2/
В последнюю формулу входят только макроскопически измери-
мые величины.
Надо сказать, измерения Томсона были не очень точны по
нескольким причинам, из которых две главные. Во-первых, при
низких давлениях на газоразрядную трубку необходимо было по-
давать очень большие напряжения, доходившие до 50 кВ. Как
теперь известно, электроны, разогнанные такой разностью по-
тенциалов, имеют скорости, равные примерно 40 % скорости све-
та. Движение частиц со столь большими скоростями описывает-
2.5. ОТКРЫТИЕ ЭЛЕКТРОНА 169
ся уравнениями релятивистской динамики, а не использованны-
ми в расчете уравнениями Ньютона. Во-вторых, создать элек-
трическое и магнитное поля, резко обрывающиеся за пределами
заданной области (в данном случае — плоского конденсатора),
принципиально невозможно.
Понимая степень недоверия, которое может вызвать его от-
крытие28, Томсон измерил отношение заряда к массе частиц ка-
тодных лучей еще одним независимым способом, который, од-
нако, нет возможности здесь описывать. Приведем современное
значение отношения —е/m для электрона:
— = -1.758 820 • 1011 Кл/кг.	(2.71)
?77-е
Далее Томсон провел целую серию экспериментов, меняя газ
в разрядной трубке (воздух, водород, углекислый газ), матери-
ал катода (алюминий, платина), напряжение на газоразрядной
трубке (то есть меняя скорость частиц катодных лучей), и по-
лучил примерно одинаковые отношения — е/т. Сравнение отно-
шения заряд/масса для катодных лучей (2.71) с (2.7) для иона
водорода в электролизе показало, что для катодных лучей оно
больше, чем в 1000 раз (если точно, в 1836.1527 раз) превышает
значение для иона водорода.
Никакой известной на тот момент весомой частице такое от-
ношение заряда к массе приписать было невозможно. Более то-
го, логически возникало три возможных варианта: либо части-
цы катодных лучей при равенстве зарядов в 1836 раз легче иона
водорода, либо при равенстве масс имеют в 1836 раз бблыпий за-
ряд, либо, наконец, имеют отличные от водородного иона заряд
и массу. Отбор из трех вариантов помогли сделать Томсону соб-
ственные работы, а также описанные выше результаты Ленарда.
Действительно, длина проникновения катодных лучей в воз-
дух при атмосферном давлении на пять порядков больше длины
свободного пробега атомов и молекул в тех же условиях, к то-
му же заряд ионов в электролитах и газах был одним и тем же,
кратным элементарному заряду е. И Томсон первым29 сделал
28И действительно, некоторые коллеги Томсона во время его первого со-
общения об открытии электрона решили, что их просто разыгрывают!
29Практически одновременно с Томсоном отношение заряд/масса для ча-
стиц катодных лучей измерили немецкие физики Вальтер Кауфман и Эмиль
Вихерт, однако Кауфман вообще не считал гипотезу о мельчайших части-
цах верной, а Вихерт не сделал со всей определенностью вывод об открытии
элементарной составной части атомов.
170
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
обоснованный вывод о том, что катодные лучи представляют со-
бой поток мельчайших заряженных частиц, которые в 1836 раз
легче атома водорода, несут отрицательный элементарный за-
ряд е, равный заряду электролитических ионов (2.5), и являются
строительными кирпичиками, входящими в состав всех атомов.
Первоначально Томсон назвал открытую им частицу корпуску-
лой, но позднее за ней закрепилось название ’’электрон”.
Процесс ионизации молекул в газах и электролитах немед-
ленно нашел свое объяснение: действие ионизатора заключает-
ся в отщеплении от молекулы одного из электронов, что ведет
к появлению положительного иона, а присоединение электрона
к молекуле ведет к созданию отрицательного иона. Разница же
между молекулами электролитов и симметричными молекула-
ми газов в том, что в первых внутреннее распределение зарядов
несимметрично, а во вторых — симметрично. При этом масса
ионов практически не отличается от массы нейтральных ато-
мов и молекул из-за малости массы электрона. Иными словами,
ионы перестали выглядеть загадочными объектами, неизвестно
почему возникающими из считавшихся неделимыми электроней-
тральных атомов.
В общих чертах получил объяснение и самостоятельный га-
зовый разряд, и металлическая проводимость. Действительно,
проводимость металлов могла быть объяснена переносом заря-
да по веществу электронами и, таким образом, тоже объявля-
лась электролитической, связанной с переносом массы электро-
нов. С невесомыми электрическими флюидами физика распро-
щалась.
Механизм же поддержания самостоятельного газового раз-
ряда заключался в том, что ионы в газе при низком давлении,
когда длина свободного пробега превышает размеры газоразряд-
ной трубки, разгоняются до высоких энергий. Их столкновение
с катодом ведет к выбиванию из последнего электронов, кото-
рые, по пути к аноду, производят ионизацию газа, восполняя
убыль ионов. Напряжение между катодом и анодом газоразряд-
ной трубки, как выяснилось позднее, практически все "сидит”
вблизи катода, где и сосредоточено основное электрическое по-
ле. Поэтому электроны, выбитые из катода, ускоряются вдоль
силовых линий поля, перпендикулярных поверхности металла,
набирают значительную скорость и далее движутся практиче-
ски прямолинейно до столкновения с молекулами внутри трубки
(редко) или до столкновения со стенками, заставляя последние
испускать зеленоватое свечение.
2.6. ОПЫТЫ МИЛЛИКЕНА
171
Открытие Томсона имело колоссальное значение для физики.
Оно существенно продвинуло вперед решение проблемы заряда.
Оказалось, что носителями отрицательного электрического за-
ряда являются весомые частицы, несущие вполне определенную
величину электрического заряда, ’’атома электричества”. Оказа-
лось также, что принципиальной разницы в механизме электри-
ческого тока в металлах, электролитах и газах нет. Открытие
электрона стало началом возникновения нового важного разде-
ла физики — физической электроники и, как следствие, техни-
ческой электроники.
В то же время открытие Томсона означало, что все атомы
имеют сложную структуру и состоят из более мелких частиц, ко-
торые могут покидать атом. Другими словами, атом, считавший-
ся неделимым, оказался делим. И это все произошло за десять
лет до окончательного прямого экспериментального подтвержде-
ния существования самих атомов и молекул в опытах Перрена!
Неудивительно, что понадобилось около десяти лет, чтобы исчез-
ли последние сомнения в существовании электрона и делимости
атомов. На руку сомневающимся играло то обстоятельство, что
в течение этого периода различные ученые, измеряя заряд и мас-
су электронов, получали разные цифры.
2.6 Измерение заряда электрона
Милликеном
Конец периоду сомнений в существовании электрона как части-
цы со строго определенной величиной отрицательного электри-
ческого заряда положили классические опыты американского
физика Роберта Милликена (1868—1953), ставшего в 1923 году
лауреатом Нобелевской премии по физике ”за работы по опре-
делению элементарного электрического заряда и фотоэлектри-
ческому эффекту".
Милликен, усовершенствовав метод измерения заряда элек-
трона, изобретенный ранее одним из учеников Томсона, сумел
добиться следующих вещей. Во-первых, все измерения заряда
ионов в газах и электролитах, выполненные до него, давали лишь
среднюю величину заряда очень многих частиц. Милликен су-
мел измерить заряд одного единственного электрона. Во-вторых,
Милликен добился существенного увеличения точности измере-
ний, что позволило довести воспроизводимость результатов до
третьей значащей цифры. Все это оказалось решающим аргу-
172
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
ментом в пользу реальности существования электрона.
Суть опытов Милликена состояла в измерении электриче-
ского заряда капельки масла, падающей в газе под действием
собственного веса. Вспомним механизм падения в вязкой среде
первоначально неподвижного шара, уже рассмотренный ранее
в разделе 1.3. Если шару предоставить возможность двигаться,
то под действием разности сил веса и архимедовой он начнет
падать вниз с ускорением. При этом возникнет третья сила —
сила трения, которая описывается законом Стокса (1.108), если,
конечно, течение в вязкой среде ламинарное, то есть число Рей-
нольдса, определяемое уравнением (1.111), малб. Сила, застав-
ляющая падать частицу вниз, постоянна, а сила трения линейно
растет с увеличением скорости, поэтому при достижении опреде-
ленной величины скорости падения сумма сил, действующих на
тело, станет равной нулю. Начиная с этого момента тело будет
падать в среде с постоянной скоростью которая и называется
скоростью падения шара в вязкой среде. Вычислим эту скорость
в предположении выполнимости закона Стокса.
Равенство нулю полной силы, действующей на шар, дает урав-
нение
^7Г/?3(^Ш - £ср)0 = 6TTT]Rvg ,	(2.72)
где слева разность сил веса и архимедовой (R — радиус шара,
Qui и £ср — плотности шара и среды, д — ускорение свободного
падения), а справа — сила трения (ту — коэффициент вязкости
среды).
Из последнего уравнения можно получить скорость падения
шара в вязкой среде:
_ 2Я2(^Ш — ffcp)ff
Эту
Закон Стокса будет выполняться, если выполняется неравен-
ство (1.112), подстановка в которое скорости падения шара в сре-
де из (2.73) дает ограничение сверху на радиус шара:
(2.73)
Ж
з/ 9т?2
у 2<7£ср(^ш Qc)
(2.74)
Милликен использовал в своих опытах падение капельки мас-
ла в воздухе при давлении, близком к атмосферному. Плотность
2.6. ОПЫТЫ МИЛЛИКЕНА 173
масла приблизительно 900 кг/м3, а воздуха при нормальных усло-
виях — 1.29 кг/м3, вязкость воздуха 1.85 • 10-5 Па-с.
Подставляя эти значения в неравенство (2.74), получаем оцен-
ку R <С 50 мкм. Таким образом, оказывается, что в воздухе пред-
меты падают в соответствии с законом Стокса, если они имеют
микронные размеры (и меньше). Выбирая радиус R = 1 мкм, по-
лучим для тех же условий скорость падения масляного шарика
в воздухе при нормальных условиях
2 • IO"12 • (900 - 1.29) • 9.8 м _ 4 м мм
=-------9-1.85-1Q-5 с “ 10 с = ° ~ '
Итак, капля масла микронного радиуса падает в воздухе с не-
большой скоростью, которую можно измерить, наблюдая за па-
дением капли в короткофокусный телескоп. Измерение vg позво-
ляет по формуле (2.72) вычислить радиус капли:
R= /	97/Vg
у 2(f?m
Использование закона Стокса для определения радиуса капли
очень существенно, так как у капелек субмикронного размера,
как известно, оптическими методами радиус определить невоз-
можно.
В соответствии с представлениями о дискретности электри-
ческого заряда, заряженная капля может иметь лишь электриче-
ский заряд Ze, где е — элементарный электрический заряд (2.5),
a Z — произвольное целое число. В однородном электрическом
поле с напряженностью поля Е на каплю будет дополнительно
действовать сила ZeE, Допустим, что электрическая сила на-
правлена вверх, а величина ее столь велика, что капля в воздухе
будет подниматься вверх со скоростью vE, а не падать вниз. То-
гда уравнение баланса сил (2.72) заменится уравнением
ZeE - ^7гТ?3(^ш - Qcp)g = 6tvi]Rve .	(2.76)
О
Складывая уравнения (2.72) и (2.76), получаем заряд капли:
_ SirriR,	.
Ze= —— (vg + vE).
(2.77)
174
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Подстановка радиуса капли из (2.75) дает выражение для за-
ряда, содержащее только макроскопически определяемые вели-
_ дУ^Г^Уд^Уд + УЕ)
Я(£ш-М1/251/2
(2.78)
Поскольку радиус капли вычисляется после измерения vg при
помощи уравнения (2.75), то повторное измерение скорости подъ-
ема vE капли в однородном электрическом поле Е дает возмож-
ность найти заряд капли.
Первое измерение заряда электрона Роберт Милликен провел
в 1909 году, а затем в течение ряда лет непрерывно совершен-
ствовал свою установку, окончательный вид которой изображен
на рис. 2.12.
Рис. 2.12. Установка Милликена для измерения заряда электрона
(1911 г.)
Проблему получения капелек масла субмикронных размеров30
Милликен решил очень остроумно и в то же время просто. Ка-
пельки масла создавались с помощью обычного пульверизатора
30Вспомним, что примерно в это же время Перрен решал аналогичную,
но еще более сложную задачу. Перрену нужно было получить множество
субмикронных шариков одного и того же радиуса для создания в жидкости
ансамбля броуновских частиц.
2 6. ОПЫТЫ МИЛЛИКЕНА
175
А и по трубке D попадали в газ, находящийся при известном
давлении внутри термостата G, наполненного 40 л газолинового
масла для поддержания постоянной температуры во время экс-
перимента с точностью до 0.02 °C. Последнее было чрезвычайно
важно, так как малейшие температурные градиенты приводят
в газах к трудно учитываемой конвекции, влияющей на скорость
падения капельки и, тем самым, на воспроизводимость измере-
ний.
Некоторые капельки, падая в газе, попадали через отверстие
в плоский конденсатор с круглыми (диаметром 22 см) оптически
отполированными обкладками Fi—F2, расстояние между кото-
рыми составляло 14.9174 мм. На конденсатор можно было по-
давать напряжение до 10 кВ с батареи В. Пластины разделя-
лись эбонитовым кольцом с тремя отверстиями, через которые
можно было подсвечивать капли (а — дуговая лампа; w — во-
дяной фильтр длиной 80 см и d — сосуд с хлористой медью,
поглощавшие все инфракрасные лучи во избежание неоднород-
ного нагрева газа внутри плоского конденсатора, а луч видимого
света выходил из установки через противоположное отверстие),
облучать их рентгеновскими лучами (X — рентгеновская труб-
ка), а также наблюдать за каплями в короткофокусный телескоп
(расположенный примерно в 60 см от пластин конденсатора и не
изображенный на рисунке, так как наблюдение с помощью теле-
скопа производится, естественно, перпендикулярно освещающе-
му рентгеновскому лучу, лежащему в плоскости рис. 2.12).
При наблюдении в телескоп освещаемая капля видна просто
как яркая звездочка. На окуляре телескопа были нанесены три
эквидистантные линии, причем расстояние между крайними из
них соответствовало примерно одной трети расстояния между
обкладками конденсатора. Легко рассчитать, что падающая ка-
пелька микронного размера пройдет такое расстояние примерно
за минуту.
Уже начальные опыты дали очень важные результаты.
При разбрызгивании в пульверизаторе капельки масла полу-
чали заряд. Эффект приобретения каплями электрического за-
ряда при разбрызгивании жидкостей называется баллоэлектри-
ческим эффектом. Полученный таким образом заряд макроско-
пической капли никак не напоминал заряд ионов в электролитах
или газах. Скорее его следует считать тем статическим зарядом,
г которым физики имели дело при электризации трением на са-
мых ранних стадиях возникновения учения об электричестве.
Далее все происходило по вышеописанной схеме.
176
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Одна из светящихся звездочек наблюдалась через телескоп.
Измерялось время ее падения, соответствующее прохождению
звездочки последовательно через линии, нанесенные на окуля-
ре. Затем включалось электрическое поле и измерялось время
ее подъема между теми же линиями. По формуле (2.77) изме-
рялся заряд капли. Он неизменно оказывался кратным дискрет-
ному электрическому заряду, а число Z изменялось от 0 до 150.
По образному выражению Милликена, "когда число зарядов не
превышает пятидесяти, то ошибка тут также невозможна, как
и при подсчете собственных пальцев". Отсюда следовало, что
любые статические заряды создаются также электронами.
Если же во время эксперимента создать ионизацию в воздухе,
то есть включить рентгеновскую трубку, то капля при движении
в воздухе будет поглощать ионы, меняя свой заряд. Таким обра-
зом, появилась возможность измерять заряд как отрицательно,
так и положительно заряженных ионов. При этом схема опы-
та несколько изменялась. Сначала по обычной схеме измерялся
заряд на капле. Одну и ту же каплю можно было наблюдать
в течение нескольких часов, включая поле во время ее подъема,
затем отключая поле на время падения, затем снова включая
поле и так далее. Если при одном из подъемов скорость капли
была что по (2.77) соответствовало заряду Z\e, а затем капля
поглощала один или несколько ионов, так что скорость ее подъ-
ема становилась г^, что соответствовало заряду Z2C, то та же
формула (2.77) позволяет находить уже заряд газового иона q по
формуле
q = &Ze = Z16 - Z2e =	.	(2.79)
Снова оказалось, что заряд капли меняется только на вели-
чину, кратную дискретному заряду. Более того, уменьшая давле-
ние газа (вспомним, что пока длина свободного пробега остается
много меньше расстояния между обкладками, это не влияет на
коэффициент вязкости — факт, так поразивший в свое время
Максвелла) и интенсивность рентгеновского излучения, можно
сделать так, что вероятность столкновения иона с каплей станет
очень маленькой. Тем не менее, время от времени капля за счет
фотоэффекта будет испускать один электрон и увеличивать, тем
самым, свой заряд на единицу.
Фотоэффект был открыт Герцем в 1887 году, то есть тогда,
когда о существовании электрона ничего не было известно. Герц
обнаружил удлинение искры при искровом пробое газа, облу-
2.6. ОПЫТЫ МИЛЛИКЕНА
177
чаемого ультрафиолетовыми лучами. Позднее была обнаруже-
на потеря отрицательного электрического заряда металлами при
облучении их ультрафиолетовыми лучами. Значительный вклад
в изучение фотоэффекта внес русский физик А.Г. Столетов,
о чем в следующей главе (см. подразд. 3.3.1) будет рассказано
подробнее. Томсон и Ленард измерили отношение е/m для ча-
стиц, испускаемых телами при их электромагнитном облучении,
и обнаружили, что это отношение совпадает с отношением для
частиц катодных лучей, то есть электронов. Таким образом, еще
до начала опытов Милликена было известно, что фотоэффект
это испускание электронов телами под действием электромаг-
нитного излучения.
Пользуясь по-прежнему формулой (2.79), но только при из-
менении заряда капли не из-за поглощения ею отрицательного
или положительного газового иона, а в результате фотоэффек-
та, Милликен как раз и измерил заряд электрона, оказавшийся
равным величине (2.5).
Милликен очень тщательно пытался устранить все возмож-
ные ошибки эксперимента или возможные теоретические возра-
жения. Так, он проверял, верен ли закон Стокса для заряженной
капли? Ответ был утвердительным. Вязкое сопротивление среды
не зависело от заряда капли. Это подтверждалось тем, что время
падения при выключенном электрическом поле одной и той же
капли, несущей разные заряды, не изменялось. Таким же спосо-
бом Милликен убедился, что капля не меняет свой сферической
формы при включении электрического поля. Однако когда Мил-
ликен сопоставил величину заряда электрона, рассчитываемого
с помощью формулы (2.79) для разных капель, то обнаружил,
что чем меньше оказывалась капля, тем бблыпий элементарный
заряд е получался при вычислении!
Милликен справедливо решил, что столкнулся с отступле-
нием от закона Стокса. Действительно, этот закон строго вы-
полняется для непрерывной среды. Однако в воздухе при нор-
мальных условиях среднее расстояние между молекулами, как
легко подсчитать, составляет около 30 А, длина свободного про-
бста молекул воздуха в этих же условиях — около 900 А, в то
время как радиус капли полумикронного радиуса 5000 А. Было
ясно, что капелька масла начинает ’’чувствовать” дискретность
среды, а мерой отклонения от закона Стокса должна быть неко-
торая функция от параметра А/Д, где А — длина свободного
пробега. Параметр можно было взять и другой, например, отно-
шение среднего расстояния между молекулами в газе к радиусу
178
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
капли, но Милликен выбрал первый параметр. Не пытаясь най-
ти теоретически аналог закона Стокса с учетом дискретности
газа, Милликен поступил проще, дав блестящий образец реше-
ния весьма нетривиальной задачи. Путем простого анализа он
получил линейную поправку к закону Стокса.
Действительно, понижение давления должно все же приво-
дить к росту скорости падения капли, так как в пределе нулево-
го давления среда вообще перестанет оказывать сопротивление
движущейся капле. Последний эффект как раз и не учитывался
законом Стокса (полученным в приближении непрерывной сре-
ды) с независящей от давления вязкостью среды.
Значит, закон Стокса должен принять вид
------f
6tvt]R j
fX\
\RJ ’
(2.80)
где о неизвестной функции f(X/R) известно только то, что это
монотонно растущая положительная функция, предел в нуле ко-
торой равен единице. Предполагая, что функция дифференциру-
ема в нуле, ее можно разложить в ряд и оставить лишь два пер-
вых члена, поскольку численный расчет показал, что отношение
Х/R малб.
Тогда закон Стокса с учетом линейной поправки по Х/R дол-
жен иметь вид
F
fyivqR
(2-81)
где А — неизвестный положительный численный коэффициент.
Теперь удобнее исключить длину свободного пробега, заме-
нив ее в последней формуле давлением. Действительно, в соот-
ветствии с формулой (1.39), длина свободного пробега обратно
пропорциональна давлению газа, поэтому модифицированный
закон Стокса принимает окончательный вид, куда входят лишь
макроскопически измеряемые величины и неизвестный положи-
тельный коэффициент В, причем АХ = В/р\
fynr/Ru
1 + в/(ряу
(2.82)
Итак, формулы (2.75) и (2.78) для расчета радиуса R и заряда
капли Ze оказались неточными. Необходимо снова произвести
вывод формул, дающих уточненное значение радиуса и заряда
капли, которые теперь обозначим буквами R± и Zei, чтобы не
2.6. ОПЫТЫ МИЛЛИКЕНА
179
путать их со старыми значениями, вычисленными по формулам
(2.75) и (2.78).
Уравнения баланса сил при падении капли без поля (2.72)
и при подъеме капли в электрическом поле (2.76) принимают
вид
4	. QTVriRiVa
- 0ср)<7 = 1 + B/(p721)	(2.83)
и
Z61£ -	- fep)9 =	, 	(2.84)
О	L Г> / \JpK\)
а уточненный заряд капли Ze\ получается равным
бтгт/Т?! (vs + i>E)
Zei= F' [1 + В/(рЛ1)]'	<2'85)
Теперь в последнее уравнение для уточненного заряда оста-
лось лишь подставить радиус капли, взяв вместо (2.75) уточнен-
ный аналог, следующий из формулы (2.83):
» = /	^yg	= R	f2 86'I
У 2(б>ш - &р)р[1 + B/tpRj] y/l + B/ipRi) ‘	1 ’ 7
Подставляя (2.86) в (2.85), получаем окончательное выраже-
ние для заряда капельки масла с учетом исправления закона
Стокса:
Ze __________9у/2лгт]3/2у^2(уд + vE)_____________Ze______
Е(вш - ^сР)1/231/2[1 + В/(рЯ1)]3/2 " [Х + ВДрЯх)]3/2 ‘
(2.87)
В правую часть последнего уравнения входит уточненный ра-
диус частицы 7?i, который должен быть рассчитан с помощью
(2.86). Но уравнение (2.86) содержит неизвестную постоянную
В, что не позволяет вычислить R^. Вспомним, однако, что весь
расчет носит лишь приближенный характер, поскольку уточне-
ние закона Стокса произошло только с учетом линейного по A//?i
члена. Следовательно, во всех расчетах квадратом этой величи-
ны можно пренебрегать без потери точности.
Если в уравнении (2.86) разложить правую часть в ряд по
малому параметру B/(pR\), то получим, что
Bi = R - ВЯ/(2рВ1) + ... = Я[1 - ЛА/(2Я1) + ...].
180
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Последнее означает, что уточненный радиус отличается от
приближенного значения R на малую уже в линейном приближе-
нии величину. Но учет этой линейной поправки в уравнении для
расчета заряда (2.87), очевидно, даст поправку второго поряд-
ка, которая может быть отброшена без потери точности. Поэто-
му окончательноее выражение для уточненной величины заряда
капельки примет вид:
- Ze
е1“ [1 + В/(рЯ)]3/2’
(2.88)
Последнюю формулу можно переписать в следующем виде:

(2.89)
После проведения измерений скорости падения и подъема ка-
пельки по (2.78) можно было рассчитать приближенное значе-
ние заряда Ze, а по (2.75) — приближенное значение радиуса R.
Чтобы найти уточненный заряд Zei, необходимо было еще опре-
делить константу В. Милликен экспериментально определил ее
величину следующим образом. Из уравнения (2.89) следует, что
приближенная величина заряда е есть линейная функция от па-
раметра 1/(рЯ). Тогда, проводя наблюдение за каплями при раз-
ных давлениях, можно вычислять величины е и 1/(рЯ), после
чего строить график, изображенный на рис. 2.13.
Рис. 2.13. Вид зависимости прибли-
женного значения е2/3 от параметра
l/(pR), полученной Милликеном
Давление Милликен ме-
нял в широких пределах,
понижая его в 17 раз,
начиная от атмосферно-
го. За 60 дней непрерыв-
ной серии измерений он
наблюдал 58 капель, для
которых параметр 1/(рЯ)
изменялся в 30 раз. Из
графика видно, что в пре-
делах точности экспери-
мента действительно по-
лучилась ожидаемая ли-
нейная зависимость, что,
в первую очередь, означа-
ло правильность сделанных предположений при исправлении за-
кона Стокса.
2 6. ОПЫТЫ МИЛЛИКЕНА
181
Далее, угол наклона прямой позволил определить численную
величину коэффициента В. Поскольку В — размерная величина,
удобнее дать значение однозначно связанной с В константы А.
При температуре Т = 23 °C Милликен получил А = 0.874. На-
конец, как это следует из уравнения (2.89), величина истинного
заряда электрона может быть найдена как точка пересечения
прямой на графике (см. рис. 2.13) с осью ординат.
В последующие годы Милликен и его ученики провели ана-
логичные измерения с капельками масла в воздухе и водороде,
а также с капельками ртути и твердыми шариками шеллака
в воздухе, каждый раз получая неизменную величину заряда
электрона в пределах трех значащих цифр. Независимость из-
мерений ни от вещества капельки, ни от рода газа, а также их
высокая воспроизводимость окончательно убедили современни-
ков в реальности существования электрона.
В целом же эксперименты Милликена имели огромное прин-
ципиальное значение.
Во-первых, они подтвердили, что заряды во всех случаях свя-
заны с одной и той же дискретной величиной (2.5).
Во-вторых, Милликен установил характер ионизации в газах
при действии различных ионизаторов. Действительно, капелька,
поглощающая ион, меняет свой заряд на величину заряда иона.
Милликен подтвердил, что заряд положительных и отрицатель-
ных ионов по величине один и тот же и что первичным актом
ионизации при рентгеновском облучении газа или электронном
ударе является отрыв одного электрона от атома или молеку-
лы.
Наконец, в-третьих, значение заряда электрона, измеренное
Милликеном, было общепризнанным несколько десятков лет, по-
ка не выяснилось, что оно ниже истинного на 0.6 % из-за того,
что измерения коэффициента вязкости воздуха были не совсем
точны.
Знание заряда электрона и отношения заряд/масса позволи-
ло найти массу частицы. Ниже приведены современные значения
заряда и массы электрона:
е~ = -1.602177-10~19 Кл .	(2.90)
те = 9.109 383 • 10“31 кг.	(2.91)
182 ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
2.7 Динамика частиц в статических полях
После открытия электрона — частицы, почти в 2000 раз более
легкой, чем атом водорода, на повестку дня встал вопрос о струк-
туре атома. Первые попытки изучения микромира, естествен-
но, опирались на законы классической физики, которые перво-
начально считались справедливыми и на субатомном уровне31.
В частности, считалось, что электроны и ионы — частицы, дви-
жение которых описывается ньютоновской механикой.
К моменту открытия электрона было известно два вида вза-
имодействий в природе — гравитационное и электромагнитное.
Участие в первом из них определяется гравитационной массой
частицы (в точности равной ее инертной массе) т, а во втором
— электрическим зарядом частицы q. Сравнение сил гравитаци-
онного и электростатического взаимодействия двух электронов
позволяет отбросить гравитацию как несущественный фактор
при рассмотрении вопроса о строении атомов. Действительно,
по закону всемирного тяготения
9
Fsr = ^,	(2.92)
где 7 = 6.67 • 10"11 м3-кг-1-с“2 — гравитационная постоянная,
т — расстояние между электронами.
В то же время по закону Кулона
4тгеог2 ’
где so = 8.85 • 10“12 Ф/м — диэлектрическая проницаемость ва-
куума.
Отношение сил Fgr/Fei от расстояния г не зависит и равно
f9t =	7т247ге0 ~ _2 4 1о-43
Fei	е2
Последняя величина чудовищно малй, более того, если вме-
сто электронов выбрать более тяжелые частицы — однократно
31 Вспомним, что научные теории, законы считаются справедливыми до
тех пор, пока вытекающие из них следствия не вступают в противоречие
с экспериментом. Поэтому первоначальная экстраполяция представлений
классической физики в атомную и субатомную физику была закономерной.
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
183
заряженные ионы урана, то и для них соответствующее отноше-
ние останется все равно пренебрежимо малой величиной. Именно
поэтому, изучая природу в явлениях атомного и субатом-
ного масштабов, можно не учитывать гравитацию.
Следовательно, чтобы описать движение заряженных частиц,
необходимо учесть лишь силу Лоренца, с которой электромаг-
нитное поле воздействует на заряд величины q:
F = qE + qv х В ,	(2.94)
где Е — напряженность электрического поля и В — индукция
магнитного поля, v — скорость частицы.
Используя силу Лоренца (2.94) и второй закон Ньютона, мож-
но получить дифференциальное уравнение в векторном виде,
позволяющее определить все характеристики движения заряжен-
ной частицы в статическом электромагнитном поле:
=	+ qlt х в(г) ‘	(2-95)
В общем случае векторное уравнение (2.95) является систе-
мой трех вещественных дифференциальных уравнений второго
порядка. Решение этой системы в аналитическом виде возмож-
но только для очень ограниченного набора электромагнитных
полей, однако эта система для статического поля всегда имеет
один первый интеграл, называемый интегралом энергии. Полу-
чение этого интеграла — весьма простая стандартная процедура,
которую любой физик должен уметь выполнять.
Интеграл энергии получается из уравнения (2.95) домноже-
нием левой и правой частей скалярно на скорость частицы v.
При этом левая часть превращается в скорость изменения кине-
тической энергии частицы
dv d f mv2 \
mv • ~r = т I —— ,
dt dt \ 2 J
в правой же части член, содержащий магнитное поле, обращает-
ся в нуль, и остается лишь величина
<?Е(Г) •
равная, очевидно, мощности силы электростатического поля, дей-
ствующей на частицу. Действительно, скалярное произведение
184
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
силы qE на перемещение частицы dr есть работа сил электро-
статического поля dA, а работа в единицу времени и есть мощ-
ность. Таким образом, скорость изменения кинетической энергии
£k частицы в статическом электромагнитном поле равна мощно-
сти электростатической силы, что дает уравнение
,2
dEk = d
(2.96)
где dA = qE • dr. Другими словами, изменение кинетической
энергии Ek частицы в статическом электромагнитном поле рав-
но работе, совершаемой полем над частицей. При этом легко по-
нять, почему работа определяется только электростатическим
полем: дело в том, что магнитная компонента силы Лоренца все-
гда перпендикулярна скорости частицы (то есть перпендикуляр-
на перемещению частицы dr = vdt), а работа есть скалярное
произведение силы на перемещение. Для магнитного поля это
есть тождественный нуль. Таким образом, движение в статиче-
ском магнитном поле происходит без изменения кинетической
энергии частицы (и, соответственно, без изменения абсолютной
величины ее скорости v).
Вернемся к уравнению (2.96). По существу, это дифференци-
альное тождество, являющееся самым общим следствием второ-
го закона Ньютона. Чтобы превратить его в интеграл энергии,
необходимо произвести интегрирование вдоль любого участка
траектории с началом в точке ri и концом в точке Г2:
Q
mv
Г1
(2.97)
2
Полученное соотношение универсально, однако требует коммен-
тария. Известно, что силы бывают потенциальными и непотенци-
альными. К последним относятся, например, силы трения. Для
таких сил бесконечно малую работу принято обозначать как 5А,
подчеркивая этим, что J* 8А будет зависеть от кривой, вдоль ко-
торой производится интегрирование32. Иначе говоря, М не яв-
ляется полным дифференциалом. Для потенциальных же полей,
32Например, работу сил трения скольжения на плоскости можно считать
пропорциональной длине пути. Если предмет пройдет между фиксирован-
ными точками по разным кривым, то работа сил трения будет зависеть не
только от конечных точек движения, но и от формы траектории, по которой
двигался предмет.
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
185
к которым принадлежит и электростатическое поле, бесконечно
малая работа является полным дифференциалом, что и нашло
отражение в ее обозначении, а уравнение (2.97) может быть упро-
щено.
Действительно, главной характеристикой электростатическо-
го поля является распределение потенциала гл(г) в пространстве,
причем напряженность поля есть градиент потенциала, взятый
с обратным знаком: Е = — Vu(r). Используя связь между по-
тенциалом и напряженностью электростатического поля, можно
найти работу, совершаемую полем при перемещении заряженной
частицы из точки с координатами и в точку с координатами Г2:
(2)	(2)	(2)
У dA — —q J Vu(r) • dr = — q j* du= —g[u(r2) — u(ri)],
(1) (1) (1)
поскольку подынтегральное выражение есть полный дифферен-
циал, криволинейный интеграл от которого не зависит от пути
интегрирования.
Подставляя выражение для работы в электростатическом по-
ле в интеграл движения (2.97), получаем тождество
9
mv
+ gu(r2) = —	+ gu(ri).
Г2	2 Г1
(2.98)
Вспоминая, что произведение заряда частицы на потенциал поля
есть потенциальная энергия заряда в электрическом поле, полу-
чаем, что полная энергия заряженной частицы в произвольном
статическом электромагнитном поле не изменяется во время дви-
жения частицы.
На самом деле все вышеприведенное рассуждение уклады-
вается в одну строчку. Действительно, скалярное домножение
уравнения движения (2.95) на v с учетом связи между напря-
женностью электрического поля и потенциалом дает
mv •
dv
dt
d_
dt
dr „ , . du(r)
= -q— • Vu(r) = -q-^
dt	dt
или
2
+ qu(r) = const.	(2.99)
Именно последнюю формулу, отражающую в ньютоновской
механике закон сохранения энергии при движении заряженной
186
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
частицы в статическом электромагнитном поле, физик должен
уметь выписывать автоматически, но при этом полностью отда-
вать себе отчет в ее физическом содержании, раскрытом выше.
Закон сохранения энергии (2.99) позволяет найти кинетиче-
скую энергию заряженной частицы в любой точке статическо-
го электромагнитного поля, если известна величина начальной
энергии частицы. Как следует из (2.99), изменение кинетической
энергии зависит лишь от разности потенциалов между двумя
точками поля, что дало повод ввести очень удобную внесистем-
ную единицу измерения энергии, часто используемую в атом-
ной физике. Эта единица энергии называется электронволь-
том (эВ) и численно равна увеличению кинетической энергии
частицы с элементарным зарядом е при прохождении ускоряю-
щей разности потенциалов в 1 В. В соответствии с уравнением
(2.98) это означает, что
1эВ — е • 1В = 1.60 • 10~19К • 1 В = 1.60 • 10~19 Дж. |	(2.100)
Отметим еще раз, что своим появлением внесистемная едини-
ца энергии ’’электронвольт” обязана факту дискретности элек-
трического заряда. На 1 эВ возрастает кинетическая энергия
частицы с зарядом ±е независимо от массы частицы, если по-
следняя проходит ускоряющую разность потенциалов в 1 В. Для
отрицательно заряженного электрона ускоряющей будет поло-
жительная разность потенциалов (то есть движение электрона
от меньших потенциалов к большим, а для положительно заря-
женного иона — наоборот, от бблыпих потенциалов к мёныпим).
Чтобы лучше понять, что такое 1 эВ, найдем скорость сво-
бодного электрона, движущегося в вакууме с кинетической энер-
гией £k = 1 эВ. Расчет дает v =	~ 593 км/с. Так как
скорость частицы растет как квадратный корень из кинетиче-
ской энергии, электрон с кинетической энергией 100 эВ движет-
ся со скоростью в 10 раз большей, то есть со скоростью почти
6000 км/с. За секунду такой электрон проходит расстояние по-
рядка радиуса Земли. А если энергию электрона увеличить еще
в 100 раз, доведя ее до величины в 10 кэВ, то скорость электро-
на достигнет почти одной пятой скорости света. В современных
кинескопах, используемых в цветных телевизорах и мониторах
персональных компьютеров, электроны ускоряются напряжени-
ями в 20—30 кВ и движутся со скоростями, доходящими почти
до трети скорости света!
Таким образом, до открытия электрона наука не имела дела
со столь быстрыми объектами, обладавшими инертной массой.
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
187
Действительно, как следует из предыдущей главы, наименьшие
известные в то время объекты — атомы и молекулы — в газах
при нормальных условиях движутся со скоростями до 10 км/с.
Из видимых глазом предметов земного происхождения наиболь-
шие скорости имели снаряды и пули. Так, начальная скорость
пули при выстреле из трехлинейной33 винтовки Мосина образца
1891 года, которая была на вооружении русской армии в момент
открытия электрона, составляла около 700 м/с. Наконец, оста-
вались астрономические объекты. Например, Земля обращается
вокруг Солнца со скоростью около 30 км/с. Самый быстрый из
перечисленных объектов — Земля — движется со скоростью все-
го 10“4 с, где с — скорость света.
В результате создания специальной теории относительности
(СТО) выяснилось, что ньютоновская механика не является аб-
солютно строгой, а описывает движение лишь достаточно мед-
ленных по сравнению со скоростью света объектов, с которыми
только и сталкивались ученые до открытия электрона. В рам-
ках СТО были сформулированы уравнения более точной реляти-
вистской динамики, переходящие в пределе v/c -> 0 в известные
уравнения ньютоновской механики.
СТО — классическая теория, побудительные стимулы к со-
зданию которой лежали в области электродинамики движущих-
ся тел. Однако по времени создание СТО и открытие электро-
на счастливо совпали, в руки экспериментаторов после откры-
тия электрона попал объект, который можно было разгонять
до немыслимых прежде скоростей. Полное соответствие экспе-
риментам расчетных характеристик движения электронов, по-
лученных по формулам релятивистской динамики, стало убеди-
тельным подтверждением СТО.
2.7.1 Сводка основных результатов
релятивистской динамики
В 1905 году Эйнштейн, опираясь на известные эксперименты
американского физика А. Майкельсона34 по отсутствию влияния
движения Земли на скорость света, сформулировал в явном виде
два принципа (принцип относительности и принцип независимо-
33То есть калибра 7.62 мм.
34В 1907 году Майкельсону была присуждена Нобелевская премия по фи-
зике ”за создание прецизионных оптических инструментов и выполнение
с их помощью спектроскопических и метрологических исследований”.
188
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
сти скорости света от движения источника)35, ставших отправ-
ной точкой для создания СТО подобно тому, как пять постулатов
позволили Евклиду создать ’’Начала” геометрии. В результате
Эйнштейн сформировал новые представления о времени и про-
странстве, на основе которых позднее были созданы основы ре-
лятивистской механики, ставшей классическим обобщением нью-
тоновской механики. Предполагая, что основы СТО знакомы чи-
тателю, напомним только необходимые для дальнейшего факты.
В релятивистской динамике все объекты по-прежнему харак-
теризуются инвариантной величиной — их массой тп, определя-
ющей инерционные и гравитационные свойства тела и совпада-
ющей с массой в ньютоновском смысле. По историческим при-
чинам, которые будут разъяснены далее, массу тела называют
также массой покоя и обозначают значком то. Для массы тела
ниже будет использовано обозначение без индекса.
Одним из важных следствий создания СТО стало открытие
Эйнштейном нового вида энергии, названной энергией покоя те-
ла £о- Эйнштейн выяснил, что любое неподвижное тело обязано
обладать энергией покоя, причем энергия покоя весьма просто
связана с массой тела уравнением Эйнштейна
£0 = тс2 .	(2.101)
Уравнение (2.101) часто называют соотношением эквивалент-
ности между массой тела и его энергией покоя, хотя корректнее
было бы называть его формулой соответствия между массой те-
ла и энергией покоя, так как энергия и масса — это все-таки раз-
ные физические величины. Первоначально полагали, что смысл
уравнения (2.101) в том, что увеличение или уменьшение внут-
ренней энергии тела влечет за собой соответствующее изменение
массы тела. Например, если тело нагреть, то его масса увели-
чится. Однако из-за большой величины скорости света эффект
нагревания (или какого-либо другого доступного способа уве-
личения внутренней энергии макроскопического тела) слишком
35 До Эйнштейна большой вклад в электродинамику движущихся тел внес-
ли голландский физик Гендрик Антон Лоренц и французский математик
и физик Анри Пуанкаре. Последний, например, в явном виде до Эйнштейна
сформулировал принцип относительности, которого, однако, недостаточно
для построения СТО. СТО была создана именно Эйнштейном как следствие
двух принципов, второй из которых до Эйнштейна никем не высказывался.
Схожий случай произошел и в геометрии: когда Н.И. Лобачевский изменил
пятый постулат Евклида о параллельных, он построил совершенно новую
геометрию, названную в честь автора геометрией Лобачевского.
2 7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
189
незначителен, чтобы его можно было реально обнаружить. Дей-
ствительно, представим себе, что 1 г воды нагревается на 100 °C.
Так как удельная теплоемкость воды в интервале 0 — 100°C со-
ставляет примерно 1 кал/г = 4.19 Дж/г, то внутренняя энергия
воды увеличится примерно на 419 Дж. Разделив эту энергию
на с2, получим, что масса 1 г воды при нагревании на 100°C
вырастет примерно на 4.6 • 10“12 г. Возможности усилить этот
эффект, увеличивая перепад температуры, весьма ограничены,
если вспомнить, что самое тугоплавкое из известных вещество —
графит — имеет температуру сублимации около 4200°C.
Истинное значение формулы Эйнштейна (2.101) было выяв-
лено значительно позднее и не может быть подробно рассмотрено
в рамках настоящего издания.
Тем не менее, для особенно любознательных укажем, что все ча-
стицы в природе имеют свои антиподы, называемые античастицами.
Частица и античастица, в частности, имеют одинаковые массы и про-
тивоположные по знаку заряды. Античастицей электрона е~ являет-
ся позитрон е+, теоретически предсказанный в 1931 году английским
физиком П. Дираком и экспериментально обнаруженный в 1932 го-
ду американским физиком К. Андерсоном, получившим ”за открытие
позитрона” Нобелевскую премию по физике в 1936 году. При столк-
новении частицы и античастицы в типичном случае происходит их
аннигиляция, то есть частицы с ненулевой суммарной массой покоя
исчезают, превращаясь в весьма коротковолновое электромагнитное
излучение, называемое 7-лучами. Энергия возникающих при анниги-
ляции 7-лучей в точности соответствует формуле Эйнштейна (2.101)
и в конечном итоге может пойти на увеличение внутренней энергии
(то есть на нагревание) любого тела, способного поглотить образо-
вавшиеся 7-лучи. Таким образом, результатом аннигиляции частицы
и античастицы может стать полное преобразование массы покоя в ки-
нетическую энергию других частиц.
Возможно и обратное преобразование кинетической энергии стал-
кивающихся частиц в массу вновь образующихся частиц. Так, напри-
мер, на протяжении XX века было обнаружено, что существует груп-
па частиц, названных лептонами (от греч. leptos — легкий), состоящая
из шести частиц. Три из них обладают отрицательным элементарным
зарядом. Это — уже известный электрон е~, отрицательно заряжен-
ный мюон рГ (открыт в 1936 году, масса около 207 те, время жиз-
ни 2.2 • 10-6 с) и отрицательно заряженный тау-лептон т~ [открыт
в 1975 году, масса (3477 ± 6) те, время жизни 0.3 • 10“12 с]. Каждому
лептону соответствует положительно заряженная античастица той же
массы. Кроме того, существует еще три электронейтральных лептона,
называемых нейтрино (и, соответственно, три антинейтрино).
Итак, самый тяжелый заряженный лептон — тау-лептон — почти
в два раза тяжелее атома водорода! Тау-лептоны получают следую-
щим образом: в грандиозных ускорителях разгоняют до высокой кине-
190
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
тической энергии электроны и позитроны, которые затем заставляют
сталкиваться. В процессе столкновения происходит реакция
е“ + е+ —> т“ + т+ .
Как видно, масса продуктов реакции примерно в 3477 раз больше
массы реагирующих частиц! Можно сказать, что энергия покоя тау-
лептонов почти целиком образована из кинетической энергии электро-
на и позитрона. Однако через 10-12 с происходит обратный переход —
тау-лептоны распадаются, превращаясь в электрон и позитрон и ис-
пуская еще нейтральные частицы — нейтрино, при этом энергия покоя
тау-лептонов вновь превращается в кинетическую энергию продуктов
распада.
Возможно также частичное преобразование массы покоя тела в дру-
гие виды энергии. Например, при распаде ядер радиоактивных эле-
ментов сумма масс осколков меньше массы М распадающегося ядра
примерно на 10”3М, что является основой энергетики АЭС, преоб-
разующих примерно одну тысячную энергии покоя ядерного топлива
в тепло и электроэнергию. Еще более эффективный процесс преобра-
зования энергии покоя в кинетическую энергию идет в недрах звезд.
В частности, в результате термоядерных реакций в ядре Солнца проис-
ходит превращение четырех протонов и двух электронов в ядро гелия
и два электронных нейтрино, причем в кинетическую энергию преоб-
разуется примерно 1 % энергии покоя частиц, вступающих в реакцию.
В земных условиях реакции термоядерного синтеза пока удалось ре-
ализовать лишь при взрыве термоядерных бомб. Уже около полувека
не прекращаются попытки создать управляемые термоядерные реак-
торы, в которых предполагается преобразовывать энергию покоя дей-
терия (запасы которого на Земле практически неисчерпаемы) в тепло
и электроэнергию.
Итак, резюмируя вышеизложенное, следует подчеркнуть, что
энергия покоя тела — вполне реальная энергия, которая может
быть преобразована в любой другой вид энергии либо полностью,
либо частично. Наоборот, энергия в любой форме в конечном сче-
те может быть преобразована в энергию покоя какого-либо тела.
Так как способная изменяться энергия покоя тела однозначно
связана с массой тела уравнением Эйнштейна (2.101), то ясно,
что масса тела не является сохраняющейся величиной, а закон
сохранения массы в общем случае в релятивистской динамике
не выполняется, в то время как энергия и импульс замкнутой
системы сохраняются. Однако если не происходят ядерные или
термоядерные реакции, то сохранение массы можно считать за-
коном, выполняющимся с высокой точностью.
2 7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 191
Формула Эйнштейна (2.101) позволяет выражать массу ча-
стицы в энергетических единицах, в качестве которых исполь-
зуются электронвольты. Так, домножая массу электрона (2.91)
на с2 и переведя результат в электронвольты, получим, что для
электрона
£0 ~ 511 кэВ.	(2.102)
Последнее означает, что энергия покоя электрона есть 511 кэВ.
В таком случае говорят, что масса электрона равна 511 кэВ/с2
или еще проще: масса электрона есть 511 кэВ, помня при этом
о соответствии между массой и энергией покоя частицы.
Природа собственной энергии лептонов и других элементарных ча-
стиц в настоящее время является одним из главных нерешенных вопро-
сов физики. Почти сразу же после открытия электрона была выдви-
нута гипотеза об электромагнитном происхождении собственной энер-
гии электрона, а значит, и об электромагнитном происхождении массы
электрона. Действительно, электрон как заряженная частица создает
вокруг себя электрическое поле. Выдвигая дополнительные гипотезы
о структуре электрона, можно найти полную величину энергии элек-
трического поля, окружающего электрон, а затем отождествить вели-
чину этой энергии с энергией покоя электрона. Однако затем от такой
гипотезы отказались как от ошибочной. В настоящее время достовер-
но известно, что электромагнитное взаимодействие ответственно лишь
за очень небольшую долю энергии покоя электрона.
В квантовой теории поля построена модель происхождения массы
лептонов и кварков. Считается, что масса может возникать в резуль-
тате взаимодействия последних с полем гипотетических частиц, на-
зываемых бозонами Хиггса (в честь американского физика П. Хиггса,
предложившего в 1964 году соответствующий механизм). Поиск бозо-
нов Хиггса интенсивно ведется и является одной из самых фундамен-
тальных задач современной физики.
В релятивистской динамике векторное уравнение движения
частицы с ненулевой массой т не изменились по сравнению с нью-
тоновским уравнением и в векторной форме имеет вид
^ = F,	(2.103)
dt
Новыми же являются выражение для импульса (см. далее)
и фундаментальная связь между полной энергией частицы 5,
массой частицы т и модулем импульса р:
с2 2 2 I 24
£ = р с + тс .
(2.104)
192 ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Уравнение (2.104) является следствием того факта, что полная
энергия частицы, деленная на скорость света, и трехмерный им-
пульс являются компонентами 4-вектора, называемого 4-импуль-
сом. Квадрат длины 4-вектора является скаляром, одинаковым
во всех инерциальных системах отсчета. Подсчет квадрата дли-
ны 4-импульса частицы и дает формулу (2.104).
Новая релятивистская формула для импульса частицы р та-
л/1 — v2/c2
Вспоминая формулу для импульса в ньютоновской механике
р = mv и сравнивая ее с релятивистским выражением (2.105),
убеждаемся, что при малых скоростях они различаются36 на ве-
личину, квадратичную по
V
Р = ~-	(2.106)
Вспоминая также порядки достижимых в XIX веке скоростей
(/? < 10“4), получаем, что относительные отступления от второ-
го закона Ньютона были крайне незначительны, так что в об-
ласти малых скоростей ньютоновская механика всегда останется
эффективным инструментом для расчетов. Тем не менее, в прин-
ципиальном отношении механика Ньютона является лишь при-
ближенной теорией, точность которой может быть определена
только после рассмотрения более общей и более точной теории
— релятивистской динамики.
Релятивистская формула для импульса (2.105) как раз и да-
ет ответ на вопрос, когда можно применять нерелятивистскую
(ньютоновскую) динамику, а когда — релятивистскую. Задавая
требуемую относительную точность, всегда можно получить мак-
симальную скорость движения частицы, при которой расчеты
импульса по релятивистской и нерелятивистской формулам прак-
тически совпадут. Следовательно, необходимо уметь находить
36В начале 1920-х годов возникла архаичная терминология, широко рас-
пространенная до сих пор. Исходным пунктом является стремление запи-
сать формулу для релятивистского импульса (2.105) в виде, аналогичном
формуле для нерелятивистского импульса. Тогда величина т/у/1 — /З2 объ-
является некой ’’релятивистской” массой частицы, возрастающей со скоро-
стью. Соответственно, масса частицы т объявляется массой покоя частицы
то. Такое произвольное толкование релятивистской формулы для импуль-
са, как будет доказано ниже, физически бессмысленно и ведет только к тер-
минологической путанице, создавая искаженные представления о сущности
специальной теории относительности.
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 193
величину скорости заряженной частицы при движении в стати-
ческом электромагнитном поле. В нерелятивистской динамике
скорость может быть найдена из интеграла энергии (2.99), кото-
рый легко получается как следствие уравнений движения в фор-
ме Ньютона. Получим соответствующий интеграл и для реляти-
вистской динамики.
Для этого подставим в уравнение движения (2.103) реляти-
вистское выражение для импульса частицы (2.105), а в правую
часть — силу Лоренца (2.94):
d	mv
dt	— v2/c2
= qE + qv х В .
(2.107)
Домножив скалярно уравнение движения (2.107) на скорость
частицы, справа по;прежнему получим работу, производимую
электростатическим полем над частицей в единицу времени (то
есть мощность), а слева, следовательно, — по-прежнему скорость
изменения кинетической энергии частицы:
d mv
—---.	. 	— qv • Е .
dt у/1 — v2/с2
(2.108)
Правая часть по сравнению с нерелятивистским случаем не
изменилась и равна —qdu(r)/dt. При этом магнитное поле, как
и раньше, снова выпало из уравнения. Последнее означает, что
и в релятивистском случае магнитное поле не меняет кинетиче-
скую энергию частицы (и, соответственно, модуль скорости ча-
стицы) .
Упростим левую часть, которая, как скалярное произведение,
является суммой трех членов, первый из которых есть
d ( vx t \
mvx — —==
dt
mvx dvx nd 1
—/	—h mvz- .	=
^/l-/?2 dt	dty/i-/32
m dv%	nd 1
---/	: i-h Tnv~ —-,.•.,
dt Xdty/T^.
а два остальных получаются из него заменой vx на vy и vz, соот-
ветственно. Суммирование всех трех членов в левой части с по-
следующими очевидными преобразованиями дает
194
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
d ( mv \ т dv2 2 d 1
v • — —.	  = —у	——h mv  ------/---г- =
dt	J	dt dt уТ^/З2
_ me2 dp2 mv2 d/32 _
- 20 - ^2 “dt” + 2(1 — /J2)3/2 dt ~
m l 2	2 , 2\dP2 d mc2
= 2(1 -(c
Таким образом, перенося правую часть уравнения (2.108) вле-
во, окончательно получаем тождество
d me2
dt ^/1 — v2/c2
+ gu(r)
= 0,
(2.109)
откуда следует релятивистский интеграл энергии
I I	. V
......— -== + qu(r) = const.
уД - V2/c2 k 7
(2.110)
Чтобы найти величину константы в правой части (2.110), то
есть сохраняющуюся величину полной энергии частицы 5, при-
мем за начало движения частицы некоторую точку го, где бы
частица покоилась (реально такую точку всегда можно указать),
а потенциал в этой точке обозначим uq. Подставляя в интеграл
энергии (2.110) значения скорости и потенциала в точке го, по-
лучим
2
/	9/2 + 9u(r) = тс + 9^0 •	(2.111)
у 1 — V2/с2
Сумма в правой части интеграла энергии (2.111) есть, оче-
видно, полная энергия частицы. Действительно, слагаемое тс2
— энергия покоя частицы, слагаемое quo — потенциальная энер-
гия заряженной частицы в электростатическом поле, а кинети-
ческая энергия частицы в точке го равна нулю, так как скорость
частицы в этой точке равна нулю. Обозначая полную энергию
заряженной частицы в электромагнитном поле через 8, оконча-
тельно получаем, что
2	/	2	\
mr	z ч / тс*	о \	ч о
£ =	1	= + qu(r) =	. л = — тс + qu(r) + тс .
у/1 - v2]<? v ’	\0-v2/c2	)
(2.112)
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
195
Релятивистское выражение для полной энергии частицы со-
стоит из трех слагаемых, второе и третье из них — уже знако-
мые потенциальная энергия и энергия покоя частицы. Энергия,
возникающая в результате увеличения скорости частицы, — это
кинетическая энергия, которая должна быть третьим слагаемым
в полной энергии частицы. Следовательно, релятивистское вы-
ражение для кинетической энергии £к имеет вид:
2
£к=	/1тС2/2~тс2-	<2-ПЗ)
у 1 —
Несколько непривычное на первый взгляд выражение, тем не
менее, в пределе малых скоростей переходит в известное нереля-
тивистское выражение для кинетической энергии частицы. Дей-
ствительно, раскладывая в ряд по /З2 правую часть (2.113), по-
лучаем
9
mv
~2~
8k-тс I 2 + 8
(2.114)
с относительной точностью порядка /З2.
Релятивистское выражение для кинетической энергии пока-
зывает, что разгон частицы с ненулевой массой до скорости све-
та невозможен, так как при приближении скорости частицы v
к скорости света с кинетическая энергия должна вырасти до бес-
конечности, тогда как нерелятивистское выражение для кинети-
ческой энергии остается конечным при любой конечной скорости
движения.
Если заряженная частица прошла ускоряющую разность по-
тенциалов С7, начав движение из состояния покоя, рост кинетиче-
ской энергии частицы идет за счет уменьшения ее потенциальной
энергии , а скорость такой частицы можно наити, приравняв
37Абсолютно схожий, но более наглядный образ можно сформировать,
представив себе падение кирпича с крыши здания. Кто-то когда-то затратил
работу, подняв кирпич на крышу, то есть увеличив потенциальную энергию
(и массу!) кирпича. Сброшенный с крыши кирпич летит вниз, сохраняя в по-
лете свою массу и полную энергию. Иначе можно сказать, что гравитаци-
онные силы, совершая над кирпичом работу, перераспределяют его полную
энергию: кинетическая энергия падающего кирпича увеличивается за счет
уменьшения его потенциальной энергии. В момент падения на землю кирпич
передает всю свою кинетическую энергию на деформацию грунта, локаль-
ный нагрев и, быть может, разрушение кирпича. Полная энергия кирпича
уменьшается, его масса (или масса осколков) тоже уменьшается и становит-
ся равной первоначальному значению до подъема на крышу.
196
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
кинетическую энергию (2.113) изменению энергии потенциаль-
ной:
2
/imC2/2-mc2 = gt7.	(2.115)
у 1 — гг/с2
То же уравнение непосредственно следует из интеграла энергии
(2.111). Решая(2.115) относительно скорости v, получаем
-=,к-	1
с у [1 + д(7/(тс2)]2
(2.116)
При малых значениях дроби qU/(тс2) правую часть (2.115) мож-
но разложить в ряд, получив в пределе нерелятивистскую фор-
мулу для скорости частицы, прошедшей ускоряющую разность
потенциалов U. Поскольку энергия покоя электрона составля-
ет 511 кэВ, то нерелятивистскими будут электроны, ускоренные
до существенно мёныпих энергий, причем в зависимости от тре-
буемой точности расчета верхний предел ускорения может ме-
няться. Однако существует формальное разделение частиц на
релятивистские и нерелятивистские.
Релятивистской считается частица, кинетическая энер-
гия которой больше ее энергии покоя. Если же кинетиче-
ская энергия частицы много больше энергии покоя, то такие ча-
стицы называются ультрарелятивистскими.
Рассмотрим свободные частицы, то есть частицы, движущие-
ся равномерно и прямолинейно в инерциальной системе отсчета.
Очевидно, что в таком случае в выражении для энергии части-
цы следует положить и(г) = 0. Тогда полная энергия свободной
частицы примет вид
тс2
у/1 — V2/(?
(2.117)
Сравнивая последнее выражение с релятивистской формулой для
импульса (2.105), получим соотношение
Р = |^-	(2.И8)
Хотя формула (2.118) получена только для частиц с ненулевой
массой, можно доказать, что она остается верной и для безмас-
совых частиц (то есть для частиц с т = 0).
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
197
В следующей главе будет продемонстрировано, что электро-
магнитное излучение дискретно, то есть состоит из безмассовых
частиц, называемых фотонами. Пользуясь формулами (2.118)
и (2.104), легко показать, что безмассовые частицы могут дви-
гаться только со скоростью света, и, наоборот, если частица дви-
жется со скоростью света, ее масса равна нулю. Тогда для без-
массовых частиц, а также ультрарелятивистских частиц с нену-
левой массой (для которых v ~ с) связь между полной энергией
и величиной импульса принимает очень простой вид:
р=-.	(2.119)
С
2.7.2 Движение заряженных частиц
в статическом однородном магнитном поле
Рассмотрим важный случай движения заряженных частиц в од-
нородном статическом магнитном поле. Релятивистское уравне-
ние движения частицы в произвольном статическом магнитном
поле имеет вид:
d mv
dt у/1 — v1 j (?
= qv x В.
(2.120)
Поскольку величина скорости v при движении частицы в маг-
нитном поле постоянна, то из под знака производной в (2.120)
можно вынести множитель m/^/1 — v2/c2, получив уравнение,
формально совпадающее с нерелятивистским уравнением Нью-
тона для частицы, движущейся в статическом магнитном поле:
т dv
л/1 — v2/c2 dt
= qv х В.
(2.121)
Таким образом, в произвольном статическом магнитном поле
релятивистское описание движения заряженных частиц массы т
формально сводится к нерелятивистскому описанию движения
частиц, масса которых тв определяется выражением
т
тв = Vi-^2/cT’
(2.122)
198
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Рис. 2.14. Траектория движения
положительно заряженной части-
цы в однородном статическом ма-
гнитном поле в общем случае
Определим характер дви-
жения заряженных частиц
с ’’формальной” массой тв
в статическом однородном маг-
нитном поле, рассматривая
движение в рамках ньютоно-
вой механики.
Совместим ось Oz декарто-
вой системы координат с на-
правлением магнитного поля,
а ось Оу выберем так, что-
бы вектор начальной скорости
частицы лежал в плоскости
yOz. В выбранной таким обра-
зом системе координат, изоб-
раженной на рис. 2.14, реля-
тивистские уравнения движе-
ния в проекциях на оси при-
мут вид:
тв—^~ = qvyB ,	(2.123)
dv.,
тв—^~ = —qvxB ,	(2.124)
at
dv7
тв-£ = 0.	(2.125)
at
Уравнения движения нужно дополнить начальными данны-
ми:
при t = 0 частица стартует из начала координат, имея v$x = О,
а остальные две проекции скорости могут быть любой величины.
Из уравнения (2.125) следует, что вдоль силовых линий одно-
родного магнитного поля частица движется равномерно и пря-
молинейно со скоростью v$z, поскольку, очевидно, сила Лоренца
в магнитном поле не имеет компоненты в направлении поля.
Определение траектории в плоскости, перпендикулярной ма-
гнитному полю, то есть в плоскости хОу, затруднений не вызы-
вает, поскольку система уравнений (2.123)—(2.124) — линейная
с постоянными коэффициентами. Однако особенно просто эта
система решается, если ввести комплёксную функцию
w(t) = vx(t) + ivy(t), где г — мнимая единица.
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
199
Кроме того, введем обозначение
шъ = —.	(2.126)
771в
Тогда, домножая уравнение (2.124) на мнимую единицу г
и складывая (2.123) и (2.124), получим
dw
- = -iwLw.	(2.127)
at
Решение линейного дифференциального уравнения с посто-
янными коэффициентами (2.127) комментариев не требует:
w(t) = woexp(—iwLt) = wo2/exp(—iwLt).	(2.128)
Отделяя вещественную и мнимую части в (2.128), получаем
решение для скоростей:
= vx = voy sin(o;L£),	(2.129)
dv	z	z
— = Vy = vQy cos(cuL^).	(2.130)
UL
Произведя повторное интегрирование двух предыдущих урав-
нений, получим в параметрической форме траекторию в плоско-
сти, перпендикулярной магнитному полю:
x(t) = р [1 — cos(cul£)] ,	(2.131)
y(t) = р sin(cuLt),	(2.132)
где
_ v0y _ mBvQy _ РОу _ PO_L
Р~ wL ~ qB ~ qB ~ qB '	1	}
В последнем равенстве ро± просто обозначает перпендикулярную
магнитному полю компоненту импульса частицу.
Уравнение траектории в плоскости хОу определяет окруж-
ность
(ж - р)2 + у2 = р2	(2.134)
радиуса р, вдоль которой частица движется с постоянной ско-
ростью, а угловая частота вращения cuL называется ларморовой
в честь английского физика Джозефа Лармора, изучавшего дви-
жение заряженных частиц в магнитных полях.
200
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Поскольку вдоль оси 0z частица летит с постоянной скоро-
стью vqz, ее пространственная траектория будет спиралью с ша-
гом d = vQzT, где Т — период обращения частицы в плоскости
хОу. Так как Т = 2тг/сиь, то d = 2nvQz/uoL. Ранее (см. рис. 2.14)
были изображены винтовая траектория частицы и ее проекция
на плоскость хОу, также называемая ларморовой окружностью,
или ларморовским кружком.
Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле
широко используется в физике. Для быстрого определения ос-
новных параметров движения — радиуса ларморовой окружно-
сти и ларморовой частоты обычно пользуются следующим рас-
суждением. После выяснения того, что частицы в плоскости,
перпендикулярной к полю, движутся по окружности, можно ис-
пользовать хорошо известный из механики факт: при движении
любого тела по окружности с постоянной угловой частотой про-
исходит взаимное уравновешивание центробежной и центростре-
мительной сил. Разложив скорость частицы на параллельную
и перпендикулярные компоненты по отношению к магнитному
полю, получим равенство
о
= qv±B ,	(2.135)
Р
в котором слева центробежная сила, а справа — центростреми-
тельная. Из условия равенства этих двух сил сразу же следует
формула для радиуса ларморовой окружности (2.133). Опреде-
лив этот радиус, легко найти и ларморову частоту. Действитель-
но, период обращения частицы по окружности можно найти, раз-
делив длину окружности 2тгр на скорость движения вдоль нее
vj_, после чего ларморова частота вычисляется как 2тг/Т, что и
дает выражение (2.126). Подставляя тв из (2.122), получаем для
ларморовой частоты окончательное выражение в виде
/	а В
<vL = \ 1-^— •	(2.136)
V cz т
Из выражения (2.136) следует, что в нерелятивистской обла-
сти ларморова частота с высокой точностью не зависит от ско-
рости частицы, в то время как радиус ларморовой окружности
пропорционален поперечному импульсу частицы.
Получается так, что с увеличением скорости частицы растут
радиус окружности вращения и скорость движения по окружно-
сти, а период остается неизменным.
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 201
Последнее свойство в 1931 году было использовано американ-
ским физиком Эрнестом Лоуренсом (1901—1958) при создании
устройства для ускорения ионов, получившего название ’’цик-
лотрон”. Создание циклотрона открыло перед физиками новое
широкое поле деятельности, и уже в 1939 году Лоуренсу была
присуждена Нобелевская премия по физике "за изобретение и со-
здание циклотрона, за достигнутые с его помощью результаты,
особенно получение искусственных радиоактивных элементов".
2.7.3 Циклотрон
Опыты по взаимодействию с веществом заряженных частиц, об-
ладающих большой кинетической энергией, позволили получить
самые фундаментальные в области физики результаты, о чем да-
лее еще будет рассказано. Сейчас лишь напомним, что кинетиче-
ская энергия ультрарелятивистской частицы может переходить
в энергию покоя вновь возникающих частиц. Поэтому чем силь-
нее удается разогнать заряженную частицу, тем более массив-
ная новая частица может возникнуть при столкновениях уско-
ренных частиц. Например, столкновение ультрарелятивистских
электрона и позитрона может привести к возникновению пары
тау-лептонов, которые почти в 3500 раз тяжелее электрона и по-
зитрона.
Ускорительная техника в теоретическом отношении базиру-
ется на релятивистской динамике заряженных частиц в электро-
магнитных полях. Огромное число приборов было рассчитано
и создано на основе использования релятивистских уравнений,
рассмотренных в подразделе 2.7.1, поэтому можно сказать, что
уравнения релятивистской динамики успешно выдержали все-
объемлющую экспериментальную проверку.
Для ускорения заряженной частицы необходимо электриче-
ское поле, так как постоянное магнитное поле в принципе не мо-
жет изменить энергию частицы. Если ускорять частицы стати-
ческим электрическим полем, то окончательная энергия части-
цы, в соответствии с законом сохранения энергии (2.115), будет
определяться максимальным напряжением, которое можно при-
ложить между входом и выходом какого-либо высоковольтного
устройства. Такие устройства известны. Например, это генера-
тор Ван де Граафа, в котором электрические заряды переносят-
ся на заряжаемое тело с помощью движущейся ленты. Но из-за
угрозы пробоя напряжение выше 10—15 МВ с помощью электро-
статической машины практически получить нельзя.
202
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Рис. 2.15. Изображение внутреннего
устройства циклотрона. Пунктиром
показаны траектории ионов
Лоуренс предложил
и в 1930—1931 годах ре-
ализовал идею много-
кратного (циклического)
ускорения ионов сравни-
тельно низкими напря-
жениями, откуда и про-
изошло название прибо-
ра: циклотрон — цикли-
ческий ускоритель ионов.
Схематическое изображе-
ние циклотрона приведе-
но на рис. 2.15.
Основу конструкции
составляют камеры D\
и называемые дуан-
тами, которые размеща-
ются в вакууме. В целом
дуанты напоминают кон-
сервную банку, разрезан-
ную пополам. Вакуумная часть помещена между полюсными на-
конечниками N и S мощного электромагнита, создающего в объ-
еме дуантов статическое однородное магнитное поле с индукцией
в 1.6—1.8 Тл. Источник ионов /, которые необходимо ускорить,
находится в центре циклотрона (между дуантами).
К дуантам прикладывается синусоидальное напряжение с ча-
стотой, соответствующей ларморовой частоте ускоряемых ионов:
U = Uq sin(cU[/).
Положительно заряженные ионы покидают источник I непре-
рывно, обладая небольшой начальной кинетической энергией.
Электрическое поле начинает ускорять ион в направлении одно-
го из дуантов, а магнитное поле заставляет совершать вращение
по окружности с ларморовой частотой. Каждый ион бблыпую
часть времени проводит внутри дуанта, где напряженность элек-
трического поля практически равна нулю. Возвращаясь к зазору
между дуантами через половину периода обращения, ион снова
попадает в ускоряющее поле, так как напряжение на дуантах
за половину периода в точности изменяется на противополож-
ное. Таким образом, при каждом проходе между дуантами ион
ускоряется относительно небольшим напряжением в несколько
десятков киловольт.
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
203
Электрическое поле между дуантами выполняет и еще одну
важную функцию. Воздействие магнитного поля на ионы вдоль
силовых линий (по вертикали) отсутствует. Так как при вылете
из источника ионы всегда имеют ту или иную величину верти-
кальной скорости, то за несколько оборотов только в магнитном
поле они попадали бы на верхнюю или нижнюю поверхность ду-
антов, и которыми бы и поглощались.
На рис. 2.16 пунктирны-
ми линиями изображены эк-
випотенциальные поверхности
электрического поля в зазо-
ре между дуантами. Сило-
вые линии поля перпенди-
кулярны эквипотенциальным
поверхностям. Видно, что при
Рис. 2.16. Вид эквипотенциаль-
ных поверхностей электрическо-
го поля в зазоре между дуанта-
ми (пунктир) и траектория иона
(сечение циклотрона вертикаль-
ной плоскостью, проходящей через
проходе между дуантами пер-
вую половину зазора на ион
действует, кроме ускоряющей,
компонента силы, направлен-
ная к средней плоскости цик-
лотрона, а вторую половину
зазора компонента силы меня- центр циклотрона перпендикуляр-
ет свой знак и стремится от- но зазору между дуантами)
бросить ион от средней плос-
кости. Однако суммарное действие на ион будет фокусирующим
(то есть ион будет удерживаться вблизи средней плоскости), по-
скольку в зазоре между дуантами ион ускоряется, то есть его
энергия в первой половине зазора меньше энергии во второй по-
ловине. Но чем больше кинетическая энергия частицы, тем сла-
бее влияет на ее движение сила фиксированной величины, вслед-
ствие чего фокусирующее действие поля зазора и преобладает
над дефокусирующим.
Конечно, полная теория работы циклотрона сложнее и не мо-
жет быть здесь рассмотрена, однако уже изложенного достаточ-
но для оценки основного параметра циклотрона — максимальной
энергии, которую в нем приобретают ионы. Пока ионы не набра-
ли кинетическую энергию, соизмеримую с их энергией покоя, их
можно считать нерелятивистскими и пренебречь величиной /3.
Тогда формула (2.133) позволяет найти кинетическую энергию
иона как функцию его текущего радиуса р внутри дуантов:
р2 _ е2В2р2
2т 2т
(2.137)
204
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Как видно, величина Uq — амплитуда ускоряющего электриче-
ского поля — вообще не вошла в выражение (2.137). Последнее
легко понять: рост Uq приведет просто к сокращению числа обо-
ротов иона, необходимого для достижения заданного радиуса р.
Через специальное отверстие в одном из дуантов ускоренные
ионы покидают циклотрон, а их максимальная энергия опреде-
ляется индукцией магнитного поля и размерами циклотрона. По-
этому электромагнит циклотрона является его главной частью.
На рис. 2.17 изображен эле-
ктромагнит циклотрона: А —
ярмо, N и S — полюсные нако-
нечники, D — обмотка, питае-
мая генератором постоянного
тока. Вес ярма современных
циклотронов достигает 300 т,
вес катушек возбуждения —
70 т при диаметре полюс-
ных наконечников 1.5 м, по-
требляемая мощность дости-
гает 200 кВт. Максимальная
энергия, до которой ускоряют
Рис. 2.17. Электромагнит цикло- протоны в циклотроне, состав-
тРона	ляет 30—35 Мэв.
Если в ходе ускорения изменять частоту ускоряющего напря-
жения [уменьшать ее, так как с разгоном протона ларморова
частота падает в соответствии с (2.136)], протоны не будут вы-
ходить из режима синхронизма, и разогнать их можно будет до
еще ббльших энергий. Такие ускорители были созданы и получи-
ли название фазотронов, в которых по-прежнему используется
постоянное почти однородное магнитное поле с диаметром по-
люсных наконечников до 6 м и максимальной энергией протонов
до 1 ГэВ = 1000 МэВ = 1000 000 000 эВ.
Создание циклотрона позволило получить многие радиоак-
тивные изотопы (в том числе и не существующие в природе
трансурановые элементы) путем бомбардировки урана многоза-
рядными ионами азота, кислорода, неона и аргона38.
38Сам Эрнест Лоуренс работал вместе со своим младшим братом-
биофизиком Джоном и над медицинским применением получаемых с по-
мощью циклотрона радиоактивных изотопов. Джон Лоуренс с успехом ис-
пользовал изотопы для лечения раковых больных, в том числе помог своей
матери, у которой был обнаружен неоперабельный рак. После курса лечения
она прожила еще 20 лет.
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
205
Циклотрон был создан для ускорения ионов и не способен
ускорять легкие частицы — электроны — по двум причинам.
Во-первых, энергия покоя электрона есть всего 0.511 МэВ,
поэтому электроны очень быстро выйдут из синхронизма с на-
пряжением, прикладываемым к дуантам циклотрона.
Во-вторых, ларморова частота для электронов слишком ве-
лика (она лежит в области СВЧ) и не может быть приложена
между дуантами. Однако модификация циклотрона для легких
частиц была предложена советским физиком В.И. Векслером
в 1944 году под названием электронного циклотрона, и реали-
зована в 1948 году группой канадских ученых. В циклическом
резонансном ускорителе электронов также применяется посто-
янное однородное магнитное поле и ускоряющее электрическое
поле в СВЧ-диапазоне. Сейчас электронный циклотрон называ-
ется микротроном, в котором разгоняют электроны до энергий
30 МэВ.
Теперь созданы гораздо более мощные ускорители, позволя-
ющие разгонять протоны до энергий около 1 ТэВ = 1012 эВ, но
основным принципом их работы остается многократный набор
частицей относительно небольших порций энергии. Тем не ме-
нее, ускорение частиц до 30 МэВ по-прежнему осуществляется
циклотронами и микротронами.
2.7.4 Статическое поперечное однородное
магнитное поле как масс-спектрометр
(анализатор отношения е/т)
Метод отклонения заряженных частиц в электрическом и маг-
нитном полях, примененный Томсоном при измерении отноше-
ния е/m для катодных лучей, помог отличить электроны от ионов,
так как электрон обладает очень малой массой, но для других
случаев не годился из-за недостаточной точности определения
е/т. Позднее сам Томсон изобрел другой метод измерения е/т
для ионов, о чем будет подробнее рассказано в следующем раз-
деле. Поскольку элементарный электрический заряд е известен
сейчас с высокой точностью, то измерение отношения е/т поз-
воляет вычислить массу иона. Поэтому приборы, с помощью ко-
торых определяют отношение е/т для ионов, называют масс-
спектрометрами и масс-спектрографами, разница между кото-
рыми будет разъяснена ниже.
Основой одного из используемых до сих пор приборов для
измерения массы ионов является статическое однородное попе-
206
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Рис. 2.18. Полукруговая фокуси-
ровка и разделение ионных пото-
ков в поперечном однородном маг-
нитном поле
речное магнитное поле. Принцип действия масс-спектрометра,
предложенного канадским физиком и химиком Артуром Демп-
стером в 1918 году, иллюстрируется на рис. 2.18.
Статическое однородное поле
создается между полюсными
наконечниками электромагни-
та либо между двумя посто-
янными магнитами, плоскости
которых параллельны плоско-
сти хОу, так что индукция
магнитного поля направлена
вдоль оси 0z. В вакуумной
камере 3 прорезаны входная
1 и выходная 2 щели. Пу-
чок исследуемых ионов с из-
вестной кинетической энерги-
ей вводится во входную щель
перпендикулярно передней стенке камеры.
Показана форма ионных пучков 4 и 5, отвечающих однократ-
но положительно заряженным ионам двух разных масс. Ионы
одной массы фокусируются на выходную щель и далее регистри-
руются с помощью цилиндра Фарадея. Ионы бблыпей массы фо-
кусируются за щелью и не попадают на детектор.
Таким образом, основной
особенностью однородного по-
перечного магнитного поля
является так называемая по-
лукруговая фокусировка по
начальному углу влета а.
Фокусирующее действие од-
нородного поперечного маг-
нитного поля показано на
рис. 2.19, где изображены про-
тэ n -in тт	екции траекторий ионов на
Рис. 2.19. Полукруговая фокуси-	л
ровка в однородном поперечном плоскость хОу.
магнитном поле	Частицы, влетающие в по-
ле строго по нормали (то есть
вдоль оси Оу) через входную щель I малой ширины, движутся
по окружности радиуса р, определяемого формулой (2.133), так
что в нерелятивистском приближении
mv
р = 7в-
(2.138)
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
207
Пройдя полуокружность (отсюда и название — полукруговая фо-
кусировка), ионы возвращаются на входную стенку вакуумной
камеры в точке Р на расстоянии 2р от входной щели I,
Однако в любых пучках частиц есть разброс по углам вле-
та. Здесь показан (см. рис. 2.19) утрированно большой угловой
разброс, когда угол отклонения скорости иона от нормали со-
ставляет а = 20°. Траекторию частицы, влетевшей в поле под
любым углом а к нормали, легко определить. Это, по-прежнему,
окружность, центр которой всегда лежит на прямой, перпенди-
кулярной мгновенной скорости. По построению это точка О (см.
рис. 2.19). Тогда траектория иона, влетевшего в поле под углом
а к нормали, пересечет входную плоскость камеры в точке Q,
удаление которой от I элементарно рассчитывается как основа-
ние равнобедренного треугольника IOQ с углом а при вершине:
IQ = 2pcosa. Следовательно, длина отрезка QP, в который по-
падают ионы, влетающие в поле под углами 90° ±а, будет равна
QP = IP — IQ = 2р(1 — cos а). На самом деле пучки, вводи-
мые в поле, имеют существенно мёныпие угловые разбросы, так
что, раскладывая косинус в ряд и отбрасывая несущественные
члены, получаем
QP ~ ра2 .	(2.139)
Как видно из (2.139), длина отрезка QP есть квадратичная
функция угла полураствора пучка, тогда как в общем случае
ширина пересечения пучком произвольной прямой в плоскости
хОу при малых а растет как линейная по а функция. Когда ли-
нейный член, как в данном случае, обращается в нуль, говорят,
что наступила фокусировка первого порядка по углу влета.
Так, выбирая р = 10 см и а = 2°, получим, что ширина от-
резка QP, который называют аберрационным уширением пучка,
будет всего 0.1 мм. В установке Томсона для измерения отноше-
ния заряд/масса для электронов, описанной в разделе 2.5, такая
фокусировка отсутствовала, именно поэтому электроны выводи-
лись из газоразрядной трубки через несколько очень узких диа-
фрагм, чтобы уменьшить величину углового разброса в пучке
до очень малых значений. Естественно, что отсутствие, как го-
ворят, пространственной фокусировки пучка (или фокусировки
по углам влета) влечет за собой резкое уменьшение числа реги-
стрируемых частиц, что, в свою очередь, ведет к необходимости
увеличения времени детектирования частиц заданной массы.
Из проведенного рассуждения видно, что ионы любой мас-
сы, влетающие в поле со строго фиксированной скоростью v,
сфокусируются на оси От на удалении, пропорциональном массе
208
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
иона. Фиксируя расстояние между входной и выходной щелями,
можно с помощью формулы (2.138) вычислить массу иона. Уве-
личивая магнитное поле либо уменьшая скорость поступающих
в поле ионов, можно последовательно пропускать через фикси-
рованную щель ионы разной массы, определяя, тем самым, из
каких частиц состоит пучок. Когда происходит последователь-
ная регистрация ионов определенной массы с помощью того или
иного детектора (цилиндра Фарадея, например), то такой при-
бор называют масс-спектрометром.
Однако в поперечном однородном магнитном поле вместо вы-
ходной щели QP можно поместить фотопластину, проявление
которой покажет места, на которые сфокусировались ионы. Ре-
ально на фотопластине проявляются узкие темные полоски, сте-
пень почернения которых служит мерой количества упавших
ионов. Такой метод измерения интенсивности пучка менее то-
чен, чем электрическая регистрация. Зато на фотопластине ви-
ден сразу целый участок масс-спектра. Прибор, регистрирую-
щий на фотопластине сразу фрагмент спектра, называется масс-
спектрографом .
Рис. 2.20. Масс-спектрограф Бейн-
бриджа с фильтром Вина в качестве
селектора скоростей (1932 г.)
Масс-спектрограф можно
уподобить световым спектро-
графам — призмам, раскла-
дывающим солнечный свет
в радугу, которая видна сразу
целиком. Если же на экране,
куда проецируется радуга,
сделать узкую щель, способ-
ную пропускать лучи только
одного цвета, а затем, накло-
няя призму, перемещать ра-
дугу вдоль щели, то это и бу-
дет аналог спектрометра.
На рис. 2.20 изображена
модификация масс-спектро-
метра Демпстера в виде масс-
спектрографа американского физика Бейнбриджа. Особенно-
стью прибора Бейнбриджа является установленный перед вход-
ной щелью фильтр Вина, то есть скрещенные электрическое
и магнитное поля, использованные Томсоном при измерении от-
ношения заряд/масса для электронов и описанные в разделе 2.5.
В фильтре скоростей электрическое поле создается плоским
конденсатором РР и перпендикулярным плоскости рисунка маг-
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 209
нитным полем В. Как уже было показано, через такой фильтр
могут по прямой пройти лишь заряженные частицы, скорость
которых удовлетворяет соотношению v = Е/В и которая может
регулироваться изменением либо £?, либо В.
Ионы, вылетевшие из источника (на рис. 2.20 не показан),
пройдя через щели Si, S2 и S3, поступают в фильтр Вина, от-
куда с фиксированной скоростью v влетают в поперечное одно-
родное магнитное поле с другой индукцией В', после чего реги-
стрируются с помощью фотопластины. Чтобы не загромождать
рисунок, на нем изображена лишь одна траектория ионов фик-
сированной массы и без углового разброса. Остальное понятно
из предыдущих рисунков (см. рис. 2.18 и 2.19).
Приведенных сведений достаточно для того, чтобы понять
принцип действия масс-спектрометра на основе однородного по-
перечного магнитного поля, полная теория работы которого не-
много сложнее и здесь не излагается. С помощью масс-спектро-
графов и масс-спектрометров были получены результаты прин-
ципиальной важности, о чем рассказано в следующем разделе.
2.7.5 Движение заряженных частиц
в статическом электрическом поле
После открытия электрона движение потоков заряженных ча-
стиц в электромагнитных полях стало широко применяться как
в научных, так и в технологических целях. В качестве приме-
ров укажем на визуализацию изображений с помощью электрон-
ных потоков в электронно-лучевых трубках, используемых в те-
левизорах, мониторах ЭВМ, осциллографах и целом ряде дру-
гих приборов. Электронные и протонные микроскопы позволяют
получать изображения объектов, размеры которых ненамного
больше единичных атомов. Электронные потоки в лампах раз-
личных типов позволяют генерировать мощные электромагнит-
ные волны в радиодиапазоне; такие приборы, как магнетроны,
клистроны, лампы бегущей волны — в СВЧ-диапазоне, а рентге-
новские трубки — в рентгеновском диапазоне. Основу фундамен-
тального раздела физики — физики высоких энергий — состав-
ляет ускорительная техника (принцип действия одного из уско-
рителей — циклотрона — был рассмотрен выше). Мощные элек-
тронные потоки позволяют резать любые сверхтвердые матери-
алы. Наконец, существует большой класс аналитических прибо-
ров — энергоанализаторов и масс-спектрометров, которые поз-
воляют определять энергии и массы заряженных частиц.
210
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
В целом движение заряженных частиц в электромагнитных
полях изучается корпускулярной оптикой, частным случаем ко-
торой является электронная оптика. В свою очередь, фундамен-
том корпускулярной оптики является релятивистская динамика,
пределом которой при малых скоростях движения является нере-
лятивистская ньютонова динамика. Разбор даже основных вари-
антов движения заряженных частиц в электромагнитных полях
занял бы слишком много места, приоритетом же при изучении
атомной физики являются принципиальные вопросы, в равной
степени распространяющиеся на всю корпускулярную оптику.
Поэтому рассмотрим с релятивистской точки зрения лишь дви-
жение в статическом ускоряющем электрическом поле, которое
позволит сделать заключительные замечания по поводу термина
"релятивистская масса".
Представим себе, что с помощью генератора Ван де Граафа
создано ускоряющее напряжение 10 МВ, с помощью которого
в пространстве создано однородное постоянное электрическое
поле с напряженностью Е вдоль оси Ох декартовой системы ко-
ординат. Рассмотрим простейший случай, когда ускорение начи-
нается из состояния покоя, то есть примем, что в момент времени
t = 0 электрон находится в начале координат, обладая при этом
нулевой скоростью.
Проецируя релятивистское уравнение движения на ось Ох,
получим
d I mv \	„
—	= — еЕ,
dt I ^/1 - ^2 /
(2.140)
где учтено, что заряд электрона отрицателен и равен — е. Оче-
видно, чтобы электрон двигался в положительном направлении
оси Ох, необходимо выполнение неравенства Е < 0, в противном
случае электрон будет двигаться в отрицательном направлении.
Введем обозначение
а =-----,	(2.141)
т
смысл которого заключается в том, что это есть ускорение ча-
стицы с точки зрения нерелятивистской ньютоновой динамики.
Беря интеграл в (2.140) и решая квадратное уравнение отно-
сительно скорости, получим
v(t) =
at
^/1 + (at/c)2
(2.142)
2.7. ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
211
Уравнение (2.142) для малых времен (когда частица еще не
набрала значительной скорости) дает решение, совпадающее
с ньютоновским равноускоренным движением v(t) = at. Со вре-
менем, однако, скорость частицы начинает приближаться к ско-
рости света, ускорение стремится к нулю, а скорость частицы
стремится к скорости света. Из (2.142) видно, что при at 3> с по-
лучаем v(t) ~ с. В явном виде ускорение частицы dv(t)/dt можно
найти, продифференцировав (2.142) по времени, однако полез-
ней его найти с помощью несколько иной процедуры. Для это-
го преобразуем левую часть релятивистского уравнения (2.140),
раскрывая производную по времени как производную от произ-
ведения, что даст
d ( mv \	d (	/3	\
— —>	= тс— —z------- =
dt\y/l^]Pj	dtyy/T^^J
1	d/3 fi2 dp m dv
У1-/32 dt + (1 _ 02)3/2 dt (1 _ 02)3/2 dt ’
С учетом последнего преобразования уравнение (2.140) при-
водится к виду
(2.143)
т dv
(1-02)3/2^ = ~еЕ’
откуда следует, что в продольном электрическом поле реляти-
вистское уравнение движения для частицы с массой т формаль-
но сводится к нерелятивистскому уравнению движения (2.142)
для некоторой частицы с массой тЕ, где
т
™Е = (1 - 
(2.144)
Из (2.143) также следует, что ускорение частицы при движе-
нии под действием постоянной ускоряющей силы будет умень-
шаться по закону
J = a(l-^2)3/2.	(2.145)
dt
При желании можно определить также и зависимость x(t),
если взять определенный интеграл от правой части (2.142), од-
нако в этом нет необходимости. Следует лишь отметить, что при
произвольных начальных данных движения траекторией части-
цы в постоянном ускоряющем электрическом поле будет цеп-
ная линия. Если движение происходит с малыми скоростями,
212
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
то по нерелятивистским уравнениям траекторией будет хорошо
известная парабола (как при полете брошенного камня в грави-
тационном поле). Начальный участок цепной линии и аппрокси-
мируется с высокой точностью параболой.
О термине ’’релятивистская масса”
С точки зрения ньютоновой динамики инертная масса тела есть
некое абстрактное "количество вещества", содержащегося в теле.
Точное же количественное выражение масса получает, в соответ-
ствии со вторым законом Ньютона, как отношение силы, дей-
ствующей на тело, к ускорению, возникающему под действием
этой силы и направленному вдоль направления действия силы.
Другой трактовки инертная масса в ньютоновой динамике
не имеет. Тогда, находя отношение силы к ускорению тела мас-
сы т в электрическом поле, получаем, что оно, в соответствии
с формулой (2.143) равно тЕ, а в магнитном поле это же отно-
шение, в соответствии с формулой (2.121), будет определяться
другой величиной — тв. Обе фиктивные массы тЕ и тв по-
разному зависят от скорости, но почему-то лишь одну из них —
тв — до сих пор называют "релятивистской массой".
Иными словами, частица с массой т, движение которой стро-
го описывается релятивистским уравнениям движения, в маг-
нитных полях может рассматриваться как некоторый фиктив-
ный объект с массой тв, тогда как в продольных электрических
полях — как другой фиктивный объект с другой массой тЕ.
В общем же случае движения заряженной частицы в комбини-
рованном поле, когда есть и электрическое, и магнитное поля,
ускорение частицы вообще не направлено вдоль действующей
силы.
Действительно, раскрывая производную по времени в урав-
нении (2.107), получим
d mv	т dv	mv dv „
-----	- = —	-----1-----------------v = F
dt ^/1 — v2/c2	y/1 — v2/c2 dt c2(l — v2/c2)3/2 dt
(2.146)
где F — сила Лоренца (2.94) с электрической и магнитной ком-
понентами.
Из (2.146) непосредственно видно, что в релятивистской ди-
намике в общем случае векторы силы F и ускорения dv/dt во-
обще неколлинеарны, то есть частица, с релятивистской точки
зрения — вообще неньютоновский объект, которому нельзя со-
2.8. СТРУКТУРА АТОМА: ПЕРВЫЕ ШАГИ 213
поставить какую-либо фиктивную массу как результат деления
силы на ускорение.
Резюмируя вышеизложенное, отметим, что релятивистское
движение заряженных частиц в статических магнитном и элек-
трическом полях сводится к нерелятивистскому движению объ-
ектов с двумя разными фиктивными массами, а в общем случае
и вовсе ускорение частицы неколлинеарно действующей силе, то
есть вообще нельзя утверждать, что это движение какой-либо
массы в соответствии со вторым законом Ньютона.
Поэтому утверждение о том, что якобы частица обладает осо-
бой ’’релятивистской” массой тв, которая растет со скоростью
по закону (2.121), не только неточно, но и физически бессмыс-
ленно, так как ведет к совершенно превратным представлениям
о движении частиц с точки зрения релятивистской динамики.
Любой объект в природе имеет одну единственную неизменную
массу т7 однозначно связанную с энергией покоя объекта урав-
нением Эйнштейна (2.101).
2.8	Первые экспериментальные данные
о строении атома
Как известно, окончательные сомнения в реальности существо-
вания атомов отпали только в 1908 году после классических опы-
тов Перрена по броуновскому движению, а Дж.Дж. Томсон от-
крыл электрон в 1897 году. Сделать обоснованный вывод о том,
что атомы не являются наименьшими неделимыми частями ма-
терии, а, в свою очередь, состоят из более мелких частиц и что
электрон — универсальная составная часть всех атомов, Томсону
помогли опыты Ленарда.
2.8.1 Рассеяние электронов в веществе
Вспомним, что первоначально Ленард и Томсон изучали катод-
ные лучи, возникающие при разряде в газе при очень низких дав-
лениях, когда между анодом и катодом приходится приклады-
вать напряжения в несколько десятков киловольт. Соответствен-
но, кинетическая энергия электронов в катодных лучах также
составляла несколько десятков килоэлектронвольт. Такие элек-
троны, прошедшие сквозь слой алюминия толщиной 3 мкм из
газоразрядной трубки в воздух при атмосферном давлении, рас-
пространяются в нем на расстояние до 8 см.
214
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
сумел опередить Томсона.
Рис. 2.21. Схема установки Ленарда
(1899 г.)
Поняв только после открытия Томсона, что катодные лучи —
это поток электронов, а не волны в эфире, Ленард решил изучить
свойства электронов, обладающих малыми кинетическими энер-
гиями. Для этого он удачно выбрал новый источник электронов
— фотокатод. В разделе 2.6 уже упоминалось, что фотоэффект
был открыт на десять лет раньше электрона. Поэтому доказа-
тельство того, что из твердых тел вылетают именно электроны,
а не какие-либо иные частицы, было важным шагом на пути при-
знания электрона универсальной составной частью всех атомов.
На этот раз Томсон и Ленард работали одновременно, но Ленард
Схема установки Ле-
нарда 1899 года изобра-
жена на рис. 2.21. Ка-
тодом являлся алюми-
ниевый диск К диамет-
ром 3 см, на который
падало ультрафиолето-
вое излучение искры
L, возникающей меж-
ду цинковыми электро-
дами при подаче меж-
ду ними пробойного на-
пряжения.
Излучение попадало
в вакуумную камеру через кварцевое окошко В толщиной 3 мм
и, как теперь хорошо известно, вызывало эмиссию электронов, то
есть вылет электронов из фотокатода с некоторой начальной ско-
ростью. Роль анода в приборе выполняла заземленная пластина
Е с небольшим отверстием (диафрагмой). Подавая отрицатель-
ные потенциалы на катод в диапазоне от нуля до нескольких де-
сятков киловольт, Ленард регистрировал с помощью электрода
а токи около 2 нА.
Подача же на катод положительного потенциала величиной
всего 2.1 В прекращала попадание фотоэлектронов на электрод
а, что Ленард совершенно правильно интерпретировал: отрица-
тельно заряженные частицы, вылетающие из катода, обладают
кинетической энергией меньше 2.1 эВ.
Фактически Ленард использовал плоский конденсатор, обра-
зуемый катодом К и пластиной Е, как энергоанализатор тор-
мозящего типа. Действительно, пусть электрон, обладая на-
чальной кинетической энергией ПРИ вылете с катода, нахо-
2.8. СТРУКТУРА АТОМА: ПЕРВЫЕ ШАГИ
215
дящегося под положительным потенциалом Uk, проходит через
отверстие в заземленном аноде Е. Используя нерелятивистский
интеграл энергии (2.98), с учетом отрицательной величины за-
ряда электрона — е получим
~ eUk = SkE i
где — кинетическая энергия электрона в плоскости зазем-
ленного анода.
Так как кинетическая энергия неотрицательна, то из инте-
грала энергии можно получить неравенство 8к$ > eUkj которое
должно выполняться для электронов, прошедших сквозь отвер-
стие в аноде Е. Иными словами, для того, чтобы преодолеть тор-
мозящую разность потенциалов £4, электрон должен обладать
кинетической энергией, бблыпей eUk.
Теперь, если освещать заземленный катод ультрафиолетом,
то все фотоэлектроны, покинувшие катод, будут двигаться по
прямым, и часть из них будет проходить сквозь отверстие в Е
и попадать на электрод а, по цепи которого пойдет ток. Если же
увеличивать потенциал катода от нуля до положительной вели-
чины U, то те электроны, начальная энергия которых меньше
ei7, вернутся на фотокатод под действием тормозящего электри-
ческого поля. При этом ток электрода а уменьшится. Если при
некотором напряжении катода J7max ток электрода а уменьшится
до нуля, то это означает, что максимальная кинетическая энер-
гия фотоэлектронов равна ei7max. Ленард и получил, что в его
установке начальная кинетическая энергия фотоэлектронов не
превышает величины 2.1 эВ.
Если же на катод подавать отрицательный потенциал не ме-
нее сотни вольт, то можно пренебречь начальной кинетической
энергией фотоэлектронов и считать, что их кинетическая энер-
гия на аноде будет определяться только ускоряющим напряже-
нием:
При этом сквозь отверстие в аноде Е будет проходить слаборас-
ходящийся, практически параллельный пучок частиц.
Чтобы доказать, что при фотоэмиссии из катода вылетают
те же частицы, что и электроны в катодных лучах, необходимо
было измерить отношение заряд/масса для фотоэлектронов. Ле-
нард сделал это с помощью отклонения фотоэлектронов в одно-
родном поперечном магнитном поле, приложенном внутри пунк-
тирного круга перпендикулярно плоскости рис. 2.21. При этом
216
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
отклоненные в магнитном поле частицы должны были, двигаясь
по окружности, попадать на электрод /3. По формуле (2.133) лар-
моров радиус движущейся в поперечном однородном магнитном
поле нерелятивистской частицы есть
mv
р=7в-
(2.148)
Так как кинетическая энергия частицы известна и определя-
ется уравнением (2.147), то исключение скорости v из системы
двух уравнений (2.147)—(2.148) позволяет выразить искомое от-
ношение заряд/масса для фотоэлектронов в виде
~е = 2Uk
т р2В2 '
(2.149)
Рис. 2.22. Графики токов, полу-
ченные Ленардом (1899 г.)
Разность потенциалов меж-
ду катодом и анодом измеряет-
ся вольтметром, радиус окруж-
ности, проходящей через центр
отверстия в аноде Е и центр
электрода /3, определяется раз-
мерами установки, а магнитное
поле Ленард создавал с помо-
щью соленоида, так что его ин-
дукцию легко было найти, зная ток, протекающий по обмотке.
На рис. 2.22 изображен график токов г электродов а и /3 как
функция силы тока I в обмотках соленоида. Видно, что в отсут-
ствие магнитного поля ток электрода а максимален, а приложе-
ние магнитного поля любого направления приводит к уменьше-
нию тока а, так как электроны уходят либо вниз, либо вверх.
Зато ток электрода /3 растет только при таком магнитном по-
ле, которое отрицательно заряженные частицы отклоняют вверх,
и достигает максимума тогда, когда ларморов радиус совпадает
с радиусом окружности, соединяющей центры Е и /3. Также вид-
но (см. рис. 2.22), что точность определения максимума тока /3
не очень велика, так что для отношения заряд/масса фотоэлек-
тронов Ленард получил значение, составляющее примерно 65 %
от современного.
Тем не менее, точность определения этого же отношения для
катодных лучей была не выше, и Ленард сделал совершенно
справедливый вывод о том, что фотоэффект заключается в вы-
рывании электронов из вещества под действием электромагнит-
ного излучения. Такой вывод не противоречил классическим
2.8. СТРУКТУРА АТОМА: ПЕРВЫЕ ШАГИ 217
представлениям. В соответствии с максвелловской электродина-
микой, электромагнитные волны, создавая переменную напря-
женность электрического поля, могут сообщить обладающему
отрицательным зарядом электрону определенную энергию, в ре-
зультате чего электрон и может покинуть проводник.
Рассмотренная работа Ленарда очень характерна для мик-
рофизики. Ученый имеет дело лишь с макроскопическими из-
мерениями — измерениями токов, текущих по проводам; напря-
жений, регистрируемых вольтметрами; геометрическими изме-
рениями и так далее. В то же время предполагается, что внутри
экспериментальной установки происходит физический процесс,
в котором участвуют те или иные (недоступные непосредствен-
ному восприятию человека) частицы. В данном случае это были
фотоэлектроны, вылетевшие из фотокатода и движущиеся в ста-
тическом электромагнитном поле. До тех пор, пока ожидаемые
на основании сделанных предположений результаты совпадают
с показаниями макроскопических приборов, в физике микроми-
ра считается, что достигнуто правильное понимание природы на
микроуровне. Другого пути познания микромира наука не знает.
Еще в 1894 году Ленард, выведя катодные лучи за пределы
газоразрядной трубки, начал изучать взаимодействие лучей в то
время неизвестной природы с разреженными газами, пытаясь по-
нять, что же собой представляют катодные лучи. Спустя восемь
лет, когда уже был открыт электрон, а Ленард, доказав, что при
фотоэффекте происходит эмиссия электронов и, тем самым, по-
лучив в свои руки источник электронов с регулируемой кинети-
ческой энергией, целенаправленно обратил постановку вопроса.
Сначала он исследовал взаимодействие катодных лучей с газами
с целью разгадать природу катодных лучей, а затем продолжил
изучение взаимодействия потока электронов с атомами и моле-
кулами с целью разгадать устройство уже атома. В этом заклю-
чается огромная заслуга Ленарда: по существу, он первый стал
целенаправленно ставить опыты по зондированию исследуемых
объектов с целью выяснения структуры последних.
В 1903 году Ленард слегка модифицировал свою установку,
изображенную ранее (см. рис. 2.21). Он вместо электрода а по-
ставил цилиндр Фарадея, убрал магнитное поле и вместо ва-
куума стал напускать в камеру различные газы при давлениях
р=0.01—0.003 Торр.
Произведем анализ того, какой ток должен регистрироваться
цилиндром Фарадея, если в отверстие Е проходит ток /о- В га-
зе электроны имеют определенную вероятность, провзаимодей-
218
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
ствовав с молекулой или атомом, изменить направление своего
движения. В таком случае электрон выбывает из параллельного
пучка и не попадает в цилиндр Фарадея. Закон убывания интен-
сивности пучка частиц в газе, имеющих длину свободного про-
бега А, был выведен в разделе 1.1 [формула (1.59)] и имеет вид
I = Zoexp(-x/A).	(2.150)
Длина свободного пробега, в свою очередь, определяется как
А = — ,	(2.151)
па
что на множитель отличается от соотношения Максвелла
(1.57), поскольку электроны движутся так быстро, что тепло-
вым движением атомов и молекул в газах можно пренебречь,
считая последние неподвижными за время движения электро-
нов сквозь слой газа. Эффективное сечение процесса а в фор-
муле (2.151) характеризует вероятность столкновения электрона
с молекулой, приводящего к существенному изменению направ-
ления движения электрона.
Длину свободного пробега электрона А можно определить
экспериментально, изменяя расстояние х между отверстием
в аноде Е и цилиндром Фарадея. Измерение А как функции энер-
гии электронов (при заданном давлении р), очевидно, позволя-
ет определить эффективное сечение электрона а как функцию
его кинетической энергии. Действительно, домножив формулу
(2.151) нар, получим
Оказалось, что при энергиях электронов в единицы электрон-
вольт сечение рассеяния а по порядку величины совпадает с га-
зокинетическими сечениями атомов и молекул, то есть атомы
и молекулы ведут себя как упругие непроницаемые сферы по
отношению к электронам. Пренебрегая размером электрона по
сравнению с размером атомов и молекул, по формуле (1.58) по-
лучим, что в модели упругих сфер сечение столкновения двух
молекул конечного радиуса всего в четыре раза больше сечения
столкновения молекулы и частицы пренебрежимо малых разме-
ров, каким сам по себе является электрон.
Однако с ростом энергии электронов сечение их рассеяния
сильно уменьшается, о чем дает представление табл. 2.7, при-
веденная Ленардом в его работе 1903 года, где дано значение
2.8. СТРУКТУРА АТОМА: ПЕРВЫЕ ШАГИ
219
1/(Лр) = a/кТ (в единицах см-1 • Торр-1), не зависящее от дав-
ления газа, но зато сильно зависящее от кинетической энергии
электронов для целого ряда газов: водорода, воздуха, аргона
и углекислого газа.
Таблица 2.7
Убывание эффективного сечения столкновения электрона
с молекулами газов при росте кинетической энергии
эВ	Н2	Воздух	Аг	со2
6	44	30	28	34
30	14.6	27	26	32
100	6.01	21	20	28
1000	1.2	3.9	4.2	7
4000	0.19	0.85	1.3	2
30000	0.00062	0.005	—	0.0067
Из данных Ленарда, приведенных в табл. 2.7, следует, что а
с ростом энергии монотонно убывает, падая при 30 кэВ для во-
дорода в 70 000 раз и примерно в 5000 раз для воздуха и угле-
кислого газа по сравнению с газокинетическими сечениями.
Во столько же раз, соответственно, увеличивается длина сво-
бодного пробега электронов в газе при росте кинетической энер-
гии. Например, пользуясь табл. 2.7, легко сосчитать, что длина
свободного пробега относительно рассеяния электронов с энер-
гией б эВ в воздухе составляет 4.3 • 10“7 м, а с энергией 30 кэВ —
0.26 см. При дальнейшем росте энергии электронов сечение рас-
сеяния уменьшается еще больше. Например, при энергии в 1 МэВ
сечение падает примерно в миллион раз по сравнению с газоки-
нетическим.
Ленард, анализируя полученные данные по зависимости се-
чения рассеяния электронов от энергии, дал в основном правиль-
ное ее объяснение. Так как в состав атома входит заряженный
электрон, то внутри атома, который в целом электронейтрален,
должны существовать и положительно заряженные элементар-
ные частицы и, кроме того, должно существовать электрическое
поле.
Ленард предположил, что атом практически ’’пуст” в том
смысле, что его объем почти не заполнен весомой материей, а за-
полнен электрическим полем, которое возрастает очень сильно
лишь в очень небольших частях атома. Рассеивающиеся в газе
220
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
электроны, как заряженные частицы, при небольших энергиях
отбрасываются полем атома в сторону, а с ростом энергии элек-
тронов их траектории все слабее искривляются электрическим
полем атома, так как по второму закону Ньютона изменение им-
пульса частицы равно импульсу силы: Др = FAt
С ростом энергии время взаимодействия электрона с полем
атома уменьшается, поэтому уменьшается и отклонение элек-
трона при столкновении с атомом. Это предположение Ленар-
да через десять лет подтвердилось, когда Эрнесту Резерфорду
удалось построить верную модель атома. Сам же Ленард, осно-
вываясь на своих выводах, не сумел построить верной модели
атома.
2.8.2 Открытие изотопов.
Определение истинных масс атомов
Следующим крупным шагом на пути создания модели атома ста-
ло определение истинных масс атомов и открытие изотопов.
После открытия электрона усилия нескольких ученых сосре-
доточились на изучении положительно заряженных ионов, воз-
никающих при самостоятельном газовом разряде.
Вспомним о механизме этого разряда, расшифрованным Том-
соном. Под действием высокого напряжения в газоразрядной
трубке положительно заряженные ионы движутся к катоду и при
ударе о последний выбивают из него электроны. Такой меха-
низм эмиссии электронов называется ионно-электронной эмис-
сией. Электроны, ускоряясь падением напряжения, в основном
сосредоточенным вблизи катода, в дальнейшем движутся внут-
ри трубки практически прямолинейно (катодные лучи) и по пути
ионизируют атомы газа (ионизация ударом), то есть отщепляют
от атома при ударе один электрон.
Если в катоде просверлить отверстие, то положительно заря-
женные ионы будут проходить сквозь него и, попадая на стек-
ло газоразрядной трубки, вызывать его свечение. Такие лучи
впервые были обнаружены в газовом разряде немецким физиком
Э. Гольдштейном еще в 1886 году и получили название канало-
вых лучей, так как для их обнаружения необходим канал в като-
де. В 1898 году немецкий физик В. Вин доказал, что каналовые
лучи несут положительный заряд, и попытался определить для
частиц каналовых лучей отношение заряд/масса, но смог лишь
показать, что это отношение гораздо меньше, чем у катодных
лучей.
2.8. СТРУКТУРА АТОМА: ПЕРВЫЕ ШАГИ 221
В разделе 2.5 была описана методика измерения отношения
заряд/масса электронов в катодных лучах, основанная на откло-
нении электронов в скрещенных электрическом и магнитном по-
лях в предположении примерного постоянства скорости частиц
в пучке. Действительно, только в том случае, когда электроны
имеют почти одинаковую кинетическую энергию (о таком пуч-
ке говорят как о монокинетическом), в установке Томсона (см.
рис. 2.11) отклоненный в электрическом поле пучок даст точеч-
ное изображение на люминофоре. Если же электроны в пучке
имеют разные скорости при влете в плоский конденсатор, то,
в соответствии с формулой (2.68), они, после отклонения элек-
трическим полем плоского конденсатора, образуют вертикаль-
ную полоску на экране. В самом деле, чем меньше скорость ча-
стицы, тем больше ее отклонение, как это следует из (2.68), по-
скольку при уменьшении скорости частицы растет время ее вза-
имодействия с полем плоского конденсатора, что и ведет к уве-
личению изменения вертикального импульса частицы. Именно
это же объяснение, как было указано выше, использовал Ленард
для интерпретации данных по зависимости от энергии сечения
рассеяния электронов в газах.
Следовательно, измерить отношение заряд/масса для немо-
нокинетического потока с помощью установки Томсона, изобра-
женной ранее (см. рис. 2.11), невозможно. Разница же между ка-
тодными и каналовыми лучами заключается в том, что кинети-
ческая энергия положительно заряженных ионов, бомбардиру-
ющих катод, лежит в очень широком диапазоне по сравнению
с энергией электронов. Электроны в газовом разряде преиму-
щественно выбиваются из катода и проходят полную ускоряю-
щую разность потенциалов прежде, чем попадают в отклоня-
ющие электрическое или магнитное поле. Ионы же образуют-
ся во всем объеме трубки и по пути к катоду приобретают са-
мые разные кинетические энергии в зависимости от потенциала
места своего рождения. Кроме того, по пути ионы могут снова
столкнуться с электроном и вторично испустить электрон. Та-
ким образом, в разряде могут существовать и многозарядные
ионы, а такие ионы при ускорении могут получить энергию, су-
щественно превышающую энергию однозарядных ионов.
Можно сказать, что кинетические энергии ионов распределе-
ны от нуля до максимальной энергии ZeU, где U — напряже-
ние, поданное на газоразрядную трубку, a Z — кратность заряда
иона. Вин так и не сумел определить отношение заряд/масса для
положительно заряженных ионов.
222
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
И снова с задачей первым справился Томсон, который про-
вел признанные классическими измерения заряд/масса положи-
тельно заряженных ионов в 1907—1912 годах. При этом Томсон
применил комбинацию электрического и магнитного полей, до
этого уже использовавшуюся немецким ученым Кауфманом при
измерении удельного заряда электрона.
Рис. 2.23. Схема установки Томсона для измерения е/m положитель-
ных ионов (1912 г.)
Схема окончательного варианта установки Томсона приведе-
на на рис. 2.23. В газоразрядную колбу с анодом А и катодом К
изучаемый газ поступает через трубку Q и откачивается через
трубку R. В катоде К проделано отверстие (оказалось, что хоро-
шо подходит простая медицинская игла для инъекций), через ко-
торое ионы, падающие на катод, практически параллельным по-
током проходят в правую часть установки, где расположен элек-
тромагнит NS, создающий вертикальное приблизительно одно-
родное магнитное поле. Вид полюсных наконечников в увеличен-
ном виде показан в нижней части рисунка. Полюсные наконеч-
ники электромагнита PPf тщательно отполированы и изолиро-
ваны от ярма магнита тонкими эбонитовыми прокладками 7, что
2.8. СТРУКТУРА АТОМА: ПЕРВЫЕ ШАГИ
223
позволило подать на них разность потенциалов и создать, таким
образом, параллельные друг другу электрическое и магнитное
поля. Легко понять, что в описываемой установке пучок ионов
отклоняется электрическим полем в вертикальном направлении,
а магнитным полем — в горизонтальном, так что на люминофоре
экрана F (вместо которого можно помещать фотографическую
пластину, которая затем при проявлении позволяет увидеть след
ионов) видна некоторая кривая. Определим ее форму.
Система декартовых координат экрана хОу (см. рис. 2.23),
а за ось Oz примем траектории неотклоненных ионов, которые,
следовательно, в отсутствие электрического и магнитного полей
должны попасть в точку (0,0) на экране F. Пусть в плоском кон-
денсаторе длины I электрическое поле направлено вниз, а его на-
пряженность есть Е. Отклонение заряженных частиц в плоском
конденсаторе вычисляется элементарно. Этот вывод был уже
сделан в разд. 2.5, формула (2.68) дает координату Yf пересе-
чения траектории частицы с экраном F:
eEl (	I \	eElL
Yf = — (L+-)~---------г,	2.153
mvz \	2 /	mvz
где е — заряд однократно заряженного иона, т — масса иона,
v — скорость иона, L — расстояние от конца плоского конденса-
тора до экрана F, которое много больше I.
В разд. 2.7 была определена траектория частицы в однород-
ном магнитном поле, которая в плоскости xOz представляет со-
бой окружность с радиусом р, определяемым формулой (2.133).
Однако предполагая, что отклонение под действием магнитного
поля невелико, проще найти координату Xf пересечения с экра-
ном следующим образом. В области действия магнитного по-
ля, направленного вверх, на положительно заряженный ион дей-
ствует сила Лоренца
F = evzez х (-Веу) = evzBex ,
которая направлена в положительном направлении оси Ох (это
и изображено на рис. 2.23 внизу).
За время пролета магнитного поля At = l/vz компонента им-
пульса частицы вдоль оси Ох увеличится на FxAt. Учитывая,
что vz есть просто начальная скорость иона, получим компонен-
ту скорости вдоль оси Ох, приобретаемую ионом в магнитном
поле: vx = еВ1/т. Пренебрегая величиной отклонения внутри
магнитного поля по сравнению с окончательной координатой Xf
224
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
пересечения экрана (из-за того, что I L), получаем Xf как
произведение скорости vx на время движения до экрана L/v:
eBlL
mv
(2.154)
Для ионов одного вида (то есть для ионов с фиксированной
величиной е/m), обладающих разными скоростями v, уравнения
(2.153)—(2.154) определяют на плоскости хОу кривую в парамет-
рической форме. Явное выражение для кривой получается после
исключения параметра v из системы (2.153)—(2.154):
т Е 2
е B2IL Xf *
(2.155)
Рис. 2.24. Фрагменты парабол для
смеси газов
Оказывается, при откло-
нении параллельного потока
заряженных частиц, облада-
ющих разной скоростью, на
экране получается фрагмент
параболы. Частицам с разным
отношением е/т будут соот-
ветствовать разные параболы.
Начало координат фиксиру-
ется экспозицией неотклонен-
ных частиц, а затем фотопла-
стина экспонируется примерно в течение часа дважды при про-
тивоположных направлениях магнитного поля. В этом случае,
очевидно, на фотографии проявятся два симметричных фраг-
мента одной и той же параболы, что позволяет определить оси
координат на фотографии. Пример парабол, которые можно по-
лучить по методу Томсона, приведен на рис. 2.24, на котором
изображены параболы Томсона для смеси азота, неона, аргона
и углекислого газа.
Так как ионы в газах — это атомы или молекулы, потеряв-
шие один или два электрона (или еще бблыпее целое число), то
различие парабол, получаемых экспериментально, Томсон совер-
шенно справедливо приписал разнице в массах атомов. И дей-
ствительно, вид парабол зависел от химической природы газа,
напускаемого в газоразрядную трубку. Тогда, зная заряд элек-
трона и определяя отношение заряд/масса для ионов, Томсон
мог измерять массу атомов и молекул непосредственно, в отли-
чие от массы атомов, определяемой до этого косвенно.
2.8. СТРУКТУРА АТОМА: ПЕРВЫЕ ШАГИ 225
До Томсона, как было указано в разд. 1.3, абсолютная масса
атома рассчитывалась как частное от деления веса грамм-атома
на число Авогадро, то есть такая масса атома была усредненной
массой огромного количества атомов, определяемой взвешива-
нием макроскопических количеств вещества.
Томсон же фактически стал основоположником масс-спек-
трометрии — метода прямого определения масс ионов. Напри-
мер, напустив в газоразрядную трубку водород, он мог видеть
параболы, соответствующие положительным ионам как атома,
так и молекулы водорода. Отношение их масс, естественно, рав-
нялось двум. Отношение заряд/масса для положительного иона
атома водорода (то есть для протона) совпало с этим же отно-
шением для иона водорода, полученным из данных электроли-
за (2.7). Оказалось, что отношение е/m для водорода — самое
большое среди атомов, и это подтвердило, что водород — самый
легкий элемент.
Проводя измерения, Томсон снова совершил крупное откры-
тие. Изучая благородный газ неон, относительная атомная масса
которого 20.1797, он обнаружил две параболы, которые соответ-
ствовали массам приблизительно 20 и 22.
Так, на фрагменте реального спектра, изображенном ранее
на рис. 2.24 (снятом позднее по методу Томсона на более тща-
тельно изготовленной установке), линия с массой 14 соответству-
ет однократно положительно заряженным ионам азота N+, ли-
ния с массой 20 — неону Ne+, есть загадочная линия 22, линия
28 соответствует молекулярному азоту Nj, линия 40 — аргону
Аг+ и, наконец, линия 44 — углекислому газу СО^.
В 1913 году атомы с относительной атомной массой 22 не бы-
ли известны. Действительно, неон (благородный газ) занимает
в периодической системе элементов десятое место. Девятый эле-
мент — фтор — имеет атомную массу 18.9984, а одиннадцатый
элемент — натрий — массу 22.9898. Химических соединений (то
есть молекул) в образце чистого неона не должно было быть, по-
этому вначале Томсон предположил, что имеет дело с двукратно
заряженным ионом углекислого газа: так как молекулярная мас-
са СО2 есть 44, то двукратно заряженный ион массы 44 должен,
очевидно, лечь на параболу, соответствующую однократно заря-
женному иону массы 22.
Чтобы проверить подобное предположение, Томсон решил ох-
лаждать исследуемую пробу неона, медленно пропуская его че-
рез трубку, погруженную в жидкий воздух, когда весь углекис-
лый газ должен осесть на стенках (поскольку температура ки-
226
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
пения жидкого воздуха « —193 °C, а температура сублимации
углекислого газа равна —78.5°C). Линия, соответствующая мас-
се 44, при охлаждении исчезала, а вот линия, соответствующая
однократно заряженному иону массы 22, сохранялась. Стало яс-
но, что линия 22 не могла быть образована ионами углекислого
газа.
Тогда Томсон был вынужден объяснить полученную им пара-
болу с массой 22 тем, что неон состоит из смеси двух газов, один
из которых имеет массу 20, а другой — массу 22, хотя природа
обеих компонент оставалась непонятной.
Следует отметить, что подсказка пришла из параллельно раз-
вивавшейся новой области физики, возникшей после открытия
в 1896 году французским физиком Анри Беккерелем явления
радиоактивности, за что Беккерелю была присуждена половина
Нобелевской премии по физике в 1903 году ”в знак признания
его выдающихся заслуг, выразившихся в открытии самопроиз-
вольной радиоактивности”.
Один из пионеров изучения радиоактивности — английский
химик и физик Фредерик Содди — в 1910 году пришел к вы-
воду, что элементы с разной атомной массой могут обладать
одинаковыми химическими свойствами, а в 1913 году выдвинул
концепцию изотопов (от греч. isos — равный и topds— место)39 —
атомов одного и того же элемента, занимающих в периодической
системе элементов одно и то же место, но обладающих разной
массой. Химические свойства изотопов (за исключением легких
элементов, водорода в первую очередь) одинаковы, а вот физи-
ческие, зависящие от массы, позволяют изотопы отличать друг
от друга. В 1921 году Ф. Содди была присуждена Нобелевская
премия по химии "за вклад в химию радиоактивных веществ и за
проведенное им исследование природы и происхождения изото-
пов".
Однако исследования Содди касались нестабильных, радио-
активных элементов, а Томсон столкнулся с изотопами легких
стабильных элементов. Подтвердить предположение о том, что
неон есть смесь химически тождественных атомов с разной мас-
сой, взялся ученик Томсона — английский физик и химик Фрэн-
сис Астон. Астон изобрел аппарат для фракционной перегонки
неона, принцип действия которого легко понятен. В состоянии
термодинамического равновесия средняя кинетическая энергия
атомов и молекул, в соответствии с формулой (1.13), равняется
39Термин ’’изотоп” был позднее предложен Ф. Астоном.
2.8. СТРУКТУРА АТОМА: ПЕРВЫЕ ШАГИ
227
ЗкТ/2. Значит, более легкие атомы в смеси обладают большими
скоростями и должны иметь большие коэффициенты диффузии,
в соответствии с формулой (1.71). Тогда, если в сосуд с газом
поместить пористую перегородку, через которую атомы неона
могут диффундировать, то по одну сторону перегородки будет
расти относительное содержание тяжелого изотопа неона, а по
другую сторону перегородки — легкого. Из-за того, что массы
изотопов отличаются не очень сильно, однократная диффузия
через перегородку дает слабое разделение, и процесс приходит-
ся многократно повторять. Таким образом, взяв первоначаль-
но некоторое количество химически чистого неона, Астон по-
лучил два очень малых объема неона, из которых один много
раз проходил через пористую перегородку, а другой — много
раз оставался перед перегородкой. Определение атомной мас-
сы этих частей дало результат 20.15 для первой части и 20.28
для второй. Эта работа Астона, подтвердившая существование
двух изотопов неона, была прервана начавшейся первой миро-
вой войной. После войны Астон вернулся к проблеме изотопов
и, вместо использования метода парабол Томсона40, построил
первый масс-спектрограф, позволявший определять отношение
е/m для ионов с высокой точностью. После создания Астоном
масс-спектрографа было изобретено и создано большое число
разнообразных масс-спектрографов и масс-спектрометров.
Так, в разд. 2.7 был рассмотрен принцип действия масс-спек-
трографа на основе статического поперечного однородного маг-
нитного поля. Это избавляет от необходимости рассматривать
принцип действия более сложного масс-спектрографа Астона.
Тщательное изучение спектров масс различных элементов
впервые было осуществлено в широких масштабах Астоном
и привело к следующим выводам.
1.	Определение относительных атомных масс с точностью до
третьей значащей цифры после запятой показало, что массы ато-
мов выражаются почти целыми числами (отличия составляют
несколько сотых). Это позволило сформулировать Астону пра-
вило целых чисел о том, что массы изотопов близки к целым
40 Метод парабол Томсона обладает двумя существенными недостатками.
Первый недостаток — у него невысокая точность из-за относительно боль-
шой толщины парабол, что приводит к тому, что параболы ионов при малых
различиях в массе сливаются, не давая возможности идентификации этих
масс раздельно. Такое свойство называется низкой разрешающей способно-
стью. Второй недостаток — низкая чувствительность метода; так как ионы
одной массы растягиваются вдоль параболы, то для их регистрации необхо-
димо длительное время экспонировать фотопластину.
228
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
числам; ближайшее к атомному весу изотопа целое число стали
называть массовым числом и писать в качестве индекса при
химическом символе элемента.
2.	Очень незначительное число элементов имеет единствен-
ный стабильный изотоп. Например, фтор 19F, натрий 23Na, алю-
миний 27А1, фосфор 31Р, марганец 55Мп, кобальт 59Со, йод 1271,
золото 197 Au.
3.	Большинство элементов имеет по два и более стабильных
изотопов, причем иногда число стабильных изотопов может до-
ходить до десяти. Так, олово — пятидесятый элемент в периоди-
ческой системе — имеет изотопы 112Sn, 114Sn, 115Sn, 116Sn, 117Sn,
118Sn, 119Sn, 120Sn, 122Sn и 124Sn.
Особый интерес представляют изотопы легких элементов. Раз-
ница их масс столь велика, что у водорода разного изотопного
состава различаются не только физические, но даже и химиче-
ские свойства. По этой причине изотопы водорода 1Н, 2Н и 3Н
получили самостоятельное название и обозначение: стабильный
изотоп гН с распространенностью 99.985% и массой 1.007825 на-
зывается протием, стабильный изотоп 2Н с распространенностью
0.015% и массой 2.0140 называется дейтерием41 и обозначает-
ся D и, наконец, нестабильный изотоп (с периодом полураспада
12.26 года, поэтому в природе его практически нет) 3Н называ-
ется тритием и обозначается Т.
Два стабильных изотопа имеет гелий: очень редкий 3Не и 4Не
с распространенностью 99.999862%.
На сегодняшний день известен 261 стабильный изотоп, а вме-
сте с нестабильными число известных изотопов превышает 3 000.
4.	Содержание изотопов в естественной смеси, называемой
химическим элементом, за редкими исключениями, является ста-
бильным параметром. Поэтому относительная атомная масса эле-
мента есть статистически стабильное среднее масс изотопов дан-
ного элемента.
Классический пример элемента с сильно отличающейся от
целого атомной массой — хлор, относительная атомная масса
которого 35.45; он имеет два стабильных изотопа — 35С1 с рас-
пространенностью 75.77% и относительной массой 34.97 и 37С1
с распространенностью 24.23% и относительной массой 36.97.
Тогда относительная атомная масса природного хлора рассчи-
тывается по формуле (П1.3) для среднего случайной дискретной
41 Дейтерий в 1932 году открыл американский физикохимик Гарольд Юри,
получивший в 1934 году Нобелевскую премию по химии "за открытие тя-
желого водорода".
2 8 СТРУКТУРА АТОМА: ПЕРВЫЕ ШАГИ
229
величины (см. приложение!):
0.7577 • 34.97 + 0.2423 • 36.97 = 35.45,
что совпадает с приведенным значением атомной массы хлора.
В 1922 году Астону была присуждена Нобелевская премия по
химии "за сделанное им с помощью им же изобретенного масс-
спектрографа открытие изотопов большого числа нерадиоактив-
ных элементов и за формулирование правила целых чисел."
Всего Астон открыл 212 стабильных изотопов.
Правило целых чисел Астона привело к возрождению гипоте-
зы английского врача У. Праута, высказанной им еще в 1815 году,
о том, что все атомы образуются из атомов водорода, как универ-
сальных кирпичиков материи. Улучшение в XIX веке точности
определения относительных атомных масс, которые, как у хло-
ра, были существенно нецелочисленными, привело к отказу от
гипотезы Праута, поскольку никому в голову не пришла мысль
о том, что могут существовать изотопы. После работ Астона
стало ясно, что все-таки нечто общее в своей структуре атомы
должны иметь, раз их атомные веса с высокой точностью явля-
ются целыми числами. После создания ядерной модели атома,
о чем говорится в следующем разделе, правило целых чисел на-
шло естественное объяснение. Как выяснилось, массовое число
имеет ясный физический смысл — это есть суммарное число нук-
лонов (протонов и нейтронов) в ядре изотопа, поскольку массы
протона и нейтрона почти одинаковы и существенно превышают
массу электрона.
В XX веке, после работ Томсона и Астона, масс-спектромет-
рия превратилась в обширную пограничную область на стыке
физики, химии и биологии, имеющую большое прикладное зна-
чение. Важную роль играет масс-спектрометрия в экологии как
чувствительный метод обнаружения и идентификации загрязне-
ний окружающей среды, а также в медицине, где стабильные
изотопы кислорода и углерода широко используются для изуче-
ния живых организмов.
Например, углерод имеет два стабильных изотопа — 12С с рас-
пространенностью 98.90 % и редкий изотоп 13С, а кислород — три
изотопа: 16О имеет распространенность 99.75%, и два редких —
17О и 18О с распространенностями 0.048 % и 0.20 % соответствен-
но. Если в изучаемый организм ввести вещество с повышенным
содержанием редких изотопов углерода или кислорода, а затем
с помощью масс-спектрометра анализировать пробы, взятые из
230
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
разных мест организма в различное время, то можно делать за-
ключения о ходе и скорости протекания интересующих врачей
или биологов процессов.
С помощью масс-спектрометров осуществляется прецизион-
ное измерение масс ионов с точностью до шестого знака после
запятой; проводится изотопный анализ при исследованиях в фи-
зике, химии, биологии и ядерной энергетике (как метод произ-
водственного контроля). Масс-спектрометрия позволяет также
идентифицировать и устанавливать структуру сложных орга-
нических соединений и химический состав сложных смесей ве-
ществ. Изучение изотопного состава некоторых геологических
и археологических образцов позволяет определять их возраст.
2.9	Создание Резерфордом
ядерной модели атома
Главная сложность создания модели атома, как выяснилось позд-
нее, заключалась в том, что законы классической механики (как
нерелятивистской, так и релятивистской) и максвелловской элек-
тродинамики в микромире не выполняются. Ниже об этом будет
сказано подробнее, а сейчас вкратце вспомним лишь следующее.
Из опытов Ленарда следовало, что объем атома в основном
не содержит вещества, а заполнен лишь электрическим полем.
Другими словами, внутриатомные (субатомные) частицы долж-
ны иметь размеры, много мёныпие газокинетических размеров
атомов. Казалось очевидным, что носитель отрицательного элек-
трического заряда — электрон, обладая очень малой массой да-
же по сравнению с атомом водорода, — действительно маленькая
частица. Отрицательный заряд электрона в атоме должен урав-
новешиваться положительным зарядом какой-то другой части-
цы, но какой, — было неясно, поскольку возникала следующая
проблема.
Точечные отрицательные и положительные заряды в атоме
не могли быть неподвижными, так как с 1839 года в электро-
статике была известна теорема Ирншоу, в соответствии с ко-
торой совокупность неподвижных материальных точек, взаимо-
действующих между собой с силой, обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними, не может образовывать устой-
чивой равновесной системы. Из теоремы Ирншоу следовало у что
точечные заряженные частицы в атоме должны были бы дви-
гаться.
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 231
Но в ограниченном объеме атома частицы не могут двигать-
ся равномерно и прямолинейно, следовательно, они должны дви-
гаться с ускорением. Тогда, по законам электродинамики, заря-
ды, движущиеся с ускорением, должны излучать электромаг-
нитные волны, а внутренняя энергия атома непрерывно умень-
шаться. Между тем, очевидно, атомы не являются источником
непрерывного электромагнитного излучения.
Ленард и Томсон предложили каждый свою модель строения
атома, однако обе модели оказались неверны. Д.И. Менделеев
идею делимости атома категорично отметал и, соответственно,
отрицал существование электрона.
Успех в разгадке тайны строения атома сопутствовал англий-
скому физику Эрнесту Резерфорду (1871—1937), ученику Томсо-
на.
2.9.1 Открытие радиоактивности
и идентификация о-частиц
Резерфорд довольно быстро отошел от задач, решаемых Томсо-
ном и его школой, и сосредоточил свои усилия на изучении явле-
ния радиоактивности. Как уже отмечалось, в 1896 году А. Бек-
керель обнаружил излучение неизвестной природы, испускаемое
атомами урана. Первое время это излучение называли лучами
Беккереля.
Изучая ионизирующее действие лучей, испускаемых ураном,
Резерфорд, независимо от супругов Кюри, в 1897 году опреде-
лил, что оно состоит из двух компонент, которые он назвал
а- и /3-лучами. В 1900 году французский физик Поль Виллар
обнаружил третью компоненту радиоактивного излучения, на-
званную 7-лучами.
Очень скоро сразу несколькими учеными было определено
отношение е/т для /3-лучей, позволившее идентифицировать эти
лучи как поток электронов. Как определяется природа 7-излуче-
ния (то есть электромагнитного излучения с длинами волн менее
0.01 А), будет рассказано в следующей главе (разд. 3.1). Резер-
форд же занялся изучением а-лучей. Однако легкодоступный
уран (существующий в природе элемент) не слишком хорошо
подходил для этой цели из-за своей относительно слабой актив-
ности.
Сразу же после открытия Беккереля возник естественный во-
прос: нет ли в природе других элементов, испускающих такие же
лучи? Мария Кюри обнаружила, что кроме урана активен так-
232
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
же торий, и дала явлению название — радиоактивность. Затем
она и ее муж Пьер Кюри, исследуя урановую руду, выделили из
нее два неизвестных ранее элемента — полоний и радий.
При равном весе радий в 2 • 106 раз, а полоний в 1О10 раз
более активны, чем уран42. В 1903 году супругам Кюри была
присуждена половина Нобелевской премии по физике ”в знак
признания... их совместных исследований явлений радиации,
открытых профессором Беккерелем”, а в 1909 году Мария Кюри
стала первым дважды лауреатом Нобелевской премии, на этот
раз получив премию по химии ”за выдающиеся заслуги в раз-
витии химии: открытие элементов радия и полония, выделение
радия и изучение природы и соединений этого замечательного
элемента".
Из предыдущего раздела известно, что существует несколь-
ко менее трех тысяч радиоактивных изотопов. Большинство из
них испускают 7-лучи и либо а-, либо /3-лучи. Радий как раз
является элементом, интенсивно испускающим а-лучи. Получив
от Кюри препарат радия, Резерфорд в 1902 году добился откло-
нения частиц а-лучей в электрическом и магнитном полях, ко-
торое оказалось противоположным отклонению /3-лучей, то есть
электронов43 44. Метод Томсона, описанный в разд.2.5, позволяет
определить е/m и скорость частиц, названных а-частицами.
Резерфорд обнаружил, что скорость испускаемых радием
а-частиц составляет примерно 0.05 от скорости света с. Измере-
ние отношения заряд/масса дало значение, в два раза мёныпее
значения е/m для иона водорода. Получалось, что а-частицы
могли быть двукратно заряженными ионами гелия. Эту гипотезу
Резерфорда первыми косвенно подтвердили Ф. Содди и У. Рам-
зай , доказавшие присутствие гелия в продуктах излучения ра-
дия.
Однако Резерфорд дал прямое доказательство тождествен-
42 Об активности радиоактивного элемента вначале судили по степени про-
изводимой ионизации в газах.
43Некоторые изотопы испускают позитроны, а не электроны.
44 Английский химик и физик Уильям Рамзай открыл и исследовал все
нерадиоактивные благородные газы: аргон (совместно с Дж. Рэлеем) в 1894,
гелий в 1895, криптон, ксенон и неон (совместно с М. Траверсом) в 1898 го-
дах. Лауреат Нобелевской премии по химии 1904 года ”в знак признания
открытия им в атмосфере различных инертных газов и определения их ме-
ста в периодической системе”.
Д.И. Менделеев вначале попытался отвергнуть открытие аргона под тем
предлогом, что для элемента с такими свойствами места в периодической
системе элементов нет!
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 233
ности а-частиц двукратно положительно заряженным ионам ге-
лия. Для этого необходимо было только определить заряд ча-
стиц. Идея измерения заряда а-частицы была очень проста. Необ-
ходимо было найти полное число а-частиц, излучаемых опре-
деленным количеством радия, а затем определить переносимый
ими суммарный заряд. Такой эксперимент независимо произве-
ли в 1908 году немецкий физик Э.Регенер и Резерфорд вместе
со своим ассистентом Гансом Гейгером.
Регенер просто считал а-частицы визуально. Дело в том, что
еще в 1903 году Крукс обнаружил, что на люминесцентном эк-
ране (в качестве люминофора использовалась так называемая
цинковая обманка, или сернистый цинк, то есть соединение ZnS)
поток а-частиц вызывает отдельные слабые вспышки, которые
(при примерно десятикратном увеличении) видны при наблюде-
нии в полной темноте. Глаз должен предварительно привыкнуть
к темноте, на что требуется от 10 до 30 минут в зависимости от
индивидуальных особенностей наблюдающего. Предполагая, что
каждая а-частица вызывает вспышку, можно было в буквальном
смысле считать частицы в не очень интенсивном потоке.
Пусть интенсивность потока (то есть полное число а-частиц,
испускаемое определенным количеством радия в секунду) есть
I. Считая, что частицы излучаются точечным источником ра-
дия изотропно (это проверяется), получим, что в телесный угол
Q будет испускаться каждую секунду /И/(4тг) частиц. Выбирая
величину телесного угла достаточно малой, всегда можно до-
биться, чтобы количество летящих в этот телесный угол частиц
можно было успеть сосчитать. Тогда, домножив полученное чис-
ло на 4tt/Q, можно найти I. Если затем измерить с помощью
электрометра заряд а-частиц, испускаемых источником ежесе-
кундно, то можно определить суммарный заряд частиц, испус-
каемых в телесный угол Q. Разделив его на число частиц, можно
получить средний заряд а-частицы. Больших сомнений в дис-
кретности электрического заряда к тому времени уже не было,
поэтому средний заряд объявлялся просто зарядом а-частицы.
Регенер нашел, что заряд а-частицы равен 2е.
Иначе, чем Регенер, подсчитали число испускаемых ради-
евым источником а-частиц Резерфорд и Гейгер, применившие
изобретенный Гейгером счетчик частиц. Схема эксперимента со
счетчиком Гейгера изображена на рис. 2.25. Радий помещен в от-
качанной стеклянной трубке А и испускает поток а-частиц, кото-
рые через небольшое слюдяное окошко а, вырезающее из потока
а-частиц телесный угол Q, попадают в счетчик Гейгера В.
234
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Рис. 2.25. Подсчет числа а-частиц Резерфордом и Гейгером (1908 г.)
Счетчик Гейгера (теперь называемый счетчиком Гейгера-
Мюллера) представляет собой заземленную цилиндрическую ка-
меру с натянутой по оси проволокой, изолированной от цилин-
дра. На проволоку подается постоянное положительное напря-
жение U 1000 В, еще не вызывающее самостоятельного разря-
да. Счетчик заполняется газом (сейчас часто используются ар-
гон или пропан). Вспомним вид ВАХ несамостоятельного газо-
вого разряда, возникающего при облучении газа рентгеновскими
лучами (см. разд. 2.4, рис. 2.7). Участок насыщения на нем пере-
ходит в участок, называемый областью усиления тока. В режи-
ме счета частиц напряжение, подаваемое на струну счетчика
Гейгера—Мюллера, столь велико (и находится за концом участка
насыщения ВАХ), что происходит лавинообразное размножение
первично созданных ионов, называемое газовым усилением.
Рис. 2.26. Зависимость логарифма
На рис. 2.26 в логарифми-
ческом масштабе показана за-
висимость от напряжения на
струне амплитуды импульса
тока, возникающего при про-
хождении через счетчик элек-
трона (кривая /3) и а-части-
цы (кривая а). При равенстве
энергий электрона и а-части-
цы последняя создает гораздо
более интенсивную первичную
ионизацию в газе45, поэтому
на участке щ—и% графика на-
амплитуды импульса счетчика от блюдается обычное насыще-
напряжения	ние (см< подразд. 2.4.1), опре-
деляемое общей мощностью ионизации Q, то есть полным коли-
45Волее подробно об этом рассказано в следующей главе, подразд. 3.3.2,
где воспроизведены и описаны фотографии первичной ионизации, произво-
димой ионизирующими частицами в газе.
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 235
чеством ионов, созданных при прохождении первичной частицы
через объем счетчика.
В свою очередь, полное число ионов, созданных в объеме ка-
меры первичной частицей в диапазоне щ—U2 (где нет газово-
го усиления), пропорционально энергии, истраченной частицей
в том же объеме. Именно в этом диапазоне работают ионизаци-
онные камеры46, детектирующие рентгеновское излучение.
При больших положительных напряжениях на струне (в диа-
пазоне щ—и^) за счет лавинообразования создается столь силь-
ное газовое усиление, что импульс тока перестает зависеть от
энергии и природы влетевшей в счетчик первичной частицы,
что отчетливо видно на графике, где кривые а и /3 сливаются.
В таком режиме счетчик способен лишь ’’подсчитывать” число
проходящих через него частиц. Время сбора зарядов в счетчике
порядка 10-4 с, поэтому, если вслед за одной частицей в счет-
чик влетит другая раньше, чем через время сбора зарядов, то
будет зарегистрирован один импульс, а не два. Таким образом,
чтобы счетчик давал верный результат, поток частиц через него
должен быть существенно меньше 10 000 штук в секунду.
В промежуточном диапазоне U2~из напряжений на проволо-
ке оказывается, что амплитуда импульса тока все еще пропорци-
ональна энергии первичной ионизирующей частицы, выделенной
в объеме камеры. Однако за счет газового усиления импульсы
в этом диапазоне сильнее, чем в диапазоне щ — Счетчики, ра-
ботающие в этом диапазоне, называются пропорциональными.
В опытах Резерфорда и Гейгера в минуту в счетчик влетало
около трех а-частиц. Принимая во внимание размеры слюдяного
окошка а и удаление от него радия, Резерфорд и Гейгер нашли
телесный угол Q, а затем, с учетом количества радия в ампу-
ле, определили число а-частиц, испускаемых за секунду одним
граммом радия47.
Современное значение этой величины 3.7 • 1О10 с-1.
Измерив заряд а-частиц, испускаемых в определенный телес-
ный угол, они также определили, что заряд а-частицы положи-
телен и равен двум элементарным зарядам е.
46Ионизационные камеры описываются гл. 3, подразд. 3.1.1.
47Эта величина была принята как внесистемная единица активности ра-
диоактивных изотопов и названа в честь Пьера и Марии Кюри.
По определению, кюри (сокращенно Ки) — это такая активность изотопа,
когда за одну секунду в нем происходит ровно 3.7 • 1О10 актов распада. В СИ
единицей активности является беккерель (Бк) — один распад в секунду.
Таким образом, 1 Ки = 3.7 • 1О10 Бк.
236
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
С учетом того, что отношение заряд/масса для а-частиц ока-
залось равным половине такого же отношения (q/m) для иона
водорода, легко сосчитать относительную массу а-частицы, ока-
завшуюся равной четырем. Сомнений не осталось: а-частица есть
двукратно заряженный ион гелия, испускаемый атомом радия
с кинетической энергией 4.78 МэВ.
Результаты выяснения природы а-частицы давали возмож-
ность проверки фундаментальной гипотезы о природе радиоак-
тивности, выдвинутой Резерфордом и Содди в 1902 году, в соот-
ветствии с которой считалось, что атомы радиоактивных элемен-
тов самопроизвольно распадаются, выбрасывая а- или /3-части-
цы. При этом элементы эволюционируют, превращаясь из одних
в другие. Например, радий, распадаясь, превращается в два дру-
гих элемента — радиоактивный радон (благородный газ) и гелий
(тоже благородный газ), что может быть описано как реакция
226Ra -> 222Rn + 4Не (4.78 МэВ).
Факты были столь неопровержимы, что объяснение радио-
активности, данное Резерфордом и Содди, было быстро приня-
то научным сообществом, а вот Д.И. Менделеев безосновательно
возражал против идеи взаимного превращения элементов.
В 1908 году физику Резерфорду была присуждена Нобелев-
ская премия по химии "за проведенные им исследования в обла-
сти распада элементов в химии радиоактивных веществ".
2.9.2 Открытие обратного рассеяния о-частиц
и создание ядерной модели атома
Рис. 2.27. Схема опыта Резерфорда—Гей-
гера—Марсдена по рассеянию а-частиц
(1909-1910 гг.)
В воздухе при нормаль-
ных условиях а-части-
цы, излучаемые раз-
ными изотопами, мо-
гут пройти расстояние
до нескольких санти-
метров. Слои металла
в несколько сотен мик-
рон полностью задер-
живают а-частицы. Од-
нако сквозь более тонкие слои металла а-частицы проходят, рас-
сеиваясь при этом.
На рис. 2.27 изображена схема установки, на которой асси-
стент Э. Резерфорда Гейгер производил наблюдения рассеяния
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
237
а-частиц тонким листком золота толщиной около 3 мкм (источ-
ник здесь в целях бблыпей наглядности несколько видоизменен
по сравнению с источником в установке Гейгера).
В источнике помещен один из продуктов радиоактивного рас-
пада радия, который во времена Резерфорда назывался RaC,
а сейчас он известен как изотоп висмута 214Bi, испускаю-
щий а-частицы с кинетической энергией 4.96 МэВ. Из источника
сквозь узкое отверстие практически параллельный поток а-час-
тиц направлялся на экран из сернистого цинка, и сцинтилляции
наблюдались в микроскоп. При хорошем вакууме без промежу-
точного листка золота на экране получалось яркое пятнышко
света, которое расплывалось при помещении на пути а-частиц
листка золота. Путем наблюдения определялось число частиц,
рассеянных в заданный интервал вокруг того или иного угла,
а затем делением на общее число событий рассеяния определя-
лась плотность вероятности w(0) рассеяния на заданный угол в.
Произведение плотности вероятности на Д0 дает вероятность
для частицы рассеяться в интервал [0, в 4- Д0].
На рис. 2.28 изобра-
жены зависимости, при-
веденные Гейгером в его
статье 1910 года для рас-
сеяния при прохождении
через 2, 12, 20 и 41 слой
золотой фольги, а так-
же через слой, эквива-
лентный 100 слоям фоль-
ги. Нетрудно подсчитать,
что слой золота тол-
щиной 3 мкм содержит
десятки тысяч атомных
слоев, и графики пока-
зывают, что при одном-
двух слоях фольги боль-
шинство частиц рассеивается на доли градуса, а с увеличением
толщины слоя отклонение возрастает до единиц градусов.
Гейгер отметил, что наиболее вероятный угол отклонения
увеличивается с уменьшением скорости а-частиц и растет с ро-
стом атомной массы вещества фольги (помимо золота, он иссле-
довал рассеяние на алюминии, серебре и платине).
В помощь Гейгеру Резерфорд выделил стажера Э. Марсдена,
которому было поручено проверить, не отклоняются ли некото-
Рис. 2.28. Плотность вероятности рассе-
яния о-частицы как функция угла рас-
сеяния 0, град, и количества листков зо-
лотой фольги, через которые проходят
о-частицы (Гейгер, 1910 г.)
238
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
рые из а-частиц на ббльшие углы, чем единицы градусов. Для
этого необходимо было в установке (см. рис. 2.27) переместить
люминесцентный экран так, чтобы иметь возможность наблю-
дать отклонения на большие углы. Позднее сам Резерфорд при-
знался, что он, давая Марсдену задание, не предполагал, что
рассеяние на большие углы имеет место, но через несколько дней
страшно возбужденный Гейгер сообщил ему, что им с Марсденом
удалось наблюдать а-частицы, отраженные назад. Примерно од-
на частица из 8000 испытывала отклонение больше, чем на 90°.
По словам Резерфорда, это оказалось самым невероятным
событием, которое ему пришлось пережить. Более образно меру
своего удивления Резерфорд выразил следующим образом:
’’Это было почти столь же невероятно, как если бы вы вы-
стрелили 15-дюймовым снарядом в листок папиросной бумаги,
и он вернулся бы назад и угодил бы в вас”.
Что же так поразило Гейгера и Резерфорда? Попробуем вос-
становить возможный ход их рассуждений. Ограничения, следу-
ющие из электродинамики48, не позволяли предложить никакой
динамической модели атома, по которой атом содержал бы дви-
жущиеся заряды и, следовательно, излучал бы электромагнит-
ные волны (см. далее подразд. 2.9.6.).
С другой стороны, теорема Йрншоу не позволяла ввести в до-
полнение к электронам точечные положительные заряды.
Оставаясь в рамках классической физики, фактически мож-
но было предложить лишь ту модель, которую и предложил
Дж.Дж. Томсон, — оказавшуюся неверной статическую модель
атома с распределенным положительным зарядом. По неправиль-
ной модели Томсона считалось, что электроны расположены внут-
ри равномерно положительно заряженной сферы, имевшей газо-
кинетические размеры, то есть размеры порядка 1 А. Что собой
представляла положительно заряженная сфера, было неясно, од-
нако предполагалось, что заряженные частицы могут свободно
двигаться внутри такой сферы, так как электроны, как было из-
вестно, могут покидать атом.
Модель Томсона была единственной логически возможной
моделью, которая не вступала бы в противоречие с известны-
ми в начале XX века экспериментальными фактами и законами
максвелловской электродинамики. Вероятно, пользовался моде-
лью Томсона и Резерфорд. И тогда его удивление при известии
об обратном рассеянии а-частиц не кажется преувеличенным.
48См. далее подразд. 2.9.6.
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
239
Действительно, в электростатике известна теорема Гаусса, ко-
торая позволяет элементарно вычислить напряженность любого
сферически симметричного распределения заряда. В частности,
напряженность электрического поля, создаваемого равномерно
заряженной сферой с полным зарядом Ze и радиусом Я, линей-
но растет от нуля в центре сферы до максимального значения на
поверхности сферы Er = Ze/(47rso^2), а затем убывает обратно
пропорционально квадрату расстояния от центра сферы. Потен-
циал поля сферы вне сферы убывает от значения на поверхности
сферы Ur = Ze/(kxe$R) обратно пропорционально расстоянию
от центра сферы. Можно определить потенциал в центре сферы
f/o, который оказывается в полтора раза больше, чем Ur.
Тогда легко оценить максимальный потенциал Uq в центре
сферы с зарядом Ze и радиусом R = 1 А:
rr .	3 • Z • 1.6 • 10-19
^=1А “ 87Г • 8.85 • 10-12 • 10-10	’
Остается только подставить в проведенную оценку величи-
ну Z, равную, очевидно, количеству электронов, содержащих-
ся в атоме. Ко времени обнаружения Резерфордом, Гейгером
и Марсденом обратного рассеяния а-частиц уже существовали
экспериментальные данные о числе электронов в атоме, полу-
ченные Томсоном и Баркла (как это было сделано, рассказано
в следующей главе, разд. 3.1.1).
По Томсону, количество электронов у атомов увеличивалось
вместе с ростом атомной массы и грубо могло быть оценено как
половина атомной массы. Так как золото имеет атомную массу
А = 196.967, то получалось, что Z для него порядка 100 (на са-
мом деле атом золота содержит 79 электронов), и максимальный
потенциал, создаваемый в центре положительной сферы ангстре-
много размера, для золота в неправильной модели Томсона не
мог превышать 21.6 кВ. Поскольку а-частица обладает двойным
элементарным зарядом, то ей, в соответствии с законом сохра-
нения энергии, достаточно иметь энергию 43.2 кэВ, чтобы пре-
одолеть отталкивание положительно заряженной сферы.
Но ведь в атоме золота есть еще и электроны, которые сни-
жают кулоновский барьер сферы вообще практически до нуля.
Вспоминая теперь, что энергия а-частиц была известна и рав-
нялась 4.96 МэВ, можно понять удивление Резерфорда. Такая
частица, обладая массой, в 4 • 1836 = 7344 раз превышающей
массу электрона, при рассеянии на атоме электроны не долж-
на ’’замечать” и отбрасывать их со своего пути. Тут как раз
240 ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
действует аналогия Резерфорда о снаряде и листке бумаги. Но
а-частица не должна была ’’замечать” и размазанную по объе-
му атома положительную каплю, так как та, с одной стороны,
была проницаема для электронов, которые в ней плавали (и, зна-
чит, должна была быть проницаема и для а-частиц), а с другой
стороны, создавала несущественный для частицы тормозящий
потенциал.
Таким образом, в модели Томсона частица могла испытать
лишь крайне незначительное отклонение на одном атоме.
Значит, если бы модель атома Томсона соответствовала дей-
ствительности, обнаруженное Гейгером и Марсденом отклонение
а-частиц на большие углы должно было бы накапливаться в ре-
зультате многократных рассеяний на малые углы.
Но графики Гейгера по рассеянию на малые углы вели к выво-
ду о том, что отклонение на угол больше 9(Г с вероятностью
1/8000 не может быть статистическим итогом многократ-
ных рассеяний на малые углы.
Например, из графика для рассеяния на 20 золотых фбльгах
(см. рис. 2.28) на глаз можно определить, что график этот стре-
мится к нулю при 0 > 4°. Так как площадь под любой из кривых
на графике есть единица (как интеграл от плотности вероятно-
сти), а график приблизительно симметричен относительно зна-
чения 0 « 2°, то можно оценить, что при 20 фбльгах вероятности
рассеяния в интервалы углов [0°, 2°] и [2°,4°] примерно одинако-
вы и равны 1/2.
Оценим вероятность рассеяния на большие углы за счет мно-
гократного рассеяния на малые углы. Для простоты примем, что
интервалу [2°,4°] в среднем соответствует рассеяние на 3°. То-
гда отклонение на угол в 90° может состоять из 30 отклонений на
угол в 3°, причем вероятность каждого рассеяния не превыша-
ет 1/2. Считая малые отклонения независимыми, получим, что
вероятность отклонения на 9 > 90° по рассматриваемому сцена-
рию не может быть существенно выше, чем (1/2)30 « 0.9 • 10“9,
что на 5 порядков меньше, чем наблюдаемая вероятность 1/8000.
Таким образом, модель атома Томсона не могла объяснить об-
наруженное рассеяние а-частиц на значительные углы (вплоть
до 0 = 180°) многократным рассеянием на малые углы, так как
предсказываемая этой моделью плотность вероятности рассея-
ния при 0 > 90° на много порядков меньше, чем реально изме-
ренная величина.
Из эксперимента по рассеянию а-частиц можно было сделать
логический вывод о том, что отклонение на болыпйе углы вызы-
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
241
вается единичным актом рассеяния всего на одном атоме и что
масса и положительный заряд атома поэтому должны быть со-
средоточены в объеме, размеры которого много меньше газоки-
нетического размера атома.
Действительно, если бы положительные заряды в атоме име-
ли бы массу порядка массы электрона, то а-частица проносилась
бы через атом, как снаряд через крону дерева, не испытывая
значительного отклонения при соударении с легкими объекта-
ми. Размышляя над открытием обратного рассеяния а-частиц,
Резерфорд в 1911 году пришел к ядерной модели атома, по ко-
торой положительный заряд и практически вся масса атома со-
средоточены в очень малом объеме, названном им ядром атома.
Электроны обращаются вокруг ядра, притягиваясь к нему си-
лой электростатического притяжения, как планеты в Солнечной
системе притягиваются к Солнцу силой гравитационного притя-
жения. По последней причине ядерную модель Резерфорда назы-
вают также планетарной моделью, хотя термин ядерная модель
точнее. Резерфорд открыл именно ядро атома.
Последующие эксперименты Резерфорда и его сотрудников
подтвердили правильность предположения о существовании яд-
ра атома. Следует подчеркнуть, что это открытие — открытие
ядра атома — одно из величайших открытий в истории физики
не только по своим практическим последствиям, но и потому,
что оно с неизбежностью привело к выводу, что ни законы клас-
сической механики, ни законы классической электродинамики
в масштабах атома не действуют. Далее этот важнейший вывод
из открытия Резерфорда будет рассмотрен подробнее, а пока сде-
лаем небольшое замечание.
Планетарная модель атома предлагалась и до Резерфорда,
о чем часто упоминается как о достижении ученых, выдвигав-
ших такую модель. Однако Резерфордом ядерная модель была
предложена как возможное объяснение неопровержимо уста-
новленных экспериментальных фактов, позволяющих сделать
весьма серьезные теоретические выводы. Умозрительные же
построения, не вытекающие из эксперимента, но в то же вре-
мя влекущие за собой отказ от твердо установленных законов
физики, — это непростительное легкомыслие, компрометиру-
ющее ученого.
Научный мир относится к таким предложениям (и их авто-
рам) с пренебрежением. Так было и с планетарной моделью ато-
ма, предлагаемой до Резерфорда, — на нее не обращали внима-
ния.
242
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
2.9.3 Описание рассеяния а-частиц
в рамках ядерной модели атома
В 1911 году Резерфорд предложил я дерную модель атома и по-
строил на этой основе количественную теорию рассеяния а-час-
тиц, исходя из нескольких упрощающих предположений.
Ввиду того, что электроны много легче а-частиц, Резерфорд
пренебрег столкновениями а-частиц с электронами. Предпола-
гая слой рассеивателя тонким, а размеры ядра маленькими, он
рассмотрел однократное рассеяние а-частицы на неподвижном
ядре атома с зарядом Ze. Вокруг такого ядра должны как-то
обращаться ровно Z электронов и экранировать заряд ядра за
пределами атома. По причинам, которые станут ясными далее,
число Z называется атомным номером.
Рассеивающаяся а-частица вне электронной оболочки ато-
ма должна лететь по прямой и начать существенно отклоняться
лишь после проникновения внутрь электронной оболочки. Одна-
ко если даже считать, что ядро не окружено электронами вовсе,
то оценка, произведенная выше, показывает, что пока а-частица
с энергией 5 МэВ находится от центра ядра дальше, чем 1 А,
влиянием ядра на ее траекторию можно пренебречь.
Значительные откло-
нения от направления
своего первоначального
движения а-частица ис-
пытывает лишь в непо-
средственной близости
от ядра, поэтому хо-
рошей аппроксимацией
для описания рассея-
ния а-частиц в фоль-
ге является рассеяние
на кулоновском центре.
На рис. 2.29 изображе-
на гиперболическая траектория а-частицы, рассеивающейся на
неподвижном кулоновском центре с зарядом Ze.
Частица начинает движение из бесконечности слева, обладая
кинетической энергией 8^. В центральном поле движение бу-
дет проходить в плоскости, проведенной через вектор начальной
скорости частицы и кулоновский центр Ze.
Будем характеризовать положение а-частицы на плоскости
полярными координатами г и </>, причем полярная ось х с цен-
Рис. 2.29. Гиперболическая траектория
а-частицы, отталкиваемой ядром по зако-
ну Кулона
2 9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
243
тром в ядре Ze есть прямая, параллельная начальной скорости
частицы и проходящая через ядро. Тогда, помимо начальной ки-
нетической энергии частицы, форма траектории будет зависеть
от прицельного параметра Ь. Геометрический смысл прицельно-
го параметра (см. рис. 2.29) ясен: это есть минимальное расстоя-
ние, на котором прошла бы от ядра частица при ’’отключенном”
взаимодействии с ядром, то есть при движении частицы из бес-
конечности слева в бесконечность справа по прямой.
С точностью в несколько процентов движение а-частиц с энер-
гией 5 МэВ можно считать нерелятивистским и описывать урав-
нениями Ньютона. В механике доказывается, что движение ча-
стиц, взаимодействующих с силой, обратно пропорциональной
квадрату расстояния, происходит вдоль конических сечений, то
есть возможными траекториями движения являются гиперболы,
параболы, эллипсы и их частные случаи — окружности и пря-
мые. Начиная движение с параметрами и Ь, частица в оттал-
кивающем поле ядра движется по гиперболе. Однако в данном
случае нет нужды определять форму траектории, решая урав-
нения Ньютона. То, что частица движется именно по гиперболе,
нигде далее не используется.
Целью всего рассмотрения является определение угла откло-
нения 0 частицы от направления первоначальной скорости как
функции начальных данных движения.
Угол отклонения может быть определен при подсчете измене-
ния вертикальной компоненты импульса частицы с учетом двух
законов сохранения — закона сохранения энергии и закона со-
хранения момента импульса. Закон сохранения энергии в нере-
лятивистской форме, примененный к настоящей задаче, дает
р2 2Ze2
О----1“ Л--- =
2тп 47Г£о^
(2.156)
откуда следует, что величина импульса частицы р после откло-
нения не изменяется, то есть частица в конечном итоге изменяет
лишь направление своего движения. Зная величину импульса ча-
стицы после отклонения, легко выразить изменение вертикаль-
ной компоненты импульса частицы (вдоль оси Оу, не показанной
на рис. 2.29) в виде /\ру = р^ sin0. По второму закону Ньютона
изменение импульса равняется импульсу силы, что дает равен-
ство
+оо	+оо 2^ 2
/>00 8410= У Fydt= У 2 sin р dt,	(2.157)
—оо	—оо
244
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
где г и р — текущие полярные координаты частицы на плоско-
сти.
Закон сохранения момента импульса позволяет перейти в ин-
теграле (2.157) от интегрирования по времени движения к ин-
тегрированию по полярному углу р. Действительно, дифферен-
цированием элементарно проверяется, что при движении в цен-
тральном поле сохраняется вектор момента количества движе-
ния М:
М = г х р = const.	(2.158)
Вектор М при плоском движении частицы направлен вдоль пря-
мой, перпендикулярной плоскости движения, так как вектор-
ное произведение перпендикулярно обоим перемножаемым век-
торам, лежащим в плоскости движения. Величина модуля век-
тора момента количества движения М может быть выражена
через текущие координаты г и р. Действительно, по определе-
нию векторного произведения
М = гр |sin(r, р)| .
Но величина р |sin(r,p)| есть модуль проекции вектора р на на-
правление, перпендикулярное вектору г, то есть величина
Ы = |тп^| .
Из механики известно, что = rdp/dt, и это окончательно дает
М = гр |sin(r, р)| = \гру\ =	= const,	(2.159)
где дополнительно поставлен знак ’’минус”, так как очевидно
(это следует из рис. 2.29), что dpldt < 0, то есть при движе-
нии слева направо увеличение времени t ведет к уменьшению
текущего полярного угла р.
Переходя в (2.159) при р —> тг к предельному положению ча-
стицы в бесконечности, получим значение константы в правой
части, то есть начальное значение величины момента количе-
ства движения частицы. Для этого заметим, что при р —> тг век-
тор скорости частицы становится параллельным оси х, так что
sin(r, р) ~ sin р. Но из определения полярных координат следует,
что г sin р = у, где у — просто текущая декартова координата у
вдоль траектории. Тогда (см. рис. 2.29) очевидно, что при р -ж
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 245
имеем у —> Ь. Это позволяет найти величину константы в правой
части (2.159) и записать соотношение
—тг2^- = bpoo = mbvoo .	(2.160)
at
Сохранение момента количества движения (2.160) позволяет
в интеграле (2.157) перейти от интегрирования по времени к ин-
тегрированию по углу р. Действительно, из (2.160) находим, что
dt — --—dp.	(2.161)
^оо
Заменяя переменную интегрирования в (2.157) с помощью
(2.161), получаем
+°°	п	о	п
г	Ze2	f	Ze2	f
Poo sin# = Fvdt — — --------- / sintpdtp — +---;  / sintpdw.
J y 27r£0/Woo J	2-neQbVoo J
— OO	7Г	o
(2.162)
Вычисление интеграла в правой части (2.162) и элементарные
тригонометрические преобразования, заключающиеся в перехо-
де к половинному углу 0/2, дают следующее выражение для угла
отклонения частицы:
в Ь5оо47Г£0
Ctg2 = ^^'	(2Л63)
Формула (2.163) дает зависимость угла рассеяния от прицель-
ного параметра и начальной кинетической энергии частицы. Од-
нако параметр Ь не поддается независимому экспериментальному
определению.
Наоборот, измерив угол отклонения 0, можно измерить и при-
цельный параметр Ь. Вспомним, что на самом деле опыты Гей-
гера по рассеянию а-частиц на фольге позволяли определить
плотность вероятности рассеяния частицы на тот или иной
угол. Следовательно, теоретическое рассмотрение рассеяния
а-частиц должно привести к получению формулы именно для
количества рассеянных в заданный телесный угол частиц, а не
для угла рассеяния.
С целью вывода такой формулы рассмотрим идеализирован-
ную ситуацию, когда вместо фольги помещен лишь один атом
246
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
золота, который облучается пучком а-частиц. Конечно, нико-
му не известно пространственное распределение вылетающих из
выходной диафрагмы источника а-частиц, однако нет никаких
оснований предполагать, что поток частиц неоднородный. Дру-
гими словами, при последующем выводе предполагается, что из
плоскости выходной диафрагмы источника (изображенной пре-
увеличенно большой на рис. 2.27) исходит практически парал-
лельный однородный поток а-частиц. Выразим с помощью фор-
мулы (2.163) прицельный параметр b как функцию угла откло-
нения частицы 0:
Рис. 2.30. Картина рассеяния а-частиц на одном атоме на угол в в за-
висимости от прицельного параметра Ъ
Из рис. 2.30 видно, что отклонение частицы в интервал углов
[0,0 + d0] обеспечивается прохождением частицы в плоскости вы-
ходной диафрагмы источника сквозь кольцо, определяемое ин-
тервалом прицельных параметров [Ь, b + db], где db можно найти,
продифференцировав уравнение (2.163):
„ z‘2 лв ,,,т
db — ~	~	~ .	(2. loo)
47Г£о£оо 2 sin2 (0/2)
Знак "минус” в последнем выражении означает, что увеличение
b влечет за собой уменьшение 0. Этот минус в дальнейшем отбра-
сывается, поскольку в рассматриваемой задаче интересны лишь
абсолютные величины интервалов.
При потоке а-частиц из источника J (вспомним, что поток —
это количество частиц, проходящих через единицу поверхности
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
247
в единицу времени) в единицу времени через кольцо [Ь, b + db]
проходит, очевидно, dN/dt = 2ivbdbJ частиц, которые все рас-
сеиваются в интервал углов [0,0 + dO]. Тогда можно записать
количество частиц, рассеиваемых одним ядром в этот интервал
углов при потоке падающих на него частиц J:
dN_ _ J27r ( Ze2 V cos(0/2)
dt \4ttso^oo/ 2sin3(0/2)
В свою очередь, интервалу углов [0,0 + d0] в силу осевой сим-
метрии задачи соответствует пространственный телесный угол
dQ = 27rsin0d0.	(2.167)
Теперь — последний этап рассуждения. Предполагая попе-
речные размеры фольги малыми по сравнению с расстоянием от
нее до экрана, получим, что рассеяние под углом О независимо
от местоположения ядра в фольге приведет к попаданию рассе-
янной частицы на экране примерно на одну окружность, а так-
же предполагая, что фольга достаточно тонкая для того, чтобы
в ней происходили только однократные рассеяния, можно при-
нять, что количество частиц, рассеиваемых в единицу времени
целой фольгой (а не одним ядром) в интервал углов [0,0+d0], бу-
дет пропорционально полному количеству ядер в фольге (прав-
да, еще при одном условии: если выходная диафрагма источника
больше поперечных размеров фольги, так что облучаются все
ядра фольги). Если концентрация атомов в фольге п, то пол-
ное число атомов (или ядер) будет равно nSh, где S — площадь
поперечного сечения фольги, a h — ее толщина.
Выражая с помощью формулы (2.167) dO через dQ и подстав-
ляя результат в (2.166), а также домножая его на полное число
ядер в фольге, получим окончательное выражение для числа ча-
стиц, рассеиваемых фольгой в единицу времени в телесный угол
dQ:
dN _	/ Ze2 \2	1
dt - Jnbti ^47r£o5oJ 4sin4(0/2) <*1-
Это и есть знаменитая формула Резерфорда для рассеяния
фольгой а-частиц, которая позволяет однозначно определить ко-
личество частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный
угол dQ как функцию всех параметров задачи — первичного па-
раллельного потока частиц J, толщины фольги /г, энергии рас-
сеиваемых частиц foo, заряда ядра Z и, наконец, угла рас-
сеяния О,
248
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Видно, что при в —> 0 число частиц (практически не рас-
сеянных) стремится к бесконечности. Это физически очевидно:
рассматриваемая задача была решена для всех Ь от нуля до бес-
конечности, что соответствует бесконечному общему числу ча-
стиц, вылетающих из источника при постоянном потоке J. Тогда
и общее число рассеянных частиц должно быть бесконечным, то
есть при каком-то угле рассеяния плотность вероятности рассея-
ния должна обращаться в бесконечность. Ясно также, что такой
угол должен быть равен нулю, так как по мере роста b угол
отклонения уменьшается, стремясь при b —> оо к нулю. Физи-
чески, однако, пучок ограничен в поперечных размерах (то есть
на фольгу падает конечное число частиц, и в интервал углов
[0,0 + dd] рассеивается конечное число частиц). Но начальный
пучок всегда имеет неконтролируемый конечный угловой раз-
брос, а не строго параллелен оси, из-за чего рассеяние на малые
углы вообще изучать бессмысленно.
Формуле Резерфорда (2.168) можно дать эквивалентное тол-
кование, если заметить, что JS есть интенсивность потока, или
полное число первичных частиц, падающих в единицу времени
на фольгу. Экспериментально его легко измерить, если убрать
фольгу, поставить вместо нее торец счетчика Гейгера и сосчи-
тать количество импульсов в секунду. Далее в формуле Резер-
форда (2.168) остается произведение nh, которое, очевидно, есть
полное число ядер в фольге, приходящееся на единицу поверх-
ности, если на фольгу смотреть из источника частиц. Как рас-
считать концентрацию атомов в веществе, было продемонстри-
ровано в главе 1. Для этого достаточно знать число Авогадро,
плотность вещества и его атомный вес.
Тогда, наблюдая количество рассеиваемых в единицу време-
ни в заданный телесный угол частиц при различных значениях
параметров, можно экспериментально проверить формулу Ре-
зерфорда. Прежде чем рассмотреть итоги экспериментального
изучения рассеяния а-частиц на фбльгах в различных условиях,
приведем часто встречающуюся интерпретацию формулы Резер-
форда.
Предположим, что о механизме рассеяния а-частиц в фоль-
ге ничего не известно. Тем не менее, это не помешает измерить
число частиц dN/dt, рассеиваемых в телесный угол dQ в едини-
цу времени. Предполагая, что процесс носит характер единично-
го взаимодействия налетающей частицы и атома (или его ядра)
в фольге и желая все-таки охарактеризовать способность одного
ядра рассеивать частицы, заменяют вероятность этого процесса
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
249
некоторой фиктивной площадью da49 (как площадь 27vbdb при
выводе формулы Резерфорда, которая, правда, является вполне
реальной площадью в его модели), пролетев сквозь которую на
выходной диафрагме из источника, частица рассеется в телес-
ный угол dQ.
Тогда, пользуясь величиной da, называемой дифференциаль-
ным сечением рассеяния, можно найти число частиц, рассеивае-
мых всей фольгой в единицу времени в телесный угол dQ:
при потоке J на одном ядре рассеется Jda частиц, а на всей
фольге
лдг
— = JnShdcy .	(2.169)
dt
Последнее уравнение можно считать просто определением ве-
личины da, а сравнение с выводом формулы Резерфорда позво-
ляет наполнить физическим смыслом эту величину50.
Сравнивая формулы (2.168) и (2.169), можно получить диф-
ференциальное сечение рассеяния в модели Резерфорда
da _ / Ze2 \2	1
dft \47Г£о£оо/ 4sin4(0/2) '
(2.170)
Формулы (2.168) и (2.170) называют также формулами ре-
зерфордовского обратного рассеяния, так как они хорошо опи-
сывают как раз отражение частиц от фольги, в то время как
отклонение на малые углы, как отмечено выше, эти формулы не
описывают.
Кроме того, необходимо отметить, что формулы (2.168)
и (2.170) были выведены в предположении, что ядро-рассеива-
тель неподвижно. На самом же деле ядро испытывает отдачу, но
для массивных ядер пренебрежение отдачей ядра дает ошибку
в несколько процентов. Если учесть, сколько при расчете бы-
ло сделано упрощающих предположений, то не имеет смысла
учитывать и отдачу ядра. Для рассеяния на легких элементах
эффект отдачи ядра становится существенным, и его надо учи-
тывать. Здесь, однако, не будет рассматриваться рассеяние на
легких ядрах.
49 Внесистемной единицей измерения сечений различных процессов в я дер-
ной физике служит барн, равный 10-24 см2.
50 В подразд. 1.1.2 уже было проведено подобное рассуждение относитель-
но эффективного газокинетического сечения, являющегося мерой вероятно-
сти соударений молекул в газах. Модель молекул как жестких сфер позволи-
ла наполнить физическим смыслом эффективное газокинетическое сечение
(см. стр. 48).
250
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
2.9.4 Экспериментальная проверка
формулы Резерфорда.
Определение заряда и размеров ядра
Первая проверка формулы Резерфорда была произведена Гейге-
ром и Марсденом в 1913 году на золотых и серебряных фбльгах.
Схема эксперимента, в сущности, не отличалась от изображен-
ной ранее (см. рис.2.27). Изменилась лишь конструкция экрана,
который можно было вращать, чтобы наблюдать рассеяние на
разные углы, наблюдая за вспышками на экране через микро-
скоп. В ходе экспериментов Гейгер и Марсден зафиксировали
в общей сложности более 1 000 000 сцинтилляций для статисти-
ческого подтверждения формулы Резерфорда. О точности, до-
стигаемой в подобного рода экспериментах, подробнее сказано
в приложении 2.
В общем, эксперименты дали превосходное согласие с тео-
рией. Отражение назад с ростом в уменьшалось как l/sin4(0/2),
увеличивалось с ростом толщины фольги и убывало обратно про-
порционально квадрату начальной кинетической энергии рассеи-
ваемых частиц. Это означало, что модель Резерфорда была пра-
вильной, что давало тем самым возможность экспериментально
измерить заряд ядра (то есть измерить количество электронов
в атоме того или иного элемента).
Было ясно, что в атоме находится целое число электронов
Z, но чему оно равно для разных элементов? Выше уже отмеча-
лось, что первые оценки числа электронов в атоме, выполненные
Томсоном и Баркла, показали, что Z растет с атомной массой.
Теперь открытие ядра Резерфордом, а также экспериментальное
подтверждение его формулы обратного рассеяния давали воз-
можность экспериментального определения заряда ядра Z с по-
мощью той же формулы.
Считать десятки тысяч сцинтилляций, наблюдая за ними
в микроскоп, — работа утомительная и однообразная. Эта рабо-
та была прервана первой мировой войной, и только в 1920 году
ученик Резерфорда Джеймс Чедвик, изучая все тем же методом
визуального подсчета рассеяние а-частиц на ядрах, получил для
платины значение Z = 77.4±0.8, для серебра Z = 46.3±0.7 и для
меди Z = 29.3 ± 0.5.
Еще в 1913 году голландский физик Ван ден Брук опубли-
ковал впоследствии подтвердившуюся гипотезу, в соответствии
с которой количество элементарных электрических зарядов яд-
ра Z (или количество электронов в атоме) определяло порядко-
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 251
вый номер элемента в периодической системе элементов. Плати-
на занимает в периодической системе 78-е место, серебро — 47-е,
медь — 29-е. Как видно, Чедвик определил заряды ядер доволь-
но точно. Совершенно точно заряды ядер определяются путем
измерения характеристических рентгеновских спектров элемен-
тов (закон Мозли), о чем будет рассказано в следующей главе
(разд. 3.1.4).
Кроме возможности непосредственно измерить заряд ядер,
формула обратного резерфордовского рассеяния и ее экспери-
ментальная проверка позволили оценить размеры ядер, перво-
начально, естественно, неизвестных, а также подтвердили при-
менимость закона Кулона на малых расстояниях.
Действительно, поскольку в опытах с золотом и серебром
частицы с энергией около 5 МэВ, очевидно, отражались элек-
трическим полем ядра, то расстояние минимального сближения
между центрами ядра и а-частицы не должно было превышать
суммы радиусов ядра и частицы. Расстояние же минимального
сближения rmin достигается при отражении частицы на 180°, ко-
гда вся кинетическая энергия переходит в потенциальную, а ча-
стица останавливается. Тогда закон сохранения энергии в нере-
лятивистской форме позволяет найти эту величину:
с _ 2Ze2
С'ОО — ~Л	•
47TSormin
(2.171)
Оценим rmin, например, для серебра (Z = 47) при энергии
5оо = 4.96 МэВ = 4.96 • 106 • 1.6 • 10"19 Дж:
rmin = 47г • 8.85 -10-612- 4.96 • 106 м ~ 2'7 ‘ 10““ м = 27 фм ’
Если сравнить величину rmin c атомным радиусом серебра,
имеющим величину около 1.44 А, то оказывается, что первая
же оценка сверху, следующая из опытов учеников Резерфорда,
показывает, что размеры ядра на пять (!) порядков меньше раз-
меров атомов. В ядерной физике, поэтому, принято характери-
зовать длины в фемтометрах (от лат. femten — пятнадцать, со-
кращенное наименование — фм), то есть 10-15 м. Эта же ве-
личина в честь итальянского физика Ферми, лауреата Нобелев-
ской премии по физике 1938 года ”за открытие искусственной
радиоактивности, вызванной медленными нейтронами”, называ-
ется фёрми и сокращенно обозначается как Фм или просто Ф.
Рис. 2.31. Отношение эксперимен-
тально измеренного и резерфор-
довского дифференциального сече-
ний рассеяния а-частиц на свинце
252 ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Таким образом, физик может утвердительно сказать, что один
фёрми51 в 100000 раз меньше одного ангстрема52.
Резерфорд открыл объекты, в сто тысяч раз мёныпие атомов.
Если размеры атома мысленно увеличить до расстояния между
Петербургом и Москвой, то ядро атома будет величиной пример-
но с трехэтажный коттедж.
Более точно размеры ядра, очевидно, можно получить, если
усилить оценку сверху, то есть уменьшить величину гтщ.
Из формулы (2.171) следует, что это будет происходить, если
увеличивать энергию бомбардирующих частиц или брать легкие
элементы с малыми зарядами ядра, так как они будут значи-
тельно слабее отталкивать а-частицы. Например, было найдено,
что для алюминия (Z = 13) rmin может достигать 8 Фм.
Рассмотрим, однако, рас-
сеяние на более тяжелом эле-
менте — свинце (Z = 82),
но зато специально ускорен-
ных до энергии в 22 МэВ с по-
мощью циклотрона а-частиц.
На рис. 2.31 представлен
график отношения экспери-
ментального дифференциаль-
ного сечения рассеяния daexp
к резерфордовскому d&R диф-
ференциальному сечению рас-
сеяния, рассчитанному по фор-
муле (2.170).
Из рис. 2.31 видно, что
начиная с угла рассеяния
в — 90° происходит резкое
уменьшение эксперименталь-
ного дифференциального рас-
сеяния на большие углы. Лег-
ко подсчитать, какому мини-
мальному сближению соответствует рассеяние на 90°. Действи-
тельно, формула (2.164) позволяет подсчитать прицельный пара-
метр Ь, соответствующий 0 = 90°. Подстановка данных в форму-
лу дает b « 5 Фм. Знание прицельного параметра b и начальной
энергии ^оо позволяет, пользуясь формулой (2.160), определить
51 Разумеется, с маленькой буквы.
52См. предыдущее примечание.
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
253
численную величину начального момента количества движения
М = Ьроо-
Легко найти момент количества движения также и в точ-
ке максимального сближения. Действительно, до этой точки ра-
диальная компонента скорости частицы все время отрицатель-
на, и частица приближается к ядру (как это можно видеть на
рис. 2.29, где изображена траектория частицы, хотя рассуждение
и не опирается на рисунок). В момент минимального сближения
радиальная компонента скорости vr обращается в нуль, после
чего становится положительной, а частица начинает удаляться
от ядра. Отсюда следует, что в момент минимального сближения
скорость частицы имеет только компоненту то есть перпенди-
кулярна радиус-вектору частицы. Это означает, что в точке ми-
нимального сближения М = rminpmin, где величина М известна,
aPmin — импульс частицы, который она имеет в точке минималь-
ного сближения. Тогда закон сохранения энергии (2.156) дает
еще одно уравнение, связывающее величины rmjn и pmjn в точ-
ке минимального сближения. Расчет численной величины rmjn,
начиная с которой формула Резерфорда перестает действовать,
для свинца дает rmjn ~ 12 Фм.
2.9.5 Протон и нейтрон.
Краткая сводка современных
представлений о структуре материи
Рамки данного курса не позволяют углубляться в детали я дер-
ной физики — области физики, изучающей свойства, строение
и превращения ядер атомов, а также в детали еще более фун-
даментального раздела физики — физики элементарных частиц.
Однако тем студентам, которые заканчивают изучение физики
данным курсом, но хотели бы получить представление о том, до
какого уровня материи добрались ученые к настоящему времени,
будет полезно (хотя и необязательно) ознакомиться со следую-
щими сведениями.
Изучение рассеяния ядрами электронов, а-частиц и других
частиц, ускоренных до больших энергий, позволило более точно
определить размеры ядер. Оказалось, что для элементов с мас-
совыми числами А > 20 радиус ядра R можно найти по формуле
Я = аА1/3,	(2.172)
где а — постоянная, имеющая размерность длины, которая в за-
висимости от того, что понимать под размерами ядра (можно
254
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
понимать под размерами ядра область локализации положитель-
ного электрического заряда в пространстве, а можно — область
локализации ядерного вещества, то есть массы), имеет величину
а = 1.1 Фм (распределение заряда) и 1.3 Фм (распределение
массы).
У свинца наиболее распространен изотоп 208РЬ, тогда подста-
новка А = 208 в формулу (2.172) дает по распределению массы
радиус ядра свинца R ~ 7.7 Фм.
Кроме того, эксперименты показали, что поверхности у ядер
всех элементов размыты, так как распределения заряда и массы
во внутренних областях ядра почти постоянны, а затем резко
убывают практически до нуля в слое толщиной примерно 2.2 Фм.
Слой такой толщины, собственно, и является поверхностью ядра.
Если для радиуса а-частицы принять величину порядка 1 Фм,
то оказывается, что отклонения от формулы резерфордовского
обратного рассеяния начинаются при уменьшении расстояния
между поверхностями ядра свинца и а-частицы примерно до
2 Фм.
Таким образом, уменьшение рассеяния на свинце на углы
больше 90° начинается до проникновения а-частицы в ядро и оз-
начает, что на частицу начинают действовать силы притяжения
к ядру. Действительно, если бы никакие дополнительные силы не
возникали, рассеяние по-прежнему продолжало бы описываться
формулой Резерфорда, а если бы рассеяние назад росло, то это
означало бы, очевидно, увеличение силы отталкивания частицы
от ядра по сравнению с кулоновской силой. Значит, результаты
эксперимента, воспроизведенные ранее (см. рис. 2.31), однознач-
но свидетельствуют в пользу того, что между ядрами атомов
и а-частицами при сближении их поверхностей на расстояния
меньше 2 Фм действуют мощные силы притяжения. Этот тип
взаимодействия назван сильным взаимодействием, так как на
малых расстояниях последнее превосходит кулоновские силы.
Длительное время после открытия ядра было неясно, из ка-
ких частиц ядра состоят и чем отличаются друг от друга яд-
ра изотопов одного элемента. Не имея возможности обосновы-
вать последующее изложение ссылкой на эксперименты, опишем
лишь конечный итог.
Самый легкий атом в природе — атом водорода — имеет лишь
один электрон. Следовательно, заряд ядра водорода равен по-
ложительному элементарному заряду е. Ядро атома водорода
в 1920 году по предложению Резерфорда было названо прото-
ном (от греч, prdtos — первый).
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 255
Протон р тяжелее электрона в 1836.1527 раз и имеет массу
1.007 в атомных единицах массы. Как и любая частица, протон
имеет античастицу — антипротон, электрический заряд которо-
го отрицателен. Антипротон был экспериментально обнаружен
в 1955 году, за что итальяно-американский физик Эмилио Сегре
и американский физик Оуэн Чемберлен получили Нобелевскую
премию по физике 1959 года с формулировкой "за открытие ан-
типротона".
В связи с развитием ускорительной техники появилась воз-
можность наблюдать рассеяние релятивистских электронов яд-
рами разных элементов, в том числе и протонами. Схема прове-
дения подобных экспериментов полностью аналогична опытам
по рассеянию а-частиц на ядрах, только для ускорения электро-
нов требуются гигантские современные ускорители, но суть дела
от этого не меняется.
Подобные эксперименты и позволили определить форму и раз-
меры ядер, а также выяснить, что протон имеет внутреннюю
структуру. В частности, размеры протона (то есть распределе-
ние в пространстве его электрического заряда) конечны, сред-
неквадратичный радиус протона измерен с достаточно высокой
точностью и по последним данным равен (0.88 ± 0.02) Фм.
За эти работы в 1961 году половину Нобелевской премии по
физике получил американский физик Роберт Хофстедтер с фор-
мулировкой "за основополагающие исследования по рассеянию
электронов на атомных ядрах и связанные с ними открытия в об-
ласти структуры нуклонов".
Так как в ядре с зарядом Ze должно находиться ровно Z про-
тонов (имеющих суммарную массу около Z атомных единиц мас-
сы, что существенно меньше полной массы ядер, точно измеря-
емой с помощью масс-спектрометров), то это означает, что в со-
став ядра должны входить и другие частицы. Долгое время при-
рода отличных от протонов частиц в ядре оставалась загадкой.
Лишь в 1932 году Джеймс Чедвик открыл нейтральную части-
цу, названную нейтроном, за что получил Нобелевскую премию
1935 года с формулировкой "за открытие нейтрона". Вслед за
открытием нейтрона сразу два физика независимо друг от дру-
га предложили правильную протонно-нейтронную модель ядра
(советский физик Д. Иваненко и немецкий физик В. Гейзенберг).
Итак, в состав ядра элемента, занимающего место под номе-
ром Z в периодической системе элементов, входит Z протонов
и А — Z нейтронов. Близость масс протона и нейтрона объяс-
няет правило целых чисел, открытое Астоном, так как сумма
256
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
масс протонов и нейтронов, входящих в состав ядра и поэтому
называемых нуклонами, оказывается близкой к массовому числу
изотопа А, имеющему смысл полного числа нуклонов, входящих
в состав ядра. Изотопы же одного элемента отличаются друг от
друга количеством нейтронов в ядре при неизменном количестве
протонов. Таким образом, а-частицы — ядра изотопа гелия 4Не
— оказались составленными из двух протонов и двух нейтронов.
Идентификация частей атома существенно уменьшила коли-
чество дискретных элементов, составляющих вещество. Действи-
тельно, до открытия делимости атома химия свела все много-
образие имеющихся в природе веществ к комбинациям атомов
в молекулы при большом, но все же конечном числе разных ато-
мов, и вот теперь, с выяснением структуры ядра, оказалось, что
все атомы состоят всего из трех частиц — электрона, протона
и нейтрона, которые и стали считать элементарными, то есть
неразложимыми частицами, первичными составляющими частя-
ми материи.
Однако очень быстро выяснилось, что протон и нейтрон име-
ют структуру, то есть являются неэлементарными в вышеприве-
денном смысле частицами.
Отношение массы нейтро-
на п к массе протона рав-
но 1.001378, размеры — по-
рядка размера протона. Экс-
перименты по упругому рассе-
янию электронов на протонах
и нейтронах позволили выяс-
нить не только размеры этих
Рис. 2.32. Плотность рс заряда частиц, но и распределение за-
ряда внутри них.
На рис. 2.32 приведены гра-
внутри протона р и нейтрона п
фики распределения заряда внутри протона и нейтрона, из кото-
рых, в частности, следует, что нейтрон в центре имеет положи-
тельный заряд, а на периферии — отрицательный. Это доказыва-
ет сложность (неэлементарность) структуры нейтрона, который,
следовательно, должен состоять из заряженных частей. Наличие
пространственного распределения положительного заряда внут-
ри протона также ведет к заключению о сложном внутреннем
устройстве протона.
Нейтрон тяжелее не только протона, но и атома водорода. Поэто-
му составным частям нейтрона энергетически выгоднее превратиться
в атом водорода, если этому не препятствуют законы сохранения.
2 9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
257
И действительно, в 1948—1950 годах было обнаружено, что в сво-
бодном состоянии нейтрон испытывает /3-распад по схеме
п -> р + е~ + уе ,
при этом период полураспада свободного нейтрона немного превышает
10 минут.
В последней реакции, в частности, выполняются законы сохране-
ния энергии, электрического заряда, барионного и лептонного чисел,
причем происходит превращение части массы покоя нейтрона в кине-
тическую энергию продуктов распада — протона, электрона и элек-
тронного антинейтрино.
Однако в связанном состоянии в составе стабильных ядер нейтрон
стабилен (по экспериментальным оценкам время его жизни в послед-
нем случае не менее 1032 лет).
Попытки же выявить распределение заряда внутри электро-
на до сегодняшнего дня ни к чему не привели. Экспериментально
доказано, что по крайней мере до масштабов 0.001 Фм = 10~18 м
никакой внутренней структуры у лептонов нет. Другими сло-
вами, размеры лептонов исчезающе малы и, по крайней мере,
меньше величины 0.001 Фм. Поэтому их считают точечными бес-
структурными (то есть истинно элементарными) частицами.
Наличие стабильно существующих ядер, куда входит Z по-
ложительно заряженных протонов, которые расталкивает куло-
ноновская сила, привело к выводу о том, что между нуклонами
должна существовать неизвестная ранее сила притяжения, кото-
рая и удерживает нуклоны в ядре. Поскольку эта сила преодоле-
вает кулоновское расталкивание протонов, она "сильнее” элек-
тромагнитной силы, поэтому новый вид взаимодействия стали
называть просто "сильным взаимодействием".
Существенной особенностью сильного взаимодействия явля-
ется то, что оно не зависит от заряда нуклона: пары протон-
протон, протон—нейтрон и нейтрон—нейтрон взаимодействуют
одинаково, если не учитывать кулоновского расталкивания про-
тонов. Как будет показано далее, законы классической механи-
ки не выполняются в мире атомов и их ядер, поэтому, вообще
говоря, понятие силы, принадлежащее классической механике,
теряет свой смысл. О взаимодействии частиц говорят на языке
потенциальной энергии взаимодействия. Помня об этом, можно
условно использовать термин "сила" и для атомных и субатом-
ных частиц, подразумевая просто производную от потенциала по
координате, взятую с обратным знаком.
Зависимость энергии взаимодействия от расстояния между
нуклонами отличается от известного ранее закона убывания по-
258
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
тенциала гравитационного и кулоновского потенциалов, обрат-
но пропорциональных расстоянию между центрами частиц. Оче-
видно, что отношение двух потенциалов с разной зависимостью
от расстояния между частицами делает их отношение также за-
висящим от расстояния между частицами, поэтому невозмож-
но сказать однозначно, во сколько раз сильное взаимодействие
сильнее электромагнитного. На сегодняшний день о сильном вза-
имодействии еще многое не известно, однако существенные вы-
воды можно сделать из уже приведенных данных (см. рис. 2.31),
свидетельствующих о том, что пока расстояние между нуклона-
ми больше 2 Фм, сильное взаимодействие никак себя не прояв-
ляет. Другими словами, оно чрезвычайно короткодействующее.
Поскольку ядра в земных условиях отделены друг от дру-
га расстояниями порядка ангстрема, что примерно в 100 000 раз
больше радиуса действия сильного взаимодействия, оно и не на-
блюдалось до тех пор, пока не была осуществлена бомбардировка
ядер частицами большой энергии, способными преодолеть ку-
лоновский барьер ядра и приблизиться к нему на расстояние,
мёньшее радиуса действия сильного взаимодействия.
С уменьшением расстояния от примерно 2 Фм между нук-
лонами увеличивается сила притяжения, которая далее перехо-
дит в силу отталкивания при расстояниях меньше 0.3 Фм. При
мёлых расстояниях между протонами сильное взаимодействие
может в 1000 раз превосходить электромагнитное, однако отно-
шение сильного и электромагнитного взаимодействий падает до
нуля при увеличении расстояния между протонами более 2 Фм.
Лептоны не участвуют в сильном взаимодействии. Но позд-
нее обнаружили, что в ядрах (и вообще элементарных частицах)
существует еще одно взаимодействие, названное слабым пото-
му, что оно меньше электромагнитного. Характерным признаком
слабого взаимодействия является обязательное участие в реак-
ции нейтральных лептонов, называемых нейтрино. Таким обра-
зом, лептоны принимают участие в трех взаимодействиях в при-
роде — гравитационном, электромагнитном и слабом.
Частицы, принимающие участие в сильном взаимодействии,
называются адронами (от греч. hadrds — сильный). Помимо силь-
ного взаимодействия, адроны принимают участие и в других
трех взаимодействиях. Как уже выше отмечалось, сначала счи-
тали, что протон, нейтрон, электрон и есть мельчайшие части
материи — элементарные частицы.
Однако после построения мощных ускорителей стали откры-
вать одну новую частицу за другой. Новые частицы рождались
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 259
при соударениях релятивистских частиц, когда масса покоя воз-
никает из кинетической энергии первичных частиц. Одних адро-
нов в XX веке было открыто более 300. Они все являются неста-
бильными, за исключением протона. Даже нейтрон в свободном
состоянии распадается в среднем за 886 с, а свойство стабиль-
ности приобретает только в составе атомных ядер. Такое оби-
лие частиц начало приводить ученых в уныние, так как стала
исчезать былая ясность в вопросе о структуре материи. Видо-
изменился и сам термин ’’элементарная частица”, получивший
двойное значение.
В строгом смысле элементарная частица — это бесструктур-
ный неразложимый объект, о котором нельзя сказать, что он из
чего-то состоит53. Однако в более вольной трактовке под элемен-
тарными частицами понимают все субатомные частицы — адро-
ны и лептоны, которых всего открыто более 350 штук. Здесь
надо еще упомянуть, что по современным представлениям вза-
имодействия (сильное, электромагнитное, слабое, гравитацион-
ное) между элементарными частицами осуществляются благода-
ря соответствующим полям, состоящим из элементарных частиц
— квантов полей. Так, в следующей главе будет показано, что
квантами электромагнитного поля являются элементарные ча-
стицы — фотоны. По современным представлениям взаимодей-
ствующие частицы обмениваются виртуальными квантами по-
лей, отвечающих за каждое из четырех типов взаимодействий.
Большое число обнаруженных частиц навело на мысль о на-
личии еще одного уровня материи, то есть о существовании эле-
ментарных частиц, из которых состоит многочисленное семей-
ство адронов. Было установлено, что составные части адронов —
точечные бесструктурные образования (по крайней мере до мас-
штабов 0.001 Фм, как и лептоны), называемые кварками. Амери-
канский физик Марри Гелл-Манн, внесший существенный вклад
в разработку концепции кварков, стал в 1969 году лауреатом Но-
белевской премии по физике ”за открытия, связанные с класси-
фикацией элементарных частиц и их взаимодействий".
К настоящему времени предсказаны и открыты шесть квар-
ков. Каждый кварк имеет антикварк. Стабильны только два лег-
чайших кварка — кварк и, или up-кварк (имеющий дробный
электрический заряд +2е/3) и кварк d, или down-кварк (име-
ющий дробный электрический заряд — е/3).
53На самом деле, свойство элементарных частиц, заключающееся в их спо-
собности к взаимопревращениям, требует уточнения самого выражения "со-
стоять из”.
260
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Адроны удалось сгруппировать в соответствии с близостью
их свойств в группы. Теперь протон и нейтрон относят к группе
барионов (от греч. barys— тяжелый). Как выяснилось, барионы
— это частицы, состоящие из трех кварков. Например, протон
состоит из двух кварков и и одного кварка d: р = uud. Нейтрон
же состоит из двух кварков d и одного кварка и: п = udd.
Однако кварки — очень необычные частицы, которые не мо-
гут быть извлечены из сложных частиц поодиночке, так как сила
притяжения (то есть энергия взаимодействия) между кварками
увеличивается с ростом расстояния, тогда как все остальные си-
лы в природе ведут себя наоборот — сила взаимодействия умень-
шается с ростом расстояния.
Это так называемый конфайнмент (от англ, confinement —
ограничение, удержание) кварков. Кварковый уровень материи
— последний, до которого сумели добраться ученые к настояще-
му времени. Видимая стабильная материя, из которой состоит
видимая материальная часть Вселенной, образована всего че-
тырьмя бесструктурными (считающимися точечными) частица-
ми: двумя кварками — и и d и двумя лептонами — электроном е
и электронным нейтрино i/e54.
Несмотря на то, что у этих четырех частиц есть античасти-
цы, вся видимая часть Вселенной состоит из вещества, а не из
антивещества, и в этом суть нерешенной проблемы барионной
асимметрии Вселенной.
Таким образом, на сегодняшний день представления о струк-
туре вещества вновь обрели красоту и стройность, хотя о мире
элементарных частиц еще слишком многое неизвестно.
2.9.6 Недостаточность законов классической
физики для описания строения атома
Если новые экспериментальные факты противоречат ранее уста-
новленным законам, значит, старые законы должны быть пере-
54К этому числу необходимо добавить еще элементарные кванты полей,
отвечающих за взаимодействие частиц между собой: глюоны для сильного
взаимодействия между кварками, фотоны для электромагнитного взаимо-
действия, промежуточные векторные бозоны W± и 7т для слабого взаимо-
действия и гипотетические гравитоны — для гравитационного. Промежу-
точные векторные бозоны были открыты в 1982 году. Голландский физик
Симон ван дер Мер и итальянский физик Карло Руббиа получили Нобелев-
скую премию по физике 1984 года "за решающий вклад в большой проект,
который привел к открытию квантов поля W- и Z-частиц, переносчиков
слабого взаимодействия".
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 261
смотрены. Это не означает, что старые законы должны быть пол-
ностью отброшены.
Новые факты, противоречащие старым законам, лишь выяв-
ляют область применимости старых законов, а также требуют
выявления более общих законов, частным случаем которых бу-
дут в своей уже четко определенной области старые законы.
В рамках классической физики, например, нерелятивистская
механика оказалась частным случаем релятивистской механики,
описывающей движение тел при любых скоростях, меньших ско-
рости света. Однако ньютонова механика продолжает служить
людям верой и правдой при описании движения тел с небольши-
ми скоростями.
Ядерная модель атома, созданная Резерфордом, вела к не-
преложному выводу о том, что на атомном и субатомном уровнях
законы классической физики не действуют. Это очень серьезный
вывод. Действительно, как будет показано далее, следствия из
ядерной модели атома, вытекающие из предположения о спра-
ведливости законов классической механики и электродинамики
на макроуровне, не соответствуют экспериментальным наблюде-
ниям.
Следует отметить, что в течение XIX века в рамках классиче-
ской физики постепенно накапливались проблемы, не поддающи-
еся решению. Так, температурные зависимости теплоемкости га-
зов и твердых тел не удавалось объяснить в рамках молекулярно-
кинетической теории, в оптике не удавалось получить распре-
деление теплового излучения по длинам волн (об этом будет
подробно рассказано в следующей главе). Однако физики бы-
ли убеждены, что законы классической физики универсальны
и верны, а вот какие-то конкретные факты, ответственные за
теплоемкость, неизвестны. Другими словами, считалось, что тео-
рия теплоемкости еще не полностью учла все факторы, поэтому
явного противоречия между теорией и экспериментом как бы не
существовало (хотя с позиций сегодняшнего дня понятно, что
явное противоречие было).
И лишь ядерная модель Резерфорда впервые так очевидно
и однозначно показала, что сделанные в соответствии с законами
классической физики выводы приходят в противоречие с факта-
ми.
В чем же было противоречие? Ответ на вопрос дается далее.
Для простоты рассмотрение будем вести только в нерелятивист-
ском приближении, хотя к таким же выводам ведет и рассмот-
рение по более точным релятивистским выражениям.
262
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
В соответствии с ядерной моделью Резерфорда положитель-
ный заряд атома сосредоточен в ядре, имеющем пренебрежимо
малые размеры по сравнению с газокинетическим размером ато-
ма.
Если ядро имеет заряд Ze, то есть если в ядре находится Z
протонов, то их заряд в атоме уравновешивается отрицательным
зарядом Z электронов, обращающихся вокруг ядра наподобие
того, как планеты обращаются вокруг Солнца. Однако между
планетами и электронами (помимо размеров) существует разни-
ца, заключающаяся в том, что электроны — заряженные части-
цы, а планеты — нейтральные.
Заряженные же частицы, движущиеся с ускорением, по зако-
нам классической электродинамики обязаны излучать электро-
магнитные волны. Проиллюстрируем это положение на примере
простейшего атома — атома водорода, который должен состоять
из одного протона и одного электрона.
Рассмотрим в рамках классической физики нерелятивист-
скую задачу о движении двух тел под действием силы притя-
жения, обратно пропорциональной квадрату расстояния между
частицами. Это может быть пара электрон—протон или Земля-
Солнце. Такая задача допускает весьма простое решение.
Действительно, пусть Fe — сила, действующая на электрон
(или на Землю) со стороны более массивного объекта — прото-
на (или Солнца). В нерелятивистском приближении по третьему
закону Ньютона менее массивный объект будет действовать на
более массивный с противоположной силой — Fe, так что дви-
гаться в пространстве будут оба тела.
Из механики известно, что движение замкнутой системы мо-
жет быть разбито на равномерное движение центра масс системы
в пространстве и на движение частиц относительно центра масс.
Обозначим массу электрона через т, а его текущий радиус-
вектор — через г, а те же величины для протона — через М
и R. Тогда сила, действующая со стороны протона на электрон,
приобретает вид
F	R “г
е 47Го6 |R — г|3 ’
так как, в соответствии с правилами действий над векторами,
разность двух векторов R — г направлена от конечной точки
вектора г к конечной точке вектора R, как это изображено на
рис. 2.33.
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
263
Для обеих частиц можно выпи-
сать два уравнения Ньютона в век-
торной форме, определяющие траек-
тории их движения:
m-^ = Fe,	(2.174)
M-r = -Fe.	(2.175)
О
Рис. 2.33. К задаче двух
тел в классической физике
Сложив оба уравнения движения, легко получить, что
m(dr/df) + M(dR,/df)
“~	~ const .
т + М
Фактически получен интеграл движения для системы уравнений
(2.174)—(2.175), физический смысл которого следующий: точка
с координатами
тт + MR
Гс т + М
движется в пространстве равномерно и прямолинейно.
Точка, определяемая в лабораторной системе координат ра-
диус-вектором гс, называется центром инерции замкнутой си-
стемы и движется относительно лабораторной системы коорди-
нат равномерно и прямолинейно. Следовательно, можно ввести
инерциальную систему координат с центром в точке гс с произ-
вольно ориентированными осями. Такая система координат на-
зывается системой центра инерции.
В системе центра инерции оба тела т и М всегда лежат
на одной прямой, проходящей через начало координат, причем
расстояния тел от начала координат обратно пропорциональны
их массам. Действительно, относительно точки С радиус-вектор
первой частицы приобретает вид:
М
rm = r-rc = -^TM(R-r)’	(2'm)
а второй частицы —
TTL
RM = R-rc = +——(R-r).	(2.179)
т + М
Из двух последних уравнений следует, что в системе цен-
тра инерции радиус-векторы частиц гт и Rm антипараллельны.
264
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
Кроме того, эти векторы имеют, очевидно, общее начало в точ-
ке гс, то есть лежат на одной прямой, проходящей через центр
инерции, причем rm/R^ = М/т. Изображенный центр инерции
системы двух тел С (см. рис. 2.33) всегда лежит в пределах от-
резка, соединяющего оба тела, причем точка С расположена по-
чти посередине, что соответствует телам примерно одинаковой
массы. Для пары протон—электрон очевидно, что центр инер-
ции будет практически совпадать с протоном. Скорости движе-
ния обеих частиц в системе центра инерции также будут обратно
пропорциональны массам частиц, как это следует из уравнений
(2.178)—(2.179), если их продифференцировать по времени. Знак
’’минус” в формуле (2.178) указывает на то обстоятельство, что
векторы R — г и гт всегда направлены в противоположные сто-
роны.
Задача о движении двух тел будет решена, если будет опре-
делена зависимость от времени всего одного вектора — вектора
R — г, так как именно через этот вектор с помощью уравнений
(2.178)—(2.179) выражаются радиус-векторы обоих тел. Оказы-
вается, что для вектора R — г удается сформулировать уравне-
ние, позволяющее определить зависимость его от времени. Дей-
ствительно, деля уравнение (2.174) на т и вычитая его из урав-
нения (2.175), деленного на М, с учетом выражения для силы
(2.173) получим
d2 ,	/1	1 \ е2 R — г
dt2 Г \М т) 47Гоб |R — г|3
Если забыть теперь о задаче двух частиц, ввести для вектора
R — г новое обозначение и, а также ввести еще одно обозначе-
ние для величины, имеющей размерность массы ц с помощью
формулы
тМ т
Ц = ------ = ------,
т + М 1 + т/М
то уравнение (2.180) можно привести к виду
d2u е2 и
dt2	47Г()6 |и|3
Смысл последнего уравнения очень прост — оно описывает
движение в пространстве заряженной частицы с массой /1, при-
тягиваемой по закону Кулона неподвижной противоположно за-
ряженной частицей, находящейся в начале координат. А это есть
(2.181)
(2.182)
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 265
задача движения одного тела, а не двух. Таким образом, задача
о движении двух тел сводится к задаче о движении одного тела
с массой (2.181), называемой приведенной массой.
Если рассматривается движение тел со значительно различа-
ющимися массами (например, протона и электрона, для которых
т/М = 1/1836), то, как видно из (2.181), приведенная масса си-
стемы двух тел практически равна массе мёныпего тела. В та-
ком случае в первом приближении движением более тяжелой
частицы пренебрегают, считая ее неподвижной в пространстве,
и рассматривают движение легкой частицы относительно тяже-
лой, хотя, конечно, точнее все же сразу сводить задачу о двух
телах к задаче об одном теле с приведенной массой, движущемся
относительно фиктивного неподвижного центра.
Возвращаясь из экскурса в классическую механику к атому
водорода, еще раз отметим, что в общем случае движение тела
под действием силы, обратно пропорциональной квадрату рас-
стояния до неподвижного центра, происходит по коническим се-
чениям, то есть по гиперболам, параболам, эллипсам, окружно-
стям и прямым. Однако если рассматривать связанную систему
двух частиц, когда расстояние между ними ограничено сверху
(о таком движении говорят как о финитном), то возможными
траекториями останутся только эллипсы, окружности и отрез-
ки прямых. Остановимся на простейшем варианте — движении
электрона по окружности вокруг неподвижного протона, а раз-
ницей между массой электрона и приведенной массой сейчас пре-
небрегаем как несущественным фактором.
Тогда электрон должен вращаться с постоянной угловой ско-
ростью вокруг протона. Орбиту электрона будет определять ра-
венство центробежной и центростремительной сил:
mv2 е2
г	4тгеог2
Поскольку скорость v связана с круговой частотой соотношени-
ем v = шг, то последнее уравнение позволяет найти круговую
частоту вращения
р2
^2 _	____
4тгбошг3
Из уравнения (2.183) можно получить и радиус окружности,
по которой движется электрон,
(2.185)
г =
8тГ60^ ’
266
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
как функцию его кинетической энергии 8^.
Поскольку никаких ограничений на возможные положитель-
ные значения кинетической энергии электрона классическая фи-
зика не налагает, из формулы (2.185) следует, что радиус орбиты
электрона в атоме водорода по классической теории может быть
любым, тогда как в природе реализуется вполне определенный
размер атома — около одного ангстрема.
Таким образом, тот факт, что в природе атомы имеют доста-
точно определенные газокинетические размеры, а законы клас-
сической механики предсказывают возможность существования
атомов любого размера, указывает на их недостаточность для
описания структуры атома.
По каким-то неизвестным в классической физике законам
электрон в атоме водорода ’’выбрал” для движения определен-
ный радиус окружности порядка 0.5 А. Оценим его скорость
при движении по окружности такого радиуса с помощью форму-
лы (2.183), чтобы убедиться в правомочности нерелятивистского
рассмотрения задачи. Из (2.183) получаем
е
v =	= ~
у4тгео^^
1.6 • 10~19	м __ _бм
« 2.2 • 106 * В *-.
х/4 • 3.14 • 8.85 • ICT12 • 9.1 • 10“31 • 0.5 • ICT10 * с	с
Получилась действительно нерелятивистская скорость, по-
скольку для нее /3 = и/с « 7 • 10-3, а релятивистские поправки
имеют порядок /З2.
Недостаточность законов — это еще полбеды для классиче-
ской физики. Ядерная модель атома Резерфорда выявила прямое
противоречие между законами классической физики и фактом
стабильного существования атомов.
В только что рассмотренном примере электрон движется по
круговой орбите вокруг протона с ускорением. Найдем мощность,
теряемую на излучение вращающимся по окружности электро-
ном, для чего воспользуемся классическим результатом электро-
динамики, который должен знать каждый изучающий физику:
источник электромагнитного излучения — движущийся с уско-
рением электрический заряд. Пара несложных уравнений опре-
деляет напряженность электрического и индукцию магнитно-
го полей электромагнитного излучения, испускаемого точечным
зарядом величины Q, движущимся с ускорением относительно
инерциальной системы координат.
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА
267
Формулы, о которых идет речь, содержат три слагаемых, од-
нако два слагаемых из трех соответствуют квазистационарному
полю, все время связанному с частицей и быстро убывающему
(как квадрат расстояния) с удалением от частицы. Если речь
идет об излучении зарядом электромагнитных волн, то эти два
слагаемых не дают потока энергии через достаточно удаленную
поверхность, окружающую заряд. В частности, при покоящемся
заряде эти два слагаемых соответствуют просто закону Кулона.
Вдали от заряда, в волновой зоне, остается лишь отрываю-
щееся от заряда электромагнитное излучение, убывающее об-
ратно пропорционально расстоянию от движущегося заряда q,
и из трех слагаемых остается лишь одно. Начинается волновая
зона там, где расстояние от заряда до точки наблюдения много
больше как линейных размеров области движения заряда, так
и длины волны излучения.
Из электродинамики известно, что движущийся вдоль про-
извольной кривой г = r(t) с ускорением а = d2r/dt2 (t) заряд q
является источником излучения, испускающим электромагнит-
ные волны, электрическую и магнитную компоненты которых
в волновой зоне можно вычислить с помощью двух весьма (но
не абсолютно) точных формул:
Е<к'(>=-Д	<2Л86>
B(R,t) = -erf х — ,	(2.187)
где
erf — единичный вектор, направленный из точки наблюдения
(определяемой радиус-вектором R) в волновой зоне, в которой
и вычисляется поле в момент времени t, в точку г(^) нахожде-
ния заряда q в предшествующий момент t' < t; за время t — tf
электромагнитная волна со скоростью света должна от своего
источника — заряда q в момент времени tf в точке г(£') — рас-
простаниться до точки наблюдения в волновой зоне R в момент
времени t\
г' = | г(£') — R| — расстояние, которое волна прошла от точки
своего рождения до точки наблюдения; это расстояние и опреде-
ляет время запаздывания сигнала /\t = t — t' = r'/c;
а_[_(£') — проекция ускорения заряда q на плоскость, перпен-
дикулярную вектору ег/.
268
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
В волновой зоне распространяются только поперечные элек-
тромагнитные волны, у которых электрическая и магнитная ком-
поненты перпендикулярны направлению распространения, отсю-
да и появление в формуле (2.186) лишь проекции ускорения ча-
стицы a_t(^) на плоскость, перпендикулярную лучу зрения (на-
правлению распространения). Из формулы (2.187) также сле-
дует, что магнитное поле волны перпендикулярно и лучу зре-
ния, и электрическому полю, как и должно быть для поперечной
электромагнитной волны.
С помощью формул (2.186)—(2.187) нетрудно определить из-
лучение атома водорода, если бы заряды в атоме подчинялись
законам максвелловской электродинамики.
Поместим ядро атома водорода (то есть протон) в начало де-
картовой системы координат. Вначале определим, где волновая
зона начинается для интересующего нас случая.
Электрон по законам классической электродинамики должен
излучать электромагнитные колебания с частотой, равной часто-
те обращения и электрона вокруг протона. У нас есть уже оцен-
ка скорости движения электрона в атоме водорода (см. с. 266).
В таком случае период обращения электрона есть Т =
а частота
и = г>/(2тгг) « 2.2 • 106/(2 • 3.14 • 0.5 • 1О"10) Гц » 7.0 • 1015 Гц.
Длина волны излучения А связана с частотой простым соот-
ношением
Д = СТ = cfv » 3 • 108/(7 • 1015) м « 4 • 10"8 м « 400 А.
Электромагнитное излучение с длиной волны 400 А (или 40 нм)
принадлежит ультрафиолетовому диапазону, и именно ультра-
фиолетовое излучение и должен излучать атом водорода в соот-
ветствии с законами максвелловской электродинамики.
Волновая зона начинается на расстояниях от заряда, много
бблыпих как размеров области движения (1 А), так и длины вол-
ны излучения (400 А). Выбрав, например, сферу радиуса 4 см,
получим, что расстояние от заряда в миллион раз превышает
длину волны излучения, не говоря уже о размерах области дви-
жения. Тогда с огромной точностью можно считать, что рассто-
яние т' от движущегося электрона до сферы радиуса R = 4 см
от времени не зависит и просто равно R. Действительно, в этом
случае отбрасывается 1 А= 10-8 см по сравнению с 4 см!
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 269
Время запаздывания тоже будет постоянным и пренебрежи-
мо малым: At = 7?/с = 1.33 • 1О-10 с.
Поскольку движение электрона в атоме водорода по окруж-
ности сводится к гармоническим колебаниям вдоль декартовых
осей, рассмотрим гармонические колебания заряда q вдоль оси
Oz с амплитудой го и частотой г/, откуда
r(t) = ez го sin(27ri/t) = ez го sin(cut).	(2.188)
На рис. 2.34 изображе-
на система декартовых ко-
ординат, в центре которой
находится атом водорода;
сфера радиуса R, на ко-
торой подлежат определе-
нию электрическое и маг-
нитное поля, а также утри-
рованно большой отрезок
оси Oz — след проекции
круговой траектории элек-
трона на эту ось. Реаль-
но, как уже было указано,
заряд находится вблизи от
начала координат в сфере
диаметром 1 А, а радиус
сферы, на которой измеря-
ется поле, R = 4 см.
Это означает, что ли-
ния наблюдения за заря-
Рис. 2.34. Электрическое и магнитное
поля, создаваемые зарядом, соверша-
ющим гармонические колебания вдоль
оси Oz
дом есть просто радиус, проведенный из произвольной точки
сферы в начало координат, а отрезок большой величины на гра-
фике приведен для того, чтобы было легче определить величину
ускорения заряда, перпендикулярного линии наблюдения.
Мгновенное ускорение заряда легко найти, дважды продиф-
ференцировав уравнение (2.188) по времени:
a(t) = — ez гош2 sin(cut).
(2.189)
Положение точки наблюдения на сфере радиуса R будем ха-
рактеризовать в сферической системе координат. Тогда в — угол
между осью Oz и радиус-вектором, проведенным в точку наблю-
дения. Проецируя ускорение на плоскость, перпендикулярную
270
ГЛАВА 2 . ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
радиус-вектору, получим его абсолютное значение а_|_(£) в виде
а_1_(£) = — rocuЕ 2 sin(cutf) sin 0.
(2.190)
Из рис. 2.34 и формулы (2.186) следует, что вектор напряжен-
ности электрического поля лежит в плоскости, проходящей через
ось 0z и радиус-вектор, проведенный из начала координат в точ-
ку наблюдения. Вектор Е перпендикулярен линии наблюдения
и совершает колебания частоты и вдоль направления меридиана;
величину мгновенной напряженности электрического поля опре-
деляет формула (2.186), в которую следует подставить (2.190):

grow2 sin[w(t — -R/c)] sin 0
4?reoc2R
(2.191)
Формула (2.187) определяет величину индукции магнитного
поля, которое, как легко убедиться, для указанного (см. рис. 2.34)
положения вектора Е, направлено именно так, как изображено
на рисунке. Величина индукции магнитного поля в соответствии
с формулой (2.187) есть
B(t) =
E(t) qr^cj2 sin[cj(£ — 7?/с)] sin в
с
4тг£ос37?
(2.192)
Как известно, с электромагнитной волной связан поток энер-
гии, то есть количество энергии, переносимое волной через еди-
ничное поперечное сечение в единицу времени. Поток электро-
магнитной энергии S определяется вектором Умова—Пойнтинга:
S = 60с2Е х В .
(2.193)
Вектор S изображен на рис. 2.34 и направлен, естественно, от
заряда. Так как Е и В перпендикулярны друг другу, то величина
потока энергии S определяется выражением
S = е0с2ЕВ = е0сЕ2 .	(2.194)
Поучительно эту же величину найти иначе. Действительно,
можно найти также плотность энергии электромагнитного по-
ля и (то есть количество энергии, заключенной в единице объе-
ма). Выражение для и имеет стандартный вид
Е * Е о В * В
и = ^0—X— +	——
и
(2.195)
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 271
Для электромагнитной волны, в силу соотношения (2.187), по-
следняя формула преобразуется к виду
и = е0Е2 .	(2.196)
Так как электромагнитные волны распространяются со скоро-
стью с, то через единичное поперечное сечение в единицу време-
ни будет проходить энергия, заключенная в цилиндре с единич-
ным основанием и высотой с, откуда следует, что S = ис = е^сЕ2\
это совпадает с формулой (2.194).
Мощность излучения электрона с зарядом q = — е, то есть ко-
личество электромагнитной энергии, уносимой через сферу ра-
диуса R в единицу времени, получится интегрированием потока
S по поверхности сферы. Так как элемент поверхности сферы
в сферических координатах имеет вид ds = В? sin QdOdtp, то ин-
теграл по поверхности преобразуется в двойной интеграл:
27Г 7Г
W = j dp f R2Ssin0d0.
О о
(2.197)
С учетом (2.191) и (2.194) выражение для мощности W при-
нимает вид
W = e2rgoj4sin2[<j(t — В/с)]
87П-0С3	J
о
(2.198)
Интеграл в последнем выражении элементарно рассчитывается
следующим образом:
7Г	7Г
j sin3#d# = — J(1
о	о
4
3 '
cos2#) d(cos #) =
— cos 0 +
7Г
О
Следовательно, количество энергии, уходящей в единицу вре-
мени через сферу радиуса R будет определяться выражением
w = e2r^4sin2[(v(t - Д/с)]
бтгеос3
(2.199)
Последнее выражение описывает быстро осциллирующую по-
ложительную функцию времени (вспомним, что и имеет порядок
272
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
1016 Гц), быстрые осцилляции мощности W при попытке изме-
рения любым макроскопическим прибором будут сглажены. Это
означает, что экспериментально может быть измерена средняя
мощность
т
w - lim 1 [ W(t) dt = lim ,
T—>oo T J	v 7	T—>oo T ’
о
(2.200)
где Ф — полная энергия, излучаемая зарядом за время Т.
Поскольку W(i) зависит от времени как sin2[cu(t — R/c)],
а среднее значение квадрата синуса вычисляется элементарно
и равно 1/2, то для средней мощности излучения, испускаемого
совершающим гармонические колебания вдоль оси Oz электро-
ном, получаем
__	р2р2, .4
w= 0
127Г60С3
(2.201)
Как видно из выражения (2.201), средняя мощность, проходя-
щая через сферу радиуса R при излучении колеблющегося вдоль
оси Oz электрона, не зависит от величины R и определяется толь-
ко амплитудой го и круговой частотой ш колебаний.
Электрон в атоме водорода вращается по окружности. На-
правим оси лабораторной системы декартовых координат так,
чтобы орбита электрона лежала в плоскости yOz. Тогда элек-
трон будет совершать гармонические колебания в проекциях на
две оси — Оу и Oz, так что величину излучаемой им средней мощ-
ности We нужно удвоить по сравнению с величиной (2.201):
бтгеос3
(2.202)
Теперь, когда мощность излучения электрона, вычисляемая
на основе законов классической физики, найдена, можно пред-
сказать "классическое" поведение электрона. Действительно, бла-
годаря излучению электромагнитных волн полная энергия 8 элек-
трона в атоме водорода (это в то же время и есть полная энергия
пары протон—электрон, то есть атома водорода)
2	2
mv* е
2	4тгеого
(2.203)
должна непрерывно уменьшаться.
2.9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 273
Как видно из выражения (2.203), происходить это может за
счет уменьшения величины rg, то есть постепенного приближе-
ния электрона к протону. Аналогичный процесс происходит при
полете искусственных спутников Земли, которые из-за присут-
ствия атмосферных молекул на орбите теряют энергию при стол-
кновениях с последними и, вследствие этого, постепенно снижа-
ются. Если периодически не включать двигатель, компенсирую-
щий потери энергии спутника, то он постепенно войдет в плотные
слои атмосферы и сгорит. Электрон же в атоме водорода сгореть
не может, но, постепенно теряя высоту, рано или поздно просто
упадет на протон.
Найдем время падения электрона на протон, если электрон
начинает свое падение с круговой орбиты начального радиуса rg.
Для этого выразим полную энергию электрона (2.203) как функ-
цию его текущего радиуса rg. Выражая кинетическую энергию
электрона с помощью уравнения (2.185) через rg и подставляя
результат в выражение для полной энергии, окончательно полу-
чаем:
8тГСдГд ’
Такой результат получился как следствие того, что при дви-
жении под действием силы, убывающей обратно пропорциональ-
но квадрату расстояния, электрон находится ровно на той орби-
те, на которой его кинетическая энергия равна половине потен-
циальной (взятой с обратным знаком), а полная энергия равна
просто половине потенциальной. Потенциальная же энергия от-
рицательна, так как условно принимается равной нулю на бес-
конечности.
Сравним потери электрона на излучение за один оборот с пол-
ной энергией £ ~ —14 эВ электрона, определяемой выражением
(2.204) при го = 0.5 А. Последнее означает, что кинетическая
энергия электрона при радиусе вращения rg = 0.5 А есть 14 эВ,
а потенциальная —28 эВ.
За один оборот при том же значении радиуса ’’классический”
электрон излучит энергию We/v. Подсчет с помощью формул
(2.202) и (2.184) дает /\£ « —4.7 • 10”5 эВ, то есть уменьшение
энергии за один период малб по сравнению с кинетической энер-
гией электрона и, как станет ясно далее, отношение уменьшения
радиуса за один оборот к величине радиуса тоже будет малб.
Ранее равновесная орбита электрона была вычислена с помо-
щью уравнения (2.183), отражавшего равенство центробежной
и центростремительной сил. С учетом излучения можно считать,
274
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНОСТЬ ЗАРЯДА
что потери энергии на излучение происходят из-за появления
тормозящей силы, действующей на электрон. Эта сила, называ-
емая силой лучистого трения, возникает из-за обратного воздей-
ствия излучения на электрон. Однако работа этой силы за один
оборот очень малое; это означает, что при рассмотрении баланса
сил ею можно пренебречь по сравнению с двумя основными си-
лами. Таким образом, можно считать, что при постепенном сни-
жении электрона он находится все время на равновесной орбите,
определяемой соотношением (2.183). При снижении электрона
его скорость будет непрерывно возрастать, хотя полная энергия
будет уменьшаться.
Теперь можно составить дифференциальное уравнение, кото-
рое показывает скорость уменьшения радиуса орбиты со време-
нем. Действительно, закон сохранения энергии позволяет запи-
сать соотношение
d£ =	= е2Ф4
dt е бтгеос3
Дифференцируя выражение для энергии (2.204) по времени,
получим
d£ е2 drQ
dt	8тг£ого2 dt
С другой стороны, подставляя выражение для круговой часто-
ты (2.184) в (2.205), получаем обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка относительно функции ro(f), кото-
рую обозначим просто как т(£):
dr	4 / е2
dt	3 \4тг£опг
Это уравнение позволяет сосчитать время спуска т электрона
с орбиты радиуса то до орбиты произвольного радиуса
2 1
с?г2 '
(2.206)
(2.207)
В итоге для искомого времени получается выражение
С3(то — т|) /47Г£07п\2
4	\ е2 /
(2.208)
2 9. ЯДЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 275
Так как все рассмотрение велось в нерелятивистском прибли-
жении, полученная формула не может дать правильного значе-
ния времени падения прямо на протон, когда ~ 1 Фм. Найдем
поэтому время уменьшения радиуса орбиты электрона в 100 раз
(при г к = го/100), когда кинетическая энергия электрона уве-
личится только до 1400 эВ, то есть электрон по-прежнему мо-
жет считаться нерелятивистским. Подстановка всех констант
в (2.208) дает для времени величину т ~ 1.3 -10“11 с. Рассмотре-
ние времени падения по релятивистским формулам не изменяет
этого результата.
Итак, классические механика и электродинамика предска-
зывают, что атом водорода, в соответствии с ядерной мо-
делью содержащий вращающийся вокруг протона электрон, не
может существовать, так как за время, меньшее 10“10 с, элек-
трон должен упасть на ядро, испустив при этом электромаг-
нитные колебания значительной суммарной энергии, которую
не представляет труда подсчитать. Но делать последнее уже
незачем, потому что факты — упрямая вещь.
Никаких электромагнитных волн (к тому же переменной
частоты) водород сам по себе не излучает.
И, кроме того, водород существует!!!
Следует подчеркнуть, что в макроскопической области урав-
нения, определяющие напряженность электрического поля и ин-
дукцию магнитного поля, — (2.186) и (2.187), соответственно,
прекрасно описывают излучение радиоволн антеннами и весь от-
носящийся сюда круг явлений.
Таким образом, классическая физика оказалась не только
неспособной объяснить размеры атомов, но пришла в прямое
противоречие с экспериментально наблюдаемым фактом ста-
бильного их существования. Следовательно, законы, управляю-
щие поведением атомных и субатомных частиц, не являются
законами классической физики.
О том, как были открыты законы (и каковы эти новые зако-
ны), описывающие поведение вещества на молекулярно-атомном
и субатомном уровнях материи, рассказано в главах 3 и 4.
276_____________________________________________________
Задачи к главе 2
2.1.	Мощность облучения воздуха рентгеновскими лучами та-
кова, что степень ионизации равна 10~15. Найти дебаевский ра-
диус для нормальных условий.
2.2.	В 100 мл воды растворено 10 г поваренной соли. Считая
температуру комнатной, а диссоциацию полной, найти дебаев-
ский радиус электролита.
2.3.	Пользуясь данными табл. 2.3, найти удельную электро-
проводность электролита из предыдущей задачи. Вычислить со-
противление одного кубического сантиметра такого раствора.
2.4.	В химически чистой воде при Т = 18°C равновесная кон-
центрация катионов Н+ и анионов ОН- есть 10-7 кмоль/м3.
а)	Найти коэффициент диссоциации химически чистой воды
при данной температуре.
б)	Пользуясь табл. 2.3, найти удельную электропроводность
химически чистой воды при данной температуре.
в)	Найти сопротивление одного кубического сантиметра та-
кой воды и сравнить его с сопротивлением электролита из преды-
дущей задачи.
г)	Найти дебаевский радиус для химически чистой воды при
вышеуказанной температуре.
д)	Найти объем, приходящийся на один ион Н+.
е)	Приняв общий объем химически чистой воды равным 1 мл,
найти вероятность обнаружить в объеме, найденном в пункте д,
нуль, один, два, три иона Н+.
2.5.	В опыте Милликена капля масла радиуса г = 1 мкм
(плотность масла 0.9 г/см3) падала в воздухе при Т = 300 К.
Найти скорость падения капли и соответствующее число Рей-
нольдса. За какое время капля упадет на 10 мм?
2.6.	Расстояние между обкладками плоского конденсатора
в опыте у Милликена было 16 мм. Какую разность потенциалов
нужно было приложить, чтобы однократно заряженная капля из
предыдущей задачи прошла 10 мм вверх за 60 с?
2.7.	Выразить в эВ среднюю кинетическую энергию молеку-
лы при близкой к комнатной температуре Т = 300 К.
2.8.	Разложив в ряд по eU/^mc2} правую часть формулы
(2.116), получить нерелятивистское выражение для скорости ча-
стицы, прошедшей ускоряющую разность потенциалов [7, как
предел релятивистского выражения.
277
Найти скорости электрона для U = 1 кВ и U = 10 кВ по ре-
лятивистской и нерелятивистской формулам и оценить погреш-
ность при расчетах в нерелятивистском приближении.
2.9.	Релятивистской считается частица, кинетическая энер-
гия которой больше ее энергии покоя. Найти скорость электрона,
только перешедшего релятивистский порог.
Найти скорость электрона, из состояния покоя прошедшего
ускоряющую разность потенциалов в 1 МВ.
2.10.	Получить релятивистскую формулу, выражающую им-
пульс р частицы через кинетическую энергию
2.11.	Металлический шар г = 10 см зарядили до потенциала
-90 В относительно земли. Насколько возросла энергия покоя
шара? Насколько выросла масса шара?
2.12.	Пользуясь формулами (2.118) и (2.104), доказать, что
безмассовые частицы (то есть частицы с т = 0) всегда движутся
со скоростью v = с и, наоборот, если скорость частицы равна
скорости света, то масса такой частицы равна нулю.
2.13.	Найти радиус окружности, по которой будет двигаться
электрон с кинетической энергией 8^ = 1 эВ в однородном стати-
ческом магнитном поле порядка магнитного поля на поверхности
Земли (В = 0.5 • 10“4 Тл).
2.14.	Найти ларморовы частоту и радиус при движении элек-
трона и а-частицы с кинетической энергией £& = 5 МэВ в одно-
родном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл.
2.15.	Найти максимальную энергию ускоренных в циклотроне
протонов, если диаметр дуантов 1.5 м, а индукция магнитного
поля В = 1.5 Тл. Найти относительное изменение ларморовой
частоты протонов в начале и конце ускорения. Предполагая, что
при одном проходе между дуантами энергия протона увеличива-
ется на 20 кэВ, определить число оборотов протона в процессе
ускорения.
2.16.	Соленоид длиной L = 20 см имеет N = 100 витков.
В него влетает электрон с кинетической энергией 1 кэВ под уг-
лом 5° к оси. Считая внутри соленоида магнитное поле однород-
ным, найти минимальный ток I в обмотке, при котором электрон
вновь пересечет ось на другом конце соленоида. Нарисовать тра-
екторию электрона при удвоенной величине найденного тока.
Указание. Индукция магнитного поля внутри соленоида определя-
ется выражением В = Мо^-
2.17.	Электроны вылетают из точки нижней заземленной об-
278
кладки плоского конденсатора с небольшим угловым разбросом
±а вокруг угла 'О по отношению к обкладке. На вторую обкладку
конденсатора подан отрицательный потенциал — [7, а начальная
кинетическая энергия электронов 8^ меньше eU.
а)	Найти расстояние между точками вылета электронов с ниж-
ней обкладки и возврата электронов на нижнюю обкладку.
б)	Найти ширину пятна вернувшихся на нижнюю обкладку
электронов.
в)	Показать, что при 'О = 45° осуществляется фокусировка
пучка первого порядка, то есть ширина пучка зависит от а квад-
ратично, а не линейно.
2.18.	Найти распределение в пространстве потенциала, созда-
ваемого равномерно заряженным шаром радиуса Я, общий заряд
которого есть Ze. Во сколько раз потенциал в центре шара боль-
ше потенциала на его поверхности?
2.19.	Найти скорость а-частицы с энергией 5 МэВ. Какова
будет погрешность расчета в нерелятивистском приближении?
2.20.	Изотоп радия 226Ra испускает а-частицы с энергией
4.78 МэВ.
а)	Приближенно найти элемент, к центру ядра которого
а-частица может подойти на расстояние 10 Фм.
б)	Найти точное значение минимального расстояния между
центром ядра найденного в пункте а элемента и а-частицей.
в)	Найти радиус ядра найденного в пункте а элемента.
2.21.	Определить величину минимального сближения rmjn
между центрами ядер свинца и гелия, если энергия а-частицы
22 МэВ, а угол рассеяния — 90°.
Глава 3
Дискретность
электромагнитного
излучения
В двух предыдущих главах описано, как к началу XX века бы-
ла установлена дискретность весбмой материи и электрического
заряда, то есть как было достоверно определено, что вещество
состоит из молекул и атомов, а последние, в свою очередь, из
ядер и электронной оболочки. Однако экспериментально обос-
нованная ядерная модель атома вступила в противоречие с за-
конами классической физики. В частности в подразделе 2.9.6 бы-
ло указано, что факт стабильного существования атомов прямо
противоречит этим законам1.
Противоречие между теорией и экспериментом в атомной об-
ласти потребовало нового уровня понимания природы, то есть
отыскания новых физических законов. Поиск новых законов ока-
1 Стабильность существования атомов неявно подразумевает неизмен-
ность их свойств. Точнее следует сказать, что атомы сохраняют свои свой-
ства, если не происходят внутриядерные превращения. В обычных земных
условиях ни столкновения в газах, ни переходы газов в разные агрегатные
состояния (жидкое или твердое) с последующим испарением или сублимаци-
ей обратно в газовую фазу, ни участие в обратимых химических реакциях,
ни действие газового разряда (то есть ионизация с последующей рекомбина-
цией), ни иные возмущения не препятствуют возвращению атомов и моле-
кул к их основному состоянию с неизменными свойствами, не зависящими
от перенесенных атомами воздействий. Подобное поведение вещества проти-
воречит духу классической физики, в которой начальные условия (то есть
предыстория объекта) оказывают существенное влияние на последующее
поведение объекта.
280
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
зался весьма нелегким процессом. В атомной области осмысле-
ние поведения микрообъектов заняло в общей сложности око-
ло четверти века (1900—1926 гг.) напряженных усилий. В итоге
были сформулированы новые законы (квантовые), очень сильно
отличающиеся от законов классической физики.
Открытию законов, описывающих поведение весомой мате-
рии на атомном уровне, предшествовало открытие фундамен-
тальной важности — обнаружение дискретности электромагнит-
ного излучения и новой мировой постоянной, ’’упущенной" клас-
сической физикой. Дискретность электромагнитного излучения
и постоянная Планка подробно рассмотрены в настоящей главе,
поскольку без предварительного знания этих фактов невозмож-
но не только понять, но даже просто сформулировать квантовые
законы, описывающие поведение молекул, атомов, а также и их
составных частей — электронов и ядер.
3.1 Открытие рентгеновских лучей
Открытие рентгеновских лучей стало важнейшей вехой в исто-
рии становления атомной физики. По существу, именно откры-
тие этих лучей дало начало бурному развитию физики, опреде-
ляемому некоторыми физиками как революция, о чем во введе-
нии уже было сказано.
Вильгельм Конрад Рентген (1845—1923) заинтересовался пуб-
ликациями Ленарда о выводе катодных лучей за пределы газо-
разрядной трубки (см. гл. 2, разд. 2.5). Обратившись в мае 1894 го-
да к Ленарду с просьбой поделиться листочками металлической
фольги, служившими "окошками" для вывода катодных лучей
за пределы трубки, он получил от последнего два листка, после
чего полтора года осваивал новую для него область, повторяя
уже известные опыты с газоразрядными трубками. В частности,
он убедился, что катодные лучи вне газоразрядной трубки вы-
зывают свечение газа в примыкающей к "окошку" области (раз-
мерами в несколько сантиметров при атмосферном давлении).
Профессор физики и, одновременно, ректор Вюрцбургского
университета, В. Рентген, работая 8 ноября 1895 года у се-
бя в лаборатории в полном одиночестве, совершил открытие
исключительной важности. В хорошо затемненной комнате га-
зоразрядная трубка была тщательно прикрыта Рентгеном фу-
тляром из черного картона, непроницаемого для лучей инфра-
красного, видимого и ультрафиолетового диапазонов. Разумеет-
3 1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ 281
ся, темнота нужна была для наблюдения флуоресценции. Неожи-
данно Рентген заметил слабое зеленоватое мерцание на куске
картона, покрытого люминофором. Неожиданность заключалась
в том, что люминофор засветился в нескольких метрах от газо-
разрядной трубки, хотя, как было известно Рентгену, катодные
лучи за пределами трубки могли распространяться только на
несколько сантиметров! Рентген понял, что открыл нечто совер-
э
шенно новое .
Рассмотрим основные свойства лучей, описанные Рентгеном
уже в его первой статье, вышедшей 28 декабря 1895 года, всего
через 50 дней после открытия лучей.
Во-первых, рентгеновские лучи заставляют флуоресцировать
различные вещества, что, собственно, и позволило лучи обнару-
жить. В частности, Рентген наблюдал флуоресценцию (на рас-
стоянии до двух метров от газоразрядной трубки) обыкновен-
ного стекла, известкового шпата, поваренной соли и уранового
стекла0.
Во-вторых, наиболее поразительное свойство рентгеновских
лучей заключалось в проницаемости в той или иной степени всех
тел для этих лучей. Так, Рентген отмечает, что его собственная
рука, книга в 1000 страниц, еловая доска трехсантиметровой тол-
щины, алюминиевая пластинка толщиной 15 мм, платина слоем
2 Сам Рентген назвал открытые им лучи X-лучами, то есть неизвестными
лучами. В Германии, России и ряде других стран эти лучи почти сразу по-
лучили название рентгеновских лучей, тогда как в англоговорящих странах
сохранилось их первоначальное название, хотя никакой загадки рентгенов-
ские лучи давно уже не представляют. Ситуация с названием лучей есть
следствие принижения заслуги Рентгена, открытие которого иногда прене-
брежительно рассматривают как случайное.
Конечно, до открытия Рентгена никто не знал о существовании коротко-
волновых электромагнитных колебаний, столь резко отличающихся своими
свойствами от известных до того волн.
Однако не следует забывать того, что газовый разряд изучали до Рент-
гена более 40 лет многие, часто выдающиеся, физики, но именно Рентген
оказался настолько умелым и наблюдательным, что открыл Х-лучи.
В трех статьях Рентгена, вышедших в 1895—1897 годах и озаглавленных
”0 новом роде лучей” (первая) и ’’Новый род лучей" (вторая и третья)
свойства X-лучей описаны с такой полнотой, что понадобились многие годы
для того, чтобы о рентгеновских лучах стало известно что-то новое.
Классические работы Рентгена, чтение которых приносит удовольствие,
переведены на русский язык и изданы под редакцией ученика Рентгена ака-
демика А.Ф. Иоффе: В.К. Рентген. О новом роде лучей. М.-Л.: ГТТИ, 1933.
3Анри Беккерель, заинтересованный открытием Рентгена, попытался об-
наружить флуоресценцию урановых солей под действием обычных солнеч-
ных лучей, а открыл явление радиоактивности.
282
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
0.2 мм проницаемы для лучей. Лишь слой свинца в 1.5 мм за-
держивал лучи полностью, вследствие чего часто использовался
как экран в дальнейших опытах4.
В-третьих, Рентген отмечает прямолинейность распростране-
ния лучей5 и демонстрирует несколько ’’рентгенограмм”, на од-
ной из которых изображена рука его жены, а в правом верхнем
углу указана дата — 22 декабря 1895 года.
В-четвертых, Рентген обнаруживает фотографическое дей-
ствие лучей, что позволило ему производить наблюдения не толь-
ко в темноте посредством глаза и флуоресцирующего экрана,
но и в освещенной комнате, экспонируя фотопластинки, заклю-
ченные в кассету или бумажную оболочку. Степень почернения
фотопластины была принята Рентгеном в качестве меры ин-
тенсивности излучения.
Характерный для Рентгена штрих. Обнаружив фотографи-
ческое действие лучей, он ставит вопрос: прямое ли это воздей-
ствие Х-лучей на соли серебра, или же это следствие флуорес-
ценции стекла (либо желатина, если применяется фотопленка)?
Позднее Рентген доказал, что лучи непосредственно действуют
на фоточувствительный слой, так что флуоресценция подложки
при получении рентгенограмм является негативным побочным
эффектом, который должен исключаться.
В-пятых, не обнаружив преломления и отражения рентге-
новских лучей от гладких поверхностей. Рентген ставит остро-
умный опыт, сравнивая пропускание однородных тел и взятых
в том же количестве порошков. Если бы заметное отражение
или преломление на поверхности существовало, то слой порош-
ка достаточной толщины должен был бы рассеять рентгеновский
луч, как это делает порошок поваренной соли с видимым светом,
для которого тонкий слой монокристалла поваренной соли про-
зрачен, а измельченная соль тех же габаритов — непрозрачная
(белая).
Рентген провел опыты с поваренной солью, серебром, цин-
ком, и всегда проницаемость порошка и однородного материа-
4 Забегая вперед, необходимо отметить, что проникающая способность
рентгеновских лучей зависит от их длины волны и вещества, сквозь которое
они распространяются. Рентген не измерял напряжения, подаваемого на га-
зоразрядную трубку, однако, судя по описанной им проницаемости лучей,
индукционная катушка в его установке давала до 40 кВ анодного напряже-
ния, а длины волн генерируемых лучей лежали в диапазоне Л ~ 0.3 — 1 А.
Для лучей мёньших длин волн будет проницаем и слой свинца в 1.5 мм.
5Подумайте, как это можно было установить?
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
283
ла оказывалась одинаковой. Рентген пришел к выводу об отсут-
ствии правильного отражения и преломления X-лучей6.
Тем не менее, Рентген продолжал настойчиво искать эффек-
ты отражения, преломления и дифракции Х-лучей, ставя все
новые опыты, и обнаружил, казалось бы, заметное отражение
лучей! Случилось это, когда он завернул в черную бумагу фото-
пластину (обращенную стеклом к газоразрядной трубке) и под-
верг ее воздействию Х-лучей. Светочувствительный слой фото-
пластины, за исключением контрольного места, был покрыт ку-
сочками платины, свинца, цинка и алюминия. Оказалось, что
под платиной, свинцом и особенно под цинком фотопластина по-
темнела значительно сильнее, чем на контрольном участке, что
свидетельствовало об интенсивном отражении Х-лучей перечис-
ленными металлами.
На первый взгляд может показаться, что результат опыта
противоречит отсутствию отражения Х-лучей от границ разде-
ла, то есть опыту по одинаковости пропускания порошков и цель-
ных тел. В создавшейся ситуации Рентген ставит закономерный
вопрос: не вызывается ли дополнительное почернение невидимы-
ми ультрафиолетовыми лучами? Он повторяет опыт, помещая
между фотопластиной и металлическими отражателями тонкий
листок алюминия, непрозрачный для видимых и ультрафиоле-
товых лучей, но прозрачный для рентгеновских. Результат, в об-
щем, сохраняется, и Рентген делает безупречный вывод, согла-
сующий между собой все результаты: правильное отражение на
границах раздела отсутствует, но "различные тела по отношению
к X-лучам ведут себя так же, как и мутные среды по отношению
к свету"7.
Поясним последнюю фразу Рентгена: мутные среды рассеи-
вают объемом. Типичными мутными средами являются дымы,
6Теперь известно, что показатель преломления п = 1 — 6 рентгеновских
лучей на идеальной поверхности лишь на величину 6 ~ 10-5—10-6 меньше
единицы, а френелевский коэффициент отражения вообще пренебрежимо
мал, поскольку, например, при ортогональном падении френелевское отра-
жение пропорционально величине <52.
Таким образом, вакуум является оптически более плотной средой для
рентгеновских лучей, чем материальные тела. Заметное отражение рентге-
новских лучей возможно либо при дифракции на кристаллах, либо при так
называемом полном внешнем отражении. Однако дифракция рентгеновских
лучей на кристаллах была обнаружена лишь спустя 17 лет после открытия
Рентгена, а полное внешнее отражение — спустя 28 лет.
7Разумеется, и в случае поверхностного, ’’правильного" отражения излу-
чение генерируется во всех точках внутри вещества, но суммарный эффект
при таком отражении эквивалентен поверхностному отражению.
284
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
туманы, коллоидные растворы, в которых хаотично расположен-
ные макрочастицы (примерно микронных размеров) рассеивают
первичное излучение (с длинами волн порядка размеров частиц)
во всевозможных направлениях, то есть в мутных средах лю-
бой элемент объема, содержащий оптическую неоднородность,
рассеивает первичные лучи (как правило, без изменения длины
волны). Следовательно, Рентген в первой же статье описал рас-
сеянные (вторичные) Х-лучи, возникающие в каждом элементе
объема тела, облучаемого потоком первичных Х-лучей.
В-шестых, Рентен точно локализует место появления лучей:
”Х-лучи исходят из того места, где по данным различных иссле-
дователей катодные лучи встречают стеклянную стенку. Если
внутри трубки отклонить магнитом катодные лучи, то можно
видеть, что Х-лучи исходят из другого места встречи катодных
лучей со стенкой трубки”. Он тут же добавляет, что возбуждение
лучей может происходить и в алюминии. Не подозревая о биоло-
гическом действии лучей, Рентген пытался определить чувстви-
тельность сетчатки глаза к лучам, прикладывая глаз вплотную
к газоразрядной трубке, получив, вероятно, значительную дозу
излучения (см. далее подразд. 3.1.5) во время опытов.
Наконец, Рентген установил, что интенсивность Х-лучей убы-
вает обратно пропорционально квадрату удаления от трубки.
Вторую свою статью Рентген начал с сообщения о том, что
уже к моменту первой публикации он открыл свойство Х-лучей
разряжать заряженные тела, но не сообщил об этом до получе-
ния вполне безупречных результатов8.
Рентген заканчивает вторую ста-
тью описанием газоразрядной труб-
ки, наиболее эффективно излучаю-
щей Х-лучи (см. рис. 3.1). Это труб-
ка с вогнутым алюминиевым като-
дом К, фокусирующим электроны
на плоском платиновом аноде А, по-
вернутым под углом 45° относитель-
но оси пучка. Таким образом, Рент-
Рис. 3.1. Рентгеновская
трубка (1896 г.)
8Что стоило Рентгену приоритета в данном вопросе, так как сразу
несколько физиков обнаружили такое же свойство лучей раньше появления
его второй статьи. Среди них первым оказался Дж.Дж. Томсон, доложив-
ший об обнаружении эффекта потери заряда телами, облученными
X-лучами (см. главу 2, разд. 2.4), уже 27 января 1896 года (!), а 9 марта того
же года (день в день со второй публикацией Рентгена) — об ионизации воз-
духа под действием Х-лучей. Таким образом, Томсон перехватил у Рентгена
инициативу изучения ионизирующего действия Х-лучей.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ 285
ген разработал основные черты последующих типов рентгенов-
ских трубок, среди которых наиболее известную конструкцию
в 1913 году предложил американский физик У. Кулидж. В труб-
ке Кулиджа высокий вакуум исключает протекание газового раз-
ряда; источником электронов служит раскаленная вольфрамо-
вая проволока; электроны электростатическим полем фокусиру-
ются на массивном вольфрамовом аноде.
В третьей статье Рентген описывает угловое распределение
Х-лучей, испускаемых трубкой, вводит понятие ’’жесткости”
трубки9 и делает вывод о том, что трубки генерируют излучение
из смеси лучей различной поглощаемости, а также описывает
вторичное излучение Х-лучей телами (воздухом, в частности),
облучаемыми первичными Х-лучами.
Свойств Х-лучей, установленных Рентгеном, было недоста-
точно для того, чтобы однозначно установить их природу. Од-
нако он в конце уже первой статьи поставил вопрос: "чем, соб-
ственно, являются Х-лучи?’’, и дал ответ на него в виде предпо-
ложения. Его рассуждения были таковы: Х-лучи явно не явля-
ются потоком заряженных частиц, так как не отклоняются ни
электрическим, ни магнитным полями. Х-лучи по химическому
действию и флуоресценции напоминают ультрафиолетовое из-
лучение, но отличаются от инфракрасных, видимых и ультра-
фиолетовых лучей отсутствием правильного отражения и пре-
ломления. Если учесть, что в 1895 году не было аргументов
в пользу сильного изменения свойств электромагнитного излу-
чения с уменьшением длины волны10, то можно понять, что не
было достаточных оснований сделать вывод о том, что рентге-
новские лучи — это электромагнитные колебания, отличающие-
ся от световых лишь мёныпими длинами волн. В итоге Рентген
высказал неверное предположение, что Х-лучи — не поперечные,
а некие продольные электромагнитные волны, хотя известно, что
уравнения Максвелла допускают существование только попереч-
ных волн.
9Чем более проникающее излучение, тем более жесткая трубка, что, как
позднее выяснилось, определяется величиной напряжения, подаваемого на
анод трубки. Разделение лучей на жесткие и мягкие сохранилось по сей
день. Так, мягкими считаются лучи, для возбуждения которых необходимы
напряжения на аноде до 15 кВ (то есть с длинами волн, бблыпими 0.8 А).
По другой классификации мягкими считаются лучи при Л > 2 А.
10Хотя, справедливости ради, следует отметить, что еще в 1893 году
Г. Гельмгольц высказал гипотезу о возможности существования излучения,
подобного свету, но имеющего столь малую длину волны, что оно может
проникать сквозь непрозрачные тела.
286
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Открытие Рентгена приковало к себе внимание всего мира
благодаря необычности свойств Х-лучей, мгновенно нашедших
широкое применение в медицине. Только в 1896 году появилось
более тысячи публикаций (правда, преимущественно заметок в га-
зетах), посвященных рентгеновским лучам.
В 1901 году Рентген стал первым лауреатом Нобелевской пре-
мии по физике ”в знак признания необычайно важных заслуг пе-
ред наукой, выразившихся в открытии замечательных лучей, на-
званных впоследствии в его честь”. Умер Рентген от рака 10 фев-
раля 1923 года в одиночестве и крайней нужде.
3.1.1 Первые результаты, касающиеся природы
рентгеновских лучей
По поводу природы Х-лучей разгорелась длительная полемика,
завершившаяся только спустя 17 лет после их открытия. Неко-
торые ученые придерживались корпускулярной точки зрения на
рентгеновские лучи. Наиболее активным защитником такой точ-
ки зрения был будущий нобелевский лауреат УГ.Брэгг (отец),
рассматривавший рентгеновские лучи как поток неких нейтраль-
ных частиц, на что у него имелись веские основания, полученные
при изучении процесса ионизации газов.
Как позднее стало ясно, УГ. Брэгг ошибался, отрицая элек-
тромагнитную природу рентгеновских лучей, но по-существу был
прав, считая их потоком нейтральных частиц11!
То, что рентгеновские лучи есть электромагнитные колеба-
ния вроде видимого света, только имеющие чрезвычайно малые
(сравнительно со световыми) длины волн, уже в 1896 году в ви-
де гипотезы независимо друг от друга предположили Э. Вихерт
и Дж.Г. Стокс. Гипотезу электромагнитной природы рентгенов-
ских волн поддержал Дж.Дж. Томсон, развивший теорию рассе-
яния этих лучей свободными электронами. Томсон исходил из
представлений классической электродинамики, в соответствии
с которыми свободные электроны под действием электрического
поля электромагнитной волны начинают совершать вынужден-
ные колебания той же частоты, что и частота волны и, как след-
ствие, становятся центрами вторичного излучения. Эти резуль-
таты Томсон изложил в монографии ’’Протекание электричества
в газах” (1903 г.), и рассеяние рентгеновских лучей без изменения
11 Позднее эти частицы были названы фотонами, о чем в разделе 3.3 будет
подробно рассказано.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
287
длины волны стали называть томсоновским рассеянием. На ос-
новании полученной Томсоном формулы и ее последующей экс-
периментальной проверки удалось как продвинуться в понима-
нии природы рентгеновского излучения, так и провести первую
экспериментальную оценку числа электронов в атомах, расска-
зать о чем было обещано ранее (см. главу 2, подразд. 2.9.2).
Воспроизведем классический результат Томсона.
Пусть плоская электромагнитная волна частоты ш падает
вдоль оси Oz на первоначально покоящийся в начале коорди-
нат свободный электрон. Ввиду поперечности электромагнитных
волн вектор электрического поля
Е = Eq cos(cut — kz + Ф)	(3.1)
будет лежать в плоскости хОу. В последнем выражении Eq есть
неизменная по абсолютной величине амплитуда колебаний, к —
волновое число (к = 2тг/А, где А — длина волны излучения),
Ф — фаза колебаний.
Будем считать первичное излучение неполяризованным, что
соответствует случайному характеру изменений направления век-
тора амплитуды Eq в плоскости хОу.
Учтем также, что интенсивностью рентгеновских лучей при-
нято называть энергию, переносимую ими в единицу времени че-
«	12
рез единицу поверхности, перпендикулярной лучам .
На рис. 3.2 изображен стрел-
кой первичный рентгеновский
луч интенсивности /о? падаю-
щий на покоящийся в нача-
ле координат электрон. Так
как первичный рентгеновский
луч неполяризован, то вектор
амплитуды колебаний электри-
ческого поля Eq в плоскости
хОу все время меняет свое на-
правление, равновероятно при-
нимая все направления. Отсю-
да следует, что интенсивность
вторичного излучения электро- *
томсоновского рассеяния
на может зависеть только от угла $ и не может зависеть от угла
12 В теории электромагнитных колебаний это соответствует среднему зна-
чению вектора Умова-Пойнтинга, а в фотометрии — плотности излучения
любых лучистых потоков.
288
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
<р, характеризующих положение точки наблюдения Р в сфери-
ческой системе координат13.
Так как электрическое поле переизлучаемой, или рассеянной
волны не зависит от угла <р, то достаточно найти его в точках
плоскости xOz, отстоящих от начала координат на расстояние г
(то есть лежащих на изображенной на рис. 3.2 пунктирной лини-
ей окружности). Положение точки Р на окружности определя-
ется углом отклонения рассеянного луча то есть углом между
направлением первичного луча (осью Oz) и лучом OF.
Формула (2.186), позволяющая вычислить электрическое по-
ле Е' движущегося с ускорением электрона, была ранее пред-
ставлена в гл. 2, подразд. 2.9.6. Эта формула для волновой зоны
имеет вид
ea L
(3.2)
Е' = -----2"’
4яео с г
где учтен заряд электрона q = — е, а_[_ — проекция ускорения
электрона на плоскость, перпендикулярную лучу зрения, прове-
денному из точки наблюдения Р в начало координат, г — рассто-
яние между точкой наблюдения и началом координат (по срав-
нению с которым размеры области движения электрона вблизи
начала координат пренебрежимо малы и отброшены).
Уравнение движения электрона в поле волны14 позволяет без
труда определить ускорение электрона в виде
е z ч
а =----Eq cos(cut + Ф).
т
Под действием электрического поля первичной волны элек-
трон будет совершать колебания вдоль осей Ох и Оу (амплиту-
да колебаний будет определяться случайным вращением вектора
Eq в плоскости хОу). При этом вторичное излучение по фор-
муле (3.2) будет определяться не самими ускорениями ах и а^,
а их проекциями на плоскость, перпендикулярную прямой ОР.
Из рис. 3.2 нетрудно определить амплитуды проекций:
(3.3)
= a^costf,	(3.4)
I — &у •	(3.5)
13Это очевидное заключение формально обосновывается так: если декар-
тову систему координат, изображенную на рис. 3.2, повернуть на произволь-
ный угол вокруг оси Oz, то в постановке задачи о вторичном излучении
ничего не изменится.
14Без учета релятивистских поправок, магнитной компоненты силы Ло-
ренца и реакции излучения.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
289
Благодаря ускорениям аХ)_[_ и в точке наблюдения Р
возникнут взаимно перпендикулярные электрические поля E'xz
(индекс xz подчеркивает то обстоятельство, что эта компонен-
та лежит в плоскости xOz) и Е/у соответственно (см. рис. 3.2),
мгновенные значения которых дают формулы (3.2)—(3.5):
Exz = _ ~л—~—9~ Е0х cos(wt' + Ф) COS ‘О ,	(3.6)
4жо тпс2 г
е2
Е'=- ~л-----2“ ЕЪ COSH' + ф) •	(3-7)
у 4жо тс2 г у
Величины проекций напряженности электрического поля рас-
сеянного излучения позволяют найти мгновенное значение век-
тора Умова-Пойнтинга S' = еос(Е')2 = eqc[(E^.z)2 + (Еу)2] [см.
гл. 2, подразд. 2.9.6, формулы (2.193)—(2.194)], после чего усред-
нение по времени даст интенсивность 1'(г,0) рассеянного излу-
чения в точке наблюдения Р.
При проведении усреднения по времени надо учесть, что элек-
трическое поле первичной волны быстро изменяется с угловой
частотой ш [как cos(wt' + Ф)] и более медленно — из-за скачков
фазы и случайных колебаний направления вектора Ео в плоско-
сти хОу. Следовательно, усреднение должно проводиться в два
этапа.
На первом этапе усредняются быстрые колебания квадрата
напряженности электрического поля с частотой ш, когда направ-
ление вектора Ео примерно постоянно. Очевидно, что эта опера-
ция приведет к замене cos2(cut' + Ф) на коэффициент 1/2.
На втором этапе необходимо усреднить по времени величины
Е2 и Е2. Так как все направления вектора Eq в плоскости хОу
равновероятны, то средние значения величин Е2 и Е2 должны
быть друг другу равны. Тогда, усредняя по времени равенство
Eq = Е2 + Е2, получим
E‘2 — E2 — Eq/2.	(3.8)
После проведения описанной процедуры усреднения получа-
ется связь между интенсивностью /'(г, $) рассеянного одним сво-
бодным электроном рентгеновского излучения и амплитудой ко-
лебаний электрического поля первичного излучения:
(3.9)
\4жо тс2)	2 г2 2
290
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Учтя, что интенсивность первичного рентгеновского луча есть
Io = S~o = £ocE^ = ^
£
формулу (3.9) для интенсивности рассеянного одним электроном
рентгеновского излучения можно переписать в виде
/'М) =
е2 \2 (1 + cos2$)
4жо тс2)	2 г2 0'
(3.10)
Последнее выражение и есть формула Дж.Дж. Томсона для
рассеяния излучения свободным электроном. Из формулы сле-
дует, что интенсивность рассеяния не зависит от длины волны
первичного излучения.
Интеграл от интенсивности рассеянного излучения Д(г,1?) по
поверхности_сферы радиуса г есть средняя мощность излучения
электрона W, так что
2тг 7Г
dp у* 1'(г, 1?) г2 sindd'O.
о о
(з.п)
Подстановка интенсивности рассеянного излучения /'(г, $) из
(3.10) в формулу (3.11) приводит к элементарному интегралу,
вычисление которого дает
3 \4жотс2/
(3.12)
Полученный результат принято выражать следующим обра-
зом. Если забыть о реальном процессе рассеяния, заключающем-
ся в переизлучении энергии электроном, совершающим вынуж-
денные колебания, и заменить его абстрактной моделью, в соот-
ветствии с которой рассеивается только доля падающей энергии,
попадающей в воображаемый кружок площадью ае (а осталь-
ная энергия не рассеивается и проходит прямо), то мощность
рассеянного излучения составит сге/о- Площадь ае называется се-
чением рассеяния, или томсоновским сечением и определяется
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
291
1
выражением10
2
ае =	| —-—Д = 6.65 • 10-25 см2 = 0.665 б16.	(3.13)
3 \кпЕ$тсл J
В свою очередь, последнюю формулу записывают, вводя по-
нятие классического радиуса электрона ге:
8тг 2
= ~^-Ге ,
О
(3-14)
где
е2
ге = -------= = 2.82 • 10“15 м = 2.82 Ф.	(3.15)
4яео
Разумеется, никакого отношения к размерам электрона по-
следняя величина не имеет17. Это — всего лишь порядок вели-
чины радиуса фиктивного кружка, который вводится для фор-
мального описания процесса рассеяния неполяризованного излу-
чения18 свободным электроном.
Применим формулу Томсона (3.10) для количественной оцен-
ки рассеяния (то есть переизлучения объемом) рентгеновских лу-
чей веществом, состоящим из легких атомов, а затем сравним
предсказания теории с результатами экспериментов.
Предварительно отметим, что рассеянием излучения яд-
рами по сравнению с рассеянием излучения электронами
можно пренебречь, так как сечение томсоновского рассея-
ния обратно пропорционально квадрату массы рассеивающей
частицы, и для самого легкого ядра — протона — мощность
рассеяния излучения меньше мощности рассеяния одним
электроном в (1836.15)2 = 3371447 раз.
С ростом заряда ядра растет и масса ядра, так что отношение
ядерного к общему электронному сечению остается м&лым.
15Разумеется, это приближенное выражение, полученное в рамках клас-
сической физики в нерелятивистском приближении. Точная формула
Клейна—Нишины для сечения рассеяния излучения свободным электроном,
выведенная в рамках квантовой электродинамики, указывает на монотонное
убывание сечения с уменьшением длины волны.
16По поводу единицы измерения сечения барн см. примеч. на с. 249
17В связи с этим вспомним, что по современным данным электрон —
точечный (бесструктурный) объект, размеры которого заведомо меньше
10-18м (см. гл. 2, подразд. 2.9.5).
18Нетрудно показать, что соотношение (3.12) останется справедливым
и для линейно поляризованного первичного излучения, см. задачу 3.2.
292
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
— ( е ) Z
3 \471БоТПС2/	’
(3.16)
атоме (неизвестное в 1903 п
Таким образом, можно считать, что в рассеянии рентгенов-
ского излучения веществом действительно участвуют толь-
ко электроны. Но в легких атомах электроны с ядрами связа-
ны относительно слабо (в следующей главе будет показано, что
энергия связи электронов в легких атомах много меньше энер-
гии рентгеновских фотонов), поэтому их и можно считать почти
свободными.
Определим теперь основные черты рассеяния рентгеновских
лучей слоем вещества небольшой19 толщины х. Считая электро-
ны в легких атомах практически свободными, Томсон допустил,
что сечение рассеяния атома аа есть просто сумма томсоновских
сечений электронов20:
<Та — Za& —
где Z — число электронов в
Зная сечение рассеяния для одного атома, нетрудно опреде-
лить ослабление первичного узкого рентгеновского луча за счет
рассеяния21 после прохождения слоя (легкого элемента) толщи-
ны х.
Действительно, в слое вещества толщины dx и площади попе-
речного сечения S содержится масса pSdx, число молей gSdx/A
и число атомов NAQSdx/A, где q — плотность, А — атомная мас-
са элемента, Na — число Авогадро. Полное сечение рассеяния
тонкого слоя будет суммой атомных сечений рассеяния:
da = aaNAQ Sdx/A.	(3-17)
Следует заметить, что величина Sdx в последнем выражении
есть объем вещества dV, возбуждаемый первичным рентгенов-
ским лучом, причем предполагается, что все атомы этого объема
рассеивают первичное излучение некогерентно, так как сложены
интенсивности рассеянного излучения, а не напряженности элек-
трического поля.
19Чтобы можно было пренебречь истинным поглощением рентгеновских
лучей в веществе, то есть использовать кинематическое приближение, о чем
будет рассказано далее в настоящем разделе.
20 Это подразумевает, что излучение некогерентно, то есть каждый элек-
трон (как и должно быть для свободных электронов) рассеивает излучение
независимо от остальных.
21 Кроме рассеяния, рентгеновские лучи также поглощаются в веществе,
о чем более подробно будет рассказано далее в настоящем разделе.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ 293
Из закона сохранения энергии следует, что энергия рассе-
янных лучей черпается из энергии первичного луча, поэтому
уменьшение величины Sdl после прохождения слоя толщины dx
составит
di =	I,	(3.18)
где, как видно, величина S сократилась.
Решение линейного дифференциального уравнения (3.18) име-
ет вид
/(х) = /0 ехр (-^^-рх ] = /0 ехр(—ах),	(3.19)
где а — линейный коэффициент рассеяния вещества, зависящий
от порядкового номера элемента Z, агрегатного состояния веще-
ства (то есть от плотности р) и, вообще говоря, от длины волны
излучения. Чтобы исключить зависимость от агрегатного состо-
яния, вводят массовый коэффициент рассеяния ат = а/р, тогда
формулу (3.19) можно переписать в виде
/(х) = /0 ехр(-ат тх),	(3.20)
где тх = рх — масса слоя рассеивателя толщины х, приходяща-
яся на единицу поверхности, перпендикулярной рентгеновскому
лучу.
Сравнение выражений (3.20) и (3.19) дает величину массово-
го коэффициента рассеяния легких элементов:
a	Z Z	м2	. ч
= —	=	Nдае— _ 0.040 —	,	(3.21)
р	А А	кг
где для получения коэффициента 0.040 в формулу были под-
ставлены значения числа Авогадро Na и томсоновского сечения
рассеяния свободного электрона ае [см. формулу (3.13)].
Аналогично только что проведенному учету ослабления уз-
кого первичного луча (из-за рассеяния) слоем легкого элемен-
та толщины х автоматически получается вместо формулы (3.10)
выражение для интенсивности /(г, $) рассеянного слоем излу-
чения в случае неполяризованного первичного луча. Для этого
вместо величины ае в (3.10) следует, очевидно, подставить вели-
чину полного сечения рассеяния из (3.17), что дает
I з qSx (l + cos2tf) 3 nnAv(l + cos2tf)
10 8тг А	2 г2	8тг А 2 г2
(3.22)
294
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Таким образом, теория Томсона позволила получить индика-
трису рассеяния, то есть распределение по направлениям от-
носительной интенсивности рассеянного излучения в полярных
координатах. Зависимость относительной интенсивности от уг-
ла д рассеяния неполяризованного излучения свободным элек-
троном (1 + cos2$)/2 называется поляризационным фактором.
Излучение в таком случае преимущественно рассеивается впе-
ред и назад, параллельно направлению первичного излучения.
Именно этот случай изображен далее на рис. 3.5.
По поводу последнего выражения следует отметить важное
обстоятельство. Формула (3.22) получена в результате неявно ис-
пользованного приближения, заключающегося в предположении
о том, что на любой атом падает лишь первичное излучение ин-
тенсивности /0- Однако в среде появляется рассеянное излуче-
ние, а первичное частично поглощается, так что на любой атом
на самом деле падает ослабленное первичное излучение плюс
сумма рассеянного всеми остальными атомами среды вторич-
ного излучения. Только тогда, когда рассеяние слабое, то есть
суммарной интенсивностью вторичного излучения можно пре-
небречь по сравнению с первичным, формула (3.22) даст верный
результат. Описанное приближение называется кинематическим
в отличие от динамического приближения при сильном рассея-
нии, когда необходимо учитывать эффект взаимодействия пер-
вичного и рассеянного излучений.
Кроме предсказания индикатрисы рассеяния неполяризован-
ного рентгеновского излучения (3.22), теория Томсона предсказа-
ла также, что рассеянное излучение должно быть частично или
полностью поляризовано, даже если первичное излучение непо-
ляризовано. Действительно, по мере роста угла рассеяния д от
О до 7г/2 доля рассеянного излучения с компонентой электриче-
ского поля монотонно стремится к нулю. Излучение, рассе-
янное точно на 90°, линейно поляризовано таким образом, что
направление вектора электрического поля перпендикулярно
плоскости, образованной первичным и рассеянным лучами (см.
рис. 3.2).
Прежде, чем остановиться на итогах экспериментальной про-
верки теории Томсона, следует кратко ознакомиться с методами
измерения интенсивности рентгеновского излучения.
Абсолютные измерения интенсивности проводятся по тепло-
вому эффекту, сопровождающему полное поглощение лучей. Од-
нако такой прямой метод слишком трудоемок и годится лишь
для очень интенсивных потоков. Например, очень мощная труб-
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ 295
ка Кулиджа при анодном напряжении 100 кВ и силе тока 10 мА
(что, очевидно, соответствует мощности 1 кВт, выделяющейся
на аноде, так что последний должен иметь водяное охлаждение')
может давать на удалении 1 м от анода рентгеновские лучи22
интенсивности /о — 0.4 Вт/м2.
Возможна также фотографическая регистрация рентгенов-
ского излучения. Этот метод был ранее незаменим для реги-
страции сверхслабых излучений, так как степень почернения фо-
топластины после проявления, как было установлено специаль-
ными опытами, пропорциональна энергии I^St, где t — время
экспозиции фотопластины (площади S) излучением постоянной
интенсивности Iq. Как и измерение теплового эффекта, фоторе-
гистрация — очень длительный и трудоемкий процесс.
Наиболее употребительным методом измерения интенсивно-
сти рентгеновского излучения стал ионизационный метод, осно-
вы которого были заложены исследованиями Дж.Дж. Томсона
по проводимости в газах, обнаружившего, что действие рентге-
новского излучения на газы создает мощность ионизации Q, то
есть в единицу времени в единице объема облучаемого газа со-
здается Q пар положительно и отрицательно заряженных ионов.
Понятно, что мощность ионизации должна быть пропорциональ-
на интенсивности рентгеновского излучения (что впоследствии
и было экспериментально доказано), мощность же ионизации
легко измеряется по току насыщения несамостоятельного разря-
да. Таким образом, ток насыщения несамостоятельного разря-
да пропорционален интенсивности рентгеновского излучения,
и это дало возможность сравнительно легко и быстро измерять
относительные интенсивности рентгеновских лучей. Впрочем,
один раз измерив абсолютную интенсивность излучения (тепло-
вым методом), а затем ток насыщения несамостоятельного раз-
ряда для того же излучения, очевидно, можно определить кон-
станту пропорциональности между током и интенсивностью, так
что ионизационный метод далее в состоянии давать и абсолют-
ную величину интенсивности излучения.
Ионизационная камера, используемая для измерения интен-
сивности излучения, представляет собой металлический цилиндр
(или параллелепипед) с затянутым тонким листком алюминия
входным окошком для впуска рентгеновских лучей. Внутри ка-
меры находится плоский электрод (или струна), изолированный
22Как будет разъяснено далее в настоящем разделе, лучи такой интенсив-
ности очень опасны для живых организмов, создавая мощность экспозици-
онной дозы 0.34 Р/с.
296
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
от заземленных стенок. На электрод подается напряжение по-
рядка 100 В. Ток насыщения, возникающий в цепи при попада-
нии излучения в ионизационную камеру, раньше измеряли элек-
трометром, наблюдая за скоростью его зарядки или разрядки23.
Рис. 3.3. Детектор рентгеновского
излучения (Баркла, 1911 г.)
На рис. 3.3 изображе-
на конструкция цилиндри-
ческой ионизационной ка-
меры 1 (длина — 6 см,
диаметр — 2.3 см) с внут-
ренним электродом в ви-
де изолированного стерж-
ня, электрически соединен-
ного с золотыми лепестка-
ми электроскопа 3. Перед
алюминиевым входным окошком ионизационной камеры укреп-
лен свинцовый цилиндр 2, уменьшающий угловой разброс лучей,
попадающих в камеру. Ионизационная камера снабжена патруб-
ками для впуска и выпуска тяжелого газа, обеспечивающего вы-
сокую ионизацию при заданной интенсивности излучения. Перед
работой электроскоп заряжается от источника напряжения, его
лепесток отклоняется от вертикали, затем электроскоп отклю-
чается от источника напряжения.
При попадании излучения в ионизационную камеру, внешний
корпус которой заземлен, возникает ионный ток, компенсирую-
щий заряд электрометра, так что золотой листок начинает опус-
каться со скоростью, пропорциональной току. За листком ведет-
ся наблюдение через микроскоп, что делает прибор в достаточ-
ной мере чувствительным. В конечном итоге именно скорость
падения золотого лепестка оказывается пропорциональной ин-
тенсивности рентгеновского излучения. Ионизационная камера,
электроскоп и микроскоп прикрепляются к деревянному столику
и могут вращаться как целое в пространстве.
Всестороннее экспериментальное изучение вторичного рент-
геновского излучения в 1903—1911 годах провел английский фи-
зик Чарльз Баркла24.
Основной трудностью, с которой столкнулся Баркла, была
23 В описываемых далее опытах английский физик Барклй сначала просто
совмещал ионизационную камеру и электроскоп, наблюдая за скоростью
разрядки последнего при действии рентгеновского излучения, а затем начал
использовать цилиндрическую ионизационную камеру.
24Баркла три года работал под руководством Томсона в Кавендишской
лаборатории, где и начал проведение исследований рентгеновских лучей.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
297
неопределенность длины волны рентгеновских лучей. Однако из-
за того, что ни интенсивность рассеяния монохроматического
излучения, ни состояние его поляризации от длины волны не
зависят, выводы теории Томсона приложимы не только к моно-
хроматическому излучению. Но теория Томсона требует, чтобы
спектральные распределения первичного излучения и рассеян-
ных лучей были бы одинаковы. Строго доказать этого Баркла
не мог, однако нашел следующий выход из положения. Он срав-
нивал потерю интенсивности первичного и вторичного излуче-
ний, прошедших через один и тот же слой алюминия толщиной
120 мкм. Относительное ослабление излучения в обоих случаях
в пределах ошибок измерений оказалось одинаковым, что, как
позднее было доказано (и как станет ясно из дальнейшего изло-
жения), действительно свидетельствовало о примерно одинако-
вом спектральном составе первичного и рассеянного излучений.
На первом этапе Баркла сравнил (при неизменных прочих
условиях) интенсивности рассеяния разными газами. Он иссле-
довал рассеяние воздухом (а это смесь преимущественно азота
N2 и кислорода О2), сероводородом (H2S, ядовитый газ со спе-
цифическим запахом), водородом (Щ), углекислым газом (СО2)
и оксидом серы (SO2).
Оказалось, что рассеянное излучение (за исключением водо-
рода) в пределах 10 %-ой точности пропорционально плотности
газа. Позднее этот вывод Баркла распространил и на твердые
тела из легких элементов (в частности, на графит, состоящий из
углерода): и в этом случае интенсивность рассеянного излучения
пропорциональна массе вещества, сквозь которое проходит пер-
вичный луч, то есть величине qV из формулы Томсона (3.22).
Но тогда из результатов эксперимента следовало, что величина
Z/А для атомов легких элементов не зависит от элемента!
Так как все величины в формуле (3.22), кроме Z, могли быть
измерены, то результаты Баркла (если верить в справедливость
теории Томсона) давали возможность экспериментального опре-
деления числа электронов в атоме. В 1903 году Баркла делает
вывод, что его эксперименты ’’дают дальнейшее подтверждение
теории, что атомы разных веществ есть различные системы, со-
держащие электроны, число которых в атоме пропорциональ-
но атомному весу”, однако верно определить отношение Z/А не
смог, так как к тому году значения заряда и массы электрона
были слишком неточно определены. Когда в 1911 году, благо-
даря измерениям Милликена (см. гл. 2, разд. 2.6), заряд и масса
электрона были уточнены, это позволило Баркла, пользуясь ре-
298
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
зультатами измерений 1903 — 1904 годов, определить, что для
легких элементов Z ~ А/2. Точность выполнения последнего
соотношения (определяемого закономерностями строения ядер
легких элементов) можно видеть на примере пяти последова-
тельных элементов. Для бора имеем Z = 5, А = 10.811; для
углерода Z = 6, А = 12.011; для азота Z = 7, А = 14.007; для
кислорода Z = 8, А = 15.999; для фтора Z = 9, А = 18.998; для
неона Z = 10, А = 20.180.
Чтобы столь важный результат, как первое эксперименталь-
ное определение числа электронов в легких атомах, не вызы-
вал сомнений, необходимо было, конечно, всесторонне проверить
формулу Томсона (3.22). Последнее требовало определения ин-
дикатрисы рассеяния, то есть измерения углового распределения
вторичного излучения легких элементов, определяемого поляри-
зационным фактором (1 +cos2$)/2. Из (3.22) следует, что отно-
шение интенсивностей вторичного излучения 7('1?)/7(тг/2) позво-
ляет исключить из рассмотрения все остальные величины и по-
лучить индикатрису рассеяния, так как
+	(3.23)
Для измерения индикатрисы рассеяния Баркла выбрал уг-
леродную пластину размерами 8 см х 8 см х 0.8 см. Использо-
ванные в установке ионизационные камеры были описаны ранее
(см. рис. 3.3).
Баркла совместно с по-
мощником провел экспери-
мент, который иллюстрирует
рис. 3.4.
Первичное излучение Iq
падает на углеродную пласти-
ну С, а рассеянное излуче-
ние измеряется двумя иони-
зационными камерами (у ко-
торых фактически изображе-
ны только входные окошки,
удаленные на 15 см от цен-
тра углеродной пластины С),
причем камера Di закрепле-
на неподвижно и измеряет
7(тг/2), а камера может
вращаться, позволяя измерять интенсивность вторичных лучей
Рис. 3.4. Измерение индикатри-
сы рассеяния рентгеновских лучей
(Баркла и Эйрс, 1911 г.)
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
299
для различных значений угла 'О. Конструкция установки (см.
рис. 3.4) позволила произвести измерения лишь в интервале уг-
лов [70°, 160°] через 10°.
Рис. 3.5. Рассчитанная по формуле (3.22) и измеренная Баркла и Эйр-
сом (1911 г.) индикатриса рассеяния рентгеновского излучения
Полученные результаты воспроизведены на рис. 3.5, где точ-
ками и крестиками отмечены экспериментальные значения, по-
лученные Баркла и Эйрсом при измерении излучения, рассеян-
ного куском графита, а не свободными электронами. Сплошной
линией изображена индикатриса рассеяния неполяризованного
излучения свободным электроном. В целом согласие теории и
эксперимента оказалось превосходным (в пределах 2%). Так же
была подтверждена и зависимость интенсивности рассеянного
излучения от г.
Чтобы не ввести читателя в заблуждение, следует отметить,
что Баркла и Эйрсу ’’повезло” в том смысле, что в области длин
волн, с которыми они работали (чуть меньше ангстрема) и про-
межуточных углов $, рассеяние легкими элементами действи-
тельно достаточно хорошо описывается теорией Томсона. Одна-
ко позднее выяснилось, что рассеяние вперед (то есть при ма-
лых $) существенно выше, чем предсказывает теория Томсона,
а по мере роста жесткости излучения (то есть уменьшения его
длины волны) начинают сказываться квантовые эффекты, опи-
сываемые формулой Клейна—Нишины (см. примеч. на стр. 291),
ведущие к монотонному уменьшения рассеяния при росте
300
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 3.6. Относительная интенсивность
На рис. 3.6 изобра-
жены зависимости ин-
тенсивности рассеяния
от угла рассеяния во
всем диапазоне измене-
ния последнего. Верх-
няя пунктирная кривая
была получена Хью-
леттом и соответствует
рассеянию монохрома-
тического неполяризо-
ванного излучения уг-
леродом25. Нижняя бы-
ла получена А. Компто-
рассеяния рентгеновских лучей	ном при рассеянии на
железе гораздо более
жестких лучей (А = 0.017 А), чем те, с которыми работали
Баркла и Эйрс в 1911 году, попав как раз в область хорошего
совпадения экспериментальных данных и теории Томсона при
70° < д < 160°.
Впрочем, после изучения следующего подраздела читателю
станет ясно, почему рассеяние вперед (для первичного излучения
с длинами волн чуть меньше ангстрема) больше томсоновского.
Вспомним: в теории Томсона все электроны считаются некоге-
рентными рассеивателями, что ведет к аддитивности интенсив-
ностей. Между тем, рассеяние вперед соответствует нулевому по-
рядку дифракции, когда излучение разных электронов независи-
мо от их пространственной локализации когерентно, а это дает
сложение не интенсивностей, а амплитуд электрических полей.
Так как интенсивность пропорциональна квадрату напряженно-
сти поля, то легко понять, что рассеяние вперед становится про-
порциональным не Z, a Z2. Поскольку для углерода Z = 6, то
интенсивность рассеяния вперед и должна возрасти в 6 раз по
сравнению с томсоновским значением, что и видно из рис. 3.6.
В сущности, результаты Хьюлетта не опровергают теорию Том-
сона, а уточняют ее, указывая, где рассеяние когерентно, а где —
некогерентно. Результаты же Комптона полностью соответству-
ют формуле Клейна—Нишины.
Как уже было указано, теория Томсона, исходящая из элек-
тромагнитной природы рентгеновского излучения, предсказыва-
25Фактически опыты велись на длине волны А = 0.71 А с жидкостью
СбНз(СНз)3, которая теперь называется триметил бензо лом.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
301
ла, что рассеянное на 90° излучение должно быть полностью
поляризовано.
Более того, представление о том, что первичное излучение,
возникающее на аноде рентгеновской трубки, есть результат тор-
можения электронов веществом анода (то есть движения элек-
тронов с большим отрицательным ускорением), вело к возможно-
сти обнаружения поляризации не только рассеянного излучения,
но и частичной поляризации первичного излучения. Действи-
тельно, ведь на аноде электроны могут иметь преимущественное
направление ускорения (противоположное вектору скорости их
падения на анод), поэтому вдоль этого преимущественного на-
правления излучения должно быть меньше [см. формулу (3.2),
из которой следует, что заряд вообще ничего не излучает вдоль
вектора собственного ускорения], а поперек — больше, причем
поляризация излучения должна быть такова, что в точке на-
блюдения вектор электрического поля преимущественно обязан
лежать в плоскости, образованной двумя прямыми — электрон-
ным потоком в рентгеновской трубке и вектором от анода до
точки наблюдения.
Чтобы лучше разобраться
в вышеизложенном, обратим-
ся к рис. 3.7, на котором изоб-
ражена схема установки, ис-
пользованной Баркла для из-
мерения степени поляризации
первичного излучения рентге-
новской трубки. Установка со-
стоит из рентгеновской труб-
ки, которая может вращать-
ся вокруг оси Оу декартовой
системы координат. Излуче-
ние трубки сквозь диафрагму
в свинцовом экране РЬ попа-
дает на рассеиватель R (Барк-
ла использовал в качестве рас-
сеивателя просто листок бу-
маги). Рассеянное на 90° излу1
Рис. 3.7. Измерение степени поля-
ризации первичных рентгеновских
лучей (Баркла, 1904 г.)
‘ние в двух взаимно перпендику-
лярных направлениях могут регистрировать два детектора Di
и D2.
Разберем сначала, что регистрировали бы детекторы, если
бы первичное излучение было линейно поляризованым. Пред-
положим, что рентгеновская трубка находится в вертикальном
302
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
положении 1, а торможение всех электронов направлено стро-
го вдоль оси 0z. Тогда первичное излучение, падающее на рас-
сеиватель R, линейно поляризовано таким образом, что вектор
напряженности его электрического поля также направлен вдоль
оси 0z. Вдоль оси 0z будут вынужденно колебаться электроны
рассеивателя, причем рассеянного излучения вдоль ускорения
электрона не будет (детектор D2 ничего не зарегистрирует), но
перпендикулярно ускорению электрона, вдоль оси Ох, электрон
будет испускать излучение максимальной интенсивности, так что
сработает детектор Di.
Если теперь повернуть рентгеновскую трубку в положение 2,
когда торможение электронов на аноде будет происходить про-
тив оси Ох, то аналогичный анализ покажет отсутствие излуче-
ния на детекторе Di и сигнал максимальной интенсивности на
детекторе D2.
Понятно, что полной поляризации первичных лучей быть не
может, так как большинство электронов, падающих на анод ре-
альной рентгеновской трубки, уходит внутрь вещества и там тор-
мозится совершенно хаотично. Но частичная поляризация вполне
может быть по изложенным выше причинам. Для характеристи-
ки поляризации вводят степень поляризации Р с помощью со-
отношения
Для неполяризованного пучка Р = 0, для линейно поляризован-
ного Р = 1, для частично поляризованного 0 < Р < 1.
Баркла первым провел измерения степени поляризации из-
лучения рентгеновской трубки. Кроме детекторов Di и D2, он
использовал третий детектор D3, установленный за листком бу-
маги R вдоль оси Оу для контроля за величиной первичного
излучения. Измерения Баркла показали, что интенсивность /3,
регистрируемая третьим детектором, не зависела от положения
рентгеновской трубки. Это значит, что и в положении 1, и в по-
ложении 2 трубки интенсивность ее первичного излучения, пада-
ющего на рассеиватель, не менялась. Однако показания детекто-
ров Di и D2 зависели от положения рентгеновской трубки! Если
последняя была в положении 1, то, в полном соответствии с тео-
рией Томсона, первый детектор регистрировал бблыпую интен-
сивность рассеяния Д, чем второй (Д). При перемещении труб-
ки в положение 2 ситуация изменялась на обратную, когда уже
второй детектор регистрировал бблыпую интенсивность рассе-
яния, чем первый. Вариация интенсивности оказалась равной
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
303
примерно 15 % от ее максимального значения, что соответствова-
ло небольшой, но все же заметной степени поляризации Р = 8 %.
Только что описанный опыт Баркла, во-первых, подтвердил,
что рентгеновское излучение имеет поляризацию, как это и долж-
но быть, если рентгеновское излучение имеет электромагнитную
природу. Во-вторых, степень поляризации первичного излуче-
ния оказалась достаточно небольшой, чтобы при интерпретации
экспериментальных данных можно было пользоваться формулой
Томсона (3.22).
Наконец, Баркла экспериментально подтвердил, что рассеян-
ное на 90° излучение линейно поляризовано, для чего направлял
излучение рентгеновской трубки на первый рассеиватель (угле-
род), от которого под углом 90° уходило линейно поляризованное
излучение,, а конечная часть установки была идентична изобра-
женной на рис. 3.7. Признаком полной поляризации излучения
должно было быть срабатывание одного детектора при отсут-
ствии тока в другом. Практически же Баркла в 1906 году изме-
рил степень поляризации, оказавшуюся равной лишь Р = 50%.
Причин того, что Баркла не получил Р = 100 %, было несколько.
Одна из причин, например, заключалась в том, что дважды рас-
сеянное излучение имело очень малую интенсивность, поэтому
для увеличения чувствительности входные апертуры детекторов
Di и D2 были взяты слишком большими, так что в них попадало
и излучение, рассеянное не только на 90°, а такое излучение уже
поляризовано не полностью. Когда впоследствии другие ученые
воспроизводили результаты пионерских опытов Баркла, источ-
ники ошибок были устранены.
Так, с помощью установки,
копирующей установку Барк-
ла и изображенной на рис. 3.8,
Комптон и Хагенау установи-
ли, что в пределах погрешно-
сти опыта (1—2%) поляриза-
ция рассеянного на 90° излу-
чения оказалась полной. Два
тонких рассеивателя Щ и R2
были изготовлены из бумаги,
Рис. 3.8. Измерение степени поля-
ризации рассеянных на 90° рентге-
новских лучей (А. Комптон и Хаге-
нау, 1924 г.)
углерода, алюминия и серы.
Убедитесь, что ток регистри-
ровал лишь детектор (иониза-
ционная камера) D2, тогда как
в детекторе Di тока не было.
304
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Таким образом, эксперименты Баркла подтвердили все вы-
воды теории Дэю.Дэю. Томсона, исходящей из электромагнит-
ной природы рентгеновских лучей. В частности, было доказа-
но, что рентгеновские лучи обладают поляризацией, а также то,
что рассеяние легкими элементами первичных лучей совпадает
с рассеянием электромагнитных волн свободным электроном26.
Огромным достижением Баркла стало первое эксперимен-
тальное определение числа электронов в атомах легких элемен-
тов. Кроме того, в ходе изучения рентгеновских лучей Баркла
открыл характеристическое рентгеновское излучение, о чем бо-
лее подробно рассказано далее в настоящем разделе.
В сущности, после опытов Баркла трудно было сомневаться
в электромагнитной природе рентгеновских лучей, но все же не
было очень существенной информации о рентгеновских лучах,
точнее, о величинах их длин волн, которые экспериментально не
удалось определить. В этом смысле эксперименты Баркла все же
были неполны, так как не было доказано равенство длин волн
первичного и рассеянного излучения. Восполнение этого пробе-
ла привело американского физика Артура Комптона к потряса-
ющему открытию, за которое он получил Нобелевскую премию
по физике, о чем будет рассказано далее, в разделе 3.3.
3.1.2 Завершение дискуссии о природе
рентгеновских лучей победой
электромагнитной точки зрения
Все же в 1912 году электромагнитная точка зрения на рентгенов-
ские лучи окончательно победила. Как известно, наиболее харак-
терным признаком волн является их способность к интерферен-
ции и дифракции. В XIX веке волновая теория света Гюйгенса
победила корпускулярную теорию света Ньютона благодаря из-
вестным опытам Юнга и, в особенности, Френеля по интерфе-
ренции и дифракции света.
Поэтому после открытия Х-лучей предпринимались безре-
зультатные попытки осуществить опыты по их дифракции на
щелях микронного размера или на оптических дифракционных
решетках. Итогом таких попыток были оценки сверху на длину
рентгеновских волн, указывавшие на то, что использовавшееся
излучение не могло иметь длину волны больше ангстрема.
26 Сечение рассеяния тяжелыми элементами существенно выше томсонов-
ского сечения рассеяния.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
305
Но, как выяснилось, длина волны изучаемых рентгеновских
лучей была около 1 А, а для наблюдения дифракции, как из-
вестно, необходимо, чтобы постоянная дифракционной решетки
была примерно равна длине волны излучения.
Действительно, посмотрим на рис. 3.9, на котором сверху изоб-
ражена общая схема дифракционного опыта, а внизу — увели-
ченный участок дифракционной решетки при параллельном ходе
отклоненных лучей.
Решетка изготовле-
на путем нанесения с по-
мощью алмаза узких
штрихов на стекле. Па-
дающее слева нормаль-
но решетке излучение
рассеивается во все сто-
роны каждым штри-
хом, но из-за интер-
ференции за решеткой
возникают острые мак-
симумы интенсивности,
направления на кото-
рые определяются урав-
нением
rising = КХ, (3.25)
где d — период решет-
ки, К — целое чис-
ло, называемое поряд-
ком дифракции, А —
длина волны излуче- Рис. 3.9. Поперечное сечение прозрачной
ния. Уравнение (3.25) дифракционной решетки
следует из рассмотре-
ния нижней части рис.3.9, поскольку rising — оптическая раз-
ность хода между двумя параллельными лучами. В курсах опти-
ки, рассматривающих дифракционные решетки для света, вслед
за параллельным пучком иногда рисуют линзу, фокусирующую
лучи в одну точку, и это решает проблему наблюдения макси-
мума интенсивности параллельных лучей в определенном месте
экрана. Но для рентгеновских лучей линз не существует, поэтому
необходимо понять, почему в некоторой точке Р экрана макси-
мум возникнет и без линзы, если экран удален от решетки на
306 ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
большое по сравнению с шириной пучка расстояние. В этом слу-
чае точка Р экрана определяется средним лучом пучка, прове-
денным под углом вычисленным с помощью уравнения (3.25).
Можно убедиться (читателю рекомендуется проверить это само-
стоятельно), что длина соседнего со средним луча, попавшего
в точку F, отличается от длины среднего луча примерно ha ве-
личину rising, следующего луча — на 2d sin 0 и так далее, а по
уравнению (3.25) это как раз есть целое число длин волн, так
что интерференция непараллельных лучей, сходящихся в точке
F, будет по-прежнему иметь место.
Если А dj то угол в, определяемый из (3.25), будет слишком
мал27, если только порядок дифракции К не является большим
числом. Однако интенсивность в высоких порядках ничтожна.
Следовательно, практически дифракцию можно наблюдать то-
гда, когда период решетки d одного порядка величины с длиной
волны излучения.
Поскольку лучшие дифракционные решетки в начале XX ве-
ка имели до 1200 штрихов на миллиметр (d = 0.83 мкм), а длины
волн рентгеновского излучения были примерно в 1000 раз мень-
ше периода решетки, то попытки наблюдать дифракцию рент-
геновских лучей на оптических дифракционных решетках или
щелях не дали положительного результата.
Мысль заменить оптическую дифракционную решетку кри-
сталлом пришла в голову доценту Мюнхенского университета,
физику-теоретику Максу Лауэ28 в 1912 году благодаря стечению
благоприятных обстоятельств.
Во-первых, в то время в Мюнхенском университете работал
сам Рентген, и велись работы по исследованию Х-лучей.
Во-вторых, Лауэ, читавший лекции по оптике, был хорошо
знаком с теорией дифракционной решетки.
В-третьих, он также был хорошо знаком с гипотезой, суще-
ствовавшей в минералогии, в соответствии с которой свойства
кристаллов объяснялись правильным расположением в простран-
стве атомов или молекул. Среди ученых, вообще интересовав-
шихся кристаллами, были и противники этой гипотезы, однако
27При конечной ширине начального пучка и ограниченных размерах уста-
новки лучи, соответствующие нулевому порядку дифракции (то есть неот-
клоненные лучи), будут перекрываться с лучами, соответствующими ди-
фракции первого порядка, и так далее.
28В 1913 году фамилия Лауэ получила приставку ’’фон”, так как отец
Юлиус Лауэ получил потомственное дворянство. С тех пор Макс Лауэ стал
именоваться Максом фон Лауэ.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
307
именно в Мюнхене работали ее активные сторонники. Прямого
экспериментального подтверждения гипотеза о внутреннем стро-
ении кристаллов не имела.
И вот когда в феврале 1912 года к Лауэ на квартиру пришел
докторант Зоммерфельда29 П.Ф. Эвальд, интересовавшийся ди-
фракцией световых волн на трехмерной атомной решетке, Лауэ
во время обсуждения пришла в голову мысль пропустить через
кристалл более короткие лучи, которыми могли быть рентгенов-
ские лучи. Он сумел заинтересовать экспериментом ассистента
Зоммерфельда Вальтера Фридриха, незадолго до того закончив-
шего работу о рассеянии рентгеновских лучей. Первоначально
Фридрих ставил фотопластину параллельно первичному лучу.
Дальнейшее образно опи-
сал ученик Рентгена Иоф-
фе: "Но день за днем рентге-
новская трубка исправно тре-
щала, а пластинка остава-
лась незачерненной. Работав-
ший в той же комнате, где
и Фридрих, молодой физик
Книппинг <докторант Рент-
гена — А.М.> должен был по-
кинуть лабораторию через
2—3 недели, а непрерывно ра-
ботавшая трубка мешала его
опытам. Он поставил фото-
графическую пластинку так, чтобы на нее попадали рентгенов-
ские лучи, для того чтобы увидеть на ней хоть что-нибудь, —
и великое открытие совершилось: на фотографической пластин-
ке появились симметрично расположенные пятна, не оставляв-
шие сомнения в правильности предвидения Лауэ. Так появилась
знаменитая работа Лауэ, Фридриха и Книппинга”.
Схематически окончательный вариант установки изображен
на рис. 3.10. Рентгеновские лучи, возникающие на аноде трубки
R, экранированной свинцовой защитой РЬ, сквозь диафрагму D
диаметром 0.75 мм практически параллельным потоком пада-
ют на кристалл Кг, после чего дифрагировавшие лучи создают
на фотопластине S облучение, которое после проявления дает
картинку, воспроизведенную на рис. 3.11. Фотопластины поме-
щались за кристаллом на расстоянии 3.5 и 7 см, полученные кар-
29Немецкий физик А. Зоммерфельд в то время возглавлял кафедру тео-
ретической физики Мюнхенского университета.
^РЬ
Рис. 3.10. Окончательный вид
установки Лауэ, Вальтера и Книп-
пинга (1912 г.)
в определенных направлениях.
Рис. 3.11. Лауэграмма кристалла
цинковой обманки ZnS (Лауэ, Фри-
дрих, Книппинг, 1912 г.)
308 ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
тинки, называемые теперь лауэграммами, были подобны друг
другу, что однозначно свидетельствовало о выходе из кристалла
узких пучков рентгеновских лучей, распространявшихся только
Бблыпая часть прошед-
ших через кристалл лучей по-
чти не отклоняется, поэтому
в центре лауэграммы образо-
валось переоблученное пятно
диаметром примерно в 5 мм,
соответствующее дифракции
нулевого порядка, что чуть
далее станет понятным. Сле-
дует обратить внимание на то,
что при работе мощной рент-
геновской трубки, находив-
шейся в распоряжении Фри-
дриха, время экспозиции лауэ-
граммы (см. рис. 3.11) соста-
вило 20 часов! Объяснение то-
го факта, что получение пер-
вых лауэграмм требовало экс-
позиции в десятки часов, заключается в чрезмерной толщине
используемых кристаллов. Так, кристалл цинковой обманки, ис-
пользовавшийся Лауэ, Фридрихом и Книппингом, имел толщину
5 мм. При прохождении слоя ZnS такой толщины рентгеновские
лучи с длиной волны чуть меньше 1А сильно поглощались, так
что из кристалла могла выйти лишь ничтожная их часть.
Когда Фридрих показал Лауэ первую фотографию, указыва-
ющую на дифракцию рентгеновских лучей, Лауэ, как позже он
вспоминал, в глубокой задумчивости пошел домой, и уже вблизи
квартиры ему пришла в голову мысль о математической теории
этого явления.
В противовес теории Томсона рассеяния первичных лучей
легкими элементами, где считалось, что легкие атомы в веще-
стве рассеивают излучение некогерентно, Лауэ принял, что
более тяжелые атомы или ионы, находящиеся в узлах кристал-
лической решетки, под действием первичного рентгеновского
излучения становятся центрами когерентного вторичного из-
лучения тех же частот, подобно тому, как штрихи на про-
зрачной дифракционной решетке становятся когерентными цен-
трами рассеяния света.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
309
Далее разберем механизм образования лауэграммы в про-
стейшем случае кристалла с кубической кристаллической решет-
кой, начав с разбора действия одномерной цепочки атомов.
На рис. 3.12 изображена
линейная цепочка атомов с ша-
гом d, на которую падает
снизу плоская волна под уг-
лом скольжения ао> то есть
углом, образуемым лучом 1
с прямой АВ^. Атомы А и В
становятся центрами вторич-
ного излучения, что неудиви-
тельно, если вспомнить рас-
смотренную выше томсонов-
Рис. 3.12. К выводу условия ди-
фракции на линейной решетке
скую теорию рассеяния рентгеновских лучей. Электроны в ато-
мах ’’раскачиваются" первичным рентгеновским лучом и сами
становятся источниками вторичного излучения. Отличие же ди-
фракции от томсоновского рассеяния в том, что в тяжелых эле-
ментах электроны достаточно сильно связаны с ядрами, что не
позволяет считать их свободными (то есть рассеивающими неко-
герентно).
Рассмотрим вторичную волну, уходящую от цепочки под уг-
лом скольжения а. Фазы лучей 1 и 2 на фронте первичной волны
АС одинаковы, то же самое должно быть верно и для фаз лучей
Г и 2’ на фронте вторичной волны BD. Разность хода между лу-
чами 1-1’ и 2-2’ сводится, очевидно, к разности длин отрезков AD
и СВ (dcosa — dcosao), а дифракционный максимум возникнет
тогда, когда будет выполнено условие
d (cos а — cos ao) = KX,
(3.26)
где К — произвольное целое число (порядок дифракции).
Учитывая, что атомы излучают вторичное волны во всех на-
правлениях30 31 , а не только в плоскости падения первичных лучей,
нетрудно понять, что дифрагировавшие лучи от цепочки атомов
30Обратите внимание, что при рассмотрении дифракции рентгеновских
лучей принято использовать углы скольжения (то есть углы между лучом
и поверхностью), а не углы падения (то есть углы между лучом и нормалью
к поверхности).
31 Но с неизвестной интенсивностью в зависимости от направления, то есть
с некоторой индикатрисой, которую в теории Лауэ только предстояло опре-
делить.
310
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
углом) падает первичный луч.
Рис. 3.13. Дифракция на одномерной
цепочке атомов
будут расходиться вдоль конусов, ось которых совпадает с ли-
нейной цепочкой атомов, а угол раскрытия конусов определяет-
ся уравнением (3.26). Соответствующая картинка представлена
на рис. 3.13, где изображены дифракционные конусы от гори-
зонтальной линейной полоски, на которую снизу (под прямым
Если сверху располо-
жить экран S, то на нем
возникнет дифракционная
картина в виде прямой
(соответствующей нулево-
му порядку дифракции
К = 0) и системы гипербол
(от пересечения конусов
с плоскостью S'). Разме-
ры самой линейной цепоч-
ки предполагаются прене-
брежимо малыми по срав-
нению с расстоянием от нее до плоскости наблюдения S', так
что цепочка фактически является вершиной всех дифракцион-
ных конусов.
Если теперь рассмотреть дифракцию рентгеновских лучей на
плоской решетке атомов, расположенных в вершинах квадратов
со стороной d и заполняющих собою плоскость, параллельную
экрану S, то такую систему можно рассматривать как совокуп-
ность двух взаимно перпендикулярных линейных цепочек (на-
правленных вдоль осей декартовой системы координат Ох и Оу).
Вводя углы скольжения qq и А) падающего рентгеновского
луча по отношению к осям Ох и Оу и рассматривая дифракцию
на взаимно перпендикулярных цепочках (см. рис. 3.12), получим
уже два условия, определяющих направления на дифракцион-
ные максимумы:
d(cosa — cosao) = КХ,	(3.27)
d (cos /3 — cos /Зо) = LX,	(3.28)
где К и L — произвольные целые числа.
Учитывая также, что направляющие косинусы любой прямой
удовлетворяют тождеству
cos2a + cos2/3 + cos27 = 1,	(3.29)
после нахождения решений а и f3 системы уравнений (3.27), (3.28)
(если они существуют) можно определить и возможные углы 7
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ 311
с помощью (3.29). Таким образом, дифракция монохроматиче-
ского излучения на двумерной решетке атомов ведет к расщепле-
нию первичного луча на систему дифрагировавших лучей, опре-
деляемых уравнениями (3.27)—(3.29).
Последний вывод имеет простую геометрическую интерпре-
тацию: порознь каждое из уравнений (3.27), (3.28) определяет
систему конусов со взаимно перпендикулярными осями. Пере-
сечения этих конусов с удаленным экраном S, параллельным
двумерной решетке, дадут систему взаимно перпендикулярных
гипербол (см. рис. 3.13), а точки пересечения последних, называ-
емые рефлексами, и образуют дифракционную картинку.
Наконец, для трехмерной решетки атомов условиями, опре-
деляющими направления на дифракционные максимумы, будут,
как нетрудно понять, уже три уравнения
d (cos а — cos ао) =	кх,	(3.30)
d (cos /3 — cos /Зо) =	LX,	(3.31)
d (cos 7 — cos 70) =	MX,	(3.32)
где К, L и M — произвольные целые	числа.	
При этом углы а, /3 и 7 по-прежнему должны удовлетво-
рять тождеству (3.29). Таким образом, получилась переопреде-
ленная система четырех уравнений (3.29)—(3.32) относительно
трех неизвестных а, /3 и 7.
Переопределенные системы уравнений, как правило, бывают
несовместны. Данная система будет иметь очевидное решение
(а = ао? /? = Аь 7 = 7о) только для случая К — L = М = О,
означающее, что при любых длинах волн дифракция нулево-
го порядка есть просто прохождение основной части излучения
сквозь кристалл32 без изменения направления.
Если же требуется найти решение, соответствующее дифрак-
ционному отклонению, то число неизвестных нужно увеличить
до четырех, добавив к углам длину волны Л. В результате си-
стема станет совместной. Длины волн, для которых это будет
иметь место не только в нулевом порядке дифракции, определя-
ются следующим образом.
Обратим внимание на то, что углы ао, А) и 7о, как и углы
а, /3 и 7, удовлетворяют уравнению (3.29).
32В пренебрежении истинным поглощением. Если кристалл толстый, то
из него может вообще ничего не выйти!
312
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Тогда, переписывая систему (3.30)—(3.32) в виде
cosa=	cosao + KX/d,	(3.33)
cos /3 =	cos /Зо + LX/d,	(3.34)
cos 7=	COS70 + MX/d,	(3.35)
возводя уравнения (3.33)—(3.35) в квадрат и складывая, получим
искомое выражение для А:
А = -2d
К cos qq + L cos (3$ + М cos 70
(3.36)
К2 + L2 + М2
Рис. 3.14. Образование
лауэграммы от трехмерного
кристалла с кубической
элементарной ячейкой
Геометрически последний резуль-
тат проиллюстрируем примером об-
разования лауэграммы на трехмер-
ном кристалле с кубической решет-
кой. Пусть рентгеновский луч падает
на кристалл вдоль одной из сторон
элементарного кубика, а на удален-
ном экране наблюдается дифракци-
онная картинка. При дифракции на
цепочке возникали конусы, пересека-
ющие удаленный экран вдоль гипер-
бол (см. рис. 3.13). При замене це-
почки плоской квадратной решеткой
на экране возникнут дифракцион-
ные пятна, положение которых опре-
деляется точками пересечения двух
семейств гипербол.
Наконец, дифракция на кубической решетке дает дополни-
тельное условие, эквивалентное наличию третьей системы кону-
сов, оси которых направлены теперь уже вдоль луча, так что
третье семейство конусов будет пересекать экран по окружно-
стям. Поэтому при дифракции на кристалле, то есть системе
трех взаимно перпендикулярных цепочек атомов, направления
на дифракционные максимумы должны определяться точками
тройного пересечения в плоскости экрана двух гипербол и одной
окружности, как это изображено на рис. 3.14. В общем случае
последнее невозможно, так как окружности произвольного ра-
диуса не обязаны проходить через точки пересечения гипербол.
И только условие (3.36) гарантирует наличие тройной точки пе-
ресечения.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ 313
Таким образом, если облучать кристалл монохроматическим
рентгеновским излучением, то образование лауэграммы крайне
маловероятно, основная часть лучей пройдет через кристалл без
отклонения. Следовательно, для получения лауэграммы необхо-
димо излучение с непрерывным спектром, тогда всегда найдутся
подходящие длины волн, определяемые уравнением (3.36), кото-
рые и дадут пятна (рефлексы) на экране. При этом рефлексы
будут образованы монохроматическими компонентами первич-
ного луча (кроме центрального пятна, соответствующего нуле-
вому порядку дифракции К = L = М = 0). Если бы речь шла
о свете, это означало бы, что облучение должно производиться
белым светом, а рефлексы образуются цветные.
Опыты по дифракции рентгеновских лучей на кристаллах
были вскоре повторены многими физиками в различных вари-
антах. Сомнений не оставалось: рентгеновские лучи способны
дифрагировать и интерферировать, взаимно гася или усиливая
друг друга, что в классической физике считается главным от-
личительным признаком волнового процесса.
Тем самым было получено сразу два важнейших результата:
доказана волновая природа рентгеновского излучения и подтвер-
ждена гипотеза о регулярном расположении атомов в кристал-
лах. В 1914 году Лауэ стал лауреатом Нобелевской премии по
физике ”за открытие дифракции рентгеновских лучей на кри-
сталлах”.
Расчет направлений на дифракционные максимумы, который
произвел Лауэ сразу же после того, как узнал результаты опыта,
позволил установить соответствие между экспериментально по-
лучаемыми лауэграммами, положениями атомов в кристалле00
и длиной волны излучения. Делая предположение о типе кри-
сталлической решетки, рассчитывая возможную лауэграмму та-
кого кристалла, а затем сравнивая ее с экспериментально полу-
ченной, можно установить тип кристаллической решетки.
Лауэ, таким образом, открыл новую область физики — рент-
геновскую кристаллографию, или рентгеноструктурный анализ
— изучение структуры кристаллов с помощью рентгеновского из-
лучения. С другой стороны, при известной структуре кристал-
ла33 34 дифракция позволяет измерять длины рентгеновских волн
33Для чего предварительно нужно сделать предположение о типе кристал-
лической решетки.
34В следующем подразделе показано, как, зная удельный вес кристалли-
ческого вещества и тип кристаллической решетки, рассчитать параметры
элементарной ячейки.
314
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
с высокой степенью точности, то есть осуществлять рентгено-
спектральный анализ.
Однако расшифровка лауэграммы — достаточно трудоемкий
процесс, поэтому количественного анализа первых лауэграмм,
проведенного Лауэ, воспроизводить здесь не будем. Укажем лишь,
что длины волн в эксперименте Лауэ, Фридриха и Книппинга,
соответствующие рефлексам на лауэграмме, изображенной на
рис. 3.11, лежали в диапазоне 0.1—1 А.
Далее будем называть35 рентгеновскими лучами элек-
тромагнитные колебания с длинами волн в интервале
0.01—100 А.
Ультрафиолетовое излучение, расположенное между ви-
димым и рентгеновским, имеет длины волн 100—3900 А.
Световые волны имеют длины приблизительно от 3900 до
7700 А.
Существует также более коротковолновое излучение, чем
рентгеновское, называемое 7-излучением.
3.1.3 Рентгеноструктурный анализ
Первоначально наука о кристаллах — геометрическая кристал-
лография, предметом которой было изучение формы кристаллов
и предполагаемых типов кристаллических решеток, играла под-
собную роль в минералогии36. После подтверждения Фридрихом
и Книппингом гипотезы Лауэ дифракция рентгеновских лучей
35 Границы рентгеновского и других диапазонов электромагнитных волн
условны, им не следует придавать какого-либо абсолютного характера. Од-
нако есть все же один нюанс, который имеет физический смысл. Даже если
два излучения имеют одну и ту же длину волны, рентгеновскими называ-
ют лучи, которые порождаются электронами, окружающими ядро атома,
а 7-лучами называют излучение, порождаемое ядрами атомов.
36Кристаллографы эмпирически открыли несколько законов. Указания на
первый количественный закон кристаллографии — закон постоянства углов
в кристаллах, имеются уже у датского естествоиспытателя Николая Сте-
нона, установившего (1669 г.), что у кварца (давшего начало термину ’’кри-
сталл”) углы между соответствующими гранями постоянны. Изучение боль-
шого числа кристаллов показало, что при определенных давлении и темпе-
ратуре в кристаллах одного и того же вещества величина, форма и даже
число граней могут варьироваться, но углы между соответственными гра-
нями и ребрами постоянны. Этот и некоторые другие количественные за-
коны кристаллографы успешно объясняли с помощью гипотезы о существо-
вании кристаллической решетки. Однако никаких прямых подтверждений
этой гипотезы не существовало вплоть до открытия дифракции рентгенов-
ских лучей.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
315
на кристаллах стала ключом к расшифровке внутреннего стро-
ения последних, а кристаллография превратилась в кристалло-
физику, составляющую основу физики твердого тела, изучаю-
щей, в свою очередь, строение и физические свойства твердых
тел, в основном имеющих кристаллическую структуру.
Однако метод Лауэ обладал двумя серьезными недостатка-
ми: получение первых лауэграмм требовало длительной экспози-
ции (доходящей до десятков часов непрерывной работы мощных
рентгеновских трубок), а расшифровка лауэграмм оказалась от-
носительно сложным делом.
Становлению рентгеноструктурного анализа помогла моди-
фикация метода Лауэ, осуществленная английскими физиками
У.Л. Брэггом (сыном) (1890—1971) и У.Г. Брэггом (отцом) (1862—
1942). Метод, предложенный уже в конце 1912 года двадцати-
двухлетним Брэггом (изучавшим рентгеновские лучи совмест-
но с отцом, который до открытия Лауэ отстаивал корпускуляр-
ную точку зрения на природу рентгеновских лучей), существен-
но ускорил получение дифракционной картины (от десятков ча-
сов до нескольких минут!) и упростил ее расшифровку.
У.Л. Брэгг, в отличие от Лауэ, предложил, во-первых, облу-
чать кристалл не ’’белым” рентгеновским излучением, а моно-
хроматическим и, во-вторых, наблюдать не прошедшие сквозь
кристалл лучи, а отраженные. Первое видоизменение метода по-
требовало вращения кристалла во время опыта, но помогло упро-
стить интерпретацию получаемой информации, а второе — су-
щественно сократить время экспозиции. Теперь дифракционное
распространение лучей сквозь кристалл называется лауэвским
прохождением, а дифракционное отражение лучей от кристал-
ла — брэгговским отражением.
Чтобы изложение метода Брэгга было понятным, необходи-
мо предварительно определить некоторые простейшие понятия,
относящиеся к кристаллам.
Основной особенностью строения кристаллической структу-
ры (бесконечной протяженности) является трансляционная сим-
метрия: для каждой возможной кристаллической структуры все-
гда существуют такие три ненулевых вектора а, b и с, не ле-
жащих в одной плоскости, что, произвольно выбрав точку про-
странства с радиус-вектором г, можно указать счетное множе-
ство Rnin2n3(r) точек, эквивалентных точке г, причем
Т&П1П2ПЗ (г) = Г + ща + П2Ь + п3с,	(3.37)
где П1, П2, п3 — любые целые числа.
316
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Эквивалентность в определении понимается в том смысле,
что описание любых свойств кристаллической структуры (в том
числе и строения) с помощью декартовой системы координат
с началом в точке г не изменяется при параллельном переносе
системы, переводящем начало координат в любую эквивалент-
ную точку, задаваемую уравнением (3.37). Как следствие, это
означает, что если в кристаллической структуре существует эле-
мент (атом, ион, молекула), имеющий в некотором направлении
на определенном расстоянии какой-нибудь другой соседний эле-
мент, то таким же свойством будут обладать все эквивалентные
элементы кристаллической структуры.
Множество векторов, соединяющих любые две эквивалент-
ные точки, очевидно, от выбора г не зависит. Это множество век-
торов, с одной стороны, определяет все возможные трансляции,
не влияющие на описание свойств кристаллической структуры,
а с другой стороны — задает так называемую решетку Брава —
счетное множество в трехмерном пространстве37, образованное
дискретными точками Rn1n2n3(0), называемыми узлами решет-
ки. Решетка Бравэ общего вида изображена на рис. 3.15, а.
а)	б)
Рис. 3.15. а) решетка Бравэ общего вида б) кристаллическая струк-
тура с соответствующей решеткой Бравэ
Элементарной ячейкой называется такой конечный объем,
который можно подвергнуть допустимым трансляциям решетки
Бравэ и заполнить пространство полностью, причем транслиро-
ванные элементарные ячейки должны иметь лишь общие грани,
не давая перекрывания областей с ненулевым объемом.
Для любой решетки Бравэ существует счетное множество
разных элементарных ячеек. Так, на рис. 3.16 изображены шесть
37Если положить с = О, то получится двумерная решетка Бравэ.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
317
разных элементарных ячеек двумерной решетки Бравэ, содержа-
щих различное число узлов.
Если элементарная ячейка содер-
жит лишь один узел решетки, то та-
кая ячейка называется примитив-
ной элементарной ячейкой, или про-
сто примитивной ячейкой. При этом
надо учитывать, что если узел ре-
шетки совпадает с вершиной элемен-
тарной ячейки, то этот узел также
совпадает и с вершинами соседних
ячеек. Поэтому, чтобы найти число
узлов, приходящихся на одну эле-
ментарную ячейку38 в форме парал-
лелограмма или параллелепипеда,
Рис. 3.16. Шесть разных
элементарных ячеек дву-
мерной решетки Бравэ, но
только одна — примитивная
элементарная ячейка
для трехмерной решетки
нужно учитывать узлы, совпадающие с вершинами ячейки, с ко-
эффициентом 1/8; узлы, лежащие на ребрах ячейки — с коэф-
фициентом 1/4, а узлы, лежащие на гранях ячейки — с коэффи-
циентом 1/2. Так, среди изображенных элементарных ячеек (см.
рис. 3.16), только правая верхняя является примитивной элемен-
тарной ячейкой, так как содержит 4 • 1/4 = 1 узел. Параллеле-
пипед, образованный векторами а, b и с, также является прими-
тивной элементарной ячейкой (рис. 3.15, а).
Даже примитивная элементарная ячейка39 неоднозначно оп-
ределена для решетки Бравэ, однако объем примитивной эле-
ментарной ячейки не зависит от ее формы, так как определяется
концентрацией узлов решетки.
Следует понимать разницу между решеткой Бравэ (вообра-
жаемым множеством узлов в пространстве) и кристаллической
структурой — бесконечным40 повторением в пространстве эле-
ментарной ячейки, "наполненной” электронами и ядрами. При
этом содержимое ячейки может обладать, а может и не обладать
свойствами симметрии, присущими решетке Бравэ.
Так, на рис. 3.15,6 показана кристаллическая структура, со-
стоящая из асимметричного элемента (напоминающего реторту),
38То есть фактически найти концентрацию узлов.
39Примитивную элементарную ячейку часто называют просто элементар-
ной ячейкой, внося этим путаницу в изложение.
40Так как для большинства кристаллов линейные размеры примитивной
ячейки — порядка нескольких ангстрем, то даже в объеме 1 мм3 кристал-
ла насчитывается порядка 1О20 ячеек, поэтому только вблизи поверхности
реального кристалла его свойства отличаются от свойств бесконечной кри-
сталлической структуры.
318
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
размещенного в вершинах решетки Бравэ (но ’’реторта” могла
бы находиться в любом другом месте элементарной ячейки).
Поэтому симметрия решетки Бравэ вовсе не обязана соот-
ветствовать симметрии, присущей кристаллической струк-
туре. Об этом нельзя забывать, глядя на решетку Бравэ того
или иного вещества. Кристаллы с одинаковыми решетками Бра-
вэ могут быть совершенно разными!
Исследованиями кристаллографов еще в XIX веке было вы-
яснено, что существует всего 14 разных типов решеток Бравэ,
зато групп преобразований (включающих, кроме трансляций,
еще вращения и инверсии в пространстве), которые переводят
кристаллические структуры (решетка Бравэ плюс ’’наполнение”
элементарной ячейки) сами в себя, целых 230. Изучение полной
теории кристаллических структур требует серьезных усилий и не
может быть осуществлено в рамках курса атомной физики, по-
этому ограничимся рассмотрением простейших кристаллических
решеток кубической системы, то есть имеющих элементарные
ячейки в форме куба.
Рис. 3.17. Элементарные ячейки кристаллических решеток кубиче-
ской системы: а) простая кубическая б) объемноцентрированная куби-
ческая (о. ц. к.) в) гранецентрированная кубическая (г. ц. к.)
Кристаллические решетки кубической системы, как это сле-
дует из теории решеток Бравэ, имеют элементарные ячейки трех
разных типов — в виде простого, гранецентрированного и объ-
емноцентрированного кубов41, изображенных на рис. 3.17.
41 На первый взгляд может показаться, что для о. ц. к. решетки узлы в цен-
тре и вершинах элементарной ячейки неэквивалентны. Однако решетка Бра-
вэ не сводится к одной элементарной ячейке. Последнюю надо мысленно бес-
конечно транслировать в пространстве. Тогда окажется, что центральная
точка любой ячейки есть в то же время вершина соответствующим обра-
зом смещенной элементарной ячейки, и наоборот. Все узлы г. ц. к. решетки
также эквивалентны.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
319
Среди кубических элементарных ячеек только первая явля-
ется примитивной. Легко понять, что о. ц. к. элементарная ячей-
ка содержит два узла решетки, а г. ц. к. элементарная ячейка —
четыре узла решетки.
Атомная плоскость решетки Бравэ — это любая плоскость,
проведенная через три узла ре-
шетки, не лежащие на одной
прямой42. Из эквивалентности
всех узлов решетки Бравэ сле-
дует, что любая атомная плос-
кость решетки Бравэ содержит
счетное множество узлов. Ес-
ли задать произвольную атомную
плоскость, а затем провести че-
рез все остальные узлы решетки
Бравэ плоскости, параллельные
заданной, то получится семей-
ство атомных плоскостей, рав-
ноотстоящих друг от друга и со-
держащих в совокупности все уз-
лы решетки.
В любой решетке Бравэ су-
ществует счетное множество раз-
личных семейств атомных плос-
костей. На рис. 3.18 показано
несколько различных семейств
атомных плоскостей, содержащих
Рис. 3.18. Несколько разных
разбиений решетки Бравэ на се-
мейства атомных плоскостей
1 совокупности все точки кри-
сталла.
Систему атомных плоскостей характеризуют, вводя индексы
Миллера. Из аналитической геометрии известно, что нормальное
уравнение плоскости в декартовых координатах имеет вид
х cos а + у cos /3 + z cos 7 = р,	(3.38)
где cos a, cos/3 и cos 7 — направляющие косинусы единичного
вектора, перпендикулярного плоскости, задаваемой нормальным
уравнение^ (3.38); \р\ — расстояние от начала координат до плос-
кости.
Таким образом, направляющие косинусы постоянны для всех
плоскостей определенной системы атомных плоскостей решетки
42 Плоскость не совсем удачно называется атомной, так как в узлах решет-
ки Бравэ вовсе не обязаны находиться атомы.
320
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Бравэ, а параметр р меняется на одну и ту же величину при
переходе от одной плоскости к соседней.
Вместо косинусов оказалось проще задавать всего три целых
числа. Дело в том, что направляющие косинусы, характеризую-
щие любую атомную плоскость решетки Бравэ, относятся друг
к другу, как целые числа.
Действительно, каждая атомная плоскость решетки Бравэ
проходит через три узла, не лежащих на одной прямой. Если
начало декартовой системы координат совместить с одним из
трех узлов, через который проходит плоскость, то в такой си-
стеме координат параметр р в нормальном уравнении плоскости
станет нулевым. Пусть (a?i,yi,zi) и (^2,У2,^2) — два остальных
узла решетки Бравэ, через которые проходит плоскость (причем
xi + Уг + г1 > 0, г = 1,2.) Это означает, что удовлетворяются два
уравнения
cos а + yi cos /3 + zi cos 7 = 0,	(3.39)
Х2 cos а + У2 cos /0 + ^2 cos 7 = 0.	(3.40)
Система (3.39)—(3.40) позволяет выразить два направляю-
щих косинуса через третий [так как хотя бы один из соответ-
ствующих определителей не равен нулю, иначе точки (^i,yi,^i)
и (^2?У2?^2) должны были бы лежать на одной прямой, прове-
денной через начало координат]. Тогда получается, что
cos а : cos /3 : cos 7 =
У1 ^1
У2
z\ хх
Z2 х2
(3-41)
^1 У1
Х2 У2
Для случая решеток Бравэ кубической системы можно вы-
брать единицу измерения длины, равную длине ребра элемен-
тарного куба. Тогда декартовы координаты любого узла решетки
Бравэ станут целочисленными. Следовательно, все определители
в правой части равенства (3.41) будут целочисленными, а отно-
шения трех направляющих косинусов будут отношениями трех
целых чисел. Освобождая последние от общих делителей, можно
переписать (3.41) в виде
cos а : cos /3 : cos 7 = h : к : I,	(3.42)
где h,k,l — три взаимно простых целых числа43.
43Такие числа не имеют общих натуральных делителей, кроме единицы.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
321
Полученные вышеописанным образом три взаимно простых
целых числа и называются индексами Миллера атомной плоско-
сти (или системы атомных плоскостей). Для обозначения систе-
мы плоскостей индексы Миллера заключают в круглые скобки
и записывают подряд44 в виде (ДА:/), называя символом плоско-
сти. Ранее было изображено несколько разных систем атомным
плоскостей (см. рис. 3.18). Рядом с плоскостями указаны также
их символы45.
Индексы Миллера позволяют привести нормальное уравне-
ние атомной плоскости (3.38) к виду
hx + ky + lz = п.	(3.43)
Так как и индексы Миллера, и координаты узлов решетки це-
лочисленные, то константа п в правой части (3.43) может быть
только целочисленной. Следовательно, минимально возможное
расстояние между двумя плоскостями, принадлежащими одно-
му семейству, конечно и определяется изменением величины п
на единицу. Покажем, что это действительно так, то есть что
для системы плоскостей с произвольным символом (ЬкГ) значе-
ния величины п отличаются именно на единицу, а не на двойку,
тройку, или любое другое натуральное число.
Выше было доказано, что любой атомной плоскости может
быть сопоставлен символ плоскости (ЬкГ). Верно и обратное: лю-
бому символу соответствует семейство атомных плоскостей. Дей-
ствительно, пусть даны три произвольных взаимно простых чис-
ла Д, к и /, причем все они отличны от нуля46. Тогда уравнение
(3.43) описывает атомную плоскость с п = hkl, проходящую че-
рез три точки (А;/, 0,0), (0, Д/,0), (0,0, ДА:), не лежащие на одной
прямой. Таким образом, атомная плоскость, соответствующая
любому символу (ДА:/), действительно существует.
Теперь докажем, что переход от любой плоскости к соседней
в пределах одной системы плоскостей изменяет величину п имен-
но на единицу (или на —1, если двигаться в противоположном
44Запятые ставят лишь в тех случаях, когда хотя бы один из индексов
двузначен.
Если индекс отрицателен, то знак ’’минус” для удобства пишут не перед
цифрой, а над ней: (120), что произносится, как ’’один, минус два, ноль”.
Очевидно, что символы (hkl) и (hkl) описывают одну и ту же плоскость.
45Обратите при этом внимание, что для всех изображенных систем I = 0,
так как выбраны только системы плоскостей, параллельных оси 0z.
46Если одно или два из них нули, то речь идет о плоскостях, параллель-
ных соответствующим осям, а доказательство корректируется очевидным
образом.
322 ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
направлении). Плоскости, проходящей через начало координат,
соответствует по = 0. Допустим, что одной из двух ближайших
к ней плоскостей соответствует ni = Ап > 2. Тогда величины
п, соответствующие всем остальным плоскостям семейства,
должны быть целыми кратными константы &п. В самом деле,
из-за эквивалентности всех узлов решетки переход от "нулевой”
плоскости к соседней даст ni = Ап, следующая плоскость будет
иметь П2 = 2Ап, и так далее.
Рассмотрим теперь три разных плоскости семейства с симво-
лом (hkl). Первая плоскость проходит через узел (1,0,0) и име-
ет п = h, вторая плоскость проходит через узел (0,1,0)
и имеет п = к и третья плоскость проходит через узел (0,0,1)
и имеет п = I. Получается, что все три числа h, к и I должны
иметь общий множитель Ап > 2, что противоречит их взаимной
простоте. Следовательно, An = 1, то есть при любом символе
(hkl) множество возможных значений правых частей уравне-
ния (3.43) совпадает с множеством целых чисел.
Одно из важных следствий доказанной теоремы заключается
в том, что отрезки, отсекаемые на осях декартовой системы ко-
ординат (оси которой совмещены с ребрами элементарного куба)
любой плоскостью из семейства (ZifcZ), равны, очевидно, величи-
нам х = n/h, у = п/къ z = п/l. Из этого, в свою очередь следует,
во-первых, что выбором п = hkl легко найти отрезки и построить
плоскость с любым символом (hkl). Во-вторых, оказывается, что
отрезки, отсекаемые любыми атомными плоскостями на осях
"правильно выбранной" системы координат, всегда являются
рациональными числами. Последнее утверждение, по-существу,
эквивалентно открытому французским аббатом Гаюи закону це-
лых чисел (1819 г.).
Обозначим через d^hki) минимальное расстояние между плос-
костями внутри заданного символом (hkl) семейства плоскостей
решетки Бравэ с примитивной кубической ячейкой. Доказан-
ная теорема позволяет легко найти эту величину. Действитель-
но, расстояние от любой атомной плоскости до начала коорди-
нат есть \n\/\/h2 + k2 + Z2, но первые две не проходящие через
начало координат атомные плоскости имеют п = ±1, откуда
d(hkl) = ]-/ \/h2 + к2 + I2.
Переходя от безразмерных единиц длины к размерным, для
решетки с примитивной кубической ячейкой окончательно полу-
чаем
d{hkl) ~ y/h2 + к2 +12 ’	(3’44)
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
323
где d — длина ребра куба примитивной ячейки решетки.
Формула (3.44) показывает, что максимальны межплоскост-
ные расстояния для плоскостей (100), (010) и (001). С ростом
индексов Миллера межплоскостные расстояния уменьшаются,
что свидетельствует и об уменьшении так называемой ретику-
лярной плотности атомной плоскости, то есть числа узлов ре-
шетки Бравэ (лежащих в заданной плоскости), приходящихся
на единицу площади47. Последнее утверждение следует из того,
что любое семейство атомных плоскостей содержит все узлы ре-
шетки Бравэ, а частное от деления ретикулярной плотности на
межплоскостное расстояние есть, очевидно, просто концентра-
ция узлов решетки Бравэ, не зависящая, естественно, от выбора
семейства плоскостей.
На рис. 3.19 изобра-
жены атомные плоскос-
ти с малыми индексами
Миллера, то есть с отно-
сительно большими меж-

Рис. 3.19. Атомные плоскости с малыми
индексами Миллера
плоскостными расстояни-
ями и ретикулярными
плотностями для решет-
ки Бравэ с примитивной кубической ячейкой.
Заканчивая необходимый экскурс в область геометрической
кристаллографии, укажем, как в кристаллографии принято обо-
значать узлы решетки Бравэ и ряды узлов, то есть прямые ли-
нии, содержащие два разных узла (и, тем самым, содержащие
бесконечное число узлов).
Так как любой узел решетки Бравэ определяется вектором
R = nia + пгЬ + пзс,
(3.45)
то три целых числа ni, П2 и пз однозначно задают положение уз-
ла и называются индексами узла. Их записывают подряд в двой-
ных скобках [[П1П2П3]] и называют символом узла.
Ряд узлов задается двумя точками решетки Бравэ. В решет-
ке всегда существует счетное число рядов узлов, параллельных
друг другу. Их общее направление может быть определено на-
правляющими косинусами, но проще поступить иначе. Поместив
один узел ряда в начало координат, характеризуют ряд узлов по-
ложением другого узла, принадлежащего данному ряду. Символ
47 Фактически ретикулярная плотность атомной плоскости есть поверх-
ностная концентрация узлов, лежащих в плоскости.
324
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
второго узла и принимают за символ ряда, но записывают в квад-
ратных скобках в виде [ZifcZ]. Ранее было показано, что атомная
плоскость решетки Бравэ с символом (hkl) как раз проходит че-
рез точку с символом [[ZifcZ]]. Таким образом, для решеток ку-
бической системы ряд узлов с символом [hkl] перпендикулярен
любой плоскости с символом (hkl).
Например, символы координатных осей имеют вид [100] (ось
Ох), [010] (ось Оу) и [001] (ось 0z). Ясно, что символы [100] и [200]
обозначают один и тот же ряд. Чтобы избежать путаницы, для
характеристики ряда узлов выбирают точку, ближайшую к на-
чалу координат, то есть, по-существу, сокращают общие множи-
тели у индексов символа, делая последние взаимно простыми.
Приведенных сведений из кристаллографии достаточно для
того, чтобы понять, в чем суть модификации метода Лауэ, осу-
ществленной сыном и отцом Брэггами.
У.Л. Брэгг (сын), узнав об эксперименте Лауэ, Фридриха
и Книппинга, предложил свою трактовку дифракции рентгенов-
ских лучей. Ее суть заключалась в следующем.
Брэгг (сын) представил кристалл как совокупность плоско-
стей с фиксированным символом (hkl). Как было изложено вы-
ше, различных разбиений кристаллической структуры на систе-
му атомных плоскостей существует счетное множество. Первич-
ное излучение, последовательно проходя сквозь плоскости семей-
ства, дифрагирует на них. При этом вклад в нулевой порядок
дифракции дают не только лучи, распространяющиеся в направ-
лении первичного луча, но и зеркально отраженные лучи.
Действительно, если вернуться к дифракции рентгеновского
луча на плоскости хОу [см. систему уравнений (3.27)—(3.29)], то
очевидно, что дифракции нулевого порядка (К = 0, L = 0) соот-
ветствует не только неотклоненный луч а =	/3 = /Зо, = 7сь
но и зеркально отраженный от плоскости хОу луч48.
Как хорошо известно из оптики, зеркально отраженный луч
лежит в плоскости, которая называется плоскостью падения лу-
48Поскольку дифракция нулевого порядка не зависит от расстояния меж-
ду рассеивающими центрами d и длины волны излучения Л, то вывод о на-
личии неотклоненного и зеркально отраженного от одиночной плоскости
лучей сохраняет свою силу при любом расположении в ней рассеивающих
центров. В частности, дифракционное отражение нулевого порядка от плос-
кости будет происходить и при совершенно хаотическом расположении рас-
сеивающих центров. Это следствие того, что оптическая разность хода пря-
мо прошедшего или зеркально отраженного лучей, рассеиваемых любыми
двумя центрами в плоскости, отсутствует, то есть равна нулю. Убедитесь
в этом, построив соответствующий чертеж.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
325
Рис. 3.20. Разность хода
лучей, отраженных от со-
седних плоскостей
ча. Последняя проходит через падающий луч и нормаль к от-
ражающей поверхности в точке падения луча. Угол падения (то
есть угол между падающим лучом и нормалью к поверхности)
равен углу отражения. Убедитесь, что луч а = а0, /3 = /3q,
7 = % — 7о, во-первых, удовлетворяет системе уравнений (3.27)—
(3.29) и, во-вторых, действительно зеркально отражен от плос-
кости хОу.
Таким образом, каждая из плос-
костей семейства (hkl) отражает
часть лучей зеркально, однако фазы
лучей, отраженных соседними плос-
костями, отличаются на вполне опре-
деленную величину, которую нетруд-
но вычислить с помощью рис. 3.20.
Плоскость чертежа совпадает с плос-
костью падения первичного излу-
чения (лучи 1 и 2), падающего
под углом скольжения д к отража-
ющим плоскостям, перпендикуляр-
ным плоскости чертежа. Изображе-
ны также зеркально отраженные лучи 1' и 2'.
Для упрощения вычисления рассмотрены только два рас-
сеивающих центра А и В, расположенных на одной нормали,
проведенной к рассеивающим плоскостям. Разность хода меж-
ду лучами 1 — 1' и 2 — 2' есть сумма отрезков (равной длины)
СВ и ВТ?, так как на перпендикулярных лучам волновых фрон-
тах АС и AD фазы должны быть постоянны. Длину катета СВ
без труда можно выразить через гипотенузу АВ прямоугольно-
го треугольника АВС: СВ = АВ • sin$. Если рассматривается
система отражающих плоскостей с символом (/ifcZ), то отрезок
АВ есть межплоскостное расстояние d^iy Так как показатель
преломления для рентгеновского излучения практически равен
единице, то оптическая разность хода излучения, отраженного
соседними плоскостями системы49 плоскостей с символом (/ifcZ),
будет равна величине 2d(^z) sintf.
Ясно, что зеркально когерентно отраженное излучение от
разных плоскостей дает сложение электрических полей волн,
усиливаясь только в том случае, когда оптическая разность хо-
да от соседних плоскостей будет равна целому числу длин волн
49Из-за того, что разности хода при зеркальном отражении рентгеновских
лучей от любых элементов одной плоскости не возникает, не имеет значения,
как расположены в плоскостях (hkl) рассеивающие элементы.
326
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Л. Таким образом, рентгеновские лучи (в отличие от световых)
могут отражаться от кристалла уже не при произвольных уг-
лах падения. Если для световых лучей непрерывно менять угол
их падения на зеркало, то отраженный луч будет мало менять
свою интенсивность, тогда как для рентгеновских лучей интен-
сивность отраженных лучей будет обладать резко выраженными
дифракционными максимумами, направления на которые опре-
деляются уравнением Брэгга50 51
2 deem'd = NA,	(3.46)
где N — положительное целое число (порядок дифракции).
Если на поверхность кристалла направить немонохромати-
ческое излучение под некоторым углом скольжения $, то зер-
кально отразится только спектральная компонента, длина волны
которой удовлетворяет уравнению (3.46). Это дает возможность
из немонохроматического излучения извлекать монохроматиче-
скую компоненту! В то же время, если на поверхность кристалла
направлять монохроматическое излучение, то интенсивное отра-
жение будет происходить лишь при брэгговских углах, опреде-
ляемых уравнением (3.46). Таким образом, если первичное из-
лучение монохроматическое, то кристалл необходимо вращать,
иначе появление отраженного луча маловероятно01.
Отец и сын Брэгги немедленно
приступили к экспериментальному
подтверждению трактовки дифрак-
ции на кристаллах как селективного
отражения лучей от системы атом-
ных плоскостей. Первый же экспери-
мент по отражению от поверхности
слюды показал, что интенсивность
отражения под брэгговским углом так велика, что для экспози-
ции фотопластины достаточно работы маломощной рентгенов-
ской трубки в течение всего нескольких минут.
Так, на рис.,3.21 изображены три возможных угла скольже-
ния, при которых наблюдается отражение монохроматических
50 В отечественной литературе со времен борьбы с космополитизмом это
уравнение стали называть уравнением Брэгга—Вульфа, поскольку русский
ученый Ю.В. Вульф (подписывавший свои статьи как Г.В. Вульф) вывел то
же самое уравнение независимо от Брэгга. Однако Брэгг опередил Вульфа,
прислав ему оттиск своей работы до того, как Вульф отправил в печать
свою статью (в которой Вульф и вынужден был сослаться на Брэгга).
51 Это вполне соответствует выводу Лауэ о том, что при монохроматиче-
ском первичном луче появление дифракционной картины маловероятно.
Рис. 3.21. Брэгговское от-
ражение от грани сильви-
на (не показаны неоткло-
ненные лучи)
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
327
лучей52 с А = 0.59 А от естественной грани кристалла сильвина
КС1 [то есть от грани (001)], наблюдавшееся Брэггами:
= 5°23', $2 = Ю°49' и = 1б°20'.
Синусы этих углов относятся как целые числа:
sin 5°23' : sin 10°49' : sin 1б°20' = 1:2:3.
Последний пример показывает, как определить порядок ди-
фракции N отраженных лучей: надо все отраженные лучи раз-
бить на группы, синусы углов скольжения которых относятся
друг к другу как малые целые числа. При этом следует учиты-
вать, что интенсивность отраженных лучей резко падает с ро-
стом N. Так, для приведенного примера (см. рис. 3.21) интен-
сивности отраженных лучей (при неизменной интенсивности па-
дающего луча) относятся друг к другу как 100 : 20 : 7.
Из уравнения Брэгга (3.46) следует, что для возникновения
отражения на системе плоскостей с символом (1гкГ) необходимо
выполнение условия
А < 2d(hki)/N < 2d(hki).	(3.47)
В противном случае у уравнения (3.46) решений не может быть,
так как значение синуса не превышает единицы, a N > 1. Та-
ким образом, для наблюдения дифракции на большинстве кри-
сталлических структур необходимо излучение с длинами волн
порядка ангстрема и менее.
Брэгг (сын), как автор идеи селективного зеркального от-
ражения рентгеновских лучей от системы атомных плоскостей,
понимал, что его трактовка дифракции должна давать те же
направления на дифракционные максимумы, что и теория Лауэ.
Действительно, ведь Брэгг, как и Лауэ, учел каждый атом трех-
мерной решетки как центр вторичных волн, но изменил ’’груп-
пировку слагаемых” в сумме (напряженностей электрического
поля от каждого из атомов решетки), которая не должна была
от этого измениться.
И действительно, не очень трудно дать формальное доказа-
тельство того, что направление на каждый максимум, определя-
емый системой уравнений Лауэ (3.30)—(3.32), есть в то же время
направление и на брэгговский максимум, соответствующий опре-
деленной системе атомных плоскостей с символом (K'UM1).
52Это характеристическое 7<а-излучение палладия (Pd). Об измерении
длин волн и характеристическом рентгеновском излучении подробно гово-
рится в следующем подразделе.
328
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Эквивалентность подходов Брэгга и Лауэ при определе-
нии направлений на дифракционные максимумы
Докажем, что подходы Лауэ и Брэгга дают одни и те же направле-
ния на дифракционные максимумы для кристаллической структуры
с простой кубической примитивной ячейкой.
Будем исходить из уравнений Лауэ (3.30)—(3.32). Пусть вектор ео
— единичный вектор в направлении первичного луча (такой вектор
имеет проекции на оси декартовой системы координат cosao, cos/?o,
cos7o), а е — единичный вектор в направлении дифракционного мак-
симума ненулевого порядка (что предполагает отличие от нуля хотя
бы одного из целых чисел К, L и М).
Выделив наибольший общий делитель N целых чисел К, L и М,
представим последние в виде К = NK', L = NL' и М = NM\ где К\
L' и М' — три взаимно простых целых числа, a N — целое положи-
тельное число.
Покажем, что в кристалле существует система атомных плоско-
стей, от которых дифрагировавший луч отражается зеркально, а угол
скольжения удовлетворяет уравнению Брэгга (3.46).
На рис. 3.22 показаны единичные векто-
ры ео и е в направлении первичного и ди-
фрагировавшего лучей соответственно. Через
эти два вектора проходит единственная плос-
кость, которая и выбрана как плоскость черте-
жа. Разность векторов ео — е есть, очевидно,
диагональ параллелограмма, изображенная на
чертеже. Известно, что диагональ параллело-
грамма делит угол между сторонами пополам.
Тогда плоскость, перпендикулярная разности
ео — е и обозначенная символом (K'L'M'), бу-
дет, очевидно, такой плоскостью, относительно
которой можно считать луч 1' в направлении
вектора е зеркально отраженным первичным
лучом, поскольку оба вектора ео и е образуют
с плоскостью (K'L'M') один и тот же угол
который далее будет определен.
Система уравнений Лауэ (3.30)—(3.32) поз-
воляет выразить вектор ео — е в виде
щих плоскостей	л л	, т, л,, А
ео - е = ех + L еу + М ez),
где ez, еу и ez — единичные орты осей декартовой системы координат.
Освободившись от общего множителя XN/d, получим, что вектор
ео — е параллелен линиям узлов кристаллической структуры с сим-
волом [K'L'M']. Ранее же было показано, что для кристаллических
структур с кубической элементарной ячейкой прямые с сим-
волом [K'L'M'] перпендикулярны плоскостям с символом {K'L'M'}.
Рис. 3.22. К постро-
ению брэгговских
зеркально отражаю-
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
329
Но числа К', L' и М' — взаимно простые, поэтому в кристалличе-
ской структуре действительно существует система атомных плоско-
стей с символом (K'L'M'Y Таким образом, доказано, что для каждого
решения уравнения Лауэ существует система атомных плоскостей, от-
носительно которой дифрагировавший луч можно считать зеркально
отраженным первичным лучом.
Чтобы найти угол скольжения 19, предварительно отметим очень
важное обстоятельство. Экспериментально измеряемый угол между
направлениями первичного луча 1 и дифрагировавшего луча 1', как
это видно из чертежа, равен 219, то есть удвоенному брэгговскому
углу зеркального отражения. Скалярное произведение векторов ео и е
будет равно, очевидно, косинусу угла между векторами, что и дает
уравнение для определения 19:
ео • е = cos 219 = cos a cos ао + cos ft cos ft$ + cos 7 cos 70 .
Выражая cos a, cos/3 и cos 7 с помощью уравнений Лауэ
(3.30)—(3.32), получим
\2 N2
cos 2i? = 1 - ——(А"2 + L'2 + М'2),
Lid
ИЛИ
2 .-----........= sin 19 = TV А.
VK'2 + I/2 + М'2
Так как величина	+ Z/2 + М/2, в соответствии с формулой
(3.44), есть межплоскостное расстояние в системе плоскостей с симво-
лом (K'L'M'Y получаем, что угол 19 определяется формулой Брэгга
sin 19 = NX для зеркального отражения от системы плоско-
стей с символом	что и завершает доказательство.
Таким образом, все направления на дифракционные максимумы,
даваемые теорией Лауэ, являются в то же время направлениями брэг-
говского отражения от некоторой системы атомных плоскостей. Ко-
нечно, верно и обратное. Брэгговские отражения от всех возможных
систем атомных плоскостей кристалла совпадают с одним из решений
системы Лауэ (3.30)—(3.32).
Итак, подходы Брэгга и Лауэ к описанию дифракции рент-
геновского излучения на кристаллах дают одни и те же направ-
ления на дифракционные максимумы. Однако математически
эквивалентные подходы при их практической реализации суще-
ственно различаются. Так, выше уже отмечалось, что интенсив-
ность брэгговского отражения оказалась столь высока, что вре-
мя экспозиции фотопластины сократилось от десятков часов до
нескольких минут.
330
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
К сожалению, в некоторых учебниках дается неверное объяснение
последнего факта, заключающееся в том, что брэгговские рефлексы
якобы сильны потому, что отражение происходит от плоскостей с вы-
сокой ретикулярной плотностью, а лауэвское прохождение есть брэг-
говское отражение от плоскостей кристалла с малой ретикулярной
плотностью. Объяснение несостоятельно, так как и в подходе Лауэ,
и в подходе Брэгга предполагается, что в рассеянии излучения прини-
мают участие все атомы кристалла, а не только те, что расположены
в одной отражающей плоскости. Как было отмечено выше, уменьшение
ретикулярной плотности сопровождается уменьшением межплоскост-
ного расстояния, то есть идентичных плоскостей становится больше,
и это в точности компенсирует уменьшение ретикулярной плотности.
Причина малой интенсивности лауэвских рефлексов, особен-
но в первые годы после открытия дифракции рентгеновских лу-
чей на кристаллах, заключалась в другом. Дело в том, что ни
первоначальная теория Лауэ, ни подход Брэгга не учитывали по-
глощения рентгеновского излучения веществом. В этом состоит
суть кинематического приближения, о котором уже упомина-
лось ранее (см. стр. 294). Однако реальные кристаллы поглоща-
ют рентгеновское излучение. Если толщина кристалла чрезмер-
но велика, то из него вообще может не выйти ничего, так как все
излучение поглотится. Другими словами, для наблюдения лау-
эвского прохождения кристалл должен иметь оптимальную тол-
щину, близкую к слою так называемого половинного поглощения
(о чем далее будет рассказано). При брэгговском отражении из-
лучение автоматически выходит из приповерхностного слоя, так
что отраженное излучение, по-существу, от толщины кристалла
не зависит53.
Вопрос об интенсивности дифрагировавших лучей слишком
сложен для изложения в настоящем издании. Итог же рассмот-
рения в кинематическом приближении таков, что интенсивность
дифрагировавших лучей пропорциональна объему реального кри-
сталла, облучаемого первичным излучением, то есть пропорци-
ональна общему числу рассеивающих атомов или ионов, а вовсе
не ретикулярной плотности какой-либо плоскости.
Кроме выигрыша времени экспозиции, подход Брэгга дал так-
же и упрощение трактовки дифракции, позволив легко опреде-
лять ориентацию системы зеркально отражающих плоскостей
и соответствующее межплоскостное расстояние, что иллюстри-
53Только если сделать кристалл совсем тонким, интенсивность отражения
будет уменьшаться из-за уменьшения количества рассеивающих центров.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
331
Рис. 3.23. Брэгговское отражение
от системы плоскостей, не совпада-
ющих с гранями кристалла
рует рис. 3.23.
Показаны падающий на
кристалл луч 1; прямопро-
шедший луч 2, соответствую-
щий дифракции нулевого по-
рядка (в котором, вообще го-
воря, должна сохраняться ос-
новная доля энергии, одна-
ко поглощение в кристалле
может существенно ослабить
луч 2), и отраженный от одной
из систем атомных плоскостей
луч 3. Видно, что по отноше-
нию к поверхности кристалла
угол падения луча 1 не равен углу отражения дифрагировавше-
го луча 3, однако по отношению к некоторой внутренней системе
атомных плоскостей углы падения и отражения, конечно, долж-
ны быть равны. Так как в случае брэгговского отражения угол
между прошедшим без отклонения лучом 2 и отраженным лучом
3 равен 2??, то, очевидно, проведение биссектрисы угла, образо-
ванного лучами 2 и 3, дает искомую систему атомных плоско-
стей (изображенную на рисунке), от которых и происходит зер-
кальное отражение луча 1. Если длина волны излучения измере-
на, и известен порядок дифракции, то уравнение (3.46) позволит
найти и межплоскостное расстояние d^hkiy
Обычно подбирают длину волны излучения так, чтобы брэг-
говских максимумов было немного, хотя через атомы кристал-
лической решетки можно провести очень большое число разных
наборов параллельных плоскостей. На первый взгляд может по-
казаться, что и углов брэгговского отражения может возникнуть
много, но это не так. Дело в том, что, в соответствии с нера-
венством (3.47), межплоскостное расстояние должно быть боль-
ше половины длины волны. Для большинства систем плоско-
стей, которые можно провести внутри кристалла, межплоскост-
ное расстояние становится в конце концов слишком малым для
выполнения неравенства (3.47), если, конечно, длина волны пер-
вичного излучения подобрана правильно.
Уравнение (3.46) стало основой разработанного Брэггами ме-
тода качающегося кристалла для изучения внутренней структу-
ры кристаллов. В 1913 году для реализации метода У.Г. Брэгг
(отец) построил первый рентгеновский ионизационный спектро-
метр. Идея метода иллюстрируется с помощью рис. 3.24.
332
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 3.24. Ионизационный рентге-
новский спектрометр Брэгга (отца)
Для простоты будем счи-
тать, что излучение через
диафрагму D в свинцовом
экране падает на кристалл
Кг} закрепленный на вра-
щающемся столике, угловое
положение которого можно
определить с помощью шка-
лы Non, для точности снаб-
женной нониусом. Дифраги-
ровавший луч регистрирует-
ся ионизационным детекто-
ром Det, ток которого пропор-
ционален интенсивности попа-
дающих в него рентгеновских
лучей. Детектор может вра-
щаться независимо от столи-
ка, на котором закреплен ис-
следуемый кристалл, однако важнее вращать кристалл и детек-
тор синхронно: поворот кристалла на угол 1? к горизонтали дол-
жен сопровождаться поворотом детектора на угол 219, так как
дифрагировавший луч образует с первичным (горизонтальным
на рисунке) угол 21?.
Таким образом, ионизационный рентгеновский спектрометр
Брэгга позволяет определить углы скольжения падающего и от-
раженного от кристалла лучей, а также интенсивность каждо-
го отраженного луча. Во многих случаях этого достаточно для
расшифровки типа кристаллической структуры. Подобная рас-
шифровка впервые была произведена Брэггами в 1913 году54.
Первыми веществами, структура кристаллов которых была экспе-
риментально расшифрована, оказались поваренная соль (NaCl) и ее
аналог сильвин (КС1).
То, что элементарная ячейка кристаллов поваренной соли или
сильвина является кубиком, практически не вызывало сомнений и до
начала измерений, так как на это указывала естественная форма кри-
сталлов. Даже существовала гипотеза55 о возможном строении этих
кристаллов: в узлах решетки Бравэ с простой кубической ячейкой
54Получив лауэграммы цинковой обманки и поваренной соли, Лауэ
к 1913 году не сумел определить тип кристаллической структуры этих ве-
ществ.
55 Одним из авторов этой гипотезы был профессор химии Кембриджского
университета Поуп, по предложению которого и были проведены измерения.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
333
атомы56 металла и галогена расположены попеременно. Элементарная
ячейка кристалла поваренной соли изображена на рис. 3.25. Если на
рисунке ионы Na+ заменить ионами К+, то получится элементарная
ячейка сильвина.
Это очень простая по сути
кристаллическая структура пред-
ставляет собой две гранецентриро-
ванные решетки из ионов каждо-
го сорта, сдвинутые друг относи-
тельно друга. Так, если мыслен-
но убрать ионы Na+, то останет-
ся гранецентрированная ячейка со
стороной d, образованная ионами
С1-. Если же мысленно убрать ио-
ны С1“, то останется гранецентри-
рованная решетка из ионов Na+,
сдвинутая на d/2 (вдоль любой из
координат) относительно решетки
Рис. 3.25. Элементарная ячейка
кристаллов NaCl и КС1
из С1~. При этом элементарной
ячейкой является именно кубик со
стороной d, а не кубик со стороной
d/2, так как трансляция последне-
го на d/2 переводит ионы С1~ в ио-
ны Na+, а трансляция элементарной ячейки должна переводить кри-
сталлическую структуру саму в себя.
Первое определение структуры отличалось от всех последующих
измерений тем, что достоверно не были известны ни длина волны
используемого рентгеновского излучения, ни структура изучаемого
кристалла. Результаты измерений Брэггов, решившие обе проблемы
разом, представлены на рис. 3.26.
Первичное излучение создавалось в рентгеновской трубке с ано-
дом из палладия. Измерялось отражение рентгеновских лучей от есте-
ственных или искусственных граней57 (100), (110) и (111). На одно
измерение интенсивности дифрагировавшего луча уходило всего 4 се-
кунды.
Счастливым обстоятельством, позволившим Брэггам добиться ус-
пеха, оказалось то, что спектр первичных рентгеновских лучей58 со-
ответствует наложению интенсивных спектральных линий характери-
56На самом деле в узлах решетки расположены ионы. Брэгги и открытии
этот неожиданный факт, о чем рассказывается далее.
57Рис. 3.19 показывает, что атомная плоскость с символом (100) является
естественной гранью кубических кристаллов поваренной соли и сильвина.
Из того же рисунка ясно, как на кубическом кристалле изготовить искус-
ственные грани, отвечающие символам (110) и (111).
58 То есть зависимость интенсивности монохроматической спектральной
компоненты от ее длины волны.
334
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
стического излучения на плавно меняющийся спектр тормозного из-
лучения (см., например, рис. 3.34)59. В частности, в описываемом экс-
перименте Брэггов первичное излучение состояло из тормозного из-
лучения, на которое были наложены две спектральные линии (более
сильная Ка и более слабая Кр) характеристического излучения пал-
ладия.
Рис. 3.26. Относительная интенсивность зеркально отраженных от
граней поваренной соли и сильвина рентгеновских лучей как функ-
ция удвоенного угла скольжения (Брэгги, 1913 г.)
Если на грань кристалла падает "белое” рентгеновское излучение,
а ионизационный детектор измеряет интенсивность зеркально отра-
женных от грани лучей как функцию угла скольжения $, то из урав-
нения Брэгга 2d(hfc/)sin$ = NX следует, что отражение будет иметь
место для любого угла $, при этом интенсивность отраженного лу-
ча будет пропорциональна интенсивности именно той спектральной
компоненты, которая удовлетворяет уравнению Брэгга при фиксиро-
ванной величине $. Если первичное спектральное распределение со-
держит две линии (Ка и Кр), то и зависимость интенсивности от угла
скольжения тоже будет иметь два максимума, соответствующего двум
линиям в первичном спектре. При этом эти два максимума должны
повторяться при возрастании углов, так как возможно отражение пер-
59 О тормозном и характеристическом излучении говорится в следующем
подразделе.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
335
вого порядка (N = 1), второго (N = 2), и так далее. Как было отмечено
выше, интенсивность отражения при росте N падает, поэтому макси-
мумы высших порядков дифракции монотонно уменьшаются. Кроме
того, интенсивность отражения падает с ростом угла скольжения (об
этом подробнее будет сказано далее), поэтому амплитуда пика при
W = 1 уменьшается с переходом от грани (100) к граням (110) и (111).
Обратившись к экспериментальным данным Брэггов, увидим, что
характер отражения первичного рентгеновского излучения от кристал-
лов в точности совпадает с вышеописанным.
Начнем с данных для сильвина (см. верхнюю часть рис. 3.26). От-
ражение от каждой из граней сильвина дает повторение /Са-линии
палладия при возрастающих значениях углов60, синусы которых от-
носятся друг к другу как 1 : 2 : 3, то есть соответствуют дифракции
первого, второго и третьего порядков.
В то же время значения углов, соответствующих дифракции пер-
вого порядка для разных граней, дают отношения межплоскостных
расстояний для сильвина:
d(ioo) : d(no) : rf(iii) — 1 •
1
V2
1
(3.48)
3
Но такое отношение межплоскостных расстояний в точности соот-
ветствует простой кубической решетке61, как это следует из формулы
(3.44), что вело Брэггов к выводу о приблизительной одинаковости
свойств всех рассеивающих центров в узлах предполагаемой решет-
ки сильвина (см. рис. 3.25), ведь такая решетка — простая кубическая
со стороной d/2!
Последнее обстоятельство, в свою очередь, позволило Брэггам
прийти к выводу о том, что в узлах кристаллической решетки щелоч-
но-галоидных соединений расположены не атомы, а ионы62, хотя до их
работы считалось, что кристаллическая решетка состоит из регулярно
повторяющихся в пространстве электронейтральных атомов или моле-
кул63 .
В самом деле, по мере роста атомного номера (то есть по мере ро-
ста числа электронов в атоме) элементы все более эффективно рассе-
ивают первичное рентгеновское излучение. Если вспомнить, что хлор
— семнадцатый, а калий — девятнадцатый элементы, то станет ясно,
60На рис. 3.26 отложены углы поворота детектора, равные удвоенным уг-
лам скольжения, при которых осуществляется зеркальное отражение лучей
от граней.
61 Нетрудно видеть, что отношения тех же межплоскостных расстояний
для решеток с о. ц. к. и г. ц. к. элементарными ячейками будут другими.
62Это открытие Брэггов объяснило, почему не только растворы солей, но
и их расплавы являются электролитами (см. гл. 2, разд. 2.2).
63Молекулярные кристаллы, в которых регулярно в пространстве повто-
ряются именно молекулы, действительно существуют. Примером молеку-
лярного кристалла является обыкновенный лед, в узлах кристаллической
решетки которого расположены молекулы НгО.
336
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
что у соответствующих ионов будет по 18 электронов64, а структура
их электронных оболочек будет сходной. Тогда ионы К+ и С1“ как ис-
точники вторичного излучения должны вести себя почти одинаково,
обеспечивая кристаллической структуре сильвина симметрию простой
кубической решетки.
В то же время ион Na+ имеет 10 электронов, что почти в 2 раза
меньше, чем электронов у С1~, так что ионы натрия рассеивают из-
лучение существенно слабее, чем ионы хлора, а решетка поваренной
соли должна вести себя не как простая кубическая решетка, а как две
гранецентрированных решетки из ионов Na+ и С1~.
И действительно, если обратиться к данным для поваренной соли
(см. нижнюю часть рис. 3.26), то станет заметной существенная раз-
ница в характере отражения лучей от КС1 и NaCl.
Начнем с плоскости (100), характер отражения от которой совпа-
дает с отражением от аналогичной плоскости сильвина. Отчетливо за-
метны первые три порядка дифракции, но только сдвинутые в сторону
больших углов, чем у сильвина. Сравнение углов дифракции первого
порядка для поваренной соли и сильвина позволяет проверить, одина-
кова ли структура решеток обоих веществ.
Действительно, известно, что молярный объем для любого веще-
ства есть где ц — молекулярная масса, д — плотность вещества.
Поскольку в моле любого вещества содержится Na молекул, то объем,
приходящийся на одну молекулу, есть частное от деления молярного
объема на число Авогадро. Значит отношение объемов, приходящихся
на одну молекулу у сильвина и поваренной соли, будет
МКС1 / MNaCl = 37^6 = х ,
0КС1 / Q NaCl 26.99
где подставлены ^Kci = 74.55, £Kci = 1-99 г/см3, /zNaCi = 58.44,
0NaCl = 2.165 г/см3.
С другой стороны, объем, приходящийся на одну молекулу, в лю-
бой кристаллической структуре пропорционален объему элементарной
ячейки d3. Для кристаллических решеток поваренной соли и сильвина
(см. рис. 3.25) имеем с?(юо) = d/2, откуда следует, что, если решетки
КС1 и NaCl подобны, то должно выполняться равенство
^(100), KC1
100), NaCl
3 / М KC1 / М NaCl
V 0KC1 / £>NaCl
1.115,
(3.50)
где было подставлено численное значение из (3.49).
64Как выяснилось из позднейших более точных измерений, заряд ионов
в кристаллах является не обязательном целым элементарным зарядом е,
а является эффективным зарядом, по-существу показывающим, какую до-
лю времени электрон проводит вблизи отрицательного иона или отсутствует
вблизи положительного. Так, например, для кристалла поваренной соли эф-
фективный заряд ионов оказался равным ±0.9 е.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
337
С другой стороны, из уравнения Брэгга следует, что отношение
межплоскостных расстояний обратно пропорционально синусам углов,
при которых наблюдается первый порядок дифракции, то есть
^(юо), кс1 = sini/j^ci _ 1 115
d(100), NaCl sin^HC!
(3.51)
Итак, предположение об идентичности кристаллических структур
КС1 и NaCl привело к предсказанию отношения синусов (3.51).
Из данных же Брэггов следует (см. рис. 3.26), что для сильвина
дифракционное отражение от системы плоскостей (100) наступает при
19кс1 = 5°23', а для поваренной соли — при $Naci = 6°0', откуда
1.115,
sini?(Kci
что совпадает с (3.51) и подтверждает, тем самым, подобие решеток
сильвина и поваренной соли.
Отражения от плоскостей (100) и (110) КС1 и NaCl соответствуют
друг другу, но вот характер отражения от системы плоскостей (111)
значительно отличается! Для поваренной соли виден маленький пик,
соответствующий углу скольжения около 5°, а также более интенсив-
ный пик около угла в 10°. Синусы этих углов относятся как 1 : 2, то
есть это дифракционные пики первого и второго порядков. Однако пик
дифракции первого порядка меньше пика дифракции второго поряд-
ка, а межплоскостное расстояние d(in) для NaCl в 2 раза больше, чем
для КС1, что непосредственно видно из приведенных данных. Иными
словами, отношения межплоскостных расстояний для NaCl равны
(3.52)
Чтобы понять, поче-
му так получилось, обра-
тимся к рис. 3.27, на кото-
ром изображены последо-
вательные плоскости се-
мейств (100), (ПО) и (111),
так что ясно видны меж-
плоскостные расстояния.
Если внимательно посмот-
(100)	(110)	(111)
NaCl NaCl NaCl
rf(ioo> =d/2
NaCl NaCl NaCl
Cl Na Cl Na Cl
^(iu) = rf/s/S’
Рис. 3.27. Ионный состав плоскостейNaCl
реть на рис. 3.25, то ста-
нет видно, что плоскости (100) и (ПО) содержат равное число ионов
Na+ и С1~, а вот плоскости (111) попеременно содержат только ионы
одного типа. Под семейством (111) приведено определяемое дифракци-
ей расстояние d(m) = d/\/3, которое равно расстоянию между плос-
костями одинаковых ионов, тогда как расстояние между соседними
плоскостями из ионов Na+ и С1“, естественно, в 2 раза меньше.
338
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Теперь особенности дифракционного отражения от всех трех гра-
ней и сильвина, и поваренной соли находят свое объяснение на основе
модели элементарной ячейки, из которой исходили Брэгги.
Плоскости (100) и (110) содержат равное количество ионов Na+
и С1~, то есть имеют одинаковый состав. Понятно, что излучение та-
ких плоскостей при разности хода в половину длины волны полностью
гасится. Плоскости же (111) попеременно дают сильный (ионы С1~
имеют 18 электронов) и слабый (ионы Na+ имеют только 10 электро-
нов) сигналы отражения.
При первом выполнении условия Брэгга для плоскостей (111), со-
стоящих из одинаковых ионов (что отвечает величине dm = d/x/3),
разность фаз между волнами, отраженными соседними плоскостями
из одинаковых ионов, будет равна длине волны излучения А. При этом
излучение от соседних плоскостей, состоящих из других ионов, бу-
дет иметь разность фаз ровно в половину длины волны, то есть бу-
дет уменьшать отраженную волну. В случае сильвина, где ионы К+
и С1" имеют приблизительно одинаковую рассеивающую способность,
это ведет к полному исчезновению волны, а в случае поваренной соли
излучение плоскостей из Na+ только ослабляет сигнал от плоскостей
С1“, так что появляется слабый пик дифракции первого порядка. Ко-
гда же наступает дифракция второго порядка, то разность фаз между
ближайшими плоскостями Na+ и С1“ достигает полной длины волны,
так что излучение от этих плоскостей начинает усиливать друг друга,
и возникает относительно большой отраженный сигнал, соответству-
ющий дифракции второго порядка.
Совпадение результатов измерений с предсказаниями на основе мо-
дели элементарных ячеек КС1 и NaCl (см. рис. 3.25) позволило Брэг-
гам подтвердить правильность исходной посылки. Одновременно бы-
ло доказано, что по крайней мере в кристаллах щелочно-галоидных
соединений структурными частями решетки являются не атомы или
молекулы, а ионы.
В свою очередь, установление структуры NaCl позволило оп-
ределить размер элементарной ячейки кристалла вычислением,
которое ниже воспроизводится.
Обратимся вновь к элементарной ячейке поваренной соли
(см. рис. 3.25), где изображены 27 ионов (14 ионов С1“ и 13 ионов
Na+). Полностью ячейке принадлежит лишь один ион Na+, рас-
положенный в ее центре. Остальные 12 ионов Na+ расположены
на ребрах ячейки.
Если представить себе не одну такую ячейку, а пространство,
целиком заполненное ячейками (то есть макроскопический фраг-
мент кристалла), то, очевидно, каждое ребро будет границей
соприкосновения четырех примыкающих друг к другу соседних
ячеек. Тогда ион Na+, расположенный на ребре, будет принад-
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
339
лежать каждой из четырех ячеек лишь на четверть, и, следова-
тельно, число ионов Na+, приходящееся на одну ячейку, будет
1+12/4=4.
Теперь найдем число ионов С1“ в одной ячейке. Из 14 та-
ких ионов 8 расположены в вершинах ячейки (а вершина есть
место касания восьми разных ячеек) и 6 — в центрах граней (ме-
стах контакта двух соседних ячеек), так что число ионов С1” бу-
дет 8/84-6/2=4. Наглядно представить, как атомы или ионы раз-
деляются по соседним ячейкам, позволяет рис. 3.28, на котором
изображена элементарная ячейка г. ц. к. решетки, в узлах кото-
рой расположены не абстрактные точки — узлы решетки Бравэ,
а сферы конечного размера, условно представляющие атомы или
ионы.
Итак, на одну элементарную ячей-
ку объемом d3 приходится по 4 иона
Na+ и СГ, однако отдельных молекул
в ионном кристалле нет. По существу,
весь ионный кристалл — одна гигант-
ская молекула. Но весовые соотноше-
ния в кристалле будут такими же, как
и в единственной молекуле NaCl. Имен-
но это позволяет говорить о поваренной
Рис. 3.28. Атомы в уз-
лах г. ц. к. решетки
соли в твердой фазе как о соединении со
стехиометрической формулой NaCl.
Теперь размер элементарной ячейки
можно найти, пользуясь данными макроскопических измерений.
В самом деле, молекулярная масса поваренной соли есть
MNaci — MNa + Mei — 22.99 + 35.45 — 58.44.
Плотность поваренной соли при 25 °C £Naci = 2.165 г/см3, откуда
получается молярный объем
см3 = 26.99 см3 .
2.165
Так как в одном грамм-моле содержится Na — 6.022 • 1023 моле-
кул, то объем элементарной ячейки (содержащей 4 "молекулы")
есть d3 = 4 • 26.99/(6.022 • 1023)см3 = 179.3 • 10-24см3, откуда
d = 5.64 А.
К 1914 году Брэгги свели анализ по крайней мере простых
кристаллов к стандартной процедуре. В 1915 году отец и сын
Брэгги получили Нобелевскую премию по физике "за заслуги
340
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
в исследовании структуры кристаллов с помощью рентгеновских
лучей”.
Последующие измерения показали, что многие (но не все)
щелочно-галоидные соединения в нормальных условиях имеют
кристаллическую структуру поваренной соли, о чем дает пред-
ставление табл. 3.1.
Таблица 3.1
Некоторые вещества со структурой NaCl
Кристалл	Размер элементарной ячейки d, A	Кристалл	Размер элементарной ячейки d, A
LiF	4.02	KF	5.35
LiCl	5.13	KC1	6.29
LiBr	5.50	KBr	6.60
Lil	6.00	KI	7.07
NaF	4.62	RbF	5.64
NaCl	5.64	RbCl	6.58
NaBr	5.97	RbBr	6.85
Nal	6.47	Rbl	7.34
Рис. 3.29. Элементарная ячейка
NaCl, белые сферы условно изобра-
жают ионы С1“, черные — Na+
В 1920-е годы было впер-
вые отмечено, что ион в кри-
сталле можно охарактеризо-
вать ионным радиусом, счи-
тая катионы и анионы прак-
тически несжимаемыми ша-
рами определенного радиуса,
вплотную прижатыми друг
к другу в кристаллической ре-
шетке силами электростатиче-
ского притяжения. В таком
случае сумма ионных радиу-
сов для соединений с решет-
кой типа NaCl есть, очевидно,
половина ребра элементарной
ячейки d/2, а саму элементарную ячейку можно представлять
как плотную упаковку шаров, как это изображено на рис. 3.29.
С приличной точностью (единицы процентов и лучше) оказыва-
ется, что независимо от типа соединения величина d/2 действи-
тельно есть сумма соответствующих ионных радиусов.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
341
Если кристалл не ионный, а ковалентный или металличе-
ский, то вместо ионного радиуса вводят атомный радиус, ко-
торый позволяет довольно точно оценивать межъядерные рас-
стояния в кристаллах или молекулах. Конечно, атомы и ионы
не являются несжимаемыми сферами и не имеют строго опреде-
ленного размера, однако во многих случаях представление об их
радиусах является весьма точной и полезной аппроксимацией.
Существует несколько систем ионных радиусов, первая из ко-
торых принадлежит норвежскому геохимику Гольдшмидту. Ион-
ные радиусы по Гольдшмидту приведены в табл. 3.2. Сравнение
таблиц 3.1 и 3.2 дает представление о высокой точности аппрок-
симации межъядерных расстояний в ионных кристаллах суммой
соответствующих ионных радиусов.
Таблица 3.2
Ионные радиусы по В.М. Гольдшмидту
Ион	Ионный радиус, А	Ион	Ионный радиус, А
Li+	0.78	F"	1.33
Na+	0.98	СГ	1.81
к+	1.33	Вг-	1.96
Rb+	1.49	I"	2.20
Последующие исследования показали, что примерно 95 % ли-
тосферы (то есть каменной оболочки Земли) составляют поли-
кристаллы, а аморфные вещества (стекло, например) скорее ис-
ключение из правила. Возможность выяснить все это дали ме-
тоды рентгеноструктурного анализа, позволившие ’’заглянуть”
внутрь твердых тел и экспериментально подтвердить дискрет-
ность вещества и в твердой фазе. В курсе атомной физики нет
возможности более подробно освещать соответствующие вопро-
сы, теперь находящиеся в ведении физики твердого тела и фи-
зического материаловедения.
Упомянем лишь несколько наиболее важных выводов.
Выявлены четыре группы кристаллов, отличающихся типом
связей между структурными элементами. Это — открытые Брэг-
гами ионные кристаллы, а также ковалентные, металлические
и молекулярные кристаллы. К настоящему времени изучено бо-
лее 100000 кристаллических структур разных веществ, причем
лишь около 20000 из них — неорганические кристаллы, большая
же часть кристаллических структур — органического происхож-
дения.
342
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Таблица 3.3 дает представление об их разнообразии.
Таблица 3.3
Типичные параметры элементарных ячеек кристаллов
Кристаллы	Размер элементарной ячейки, А	Число атомов в элементарной ячейке
Химические элементы, простейшие соединения	5-10	ДО 10
Неорганические и простые молекулярные соединения	10-20	до 100
Сложные органические соединения	20-40	до 1000
Белки	до 100—300	1000-100000
Вирусы	до 2000	10е—10у
Среди особенно заметных достижений рентгеноструктурного ана-
лиза в XX веке следует назвать расшифровку структур нескольких
сотен сложнейших веществ биологического происхождения.
Так, английские биохимики Дж. Кендрю и М. Перутц расшифро-
вали структуру миоглобина65 и гемоглобина66 соответственно, за что
в 1962 году получили Нобелевскую премию по химии "за исследование
структуры глобулярных белков”.
В том же 1962 году Нобелевская премия по физиологии и медицине
была вручена молекулярным биологам Ф. Крику, Д. Уотсону и био-
физику М. Уилкинсу ”за открытия, касающиеся молекулярной струк-
туры нуклеиновых кислот и их значения для передачи информации
в живых системах”. Иными словами, была открыта пространственная
структура ДНК (в виде двойной спирали).
Не менее грандиозно достижение трех западногерманских исследо-
вателей — Р. Хубера, Й. Дайзенхофера и X. Михеля, расшифровавших
структуру (с указанием координат каждого атома), отвечающую за
процесс фотосинтеза в живой бактерии, за что им в 1988 году была
присуждена Нобелевская премия по химии.
В заключение подраздела упомянем о еще одном важном ме-
тоде рентгеноспектрального анализа, предложенном в 1916 году
и называемым методом Дебая—Шеррера.
65Белок, состоящий приблизительно из 50 аминокислот (около 2600 ато-
мов), запасающий кислород в мышцах людей и животных.
66 Глобулярный белок крови, переносящий кислород от органов дыхания
тканям, а углекислый газ — в обратном направлении.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
343
Как уже было указано,
большинство твердых тел —
поликристаллы (в том чис-
ле и металлы), состоящие
из кристаллитов — мелких
монокристалликов (размера-
ми от нескольких микрон до
нескольких миллиметров), не
имеющих явно выраженной
огранки. Для исследования
поликристаллов методы Лауэ
и Брэггов не годятся, так как
Рис. 3.30. К методу Дебая—
Шеррера
требуют наличия монокристаллов хорошего качества. Метод
Дебая—Шеррера (метод кристаллических порошков) был спе-
циально предложен для исследования поликристаллических ве-
ществ. Суть метода поясняет рис. 3.30.
Коллимированный монохроматический рентгеновский луч па-
дает на небольшой образец Polykr из прессованного кристалли-
ческого порошка или поликристаллического материала с разме-
рами кристаллитов от 1 до 10 мкм. При заданной длине волны
А возможны следующие брэгговские углы отражения от плоско-
стей кристаллической структуры: sin 19 = NX/2d^hk^ .
Соответствующим образом
ориентированные по отноше-
нию к первичному лучу от-
ражающие плоскости всегда
находятся в образце из-за
того, что в поликристалле
или порошке много хаотиче-
ски расположенных кристал-
литов. Дифрагировавшие лу-
чи будут распространяться
вдоль конических поверхно-
стей под углами 219 к направ-
лению первичного луча. При
применении плоской фотопла-
стины S (см. рис. 3.30) наблю-
дается серия окружностей.
Рис. 3.31. Метод Дебая—Шеррера
с цилиндрически свернутой фото-
пленкой
Весь диапазон брэгговских углов регистрируют, используя
фотопленку, размещенную вдоль поверхности цилиндра, как это
изображено на рис. 3.31. В обоих случаях зафиксированная кар-
тина дифракции называется дебаеграммой.
344
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 3.32. Получение рентгенов-
ского спектра с помощью иониза-
ционного детектора
3.1.4 Рентгеноспектральный анализ
Развитие рентгеноструктурного анализа создало предпосылки
для прецизионного измерения длины волны рентгеновских лу-
чей. Сначала, как было описано в предыдущем подразделе, Брэг-
ги установили кристаллическую структуру NaCl и КС1, для че-
го им даже не понадобилась величина длины волны излучения
А, так как необходимо было сравнивать лишь отношения меж-
плоскостных расстояний, определяемых формулой Брэгга (3.46)
с неизвестной длиной волны характеристического излучения пал-
ладия, сокращавшейся при делении.
В свою очередь, знание ве-
личины d для NaCl позволя-
ет использовать этот кристалл
для измерения длины волны
рентгеновских лучей, как это
показано на рис. 3.32. Излуче-
ние рентгеновской трубки R
сквозь диафрагмы D падает
на кристалл Кг. Из уравнения
Брэгга (3.46) можно найти А,
если измерены угол дифрак-
ции 19 и порядок дифракции N. Вращение кристалла (то есть из-
менение угла 19), с одновременным вращением детектора (с удво-
енной угловой скоростью) дает возможность найти распределе-
ние рентгеновских лучей по длинам волн.
После того, как стало ясно, что рентгеновские лучи могут
интерферировать, то есть взаимно усиливать или гасить друг
друга, победила точка зрения, что рентгеновские лучи — это
электромагнитные колебания, испускаемые электронами, пада-
ющими на поверхность анода рентгеновской трубки. Большин-
ство электронов при соударениях с веществом анода испытывает
лишь скользящие соударения и не излучает рентгеновских лу-
чей. На нагревание анода уходит до 99 % энергии электронного
пучка. Некоторые же электроны теряют значительную долю сво-
ей кинетической энергии в одном соударении, то есть испытыва-
ют огромное отрицательное ускорение. Именно они и испускают
короткие электромагнитные импульсы, как это и должно быть
в соответствии с законом электродинамики [см. гл. 2, формула
(2.191)].
Но импульсы малой длительности должны иметь компонен-
ты Фурье с длинами волн от 0 до +оо, то есть с классической
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
345
Рис. 3.33. Ионизационный спектр
тормозного рентгеновского излу-
чения от вольфрамового анода
точки зрения следует ожидать, что в спектре рентгеновского
излучения будут всевозможные длины волн, в том числе и про-
извольно малые. Однако американские физики У. Дуан и Ф. Хант
установили в 1915 году, что рентгеновское излучение имеет рез-
кую коротковолновую границу, называемую теперь пределом
Дуана—Ханта. Эта граница не зависит от материала анода, но
зависит от энергии электронов, бомбардирующих анод. Кинети-
ческая энергия электронов 8 связана с напряжением U на аноде
рентгеновской трубки соотношением £ = eU.
На рис. 3.33 показан спектр
рентгеновского излучения, ис-
пускаемого вольфрамовым ано-
дом при различных ускоряю-
щих напряжениях на рентге-
новской трубке. Видно, что при
каждом фиксированном напря-
жении спектр имеет резкую ко-
ротковолновую границу Amin,
необъяснимую законами клас-
сической физики. Измерения
показали, что эта граница об-
ратно пропорциональна напря-
жению на аноде:
Amin ~ —ц— А )	(3.53)
где напряжение U должно быть
выражено в киловольтах.
Общий вид спектров напо-
минает спектры равновесного
теплового излучения (о кото-
рых говорится в следующем
разделе), отличаясь от теплово-
го излучения наличием коротковолновой границы, которую уда-
лось объяснить только на основе фотонной теории Эйнштей-
на (излагаемой далее). Рентгеновское излучение, обладающее
непрерывным спектральным распределением (см. рис. 3.33), по
понятной причине назвали тормозным. Спектральное распре-
деление тормозного излучения имеет максимум, смещающийся
в коротковолновую область с ростом анодного напряжения, а об-
щая энергия генерируемых рентгеновских лучей растет с увели-
чением анодного напряжения.
346
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 3.34. Спектры рентгенов-
ского излучения вольфрама и мо-
либдена при U = 35 кВ
Как уже было указано, ко-
ротковолновая граница Amin
тормозного излучения не зави-
сит от материала анода. В ка-
честве примера, на рис. 3.34 по-
казаны спектры рентгеновских
лучей, испускаемых вольфра-
мом и молибденом при уско-
ряющем анодном напряжении
U = 35 кВ, с совпадающей ко-
ротковолновой границей.
Однако на последнем гра-
фике бросается в глаза разли-
чие спектров вольфрама (чи-
сто тормозное излучение) и мо-
либдена, у которого на тормоз-
ное излучение наложено мощ-
ное излучение двух длин волн.
Это излучение не возникает
у молибдена, если на него па-
дают электроны с энергией, мёныпей 20.1 кВ, но при бблыпих
напряжениях на аноде возникают две, как говорят, спектраль-
ные линии, длины волн которых уже от напряжения на аноде
не зависят. Оказалось, что такое явление характерно для всех
элементов. Соответствующее излучение назвали характеристи-
ческим. С ростом анодного напряжения (после порога возник-
новения) доля характеристического излучения в спектре резко
растет.
Характеристическое рентгеновское излучение
Ч.Г. Баркла открыл характеристическое рентгеновское излуче-
ние в 1906 году при экспериментальной проверке теории Томсона
(описывающей механизм рассеяния веществом первичного излу-
чения с классической точки зрения, см. подразд. 3.1.1). Баркла
нашел совпадение выводов теории с экспериментом для легких
элементов.
Изучение же вторичных рентгеновских лучей, рассеиваемых
более тяжелыми элементами, показало, что кроме лучей прибли-
зительно той же длины волны, вторичные лучи имеют компо-
ненту меньшей проникающей способности (то есть более мягкие
лучи, чем первичные), причем эти вторичные лучи излучаются
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
347
в пространство изотропно, а не в соответствии с поляризацион-
ным фактором (см. стр. 294 и индикатрису рассеяния на рис. 3.5).
Баркла также установил, что характеристическое излучение
распадается на две компоненты, которые назвал К-излучением
и //-излучением. Ч.Г. Баркла (1877—1944) был удостоен Нобелев-
ской премии по физике в 1917 году ”за открытие характеристи-
ческого рентгеновского излучения элементов”.
Лишь после того, как стали возможны точные измерения
длин волн рентгеновского излучения, в том числе и характери-
стического, оказалось, что последнее появляется не только как
вторичное рентгеновское излучение, но и возникает как первич-
ное излучение на аноде рентгеновской трубки, если ускоряющее
анодное напряжение достаточно велико.
Систематическую работу по измерению длин волн характери-
стического излучения элементов выполнил в 1913-1914 годах ан-
глийский физик Г. Мозли (1887—1915)67, который открыл важ-
ный закон, связывающий частоту характеристических рентге-
новских линий с порядковым номером элемента в периодической
системе.
В рентгеновскую трубку (см. рис. 3.32) Мозли помещал анод,
изготовленный из различных элементов, и измерял длины волн
их характеристического излучения, используя при этом фото-
регистрацию спектра. Мозли обнаружил для исследованных ве-
ществ две группы характеристических линий, отождествив их
с К- и //-излучением Баркла.
Оказалось, что характеристические рентгеновские спектры
всех элементов похожи друг на друга, и, самое главное, претер-
певают закономерное изменение при переходе от элемента к эле-
менту в периодической системе.
Увидеть характеристические спектры всех элементов от кис-
лорода (порядковый номер в периодической системе Z = 8) до
урана (Z = 92) помогают более поздние данные шведского уче-
ного Манне Зигбана (1886—1978), внесшего большой вклад в их
изучение68 и получившего Нобелевскую премию по физи-
ке 1924 года ”за открытия и исследования в области рентгенов-
ской спектроскопии”.
На рис. 3.35 представлены длины волн всех серий характери-
стического рентгеновского излучения по М. Зигбану и Р. Торесу.
67Мозли погиб во время Первой мировой войны.
683игбан, в частности, открыл две дополнительные (помимо К- и /-) се-
рии характеристического излучения — М- и TV-серии (для самых тяжелых
элементов есть еще и О-серия).
348
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
По оси ординат отложены номера Z элементов в периодиче-
ской системе (не все, а только через два на третий), а по оси
абсцисс — длины волн (в ангстремах) характеристического из-
лучения.
Самым жестким излучением элемента является /С-излучение,
затем — более мягкое L-, далее М- и АГ-излучения.
Рис. 3.35. Длины волн характеристического рентгеновского спектра
для элементов от кислорода до урана по Зигбану и Торесу (1926 г.)
В свою очередь, каждая серия излучения состоит из несколь-
ких линий убывающей интенсивности.
Так, /С-излучение распадается на /Са-, Кр- и /Су-линии, хотя
заметной интенсивностью обладают лишь первые две. Наиболь-
шей длиной волны из К-линий обладает Ка-линия, она же и са-
мая интенсивная (более тщательное исследование показало, что
эта линия является дублетом, состоящим из Ка\ и /Са2-линий,
причем первая вдвое интенсивнее второй и обладает меньшей
длиной волны, а разность их длин волн примерно постоянна для
всех элементов и равна приблизительно 0.004 А), затем идет
К^-линия меньшей интенсивности (порядка 1/7 от интенсивно-
сти Ка-линии), и так далее.
На сводке результатов Зигбана и Тореса (см. рис. 3.35) пока-
заны только /Са-линии (ббльшая интенсивность — толстые по-
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ 349
лоски) и К^-линии (меньшая интенсивность — тонкие полоски).
Аналогично представлены L- и М-серии69.
Общая картина серий характеристического рентгеновского
излучения демонстрирует монотонное уменьшение длин волн при
переходе от более легкого элемента к более тяжелому. Мозли об-
наружил, что квадратный корень из частоты характеристиче-
ского излучения для любой из линий (например, Ка) образует
арифметическую прогрессию, если элементы должным образом
упорядочить.
Рис. 3.36. JC-серия характеристического рентгеновского излучения
Последнее положение иллюстрирует рис. 3.36, на котором по
оси ординат отложены величины ^/1/А2? для линий К-серии пя-
тидесяти разных элементов, где R = 10 973 731.5 м-1 — известная
в спектроскопии постоянная Ридберга, имеющая размерность
69В частности, показанные ранее два пика характеристического излуче-
ния молибдена (см. рис. 3.34) соответствуют Ка-линии (разрешение слиш-
ком низкое, чтобы можно было увидеть ее дублетную структуру) и слив-
шимся в один пик К@- и К7-линиям.
350 ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
обратной длины и использованная специально для того, чтобы
произведение XR было безразмерным70.
Так как члены арифметической последовательности харак-
теризуются своим номером, являющимся целым числом, то за-
кономерность в рентгеновских характеристических спектрах
(см. рис. 3.36) свидетельствует, что каждому элементу мо-
жет быть сопоставлено целое число.
Мозли, открывший это, следующими словами совершенно пра-
вильно раскрыл смысл получаемого таким образом целого числа
как заряда ядра Z в единицах элементарного электрического за-
ряда е:
"Резерфорд доказал, что наиболее важной составной частью
атома является его центральное положительно заряженное ядро,
а ван ден Брук выдвинул гипотезу о том, что заряд ядра всегда
является целым кратным заряда ядра атома водорода. Имеют-
ся все основания предполагать, что целое число, управляющее
спектром рентгеновских лучей, совпадает с числом единиц элек-
трического заряда ядра. Поэтому наши эксперименты обеспе-
чивают наилучшее возможное подтверждение гипотезы ван ден
Брука"71.
Как известно, Менделеев в 1869 году поместил в таблицу все от-
крытые к тому времени элементы, расположив их по возрастанию мас-
сы с учетом сходства некоторых физических и химических свойств,
но допустив при этом несколько исключений (Со—Ni, Те—I, а позд-
нее, когда неожиданно для Менделеева были открыты благородные
газы, Аг—К), что делало честь его проницательности как химика, но
лишало закономерности принципиально неверный вывод Менделеева,
названный им периодическим законом:
"Элементы, расположенные по величине их атомного веса, пред-
ставляют явственную периодичность свойств"72.
70 Вместо постоянной Ридберга можно было бы использовать любую дру-
гую величину, имеющую размерность обратной длины. От этого изменится
только шаг арифметической прогрессии.
71В свою очередь, прямое измерение заряда ядра нескольких элементов,
выполненное Дж. Чедвиком в 1920 году (см. гл. 2, подразд. 2.9.4) подтверди-
ло правоту Мозли, отождествившего открытое им натуральное число с за-
рядом ядра.
72 В результате развития атомной физики стало ясно, что химические свой-
ства атома в основном определяются зарядом его ядра, но никак не массой.
Тем не менее, Менделеев до конца отстаивал положение, будто бы силы
химического притяжения зависят от массы, а атомы неделимы. Смысл от-
крытия Менделеева, далекий от его формулировки ’’периодического закона”,
стал ясен только после создания в 1920-х годах квантовой механики.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
351
В 1869 году было известно 62 элемента, Менделеев предсказал су-
ществование еще трех элементов, но не открытых элементов между во-
дородом и ураном было в десять раз больше — 30. Более того, удачные
предсказания Менделеева вспоминать любят, а неудачные — нет, хотя,
как писал Менделеев в 1902 году, стремясь "прежде всего извлечь из
периодического закона то, что он может дать", он предсказал целый
ряд несуществующих элементов73: два благородных газа — коро-
ний с атомным весом А ~ 0.4 и эфир с атомным весом А < 0.000 000 96,
который Менделеев собрался было назвать ньютонием, а также новые
элементы с 1 < А < 4 и, в частности, галоген с атомным весом А = 3.
"Периодический закон" Менделеева не только не позволял отве-
тить на вопросы принципиальной важности (Является ли водород
первым элементом? Могут ли быть открыты новые группы элементов
вроде группы благородных газов, о которой "умолчал" "периодичес-
кий закон" Менделеева? Каково общее число разных элементов от во-
дорода до урана?), но в конце концов привел его автора к неудачным
предсказаниям существования несуществующих элементов.
Невозможно было в таблице Менделеева и приписать элементу по-
рядковый, или атомный номер Z, так как в таблице элемент опреде-
ляется двумя числами, а не одним. И даже если и можно было перену-
меровать все элементы по возрастанию массы (с упомянутыми исклю-
чениями), то смысла в этом было не больше, чем в последовательной
нумерации комнат многоэтажного здания.
Закон Мозли опроверг формулировку "периодического зако-
на" Менделеева, так как указал на такое свойство элементов
(длина волны характеристического излучения), которое моно-
тонно, а не "периодически" зависит от порядкового номера эле-
мента. Характеристические рентгеновские спектры, продемон-
стрировав монотонный (а не "периодический") характер изме-
нения, позволили сопоставить каждому элементу от водорода до
урана свой порядковый номер и установить, что водород — пер-
вый, самый легкий элемент, а уран — девяносто второй74.
Закон Мозли позволил сделать то, что не позволял "перио-
73См. Менделеев Д.И. Попытка химического понимания мирового эфира.
(Датирована: Октябрь, 1902 г.)//Вестник и Библиотека самообразования,
1903, N1, стлб. 25-32; N2, стлб. 83-92; N3, стлб. 113-122, N4, стлб. 161-176.
(Перепеч.: Д.И. Менделеев. Периодический закон. М.: Изд-во АН СССР,
1958, с.470-517.
74Элементы от Z = 58 до Z = 71, называемые редкоземельными, или лан-
таноидами, имеют столь малые различия в химических свойствах, что их
размещение в периодической системе возбуждало большие сомнения, устра-
ненные лишь после появления закона Мозли. Такая же точно ситуация ха-
рактерна и для сходных по химическим свойствам с лантаноидами актино-
идов — химических элементов от Z = 90 до Z = 103.
352
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
дический закон”: найти все пропуски, соответствующие еще не
открытым в 1914 году элементам.
С тех пор все элементы от водорода до урана были откры-
ты, для их упорядочения служит таблица, лишь по историческо-
му недоразумению именующаяся периодической системой эле-
ментов: в математике под периодичностью понимается строгое
повторение значения функции через период. Ничего подобного
в области химических элементов не происходит, а речь идет лишь
о схожести некоторых свойств элементов, не укладывающей-
ся в точные количественные характеристики. Поэтому слово пе-
риодический, традиционно относимое к системе элементов, явно
неудачное, которое следовало бы заменить иным, лучше харак-
теризующим ситуацию словом, или просто отбросить, называя
’’периодическую систему элементов” просто таблицей элементов,
помня и о лантаноидах с актиноидами, и о таких монотонных
свойствах, как длина волны характеристического рентгеновско-
го излучения элемента.
После присвоения каждому элементу атомного номера Z за-
кон Мозли может быть выражен в следующей количественной
форме 75:
jCL = a(Z_s))	(3.54)
у Alt
где а и s — величины, практически постоянные в пределах любой
серии характеристического излучения, но меняющиеся от серии
к серии.	___
В частности, для Ка-серии константы а = 0.86 ~ л/3/4
и s ~ 1, так что длины волн этой серии можно записать в виде
13	/ 1	1 \
J- = R^Z-iy = R(Z-iy 4-^ •	(3.55)
АКа 4	\ 1	2 /
Характеристическое излучение элементов является их "ви-
зитной карточкой", допускающей идентификацию элемента по
его рентгеновскому спектру.
Законы квантовой механики (см. гл. 4) дали объяснение как
эмпирически открытому закону Мозли, так и тому, что моно-
тонное увеличение числа протонов в ядре на единицу влечет
за собой так называемые "периодические" изменения некоторых
физических и химических свойств элементов.
75На самом деле приводимая далее формула не абсолютно точная, а лишь
приближенная. Существуют небольшие отклонения от линейности по Z.
3 1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
353
Абсолютное определение длины волны рентгеновских лу-
чей
В подразделе о спектроскопии рентгеновских лучей следует оста-
новиться на принципиально важном методе абсолютного изме-
рения длины волны рентгеновских лучей.
В 1922 году американский физик Артур Кбмптон (1892—1962)
добился впечатляющего результата, экспериментально показав,
что возможно полное отражение рентгеновского излучения не
только от металлов (то есть поликристаллов), но и от аморфных
веществ (стекло), если угол скольжения падающего луча мал
(до одного градуса). Отражение от стекла указывало на то, что
это не дифракционный эффект, а известное из обычной оптики
явление, когда лучи, идущие из оптически более плотной сре-
ды в оптически менее плотную, могут полностью отразиться от
поверхности раздела. Таким образом, результат Комптона ука-
зывал на то, что показатель преломления веществ по отношению
к рентгеновским лучам меньше единицы, тогда как еще Рентген
показал, что если коэффициент преломления для рентгеновских
лучей и отличается от единицы, то на очень малую величину 6.
Пользуясь законом преломления Снеллиуса, легко найти
связь между показателем преломления п = 1 — 6 и предельным
углом скольжения т?о полного внешнего отражения рентгенов-
ских лучей от поверхности материала:
^ = у/26.	(3.56)
Если не учитывать поглощения излучения в веществе, то при
углах 'О < т?о коэффициент отражения76 R должен быть равен
единице, а с учетом поглощения рентгеновского излучения, есте-
ственно, становится меньше единицы для любых $ > 0.
На рис. 3.37 показаны результаты измерения коэффициента
отражения R рентгеновских лучей трех разных длин волн от
поверхности серебра при разных углах скольжения
Видно, что для каждой длины волны сначала коэффициент
отражения мало отличается от единицы, но при некотором угле
скольжения (для Ai = 1.242 А такой угол « 22') начинается его
резкое уменьшение. Если ассоциировать этот угол с величиной
т?о5 определяемой уравнением (3.56), то можно оценить коэффи-
циент преломления серебра для каждой из трех длин волн.
76Коэффициент отражения есть отношения интенсивности отраженного
луча к интенсивности падающего луча.
354 ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Угол скольжения мин.
Рис. 3.37. Коэффициент отражения от серебра R для трех длин волн
Ai = 1.242 А, Л2 = 1.537 А и Аз = 2.285 А как функция угла сколь-
жения д
Например, взяв для Ai = 1.242 А т?о = 22', получим, что
J = т?о/2 « 2 • IO"5. Как уже отмечалось ранее, это и есть типич-
ная величина 5 ~ 10-5—10-6, на которую показатель преломле-
ния рентгеновских лучей меньше единицы.
Полученное Комптоном полное внешнее отражение рентге-
новских лучей при малых углах скольжения от гладких поверх-
ностей навело его на мысль попробовать получить дифракцион-
ное отражение рентгеновских лучей от обычной оптической от-
ражательной решетки. Казалось бы, что, в соответствии с урав-
нением Брэгга (3.46), рентгеновские лучи могут отражаться лишь
зеркально от системы параллельных плоскостей. Но в случае
полного отражения не может возникать заметная интерферен-
ция лучей от системы плоскостей, приводящая в результате
к уравнению (3.46). При малых углах скольжения будет рабо-
тать просто уравнение дифракции на одномерной дифракцион-
ной решетке, совпадающее с уравнением Лауэ для дифракции на
одномерной цепочке (3.26):
d(cos 0 - cos т?') = NX,	(3.57)
где d — расстояние между штрихами решетки, д и — углы
скольжения падающего и дифрагировавшего лучей.
К 1925 году Комптон совместно с коллегами получил ди-
фракцию рентгеновских лучей от оптической дифракционной
решетки, осуществив абсолютное измерение длины волны рент-
геновского излучения!
Главная техническая сложность, которую пришлось преодо-
леть — это точное измерение очень малых углов (десятки угло-
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ 355
вых минут), а вот особенных проблем с дифракционной решет-
кой не возникло.
Действительно, разберем, какой же шаг должен быть в та-
ком случае у дифракционной решетки. Для этого преобразуем
уравнение (3.57), заменив разность косинусов произведением си-
нусов:
2dsin ( —-— ) sin ( —-— ) = NX.	(3.
\ 2 / \ 2 /
Задав порядок дифракции N = 1, угол $ = 20' [что обес-
печивает практически полное отражение луча и применимость
уравнения (3.58)], потребуем также, чтобы $' = 40'. Тогда, под-
ставляя все эти величины в (3.58), получим уравнение, связыва-
ющее шаг решетки d с длиной волны А:
d А/(2 • 10' • 30') = 2 • 105А.
Выбирая в качестве типичной для рентгеновских лучей длину
волны А = 1 А, получим, что d ~ 20 мкм, что соответствует
всего 50 штрихам на миллиметр.
Постоянная оптической решетки d может быть измерена
с высокой точностью либо компаратором, либо путем сравнения
постоянной решетки с известной длиной волны света.
Если измерить углы скольжения падающего и дифрагировав-
шего лучей на решетке с известным шагом, можно определить
длину волны рентгеновского излучения, что Комптон впервые
и осуществил. Затем метод абсолютного измерения длин волн
рентгеновских лучей был доведен до совершенства шведскими
и американскими физиками, а относительная точность измере-
ния длины волны рентгеновских лучей достигла 0.002—0.004%!
При этом обнаружилось, что длины волн, измеренные абсолютно,
систематически отличались от длин волн того же излучения, измерен-
ных с помощью дифракции на кристаллах, причем разница превыша-
ла ошибку абсолютного измерения в 100 раз!
После нескольких лет поисков источника ошибок было признано,
что он кроется в неточности значения числа Авогадро, использован-
ного при расчете размеров элементарных ячеек кристаллов (см. выше
настоящий подраздел). Число Авогадро в начале 1930-х годов опре-
делялось с помощью соотношения Na = F/e, где F — постоянная
Фарадея, е — элементарный электрический заряд [см. гл. 2, разд. 2.1,
формула (2.5)].
В свою очередь, метод абсолютного измерения длины волны рент-
геновских лучей позволял провести все вычисления в обратном поряд-
ке: после определения А абсолютным методом можно было рассчитать
356
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
величину элементарной ячейки кристалла, затем — постоянную Аво-
гадро, а затем уже элементарный электрический заряд (как результат
деления постоянной Фарадея на число Авогадро). Такое предложение
в 1930 году внес А. Комптон.
Заряд электрона был измерен Милликеном с точностью до третьей
значащей цифры (см. гл. 2, разд. 2.6), но абсолютные измерения дли-
ны волны рентгеновских лучей показали, что Милликен где-то ошибся,
так как его значение заряда электрона отличалось от значения, полу-
ченного по предложению Комптона, почти на 0.7 %!
Между Комптоном и Милликеном развернулась полемика, завер-
шенная к 1938 году, когда не осталось сомнений, что в измерения
Милликена 1916 года вкралась систематическая ошибка, связанная
с неточностью измерения вязкости воздуха. Повторные тщательные
эксперименты по измерению вязкости привели в конце концов к сов-
падению величин элементарного электрического заряда, полученных
по методу масляной капли Милликена и по методу абсолютного изме-
рения длины рентгеновских волн Комптона.
3.1.5 Взаимодействие рентгеновского излучения
с веществом. Биологическое действие
рентгеновских лучей. Защита от лучей
Сразу же после открытия рентгеновские лучи нашли широкое
применение в медицине не только как диагностическое средство,
но и как средство борьбы с опухолями. Однако эйфория от чу-
додейственного средства быстро прошла, так как тысячи людей
(пациенты, врачи, техники, ученые) погибли от бесконтрольно-
го облучения рентгеновскими лучами. Пожалуй, это было пер-
вое предупреждение человечеству о возможных последствиях
неосторожного использования достижений физики.
При прохождении первичного рентгеновского излучения че-
рез твердые, жидкие и газообразные вещества возникают вто-
ричные рентгеновские лучи трех разных типов.
Во-первых, первичные лучи рассеиваются без изменения дли-
ны волны (то есть часть лучей просто изменяет направление рас-
пространения). Такое рассеяние называют упругим, или том-
соновским77 . За счет упругого рассеяния и осуществляется ди-
фракция рентгеновских лучей на кристаллах, а дифрагировав-
шие лучи выходят из кристаллов узкими пучками, направления
которых определяются системой уравнений Лауэ.
77В видимой части спектра такое рассеяние называется рэлеевским.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
357
Во-вторых, возможно неупругое рассеяние, которое, в свою
очередь, разделяется на корпускулярное, или комптоновское
и комбинационное, или рамановское. То, что Баркла принимал
за томсоновское рассеяние, на самом деле оказалось комптонов-
ским рассеянием, при котором рассеянные лучи некогерентны,
и происходит очень незначительное увеличение их длины волны
по сравнению с длиной волны первичного излучения. Как это
было обнаружено, подробно рассказано далее.
Наконец, в-третьих, возникает характеристическое рентгенов-
ское излучение, которое всегда менее проникающее (или более
мягкое), чем первичное излучение.
Первичное воздействие рентгеновских лучей на атомы и мо-
лекулы, как показал еще Милликен (см. гл. 2, разд. 2.6), заклю-
чается в отрыве от них одного электрона (фотоионизация).
Действие ионизирующих излучений на биологические объек-
ты изучает радиационная биология — пограничная между фи-
зикой и биологией дисциплина. Ниже упомянуты некоторые ме-
ханизмы воздействия на биологические объекты рентгеновского
и 7-излучения.
Большие органические молекулы в результате первичной фо-
тоионизации претерпевают значительные изменения, механизм
которых еще не полностью изучен ввиду исключительной слож-
ности и многообразия протекающих процессов. Фотоионизация
и следующие за ней процессы перестройки молекулы являют-
ся прямым действием ионизирующего излучения. Помимо него
существует косвенное действие облучения на органические моле-
кулы, находящиеся в растворе, так как излучение ионизует и мо-
лекулы воды, что, в свою очередь, приводит к разложению (ра-
диолизу) последних. В результате цепочки превращений78 в рас-
творе образуются свободные радикалы атомарного водорода Н
и гидроксила ОН, отличающиеся высокой реакционной способ-
ностью. Они вступают в реакцию с органическими молекулами,
что и ведет к косвенному радиационному поражению последних.
Присутствие в тканях кислорода также ведет к резкому усиле-
нию радиационного поражения (кислородный эффект).
На клеточном уровне облучение ведет к многочисленным повре-
ждениям, причем наиболее уязвимым местом является ядро клетки,
содержащее генетическую информацию. Повреждение содержащейся
в ядре клетки ДНК (разрыв одной или обеих нитей) ведет к репродук-
тивной гибели клетки, когда через 1—2 деления дефектные потомки
клетки с нарушенной генетической информацией отмирают.
78Н2О+ + Н2О -> Н3О+ + ОН, или Н2О+ + е~ -> Н2О* -> Н + ОН.
358
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
При бблыпем уровне облучения наступает гибель самой облучен-
ной клетки, называемая интерфазной гибелью.
Наконец, облучение млекопитающего (при больших дозах облуче-
ния) ведет к развитию лучевой болезни и гибели в результате опу-
стошения популяций делящихся клеток и тканей критических орга-
нов — кроветворных и пищеварительных. В последних репродуктивно
гибнут стволовые клетки — родоначальники всех функционирующих
клеток крови и клеток тонкого кишечника, ответственных за всасыва-
ние питательных веществ.
При меньших дозах облучения лучевая болезнь не возникает, но
могут наступить отдаленные последствия облучения (через 10—20 лет
и более) — сокращение продолжительности жизни, лейкозы, злокаче-
ственные опухоли и катаракты.
Количественно воздействие ионизирующих излучений на ве-
щество характеризует доза излучения — энергия ионизирующего
излучения, поглощенная единицей массы облученного вещества
(поглощенная доза D).
В СИ поглощенная доза измеряется в греях79 (Гр). 1 Гр равен
энергии в 1 Дж, поглощенной массой в 1 кг. Соответственно, раз-
мерность дозы Дж/кг. Так как 1 Гр — очень большая доза (доза
в 10 Гр убивает всех млекопитающих), то на практике часто
используют внесистемную единицу рад, 1 рад = 0.01 Гр = 1 сГр.
Прямым методом измерения дозы излучения является кало-
риметрический метод. На практике последним пользоваться за-
труднительно, поэтому интенсивность рентгеновского излучения
стали характеризовать его ионизационным действием в возду-
хе при нормальных условиях, а соответствующую величину на-
зывать специальным термином — экспозиционной дозой. Внеси-
стемной единицей измерения экспозиционной дозы принят рент-
ген.
По определению конгресса Международной комиссии по ра-
диологическим измерениям (1950 г.), рентген, Р, есть такое ко-
личество рентгеновского или 7-излучения, при котором связан-
ная с ним корпускулярная эмиссия создает в 0.001293 г сухого
воздуха ионы, несущие одну электростатическую единицу заря-
да80 каждого знака.
Поясним смысл определения. Рентгеновские лучи, проходя
сквозь воздух, непосредственно ионизуют небольшую часть мо-
лекул, создавая "корпускулярную эмиссию" в виде электронов,
79 В честь известного английского радиобиолога Луи Гарольда Грея
(1905-1965).
80Одна электростатическая единица заряда есть (1/3) • 10“9 Кл.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
359
о которых и идет речь в определении. Освобожденные в ак-
тах фотоионизации электроны обладают значительной началь-
ной кинетической энергией81 82 и, двигаясь в воздухе до полной
термализации, создают значительно бблыпую по величине (чем
начальная фотоионизация) ударную ионизацию при столкнове-
ниях с молекулами. Таким образом, если в результате облучения
воздуха в 1 см3 создается (1/3) • 10-9/(1.б • 10-19) = 2.08 • 109 пар
ионов обоих знаков, то это и есть экспозиционная доза в один
рентген.
В СИ единицей экспозиционной дозы служит Кл/кг. Вычис-
лением определяем, что
0.3333 • 10”9
1.293 • IO"6
— = 2.578 • 10"4
кг
Кл
кг
Измерения показывают, что при величине экспозиционной
дозы в 1 Р в 1 см3 воздуха при нормальных условиях выделя-
ется 1.14 • 10-8 Дж (независимо от длины волны рентгеновского
излучения), что соответствует величине поглощенной дозы из-
лучения 8.8 • 10-3 Гр.
Когда излучение, соответствующее экспозиционной дозе в 1 Р,
падает на биологические ткани, то величина поглощенной дозы
излучения меняется. Для ориентировки укажем, что в мягких
биологических тканях (хотя разные ткани имеют различное по-
глощение) поглощенная доза примерно та же самая, что и в воз-
духе — около 9.3 • 10“3 Гр, то есть порядка 1 рад.
Для учета биологического эффекта, вызываемого разными
видами ионизирующих излучений (рентгеновское и 7-излучение,
электроны и позитроны, тяжелые ионизирующие частицы), вво-
дят безразмерный коэффициент качества излучения к и эквива-
лентную дозу Н = kD , где D — доза излучения.
Эквивалентная доза учитывает тяжесть радиационного по-
вреждения биологических тканей для разных типов ионизирую-
щего излучения при одинаковой поглощенной дозе. Единицей эк-
вивалентной дозы является зиверт^2 (Зв) с размерностью Дж/кг.
Часто используется внесистемная единица эквивалентной дозы
бэр (биологический эквивалент рентгена), 1 бэр = 0.01 Зв = 1 сЗв.
81 Сумма начальных кинетических энергий всех фотоэлектронов, возника-
ющих в единице массы воздуха, называется кермой [(от англ, словосочета-
ния kinetic energy released in matter (кинетическая энергия, освобожденная
в веществе]. Экспозиционная доза пропорциональна кермё.
82В честь шведского радиобиолога Рольфа Максимилиана Зиверта (1896—
1966).
360
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Для рентгеновского излучения кладут к = 1, поэтому экви-
валентные дозы в бэрах численно равны дозам в радах (то же
относится к зивертам и грэям). В то же время экспозиционная
доза в один рентген примерно соответствует эквивалентной дозе
в один бэр (что легко запомнить).
Прирост дозы в единицу времени называется мощностью
дозы. Мощность экспозиционной дозы измеряется в мкР/час.
Например, в Санкт-Петербурге мощность экспозиционной дозы
естественного радиационного фона составляет приблизительно
13 мкР/час, а годовая экспозиционная доза — около 0.11 Р.
Радиационное поражение организма зависит от эквивалентной до-
зы, ее мощности, а также от локализации дозы. Так, эквивалентная
доза более 100 бэр, полученная однократно, вызывает острую лучевую
болезнь; эквивалентная доза в 400 бэр, полученная в течение короткого
промежутка времени при тотальном облучении тела, вызывает смерть
(примерно через месяц) облученных людей в 50% случаев (средняя
летальная доза), а эквивалентная доза в 1000 бэр влечет неизбежное
наступление смерти примерно через неделю после облучения.
Малые эквивалентные дозы могут вызывать повреждения генов
и мутации в потомстве. Так, если в течение репродуктивного периода
(первые 30 лет) человек получает эквивалентную дозу более 10 бэр,
то частота мутаций заметно возрастает. За это же время человек по-
лучает эквивалентную дозу около 4 бэр только за счет естественного
радиационного фона (обусловленного космическими лучами и радио-
активными элементами в почве и воздухе)83.
До сих пор окончательно не решен важный вопрос о том, вредно
ли облучение малыми дозами как с точки зрения наступления отда-
ленных последствий для индивидуума, так и его потомства. По одной
концепции риск возникновения неблагоприятных последствий линейно
уменьшается с уменьшением дозы, а по другой — существует предел,
ниже которого облучение не наносит никакого ущерба.
Поглощение и рассеяние рентгеновских лучей
Интенсивность узкого первичного рентгеновского луча в веще-
стве убывает по двум причинам. Во-первых, в актах фотоиони-
зации происходит истинное поглощение первичного излучения.
Во-вторых, первичное излучение преобразуется во вторичное,
что проявляется как рассеяние излучения (упругое, неупругое
и характеристическое).
83Вспомним, что без естественного радиационного фона в воздухе отсут-
ствовали бы легкие отрицательно заряженные ионы, без которых невозмож-
но поддержание жизни млекопитающих (см. гл. 1, подразд. 2.4.2).
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ 361
Для защиты от воздействия рентгеновских лучей источник
излучения необходимо экранировать достаточным по величине
слоем поглотителя. Элементарные акты поглощения и рассеяния
первичного излучения — это взаимодействие излучения с каж-
дым из атомов мишени. Достаточно ясно, что излучение равнове-
роятно взаимодействует со всеми атомами данного элемента, по-
этому, даже не имея достоверной информации о механизме всех
процессов, сопровождающих поглощение и рассеяние излучения,
можно совершенно формально описать его, введя величину соот-
ветствующего сечения. Такое сечение в рамках теории Томсона
уже вводилось [см. формулу (3.13)], что приводило к формуле
(3.18), по которой ослабление интенсивности первичного луча
малым слоем вещества пропорционально интенсивности первич-
ного луча и толщине слоя.
Поэтому сумма всех процессов, сопровождающих поглощение
и рассеяние излучения, дает уменьшение интенсивности узко-
го монохроматического рентгеновского луча, пропорциональное
как интенсивности первичного луча, так и толщине слоя:
di = —pldx ,	(3.59)
где коэффициент пропорциональности р называется линейным
коэффициентом ослабления и имеет размерность м-1.
Решение дифференциального уравнения (3.59) есть
I = /о ехр(—рх),	(3.60)
где /0 — начальная интенсивность луча, а I — интенсивность
луча, прошедшего слой поглотителя толщины х.
Из формулы (3.60) виден физический смысл коэффициента
р: на длине 1/р интенсивность рентгеновского потока убывает в
е = 2.71 раз.
Наряду с коэффициентом р вводят так называемую длину
половинного ослабления Zq/2, т0 есть такую толщину ослабляю-
щего слоя, которая уменьшает интенсивность излучения в 2 раза.
Нетрудно найти связь между длиной половинного ослабления и
линейным коэффициентом ослабления:
г	In 2 0.693
Ь1/2 — -- — -----
Формула (3.59) верна только для узкого рентгеновского лу-
ча, то есть для ситуации, изображенной на рис. 3.38. Первичное
362
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
рентгеновское излучение от трубки R с помощью двух неболь-
ших отверстий в свинцовых экранах превращается в узкий луч,
падающий на кристалл Кг, от которого происходит брэгговское
отражение только монохроматической компоненты излучения,
после чего оно направляется на ослабитель А, а интенсивность
ослабленного луча измеряется ионизационной камерой Det.
Рис. 3.38. Схема установки для
определения линейного коэффици-
ента ослабления
Линейный коэффициент
ослабления зависит от номе-
ра элемента, агрегатного со-
стояния (то есть от плотности)
вещества, а также от длины
волны излучения. Для исклю-
чения зависимости от плотно-
сти вводят массовый коэффи-
циент ослабления /1т\
Цт = ~,	(3.62)
Q
где q — плотность вещества.
Показатель экспоненты
в формуле (3.60) может быть переписан в виде /лх = [1ттХ} где
= дх — масса слоя поглотителя толщины х, приходящая-
ся на единицу поверхности, перпендикулярной лучу. Формула
(3.60) принимает вид
I = lQexp(-/j,mmx).
(3.63)
Коэффициенты линейного ослабления для разных веществ
очень сильно отличаются по величине, разница же между массо-
выми коэффициентами ослабления уменьшается. Например, на
длине волны Л = 2.29 А для платины /л = 1.1755 • 106 м-1,
/лт = 54.8 м2/кг, тогда как для алюминия /л = 4.1140 • 104 м-1,
/лт = 15.3 м2/кг.
Типичная84 зависимость /лт от длины волны излучения Л
изображена на рис. 3.39.
Видно, что массовый коэффициент ослабления испытывает
резкие скачки при длинах волн, равных длинам волн характери-
стического излучения элемента.
84Не показана тонкая структура графика вблизи длин волн характери-
стического излучения элемента.
3.1. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
363
В пределах участков непре-
рывного изменения величина
довольно точно описывает-
ся эмпирическим выражением
Р'тп = Ci X Z ,	(3.64)
где Ci — постоянная в преде-
лах каждого участка непре-
рывности, Z — атомный но-
мер элемента, Л — длина вол-
ны излучения. Коэффициен-
Рис. 3.39. Зависимость рт(Х)
ты Ci уже совсем немного от-
личаются для разных элементов. Скачки массового коэффици-
ента ослабления при характеристических длинах волн будут объ-
яснены далее.
Если необходимо рассчитать толщину поглотителя для широ-
кого рентгеновского потока, то формулу (3.59) необходимо видо-
изменить, так как лучи, выведенные из широкого потока в одном
месте, могут снова попасть в поток, испытав рассеяние в другом
месте. Если ускоряющее напряжение в рентгеновской трубке, со-
здающей первичное излучение, меньше 200 кВ, то используется
эмпирическое правило для введения поправок на рассеяние —
интенсивность источника завышают в полтора раза по сравне-
нию с истинной, что эквивалентно увеличению толщины защиты
примерно на О.б!^-
Из формулы (3.64) следует, что наиболее эффективными за-
щитными материалами являются вещества с высокими атомны-
ми номерами. На практике, однако, широко применяется бетон,
имеющий примерно такой же коэффициент массового поглоще-
ния, что и алюминий. В бетон вместо гравия добавляют стальные
обрезки.
По мере уменьшения длины волны излучения его жесткость
растет вместе с существенным ростом проникающей способности
лучей. На коротковолновой границе рентгеновского диапазона
ослабление лучей начинает зависеть в основном от количества
электронов в единице объема, а не от электронного строения
оболочек атомов. Так, для Л = 0.0124 А масса слоя половин-
ного поглощения для свинца равна 10.6 г/см2, для воды
10.8 г/см2, для стали 13.0 г/см2 и для бетона 13.4 г/см2.
Массовый коэффициент ослабления для узкого луча мо-
жет быть представлен как сумма массовых коэффициентов рас-
364
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
сеяния ат и истинного поглощения тт:
Р'гп ~ Тт “И •	(3.65)
Химическая противолучевая защита
В мирных условиях защита от ионизирующих излучений заключается
в их поглощении слоями достаточной толщины. Однако в чрезвычай-
ных обстоятельствах существует еще один способ защиты от острого
радиационного поражения организма человека — фармакологический.
В 1949 году бельгийский радиобиолог Зенон Бак обнаружил эф-
фект повышения радиорезистентности организма при использовании
средств фармако-химической защиты, получивших название протек-
торов. Изучено действие многих веществ и отобраны наиболее эф-
фективные, способные предотвращать гибель подопытных животных,
подвергнутых облучению в смертельных дозах. Общепринято считать,
что протекторы как бы уменьшают эффективную дозу облучения (на-
пример, с 10 Зв до 6 Зв). Механизм действия протекторов связывают
с уменьшением кислородного эффекта.
При использовании фармако-химических средств защиты следует
иметь в виду, что они эффективны лишь при предварительном при-
менении перед облучением, причем эффективность защиты с течени-
ем времени сильно падает. Более того, протекторы ослабляют только
непосредственные проявления острого радиационного поражения ор-
ганизма, тогда как влияние протекторов на отдаленные последствия
облучения изучено недостаточно.
Завершая раздел, посвященный открытию и свойствам рент-
геновских лучей, следует отметить, что доказательство волновой
природы этих лучей и их идентификация как электромагнитного
излучения стали триумфом максвелловской электродинамики.
Однако в процессе изучения рентгеновских лучей выясни-
лось, что не все их свойства могут быть объяснены классической
физикой. В частности, закон Мозли выглядел совершенно зага-
дочно. Предел Дуана—Ханта противоречил классическим пред-
ставлениям и остался необъясненным. Характер ионизации, про-
изводимой лучами в газах, заставил Томсона отказаться от пред-
ставления о распространении рентгеновских лучей в виде сфери-
ческих волн. Позднее также выяснилось, что экспериментально
изученный Баркла процесс рассеяния сопровождается неболь-
шим увеличением длины волны вторичного излучения, что клас-
сическая физика оказалась не в состоянии объяснить.
Все упомянутые факты были правильно истолкованы только
в рамках фотонной теории, предложенной Эйнштейном и изла-
гаемой в разделе 3.3 настоящей главы.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕИ ОТКРЫТИЕ ПОСТОЯННОЙ ПЛАНКА365
3.2 Тепловое излучение
и открытие постоянной Планка
В рамках классической физики (благодаря деятельности М. Фа-
радея и Дж.К. Максвелла) было выработано представление о ма-
териальном, но невесомом пространственно-непрерывном элек-
тромагнитном поле, эволюция которого определяется дифферен-
циальными уравнениями в частных производных — уравнениями
Максвелла.
Блестящие эксперименты Г. Герца с радиоволнами подтвер-
дили правильность максвелловской электродинамики. Таким об-
разом, к концу XIX века в рамках классической физики были
известны радиоволны, инфракрасное излучение, видимый свет
и ультрафиолетовое излучение. В начале XX века к ним были
добавлены рентгеновские и 7-лучи.
Волновая природа электромагнитного излучения была экс-
периментально обоснована для всех перечисленных диапазонов
длин волн85, так что считалось, что электромагнитная энергия
переносится в пространстве непрерывно путем распространения
фронта волны. После открытия Дж.Дж. Томсоном электрона
и осознания того факта, что атомы являются сложными объек-
тами, состоящими из заряженных частей, стало в общих чертах
ясно, почему все источники электромагнитного излучения (и све-
та в том числе) представляют собой весомое вещество, возбуж-
денное тем или иным образом.
В природе главным источником электромагнитного излуче-
ния служат звезды, нагретые до высокой температуры. Это —
частный случай теплового излучения. В качестве другого при-
мера можно назвать газонаполненные вольфрамовые лампы на-
каливания, широко используемые в быту. Единственной причи-
ной испускания электромагнитных волн при тепловом излучении
служит тепловая энергия частиц, из которых составлено тело.
Другие виды излучения, называемые обобщенно люминесценци-
ей, в настоящем разделе не рассматриваются.
Тепловое излучение важно во многих отношениях для специ-
алиста-физика.
Во-первых, без теплового излучения Солнца, несущего с со-
бой живительную энергию, на Земле не было бы жизни.
85Хотя не все свойства рентгеновских лучей нашли объяснение в рам-
ках классической физики, а некоторые просто противоречили классическим
представлениям (см. предыдущий раздел).
366
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Во-вторых, тепловое излучение — универсальный физический
механизм, благодаря которому все тела в природе обмениваются
энергией.
И, наконец, в-третьих, именно исследование теплового излу-
чения позволило открыть важнейшую мировую константу и ини-
циировало процесс осознания дискретной природы электромаг-
нитных волн.
3.2.1 Характеристики теплового излучения
Хорошо известно, что если постепенно нагревать тугоплавкое те-
ло, то сначала оно начинает испускать невидимые глазом тепло-
вые лучи (инфракрасные волны), затем (при Т ~ 525°C) на-
ступает красное каление86, при Т ~ 1000°C начинается желтое
каление, а при Т « 1200 °C — белое.
Разница в цвете при увеличении температуры тела объясня-
ется тем, что спектральный состав излучения меняется в зави-
симости от температуры, что уже на ранних этапах изучения
теплового излучения привело к постановке вопроса об определе-
нии спектрального состава теплового излучения. Интерес к по-
следней проблеме значительно вырос после того, как в 1859 го-
ду немецкий физик Густав Кирхгоф (1824—1887) доказал утвер-
ждение, названное в его честь законом Кирхгофа. Немного далее
станет ясно, почему закон Кирхгофа приковал к проблеме теп-
лового излучения внимание многих первоклассных физиков.
Чтобы последующее изложение было понятным, вспомним
несколько фактов из области оптики.
Энергетической величиной, характеризующей электромагнит-
ное излучение, является лучистый поток, или поток излуче-
ния Ф, то есть величина энергии, проходящей через заданную
поверхность в единицу времени. Как следует из определения,
единицей измерения лучистого потока является единица мощно-
сти — ватт.
Основным экспериментальным способом измерения лучистых
потоков является преобразование их энергии в тепловую энер-
86Если наблюдения вести в полной темноте, то первые зрительные вос-
приятия дадут ощущения не красного, а пепельно-серого цвета, что связано
с физиологией зрения человека. Дело в том, что в сетчатке человеческого
глаза имеются два вида светочувствительных рецепторов — палочки и кол-
бочки. Первые чувствительнее вторых, но не дают ощущения цвета и распо-
ложены на периферии сетчатки, ответственной за боковое зрение. Поэтому
в полной темноте первое ощущение света будет серым, если предмет наблю-
дать периферическим зрением, то есть глядя мимо него.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
367
гию такого материального тела, которое полностью поглощает
лучистый поток. Хотя в природе нет тел, которые бы полно-
стью поглощали падающий на них лучистый поток (и которые
поэтому были названы абсолютно черными телами87), существу-
ют вещества, тела из которых достаточно близки по свойствам
к абсолютно черным телам. Это, в частности, сажа, а также за-
черненные поверхности металлов (вроде платиновой черни), до-
полнительно покрытые слоем сажи. В ближней инфракрасной
и видимой частях диапазона такие вещества в достаточно тол-
стых слоях поглощают до 99 % лучистого потока, однако в дале-
кой инфракрасной области их поглощательная способность су-
щественно понижается.
Опишем вкратце устройство бо-
лометра — одного из приборов, слу-
жащих для измерения лучистых по-
токов. На рис. 3.40 изображен по-
глощающий лучистый поток элемент
болометра, изготовленный немецки-
ми физиками Луммером и Курль-
баумом следующим образом: тонкая
платиновая пластинка была положе-
Рис. 3.40. Элемент боло-
метра Луммера и Курльбау-
ма, поглощающий лучистый
поток (1892 г.)
на на серебряную, в 10 раз более
толстую. Обе пластинки были рас-
калены, а затем раскатаны в тонкий
слой так, чтобы толщина платиново-
го слоя составила бы примерно 0.3 мкм. Из полученного тонкого
слоя с помощью делительной машины была вырезана зигзаго-
образная полоска, изображенная на рисунке. Полоску наложили
на шиферную подставку, а ее концы припаяли к медным контак-
87Необходимое разъяснение: термин "абсолютно черное тело" был предло-
жен Кирхгофом и давно стал стандартным, однако зачастую он противоре-
чит обычному представлению о "черноте" предметов, так что начинающие
изучать тепловое излучение могут быть введены этим термином в заблуж-
дение, если хорошенько не вдумаются в его смысл.
Дело в том, что этот термин характеризует свойства тела только по
отношению к внешнему излучению. Однако все тела в природе также ис-
пускают собственное тепловое излучение. Пока температура ниже 525 °C,
все тела испускают инфракрасные лучи, невидимые людьми, так что назы-
вать сажу или смолу абсолютно черными телами было бы вполне уместно,
если бы и Солнце не приходилось бы называть "абсолютно черными телом",
а солнечные лучи — "черными" лучами.
Вероятно, если бы Кирхгоф знал, что Солнце — практически абсолют-
но черное тело, он предложил бы термин "совершенно поглощающее", или
"абсолютно поглощающее тело”, но никак не "абсолютно черное".
368
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
там, после чего серебро растворили с помощью азотной кислоты
(чтобы теплоемкость измерительного элемента была минималь-
ной88). Затем поверхность платины покрыли сажей.
Для измерения лучистого потока из четырех зигзагообраз-
ных полосок составляют четыре плеча мостика Уитстона, ток
через который в отсутствие излучения делают равным нулю.
При измерениях излучение направляют только на одну из поло-
сок. Полоска нагревается до тех пор, пока теплоотдача за счет
теплопроводности и излучения не уравновесит приток тепла за
счет лучистого потока. Устанавливается динамическое равнове-
сие при повышенной температуре полоски. Нагревание полоски
приводит к росту ее сопротивления, что выводит мостик Уитсто-
на из равновесия. Ток фиксируется с помощью чувствительного
гальванометра.
Болометр калибруют, пропуская через ту же полоску ток из-
вестной величины при известной величине напряжения. В по-
следнем случае в полоске рассеивается известная мощность за
счет джоулевых потерь, которая и равна величине лучистого по-
тока при равенстве показаний гальванометра.
Если перед поглощающим элементом болометра устанавли-
вать диафрагму, то можно регулировать величину потока, попа-
дающего в болометр. Назовем такую диафрагму входным зрач-
ком болометра.
В дальнейшем будем пользоваться приближением геометри-
ческой оптики, предполагая, что лучистая энергия в вакууме
распространяется по прямым. Как известно, пока размеры от-
верстий или препятствий на пути потока много больше длины
волны излучения, дифракцией можно пренебречь. Так как речь
идет о видимом и инфракрасном диапазоне, то уже миллимет-
ровые размеры предметов практически обеспечивают примени-
мость выбранного приближения.
Рис. 3.41. К измерению лучистой
энергии, распространяющейся от
площадки dS к площадке dS*
Пусть в вакууме распро-
страняется излучение. Распре-
деление излучения в простран-
стве характеризует величина,
называемая удельной интенсив-
ностью излучения.
Выберем какую-либо пло-
щадку dS, сквозь которую сле-
ва направо идет лучистый по-
88Как это связано с чувствительностью болометра?
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
369
ток, проведем к ней нормаль, на которой, в свою очередь, поме-
стим перпендикулярно нормали входной зрачок болометра пло-
щадью dS* (см. рис. 3.41). Здесь предполагается, что обе площа-
ди — физически бесконечно малые (на рисунке они утрированно
большие), а также потребуем, чтобы линейные размеры площа-
док были бы много меньше расстояния г между ними. Если из-
менять параметры dS, dS* и г, измеряя при этом лучистый поток
d<£>, регистрируемый болометром89 90, то эксперимент дает, что
dSdS*
dФ = В----Z— .	(З.бб)
г2
Формула (З.бб) подразумевает, что лучистый поток конеч-
ной величины может пройти лишь через отверстие конечного
размера. Коэффициент пропорциональности В в формуле (З.бб)
называется удельной интенсивностью излучения. Если площад-
ка dS является не мысленно выделенной в вакууме площадкой,
сквозь которую распространяется лучистый поток, а частью по-
верхности материального источника излучения, то величина В
«-'Q0
называется поверхностной энергетической™ яркостью источ-
ника, поэтому В для излучения в вакууме также называют по-
верхностной (энергетической) яркостью излучения.
Прежде, чем дать более развернутое определение удельной
интенсивности, или поверхностной яркости излучения, преобра-
зуем формулу (З.бб), заметив, что отношение dS*/т2 есть вели-
чина телесного угла dQ, под которым виден входной зрачок при-
емника излучения из любой точки источника (так как с точно-
стью до бесконечно малых высшего порядка телесный угол dQ не
зависит от расположения точки в пределах площадки dS). Для
примера (см. рис. 3.41) телесный угол dQ изображен для двух
точек на площадке dS.
Теперь формулу (З.бб) можно переписать в виде
dФ = BdSdQ.	(3.67)
89Всюду в настоящем разделе речь идет о средних величинах, так как лу-
чистый поток испытывает флуктуации аналогично тому, как флуктуирует
величина потока молекул в газах. Однако характер флуктуаций излучения
и флуктуаций в газах различный.
90Поскольку яркость возникла как характеристика источников видимого
света, а тепловое излучение в инфракрасном диапазоне глазом не восприни-
мается, то в данном случае употребляется термин "энергетическая яркость".
Часто для краткости говорят просто яркость. Обозначение В происходит от
первой буквы английского слова "brightness" ("яркость").
370
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Формулу (3.67) можно использовать для того, чтобы дать
определение удельной интенсивности, или поверхностной ярко-
сти излучения. Это — лучистый поток, проходящий через еди-
ничную площадку в единичный телесный угол в направлении
нормали к площадке.
Слово ’’яркость” в этих определениях ключевое, так как толь-
ко что введенные величины соответствуют бытовому восприя-
тию яркости источника света, знакомому каждому зрячему че-
ловеку. Так, Солнце в ясный день кажется ослепительно ярким,
а свет спички — тусклым, неярким.
Из определения яркости следует, что в общем случае для из-
лучения в вакууме это функция пяти переменных — трех декар-
товых координат центра площадки dS и двух углов, определяю-
щих направление нормали к площадке.
Аналогично, поверхностная яркость источника зависит от че-
тырех переменных — двух координат, определяющих положение
точки на поверхности, а также от двух углов, характеризующих
направление луча по отношению к нормали к поверхности.
Лучистый поток, пропускаемый единицей поверхности во всех
направлениях, называется плотностью излучения91, а для ре-
альной излучающей поверхности источника — лучеиспускатель-
ной способностью и обозначается буквой Е (от англ, emission —
испускание). Из определения следует, что
d$ = EdS.	(3.68)
Единицей измерения плотности излучения и лучеиспускательной
способности является Вт/м2.
Рис. 3.42. К измерению лучистой
энергии, распространяющейся от
площадки dS к площадке dS*
Если известна поверхност-
ная яркость источника как
функция углов излучения, то,
очевидно, лучеиспускатель-
ную способность можно вы-
числить, проинтегрировав по-
верхностную яркость по те-
лесному углу 2тг, внешнему
по отношению к излучающей
площадке. Однако для это-
го необходимо обобщить фор-
мулу (3.67) на случай, когда
91 Эта же величина часто называется
интенсивностью излучения.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
371
входной зрачок болометра может перемещаться вокруг излуча-
ющей площадки, как это изображено на рис. 3.42.
В соответствии с формулой (3.67) лучистый поток е/Ф, рас-
пространяющийся внутри телесного угла dQ к входному зрачку
болометра (то есть к площадке dS*), повернутому на угол $ по
отношению к нормали к излучающей поверхности п, равен
dФ = B(d) dS# dtl,	(3.69)
где B(d) — поверхностная яркость в направлении на центр при-
емника, а величина dS# — так называемая "видимая площадь
источника", то есть площадь проекции dS на плоскость, парал-
лельную входному зрачку приемника dS*. Появление в послед-
ней формуле видимой площади источника dS# вместо самой пло-
щади источника dS объясняется тем, что именно параллельность
площадей dS$ и dS* обеспечивает применимость формул (З.бб)
и (3.67) (см. рис. 3.41).
Очевидно, что
dS$ = dS cos d ,	(3.70)
откуда следует окончательное выражение для лучистого пото-
ка, распространяющегося от площадки dS к площадке dS*, если
угол между нормалью к площадке dS и лучом, соединяющим
центры площадок, есть
dФ = B(d)cosddSdQ.	(3.71)
Последнему выражению можно придать более симметричный
вид, если заметить, что dScos'd = r2dQ*, где г — расстояние
между центрами площадок, a dQ* — телесный угол, под кото-
рым площадка dS видна из любой точки площадки dS*. Тогда
выражение (3.71) может быть переписано в виде
=	(3.72)
Из последнего выражения следует, что лучистый поток dФ*,
который площадка dS* посылает в сторону площадки dS, может
быть представлен в виде
dФ* = В* r2dQ* dQ,	(3.73)
где В* — поверхностная яркость излучения площадки dS* в на-
правлении площадки dS.
372
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Если теперь нормаль к площадке л объявить осью Oz цилин-
дрической системы координат и ввести обычные углы i9 и (/?, то,
очевидно, лучеиспускательная способность может быть получе-
на интегрированием лучистого потока (3.71) по телесному углу
2%:
27Г	7Г/2
Е = J d(p J В(?9) cos 19 sin ?9di9.	(3-74)
о	о
Наконец, весьма важное значение в изучении теплового излу-
чения играют спектральные распределения введенных выше ве-
личин. Тела, нагретые до любой положительной абсолютной тем-
пературы, излучают электромагнитные волны разных длин волн
(частот), так что большой интерес представляет вопрос о том,
какая часть энергии лучистого потока лежит в интервале длин
волн [А, А + dA], или в интервале частот [cu,cu + dw]. Для отве-
та на поставленный вопрос вводятся спектральные распределе-
ния удельной интенсивности излучения (поверхностной яркости)
Вд, Вш и плотности излучения (лучеиспускательной способно-
сти) Вд, Еш:
4-оо	4-оо	
В = У BxdX =	У Вш(1ш,	(3.75)
0	0	
4-оо	4-оо	
Е = У ExdX =	У Eu<Ej.	(3.76)
0	0	
Если перед входным зрачком болометра (см. рис. 3.42) поста-
вить фильтр, пропускающий без потерь излучение в диапазоне
длин волн [A, A+dA], то болометр зарегистрирует долю лучистого
потока с?Фд dA, определяемую соотношением
с?Фд dX = Вд(?9) dX dS cos д dQ.	(3.77)
Этот же лучистый поток с?Фд dA, сосредоточенный в частот-
ном диапазоне [cu,cu + dw], может быть обозначен как dQ^dw
и представлен в виде
d$u dw = dw dS cosd dQ.	(3.78)
Так как речь идет об одном и том же лучистом потоке, то из
равенства с/Фд dX = с/Ф^ dw следует уравнение, связывающее два
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
373
разных спектральных распределения одной величины:
dw = Вл dX.	(3.79)
Спектральные распределения по длинам волн удобнее исполь-
зовать при экспериментальных измерениях, так как существуют
стандартные спектральные приборы (призмы, дифракционные
решетки) для выделения из излучения его спектральной состав-
ляющей именно в заданном интервале длин волн. В то же время
в теоретических расчетах часто предпочтительнее использовать
спектральные распределения по круговым частотам w.
От одних спектральных распределений к другим переходить
несложно.
Пусть известно, например, спектральное распределение Е\.
Длине волны А в вакууме соответствует круговая частота
w = 2кс/Х,	(3.80)
а интервалу длин волн dX — участок спектра
duj = -^.dX.	(3.81)
А2
Знак "минус” в последней формуле показывает, что при возрас-
тании частоты w длина волны А уменьшается. Поскольку в даль-
нейшем интерес будут представлять лишь абсолютные значения
спектральных интервалов dX и dw, соответствующих друг другу,
то этот знак учитываться не будет.
Для перехода от одного распределения к другому нужно вос-
пользоваться формулой (3.79), из которой следует, что
А2
Еш = Ех— .	(3.82)
27ГС
В связи с последним соотношением следует подчеркнуть, что
если у функции Еш существуют максимумы, то они не могут
быть вычислены через максимумы функции Е\ с помощью урав-
нения (3.80) (как иногда думают начинающие), поскольку спек-
тральные распределения связаны формулой (3.82), содержащей
дополнительный множитель А2. Поэтому всегда необходимо ука-
зывать в явном виде, какое из распределений (по А или по си)
имеется в виду.
Подчеркнем также, что индексы си и А не служат обозначе-
нием независимой переменной, а лишь указывает, по какой ве-
личине производится спектральное разложение. Так, Еш(ыо,Т)
означает значение функции Еш в точке cuq , тогда как выражение
ЕШо лишено смысла, если считать cuq фиксированным числом.
374
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
3.2.2 Равновесное тепловое излучение
и абсолютно черное тело
Любое материальное тело при температуре Т > 0, как свиде-
тельствует опыт, является источником теплового излучения со
своим характерным спектральным распределением лучеиспуска-
тельной способности Е\(Х^Т), Однако, как уже отмечалось ра-
нее, до Т = 500 °C все тела испускают только инфракрасные
лучи, которые "скрыты” природой от непосредственного наблю-
дения людьми.
Экспериментально измеряя для разных излучателей функ-
ции Е\{Х^Т\ можно убедиться, что они бывают самыми разно-
образными. Так, в качестве только одного примера на рис. 3.43
изображена соответствующая кривая для так называемого ауэ-
ровского колпачка, которым пользовались с конца XIX века как
источником света.
а , отн. ед.
0	5	10	15
А, мкм
Рис. 3.43. Спектральная лучеис-
пускательная способность ауэров-
ского колпачка при Т ~ 1800 К
ется провал, что является очень
В ауэровской горелке ка-
лильный колпачок разогре-
вался газом до высокой тем-
пературы и ярко светился.
Колпачок представлял собой
очень тонкую пластинку оки-
си тория, в которую добавлял-
ся 1 % окиси церия. Как вид-
но из графика (см. рис. 3.43),
в области бесполезного для
освещения инфракрасного из-
лучения (в районе 5 мкм) име-
ценным качеством теплового
источника света.
Разнообразие спектральных распределений лучеиспускатель-
ной способности различных тел существенно усложняло на пер-
вых порах исследование теплового излучения, однако уже на
раннем этапе изучения последнего Кирхгоф установил закон,
позволивший вскрыть причину различий тепловых излучателей
и сформулировал при этом задачу, решение которой потребова-
ло сорокалетних усилий, но зато привело к рождению квантовой
теории.
Благодаря тепловому излучению тела могут обмениваться
энергией даже в вакууме.
Для последующего важно усвоить понятие частного случая
теплового излучения — равновесного теплового излучения.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
375
Фундаментальным представлением теории теплового из-
лучения является представление о независимости излучения
любого тела от окружающей среды. Тепловое излучение тела
определяется только природой тела и его температурой.
Если температуру тела поддерживать постоянной, то и излу-
чение тела будет оставаться постоянным.
В частности, одним из вариантов поддержания температуры
тела на постоянном уровне является помещение его внутрь тер-
мостата. Если при этом внутри термостата создать вакуум и сде-
лать практически невозможной передачу энергии между телом
и термостатом благодаря теплопроводности, то единственным
механизмом обмена энергией между телами внутри термостата
будет тепловое излучение. Опыты показывают, что и в послед-
нем случае всегда наступает тепловое равновесие. При этом все
тела внутри термостата приобретают температуру термостата,
а в пространстве между телами возникает равновесное тепловое
излучение, соответствующее температуре термостата.
Как будет показано далее, свойства равновесного теплового
излучения уникальны', оно однородно и изотропно в пространстве
и не зависит от природы термостата и тел, его заполняющих! По-
следнее означает, что в природе существует некий абсолют, не
зависящий от свойств какого-либо конкретного материального
тела, и именно поэтому изучение такого абсолюта — равновесно-
го теплового излучения — и представляет огромный интерес.
Прежде, чем переходить к изучению равновесного теплового
излучения, введем дополнительные определения, характеризую-
щие состояние тепловых излучателей, находящихся внутри тер-
мостата. Каждое тело при постоянной температуре Т находится
в состоянии динамического равновесия. Оно излучает тепловую
энергию, на что тратит часть своей внутренней энергии, но в то
же время восполняет запас энергии за счет поглощения падаю-
щего на него равновесного теплового излучения.
Падающее на облучаемое тело излучение частично отражает-
ся, причем в общем случае отражение электромагнитных волн —
весьма сложный процесс. Это только для идеально гладких по-
верхностей имеет место зеркальное отражение, но в большинстве
случаев существует и так называемое диффузное отражение, ко-
гда часть падающего излучения рассеивается во все стороны.
Поверхности, которые совсем не дают зеркального отражения,
а только диффузное, называются матовыми.
Итак, часть падающего излучения тело так или иначе отра-
жает, остальная часть лучистого потока проникает внутрь тела,
376
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
где частично поглощается, а частично выходит наружу. Для опи-
сания взаимодействия тела с излучением вводят коэффициенты
лучеотражательной способности /?(А,Т, d) (от англ, to reflect —
отражать), лучепоглощательной способности А(А,Т, d) (от ан-
гл. to absorb — поглощать) и лучепропускательной способности
2?(А,Т, ?9). Подчеркнем, что в общем случае коэффициент лу-
чеотражательной способности дает лишь общую величину отра-
женного потока, не позволяя ответить на вопрос, в каких направ-
лениях поток отражается.
Рассмотрим элемент поверхности тела dS, на который пада-
ет излучение из площадки dS* (см. рис. 3.42, только ход лучей
теперь обращен!). Иными словами, на площадку dS падают лу-
чи под углом d к нормали внутри телесного угла dQ* (под ко-
торым площадка dS видна из центра площадки df>*) и внутри
спектрального интервала dX (или dw). Тогда лучепоглощатель-
ной способностью будет отношение поглощенного лучистого по-
тока ЙФ'\dX к падающему потоку d$\dX:
А(А, Г, tf) = d^x/d^x •	(3.83)
Лучеотражательная способность есть, соответственно, отно-
шение отраженного лучистого потока к падающему потоку, а лу-
чепропускательная — отношение пропущенного потока к падаю-
щему. Из закона сохранения энергии следует тождество
А(А, Г, 0) + Д(А, Г, tf) + L>(A, Г, tf) = 1.	(3.84)
Чтобы не усложнять дальнейшее изложение, будем считать,
что изучаемые тела столь велики, что полностью поглощают все
попавшее внутрь излучение (то есть коэффициент D = 0), при-
чем энергия излучения переходит только в тепловую энергию
тела, не производя никаких других изменений.
В таком случае тождество (3.84) сводится к тождеству
А(А, Т, tf) + Я(А, Т, tf) = 1,	(3.85)
показывающему, что нет нужды изучать сразу два коэффициен-
та: достаточно знать первый, чтобы найти второй (и наоборот).
После определения коэффициента лучепоглощательной спо-
собности тела можно дать и точное определение совершенно по-
глощающего, или абсолютно черного тела. Это — такое тело,
для которого
A(A,T,tf) = 1.
(3.86)
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
377
Рис. 3.44. Отверстие в сте-
нке полости как реализация
поверхности абсолютно чер-
ного тела
Строго говоря, в природе тел, для которых бы тождество
(3.86) точно выполнялось при любых А, Т и не существует,
однако еще Кирхгоф предложил практическую модель абсолют-
но черного тела в виде небольшого отверстия в полости, стенки
которой покрыты хорошо поглощающим материалом.
На рис. 3.44 изображен луч, по-
падающий через отверстие внутрь
полости с поглощающими стенками,
находящимися при температуре Т.
Внутри полости бблыпая часть энер-
гии будет поглощаться, а мёныпая
— диффузно рассеиваться и зеркаль-
но отражаться. Для примера (см.
рис. 3.44) показаны только зеркаль-
но отраженные лучи, которые могут
уйти из полости в результате длин-
ной цепи случайных отражений, уно-
ся с собой ничтожную долю началь-
ной энергии. Таким образом, отвер-
стие в стенке полости практически
полностью поглощает падающий на него лучистый поток и мо-
жет считаться фрагментом поверхности абсолютно черного тела
с очень высокой степенью точности. Обозначим спектральные
распределения энергетической яркости и лучеиспускательной
способности абсолютно черного тела в виде Ьд(т9, А,Т) и ед(А,Т)
соответственно, и докажем три важных утверждения:
1.	Поверхностная энергетическая яркость абсолютно черного
тела не зависит от направления излучения, то есть
&Л(1?,А,Т)=&Л(А,Т);
2.	Равновесное тепловое излучение в полости однородно и изо-
тропно, что означает, что спектральные распределения удельной
интенсивности и плотности равновесного теплового излучения не
зависят ни от местоположения площадки dS внутри полости, ни
от ее ориентации в пространстве (см. рис. 3.41).
3.	Спектральное распределение удельной интенсивности рав-
новесного теплового излучения равно спектральному распреде-
лению поверхностной энергетической яркости абсолютно черно-
го тела Ьд(А,Т), а спектральное распределение плотности рав-
новесного теплового излучения равно спектральному распреде-
лению лучеиспускательной способности абсолютно черного тела
378
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
ел(А,Т)92.
...	Доказательство всех трех
X	утверждений исходит из прин-
/	ципа детального равновесия.
/	чет **	/	На основании последнего мож-
(	I	н0 УтвеРжДать> чт0 в термоди-
I	\	намически равновесной систе-
у Яг	/	ме вероятность любого про-
цесса, идущего в прямом на-
с4*-*------правлении, равна вероятности
Рис. 3.45. К принципу детального процесса, идущего в обратном
равновесия	направлении93, что примени-
тельно к равновесному тепло-
вому излучению означает, что спектральные компоненты лучи-
стых потоков (заданной поляризации94), которыми обменивают-
ся две любые площадки, равны друг другу.
Рассмотрим вакуумированную полость произвольной формы,
изображенную на рис. 3.45. Стенки полости, температура кото-
рых постоянна, могут состоять из любого вещества, не пропуска-
ющего излучение наружу. При этом каждый внутренний элемент
стенки полости непрерывно излучает и поглощает излучение,
а внутри полость заполнена равновесным тепловым излучени-
ем. Выберем две произвольные точки С и С* на стенках полости
и проведем через эти точки две площадки dS и dS* вдоль сте-
нок. Вначале примем, что обе площадки — абсолютно черные,
то есть поглощают все падающее на них изнутри излучение.
В соответствии с принципом детального равновесия, спек-
тральные компоненты лучистых потоков, идущих между пло-
щадками, равны друг другу. Но по формуле (3.72) спектральная
92Это значит, что обе эти величины не зависят ни от формы полости, ни
от ее размеров, ни от материала стенок, ни от наличия любых тел внутри
полости, но являются функциями только длины волны А и температуры
полости Т, внутри которой находится равновесное тепловое излучение.
93 Принцип детального равновесия вытекает из симметрии законов механи-
ки и электродинамики (классической и квантовой) по отношению к обраще-
нию хода времени и доказывается в рамках статистической физики. Однако
читатель, не желающий довольствоваться ссылкой на доказательство вме-
сто самого доказательства (невозможного в рамках настоящего издания),
может считать гипотезой применимость принципа детального равновесия
к равновесному тепловому излучению. Соответствие между выводами тео-
рии и экспериментом оправдает и допущенную гипотезу.
94 Равновесное тепловое излучение неполяризовано.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
379
компонента потока от dS к dS* имеет вид
d^xdX |с-4С- = &а(А, Т, 0) dX r2dtl d£l* ,	(3.87)
а компонента от dS* к dS
d$\dX |с*^с = bx(X, T, Г) dX r2dtt* dtl,	(3.88)
где Ьд(А,Г, ?9) — спектральная компонента поверхностной ярко-
сти в точке С в направлении площадки dS*, d — угол между нор-
малью к площадке dS и излучением, Ьд(А, Г, $*) — спектральная
компонента поверхностной яркости излучения в точке С* в на-
правлении площадки dS, d* — угол между нормалью к площадке
dS* и излучением.
Как следствие равенства компонент лучистых потоков, полу-
чаем из уравнений (3.87) и (3.88), что
Ьл(А,Т,т9) = &Л(А,Т,Г).	(3.89)
Вспомним, что величина Ьд(А,Г, ?9) — спектральная компо-
нента поверхностной яркости абсолютно черного тела — опреде-
ляется свойствами тела, а не полости (в силу положения о неза-
висимости теплового излучения от окружающей излучатель сре-
ды). Тогда, выбирая разные полости так, чтобы угол d* в точке
С* принимал любые значения из интервала (0, тг/2), заключаем,
что функция Ьд(А,Г, ?9) не зависит от аргумента ?9.
Утверждение 1 доказано. Далее спектральную компоненту
поверхностной яркости абсолютно черного тела будем обозна-
чать как Ьд(А,Т).
Чтобы доказать утверждения 2 и 3, выберем в полости глад-
кой формы произвольные точку С** и площадку dS**, проходя-
щую через точку (см. рис. 3.45).
Пусть нормаль к площадке направлена в точку С внутрен-
ней поверхности полости, которая является абсолютно черной
поверхностью. Тогда, в соответствии с принципом детального
равновесия, спектральные компоненты потоков, которыми обме-
ниваются площадки dS и dS**, равны друг другу. Выписывая
выражения для этих величин (как это было сделано при дока-
зательстве пункта 1) и приравнивая их друг другу, получаем
равенство
ВА(Л,Т) = ЬА(Л,Т),	(3.90)
где Вд(А,Т) —спектральная компонента удельной интенсивно-
сти равновесного теплового излучения в произвольной точке С**
в произвольном направлении от С** к С.
380
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Видно, что правая часть (3.90) не зависит ни от положения
точки, ни от направления излучения, и равна спектральной ком-
поненте поверхностной яркости абсолютно черного тела. Более
того, равенство (3.90) не зависит от того, есть или нет внутри
полости любое другое тело G (см. рис. 3.45), так как излучение
от этого тела при термодинамическом равновесии в полости не
влияет на величину лучистых потоков между площадками dS**
и dS.
Утверждения 2 и 3 доказаны.
Наконец, удельная интенсивность равновесного теплового из-
лучения не зависит и от материалов стенки. Для доказательства
этого предположим, что площадка dS теперь состоит из любо-
го вещества. При этом в полости все равно будет существовать
термодинамически равновесное состояние, так что лучистые по-
токи, падающие на dS, не изменятся. По принципу детального
равновесия исходить от dS будут те же потоки. Это означает, что
площадка dS независимо от состава ее поверхности будет сум-
марно излучать и отражать во всех направлениях ровно с такой
поверхностной яркостью, как если бы она была абсолютно чер-
ной; следствием этого будет закон Кирхгофа, рассматриваемый
в следующем подразделе.
Как было только что доказано, излучение абсолютно черного
тела, а также равновесное тепловое излучение изотропны. В та-
ком случае между спектральными компонентами яркости тела
и его лучеизлучательной способности существует особенно про-
стая связь. Действительно, вспоминая, что эти величины свя-
заны уравнением (3.74), и подставляя в последнее вместо В(1?)
величину Ьд(А,Т), получим
ел(А,Т)=7гЬл(Л,Т).	(3.91)
Точно так же связаны между собой спектральные компоненты
плотности и удельной интенсивности равновесного теплового из-
лучения. Интегрированием по спектру получается аналогичная
связь и между полной яркостью поверхности е(Г) и лучеиспус-
кательной способностью Ь(Г) абсолютно черного тела:
е(Г) = 7гЬ(Т).	(3.92)
Если поверхностная яркость источника постоянна, то лучи-
стый поток, испускаемый каждым элементом поверхности в опре-
деленном направлении в телесный угол фиксированной величи-
ны (см. рис. 3.42), как это следует из формулы (3.71), пропор-
ционален косинусу угла между этим направлением и нормалью
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
381
к поверхности элемента (закон Ламберта, 1760 г.):
d$x dX = Ьл (А, Г) dX cos d dS dQ.	(3.93)
Этот закон справедлив, как только что было доказано, для
абсолютно черных тел, а для остальных тепловых источников
излучения выполняется только приближенно.
Излучает ли поверхность в соответствии с законом Ламберта
(то есть изотропна ли яркость), очень просто установить в важ-
ном частном случае. Если источник имеет форму шара и излу-
чает видимый свет, и если закон Ламберта действует, то такой
шар (например, Солнце) на большом от него удалении кажется
одинаково ярким в середине и по краям.
В заключение подраздела введем еще одну важную характе-
ристику равновесного теплового излучения — его усредненную
по времени плотность энергии и(Т) — количество электромаг-
нитной энергии, которое заключено в единице объема и измеря-
ется в Дж/м3.
Для величины и(Т) также можно ввести спектральные рас-
пределения по длине волны гбд(А,Т) или частоте

(3.94)
о
где иы(Ш)Т) dw есть доля плот-
ности энергии, приходящаяся на
спектральный интервал [cu, cu + dw\,
а ид(А, Г) dX — доля плотности того
же излучения (но разложенного не
по си, а по А), приходящейся на спек-
тральный интервал [А, А + dX].
Плотность энергии и(Т) связана
с удельной интенсивностью равно-
весного теплового излучения. Что-
бы найти эту связь, обратимся
к рис. 3.46. Выберем вокруг произ-
вольной точки С в полости малый
объем V, который, в свою очередь,
окружим сферой, радиус которой г много больше линейных раз-
меров объема V. Все излучение, которое находится в объеме V,
попадает в него, проходя сквозь сферу радиуса г. Выберем на
Рис. 3.46. К выводу зависи-
мости между иш и Ьш. Раз-
меры внутреннего объема V
утрированно увеличены
382 ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
сфере бесконечно малую площадку dS, сквозь которую излуче-
ние распространяется в пределах бесконечно малого телесного
угла dQ и по пути проходит объем V.
Поскольку объем V будет в пределе устремлен к нулю, то
можно положить 1? = 0 для всех телесных углов dQ, исходящих
из dS и пересекающих V, так что спектральная компонента лу-
чистого потока, исходящего из dS в телесный угол dQ, может
быть записана в виде
dФtl^d6J = T)dw dS dQ .	(3.95)
Чтобы найти энергию, прошедшую через площадку за вре-
мя t, нужно величину лучистого потока умножить на время про-
хождения потока.
Излучение, как известно, в вакууме распространяется со ско-
ростью света с. Поэтому излучение, прошедшее сквозь dS внутри
телесного угла dQ, будет находиться внутри объема V в течение
времени t = I/с (см. рис. 3.46). Тогда спектральная компонента
энергии излучения dS^, прошедшего через площадку dS в телес-
ный угол dQ, и находящегося внутри объема V, будет опреде-
ляться выражением
d£udw = - T)dw dS dQ.	(3.96)
Конус dQ, исходящий из dS, вырезает на поверхности, огра-
ничивающей объем V, площадку dS*, проекция которой на плос-
кость, перпендикулярную лучу зрения, была ранее определена
как величина ’’видимой площади” dS$*. По определению телес-
ного угла, это как раз есть отношение
dQ = dS^/r2.
В то же время конус dQ вырезает в объеме V практически ци-
линдр с площадью основания dS$* и высотой I (см. рис. 3.46).
Бесконечно малый объем вырезанного цилиндра dV равен про-
изведению площади основания на высоту, то есть
dV = ldS^ = lr2d$l.
Выражая с помощью последнего равенства dQ через dV и под-
ставляя полученное выражение в формулу (3.95), получим
dS^duj = Ьш(ш, T)dw dS .	(3.97)
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
383
Теперь осталось лишь просуммировать все вклады в энер-
гию излучения внутри объема V, посылаемые через площадки
dS внутри телесных углов dQ. Во-первых, интегрирование по
всем телесным углам dQ, попадающим в объем V, даст, оче-
видно, полную величину объема V в числителе формулы (3.97).
Во-вторых, интегрирование по всем элементарным площадкам
сферы радиуса г даст, очевидно, полную площадь сферы 4тгг2,
так что окончательно заключаем, что
Дтг
^ = — Ъш(ш,Т)У.	(3.98)
Так как, по определению, плотность энергии есть
= Bin 5W/V,
то из уравнения (3.98) получается искомая связь спектральных
компонент
(3.99)
С
Очевидно, так же связаны между собой и интегральные величи-
ны:
и(Т) = — Ъ(т).	'	(3.100)
с
Из последней формулы следует, что плотность энергии одно-
родна в пространстве и зависит только от температуры стенок
полости, в которой излучение заключено.
Вкратце подытожим результаты описания равновесного теп-
лового излучения. Оно характеризуется спектральными распре-
делениями удельной интенсивности Ьд(А,Т), плотности излуче-
ния ед(А,Т) и плотности энергии г£д(А,Т).
Таблица 3.2 дает в систематизированном виде названия всех
введенных ранее величин.
Таблица 3.2
	и(Т)	д(Т)	е(Т)
Равновесное тепловое излучение	Плотность энергии	Удельная интенсивность излучения	Плотность излучения
Абсолютно черное тело	—	Поверхностная энергетическая яркость	Лучеиспускатель- ная способность
384
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Все три функции могут быть выражены лишь через одну.
Так, из уравнения (3.91) имеем
Ьл(А,Т) = -ел(А,Т),	(3.101)
7Г
а уравнение (3.99) с учетом равенства (3.101) дает
4
ил(А,Т) = -ел(А,Т).	(3.102)
с
Последнее равенство, переписанное в интегральной форме
е(г) = £^))	(3.103)
позволяет провести полезную аналогию между плотностью энер-
гии равновесного теплового излучения и и концентрацией рав-
новесного газа95 п в отсутствие внешних силовых полей.
Действительно, обе величины в состоянии равновесия одно-
родны. При этом в газе через каждую точку идет однородный
и изотропный поток молекул [формула (1.52) для которого была
выведена в гл. 1, разд. 1.1], равный
</ = Y’	(зло4)
где v — средняя скорость теплового движения молекул.
В равновесном изотропном излучении роль концентрации мо-
лекул газа играет плотность энергии и, а потока молекул — плот-
ность излучения е, то есть энергия, пересекающая единичную
площадку в единицу времени. С учетом того факта, что электро-
магнитные волны распространяются в вакууме только со скоро-
стью с, сходство формул (3.103) и (3.104) подтверждает анало-
гию.
Однако аналогия между равновесным тепловым излучением
и газом не полная. Обе величины -пин- флуктуируют вокруг
средних значений, но характер флуктуаций газа существенно от-
личается от флуктуаций равновесного теплового излучения (не
рассматриваемых в настоящем издании).
95Для которого также применим принцип детального равновесия.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
385
3.2.3 Закон Кирхгофа
Как было установлено в предыдущем подразделе, функция двух
переменных ед (А, Г) — спектральная компонента лучеиспуска-
тельной способности абсолютно черного тела — описывает не
только абсолютно черные тела, но и равновесное тепловое из-
лучение — универсальное явление, привлекшее к себе внимание
многих физиков. Понять, почему свойства вещества не влия-
ют на свойства равновесного теплового излучения, а также по-
нять природу различий спектральных распределений лучеиспус-
кательной способности разных тел помогает закон Кирхгофа.
Для того, чтобы сформулировать последний, остановимся по-
дробнее на коэффициенте лучепоглощательной способности тела
А(А, Г, 1?) — функции трех параметров — длины волны падающе-
го излучения, угла падения и абсолютной температуры96. Чтобы
получить полное количество поглощенной площадкой dS мощно-
сти, нужно, очевидно, проинтегрировать по телесному углу 2тг
падающие под разными углами $ лучистые потоки [определя-
емые формулой (3.73)], умноженные на коэффициент поглоще-
ния А(А, Г, $). Тогда отношение всей поглощенной площадкой dS
спектральной компоненты лучистого потока к падающей на нее
спектральной компоненте лучистого потока можно назвать ко-
эффициентом поглощения тела А(А, Т), не зависящим от угла ?9,
но зато в общем случае зависящим от характеристик падающего
на тело излучения. Поэтому коэффициент А(А, Т) приобретает
определенный смысл только при конкретном задании типа пада-
ющего на тело излучения.
Будем везде далее понимать коэффициент	как коэф-
фициент поглощения по отношению к равновесному тепловому
излучению. Тогда, с учетом формулы (3.73), получаем
7г/2
/ Ьл(А.ГМ(А,Т,0)с<»0яп0<М
4V) = “-------------------------------=
f bA(A,T)cosi9sini9di?
о
тг/2
= 2j А(А, Т,т9) cosi? sin	(3.105)
О
96 В общем случае этот коэффициент зависит также от состояния поверх-
ности и поляризации излучения.
386
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Теперь, когда величина коэффициента поглощения равновес-
ного теплового излучения корректно определена, закон Кирхго-
фа легко обосновать как следствие закона сохранения энергии.
Действительно, в предыдущем подразделе было доказано, что
единица поверхности полости при температуре Т, находящаяся
в равновесии с тепловым излучением, суммарно испускает (то
есть собственно излучает и отражает) спектральную компоненту
мощности ед (А, Г) dX. При этом поверхность излучает мощность
Ех(Х^Т) dX (зависящую от свойств тела) и отражает мощность
7?(А,Т) ед(А,Т) dA (зависящую от свойств тела), но сумма этих
величин уже не зависит от свойств тела, а определяется только
свойствами равновесного теплового излучения. По закону сохра-
нения энергии в состоянии равновесия испускаемая спектраль-
ная компонента мощности равна поглощаемой, откуда имеем
Ел(А,Т) = А(А,Т)еА(Л,Т),	(3.106)
ИЛИ	171 ( \ гр\
=	(3-Ю7)
Это и есть утверждение, доказанное в 1859 году Кирхгофом,
которое теперь называется законом Кирхгофа:
Отношение спектральной компоненты лучеиспускательной
способности тела к его лучепоглощательной способности для
всех тел в природе одинаково и равно спектральной компонен-
те лучеиспускательной способности абсолютно черного тела.
Таким образом, различие в спектральных компонентах лу-
чеиспускательной способности тел закон Кирхгофа объясняет
различием в способности поглощать излучение соответствующей
длины волны (при той же температуре!).
Если тело не поглощает излучения определенных длин волн,
то оно и не испускает теплового излучения соответствующих
длин волн, и, наоборот, сильнее всего тело излучает то излу-
чение, которое сильнее всего поглощает.
Например, идеальное зеркало, а также идеально прозрачное
для всех длин волн тело не могут быть источниками теплового
излучения. Для зеркала А = 0, так как (по определению) R = 1,
а для абсолютно прозрачного тела А = 0, так как (по определе-
нию) D = 1. Поэтому прозрачные тела, даже нагретые до очень
высокой температуры, светятся очень слабо.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 387
С другой стороны, самым мощным тепловым излучателем из
всех тел в природе является абсолютно черное тело, поскольку
из закона Кирхгофа следует, что
Еа(А,Т) = А(А,Т)еА(А,Т) еА(А,Т),	(3.108)
так как А(А,Т) 1.
Закон Кирхгофа позволяет объяснить не только многие осо-
бенности теплового излучения тел, но и помогает глубже понять,
почему человек видит.
Как уже отмечалось ранее, тепловое излучение тел, темпе-
ратура которых ниже 500 °C, глазом не воспринимается, поэто-
му большинство предметов люди видят потому, что они отра-
жают падающий на них свет, испущенный Солнцем или каким-
либо иным источником света. Излучение Солнца представляет
собой практически равновесное тепловое излучение97, соответ-
ствующее приблизительно абсолютной температуре 6000 JC, и не
может находиться в равновесии с телами на поверхности Земли.
Селективное отражение солнечного света от предметов и позво-
ляет видеть их людям. Другими словами, зрение возникло в том
числе и потому, что на Земле при окружающей людей темпе-
ратуре излучение Солнца (или излучение иных источников све-
та) является неравновесным. Действительно, отражение излуче-
ния в земных условиях пропорционально величине 7?(А,7земли)?
сильно отличающейся для разных тел, что и создает цветовой
и яркостный контрасты при отражении.
Так, белое фарфоровое блюдечко с голубой каемочкой вы-
глядит таковым потому, что поверхность фарфора является хо-
рошим отражателем для лучей видимой части спектра, а кае-
мочка сильно поглощает красную часть спектра, так что можно
сказать, что коэффициент поглощения белых частей блюдечка
близок к нулю во всем видимом диапазоне, а коэффициент по-
глощения голубой каемочки близок к единице для ’’красных”
лучей.
Если же блюдечко сильно нагреть (до температуры белого
каления), то картина резко изменится, особенно если за блюдеч-
ком наблюдать в темноте. Тогда ранее белые (при солнечном
освещении) части будут очень темными вследствие малой вели-
чины теплового излучения (закон Кирхгофа!), зато каемочка бу-
дет ярко светиться98 в соответствии с тем же законом Кирхгофа.
97На Земле солнечное излучение уже неизотропно, что само по себе вызы-
вает контраст освещенности, когда одна сторона предмета ярче остальных.
98 Какого цвета в этом случае будет светящаяся каемочка?
388
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Если же блюдечко разместить внутри изотермической поло-
сти и попытаться его там разглядеть, то, кроме однородного
и изотропного излучения, которое не изменится после помеще-
ния внутрь полости блюдечка, не будет видно ничего.
Действительно, спектральная компонента лучеиспускатель-
ной способности отверстия полости (абсолютно черного тела)
есть ед(А,Т). В то же время каждый элемент блюдечка в по-
лости испускает £?д(А,Т) и отражает [1 — А(А,Т)] ед (А, Г), что
в сумме, по закону Кирхгофа, равняется все той же величине
ед(А,Т). Таким образом, внутри полости отсутствует контраст,
и нет возможности визуально отличать тела друг от друга.
Вводя в физику новую функцию вд(А,Т), или	не
зависящую от свойств какого-либо материального тела, Кирх-
гоф выразил надежду, что ее определение не вызовет особых
трудностей, так как ’’все встречающиеся до сих пор функции, не
зависящие от природы тел, имели простую структуру”.
Однако вид функции Т) был определен лишь спустя
40 лет после введения понятия абсолютно черного тела, причем
решение задачи, поставленной Кирхгофом, привело к рождению
квантовой теории.
3.2.4 Давление равновесного теплового излучения
и закон Стефана-Больцмана
Первым шагом на пути решения поставленной Кирхгофом за-
дачи стало определение плотности равновесного теплового излу-
чения, или лучеиспускательной способности абсолютно черного
тела е(Т) как функции абсолютной температуры.
Функция е(Т) — это мощность, которую излучает единица по-
верхности абсолютно черного тела. Как следует из закона Кирх-
гофа, остальные тела испускают с единицы поверхности мощ-
ность
+оо
Е(Т) = j А(Л,Т)ел(Л,Т)</А.	(3.109)
О
Многочисленные результаты измерений лучеиспускательной
способности разных тел, проведенные в XIX веке, представляли
собой пеструю картину, не позволявшую прийти к определенно-
му заключению, так как (как теперь известно) коэффициент лу-
чепоглощательной способности Л(А,Т) определяется не только
веществом, но и состоянием поверхности.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 389
Тем не менее, в 1879 году австрийский физик Йозеф Стефан
(1835—1893), анализируя не только собственные измерения, но
и измерения других ученых, высказал предположение, что луче-
испускательная способность любых тел растет пропорционально
четвертой степени абсолютной температуры. Более тщательные
измерения показали, что предположение Стефана в общем слу-
чае неверно, но в 1884 году Людвиг Больцман теоретически по-
казал, что лучеиспускательная способность абсолютно черного
тела строго соответствует предположению Стефана. Это поло-
жение и было названо законом Стефана—Больцмана:
Лучеиспускательная способность абсолютно черного тела
пропорциональна четвертой степени температуры
е(Т) = аТ4.
Метод экспериментального определения постоянной Стефа-
на-Больцмана а будет описан далее, а здесь приведем лишь ее
современной значение:
а = 5.670 • 10"8 Вт/(м2 • К4).
Доказывая закон, Больцман рассмотрел равновесное тепло-
вое излучение, к которому применил оба начала термодинамики,
одновременно учтя существование давления излучения.
Теория давления, оказываемого излучением на отражающие
и поглощающие тела, была разработана Дж. Максвеллом
в 1873 году. Излучение давит на поверхности материальных тел
благодаря переносимому излучением импульсу.
Максвелловская электродинамика установила очень простую
связь между принесенными электромагнитной волной к поверх-
ности любого тела энергией и импульсом. Если за любой про-
межуток времени t практически параллельный поток излучения
принес энергию 5, то за то же время излучение принесло и им-
пульс" Р, определяемый соотношением
Р = £1с.	(3.110)
С помощью соотношения (3.110) вычислим давление, которое
оказывает на стенки полости равновесное тепловое излучение.
"Импульс — вектор. Импульс, переносимый электромагнитной волной,
направлен вдоль луча.
390
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 3.47. К вычислению
давления равновесного те-
плового излучения на стен-
ки полости
Для этого рассмотрим элемент стенки полости dS, на который
под углом 1? к нормали внутри телесного угла dQ падает излуче-
ние, как это изображено на рис. 3.47.
По формуле (3.71) лучистый по-
ток, который в равновесии испускает
dS (и равный ему падающий на dS),
есть
d$ = Ь(Г) cos d dS dQ,	(3.111)
где подставлена удельная интенсив-
ность равновесного теплового излу-
чения Ь(Г).
Так как за время dt излучение
принесет на площадку dS энергию
d£ = d$ dt, то, в соответствии с фор-
мулой (3.110), площадка получит им-
пульс dP = d$dt/c вдоль направления луча. Однако величину
импульса, переданного площадке dS, в случае равновесного теп-
лового излучения нужно удвоить, поскольку от площадки в тот
же телесный угол уходит точно такая же энергия, что и падаю-
щая, импульс отдачи которой в точности равен импульсу, прине-
сенному падающим излучением.
Поэтому компонента импульса dP^, нормальная к площадке
dS и направленная вниз, есть dP±_ = 2 dP cos 19. По второму зако-
ну Ньютона сила есть изменение импульса в единицу времени, то
есть dF = dPjJdt, а давление на площадку dp есть сила, делен-
ная на площадь: dp = dF/dS. После элементарных подстановок
получаем, что
26(T)cos2tf
dp —	d □ 2.	о. 112 J
c
Чтобы получить давление равновесного теплового излуче-
ния, осталось проинтегрировать все вклады dp по телесному углу
2тг:
2тг тг/2
р = у dip j cos2i? sin tidti =		(3.113)
0	0
Между удельной интенсивностью равновесного теплового из-
лучения Ь(Т) и плотностью энергии и(Т) существует связь [фор-
мула (3.100)], с учетом которой получается красивая формула
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
391
для давления равновесного теплового излучения:
Р(Г) = ^.	(3.114)
Если рассмотреть только спектральную компоненту равно-
весного излучения Uudw, то, очевидно, создаваемое ею давление
p^duj будет определяться выражением
T)dbj =----------.	(3.115)
О
Теперь можно доказать закон Стефана—Больцмана, приме-
нив к равновесному тепловому излучению универсальные зако-
ны термодинамики.
Первое начало термодинамики (фактически закон сохране-
ния энергии) в форме
dU = 6Q-pdV	(3.116)
есть баланс между изменением внутренней энергии системы dU,
количеством поглощенного тепла 5Q и совершенной системой ра-
ботой pdV (в случае изменения объема).
Для обратимых процессов бесконечно малое количество по-
глощенного тепла выражается через функцию состояния равно-
весной системы, называемую энтропией100:
6Q = TdSr.	(3.117)
До возникновения проблемы равновесного теплового излуче-
ния выражение (3.117) считалось применимым только к матери-
альным (весбмым) телам (а не к излучению), для которых было
определено понятие абсолютной температуры. Однако рассмот-
рение системы ’’стенки полости (термостат) + равновесное теп-
ловое излучение” заставило ввести понятия энтропии и темпера-
туры и для равновесного теплового излучения непосредственно,
иначе было бы нарушено второе начало термодинамики.
Действительно, при нагревании стенок полости от темпера-
туры Т до температуры Т + dT с последующей наружной изо-
ляцией полости от окружающего мира, стенки начнут излучать
более интенсивно и в итоге потеряют некоторое количество теп-
ла 5Q, а энергия равновесного теплового излучения вырастет (по
100Чтобы читатель не перепутал энтропию с площадью, в настоящем под-
разделе энтропия будет обозначаться значком с индексом — Sr-
392
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
закону сохранения энергии) в точности на такую же величину.
Но потеря телом тепла в соответствии с формулой (3.117) озна-
чает уменьшение его энтропии! В то же время в соответствии со
вторым началом термодинамики энтропия замкнутой системы
не может убывать. Следовательно, излучению необходимо при-
писать энтропию, увеличение которой и скомпенсирует убыль
энтропии стенок.
Таким образом, припишем излучению энтропию и введем (по-
ка чисто формально) понятие температуры равновесного тепло-
вого излучения, просто приравняв ее температуре стенок поло-
сти, внутри которой находится излучение, а формулу (3.117) бу-
дем считать универсальной, применимой в том числе и собствен-
но к излучению. При этом величину 5Q следует трактовать как
бесконечно малое количество тепла, которое излучение может
передавать стенкам или которое стенки могут терять при излу-
чении.
Теперь все готово для доказательства закона Стефана—Больц-
мана. Внутренняя энергия U равновесного теплового излучения
есть, очевидно, произведение плотности энергии на объем, зани-
маемый излучением (объем полости):
U = u(T)V.	(3.118)
Подставляя в уравнение (3.116) внутреннюю энергию в виде
(3.118), количество тепла в виде (3.117) и давление излучения на
стенки в виде (3.114), получим соотношение:
u(T)dV + Vdu(T) = TdSr-^-dV.	(3.119)
Учитывая, что du(T) = (du/dT)dT, после приведения общих
членов в (3.119) получим дифференциальное тождество вида
dSr = ^-dV + ^dT.	(3.120)
Дифференциальное тождество (3.120) представляет собой пол-
ный дифференциал функции состояния —энтропии равновесного
теплового излучения Sr — как функции температуры Т и объема
V. Из этого тождества следует, что
dSr _ V du
~&f ~ Tdf’
dSr _ 4u
dV = 3T’
3 2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
393
д (V du
~ dV\TdT
(3.123)
Поскольку для любой функции с непрерывными смешанны-
ми производными имеет место тождество
d2Sr _ d2Sr
dVdT ~ dTdV'
то подстановка производных (3.121)—(3.122) в это тождество да-
ст уравнение
д / 4и\
дТ \ЗТ/
После взятия частных производных с учетом того обстоя-
тельства, что плотность энергии есть функция только темпе-
ратуры Г, последнее уравнение превращается в обыкновенное
дифференциальное уравнение относительно функции и(Г):
du 4и
dT = Y‘
Дифференциальное уравнение (3.124) есть линейное уравне-
ние первого порядка, решение которого не вызывает затрудне-
ний:
и(Г) = аТ4,	(3.125)
где а — некоторая постоянная.
Учитывая связь (3.103) между функциями и(Т) и е(Г), из
уравнения (3.125) и следует закон Стефана—Больцмана, при-
чем постоянную а можно выразить через постоянную Стефана-
Больцмана а:
а = — .	(3.126)
С
Выражение (3.125) позволяет придать формально введенно-
му понятию температуры равновесного теплового излучения ре-
альный физический смысл. В самом деле, измерив плотность
энергии и, характеризующую равновесное тепловое излучение
(или удельную интенсивность Ь, или плотность излучения е),
можно с помощью (3.125) определить и температуру излучения.
Таким образом, закон Стефана—Больцмана позволяет изме-
рять температуру равновесного теплового излучения, не прибе-
гая к измерению температуры какого-либо материального тела,
а оперируя только характеристиками собственно излучения. При
этом необходимо быть уверенным, что излучение равновесное.
Как в этом можно убедиться, далее будет показано.
394
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
После нахождения функции и(Т) из системы (3.121)—(3.122)
нетрудно вычислить и величину энтропии равновесного тепло-
вого излучения:
4
Sr(T,V) = -aVT3.	(3.127)
О
3.2.5 Законы Вина
Значительный вклад в решение проблемы равновесного теплово-
го излучения внес немецкий физик Вильгельм Вин (1864—1928),
получивший Нобелевскую премию по физике 1911 года ”за от-
крытия в области законов, управляющих тепловым излучени-
ем”. Вин весьма остроумно развил подход Больцмана, объеди-
нившего принципы термодинамики с выводами максвелловской
электродинамики при изучении равновесного теплового излуче-
ния. Рассуждения Вина, доложенные им в 1893 году Королев-
ской прусской академии наук, были не вполне строгие, поэтому
далее приводятся выводы, основанные на идеях Вина, но не ко-
пирующие их.
Вин подверг анализу процесс адиабатического расширения
равновесного теплового излучения и доказал, что такой процесс
приводит к тому же результату, что и охлаждение полости при
неизменном объеме, то есть к обратимому уменьшению темпера-
туры излучения.
Рис. 3.48. Мысленный эксперимент по идее Вина (1893 г.)
Проведем мысленный эксперимент, модифицируя рассужде-
ния Вина. Воображаемая установка изображена на рис. 3.48. Она
состоит из двух полостей (с равновесным тепловым излучением
при температурах Го > Г), соединенных сильфонами со сферой
с идеально зеркальными внутренними стенками. Будем считать,
что сфера может изменять свой объем (как воздушный шарик
при надувании). Сфера снабжена зеркальными клапанами А и В,
3 2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
395
которые могут изолировать ее от полостей с равновесным излу-
чением, а правый сильфон снабжен поршнем С, способным пе-
ремещаться по горизонтали без трения.
Пусть начальный радиус сферы го. Наполним сферу (через
открытый клапан А при закрытом клапане В) равновесным теп-
ловым излучением101 температуры То.
Закроем клапан А. Как было показано ранее, идеально зер-
кальные стенки сами не излучают, то есть полностью изолируют
запертое излучение от окружающего мира. Произведем медлен-
ное расширение сферы от радиуса го до г > гд.
Покажем, что в сфере окажется равновесное тепловое излу-
чение некоторой более низкой температуры Г (которую после
завершения рассуждения будет легко рассчитать).
Во-первых, специальный выбор
сферы обеспечивает однородность
и изотропность излучения в продол-
жение всего времени расширения.
Действительно, если в начальный
момент времени- излучение в сфере
было однородным и изотропным, то,
очевидно, оно сохранит эти свойства
и при медленном изменении радиуса
сферы, так как не изменится ход ни
одного луча (см. рис. 3.49)102.
Во-вторых, плотность энергии
излучения при расширении законо-
мерно уменьшается (как функция
радиуса г) из-за действия двух фак-
торов: излучение совершает по ложи-
Рис. 3.49. Медленное изме-
нение радиуса идеально от-
ражающей сферы не влияет
на ход лучей
тельную работу, и объем излучения растет.
Покажем, что после окончания процесса расширения излуче-
ние внутри сферы сохранит свой равновесный характер, однако
температура излучения уменьшится.
101 Возможность наполнения сферы равновесным излучением — очень тон-
кое место доказательства. Будем считать, что части любой ограниченной
замкнутой системы всегда приходят в состояние термодинамического равно-
весия за конечное время, и это положение справедливо и в рассматриваемом
случае.
102 На самом деле при движении идеального зеркала угол отражения от-
личается от угла падения на величину порядка (v/с) , где v — скорость
зеркала по отношению к источнику излучения. Скорость зеркала предпола-
гается бесконечно малой, поэтому изменением угла отражения пренебрежем
как эффектом второго порядка малости.
396
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Поскольку однородность и изотропность излучения сохрани-
лись, можно вычислить плотность энергии излучения и после
расширения, а затем вычислить температуру Т < Tq равновесно-
го теплового излучения, соответствующую плотности энергии и.
Кроме однородности и изотропности равновесное излучение
характеризуется вполне определенным спектральным распреде-
лением (которого, правда, мы еще не знаем). Тем не менее пока-
жем, что спектральный состав излучения в сфере после оконча-
ния расширения совпадает со спектральным составом равновес-
ного теплового излучения температуры Т.
Доказательство, вслед за Вином, будем вести от противного.
Предположим, что спектральные составы разные (но плотности
энергии при этом заведомо одинаковые!). Тогда оказывается воз-
можным построить вечный двигатель второго рода, существова-
ние которого запрещено вторым началом термодинамики.
Действительно, если при равенстве плотностей энергии спек-
тральные составы разные, то должен существовать интервал ча-
стот [cj, cj + Ао;], в котором спектральная компонента
равновесного теплового излучения превышает таковую для из-
лучения в сфере после расширения.
В канале, соединяющем сферу с правой полостью с равно-
весным тепловым излучением при температуре Т, помещен пор-
шень С с открытым клапаном и фильтром, пропускающим толь-
ко частоты из интервала [cu, cu + Acu] (см. рис. 3.48). Если открыть
клапан В, то лучистый поток из полости в сферу будет больше
потока из сферы в полость. В результате спектральная компо-
нента излучения [cv, си + Ао>] в сфере увеличится до величины
равновесной спектральной компоненты в полости, а остальные
компоненты не изменятся. При этом давление излучения в сфе-
ре вырастет, а полость потеряет некоторое количество тепла AQ.
Закроем клапан в поршне С. Под действием давления в сфе-
ре поршень С будет двигаться вправо до тех пор, пока давле-
ния в сфере и полости не сравняются. Поршень при этом со-
вершит некоторую положительную работу АД. После выравни-
вания давлений в сфере и полости вновь откроем клапан в С
и переместим клапан на первоначальное место, не совершая при
этом никакой работы, так как давления по обе стороны поршня
одинаковы. Равенство давлений означает и равенство плотностей
энергии, поэтому обмена энергией между сферой и правой поло-
стью также не произойдет после открывания клапана С.
Далее закрываем клапан В, сжимаем сферу до прежнего ра-
диуса (то есть до плотности энергии, соответствующей темпера-
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
397
туре То). Работа, которая тратится на сжатие сферы, в точности
равна работе, которая была получена при расширении сферы.
После открывания клапана А обмена энергией между сферой
и левой полостью не произойдет, так как плотности энергии бу-
дут одинаковы. Система в целом, рассматриваемая как двига-
тель (см. рис. 3.48), пришла в первоначальное состояние. Одна-
ко в результате одного ее цикла произведена работа ДА за счет
тепловой энергии Дф, отобранной от правой полости. Но именно
такой процесс — совершение работы за счет тепловой энергии,
отбираемой только от одного резервуара, и запрещен вторым на-
1ПЯ
чалом термодинамики .
Следовательно, предположение о том, что спектральный со-
став излучения внутри сферической полости с идеально зеркаль-
ными стенками после расширения не соответствует спектрально-
му составу равновесного теплового излучения, неверно.
В свою очередь, доказанное положение свидетельствует об
обратимости процесса адиабатического изменения объема сферы
с идеально зеркальными стенками. При медленном увеличении
объема сферы, а затем медленном уменьшении его до первона-
чального значения, температура излучения сначала уменьшит-
ся, а затем вернется к прежнему значению. Никаких изменений
в окружающем мире это не вызовет. Также будет себя вести рав-
новесное излучение внутри полости, температуру которой сна-
чала медленно понижают, а затем повышают до прежнего зна-
чения.
Значит, к излучению в сфере можно применить соотноше-
ние (3.119), а также выражение для энтропии (3.127). Поскольку
в адиабатическом процессе энтропия не меняется, можно найти
температуру излучения после расширения (или сжатия) из урав-
нения
TV1/3 = T0V01/3 .	(3.128)
Выражая плотность энергии через температуру с помощью
(3.125), последнее уравнение можно преобразовать к виду
uV4/3 = Uoyo4/3 ,	(3.129)
ИЛИ
pV4/3 = p0V04/3 .	(3.130)
103Под вторым началом термодинамики здесь имеется в виду утверждение
о том, что энтропия замкнутой системы не может убывать. В вечном двига-
теле второго рода энтропия убывает без компенсирующего роста энтропии
в окружающих телах.
398
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Три последних уравнения показывают, как изменяются тем-
пература, плотность энергии и давление равновесного теплово-
го излучения при медленном адиабатическом изменении объема.
Все эти уравнения являются следствиями только что доказанно-
го утверждения об обратимости процесса.
Однако анализ адиабатического изменения объема равновес-
ного излучения можно продолжить, изучив изменение частоты
излучения благодаря эффекту Доплера. Эффект Доплера в оп-
тике заключается в изменении частоты излучения, фиксируемой
приемником, если источник излучения движется относительно
приемника.
На рис. 3.50 изображены
источник излучения О, дви-
жущийся относительно оси
Ох со скоростью v, и непо-
движный приемник О*. Если
направление луча составляет
угол с вектором скорости v,
то увеличение частоты До;, регистрируемой приемником, в нере-
лятивистском приближении104 определяется выражением
Дш	v
---= - cos V .
Ш	С
(3.131)
Последняя формула останется справедливой, если источник счи-
тать неподвижным, а приемник движущимся со скоростью — v.
Угол 'О в последнем случае (угол между лучом и вектором ско-
рости приемника), очевидно, не изменится.
Рассмотрим равновесное тепловое излучение, адиабатически
сжимаемое внутри сферы с идеально зеркальными стенками (см.
рис. 3.49). Выделим лучи частоты падающие в точке S под
произвольным углом '0. При отражении от движущегося зеркала
имеет место так называемый двойной эффект Доплера, посколь-
ку сначала происходит увеличение частоты луча по отношению
к движущемуся на него приемнику (зеркалу), а затем на такую
же величину частота увеличивается при учете движения переиз-
лучателя (того же зеркала). В итоге, если обозначить скорость
уменьшения радиуса сферы в виде {dr/dt) < 0, то увеличение ча-
стоты До; луча, отраженного в точке S, может быть выражено
в виде
( ДоА	2dr/dt	п	/о
(----) =-----------cost?,	(3.132)
\ си /1	с
104 То есть в пренебрежении членами второго порядка по v/c.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
399
где индекс указывает, что изменение частоты происходит при
однократном отражении, а знак ’’минус” выбран из-за отрица-
тельности величины dr/dt, подставленной вместо положитель-
ного модуля скорости V.
Из формулы (3.132) следует, что частота отраженного луча
зависит от угла падения. Тем не менее оказывается, что все лучи
определенной частоты о>о после окончания сжатия будут обла-
дать одной и той же частотой ш > cjq- Нетрудно разобраться, по-
чему так происходит. До падения в точку S под углом $ луч (см.
рис. 3.49) отразился в точке S*. Считая сжатие сферы очень мед-
ленным по сравнению со скоростью света, можно вычислить вре-
мя движения излучения вдоль отрезка SS*: tss* = (2rcos?9)/c.
За время t » tss* луч испытает t/tss* отражений105, поэтому
изменение его частоты (при условии До; о?) может быть запи-
сано в виде
До; t ( ДоЛ Дг	/ninn.
---= ;— -------- =--------,	3.133
tss* \ Л г
где Дг = t(dr/dt] — уменьшение радиуса сферы за время t.
Получается, что чем больше угол падения тем меньше до-
плеровский сдвиг при однократном отражении, но тем чаще луч
испытывает отражения с неизменным углом падения. В итоге
общее изменение частоты за время t не зависит от угла падения
луча, а определяется только суммарным изменением радиуса за
это время.
В пределе бесконечно медленного сжатия изменение радиуса
сферы и доплеровское изменение частоты (3.132) при однократ-
ном отражении становятся бесконечно малыми, поэтому конеч-
ные разности в формуле (3.133) можно заменить дифференциа-
лами, получив уравнение
dw dr
— + — =0.	(3.134)
W г
Интегрирование (3.134) дает связь между начальными и ко-
нечными величинами
а>г = а?ого>	(3.135)
или, учитывая зависимость объема сферы от радиуса,
wV1/3 = ^yV3 .	(3.136)
105 Так как в сфере с зеркальными стенками угол падения луча не может
измениться и в любой точке отражения будет равен одному и тому же зна-
чению 19.
400
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Таким образом, при медленном адиабатическом сжатии рав-
новесного теплового излучения внутри сферы с идеально отра-
жающими стенками осуществляются два процесса.
Во-первых, температура излучения растет в соответствии
с формулой (3.128), поскольку на сжатие излучения затрачива-
ется работа, да еще объем излучения уменьшается.
Во-вторых, каждый спектральный интервал + Acuq]
преобразуется в спектральный интервал [cu, cu + Z\cu], где связь
величин о?о и определяется уравнением (3.136). Очевидно, что
таким же уравнением связаны и величины спектральных интер-
валов Ао?о, Ао>:
Дш0/3 = Дш0К01/3 •	(3.137)
Применим закон сохранения энергии (3.116) к спектральной ком-
поненте равновесного теплового излучения в интервале [си, си +
Аси]. В процессе сжатия имеем 5Q = 0, dU =	и, в соот-
ветствии с формулой (3.115), PcjAcu =	Подставив
эти величины в (3.116), получим дифференциальное уравнение
относительно величины
= (3,138)
dV	3V	k 7
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка ин-
тегрируется без труда. Его решение имеет вид
С7ш(ш,Т)Д^У1/3 = и^шо,То^шоУо/3	(3.139)
Переходя от полной энергии спектральной компоненты
к плотности энергии ti^Acu, вместо (3.139) получим
иш(и, Т)Дш V4/3 = иш(ы0, То)Дш0 У04/3 .	(3.140)
Суммируем полученные результаты. При адиабатическом из-
менении объема равновесного теплового излучения внутри зер-
кальной сферы температура излучения меняется в соответствии
с выражением
T0V01/3 = TV1/3 .	(3.141)
Одновременно происходит преобразование каждой частоты пер-
воначального излучения 0 < о?о < +°° в частоту определяе-
мую выражением
w0V01/3 = wV1/3 .	(3.142)
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
401
Кроме того, спектральные плотности излучения в точках
(cu, Г) и (сио^Го) связаны уравнением (3.140). Если из уравнений
(3.140)—(3.142) исключить объем, то можно прийти к заключе-
нию, известному как закон смещения Вина.
Действительно, разделив (3.142) на (3.141), получим
СО О>0
Т =	’
В то же время исключение из уравнения (3.140) объема V с помо-
щью (3.142), а интервалов частот Деи, Дсио ~ с помощью (3.137),
дает
Mig) =	.	(3.144)
со6	ojg
Последние два уравнения и называются законом смещения
Вина в общей форме.
Пусть спектральное распределение плотности энергии равно-
весного теплового излучения иш(соо,То) как функция частоты
сио известно для одной температуры То.
Тогда формулы (З.ЦЗ)—(З.Ц4) позволяют найти спектраль-
ное распределение плотности энергии равновесного теплово-
го излучения иш(со,Т) при любой другой температуре Т как
функцию частоты со.
Существо преобразования спектрального распределения при
температуре Го в распределение при температуре Т заключается
в линейном преобразовании частоты (то есть смещении вдоль оси
абсцисс, откуда и название закона) по формуле (3.143), а затем
еще и в преобразовании ординаты по формуле (3.144). Проделы-
вая эти операции аналитически, получим
/со \
(-То,То) .	(3.145)
Учитывая, что То в правой части (3.145) есть лишь константа,
от которой левая часть не зависит, последнее выражение можно
переписать в виде
и<>,Т)=Т35(£) ,	(3.146)
где g — некоторая функция одного переменного.
402 ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Домножив и разделив правую часть последнего уравнения на
(cu/Т)3, можно дать эквивалентную формулировку закона
смещения Вина в общей форме:
.	(3.147)
Последняя формулировка закона смещения Вина в общей фор-
ме сводит задачу поиска универсальной функции двух перемен-
ных	к определению универсальной функции только од-
ного переменного
Переходя от распределения по частоте к распределению по
длине волны с помощью (3.82), получим
ил(Л,Т) = ^^,	(3.148)
где F — еще одна универсальная функция одного переменного.
На основании закона смещения Вина в общей форме можно
сделать несколько важных выводов.
Во-первых, легко показать, что закон Стефана—Больцмана
является следствием закона смещения.
Во-вторых, можно установить следствие, известное как закон
смещения Вина в частной форме. Из общих соображений ясно,
что неотрицательные функции	и их (А, То) при любой
фиксированной температуре Го > 0 должны иметь абсолютный
максимум, так как интегралы от этих функций в пределах от 0
до +оо сходятся к плотности энергии равновесного теплового из-
лучения. Обозначим точки абсолютных максимумов спектраль-
ных распределений и Ат соответственно106. Эти величины
должны быть корнями уравнений ди^/ды = 0 и ди\/дХ = 0.
Тогда, пользуясь законом смещения в форме (3.148), для Ат по-
лучим уравнение
-5F(AmT) + AmTF'(AmT) = 0.	(3.149)
Обозначив через Ь заведомо существующий корень уравнения
5F(t) = tF'(t), получим в виде следствия закон смещения
Вина в частной форме:
XmT = b.	(3.150)
106 Обратите внимание на то, что эти величины не связаны соотношением
(3.80)!
3 2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 403
При этом из (3.148) следует, что максимальное значение спек-
трального распределения ид(Ат,Т) растет как Т5. Подобно то-
му, как максимум максвелловского распределения по скоростям
определяет наиболее вероятную скорость в газе, величина Хт яв-
ляется наиболее вероятной длиной волны равновесного теплово-
го излучения. Из (3.150) следует, что наиболее вероятная длина
волны уменьшается с увеличением температуры излучения, и это
объясняет постепенный переход от красного к белому калению
при нагревании тугоплавких веществ.
Универсальная постоянная b получила наименование посто-
янной Вина. Экспериментальные измерения, которым посвя-
щен следующий подраздел, дали для нее значение
b = 0.002898 м • К = 0.2898 см • К
Аналогично можно получить, что наиболее вероятная часто-
та равновесного теплового излучения удовлетворяет соотно-
шению
= const,	(3.151)
являющемуся еще одной формой закона смещения Вина в част-
ной форме.
Закон смещения Вина в общей форме явился крупным дости-
жением, соединившим в себе выводы термодинамики и электро-
динамики. В конце XIX века было предложено несколько разных
формул для спектрального распределения равновесного теплово-
го излучения. Закон Вина позволил отвести заведомо неверные
выражения, предлагаемые без должного обоснования или на ос-
новании неточных эмпирических данных. Когда в 1900 году, на-
конец, была предложена правильная формула (Планка), с ней
конкурировали еще четыре других формулы, удовлетворяющие
закону смещения Вина.
Кроме того, закон смещения Вина в частной форме позволял
сделать определенные выводы относительно исхода измерений,
поэтому он стимулировал быстрый рост экспериментальных ра-
бот, посвященных равновесному тепловому излучению. Между
прочим, и сам Вин проявил себя как одаренный эксперимента-
тор, взявшись за реализацию идеи по созданию полости как мо-
дели абсолютно черного тела. Основной вклад в разработку экс-
периментальной модели абсолютно черного тела внесли немец-
кие физики — сотрудники Германского физико-технического ин-
ститута в Берлине.
404
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Экспериментальные работы, проведенные в этом институте,
позволили Вину в 1896 году предложить107 формулу для спек-
трального распределения равновесного теплового излучения, со-
гласующуюся с законом смещения Вина в общей форме:
иш(ы,Т') = Сш3  ехр	,	(3.152)
где С и а — две универсальные постоянные.
Выражение (3.152) получило название закона излучения
Вина, или закона распределения энергии Вина. Проверка
закона (3.152) стала первоочередной целью нескольких экспери-
ментаторов.
3.2.6 Экспериментальное изучение
равновесного теплового излучения
Еще в I860 году Кирхгоф установил, что излучение внутри изо-
термической полости эквивалентно излучению абсолютно чер-
ного тела. Он же предложил и модель абсолютно черного тела
в виде небольшого отверстия в полости. Если площадь отвер-
стия много меньше внутренней площади полости, то излучение
внутри полости практически не будет отличаться от равновес-
ного, а излучение из отверстия будет эквивалентно излучению
абсолютно черного тела.
Несмотря на простоту идеи, излучение из отверстия в изо-
термической полости до 1895 года не изучалось. Исследовалась
преимущественно платина, излучение которой, как позднее вы-
яснилось, заметно отличается от излучения абсолютно черного
тела. Тем не менее, в 1865 году английский физик Тиндаль уста-
новил, что при нагревании платины от слабого красного кале-
ния (^ 525 °C) до белого (~ 1200°C) лучеиспускательная спо-
собность возросла в 11.7 раза, тогда как отношение абсолют-
ных температур в четвертой степени составило 11.6, что позднее
и стало для Стефана одним из стимулов выдвинуть предположе-
ние о лучеиспускательной способности тел, трансформированное
Больцманом в закон Стефана—Больцмана.
После теоретической работы Вина, приведшей к открытию
законов смещения Вина, внимание экспериментаторов сосредо-
точилось на проблеме создания устройства, моделирующего аб-
солютно черное тело. Сам Вин совместно с О. Луммером, а затем,
107 Совершенно справедливо формулу излучения Вина Рэлей назвал
’’немногим более чем просто догадкой”.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
405
ввиду важности проблемы, сразу две независимых группы фи-
зиков в Германском физико-техническом институте в Берлине
стали строить изотермические полости и изучать излучение аб-
солютно черного тела. Решающий вклад в экспериментальную
разработку проблемы внесли Отто Луммер с Эрнстом Принг-
сгеймом и Генрих Рубенс с Фердинандом Курльбаумом. Эти две
группы физиков изучали тепловое излучение разных длин волн,
что требовало несколько разной экспериментальной техники де-
тектирования. Ниже будут описаны эксперименты только первой
группы — Луммера и Прингсгейма.
Первый этап исследования Луммер и Прингсгейм посвятили
проверке закона Стефана—Больцмана. Они построили сразу два
устройства — полость из меди (для работы с температурами до
Т = 877 К) и полость из железа (для
799-1561 К).
На рис. 3.51 изображено устройство
железной полости, помещенной внутри
печи с двойными стенками. Печь на-
гревалась газовой горелкой G. Разогре-
тые газы поднимались к зазору меж-
ду стенками железной полости и внут-
ренними стенками печи, затем попадали
в пространство между двойными стен-
ками печи и выходили в дымоход. Тем-
пература ниже 755 К измерялась ртут-
ным термометром, а выше — термопа-
рой. Однако полной однородности тем-
пературы стенок полости для описыва-
емой конструкции добиться не удалось.
работы в интервале
Рис. 3.51. Установка
Луммера и Прингсгейма
Лучеиспускательная способность отвер-
стия измерялась с помощью болометра,
причем учитывались поправки на по- для изучения излучения
глощение излучения в воздухе.	абсолютно черного тела
На основании проведенных измере- г )
ний (когда абсолютная температура полости увеличивалась в че-
тыре раза по сравнению с начальной) Луммер и Прингсгейм при-
шли к выводу, что закон Стефана—Больцмана справедлив.
После этого они приступили к измерению спектрального рас-
пределения (по длине волны) лучеиспускательной способности
отверстия полости в еще более широком интервале температур
от 85 до 1800 К. Модификация эксперимента заключалась в том,
что между отверстием и болометром помещался призменный
406
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
спектрометр, пропускающий к болометру лучи только из опре-
деленного интервала длин волн. Для столь широкого интервала
температур пришлось строить разные полости. Так, полость по-
гружалась в жидкий воздух (температура кипения которого при
атмосферном давлении приблизительно 83 К), в кипящую воду
(373 К), в расплавы других веществ. Температуры до 1800 К
получались в специальной полости с электрическим подогревом.
Даже при 1800 К подавляющая часть излучения приходится
на инфракрасную область спектра, поэтому изучался диапазон
длин волн от 1 до 6 мкм. Пары воды и углекислый газ, содер-
жащиеся в воздухе, интенсивно поглощают инфракрасное излу-
чение с длинами волн около 1.8, 2.7 и 4.5 мкм. Сначала в ре-
зультаты вносились поправки на поглощение, но затем Луммер
и Прингсгейм поместили
все устройство в специ-
альный контейнер, напол-
ненный высушенным воз-
духом без углекислого га-
за. Результаты своих ис-
следований они изложи-
ли в трех статьях, вышед-
ших в 1899—1900 годах.
Экспериментаторы по-
ставили целью проверку
как закона смещения Ви-
на, так и закона излуче-
ния Вина.
На рис. 3.52 приведе-
ны экспериментальные
кривые лучеиспускатель-
ной способности абсолют-
но черного тела (крести-
ки и сплошные кривые,
проведенные через них),
а также пунктирные кри-
вые (проведенные через
крестики в кружочках),
построенные по формуле
Вина (3.152). Заштрихо-
ванные участки соответ-
ствуют поглощению излу-
чения парами воды и уг-
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
407
лекислым газом, содержащимися в воздухе. По графикам можно
определить наиболее вероятную длину волны Аш и максимальное
значение спектральной плотности ед(Ат,Т), и проверить пра-
вильность закона смещения Вина в частной форме.
В первой из трех упомянутых публикаций Луммер и Принг-
сгейм констатировали, что ’’для использованного излучающего
тела максимальная энергия возрастает пропорционально пятой
степени абсолютной температуры. Также можно считать дока-
занным равенство ХтТ = Ь, поскольку отклонения b от среднего
значения лежат в пределах ошибок наблюдения, возможно свя-
занных с определением Аш”.
Из приведенных графиков (см. рис. 3.52) видно, что в области
малых длин волн и малых температур (то есть в области малых
произведений АТ) экспериментальные кривые поразительно хо-
рошо описываются формулой Вина (3.152), но в области темпе-
ратур выше 1000 К и длин волн А более 4 мкм уже на глаз видна
разница между экспериментальными кривыми и законом излу-
чения Вина108. Расширив область длин волн до 18 мкм, Луммер
и Прингсгейм пришли к твердому убеждению в несправедливо-
сти закона излучения Вина во всем диапазоне длин волн.
К тому же выводу пришли Рубенс с Курльбаумом в 1900 го-
ду, изучая равновесное тепловое излучение для еще бблыпих
длин волн (30—60 мкм при температуре 470—1770 К). По дан-
ным Рубенса и Курльбаума, в длинноволновой области спектра
при высоких температурах менялся характер температурной за-
висимости е\. Если формула Вина (3.152) предсказывает экспо-
ненциальный рост спектральной компоненты от обратной тем-
пературы, то в далекой инфракрасной области оказалось, что
спектральная компонента прямо пропорциональна абсолютной
температуре:
ел ~Т.	(3.153)
Сравнив последнюю формулу с законом смещения Вина, мож-
но получить формулу для спектрального распределения, извест-
ную как формула (или закон) Рэлея—Джинса:
иш = С1Ш2Т,	(3.154)
где Ci — константа, значение которой приводится в следующем
подразделе.
108Понятие мйлости АТ будет конкретизировано на стр. 415. Для малых
длин волн и малых температур закон излучения Вина экспериментально
подтвердил и немецкий физик Фридрих Пйшен.
408
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Результаты Луммера и Прингсгейма, Рубенса и Курльбаума,
и других физиков-экспериментаторов создали основу для даль-
нейшего развития теории. В области малых XT был подтвержден
закон излучения Вина, а в области больших АТ — закон Рэлея-
Джинса, суть которого разъясняется далее.
Формулу для спектрального распределения равновесного теп-
лового излучения, годную для любых А и Г, предложил немец-
кий физик Макс Планк (1858—1947). В 1919 году он был удосто-
ен Нобелевской премии по физике за 1918 год ”в знак признания
его заслуг в деле развития физики благодаря открытию кванта
действия”.
Планк с 1896 года работал над проблемой теплового излу-
чения. Вначале он пытался обосновать закон излучения Вина,
используя метод ’’решения в форме ответа". Другими словами,
зная, какой закон нужно вывести, Планк выдвинул предполо-
жение, необходимое для получения искомого результата. В "вы-
воде" закона излучения Вина Планк предложил такую зависи-
мость энтропии от частоты спектральной компоненты излуче-
ния, которая приводила к нужной формуле. Подобный подход
позволил Планку столь хорошо разобраться в проблеме тепло-
вого излучения, что, узнав от Рубенса (7 октября 1900 года Ру-
бенс и его жена навестили семейство Планков) о неадекватности
закона излучения Вина (и о том, что в области больших XT излу-
чение прямо пропорционально абсолютной температуре), Планк
в тот же вечер вывел (произведя интерполяцию между закона-
ми Вина и Рэлея—Джинса) новую формулу для спектрального
распределения равновесного теплового излучения:
иы(ш,Т) =	-	——	-.	(3.155)
exp(aw/T) — 1
Полученная Планком формула в области малых АТ (то есть
больших cu/Т) переходит в формулу Вина (3.152), так как еди-
ницей в знаменателе можно пренебречь по сравнению с боль-
шой экспонентой, а в области больших АГ (то есть малых си/Т)
экспоненту можно разложить в ряд, сохранив только два пер-
вых члена: ехр(ж) ~ 1 + х. Тогда формула Планка (3.155) дает
г^(си,Т) ~ (С/а)си2Т в соответствии с формулой Рэлея—Джин-
са, если в последней положить С\ = С/а.
19 октября 1900 года результаты Рубенса и Курльбаума были
доложены на заседании Берлинского коллоквиума Физического
общества, а в "замечании для дискуссии" Планк впервые привел
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 409
формулу (3.155). Вслед за заседанием Рубенс всю ночь проверял
формулу Планка и получил полное согласие экспериментальных
данных и формулы Планка109.
Формулу Планка подтвердили и Луммер с Прингсгеймом.
Сомнений в правильности формулы Планка не оставалось,
однако константы С и а, входящие в (3.155), не имели физиче-
ской интерпретации. Они могли быть выражены через постоян-
ные Стефана—Больцмана а и Вина b (далее это будет сделано),
однако в целом формула (3.155) выглядела загадочно. Ставить
точку в сорокалетней истории поиска формулы спектрального
распределения равновесного теплового излучения было рано. Со
дня появления формулы (3.155) Планк пытался придать ей фи-
зическую интерпретацию, то есть ’’вывести ее дедуктивным пу-
тем”. За два месяца напряженной работы он нашел такую трак-
товку закона излучения (3.155), которая привела к открытию
новой мировой постоянной и рождению квантовой физики. Для
этого Планку пришлось выдвинуть гипотезу, выходящую за рам-
ки классической физики, что позднее он сам назвал ’’актом от-
чаяния", предпринятым потому, что "теоретическое объяснение
должно было быть найдено любой ценой, сколь высокой она ни
была бы’’110.
3.2.7 Открытие постоянной Планка.
Закон излучения Планка.
Еще до удачной интерполяции, приведшей к формуле (3.155), со-
гласующейся с экспериментальными данными, Планк безуспеш-
но пытался вывести адекватную формулу для спектрального рас-
пределения равновесного теплового излучения, пользуясь толь-
ко законами максвелловской электродинамики. Программа его
действий заключались в том, чтобы, определив объекты, излу-
чение которых поддается расчету, найти условие их равновесия
с тепловым излучением.
109Планк позднее вспоминал: "На следующее утро меня посетил мой кол-
лега Рубенс. Он пришел сообщить мне, что после закрытия собрания он всю
ночь сопоставлял мою формулу с результатами своих измерений и в каждой
точке обнаружил удовлетворительное совпадение... Более поздние измере-
ния снова и снова подтверждали мою формулу излучения, притом чем более
тонкие методы измерения применялись, тем более точной находили форму-
лу".
110Из письма Планка от 7 октября 1931 года известному физику Р. Вуду
(Цит. по: Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука,
1985. С.33-34.).
410
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
В качестве объекта, излучение и поглощение которого мож-
но было рассчитать, Планк выбрал заряженный гармонический
осциллятор, введенный в физику Герцем в 1889 году.
Выполняя намеченную программу, Планк убедился, что, в со-
ответствии с законом Кирхгофа, заряженный гармонический ос-
циллятор излучает волны лишь таких частот, которые сам ин-
тенсивно поглощает. Другими словами, осциллятор не изменяет
спектральный состав излучения, но зато может находиться с ним
в равновесии.
Получив условие равновесия осциллятора внутри полости,
Планк вывел замечательную формулу, которая связала спек-
тральную компоненту плотности энергии равновесного теплово-
го излучения гоДа>,Т) со средней энергией гармонического ос-
циллятора 8 со слабым затуханием, находящегося в термодина-
мическом равновесии с излучением. Доказательство этой фор-
мулы приведено в приложении 3:
иш(ы0,Г) = -^£(Шо,Т).	(3.156)
Формула (3.156) позволила перекинуть мостик от равновес-
ного теплового излучения к физике гармонического осциллятора
— материальной системы, обладающей массой покоя.
В свою очередь, формула (3.156) в рамках классической фи-
зики ведет к закону излучения Рэлея—Джинса, не согласующе-
муся с экспериментом111!
Действительно, по известной теореме о равнораспределении
энергии по степеням свободы, гармонический осциллятор, нахо-
дящийся в тепловом равновесии (посредством излучения) с тер-
мостатом температуры Т, должен обладать в среднем энергией
£ = кТ, так как кТ/2 у осциллятора приходится на кинетиче-
скую энергию, а кТ/2 — на потенциальную. К тому же выводу
можно прийти и без ссылки на теорему о равнораспределении,
используя лишь распределение Больцмана по энергии, в со-
ответствии с которым вероятность112 dw обнаружить у осцилля-
111 При этом для макроскопических осцилляторов (колебательных конту-
ров, излучающих радиоволны), расчеты Планка соответствовали экспери-
ментальным данным норвежского физика В. Бьеркнеса, измерявшего зату-
хание излучающих контуров.
112 Эта вероятность есть доля времени, в течение которого величина энергии
осциллятора лежит в заданном интервале.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
411
тора значение энергии из интервала [£,£ + d£] есть
dw = А ехр
(3.157)
где А — нормировочный множитель.
Тогда среднее значение энергии может быть найдено с ис-
пользованием формулы (П.12) (см. приложение 1):
f £dw	f xexp(—x)dx
£ = 4-------= кТ 4----------------= кТ.
+оо	-1-00
J dw	f exp (—ж) dx
о	о
(3.158)
Итак, законы классической физики с неизбежностью ведут
к противоречащему экспериментам закону Рэлея—Джинса:
/ ,2
^cj(^?r) = 2 о кТ.
(3.159)
В частности, этот закон113 позволяет определить константу С\
из формулы (3.154): С\ = к/(%2с3).
Как следует из изложенного в предыдущем подразделе, закон
Рэлея—Джинса дает удовлетворительное совпадение с действи-
тельностью только в области малых ы/Т.
В целом же этот закон приводит к абсурдному результату —
бесконечной плотности энергии равновесного теплового излуче-
ния при любой положительной температуре Т, поскольку спек-
тральная компонента, описываемая формулой (3.159), неограни-
ченно растет с увеличением частоты, а интеграл от иш расходит-
ся:
= J
о
113Впервые формулу (3.159) с неверным числовым множителем получил
в 1900 году Рэлей, исходя из представления о равновесном тепловом излу-
чении как наборе собственных электромагнитных колебаний полости.
Вклад английского физика Дж. Джинса заключается в том, что он
в 1905 году исправил ошибку Рэлея в следующих выражениях: ’’Мне пред-
ставляется, что лорд Рэлей ввел ненужный множитель 8, принимая в расчет
и отрицательные, а не только положительные значения своих целых чисел”.
412 ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
В соответствии с законом Рэлея—Джинса Солнце должно было
бы испускать смертоносные рентгеновские лучи более интенсив-
но, чем видимый свет!
Этот результат, предсказанный классической физикой, полу-
чил наименование ’’ультрафиолетовой катастрофы”, так как бес-
конечный вклад в плотность энергии должно было бы вносить
излучение больших частот, а самыми высокочастотными элек-
тромагнитными волнами в начале XX века считались ультрафи-
олетовые.
Итак, подобно тому, как в вопросе о стабильном существо-
вании атомов классическая физика приводила к нелепым выво-
дам (см. гл. 2, разд. 2.9.6), так и в теории равновесного теплово-
го излучения классическая физика дала абсурдный закон Рэлея-
Дснсинса. В обоих случаях получилось, что применение класси-
ческих законов к способным излучать объектам атомного раз-
мера дало неверные результаты.
Следовательно, для решения проблемы равновесного тепло-
вого излучения необходимо было отказываться от каких-то пред-
ставлений, выработанных в рамках классической физики. Пер-
вый шаг в этом направлении сделал Макс Планк, начавший по-
иск такого положения классической физики, замена которого да-
ла бы возможность получения правильной формулы (3.155), а не
абсурдного закона Рэлея—Джинса. И он с гениальной интуицией
нашел подлежащее пересмотру положение классической физики.
Всего через два месяца после получения формулы (3.155),
на заседании 14 декабря 1900 года того же Берлинского колло-
квиума Физического общества Планк выдвинул революционную
гипотезу, открывшую в физике новую — квантовую— эру:
"полную энергию некоторого ансамбля тождественных ос-
цилляторов необходимо рассматривать не как непрерывную не-
ограниченно делимую величину, а как величину дискретную, со-
ставленную из целого числа конечных порций энергии ".
Планк оказался первым ученым, посягнувшим на не-
прерывность динамических переменных классической
механики во имя примирения теории с фактами. Квинт-
эссенцией классических воззрений на природу до Планка было
изречение ’’Natura non facit saltus” (природа не делает скачков,
лат.), приписываемое одному из основоположников дифферен-
циального и интегрального исчисления Лейбницу, но по мысли
восходящее еще к Аристотелю.
А из обоснованной гипотезы Планка следовало, что природа
делает скачки!
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
413
Другими словами, Планк принял гипотезу о том, что энер-
гия осциллятора частоты си может принимать лишь дискретный
ряд значений 0, е, 2е, Зе, ..., где е > 0, тогда как в соответствии
с классическими взглядами энергия может, непрерывно изменя-
ясь, принимать любые значения. Теперь множество допустимых
значений энергии любой системы называют спектром.
Спектр, состоящий из набора отдельных разрешенных зна-
чений, называется дискретным.
Величину е Планк назвал квантом энергии.
(Отметим в скобках, что до 19 октября 1900 года Планк от-
рицательно относился к статистической интерпретации термо-
динамики, неправильно трактуя ее второй закон как закон абсо-
лютный, а не статистический. Но эксперимент заставил, и он,
отбрасывая свои предубеждения, принял больцмановскую трак-
товку энтропии как меру термодинамической вероятности, по-
сле чего вывел выражение для средней энергии гармонического
осциллятора, используя свою гипотезу, а также связь между эн-
тропией системы осцилляторов и их энергией. Однако в последу-
ющем он упростил доказательство, которое далее и приводится.)
Прежде всего, распределение Больцмана по энергии на слу-
чай дискретного спектра должно быть модифицировано очевид-
ным образом:
Л	(
wn = Л ехр I- —
\ К1
(3.160)
где Ai — нормировочный множитель, wn — вероятность обнару-
жения осциллятора в состоянии с энергией пе, п = 0,1,2,....
С учетом (3.160) подсчет средней энергии осциллятора, нахо-
дящегося в тепловом равновесии с термостатом температуры Т,
затруднений не вызывает. Действительно,
+оо
е newn
Е wn
о
х + 2ж2 + Зж3 Ч---
1 + х + х2 + • • •
(3.161)
где х = ехр[—еДАгТ)].
В знаменателе правой части (3.161) стоит сходящаяся геомет-
рическая прогрессия, так что 1 + ж + ж2 +   • = 1/(1 — ж), а ряд
414
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
в числителе суммируется следующим образом:
х + 2х2 + Зх3 Ч-=т(1 + 2х + Зт2 + •••) =
х
(1 - ж)2 ’
В итоге для средней энергии получается выражение
— х	е
&	81 — х ехр[е/(А;Г)] — 1 ’
(3.162)
Подставляя (3.162) в ранее выведенную Планком формулу
(3.156), получаем
cv2s	1
гЦси,Т) =	---------------г •	(3.163)
7Г2С3 ехр[е/(А;Т)] - Г
Поскольку любой закон излучения должен согласовываться
с законом смещения Вина в общей форме, то сравнение (3.147)
= uj3 f (uj/ТУ\ с (3.163) приводит к зависимости кванта энер-
гии осциллятора е от частоты осциллятора си:
е = Ъм,	(3.164)
где коэффициент пропорциональности h — новая мировая по-
стоянная, поскольку спектральное распределение равновесного
теплового излучения носит абсолютный характер, не связанный
со свойствами никакого конкретного осциллятора.
Таким образом, помимо введения гипотезы о дискретности
возможных значений энергии гармонического осциллятора и вве-
дения понятия кванта энергии, Планк получил новую мировую
постоянную h, названную постоянной Планка.
Позднее английским физиком-теоретиком П. Дираком была
предложена более удобная для теоретических расчетов ’’пере-
черкнутая постоянная Планка" h, где
(3.1б5)
Z7T
Тогда квант энергии е можно выражать как с помощью по-
стоянной Планка, так и с помощью перечеркнутой постоянной
Планка в виде е = hco = hv.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
415
Размерность h и К равна произведению размерностей энер-
гии и времени, то есть [h] = [h] = Дж-с. В механике известна
величина с такой размерностью, называемая действием. Поэто-
му константы h и h называют также квантами действия.
Подставив в (3.163) величину кванта энергии из (3.164), Планк
получил в окончательной форме согласующуюся с эксперимен-
том формулу, названную законом излучения Планка:
Uu(v,T} =	-----тт—777777Й 7 •	(3.166)
v 7	^с3 exp[/2u?/(fcT)] - 1	4	7
Закон (3.166) позволяет уточнить понятие температуры излу-
чения, введенное ранее с помощью закона Стефана—Больцмана
[или уравнения (3.125)]. Теперь можно сказать, что излучение
имеет температуру Г, если оно однородно, изотропно, а его спек-
тральное распределение удовлетворяет формуле (3.166).
Как было уже отмечено ранее, в области малых частот выра-
жение (3.166) переходит в закон Рэлея—Джинса (3.159), а в об-
ласти больших частот — в закон излучения Вина (3.152), если
в последнем положить
С = П/(7Г2С3)	(3.167)
И
a = h/k.	(3.168)
Теперь, используя закон излучения Планка (3.166), понятие
малой и большой частоты при заданной температуре можно уточ-
нить. Малая частота, очевидно, должна удовлетворять неравен-
ству hw кТ, а большая — неравенству hw » кТ.
Воспользовавшись экспериментально определенными значе-
ниями постоянных Вина b и Стефана—Больцмана а, Планк вы-
числил значение постоянных Больцмана к и Планка h. Пред-
варительно он вычислил лучеиспускательную способность абсо-
лютно черного тела е(Т), а также наиболее вероятную длину
волны теплового излучения Хт .
Величина е(Т) получается интегрированием по спектру:
4 _ си(Т) _ с Г hw3 ______________dw_________
а 4	4 J 7г2с3 exp[/kj/(fcT)] — 1
о
(fcT)4 Г х3
4п2с2}т? J ехр(т) — 1
(3.169)
416
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
где по ходу вычисления была произведена очевидная замена пе-
ременных под знаком интеграла. Учитывая, что интеграл в пра-
вой части последнего уравнения табличный (его значение тг4/15),
из (3.169) можно получить значение постоянной Стефана—Больц-
мана в виде
”	60с2Й3	15с2Л.з '	(3170)
Нахождение наиболее вероятной частоты Хт требует перехо-
да от спектрального распределения по частоте к спектральному
распределению по длине волны. Воспользовавшись правилом пе-
рехода (3.82), преобразуем (3.166):
/ ч ,,	8тгhe	1	z ч
гбд(А,Т) =	, • --г-—7	.	(3.171)
A5 exp[hc/ (AfcT)] — 1
Наиболее вероятная длина волны Хт удовлетворяет уравне-
нию du\/dX = 0, откуда получается
5[ехр(т) — 1] = техр(т),
(3.172)
где х = hc/(XkT}.
Последнее уравнение трансцендентное и не имеет аналитиче-
ского решения, однако величину его единственного корня можно
найти численно с произвольной степенью точности.
Так, с четырьмя значащими цифрами имеем х = 4.965 [или
Хт = /ic/(4.965fcT)]114, откуда следует величина постоянной Ви-
на Ь:
(3.173)
he
Вспомним, что в 1900 году значение постоянной Больцмана к
достоверно известно не было [то же самое можно сказать о чис-
ле Авогадро АГд, так как к = R/N^ где R — хорошо известная
универсальная газовая постоянная, см. гл. 1, разд. 1.1, формула
(1.5)], не говоря уже о вообще неизвестной в классической фи-
зике постоянной Планка. Но зато в 1900 году, благодаря тща-
тельным измерениям Луммера и Прингсгейма, а также Рубенса
и Курльбаума, были известны постоянная Вина b и постоянная
Стефана—Больцмана а. Решив два уравнения (3.170) и (3.173)
114 Если найти частоту, соответствующую длине волны Лт, то она окажется
в 1.76 раза больше наиболее вероятной частоты Таким образом, макси-
мум на спектральном распределении по длине волны сдвинут в высокоча-
стотную область по сравнению с максимумом на спектральном распределе-
нии по частоте.
3.2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
417
относительно двух неизвестных к и h, Планк нашел значения
этих мировых постоянных с точностью в 2 %. С такой же точно-
стью он, следовательно, получил значения числа Авогадро Na
и элементарного электрического заряда е, так как е выражает-
ся через постоянную Фарадея и число Авогадро [е = F/Na, см.
гл. 2, разд. 2.1, формула (2.5)].
Современное значение постоянной Планка h с семью верными
значащими цифрами
h = 6.626070 -IO"34 Дж -с,
а перечеркнутой постоянной Планка К = /г/(2тг)
h= 1.054571 • 10"34 Дж-с.
Рис. 3.53. Спектральное распределение по длинам волн лучеиспус-
кательной способности абсолютно черного тела е\ при Т = 1650 К.
Кружками обозначены экспериментальные точки, полученные амери-
канским физиком У. Кобленцем (1910 г.)
На рис. 3.53 изображено спектральное распределение лучеис-
пускательной способности абсолютно черного тела при темпера-
туре Т = 1650 К. Экспериментальная кривая проведена через
кружочки и совпадает с кривой, построенной по закону излуче-
ния Планка. Для сравнения построены кривые, соответствующие
законам излучения Вина и Рэлея—Джинса.
418
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Открытие новой мировой постоянной — постоянной Планка
— прошло практически незамеченным физическим сообществом
по нескольким причинам, главной из которых было, конечно,
нежелание отнестись всерьез к мысли о дискретности энергии
гармонического осциллятора.
Против гипотезы Планка восставал здравый смысл ученых,
воспитанных на изречении ’’Natura non facit saltus”. Кроме того,
внимание физиков в 1900 году было занято сенсационными экс-
периментальными открытиями рентгеновских лучей, электрона,
делимости атома, радиоактивности, тогда как проблемы равно-
весного теплового излучения интересовали лишь ограниченный
круг ученых, воспринявших результаты Планка в лучшем слу-
чае как технический прием, не имеющий физического смысла.
Непонятной была и природа постоянных (h или К) назван-
ных ’’элементарными квантами действия”, так как в механике не
существует закона сохранения действия115.
Однако размерность действия имеет другая сохраняющаяся
в ряде случаев динамическая переменная — момент количества
движения. Только в 1920-е годы выяснилось, что последователь-
ная квантовая теория предсказывает дискретный набор значе-
ний именно для момента количества движения, тогда как соб-
ственно действие может изменяться непрерывно.
Лишь тогда, когда независимо и после Планка Перрен опре-
делил постоянную Авогадро (см. гл. 1, подразд. 1.3.2), а Милли-
кен — заряд электрона (см. гл. 2, разд. 2.6), оказалось, что Na и е
совпадают (в пределах экспериментальной точности) с планков-
скими значениями! Только после столь убедительных указаний
на правильность планковских рассуждений116 они стали переме-
щаться в центр внимания физического сообщества.
Можно сказать, что квантовая теория зародилась как уче-
ние о той роли, которую играет в описании природы постоянная
Планка (h или К). Оказалась, что роль эта весьма многообразна,
и далее она частично будет раскрыта.
115 В механике действие есть интеграл от функции Лагранжа по времени.
116Все результаты Планка, изложенные в настоящем разделе, впоследствии
нашли подтверждение в последовательной квантовой теории, развитию ко-
торой именно Планк и дал определяющий импульс, открыв постоянную
Планка, кванты энергии и дискретность энергетического спектра гармони-
ческого осциллятора. Позднее выяснилось, что Планк ошибся лишь в том,
что принял наименьшее значение энергии осциллятора равным нулю, одна-
ко это не повлияло на результат. В главе 4 спектр энергии гармонического
осциллятора будет рассчитан. Это все тот же эквидистантный спектр с рас-
стоянием между возможными уровнями энергии Нш.
3 2 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
419
Результаты Планка еще не были законченной теорией и не яв-
лялись логически непротиворечивым выводом формулы (3.166)
для спектральной компоненты равновесного теплового излуче-
ния!
Скорее можно утверждать, что, отталкиваясь от по-существу
угаданной формулы (3.155), Планк вскрыл неожиданное свой-
ство материальной системы — гармонического осциллятора, то
есть подогнал среднюю энергию гармонического осциллято-
ра к виду (3.155) подобно тому, как ранее он подгонял энтропию
равновесного излучения к виду, необходимому для получения за-
кона излучения Вина. То, что на этом пути Планк открыл но-
вую мировую константу — постоянную Планка, явилось такой же
неожиданностью в теории, как и открытие рентгеновских лучей
в эксперименте.
Но, в отличие от Рентгена, обстоятельно изучившего свой-
ства X -лучей, Планк не довел собственные рассуждения до неиз-
бежных логических следствий, ведших к представлению о дис-
кретности электромагнитного излучения и к законам Бора.
В самом деле, если отнестись всерьез к гипотезе Планка о дис-
кретности спектра заряженного осциллятора и проанализиро-
вать процесс поглощения энергии осциллятором, то можно прий-
ти к идее дискретности электромагнитного излучения, иначе воз-
никают неразрешимые вопросы при учете того,что такой осцил-
лятор может поглощать энергию лишь скачком, определенным
квантом huo. Между тем, если считать энергию излучения непре-
рывно распределенной в пространстве, то она должна поступать
непрерывно, и осциллятор при начале облучения должен сразу
начинать поглощение бесконечно малыми, непрерывными порци-
ями, иначе энергия уйдет (со скоростью с) мимо! Но как может
осциллятор конечное время постепенно увеличивать свою энер-
гию, если она у него не может изменяться непрерывно? И может
ли осциллятор ’’знать”, хватит ли в электромагнитном излуче-
нии энергии для накопления целого кванта е = hw? Что будет,
если энергии для целого кванта не хватит?
Поставленные вопросы показывают, что гипотеза Планка
была явно несовместима с представлением о непрерывном элек-
тромагнитном излучении.
Другими словами, осциллятор с дискретным энергетическим
спектром в состоянии с определенным значением энергии по за-
кону сохранения энергии "непрерывно" излучать не может (фак-
тически это первый закон Бора).
Излучать и поглощать энергию осциллятор может лишь кван-
420
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
тами энергии. И по закону сохранения энергии величина излу-
ченной порции энергии должна быть разностью между уровнями
энергии осциллятора (а это есть второй закон Бора).
Однако вера в незыблемость классических законов бы-
ла у Планка столь глубока, что он не только не пошел вперед по
им же открытому пути, но и до последней возможности сопро-
тивлялся идее дискретности электромагнитного излучения даже
после того, как она была предложена в 1905 году Эйнштейном.
Планк уверовал в фотонную теорию лишь в 1920-е годы, когда
она была принята уже повсеместно, а до этого 20 лет жизни по-
святил бесплодным попыткам вывести закон излучения (3.166)
только на основании законов классической физики.
Помимо прочего, в 1906 году выяснилось, что рассуждение
Планка содержало логическое противоречие, замеченное Эйн-
штейном, указавшим на то, что "вывод” закона излучения План-
ка состоял из двух частей. Каждая из частей была внутренне
согласована, но между собой обе части были логически несов-
местимы. Сначала Планк вывел соотношение между спектраль-
ной компонентой плотности равновесного теплового излучения
и средней энергией заряженного гармонического осциллятора
(см. приложение 3), предполагая, что действуют все законы клас-
сической физики, а энергия осциллятора — непрерывно изменя-
ющаяся величина. Затем Планк предположил, что энергия ос-
циллятора — дискретная величина, принимающая только экви-
дистантные значения ntuv, что, конечно, противоречит первой
части. Вспомним еще раз, что гипотеза Планка, по-существу,
была вынужденной, так как без нее автоматически получался
абсурдный закон Рэлея—Джинса.
Эйнштейн, указавший на непоследовательность рассуждений
Планка, ликвидировал логическое противоречие, допущенное по-
следним, предложив фотонную теорию и приняв новую и не ме-
нее революционную гипотезу о том, что электромагнитное излу-
чение (частоты си) состоит из световых квантов (порций энергии)
величины 8 = Ьш. Эйнштейн, отбросив классическую часть рас-
чета Планка и введя новые гипотезы относительно характера
взаимодействия излучения с веществом, логически непротиворе-
чивым дедуктивным путем вывел закон излучения (3.166), что
одновременно подтвердило правильность формулы (3.156) и сде-
лало понятным, почему при допущенном логическом противоре-
чии Планк открыл новую мировую постоянную.
Оказалось, что формула (3.156) верна как в классической фи-
зике, так и в квантовой, что будет доказано в следующей главе.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
421
3.3 Фотонная теория Эйнштейна и ее
экспериментальные подтверждения
В разделе 3.1 настоящей главы было указано, что не все свой-
ства рентгеновских лучей получили объяснение в рамках макс-
велловской электродинамики. Дж.Дж. Томсон, защитник элек-
тромагнитной природы рентгеновских лучей, тем не менее, пер-
вым высказал мнение о том, что энергия, переносимая рентге-
новскими лучами, не может быть распределена в пространстве
непрерывно. Как было описано ранее, Томсон применил рентге-
новские лучи как средство создания заметной проводимости га-
зов. При этом оказалось, что рентгеновские лучи вызывали в га-
зах относительно незначительную ионизацию. Определяя мощ-
ность ионизации Q (см. гл. 2, разд. 2.4), производимую имеющи-
мися в его распоряжении газоразрядными трубками, Томсон по-
лучал, например, что в одном кубическом сантиметре в секунду
при нормальных условиях под действием рентгеновских лучей
возникало 40000 ионов, тогда как в том же объеме находилось
2.69 • 1019 молекул.
Анализируя процесс ионизации, который мыслился как вы-
рывание электрона из молекулы под действием электрического
поля электромагнитной волны, Томсон отметил, что опыты сви-
детельствуют в пользу того, что энергия Х-лучей не может быть
распределена в пространстве непрерывно.
В монографии ’’Протекание электричества в газах" (1903 г.)
он писал: "Если, например, мы рассмотрим плоскость, перпен-
дикулярную направлению распространения лучей, то окажет-
ся, что энергия не распределена равномерно по этой плоскости,
а распределение энергии характеризуется тем — как будто у нее
существует структура, хотя и крайне мелкая, — что есть места,
где энергия велика, которые чередуются с местами, где она ма-
ла".
Поясним мысль Томсона. Если бы энергия Х-лучей была рас-
пределена в пространстве непрерывно, то, очевидно, ионизация
молекул должна была бы быть либо полной, либо отсутствовать,
так как все молекулы подвергались бы воздействию одного и то-
го же (на фронте волны) электрического поля.
В подразделе 3.2.7 было указано, что высказанная Планком
гипотеза о дискретности энергетического спектра гармоническо-
го осциллятора фактически вступила в противоречие с представ-
лением о непрерывном характере электромагнитного поля. Од-
нако явно сформулированная гипотеза о дискретности электро-
422
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
магнитного поля появилась лишь спустя 5 лет после открытия
закона излучения Планка. В 1905 году Эйнштейн опубликовал
статью ”06 одной эвристической точке зрения, касающейся воз-
никновения и превращения света”, в конечном счете принесшей
ему Нобелевскую премию по физике.
В указанной статье Эйнштейн выдвинул концепцию дискрет-
ности излучения, не обсуждая гипотезу Планка. Тем интереснее
проследить за ходом его мысли. Вывод о дискретности электро-
магнитного излучения был сделан на основе сравнения энтропий
идеального газа и спектральной компоненты равновесного теп-
лового излучения как функций объема!
Произведем соответствующее сравнение, пользуясь идеями Эйн-
штейна. Рассматривая произвольное изменение состояния идеального
газа, можно записать закон сохранения энергии (первое начало термо-
динамики) в виде
dU = 8Q-pdV,	(3.174)
где U — внутренняя энергия газа, 8Q — полученная газом теплота,
р — давление.
Для обратимого изменения состояния газа имеем 8Q = TdS, где
S — энтропия газа. Так как внутренняя энергия идеального одноатом-
ного газа есть сумма средних кинетических энергий всех N молекул
в объеме V [U = (3/2) kT N, где к — постоянная Больцмана, Т — тем-
пература газа], не меняющаяся при изотермическом изменении объема
газа (dU = 0), то для такого процесса имеет место дифференциальное
равенство
TdS = pdV.
С учетом формулы для давления идеального газар = NkT/V получим
dS = kN .	(3.175)
Пусть энтропия газа, занимающего объем Vo, есть Sq. Тогда уравнение
(3.175) позволяет найти энтропию газа при любом другом объеме V
и неизменной температуре:
V	/ v\N
S — So = kN ]п — = к ]п [ — ] .	(3.176)
Vo	\ Vo/
Последней формуле Эйнштейн дал наглядную физическую интер-
претацию, обратившись к введенной Больцманом для энтропии фор-
муле S = к In W, где W — термодинамическая вероятность состоя-
ния (то есть число микросостояний, которым может быть реализовано
данное макросостояние). Формула Больцмана для изменения энтропии
газа при изотермическом сжатии газа дает
S-So = khW/W0.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
423
Задавая вопрос: какова вероятность последнего состояния по отноше-
нию к первоначальному, или какова вероятность того, что N молекул,
движущихся в объеме Vo, соберутся в объеме V < Vo (вероятность по-
следнего события была вычислена в приложении 2), Эйнштейн и по-
лучает формулу (3.176).
Далее Эйнштейн вычисляет энтропию равновесного теплового из-
лучения, когда hw кТ. Вывод закона смещения Вина в общей форме
показал, что внутри объема Vo с зеркальными стенками можно незави-
симо рассматривать спектральные компоненты равновесного теплово-
го излучения в интервале [си, си-Ь Деи], для которых внутренняя энергия
СТ^Дси, давление = С7сиДси/(ЗУ) и энтропия связаны пер-
вым началом термодинамики
d(Uu£w) = Td(Su£w) - ^^-dV.	(3.177)
Последнее уравнение есть дифференциал энтропии Деи как функ
ции внутренней энергии и объема V, что, очевидно, позволяет
найти соответствующую частную производную
Э(^Дси) “ Т
(3.178)
Эйнштейн выражает температуру через энергию излучения с по-
мощью закона излучения Вина, который может быть переписан в виде
ficu3 / hw
(3.179)
откуда следует
1 _ к ir2c?Uu
Vtw3 '
(3.180)
Подстановка (3.180) в (3.178) дает простейшее дифференциальное
уравнение
д^Дц) = _ к_ тг2с3([^Ди)
Решение последнего уравнения получается однократным интегри-
рованием [с учетом flnxdx = ж(1пж — 1)], причем постоянная инте-
грирования выбирается из условия S^Acu = 0 при СТ^Дси = 0 (то есть
энтропия вакуума полагается равной нулю), что дает
S^Acu = -к
пш
|" /тг2с3\
111 V УЙш3Дси J ~	’
(3.182)
Получив приближенное выражение для энтропии равновесного из-
лучения (верное в области действия закона излучения Вина), Эйн-
штейн рассмотрел зависимость энтропии (3.182) от объема при по-
стоянстве энергии излучения СТ^Дси = const. Это подразумевает весь-
ма специфический обратимый процесс сжатия излучения (при этом
424
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
частота излучения вырастет, см. подразд. 3.2.5) с последующим охла-
ждением стенок (при этом частота излучения возвращается к перво-
начальному значению)117, на чем Эйнштейн даже не останавливается.
Он лишь приводит окончательное выражение для изменения энтропии
в таком процессе. Действительно, если энтропию излучения в объеме
Vq обозначить через (5шАо;)о, то из (3.182) получается энтропия излу-
чения той же энергии в объеме V:
- (5Ш Дш)о = к In .	(3.183)
ПШ Vo
Выражение (3.183) для зависимости энтропии равновесного тепло-
вого излучения от объема (при постоянстве полной энергии излучения
в области действия закона Вина) совпадет с зависимостью (3.176) эн-
тропии идеального газа от объема (при постоянстве внутренней энер-
гии газа), если величину	заменить некоторой величиной N
— числом квантов электромагнитного излучения частоты cj. Именно
это обстоятельство, как позднее отмечал Макс Борн, "имело для Эйн-
штейна непреодолимую силу убеждения"118.
Эйнштейн пришел к заключению, что "монохроматическое излу-
чение малой плотности (в пределах применимости закона излуче-
ния Вина) в смысле теории теплоты ведет себя так, как будто оно
состоит из независимых друг от друга квантов энергии величиной
Ъш".
Таким образом, Эйнштейн вернул физике представление о ди-
скретности электромагнитного излучения и соответствующий
квант энергии
5 = 71!/ = /^	(3.184)
на основе частной аналогии, и лишь через год он понял, что дис-
кретность излучения неявно содержалась уже в теории теплово-
го излучения Планка, в которой "энергия резонатора при погло-
щении и испускании может меняться только скачком, а именно
на целочисленное значение, кратное величине Ниэ".
Гипотеза Эйнштейна о световых квантах встретила не про-
сто прохладный прием, а активное противодействие большин-
ства физиков, так как уравнения Максвелла казались надежно
обоснованными, а классические представления об электромаг-
нитных волнах предполагали, что первоначально локализован-
ное электромагнитное возмущение должно со скоростью света
расплываться во всех направлениях вполне аналогично тому, как
расплываются звуковые волны или волны на воде.
117Что в целом аналогично изотермическому сжатию идеального газа, при
котором энергия газа остается постоянной.
118Борн М. Физика в жизни моего поколения. М.: ИЛ, 1963. С.177.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
425
Почти два десятилетия Эйнштейн в одиночестве защищал
выдвинутую им точку зрения на электромагнитное излучение.
Постепенно он конкретизировал представление о квантах излу-
чения как об объектах, движущихся в вакууме со скоростью све-
та с, сохраняющих в процессе движения свою индивидуальность
и переносящих, кроме энергии Ьш еще и импульс р, величина
которого есть
Не останавливаясь на аргументации Эйнштейна, укажем, что
последняя формула для величины импульса кванта излучения
является следствием формул релятивистской динамики, если их
применить к кванту излучения как отдельной частице, которая
лишь в 1926 году получила (по предложению американского фи-
зика Г. Льюиса) особое название — фотон. Действительно, ранее
было показано, что движущаяся в вакууме со скоростью све-
та частица должна обладать нулевой массой покоя, а импульс
и энергия такой частицы связаны как раз соотношением (3.185)
[см. гл. 2, подразд. 2.7.1, уравнение (2.104)].
По поводу импульса фотона укажем, что формула (3.185),
вытекающая из релятивистских соотношений между энергией,
импульсом и массой частицы, соответствует известной форму-
ле максвелловской электродинамики (3.110) для переносимого
излучением импульса. Таким образом, формулу (3.110) можно
считать следствием наличия у фотона импульса, определяемого
с помощью (3.185).
Формулу (3.185) для импульса фотона можно преобразовать,
используя понятие волнового вектора для плоской волны. Вспом-
ним, что волновым вектором плоской волны называется вектор
к, направление которого совпадает с направлением распростра-
нения волны, а модуль (по определению) есть к = 2тг/А, где А —
длина волны. Очевидно, что в вакууме имеем к = w/с, что после
домножения на h дает выражение
p = ftk.	(3.186)
Формулы для энергии и импульса фотона (3.184)—(3.186)
очень просты и в то же время парадоксальны, если их рассмат-
ривать в рамках классической физики. Одна и та же универсаль-
ная величина — перечеркнутая постоянная Планка — связывает
между собой несовместимые с классической точки зрения поня-
тия — энергию частицы (фотона) и частоту классической элек-
426
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
тромагнитной волны, а также импульс частицы (фотона) и вол-
новой вектор, определяемый длиной классической волны.
Формулы (3.184) и (3.186), открытые Эйнштейном, являют-
ся одними из самых замечательных формул физики. Классиче-
ская физика не сталкивалась с такими объектами (фотонами),
поэтому до построения последовательной квантовой теории ка-
залось, что представление о фотоне противоречит эксперимен-
тально обоснованной волновой природе излучения.
В уже упомянутой работе, в которой Эйнштейн впервые вы-
двинул идею дискретности электромагнитного излучения, он без-
ошибочно указал на слабое место в экспериментальном обосно-
вании максвелловской электродинамики: ’’Волновая теория све-
та, оперирующая с непрерывными функциями точки, прекрасно
оправдывается при описании чисто оптических явлений и, веро-
ятно, едва ли будет заменена какой-либо иной теорией. Но все
же не следует забывать, что оптические явления относятся
не к мгновенным, а к средним по времени величинам119. Поэто-
му, несмотря на полное подтверждение экспериментом теории
дифракции, отражения, преломления, дисперсии и т.д., может
оказаться, что теория света, оперирующая непрерывными про-
странственными функциями, приведет к противоречию с опы-
том, когда ее будут применять к явлениям возникновения и пре-
вращения света”.
И Эйнштейн безошибочно выделил целую группу явлений,
противоречащих законам максвелловской электродинамики.
К ним он отнес равновесное тепловое излучение, фотоэф-
фект, а позднее также тормозное рентгеновское излучение, ко-
ротковолновую границу которого Эйнштейн объяснил на осно-
ве фотонной гипотезы (эта граница получила название предела
Дуана-Ханта, см. подразд. 3.1.3). О том, что классическая физи-
ка ведет к абсурдному закону Рэлея—Джинса для равновесного
теплового излучения, было сказано в подразделе 3.2.7. Теперь же
необходимо более подробно рассмотреть законы фотоэффекта.
3.3.1 Фотоэффект
Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) на-
зывается испускание электронов веществом под действием элек-
тромагнитного излучения.
Ранее было указано, что фактически фотоэффект был от-
крыт Герцем, а Ленард и Томсон доказали, что под действи-
119Курсив мой. — А.М.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
427
ем облучения вещество испускает именно электроны (см. гл. 2,
разд. 2.6). Фотоэффект изучали несколько экспериментаторов,
среди которых значительную роль принадлежит русскому фи-
зику А.Г. Столетову, создавшему первый фотоэлемент — устрой-
ство, вырабатывающее фотоэлектрический ток.
Схема фотоэлемента при-
ведена на рис. 3.54. Катод К
(называемый в данном случае
фотоэмиттером) и анод А
помещены в вакууме, между
ними приложена разность по-
тенциалов U. Если лучистый
поток Ф падает на металличе-
ский катод, то может начаться
испускание катодом электро-
нов (фотоэлектронная эмис-
сия). Под действием ускоря-
ющей разности потенциалов
Рис. 3.54. Простейший фотоэле-
мент
электроны двигаются к аноду, а в цепи возникает электрический
ток (фототок), который можно измерить либо непосредствен-
но, включив в цепь амперметр, либо можно измерить падение
напряжения на известном сопротивлении R.
Изучение до 1905 года фотоэффекта для металлов, облучае-
мых видимым или ультрафиолетовым неполяризованным излу-
чением (в таком случае фотоэффект называется нормальным),
позволило установить следующие факты.
1.	Закон Столетова (1888 г.): при неизменности спектраль-
ного состава излучения фототок If пропорционален лучистому
потоку, падающему на фотокатод:

(3.187)
Если облучение катода однородно, то последнее равенство можно
разделить на площадь катода, получив более частное соотноше-
ние jf ~ Е, где Е — плотность излучения.
При положительном потенциале120 анода относительно като-
да фототок If не зависит от величины U, так как все фотоэлек-
120Если катод и анод изготовлены из разных материалов, то между ни-
ми возникает контактная разность потенциалов, которую нужно прибавить
к величине U. Чтобы не усложнять изложения, будем считать, что катод
и анод изготовлены из одного материала, так что контактная разность по-
тенциалов равна нулю.
428
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
троны, покидающие катод в единицу времени, попадают на анод
(см. далее рис. 3.55).
По поводу закона Столетова следует добавить, что часть па-
дающего лучистого потока отражается, фототок же на самом
деле пропорционален поглощенному лучистому потоку, но по-
следний прямо пропорционален падающему потоку.
2.	’’Красная” граница фотоэффекта (Столетов, 1888 г.;
Эльстер и Гайтель, 1889 г.): внешний фотоэффект наступает
только тогда, когда длина волны излучения меньше некоторой
длины волны Аш, зависящей от фотокатода. Для большинства
металлов "красная” граница лежит в ультрафиолетовой обла-
сти.
Термин ’’красная” подчеркивает то обстоятельство, что фо-
тоэмиссию вызывает лишь излучение с длинами волн А < Аш,
где Аш — максимальная длина волны для ’’фотоактивного” из-
лучения подобно тому, как красный свет имеет максимальную
длину волны в видимом диапазоне. Строго говоря, резкая крас-
ная граница имеется при нулевой абсолютной температуре.
3.	Независимость максимальной кинетической энер-
гии фотоэлектронов от величины лучистого потока Ф
(Ленард, 1902 г.): фотоэлектроны вылетают из катода, обладая
начальной кинетической энергией в интервале между нулем и не-
которой конечной величиной £тах. Метод измерения последней
и схема установки Ленарда были описаны ранее (см. гл. 2, под-
разд. 2.8.1, рис. 2.21). Ослабляя поглощающими фильтрами ве-
личину лучистого потока Ф в тысячу раз, Ленард установил, что
максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов при этом
не изменяется.
4.	Безынерционность фотоэффекта (Столетов, 1888 г.;
Эльстер и Гайтель, 1889 г.): Столетов первым установил, что
между началом облучения и появлением в цепи фототока прохо-
дит не более миллисекунды. В 1928 году вывод Столетова был
существенно усилен: фототок возникает вслед на началом облу-
чения, запаздывая не более, чем на 3 нс, то есть 3 • 10-9 с.
Анализ показывает, что надежно обоснованные эксперимен-
тами характеристики фотоэффекта не только не могут быть
объяснены законами классической физики, но и прямо им про-
тиворечат.
Проведем соответствующий анализ, учтя, что атомы метал-
лов при образовании кристаллической решетки теряют часть
электронов, и последние получают возможность почти свободно
перемещаться внутри кристалла. Таким образом, в узлах кри-
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 429
сталлической решетки металлов положительно заряженные ио-
ны колеблются вокруг положения равновесия, а их окружает газ
электронов — свободных носителей заряда. Такие кристаллы на-
зываются кристаллами с металлической связью.
Чтобы электрон мог покинуть металл, он должен иметь кине-
тическую энергию, превышающую глубину потенциальной ямы,
в которой находятся все свободные электроны121. Если электрон
движется из объема металла наружу, то на поверхности возника-
ют силы, возвращающие электрон назад. Механизм возникнове-
ния возвращающей силы на поверхности рассматривается в рам-
ках физической электроники, однако здесь нет нужды подроб-
но его разбирать122. Минимальная энергия, необходимая для из-
влечения одного электрона из вещества123, называется работой
выхода ер (где р — потенциал работы выхода) и составляет
несколько электронвольт, незначительно меняясь от металла к ме-
таллу. Как будет показано далее, именно фотоэффект позволяет
экспериментально измерить работу выхода для различных ве-
ществ. Таблица 3.4. дает представление о работе выхода ряда
поликристаллических металлов.
Таблица 3.4
Работа выхода ряда поликристаллических металлов
(в электронвольтах)
Li 2.38	Na 2.35	К 2.22	Cs 1.81
Ni 4.50	Fe 4.31	Сг 4.58	Со 4.41
Мп 3.83	Си 4.40	Аи 4.30	W 4.54
В соответствии с классическими представлениями средняя
кинетическая энергия электронов в металле ЗкТ/2, что при ком-
натной температуре составляет 0.04 эВ (скорость свободных элек-
тронов с такой энергией порядка 120 км/с). Следовательно, элек-
121 То, что электроны в веществе находятся в потенциальной яме некото-
рой глубины eV, очевидно, так как сами по себе электроны из веществ не
вылетают.
122Для наиболее любопытных укажем, что на поверхности чистого веще-
ства существует двойной заряженный слой (положительно заряженные яд-
ра внутри — электроны снаружи), который тормозит стремящиеся вылететь
электроны. Если же электрон преодолевает двойной заряженный слой, он
еще должен совершить работу против сил зеркального изображения, также
стремящихся вернуть его назад.
123 Минимальность энергии подразумевает, что вне вещества на достаточ-
ном от него удалении электрон должен покоиться.
430
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
трон в металле должен получить дополнительно энергию мини-
мум в несколько электронвольт, чтобы получить шанс вылететь
наружу.
Известно, что красная граница фотоэффекта для щелочных
металлов лежит в видимой части спектра. Металлы непрозрач-
ны для света, а электрическое поле волны проникает в глубину
металла примерно на длину волны, то есть на доли микрона. По
классическим представлениям в электрическом поле электрон
может приобретать кинетическую энергию.
Пусть на металл падает плоская волна, электрическое поле
которой Ez = Eq cos(o?t — кх\ где Eq — амплитуда волны. Плот-
ность излучения124 такой волны, усредненная по периоду коле-
баний, есть
S = cqcE2 =	,	(3.188)
где S — вектор Умова—Пойнтинга [см. гл. 2, подразд. 2.9.6, фор-
мула (2.194)].
Каждый из электронов в металле движется хаотически, так
что отбор энергии от поля световой волны будет носить случай-
ный характер. Определим энергию, которую приобрел бы от та-
кой волны покоящийся электрон. В таком случае рассмотрение
аналогично проведенному ранее при выводе формулы для томсо-
новского сечения рассеяния (см. подразд. 3.1.1), когда уравнение
движения электрона — это уравнение (3.3), а максимальная ки-
нетическая энергия вынужденных колебаний определяется эле-
ментарно:
e2El
к 2тш2 '
Подставив в последнее выражение вместо квадрата амплиту-
ды напряженности электрического поля волны Eq величину ин-
тенсивности излучения S из (3.188), получим величину энергии,
которую могут набирать свободные электроны в электрическом
поле световой волны при заданной интенсивности излучения S:
£к =	= е2Д2 S
EqTTICW2 47Г26оТПС3
124 В области фотоэмиссии (как и в рентгеновской спектроскопии) эту ве-
личину предпочитают называть интенсивностью излучения.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 431
Выбрав А = 400 нм (это фиолетовый свет, вызывающий фо-
тоэмиссию у щелочных металлов) и величину интенсивности из-
лучения S = 1 Вт/м2 (как показывает эксперимент, при такой
интенсивности излучения плотность фототока из щелочных ме-
таллов К и Na достигает величины jf ~ 5 нА/см2, то есть каж-
дый квадратный сантиметр фотокатода в секунду покидает при-
мерно 3 • 1О10 электронов), получим125, что — 3 • 10“18 эВ!!!
Величина эта ничтожно мала не только по сравнению с той энер-
гией, которую должен иметь электрон, чтобы покинуть металл,
но даже по сравнению с тепловой энергией электронов.
Учет хаотичности движения электронов не может существен-
но увеличить оценку отбираемой от поля энергии (так как ско-
рости электронов значительно меньше скорости света, то, перей-
дя в систему отсчета, где выбранный электрон покоится, можно
рассматривать взаимодействие электрона с волной практически
той же частоты и амплитуды, снова получив ничтожное увеличе-
ние кинетической энергии). Так как в электромагнитной волне
амплитуда индукции магнитного поля Во = Е^/с, то неучтен-
ное силовое воздействие переменного магнитного поля волны на
электрон в v/c раз слабее воздействия электрического поля вол-
ны. Поэтому ясно, что и при более корректном рассмотрении
воздействия электромагнитной волны на электрон нужной для
преодоления работы выхода энергии от волны электрон полу-
чить не может.
Следовательно, классическая физика предсказывает невоз-
можность преодоления работы выхода свободными электронами
проводимости.
Но, может быть, при фотоэффекте металл покидают локали-
зованные в ионах электроны? Так как уравнение движения для
таких электронов сформулировать затруднительно, произведем
другую энергетическую оценку. Радиусы ионов имеют порядок
величины г = 1 А. Тогда^за время t на каждый ион падает энер-
гия излучения £ = irr2tS. Допустим, что каким-то чудом вся эта
энергия аккумулируется и передается только одному из элек-
тронов иона. Ясно, что энергия, равная работе выхода, будет
набрана за время
t=
7Vr2S
Подставляя в последнее выражение использованную ранее
величину интенсивности излучения S = 1 Вт/м2 и = 2 эВ,
125 Проведите численный расчет самостоятельно.
432
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
получим £ ~ 10 с, тогда как задержка фотоэффекта не превы-
шает нескольких наносекунд.
Более того, фотоэффект (с задержкой, не превышающей на-
носекунд) вызывает и излучение звезд (если с помощью телеско-
па получить изображение звезды прямо на фотокатоде), когда
величина лучистого потока составляет ничтожную долю от рас-
смотренного! Получается, что фотоэффект прямо противоречит
законам классической физики, так как он имеет место наперекор
предсказаниям о его отсутствии.
Таким образом, противоречия между законами классической
физики и реальным поведением электромагнитного излучения
возникли практически во всех диапазонах — в рентгеновском
(предел Дуана—Ханта), ультрафиолетовом, видимом и инфра-
красном (фотоэффект, равновесное тепловое излучение).
И вот Эйнштейн очень просто объяснил все вышеперечис-
ленные эффекты на основе фотонной гипотезы. Объясним все
четыре экспериментальные особенности фотоэффекта, пользу-
ясь идеями Эйнштейна, содержащимися в первой же его статье
о фотонах.
Объяснение фотоэффекта на основе фотонной гипо-
тезы. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.
Эйнштейн предположил, что при фотоэффекте происходит
поглощение одного фотона одним электроном металла. При этом
количественной характеристикой фотоэффекта становится кван-
товый выход Y(си) — отношение числа эмиттированных за еди-
ницу времени электронов (Jf/e ) к числу падающих на металл
фотонов в единицу времени [Ф/(/гси)]. Помимо частоты излуче-
ния квантовый выход определяется свойствами вещества и со-
стоянием поверхности (то есть работой выхода и коэффициентом
отражения излучения).
Очевидно, что понятие квантового выхода позволяет обосно-
вать закон Столетова. Действительно, из определения квантово-
го выхода получаем
/,=ф4ф.
hbj
Квантовый выход У (си) из металлов в видимой и ближней
ультрафиолетовой частях спектра не превышает 0.001. Проис-
ходит это из-за того, что, во-первых, значительная часть лучи-
стого потока в этом диапазоне отражается от поверхности ме-
таллов, и, во-вторых, из-за того, что электроны, поглотившие
фотон, в металле быстро теряют при столкновениях с другими
электронами избыточную кинетическую энергию (как говорят,
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
433
термализуются), в результате чего глубина выхода электронов
существенно ниже глубины проникновения излучения в металл,
и ббльшая часть поглотивших фотон электронов растрачивает
свою энергию до подхода к поверхности.
Закономерности фотоэффекта дали Эйнштейну ключ к по-
ниманию процесса взаимодействия фотона с электроном: фотон
при взаимодействии с элементарными заряженными частицами
может поглощаться, то есть исчезать. При последнем процессе
должны выполненяться законы сохранения энергии, импульса
и момента импульса.
Рассмотрим электроны проводимости в металле, находящие-
ся в потенциальной яме глубины eV и обладающие максималь-
ной кинетической энергией126 £q , так что полная энергия этих
электронов будет —eV+£о — —где учтено, что работа выхода
металла ер практически и есть разница между глубиной потен-
циальной ямы (с гладким дном) eV, в которой находятся элек-
троны проводимости, и максимальной энергией этих электронов,
то есть ер = eV — £q . При поглощении фотона электронами их
кинетическая энергия увеличивается на величину энергии фото-
на (на ту же величину растет и полная энергия):
51 =£Q + hu.	(3.189)
Если электрон после поглощения фотона движется к поверх-
ности, то в пути он может потерять при столкновениях часть
своей кинетической энергии Д£\. Если полная энергия у поверх-
ности будет положительной, то электрон сможет покинуть ме-
талл, имея уже снаружи кинетическую энергию
g2 — hv — ер — /\£ь >	(3.190)
Чтобы лучше понять последующее, остановимся на вопросе
об энергии фотонов разных частей электромагнитного спектра.
Таблица 3.5 содержит соответствующие данные.
126Точно определить эту величину можно лишь при температуре абсолют-
ного нуля. С классической точки зрения £о(Т) при Т = 0 К должна быть
равна нулю, но квантовая теория металлов предсказывает положительность
этой величины (что на самом деле и соответствует действительности). Од-
нако разница ответов классической и квантовой теорий в данном случае
несущественна, так как сама по себе величина £о (Т) выпадет из дальнейше-
го рассмотрения.
Важно лишь знать, что при положительных температурах металла £о(Т)
может отличаться от £о(0) на величину порядка кТ как в классической,
так и в квантовой теориях. При комнатных температурах кТ < 0.03 эВ,
что позволяет пренебречь этой величиной по сравнению с энергией фотонов
видимой части спектра.
434
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Таблица 3.5
Энергия фотонов разных частей спектра
Диапазон	Длина волны А, А	Энергия фотона hw, эВ
Рентгеновский	0.01-100	1200000-120
Ультрафиолетовый	100-3900	120-3
Видимый,	3900-7700	3-1.5
в том числе:		
фиолетовый	3900-4400	3-2.8
синий	4400-4950	2.8—2.5
зеленый	4950-5800	2.5-2.1
желтый и		
оранжевый	5800-6400	2.1-1.9
красный	6400-7700	1.9-1.6
Видно, что энергия фотонов коротковолновой части видимо-
го излучения (фиолетовые, синие лучи) превышает работу выхо-
да щелочных металлов (загляните еще раз в табл. 3.4). Следова-
тельно, при облучении таким светом фотокатодов из щелочных
металлов должен возникать фототок, что и наблюдается экспе-
риментально.
При этом легко находит объяснение красная граница фото-
эффекта. Действительно, фотоэффект может начаться только
тогда, когда электрон, поглотивший фотон, в состоянии поки-
нуть металл, что эквивалентно неравенству £2 > О, или, с учетом
(3.190), неравенству hv — Дёь > &Р- Считая, что часть электро-
нов не теряет энергии до подхода к поверхности (для таких элек-
тронов Д£& = 0), немедленно получим выражение для частоты
и длины волны, соответствующих красной границе фотоэффек-
та:
he
hv$ = — = е<р.	(3.191)
Ao
Понятно, что при положительных абсолютных температурах сла-
бый рост фототока начинается ранее перехода длины волны че-
рез красную границу. Следует отметить, что последнее уравне-
ние дает возможность экспериментального измерения работы
выхода металлического фотокатода путем измерения красной
границы фотоэффекта.
Если предположить, что электрон поглощает фотон прак-
тически мгновенно, то становится очевидной безынерционность
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
435
фотоэффекта, так как время задержки связано лишь с необходи-
мостью выхода поглотивших фотон электронов из тонкого при-
поверхностного слоя металла.
Наряду с законом Столетова, красной границей и безынерци-
онностыо фотоэффекта, фотонная гипотеза Эйнштейна объяс-
нила и независимость максимальной кинетической энергии £тах
эмиттированных электронов от величины лучистого потока.
В самом деле, формула (3.190) определяет и максимальную
кинетическую энергию эмиттированных электронов. Ясно, что
энергия будет максимальной у тех фотоэлектронов, которые внут-
ри металла имели максимальную энергию £q и не испытали по-
терь энергии внутри металла при вылете наружу. Для таких
электронов получаем уравнение, или закон Эйнштейна для
фотоэффекта
£тах = hv - е<р.	(3.192)
С учетом выражения для красной границы (3.191) последнюю
формулу можно переписать в виде
£max = h(v ~ ^о) •	(3.193)
Таким образом, фотонная гипотеза Эйнштейна не только поз-
волила объяснить все известные в 1905 году закономерности фо-
тоэффекта, но и привела к уравнению (3.192), предсказавшему в
высшей степени парадоксальный (с точки зрения классической
физики, а не фотонной гипотезы) результат.
Парадокс заключался в том, что максимальная кинетическая
энергия фотоэлектронов есть линейная функция частоты излу-
чения, хотя воздействующий на энергию электрона фактор —
напряженность электрического поля волны, квадрат амплитуды
которой Eq в соответствии с формулой (3.188) прямо пропорци-
онален интенсивности излучения S, от которой и должна зави-
сеть £тах в рамках классической физики, но в формулу (3.192)
интенсивность излучения не_вошла. Более того, ранее отмечено,
что независимость £тах от S была установлена эксперименталь-
но, но ответа на вопрос, от чего же зависит £тах, не было. Закон
Эйнштейна для фотоэффекта, давший гипотетический ответ на
последний вопрос, требовал экспериментальной проверки.
В 1911 году Эйнштейн предсказал и существование верхнего
предела частоты тормозного излучения, то есть предел Дуана—
Ханта, экспериментально обнаруженный в 1915 году127.
127 Ду ан с Хантом в своей публикации на Эйнштейна не сослались.
436
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Если при фотоэффекте взаимодействие фотона с электро-
ном ведет к исчезновению фотона и преобразованию его энер-
гии в кинетическую энергию электрона, то при возникновении
излучения на аноде рентгеновской трубки происходит рождение
фотона при торможении электрона в веществе. Так как при воз-
никновении фотона выполняются те же законы сохранения, что
и при его исчезновении, то энергия фотона не может, очевидно,
превышать энергии электрона eU, где U — ускоряющая разность
потенциалов рентгеновской трубки. Следовательно, из неравен-
ства hv < eU следует, что частота тормозного рентгеновского
излучения ограничена сверху, а длина волны, соответственно,
снизу, причем минимальная длина волны определяется уравне-
нием
ч he 12.4 х
^min = “77 ~	>	(3.194)
еи и
где напряжение U должно быть выражено в киловольтах.
Последнее выражение полностью совпадает с пределом Дуа-
на—Ханта (3.53), экспериментально обнаруженным в 1915 году.
Вышеприведенные объяснения фотоэффекта и предела Ду-
ана—Ханта требуют лишь одного дополнительного замечания.
Существенным обстоятельством, связанным с поглощением или
испусканием фотона электроном, является наличие взаимодей-
ствие электрона с третьим телом, так как свободный электрон
ни испустить, ни поглотить фотон не может. То, что свободный
электрон не может испустить фотон, практически очевидно.
Действительно, если считать, что поглощение или испускание
фотона не вызывает изменения природы электрона (что означа-
ет постоянство его массы), то в системе координат, связанной со
свободным электроном, испускание фотона положительной энер-
гии hv > 0 означало бы нарушение закона сохранения энергии,
так как конечная энергия замкнутой системы превысила бы на-
чальное значение энергии:
тес2 < тес2 + | теС = — тес2 | + hv ,
^yi-u2/c2 J
где слева стоит энергия покоя электрона до испускания, а спра-
ва — энергия фотона и полная энергия электрона [см. гл. 2, под-
разд. 2.7.1, формула (2.112)], представляющая собой сумму его
энергии покоя и положительной кинетической энергии, соответ-
ствующей скорости отдачи электрона v, величина которой опре-
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
437
деляется законом сохранения импульса
hy _ mev
с у/1 — v2/c2
Менее очевидно, что свободный электрон не может фотон
поглотить. Тем не менее, и последнее утверждение легко до-
казать. Допустим, что покоящийся электрон поглощает фотон
энергии hy > 0, в результате чего полная энергия электрона £
становится равной сумме его энергии покоя и энергии фотона:
£ = тес2 + hy. Импульс электрона становится равным импульсу
фотона р = hy/c. Вспоминая, что энергия и импульс частицы
связаны между собой [см. гл. 2, подразд. 2.7.1, формула (2.104)],
получим
(тес2 + hy)2 = {hy)2 + (mec2)2 .
Возводя левую часть последнего уравнения в квадрат и сокра-
щая общие члены, получаем mec2hy = 0, что вступает в про-
тиворечие с предположением о положительности энергии погло-
щенного фотона.
Свободный электрон может лишь рассеять фотон, но не по-
глотить или испустить его. Таким образом, для фотоэффекта
является существенным то обстоятельство, что электроны по-
глощают фотоны внутри вещества. Электрон поглощает фотон
в присутствии третьего тела, энергия фотона идет на увеличе-
ние кинетической энергии электрона, а недостающий импульс128 129
электрон получает либо как результат взаимодействии с колеб-
лющимися ионами решетки (в таких случаях говорят о взаимо-
действии с фононами12^ решетки, а фотоэффект называют объ-
емным), либо как результат взаимодействия с силовым полем
(называемом полем сил работы выхода) на поверхности веще-
ства, ответственным за возникновение работы выхода (фотоэф-
фект в таком случае называют поверхностным).
128 Аналогией может быть упругое столкновение тяжелого и легкого шаров,
при котором легкий шар может существенно изменить свой импульс практи-
чески без изменения энергии (то есть отразиться от покоящегося тяжелого
шара без изменения абсолютной величины скорости).
129 Фононами называют энергетические кванты колебаний атомов или
ионов в кристаллической решетке. Вспомним Планка, который первый уста-
новил, что энергетический спектр гармонического осциллятора дискретен.
Название фонон введено по аналогии с фотоном как квантом электромаг-
нитных колебаний. Но, в отличие от фотона, являющегося полноценной ча-
стицей, фонон — квазичастица.
438
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
’’Физический смысл” только что проведенного доказатель-
ства невозможности поглощения фотона свободным электроном
заключается в следующем. Фотон несет энергию hv, переход ко-
торой в кинетическую энергию электрона предполагает возник-
новение у последнего гораздо бблыпего импульса, чем тот, ко-
торый принесен фотоном. Рассмотрим для иллюстрации послед-
него утверждения численный пример. Импульс фотона с энер-
гией 3 эВ по формуле (3.185) есть р^у = 1.6 • 10-27 кг-м/с. В то
же время импульс электрона с кинетической энергией 3 эВ (оче-
видно, можно пользоваться нерелятивистским выражением) есть
ре = \/2те£к = 0.93-10-24 кг-м/с, что примерно в 581 раз превы-
шает импульс фотона. Именно этот недостающий импульс и по-
лучают фотоэлектроны при поглощении фотона внутри веще-
ства (в присутствии третьего тела).
Иными словами, импульс фотона 8/с много меньше импульса
электрона той же энергии 28/v, так как при нерелятивистской
энергии 8 скорость электрона v С с.
Первые экспериментальные подтверждения гипотезы
световых квантов.
Все четыре известные к 1905 году особенности фотоэффек-
та, объясненные на основе фотонной гипотезы, могли считаться
первыми вескими экспериментальными свидетельствами в поль-
зу реальности существования фотонов.
Закон же Эйнштейна для фотоэффекта (3.192) подлежал про-
верке. Идейно простые эксперименты по измерению максималь-
ной кинетической энергии фотоэлектронов в соответствии с ме-
тодикой, использованной впервые еще Ленардом (см. гл. 2, под-
разд. 2.8.1, рис. 2.21), были проведены сразу несколькими экспе-
риментаторами. Вспомним, что суть методики Ленарда заключа-
лась в определении максимальной тормозящей разности потен-
циалов J7m между катодом и анодом, при которой фототок в фо-
тоэлементе обращается в нуль. Чтобы проиллюстрировать по-
следнее положение, рассмотрим вольт-амперные характеристики
фотоэлемента с никелевыми фотокатодом и анодом, изображен-
ные на рис. 3.55.
Изображены четыре характеристики, полученные при облу-
чении никеля ультрафиолетом с длинами волн Ai = 2 302 А,
А2 = 2 400 А, Аз = 2 507 А и Ад = 2 653 А. По оси абсцисс от-
ложена разность потенциалов U между анодом и фотокатодом,
а по оси ординат — фототок, отнесенный к фототоку насыще-
ния. Видно, что U > 0 соответствует тянущее электрическое
поле, так что все фотоэлектроны, покинувшие фотокатод, по-
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
439
Рис. 3.55. Вольт-амперные характеристики фотоэлемента с фотока-
тодом и анодом из никеля для четырех длин волн ультрафиолетового
излучения (П.И. Лукирский и С.С. Прилежаев, 1928 г.)
падают на анод, и фототок постоянен. Этот постоянный фото-
ток и фигурирует в законе Столетова. Если же U < 0, то меж-
ду катодом и анодом создается тормозящее электрическое поле,
преодолеть которое могут лишь электроны, начальная кинети-
ческая энергия которых превышает величину — eU. В качестве
примера для третьей кривой стрелочкой показан потенциал J7m,
соответствующий прекращению фототока (так как кривая к оси
абсцисс в этой точке подходит полого, то определение величины
Um производилось с трудно контролируемой точностью), когда
можно было считать выполненным условие
—eJ7m — hi/ — ер,
или
(3.195)
Таким образом, зависимость — Um от I/ должна быть линей-
ной с независящим от материала фотокатода тангенсом угла
наклона /i/е, что дает возможность определить это отношение
и, зная элементарный электрический заряд, найти постоянную
Планка h.
В 1912 году появились первые, но не очень точные подтвер-
ждения правильности уравнения (3.192). Эксперименты были
проведены в Кембридже учеником Дж.Дж. Томсона Л. Хью-
440
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
зом, а также в Принстоне О. Ричардсоном130 и К. Комптоном131.
Еще более тщательная проверка закона Эйнштейна была осу-
ществлена Милликеном, который позднее вспоминал, что он ’’по-
тратил десять лет жизни на проверку уравнения Эйнштейна
1905 года и вопреки всем ожиданиям был вынужден в 1915 году
признать его справедливость, несмотря на то, что оно казалось
безрассудным, так как противоречит всему, что было известно
об интерференции света”132.
Впервые о проверке закона Эйнштейна для фотоэф-
фекта Милликен доложил на конференции Американского фи-
зического общества в 1914 году, а подробное описание его клас-
сической работы было опубликовано в 1916 году. Не останав-
ливаясь детально на установке (в принципиальном отношении
реализующей метод Ленарда), которая по мере необходимости
усовершенствовалась до тех пор, пока Милликен с полным пра-
вом не назвал ее "механической мастерской в вакууме", укажем,
что для лития, калия и натрия были построены графики зависи-
мости —Um от г/, которые в пределах точности измерений оказа-
лись прямыми, а отношение h/e Милликен измерил очень точ-
но. Оказалось, что измеренная таким образом величина Л, как
и предсказал Эйнштейн, не зависит от материала фотокатода
и с высокой точностью совпадает с величиной постоянной План-
ка, вычисленной самим Планком из экспериментальных данных
по равновесному тепловому излучению. Если пересчитать ре-
зультат Милликена на современное значение заряда электрона,
то окажется, что Милликен определил постоянную Планка с точ-
ностью в 0.1 %.
Классические исследования фотоэффекта (в том числе и про-
верка закона Эйнштейна) были осуществлены в 1926—1928 годах
советскими физиками П.И. Лукирским и С.С. Прилежаевым.
В качестве примера на рис. 3.56 приведены графики зави-
симости —Um от у для семи металлов. Прямые нанесены слева
направо в следующем порядке: алюминий, цинк, олово, никель,
кадмий, медь, платина.
130Оуэн У. Ричардсон (1879—1959) — лауреат Нобелевской премии по фи-
зике 1928 года ”за работы по термоэлектронным исследованиям, и особен-
но за открытие закона, носящего его имя”. Термоэлектронная эмиссия —
это испускание электронов нагретым веществом (при этом часть электронов
оказывается в состоянии преодолеть работу выхода за счет своей тепловой
энергии).
131 Карл Комптон — брат Артура Комптона.
132Цит. по: Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна.
М.: Наука, 1989. С.339.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
441
Рис. 3.56. Зависимости — Um от v для семи металлов (Al, Zn, Sn, Ni,
Cd, Cu, Pt), подтверждающие закон Эйнштейна для фотоэффекта
(П.И. Лукирский и С.С. Прилежаев, 1928 г.)
Видно, что зависимость максимальной кинетической энергии
фотоэлектронов для всех металлов — линейная, причем все пря-
мые параллельны, что подтверждает закон Эйнштейна и позво-
ляет определить постоянную Планка h.
Справедливости ради отметим, что величину постоянной
Планка Лукирский и Прилежаев в 1928 году нашли с бблыпей
погрешностью (0.6%), чем это сделал Милликен в 1915 году.
Впечатляющим экспериментальным подтверждением взгля-
дов Эйнштейна стало открытие многофотонной фотоэлектрон-
ной эмиссии. Действительно, при нормальном фотоэффекте элек-
трон поглощает один фотон и очень быстро либо покидает ме-
талл, либо расходует свою энергию на нагревание вещества. Ис-
точники излучения, которыми располагали экспериментаторы
до изобретения лазеров, давали относительно незначительные
лучистые потоки, когда вероятность поглощения второго фото-
на была пренебрежимо мала. Однако априори ясно, что если
увеличивать поток фотонов, то вероятность поглощения второго
фотона станет значительной. Последнее, в свою очередь, озна-
чает, что при двухфотонной фотоэмиссии частота красной гра-
ницы (3.191) уменьшится ровно в 2 раза. Если же имеет место
TV-фотонная эмиссия, то частота красной границы упадет в N
раз, а уравнение Эйнштейна примет вид
^max ~ Nhv ер.
Основной сложностью наблюдения многофотонной фотоэмис-
442
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
сии является сильное нагревание вещества под действием мощ-
ного излучения, вызывающее маскирующую фотоэффект тер-
моэлектронную эмиссию. Однако нагревание, в отличие от фо-
тоэмиссии — инерционный эффект, поэтому термоэлектронная
эмиссия подавляется использованием сверхкоротких импульсов
излучения длительностью 10“11 — 10“12 с.
Двухфотонная фотоэмиссия впервые наблюдалась в 1964 го-
ду, в 1967 году — трехфотонная. Так, трехфотонная эмиссия на-
блюдалась группой венгерских физиков (Д. Фаркаш с сотрудни-
ками) на золоте (etp = hv$ = 4.3 эВ) при освещении рубино-
вым лазером, дающим фотоны энергии hv = 1.78 эВ. Очевидно,
что для вылета из металла электрону нужно поглотить мини-
мум три фотона рубинового лазера. При интенсивности излуче-
ния в импульсе 5-109 Вт/м2 плотность трехфотонного фототока
была 10 нА/см2. Квантовый выход описанной трехфотонной фо-
тоэмиссии, как нетрудно сосчитать, составляет Уз = 0.36 • 10”13 ,
что существенно ниже квантового выхода однофотонной фото-
эмиссии.
Позднее четырех- и пятифотонный фотоэффект наблюдался
на металлических и полупроводниковых фотокатодах.
Таким образом, тщательная экспериментальная проверка за-
кона Эйнштейна для фотоэффекта подтвердила его правиль-
ность, а величина постоянной Планка, измеренной по данным
фотоэффекта, в пределах точности измерений совпала с вели-
чиной постоянной Планка, вычисленной из экспериментальных
данных по равновесному тепловому излучению. Более того, как
уже отмечалось ранее, в 1915 году Дуан и Хант подтвердили
правильность формулы (3.194) и, в свою очередь, определили по-
стоянную Планка по измерениям коротковолновой границы тор-
мозного рентгеновского излучения. Опять (с точностью в 3.5 %)
получилась та же величина, которая следовала из данных по
фотоэффекту и равновесному тепловому излучению.
Однако, несмотря на столь убедительное подтверждение фо-
тонной гипотезы Эйнштейна, физическое сообщество продолжа-
ло отрицать идею дискретности электромагнитного излучения100
на что, впрочем, имелись веские основания. Такой консерватизм
можно понять, вспомнив следующее.
Теория считается опровергнутой, если проводится хотя бы
один эксперимент, противоречащий ее выводам. В то же время
старая теория зачастую не отбрасывается, а лишь признается 133
133Милликен даже после подтверждения закона Эйнштейна (3.192) считал,
что теория квантов излучения ’’представляется несостоятельной”.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 443
приближенной, то есть верной с некоторой точностью для огра-
ниченного круга явлений. Так произошло и с максвелловской
электродинамикой, сохранившей свое значение, поскольку она
с хорошей точностью описывает огромный круг явлений.
Однако, если одного эксперимента достаточно, чтобы выявить
ограниченность старой теории, то его же бывает недостаточно,
чтобы создать новую, более общую теорию. Кроме того, новая
теория, призванная прийти на место старой, должна дать объ-
яснение не только эксперименту, вступившему в противоречие
со старой теорией, но и объяснить вообще все известные факты,
относящиеся к старой теории, на что, естественно, может пона-
добиться значительное время.
Так получилось и с фотонной гипотезой. Долгое время на ее
основе не могли объяснить явления дифракции, отражения, пре-
ломления, поэтому ее не воспринимали как более общую теорию,
и положение в физике к началу 1920-х годов стало катастрофи-
ческим: часть явлений описывалась только на основе понятия
непрерывного электромагнитного поля, а часть — только на ос-
нове фотонной теории, причем казалось, что волновая и фотон-
ная точки зрения исключают друг друга.
Тем не менее, фотонная гипотеза, благодаря своей плодотвор-
ности и нарастающему количеству экспериментальных подтвер-
ждений, постепенно завоевывала умы. Переломным моментом
для фотонной теории стал 1922 год, когда был открыт эффект
Кбмптона.
3.3.2 Эффект Комптона как прямое
доказательство существования фотонов
Как уже отмечалось, прохождение рентгеновских лучей через
вещество сопровождается поглощением и рассеянием. В класси-
ческой физике рассеяние излучения описывается как переизлу-
чение электромагнитных волн электронами, совершающими вы-
нужденные колебания под действием первичного излучения. При
этом частота рассеянного излучения (то есть частота вынуж-
денных колебаний электрона) в нерелятивистском приближении
совпадает с частотой первичного излучения.
Эффект Комптона заключается в рассеянии электромагнит-
ного излучения свободными электронами с уменьшением часто-
ты, что противоречит выводам классической физики.
Начиная с 1904 года качественно это явление при рассеянии
рентгеновских и 7-лучей отмечалось многими исследователями.
444 ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Эффект зависел от угла рассеяния и потому не мог быть ха-
рактеристическим излучением, открытым Баркла. Точные ко-
личественные результаты могли быть получены сразу же по-
сле возникновения в 1913 году рентгеноспектрального анализа,
но впервые с необходимой тщательностью эффект был изучен
А. Кбмптоном в лишь в 1922—1923 годах.
Комптон начинал свою работу с изучения рассеяния 7-лучей
еще в Кавендишской лаборатории Кембриджского университета,
будучи стипендиатом Национального исследовательского совета
США. Его интересовал ’’механизм, посредством которого отно-
сительно жесткое первичное излучение возбуждает сравнитель-
но мягкое вторичное излучение".
Вернувшись в США в 1920 году, Комптон осуществил точные
измерения длин волн рассеянных графитом рентгеновских лучей
Ка-линии молибдена.
Рис. 3.57. Установка Комптона для измерения длин волн рассеянных
рентгеновских лучей (1922 г.)
Установка Комптона, изображенная на рис. 3.57, содержит
рентгеновскую трубку R с молибденовым анодом и рассеива-
тель С из углерода, помещенные в свинцовый ящик РЬ с диа-
фрагмой. Рентгеновская трубка и рассеиватель могут вращаться
как целое относительно свинцового ящика, так что на брэггов-
ский спектрометр — кристалл Кг кальцита (исландского шпата
СаСОз, используемого в оптике для изготовления призм Нико-
ля) и ионизационный детектор Det может падать рассеянное на
произвольный угол излучение. В частности, изображено рассея-
ние на угол 90°.
Результаты измерений Комптона приведены на рис. 3.58. Ока-
залось,что рассеянное излучение, помимо излучения с частотой,
равной частоте первичных лучей (пикР), предсказываемого
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
445
классической физикой, содержит еще одну, более длинноволно-
вую компоненту (пик Г), причем это не могло быть характери-
стическое излучение графита, так как длина волны "некласси-
ческой” компоненты зависела от угла рассеяния.
Рис. 3.58. Спектры первичного (а) и рассеянного (б-г) рентгеновского
излучения для трех углов рассеяния 1?. По оси ординат отложена ин-
тенсивность луча (в относительных единицах), по оси абсцисс — угол
брэгговского отражения от кристалла Кг (А. Комптон, 1923 г.)
Пользуясь этими данными Комптона, оценим разность длин
волн, соответствующих пикам Р и Т. Используя закон Мозли,
определим длину волны Ка-линии Мо. Подстановка Z = 42 (по-
рядковый номер Мо) в (3.55) дает для пика Р длину волны
Хк& = 0.72 А (на самом деле Ка-линия Мо есть дублет с дли-
нами волн 0.714 А и 0.709 А, так что закон Мозли дает вполне
приличную точность), а энергия фотонов при этом есть прибли-
зительно 17.4 кэВ.
Оценим теперь длину волны, соответствующую пику Т при
$ = 90° (рис. 3.58, в). Пользуясь графиком, можно приближен-
но определить, что угол брэгговского отражения на кристалле
кальцита для пика Р составляет 6°42', а для пика Т — 6°56'. Так
как углы брэгговского отражения от кальцита удовлетворяют
уравнению Брэгга (3.46), то легко можно вычислить отношение
длин волн Хт/Хр\
Хт _ sin(6°56') _
ХР sin(6°42')	’
446
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
откуда немедленно получается разность ДА(90°) длин волн пи-
ков Р и Г: ДА(90°) « 0.032 • 0.71 А = 0.023 А.
Таким образом, при комптоновском рассеянии длина волны
увеличивается по порядку величины на сотые доли ангстрема.
Для объяснения эксперимента Комптон обратился фактиче-
ски к фотонной теории Эйнштейна и решил проверить, ’’что бы-
ло бы, если бы каждый квант энергии рентгеновских лучей был
сосредоточен в отдельной частице и действовал бы как целое на
отдельный электрон”. Иными словами, Комптон предположил,
что происходит упругое соударение фотона и электрона при
выполнении законов сохранения энергии и импульса, аналогич-
ное упругому соударению биллиардных шаров.
Сделанных предположений ока-
залось достаточно, чтобы вычис-
лить изменение длины волны из-
лучения в результате рассеяния на
угол д. Проведем вслед за Компто-
ном этот расчет.
На рис. 3.59 на первоначально
покоящийся в точке А свободный
электрон налетает фотон с энерги-
Рис. 3.59. Рассеяние фотона ей Нш и импульсом hk, после упру-
на электроне по Комптону того соударения фотон отклоняет-
ся от первоначального направления
движения на угол д, энергия и импульс фотона становятся рав-
ными Кио' и hk!. Импульс отдачи р приобретает электрон, причем
имеют место законы сохранения энергии
Ьш + тес2 = \/р2с2 + m2 с4 + /го/,
(3.196)
и импульса
hk = р + hk',
(3.197)
где те — масса электрона, а энергия электрона после рассеяния
выражена через его импульс.
Разделив уравнение (3.196) на с, с учетом связи между энер-
гией и импульсом фотона получим
у/р2 + т2с2 = h(k — k') + тес.
Возведение последнего уравнения в квадрат дает
р2 = h2(k2 — 2kk' + k'2) + 2hmec(k — k').
(3.198)
(3.199)
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 447
Учтем также закон сохранения импульса, из которого (и из
определения суммы векторов) следует, что импульс отдачи элек-
трона, а также начальный и конечный импульсы фотона обра-
зуют треугольник АВС, связь между длинами сторон которого
дает теорема косинусов:
р2 = rfk2 + rfk'2 - irfkk' cos i?.	(3.200)
Вычитая из последнего уравнения уравнение (3.199), имеем
тес(к — kf) = hkkf(l — cos??).	(3.201)
После деления последнего выражения на гпескк' и учета связи
между волновым числом к и длиной волны А окончательно по-
лучаем
ДА = А' - А = Ас,е(1 - cos??),	(3.202)
где параметр с размерностью длины
Ас е = — = 0.024 263 А	(3.203)
’ тес
называется комптоновской длиной волны электрона.
Для каждой элементарной частицы может быть определена соот-
ветствующая комптоновская длина волны134. В частности, комптонов-
ская длина волны протона Ас,р = h/(mpc) меньше Ас, е в 1836 раз, то
есть рассеяние на протоне как на более тяжелой частице почти не из-
меняет энергии фотона и, соответственно, длины волны рассеянных
лучей.
Формула (3.202) при ?? = 90° дает ДА = Ас,е = 0.024 А, что
совпало с проведенной оценкой по данным Комптона для того
же угла ДА(90°) = 0.023 А.
Получив столь обнадеживающее согласие между квантовой
интерпретацией рассеяния и экспериментом, Комптон счел воз-
можным доложить об этом на чикагском съезде Американского
134Для любознательных укажем, что в квантовой теории поля комптонов-
ская длина волны частицы выступает как минимальная погрешность, с кото-
рой может быть измерена координата частицы в ее системе покоя. Попытки
локализовать частицу в еще мёныпем объеме приведут к рождению новых
частиц, так что локализованная в области с линейным размером порядка
и меньше Хс частица не может быть ’’одиночной”.
448 ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
физического общества 1-2 декабря 1922 года135, а 13 декабря по-
слал подробную статью в журнал136.
Результаты Комптона произвели сенсацию среди физиков, но
вызвали страстные дискуссии и были приняты не сразу.
И в самом деле, эти результаты в то время должны были вы-
зывать сильнейший психологический дискомфорт: эксперимен-
ты Комптона и их интерпретация однозначно свидетельствовали
в пользу реальности существования фотонов, но, в то же время,
измерение длины волны рассеянных лучей использовало интер-
ференцию лучей при брэгговском отражении. Так как идея, ло-
гически непротиворечивым образом ’’примиряющая" корпуску-
лярные и волновые свойства излучения выдвинута еще не была,
то значительная часть физиков боролась против корпускуляр-
ной картины (временно разрушившей логическую непротиворе-
чивость самых основ физики) до последней возможности.
Особенно сильно Комптону возражал (и сначала даже пы-
тался препятствовать публикации результатов) тот самый Дуан,
который в 1915 году экспериментально обнаружил коротковол-
новую границу тормозного рентгеновского излучения и не со-
слался при этом на Эйнштейна, как впрочем, поступил и Комп-
тон в 1922 году, предложив квантовое объяснение эффекта из-
менения длины волны при рассеянии рентгеновского излучения.
135Краткое сообщение об этом появилось в феврале 1923 года: Compton
А.Н. A quantum theory of the scattering of x-rays by light elements. Phys.Rev.,
1923, v.21, N 2 (February), p.207.
136Compton A.H. A quantum theory of the scattering of x-rays by light
elements. Phys.Rev., 1923, v.21, N 5 (May), p.483—502. Графики на рис. 3.58
взяты из статьи: Compton А.Н. The spectrum of scattered x-rays. Phys.Rev.,
1923, v.22, N 5 (November), p.409—413. Поразительно, но ни в одной из этих
работ Комптон не сослался на Эйнштейна!
Независимо от Комптона кинематический расчет взаимодействия фото-
на с электроном выполнил Петер Дебай, не отважившийся опубликовать
результат без экспериментального подтверждения, которое он безуспешно
предлагал выполнить Шерреру. Лишь узнав об экспериментах Комптона,
Дебай отправил статью в "Physikalishe Zeitschrift” 14 марта 1923 года, кото-
рая была опубликована 15 апреля 1923 года. Между тем, в часто цитируе-
мой книге Макса Джеммера содержится по-существу неверное утверждение,
будто бы Дебай отправил свою статью в печать за месяц до доклада Комп-
тона. Джеммер представил дело так, будто бы Комптон впервые выступил
с квантовой интерпретацией рассеяния рентгеновских лучей не в декабре
1922 года, а 21 апреля 1923 года на вашингтонском съезде Американско-
го физического общества. См. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой
механики. М.: Наука, 1985. С. 164.
Дебай же впоследствии возражал против попыток называть эффект
Комптона эффектом Комптона—Дебая.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 449
Возражая против фотонной интерпретации рассеяния, предло-
женной Комптоном, Дуан, как последний аргумент, использовал
ссылку на "эффект ящика" (свинцового экрана вокруг рентге-
новской трубки и рассеивателя, см. рис. 3.58), неведомым об-
разом якобы меняющего свойства рассеянного излучения. При
этом Дуан и его соавторы Аллисон и Кларк ссылались на огром-
ную разницу в спектрах рассеянных лучей, возникающую, когда
их рентгеновская трубка и рассеиватель помещались (или не по-
мещались) в деревянный ящик.
Тогда Комптон, Бирден и By повторили измерения во всех
комбинациях — с деревянным ящиком, свинцовым, а также во-
все без ящика и не обнаружили никакого измеримого эффекта,
связанного с "эффектом ящика"137.
В декабре 1924 года Аллисон и Дуан, устранив паразитное из-
лучение, попадавшее в детектор их установки, признали право-
ту Комптона в заметке с примирительным названием "Эффект
Комптона" следующим образом: "На кривых появились хоро-
шо заметные широкие пики, положение которых приблизитель-
но соответствует уравнению Комптона"138. Но и после этого ре-
альность фотона была признана не всеми139, хотя противостоять
экспериментальной проверке уравнения (3.202), осуществленной
Комптоном, было невозможно.
На рис. 3.60 изображены спектры рассеянного рентгеновского
излучения при фиксированном угле рассеяния для пятнадцати
разных элементов, облучаемых Ка-линией серебра с длиной вол-
ны Л = 0.563 А, что соответствует энергии фотона hv = 22.16 кэВ.
Видно, что в рассеянном излучении присутствует как неизме-
ненная первичная длина волны Р, соответствующая упругому
(томсоновскому, рэлеевскому) рассеянию, так и комптоновская
компонента Т, причем увеличение длины волны не зависит от
химической природы рассеивателя. С ростом атомного номера
интенсивность томсоновской компоненты растет, а комптонов-
ской падает, что, впрочем, фотонная теория легко объясняет.
Вспомним, что в рамках классической физики в нереляти-
вистском приближении свободный электрон рассеивает излуче-
137Compton А.Н., Bearden J.A., Woo Y.H. Tests of the effect of an enclosing
box on the spectrum of scattered x-rays. Phys.Rev., 1925, v.25, N 2, p.236.
138Allison S.K., Duan W. The Compton effect. Phys.Rev., 1925, v.25, N 2,
p.236.
139Проблема по-прежнему заключалась в возникшем логическом несо-
ответствии между дискретностью излучения и его описанием на осно-
ве уравнений Максвелла, оперирующих понятием некоего непрерывного
в пространстве-времени поля.
450
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 3.60. Спектры рентгеновского излучения для легких элементов
при фиксированном угле рассеяния (А. Комптон и By, 1924 г.)
ние без изменения частоты, тогда как фотонная теория (эффект
Комптона) дает иной результат — изменение частоты при рас-
сеянии свободными электронами. Но, как будет доказано далее,
именно в легких элементах (с небольшим количеством электро-
нов в атоме) связь электронов с ядром относительно слаба —
несколько десятков или сотен электронвольт, тогда как энергия
рентгеновских фотонов на два—три порядка выше — несколько
десятков килоэлектронвольт. Поэтому слабо связанные электро-
ны в легких элементах и дают комптоновское расссеяние, убы-
вающее по мере роста атомного номера.
С другой стороны, с ростом атомного номера растет связь
электронов с ядром. В результате при рассеянии фотонов на та-
ких электронах импульс отдачи получает атом. В последнем слу-
чае формула для комптоновской длины волны (3.203) говорит
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
451
о том, что рассеяние практически можно считать упругим, так
как комптоновская длина волны для атома пренебрежимо ма-
ла. Именно поэтому интенсивность несмещенной линии Р растет,
а смещенной комптоновской Т падает с ростом атомного номера
элемента (см. рис. 3.60).
Только что рассмотренные соображения позволяют понять,
почему эффект Комптона не наблюдается в видимом диапазоне
при рассеянии света атомами или молекулами. Электроны долж-
ны быть действительно свободны. Именно последнее требование
не выполняется для оптических фотонов (имеющих энергию все-
го 1.5—3 эВ), по отношению к которым локализованные в атомах
электроны могут считаться сильно связанными140, благодаря че-
му эффект Комптона в видимой части спектра надежно подав-
лен массой атома.
Тем не менее, квантовая природа излучения проявляется и в види-
мой части спектра при неупругом рассеянии фотонов сложными ча-
стицами (атомами и молекулами, или вообще твердыми и жидкими
телами), когда в рассеянном излучении появляются компоненты с из-
мененной длиной волны, но закономерности рассеяния отличаются от
комптоновского рассеяния. Проявление этого типа рассеяния заключа-
ется в возникновении во вторичном излучении новых частот, определя-
емых не углом рассеяния, а природой рассеивателя. Так, если частота
первичного монохроматичного пучка о?о, то в рассеянном излучении
появляются частоты, симметричные относительно исходной:
ш = cuq ± До;,
где До; может принимать целый ряд дискретных значений, не завися-
щих от о?о-
Такой тип неупругого рассеяния света жидкостью впервые наблю-
дался в 1928 году индийским физиком Романом и, независимо, совет-
скими физиками Л.И. Мандельштамом и Г.С. Ландсбергом при рассея-
нии света кристаллами, но Раман раньше опубликовал свои результа-
ты. В итоге явление было названо комбинационным, или рамановским
рассеянием, а Чандрасекхара Венката Р&ман (1888—1970) в 1930 году
получил Нобелевскую премию по физике "за работы по рассеянию
света и за открытие эффекта, названного в его честь".
Суть эффекта Рамана заключается в том, что первичный фотон,
рассеиваемый сложным объектом (молекулой) с дискретным энергети-
ческим спектром, сначала поглощается, объект переходит в виртуаль-
ное состояние, а затем переизлучает новый фотон, энергия которого
140Далее будет показано, что уровни энергии электронов в атомах дискрет-
ны. Если энергия фотона меньше, чем расстояние между уровнями энергии
электрона в атоме, то, очевидно, электрон не может получить ни полностью,
ни частично энергию фотона.
452
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
может увеличиться или уменьшится на дискретную величину, опреде-
ляемую, очевидно, разностью допустимых энергий рассеивающего
объекта, так что в спектре вторичного (рассеянного) излучения по-
явятся фотоны с энергиями Ншо ± Д£, что соответствует появлению
новых частот сио ± Д£//г.
Более интенсивная компонента с частотой си0 ~ Д£//г называется
стоксовой141 и возникает тогда, когда до рассеяния молекула была
невозбуждена, а после рассеяния возбудилась за счет энергии первич-
ного фотона, хотя процесс возвращения молекулы в основное (невоз-
бужденное) состояние и более вероятен. Менее интенсивная компонен-
та с частотой о>о + Д£//г называется антистоксовой и возникает то-
гда, когда до рассеяния молекула была в колебательно-возбужденном
состоянии, а после рассеяния фотон уносит с собой часть энергии воз-
буждения молекулы.
Спектроскопия комбинационного рассеяния света стала эффектив-
ным методом экспериментального изучения состава и структуры веще-
ства (фактически получается информация о колебательно-вращатель-
ных уровнях энергии молекулы, а также о поляризуемости молекул),
который, однако, не может быть рассмотрен подробно в рамках насто-
ящего издания.
Комптоновские электроны отдачи.
Кроме объяснения закономерного увеличения длины волны
рассеянного излучения, определяемого формулой (3.202), Комп-
тон вычислил направление импульса отдачи электрона (завися-
щее от направления рассеяния фотона) и энергию, которую при-
обретает в результате рассеяния электрон. Так как энергия, пере-
даваемая электрону при эффекте Комптона, может превышать
энергию связи электрона в атоме, то получалось, что комптонов-
ское рассеяние должно было сопровождаться ионизацией атомов
и молекул. Таким образом, Комптон предсказал существование
нового механизма ионизации при прохождении рентгеновского
излучения через вещество.
Найдем угол вылета и энергию комптоновских электронов.
Как следует из закона сохранения импульса (3.197),
hkf sin = р sin р,	(3.204)
hk = hkr cos + p cos p,	(3.205)
где p — угол вылета электрона по отношению к направлению
движения первичного фотона, р — импульс отдачи электрона
(см. рис. 3.59).
141В 1852 году Стокс эмпирически установил правило, в соответствии с ко-
торым длина волны излучения фотолюминесценции больше длины волны
возбуждающего оптического излучения.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 453
Исключая импульс электрона р из системы (3.204)—(3.205)
и учитывая связь между волновым числом и длиной волны
(к = 2тг/А), получим
sini?	sintf
tg = (k/k'^-cosd = (А'/А) - cost? ‘	^3‘ °6^
В свою очередь, отношение А'/А может быть определено из урав-
нения (3.202), что окончательно дает
sini?	ctg (i?/2)	/о
tg = (1-СО81?)(1 + АС(е/А) = 1 + АС,е/А ’	(3’ °?)
На рис. 3.61 показана по-
лярная диаграмма для рассе-
яния жесткого рентгеновско-
го излучения с А = Ас,е- Ра-
диус пунктирной полуокруж-
ности соответствует величине
энергии hu первичного излу-
чения. Показаны направления
импульсов и величины энер-
гий hwf рассеянных фотонов
для десяти разных углов рас-
сеяния и аналогичные вели-
Рис. 3.61. Рассеяние фотона на
электроне при А = Ас, е
чины для электронов отдачи, так что суммы длин стрелок с оди-
наковыми номерами равны радиусу пунктирной полуокружно-
сти. Стрелки 10 соответствуют отражению фотона назад с энер-
гией Zkj/З и отдаче электрона в направлении первоначального
импульса фотона с энергией 2hw/3. По мере уменьшения угла
рассеяния фотона угол отдачи электрона растет от 0 до 90°, но
энергия отдачи при этом убывает, достигая нуля при = 90°.
Видно, что электроны отдачи не могут иметь проекции импуль-
са, направленного против импульса первичного фотона, то есть
выбрасываются преимущественно ’’вперед”.
Нетрудно найти также кинетическую энергию электрона по-
сле рассеяния фотона. Очевидно, что она просто равна разности
энергий фотона до рассеяния и после него:
_ т т / he he	А
4 = hw-hw = —	= hw 1 - ———-------------
А А' [ А + Ас,е(1 — cos v)
(3.208)
где вместо А' было подставлено ее значение из (3.202).
454
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Из последнего выражения следует, что максимальную энер-
гию электрон получит при рассеянии фотона назад ($ = 180°):
=	•	(3-209)
Л + ZAc, е
Как видно, при комптоновском рассеянии электроны приоб-
ретают лишь часть энергии первичного фотона, причем очень
незначительную часть, если А » Ас,е- В последнем случае эта
часть будет приблизительно равна 2Ас\е/А.
В качестве примера найдем кинетическую энергию, которую
получали электроны при экспериментах Комптона (см. рис. 3.60).
Длина волны первичного излучения была А = 0.563 А (что соот-
ветствует энергии фотона /геи = 21.2 кэВ), так что максимальная
энергия комптоновских электронов отдачи в соответствии с фор-
мулой (3.209) будет £к,тах = 0.082 • hu = 1.73 кэВ.
Электроны при рассеянии получают относительно неболь-
шую часть энергии первичного фотона142 143, но в сравнении с по-
тенциалом ионизации атомов и молекул , составляющим еди-
ницы или в лучшем случае десятки вольт, энергия отдачи комп-
тоновского электрона огромна. Таким образом, в каждом акте
рассеяния фотон теряет часть своей энергии, а комптоновский
электрон покидает атом или молекулу, направление его вылета
определяется формулой (3.207). При движении в веществе элек-
трон, сталкиваясь с атомами и молекулами, создает вторичную
ионизацию вещества, что соответствует иному, чем фотоэффект,
механизму ионизации.
Комптоновские электроны отдачи отличаются от фотоэлек-
тронов мёныпей величиной кинетической энергии, приобретае-
мой при взаимодействии с фотоном.
142 На самом деле энергия фотона неделима. По современным представ-
лениям, выработанным квантовой электродинамикой, комптоновское рас-
сеяние идет в два этапа. Сначала электрон поглощает первичный фотон,
переходя в ’’виртуальное состояние” (когда на короткий промежуток време-
л2 2 2 ।	2 4\
ни не выполняется соотношение с = р с + ШеС ), а затем испускает вто-
ричный фотон. Впрочем, возможна и обратная цепочка: сначала электрон
в виртуальном состоянии испускает вторичный фотон, а затем поглощает
первичный. Разумеется, законы сохранения энергии и импульса применимы
к конечным состояниям рассеянного фотона и электрона отдачи.
Предсказания же квантовой электродинамики экспериментально провере-
ны с максимально возможной в физике точностью, когда измерение и расчет
совпадают до десятой значащей цифры.
143 Метод экспериментального измерения этой величины излагается в сле-
дующей главе.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 455
И это предсказание Комптона удалось проверить эксперимен-
тально с помощью камеры Вильсона.
Камера Вильсона
Камера Вильсона, которую Резерфорд в свое время назвал ’’са-
мым оригинальным и удивительным инструментом в истории на-
уки”, позволяет визуализировать ионы в газовой фазе, используя
явление гетерогенной конденсации паров жидкости на ионах.
Ради краткости далее рассматриваются только пары воды
в воздухе. Известно, что для любой температуры Т существует
давление, называемое давлением насыщенного пара psat(T\ при
котором осуществляется равновесие между паром и жидкостью
(или льдом) с плоской поверхностью. Если парциальное давле-
ние пара меньше, чем psat(T\ то вода испаряется (или лед суб-
лимируется), а если больше, чем psat(T), то в природе пар из воз-
духа конденсируется, либо выпадая в виде росы на поверхностях
предметов, либо превращаясь в туман или облака, состоящие из
мелких капелек воды144. Отношение парциального давления па-
ра р(Т) к PsattT) называется либо относительной влажностью,
либо пересыщением145 S = p/pSat-
Механизмы образования тумана и облаков стали предметом
серьезного изучения только во второй половине XIX века. Уси-
лиями француза Кулье, немца Кисслинга и, особенно, шотланд-
ского физика Джона Айткена было установлено, что в природ-
ных условиях, даже если пересыщение S очень незначительно
превышает единицу (на тысячные или сотые), то конденсация
начинается, причем главную роль в образовании тумана и обла-
ков играют частицы пыли, содержащиеся в воздухе и являющи-
еся центрами конденсации. Вильсон же установил, что в обеспы-
ленном и деионизованном воздухе конденсация пара начинается
лишь при величине пересыщения S ~ 8.
Почему так происходит, позволяет понять формула, получен-
ная еще в 1870 году Уильямом Томсоном146, показавшим, что
давление пара psat,r, находящегося в равновесии с каплей ради-
уса г, должно быть выше давления насыщенного пара над плос-
кой поверхностью жидкости psat. Увеличение давления над кап-
144Последние потом могут и замерзнуть, превратившись в ледяные кри-
сталлики.
145Первый термин используется, если S < 1, а второй, если S > 1.
146Известный английский физик, один из основоположников термодинами-
ки, получивший в 1892 году титул лорда Кельвина.
456
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
лей по сравнению с давлением над плоской поверхностью проис-
ходит потому, что вылет молекулы из капли облегчен тем, что
меньшее число ближайших молекул на поверхности тянет ее на-
зад в жидкость. Поток молекул из капли возрастает с уменьше-
нием г, а вместе с тем растет и равновесное давление над каплей.
Формула Томсона, вывод которой приведен в приложении 4,
имеет вид
In r ______	№
Psat г RTg'
(3.210)
где а — поверхностное натяжение жидкости, д — плотность жид-
кости, — молярная масса жидкости, R — универсальная газо-
вая постоянная, Т — абсолютная температура.
Если давление атмосферное, температура Т = 20°С, то для
воды имеем а = 72.88 • 10-3 Н/м, д = 0.9982 • 103 кг/м3,
= 18.02 • 10“3 кг/моль. Подставив эти значения в уравнение
(3.210), последнее нетрудно преобразовать к виду
Psat,г	(10.79 \	/ооц\
----— = ехр ------- ,	(3.211)
Psat	\ Г J
где [г] =к.
Конечно, формула У. Томсона не может быть справедливой
для зародышей капель, состоящих всего из нескольких молекул
воды и называемых кластерами, когда невозможно разделить
молекулы кластера на поверхностные и объемные, корректно
определить величину поверхности и объема кластера и, тем са-
мым, параметры а и д. Но, например, в шаре радиуса г = 7.5 А
должно содержаться уже около 60 молекул воды (если считать,
что плотность такого шара совпадает с макроскопической плот-
ностью воды), тогда как формула (3.211) для ’’капли” выбран-
ного радиуса дает pSat,r/Psat = 4.2. Последнее означает, что, да-
же случайно образовавшись над плоской поверхностью жидко-
сти (когда S 1), такая капля должна немедленно испариться,
так как равновесное давление пара у ее поверхности более, чем
в 4 раза должно превышать давление пара в остальных частях
влажного воздуха, куда и будут уходить покидающие каплю мо-
лекулы.
В обычном воздухе, однако, идет гетерогенное зародышеобразова-
ние на активных ядрах конденсации147. В воздухе имеются частицы
147При этом в природе образуются капельки разного размера, подавляю-
щее число которых имеет радиусы 2—18 мкм.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
457
пыли с размерами 0.01—10 мкм. На ядрах с размерами 1 мкм конден-
сация может начаться, например, уже при S = 1.001.
На Земле ядра конденсации поступают в воздух из морских брызг
и пены (только с поверхности Мирового океана в атмосферу перехо-
дит около 2.7 • 1013 кг/год очень гигроскопичной морской соли), как
продукты сгорания (возникающие в результате производственной дея-
тельности людей, природных пожаров, извержений вулканов, падений
метеоритов), а также как результаты выветривания земной поверх-
ности. Концентрация ядер в городах может достигать 106 см-3, но
большинство ядер не принимает участия в природной конденсации.
По оценкам, активными центрами конденсации оказываются в 1 см3
всего 100 — 1000 ядер148.
В реальных условиях земной атмосферы не наблюдается больших
пересыщений, поэтому на Международном метеорологическом кон-
грессе 1893 года Дж. Айткен сделал обоснованный вывод о том, что
в воздухе без ядер конденсации "не могли бы возникнуть ни дымка,
ни туман, ни облака, ни, вероятно, дождь".
Таким образом, содержащиеся в атмосферном воздухе цен-
тры конденсации позволяют зародышу капли "преодолеть” об-
ласть малых радиусов, способствуя образованию капелек при
практически единичном пересыщении. Но если в объеме с влаж-
ным неионизованным обеспыленным воздухом отсутствует вода
как самостоятельная фаза, то при пересыщениях 1 < S < 8 воз-
никает метастабильное состояние — пересыщенный, или пере-
охлажденный пар.
Последовательной квантово-механической теории зародыше-
образования водяной фазы при переохлаждении пара не постро-
ено до настоящего времени, хотя установлено, что в лаборатор-
ных условиях при S « 8 начинается гомогенное зародышеобразо-
вание, когда капли начинают расти на флуктуациях плотности
пара. При этом образуется очень густой однородный туман, со-
стоящий из капелек очень малого размера.
Основным прибором для исследования процесса конденсации
стала созданная еще до работ Вильсона расширительная камера,
которая позволяла адиабатически увеличивать объем увлажнен-
ного воздуха от Vi до V2, при этом температура газа меняется
в соответствии с уравнением адиабаты
Т1уТ'-1 = T2v27-1,	(3.212)
148В частности, ядра радиусом 50 — 2000 А называются ядрами Айтке-
на, а затем различают крупные (до 1 мкм) и гигантские ядра конденсации
(свыше 1 мкм).
458
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
где показатель адиабаты 7 = CPICV. В частности, для воздуха
при нормальных условиях 7 = 7/5 = 1.4.
Поясним на численном примере принцип создания пересы-
щения водяного пара в расширительной камере. Если увлажнен-
ный воздух149 температуры = 20° С адиабатически расширить
в 1.25 раза, то, в соответствии с уравнением (3.212), его конечная
температура окажется равной Т2 ~ —5°С. Давление насыщенных
паров воды при Т\ = 20°С составляет 2340 Па «17.5 Торр, а при
Т2 = —5° С — 408 Па « 3 Торр (в последнем случае имеется в ви-
ду давление насыщенных паров уже над поверхностью льда при
нормальном давлении).
Парциальное давление пара, расширяющегося вместе с воз-
духом, падает по двум причинам: во-первых, объем пара растет
в 1.25 раза, и, во-вторых, температура падает от Ti до Т2. Не со-
ставляет труда подсчитать конечное давление пара р2 при объеме
V2 и температуре Г2:
р2(-5°С) =psat(20°C)^ = 2340 Па-^-^| = 1712 Па.
Следовательно, адиабатическое увеличение объема воздуха
в 1.25 раза (до расширения воздух имел Ti = 20° С и S = 1)
создает пересыщение водяного пара S = 1712/408 « 4.2 при тем-
пературе Т2 = — 5° С.
Первоначально создатель камеры Вильсона — Чарльз Том-
сон Рис Вильсон (1869—1959) собирался построить прибор для
получения тумана, чтобы воспроизвести оптические эффекты,
наблюдавшиеся им в горах его родной Шотландии (когда сол-
нечный свет пробивается сквозь тонкие тучи или туман, в опре-
деленных условиях можно наблюдать венцы и галб — цветные
кольца вокруг Солнца150).
Построив первую расширительную камеру собственной кон-
струкции в 1895 году в Кавендишской лаборатории, Вильсон
вскоре совершил открытие, позволившее ему создать уникаль-
ный прибор, сыгравший большую роль в последующем развитии
физики.
149 При небольших парциальных давлениях пара показатель адиабаты
в (3.212) практически не меняется.
150 Гало образуется благодаря кристалликам льда, а венцы — благодаря
каплям воды. Интересующиеся подробностями могут обратиться к книге:
М. Миннарт. Свет и цвет в природе, М.: Физматгиз, 1958.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
459
Вид расширительной ка-
меры , усовершенствованной
Вильсоном к 1897 году, пред-
ставлен на рис. 3.62.
В сосуде В диаметром
14 см и высотой 30 см поме-
щен вверх дном стакан с воз-
духом А диаметром 9 см.
Трубка С служит для напол-
нения сосуда В водой. Бла-
годаря клапану F, цилиндру
Н и клапану Т давление воз-
духа над водой в цилиндре
В — атмосферное, поэтому
воздух в стакане А сжат до
давления, равного сумме по-
следнего плюс давление со-
ответствующей части столба
воды в В.
Большой сосуд F отка-
чивается форвакуумным на-
сосом, при этом действую-
щее на клапан К атмосфер-
Рис. 3.62. Расширительная камера
Вильсона (1897 г.)
ное давление надежно изоли-
рует вакуумный объем в F. Затем клапан Т перекрывается,
а клапан К открывается рывком проволоки М. Немедленно дав-
ление над водой в В падает, вода автоматически перекрывает
клапан В, не позволяя последней уйти из В, а объем воздуха
в стакане адиабатически растет на величину объема воздуха, ко-
торый был под клапаном Е.
Открытие клапана Т снова увеличивает давление над водой
в В до атмосферного, а воздух в А сжимается до прежнего объ-
ема. При этом в А (по прошествии небольшого времени) пересы-
щение всегда становится единичным.
Красивую конструкцию расширительной камеры придумал
Вильсон!
Вышеприведенный пример расчета пересыщения, создавае-
мого в расширительной камере Вильсона при различных зна-
чениях V2/V1, позволяет определить пересыщение как функцию
расширения.
В таблице 3.6 приведены соответствующие данные для систе-
мы воздух—вода при начальной температуре Ti = 20°С.
460
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Таблица З.б
Зависимость пересыщения в камере Вильсона от расширения
Расширение V2/V1	1.15	1.20	1.25	1.30	1.35	1.40
Пересыщение S	2.4	3.0	4.2	5.5	7.2	9.1
Вильсон, исследуя конденсацию пара в расширительной ка-
мере, обнаружил, что конденсация в ’’свежем” атмосферном воз-
духе начинается уже при очень незначительных расширениях,
ведя к образованию густого тумана. Капельки жидкости, образу-
ющие туман, оседают, не успевая испариться, и через некоторое
время туман исчезает. Это и есть конденсация на частицах пыли
(ядрах Айткена), так как после нескольких повторных циклов
расширений воздух обеспыливается, и тумана больше не образу-
ется вплоть до расширений 1.25.
В интервале расширений от 1.25 до 1.37 картина меняет-
ся: вместо густого тумана образуется всего несколько капель,
зато настолько больших, что они ясно различимы глазом, то
есть фактически образуется не туман, а дождь, выпадающий
за несколько секунд. Однако ядра, вызывающие конденсацию
в этом интервале расширений, постоянно возобновляются, так
как конденсация протекает независимо от количества ранее про-
веденных циклов расширения.
Если же расширение превышает величину 1.37 (что и со-
ответствует S > 8), то вместо капель вновь образуется густой
туман, причем его плотность растет с увеличением расшире-
ния. Другими словами, число эффективных центров конденса-
ции (флуктуаций плотности пара) начинает быстро и непрерыв-
но расти с увеличением расширения в районе 1.37. Такой туман
висит несколько минут.
Обнаружив конденсацию на неизвестных ядрах в интервале
расширений от 1.25 до 1.37 в начале 1895 года, Вильсон пред-
положил, что ядрами конденсации могут быть заряженные мо-
лекулы, то есть ионы. Когда в конце того же года Рентген от-
крыл Х-лучи, Дж.Дж. Томсон мгновенно обнаружил ионизиру-
ющее действие рентгеновских лучей и начал исследования неса-
мостоятельного газового разряда. В Кавендишской лаборатории
заработали рентгеновские трубки, и Вильсон получил возмож-
ность проверить свое предположение.
При облучении расширительной камеры с обеспыленным га-
зом по-прежнему отсутствовала конденсация при расширениях
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
461
менее 1.25. Но зато в интервале расширений 1.25 — 1.37 харак-
тер конденсации изменился: вместо дождя образовывался ту-
ман, свидетельствующий о многократном возрастании количе-
ства центров конденсации капель. Вильсон убедился в том, что
такая же конденсация идет при облучении смеси в расширитель-
ной камере ультрафиолетовым излучением, а также лучами, ис-
пускаемыми радиоактивными веществами.
Физически ясно, почему ионы облегчают начало конденса-
ции, уменьшая необходимое для этого пересыщение примерно
в два раза (от S & 8 до S « 4): молекулы воды обладают диполь-
ным моментом, поэтому, независимо от знака заряда, они при-
тягиваются к ионам, образуя вокруг иона зародыш капли опре-
деленной величины. Заряд капли, вообще говоря, препятствует
вылету молекулы из капли, так что давление насыщенных паров
над такой каплей меньше, чем над незаряженной.
В результате успешной проверки своей гипотезы Вильсон сде-
лал закономерный вывод о том, что ионизирующие излучения со-
здают в газе многочисленные центры конденсации, содержащие-
ся и в необлученном воздухе в небольших количествах. Действи-
тельно, теперь хорошо известно, что в воздухе происходит непре-
рывная ионизация небольшой части молекул из-за действия есте-
ственного радиационного фона.
Обнаруженное явление оказалось столь интересным, что
Вильсон перестал интересоваться оптическими явлениями в ту-
мане и переключился на исследования конденсации, непрерывно
совершенствуя свою расширительную камеру. Так, к 1900 году
он установил, что при S « 4 конденсация начинается только на
отрицательно заряженных ионах, и лишь при S « 6 — на поло-
жительных. Поэтому, чтобы каждый ион стал центром конден-
сации, необходимо пересыщение 6 < S <8.
К 1911 году Вильсон создал метод визуализации процесса
ионизации газа, разработав технику фотографирования капель
воды, сконденсировавшихся на ионах. Красота и остроумие ме-
тода вскоре же были оценены. Расширительная камера, снабжен-
ная фоторегистрацией, стала называться камерой Вильсона.
До ее создания поведение материи можно было наблюдать
лишь в значительных, макроскопических массах.
Камера Вильсона сделала возможной визуализацию поведе-
ния одного единственного иона, что позволило непосредственно
наблюдать результаты взаимодействия между микрообъекта-
ми.
462
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Вид камеры Вильсо-
на, созданной в 1912 го-
ду, показан на рис. 3.63.
Собственно расширитель-
ная камера А — это ци-
линдр диаметром 16.5 см
и высотой 3.4 см. Все его
стенки — из стекла, покры-
Рис. 3.63. Камера Вильсона (1912 г.) того желатином для того,
чтобы на них не выпадала
роса. Желатин, покрывающий дно камеры, подкрашен тушью,
так что нижнее стекло зачернено. Немаловажным обстоятель-
ством является то, что желатин — проводник, так что от батареи
U может прикладываться разность потенциалов между верхом
и дном камеры, чтобы удалять из объема ионы перед каждым
расширением. Стеклянное дно камеры лежит на тонкостенном
бронзовом поршне высотой 10 см, который может свободно пе-
ремещаться внутри внешнего бронзового цилиндра диаметром
16.0 см и той же высоты. Последний поддерживает расшири-
тельную камеру и лежит на резиновой прокладке, под которой
— бронзовый диск, образующий в то же время дно мелкой ем-
кости, в которую налита вода до высоты в 2 см. Вода, насыщая
воздух в расширительной камере, в то же время полностью изо-
лирует объем А от внешней среды.
Не показана часть конструкции ниже трубки Т. Перед рас-
ширением через трубку Т подается давление, сжимающее насы-
щенный воздух в А. Затем происходит переключение клапана,
который трубку Т соединяет с откачанным сосудом, аналогич-
ным сосуду F (см. рис. 3.62), после чего внутренний бронзовый
поршень падает до удара о резиновую прокладку. Два деревян-
ных блока D уменьшают объем воздуха под внутренним цилин-
дром, что ускоряет падение последнего.
В результате адиабатического расширения в камере А, из ко-
торой предварительно удаляются ионы, образуется пересыщен-
ный пар. Если через А в момент расширения или сразу после
него проходит ионизирующая молекулы частица любой приро-
ды, то вокруг ионов немедленно образуются капельки воды.
Освещение вспышкой света через боковую поверхность А,
благодаря рэлеевскому рассеянию света капельками, делает их
видимыми (при виде сверху — яркие точки на черном фоне).
Происходящее можно зафиксировать одной или двумя фотока-
мерами, получив в последнем случае стереоскопические снимки.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
463
Рис. 3.64. Треки о-частиц,
испускаемых полонием
Фотографии, впервые полученные Вильсоном, произвели на
современников глубокое впечатление, и многие физики стали
строить камеры Вильсона, модифицируя первоначальную кон-
струкцию применительно к собственным задачам. Камера Виль-
сона стала первым прибором, позволившим визуализировать еди-
ничные события в микромире.
Так, например, в подразд. 2.9.1
был описан процесс идентификации
а-частиц (ядер 4Не), испускаемых
ядрами некоторых радиоактивных
изотопов.
На рис. 3.64 приведена фотогра-
фия151 , демонстрирующая разлет
а-частиц из небольшого полониево-
го источника, помещенного внутри
расширительной камеры, заполнен-
ной смесью водорода и парами бути-
лового спирта. Диаметр камеры ра-
вен 25 см (это дает представление
о длине и ширине треков), давление
после расширения — 700 Торр.
В газе се-частицы производят ин-
тенсивную ионизацию, теряют при
этом энергию и в конце концов останавливаются. Частицы с од-
ной и той же начальной энергией из-за флуктуаций плотности
проходят в веществе немного разные расстояния до полной оста-
новки. Тем не менее видно, что разброс этих расстояний не слиш-
ком велик, и среднюю длину пути а-частиц называют пробегом,
который зависит от сорта газа, давления в камере после расши-
рения, а также от энергии а-частиц.
При движении в газе а-частица вызывает столь сильную иони-
зацию, что след на фотографии от одной частицы представля-
ет собой белую практически прямую полоску, толщина которой
в типичном случае составляет доли миллиметра.
Другими словами, при конденсации жидкости на ионах, остав-
ляемых а-частицей вдоль своего пути, центров конденсации так
много, что они сливаются в сплошную полоску, толщина которой
более, чем в 1О10 раз превышает собственные размеры а-частицы
(около 1 Ф).
151 Получена шведским физиком Боггилдом. Опубликована в замечатель-
ном атласе: W. Gentner, Н. Maier-Leibnitz, W. Bothe. An atlas of typical
expansion chamber photographs. London: Pergamon Press, 1954. X+199 p.
464
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Для сравнения представьте себе пылинку микронного раз-
мера, затянутую в шланг пылесоса. Диаметр шланга пылесоса
(около 2.5 см) примерно в 104 раз больше размеров пылинки,
так что для эквивалентности сопоставления размер шланга на-
до увеличить еще в 106 раз, до диаметра в 25 км. Тогда вряд ли
кто-то сочтет удовлетворительным описание движения пылинки,
сводящееся к информации о том, что что последняя находится
где-то внутри области размером в 25 км!
Но именно такова информация о траектории движения
а-частицы в камере Вильсона! Поэтому след в камере Вильсона
называть траекторией движения можно лишь с очень большой
натяжкой, и далее этот след будем называть треком.
Кроме очень грубой информации о траекториях, на фотогра-
фиях, полученных в камере Вильсона, содержится много дру-
гой ценной информации. Например, на той же фотографии (см.
рис. 3.64) видно, что при движении а-частицы практически не
отклоняются на большие углы, так как столкновения с ядрами,
приводящие к отклонениям на значительные углы, маловероят-
ны (см. гл. 2, подразделы 2.9.2—2.9.3, в которых было описано
рассеяние а-частиц на значительные углы).
Следовательно, а-частица сталкивается преимущественно
с электронами, часть соударений носит неупругий характер, ко-
гда а-частица передает электрону очень незначительную часть
своей энергии, которой, впрочем хватает, чтобы электрон поки-
нул атом.
Терпение помогает зафиксировать и маловероятные события,
нужно ’’лишь” получать большое число снимков, для чего каме-
ру Вильсона усовершенствовали, чтобы она могла в автоматиче-
ском режиме делать снимки152 153.
Было зафиксировано и резерфордовское обратное рассеяние
а-частиц100.
152Английский физик П.М.С. Блэкетт (1897—1974) в 1925 году получил
1 000 000 снимков следов а-частиц в азоте, из которых лишь 20 фотогра-
фий запечатлели ядерную реакцию превращения азота в кислород:
14N + 4Не —> 17О + 1Н,
Таким образом, Блэкетт впервые доказал факт искусственного создания бо-
лее тяжелого элемента из более легкого.
В 1948 году Блэкетт был награжден Нобелевской премией по физике "за
усовершенствование метода камеры Вильсона и сделанные в связи с этим
открытия в области ядерной физики и космических лучей".
153Воспроизводимая далее фотография была получена Боггилдом. См.
примеч. на стр. 463.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
465
На рис. 3.65 показано относи-
тельно редкое событие, заключа-
ющееся в упругом столкновении
ядра хлора (хлор входил в состав
газовой смеси в расширительной
камере) и а-частицы, которая от-
клонилась вправо на угол, чуть
меньший прямого. Короткий трек
принадлежит ядру отдачи (яд-
ру хлора), получившему энергию
в результате соударения.
• Треки электронов, образую-
щиеся в камере Вильсона, имеют
совсем иной характер, чем треки
а-частиц. Разница возникает по
двум причинам.
Во-первых, электроны — лег-
кие частицы, и при столкновени-
ях как с электронами, так и с яд-
Рис. 3.65. Столкновение ядра
хлора и а-частицы
рами, они имеют ощутимую вероятность испытать отклонение на
большой угол, так что треки электронов существенно более кри-
волинейны и имеют значительный разброс пробегов даже при
одинаковых начальных энергиях.
Во-вторых, электроны производят гораздо меньшую иониза-
цию вдоль своего пути (и потому, что имеют вдвое меньший за-
ряд, чем а-частицы, и потому, что быстро движутся, не успевая
передать достаточный импульс электронам, мимо которых про-
летают), поэтому треком электрона может быть просто цепочка
капелек, сконденсировавшихся на отдельных ионах.
И лишь перед самой остановкой ионизация, производимая
электроном, резко возрастает (по той причине, что перед оста-
новкой скорость электрона уменьшается, что, в соответствии со
втором законом Ньютона в форме dp = Fdt, ведет к увеличе-
нию передаваемого импульса электронам окружения), так что
капельки сливаются в единое пятно. Последнее обстоятельство
позволяет легко определять направление движения электрона
(если он остановился в камере): трек электрона перед останов-
кой существенно утолщается, становясь при этом похожим на
"запятую”.
На рис. 3.66 показан трек электрона, движущегося снизу вверх
с начальной энергией £ = 56 кэВ.
466
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 3.66. Электронные треки в
камере Вильсона (Мартин, Бауэр,
Лэби, 1935 г.)
Основная доля соударений
первичного электрона прихо-
дится на соударения с други-
ми электронами, сопровожда-
ющиеся небольшим умень-
шением энергии первичного
электрона; выбитые из мо-
лекул вторичные электроны
имеют очень короткие тре-
ки, которые меньше образо-
вавшихся вокруг ионов капе-
лек. Однако электронные со-
ударения все же искривляют трек, а одно соударение закончи-
лось передачей другому электрону существенной доли (пример-
но половины) энергии. Оба разлетевшихся электрона образова-
ли заметные треки и остановились в камере. Видно также, что
треки электронов представляют собой совокупность отдельных
капелек, сливающихся в единое целое лишь к концу трека. Осо-
бенно отчетливо "запятую" напоминает конец правого трека.
Камера Вильсона позволяет увидеть треки заряженных ча-
стиц, распространяющихся в газе. Но камера Вильсона дала не
только качественную, но и количественную информацию. В дан-
ном издании нет возможности более подробно останавливаться
на этом вопросе. Укажем лишь, какие измерения позволяет про-
извести камера Вильсона. Это — удельная ионизация (то есть
число ионов, образующихся на единице длины трека, опреде-
ляется прямым подсчетом), энергия (определяется по пробегу),
импульс (определяется по радиусу кривизны трека при поме-
щении камеры Вильсона в магнитное поле, что впервые осуще-
ствил в 1924 году П.Л. Капица) и масса частицы. Поэтому мож-
но количественно сравнить характер ионизации, производимой
а-частицами и электронами.
Известно, что на создание одной пары ионов в воздухе тре-
буется примерно 32.5 эВ. Электрон, имеющий энергию 1 Мэв,
создает в среднем 50 пар ионов на 1 см трека, а а-частица —
60 000 пар ионов на 1 см в воздухе при нормальных условиях,
поэтому пробег а-частицы составит около 0.5 см, тогда как про-
бег электрона может составить 3 м.
Электрон с энергией £ = 20 кэВ при нормальных услови-
ях в воздухе все еще может иметь пробег до 1 см, а с энергией
£ = 1 кэВ — 0.5 мм, так что на фотографии в последнем случае
должен быть виден не трек, а отдельная "точка" либо "запятая".
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
467
Прямое экспериментальное подтверждение существо-
вания фотонов с помощью камеры Вильсона
Данные по изменению длины волны рассеянного излучения,
полученные Комптоном, очень убедительно подтверждали его
точку зрения на рассеяние рентгеновских лучей веществом как
результат упругих столкновений фотонов с электронами, однако
не были прямым доказательством. Наглядно убедиться в реаль-
ности существования фотонов помогла именно камера Вильсо-
на, в которой дискретность излучения проявляется в появлении
треков электронов, возникающих в газе под действием рентге-
новских лучей.
В соответствии с фотонной теорией возможны два типа вза-
имодействия рентгеновского фотона с атомом или молекулой,
приводящие к эмиссии электрона: полное поглощение фотона (то
есть фотоэффект, когда энергия электрона лишь на величину
энергии связи электрона в атоме меньше энергии поглощенного
фотона) и упругий удар (то есть комптоновское рассеяние, сопро-
вождаемое передачей электрону лишь небольшой доли энергии
первичного фотона).
Если используется излучение с hv > 20 кэВ, то для возду-
ха (состоящего преимущественно из легких элементов — азота
и кислорода) энергией связи электронов в молекулах по срав-
нению с энергией фотона можно пренебречь, считая, что фото-
электроны имеют энергию, по порядку величины равную энер-
гии фотона, тогда как комптоновские электроны [в соответствии
с формулой (3.209)] будут иметь энергию, мёныпую примерно на
порядок.
Кроме того, направления вылета фотоэлектронов должны
быть преимущественно поперечны рентгеновскому лучу (ведь
электромагнитные волны поперечны, так что вектор напряжен-
ности электрического поля волны всегда перпендикулярен лу-
чу) , тогда как комптоновские электроны имеют преимуществен-
ное направление вылета вдоль рентгеновского луча [см. формулу
(3.207) и рис. 3.61].
Впервые ионизацию, создаваемую рентгеновскими лучами
в газе, Вильсон визуализировал еще в 1911 году, но теорети-
ческой интерпретации снимков не дал. Первая мировая война
прервала исследования Вильсона, к которым он вернулся в де-
кабре 1921 года, за год до открытия эффекта Комптона. К кон-
цу июля 1922 года Вильсон получил 500 пар стереоскопических
снимков высокого качества, в том числе и снимков электронных
треков, возникающих под действием рентгеновского излучения.
468
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Последнее создавалось рентгеновской трубкой с ускоряющим на-
пряжением в 45 кВ. Такова, следовательно, была и максималь-
ная энергия рентгеновских квантов. Типичная картина иониза-
ции, вызванная рентгеновскими лучами, показана на рис. 3.67,
где изображение увеличено примерно в 1.5 раза.
Рис. 3.67. Ионизация, создаваемая рентгеновскими лучами во влаж-
ном воздухе. Диаметр первичного луча 3 мм, конечное давление
500 Торр (Вильсон, 1923 г.)
В расширительную камеру справа падает рентгеновский луч
диаметром 3 мм. При этом ионизация в целом носит характер
вторичной: небольшое число первичных электронов (выбитых
излучением в той части воздуха, через которую непосредственно
проходит излучение) создает значительную вторичную иониза-
цию при столкновениях с молекулами газа, так что область ра-
диационного поражения существенно превышает размеры пер-
154
вичного луча .
На первый взгляд от замысловатых треков рябит в глазах.
Но более внимательное изучение показывает, что все треки как
раз двух типов, соответствующих фотоэлектронам с пробегом
в несколько сантиметров, и комптоновским электронам, дающим
на фотографии "точки” и ’’запятые", размеры которых достига-
ют 1—2 мм.
Направления вылета фотоэлектронов имеют значительную
компоненту, перпендикулярную первичному лучу, а направле-
ния комптоновских электронов по данной фотографии опреде-
лить затруднительно, так как их треки слишком коротки.
Если же рентгеновское излучение ослабить (можно пропу-
стить его через поглотитель, а можно просто диафрагмировать
154Воспроизведенное на рис. 3.67 изображение наглядно иллюстрирует
определение единицы измерения экспозиционной дозы (рентгена) и понятие
кермы, см. с. 359.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
469
пучок, как сделал Вильсон), чтобы количество актов ионизации
в поле зрения сократилось, то получится совсем легко расшиф-
ровываемая фотография, воспроизведенная на рис. 3.68.
На фотографии, также увеличивающей реальное изображе-
ние в расширительной камере в 1.5 раза, направление первичного
рентгеновского луча обозначено стрелочкой.
Рис. 3.68. Ионизация, создаваемая рентгеновскими лучами во влаж-
ном воздухе. Диаметр первичного луча 0.5 мм, конечное давление
190 Торр (Вильсон, 1923 г.)
Видны треки (относительно длинные) только четырех фото-
электронов и треки (фактически это три точки) трех комптонов-
ских электронов.
Из-за пониженного конечного давления (по сравнению с дав-
лением, при котором было получено изображение, воспроизве-
денное на рис. 3.67) треки фотоэлектронов удлинились, и их кон-
цы остались за пределами изображения. Начало же треков не так
извилисто, как их последующая часть.
В целом последняя фотография легко обозрима и не остав-
ляет сомнений в правильности разделения электронов на фото-
электроны и комптоновские электроны.
На основании изучения многих фотографий, полученных еще
до открытия Комптона, Вильсон подтвердил не только то, что
треки делятся на длинные (принадлежащие фотоэлектронам)
и короткие (в форме "точек” и "запятых"), но и то, что комп-
тоновские электроны действительно эмиттируются преимуще-
ственно в направлении первичного рентгеновского луча. Увели-
чение изображения (особенно если трек удлинен за счет малой
величины конечного давления в расширительной камере) позво-
ляет довольно точно определить направление вылета комптонов-
ского электрона, дающего трек в форме "запятой".
470
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
X-rays
Рис. 3.69. Увеличенное изображение
трека в форме "запятой” (Вильсон,
1923 г.)
чающих лишь малую долю энергии
Так, на рис. 3.69 вос-
произведен увеличенный
в 8 раз трек комптоновско-
го электрона при конечном
давлении в расширитель-
ной камере 110 Торр.
Отчетливо видно, что
направление вылета элек-
трона отдачи совпадает
с направлением рентгенов-
ского луча (последнее по-
казано стрелкой)155.
А. Комптон, узнав о не-
ожиданно быстром экспе-
риментальном подтвержде-
нии его предсказания об
электронах отдачи, полу-
первичного фотона, решил
проверить собственные предсказания настолько полно, насколь-
ко это возможно.
При этом Комптон дал очень наглядное толкование коэффи-
циенту ослабления ц рентгеновского луча и его разбиению на
сумму коэффициентов рассеяния ст и истинного поглощения т
[см. формулу (3.65)].
Узкий рентгеновский луч ослабляется в веществе по двум
причинам: фотоны исчезают при фотоэффекте (истинное по-
глощение) и рассеиваются, меняя направление распространения
(комптоновское рассеяние). Убыль интенсивности луча на лю-
бом отрезке за счет истинного поглощения, очевидно, пропорци-
ональна числу возникших на этом отрезке фотоэлектронов пр^
а за счет комптоновского рассеяния — числу возникших на том
же отрезке комптоновских электронов пс-
155 Практически одновременно с Вильсоном опубликовал фотографии тре-
ков комптоновских электронов и немецкий физик (Нобелевский лауреат
1954 года) Вальтер Боте. Последний, однако, попытался дать им иное толко-
вание, сочтя их треками выбитых из молекулы воды протонов, поглотивших
полный фотон.
Однако предположение Боте аргументированно отверг А. Комптон: если
бы треки принадлежали "фотопротонам", то они должны были бы иметь
преимущественное направление вылета поперек луча, тогда как треки имели
преимущественное направление вылета вдоль луча, как это отметил Виль-
сон. В следующей статье Боте признал, что короткие треки принадлежат
электронам, подтвердив тем самым правоту Комптона.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 471
Тогда должно выполняться равенство
а _ пд
Т Tlph
Вспомним, что еще Баркла экспериментально подтвердил
правильность формулы Томсона (3.16), позволяющей найти ко-
эффициент рассеяния а для легких элементов.
Коэффициент а, в соответствии с формулой Томсона, не за-
висит от длины волны излучения, а коэффициент д, в соответ-
ствии с формулой (3.64), пропорционален Л3. Последнее озна-
чает, что относительная доля истинного поглощения с ростом
жесткости излучения уменьшается, то есть с уменьшением дли-
ны волны резко нарастает вероятность комптоновского рассея-
ния по сравнению с вероятностью фотоэффекта.
Комптон не удовлетворился качественным подтверждением
уравнения (3.213), которое следовало из данных Вильсона, и,
построив совместно с А. Саймоном камеру Вильсона, получил
количественные результаты, воспроизведенные в таблице 3.7.
В первом столбце таблицы для ориентировки указано ускоря-
ющее напряжение, подаваемое на рентгеновскую трубку, созда-
вавшую тормозное излучение с непрерывным спектром. После
прохождения поглотителя достаточной толщины спектр излу-
чения сужался. Средняя длина волны излучения приведена во
втором столбце таблицы. Отношение числа электронов подсчи-
тывалось с помощью фотографий, полученных в камере Виль-
сона. Использовались измеренные Хьюлеттом еще в 1921 году
коэффициенты /1 и сг.
Таблица 3.7
К подсчету числа фото- и комптоновских электронов (Комптон
и Саймон, 1925 г.)
Ускоряющее напряжение, кВ	А, А	Полное число треков	nc/nph	а/т
34	0.44	24	0.9	1.2
52	0.29	46	2.7	3.8
74	0.20	84	9	10
84	0.17	73	17	17
Видно, что несмотря на неполную монохроматичность пер-
вичного излучения, а также слишком малое число подсчитанных
472
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
треков (относительная флуктуация даже при ста треках долж-
на быть порядка 10%, см. приложение 2), достаточно хорошее
совпадение величин в третьем и четвертом столбцах таблицы не
оставляет сомнений в правильности уравнения (3.213).
В 1926 году английские физики Нэттол и Вильямс прове-
ли аналогичный эксперимент и снова подтвердили правильность
формулы (3.213).
Открытие Комптоном эффекта увеличения длины волны рассеян-
ного рентгеновского излучения, его объяснение на основе фотонной
теории Эйнштейна и всестороннее экспериментальное подтверждение,
данное в работах Комптона с соавторами, Дуана с соавторами, Виль-
сона, Боте и других физиков однозначно свидетельствовали в пользу
дискретности именно электромагнитного излучения. Однако идея су-
ществования фотонов по-прежнему отвергалась многими физиками,
чему уже было дано объяснение: фотонная теория еще не восприни-
малась как более общая, чем теория электромагнитного поля.
В связи с этим нельзя не упомянуть о появлении в 1924 году статьи
Н. Бора, Г. Крамерса и Дж. Слэтэра, в которой отвергалась фотонная
теория и, в частности, отвергалось объяснение эффекта Комптона как
акта упругого взаимодействия фотона и свободного электрона.
Нельзя упрекнуть Бора, Крамерса и Слэтера в том, что они хотели
в 1924 году сохранить описание электромагнитного поля как некоего
непрерывного объекта и не желали признавать существование фото-
нов. Их было бы нельзя упрекнуть и в том, что они вместо признания
фотонов решили отказаться от законов сохранения энергии и импуль-
са, если бы эти авторы предложили альтернативное объяснение хотя
бы одного эффекта на основе своей точки зрения.
Но статья Бора, Крамерса и Слэтера с многообещающим названи-
ем "Квантовая теория излучения" оставляет очень тяжелое впечатле-
ние: шестнадцатистраничный текст156 (в котором всего одна формула)
содержит вместо объяснений лишь намерения их дать.
Другими словами, в статье Бора, Крамерса и Слэтера отвергалось
существование фотонов157, а заодно и теория эффекта Комптона; рас-
сеяние же излучения свободными электронами предлагалось считать
непрерывным процессом158 при участии многих электронов.
В соответствии с представлениями классической физики свобод-
ные электроны не могут получать от электромагнитного поля замет-
ной энергии (см. подразд. 3.3.1, стр. 430—431), но фотографии треков
156 Резерфорд безуспешно пытался повлиять на стиль Бора, посоветовав
ему в 1913 году сокращать ’’непомерную длинность” его статей.
157Ссылкой на дифракцию и интерференцию. Однако вскоре этим явлени-
ям было дано толкование на основе фотонной теории, хотя и ценой суще-
ственного пересмотра взглядов на причинность в микромире.
158 Надо думать, что имелось в виду нечто вроде томсоновского рассея-
ния, когда на электрон падает непрерывная волна, переизлучение тоже идет
непрерывно в виде сферически расходящихся волн.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
473
в камере Вильсона свидетельствовали, что электроны получают зна-
чительную энергию от излучения.
Вместо отказа от непрерывности электромагнитного поля Бор, Кра-
мере и Слэтер предпочли отказаться от надежно экспериментально
обоснованных законов сохранения энергии и импульса, заявив, что при
рассеянии излучения часть электронов вдруг невесть откуда и непо-
нятно как получает огромные энергию и импульс. Законы сохранения
энергии и импульса объявлялись выполнимыми лишь статистически
за большие промежутки времени.
Таким образом, в фотонной теории рассеяние излучения рассмат-
ривается как скоррелированный процесс, в котором электрон получает
определенные энергию и импульс одновременно с рассеянием фотона
в определенном направлении, тогда как по Бору, Крамерсу и Слэтеру
электроны якобы должны приобретать случайные энергию и импульс,
нескоррелированные с рассеянием излучения.
Опровержение взглядов Бора, Крамерса и Слэтера, оконча-
тельно подтвердившее правоту Эйнштейна и Комптона, последо-
вало уже в 1925 году благодаря экспериментам Комптона и Сай-
мона с одной стороны, и Боте и Гейгера с другой.
Комптон и Саймон проверили, осуществляется ли корреля-
ция между направлениями разлета фотона и электрона отдачи
[см. формулу (3.207) и рис. 3.61].
Идея эксперимента заключалась в следующем. При малой
интенсивности излучения на фотографии (в области, облучаемой
первичным лучом) может оказаться только один комптоновский
электрон. При использовании жестких лучей (на рентгеновскую
трубку подавалось напряжение 140 кВ) комптоновский электрон
может получить достаточную энергию для образования длин-
ного трека, по которому возможно определение начального на-
правления вылета электрона. Рассеянный фотон, в свою очередь,
имеет вероятность вновь рассеяться внутри камеры Вильсона,
создав еще один электрон отдачи. Тогда отрезок, проведенный
из начала трека первого электрона к началу трека второго элек-
трона (если на фотографии только два трека) даст направление
рассеяния первичного фотона.
В двух сериях из 850 стереофотографий Комптон и Саймон
нашли 38 случаев, когда были зафиксированы треки первичного
электрона и минимум еще одного электрона вне области прохож-
дения первичного излучения через камеру159.
159 С целью увеличения вероятности появления второго электрона внутри
камеры в ней были размещены тонкие свинцовые пластинки (ведь в свинце
так много электронов), не показанные на рис. 3.70.
474
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
К сожалению, качество воспроизведения фотографий в ста-
тье 1925 года низкое, поэтому вместо последних на рис. 3.70 дан
чертеж из той же статьи, помогающий представить фотографии.
Рис. 3.70. К эксперименту Комптона и
Саймона (1925 г.)
Под действием па-
дающего слева рент-
геновского излучения
в камере Вильсона воз-
никает трек комптонов-
ского электрона 1. На
фотографии также име-
ется трек электрона 2,
предположительно об-
разованного фотоном,
рассеянным первым
электроном160. По фо-
тографии определяют-
ся углы (/? (с точностью
до 10°) и 'Oobs (с точно-
стью до 5°), а по фор-
муле (3.207) вычисляет-
ся угол 'Оcalc- Разность
Д = l^ca/c — ^obs\ характеризует степень корреляции (то есть
степень взаимосвязи между этими углами).
Прежде, чем ознакомиться с полученными Комптоном и Сай-
моном результатами, разберем, что должен был бы дать экспе-
римент, если бы были правы Бор, Крамере и Слэтер, и что, если
верна фотонная теория161.
В первом случае электроны 1 и 2 нескоррелированы друг
с другом, так что равновероятно появление любой величины уг-
ла Д в пределах от 0° до 180°. Если учесть конечность выборки,
то есть ограниченность числа фотографий (38 штук) минимум
с двумя электронами, то должны быть значительные относи-
тельные флуктуации.
Во втором случае, если бы не было погрешностей измерения
углов и случайного фона, все фотографии дали бы Д = 0.
160Но может быть и не так. Первичное излучение падает на поглотитель,
в котором также происходит рассеяние фотонов. Расчет показал, что интен-
сивности лучей, рассеянных воздухом в расширительной камере, и лучей,
рассеянных другими частями аппаратуры, приблизительно одинаковы. Это
совпало с распределением 38 фотографий по двум группам: в 18 случаях
наблюдалось совпадение 'Ocaic и $оь3 в пределах 20°, а в 20 случаях треки
второго электрона были распределены по камере случайным образом.
161В статье Комптона и Саймона этот вопрос не рассматривался.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
475
Однако известно, что процесс измерений (при отсутствии си-
стематических ошибок) приводит к разбросу, описываемому ча-
ще всего так называемым нормальным распределением162
где dw есть вероятность получить значение измеряемой величи-
ны в пределах бесконечно малого интервала [Д, Д + с?Д], а пара-
метр сг должен быть приблизительно равен погрешности измере-
ния, по оценке Комптона и Саймона составляющей 10°+5° = 15°.
В реальности число случайных событий (описываемое рав-
номерным распределением) оказалось приблизительно равным
числу скоррелированных электронов, поэтому в случае правиль-
ности фотонной теории должна была наблюдаться равновзве-
шенная сумма усеченного нормального и равномерного распре-
делений
йД,
(3.214)
где следует взять а = 15° =0.26. Если же учесть конечность вы-
борки, то на распределение (3.214) следует мысленно наложить
еще и относительные флуктуации.
Предсказание Бора,
Крамерса и Слэтера оз-
начает наблюдение толь-
ко равномерного рас-
пределения
dw = -dA (3.215)
7Г
с наложением на по-
следнее в случае ко-
нечной выборки значи-
тельных относительных
флуктуаций.
Д, градусы
Рис. 3.71. Возможные результаты экспе-
римента Комптона и Саймона
162Так как в рассматриваемом случае Д 0, то распределение называ-
ется усеченным нормальным и имеет численный коэффициент -^/2/тг, а не
x/W!
476
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
На рис. 3.71 изображены оба варианта плотности вероятности
dw/dk без учета возможных флуктуаций (то есть в гипотетиче-
ском случае, когда фотографий очень много). Видно, что "фо-
тонное” распределение отличает ярко выраженный максимум в
нуле.
Итак, две разных точки зрения (’’фотонная” Эйнштейна-
Комптона и ’’антифотонная” Бора, Крамерса и Слэтера) позво-
лили предсказать исход возможного эксперимента в терминах
априорной вероятности.
Действительно, выбирая любой интервал dA, можно вычис-
лить величину вероятности dw появления вторичного электрона
на фотографии в интервале углов [Д, Д + с?Д]. В свою очередь,
эта вероятность определяет отношение числа попавших в задан-
ный интервал углов вторичных электронов AN к общему чис-
лу вторичных электронов: dw = AN/N. Однако, если выборка
мала, то возможны флуктуации числа электронов в выбранном
интервале.
Теперь обратимся к экспериментальным данным, получен-
ным Комптоном и Саймоном, воспроизведенным на рис. 3.72.
Рис. 3.72. Экспериментальные данные Комптона и Саймона
К сожалению, Комптон и Саймон существенно усложнили
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
477
интерпретацию полученных ими результатов, когда учли вторич-
ные электроны с весом 1/2, если на фотографии было два вто-
ричных и один первичный электрон. Именно поэтому на пред-
ставленном рисунке число вторичных электронов, зарегистри-
рованных в двадцатиградусных интервалах углов Д, нецелое.
Комптон и Саймон нашли среднее число электронов в области
Д > 20°. Эта величина (около 2.75) показана на графике пунк-
тиром. В области Д > 20° оба априорных распределения практи-
чески равномерны (см. рис. 3.71), что подразумевает равноверо-
ятное появление фоновых электронов в камере Вильсона. Следо-
вательно, флуктуации числа вторичных электронов для любой
конечной выборки, как и флуктуации концентрации идеального
газа, определяются одними и теми же формулами (см. приложе-
ние 2).
Другими словами, при среднем числе частиц в двадцатигра-
дусном интервале, чуть меньшем трех, относительная средне-
квадратичная флуктуация числа частиц должна быть порядка
l/Vo = 0.58, а абсолютная — около 3 • 0.58 « 1.7, так что есте-
ственно ожидать колебаний числа частиц в каждом из двадца-
тиградусных интервалов от 3 — 1.7 = 1.3 до 3 + 1.7 = 4.7. По-
следнее и наблюдается на графике, за исключением интервала
[100°, 120°], где число частиц чуть больше среднеквадратичной
флуктуации.
Если бы были правы Бор, Крамере и Слэтер, то и в интер-
вале [0°,20°] распределение должно было бы оставаться равно-
мерным, а среднее число электронов в этом интервале — лежать
в пределах от 1.3 до 4.7, однако из графика следует, что в этом
интервале зафиксировано 11 электронов. В подобном случае пе-
ред исследователем всегда стоит дилемма: либо верна "антифо-
тонная” гипотеза (и на графике видна громадная флуктуация
в интервале [0°, 20°]), либо верна ’’фотонная” точка зрения, ко-
торая и предсказывает максимум в том же интервале, флукту-
ацией не являющийся. Необходим обоснованный выбор между
двумя точками зрения.
Проблема выбора (на основе выборки конечного объема) между
конкурирующими гипотезами о законе распределения случайной вели-
чины является одной из основных проблем математической стати-
стики, в которой для этого разработаны мощные алгоритмы. Однако
достоверность именно равномерного распределения легко подтвердить
или опровергнуть, не прибегая к специальным методам математиче-
ской статистики.
478
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Проверим, насколько вероятно, что верна "антифотонная"
точка зрения, предположив, что данные Комптона и Саймона
представляют собой значительную флуктуацию электронов, най-
денных в интервале [0°, 20°].
Вычислим вероятность флуктуации, соответствующей экспе-
риментальным данным. Разбив весь интервал углов на две части
(Д < 20° и Д > 20°), получим, что вероятность найти электрон
в интервале [0°, 20°] есть q = 1/9, а в интервале [20°, 180°] — есть
р = 8/9. При общем числе частиц Nq = 33, из которых в пер-
вом интервале N = 11 частиц, вероятность обнаружить такую
комбинацию определяется формулой (П2.5) приложения 2:
/1 \ 11 /8 \ 22
= С^1	«0.00046.
Это и есть вероятность того, что ’’антифотонная” точка зре-
ния верна. Событие, вероятность которого есть 0.00046, в сред-
нем может случаться не чаще, чем 1 раз из 2174 попыток. По-
этому практически исключено, чтобы Комптон и Саймон могли
получить столь маловероятный с ’’антифотонной" точки зрения
результат163.
Таким данные Комптона и Саймона опровергли "антифотон-
ную” точку зрения. В то же время они явно подтвердили "фо-
тонную теорию", придя в статье "Направленные кванты расссе-
янных рентгеновских лучей" (1925 г.) к закономерному выводу:
"Так как доказано, что рассеянные рентгеновские лучи ди-
фрагируют на кристаллах и, следовательно, подчиняются обыч-
ным законам интерференции, нет оснований полагать, что элек-
тромагнитное излучение других диапазонов обладает существен-
но отличной структурой. Таким образом, высоковероятно пред-
положение, что все электромагнитное излучение состоит из дис-
кретных квантов, распространяющихся в определенных направ-
лениях. < ... >
Полученные результаты не кажутся совместимыми с точкой
зрения о случайной генерации электронов отдачи и фотоэлек-
тронов, высказанной Бором, Крамерсом и Слэтером. С другой
163Для сравнения приведем вероятности обнаружить в интервале углов
[0°,20°] от 1 до 4 электронов при неизменном их общем числе Nq = 33:
Wi = 0.08204, И<2 = 0.16921, W3 = 0.21856, W4 = 0.20490.
Другими словами, кто поверит, что из ящика можно наугад вытащить
черный шар, если в нем 2 173 белых шара и только 1 черный?
Тем же, кто верит в подобную возможность, автор дает совет проверить
это экспериментально, заменив шары на тщательно перемешанные кусочки
бумаги, только один из которых помечен.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
479
стороны, эти результаты есть прямое подтверждение того, что
энергия и импульс сохраняются в актах взаимодействия меж-
ду излучением и отдельными электронами ".
Нобелевская премия по физике 1927 года была поделена меж-
ду А.X. Комптоном, получившим ее "за открытие эффекта, на-
званного его именем", и Ч.Т.Р. Вильсоном, получившим ее "за
метод визуального обнаружения траекторий электрически заря-
женных частиц с помощью конденсации пара".
Спустя 11 лет эксперимент Комптона и Саймона был снова повто-
рен, так как в 1936 году американский физик Шенкланд, воспроиз-
водя опыт Боте—Гейгера (суть которого будет разъяснена далее)
с 7—излучением радонового источника (с энергией фотонов в несколь-
ко МэВ), не справился с задачей и опубликовал данные, противореча-
щие фотонной теории. Возникла необходимость проверить результаты
Комптона и Саймона в области 7—излучения. В итоге целых 4 группы
физиков вновь подтвердили правильность фотонной теории, причем
гораздо более точно, чем это было сделано в 1925 году, а затем и сам
Шенкланд признал допущенную ошибку.
Рис. 3.73. Образцы двух фотографий, содержащих один первичный
и один вторичный электроны (Крэйн, Гертнер и Турин, 1936 г.)
Три американских физика — Крэйн, Гертнер и Турин повто-
рили эксперимент Комптона и Саймона, используя 7—излучение
с энергией фотонов от 0.5 до 2.6 Мэв. Они получили 10000 фото-
графий, из которых 300 содержали один первичный и один вто-
ричный электроны. Две фотографии из трехсот воспроизведены
на рис. 3.73.
Камера Вильсона диаметром 15 см была помещена в маг-
480
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
нитное поле с индукцией В = 0.088 Тл, поэтому комптоновские
электроны двигались по окружности, радиус которой позволяет
измерить их энергию, а также определить направление движе-
ния вторичного электрона.
Для увеличения вероятности рассеяния в центре камеры по-
мещен кусочек целлулоида толщиной 0.8 мм, из которого и вы-
летают первичные электроны в направлении, близком к направ-
лению первичного фотона (снизу вверх). Видны также 4 тонких
листа свинца, установленные в камере для увеличения вероятно-
сти появления вторичного электрона.
На воспроизведенных фотографиях, как надеется автор, чи-
татели разглядят треки вторичного электрона, соответствующие
рассеянию фотона на угол примерно в 90°.
Рис. 3.74. Результаты эксперимента Кр-
эйна, Гертнера и Турина (1936 г.)
Выборка в опыте
Крэйна, Гертнера и Ту-
рина оказалась суще-
ственно более предста-
вительной (300 вторич-
ных электронов вместо
фактически 33 у Комп-
тона и Саймона).
Кроме того, возмож-
ность определения энер-
гии первичного элек-
трона (по радиусу тре-
ка), а также известный
угол рассеяния фото-
на позволили не толь-
ко измерять угол выле-
та первичного электро-
на (flobsi н0 и вычислять
^caic с помощью уравне-
ний (3.207)—(3.208), за-
одно определяя энергию первичного фотона.
На рисунке 3.74 приведены данные Крэйна, Гертнера и Тури-
на, говорящие сами за себя. Из-за увеличения объема выборки
(300 вторичных электронов) существенно уменьшились флукту-
ации, а сам график распределения очень близок к усеченному
нормальному распределению, предсказываемому фотонной тео-
рией (см. рис. 3.71).
Таким образом, выводы фотонной теории были эксперимен-
тально подтверждены не только для видимого, ультрафиолете-
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
481
вого и рентгеновского диапазонов, но и для 7—излучения.
Несмотря на исчерпывающее подтверждение фотонной теории Ком-
птоном и его учениками, хотя бы вкратце нельзя не остановиться еще
на одном эксперименте, позволившем отвергнуть "антифотонную" точ-
ку зрения Бора, Крамерса и Слэтера.
Речь идет об эксперименте Боте и Гейгера, которые подтвердили
корреляцию между рассеянием фотона и появлением комптоновского
электрона методом совпадений. Суть эксперимента поясняет рис. 3.75.
Рентеновское излучение с энергией фото-
нов до 70 кэВ, проходя сквозь газообразный
водород, рассеивалось. На рисунке изображен
комптоновский электрон, вылетающий напра-
во, а также рассеянный фотон, вылетающий
налево.
Боте и Гейгер поставили справа и слева два
счетчика Гейгера (см. гл. 2, подразд. 2.9.1), при-
чем вход "фотонного” счетчика затянули пла-
тиновой фольгой, непроницаемой для электро-
нов, а вход "электронного” оставили откры-
тым. Понятно, что не все электроны отдачи
могли попасть внутрь "электронного" счетчи-
ка. Понятно также, что не все фотоны мог-
ли испытать в "фотонном" счетчике вторичное
рассеяние и, таким образом, быть зарегистри-
рованы.
Рис. 3.75. К экспе-
рименту Боте и Гей-
гера (1925 г.)
Эксперимент показал, что примерно на 10 срабатываний "элек-
тронного" счетчика приходилось лишь одно срабатывание "фотонно-
го".
Если бы были правы Бор, Крамере и Слэтер, оба счетчика сраба-
тывали бы независимо друг от друга. Фотонная же теория указывала,
что должны быть совпадения по времени срабатывания обоих счетчи-
ков. Эксперимент показал, например, что за 73 минуты "фотонный"
счетчик сработал 168 раз, причем 11 раз (из 168) одновременно срабо-
тал и "электронный" счетчик. В целом же в трех сериях наблюдений
(примерно 5 часов) Боте и Гейгер зарегистрировали 66 совпадений.
Если бы Бор, Крамере и Слэтер, настаивая на существовании элек-
тромагнитного поля и отрицая существование фотонов, были бы пра-
вы, то нетрудно было бы подсчитать вероятность 66 совпадений в опы-
те Боте и Гейгера. Эта вероятность была менее 1/400000, что, конечно,
опровергало точку зрения Бора, Крамерса и Слэтера. Более того, ко-
личество совпадений прямо согласовывалось с предположением, что
в каждом акте рассеяния возникают обе частицы — рассеянный фо-
тон и электрон отдачи.
Метод совпадений нашел в физике широкое применение. Уже по-
сле смерти Гейгера, в 1954 году Вальтер Боте (1891—1957) получил
половину Нобелевской премии по физике "за метод совпадений и сде-
ланные в связи с этим открытия".
482
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
3.3.3 Обратный эффект Комптона как прямое
доказательство существования фотонов
В предыдущем подразделе подробно описан эффект Комптона,
трактуемый как упругое взаимодействие рентгеновских и 7-фо-
тонов со слабосвязанными электронами в атомах. Весьма важно
то, что экспериментальная проверка [опыты Комптона и Саймо-
на (1925 г.), Боте и Гейгера (1925 г.), Крэйна, Гертнера и Турина
(1936 г.)] однозначно показала несостоятельность классическо-
го представления об электромагнитном поле в рентгеновском
и ^-диапазонах как о некой материальной среде с непрерывным
распределением энергии в пространстве.
В последующие годы шло продвижение в область все бблыпих
энергий рассеиваемых фотонов. Так, в 1952 году американский
физик Эмай с помощью камеры Вильсона изучал эффект Комп-
тона для фотонов в интервале энергий от 50 до 200 МэВ,
а в 1968 году группа американских физиков (Гиттельман, Барбер
и др.) исследовала комптоновское рассеяние фотонов с энергией
hw = 950 МэВ.
Однако, как было ранее отмечено, эффект Комптона не про-
является в видимом диапазоне, так как по отношению к фотонам
видимой части спектра электроны в атомах — сильносвязанные.
Конечно, фотоэффект, наблюдаемый в видимой и ультрафио-
летовой областях спектра, является веским, хотя и косвенным,
подтверждением существования фотонов во всех частях спектра.
Тем не менее, подобно тому, как эффект Комптона дал прямое
и непосредственное подтверждение фотонной гипотезы в рентге-
новском и 7-диапазонах, обратный эффект Комптона дает та-
кое же прямое и непосредственное подтверждение существова-
ния фотонов в видимой области спектра, а также и в области
радиоволн.
Прямой эффект Комптона подразумевает столкновение фо-
тона с покоящимся электроном, а обратный эффект Комптона
— со свободным движущимся электроном.
При прямом эффекте Комптона фотон теряет, а электрон
приобретает энергию, а при обратном эффекте — наоборот. Изу-
чение обратного эффекта можно свести к изучению прямого эф-
фекта, перейдя в систему координат, в которой электрон покоит-
ся. Однако нетрудно произвести и прямое кинематическое рас-
смотрение.
На рис. 3.76 изображен частный случай рассеяния фотона на
движущемся электроне, когда начальные импульсы электрона
3 3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
483
р и фотона Кк направлены точно навстречу друг другу.
Рассеяние завершается от-
клонением электрона на угол
(/?, а фотона — на угол 'О от
первоначального направления
движения.
Законы сохранения импуль-
са и энергии дают, очевидно,
три уравнения
Рис. 3.76. Рассеяние фотона на
движущемся электроне
tiw	,	hujf р	=р cos 92	COS , с	с fruj . л / . 	sin V = р sin 92, с £ + Ьш = £f + Ьш.	(3.216) (3.217) (3.218)
Желая выразить энергию рассеянного фотона W через энер-
гию первичного фотона hw и угол рассеяния энергию £ и им-
пульс р электрона, необходимо исключить из системы (3.216)—
(3.218) импульс электрона р1 после рассеяния, а также угол рас-
сеяния электрона 92. Не выписывая тривиальных преобразова-
ний, укажем лишь, как они производятся. Оставив в правой ча-
сти (3.216) только pf cos 92, а в правой части (3.217) — только
pf sin 92, нужно возвести полученные уравнения в квадрат и сло-
жить.
В образовавшемся уравнении величину р'2— р2 с учетом реля-
тивистской связи между энергией и импульсом частицы следует
заменить величиной (£'2 — £2)/с2, после чего исключить величи-
ну £f с помощью уравнения (3.218). Получится алгебраическое
линейное уравнение относительно энергии рассеянного фотона,
имеющее решение
ЬЛ _	£ + рс
hw £ +pccos,0 +	— cos??) ’
В частности, при р = 0 (рассеяние на покоящемся электроне)
полученное выражение легко преобразуется в формулу (3.202).
Из формулы (3.219) следует, что энергия рассеянного фотона
максимальна при $ = тг, а с уменьшением угла рассеяния энер-
гия фотона монотонно убывает. Рассмотрим рассеяние на 180°
световых фотонов (fav ~ 1 эВ) на ультрарелятивистских элек-
тронах с £ » тес? ^511 кэВ.
484
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
В формуле (3.219) в знаменателе правой части можно прене-
бречь энергией фотона, а также положить = тг:
~	= (5+ Р4)2 ~ (^2 У >	(3.220)
пы 8 — pc m~c4 \тес* J
где использовалась релятивистская связь между энергией и им-
пульсом электрона 82 = р2с2 + т2с4, показывающая в частности,
что для ультрарелятивистских частиц 8 « рс.
Если выбрать энергию электрона 8 = 550 МэВ164, а энергию
фотона Ьш = 1.78 эВ (фотоны рубинового лазера), то формула
(3.220) даст для энергии фотона, рассеянного строго вдоль пер-
вичного импульса электрона, величину hwfmax = 8.25 Мэв. Таким
образом, из фотона видимой части спектра должен получиться
7-квант, уносящий, впрочем, относительно небольшую долю на-
чальной энергии электрона.
Проведенный кинематический расчет позволяет определить
только величину энергии рассеянного кванта. Квантовая элек-
тродинамика, выводы которой проверены экспериментально
с максимальной в естествознании точностью, позволяет прове-
сти и детальный расчет обратного эффекта Комптона, в том
числе вычислить дифференциальное сечение рассеяния фото-
нов, то есть распределение рассеянных фотонов по углам $. Ока-
зывается, практически все рассеянные на ультрарелятивистских
электронах фотоны сосредоточены в небольшом телесном угле
Q « (тес2/£)2. Ось конуса рассеянного излучения совпадает
с направлением начального импульса электрона.
Другими словами, с вероятностью, близкой к единице, взаи-
модействие фотона с ультрарелятивистским электроном, изобра-
женное на рис. 3.76, завершится рассеянием фотона почти точно
назад (в пределах телесного угла Q ~ 10-6), а энергия ’’отра-
женного” фотона увеличится более, чем в миллион раз.
Впервые эксперимент по обратному комптоновскому рассея-
нию был осуществлен группой советских физиков (О.Ф. Куликов,
Ю.Я. Тельнов, Е.И. Филиппов и М.Н. Якименко) в 1964 году.
Первичные фотоны излучал (созданный только в 1960 году)
рубиновый лазер, а ультрарелятивистские электроны ускорялись
в синхротроне до энергии 8 ~ 500 МэВ.
164 Кинетическая энергия такого электрона более, чем в тысячу раз пре-
вышает его энергию покоя, равную 0.511 Мэв [см. гл. 2, разд. 2.7, формулу
(2.102)]. Такой электрон называется ультрарелятивистским.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
485
К 1969 году та же группа смогла изучить угловые и энергети-
ческие характеристики пучка рассеянных 7-квантов. Схема уста-
новки Куликова, Тельнова, Филиппова и Якименко представлена
на рис. 3.77.
о кг
Рис. 3.77. Схема установки обратного комптоновского рассеяния (Ку-
ликов, Тельнов, Филиппов и Якименко, 1964 г.)
Фотоны с энергией Ьш = 1.78 эВ создавал импульсный лазер
на рубине (4 Дж в импульсе длительностью около 1 мс). Ла-
зерный луч отклонялся призмой П на линзу Л, фокусирующую
излучение в пятно диаметром 4 мм в вакуумной области синхро-
трона, куда излучение поступало сквозь стекло С.
В синхротроне на равновесной орбите радиусом 2 м уско-
рялось в одном цикле около 1О10 электронов, энергия которых
за время одного импульса лазера сохранялась равной 550 МэВ
с точностью 0.2%. Сечение электронного пучка представляло
собой эллипс с осями 10 мм по радиусу синхротронной орбиты
и 3 мм по вертикали.
Фотоны рассеивались в области перекрытия пучков длиной
примерно 40 мм, где углы столкновений отличались от 180° не
более, чем на 6°. Рассеянные назад 7-кванты, пройдя сквозь
призму 77, попадали на свинцовый коллиматор К с телесным
углом 1.6 • 10-7 стерад, а еще через 10 м — на сцинтилляцион-
ный детектор — ионный кристалл Nal с примесью активатора
(таллия), обозначаемого как Nal(Tl).
Далее будет разъяснено, почему 7 - квант создает вспышку
видимого излучения в кристалле (для продуцируемого видимого
излучения кристалл прозрачен).
Сцинтилляционный детектор обладает свойствами спектро-
метра, то есть позволяет определить энергию 7-кванта по интен-
сивности световой вспышки, усиливаемой далее фотоэлектрон-
486
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
ным умножителем (ФЭУ), принцип действия которого также бу-
дет разъяснен далее. После ФЭУ сигнал обрабатывался.
Рис. 3.78. Энергетические спектры рассеянных фотонов, соответству-
ющие двум возможным линейным поляризациям лазерного излучения
(Куликов, Тельнов, Филиппов и Якименко, 1969 г.)
На рис. 3.78 представлены расчетные (сплошные кривые)
и экспериментально полученные спектры рассеянных фотонов,
обрывающиеся именно вблизи энергии 8.25 МэВ, как и должно
быть в соответствии с кинематическим расчетом (см. стр. 484).
В целом же, несмотря на то, что не все 7-кванты регистриро-
вались детектором (коэффициент прохождения 7-квантов через
стекло общей толщиной 36 мм и слой воздуха толщиной 10 м
в диапазоне энергии от 3 до 8 МэВ составлял 0.8 и плавно умень-
шался до 0.4 при энергии 0.5 МэВ), а на обратный эффект Комп-
тона был наложен значительный паразитный сигнал тормозного
излучения, возникающего при рассеянии электронов на молеку-
лах остаточного газа в синхротроне (где давление поддержива-
лось равным 10-6 Торр), согласие между теорией и эксперимен-
том в пределах погрешности измерений.
И хотя Куликов, Тельнов, Филиппов и Якименко, не сомнева-
ясь в существовании фотонов, ставили перед собой прикладные
задачи (диагностика электронного пучка в синхротроне, созда-
ние регулируемого источника 7-квантов), их эксперимент одно-
значно и неопровержимо показал, что фотоны лазерного излу-
чения упруго рассеиваются на электронах так же, как фотоны
рентгеновского и 'у-излучений.
3 3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
487
3.3.4 Регистрация единичных электронов
и фотонов
Сверхслабые электронные и фотонные потоки (в пределе — еди-
ничные электроны и фотоны) регистрируют с помощью вторич-
ного электронного умножителя (ВЭУ) и фотоэлектронного умно-
жителя (ФЭУ) соответственно. В основе действия ВЭУ и ФЭУ
лежит явление, которое в 1899 году наблюдал английский физик
и инженер К. Свинтон, но как вторичная электронная эмиссия
(ВЭЭ) это явление было идентифицировано немецкими физика-
ми Остином и Штарке только в 1902 году.
Вторичная электронная эмиссия — это испускание вторич-
ных электронов веществом, облучаемым первичными электро-
нами. Суть ВЭЭ понятна: вторичные электроны возникают при
упругом или неупругом отражении части первичных электро-
нов, а также при вылете из вещества истинно вторичных элек-
тронов, которым первичные электроны при столкновениях пе-
редают энергию. Таким образом, истинно вторичные электроны
отличаются от фотоэлектронов только источником избыточной
энергии, необходимой для преодоления работы выхода.
Процессы, сопровождающие ВЭЭ, весьма сложны, но в целом
тщательно изучены в рамках физической электроники165, а для
понимания дальнейшего достаточно знать, что количественно
ВЭЭ характеризуется коэффициентом вторичной электронной
эмиссии сг, равным отношению среднего числа всех вторичных
электронов, приходящихся на один первичный.
Экспериментально величину а определяют, измеряя токи пер-
вичных 1р и всех вторичных электронов так как ясно, что
сг = Is/Ip. Коэффициент а зависит от угла падения и энер-
гии первичных электронов Ер, меняясь в широких пределах для
разных веществ. В качестве эффективных эмиттеров вторичных
электронов с 1930-х годов использовали фотоэмиттеры сложной
полупроводниковой природы с атах ~ 10, например кислородно-
серебряно-цезиевый эмиттер, представляющий собой окисел се-
ребра, обработанный парами цезия. К настоящему времени раз-
работаны еще более эффективные эмиттеры вторичных электро-
нов, имеющие сгтах ~ 1000.
Первые 20 лет после открытия ВЭЭ не вызывала большого интере-
са (выходила примерно одна статья в год) и не находила технического
применения, найденного лишь в начале 1920-х годов американскими
165Только к 1968 году было опубликовано более 1000 статей, посвященных
ВЭЭ.
488
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 3.79. Конструкция
первого ФЭУ Кубецкого
инженерами, разрабатывавшими электронные лампы.
К 1934 году советский инженер Л.А. Кубецкий изготовил действу-
ющий макет нового прибора, получившего название фотоэлектрон-
ного умножителя. Однако Комитет по делам изобретений разделил
первоначальную заявку Кубецкого (от 4 августа 1930 года), выдав ему
в 1931 году авторское свидетельство на ’’Многоэлементный электрон-
ный прибор”, а через 5 (!!! — А.М.) лет, в 1936 году — авторское сви-
детельство на ’’Способ усиления электронных токов”.
За это время работавшие над созданием телевидения в США ин-
женеры В.К. Зворыкин (бежавший в 1918 году из России от больше-
виков166) и Ф.Т. Фарнсворт независимо изобрели аналогичные фото-
электронные умножители, но в печати сообщили об этом раньше Ку-
бецкого. Так изобретатель лишился приоритета на ФЭУ.
Сейчас в мире выпускается более
700 типов ФЭУ, большинство из ко-
торых создано на основе идеи Ку-
бецкого об одноканальной умножи-
тельной системе с "зигзагообразны-
ми" траекториями электронов.
На рис. 3.79 изображена кон-
струкция ФЭУ, предложенная Ку-
бецким в 1930 году. Из источника
света S излучение падает на фо-
тоэмиттер, откуда выходит фототок
Iq. Ускоренные разностью потенциа-
лов электроны бомбардируют эмит-
тер вторичных электронов, откуда
ток уже будет alo. Если в ФЭУ содержится N последовательно
расположенных эмиттеров вторичных электронов, то выходной
ток будет определяться выражением I = aNIo.
При а = 10 достаточно шести последовательно расположен-
ных вторичных эмиттеров, чтобы получить коэффициент усиле-
ния 1000 000. Современные ФЭУ имеют коэффициент усиления
(отношение выходного тока к току фотоэмиттера) до 108.
Если в ФЭУ убрать фотоэмиттер, и посылать электроны сра-
зу на эмиттер вторичных электронов, то получится усилитель
электронного потока, называемый вторичным электронным умно-
166Если учесть, что учителя Зворыкина, одного из пионеров телевидения
Б.Л. Розинга, большевики в 1931 году арестовали и сослали в Архангельск,
где Розинг и умер, а другого ученика Розинга — А.П. Константинова — рас-
стреляли в 1937 году, то следует признать, что сын купца Зворыкин сделал
правильный выбор. Судьба Кубецкого, к счастью, оказалась благополучной:
в 1948 году его наградили Сталинской премией.
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 489
жителем (ВЭУ). Усиления хорошего ВЭУ достаточно, чтобы на
выходе зафиксировать импульс тока от единственного электро-
на, поглощенного первым эмиттером.
Сверхслабые потоки ультрафиолетового, видимого и инфра-
красного излучений с длинами волн167 от 1000 А до 13000 А ре-
гистрируют с помощью ФЭУ. Квантовый выход эффективных
фотоэмиттеров в видимой области спектра приближается к еди-
нице, что дает возможность регистрировать сверхслабые пото-
ки излучения (вплоть до единичных фотонов). Таким образом,
ФЭУ дает возможность установления факта поглощения фото-
катодом единственного фотона, но не дает гарантии, что будет
зарегистрирован каждый поглощенный фотон.
В настоящее время ФЭУ используются в телевидении; систе-
мах связи, локации; в системах ориентации искусственных спут-
ников Земли; в физических исследованиях, где особенно широко
применяются в сцинтилляционных счетчиках для преобразова-
ния вспышки света в сцинтилляторе в электрический импульс
с помощью ФЭУ. В частности, в предыдущем подразделе была
описана установка для наблюдения обратного эффекта Компто-
на, в которой 7-кванты регистрировались именно сцинтилляци-
онным счетчиком (см. рис. 3.77).
Если вспомнить, что ранее уже был описан процесс регистра-
ции рентгеновских фотонов с помощью ионизационных детекто-
ров на базе счетчика Гейгера, то возникает вопрос: нельзя ли
ионизационные детекторы применять также и для регистрации
7 - квантов? Оказывается, что нет: по мере роста энергии фотона
сначала падает вероятность фотоэффекта, так что основным ме-
ханизмом потерь энергии в веществе становится комптоновское
рассеяние, а по мере дальнейшего роста энергии фотонов начи-
нает убывать и вероятность комптоновского рассеяния. Таким
образом, вероятность регистрации 7-кванта счетчиком Гейгера
с ростом энергии фотонов падает: в газе фотоны практически
перестают вызывать ионизацию.
Механизм потери энергии 7-излучения в веществе открыли
в 1933 году французские физики Ирен и Фредерик Жолио-Кюри.
Они зафиксировали образование электрон-позитронной пары
в камере Вильсона, облучаемой 7-квантами. В том же году аме-
риканский физик Р. Оппенгеймер предложил правильную интер-
претацию открытия супругов Жолио-Кюри: 'у-квант в веществе
превращается в электрон-позитроппую пару.
167 Ультрафиолетовая граница определяется пропусканием входного окна
ФЭУ, а инфракрасная — красной границей фотоэффекта.
490
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рис. 3.80. Образование электрон-
позитронной пары (Фаулер, Герт-
нер, Лауритсен, 1938 г.)
На рис. 3.80 показана ана-
логичная фотография, полу-
ченная американскими фи-
зиками Фаулером, Гертнером
и Лауритсеном. Камера Виль-
сона, помещенная в магнит-
ное поле, облучалась фотона-
ми с энергией huo = 16.1 МэВ.
Видно много треков компто-
новских электронов, которые
магнитным полем закручива-
ются против часовой стрел-
ки. Направление электронных
треков легко определяется,
так как на конце некоторых
треков ясно различимо харак-
терное утолщение в форме за-
пятой. Видны также два тре-
ка, возникшие в одной точке
и соответствующие частицам значительно большей энергии, чем
комптоновские электроны. Налево уходит электрон с кинети-
ческой энергией 9.5 Мэв, а направо — положительно заряжен-
ная частица, которая не может быть протоном, так как протоны
производят гораздо более сильную ионизацию вдоль трека, чем
электроны (см. рис. 3.64—3.65). Правая частица и есть позитрон
с кинетической энергией 5.6 МэВ.
Процесс, зафиксированный на фотографии, это превращение
7-кванта в электрон-позитронную пару:
7 —> е + е+ .
(3.221)
Из закона сохранения энергии следует, что для образования
пары фотон должен иметь энергию, как минимум вдвое большую
энергии покоя электрона (2 • 511 кэВ = 1.02 МэВ). Если же
энергия 7-кванта превышает 1.02 МэВ, то избыточную энергию
унесут электрон и позитрон в виде кинетической энергии. Ес-
ли вновь обратиться к процессу рождения пары (см. рис. 3.80),
то можно убедиться в выполнении закона сохранения энергии:
энергия фотона 16.1 МэВ « 1.0 + 9.5 + 5.6 Мэв преобразовалась
в энергии покоя электрона и позитрона, а также кинетическую
энергию частиц пары.
В процессе рождения пары, кроме сохранения энергии, дол-
жен сохраняться и импульс, и это накладывает ограничение, за-
3.3. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
491
ключающееся в том, что свободный 7-квант не может создать
пару частица-античастица. Последнее станет очевидным, если,
предположив наличие процесса, перейти в систему центра масс
образовавшейся пары, в которой суммарный импульс системы
равен нулю. Но импульс фотона ни в одной системе координат
не может быть нулевым, что и завершает доказательство.
Ситуация аналогична запрету на поглощение фотона свобод-
ным электроном, так что фотоэффект происходит только в при-
сутствии третьего тела. Подобно этому рождение электрон-по-
зитронной пары возможно также лишь в присутствии третьего
тела — ядра или электрона. Именно поэтому превращение фо-
тона в пару частица-античастица происходит лишь при взаимо-
действии фотона с веществом.
Образовавшиеся позитроны, как было обнаружено в том же
1933 году Ф. Жолио-Кюри и Ж. Тибо, аннигилируют с электро-
нами, то есть при столкновении электрона с позитроном может
произойти их обратное преобразование в пару фотонов168:
е~ + е+ —> 7 + 7 .	(3.222)
Вероятность аннигиляции повышается по мере торможения
позитрона в веществе, поэтому основная доля аннигиляций про-
исходит, когда кинетической энергией пары можно пренебречь по
сравнению с ее энергией покоя. Если в таком случае аннигиля-
ция — двухфотонная, то фотоны разлетаются с энергией 511 кэВ
в противоположные стороны.
Итак, по мере роста энергии фо-
тонов сначала фотоэффект сменяет-
ся эффектом Комптона, а при даль-
нейшем росте энергии до величины
10 — 30 Мэв (в зависимости от веще-
ства, с ростом Z порог уменьшается)
вероятность фотоэффекта и эффек-
та Комптона становится мйлой по
сравнению с вероятностью образова-
ния электрон-позитронной пары.
На рис. 3.81 показаны составляю-
щие коэффициента линейного погло-
|Л, см 1
О 1	10 100 hcu/^eC2
Рис. 3.81. Составляющие
коэффициента линейного
поглощения в свинце
щения в свинце как функции энергии фотона (выраженной в еди-
ницах энергии покоя электрона тес2): кривая 1 характеризует
168Образование одного фотона при аннигиляции запрещено, но могут об-
разоваться три фотона, а не два.
492
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
вклад фотоэффекта, 2 — эффекта Комптона и 3 — эффекта рож-
дения электрон-позитронных пар. Видно, что при энергии фото-
на около 5 МэВ фотоэффект практически прекращается, а эф-
фект Комптона конкурирует с эффектом рождения пар, а затем
прекращается и эффект Комптона.
Чтобы увеличить вероятность регистрации 7-кванта, и при-
меняют сцинтилляционные счетчики, у которых в кристалле
(плотность которого на 3 порядка превышает плотность газа
в камере Вильсона или счетчике Гейгера), называемом сцинтил-
лятором, с высокой вероятностью происходит преобразование
7-кванта в электрон-позитронную пару, которая тормозится в ве-
ществе, причем позитрон в конце аннигилирует. В результате
сложных процессов, сопровождающих диссипацию энергии па-
ры, в сцинтилляторе возникает вспышка в видимом диапазоне,
интенсивность которой соответствует энергии, растраченной па-
рой в кристалле. Сцинтиллятор при этом должен быть прозрачен
по отношению к видимому излучению, генерируемому в его объ-
еме. ФЭУ преобразует световую вспышку в импульс тока, по ко-
торому можно определить не только факт регистрации 7-кванта,
но и оценить его энергию.
Завершая раздел, посвященный возрождению Эйнштейном
корпускулярных представлений Ньютона на природу света, а так-
же веским экспериментальным подтверждениям фотонной гипо-
тезы, следует подчеркнуть, что Эйнштейн оказался совершенно
прав, обоснованно выдвинув идею дискретности электромагнит-
ного поля, состоящего из фотонов, существование которых во
всех диапазонах — от радиоволн169 до 7-лучей — было экспери-
ментально доказано.
Опыты, описанные в настоящей главе, нашли объяснение
только на основе фотонной теории, и в то же время однознач-
но опровергли фарадей-максвелловскую трактовку электромаг-
нитного поля как физической среды с непрерывным распределе-
нием энергии в пространстве.
169В 1965 году американские физики А.А.Пензиас и Р.В. Вилсон обнару-
жив, что на Землю падает равновесное тепловое излучение температуры
Т ~ 3 К, получили в 1978 году половину Нобелевской премии по физике
"за открытие реликтового излучения". Реликтовые фотоны, которых около
400 штук в каждом кубическом сантиметре Вселенной, имеют энергии около
0.003 эВ и меньше, что соответствует сантиметровым и миллиметровым вол-
нам. Однако Вселенная наполнена и ультрарелятивистскими электронами,
на которых реликтовое излучение рассеивается (обратный эффект Компто-
на), частично превращаясь в изотропное рентгеновское излучение с энергией
фотонов 50—100 кэВ, также регистрируемое на Земле.
3.4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
493
История признания дискретности электромагнитного излу-
чения ярко освещает основополагающий принцип науки: кри-
терий истины — эксперимент. Несмотря на кипение страстей,
эксперименты заставили сопротивляющееся физическое сооб-
щество, воспитанное на законах классической физики, признать
существование фотонов. Временно возникшее логическое несо-
ответствие между дискретностью излучения и его описанием на
основе уравнений Максвелла было довольно быстро устранено,
о чем рассказано в следующем разделе.
Нобелевскую премию по физике А. Эйнштейн получил
в 1921 году "за важные физико-математические исследования,
особенно за открытие законов фотоэлектрического эффекта”, то
есть, по-существу за то, что он в течение почти 20 лет практи-
чески в одиночку отстаивал идею дискретности излучения.
3.4 Интерпретация волновых свойств
излучения в рамках фотонной теории
В физике после признания факта дискретности излучения сло-
жилась неприятная ситуация, суть которой заключалась в том,
что система уравнений Максвелла, имеющая (для вакуума с за-
ряженными частицами) вид
div В =0,
ЗВ
— = - rot Е,
at
divE = - А
ЕО
ЗЕ	2 j
— =c2rotB------,
at	eq
(3.223)
описывает непрерывное распределение электромагнитной энер-
гии в пространстве с мгновенной плотностью
Е2 2В2
и = Ео— +Е0С —,
(3.224)
что в целом, как тогда казалось, противоречило существованию
фотонов. Кроме того, некоторое время на основе фотонной тео-
рии не находили объяснения волновые свойства излучения (на-
пример, дифракция и интерференция).
494
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Получалось, что часть экспериментальных фактов описыва-
ла максвелловская электродинамика, а часть — фотонная тео-
рия. Создавшуюся ситуацию стали объяснять ’’корпускулярно-
волновым дуализмом” излучения, считая, что иногда излучение
не состоит из фотонов, а иногда — состоит. От такой, по-существу
абсурдной, трактовки давно отказались170, объяснив со време-
нем все экспериментальные факты на основе фотонных пред-
ставлений.
Однако описание поведения фотонов — уже неоднократно
упоминавшаяся квантовая электродинамика — существенно ре-
лятивистская теория (так как безмассовые фотоны — реляти-
вистские частицы), и базируется она на результатах нереляти-
вистской квантовой механики.
В конце 1920-х годов английский физик П.А.М. Дирак заложил
основы квантовой теории излучения, которая, правда, при численных
расчетах вела к появлению бесконечных величин. Лишь в конце 1940-х
годов два американских физика — Р. Фейнман и Ю. Швингер, а так-
же японский физик С.Томонага нашли способ устранить из расчетов
бесконечности, разработав тем самым современную форму квантовой
электродинамики — части физики, описывающей электромагнитное
излучение, а также взаимодействие фотонов с электронами и пози-
тронами. В 1965 году С. Томонаге, Р. Фейнману и Ю. Швингеру была
присуждена Нобелевская премия по физике "за фундаментальные ра-
боты по квантовой электродинамике".
Поскольку представление о фотонах существенно при изуче-
нии атомной физики и основ нерелятивистской квантовой меха-
ники, то далее в настоящем подразделе представлено поневоле
упрощенное изложение азов фотонной теории, чтобы дать чи-
тателю лишь общее представление о том, какой ценой удалось
совместить волновые представления максвелловской электроди-
намики с дискретной природой излучения.
Выберем в качестве отправного пункта эвристический прием,
называемый принципом соответствия, суть которого сводится
к требованию включения старой научной теории в приходящую
170Сейчас под термином "корпускулярно-волновой дуализм” понимают
универсальное свойство материи, а не только излучения, согласно которому
любой частице с энергией £ и импульсом р сопоставляется комплексная
волна с частотой ш и волновым вектором к, причем £ = hw, р = hk.
Сопоставляемая волна — чисто математический объект, ее физический
смысл в случае весомых частиц раскрывает нерелятивистская квантовая
механика. Подробнее см. гл. 4, разд. 4.2.
3.4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
495
ей на смену новую теорию в качестве предельного случая171.
Так, например, релятивистская механика переходит в клас-
сическую механику при v с. В 1906 году Планк высказал
предположение, что классическая механика должна быть так-
же и предельным случаем квантовой механики, которую нужно
было создать для описания поведения атомных и субатомных ча-
стиц. Планк высказал мнение, что ’’классическую теорию можно
охарактеризовать просто как теорию, в которой квант действия
бесконечно мал”. Например, как было показано в подразделе
3.2.7, в пределе h —> 0 закон излучения Планка действительно
переходит в ’’классический” закон Рэлея—Джинса.
С учетом принципа соответствия следует ожидать, что макс-
велловская электродинамика является частным случаем кван-
товой электродинамики, если рассматривается система с очень
большим числом фотонов172.
Поясняя сказанное аналогией, вспомним, что диффузия в га-
зе удовлетворительно описывается уравнением в частных произ-
водных [см. гл. 1, раздел 1.2, уравнение (1.77)] несмотря на то,
что газ дискретен, то есть состоит из молекул. И ’’буксовать”
уравнение диффузии начинает как раз там, где концентрация
частиц становится малой, то есть молекулярная структура газа
171 После возникновения науки выработанные в рамках физики представ-
ления, как правило, просто отмели фантастические взгляды на природу,
канонизированные церковниками!
Например, давно отвергнуты аристотелевы положения о том, что мате-
рия образована из тепла, холода, сухости и влаги, или что под действием
постоянной силы тела движутся с постоянной скоростью, и тому подобная
чепуха. Никакого соответствия между философскими домыслами и реаль-
ным поведением материи не оказалось.
В процессе развития науки достигается описание некоторой группы яв-
лений, соответствующее экспериментальным данным с некоторой степенью
точности. Подобное знание уже не может быть отвергнуто, а лишь включе-
но как предельный случай в более общую теорию, описывающую бблыпий
круг явлений с лучшей точностью. Именно так произошло со сменой класси-
ческой ньютоновской механики сначала релятивистской механикой, а затем
квантовой механикой. То же самое произошло и с фарадей-максвелловской
электродинамикой, оказавшейся предельным случаем квантовой электроди-
намики.
Если допустить, что в будущем будут открыты неизвестные сегодня яв-
ления природы, и будет создана еще более всеобъемлющая теория, то она
обязана будет включить в себя как частные случаи квантовую механику
и квантовую электродинамику.
172 К последнему утверждению нужно относиться с некоторой осторожно-
стью: есть существенно квантовые явления (фотоэффект, например), кото-
рые не описываются классически ни в пределе h —> 0, ни в пределе большого
числа фотонов.
496
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
проявляется явным образом. Другими словами, если п » 1, то
дискретная среда воспринимается как непрерывная.
Если рассмотреть практически монохроматическое излуче-
ние частоты си, то_средняя энергия в объеме V будет определять-
ся величиной ЙссАГ, где N —среднее число фотонов в объеме.
С другой стороны, из (3.224) и принципа соответствия следу-
ет ожидать, что
(3.225)
v
V '	'
Таким образом, нужно признать, что решение системы урав-
нений Максвелла (3.223), то есть пара функций Е(г,£) и B(r,t),
описывает не непрерывное электромагнитное поле, а является
вспомогательной величиной для расчета средней плотности энер-
гии поля й, необходимой, в свою очередь, для расчета среднего
числа фотонов в заданном объеме.
Величина и является в классической физике физически на-
блюдаемой при усреднении по макроскопическому промежутку
времени.
Однако в фотонной теории величина и теряет свое прежнее
классическое толкование. Разберем, какой смысл и приобретает
в фотонной теории.
Рассмотрим простейшее свойство световых волн расщеплять-
ся, то есть отражаться и преломляться на оптически гладких по-
верхностях. Например, при нормальном падении света на един-
ственную границу раздела воздух-стекло отражается примерно
4 % светового потока, а 96 % потока проходит внутрь стекла.
С точки зрения максвелловской электродинамики это озна-
чает, что первичная электромагнитная волна единичной ампли-
туды расщепляется на отраженную волну амплитуды 0.2 и пре-
ломленную волну амплитуды 0.98.
Другими словами, классическая электродинамика описыва-
ет эволюцию непрерывного электромагнитного поля как при-
чинный процесс в пространстве-времени.
На самом же деле на границе раздела часть фотонов отра-
жается, а часть — проходит внутрь (преломляется). Все фотоны
одинаковы, поэтому различием свойств фотонов нельзя объяс-
нить, почему часть из них отражается, а часть — преломляется.
Если на поверхность раздела падает единственный фотон, то
достоверно определить его дальнейшее поведение нельзя: фотон
может отразиться, а может преломиться, что можно лишь
3.4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
497
описать в терминах вероятностного подхода: вероятность отра-
жения фотона от поверхности стекла равна 0.04, а вероятность
преломления — 0.96.
Само по себе описание на вероятностном языке событий мик-
ромира не является новым. Еще в классической физике было
введено вероятностное описание для макроскопических объемов
идеальных газов, и удалось вычислить вероятности появления
у молекул скоростей, длин свободного пробега и других вели-
чин. При этом предполагалось, что поведение каждой молекулы
строго детерминировано, а к вероятностям заставляет прибегать
лишь практическая невозможность описания громадного числа
молекул, находящихся в макроскопическом объеме.
Столкнувшись с необходимостью ввести вероятности отра-
жения и преломления фотона на границе раздела сред, нуж-
но решить, является ли эта необходимость следствием незна-
ния каких-то мелкомасштабных параметров поверхности отра-
жения в предположении детерминированности поведения фото-
на, или же вероятностное поведение фотонов является их фун-
даментальным свойством, заключающемся в недетерминирован-
ности поведения. Об этом далее.
3.4.1 Интерференция и дифракция
в фотонной теории
Вспомним классический эксперимент Юнга (1802 г.) по дифрак-
ции света на двух щелях, изображенный на рис. 3.82.
Рис. 3.82. Дифракция света на двух щелях (Юнг, 1802 г.)
В непрозрачном экране прорезаны две щели 1 и 2 (будем счи-
498
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
тать их очень малыми по сравнению с длиной волны света) на
расстоянии d друг от друга, на которые из источника S пада-
ет когерентный свет. Плоскость, на которой наблюдается карти-
на дифракции с помощью детектора (теперь это ФЭУ), удалена
от экрана со щелями на расстояние D » d. Хорошо известно,
что если оставить открытой только щель 7, то на экране будет
наблюдаться интенсивность, описываемая кривой /1(х), а если
только щель 2, то будет наблюдаться интенсивность, описывае-
мая кривой 12(х) (случай а). Если открыты обе щели, то наблю-
дается осциллирующая интенсивность /12(2) (случай б).
Классическая электродинамика поразительно просто описы-
вает дифракцию света на двух щелях:
(3.226)
где Ei и Е2 — напряженности электрического поля, создаваемые
в любой точке экрана излучением, с классической точки зрения
прошедшим либо через щель I, либо через щель 2 соответствен-
но.
При обеих открытых щелях осцилляции интенсивности воз-
никают из-за того, что в силу принципа суперпозиции, отража-
ющего линейность системы уравнений Максвелла (3.223), для
когерентного излучения складываются напряженности электри-
ческого поля, давая
/12 ~ (Ех + Е2)2 .	(3.227)
Способность излучения дифрагировать и интерферировать
интерпретировалась как свидетельство волновой природы света
более ста лет.
Однако оказалось, что все явления дифракции и интерфе-
ренции можно логически непротиворечиво интерпретировать
и в рамках фотонной теории.
В соответствии с дискретной природой излучения на самом
деле при каждом положении х детектора в него попадает опре-
деленное число фотонов, пропорциональное интенсивности света
в данном месте, так что
/12 - fwN12(x) = NtwN12(x)/N = NhwP^x),	(3.228)
где TVi2(^) — среднее число фотонов, регистрируемых в единицу
времени детектором в положении х, N — полное число фотонов,
3 4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
499
падающих на экран в единицу времени, а Pi2(x) — вероятность
того, что фотон регистрируется детектором в положении х.
Сравнение выражений (3.227) и (3.228) показывает, что ин-
терпретация величины й как плотности вероятности173
обнаружения фотона детектором позволяет согласовать
наблюдаемые волновые свойства излучения с его дис-
кретной природой.
Следовательно, меняется трактовка дифракции и интерфе-
ренции. С точки зрения классической электродинамики идет
строго детерминированный процесс распространения электро-
магнитного излучения сквозь две щели в непрозрачном экране.
"Расщепление " волны на двух щелях с последующим сложением
(в соответствии с принципом суперпозиции) вкладов, опреде-
ляемых формулой (3.227), — это и есть классическая картина
дифракции и интерференции как "коллективного " эффекта сло-
жения двух когерентных волн.
С точки зрения фотонной теории дифракция оказывается
следствием вероятностного поведения фотонов: каждый фо-
тон имеет шанс попасть в произвольное место экрана
с вероятностью Р12(х). Последнее подразумевает, что дифрак-
ция и интерференция — не ’’коллективные” эффекты взаимодей-
ствия нескольких (или многих) фотонов, ведь формула (3.228)
предполагает, что любой (единственный) фотон имеет неизмен-
ную вероятность Р12(х) попасть в детектор, находящийся в по-
ложении х.
Многие эксперименты надежно подтвердили то, что интер-
ференция не является "коллективным" эффектом взаимодей-
ствия фотонов между собой: если интенсивность источника све-
та S сделать столь малой, что в каждый момент времени меж-
ду источником и детектором будет находиться не более одно-
го фотона, то каждый фотон будет попадать случайно в ту
или иную точку экрана. Но длительная экспозиция, когда через
щели пройдет много фотонов, даст картину дифракции, кото-
рую наблюдал еще Юнг в 1802 году. Ученик Дж.Дж. Томсона
Г. Тэйлор в 1909 году накапливал экспозицию от очень слабо-
го источника света в течение трех месяцев (при дифракции на
игле), получив столь же ясную и четкую дифракционную карти-
ну, как и от сильного источника света. В следующем подразделе
будут описаны эксперименты, доказывающие, что интерферен-
173 Чтобы вычислить вероятность обнаружения фотона в заданном объеме
V, нужно величину й проинтегрировать по объему, поэтому й и называется
плотностью вероятности.
500
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
ция осуществляется при прохождении квантов излучения через
систему поодиночке, и не является коллективным эффектом.
Таким образом, первый вывод, который необходимо сделать,
согласуя волновые свойства излучения с фотонными представ-
лениями, заключается в том, что распределение фотонов в про-
странстве в макроскопических ситуациях (вроде опыта Юнга)
правильно описывается системой уравнений Максвелла (3.223).
Однако интерпретация этих уравнений меняется: классически
вычисляемая средняя по периоду плотность энергии излучения
трактуется теперь как величина, пропорциональная плотно-
сти вероятности обнаружения фотона, поэтому в тех опы-
тах, где наблюдается большое число фотонов, классическая тео-
рия и справедлива.
Второй вывод заключается в том, что приходится признать
фотоны очень необычными частицами, вероятностное поведение
которых не может быть объяснено незнанием неких ’’скрытых”
параметров, поскольку, в отличие от поверхности раздела двух
сред, все точки щели в вакууме эквивалентны.
Другими словами, поведение каждого отдельного фо-
тона недетерминировано, то есть описывается в терми-
нах различных вероятностей, что предполагает, что ис-
ход единственного события с участием фотона, вероят-
ность которого не нуль и не единица, случаен (исход
единственного события может быть любым, и предска-
зать исход заранее невозможно).
Тем не менее, в макроскопических опытах, когда фотонов
много, оптические явления в общем детерминированы из-за то-
го, что детерминированы вероятности распределения фотонов
в пространстве (это решения максвелловских уравнений).
Последнее положение можно проиллюстрировать аналогией:
результат единственного бросания игрального кубика случаен,
но если кубик бросать многократно, то средний результат будет
пропорционален вероятностям выпадения граней с тем большей
точностью, чем больше раз бросить кубик.
Таким образом, мир оказался удивительно устроен-
ным. В микромире царит недетерминированность: исход
события с единичным микрообъектом случаен, но вот
вероятности, управляющие поведением микрообъектов,
детерминированы, так как являются решениями диф-
ференциальных уравнений. И когда событий много (что
имеет место в макромасштабах), средние величины ста-
новятся практически детерминированными.
3.4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
501
Понятие частицы, употребляемое по отношению к фотону,
требует существенного уточнения. Нужно даже сказать опреде-
леннее: употребление термина "частица” по отношению к фо-
тону является недоразумением, запутывающим существо дела
для изучающих физику. Однако таким термином (подчеркиваю-
щим наличие у фотона энергии и импульса) поневоле приходится
пользоваться.
Дело в том, что фотон — недетерминированная частица,
а поведение такой частицы не описывается в терминах траек-
тории, по которой детерминированная частица перемещается
в пространстве-времени.
Именно последнее утверждение и вызывает основные пси-
хологические сложности при первоначальном восприятии идей
квантовой механики.
Природа на микроуровне оказалась устроена так, как не сни-
лось ни одному древнегреческому философу!
Объект, не перемещающийся в пространстве по траекто-
рии, классическое сознание не воспринимает.
Частиц с недетерминированным поведением классическая фи-
зика не знает, поэтому предпринимались попытки объяснить ве-
роятностное поведение фотона воздействием на него неизвест-
ных факторов, обобщенно называемых ’’скрытыми параметра-
ми”, то есть предполагая, что фотон ведет себя предсказуемо
(и по траектории движется), но только ’’что-то” управляет его
поведением.
Вероятно, строго логического опровержения гипотезы "скрытых
параметров" не существует, однако такая гипотеза, помимо объясне-
ния всей совокупности известных свойств излучения, должна была бы
ответить на следующие вопросы.
При дифракции на двух щелях (см. рис. 3.82) эксперимент дает ре-
зультат в виде осциллирующей кривой 712 (я), причем на экране есть
места, где /12(2) = 0. Если классическая волновая теория непринуж-
денно объясняет наличие таких точек взаимным гашением двух волн,
то фотонная теория предполагает, что фотоны совсем не должны по-
падать в такие точки, так как два фотона не могут "погасить" друг
друга ни в каких обстоятельствах, а могут лишь принести на детектор
двойную энергию 2huj.
Получается, что в точки, где /12(2) = 0, фотоны не могут попасть
ни через щель 1, ни через щель 2. Однако такому выводу противоречит
эксперимент: стоит закрыть вторую щель, оставив первую открытой,
как фотоны сразу начинают попадать в точки, где /12(2) = 0, так как
Д (х) > 0 для всех х.
Однако логически возможна совсем неправдоподобная мысль (ко-
торая, кстати, и высказывалась), что фотон проходит сначала через
502 ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
одну щель, потом делает виток, проходя через другую щель. Движет-
ся, в общем, по сложной траектории, обязательно проходя через обе
щели, прежде чем попадет в детектор. Но тогда как объяснить то, что
закрытие одной из щелей, отсекающее возможность прохода через обе
щели, ведет к увеличению числа фотонов, попадающих в точки, где
/12 (X) = 0?
Все попытки объяснить дифракционные эксперименты на ос-
нове предположения о наличии у фотонов траектории, пусть
и случайной, оказались безуспешными. А объяснить нужно бы-
ло очень простую связь между величинами Д, /2 и /12? которые
выражаются через две известные функции Ei и Е2 с помощью
уравнений (3.226)—(3.227).
Зато объяснение дифракции на основе предположе-
ния о наличии у фотонов нового фундаментального свой-
ства, неизвестного в классической физике — недетерми-
нированности174 поведения отдельного фотона — логи-
чески непротиворечиво.
Квантовая электродинамика, как, впрочем, и кванто-
вая механика, ничего не говорят о том, что происходит
с микрочастицей (фотоном, в частности) в промежутке
между вылетом из источника и регистрацией детекто-
ром175.
Принимая недетерминированность поведения отдель-
ного фотона как неопровержимо доказанный экспери-
ментальный факт, квантовая электродинамика ставит пе-
ред собой задачу нахождения вероятностных распреде-
лений, характеризующих все мыслимые исходы экспе-
риментов с участием фотонов и лептонов.
’’Здравый смысл” не позволяет представить подобных объ-
ектов, подсказывая, что такого не может быть. Но "здравый
174 Недетерминированное поведение вещества впервые обнаружилось в яв-
лениях радиоактивного распада ядер. Оказалось невозможным предсказать,
когда распадется то или иное конкретное ядро, однако было установлено,
что в большой совокупности атомов в единицу времени распадается вполне
определенное среднее их число, что было интерпретировано как недетерми-
нированное поведение радиоактивных ядер.
175Последнее, в частности, означает, что ни квантовая механика, ни кван-
товая электродинамика не описывают перемещение объекта в пространстве
так, как это делается в классической механике. Более того, в последней
части курса будет показано, что перемещение любых микрочастиц в про-
странстве не может быть описано как перемещение по траектории, так как
микрообъект в принципе не может иметь одновременно опреде-
ленного положения в пространстве и определенной скорости, что
и отличает реальные природные микрообъекты от классических частиц.
3.4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 503
смысл” — это предвзятость мышления, которую нужно без коле-
баний отбросить, анализируя события микромира, который ока-
зался устроен иначе, чем макромир.
Взамен отказа от детального описания перемещения фото-
на из источника в детектор квантовая электродинамика (а это
и есть современная форма фотонной теории) дает возможность
предсказывать исход любых экспериментов, в которых участву-
ют фотоны и лептоны, что, собственно, и является целью науки.
В частности, все дифракционные опыты логически непротиворе-
чиво фотонная теория объясняет следующим образом.
1. Покинув источник, фотон может случайно оказаться где
угодно, однако при этом существует детерминированная вели-
чина — плотность вероятности Р(г), являющаяся квадратом мо-
дуля комплексного числа, называемого амплитудой вероятности
(Ptr):
Р(Ю = I^WI2 	(3.229)
2. Амплитуды вероятности подчиняются принципу суперпо-
зиции: если в г фотон может попасть двумя взаимно-исключаю-
щими способами, то амплитуда вероятности с/?(г) является сум-
мой амплитуд вероятности всех возможных способов:
<р(г) = (рг (г) + <р2 (г) •	(3.230)
Электродинамика позволяет вычислить </?(г) в классическом
пределе. Для опыта Юнга вместо |<^(г)|2 достаточно подставить
величины |Е(г)|2 и учесть, что фотон может попасть в детек-
тор либо через щель I, либо через щель 2. Описание дифракции
на двух щелях, определяемое формулами (3.229)—(3.230) в рам-
ках фотонных представлений математически эквивалентно опи-
санию на основе волновой теории по формулам (3.226)—(3.227),
только в фотонной теории считается, что интерферируют не на-
пряженности электрического поля, а чисто математические объ-
екты, неизвестные классической физике — амплитуды вероятно-
сти обнаружения фотона в г.
В пределе классической электродинамики амплитуда вероят-
ности определяется усреднением вещественной векторной вели-
чины — напряженности электрического поля электромагнитной
волны:
Р(г) = Иг)|2 ~ |Е(г)|2 .	(3.231)
На самом деле амплитуда вероятности в квантовой электродина-
мике — это комплексный скаляр, а не трехмерный вектор, чему
504
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
есть свои глубокие причины. Однако к сложным аргументам нет
нужды прибегать, если можно привести простой пример того,
как в опыте Юнга можно заменить напряженность электриче-
ского поля волны комплексной амплитудой вероятности.
Пусть требуется вычислить плотность вероятности Pi(x) ре-
гистрации фотона в опыте Юнга при единственной открытой
щели (см. рис. 3.82). Не вдаваясь в детали, будем считать, что
модуль напряженности электрического поля линейно поляризо-
ванной волны задается некоторой функцией вида176
Ei (х, t) = Е(х) cos(cjt + <$),	(3.232)
где Р(х) — вещественная амплитуда напряженности электриче-
ского поля, S — фаза.
Классическую интенсивность Л(х) получаем, усредняя квад-
рат напряженности электрического поля по периоду колебаний:
л (ж) ~ Е2 (х)/2 ~ Pl (х) = |^(х) I2 ,	(3.233)
где </?(х) — квантовоэлектродинамическая амплитуда вероятно-
сти.
Как известно, расчеты в классической электродинамике про-
ще выполняются, когда используют комплексное представление
вещественных величин, что возможно из-за линейности системы
уравнений Максвелла. Другими словами, используют тождество
Е(х) cos(cjt + <$) = Re[</?i(x) exp(zcut)],
где величина </?i(x) = Е(х) exp(i6) — комплексная. Теперь можно
еще раз вычислить Л(х):
[^i(rr)exp(zcvt) + </?J(x)exp(-za;t)]2 _ |<^i(x)|2
4	~	2
При усреднении в средней части (3.234) величйны exp(±2zcut)
обратятся в нуль, так что останется только квадрат модуля ком-
плексной величины, и являющейся квантовоэлектродинамиче-
ской амплитудой вероятности, определяемой амплитудой и фа-
зой макроскопической электромагнитной напряженности элек-
трического поля.
176В любом достаточно полном курсе ’’Оптики” описывается дифракция
на щели, то есть производится расчет волнового поля, образующегося за
единственной щелью в экране при произвольной ширине последней.
3.4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 505
Найдем теперь комплексную амплитуду вероятности 9212(2)
в опыте Юнга с обеими открытыми щелями. В приближении
D » d электрические поля, создаваемые щелями 1 и 2 в лю-
бой точке экрана, коллинеарны и одинаковы по амплитуде £(х),
но отличаются по фазе на некоторую величину Ф (которую чи-
татель при желании без труда вычислит сам). В итоге сложение
векторов сводится к сложению их амплитуд:
£1(я,£) + £2(2,^) = Re{£(rr) ехр(г<$)[1 + ехр(гФ)] ехр(ш>£)} =
= ^{(/?1(х)[1 + ехр(гФ)] exp(zcjt) + </?i(2)[l + ехр(—гФ)] ехр(—iwt)} ,
где 921(2) = £(х) ехр(г<$).
Подстановка правой части последнего уравнения в (3.231),
а также элементарные выкладки (возведение в квадрат и усред-
нение по периоду) позволяют убедиться, что F12 ~ |<^12(2)|2 , где
амплитуда вероятности (£12(2) есть комплексное число:
Таким образом, случайность поведения отдельного фотона
при детерминированной вероятности отдельных исходов (в дан-
ном случае — регистрации фотона в разных местах экрана) поз-
воляют объяснить все волновые свойства излучения с фотонной
точки зрения. Эксперименты, описанные в следующем подразде-
ле, доказывают не только то, что интерференция на самом деле
не является коллективным эффектом, но и то, что поведение
фотонов недетерминированно: при слабых источниках излуче-
ния фотоны, проходя через дифракционную систему по одному,
действительно приходят в разные места случайно, но при дли-
тельной экспозиции всегда создается обычная дифракционная
картина, что означает, что все возможные исходы действитель-
но реализуются с заданными вероятностями.
По поводу отказа от детального описания квантовой электро-
динамикой процесса перемещения фотона в пространстве нужно
иметь в виду еще следующее.
В вёдении науки находится лишь то, что допускает экспери-
ментальное измерение. Но способов "непрерывного слежения" за
фотоном не существует, и все говорит за то, что у фотона траек-
тории в классическом понимании нет. Оперирование же понятия-
ми, которым не сопоставлен способ измерения, бессмысленно, на
506
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
что указал в 1925 году создатель матричной формы квантовой
механики В. Гейзенберг.
В частности, ничего нельзя сказать по поводу того, через
какую именно щель проходит фотон в опыте Юнга, если от-
крыты сразу обе щели. Нельзя сказать ни того, что фотон
прошел через одну из двух щелей; ни того, что он прошел че-
рез одну, затем другую; ни того, что он прошел через обе щели
одновременно, что иногда можно прочитать в учебниках.
Современный уровень знаний позволяет констатировать
лишь одно: перемещение фотона в пространстве таково, что
управляющий его появлением на детекторе математический
объект — амплитуда вероятностей — "учел " наличие в экране
двух щелей, на которых и произошла интерференция амплиту-
ды вероятностей, и готово — эксперимент дает картину рас-
пределения интенсивности /12, совпадающую с расчетной.
Быть может, читателя тянет задать вопрос: почему так? От-
вет прост: естествознание отвечает лишь на вопрос, как устро-
ена природа, а не почему она так устроена. Ведь аналогичный
вопрос (почему так?) по отношению ко второму закону Ньютона
читатель, вероятно, не задает, так как просто привык ко второму
закону Ньютона, который описывает, как происходит движение
весомых тел в нерелятивистском приближении.
Так и квантовая электродинамика дала непротиворечивое опи-
сание в области своего действия всех возможных исходов экспе-
риментов с участием фотонов. И навязывать квантовой электро-
динамике не используемые в ней понятия бессмысленно.
Таким образом, ради объяснения волновых свойств
излучения в рамках фотонной теории было принято, что
фотон — недетерминированная частица, однако случай-
ные перемещения фотона в пространстве определяются
детерминированной амплитудой вероятности </?(г), кото-
рая и интерферирует при наличии альтернативных воз-
можностей перемещения, позволяя вычислить плотность
вероятности обнаружения фотона по формуле (3.229).
В целом алгоритм логически непротиворечивый и крайне про-
стой. Он ничем не сложнее алгоритма, позволяющего опреде-
лить перемещение в пространстве макроскопической частицы
с помощью второго закона Ньютона.
В настоящем подразделе автор был вынужден несколько раз
повторяться, чтобы психологически облегчить восприятие непри-
емлемого для классического сознания материала.
Увы, но природа оказалась чудно устроенной!
3.4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
507
3.4.2 Интерференционные опыты
с единичными квантами
Опытов по наблюдению интерференции при работе со слабыми
источниками света было выполнено несколько. Помимо упомяну-
того в предыдущем подразделе эксперимента Г. Тейлора, со сла-
быми источниками света работал голландский физик П. Зееман
(1925 г.), а также два американских физика — Демпстер и Бато
(1927 г.), которые получили ясные дифракционные фотографии,
используя видимое излучение длины волны Л = 4 471А в усло-
виях, когда осуществлялась полная сепарация фотонов, то есть
они проходили через дифракционный эшелон по одному.
Еще более убедителен эксперимент группы советских физи-
ков (А.А. Санин, А.В. Жарко, В.И. Иверонова, А.А. Кацнельсон
и В.И. Кисин, 1969 г.), которые провели проверку в рентгенов-
ском диапазоне, так как в печати было высказано ошибочное
утверждение (основанное на экспериментальной ошибке), что
якобы интерференция фотонов — ’’коллективный эффект”.
Блок-схема установки Санина с соавторами представлена на
рис. 3.83.
Рис. 3.83. Блок-схема установки Санина с соавторами (1969 г.)
Излучение с медного анода 1 рентгеновской трубки через
входную щель 2 падает на кристалл-монохроматор 5, затем
сквозь диафрагму 4 и первый ослабитель 5 падает на кристалл-
анализатор 6 под брэгговским углом после чего, пройдя через
второй ослабитель 7, детектируется сцинтилляционным счетчи-
ком 5, состоящим из сцинтилляционного кристалла, ФЭУ и элек-
тронной схемы регистрации. В рентгеновском диапазоне сцин-
тилляционный детектор позволяет удостовериться, одиночны ли
падающие на него фотоны, или сгруппированы по двое, трое,
и так далее.
508
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Кристалл-монохроматор 3 (10 мм х 10 мм х 0.5 мм) и кристалл-
анализатор 6 (цилиндр диаметром 10 мм и высотой 0.5 мм) выре-
зались из высокосовершенного монокристалла германия, причем
плоскость среза была параллельна плоскости (111). Ослабите-
лями 5 и 7 служили алюминиевая, медная и никелевая фбльги
с коэффициентом ослабления до 10 000.
Монохроматическая компонента Kqi-линии меди, падающая
на кристалл-монохроматор <?, отражалась в первом порядке ди-
фракции от плоскости (Ш), так что на кристалл-анализатор 6
падало практически монохроматическое излучение интенсивно-
сти Л (измеряемой при выведении анализатора из пучка), име-
ющее угловую ширину 1' при длине волны А = 1.541 А.
Кристалл-анализатор 6поворачивался ("качался”, причем ось
качания 9 перпендикулярна плоскости рисунка) на небольшой
угол Ат? вблизи угла брэгговского отражения первого порядка
от плоскости (111), так что измерялся коэффициент отражения
излучения /?(Д$) = /2/Л как функция угла качания Д$. По-
следняя функция (называемая ’’кривой качания") имеет резкий
максимум в положении строгой параллельности плоскостей (111)
обоих кристаллов и имеет полуширину Д$2.
Непосредственной целью работы было измерение полушири-
ны кривой качания Д$2(Т1) и отношение Rmax(Il) = hmax/h
как функции интенсивности Ц падающего на кристалл-анали-
затор 6 излучения. Интенсивность 1\ регулировалась рентгенов-
ской трубкой в диапазоне 204-2-106 фотон/с, однако ослабители
позволили провести измерения Rmax(Ii) и Д$2(/1) в более ши-
роком диапазоне 0.1 < Л < 2 • 106 фотон/с.
В соответствии с фундаментальным положением фотонной
теории интерференция не является коллективным эффектом, то
есть наблюдается, когда через дифракционную систему прохо-
дят фотоны один за другим последовательно, что Дир&к образ-
но охарактеризовал фразой, ставшей крылатой: "каждый фотон
интерферирует лишь с самим собой". Следовательно, величины
Ятах(Л) И Д$2(/1) не должны зависеть от /1.
Эксперимент А.А. Санина, А.В. Жарко, В.И. Ивероновой,
А.А. Кацнельсона и В.И. Кисина показал, что во всем исследо-
ванном интервале Ц обе величины оказались постоянными, при-
чем
Rmax(h) = 0.43 ±0.03, Д02(Л) = (28±2)".
Значение вышеописанного методического эксперимента вы-
ходит за рамки сделанного авторами заключения: "из получен-
3.4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ 509
ных в настоящей работе результатов следует однозначный вывод
о том, что одиночные рентгеновские кванты интерферируют точ-
но так же, как и кванты при значительной плотности потока”.
Весьма интересной и содержательной представляется еще од-
на фраза, приведенная в работе без обсуждения:
"Мы не видим возможности объяснить узость кривой кача-
ния иным образом, чем при помощи интерференции при отра-
жении от большого числа (~ 104) атомных плоскостей".
Очень полезно проанализировать последнее утверждение, по-
скольку ранее были определены лишь направления на брэггов-
ские максимумы [см. подразд. 3.1.3, уравнение (3.46)], но не об-
суждался вопрос об угловой ширине пиков, то есть ширине кри-
вой качания. Оценим порядок этой величины в идеализирован-
ных условиях (считая первичное излучение строго монохрома-
тичным и не имеющим угловой расходимости).
Пусть в создании брэгговского максимума участвует
плоскостей. Начнем с того, что вспомним, что от единствен-
ной плоскости с любым расположением рассеивающих центров
возможно зеркальное отражение лучей при любом угле сколь-
жения д (см. стр. 325). Так как все плоскости с символом (hkl)
идентичны друг другу, то в кинематическом приближении мож-
но считать, что на каждую из плоскостей системы падает из-
лучение одной и той же интенсивности, а любая из плоскостей
в точке наблюдения (то есть на входе в сцинтилляционный де-
тектор) создала бы электрическое поле Е\ (д) cos wt, где Ei (д) —
непрерывная функция угла д — является суммой электрических
полей, рассеиваемых атомами одной плоскости177.
Теперь учтем, что одновременно рассеивают N^hkl) парал-
лельных плоскостей. В силу принципа суперпозиции поле на де-
текторе будет суммой полей, рассеиваемых каждой из плоско-
стей, но только каждая последующая плоскость будет давать
сигнал, отстающий по фазе на одну и ту же величину Ф. Сле-
довательно, при произвольном угле падения (а не только при
брэгговском) на детекторе будет напряженность электрического
поля
£*2 = £1($){соз(а^) + со8(а^ + Ф)Н-hcos[cj£ + (N(hki) ~ 1)Ф]}- (3.235)
177 Эта непрерывная функция зависит как от поляризации первичного лу-
ча, распределения электронов в отдельном атоме, так и от конкретного
расположения атомов в плоскости. Она может быть рассчитана в рамках
квантовой механики. Обратно, определяя экспериментально интенсивности
брэгговских рефлексов, можно не только определить структуру кристалла,
но и электронную структуру атомной оболочки.
510
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Найти сумму правой части (3.235) несложно: нужно, восполь-
зовавшись формулой Эйлера, представить косинусы в виде
cos х = [ехр(гж) + ехр(—гх)]/2,
получив вместо суммы косинусов две геометрических прогрессии
со знаменателями q прогрессии ехр(гФ) и ехр(—гФ) соответствен-
но. Суммирование двух геометрических прогрессий по обычной
формуле
1 + я + • • • qN~r = (1 - длг)/(1 - я)
позволяет получить искомое решение в виде
Е2 (i?) = Er (tf)Sin	cos |wt +	| .	(3.236)
sin f I	2 J
Интересен не сдвиг фазы результирующего поля, а его интен-
сивность (пропорциональная усредненному квадрату напряжен-
ности электрического поля), которую получаем (как функцию
угла скольжения $, считающегося теперь произвольным углом,
а не обязательно брэгговским) в виде:
Ь^-еЦ#)
sinj^M2
sinf
(3.237)
Предполагается, что в последнем выражении сдвиг фазы Ф
отраженного излучения, возникающий при переходе от одной
рассеивающей плоскости к следующей, должен быть выражен
как функция угла скольжения Однако разность хода лучей
при отражении от соседних плоскостей при произвольном угле
скольжения д была вычислена ранее (см. рис. 3.20). Это есть ве-
личина 2d^k^smd. Чтобы вычислить разность фаз, нужно вре-
мя, затрачиваемое излучением на прохождение разности хода,
домножить на частоту ш, что в итоге даст
ч 2d/hkiy sin д 2d(hkiy sintf
Ф($) =	------= 2%—^-----------.	(3.238)
с	A
После вычисления разности фаз Ф($) все готово для анали-
за ширины брэгговских пиков. Вернемся к выражению (3.237)
3.4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
511
и проанализируем его как функцию переменной Ф, предпола-
гаемой независимой переменной. В пределе Ф —> О отношение
квадратов синусов стремится к максимальному значению N^hkly
При больших величинах N^hkl) максимум в нуле получается
очень острым, так как уже при	= тг интенсивность /2
обращается в нуль. Следовательно, полуширина центрального
пика в нуле определяется выражением
2тг
ДФ2 = ------.	(3.239)
N(hkl)
Очевидно, что при Ф = 4tt/7V(^) функция (3.238) снова об-
ращается в нуль, так что в интервале [2тг/N^kiy 4ir/N(hkl)\ она
имеет следующий максимум. Легко показать, что при больших
^(hkl) этот первый промежуточный максимум достигается при
Ф «	а отношение величины этого промежуточного
максимума к основному равно 4/(9тг2) = 0.045. Последующие
промежуточные максимумы еще меньше.
Так как выражение (3.237) как функция Ф имеет период 2тг,
то при Ф = 2tvN (где N — любое целое число) снова возникают
мощные и узкие пики, полуширина которых определяется выра-
жением (3.239). Выражая величину фазы через угол скольжения
из (3.238), получим, что наиболее интенсивное рассеяние будет
идти в направлениях, определяемых уравнением
2d^hki) sin 'д = NX,	(3.240)
совпадающим с ранее полученным уравнением Брэгга (3.46).
Таким образом, вычисление в кинематическом приближении
интенсивности рассеяния строго монохроматического параллель-
ного луча на идеальном кристалле дает не только направления
на брэгговские максимумы, но и позволяет определить угловую
ширину рефлексов, или ширину кривой качания. Для этого по-
лучим дифференциал выражения (3.238):
2d<ALn cos 'д
ДФ = 2тг—---------Д0,
А
или, с учетом уравнения Брэгга (3.240),
.	„ N cos 1? . .
ДФ = 2тг—;—— Дч?.
Sint?
512
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Подставляя в последнее выражение вместо ДФ ширину пика
ДФ2 из (3.239), окончательно получаем
4*2 = ^.^—,	(3.241)
Л я (hkl)
где а? — угол скольжения, соответствующий порядку дифракции
АГ, a N(jm) — количество рассеивающих плоскостей.
Последнее выражение является лишь минимальной оценкой,
так как в обычных условиях ширина кривой качания определя-
ется, конечно, угловой расходимостью и степенью немонохрома-
тичности первичного излучения, а также степенью мозаичности
реальных природных кристаллов178, однако в описываемом опы-
те все эти факторы были сведены до минимума.
Вспомним, что в эксперименте Санина с соавторами исполь-
зовалось отражение первого порядка 7<а-линии меди от системы
плоскостей (111) монокристалла германия. Не вдаваясь в дета-
ли структуры кристаллической решетки германия (подобной ре-
шетке алмаза), укажем, что угол а? в таком случае должен был
составлять а? = 28.1° (авторы эксперимента не указали в сво-
ей статье величину этого угла). Кроме того, было эксперимен-
тально найдено, что Д^ ~ 28", что при подстановке в формулу
(3.241) позволяет оценить число отражающих плоскостей в мо-
нокристалле германия:
АГ(ш) 4 ООО •
Последняя величина согласуется с цитированным выше выво-
дом о том, что узость кривой качания объясняется отражением
примерно от 104 атомных плоскостей. Разберем, почему полу-
чился именно такой порядок, а не какой-нибудь другой.
Длина волны 7<а1-линии меди есть А = 1.541 А. Линейный
коэффициент ослабления германия для этой длины волны ра-
вен /л = 380 см-1. Тогда в соответствии с формулой (3.61) длина
половинного ослабления составит = 18.2 мкм. Так как для
германия d(ni) — 1-63 А, то на длине половинного ослабления
178Подавляющее большинство природных монокристаллов имеет несовер-
шенную мозаичную структуру, то есть состоит из почти совершенных бло-
ков размером ~ 100 мкм, расположенных не строго параллельно друг другу
(угловая дезориентация лежит в пределах от нескольких секунд до мно-
гих минут). Искусственно выращиваются практически совершенные моно-
кристаллы, к числу которых и принадлежал использованный монокристалл
германия.
3.4. ФОТОНЫ — КВАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
513
укладывается 1.11 • 105 таких плоскостей. Однако на длине поло-
винного ослабления интенсивность первичного луча уменьшает-
ся в 2 раза, так что кинематическое приближение явно становит-
ся неприменимым (отражение с такой глубины выйдет ослаблен-
ным уже в 4 раза). Тем не менее, проведенная выше оценка пока-
зывает, что реально в процесс отражения вносит вклад действи-
тельно около 104 плоскостей, что согласуется с эксперименталь-
ным значением ширины кривой качания. Более точно последняя
величина вычисляется в рамках динамического приближения.
Проведенная оценка позволяет прийти к важному выводу.
Сравнение длины волны излучения (1.541 А) с областью кри-
сталла, дающей конструктивный вклад в интерференцию
(~ 104 плоскостей), показывает, во-первых, что область отраже-
ния много больше длины волны излучения, и, во-вторых, что
в опыте Санина с соавторами для каждого отдельного фотона
интерферируют порядка 104 альтернативных амплитуд вероят-
ности, соответствующих его рассеянию от любой из плоскостей.
Но вопрос о том, от какой конкретно из плоскостей отра-
зился фотон, эквивалентен вопросу о том, через какую из двух
щелей в опыте Юнга фотон прошел. Вопросы эти, как было под-
черкнуто в предыдущем подразделе, с точки зрения достигну-
того понимания природы, бессмысленны. По этому поводу фи-
зик может сделать лишь следующее утверждение: фотоны по-
падают в детектор при ширине кривой качания 28" потому, что
есть ~ 104 альтернативных путей (плоскостей отражения, ще-
лей в опыте Юнга), которые и дали конструктивный вклад в ин-
терференцию амплитуды вероятности попадания в детектор179.
Ничего другого о том, что происходит с фотоном в промежут-
ке между вылетом с анода рентгеновской трубки и регистраци-
ей фотона сцинтилляционным счетчиком, сказать нельзя, кроме
разве что еще того, что прилет фотона на детектор должен со-
провождаться передачей импульса монокристаллу как целому.
3.4.3 Эффект Доплера в фотонной теории
Считалось, что ярким проявлением волновых свойств излучения,
помимо интерференции и дифракции, является эффект Допле-
ра — закономерное изменение длины волны при относительном
179Именно в таком смысле и следует понимать выражение Дирака о том,
что ’’каждый фотон интерферирует лишь с самим собой”: интерферируют,
конечно, амплитуды вероятности альтернативных событий, описывающие
вероятность обнаружения фотона в той или иной части пространства.
514
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
движении источника и приемника.
Однако в самом начале 1920-х годов немецкий физик Р. Эмден
и австрийский Э. Шредингер показали, что эффект Доплера на-
ходит в фотонной теории естественное объяснение.
Действительно, предположим, что макроскопический источ-
ник света (в пределе это может быть просто излучающий атом)
движется вдоль оси Ох декартовой системы координат с нереля-
тивистской скоростью v, испуская фотон энергии hw под углом
$ к оси Ох (см. рис. 3.50). Выпишем законы сохранения энергии
и импульса, используя нерелятивистские выражения для энер-
гии макроскопического источника:
Mv2 Mv'2 ,
—----h U = —-----1- U + hbJ ,
•л Г и г /	/izx? _
Мv = Mv cos <р Ч----cos V ,
с
,, , . fuv .
Мv sintp = — sin v ,
с
где U, U9 — внутренняя энергия источника (до и после испуска-
ния фотона), vf — скорость источника после испускания фотона,
— угол между осью Ох и скоростью v’.
Подобная система уравнений уже встречалась при рассмот-
рении эффекта Комптона и обратного эффекта Комптона.
Исключение угла дает уравнение
Mv'2 Mv2 , v _
2	2	с 2Мс2
которое с помощью (3.242) преобразуется в уравнение
(3.242)
(3.243)
(3.244)
(М2
U-U’ + hw-^^ = —fiw-cosi?.	(3.245)
2Мс2 с
В (3.245) можно пренебречь членом (foj)2/(27Ис2) по сравне-
нию с Ьш. В оптическом диапазоне это просто несоизмеримые
величины, так как энергия оптического фотона имеет порядок
величины Нш ~ 2 эВ, а величина 2Мс2 даже для самого легкого
атома — атома водорода — есть 1877.566 Мэв = 1877 566000 эВ.
Обозначая разность внутренних энергий до и после излуче-
ния как U — U' = hwo, перепишем уравнение (3.245) в виде
(V
1----COS
с
3.4. ФОТОНЫ 515
Из следующей формулы станет очевиден смысл величины Ьшо
как энергии фотона, испущенного неподвижным источником при
одном и том же изменении его внутренней энергии.
Поскольку весь расчет велся в нерелятивистском приближе-
нии, когда пренебрегают величинами второго порядка малости
(v/c)2, последнее выражение можно записать в эквивалентной
форме
hw = hujo (1 + - cos	.	(3.246)
\ с /
В формуле (3.246) можно сократить величину Н, получив пра-
вильное в первом порядке по v/c выражение для эффекта Допле-
ра, совпадающее с использованным ранее выражением (3.131).
Оказалось, что с более фундаментальной фотонной точки
зрения эффект Доплера является следствием законов сохране-
ния энергии и импульса, выполняющихся при испускании фото-
на движущимся источником!
3.5 Краткая сводка с комментариями
основных положений фотонной теории
На сегодняшний день квантовая электродинамика наиболее пол-
но описывает свойства электромагнитного излучения, тогда как
в данной главе были описаны лишь простейшие факты, связан-
ные с дискретностью излучения. Эти факты необходимы для
понимания дальнейшего. Более того, без раскрытия описанных
в данной главе свойств излучения прогресс в атомной физике
был бы невозможен. В конечном счете именно электромагнит-
ное излучение стало основным инструментом изучения структу-
ры атома, о чем будет рассказано в следующей главе.
Чтобы систематизировать материал настоящей главы, сфор-
мулируем основные выводы, которые были сделаны на основе
экспериментально обнаруженных свойств электромагнитного из-
лучения.
1.	Максвелловская электродинамика, описывающая детерми-
нированное изменение в пространстве-времени непрерывного рас-
пределения электромагнитной энергии, оказалась лишь прибли-
жением, так как для всех диапазонов электромагнитного излу-
чения было экспериментально доказано, что излучение — это
совокупность объектов, называемых фотонами, или квантами
поля.
516
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Все фотоны — тождественные объекты, каждый из которых
имеет определенные энергию 8 и импульс р, связанные с часто-
той и волновым вектором излучения формулами
8 =huj,
р =Йк.
С определенными оговорками180 можно сказать, что максвел-
ловская электродинамика — это такой предельный случай кван-
товой электродинамики, когда в системе имеется много фотонов,
так что обе теории дают одно и то же среднее число фотонов
в макроскопическом объеме, а когда микрочастиц много, мак-
росреда воспринимается непрерывной. Поскольку ранее оценки
числа фотонов не проводились, выполним их напоследок.
Начнем с равновесного теплового излучения определенной
температуры Г, описываемого законом Планка (3.166). Если чи-
татель решил задачу 3.14, то он уже умеет определять среднюю
концентрацию фотонов равновесного теплового излучения. Это
очень просто сделать: если разделить правую часть (3.166) на Jkv,
то, очевидно, получится средняя концентрация фотонов n^dw,
соответствующих интервалу [cu, cu-bcbv]. Проинтегрировав по все-
му спектру, получим среднюю концентрацию фотонов п в виде
+оо
п= J Пи dw = 20.5 Г3 см-3 .	(3.248)
о
Ранее181 отмечалось, что вся Вселенная наполнена практиче-
ски равновесным тепловым излучением с Т « 2.7 К. Подстановка
этой температуры в (3.248) дает п 400 см-3, что означает, что
в каждом кубическом сантиметре Вселенной, не занятым веще-
ством, одних только реликтовых фотонов около 400 штук.
С другой стороны, в любом жилом помещении, находящем-
ся при комнатной температуре Т « 290 К, даже ночью (то есть
когда темно, и световые фотоны отсутствуют) в каждом куби-
ческом сантиметре воздуха находится 500 • 106 инфракрасных
фотонов.
Громадное число световых фотонов ежесекундно испускает
любой видимый глазом источник света. Например, если в лам-
пе накаливания в свет преобразуется 3 % потребляемой электро-
энергии, то при мощности лампы W = 60 Вт и энергии фотона
180См. примеч. к стр. 495.
181 См. примеч. к стр. 492.
3.4. ФОТОНЫ
517
светового диапазона 8 ~ 2 эВ ежесекундно лампа будет испус-
кать ~ 1019 фотонов. Для сравнения укажем, что от наиболее яр-
ких звезд (первой величины) в зрачок глаза (площадью 0.5 см2)
ежесекундно попадает ~ 2 • 105 фотонов (см. задачу 3.18).
2.	Энергия и импульс фотона зависят от выбора инерциаль-
ной системы координат, так как образуют 4-вектор энергии-им-
пульса (£/с, р), называемый также 4-импульсом.
Из системы (3.247) следует, что
(£/с, р) = К{ш/с, к).
Соответственно, преобразования Лоренца позволяют нахо-
дить 4-вектор (о>/с, к) в любой инерциальной системе координат,
если 4-вектор (cuq/c, ко) известен в лабораторной системе коорди-
нат. Поскольку импульс фотона в вакууме однозначно определя-
ется его энергией р = 8/с, то импульс фотона можно исключить
из преобразований Лоренца, получив формулу, выражающую ш
через Такая формула описывает как раз эффект Доплера.
В частности, если неподвижный источник испускает фото-
ны энергии hujQ и движется навстречу приемнику с произволь-
ной скоростью v cos ?? < с (см. рис. 3.50), то специальная теория
относительности дает энергию фотона в системе координат, где
покоится приемник:
/^ = ^0-^=^.	(3.249)
1 — Р COS V
Если последнее выражение разложить в ряд по /3, оставив лишь
линейный член, то получится как раз ранее выведенная формула
(3.246).
3.	Предварительно упомянем о том, что помимо энергии и им-
пульса, фотон обладает еще и собственным моментом количе-
ства движения, или спином. Подробнее о спине частиц расска-
зывается в следующей главе.
Проекция спина на направление импульса фотона может быть
равной лишь двум величинам ±h, что эквивалентно наличию
у фотона дополнительной внутренней степени свободы {спираль-
ности), макроскопически соответствующей поперечности элек-
тромагнитных волн.
Все частицы с целой (в единицах К) проекцией спина назы-
ваются бозонами, так как они подчиняются не максвелловской
статистике, а статистике Ббзе-Эйнштейна, что важно для пони-
мания поведения больших совокупностей фотонов.
518
ГЛАВА 3 . ДИСКРЕТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
4.	Фотон участвует в электромагнитном взаимодействии, хо-
тя сам не имеет электрического заряда. Результатом взаимодей-
ствия фотона с электроном может стать поглощение фотона (фо-
тоэффект), комптоновское рассеяние, или образование электрон-
позитронной пары. Если фотон рассеивается на ядре, то он прак-
тически не меняет своей энергии, что соответствует томсоновско-
му (когерентному) рассеянию. Все эти процессы, частично опи-
санные в настоящей главе, могут происходить с определенной
вероятностью в зависимости от энергии фотона. Именно послед-
нее обстоятельство является причиной разделения всего спектра
электромагнитных колебаний на диапазоны.
Кроме электромагнитного, фотон принимает участие в гра-
витационном взаимодействии. В 1960 году было эксперименталь-
но подтверждено, что при распространении в гравитационном
поле фотоны изменяют свою энергию в полном соответствии
с предсказаниями общей теории относительности.
5.	Фотон — недетерминированная частица. По траектории
(то есть по кривой, в каждой точке которой объект имеет опре-
деленные координаты и вектор скорости) фотон не движется.
Квантовая электродинамика ничего не говорит о ’’механизме”
перемещения фотона в пространстве, позволяя лишь вычислить
амплитуду вероятности обнаружения фотона в том или ином ме-
сте пространства. Как было показано в подразделе 3.4.1, веро-
ятностный алгоритм неизбежен', только он позволяет логически
непротиворечиво совместить факт дискретности электромагнит-
ного излучения с его волновыми свойствами.
Два основных очень простых правила позволяют объяснить
макроскопически наблюдаемые волновые свойства излучения:
а.	Покинув источник, фотон может случайно оказаться где
угодно, однако при этом существует детерминированная вели-
чина — плотность вероятности -Р(г), являющаяся квадратом мо-
дуля комплексного числа, называемого амплитудой вероятности
<Хг):
Р(г) = |^(г)|2.	(3.250)
б.	Амплитуда вероятности подчиняется принципу суперпози-
ции: если в г фотон может попасть N взаимно-исключающими
способами, то амплитуда вероятности <^(г) является суммой ам-
плитуд вероятности всех возможных способов:
N
=	(3.251)
г=1
3.4. ФОТОНЫ
519
По поводу амплитуды вероятности следует отметить, что эта ве-
личина характеризует не фотон сам по себе, а распространение
фотона в заданных макроскопических условиях.
Если на плоскость детектирования в опыте Юнга придет не-
большое число фотонов, то мысленно результат можно предста-
вить как мишень, простреленную плохим стрелком. Лишь боль-
шое число зарегистрированных фотонов, каждый из которых,
покинув источник, находится в одних и тех же макроскопиче-
ских условиях, дает привычную дифракционную картину. Сле-
довательно, амплитуда вероятности по-существу описывает не
отдельный фотон, атак называемый ’’статистический ансамбль”,
то есть большое число экспериментов по регистрации фотона
в неизменных макроскопических условиях. Поэтому амплитуда
вероятности всегда является характеристикой некоторого стати-
стического ансамбля. В дифракционных опытах с фотонами ста-
тистический ансамбль реализуется как при работе со слабыми
источниками, когда прохождение единственного фотона через
систему и есть отдельный случайный исход (один член стати-
стического ансамбля, а ансамбль возникает при многократном
прохождении фотонов через систему), так и при работе с бо-
лее интенсивными источниками, когда статистический ансамбль
возникает при одновременном прохождении большого числа фо-
тонов через систему при случайном исходе для каждого отдельно
взятого фотона.
Классической аналогией статистического ансамбля можно
считать процесс многократного бросания игрального кубика. Ис-
ход одного бросания случаен, но статистический ансамбль уже
детерминирован, так как можно практически достоверно в сред-
нем описать все, что при этом произойдет.
6. По современным представлениям фотон — истинно элемен-
тарная нейтральная частица (то есть частица, совпадающая со
своей античастицей), не обнаружившая внутренней структуры
конечных размеров. По оценке на начало 1990-х годов экспери-
ментальные ограничения на ’’размер” фотона (то есть распреде-
ление его энергии в пространстве) свидетельствуют, что эта ве-
личина не превышает размера лептонов, то есть меньше 10“18 м.
Подтверждено и то, что фотон не обладает конечной массой,
экспериментальное ограничение сверху — 5 • 10“63 кг.
520_____________________________________________________
Задачи к главе 3
3.1.	Найти энергию кванта (в эВ) для рентгеновского излуче-
ния с длиной волны А = 0.708 А.
3.2.	Доказать, что формула (3.12) справедлива для рассеяния
свободным электроном линейно поляризованного рентгеновского
излучения.
Указание: выбрать декартову систему координат так, чтобы коле-
бания электрона происходили строго вдоль оси Oz.
3.3.	Экспериментально измеренный показатель преломления
алюминия для рентгеновского излучения с А = 0.708 А оказался
равен п = 1 — 5, где 6 = (1.68 ± 0.08) • 10“6, а длина стороны
элементарной ячейки алюминия d = 4.05 А (см. задачу 1.10).
а)	Найти предельный угол скольжения (соответствующий пол-
ному внешнему отражению).
б)	Найти углы брэгговского отражения первого и второго по-
рядков от граней элементарной ячейки алюминия.
в)	Вывести формулу Брэгга с учетом наличия показателя
преломления п = 1 — 6.
г)	Используя п. в, найти поправку к углу брэгговского отра-
жения первого порядка и оценить абсолютную и относительную
точность измерения углов, необходимую для обнаружения по-
правки.
3.4.	Характеристическое излучение от рентгеновской трубки
с кобальтовым анодом состоит из сильной Ка-линии кобальта
с А = 1.789 А и двух слабых Ка-линий примесей с А = 2.290 А
и А = 1.541 А . Пользуясь законом Мозли, найти атомные номера
примесей и определить соответствующие элементы.
3.5.	Сколько слоев половинного поглощения необходимо, что-
бы уменьшить интенсивность узкого рентгеновского луча в 32 ра-
за?
3.6.	Толщина слоя половинного поглощения 7-излучения
с энергией фотонов 2 МэВ для наиболее употребительных защит-
ных материалов составляет: для воды 15 см, для железа 2.03 см
и для свинца 1.35 см.
а)	Найти число электронов на единицу площади в слое поло-
винного поглощения для всех перечисленных материалов.
б)	Найти массу на единицу площади стены, ослабляющей из-
лучение в 64 раза.
3.7.	Рентгенолог для личного контроля изготовил дозиметр,
521
представляющий собой ионизационную камеру объемом 6 см3,
наполненную воздухом при атмосферном давлении и температу-
ре 36.6 °C. Однажды ток насыщения, регистрируемый дозимет-
ром в течение минуты, оказался равным 0.01 нА. Какую экспози-
ционную и эквивалентную дозы излучения получил обладатель
дозиметра?
3.8.	Оценить повышение температуры биологической ткани,
получившей однократную смертельную дозу излучения 10 Гр.
3.9.	Доказать, что излучающий с постоянной поверхностной
яркостью шар на большом от него расстоянии кажется одинаково
ярким в середине и по краям.
3.10.	Убедиться, что закон Стефана—Больцмана является
следствием закона смещения Вина в общей форме.
3.11.	Найти мощность, излучаемую 1 м2 поверхности абсо-
лютно черного тела при температуре 36.6 °C. Если черное тело
при такой температуре поместить в комнату, стенки которой на
20 °C холоднее, то какая энергия в секунду будет теряться телом
с площадью поверхности 2 м2 за счет лучеиспускания?
3.12.	Найти наиболее вероятную частоту шт равновесного
теплового излучения. Показать, что максимальное значение спек-
тральной компоненты плотности энергии растет как пятая сте-
пень абсолютной температуры Т.
3.13.	Основной компонент излучения Солнца — равновесное
тепловое излучение фотосферы, соответствующее Т ~ 6000 К.
а)	Найти наиболее вероятную длину волны и определить,
к какой части спектра она относится.
б)	Найти наиболее вероятную частоту, вычислить соответ-
ствующую ей длину волны и определить, к какой части спектра
она относится.
3.14.	Найти среднюю концентрацию фотонов в полости, стен-
ки которой имеют температуру Т.
3.15.	Найти плотность энергии равновесного теплового излу-
чения при близкой к комнатной температуре 300 К. Сравнить
найденную величину с тепловой энергией молекул воздуха в еди-
нице объема при той же температуре и давлении 1 атм. Опреде-
лить концентрацию фотонов в комнате.
3.16.	Лучеиспускательная способность (мощность излучения
единицы поверхности Солнца) 6.28 • 107 Вт/м2.
а)	Найти эффективную температуру солнечной поверхности,
то есть такую температуру абсолютно черного тела, которое име-
522
ет ту же лучеиспускательную способность, что и Солнце.
б)	Определить абсолютное и относительное уменьшение мас-
сы Солнца за год из-за испускания теплового излучения, если
радиус Солнца 6.96 • 108 м, масса Солнца 1.99 • 1О30 кг.
3.17.	Возраст Солнца оценивается в 4.7• 109 лет, теория звезд-
ной эволюции предсказывает, что нынешний режим ’’горения”
(при незначительном увеличении мощности излучения) продлит-
ся еще 4.7 • 109 лет. Какую часть массы за счет теплового излуче-
ния потеряет Солнце за оставшийся период стабильного горения?
3.18.	Освещенность L, создаваемая звездой первой величи-
ны на поверхности Земли при нормальном падении составляет
10-6 лк. Найти число фотонов, приходящих от звезды в глаз
наблюдателя за 1 с.
Указание. Единица СИ освещенности 1 лк = 1 лм/м2 , а величина
механического эквивалента света А = 0.00160 Вт/лм.
3.19.	Найти квантовый выход трехфотонного фотоэффекта,
если плотность фототока J3 = 10 нА/см2, а плотность излучения
Е = 5 • 105 Вт/см2 при энергии фотонов hv = 1.78 эВ.
3.20.	Показать, что из выражения (3.219) при р = 0 следует
формула (3.202).
3.21.	Показать, что при рассеянии фотона на свободном дви-
жущемся электроне в случае, когда угол между начальными им-
пульсами электрона и фотона есть тг — ?/>, энергия рассеянного
фотона определится выражением
Нш' _	£ + pc cos
huo £ + pccos(# + ?/>) + 7kv(l — cos#) ’
Убедиться, что при = 0 последнее выражение совпадает с фор-
мулой (3.219).
Глава 4
Законы, описывающие
поведение вещества на
атомном уровне
Как было показано в гл. 2, подраздел 2.9.6, ядерная модель ато-
ма, предложенная Резерфордом после проведения эксперимен-
тов по рассеянию а-частиц фбльгами, указала на непримени-
мость законов классической механики и электродинамики для
описания поведения атомов, молекул и их составных частей. По-
иски новых законов продолжались около четверти века, зача-
стую были мучительными и драматическими, но в конце концов
привели к появлению нерелятивистской квантовой механики,
описывающей вещество на микроуровне. Не всегда в процессе по-
иска новых законов выдвигались верные идеи, а описание невер-
ных идей, естественно, не должно включаться в курс физики1.
Поэтому изложение в настоящей главе местами существенно от-
клоняется от истории появления тех или иных идей в целях со-
здания правильной физической картины природы у учащихся.
Важным шагом к созданию нерелятивистской квантовой ме-
ханики стало установление дискретности внутренней энергии ато-
мов и молекул, ставшее следствием расшифровки механизма ис-
пускания и поглощения излучения (инфракрасного, видимого
и ультрафиолетового) атомами и молекулами.
тДа и слишком подробное описание неверных идей в работах по истории
науки тоже малопродуктивно, ибо превращает историю науки в перечень
заблуждений и ошибок, а не в историю прогресса в понимании природы.
524 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
4.1 Спектры поглощения и испускания —
ключи к установлению дискретности
внутренней энергии атомов
Сложность состава солнечного света была обнаружена Ньюто-
ном, разложившим солнечный свет (в 1666 году), как теперь
говорят, в спектр с помощью им же впервые созданного спек-
трографа, в простейшем случае состоящего просто из оптиче-
ской призмы, разворачивающей коллимированный луч солнеч-
ного света в подобие радуги.
Рис. 4.1. Рисунок из "Оптики” Ньютона (1704 г.), демонстрирующий
получение спектра солнечного света
На рисунке 4.1 изображено отверстие F в ставне, пропускаю-
щее в затемненную комнату узкий луч солнечного света, падаю-
щий на линзу MN.
Современное объяснение опыта таково: в отсутствие стеклян-
ной призмы АВС линза создает изображение отверстия F в точ-
ке I (поэтому размер точки I определяется линейным увеличе-
нием линзы и размером отверстия F). Если же за линзой по-
мещается призма, то после преломления возникает удлиненное
(окрашенное цветами радуги) изображение pl, ширина которо-
го определяется диаметром точки 7, а высота пропорциональ-
на, в частности, производной показателя преломления по длине
волны света (то есть дисперсии показателя преломления dn/dX),
а также геометрическим параметрам установки (применительно
к спектрографу, изображенному на рис. 4.1, когда свет полно-
стью заполняет треугольную призму, высота изображения будет
пропорциональна наибольшей толщине стекла АВ и, как легко
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
525
понять, фокусной длине линзы). Спектр солнечного излучения
приблизительно соответствует непрерывному спектру излучения
абсолютно черного тела при температуре около 6000 К (см. под-
раздел 3.2.3), поэтому Ньютон и получил непрерывное изобра-
жение pl, окрашенное цветами радуги.
До Ньютона никто не догадывался о связи цвета и преломляе-
мости света. Ньютон, таким образом, явился основоположником
спектроскопии светового излучения, получив возможность вы-
делять из луча света, говоря современным языком, любые его
монохроматические компоненты. Однако последующее развитие
спектроскопии происходило удивительно медленно: так, понадо-
билось более 100 лет, чтобы обнаружить что-либо новое при на-
блюдении спектров!
Только в 1800 году английский астроном Ф.В. Гершель от-
крыл2 инфракрасную часть солнечного спектра. В следующем,
1801 году немецкий ученый И.В. Риттер открыл3 ультрафиоле-
товые лучи. Независимо от Риттера в том же 1801 году ультра-
фиолетовые лучи открыл и английский ученый У.Х. Волластон.
Кроме того, в 1802 году Волластон, воспроизводя опыт Нью-
тона (без линзы) по разложению солнечного света в спектр (но
взяв в качестве источника света не круглое отверстие F в ставне,
а узкую щель), обнаружил несколько темных линий в спектре,
которые он ошибочно приписал отсутствующим в природе ’’есте-
ственным границам” между цветами спектра.
Исследуя же спектр внутренней части пламени свечи4, Вол-
ластон обнаружил несколько ярких линий на фоне более темных
промежутков, фактически открыв линейчатый спектр светящих-
ся газов. Однако открытия Волластона долгое время оставались
незамеченными (и необъясненными).
Через 15 лет они были вновь сделаны (не знавшим о рабо-
тах Волластона) немецким ученым-самоучкой, оптиком и меха-
ником Й. Фраунгбфером (1787-1826), прожившим короткую, но
2По повышению температуры термометра, помещенного ниже красной
границы спектра, то есть ниже точки I на рис. 4.1. Сам Гершель инфра-
красные лучи ошибочно счел особыми ’’тепловыми лучами” , отличными по
природе от видимого света.
3По почернению хлористого серебра, помещенного выше фиолетовой гра-
ницы спектра, то есть выше точки р на рис. 4.1. Открытые по химическому
действию, ультрафиолетовые лучи в течение длительного времени ошибоч-
но рассматривались как особые ’’химические” лучи.
4Вообще говоря, спектр пламени свечи является наложением непрерыв-
ного (теплового) и линейчатого спектров. Непрерывный спектр дают раска-
ленные частицы сажи, а линейчатый — раскаленный газ.
526
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
удивительно плодотворную жизнь5. В своих первых работах по
спектроскопии Фраунгофер использовал спектрограф, предло-
женный еще Ньютоном — с призмой в качестве диспергирующего
элемента, но при этом в качестве входного отверстия выбрал, как
и Волластон, узкую щель (шириной 0.5 мм), а спектр наблюдал
через зрительную трубу, то есть со значительным увеличением.
Наблюдение пламени сальной свечи6 показало присутствие двух
близко расположенных ярких желтых линий (как теперь гово-
рят, дублета) на фоне сплошного спектра свечи.
Фраунгофер решил, что и в солнечном свете должны при-
сутствовать эти же две яркие желтые линии. Однако, взглянув
на спектр солнечного света через зрительную трубу, Фраунгофер
обнаружил на том месте спектра, где пламя свечи давало две
ярких желтых линии, две темных линии!
Более того, весь спектр солнечного света, кажущийся про-
сто радужным при наблюдении невооруженным глазом, при на-
блюдении через зрительную трубу показал ’’бесчисленное коли-
чество темных линий”, некоторые из которых казались ’’совсем
черными”!
Фраунгофер составил рисунок солнечного спектра, обозна-
чив наиболее заметные черные линии латинскими буквами от А
до Н, при этом черный дублет, соответствующий двум желтым
линиям спектра свечи, получил обозначение D. Всего между В
и Н Фраунгофер обнаружил 754 линии. Первые результаты сво-
их спектроскопических исследований Фраунгофер опубликовал
в 1817 году, и позднее темные линии в спектре солнечного излу-
чения получили в его честь название ’’фраунгоферовых линий”.
К настоящему времени обнаружено более 20 000 фраунгофе-
ровых линий в инфракрасной, видимой и ультрафиолетовой ча-
стях спектра.
Помимо факта обнаружения темных линий в спектре солнеч-
ного света Фраунгоферу удалось в конце концов измерить соот-
ветствующие длины волн с высокой степенью точности. Сделал
он это с помощью им же изобретенной в 1821 году дифракцион-
5Десятый сын стекольщика, Фраунгофер рано осиротел и был отдан
в стекольную мастерскую, где стал оптиком-механиком, а затем руководи-
телем и совладельцем оптической фирмы. Он значительно усовершенство-
вал методику оптического эксперимента: изготовлял однородные оптические
стекла большого размера, изобрел машину для шлифования линз и метод
точного определения формы линз, сконструировал спектрометр, ахромати-
ческий телескоп и другие оптические и механические приборы.
6То есть свечи из вещества животного происхождения.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ 527
ной решетки7.
Первоначально Фраунгофер изготовил дифракционную ре-
шетку, натягивая тонкую серебряную проволоку на углубления
двух точно нарезанных параллельно расположенных винтов, то
есть точно так же, как и Риттенхаус. Однако число витков (около
19 на миллиметр) было невелико, и Фраунгофер сконструировал
машину для процарапывания штрихов на золотой пленке, нане-
сенной на стекло; либо алмазом нанося штрихи прямо на стекло,
при этом число штрихов возросло до 300 на миллиметр.
Фраунгофер не только исследовал дифракцию света на ди-
фракционных решетках в параллельных лучах (с тех пор такая
дифракция стала называться ’’дифракцией Фраунгофера”), но
и сумел разработать теорию действия решетки на основе вол-
новой теории света, только недавно победившей корпускуляр-
ную точку зрения Ньютона. В частности, Фраунгофер получил
для нормального падения на решетку параллельного пучка све-
та уравнение, дающее связь между углом дифракции, периодом
решетки, длиной волны света и порядком дифракции [см. под-
раздел 3.1.2, уравнение (3.25) и рис. 3.9].
Изобретение дифракционной решетки, изготовление совер-
шенных решеток, а также построенная теория их действия да-
ли возможность Фраунгоферу производить абсолютное опреде-
ление длин волн света с высокой точностью. Например, для длин
волн линий В иС Фраунгофер получил значения 687.8 и 656.4 нм
при современных их значениях 687.0 и 656.3 нм соответственно.
Линию D Фраунгофер распознал как дублет со средней длиной
волны 588 нм, тогда как современные значения длин волн дуб-
лета — 589.592 нм (Z>i) и 588.995 нм (Z^)-
Помимо спектра солнечного света Фраунгофер изучал спек-
тры Луны, Марса, Венеры, а также ярких звезд Капеллы, Бе-
тельгейзе и Поллукса. Оказалось, что спектры звезд все содер-
жат темные линии, частично отличающиеся от солнечных тем-
ных линий (но D-линия обнаружена была везде).
7Первым исследование свойств дифракционной решетки предпринял
американский астроном Д. Риттенхаус, которого один юрист попросил про-
верить свои наблюдения уличного фонаря сквозь шелковый носовой платок.
Риттенхаус изготовил дифракционную решетку, натянув на рамку с винто-
вой резьбой параллельные волоски. Доведя число волосков до 75 на мил-
лиметр, Риттенхауз открыл дифракционные спектры, однако исследования
не продолжил из-за ’’недостатка свободного времени”. Результаты исследо-
вания, по современной терминологии, дифракции света на периодической
структуре Риттенхауз опубликовал в 1786 году, но его наблюдения не при-
влекли к себе внимания.
528 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Наблюдения Фраунгофера положили начало "спектральной
классификации звезд”, а самого Фраунгофера иногда называют
"отцом астрофизики"8.
Сущность открытых Фраунгофером темных линий в спектре
Солнца долгое время не поддавалась разгадке, также как было
совершенно неясно, почему линии D\ и D2 в спектре сальной
свечи находятся в избытке, а в спектре Солнца именно эти же
самые линии D\ и D2 — в недостатке!
Автор известного многотомного справочника по спектроско-
пии Г. Кайзер охарактеризовал вклад Фраунгофера в развитие
спектроскопии следующим образом: «Фраунгофер не выдвига-
ет в этих работах никаких гипотез о происхождении светлых
и темных линий спектров. И, однако, выигрыш от этих работ
был огромный. Мы узнали, во-первых, что солнечный спектр на
определенных местах имеет темные линии, которые позволяют
обозначать строго определенные места спектра вместо таких рас-
плывчатых указаний, как, например в "начале зеленой части"
и т. п. Мы могли теперь с помощью решеток каждое определен-
ное место спектра характеризовать его длиной волны. Мы узна-
ли, далее, что и другие небесные тела имеют подобные линии,
но что эти линии в зависимости от объекта могут быть различ-
ными. Мы узнали, наконец, что земные источники дают светлые
линии. Работы Фраунгофера являются блестящим примером аб-
солютно достоверного исследования без всяких гипотез с точным
определением, что действительно доказано и какая достигнута
точность».
Результаты исследований Фраунгофера, естественно, прив-
лекли к себе внимание. Стали изучаться спектры разнообразных
источников света (пламён свечей, искрового и дугового разря-
дов), дающих, в отличие от непрерывных спектров накаленных
твердых тел, наложение сплошного и линейчатого спектров.
Получалась весьма пестрая картина, было зарегистрировано
большое число сплошных, линейчатых и полосатых спектров9,
8Напряженный труд, сопряженный с вредными условиями оптическо-
го производства (наждачная пыль, испарения кислот и щелочей) подорвал
здоровье Фраунгофера и привел к заболеванию туберкулезом. Фраунгофер
скончался на 39-м году жизни. На его могиле сделана краткая надпись:
"Approximavit sidera” (Приблизил звезды, лат.).
9В полосатом спектре наблюдаются относительно широкие (по сравне-
нию с линиями линейчатых спектров) яркие полосы, которые при исполь-
зовании спектрометра высокого разрешения оказываются большим числом
близко расположенных узких спектральных линий, подобных линиям ли-
нейчатых спектров.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
529
в которых число и положение линий зависело от вещества при-
месей, вводимых в пламя, от материала электродов, служащих
для создания искр и дуг. Эмпирические материалы постоянно
накапливались, а их интерпретация отсутствовала. В частности,
только в 1856 году было показано, что яркий желтый дублет D
в спектре сальных свечей возникает благодаря натрию, присут-
ствующему в большинстве веществ животного происхождения10.
Тайна природы темных линий в спектрах звезд, а также свет-
лых линий в спектрах пламён, искр и дуг не давала покоя уче-
ным продолжительное время. Некоторые ученые были очень
близки к разрешению проблемы, но лишь Кирхгофу в 1859 году
удалось разгадать природу фраунгоферовых линий и открыть
(совместно с немецким химиком Р. Бунзеном) новый метод ис-
следования вещества — спектральный анализ.
В 1859 году появилась небольшая заметка, содержащая опи-
сание открытия фундаментального значения: Кирхгоф обнару-
жил явление обращения спектральных линий и объяснил приро-
ду фраунгоферовых линий, интерпретированных как спектры
поглощения. Суть открытия Кирхгоф изложил следующим об-
разом: «Фраунгофер заметил, что в спектре пламени свечи по-
являются две яркие линии, которые совпадают с двумя темны-
ми линиями D в солнечном свете. Те же яркие линии легко по-
лучаются с большей интенсивностью в спектре пламени, в ко-
торое введена поваренная соль. Я получал солнечный спектр,
но заставлял солнечные лучи, прежде чем они падали на щель,
проходить через сильное пламя поваренной соли. Если солнеч-
ный свет был достаточно ослаблен, то на месте обеих темных
линий D появлялись две яркие линии. Но если интенсивность
солнечного света превышала известную границу, то обе линии
D появлялись со значительно бблыпей отчетливостью, нежели в
отсутствии пламени поваренной соли».
Предварительно поясним суть наблюдения Кирхгофа: пла-
мя свечи с введенной поваренной солью дает яркий дублет D,
соответствующий спектру испускания атомов натрия в пламени
свечи. Если направить теперь ослабленный солнечный луч на
пламя такой свечи, и изучить спектр луча, то будет зарегистри-
рован спектр в виде тех же линий излучения натрия D (которые
дает пламя), наложенных на непрерывный (с учетом фраунгофе-
ровых линий, конечно) спектр солнечного света. По мере роста
интенсивности солнечного луча интенсивность фона возрастает,
10Внеся щепотку соли в пламя газовой горелки, легко наблюдать желтый
цвет излучения, соответствующий линии D спектра испускания Na.
530 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
так что наступает момент, когда интенсивности фона и линий из-
лучения D сравниваются, то есть линии исчезают. При дальней-
шем увеличении интенсивности солнечного луча вместо светлых
линий излучения натрия на их месте в спектре возникают тем-
ные фраунгоферовы линии D, если первоначальное пламя свечи
было не слишком сильным.
Из открытого явления обращения спектральных линий в той
же заметке 1859 года Кирхгоф сделал совершенно правильные
выводы:
«Я заключаю из этих наблюдений, что окрашенные пламёна,
в спектрах которых наблюдаются яркие резкие линии, настоль-
ко ослабляют лучи, имеющие цвета этих линий, когда эти лучи
проходят через окрашенные пламёна, что вместо ярких линий
появляются темные линии... Я заключаю, далее, что темные ли-
нии солнечного спектра, которые не вызваны земной атмосфе-
рой, возникают благодаря присутствию в раскаленной солнечной
атмосфере тех веществ, которые в спектре пламени дают яркие
линии на месте темных линий солнечного спектра. Следует до-
пустить, что яркие линии спектра, совпадающие с D-линиями
солнечного спектра, обусловлены присутствием натрия в пла-
мени; темные 75-линии солнечного спектра позволяют поэтому
заключить, что натрий находится в солнечной атмосфере».
Таким образом, Кирхгоф понял, что открыл метод изучения
состава вещества не только в земных условиях, но и в звездных
атмосферах! Пытаясь найти теоретическое объяснение открыто-
му явлению обращения спектральных линий, Кирхгоф выпол-
нил огромный объем исследований: ввел в физику понятие об
абсолютно черном теле и указал на возможность реализации по-
следнего (отверстие в полости); вывел известный закон (теперь
носящий его имя), а также поставил задачу об определении спек-
тра излучения абсолютно черного тела, решение которой План-
ком ознаменовало собой рождение в 1900 году квантовой эры
в физике. Обо всем этом уже было рассказано в гл. 3, разд. 3.2.
Полученные результаты, относящиеся к равновесному тепло-
вому излучению, Кирхгоф попытался применить для объяснения
обращения спектральных линий. Сущность его объяснения све-
лась к ссылке на закон Кирхгофа, по которому тело наиболее
интенсивно испускает именно то излучение, которое наиболее ин-
тенсивно поглощает. Однако пламёна, искры и дуги (в которых
излучение испускается отдельными атомами) дают линейчатые
спектры испускания газов, которые, как станет ясно немного да-
лее, не описывается законами равновесного теплового излучения,
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
531
поэтому первые объяснения Кирхгофа с сегодняшней точки зре-
ния нельзя назвать правильными.
Для продолжения исследований Кирхгоф привлек немецко-
го химика Р. Бунзена, и вместе они выполнили цикл исследова-
ний с целью создания прочного экспериментального фундамента
для метода спектрального анализа вещества. Уже до Кирхгофа
высказывалась мысль о возможности применения спектров для
химического анализа, однако никем не было доказано, что, на-
пример, линейчатые спектры испускания свидетельствуют о на-
личии именно элемента (то есть атомов вещества), а не специфи-
ческого соединения; что регистрируемые длины волн излучения
не зависят от свойств источника, вызывающего свечение (пламя,
искра, дуга). Кирхгоф и Бунзен провели кропотливые исследо-
вания с тремя известными в то время щелочными металлами
(литием, натрием и калием) и тремя щелочноземельными (каль-
цием, стронцием и барием) с помощью спектроскопа11 12, изобра-
женного на рис. 4.2.
В корпусе А размещена
наполненная сероугле-
родомполая призма
F, которую можно по-
ворачивать с помощью
рычага Н. Об угло-
вом положении призмы
можно судить по отсче-
там (не изображенной
на рисунке) трубы со
шкалой, направленной
на зеркальце G. Иссле-
дуемое вещество вводи-
лось с помощью платиновой проволочки, закрепленной в дер-
жателе Е, в пламя бунзеновской горелки13 D. Кроме того, Бун-
зен и Кирхгоф производили опыты с пламёнами окиси углеро-
да и кислородно-водородными. Коллиматор спектроскопа фор-
мировал луч, который после преломления в призме наблюдался
11 Разница между спектрографом и спектроскопом заключается в том, что
в первом наблюдается сразу весь спектр, тогда как во втором одновременно
виден лишь небольшой фрагмент спектра.
12 Сероуглерод — сильнопреломляющая жидкость с дисперсией, сравни-
мой с дисперсией лучших оптических стекол.
13 Бунзен изобрел горелку на основе обычного теперь газа, широко приме-
няемого в быту (газовые плиты). До Бунзена использовалось менее удобное
пламя спиртовой горелки.
Рис. 4.2. Спектроскоп Кирхгофа и Бунзе-
на (1860 г.)
532
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
с помощью зрительной трубы С.
Итог, к которому пришли Бунзен и Кирхгоф в I860 году, сле-
дующий: «...разнообразие соединений, в которые входили метал-
лы, разнообразие химических процессов, происходивших в раз-
личных пламёнах, и огромный интервал температур — все это не
оказывает никакого влияния на положение спектральных линий
отдельных металлов».
Таким образом, Кирхгоф и Бунзен создали новый метод хи-
мического анализа вещества — спектральный анализ, обладаю-
щий к тому же для щелочных и щелочно-земельных металлов
рекордной абсолютной чувствительностью14 (благодаря легкой
термодиссоциации галоидных солей этих металлов, а также низ-
ким потенциалам их возбуждения, о чем будет сказано далее).
Так, по Кирхгофу и Бунзену, в пламени бунзеновской горелки
можно обнаружить по спектрам присутствие металлов прибли-
зительно в количествах, указанных в таблице 4.1.
Таблица 4.1
Абсолютная чувствительность спектрального анализа для ряда
металлов, возбуждаемых бунзеновской горелкой
Элемент	Количество, мг	Элемент	Количество, мг
Li	1/60000	Са	1/50000
Na	1/14000000	Sr	1/30000
К	1/3000	Ва	1/2 000
До открытия Кирхгофа и Бунзена химики и мечтать не мог-
ли о столь чувствительном методе анализа. А современные мето-
ды спектрального анализа позволяют обнаруживать единичные
молекулы!
В ходе исследований щелочно-галоидных соединений спек-
тральным методом Кирхгоф и Бунзен продемонстрировали всю
мощь вновь разработанного метода, открыв в I860 году (по спек-
трам, отличным от уже известных) два новых элемента — ще-
лочные металлы цезий и рубидий. Без "периодического закона"
обошлись.
И в последующие годы спектральный анализ позволил от-
крывать новые элементы: таллий был открыт Круксом в 1862 го-
ду, индий — немецкими химиками Райхом и Рихтером в 1863 го-
ду, галлий — французским химиком Лекоком де Буабодраном
в 1875 году.
14 То есть наименьшей обнаружимой массой вещества.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
533
Всего с помощью спектрального метода было открыто 14 эле-
ментов, среди которых лантаноиды Рг, Nd, Sm, Но, Tm, Yb, Lu.
В 1861 году Кирхгоф опубликовал подробную работу по спек-
тральному анализу, выполненную на усовершенствованном спек-
трометре. К работе были приложены спектры солнечного излу-
чения и 22 элементов, в число которых вошли Al, Ag, Au, Fe, Си.
Было установлено точное соответствие определенных линий ис-
пускания элементов с фраунгоферовыми линиями солнечного
спектра, и Кирхгоф констатировал присутствие некоторых эле-
ментов на Солнце, опровергнув тем самым популярного в то вре-
мя французского философа О. Конта, утверждавшего, что люди
никогда не узнают состава небесных тел15.
Впечатление, произведен-
ное работами Кирхгофа и Бун-
зена, было огромно. Вот что
по этому поводу написал ан-
глийский химик Роско, неко-
торое время проработавший
в лаборатории Бунзена в Гей-
дельберге: «Я уже покинул
Гейдельберг, когда два дру-
га начали свою классиче-
скую работу по спектрально-
му анализу. Но когда я летом
I860 г. вернулся в Гейдель-
берг, я очень детально углу-
бился в эту работу... Я нико-
гда не забуду то изумление,
которое испытал, когда в зад-
ней комнате старого физиче-
ского института я посмотрел
в установленный там очень хо-
роший спектроскоп Кирхгофа
и увидел совпадение ярких ли-
ний спектра железа с темными
Рис. 4.3. Фиолетовая часть искро-
вого спектра стали, как она пред-
ставляется глазу наблюдателя, за-
глянувшего в окуляр спектроскопа,
установленного "на хром". Внизу
отмечены три линии хрома (с дли-
нами волн в анстремах), вверху —
три линии железа.
фраунгоферовыми линиями сол-
15К сожалению, со всей ерундой, которую навыдумывали философы, до
сих пор в обязательном порядке знакомят студентов-физиков, а соискате-
лей кандидатской степени еще и заставляют сдавать экзамен по филосо-
фии. Давно пора вывести философию из разряда изучаемых студентами-
естественниками гуманитарных дисциплин, переведя ее в дисциплины по
выбору с новым названием: ’’История человеческих заблуждений и бессмыс-
ленных рассуждений". А вот студентов-философов, коль таковые не пере-
водятся, было бы полезно по-настоящему знакомить с физикой.
534
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
нечного спектра. Убеждение, что наше земное железо имеется
также в солнечной атмосфере, напрашивалось само собой с при-
нудительной силой. И это ... после того, как Конт в своей "Си-
стеме” принял в качестве неразрешимой проблемы, занятие ко-
торой является для ученого бесполезной тратой времени, попыт-
ку узнать химический состав ... Солнца. Но теперь нам известен
состав солнечной атмосферы почти так же хорошо, как и нашей
земной атмосферы».
Таким образом, работа Кирхгофа и Бунзена показала, что ли-
нии спектра испускания элемента являются его характеристи-
ческими признаками, и что совокупность спектральных линий
позволяет отличить один элемент от другого.
Спектры стали систематически изучать16. Спектры атомов
и атомарных ионов, как выяснилось, линейчатые, а спектры мо-
лекул — полосатые. Оказалось, что спектры имеет весьма запу-
танный вид, состоя из сотен и тысяч линий разной длины вол-
ны и интенсивности17 18. Таблица 4.2 дает представление о числе
наблюдаемых линий спектров для разных элементов в диапа-
зоне 2 000—10 000 А при искровом возбуждении спектра. Элемен-
ты в таблице расположены в порядке возрастания числа линий
в спектрах.
Таблица 4.2
Число наблюдаемых линий в спектрах элементов18
Элементы	Число линий	Элементы	Число линий
Н, Li, Ge, Be, В Не, Ga, Mg, Na, С Sr,Po, As, Sn,F, Tl, К, Bi, Au, Ag, Rb, Si, N P, Al, O, Rn, S, Cd, Pb, Zn, Lu, Ba, Hg Sc, Sb, Cs,Ca, Br, Y, Se, Cl, Tu	до 100 100-200 200-400 400-500 500-800	Но, Pt, Си, Pd, Ne, In, I, La, Yb, Ni, Кг, Хе, Ar Rh, Mn, Hf, Gd, Co, Os Er, Dy, Pm, Zr, Nb, Ti, Ta, Cr, Re, Eu, Tb, Nd, Ir, Th, Pr, Те, Ac, Ru V, Mo, W, U	800-1300 1300-2000 2000-3000 3000-5300
Дуговые спектры содержат меньше линий, чем искровые, так
как в низковольтных дуговых разрядах излучение вызывается
16 За 70 лет после открытия Кирхгофа и Бунзена было опубликовано около
60 000 работ, посвященных исследованию спектров.
17Имеются в виду только наиболее интенсивные и хорошо разрешаемые
линии. Далее станет ясно, что теоретически число линий в спектре каждого
элемента бесконечно велико.
18 Учтены линии атомов и положительно заряженных однозарядных ионов
соответствующих элементов.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
535
преимущественно нейтральными атомами, тогда как в высоко-
вольтных искровых разрядах спектры отвечают как нейтраль-
ным атомам, так и положительно заряженным ионам различной
кратности. Таким образом, вид спектра (то есть наличие в нем
тех или иных линий, а также интенсивность линий) может за-
висеть от условий получения спектра, но, если линия появилась
в спектре, ее положение (длина волны) определяется только
изотопом элемента.
Воспроизвести в настоящем издании полный спектр, состоя-
щий из нескольких сотен или тысяч линий, затруднительно. Для
примера на рис. 4.4 изображен только небольшой фрагмент спек-
тра меди (элемента со спектром средней сложности, как это сле-
дует из табл. 4.2) в ближнем ультрафиолете.
Рис. 4.4. Фрагмент дугового спектра испускания меди
Многие спектрографы снабжены шкалой длин волн, изоб-
раженной, в частности, вверху рис. 4.4. Число 30 соответствует
длине волны 3000 А, так что на рисунке можно увидеть 21 линию
в спектральном диапазоне шириной в 250 А.
Некоторые элементы опытные спектроскописты узнают сра-
зу по характерным группам линий, но в большинстве случаев
необходимо для идентификации линий прибегать к точному из-
мерению длин их волн. Впрочем, в современных приборах такая
операция выполняется автоматически, а открытый Кирхгофом
и Бунзеном метод спектрального анализа давно превратился из
метода качественного анализа в метод количественного анализа
вещества, когда определяется концентрация элемента в пробе по
интенсивности спектральных линий.
536	ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
В качестве образца полосатого спектра на рис. 4.5 воспроиз-
ведена часть дугового спектра испускания молекулярного азота
N2 в спектральном диапазоне 4100-4 200 А.
Рис. 4.5. Полосатый, или молекулярный спектр испускания N2
4.1.1 Спектральные закономерности
Как уже отмечалось в гл. 1, атомистическая теория возродилась
на научной основе в XIX веке благодаря Дж. Дальтону, приняв-
шему, однако, неверную точку зрения (восходящую еще к фи-
лософу Демокриту, не имевшему никакого понятия о химиче-
ских элементах и их атомах) на неделимость атомов. В XIX веке
эта неверная демокрито-дальтоновская точка зрения критически
осмыслена не была и превратилась, по-существу, в догму. И хотя
эпизодически производились попытки дать объяснение природы
линейчатых спектров испускания и поглощения, в рамках догма-
тических взглядов на неделимость атомов химических элементов
понять происхождение спектров было невозможно, так как спек-
тры обуславливаются внутриатомными процессами, к тому же
описываемыми вовсе не законами классической физики.
Поэтому прогресс в области спектроскопии на протяжении
XIX века был связан лишь с совершенствованием эксперимен-
тальной техники. Тем не менее, и прогресс чисто эмпирической
спектроскопии принес плоды, позволив открыть важный закон
природы — комбинационный принцип, сыгравший большую роль
при выработке новых квантовых законов, описывающих поведе-
ние вещества на микроуровне.
В связи с прогрессом в области спектроскопии упомянем лишь
шведского ученого Ангстрема (именем которого была названа
единица длины, широко используемая в атомной физике), до-
стигшего при измерении длин волн спектральных линий абсо-
лютной точности как раз примерно в 1 А. Ангстрем изучал спек-
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ 537
тры пламени, дуги, Солнца, планет, обнаружил в 1862 году водо-
род на Солнце; в 1868 году составил атлас, содержащий описание
более 1 000 фраунгоферовых линий, сравненных с линиями спек-
тров испускания земных элементов. В частности, Ангстрем изу-
чил самый простой из всех спектров — спектр испускания ато-
марного водорода, состоящий всего из четырех линий в видимой
части. Эти четыре линии получили обозначение На (красная),
Нр (синяя), и Н$ (две фиолетовых линии). Эксперименталь-
но определенные Ангстремом длины волн этих линий получи-
лись равными 6562.10, 4860.74, 4340.10 и 4101.20 А.
Швейцарский математик и физик Бальмер в 1885 году подо-
брал формулу, описывающую длины волн видимой части водо-
родного спектра испускания с высокой точностью:
п2
Л-И„'._4|А|'	(4”
где В = 3645.6, а целое число п = 3,4, 5,6.
В самом деле, если вычислить длины волн по формуле Баль-
мера (4.1), то получим, соответственно, 6562.08, 4860.80, 4340.00
и 4101.30 [А]. Максимальная разница между значениями длин
волн, определенными Ангстремом, и значениями длин волн, вы-
численными по формуле Бальмера, не превышает ±0.1 А, что
лежит в границах погрешности измерений Ангстрема.
I	I I
Рис. 4.6. Серия Бальмера спектра испускания атомарного водорода
Если в формулу Бальмера подставить п = 7, 8, 9,10,11, то по-
лучатся длины волн, лежащих в ближнем ультрафиолете19 и на-
блюдавшихся экспериментально.
19Характерной чертой ультрафиолетового излучения является рост его
поглощения веществом по мере уменьшения длины волны. Так, обычное
стекло перестает пропускать излучение с А = 3200 А, а воздух (из-за по-
глощения кислородом) — с А = 1850 А. Последняя длина волны и делит
ультрафиолетовый диапазон на ближний и дальний (или вакуумный).
538
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Все линии спектра испускания водорода, описываемые фор-
мулой Бальмера (4.1), получили название серии Бальмера.
На рис. 4.6 изображен фрагмент спектра испускания водоро-
да в видимой и ближней ультрафиолетовой частях, на котором
отчетливо видны первые 11 линий серии Бальмера. Интенсив-
ность линий при п > 10 быстро слабеет, и они не видны на рисун-
ке. При п —> +оо получается граничная длина волны, за которой
линейчатый спектр испускания переходит в сплошной.
Формулу Бальмера можно преобразовать, если ввести в рас-
смотрение вместо длины волны частоту линии и = с/X. Тогда
(4.1) можно записать в виде разности двух членов:
4с / 1	1 \
V~ В\22	п2) ’
Поскольку скорость света в XIX веке была определена с от-
носительно невысокой точностью, постольку спектроскописты
стали пользоваться не частотой линии, а обратной длиной вол-
ны, получившей специальное обозначение20 v и зачастую не со-
всем верно называемой волновым числом (волновое число к есть
2тг/Л = 2тг77). Пользуясь обратной длиной волны, формулу Баль-
мера (4.1) можно привести к виду
у ~ у ~ Rh ^2	= 3,4,... .	(4.2)
где постоянная 4/В (обозначенная как 7?н) мало отличается21
от постоянной Ридберга Я, современное значение которой
R = 10973731.5 м"1.
Как это следует из табл. 4.2, спектры испускания щелочных
металлов принадлежат к простейшим (после водорода), хотя и со-
держат огромное число линий. Спектроскописты (уже до Рид-
берга) сумели разглядеть некоторый порядок в кажущемся хаосе
сотен линий спектров испускания щелочных металлов, разделив
все линии на серии, которые были названы резкой, главной, диф-
фузной и фундаментальной.
20 Обычным делом в спектроскопии было обозначение обратной длины
волны просто буквой I/, что совпадает с обозначением частоты. К сожале-
нию, подобная практика перекочевала в некоторые учебники по атомной фи-
зике, что, несомненно, сбивает не слишком внимательных читателей с толку.
21 Далее разница между постоянной Ридберга для водорода Ян и посто-
янной Ридберга R будет разъяснена (см. стр. 745).
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
539
Рис. 4.7. Диффузная (d), главная (р) и резкая ($) серии Na
Так, на рис. 4.7 единый спектр натрия разбит на три важней-
шие серии, изображенные схематично, чтобы дать общее пред-
ставление о спектре излучения натрия.
Сверху дана шкала длин волн, а снизу — энергий испускае-
мых фотонов.
Спектроскопические исследования показали, что линии диф-
фузной (diffuse, англ.) серии являются триплетами, которые
при недостаточном разрешении спектрометра сливаются в одну
размытую линию, что и дало название серии.
Следующая серия начинается с наиболее яркой линии испус-
кания натрия — знаменитого дублета D. По понятной причине
эта серия получила название главной (principal, англ.). Оказа-
лось, что все линии главной серии — дублеты, расстояние меж-
ду линиями которых уменьшается по мере уменьшения длины
волны.
Наконец, последняя серия — резкая (sharp, англ.) — также
состоит из дублетов, расстояние между которыми, однако, по-
стоянно, а сами линии дублетов относительно других серий рез-
кие.
Так же, как и серия Бальмера для водорода, серии натрия
имеют граничные длины волн, после которых спектр переходит
в непрерывный. Существует и еще одна серия в спектре испуска-
ния — фундаментальная (fundamental, англ.). Однако она более
слабая и не показана на рисунке.
540
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Аналогичен вид спектров испускания и для остальных ще-
лочных металлов. Ридберг поставил перед собой цель найти эм-
пирические выражения для длин волн серий испускания щелоч-
ных металлов, аналогичные формуле Бальмера для водорода,
и в 1900 году нашел, что серии неплохо описываются выражени-
ями
(т + а)2 (п + Ь)2
У = 1 = R
где а и b — константы, определяемые конкретной серией;
т = 1 для главной серии, т = 2 для резкой и диффузной серий,
т = 3 для фундаментальной серии; п — целое число (параметр
линии, причем п > тп); наконец, R — единая для всех серий
константа. Например, главная серия спектра испускания натрия
хорошо описывается выражением
1 1
(1 + 0.629)2 (п + 0.144)2] ’
где целое число п = 2,3,4... . Формула Бальмера в форме (4.2),
очевидно, является частным случаем формулы Ридберга (4.3).
В и без того неясный вопрос о происхождении спектров Рид-
берг внес глубоко интригующее обстоятельство, заключающееся
в том, что спектры разных элементов определяются общей кон-
стантой R (постоянной Ридберга).
Размышляя над результатами Ридберга, швейцарский мате-
матик и физик-теоретик Ритц решил, что формулы (4.3) и (4.2)
содержат разности не случайно, и что, например, формулу для
серии Бальмера (4.2) можно записать в виде разности двух вели-
чин, которые Ритц назвал спектральными термами, или просто
термами Т(п):
Р = Y = Т(2) - Т(п) п = 3,4,(4.4)
где для атома водорода
T(n) = ^J, 71 = 1,2,3....	(4.5)
Почему в последней формуле п начинается с единицы (а не
с двойки), разъясняется далее.
В 1908 году Ритц22, изучая спектры различных элементов,
сформулировал комбинационный принцип, оказавшийся точным
22Вальтер Ритц умер в 1909 году, прожив всего 31 год.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ 541
законом природы23. В частности, рассматривая двухчленные се-
риальные формулы Ридберга, Ритц пришел к следующим выво-
дам:
«Видно, что:
1°. Простые законы относятся всегда к 1/Л, то есть к частоте.
2°. При бесконечном увеличении одного из целых чисел по-
лучаемые частоты стремятся к пределу.
3°. Каждый из двух членов формулы до некоторой степени
независим и линии спектра получают, комбинируя между собой
такие члены различными способами».
Другими словами, комбинационный принцип можно сформу-
лировать следующим образом:
Каждому изотопу можно сопоставить такую последова-
тельность термов Т(п), что все линии спектра испускания
изотопа могут быть получены как разности двух каких-либо
термов:
и = у = Т(т) — Т(п), где п>т. (4.6)
л
Ритц предложил нумеровать термы так, чтобы они образо-
вывали убывающую последовательность положительных чисел.
Если зафиксировать целое число т, определяющее первый терм
в (4.6), и придавать п возрастающие значения, то из всего спек-
тра выделяется определенная спектральная серия. Например,
выше были продемонстрированы главная, диффузная и резкая
серии в спектрах щелочных металлов.
Из комбинационного принципа легко вывовести следствие,
которое позволяет проверить правильность этого принципа на
примере спектра любого элемента независимо от того, извест-
ны или нет выражения, описывающие его термы.
Покажем, что из комбинационного принципа следует, что раз-
ность волновых чисел двух спектральных линий одной серии мо-
жет быть также возможным волновым числом, принадлежащим
другой серии.
Пусть йпт = Т(п)~ Т(т) и vn(m+k) =Т(п) -Т(т + к).
Тогда имеем ип(т+к) - ипт = Т(т) - Т(т + к) = йт(т+к)-
Таким образом, если выделить в спектре элемента спектраль-
ную серию, то разности двух любых волновых чисел дадут воз-
23Иногда комбинационный принцип, или принцип Ритца, называют также
принципом Ридберга-Ритца.
542 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
94
можное^ волновое число спектра, что можно проверить.
Надо сказать, что вначале комбинационный принцип был вос-
принят как числовой курьез из области спектроскопии, а не как
закон природы, имеющий фундаментальное значение. Тем не ме-
нее, на основе комбинационного принципа Ритц в 1908 году пред-
сказал новую серию в спектре испускания водорода
V = Y = Т(3) - Т(п), п = 4,5,...,	(4.7)
А
которая в том же году была открыта в инфракрасной области
немецким физиком Пашеном.
Как видно, Ритц не поддался искушению предсказать линии
в спектре водорода, отвечающие m = 1,4,5,... , хотя это и следо-
вало из его же комбинационного принципа. Подобное предсказа-
ние сделал только в 1913 году Нильс Бор, исходящий уже из яс-
ного представления о происхождении спектров. И действитель-
но, в 1914 году американский физик Лайман впервые произвел
измерения в области вакуумного ультафиолета (что потребова-
ло разработки новой техники), открыв новую серию в спектре
испускания водорода, представляемую выражением
77 = у = Т(1) - Т(п), п = 2,3,....	(4.8)
А
Серия в далекой инфракрасной области в спектре испускания
водорода
V = Y = Т(4) - Т(п), п = 5,6,...	(4.9)
А
была открыта только в 1922 году (из-за технических сложностей
работы в далекой инфракрасной области) американским физи-
ком Брэкетом, а серия
77 = 1 = Т(5) - Т(п), п = 6,7,...	(4.10)
А
в еще более далекой инфракрасной области была открыта в 1924
году американским физиком Пфундом.
24 Правда, в силу существования правил запрета, о которых будет идти
речь далее, вычисленное таким образом волновое число может в реальном
спектре не наблюдаться.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ 543
Другими словами, обобщенное выражение для спектральных
линий испускания водорода с учетом всех обнаруженных серий
принимает вид
77 = у = Т(т) — Т(п), т=1,2,..., n>m, (4.11)
Л
где выражение для термов водорода имеет вид (4.5).
Итак, к началу XX века наивысшим достижением спектро-
скопии (помимо высокоразвитой техники измерений и накопле-
ния огромного эмпирического материала) стал комбинационный
принцип, сформулированный Ритцем. По мере повышения экспе-
риментальной точности измерений длин волн комбинационный
принцип подтверждался снова и снова. Однако, как уже отмеча-
лось, этот принцип рассматривался, скорее, как некий числовой
курьез, а не как общий закон природы. Даже сам автор принци-
па, Ритц, как мы видели на примере предсказания новых серий
для спектра испускания водорода, не воспользовался вытекаю-
щими из принципа следствиями.
Проблема заключалась в том, что после открытия электрона
в 1897 году, когда, наконец, стало ясно, что атом делим, что атом
имеет структуру, и что испускание и поглощение излучения вы-
зываются внутриатомными процессами (то есть движением элек-
тронов в атоме), классическая физика стала предсказывать, что
частоты линий испускания атома должны определяться часто-
тами периодических движений электронов в атоме.
Но если электрон в атоме будет каким-либо образом двигать-
ся с частотой г/ и при этом испускать излучение, то амплиту-
да этого излучения, фиксируемая в любой точке пространства,
будет непременно периодической функцией времени, а спектр
периодической функции, определяемый ее разложением в ряд
Фурье, дискретен и содержит только целые кратные основной
частоты I/, что резко противоречит комбинационному принципу!
Предсказание же классической физики в равной мере отно-
силось и к модели атома Томсона (в которой электроны колеба-
лись вокруг положения равновесия), и к ядерной модели атома
Резерфорда (в которой электроны вращались вокруг ядра), сме-
нившей модель Томсона, поскольку в рамках последней оказа-
лось невозможным объяснение результатов рассеяния а-частиц
фбльгами (см. гл. 2, подраздел 2.9.2).
Кроме того, излучающий электрон должен терять кинетиче-
скую энергию, что ведет к коллапсу атома в рамках резерфор-
довской модели (см. подраздел 2.9.6 гл. 2), если считать, что зако-
544 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ны классической физики описывают поведение электронов в ато-
ме, что, разумеется, также противоречит наблюдаемой устойчи-
вости окружающего мира.
Таким образом, первая же попытка объяснить происхожде-
ние спектров на основе классических представлений, последо-
вавшая за открытием делимости атома, вступила в противоре-
чие с громадным эмпирическим спектроскопическим материа-
лом и комбинационным принципом.
Путь к выходу из тупика сумел найти двадцативосьмилетний
датский физик Нильс Бор, который решился частично порвать
с классическими представлениями, чтобы развить ядерную мо-
дель атома Резерфорда (на примере простейшего атома водоро-
да, состоящего из ядра и одного электрона) с целью, во-первых,
объяснить устойчивость атома (то есть отсутствие постоянных
потерь энергии на излучение) и, во-вторых, объяснить проис-
хождение линейчатых спектров испускания и поглощения.
4.1.2 Законы Бора
Необходимое вступление по поводу терминологии
Предположения Бора часто неудачно называют постулатами.
Всем со школьных лет известны постулаты евклидовой геомет-
рии, то есть положения, принимаемые без доказательств, из ко-
торых с помощью законов формальной логики выводятся теоре-
мы. При этом единственное требование, предъявляемое в насто-
ящее время25 к системе постулатов, лежащих в основе разделов
25Раньше считалось, что система постулатов должна быть полной, то
есть что может быть установлена истинность или ложность любого логиче-
ски правильно сформулированного утверждения. Например, утверждение
(в рамках евклидовой планиметрии) о том, что сумма углов в треугольнике
есть 7Г — истинно (и это утверждение после его формального вывода из си-
стемы постулатов становится теоремой), а утверждение о том, что ’’длина
одной стороны треугольника больше суммы длин двух остальных сторон то-
го же треугольника” — ложно. Однако в 1931 году американский математик
Гёдель доказал так называемую теорему о неполноте, которая утверждает,
что в рамках принятых систем аксиом всегда можно сформулировать нераз-
решимое суждение, то есть такое утверждение, что из аксиом не следует ни
того, что это утверждение истинно, ни того, что это утверждение ложно.
Неразрешимое суждение (или его отрицание!) можно добавить к первона-
чальной системе постулатов, получив уже две разных расширенных систе-
мы, которые вновь окажутся неполными, их вновь можно будет расширить,
и так далее до бесконечности.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
545
математики — их взаимная непротиворечивость26.
Математики же долгое время считали, что теории, развива-
емые на основе неопределяемых понятий, постулатов и правил
формальной логики, описывают законы реального мира. На са-
мом же деле оказалось, что, вообще говоря, за математикой
никакой реальности не стоит.
Такое осознание пришло после создания Лобачевским непро-
тиворечивой геометрии, в которой пятый постулат евклидовой
геометрии (постулат о параллельных, утверждающий, что через
точку вне прямой проходит только одна прямая, не пересекаю-
щая заданную) был заменен постулатом о том, что через точ-
ку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей
заданную. А затем было создано бесчисленное количество раз-
личных геометрий, отличных и от евклидовой геометрии, и от
геометрии Лобачевского, и возник вопрос, какая же геометрия
описывает реальный мир, который единственен.
Другими словами, выбор геометрии, описывающей доступное
человечеству пространство, есть вопрос опыта, и не может быть
решен средствами одной только математики27. Последнее озна-
чает, что математика является таким продуктом человеческого
разума (использующего неприемлемое для физики понятие ак-
туальной бесконечности), в котором критерий истинности опи-
рается не на опыт, как в естественных науках, а лежит внутри
самой математики.
Законы природы устанавливаются естествознанием и, в част-
ности, физикой, которая начинается не с неопределяемых поня-
тий и постулатов, а с определяемых процедур и эталонов (еди-
ницы длины, времени, массы и процедуры измерения длин, про-
межутков времени и масс).
И рабочими инструментами физики являются не постулаты,
а гипотезы, то есть предположения, правильность выводов из
которых подтверждает (или не подтверждает) эксперимент. Ес-
ли гипотеза подтверждена, то она переходит в разряд законов,
каковой и остается до тех пор, пока не проводится эксперимент,
26Математический анализ, основанный на канторовской теории множеств,
противоречив. Проблема кроется в понятии актуальной бесконечности,
включенном в систему математических постулатов, или аксиом. См. по это-
му поводу: Клайн М. ’’Математика. Утрата определенности”. М., Мир, 1984.
448 с.
27В соответствии с созданной в 1916 году Эйнштейном и впоследствии экс-
периментально подтвержденной общей теорией относительности, свойства
пространства-времени определяются распределением масс, и вопрос о гео-
метрических свойствах пространства должен ставиться локально.
546
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
опровергающий закон. В последнем случае в новое время речь
идет, как правило, об уточнении области применимости закона,
как это произошло с механикой Ньютона, уточненной в реляти-
вистской области.
И все же все основные результаты физики сформулированы
на математическом языке. Фактически физика верифицирует
те математические результаты, которые используются в физи-
ческих построениях, подтверждаемых опытом. Настоящее разъ-
яснение, таким образом, не служит целям дискредитации мате-
матики или умаления ее значения. Математика с давних пор до-
казала свою эффективность в области естествознания, но все же
специалист-естественник должен понимать разницу между ма-
тематикой и естествознанием, в которых критерии истинности
— разные.
Так, еще древнегреческие математики пришли к выводу о не-
прерывности неопределяемого пространства (состоящего из не-
определяемых точек), обнаружив, что сторона и диагональ квад-
рата несоизмеримы. Для математика это — непреложный вывод
из системы постулатов, то есть истина.
Для физика вывод о непрерывности пространства-времени —
не более, чем гипотеза, нуждающаяся в экспериментальной про-
верке. На сегодняшний день нет каких-либо экспериментальных
фактов, указывающих на дискретность пространства-времени,
так как существующие теории исходят из непрерывности про-
странства-времени и оправдываются экспериментально.
Неизвестно, будут или нет в будущем обнаружены новые экс-
периментальные факты, свидетельствующие в пользу дискрет-
ности пространства-времени, а ведь последнее не исключено. Но
если в будущем и будет обнаружена дискретность пространства-
времени, это не поколеблет существующие теории, а лишь уточ-
нит область их действия.
Гипотезы Бора — объяснение происхождения
линейчатых спектров испускания и поглощения
Гипотезы Бора, сформулированные в 1913 году, современники
называли смелыми, дерзкими, иногда — дикими. Сегодня ги-
потезы Бора кажутся совершенно естественными, отвечающими
"решению задачи в форме ответа", то есть просто констатиру-
ющими эмпирическую реальность, и это затрудняет понимание
вклада Бора в развитие квантовой физики.
Именно гипотезы Бора позволили понять механизм возник-
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
547
новения линейчатых спектров испускания и поглощения и наме-
тить пути развития квантовой теории, описывающей поведение
вещества на микроуровне.
Первоначально новый комплекс идей Бор опубликовал в ста-
тье 1913 года ”0 строении атомов и молекул”, однако ниже даны
формулировки Бора из его статьи 1915 года ”0 квантовой теории
излучения и структуре атома".
«А. Атомная система обладает состояниями, в которых не
происходит излучения, связанного с потерей энергии... Такие со-
стояния называются "стационарными" состояниями рассматри-
ваемой системы.
В. Любое испускание или поглощение энергии будет соответ-
ствовать переходу между двумя стационарными состояниями.
Излучение при таком переходе обладает определенной частотой,
которая определяется соотношением
=	(4.12)
где h — постоянная Планка, 8\ и £2 — значения энергии системы
в двух стационарных состояниях».
Всюду далее в настоящем разделе речь идет о свободных
атомах. Энергия свободного атома складывается из внутренней
энергии и кинетической энергии движения, принимающей произ-
вольные неотрицательные значения. Из контекста работы Бора
ясно, что под термином "энергия системы в стационарном состо-
янии" он имел в виду внутреннюю энергию атома28.
В гипотезе А утверждается, что существуют состояния ато-
ма, для которых законы классической электродинамики не дей-
ствуют, и электрон энергию не излучает. Это — просто констата-
ция факта устойчивого существования окружающего мира, в ко-
тором вещество состоит из молекул, составленных, в свою оче-
редь, из атомов. К этому следует добавить, что истинно ста-
ционарным состоянием атома является только одно, основ-
ное состояние с минимальной внутренней энергией £\, в кото-
ром атом может пребывать неопределенно долго, если только
внешние воздействия не выведут атом из основного состояния.
28К внутренней энергии атома, кроме энергии электронной оболочки, сле-
дует причислять внутреннюю энергию ядра, а также энергию покоя ядра
и электронов. В области явлений, изучаемых атомной физикой, ядро ато-
ма невозбуждено (находится в основном состоянии), поэтому внутриядер-
ную энергию и, тем более, энергию покоя исключают из рассмотрения. Под
внутренней энергией атома будем понимать энергию электронной подсисте-
мы (зависящую от спина ядра, о чем будет рассказано далее).
548 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
При внешнем воздействии атом может переходить в ряд других
состояний с бблыпими внутренними энергиями 8г. г = 2,3,...
(возбужденные состояния), в которых, однако, может существо-
вать лишь малое (с макроскопической точки зрения) время (ти-
пичное время жизни атомов в возбужденных состояниях поряд-
ка 10~8 с), после чего вновь возвращается в основное состояние.
Следует также добавить, что энергия возбужденных "стацио-
нарных" состояний29 не имеет единственного дискретного зна-
чения30 31, а может принимать любые значения в пределах весьма
малого интервала £г± А£г, где А£г « |£J, г 2. Для возбужден-
ного квазистационарного состояния типичное значение А£г/£г
порядка 10“7.
Оперируя понятием внутренней энергии любой системы, сле-
дует четко понимать, что эта величина определяется с точностью
до константы. Применительно к внутренней энергии атома эта
константа фиксируется следующим соглашением: для удаления
из атома одного электрона необходимо совершить положитель-
ную работу (энергию ионизации атома). Считая, что атом по-
сле удаления электрона превращается в систему "положитель-
но заряженный ион плюс электрон", которые удалены друг от
друга "бесконечно далеко" и покоятся, и считая, что внутрен-
няя энергия системы неподвижных "положительно заряженного
иона и электрона" равна нулю, фиксируют тем самым величи-
ну внутренней энергии атома01, которая, очевидно, при таком
выборе должна быть отрицательной: 8i < 0, г = 1,2,... .
Вторая гипотеза Бора В носила еще более революционный
характер, чем первая. Действительно, в соответствии с гипоте-
зой В частота испускаемого излучения определялась не часто-
той периодического движения заряженной частицы (электрона)
— источника излучения, а разностью энергий двух квазистаци-
онарных состояний.
Являясь активным противником фотонной теории Эйнштей-
на вплоть до 1924 года, Бор полагал, что атомы испускают элек-
тромагнитное монохроматического излучение, описываемое макс-
велловской электродинамикой, а уравнение (4.12) позволяет вы-
29’’Стационарное” состояние, существующее 10“8 с — не очень удачный
термин. Теперь состояния, в которых могут существовать атомы, более пра-
вильно называются квазистационарными, а иногда — разрешенными.
30 Энергия основного состояния атома, не подверженного внешним воздей-
ствиям, строго дискретна.
31 Физический смысл такой фиксации прозрачен: энергия основного со-
стояния 51 становится равной взятой с обратным знаком энергии ионизации
атома.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
549
числить порцию энергии и частоту излучения, испускаемого ато-
мом в течение времени перехода между квазистационарными со-
стояниями.
Однако события, описанные в гл. 3 (см., особенно, подраз-
дел 3.3.2), привели к безоговорочному признанию фотонной тео-
рии, в рамках которой, в частности, было доказано, что в эле-
ментарных актах с участием фотона выполняются законы сохра-
нения энергии и импульса. Это привело к уточнению как смысла
гипотезы Бора В, так и уравнения (4.12), которое не учитывало
наличия у фотона импульса.
Действительно, атом может поглотить или испустить не мо-
нохроматическое излучение, а фотон, энергия которого, как из-
вестно, равна hv, а импульс — hv/c. Допустим, покоящийся атом
находится в одном из "возбужденных” квазистационарных со-
стояний с энергией 8п и, испуская фотон, переходит в основное
или другое квазистационарное состояние с энергией 8Ш < £п.
Теперь уже говорить о промежутке времени, в течение которого
испускается излучение, не приходится. Речь идет о квантовом
скачке, сопровождаемом рождением фотона. Но если испущен
фотон энергии hv, то он уносит с собой импульс величины hv/c.
Импульс той же величины (но противоположно направленный),
то есть импульс отдачи (как при выстреле из орудия), обязан
приобрести и атом.
Пусть масса атома М. Тогда из уравнения Mv = hv/c можно
определить скорость отдачи атома и кинетическую энергию от-
дачи Mv2/2 = (Jiv)2/(2Mc2). Из закона же сохранения энергии
следует, что
+ Ш? = £п ~ £т ’ п > т ’	(4-13)
то есть что за счет уменьшения внутренней энергии атома (пра-
вая часть) рождается фотон, уносящий энергию hv, а атом при-
обретает кинетическую энергию отдачи.
Однако в области ультрафиолетового, видимого и инфракрас-
ного излучений кинетической энергией отдачи атома можно пре-
небречь по сравнению с энергией фотона, если вспомнить, что
максимальная энергия ультрафиолетового фотона есть 100 эВ,
а энергия покоя Мс2 самого легкого атома — атома водорода —
составляет приблизительно 939 МэВ = 9.39 • 108 эВ.
Если же в уравнении (4.13) пренебречь кинетической энерги-
ей отдачи атома, то и получится правило частот Бора (4.12).
550 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Тем не менее, в форме (4.13) вторая гипотеза Бора есть не
загадочное "правило частот", а закон сохранения энергии, запи-
санный для покоившегося атома, испустившего фотон. Пусть
и на ничтожно малую величину, но принципиально энергия ис-
пущенного фотона меньше разности энергий двух квазистаци-
онарных состояний атома. Аналогичное рассмотрение процесса
поглощения фотона неподвижным атомом ведет к уравнению
hv = (£п - £т) + ^-^2 , п > т,	(4.14)
говорящему о том, что энергия поглощенного атомом фотона
тратится, во-первых, на повышение энергии атома на величину
£п — £т и, во-вторых, на кинетическую энергию отдачи атома.
Вновь последней величиной можно пренебречь, получив прави-
ло частот Бора. Но принципиально энергия поглощенного фото-
на должна быть больше разности между уровнями энергии двух
квазистационарных состояний атома.
С современной точки зрения главным следствием гипотез Бо-
ра следует считать объяснение природы возникновения линейча-
тых спектров испускания и поглощения атомов. Линейчатость
спектров вызывается тем обстоятельством, что атомы мо-
гут находиться в состояниях не с любой внутренней энергией,
а лишь с вполне определенными дискретными значениями энер-
гии, переходы между которыми и вызывают испускание или
поглощение фотона.
При этом сразу прояснился и смысл термов, открытых Рит-
цем, и комбинационный принцип, надежно эмпирически подтвер-
жденный спектроскопистами.
В самом деле, выражая испускаемую или поглощаемую ато-
мом частоту излучения через длину волны, получаем
1
-*   с'п	tzm
Л	ch	ch '
Сравнивая последнее уравнение с формулировкой комбинацион-
ного принципа (4.6), убеждаемся, что
(4.15)
Т(п) = -^, п = 1,2,....	(4.16)
ch
Оказалось, что система термов данного атома определяется до-
пустимыми уровнями внутренней энергии атома, при этом мак-
симальному терму 71 соответствует минимально возможная энер-
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
551
гия основного состояния атома 8\. Последовательность возмож-
ных уровней энергии — возрастающая (с пределом в нуле), а тер-
мов — убывающая.
Следовательно, знание спектроскопических термов дает воз-
можность определять возможные значения энергии атомов. На-
пример, термы атома водорода задаются формулой Бальмера
(4.5), и возможные значения внутренней энергии атома водорода
определяются последовательностью
£п
Rffch
п2
Простейшая схема уровней
энергии атома водорода изоб-
ражена на рис. 4.8.
На правой оси указаны
значения энергии (в эВ). Под-
ставляя значения постоянных
Ридберга /?, Планка h и ско-
рости света с в формулу (4.17)
при п = 1, получим энергию
основного состояния атома во-
дорода £i = —13.6 эВ.
Слева для удобства пока-
заны энергия (в эВ), отсчи-
танная от уровня энергии ос-
новного состояния. По этой
шкале легче ориентировать-
ся. Первое возбужденное со-
стояние будет выше основного
примерно на 10.2 эВ, еще вы-
ше идет второе возбужденное
состояние, и так далее.
На схеме вертикальными
п = 1,2... .
(4-17)
Рис. 4.8. Простейшая схема уров-
ней внутренней энергии атома во-
дорода с первыми тремя сериями
линейчатого спектра
линиями показаны переходы между уровнями энергии атома во-
дорода (соответствующие длины волн указаны в нанометрах),
отвечающие за возникновение спектральных серий. Так, пере-
ходы в основное состояние со всех вышележащих уровней дают
серию Лаймана, по свойствам аналогичную главной серии ис-
пускания щелочных металлов. Как видно, серия Лаймана лежит
в области вакуумного ультрафиолета.
Переходы на второй уровень со всех вышележащих дают се-
рию Бальмера, первые четыре линии которой лежат в видимом
552 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
диапазоне, а остальные — в ближнем ультрафиолете. В спектре
солнечных протуберанцев обнаруживается более 30 линий серии
Бальмера.
Переходы на третий уровень со всех вышележащих дают се-
рию Пушена, лежащую в инфракрасном диапазоне. Не показаны
серии Брэкета и Пфунда.
Если возбужденный атом испускает фотон, то возникают спек-
тры испускания, а если поглощает — то возникают спектры по-
глощения. Поскольку возможны процессы перехода атома в лю-
бое из возбужденных квазистационарных состояний, то и спек-
тры испускания обычно содержат много линий, отвечающих всем
возможным переходам между уровнями. Если же изучаются спек-
тры поглощения, то первоначально атомы находятся в основном
состоянии, поэтому спектры поглощения фактически дают лишь
главную серию, отвечающую переходу атома из основного со-
стояния во все возможные вышележащие. Последнее позволяет
понять, как были открыты различные серии в спектрах.
Поистине революционные гипотезы Бора, объяснившие за-
гадку происхождения линейчатых спектров испускания и погло-
щения, породили новые нелегкие вопросы, сразу же сформули-
рованные Резерфордом — гениальным экспериментатором, мыс-
лившим конкретными классическими образами. Уже упоминав-
шуюся статью ”0 строении атомов и молекул” Бор направил
Резерфорду, который должен был рекомендовать статью к печа-
ти.
Резерфорд прочел работу с "большим интересом", и, отметив
"непомерную длинноту" статьи, немедленно задал Бору вопрос:
"как решает электрон — с какою частотой должен он колебать-
ся, когда происходит переход из одного разрешенного состояния
в другое? Мне кажется, Вы будете вынуждены допустить, что
электрон заранее знает, где он собирается остановиться...".
В первой части вопроса Резерфорд исходил из представле-
ния о классическом механизме излучения, предполагающего, что
электромагнитное излучение частоты и должно генерировать-
ся электроном, колеблющимся с той же частотой и. Теперь яс-
но, что электрон не колеблется, так как процесс излучения есть
квантовый скачок в состоянии атома, сопровождаемый появле-
нием фотона. Но вот вторая часть вопроса Резерфорда подразу-
мевает следующее: как атом "решает", в какое из нижних квази-
стационарных состояний он перейдет? Допустим, атом находит-
ся в третьем квазистационарном состоянии, из которого он сразу
может перейти в первое (основное) состояние, а может сначала
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
553
перейти во второе состояние, а затем уже в первое, последова-
тельно испустив два фотона.
Резерфорд интуитивно нащупал проблему, разрешение кото-
рой было начато Эйнштейном в 1916 году, а окончательно за-
вершено в рамках квантовой механики, основы которой были
сформулированы в 1926 году и подтвердили выводы Эйнштей-
на. Правда, проблема оказалась решена вовсе не так, как того
хотелось бы Резерфорду и другим физикам (к числу которых
впоследствии присоединился и сам Эйнштейн), желавшим со-
хранения классической наглядности в физических законах.
4.1.3 Вывод Эйнштейном закона
излучения Планка и предсказание
спонтанного и вынужденного излучений
Сразу после появления гипотез Бора Эйнштейн, в отличие от
многих других физиков, дал им высочайшую оценку. Неудиви-
тельно, что Эйнштейну первому удалось совместить идеи Бора
со своими собственными идеями о дискретности электромагнит-
ного излучения (как было указано в гл. 3, не разделявшимися аб-
солютным большинством физиков, в том числе и Бором, вплоть
до 1924 года). На этом пути Эйнштейн добился в 1916 году выда-
ющихся успехов: во-первых, вывел закон излучения Планка ло-
гически непротиворечивым способом, и во-вторых, углубил пред-
ставления о взаимодействии излучения с веществом, открыв при
этом два вида излучения атомов, что позволило объяснить при-
роду фраунгоферовых линий и явления обращения спектров, от-
крытого Кирхгофом, а в конце концов привело к рождению кван-
товой радиофизики, квантовой электроники, созданию мазеров
и лазеров.
Вспомним одно из центральных событий в истории физики
— открытие Планком в 1900 году постоянной Планка Л, совер-
шенное по счастливому стечению обстоятельств.
Вспомним также, что закон излучения (3.155) Планк по-су-
ществу у гадал интерполируя экспериментальные данные, а за-
тем лишь дал интерпретацию этого закона на основе формулы
(3.156), закона смещения Вина и предположения о дискретности
энергетического спектра материальной системы — заряженного
гармонического осциллятора. Интерпретация и позволила План-
ку открыть новую мировую постоянную, без чего не было бы
построено здание современной физики.
Однако Эйнштейн в 1906 году указал, что интерпретация
554 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Планка с логической точки зрения несостоятельна, так как вы-
вод формулы (3.156) (см. приложение 3) опирался на законы
классической механики и электродинамики, допускавшие любые
значения энергии гармонического осциллятора, а затем Планк
предположил, что осциллятор не описывается классическими за-
конами, выдвинув оказавшуюся совершенно справедливой гипо-
тезу о том, что гармонический осциллятор имеет эквидистант-
ный дискретный энергетический спектр, то есть предвосхитил
первую гипотезу Бора.
Логический провал планковского подхода и ликвидировал
в 1916 году Эйнштейн. Вот существо рассуждений Эйнштейна,
опиравшегося на свою фотонную гипотезу и на гипотезы Бора.
Равновесное тепловое излучение в полости в конечном счете
формируется как равновесное состояние обмена энергией между
веществом и излучением, так как последнее поглощается и пе-
реизлучается, причем, как было установлено в подразделе 3.2.2,
итоговое состояние излучения не зависит от того, какое вещество
находится внутри полости.
Эйнштейн рассмотрел равновесное тепловое излучение тем-
пературы Т в полости с произвольными стенками, а также раз-
реженный газ32 из одинаковых молекул33 в том же объеме. Допу-
стив, что молекула может иметь два невырожденных34 дискрет-
ных значения внутренней энергии 8\ и £2, к молекулам можно
применить распределение Больцмана, в соответствии с которым
количество молекул N\ в состоянии 8\ будет пропорциональ-
но exp [—5i/(fcT)], a N2 в состоянии 82 будет пропорционально
ехр [—82/(кТ)}, так что
м
n2
= ехр
g2-gi
кТ
(4-18)
Далее Эйнштейн, зная ответ, к которому стремился (закон
излучения Планка), ввел такие гипотезы о характере взаимо-
действия излучения с веществом, которые помогли получить ему
нужный результат.
Во-первых, Эйнштейн ввел представление о спонтанном из-
лучении. Пусть молекула находится в состоянии 82 > £1, тогда
она стремится перейти в низшее энергетическое состояние £1,
32Так что показатель преломления среды равен единице.
33Поскольку молекулы могут быть и одноатомными, то речь идет и об
атомах тоже, а также об атомарных и молекулярных ионах.
34 Смысл этого термина будет разъяснен далее в настоящей главе.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ 555
испустив при этом фотон, энергия которого в соответствии с за-
коном сохранения энергии определится выражением
Hw = S2 -	.	(4.19)
Тем самым Эйнштейн ввел в физику представление о неде-
терминированном поведении возбужденной молекулы или ато-
ма, аналогичное представлению о недетерминированном поведе-
нии радиоактивных ядер: неизвестно, через какое время после
возбуждения (то есть после перехода из состояния в состоя-
ние £2) конкретная молекула релаксирует (вернется в низшее
состояние, а если низших состояний несколько, то неизвест-
но, в какое состояние молекула вернется). Последнее означает,
что исход релаксации для единичных атомов и молекул прин-
ципиально не предопределен (то есть случаен и непредсказуем),
можно указать лишь вероятность релаксации возбужденной
частицы за бесконечно малый промежуток времени dt.
Это и был ответ Эйнштейна на вопросы Резерфорда, задан-
ные Бору в связи с его гипотезами: процесс релаксации недетер-
минированный, и его исход определяется лишь вероятностно.
Эйнштейн ввел представление о плотности вероятности^5
Л.2->1 спонтанного перехода в низшее состояние, так что коли-
чество молекул, релаксирующих за время dt, определится выра-
жением
dN2^i = N2A2^dt,	(4.20)
то есть произведением вероятности перехода A2->idt за время dt
на количество возбужденных молекул.
Вводя гипотезы о характере взаимодействия излучения с ве-
ществом, Эйнштейн фактически исходил из аналогии, рассмат-
ривая поведение в электромагнитном поле заряженного гармони-
ческого осциллятора (классического) Планка. Даже в отсутствие
внешнего излучения осциллятор неизбежно теряет энергию за
счет собственного излучения. Однако если осциллятор находит-
ся в равновесии с внешним полем, то он может как увеличивать
свою энергию, так и уменьшать ее при взаимодействии, что зави-
сит от фазы электромагнитной волны, тормозящей или ускоря-
ющей осциллятор. В соответствии с последним Эйнштейн ввел
представление об индуцированном, или вынужденном поглоще-
нии и об индуцированном, или вынужденном испускании, при-
35В данном случае речь идет о ’’временнбй” плотности.
556
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
чем количество молекул, вынужденно релаксирующих, по Эйн-
штейну должно определяться формулой
dN2^i =	,	(4.21)
а количество молекул, вынужденно возбуждающихся, должно
определяться аналогичной формулой
dNi~>2 = Uu(jjj,T)NiBi^>2dt,	(4.22)
где Bi->2 и B2_>i — коэффициенты вероятности Эйнштейна для
индуцированных поглощения и испускания соответственно,
а ш определяется соотношением (4.19), то есть второй гипоте-
зой Бора, отражающей закон сохранения энергии для процессов
поглощения или испускания фотонов молекулами и атомами.
Итак, по Эйнштейну, индуцированные переходы так же неде-
терминированы, как и спонтанные, но их вероятности пропорци-
ональны спектральной компоненте плотности энергии излучения
(в месте нахождения молекулы) на частоте центра спектральной
линии. Далее остались лишь несложные расчеты.
Используя принцип детального равновесия, уже применяв-
шийся в подразделе 3.2.2, следует считать количество молекул,
возбуждающихся за время dt, равным количеству релаксирую-
щих молекул. Количество же последних определяется суммой
вероятностей независимых процессов — спонтанного и вынуж-
денного испусканий. Следовательно, имеем
Mizw(cj,T)Bi_>2 = JV2[A2_>i + 1/Да;,Т)В2_>1].	(4.23)
Решая последнее уравнение относительно величины иш(а),Т)
с учетом уравнения (4.18), получаем
(w’Т) = B1^2exp(M^)-B2^i ’	(4’24)
Ход дальнейшей мысли Эйнштейна ясен: чтобы в знаменате-
ле (4.24) получилась exp(hw/kT) — 1, нужно положить
Bi_>2 = В2_>1,	(4-25)
после чего нужно положить еще
A2^i _ hw3
В2_».1	7Г2С3 ’
(4-26)
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
557
и вывод закона излучения Планка (3.155) на основе фотонных
представлений завершен.
Таким образом, Эйнштейн вывел закон излучения Планка,
введя оказавшиеся совершенно справедливыми гипотезы о ха-
рактере взаимодействия фотонов с атомами и молекулами.
Действительно, фотоны, независимо от того, "тепловые"
они или нет, если их энергия удовлетворяет условию частот
Бора, то есть уравнению (4-19), должны взаимодействовать
с обладающими дискретными внутренними энергиями атома-
ми и молекулами так, как это предположил Эйнштейн, то
есть вызывать вынужденное испускание или вынужденное по-
глощение.
Позднее коэффициенты Эйнштейна были вычислены в рам-
ках квантовой электродинамики, и гипотеза Эйнштейна была
подтверждена, хотя сам он был уверен в своих результатах, от-
метив в статье ’’Испускание и поглощение излучения по кванто-
вой теории” (1916 год), что пришел "к выводу, который говорит
сам за себя благодаря своей простоте и общности”.
В частности, для так называемых ’’разрешенных" перехо-
дов36, ведущих к появлению фотонов в видимой части спектра,
величина коэффициента Эйнштейна для спонтанной релаксации
имеет порядок величины
А 108 с-1,
что соответствует "периоду полураспада" возбужденного состо-
яния около 7 нс.
Действительно, если внешние фотоны отсутствуют, то ско-
рость убыли возбужденных атомов определяется уравнением
dN/dt = —AN, решение которого имеет вид N = NQexp(-At).
Нетрудно видеть, что через промежуток времени Тг/2 = (1п2)/Л
число возбужденных атомов уменьшится в два раза по сравне-
нию с начальным количеством Nq.
Завершая обзор работы Эйнштейна, следует отметить два
обстоятельства. Во-первых, несмотря на то, что и спонтанные,
и вынужденные процессы в равной степени недетерминированы,
между ними существует разница, возникающая при учете им-
пульса фотона.
36Существуют и "запрещенные” (или ’’оптически запрещенные”) перехо-
ды, соответствущие метастабильным квазистационарным состояниям ато-
мов со значительно меньшей вероятностью спонтанной релаксации. Более
подробно об этом будет сказано далее в настоящей главе.
558 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Спонтанное испускание недетерминировано и по отношению
к импульсу: "спонтанный" фотон может быть равновероят-
но испущен в любом направлении, то есть спонтанное излучение
изотропно, чего нельзя сказать о вынужденном излучении, по-
скольку импульс вынужденно испущенного фотона в точности
равен импульсу вынуждающего испускание фотона. Последнее
свойство вынужденного излучения привело почти через 40 лет
после его открытия Эйнштейном к созданию мазеров и лазеров.
Решение проблемы равновесного теплового излучения, поставлен-
ной Кирхгофом еще в 1860 году, принесло физике открытия вели-
чайшей важности: мировую постоянную (Планк, 1900 год), откры-
тие дискретности энергетического спектра гармонического осцилля-
тора (Планк, 1900 год), открытие существования фотонов (Эйнштейн,
1905 год) и открытие законов взаимодействия излучения с веществом
(Эйнштейн, 1916 год).
При этом Планк дважды угадал — правильные закон излучения
(3.155) и формулу (3.156). Первый раз Планку помогли эксперимен-
тальные данные, а второй раз — чистое везение да принцип соответ-
ствия, по которому квантовые законы природы переходят в классиче-
ские, что не исключает возможности одной и той же формуле выпол-
няться и в квантовой, и в классической областях.
Именно такая история случилась с классической формулой (3.156),
полученной Планком. Эйнштейн показал, что ее левая часть — это за-
кон излучения Планка (3.166), а Планк (на основании гипотезы о гар-
моническом осцилляторе) — что ее правая часть равна тому же выра-
жению. Следовательно, формула (3.156) выполняется и в квантовой,
и в классической физике. Эффект Доплера также описывается одним
выражением как при классическом рассмотрении, так и при кванто-
вом, как это было показано в подразделе 3.4.3.
Гипотеза Эйнштейна о спонтанных и вынужденных перехо-
дах привела к пониманию механизма возникновения интенсив-
ности спектральных линий в спектрах поглощения и испуска-
ния. Действительно, если излучает макроскопический объект
(пламя свечи, электрическая дуга или искра), то громадное чис-
ло актов испускания ведет к возникновению спектральных ли-
ний, интенсивности которых, очевидно, пропорциональны ве-
роятностям перехода атома с одного уровня на другой. Таким
образом, макроскопический процесс является практически де-
терминированным несмотря на то, что элементарные акты
испускания и поглощения — недетерминированные.
Описанные выше результаты Эйнштейна стали ключом к ко-
личественному объяснению явления обращения спектральных ли-
ний, открытого Кирхгофом.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
559
О резонансной лампе Вуда и механизме обращения
спектральных линий
Разберем действие оригинального монохроматора излучения, со-
зданного американским физиком Р. Вудом и "механизм” обраще-
ния спектральных линий на примере желтой D-линии натрия,
являющейся дублетом.
Длины волн дублета около 5 890 А (см. с. 527), что соответ-
ствует энергии фотона hw = 2.11 эВ.
Поскольку D-линия натрия является первой в главной се-
рии, это означает, что за возникновение этой линии отвечают
переходы между основным состоянием атома натрия и первым
возбужденным состоянием: hw = £2 ~ £1 •
Начнем со сравнения вероятностей спонтанной и вынужден-
ной релаксации для атома натрия в разных условиях, для чего
предварительно учтем, что формулы для вероятности спонтан-
ного и вынужденного испускания атома (4.20) и (4.21) Эйнштейн
получил, рассматривая равновесное тепловое излучение, однако
ясно, что те же формулы должны сохранить свой вид и для ис-
точника внешнего излучения любой природы, когда атомы не
обязаны находиться в равновесии с излучением, а само излуче-
ние не обязано быть равновесным тепловым.
Действительно, нет никаких оснований утверждать, что атом
может ’’узнать”, какова природа источника, создавшего в ме-
сте нахождения атома излучение со спектральной компонентой
плотности энергии иш . Тогда отношение вероятностей спонтан-
ного и вынужденного излучения атома (при переходе между лю-
быми невырожденными уровнями энергии £п и £т), когда атом
находится в месте, где спектральная компонента плотности энер-
гии внешнего излучения на частоте hw = £п — £т есть будет
равно:
— =	=	(4.27)
^вын	>1 tZ-QjTT Сг
где были использована формула (4.26) для отношения коэффи-
циентов А2->1 и Дг-и
В том частном случае, когда атомы находятся в термодина-
мическом равновесии с равновесным тепловым излучением тем-
пературы Т, то, подставляя в формулу (4.27) выражение для
следующее из закона излучения Планка (3.166), получим:
^=ехрЫ_	( ’
560
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Подставляя в правую часть (4.28) huj = 2.11 эВ и температуру
поверхности Солнца Т ~ 6000 К, получаем для отношения веро-
ятностей спонтанного и вынужденного испускания фотонов ато-
мами натрия (находящихся вблизи солнечной поверхности) при-
близительно 58: из каждых 59 атомов натрия, возбужденных во
второе разрешенное состояние, 58 атомов испускают фотон спон-
танно, и лишь один атом — вынужденно. Можно сказать и так:
даже спектральной плотности энергии излучения иДси, Г) на по-
верхности Солнца недостаточно, чтобы сделать вероятность вы-
нужденного испускания сравнимой с вероятностью спонтанного
испускания0 .
В земных же источниках некогерентного света спектральная
плотность энергии излучения многократно ниже, чем на поверх-
ности Солнца и, значит, многократно ниже и вероятность вы-
нужденного испускания атомов. Так, максимальная температура
пламени, которое может быть создано бунзеновской горелкой, не
превышает 2 000 °C. Подставив в (4.28) Т = 2 273 К, получим для
D-линии натрия отношение вероятностей спонтанного и вынуж-
денного испускания около 50000, и вынужденным испусканием
можно совсем пренебречь. Другими словами, в обычных источ-
никах света (кроме лазеров, о которых сказано ниже) абсолют-
но преобладает спонтанное испускание, ведущее при релаксации
атомов к изотропному разлету фотонов.
Последнее обстоятельство объясняет принцип действия ре-
зонансной лампы, изображенной на рис. 4.9 и использованной
американским физиком Р. Вудом для наблюдения открытой им
в 1902 году резонансной флуоресценции.
Вуд помещал в откачан-
ный стеклянный сосуд кусо-
чек металлического натрия,
который нагревался до опре-
деленной температуры, и бал-
лон наполнялся парами на-
трия до давления насыщения.
Например, при 100 °C
давление насыщения паров
натрия составляет приблизи-
тельно 10“7 Торр.
Источником излучения была бунзеновская горелка, в пламя
которой вводилась поваренная соль, молекулы которой в пла- 37
37Нетрудно сосчитать, что на частоте D-линии натрия на поверхности
Солнца иш ~ 2.2 • 10“16 Дж м-3 Гц-1.
Рис. 4.9. Резонансная лампа
(Р.Вуд, 1902 г.)
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
561
мени термодиссоциируют на атомы натрия и хлора. Отношение
числа возбужденных на второй разрешенный уровень энергии
атомов натрия к числу атомов в основном состоянии при темпе-
ратуре пламени 2 000 °C и 82 —	= 2.11 эВ составит
W2/M = ехр[—(£2 - ?1)/кТ] » 2.1 • 10"5 ,
то есть возбуждены лишь 2 атома натрия на 100 000, и они-то
и излучают спонтанно фотоны с энергией 2.11 эВ, вызывая по-
явление яркого желтого дублета D, наложенного на непрерыв-
ный спектр теплового излучения частичек сажи (при наличии
последних есть в пламени бунзеновской горелки).
Если свет пламени сфокусировать с помощью линзы на бал-
лон с парами натрия, то пары немедленно засветятся ярким жел-
тым светом, распространяющимся изотропно от баллона, а не
направленно, как первичный луч от линзы. При достаточно вы-
сокой температуре натрия в баллоне (то есть при достаточном
количестве атомов натрия на пути первичного луча) значитель-
ная часть, или вообще все первичные фотоны с энергией 2.11 эВ
будут поглощены атомами натрия и переизлучены изотропно, то
есть уйдут из первичного луча, что Вуд впервые и наблюдал
в 1902 году, назвав явление изотропного переизлучения направ-
ленного луча резонансной флуоресценцией.
Изотропное излучение не содержит никаких других частот,
кроме частоты поглощенного излучения! Баллон с натрием, в ко-
тором возбуждалась резонансная флуоресценция, назвали резо-
нансной лампой — отличным монохроматором излучения, по-
скольку это относительно холодный источник излучения (даю-
щий относительно небольшое доплеровское уширение линий ис-
пускания).
Фотоны других энергий (если они присутствуют в первичном
луче) в пламени поглощаться не будут, поэтому в луче, выходя-
щем из баллона в направлении первичного, возникнет провал
в районе D-линии, воспринимаемый визуально как темная ли-
ния поглощения, на чем основано объяснение явления обраще-
ния спектральных линий, открытого Кирхгофом в 1859 году (см.
с. 529).
В последнем случае, если сквозь пламя свечи пропускается
сильно ослабленный солнечный луч, пламя само по себе изо-
тропно излучает D-линию, которая интенсивнее фона (то есть
всего остального излучения за вычетом D-линии). "Солнечные”
D-фотоны пламенем изотропно рассеиваются (как и в резонанс-
562 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ной лампе), а остальное излучение Солнца сквозь пламя прохо-
дит без изменений (тоже как в резонансной лампе).
По мере роста интенсивности солнечного луча, пропускаемо-
го сквозь пламя, в направлении луча будет нарастать интенсив-
ность фона, которая в некоторый момент сравняется с интен-
сивностью D-излучения пламени, и возникнет картина классиче-
ского равновесного теплового излучения (без наложенных линий
и без провалов). При дальнейшем возрастании интенсивности
солнечного луча, когда фон начнет существенно превосходить
интенсивность D-излучения свечи, в направлении солнечного лу-
ча будет наблюдаться сравнительный провал интенсивности на
месте D-линии, и воспринимаемый как фраунгоферова D-линия.
Принцип действия лазеров и мазеров
Лазеры и мазеры — замечательные источники когерентного из-
лучения с обратным соотношением вероятностей спонтанного
и вынужденного испусканий, чем в обычных источниках неко-
герентного излучения. Другими словами, в лазерах и мазерах
удалось реализовать столь высокие значения спектральной ком-
поненты плотности энергии излучения, что вынужденное испус-
кание "победило” спонтанное.
Вообще говоря, мысль о создании мазера и лазера могла бы
возникнуть сразу же вслед за предсказанием Эйнштейном вы-
нужденного испускания в 1916 году38, однако долгое время тех-
ническая реализация простой по сути идеи выглядела нереаль-
ной, так что работа Эйнштейна дала обильные плоды лишь через
40 лет, приведя сначала к созданию мазера, а вскоре и лазера —
устройств, генерирующих электромагнитное излучение с рекорд-
ными характеристиками в радиодиапазоне (мазеры) в инфра-
красном, видимом, ультрафиолетовом, а теперь уже и в рентге-
новском диапазонах (лазеры) за счет именно вынужденного, а не
спонтанного испускания.
Название ’’мазер” (maser, англ.) происходит от первых букв
английской фразы ’’microwave amplification by stimulated emission
of radiation”, что означает ’’усиление радиоволн посредством вы-
нужденного испускания излучения”. Термин ’’лазер” (laser, англ.)
образован аналогично, только вместо слова ’’microwave” следует
подставить слово ’’light” (свет).
38 Впервые же на возможность усиления света за счет вынужденного ис-
пускания (в плазме с инверсной населенностью) указал советский физик
В.А. Фабрикант только в 1939 году.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
563
Суть идеи лазерной генерации света заключается в использо-
вании вынужденного испускания в условиях, когда, во-первых,
спонтанным испусканием можно пренебречь и, во-вторых, когда
в активной среде лазера создана инверсная населенность.
Под инверсной населенностью понимают такое неравновес-
ное состояние среды, когда количество атомов Nn, находящих-
ся в возбужденном состоянии £п, превышает количество атомов
JVyn, находящихся в состоянии £т, где 8т < 8п. Среду с инверс-
ной населенностью называют активной.
Пусть в активной среде (цилиндрической формы с длиной L
и площадью поперечного сечения S, изображенной на рис. 4.10)
распространяется луч с частотой tiw = 8п — 8т .
I Выходной луч
Активная среда
Зеркало 1	L
Зеркало 2
Рис. 4.10. Основные элементы лазера — активная среда и резонатор
Проследим, сколько вынужденных переходов вызовет за вре-
мя dt = L/c (то есть за один полный проход слева направо или
справа налево) плоская волна со спектральной плотностью энер-
гии Uv, распространяющаяся вдоль активной среды, предпола-
гая, что не очень сильно изменяется за один проход активной
среды. Благодаря вынужденному поглощению, очевидно, среда
поглотит dN~ — NmBuudt фотонов, и в то же время испустит
dN+ = NnBu^dt фотонов, где В =	— Вт_>п. Следова-
тельно, в активной среде количество фотонов за один проход
вырастет на величину
(dN^^Nn-N^BuvL/c.
(4.29)
Преобразуем последнее выражение, вспомнив, что величина
ишЛш есть плотность энергии излучения, приходящаяся на спек-
тральный интервал [си, си + Леи]. Тогда вводя N — число фотонов
в заданном спектральном интервале, находящихся в данный мо-
мент времени в активной среде, очевидно, получим равенство

LS£\w '
(4.30)
564 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Подставляя последнее выражение в формулу (4.29), получим
уравнение, описывающее рост числа фотонов при одном проходе
активной среды световой волной:
=	(«I)
Поскольку в активной среде существует инверсная населен-
ность, то есть Nn > Nm, то из последнего уравнения видно, что
число фотонов в волне за один проход активной среды возрас-
тает за счет вынужденного испускания. Если усиление настоль-
ко велико, что число фотонов существенно изменяется за один
проход активной среды, то корректнее ввести увеличение числа
фотонов, приходящееся на длину dz. В самом деле, увеличение
числа фотонов на длине dz будет, очевидно, в dz/L раз меньше,
чем определяемое по формуле (4.31), откуда имеем
1 dN , ч „ two	/ t .
N ~dT = (п ~	’	( 3
где V = LS — объем активной среды.
Изображенная на рис. 4.10 активная среда лазера помещена
между двумя зеркалами, одно из которых (правое) может про-
пускать небольшую часть падающего на него излучения наружу.
Примем вначале для простоты, что оба зеркала отражают свето-
вую волну без потерь. Тогда волна будет, отражаясь от зеркал,
раз за разом проходить через активную среду, увеличиваясь в ин-
тенсивности. Действительно, если принять, что в волне сначала
было No фотонов, то после прохождения К раз активной среды
количество фотонов в волне достигнет величины
N = No exp(KaL),	(4.33)
где для краткости буквой а обозначена правая часть уравнения
(4.32).
Таким образом, лазер начинает генерацию следующим обра-
зом. Сразу после создания инверсной населенности в активной
среде начинается спонтанная релаксация. ’’Спонтанные” фото-
ны, если они стартовали не вдоль оси лазера, быстро уходят из
активной среды. Те же фотоны, что были случайно испущены
вдоль оси, начинают экспоненциально увеличиваться в числе за
счет вынужденного испускания, как о том говорит уравнение
(4.33). Количество фотонов в лазере достигает такого уровня,
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
565
когда приращение их числа за один проход активной зоны ста-
новится равным их убыли за счет выхода через правое зерка-
ло, пропускающее лишь их небольшую часть (от долей процен-
та до нескольких процентов). При этом величина становится
настолько большой, что вероятность вынужденного испускания
на много порядков превышает вероятность спонтанного испус-
кания, не играющего никакой роли в установившемся режиме
работы лазера.
Однако в процессе включения лазерной генерации спонтан-
ное испускание играет ключевую роль.
Таким образом, принцип действия лазера весьма прост, но
в течение десятилетий не было возможности создать инверсную
населенность. Действительно, если поставить цель создать ин-
версную населенность между двумя уровнями, верхний из кото-
рых имеет "период полураспада" в 7 нс, то это означает, что для
поддержания инверсной населенности на таком уровне надо каж-
дые 7 нс возбуждать минимум половину атомов, находящихся на
нижнем уровне.
Рассмотрим для примера рубиновый лазер (принцип накач-
ки опишем чуть ниже), в котором фотоны испускаются иона-
ми хрома. Типичная концентрация последних 1.6 • 1019 см-3,
а энергия фотонов Ьш = 2.86 эВ. Тогда в каждый кубический
сантиметр активной среды каждые 7 нс надо вводить минимум
0.5 • 1.6 • 1019 • 2.86 эВ энергии, или З.бб Дж. Если активная среда
имеет объем 5 см3, то в непрерывном режиме работы на накачку
нужно было бы тратить больше 2.6 • 109 Вт, что примерно рав-
но мощности атомной электростанции, не говоря уже о том, что
если такую мощность начать вводить в рубин, он немедленно
испарится.
Первый мазер (в котором активной средой служил пучок
молекул аммиака) был создан лишь в 1954 году одновременно
в СССР и США, за что советские физики Н.Г. Басов и А.М. Про-
хоров были удостоены в 1964 году половины Нобелевской премий
по физике, а другой половины был удостоен американский фи-
зик Ч. Таунс с формулировкой "за фундаментальные исследова-
ния в области квантовой электроники, которые привели к созда-
нию генераторов и усилителей нового типа — мазеров и лазеров".
В 1960 году американским физиком Т.Г. Мейманом был со-
здан первый лазер, в котором активной средой стал кристалл
искусственного рубина, а инверсная населенность создавалась по
трехуровневой схеме, суть которой отражает рис. 4.11.
566
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Т
накачка
6943А
m
Рис. 4.11. Трехуровневая схема
рубинового лазера
Рубин (природный драго-
ценный камень) — это кри-
сталл AI2O3, в котором ма-
лая часть ионов А13+ замеще-
на ионами Сг3+. Искусствен-
ный рубин выращивают из
расплава смеси AI2O3 (корун-
да) и СГ2О3 (0.05 весовых %).
Уровни энергии примес-
ных ионов Сг3+ в крайне упрощенной форме представлены на
рисунке. Над основным состоянием тп расположена широкая зо-
на Г, а над зоной Т расположена еще одна широкая зона возбуж-
денных уровней, не показанная на рисунке. Переходы из состо-
яния тп на уровни зоны Т придают кристаллу рубина розовый
цвет, поскольку поглощают зеленую (зона Г) и фиолетовую (вы-
шележащая зона) части спектра.
В рубиновом лазере накачка осуществляется с помощью мощ-
ной импульсной ксеноновой лампы, испускающей свет в широ-
ком спектральном диапазоне. Время жизни возбужденных ионов
Сг3+ в зоне Т около 10-7 с. За это время небольшая часть ионов
хрома спонтанно возвращается в основное состояние т, а основ-
ная часть возбужденных в зону Т ионов безызлучательно релак-
сирует39 на метастабильный уровень п, лежащий выше основно-
го состояния на 2.86 эВ.
Метастабильные уровни40 отличаются тем, что время жизни
в этих состояниях на несколько порядков больше времени жиз-
ни на обычных возбужденных уровнях. В рубине время жизни
метастабильного уровня п около 3 мс, то есть превышает время
жизни в Т-зоне примерно в 30 000 раз. При достаточной мощно-
сти накачки (то есть при достаточном числе ионов хрома, пере-
водимых с уровня тп на уровень п) число возбужденных ионов
Nn начинает превышать число ионов на основном уровне Nm, то
есть создается инверсная заселенность. Так, при концентрации
ионов хрома в рубине 1.6 • 1019 см-3 инверсная заселенность (то
есть концентрация возбужденных ионов за вычетом концентра-
ции ионов в основном состоянии) может соответствовать вели-
чине 4 • 1017 см-3. При этом прирост числа фотонов составляет
1 % на 1 см длины активной среды (рубинового стержня), что
означает, что в уравнении (4.33) а = 1 м-1.
39С передачей избытка энергии кристаллической решетке.
40 Более подробно о метастабильных уровнях будет сказано далее в насто-
ящей главе.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ 567
Длина стержня может достигать 25 см при диаметре 1 см.
Рубиновый лазер может работать как в импульсном режи-
ме, так и в непрерывном, требуя при этом хорошего охлажде-
ния, так как при накачке рубин нагревается. При длительности
импульса в £имп = 10 нс рубиновый лазер в одномодовом режи-
ме может давать энергию в импульсе £имп до 25 Дж. Тепловое
движение ионов хрома в решетке ведет к доплеровскому уши-
рению лазерной линии, убывающему при уменьшении темпера-
туры стержня. При Т = 300 К полуширина лазерной линии со-
ставляет Дг/ = 330 ГГц. Угол расходимости лазерного излучения
может определяться только дифракцией излучения на выходной
диафрагме лазера, имеющей диаметр D ~ 1 см. Тогда угол рас-
ходимости в будет иметь порядок величины А/D, то есть состав-
лять доли угловой минуты.
Вышеуказанные параметры позволяют найти спектральную
компоненту плотности излучения рубинового лазера. Действи-
тельно, лазерный импульс длительностью £имп (в пренебрежении
его угловой расходимостью) займет объем SctnMTl. В этом объеме
сосредоточена энергия импульса £имп, откуда имеем
£имп = iz-ljAcjV — Да?$с£имп ,
или
_________________________ £имп
SctHMnAcv ’
Подставляя в последнюю формулу £Имп = Ю нс, S = 1 см2,
Да; = 2тг-330 ГГц, £имп = 25 Дж, получим для излучения рубино-
вого лазера иш = 4 • 10~8 Дж-м“3-Гц-1. Так как выходное зерка-
ло лазера пропускает не более 10 % излучения, то спектральная
компонента плотности излучения в активной среде рубинового
лазера минимум на порядок больше, то есть превышает величи-
ну иш > 4-10“7 Дж-м~3-Гц“1. Сравнивая последнюю величину со
спектральной компонентой солнечного излучения той же длины
волны иш « 3.2 • IO"17 Дж-м“3-Гц-1, убеждаемся, что в актив-
ной среде лазера спектральная компонента плотности излучения
на 10 порядков больше, чем спектральная компонента теплового
излучения на поверхности Солнца. Из этого сравнения следу-
ет, что вероятность вынужденного испускания в активной среде
рубинового лазера примерно на 8 порядков больше вероятности
спонтанного испускания.
Определим также концентрацию фотонов прд в луче рубино-
568
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
вого лазера. Нетрудно видеть, что
И1МП	о 1Г117	—3
nPh = к-----7----q ~ L8 ’ 10 СМ
fuv с£имп S
что всего на два порядка меньше концентрации идеального га-
за при нормальных условиях. Таким образом, в активной среде
рубинового лазера концентрация фотонов в установившемся ре-
жиме по порядку величины почти совпадает с концентрацией
идеального газа при нормальных условиях.
После создания в 1960 г. первого лазера на рубине41 были
созданы десятки лазеров разных конструкций, обладающих су-
щественно лучшими характеристиками, чем характеристики ру-
бинового лазера, так как из-за низкого КПД (около 0.1%) ру-
биновый лазер непрерывного действия неэкономичен по срав-
нению с другими типами твердотельных лазеров непрерывного
действия, а луч рубинового лазера недостаточно мбщен.
Сегодня лазеры нашли применение во многих областях нау-
ки, промышленности, медицины, вошли в быт. Только перечис-
ление примеров использования лазеров заняло бы не одну стра-
ницу. Поэтому инженер-физик должен понимать принцип дей-
ствия лазера, созданного на основе представлений о дискретно-
сти уровней энергии атомов (ионов, молекул), а также о спонтан-
ном и вынужденном испускании фотонов возбужденными мик-
рочастицами (атомами, ионами, молекулами).
Иные возможности возбуждения и релаксации атомов
Гипотезы Бора подразумевают, что атом, возбужденный в раз-
решенное состояние, релаксирует, испуская один фотон. После
создания лазеров выяснилось, что атомы могут возбуждаться,
поглощая сразу два (и более) фотона, однако такой процесс зна-
чительно менее вероятен и требует огромной плотности энергии
первичного излучения, реализуемой только в лазерном луче.
В частности, если частота ш — одна из разрешенных прави-
лом частот Бора для данного атома, то атом может поглощать
сразу два фотона частоты си/2 (двухфотонное поглощение), три
фотона частоты си/3 (трехфотонное поглощение), однако веро-
ятности многофотонного поглощения быстро убывают по мере
41 Стержень первого лазера имел диаметр около 1 см и длину 5 см, на
параллельные торцы стержня было напылено серебро, так что левый конец
отражал луч с малыми потерями, а правый имел коэффициент пропускания
8%.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
569
роста числа поглощаемых в одном акте возбуждения фотонов.
При ионизации атомов благородных газов зарегистрировано по-
глощение семи фотонов.
Более того, атом может поглотить одновременно и два раз-
ных фотона, если o?i + о?2 = то есть если выполнен закон
сохранения энергии.
Обратно, атом может релаксировать, испустив два (и более)
фотона, однако вероятность подобного процесса очень мала по
сравнению с вероятностью обычного спонтанного испускания.
Такие процессы являются предметом изучения нелинейной оп-
тики. Далее они рассматриваться не будут.
4.1.4 Удары первого и второго рода
Бор в первоначально сформулированной гипотезе В описал вза-
имодействие атома только с излучением. Однако очень быстро
выяснилось, что атом может изменять свою внутреннюю энер-
гию не только путем поглощения или испускания фотона.
Выше уже отмечалось, что возбудиться, то есть перейти из
разрешенного состояния с более низкой энергией в разрешенное
состояние с более высокой энергией, атом может не только пу-
тем поглощения фотона, энергия которого удовлетворяет усло-
вию частот Бора, но также и при столкновении с другими ча-
стицами (атомами, молекулами, ионами, электронами).
К таким выводам приводит анализ линейчатых спектров пла-
мён и газовых разрядов, в которых фотоны испускаются отдель-
ными возбужденными атомами. Источником внутренней энергии
возбужденных атомов могла быть кинетическая энергия (столк-
новения атомов в пламёнах или соударения атомов с электро-
нами в газовых разрядах). Таким образом, фактически из ги-
потез Бора (и наблюдаемых линейчатых спектров) следовало,
что должны существовать неупругие соударения с участием ато-
мов (ионов, молекул), при которых сумма кинетических энергий
сталкивающихся частиц уменьшается за счет перехода кинети-
ческой энергии во внутреннюю энергию атома (иона, молекулы).
Неупругие столкновения, ведущие к возбуждению атомов,
ионов, молекул (то есть к переходу кинетической энергии во
внутреннюю энергию микрочастицы), были названы ударами
первого рода.
Принцип детального равновесия подразумевает, что возмож-
ны и обратные процессы, когда при релаксации происходят безыз-
лучательные переходы, а внутренняя энергия микрочастицы пол-
570
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ностью или частично переходит в кинетическую энергию. Такие
столкновения также являются неупругими, поскольку сумма ки-
нетических энергий соударяющихся частиц не сохраняется, а воз-
растает.
Например, при столкновении возбужденного атома с невоз-
бужденным может произойти релаксация возбужденного атома,
который переходит в разрешенное состояние с меньшей энергией,
а выделившаяся при этом внутренняя энергия 8п — £т перехо-
дит либо целиком в кинетическую энергию разлетающихся после
столкновения частиц, либо часть энергии (или вся целиком) мо-
жет уйти на возбуждение соударяющегося партнера, а остаток
— в кинетическую энергию.
Неупругие столкновения атомов, ионов, молекул, сопровож-
даемые безызлучательной релаксацией (то есть полным или ча-
стичным переходом внутренней энергии частицы в кинетиче-
скую энергию), получили название ударов второго рода.
Уже к моменту появления гипотез Бора были известны явле-
ния, свидетельствующие в пользу ударов как первого, так и вто-
рого рода. О первых говорили линейчатые спектры испускания,
а о вторых — процессы, наблюдаемые в резонансной лампе, на-
полненной парами натрия (см. рис. 4.9).
При относительно небольшой температуре лампы мощность
резонансной флуоресценции равна мощности первичного излуче-
ния, то есть все входящие в лампу фотоны первичного (направ-
ленного) луча с энергией 2.11 эВ лампой переизлучаются изо-
тропно. С ростом температуры давление паров натрия в лампе
увеличивается, а мощность резонансной флуоресценции умень-
шается! В конце концов рост температуры приводит к тому, что
резонансная флуоресценция сосредотачивается лишь в тонком
поверхностном слое в месте падения первичного луча, а из объ-
ема лампы излучение совсем не выходит.
Анализ с неизбежностью ведет к предположению о существо-
вании ударов второго рода. В самом деле, при малой плотности
паров натрия (когда время жизни возбужденного атома много
меньше среднего времени между соударениями атома) энергия
излучения заведомо не переходит в кинетическую энергию ато-
мов (все фотоны переизлучаются). Когда же (с ростом плотности
пара) время между соударениями атомов уменьшается, излуче-
ние перестает уходить из лампы, то есть его энергия переходит
в кинетическую энергию (больше не во что) атомов натрия. Оче-
видно, последний процесс идет путем безыизлу нательной релак-
сации возбужденных атомов (удар второго рода).
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ 571
Удары второго рода проливают свет и на происхождение фра-
унгоферовых линий: например, атомы натрия в верхней части
фотосферы и хромосфере Солнца поглощают равновесное теп-
ловое излучение Солнца, а затем при столкновениях безызлуча-
тельно релаксируют, и это, очевидно, и ведет к появлению фра-
унгоферовой D-линии в спектре солнечного излучения.
Действительная история открытия ударов первого и второ-
го рода весьма поучительна. Первым процессы взаимодействия
электронов с атомами и молекулами начал изучать Ленард еще
в конце XIX века (см. гл. 2, подразд. 2.8.1), когда уже было ясно,
что соударение электрона с атомом или молекулой может ве-
сти к ударной ионизации, то есть к отрыву одного электрона от
атома или молекулы. В 1902 году Ленард попытался определить
энергию ионизации атома, под которой сейчас понимается мини-
мальная работа, которую необходимо выполнить для отрыва от
атома одного электрона42. Однако через 15 лет выяснилось, что
Ленард измерил совсем не ту величину, которую хотел измерить.
Ошибка Ленарда — пример того, как легко ошибиться (ка-
залось бы, в самых ясных ситуациях), интерпретируя экспе-
риментальные данные. И еще ошибка Ленарда показывает, что
интерпретация должна быть всесторонне проверена, лишь по-
сле чего она из разряда рабочих предположений может перейти
в разряд достоверно установленных фактов.
Источником электронов в ус-
тановке Ленарда, схема которой
приведена на рис. 4.12, служил
фотокатод К43. Максимальная
начальная кинетическая энер-
гия £тах фотоэлектронов44 мог-
ла быть определена эксперимен-
тально (см. подразд. 2.8.1).
На сетку G подавался поло-
жительный потенциал Ug, поэто-
му электроны в зазоре катод-
сетка ускорялись до максималь-
42 Потенциал ионизации атома — это
должен пройти электрон, чтобы приобрести кинетическую энергию, равную
энергии ионизации атома. Например, энергия ионизации атома ртути есть
10.4 эВ, а потенциал ионизации атома ртути — 10.4 В.
43Для простоты будем считать фотокатод заземленным, то есть примем
потенциал фотокатода равным нулю.
44В соответствии с уравнением Эйнштейна (3.192) £тах есть разность
между энергией поглощенного фотона и работой выхода фотокатода.
G
Рис. 4.12. Неудачная попытка
Ленарда зафиксировать начало
ионизации в газе (1902 г.)
ускоряющее напряжение, которое
572
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ной энергии Етах + еЭДз- За сеткой был расположен электрод
Е, на который подавался отрицательный потенциал -10 В, пре-
пятствующий попаданию на него электронов45.
Если в зазоре не было никакого газа, то при любых значениях
Ug ток электрода Е (который фиксировался не показанным на
рисунке гальванометром) был равен нулю.
Картина изменялась, если в прибор впускался газ. При не-
больших значениях Ug ток электрода Е по-прежнему был равен
нулю, однако по достижении некоторого порогового значения на-
пряжения (то есть по достижении энергией электронов опреде-
ленного порогового значения) по цепи электрода Е начинал течь
ток. Например, для водорода пороговое значение энергии элек-
тронов оказалось равным приблизительно 11 эВ.
Обнаруженный Ленардом эффект был, конечно же, крупным
открытием, которому Ленард, однако, не сумел найти правиль-
ного объяснения. Он счел, что ток электрода Е есть ток поло-
жительно заряженных ионов, начинающих возникать в газе при
достижении порогового напряжения. И в самом деле, если бы это
было так, то положительно заряженные ионы в зазоре GE стали
бы двигаться в сторону электрода Е под действием электриче-
ского поля. Однако Ленард не проверил, действительно ли в за-
зоре GE образуются положительно заряженные ионы, и дей-
ствительно ли ток электрода Е возникает за счет прихода
положительно заряженных ионов46. Позднее выяснилось, что
Ленард совершил ошибку, приняв уход электронов с электрода
Е за приход на Е положительно заряженных ионов.
Однако никто не усомнился в интерпретации Ленарда, и опы-
ты по определению "ионизационных” потенциалов молекул при-
нялись повторять другие физики, в числе которых оказались два
немецких физика — Джеймс Франк и Густав Герц47.
45 Запишите закон сохранения энергии для электрона, вылетевшего с ки-
нетической энергией £тах = 1 эВ из заземленного катода, и убедитесь, что
электрон не может оказаться там, где потенциал U < — 1 В. Найдите распре-
деление потенциала между сеткой G и электродом Е и укажите недоступную
для электрона область как функцию потенциала С7д.
46Подобную проверку можно было выполнить, прорезав в электроде Е
отверстие, в которое должны были бы пролетать положительно заряжен-
ные ионы, если бы они действительно возникали в установке. Далее надо
было бы отклонить прошедшие ионы магнитным полем и зафиксировать их
ток электродом, аналогичным электроду {3 установки, уже использовавшей-
ся Ленардом в 1899 году. (см. рис. 2.21, разд. 2.8). Сделай это Ленард, он бы
обнаружил, что положительно заряженные ионы при пороговом напряже-
нии в его установке не возникали!
47Племянник Генриха Герца — первооткрывателя радиоволн.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
573
В 1913 году, еще до появления гипотез Бора, Франк и Герц
так видоизменили метод Ленарда, что это дало им возможность
экспериментально исследовать соударения электронов с атома-
ми, о которых ничего достоверного известно не было.
Франк и Герц исходили из естественного предположения: по-
ка энергия электронов ниже пороговой (пока энергия электрона,
как они думали, недостаточна для ударной ионизации атома или
молекулы), происходит упругое столкновение между электроном
и атомом, при котором сумма кинетических энергий сталкиваю-
щихся частиц до соударения и после него остается неизменной.
С экспериментальной проверки последнего утверждения Франк
и Герц и начали.
Проверка "упругости” соударения облегчалась тем обстоя-
тельством, что (из-за малости массы электрона по сравнению
с массой атома) в одном упругом соударении с атомом электрон
теряет весьма малую долю своей кинетической энергии.
Действительно, найдем изменение энергии электрона при уп-
ругом ’’лобовом" соударении с покоящейся частицей массы М,
после которого электрон, обладавший начальной кинетической
энергией Eq и скоростью vq, отражается от частицы назад со ско-
ростью Vi (как мячик от стенки при нормальном падении). Пусть
частица в результате соударения приобретает скорость отдачи V.
Тогда из законов сохранения импульса и энергии
tyivq = MV — mvi,
mv^ = MV2 + mv2
легко выразить скорость отдачи частицы V через начальную ско-
рость электрона vq\
Очевидно, что энергия отдачи частицы и есть потерянная элек-
троном при соударении энергия Д£, так что имеем
Д£ MV2	.ГП 1	А т	(А ЪА\
~£^ = 2 / ° =4М(1 + т/М)2 <4М‘	>
Нетрудно понять, что при "касательных” соударениях, когда
электрон отклоняется от первоначального направления движе-
ния на угол, меньший 180°, он передает частице еще меньшую
величину энергии, чем при "лобовом" соударении. Тогда оценка
(4.34) позволяет без труда найти максимальную потерю энергии
574	ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
электроном с 5о = 10 эВ при соударении с самым легким из ато-
мов — атомом водорода, который примерно в 1837 раз тяжелее
электрона. Подстановка соответствующих величин в (4.34) дает
< 0.02 эВ. Если же электрон сталкивается с более тяжелы-
ми атомами ртути, масса которых около 200, то потеря энергии
'’десятивольтового'’ электрона в одном соударении станет прене-
брежимо малой:	< 0.0001 эВ.
Франк и Герц начали работу, слегка видоизменив методи-
ку Ленарда. Вместо фотокатода они использовали термокатод
прямого накала, то есть нагреваемую током металлическую нить,
в которой при достаточно высокой температуре тепловая энергия
части электронов позволяет им преодолеть тормозящее поле на
границе металла, в результате чего возникает термоэлектронная
эмиссия. Термоэлектроны немонокинетичны, они имеют разброс
по начальной кинетической энергии 8т порядка кТ.
Рис. 4.13. Схема установки для
изучения процесса столкновения
электронов с атомами (Франк
и Герц, 1913 г. )
Установка Франка и Герца
изображена на рис. 4.13. Срав-
нение ее с установкой Ленарда
(см. рис. 4.12) показывает, что
сетка G отодвинута от термо-
катода К (расстояние KG —
4 см, a GE — 2 мм), так что
ускоряемые в зазоре KG элек-
троны сталкивались с атома-
ми в основном до сетки, а не
после нее, как у Ленарда. Сна-
чала Франк и Герц воспро-
извели результат Ленарда, то
есть подтвердили порог воз-
никновения тока на электроде Е при повышении ускоряющего
напряжения на сетке G и постоянном тормозящем потенциале
-10 В на электроде Е. Так, для водорода Франк и Герц подтвер-
дили результат Ленарда, получив в качестве пороговой энергии
возникновения тока в цепи электрода Е величину около 11 эВ.
К
G
Е
Доказательство существования упругих соударений
В качестве основного объекта исследования Франк и Герц выбра-
ли благородные газы и пары ртути, о которых было известно,
что в них не образуются отрицательно заряженные ионы. Это
и позволило выявить характер соударений электронов с атома-
ми. При этом Франк и Герц существенно отклонились от мето-
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
575
дики Ленарда, решив фиксировать на электроде Е не ток якобы
положительно заряженных ионов, а ток электронов, эмитти-
рованных термокатодом К, для чего подавали на электрод Е
не отрицательные, а положительные напряжения.
Франк и Герц, меняя давление газа в установке (так что в про-
цессе движения от катода К до электрода Е электроны испыты-
вали от единиц до тысяч соударений48), убедились, что в "допо-
роговых” соударениях электроны теряли пренебрежимо малую
величину кинетической энергии А£, так что пересекали сетку G,
обладая энергией 8т + zUg — А£, практически неотличимой от
энергии 8т + cUg-
Для установления последнего факта Франк и Герц исполь-
зовали метод тормозящего поля (ранее уже использовавшийся
Ленардом для определения максимальной кинетической энергии
фотоэлектронов, см. рис. 2.21 в подразд. 2.8.1), суть которого за-
ключается в определении энергии частицы по высоте потенци-
ального барьера, который частица в состоянии преодолеть.
Если в установке Франка и Герца, скажем, при Ug = 10 В
начать уменьшать потенциал Ue на электроде Е от +9.5 В до
-0.5 В, то ток электрода Е постепенно уменьшится до нуля, при-
чем в интервале изменения Ue от +9.5 В до 0 В ток 1е сохра-
няет постоянное значение (так как все электроны, пролетевшие
сквозь сетку G, обладая энергией 8т~ А5+10 эВ, были способны
преодолеть задерживающее напряжение до 10 В), а затем умень-
шается, обращаясь в нуль. Очевидно, ток должен стать равным
нулю при таком потенциале (CZ^min, при котором ни один элек-
трон не в состоянии преодолеть задерживающий барьер, то есть
при (l/£?)min = —[(£г)тах ~ А£]/в.
Франк и Герц обнаружили, что отрицательный потенциал
(^е)гпш, пРи котором прекращается ток электрода Е, не зави-
сит от давления, пока электроны испытывают сотни и тысячи
соударений, и лишь когда давление достигало такой величины,
при которой электроны между катодом К и электродом Е испы-
тывали много тысяч соударений, потеря энергии электронами
в упругих соударениях начинала детектироваться. Так, Франк
и Герц нашли, что при упругих соударениях с атомами гелия
электроны отдают долю кинетической энергии, лежащую между
1.2-10-4 и 3• 10“4, тогда как расчетное значение средней энергии,
передаваемой электроном атому гелия при упругом соударении,
составило около 2.9 • 10-4.
48Очевидно, для этого понадобилось увеличивать давление в тысячу раз,
то есть на 3 порядка.
576
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Таким образом, Франк и Герц доказали, что до достижения
пороговой энергии столкновения электронов с атомами действи-
тельно носят упругий характер, то есть что электроны в упругих
соударениях с атомами теряют лишь небольшую долю энергии,
предписываемую уравнением (4-34), а сумма кинетических энер-
гий до и после соударения не изменяется.
Доказательство существования ударов первого рода
Далее Франк и Герц перешли к изучению неупругих соударе-
ний (которые они ошибочно принимали за акты ударной иони-
зации), снимая вольт-амперную характеристику (ВАХ), то есть
зависимость тока электрода Е от ускоряющего термоэлектроны
потенциала Ug-> но подав на электрод Е потенциал не в -10 В
(исключавший попадание на Е электронов при любых значени-
ях ускоряющего потенциала Ug), а потенциал Ue = Ug — 0.5 [В].
При этом между сеткой G и электродом Е возникло тор-
мозящее термоэлектроны напряжение -0.5 В, препятствующее
попаданию на электрод Е термоэлектронов только в том случае,
если энергия последних при пересечении сетки G была меньше
0.5 эВ.
Чтобы разобраться в результатах Франка и Герца, рассмот-
рим сначала вид более простой вольт-амперной характеристики,
которую можно было бы получить в установке Франка и Герца
без газа, если представить себе, что сетка G заменена сплошным
анодом G, так что измеряется ВАХ вакуумного диода Ig(Ug\
изображенная на рис. 4.14.
Рис. 4.14. ВАХ вакуумного
диода
Как видно, при Ug = 0 по цепи
идет ток, так как электроны из рас-
каленного катода, вылетая с неболь-
шой начальной кинетической энер-
гией St (доли электронвольта), мо-
гут достичь анода G. Поэтому нуж-
но некоторое тормозящее напряже-
ние, чтобы запереть ток. Однако при
нулевом напряжении далеко не все
электроны, вылетевшие из катода,
достигают анода: бблыпая часть электронов поворачивает назад
из-за тормозящего действия отрицательного пространственного
заряда вылетевших ранее электронов. Ускоряющее напряжение,
очевидно, облегчает электронам движение к аноду, поэтому при
небольших ускоряющих напряжениях ток растет, а затем насту-
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
577
пает насыщение тока, когда все эмиттируемые в единицу времени
из катода электроны достигают анода.
Франк и Герц решили получить зависимость тока 1е (а не
Ig) от ускоряющего потенциала Ug при прежнем условии
17E = 17G-O.5[B].B отсутствие газа единственная разница между
вольт-амперными характеристиками Ig(Ug) и Ie(Ug) заключа-
ется в том, что в последнем случае ток при Ug < 0 обращается
в нуль, поскольку на электрод Е при Ug = 0 как раз и подан
небольшой запирающий потенциал Ue = —0.5 В, препятствую-
щий термоэлектронам достичь электрода Е.
Франк и Герц поместили в откачанный объем ртуть и сня-
ли вольт-амперную характеристику Ie(Ug) при давлении паров
ртути около 1 Торр, получив кривую, изображенную на рис. 4.15.
Начальный участок ВАХ до первого максимума — это
и есть (^в пределах точности
измерений) начальный уча-
сток ВАХ вакуумного диода
(с нулевым током при отрица-
тельных напряжениях).
Франк и Герц правиль-
но объяснили это ссылкой на
уже доказанный ими факт
упругого характера соударе-
ний электронов с атомами при
допороговых значениях энер-
гии электронов, когда по пу-
ти к электроду Е электроны
теряют пренебрежимо малую
часть своей энергии, а их ко-
личество, приходящее на элек-
трод Е, не зависит от давле-
ния паров ртути.
Затем характер вольт-ам-
Рис. 4.15. ВАХ Ie(Ug) в парах
ртути при Ue = Ug—Q-5 [В] (Франк
и Герц, 1914 г.)
перной характеристики резко изменился, на ней появились мак-
симумы, расстояние между которыми оказалось равным 4.9 В.
Франк и Герц правильно объяснили это изменение характера
ВАХ возникновением неупругих соударений между электрона-
ми и атомами, неправильно при этом считая, что кинетическая
энергия при соударении тратится на ионизацию атома.
Рассуждения Франка и Герца были только качественными
и свелись к следующему: 4.9 В есть порог неупругих соударений
для атома ртути. Пока энергия термоэлектронов меньше поро-
578
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
говой энергии, происходят лишь упругие соударения электронов
с атомами ртути, а при приближении напряжения к порогово-
му значению часть термоэлектронов, обладающих максимальной
начальной тепловой энергией, у сетки G начинает набирать энер-
гию, достаточную для ’’ионизации” атома ртути в зазоре GE.
При этом, если происходит неупругое столкновение, то электрон
теряет в нем энергию 4.9 эВ, после чего оказывается, как прави-
ло, не способным преодолеть тормозящее поле, и поворачивает
от электрода Е к сетке G. Ток электрода Е начинает быстро па-
дать с ростом Ug вблизи порога, поскольку, во-первых, быстро
растет количество электронов, набирающих к моменту пересече-
ния сетки G энергию, превышающую пороговую, и, во-вторых,
очевидно, вблизи порога растет вероятность неупругого соударе-
ния с ростом энергии электрона, и все бблыпее число электронов
с энергией выше порога действительно испытывает неупругие со-
49
ударения .
При дальнейшем повышении ускоряющего потенциала Ug
плоскость, подходя к которой электроны набирают пороговую
энергию 4.9 эВ, начинает сдвигаться влево от сетки G. Поэто-
му неупругие соударения начинают происходить еще до зазора
GE. Если же электрон теряет энергию в зазоре KG, поле про-
должает его ускорять по направлению к сетке G, так что если
он успевает набрать энергию, превышающую 0.5 эВ, то он по-
падает на электрод Е. Поэтому с ростом Ug выше порогового
значения ток прекращает падать и вновь начинает расти, пока
значение Ug не достигает двойного порогового значения 9.8 В.
Тогда электроны дважды испытывают неупругое соударение, те-
ряя энергию почти до нуля, и ток электрода Е снова падает,
а затем снова начинает расти, пока Ug не достигает тройного
порогового значения, и так далее.
Итак, найдя, что расстояние между максимумами ВАХ есть
примерно 4.9 В, Франк и Герц неверно объявили его ионизацион-
ным потенциалом атома ртути. В то же время они сопоставили
свой результат с открытием Вуда. Как уже отмечалось выше,
Вуд обнаружил явление резонансной флуоресценции. При этом
Вуд помещал в резонансную лампу (см. рис. 4.9) не только на-
трий, но и ртуть, получив резонансную флуоресценцию ртути
49Кроме того, если бы Франк и Герц были правы, считая вслед за Ле-
нардом, что наблюдают начало ионизации, то, очевидно, образовавшиеся
в зазоре GE положительно заряженные ионы увлекались бы полем к элек-
троду Е, дополнительно уменьшая ток термоэлектронов. Однако, повторим,
в описываемом эксперименте ионизации не возникало.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
579
в ультрафиолетовом диапазоне на длине волны А = 2 537 А, что
соответствовало энергии фотона 4.89 эВ.
Совпадение энергии, теряемой электроном при неупругом со-
ударении с атомом ртути (4.9 эВ) и, говоря современным языком,
энергии фотона резонансного излучения ртути (4.89 эВ) в пре-
делах экспериментальной точности навело Франка и Герца на
мысль проверить, не испускает ли ртуть излучение и в их уста-
новке? Однако ультрафиолетовое излучение такой длины волны
обычным стеклом поглощается, поэтому Франк и Герц изготови-
ли в 1914 году новую установку, в которой баллон трубки был
не стеклянный, а кварцевый, причем начинка трубки состояла
только из паров ртути, платинового термокатода и платиново-
го же анода. Баллон нагревался до температуры 150 °C, так что
давление паров ртути в нем было около 3 Торр. Установка бы-
ла дополнена спектрографом, способным зафиксировать в том
числе и ультрафиолетовое излучение.
Франк и Герц нашли, что пока энергия электронов была мень-
ше 4.9 В, ртуть не испускала никакого излучения. Когда же
энергия достигла примерно 4.9 эВ, то, как Франк и Герц и запо-
дозрили, ртуть начала испускать монохроматическое излучение
с резонансной длиной волны А = 2 537 А.
Еще до завершения описанных экспериментов Бор обнародо-
вал свои гипотезы. Однако сначала об ударах первого и второго
рода не помышлял и сам Бор. Франк и Герц гипотезы Бора не
восприняли всерьез и опубликовали в 1914 году результаты своих
экспериментов, придерживаясь неверной ’’ионизационной” ин-
терпретации Ленарда. Правильно объяснить возникновение ре-
зонансного излучения в их установке Франк и Герц также не
смогли. Их работы были прерваны начавшейся Первой мировой
войной, они оба попали на фронт.
В 1915 году результаты Франка и Герца о возбуждении спек-
тра испускания ртути, содержащего единственную спектраль-
ную линию (пока энергия соударяющихся с атомами электронов
была ненамного выше порогового напряжения), были проверены
канадскими физиками Мак-Леннаном и Гендерсоном для ртути,
кадмия, цинка. Для этих элементов при некотором пороговом на-
пряжении (своем для каждого элемента) сначала возникал "од-
нолинейный” спектр, а затем, при некотором большем значении
напряжения возникал уже обычный спектр испускания, содер-
жащий множество линий.
В 1915 году Бор в уже упоминавшейся статье ”0 квантовой
теории излучения и структуре атома" в осторожной форме ука-
580 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
зал на возможность того, что Франк и Герц допустили ошибку,
считая, что обнаруженное ими пороговое напряжение связано
с возникновением ударной ионизации. При этом Бор дал совер-
шенно правильное объяснение результатов опыта Франка и Гер-
ца, а также Мак-Леннана и Гендерсона, указав, что с ростом
энергии электрона сначала должно происходить возбуждение
атома, то есть переход из основного состояния в вышележащие
разрешенные состояния, а в спектре испускания сначала должна
возникать единственная линия. Следовательно, 4.9 В — это не
потенциал ионизации ртути, а потенциал, необходимый для воз-
буждения атома из основного состояния в одно из возбужденных
состояний (критический потенциал). Из спектроскопических же
данных следовало, что потенциал ионизации ртути должен был
бы быть равен 10.5 эВ, на что также указал Бор.
Пока Франк и Герц служили в германской армии, проблемой
измерения ионизационных потенциалов молекул занялись также
американские физики Дэвис и Гуше. В 1916 году Гуше изгото-
вил установку, похожую на установку Франка и Герца (за ис-
ключением одного нововведения, заключавшегося в применении
катода косвенного накала, что сделало поверхность катода экви-
потенциальной и позволило уменьшить энергетический разброс
термоэлектронов у сетки G, ускоряемых разными напряжениями
при применении прямонакального катода).
ртути при Ue = —10 В (Гуше,
1916 г.)
Однако Гуше решил вос-
произвести методику Ленар-
да, а не Франка и Гер-
ца, то есть получить зави-
симость Ie(Ug), изображен-
ную на рис. 4.16 и соответству-
ющую случаю, когда термо-
электроны не попадают на Е
(например, при Ue = —10 В).
Иными словами, Гуше воспро-
извел эксперимент Ленарда,
показывающий возникновение
и рост тока электрода Е при
повышении ускоряющего напряжения Ug-
На рисунке показана одна вольт-амперная характеристика,
однако ее левая и правая половины изображены в разных мас-
штабах. Видно, что при пороговом напряжении около 5 В по
цепи электрода Е начинает течь сравнительно небольшой ток,
который при Ug ~ 10 В начинает стремительно возрастать (это
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
581
показано пунктиром на левой части ВАХ), так что после точки а
кривую пришлось изобразить в другом масштабе (вертикальный
масштаб изменился в 80 раз). Таким образом, дважды изобра-
женная точка а — это есть одна и та же точка ВАХ, изображен-
ная в масштабах, различающихся в 80 раз.
Подобного рода график мог бы получить (наполнив установ-
ку парами ртути) и Ленард в 1902 году. Из графика, получен-
ного Гуше в 1916 году, ясно видны по крайней мере два порога:
один при Ug ~ 5 В, связанный с возникновением относительно
небольшого тока, а второй — при Ug ~ 10 В, связанный с на-
чалом стремительного роста тока (видно, что среднее значение
производной после точки а возрастает примерно в 80 раз). Хотя
Гуше уже и знал о гипотезах Бора, и даже упоминал о них в ста-
тье, первоначально и он объяснил полученный результат неверно
(все еще ссылаясь на неверную ленардовскую '’ионизационную”
интерпретацию).
Между тем, порог возникновения тока в экспериментах Ле-
нарда, Франка и Герца, Гуше был связан не с началом ионизации
молекул газа, а с началом фотоэмиссии с электрода Е. Послед-
нее означает, что ток электрода Е до точки а и после точки
а имеет совершенно разную природу. С началом неупругих со-
ударений возбужденные атомы ртути начинают испускать фото-
ны резонансного излучения, которые, попав в электрод Е, ведут
к появлению фототока, то есть к вылету фотоэлектронов из
электрода Е, очевидно, ускоряемых далее электрическим полем
по направлению к сетке G. После же достижения действительно-
го порога ионизации ток электрода Е соответствует приходу
положительно заряженных ионов.
Поскольку квантовый выход из металлов в ближнем ультра-
фиолете не превышает 0.001 (см. подраздел 3.3.1), то фототок
много меньше тока положительно заряженных ионов, возникше-
го в установке Гуше при Ug > 10 В.
Установки Ленарда, Франка и Герца, Гуше не давали воз-
можности проверить, чему соответствует ток электрода Е (изоб-
раженный на рис. 4.16) — уходу электронов или приходу поло-
жительно заряженных ионов? Уже отчетливо это понимая, Гу-
ше усовершенствовал методику, введя в установку вторую сетку
G1, помещенную между сеткой G и электродом Е (см. рис. 4.18).
Применение второй сетки позволило Дэвису и Гуше в 1917 году
доказать, что в установке при энергиях электронов, меньших
10.4 эВ, не образуются положительно заряженные ионы, то
есть происходит не ионизация, а возбуждение атомов ртути.
582 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Дэвис и Гуше подавали на сетку G ускоряющий потенциал,
а на сетку G1 — тормозящий потенциал (например, -10 В), так
что ни при каких обстоятельствах термоэлектроны не могли до-
стигнуть сетки G1 (как в первых опытах Ленарда, а также Гу-
ше). В то же время между сеткой G1 и электродом Е можно было
прикладывать небольшую разность потенциалов (1.5 В) любого
знака.
Если бы в двухсеточной установке Дэвиса и Гуше при поро-
говом значении Ug = 4.9 В произошла ионизация атомов ртути
между сетками G и G1, то положительно заряженные ионы уско-
рялись бы относительно высокой разностью потенциалов и по-
падали бы на электрод Е независимо от знака небольшой разно-
сти потенциалов между сеткой G1 и электродом В, то есть знак
тока 1е не зависел бы от знака напряжения между сеткой G1
и электродом Е.
Дэвис и Гуше зафиксировали изменение знака тока электро-
да Е при смене знака напряжения между сеткой G1 и электро-
дом Е. На рис. 4.17 приведена ВАХ Ie(Ug) при двух напряже-
ниях разного знака между сеткой G1 и электродом Е.
Рис. 4.17. ВАХ Ie(Ug) в парах
ртути при Uegi = ±1.5 В (Дэ-
вис и Гуше, 1917 г.)
Если потенциал сетки G1 был,
скажем, на 1.5 В выше потенциа-
ла электрода £?, то по цепи элек-
трода Е шел ток, соответству-
ющий уходу электронов с элек-
трода Е (верхняя кривая В на
графике). При изменении знака
разности потенциалов между G1
и Е направление тока 1е меня-
лось и соответствовало приходу
электронов на Е (нижняя кривая
А на графике).
При напряжении Ug ~ Ю.З В
началась ударная ионизация ато-
мов ртути, положительно заря-
женные ионы начали поступать
на электрод Е в бблыпем коли-
честве, чем фотоэлектроны с сет-
ки G1, и ток электрода Е изме-
нил свой знак, перейдя в верхнюю
часть графика, соответствующую
положительным токам (то есть либо приходу положительно за-
ряженных ионов, либо уходу электронов).
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
583
Таким образом, Дэвис и Гуше первыми экспериментально
опровергли ’’ионизационную” интерпретацию Ленарда (продер-
жавшуюся 15 лет и не допускавшую прихода электронов на элек-
трод Е в двухсеточной установке), а также подтвердили воров-
скую интерпретацию опытов Франка и Герца: при достижении
критического потенциала 4.9 эВ термоэлектроны лишь возбуж-
дают атомы ртути, те — изотропно испускают ультрафиолето-
вые фотоны, которые, в свою очередь, вызывают фотоэмиссию
со всех металлических поверхностей. В итоге при любом знаке
разности потенциалов между сеткой G1 и электродом Е элек-
тронный фототок течет либо от сетки G1 к электроду £?, либо
наоборот, пока не начинается ионизация.
В то же время Дэвис и Гуше довольно точно определили
и ионизационный потенциал ртути, так как после действитель-
ного начала ионизации между сетками G и G1 положительно
заряженные ионы ускорялись электрическим полем к сетке G1
и, независимо от знака малой разности потенциалов между G1
и £7, достигали электрода Е. Скорость роста тока электрода Е
резко возросла, а направление тока перестало зависеть от знака
разности потенциалов между сеткой G1 и электродом Е. Дэвис
и Гуше нашли, что потенциал ионизации ртути есть 10.4 эВ, под-
твердив предсказание Бора и в этом пункте (современное значе-
ние потенциала ионизации ртути 10.4376 эВ).
В 1926 году Франк и Герц были награждены Нобелевской
премией по физике за 1925 год с формулировкой: ”за открытие
законов соударений электронов с атомами”.
История же с неверной интерпретацией процессов, происхо-
дивших в установке Франка и Герца (см. рис. 4.13), продолжается
по сей день. К сожалению, в большинстве изданных на русском
языке курсов атомной физики первая неверная интерпретация
Ленарда, Франка и Герца (’’ионизационная”) заменена второй
неверной интерпретацией, связанной с ошибочным извлечением
информации об энергетическом спектре атомов ртути на основе
графика, изображенного на рис. 4.15. Действительно, после того,
как Франк и Герц убедились в правоте Бора, вид ВАХ, изобра-
женной на рис. 4.15, наводил на мысль, что 4.89 В — это не потен-
циал ионизации ртути, а ее первый критический потенциал, при
котором происходит возбуждение атома из основного состояния
в первое возбужденное. Казалось бы, иначе быть не могло при
учете того, что в результате начала неупругих соударений пер-
вым возникает резонансное излучение ртути с энергией фото-
нов 4.89 эВ, что могло согласовываться с предположением о том,
584
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
что критический потенциал 4.89 В — первый. Однако вскоре же
было установлено, что уровень 4.89 В — не первый возбужден-
ный, а второй, что подчеркнул Герц в своей Нобелевской речи.
Тем не менее, многие авторы учебников по атомной физике до сих
пор почему-то ’’извлекают” из ВАХ, изображенной на рис. 4.15, невер-
ную информацию о том, что 4.89 эВ — ’’первый" критический потен-
циал, вновь и вновь впадая в ошибку интерпретации. Между тем, для
доказательства последнего нужно было бы предъявить количествен-
ное описание ВАХ, из которого следовало бы, что ее вид является
следствием наличия у атома ртути только двух дискретных энергети-
ческих уровней — основного и первого возбужденного, якобы лежаще-
го выше основного на 4.89 эВ. Однако факты — упрямая вещь, уровень
4.89 эВ у атома ртути — второй возбужденный, а теоретическое описа-
ние вольт-амперной характеристики, полученной Франком и Герцем,
достаточно трудоемко и, не считая ряда второстепенных факторов,
должно учитывать следующие основные: температуру термокатода,
определяющую распределение термоэлектронов по начальной энергии;
зависимость сечения50 неупругого соударения от энергии электрона51
(неизвестную Франку и Герцу), давление паров ртути и, наконец, рас-
пределение неупругих соударений по координате внутри зазора GE.
Перечисленные факторы, влияющие на вид ВАХ, приводят к появ-
лению непрерывных пиков с шириной на полувысоте около 2.5 В, не
позволяющих однозначно восстановить энергетический спектр атомов
ртути.
Причиной широко распространенного заблуждения, связан-
ного с тем, что критический потенциал 4.9 В неверно объяв-
ляется первым критическим потенциалом, является то, что
действительно первый возбужденный уровень (лежащий выше
основного на 4.67 эВ), является метастабильным52. Коэффи-
циент Эйнштейна спонтанного излучения для метастабильного
уровня сравнительно невелик (а время жизни невозмущенного
атома в таком состоянии может доходить до секунд), поэтому
релаксация атома ртути, возбужденного в первое (метастабиль-
ное) состояние идет не путем испускания фотона, а иначе.
50Вспомните определение сечения процесса [см. гл. 1, разд. 1.1, формула
(1.55)].
51 Априори можно лишь утверждать, что пока энергия электрона меньше
порогового значения, сечение неупругого соударения равно нулю, а затем,
когда энергия электрона начинает превышать пороговое значение, сечение
должно начать расти.
52Термин "метастабильный” был предложен Франком. В данном случае
он означает '’сверхстабильный”.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
585
В первой установке Франка и Герца давление паров ртути бы-
ло около 1 Торр (что отвечало температуре ртути около 125 °C),
так что среднее время между соударениями атомов (примерно
0.5 мкс) было много меньше времени жизни метастабильного со-
стояния. На самом деле неупругие соударения в установке Фран-
ка и Герца начинались53 при пороговом напряжении около 4.6 В,
но метастабильные атпомы в процессе соударений испытывали
удары первого рода, ведущие к ’’довозбуждению” атомов ртути,
то есть к их переходу из первого возбужденного состояния во
второе, лежащее выше основного как раз на 4.89 эВ.
Другими словами, наблюдались удары первого рода при со-
ударении возбужденного и невозбужденного атомов ртути, при
которых кинетическая энергия сталкивающихся атомов убыва-
ла на (4.89 — 4.67) эВ = 0.22 эВ. Атом же ртути, находящийся
в третьем разрешенном состоянии (то есть во втором возбужден-
ном), примерно за время 10-7 с испускает ’’резонансный” фотон
с энергией 4.89 эВ.
Вышеперечисленные факторы, влияющие на ширину пиков
на графике (см. рис.4.15), не позволили Франку и Герцу обна-
ружить начало неупругих соударений при Ug ~ 4.6 В.
Доказательство существования ударов второго рода
Опишем простой экспери-
мент, выполненный советски-
ми физиками Г.Д. Латышевым
и А. И. Лейпу неким для под-
тверждения существования
у атома ртути уровня 4.67 эВ.
В то же время экспери-
мент Латышева и Лейпунско-
го является прямым доказа-
тельством существования уда-
ров второго рода. Установка
Латышева и Лейпунского изоб-
ражена на рис. 4.18 и является
копией двухсеточной установ-
ки Гуше с модификацией, вве-
денной Франком после его воз-
вращения из армии.
А= 2 537 А
Рис. 4.18. Схема установки Латы-
шева и Лейпунского (1930 г.)
53 В предположении отсутствия контактной разности потенциалов между
катодом К и сеткой G.
586 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Последний придвинул ускоряющую сетку G очень близко к ка-
тоду К, так что в зазоре катод К — сетка G электроны ускоря-
лись, но, не успев испытать соударения, влетали в зазор между
сетками. Потенциалы сеток G1 и G были одинаковы, поэтому
электрическое поле в зазоре между сетками отсутствовало.
Давление паров ртути в установке было около 0.01 Торр (что
соответствовало температуре Т « 50°C). Пары ртути между сет-
ками облучались излучением от ртутной лампы, содержащим
спектральную линию А = 2 537 А. Атомы ртути, поглощая ре-
зонансные фотоны, переходили из основного состояния во вто-
рое возбужденное (то состояние, что обнаружили вначале Франк
и Герц). Большая часть возбужденных атомов ртути релаксиро-
вала прямо в основное состояние, спонтанно испуская резонанс-
ный фотон, а небольшая часть атомов, испытывая удар второго
рода (либо с невозбужденным атомом, либо с электроном; при
соударении суммарная кинетическая энергия сталкивающихся
частиц возрастала на 0.22 эВ), переходила на первый возбуж-
денный уровень (метастабильный). В метастабильном состоянии
атомы существуют достаточно долго для того, чтобы безызлуча-
тельно релаксировать (то есть испытать удар второго рода либо
с невозбужденными атомами, либо с электронами); при этом ки-
нетическая энергия соударяющихся частиц возрастает на 4.67 эВ,
а возбужденный атом с метастабильного уровня возвращается
Рис. 4.19. Зависимость тока
1е от задерживающей разности
потенциалов Uegi (Латышев и
Лейпу некий, 1930 г.)
в основное состояние.
Последнюю картину (по край-
ней мере в части соударений
с электронами) подтверждает ана-
лиз максимальной энергии элек-
тронов при включении и выклю-
чении ртутной лампы в установке
Латышева и Лейпу некого.
Применив метод тормозяще-
го поля, Латышев и Лейпунский
получили зависимость тока 1е
электрода Е от задерживающе-
го напряжения Ueg\^ приложен-
ного между сеткой G1 и электро-
дом Е при потенциалах на сетках
UG = UGi = 2.5 В.
На графике, изображенном на
рис. 4.19, кривая 1 соответству-
ет отключенной ртутной лампе,
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
587
а кривая 2 — включенной. Видно, что при ускоряющем термо-
электроны напряжении Ug = 2.5 В максимальная энергия элек-
тронов между сетками несколько превышает 2.5 эВ (на величи-
ну максимальной тепловой энергии термоэлектронов). Если же
включается ртутная лампа, то максимальная энергия электро-
нов между сетками возрастает на 4.7 эВ.
Последнее и подтверждает нарисованную выше картину: во-
первых, первый возбужденный уровень атома ртути лежит выше
основного примерно54 на 4.7 эВ; во-вторых, первый возбужден-
ный уровень атома ртути — метастабильный, так как с этого
уровня нет быстрой релаксации с испусканием фотона с энерги-
ей 4.667 эВ (то есть переход "оптически запрещен"55), в-третьих,
метастабильные атомы ртути передают целиком энергию воз-
буждения электронам при ударах второго рода.
Сам метастабильный уровень 4.67 эВ мог быть заселен тоже
только при ударах второго рода, так как переход атома ртути из
второго возбужденного ("резонансного") уровня на первый воз-
бужденный (метастабильный) с излучением инфракрасного фо-
тона с энергией 0.22 эВ крайне маловероятен, поскольку данный
переход также "оптически запрещен".
Таким образом, уже первые эксперименты Франка и Герца
доказали существование упругих и неупругих соударений элек-
тронов с атомами. При этом суть опытов Ленарда, Франка и Гер-
ца стала ясна только после появления гипотез Бора, обобщенных
и на удары первого и второго рода. Таким образом, гипотезы Бо-
ра стали основой для объяснения не только возникновения ли-
нейчатых спектров испускания и поглощения атомов, но и про-
цессов соударения микрочастиц между собой.
После опытов Ленарда в физике возникло новое направление
— физика атомных столкновений, в рамках которого гипотезы
Бора прошли всестороннюю проверку.
Остановимся еще лишь на весьма убедительных эксперимен-
тах Герца, показывающих последовательное появление новых
спектральных линий испускания, возникающих при бомбарди-
ровке атомов ртути электронами. Если использовать двухсеточ-
ную установку, изображенную на рис. 4.18, но только не облучать
зазор между сетками, а, наоборот, регистрировать спектр испус-
кания паров ртути, то можно по мере повышения потенциала се-
ток (то есть по мере повышения энергии электронов, влетающих
54Последующие более точные эксперименты дали значение 4.667 эВ.
55Об причинах такого поведения атомов будет рассказано далее в настоя-
щей главе.
588
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Я
5461
л' <<’ ' ?!
, ‘	>——	(0*2)
!!
4338 <W
м сад
Ж8 (7,9)®
4047 <V)g
36634
is^W5}(83)
ШО 8Ш|
Рис. 4.20. Спектры испускания
паров ртути (Герц, 1924 г.)
в зазор между сетками) наблю-
дать последовательное появление
все новых спектральных линий,
связанных с возбуждением ато-
мов ртути во все более высоковоз-
бужденные состояния.
На рис. 4.20 изображены спек-
тры испускания паров ртути при
их облучении электронами, уско-
ренными напряжениями 8.7 В
(слева) и 9.7 В (справа). Пока-
заны длины волн линий в анг-
стремах; числа в скобках — уско-
ряющие напряжения (в вольтах),
при которых начинают появлять-
ся линии. Видно, что при уско-
ряющем напряжении 8.7 В па-
ры ртути испускают четыре спек-
тральные линии (не считая двух

 J J	< j 05
.
Рис. 4.21. Схема энергетиче-
ского спектра атома ртути
резонансных, поглощаемых стек-
лом), а при повышении напряже-
ния до 9.7 В — уже тринадцать
линий.
На рис. 4.21 изображена схе-
ма разрешенных энергетических
уровней атома ртути. Приведе-
ны лишь уровни, ответственные
за возникновение спектральных
линий, зафиксированных Герцем
(см. рис. 4.20). Черточками обо-
значены остальные разрешенные
уровни энергии. Масштаб не со-
блюден (иначе некоторые уров-
ни слились бы). Справа указана
энергия уровня в электронволь-
тах, отсчитанная от уровня энер-
гии основного состояния. Вер-
тикальными отрезками обозначе-
ны оптические переходы (длины
волн спектральных линий приведены в ангстремах), соответству-
ющие наблюдаемым в спектре линиям.
Две наиболее интенсивные резонансные линии, не попавшие
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
589
в спектральный диапазон, исследованный Герцем, тем не менее,
указаны на рис. 4.21, а длины волн резонансных линий56 приве-
дены в скобках.
Внимательный читатель с помощью рис. 4.20 может просле-
дить57, в каком порядке (по мере увеличения энергии электро-
нов) возникают линии в спектре испускания паров ртути, воз-
буждаемых электронными ударами, а по рис. 4.21 может устано-
вить, переходу между какими разрешенными уровнями энергии
атома ртути обязаны своим появлением линии спектра испус-
кания. Например, помимо двух ультрафиолетовых резонансных
линий, при ускоряющем напряжении 7.7 В атомы ртути возбуж-
даются уже на шестой разрешенный уровень (пятый возбужден-
ный) 7.73 эВ, переходы с которого дают три наиболее яркие ли-
нии ртутного спектра в видимой области — зеленую (5461 А),
синюю (4358 А) и фиолетовую (4047 А).
Последний пример показывает, что оптические переходы (то
есть переходы, при которых энергия возбуждения атома уносит-
ся фотоном) не возникают между всеми возможными уровнями.
Другими словами, процесс релаксации возбужденного атома но-
сит вероятностный характер. Атом ртути, возбужденный на
шестой уровень, имеет высокую вероятность перейти на четвер-
тый, третий и второй разрешенные уровни и низкую вероятность
перейти на пятый и первый (основной) уровни энергии.
В целом же следует отметить, что гипотезы Бора, ставшие
основой для понимания процессов соударения атомов не только
с фотонами, но и со всевозможными микрочастицами (атомами,
ионами, молекулами, электронами), прошли всестороннюю про-
верку. Методы, разработанные в области физики атомных столк-
новений, толчок развитию которой дали описанные выше экспе-
рименты Ленарда, Франка и Герца, позволили определять набо-
ры возможных критических потенциалов микрочастиц. Анализ
данных о критических потенциалах, дополняемый спектроско-
пическими данными, дал возможность накопить к настоящему
времени информацию о разрешенных энергетических уровнях
{относительно уровня основного состояния) почти всех атомов
и ионов, а также многих молекул. Схема разрешенных энерге-
тических состояний атома ртути (см. рис. 4.21), была получена
56 Отметим еще раз, что резонансными называют линии, ответственные за
явление резонансной флуоресценции. Пары вещества, облучаемые резонанс-
ной линией, изотропно переизлучают только эту же резонансную линию.
57На правой части рис. 4.20 не показаны длины волн четырех линий, вос-
произведенных на левой половине того же рисунка.
590 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
именно таким способом.
В частности, было обнаружено, что наименьшей энергией
ионизации среди всех элементов обладает цезий (3.89 эВ), а наи-
большей — гелий (24.6 эВ). Таблица 4.3 дает представление об
энергии ионизации атомов второго и четвертого периодов ’’пе-
риодической” системы элементов и некоторых молекул (с точно-
стью до первых трех знаков).
Таблица 4.3
Энергия ионизации ряда атомов и молекул (в электронвольтах)
Атом	Энергия ионизации	Атом	Энергия ионизации	Молекула	Энергия ионизации
Na	5.14	к	4.34	n2	15.9
Mg	7.65	Са	6.11	О2	12.1
Al	5.99	Sc	6.56	NaCl	11.4
Si	8.15	Ti	6.82	HF	16.0
p	10.49	V	6.74	CS	11.3
s	10.36	Сг	6.77	H2O	12.6
Cl	12.97	Мп	7.43	co2	13.8
Ar	15.76	Fe	7.90	c6H6	11.5
Следует напомнить, что положительно заряженные ионы эле-
ментов также имеют дискретный набор разрешенных состояний58
и свою энергию ионизации59. То же самое относится и к мо-
лекулярным ионам. В спектроскопии принято обозначать заря-
довое состояние атома римскими цифрами. Например, ряд UI,
UII, UIII, UIV обозначает нейтральный атом урана, одно-, двух-
и трехкратно положительно заряженные ионы урана60, которые
вне рамок спектроскопии обозначаются более наглядно как U,
U+, U2+, U3+, ..., U92+. По мере роста кратности заряда иона
энергия ионизации возрастает, так как растет притяжение уда-
ляемого электрона к ядру. Так, энергия ионизации членов ряда
UI, UII, UIII, UIV составляет 6.19, 11.9, 20 и 37 эВ соответствен-
но.
Измерение ионизационных потенциалов атомов, ионов, мо-
лекул позволяет найти энергию их основного состояния, от-
считанную, как говорят, от уровня вакуума.
58Это следует уже из характера искровых спектров испускания (когда из-
лучают как атомы, так и ионы), представляющих собой набор резких спек-
тральных линий.
59 Последнее по понятной причине не относится к водороду.
60Так как уран - девяносто второй элемент, то вышеприведенный ряд фор-
мально имеет последним членом ядро урана — UXCIIL
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
591
Действительно, поскольку энергия ионизации атома (молеку-
лы, иона) есть минимальная энергия, необходимая для удаления
из атома (молекулы, иона) одного электрона, а сумма энергий
покоящихся бесконечно далеко друг от друга иона и электрона
принимается равной нулю, то энергия ионизации атома равна
взятой с обратным знаком энергии основного состояния атома
—51, что следует просто из закона сохранения энергии.
Таким образом, если энергетический спектр атома расшиф-
рован относительно уровня основного состояния, то измерение
энергии ионизации атома (молекулы, иона) позволяет найти аб-
солютные значения энергии для всех разрешенных состояний.
Однако в акте ионизации удаляемый из атома электрон мо-
жет получить (путем поглощения фотона или при соударении
атома с электроном, ионом, другим атомом или молекулой) энер-
гию, превышающую энергию ионизации. Такой процесс на энер-
гетической диаграмме изображают вертикальным отрезком (или
стрелкой), ведущим от одного из разрешенных уровней дискрет-
ного спектра до уровня положительной энергии, равной (в слу-
чае поглощения фотона) разности между энергией фотона и энер-
гией ионизации. Обратным процессом будет рекомбинация иона
и электрона, сопровождаемая испусканием фотона. Именно по-
добная рекомбинация ответственна за возникновение на спек-
трах испускания участков непрерывного спектра, примыкающих
к границам спектральных серий.
Таким образом, область положительных энергий является об-
ластью возможных энергий системы из иона и электрона, а дис-
кретный спектр отрицательных уровней энергии отвечает атому
(локализованной частице).
Ряд атомов и молекул может также образовывать отрица-
тельно заряженные ионы (путем присоединения одного элек-
трона). Такое свойство было названо сродством к электрону.
Энергией сродства к электрону называют энергию ионизации
соответствующего отрицательно заряженного иона. Наибольшей
энергией сродства к электрону среди элементов обладает фтор
(3.40 эВ). Атомы ряда элементов не образуют устойчивых отри-
цательно заряженных ионов. К последним относятся, в частно-
сти, азот61, все благородные газы, некоторые металлы — магний,
кальций, цинк, кадмий, ртуть, марганец и ряд других.
Таблица 4.4 дает представление об энергии сродства к элек-
трону ряда атомов и молекул.
61 Молекула азота также не образует устойчивого отрицательно заряжен-
ного молекулярного иона.
592
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Таблица 4.4
Энергия сродства к электрону некоторых атомов и молекул
(в электронвольтах)
Атом	Энергия сродства	Атом	Энергия сродства	Молекула	Энергия сродства
н	0.754	Ni	1.16	О2	0.44
Li	0.618	Си	1.23	NaCl	0.73
С	1.26	Ge	1.23	NO3	3.7
0	1.46	Pt	2.13	UF6	5.0
S	2.08	Au	2.31	PtF6	8.0
Окончательная формулировка гипотез Бора
Выше было разъяснено, что гипотезы Бора позволили объяснить
как возникновение линейчатых спектров испускания и поглоще-
ния атомов, так и явления, наблюдаемые при столкновениях ча-
стиц между собой (упругие соударения, удары первого и вто-
рого рода62). Фактически гипотезы Бора давно уже являются
надежно экспериментально обоснованными законами природы.
С учетом того, что первоначально выдвинутые в 1913 году
Бором гипотезы были в последующем уточнены, дадим их со-
временную формулировку и назовем соответствующие положе-
ния законами Бора.
Первый закон Бора:
Все свободные локализованные микрообъекты (атомы, ио-
ны, молекулы, ядра) обладают квазистационарными состо-
яниями, определяемыми дискретным набором отрицатель-
ных внутренних энергий, из которых низшее состояние —
стационарное.
Второй закон Бора:
Возбуждаться микрообъекты могут при столкновении
с другими частицами (в том числе с фотонами), а релакси-
ровать могут либо спонтанно (с испусканием фотонов или
иных частиц), либо вынужденно (при столкновении с дру-
гими частицами, в том числе с фотонами).
Как при возбуждении, так и при релаксации выполняются
законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.
62 Представление об ударах первого и второго рода было введено шведски-
ми физиками Клейном и Росселандом в 1921 году.
4.1. АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
593
Всеобщность законов Бора проил-
люстрируем лишь еще двумя примера-
ми, традиционно относимыми к ядер-
ной физике.
На рис. 4.22 изображена схема фо-
торасщепления дейтрона — ядра ато-
ма дейтерия, состоящего из связанной
пары — протона и нейтрона. Следу-
ет вспомнить, что размеры ядер при-
мерно на пять порядков меньше раз-
меров атомов, а протоны и нейтроны
в ядрах удерживаются силами сильного
взаимодействия, что ведет к измене-
нию масштабов энергетического спек-
тра ядер.
Как видно из рисунка, дейтрон име-
ет единственное разрешенное (и поэто-
му автоматически стационарное) состояние с внутренней энерги-
ей S± = —2.23 Мэв. При этом нулевой энергии соответствует рас-
щепленный дейтрон (на протон и нейтрон), причем его составные
части предполагаются покоящимися далеко друг от друга. Дру-
гими словами, энергия расщепления дейтрона (соответствующая
энергии ионизации атомов) есть 2.23 Мэв. Дейтрон может погло-
тить фотон с энергией hv > 2.23 Мэв, и такой процесс изобра-
жают вертикальной стрелкой, а обозначает он фоторасщепление
дейтрона.
Наоборот, протон и нейтрон, суммарная кинетическая энер-
гия которых больше нуля, могут образовать дейтрон, испустив
при этом фотон, энергия которого будет на 2.23 Мэв больше сум-
марной кинетической энергии протона и дейтрона. Поскольку
типичные расстояния между разрешенными уровнями энергии
ядер составляют мегаэлектронвольты, то процессы возбуждения
и релаксации ядер идут с участием фотонов 7-диапазона элек-
тромагнитного спектра. Собственно говоря, два фотона даже
одинаковой энергии могут быть названы по разному: 7-квантом
назовут фотон, испущенный ядром, а рентгеновским фотоном
тот, который испущен электронной оболочкой атома63.
Законы Бора можно также проиллюстрировать на примере
/3-распада изотопа кобальта 60Со, имеющего период полураспада
5.3 года. Последний процесс изображен на рис. 4.23.
63Вспомните о характеристическом рентгеновском излучении, под-
разд. 3.1.4.
594
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Мэв
Рис. 4.23. Схема распа-
да ядра 60Со
За 5.3 года половина ядер изотопа
(из любого макроскопического количе-
ства 60 Со) самопроизвольно (спонтан-
но) превращается в ядро изотопа нике-
ля, испуская электрон е~ и электронное
антинейтрино ие.
В испытавших /3-распад ядрах ко-
бальта происходит распад нейтрона по
схеме
п —> р + е~ + ие .
При этом заряд ядра увеличивается
на единицу, и ядро кобальта — два-
дцать седьмого элемента, превращает-
ся в возбужденное ядро никеля — два-
дцать восьмого элемента, что изобра-
жают реакцией
60Со -> 60Ni* + е~ + Fe ,
где звездочка изображает возбуждение ядра.
Разница энергий между основным состоянием ядра кобальта
и возбужденным состоянием ядра никеля составляет примерно
0.3 Мэв. Эту энергию уносят с собой электрон и электронное
антинейтрино. Далее возбужденное ядро никеля дважды спон-
танно релаксирует, сначала испуская 7-квант с энергией 1.1 Мэв,
а затем 7-квант с энергией 1.3 Мэв, оказываясь в основном со-
стоянии.
Заключительные замечания по поводу законов Бора
Как уже отмечалось, законы Бора объяснили смысл комбина-
ционного принципа Ритца64. Но вот смысл самих законов Бо-
ра был совершенно загадочным. Классическая физика не могла
объяснить факта дискретности разрешенных уровней внутрен-
ней энергии микрообъектов. Например, Солнечная система —
объект, напоминающий гигантский атом, в котором вокруг Солн-
ца (ядра) обращаются планеты (электроны). Однако в рамках
классической механики считается, что по крайней мере в прин-
ципе планета может находиться на любом удалении от Солнца,
64В 1922 году Бору была присуждена Нобелевская премия по физике "за
заслуги в исследовании строения атомов и испускаемого ими излучения”.
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
595
а прохождение Солнечной системы вблизи другой звезды спо-
собно изменить ее внутреннюю энергию, вызвав плавное измене-
ние параметров планетных орбит. Микрообъекты же ведут себя
совершенно иначе. Пока внешнее воздействие меньше опреде-
ленной величины, микрообъект находится в одном и том же
неизменном основном состоянии. Последнее и объясняет устой-
чивость и неизменность окружающего мира, так как соударения
атомов и молекул в процессе теплового движения не вызывают
плавного изменения их внутреннего состояния.
Законы Бора сделали окончательно ясным то, что классиче-
ская физика не в состоянии описать свойства микрообъектов.
Почти всем физикам стала понятной необходимость создания
новой теории, которая позволила бы разъяснить смысл законов
Бора и дать возможность теоретически вычислять спектр раз-
решенных энергий для микрообъектов.
Первый шаг в этом направлении сделал сам Бор, предложив спо-
соб вычисления квазистационарных уровней энергии для атома водо-
рода. И хотя внешне Бор достиг успеха, то есть вычислил разрешенные
энергии для атома водорода, но его исходные посылки были принци-
пиально непоследовательными. Бор предложил частное правило кван-
тования (относящееся только к одноэлектронным системам HI, Hell,
Lilli и так далее), в рамках которого одновременно считались при-
менимыми и неприменимыми законы ньютоновской механики и макс-
велловской электродинамики. Традиционно теория Бора излагается
в учебниках по атомной физике, но, с точки зрения автора настояще-
го издания, ознакомление с этим первым шагом Бора (сохраняющим
в полной мере классическую наглядность там, где ее нет) способно
принести только вред учащимся, создавая в сознании в корне невер-
ное представление о поведении микрообъектов. Поэтому в настоящем
издании подход Бора к вопросу квантования одноэлектронных систем
не излагается.
4.2 Открытие всеобщности
корпускулярно-волнового дуализма
Первые десять лет, последовавших за формулировкой гипотез
Бора, были мучительным временем поиска новых законов приро-
ды. Крупным шагом на пути прогресса в понимании поведения
микрочастиц стала выдвинутая тридцатиоднолетним француз-
ским физиком Луи де Бройлем совершенно новая, неожиданная
и смелая идея.
596 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
В главе 3 настоящего издания было подробно освещено от-
крытие корпускулярной природы электромагнитного излучения.
Оказалось, что излучение, макроскопически ведущее себя как
волна с круговой частотой ш и длиной волны А, состоит на самом
деле из частиц — фотонов, обладающих энергией £ и импульсом
р, причем
£ = Пы,	(4.35)
р = hk,	(4.36)
где к — волновой вектор плоской волны, длина которого (по
определению) есть 2тг/А [см. разд. 3.3, формулы (3.184), (3.186)].
Можно сказать, что соотношения (4.35)—(4.36) по Эйнштей-
ну читаются ’’справа налево”, то есть электромагнитным волнам
с круговой частотой ш и длиной волны А сопоставлены частицы
(фотоны) с энергией £ и импульсом р = h/X.
К началу 1920-х годов, когда еще не было построено последо-
вательной теории, исходящей из факта дискретности излучения,
часть явлений с участием излучения объяснялась только на ос-
нове классической электродинамики (например, интерференция
и дифракция света), а часть — только на основе представления
о дискретности излучения (например, эффект Комптона и фо-
тоэффект), что привело к появлению довольно неопределенной,
несущей в себе внутреннее противоречие идеи о корпускулярно-
волновом дуализме, суть которой в шутливой форме была выска-
зана Брэггом-отцом: ’’...каждый физик вынужден по понедель-
никам, средам и пятницам считать свет состоящим из частиц,
а в остальные дни недели — из волн". Хотя подобное понима-
ние корпускулярно-волнового дуализма излучения было абсур-
дом, оно просуществовало довольно долго, кочуя в разных мо-
дификациях из книги в книгу многие десятилетия. В настоящее
время термин "корпускулярно-волновой дуализм" широко при-
меняется, однако в него следует вкладывать совсем иной смысл,
чем первоначально.
В 1923 году Луи де Бройль, размышляя над идеей о корпуску-
лярно-волновом дуализме излучения, предположил, что подоб-
ное свойство (дуализм) должно быть универсальным атрибутом
материи, а не только излучения. Иными словами, Луи де Бройль
предположил, что и объектам, считавшимся ранее классически-
ми частицами, должны быть присущи волновые свойства.
Своей смелой и неожиданной гипотезе Луи де Бройль сумел
придать количественную форму, по-существу предложив читать
соотношения (4.35)—(4.36) не по Эйнштейну ("справа налево"),
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
597
а наоборот, ’’слева направо”, то есть сопоставляя каждому сво-
бодному объекту (считавшемуся ранее классической частицей),
обладающему полной энергией 8 и импульсом р, плоскую волну
неизвестной природы, обладающую круговой частотой ш и дли-
ной волны А. В частности, последняя величина получила назва-
ние длины волны де Бройля или де-бройлевской длины волны.
Иными словами, Луи де Бройль сопоставил свободной ча-
стице с энергией 8 и импульсом р комплекснозначную волну
Ф(г,£) = Cexp[i(kr — cut)],	(4-37)
распространяющуюся в направлении импульса свободной части-
цы (С — произвольное комплексное число). Волна (4.37) полу-
чила название волны материи (так как сопоставлялась частице
с ненулевой массой), или волны де Бройля.
Хотя гипотеза Луи де Бройля не имела корней в известных
экспериментальных фактах, а физический смысл волны (4.37)
был непонятен, гипотеза была математически точно сформули-
рована. В частности, длина волны де Бройля А с помощью урав-
нения (4.36) выражается через постоянную Планка и импульс
частицы:
2тг	z ч
А= —=	(4.38)
к р
В нерелятивистском приближении для электрона получаем
X--- h - 12,25
Р	у/ 2?72е £fr	у/U
где £k — кинетическая энергия электрона, обычно выражаемая
через ускоряющее напряжение U (выраженное в вольтах), кото-
рое нужно пройти первоначально покоившемуся электрону, что-
бы набрать кинетическую энергию 8^.
Например, для электрона с кинетической энергией 100 эВ
имеем U = 100 В, что после подстановки в формулу (4.39) вместо
U числа 100 даст А = 1.225 А, то есть величину, сопоставимую
с расстоянием между ядрами атомов в кристаллах.
Хотя подлинный смысл гипотезы де Бройля (оказавшейся со-
вершенно правильной) был раскрыт лишь после создания кван-
товой механики в 1925—1926 годах, рассмотрим уже сейчас воз-
можные следствия гипотезы де Бройля на основе современно-
го (свободного от противоречия, то есть от абсурда) понятия
о корпускулярно-волновом дуализме.
598
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Установление корпускулярной природы излучения сделало
очевидным то, что классическое представление (выработанное
в рамках фарадей-максвелловской электродинамики) об элек-
тромагнитном излучении есть лишь приближение, которое, фор-
мально описывая с помощью уравнений Максвелла изменение
непрерывно распределенной энергии электромагнитного по-
ля в пространстве-времени, на самом деле приближенно описы-
вает поведение совокупностей огромного числа фотонов.
Электромагнитного же излучения в смысле максвелловской
электродинамики вовсе не существует. Эйнштейн первым вы-
сказал мысль, что электромагнитное поле есть всего лишь мате-
матический объект — "ведущее поле", предписывающее частице
(фотону) его "путь".
В последнем положении неточным оказалось лишь то, что
Эйнштейн приписал фотону "путь". Как было подробно разъяс-
нено в главе 3, фотон оказался недетерминированной частицей,
которой невозможно приписать никакой "путь". Иными словами,
современная физика не позволяет дать наглядное представление
о том, каким образом фотоны перемещаются в пространстве-
времени65. Исходы дифракционных экспериментов (вроде опы-
та Юнга) с участием фотонов описываются комплекснозначной
функцией — амплитудой вероятности обнаружения (детектиро-
вания) фотона.
Широко используемый по настоящий день термин "корпус-
кулярно-волновой дуализм" следует понимать в том смысле,
что между поведением частиц, описываемых классической ме-
ханикой, и поведением реальных микрочастиц (имеющих ло-
кализованные энергию, импульс и момент импульса) есть ги-
гантская разница, заключающаяся в том, что реальные мик-
рочастицы являются недетерминированными объектами, что
означает, во-первых, что с определенной вероятностью они мо-
гут оказаться в любом месте пространства, и во-вторых, что
современная физика не располагает наглядной моделью того,
как недетерминированные частицы перемещаются в простран-
стве-времени.
Признание факта недетерминированности фотонов и отказ
от описания их перемещения в пространстве-времени в терминах
классической механики оказались той ценой, которую пришлось
заплатить за уход от первоначальной абсурдной идеи о корпус-
кулярно-волновом дуализме, когда считалось, что по понедель-
65Читателю рекомендуется повторить начало раздела 3.4, включая под-
разделы 3.4.1—3.4.2 гл. 3 перед продолжением чтения последующего текста.
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
599
никам, средам и пятницам излучение есть непрерывно распре-
деленная в пространстве энергия электромагнитного поля,
а в остальные дни недели — дискретно распределенная.
Забегая несколько вперед, отметим, что гипотеза де Бройля
означала перенос свободного от логического противоречия пред-
ставления о корпускулярно-волновом дуализме на другие микро-
частицы, обладавшие ненулевой массой. Иными словами, из идеи
де Бройля можно было сделать вывод, что электроны и прочие
микрочастицы с ненулевой массой должны быть недетерминиро-
ванными частицами, связанными с некоторым математическим
объектом, аналогичным "ведущему полю" Эйнштейна, заменяю-
щему представление об электромагнитном поле максвелловской
электродинамики.
Применительно к частицам с ненулевой массой новый ма-
тематический объект позднее уподоблялся немецким физиком
Максом Борном "полю-призраку", общепринятое название кото-
рого теперь — "волновая функция", а волна де Бройля (4.37)
есть частный случай волновой функции, отвечающей свободной
частице, обладающей энергией £ и импульсом к.
Свои идеи Луи де Бройль суммировал в докторской диссер-
тации, которую защитил 29 ноября 1924 года на факультете точ-
ных наук Парижского университета. Благодаря поддержке Эйн-
штейна защита прошла благополучно несмотря на то, что идеи
не имели каких-либо экспериментальных подтверждений и каза-
лись в высшей степени парадоксальными.
На защите Перрен задал Луи де Бройлю вопрос о том, мож-
но ли наблюдать его волны экспериментально, на что Луи де
Бройль дал ответ, что для этого нужно поставить опыты по ди-
фракции электронного пучка на кристаллах. И это предположе-
ние де Бройля, наполняющее гипотезу операциональным (то есть
физическим) смыслом, оказалось верным — очень скоро гипоте-
за была подтверждена именно в экспериментах по отражению
электронов от поверхностей металлов66.
4.2.1 Экспериментальное подтверждение
гипотезы де Бройля для электронов
С начала 1920-х годов в лаборатории телефонной компа-
нии "Белл" американский физик К.Дж. Дэвиссон с сотрудника-
ми занимались изучением вторично-электронной эмиссии (ВЭЭ),
66После этого в 1929 году Луи де Бройлю была присуждена Нобелевская
премия по физике ”за открытие волновой природы электронов”.
600
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
то есть исследовали испускание электронов поверхностью метал-
ла, облучаемого потоком первичных электронов. Тема исследо-
вания была уже не новой, результаты сильно зависели от состо-
яния поверхности, и никто не предполагал, что будет найдено
что-то неожиданное.
Было установлено, что при энергии первичных электронов
в десятки и сотни электронвольт большинство вторичных элек-
тронов имеет энергию всего в несколько электронвольт. Такие
’’медленные” электроны позднее были названы "истинно-вторич-
ными”, их количество могло превышать количество первичных
электронов, так что это были электроны, первоначально при-
надлежавшие металлу. Истинно-вторичные электроны аналогич-
ны фотоэлектронам за той лишь разницей, что источником до-
полнительной энергии, позволяющей электрону преодолеть поле
сил работы выхода, в случае фотоэмиссии является энергия по-
глощаемых фотонов, а в случае вторично-электронной эмиссии
— кинетическая энергия первичных электронов, проникающих
в металл.
Наряду с медленными истинно-вторичными электронами от
поверхности отражались и электроны первичного пучка, некото-
рые из отраженных электронов теряли значительную долю своей
энергии, а некоторые — отражались упруго, то есть практически
не теряли при отражении от поверхности металла энергии.
"Быстрые” отраженные электроны можно было легко выде-
лить из общего потока вторичных электронов, прикладывая за-
держивающую разность потенциалов между поверхностью ме-
талла и детектором электронов. Еще в 1921 году Дэвиссон и Канс-
мэн исследовали пространственное распределение отраженных
от поверхности поликристаллического никеля электронов, энер-
гия которых была не менее 90 % энергии первичных электронов.
Было установлено, что в некоторых направлениях быстрые элек-
троны отражаются более интенсивно.
Так, на четырех диаграммах интенсивность-угол, изображен-
ных на рис. 4.24, отрезками обозначена поверхность никеля, на
которую справа падают электроны с энергией 75 эВ. Кривые
интенсивность-угол построены таким образом, что вектор, про-
веденный от точки падения первичных электронов до любой точ-
ки кривой, пропорционален потоку быстрых вторичных электро-
нов, рассеиваемых поверхностью в заданном направлении67.
67При рассеянии излучения подобные кривые называются индикатрисами
рассеяния. См., например, рис. 3.5.
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ дуализм
601
Рис. 4.24. Пространственное распределение в плоскости падения от-
раженных от поверхности Ni электронов при энергии первичных элек-
тронов 75 эВ (Дэвиссон с сотрудниками, 1921—1925 гг.)
Две верхние кривые соответствуют двум разным углам па-
дения первичных электронов на поверхность обычного, то есть
поликристаллического никеля. На верхних диаграммах видны
пологие максимумы, которые Дэвиссон сначала попытался свя-
зать со строением атома никеля (содержащего 28 электронов),
поскольку с классической точки зрения отражение электрона от
металла объясняется воздействием электрического поля атомов
мишени. Как вскоре стало ясно, идея связать особенности кри-
вой интенсивность-угол для рассеянных электронов со строением
атома Ni была ошибочной, в чем помогла убедиться случайность,
описанная самим Дэвиссоном:
«Во время работы сосуд с жидким воздухом взорвался в тот
момент, когда мишень была сильно нагрета; вакуумная трубка
разбилась, и мишень сильно окислилась наружным воздухом.
В конце концов окись восстановили, и верхний слой мишени уда-
лили испарением, для чего пришлось многократно прогревать
мишень в водороде и в вакууме при разных температурах.
Когда эксперименты начались вновь, было обнаружено, что
угловое распределение рассеиваемых электронов совершенно из-
менилось. <...> Столь заметная перемена в картине рассеяния
была приписана рекристаллизации мишени, произошедшей в ре-
зультате длительного нагревания. Непосредственно перед этим,
а также в ранее проведенных экспериментах мы изучали рассея-
ние электронов на множестве маленьких кристаллов, а в опытах,
602
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
проделанных после этого случая, рассеяние происходило только
на нескольких довольно больших кристаллах. Число их было по-
рядка десяти».
И действительно, на двух нижних кривых, изображенных на
рис. 4.24, приведены угловые зависимости (при той же энергии
первичных электронов и тех же углах падения), полученные по-
сле возобновления измерений, прерванных взрывом. Появление
значительного количества отчетливых максимумов на угловых
зависимостях рассеяния можно было связать лишь с изменением
структуры поверхности, на которой вместо кристаллитов разме-
рами около 1 мкм теперь было только десять монокристаллов
размерами порядка нескольких миллиметров.
Немецкий физик Эльзассер первым в 1925 году опубликовал
предположение о том, что полученные Дэвиссоном и Кансмэ-
ном еще до взрыва угловые зависимости рассеяния электронов
могут быть интерпретированы как следствие волновой природы
электронов. Дэвиссон обратил внимание на заметку Эльзассера,
но не придал ей никакого значения!
Во время посещения Англии в 1926 году Дэвиссон обсудил
полученные результаты с европейскими коллегами, после чего
все же решился проверить версию о дифракции де-бройлевской
волны на монокристалле никеля.
Длина волны де-бройлевской волны определялась соотноше-
нием (4.39), и в 1927 году Дэвиссон и Джермер обнаружили
20 дифракционных максимумов, приблизительно соответствую-
щих дифракционным максимумам, описываемым уравнениями
Лауэ (3.33)-(3.35).
Несовпадение максимумов при брэгговском отражении рент-
геновских лучей и электронных волн (одинаковых длин волн)
было объяснено в том же 1927 году американским физиком Эк-
картом, а также немецким физиком Бете, которые указали на
преломление электронной волны де Бройля при проникновении
в металл. Такой эффект пренебрежимо мал при падении рентге-
новского луча на поверхность кристалла, но существен для элек-
тронов с энергиями порядка 100 эВ.
Действительно, так как волна де Бройля распространяется
в направлении импульса частицы, а электрон меняет направле-
ние распространения при пересечении поверхности металла, то
электронная волна де Бройля на поверхности металла должна
преломляться. Остановимся на данном вопросе подробнее и мо-
дифицируем уравнение Брэгга (3.46) для случая, когда показа-
тель преломления среды п отличен от единицы.
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ дуализм
603
Пусть на поверхность металла падают под углом скольжения
19 нерелятивистские электроны, ускоренные напряжением (7, то
есть обладающие кинетической энергией eU. Электронам сопо-
ставляется де-бройлевская волна с длиной волны А = h/V^meU,
падающая под тем же углом скольжения 'д на металл, как это
изображено на рис. 4.25.
Учитывая в первом при-
ближении, что металл пред-
ставляет собой потенциаль-
ную яму для свободных элек-
тронов, обозначим неизвест-
ную глубину этой потенциаль-
ной ямы через V (отметим
в скобках, что не следует пу-
тать потенциальную энергию
eV с работой выхода метал-
ла, так как работа выхода ме-
талла, очевидно, должна быть
меньше eV на величину мак-
Рис. 4.25. К учету преломления
электронной волны де Бройля на
поверхности металла
симальной кинетической энергии свободных электронов внутри
металла).
При пересечении поверхности металла поперечная кинетиче-
ская энергия электрона должна вырасти на величину eV, а про-
дольная остаться неизменной, так что угол скольжения электро-
на внутри металла увеличится. Величину & можно найти с по-
мощью очевидного соотношения
e(7sin2i9 + eV
eU cos2i9
(4.40)
Вместе с изменением направления движения электрона внут-
ри металла и фронт де-бройлевской волны (отрезок АВ на ри-
сунке, перпендикулярный импульсу электрона) изменит свое на-
правление. Так как на фронте волны любой природы фаза волны
постоянна, то из рис. 4.25 видно, что ’’оптическая” разность хода
между двумя лучами, отраженными от двух последовательных
плоскостей системы атомных плоскостей, есть сумма длин от-
резков AD + DC= 2d sin т?', умноженная на показатель прелом-
ления п.
В свою очередь, показатель преломления может быть опре-
604 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
делен с помощью закона Снеллиуса:
_ sin(7r/2 —19) _ cos 19
П sin(7r/2 — tf') cos 19' ’
Легко показать, что величина п для падения электронов на
поверхность металла не зависит от угла скольжения 19. Действи-
тельно, так как продольный импульс электрона при пересечении
поверхности не меняется, то р cos 19 = р'cos 19', где р' — величина
импульса электрона в металле. В то же время очевидно, что
р' _ leU + eV _ Г V
р \ eU V 1 + и'
откуда получаем
cos t9/ р V U
Потребовав теперь, чтобы "оптическая” разность хода была
равна целому числу длин волн, получим условие усиления волн
при брэгговском отражении, когда происходит дифракционное
(зеркальное) отражение от какой-либо системы атомных плос-
костей:
2d sin 19'^4; =
cos 19'
Подставляя в последнее условие tg 19Z из уравнения (4.40),
окончательно получаем уравнение Брэгга в общем случае отлич-
ного от единицы показателя преломления п:
2d{hki) Vn2 - cos2i9 = NX,	(4.42)
где в общем случае стоит межплоскостное расстояние произволь-
ной системы атомных плоскостей d^iy
Следует подчеркнуть, что введенная в рассмотрение глубина
потенциальной ямы (или, более точно, средний внутренний по-
тенциал металла для электрона с заданной энергией eU) ранее
никем не измерялась. Более того, заранее было неясно, насколько
хорошим будет приближение, исходящее из постоянства потен-
циальной энергии первичного электрона, проникшего в металл,
так как очевидно, что внутренний объем металла не представля-
ет собой эквипотенциального пространства.
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ дуализм
605
Ответ на вопрос о допустимости такого приближения мог
дать только эксперимент.
В 1928 году Дэвиссон и Джермер опубликовали результаты
проверки гипотезы Луи де Бройля уже с учетом преломления
электронных волн на поверхности. Схема установки по изуче-
нию вторично-электронной эмиссии (ВЭЭ) от монокристалла Ni
приведена на рис. 4.26.
На этот раз был специаль-
но выращен монокристалл Ni,
имеющий гранецентрирован-
ную кубическую решетку со
стороной куба 3.52 А. Из кри-
сталла была вырезана мишень
в форме параллелепипеда раз-
мерами 8 мм х 5 мм х 3 мм
таким образом, чтобы элек-
троны падали на грань (111),
представляющую собой диа-
гональный срез куба. На ри-
сунке изображена не мишень
(в форме параллелепипеда),
а диагональный срез куби-
ческого кристалла. С помо-
щью формулы (3.44) подраз-
Рис. 4.26. Схема установки по изу-
чению ВЭЭ от монокристалла Ni
(Дэвиссон и Джермер, 1928 г.)
дела 3.1.3 нетрудно убедиться, что для кристалла Ni межплос-
костное расстояние d(in) = 2.03 А.
Термокатодом служила вольфрамовая нить, на которую по-
давался отрицательный потенциал — ?7, а внешний электрод элек-
тронной пушки заземлялся, так что эмиттированные термоэлек-
троны, обладая сравнительно незначительной тепловой кинети-
ческой энергией, ускорялись до энергии eU (которую можно бы-
ло регулировать), после чего направлялись на грань (111) моно-
кристалла Ni.
Первичный луч и нормаль к поверхности лежали в специаль-
но выбранной плоскости падения, в которой и изучалось угловое
распределение вторичных электронов. Углы падения <pi (угол
между первичным электронным лучом и нормалью к поверхно-
сти) и рассеяния (угол между нормалью к поверхности и на-
правлением на центр детектора) в установке могли изменяться
в широких пределах.
Мишень и внешний электрод детектора (цилиндра Фарадея)
были заземлены, так что до отражения и после него электро-
606 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ны двигались в практически свободном от электрического поля
пространстве.
На этот раз детектировались все вторичные электроны, а не
только быстрые, так как изоляция между внешней частью детек-
тора и собственно цилиндром Фарадея оказалось недостаточной
для того, чтобы между ними можно было бы прикладывать тор-
мозящее напряжение.
Дэвиссон и Джермер решили проверить, осуществляется ли
брэгговское отражение электронов от грани (111) монокристалла
Ni. Переходя в уравнении (4.42) от угла скольжения $ к углу
падения очевидно, получим уравнение
2d(in) у п2 - sin2(^ = NX,
раскрывая в котором показатель преломления и длину волны де
Бройля, окончательно получим
U=120B ’	U=133 В
Рис. 4.27. Угловое распределение
вторичных электронов, рассеян-
ных гранью (111) монокристалла
Ni (Дэвиссон и Джермер, 1928 г.)
2</(ш) 1/77 + cos2T’ = N тг'	(4-43)
V и	y2meU
где N — произвольное натуральное число.
Последнее уравнение говорит о том, что при фиксированном
угле падения ip электронов на поверхность мишени дифракци-
онное отражение может происходить не при всех, а лишь при
некоторых дискретных значениях ускоряющего первичные элек-
троны напряжения U. На рис. 4.27 показаны две диаграммы ин-
тенсивность-угол для вторичных электронов.
Левой кривой (угол па-
дения первичных электронов
= 30°, энергия первич-
ных электронов 120 эВ) со-
ответствует практически изо-
тропный выход истинно вто-
ричных электронов. Никакого
зеркального дифракционного
пика на фоне истинно вторич-
ных электронов нет. Правая
кривая (у? = 10°; 133 эВ) по-
разительно отличается от ле-
вой благодаря наличию остро-
го пика зеркально отражен-
ных электронов, что свиде-
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
607
тельствует о наличии брэгговского отражения при данной комби-
нации параметров. Однако для проверки уравнения (4.43) одной
кривой недостаточно, так как неизвестен параметр V — глубина
потенциальной ямы монокристалла Ni.
0.3 /
			N=3		4		5		6	7		8
			/		А							
				к					t	X		
0	2	4	6	8 JO 12	14	16	18	20	22	24 25
и*,В
Рис. 4.28. Относительный ток вторичных электронов в зеркальном
направлении как функция y/U (Дэвиссон и Джермер, 1928 г.)
Поэтому Дэвиссон и Джермер сняли кривую, изображенную
на рис. 4.28, на которой при фиксированном угле падения <^=10°
показана относительная величина I тока вторичных электронов
в зеркальном направлении (при неизменном положении детекто-
ра 20° относительно первичного пучка)68 как функция y/U.
На графике ясно видны б довольно широких пиков, что от-
личает дифракцию электронов в исследуемом диапазоне энер-
гий (десятки—сотни электронвольт) от дифракции рентгенов-
ских лучей той же длины волны, что и де-бройлевская длина вол-
ны электронов. Дело в том, что электроны таких энергий силь-
нее поглощаются кристаллом, чем рентгеновские волны. Ины-
ми словами, первичные электроны имеют сравнительно очень
малую длину свободного пробега, то есть сталкиваются с элек-
тронами металла, теряют в столкновениях энергию, переставая
давать вклад в дифракционное отражение, предполагающее от-
сутствие потерь энергии отраженными электронами.
Таким образом, количество АГ(ш) плоскостей, дающих вклад
в дифракцию, составляет единицы, а формула (3.239) подразде-
ла 3.4.2 показывает, что ширина дифракционного пика обратно
пропорциональна величине 7V(in). Кроме того, энергия первич-
68 Ток вторичных электронов прямо пропорционален току первичных элек-
тронов, поэтому отношение токов, идущих в любых двух фиксированных
направлениях, не зависит от тока первичных электронов. Это важно, так
как благодаря особенностям электронной пушки, изготовленной Дэвиссо-
ном и Джермером, ток первичных электронов зависел от величины U.
608
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ных электронов имеет тепловой разброс, что также размывает
дифракционные пики, поскольку реально кристалл облучается
де-бройлевскими волнами с разными А.
В целом же количественное согласие экспериментальных дан-
ных с уравнением (4.43) весьма удовлетворительное. Действи-
тельно, если подставить в это уравнение у = 10°, ускоряющие на-
пряжения 17, соответствующие максимумам кривой, а также по-
рядки дифракции 2V, проставленные над максимумами69 на гра-
фике, то можно вычислить величину V для каждого дифракци-
онного отражения. Например, для трех последовательных мак-
симумов подстановка данных Дэвиссона и Джермера при N = 3
и Vu = 8 В1/2 дает V = 19.8 В, при N = 4 и y/U = 11.4 В1/2
V = 19.6 В, при N = 5 и = 14.7 В1/2 V = 18.0 В.
С учетом всех погрешностей постоянство вычисленной вели-
чины V вполне удовлетворительное и подтверждает правиль-
ность уравнения (4.43), то есть в первую очередь тот факт, что
электронная волна де Бройля дифрагирует на монокристалле Ni.
Одновременно подтверждается и правомерность учета в первом
приближении только среднего значения внутреннего потенциала
в металле. Последующие измерения показали, что для кристал-
лов разных металлов величина V лежит в диапазоне 10—20 В.
После визита Дэвиссона в Англию гипотеза де Бройля заин-
тересовала Дж.П. Томсона70, привлекшего студента А. Рейда
(в распоряжении которого находилась подходящая установка)
для наблюдения дифракции де-бройлевской волны методом Де-
бая-Шеррера (см. подразд. 3.1.3 и рис. 3.30). Ожидания обнару-
жить дифракцию подтвердились, совместная публикация Томсо-
на и Рейда появилась в 1927 году спустя всего несколько месяцев
после появления статьи Дэвиссона и Джермера об обнаружении
дифракции электронов при их отражении от кристалла Ni.
Последующую работу Томсон провел один.
Ускорение электронов до энергий в 20—60 кэВ позволило Том-
сону изучать лауэвское прохождение, а не брэгговское отраже-
ние. Первые электронограммы, аналогичные дебаеграммам, бы-
ли получены, в частности, при простреле алюминиевых, золотых
и платиновых фольг узким электронным пучком. Экспозиция
фотопластин длилась от нескольких секунд до нескольких ми-
нут. Одна из первых электронограмм, демонстрирующая карти-
69Первые два порядка дифракции Дэвиссон и Джермер не смогли наблю-
дать, так как ток электронной пушки при ускоряющих напряжениях менее
65 В был слишком мал.
70Английский физик Дж.П. Томсон — сын Дж.Дж. Томсона.
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
609
Рис. 4.29. Дифракция электрон-
ной волны на золотой фольге (Том-
сон, 1928 г.)
ну дифракции на фольге, полученной расплющиванием сусаль-
ного золота, показана на рис. 4.29.
Первые образцы фольги
толщиной в сотые доли мик-
рона содержали много отвер-
стий, через которые электро-
ны проходили без отклоне-
ния (так как длина де-брой-
левских электронных волн при
U = 20 кэВ менее 0.1 А, то
дифракционным отклонением
на отверстии диаметром бо-
лее 10 А уже можно прене-
бречь), поэтому центральная
часть фотографии засвече-
на неотклоненными электро-
нами. Кроме того, часть элек-
тронов испытывает в фольге
неупругие соударения, допол-
нительно давая на фотографии фон в центральной части.
Так как энергия электронов при изучении дифракции на про-
стрел много больше среднего внутреннего потенциала металла,
то преломление электронных волн пренебрежимо мало.
Не испытавшие неупругого столкновения электроны дифра-
гируют, что ведет к появлению колец, теория образования кото-
рых изложена в подразд. 3.1.3. В частности, нетрудно показать,
что в области малых углов отклонения радиус дифракционных
колец пропорционален де-бройлевской длине волны, то есть за-
висит от ускоряющего электроны напряжения как J7-1/2.
Публикация Дж.П. Томсоном в конце 1927 года полученных
им электронограмм и их интерпретация как картины дифракции
электронных волн де Бройля встретила возражения, основан-
ные на предположении, что Томсон получил настоящую дебае-
грамму, то есть якобы наблюдал дифракцию тормозного рент-
геновского излучения, которое действительно должно было ге-
нерироваться в фольге первичным электронным потоком. По-
скольку возражающие не указали, каким именно образом тор-
мозное излучение, имеющее, как известно, непрерывный спектр
(см. подразд. 3.1.4), могло привести к появлению дебаеграммы,
требующей монохроматического излучения, то возражения, вы-
двинутые против интерпретации Дж.П. Томсона, можно назвать
вздорными. Тем не менее, Томсон их убедительно опроверг.
610 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
За фольгой Томсон приложил поперечное магнитное поле,
и все дифракционные кольца сместились, причем именно так,
как должен смещаться в магнитном поле электрон. Отклонения,
конечно же, не было бы, если бы дифракционная картина была
образована неизвестно откуда взявшимися монохроматическими
рентгеновскими лучами.
Затем Дж.П. Томсон изменил способ получения пленок, пе-
рейдя к технике напыления. Металлические пленки изготавлива-
лась методом напыления металла на целлулоид, который затем
71
растворялся в ацетоне , а пленка оставалась висеть на поддер-
живающей металлической сетке. Работая с более совершенными
пленками, Томсон провел количественное сравнение результатов
экспериментов с предсказаниями теории и выяснил, что радиус
дифракционных колец менялся с энергией первичных электро-
нов так, как этого следовало ожидать на основании формулы
де Бройля (4.38) (то есть как [7-1/2 ), что картина дифракции
на золотой пленке совпала с теоретически предсказанной кар-
тиной дифракции на гранецентрированной кубической решет-
ке со стороной куба 4.06 А (а именно таково строение кристал-
ла Au), что, наконец, длина электронных волн, определенных
экспериментально, с точностью около 1 % совпала с длиной де-
бройлевской волны (4.38).
В целом же электронограммы, получаемые с помощью элек-
тронных волн, и дебаеграммы, получаемые с помощью рентге-
новских лучей (при равенстве длин волн) демонстрируют сов-
падающие кольца, различающиеся лишь интенсивностью.
Так, на рис. 4.30 изображены две фотографии, полученные
при просвечивании алюминиевой поликристаллической фольги
рентгеновскими фотонами и электронами одной и той же длины
волны. Благодаря бблыпей вероятности для электронов испы-
тать неупругое столкновение в фольге, центральная часть элек-
тронограммы сильнее засвечена, однако радиусы дифракцион-
ных колец одинаковы.
После экспериментов Дэвиссона и Джермера, а также Том-
сона, никаких сомнений в том, что электроны дифрагируют на
кристаллах, причем длина де-бройлевской волны описывается
выражением (4.38), не осталось71 72.
71 Позднее стали напылять металл на отполированную пластину из пова-
ренной соли, которая затем растворяется в воде.
72В 1937 году К.Дж. Дэвиссону и Дж.П. Томсону была присуждена Нобе-
левская премия по физике "за открытие дифракции электронов на кристал-
лах".
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
611
Рис. 4.30. Дифракционная картина при простреле алюминиевой
фольги (слева — рентгеновскими лучами, справа — электронами)
Позднее были получены
и аналоги лауэграмм при про-
стреле монокристаллов элек-
тронами, для чего, как из-
вестно, нужен немонохрома-
тический электронный пучок.
Электронограмма от моно-
кристалла ВаСЬ • Н2О пока-
зана на рис. 4.31. Все картины
дифракции, получаемые с по-
мощью электронов, теперь на-
зывают электронограммами.
Таким образом, де Бройль
оказался прав: электроны ди-
фрагируют на кристаллах точ-
но также, как и фотоны.
Рис. 4.31. Электронограмма, по-
лученная при простреле электрона-
ми монокристалла BaCh • Н2О
В подразд. 3.4.2 были описаны эксперименты, доказывающие,
что интерференция фотонов не является коллективным эффек-
том, что место попадания фотона на детектор случайно, но при
прохождении большого числа фотонов через установку возника-
ет дифракционное изображение.
Подобный же эксперимент применительно к электронам про-
вели в 1949 году советские физики Л. Биберман, Н. Сушкин
и В. Фабрикант, которые облучали кристаллик окиси магния,
расположенный на коллодиевой подложке, электронами с энер-
гией 72 кэВ.
612
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Дважды была получена электронограмма в сильном и слабом
пучках, интенсивности которых различались на 7 порядков, то
есть в 10000000 раз.
При слабом пучке на всю фотопластину падало 4200 элек-
тронов/с, то есть в среднем на фотопластину приходил один
электрон каждые 2.4 • 10“4 с, тогда как всю установку электрон
проходил за 8.5 • 10-9 с. Таким образом, время движения элек-
трона в установке было примерно в 28 000 меньше промежутка
времени между попаданием двух последовательных электронов
на фотопластину.
Как отметили Биберман, Сушкин и Фабрикант, "большая
разница этих времен делает весьма маловероятной флуктуацию,
в результате которой через прибор пролетали бы одновременно
даже два электрона".
Электронограммы, полученные в сильном и слабом пучках,
ничем друг от друга не отличались. Поскольку качество воспро-
изведения электронограмм в оригинальной статье очень низкое,
в настоящем издании они не воспроизводятся. Желающие имеют
возможность ознакомиться с ними самостоятельно73.
Описанные выше эксперименты Дэвиссона и Джермера;
Дж.П. Томсона; Бибермана, Сушкина и Фабриканта убедитель-
но доказывают, что в принципиальном отношении электроны,
дифрагируя на кристаллах, ведут себя так же, как и фотоны.
При этом поведение каждого отдельно взятого электрона
случайно, то есть непредсказуемо. Каждый электрон может быть
зарегистрирован во всех местах кроме тех, где вероятность его
появления равна нулю.
Иными словами, электрон — недетерминированная части-
ца, и в этом смысле к нему применим термин "корпускулярно-
волновой дуализм". Последнее, в свою очередь, означает, что
невозможно сказать, как электрон перемещается в пространст-
ве-времени, а можно лишь ввести комплекснозначную амплитуду
вероятности, которая детерминированно определяет вероятность
обнаружения (регистрации) электрона в той или иной области
пространства.
При дифракции электрона результирующая амплитуда ве-
роятности возникает как суммарный результат рассеяния боль-
шим числом атомов кристалла первичной де-бройлевской волны,
то есть также, как и при дифракции рентгеновских фотонов на
кристаллах (см. подразд. 3.4.2).
73Л. Биберман, Н. Сушкин и В. Фабрикант. Дифракция поочередно летя-
щих электронов. ДАН СССР, 1949, т.66, N 2, с. 185-186.
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
613
4.2.2 Экспериментальное подтверждение
гипотезы де Бройля для атомов и молекул
Рассмотрим, каким образом можно было бы проверить гипотезу
де Бройля применительно к атомам и молекулам, ведь в мате-
матической формулировке гипотезы Луи де Бройля [уравнения
(4.35)—(4.36)] электрон ничем не выделен.
Де-бройлевскую волну (4.37) или, пользуясь образной тер-
минологией Макса Борна, ’’поле-призрак” с X = h/mv можно
сопоставить любому свободному объекту массы тп. Однако при
фиксированной скорости по мере роста массы частицы длина де-
бройлевской волны уменьшается.
Выберем самую легкую из известных молекул — молекулу
водорода Н2 и атом74 гелия Не. И гелий, и водород при нор-
мальных условиях существуют в виде газов, молекулы которых
имеют максвелловское распределение по скорости. Наиболее ве-
роятная скорость частицы газа определяется выражением (1.20):
vm = y/2kT/m. Подставляя в формулу де Бройля (4.38) вместо
импульса величину тг?ш, комнатную температуру Т = 293 К
и массы соответствующих молекул, получим наиболее вероят-
ную длину волны де Бройля для водородного газа равной 1.27 А,
а для гелиевого — 0.90 А.
Такая длина волны как раз подходит для дифракции на кри-
сталлах, и немецкий физик О. Штерн занялся целенаправленной
проверкой гипотезы де Бройля применительно к атомам и моле-
кулам еще в 1926 году.
Не вдаваясь в детали, укажем, что молекулярные пучки ге-
лия и водорода получались следующим образом: газ (температу-
ра которого регулировалась) через отверстие в стенке резервуара
широким конусом истекал в вакуумированный объем. Далее диа-
фрагмированием выделялся направленный молекулярный пучок
с распределением по скорости, близким к максвелловскому.
Проблему регистрации газовых молекул, которые нельзя бы-
ло зафиксировать методом осаждения, Штерн и Кнауэр решили
в 1929 году, разработав устройство, в котором молекулы иссле-
дуемого пучка попадают сквозь узкую щель в камеру, закрытую
со всех остальных сторон. Давление в камере поднимается до
такой величины, при которой сквозь входную щель выходит на-
зад в вакуум в точности такой же поток, как и входит. Так как
поток в газе пропорционален давлению, то давление в камере
74 Так как молекула гелия одноатомна, то атом гелия одновременно явля-
ется и молекулой гелия.
614
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
есть мера интенсивности направленного потока молекул, попа-
дающих в камеру. Штерн и Кнауэр измеряли давление в камере
с помощью манометра, дающего точность в 0.1% при давлении
порядка 10-5 Торр.
Молекулы газа в среднем обладают кинетической энергией
3fcT/2, что при комнатной температуре составляет сотые доли
электронвольта.
Молекулы со столь незначительной энергией в большинстве
случаев не могут проникать вглубь кристаллов. Поэтому щелоч-
но-галоидные кристаллы для молекул водорода и гелия пред-
ставляют собой двумерную дифракционную решетку, дифракция
на которой описывается двумя уравнениями Лауэ (3.27)—(3.28).
На поверхности кристалла часть молекул испытывает неуп-
ругие соударения, такие молекулы при отражении не дают вкла-
да в дифракцию, в результате дифракционные пики должны
быть наложены на фон неупруго рассеянных молекул подобно
тому, как при отражении электронов от поверхности монокри-
сталла Ni в экспериментах Дэвиссона и Джермера дифракцион-
ные пики были наложены на почти изотропный фон истинно-
вторичных и неупруго-отраженных электронов (см. рис. 4.27).
Опишем дифракционные пики для молекулярных пучков.
Если направить под любым углом скольжения до молекуляр-
ный пучок на кристалл (с кубической элементарной ячейкой)
вдоль одной из сторон ячейки, то есть выбрать в качестве плос-
кости падения пучка, скажем, плоскость (100) (см. рис. 3.19), то
в плоскости падения получим при L = 0 тождественное удовле-
творение уравнения (3.28), так как в этой плоскости, очевидно,
/?о = /3 = 7г/2. Оставшееся уравнение (3.27) может быть перепи-
сано в виде
d cos д = d cos до + КХ.
(4.44)
Фактически уравнение (4.44) есть уравнение дифракции от
одномерной дифракционной решетки с периодом d.
Рис. 4.32. К дифракции на
одномерной решетке
Основная часть молекул, не ис-
пытавших на поверхности кристалла
неупругого соударения, должна от-
разиться зеркально (нулевой поря-
док дифракции К = 0), а в плос-
кости падения, параллельной одной
из сторон элементарной ячейки, на
фоне молекул, испытавших неупру-
гую потерю энергии, должен образо-
Рис. 4.33. Относительная
интенсивность рассеяния
молекул Нг от поверхности
монокристалла LiF как
функция 1? — 1?о (Штерн
и Эстерман, 1930 г.)
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ 615
ваться ряд пиков, из которых, помимо пика зеркально отражен-
ных молекул, наиболее интенсивны два пика первого порядка,
отвечающие К = ±1, как это изображено на рис. 4.32.
Сначала в качестве кристалла
Штерн и Эстерман использовали по-
варенную соль NaCl, а затем остано-
вились на фториде лития LiF с та-
кой же элементарной ячейкой, как
и у NaCl, но меньшей стороной ячей-
ки d = 4.02 А. Отражение от кри-
сталла LiF оказалось существенно
выше, а дифракционные максимумы
были более резкие.
Штерн и Эстерман измерили ин-
тенсивность рассеянных молекул как
функцию угла d — типичные
результаты показаны на рис. 4.33.
Нижняя кривая соответствует тем-
пературе водорода 290 К, а верх-
няя — температуре 580 К. Стре-
лочками показано положение мак-
симумов, вычисленных на основа-
нии предположения о дифракции де-
бройлевских волн, соответствующих
монокинетическому потоку молекул
водорода, обладающих наиболее ве-
роятной скоростью при данной тем-
пературе. Видно, что несмотря на существенный (максвеллов-
ский) разброс скоростей молекул в пучке, наблюдаемые макси-
мумы весьма близки к расчетным.
В следующем, 1931 году, Штерн, Эстерман и Фриш выдели-
ли из молекулярного пучка молекулы, скорости которых лежа-
ли в узком интервале вокруг наиболее вероятной скорости vm.
Таких молекул в пучке было больше всего, поэтому величине
vm соответствовала монохроматизированная компонента макси-
мальной интенсивности.
Для этого был использован времяпролетный метод: моле-
кулярный пучок пропускался через систему двух вращающих-
ся зубчатых колес, описанную в гл. 1 (см. подразд. 1.1.1). Бы-
ли получены кривые интенсивность-угол, аналогичные получен-
ным ранее, но теперь уже зафиксированные максимумы совпали
с точностью в 0.6 % (что лежало в пределах точности измерений)
616
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
с теоретически предсказанными на основе гипотезы де Бройля.
Сомнений не осталось — атомы гелия и молекулы водорода
дифрагировали на поверхности монокристалла, а длина волны
их де-бройлевской волны определялась формулой (4.38).
Если электроны и фотоны можно было рассматривать как
истинно элементарные частицы, то на этот раз экспериментами
О. Штерна и его коллег было доказано, что и заведомо слож-
ные объекты — атомы (состоящие из ядер и электронной оболоч-
ки) и молекулы (состоящие из атомов) обладают корпускулярно-
волновым дуализмом, то есть являются недетерминированными
объектами.
4.2.3 Экспериментальное подтверждение
гипотезы де Бройля для нейтронов
Нейтрон был открыт в 1932 году. Нейтрон не является лептоном,
как электрон, а является барионом — составной частью ядер ато-
мов. Нейтрон состоит из трех кварков (см. подразд. 2.9.5).
В свободном состоянии нейтрон радиоактивен, то есть в сред-
нем за 10 минут испытывает /3-распад, превращаясь в протон,
электрон и электронное антинейтрино (см. подразд. 2.9.5).
Однако в составе ядер нейтрон стабилен.
После открытия нейтрона значительный интерес представил
вопрос о подтверждении гипотезы де Бройля применительно
к нейтрону. Ответ оказался положительным.
Выяснилось, что нейтронный поток дифрагирует на кристал-
лах, если длина волны нейтронной де-бройлевской волны имеет
подходящее значение, то есть лежит в ангстремном диапазоне.
Так как масса нейтрона лишь незначительно превышает массу
атома водорода, то для исследования дифракции нейтронов по-
следние должны быть так называемыми ’’тепловыми”, то есть
обладать энергиями порядка кТ, где Т — температура порядка
комнатной.
Нейтроны как нейтральные частицы практически не взаимо-
действуют с электронами. Они глубоко проникают в кристаллы,
так что де-бройлевские нейтронные волны рассеиваются ядрами
атомов, давая весьма четкие дифракционные картины.
В частности, наглядным проявлением дифракции нейтронов
является их брэгговское отражение от монокристаллов. Коэф-
фициент преломления нейтронных волн очень мало отличается
от единицы, как и в случае рентгеновских лучей.
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ 617
На рис. 4.34 приведена схема установки по изучению брэггов-
ского отражения нейтронов от монокристаллов для установле-
ния кристаллической структуры последних.
Основные узлы ус-
тановки полностью со-
ответствуют узлам ус-
тановки для наблюде-
ния брэгговского рас-
сеяния рентгеновских
лучей (см. рис. 3.83
или рис. 3.24). Не вда-
Рис. 4.34. Установка для наблюдения брэг-
говского отражения нейтронов (Э. Ферми
и Л. Маршалл, 1947 г.)
ваясь в детали полу-
чения и детектирова-
ния нейтронов, ука-
жем, что 1 — источник
тепловых нейтронов, дающий близкое к максвелловскому рас-
пределение по скорости. Проходя через коллиматор, нейтроны
уже направленным лучом падают под углом $ = 16° на поверх-
ность кристалла-монохроматора 2, которым служит монокри-
сталл плавикового шпата CaF2- От кристалла-монохроматора
(с известной структурой кристаллической решетки) под тем же
углом отражаются только нейтроны, которымосоответствует де-
бройлевская волна с длиной волны около 1.5 А. Вообще говоря,
под тем же углом могут отразиться во втором порядке дифрак-
ции нейтроны, обладающие вдвое большей скоростью (то есть
вдвое меньшей длиной волны). Однако таких нейтронов в пер-
вичном пучке сравнительно мало, так как с ростом скорости
число частиц при максвелловском распределении быстро убы-
вает после наиболее вероятной скорости. Поэтому отраженный
от плавикового шпата нейтронный луч практически монохрома-
тичен.
Далее уже монохроматизированный поток нейтронов падает
на исследуемый кристалл 3, который может устанавливаться под
любым углом скольжения к нейтронному лучу. При этом детек-
тор поворачивается на удвоенный угол, чтобы в него попадали
зеркально отраженные нейтроны (см. подразд. 3.1.3 и рис. 3.24).
Максимумы интенсивности, регистрируемой детектором, отве-
чают брэгговскому отражению. Ферми и Маршалл наблюдали
брэгговское отражение нейтронов более чем от десятка разных
монокристаллов, в числе которых, помимо CaF2, были монокри-
сталлы PbS, MgO, NaCl, LiF, KBr, KC1, KI, FeS2, MnS2, Fe3O4,
СаСОз и NaNO3.
618
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Установку Ферми и Маршалла нетрудно модифицировать для
получения нейтронограмм по методу Дебая-Шеррера. Для этого
исследуемый монокристалл надо заменить поликристаллом, де-
тектор держать в фиксированном положении, а вращать только
исследуемый кристалл (либо наоборот, при неподвижном кри-
сталле вращать детектор). Падающий на монокристалл нейтрон-
ный луч может дифрагировать только под брэгговскими углами,
а в результате отклонение первичного луча может осуществлять-
ся только на двойной брэгговский угол (см. рис. 3.23).
Таким образом, структуру кристаллов позволяют определять
рентгенография, электронография и нейтронография, взаимно
дополняющие друг друга и все основанные на рассеянии соот-
ветствующих де-бройлевских волн кристаллами. Однако нейтро-
нография имеет особое значение для анализа водородсодержа-
щих кристаллов. Действительно, рентгеновские фотоны взаимо-
действуют с электронами, а с ядрами практически не взаимо-
действуют, так как интенсивность их рассеяния обратно про-
порциональна квадрату массы рассеивающей частицы (см. под-
разд. 3.1.1). Нейтроны, наоборот, с электронами практически не
взаимодействуют, а рассеиваются только ядрами.
Иными словами, рентгеновские фотоны, не взаимодействуя
с протонами, реагируют лишь на незначительную электронную
плотность в их окрестности. Последняя же может быть силь-
но делокализована, поэтому структуру водородсодержащих кри-
сталлов удалось надежно определять только нейтронографиче-
ским методом. Так, простейшие водородсодержащие кристаллы
— это кристаллы гидридов щелочных металлов LiH, NaH, КН,
CsH. Из них методами рентгеноструктурного анализа удалось
расшифровать в 1931 году структуру только гидрида лития75
LiH (оказавшуюся аналогичной структуре NaCl), а для осталь-
ных было лишь установлено, что металлические атомы образуют
гранецентрированную кубическую решетку.
В 1948 году американские физики Шалл, Уолл ан, Мортон
и Дэвидсон, используя установку, позволявшую работать с по-
ликристаллическими образцами (в частности, с порошками), ме-
тодом нейтронографии установили, что и кристаллы гидрида на-
трия NaH имеют такую же структуру, как и кристалл поварен-
ной соли NaCl. На рис. 4.35 показаны несколько пиков дифрак-
ционного отражения нейтронов от порошка NaH.
75 В этом кристалле электронные плотности в окрестностях ядер лития
и водорода оказались примерно одинаковыми, что и позволило определить
кристаллическую структуру.
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
619
Рис. 4.35. Часть пиков дифракционного отражения нейтронов от по-
рошка NaH (Шалл, Уоллан, Мортон и Дэвидсон, 1948 г.)
На рисунке показана интенсивность I (то есть количество
нейтронов, регистрируемых детектором в минуту) как функция
угла рассеяния76 в. Как видно, на уровне фона некогерентно рас-
сеянных нейтронов выделяются три пика, а соответствующие им
углы есть двойные углы брэгговского отражения 2$. Путем под-
бора типа кристаллической структуры установлено, что эти пики
есть брэгговские отражения от систем атомных плоскостей (111),
(311) и (331).
Замечательным примером лауэвского прохождения являют-
ся нейтронограммы, полученные в 1948 году Уолланом, Шаллом
и Марии. Одна из нейтронограмм, зафиксированная при двена-
дцатичасовом облучении монокристалла поваренной соли77 NaCl.
Эта нейтронограмма воспроизведена на рис. 4.36 слева. Для срав-
нения на том же рисунке справа воспроизведена лауэграмма, по-
лученная при облучении монокристалла NaCl рентгеновскими
фотонами (см. также рис. 3.10 и 3.11).
Центральная часть лауэграммы была защищена поглотите-
лем от засветки, а центральная часть нейтронограммы — нет.
Обе картины дифракции поразительно похожи78, хотя нейтро-
нограмма соответствует сильному взаимодействию сложных ма-
териальных частиц (нейтронов) с ядрами атомов, а лауэграмма
— электромагнитному взаимодействию безмассовых элементар-
ных частиц (фотонов) с электронами!
76То есть угла между направлением движения нейтронов, падающих на
порошок NaH, и направлением от порошка на детектор.
77Нейтронограммы были получены также при облучении монокристаллов
кварца, плавикового шпата, фторида лития.
78Только на лауэграмме видно бблыпее количество рефлексов.
620
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Рис. 4.36. Дифракция на монокристалле NaCl. Слева — облучение
нейтронами, справа - рентгеновскими фотонами
Заключительные замечания по поводу
всеобщности корпускулярно-волнового дуализма
С момента появления гипотезы Луи де Бройля прошло уже бо-
лее 80 лет, и за это время собран громадный экспериментальный
материал, свидетельствующий в пользу существования корпус-
кулярно-волнового дуализма в смысле, сформулированном на
стр. 598. Поэтому саму гипотезу де Бройля уже давно следует
называть ’’законом де Бройля”.
В частности, выше было показано, что "медленные" элек-
троны испытывают брэгговское отражение от поверхностей мо-
нокристаллов, а "быстрые" электроны испытывают лауэвское
прохождение при простреле кристаллов совершенно аналогично
тому, как это происходит и с рентгеновскими фотонами, о чем
свидетельствует рис. 4.30.
Дифрагируют79 при отражении от поверхностей монокристал-
79Для краткости формулировок употребляют выражения "электрон ди-
фрагирует", "нейтрон интерферирует" вместо "дифрагирует электронная
волна де Бройля", "интерферирует нейтронная волна де Бройля".
Правильнее, конечно, последние формулировки, так как, во-первых, поня-
тия дифракции и интерференции выработаны классической физикой приме-
нительно к волнам (и в рамках классической физики непонятно, что такое
интерференция частицы), и, во-вторых, вообще неизвестно, что происходит
при дифракции с частицей с момента ее вылета из источника и до момента
ее регистрации детектором.
Если все это понимать, то вполне допустимо использовать выражение
"атом дифрагирует".
4.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ 621
лов атомы и молекулы. Дифрагируют при брэгговском отраже-
нии и лауэвском прохождении нейтроны совершенно аналогично
тому, как это происходит и с рентгеновскими фотонами, о чем
свидетельствует рис. 4.36.
При дифракции микрообъектов может варьироваться харак-
тер их взаимодействия с периодической структурой (как это бы-
ло показано на примере нейтронов и рентгеновских фотонов),
пространственный период которой соизмерим с де-бройлевской
длиной волны, но если происходит рассеяние первичной волны
де Бройля на периодической структуре, то далее имеет место
интерференция волн, которая ведет к появлению характерной
картины дифракции, определяемой итоговой комплекснознач-
ной амплитудой вероятности, квадрат модуля которой пропор-
ционален вероятности появления недетерминированной частицы
в том или ином месте пространства.
При этом понятным становится и то обстоятельство, что вол-
на де Бройля (4.37) комплекснозначна, а не имеет формы ве-
щественной волны. Эксперименты по дифракции с единичными
фотонами или электронами подтверждают то, что вероятность
детектирования частицы не зависит от времени.
И действительно, вышеописанные дифракционные экспери-
менты стационарны в том смысле, что состояние периодической
структуры не зависит от времени, и результаты взаимодействия
частицы со структурой не должны зависеть от того момента
времени, когда оно (взаимодействие) происходит. Именно фор-
ма волны (4.37), время в которую входит в виде множителя
ехр(—icut), обеспечивает независимость квадрата модуля ампли-
туды вероятности от времени.
Бесспорные доказательства реальности корпускулярно-вол-
нового дуализма получены для микрообъектов, но в формули-
ровке закона де Бройля (4.35)—(4.36) нет ограничения на массу
т объекта.
В настоящее время полагают, что действительно любым сво-
бодным (то есть неподверженным внешнему силовому воздей-
ствию) объектам может быть сопоставлена волна де Бройля. Од-
нако по мере роста массы частиц де-бройлевская длина волны
становится чудовищно малой, а размеры частицы по мере ро-
ста массы, наоборот, стремительно растут. И эта ’’вилка” делает
невозможным обнаружение явлений дифракции макроскопиче-
ских тел.
В самом деле, рассмотрим, например, свинцовую дробинку
радиусом 1 мм. Плотность свинца 11.336 г/см3, так что масса
622
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
дробинки составит около 47.5 мг. Допустим, дробинка движется
со скоростью 1м/с, тогда длина волны ее де-бройлевской вол-
ны будет примерно равна 0.000 001 А. Понятно, что ни при от-
ражении от кристаллов, ни при прохождении отверстий (размер
которых должен быть более 2 мм) нельзя будет обнаружить про-
явлений дифракции.
Таким образом, хотя корпускулярно-волновой дуализм счита-
ется применимым и к свинцовой дробинке, это практически де-
терминированный объект. Каким образом происходит переход от
недетерминированного поведения микрообъектов к практически
детерминированному поведению макрообъектов, рассказывается
далее.
Итак, выводы, которые неопровержимо обоснованы экспери-
ментально и которые никогда не будут изменены (даже если в бу-
дущем будут совершены какие-либо открытия), таковы:
1.	Всем свободным телам массы т сопоставляется по
правилам (4.35)—(4.36) волна де Бройля (4.37).
2.	Исход взаимодействия единственной частицы с пе-
риодической структурой непредсказуем. Все реальные мик-
рообъекты (фотоны, электроны, нейтроны, ядра, ионы,
атомы, молекулы) — недетерминированные частицы.
3.	Исход взаимодействия единственной частицы с пе-
риодической структурой можно предсказать лишь веро-
ятностно, причем оказалось, что детерминирован не сам
исход взаимодействия, а вероятность исхода взаимодей-
ствия, пропорциональная квадрату модуля результиру-
ющей комплекснозначной амплитуды вероятности.
4.	Результирующая комплекснозначная амплитуда ве-
роятности есть сумма волн, рассеянных большим числом
тождественных элементов периодической структуры.
5.	Итоговая амплитуда вероятности предписывает ча-
стице не ’’путь”, а вероятность обнаружения в задан-
ном месте. Например, если создать поток монокинети-
ческих электронов столь малых скоростей, что их де-
бройлевская длина волны будет порядка длины световых
волн, то итоги дифракции электронов на двух щелях
совпадут с результатами эксперимента Юнга (см. под-
разд. 3.4.1). В таком случае результирующая амплитуда
вероятности была бы суммой двух амплитуд вероятно-
сти, соответствующих прохождению электрона либо че-
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 623
рез одну, либо через вторую щели80 81.
Можно лишь утверждать, что де-бройлевская волна
частицы расщепилась на две компоненты с учетом на-
личия двух щелей, а затем проинтерферировала.
Движение частицы (в классическом понимании) та-
кой подход не описывает!
4.3 Волновая механика Шрёдингера
Понадобилась четверть века напряженных поисков, чтобы на-
щупать основы теории, описывающей поведение микрообъектов
атомных масштабов. Благодаря работам двадцатичетырехлетне-
го немецкого физика Вернера Гейзенберга, тридцативосьмилет-
него австрийского физика Эрвина Шрёдингера, двадцатичеты-
рехлетнего английского физика Поля Дирака и сорокачетырех-
летнего немецкого физика Макса Борна в 1925—1926 годах бы-
ли сформулированы принципиальные идеи нерелятивистской
квантовой механики .
В ходе создания квантовой механики, ставшей теоретической
основой атомной физики, зачастую наряду с верными, высказы-
вались и неверные идеи, а созданный математический аппарат
не сразу получил правильное физическое толкование. Поскольку
в учебнике не должно быть места изложению ошибочных пред-
ставлений о природе, то строгое следование в курсе историческо-
му порядку построения нерелятивистской квантовой механики
80К сожалению, иногда в учебной литературе встречаются утверждения,
что электрон (или фотон) при дифракции на двух щелях одновременно
проходит через обе щели, как будто бы авторы подобной чепухи экспери-
ментально зафиксировали процесс перемещения электрона или фотона от
источника до детектора, наблюдали ’’расщепление” электрона или фотона
(а как еще частица может одновременно пройти через две щели?), после
чего делятся своими наблюдениями с человечеством.
На самом деле совершенно непонятно, как недетерминированная части-
ца перемещается в пространстве-времени.
Далее будет показано, что это перемещение не осуществляется по траекто-
рии, в каждой точке которой частице может быть одновременно приписано
положение в пространстве и вектор скорости.
81В 1932 году В. Гейзенберг получил Нобелевскую премию по физике ”за
создание квантовой механики...’’, в 1933 году Э. Шрёдингер и П.А.М. Дирйк
получили по половине Нобелевской премии по физике ”за открытие новых
продуктивных форм атомной теории”, в 1954 году М. Борн получил полови-
ну Нобелевской премии по физике ”за фундаментальные исследования по
квантовой механике, особенно за его статистическую интерпретацию волно-
вой функции”.
624 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
становится невозможным, иначе изложение стало бы перегруже-
но ненужными и непонятными подробностями, способными лишь
запутать читателя.
4.3.1 Временное уравнение Шрёдингера
В 1925 году В. Гейзенберг заложил основы теории, которая по-
лучила название матричной, или нерелятивистской квантовой
механики. Примерно через полгода, в 1926 году, Э. Шрёдингер
построил нерелятивистскую волновую механику на основе раз-
вития тогда еще неподтвержденной гипотезы де Бройля.
Идеи Гейзенберга и Шрёдингера были настолько непохожи,
что сначала показалось, что между матричной и волновой меха-
никами нет ничего общего. Однако выводы, к которым вели две
теории, совпадали, и в том же 1926 году Шрёдингер доказал, что
матричная и волновая механики — на самом деле эквивалентные
теории, ведущие к одним и тем же выводам. Фактически они
оказались разными представлениями единой дисциплины, для
которой утвердилось название "нерелятивистская квантовая ме-
ханика” , далее называемая просто "квантовой механикой”.
Квантовая механика — это более общая, чем классическая ме-
ханика, феноменологическая теория82, в которой не учитывает-
ся дискретность электромагнитного излучения явным образом.
Вместо первичного взаимодействия между электронами и фо-
тонами в квантовой механике сохраняется представление о по-
тенциальной энергии взаимодействия как между заряженными
микрообъектами и излучением (понимаемым классически), так
и между заряженными микрообъектами. Более фундаменталь-
ная дисциплина — это квантовая электродинамика, учитываю-
щая явным образом (через введенную Дирйком процедуру так
называемого вторичного квантования) дискретность как веще-
ства, так и излучения.
Далее излагается только подход Шрёдингера как более про-
стой для начального ознакомления с основными идеями кванто-
вой механики, и в то же время вполне достаточный для объяс-
нения основных экспериментальных фактов из области атомной
физики. Полный квантовомеханический формализм излагается
в многочисленных курсах квантовой механики.
82При переходе к рассмотрению объектов с макроскопическими массами
квантовая механика переходит к классическую механику.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА
625
Волновая функция и ее статистическое толкование
Отправной точкой построения волновой механики является экс-
периментально доказанный факт недетерминированности пове-
дения материальных объектов^, отчетливо проявляющийся на
атомном и субатомном уровнях. И хотя вполне допустимо мате-
риальные объекты называть частицами, однако предпочтитель-
нее называть их микрообъектами, чтобы не возникало соблазна
ассоциировать их же с образом частицы, выработанным класси-
ческой физикой.
Признание недетерминированности поведения микроообъек-
тов их фундаментальным свойством (не связанным с незнанием
каких-то ’’скрытых переменных”83 84) и, как следствие, признание
невозможности описания движения микрообъектов в терми-
нах классической механики, явились той ценой, которую при-
шлось заплатить за создание логически непротиворечивой кар-
тины, согласующей существование микрочастиц (то есть микро-
объектов с локализованными в пространстве энергией, импуль-
сом, моментом импульса, зарядом, массой) с явлениями дифрак-
ции, в которых происходит случайная регистрация микрообъек-
та в любом месте пространства (кроме тех, где вероятность ре-
гистрации равна нулю).
Прежде, чем знакомиться с основными идеями квантовой ме-
ханики, следует подчеркнуть существенное отличие квантово-
механического подхода от представлений, именуемых ’’здравым
смыслом”.
В частности, сознание вдумчивого читателя, воспитанного на
классическом принципе причинности, должно было бы забить
тревогу после ознакомления с интерпретацией дифракционных
экспериментов с участием микрообъектов: выходит, что реги-
страция недетерминированного микрообъекта в том или ином
месте пространства не имеет причины?
Логика возникновения последнего вопроса такова. Существу-
ет философское утверждение о причинности, суть которого мож-
но выразить фразой: ’’каждое событие имеет свою причину”.
83Вспомните о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма (см.
предыдущий раздел).
84Вероятностное описание появилось уже в рамках классической физики,
однако в последней вероятностное поведение всегда связывалось именно со
скрытыми переменными, предполагавшимися существующими.
Пример: случайный угол рассеяния а-частицы при ее прохождении че-
рез фольгу объявлялся в классической физике следствием существования
прицельного параметра 6, см. гл. 1, подразд. 2.9.3, рис. 2.29.
626
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Например, историк Ключевский заявлял в духе философской
причинности, что ’’...следствие без причины — нелепость логи-
ческая”. Только вот Ключевский не удосужился определить за-
ранее и конкретно, что такое "причина” и что такое "следствие",
и почему ’’...следствие без причины — нелепость логическая".
Иными словами, сама по себе фраза Ключевского неопределен-
на, а потому бессмысленна, как и вся философия85.
Таким образом, если задним числом "событием" назвать "ре-
гистрацию частицы детектором", то в любом описанном ранее
дифракционном эксперименте из философского принципа при-
чинности следует, что у "события" якобы должна быть "причи-
на".
Однако квантовая механика на философский вопрос о при-
чине регистрации микрообъекта в том или ином месте простран-
ства дает ответ: регистрация микрообъекта тем или иным детек-
тором беспричинна. Последний пример доказывает, что нельзя
при изучении природы опираться ни на философию с ее неопре-
деляемыми заранее и операционально понятиями, ни на "здра-
вый смысл", который не позволяет представить перемещение мик-
рообъекта в пространстве-времени иначе, чем по классической
траектории.
К сказанному выше следует прибавить, что в рамках клас-
сической физики философские рассуждения о причинности бы-
ли трансформированы французским математиком, астрономом
и физиком Лапласом в физическую гипотезу, сформулирован-
ную на языке классической механики. Гипотеза Лапласа под-
разумевала, что координаты и импульсы всех частиц Вселен-
ной в определенный момент времени однозначно определяют со-
85 Любая философия сводится к набору утверждений (вроде гегелевских
’’законов” ’’единства и борьбы противоположностей”, ’’отрицания отрица-
ния", кантовских ’’вещей в себе", и так далее, и тому подобное), оперирую-
щих неопределенными понятиями.
Что такое "отрицание”? А это операционально не определенный, а пото-
му бессмысленный философский термин. В равной мере то же относится
ко всем философским категориям. Философы, "обосновывая" свои "зако-
ны" примерами, задним числом, произвольно и выборочно что-то объявля-
ют "единством", что-то — "борьбой", что-то — "противоположностью", то
есть занимаются тем, что можно охарактеризовать с помощью русской по-
говорки как махание кулаками после драки, или как навешивание ярлыков
задним числом. Мастерство в навешивании ярлыков задним числом — это
и есть философия.
Более мягко философский подход можно назвать программой намерений
задним числом, произвольно и выборочно проиллюстрировать изначально
бессмысленные положения.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 627
стояние Вселенной (то есть координаты и импульсы всех ча-
стиц) как во все предыдущие, так и во все последующие мо-
менты времени. После появления лапласова детерминизма фи-
лософская доктрина о причинности с ним так срослась, что их
перестали различать. Как нетрудно понять, в основу лапласо-
ва детерминизма легло представление о Вселенной как о чисто
механической системе (впоследствие дополненное аналогичным
представлением о причинности, которое следовало из фарад ей-
максвелловской электродинамики), состоящей из частиц, подчи-
няющихся законам классической механики. Развитие атомной
физики показало, что гипотеза Лапласа оказалась ошибочной.
Как убедительно было доказано выше, микрообъекты не под-
чиняются законам классической механики и не следуют ни ла-
пласовому детерминизму, ни философскому принципу причин-
ности. При дифракции невозможно указать ’’причину”, по кото-
рой частица попадает в тот или иной детектор. Атомная физика,
таким образом, отрицает лапласов детерминизм и философский
принцип причинности, утверждая, что ’’настоящее” Вселенной
не предопределяет с однозначностью ее ’’будущее”, и не следует
с однозначностью из ее ’’прошлого”.
В частности, независимость картины дифракции от интен-
сивности первичного потока доказывает, что все микрообъек-
ты, дающие картину дифракции (фотоны, электроны, нейтроны,
атомы, молекулы), лишь случайно регистрируются в том или
ином месте пространства, так что вероятность их регистрации
должна определяться комплекснозначной амплитудой вероятно-
сти Ф(г,£) такой, что вероятность dw обнаружить единственный
микрообъект в объеме dV, определится выражением
dw = |Ф(г,<)|2 dV,	(4.45)
где Ф(г, t) — некая комплекснозначная функция, получившая на-
звание ’’волновой функции”.
Как следует из (4.45), квадрат модуля волновой функции есть
плотность вероятности регистрации микрообъекта в опреде-
ленной области пространства в определенный момент времени.
Предполагая, что изучаемый микрообъект находится все же где-
то внутри экспериментальной установки, следует наложить на
волновую функцию условие нормировки, вытекающее из пред-
положения о том, что плотность вероятности зарегистрировать
микрообъект при удалении на бесконечность быстро стремится
к нулю, так что соответствующий интеграл, распространенный
на все пространство, сходится:
628
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
|Ф(г,г)|2</У = 1.	(4.46)
Волновая функция (4.45), предсказывающая вероятность ис-
хода эксперимента с единственным микрообъектом, заменяется
функцией бблыпего числа переменных, если должно быть описа-
но поведение замкнутой системы, состоящей из нескольких мик-
рообъектов. Например, атом водорода состоит из протона и элек-
трона. И протон, и электрон — недетерминированные объекты,
так что протон может быть зарегистрирован в объеме dV\, а элек-
трон — в объеме dV2- Для определения вероятности последнего
события вводится функция Ф(г1,Г2,£) такая, что
dw = |Ф(г1,г2,г)|2<М<^2	(4.47)
есть вероятность обнаружения в момент времени t первой части-
цы в объеме dVi вблизи точки ri, а второй частицы в объеме dVz
вблизи точки Г2- Обобщение последнего уравнения на замкнутую
систему, состоящую из N частиц, предлагается сделать читате-
лю самостоятельно (в общем случае волновая функция, описы-
вающая замкнутую систему N частиц, определена в так назы-
ваемом конфигурационном пространстве, размерность которого
есть 3JV).
Шрёдингер, увидевший в де-бройлевской волне (4.37) част-
ный случай волновой функции, отвечающей свободному микро-
объекту с энергией 8 и импульсом к, решил построить свобод-
ную от логических противоречий теорию86, которая дала бы воз-
можность вычислить спектр допустимых энергий атома водо-
рода, представляемый формулой (4.17). Начал он с формулиров-
ки уравнения, которое позволяло бы находить волновые функ-
ции микрообъектов в потенциальных полях, а не в безграничном
пустом пространстве.
Попутно сделаем замечание по поводу волновой функции сво-
бодного микрообъекта (4.37). Эта волновая функция не удовле-
творяет условию нормировки (4.46), так как при |С| > 0 со-
ответствующий интеграл, очевидно, расходится, поскольку де-
бройлевская волна предполагается существующей во всем про-
странстве во все моменты времени. Последнее явилось результа-
том идеализации, подразумевающей безграничность простран-
ства, в котором вечно существует единственный микрообъект.
86 В момент начала разработки волновой механики Шрёдингер еще не знал
о правильной вероятностной интерпретации волновой функции.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 629
Тем не менее, идеализированные волновые функции, которые не
могут быть нормированы из-за расходимости соответствующего
интеграла, используют для определения относительных вероят-
ностей нахождения микрообъекта в разных частях пространства.
Так, для волновой функции (4.37) интеграл от квадрата ее мо-
дуля по любой конечной области пространства просто пропорци-
онален объему. Тогда говорят, что регистрация свободного мик-
рообъекта в равных объемах равновероятна, забывая при этом,
что речь идет о равенстве нулей, так как вероятность обнаруже-
ния свободной частицы в любой конечной области пространства
должна быть равна нулю.
Тем не менее, идеализации доказали свою пользу в физике.
Если микрообъект ’’почти” свободен, то есть локализован в до-
статочно большой области пространства в течение достаточно
длительного времени, а внешнее воздействие на него малб (по-
тенциальная энергия много меньше его кинетической энергии),
то равновероятно зафиксировать почти свободный микрообъект
в любой части большого объема, внутри которого он локализо-
ван. Тогда волновая функция, описывающая эксперимент с по-
чти свободным микрообъектом, может быть взята равной де-
бройлевской волне (4.37) внутри большого объема, и равной ну-
лю снаружи. Так что волновая функция реального, а не идеали-
зированного микрообъекта всегда должна подчиняться условию
нормировки (4.46). Если об этом помнить, то свободно можно
оперировать и волновыми функциями типа де-бройлевских волн
(4.37).
Вернемся к Шрёдингеру, оттолкнувшемуся от де-бройлевс-
кой волны как от волновой функции свободной частицы, и его
плану по поиску уравнения, которому должна удовлетворять
волновая функция, если микрообъект не свободен, а помещен
в потенциальное поле, в котором обладает потенциальной энер-
гией П(г).
Вообще говоря, уравнение, которое искал Шрёдингер, долж-
но было быть линейным, что подсказывала всеобщность корпус-
кулярно-волнового дуализма. В гл. 3 было показано, что веро-
ятность регистрации фотонов (когда их много) определяется
квадратичными членами, образованными из решений линейных
уравнений Максвелла. Идея же де Бройля, которую развивал
Шрёдингер, подразумевала аналогичное поведение материаль-
ных частиц массы т. Поэтому Шрёдингер стал искать линейное
уравнение для волновой функции.
Чтобы найти искомое уравнение, Шрёдингеру пришлось пе-
630 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
реопределить сопоставляемую с помощью уравнения (4.35) сво-
бодному объекту круговую частоту си, что в нерелятивистской
области оказалось возможным сделать.
Действительно, по мысли де Бройля, в левую часть уравне-
ний (4.35)—(4.36) должны были подставляться полная энергия
частицы и ее импульс, которые совместно образовывали реляти-
вистски инвариантный 4-вектор энергии-импульса (5, ср), в силу
уравнений де Бройля приравниваемый 4-вектору Я(си,ск). Так
как фотон — частица нулевой массы, это автоматически всегда
релятивистский объект. Применительно к микрообъектам, обла-
дающим массой, объект считается релятивистским, если его ки-
нетическая энергия превышает энергию покоя. Если же кинети-
ческая энергия микрообъекта много меньше его энергии покоя,
то такой объект считается нерелятивистским. В последнем слу-
чае энергия покоя, входящая неизменным слагаемым в выраже-
ние для полной энергии (2.112), никогда и не учитывается при
описании движения в рамках классической механики.
Итак, Шрёдингер, в отличие от де Бройля, пришел к постро-
ению нерелятивистской волновой механики с переопределения
левой части уравнения (4.35), куда подставил не полную энергию
свободной микрочастицы массы т > 0, а лишь ее кинетическую
энергию £k = р2/(2т). Такая замена вначале позволила ему
получить уравнение, которому удовлетворяет волна де Бройля
(4.37) для свободной частицы массы т при произвольном им-
пульсе р.
Действительно, если дважды продифференцировать функ-
цию (4.37) по координате х, то, очевидно получим
ЭФ т Э2Ф ,2т
— = lkxV ,	—2 =	.
дх	дх2
Производя аналогичное дифференцирование по координатам
у и г, а затем складывая вторые производные, получим формулу
02ф	92ф	92ф	р2
Лф - дх2 + ду2 + dz2 ~ k ~ й2ф’
Чтобы исключить динамическую характеристику объекта (им-
пульс р) из последнего уравнения, Шрёдингер продифференци-
ровал (4.37) по времени, получив
ЭФ
~dt
= —гшФ =
£кл  р2
—г—Ф = -г-—-
ft	2тП
Ф.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 631
Исключение величины р2Ф из двух последних цепочек ра-
венств дает однородное линейное дифференциальное уравнение
второго порядка в частных производных относительно комплекс-
нозначной функции Ф:
ЭФ h2
=- —ДФ.	(4.48)
dt 2т	v 7
А дальше Шрёдингер, по-существу, угадал, как надо обоб-
щить последнее уравнение на случай нахождения микрообъекта
в потенциальном поле, в котором микрообъект обладает потен-
циальной энергией П(г).
В силу линейности уравнения (4.48) размерность волновой
функции может быть сокращена, тогда левая и правая части
этого уравнения приобретут размерность энергии87, а обобщен-
ное уравнение должно быть линейным по Ф и в то же время
учесть наличие потенциальной энергии у микрообъекта П(г).
И вот Шрёдингер прибавил к правой части простейшее сла-
гаемое П(г)Ф(г), получив тем самым основное уравнение нереля-
тивистской волновой механики88, теперь называемое временным
уравнением Шрёдингера:
ЭФ	h2
ih— = ДФ + П(г)Ф(г).	(4.49)
ot	2т
Таким образом, Шрёдингер гипотетически предположил, что
решение уравнения (4.49) должно описывать вероятность исхо-
да эксперимента по пространственной локализации недетерми-
нированного микрообъекта, находящегося в потенциальном поле
П(г). Квадрат модуля волновой функции Ф должен был давать
плотность вероятности детектирования микрообъекта в окрест-
ности точки г в момент времени t.
При этом комплекснозначная волновая функция Ф определе-
на с точностью до фазового множителя ег<5, где S — произвольное
вещественное число. Очевидно, что множитель ег5 не может по-
влиять на квадрат модуля волновой функции, так как квадрат
модуля фазового множителя всегда равен единице при любых
вещественных 6.
Само по себе уравнение Шрёдингера всего лишь обобщало
идею де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме, распро-
страняя последний и на поведение микрообъектов, находящихся
87Проверьте это, а также определите размерность Ф.
88При выводе этого уравнения Шрёдингер руководствовался дополни-
тельными соображениями, которые здесь не могут быть рассмотрены.
632
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
в потенциальных полях, и давая возможность находить вероят-
ность пространственной локализации микрообъекта в более об-
щем случае.
Интерпретация же уравнения (4.49) как операторного позво-
лила Шрёдингеру установить теоретическую схему, развившую-
ся в логически непротиворечивую теорию (волновую механику),
позволившую описывать наблюдаемое поведение микрообъектов
атомного масштаба. Для читателя, незнакомого с простым самим
по себе понятием оператора, необходимо сделать математическое
отступление.
4.3.2 О наблюдаемых и сопоставляемых им опера-
торах
Как уже отмечалось выше, основы матричной квантовой механи-
ки были заложены Гейзенбергом, который, приступая к работе,
имел иные побудительные мотивы, чем Шрёдингер. Гейзенберг
поступил в чем-то аналогично Эйнштейну, отказавшемуся (при
создании в 1905 году основ специальной теории относительно-
сти) от понятий абсолютного пространства (ассоциировавшегося
с эфиром — якобы средой-переносчиком излучения) и абсолют-
ного времени, поскольку соответствующие величины не могли
быть измерены экспериментально. Иными словами, абсолютные
координаты и абсолютное время не были наблюдаемы.
И Гейзенберг решил построить теорию атомных явлений, от-
казавшись от представлений Бора о движении электронов в ато-
мах по "стационарным орбитам” как о принципиально ненаблю-
даемых величинах. Вот точная формулировка первоначального
плана Гейзенберга из его первой статьи, посвященной матричной
механике (”О квантовотеоретическом истолковании кинематиче-
ских и механических соотношений", 1925 год):
"... кажется разумнее совсем отбросить надежду на возмож-
ность наблюдения до сих пор ненаблюдавшихся величин (таких,
как положение и время обращения электрона <в атоме—А.М.>)
... и попытаться построить квантовотеоретическую механику, ...
в которую входили бы лишь соотношения между наблюдаемыми
величинами".
Гейзенберга любят критиковать, расширительно трактуя его мотив
при создании матричной механики как некий философский принцип,
который потом и опровергают, указывая, что мысль Гейзенберга о на-
блюдаемых величинах бессодержательна до тех пор, пока не указано,
какие величины принципиально можно измерить, а какие — нет.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА
633
Да и утверждение о том, что теория может содержать соотноше-
ния лишь между наблюдаемыми, слишком жесткое. Конечно, теория
может оперировать величинами, которые не могут быть измерены, од-
нако такие величины либо не должны иметь никакого физического
толкования, а если и иметь, то лишь гипотетическое толкование, пре-
вращая в последнем случае в гипотезу и всю теорию.
Итак, критика понятия наблюдаемой величины совершенно спра-
ведлива по-существу, так как словесная игра с неопределяемыми поня-
тиями — это удел философов. Однако и Эйнштейн в 1905 году оказался
прав, отказавшись от абсолютных пространства и времени (которые
так и не научились измерять), и Гейзенберг в 1925 году оказался прав,
принципиально отвергнув представления Бора о разрешенных класси-
ческих орбитах электронов в атомах: как тогда, так и теперь способа
непрерывного "слежения” за микрообъектами не найдено. Иными сло-
вами, и Эйнштейн, и Гейзенберг конкретно указали, какие величины
они считают ненаблюдаемыми, исключая их из теории. И оба оказа-
лись правыми.
Если же какая-то теория оперирует величинами, способ экспери-
ментальной регистрации которых неизвестен по крайней мере в насто-
ящий момент времени, то следует и воспринимать подобную теорию
как гипотетическое построение, рассчитанное на будущие открытия,
которых вполне может и не быть.
Благодаря Гейзенбергу в физике все же возникло понятие
наблюдаемой величины, или просто наблюдаемой, то есть такой
физической величины, которая при настоящем уровне развития
науки может быть определена в каком-либо эксперименте. Ди-
намическими наблюдаемыми могут быть названы такие физиче-
ские величины, которые для данного вида микрообъектов могут
принимать различные значения.
Так, координаты частицы в определенный момент времени
можно считать наблюдаемыми, приравнивая их координатам
входного окна детектора, сработавшего в некоторый "момент"
времени t. Сужая все сильнее входное окно детектора, а также
уменьшая время срабатывания детектора (и уменьшая тем са-
мым вероятность регистрации микрообъекта), можно все более
точно определять координаты частицы в небольшом временном
интервале, привязанном к моменту времени t. В нерелятивист-
ской квантовой механике ситуация детектирования микрообъек-
та идеализируется, так как считается, что координаты микро-
объекта могут быть определены с любой степенью точности. На
самом же деле существует предел: абсолютная погрешность из-
мерения координаты микрочастицы не может быть меньше ее
комптоновской длины волны (см. примечание 134 на с. 447).
Импульсы микрообъектов являются наблюдаемыми, так как
634
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
определяются, например, в дифракционных экспериментах, в ко-
торых измеряется де-бройлевская длина волны, однозначно свя-
занная с импульсом частицы соотношением (4.38).
Энергии микрообъектов также являются наблюдаемыми. На-
пример, энергию квазистационарного состояния £п, в котором
может находиться атом водорода, можно определить так: облу-
чить атом потоком ультрафиолетовых фотонов, энергия которых
hv превышает энергию ионизации водорода (13.6 эВ). Тогда воз-
можна фотоионизация атома водорода, а вылетевший электрон
будет иметь кинетическую энергию, равную, очевидно, величине
hu — \8п\. Измерение энергии электрона с помощью какого-либо
энергоанализатора в совокупности со знанием энергии фотонов
hv и есть измерение £п.
К числу наблюдаемых относится и момент импульса части-
цы, и ряд других физических величин, на чем специально здесь
останавливаться не будем. Важно лишь иметь в виду, что каж-
дой наблюдаемой должен сопоставляться способ ее эксперимен-
тального измерения, причем для недетерминированных объек-
тов, какими являются микрочастицы, исход единичного изме-
рения определяется лишь вероятностно и беспричинно с фило-
софской точки зрения, так как в одном измерении может быть
определено одно численное значение для наблюдаемой, в другом
измерении в тех же макроскопических условиях — другое.
Вновь возвращаясь к Шрёдингеру, следует отметить, что его
потрясающим достижением оказалось то, что он, ставя перед
собой задачу вычисления спектра квазистационарных уровней
энергии атома водорода, в конце концов пришел к универсаль-
ной схеме, позволившей с помощью волновой функции, опреде-
ляемой уравнением (4.49), предсказывать вероятности исходов
любых экспериментов по измерению любых наблюдаемых, а не
только координат.
Главная идея Шрёдингера, превратившая временное уравне-
ние Шрёдингера в стройную теорию (в волновую механику), ока-
залась очень неожиданной (но при этом весьма простой в пони-
мании). Так как для восприятия идеи Шрёдингера необходимо
минимальное знакомство с теорией операторов, сейчас укажем
лишь, что Шрёдингер сопоставил по определенным правилам
каждой наблюдаемой линейный эрмитов оператор, собственные
значения которого, в частности, и являются спектром наблюда-
емой, то есть являются множеством тех возможных значений,
которые могут быть зафиксированы при измерении наблюдае-
мой.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 635
Всего за несколько месяцев теория Шрёдингера захватила
умы физиков, поскольку позволила количественно объяс-
нить огромный массив экспериментальных результатов.
Итак, математическим языком волновой механики стали ли-
нейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве
волновых функций.
Гильбертово пространство волновых функций
и линейные операторы
Рассмотрим множество квадратично интегрируемых комплекс-
нозначных волновых функций Ф(г,£). Такое множество в мате-
матике обозначают как L2. Множество всех волновых функций
становится бесконечномерным гильбертовым пространством,
если в нем ввести скалярное произведение функций, а также со-
поставить каждой волновой функции норму, являющуюся ана-
логом длины вектора.
Введем скалярное произведение двух функций (Ф, Ф) как ком-
плексное число
(Ф,Ф) = Ф*(г)Ф(г)йУ,	(4.50)
где звездочка означает комплексное сопряжение, а интеграл без
указания пределов интегрирования предполагается здесь и далее
распространенным на все конфигурационное пространство. Из
определения скалярного произведения волновых функций сле-
дует, что порядок функций важен, так как первая функция ком-
плексно сопряжена, а вторая — нет.
Если (Ф,Ф) = 0, то говорят, что функции ортогональны.
Неотрицательное действительное число
||Ф|| = х/(ФГф),	(4.51)
называемое нормой функции, аналогично длине обычного век-
тора, которая тоже может быть вычислена как корень квадрат-
ный из скалярного произведения вектора на самого себя. Отме-
тим, что нормой функции, удовлетворяющей условию нормиров-
ки (4.46), будет единица.
Существование конечной нормы функции, то есть сходимость
интеграла в правой части (4.51) подразумевает, что волновая
функция из L2 стремится к нулю при удалении на бесконечность,
то есть
Ф(х, у, z,f) 0 при г +оо, где г = V^2 + У2 +	• (4.52)
636 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Множество волновых функций L2 с введенными скалярным
произведением (4.50) и нормой (4.51) является гильбертовым про-
странством.
В математике функция определяется как правило, позволяю-
щее однозначно сопоставить элементу из одного множества эле-
мент другого множества. И в гильбертовом пространстве вол-
новых функций можно вводить разные правила, позволяющие
сопоставлять одной волновой функции другую. Такие правила
называют операторами. Таким образом, оператор является част-
ным случаем функции, отличаясь от функции действительного
переменного только областью определения и областью значения,
которыми для оператора служит гильбертово пространство вол-
новых функций.
Операторы в квантовой механике обозначаются, как правило,
римскими буквами со шляпками. Так, оператор F сопоставля-
ет волновой функции Ф волновую функцию Ф, что записывают
в виде равенства
Ф = РФ.
Например, единичный оператор I сопоставляет любой волно-
вой функции ее же саму:
/Ф(г) = Ф(г).	(4.53)
Нулевой оператор О сопоставляет любой волновой функции
волновую функцию, тождественно равную нулю.
Оператор пространственной инверсии, называемый также
оператором четности Р изменяет знак всех пространственных
аргументов волновой функции, так что
РФ(г) = Ф(—г).	(4.54)
Оператор G называется линейным, если для любых комплекс-
ных чисел ci и С2, а также для любых волновых функций Ф и Ф
выполняется равенство
С(с1Ф + С2Ф) = ci СФ + С2 СФ .	(4.55)
Нетрудно понять, что единичный оператор I, нулевой опера-
тор О и оператор четности Р являются линейными. Простейши-
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА
637
ми линейными операторами являются также оператор коорди-
наты?9 х, действующий по правилу
хФ(г) = хФ(г),	(4.56)
и оператор дифференцирования89 90 91, сопоставляющий дифферен-
цируемой функции ее производную:
д т / х ЭФ
—Ф(г) = — .
дх дх
Обычно даже без шляпки символ д/дх трактуют как опе-
ратор дифференцирования. Соответственно, и символы осталь-
ных производных, например, д2/дх2, д2/дхду можно трактовать
в операторном смысле.
Читатель без труда может и сам увеличить список приме-
ров линейных операторов. Далее будут рассматриваться толь-
ко линейные операторы.
Суммой F + G операторов F и G называется оператор, дей-
ствие которого на произвольную функцию Ф вычисляется по
правилу
(F + 5)Ф = РФ + ОФ .
Понятно, что складывать можно только операторы одинаковой
размерности.
Произведением FG операторов F и G называется оператор,
действие которого на произвольную функцию Ф вычисляется по
правилу
(РС)Ф = Р(СФ),	(4.57)
то есть сначала оператор G действует на функцию Ф, сопостав-
ляя ей некоторую функцию (7Ф, а затем оператор F действует
на функцию б?Ф. Из определения умножения следует, что пере-
91
множаемые операторы могут иметь разную размерность .
Нетрудно понять, что умножение операторов некоммутатив-
но, то есть что порядок действия операторов важен, так как,
вообще говоря,
(РС)Ф ф {GFy&.
89Обратите внимание, что оператор координаты имеет размерность дли-
ны, на которую и различаются размерности функции Ф(г) и 'гФ(г).
"Оператор дифференцирования имеет размерность обратной длины.
91 Докажите, что произведение двух линейных операторов является ли-
нейным оператором.
638 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Последнее неравенство показывает, что в общем случае оператор
[F, G] = FG - GF,
называемый коммутатором операторов F и G, не является ну-
левым оператором.
Вычислим, например, коммутатор оператора координаты х
и оператора рх, называемого оператором проекции импульса ча-
стицы на декартову ось х и определяемого соотношением
о
Рх =	•	(4-58)
ОХ
Подействовав коммутатором [£,рж] на произвольную волно-
вую функцию Ф(г),
г--1т/х ..ЭФ Э(яФ) , .
[х,рх Ф(г) = —хгК—— +	— = гЙФ(г),
дх ох
убеждаемся, что
[z, рж] = г/lZ.	(4.59)
В то же время коммутатор [F, G] определенных пар опера-
торов может быть равен нулевому оператору О. В последнем
случае говорят, что операторы F и G коммутирующие, или что
операторы взаимно коммутативны друг с другом, или что опе-
раторы коммутируют. Например, операторы декартовых коор-
динат х, у и z попарно коммутативны друг с другом. Операторы
проекций импульса на декартовы оси рх, ру и pz также попар-
но коммутативны друг с другом. Взаимно коммутативны друг
с другом любой оператор F и любая степень этого оператора
FN, где N — произвольное натуральное число92.
Если оператор F сопоставляет волновой функции Ф некото-
рую функцию Ф — Т^Ф, то комплексно-сопряженный оператор
F* определяется с помощью соотношения
Ф* = Р*Ф*,	(4.60)
что при необходимости позволяет производить операцию ком-
плексного сопряжения по простому правилу: (Т^Ф)* = ,Е*Ф* .
92Докажите коммутативность для всех вышеперечисленных случаев.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 639
Нетрудно показать93, что двойное комплексное сопряжение воз-
вращает оператор к первоначальному виду:
(F*)* = F.	(4.61)
Как правило, сопоставляемая линейным оператором F волно-
вой функции Ф функция Ф = Fty не совпадает с самой функци-
ей Ф. Например, оператор производной сопоставляет функции ее
производную, обычно не совпадающую с самой функцией. Одна-
ко существуют такие функции, для которых имеет место совпа-
дение производной и самой функции. Например, (ехр х)' = ехр х.
Последний пример показывает, что для каждого конкретного ли-
нейного оператора F всегда можно сформулировать линейное
однородное уравнение, которое позволяет найти такие волновые
функции Ф, которые оператор F преобразовывает сами в себя
с точностью до постоянного численного множителя /:
РФ = /Ф ,	(4.62)
где f в общем случае — комплексное число.
Тривиальным решением уравнения (4.62) для любого опе-
ратора F и любого комплексного числа f является функция
Ф(г) = 0. Последнее есть свойство линейных однородных уравне-
ний.
Если оператор F таков, что при каких-либо значениях f име-
ются нетривиальные (то есть не равные тождественно нулю) ре-
шения уравнения (которые в последнем случае отмечаются ин-
дексом /) Ф/(г), то последние называются собственными функ-
циями оператора F, а соответствующие числа f — собственными
значениями оператора F. Поэтому уравнение (4.62), называемое
также уравнением на собственные значения, более правильно
должно записываться в виде
рф/ = /Фу.	(4.63)
Множество всех собственных значений оператора называет-
ся спектром оператора. При произвольных значениях f линей-
ное однородное уравнение (4.63), вообще говоря, не может иметь
нетривиальных решений. Спектры разных операторов сильно от-
личаются друг от друга.
93Покажите это.
640
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
В качестве простого предварительного примера покажем, что
спектр оператора пространственной инверсии состоит всего из
двух точек = ±1. Применив к уравнению на собственные
значения оператора пространственной инверсии
РФр(г) = рфр(г)
вновь оператор Р, получим цепочку равенств
Р2Фр(г) = Р[рфр(г)] = рРФр(г) = Р2фр(г).
Из определения (4.54) оператора Р с очевидностью следует, что
его последовательное применение дважды не изменяет вида лю-
бой функции Ф(г), то есть что Р2Ф(г) = Ф(г). Подставляя по-
следнее соотношение в полученную выше цепочку равенств, по-
лучим, что Фр (г) = р2Фр(г). Так как собственная функция Фр(г)
не может быть тождественно равна нулю, получаем р2 = 1, или
Р1,2 = ±1. При этом каждому собственному значению опе-
ратора Р отвечает бесконечное множество разных собственных
функций. Действительно, если pi = 1, то собственная функция
должна удовлетворять соотношению Ф(—г) = Ф(г), являющему-
ся просто определением симметричной относительно инверсии
в начале координат функции, каковых существует бесконечное
множество. Если р2 = — 1, то получается определение антисим-
метричной относительно инверсии в начале координат функ-
ции.
Когда, как в только что рассмотренном случае оператора
пространственной инверсии, оператор F имеет N 2 линейно-
независимых собственных функций Фу, отвечающих одному и то-
му же собственному значению /, говорят, что такое собственное
значение N-кратно вырождено. Таким образом, оператор про-
странственной инверсии являет собой пример оператора со спек-
тром, состоящим из двух собственных значений, которые беско-
нечно вырождены.
Спектр оператора может содержать счетное множество то-
чек, а может быть и непрерывным, совпадая, например, со мно-
жеством всех вещественных чисел. Возможны и более сложные
случаи, когда спектр состоит из дискретной и непрерывной ча-
стей, в чем далее будут случаи убедиться.
Сделанного экскурса в теорию операторов достаточно для
продолжения описания вклада Шрёдингера в становление нере-
лятивистской квантовой механики.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 641
Постепенно станет ясно, каким далеко идущим оказался пер-
воначальный замысел Шрёдингера, предположившего, что каж-
дой наблюдаемой f должен быть сопоставлен определенный опе-
ратор F такой, что множество возможных значений, кото-
рые могут быть зафиксированы как результат эксперимента
по измерению величины f, совпадает со спектром оператора
F. При этом результат эксперимента всегда должен характе-
ризоваться волновой функцией, определяемой временным урав-
нением Шрёдингера (4-49)- Если волновая функция — решение
уравнения Шрёдингера — совпадет94 с собственной функцией
оператора F, то при измерении наблюдаемой будет с вероят-
ностью единица определено значение наблюдаемой, равное f.
Расшифровывая гипотезу Шрёдингера, рассмотрим энергию
£ нерелятивистского микрообъекта как наблюдаемую физиче-
скую величину. По замыслу Шрёдингера, энергии должен быть
сопоставлен некоторый оператор, который стали называть га-
мильтонианом и обозначать как И, спектр которого и должен
давать все возможные значения энергии, которые при измерении
могут быть зафиксированы у микрообъекта. То же самое отно-
сится к импульсу микрообъекта р и ко всем остальным мыс-
лимым наблюдаемым, каждой из которых должен быть сопо-
ставлен свой определенный оператор. В частности, Шрёдингер
рассчитывал вычислением получить известный спектр квазиста-
ционарных уровней энергии атома водорода, и мы далее увидим,
что ему это удалось сделать, хотя для этого и придется как сле-
дует поработать.
Весьма нетривиальная гипотеза Шрёдингера, помимо про-
чего, налагала на спектры операторов, сопоставляемых наблю-
даемым, условие вещественности. Действительно, все физиче-
ские величины, которыми оперирует классическая физика, ве-
щественны.
Оказалось, что достаточным условием того, чтобы спектр
оператора был вещественным, является требование, чтобы опе-
ратор был эрмитовым, или самосопряженным. Чтобы дать опре-
деление эрмитова оператора, предварительно необходимо ввести
определение оператора F+, сопряженного оператору F. Для это-
го рассмотрим скалярное произведение двух волновых функций
94Что происходит при измерении, когда решение временнбго уравнения
Шрёдингера не совпадает с собственной функцией оператора F, будет опи-
сано далее.
642
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Ф и F4!:
(Ф,ГФ) = j $*FVdV.
Если под знаком скалярного произведения поменять местами
функции Ф и Ф, то результат, конечно же, изменится. Но можно
ввести такой оператор F+, что скалярное произведение функций
Ф и F+Ф совпадет с первоначальным скалярным произведением
(с точностью до комплексного сопряжения):
У Ф*ГФб/У=(У Ф*Р+Ф<П^ ,	(4.64)
или
(ф,рф) = (Ф,£+Ф)*.	(4.65)
Итак, если оператору F можно сопоставить такой оператор
F+, что уравнение (4.65) тождественно удовлетворяется для лю-
бых функций Ф и Ф, то оператор F+ называется сопряженным
оператору F.
На первый взгляд может показаться непонятным появление
комплексного сопряжения над скалярным произведением в пра-
вой части (4.65).
Однако рассмотрение простейшего примера разъясняет суть
дела. Найдем, к примеру, сопряженный с оператором декарто-
вой координаты х оператор для чего подставим в тождество
(4.64) на место оператора F оператор х, действие которого сво-
дится к домножению произвольной функции на координату х:
У ф*яф</у=(У ф-г+ф^г) .	(4.66)
Внеся знак комплексного сопряжения под интеграл в правой ча-
сти последнего равенства, очевидно, получим:
(У ф-ж+фЛ^ = У ф(х+ф)*</у.	(4.67)
Используя определение (4.60) комплексно-сопряженного опера-
тора, продолжаем цепочку равенств:
j ф(ж+ф)*(/у = У ф(ж+)*ф*</у	(4.68)
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА
643
Сравнивая правую часть (4.68) с левой частью (4.66), убежда-
емся, что соотношение (4.66) будет удовлетворяться тождествен-
но при любых функциях Фи Ф, если действие оператора (х4- )* на
функцию Ф* сведется к домножению последней на вещественную
координату х. В таком случае оператор ('г+ )* должен совпасть
с оператором декартовой координаты х\
(х+)*=х.	(4.69)
Выполнив операцию комплексного сопряжения над левой и пра-
вой частями равенства (4.69) и воспользовавшись, с одной сто-
роны, свойством (4.61) двойного комплексного сопряжения воз-
вращаться к первоначальному оператору, а с другой стороны,
очевидным свойством (£ = £*) вещественного оператора декар-
товой координаты, окончательно получим выражение для сопря-
женного с оператором декартовой координаты х оператора х±:
х* = х .	(4.70)
Если читатель еще раз вернется к процедуре нахождения опе-
ратора но уберет из определения (4.64) комплексное сопря-
жение в правой части, он обнаружит, что соответствующий опе-
ратор подобрать бы не удалось. Иными словами, комплексное
сопряжение в правой части (4.64) обеспечивает существование
сопряженного оператора.
Таким образом оказалось, что оператор декартовой коорди-
наты совпадает со своим сопряженным оператором. Операторы
F, обладающие таким же свойством, то есть совпадающие со
своим сопряженным оператором (F = F+), называются эрми-
товыми операторами95, или самосопряженными операторами.
Спектры эрмитовых операторов являются подмножествами
множества вещественных чисел. Последнее элементарно дока-
зывается. Допустим, существует собственное значение f и соб-
ственная функция Фу самосопряженного оператора F, так что
Т^Фf = /Фf. Воспользовавшись произволом в выборе функций
Ф и Ф в определении сопряженного оператора (4.64), положим
Ф = Ф, а также учтем, что для эрмитова оператора F+ = F.
Тогда вместо тождества (4.64) получим другое тождество, в ко-
тором фигурирует самосопряженный оператор F и произвольная
95В честь французского математика Шарля Эрмита (1822-1901), внесшего
большой вклад в разработку теории операторов.
644
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
волновая функция Ф:
Ф*рф dV =
(4-71)
Подстановка в левую и правую части тождества (4.71) вместо
произвольной функции Ф собственной функции Фу, очевидно,
даст равенство
f /	/ l*/|2dv,
из которого следует, что в гильбертовом пространстве волновых
функций любые собственные значения самосопряженного опера-
тора вещественны.
Покажем, что введенный выше соотношением (4.58) опера-
тор декартовой компоненты импульса рх — самосопряженный,
для чего найдем сопряженный оператор и убедимся, что он
совпадает с оператором рх. Исходя из определения сопряженно-
го оператора (4.64), преобразуем выражение f^px^dV. Под-
ставим в последнее выражение определение (4.58) оператора
а также раскроем тройной интеграл как повторный:
<ЭФ
Ф*— dxdydz = -ih
U Ju
(ЭФ
Ф* — dx.
дх
Далее произведем интегрирование по частям:
*
<ЭФ ;
dx — ггь
дх
п <ЭФ*
ф^— dx = ih
дх
где было учтено, что выражение Ф*Ф = 0, так как функции
гильбертова пространства в соответствии с (4.52) на бесконеч-
ности обращаются в нуль, а также вновь осуществлен возврат
к тройному интегралу.
Следующим шагом поиска сопряженного оператора является
использование тождества
Г «ЭФ*	Г Г	/	<ЭФ\
ih dV= / Ф* -ih— dV
J дх	[J	\	дх J
которое становится очевидным при прочтении его справа налево.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА
645
Возвращаясь от правой части последнего равенства по цепоч-
ке полученных равенств к самому началу, убеждаемся, что
С другой стороны, сопряженный оператор р + определяется
тождеством
f $*pxVdV = (J V*p+$dV^ .
Сравнивая два последних выражения, убеждаемся в том, что
Рх=Рх,	(4.72)
то есть что оператор рх эрмитов, или самосопряженный. Оче-
видно, что доказательство самосопряженности оператора рх ав-
томатически переносится и на операторы ру и pz.
Вернемся к замыслу Шрёдингера, который сопоставил де-
картовым координатам х, у, z микрообъекта как принципиаль-
но наблюдаемым величинам самосопряженные операторы х, у, z,
из которых первый был определен выше соотношением (4-56),
а остальные определяются аналогично. Декартовым компонен-
там импульса РхчРучРг Шредингер сопоставил самосопряжен-
ные операторы декартовых компонент импульса Px.Py.Pz, из
которых первый был определен выше соотношением (4-58),
а остальные определяются аналогично.
Наблюдаемым, являющимся функциями координат и импуль-
сов, операторы сопоставляются с помощью известных из класси-
ческой механики связей между наблюдаемыми таким образом,
чтобы образовался самосопряженный оператор96. Так, энергия
нерелятивистского микрообъекта 5, равная сумме кинетической
и потенциальной энергий, определяется нерелятивистским соот-
ношением
f = pl±^+n(w,f),
где т — масса микрообъекта, а также учтено то, что в общем
случае потенциальная энергия может зависеть от времени.
96Более подробно о сопоставлении наблюдаемым операторов сказано
в подразделе 4.3.4.
646 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Пользуясь последним соотношением, физически наблюдае-
мой величине — энергии микрообъекта 8 — сопоставляется опе-
ратор энергии, традиционно называемый гамильтонианом мик-
рообъекта Н, по следующему правилу:
Я =-------------1- П(гг, у, z, t)I.	(4.73)
Как видно, в гамильтониане Н потенциальной энергии мик-
рообъекта П(ж,у, z,t) был сопоставлен оператор П(х,у, z,t)Z по
аналогии со сделанным ранее сопоставлением координата х —
оператор х = xl.
Нетрудно показать, что оператор энергии нерелятивистского
микрообъекта — гамильтониан (4.73) — самосопряженный опе-
97
ратор .
Подставляя с помощью (4.58) выражения для операторов де-
картовых проекций импульса в гамильтониан (4.73), получаем,
что
Н=~—Д + П(х,у,г,4)/,	(4.74)
2т
где лапласиан Д = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/dz2 понимается как
оператор.
Сравнение правой части временного уравнения Шрёдингера
(4.49) и вида гамильтониана (4.74) показывает, что с помощью
гамильтониана микрообъекта правой части временнбго уравне-
ния Шрёдингера можно придать операторную форму
«ЭФ
ih— = ЯФ .	(4.75)
dt
В последней форме временнбе уравнение Шрёдингера не слож-
нее запомнить, чем второй закон Ньютона! В то же время из вида
последнего уравнения следует, что временную эволюцию волно-
вой функции определяет гамильтониан микрообъекта.
Если потенциальная энергия микрообъекта не зависит от вре-
мени, то существенно облегчается определение таких волновых
функций, которые, удовлетворяя временному уравнению Шрё-
дингера, одновременно являются собственными функциями опе-
ратора энергии, то есть гамильтониана Н. *
97См. задачи 4.2—4.4 к настоящей главе.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА
647
Как уже отмечалось выше, если волновая функция совпада-
ет с одной из собственных функций оператора энергии, то из-
мерение энергии микрообъекта с вероятностью единица должно
дать одно из собственных значений гамильтониана, определяе-
мое уравнением на собственные значения
НЪ8 =	.	(4.76)
Допустив, что волновая функция Ф^, являющаяся решением
уравнения (4.76), является одновременно и решением уравнения
(4.75), получим, что
<ЭФг -
ih—f	,
dt
или
ih^ = SV£.	(4.77)
Последнее уравнение имеет элементарное решение, опреде-
ляющее временную эволюцию волновой функции, одновременно
удовлетворяющей уравнениям (4.75) и (4.76),
/__\
ф£г(ж, у, z, t) = i/j£(х, у, z) ехр —— .	(4.78)
У Г1 J
Как видно, решение (4.78) определяется с точностью до неко-
торой функции декартовых координат ^(х,у, z), являющейся
просто произвольной константой в общем решении линейного
дифференциального уравнения первого порядка относительно
времени, каковым является уравнение (4.77).
Однако на самом деле полная волновая функция (4.78) дол-
жна удовлетворять временному уравнению Шрёдингера (4.75).
Подстановка функции вида (4.78) в уравнение (4.75) после взя-
тия производной по времени и сокращения в левой и правой ча-
стях временной зависимости приводит к уравнению, называемо-
му стационарным уравнением Шредингера98
8^s(x, у, z) = Н'фг(ж, у, z),
98Стационарным, то есть независящим от времени, уравнение оказывается
именно потому, что гамильтониан не зависит от времени, то есть потенци-
альная энергия микрообъекта П(х, у, z) не зависит от времени.
648
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
или, в более компактной форме,
Н^ф = £ф.	(4.79)
Как видно из вида решения (4.78), плотность вероятности об-
наружения микрообъекта не зависит от времени, когда потенци-
альная энергия не зависит от времени, а волновая функция яв-
ляется собственной волновой функцией гамильтониана, так как
Поскольку измерение энергии микрообъекта в последнем слу-
чае дает однозначный результат (с вероятностью единица будет
найдено одно из собственных значений гамильтониана), то го-
ворят, что волновые функции вида (4.78) описывают ’’состоя-
ние”99 микрообъекта с определенной энергией, а, с другой сторо-
ны, вследствие независимости вероятности от времени такие
состояния называются стационарными.
4.3.3 Квантование линейного гармонического
осциллятора
Понимание квантовой механики приходит лишь постепенно и по
мере того, как общие положения квантовой механики прилага-
ются к реальным физическим задачам. Сейчас уже наступил мо-
мент, когда можно показать, как "работает" квантовая механика
на примере одномерного (линейного) гармонического осциллято-
ра, то есть частицы массы т, находящейся в потенциальном поле
вида П(х) = /х2/2, где f — положительная размерная силовая
константа поля, в классической механике пропорциональная ве-
личине силы, действующей на частицу.
Движение линейного гармонического осциллятора в класси-
ческой физике описывается вторым законом Ньютона
(4.80)
Решение уравнения (4.80) дает зависимости координаты и ско-
рости частицы от времени:
x(t) = хо cos (cot) + — sin (о>£),	(4.81)
со
"Термин ’’состояние” в квантовой механике является синонимом выраже-
ния ’’микрообъект описывается какой-то определенной волновой функцией”.
<Рх
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА
649
v(t) = — xqw sin (o;t) + vq cos (ojt),	(4.82)
где круговая частота tu есть
(4.83)
При этом энергия осциллятора £ может принимать любые неот-
рицательные значения, определяемые начальными координатой
Xq и скоростью Vq:
+	(4.84)
Квантовая же механика дает отличное от классического опи-
сание линейного гармонического осциллятора, ничего не говоря-
щее о том, каковы зависимости координаты и скорости микро-
объекта от времени. Последние зависимости для атомных и суб-
атомных частиц — ненаблюдаемые, и поэтому бессмысленно
делать о них какие-либо заключения по крайней мере в насто-
ящее время100. Взамен квантовая механика дает возможность
определить волновую функцию101 линейного гармонического ос-
циллятора Ф(гг,£), а также, в частности, определить энергети-
ческий спектр осциллятора, который оказывается не непрерыв-
ным, как в классической физике, а дискретным, как предполо-
жил еще в 1900 году Планк, пытаясь дать обоснование закона
Планка (см. гл. 3, подразд. 3.2.7).
Как уже указывалось выше, возможными энергиями, кото-
рые могут быть найдены у гармонического осциллятора при из-
мерении, являются собственные значения гамильтониана линей-
ного гармонического осциллятора
h2
2т
(4.85)
2 2
тагх*
2	’
где силовая постоянная f была заменена с помощью соотноше-
ния (4.83).
100 Если же кто-то предполагает существование последних, то он высказы-
вает гипотезу, рассчитанную на будущие открытия, которых вполне может
и не быть.
101 Однако по мере роста массы осциллятора, как это не удивительно
на первый взгляд, квантово-механическое описание осциллятора приводит
к описанию классическому. Далее последнее утверждение будет доказано.
650
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
В квантовой механике задача об определении собственных
значений гамильтониана часто называется ’’проблемой квантова-
ния”102 именно потому, что часто спектр гамильтониана оказы-
вается дискретным. "Проквантовать” линейный гармонический
осциллятор — значит определить возможные уровни энергии по-
следнего.
Мы уже можем, вслед за Шрёдингером, проквантовать ли-
нейный гармонический осциллятор, исходя из стационарного
уравнения Шрёдингера (4.79) и естественных требований к про-
странственной части волновой функции, принадлежащей гиль-
бертовому пространству волновых функций.
Помимо очевидного требования дифференцируемости там,
где потенциальная энергия не имеет особых точек (коль скоро
волновая функция должна удовлетворять дифференциальному
уравнению второго порядка), естественное требование к любой
волновой функции заключается в том, что волновая функция
должна удовлетворять условию нормировки (4.46), физический
смысл которого заключается в том, что микрообъект с вероят-
ностью единица находится где-то в пространстве. Последнее,
в свою очередь, означает, что на бесконечности волновая функ-
ция должна стремиться к нулю, то есть удовлетворять условию
(4.52).
Рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера (4.79) при-
менительно к линейному гармоническому осциллятору. Будем
искать такие его решения, которые удовлетворяют условию нор-
мировки (4.46) и, как следствие, условию (4.52).
Раскрывая вид гамильтониана, для линейного гармоническо-
го осциллятора получаем стационарное уравнение Шрёдингера
вида
Н2 д2гф ( ты2х2\
+ Г = о- (4'86)
Это уравнение с математической точки зрения имеет реше-
ния при любых значениях энергии 5, однако не при всех значе-
ниях энергии, как это вскоре станет ясно, математические ре-
шения описывают состояние локализованной частицы. Задача
квантования в том и заключается, чтобы определить такие зна-
102Четырем статьям (опубликованным в первом полугодии 1926 года), в ко-
торых были заложены основы волновой механики, Шрёдингер дал общее
название: ’’Квантование как задача о собственных значениях”. Квантова-
ние атома водорода Шрёдингер произвел в первой статье, а квантование
линейного гармонического осциллятора — во второй статье.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА
651
чения энергии частицы 5, при которых уравнение (4.86) имеет
квадратично-интегрируемые решения.
Итак, приведем уравнение (4.86) к безразмерной форме, для
чего сначала найдем характерный масштаб задачи, определяе-
мый, очевидно, величинами т, ш и Ti, из которых можно соста-
вить единственную комбинацию Z, имеющую размерность длины
* =	(4-87)
V тгш
Введем новую независимую переменную — безразмерную ко-
ординату
е = у .	(4.88)
Переход в уравнении (4.86) от переменной х к переменной £
дает уравнение
„	/2£ Л
'Ф + ( т---) -0 = 0,
у Ли /
где штрихи обозначают дифференцирование по £.
После введения безразмерной константы
а =	(4.89)
получим линейное уравнение с безразмерными коэффициентами:
ф" + (а - £2) ф = 0.	(4.90)
При произвольной величине а линейное однородное диффе-
ренциальное уравнение (4.90) не имеет решений, выражаемых
через элементарные функции. Однако при а = 1 оно имеет част-
ное решение
/ £2\
Ж) = ехр I I ,	(4.91)
в чем легко убедиться непосредственной проверкой.
Попытаемся искать решения уравнения (4.90) при произволь-
ных а, сделав замену зависимой переменной вида
Ш) = у(£) ехР ( ~ v ) •	(4-92)
652 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Проделав несложные вычисления103, придем к уравнению от-
носительно функции у(£):
у"-2еу' + (а-1)у = 0.	(4.93)
Будем далее искать заведомо существующие аналитические
решения линейного уравнения второго порядка (4.93) без особен-
ности перед старшей производной в виде ряда
+оо
у(е) = Еа^п-	(4-94)
п=0
Подстановка ряда (4.94) в уравнение (4.93) приводит к равен-
ству
+оо	+оо	+оо
n(n - 1) апС~2	апС + £(а - 1) ап£п = 0. (4.95)
п=0	п=0	п=0
Производя замену ’’немого” индекса суммирования в первой
сумме (в которой суммирование фактически начинается с п = 2,
так как первые два слагаемых равны нулю) в левой половине
(4.95) с п на к = п — 2, получим суммирование по А; от 0 до +оо:
+оо	+оо	+оо
52n(n-l)anC-2= J2n(n-l)anCn_2= J2(fc + 2)(A: + l)afc+2£*.
п=0	п=2	к=0
Теперь, вновь обозначив ’’немой” индекс в правой сумме послед-
него равенства буквой п вместо буквы fc, от чего значение сум-
мы не изменится, подставя преобразованное выражение в (4.95)
вместо первой суммы, а две остальные суммы в (4.95) перенеся
направо, получим:
+оо	Н-оо
^2(n + 2)(n + 1) ап+2С = ^2 (2п - а + 1) ап£п = 0.
п=0	п=0
Последнее равенство двух рядов влечет за собой равенство ко-
эффициентов при одинаковых степенях
(n + 2)(п + 1) an+2 = (2n + 1 - а) ап , п = 0,1,2... .	(4.96)
103Проделайте их.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА
653
Рекуррентное соотношение (4.96) дает возможность постро-
ить два линейно-независимых решения уравнения (4.93): одно
решение — четное (если положить ао / 0,	= 0), а другое —
нечетное (если положить ао = 0, ai / 0). Для обоих решений
можно оценить их поведение на бесконечности следующим обра-
зом. Из (4.96) следует, что
an+2 _ 2n + 1 - а 2
ап (п + 2)(п + 1) п’
Покажем, что аналогичное рекуррентное соотношение для
функции ехр (£2) имеет такой же главный член, как и в фор-
муле (4.97). Действительно, экспонента может быть разложена
в ряд, сходящийся на всей действительной оси:
+°° с2к	р2к t2fc+2	+°°
ехр (е2) = 12^Г = 1 + '" + Т" + (Г+1)! + '   = £ Ьп^П '
к=0	'	п=0
откуда следует, что
^п+2 _____________	1	_ 2	2
Ьп n/2 + l п + 2 п’
п —> +оо .
(4.98)
Сравнение рекуррентных выражений (4.97) и (4.98) позволя-
ет понять (а более строгий математический анализ это подтвер-
ждает), что коэффициенты разложения ап функции у(£) экви-
валентны коэффициентам разложения Ьп с точностью до неко-
торой ненулевой вещественной константы С (ап ~ СЬП), и что
функция у(£), определяемая рекуррентным соотношением (4.97),
ведет себя при £ —> ±оо как С ехр (£2).
Учтя, что решения уравнения Шрёдингера определяются вы-
ражением (4.92), получим, что они не только не стремятся к ну-
лю, но бесконечно велики как С ехр (£2/2) при £ —> ±оо, то
есть не являются квадратично интегрируемыми. Такие волновые
функции, очевидно, не могут описывать вероятность обнаруже-
ния локализованной частицы.
Остается только случай обрыва ряда (4.94) на каком-нибудь
члене an+2 (где п = 0,1,2,...), который в силу рекуррентного со-
отношения (4.96) может обратиться в нуль, если будет выполнено
условие а = 2n+1, п = 0,1,2,..., дающее, с учетом определения
(4.89), возможные значения энергии линейного гармонического
осциллятора:
п = 0,1,2,....	(4.99)
654
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Только в том случае, если энергия линейного гармонического
осциллятора определяется выражением (4.99), соответствующие
волновые функции будут произведениями некоторого полинома
конечной степени на убывающую в бесконечности экспоненту
ехр(—£2/2), то есть будут квадратично интегрируемы.
Таким образом, оказалось, что энергетический спектр линей-
ного гармонического осциллятора — дискретный и эквидистант-
ный. Последнее означает равенство расстояний между возмож-
ными уровнями энергии, равное планковскому кванту энергии
hw.
Уровни энергии линейного гармонического осциллятора ну-
меруются неотрицательным целым числом п. Сюрпризом можно
назвать то обстоятельство, что наименьшая энергия осциллято-
ра (соответствующая основному состоянию, нумеруемому ин-
дексом п = 0), весьма неудачно называемая "нулевой энергией",
вовсе не равна нулю\ Квантовая механика, в отличие от механи-
ки классической (в которой минимальная энергия осциллятора
равна нулю), предсказывает, что даже в наинизшем энергетиче-
ском состоянии у осциллятора остается ’’нулевая энергия” faj/2,
которую у него невозможно отобрать!
Все предсказания, которые волновая механика дает относи-
тельно уровней энергии линейного гармонического осциллято-
ра, проверены экспериментально и подтверждены. Например,
уровни энергии гармонического осциллятора можно измерить
с некоторой степенью точности, изучив колебательный спектр
молекулы водорода и энергию диссоциации этой же молекулы.
На рис. 4.37 представлены соответствующие результаты.
Рис. 4.37. Потенциальная энергия мо-
лекулы водорода как функция межъ-
ядерного расстояния (справа) и колеба-
тельные уровни энергии (слева)
В молекуле водорода
протоны могут находить-
ся на различных рассто-
яниях х друг от друга.
Зафиксировав расстояние
х и вычислив (тоже ме-
тодами квантовой механи-
ки) внутреннюю энергию
двух электронов в поле
двух неподвижных прото-
нов, правомерно в пер-
вом приближении (назы-
ваемым приближением
Борна—Оппенгеймера, дей-
ственным потому, что яд-
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 655
ра значительно тяжелее электронов и движутся много медленнее
последних, в результате чего электроны всегда успевают создать
конфигурацию, ’’подстроенную” под текущее межъядерное рас-
стояние) полученную таким образом функцию П(я) считать по-
тенциальной энергией молекулы.
Как следует из рисунка, минимум потенциальной энергии до-
стигается при расстоянии между протонами х = 0.74 А. При
меньших расстояниях преобладает эффект кулоновского растал-
кивания между протонами, а при больших — притяжения. Для
того, чтобы развести протоны "бесконечно далеко" друг от дру-
га (что соответствует диссоциации молекулы, вместо которой об-
разуются атомы водорода, покоящиеся на большом расстоянии
друг от друга), необходимо затратить энергию около 4.5 эВ.
Далее будет показано (см. стр. 694), что задача о квантова-
нии уровней энергии двух протонов, обладающих потенциальной
энергией П(ж), сводится к задаче о квантовании уровней энергии
одной квазичастицы, обладающей той же потенциальной энерги-
ей П(ж). Поскольку вблизи положения минимума любую кривую
можно приближенно считать параболой, то основной и первые
возбужденные уровни колебательной энергии молекулы водорода
должны совпадать с уровнями энергии линейного гармоническо-
го осциллятора.
На рисунке слева изображены номера уровней п и сами уров-
ни колебательной энергии молекулы водорода, полученные экс-
периментально. Спектроскопическими методами найдены рас-
стояния между уровнями, а измерение энергии диссоциации мо-
лекулы позволило определить положение границы непрерывного
спектра (начинающегося выше 4.5 эВ и не показанного на ри-
сунке) относительно минимальной потенциальной энергии, при-
нятой за начало отсчета энергии.
Оказалось, что основной уровень энергии ("нулевой", соот-
ветствующий п = 0) лежит на 0.27 эВ выше минимальной потен-
циальной энергии, а расстояния между следующими нескольки-
ми уровнями приблизительно равны 0.54 эВ. Выше и правее кри-
вая потенциальной энергии начинает сильно отличается от па-
раболы, и расстояния между уровнями уменьшаются. Дискрет-
ных колебательных уровней энергии оказывается конечное чис-
ло, а при энергиях выше энергии диссоциации энергетический
спектр становится непрерывным, однако этот спектр описывает
уже не локализованные в молекуле водорода атомы, а разлетаю-
щиеся после диссоциации молекулы атомы, обладающие произ-
вольной положительной суммарной кинетической энергией.
656
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Осциллятор является хорошей моделью не только для описа-
ния колебаний двухатомной молекулы, но и везде, где встреча-
ются локализованные атомы или молекулы. Если атом локали-
зован в молекуле или в кристалле, это означает, что ядро атома
находится в потенциальной яме, вблизи дна которой потенци-
ал всегда приблизительно можно считать квадратичным. Такой
атом и есть гармонический осциллятор, только уже не линейный,
а трехмерный, поскольку может колебаться в пространстве, а не
только вдоль фиксированной прямой.
Если вещество нагрето, осцилляторы возбуждены. При по-
нижении температруры вещества атомы-осцилляторы (или мо-
лекулы-осцилляторы) будут релаксировать на все более низкие
уровни энергии. Но даже если охладить водород практически
до нулевой абсолютной температуры (когда водород затверде-
вает, превращаясь в молекулярный кристалл), то колебательная
внутримолекулярная энергия около 0.27 эВ/молекула сохранит-
ся, равно как сохранится и некоторая колебательная энергия
молекулы водорода как трехмерного осциллятора в кристалле,
соответствующая некоторой другой частоте колебаний молеку-
лы как целого вблизи положения равновесия. Обе эти ненуле-
вые "нулевые” энергии104 соответствуют собственной волновой
функции гамильтониана, дающей ненулевую вероятность обна-
ружения осциллятора на расстоянии порядка I от положения
равновесия, что также регистрируют экспериментально при изу-
чении ширины пиков рентгеновских лучей, дифрагирующих на
кристаллах, охлажденных почти до абсолютного нуля. Однако
описание подобной методики выходит за пределы настоящего из-
дания. Зато происхождение "нулевой энергии” далее станет бо-
лее понятным.
Волновые функции
линейного гармонического осциллятора
Каждому значению энергии осциллятора (4.99), являющемуся
собственным значением оператора энергии — гамильтониана, со-
ответствует нормированная волновая функция — собственная
волновая функция оператора энергии. Чтобы найти собственные
функции гамильтониана, необходимо значение £п, соответствую-
щее какому-либо значению п, подставить в уравнение (4.93), что
даст уравнение для полиномов уп(£) степени п, через которые
104Ненулевые, так как значение энергии больше нуля, ’’нулевые" — так как
соответствуют п = 0 и близкой к нулю температуре кристалла.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 657
должна выражаться волновая функция ?/>п(£):
у" - 2£ у'+ 2пу = 0.	(4.100)
Оказалось, что соответствующие полиномы были давно из-
вестны в математике105. Называются они полиномами Эрмита
и обозначаются в его честь как Нп(£). Полиномы Эрмита опре-
деляются при помощи формулы Родрйга
dne~^2
Нп^ = (-1)М	, П = 0,1,2,... .	(4.101)
Произведя дифференцирование в формуле (4.101), можно най-
ти явный вид полинома любой степени п. Так, первые четыре
полинома Эрмита имеют следующий вид:
н0(е) = 1, ях(е) = 2е, н2(е) = 4е2-2, н3(е) = 8е3-12е.
Полиномы Эрмита разного порядка связывает рекуррентное соот-
ношение, позволяющая строить полином любого порядка п по двум
предшествующим. Действительно, преобразуем выражение для поли-
нома Hn+i(£):
2 dn+1e~€2	л2 dn(e~€2}'
н„+1(£) =
где штрих обозначает производную по Произведя дифференцирова-
ние по знаком n-ой производной, получим:
яп+1(о-2(-1)М2
dn(ee-«2)
d£n
Воспользовавшись формулой Лейбница (известной с 1695 года) для
n-ой производной произведения функций fg
(/<7)(n) = £	- fg^+nfg^ + п(п~ Гд(п~2) +   • ,
к=0
положим f = д = е~^ и учтем, что все производные функции £,
начиная со второй, тождественно равны нулю. Тогда для полинома
Эрмита Hn+i(£) получим:
Hn+1(e) = 2£(-1)М	+ 2n(-l)M	,
105Их определение в 1810 году дал Лаплас, в 1859 году достаточно подроб-
ное о них исследование дал русский математик П.Л. Чебышев, а названы
они в честь Ш. Эрмита, опубликовавшего свои результаты в 1864 году.
658
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
или
Яп+1(е) = 2£Hn(£) - 2nHn_i(e), п = 1,2,... .	(4.102)
Последняя формула и есть рекуррентное соотношение, дающее воз-
можность строить полиномы произвольно высоких порядков, не при-
бегая к утомительному дифференцированию.
Как следствие рекуррентного соотношения (4.102) можно вывести
другое важное соотношение, позволяющее выразить первую произ-
водную полинома Эрмита n-ой степени Н'п(£) через полином Эрмита
Hn_i(£). Действительно, имеем
2 dne~^2	^2 dn+1e~^2
Н№ = (-l)n2£e*	+ (-l)M dgn+1 = 2£ЯП(£) - Яп+1(£).
Подстановка в последнее выражение Hn+i(£) из рекуррентного соот-
ношения (4.102) дает
н;(е) - 2пНп_!(£) , п = 1,2,... .	(4.103)
Теперь уже не представляет труда доказать, что частным решени-
ем уравнения (4.100) при произвольном неотрицательном целом п как
раз и является полином Эрмита Нп(£). Исключая Hn_i(£) из соотно-
шений (4.102) и (4.103), получаем
яп+1(о-2^яп(е) + я;(е) = о.
Дифференцируя последнее равенство еще раз и заменяя Я^+1(£) с по-
мощью (4.103), окончательно имеем
я;'(0 - 2^я;(е) + 2пнп^ = о,	(4.Ю4)
что и требовалось доказать.
Следовательно, пространственная часть собственных волно-
вых функций гамильтониана в соответствии с соотношениями
(4.92) и (4.88) должна иметь вид
(2 \
~2р)’	<4л05>
где Сп — нормировочные множители, поскольку волновые функ-
ции локализованной частицы должны удовлетворять условию
4-оо
\фп{х)\2 dx = 1.
—ОО
— ^пНп
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 659
Вычисление [с точностью до фазового множителя ехр(г5п),
не меняющего квадрат модуля функции] нормировочных коэф-
фициентов сп не представляет труда. Действительно, уравнение
относительно нормировочных множителей Сп имеет вид
+оо	2	+оо
сп У Нп (у) ехР (“7^) dx = 1 Сп /	еХР(~£2) <*£ = 1 •
—оо	—оо
Преобразуем интеграл в правой части последнего уравнения,
подставив в него вместо одного из двух перемножаемых полино-
мов Эрмита Нп(£) выражение (4.101):
/г
Яп(£)Яп(£)ехр(-£2)^ = j Яп(е)(-1)"-^-^.
В полученном интеграле произведем интегрирование по частям:
1 г2 \	л	г2
где было учтено очевидное обращение в нуль внеинтегрального
члена
+оо
= 0.
Выражая в последнем интеграле Н'п(£) с помощью (4.103)
через полином Эрмита Hn_i(£), а (п — 1)-ю производную также
выражая через полином Эрмита Hn_i(£) с помощью формулы
Родрига (4.101), получаем рекуррентное соотношение
Я2(£)ехР(-С2)<% = 2п / Я2_1(С)ехр(-^2)б?С, п = 2,3,...
Последовательное применение последнего рекуррентного со-
отношения, как нетрудно убедиться, дает
Я2(е)ехр(-е2)(^ = 2п-1п! / Я2(£)ехр(—£2)	п = 2,3,...
660 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
С учетом того, что = 2£, интеграл в правой части по-
следнего равенства сводится к табличному и равен106
4-оо
j 4£2 ехр(—£2) d£ = 4-~ = 2^7г ,
—ОО
так что окончательно получаем:
4-оо
У Н2(С) ехр(—£2) de = 2nn!^F, п = 0,1,2,... ,	(4.106)
—ОО
причем выполнение последнего равенства при п = 0 и п = 1
проверяется непосредственно.
Таким образом, с помощью соотношения (4.106) коэффици-
енты Сп определяются без труда, так что собственные нормиро-
ванные волновые функции гамильтониана линейного гармони-
ческого осциллятора с точностью до фазового множителя для
любого целого п 0 принимают вид
1	/ х \	( х1 \
fc(l) = даех₽ '	(4107)
где индекс п определяет собственное значение гамильтониана (то
есть энергию линейного гармонического осциллятора) с помо-
щью формулы (4.99).
Полная же волновая функция Фп(гг,£) линейного гармони-
ческого осциллятора, находящегося в состоянии с определенной
энергией 8п = (n + l/2)foj, с учетом выражения (4.78), принимает
вид
/__7 Г /\	1	/ Т \ Л \
ФП(М = ехр	L Нп □ехр , (4.108)
\ ™ / \/ly/7v2nn\	\ J
где масштаб длины I определяется соотношением (4.87).
Собственные функции гамильтониана (4.107) обладают дву-
мя замечательными свойствами. Счетное множество этих функ-
ций ортонормированно и полно. Первое означает, что эти функ-
ции ортогональны и нормировании!, то есть ортонормировании:
(^п,^т) = С-	(4.109)
106 Соответствующее вычисление произведено в Приложении 1, формула
(П1.15).
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 661
Впрочем, свойство ортогональности характерно для собствен-
ных функций любого эрмитового оператора F с дискретным спек-
тром. Действительно, пусть fnnfm — два любых (но разных)
собственных значения оператора, а фп и фт — соответствующие
собственные функции. Тогда имеем
F^>n ~ /пФп F^)m = }тФт •
Подставим теперь в определение сопряженного оператора (4.65)
вместо функции Ф функцию фпу а вместо функции Ф — функцию
фт, а также учтем, что для эрмитова оператора F = F+. В итоге
получим тождество
.	(4.110)
Учтя, что функции фп и фт — собственные, последнее тождество
преобразуем к виду
= ШтМ* 	(4.111)
Поскольку в силу определения скалярного произведения функ-
ций (4.50) имеем, очевидно, (фт^ФпУ* = ('Фп.'Фт^ а собствен-
ные значения эрмитова оператора вещественны, то из равенства
(4.111) следует, что (/n — /mXV'n, V>m) — 0- Так как по условию
fn fm, то утверждение об ортогональности собственных функ-
ции операторов с дискретным спектром доказано1 .
Таким образом, собственные функции гамильтониана (4.107)
действительно удовлетворяют соотношению (4.109).
Свойство полноты собственных функций оператора со счет-
ным дискретным спектром означает, что в ряд по этим функци-
ям можно разложить любую не слишком быстро растущую на
бесконечности кусочно-гладкую функцию107 108. Другими словами,
107Не использованный в доказательстве явно факт дискретности спектра
на самом деле обеспечивал существование конечного скалярного произведе-
ния 'фт)- Последнее утверждение иллюстрируют собственные функции
гамильтониана линейного гармонического осциллятора (4.107), скалярное
произведение которых заведомо существует, так как сходимость интегралов
обеспечивает быстро убывающая экспонента.
108Например, раскладывать в ряд по собственным функциям гамильтониа-
на линейного гармонического осциллятора можно все кусочно-непрерывные
функции, для которых сходится интеграл J* |я|е-х |Ф|2с&е.
662 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
математика гарантирует, что соответствующий ряд действитель-
но сходится к разлагаемой функции в точке непрерывности по-
следней, а свойство ортонормированности собственных функций
дает простой алгоритм для вычисления коэффициентов разло-
жения. Пусть, например, в ряд по функциям (4.107) необходимо
разложить функцию Ф(х,£):
+оо
Ф(х, t) =	Сп(8)'Фп(х') ,	—ОО < X < +оо .	(4.112)
п=0
Смысл разложения таков: для каждого момента времени t функ-
ция Ф(х,£) рассматривается как функция только координаты х,
которая и раскладывается в ряд по функциям 'фп(х). Ясно, что
наборы коэффициентов Сп для разных моментов времени бу-
дут, вообще говоря, разными. Иными словами, коэффициенты
Сп в последнем разложении являются функциями времени t.
Вычислить эти коэффициенты помогает свойство ортонор-
мированности функций 'фпХх). Домножив равенство (4.112) на
функцию и взяв интеграл по всей вещественной оси, полу-
чим
+ОО
(^т,Ф)= / il>^(x,t)dx = 52cn(t) /	= Cm(t) , (4.113)
-oo	n=0 -оо
где учтено соотношение ортонормированности (4.109).
Как уже отмечалось выше, измерение энергии гармоническо-
го осциллятора, находящегося в одном из квазистационарных со-
стояний Фп(х, t) из набора (4.108), с вероятностью единица долж-
но дать значение энергии 8п. Однако решения временнбго урав-
нения Шрёдингера для линейного гармонического осциллятора
(ЭФ h2 <Э2Ф то>2х2
•saT = -2^a? + —*	(4'
описывают не только квазистационарные состояния. С матема-
тической точки зрения любая линейная комбинация (с посто-
янными коэффициентами) волновых функций (4.108) является
решением линейного уравнения Шрёдингера (4.114).
Более того, в волновой механике предполагается, что лю-
бое квадратично интегрируемое решение временнбго уравнения
Шредингера (4-114) является возможной волновой функцией,
описывающей физически реализуемое состояние системы.
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 663
Часто последнее утверждение формулируется в виде так на-
зываемого принципа суперпозиции состояний109, формулировка
которого сводится к утверждению о том, что если система может
описываться какими-либо волновыми функциями Ф^(х,^) (яв-
ляющимися, разумеется, допустимыми решениями временнбго
уравнения Шрёдингера), то система может описываться и про-
извольной линейной комбинацией волновых функций Ф&:
фСМ) =	(4.115)
к
где Ck — произвольные комплексные числа, а суммирование по
к распространяется на конечное или бесконечное число членов
(лишь бы в последнем случае ряд сходился и был бы квадратично
интегрируемым).
Тогда возникает закономерный вопрос: какая энергия будет
обнаружена у микрообъекта, волновая функция которого опи-
сывается каким-либо допустимым решением Ф(я,£) временнбго
уравнения Шрёдингера для линейного гармонического осцилля-
тора?
Выше уже было указано, что измерение энергии микрообъ-
екта может дать только одно из собственных значений гамиль-
тониана £п. При этом, если осциллятор не находится в одном
из квазистационарных состояний (когда с вероятностью единица
будет обнаруживаться одно из собственных значений гамильто-
ниана) , результат единственного измерения будет непредсказуем
(из-за недетерминированности поведения микрообъектов), а ре-
зультаты серии измерений определятся вероятностями обнару-
жения того или иного из собственных значений гамильтониана,
которые и должны вычисляться в рамках волновой механики.
Подсказку, помогающую найти вероятности обнаружения то-
го или иного значения энергии при проведении серии измерений,
дает тождество, которому удовлетворяют коэффициенты разло-
жения (4.112) допустимой волновой функции в ряд по собствен-
ным функциям гамильтониана. Чтобы получить тождество, ум-
ножим разложение (4.112) на комплексно сопряженное, а затем
109 Принцип суперпозиции состояний является очевидным следствием то-
го, что в волновой механике любое квадратично интегрируемое решение
временнбго уравнения Шрёдингера (линейного!) рассматривается как фи-
зически допустимое.
664
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
возьмем интеграл по всей действительной оси:
+оо +оо
iS*(x,t')iS(x,t)dx =
п=0 тп=0
+оо
Cm(*)CnW У ^m(x№n(x)dx-
—оо
Поскольку волновая функция Ф(х,£) предполагается норми-
рованной, интеграл в левой части последнего соотношения равен
единице, а справа в силу ортогональности собственных функций
гамильтониана все интегралы при п ф т обращаются в нуль,
поэтому вместо двойной остается только однократная сумма.
В итоге для любого допустимого решения временнбго урав-
нения Шрёдингера в любой момент времени имеем:
+оо
£Ы4)|2 = 1,	(4 116)
71=0
где Сп(£) — коэффициенты разложения волновой функции в ряд
(4.112).
Заметим, что вероятности wn(£) обнаружения у микрообъек-
та энергии £п. должны удовлетворять нормировочному условию
Ч-оо
^wn(t) = l.	(4.117)
п=0
Сравнение тождеств (4.116) и (4.117) позволяет догадаться,
что вероятность wn(t) обнаружения энергии £п у микрообъекта
должна быть равна квадрату модуля соответствующего коэф-
фициента разложения волновой функции в ряд по собственным
функциям гамильтониана:
wn(t) = |cnW|2.	(4.118)
Итак, если разложить любое допустимое решение Ф(ж,£)
временнбго уравнения Шредингера в ряд по собственным функ-
циям гамильтониана, то квадраты модулей коэффициентов раз-
ложения |сп(£)|2 дадут в момент времени t вероятности реги-
страции значения энергии, равного собственному значению опе-
ратора энергии 8п.
Алгоритм (4.118), полученный для вычисления вероятности
обнаружения того или иного значения энергии, распространяет-
ся в квантовой механике и на вычисление вероятностей обнару-
жения для других наблюдаемых:
4.3. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА 665
если микрообъект описывается волновой функцией Ф(х,£),
являющейся квадратично интегрируемым решением временнбго
уравнения Шредингера, то разложение функции Ф(ж,£) в ряд по
собственным функциям оператора F, соответствующего на-
блюдаемой f, дает вероятности wn(t) обнаружения значения
fn наблюдаемой, равные квадратам модуля коэффициентов раз-
ложения волновой функции по собственным функциям опера-
тора F.
Правило для вычисления вероятностей обнаружения того или
иного значения какой-либо наблюдаемой уместно в данном месте
сопроводить серьезным комментарием.
Как уже отмечалось выше, нерелятивистская квантовая ме-
ханика — феноменологическая теория, не учитывающая явным
образом дискретности электромагнитного излучения. Следстви-
ем этого является неучет спонтанной релаксации в рамках соб-
ственно нерелятивистской квантовой механики, то есть неполно-
та стандартного временнбго уравнения Шрёдингера110.
Результатом неучета спонтанной релаксации является пред-
сказание нерелятивистской квантовой механикой того, что ли-
нейный гармонический осциллятор, находящийся в состоянии,
допустим, ФЦх,t), описываемом формулой (4.108), будет нахо-
диться в таком состоянии неопределенно долго, а вероятность об-
наружения у линейного гармонического осциллятора в этом со-
стоянии энергии от времени не зависит, будучи тождествен-
но равна единице.
Отсюда следует неправильный вывод, что в допустимом со-
стоянии Ф1(х,^ линейный гармонический осциллятор может на-
ходиться неопределенно долго. А что же на самом деле про-
изойдет с линейным гармоническим осциллятором, находящим-
ся в состоянии Ф1 (х, t), то есть на первом возбужденном уровне?
А вот что: в соответствии со вторым законом Бора111, через ко-
нечное время (порядка 1/А1_>о, где Ai_>o — коэффициент Эйн-
штейна для спонтанной релаксации с первого уровня на нуле-
110 С точки зрения классической физики спонтанная релаксация происхо-
дит без каких-либо внешних воздействий на микрообъект, что соответству-
ет представлению о частице, находящейся в пустоте, или вакууме. Вакууму
в классической физике сопоставляются тождественно равные нулю значения
потенциалов электромагнитного поля, поэтому классически понимаемый ва-
куум и не влияет на гамильтониан микрообъекта. В рамках квантовой элек-
тродинамики вакуум рассматривается как физическая среда, обладающая
определенными свойствами, ответственными, в частности, за возникновение
спонтанной излучательной релаксации возбужденных микрообъектов.
111 См. стр. 593.
666
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
вой), испустив фотон с энергией /zw, осциллятор перейдет в ос-
новное состояние Фо(я^)-
Неверные выводы без учета спонтанной релаксации получат-
ся и в случае рассмотрения линейной комбинации квазистацио-
нарных состояний типа
4=ФоСМ) + -^=Ф1СМ),
V	V
(4.119)
когда для любого момента времени с вероятностью wi = 0.5 у ос-
циллятора может быть обнаружена энергия , а с вероятностью
wo = 0.5 — энергия 8q.
Без учета спонтанной релаксации волновая механика пред-
сказывает, что и последнее состояние может существовать неоп-
ределенно долго, что неверно.
Если каким-либо способом ’’приготовить” в момент времени
t = 0 начальное состояние осциллятора
-^'фо (я) + -y=Mx),
(4.120)
то линейная комбинация (4.119) будет описывать неопределенно
долго последующую временную эволюцию состояния (4.120), так
как (4.119) является решением временнбго уравнения Шрёдин-
гера, удовлетворяющего начальному условию (4.120).
На самом же деле и в данном случае через конечное вре-
мя (того же порядка 1/Ai_>o) осциллятор окажется в основном
состоянии Фо(зМ)- Поскольку состояние линейной комбинации
(4.119) не является состоянием с определенной энергией, нельзя
сказать, что в процессе релаксации из суперпонированного со-
стояния осциллятор обязательно испустит фотон с энергией hw.
Испускание фотона должно наблюдаться в 50 % случаев.
Таким образом, неучет стандартным временным уравнением
Шрёдингера существования спонтанной релаксации ведет, вооб-
ще говоря, к неверному выводу о возможности неопределенно
долгого нахождения микрообъекта в суперпонированном состо-
янии. Утверждать, что волновая функция может неопределенно
долго быть линейной комбинацией разных состояний допусти-
мо только в том случае, когда вероятность спонтанного ухода из
любого состояния линейной комбинации равна нулю.
Без учета спонтанной релаксации просто невозможно пра-
вильно описывать многие явления, например, излучение разре-
женных газов, или взаимодействие атомов с лазерным излучени-
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 667
ем. В подобных случаях спонтанную релаксацию учитывают чи-
сто феноменологически, вводя во временное уравнение Шрёдин-
гера некий ’’оператор затухания”, то есть фактически ’’задавая
руками" эволюцию волновой функции с учетом вероятности спон-
танной релаксации.
К сказанному следует добавить, что нерелятивистская кван-
товая механика позволяет, хотя и не совсем строго, но все же
вычислить коэффициенты вероятностей Эйнштейна для инду-
цированных поглощения и испускания Вп^т и Вт^п. Чтобы
вычислить коэффициент вероятности Эйнштейна для спонтан-
ной релаксации j4n_>m, в рамках нерелятивистской квантовой
механики прибегают к соотношению (4.26), связывающему ко-
эффициент вероятности Эйнштейна для спонтанной релаксации
Ап^т с коэффициентом вынужденной релаксации Вп^т. При
этом фактически принимается, что соотношение (4.26) являет-
ся в рамках нерелятивистской квантовой механики первичным
законом, не сводимым к другим законам квантовой механики.
И лишь в рамках квантовой электродинамики, после введения
процедуры квантования электромагнитного излучения, удается
вычислить коэффициент вероятности Эйнштейна для спонтан-
ной релаксации Ап^т независимо от соотношения (4.26). Иными
словами, в квантовой электродинамике соотношение (4.26) выво-
дится путем сравнения вычисленных независимо коэффициентов
Ап^т и Вп^т, а не используется для определения коэффициен-
та Ап_>ш по вычисленному коэффициенту Вп^т.
4.4 Логическая структура
волновой механики Шрёдингера
На примере линейного гармонического осциллятора читатель
имел возможность понять, как "работает" волновая механика,
предложенная Шрёдингером в развитие идей де Бройля. Для
восприятия идей Шрёдингера потребовалось начальное знаком-
ство с теорией операторов, и оказалось, что логическая структу-
ра теории включает в себя несколько основных положений (кото-
рые при их появлении были физическими гипотезами, а теперь
уже являются хорошо обоснованными законами природы112), из
которых можно строить все здание квантовой механики.
112Авторы многих курсов квантовой механики, сосредоточиваясь исклю-
чительно на математической стороне дела, называют основные положения
квантовой механики либо аксиомами, либо постулатами.
668
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Целью настоящего раздела является систематическое изло-
жение основ волновой механики и получение следствий, необхо-
димых для объяснения поведения вещества на атомном уровне.
Однако, прежде чем представить в систематизированном ви-
де основные положения волновой механики, подчеркнем еще раз,
что в последней вообще не затрагивается проблема перемещения
микрообъекта в пространстве-времени. В этом смысле термин
’’механика” в названии "квантовая механика" — не совсем удач-
ный, так как классическая механика подразумевает описание пе-
ремещения частиц в пространстве по траекториям, а квантовая
механика не только не описывает перемещение микрообъектов
в пространстве-времени, но и ведет к заключению, что микро-
объектам не может быть сопоставлена никакая пространствен-
ная траектория, поскольку микрообъекты не могут одновремен-
но иметь однозначно определенных положения в пространстве
и скорости. Правда, квантовая механика все же является теори-
ей, предельным случаем которой оказывается классическая ме-
ханика, то есть из квантовой механики следует, что движение
макроскопических тел описывается вторым законом Ньютона.
Последнее утверждение, известное как теорема Эренфеста, да-
лее будет доказано.
4.4.1 Основные положения волновой механики
Положение 1. Микрообъекты — недетермини-
рованные частицы, и исход однократного проведенного
эксперимента с их участием, вообще говоря, непредска-
зуем (случаен). Вероятности исходов всех допустимых
экспериментов с участием N микрообъектов113 позволя-
ет описать волновая функция вида
Ф(г1,...гдг,<),	(4.121)
зависящая114 от времени и координат конфигурационно-
го пространства, размерность которого есть 37V.
113Число микрообъектов с ненулевой массой (а только они и являются
предметом описания волновой механики) сохраняется лишь в нерелятивист-
ской области. В релятивистской области становится существенной способ-
ность микрообъектов к взаимопревращениям, к рождению пар новых микро-
объектов (частица + античастица). Иными словами, релятивистская кван-
товая механика не является теорией одной частицы, как то допускается
в нерелятивистской квантовой механике.
114 Формулировка положения 1 в подразделе 4.8.1 будет существенно уточ-
нена.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 669
В частности,
dw = \^>(rl,...rN,t)\2dV1...dVN	(4.122)
есть вероятность обнаружения первой частицы в объеме dVi, вто-
рой частицы в объеме ... , N-ой частицы в объеме dVy.
Следовательно, волновые функции, описывающие вероятности
исходов реально проводимых в одинаковых макроскопических
условиях экспериментов, должны удовлетворять условию нор-
мировки
У |ф(п,... ,rjv, t)|2 dVi... dVN = 1,	(4.123)
где интегрирование предполагается распространенным на
все конфигурационное пространство, не совпадающее с нашим
реальным трехмерным пространством. Последнее означает, что
волновая функция — чисто математический объект.
Совокупность всех волновых функций, удовлетворяющих ус-
ловию (4.123), является пространством квадратично интегрируе-
мых функций L2, на котором возможно определение скалярного
произведения функций (4.50), а также нормы функции (4.51),
после чего пространство волновых функций L2 превращается
в гильбертово пространство волновых функций.
Однако в квантовой механике используются и идеализиро-
ванные волновые функции с неинтегрируемым квадратом моду-
ля (типа де-бройлевских волн).
Измерить (проводя последовательно один и тот же экспе-
римент, то есть реализуя квантовый ансамбль) можно лишь
квадрат модуля волновой функции, так что волновая функция
определена только с точностью до фазового множителя ехр (г£)
где б — чисто вещественная величина.
Следует добавить, что не всегда исход эксперимента можно
описать с помощью волновой функции (4.121). Речь идет о недо-
статочности волновой функции, зависящей лишь от координат
N частиц, если эти N частиц являются подсистемой большей
системы, описываемой волновой функцией в конфигурационном
пространстве с размерностью, большей 37V. Если вероятности ис-
ходов эксперимента хотят описать, прибегая все же лишь к коор-
динатам N частиц, приходится вводить не волновую функцию,
а так называемую матрицу плотности.
Говорят, что система находится в чистом состоянии, если для
ее описания достаточно волновой функции. Далее рассматрива-
ются именно такие случаи.
670
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
П сложение 2. Физические величины, кото-
рые можно экспериментально измерить, называются на-
блюдаемыми величинами. Наблюдаемым сопоставляют-
ся эрмитовы операторы по следующим правилам:
а)	. Декартовым координатам z микрообъекта со-
поставляются эрмитовы операторы
x = у — yl, z — zl.	(4.124)
б)	. Декартовым проекциям импульса микрообъекта
сопоставляются эрмитовы операторы
$x = ~ihd^ = vz = ~ihd~z- (4,125)
в)	. Остальным наблюдаемым, выражаемым через ко-
ординаты и импульсы, операторы сопоставляются путем
замены последних соответствующими операторами, при-
чем таким образом, чтобы в итоге получился эрмитов
оператор115.
Поясним последний пункт примерами.
Например, х-компоненте кинетической энергии р2/(2т) со-
поставляется эрмитов оператор р2/(2т) = — (h2/2m)&2/dx2\
потенциальной энергии П(х) = fx2/2 — эрмитов оператор
/х2/2 = (/х2/2)/.
Далее нетрудно понять116, что в общем случае потенциальной
энергии П(г) должен сопоставляться эрмитов оператор П(г)/.
Несколько сложнее обстоит дело с величинами вида хрх, уру
и zpz. Проблема заключается в том, что, как можно убедиться,
произведение эрмитовых операторов является эрмитовым опе-
ратором только в том случае, если операторы взаимно коммута-
тивны115 116 117. А операторы х и рХ1 как было показано выше, не ком-
мутативны. В последнем случае поступают следующим образом.
Поскольку произведение классических переменных коммутатив-
но, то есть хрх = рхх, то величину хрх представляют, исполь-
зуя тождество с неопределенным вещественным параметром ос.
хрх = ахрх + (1 — а)рхх. Далее подставляют в правую часть тож-
дества вместо х и рх соответствующие операторы и ищут такое
115 Времени в волновой механике оператор не сопоставляется.
116Нужно разложить потенциальную энергию в ряд и подставить вместо
координат соответствующие операторы.
117См. задачи 4.2. и 4.7.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 671
значение а, при котором сопоставляемый оператор оказывается
эрмитовым. В данном случае получается, что при а = 1/2 сопо-
ставляемый оператор является самосопряженным118.
Положение 3. С помощью подходящего внеш-
него воздействия на систему (называемого процедурой
приготовления начального состояния), в определенный
момент времени (принимаемый за начальный) волновой
функции системы можно придать произвольный вид.
Предоставленная далее самой себе, система эволюци-
онирует таким образом, что ее волновая функция ведет
себя строго детерминированно, являясь решением вре-
меннбго уравнения Шрёдингера
ЭФ
ih— = ЯФ,	(4.126)
dt
где Н — гамильтониан системы, то есть оператор, сопо-
ставляемый в нерелятивистской области сумме кинети-
ческой и потенциальной энергий.
Таким образом, временное уравнение Шрёдингера позволя-
ет определить волновую функцию во все последующие моменты
времени, если волновая функция определена как функция ко-
ординат для некоторого начального момента времени, так как
уравнение (4.126) — линейное дифференциальное уравнение пер-
вого порядка относительно времени.
Методы приготовления начального состояния весьма разно-
образны и зависят от типа проводимого эксперимента. Напри-
мер, гармонический осциллятор, находящийся в основном состо-
янии, перейдет на первый возбужденный уровень, если поглотит
фотон энергии hw или испытает соударение первого рода с какой-
либо материальной частицей. Это и есть процедура приготовле-
ния начального состояния осциллятора Ф1(х,0).
Как уже указывалось в конце предыдущего подраздела, вре-
менное уравнение Шрёдингера не учитывает эффект спонтан-
ной релаксации энергетически возбужденных состояний. Поэто-
му в необходимых случаях приходится корректировать гамиль-
тониан микрообъекта путем введения так называемых операто-
ров затухания, феноменологически учитывающих спонтанную
релаксацию.
118См. задачу 4.6.
672 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Положение 4. Значение какой-либо наблю-
даемой /, измеряемое в результате однократного про-
ведения подходящего эксперимента, может быть любым
в пределах спектра оператора F.
Если спектр оператора F дискретный, то вероятность
wn обнаружения определенного значения наблюдаемой
fn у микрообъекта, находящегося в состоянии Ф(г, t), мож-
но найти, разложив Ф(г,£) в ряд по ортонормированным
собственным функциям фп оператора F. Квадрат модуля
коэффициента, стоящего в разложении перед собствен-
ной функцией будет равен вероятности wn(t) обнару-
жения значения fn наблюдаемой в момент времени tz
wn(<) = |(^„,ф)|2.	(4.127)
Последнее положение следует обобщить на случаи наблю-
даемых, операторы которых обладают непрерывным спектром.
Например, операторы декартовых проекций импульса частицы
обладают непрерывным спектром, однако соответствующие соб-
ственные функции ненормируемы, так как не являются квад-
ратично интегрируемыми. Действительно, составим уравнение,
определяющее собственные функции фРх оператора рх, принад-
лежащие собственным значениям рх:
Px^px = Px^px ,
или
-ifi^=px^px.	(4.128)
Получилось однородное линейное дифференциальное уравнение
первого порядка, решения которого при любой вещественной ве-
личине рх имеют вид
V'px = С exp	,	(4.129)
где С — произвольная комплексная постоянная.
Законные с математической точки зрения решения (4.129)
уравнения (4.128) называются обобщенными собственными фу-
нкциями оператора декартовой проекции импульса частицы, так
как, строго говоря, в классе волновых функций L2 оператор рх
собственных функций не имеет, поскольку квадрат модуля функ-
ции вида (4.129) при любом вещественном значении проекции
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 673
импульса микрообъекта рх постоянен и равен |С|2, то есть не
стремиться к нулю в бесконечности.
Таким образом, спектр оператора рх непрерывен и совпада-
ет со всей действительной осью, но собственные функции, при-
надлежащие непрерывному спектру, не являясь квадратично ин-
тегрируемыми, называются обобщенными собственными функ-
циями. Тем не менее, разложение (интегральное) произвольных
волновых функций по обобщенным волновым функциям произ-
водить можно, предварительно условившись о выборе константы
С в формуле (4.129). Обычно выбирают С = 1.
Рассмотрим для примера класс одномерных волновых функ-
ций Ф(т, t) из L2. Разложение по обобщенным волновым функци-
ям оператора рх произвольной функции Ф(х, t) из L2 с математи-
ческой точки зрения представляет собой просто преобразование
Фурье, описываемое теоремой Планшереля (1910 год):
+оо
Ф(х,<) = -^= [ c(px,i)exp ] dpx ,	(4.130)
v 2тг J	\ п )
—ОО
где
+оо
c(px,t) — —/ Ф (ж, t) ехр | —	) dx.	(4.131)
V 2тг J	\ П J
—оо
Кроме того, справедлива формула Парсеваля—Планшереля
+оо	+оо
У ]Ф(гг, £)|2 <±г = У |c(px,t)p dpx. (4.132)
—ОО	—оо
Так как все волновые функции из L2 предполагаются нор-
мированными, то интеграл в правой части последнего равенства
тоже равен единице, а величина
dw = \c{px,t)\2 dpx	(4.133)
и есть вероятность обнаружения проекции импульса рх микро-
объекта в интервале \рх, рх + dpx], если волновая функция систе-
мы есть Ф(х,<).
Поскольку из (4.131) следует, что c(px,t) = (^jФ)*/д/2тг, то
формулу (4.133) можно представить в виде
dw = \c(px,t)\2 dpx = Ф)|2Фх ,	(4.134)
Z7T
674
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
в которой численный множитель 1/(2%) определился выбором
С = 1 нормировки обобщенных собственных функций оператора
Рх-
Последний пример показал, каким образом определяются ве-
роятности обнаружения тех или иных значений наблюдаемых,
операторы которых обладают непрерывным спектром.
Операторы декартовых координат также обладают непрерыв-
ным спектром, однако для расчета плотности вероятности про-
странственной локализации микрообъектов к определению обоб-
щенных собственных функций операторов декартовых коорди-
нат нет нужды прибегать, поскольку плотность вероятности про-
странственной локализации определяется непосредственно вол-
новой функцией с помощью соотношения (4.122).
Четыре сформулированных выше основных положения нере-
лятивистской квантовой механики, по-существу, являются еди-
ным важнейшим законом природы1 , из которого, с одной сторо-
ны, выводится второй закон Ньютона, а с другой стороны, нере-
лятивистская волновая механика позволяет дать описание пове-
дения вещества на атомных и субатомных масштабах. В част-
ности, нерелятивистская квантовая механика является научной
основой нанотехнологий.
Четыре сформулированных выше основных положения нере-
лятивистской квантовой механики позволяют выводить разнооб-
разные следствия, перечень которых приводится с той или иной
степенью полноты в многочисленных курсах квантовой механи-
ки. В курсе же атомной физики изучение математического аппа-
рата квантовой механики в отрыве от эксперимента самоцелью
не является, и осуществляется лишь в минимальном объеме как
необходимая предпосылка для объяснения эмпирически обнару-
женных закономерностей в области атомной физики.
Замечание о разных толкованиях квантовой механики
Впервые знакомящимся с основами нерелятивистской квантовой
механики следует знать, что в рамках вероятностного толкова-
ния волновой функции были высказаны (и существуют до на-
стоящего времени) несколько разных точек зрения (в том числе
и таких, которые вряд ли могли прийти в голову нормальному
человеку, но далее речь пойдет не о них).
119Этот закон природы, составленный из 4-х положений, лучше выучить
наизусть, поскольку он первичен и ниоткуда невыводим.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
675
Ниже кратко описываются лишь две наиболее распростра-
ненные точки зрения, с которыми неминуемо столкнется чита-
тель при ознакомлении с учебной литературой по атомной физи-
ке или квантовой механике (при желании в учебнике А. Садбери
можно ознакомиться с девятью интерпретациями нерелятивист-
ской квантовой механики120).
Как, вероятно, помнит читатель, впервые представление
о волне, сопоставляемой единственной частице, ввел де Бройль.
Благодаря ему возникло представление о де-бройлевской волне
свободного электрона. Позднее Шрёдингер, развивая идею Луи
де Бройля, ввел представление о ’’волновой функции”, описы-
вающей систему, находящуюся в потенциальном поле, а геттин-
генский физик Макс Борн интерпретировал волновую функцию
Шрёдингера как плотность вероятности детектирования микро-
объектов. И хотя волновая функция системы уже из двух мик-
рообъектов определена в конфигурационном пространстве, то
есть зависит от шести пространственных переменных и време-
ни, так что в последнем случае нельзя сказать, что волновая
функция относится лишь к одному микрообъекту, в учебной ли-
тературе по квантовой механике широко используется выраже-
ние ’’волновая функция электрона”, предполагающее, что волно-
вая функция — характеристика ’’состояния" единичного микро-
объекта аналогично тому, как в классической физике "состоя-
ние" частицы в любой момент времени описывается положением
в пространстве и скоростью.
Подобный подход характерен для так называемой "копенга-
генской"121 122, или "ортодоксальной" интерпретации квантовой ме-
ханики1 .
Следствием копенгагенской трактовки волновой функции
(как характеристики единичного микрообъекта) стала гипоте-
за о "редукции волновой функции", в соответствии с которой
считается, что волновая функции микрообъекта в момент изме-
рения, оставаясь характеристикой "состояния частицы", испы-
120А. Садбери. Квантовая механика и физика элементарных частиц.
М.: Мир, 1989. С.292-307.
121В 1920 году в Копенгагене по инициативе Н. Бора был основан Институт
теоретической физики, ставший центром международного общения ученых
в трудные годы, последовавшие за окончанием Первой мировой войны. Уче-
ные, посещавшие по приглашению Бора Институт теоретической физики,
внесли большой вклад в развитие квантовой механики.
122И выражение "электрон находится в определенном состоянии" в рам-
ках копенгагенской интерпретации подразумевает, что электрон "обладает"
определенной волновой функцией Ф(г, t).
676
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
тывает некий квантовый скачок, не определяемый уравнением
Шрёдингера.
Например, в копенгагенской интерпретации считается, что
если первоначально электрон был приведен в состояние с опре-
деленным импульсом, то есть описывался делокализованной вол-
ной де Бройля (в таком состоянии плотность вероятности обна-
ружения электрона всюду в пределах экспериментальной уста-
новки одинакова), а затем был зарегистрирован, например, вто-
рично-электронным умножителем (ВЭУ), то в момент срабаты-
вания ВЭУ волновая функция электрона квантовым скачком из
де-бройлевской волны превращается в волновой пакет, описыва-
ющий локализованное состояние электрона внутри объема ВЭУ
(когда плотность вероятности обнаружить электрон равна нулю
всюду, за исключением объема ВЭУ).
Не вдаваясь в критику копенгагенской, или ортодоксальной
интерпретации, подчеркнем, что никаких признаков ’’редукции
волновой функции” экспериментально никто не наблюдал, по-
этому предположение о ’’редукции волновой функции” в лучшем
случае можно считать неподтвержденной уже почти 80 лет гипо-
тезой (что для прошедшего XX века является огромным сроком).
Существует и другая интерпретация квантовой механики, ко-
торая называется ’’минимальной”, поскольку не прибегает к лиш-
ней для объяснения известных фактов гипотезе. Минимальная
интерпретация исходит из того, что временная эволюция волно-
вой функции всегда описывается временным уравнением Шрё-
дингера, не подвергаясь не описываемой физикой ’’редукции"
в момент регистрации микрообъекта. При этом принимается, что
волновая функция даже одночастичной системы не описывает
состояние конкретного микрообъекта, не является его динами-
ческой характеристикой наподобие того, как в классической ме-
ханике частица описывается положением в пространстве и ско-
ростью, а является характеристикой квантового ансамбля, то
есть последовательности одних и тех же экспериментов, про-
водимых в неизменных макроскопических условиях.
Действительно, для недетерминированного микрообъекта ис-
ход единичного эксперимента непредсказуем. Только многократ-
ное повторение эксперимента в одних и тех же макроскопиче-
ских условиях (то есть реализация квантового ансамбля) поз-
воляет измерить квадрат модуля волновой функции.
Например, при пропускании по одному электронов через по-
ликристаллическую фольгу (как в опыте Бибермана, Сушкина
и Фабриканта, см. подразд. 4.2.1) каждый отдельный электрон
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 677
случайно регистрируется в том или ином месте фотопластины,
но при этом постепенно образуется известная картина дифрак-
ции в виде концентрических колец.
При регистрации же микрообъекта последний, вступая во
взаимодействие с макроскопическим регистрирующим устрой-
ством (до срабатывания описываемым своей волновой функцией
невообразимой сложности), становится частью макроскопиче-
ской системы, так что уже принципиально не может описы-
ваться волновой функцией, зависящей от координат лишь од-
ного микрообъекта.
Таким образом, в основном разница между копенгагенской
и минимальной интерпретациями заключается в том, что в пер-
вой волновая функция одночастичной системы воспринимается
как характеристика микрообъекта, которая в момент взаимодей-
ствия с макроскопическим детектором испытывает редукцию,
не описываемую законами физики, а во второй описание систем
временным уравнением Шрёдингера признается универсальным
законом, не знающим исключений123.
С точки же зрения минимальной интерпретации одночастич-
ная система и детектор всегда рассматриваются как единая ма-
териальная система, волновая функция которой всегда описыва-
ется временным уравнением Шрёдингера, решение которого до
123Интересно сравнить гипотезу о ’’редукции волновой функции" с непол-
нотой временнбго уравнения Шрёдингера, связанной с невозможностью
в нерелятивистской квантовой механике последовательного учета спонтан-
ной релаксации.
Например, волновая функция гармонического осциллятора, находящего-
ся в первом возбужденном состоянии Ф1 (х, t), благодаря спонтанной релак-
сации за время порядка 1/Ai_>o перейдет в волновую функцию основного
состояния Фо(я,£), т0 есть испытает не описываемый обычным временным
уравнением Шрёдингера переход за конечное время от волновой функции
одного вида [Ф1 (х, <)] к волновой функции другого вида [Фо (#,£)]. Однако
осциллятор за время релаксации обязательно испустит фотон hw, который
может быть зарегистрирован. Кроме того, эффект спонтанной релаксации
количественно все же можно описать чисто феноменологически, вводя во
временнбе уравнение Шрёдингера так называемые операторы затухания.
Корни непоследовательности в описании спонтанной релаксации понятны
и лежат в неспособности нерелятивистской квантовой механики последова-
тельно описать взаимодействие микрообъекта с вакуумом.
В случае же гипотетической "редукции волновой функции" в рамках ко-
пенгагенской интерпретации речь идет о непознаваемости процесса взаимо-
действия двух материальных систем (микрообъекта с макрообъектом), хо-
тя временнбе уравнение Шрёдингера не предполагает никаких ограничений
по числу частиц N системы, эволюция которой описывается этим уравнени-
ем.
678 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
124
определенного момента представляется произведением124 125* волно-
вых функций объекта Ф1(г1, t) и волновой функции (невообрази-
мой сложности) макроскопического детектора Фтасго(<3^)5 где
Q — точка конфигурационного пространства (громадной раз-
мерности) детектора. Далее в какой-то момент времени мик-
рообъект взаимодействует с детектором, вызывая в результате
некоторый заметный макроскопический эффект (описываемый
продолжающей эволюционировать волновой функцией объеди-
ненной системы частица + детектор), интерпретируемый как ре-
гистрация микрообъекта (срабатывание счетчика Гейгера или
ВЭУ, вспышка люминесцентного экрана, почернение ’’точки” на
фотографии или даже появление серии капелек в камере Виль-
сона) .
Справедливости ради следует заметить, что эксперименталь-
но убедиться в адекватности описания процесса регистрации мик-
рообъекта в рамках минимальной интерпретации затруднитель-
но. Поэтому можно сказать, что минимальная интерпретация
основана на уверенности в универсальности и полноте законов
природы. Практически же разница между копенгагенской и ми-
нимальной интерпретациями чисто терминологическая, так как
выводы, к которым ведут обе интерпретации при описании ре-
ально проводимых экспериментов, совпадают. Тем не менее, воз-
можно в будущем эксперимент все же позволит сделать выбор
в пользу одной из интерпретаций.
В настоящем издании принимается минимальная интерпре-
тация как не предполагающая исключений из закона природы,
каким является временное уравнение Шрёдингера, описывающее
эволюцию волновой функции системы любой сложности. В ми-
нимальной интерпретации если и можно говорить о волновой
функции единичного микрообъекта125, то лишь для одночастич-
ной системы и до момента его регистрации детектором, после
чего микрообъект уже не может быть описан волновой функци-
ей, зависящей лишь от его собственных координат, его состояние
перестает быть чистым.
В минимальной интерпретации волновая функция описывает
не состояние единичного микрообъекта, а квантовый ансамбль,
то есть вероятности исходов повторяющейся серии эксперимен-
тов, когда с макроскопической установкой взаимодействует толь-
ко один микрообъект, а вероятности исхода зависят от волновой
124Так как вероятность сложного события, состоящего в наступлении неза-
висимых событий, есть произведение вероятностей.
125Более удачно выражение ’’волновая функция одночастичной системы”.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 679
функции вида Ф(г,£). Если же эксперимент проводится с двумя
или более микрообъектами, то волновая функция, описывающая
исходы эксперимента, задана в конфигурационном пространстве,
то есть является функцией декартовых координат всех микро-
объектов и времени, и не может быть сопоставлена лишь одному
из нескольких микрообъектов.
4.4.2 Общие следствия из основных положений
волновой механики
Из четырех основных положений волновой механики чисто мате-
матически можно выводить следствия, которые понадобятся для
объяснения поведения вещества на атомном уровне. Данный под-
раздел и посвящен доказательству некоторых необходимых для
понимания дальнейшего результатов.
Формула для среднего значения наблюдаемой
Соотношение (4.127) определяет вероятности исходов подходя-
щих экспериментов по измерению значений наблюдаемой /, со-
поставляемой оператору F с дискретным спектром, что, в свою
очередь, позволяет с помощью формулы (П1.3), выведен-
ной в приложении 1, найти среднее значение наблюдаемой, если
система описывается волновой функцией Ф:
7(0 = S /nwn(t) = 52 Шп, Ф)|2 .	(4.135)
п	п
Преобразуем последнюю формулу:
52/ni(^^)i2=Еш,ф)(л,ф)’
п	п	п
где было использовано очевидное свойство скалярного произве-
дения функций [см. формулу (4.50)]: (Ф,Ф) = (Ф,Ф)*. Продол-
жим цепочку равенств, сначала использовав определение ска-
лярного произведения (4.50), а затем проводя очевидные преоб-
разования:
/ ^ndv =
п	п
= 52(^п,Ф) [ Ф*MndV = 52(^П,Ф) [ 'S*FipndV.
п	п
680 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Поменяв местами суммирование и интегрирование, воспользу-
емся линейностью оператора F и внесем знак суммы и числа
(т/^Ф) под знак суммы:
п
dV.
Получившееся выражение в квадратных скобках есть не что иное
как разложение функции Ф в ряд по собственным функциям
оператора Г, определяемое формулой (4.112) с коэффициента-
ми (4.113). Следовательно, окончательно получаем выражение
для среднего значения наблюдаемой для системы, описываемой
волновой функцией Ф:
Ф*ГФ dV = (Ф, ГФ).	(4.136)
Последнее выражение гораздо проще, чем первоначальное
выражение для среднего (4.135), так как позволяет находить
средние значения наблюдаемых, не прибегая ни к определению
спектра оператора Г, ни к разложению волновой функции в ряд
по собственным функциям оператора.
Формула для вычисления среднего наблюдаемой (4.136) бы-
ла доказана только для наблюдаемых, сопоставленный которым
оператор имеет дискретный спектр. Однако оказалось, что фор-
мула эта верна и для операторов, имеющих непрерывный спектр.
В общем случае это утверждение доказывать не будем, а проде-
монстрируем его правильность на примере формулы для сред-
него значения декартовой проекции импульса частицы, для чего
прямо начнем с выражения
Ф*рхФб/х =
-ih / Ф*—dx
I дх
где использовано определение оператора рх, а интегрирование
для сокращения записи выполняется лишь по х. Подставив вме-
сто функции Ф в последнем интеграле ее разложение (4.130) по
собственным функциям оператора рх, после дифференцирова-
ния по х получим:
ЯФ
Ф*—dx
дх
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
681
Сравнив интеграл по х с выражением (4.131), убеждаемся, что
это есть с*(рж,£), что и позволяет получить нужный результат:
iS*pxiSdx = J Px\c{px,t)\2 dpx = jpxdw = px, (4.137)
где в соответствии с выражением (4.133) величина dw есть веро-
ятность обнаружения проекции импульса рх микрообъекта в ин-
тервале \px^Px+dpx]^ если волновая функция системы есть Ф(г, t).
Тогда из формулы (П1.6), полученной в приложении 1, получа-
ется как раз среднее значение случайной величины рх, принима-
ющей любые действительные значения.
По формуле (4.137) среднее значение декартовой компонен-
ты импульса можно найти, не прибегая к собственным функци-
ям оператора проекции импульса, нормировка которых носила
достаточно произвольный характер. Как доказывается в курсах
квантовой механики, формула (4.136) верна для любых наблю-
даемых, которым сопоставлен эрмитов оператор. Покажем лишь
еще, что верна она и для оператора координаты:
х = J^xdw = J ty*x4!dx = j Ф*хФс£х	(4.138)
где dw = |Ф|2с?х есть вероятность обнаружения координаты х
микрообъекта в интервале [х,х + dx], если волновая функция
системы есть Ф, и вновь для вычисления среднего была исполь-
зована формула (П1.6).
Об одновременной измеримости наблюдаемых
Как следует из формулы (4.127) положения 4, вероятность обна-
ружения значения наблюдаемой fn есть единица, если волновая
функция системы с точностью до фазового множителя совпада-
ет с одной из собственных функций оператора F с дискретным
спектром: wn(i) = K^n^n)!2 = 1- В последнем случае говорят,
что наблюдаемая f в некотором состоянии Фп имеет строго опре-
деленное значение.
Докажем, что для того, чтобы наблюдаемая имела строго
определенное значение (то есть единичную вероятность обнару-
жения) в состоянии Ф, не только достаточно (как это выше было
показано), но и необходимо, чтобы волновая функция системы
Ф совпала бы (с точностью до зависящего от времени фазового
множителя) с одной из собственных функций оператора F.
682
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Предположим, что система находится в состоянии Ф со стро-
го определенным значением fa. Ясно, что в таком состоянии
среднее значение f совпадает с величиной /а, а среднеквадра-
тичное отклонение
(А/)2 = (/ - /)2 = (f? - (Л2	(4.139)
равно нулю, поскольку в последнем выражении f—f = 0, а усред-
нение тождественного нуля дает, разумеется, нуль.
Величина (А/)2 сама является наблюдаемой, которой по по-
ложению 2 должен сопоставляться оператор (F —/Г)2, а по фор-
муле (4.136) среднее значение (А/)2 должно определяться выра-
жением126
(4.140)
Покажем, что интеграл в правой части последнего равенства
есть квадрат нормы функции (F — fl)# в силу тождества
У Ф*е2Фб?У = ||СФ||2 ,	(4.141)
где G — произвольный эрмитов оператор, а Ф — произвольная
волновая функция из L2.
Действительно, так как
j Ф*С2Фб/У = j Ф*С(СФ)б/У,
то условие (4.64) эрмитовости оператора G позволяет поменять
местами функции под знаком комплексного сопряжения и под
оператором G:
У Ф*С(СФ) dV = (у (СФ)*СФ dV^ = 11СФ112 .	(4.142)
Таким образом, из (4.140) и (4.141) следует тождество, спра-
ведливое для любого оператора F и любой волновой функции Ф
из L2:	______ _
(Д/)2 = ||(F —/1)Ф||2 .	(4.143)
126Проверьте, что вычисление среднеквадратичного отклонения по форму-
лам (4.139) и (4.140) дает один и тот же результат.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 683
Поскольку в состоянии Ф с определенным значением fa сред-
неквадратичное отклонение есть нуль, то из (4.143) получаем
(F — fiy& = 0, так как норма непрерывной функции может
быть равна нулю, очевидно, только тогда, когда функция тожде-
ственно равна нулю. Следовательно, функция Ф является реше-
нием уравнения на собственные значения оператора РФ = /аФ,
то есть является собственной функцией оператора F, а опреде-
ленное значение fa обязано совпадать с одним из собственных
значений оператора F, что и завершает доказательство необхо-
димости.
Итак, необходимым и достаточным условием того, что на-
блюдаемая f в каком-то из состояний имеет определенное зна-
чение, является совпадение волновой функции с одной из соб-
ственных функций оператора F.
Тогда закономерна постановка вопроса: возможно ли, чтобы
в каком-либо состоянии Ф две разных наблюдаемых f и g име-
ли бы определенное значение, то есть измерение с вероятностью
единица давало бы одни и те же результаты и для /, и для д?
Доказанное выше утверждение позволяет дать на вопрос ответ:
если волновая функция Ф является собственной функцией сра-
зу двух операторов F и G, сопоставляемых наблюдаемым f и д,
то обе наблюдаемые будут иметь в состоянии Ф определенные
значения одновременно.
В свою очередь, два оператора, имеющих общую ортонор-
мированную систему собственных функций, обязаны быть вза-
имно коммутативными. Действительно, для каждой собственной
функции фп имеем [F, С!]фп = 0, так как, очевидно,
РОфп = (G'Фп) = Fдпфп = дпРфп = дп/пФп =	.
Поскольку же произвольную функцию из L2 можно разложить
в ряд по собственным функциям то применение коммутатора
к произвольной функции Ф тоже даст тождественный нуль.
Верно и обратное: если операторы F и G с дискретным спек-
тром взаимно коммутативны, то они имеют общие собственные
функции, образующие полную ортонормированную систему. Од-
нако доказывать последнее утверждение не будем, поскольку оно
в дальнейшем не понадобится.
Таким образом, если операторы F и G некоммутирующие,
то существуют состояния, в которых наблюдаемые f и д одно-
временно не имеют определенных значений. Последнее означа-
ет, что если даже система находится в состоянии Ф, в котором
684
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
наблюдаемая f имеет определенное значение, то наблюдаемая д,
как правило, в этом же состоянии определенного значения иметь
не может. Экспериментально это соответствует тому, что если
система ’’приготовлена” в состоянии Ф, то проведение экспери-
мента по измерению величины f даст определенный результат
с вероятностью единица. Чтобы измерить величину д, вообще
говоря, надо проводить совсем другой эксперимент. Поэтому си-
стему вновь ’’приготавливают” в состоянии Ф, а затем измеряют
д, получая при этом разные значения. И наоборот, если измере-
ние величины д в каких-то состояниях с вероятностью единица
дает определенный результат, то в других экспериментах по из-
мерению величины f (если система в том же состоянии Ф, что
и при измерении д) получится разброс результатов, то есть сред-
неквадратичное отклонение для f будет ненулевым.
В общем же случае, если система находится в состоянии, ко-
гда определенного значения не имеют ни /, ни д, операторы ко-
торых не коммутируют, удается получить неравенство, связыва-
ющее между собой среднеквадратичные отклонения для величин
f и 9-
Соотношения неопределенностей в волновой механике
Рассмотрим два эрмитовых оператора F и G, коммутатор кото-
рых представим в виде гС, так что
[F, G] = FG-GF = iC.	(4.144)
Смысл появления здесь мнимой единицы в том, что оператор С
— эрмитов, однако последующее рассуждение не опирается на
это свойство С.	_
Пусть в состоянии Ф средние значения f и д равны / ид,
а среднеквадратичные отклонения — (А/)2 и (Ад)2. Введем вме-
сто операторов F и G операторы
F\ = F-7t Gi = G — gT,
так что выражения для среднеквадратичных отклонений в силу
(4.140) могут быть записаны в виде
(А/)2 - [ Ф*Д2Ф dV, (Д^ = f dV.	(4.145)
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 685
В то же время элементарные выкладки127 показывают, что
[F!,Gi] = [F,G],
то есть коммутатор операторов не изменился при переходе от
операторов F и G к оператором F\ и Gi.
Выбрав произвольное вещественное число а, можно образо-
вать новую функцию Ф = аТ^Ф + гбнФ. Поскольку норма любой
функции неотрицательна, то всегда (для любых а и Ф) спра-
ведливо неравенство ||Ф||2	0, что в развернутой форме может
быть переписано в виде
У (аР1Ф + гС1Ф)*(аР1Ф + гСхФ) dV > 0.	(4.146)
После перемножения скобок под знаком интеграла получаем
а2(Д/)2 + ia	- (GynyFiV] dV + (Д5)2 0,
где были учтены соотношения (4.145).
Интеграл в последнем неравенстве преобразуем128, восполь-
зовавшись эрмитовостью операторов F\ и G\:
JltFiVyGiV - (дунули] </Г=|У[Ф*(С1Р1)Ф - Ф*(Р1С1)Ф] dv} .
С учетом последнего соотношения неравенство, означающее
неотрицательность нормы функции Ф, принимает вид
(А/)2 + а / Ф*г(АС! - (71А)Ф dV
+ (Ag)2^,0
где мнимая единица была внесена под интеграл. Поскольку нор-
ма функции — вещественное число, а первый и третий слагаемые
в левой части неравенства заведомо вещественные, то и интеграл
127Выполните их.
128Проведите преобразование самостоятельно, пользуясь соотношением
(4.64), для чего в первом подынтегральном члене поменяйте местами сто-
ящие под знаком комплексного сопряжения и оператора Gi функции Fi&
и Ф соответственно, а во втором члене — стоящие под знаком комплексного
сопряжения и оператора F\ функции С^ФиФ.
686 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
в последней формуле является вещественным числом, равным
своему комплексному сопряжению. Иными словами, комплекс-
ное сопряжение интеграла можно убрать, получив неравенство,
верное для любых а и Ф:
а2(Д7Р + «- в&У*dV + (Д^)2 О
или, с учетом (4.144)
a2(A/F - <*С + (Ад)2 0,	(4.147)
где С = f Ф*СФ dV — заведомо вещественная величина.
Сразу отметим, что если операторы F и G взаимно коммута-
тивны, то С = 0, и последнее неравенство справедливо для лю-
бых а и Ф, то есть не ведет ни к каким заключениям. Если же
операторы некоммутативны, но Ф является собственной функци-
ей любого из операторов F или G, то будет равна нулю одна из
величин (А/)2 или (Ад)2, но и величина С будет автоматически
равна нулю в таком состоянии, так что неравенство (4.147) сно-
ва будет удовлетворено автоматически. Последнее при желании
нетрудно доказать, обратившись непосредственно к неравенству
(4.146).
Если же операторы некоммутативны, и волновая функция Ф
не совпадает ни с одной из собственных функций операторов F
и G, то левая часть неравенства (4.147) должна рассматривать-
ся как квадратный трехчлен относительно произвольной веще-
ственной переменной а. Так как и (А/)2 > 0, и (Ад)2 > 0, то
условием неотрицательности левой части (4.147) будет, очевид-
но, неположительность дискриминанта квадратного трехчлена,
то есть выполнение неравенства
(С)2 — 4(Д/)2 (Д<?)2 О,
ИЛИ
________________________________ 2
(Д/)2(Др)2^^-.	(4-148)
Если ввести среднеквадратичные отклонения
(A/)rms — yj(Af)2 , (Ag)rms — yj(&g)2 ,
(4.149)
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 687
показывающие разброс в определении наблюдаемых f и д в со-
стоянии, описываемом волновой функцией Ф, не совпадающей
ни с одной из собственных функций операторов F и G, то окон-
чательно получаем неравенство, известное как соотношение не-
определенностей129 для наблюдаемых f и д:
(A/)rms (Ag)rms •	(4.150)
£
Еще раз поясним смысл полученного соотношения. Если од-
ночастичная квантовомеханическая система приведена в состоя-
ние Ф(г,£), а затем проводится измерение наблюдаемой /, то по-
лучается какое-то случайное значение величины f с некоторой
погрешностью измерения	которую считается возмож-
ным в пределе считать нулевой (если экспериментатор распола-
гает хорошим оборудованием). Эксперимент завершается, а за-
тем многократно повторяется вновь: система приводится в со-
стояние Ф, после чего измеряется /. Волновая механика пред-
сказывает, что в состоянии Ф получится некоторый разброс ре-
зультатов (вокруг среднего значения), характеризуемый величи-
ной (A/)rms, что является отражением недетерминированности
природы микрообъекта, а не погрешности при однократном из-
мерении (Д/)ехр « (А/) rms-
Далее ставится другой эксперимент по измерению уже дру-
гой наблюдаемой д, однако процедура повторяется: система при-
водится в состояние Ф, производится измерение д с точностью
(Ag)exp, которая в нерелятивистской области мыслится как про-
извольно малая, и так повторяется много раз. Вновь получается
разброс теперь уже наблюдаемой д вокруг среднего значения,
характеризуемый величиной (Ag)rms. И соотношение неопреде-
ленностей (4.150) для наблюдаемых f ид как раз и говорит о том,
что чем меньший разброс результатов в состоянии Ф для одной
наблюдаемой, тем больший разброс будет для другой.
Частным случаем (4.150) является соотношение неопределен-
ностей Гейзенберга для декартовой координаты и соответствую-
щей ей декартовой компоненты импульса частицы. Коммутатор
операторов х и рх был уже вычислен и определяется выражени-
ем (4.59):
[£, Рх] = ifil •
129В существующей литературе соотношение неопределенностей называют
также соотношением неопределенности.
688 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Сравнивая последнее соотношение с. (4.144), получаем для пары
х и рх выражение для оператора С = HI, что дает
с = j\*CVdV = h
для любых волновых функций из L2.
Таким образом, общее соотношение неопределенностей при-
менительно к паре декартова координата—сопряженная ей де-
картова компонента импульса принимает форму соотношения
неопределенностей Гейзенберга:
(Ax)rms (Apx)rms тт •	(4.151)
£
Два аналогичных соотношения можно выписать для пар у—ру
и z—pz.
Итак, если микрообъект описывается собственной волновой
функцией оператора импульса (де-бройлевской волной), то он
полностью делокализован пространственно.
Если же, наоборот, микрообъект локализовать строго в точ-
ке, то есть привести микрообъект в состояние, описываемое обоб-
щенной собственной функцией оператора координаты (5-функ-
цией), то плотность вероятности обнаружения импульса в таком
состоянии будет полностью делокализована в пространстве им-
пульсов, где будет равновероятным обнаружение любого значе-
ния импульса микрообъекта (последний результат приводится
без доказательства для сведения читателя).
Поскольку же операторы координат и импульсов не имеют
общих обобщенных собственных функций, то микрообъект не
может одновременно иметь определенных значений координаты
и сопряженного импульса, что означает, что никакой микрообъ-
ект не может находиться в покое относительно инерциальной
системы координат. Это и поясняет наличие ненулевой (отно-
сительно дна потенциальной ямы) энергии гармонического ос-
циллятора, находящегося в основном состоянии. А соотношение
неопределенностей дает добавочный вывод о том, что чем точнее
микрообъект локализован, тем большим разбросом импульса он
должен обладать.
Рассмотрим для примера основное состояние гармоническо-
го осциллятора Йо>/2. Оказывается, в этом состоянии произве-
дение среднеквадратичных отклонений координаты и сопряжен-
ного импульса минимально из всех допускаемых соотношением
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
689
(4.151) и равно /1/2. Действительно, в соответствии с формулой
(4.108) волновая функция основного состояния осциллятора име-
ет вид
т /	\	(—i£ot\	1	/ х2
ФоСМ) = ехр —— ]—г= ехр
V П' J х/К/тг \
(4.152)
Очевидно, что в состоянии Фо имеем х = 0 и = 0, так как
подынтегральные выражения в соответствующих интегралах яв-
ляются антисимметричными функциями. Тогда для среднеквад-
ратичного отклонения координаты в состоянии Фо получаем130:
—оо
Для среднеквадратичного отклонения импульса в состоянии
Фо получаем выражение
dx.
Элементарное вычисление, включающее взятие второй про-
изводной от экспоненты (в результате чего получаются опять
известные читателю интегралы), дает следующий результат:
(^Px)rms
h2
2l2 ’
откуда видно, что чем меньше величина Z, то есть чем точнее ло-
кализован осциллятор, тем больше среднеквадратичное отклоне-
ние импульса осциллятора. Произведение же среднеквадратич-
ных отклонений (Ax)rms(Apx)rms в состоянии Фо равно, очевид-
но, h/2. В соответствии с соотношением неопределенностей Гей-
зенберга (4.151) меньшей, чем Й/2, величина произведения сред-
неквадратичных отклонений для любых локализованных состо-
яний быть не может.
130Соответствующий интеграл вычислен в приложении 1, формула (П1.15).
690 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Таким образом, одновременно могут иметь определенные зна-
чения, как правило131, только наблюдаемые, операторы которых
взаимно коммутативны. Поскольку операторы декартовых ко-
ординат попарно коммутативны, то одновременно могут иметь
определенные значения все три декартовых координаты, то есть
вектор г может иметь определенное значение. То же относит-
ся и к операторам декартовых проекций импульса, которые все
попарно коммутативны. Значит все три декартовы проекции им-
пульса частицы могут одновременно иметь определенные значе-
ния, то есть вектор р может иметь определенное значение. Одна-
ко из соотношения неопределенностей Гейзенберга следует, что
если р имеет определенное значение, то не имеет определенного
значения вектор г, и наоборот.
Центр масс тела как квазичастица
Квантовомеханическое описание правомерно считается универ-
сальным и относящимся к любым материальным объектам. Прак-
тически же волновыми функциями макроскопических объектов
оперировать затруднительно, так как последние заданы в конфи-
гурационном пространстве громадной размерности. Более того,
в рамках классической физики внутренним устройством тел, как
правило, не интересуются. Так, в ньютоновской механике движе-
ние твердых тел конечного объема разделяется на перемещение
центра масс тела и его вращение. Ниже демонстрируется, что
волновая механика ведет в точности к тому же описанию пере-
мещения центра масс тела (и тому же описанию его вращения,
здесь, однако, не рассматриваемому). Другими словами, второй
закон Ньютона, который в классическую физику был введен как
гипотеза, в рамках волновой механики получает обоснование, ко-
торое говорит о том, что второй закон Ньютона — это следствие
детерминированной эволюции (описываемой временим уравне-
нием Шрёдингера) волновой функции макроскопического тела.
Покажем на примере двухчастичной системы, что волновую
функцию можно представить как произведение волновой функ-
ции, описывающей центр масс системы как квазичастицу с мас-
сой, равной массе тела, и волновой функции, описывающей внут-
реннее устройство тела.
131 Далее будет приведен пример оператора момента количества движения,
декартовы компоненты которого взаимно некоммутативны, однако суще-
ствует состояние, в котором все три проекции момента количества движения
одновременно имеют определенное значение.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 691
Пусть замкнутая система состоит из двух частиц с массами
mi и m2, так что волновая функция системы имеет вид Ф(г1, Г2, t)
Гамильтониан двухчастичной системы, если взаимодействие ча-
стиц — центральное, зависит как от расстояния между частица-
ми, так и от потенциальной энергии системы во внешнем поле,
и должен иметь вид
^2	^2
И =	+ nW? + n»‘(R’ =
2ТП1 27712
h2	h2
= --—Al - —- Д2 + П(г)1 + next(R,t)I,	(4.153)
27721	27712
где в первом лапласиане дифференцирование подразумевается
по координатам первой частицы, а во втором — по координатам
второй частицы, г — вектор относительного положения частиц,
R — радиус-вектор центра масс систем. Последние определяются
равенствами
7721Г1 + 7722Г2
R=---------------, r = ri-r2.	(4.154)
7721 + m2
Радиус-векторы частиц ri и Г2 легко выразить через переменные
R и г:
тот	7721Г	z . _
ri = R Н---------, г 2 = R------------.	(4.155)
7721 + 7722	7721 + m2
Преобразуем гамильтониан системы (4.153) от переменных ri
и Г2 к переменным R и г, для чего воспользуемся обычным пра-
вилом перехода от дифференцирования по одним переменным
к дифференцированию по другим переменным. Например, част-
ная производная по Xi в общем случае должна быть выражена
через частные производные новых независимых переменных сле-
дующим образом:
В _	д дХ	d_dY_	d_dZ_	д_дх_	д_ду_	В dz
dxi	дХ dxi	BY dxi	BZ dxi	dx dxi	By Bxi	dz Bxi	’
Использование векторных равенств (4.154) в скалярной форме
показывает, что от х\ зависят лишь X и х. Действительно,
__	7721^1 + 7722^2
X — ------------ , X = Xi — Х2 .
7721 + т2
692
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
В результате выражение для частной производной по xi суще-
ственно упрощается:
д _ mi д д
dxi mi + m2 дХ дх ’
Для вычисления частной производной второго порядка по х\
полученный оператор нужно применить дважды:
<Э2 _ / mi д д \ ( mi д д \ _
дх2 \7П1 + m2 дХ дх) \7П1 + m2 дХ дх)
_ ( т1 \2 д2 2mi д2 д2
\7П1 + m2) дХ2 mi + m2 дхдХ дх2 ’
Аналогичный расчет для Х2 дает
д _ m2 д д
дх2 mi + m2 дХ дх '
<Э2 _ / m2 д д \ / m2 д 5 \
дх^ \mi + m2 дХ дх ) \mi + m2 дХ дх)
_ ( W А2 д2 2тп2 д2	д2
\mi + m2 ) дХ2	mi + m2 дхдХ дх2
Подобные же соотношения получатся путем замены xi и Х2
на пары yi, уг и zi, Z2.
Домножение вторых производных по xi и Х2 на величины
1/тп1 и 1/тп2 соответственно, азатем последующее сложение при-
ведут к сокращению смешанной частной производной. Повторив
те же операции для вторых производных по и, и и zi, 22, по-
лучим преобразованный к новым переменным гамильтониан си-
стемы:
ц2 К2
Н =	+ ?"Лг +	+ n-t(R>
L1V1
(4.156)
где в первом лапласиане дифференцирование проводится по ко-
ординатам X, У, Z, во втором — по х, у, г; М = mi+m,2 — полная
масса системы, а так называемая приведенная масса определя-
ется соотношением
— = — + — , или /2 = 77217722/(7721+7722).	(4.157)
/2	7721
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 693
Если частицы имеют сильно отличающиеся массы т\ и m2
(как протон и электрон в атоме водорода), то нетрудно видеть,
что приведенная масса практически совпадает с массой более
легкой из двух частицы.
С формальной точки зрения гамильтониан (4.156) можно рас-
смотреть как гамильтониан двухчастичной системы, в которой
есть две невзаимодействующие фиктивные точечные массы М
и /1 (называемые поэтому квазичастицами) положение которых
задается векторами R и г нового конфигурационного простран-
ства, причем теперь next(R) трактуется как потенциальная энер-
гия во внешнем поле частицы с массой М, а П(г) — потенциаль-
ная энергия во внешнем поле частицы с массой д. Между собой
частицы не взаимодействуют, так как потенциальная энергия не
зависит от их взаимного расположения.
Оказывается, определение волновой функции двухчастичной
системы, когда между частицами нет взаимодействия, можно
свести к двум одночастичным задачам, представив волновую
функцию, описывающую две квазичастицы, в виде произведе-
ния волновых функций, зависящих лишь от координат каждой
из квазичастиц по отдельности (что, разумеется, является отра-
жением факта независимости поведения невзаимодействующих
частиц, когда вероятность независимых событий является про-
изведением соответствующих вероятностей):
Ф(Я,г,<) = Фд(К,<)Фг(г,4).
Подставляя последнее выражение во временное уравнение Шрё-
дингера, получим:
т	т .ьдФг
ФггП^ + Фяг^-sr =
dt	dt
/	\	/ h2	\
= Фг ДдФя + next(R, <)Фя + Фд АгФг + П(г)Фг .
\ ZtlVl	J	\ LiUj	J
Разделив уравнение на произведение ФдФг, а затем перене-
ся налево все слагаемые, зависящие от R, направо — зависящие
от г, получим равенство левой и правой частей, которое может
быть удовлетворено в том случае, если каждая из частей рав-
на одной и той же постоянной. Постоянную выберем равной ну-
лю, поскольку ее величина добавляется аддитивным слагаемым
к потенциальной энергии, что ведет лишь к изменению фазово-
го множителя перед волновой функцией и не влияет на квадрат
модуля функции.
694 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Тогда получается, что волновая функция для каждой из ква-
зичастиц удовлетворяет временнбму уравнению Шрёдингера для
одночастичной системы:
дФр	К2
+ n^(R’	'	(4-158)
Ot	2М
ЭФ	h2
ДГФГ + П(г)Фг .	(4.159)
С/ ь	^Uj
Уравнение (4.158) описывает эволюцию волновой функции
точечной фиктивной частицы массы , находящейся во внеш-
нем потенциальном поле next(R? £), а уравнение (4.159) — эволю-
цию волновой функции точечной фиктивной частицы массы д,
находящуюся во ’’внутреннем” потенциальном поле П(г).
После решения соответствующих уравнений волновая функ-
ция двухчастичной системы примет вид
т/	т /Ш1Г1+Ш2Г2А т / ч
Ф(Г1,Г2,<) = Фд ---------- ) Фг(Г1 - Г2) •
\ ТП1 + ТП2 /
Можно показать, что и в общем случае TV-частичной систе-
мы полную волновую функцию системы можно представить как
произведение одночастичной волновой функции, описывающей
точечную квазичастицу с массой, равной массе системы 7И, а так-
же волновой функции, эволюция которой определяется лишь
взаимодействиями между частицами внутри системы.
Далее убедимся в том, что временнбе уравнение Шрёдингера
(4.158), описывающее эволюцию центра масс тела как точечной
квазичастицы, переходит во второй закон Ньютона, а волновая
механика Шрёдингера, таким образом, является теорией, пере-
ходящей в классическую ньютоновскую механику при описании
макроскопических тел!
4.4.3 Волновая механика Шрёдингера
как обоснование механики Ньютона
Основные положения волновой механики весьма сильно отли-
чаются от всего, что было установлено в рамках классической
физики. На первый взгляд даже кажется, что между волновой
механикой недетерминированных частиц и классической физи-
кой с ее полным детерминизмом нет и не может быть ничего
общего.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 695
На самом же деле волновая механика оказалась необходимой
для обоснования классической механики, поскольку из ее основ-
ных положений следует, что движение макроскопических тел
описывается вторым законом Ньютона!
Последнее утверждение следует из двух теорем, доказанных
Эренфестом в 1927 году. Эти теоремы в курсе атомной физики
доказываются для того, чтобы снять возможные сомнения чи-
тателя в том, что волновая механика является более общей по
отношению к классической механике теорией, что волновая ме-
ханика прекрасно служит не только для объяснения поведения
недетерминированных микрообъектов, но является, по-существу,
фундаментом и классической механики.
Полная производная оператора по времени
Введем предварительно понятие производной оператора по вре-
мени. Эрмитов оператор G назовем полной производной по вре-
мени эрмитового оператора F и, соответственно, введем обо-
значение
dt
если для любого состояния Ф производная по времени от сред-
него значения наблюдаемой f равна среднему значению наблю-
даемой д, то есть если
или
У Ф*рф dV = У Ф*СФ dV,	(4.160)
где была использована формула для среднего значения наблю-
даемой (4.136).
Определение производной оператора имеет глубокий смысл.
Дело в том, что сами наблюдаемые, сопоставляемые операторам,
как правило, дифференцировать нельзя, так как они не имеют
определенных значений в квантовомеханических системах, опи-
сываемых волновыми функциями.
Например, микрообъект может иметь определенный импульс,
только если его волновая функция имеет вид волны де Бройля,
в противном случае импульс микрообъекта не может быть опре-
делен как функция времени.
696 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Другими словами, в квантовой механике наблюдаемая имеет
определенное значение, только если система описывается волно-
вой функцией, совпадающей с одной из собственных волновых
функций соответствующего оператора. В противном случае на-
блюдаемая в определенный момент времени не имеет никакого
значения, и лишь эксперимент может дать какую-то ее случай-
ную величину, совпадающую с одним из собственных значений
оператора. Таким образом, определить производную по време-
ни непосредственно самой наблюдаемой в квантовой механике
оказалось невозможным.
Сопоставлять производным по времени от классических ди-
намических переменных эрмитовы операторы и позволяет опре-
деление (4.160). Например, если оператору координаты х сопо-
ставить оператор производной по времени, который логично бу-
дет назвать оператором декартовой компоненты скорости их, то
среднее значение оператора скорости будет равно производной
по времени от среднего значения координаты в любом состоя-
нии.
Определение производной оператора по времени позволяет
получить формулу для ее вычисления. Поменяем местами опера-
ции дифференцирования и интегрирования в левой части (4.160)
и произведем дифференцирование по времени:
— / Ф*^Фс?У = / —-тФ^-Ф + Ф F-т- dV,
dt J	J \ dt	dt	dt J
где подразумевается, что действие оператора F могло, вообще го-
воря, зависеть от времени как от параметра1 , поэтому полная
производная по времени от подынтегрального выражения долж-
на включать в себя и дифференцирование оператора F по вре-
мени частным образом.
Далее, воспользовавшись временным уравнением Шрёдинге-
ра (и его комплексным сопряжением) для замены под интегра-
лом частных производных волновой функции по времени, полу-
чим:
dF
— xH + VFHV dV.
dt
132Например, таков оператор F = xtl.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
697
Теперь преобразуем первое слагаемое под интегралом в пра-
вой части предыдущего равенства следующим образом:
(ЯФ)*ГФ</У = (FVyHVdV) = j WHF'&dV,
где сначала за знак интеграла было вынесено комплексное сопря-
жение, а затем было использовано свойство эрмитовости (4.64)
оператора Н, то есть переставлены местами функции под знака-
ми комплексного сопряжения и оператора Н, что одновременно
убрало комплексное сопряжение интеграла в целом. С учетом
последнего преобразования получаем тождество
4 [^*F^dV
dtj
^ + ^F-FH)
VdV= /
откуда следует, что
д=^ = ^+^г]-
(4.161)
Таким образом, если оператор явным образом не зависит от
времени, то его производная по времени равна (с точностью до
сомножителя i/K) коммутатору гамильтониана системы и опера-
тора. Применим последнюю формулу для вычисления производ-
ной оператора декартовой координаты по времени, которая уже
была обозначена как vx.
Поскольку оператор координаты, очевидно, коммутирует
с оператором потенциальной энергии, то
dx
— = Vx
dt х
i П2 д2
h 2т дх2 ’Х
[k2 д2 "I
“	К ПРОИЗВОЛЬНОЙ ВОЛНОВОЙ фуНК-
ции Ф, легко убедиться, что это оператор рх/т, т° есть оконча-
тельно имеем
(4.162)
dx	Рх
— = vx = —
dt	т
Получился вполне разумный результат. Оператор декартовой
компоненты скорости оказался равен оператору соответствую-
щей компоненты импульса, деленному на массу частицы, как это
и должно быть в классической механике.
698 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Найдем теперь оператор декартовой компоненты силы, сопо-
ставив его производной по времени от оператора декартовой ком-
поненты импульса. Производя несложные преобразования, полу-
чим:
= Я = |[П(х,у,г)Л-гП^-] = -^1.	(4.163)
at	FL	ox ox
Операторные равенства (4.162) и (4.163) известны как первая
и вторая теоремы Эрепфеста. Смысл этих соотношений стано-
вится прозрачным, если учесть, что операторные равенства вле-
кут за собой равенства средних значений. Из (4.162) и (4.163)
следует, что для любого состояния Ф
dx = Px
dt т ’
_____ ^х__ _ ап
dt т dt2 дх
Последние равенства показывают, что квантовая механика при-
вела бы к точному выполнению второго закона Ньютона для
средних значений наблюдаемых, если бы в правой части (4.165)
вместо средней компоненты силы —дИ/дх стояло бы значение
силы в точке х, то есть величина —дИ/дх\х=х.
Последующее изложение и помогает понять, при каких усло-
виях уравнение (4.165) переходит практически точно во второй
закон Ньютона для макроскопических тел, то есть при каких
условиях среднее значение силы оказывается практически неот-
личимо от силы, соответствующей средней координате.
Волновой пакет в квантовой механике
Вспомним, что волновая функция макроскопического тела рас-
падается на произведение волновой функции для квазичасти-
цы — центра масс тела, и волновую функцию, описывающую
внутреннее устройство тела. Так как в классической механике
не рассматривается внутреннее устройство тел (если не считать
феноменологической теории упругости), то и мы отвлечемся от
волновой функции внутреннего состояния и сосредоточимся на
волновой функции точечной квазичастицы, ’’обладающей" мак-
роскопической массой М.
Координаты центра масс тела и в классической физике прак-
тически могут быть определены лишь с конечной точностью
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
699
Атехр, так чт0 если квантовая механика позволит вычислить
волновую функцию центра масс тела, которая движется в со-
ответствии со вторым законом Ньютона, и в то же время
которая отлична от нуля внутри интервала Ахехр, а вне это-
го интервала равна нулю, то это и будет означать, что кван-
товое и классическое описание совпали.
Для описания достаточно хорошо локализованных состояний
частицы в волновой механике служит волновой пакет, то есть
такая волновая функция, которая предсказывает обнаружение
частицы лишь в очень небольшой области пространства.
В момент времени t = 0 можно выбрать волновой пакет
произвольно малой ширины, а затем посмотреть, какова будет
временная эволюция такого волнового пакета. Расчеты, которые
придется при этом проводить, хоть и несложны в принципиаль-
ном отношении, но достаточно трудоемки. Поэтому выполним
до конца расчет эволюции только одномерного волнового пакета,
описывающего центр масс тела как квазичастицу, в двух случаях
— для гармонического осциллятора и для тела, движущегося по
инерции в бесполевом пространстве. Такие расчеты позволят по-
нять, как осуществляется переход от квантовой механики к ме-
ханике классической.
Примем, что в момент времени t = 0 плотность вероятности
обнаружения частицы описывается волновым пакетом — норми-
рованной волновой функцией вида
жо)=wex₽ +М ’ (4Л66)
где Z, и ро — произвольные параметры. Поскольку рассмат-
ривается одномерная задача на декартовой оси х с соответству-
ющей декартовой компонентой импульса рх, то для краткости
индекс х у импульса всюду далее опускается.
В состоянии Ф(х,0) плотность вероятности обнаружения ча-
стицы максимальна в точке х = xq и быстро убывает с откло-
нением координаты как ехр[—(х — х^)2/12\, совпадая (с точно-
стью до переноса начала координат в точку хо) с плотностью
вероятности для основного состояния линейного гармонического
осциллятора с волновой функцией (4.152) с тем же параметром
длины I. Уже при х — х$ = 101 плотность вероятности падает
в е100 раз, что для физика практически означает, что за преде-
лами интервала [то — 10 Z, хо + 10 Z] частица не будет обнаружена
никогда. Иными словами, параметр длины I задает область ло-
кализации частицы.
700
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Нетрудно видеть, что среднее значение координаты х в со-
стоянии Ф(я,0) есть х$ (так как плотность вероятности симмет-
рична вокруг этой точки133).
Среднеквадратичное отклонение определяется разбросом во-
круг среднего значения и не зависит от выбора начала коорди-
нат. Следовательно, оно может быть вычислено при то = 0. Та-
кой расчет уже проводился ранее (см. стр. 689) и дал следующий
результат: (Ax)rms = Z/a/2.
Найдем теперь средний импульс р в состоянии Ф(х,0), для
чего вычислим интеграл
4-оо	4-оо
’’ = ~Л / / ех₽ (- = *>» •
—ОО	—оо
где была взята производная и учтено, что сходящийся интеграл
от нечетной функции равен нулю.
Среднеквадратичный разброс импульса в качестве упражне-
ния вычислим, воспользовавшись формулой (4.139):
(MLs = - (Р)2 •
Так как средний импульс уже вычислен, задача свелась к вы-
числению среднего квадрата импульса. После подстановки в со-
ответствующий интеграл квадрата оператора импульса и взятия
второй производной получим
4-оо
?=-— К-- lVxpf--V-p2 + — (4167)
Р lVirJ\l4 h2 I2) Р\ I2 Jd Po + 2Z2’ (4’1Ь7'
—oo
что окончательно для среднеквадратичного отклонения импуль-
са дает величину (Ap)rms — h/(ly/2). Произведение среднеквад-
ратичных отклонений координаты и импульса в состоянии Ф(х, 0)
есть минимально возможное для таких произведений значение
h/2 (при любых Xq и ро)-
Теперь обозначения хо и ро в выражении (4.166) можно за-
менить средними величинами координаты и импульса. Если по-
следние к тому же принять функциями времени x(t) и p(t), то
вместо ’’мгновенного” пакета Ф(х,О) получится меняющаяся во
133Тем не менее, решите задачу 4.8.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
701
времени волновая функция	описывающая движение вол-
нового пакета неизменной пространственной ширины (и неиз-
менной ширины в пространстве импульсов). При этом, в со-
ответствии с соотношением неопределенностей Гейзенберга, чем
уже пространственное распределение пакета, тем шире его рас-
пределение в пространстве импульсов, и наоборот. При таком
подходе, правда, надо найти ответ на вопрос: решением какого
временнбго уравнения Шрёдингера может быть сконструирован-
ная подобным образом волновая функция Ф(я,£), зависящая от
двух произвольных функций времени х{€) и р(£)?
Оказывается, подобная волновая функция может быть реше-
нием уже ранее рассмотренного временнбго уравнения Шрёдин-
гера для гармонического осциллятора, для которого были най-
дены все решения, описывающие квазистационарные состояния,
то есть состояния с определенной энергией (см. подразд. 4.3.3).
Было показано, что энергетический спектр осциллятора экви-
дистантный, и этот вывод твердо экспериментально обоснован
наблюдениями, например, колебательных состояний молекул.
В квазистационарных состояниях средние значения наблюда-
емых не зависят от времени.
Если же обратиться к макроскопическим гармоническим ос-
цилляторам (например, к обычным маятникам), то, очевидно,
их состояния с квантовомеханической точки зрения не являют-
ся состояниями с определенной энергией, а являются как раз
волновыми пакетами, колеблющимися в соответствии с описани-
ем маятника вторым законом Ньютона. Однако при колебаниях
без трения энергия макроскопического маятника в классической
механике сохраняется. Получается видимое противоречие с ме-
ханикой квантовой, которое должно удивить читателя, впервые
изучающего последнюю.
Разъяснение вопроса о сохранении энергии классического ма-
ятника редко можно найти в учебниках по квантовой механике.
Итак, с одной стороны, классический маятник в механике
Ньютона имеет сохраняющуюся энергию, а с другой стороны, бо-
лее фундаментальный квантовомеханический подход указывает
на то, что макроскопический маятник не находится в состоянии
с определенной энергией!
Противоречие заслуживает подробного рассмотрения, кото-
рое позволит решить возникший ’’конфликт” между квантовой
и классической механиками в пользу первой, но так, что не по-
страдает и вторая: окажется, что энергетический разброс, кото-
рый предсказывает волновая механика для макроскопического
702 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
линейного осциллятора существует, но он так мал, что не может
быть обнаружен в макроскопической области, так что практи-
чески представление о сохранении энергии в классической меха-
нике механикой квантовой сомнению не подвергается.
Начнем рассмотрение, обратившись сначала к классическо-
му описанию линейного гармонического осциллятора массы М,
потенциальная энергия которого есть функция П(х) = fx2/2,
так что уравнение движения его определяется вторым законом
Ньютона (4.80), а решения для координаты и скорости имеют
вид (4.81) и (4.82) соответственно, где круговая частота осцил-
лятора есть величина
<4-1б8>
Модифицируем немного приведенное выше описание, введя
вместо скорости х' (штрих будет далее обозначать производную
по времени) импульс осциллятора р — Мх', а вместо второго
закона Ньютона (то есть одного дифференциального уравнения
второго порядка) систему двух дифференциальных уравнений
первого порядка. Тогда, очевидно, получим
р' = —Мш2х.	(4.169)
*' = i 	(4Л7О>
Решения последней системы, разумеется, совпадают с решения-
ми (4.81) и (4.82) уравнения (4.80), определяясь парой начальных
значений хо и ро в момент времени t = 0:
= xq cos	sina>£ ,	(4.171)
p(f) = po cos cut — Mwxq sin cut.	(4.172)
Обратимся теперь к квантовомеханическому описанию мак-
роскопического осциллятора, полная волновая функция которо-
го зависит от координат всех частиц, составляющих осциллятор.
Однако, как было показано выше, центр масс осциллятора мож-
но рассмотреть как квазичастицу массы М, движущуюся в по-
ле с потенциальной энергией next(R^) = Мш2х2/2. Временнбе
уравнение Шрёдингера (4.158) для этой квазичастицы принима-
ет вид
п2 а2Ф мш2х2
1/!аГ = -2ма^ + —*	(4Л73)
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
703
Будем искать решения последнего уравнения в виде волно-
вых пакетов общего вида
Ф(жД) = Сехр|-------------2га + ~^~+г^)|,	(4.174)
где С = 1/(д/1у/тг) — нормировочный множитель, a i<^(t) — фаза,
рассматриваемая тоже как произвольная функция времени, что
придает решению (4.174) бблыпую гибкость, но в то же время
не влияет на средние значения наблюдаемых, так как квадрат
модуля фазы тождественно равен единице.
Подставим функцию (4.174) в уравнение (4.173) и попытаемся
найти такие функции времени x(t), p(t) и </?(i), которые превра-
тили бы его в тождество. Для этого находим частные производ-
ные функции (4.174) по времени и координате:
ЭФ
dt
Ф,
гр\2 т	* т
— ] ф----ф
h)	l2
X — X
э2ф _ /
дх2 у
Подставив производные в уравнение (4.173) и сократив Ф,
получим:
9 Х х' — р'х — hip' =
t2
П2
2М
ip''? h2 Мш2х2
~h) + 2М12 +	2
Чтобы функция вида (4.174) была решением временнбго урав-
нения Шрёдингера (4.173) для гармонического осциллятора, не-
обходимо, чтобы последнее уравнение удовлетворялось тожде-
ственно для любых х и t. Между тем, получился полином второ-
го порядка по х с вещественными и мнимыми коэффициентами,
зависящими от времени. Приравнивание друг другу мнимых ча-
стей слева и справа дает уравнение, связывающее между собой
произвольные функции времени:
р = -Мш2х .
(4.175)
Теперь остается только равенство действительных частей.
Приравнивая нулю коэффициент перед второй степенью х, по-
лучаем, что произвольный параметр I совпал со значением (4.87)
704 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
— единственной размерной величиной, которую можно получить
из параметров осциллятора:
Далее, приравнивая нулю коэффициент перед первой степе-
нью х, получаем второе уравнение, связывающее между собой
произвольные функции времени:
* = £ 	(4.176)
Теперь осталось лишь приравнять к нулю функцию времени,
что даст уравнение для определения фазы 99. Однако последнее
уравнение не будем даже выписывать, так как значение фазы
нам не важно. Главное, что ее появление позволило превратить
волновой пакет действительно в решение временнбго уравнения
Шрёдингера для гармонического осциллятора. Тем не менее ока-
зывается, что и фаза может быть важна, если она является функ-
цией координат или времени, потому что без наличия фазы
волновой пакет не стал бы решением уравнения!
Возвращаясь к определению явного вида функций х и р как
функций времени, рассмотрим систему двух дифференциальных
уравнений первого порядка (4.175) и (4.176), решениями кото-
рой должны быть искомые функции. Внимательный взгляд на
эту систему показывает, что она совпадает с системой уравнений
(4.169)—(4.170), описывающих классическое движение макроско-
пического гармонического осциллятора! Следовательно, явный
вид функций х и р дается прямо решениями (4.171)—(4.172) си-
стемы (4.169)—(4.170), которые определяются произвольными на-
чальными значениями х$ и ро-
Таким образом, временнбе уравнение Шрёдингера дает опи-
сание движения центра масс макроскопического гармонического
осциллятора как классического движения центра волнового па-
кета с областью локализации порядка I.
Рассмотрим в качестве примера маятник с длиной подвеса
L = 9.8 см и массой М = 1 г. Как известно, малые колебания
такого маятника в гравитационном поле Земли имеют период
т =	где g ~ 9.8 м/с2 — ускорение свободного падения.
Круговая частота колебаний маятника определится выражением
ш = \fg~i~L и будет равна 10 Гц. А "ширина" волнового пакета Z,
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
705
то есть область локализации центра тяжести весьма миниатюр-
ного по человеческим масштабам маятника будет составлять ве-
личину I =	~ 10~16 м, то есть ничтожно малую вели-
чину, недоступную для измерения с помощью макроскопических
тел.
Оценим также неопределенность импульса маятника, форму-
ла для которой была найдена выше (см. стр. 700), в соответствии
с которой (Ap)rms =	В это выражение надо подставить
вычисленное для маятника значение I. В результате получается
еще более ничтожная ширина волнового пакета и в пространстве
импульсов: (Ap)rms < Ю-18 кг-м/с2, также недоступная для из-
мерения в макроскопических условиях.
Наконец, найдем среднюю энергию осциллятора в состоянии,
описывающем классическое движение волнового пакета134. Так
как гамильтониан Н = р2/(2М)+1 Мш2х2/2, то средняя энергия
8 осциллятора в когерентном состоянии может быть вычислена
с помощью уже известных величин:
— р2	МЛ2
8 = — +---
2М 2
(4.177)
Величина х2 = х2 + (Ax)2ms = Xq + 12/2 , а значение р2 опреде-
ляет формула (4.167), так что для средней энергии когерентного
состояния получаем
— р^ h2	Mw2Xq Muj212
£ —	___I_______I_____У. _i_____
2M	Ш12	2	4
После учета выражения I = у/К/(Мы) средняя энергия осцил-
лятора в когерентном состоянии предстает как сумма энергии
классического осциллятора (4.84) и квантовой поправки /ки/2,
ничтожной в макроскопической области:
8 = — Н----Н----.
2М 2	2
(4.178)
Для рассмотренного маятника квантовая поправка к средней
энергии осциллятора в когерентном состоянии менее 10~33Дж.
Можно было бы вычислить и среднеквадратичное отклонение
энергии и убедиться, что оно тоже ничтожно мало.
134 Такое состояние гармонического осциллятора называют когерентным
состоянием.
706
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Таким образом, на примере осциллятора показано,
что волновая механика в макроскопической области да-
ет описание явлений, полностью эквивалентное класси-
ческому описанию.
Следует, однако, отметить одно важное обстоятельство. Вол-
новой пакет, описывающий когерентное состояние линейного гар-
монического осциллятора, со временем не расплывается, то есть
его пространственная ширина, а также и ширина пакета в про-
странстве импульсов для осциллятора от времени не зависят,
а определяются однозначно лишь круговой частотой и массой
осциллятора. Вообще говоря, это явление уникально, так как
в остальных случаях волновой пакет, характеризующий началь-
но локализованную частицу, со временем расплывается.
Рассмотрим эволюцию в точности того же самого начально-
го волнового пакета (4.166) для квазичастицы массы М, но не
в поле с квадратичным потенциалом, а в свободном от поля про-
странстве. Теперь во временнбм уравнении Шрёдингера (4.158)
следует положить next(R^) = 0, так что эволюция волнового
пакета квазичастицы определится уравнением
9Ф _ Н2 а2Ф
c)i “ ~2М~дх^ *
До сих пор нам были известны лишь частные решения по-
следнего уравнения — де-бройлевские волны, описывающие со-
стояния свободной частицы с определенным импульсом р и опре-
деленной энергией 8 = р2/(2М):
_,	. (ipx — i£t\ f грх
Ф(я,£) = ехр ---------- = ехр —
\ п 1	\ А
ip2t \
2Mh) ’
Теперь же нужно найти решения уравнения для свободной
частицы в виде волнового пакета.
Чтобы найти такие решения временнбго уравнения Шрёдин-
гера, для которого функция Ф(я,0) является начальной вол-
новой функцией, разложим Ф(я,0) по собственным волновым
функциям оператора импульса, то есть выполним преобразова-
ние Фурье, определяемое равенствами (4.130)—(4.131):
+оо
—оо
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
707
где
ipx \
—— I ах .
ri /
с(р)=/
—оо
Как только из последнего соотношения будет найдена функ-
ция с(р), временная эволюция начального состояния Ф(я, 0) опре-
делится выражением
= /
у2тг J
—оо
^}dp.
2Mh) р
(4.180)
Действительно, интеграл вида (4.180) при любой функции с(р)
(для которой интеграл сходится) является возможным решением
временнбго уравнения Шрёдингера (4.179) для свободной части-
цы, так как, по-существу, представляет собой линейную комби-
нацию решений (волн де Бройля) линейного же уравнения.
С другой стороны, в силу построения функции с(р) при t = 0
решение (4.180) удовлетворит начальному условию, то есть сов-
падет с начальным волновым пакетом.
Следовательно, решение вида (4.180) с произвольной квадра-
тично интегрируемой функцией с(р) является общим решением
уравнения (4.179), а на конкретный выбор с(р) влияет форма
начальной волновой функции Ф(ж,0).
Найдем функцию с(р), соответствующую начальному гауссо-
ву волновому пакету, вычислив интеграл
Задача свелась к вычислению интеграла от экспоненты, аргу-
мент которой имеет вид
_ г(ро - р)х = _ х2 г(ро - р)х (р - p0)2Z2 _ (р - р0)2!2
212 + h 21?+ h +	2h2	2h2
где добавлена и вычтена одна и та же величина, превращающая
первые три члена в полный квадрат, так что интеграл для вы-
числения с(р) принимает вид
/ ч 1	1
с(р) = —= —== ехр
(.Р-Ро}212'
2h2
—оо

708 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
где у = l(pQ — р)/(\/2К) — вещественная величина.
Последний же интеграл от у не зависит135, то есть может
быть вычислен при у = 0, что, очевидно, дает значение 1у/2тг.
Окончательно для функции с(р) получаем
ci
етр[ (р-й)2'2]
2Н2
то есть гауссову кривую.
В соответствии с формулой (4.133) величина |с|2 характеризу-
ет плотность вероятности обнаружения величины импульса ча-
стицы в интервале [p,p + dp], то есть аналогична зависимости от
координаты плотности вероятности |Ф(ж, 0)|2 обнаружения ча-
стицы в пространстве. Иными словами, формы пакетов в обыч-
ном пространстве и в пространстве импульсов для волнового па-
кета вида (4.166) совпадают.
Вычисление функции с(р) немедленно дает решение для вол-
новой функции Ф(т,£), описывающей временную эволюцию пер-
воначального состояния Ф(х,0) в свободном пространстве:
/— Ч- оо
7Г у 2 J	Тъ	Тъ
—оо
В последнем интеграле, определяющем временную эволюцию
волновой функции, экспонента снова зависит от полинома вто-
рой степени по р, так что сам интеграл может быть снова приве-
135Вычислим /(?/) = f е ^х+гу^2dx = ey2 f е х2 cos(2xy)dx = еу21(у),
— оо	—оо
где произведено возведение в квадрат в показателе экспоненты и исполь-
зована формула Эйлера. Найдем производную вспомогательного интеграла
НуУ
+ оо	+оо
1'(у) = — у* 2хе~х sin (2ху) dx = J sin(2xy)d(e~x ) = —2yl(y),
— оо	—оо
где было произведено интегрирование по частям. Линейное уравнение перво-
го порядка 1'(у) = —2у1(у) имеет решение 1(у) = 1(0)е~у . Следовательно,
интеграл f(y) от у не зависит. Положив в нем у = 0, немедленно получим
+ °° ,
/(у)= f е"(*+нО dx= у/Я.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 709
ден к табличному интегралу ошибок136, однако простые по сути
выкладки довольно длинны, и здесь не воспроизводятся. Наибо-
лее упорные читатели могут попытаться самостоятельно взять
интеграл, после чего получится следующий квадрат модуля вол-
новой функции (4.181):
|Ф(х,г)|2 =----.	1	ехр/— 2• (4.182)
+ (ht/Ml2)2 I I2 [1 + (fit/Ml2)2] J v
Хотя полученное выражение довольно громоздко, оно, тем
не менее, весьма наглядно рисует картину временной эволюции
начального волнового пакета в свободном пространстве.
Во-первых, во все последующие после начала эволюции мо-
менты времени формой волнового пакета остается гауссова кри-
вая, максимум которой движется в пространстве с постоянной
скоростью, соответствующей средней скорости начального вол-
нового пакета:
х=^*-	(4-183)
Другими словами, центр волнового пакета опять перемещается
в пространстве по законам классической физики, то есть движет-
ся равномерно и прямолинейно с начальной средней скоростью.
Однако пакет расплывается в пространстве (и, соответствен-
но, амплитуда волнового пакета в максимуме уменьшается, по-
скольку нормировка волнового пакета от времени не зависит
и всегда остается единичной, что легко доказывается для любого
решения произвольного временнбго уравнения Шрёдингера137).
136 Однако на этот раз в показателе экспоненты появляется комплексный
коэффициент, поэтому необходимо использовать формулу
+ оо
у* ехр[—а(х -F iy)2] dx =	,
— оо
где а — любое комплексное число с положительной действительной частью
(это обеспечивает сходимость интеграла), а у — произвольная вещественная
константа.
Для вещественной положительной константы а эта формула фактически
была выведена в предыдущем примечании, так как от положительной кон-
станты а легко избавиться очевидной заменой переменной. Однако эта же
формула справедлива и для комплексных а с положительной действитель-
ной частью. Именно этой формулой и нужно воспользоваться для вычисле-
ния волновой функции Ф(я;,г).
137См. задачу 4.9.
710 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Так как среднеквадратичная флуктуация гауссовой кривой ви-
да (4.182) зависит лишь от знаменателя в выражении под экс-
понентой, и для начального момента времени была равна //д/2,
то нетрудно понять, что среднеквадратичная флуктуация пакета
в момент времени t определится выражением
По сравнению с рассмотренным ранее поведением волнового
пакета в поле с квадратичным потенциалом, где волновой пакет
со временем не расплывался, а его ширина определялась пара-
метрами осциллятора, для свободной частицы волновой пакет
расплывается (и это на самом деле типичный случай), а величи-
на начальной локализации I может быть любой.
Найдем время, необходимое для удвоения ширины волнового
пакета после начала его расширения:
_ Vzmi2
^double —	•
Произведем оценку времени удвоения начальной ширины вол-
нового пакета для движущейся по инерции дробинки с массой
1 г при начальной степени локализации центра масс в 1 А, или
I = 1О-10 м, чего на самом деле, конечно, сделать невозмож-
но (то есть невозможно с такой точностью определить положе-
ние центра масс реальной дробинки). Тем не менее, расчет дает
^double ~ 1-65 • 1011 с, то есть более 5 000 лет.
Следовательно, если создать бесполевое пространство, в ко-
тором дробинка может двигаться по инерции длительное время,
то волновая механика гарантирует, что в течение первых пяти
тысяч лет дробинка массой 1 г, положение центра масс которой
было определено с точностью в 1 А, будет двигаться в соответ-
ствии с законом Галилея по инерции, и через 5 000 лет окажется
в расчетной точке с точностью в 2 А.
В то же время, если рассмотреть эволюцию волновой функ-
ции электрона в свободном пространстве, которой приготовлен
в том же начальном состоянии (то есть параметр волнового па-
кета I = 1 А), то время удвоения ширины волнового пакета для
электрона составит около 10“16 с, а уже через секунду ширина
волнового пакета превысит 800 км.
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 711
Итак, локализованный в области порядка 1А электрон че-
рез секунду может оказаться от точки, которая предписывается
классической физикой, на расстоянии 800 км.
Тем самым продемонстрировано, как по мере уменьшения
массы в волновой механике утрачивается представление о тра-
ектории объекта, поведение которого становится все менее пред-
сказуемым, переходя в недетерминированность на микроуровне,
и наоборот, как по мере роста массы объекта его поведение все
более точно описывается законами механики Ньютона.
Временнбе уравнение Шрёдингера
как обоснование второго закона Ньютона
Общий вывод, который можно сделать применительно к описа-
нию движения макроскопических тел, заключается в том, что
динамика их центров масс, рассматриваемых как квазичасти-
цы, определяется настолько хорошо локализованными волновы-
ми пакетами, что это приводит ко второму закону Ньютона, вер-
ному настолько точно, что отклонения от законов механики Нью-
тона при рассмотрении динамики макроскопических объектов
экспериментально зафиксированы быть не могут.
Действительно, вспомним, что в произвольном случав, а не
только для гармонического осциллятора или свободной частицы,
вторая теорема Эренфеста гласит, что
d2z <ЭП -=^-
где F(x) — сила, действующая на частицу.
Поскольку квазичастица, соответствующая центру масс мак-
роскопического объекта, описывается весьма сильно локализо-
ванным волновым пакетом, то есть среднеквадратичное откло-
нение центра масс от среднего значения по макроскопическим
меркам ничтожно малб, то, разложив силу как функцию коор-
динаты в ряд Тейлора вокруг среднего значения до второго по-
рядка включительно, получим:
х) = F(x) + (х - x)F'(x) +	.
Усреднение ряда Тейлора для силы (с учетом очевидного равен-
ства х — х = 0) позволяет переписать теорему Эренфеста в еле-
712
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
дующем виде:
= F(z) = FQr) + ^yr-m-?Fzz(x).	(4.185)
ClD	Z
Как было показано на примере маятника массой в 1 г, квадрат
его пространственного среднеквадратичного отклонения в коге-
рентном состоянии порядка 10“32 м2, поэтому вторым членом
в правой части теоремы Эренфеста можно пренебречь по срав-
нению с первым, получив в точности второй закон Ньютона для
центра волнового пакета.
По мере понижения массы объекта размеры волнового паке-
та, которым может быть описан центр масс как квазичастица,
будут постепенно расти, так что условие
(Аж)™8Г"(д-) « F(x),	(4.186)
£
является необходимой предпосылкой для классического описа-
ния динамики центра масс объекта. Однако выполнения толь-
ко условия (4.186) для перехода квантовомеханического описа-
ния в классическое недостаточно. Дело в том, что из соотно-
шения неопределенностей Гейзенберга (4.151) следует, что чем
меньше величина (Ax)rms, то есть чем точнее выполняется усло-
вие (4.186), тем больше будет среднеквадратичное отклонение
импульса, ведущее к ускоренному уширению волнового пакета
со временем, а также отклонению величины средней кинетиче-
ской энергии от классического значения. Действительно, так как
оператор кинетической энергии Т = р2/(2М), то для среднего
значения кинетической энергии Т = р2/2М, используя формулу
р2 = (Ap)2ms + р2, получаем:
? = Р2 , (AP)rms
2М 2М '
Поскольку классическое выражение для кинетической энер-
гии определяется, конечно, величиной Т = р2/(2М), то вто-
рой член в формуле (4.187) должен быть много меньше первого,
давая дополнительное условие перехода квантовомеханического
описания в классическое, смысл которого в том, что волновой
пакет должен оставаться узким и в пространстве импульсов:
(Ap)rms
р2 = 2МТ\р).
(4.188)
4.4. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ 713
Перемножив неравенства (4.188) и (4.186), получим неравен-
ство
(М?™(Др)?т$|Г"(х)| « 4MT®|.F(x)|,
из которого с учетом соотношения неопределенностей Гейзен-
берга (4.151) получается необходимое (но уже, вообще говоря,
не обязательно достаточное) условие, откуда исключены средне-
квадратичные отклонения координаты и импульса:
MT(p)|F(x)|»^|F"(x)|.	(4.189)
10
Соотношение (4.189) может удовлетворяться даже для элек-
тронов, движущихся в электрических и магнитных полях, и то-
гда можно непостижимость поведения электрона с высокой
точностью заменить представлением о "классической части-
це", так как перемещение волнового пакета, хорошо локализо-
ванного как в обычном пространстве, так и пространстве им-
пульсов, экспериментально неотличимо от движения точеч-
ной массы, определяемого вторым законом Ньютона.
Для макроскопических же тел условие (4.189) выполняется
с громадным запасом, поэтому механика Ньютона является
следствием волновой механики Шрёдингера в макроско-
пической области.
При выполнении условия (4.189) и переходе от квантовоме-
ханического описания к классическому, новым смыслом напол-
няется соотношение неопределенностей Гейзенберга.
Так как в классической механике центру масс тела сопостав-
ляется одновременно и координата, и сопряженный импульс, то
соотношение неопределенностей накладывает ограничение
на точность одновременного определения этих величин для од-
ного тела. Как бы точно тело не описывалось вторым законом
Ньютона, соотношение неопределенностей (Ax)rms(Ap)rms h/2
всегда должно выполняться. Это условие несущественно в мак-
роскопической области, но является неизбежным ограничением
точности классического описания применительно к микрообъек-
там при выполнении неравенства (4.189).
Подводя итоги проведенному рассмотрению, следует подчерк-
нуть, что замечательным образом вероятностное описание неде-
терминированных микрообъектов переходит в практически де-
терминированное описание динамики макрообъектов (включая
описание вращений твердых тел, здесь не рассмотренного).
714 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Причина кроется в том, что временная эволюция волновой
функции описывается строго детерминированным уравнением
— временным уравнением Шрёдингера. Из последнего уравне-
ния следует закон Ньютона (4.163), но это операторный закон!
И уже приближенной формой операторного закона Ньютона ока-
зывается классический второй закон Ньютона, выполняющийся
в макромире с громадной точностью.
Однако в классической физике закон Ньютона был открыт
эмпирически, и его "происхождение " оставалось загадкой.
Волновая механика Шрёдингера решила загадку второго за-
кона Ньютона, однако породила загадку временнбго уравнения
Шрёдингера. Именно так и суждено развиваться естествозна-
нию, когда на место разгаданной загадки встает новая, тоже
требующая решения.
В принципиальном же отношении атомная физика и кван-
товая механика ведут к выводу, что настоящее состояние ми-
ра не определяет его будущего состояния однозначно, однако
этот общий вывод не препятствует практически детермини-
рованному описанию перемещения в пространстве макроскопи-
ческих предметов (то же относится к динамике больших сово-
купностей фотонов, описываемых детерминированными урав-
нениями Максвелла).
4.5 Орбитальный момент импульса
в волновой механике
Напомним, что Шрёдингер ’’придумал” волновую механику (то
есть четыре положения, изложенные в подразд. 4.4.1) для то-
го, чтобы проквантовать атом водорода, так как энергетический
спектр последнего был экспериментально определен и очень точ-
но соответствовал бальмеровским термам, имевшим аналитиче-
ский вид (4.5).
Однако прежде, чем вслед за Шрёдингером, по открытым
им законам волновой механики, проквантовать атом водорода
и убедиться, что будет получено блестящее совпадение новой
(в 1926 году) теории и эксперимента, необходимо предварительно
рассмотреть (ведь сейчас не 1926 год) орбитальный момент им-
пульса как наблюдаемую, которой в квантовой механике должен
быть сопоставлен оператор. Далее станет ясно, что рассмотрение
орбитального момента импульса является необходимой предпо-
сылкой для ’’полного” квантования атома водорода.
4.5. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
715
Как известно из классической механики, в замкнутой механи-
ческой системе сохраняются полная энергия 5, полный импульс
Р, а также полный момент импульса L, называемый иногда мо-
ментом количества движения.
По определению, классический момент импульса частицы (от-
носительно центра декартовой системы координат) есть вектор-
ное произведение радиус-вектора и импульса частицы:
Ъу ^z
L = г х р =
X у Z
(4.190)
Рх Ру Pz
Если система состоит из нескольких частиц, то полный момент
импульса системы есть сумма моментов импульса каждой части-
цы, то есть момент импульса системы — аддитивная величина138.
С учетом положения 2 (о наблюдаемых) в волновой механике
моменту импульса должен быть сопоставлен векторный опера-
тор с тремя эрмитовыми компонентами:
L = г х р =
Су
X У Z
Рх Ру Pz
(4.191)
Подставляя в (4.191) операторы декартовых координат и про-
екций импульса (4.124)—(4.125), получим три эрмитовых опера-
тора139 декартовых проекций момента импульса:
т	ъ(	д	д\
\	dz	dyj
т -	к(	d	d\
\	dx	dz J
т	9	9\
Lz = -ih X— - y—
\ dy dx J
(4.192)
(4.193)
(4.194)
Вспомним, что взаимная коммутативность операторов обеспечи-
вает возможность существования общих собственных функций,
то есть возможность существования таких состояний, когда со-
ответствующие величины могут одновременно иметь определен-
ные значения. Так, все три оператора проекций импульса попар-
но взаимно коммутативны, что отвечает возможным состояниям
138Момент импульса замкнутой системы сохраняется потому, что про-
странство изотропно. Импульс сохраняется потому, что пространство од-
нородно, а энергия потому, что время однородно.
139См. задачу 4.10.
716
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
частицы, обладающей определенным импульсом (то есть векто-
ром с тремя определенными проекциями на оси декартовой си-
стемы координат).
Найдем коммутатор [Lz, для чего сначала вычислим LxLy^
затем LyLx, а потом вычтем вторую величину из первой:
т т /	д д\ ( д д\
~ \Удг zdy) [^дх Xdz) ~
2 ( д д2 д2 2	А
= -* \va-I+yzB^-yxa^-z ayBx+zxgyBz) '
2 ( д2 2 д2 ^2	^2	& \
К \Zydxdz ~ Z дхду ~ Худ^ + XZdzdx +Хду) '
Волновые функции должны быть непрерывно-дифференци-
руемыми, так как они удовлетворяют временнбму уравнению
Шрёдингера, куда (благодаря гамильтониану) входят частные
производные второго порядка. Следовательно, волновые функ-
ции имеют равные смешанные частные производные, поэтому
коммутатор [LX,LX] приобретает компактный вид
[LX,L,] = -Л (р_ -•*(->*))
Сравнив правую часть последней формулы с (4.194), находим
для коммутатора операторов Lx и Ly простое выражение:
[Lx,Ly]=ihLz.	(4.195)
Два аналогичных соотношения получаются просто цикличе-
ской перестановкой координат х, у, z:
[Ly,Lz] =ihLx,	(4.196)
[Lz,Lx\=ihLy.	(4.197)
Неожиданный вывод, к которому привела волновая механи-
ка, заключается в том, что операторы проекций момента импуль-
са частицы не коммутируют друг с другом и, вообще говоря, не
4.5. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 717
должны иметь определенных значений одновременно1^. Ненуле-
вое определенное значение может иметь лишь одна проекция
момента импульса из трех. При этом возможные значения де-
картовой компоненты момента импульса частицы должны совпа-
дать со спектром соответствующего оператора. Так как по сооб-
ражениям симметрии спектры всех трех проекций должны быть
одинаковыми, найдем спектр оператора для чего предвари-
тельно перейдем к сферической системе координат, в которой
все вычисления, связанные с моментом импульса частицы, про-
водить проще.
Как хорошо известно, в сферической системе координат про-
странственное положение объекта характеризуется длиной ра-
диус-вектора г, проведенного в место нахождения частицы; ази-
мутальным углом $, который радиус-вектор образует с осью г,
а также полярным углом р (то есть углом в полярной систе-
ме координат в плоскости ху), который характеризует положе-
ние проекции радиус-вектора в полярной системе координат на
плоскости ху. Связь между декартовыми и сферическими коор-
динатами задают три уравнения:
х = г sin д cos р,
у = г sin д sin р,
z = г cos д .
(4.198)
(4.199)
(4.200)
Производные по сферическим координатам получаются с по-
мощью обычного правила дифференцирования сложной функ-
ции, например:
д _ дх д ду д dz д
др др дх + др ду + др dz
Пользуясь (4.198)—(4.200), вычисляем частные производные по
р от х, у, z и подставляем их в последнее соотношение:
д . Q . а . 0 д д д
— = —г sm v sm р——Н г sm и cos р— = —у——Н х— .
др	дх	ду дх ду
Сравнив последнее выражение с явным видом (4.194) опера-
тора Lz, получаем, что
(4.201)
Lz =	.
dip
140Как далее станет ясно, исключение представляет лишь случай Lx = 0,
Ly = 0 и Lz = 0.
718 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Теперь спектр оператора Lz позволит найти уравнение на соб-
ственные значения
=	(4.202)
где собственное значение Lz оператора Lz обозначено как mzh
(чтобы выделить размерную часть, оставив лишь mz — безраз-
мерное вещественное число).
Формальное решение уравнения (4.202) находится без труда,
так как это линейное дифференциальное уравнения первого по-
рядка:
Фт2 (г, </>) = ^r,	,	(4.203)
где 'ф(т\ 19) — произвольная нормированная функция координат
г и 19, наличие которой обеспечивает квадратичную интегрируе-
мость решения. Произвольность функции *0 говорит о том, что
различных собственных функций оператора Lz, соответствую-
щих заданному бесконечно много.
Поскольку волновая механика подразумевала однозначность
функций ФШ2(х,у, z), то увеличение угла ip на 2тг (то есть воз-
врат в ту же точку декартовой системы координат) не должно
было изменять значения функции (4.203), откуда вытекает тре-
бование к величине mz.
^2tv mz _ ।
что с учетом формулы Эйлера означает, что mz может быть
только произвольным целым числом. Таким образом, волновая
механика предсказала, что любая декартова проекция момента
импульса частицы имеет эквидистантный дискретный спектр,
причем каждое собственное значение бесконечно вырождено.
Поскольку ось z декартовой системы координат может быть
выбрана в любом направлении в пространстве, то полученный
результат означает, что измерение декартовой компоненты мо-
мента импульса микрообъекта вдоль любого пространственно-
го направления может дать только величину, равную тК, где
т — произвольное целое число.
Обратим внимание, что речь идет о моменте импульса микро-
объекта, который в классической физике ассоциируется с движе-
нием частицы в пространстве, например, с вращением по круго-
вой орбите. Поэтому момент импульса микрообъекта, связанный
с его перемещением в пространстве, в волновой механике назы-
вают также орбитальным моментом импульса.
4.5. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
719
Покажем, что если микрообъект описывается волновой фун-
кцией (4.203), то есть находится в состоянии с определенной
^-компонентой момента импульса с mz ф 0, то он не имеет опре-
деленных проекций момента импульса на две остальные оси.
Выберем, например, ’’первый” октант декартовой системы
координат [а; > 0, у 0, z 0, в котором <р — arctg (у/х\
$ = arctg (л/rr2 + y2/z)] и подействуем оператором Lx на функ-
цию (4.203). Несложное вычисление соответствующих производ-
ных покажет, что
Шмх—] =	.
Предположив, что собственная функция	опера-
тора Lz является в то же время и собственной функцией опе-
ратора необходимо приравнять правую часть последнего ра-
венства величине ктх,фегтх{(> (где hmx — одно из собственных
значений оператора Lx с целым тх) и потребовать, чтобы ра-
венство выполнялось при любых х, у и z. Например, при у = 0
должно было бы тождественно (при любых х и z) выполнять-
ся равенство — zmz = хтх, что, однако, невозможно, так как по
условию mz 0.
Следовательно, если проекция момента импульса микрообъ-
екта на какое-либо направление в пространстве имеет определен-
ное (ненулевое) целочисленное значение в единицах /I, то проек-
ции момента импульса на любое другое направление в простран-
стве не могут иметь определенного значения.
Исключение составляет случай тх — ту = mz = 0, реа-
лизующийся при любой нормированной волновой функции ви-
да Ф = Ф(г). Непосредственная проверка показывает, что та-
кая функция одновременно является собственной функцией всех
трех операторов Ly и Lz. отвечающей нулевым собственным
значениям.
Однако существует как минимум еще один оператор, комму-
тирующий со всеми тремя операторами проекций момента им-
пульса частицы. Этот оператор соответствует классической ве-
личине — квадрату длины вектора момента импульса. Иными
словами, природа оказалась так устроена, что величины Ly
и Lz не могут одновременно иметь определенных значений (за
исключением нулевых), но одновременно могут иметь опреде-
ленные значения любая проекция момента импульса (например,
720
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Lz} и величина L2 =	+ L2 + L2.
Чтобы доказать последнее утверждение141, введем в рассмот-
рение два вспомогательных оператора L+ и L_:
= Lx + iLy ,	(4.204)
L_ = Lx - iLy .	(4.205)
Зная коммутаторы (4.195)—(4.197) проекций момента импуль-
са, нетрудно получить три новых коммутатора [L+, L-], [L2,L+]
и [LZ,L_]. Действительно,
L±L_ — (Lx “Ь iLy}(Lx iLy} —
= L^. — i(LxLy — LyLx} + L2 = L%. + hLz + L2 ,	(4.206)
где было учтено коммутационное соотношение (4.195). Анало-
гично получаем
L_L± — (Lx iLy}(Lx -Ь iLy} =
= L2 + i(LxLy - LyLx} + L2 = L2 - hLz + L2y ,	(4.207)
так что
[L+, L_] = L+L_ -	= 2hLz .	(4.208)
В то же время
[Lz> -t'+J — LZ{LX + iLy} — (Lx + iLy}Lz =
= LZLX LXLZ i(LyLz LzLy} —— iliLy H- tiLx =	(4.209)
[Lzi L—] = LZ(LX — iLy} — (Lx — iLy}Lz =
— LZLX LXLZ -j- i(LyLz LzLy} = itiLy liLx = tiL—.	(4.210)
141 Последнее утверждение можно доказать и непосредственно, используя
лишь выражения для коммутаторов операторов Lx, Ly и Lz, однако без
вводимых операторов L+ и L_ далее будет невозможно элементарными ме-
тодами найти спектр оператора L2.
4.5. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
721
Кроме того, из уравнений (4.206)—(4.207) следуют равенства
L2 = L2+L2y + L2 =
L+L_ + L2 — hLz ,
+ L2 + hLz .
(4.211)
(4.212)
Теперь все готово, чтобы доказать, что
[L2,Lz]=d.
(4.213)
В самом деле, с учетом (4.211)
[L2, Lz] = L2Lz - LZL2 = L+L_LZ - LZL+L_ =
— L+LZL^ И- KL-^-L— — L+LZL_ —	О,
где для перестановки местами в произведении L^L-LZ опера-
торов £_ и Lz была использована формула (4.210), а для пере-
становки местами в произведении LZL+L- операторов Lz и L+
была использована формула (4.209).
Коммутирующие операторы могут иметь общие собственные
функции. Следовательно, закономерна постановка задачи о на-
хождении собственных функций, которые удовлетворяют систе-
ме сразу двух уравнений на собственные значения:
L2^Xmz = ^АФлтг ,
^z^Xmz = hmz Xmz ,
(4.214)
(4.215)
где П2Х — собственное значение оператора L2; hmz — собствен-
ное значение оператора Lz\ ^хтАг,$,Р) = ^Xmz{T^}^mzip ~
собственная волновая функция обоих операторов, определяемая
безразмерными величинами А и mz.
Фактически речь идет об определении таких значений A, mz
и таких функции ^Xmz{y^Y которые позволят удовлетворить
первому уравнению системы (4.214). Вообще говоря, для этого
необходимо иметь явное выражение для оператора L2. Однако
оказывается, что спектр оператора L2 можно определить, ис-
пользуя не его явный вид, а лишь некоторые свойства ранее вве-
денных операторов и L_.
722
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Предположим, что хотя бы при одной паре чисел A, mz нор-
мированное квадратично интегрируемое решение ФдшДг, ?9, <£>)
системы (4.214)—(4.215) существует.
Тогда числа А и mz должны удовлетворять неравенству
А>т2>0,	(4.216)
являющемуся следствием тождества (4.141), из которого может
быть получено очевидное неравенство:
ф*с2Ф(/у = ||СФ||2 >о,
так как квадрат нормы любой функции неотрицателен.
Последнее неравенство имеет простую интерпретацию: сред-
нее значение д2 неотрицательной наблюдаемой д2 не может быть
отрицательным.
Если в это неравенство подставить вместо оператора G2 опе-
ратор L2 — L2 = L2+L2, а вместо произвольной волновой функ-
ции подставить общую собственную функцию операторов L2 и Lz,
то получим неравенство А — т2 0, верное для любого реше-
ния системы (4.214)—(4.215). Классический аналог полученного
результата очевиден: квадрат проекции вектора не может быть
больше квадрата модуля вектора.
Неравенство (4.216) накладывает при заданной величине
А 0 ограничение на возможные целые значения которые
должны лежать внутри интервала [mmin(A),mmax(A)], где целые
числа mmin(A) и mmax(A) — это минимальное и максимальное
целые числа, еще удовлетворяющие неравенству (4.216).
Определение собственных значений оператора L2, то есть его
спектра, производится следующим образом. Допустим, что при
некоторой величине А система (4.214)—(4.215) имеет142 нетриви-
альные решения, соответствующие возможным целым зна-
чениям mz из интервала [mmin(A), mmax(A)].
Определить спектр оператора L2 помогает одно важное свой-
ство операторов L+ и L_, а именно их способность преобразовы-
вать одно решение системы (4.214)—(4.215) в "соседнее” решение
системы или в нуль.
Для определения спектра применим операторы и L_ к ле-
вой и правой частям системы (4.214)—(4.215).
142Далее будет показано, что подобные решения действительно существу-
ют, и это завершит все рассмотрение.
4.5. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
723
Предварительно рассмотрим свойства волновой функции, об-
разованной применением оператора L+ к любым возможным соб-
ственным функциям оператора L2.
Итак, пусть Фд — решение уравнения Ь2Фд = /12АФд. То-
гда функция Л+Фд также будет решением того же уравнения
на собственные значения, принадлежащим тому же значению А.
Действительно, так как оператор L2 коммутирует с любым из
операторов Ly и Lz, то он коммутирует и с операторами
и L- как с линейными комбинациями двух первых операторов.
Тогда имеем Л2(1/+Фд) = L+(L Фд) = /г2А£+Фд, где первое ра-
венство в цепочке получено благодаря взаимной коммутативно-
сти операторов, а второе благодаря тому, что Фд — собствен-
ная функция оператора L2, принадлежащая значению А. Срав-
нивая левую и правую части последней цепочки, убеждаемся,
что функция £+Фд может быть нетривиальным или тривиаль-
ным решением уравнения на собственные значения оператора
L2. Если решение 1/+Фд нетривиальное, оно автоматически при-
надлежит тому же собственному значению, что и функция Фд.
Очевидно, что все предыдущее рассуждение не изменилось бы,
если бы было рассмотрено действие оператора L- на собствен-
ную функцию оператора L2.
Теперь рассмотрим свойства волновой функции, образован-
ной путем применения оператора L+ к любым возможным соб-
ственным функциям оператора Lz.
Обратимся к функции £+Фш^ (где Фш^ — собственная функ-
ции оператора то есть функция, удовлетворяющая уравне-
нию ЬгФтпз = mzh№mz) и изучим действие оператора Lz на нее.
С учетом коммутационного соотношения (4.209) получаем цепоч-
ку равенств
) = L+(Lztymz) + ^Т'+Фтпз = (^z + 1)/1/>+Фmz ,
из которой следует, что функция Ь+Фт2 является нетривиаль-
ным или тривиальным решением уравнения на собственные зна-
чения оператора Lz, принадлежащим собственному значению
(mz + l)/i. Если получится нетривиальное решение, то это озна-
чает, что оператор преобразовал собственную функцию, при-
надлежащую собственному значению mzh, в собственную функ-
цию, принадлежащую собственному значению (mz + 1)Й, то есть
724 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
увеличил число mz на единицу. Теперь становится понятным
и знак ’’плюс” в L_|_.
Если же совершенно аналогично рассмотреть действие опе-
ратора L_ на функцию ФШг, то образуется похожая цепочка ра-
венств, только вместо коммутатора (4.209) нужно будет приме-
нить коммутатор (4.210), получив в результате равенство
Lz(L_^mz) = (mz — 1)/1£_ФШ2, говорящее о том, что опера-
тор L_ преобразует собственную функцию оператора Lz, при-
надлежащую собственному значению mzh, либо в собственную
функцию того же оператора Lz, но принадлежащую собствен-
ному значению (mz — 1)Й, либо в тривиальное решение, то есть
тождественный нуль. Становится понятным также и знак ’’ми-
нус” в L-.
Вернемся теперь к системе уравнений (4.214)—(4.215), и по-
действуем оператором на решение этой системы, соответ-
ствующее максимально возможному при заданном А значению
mz = ^max(A). Пусть ФAmmax ~ соответствующее решение. То-
гда функция 1/+Флттах будет по-прежнему решением первого
уравнения (4.214), то есть собственной функцией оператора L2,
соответствующей тому же самому А. В то же время эта же функ-
ция L+ Фдштах будет и решением второго уравнения (4.215), но
при mz = mmax + 1. Поскольку, с другой стороны, нетриви-
альных решений системы при mz > mmax быть не может, то
это означает, что функция 1/+ФАШтах наверняка является тож-
дественным нулем, то есть тривиальным решением уравнения
Lz(L+yAmmax) = ("Imax + l)^2+^Ammax • ДРУГИМИ СЛОВЯМИ ГОВО-
РЯ,
Ь+ФАттах=0.	(4.217)
Аналогично применяя оператор £_ к функции с минимально
возможным значением mz = mmin, получим, что
(4.218)
Теперь осталось только вычислить результат действия оператора
L2 на функции ФАттах и	Действительно, использование
равенства (4.212) дает
£2ФАт = L_L+Фа™.	+ Т^Флт + /г£2Флт =
" Листах	т ЛШтах 1 z Ammax 1 Z Л7Птах
— h (штах + Штах)ФАттах — Аттах >
(4.219)
4.5. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 725
а использование равенства (4.211) дает
^2^Ammin = L+L_tyxmmin + L2^Xmm[n — hLz^Xmmin =
~ (mmin “ mmin)^Ammin = Хтт[п •	(4.220)
Сравнение равенств (4.219) и (4.220) показывает, что
2	,	2
^тах + ^тах — ^min ^min >
ИЛИ
(штах ^min + 1)(^тах Н“ ^min) ~ 0 .
Поскольку первый сомножитель заведомо больше единицы, то
получается, что максимальное и минимальное собственные зна-
чения оператора Lz при заданной величине А одинаковы по мо-
дулю, но противоположны по знаку.
Максимальное значение величины целого числа mz при за-
данной величине А обозначают буквой I. Тогда возможные зна-
чения величины А немедленно получаются из выражения (4.219):
А = Z(Z + 1), 1 = 0,1,2,...	(4.221)
Этим фактически завершено квантование оператора квадра-
та момента импульса L2. Оказалось, что если собственные функ-
ции этого оператора и существуют, то они могут соответствовать
только дискретным значениям А = Д2/(/ + 1), где I — неотрица-
тельное целое число.
То, что при таких собственных значениях нетривиальные соб-
ственные функции действительно существуют, можно показать,
установив явный вид оператора L2 и найдя соответствующие ре-
шения.
Чтобы найти явный вид оператора L2, воспользуемся его оп-
ределением L2 = L2 + L2 + L2, в которое подставим явный вид
операторов Lx, Ly, Lz, задаваемых выражениями (4.192)—(4.194).
Операция возведения операторов в квадрат позволяет получить
равенство
L2 = -П2[(У2 +	+ *2)] ^2 +	+ У2^ -
д2 д2 д2 д д д.
~2худ^ - 2yz№ - 2zxa^i ~ 2xax ~ 2уву ~ 22&]'
726
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Добавив и вычтя из правой части последней формулы вели-
чину х2д2/дх2 + у2д2/ду2 + z2d2/dz2, нетрудно показать143, что
получается выражение
L2 = -h2 г2Л
' д д д
xai + yai+zai
а а а
xai + yai + zWz
где г2 = х2 + у2 + г2, Д — оператор Лапласа.
Заметив далее144, что
д	д	д	д
х^~ + у^~ + z^~= г^~ >
дх ду oz дг
получаем следующее выражение для оператора L2-.
или
L2 = -П2 г2Д
dr )
д
Г дг
L2 = -К2
2 л д ( 2 д
г2Д-----I г2 —
dr к дг
(4.222)
так как
д'? д д ( 2д\
dr J dr dr \ dr)
в чем легко убедится непосредственно.
Если теперь воспользоваться известным из математики ви-
дом оператора Лапласа в сферических координатах
_	( 2д_\	1	д / .	_сП 1 д2
г2 дг \ дг)	г2 sin	д'д \ П	д'дJ	r2sin2i? др2	’
(4.223)
то можно получить выражение для оператора L2, определяемое
только углами сферической системы координат:
L2 = -h2
1 д
sin 1? д’д
1 д2 '
sin219 др2 _
(4.224)
143Для этого достаточно произвести возведение в квадрат в полученном
выражении и убедиться, что его правая часть совпадает с предыдущей фор-
мулой для L2.
144 Это тождество получается, если выразить частную производную по г че-
рез производные по декартовым координатам и учесть соотношения (4.198)—
(4.200).
4.5. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 727
Другими словами, оператор квадрата модуля момента им-
пульса представляет собой ’’угловую” часть лапласиана в сфе-
рической системе координат, что позволяет получить следующее
выражение для оператора Лапласа
.	1 д ( 2 д \ L2
г2 dr \ dr)	Н2т2 ’
которое будет использовано далее при квантовании атома водо-
рода.
Решение системы уравнений (4.214)—(4.215) на собственные
значения операторов L2 и Lz будет завершено, если будут найде-
ны нетривиальные собственные функции, соответствующие най-
денным собственным значениям. Возможные собственные зна-
чения /z2Z(Z + 1) оператора L2 были определены выше, вид соб-
ственных функций оператора Lz задает уравнение (4.203) при
целочисленной величине mz, которую будем далее обозначать
без индекса просто как т.
Целое число Z, определяющее возможные дискретные соб-
ственные значения квадрата момента импульса, называется ор-
битальным квантовым числом, а целое число т, определяющее
возможные дискретные значения проекции момента импульса на
любую пространственную ось, называется магнитным кванто-
вым числом. Смысл этих названий станет ясен после того, как
будет проквантован атом водорода.
Общие собственные функции операторов
квадрата момента импульса и проекции
момента импульса на любую пространственную ось
Теперь осталось лишь показать, что действительно существуют
нетривиальные квадратично интегрируемые функции
которые удовлетворяют уравнению (4.214)
1 д
sin $ cW
(sin.A) + _J_	= 1(1 +	,
\ dd J sai d dtp2
После взятия второй производной от функции егт<р и сокраще-
ния экспоненты, последнее уравнение становится более компакт-
ным:
1 д
sin •& дг)
Ф + 1)-
т2
sin2i?
^m = 0.	(4.226)
728 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Путем естественной замены переменной х = cos i9, так что
1 д _ _д_
sin 1? д'д	дх'
уравнение (4.226) преобразовывается к виду
(1 - х2\ф"т - 2xi/>im' + 1(1 + 1) -
т2
1 — X2
^1т = 0.	(4.227)
Если бы не предыдущее рассмотрение, сейчас пришлось бы
"квантовать” уравнение (4.227), то есть доказывать, что его ре-
шения для всех не целых I или т имеют особенность в точках
х = ±1, в результате чего интеграл от квадрата решения уравне-
ния на отрезке [—1,+1] расходится, и уравнение не имеет квад-
ратично интегрируемых решений.
Поэтому выше задача ’’квантования" уравнения (4.227) и бы-
ла осуществлена, но не средствами математического анализа,
а с использованием алгебраических соотношений между опе-
раторами декартовых проекций момента количества движения,
в результате чего было доказано, что квадратично интегрируе-
мые решения уравнения (4.227) могут существовать только при
целочисленных значениях I 0 и |тп| I (то есть при задан-
ной величине I может существовать 21 + 1 собственных функ-
ций, соответствующим разным тп). Однако алгебраический под-
ход не позволил доказать, что нетривиальные решения систе-
мы (4.214)—(4.215) на собственные значения действительно су-
ществуют.
Математический анализ позволяет просто предъявить соот-
ветствующие решения, называемые присоединенными функция-
ми Лежандра первого рода и конечные при любых х из интер-
вала [—1, +1]:
-j jZ+m
РГ(х) = (-1Г(1 - Ж2)Т — —(Ж2 - 1/ .	(4.228)
Так как уравнение (4.227) зависит только от квадрата маг-
нитного квантового числа т, то его решения и Р[~т линейно
зависимы. Можно показать, что
Р,-™(х) =	.	(4.229)
4.5. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 729
Последнее соотношение делает излишним вычисление функций
Fzm(x) при отрицательных т, В то же время из (4.228) следует,
что при т > I получается тождественно равная нулю функция,
так как она содержит сомножителем производную степени I + т
от полинома меньшей степени 21.
То, что присоединенные функции Лежандра действительно
являются частными решениями уравнения (4.227), можно до-
казать, воспользовавшись рекуррентными соотношениями, кото-
рые нетрудно получить для присоединенных функций Лежанд-
ра, однако читателю достаточно лишь об этом знать, так как
убедиться, что любая присоединенная функция Лежандра при
небольших I является решением уравнения (4.227), можно непо-
средственной подстановкой. Интеграл от квадрата присоединен-
ной функции Лежандра вычисляется интегрированием по ча-
стям:
<4-230’
-1
Теперь общие собственные функции операторов L2 и Lz при-
нимают вид
ф1т(г,О, ri = Я(г)./«) е""”,	(4.231)
у 47Г	(/ + ТП)\
где Д(г) — любая функция, допускающая квадратичную инте-
грируемость функций (4.231), означающую выполнение равен-
ства
J dV = l.
Поскольку в сферической системе координат элемент объема име-
ет вид dV = г2dr sintf d'd	то интеграл от квадрата модуля
функции (4.231) разобьется на произведение трех интегралов:
+оо	7Г	2тг
J^JdV^R^dr
0	0	о
В силу (4.230) интеграл по $ равен единице, интеграл по ср то-
же равен единице, так что требованием к произвольной функции
730 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
7?(г) является сходимость интеграла по г и его равенство едини-
це:
+оо
У r2T?2(r)dr = 1.	(4.232)
о
Таким образом, общие нормированные собственные функции
операторов L2 и Lz имеют вид произведения радиальной 7?(г)
и угловой частей. Последние получили специальное обозначение
Y/m(i9,^) и их часто называют сферическими гармониками:
Ylm(#,<p) = 1/(2V	(4-233)
у 47Г (I + ТП)1
Из (4.229) следует, что
Yi,-m^,	= (-1)тУгЖ р) .	(4.234)
Сферические гармоники на поверхности единичной сферы
обладают свойством ортогональности
J Y^, ip)Ylm{d, dQ = 4 <5£,,
ИЛИ
2тг 7Г
f d(P fsiniMi?у;т,(7?^)уы(1?^) = <5^,,	(4.235)
о о
где dQ =	— элемент телесного угла, 5llf — символ
Кронёкера, равный единице при I/ = I и нулю во всех осталь-
ных случаях.
Кроме того, сферические гармоники обладают свойством пол-
ноты, позволяющим любую однозначную и непрерывную функ-
цию углов	раскладывать в ряд по этим функциям, име-
ющий вид
+оо +Z
Ш ¥>) = 12 Е cimYim^, Ф) 	(4.236)
1=0 7П= — 1
Свойство ортогональности (4.235) позволяет без труда на-
ходить коэффициенты разложения cim после умножения ряда
4.5. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
731
(4.236) на Yfm и взятия интеграла по dQ:
27Г 7Г
cim = /^1 sindddY^d,^^,^. (4.237)
О о
Первые несколько сферических гармоник имеют следующий
вид:
Уоо = 1/л/4^,
Ую = \/3/4тг cosi? ,
Уц = -yfi/ffr sind ,
У20 = \/5/1б7Г (3 cos2$ — 1),
У21 = — ^/15/8тг sini? cosi? ег<*°,
У22 = </15/32% sin2i? e2i<p .
Итак, относительно момента импульса как наблюдаемой
величины волновая механика предсказала неожиданные резуль-
таты.
Оказалось, что определенное значение может иметь только
одна компонента момента импульса микрообъекта вдоль любо-
го направления в пространстве (традиционно выбираемого за
ось г), причем эта величина квантована, то есть может прини-
мать только ряд эквидистантных дискретных значений Кт, где
т — магнитное квантовое число.
Вектор момента импульса определенного значения иметь не
может (за исключением нулевого вектора), тогда как радиус-
вектор микрообъекта или его импульс определенные значения
иметь могут (но не одновременно).
Оказалось также, что вместе с проекцией момента импульса
определенное значение может иметь и квадрат момента импуль-
са.
Парадоксальность ситуации в том, что определенное значе-
ние + 1) (где I — орбитальное квантовое число) может
иметь длина не имеющего определенного значения вектора. Тем
не менее, результаты, как говорят, ’’пространственного квантова-
ния”, изображают на ’’векторных диаграммах”, которые в насто-
ящее время являются не более, чем средством мнемонического
запоминания результатов.
Так, на рис. 4.38 изображены две "векторные диаграммы", со-
ответствующие Z = 1 и Z = 2.
732
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Рис. 4.38. Пространственное кван-
тование "вектора" момента им-
пульса
Несмотря на то, что век-
тор момента импульса не мо-
жет иметь трех определенных
проекций (кроме нулевых), то
есть, попросту говоря, не су-
ществует, рисуют 21 + 1 проек-
ций Кт на ось г; также рису-
ют окружность, радиус кото-
рой равен величине hy/l(l + 1)
(для I = 1 это Йд/2, для I = 2
это Йд/б, и так далее), а затем
вписывают в окружность век-
торы, проекции которых рав-
ны hm. Так, случаю I = 1
соответствуют три возможные
проекции момента импульса —Й, О,+Й, а случаю I = 2 — пять
проекций, и так далее.
Легко показать, что в состоянии с определенной проекцией
момента импульса на ось z и с определенным квадратом момен-
та импульса, средние значения момента импульса на оси х и у
равны нулю. Если бы речь шла о частице, движение которой
описывается классическими законами, то диаграммы могли бы
описывать такое движение частицы, при котором ее момент им-
пульса прецессирует вокруг оси z. В таком случае проекция на
ось z и квадрат длины вектора имели бы постоянное значение,
а средние по периоду вращения проекции момента импульса на
оси х и у были бы равны нулю. Однако следует ясно понять, что
интерпретация выводов волновой механики для объектов атом-
ного масштаба в классических терминах невозможна, а "вектор-
ные диаграммы" — лишь более или менее удачный способ гра-
фического напоминания о выводах волновой механики.
Предсказания волновой механики о моменте импульса пол-
ностью подтверждаются экспериментально!
Действительно, в заключение раздела о моменте импульса
в квантовой механике кратко остановимся на одном прямом след-
ствии квантования оператора момента импульса. Так как кине-
тическая энергия вращения тела в классической физике имеет
вид
где I — момент инерции тела, то в квантовой механике кинетиче-
4.5. ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 733
ской энергии вращения микрообъекта, называемого ротатором,
должен быть сопоставлен оператор
£rot — туу •	(4.238)
Спектр такого оператора определяется спектром оператора квад-
рата момента импульса и состоит из дискретного набора значе-
ний
П2
£/ = — Z(Z + 1) = В 1(1 + 1), I = 0,1,... ,	(4.239)
где В — так называемая ротационная постоянная, имеющая
размерность энергии. В отличие от осциллятора, энергия ротато-
ра в наинизшем энергетическом состоянии равна нулю. Рассто-
яние между уровнями энергии с ростом возбуждения ротатора
растет.
В определенном приближении ротаторами можно считать все
молекулы. Приближение состоит в том, что молекулы являются
одновременно и осцилляторами, а последние не могут находить-
ся в абсолютном покое даже в низшем энергетическом состоя-
нии, что приводит к изменению расстояния между ядрами и, сле-
довательно, к колебаниям момента инерции молекулы. Однако
усреднение момента инерции позволяет пользоваться формулой
для энергии ротатора, описывая колебательные уровни энергии
молекул.
По крайней мере для двухатомных молекул расстояния меж-
ду нижними уровнями вращательной энергии всегда много мень-
ше расстояния между колебательными уровнями энергии. На-
пример, для двухатомной молекулы водорода расстояние между
уровнями осциллятора hw = 0.54 эВ, а вращательная постоянная
для молекулы водорода145 В = 0.0076 эВ.
145Уже скоро читатель узнает, что на самом деле есть две разновидности
молекул водорода, называемых параводородом и ортоводородом, отличаю-
щихся друг от друга взаимной ориентацией спинов ядер. Молекулы пара-
водорода (которых 25 % в природном водороде) могут находиться лишь во
вращательных состояниях с четными I, так что расстояние между основным
уровнем (Z = 0) и первым возбужденным вращательным уровнем (Z = 2) для
параводорода составляет 6В = 0.0456 эВ. Молекулы ортоводорода (которых
75 % в природном водороде) могут находиться лишь во вращательных состо-
яниях с нечетными I, так что расстояние между основным уровнем (Z = 1)
и первым возбужденным вращательным уровнем {1 = 3) для ортоводорода
составляет 10В = 0.076 эВ.
734
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Выводы квантовой механики о дискретности спектров энер-
гии осциллятора и ротатора позволяют дать объяснение ано-
мального с классической точки зрения поведения теплоемкости
газов. Классическое выражение для молярной теплоемкости га-
за при постоянном объеме есть произведение средней энергии
одной молекулы на число Авогадро: Су =	где R —
универсальная газовая постоянная, i — число степеней свободы
молекулы.
В классической физике предполагается, что число степеней
свободы молекулы — постоянное число, и что теплоемкость газа
должна быть поэтому константой, не зависящей от параметров
идеального газа. Однако измерение теплоемкости газов показа-
ло, что имеется зависимость теплоемкости от температуры, со-
вершенно необъяснимая с классической точки зрения.
Рис. 4.39. Зависимость молярной теплоемкости Су водорода при по-
стоянном объеме как функция абсолютной температуры Т
Так, на рис. 4.39 изображена зависимость Су(Т) для водоро-
да (температура отложена в логарифмическом масштабе).
С классической точки зрения молекула водорода имеет 7 сте-
пеней свободы (3 поступательных, 2 вращательных и 2 колеба-
тельных, причем из двух колебательных степеней одна прихо-
дится на кинетическую, а другая — на потенциальную энергии),
так что теплоемкость водорода должна была бы быть равна 7Я/2
независимо от температуры.
Из графика же следует, что при температурах ниже 50 К
молекулы водорода ведут себя как объекты с тремя степенями
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА 735
свободы и имеют теплоемкость Су = 3R/2, затем теплоемкость
плавно растет; как говорят, у водорода ’’размораживаются” две
степени свободы, и его теплоемкость достигает при нормальных
условиях величины Су = 5R/2, и лишь при очень высоких тем-
пературах теплоемкость водорода приближается к теплоемкости
газа, молекулы которого имеют 7 степеней свободы.
Квантовая механика дает количественное объяснение, соот-
ветствующее экспериментальным данным. Здесь, однако, вкрат-
це затронем лишь качественную сторону дела.
Пока кТ « 6В = 0.0456 эВ, то есть при малых темпера-
турах, молекулы водорода при столкновениях не могут возбуж-
даться на вращательные уровни, не говоря уже о колебательных,
ближайший из которых выше основного на 0.54 эВ. Поэтому при
низких температурах соударения между молекулами чисто упру-
гие, при которых молекулы могут менять лишь кинетическую
энергию своего поступательного движения. Молекулы ведут се-
бя как частицы без внутренних степеней свободы. Вспомним, что
аналогичное поведение открыли Франк и Герц, изучая столк-
новения электронов с атомами: пока энергия электрона мень-
ше первого критического потенциала атома, соударения между
электроном и атомом упругие.
С ростом температуры кинетическая энергия поступательно-
го движения молекул растет, некоторые соударения начинают
приводить к возбуждению вращательных состояний сначала па-
раводорода, а затем и ортоводорода. При комнатной темпера-
туре вращательные состояния молекул заселены, так что вра-
щение молекул вносит вклад в теплоемкость газов, и молекулы
демонстрируют две заселенные вращательные степени свободы,
то есть всего 5 степеней свободы. Колебательные уровни молекул
водорода начинают интенсивно возбуждаться лишь при темпе-
ратурах выше 6000 К, когда начинается также диссоциация мо-
лекул на атомы, так что теплоемкость газа должна вычисляться
как теплоемкость смеси атомарного и молекулярного водорода.
Тем не менее, из графика видно, что теплоемкость водорода при
Т > 6000 К достаточно близко приближается к величине 7R/2.
Таким образом, квантовая механика решила еще одну загад-
ку, возникшую в рамках классической физики. Оказалось, что
рост температуры газа постепенно ’’включает" сначала враща-
тельные степени свободы молекул, и лишь затем — колебатель-
ные, поскольку в типичном случае расстояния между колеба-
тельными уровнями на один—два порядка больше, чем расстоя-
ния между вращательными уровнями молекул.
736
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
4.6 Квантование атома водорода
В предыдущем разделе была изложена часть результатов, кото-
рые волновая механика дала возможность получить в отноше-
нии орбитального момента импульса частицы как наблюдаемой.
Спектр проекции момента импульса на любое направление в про-
странстве146 был определен при рассмотрении непосредственно
уравнения (4.202) на собственные значения оператора Lz.
Оказалось, что собственные функции г-проекции момента им-
пульса имеют вид
V>m(r>	д}еггшр ,	(4.240)
где т — любое целое число.
Было также установлено, что общие собственные функции
операторов Lz и L2 имеют вид
&, (/?) =	у?),	(4.241)
где орбитальное квантовое число может быть любым неотрица-
тельным целым числом I 0, а целое магнитное квантовое число
может принимать 21 + 1 значений от — I до +Z.
После этого рассмотрения, оказавшегося успешным потому,
что операторы Lz и L2 взаимно коммутативные, что и обеспе-
чило существование общих собственных функций, можно при
желании указать явный вид собственных функций одного лишь
оператора L2. Последние, очевидно, будут произвольными ли-
нейными комбинациями функций (4.241) с фиксированным зна-
чением Z, то есть функциями вида
-Н
&, 9?) = 7?(r)	¥>),	(4.242)
т=—I
где R(r) — произвольная функция и ст — произвольные ком-
плексные числа с той лишь оговоркой, что в целом функция
(4.242) должна быть нормированной.
Теперь все готово для того, чтобы проквантовать двухча-
стичный микрообъект — водородоподобный ион, то есть опреде-
лить энергетический спектр двухчастичной системы, состоящей
146Ось z можно выбрать в любом направлении в пространстве.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА 737
из ядра и одного электрона. Гамильтониан такой системы имеет
вид
- й2 л й2 л Z?1
7/ = —  ---Ai — -—Л2 ~ ~А----:-----г ’	(4.243)
2mnuci 2те	4тге01 г 1 - г21
где Ai — оператор Лапласа, действующий на координаты ядра,
Л2 — оператор Лапласа, действующий на координаты электрона,
Z — заряд ядра (количество протонов в ядре).
Если Z = 1, то гамильтониан (4.243) описывает атом водо-
рода, если Z > 1, то гамильтониан описывает так называемый
водородоподобный ион. Например, Z = 2 описывает однократ-
но заряженный ион гелия, Z = 3 — двукратно заряженный ион
лития, и так далее.
Как уже отмечалось выше, ни одна из частиц в двухчастич-
ной системе не находится в чистом состоянии, то есть не описы-
вается волновой функцией, зависящей только от координат од-
ной частицы и времени. Однако переход к системе центра масс
с помощью уравнений (4.154) позволяет задачу нахождения вол-
новой функции двухчастичной системы разбить на две одноча-
стичные задачи, одна из которых соответствует описанию центра
масс системы как квазичастицы с суммарной массой mnuci + me,
а вторая описывает квазичастицу с приведенной массой (4.157),
причем, как нетрудно видеть, волновая функция квазичастицы
с приведенной массой описывает плотность вероятности обнару-
жения электрона относительно ядра. Однако следует помнить,
что инерциальная система отсчета может быть связана только
с центром масс, а не с ядром. Энергия двухчастичной системы
есть сумма энергий двух квазичастиц.
Если рассматривается свободный атом водорода, то гамиль-
тониан квазичастицы с суммарной массой, описывающей поведе-
ние центра масс, сводится к оператору кинетической энергии сво-
бодной квазичастицы, энергетический спектр которого непреры-
вен и соответствует любым неотрицательным вещественным чис-
лам. В системе центра масс кинетическая энергия поступатель-
ного движения атома равна нулю, и основной интерес представ-
ляет энергетический спектр квазичастицы с приведенной массой,
которая лишь немного отличается от массы электрона, посколь-
ку в соответствии с (4.157)
me	/	те \
Д = Г7----7----~ me I 1-------.
1 4“	/ Ш"пис1	\	^'nucl /
738 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Для протона те1тр = 1/1836.15, а для остальных ядер это от-
ношение еще меньше.
Гамильтониан для квазичастицы с приведенной массой имеет
вид
Я - ft2A Ze‘ I
2/1	47Г£о Г
Спектр этого оператора и подлежит определению, для че-
го, вообще говоря, необходимо решить уравнение на собственные
значения гамильтониана (4.244)
Н^£(г, <р) = &ф£(т, 1?, </?)	(4.245)
и найти такие значения энергии 5, которые обеспечивают суще-
ствование нетривиальных квадратично интегрируемых решений
уравнения (4.245).
Задачу квантования водородоподобного иона существенно об-
легчает то обстоятельство, что гамильтониан (4.244) коммутиру-
ет как с оператором L2, так и с оператором Lz.
Последнее нетрудно доказать, если воспользоваться связью
между оператором Лапласа и оператором L2. Подставив опера-
тор Лапласа в форме (4.225) в гамильтониан (4.244), получим:
Н =	д ( 2 —
м 2дг2 дг \ дг
Выражение (4.246) делает практически очевидным то обсто-
ятельство, что гамильтониан Нр коммутирует с оператором L2.
Действительно, оператор L2, как оператор, действующий только
на переменные д и у>, взаимно коммутативен с любым операто-
ром, действующим только на переменную г, так как в смешан-
ных частных производных можно менять местами порядок диф-
ференцирования. Из выражения же (4.246) следует, что гамиль-
тониан Нр содержит часть, действующую только на г (и потому
коммутирующую с L2), а также часть, коммутирующую с L2,
поскольку сам с собой коммутирует любой оператор.
Так как и оператор Lz действует лишь на угловую перемен-
ную, и при этом коммутирует с L2, то и он взаимно коммутативен
с гамильтонианом.
А если оператор, действие которого не зависит от време-
ни, взаимно коммутативен с гамильтонианом системы, то
\	L2	Ze2 7
)	+	о—2	—	~л 1 ’	(4.246)
/	2/1Г2	47Г£о7*
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА 739
среднее значение соответствующей наблюдаемой не зависит
от времени. Последнее доказывается без труда, если вспомнить,
что производная оператора по времени, задаваемая формулой
(4.161), есть нулевой оператор, из чего и следует постоянство во
времени среднего значения наблюдаемой, поскольку производ-
ная по времени от среднего значения обращается в нуль в силу
(4.160).
Вспомнив также и доказанное ранее утверждение147 о том,
что если система находится в состоянии, описываемом собствен-
ной функцией какого-либо оператора, соответствующая данному
оператору наблюдаемая имеет определенное значение, с которым
совпадает и среднее значение наблюдаемой, следует заключить,
что двухчастичная система может одновременно иметь по-
стоянные определенные значения энергии, квадрата момента
импульса и проекции момента импульса на произвольное на-
правление в пространстве, а соответствующая волновая функ-
ция будет общей для уравнений на собственные значения га-
мильтониана, квадрата момента импульса и проекции момен-
та импульса на произвольное направление в пространстве.
К названному списку из трех наблюдаемых, которые могут
иметь определенное значение для водородоподобного иона, сле-
дует добавить еще одну величину, не имеющую классического
аналога. Речь идет о четности Р состояния, соответствующей
оператору пространственной инверсии, или четности Р, введен-
ному выше с помощью соотношения (4.54). Так как оператор
четности коммутирует с гамильтонианом148, то четность состо-
яния сохраняется, если волновая функция системы есть либо
четная функция пространственных координат (то есть собствен-
ная функция оператора четности, и тогда Р = 1), либо нечет-
ная функция пространственных координат (также собственная
функция оператора четности, и тогда Р = — 1). Последний ’’за-
кон сохранения четности” является чисто квантовым, не имею-
щим классических аналогов. Если же в общем случае волновая
функция не является ни четной, ни нечетной, то среднее значе-
ние четности Р в заданном состоянии не зависит от времени.
После учета вышеозначенных факторов квантование водоро-
доподобного иона существенно облегчается, поскольку в уравне-
ние на собственные значения гамильтониана (4.244) нужно под-
ставлять волновые функции вида (4.241) — общие собственные
147См. стр. 683.
148См. задачи 4.11 и 4.12.
740 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
функции операторов Lz и L2.
Спектр гамильтониана (4.246) является, вообще говоря, дис-
кретным при отрицательных энергиях (что соответствует лока-
лизованному состоянию квазичастицы) и непрерывным при по-
ложительных энергиях. Последний случай, однако, описывает на
самом деле не водородоподобный ион, а "пролет электрона мимо
ядра" когда электрон делокализован, то есть описывается обоб-
щенной собственной функцией гамильтониана. Далее будет опре-
делен лишь дискретный спектр водородоподобных ионов, когда
электрон локализован, а волновая функция квазичастицы с при-
веденной массой квадратично интегрируема.
Подставим гамильтониан (4.246) в уравнение на собственные
значения (4.245), и выберем одну из общих собственных функций
<ф = R(r)Yim(d, (^) операторов квадрата момента импульса и про-
екции последнего на ось z произвольной декартовой системы ко-
ординат, рассматривая выбранную волновую функцию и как соб-
ственную функцию гамильтониана. Подставляя ее в уравнение
на собственные значения гамильтониана, получим уравнение
„ h2 d ( 2dR\ „ L2 „ Ze2 mr cmr
У/шп 2 J (’'j	) + 2^lm Л	>
2prz dr \ dr J 2ргг 4тгеог
или
1 d ( 2dR\ Г 1(1 + 1) 2/iZe2 1	2/j,£1 n ,
-2-r r2 — +	+	----+ 44 Я = °> (4.247)
rl dr \ dr J [ г2 п/4тгбо t ft
где было учтено действие оператора L2 на сферическую гармо-
нику Yim, затем эта гармоника была сокращена как общий мно-
житель, а уравнение домножено на 2р/h2 .
Из последнего выражения следует, что члены в квадратных
скобках должны иметь размерность квадрата обратной длины.
Поэтому можно ввести один размерный параметр го (зависящий
от неизвестной энергии), и масштаб длины п:
г0 = у/-&/(2ц£),	(4.248)
ri = Л24тг£о/(м^е2) I	(4.249)
причем в соотношении (4.248) было явным образом учтено, что
в состоянии с дискретным спектром разыскиваются отрицатель-
ные значения энергии £ < 0.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
741
Произведем переход к безразмерной независимой перемен-
ной, пользуясь ’’масштабом” го/2:
(4.250)
после чего уравнение (4.247) легко преобразовать к виду
R" + -R' +	_ 11 r = о,	(4.251)
Q |_ Q2	Q 4J
где штрихи обозначают дифференцирование по д.
Далее вся процедура практически копирует квантование ли-
нейного гармонического осциллятора. Отметим, что асимптоти-
чески (то есть при д —> +оо) последнее уравнение переходит
в уравнение R" = R/4 (не вникая при этом в тонкости сравнения
поведения функций Rf и R, так как для дальнейшего это не бу-
дет иметь никакого значения), а убывающее решение "асимпто-
тического уравнения" ведет себя как е_р/2. Рассматривая поиск
асимптотического поведения решения всего лишь как мнемони-
ческий прием для запоминания, будем искать решения уравне-
ния (4.251) в виде
Я(<?) = Жг/2.	(4.252)
Переход от зависимой переменной R к зависимой переменной f
14Q
после проведения тривиальных выкладок1** дает новое уравне-
ние относительно функции f:
f"+ (--1) f' +	+ ^°/ri^~ 11 / = 0.	(4.253)
40	/ L в	6	.
Поскольку при g = 0 последнее уравнение имеет особенность,
будем искать решение последнего в виде ряда, умноженного на
подлежащую определению степень д:
+оо
к=0
(4.254)
где предполагается, что со 0.
149Выполните их.
742
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Подстановка (4.254) в (4.253) дает ряд
+оо
У ск{[(у + fc)(i/ + к + 1) -1(1 + 1)]д"+к-2 - (у + к + 1 - -)рр+/с-1},
к=0	1
который должен тождественно обращаться в нуль при любых
положительных д. При к = 0 ряд содержит член наинизшей
степени рр“2, коэффициент перед которым должен обратиться
в нуль. Так как по условию со 0, то получается квадратное
уравнение у (у + 1) = 1(1 + 1) для определения величины у . Как
нетрудно видеть, корнями квадратного уравнения являются зна-
чения у\ = I и У2 = — 1 — I. Вспомнив, что искомая функция Я(г)
должна удовлетворять нормировочному условию (4.232), второй
корень при I > 0 сразу отпадает (так как соответствующий ин-
теграл разойдется в нуле).
При I = 0 второй корень тоже физически неприемлем, так
как волновая функция, расходящаяся в нуле как 1/г, хотя и удо-
влетворяет нормировочному условию (4.232), однако дает рас-
ходящееся среднее значение для кинетической энергии локали-
зованной частицы, в чем нетрудно убедиться, выписав формулу
для средней кинетической энергии квазичастицы в сферической
системе координат.
Следовательно, обращение в нуль первого члена ряда соот-
ветствует физически приемлемому результату лишь при у = I.
Далее, аналогично тому, как это было сделано в случае кван-
тования линейного гармонического осциллятора, получается ре-
куррентное соотношение для коэффициентов ряда:
Cfc+1 _ к+1+1— Гр/ri
ск ~ (к + 1)(к + 2 + 21)’
которое позволяет найти все коэффициенты ряда при заданной
величине со.
При п —> +оо соотношение (4.255) становится эквивалентным
рекуррентному соотношению Ьк+\/Ьк = 1/(к + 1) для коэффи-
циентов разложения функции ев в ряд по степеням д. Следова-
тельно, если ряд (4.254) не обрывается, то функция R разойдется
в бесконечности как ер/2, то есть не даст квадратично интегри-
руемого решения. Таким образом, приемлемыми с физической
точки зрения будут лишь такие решения, которым отвечает об-
рывающийся ряд (4.254).
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
743
Пусть пг — порядковый номер последнего ненулевого члена
ряда (4.254). Значит, пг может принимать все целые значения,
начиная с нуля. Целое число пг получило название радиального
квантового числа. Поскольку коэффициент ряда Cnr+i должен
обратиться в нуль, из рекуррентного соотношения (4.255) немед-
ленно получаем:
nr + I + 1 — го/п = 0, пг = 0,1,....	(4.256)
Вводя новое целое число п,
п = nr + I + 1,	(4.257)
получившее название главного квантового числа, из условия
(4.256) с учетом (4.248) и (4.249) получаем дискретный спектр
зависящих от главного квантового числа собственных значений
гамильтониана, описывающего внутреннее состояние водородо-
подобного иона150:
г	М /	\2 1
П	2 \Л47Г£?о )	’
На этом задача квантования водородоподобного иона может
считаться завершенной.
Волновая механика, таким образом, предсказывает дискрет-
ность уровней энергии двухчастичной связанной системы.
В частности, возможными уровнями энергии атома водоро-
да могут быть лишь дискретные уровни энергии, определяемые
выражением (4.258) при Z = 1, и эти уровни энергии зависят от
главного квантового числа п в точности так, как того требует
эмпирически открытая формула Бальмера!
Действительно, вспомним, что бальмеровские термы атома
водорода определяются формулой (4.5), а связь их с уровня-
ми энергии дает формула (4.16), откуда сравнением эксперимен-
тально обнаруженных уровней энергии атома водорода с вели-
чинами (4.258) получаем выражение для постоянной Ридберга
150 Впервые эту формулу для квазистационарных уровней энергии водо-
родоподобного иона из противоречивых теоретических предпосылок вывел
Бор еще в 1913 году, а в 1926 году последовательный вывод этой формулы
был дан физиком-теоретиком В. Паули, исходящим из принципов матричной
механики, а также Шрёдингером, который и придумал волновую механику,
чтобы получить эту формулу! Правда, Шрёдингер получил формулу, еще
не изучив свойства оператора момента импульса.
744
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
для атома водорода в виде следующего выражения:
/ 2 \2
= • <4-259)
2ch \/г4тг£о /
Экспериментально измеренная величина Rh для атома водо-
рода равна
(Лн)ехр = 10967757.6 ± 1.2 м-1.
Подстановска же в формулу (4.259) современных значений
массы электрона
те = 1.60217656 • 10-31 кг,
отношения масс протона и электрона
тр/те = 1836.15267,
постоянной Планка
h = 6.626 069 57 • 10-34 Дж • с,
скорости света
с = 2.99792458  10+8 м/с (точно),
и электрической постоянной
Ео = 8.854187817 • 10-12 Ф/м ,
дают для Rh значение
(Лн^еог = 10967758.4 м-1.
Согласие опыта и теории просто поразительно. Разница меж-
ду экспериментальным и теоретическим значениями меньше, чем
одна десятимиллионная доля, и лежит в пределах эксперимен-
тальной ошибки измерения. Без преувеличения можно назвать
полученное совпадение триумфом квантовой механики, не остав-
ляющим места сомнениям в справедливости теории.
В общем случае для водородоподобного иона постоянную Рид-
берга записывают в виде
= 1 ,	•	(4.260)
тпис1
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
745
где постоянная Ридберга R не содержит характеристик ядра
(или, как говорят, соответствует "бесконечно тяжелому ядру"):
о
2ch
2	\2
6 I
/147Гб?о /
(4.261)
В соответствии со вторым законом Бора длины волн испуска-
емого водородоподобными ионами излучения определяются вы-
ражением
Y = RmZ2 ( ^2 - А) , п2 > щ 1.	(4.262)
^2/
Последнее выражение прошло серьезную экспериментальную
проверку еще до создания квантовой механики. Выше уже от-
мечалось, что фактически формулы (4.260)—(4.262) были по-
лучены Бором и позволили, в частности, решить одну пробле-
му, возникшую после обнаружения в 1896 году американским
астрономом Пикерингом в спектре одной горячей звезды серии
спектральных линий, напоминающих серию Бальмера для атома
водорода. На рис. 4.40 схематически представлены линии обеих
серий (у серии Пикеринга не показана первая линия).
^4 ^5	Мх
—тггп——------------г-----------------------
Серия ।
Бальмера j
-----г
Серия 1
Пикеринга [
__।__।___।_1_।_।__।_1__।_1_।__।_।__।_।_।__।_।_।_।_।__।_।_।_।___।_।_।__।_।_।_।_।_«.
3500	4000	4500	5000	5500	6000	6500 А
Рис. 4.40. Серии испускания Бальмера и Пикеринга. Пунктиром по-
казаны границы серий
Казалось, положения линий серии Пикеринга описывались
формулой Бальмера (4.2), в которой число п принимало полу-
целые и целые значения п = 2.5, 3, 3.5, 4,... . Сначала Пике-
ринг предположительно приписал открытую серию неизвестно-
му элементу, но затем изменил точку зрения и стал считать, что
746 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
наблюдает линии спектра водорода. В 1897 году Ридберг, поль-
зуясь данными Пикеринга, предсказал существование еще одной
серии испускания водорода, первая линия которой должна бы-
ла бы иметь длину волны 4687.88 А. И действительно, линия
4686 А была обнаружена сначала у той же звезды, которую изу-
чал и Пикеринг, а в 1912 году английский физик Фаулер обнару-
жил в спектре испускания газоразрядной трубки, наполненной
смесью водорода и гелия, уже четыре линии из серии, предска-
занной Ридбергом. Вопрос о принадлежности серий Пикерин-
га и Фаулера, ошибочно приписываемых водороду, был решен
Бором, который правильно интерпретировал эти серии как се-
рии испускания однократно ионизованного гелия, в соответствии
с чем Бор переписал выражение для сериальных формул таким
образом, чтобы они зависели только от целых чисел:
серия Пикеринга -7 = 47?не [	---о I , п — 5,6,7,...,
А	\42 п2 /
серия Фаулера у = 47?не ( ~2 —~2 ) ’	= 4,5,6,....
А	\ и	Иг j
В самом деле, если численный коэффициент 4, стоящий перед
7?Не, внести внутрь скобок, то и получится выражение для серии
Бальмера (4.2) с полуцелыми и целыми п. Сравнение выраже-
ний для серий Пикеринга и Фаулера делает очевидным то обсто-
ятельство, что они совпадают с выражением (4.262) при Z = 2,
то есть описывают линии спектра испускания однократно заря-
женного иона гелия. И действительно, вскоре эти серии были
получены в разряде с чистым гелием, что окончательно опро-
вергло предположение о принадлежности линий водороду.
Кроме того, экспериментально была подтверждена и зависи-
мость постоянной Ридберга для водородоподобного иона от мас-
сы ядра, описываемой выражением (4.260). В частности, расчет-
ное отношение постоянных Ридберга для водорода и для одно-
кратно заряженного иона гелия в соответствии с (4.260) имеет
вид
Р	14- те
=-----ттг® ~ 1 00041.	(4.263)
Яне.	1 +
Тщательное измерение длин волн серий Бальмера, Пикеринга
и Фаулера дало для того же отношения значение 1.0004, пре-
красно согласующееся с расчетным.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА 747
А в 1932 году зависимостью (4.260) постоянной Ридберга от
массы ядра воспользовались американские ученые Юри, Бри-
кведде и Мерфи, открывшие изотоп водорода дейтерий, масса
которого примерно в два раза превышает массу протия. В со-
ответствии с формулами (4.262) и (4.260) более тяжелый изотоп
должен испускать излучение меньших длин волн, то есть должен
наблюдаться так называемый изотопический сдвиг. Например,
для линии На серии Бальмера для водорода расчетный изото-
пический сдвиг составляет 1.79 А. Так как в природном водороде
дейтерия немного (примерно один атом дейтерия на 4 000 атомов
протия), то слабые линии дейтерия плохо видны на фоне яр-
ких линий протия. Поэтому Юри, Брикведде и Мерфи обогатили
образец дейтерием, заставив предварительно сжиженный водо-
род испаряться. Так как легкий протий, очевидно, испаряется
быстрее, то остаток обогащается дейтерием151. Юри, Бриквед-
де и Мерфи, изучая спектр обогащенного дейтерием водорода,
обнаружили спутники первых четырех линий серии Бальмера,
положение которых прекрасно совпало с расчетными значения-
ми, о чем дает представление таблица 4.5.
Таблица 4.5
Сравнение расчетных и экспериментальных значений изотопи-
ческого сдвига линий серии Бальмера (протий—дейтерий)
Линии	На		Я7	н5
Расчетный изотопический сдвиг Ан - Ad, А	1.793	1.326	1.185	1.119
Экспериментально обнаруженный сдвиг, А	1.791	1.313	1.176	1.088
Таким образом, волновая механика дала возможность рас-
считать квазистационарные уровни энергии водородоподобных
ионов в аналитическом виде. Выводы, следующие из волновой
механики, были подтверждены экспериментально. В частности,
расчетная постоянная Ридберга для атома водорода соответству-
ет экспериментальному значению с точностью до десятой зна-
чащей цифры. Не остается сомнений в правильности волновой
механики.
151 Позднее дейтерий стали выделять при электролизе воды, когда на ка-
тоде преимущественно выделяется протий, а остаток жидкости обогащается
дейтерием. Так получают тяжелую воду.
748
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
4.6.1 Характеристика квазистационарных
состояний водородоподобных ионов
Поскольку в силу (4.256) и (4.257)
Го = ПГ\ ,
(4.264)
где го и ri есть ранее введенные соотношениями (4.249) и (4.250)
параметры с размерностью длины1 , уравнение для вычисления
радиальной части волновой функции (4.251) принимает вид
Из проведенной выше процедуры определения спектра гамиль-
тониана водородоподобного иона следует, что подлежащие опре-
делению функции Rni являются произведением экспоненты е~27
и полинома степени I + пг, где безразмерная переменная q
2г 2г
д= — =------.
Го ПГ1
В свою очередь, из масштаба длины п принято выделять заряд
ядра Z в качестве множителя, получая для водородоподобного
иона
ai
где
ai =
/г247ге?о
ре2
= 0.53 А.
/2=772 g
(4.266)

Z ’
Физический смысл величины ai, называемой воровским радиу-
сом, будет указан ниже.
Явный вид нужных решений уравнения (4.265) определяет-
ся через так называемые присоединенные полиномы Лагерра152 153
Z/^(x), задаваемые для неотрицательных целых п и к выражени-
ем
дк
Lkn(x) =-j^Ln(x),	(4.267)
где, в свою очередь, полиномы Лагерра Ln(x) определяются вы-
ражением
Ln{x) = ех-—(<е~ххп).	(4.268)
dxn
152Причем параметр го оказался целым кратным от параметра г\.
153Известны также многочлены Лагерра L^(x), определенные для целых
п и вещественных а > —1. Присоединенные полиномы Лагерра не
совпадают с многочленами Лагерра L“(z) при к = а.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
749
Первые несколько полиномов Лагерра имеют вид Lq(x) = 1,
Li(x) = 1 — Xj L2(x) = 1 — 2х + х2/2, Ьз(х) = 1 — Зх + Зх2/2 — х3/б.
Удовлетворяющие нормировочному условию (4.232) решения
уравнения (4.247) имеют йид
2Zкп-1- 1)!
nai] у 2п(п + Z)! еХР
. (4.269)
Окончательно с учетом (4.231) получаем, что нормированные
волновые функции, являющиеся общими волновыми функция-
ми гамильтониана водородоподобного иона, операторов квадра-
та момента импульса и проекции его на ось г, а также оператора
четности154, имеют вид
"Фп1т(.Г, &, </?) = Rni^Yim^, р),	(4.270)
где радиальная часть определяется выражением (4.269), а сфе-
рические гармоники — выражением (4.233).
Поскольку собственные функции Vw™ гамильтониана, соот-
ветствующие разным собственным значениям, ортогональны, то
+оо
j r2Rnl(r)Rn,l,(r)dr = 6^ ,	(4.271)
О
+оо
J (г, p)^nlm(r, Р) dV = б^'б^'б^ .	(4.272)
О
Любую волновую функцию Ф(я,у,г,£) из L2 можно разло-
жить в тройной ряд по функциям	<р), однако подроб-
нее на этом вопросе останавливаться не будем. В соответствии
с (4.78) волновые функции, удовлетворяющие временному урав-
нению Шредингера для квазичастицы с приведенной массой, на-
ходящейся в состоянии с определенной энергией, квадратом мо-
мента импульса и его проекцией на ось z, имеют вид
/__/ \
1?, р, t) = Rni{r)Yim{d, р) ехр I —I .	(4.273)
\ П, J
154 При инверсии относительно начала координат все декартовы коорди-
наты меняют свой знак. В сферической системе координат, как нетрудно
понять, при инверсии г не меняется, угол х) преобразуется в угол тг — $,
а угол р — в угол тг + <р. Тогда из определения сферической гармоники мож-
но получить, что — $, тг + <р) = (—I)1 Yim^, <р), так что при четных I
волновые функции (4.270) четные, а при нечетных I — нечетные.
750 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Общие собственные функции зависят от трех целых чисел
п, I и т, называемых главным квантовым числом, орбиталь-
ным квантовым числом и магнитным квантовым числом соответ-
ственно. Причем одному и тому же уровню энергии £п, определя-
емому только главным квантовым числом, соответствует, вооб-
ще говоря, несколько линейно-независимых волновых функций
с разными I и т. Найдем число различных волновых функций
при неизменной величине п, то есть степень вырождения дп уров-
ня энергии Sn.
Из соотношения (4.257) следует, что I = п — nr — 1. Поскольку
радиальное квантовое число может принимать любые значения
от 0 до п — 1, то при заданной величине п орбитальное кван-
товое число I также может принимать любые значения от 0 до
п — 1. В свою очередь, при фиксированной величине I магнитное
квантовое число т может принимать 21 + 1 значение от — I до
+1. Таким образом, степень вырождения уровня п будет опреде-
ляться суммой
£(21 + 1) = „2 ,
/=0
что легко доказывается с помощью математической индукции.
Невырождено только основное состояние водородоподобно-
го иона при п = 1, I = 0, т = 0. При п > 1 присутствует
как n-кратное вырождение по орбитальному квантовому числу
(это вырождение называют случайным, так как оно характерно
только для кулоновского потенциала), а также (2Z + 1)-кратное
вырождение по магнитному квантовому числу, связанное с изо-
тропностью пространства. Полная степень вырождения п2, хотя
далее эта цифра будет удвоена из-за наличия у электрона по-
лу целого спина, о чем вскоре узнает читатель. Таким образом,
дп = 2п2.
В частности, для атома водорода (Z = 1) первые несколь-
ко общих ортонормированных волновых функций
определяемых уравнением (4.270), имеют следующий вид:
/ i \3/2 i	/ г \
V'ioo (г, $,</>)= —	—= ехр----,
\ ^1 /	у	\	/
/ j \3/2	।	. Т .	/ Г X
ехр [--) ,
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
751
/ 1 \3/2 ГТ ( г \	(	т\
V'2io(’’,^,¥’)= — Vy (l-y)exp(-—Jcostf,
\^1/ V отг \	2d/	\	2d/
/ । \3/2 / з / г ч / г \
= =F — Vry (1 - у) exp (——)sini?e±**’.
\ di j V 1о7Г \ 2d /	\ 2d /
Исторически состояния с определенным квадратом момента
импульса (то есть с определенной величиной Z) стали обозначать
буквами латинского алфавита. Так, состояние с I = 0 обозначают
буквой s, с I = 1 — буквой р, с I = 2 — буквой d, с I — 3 —
буквой /, далее используют последовательные буквы латинского
алфавита, в результате получается следующее сопоставление:
/=012345678 9 10 11 12 13 14
spdfghiklmn	о	q	г	t
Перед буквой, заменяющей численное значение Z, пишут ве-
личину главного квантового числа, так что обозначение 1s под-
разумевает состояние с п = 1, I = 0. Таким образом, квазиста-
ционарные состояния водородоподобного иона имеют следующие
стандартные обозначения:
Is	n = 1,	1 = 0
2s, 2p	n = 2,	I = 0,1
3s, 3p, 3d	n = 3,	I = 0,1,2
4s, 4p, 4d, 4/	n = 4,	Z = 0,1,2,3.
Как уже отмечалось выше, волновые функции (4.270) опреде-
ляют состояние квазичастицы с приведенной массой, что позво-
ляет найти плотность вероятности обнаружения электрона отно-
сительно протона, то есть в неинерциальной системе координат.
Электрон же в атоме водорода вообще не находится в чистом со-
стоянии, описываемом волновой функцией, зависящей лишь от
координат электрона в инерциальной системе координат. Однако
из-за того, что масса ядра много больше массы электрона, при-
ближенно протон отождествляют с центром массы атома, а элек-
трон принимают находящимся в чистом состоянии, описываемом
одной из волновых функций (4.270).
Радиальное распределение плотности вероятности обнару-
жения электрона между двумя сферами радиусов г и r+dr опре-
деляется величиной
dw
dr
= r2|i?n/(r)|2 ,
nl
(4.274)
752
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
так как f |У/т(т?, (/?)|2dQ = 1.
В частности, для основного состояния атома водорода
dw 1 о _2г
—	= —«г е ai .
dr 10 тга^
Рис. 4.41. Радиальное распределение плотности вероятности обнару-
жения электрона относительно ядра для некоторых состояний атома
водорода как функция радиуса, выраженного в единицах боровского
радиуса = 0.53 А
Нетрудно убедиться, что радиальная плотность вероятности
в основном состоянии достигает максимума при боровском ради-
усе г = ai = 0.53 А. Вблизи ядра радиальная плотность вероят-
ности обнаружения электрона близка к нулю несмотря на то, что
волновая функция на ядре максимальна. При удалении от ядра
плотность вероятности обнаружения электрона экспоненциально
убывает.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА 753
На рис. 4.41 для нескольких нижних состояний атома водо-
рода изображено радиальное распределение плотности вероят-
ности dw/dr, определяемое формулой (4.274). По мере возбуж-
дения атома количество максимумов радиальной плотности ве-
роятности растет (число максимумов для «-состояний равно п),
причем абсолютный максимум — последний, все более удаляю-
щийся от ядра.
Радиальная плотность вероятности в состоянии nl в смысле
количества максимумов ведет себя подобно радиальной плотно-
сти состояния (n —1)(Z —1), то есть радиальная плотность состоя-
ния 3d является более размытой и смещенной в область ббльших
радиусов версией радиальной плотности 2р, а последняя, в свою
очередь, есть более размытая и более удаленная от ядра версия
ls-состояния.
р: 1=1
т=-1
d: 1=2
т=-2	щ=-1
т=0	т=1	т=2
Рис. 4.42. Угловая зависимость квадрата модуля сферических гармо-
ник |У/7п|2(7?) (ось z направлена вертикально вверх)
Однако только радиальная плотность вероятности характе-
ризует состояние не полностью, так как плотность вероятности
754 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
обнаружения электрона в пространстве резко анизотропна, если
атом находится не в «-состоянии. В последнем случае, помимо
радиальной плотности вероятности, состояние характеризуются
и угловым распределением плотности вероятности как функции
угла д (нетрудно понять, что от угла ip зависимости нет, посколь-
ку квадрат модуля волновой функции от угла ip не зависит).
На рис. 4.42 показаны кривые, построенные таким образом,
что длина отрезка, отложенного под углом д к вертикали, про-
порциональна квадрату модуля соответствующей сферической
гармоники |У/т|2($) (коэффициент пропорциональности не за-
висит от Z, т и п, поэтому на рисунке переданы относительные
размеры угловых распределений без учета вклада от радиаль-
ных множителей |7?п/|2).
Пространственно угловым распределениям соответству-
ют осесимметричные фигуры, получающиеся из изображенных
на рисунке кривых вращением вокруг вертикальной оси (напри-
мер, «-состояниям соответствуют сферы). Из рисунка видно, что
плотность вероятности локализации электрона концентрируется
в определенных направлениях в пространстве. В целом же про-
странственное распределение вероятности играет важную роль
при определении взаимодействия между атомами, а также при
рассмотрении образования связей в молекулах.
В основном состоянии атома водорода его внутренняя энер-
гия минимальна и определяется выражением (4.258) при Z = 1
и п = 1:
/ 2 \2
£1 = -^2 ( 7~ ) = -—Ry = —13.606эВ .
2Лг \47Г£о /
Абсолютное значение практически совпадает с внесистемной
единицей измерения энергии ридбергом Ry at 13.6 эВ, получа-
ющимся из |£i| при подстановке вместо р массы электрона те.
Один ридберг по порядку величины соответствует энергии иони-
зации атомов и молекул.
Вычислим средние потенциальную и кинетическую энергии
электрона в основном состоянии. Средняя потенциальная энер-
гия определяется выражением П = f Ф1ООПФюо dV . Вычисление
интеграла затруднений не представляет155 и дает для средней по-
тенциальной энергии электрона в атоме водорода, находящегося
155См. задачу 4.13.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
755
в основном состоянии, значение
4тг£о^1
Получился вполне разумный результат, если учесть, что ради-
альная плотность вероятности обнаружения электрона в этом
состоянии атома водорода максимальна при г = ai. Подстановка
в последнее выражение ai из (4.249) показывает, что средняя по-
тенциальная энергия электрона в атоме водорода, находящегося
в основном состоянии, будет равна —2 Ry = —27.2 эВ. Тогда, по-
скольку, очевидно, = Т + П, средняя кинетическая энергия
электрона в атоме водорода, находящегося в основном состоя-
нии, составит Ry = 13.6 эВ. Как видно, средняя потенциальная
энергия по абсолютной величине вдвое превышает среднюю ки-
нетическую энергию электрона100.
Средняя кинетическая энергия электрона в атоме водорода,
находящегося в основном состоянии, составляет Яу, или 13.6 эВ,
что подтверждает правомерность использования нерелятивист-
ского подхода к описанию атома водорода.
Если же рассмотреть водородоподобный ион урана, то есть
девяностооднократно заряженный ион урана U91+, то наиболее
вероятным радиальным удалением электрона от ядра будет рас-
стояние ri = ai/92 = 575 Фм, что всего в 98 раз больше ради-
уса ядра урана, который можно вычислить по формуле (2.172)
подраздела 2.9.5. В то же время средняя кинетическая энергия
электрона в водородоподобном ионе урана, находящемся в ос-
новном состоянии, в соответствии с формулой (4.258) будет со-
ставлять (92)2 Ry ~ 115.1 кэВ, что равно около 20% энергии
покоя электрона и указывает на то, что нерелятивистское при-
ближение в последнем случае может рассматриваться лишь как
нулевое приближение, нуждающееся в поправках.
Квадрат момента импульса и его проекции на любое направ-
ление в пространстве в основном состоянии водородоподобного
иона равны нулю. В классической физике нулевым моментом
импульса может обладать либо покоящаяся частица (но средняя
кинетическая энергия электрона в атоме водорода 13.6 эВ), либо
движущаяся строго по радиусу частица. В то же время радиаль-
ная плотность вероятности регистрации электрона в основном *
156 Последний результат является следствием более общей теоремы вириа-
ла, гласящей, что в любой системе покоящихся ядер средняя кинетическая
энергия нерелятивистской электронной системы равна половине абсолютно-
го значения средней потенциальной энергии электронной системы.
756
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
состоянии сферически симметрична и имеет максимум при во-
ровском радиусе 0.53 А.
Между тем, широко распространено заблуждение (возник-
шее еще до возникновения квантовой механики и закрепившееся
благодаря преподаванию в течение длительного времени непо-
следовательного подхода Бора к описанию атома водорода), что
будто бы электрон в атоме водорода, находящемся в основном
состоянии, вращается по окружности157, радиус которой 0.53 А.
Но электрон нельзя рассматривать как классическую части-
цу и философски умозаключать, что "как-то электрон в атоме
движется" , что неосознанно делает большинство учащихся.
Более того, квантовая механика говорит о том, что элек-
трон в водородоподобном ионе не находится в состоянии ни
с определенными координатами, ни с определенными проекци-
ями импульса, и, как недетерминированный объект, вообще не
"имеет" ни координат, ни импульсов как функций времени,
а, значит, не "имеет" и траектории.
Ведь если бы в момент времени t электрон имел бы коор-
динаты х, у, z, то с вероятностью единица был бы обнаружен
в соответствующей точке. Координаты электрон обретает
лишь при взаимодействии с детектором, после чего координа-
ты детектора объявляются координатами электрона, не более
того.
В квантовой механике вопрос о том, как движутся неде-
терминированные объекты, с повестки дня снят.
Чтобы ставить такой вопрос, нужно уметь непрерывно
"следить" за электроном. А этого никто не умеет делать.
Значит, и задавать подобный вопрос бессмысленно. По крайней
мере, при современном уровне знаний.
На все разумно поставленные вопросы квантовая механика
дает прекрасно согласующиеся с экспериментом ответы.
157 Однако в классической физике вращающаяся частица имеет максималь-
ный при данной кинетической энергии момент импульса, тогда как момент
импульса электрона относительно протона в атоме водорода в основном со-
стоянии равен нулю.
Если попытаться создать модель поведения ’’классической” частицы, дви-
жущейся по траектории и обладающей такими же характеристиками дви-
жения, как электрон в атоме водорода в основном состоянии, то картина
должна быть следующей: частица может двигаться только вдоль лучей, ис-
ходящих из центра протона, причем на удалении 0.53 А от протона должна
проводить максимальную долю времени, затем возвращаться в центр про-
тона, останавливаться, после чего начинать движение вдоль другого луча,
и, постоянно меняя таким образом лучи движения, в среднем ’’изотропно”
побывать во всех окрестностях протона.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
757
4.6.2 Экранированный потенциал ядра
Покажем пример использования информации о волновой функ-
ции основного состояния атома водорода.
В целом атом водорода состоит из двух заряженных частиц,
положение которых в пространстве заведомо не совпадает. Такая
система из двух зарядов должна создавать некоторое распреде-
ление электростатического потенциала в окружающем простран-
стве. Для определения этого потенциала прибегают по-существу
к эргодической гипотезе, считая, что электрон проводит в объ-
еме dV долю времени, пропорциональную плотности вероятно-
сти обнаружения электрона. Иными словами, вводят усредненное
распределение q заряда в пространстве с помощью соотношения
q = - е|Ф|2.	(4.275)
Такое определение плотности заряда автоматически обеспечива-
ет необходимое равенство f gdV = —е.
Тогда для основного состояния атома водорода, подставляя
в (4.275) волновую функцию V'ioo, получим
о	е _ 2г
£»(r) = -elV'iooI2 =-36 °i •	(4.276)
тга^
Чтобы найти потенциал С7(г), создаваемый в пространстве
электронной плотностью заряда р(г), воспользуемся теоремой
Гаусса, в соответствии с которой поток вектора напряженности
электрического поля через замкнутую поверхность равен заря-
ду, заключенному внутри поверхности, деленному на ео- Отсюда
с учетом сферической симметрии имеем:
г
/е
----о е ai 4тгг2 dr. (4.277)
7reoaf
о
Отметим, что использование теоремы Гаусса автоматически обес-
печило выполнение условия Е*г(0) = 0.
Интеграл в правой части элементарный, он без труда вычис-
ляется интегрированием по частям. Учтя, что напряженность
поля есть градиент потенциала, взятый с обратным знаком, то
есть что Er = —dU/dr, и взяв интеграл в правой части (4.277),
получим:
(_ 2г	\
1 — е ai 2 _	2 _ \
---5--------е ai	а1 •
г2	ауг а2 I
758 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Теперь осталось только взять интеграл от правой части послед-
него равенства, и выбрать потенциал, который стремится к нулю
в бесконечности. Дело снова сводится к взятию интеграла, при-
чем нетрудно разглядеть, что первые два слагаемых в круглых
скобках последнего выражения являются полной производной
2г
функции (е ai — 1)/г, а интеграл от третьего слагаемого эле-
ментарный, так что в результате для среднего потенциала элек-
тронной оболочки получаем:
_ 2г
U(r) =	а1	~	+ —-— е~^ .	(4.278)
47Г£о г 47Г£о<21
Нетрудно видеть, что получился конечный в нуле158 потенциал,
стремящийся к нулю в бесконечности. Поскольку атом состоит
из протона и электрона, то суммарный электростатический по-
тенциал, создаваемый атомом, будет суммой кулоновского по-
тенциала протона и среднего потенциала электронной оболочки:
ч е е (е ai — 1) е	_h
Chatom (r) = “j h "j *	h ~л e ai ?
47Г£ог 47Г£о Г 47TSo^1
ИЛИ
е 1 _ 2г	g — 2г
^atom(r) = -------е “1 + ------е “1 .	(4.279)
4тгбо г 47Г£о^1
Как видно, при г —> 0 потенциал (4.279) эквивалентен кулонов-
скому потенциалу ядра, который на больших расстояниях экра-
нируется электронной оболочкой. Этот результат является кван-
товым аналогом классической экранировки кулоновского заряда
в проводящих средах.
4.6.3 Вероятности переходов и правила отбора
Спектры испускания и поглощения пламён и газовых разрядов
дают экспериментальную информацию как о длинах волн спек-
тральных линий, так и об их интенсивностях. Длины волн спек-
тральных линий определяются уровнями энергии квазистацио-
нарных состояний атомов, которые нерелятивистская квантовая
механика позволяет вычислить по крайней мере в принципе159.
158С7(о) = -e/(47rsoai).
159 Уже для двухэлектронного атома гелия уравнение Шрёдингера не имеет
аналитических решений, так что для многоэлектронных атомов приходится
прибегать к приближенным методам определения энергий квазистационар-
ных состояний.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА 759
Интенсивности же линий160 определяются двумя фактора-
ми — заселенностью уровней и вероятностями переходов между
уровнями, то есть коэффициентами Эйнштейна для спонтанных
и вынужденных переходов. Далее рассмотрим лишь второй фак-
тор.
Как уже отмечалось выше, нерелятивистская квантовая ме-
ханика не дает возможности последовательного вычисления ко-
эффициента Эйнштейна А для спонтанной релаксации. Строгий
вывод коэффициентов Эйнштейна дает лишь квантовая элек-
тродинамика, которая приводит к следующему результату для
любых двух квазистационарных состояний свободного атома
с Z электронами:
gi^olDnl2
52 Зтео^с3
где о статистических весах состояний д\ и д% будет сказано далее,
а так называемый матричный элемент электрического диполь-
ного момента атома определяется выражением
f ( z	\
D12 = / I -е Tk I Ф2 dri dr2 • • • drz ,	(4.281)
\	к=1 /
-01 и тДг — собственные функции гамильтониана свободного ато-
ма, отвечающие состояниям 1 и 2 и зависящие от координат
Z электронов, i> ~ радиус-вектор fc-oro электрона атома.
Хотя нерелятивистская квантовая механика не позволяет вы-
числить коэффициент Эйнштейна для спонтанной релаксации
"из первых принципов", она позволяет по крайней мере понять,
от каких величин и как зависит коэффициент Л2_>1.
Нерелятивистская квантовая механика позволяет вычислить
(пусть и не совсем строго) коэффициенты Эйнштейна для вы-
нужденного поглощения и испускания, после чего, использовав
соотношение (4.26), можно получить и коэффициент Эйнштейна
для спонтанной релаксации. Ниже подобное вычисление и про-
водится, причем его следует трактовать скорее как мнемониче-
ское правило для запоминания результата (4.280)—(4.281), спо-
собствующее лучшему его пониманию.
Идея расчета коэффициента Эйнштейна для вынужденного погло-
щения В1->2 атома (не обязательно атома водорода) состоит в следую-
щем. Пусть атом находится в одном из квазистационарных состояний
160В пренебрежении нелинейными эффектами, возникающими лишь при
облучении атомов мощным лазерным излучением.
760
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
с энергией 8\. Пусть £2 — также одно из разрешенных значений энер-
гии, отвечающее более возбужденному состоянию, так что 82 > 8\.
Пусть
/ г8х1\	/ 1821\
Ф1 = -01 ехр----— , Ф2 = % ехр--------—
\ п )	\ * /
— волновые функции атома, находящегося в состоянии с определенной
энергией 8± и 82 соответственно, так что эти функции удовлетворяют
временнбму уравнению Шрёдингера для атома
9Ф _ -
= -^atom
Ф,
где Hatom — гамильтониан свободного атома. Функции -01 и -02 — соб-
ственные функции гамильтониана, так что они, в свою очередь, удо-
влетворяют уравнениям
-HatomV’l — ^1*01? -HatomV*2 — £1^2 •
Совокупность всех собственных функций гамильтониана составля-
ет полную ортонормированную систему (что было продемонстрирова-
но выше на примере атома водорода), по которой волновая функция
произвольного состояния атома может быть разложена в сходящийся
ряд. В соответствии с основным положением 4 волновой механики ве-
роятность обнаружить у атома в произвольном состоянии Ф энергию
82 есть величина
w2(t) = 1(^2, Ф)|2.	(4.282)
Пусть ojo — частота, удовлетворяющая условию частот Бора
fw0 = £2 — £1 • По крайней мере по трем разным причинам161 атом
может испускать и поглощать не строго монохроматическое излучение
частоты а излучение из некоторого интервала [о>о —
где Acj « ш0.
В типичном случае речь идет о соотношении Alj/ljo ~ 10“7.
Пусть, начиная с момента времени t = 0, атом начинает облучаться
электромагнитным излучением, частота которого лежит в интервале
[о>о — йг 5 tuo +	], так что поглощение фотона из узкого спектрального
интервала вокруг шо практически может привести лишь к возбужде-
нию атома из состояния 1 в состояние 2.
В поле электромагнитной волны гамильтониан атома изменится,
так как электроны и ядро атома приобретут дополнительную потенци-
альную энергию, зависящую от времени. В результате гамильтониан
161 Эксперименты по наблюдению спектров испускания и поглощения ато-
мов проводятся с газом или плазмой, и эффект Доплера ведет к тому, что
атомы взаимодействуют с фотонами не только частоты но с фотонами
в некотором прилегающем к шо интервале. Существует и еще две причины,
из-за которой атомы испускают и поглощают не строго монохроматическое
излучение: столкновительное уширение линий и конечность времени жизни
возбужденного состояния, о чем далее будет сказано подробнее.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА 761
атома примет вид Н = 7Jatom + Нт • Тогда задача определения ко-
эффициента Эйнштейна сведется к решению временнбго уравнения
Шрёдингера
ЭФ -
ih— = (Яа1от + Ят)Ф,	(4.283)
ot
причем начальной волновой функцией должна быть выбрана волно-
вая функция -01, а соотношение (4.282) позволит найти вероятность
поглощения фотона атомом к моменту времени t, так как оказаться
в состоянии с энергией 82 в описываемой ситуации атом может, только
поглотив фотон.
Реализуем сформулированную программу, начав с определения га-
мильтониана Я1, описывающего потенциальную энергию атома в поле
электромагнитной волны. При определении вида гамильтониана на-
до исходить из соответствующих классических выражений, которые
затем автоматически преобразуются в операторное выражение.
Так как амплитуды электромагнитной волны Eq и Bq связаны
между собой соотношением Bq = Eq/с, то магнитная компонента силы
Лоренца, действующая на "классическую” заряженную частицу в по-
ле электромагнитной волны, в v/с раз меньше электрической компо-
ненты силы Лоренца. Поэтому в нерелятивистском случае162 в первом
приближении учтем только основной эффект воздействия электромаг-
нитной волны на классическую нейтральную систему, состоящую из
положительного заряда Ze (ядра атома) и Z электронов, заключаю-
щийся в появлении потенциальной энергии у каждой из частиц, равной
произведению заряда частицы на электрический потенциал в месте на-
хождения частицы:
z
natom = Zel7(RnUcl) е	(4.284)
k=l
где U(x,y,z,t) — электрический потенциал поля электромагнитной
волны, Rnud - радиус-вектор ядра, R& - радиус-вектор fc-oro из Z элек-
тронов системы. Раскладывая потенциал C7(Rfc) в ряд Тейлора вблизи
ядра163, учитывая электронейтральность атома и ограничиваясь лишь
линейными членами, последнюю формулу преобразуем к виду
z
natom — — с ^^(Rfc — Rnuci)(VJ7)|R=Rnuc| = —ED,	(4.285)
к=т
162 Вспомним, что в атоме водорода средняя кинетическая энергия элек-
трона всего 13.6 эВ.
163
U(Rk) = t/(Rnuci) + (хк - XnucOU + " Упис1)|г + (Zfc " Znucl)f^’
где все частные производные должны вычисляться в точке RnUci •
762
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
где была учтена электронейтральность системы, Е — напряженность
поля электромагнитной волны на ядре, D — дипольный момент систе-
мы, то есть вектор, определяемый выражением
z
D = -e^rfc)	(4.286)
fc=l
где г/с — положение fc-ro электрона относительно ядра. Более общее
определение дипольного момента произвольной системы из точечных
зарядов дается формулой D = qi&i, где суммирование ведется по
всем частицам системы, qi и Нг — заряд и радиус-вектор г-ой части-
цы. Нетрудно видеть, что для электронейтральной системы величи-
на дипольного момента не зависит от выбора начала отсчета системы
координат. Совмещение начала отсчета с ядром приводит к формуле
(4.286) для дипольного момента электронейтрального атома.
Поскольку плотность вероятности локализации электронов отлич-
на от нуля при удалениях от ядра порядка боровского радиуса ai,
а длины волн ультрафиолетового излучения (и тем более видимого
и инфракрасного) много больше этой величины, то отброшенные чле-
ны второго порядка в тейлоровском разложении (4.285) будут, вообще
говоря, в ai/A раз меньше учтенных линейных членов (А — длина
волны излучения), что много меньше единицы. Можно еще и так про-
комментировать полученный результат: формула для потенциальной
энергии классического диполя D в электрическом поле (4.286) стро-
го верна для случая однородного электрического поля. Для электро-
нов в любом атоме электрическое поле ультрафиолетового излучения
практически однородно, так как размеры атомов много меньше длин
волн ультрафиолетовых лучей.
Теперь с учетом зависимости напряженности электрического поля
волны от времени получаем главную часть гамильтониана Hi взаимо-
действия атома с электромагнитной волной частоты со в виде
Hi = — DEo cos cot ,	(4.287)
где оператор дипольного момента атома определяется выражением
z
D = (-e^rfc)f.	(4.288)
к=1
Наступила очередь решать временное уравнение Шрёдингера
(4.283) для атома, находящегося в поле электромагнитной волны, ча-
стота которой лежит вблизи частоты cuq, удовлетворяющей условию
частот Бора S2 — £1 = ^о- В последнем случае ясно, что волновую
функцию атома можно принять равной линейной комбинации только
состояний Ф1 и Ф2 (что означает, что в поле волны атом может быть
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
763
обнаружен либо в состоянии с энергией 81, либо в состоянии с энерги-
ей 82). Следовательно, временная эволюция первоначальной волновой
функции будет определяться выражением
Ф = С1(£)Ф1 + с2(*)Ф2 ,	(4.289)
где две функции времени ci(t) и c2(t), во-первых, должны обратить
функцию Ф в решение временнбго уравнения Шрёдингера (4.283), и, во-
вторых, удовлетворять нормировочному условию Ci (£)+с2(£) = 1, а при
t = 0 удовлетворять начальному условию ci(0) = 1, с2(0) = 0.
Подставив функцию (4.289) в уравнение (4.283), с учетом свойств
функций Фх и Ф2 получим уравнение
(dci	dco \
Ф1-7Г + Фг-тг = С1Я1Ф1 + С2Я1Ф2 •
at	at )
Домножив последнее уравнение сначала на Ф* с последующим ин-
тегрированием по всему конфигурационному пространству, а затем
домножив уравнение на Ф2 также с последующим интегрированием,
с учетом свойства ортонормированности функций Фх и Ф2 получим
систему двух дифференциальных уравнений первого порядка относи-
тельно функций Ci(t) и c2(t):
ih<lt =C1 / dV + c2e~iuot У ^1H^2 dV,
= С1е^ / dV + czf dV,
где был учтен явный вид зависимости функций Ф1 и Ф2 от времени.
Общие собственные функции гамильтониана свободного атома
и квадрата импульса всегда имеют определенную четность (то есть ли-
бо четные, либо нечетные функции координат), поскольку гамильтони-
ан любого свободного атома всегда инвариантен относительно опера-
ции инверсии. В то же время в соответствии с соотношениями (4.287)—
(4.288) гамильтониан взаимодействия атома с электромагнитной вол-
ной в электродипольном приближении Hi — нечетный по координатам
каждого из электронов. Тогда интегралы f 'фтНт'фг dV и f 'ф^Н^ dV
обращаются в нуль, так как при подстановке в интеграл явного вы-
ражения для Hi интегралы превращаются в суммы из Z интегралов,
каждый из которых с точностью до множителя будет равен интегра-
лам от заведомо нечетных функций f Гк'Фг'Фг dV или J r^2^2 dV.
Примем теперь, что линейно поляризованная волна распространя-
ется вдоль оси г, а вектор напряженности электрического поля волны
колеблется вдоль оси х, так что оператор D имеет ненулевой только
компоненту Dx = (—е Хк)1.
764
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Тогда система дифференциальных уравнений для Ci и С2 преобра-
зуется к виду
= [712 cos(a>[)e-WJotC2 ,	(4.290)
at
= и-2 COs(cut)e^otc1,	(4.291)
at
где
u12 = -^f ^b^2dv.
(4.292)
Система уравнений (4.290)—(4.291) оказалась так устроенной, что
нормировочное условие |ci|2 + |с2|2 = 1 удовлетворяется автоматиче-
ски164. С математической точки зрения это система двух линейных
дифференциальных уравнений первого порядка. В структуру системы
входят параметры — комплексное число С712 и частоты сио и а). Из-за
того, что коэффициенты системы зависят от независимой переменной,
точные аналитические решения получить невозможно.
Однако для вычисления коэффициента вынужденного поглоще-
ния точный вид решения знать и не обязательно. Как вскоре станет
ясно, достаточно получить лишь линейный член разложения в ряд по
параметру С712 решения Сг(^, С712,о?о,си), что сделать нетрудно. Дей-
ствительно, применив метод последовательных приближений, можно
положить в правой части системы (4.290)—(4.291)
ci = 1, с2 = 0
и проинтегрировать правую часть по времени. Тогда получится первое
приближение
ci(t, С712,cuq,cu) « 1,
(4.293)
сг(^ £Л.2,сио,си) ~
ГТ*
и12
2
_ ei(uo+u)t | _ gi(uo-w)t“
---------------------1---------------------
CUq + CU	сио — си
(4.294)
Подставив теперь первое приближение (4.293)—(4.294) в систе-
му (4.290)—(4.291), можно получить второе приближение, в котором
С2 останется без изменения (что означает, что разложение С2 в ряд по
С712 не содержит квадратичного члена, так как в разложении ci по С712
отсутствует линейный член), а в выражении для ci появится квад-
ратичный по С712 член. Далее итерации можно продолжать, получив
точное решение системы (4.290)—(4.291) в виде двух сходящихся рядов
по параметру С712. Однако для вычисления коэффициента Эйнштейна
В1_>2 достаточно знать лишь линейный по U12 член разложения с2,
который оказался точно вычисленным в результате уже первой итера-
ции.
164Докажите это.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
765
Далее, учтя, что luq — си ~ 10—7cuq, можно пренебречь первым сла-
гаемым по сравнению со вторым в правой части (4.294), окончательно
получив, что

t^i2,cuo,cv) «
CU0 — CU
(4.295)
Последнее выражение дает вклад в возбуждение уровня 82 за счет
фотонов, частота которых строго соответствует си. Однако на самом
деле частоты фотонов распределены в конечном интервале шириной
Аси, которые все дают вклад в возбуждение. При этом учет вклада от
фотонов немного разных энергий в возбуждение уровня 2 должен про-
изводиться как некогерентный эффект, что ведет к сложению вероят-
ностей, а не их амплитуд. Поэтому предварительно вычислим квадрат
модуля С2, определенного последним выражением:
2 _ ^о1(Дх)12|2 sin2[(qj0 -	/2]
121 ~ Й2 (wo-w)2
(4.296)
где (£>х)12 = J V’l-0x^2 dV.
С одной стороны, плотность энергии строго монохроматическо-
го электромагнитного излучения в вакууме определяется амплитудой
волны Ео и равняется величине ^eqEq. С другой стороны, рассматри-
вается почти монохроматическое излучение (Acu/cu ~ 10“7), которое
все же должно быть представлено как интеграл от спектральной ком-
поненты плотности энергии ^(си). Обе величины должны быть равны:
(4.297)
Сравнение последнего равенства с выражением (4.296) позволяет
по-существу догадаться, как учесть полный вклад всех частот из ин-
тервала вблизи cuq в возбуждение уровня 2:
|с2|2 «
, • I
^0 । 2
2|(Дх)12|2	[ ,
eqK2 J
sin2[(cu — cuo)t/2]
(cu - cu0)2
c!cu.
Подынтегральное выражение представляет собой произведе-
ние спектральной компоненты плотности энергии электромагнитного
излучения и функции
ч sin2[(w-w0)V2]
график которой в некоторый фиксированный момент времени t > О
представлен на рис. 4.43.
766
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
При и = cuq функция f име-
ет абсолютный максимум, рав-
ный £2/4, а в точках tv = сио±2тг/£
— первые нулевые минимумы.
Очевидно, что существенный
вклад в интеграл в любой конеч-
ный момент времени дает узкая
область частот вблизи cuo. Меж-
ду тем, с течением времени пики
на кривой f(w — о>о) становятся
уже и выше, так что из-под ин-
теграла становится возможным
вынесение спектральной компоненты плотности энергии165 в точке cuq,
после чего получаем:
, , । Аш
Сх»о + —2“
2	2|(Г>Х)12|2	, . Г sin2[(w - w0)t/2]
=	““(“о) J -
Аш
wo- —
Произведя замену переменных в интеграле
(си - CUo) t _
получим, что
+(Aw)t/4
। |2 _ ЖДг)12|	, х f Sin2!
|С21 e0h2	J х2 dx'
— (Acu)t/4
При (Acu) t » 1 пределы интегрирования в последнем интеграле
можно заменить на бесконечные166. В таком случае интеграл стано-
вится табличным (его значение тг), так что окончательно для вероят-
ности вынужденного поглощения фотона свободным атомом за время
t получаем
w(t) = |с2|2 = ^7ГК-Рж)121 иш(ыо).	(4.298)
Формула (4.298), справедливая до тех пор, пока w(t) « 1, дает
возможность найти коэффициент Эйнштейна для вынужденного по-
глощения который определяется для газа выражением (4.22).
165 Строгое обоснование последнего содержится в приложении 2, где был
вычислен аналогичный интеграл.
166Так как Acu ~ 109 Гц, то речь идет о неравенстве t » 10"9 с. В кванто-
вой электродинамике снимается и это ограничение и показывается, что фор-
мулы с участием коэффициентов Эйнштейна справедливы, начиная с начала
облучения, то есть с момента t = 0.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
767
Однако предварительно вернемся к эйнштейновскому выводу за-
кона излучения Планка (см. подразд. 4.1.3) и учтем, что уровни энер-
гии 51 и 5г могут быть вырождены, что означает, что энергии £± мо-
жет соответствовать независимых состояний атома или молекулы,
а энергии Е2 ~ 92 независимых состояний. В таком случае распределе-
ние Больцмана обобщается введением статистических весов состояний,
так что количество молекул М при термодинамическом равновесии
с энергией Е± будет пропорционально ехр[—5i/(fcT)], а количество
молекул 7V2 с энергией 82 будет пропорционально д2 ехр[—Е2/(кТ)], так
что формула (4.18) примет вид
м
TV2
91
— ехр
92
(4.299)
Повторив вывод Эйнштейна еще раз (что рекомендуется проделать
учащимся самостоятельно), нетрудно получить, что уравнение (4.25)
заменится более общим уравнением
9iBi^2 = g2B2^i,
(4.300)
а связь между коэффициентами Дг-и и B2_>i сохранит первоначаль-
ный вид (4.26).
Теперь произведем переход от одного атома к газу и учтем, что
вероятность вынужденного поглощения необходимо усреднить по слу-
чайным ориентациям атомов по отношению к направлению распро-
странения электромагнитного излучения.
Действительно, волновые функции атомов определяются в систе-
ме отсчета, связанной с центром масс атома. Система центра масс,
вообще говоря, может быть повернута на произвольный угол по отно-
шению к лабораторной системе координат, в которой электромагнит-
ное излучение было принято распространяющимся вдоль оси z, В та-
ком случае величину | (-0^)1212 следует усреднить по всем возможным
ориентациям вектора D12 = / ^ D^dV. Поскольку при изотропном
распределении все проекции вектора равновероятны, то квадрат лю-
бой проекции будет равен одной трети квадрата длины вектора, то
есть усредненная по случайным ориентациям атомов газа вероятность
поглощения фотона принимает вид
w(i) = |с2|2 =	Ц»,
(4.301)
где матричный элемент D12 электрического дипольного момента ато-
ма есть
D12 = / ^Ь^2 dV.
(4.302)
Если электромагнитное излучение действует, начиная с момента
t = 0, на газ, насчитывающий N атомов, находящихся в состоянии 1,
768
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
то через время t в состоянии 2 окажется 7V2 ~ |с2|2АГ атомов, а в со-
стоянии 1 останется Ni « |ci|27V = N атомов, поскольку в линейном
приближении ci « 1.
С другой стороны, из (4.22) следует, что из-за малости С2 вместо
dt можно взять t и получить, что за это время из состояния 1 в состо-
яние 2 перейдет
uuMNB^2t = ]^N.
Сокращая N и учитывая (4.301), получаем окончательное выражение
для коэффициента Эйнштейна для вынужденного поглощения:
В^2 =	•	(4.303)
Далее, учитывая соотношение (4.300), позволяющее вычислить ко-
эффициент В2->i, с учетом (4.26) и получим для коэффициента Дг->1
окончательные выражения (4.280)—(4.281).
Соотношения (4.280)—(4.281) показывают, что основным фак-
тором, влияющим на скорость спонтанной релаксации, являет-
ся матричный элемент электрического дипольного момента ато-
ма. Если последняя величина равна нулю, то переход называ-
ют оптически запрещенным (в приближении электродипольного
взаимодействия). Последнее не означает, что релаксация с уров-
ня 2 на уровень 1 совсем невозможна. Просто вероятность та-
кой релаксации значительно ниже вероятности электродиполь-
ной релаксации и определяется взаимодействием не электриче-
ского дипольного момента атома с электрическим полем волны,
а другими факторами, например, взаимодействием магнитного
дипольного момента атома с магнитным полем волны, или элек-
трического квадрупольного момента атома с электрическим по-
лем волны. Однако вероятность спонтанной релаксации за счет
последних факторов примерно на пять порядков меньше, чем
вероятность электродипольной релаксации.
Правила отбора для атома водорода
Сформулированное ранее правило частот Бора ничего не гово-
рит о том, между какими двумя квазистационарными состояни-
ями атома возможны переходы. Правило частот Бора позволя-
ет лишь вычислить энергию испускаемого фотона, если переход
между двумя состояниями разрешен. Между тем, за многие го-
ды развития спектроскопии было обнаружено, что далеко не все
возможные переходы в атомах реализуются. Никаких намеков
на объяснение невозможности или возможности осуществления
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА
769
переходов между состояниями не было. И вот нерелятивистская
квантовая механика с помощью формул (4.280)—(4.281) позволи-
ла дать объяснение многим наблюдавшимся "правилам запрета".
Величины коэффициентов спонтанной релаксации можно вы-
числить в аналитическом виде для атома водорода, поскольку
волновые функции квазистационарных состояний послед-
него 'фп1т известны. Из формулы (4.280) сразу же следует, что
как спонтанные, так и вынужденные переходы между состоя-
ниями с одинаковой четностью оптически запрещены. Так как
четность состояния атома водорода определяется орбитальным
квантовым числом Z, то последнее означает, что оптически за-
прещены электродипольные переходы с AZ = 0, ±2 и так далее.
Например, запрещены переходы из s-состояния в s-состояние.
Поэтому состояние 2s атома водорода метастабильное.
Рис. 4.44. Возможные спонтанные переходы в атоме водорода и соот-
ветствующие коэффициенты Эйнштейна для спонтанной релаксации
с учетом вырождения уровней по магнитному квантовому числу
Итоги вычисления матричных элементов электрического ди-
770
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
польного момента атома водорода с учетом вырождения уров-
ней по магнитному квантовому числу приведены на рис. 4.44,
где рядом со стрелками, указывающими возможные электроди-
польные переходы, указана величина коэффициента Эйнштейна
А спонтанной релаксации из одного состояния в другое в едини-
цах 106 с-1. При этом расстояния между уровнями по вертикали
не соблюдены, иначе не хватило бы места для численных значе-
ний коэффициента Эйнштейна для скорости спонтанной релак-
сации. Из рисунка видно, что из s-состояний в атоме водорода
возможны электродипольные переходы лишь в p-состояния, из
p-состояний возможны переходы либо в s-, либо в d-состояния,
и так далее.
В частности, ультрафиолетовой серии испускания Лаймана,
являющейся главной серией атома водорода, соответствуют пе-
реходы пр —> 1s (что в спектре поглощения соответствует вы-
нужденным переходам 1s пр), а серии Бальмера отвечают пе-
реходы двух типов: ns 2р и nd 2р. Переходы из s-состояний
в d-состояния (и обратно) не наблюдаются, хоть им и соответ-
ствует нечетное значение AZ = 3.
Разберем теперь, какие же спонтанные переходы между со-
стояниями оптически разрешены, а какие нет. Начнем с правила
отбора по магнитному квантовому числу.
Из формул (4.280)—(4.281) следует, что вероятность спонтан-
ной релаксации в электродипольном приближении равна нулю,
если все три матричных элемента для оператора декартовых ко-
ординат обращаются в нуль. На практике это означает отсут-
ствие в спектре испускания соответствующей спектральной ли-
нии.
Итак, все зависит от величин матричных элементов
®21 = j , У21 = j	Z21 = У ip^zipidV.
Пусть верхнее состояние 2 водородоподобного иона характе-
ризуется квантовыми числами п^гп!, а нижнее состояние 1 —
числами nlm, так что соответствующие волновые функции, опре-
деляемые выражением (4.270), имеют вид
Фп1т(г, d, у?) = RnitrjYimtd, .
Тогда расчет матричных элементов для декартовых коорди-
нат приводит к вычислению интегралов, которые в сферической
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА 771
системе координат распадаются на произведение трех интегра-
лов по г, $ и От магнитных квантовых чисел состояний будут
зависеть лишь интегралы по <р. С учетом выражений (4.198)—
(4.200) для декартовых координат, а также зависимости сфери-
ческих гармоник (4.233) от угла <р матричные элементы должны
быть пропорциональны интегралам:
2тг
Х21~ У [е*(-т'+т+1^ + ei(-m'+m-l)sp] ,	(4.304)
О
2тг
У21 ~ У	d<p,	(4.305)
О
2тг
г21 ~ У e^-m'+m^dip.	(4.306)
о
Элементарное вычисление интегралов по <р показывают, что мат-
ричные элементы Х21 и У21 будут отличны от нуля, только если
Дт = тл! — m = ±1, а матричный элемент ^21 будет отличен от
нуля, только если mf = тп, то есть Am = 0.
Во всех остальных случаях все три матричных элемента об-
ращаются в нуль, что означает оптический запрет на соответ-
ствующие переходы. Таким образом, квантовая механика дает
обоснование правилу отбора по магнитному квантовому чис-
лу: спонтанная релаксация между состояниями, а также вынуж-
денное испускание и поглощение разрешены в электродиполь-
ном приближении только для переходов, отвечающих изменению
магнитного квантового числа на единицу или нуль:
Ат = 0, ±1.	(4.307)
Расчет интегралов по 1?, зависящих от орбитального кван-
тового числа, дает правило отбора по орбитальному квантово-
му числу: спонтанная релаксация между состояниями, а также
вынужденное испускание и поглощение разрешены в электроди-
польном приближении только для переходов, отвечающих изме-
нению орбитального квантового числа на единицу:
AZ = ±1.
(4.308)
772
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Наконец, вычисление радиальных интегралов, зависящих от
главного квантового числа п, показывает, что возможны перехо-
ды с любым изменением главного квантового числа.
Таким образом, атом водорода, находящийся в основном со-
стоянии, при возбуждении на уровень п = 2 может путем погло-
щения фотона перейти лишь в состояние 2р, но никак не в со-
стояние 2s. При этом в 2р состоянии магнитное квантовое число
может оказаться любым: т = —1,0,+1. Соответственно, и из
2р состояния с любым магнитным квантовым числом возможна
спонтанная релаксация в ls-состояние, причем скорость релакса-
ции не зависит от величины т, что означает, что статистический
вес состояния 2р равен трем.
Однако водородоподобный ион может оказаться и в метаста-
бильном 25-состоянии, причем разными способами. Во-первых,
при ударах 1-го рода, которые не регулируются правилами отбо-
ра для электродипольного взаимодействия с электромагнитны-
ми волнами. Так, соударение с электроном, кинетическая энер-
гия которого несколько превышает расстояние между уровнями
2 и 1, может привести к возбуждению водородоподобного иона
в состояние 2s. Во-вторых, водородоподобный ион, находящий-
ся в основном состоянии, путем поглощения фотона может быть
предварительно возбужден в состояние Зр, из которого возможна
спонтанная релаксация в метастабильное состояние 2s.
В земных условиях атомы релаксируют из метастабильного
состояния 2s в основное состояние 1s с помощью ударов 2-го ро-
да, то есть путем передачи энергии возбуждения в кинетиче-
скую энергию при столкновениях с невозбужденными атомами
или электронами. В космических условиях атомы могут быть из-
бавлены от соударений с другими частицами, поэтому ’’прожи-
вают” в метастабильных состояниях все положенное им время
и релаксируют путем испускания фотонов за счет магнитоди-
польного или квадрупольного взаимодействий. Таким образом,
космические источники в ряде случаев дают возможность на-
блюдения ’’запрещенных” в реальных земных условиях линий
спектров испускания элементов.
В заключение раздела отметим, что правила отбора не уни-
версальны и зависят от квантовомеханической системы. Так, во-
дородоподобный ион характеризуется тремя квантовыми числа-
ми nZm, а линейный гармонический осциллятор — только одним
квантовым числом п, определяющим уровнень энергии.
Если в водородоподобном ионе есть ограничения (правила от-
бора) по магнитному и орбитальному квантовому числам, а по
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА 773
главному квантовому числу правила отбора нет, то соответству-
ющий расчет для линейного гармонического осциллятора пока-
зывает, что для него в электродипольном приближении разре-
шены лишь переходы с изменением квантового числа на едини-
цу. Другими словами, осциллятор может осуществлять переходы
лишь между соседними уровнями, испуская или поглощая при
этом фотоны одной и той же энергии.
В случае наличия нескольких возможных способов релак-
сации из данного состояния все соответствующие коэффициен-
ты Эйнштейна нужно сложить, получив полную скорость спон-
танной релаксации данного состояния Ai. Последняя величина
определяет среднее время, которое атом проводит в данном воз-
бужденном состоянии. Если Nf свободных атомов в момент вре-
мени t = 0 находятся в возбужденном состоянии с энергией то
в отсутствие внешнего облучения их убыль будет определяться
уравнением
dNi = -AiNdt,	(4.309)
которое имеет решение
Ni(t) = ехр (—Ajt).	(4.310)
Следовательно, за время тг = 1/Ai количество возбужденных
атомов уменьшится в е раз. Величина тг называется излучатель-
ным временем жизни возбужденного состояния.
Интенсивность излучения спонтанно релаксирующего коллек-
тива атомов также убывает во времени как ехр(—Ait). Реги-
страция флуоресцентного излучения в таких случаях дает воз-
можность экспериментально измерять коэффициенты Эйнштей-
на для спонтанной релаксации. Многочисленные методики, опи-
сание которых выходит за рамки настоящего издания, полностью
подтверждают выводы квантовой механики.
О ширине спектральных линий
Еще одна важная экспериментальная характеристика линий спек-
тров испускания и поглощения — их ширина и форма. Ниже
кратко рассматривается лишь вопрос о ширине спектральных
линий, то есть о том интервале Леи, примыкающем к частоте cjq
(удовлетворяющей правилу частот Бора) который реально по-
глощается и излучается на данном переходе.
Основной вклад в спектры испускания дает эффект Доплера,
рассмотренный ранее в подразд. 3.4.3, в котором было показано,
774
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
что движущийся со скоростью v атом испускает фотоны отлич-
ной от сио частоты си, что является следствием выполнения зако-
нов сохранения энергии и импульса при акте испускания фотона.
Соотношение (3.246)
v
Нш = /lCUo(l + - COS tf )
с
может быть переписано в виде
= - cos tf.	(4.311)
cuo с
Средняя скорость молекул газа определяется выражением
v = у/8кТ/тгт [см. формулу (1.23)]. Подстановка средней скоро-
сти в (4.311) дает средний разброс излучаемых и поглощаемых
газом частот, возникающий за счет эффекта Доплера:
Аси / кТ
CJo V тпс2 ’
Если газ светится благодаря высокой температуре, то эффект
Доплера вносит основной вклад в ширину спектральных линий.
Например, для атомов водорода при Т = 2000 К Acu/сио ~ 10-5 .
Для тяжелых атомов эффект понижается на порядок.
Подробнее форма линий испускания и поглощения рассмат-
ривается в рамках квантовой электроники, где показывается, что
эффект Доплера дает гауссову форму линии. Поскольку допле-
ровское уширение зависит от температуры, то от него можно
избавиться, изучая, например, спектры поглощения при низких
температурах.
Однако даже предельное понижение температуры не может
уменьшить ширину линии до нуля. Оказывается, что и при пол-
ном отсутствии эффекта Доплера линии испускания и поглоще-
ния имеют некоторую ширину Аси, которая возникает за счет
так называемой естественной ширины уровня энергии, обозна-
чаемого греческой буквой Г. Возникновение естественной ши-
рины уровня — эффект квантовый, не имеющий классических
аналогов. Однако объяснение его элементарно.
Поскольку из-за спонтанной релаксации время жизни воз-
бужденного состояния атома конечно и составляет величину по-
рядка т (свою для каждого состояния), то время взаимодействия
возбужденного атома с электромагнитной волной ограничено.
4.6. КВАНТОВАНИЕ АТОМА ВОДОРОДА 775
В таком случае, рассматривая процесс взаимодействия возбуж-
денного атома с электромагнитной волной частоты можно вер-
нуться к формуле для вероятности перехода (4.296). Как непо-
средственно видно из рис. 4.43, существенный вклад в вынуж-
денные переходы атома за ограниченное время т дадут частоты
из интервала Леи, удовлетворяющие соотношению Аси ~ 2тг/т.
Домножая последнее соотношение на h и вводя естественную
ширину линии Г = h/Хш, получим выражение
г ~ |,	(4.313)
дающее связь между излучательным временем жизни и есте-
ственной шириной линии. Тщательное экспериментальное изме-
рение естественной ширины линий испускания (за что отвечает
спонтанная, а не вынужденная релаксация) показывает, что со-
отношение (4.313) справедливо и для спонтанных переходов, что
и неудивительно, так как вероятности спонтанных и вынужден-
ных переходов связаны между собой.
Поскольку типичное излучательное время жизни составляет
примерно 10“8 с, то естественная ширина квазистационарных
уровней энергии внешних электронов атома составляет величину
порядка
Г ~ ~ 10“25 Дж ~ 1(Г6 эВ .
Т
При величине Нш ~ 10 эВ и получается типичная величина
Acj/cjo ~ 10"7.
Так как основное состояние атома теоретически имеет сколь
угодно большое время жизни, то энергия атома в основном со-
стоянии не размыта, а строго дискретна.
Влияют на ширину спектральных линий и соударения ато-
мов с другими атомами, ионами, электронами, стенками сосуда.
Если давление газа столь велико, что время между соударени-
ями тс меньше излучательного времени жизни т, то в соответ-
ствии с соотношением (4.313), куда вместо т нужно подставлять
уже тс, квазистационарный уровень энергии уширяется до ве-
личины, превышающей естественную ширину уровня. При по-
нижении давления газа эффект столкновительного уширения,
наоборот, становится пренебрежимо малым.
Подробное рассмотрение вопроса о ширине и форме спек-
тральных линий проводится в рамках квантовой электроники.
776
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
4.7 Спин и магнитный момент
микрообъектов как наблюдаемые
Несмотря на убедительные успехи волновой механики, первона-
чально не все спектроскопические данные нашли объяснение в ее
рамках. Например, изучение с помощью спектроскопа высокой
разрешающей силы спектра водорода при погружении разряд-
ной трубки в жидкий воздух показало, что линии серии Лайма-
на, отвечающие переходам из состояний пр в основное состоя-
ние 1s, являются дублетами167, то есть состоят на самом деле
из двух очень близко расположенных линий. А анализ спектров
водорода на основе решения уравнения Шрёдингера такого яв-
ления не предсказал. Еще сложнее оказались устроены линии
серии Бальмера, оказавшиеся квинтетами, то есть состоящими
из пяти близко расположенных компонент.
Кроме того, описание в рамках волновой механики магнит-
ных свойств атомов первоначально вело к выводам, не согласую-
щимся с экспериментами, выполненными немецкими физиками
Штерном и Герлахом еще в 1922 году.
Как будет показано далее в настоящем разделе, причина рас-
хождения между теорией и экспериментом крылась не в недо-
статках волновой механики, а в недостаточности учета свойств
микрообъектов, две важных динамических характеристики ко-
торых — спин и магнитный момент — сначала оказались ’’упу-
щены”. После открытия этих наблюдаемых в рамках нереляти-
вистской квантовой механики (с учетом релятивистских попра-
вок) удалось объяснить почти168 исчерпывающим образом все
спектроскопические закономерности и магнитные свойства ато-
мов.
Начнем с попытки объяснения магнитных свойств атома во-
дорода в рамках волновой механики, для чего необходимо вер-
нуться к классическим представлениям, после чего сопоставить
наблюдаемым соответствующие операторы.
Вспомним, что источниками магнитного поля в классической
физике считаются электрические токи, которые, в свою очередь,
вызываются движением зарядов.
В классической физике вращение отрицательно заряженного
электрона вокруг неподвижного положительного заряда в сред-
167Например, первая линия серии Лаймана имеет Л « 1215.67 А и состоит
из двух линий, разделенных промежутком всего в АЛ « 0.0054 А.
168Несколько эффектов, связанных со взаимодействием электрона с ваку-
умом, были объяснены только в рамках квантовой электродинамики.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
777
нем эквивалентно электрическому току (в соответствии с услов-
ным соглашением текущему навстречу движению отрицательно
заряженного электрона). При этом электрон обладает орбиталь-
ным моментом импульса L, который изображен на рис. 4.45.
Момент импульса в соответствии с выражением L = г х р на-
правлен вертикально вверх, а мо-
дуль момента импульса в нере-
лятивистском приближении есть,
очевидно, величина
L = merv.	(4.314)
В то же время вращающий-
ся с постоянной скоростью v по
окружности радиуса г электрон
создает ток. Поскольку средний
Рис. 4.45. Связь между ор-
битальным моментом импульса
ток — это заряд, проходящий
через поперечное сечение цепи
в единицу времени, то вращение
электрона эквивалентно средне- и магнитным моментом
му току I = е/Т, где Т — период
обращения электрона, то есть величина Т = 2ivr/v. Следователь-
но, I = ег/(2тгг).
Контур с током создает в пространстве магнитное поле, ко-
торое на больших (по сравнению с г) расстояниях от контура
совпадает с магнитным полем магнитного диполя.
В магнитостатике принимается, что вектор магнитного ди-
польного момента контура с током связан с направлением тока
правилом правого винта (то есть направлен так, как изображе-
но на рис. 4.45). Известно также, что модуль вектора магнитного
дипольного момента определяется выражением
M = IS,
(4.315)
где площадь контура с током S = тгг2 .
Выражая в последней формуле величины I и S через г и v
и учитывая (4.314), получаем связь между орбитальным момен-
том импульса электрона и создаваемым последним за счет орби-
тального движения магнитным моментом:
М = L.
2те
(4.316)
778
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Рис. 4.46. Магнитное поле витка с током (сверху) и электрическое
поле электрического диполя (снизу)
Магнитное поле магнитного дипольного момента на большом
удалении от контура с током аналогично электрическому полю
электрического дипольного момента. На рис. 4.46 изображены
магнитное поле витка с током и электрическое поле двух раз-
ноименных зарядов, разделенных промежутком конечной вели-
чины. И магнитный, и электрический дипольный моменты на-
правлены вверх.
В квантовой механике моменту импульса частицы L как на-
блюдаемой сопоставлен оператор L, поэтому и ’'орбитальному”
магнитному моменту М следует сопоставить оператор М по оче-
видному правилу:
М = -—-L.	(4.317)
2772е
Следовательно, немедленно в квантовой механике проясня-
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 779
ется вопрос об ’’орбитальном” магнитном моменте как наблюда-
емой: определенное значение может иметь лишь одна проекция
магнитного момента на любое направление в пространстве, так
что ненулевого вектора М, обладающего всеми тремя определен-
ными декартовыми проекциями, не существует. Однако наряду
с одной проекцией момента определенное значение может иметь
величина квадрата модуля магнитного момента.
Поскольку проекция орбитального момента импульса на лю-
бую ось есть величина т/Й, где mi — целочисленное магнитное
169
квантовое число , то проекция магнитного момента, например,
на ось г, автоматически оказывается квантованной, причем
Mz = Цътщ ,	(4.318)
где константа /1в называется магнетоном Вора:
Мв = -— = 0.92 • 10“23 Дж/Тл.	(4.319)
2771е
Магнетон Бора является, таким образом, ’’квантом” проек-
ции орбитального магнитного момента электрона на любую про-
странственную ось.
Поскольку магнетон, определяющий величину проекции ор-
битального магнитного момента, обратно пропорционален массе
частицы, то для орбитального магнитного момента протона вво-
дится ядерный магнетон Бора
eh
^ = ^~.	(4.320)
ZTTlp
Прояснился наконец и смысл названия квантового числа mi.
Оно было названо магнитным квантовым числом, поскольку
определяет проекцию орбитального магнитного момента на лю-
бую ось, причем магнитный момент заряженного микрообъекта
возникает автоматически как следствие наличия у последнего
проекции ’’орбитального” момента импульса на ту же ось.
Возвращаясь к квантовомеханическому описанию атома во-
дорода, следует констатировать, что в основном состоянии по-
следний имеет нулевой орбитальный магнитный момент, посколь-
ку в основном ls-состоянии атома водорода I = 0, mi = 0 и, сле-
довательно, проекция орбитального магнитного момента на лю-
бую ось равна нулю.
169 Ранее магнитное квантовое число обозначалось буквой т без индекса,
однако теперь, указывая на ’’орбитальное” происхождение магнитного мо-
мента, будем обозначать магнитное квантовой число как тгц.
780 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
В 1921 году О. Штерн предложил провести эксперименты по
проверке утверждений о пространственном квантовании магнит-
ного момента атомов, сделанных, как теперь известно, в рамках
двух неверно описывающих свойства атомов теорий.
С одной стороны, речь шла о проверке классических пред-
ставлений применительно к атомному магнетизму, а с другой
стороны — о проверке неверных представлений о пространствен-
ном квантовании момента импульса, сделанных Зоммерфельдом
в развитие неверной идеи Бора о существовании неких ’’разре-
шенных” траекторий электронов в атомах.
Рис. 4.47. Эксперимент Штерна и Герлаха (1921 год)
Остановимся подробнее на важном в принципиальном отно-
шении эксперименте Штерна и Герлаха, которые изучали рас-
щепление атомных пучков в резко неоднородном статическом
магнитном поле. Поскольку, как уже указывалось выше, описа-
ние Бором атома водорода было эклектичным и противоречивым
(когда предполагалось, что классическая физика верна и неверна
одновременно), то вкратце рассмотрим лишь предсказания клас-
сической физики применительно к эксперименту Штерна и Гер-
лаха, изображенному на рис. 4.47.
Штерн и Герлах исходили из того, что чтобы определить
магнитные свойства атома, а не вещества, нужно эксперимен-
тировать не с твердыми телами или с жидкостью (где взаим-
ное влияние атомов и молекул друг на друга ведет к появлению
коллективных эффектов), а непосредственно с атомами, кото-
рые для создания макроскопического эффекта должны образо-
вывать атомный пучок.
Сначала в качестве объекта исследования были выбраны па-
ры серебра (молекулы которого одноатомны). Серебро было по-
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 781
мещено в небольшую электрическую печку О, где при нагрева-
нии образовывались пары серебра. Через узкую щель в печке па-
ры испарялись в вакуум, так что средняя скорость покидающих
печку атомов серебра составляла примерно 100 м/с. Вылетев-
шие из печки атомы пролетали сквозь две последовательно рас-
положенные диафрагмы D\ и Г2, после чего коллимированный
пучок атомов серебра проходил вблизи одного из двух полюсов
электромагнита М и в конце концов попадал на стеклянную пла-
стину S, на которой атомы серебра и адсорбировались (то есть
оседали на пластине, а не отражались от нее) уже при комнатной
температуре (чтобы на стекле адсорбировались атомы летучих
веществ, например, атомы водорода, пластину необходимо охла-
ждать) .
Электромагнит М был устроен таким образом, что его ниж-
ний полюсный наконечник (показанный на рисунке), имевший
длину порядка одного метра, был остро заточен, а верхний по-
люсный наконечник, расположенный над нижним и не показан-
ный на рисунке, был плоским. В результате между полюсами
электромагнита создавалось резко неоднородное магнитное по-
ле с преимущественной компонентой Bz в области, в которой
пролетали атомы пучка, причем индукция магнитного поля рез-
ко убывала при удалении в любом направлении от заостренной
кромки нижнего полюсного наконечника.
Если электромагнит был отключен, то атомы серебра осе-
дали на стекле в виде горизонтально расположенной полоски,
фотография которой воспроизведена (при примерно двадцати-
кратном увеличении) на рис. 4.48 слева.
Рис. 4.48. Следы серебра на стеклянной пластине (Штерн и Герлах,
1921-1922 годы)
Вкратце разберем, какие результаты эксперимента предска-
зываются классической физикой при включении электромагнита
(в соответствии с неверной теорией Бора о строении атома во-
782 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
дорода должно было бы произойти расщепление пучка на три
части). Если атом обладает магнитным моментом М, то в маг-
нитном поле он приобретает такую же потенциальную энергию
П, какой в электрическом поле обладает электрический диполь-
ный момент. Иными словами,
П = -МВ.	(4.321)
Наличие потенциальной энергии у атома ведет к возникнове-
нию действующей на атом силы, описываемой выражением
F = -Vn = V(MB).	(4.322)
Из курса электромагнетизма также известно, что при орби-
тальном движении электрона, изображенном на рис. 4.45, орби-
тальный магнитный момент М прецессирует170 вокруг вектора
индукции магнитного поля В с ларморовой частотой
cvL = -	.	(4.323)
2?7Zg
Например, при не очень большой индукции магнитного поля
В = 0.1 Тл частота предсказываемой классической физикой пре-
цессии Лармора составит cvL « 0.9 • 1О10 Гц, что соответствует
времени одного оборота вектора М вокруг В около 7 • 10“10 с.
Поэтому за время пролета атомом серебра магнитного поля (то
есть расстояния в 1 м со средней скоростью 100 м/с) вектор М
совершит более 107 оборотов вокруг вектора В.
Вертикальная проекция силы Fz, действующей на атом в маг-
нитном поле, в соответствии с (4.322) определится выражением
д
Fz — у--(МхВх + МуВу + MZBZ).
Так как проекции магнитного момента атома Мх и Му быстро
осциллируют вокруг нуля, то ясно, что средний вклад в действу-
ющую на атом силу за счет первых двух слагаемых в правой
части последнего равенства будет нулевым. Проекция Mz из-за
прецессии сохраняет во время движения атома в магнитном по-
ле постоянное значение, поэтому ее можно вынести за знак про-
изводной, получив окончательное выражение для вертикальной
170То есть конец вектора М вращается вокруг оси, направленной вдоль
вектора В.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 783
компоненты силы в виде простого выражения:
ЭВ
FZ = MZ—^.	(4.324)
oz
Поскольку в классической физике считается, что проекция маг-
нитного момента атома на любое направление может принимать
любые значения от — М до +7И, где М — модуль вектора маг-
нитного момента, то в соответствии с классическими представ-
лениями пучок атомов серебра в магнитном поле должен был бы
просто ушириться, то есть вместо узкой полоски должна была
бы образоваться более толстая полоска.
После появления волновой механики в рамках последней бы-
ло предсказано, что пучки атомов первой группы таблицы эле-
ментов не должны были расщепляться при прохождении маг-
нитного поля171. Для атомов других групп "периодической” си-
стемы элементов волновая механика предсказывала расщепление
пучка на нечетное число компонент, так как при I > 0 коли-
чество возможных значений магнитного квантового числа есть
нечетное число 21 + 1.
А эксперимент Штерна и Герлаха, завершенный в 1922 го-
ду, показал расщепление пучка атомов серебра на две компонен-
ты! Это означало, что атом серебра — элемента первой груп-
пы "периодической" системы элементов — в основном состоя-
нии имеет лишь два значения проекции магнитного момента
на направление магнитного поля. Такой результат эксперимен-
та противоречил обеим существовавшим на 1922 год теориям —
классической физике и теории Бора атома водорода.
На рис. 4.48 справа показан результат включения магнитного
поля и экспозиции пластины примерно в течение 8 часов рабо-
ты установки. В результате образовались две изогнутые вверх
и вниз полоски, слившиеся на периферии. Нижняя полоска име-
ет заострение внизу, возникшее как раз вблизи края полюсного
наконечника, где силовое воздействие на атомы особенно вели-
ко. По мере удаления влево и вправо от острого конца наконеч-
ника градиент магнитного поля быстро уменьшается, и атомы
в периферических частях пучка, не испытывая существенного
воздействия со стороны поля, заметно не отклоняются.
171 Далее будет показано, что магнитные свойства атомов первой группы
определяются лишь валентным электроном, находящимся в s-состоянии, ко-
торому соответствует единственное значение Mz = 0.
784 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Расщепление пучка только на две части свидетельствует о на-
личии лишь двух возможных проекций магнитного момента ато-
ма Mz — по полю и против ПОЛЯ.
На рис. 4.49 показан результат более
позднего эксперимента немецкого физика
Вреде, добившегося получения и регистра-
ции пучка атомарного водорода, прошед-
шего над заостренным полюсным наконеч-
ником в резко неоднородном магнитном по-
ле. Ясно видно, что пучок атомов водоро-
да расщепился на две части. Для контро-
ля при отключенном магнитном поле экс-
Рис. 4.49. Расщеп- локировалась та же пластина, но поверну-
ление пучка атомов тая на угол около 45° (иначе неотклонен-
водорода в магнит- ная полоска наложилась бы на две расщеп-
ном поле (Вреде, ленные, и три полоски слились бы в одну
1927 год)	утолщенную линию), так что изображение
щели при отключенном магнитном поле представляет собой по-
лоску, повернутую примерно на 45° относительно двойной по-
лоски. Опыт Вреде показал, что проекция магнитного момента
атома водорода на направление магнитного поля имеет лишь два
значения, как и у атома серебра.
Тщательное измерение градиента магнитного поля позволило
убедиться в том, что абсолютная величина проекции магнитного
момента атомов серебра и водорода одна и та же и с точностью
в 10 % равняется магнетону Бора.
Штерн и Герлах провели эксперименты с пучками атомов еще
нескольких веществ. Так, все элементы первой группы — медь,
золото, щелочные металлы — продемонстрировали такие же маг-
нитные свойства, как и серебро: пучок соответствующих атомов
расщеплялся на две части, величина проекции магнитного мо-
мента у всех была равна магнетону Бора.
Объяснение результатов экспериментов Штерна и Герлаха
стало возможным лишь после осознания того факта, что элек-
трон и другие частицы обладают наблюдаемыми, которые рань-
ше известны не были — собственными моментом импульса и маг-
нитным моментом.
Впервые еще в 1921 году А. Комптон опубликовал сообра-
жения о наличии у электрона собственного момента импульса.
Не вдаваясь в детали истории появления концепции спина, ука-
жем лишь, что два молодых голландских физика — Уленбек
и Гаудсмит — опубликовали в 1925 году короткое сообщение,
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
785
в котором электрон уподоблялся вращающемуся шарику, созда-
ющему в пространстве помимо кулоновского электрического по-
ля еще и магнитное поле магнитного диполя, изображенное на
рис. 4.46 сверху. Иными словами, электрону приписывался соб-
ственный момент импульса, названный спином172, а также соб-
ственный магнитный момент. Представления Уленбека и Гауд-
смита об электроне как о вращающейся классической частице
были неверны, так как вступали в противоречие со специальной
теорией относительности, поскольку простейший расчет показы-
вал, что части электрона (если бы это был какой-то вращаю-
щийся объект конечного размера) должны были бы вращаться
с линейными скоростями, многократно превышающими скорость
света1 .
В. Паули в 1927 году сумел включить в волновую механи-
ку концепцию спина непротиворечивым образом. Вкратце схема
включения концепции спина в волновую механику такова.
Орбитальный момент импульса частицы в классической фи-
зике — динамическая переменная, которой в квантовой механи-
ке сопоставляется оператор L. Поскольку оказалось, что поми-
мо орбитального момента импульса микрообъекты имеют и еще
’’собственный” момент импульса, или спин, не связанный ни с пе-
ремещением, ни с вращением частицы в пространстве, а рас-
сматриваемый как "внутренняя"174 степень свободы электро-
на, то Паули сопоставил спину электрона векторный оператор
S с теми же самыми коммутационными соотношениями между
проекциями, что и соответствующие коммутационные соотноше-
ния для проекций орбитального момента импульса:
[Sx,Sy] =ihSz.	(4.325)
\Sy,Sz] =ihSx,	(4.326)
[SZ,SX] =ihSy.	(4.327)
1720т англ, слова spin, означающего вращение. Фактически Уленбек и Гауд-
смит объявляли электрон микроскопическим аналогом планеты. Планеты,
как известно, имеют орбитальный момент импульса, связанный с обращени-
ем по эллипсу вокруг звезды, а также имеют момент импульса, связанный
с вращением планеты вокруг собственной оси.
173Направивший сообщение Уленбека и Гаудсмита в печать Эренфест счел,
что авторы концепции спина ’’достаточно молоды, чтобы позволить себе
сделать глупость”.
174Напомним, что электрон рассматривается в нерелятивистской кванто-
вой механике как бесструктурный точечный объект.
786 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Отвлекшись на время от объекта, на который должен дей-
ствовать оператор спина S, вернемся к процедуре квантования
оператора момента импульса L, описанной в подразд. 4.5. Толь-
ко на основании коммутационных соотношений для декартовых
компонент момента импульса было показано, что собственное
значение оператора L2 есть величина h2l(l + 1) (где 1К — макси-
мальное значение проекции момента импульса на любое направ-
ление), которому соответствуют 21 + 1 разных эквидистантных
собственных значений mh оператора Lz.
Собственные значения тщК оператора Lz были получены при
учете явного вида оператора (4.201).
Поскольку спин электрона — это тоже момент импульса (про-
исхождение которого не имеет классических аналогий), то есте-
ственно было потребовать, чтобы все выводы, сделанные только
на основе коммутационных соотношений, совпадающих для опе-
раторов L и S, совпадали бы. Единственная разница при рас-
смотрении проблемы спина заключается в том, что явный вид
этого оператора первоначально не был известен, поэтому нель-
зя было заранее утверждать, что собственные значения опера-
тора Sz должны были быть целочисленны. Предположив, что
оператор Sz имеет собственные значения sh, нельзя было зара-
нее утверждать, что s должно быть обязательно целым числом,
но число возможных собственных значений 2s + 1 оператора
Sz должно было быть целым. Именно это число и дал экспери-
мент Штерна и Герлаха для атома водорода175. Поскольку пучок
атомов водорода, находящихся в основном состоянии с нулевым
орбитальным моментом импульса, расщепился на две части, то
для спина электрона получается равенство 2s + 1 = 2, откуда
s = l/2.
Когда говорят, что "спин электрона есть одна вторая”, то
имеют в виду именно последнее соотношение, означающее, что
может быть лишь два состояния электрона с определенной про-
екцией спина (собственного момента импульса) на любую про-
странственную ось: Sz = ±/г/2, или ±1/2 в единицах h. В то же
время квадрат модуля спина электрона есть постоянная величи-
на h2s(s + 1) = ЗД2/4.
По аналогии с орбитальным магнитным моментом в нере-
175 Как будет показано далее, в общем случае число возможных проекций
магнитного момента атома определяется величиной 2J + 1, где Jh — мак-
симальная величина проекции на любое направление полного момента им-
пульса атома.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
787
лятивистскую квантовую механику был введен и собственный
магнитный момент электрона с соответствующим оператором
собственного магнитного момента электрона Ms.
Эксперимент Штерна и Герлаха показал, что собственные
значения проекции этого оператора на направление магнитного
поля могли принимать лишь два значения ±рв. Следовательно,
гиромагнитное отношение для проекций собственных магнитно-
го момента и спина электрона должно было принять вид
(М<)г = Мв = _е_
Sz h/2 те ’
(4.328)
где было учтено выражение (4.319) для магнетона Бора. Из по-
следнего соотношения следует связь между операторами:
е
Ms =--------S.	(4.329)
?72е
От аналогичного соотношения (4.317), связывающего между со-
бой операторы орбитального момента импульса и орбитального
магнитного момента, соотношение (4.329) отличается аномаль-
ностью гиромагнитного отношения. Иными словами, спину элек-
трона соответствует вдвое больший магнитный момент, чем ор-
битальному моменту импульса электрона176.
4.7.1 Уравнение Шрёдингера
для бесспиновой частицы в магнитном поле
Ясно, что магнитное поле должно влиять на электрон в атоме
водорода, причем такое влияние будет, даже если отвлечься от
наличия у электрона спина. Ниже и произведен учет влияния
магнитного поля на электрон в атоме водорода в приближении
нулевого спина у электрона (называемого в таком случае бесспи-
новым).
Итак, выясним, как влияет магнитное поле на уровни энергии
одноэлектронной бесспиновой системы, описываемой уравнени-
ем Шрёдингера, для чего рассмотрим гамильтониан бесспиновой
частицы Нш при наложении на систему магнитного поля.
176Следует добавить, что последовательное описание спина электрона
возникло только в рамках релятивистской квантовой механики, развитой
Дирйком. Из полученного Дираком уравнения, заменяющего уравнение
Шрёдингера в релятивистской области, автоматически вытекает наличие
у электрона спина и собственного магнитного момента, гиромагнитное от-
ношение для которых в точности соответствует соотношению (4.328).
788 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Из механики известно, что функция Гамильтона заряженной
частицы, находящейся в магнитном поле, имеет вид
Я = -Цр-<7А)2 + П(г,£),	(4.330)
где /1 и q — масса и заряд частицы, Р — так называемый обоб-
щенный импульс частицы, П(г, t) — потенциальная энергия ча-
стицы в потенциальном поле (каковым является, как известно,
электрическое поле), А — векторный потенциал поля, ротор ко-
торого равен индукции магнитного поля:
В = rot А.	(4.331)
Для статического однородного магнитного поля (направляя
вдоль которого ось z, получим В = Bzk), в качестве векторного
потенциала можно выбрать функцию
A = -^i+^j,	(4.332)
где i, j, k — орты декартовой системы координат177.
Не останавливаясь на обосновании того, что обобщенному им-
пульсу в квантовой механике соответствует тот же оператор, что
и обыкновенному импульсу, сопоставим по обычному правилу
функции Гамильтона (4.330) гамильтониан
Нш = — (р - qAl) + П(г, t)I,	(4.333)
где р — оператор импульса, компоненты которого определяются
соотношениями (4.124).
Возведение в квадрат члена в скобках в правой части (4.333)
должно дать самосопряженный оператор. Так как векторный по-
тенциал является функцией декартовых координат, он, вообще
говоря, не коммутирует с оператором импульса, однако решение
задачи 4.6 позволяет понять178, что самосопряженным должен
быть оператор
Яш = -?-р2 - ^-(рА + Ар) +	А2/ + n(r,t)Z.	(4.334)
177Проверьте, что векторный потенциал (4.332) действительно соответству-
ет постоянному магнитному полю с единственной компонентой вдоль оси z.
178Далее самосопряженность полученного оператора станет очевидной.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 789
В гамильтониане (4.334) для бесспиновой заряженной части-
цы, учитывающем действие однородного статического магнитно-
го поля, появились два новых члена: один — линейный по век-
торному потенциалу, а другой — квадратичный.
Убедимся, что в статических магнитных полях квадратич-
ный по векторному потенциалу член дает пренебрежимо малый
вклад в энергию состояния. Для этого воспользуемся оценкой
векторного потенциала А ~ Bza\, которая следует из (4.332),
если в это выражение вместо координат подставить величину
боровского радиуса = 0.53 • 1О-10 м как характерную область,
в которой сосредоточена плотность вероятности обнаружения
электрона в атоме водорода. Тогда не представляет труда убе-
диться, что при Bz = 1 Тл величина е2В2а2/(2те) ~ 1О-10 эВ.
Столь малой величиной (на 11 порядков меньшей абсолютного
значения энергии основного состояния атома водорода) можно
пренебречь по сравнению с гораздо бблыпими эффектами, о ко-
торых пойдет речь ниже. Далее квадратичный по магнитному
полю член в (4.334) учитывать не будем.
Раскрыв действие оператора рА + Ар на волновую функцию
^(г) с учетом явного вида оператора импульса р и явного вида
(4.332) векторного потенциала, получим:
а^	( д д
рА + Ар = -ihBz х-----у—
у оу ох
где было использовано определение (4.194) оператора Lz. По-
следнее соотношение показывает, что ранее был выбран именно
самосопряженный оператор рА + Ар, который с точностью до
вещественного множителя оказался просто оператором декарто-
вой проекции орбитального момента импульса.
Таким образом, гамильтониан бесспиновой частицы в посто-
янном магнитном поле принимает окончательный вид
яш = J-p2 + n(r, t)f - ^Lz .	(4.335)
Два первых слагаемых в гамильтониане (4.335) описывают од-
ноэлектронную систему в отсутствие магнитного поля, а послед-
ний член отвечает наложению на систему постоянного магнит-
ного поля, направленного вдоль оси г, индукция которого имеет
величину Bz.
— BZLZ,
790 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Энергия водородоподобного иона в постоянном магнит-
ном поле в бесспиновом приближении
Определение вида гамильтониана, описывающего одноэлектрон-
ную бесспиновую систему в магнитном поле, позволяет решить
вопрос о влиянии постоянного внешнего магнитного поля на уров-
ни энергии водородоподобного иона. Помещение последнего в од-
нородное статическое магнитное поле добавляет к гамильтониа-
ну (4.246) дополнительный член из (4.335), в результате имеем
H™ = H^ + ^LZ,	(4.336)
где Нц — гамильтониан (4.246) водородоподобного иона в от-
сутствие внешнего магнитного поля, и было учтено, что заряд
электрона q = — е.
В разд. 4.6 было показано, что гамильтониан водородоподоб-
ного иона в отсутствие магнитного поля взаимно коммутативен
как с оператором квадрата момента импульса L2, так и с опе-
ратором проекции момента импульса Lz. Так как последние два
оператора взаимно коммутативны, а сам с собой коммутирует
любой оператор, то очевидно, что и гамильтониан (4.336) взаим-
но коммутативен с операторами L2 и Lz. Поэтому гамильтониан
(4.336) должен иметь общие собственные функции с операторами
L2 и Lz, как это имело место и для гамильтониана водородопо-
добного иона (4.246) в отсутствие магнитного поля.
Таким образом, задача квантования гамильтониана (4.336)
сводится к подстановке общих собственных функций операторов
L2 и Lz в уравнение на собственные значения
рВ \
Подстановка одной из общих собственных функций операто-
ров квадрата момента импульса и г-проекции орбитального мо-
мента импульса179 ф = R(r)Yimi($, (/?), а также учет действия на
последнюю оператора Lz	показывают, что уравне-
ние на собственные значения гамильтониана водородоподобного
иона в постоянном магнитном поле сводится к задаче на соб-
ственные значения гамильтониана водородоподобного иона без
179См. стр. 740.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
791
магнитного поля, но с видоизмененной энергией:
= (5 - гщ —± R(r)Ylmi(M ,	(4.337)
где mi — магнитное квантовое число.
Квантование водородоподобного иона с "бесспиновым” элек-
троном было выполнено в разд. 4.6, откуда в качестве решения
задачи на собственные значения гамильтониана (4.337) получа-
ем: в магнитном поле вырождение по магнитному квантовому
числу уровней энергии водородоподобного иона с ’’бесспиновым”
электроном снимается, и уровни расщепляются на 21 + 1 подуро-
вень, энергия которых определяется выражением
'пгщ
= £п +mi
ehBz
2р
= £п + mipBBz ,
(4.338)
где квазистационарные уровни энергии водородоподобного иона
определяются выражением (4.258), и было использовано опреде-
ление магнетона Бора (4.319).
Итак, в бесспиновом приближении оказывается, что внешнее
постоянное магнитное поле не влияет на уровни энергии водоро-
доподобного иона в s-состояниях, поскольку в последних I = О
и mi — 0.
С учетом же спина электрона окажется (см. следующий под-
разд. 4.7.2), что во внешнем постоянном магнитном поле уров-
ни энергии s-состояний водородоподобного иона расщепляются
на два подуровня, отстоящие от уровня энергии состояния в от-
сутствие магнитного поля на величину ±pBBz. В частности, при
Bz = 1 Тл изменение энергии s-уровня водородоподобного иона
PbBz = 0.575 • 10-4 эВ, что на 6 порядков превышает эффект,
даваемый ранее отброшенным квадратичным членом, и может
быть зафиксировано спектроскопическими методами.
4.7.2 Явный вид оператора спина электрона
и нерелятивистское уравнение Паули
Поскольку проекция спина электрона на любую ось может при-
нять лишь два возможных значения ±Д/2, то Паули ввел две
волновые функции Ф±, описывающие вероятность обнаружения
электрона с проекциями в заданном направлении +Н/2 и — К/2
соответственно. Таким образом, состояние одноэлектронной си-
стемы описывается вектор-столбцом из двух волновых функций,
792 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
названным спинором180:
ф=(ф^:м))’	(4-м9’
причем физический смысл компонент спинора сохраняется: ве-
личины dw± = |Ф±(гг,у,есть вероятности обнаружения
электрона в момент t в объеме dV с соответствующей проекцией
спина, а величина
dw = [|Ф+(гг,у,z,£)|2 + |Ф_(гг,у,г,£)|2] dV (4.340)
есть полная вероятность обнаружения электрона в объеме dV
в момент времени t.
Если ввести сопряженный спинор Ф+ как вектор-строку
ф+ =	ф*
то выражение (4.340) для вероятности обнаружения электрона
может быть переписано в более компактном виде:
dw = Ф+Ф dV = (Ф^ Ф1) (	) dV,	(4.341)
где предполагается, что умножение строки на столбец произво-
дится по закону умножения матриц, давая в итоге совпадение
с (4.340).
Соответственно, условие нормировки вероятности должно
принять вид
У Ф+Ф(/У = У (ф; Ф1) ( ф+ ) dv = 1,	(4.342)
а формула для среднего значения наблюдаемой, которой сопо-
ставлен оператор F, также трансформируется очевидным обра-
зом:
/= fy+FVdV= f(4!*+4!*_)F ( ф+ JdV. (4.343)
180 Спиноры отличаются от векторов законом преобразования при повороте
системы координат. Этот вопрос рассматривается в курсах квантовой меха-
ники.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 793
Если имеется в виду любой из ранее введенных операторов, дей-
ствующих на волновые функции (компоненты спинора), то дей-
ствие такого оператора на спинор должно сводиться к соответ-
ствующему действию на компоненты спинора:
F
(4.344)
Далее Паули догадался, каким должен быть оператор спи-
на, и как при этом трансформировать стационарное уравнение
Шрёдингера, чтобы находить сразу две волновые функции, а не
одну. По мысли Паули, оператор спина не должен был действо-
вать на переменные волновых функций Ф±(:г,у, z,t), а должен
был действовать на спинор, переставляя местами (с точностью
до фазового множителя) компоненты спинора. Другими слова-
ми, оператор спина должен был иметь три компоненты в виде
матриц порядка 2x2. Вводя вместо размерного оператора S без-
размерный оператор а с помощью соотношения
-
S = -ha,
2
(4.345)
Паули вычислил явный вид матриц порядка 2x2, удовлетворя-
ющих коммутационным соотношениям (4.325)—(4.327) для опе-
ратора спина S и называемых матрицами Паули:
/О 1\	/О -А	0\
ах — ( 1 Q ) ’ аУ ~ ( j О/’	~ (о — 1 /	(4.346)
Матрицы Паули являются операторами, действующими на
спиноры по правилу перемножения матриц: умножение матрицы
Паули на спинор определяет некоторый новый спинор.
Пользуясь обычным правилом умножения для матриц, нетруд-
но найти действие матриц Паули на спинор:
О 1\ ( Ф+(:г,у,Zjt) \ ( Ф-(x,y,z,t) \
1 оД 4>_(x,y,z,t) ) ~ \ 4!+(x,y,z,t) J
~ ф = (° “Л (	\ = /-Ф_(ж,у,г,<)А
у \i О J у Ф_(х, у, z,t) у Ф+(ог,у,г,«) J
1 0 \ / Ф+(ж,у,	\	/ Ф+(ж,у,г,«) \
О —1/ у Ф-(ж,у, z,t) у	у — Ф_(ж,у,z,t) у
794 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Далее осталось только сформулировать нерелятивистское вол-
новое уравнение, учитывающее наличие у электрона спина, что
Паули сделал, дополнив гамильтониан членом, отвечающим по-
тенциальной энергии собственного магнитного момента электро-
на, возникающей во внешнем магнитном поле и определяемой
формулой (4.321), которая в операторной, форме должна оче-
видным образом видоизменить гамильтониан Нш, в котором не
учитывалось наличие спина у электрона:
Н = Нш + мвВа,	(4.347)
так как из уравнений (4.329) и (4.345) следует, что
Ms = /2в<7,	(4.348)
а потенциальная энергия магнитного момента в магнитном поле
определяется формулой (4.321).
Подставив гамильтониан (4.348) во временнбе урав-
нение Шрёдингера, Паули получил уравнение, названное в его
честь нерелятивистским уравнением Паули, которое на самом
деле является системой двух дифференциальных уравнений от-
носительно двух волновых функций Ф±:
ihi (ф-(г: 0) = (£ш+д»в?) ($ ) •	(4.349)
Действие операторов d/dt и Нш на спинор определяется пра-
вилом (4.344), тогда как действие матриц Паули на спинор сво-
дится с точностью до фазового множителя к перестановке ком-
понент спинора.
Поскольку оператор спина (4.345) коммутирует181 с Нш, то
одна из проекций спина будет сохранять определенное значение
в любом электростатическом поле (то есть при В = 0), если
в начальном состоянии эта проекция имела определенное значе-
ние, так как взаимная коммутативность с гамильтонианом лю-
бого не зависящего от времени оператора означает обращение
в нуль полной производной оператора по времени.
В однородном магнитном поле проекция спина сохраняет по-
стоянное значение на направление магнитного поля, в чем нетруд-
но убедиться. Действительно, направив ось z вдоль магнитного
181 Убедитесь в этом.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
795
поля, получим, что гамильтониан (4.349) будет содержать маг-
нитный член, пропорциональный лишь оператору Sz. Так как по-
следний оператор коммутирует с гамильтонианом Нш и с самим
собой, то соответствующая величина будет сохранять определен-
ное значение, если она имела определенное значение в начальном
состоянии.
Решение нерелятивистского уравнения Паули в отсутствие
магнитного поля или при наложении на систему однородного маг-
нитного поля распадается на произведение волновой функции
для ’’бесспинового” электрона и зависящей лишь от времени спи-
норной части:
Смм)) =ф(г-')(с-«) 	(4'350’
Непосредственная подстановка (4.350) в (4.349), при кото-
рой волновая функция Ф(г, t) выносится из под знака оператора
дает, во-первых, временнбе уравнение Шрёдингера в бес-
спиновом приближении (см. предыдущий подразд. 4.7.1), опреде-
ляющее общую для обеих компонент спинора пространственную
зависимость волновой функции Ф(г,£) и имеющее вид
=	’	(4.351)
и, во-вторых, уравнение относительно зависящего только от вре-
мени спинора
(£-«)="вВг (c-w) 	313325
Предполагая обычную нормировку для решения Ф(г,£) времен-
нбго уравнения Шрёдингера, нужно потребовать удовлетворе-
ния нормировочного условия и для спинорной части:
С+С = |C+(t)|2 + |C_(i)|2 = 1.	(4.353)
Если выбрать ось z вдоль однородного магнитного поля, то
уравнение (4.352) с учетом действия az на спинор упростится:
ihdt	= MbBz	•	(4’354)
796 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Уравнение (4.354) есть система двух однородных дифферен-
циальных уравнений первого порядка, нетривиальное решение
которой должно иметь вид
(4.355)
где с+ и с- — постоянные числа, удовлетворяющие в силу усло-
вия нормировки (4.353) соотношению |с+12 + |с_|2 = 1.
Подстановка (4.355) в (4.354) дает систему двух алгебраиче-
ских уравнений относительно трех величин £s, с+ ис_:
£sc_|_ — fiBBzc^.,
(4.356)
£sc_ = -цвВгс_ .	(4.357)
Очевидно, что если £s ф ±p,BBZj то система (4.357)—(4.357)
имеет только тривиальное решение с+ = с_ = 0.
Если же £s = [iBBz, то система (4.357)—(4.357) имеет нетри-
виальное нормированное решение
(4.358)
а если £s = —p,BBz, то система (4.357)—(4.357) имеет другое
нетривиальное нормированное решение
(4.359)
Нетрудно убедиться, что спиноры х± являются собственны-
ми спинорами оператора az: спинор х+ принадлежит собственно-
му значению +1, а спинор х~ принадлежит собственному значе-
нию — 1. Других собственных значений оператор az не имеет182.
Поскольку состояние с определенной энергией £, являющее-
ся решением временнбго уравнения Шрёдингера (4.351) должно
иметь вид
/ i£t\
Ф(г, £) = ехр ( —— ) -0(г),
\ * /
то с учетом (4.355) зависимость общего решения от времени опре-
делится выражением
Ф = ехр
г(5 + fe)tl , .
-----£— тох±.
п
(4.360)
182См. задачи 4.16 и 4.17.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
797
Подстановка решения (4.360) в нерелятивистское уравнение Па-
ули (4.349) дает уравнение на собственные значения гамильто-
ниана Нш -I- ДвВст
(£ + 55)[^(г)х±] = (Яш + двВа)[^(г)х±],
показывающее, что величина £ + 8S является полной энергией
электрона при наложении на одночастичную систему однород-
ного статического магнитного поля, если без магнитного поля
одночастичная система находилась в состоянии с определенной
энергией £.
Всего, таким образом, у нерелятивистского уравнения Пау-
ли возникло два решения при наложении на одноэлектронную
систему статического однородного магнитного поля: состояние
с энергией £ + PbBz, описываемое спинором вида
_	Г г(£ +	/z ч
Ф+ = ехр--------------- ^(г)х+ ,
д
(4.361)
и состояние с энергией 8 — описываемое спинором вида
Г ?(£ - /zBBz)tl ,
Ф_ - ехр------------------ ^(г)Х- •
д
(4.362)
Первое решение соответствует состоянию с определенной поло-
жительной проекцией спина электрона на вектор индукции маг-
нитного поля (’’спин по полю”), а второе — с определенной от-
рицательной проекцией (’’спин против поля”).
Действительно, если спин по полю, то магнитный момент
электрона направлен против поля, и потенциальная энергия
в соответствии с (4-321) положительна. Отсюда становится
ясен выбор индексов ± у спиноров (4.361)—(4.362). Кроме того,
в любом состоянии определенное значение имеет квадрат спина.
Таким образом, спинор, описывающий состояние одноэлек-
тронной системы в постоянном магнитном поле, есть произве-
дение волновой функции (решения временнбго уравнения Шрё-
дингера для бесспиновой частицы) и собственно спинора. Часто
спиноры (4.361)—(4.362) называют ’’полными волновыми функ-
циями”, каждая из которых является произведением простран-
ственной и спиновой частей волновой функции.
Полученные в подразд. 7.4.1 и 7.4.2 результаты свидетель-
ствуют, что уровень энергии основного состояния (и остальных
798
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
s-состояний) водородоподобного иона при помещении последне-
го в постоянное магнитное поле расщепляется на два подуровня,
смещенных от уровня энергии основного состояния без магнит-
ного поля на величину	соответствующую энергии вза-
имодействия магнитного момента ориентированного против
или по направлению постоянного магнитного поля величины Bz .
Влияние магнитного поля на р, d и прочие состояния водоро-
доподобного иона сложнее, так как наличие у электрона в этих
состояниях и орбитального, и спинового моментов импульса ве-
дет к появлению в водородоподобном ионе ранее не рассматри-
вовшегося взаимодействия ’’спин-орбита", описываемого в следу-
ющем подразделе.
4.7.3 Полный момент импульса атома
и тонкая структура
Открытие спина электрона привело к осознанию того, что элек-
трон в водородоподобном ионе испытывает специфическое воз-
действие, названное спин-орбитальным взаимодействием.
Последовательно спин-орбитальное взаимодействие описыва-
ется лишь в релятивистской квантовой механике, основанной на
релятивистском уравнении Дирака. Однако и в нерелятивист-
ской квантовой механике возможен учет этого взаимодействия,
что и является предметом настоящего подраздела.
Начнем с введения полного момента импульса J как суммы
орбитального момента импульса и спина электрона
J = L + S .	(4.363)
Оператор J действует на спиноры (4.339) таким образом, что
оператор L преобразует компоненты спинора по правилу (4.344),
а оператор S переставляет компоненты спинора в соответствии
с соотношениями (4.345) и (4.346). Характер действия операто-
ров L и S делает очевидной их взаимную коммутативность.
Нетрудно показать, пользуясь коммутационными соотноше-
ниями, которым удовлетворяют проекции операторов L и S, что
и проекции полного момента импульса J удовлетворяют тем же
коммутационным соотношениям, из чего немедленно следует, что
операторы J2 и Jz взаимно коммутативны (см. раздел 4.5).
Следовательно, процедура квантования квадрата орбиталь-
ного момента импульса дословно переносится на оператор квад-
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
799
рата полного момента импульса, откуда следует, что собствен-
ными значениями оператора J2 будут величины h2j(j + 1), где
j — максимальное значение проекции оператора Jz на ось z. При
этом собственные значения оператора Jz должны отличать-
ся друг от друга на h, изменяясь от —jh до +jh, что означает,
что состояние с заданной величиной j имеет (2J + 1)-кратное
вырождение. Однако в отличие от целочисленного орбитального
квантового числа Z, квантовое число полного момента электро-
на (называемое также внутренним квантовым числом) в водо-
родоподобном ионе может принимать лишь полуцелые значения
J 2’ 2’ •••
Докажем последнее утверждение, для чего дополнительно
примем во внимание, что каждый из операторов J2 и взаимно
коммутативен еще и с операторами S2 и L2 (поскольку оператор
S2 пропорционален единичному оператору, то он коммутирует
вообще со всеми операторами; а оператор L2 коммутирует с опе-
ратором J2 = L2 + 2LS + S2, так как L коммутирует как сам
с собой, так и с S). Следовательно, все четыре оператора J2,
Jz, L2 и S2 должны иметь общие собственные полные волновые
функции.
Найдем сначала явный вид собственных полных волновых
функций оператора J2, для чего составим соответствующее урав-
нение на собственные значения:
О , " 1 ( Ф ) = ПтЛ Ф )  (4 М4)
и	гдч> 2 / \	/	\	/
где Ф± — волновые функции, зависящие от г, $ и <р.
Уравнение (4.364) распадается на два уравнения первого по-
рядка, решение которых затруднений не вызывает:
"- Ьр J	J ’	(	’
где единственное требование к волновым функциям ^±(г,$) за-
ключается в том, чтобы в целом спинор (4.365) удовлетворял бы
нормировочному условию (4.342).
Перепишем спинор (4.365) в виде
Фт. = ^+(г,^е^-^х+ + ^-(г,^е<т^Х- ,	(4.366)
800 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
где ранее введенные соотношениями (4.358)—(4.359) спиноры х±
есть собственные функции оператора az.
Рассмотрим первое слагаемое в правой части (4.366), явля-
ющееся произведением спинора х+ и волновой функции бесспи-
новой частицы, которая, разумеется, должна быть однозначно
определена во всем пространстве, откуда следует, что величина
mj ~ I должна быть целым числом mi, чтобы изменение уг-
ла на 2% не изменяло бы фазу волновой функции. Но волно-
вые функции вида '0+(г? $)ег7ТЧ(р, как следует из (4.203), являются
собственными волновыми функциями оператора LZJ так что по
смыслу квантовое число mi — это магнитное квантовое число,
изменяющееся в пределах между — I и +1 в состояниях с опреде-
ленными значениями L2 и Lz.
Таким образом, окончательно имеем, что первое слагаемое
спинора (4.366) соответствует состоянию с определенной проек-
цией спина и определенной проекцией орбитального момен-
та импульса mi причем
mj = mi + .	(4.367)
£
Следовательно, возможные значения mj в водородоподобном ионе
оказались полу целыми.
Аналогично получается, что второе слагаемое в правой части
спинора (4.366) соответствует состоянию с определенной проек-
цией спина — и определенной проекцией орбитального момен-
та импульса так что
mj = mi — - .	(4.368)
Собственные функции оператора Jz оказались линейными
комбинациями полных волновых функций, каждая из которых
по отдельности является общей собственной функцией операто-
ров Sz и Lz. В частности, при фиксированной величине mj име-
ем т\ = mi + 1. Следовательно, в состоянии с определенными
значениями наблюдаемых J2, Jz, L2 и S2 наблюдаемые Lz и Sz
определенного значения, вообще говоря, не имеют (исключением
оказались s-состояния водородоподобного иона).
Даже не конкретизируя вида функций ?/>±(г, $), проделанный
анализ позволяет сделать следующие выводы: состояние элек-
трона в водородоподобном ионе с учетом существования у элек-
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
801
трона спина определяется главным квантовым числом п (возни-
кающим при квантовании радиальной части уравнения Шрёдин-
гера), целым орбитальным квантовым числом I (определяющим
квадрат орбитального момента импульса), полуцелым внутрен-
ним квантовым числом j (определяющим квадрат полного мо-
мента импульса) и полуцелой величиной проекции mj полного
момента импульса на произвольную ось (обычно выбираемую за
ось г).
При I = 0, что соответствует s-состоянию водородоподобно-
го иона, внутреннее квантовое число принимает единственное
(и наименьшее) значение J = | • Анализ показывает, что в та-
ком случае пространственная часть полной волновой функции
сферически симметрична, то есть при тj = | в тождественный
нуль обращается -0_(г, i?), а = ^(г); ПРИ mj — в тожде-
ственный нуль обращается ^(г, $), а = ^.(г).
При I > 0 внутреннее квантовое число может принимать
два значения
j = l±^ = l±s,	(4.369)
соответствующих параллельности и антипараллельности орби-
тального момента импульса и спина электрона.
Из (4.369) следует, что величине j — может соответствовать
и s-состояние водородоподобного иона, и p-состояние. При этом
дальнейший анализ, здесь не проводимый, показывает, что при
I > 0 функции ^+(г, 1?) и -0_(г, 1?) становятся линейно-зависи-
мыми, и ни одна из них не может обратиться в тождественный
нуль. Последнее означает, что вклад в состояние с определен-
ной проекцией mj в силу вида решения (4.366) и соотношений
(4.367)—(4.368) дают два состояния с разными значениями Lz
и Sz.
Например, в p-состоянии при j = | и тj — | соответствую-
щее измерение может иметь два разных исхода: либо будет обна-
ружено, что проекция орбитального момента Lz = а проекция
спина Sz = либо будет обнаружена другая пара значений
Lz = 0 и Sz = причем второй исход вдвое менее вероятен,
чем первый.
Таким образом, в состояниях водородоподобного иона с I > 0
проекции орбитального момента и спина по отдельности не
имеют определенных значений.
При заданной величине главного квантового числа п орби-
тальное квантовое число I может принимать п значений от 0 до
п — 1. Учитывая, что число разных значений mj есть 2j + 1,
802
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
получим, что если j = I + |, то число разных проекций mj со-
ставит 21 + 2 значений, а при j = I — | число разных проекций
mj будет 2Z, всего же при заданном I число разных состояний
водородоподобного иона будет равно 4Z + 2. Следовательно, при
фиксированном п число разных состояний будет определяться
величиной
п— 1
2^(2/ + 1) = 2п2,	(4.370)
Z=0
в чем легко убедиться с помощью математической индукции.
Итак, учет существования спина электрона привел к выво-
ду, что состояния водородоподобного иона характеризуются соб-
ственными значениями четырех операторов J2, Jz, L2 и S2.
Исторически в спектроскопии для характеристики со-
стояния водородоподобного иона стали использовать числа
п, Z, j и 2s + 1. При этом последнюю четверку чисел заменяют
символической записью, сначала записывая в виде числа глав-
ное квантовое число п, вслед за которым пишут одну из ранее
введенных183 букв, заменяющих значение Z; у этой буквы спра-
ва внизу в качестве индекса указывают значение внутреннего
квантового числа j (принимающее при заданной величине I два,
значения j = I ± |), а сверху слева пишут численное значение
2s + 1. Например, основное состояние водородоподобного иона
обозначают как l2si, что произносится как ’’один дублет s одна
2
вторая”.
В качестве примера приведем обозначения трех состояний
водородоподобного иона, соответствующих п = 2: 22si, 22pi
2	2
и 22рз. Следует понимать, что каждая символическая запись со-
2
ответствует разным состояниям, отличающимся проекцией mjh
полного момента импульса на произвольную ось (число разных
проекций 2j + 1). При I > 1 все они не являются состояниями
с определенной проекцией спина и определенной проекцией орби-
тального момента импульса. Если же желают полностью опре-
делить состояние символьной записью, то справа вверху к букве
приписывают значение mj.
Состояния многоэлектронных атомов и ионов определяют-
ся полным моментом импульса электронной оболочки и соот-
ветствующим внутренним квантовым числом J (при этом число
эквидистантных проекций mjh полного момента импульса элек-
183См. стр. 751.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 803
тронной оболочки на любое направление есть 2 J +1), квадратом
полного орбитального момента электронной оболочки и соответ-
ствующим полным орбитальным квантовым числом L, и квад-
ратом полного спина электронной оболочки и соответствующим
квантовым числом S. Сокращенно состояния электронной обо-
лочки многоэлектронных атомов и ионов определяют теми же
символами, что и состояния водородоподобного иона, только бук-
венные символы состояний пишут заглавными буквами.
Например, основное состояние атома калия обозначается как
42Si . Далее будем использовать большие буквы и для обозначе-
2
ния состояний водородоподобного иона, поскольку применитель-
но к водородоподобному иону полный момент импульса электро-
на является в то же время и полным моментом импульса элек-
тронной оболочки. То же касается и орбитального момента им-
пульса, и спина электрона.
Магнитный момент водородоподобного иона
и объяснение расщепления атомных пучков
в эксперименте Штерна-Герлаха
Разберем вопрос о магнитном моменте водородоподобного иона
как функции его состояния. Для этого введем оператор полного
магнитного момента
_	_ ____ / F g\
М = М, + М5 = -Мв - + 2—1 ,	(4.371)
\ п, п, I
где были учтены определение магнетона Бора (4.319) и связи
между операторами моментов импульса и магнитных моментов
(4.317) и (4.329).
Строгое рассмотрение вопроса в рамках релятивистского
уравнения Дирака показывает, что в квазистационарных состоя-
ниях, являющихся общими собственными состояниями четырех
операторов J2, Jz, L2 и S2 определенное значение имеет лишь
проекция Mj полного магнитного момента на направление пол-
ного момента импульса184.
После этого замечания само вычисление проекции Mj вы-
полнить нетрудно. Перед вычислением предварительно отметим,
184 Классической аналогией подобного результата является прецессия век-
тора М вокруг вектора J, при которой определенное значение сохраняет
лишь проекция Mj вектора М на J.
804 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
что в обсуждаемых состояниях водородоподобного иона имеет
определенное значение величина LS, что следует из тождества
J2 = (L + S)2 = L2 + 2LS + S2 ,
откуда с учетом итогов квантования операторов J2, L2 и S2 по-
лучаем:
h2
LS = — [J( J + 1) - L(L + 1) - S(S + 1)].	(4.372)
A
Теперь, проектируя полный магнитный момент М на полный
момент импульса J, получим некоторый вектор Mj, коллинеар-
ный полному моменту импульса, поэтому можно записать, что
М; = -Дов7,	(4.373)
а
где подлежащий определению безразмерный коэффициент д на-
зывается множителем Ландё, или ^-фактором185.
Величина MJ в рассматриваемых состояниях водородоподоб-
ного иона имеет определенное значение, вычисление которой осу-
ществляется с помощью тождества
MJ = -/xB (т + 2? | (L + S) =-^(L2 + 3LS + 2S2).
\пгь]	Tt
С учетом (4.372) получаем, что
MJ = p,Bh
3	1	1
-J(J + 1)--£(£+!) +-5(5 + 1)
£	£	£
(4.374)
Поскольку также
J2
MJ = MjJ = -дд,в — = —gp,BhJ(J + 1),
n
[где было использовано соотношение (4.373)], то из сравнения
последнего выражения с (4.374) следует формула Ланде
_3 S(S + 1)-L(L + 1)
9~2+ 2J(J + 1)
185Впервые р-фактор ввел в 1921 году немецкий физик А. Ланде.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
805
Так как полный момент импульса имеет 2 J + 1 разных про-
екций mjh на ось г, то и проекции магнитного момента атома
на ось z будут в силу (4.373) иметь 2 J + 1 разных значений
Mz = g^mj .	(4.376)
В отсутствие магнитного поля состояния с разными проек-
циями магнитного момента Mz по энергии вырождены, а в маг-
нитном поле вырождение снимается, причем оказывается, что
поведение атома в неоднородном магнитном поле хорошо описы-
вается движением локализованного волнового пакета, на кото-
рый действует сила (4.324). В таком случае будет происходить
(2J + 1)-кратное расщепление пучка. В общем случае полный
момент импульса электронной оболочки атома может иметь как
целые, так и полу целые значения, поэтому пучки атомов разных
элементов расщепляются как на четное, так и на нечетное число
компонент. Изучение расщепления атомного пучка в магнитном
поле есть средство экспериментального определения как внут-
реннего квантового числа J, так и д-фактора.
Измерение величин полного момента импульса электронной
оболочки атомов показало, что никакой периодической зависи-
мости внутреннего квантового числа J от порядкового номера
элемента не существует.
Например, атомы второго "периода” таблицы элементов
Li, Be, В, С, N, О, F, Ne, находясь в наинизшем энергетическом
состоянии, в магнитном поле расщепляются на 2,1,2,1,4,5,4,1
пучков соответственно (откуда нетрудно вычислить J). А, на-
пример, лантаноиды La, Се, Pr, Nd, Pm, Sm, Eu, Ga, Tb, Dy,
Ho, Er, Tu, Yb имеют 4, 9, 10, 9, 6, 1, 8, 5, 16, 17, 16, 13, 8, 1 воз-
можных проекций магнитного момента электронной оболочки на
направление магнитного поля.
Тонкое расщепление и эффект Зеемана
Разберем механизм спин-орбитального взаимодействия в атоме
водорода в рамках нерелятивистской квантовой механики, хотя
последовательное описание данного эффекта производится лишь
в рамках релятивистской квантовой механики.
Обычным способом действия в волновой механике является
предварительное рассмотрение задачи в классических терминах
с последующей заменой наблюдаемых операторами.
Вернувшись к классической картине обращения электрона
вокруг протона, изображенной на рис. 4.45, заметим, что в си-
806
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
стеме координат, связанной с движущимся электроном, есть маг-
нитное поле, создаваемое движением протона относительно элек-
трона. Если принять электрон неподвижным, то уже вокруг него
будет обращаться ядро с зарядом Ze, которое, в соответствии
с законом Биб-Савйра создаст в точке, в которой находится элек-
трон, магнитное поле, направленное параллельно орбитальному
моменту импульса электрона L, причем вычисление показывает,
что В ~ ZeL. Магнитное поле действует на спиновый магнитный
момент электрона, потенциальная энергия которого в результате
изменяется на величину, пропорциональную, как легко понять,
скалярному произведению LS и некоторой функции, зависящей
только от радиуса электрона.
Не проводя идейно простых, но достаточно длинных выкла-
док, проанализируем лишь конечный результат, заключающий-
ся в небольшом изменении уровней энергии водородоподобного
иона при учете спина электрона. Уровни допустимых энергий
водородоподобного иона с учетом спина электрона186 описыва-
ются формулой, хорошо соответствующей спектроскопическим
наблюдениям:
^Tlj —
a2Z2 / 1
____________
n I j + | 4n
(4.377)
(4.378)
где Sn — уровни энергии водородоподобного иона с ’’бесспино-
вым” электроном, описываемые формулой (4.258), а безразмер-
ная константа а называется постоянной тонкой структуры
и определяется выражением
_ е2 _	1	~ 1
°" ~ 4тге0Нс ~ 137.03599 ~ 137
Из (4.377) следует, что с учетом релятивистской поправки
и спин-орбитального взаимодействия частично снимается вырож-
дение уровней энергии, которые теперь зависят не только от
главного квантового числа п, но и от внутреннего квантового
числа j, хотя все еще вырождены по орбитальному квантовому
числу187 I и квантовому числу mj.
186А также с учетом релятивистской поправки к кинетической энергии,
которая оказалась имеющей тот же порядок величины а2, что и поправка
за счет спин-орбитального взаимодействия.
187Напомним, что это ’’случайное” вырождение, присущее только атому во-
дорода (в котором электростатический потенциал, воздействующий на элек-
трон, чисто кулоновский) и отсутствующее у других атомов.
2S 2Р 2D
л=3	3/2 "~з/2
—	----1/2 ----1/2
" £ —	---1/2 —1/2
п^1 --- ------1/2
Рис. 4.50. Тонкая структура уров-
ней энергии атома водорода
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 807
Тонкая структура уровней
энергии атома водорода изоб-
ражена на рис. 4.50, на кото-
ром не в масштабе188 изоб-
ражены длинными тонкими
линиями бальмеровские тер-
мы [то есть уровни энер-
гии (4.258)], а короткими чер-
точками — уровни энергии
(4.377), соответствующие всем
разным символическим обо-
значениям состояний. Рядом
с уровнями справа указано
значение внутреннего кванто-
вого числа j. Слева на рисунке
все разные уровни сверхтон-
кой структуры сведены вместе, откуда видно, что вместо одного
уровня энергии, соответствовавшего главному квантовому числу
п, теперь появляется п разных уровней энергии.
Видно также, что каждое введенное выше символическое обо-
значение состояния водородоподобного иона соответствует при
I > 0 дублетным термам 2Р, 2D,..., то есть двум близко распо-
ложенным (из-за малости величины а2 « 5 • 10-5) квазистацио-
нарным уровням энергии, соответствующим двум разным значе-
ниям j при заданном значении I: 22Pi и 22Рз; 32Pi и 32Рз; 32Рз
2	2	2	2	2
и 32Ps и так далее. Отсюда и термин "дублет", возникающий
2
при чтении символических обозначений189. При этом для едино-
образия сохраняют обозначение 2S (и произношение "дублет S"),
хотя уровни энергии S-состояний синглетны, то есть нерасщеп-
лены в дублет, так как при I = 0 возможно только единственное
значение j- = |.
Установление тонкой структуры уровней энергии водородо-
подобных ионов, дополненное правилами отбора (которые полу-
чаются при повторении уже проделанного в подразд. 4.6.3 расче-
та вероятностей спонтанной релаксации), позволяют объяснить
наблюдаемую тонкую структуру линий в спектре испускания
водорода.
Расчет показывает, что правила отбора для определения оп-
188Разность между уровнями п = 1 и п = 2 равна 10.2 эВ, а показанное
тонкое расщепление порядка 10“4 эВ.
189По этой причине величину 2S+1 называют мультиплетностью уровня.
808
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
тически разрешенных переходов для главного квантового числа
и для орбитального квантового числа остаются неизменными:
величина п при переходе может испытывать произвольные из-
менения, а величина I может изменяться только на единицу
AZ = ±1.
Вычисление дает также правило отбора для внутреннего кван-
тового числа190:
AJ = 0, ±1.	(4.379)
Применим правила отбора для выяснения возможных перехо-
дов в атоме водорода с учетом тонкой структуры уровней энер-
гии последнего. Рассмотрим сначала переходы с трех уровней,
соответствующих п = 2, в основное состояние с п = 1. Пере-
ход191 2S 1S запрещен в силу правила отбора по орбиталь-
ному квантовому числу Z, так как для такого перехода AZ = 0.
Остаются два перехода 2Fi —> IS и 2Рз -> 1S, которые раз-
2	2
решены всеми правилами отбора. Поскольку расстояние между
уровнями 2Р1 и 2Рз для атома водорода в соответствии с (4.377)
1Q2	2	2
есть1У^	2
—Ry^r = 4.53 • 10~5 эВ,
те 16
то первая линия серии Лаймана, соответствующая испусканию
ультрафиолетовых фотонов с энергией около 10.2 эВ, является
на самом деле дублетом с энергетическим расщеплением между
составляющими дублета A(7icu)/(7icu) = 4.4 • 10“6 . В то же время
в примечании к стр. 776 было указано, что наблюдения показали,
что первая линия серии Лаймана действительно является дубле-
том с расщеплением АА/А = 0.00053/1216 = 4.4 • 10“6 .
Аналогично можно показать, что первая линия серии Баль-
мера На, отвечающая переходам 3S 2Р и 3Z) 2Р является
квинтетом, то есть расщеплена на пять компонент, расстояния
между которыми соответствуют наблюдаемым величинам193.
Таким образом, волновая механика с учетом спина и маг-
нитного момента электрона как наблюдаемых сумела адекватно
описать как магнитные свойства атома водорода (расщепление
190 Это правило было установлено эмпирически еще до его теоретического
обоснования.
191 Лишние в данном контексте индексы не указаны.
192Убедитесь в этом.
193См. задачу 4.18.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
809
на два пучка в неоднородном статическом магнитном поле), так
и почти все особенности спектров испускания и поглощения во-
дорода194.
Завершая изложение материала о тонкой структуре уровней
энергии атома водорода и о соответствующей тонкой структу-
ре спектров испускания и поглощения, укажем, что у протона и
нейтрона был обнаружен в точности такой же спин, как и у элек-
трона, что означает, что проекция спина протона и нейтрона на
любое направление может принимать лишь два значения ±|/г.
Соответственно, обладают ядра атомов и собственными магнит-
ными моментами, величины которых, однако, примерно на три
порядка меньше собственного магнитного момента электрона,
что определяется малостью ядерного магнетона Бора (4.320) по
сравнению с электронным магнетоном Бора (4.319). Тем не ме-
нее, взаимодействие между магнитными моментами ядра и элек-
трона приводит к расщеплению уровней энергии атомов, назы-
ваемому в силу малости сверхтонким расщеплением.
Эффект Зеемана и эффект Штарка
Исчерпывающим образом нерелятивистская квантовая механи-
ка объяснила и влияние постоянного магнитного поля на водо-
родоподобные ионы, экспериментально изучаемое не только при
расщеплении атомных пучков в неоднородном магнитном поле,
но и при расщеплении спектральных линий спектров испускания
и поглощения при наложении на излучающую среду однородного
магнитного поля.
Влияние магнитного поля на спектры испускания от-
крыл в 1896 году голландский физик П. Зееман, наблюдавший
расширение Р-линий спектра испускания натрия в присутствии
194 Однако оказалось, что уровни энергии состояний 2S1 и 2Pi, которые
2	2
в соответствии с (4.377) должны совпадать, на самом деле отличаются на
Д£ь = 4.375 • 10“6 эВ. Кроме того, проекция спинового магнитного мо-
мента электрона оказалась равной не точно магнетону Бора, а величине
1.0011596522/zB. Только в квантовой электродинамике указанные факты на-
шли свое объяснение в рамках представления о взаимодействии электрона
с вакуумом, при этом было достигнуто совпадение теоретических и экспе-
риментальных результатов до одиннадцатой значащей цифры.
В 1955 году Нобелевскую премию по физике получили два американских
физика — П. Куш "за точное определение магнитного момента электрона"
и У.Ю. Лэмб "за открытия, связанные с тонкой структурой спектра водо-
рода". Рассказ об этом, однако, выходит далеко за рамки нерелятивистской
квантовой механики (но не атомной физики!).
810
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
магнитного поля195. Эффект расщепления линий спектров ис-
пускания и поглощения был назван в честь открывателя эф-
фектом Зеемана. Последний объясняется расщеплением уровней
энергии атомов в присутствии магнитного поля, также называе-
мым эффектом, или явлением Зеемана.
В 1913 году немецкий физик И. Штарк добился расщепле-
ния линий спектра испускания водорода в электрическом поле,
что также объясняется расщеплением уровней энергии атома во
внешнем электрическом поле196 197. Расщепление как спектральных
линий, так и уровней энергии атомов в электрических полях бы-
ло названо эффектом Штарка.
Явления, сопровождающие расщепление линий спектров ис-
пускания атомов в магнитных полях, весьма разнообразны и тре-
буют для своего описания довольно много места. Заинтересован-
ный читатель может обратиться к специализированным руковод-
ит
ствам1 .
Между тем в рамках нерелятивистской квантовой механи-
ки и эффект Зеемана, и эффект Штарка нашли естественное
и исчерпывающее объяснение, заключающееся в решении нере-
лятивистского уравнения Паули в первом случае и временнбго
уравнения Шрёдингера во втором.
Фактически вся подготовительная работа по объяснению эф-
фекта Зеемана применительно к произвольному атому, описыва-
емому квантовыми числами J, Ln S, уже была проведена выше,
когда было установлено, что полный магнитный момент атома
описывается выражениями (4.375) и (4.376). При этом в состоя-
нии с внутренним квантовым числом J число разных проекций
магнитного момента атома есть 2J + 1, а состояния с разными
магнитными моментами вырождены по энергии. При наложении
на атом постоянного внешнего магнитного поля Bz вырождение
по квантовому числу mj снимается. Не проводя заново вычисле-
195В том же 1896 году голландский физик-теоретик Г.А. Лоренц попытал-
ся объяснить эффект Зеемана в рамках классической физики, предположив
наличие отрицательно заряженных частиц в атомах. В 1902 году Нобелев-
скую премию по физике присудили Зееману и Лоренцу "в знак признания
выдающегося вклада, который они внесли своими исследованиями влияния
магнетизма на излучение”.
196 В 1919 году Штарк получил Нобелевскую премию по физике ”за от-
крытие эффекта Доплера в канальных лучах и расщепление спектральных
линий в электрических полях”.
197См., например: Кондон Е., Шортли Г. Теория атомных спектров. М.:
ИЛ, 1949. 440 с.; Ельяшевич М.А. Атомная и молекулярная спектроскопия.
М.: Физматлит, 1962. 892 с.
4.7. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
811
ний, опишем лишь их итог, касающийся уровней энергии атома:
пока изменение энергии уровней под действием слабого магнит-
ного поля много меньше тонкого расщепления, каждый уровень
энергии атома в постоянном магнитном поле расщепляется на
подуровни, число которых равно кратности вырождения 2J + 1.
Энергия подуровня отличается от энергии невозмущенного со-
стояния на величину энергии взаимодействия магнитного момен-
та с магнитным полем:
MZBZ = gpBmjBz ,	(4.380)
где значение фактора Ланде зависит от квантовых чисел состоя-
ния198. При этом уровни могут расщепляться как на четное, так
и нечетное число подуровней в зависимости от того, является ли
число J полуцелым или целым.
Определение разрешенных переходов между состояниями
в случае эффекта Зеемана, во-первых, регулируется ранее сфор-
мулированными правилами отбора для квантовых чисел n, L и J,
а также правилом отбора по квантовому числу тj: оптически
разрешены переходы, для которых
Amj = 0, ±1.	(4.381)
Не рассматривая конкретных примеров в тексте199, заметим,
что в слабых магнитных полях наблюдается расщепление спек-
тральных линий как на четное, так и нечетное число линий.
С классической точки зрения это необъяснимо, и эффект был
назван аномальным еще до возникновения квантовой механики.
Ничего аномального в эффекте Зеемана с точки зрения волновой
механики, конечно же, нет.
В случае сильных полей (когда магнитное расщепление уров-
ней энергии становится много больше тонкого расщепления, так
что граница между сильными и слабыми полями в эффекте Зее-
мана определяется для каждого уровня атома отдельно), каждая
разрешенная линия спектра расщепляется на три составляющие
(сохраняющие при этом тонкую структуру), то есть возникает
так называемый простой триплет Зеемана-Лоренца, происхож-
дение которого нетрудно объяснить: в сильных для данного уров-
ня полях спин-орбитальным взаимодействием (то есть членом
198Формула Ланде (4.375) на самом деле справедлива только для случая
так называемой нормальной связи, о чем подробнее будет сообщено далее.
199См. задачу 4.19.
812 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
LS в гамильтониане) можно пренебречь по сравнению со взаимо-
действием по отдельности спинового и орбитального магнитного
моментов атома с магнитным полем. В терминах классической
векторной диаграммы в сильном поле полный магнитный мо-
мент атома прецессирует не вокруг полного момента импульса,
а вокруг вектора индукции магнитного поля. Тогда объедине-
ние результатов, полученных в подразд. 4.7.1 и 4.7.2, позволяет
дать аналитическое выражение для уровней энергии в сильном
магнитном поле:
£ = £0 +	+ 2ms)Bz ,
где £q — энергия уровня в отсутствие магнитного поля, и ms
— проекции орбитального момента импульса и спина электрон-
ной оболочки на направление сильного статического однородно-
го магнитного поля.
Если переход между двумя уровнями энергии без магнитного
поля был разрешен, то в сильном магнитном поле надо вспом-
нить о правилах отбора для ть и ms по отдельности, в соответ-
ствии с которыми разрешены переходы, если
Дть — ±1, /\mj = 0.
Отсюда нетрудно понять, что в сильных полях всегда будет про-
исходить превращение линии в триплет, соответствующий энер-
гетическому отклонению боковых линий от центральной на ве-
личину ^bBz .
Такое явление впервые наблюдали немецкие физики Пашен
и Бак в 1912 году, поэтому расщепление спектральных линий
в простой триплет Зеемана-Лоренца в сильных магнитных полях
получило название эффекта Пашена-Бака.
В отличие от эффекта Зеемана, когда с магнитным полем
взаимодействует, вообще говоря, ненулевая проекция магнитного
момента атома на направление поля, электрический дипольный
момент всех свободных атомов всегда равен нулю (из-за взаимной
коммутативности гамильтониана атома и оператора четности),
поэтому атомы взаимодействуют с постоянными электрическими
полями благодаря поляризуемости, когда во внешнем электри-
ческом поле у атома возникает индуцированный электрический
дипольный момент. Однако рассмотрение данного вопроса из-за
ограниченности объема не включено в настоящее издание.
4.8. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ И ПРИНЦИП ПАУЛИ 813
4.8 Многоэлектронные атомы
и принцип Паули
В предыдущих разделах настоящей главы были сформулирова-
ны основные положения нерелятивистской квантовой механи-
ки. Поскольку соответствующие уравнения Шрёдингера и Па-
ули допускают получение решений в аналитическом виде для
некоторых одночастичных систем, было показано, как ’’работа-
ет” волновая механика на экспериментально проверяемых при-
мерах гармонического осциллятора, ротатора и атома водорода.
В рамках проведенного анализа нашла адекватное описание
энергетическая структура атома водорода, включая эффекты
тонкого расщепления. На основе расчета вероятностей перехо-
да и обоснования правил отбора были определены спектральные
линии, которые испускает и поглощает водород.
Были адекватно описаны поведение атома водорода в магнит-
ном поле, объясняющее исход опыта Вреде по методу Штерна
и Герлаха, а также особенности эффектов Зеемана и Пашена-
Бака. Могло бы быть проведено полное исследование поведения
атома водорода в постоянном электрическом поле (для чего по-
надобилось бы решить уравнение Шрёдингера в параболических
координатах), которое ведет к выводам, целиком соответствую-
щим наблюдаемому поведению водорода в электрическом поле.
Кроме того, было показано, что квантовая механика стала
обоснованием ньютоновской классической механики.
Поскольку все предсказания волновой механики соответству-
ют экспериментальным данным с высокой степенью точности,
не может быть никаких сомнений в справедливости кванто-
вой механики. В области своего действия эта теория уже ни-
когда не будет изменена, как не была изменена ньютоновская
механика после появления сначала релятивистской механики,
а потом — квантовой механики.
Переходя от простого к сложному, необходимо применить
квантовую механику для изучения многочастичных систем, не
сводимых к одночастичным системам.
Изучение многочастичных систем привело к выводу, что кван-
товую механику следует дополнить еще одним положением фун-
даментальной важности, которое смогло быть сформулировано
только после открытия спина у электрона и у других микрообъ-
ектов.
814
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Фермионы и бозоны
Спин (то есть собственный момент импульса частицы, не свя-
занный с ее перемещением в пространстве) и собственный маг-
нитный момент микрообъектов нашли последовательное описа-
ние только в рамках релятивистской квантовой теории, основы
которой не излагались в курсе атомной физики, поэтому ниже
вкратце сообщается только о твердо установленных результатах
без какого-либо их обоснования.
После открытия спина и собственного магнитного момента
электрона было обнаружено, что такими же наблюдаемыми об-
ладают и протоны, и нейтроны, и фотоны. В настоящее время
время спин и магнитный момент признаны универсальными на-
блюдаемыми, сопоставляемыми всем известным микрообъектам.
Например, спины протона и нейтрона, как и у электрона, рав-
ны ’’одной второй”, то есть s = . Последнее означает, что соб-
ственное значение оператора квадрата спина протона и нейтрона
имеет определенную величину s(s + 1)/г2 = 3/г2/4, а собственное
значение проекции спина на любое направление может прини-
мать лишь два значения msh = ±^/г. Спин фотона оказался рав-
ным ’’единице”, что означает, что величина квадрата спина фо-
тона есть 27г2, однако спин фотона может иметь только две (а не
три) проекции ±7г на направление импульса фотона, что макро-
скопически соответствует поперечности электромагнитных волн.
Спином также называют и полный момент импульса таких
сложных микрообъектов, каковыми являются ядра атомов, са-
ми атомы и молекулы. В последнем случае спин (он же на самом
деле полный момент импульса) микрообъекта вычисляется по
правилам квантовой механики как сумма спиновых и орбиталь-
ных моментов всех частиц, входящих в состав микрообъекта.
Например, спин ядра гелия, содержащего два протона и два
нейтрона, равен нулю. Спин молекулы водорода определяется
взаимной ориентацией спинов ядер, так как суммарный спин
электронной подсистемы (состоящей из двух электронов) равен
нулю200. Если молекула водорода образована из двух атомов про-
тия, то возможны два варианта. Спины протонов могут быть
как антипараллельны (и тогда общий спин молекулы равен ну-
лю, а молекула называется параводородом), так и параллельны
(и тогда общий спин молекулы равен единице, а молекула назы-
вается ортоводородом).
200 Молекула водорода с единичным спином электронной оболочки неустой-
чива, то есть распадается на атомы (диссоциирует).
4.8. ПРИНЦИП ПАУЛИ 815
Как уже отмечалось выше (см. примеч. к стр. 733) и как это
предсказывается квантовой механикой, молекулы параводорода
могут находиться лишь в состояниях с четной величиной Z, а ор-
товодорода — с нечетной. Вероятность же "переворота" спина
одного из протонов очень мала, поэтому молекулярный водород
можно рассматривать как смесь двух газов, причем при комнат-
ных температурах ортоводорода в естественной смеси 75 %, а па-
раводорода — 25%. Все это выводы квантовой механики нашли
экспериментальное подтверждение.
В общем случае величина спина микрообъекта характеризу-
ется целым или полуцелым числом S таким, что квадрат модуля
спина микрообъекта равен S(S + l)/z2, а если микрообъект име-
ет ненулевую массу, то проекция спина микрообъекта на любое
направление может принимать значения wish, где ms меняется
через единицу от — S до +S.
Частицы с полуцелыми спинами были названы фермионами,
а частицы с целыми спинами были названы бозонами.
Спину микрообъекта сопутствует собственный магнитный мо-
мент201 . Из релятивистской квантовой механики следует, что для
точечных бесструктурных частиц магнитный момент микрообъ-
екта со спином s = | должен быть равен соответствующему маг-
нетону, то есть магнетону Бора (4.319) для электрона и ядерно-
му магнетону Бора (4.320) для протона, если бы протон был то-
чечным бесструктурным объектом. При том же предположении
нейтрон в соответствии с релятивистской квантовой механикой
вообще не должен был бы иметь собственного магнитного мо-
мента. Между тем, измерения показали, что протон и нейтрон
обладают так называемыми аномальными магнитными момен-
тами Мр = +2.8^р, Мп = —1.9/ip, где знак "плюс" указывает
на параллельность спина и магнитного момента протона, а знак
"минус" — на антипараллельность спина и магнитного момен-
та нейтрона. Магнитный момент, как и спин, может иметь лишь
две проекции на любое направление в пространстве. "Аномаль-
ность" же магнитных моментов протона и нейтрона указывает
на сложность устройства этих частиц, как известно, состоящих
из кварков (см. гл. 1, подразд. 2.9.5).
Обладают магнитными моментами и ядра атомов, приводя
к появлению в структуре уровней энергии атомов сверхтонкой
структуры, вызванной взаимодействием магнитных моментов
ядра и электронной оболочки атома.
201 Магнитный момент фотона равен нулю.
816
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
4.8.1 Принцип тождественности
одинаковых микрообъектов
Эксперименты свидетельствуют о том, что каждый микрообъект
обладает такими же свойствами, какими обладает и любой дру-
гой микрообъект того же типа. Например, все электроны имеют
одинаковую массу и заряд, квадрат спина тоже у всех электро-
нов одинаков, как и собственный магнитный момент.
Когда в соответствии с положением 1 вводилась волновая
функция TV-частичной системы202, никаких ограничений на вид
волновой функции не делалось.
Однако дальнейшее развитие волновой механики показало,
что не все возможные волновые функции описывают физически
реализуемые состояния.
Рассмотрим для простоты систему из двух микрообъектов,
которым мысленно присвоим номера 1 и 2. Пусть полная волно-
вая функция, в общем случае зависящая от пространственных
и спиновых переменных203, будет обозначена в самом общем ви-
де как Ф(1,2), где цифры 1 и 2 подразумевают совокупность
всех пространственных и спиновых переменных, описывающих
’’первый” и "второй” микрообъекты соответственно. Тогда, как
указывалось ранее, |Ф(1,2)|2dVidV2 есть вероятность того, что
в объеме dV\ будет найден один микрообъект, а в объеме dV^
— другой. Однако экспериментального способа узнать, "первая”
или "вторая" частица обнаружены в объеме dVi, не существует.
Последнее обстоятельство очень тесно связано с утверждени-
ем о том, что микрообъекты не перемещаются в пространстве по
траекториям, так как в принципиальном отношении траектории
позволяют отличить один объект от другого.
Принцип неразличимости микрообъектов одного типа тре-
бует, чтобы вероятности обнаружения в объеме dV\ "первой" ча-
стицы, а в объеме dVz — "второй" частицы, не отличались бы
от обнаружения в объеме dV\ "второй" частицы, а в объеме dV<2
— "первой" частицы, то есть волновая функция двухчастичной
системы должна удовлетворять тождеству
|Ф(1,2)|2 = |Ф(2,1)|2.	(4.382)
Несмотря на то, что равенство модулей означает равенство
функций лишь с точностью до фазового множителя, было уста-
202См. стр. 668.
203 Зависимость полной волновой функции от времени в явном виде не вы-
писывается, но подразумевается.
4.8. ПРИНЦИП ПАУЛИ
817
новлено, что в природе реализуются только два варианта вол-
новых функций многочастичных систем.
Для фермионов полные волновые функции антисимметрич-
ны при перестановке местами аргументов любых двух одина-
ковых микрообъектов, то есть
Ф(1,2) = —Ф(2,1),	(4.383)
а для бозонов полные волновые функции симметричны при пе-
рестановке местами аргументов любых двух одинаковых мик-
рообъектов, то есть
Ф(1,2) =+Ф(2,1).	(4.384)
Последнее утверждение является фундаментальным законом
природы, называемым принципом неразличимости микрообъек-
тов одного типа, или принципом тождественности одинако-
вых частиц. Уверенность в его истинности основывается на пол-
ном согласии многочисленных выводов, следующих из принци-
па неразличимости, или тождественности микрообъектов одного
типа, с экспериментальными данными.
Получим одно из важных следствий принципа неразличимо-
сти, для чего рассмотрим систему из двух невзаимодействующих
(или слабо взаимодействующих) фермионов, каждый из которых
описывается, следовательно, своей полной волновой функцией
(например, де-бройлевской волной, умноженной на спинор х+
или Х-).
Пусть нормированная полная волновая функция одного фер-
миона есть Фд, а другого фермиона — Ф#. Вообще говоря, произ-
ведение204 волновых функций свободных фермионов Фд(1)Ф#(2)
является допустимым решением нерелятивистского уравнения
Паули. Однако принцип неразличимости требует, чтобы полная
волновая функция, описывающая оба фермиона как единую си-
стему, имела бы вид
Ф(1,2) = -^ [Фд(1)Фв(2) - ФЛ(2)ФВ(1)] .	(4.385)
Из вида полной волновой функции (4.385) следует, что если
функции Фд и Фв одинаковы, то есть описывают на самом деле
204В данном месте следовало бы определить, что такое произведение двух
спиноров. Не вдаваясь в детали, укажем лишь, что речь идет о математиче-
ски корректной операции: произведение двух спиноров (первого ранга) есть
спинор второго ранга, являющийся матрицей порядка 2x2.
818
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
одно и тоже состояние единственного микрообъекта, то
Ф(1,2) = 0,
что, разумеется, не соответствует никакому состоянию двухча-
стичной системы.
Таким образом, из принципа неразличимости следует, что
два даже невзаимодействующих одинаковых фермиона не мо-
гут находиться в состоянии, описываемом одной и той же
полной волновой функцией.
Подобное утверждение совершенно загадочно с классической
точки зрения, ведь объекты не взаимодействуют, то есть по
классическим представлениям ’’ничего не знают друг о друге”,
но, тем не менее, не могут находиться в одинаковых состояни-
ях. Последнее утверждение называется также принципом запре-
та Паули, первоначально высказанным в несколько иной форме
австрийско-швейцарским физиком В. Паули в 1925 году, еще до
появления волновой механики"5 .
Для бозонов аналогичный вывод из принципа неразличимо-
сти не следует: бозоны могут находиться в одном и том же со-
стоянии в неограниченном числе.
Очень важное значение принцип неразличимости играет
в квантовой статистике, в которой показывается, что термодина-
мически равновесные системы из большого числа бозонов опи-
сываются статистикой Ббзе-Эйнштейна, а системы из большо-
го числа слабо взаимодействующих фермионов — статистикой
Ферми-Дирака. Рассмотрение данного очень важного вопроса
выходит, однако, за рамки атомной физики. Укажем лишь, что
примером фёрми-системы является электронный газ в метал-
лах, а примерами бозе-систем являются равновесное тепловое
излучение и сверхтекучий жидкий 4Не.
Именно статистика Ферми-Дирака, являющаяся следстви-
ем принципа Паули, позволила объяснить основные свойства
электронного газа в металлах, определяющие теплоемкость
и электропроводность металлов. Иными словами, следствия из
принципа неразличимости нашли подтверждение в очень боль-
шом числе различных физических явлений. Далее будет показа-
но, каким образом принцип Паули позволяет объяснить наблю-
дающееся сходство химических свойств некоторых элементов. *
205В 1945 году В. Паули получил Нобелевскую премию по физике "за от-
крытие принципа запрета, который называют также принципом запрета Па-
ули".
4.8. ПРИНЦИП ПАУЛИ
819
4.8.2 О строении электронных оболочек
многоэлектронных атомов
Аналитические решения уравнений Шрёдингера и Паули для во-
дородоподобного иона позволили исчерпывающим образом объ-
яснить наблюдаемые свойства простейшего атома — атома водо-
рода. Однако уже для двухэлектронного атома — атома гелия,
соответствующие уравнения не позволяют получить аналитиче-
ские решения. Но если для гелия уравнение Шрёдингера мож-
но весьма точно решить с помощью численных методов, то по
мере роста числа электронов в атоме вычислительные сложно-
сти стремительно растут, так что точное исследование в рамках
квантовой механики свойств атомов тяжелых элементов пред-
ставляет собой очень сложную задачу.
Для приближенного описания свойств многоэлектронных ато-
мов были предложены разнообразные модели206, самой простой
из которых является одноэлектронное приближение в самосо-
гласованном поле.
В рамках этого приближения предполагается, что каждый
электрон может рассматриваться независимо и описываться вол-
новой функцией, зависящей лишь от трех пространственных и од-
ной спиновой переменной. При этом действие всех остальных
электронов на данный усредняется, так что считается, что элек-
трон движется в некотором потенциальном сферически симмет-
ричном электрическом поле, но уже не обязательно кулонов-
ском. Операция усреднения должна проводиться одновременно
для всех электронов атома, приводя к необходимости определе-
ния самосогласованного среднего поля, действующего на каждый
электрон. При этом принцип Паули играет определяющую роль,
так как состояния всех электронов обязательно должны быть
разными. И хотя такая картина заведомо приближенная, она
позволяет дать по крайней мере качественное объяснение наблю-
даемым свойствам атомов.
Состояния многоэлектронных атомов
Состояние свободных атомов определяется полной волновой
функцией, которая является в нерелятивистском приближении
решением уравнения Паули.
206Приближенный расчет свойств атомов и молекул теперь относится к об-
ласти квантовой химии — области естествознания, динамично развиваю-
щейся благодаря быстрому прогрессу вычислительной техники.
820
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
В подразд. 4.7.1 было показано, что для атома водорода ре-
шение уравнения Паули распадается на произведение волновой
функции, являющейся решением временнбго уравнения Шрёдин-
гера, и спинорной части полной волновой функции. Аналогич-
ным образом можно показать, что и для многоэлектронного ато-
ма решение уравнения Паули распадается на произведение вол-
новой функции, удовлетворяющей уравнению Шрёдингера, и спи-
норной части полной волновой функции.
В нерелятивистском приближении при этом получается, что
орбитальный момент импульса электронной оболочки сохраня-
ется, а электронная оболочка в целом имеет определенный квад-
рат модуля момента импульса, описываемый квантовым числом
L. Можно также показать, что спиновой части полной волно-
вой функции электронной оболочки соответствует определенное
значение полного спина S.
В многоэлектронных атомах с учетом взаимодействий спин-
спин и спин-орбита, а также релятивистских эффектов, строго
сохраняется только полный момент импульса электронной обо-
лочки J. При этом величина J зависит от того, какое взаимодей-
ствие сильнее: спин-спин или спин-орбита для каждого электро-
на, находящегося под действием самосогласованного поля.
В большинстве атомов преобладает взаимодействие спин-спин
(и такая связь поэтому была названа нормальной). В итоге сна-
чала спины всех электронов складываются в общий спин элек-
тронной оболочки, аналогично складываются орбитальные мо-
менты импульса всех электронов, а затем уже в полный момент
импульса складываются полный спин и полный орбитальный мо-
мент импульса электронной оболочки атома.
Символическая замена квантовых чисел, характеризующих
состояние уже атома в целом, была описана ранее (см. стр. 803),
так что, например, символ (’’синглет S ноль”), называемый
также термом, обозначает основное состояния атома гелия.
Состояние каждого отдельного электрона в едином самосо-
гласованном поле определяется главным квантовым числом п
и орбитальным квантовым числом Z, которое символьно обозна-
чается также, как и состояния электрона в водородоподобном
ионе. Так, 2р обозначает состояние электрона с п = 2, I = 1.
Несмотря на то, что в подразд. 4.7.3 было показано, что состоя-
ния с постоянным j не являются состояниями с определенными
проекциями mi и ms, принимают, что состояние с заданным I
имеет кратность вырождения 21 + 1. С учетом еще и двух про-
екций спина электрона кратность вырождения состояния с за-
4.8. ПРИНЦИП ПАУЛИ
821
данным I получается равной величине 21 + 2, правильно дающей
полное число 2п2 разных состояний электрона при фиксирован-
ном значении п.
Полное описание состояния атома в одноэлектронном при-
ближении требует, наряду с указанием квантовых чисел L, 5, J,
перечисления состояния всех электронов. Так, полное описание
состояния основного состояния гелия имеет вид Isis ^о, что для
сокращения записи пишут как Is2 ^Sq.
Заполнение состояний в многоэлектронных атомах
и ’’периодическая” система элементов
Идею о том, что химические свойства элементов определяют-
ся строением электронной оболочки атома, впервые высказал
в 1904 году Дж.Дж. Томсон, затем она развивалась рядом уче-
ных еще до возникновения квантовой механики.
Но лишь в 1925 году Паули предложил принцип запрета, ко-
торый (после появления волновой механики) позволил дать каче-
ственное объяснение происхождения эмпирически составленной
таблицы элементов, которая обычно именуется ’’периодической”
системой элементов.
Рассмотрим, как меняются электронные конфигурации и тер-
мы атомов при возрастании заряда ядра на единицу, выби-
рая при этом такую электронную конфигурацию (совместимую
с принципом запрета Паули), которая обеспечивает минималь-
ность энергии основного состояния атома.
Элементом с двумя электронами в электронной оболочке яв-
ляется гелий. Рассмотрим атом гелия в одноэлектронном при-
ближении. Минимальной энергией два электрона будут обла-
дать, если оба будут находиться в состоянии с п = 1, то есть в ls-
состоянии, в котором в соответствии с (4.370) как раз и может
находиться два электрона. Так как пространственная часть вол-
новой функции в ls-состоянии у электронов будет одной и той же
функцией, то в силу принципа запрета Паули у таких электро-
нов должны отличаться спиновые части полной волновой функ-
ции, которые могут быть либо спинором либо спинором х~.
Иными словами, спины двух электронов должны иметь противо-
положные проекции, что отвечает нулевому суммарному спину
электронной оболочки S = 0, нулевому суммарному орбиталь-
ному моменту импульса L = 0 и нулевому полному моменту им-
пульса электронной оболочки J = 0. Вся вместе эта информация
и сворачивается в символьное обозначение 1s2 ^о-
822
ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
Равенство нулю всех трех величин L, S и J характерно для
заполненного уровня с заданным квантовым числом п, который
должен насчитывать 2п2 электронов. Говорят, что электроны
с одинаковым п образуют слой. В рентгеновской спектроскопии
первые пять слоев п = 1,2,3,4,5, которые могут содержать мак-
симум по 2,8,18,32,50 электронов, обозначают заглавными бук-
вами латинского алфавита К, L, М, N, О соответственно.
В свою очередь, слои принято разбивать на оболочки, состо-
ящие из электронов с фиксированными значениями пи/.
Так как состояние с заданным I (21 + 1)-кратно вырождено,
да еще в каждом состоянии может находиться по 2 электрона
с противоположным спином, то максимальное число электронов
в оболочке есть 4Z+2, то есть в s-оболочке может быть 2 электро-
на, в р-оболочке — б электронов, в d-оболочке — 10 электронов,
в /-оболочке — 14 электронов и в р-оболочке — 18 электронов.
Атом гелия, таким образом, является атомом с полностью
заполненным первым К-слоем, состоящим из одной s-оболочки.
Энергия ионизации атома гелия самая большая среди всех ато-
мов и равна 24.59 эВ.
Помещение третьего электрона на уровень п = 1 (в слой К)
невозможно в силу принципа Паули, который в первоначальной
формулировке гласил, что двух электронов с одинаковым набо-
ром квантовых чисел в атоме быть не может. Следующий уро-
вень энергии существенно выше и соответствует главному кван-
товому числу п = 2, то есть слою L.
Поэтому в атоме лития два электрона расположены в полно-
стью заполненном слое К, а третий электрон находится в состо-
янии 2s в слое L. Так как заполненная оболочка не дает вклада
в полные величины для атома, то ясно, что полный орбиталь-
ный момент импульса атома лития в основном состоянии L = 0,
полный спин S = |, полный момент импульса J = |, откуда для
основного состояния атома лития получаем терм ls22s 2Si . Так
как энергия связи с ядром 25-электрона резко падает, то энер-
гия ионизации лития существенно ниже, чем у гелия, и равна
5.392 эВ.
Четвертый электрон в атоме бериллия заполняет состояние
2s аналогично тому, как в гелии два электрона заполняют состо-
яние 1s. Другими словами, у бериллия оказывается заполнена
s-оболочка L-слоя, так что L = 0, S = 0, J = 0, а основное состо-
яние описывается термом ls22s2 Энергия ионизации берил-
лия 9.32 эВ.
Пятый электрон в атоме бора начинает застраивать р-обо-
4.8. ПРИНЦИП ПАУЛИ
823
лочку, для которой I = 1. При этом возникают возможности как
параллельной ориентации спина и орбитального момента (j = |),
так и антипараллельной (J = |). Пример тонкого расщепления
атома водорода (см. рис. 4.50) показал, что состояния с меньшей
величиной j имеют меньшую энергию, поэтому для основного
состоянии атома бериллия получаем £ = 1,5=|,7=|и терм
вида ls22s22p 2Pi . Энергия ионизации бора 8.298 эВ.
2
Шестой электрон в атоме углерода должен стать вторым элек-
троном р-слоя L-оболочки. При этом возникает весьма важный
вопрос: как должны быть ориентированы спины двух электро-
нов p-слоя? Должны ли они быть антипараллельны, как спины
электронов s-слоя207, или они в основном состоянии атома будут
параллельны?
Ответ на последний весьма важный вопрос дает эмпирически
установленное в 1925 году немецким физиком Хундом правило,
названное в его честь правилом Хунда:
наименьшей энергией обладает состояние с максимально воз-
можным в данной электронной конфигурации спином S и мак-
симально возможным (при этом S) орбитальным моментом
импульса L.
Правило Хунда станет понятнее, если вспомнить о сравни-
тельно небольшой величине магнитного взаимодействия элек-
тронов по сравнению с электростатическим.
Если спины двух электронов параллельны, то они имеют оди-
наковые спинорные части, а в силу принципа запрета Паули пол-
ная волновая функция должна быть антисимметричной по пере-
становке местами частиц, что означает антисимметричность про-
странственной части волновой функции, то есть удовлетворение
равенства ^(п, Г2) = —^(г2? п), откуда при ri = Г2 антисиммет-
ричная функция /0(Г1,Г2) должна обратиться в нуль. Другими
словами, электроны с параллельными спинами не могут нахо-
диться в одном объеме одновременно, что резко снижает вели-
чину электростатической части энергии (наиболее существенной
в данном случае).
В соответствии с правилом Хунда спины обоих электронов
р-оболочки атома углерода должны быть параллельны, что даст
полный спин основного состояния 5 = 1. Так как два электрона
207Спины электронов s-слоев автоматически антипараллельны, что следу-
ет из принципа Паули, а в p-слое состояния электронов могут быть разными
за счет отличия проекций ть орбитального момента, что позволяет быть
спинам параллельными.
824 ГЛАВА 4. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
р-оболочки имеют одинаковые квантовые числа п = 2,1 = 1 и ms,
то они должны различаться по проекциям т£, таким образом,
чтобы дать максимальную величину L, что отвечает проекции
ttil = 1 для одного и проекции ttil = 0 для другого электрона
(а возможность второму электрону иметь ttil = — 1 отвергается
правилом Хунда). Таким образом, в основном состоянии атом уг-
лерода имеет L = 1. Выбрав также минимальное значение 7 = 0,
соответствующее антипараллельности спина и орбитального мо-
мента атома, получим для терма основного состояния углерода:
ls22s22p2 3Fo • Энергия ионизации атома углерода 11.26 эВ.
Седьмой электрон в атоме азота должен стать третьим элек-
троном р-слоя L-оболочки. По правилу Хунда все три спина
р-электронов должны быть параллельны, что дает спин элек-
тронной оболочки S = |. Все три проекции ть должны при этом
принять разные значения в силу принципа Паули, откуда полу-
чаем L = 0. Автоматически получаем J = |. Таким образом, ос-
новное состояние атома азота описывается термом ls22s22p3 45з .
2
Энергия ионизации атома азота 14.53 эВ.
Восьмой электрон в атоме кислорода должен стать четвертым
электроном р-слоя Р-оболочки. Его спин уже не может быть на-
правлен параллельно спинам трех предыдущих электронов (в си-
лу принципа запрета Паули), поэтому он будет антипараллелен
трем предыдущим, так что получаем S = 1. По правилу Хун-
да получаем, что при этом L = 1. Некоторой неожиданностью
оказывается, что спин и орбитальный момент атома кислоро-
да в основном состоянии складываются, давая 7 = 2. Оконча-
тельно имеем для основного состояния атома кислорода терм
ls22s22p4 3Р2 • Энергия ионизации атома кислорода 13.62 эВ.
Девятый электрон в атоме фтора должен стать пятым элек-
троном р-слоя Р-оболочки, что снижает спин атома до величины
S = |, но сохраняет неизменной величину L = 1. Как и у кисло-
рода, спин и орбитальный момент у фтора складываются, давая
в результате 7 = |, так что терм основного состояния фтора
принимает вид ls22s22p5 2Рз . Энергия ионизации атома фтора
17.42 эВ.
Наконец, десятый электрон в атоме неона достраивает как
р-оболочку, так и P-слой. Нетрудно убедиться, что все соответ-
ствующие величины для полностью застроенной оболочки обра-
щаются в нуль, давая для основного состояния атома неона терм
ls22s22p6 %. Энергия ионизации атома неона 21.56 эВ.
На этом определение термов основных состояний перво-
4.8. ПРИНЦИП ПАУЛИ 825
го и второго периодов таблицы элементов завершено. При этом
такая важная характеристика атома, как потенциал ионизации,
не демонстрирует никакого периодического поведения. Совер-
шенно никакой периодичности не обнаруживает и полный мо-
мент атома J в основном состоянии. Другими словами, нельзя
делать точные количественные предсказания о свойствах эле-
ментов на основании их места в таблице элементов208.
Тем не менее, можно продолжить процедуру определения тер-
мов основных состояний атомов и обнаружить нарушения в по-
рядке заполнения оболочек, связанные со сложной зависимостью
энергии состояний от п и Z209. Третий период таблицы еще за-
полняется, как и второй, то есть идет заполнение сначала s-слоя
М- о бол очки, затем p-слоя, которые заканчиваются на атоме ар-
гона — атоме с восемнадцатью электронами.
Начиная с калия, девятнадцатого элемента, вместо заполне-
ния d-оболочки М-слоя начинает застраиваться s-оболочка
Желоя, то есть оказывается, что энергия состояния 4s мень-
ше энергии состояния 3d. Полное описание порядка заполнения
состояний и термов конфигураций основных состояний атомов
можно в случае необходимости найти в справочнике210 211.
В общем же можно заключить, что атомы с полностью за-
полненными оболочками — атомы благородных газов — исклю-
чительно химически инертны, а химические свойства элемента
определяются строением его последней неполностью заполнен-
ной оболочки (валентными электронами). При этом в силу осо-
бенностей заполнения состояний возникают весьма разнообраз-
ные конфигурации внешних незаполненных оболочек. И следу-
ет отчетливо понимать, что качественное описание основных со-
стояний атомов базируется лишь на довольно грубом одноэлек-
тронном приближении, которое в случае необходимости получе-
ния более достоверных результатов должно уступать место более
точным, но весьма трудоемким численным методам квантовой
211
химшг.
208 Законы природы должны иметь четкую математическую формулиров-
ку, а не ни к чему не обязывающие расплывчатые формулировки.
209 В водородоподобных ионах энергия случайно вырождена по квантовому
числу I. В многоэлектронных атомах самосогласованное поле отличается от
кулоновского, и вырождение энергии по I снимается.
210Например: Эмсли Дж. Элементы. М.: Мир, 1993. 256 с.
211В 1998 году Нобелевская премия по химии была присуждена американ-
ским ученым за работы по квантовой химии: физик В. Кон получил премию
"за развитие теории функционала плотности”, а химик Дж. А. Попл — ”за
разработку вычислительных методов в квантовой химии”.
826___________________________________________________
Задачи к главе 4
4.1.	Доказать, что оператор декартовой координаты х равен
своему комплексно-сопряженному оператору т*.
4.2.	Доказать, что оператор, сопряженный произведению двух
линейных операторов F и G, равен произведению сопряженных
операторов, взятых в обратном порядке:
(FG)+ = G+F+.
4.3.	Учитывая результат предыдущей задачи, доказать, что
квадрат самосопряженного оператора также является самосо-
пряженным оператором.
4.4.	Доказать, что сумма и разность самосопряженных опе-
раторов — самосопряженные операторы.
4.5.	Доказать, что гамильтониан Н вида (4.74) — самосопря-
женный оператор.
4.6.	Доказать, оператор вида ахрх + (1 — а)рхх (а — про-
извольное вещественное число) будет самосопряженным только
при а = 1/2.
4.7.	Доказать, что произведение эрмитовых операторов явля-
ется самосопряженным оператором, если перемножаемые опера-
торы взаимно коммутативны.
4.8.	Убедившись, что волновая функция одночастичной си-
стемы
,т,/ ч 1 Г (z-жо)2 , грох'
=	4—^~ + ~ ]'
правильно нормирована, вычислить среднюю координату части-
цы в этом состоянии.
4.9.	Доказать, что нормировка волновой функции от време-
ни не зависит, то есть что если Ф есть решение из L2 временнбго
уравнения Шредингера для произвольной одночастичной систе-
мы, то интеграл f | Ф |2dV, взятый по всему пространству, от вре-
мени не зависит.
4.10.	Доказать, что операторы декартовых проекций момента
импульса Lx, Ly и Lz — эрмитовы.
4.11.	Доказать, что гамильтониан одночастичной системы в по-
тенциальном поле, обладающем сферической симметрией, вза-
имно коммутативен с оператором четности (4.54).
827
4.12.	Доказать, что оператор четности взаимно коммутативен
с операторами квадрата момента импульса и проекции момента
импульса на любое направление в пространстве.
4.13.	Вычислить средние потенциальную и кинетическую
энергии электрона в атоме водорода, находящегося в основном
состоянии 1s и в возбужденном состоянии 2s. Сравнить резуль-
таты.
4.14.	Доказать, что для заряженного линейного гармониче-
ского осциллятора оптически разрешены лишь переходы между
соседними энергетическими уровнями.
Указание: выписав матричный элемент координаты х, воспользо-
ваться тождеством (4.102).
4.15.	Вычислить излучательное время жизни 2р-состояния
атома водорода.
4.16.	Решить задачу на собственные значения оператора сг2,
определенного соотношением (4.346).
4.17.	Матрицы Паули определены соотношением (4.346).
а)	Показать, что квадраты всех трех матриц Паули равны
единичной матрице.
б)	Показать, что единственное собственное значение операто-
ра квадрата спина есть величина 3/i2/4.
в)	Показать, что любой спинор является собственным спино-
ром оператора квадрата спина. Иными словами, любое состояние
одночастичной электронной системы имеет определенную вели-
чину квадрата спина, равную ЗД2/4.
4.18.	Указать на рисунке 4.50 все разрешенные переходы, да-
ющие вклад в линию На спектра испускания атомарного водо-
рода. Убедиться, что На-линия является квинтетом.
4.19.	Определить с помощью формулы (4.380) расщепление
уровня энергии основного состояния атома водорода ISi в одно-
2
родном магнитном поле Bz.
а)	Сформулировать в виде неравенства условие малости ве-
личины магнитного поля Bz, чтобы формула (4.380) была спра-
ведлива для расчета расщепления уровней 2Pi и 2Рз в магнит-
2	2
ном поле.
б)	Определить расщепление уровней энергии атома водорода
в слабом магнитном поле в состояниях 2Р1 и 2Рз.
2	2
г) Определить расщепление в слабом магнитном поле спек-
тральных линий 2Fi —> 1S и 2Рз —> 1S спектра испускания
2	2
водорода.
828
4.20.	Определить термы основного состояния атомов третье-
го периода таблицы элементов. При определении величины J
в неясных случаях заглянуть в ответ. Найти число, на которое
расщепляется пучок атомов в неоднородном магнитном поле.
Ответ: Na (2Si), Mg (%), Al (2Pi), Si (3P0), P (45з), S (3P2),
Cl (2Pf), Ar (%).
Приложение 1
О формуле для математического ожидания случайной
величины
Все макроскопические тела составлены из громадного числа
частиц (молекул, атомов, ионов, электронов), что делает прин-
ципиально невозможным детальное описание поведения всех ча-
стиц тела. Поэтому в атомной физике используют вероятности
обнаружения тех или иных величин, что позволяет находить их
средние арифметические значения, называемые в теории веро-
ятностей математическим ожиданием случайной величины.
Разберемся сначала с дискретными случайными величинами.
Пусть найден мешок с советскими монетами (образца 1961 года)
достоинством в 1, 2, 3 и 5 копеек (массы таких монет 1, 2, 3 и 5 г
соответственно). Считая, что в мешке N » 1 монет, определим
среднюю массу монеты в мешке М как обычное среднее ариф-
метическое масс всех монет мешка:
— М<М +	+ • • • +	+ М1^	/ТТ1 ,.
м =----------------,	(П1.1)
где 7V/W — величина массы г-ой монеты (г = 1,2, ...,7V), при-
нимающая всего 4 возможных значения. С учетом последнего
обстоятельства сумму в числителе можно сократить только до
четырех членов, если обозначить количество монет каждого до-
стоинства как TVi, N2, и Очевидно, в числителе формулы
(П1.1) содержится N± членов, соответствующих М± = 1 г; ... ;
7V5 членов, соответствующих М$ = 5 г, а формулу (П1.1) можно
представить в виде
— _ MjNj 4- M2N2 4- M3N3 4- M5N5
Учтя, что при большом числе N величины Nk/N = (где
к = 1,2,3,5) есть вероятности обнаружения в мешке монеты со-
830
ответствующего достоинства, окончательно получим, что
М = Miwi + M2W2 + M3W3 + M5W5 = MkWk •	(П1.3)
к
В последней формуле Мк — возможные значения дискрет-
ной случайной величины, a Wk — вероятности обнаружения этих
значений. Формула (П1.3) и есть формула для среднего арифме-
тического значения, или математического ожидания дискретной
случайной величины, в которой все возможные значения случай-
ной величины домножены на соответствующие им вероятности,
а затем произведено суммирование.
Если случайная величина непрерывна, то формула для ее
среднего значения (математического ожидания) незначительно
видоизменяется.
Поставим и решим задачу определения средней величины мо-
дуля скорости частиц идеального газа, заполняющего макроско-
пический объем V. Для этого просуммируем скорости всех ча-
стиц, а результат разделим на количество частиц, то есть снова
начнем со среднего арифметического значения:
_ гА1) +	+ • • • +	.
v ------------------------------.	(П1.4)
Однако по такому алгоритму среднюю скорость не найти по
той простой причине, что скорость каждой из частиц газа опре-
делить невозможно. Все же допустим на мгновение, что ско-
рость каждой молекулы определил для нас волшебник, и оста-
лось лишь подставить скорости в формулу (П1.4). Пусть речь
идет всего лишь об одном кубическом сантиметре газа при нор-
мальных условиях, когда число частиц N = 2.69 • 1019.
Предположим, что на ввод с клавиатуры в память компью-
тера данных о скорости молекулы требуется всего одна секунда.
Тогда для ввода всей базы данных потребуется 0.86 • 1012 лет,
так как год состоит из примерно тг • 107 секунд. Время жизни
(возраст) Вселенной в настоящий момент оценивается примерно
в 1.37 • Ю10 лет. Другими словами, чтобы только ввести в па-
мять компьютера данные о скоростях молекул газа объемом все-
го 1 см3, потребуется время, примерно в 100 раз превышающее
возраст Вселенной.
Следовательно, детальные расчеты эволюции макроскопи-
ческих совокупностей атомов или молекул практически невоз-
можны уже в рамках классической физики. Практически не-
возможен прямой расчет даже средних величин по формуле
831
(П14). Поэтому спасением для физики стало понятие веро-
ятностиу позволившее создать конструктивный (исполнимый)
алгоритм расчета средних величин.
Таким образом, следует подчеркнуть, что концепция
вероятности в области атомной физики заняла главен-
ствующее положение.
Вспомним о функции плотности вероятности F(y), введен-
ной соотношением (1.5). Разобьем положительную часть оси аб-
солютной величины скорости v на отрезки длины Av. Распреде-
ление по скорости дает возможность найти число молекул ДАТ,
имеющих абсолютную величину скорости в любом из интервалов
[v,v + Av]: A7V = 7VF(v)Av.
Перегруппируем теперь слагаемые в формуле для средней
величины (П1.4) таким образом, чтобы сначала были учтены
все те молекулы, абсолютная величина скорости которых лежит
в интервале [0, Av], затем — молекулы со скоростью в интервале
[Av, 2Av], и так далее до бесконечности. Тогда получим, что мо-
лекулы, имеющие скорость в произвольном интервале [v, v + Av],
приближенно дадут 7VF(v)Av слагаемых в числителе, а сумма
этих слагаемых будет приближенно равна v7VF(v)Av. Сокра-
щая N в числителе и знаменателе (П1.4) и переходя к пределу
Av -> 0, получим точное выражение
+оо	+оо
v= / vF(v)dv= у* vdwv.	(П1.5)
о	о
Аналогичным образом определяется формула и для средне-
го значения любой другой случайной величины. Если поведение
атомных и субатомных частиц в макроскопическом объеме мо-
жет описываться некоторой случайной физической величиной X
(например, это может быть любая функция проекций скорости
частицы, длина свободного пробега и так далее), причем извест-
на плотность вероятности этой физической величины F(X), то
вероятность найти частицу, имеющую величину X в интерва-
ле [X,X + dX], есть dw(X) = F(X)dX, а число таких частиц
dN будет dN = Ndw(X) = NF(X)dX. Повторяя дословно рас-
суждения относительно средней скорости, получим для среднего
значения величины X формулу
Х = [ Xdw(X) = f XF(X)dX. (П1.6)
832
Последняя формула и есть формула для математического
ожидания (среднего значения) любой непрерывной случайной
величины1, очень похожая на аналогичную формулу (П1.3) для
дискретной случайной величины. Действительно, значение слу-
чайной величины X домножается на вероятность dw(X) обнару-
жения этой величины в интервале [X, X + dX], после чего про-
изводится интегрирование по всем возможным значениям непре-
рывной случайной величины.
Формула (П1.6), например, позволяет найти и средний квад-
рат проекции скорости частиц газа
+оо
Vx = У vxg(vx)dvx,	(П1.7)
—ОО
приравнивание которого величине кТ/m дает возможность сфо-
рмулировать одно из двух условий для определения констант С
и а в выражении (1.11) для д(ух)\
+оо
/*	9 /	\	кТ	/Т-ri
/ v2xg{vx}dvx =	— .	(П1.8)
J	m
—ОО
Вторым уравнением для определения констант Спав выра-
жении (1.11) является условие нормировки плотности вероятно-
сти (1.12):
+оо
У g(vx) dvx = 1.	(П1.9)
—ОО
Подстановка в последние два уравнения функции д(ух) из
(1.11) дает, соответственно, уравнения
и
—оо
(П1.10)
(П1.11)
гВ частности, эта формула использована для расчета средней длины сво-
бодного пробега молекул (1.45).
Замена переменной
x=Jlv‘
позволяет преобразовать уравнения (П1.10) и (П1.11) к виду
/2\3/2 +f°	кТ
С / х2 ехр(—a:2)dx = —	(П1.12)
—ОО
И
/2\1/2 Г
С ( — ] I ехр(—х2) dx = 1.	(П1.13)
—ОО
Несобственный интеграл в формуле (П1.13) является таблич-
ным:
-Ьоо
У ехр(—x2)dx = х/тг,	(П1.14)
—оо
а интеграл в формуле (П1.12) сводится к последнему интегриро-
ванием по частям:
+оо	+оо	-1-00
У х2 exp(-x2)cb = У xdexp(-x2) = | f ехр(—x2)dx =	.
— оо	—оо	—оо
(П1.15)
После подстановки двух последних интегралов в формулы
(П1.12) и (П1.13) возникает алгебраическая система двух урав-
нений относительно двух неизвестных, решение которой труда
не составляет и дает
m I ™
cl = —, С = л /------------,
кТ’ у 2тгкТ'
откуда и следует выражение (1.16).
Помимо усреднения по большому набору частиц (как говорят
в таких случаях, усреднения по ансамблю), в атомной физике ча-
сто приходится производить усреднение по времени. Например,
834
вместо средней по ансамблю скорости можно определить сред-
нюю по времени скорость любой выбранной частицы идеального
газа
т
Vt = тМ+оо	dt'	(П1.16)
to
где to — произвольно выбранное начало отсчета времени.
С течением времени каждая частица из-за столкновений при-
нимает всевозможные значения абсолютной величины скорости,
причем для достаточно больших промежутков времени Т мож-
но ввести долю времени dt/T, когда частица имеет скорость в
интервале [v, v + dv]:
dwt = ^ = Ft(v)dv ,	(П1.17)
где функция Ft (и) имеет смысл плотности вероятности обнару-
жения у фиксированной молекулы (при длительном за ней на-
блюдении) скорости в выбранном интервале.
Теперь не представляет труда переписать формулу (П1.16)
для средней по времени скорости в виде, аналогичном формуле
(П1.5) для средней скорости по ансамблю:
+оо	+оо
vt = У vdwt= У vFt^vjdv.	(П1.18)
о	о
Кажется довольно очевидным, что средние величины скоро-
сти по ансамблю и по времени должны совпадать между собой.
Можно даже утверждать бблыпее: доля времени, которую от-
дельная частица проводит, имея скорость в любом интервале
[v,v + dv], совпадает в каждый момент времени с долей частиц,
обладающих скоростью, лежащей в том же интервале, то есть
что F(v) = Ft(v). Несмотря на всю правдоподобность высказан-
ных утверждений, строгого их доказательства не существует.
Утверждение о равенстве средних величин по ансамблю и по
времени называется эргодической гипотезой, которую ввел
в 1871 году выдающийся австрийский физик Л. Больцман для
обоснования статистической физики.
Несмотря на отсутствие строгого доказательства, в настоя-
щее время не осталось никаких сомнений в справедливости пред-
положения Больцмана.
Приложение 2
Флуктуации и точность физических измерений
При изучении макроскопических тел необходимо помнить
о том, что это объекты, состоящие из огромного числа частиц,
находящихся в постоянном хаотическом тепловом движении. Ес-
ли макроскопическое тело термодинамически равновесно (или
если отклонение от равновесия невелико, и идут процессы пе-
реноса, когда равновесие осуществляется локально, см. раздел
1.2), то все макроскопические величины, характеризующие тело
(внутренняя энергия, давление, концентрация, потоки и целый
ряд других1), постоянны лишь с некоторой точностью, определя-
емой флуктуациями, то есть небольшими отклонениями мак-
роскопических величин от своих средних значений.
Ниже рассмотрен наиболее простой вид флуктуации — флу-
ктуации концентрации молекул в идеальных газах. Рассмотрим
идеальный равновесный газ, состоящий из Nq одинаковых моле-
кул, заключенных в объеме Vo- Средняя концентрация молекул
п будет, очевидно, определяться соотношением
п = Nq/Vq .
Если в газе мысленно выделить произвольный объем V < Vq,
то в среднем в этом объеме число молекул будет определяться
выражением	__
N=nV,	(П2.1)
доказательство чего приводится ниже.
Применительно к единственному объему газа речь идет, разу-
меется, об усреднении по времени, что означает, что в уравнении
(П2.1) величина N есть
т
(п2'2)
о
1 Например, энтропия, энтальпия, свободная энергия, изучаемые в рамках
термодинамики и статистической физики.
836
где N(t) — реально неизвестное количество молекул в объеме V
в момент времени t. Практически, конечно, усреднение по време-
ни в формуле (П2.2) производят не по бесконечному интервалу
времени, а по макроскопическому интервалу, который должен
быть много больше характерного времени смены знака флукту-
ации2. В то же время из надежно обоснованной эргодической ги-
потезы (см. конец приложения 1) следует, что величину N мож-
но трактовать и как среднее по большому ансамблю одинаковых
объемов газа.
Таким образом, число частиц N в выбранном объеме являет-
ся типичной случайной величиной3, принимающей целочислен-
ные значения (при том предположении, что можно пренебречь
объемом молекулы по сравнению с объемом V), для которой
нетрудно найти распределение вероятностей принимать то или
иное значение.
Действительно, пусть q — вероятность для любой из No мо-
лекул газа находиться в объеме V. Последнее означает, что если
бы было возможно в течение длительного времени t наблюдать
за любой молекулой газа, то часть времени qt молекула была
бы обнаружена в пределах объема V. Соответственно, вероят-
ность обнаружить молекулу вне пределов объема V будет равна
Р = 1 “ Q-
Как вероятность q должна зависеть от величины V?
Во-первых, в силу того, что все точки газа эквивалентны4,
q должна быть линейной функцией V. Действительно, увеличе-
ние V, скажем, в 2 раза, должно, очевидно, вести к росту q тоже
в 2 раза.
Во-вторых, при V = Vb, очевидно, q = 1.
Линейной функцией, удовлетворяющей двум последним тре-
2При малых V, когда величина N порядка единицы, интуитивно ясно,
что это время имеет порядок времени пролета молекулы через выбранный
объем V.
3Для одного объема (’’экземпляра”) газа эта величина случайно меняется
во времени, а для набора (ансамбля) экземпляров одинаковых объемов газа
величина ЛГ, взятая в один и тот же момент времени, меняется от одного
экземпляра ансамбля к другому.
4 Ни одна точка газа внутри объема Vb при равновесии ничем не отлича-
ется от остальных. На первый взгляд может показаться, что граница объе-
ма нарушает эквивалентность внутренних и внешних точек, однако это не
так. Дело в том, что поток отраженных от границы молекул в точности ра-
вен потоку падающих на границу молекул, поэтому всегда можно считать,
что ограниченный реальными стенками объем рассматриваемого газа экви-
валентен мысленно выделенной части значительно бблыпего (в пределе —
сколь угодно большого) объема равновесного газа.
837
бованиям, является
« =		(П2.3)
В идеальном газе каждая из No молекул может с вероятно-
стью q независимо от других молекул находиться в объеме V.
Тогда вероятность обнаружить в объеме V N заранее выбранных
молекул будет равна величине qN, так как вероятности незави-
симых событий перемножаются.
При этом все остальные молекулы также будут иметь веро-
ятность q находиться в объеме V и вероятность р находиться вне
этого объема, так как, вообще говоря, местонахождение осталь-
ных No — N молекул ничем не фиксировано. Если эти молекулы
(No — N штук) находятся вне объема V (вероятность чего есть
р^0-^), то вероятность обнаружить в объеме V ровно N заранее
выбранных молекул (из общего числа No молекул) будет равна
qNpNo-N Однако последняя величина еще не есть вероятность
обнаружения в объеме V ровно N произвольных молекул газа.
Чтобы найти последнюю вероятность, нужно подсчитать число
способов, которыми из No молекул можно выбрать разные набо-
ры по N фиксированных молекул, а это, как хорошо известно из
комбинаторики, есть число сочетаний
_	М)!
N° Nl(N0-N)l'
(П2.4)
Таким образом, вероятность обнаружить в объеме V ровно
N молекул, принимает следующий окончательный вид:
=cjyD ,y-v =	w), га -	 (П2.5)
Сумма вероятностей всех независимых событий, естественно,
должна быть равна единице. Так как в объеме V может быть об-
наружено любое число молекул от N = 0 до N = No, то должно
выполняться равенство
Nq
WN = 1 .
N=0
(П2.6)
838
Подставляя в (П2.6) выражение wn из (П2.5), убеждаемся,
что
No	No
52 w" = 52 С%0 qNpN°~N = (g + p)N° = 1N° = 1.	(П2.7)
N=0	N=0
Знание вероятностей wn позволяет определить как среднее
наблюдаемое в объеме V число частиц (которое ранее уже бы-
ло обозначено как N), так и флуктуации числа частиц вокруг
среднего значения. Действительно, среднее значение случайной
величины (или математическое ожидание), принимающей дис-
кретный ряд значений, в соответствии с формулой (П1.3) при-
ложения 1 определяется выражением
No
N = 52 Nwn 	(П2.8)
w=o
Последнее выражение легко суммируется [с учетом очевид-
ного тождества NqN = qd(qN)/dq]:
N= V ______NN°l____qNpN°~N =
M(2Vo -Ny.q P
= q—Y______________q NpN°~N =
dq^N\(N0-N)iq P
= q^q + p)N°=qN0(q + p)N°-1	=qN0.	(П2.9)
uq	q+p=l
Учитывая, что q определяется формулой (П2.3), получаем, что
среднее число молекул в объеме V совпадает с выражением (П2.1),
которое, следовательно, можно считать доказанным.
Теперь определим, в каких пределах в среднем колеблется
число молекул в объеме V. Для этого введем величину случай-
ного отклонения числа частиц AN в объеме V от среднего:
AN = N-N.	(П2.10)
Очевидно, что среднее от AN равно нулю. Для формального
доказательства последнего утверждения достаточно усреднить
839
равенство (П2.10) и учесть, что среднее суммы есть сумма сред-
них.	____
Равенство AN = 0 означает, что превышение числа частиц
над средним случается так же часто, как и соответствующее
уменьшение числа частиц ниже среднего. Степень среднего от-
клонения случайной величины от среднего значения принято ха-
рактеризовать средним квадрата AN:
(A7V)2 = N2 - 2N N + N2 = № -N2 .	(П2.11)
Таким образом, для определения флуктуаций случайной ве-
личины необходимо знать ее средний квадрат. Вполне аналогич-
но расчету среднего значения, среднее квадрата получается из
тождества N2qN = дД	и цепочки равенств
No
№=Е
N=Q
N2 Nq'. N Nq-N
N'.(N0-N)'.4 p
d
dq dq
d yv Np\ N Nq—N
2^N'.(NQ-Nyq P
d
= qw q^~^+p)No =
dq [ dq
= [qN0(q +	+ q2 Nq(Nq - 1)(g + p)N°~2]
q+p=l
= g2V0[l + q(N0 - 1)] •	(П2.12)
Подставляя (П2.12) в (П2.11) и деля результат на N, полу-
чаем относительное среднее отклонение случайной величины от
своего среднего значения:

N
(П2.13)
Последняя формула показывает, что при V —> Vo относитель-
ная величина флуктуаций монотонно уменьшается, обращаясь
в нуль при V = Vb, поскольку во всем объеме число частиц No
840
не изменяется. С другой стороны, при уменьшении V относи-
тельная величина флуктуаций возрастает. При V Vq формула
(П2.13) приобретает особенно простой вид, так как величиной
V/Vo можно пренебречь по сравнению единицей:
7(W	1
V _	(П2.14)
N	VN	’
Рассмотрим два конкретных	примера. Пусть при нормаль-
ных условиях из кубометра газа выбран объем V = 1 см3. Тогда
среднее число частиц в нем будет числом Лошмидта (1.130), сле-
довательно, N = 2.69 • 1019, а относительная флуктуация будет
порядка 10“10, то есть очень малой величиной. В то же время,
если выбрать такой объем V, что среднее число частиц в нем
будет N = 1, то и относительная величина флуктуации станет
единичной. Последнее означает, что значительную часть време-
ни в объеме то не будет частиц совсем, то будет одновременно
сразу две частицы. Именно по последней причине диффузион-
ный поток в областях, где концентрация примеси спадает до ну-
ля, сильно флуктуирует, а решения уравнения диффузии плохо
описывают процесс при малых величинах концентрации п, о чем
упоминается в подразд. 1.2.1.
Формулы для относительных флуктуаций других термодинамиче-
ских величин выводятся методами статистической физики. Относи-
тельные флуктуации термодинамических величин, как правило, так-
же убывают по закону (П2.14). В качестве примера укажем без выво-
да формулу для среднеквадратичной флуктуации внутренней энергии
идеального газа в малом объеме V, содержащем среднее число моле-
кул N:
(АС/)2 = кТ2Су ,	(П2.15)
где Су — теплоемкость газа при постоянном объеме V.
Если полное число степеней свободы рассматриваемого газа есть
г, то каждая молекула в среднем обладает энергией ikT/2, a N моле-
кул — энергией U = ikTN/2. Соответственно, средней теплоемкостью
малого выбранного объема будет величина Су = Nik/2. Тогда для от-
носительной флуктуации энергии идеального газа в малом объеме V,
содержащем среднее число молекул 7V, окончательно получается вы-
ражение, похожее на выражение для относительной флуктуации числа
частиц (П2.14):
=	(П2.16)
и V iN	V
841
Флуктуации давления сложнее для рассмотрения, чем флуктуации
числа частиц или энергии частиц в заданном объеме. Последние две ве-
личины являются функциями времени, тогда как давление есть усред-
ненный результат столкновений частиц со стенками, зависящий, вооб-
ще говоря, от промежутка усреднения. Поэтому флуктуации давления
необходимо обсуждать, рассматривая их частотный спектр. Частот-
ный спектр флуктуаций (или тепловых шумов напряжения в электри-
ческих цепях, относительно которых сформулирована теорема Найк-
виста) выходит за рамки настоящего издания.
Из вышеприведенного анализа флуктуаций можно сделать
важный вывод о том, что все измерения макроскопических ве-
личин, имеющих статистическую природу, при однократном
измерении можно получить лишь с точностью до случайных
флуктуаций. Так, в экспериментах Перрена (см. подразд. 1.3.2)
по подтверждению справедливости распределения Больц-
мана (1.61) однократно наблюдалось лишь несколько броунов-
ских частиц, что практически означало определение концентра-
ции с единичной относительной погрешностью. Для получения
относительной точности измерений всего в 1 % необходимо было
наблюдать минимум 10 000 частиц. Перрен произвел наблюдение
13 000 частиц на четырех разных высотах.
Относительные флуктуации потоков частиц также соответ-
ствуют выражению (П2.14). В опытах по проверке формулы Ре-
зерфорда, описанных в подразд. 2.9.4, пришлось визуально на-
блюдать более миллиона сцинтилляций.
В подразд. 1.3.1 был описан один из вариантов влияния вра-
щательного броуновского смещения на точность измерительно-
го прибора. Общая же точность измерений зависит не только
от статистических флуктуаций измеряемой величины, но так-
же и от погрешности, вносимой в измерение прибором. Полная
теория соответствующих измерений рассматривается математи-
ческой статистикой, результаты которой необходимо знать как
инженерам, так и физикам.
Приложение 3
Заряженный гармонический осциллятор со слабым зату-
ханием в поле равновесного теплового излучения
Материал, изложенный в данном приложении, для изучения
не обязателен.
Но он подтверждает правильность приведенной в разд. 3.2
без доказательства формулы (3.156).
Пользуясь идеями Планка, но не копируя их, получим важную
формулу, связывающую среднюю энергию заряженного гармоническо-
го осциллятора (собственная частота колебаний которого о>о) и спек-
тральную компоненту плотности энергии равновесного теплового из-
лучения на частоте осциллятора о>о-
Одномерный гармонический осциллятор с затуханием.
Под гармоническим осциллятором в физике понимают тело, дви-
жущееся под действием линейной возвращающей силы, направленной
к неподвижному центру. Если тело может двигаться только вдоль фик-
сированной прямой, то осциллятор называют одномерным1.
Рассмотрим одномерный осциллятор (движение которого происхо-
дит вдоль оси Oz декартовой системы координат), совершающий коле-
бания с частотой о>о- Линейная возвращающая сила возникает, когда
частица находится в параболической потенциальной яме, то есть имеет
потенциальную энергию U(z) = fz2/2.
Уравнение движения такого осциллятора может быть записано
в виде
d?Z dU f	/ТТО 1 \
где т — масса тела, совершающего колебания, f — коэффициент, ха-
рактеризующий величину силы, действующую на тело.
В соответствии с уравнением (П3.1) тело будет совершать гармо-
нические колебания
z(t) = zq sin(a>o^ + Ы,	(П3.2)
где амплитуда колебаний zq и начальная фаза определяются на-
чальными данными движения, а частота колебаний есть параметр ос-
1 Равномерное движение вдоль окружности эквивалентно двум одномер-
ным гармоническим осцилляторам.
843
циллятора gjq = f/m. С учетом выражения для частоты уравнение
движения осциллятора (П3.1) можно переписать в виде
(d?z о \	ч
тп \ ~dt? +cjozJ = 0 •	(ПЗ.З)
Полная энергия колеблющегося тела (называемая также энергией
гармонического осциллятора) есть сумма кинетической и потенциаль-
ной энергий, в нерелятивистском приближении имеющая вид
„ тп (dz^\ f 9 тп f dz^\	9 9
5 = Т л	7/7 +woz •	(ПЗ-4)
2 dt J	2 rft J
Если колеблющееся тело незаряжено, то полная энергия осцилля-
тора, в силу закона сохранения энергии, постоянна, то есть не зависит
от времени. В этом легко убедиться, подставив в (П3.4) зависимость
z(£) из (П3.2):
£ =	.	(П3.5)
Если же колеблющееся тело обладает электрическим зарядом д, то
оно будет излучать электромагнитные волны и постепенно терять свою
энергию, поэтому величина £ из (П3.4) начнет монотонно убывать,
пока осциллятор не остановится.
В классической электродинамике для учета излучения зарядом
электромагнитных колебаний вводят так называемую силу радиаци-
онного торможения (лучистого трения) таким образом, чтобы работа
этой силы за любой промежуток времени была бы равна энергии из-
лученных волн за то же время. Однако далее будут рассматриваться
только значительные (по сравнению с периодом колебания осцилля-
тора) промежутки времени, поэтому достаточно выбрать такую силу
радиационного торможения, средняя работа которой по периоду коле-
бания осциллятора была бы равна излученной за то же время энергии.
Для этого, как станет ясно далее, достаточно ввести силу трения, про-
порциональную скорости частицы с постоянным коэффициентом, на-
зываемым постоянной затухания осциллятора у. С учетом затухания
уравнение движения (ПЗ.З) следует заменить уравнением
/d2z dz 2 A	/rm
mU?+7s+"«\)=o-	<пз-б)
Решение линейного дифференциального уравнения второго поряд-
ка с постоянными коэффициентами (П3.6) имеет вид
z(t) = zq ехр(—7^/2) sin(a>t + ^о) ,	(П3.7)
где частота си = ycug — 72/4. Для осциллятора со слабым затуханием
(когда 7 о>о) изменение частоты колебаний есть величина второ-
го порядка малости по 7/0,0- Действительно, разложение в ряд дает
Acj/cjo ~ —72/8ojq .
844
Подставив решение (П3.7) в выражение для энергии осциллятора
(П3.4) при слабом затухании, в пренебрежении малыми членами 7/0,0,
получим
£ = ^0 exp(_7J) = ^l^exp(-7i/2)p	(пз 8)
2	2
Величина zoexp(—7^/2) — убывающая амплитуда колебаний, а выра-
жение (П3.8) полностью аналогично (П3.5).
Зависимость энергии осциллятора от времени (П3.8) позволяет оп-
ределить "физический смысл" постоянной затухания. Действительно,
из (П3.8) следует, что
^=7,	(П3.9)
&
то есть что постоянная затухания осциллятора у есть доля энергии,
теряемой осциллятором в единицу времени2. Усреднив соотношение
(П3.9) по периоду, можно также сказать, что постоянная затухания
осциллятора есть отношение средней мощности излучения к средней
энергии осциллятора.
Вспомним, что средняя по периоду мощность излучения заряжен-
ного гармонического осциллятора без затухания была рассчитана ра-
нее [см. гл. 2, подразд. 2.9.6, формула (2.201)]. Производя аналогичный
расчет для осциллятора со слабым затуханием, необходимо просто за-
менить постоянную амплитуду колебаний zq ее текущим значением
zq ехр(—7^/2), так что получится формула
d£idt = W =	.	(П3.10)
1	12тгё0с3
Чтобы вычислить постоянную 7 заряженного гармонического ос-
циллятора со слабым затуханием_как функцию его параметров, оста-
ется лишь взять W из (П3.10), а 5, совпадающую с 5, из (П3.8):
ТУ _
~8 бтг^отпс3 ’
(П3.11)
Таким образом, при 7 о,о уравнение движения (П3.6) описывает
медленно затухающие колебания практически частоты о,0 заряженно-
го гармонического осциллятора со слабым затуханием.
Средняя энергия заряженного осциллятора в поле равно-
весного теплового излучения.
Если заряженный гармонический осциллятор поместить внутрь
полости с равновесным тепловым излучением, то уравнение (П3.6)
2Затухание имеет размерность частоты. Чтобы не оперировать с размер-
ной величиной, вводится безразмерное отношение Q = называемое
добротностью (колебательной системы).
845
необходимо заменить на уравнение, описывающее вынужденные ко-
лебания осциллятора
(d?z	dz	п \	, к	,
^2 + 7-77 +	) = qEz(t),	(П3.12)
(Il	(IL	J
где Ez{£) — напряженность электрического поля в месте нахождения
осциллятора с закрепленным центром.
Электрическое поле внутри полости — осциллирующая функция
времени, среднее значение которой (по времени) равно нулю, так как
равновесное излучение изотропно. Нетрудно вычислить и средний квад-
рат этой функции, если вспомнить выражение для плотности энергии
электромагнитного поля [см. гл. 3, разд. 3.4, формула (3.224)]. Усред-
няя это выражение по времени, получим среднюю плотность энергии
электромагнитного излучения в заданной точке г:
u(r) =	+ г0с2^-,	(П3.13)
где Е*2(г) и В2 (г) — средние квадратов напряженности электрического
поля и индукции магнитного поля в точке г.
Так как для электромагнитных волн Е = сВ, то формула (П3.13)
может быть записана в более простой форме
u(r) = ео^(г) = го(Ё% +	(П3.14)
Вследствие изотропности равновесного теплового излучения, оче-
видно, имеем В2 = В2 — £-2, откуда следует выражение для средне-
квадратичной проекции (на любую ось) напряженности электрическо-
го поля равновесного теплового излучения:
(П3.15)
Внутри полости осциллятор придет в равновесие с излучением, то
есть будет излучать в среднем ровно такую энергию, какую будет по-
глощать. При этом осциллятор будет обладать положительной средней
энергией £, определяемой формулой (П3.4), усредненной по времени.
Чтобы ее найти, необходимо знать функцию z(t) — решение уравнения
(П3.12).
Найдем z(t} для большого интервала времени 0 < t < Т, предпо-
лагая, что осциллятор до t = 0 уже находился в полости так долго,
что пришел в равновесие с излучением3. Разложим на отрезке [0,Т]
непрерывную функцию Ez(t) в ряд Фурье:
+оо
= 12 CL<n cos(ti?72^ Н- ^п) j	(П3.16)
n=l
3Внимательный читатель, конечно же, не перепутает время Т с абсолют-
ной температурой Т.
846
где изп = 2im/T, а коэффициенты an и фазы определяются функ-
цией ^(t)4; ао = 0 в силу Ez(t) = 0.
Подставляя (П3.16) в правую часть (П3.12) и разыскивая вынуж-
денное решение в виде
+оо
= '^cncos(wnt + 'dn + <pn),	(П.17)
п=1
найдем5, что
сп = - — , ап		(ПЗ. 18)
m \/(7шп)2 + (о>2 - wg)2
Значения фазы <рп определяются соотношением
ctg ч>п =	.	(П3.19)
7^о
Решающее значение для последующих рассуждений имеет форму-
ла (П3.18), физическое значение которой поэтому необходимо разо-
брать подробнее. Для достаточно больших интервалов времени [0, Т]
частбты изп равномерно заполняют ось частот 0 < ш < 4-оо. В пределе
Т -> +оо ряд Фурье перейдет в интеграл Фурье, так что на осцилля-
тор будут одновременно воздействовать колебания всех положитель-
ных частот.
Изучим отклик осциллятора на воздействие монохроматической
электромагнитной волны амплитуды а (о?) произвольной положитель-
ной частоты си. В этом случае осциллятор будет колебаться с той же
частотой си, что и частота вынуждающего колебания. Амплитуда ко-
лебания с(о>) будет определяться формулой (П3.18), в которую только
вместо изп необходимо подставить из. Отношение энергии гармониче-
ского осциллятора к плотности энергии возбуждающей волны будет
пропорционально величине с2(из)/а2(cj), или функции Н(из):
Я(Ш) = 7----ТТТгЧ------2У2 •	(П3.20)
Ып)2 + (ш2 - оф2
Постоянный для осциллятора множитель cJq добавлен в числитель для
того, чтобы сделать функцию Н(из) безразмерной.
4Сумма ряда Фурье — периодическая функция времени, в то время как
хаотически изменяющаяся функция Ez(t) периодической не является. Од-
нако нас не интересуют ее значения вне выбранного отрезка времени, а на
интервале (О, Г) ряд Фурье сходится к любой непрерывной функции. Про-
блемы со сходимостью в граничных точках интервала отпадут из-за усред-
нения по большому отрезку времени.
5 Соответствующие выкладки сводятся к тривиальным тригонометриче-
ским преобразованиям, воспроизводить которые нет места. Читателю пред-
лагается выполнить их самому.
lool Щ®)
Рис. П3.1. Резонансные кривые
На рис. П3.1,а изображены функции Н(ш) для разных значений
добротности Q (или постоянной затухания 7 = cuq/Q) при произволь-
ной собственной частоте осциллятора cjq- Нетрудно найти, что макси-
848
мум функции достигается в точке	= cuq [1 — 1/(2Q2)], то есть
практически на резонансной частоте сио в случае слабого затухания.
Максимальное значение функции Н^ах = Q2/[l — 1/(4Q2)] ~ Q2-
Таким образом, осциллятор под воздействием монохроматической
волны (при постоянной плотности энергии волны) приобретает энер-
гию, резко зависящую от частоты волны. Такое явление называется
резонансом, а график функции называется резонансной кривой.
С ростом добротности (или с уменьшением постоянной затухания) пик
этой кривой растет как Q2, а ширина пика уменьшается как 1/Q.
Действительно, если найти частоту, при которой значение функции
Н уменьшается в два раза по сравнению с Нтах6, то для слабого за-
тухания получается ширина пика на полу высоте, равная 7.
Из-за того, что увеличение добротности не только приводит к суже-
нию пика на резонансной кривой, но и увеличивает высоту пика, труд-
но составить правильное представление об остроте резонанса.
На рис. ПЗ.1,6 изображены те же кривые, что и на рис. П3.1,а, но
только нормированные на единицу при tu = gu0, то есть поделенные
на Q2. Вид этих кривых позволяет лучше воспринять тот факт, что
с ростом добротности ширина пика убывает. Так, при Q = 50 энергия
вынужденных колебаний осциллятора убывает вдвое при отклонении
возбуждающей частоты си от сио на 1%, при Q = 500 — на 0.1% и так
далее.
Поскольку Планк рассматривал гипотетический осциллятор, ве-
личине Q можно приписывать любые положительные значения, на-
пример, Q = 108. При использованном масштабе такую кривую по-
строить нельзя, ее можно только представить как экстраполяцию кри-
вых для небольших Q < 100 (см. рис. П3.1). При этом становится прак-
тически очевидным возможность сколь угодно точного расчета опре-
деленных интегралов от произведения произвольной плавной функции
частоты Л,(си) и резонансной функции Я (си):
+оо	+оо	4-оо
У h(w)K(w)dw ~ у	/i(wo)У	(П3.21)
О	—оо	—оо
Для математической строгости приведем лишь схему доказатель-
ства (П3.21). Зафиксировав произвольно малый интервал А вокруг
точки сио, можно подобрать столь большую добротность Q, чтобы от-
носительное значение интеграла вне отрезка А стало меньше произ-
вольного малого числа (см. рис. ПЗ.1,6). Тогда увеличение пределов
интегрирования за пределы отрезка А не меняет существенно значе-
ние интеграла, тем более интегрирование от 0 до +оо можно заме-
нить интегрированием от — оо до +00. С другой стороны, применяя
обобщенную теорему о среднем значении, можно вынести за пределы
интеграла значение функции h. По мере роста Q интервал А может
6Для этого нужно решить квадратное уравнение.
849
быть сделан сколь угодно малым, поэтому значение функции h будет
стремиться к /i(o?o)-
По этой же самой причине интеграл от резонансной функции Н(си)
может быть при больших Q приближенно подсчитан следующим обра-
зом. Основной вклад в интеграл дает область вблизи о>о, где функцию
можно аппроксимировать с высокой точностью выражением
CJq	LJq
-y2cj2 4- (cj 4- а?о)2(а> — cj0)2	72 4- 4(о> — о?о)2 *	(П3.22)
Интеграл от правой части последнего выражения хорошо известен
и выражается через арктангенс, откуда имеем
4-оо
—оо
(П3.23)
Таким образом, гармонический осциллятор со слабым затуханием
эффективно реагирует лишь на спектральные компоненты возбужда-
ющей силы, частоты которых отличаются от собственной частоты cjq
лишь на несколько 7. При этом и излучает осциллятор волны преиму-
щественно в том же интервале частот, в котором эффективно погло-
щает энергию. Таким образом, осциллятор фиксированной частоты о>о
не может один определять частотный спектр равновесного теплового
излучения, но зато может находиться с ним в равновесии.
Для определения средней энергии осциллятора осталось провести
несложные вычисления. Усредняя по времени выражение (П3.4) на
интервале [О,Т], получаем

dz \ , 2“2
л) + ш»2
(П3.24)
Как видно из (П3.24), средняя энергия осциллятора зависит от сред-
них квадрата координаты и квадрата скорости.
Найдем сначала средний квадрат координаты, для чего возведем
в квадрат ряд (П3.17) и усредним его. В свою очередь, усреднение при-
ведет к необходимости вычисления (не представляющего сложности)
интегралов
т
У cos(cjnt + '0п + 4>п) cos(cjfct 4- 'Ок + 4>k)dt =
hk
26п’
(П3.25)
где символ Кронекера
{1, если п = к,
О, если п к,
850
Окончательно для среднего квадрата координаты осциллятора по-
лучаем выражение
= V	= Г у 2 х
2т2 П^. ^Шп^2 +	“ Wo)2 2mX “1 П
(П3.26)
Теперь определяем средний квадрат скорости, для чего предвари-
тельно находим саму скорость, дифференцируя (П3.17) по времени:
,	4-о°
i =	sin^i + ^ + y.).	(П3.27)
dt т %/(?Wn)2 + (w2 - Wo)2
Возводя в квадрат (П3.27) и усредняя с учетом выражения, ана-
логичного (П3.25),
т
у sin(wnf + i?n + <рп) sin(wfet + ‘дк + <Pk)dt =	,	(П3.28)
о
получаем
/dz\2 _ q2	w2a2 _ q2 2 2
\dt) ~ 2т2	(7wn)2 + (w2 - w2)2 “ 2тЪ*	(“п) '
(П3.29)
Подобно тому, как за пределы интеграла (П3.21) из-за резонанс-
ного характера функции Я (си) можно было вынести величину Я(си0),
в (П3.29) за знак суммы можно вынести cun в виде cuq, так как в пре-
деле очень малого затухания 7 вклад в сумму дают лишь те члены,
для которых шп — cu0- Тогда получаем
q2
dz''?
dt J ~ 2m2cun
'	и П = 1
(ПЗ.ЗО)
Сравнение (П3.26) и (ПЗ.ЗО) показывает, что для очень малого за-
тухания 7
/ dz\2 _____
(g)	(П3.31)
С учетом последнего равенства среднюю энергию осциллятора (П3.24)
можно выразить в следующем виде:
_	__ 2	+°°
S = mw^z2 =
О п=1
(П3.32)
851
В свою очередь, определяя средний квадрат проекции напряжен-
ности электрического поля аналогично тому, как был определен сред-
ний квадрат координаты осциллятора, получаем
1 4-00
Ж=?5>п-	(П3-33>
П=1
Вспоминая о выражении для среднеквадратичной проекции напря-
женности электрического поля (П3.15) и используя (ПЗ.ЗЗ), получим
=	=	[ М"о)<М).	(П3.34)
n=i	0
Теперь последний этап рассуждения. Формула (П3.32) определяет
среднюю энергию как функцию частоты собственных колебаний ос-
циллятора со слабым затуханием:
S(wo) = ~~ Е 7---Ч2 Л°2---2^ ап 	(П3.35)
2m^(7wn) 2 + (w2-W2)2
Введем вспомогательную функцию fc(o>o) как коэффициент про-
порциональности в выражении
ww(cd0) =	.
(П3.36)
Подставив последнее выражение в (П3.34), получим равенство
1 4*оо .j 4-оо о	о 1 ( \
J (7<|2 + (^-Wo2)2
Те—1	71—1	q
(П3.37)
Последнее равенство есть равенство двух рядов, коэффициенты
ап в которых зависят от выбора интервала усреднения [0,Т], откуда
следует почленное равенство рядов, влекущее за собой условие
g2 +f cugfc(wo)
3eom J (7wn)2 + (Wn “ wo)2
0
(П3.38)
Под знаком интеграла в (П3.38) стоит произведение гладкой функ-
ции cuqA;(cuo) и резонансной, достигающей острого максимума при
(теперь интегрирование ведется по тогда как считается
постоянной при интегрировании). Пользуясь свойством интеграла от
852
произведения резонансной и гладкой функций (П3.21), получим в пре-
деле слабого затухания
+оо
д2ш1к(шп) Г __________1_________ =
Зеот J (?wn)2 + (о>2 - wg)2 0
О
Пользуясь аппроксимацией (П3.22) и приводя интеграл в правой
части последнего уравнения к элементарному интегралу, выражающе-
муся через арктангенс, получим
g2fc(u7n)7r _
60)777,7
ИЛИ
А:(о>) = const (td) =	(П3.40)
Подставляя (П3.40) в (П3.36), находим, что
6SO7777-
М^о) =	g(o70),
или, с учетом формулы для постоянной затухания (П3.11),
Ш2 —
иш(ы0, Т) =	Г),	(П3.41)
где Г, конечно, абсолютная температура.
Формула (П3.41), впервые полученная Планком, связывает сред-
нюю энергию заряженного гармонического осциллятора со слабым за-
туханием, собственная частота колебаний которого сись и спектральную
компоненту плотности энергии равновесного теплового излучения на
частоте осциллятора cjq.
Но спектральное распределение равновесного теплового излучения
— универсальная функция, поэтому ее вид не может зависеть от ха-
рактеристик осциллятора, находящегося с излучением в равновесии.
Полученная формула, выведенная в рамках классической физики,
подтвердила универсальный характер функции иш, так как параметры
осциллятора т, д, 7 из (П3.41) выпали!
Приложение 4
О равновесии между паром и каплей жидкости
Как известно, для перемещения молекулы жидкости из объ-
ема на поверхность необходимо затратить положительную ра-
боту, действуя против силы, возникающей вблизи поверхности
и стремящейся вернуть молекулу в объем. Это приводит к необ-
ходимости затраты положительной работы dA при увеличении
площади поверхности жидкости на бесконечно малую величину
ds:
dA = ads,	(П4.1)
где коэффициент пропорциональности называется коэффициен-
том поверхностного натяжения.
Силы поверхностного натяжения стремятся минимизировать
площадь поверхности жидкости, и если последняя не подвержена
действию прочих сил, то она принимает форму шара, так как
шар, как известно, имеет минимальную площадь поверхности
при заданном объеме.
Существование поверхностного натяжения жидкостей ведет
к изменению давления в объеме жидкости при искривлении по-
верхности последней. Эффект описывается формулой Лапласа,
полученной французским ученым еще в 1807 году.
Чтобы вывести эту формулу, рассмотрим первое начало тер-
модинамики применительно к равновесной системе жидкость-
пар, не подверженной действию никаких внешних сил. Предва-
рительно фиксируем общий объем системы V, температуру Т
и общее количество молекул N. Пусть жидкость занимает при
этом объем Цк, пар — V^, в жидкости находится 7УЖ молекул,
в паре — Nn. Учтем, что
+ K =	(П4.2)
^ + 7Vn = 7V.
(П4.3)
854
Теперь можно выписать первое начало термодинамики (то
есть фактически закон сохранения энергии) отдельно для жид-
кости и пара:
dUy& — TdS^ Рж^^ж &Лзж + Рж^Уж ?	(П4.4)
dUn = TdSn — pndVn + pndNn ,	(П4.5)
где 5Ж и Sn — энтропии жидкости и пара, рж и рп — давле-
ния жидкости и пара, рж и рп — коэффициенты пропорциональ-
ности, называемые химическим потенциалом тела. Последние
члены в выражениях (П4.4)—(П4.5) отражают то очевидное об-
стоятельство, что внутренняя энергия тела в термодинамиче-
ском равновесии пропорциональна количеству частиц.
Таким образом, формула (П4.4), например, говорит о том,
что внутренняя энергия жидкости иж может измениться в ре-
зультате передачи жидкости количества теплоты 6С2Ж = TdS^
работы, выполненной жидкостью при расширении; работы, за-
траченной на увеличение поверхности жидкости, а также изме-
нения числа молекул в жидкости (чтобы удалить одну молеку-
лу из жидкости, нужно затратить вполне определенную работу,
которая, обозначенная как /1ж, и фигурирует в первом начале
термодинамики).
Нетрудно доказать, что в равновесии у жидкости и пара долж-
ны быть единые температура и химический потенциал. Если бы
температуры были разные, то по закону Фурье [см. гл. 1, под-
разд. 1.2.2, формула (1.86)] возник бы поток тепловой энергии,
и температура бы выравнялась.
Чтобы строго доказать равенство химических потенциалов
фаз, вспомним, что условие равновесия для любой замкнутой
системы заключается в максимальности энтропии системы по
всем параметрам, откуда следует, в частности, равенство нулю
производной энтропии системы по количеству частиц в любой
из фаз. Так как энтропия системы жидкость—пар есть сумма
энтропий частей, то имеем
8S_=dS^ dSndN^ = Э5Ж _ dSn =	,П4
dNx dNx + dNn dNx dNx dNn ’	1 ' }
где использовалось уравнение (П4.3).
Чтобы вскрыть смысл последнего равенства, рассмотрим от-
дельно жидкость при постоянном объеме (и, соответственно, при
855
постоянной поверхности), переписав для нее первое начало тер-
модинамики (П4.4) в виде
откуда немедленно следует, что
дЗж/дКж = -рж/Т	(П4.7)
при постоянных иж и Уж. Аналогичное соотношение, естествен-
но, выполняется и для пара.
Используя (П4.7), преобразуем (П4.6) к виду рж/Т = Цп/Т,
что свидетельствует о равенстве химических потенциалов тел,
находящихся в термодинамическом равновесии:
Мж ~ Мп •	(П4.8)
Теперь для завершения вывода формулы Лапласа осталось
выписать первое начало термодинамики применительно к систе-
ме жидкость—пар с учетом равенства химических потенциалов,
а также аддитивности энергии и энтропии системы:
dU — TdS — ржЛУж + сгс?зж — pndVn ,	(П4.9)
где было учтено равенство (П4.3), дающее dl^ + dNn = 0.
Поскольку рассматриваемая система жидкость—пар предпо-
лагается замкнутой, то она не получает и не отдает тепла (то
есть 6Q = 0, или dS = 0), а также имеет постоянную внутрен-
нюю энергию (то есть dU = 0). Следовательно, для замкнутой
равновесной системы первое начало термодинамики преобразу-
ется к виду
Рж^Уж + о^зж Pn^Vn = 0,
что с учетом (П4.2) окончательно дает
Рж^Уж + adsy^ +	= 0.	(П4.10)
По-существу, выражение (П4.10) описывает сохранение энер-
гии при бесконечно малом обратимом изменении объема одной
из фаз.
Поведение же системы зависит от формы жидкости.
На рис. П4.1 изображены два случая:
а) равновесие пара и жидкости с плоской поверхностью,
б) равновесие пара с каплей радиуса г.
856
В случае а) изменение объема жидкости есть только беско-
нечно малое изменение ее глубины, не сопровождаемое измене-
нием поверхности (6$ж = 0), тогда соотношение (П4.10) дает
Рж = Pni то есть равенство давлений пара и жидкости. Это об-
щее давление и называют давлением насыщенного пара psat.
2а
Рж — Рп Н •
Г
Рис. П4.1. Равновесные системы жидкость—пар
В случае б) изменение объема жидкости (увеличение радиу-
са шара на dr) сопровождается увеличением поверхности капли,
так что соотношение (П4.10) дает формулу Лапласа1 *
(П4.11)
Оказывается, что давление воды внутри шара больше внеш-
него давления пара на величину 2сг/г, называемую поверхност-
ным давлением. Даже для макроскопических капелек поверх-
ностное давление может достигать значительной величины. На-
пример, при Т = 20 °C для воды а = 72.88 • 10“3 Н/м, так что
для капли радиуса г = 1 мкм поверхностное давление составит
1.46 • 105 Па= 1.44 атм.
Формула Лапласа (П4.11) дает лишь величину поверхностно-
го давления, или разности давлений в обеих фазах при равнове-
сии. Однако Уильям Томсон в 1870 году вывел формулу, которая
в случае б) позволяет найти по отдельности как давление насы-
щенного пара, так и давление жидкости.
При этом оказалось, что давление насыщенного пара в случае
б), которое обозначим как pSat,r, выше давления psat насыщен-
ного пара, находящегося в равновесии с плоской поверхностью
жидкости, что отражено большей концентрацией точек (изобра-
жающих молекулы пара) на рис. П4.1,6, чем на рис. П4.1,а. Это
1 Строго говоря, Лаплас вывел более общую формулу для поверхностного
давления при произвольной форме поверхности.
857
означает также, что если каплю жидкости радиуса т поместить
в систему а), то капля испарится, а избыточные молекулы пара
сконденсируются в жидкость с плоской поверхностью. Одновре-
менно это означает, что случай б) может быть реализован, лишь
если ограничивающие объем стенки — несмачиваемые жидко-
стью. В противном случае жидкость осядет на стенках, образуя
систему, изображенную на рис. П4.1,а.
Формулу У. Томсона можно получить на основании термоди-
намического подхода, как только что была получена формула
Лапласа. Однако при этом потребовалось бы знание зависимо-
сти химического потенциала пара от его давления и температу-
ры, неизвестной читателю. Проще формулу Томсона получить,
рассмотрев процесс втягивания жидкости в капилляр.
Если в жидкость, теперь уже нахо-	——
дящуюся в гравитационном поле, погру-
зить капилляр с полностью несмачива- —=— —=------------
емыми стенками, то внутри капилляра	—L
образуется выпуклый мениск в форме _ Z __ Z “
полусферы, радиус которой будет равен ~_-г _ "2 J- Z
радиусу капилляра. Возникающее при -	_
этом поверхностное давление заставля- I————
ет жидкость в капилляре опускаться.	Рис. П4.2.
На рис. П4.2 изображен более реалистический случай частич-
ного смачивания, когда радиус мениска будет больше радиуса
капилляра. Вышеприведенный пример расчета поверхностного
давления показывает, что даже если у воды образуется ради-
ус мениска г = 100 мкм, то поверхностное давление составит
0.0144 атм, что соответствует давлению столба жидкости высо-
той h ~ 14.7 см.
Пусть в общем случае радиус мениска в капилляре г, а жид-
кость в капилляре опустилась на некоторую глубину Л, завися-
щую от г. Разберемся в условиях равновесия в системе. Ясно, что
давление паров над плоской поверхностью жидкости (что соот-
ветствует на рисунке h = 0) есть величина psa*, а непосредствен-
но над поверхностью мениска — psat,r- Теперь можно сформу-
лировать три уравнения. Первое уравнение определяет давление
жидкости рж(Л) на глубине h:
Рж(^) — Psat + QmQh ч	(П4.12)
где Qk — плотность воды, д — ускорение свободного падения.
Второе уравнение также определяет давление в жидкости на
858
глубине h, но в капилляре:
Рж(^) — Psat, г “И
Г
(П4.13)
Наконец, третье уравнение, учитывающее изменение давле-
ния пара с высотой, дает связь между psat,r и Psat-
Psat — Psat, г ехр
mgh
~кТ~
(П4.14)
где т — масса молекулы пара. Последняя формула получается,
если больцмановское распределение концентрации с высотой [см.
гл. 1, подразд. 1.1.3, формула (1.61)] домножить на величину кТ.
Так как давление в жидкости на одной глубине постоянно, то
сравнение выражений (П4.12) и (П4.13) дает равенство
2сг
Psat, г Н	= Psat Н” 9ж9^ •	(П4.15)
Г
Очевидно, что в последнем выражении разность давлений па-
ра Psat,г — Psat много меньше давления столба жидкости дждЬ,
так что с очень высокой точностью уравнение (П4.15) можно
переписать в более простом виде
(П4.16)
Формула У. Томсона получается, если неизвестную величину
h исключить из уравнения (П4.14) с помощью уравнения (П4.16):
2а
— 9ж9^ •
г
lnp£^ = 2£ m =2£^1	(П4.17)
Psat т кТдж	г RT дж
где /1 — молярная масса жидкости, R — универсальная газовая
постоянная.
Формула У. Томсона получена в рамках классической физи-
ки и строго выполняется для капель макроскопического разме-
ра. Например, каплю радиуса г = 100 А вполне можно считать
макроскопическим объектом.
Оглавление
Введение	3
Глава 1. Дискретность вещества	11
1.1	Развитие атомистических представлений
до начала XX века................................ 11
1.1.1	Распределение Максвелла по скорости ...	20
1.1.2	Распределение по длине свободного пробега 39
1.1.3	Распределение Больцмана................ 50
1.2	Процессы переноса ........................... 54
1.2.1	Диффузия............................... 55
1.2.2	Теплопроводность....................... 65
1.2.3	Вязкость............................... 73
1.3	Окончательная победа атомизма................ 84
1.3.1	Броуновское движение................... 84
1.3.2	Эксперименты Перрена................... 95
Задачи к главе 1................................ 106
Глава 2. Дискретность электрического заряда	109
2.1	Электролиз.................................. 110
2.2	Основные представления теории электролитов . . 117
2.3	Электролитическая проводимость.............. 128
2.4	Проводимость газов.......................... 138
2.4.1 Несамостоятельный разряд.............. 143
2.4.2	Экспериментальное определение
характеристик газовых ионов........... 150
2.5	Катодные лучи. Открытие электрона
и делимости атома........................... 161
2.6	Измерение заряда электрона Милликеном....... 171
2.7	Динамика частиц в статических полях......... 182
2.7.1	Сводка основных результатов
релятивистской динамики............... 187
860
2.7.2 Движение заряженных частиц
в статическом однородном магнитном поле 197
2.7.3 Циклотрон................................. 201
2.7.4 Статическое поперечное однородное
магнитное поле как масс-спектрометр
(анализатор отношения е/т) .................. 205
2.7.5 Движение заряженных частиц
в статическом электрическом поле........209
2.8	Первые экспериментальные данные
о строении атома ................................ 213
2.8.1 Рассеяние электронов в веществе........... 213
2.8.2 Открытие изотопов.
Определение истинных масс атомов .... 220
2.9	Создание Резерфордом ядерной модели атома . . 230
2.9.1 Открытие радиоактивности
и идентификация а-частиц.................. 231
2.9.2 Открытие обратного рассеяния а-частиц
и создание ядерной модели атома.............. 236
2.9.3 Описание рассеяния а-частиц
в рамках ядерной модели атома................ 242
2.9.4 Экспериментальная проверка
формулы Резерфорда.
Определение заряда и размеров ядра .... 250
2.9.5 Протон и нейтрон.
Краткая сводка современных
представлений о структуре материи .... 253
2.9.6 Недостаточность законов классической
физики для описания строения атома . . . 260
Задачи к главе 2.................................... 276
Глава 3.	Дискретность электромагнитного излучения 279
3.1	Открытие рентгеновских лучей.................... 280
3.1.1 Первые результаты, касающиеся природы
рентгеновских лучей.......................... 286
3.1.2 Завершение дискуссии о природе
рентгеновских лучей победой
электромагнитной точки зрения................ 304
3.1.3	Рентгеноструктурный анализ............... 314
3.1.4	Рентгеноспектральный анализ.............. 344
3.1.5	Взаимодействие рентгеновского излучения
с веществом. Биологическое действие
рентгеновских лучей. Защита от	лучей .	. .	356
861
3.2	Тепловое излучение
и открытие постоянной Планка................... 365
3.2.1	Характеристики теплового излучения . . . 366
3.2.2	Равновесное тепловое излучение
и абсолютно черное тело.............. 374
3.2.3	Закон Кирхгофа....................... 385
3.2.4	Давление равновесного теплового излучения
и закон Стефана-Больцмана............ 388
3.2.5	Законы Вина.......................... 394
3.2.6	Экспериментальное изучение
равновесного теплового излучения..... 404
3.2.7	Открытие постоянной Планка.
Закон излучения Планка................409
3.3	Фотонная теория Эйнштейна
и ее экспериментальные подтверждения........... 421
3.3.1 Фотоэффект........................... 426
3.3.2 Эффект Комптона как прямое
доказательство существования фотонов . . 443
3.3.3 Обратный эффект Комптона как прямое
доказательство существования фотонов . . 482
3.3.4 Регистрация единичных электронов
и фотонов ................................. 487
3.4	Интерпретация волновых свойств
излучения в рамках фотонной теории............. 493
3.4.1 Интерференция и дифракция
в фотонной теории.......................... 497
3.4.2 Интерференционные опыты
с единичными квантами...................... 507
3.4.3 Эффект Доплера в фотонной теории .... 513
3.5	Краткая сводка с комментариями
основных положений фотонной теории............. 515
Задачи к главе 3................................ 520
Глава 4. Законы, описывающие поведение вещества
на атомном уровне	523
4.1	Спектры поглощения и испускания — ключи
к установлению дискретности
внутренней энергии атомов...................... 524
4.1.1 Спектральные закономерности ......... 536
4.1.2 Законы Бора.......................... 544
862
4.1.3 Вывод Эйнштейном закона
излучения Планка и предсказание
спонтанного и вынужденного излучений . . 553
4.1.4 Удары первого и второго рода............ 569
4.2	Открытие всеобщности
корпускулярно-волнового дуализма.............. 595
4.2.1 Экспериментальное подтверждение
гипотезы де Бройля для электронов .... 599
4.2.2 Экспериментальное подтверждение
гипотезы де Бройля для атомов и молекул 613
4.2.3 Экспериментальное подтверждение
гипотезы де Бройля для нейтронов...... 616
4.3	Волновая механика Шрёдингера.................. 623
4.3.1 Временнбе уравнение Шрёдингера........ 624
4.3.2 О наблюдаемых и сопоставляемых им
операторах.................................. 632
4.3.3 Квантование линейного гармонического
осциллятора................................. 648
4.4	Логическая структура
волновой механики Шрёдингера.................. 667
4.4.1 Основные положения волновой механики . 668
4.4.2 Общие следствия из основных положений
волновой механики........................... 679
4.4.3 Волновая механика Шрёдингера
как обоснование механики Ньютона	....	694
4.5	Орбитальный момент импульса
в волновой механике .......................... 714
4.6	Квантование атома водорода................. 736
4.6.1 Характеристика квазистационарных
состояний водородоподобных ионов...... 748
4.6.2 Экранированный потенциал ядра........ 757
4.6.3 Вероятности переходов и правила отбора	.	758
4.7	Спин и магнитный момент
микрообъектов как наблюдаемые.............. 776
4.7.1 Уравнение Шрёдингера
для бесспиновой частицы в магнитном поле	787
4.7.2 Явный вид оператора спина электрона
и нерелятивистское уравнение Паули .... 791
4.7.3 Полный момент импульса атома
и тонкая структура.......................... 798
4.8	Многоэлектронные атомы и принцип Паули .... 813
863
4.8.1 Принцип тождественности
одинаковых микрообъектов.................... 816
4.8.2 О строении электронных оболочек
многоэлектронных атомов..................... 819
Задачи к главе 4................................ 826
Приложение 1. О формуле для математического
ожидания случайной величины................. 829
Приложение 2. Флуктуации и точность
физических измерений......................... 835
Приложение 3. Заряженный гармонический осциллятор
со слабым затуханием в поле
равновесного теплового излучения............ 842
Приложение 4. О равновесии между паром и каплей
жидкости..................................... 853
МАТЫШЕВ
Александр Александрович
АТОМНАЯ ФИЗИКА
Учебное пособие
Налоговая льгота - Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, т.2; 95 3005 - учебная литература
Подписано в печать 03.04.2012. Формат 60x90/16. Печать цифровая.
Усл. печ. л. 54,0.Тираж 100. Заказ 8883b.
Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором,
в типографии Издательства Политехнического университета.
195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.
Тел.:(812)550-40-14
Тел./факс: (812) 297-57-76.