Текст
ХИМ ИЧЕСКИЙ
^ ФАКУЛЬТЕТ -
ХИМИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
В
й
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН
СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ
СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ.
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ
НА VK.COM/TEACHINMSU.
ЕСЛИ ВЫ ОБНАРУЖИЛИ
ОШИБКИ ИЛИ ОПЕЧАТКИ,
ТО СООБЩИТЕ ОБ ЭТОМ,
НАПИСАВ СООБЩЕСТВУ
VK.COM/TEACHINMSU.
ВЛАДИМИРОВИЧ
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П Е Т Р О В С Е Р ГЕ Й В Л А Д И М И Р О В И Ч
С одерж ание
1 Лекция 1. Введение в квантовую механику. Часть 1.
7
1.1
Вступление...........................................................................................................
7
1.2
Проблема абсолютно черного тела..................................................................
8
1.3
Представления о веществе в XX веке.............................................................
11
1.4
Теория поля как волновая теория...................................................................
16
2 Лекция 2. Введение в квантовую механику. Часть 2.
18
2.1
Опыты интерференции......................................................................................
18
2.2
Ф отоэф ф ект.......................................................................................................
19
2.3
Свет: волны или частицы..................................................................................
21
2.4
Корпускулярно-волновой дуализм...................................................................
21
2.5
Анализ траекторий распространения света....................................................... 22
2.6
Гипотеза де Бройля............................................................................................
23
2.7
Отсутствие траектории частицы и описание ее состояния.........................
24
3 Лекция 3. Определение состояния системы в квантовой механике.
29
3.1
Особенности волновой функции......................................................................
29
3.2
Постулат суперпозиции......................................................................................
29
3.3
Понятие среднего значения...................................................................................30
3.4
Совпадение координаты и импульса...............................................................
32
3.5
Преобразование Фурье.......................................................................................
33
3.6
Волна де Бройля..................................................................................................... 35
4 Лекция 4. Свойства и элементы пространства волновой функции.
36
4.1
Среднее значение импульса.................................................................................. 37
4.2
Постулат среднего значения.............................................................................
38
4.3
Пространство волновой функции....................................................................
39
4.4
Элементы пространства волновой функции..................................................
43
5 Лекция 5. Квантово-механические операторы и их свойства.
45
5.1
Квантово-механические операторы: определение и свойства.....................
45
5.2
Эрмитово сопряженный данному и эрмитов операторы.................................48
5.3
Дисперсия волновой функции..........................................................................
51
5.4
Собственные значения и собственные функции...........................................
54
3
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ЬедьсА-Ілг
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
6 Лекция 6. Вырожденный спектр и уравнение Ш редингера.
57
6.1
Вырожденный спектр........................................................................................
57
6.2
Дельта функция..................................................................................................
58
6.3
Решение задачи...................................................................................................
61
6.4
Уравнение Шредингера......................................................................................... 63
6.5
Следствия уравнения Шредингера.................................................................
66
6.6
Независимость гамильтониана от времени....................................................
67
7 Лекция 7. Особенности решения уравнения Ш редингера.
70
7.1
Решение стационарного уравнения Шредингера..........................................
70
7.2
Задача о бесконечной яме.................................................................................
72
7.3
О причинах использования инструментарияквантовой механики.
75
7.4
Замена реального потенциала в уравнении Шредингера...........................
...
8 Лекция 8. Решение стационарного уравнения Ш редингера.
8.1
76
81
Оператор Гамильтона для решения стационарного уравнения Шредин
гера........................................................................................................................
81
8.1.1
86
Вероятность нахождения осциллятора в диапазоне........................
9 Лекция 9. Двумерный осциллятор и нестационарные состояния
квантовой системы
89
9.1
Решение задачи про двумерный осциллятор..............................................
89
9.2
В ы рож ден и е......................................................................................................
91
9.3
Построение оператора произведения в е л и ч и н ...........................................
91
9.4
Нестационарные состояния квантовой с и с т е м ы ........................................
92
9.5
Соотношение зам к н у то с ти .............................................................................
94
9.6
Волновая функция при дискретном с п е к т р е ..............................................
94
10 Лекция 10. Задача про атом водорода
97
10.1 Вступление.........................................................................................................
97
10.2 Задача про атом водорода .............................................................................
97
10.3 Координаты центра м а с с ................................................................................
98
10.4 Гамильтониан электрона и декартовы к оорд и н аты .................................... 100
10.5 Значения собственных ф у н к ц и й ...................................................................... 104
11 Лекция 11. Задача про атом водорода и алгебра коммутаторов
106
4
te a jc A -im ,
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВА НТОВА Я М ЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
11.1 В ступление........................................................................................................... 106
11.2 Радиальное уравнение для атома водорода....................................................107
11.3 Рекурсия и главное квантовое число
.............................................................ПО
11.4 Энергетический с п е к т р ..................................................................................... 111
11.5 Квантовые скобки П у а с с о н а ............................................................................ 112
12 Лекция 12. Соотношение неопределенности, наблюдаемая и вопро
сы измерения в квантовой механике
114
12.1 Наиболее вероятное расстояние ...................................................................... 114
12.2 Соотношение неопределенности Гейзенберга.................................................115
12.3 Коммутатор из эрмитовых оп ераторов..........................................................118
12.4 Понятие наблюдаемой.........................................................................................120
12.5 Вопросы измерения в квантовой м ехан и ке....................................................123
13 Лекция 13. Теория возмущений
126
13.1 В ступление........................................................................................................... 126
13.2 Постулат измерения............................................................................................126
13.3 Возникновение теории возмущений и ее с у ть.................................................128
13.4 Стационарная теория возмущений для невырожденных состояний и по
правка по эн е р ги и ...............................................................................................130
13.5 Поправка волновой функции и условие сходимости.................................... 133
14 Лекция 14. Теория возмущений для вырожденного случая
135
14.1 Поправка по энергии атома г е л и я ................................................................... 135
14.2 Решение задачи для вырожденного сл у ч ая....................................................138
14.3 Линейный эффект Ш та р к а ............................................................................... 141
15 Лекция 15. Вариационный метод
145
15.1 Назначение вариационного метода................................................................... 145
15.2 Вариационный принцип......................................................................................145
15.3 Вариационная т е о р е м а ......................................................................................146
15.4 Примеры вариационного м ет о д а ...................................................................... 147
16 Лекция 16. Нестационарная задача и предельный переход
149
16.1 Нестационарная з а д а ч а ......................................................................................149
16.2 Предельный переход квантовой механики ....................................................150
5
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
te a jc A - u n
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
17 Лекция 17. Классический переход и квазиклассическое приближе
ние
153
17.1 Классический переход.........................................................................................153
17.2 Квазиклассическое приближение
................................................................... 155
18 Лекция 18. Механика Ландау и аппарат Дирака
158
18.1 К квазиклассическому переходу...................................................................... 158
18.2 Квантовая механика по Л а н д а у ...................................................................... 159
18.3 Квантовая механика по Д и р а к у ...................................................................... 162
19 Лекция 19. Операторы в формализме Дирака и теория обобщен
ного углового момента
164
19.1 Формализм Д и р а к а ......................................................................................
164
19.2 Операторы в формализме Д и р а к а ..............................................................
164
167
20 Теория обобщенного углового момента
21 Лекция 20. Теория обобщенного углового момента и простран
ственное квантование
171
21.1 Теория обобщенного углового м о м е н т а ....................................................
171
21.2 Пространственное квантование....................................................................
175
177
22 Лекция 21. Открытие спина электрона
23 Лекция 22. Антикоммутация и значения стационарного реляти
вистского уравнения
182
23.1 Теория обобщенного углового м о м е н т а ....................................................
185
24 Лекция 23. Сложение моментов
188
25 Лекция 24. Вектор спина
193
25.1 Спин электрона и его направление
..........................................................
195
198
26 Лекция 25. Квантование твердого тела
26.1 Элементы теории представления................................................................
201
26.2 Эволюция квантовой с и с т е м ы ....................................................................
203
6
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
t&cucA-im.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 1. Введение в квантовую механику. Ч асть 1.
Вступление.
Этот курс читается для студентов, которые уже знакомы с классической меха
никой и теорией поля. Несмотря на то, что квантовая механика, в каком-то смысле,
противопоставляется классической, она все-таки тоже является механикой, но опе
рирует другими понятиями и имеет дело с другого рода объектами.
В классической механике мы имеем дело с такими понятиями как пространство,
время, координата, скорость, масса и т.д. Они принимаются как само собой разу
меющееся, то есть, мы не задаемся, например, вопросами "что такое пространство
время?"или "что такое время?"(эти вопросы рассматриваются в курсе специальной
теории относительности). В принципе, в теории поля мы также имеем дело с такими
понятиями (может немного более общими), не вызывающими никакого сомнения.
Однако, помимо системы понятий в этих теориях, существует математический
аппарат этих теорий,, позволяющий решать динамические уравнения чтобы полу
чить состояние системы. Более того, зная начальное состояние системы с помощью
соответствующих уравнений можно предсказывать как система будет эволюциони
ровать с течением времени. В этом смысле классическая механика и теория поля
весьма похожи.
Обсудим основное отличие между классической механикой и теорией поля. В
классической механике, мы, чаще всего, имеем дело с точечными частицами для
которых находятся законы движения. В теории поля же, результатами решения ди
намического уравнения являются 6 функций пространства и времени: 3 компоненты
электрического поля и 3 компоненты магнитного.
И классическая механика и теория поля показали свою состоятельность на прак
тике. Для классической механики наиболее ярким примером является результат
предсказания движения небесных тел, а для теории поля - появление радио и других
элекротехнических устройств.
И в конце 19-го века лорд Кельвин (Уильям Томсон) на одном из своих выступ
лений говорил, что "20-му веку отводилось только уточнение знаков после запятой в
мировых константах". Однако, уже 27-го апреля 1900 года он читал лекцию под на
званием "тучи 19-го века над динамической теорией света". Тогда он обозначил две
7
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ЬедьсЛ-І/п
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
тучи: из одной впоследствии родилась специальная теория относительности (1905
год), а из второй - в 1925-26 годах родилась квантовая механика Гайзенберга и др.
Еще позднее появилось три работы Э. Шредингера, которые составили основу вол
новой механики.
Проблема абсолютно черного тела.
Может показаться, что квантовая и волновая механики являются противоречи
выми понятиями, однако, впоследствии было показано, что это одна и та же наука,
излагаемая немного по-разному.
Настоящий курс является именно курсом по волновой механике. Просто истори
чески так сложилось, что термин "квантовая механика "прижился в гораздо большей
степени чем "волновая механика".
При изучении квантовой механики впервые столкнулись с такой проблемой как
трудность восприятия понятий. Великий ученый Вигнер на этот счет говорил о непо
стижимой эффективности квантовой механики. Чтобы пояснить это приведем вы
сказывание на этот счет другого великого исследователя Гелл-Мана: "все знают как
пользоваться квантовой механикой, но никто толком ее не понимает".
В случае, например, с классической механикой такого не происходит, потому
что она является опосредованием нашего повседневного опыта (мы видим движе
ние небесных тел и т.д.).
Еще одна трудность, связанная с восприятием квантовой механики, возникает
при сравнении с экспериментом. В классической механике и теории поля экспери
мент проводимый над некоторой системой не влияет на состояние и эволюцию самой
системы. В квантовой же механике процесс измерения может повлиять на состояние
самой системы. Такое поведение, вообще говоря, является особенностью квантово
го мира, а процесс взаимодействия квантовой системы и измерительного прибора
выходит за рамки квантовой механики.
Некоторым наукам можно поставить в соответствие некоторые символы, харак
теризующие их. Например, теории относительности можно поставить в соответствие
символ с - скорость света.
Для квантовой механики символом служит И- постоянная Планка. Однако, после
того как Дирак предложил вместо Ииспользовать h = ^ наиболее распространенным
8
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
м.е. Ломоносова
t&cucA-vn.
К О Н С П Е К Т П О Д ГО ТО В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
стал как раз символ h - также называемый постоянной Планка.
Планк ввел постоянную h в 1900-м году в работе по исследованию излучения
абсолютно черного тела. Абсолютно черное тело - такое тело, которое поглощает все
падающее на него излучение. Этот термин был введен Кхиргоффом в 1860-м году,
но еще в 1702-м году еще Ньютон замечал черные тела нагреваются светом легче
всех остальных.
Абсолютно черное тело - это, конечно, некоторая физическая модель. Его можно
представить как некоторую замкнутую полость с непроницаемыми (для электромаг
нитного излучения) стенками (Рис. 1.1). Пусть, внутрь этой области в начальный
момент времени поместили какие-то тела с температурами Тф 7ф Гз и т.д.
По прошествии какого-то времени наступит термодинамическое равновесие (Рис. 1.1)
посредством обмена электромагнитным излучением тел друг с другом и стенками по
лости.
Рис. 1.1. Модель абсолютно черного тела: в начальный момент времени с помещен
ными внутри телами различной температуры (слева), и в момент наступления тер
модинамического равновесия (справа).
П рим ечание: Задача нахождения спектра излучения абсолютно черного те
ла привлекала большое число физиков в 19-ом веке. Чтобы ее решить и сегодня
необходимо потратить достаточно много времени. Тем, кому хочется поподроб
нее изучить этот вопрос, советую обратиться к книге Джернера "Эволюция поня9
ЛОМОНОСОВА
ЬедисЛ-іт,
К О Н С П Е К Т П О Д ГО ТО В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕД А К ТУ РУ И М О Ж Е Т С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
тий квантовой механики. ". В ней изложена история с ссылками на оригинальные
работы.
Теперь, если после наступления термодинамического равновесия сделать отвер
стие в полости (Рис. 1.1) то можно будет измерить излучение абсолютно черного
тела. К концу 19-го века существовало две зависимости, описывающие излучение аб
солютно черного тела (Рис. 1.2): формула Вина, которая работала только в области
низких частот, и формула Рэлея-Джинса - в области высоких частот.
Понятно, что ни одна из этих формул не описывала реальную кривую зависимо
сти спектральной плотности электромагнитного излучения р от частоты излучения.
Например, если проинтегрировать кривую спектральной плотности излучения по
всем частотам, то должна получиться полная энергия излучаемая абсолютно чер
ным телом в единицу времени, то есть, конечное число. Однако, легко заметить, что
кривые по формулам Вина и Рэлея-Джинса дадут расходящиеся интегралы.
у
Рис. 1.2. Зависимость спектральной плотности электромагнитного излучения р от
частоты излучения согласно формуле Вина (синяя линия); формуле Рэлея-Джинса
(красная линия) и эксперименту (пунктир).
Свою формулу для зависимости спектральной плотности электромагнитного из10
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
Ъ&сьсЛ-ілъ
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
лучения в 1900-м году предложил Планк:
___ Ео_
g £окТ 1
где еь - некоторая константа, зависящая от частотві:
( 1. 1)
Р
£() = І1Ѵ
( 1. 2)
й ^ б .б - Н Г " эрг • сек - постоянная Планка
Пытаясь физически обосновать данную формулу, Планк придумал следующую
концепцию: излучение, существующее внутри этой непроницаемой полости, создает
ся набором различных гармонических осцилляторов с различными частотами ѵ, и
энергия каждого из осцилляторов может принимать значения, кратные некоторой
минимально разрешенной энергии £q:
£о, 2 £о,
... = hv, 2hv, ...
Энергия в таком случае излучается так называемыми "квантами" (порциями), что
полностью противоречит классическому представлению, в рамках которого энергия
должна излучаться непрерывно (то есть, сколь угодно малыми порциями).
Представления о веществе в XX веке.
К началу 20-го века люди уже знали что вещество состоит из атомов и молекул,
однако, о структуре самого атома ничего не знали пока в 1911-м году в Манчестере
Резерфорд не провел свои знаменитые опыты.
На момент проведения опытов уже были известны электроны и альфа-частицы.
Опыт Резерфорда состоял в том, что на очень тонкую золотую фольгу был направлен
сфокусированный пучок альфа-частиц, а наблюдатель фиксировал степень отклоне
ния альфа-частиц при прохождении их сквозь фольгу (Рис. 1.3).
В результате опыта Резерфорд выяснил, что траектория альфа частиц в боль
шинстве случаев либо менялась очень слабо, либо не менялась вовсе, при этом в тех
редких случаях отклонения траектории находились даже такие, когда альфа-частица
разворачивалась в противоположном направлении.
Это наблюдение позволило ему разработать планетарную модель атома. В рам
ках этой модели основная масса атома должна быть сосредоточена в небольшой, то11
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
t&cucA-un
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУДЕН ТА М И, Н Е П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Рис. 1.3. Схематическое изображение опыта Резерфорда.
чечной положительно-заряженной области, вокруг которой находились электроны,
которые не могли сильно повлиять на движении альфа-частицы.
В 1913-м году Н. Бор продолжил развитие планетарной модели атома. Начал он
с простейшего случая - атома водорода. Согласно Бору атом водорода состоит из
положительно заряженного ядра с зарядом Ze (Z = 1 для водорода) и электрона,
вращающегося по круговой орбите вокруг ядра (Рис. 1.4).
Рис. 1.4. Схематическое изображение модели атома Бора.
Заметим, что хотя данная концепция и очень напоминает вращение планеты во
круг солнца, для электрона используются исключительно круговые орбиты, в от
личие от эллиптических планетарных орбит. Вспомним как выглядит зависимость
12
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
t&cbcA-im.
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАДИМ ИРОВИЧ
эффективного потенциала от расстояния в случае эффективного потенциала вида
(Рис. 1.5):
ef~ Д
U
коими и являются потенциалы электрического и гравитационного взаимодей
ствия.
Рис. 1.5. Зависимость эффективного потенциала от расстояния для двух разных
значений момента.
Как видно из рисунка, для некоторого фиксированного значения энергии Е пере
сечение с потенциалом может достигаться в двух точках, и тогда, исходя из условия
Е ^ Uef f тело может в пределах двух концентрических окружностей - например по
эллипсу как в случае планет (случай L\).
Но, для данной задачи существует два интеграла движения: энергия и момент, то
не меняя значение энергии можно изменить вид эффективного потенциала поменяв
момент. Тогда, существует некоторое значение момента, при котором пересечение
будет достигаться лишь в одной точке и тело будет иметь возможность двигаться
лишь по одной единственной траектории - окружности (случай L2 ).
Для того, чтобы электрон двигался по круговой орбите (Рис. 1.4) должно соблю
даться сила притяжения между электроном и ядром должна быть равна центробеж
ной силе:
тѵ2
а
2е2
а2
(1.3)
где а -радиус орбиты.
13
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
t&cucA-un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Однако, такой подход неверен, поскольку в таком случае заряженная частица
(электрон) движется с ускорением (центростремительным), а значит должен излу
чать энергию. Тогда теряя энергию электрон необратимо бы упал на ядро. Но такого,
как известно не происходит.
Проводимые Майкельсоном опыты по измерению спектра атома водорода в сол
нечной короне показали, что устойчиво наблюдаются четыре линии (Рис. 1.6)
14
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
і& сисЛ -ѵп
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУДЕН ТА М И, НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАДИМ ИРОВИЧ
н„
V
{[А]
6563
4861
4340
4102
Рис. 1.6. Линии видимого спектра атома водорода в солнечной короне.
Позднее Бальмер описал количественно расположение этих линий и получил сле
дующую формулу:
v =R
m = 3, 4, 5, 6, ...
где R - постоянная Ридберга.
Из этих экспериментов понятно, что атом водорода живет сколь угодно долго, а
значит, электрон на ядро все-таки не падает и ничего не излучает.
Тогда, в дополнение к классическому условию равенства сил (1.3), Бор ввел еще
"квантовое"условие для величины момента:
2лІ = nh
где I = тѵа---- момент движения;
(1.4)
п - целое число
Подставляя квантовое условие (1.4) в классическое (1.3) находим возможные зна
чения орбит электрона в атоме:
а=
h2
п —>а*
4n2mZe
(1.5)
Теперь найдем значения энергии, соответствующие данным квантованным орби
там:
mv2 Ze2
4 n 2m Z2eA 1
2
а
2
2п2 ^ Еп
Обобщая полученное, приведем три постулата Бора:
Е=
( 1.6)
1) Электрон может двигаться не по любой орбите, а только по избранной;
15
6& асЛ : и п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
2) Находясь на избранной орбите электрон не излучает;
3) Частота излучения или поглощения атомом энергии определяется соотношени
ем:
hv = En - E m
(1.7)
где п и т - квантованные значения энергии на избранных орбитах.
Из третьего постулата можно как раз получить формулу Бальмера и, то есть,
описать реальные наблюдения.
Продолжая исследования Бора, Зоммерфельд также написал уравнения для все
возможных орбит, при этом не выделяя круговые как Бор:
J(р — Pip d(p = 12ж= riiph
§
Jr =
( 1.8)
Pr dr = nrh
где Pip и Pr - обобщенные импульсы (интегралы движения); flip и nr - целые числа.
В результате, выражение для энергии записывается как:
2n2Z2eAm
и
,
I
(1.9)
Jrf
Здесь, как и в формуле Бора, интегралы кратны постоянной Планка и переходят
в нее.
Теория поля как волновая теория.
Теория поля, построенная на базе уравнений Максвелла, является типично вол
новой теорией. Волны электромагнитного поля распространяются в пространстве
со скоростью света, что ложится в основе описания всяческих явлений - например
интерференции.
Рассмотрим типичный интерферометрический опыт - опыт Юнга 1801-го года
(Рис. 1.7).
16
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
ѣелсА-іт,
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Рис. 1.7. Схема опыта Юнга на двух щелях.
В рамках концепции теории поля интерференция в опыте Юнга возникает в силу
того, что свет проходит неодинаковый путь от источника до экрана и возникающая
при этом разность фаз приводит к интерференции. Записывая в виде интенсивности
легко показать, что:
/ = ( Д + Д :) 2 =
Е \+ Е І + 2Еі.E 2 cos1( .10)
где Е\ и Еі - интенсивности излучения от первой и второй щели; <р - разность
фаз.
17
іе х ь с Л -й п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 2. Введение в квантовую механику. Ч асть 2.
Опыты интерференции.
В прошлой лекции мы начали рассматривать опыт Юнга (Рис. 1.7). Электромаг
нитная волна в таком случае распространяется в виде плоской волны:
Es ~ cos (cot —кх)
(2.1)
При этом должно выполняться требование когерентности волн - плоская волна
(2.1) должна излучаться достаточно долго, и начальная фаза волны должна быть
одной и той же в любой момент времени.
Результирующее поле в некоторой выбранной точке на экране, согласно принципу
суперпозиции, задается как:
( 2. 2 )
Еэ = Е\ + £ 2
Каждую из волн, при этом, можно представить как:
Е і ~ cos (cot —klj)
(2.3)
где lj - путь, проходимый волной от источника излучения до выбранной точки на
экране; к - пространственная частота; і = {1, 2}.
Результирующая энергия выражается как:
\ЕЭ\2 = |£ і |2 + \Е2 \2 + 2Е\Е2 cos (т —kl\) cos (cot —Ы2 )
(2.4)
Преобразовывая это выражение, можно показать, что результирующая энергия
имеет следующую зависимость:
к
Еэ
h+h
2
(2.5)
где
= h -h
Я
2%
=Т
( 2. 6 )
18
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ЬесисЛ-іт,
К О Н С П ЕК Т П О ДГО ТО ВЛЕН СТУДЕНТАМ И, НЕ П РОХОДИЛ
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
То есть, в зависимости от разности хода волн, 8 может изменяться от нуля, до
какой-то величины, и, тогда, косинус может принимать значения от нуля до единицы.
Это и приводит к образованию интерференционных полос.
Таким образом, подобные интерференционные опыты подтверждают волновую
природу электромагнитной теории.
Фотоэффект.
В 1904 году Ленардом было обнаружено явление фотоэффекта. Изложим суть
эксперимента (Рис. 2.1). В стеклянную колбу, из которой откачан воздух, помеща
ли незамкнутые катод и анод, находящиеся под напряжением для создания между
ними разности потенциалов. К ним также был подключен амперметр для фиксации
тока между катодом и анодом. Поскольку катод и анод разъединены, а разности
потенциалов недостаточно для образования разряда между ними (напряжение было
специально подобрано таким образом, чтобы разности потенциалов не хватило чтобы
вырвать свободные электроны из катода), то и тока в цепи нет.
*
**
*
**
Рис. 2.1. Схема эксперимента по изучению фотоэффекта.
Однако, если направить на катод электромагнитное излучение (например осве
тить ультрафиолетом), то энергия, переносимая излучением, будет "выбивать"свободные
19
!. ЛОМОНОСОВА
ЬедисЛ-іт.
К О Н С П ЕК Т П ОД ГО ТО ВЛ ЕН СТУДЕН ТА М И, НЕ П РОХОДИЛ
П РО Ф РЕД А К ТУ РУ И М О Ж Е Т С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
электроны, вследствие чего в цепи возникнет, так называемый, фототок.
Но, ток в цепи будет возникать только если частота электромагнитного излучения
будет выше некоторого порогового значения ѵПОр, определяемого составом катода
(Рис. 2.2). А сила тока в цепи if зависит от интенсивности излучения I (Рис. 2.2).
Рис. 2.2. Зависимость фототока от частоты и интенсивности излечения, падающего
на катод.
В 1905 году Эйнштейн выдвинул гипотезу о том, что на поверхность катода па
дают не просто волны электромагнитные волны, а отдельные частицы
фотоны с
энергией hv.
Энергия фотонов при этом расходуется на то, чтобы выбить электрон из катода
- так называемая работа выхода W .
И, если hv > W, то электрон выбивается и катода и даже обладает некоторой
кинетической энергией
hv = W + - тѵ2
(2.7)
2
А если hv <W , то электрон не выбивается и ток в цепи не наблюдается.
20
І. ЛОМОНОСОВА
ЬехъсЛ-ілъ
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Исходя из этого эксперимента можно сделать вывод, что свет является потоком
частиц.
Свет: волны или частицы.
Итак, мы рассмотрели два эксперемента, один из которых свидетельствует о вол
новой природе света, а другой - о корпускулярной (корпускула - частица). Имеем
парадокс.
Рассмотрим снова опыт Юнга (Рис. 1.7). Как уже было сказано, результатом это
го эксперимента является наблюдение интерференционной картины - концентриче
ских светлых и темных колец.
Теперь, пусть вместо экрана используется фотопленка. Тогда, для того чтобы
зафиксировать интерференционную картину это пленку нужно подвергать воздей
ствию света в течение некоторого времени. Предположим, например, что чтобы по
лучить отчетливую картину нужно два часа. А что если засвечивать не два, а один
час? полчаса? еще меньше?
В 1950 году Фабрикант провел соответствующие опыты с минимальным (насколь
ко это возможно) временем засветки. И, как оказалось, при времени засветки стре
мящимся к нулю, на пленке можно было рассмотреть отдельные точки. Увеличивая
время засветки точек становится больше, пока они не начинают сливаться в непре
рывную интерференционную картину. То есть, в предельном случае, свет воздейство
вал на пленку порционно - отдельными частицами. То есть свет - все-таки частица?
Парадокс разрешен? На самом деле нет.
Корпускулярно-волновой дуализм.
Теперь попробуем разбить опыт Юнга на два, казалось бы, взаимодополняющих
друг друга опыта - будем закрывать поочередно то оду, то другую щель.
В таком случае, результирующая энергия переданная светом на экран в первом
случае (щель 1 - открыта, а щель 2 - закрыта):
|£э|2 = |£ і |2
а во втором (щель 1 - закрыта, а щель 2 - открыта):
21
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
t& cucA-im ,
К О Н С П ЕК Т П О ДГО ТО ВЛЕН СТУДЕН ТА М И, НЕ П РОХОДИЛ
П РО Ф РЕД А К ТУ РУ И М О Ж Е Т С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Рис. 2.3. Опыт Юнга с одной из щелей.
\Еэ\2 = I
Но если открыть обе щели, то энергия будет вовсе не
|Еэ|2 = |£ і |2 + |£2|2
Она будет даваться выражением (1.10), включающим в себя интерференционный
член.
То есть, с одной стороны, взаимодействие света с веществом происходит порци
онно и говорит о корпускулярной природе света, а с другой - распространение света
говорит о его волновой природе. Такая двоякая природа света получило названия
корпускулярно-волновой дуализм.
Анализ траекторий распространения света.
Продолжим рассмотрение опытов по интерференции света в пределе сколь угодно
малого времени засветки. Как уже было сказано, в предельном случае на экране
можно зафиксировать одиночный фотон (Рис. ??). Можно ли предсказать в какой
точке окажется в таком случае фотон?
Интуитивно понятно, что это случайный процесс и чтобы разобраться обратим
ся к полной интерференционной картине (Рис. ??). Понятно, что в области светлых
колец попадает много фотонов, а в области темных - не попадают вовсе. Это мож
но также интерпретировать как и то, что в области светлых полос попало больше
энергии, которая в свою очередь очередь пропорциональна квадрату напряженности
результирующего поля ~ \ЬЭ\ .
22
ЪедьсЛ-Ст.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Но тогда можно с уверенностью сказать, что фотон скорее всего прилетит ту
да, где будет образовано светлое кольцо и, тогда, вероятность появления фотона в
некоторой точке экрана также будет пропорцональна квадрату напряженности реj-iі2
I
зультирующего поля ~ |цэ|
.
Рис. 2.4. Одиночный фотон на пленке.
Рис. 2.5. Интерференционная картина на
пленке.
Таким образом, свет испускается и поглощается как отдельные частицы, а распро
страняется как волны. В таком случае мы отказываемся от траекторий и используем
вероятностное распределение.
Гипотеза де Бройля.
В 1923 году французский физик Луи де Бройль предложил идею о том, что раз
электромагнитное поле проявляет корпускулярные свойства и обладает двойствен
ной природой, то может и частицы могут проявлять волновые свойства?
Электромагнитное излучение записывается в виде плоской волны через экспонен-
іфг—Ш)
где выполняется соотношение
w
Гипотеза же де Бройля состояла в том, что для свободный электрон также можно
охарактеризовать плоской волной в виде
ei(kr-(Ot)
23
Ь елсЛ - t/n .
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
для которой выполнены соотношения
р = hk
Е = coh
где р - импульс электрона, а
2т
- его энергия.
То есть, двойственную природу проявляют не только фотоны, но и массивные
частицы.
В 1927 году были проведены опыты, в результате которых электроны, направлен
ные на кристаллическую решетку, впоследствии образовывали интерференционную
картину на экране. В дальнейшем подобные опыты были проведены и для более
тяжелых частиц.
Отсутствие траектории частицы и описание ее состояния.
Мы разобрали, что, как и свет, частицы материи могут в одних условиях вести
себя как частицы, а в других как волны. Это приводит нас к отказу рассмотрения
распространения квантовых частиц по траекториям. В 1927 году Гайзенберг выска
зал это утверждение в виде принципа неопределенности.
На этом введение можно считать законченным. Переходим к рассмотрению непо
средственно квантовой механики.
Начнем с постулатов квантовой механики:
Постулат 1: Динамическое состояние квантовой частицы в данный момент вре
мени полностью описывается волновой функцией, являющейся функцией координат
¥ = ѴФн 0
(2-8)
При этом волновая функция имеет статистический характер, то есть, вероятность
нахождения частицы в данный момент времени в диапазоне [х, х + dx | равна \у\ dx
24
ѣ&сьсА-Ілг
КВА НТОВА Я М ЕХАНИКА
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
2
2
или |i//|-cb£:dydz. Величина \у\ , в таком случае, имеет смысл плотности вероятности,
а сама волновая функция у
амплитудві вероятности.
Покажем как считатв вероятности. Сначала рассмотрим некоторый объем cbc dy dz
в декартовой системе координат (Рис. 2.6). Тогда вероятность обнаружения частицы
в этом объеме равна:
Р=
\y \2dxdydz
(2.9)
25
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
ЬедьсА-ілг
К О Н С П Е К Т П О Д ГО ТО В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Z
Рис. 2.6. Выделенный объем dxdydzB декартовой системе координат.
Если теперь, например, взять две частицы, нахождение одной из которых нас не
интересует, а вероятность нахождения другой необходимо узнать. В первую очередь,
волновая функция это пары частиц будет зависеть уже и от координат первой, и от
координат второй:
¥ = Ѵ'Ть
2,t) (2.10)
Г
Тогда, чтобы узнать плотность вероятности нахождения первой частицы в про
странстве, при условии, что нахождение второй не важно, необходимо проинтегриро
вать квадрат волновой функции по координатам второй частицы во всем простран
стве:
J
M 2dГ2
И далее, чтобы найти вероятность нахождения первой частицы в объеме dx dу dz
нужно также воспользоваться формулой (2.9).
Если в задаче система обладает сферической симметрией (например электрон в
атоме водорода), то удобнее использовать сферические координаты г, Ѳ и (р:
26
Ъ&сисЛ-ілъ
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
¥ = ¥ ( г , Ѳ, <р)
Переходя от декартовых координат к сферическим, запишем элемент объема в
сферических координатах (Рис. 2.7):
х —>•г sin Ѳ cos q>
у >r sin Ѳ sin Ф
( 2 . 11)
х —>•г cos Ѳ
dV = dx dy dz
r2 sin Ѳ dr d(p d6
Рис. 2.7. Элемент объема в сферических координатах.
Тогда вероятность нахождения частицы в некотором объеме dV = г2 sin Ѳ dr d(p d6
вычисляется как:
p=
J
\xi/\2r2 sin Ѳ dr d(p d6
(2.12)
Также стоит сказать о нормировке волновой функции. Поскольку квадрат волно
вой функции имеет смысл плотности вероятности, а само значение вероятности, как
27
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
іелсЛ-отг
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
известно, имеет максимальное значение равное единице, то интегрирование квадрата
волновой функции по всему пространству должно давать единицу:
гОО
(2.13)
\y/\2dxdydz = 1
J—00
Физический смысл данной нормировки прост и интуитивен - с вероятностью = 1
частица где-нибудь в пространстве да находится.
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
te a c A - c m
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 3. О пределение состояния системы в
квантовой механике.
Особенности волновой функции.
Мы закончили прошлую лекцию формулировкой первого постулата квантовой
механики: "Динамическое состояние системы полностью определяется заданием ее
волновой функции. Волновая функция является функцией координат и времени."
В классической механике чтобы задать состояние системы нужно знать, напри
мер, значения всех координат в любой, наперед заданный, момент времени, если
известны начальные значения этих координат (начальные условия). Динамические
уравнения, которые для этого используются, в некотором смысле являются законами
природы.
В формулировке первого постулата квантовой механики постулируется существо
вание волновой функции. Где же брать эту волновую функцию?
Можно предположить, что по аналогии с классической механикой должно быть
какое-то динамическое уравнение, решением которого будет является волновая функ
ция.
В отличие от классической механики может показаться, что в квантовой меха
нике система определяется неполным образом, поскольку волновая функция носит
вероятностный смысл. В таком случае, в рамках квантовой механики, траектория
невозможна в принципе, поскольку траектория подразумевает знание определенных
координаты и скорости частицы, а не их вероятностные распределения.
То есть, хотя мы и постулируем, что волновая функция определяет состояние си
стемы, но стоит помнить, что это состояние определяется не с той степенью полноты
как мы привыкли в классической механике. И это не свидетельствует о какой-то
неполноте квантовой механики, это устройство природы.
Постулат суперпозиции.
Постулат 2 (постулат суперпозиции): Если возможны состояния квантовой
системы, описываемое волновыми функциями щ и \j/2 :
29
ѣ елсЛ -іт ,
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
VI =
t)
Щ = Ѵг{х, t)
то возможно и некоторое состояние ys, являющиеся линейной комбинацией состо
яний Щ и у/2 :
СхЩ+С2Щ
Понятие среднего значения.
Введем понятие среднего значения в теории вероятности. Пусть, величина Q\
выпадает с вероятностью Р\, а 0.2 - с вероятностью Р2 и т.д. Тогда, если выполнено:
N
Д=і
і
То среднее значение величины Q может быть вычислено по формуле:
N
(3,1)
В случае непрерывного распределения величины Q, значение среднего вычисля
ется с помощью интеграла:
_
Qb
Q = I Qp{Q)dQ
I'
(3.2)
JC
при условии нормировки вероятности:
-Qb
Г
p( Q) d Q=l
JQ
Написанное выше, это то, как в классической теории вероятности вычисляется
среднее значение'.
Рассмотрим как вычисляется среднее в квантовой механике. Для начала рассмот
рим некоторую квантовую частицу, движущуюся одномерно вдоль оси X в интервале
[ц, Ь] (Рис. 3.1). Далее, разобьем этот интервал на некоторые достаточно маленькие
интервалы одинаковой величины. Тогда, вероятность нахождения частицы в данном
г-том интервале дается выражением:
30
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣехѵсЛ-йгь
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, Н Е П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р ЕД А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАД И М И РОВИ Ч
Р і = \щ \2А х
( 3 .3 )
где щ - значение волновой функции в некоторой точке внутри г-го интервала.
І
---------- 1---------------- н ------------------- 1-------------------- ►
а•
••
х
Рис. 3.1. Одномерное движение квантовой частицы в интервале [а, Ь].
31
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
ЬедьсЛ-ілг
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Далее необходимо будет отнормировать волновую функцию:
1
После чего, согласно формуле (3.2) можно найти среднее значение координаты
частицы:
х=
Гь
7
Гь
x\\ j /\ dx=
у/*ху/dx
Ja
(3.4)
Ja
где мы воспользовались разложением квадрата комплексной величины:
\у/\2 = у /у /* = у/* у/
Описанное выше также справедливо и для движения частицы на бесконечной
прямой, необходимо толвко соблюдение условия нормировки.
Аналогично среднее значение вычисляется и в случае трехмерного движения:
х = ^ у/* г у/dr
(3.5)
Также, если имеем дело с некоторой функцией координаты
F = F{ х)
то среднее находится аналогично
y*F{x)Ydx
(3.6)
Совпадение координаты и импульса.
Согласно классической механике (в формализме Гамильтона) известно, что коор
динаты и сопряженные с ними импульсы являются равноправными динамическими
переменными связанными уравнениями Гамильтона непосредственно через Гамиль
тониан.
Теперь посмотрим как это будет в случае квантовой механики. Рассмотрим, для
простоты, снова одномерное движение квантовой частицы. Тогда ее волновая функ
ция будет функцией координаты и времени:
32
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В ЛОМОНОСОВА
t&cbcA-isn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
у/ = уфг, t)
Однако, волновая функция квантовой частицы может быть также задана и в
импульсном представлении, то есть как функция импульса частицы и времени:
Ф = Ф(р, О
которая имеет тот же смысл амплитуды вероятности, а среднее значение импульса
вычисляется согласно формуле:
р = ^ ф* р ф &plabeleq31
(3.7)
Но например, как быть в случае если дана волновая функция в импульсном виде,
а нужно найти среднюю координату, или наоборот? Для ответа на этот вопрос нам
понадобится формализм преобразований Фурье.
Преобразование Фурье.
Пусть, имеется некоторая функция координаты
/ - /м
Тогда переход к переменной к осуществляется с помощью прямого преобразо
вания Фурье:
1
Г00
F'(к- - j =
J
(3.8)
/(х)
F(k) называют образом функции F(x).
Обратное преобразование Фурье выполняется согласно формуле:
1 Г00
/ W _ V2SJ-»
F(k)e'k’i(k3.9)
Применять преобразования Фурье к функции f(x) можно в случае сходимости
интеграла от этой функции на бесконечности, то есть
<
00
33
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣ елсЛ -игь
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВА НТОВА Я М ЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Это условие будет выполнено при сходимости интеграла квадрата функции:
ГОО
|/(x )|2dx<co
J— QО
Впоследствии нам будет удобнее использовать именно последнее условие.
Выпишем пару утверждений, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Если функция f(x) имеет в качестве образа функцию F(k), то образом ее произ
водной
будет функция ikF(k).
Если функция f(x) имеет в качестве образа функцию F(k), а функция g(x) имеет
в качестве образа функцию G(k), тогда выполнено
J g* (х) f(x)
dx = J g*(к) F(k) dк
(3.10)
Данное выражение носит название теоремы Парсеваля.
Далее воспользуемся аналогией с теорией электромагнитного поля. Пусть, задана
функция электиреского поля от координаты Е(х, t = о). Запишем для него обратное
преобразование Фурье:
00
Е{х, t = 0) =
л/2тг J-00
F{k) е - ікх6х
(3.11)
Тогда функцию F(k) можно выразить как
1
F(k) = —
Г00
J
Е(х, t = 0) elkxdx
(3.12)
Домножим последнее выражение (3.12) на е~1Ш:
F{k) е -ICOt
1
Г00
(3.13)
=
Е(х, t = 0) e ^ - ^ d x
Ѵ 2ж J -oo
что является ни чем иным, как разложением по плоским электромагнитным вол
нам, где к = У - волновой вектор.
Опытной реализацией этого выражения являются опыты Ньютона по изучению
дисперсии (разложение белого света на составляющие цвета при прохождении через
треугольную призму).
34
Ь&сьсА-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Волна де Бройля.
Как уже было сказано, согласно гипотезе де Бройля, поток квантовых частиц
может быть представлен в виде плоской волны вида еііукх~ш\ но вместо соотноше
ния ® = с, используемого в теории электромагнитного поля, в квантовой механике
используются следующие соотношения:
р = hk
(3.14)
Е = hot
И теперь, используя преобразование Фурье и эти соотношения можем выразить
волновую функцию от координаты \j/(x, t) через импульс:
1
Г00
(3.15)
ф(р) e ^ px~EtMp
ѵ(х'
0 " v s Lo
То есть, волновую функцию в импульсном представлении можно интерпретировать как Фурье-образ волновой функции в координатном представлении.
35
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
£еасЯ -ст
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 4. Свойства и элементы пространства
волновой функции.
На прошлой лекции, на основании того, что координаты и, сопряженные с ни
ми, импульсы являются равноправными динамическими переменными, высказали
следующее утверждение: если постулировать существование волновой функции как
функции координат и времени, то должна существовать также и волновая функция,
зависящая от импульса и времени.
Обе эти функции, если они описывают одно и то же состояние, должны быть
каким-то образом связаны. Для того чтобы связать их, мы использовали интегралы
Фурье:
где
По условию существования интеграла Фурье, квадрат раскладываемой функции
(амплитуда поля) должен быть интегрируем в всем пространстве. С физической точ
ки зрения это означает, что энергия поля, которая пропорциональна квадрату его
амплитуды, до л ясна быть конечной.
Теперь, если вместо плоской электромагнитной волны взять волну де Бройля:
1
Y(x, t) = ~i= =
J
Г30
Ф (р, t)e ^ px~Er)dр
(4.1)
где
р = Нк
(4.2)
Е = hot)
В этом случае, импульсный вид волновой функции квантовой системы является
Фурье-образом координатной волновой функции.
Также мы рассматривали два важных соотношения из теории интегралов Фурье.
Если имеются две функции f(x) и g(x) с Фурье-образами Е(к') и G(k) соответственно:
36
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
te&cA-vrz
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
/ М - F(k)
g(x)
■G(k)
то справедлива теорема Парсеваля:
гСО
ГОО
/ ( * ) / ( * ) d*=
G*(k)F(k)dk
J —00
J —00
Следующее полезное соотношения записывается как
Ц- = ikF
дх
(4.3)
(4.4)
Среднее значение импульса.
После того, как мы записали связь между импульсным и координатным видами
волновой функции, выясним как вычисляется среднее значение импульса, если, как
было показано ранее, среднее значение координаты вычисляется следующим обра
зом:
л 00
х=
Ѵ*{х) х \j/(x)dx.
J —00
Аналогично можно записать и для среднего значения импульса:
(4.5)
гоО
Р=
Ф*(Р)РФ(Р)ЛР
(4.6)
J —00
Используя теорему Парсиваля (4.3) и соотношение (4.4), перепишем выражение
(4.6). Будем рассматривать множитель ф*(р) как G*, а р ф(р) как F (см. теорему
Парсиваля). Тогда:
Р
00
(47)
—оо
і
дх
Перепишем это выражение в виде:
оо
Р
—оо
Y* р у/1іх
(4.8)
где
Р
h
д
(4.9)
і дх
37
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
tecucA-im ,
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , Н Е П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВА НТОВА Я М ЕХАНИКА
ПЕТРОВ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ
- оператор им пульса в координатном представлении в квантовой механике.
В трехмерном случае оператор импульса записывается как
(4.10)
Теперь зададимся вопросом: если мы можем вычислить среднее значение им
пульса с помощью волновой функции в координатном представлении, то можно ли
сделать обратное, и вычислить среднее значение координаты с помощью волновой
функции в импульсном представлении?
Да молено. Аналогично (4.8) запишем
•00
(4.11)
ф*хфйр
—00
при этом оператор координаты в импульсном представлении записывается как
Т=
h д
(4.12)
Постулат среднего значения.
Пусть, имеется некоторая величина F = Fiji, Pi, t), зависящая от времени, коорди
наты г и импульса р частицы. В силу вероятностного характера квантовой механики,
значения этой величины будут также носить вероятностный характер, пэтому первой
характеристикой этой величины должно быть ее среднее значение F.
Третий постулат квантовой механики - это постулат о среднем значении любой
произвольной физической величины.
Пусть, имеется некоторая физическая величина
F = Fiji, г2,
р ь pi,
О
Квантовая система, к которой относится эта величина, описывается волновой
функцией
¥ = ¥ П , r2,...t)
Тогда, среднее значение величины F вычисляется как
38
t&cccA-un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
F=
£
у/*Л у/ d?i d?i ....
(4.13)
где А - оператор, соответствующий величине F:
A = F(rі, г2, ..., р и р2,
t)
Рассмотрим пример. Пусть дана функция кинетической энергии 7 :
Вспоминая, что соответствующий величине импульса оператор записывается как
Р- = уh ѵ
V
Запишем соответствующий оператор кинетической энергии Т :
*
Й2
Т = —— А
2т
где А = V2 - оператор Лапласа.
В случае полной энергии
E = T +U
В координатном представлении, к уже выписанному оператору кинетической энер
гии Т нужно будет просто прибавить величину потенциальной энергии U, поскольку
потенциальная энергия является функцией координат, операторы которых, в коор
динатном представлении, представляют собой сами же величины.
Пространство волновой функции.
Пусть, все множество волновых функций, с помощью которых можно описать
динамическое состояние той или иной квантовой системы, образуют пространство.
Что это будет за пространство?
В первую очередь, оно будет линейным, поскольку работает постулат суперпози
ции: любая линейная комбинация двух элементов данного пространства также обра
зует элемент этого пространства.
39
ѣ&сьсЛ-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВА НТОВА Я М ЕХАНИКА
П ЕТРОВ СЕРГЕЙ В Л А Д И М И РО В И Ч
Также, данной пространство будет евклидовым, то есть в нем должно быть задано
скалярное произведение. Зададим его.
Каждой паре двух элементов из линейного пространства волновых функций у/ и
ф поставим в соответствие число (у/, ф), которое назовем скалярным произведением
и вычислять его будем следующим образом:
гСО
у/, ф
(у/, ф) =
уг*фдх
(4.14)
J —QО
Исходя из формулировки, скалярное произведение обладает следующими свой
ствами:
1) Комплексное сопряжение:
{у/, ф) = (ф, у/)*
(4.15)
2) Неотрицательность нормы волновой функции:
(у/, у/) > 0
(4.16)
3) Линейность скалярного произведения по второму аргументу:
(у/, афі + С2 Ф2 ) = сі(уг, ф\)+с2{у/, ф2)
(4.17)
и антилинейность по первому:
(ciW +C2 Y 2 , Ф) = с*{уг-1 , Ф) + с*2(у/2 , Ф)
(4.18)
4) Если скалярное произведение
(V, Ф) = о
то элементы у/и ф - ортогональны друг другу.
5) Неравенство Шварца (или неравенство Коши-Буняковского): для любых двух
элементов евклидова пространства у/и ф справедливо:
40
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣ&сьсА-Ілг
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
\(ѵ, Ф)Ы (ѵ, ѵ) (Ф, Ф)
(4-19)
Для доказательства данного неравенства необходимо будет взять следующий
элемент:
ф = фі + X ф2
где X - комплексное число.
И посчитать его произведение само на себя и показать что:
(фі+х ф2, фі+Х ф2)> О
Покажем это:
(фі + X ф2 , ф і + Х ф2 ) =
= (фь фг) + Х * ( ф 2 , фі) + Х ( ф і , ф2 ) + Х Х * ( ф 2 , ф2)
Далее, в силу того, что X - любое комплексное число, зададим его следующим
образом:
х = (Фі, Фі)
(<h, Фі)
^ = (Фг, Фі)* = (Фі, Фі)
(ф2, ф2)
(ф2, ф2)
Подставляя в выражение выше, получаем
(Фі, Фі) + Л*(ф2, фі) +Х(фі, ф2) + ХХ*(ф2, ф2) =
(Фі, фг)
(Фі, Фі) (Фі, Фі) (Фі, Фі) + (Фі, Фі) (Фі, Фі) (Фі, Фі) =
= (фі, Фі)
(02, Фі)
(Фі, Фі) (Фі, Фі)
(Фі, Фі)
(Фі, Фі) (Фі, Фі) > 0
= (фі, фі)
(Фі, Фі)
Что аналогично
41
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
і&сисА-ілъ
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
(01, 01) (02 , 0 2 ) - |(01, 02)|2 ^О
Что и требовалось доказать.
Знак равенства при этом достигается в случае если вектора коллинеальны друг
ДРУгу:
01
=
с
02
42
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
Ь&сьсА-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Элементы пространства волновой функции.
Предположим, что в евклидовом пространстве волновых функций задано множе
ство элементов Щ, где / = {1, N} и скалярное произведение для такого набора задано
следующим образом:
(¥i, ¥j) = Sij
(4-20)
где 8 - символ Кронеккера, принимающий значение 0, если г ф j, и 1, если і = j.
Такое множество функций {щ} образует ортогональный базис в евклидовом про
странстве. Любой элемент этого пространства можно представить с помощью базис
ных векторов Щ:
¥ = 2 Сі Щ
(4.21)
І
Логично предположить, что каждой такой волновой функции Щдолжен соответ
ствовать некоторый набор коэффициентов {сг}. Чтобы найти их вычислим:
( ¥ , ¥ ) = [ J ] Сі Щ, J ] скщ
\
і
к
В определении скалярного произведения присутствует интегрирование (4.14), но
вспоминая о том, что операции суммирования и интегрирования независимы, можем
переписать:
S
г
aw,
2
к
Ск¥к ) S Z c^Ck
/ і к
ѵъ)
Далее пользуясь ортогональностью векторов разложения (4.20), получаем, что
(у, ѴО = 2
kil2
(4.22)
І
При этом, если мы используем нормировку волновой функции на единицу, то
(V ¥) = Y i 1Сг'!2= 1
(4-23)
І
Как мы только что показали, не любой набор коэффициентов а соответствует
некоторой волновой функции щ. Теперь зададимся обратным вопросом: пусть задана
некоторая волновая функция Щ
43
ФИЗИЧЕСКИЙ
МГУ ИМЕНИ
м.е. Ломоносова
іе л с Л -ѵ п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
¥ =^ щ
І
как узнать значения соответствующих коэффициентов {сф?
Домножим функцию у/ на один из базисных векторов у/£:
¥к¥ = ^
сі¥к¥і
І
ИЛИ
(¥к, ¥) = 2 ъіѴь, ¥ і) = Ск
(4.24)
І
В силу ортогональности базисных векторов (4.20).
44
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
t&cbcA-vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 5. К вантово-механические операторы и их
свойства.
Квантово-механические операторы: определение и свойства.
Пусть, есть некоторая величина F = F(r, р, /). Как мы выяснили на прошлой лек
ции, среднее значение такой величины можно вычислить согласно формуле (4.13).
Перепишем данное выражение согласно принятому нами выше обозначению инте
грала с помощью скобок:
F -(
y
,Ay)
(5.1)
где А - оператор, соответствующий величине F.
Заметим, что данное выражение (5.1) справедливо, в случае нормированное™
волновой функции на единицу, в противном случае, следует дополнительно поделить
на скалярное произведение волновой функции самой на себя.
Определим оператор А как:
A = F (7 ,f,t)
(5.2)
Оператор представляет собой действие (правило), переводящее волновую функ
цию из одного состояния в некоторое другое:
У^Х-
Х=АѴ
Чтобы определить оператор необходимо знать правило преобразования у/ —» X
(например для оператора импульса в координатном представлении это операция
дифференцирования и домножения на известный коэффициент), а также область
его определения.
Свойства квантовомеханических операторов:
1) Линейность:
А (сіщ + с2уг) = сіАщ + с2Ауг2
(5.3)
45
teacA-vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВА НТОВА Я М ЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
2) Правило для суммы операторов:
С = А+В
(5.4)
Су = А у+ В у
3) Правило для произведения операторов:
С = АВ
(5.5)
С у = А (By)
Рассмотрим пример. Пусть, дан оператор А:
л 1 d
А = ----- х
л' ах
Необходимо найти А 2.
Д л я этого возьмем произвольную функцию у и подействуем на нее оператором
А:
Следовательно, оператор А можно переписать в следующем виде:
1
х
А
д_
(іх
Ну и для вычисления А 2 необходимо посчитать
dу
y + -fdx
Оставшиеся выкладки читателю предлагается проделать самостоятельно.
Заметим, что в общем случае
46
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
бел сЛ -оп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
АВфВА
Введем понятие коммутатора, по определению
Г" А
А —I
А
Л
Л А
[А, В] =АВ —ВА
(5.6)
Вычислим в качестве примера коммутатор [А Р] не забывая домножить на
произвольную волновую функцию:
[х, Р ] у = (хр - рх) у =
h
і
¥ =
= ^ (х у/ — у — х у/) =
= —ту = ih у
Следовательно
[х, Р] = ih
4) Существование единичного оператора, который при действии на любой произ
вольный оператор А никак его не преобразует:
Л
Л
Л
ІА = А
(5.7)
5) Существование обратного оператора. Для любого произвольного оператора А
существует такой оператор А-1 , действие которого на сам оператор А дает еди
ничный оператор:
А-1А = АА-1 = 1
(5.8)
6) Существование эрмитово сопряженного оператора. Пусть существуют два опе
ратора А и В, для которых справедливо:
(у, Ах) = (By, X)
(5-9)
47
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
t&cucA-un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
л
л
Тогда, мы будем называть оператор В эрмотово сопряженным оператору А (и
наоборот) и обозначать с помощью знака
В=А!
Эрмитово сопряженный данному и эрмитов операторы.
Перепишем определение (5.9) в следующем виде:
(уг,Ах) = (А^у/, X)
(5.10)
Теперь выясним, как будет выглядеть эрмитово сопряженный оператор для та
кого оператора:
/К
л
л
С =АВ
б =?
Воспользовавшись определением эрмитово сопряженного оператора запишем:
(СѴ, X) = (V Сх) =
= ( ѵ ( Щ х ) == ( ѵ М в х ) ) =
= (а Ѵ
в %)
= (# аѴ ,
х)
Откуда делаем вывод, что
/К
л
л
для С = АВ
+
С* = (АВ)* - s U t
(5.11)
Разобравшись с процедурой эрмитового сопряжения, дополним набор свойств,
котороый начали в прошлом пункте:
s
л
7) Если для некоторого оператора А справедливо
А =АІ
(5.12)
(¥, АХ) = {Ay, X)
48
t&cbcA-isn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П Р О Ф Р Е Д А К Т У Р У II М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И Б К И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А ѴК.< 'O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
то такой оператор называется самосопряженным или эрмитовым.
Если некоторой физической величине F соответствует некоторый эрмитов опе
ратор А, то среднее значение этой филической величины дается следующим
выражением (при условии нормированности волновой функции на единицу):
F —>А
=*■
f
(5.13)
= (¥■ A y )
Выделим еще одно очень важное свойство. Согласно свойству (4.15) скалярного
произведения и свойству (5.12), выражение (5.13) можно переписать как:
F = (у/, Ayr) = (Ayr, yr)* = (Ayr, yr)
(5.14)
А следовательно, среднее значение величины данной F - вещественное число,
что разумно с физической точки зрения.
Теперь рассмотрим другой пример. Пусть, есть два каких-то состояния у/ и %
квантовой системы, и эрмитов оператор А соответствующий некоторой физиче
ской величине. Как мы показали, величины (у/, Ayr) и (%, А%) - вещественные.
Теперь воспользуясь принципом суперпозиции составим состояние
Ѵ+^Х
где X - произвольное комплексное число.
Будет ли в этом случае величина (yr+ X х, Ayr + X А%) вещественной и как она
завизит от комплексного числа Я?
Распишем эту величину:
(у/+ Хх,Ау/ + ХАх) =
= (ѵ,Ауг) + А (уг,Ах)+Х*(х,Ауг)+ХХ*(х,Ах)
(5.15)
49
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В ЛОМОНОСОВА
tecuA-on.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Первое слагаемое - вещественно в силу свойств эрмитового оператора; второе тоже вещественно, поскольку ЯЯ* = |Я|2; остается показать что сумма второго
и третьего слагаемых также дает вещественную величину.
Чтобы это доказать, перепишем Я в виде:
X = R e X e ia
(5.16)
а = ІтХ
где Re Я и Іт Я - реальная и мнимая части Я .
Перепишем второе и третье слагаемые из вы раж ения (5.15) согласно (5.16):
Я (у, Ах) +Х*( х, A y ) = ReX (eia(y, Ах) + е іа( х , А у ) ^ = Re X R
где мы переобозначили выражение в скобках как R.
Если R это действительное число, то должно быть справедливо:
R = R*
Проверим это. Запишем:
R* = (еіа(у, Ах) + е іа( х , ^ Ѵ О )* =
= е- іа{Ах, у) + еіа(Ау, X)
Если R = R*, то коэффициенты при одинаковых экспонентах в разложении R и
R* должны совпадать, то есть должно быть выполнено
(V, Ах) = (AV, X)
ІХ,Аѵ) = {Ах, W)
что справедливо в силу эрмитовости оператора А (5.12). Что и требовалось
доказать.
50
t&CbcA-isn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Дисперсия волновой функции.
Как мы уже выяснили, квантовая механика носит вероятностный характер, и, в
таком случае, средняя величина некоторой физической наблюдаемой является важ
ной характеристикой. Однако, она никак не характеризует вид распределения на
блюдаемой.
Например, может случиться так, что разным вероятностным распределениям
некоторой наблюдаемой F будет соответствовать одно и то же значение среднего
F (Рис. 5.1).
51
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
t&CbcA-O71
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К ТУ РУ И М О Ж ЕТ С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАДИМ ИРОВИЧ
Рис. 5.1. Случай, когда различным вероятностным распределениям некоторой физи
ческой величины F может соответствовать одно и то же среднее значение F.
Введем другую важную характеристику распределения величины - дисперсию.
Дисперсия D характеризует степень отклонения вероятностной величины от ее сред
него значения. Также часто используют понятие среднеквадратичного отклонения
<7, представляющее собой квадратный корень из дисперсии. Запишем определене
дисперсии (и среднеквадратичного отклонения) для произвольной величины F:
D[F] = a j = {F-Ff(5.17)
Очевидно, что это неотрицательная величина. Раскроем скобки в данном выра
жении:
( F - F ) 2=
( F2 +
Далее, усредняя каждое слагаемое получаем
(F2 + F 2 - 2 F F ) = 1 ^ + F2 - 2 F T = ~F2 + F2 - 2 F 2
Окончательно запишем выражение дисперсии и среднеквадратичного отклоне
ния:
D\F] = o} = F2 - F 2
(5.18)
52
іе л с Л -ѵ п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Как правило именно эту формулу и используют для вычисления дисперсии.
Вернемся к квантовой механики. Пусть, дана некоторая волновая функция Y и
некоторый эрмитов оператор А, соответствующий некоторой физической величине
F. Согласно (5.13):
F = (у/,Ayr)
Также очевидно, что
F 2 = {уг,А 2 уг)
Тогда для дисперсии физической величины F справеливо
D[F] = F i - F 2 = (yr,А 2 уг)- (уг,Ayr)2 ^ О
что равносильно
ІѴ, Ayr) 2 < (уг,А 2 уг)
(5.19)
Поскольку А - эрмитов оператор, то
(уг,А 2 уг) = (у/,А(Ау/)) = (Ay ,A y )
Перепишем (5.19) с учетом данного преобразования:
\(y ,A y )|2< (ѵ, ѵ) (Ay ,a y )
(5.20)
Что есть ни что иное как неравенство Шварца (или Коши-Буняковского) (4.19).
Представим предельный случай, при котором дисперсия физической величины
равна нулю, или, иными словами, когда неравенство (5.20) переходит в равенство.
Это возможно лишь случае если вектора A Y и Y ~ коллинеарны, то есть:
Ay = Ay
(5.21)
Вектора, удовлетворяющие данному уравнению называются собственными век
торами оператора А, а соответствующие коэффициенты Я - собственными зна
чениями оператора А. Само же уравнение (5.21) называется уравнением на соб
ственные хзначения оператора А.
53
ФИЗИЧЕСКИЙ
фдкультет
МГУ ИМЕНИ
м.е. Ломоносова
t&CbcA-On
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Собственные значения и собственные функции.
Рассмотрим свойства собственных значений и собственных функций эрмитовых
операторов:
1) Возьмем уравнение на собственные значения оператора А (5.21) и домножим
его слева на ij/*:
у/*Ау/ = Лу/*у/ <^>
«
(у/, Ау/) = Л(у/, у/)
Слева имеем (у/, Ayr) - среднее значение некоторой физической величины, кото
рой соответствует эрмитов оператор А, а справа произведение волновой функ
ции самой на себя (у/, у/). Оба этих значения являются действительными числа
ми, а значит, Я - тоже действительное число. То есть собственные значения
эрмитового оператора —всегда действительные числа.
2) Пусть, имеются две произвольные волновые функции Щ и
и некоторый
эрмитов оператор А. Уравнения на собственные значения для этих функций:
Ау/\ = к\уг\
(5.22)
Ayr2 = Я2 у/2
причем, пусть
Яі Ф я2
(5.23)
Домножим первое уравнение (5.22) на і//2 слева:
у/2 А щ = Aiy/fi//,
или, что равносильно
(у/2, Ау/і) = М ( У 2 , W )
(5.24)
54
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
МВ ЛОМОНОСОВА
t&cbcA-un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРОВ СЕРГЕЙ В Л А Д И М И Р О В И Ч
Теперь, возьмем комплексно сопряженное от второго уравнения (5.22) и домножим его справа на у/\'
■
Ау/^щ = Я2ѵ4Ѵ і <=>
(5.25)
<=> (Ау/г, Щ) = ЫѴ2, ¥і)
В силу эрмитовости оператора А справедливо
(угьАщ) = (Ауг2,Щ)
Используя это, вычтем из уравнения (5.24) уравнение (5.25):
(ѴА Ayf\) - (Ащ, yri) = ki{yr2, ¥ і ) ~ Ы Ѵ 2 , Yi) <=>
<=>
0= (Я1 - Я 2) (y/2, m )
Поскольку мы изначально потребовали (5.23), то
(¥2, ¥ і ) = 0
То есть, собственные функции эрмитового оператора Л, соответствую
щие различным собственным значениям ортогональны.
3) Ортогональные собственные функции эрмитового оператора —линей
но независимы.
Докажем это от противного. Пусть даны собственные функции щ и у/2 опера
тора А, которые ортогональны:
(ѴА уг2) = 0
Попробуем показать, что они линейно зависимые, то есть справедливо
СіЩ + с2у/2 = О
или (если, например поделить все на с\ и переобозначить ^ = с)
55
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
t& cu A -vn
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
¥і =сщ2 = 0
Домножим это выражение слева на у/%:
¥%¥і +СЩ$¥\
и проинтегрируем по всему пространству (записав в и ле скобок):
(5.26)
(V.2, Ѵі) + с(Щ, Y2) = 0
В силу (4.20):
(¥2, ¥і) = 0
(¥2, ¥2) = 1
А значит, что (5.26) справедливо только в случае
с= О
То есть, ортогональные собственные функции - линейно независимы.
56
t& cccA-vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 6. В ы рож денны й спектр и уравнение
Ш редингера.
Вырожденный спектр.
Пусть, имеется набор собственных функций «р* оператора А. Для простоты поло
жим і = {1, 2}. И, пусть, всем этим собственным функциям соответствуют одни и те
же собственные значения:
А ц>і = Х ц>і ,
/ = {1,2}
(6.1)
В таком случае, спектр собственных значений является вырожденным.
В прошлой лекции мы показали, что собственные функции, соответствующие раз
личным собственным значениям - ортогональны. Однако, в этом случае мы ничего
не знаем об их ортогональности, то есть в общем случае для вырожденного спектра
(ф ь ф 2 )^ 0
(6.2)
Если составить линейную комбинацию из собственных функций (р\ и (р2 вырож
денного спектра и подействовать на нее соответствующим эрмитовым оператором А,
то получим
А(с\ фі + с2(р2) = Я (сі (pi + с2(р2 )
То есть, мы получили еще одну собственную функцию оператора А, принадлежа
щую вырожденному спектру. В общем случае, количество таких функций ограничено
лишь количеством возможных линейных комбинаций.
Положим функцию <рі нормированной на единицу (что всегда можно сделать, в
случае если это не так, поделив ее произведение самой на себя не соответствующий
интеграл нормировки):
(Фь Фі) = 1
Теперь, воспользовавшись свойством того, что любая линейная комбинация вы
рожденных собственных функций также является собственной функцией эрмитового
оператора А, без потери общности, составим из них такие функции щ и \у2, что
57
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣелсА-ѵп,
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
(Ѵь щ ) = 0
Для этого положим
т =<
рі
W2 = а фі + Ъ(р2
Домножим теперь \\f2 на V* и и проинтегрируем (выразим в виде скобок):
(щ, у/2)= а((ри <рі)+Ь(<рі, (р2)
За счет подбора коэффициентов а iib потребуем также, что
(Ѵь V 2 ) = a ( q > u Vi)+b(<pi, <р2) = 0
Тогда
Ь=
(<Рь <Рі)
а
(Фі,
фі)
Таким образом, из функций вырожденного спектра (р\ и (р2 мы построили функ
ции і//| и у/ 2 , которые ортогональны друг другу, с которыми удобнее будет работать
вдальнейшем. В линейной алгебре данный метод называется ортогонализацией по
Шмидту.
Дельта функция.
Пусть, мы имеем набор каких-то ортонормированных функций {и,-}, образующих
базис, то есть:
( м і , uj) = Sij
(6 .3 )
Поскольку функции {щ} образуют базис, то любая произвольная функция у/ в
пространстве этого базиса может быть представлена как
СіЩ
(6.4)
І
58
t&CbcA-isn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Примечание: если любая функция в пространстве выбранного базиса может
быть разложена по такой системе ортонормированных функций, то набор базис
ных функций называется полным (иногда это подчеркивается) базисом.
Коэффициенты
сі
(6.4) могут быть вычислены следующим образом:
а = (щ, у )
(6.5)
Пусть, волновая функция является функцией переменной х (для простоты записи;
не ограничивает общности). Перепишем (6.4), воспользовавшись (6.5):
Ѵ(х) = YjCiUi{x) =
І
ѵО Щ{х)
(6.6)
І
Как мы помним, выражение в круглых скобках (щ, у/) представляет собой инте
грал. Поскольку операции интегрирования и суммирования независимы, то справед
ливо
и* (У) ифх)
Ax'
(6.7)
Заметим, что поскольку, как было сказано, интегрирование - независимо, то и
само интегрирование должно вестись по независимой переменной У.
Для удобства, переобозначим
{ і > ? (^) “*'(*) I = Six', х)
(6.8)
Тогда, выражение (6.7) может быть переписано в виде
\j/(x) = Г
уфУ) 8(х', х) сіУ
(6.9)
Заметим, что под интегралом, в том числе, для у ф ) стоит эта же самая функция,
но от переменной У. Тем не менее, в результате интегрирования должна получит
ся непосредственно сама функция уф). Подумаем, как должна выглядеть в таком
случае функция #(У, х).
Предположим, что функция у (У, х) равна нулю во всей области определения У,
за исключением некоторой окрестности 8 У около точки х (Рис. 6.1).
59
t&cucA-im,
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАДИМ ИРОВИЧ
8(х\
Рис. 6.1. Вид искомой функции g(xf, х).
Тогда, согласно известной из курсов математического анализа теореме о среднем,
перепишем (6.9) в виде
1/фО= I і/ФО
=
g ( x 'i х )
Ѵ І Х)
I
g{x ',x )d x f
(6.10)
J{x'}
J{x'}
Но тогда, оставшийся в выражении (6.10) интеграл должен быть равен единице.
С другой стороны, чтобы в точности было выполнено тождество у(х) = \р(х) в вы
ражении (6.10), нам нужно чтобы область, в которой g(xf, х) отлична от нуля, была
в точности равна х.
Поэтому, нам необходимо устремить интервал 5 х' (Рис. 6.1) к нулю, потребовав
при этом, что
Г
g ( x Jx)dx' = 1
(6.11)
Такую функцию впервые ввел Дирак, и назвал ее 5-функцией. Ее свойства тако
вы, что
д(х
—
jc) = 0 ,
если х' фх
Ь(х —jt) —►оо, если У —
Г
5 —
(х
х ) &х' =
1
( 6 . 12)
60
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
ЬедисА-ілъ
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Таким образом, если
g(x', х) = 8(х/ —х)
то согласно (6.8)
(х') щ(х) = 5(х! —х)
(6.13)
І
Соотношение (6.13) называется соотношением замкнутости. Замкнутость полу
чается как следствие полноты базиса, поскольку приведенные выше рассуждения
применимы к любой функции выбранного пространства функций. Также справедли
во утверждение, о том, что из замкнутости базиса (6.13) следует его полнота.
Решение задачи.
Решим задачу на собственный функции и собственные значения оператора им
пульса:
(6.14)
Подставляя оператор А (6.14) в уравнение на собственные значения (5.21):
(6.15)
і дх
Решением такого уравнения является собственная функция:
y/ = e*Xx
(6.16)
Поскольку оператор А = р в данном случае представляет собой оператор импуль
са, то собственные значения X этого оператора представляют собой не что иное, как
значения импульса р. В связи с этим, выражение (6.16) может быть переписано в
виде
\І/ = е*рх
(6.17)
где р е (—со, со) - может принимать любые значения на всей числовой оси.
Поскольку оператор импульса р соответствует известной физической величине,
то он, как мы выяснили, должен быть эрмитовым. Проверим это.
61
6елсЛ-і/7ъ
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Сначала рассмотрим более общий случай оператора дифференцирования и про
верим на эрмитовость следующий оператор
л
д
A= « s
,
.
(6.18)
Если оператор А - эрмитов, то для любых произвольных волновых функций ф и
¥ должно выполняться
(0, Ау/) = (.Аф, у/)
(6.19)
По определению расписываем эти скалярное произведение слева как интеграл:
Ayr) = а Г ф * у /бх = а Г ф*йу/
J/{д}
(лі
J{xl
J{x}
где у/ - производная у/. Также мы воспользовались тем, что
i/d x = dy/
Продолжая преобразования, возьмем этот интеграл по частям:
(ф,Ау/) = а Г ф*у/ёх = аф*у/ - « Г
“а
){х}
у/йф*
( 6 . 20)
эш
где а и Ъ - некоторые границы интегрирования.
Аналогичные преобразования проделываем с правой частью уравнения (6.19):
(Аф, ¥) = а*
I
{х}
¥<іф
( 6 .21 )
Равенство левой (6.20) и правой (??) частей уравнения (6.19) может быть достиг
нуто в случае выполнения двух условий:
аф*у/
=
0
а =-а
62
ЬелсЛ -іт .
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Согласно второму условию, коэффициент а должен быть чисто мнимым. И
h
і
а=удовлетворяет этому.
Рассмотрим первое требование. Вид собственных волновых функция оператора
импульса (6.17) говорит нам о том, что они определены на всем числовом простран
стве. Но тогда, чтобы условие 1) было выполнено и оператор А был эрмитовым
необходимо чтобы его собственные функции не принадлежали его области
определения.
Уравнение Ш редингера.
Мы выяснили как построить соответствующие различным физическим величи
нам квантово-механические эрмитовы операторы, и с помощью него вычислять соот
ветствующие им средние значения и дисперсии. Однако, до этого момента мы не об
суждали процесс нахождения непосредственно волновой функции, необходимой для
описанных выше процедур. В этой секции мы рассмотрим динамическое уравнение
для получения волновой функции. Как известно, данное уравнение носит название
уравнения Шредингера.
Поскольку уравнение Шредингера является фундаментальным законом приро
ды, то вывести его откуда-то не получится. Способ его получения, если можно так
сказать, носит полуфеноменологический-полуэмперический характер.
Вспомним выражение распространения электромагнитной волны в пространстве:
/(*, t) = </(**-«)
( 6 .22)
со
~к= с
Волновое уравнение, решением которого является такая волна, выглядит как
ср-
1 д^
др\
?) = 0
(6'23)
Мы уже говорили ранее в лекциях, что Луи де Бройль в свое время показал,
что поток свободных частиц ведет себя как плоская волна, для которой справедливы
следующие соотношения между волновыми характеристиками:
63
ЬедьсЛ-І/п.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
р = hk
Е = hco
со Е
р
к
р 2т
(6.24)
Тогда, если написать волновое уравнение (6.23) для волны де Бройля, то коэф
фициент будет другой:
1 2т
с2 р
Значит для разных свободных частиц будет разное волновое уравнение, поскольку
множитель
будет для них разным. Тогда уравнение (6.23) не может быть искомым
уравнением.
С другой стороны, дифференцирование экспоненты (6.22) по координате или по
времени будет давать ее саму, но с соответствующим коэффициентом. Тогда, попро
буем записать следующее уравнение:
ду , ду ?
а —— ЬЪ —— —О
dt
дх
Проверим, может ли оно быть искомым при правильно подобранных коэффици
ентах а и Ъ.
Но если подставить в него выражение для волны де Бройля, то нетрудно по
лучить, что коэффициенты а и Ъ будут содержать в себе первые степени энергии
и импульса, что не подходит с точки зрения размерности - как известно, энергия
пропорциональна второй степени импульса.
Тогда попробуем уравнение вида:
ду
, д2у
a ~dt= b U
Нетрудно подобрать необходимые коэффициенты и получить:
.. д у
/г2 д2у
IП = — ----dt
2т дх1
Продолжим преобразования. Вспоминая, что
(6.25)
64
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
СелсЛ-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
h д
і дх
Р
Следовательно
-2
к д2
р ~ -л ж
Теперь, определив оператор квадрата импульса, зададим оператор кинетической
энергии Т:
f
Й2 д2
2т дх2
(6.26)
= Тцг
(6.27)
Перепишем (6.25) с учетом (6.26):
т~
В общем случае, частица обладает не только кинетической, но и потенциальной
энергии. Поскольку потенциальная энергия является лишь функцией координат и
времени
U = U(x, t)
то полная энергия запишется как
Н = Т +и
(6.28)
где Н - оператор полной энергии, называемый оператором Гамильтона или га
мильтонианом .
Окончательно переписывая уравнение (6.27) с учетом (6.28), получаем уравне
ние Ш редингера (данную форму уравнения Шредингера еще называют нестаци
онарным):
m ~ ^ = Н \ f/
(6.29)
Замечание: В отличие от классической механики, здесь частная производная ^
является полной производной по времени и может обозначаться просто точкой:
dt
65
tecu c& vn
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
В классической механике мы различаем частную и полную производную. Н а
пример, для функции зависящей от времени и координаты, которая в свою очередь
такж е зависит от времени, полная производная вычисляется как
/= д * , о
X = x(t)
• df df .
/ _ й + аН
В теории поля и квантовой механике это не так и частная производная по времени
всегда обозначает полную.
Следствия уравнения Ш редингера.
Посмотрим, какие следствия можно получить из того, что волновая функция
является решением уравнения Ш редингера (6.29). Вычислим
(6.30)
Теперь выразим производную волновой функции по времени из уравнения Ш ре
дингера (6.29):
ду/
1 л
- ^ = -Н у/
dt
ih
(6.31)
Перепишем (6.30) с учетом (6.31) и воспользуемся эрмитовостью гамильтониана:
-Д
I , ( V, V)
= ^ ((¥, Ну/) - (Нул у/)) =
, ѴОДОГ.
Ѵ
(Й
(6.32)
= ^ ((V, Ну/) - (ѵг, Ну/)) = О
То есть, интеграл (у/, у/) от времени не зависит, хотя сама волновая функция
у/ является функцией времени. Здесь мы использовали лишь условием того, что
волновая ф ункция у/ является решением уравнения Ш редингера.
66
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В ЛОМОНОСОВА
іе л с Л - и п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Независимость гамильтониана от времени.
Рассмотрим еще одно следствие из уравнения Ш редингера. Пусть, дана некото
рая ф изическая величина F , которой соответствует некоторый эрмитов оператор А
для простоты независящий от времени. Тогда, среднее значение этой физической
величины вычисляется как
F = {у/, A\jf)
Выясним зависит ли оно от времени. Д л я этого найдем ее производную по вре
мени:
Р = ІѴ, Ayr) + {у/, Ayr) =
— ± { Й ¥ , А ¥ ) + ± { ¥ , АЙ¥ ) =
= ^ ( ( ¥ , ЛЙ¥ ) - (Ну/, Ayr)) =
(6.33)
= ^ ((¥ , АНуг) - (уг, ЙАуг)) =
= ^ О , {АЙ-ЙА)уг)
Вспоминая определение коммутатора, перепишем выраж ение (6.33)
F- Д
Из чего можно сделать вывод, что если эрмитов оператор коммутирует с гамиль
тонианом, то среднее значение соотвующей ему величины не зависит от времени.
Рассмотрим случай, когда от времени явно не зависит гамильтониан:
Й = Т+ С
(6.35)
Поскольку оператор кинетической энергии от времени явно не зависит по опре
делению:
Г=
й2
2т А
где А - оператор Лапласа.
67
іе а с Л -с ѵ г
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
То для выполнения (6.35) достаточно потребовать независимости от времени по
тенциальной энергии.
Теперь, предположим, что волновая функция, удовлетворяющая уравнению Ш ре
дингера и являю щ аяся функцией координат и времени может быть представлена в
виде (метод разделения переменных)
¥(х, t) = ф{х) f(t)
(6.36)
В случае независимости от времени соответствующего гамильтониана.
Убедимся что это действительно так, подставив (6.36) в уравнение Ш редингера
(6.29):
і Н - ( ф / ) = Й ( ф /) «
ih Ф / = / Нф
Домножив данное уравнение слева на
1 (предположим отсутствие сингу
лярностей), получим:
т г х/ = ф~хнф = х
Здесь мы ввели константу разделения. Получаем теперь два уравнения:
Йф = Аф
(6.37)
Первое уравнение есть ни что иное как уравнение на собственные значения опе
ратора Гамильтона. Нетрудно такж е догадаться, что собственные значения А носят
смысл энергии (поскольку гамильтониан - оператор полной энергии системы). Пе
репишем его в следующем виде:
Й у / = Е \ і/
(6.38)
Данное уравнение называется стационарным уравнением Ш редингера. Его
решением (в случае, например, дискретного спектра) являю тся спектры волновых
функций {Щ і} и собственных значений {Е п}.
68
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В ЛОМОНОСОВА
t& cccA-O n
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Теперь если подставить одно решений Еп = Я во второе уравнение (6.37), нетрудно
найти, что
f =e
E nt
(6.39)
69
t& cucA -vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 7. Особенности реш ения уравнения
Ш редингера.
Решение стационарного уравнения Ш редингера.
На прошлой лекции мы записали нестационарное кравнение Шредингера:
^ дуг
ih — = Н t
(7.1)
dt
Решением которого является волновая функция у/, зависящая от времени и ко
ординат и полностью описывающая эволюцию квантовой системы. Зависимость от
времени гамильтониана может возникать если система помещена в какое-то зави
сящее от времени поле. Однако в подавляющем большинстве ситуаций мы будем
рассматривать случаи, в которых гамильтониан явно от времени не зависит.
Мы также показали, что в случае, если гамильтониан от времени не зависит,
то волновую функцию можно представить в виде произведения двух ее частей: за
висящей от времени и независящей. Для волновой функции зависящей только от
координат необходимо тогда решать стационарное уравнение Шредингера:
Йуг = Еуг
(7.2)
где уг= уг(х).
Решение такого уравнения есть по сути задача нахождения собственных функций
и собственных значений оператора Гамильтона: {Щг} И {Еп} (в случае дискретного
спектра).
В результате решение будет представлять собой произведение зависящей от ко_ і_zpf
ординаты части Щ г на зависящую от времени е * п .
Домножив это на какие-то коэффициенты сп и просуммировав, ползшим волновую
функцию
Ч, { x , t ) = Y i cnVne *Ent
(7.3)
П
Выбор коэффициентов сп в данном случае ограничен тем, что сумма квадратов
их модулей должна быть равна единице в силу нормировки волновой функции.
70
tecu cA -im .
К О Н С П Е К Т П О Д Г О Т О В Л Е Н С Т У Д Е Н Т А М И , НЕ П Р О Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь ОШ ИБКИ
С Л Е Д И Т Е ЗА О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /TE AC H IN M SU
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П Е Т Р О В С Е Р ГЕ Й В Л А Д И М И Р О В И Ч
Тем не менее, как найти эти коэффициенты? По аналогии с задачами классиче
ской механики, необходимые коэффициенты могут быть найдены исходя из началь
ных условий. В квантовой механике начальным условием будет являться волновая
функция в начальный момент времени:
4'0 = 4'(x,t = 0)=Y,CnVn
(7.4)
П
Домножив данное выражение слева на некоторое у/т, интегрируя полученное вы
ражение и пользуясь ортонормированность базиса волновых функций (поскольку
они являются решением уравнения Шредингера), находим нужные коэффициенты:
(Щ п і Щ ))
I tym .} У ф пУ^п J
\
п
/
У
8т п
( ’п ( W n , t y n )
п
Ст
п
Рассмотрим пример и решим стационарное уравнение Шредингера в простейшем
случае - для свободной частицы:
Ну/ = Еу/
ti2 д2у/
(7.5)
~ й2
Н = Т = ------А
2т
Одним из возможных решений этого дифференциального уравнения второго по
рядка может служить следующая экспонента:
уг = е* Ѵ Ш х
(7.6)
При этом собственные значения энергии Е могут быть любыми неотрицательны
ми (кинетическая энергия не может быть отрицательной) числами. При этом заме
тим, что в случае классической свободной частицы:
2
Е= Р
2т
Тогда
уГ = е ъ
х =
Д
рх
Что есть ни что иное как собственная функция оператора импульса, и она же
является собственной функцией гамильтониана в случае свободной частицы.
71
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
й е л с Л -ѵ п
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К ТУ РУ И М О Ж ЕТ С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАДИМ ИРОВИЧ
Задача о бесконечной яме.
Пусть, имеется одна частица в одномерном пространстве, которая находится в
потенциале бесконечной ямы шириной а (Рис. 7.1):
(7.7)
Рис. 7.1. Бесконечная потенциальная яма шириной а.
Запишем уравнение стационарное Шредингера для такого потенциала:
Гі
— у/ +Ѵ{х)
у/-
(7.8)
Поскольку стенки ямы бесконечные, то вероятность частицы находиться за их
пределами нулевая, следовательно:
Ѵ \ > \ '■ УФ0=О
(7.9)
Поэтому будем решать уравнение только на отрезке х е [|, |]:
\х\ с I
:
+
(7.10)
72
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
М.В. ЛОМОНОСОВА
£ е а сЛ -сп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
где мы ввели обозначение
(7.11)
£
Зная как выглядит волновая функция за пределами стенок (7.9) и внутри них
(7.10), подумаем теперь как она будет себя вести при приближении к стенкам.
Рассмотри для примера левую стенку. Справа от нее (как и в самой точке х = —|)
волновая функция равна нулю, слева же она ненулевая. Уравнение (7.8) включает в
себя как и сам потенциал (принимающий значение бесконечность в точке х = —|) , так
и вторую производную волновой функции, и чтобы равенство соблюдалось в области
около X = —I необходимо чтобы эта вторая не была константой в этой области, то
есть
v 'f - f + o W t - f - o )
Решением же уравнения (7.8) внутри ямы будет:
\х\ < ^ : уг = A sin (л/ёх) + В cos ( л / е х )
(7-12)
где А и В - некоторые константы.
Теперь найдем значения £ воспользовавшись начальным условием на границе ямы
(7.7). Поскольку синус и косинус не обращаются в ноль одновременно, то запишем
два случая:
В
л:п
А
£=
f (2л+1)
(2п)2л 2
— = £п
ЙГ
(2п+ 1)2Л2
£ = ------- А---- = £п
дг
(7.13)
Объединяя в одну формулу (7.13) и учитывая (7.11), запишем значения спектра
энергии:
п2л 2Н2
(7.14)
2та2
При этом скажем, что полное решение записывается в виде синуса, если п - чет
Еп =
ное, и в виде косинуса, если п - нечетное.
73
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
Ь&сисЛ-йгь
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Энергия частицы (7.14) в зависимости от номера уровня растет как п2, что озна
чает что при переходе к более высоким уровням расстояние между ними растет
(Рис. 7.2).
74
t&CbcA-O71
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К ТУ РУ И М О Ж ЕТ С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАДИМ ИРОВИЧ
2
2
Рис. 7.2. Расположение энергетических уровней в зависимости от номера п.
О причинах использования инструментария квантовой
механики.
Обсудим применимости методов квантовой механики. Запишем разность энергий
близлежащих уровней:
Л
Еп+1~ Е п = 2Іш^
(7'15)
И рассмотрим частицу массой, например, 1 гр и положим размер ямы 1 см. Тогда
значение разности энергии будет порядка постоянной Планка:
h2 ~ (6 х ІО-27 эрг х с)2
Что находится далеко за пределами любых измерений при разумных п.
Однако, если взять размер ямы равный одной атомной единице ІО-8 см, и соот
ветствующую массу, то получим действительно квантовый спектр. И проводя такого
рода анализ при решении задач можно решать в каких случаях применять класси
ческую, а в каких квантовую механику.
75
t&CLcA-On
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К ТУ РУ И М О Ж ЕТ С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАДИМ ИРОВИЧ
Замена реального потенциала в уравнении Ш редингера.
Прямоугольные потенциалы , конечно же, не реализуется в реальности, но, тем
не менее, это очень удобное приближение, для которого можно сразу написать урав
нение Шредингера.
Например, для удобства можно разбить реальный потенциал некоторой формы
на приближенные прямоугольные потенциалы, в какой-то степени повторяющие ис
ходную форму (Рис. 7.3).
Рис. 7.3. Приближение произвольного гладкого потенциала в виде суперпозиции пря
моугольных.
Для каждой такой потенциальной ямы (Рис. 7.3) можем написать стационарное
уравнение Шредингера:
Ѵ" + ( Е - и ) \ р = 0
(7.16)
Далее все будет зависеть от предполагаемой энергии системы. Оно может быть
либо выше либо ниже стенок выбранной ямы.
Если Е > U, то волновая функция будет выглядеть как
76
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
М.В ЛОМОНОСОВА
ЬедисА-ілъ
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
¥
к = л/Е - U
Если Е < U , то
у/ ~ е±хх
к = л/и —Е
Таким образом, можно сразу выписать решения для каждого из интервалов, и
далее необходимо будет их "сшить". Для этого нужно будет понять есть ли беско
нечные разрывы потенциала. Если их нет, то в граничных точках должны сшиваться
и сами значения функций, и значения их первых производных по разные стороны от
границы.
Каждое из выписанных решений даст две произвольных константы, следователь
но, если выбранное разбиение всего потенциала включает в себя п элементов, то
число таких констант 2п.
Для каждой точки, в которой потенциал терпит разрыв, записывается условие
сшивания. Если разрывы конечны (сшиваются и значения функций и значения пер
вых производных) то число уравнений соответствующих условию сшивания будет
равно 2(п —1) (поскольку число точек разрыва на единицу меньше чем число интер
валов ).
Рассмотрим пример. Пусть имеется потенциал V (х) и источник частиц S (Рис. 7.4).
В случае классической механики возможно два случая:
1) Энергия Е частицы больше чем высота потенциального барьера. Тогда частица
продолжит свое движение, но ее кинетическая энергия уменьшиться на вели
чину высоты барьера.
2) Энергия Е частицы меньше чем высота потенциального барьера. Тогда частица
отразиться от стенки и продолжит движение в обратном направлении с той же
скоростью.
Теперь обсудим как это будет происходить в квантовом случае.
77
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ЬесисЛ-йгь
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕД А К ТУ РУ И М О Ж ЕТ С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАДИМ ИРОВИЧ
Рис. 7.4. Пример: потенциальный барьер в виде ступени.
Рассмотрим первый случай. Пусть, энергия частицы Е меньше чем высота сту
пеньки U. Запишем волновую функцию для этого случая, разбив ее на две части:
справа и слева от нуля.
U >Е
х > 0: A\sin (кх + <р), к = л/Ё
¥ =<
ѵх < 0: А2еК\ н = л / й ^ Ё
(7.17)
где (р - некоторая начальная фаза.
Для случая х < 0 вместо линейной комбинации двух действительных экспонент
мы взяли только одну - с положительной степенью. Из физических соображений
понятно, что, поскольку квадрат волновой функции есть плотность вероятности, то
ее значение в области х < 0 должно уменьшаться.
Однако, несмотря на то, что плотность вероятности экспоненциально затухает в
области х < 0, она все же отлична от нуля, то есть, частица все-таки проникла в
классически недоступную область. Более того, если бы потенциал был в виде стенки
(Рис. 7.5), а не ступеньки (Рис. 7.4), то возможен случай прохождения через него
квантовой частицы, что невозможно в классической механике.
78
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣ&сисА-ілъ
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Рис. 7.5. Пример: потенциальный барьер в виде стенки конечной ширины.
Теперь сошьем нашу волновую функцию (7.17) в точке х = 0, решив следующую
систему уравнений (равенство волновых функций и их первых производных по раз
ные стороны барьера):
A\sin(p = А 2
<
(7.18)
Aik cos (р = А ^к
Выразим фазу <р, поделив второе уравнение на первое:
ctg(p =
U -E
и найдем соотношение между коэффициентами
(7.19)
і и А^'.
А.2
Аі
(7.20)
Однако, определив лишь отношение ^ мы не решили полностью систему и имеем
некоторую неопределенность в выборе этих коэффициентов. Этой неопределенности
можно избежать применив условие нормировки.
Итак, мы нашли собственные функции (7.17). Каким собственным значениям значениям энергии они соответствуют? Ответ: любым, главное чтобы было выпол
нено условие Е < U , спектр значений энергии непрерывен.
79
tacbcA-un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П Е Т Р О В С Е Р ГЕ Й В Л А Д И М И Р О В И Ч
В случае Е > U решение аналогично (с некоторыми поправками):
1) При х > 0: решение будет выглядеть как линейная комбинация двух мнимых
экспонент.
2) При х < 0: тоже линейная комбинация двух мнимых экспонент, но с другими
параметрами.
Далее процедура аналогична: сшивая волновую функцию в точке х = 0 определя
ем искомые коэффициенты.
Обратим внимание на отличие данного случая в квантовой механике от класси
ческой. В области X > 0 волновая функция будет выглядеть как
уг = А е ікх + Ве~ікх, к = л/Е
Она представляет собой суперпозицию двух плоских волн, распространяющихся в
разных направлениях. То есть, в квантовой механике, даже в случае Е > U частица
долетев до барьера может с какой-то вероятностью как пролететь дальше, так и
отразиться от него, в отличие от классического случая.
80
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
ѣ елсА -іт .
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 8. Реш ение стационарного уравнения
Ш редингера.
Оператор Гамильтона для решения стационарного уравнения
Ш редингера.
В этой лекции мы будем обсуждать задачу гармонического осциллятора. Задачи
на гармонический осциллятор представляют интерес для практически любой области
естествознания, и квантовая механика не исключение. Ниже мы рассмотрим случай
одномерного гармонического осциллятора, но (здесь можно вспомнить классическую
механику), даже когда имеется многомерная система и потенциал взаимодействия
между частицами билинейный, то такую систему, с помощью некоторого линейно
го преобразования, всегда можно свести к задачам для отдельных осцилляторов.
Такие отдельные осцилляторы, правда, уже будут описывать не колебания отдель
ных частиц, а некоторых их комбинаций. Тем не менее, благодаря этому, нам будет
достаточно рассмотреть случай одномерного осциллятора.
Запишем классическую функцию Гамильтона:
1 , 1 ,
Н = х— Р2 + х кх2
2т
2
Соответствующий оператор Гамильтона:
( 8 . 1)
й2 д2 1 л
н = ~ ъ п ~ д ^ + і кх
(8'2)
Используя этот гамильтониан будем решать стационарное уравнение Шрединге
ра:
Йу/ = Еу/
(8.3)
Используя соотношение
(8.4)
Подставляем (8.2) в (8.3):
2т
у" + 1 то)2х2«р- Е у/ = О
(8.5)
81
іел сЯ -іт .
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Преобразуем дальше:
у/'+ (е-ЯД2) у/= О
(
8. 6)
где
,
тсо
1 - ~
2т
е = Е —у
й2
(8.7)
Чтобы полностью определить данную задачу необходимо также задать граничные
условия. Рассматриваемая волновая функция определена на всей числовой оси х е
(—ос, +оо). Исходя из физических соображений прежде всего поймем как она себя
ведет при д: —>Ч=со>.
В гармоническом осцилляторе, при отклонении частицы из положения равновесия
возникает сила, стремящаяся вернуть ее в положение равновесия, следовательно при
х —>+со волновая функция также должна стремиться к нулю:
у/ — > 0,
|д | —>
( 8 .8 )
go
Рассмотрим теперь как будет вести себя уравнение (8.6) при достаточно больших
значениях х, таких, что параметром £ можно пренебречь по сравнению с Х2х2.
Тогда, асимптотическое уравнение, при достаточно больших значениях |jc|, запи
шется как
у" - Х2х2уг = О
(8.9)
Простая экспонента здесь не подходит. Попробуем взять функцию следующего
вида:
у/ —еах
( 8 . 10)
где ОС- некоторый неизвестный параметр.
Подставив (8.10) в (8.9) нетрудно найти, что
82
tecbcA-vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Поскольку Я - положительное число, а волновая функция, как мы выяснили из
физических соображений, не должна расти на бесконечности, то для а необходимо
выбрать знак "минус". Тогда наше асимптотическое решение (8.10) перепишется в
виде:
цг ~ е 2 Л
(8-11)
Определившись с асимптотическим видом волновой функции, будем искать ре
шение в виде:
¥ = у ( х ) е - ^ х2
(8.12)
Подставляя его в уравнение (8.6) получим какое-то дифференциальное уравнение
относительно неизвестной функции у(т).
у" —2Яху/ + (е —Я) у = 0
(8.13)
Также, добавим условие: функция у(т) не должна нарушать асимптотику (8.11).
Попробуем среди простых функций подобрать удовлетворяющую этому уравне
нию (8.13). Начнем с константы:
у = ао = const : е = Я = > Е = ^ hco
(8.14)
Следующая по простоте функция:
у = й\х = const
3
: е = ЗЯ = > £ = - йсо
(8.15)
Далее может захотеться попробовать у = а,2Х2, однако, подставив в уравнение,
несложно убедиться, что оно не подходит. Также и для более высоких степеней х.
Попробуем обобщить, представив искомую функцию в виде следующего ряда:
y = Y Janxn
(8.16)
П
Заметим, что любая конечная степень не нарушит выбранную асимптотику.
Подставляя (8.16) в (8.13), в результате ползшим
83
teaxA -vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
^ а пп(п—I) х” 2 —2Я 'У'апгѵ^1+ (е - Я) у лі'апхп = О
п
п
п
Перепишем его следующим образом:
1) У1-2 = ^ а пл/1|я(2л+ 1) —ej
П
П
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим рекурсивное
соотношение для коэффициентов:
Я (2п + 1)
(8.17)
(.п + 2)(п+ 1)
Чтобы определить энергетический параметр £, потребуем чтобы числитель обра
О-п+2 ~~ &г
щался в ноль, поскольку мы помним что полином выше первой степени нам уже не
подошел. Отсюда находим
£ —£л —Я (2лі +1)
(8.18)
Подставляя (8.18) в (8.7), находим значения энергетического спектра:
Еп
hco
(8.19)
Таким образом, мы получили чисто дискретный спектр для гармонического ос
циллятора. Также можно заметить что он является эквидистантным - расстояние
между любыми соседними уровнями составляет ho).
Также, в качестве примера нарисуем как быдут выглядеть волновые функции
для первых двух уровней. Первый энергетический уровень называют также основ
ным состоянием. Волновая функция, описывающая основное состояние, имеет вид
распределения Гаусса 8.1.
Внешний вид волновой функции первого возбужденного состояния показан на
(Рис. 8.2).
Если заглянуть в справочник, то можно встретить такое решение стационарного
уравнения Шредингера:
^
_ і ау2
Щг = С„упе 2
Уп(х) = Нп(ѴХх)
( 8 .20)
Нп() = (- 1 ) пе
84
Ь&сьсЛ-ип
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К ТУ РУ И М О Ж ЕТ С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАДИМ ИРОВИЧ
Рис. 8.1. Схематический вид волновой функции основного состояния одномерного
гармонического осциллятора.
Рис. 8.2. Схематический вид волновой функции первого возбужденного состояния
одномерного гармонического осциллятора.
где Сп - нормировочные множители, а Нп(х) - полином Эрмита.
85
tecLeA-on
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К ТУ РУ И М О Ж ЕТ С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛАДИМ ИРОВИЧ
Вероятность нахождения осциллятора в диапазоне.
Сравним квантовый осциллятор с классическим. Вероятность нахождения осцил
лятора в некотором малом диапазоне определяется выражением:
Р(х, x + ck) = \xi/\2dx
(8.21)
Попробуем ввести вероятность нахождения осциллятора в каком-то положении
в классической механике. Нам известно, что решая соответствующие динамическое
уравнение мы находим функцию, описывающую его движение.
Рассмотрим случай, когда нам известна энергия, являющаяся интегралом движе
ния, однако положение осциллятора в начальные момент времени неизвестно. Исходя
из известной энергии можно определить точки поворота х\ и Х2 (Рис. 8.3). То есть,
нам известно, что рассматриваемый осциллятор колеблется между этими положени
ями по закону синуса или косинуса.
Рис. 8.3. Закон движения классического гармонического осциллятора и точки пово
рота.
Пусть теперь нам нужно определить наиболее вероятное положение этой точки
в некоторый выбранный момент. Определим классическую плотность вероятности
как:
86
ЬедьсА-іт ,
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
dr
Pd&C = Y
1
dx
( 8. 22)
т \[¥ш
где Т - период колебаний.
с плот
Далее, сравним плотность вероятности в классическом случае ^
ностью вероятности в квантовом \у/\2 (Рис. 8.4) (Рис. 8.5).
В первом случае (Рис. 8.4) плотность вероятности является функцией коорди
наты, поскольку U = U(x). Также заметим, что в моменты поворота, то есть когда
U = Е, появляется сингулярность и плотность вероятности стремиться к бесконечно
сти. Поэтому вероятнее всего обнаружить систему в точках поворота.
В квантовом же случае, для основного состояния, плотность вероятности опреде
ляется квадратом распределения Гаусса (Рис. 8.4).
То есть, распределения имеют кардинально различный вид.
Рис. 8.4. Распределение вероятности положения одномерного гармонического осцил
лятора в классическом (синий) и квантовом (красный) случае для основного состо
яния.
В случае же первого возбужденного состояния (Рис. 8.5) поведение плотности
вероятности в классическом случае останется тем же, лишь станут дальше от по
ложения равновесия точки поворота, а для квантового случая зависимость заметно
поменяется. В некотором смысле, в этом случае зависимости более похожи.
87
М.В. ЛОМОНОСОВА
Ы асЛ-ст г
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Рис. 8.5. Распределение вероятности положения одномерного гармонического осцил
лятора в классическом (синий) и квантовом (красный) случае первого возбужденного
состояния.
Если же взять достаточно большие значения уровней энергии, то сходство ста
новится все более заметным (Рис. 8.6). Следовательно, можно заключить, что при
достаточно больших значениях энергии, зависимость плотности вероятности в клас
сическом случае в среднем повторяет таковую в квантовом.
Рис. 8.6. Схематический вид распределения плотности вероятности положения одно
мерного гармонического осциллятора в классическом (синий) и квантовом (красный)
при достаточно больших значениях энергии.
88
t&acA-on
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 9. Д вум ерны й осциллятор и нестационарные
состояния квантовой системы
Реш ение задачи про двумерный осциллятор
Предположим, что в двумерном осцилляторе частицы движутся на плоскости х,
у, тогда верно равенство
н = н х + н у.
Это два одинаковых гамильтониана, но в одном фигурирует координата х, а в
другом у.
Каждый гамильтониан состоит из оператора кинетической энергии и потенциаль
ной. Кинетическая энергия в данном случае для Нх
2тдх2
Для Ну такая же формула, только вместо х стоит у, так как у одной и той же
частицы одна и та же масса. Потенциальная энергия имеет вид
и - у ( х 2+ у2).
Запишем уравнение Шрёдингера, которое требуется решить.
т> = ЕЧ>
Аналогично решению волновых уравнений, оператор разбивается на слагаемое, в
котором есть время, нет координат и на слагаемое, в котором времени нет, а коор
динаты есть. Теперь волновую функцию, которая зависит от х и у буду записывать
как у = УхУ/у (1), нижние индексы будет говорить от чего зависят эти функции.
Подставим равенство (1) в уравнение Шредингера.
УуНхУх + УхНуУу = ЕухУу
Умножим уравнение на у х 1у у 1
Ух 1Нху х + уГУ 1НуУу = Е
89
м
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
t& cucA -un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
¥х 1Нх у/х = Е — уу 1Иуц/у
Метод разделения переменных. Слева функция только от х, справа только от у.
Это возможно тогда и только тогда, когда каждая из этих частей равна одной и той
же константе разделения.
¥х Ч ѴС = Я
ДсУС =
уаЯ
Тогда получаем уравнение для одномерного гармонического осциллятора х. В
место константы разделения Я напишем Ех
Hxtyx = ysxEx
Из второго уравнения получаем
НуЦ/у = у/у ( Е - Х )
Получили уравнение для второго гармонического осциллятора у
Нуу/у = yfyEy
Энергия двумерного осциллятора равна сумме энергий Ех и Еу.
Ех = hco (пі + 0
-> Еп1 (2)
Аналогично распишем энергию для Еу.
Ех = hco ( п 2 + 0
-►Еп2(3)
Суммируя уравнения (2) и (3) получаем энергию двумерного осциллятора
Е = /гft) {п\ + п2 + 1) = hco (п + 1)
Где квантовое число п есть сумма квантовых чисел, определяющих энергию двух
одномерных осцилляторов.
Переобозначим волновые функции у/х —>• yfn\ и
—> \j/n2.
НЩг1п2 = ЕпуГп\п2
Щ г\п 2 =
Щ і і (-^ ) Ѵ и 2 (З7)
90
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
te a c /г-б п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Вы рождение
Особенность заключается не только в размерности, но и в наличии вырождения,
которое выражается в том, что одному и тому же значению энергии соответствует
более чем одна собственная функция, п принимает значения 0,1,2...
и=0, щ (х) Щ (у)
Щ = 1,п2 = 0,
щ(х)щ(у)т=0,п2= 1
щ (х)т (у)
Вырождение равно двум, одному собственному значению соответствуют две раз
ные собственные функции.
Щ ( х ) щ( у ) т
= 0 ,
п2
= 2, Щ(х)у2(у)
Кратность вырождения равна трём, одному значению энергии соответствует три
разные функции.
В частном случае для произвольного п кратность вырождения будет п + 1, п I
1 различных собственных функций отвечает одному и тому же значению энергии,
которая определяется главным квантовым числом п
Построение оператора произведения величин
Задача: физической величине F ставится в соответствие А (F —>А), физической
величине G ставится в соответствие В
Построить оператор, который отве
чает произведению физических величин FG (F G —>?).
Каждая физическая величина является функцией координат и импульсов. Зави
симость любой физической величины есть полином по компонентам импульса. Если
есть только степени импульса, умноженные на различные функции от координат,
операторы которых это сами функции от координат, то произведение от двух дан
ных физических величин будет выглядеть таким образом:
F G = ф (х,р)
91
t&cucA-un.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
f ( x ) p k ^ x p ( 4)
Из блоков (4) построим функцию представляющую физическую величину, кото
рая изначалвно бвіла равна произведению.
При расчёте среднего значения, используем третий постулат, который говорит,
что среднее значение есть скалярное произведение, в котором в состоянии у появ
ляется оператор соответствующий физической величине.
ІѴ Л у)
Чтобы построить этот оператор, берём функцию, которая представляет из себя
этот оператор и говорим, что оператор есть та же самая функция, только вместо
импульсов берём соответствующие операторы импульсов.
А = F (х ,р ) = хр —>•хр
Нужно проследить, чтобы это был эрмитов оператор. Для этого надо взять про
изведение двух операторов.
Нестационарные состояния квантовой системы
Если стационарное состояние, то есть гамильтониана от времени не зависит, то
нужно решать стационарное уравнение Шрёдингера. Изначально было волновое урав
нение Шрёдингера, неизвестная волновал функция координат от времени.
ih
ду
дх
Ну
В силу линейности и однородности этого уравнения можно взять любую линейную
комбинацию решений
^СпУ пе ъЕпі
П
Чтобы коэффициенты определялись однозначно, надо знать начальное состояние
системы, то есть начальную волновую функцию.
92
t& cucA -un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Гамильтониан включает в себя время, то есть нестационарные состояния системы.
Рассмотрим случай, когда гамильтониан можно представить в виде:
H = HQ+H'{t)
Где Но не зависит от времени, а в И' время фигурирует. Предполагается, что все
члены являются эрмитовыми операторами.
Н() Уп —ЕпЩг
Волноввіе функции имеют вид:
_ ip t
у пе *■"
Эти функции определяют полный базис, поэтому волновую функцию, которая
удовлетворяет волновому уравнению Шрёдингера в какой-то фиксированный момент
времени также можно представить в виде ряда по собственным функциям гамиль
тониана Но.
^СпУпе-т?"*
П
В общему случае коэффициенты Сп являются функциями времени. Тогда полу
чаем равенство:
J]Cn(t)yne~t>Ent = у
П
Получили решение волнового уравнения для любого момента времени. Зависи
мость волновой функции от времени переносится на коэффициенты Cn (t). Если есть
зависимость этих коэффициентов от времени, то известны решения волнового урав
нения Шрёдингера.
Подставим решения в первоначально уравнение Шредингера. В левой части:
i h ^ - = ihYjCnVnt
re lhEnt + ih^C nY n
дх
lEnt
В правой части получим выражение:
Н у = 2 СпЕпу пе~T'Ent + 2 С» (Н'щ,) е~т>Еп1
п
п
93
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
tecucA-vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Левая часть уравнения равна правой. Полученное соотношение умножаем на соб
ственную функцию Но и интегрируем по координатам, учитывая что собственные
функции ортонормированные.
ihCke
= СкЕке - і Е”г + ^ с пН'ы е - і Е”г
П
ihCke ~ № +СкЕке~т^г = СкЕке
I Y f n Hkne
П
где н 'кп = (ѴчН'Уп)
ihCt = 2
СпН
п
где (Окп =
Получили бесконечную систему дифференциальных уравнений первого порядка
относительно неизвестных коэффициентов раздражения вместо исходного уравнения
Шрёдингера.
Соотношение замкнутости
Полный базис означает, что любую волновую функцию можно представить в виде:
ѵг = ^ с пи п
П
где Сп = (Un, V)
2 и* (V) и„ (х) = 8 (х'~ х)
П
Из соотношения полноты следует соотношение замкнутости. Также можно сде
лать обратную операцию, которая говорит, что если справедливо для какого-то на
бора функций соотношение замкнутости, то функции образуют полный базис
Волновая функция при дискретном спектре
Интеграл Фурье
1
Г00
ѵ(х) = Ѵ Ш
і
f(p^e*Pxdp
94
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В ЛОМОНОСОВА
te a c A -v n
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
/ (р)-амплитуда Фурье
Обратное преобразование вычисляется по заданной функции у/ (х)
1
Г30
f(p)=pmLJ(x)e~iP‘ix
Переобозначим ~p^fle',Px = Up (x), f ( p ) = Ср
Если есть дискретный спектр, то волновая функция имеет вид:
yf = Y , CnUn
где Сп = (и пЦг). Получаем дискретный базис, в котором разделение по бесконеч
ному числу базисных функций, но они все просчитаны
Гх
у/ = I
CPUP
J- оо
где Ср = (иру/). Получили аналогию предыдущему уравнению, только разделение
по сплошному множеству базисных функций, поэтому
2^
\ dp
Коэффициент для дискретного базиса
Сп = (Un, ѵ) = ( unJ ] c mum) = J ] c m (ип, Um)
\
m
)
m
Тождество возможно только при
(Un,Um)
Скалярное произведение разных функций даёт ноль, скалярное произведение
функции самой на себя даёт единицу. Проведем аналогичные операции для сплош
ного спектра
Ср — (Up, у/)
у
Ср, (Up, Up.) dp'
95
teajcA -u n
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Чтобы выражение обратилось в тождество ([UUp/) = 8 (р
р') Скалярное произ
ведение даёт ноль, так как дельта-функция равна нулю везде, кроме одной точки р'
равной р. Скалярное произведение функции самой на себя дает бесконечность.
Пространство волновых функций дополняется функциями, которые нормирова
ны на дельта-функции, что называется оснащенными гильбертовым пространством.
Полный базис, по которому можно раскладывать все волновые функции, может со
держать как дискретную часть, так и непрерывную часть.
96
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣесисЛ-іт .
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 10. З ад ач а про атом водорода
Вступление
В прошлой лекции были введены волновые функции, которые не нормируемы.
Существуют такие состояния квантовых систем, которые не могут быть описаны
нормируемыми волновыми функциями. Базис можно устраивать из функций дис
кретного спектра, которые подчиняются такому условию, при этом они ортонорми
рованные:
(Un,Um) = 8njc
Также были введены и новые функции, которые подчиняются условию ([UUp>) =
S ( P - P ')
На самом деле дельта-функция не является символом Кронекера, так как это
скалярное произведение будет равняться 0 пли любом р' не равном р. В отличии
от дискретного спектра скалярное произведение такой функции самой на себя даст
не единицу, а бесконечность. Данные функции дополнили привычное гильбертово
пространство, получили оснащённое гильбертово пространство.
Если функция разложена по полному базису, то в этом базисе есть дискретная
часть и непрерывная часть.
f
¥{х) = Y j CnUn+ CpUpdP
n
Jp
В этом случае базис будет полный, но он должен содержать как функции дис
кретного спектра, так и непрерывного.
Соответствующее условие замкнутости теперь будет выглядеть по-другому
2 Un (х) U* (У) + f Up (х) U* (х) dp = 8 ( р - р )
n
Задача про атом водорода
Бор побывав в Манчестере у Резерфорда и увидев его опыты, в которых золо
тая фольга бомбардировалась альфа частицами, подавляющее большинство которых
97
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
іе а с Я -ѵ п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , Н Е П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
пролетало через эту фольгу, придумал боровскую модель, которая была конгломе
ратом в представлении из классической механики, где она не мешала, и отказом в
той же классической механике, где она противоречила экспериментальным данным.
В результате Бор сформулировал закон: вопреки теории поля электрон может на
ходиться на какой-то избранной орбите, не излучая электромагнитное поле. А потом
по какой-то причине он может переходить с одной избранной орбиты на другую, при
этом излучая, и частота излучения пропорциональна разности энергий этих орбит.
Чтобы это совпадало с экспериментальными данным по наблюдениям за солнеч
ным спектром, в котором присутствовал атомарный водород, Бор вывел формулу:
Еп = - ^ ~ 2 , п = 1 2 - ( 5 )
Поскольку эта формула сочетается с экспериментальными данными, очевидно,
что при решении стационарного уравнение Шредингера для атома водорода полу
чится энергетический спектр, то есть спектр собственных значений гамильтониана,
который должен соответствовать формуле (5).
Координаты центра масс
В классической механике, когда исследуется качественное движение частицы в
центральном поле, используется концепция эффективного потенциала, которая есть
реальный потенциал между двумя частицами плюс центробежный потенциал.
Энергия является интегралом движения, и она должна быть горизонтально оси.
если это горизонтальная асимптота находится ниже оси, то мы получаем условие, что
частица движется в плоскости и ограничена точками, которые являются корнями
уравнения Uef = Е.
Если энергия больше нуля, то это инфинитное движение, и частица может ухо
дить от начала координат как угодно далеко, данное движение описывается с помо
щью гиперболы. Нужно построить соответствующий гамильтониан.
Исходно имеется две частицы: протон и электрон. Сначала отделяем центр масс,
рассматриваем движение одной частиц с приведённой массой вокруг общего центра
98
t& cbcA -isn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
масс. Эта приведённая масса для атома водорода практически равна массе электро
на, из-за маленькой разности между массами протона и электрона, поэтому можно
рассматривать движение одной частицы в центральном поле.
Для квантовой механики:
т7) ..
теГе +трf р
— —>
Введем координату центра масс К = — ІПе+т и какие-то координаты г = гр —
Д . Напишем классическую функцию гамильтониана, которая распадётся на две ча
сти:
н = н(Й )+н т
Переход к квантовой механике
Н = Н( Й) + Я ( Т )
Гамильтониан содержит всё что положено для электрона и протона, как взаимо
действующих частиц.
При решении уравнения:
Ну/ = Еу/
Гамильтониан разбивается на два слагаемых, одно зависит от R , а другое не
зависит от R . Поэтому искомую волновую функцию можно представить, как:
у/=у/(Й)у/{Г)
Уравнение разбивается на два с использованием метода разделения переменных.
Гамильтонианом для функции
будет только оператор кинетической энергии,
то есть эта частица суммарно массы будет являться свободной частицей, поэтому эта
функция будет плоской волной.
Теперь помещаем систему отсчета в общий центр масс и рассматриваем только
квантовую задачу с гамильтонианом Й (Т”).
99
Ь&сьсА-іт.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Гамильтониан электрона и декартовы координаты
Гамильтониан для электрона в декартовых координатах:
H = ±-?+ U (r)
В классической механике рассматривалась функция гамильтониана, для которой
был сделан переход из декартовых координат к сферическим, так как сила, которая
действовала на электрон не зависела от направления, а зависела от расстояния до
протона.
,,
1 ,.2 , Рі + U (г) (6)
2тРг 2тг2
где ^-циклическая координата и рі =
/ . Получили корректную функцию Га-
мильтона с учётом симметрии.
Прежде чем переходить к квантовому гамильтониану в этих координатах, исполь
зуем вспомогательное элементарное соотношение:
( i f х b^j = a 2b2— (lf,l)^j
Возьмём:
^ =У
b = ~jf
/2 = r2p 2 + ( T /? ) 2
2
1
/_ > _ + 0
P = ^ ( rt)
H=
P
+ ^2
( ^ ) 2+
+ u (r) (7)
2m r2 v F ’ 2mr2
w w
При сравнении записей (6) и (7), замечаем, что
представляет из себя
квадрат импульса, выраженный в декартовых координатах. То есть всё ещё осталось
в декартовых координатах, но уже появилась структура, которая отвечает симметрии
задачи. Запишем квантовый гамильтониан:
100
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣеасЛ-ѵп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
(-rtf - Р
p, = \ ( ~ r t )
Рг
1И
. h1/ д
д
д
( Т У ) -» - - ( T V ) = - - U — + у— + z ^ гі
I г V дх ду
dz
Чтобы оператор был эрмитов, каждое слагаемое в скобках должно бвітв эрмито
вым.
( Т У ) = 1- ( Г У + У Г )
1
г
Возьмём функцию
д
дх
д
ду
д
д
дN 1
+ Х^Г- +Ууг +
дх
ду
dz г
д
dz
= у/х2 +у2 + Z 2и подействуем на неё первым слагаемым из
первой скобки:
д
Хдх
d f dr
дг дх
При действии оператора (х-^. +
чаем у
d f х2
дг г
на произвольную функцию / (г) полу
• То есть получилось избавиться от всех декартовых производный и вместо
них появилась производная.
В итоге, из классической функции Гамильтона получился гамильтониан, в кото
ром все операторы выражены через полярные координаты. Осталось рассмотреть
действие второго слагаемого на произвольную функцию.
( д \
д 1
д 1\
Рассмотрим действие первого слагаемого на данную функцию:
д_
X f = - f +x
дх
/+
xdf_
г dz
При действии оператора ух-^ + У ^ + zjyj \ на произвольную функцию / (г) получаем f ( | + f ) .
101
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
іеасЯ-ѵп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Тогда получаем:
Рг =
h ( д , 1
Т ( - д- + -
і \дг
г
Оператор радиального импульса, выраженный через радиальные переменные.
При возведении импульса в квадрат получаем:
-
12
2
Рг = —h
&_
дг2
2д_
г дг
I2 = I2 + 12 + 12
r h / д
д
h = ypz - z p y ~ h = - [ y T z - z ¥y
Чтобы узнать, как оператор I2 действует на функцию, которая зависит от ради
альной переменной, надо узнать:
l2J = О
Операторы I2, ft устроены также, как оператор I2. поэтому тоже дают 0. Это
означает, что оператор I2 не содержит переменной г, так как на произвольной функ
ции f (г) он её зануляет. Значит он содержит радиальную переменную и два угла,
следовательно:
/ Д ( о ,9 )
Гамильтониан теперь имеет вид:
л
1 /2
Я = — р} + - — у + U (г)
Ъп
2тг2
Решим стационарное уравнение Шредингера:
Ну/ = Еу/
у/=у/(г,$,(р)
Ъпг2 (Я - Е) у/ = О
102
tecbcA-im.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
( r 2p 2 + (U — Е ) Ъ пг 2 + I2) у/ = О
Таким образом, смогли добиться разделения переменных. В уравнение есть чле
ны, которые зависят от г, но не зависят от углов, и есть слагаемое, которое зависит
от углов, но не зависит от г.
Тогда волновую функцию представляем в виде произведения:
\lf = R(r)Y(&,q>)
Y (г2р 2 + (U - Е ) 2mr2) R + Rl2Y
Y (г2р 2 + ( U - E ) Ъпг2) R =
Rl2Y
Y (г2р 2 + ( U - E ) Ъпг2) R = Rl2Y
Умножаем на Т-1 и на ІО 1:
І Г 1 (r2p 2 + ( U - E ) 2 m r 2)R = - Y - 4 2Y(S)
Получили случай разделения переменных, слава стоит функция, зависящая от г,
а справа г в этой функции нет. Равенство будет выполнятся тогда и только тогда,
когда каждая из частей равны константе —Я.
-
y
~ 4 2y = - я
l2Y = я г
Нужно найти собственные функции и собственные значения оператора квадрата
углового момента.
Я =/г2/ ( / + 1 ) ,/ = 0,1,2...
Эта собственная функция является собственной функцией одной из компонент
оператора углового момента L, также эта функция является собственным значением
для оператора lz
l-Y = jlY
103
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
іеасЯ-ѵп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
/і = Ит
т при заданном значении I пробегает ряд от —/ до +/
Значения собственных функций
Физические гармоники, собственные функции угловой части оператора Лапласа.
Уіт = QmPl
Полином
{cost}) ет<Р
-присоединённый полином Лежандра.
Решим вторую часть равенства (8)
R 1 {r2p 2r + {U —E)2mr2)R = —X
Получили общее уравнение для любвіх двух частиц, которвіе взаимодействуют по
средствам потенциала U (г), который зависит только от расстояния, а не от направ
ления. Полученное уравнение будет для атома водорода, если в качестве потенциала
U (г) записать конкретную формулу Кулоновского взаимодействия.
В данном уравнении возможны все состояния с I = 0,1,2.... Это означает, что
радиальная функция метится орбитальным квантовым числом /. Состояние системы,
в которой 1 = 0, называется s состояние, I = 1-р состояние, I = 2-d состояние и так
далее.
Краевые условия для уравнения (9):
104
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣесьсА-іпх
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Переменная г задана на полупрямой от 0 до со. Если рассматривать связанные
состояния должно выполнятся, что если радиальная функция R —» 0, то г —» со, и
если R (0) = const, то г —» 0.
Получилась краевая для дифференциального уравнения второго порядка с кра
евыми условиями.
Сделаем замену функции:
R(r) —!- у (г) = rR(r)
Получим дифференциальное уравнение, если известно выражение для оператора
квадрата радиального импульса.
h2 „ l ( l + l ) h 2
~У+ (U (г) —Е)у = О
2т + Ъпг2
Краевое условие для функции у:
у(0) = 0 , г ^ 0
у (г) —>0, г —» оо
Рассмотрим вероятность в сферическом слое.
\R\2r2dr
Когда г стремится к бесконечности, вероятность должна стремиться к нулю. То
гда если R убывает с ростом г быстрее, чем
то при г стремящемся к бесконечности,
у не должен быть нулём. Решение краевой задачи:
{ - тУ" +
+ (и (г) - Е) У = Оу (0) =
0,г
-> Оу (г) -►0 , г -> со
Даст нам сами волновые функции и соответственно собственные энергии для ато
ма водорода.
105
ФИЗИЧЕСКИЙ
адкультЕТ
МГУ ИМЕНИ
Ь&сцоЯ-і/п.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 11. З ад ач а про атом водорода и алгебра
коммутаторов
Вступление
Задача на атом водорода. В прошлой лекции был построен оператор, который
соответствует радиальному импульсу.
■Р
h ( д
1
г
+
~
і \дг г
Действовали таким образом, потому что надо было решать задачу в соответствии
со сферической симметрией, которой обладает атом водорода. Следовательно разум
ные координаты-это сферические координаты, радиальные и два угла.
Кроме того, было показано, что любая компонента углового момента не содержит
радиальной переменной, а действует только по угловым переменным.
lq>= l(p{P Ф)
1
В результате удалось достигнуть того, что уравнение Шредингера можно решать
методом разделения переменных.
Ну =Еу
У = R(r)Y (&,ф)
Без вывода было принято во внимание:
t2Ylm = h2l(l-\ 1) Ylm
I и т - это сферические гармоники. I пробегает все целые значения от 0,1,2...,
кроме того эта функция является собственной функцией для одной из компонент
вектора углового момента. Задача на собственные значения возникла из разделения
переменных.
106
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
tecu cA -im .
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
IzXlm
hmYim
Причём т при заданном орбитальном квантовом числе /, пробегает все значения
через единицу от
/ до +/. То есть 21 + 1 значений.
Для радиальной функции R (г) в методе разделения переменных получилось:
1 л2 , h2l(l+ 1)
+ U ( r ) - E )R(r) = 0
2т ^ г + Ъпг2
На основании граничных условий был сделан вывод, что функция R (г) должна
стремиться к 0 на со и должна быть конечной при г >0.
R (г) -> у (г) = rR
Уравнение полученное по новой функции у (г):
/ '+
1(1+1) 2т
Г2 + W ( U - E ) ) y - 0
Краевые условия:
у(0) = 0
у(со) = О
R должно стремиться к нулю быстрее, чем
Получили общую задачу для двух тел, которые взаимодействуют друг с другом
с потенциалом, зависящим от расстояния.
Радиальное уравнение для атома водорода
Чтобы перейти к атому водорода зададим конкретный потенциал:
г
Кулоновский потенциал взаимодействия между электроном и протоном. В систе
ме единиц:
107
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
t& cucA -un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
т = 1,е = l , h = \ , е = 2Е
// (
2
у + I£+ - -
^ > - 0
С соответствующими краевыми условиями. Теперь стоит задача решить ради
альное уравнений, это значит найти неизвестные: функцию у = R и соответствующие
собственные значения, которые фигурируют в уравнении.
Идея решения аналогична решению задачи для гармонических осцилляторов.
Сначала рассматривается асимптотика: когда большие значения г, члены 2 и —
могут быть вычеркнуты по сравнению с константой £.
При этом получается асимптотическое уравнения при г —» со имеет вид:
у" + еу = О
Очевидно, что нужно искать решения вида еаг
сс = + \ / —£ —>—\ / —22?
Минус £ под корнем, так как в данной задаче для связанного состояния энергия
отрицательна. А перед корнем нужно выбрать знак минус для того, чтобы функция
спадала на со.
Вторая асимптотика при г —» 0: Уравнение имеет вид:
+
Нужно искать решения в виде степенной функции г*.
к ( к - I ) = 1(1+1)
к = -l,l+ 1
Но в силу краевого условия у(0) = 0, значение к = —I не подходит, а подходит
к = 1+ \.
108
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣесисЛ -йп
К О Н С П Е К Т П О Д Г О Т О В Л Е Н С Т У Д Е Н ТАМИ. НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И Б К И
С Л Е Д И Т Е ЗА О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П Е Т Р О В С Е Р Г Е Й В Л А Д И М И РО В И Ч
Получаем, что асимптотика будет иметь вид г111.
Теперь нужно взяться за всё уравнение без приближений, которые возникают за
счёт асимптотик, и искать решения в виде произведения функция, одна из которых
будет е) а вторая не будет портить асимптотики.
у = е ^ и (г)
U (г) = Y ,a iri+l+l
і=о
Данная функция не будет портить асимптотику в нуле за счёт 1+1 и не должна
на бесконечности. Если этот ряд превращается в полином, то есть содержит конечное
число членов, то асимптотика не будет нарушаться на бесконечности.
у ' = a earU + earU'
у" = а 2еаги + 2ccearU' + earU"
и
/
?
2
/(/+ 1 )
U" + 2aU' + a 2U + eU + - U - ѵ , JU = О
г
г1
U" -
rz
+ 2 aU' + - U = О
г
При подстановке ряда в U" и в ^ t 1'1U. у каждого члена степень понижается на
два, При подстановке ряда в 2aU' и в 2U, степень понижается на единицу.
^ д Д г + /+ 1) (i + l)rl+l 1 -1(1 + 1) ^ а / +1 1 = - 2 I ^ а і ( а ( і + 1+ 1) + 1) | т*+1
Чтобы данное соотношение обратилось в тождество, коэффициент при каждой
степени г должен обратиться в ноль.
аі + 1 (і + 1 + 2) (і + 1 + 1)-1(1+ 1) =а{2 (ѵ/=ё(г + /+ 1) - і)
Получили рекурсию: как последующий член в ряду, с помощью которого ищется
решение дифференциального уравнения, выражается через предыдущий.
109
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣ ел сА -ѵ п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Рекурсия и главное квантовое число
Рекурсивная формула для неизвестных коэффициентов.
2
+ / + ! ) —!)
Щ+1 = йі (І + 1+ 2) (/ + / + 1 ) - / ( / + 1 )
Знаменатель всегда будет положительным числом.
Предположим:
а Ф 0,г = 0,1,2, ...,пг
йі = 0,г = пг + 1,пГ+ 2 ,...
При і = пг, числитель дроби должен обращаться в ноль.
= {пг + 1+ 1) =
Эти условия обрывают бесконечный ряд и навязывают ему быть полиномом. Сле
довательно, обеспечивают правильную асимптотику. Одновременно можно опреде
лить значение энергии.
Еп
1
1
2 (яг + / + 1)2
2
Переобозначим (пг + 1 + \ У = п, где п-главное квантовое число. Следовательно
энергия в атоме водорода полностью определяется главным квантовым числом и.
Формула для п:
п = пг + / + 1
где щ-радиальное квантовое число, которое может быть целым числом начиная
с 0, /-орбитальное квантовое число, может принимать значения от 0. А п-главное
квантовое число принимает целые значения начиная с единицы.
Еп = ~ ъ У
110
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
t&cbcA-isn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Запишем формулу в обычных единицах, которые были использованы.
1 те4 1
2 h2 п2
п
Если водородоподобный атом, то есть его заряд больше заряда протона, то:
1 mz2e4 1
Еп = ~ 2
Одному и тому же главному квантовому числу п соответствуют разные слага
емые. Например, когда п = 2 пг может быть 1, а 1 = 0, и наоборот. Это означает
вырождение.
Энергетический спектр
Энергетический спектр электрона в атоме водорода:
и=1, пг = 0,1 = О
п=2
пг = 0, / = \пг = 1,
1= 0
п=Ъ
18
3s
3р
2s
пг = 2,
I = 0пг = 1,
I = \пг = 0, 1 = 2
'3 d
2р
Is
Значение энергии сходится к нулю, так как п —» go.
Теперь волновую функцию атома водорода можно обозначить с помощью трёх
квантовых чисел.
Щ г іт ~ ^ п іУ іт
где т пробегает свой ряд значений в зависимости от заданного /.
111
teacA-im,
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
пг
Rnl = lJ Y i airie~"
і =О
Нужно посчитать сколько состояний при заданном главном квантовом числе п
или какова кратность вырождения.
При заданном числе п, I принимает значения от 0 до п — 1. При заданном / маг
нитное квантовое число пробегает 21 + 1 значений.
п— 1
2 (21 + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2п - 1) = п2
1=0
Получили и2, который является кратностью вырождения при заданном главном
квантовом числе'.
Квантовые скобки Пуассона
По определению коммутатором двух операторов А и В является:
[А, В] = АВ —ВА
В квантовой механике, в отличие от классической, коммутаторы далеко не всегда
равны нулю. На основании определения запишем свойства коммутаторов:
[ А , В ] - - [ В , А)
[А+В,С] = [А,С] + [В,С]
[А,ВС\ = [А,В\С + В[А,С]
[Л,[В,С]] + [В,[С,А]] + [С,[А,г]]
Последнее соотношение называется "тождество Якобе". Эти коммутаторы назы
вают "квантовые скобки Пуассона".
Предположим имеется координата qi и ей соответствует оператор обобщённого
импульса Pl = j-£fr
112
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣ&сисА-ѵп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Нужно вычислить коммутатор [qk,Pi] = ihdkl-
[Qk,Ql\ = \Pk,Pl\ = 0
Данное тождество называется фундаментальными скобками Пуассона. Правило
следования индексов:
іх = y p z
zpy
ly = ZPx-Xpz
к = xpy - ypx
Циклическая перестановка трёх индексов x,y,z. Первый всегда переносится на
последнее место и так далее.
Квантовая скобка \1Х,1У] будет разбиваться на большое количество скобок Пуас
сона.
Слагаемые zpy и zpx образуют скобку Пуассона вида [zpy,zpx], которая равна
нулю.
113
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
Ь&сьсА-ілг
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
Л екция 12. Соотношение неопределенности,
наблю даемая и вопросы измерения в квантовой
механике
Наиболее вероятное расстояние
Наиболее вероятное расстояние - это там, где вероятность больше всего. В одно
мерном случае вероятность:
\y/\2dx
В трёхмерном случае:
\у\2dxdydz
В случае, когда используются сферические координаты, чтобы учесть симметрию
задачи, вероятность имеет вид:
\у/\2sin$d&d(pr2dr
Основное состояние атома водорода по определению - состояние с наименьшей
энергией. Наименьшая энергия, когда п = 1. Структура волновой функции:
г1 (^]сцг‘ e~«Yim
Если п = 1, по формуле, которая связывает все квантовые числа п = пг + 1-\ 1, / = О,
пг = 0, а Іт - какая-то константа. Тогда формула для основного состояния будет:
у/ е~
Состояния сферически симметричны, о углов не зависит. В отличии от прямо
угольных координат, в которых есть г2, вероятность будет определятся:
114
ѣ&сьсЛ-йп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M / T E A C H IN M SU
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
2
г2dr
Получилась вероятность в сферическом слое, толщина слоя dr везде будет оди
накова. А множитель г2 всегда будет увеличивать сферический слой, чем дальше от
центра, тем этот слой будет объёмней.
Если рассмотреть плоский случай (Рис. 12.1).
Рис. 12.1. Сферический слой
В данном случае, будет всё аналогично плоскому случаю, только в пространстве.
Так как состояние сферически симметрично, можно проинтегрировать по углам, при
этом появится какая-то константа. И вероятность будет:
а\е~г\2г2 е~2гг2(Щ
При приравнивании функции (10) к нулю, получаются два корня, один из которых
г = 0, он нефизичный, так как он показывает, что электрон слипся с протоном. А
второй корень даёт г равную одной атомной единицы длинны, что является наиболее
вероятным расстоянием.
Соотношение неопределенности Гейзенберга
Надо чётко разделять принцип неопределённое™ Гейзенберга и соотношение неопре
делённое™ Гейзенберга. Принцип неопределённое™ Гейзенберга - это мировоззрен
ческий или философский принцип у которого отрицательное содержание. Этот прин
цип говорит о том, что квантовые частицы не могут двигаться по траекториям. А
соотношение неопределённое™ - это более детальная тема. Безусловно, они связаны
друг с другом.
115
t&cucA-im,
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
АхАр > Если существует такое ограничение, то это не точное положение, а какое-то неопре
делённое как по координате, так и по импульсу. Если верно соотношение, то нельзя
говорить о траектории, потому что в траектории в каждый момент времени должны
быть точно известны значения координаты и скорости или импульса.
Заметим, если ввести в рассмотрение понятия оператора координаты и оператора
импульса, то соответствующий коммутатор:
Iх,р\ = ih
где х и р - это операторы. Это соотношение неопределённое™ это математическое
следствие коммутатора.
Рассмотрим более общую задачу: физической величине F соответствует эрмитов
оператор А, а физической величине G соответствует эрмитов оператор В, причём
коммутатор этих операторов равен ih.
F^A
G ^B
[А, В] = ih
Рассмотрим дисперсию соответствующих физических величин.
AF = \ ! f 2 - F 2
ag
= \ ! g 2-
g2
Рассмотрим, что будет, если AFAG.
Произведём вспомогательные операции. Если какая-то из этих величин распре
делена, возьмём, что она распределена непрерывно (Рис. 12.2).
По оси X откладывается значение величины F или G, а по оси у откладывается
соответствующая вероятность. Значит на оси х есть величина F. Дисперсия говорит
116
t&cucA-vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Рис. 12.2. Зависимость значения от вероятности
о том, на сколько от величины F отклоняются другие значения. Сдвинем величину
F так, чтобы среднее значение было в нуле. Тогда:
7
= О, А / = AF
G = 0,Ag = AG
a= A F
b = B -G
[a, b] = ih
Поскольку дисперсии одинаковы, вычислим:
(д /)2(д*)2 - 7 Ѵ
где квадраты средних значений равны нулю. Переходим к записи через соответ
ствующие эрмитовы операторы.
(А/)2 (А#)2 = / V = (У,а2цг) (у/,Ь2уг) = (ау/,ау/)(Ьу/,Ьу/)
Воспользуемся неравенством Шварца:
|(гцѵ)|2 < (и, и) (ѵ, ѵ)
Пусть и = ау/, а ѵ = Ьу/, тогда:
(А/)2(А#)2 ^ \(ау/,Ьу)\2 = \(y/,aby/)\2
117
Ь&сьсА-Ілг
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Сомножители - это эрмитовы операторы, а произведение операторов не будет
эрмитовым.
1
1
1 1
ab = - (ab + Ьа) + - (ab —Ьа) = - с + —ih
Оператор с по построению эрмитов оператор:
с = с+
(Ѵ,аЬу) = ^ ( у , с у ) + і ^
Слагаемое \ (¥,суг) является вещественным числом в силу того, что оператора
с эрмитов оператор. Следовательно комплексное число (\j/,ab\f/) записано, как его
реальная часть плюс мнимая. Поэтому:
\(Y,abY)\2 - R e 2{} + j
(Д /)2(Д*)2 3=
h2
Действительно произведение неопределённостей:
(AF) (АО) » \
Коммутатор из эрмитовых операторов
Есть два эрмитовых оператора Л и В, составим коммутатор:
[А, В]
Проверим коммутатор на эрмитовость:
[А,В]+ = ІАВ —ВА)+ = ВА - А В = - {АВ-ВА)
Оператор удовлетворяет антикоммутативному свойству:
[А ,В ]+ --[А .Б ](12)
118
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
t& cuA -vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Значит, если два эрмитовых оператора не коммутирую между собой, то они удо
влетворяют свойству коммутативности.
Рассмотрим эрмитов оператор С умноженный на мнимую единицу і:
(;ІС)+ = —г'С(13)
Тождество (13) то же самое, что и (12), так как коммутатор двух эрмитовых опе
раторов антикоммутативен, как и оператор ІС. Это означает, что коммутатор |Л, /1|
можно записать:
[А,В\=ІС
В итоге получилось:
(AF) (ДО) > j
В данном случае два оператора, коммутатор которых есть частный случай \А,В\ =
ІС.
Если рассматривать более общий случай, где F —»А и G *В, то получилось:
AFAG ^ ^ (у/,Су/)
Без доказательства, так как оно аналогично доказательству для частного случая.
Произведение неопределённостей или произведение дисперсии ограничено снизу,
но не может быть как угодно малым.
Рассмотрим такое состояние квантовой системы или такую волновую функцию
у/, которая является собственной для оператора А .
Ау/ = Ху/
В этом случае дисперсия соответствующая физической величине равняется нулю
(АF = 0).
119
іелсЛ -от г
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Но если AF = 0, то соотношение неопределённостей AFAG ^
нарушается.
Только если исключить тот случай, когда другая дисперсия в этом состоянии будут
расти неограниченно.
Позже будет рассмотрено, что есть такие состояния, для которых АF = 0, но
при этом AG = 0 остаётся конечной. Но тогда возникает противоречие, произведение
дисперсий не должно быть как угодно маленьким, а в этом случае оно будет как
угодно маленьким.
При условии, что состояние описывается волновой функцией, собственной для
одного из двух операторов, вычислим среднее значение:
(ѵ , с ѵ ) = і (ѵ , [ Щ
ѵ)
Забудем про і, потому что нужно показать, что среднее значение (у/, С у/) или
і (у/, \АВ\ у/) должно обратиться в ноль.
(уг,АВуг)-(уг,ВА) = (Ау/,Ву/)-(Ву/,Ау/) = Х(у/,Ву/)
Х(Ву/, у/) = Л(у/, Ву/ )-Л (у/,By/)
Если состояние описывается волновой функцией, собственной для одного из опе
раторов, то с точки зрения принципа соотношения неопределённостей ничего страш
ного не происходит, потому что в этом случае в правой части неравенства AFAG ^
\ (у/,Су/) стоит среднее значение С или коммутатора этих операторов, а оно в данном
случае обратится в ноль.
Понятие наблюдаемой
Наблюдаемой называется эрмитов оператор, соответствующий какой-либо физи
ческой величине. Кроме операторов, которые соответствуют физической величине,
могут быть и другие операторы, но только эрмитов оператор, соответствующий фи
зической величине, называется наблюдаемой.
Физических величин не так много, потому что не так много соответствующих
динамических переменных, координаты, импульсы, сопряжённые с ними и разумные
функции от них.
120
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
беасЛ-сог
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
Первое утверждение, которое не доказывается, состоит в следующем: система соб
ственных функций наблюдаемой, является полной, то есть образует базис. В кван
товой механике доказательство общего, что какая бы не была физическая величина,
эрмитов оператор обладает полной системой собственных функций, не доказывается.
Но доказывается в различных частных случаях, которые перечисляют все физиче
ские величины.
Второе утверждение, которое называется "теорема о коммутирующих наблюдае
мых". Доказательство:
Имеются физические величины, которым соответствуют эрмитовы операторы,
которые являются наблюдаемыми А и В, причём А и В образуют нулевой коммутатор,
они коммунтируют между собой.
[А,В]= О
В этом случае они обладают общей системой собственных функций.
АУп = Д Ѵп(14)
Рассматриваем только чисто дискретный спектр. В общем случае, когда имеется
непрерывная часть, доказательство будет примерно таким же.
Прямое утверждение заключается в том, что функции (14) являются собствен
ными и для наблюдаемой В.
Подействуем на соотношение оператором В.
ВАЩг = КВЩг
В силу коммутации в левой части можно переставлять местами сомножители.
А (В\ігп) = К (Вуп)
Функция В у п, полученная в результате действия оператора (наблюдаемой) В на
собственную функцию оператора А, также является собственной.
121
t&CLcA-OTl
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
Ву/п - Щі
Выберем коэффициент пропорциональности, который будет собственным значе
нием наблюдаемой В:
Вщг = ііпу п
Доказано прямое утверждение, что если наблюдаемые коммутируют, то они об
ладают общей системой собственных функций.
Обратное утверждение: если две наблюдаемые обладают общей системой соб
ственных функций, то они коммутируют. Доказательство:
АЩг = ФгѴи
ВЩ, = Цпу п
На первое соотношение подействуем оператором В:
BA\ffn = hnBXj/n = кцВпЩгі 16)
Такую же операцию производим и со вторым соотношением, то есть слева подей
ствуем оператором А:
АВу/п —finAy/n —fin^n Щі (15)
Из соотношения (15) вычитаем соотношение (16):
[А,Я]уь = 0
Если коммутатор равен нулю, то на какую бы функцию он не подействовал, даёт
всегда ноль.
[А,В\ у = 0
122
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
tecbcA -vri
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Также получается и с произвольными функциями:
Если произвольную функцию у/ разложить по полному базису, а по утверждению,
что собственные функции наблюдаемых образуют полный базис, то:
’УЛІСпу/п
Если коммутатор действует на эту функцию, то это означает, что он под знаком
суммы действует на каждую из собственных функций и каждое слагаемое будет
обращаться в ноль, следовательно IА , В \ у = 0 справедливо.
Вопросы измерения в квантовой механике
Вопрос измерения не возникает в классической механике, является там само собой
разумеющимся.
Утверждения по поводу измерений в классической механике:
1) Повторяемость. Если при одинаковых начальных условиях меряется что-то в
классической механике, то проводя точности такой же опыт, то есть при этих же
начальных условиях, получается точности такой же результат.
2) Измерение не влияет на состояние движения в классической механике. Можно
придумать такой эксперимент, когда измерение будет влиять на состояние движения,
но всегда можно сделать так, чтобы измерение не вносило никаких возмущений в
состояние движения.
3) Измерение может быть сколь угодно точным. Это утверждение является ком
бинацией первых двух.
Ни одно из этих утверждений не работает в квантовой механике.
V(n,t)
В какой-то момент времени волновая функция, а следовательно и плотность ве
роятности имеет вид: (Рис. 12.3)
Если взять следующий, достаточно близкий к to момент времени, волновая функ
ция изменится.
\j/(n,t0 + At) « у ф ) +
At
^0
123
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
tecucA-im .
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
Рис. 12.3. График волновой функции в фиксированный момент to
Производная ^ в момент времени to - результат действия гамильтониана с точ
ностью до множителя. На её место можно поставить ^ (H\f/),0Получается, функции в близкие моменты времени должны почти совпадать. Про
ведём мысленный эксперимент:
Выберем отрезок [д,&], между этими двумя точками расположим множество дат
чиков, которые в момент времени to или зафиксируют, или не зафиксируют частицу.
Возьмём, что датчики не зафиксировали частицу. Тогда в силу того, что в сле
дующий момент времени датчики также не зафиксируют частицу, получается, что
в интервале координаты от а до Ъ волновая функция равна нулю, а вне интервала
функция осталась прежней (Рис. 12.4).
Рис. 12.4. График волновой функции, если датчики не зафиксировали частицу
То есть состояние системы, которая описывается волновой функцией радикально
изменилось, с большей вероятностью в близкий следующий момент времени в ин124
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
t&cbcA-im.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
тервале координаты от а до b функции не будет. Но это не означает, что частица
летит по такой траектории, это значит, что сам процесс измерения нельзя вносить в
квантовую механику.
Если бы взяли, что датчики зафиксировали частицу, то в интервале координаты
от а до Ъ функция сохранилась (Рис. 12.5).
Рис. 12.5. График волновой функции, если датчики зафиксировали частицу
Получаем, что процесс измерения радикально изменяет состояние квантовой си
стемы.
П остулат изм ерения:
Если имеется физическая величина F, с которой про
водятся измерения, то постулат измерения говорит, что в процессе измерения по
лучается в качестве величины F одно из собственных значений эрмитова оператора
наблюдаемой, которая соответствует этой физической величине F —»А. У операто
ра может быть много собственных значений, но в результате измерений получается
одно, которое при повторных измерениях будет одинаковым. Получается, что про
цесс измерения всё смешивает в квантовой механике. Чтобы выйти из этой ситуации,
нужно рассматривать не одну квантовую систему, а набор тождественных квантовых
систем из N штук, где IV1.
125
t& C b C & -i/n
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВА Н ТО ВА Я М ЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 13. Теория возмущ ений
Вступление
На прошлой лекции была изучена проблема измерения в квантовой механике. В
отличие от классической механики и теории поля измерения в квантовой механике
носят иной характер, потому что оно влияет на состояние системы. То есть процесс
измерения катастрофическим образом изменяет состояние системы.
Согласно уравнению Шредингера, которое является линейным, волновая функ
ция должна изменяться непрерывно, поэтому через малый отрезок времени волновая
функция изменяется незначительно, а следовательно вероятность координаты при
повторном измерении должна лежать примерно там же, где и в результате первого
акта измерений. А получается принципиально другая волновая функция в процессе
измерения, следовательно вся теория квантовой механики рушится. Поэтому гово
рят, что квантовая механика - это та теория, в которой не нужно смотреть на кванто
вый объект. Как только посмотрели в том смысле, что попытались что-то измерить,
внесли неконтролируемое изменение.
История развития квантовой механики показывает, что сначала люди думали,
поскольку квантовые объекты очень маленькие, то нужно лишь совершенствовать
эксперимент, для того, чтобы он не вносил значительных изменений. Оказалось, что
это не так, что измерения принципиальны.
Выход заключается в том, что повторные измерения нужно делать не с системой,
на которой провели первое измерение, а с какой-то другой, тождественной, находя
щейся в том же состоянии, то есть с той же волновой функцией. Если есть большой
ансамбль таких частиц, можно провести необходимое число измерений и сравнить
результаты с вычисленными.
Постулат измерения
В постулате измерения предполагается, что состояние системы задано, в силу
постулата полноты эту функцию можно разложить по собственный функциям опе
ратора А, которые образуют полную систему базисных функций:
126
Ь&сьоЯ-іт,
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВА Н ТОВА Я М ЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
W= ^fiU i
і
AUi = hUi
В результате измерений получается одно из собственных значений этой наблю
даемой. Для простоты используется дискретный спектр (Рис. 13.1), хотя на самом
Рис. 13.1. Шкала собственных значений или шкала значений физической величины
F
деле эта задача легко обобщается.
Если вычислить среднее значение физической величины с состоянии у/, то мож
но определить какое из значений, согласно постулату, можно выявить в процессе
эксперимента.
Следуя из предположения, что у/ нормированная волновая функция:
7 = {у/,Ayr)
В скалярное произведение нужно подставить разложение по базисным собствен
ным функциям оператора А, учитывая соотношение у/ = Д Д Л ь
F = (уг,Ауг) = ^
і \Сі \2
І
Если сравнивать с каноном теории вероятности, согласно которому среднее зна
чение выражается величиной
А; |Q |2>то А; - одно из значений, которое может при-
нимать, согласно постулату, физическая величина F , a |Q| - вероятность. Среднее
127
tecucA-im .
КВА Н ТО ВА Я М ЕХАНИКА
П ЕТРОВ СЕРГЕЙ В Л А Д И М И РО В И Ч
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕД А К ТУ РУ И М О Ж Е Т С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
значение есть число, которое получает случайная величина, с той или иной степенью
вероятности.
Согласно постулату, физическая величина F примет с той или иной степенью
вероятности одно из своих собственных значений. Волновая функция, которая сна
чала была распределением по всем собственным значениям, теперь будет однозначно
определяться только одном собственным значением.
Волновая функция в процессе одного акта измерения перейдёт:
Y f i U i -►Ски к
і
где к - номер того значения, которое получится в процессе измерения.
Для того, чтобы воспроизвести все вероятности, нужно иметь целый ансамбль из
большого числа тождественных систем и проводить достаточно большое число актов
измерений.
Возникновение теории возмущений и ее суть
Терминология теория возмущений или теория Реле-Шредингера, Шредингера,
потому что он применил её в квантовой механике, а Реле, потому что разработал
теорию ещё до Шредингера и рассматривал собственные колебания струны, закреп
лённой с двух концов, а потом навешивал на струну маленький груз с исчезающе
малой массой. Эта задача не решалась, но в силу малости этой массы Реле построил
приближённый метод.
В классической механике тоже возникла теория возмущений. Если решать за
дачу двух тел, движение Земли вокруг Солнца, то задача точно решаема. Но если
оказывается, что вокруг земли вертится ещё одно тело Луна, масса которой много
меньше массы Земли, а тем более массы Солнца, то оно существенно картину не ме
няет, чуть-чуть её возмущает. Следовательно, метод Реле был применён и для задач
небесной механики.
Модельная задача, которая позволяет разобраться в сути этого метода, заключа
ется в следующем:
128
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
С е л сЛ -и п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Предположим, нужно решать квадратное уравнение х2 —3,00 И + 2 = 0 без исполь
зования формулы корней квадратного уравнения. Если бы не было 001, возмущения,
то можно было бы подобрать корни. Поскольку возмущение много меньше единицы,
то она не сильно изменит корни квадратного уравнения, которыми являются 1 и 2.
Поэтому надо искать корни квадратного уравнения в виде функции.
х2 - (3 + £)* + 2 = 0,£ < < 1(15)
Предполагаем, что корни квадратного уравнения являются функцией малого па
раметра £ и можно разложить в степенной ряд по £.
*0 + £*і + £2Х2 + ...
Хо - корни уравнения, когда £ = 0, то есть 1 или 2. *і и Х2 - соответствующие
значения производных корней по £, взятых в точке £ = 0, согласно теории рядов
Тейлора.
Теперь нужно подставить бесконечный ряд в уравнение (15) и группировать по
степеням £.
(*0
—3*о + 2) + (2*0*1 —3*і —*о) + £2 (*і —2*о*2 —3*2 —*і) + •••
Для того, чтобы бесконечный ряд являлся корнями квадратного уравнения, ко
эффициент при каждой степени £ должен обращаться в ноль.
2*о*і —3*і —*о = О
*і
*о
Ію
—3 + 2*о
Получаем, что можно выписывать корни квадратного уравнения с точностью до
Е1. С точностью до £2 получим формулу для корней: Первый корень:
1 + £ + 2£2 + ...
Второй корень:
129
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
texxjcA -tn r
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
2 —2 е - 2 е 2 + ...
Если £ = 0,001, то по формулам вычисляются корни с точностью 10 6.
Плюсы этого подхода: во-первых, возмущение достаточно маленькое. Во-вторых,
имеется точно решаемая нулевая задача, когда е = 0, можно определить корни урав
нения х2 —Ъх + 2 = 0 подбором. В-третьих, последовательность в вычислениях, после
решения нулевой задачи можно вычислить поправки первого порядка, после вычис
ления поправок первого порядка можно вычислить поправки второго порядка и так
далее. Таким образом, можно получить ответ с любой точностью.
Стационарная теория возмущений для невырожденных
состояний и поправка по энергии
Невырожденные состояния - это, когда одному собственному значению соответ
ствует только одна волновая функция.
Н\[/ = E\jf
Н = Но + ХН'
где ХН' - возмущение и Я - параметр малости, которое нужно, чтобы метить
порядки малости.
zj
До) _ ДОП,/-(0)
у т
“ Oym
(0) говорит о нулевом приближении.
Собственные функции нулевого гамильтониана образуют полный набор и они
ортонормированные.
(I Ѵ
Y*n0) j
yn
- u8mn
J —
Индекс к = m означает невырожденное состояние.
130
tea cA -vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Предположим, что и собственное значение к состояния, и соответствующая волно
вая функция являются функциями параметра малости Я, поэтому можно разложить
в ряд Тейлора.
Ек =
+ Х Е ^ + Х2Е^2) + ...
Щ=
+Х
+-
Верхние индекс означают поправки соответствующего порядка.
Волновую функцию Щ можно представить по базису невозмущённых функций.
¥к = ¥ к )) + 2 с >пк¥т)
тфк
Сравнивая разложения волновых функций, можно заметить, что поправки 1, 2
и так далее порядков находятся в сумме У]„,^ігСтк¥т'>• Поскольку первое первое
слагаемое ортогонально каждому слагаемому из суммы, то получается:
(¥ к °\¥ к 1)) = 0 ,і = 1,2,...
Аналогично квадратному уравнению:
(Но + АН') (ѵ С + Ы ' } + А2v f *+ •••)- ( 4 0> + АН)" + А2Е<2) + ...) (ѵ- f >+ Ау<‘>+ А2y f :1+...)
(Н о - 4 0)) Ѵ Г = 0(П ) - невозмущённое уравнение Шредингера.
Коэффициент при Я0 равняется нулю.
Коэффициент при Я 1:
(н о - i f ) у<‘>+ ( н '- Е » 1’) у<°> = 0(18)
Коэффициент при Я2:
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Коэффициент при Хп:
(n-2)
yW + ( f f '- E f ) v t "
,-(3) ,> - 3 )
- E l - 'V f
£<"ѴГ= 0(19)
Если малость возмущения XH' , имеется точно решаемая задача, уравнение Шре
дингера,для катого состояния в нулевом приближении. Поэтому идёт процесс по
следовательного вычисления порядка. Если решить (17), то (18) даёт поправку по
энергии первого порядка и поправку волновой функции первого порядка. Если ре
шить (18), то можно найти поправку волновой функции второго порядка и поправку
энергии второго порядка.
В реально жизни ограничиваются поправка по энергии второго порядка и поправ
ками волновой функции первого порядка.
Возьмём произвольное уравнение (19) - это равенство нулю всего того, что стоит
перед Хп. Слева умножаем на 1//]°* и дифференцируем, учитывая поправку ^
О, г = 1,2,.../
Осталось два ненулевых члена:
Н' - малое возмущение. Получилась поправка по энергии первого порядка, потому
что она будет выражаться как матрица элемент возмущения на нулевых функциях.
Для того, чтобы вычислить поправку по энергии второго порядка, надо знать по
правку по энергии первого порядка.
4" ’
=
(0) Т7/ си , ,
щ
Щ
) - вспомогательное утверждение, которое помогает выде
лить поправку первого порядка к энергии, как матричный элемент возмущения на
нулевых функциях, невозмущённых.
132
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
t&acA-un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Поправка волновой функции и условие сходимости
Чтобы получить поправку волновой функции первого порядка, уравнение (18)
(0)
умножается слева на У^Фк
( r f \ (но - 4 0>) ѵ Р ) + Ц 0), { н ' - 4 ° ) ч4°]) - О
Получилась сумма двух интегралов.
Неизвестную функцию
представляем в виде ряда по ортогональному базису.
2 Стк¥т]
тфк
Коэффициенты разложения:
Сщк
Д
ут°) ■
vC J =
К ,
£(°)
f (°) _
jj!
птк
- s
тфк Д°) _ р(°)
Получили поправку первого порядка к волновой функции в виде разложения по
базисным функциям нулевого порядка с соответствующими коэффициентами.
Отсюда можно понять:
1) Теория возмущений излагалась для невырожденного состояния, потому что
если бы было вырожденное состояние, то одна из разностей
е ЦР -
Е ^ обращалась
бы в ноль, и ряд бы не имел право на существование.
2) Для того, чтобы ряд имел физически-осмысленный вид, он должен очень быст
ро сходиться, то есть коэффициенты разложения должны уменьшаться.
Следовательно условие сходимости:
133
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНѴЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
teeLcA-OTi
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
і С « 4 . 0)- 4 0>
Поправка по энергии второго порядка:
Если к - основное состояние с наименьшей энергией, то все энергии е
будут больше Е
ЦР
по
модулю
. Поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда
отрицательна.
Нужно рассматривать отдельный случай, когда Е ^ —Е ^ не ноль, но малень
кая величина, это будет говорить о том, что в бесконечной сумме может нарушаться
иерархия членов малости, каждый последующий должен быть много меньше преды
дущего.
Разность энергий невозмущенных функций
і и
—Е ^ должна быть много больше
|2
квадрата матричного элемента возмущения \Hmk\ .
134
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣелсА-іт,
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 14. Теория возмущ ений д л я вырож денного
случая
Поправка по энергии атома гелия
В прошлой лекции был рассмотрен приблизительный метод решения стационар
ного уравнения Шредингера и была рассмотрена ситуация, когда состояние невы
рожденное. То есть энергия этого состояния, а значит волновая функция только
одна для этого состояния.
В этом случае поправка по энергии первого порядка равняется:
Н = Но + кН'
Невозмущенное состояние:
НоV'f’ - i f v ' f
Пример: вычислить поправку по энергии первого порядка для основного состоя
ния атома гелия.
Если бы в гелии не было второго электрона, то он был бы атомом водорода. То
есть гелию мешает быть атомом водорода кулоновское взаимодействие между двумя
электронами.
Полный гамильтониан для атома гелия:
Н = h\ + /?2 Ч----Г12
h\ I /?2 = Hq - нулевой гамильтониан. Ф - возмущение.
Для h\ + 112 = Но можно написать решение нулевой задачи для основного состо
яния с учётом того, что h\ и йг одинаковые, только первый зависит от координат
одного электрона, а второй - от координат второго электрона.
135
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
іелсЛ -и п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Для атома водорода волновая функция:
е-Ѵ=Щгу1п
Yin - сферическая гармоника, зависящая от углов.
Еп
m2z2e4 /
И2 \
1 \
2п2)
В атомной системе единиц:
Е
=
_ І І
"
2„-
В основном состоянии 1 = 0, тогда в полиноме остается только нулевой член, то
есть константа, и e~zr. То есть волновая функция не содержит гармоники Y/n.
Получается, что волновая функция водорода имеет вид е zr.
Но = h \+ h 2
Н0у = Е\і/
Для решения задачи на собственные значения используется метод разделения
переменных, потому что Но делится на два слагаемых. В этом случае:
у = уД1)уД2)
Согласно методу разделения переменных, можно решать две задачи:
/гіуДі) = ДѴ^(1)
/г2у/-(2) = Е 2у/{2)
Е - значение невозмущенного состояния гелия, есть сумма Е \+ Е 2.
е У і+ Л = у/(°) _ волновая функция основного состояния невозмущенного атома
гелия.
136
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М,8 ЛОМОНОСОВА
ѣесьсА-іпг
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Для атома гелия z = 2, тогда Е = —4а.е. - энергия невозмущенного состояния
атома гелия.
Первый порядок по теории возмущений для энергии основного состояния атома
гелия:
Ео = —4 + ^ = - 2 , 75а. е.
Для вычисления поправки второго порядка для волновой функции, надо сначала
вычислить поправку первого порядка.
По формуле поправки второго порядка по энергии можно установить, что для
основного состояния она всегда отрицательная.
Высокоточные квантовохимические вычисления появились через два-три года по
сле квантовой механики. Когда убедились, что квантовая механика - единственное,
что может быть применено для задач с квантовыми числами, сразу стали пробовать
методы квантовой механики на простейших частицах. Атом гелия - простейшая си
стема, для которой уравнение Шредингера не решается точно. Поэтому её решали с
помощью вычислительных машин.
Значение, которое они получили —2,903724.... Если сравнивать это значение с
Ео = —2,75, то получится небольшой процент ошибки, но:
Электромагнитный спектр возникает тогда, когда осуществляется переход элек
трона вниз. В спектре получается линия с определённой длинной волны. Если брать
Ео = —2,75 вместо —2,903724..., то длинна волны может уйти в другую область. То
есть, если она была в красной области, то может уйти в ультрафиолетовую область.
С этой точки зрения результат Eq = —2,75 не важен.
137
£ е а с Л -ѵ п
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
Реш ение задачи для вырожденного случая
Задача в рамках теории возмущений, но противоположна предыдущей.
Есть Н = Hq+ АД7, надо найти катое состояние. Но в отличие от невырожденного
случая задача усложняется тем, что вместо волновой функции
появляются две
функции, которые соответствуют одному и тому же собственному значению.
Ѵк0) = {Фь Фг} (20)
Вместо
можно брать ф| или <р2) это означает:
Н()Ц>і = £ f V
где і = 1,2
Если имеется вырождение, то любая комбинация вырожденных волновых функ
ций тоже является собственной функцией гамильтониана с этим же собственным
значением. Поэтому вместо функции (20) можно брать комбинацию:
Сі<рі+С2<р2(21)
Такая комбинация тоже является собственной функцией гамильтониана Но и от
вечает тому же самому собственному значению.
При этом, используя метод ортогонализации Шмидта, можно добиться того, что
каждая из вырожденный функций (21) будет нормирована на единицу, а между собой
они будут ортогональны.
(<Рі,<Рг) = 0
При этом условии нужно решить задачу для возмущенного гамильтониана.
Искомое значение энергии катого состояния в виде ряда по Я:
Ek = E f ) +XE(£ ) + ...
138
t&cbcA-isn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Для волновой функции:
( 1)
щ
- одна из функций (20) или их линейная комбинация (21).
Разложения подставляются в стационарное уравнение Шредингера.
( Н - Е к) щ = О
+
(ѵ і0)+ А ѵ і1} + - ) =0(22)
Аналогично невырожденному случаю, но здесь нужно остановиться, потому что в
дальнейшем в формуле энергии для поправки первого порядка к волновой функции
в знаменателе появится ноль, потому что две разные функции соответствуют одному
и тому же собственному значению для нулевой задачи, и следовательно на первом
шаге вся теория возмущений развалится.
Поэтому соотношение (22) дифференцируем по А. После этого А приравнивается
к нулю. Это плохой подход с точки зрения математики, потому что не известно, что
такое дифференцирование оператора по параметру, который может и не содержать
ся.
Дифференцируем ^Но —Е ^ + АН' —А
+ ...^, кладём А = 0 и умножаем на ^
кладём А = 0 и плюс наоборот.
(« '-£ Г )# + (и о -г Г )# =о
Полученное значение слава умножается на функцию ф/, где і = 1,2 и берётся
интеграл.
(ft,
+ (ft, (flb - £ f > ) W " ) = 0
Второе слагаемое разбивается на два интеграла.
(ft.^ o W * ) - А 0) (<Рі. ѴІ’1) (23)
139
іелсЛ -и п
+
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Можно утверждать, что (23) не ноль, потому что поправки 1,2 и так далее находятся в подпространстве, которое ортогонально Щ(о) .
Второй интеграл получается таким же, Е ^ выносится за знак интеграла и оста
ётся интеграл (фйѴ'і*
который с минусом. Следовательно второе слагаемое
( л ( ио- еГ ) | | С ) = о
Поэтому остаётся только первое слагаемое.
Первое слагаемое записывается два раза при і = 1,2:
I (<рі, ( н ' - Е ^ С\фі +С2<Рг) = О(<Р2, ( н ' - ^ 1}) Сіфі +С2(рг) = О
Получились два соотношения относительно двух неизвестных постоянных С\ и
с 2.
(Фь Я ' фОС і + (<Р1 ,Н'<Р2 )С2 = Е ^ с 1{(р^н'ф^с 1+ {(Р2 ,н'(рг)с2 = Е ^ С 2
Система линейных уравнений относительно неизвестных С\ и С2.
Введём вектор: С? = СіС2 и матрицу: Н7 = Н[ 1 В Д і
Записываем задачу в матричном виде.
Н22
е 7<? = я <?
Я - собственное значение матрицы возмущения, Я = Е ^ \
Рассмотрим частный случай, в котором кратность вырождения равняется двум.
При рассмотрении кратности вырождения, равной трём, действия бы были таки
ми же, только вместо двух уравнений было бы три, размерность увеличилась бы на
единицу.
Если брать произвольную кратность вырождения, равную р, то вектор
был
бы р-мерный вектор, матрица возмущения была бы квадратной матрицей р х р. То
есть была бы та же самая задача на собственные значения для матрицы возмущения
только большей размерности.
140
t&cccA-un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Найти собственные значения матрицы возмущения - это: 1) Найти поправки по
энергии первого порядка. 2) Найти правильное соотношение между коэффициентами
С, потому что это будут собственный вектора матрицы, и эти правильные коэффи
циенты дадут правильную функцию (21), в которой будут не произвольные С\ и Сг,
а те С1 и Сг, которые составляют собственный вектор матрицы. С ними можно будет
вычислить поправки к волновой функции первого порядка.
Линейный эф ф ект Ш тарка
Пример к вырожденной теории возмущений имеет самостоятельные физические
значения и носит название эффект Штарка. Эффект Штарка - это, когда система
зарядов помещается во внешнее электрическое поле.
Когда система зарядов находится во внешнем поле в первом приближении энергия
взаимодействия в атомно-молекулярной системе:
н' =
- дипольный момент. t - напряжённость электрического поля.
Берётся достаточно слабое, постоянной, не зависит от времени, и однородное, одно
и тоже в каждой точке пространства, электрическое поле, поэтому ось г выбирается
по направлению поля.
Д = {0,0,е}
В качестве системы берётся атом водорода. Поскольку протон неподвижен, то он
не фигурирует. Участвует только один электрон. В этом случае дипольный момент:
1І = еУ
Н' = ez
Возмущение - оператор, зависящий от координат, то есть возмущение - это z, а £
можно считать параметром малости, поскольку поле слабое.
В отличие от ситуации, когда X - формальный параметр, £ имеет физический
смысл - величина напряженности небольшого поля.
141
Ь&сьсА-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ М ЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Под действием возмущения:
Н = Н о + ez
Нужно найти собственные функции, собственные значения выбранного состояния
п = 2, кратность вырождения равна четырём.
Волновая Функция на языке нижних индексов для состояния п = 2 есть произве
дение радиальной функции на сферическую гармонику.
R2i(r)Yim($,(p)
Состояние 2s: R20Yoo■ Состояние 2р: R2\Y\m, где т = — 1,0, 1.
Получаются четыре функции
<j>2 , фз и Щ.
Для радиальной волновой функции:
пг
Rni = Г1^ с ц г 1е~»
і =О
R 20 = (оо + й і ^ Д
Радиальная функция для всех R 2 \Y\mi где т = —1,0,1, будет одинакова.
^ 2 іЛ і = re~%sind-el(f>( 24)
_г
R2\Y\o = re 2cos'd
R21Y1-1 = r s i n t i e~l<p( 25)
Четыре вырожденные функции, которые отвечают одной и той же энергии с глав
ным квантовым числом п = 2.
Получив матрицу четыре на четыре с возмущением г и решив задачу на собствен
ные значения, можно получить поправку по энергии первого порядка и узнать, как
сдвинется вырожденный уровень.
Можно брать любые линейные комбинации с четырьмя вырожденными функци
ями.
142
t&cucA-vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Щ) = C l V is +
С 2 V ip x + С з V 2 Ру
+ c4V 2 p :
Возьмём (24) и (25), которые отличаются только показателем в мнимой экспонен
те.
е1(р+ е ,хр ~ cos(p
Вместо функций (24) и (25) возникла пара функций, которые отличаются сомно
жителем или cos(p, или sinty.
rsim3-cos(p > Viрх
rsin&sincp —>Vlpy
Получились формулы, которые связывают декартовы и сферические координаты.
Получились четыре волновые функции. Vis не зависит от углов и от декартовых
координат, она сферически симметрична, потому что фигурирует только радиальная
переменная г. Ѵірх пропорциональна х, Цfip - у, Vipz - zНовый набор вырожденных волновых функций, с помощью которых можно на
писать матрицу возмущения.
Первый диагональный элемент матрицы это тройной интеграл:
’+00
л+со
dx
л+оо
dy
dzz = 0
Второй элемент матрицы:
л+со
+00
—00
dxx
J—
00
о+оо
dy
J —00
dzz = О
0 0 0
aO 0 0 0 0 0 0
0 a 0
0
0
143
t&cucA-un
КВАНТОВАЯ М ЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
Нужно решать задачу:
VC = яс?
Характеристическое уравнение, сокращенная запись системы линейных уравне
ний, в данном случае характеристический многочлен - это, когда определитель мат
рицы линейных уравнений приравнивается к нулю.
d e t{ V -X 1) = 0
Получается характеристическое уравнение четвёртого порядка:
Я2 (Я2 —а2) = О
Из которых получаются корни: два нулевых и два ненулевых +а.
Это означает, когда V = О, четыре невозмущенных уровня энергии, когда V Ф О,
сдвинулась на величину поправки первого порядка энергия основного состояния.
144
іелсЛ -и гг
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 15. В ариационны й метод
Назначение вариационного метода
Необходимо решить следующее уравнение:
ЯЧ> = ЕЧ — Е = (Ч'ДЧ')
Я --1 —
2 дг2
г дг
2г
г
а > О
Ч* = С е - аг
00
/ ™
о
- Г ( И + 1) - » .
(Ч'Д'Р)
(Т .Т )
Вариационный принцип
Рассматривается вариационный принцип:
(*Р, НЧ2) = ^ а 2 - а
Я % = ЕпЧ'п
п
( 'р , 'Р ) = 2 к „ |2 = і
(4>,H4>)=Y)cn\2En
п
Eq
<
Ei
< Е 2 < •• •
2
145
ІесссЛ-итг
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Вариационная теорема
Необходимо избрать наилучшую волновую функцию. Составляется следующее
выражение:
(Ч'.Я'Р)
(Т ,Т )
еО?)
е-(Ч',Ч') = (Ч'Д'Р)
5е(Ч',Ч') + с5(Ч',Ч') = 8(4*,НЧ*)
8 е = 0 >£ = £щіп = Г
Е(5'Р,'Р) + £:('Р, АЧ>) = (5Т',ЯТ') + (Ч',Я5Ч')
(8Ч>, (Я - Е)Ч>) + ОР, (Я - Е), А'Р) = О
В силу произвольности происходит следующая замена:
8Ч> — ідЧ*
Тогда, записывается новое выражение:
-і(5 Ч ',(Я -Д )Ч ') + і(Ч', (Н-Е)8Ч*) = О
(ST, (Н -Е )Ч ') + (Ч ',(Н -Е )8'¥) = 0
Таким образом, получается Лемма:
(5 Ч ',(Я -£ )Ч ') = 0
В силу Леммы наилучшая пробная волновая функция имеет следующий вид:
{Н -Е У Р = 0
146
іеасЛ -сѵ г
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Примеры вариационного метода
П ри м ер 15.1. Рассматривается линейный вариационный метод. Выбирается ба
зис из некоторых функций, по которому записывается разложение пробной волно
вой функции:
'T - 'E fi V i
І
Составляется выражение для функционала энергии:
(Ч',ЯЧ')
(Ч'.ч*)
hi
Ж о ( < ) т Ф/)
hi
{(Pi,H(pj) = щ
(фв Фі) = Sij
В итоге получается следующее выражение:
Z c ’ cjHij
е = h[______
hi
{Ci}
—
С
Таким образом, функционал энергии:
с+Нс
54^5?
В вариационной т.еореме было следующее:
е(Ч-)
р р .н ч 1)
(Ч'.Ч')
Варьирование приводит, к следующей конструкции:
8с(Н - ES)c = О
Получается задача, которая выглядит следующим образом:
Нс = ESc
147
ЬеагсЛ-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
П ри м ер 15.2. Рассматривается метод Хартри-Фока. Пусть есть следующая за
дача:
Н = Н1 + Н2 + G
НЧ> = ЕЧ>
Волновая функция записывается в следующем виде:
G = 0 : Т = Ч/і-Ч/2
Сф 0:
Т = Ч/і-Ч/2
{8Ч?,{Н-Е)Ч?) = 0
= 5Ч'і Ч'2 + Ч'25Ч'2
(ЗЧ'іЧ'г, (Я - Я)Ч'1Ч'2) + рРі5^2, (Я - E ) W ^ 2) = О
(84?!, (Т 2(Я - E ^ h ^ i h + ( 5 ^ г ( ^ і , (Н - Е)Ч>г)2^ 2)2 = О
'(Ч 2,( Н - Е ) ^ 2)2^
і
=0
(Т ь (Я -Е )Ч '2)1Ч'2 = о
('Р2,(Я і + Я 2 + С - Я ) Т 2)2Т1 = 0
к№ , (Я! + Я2 + G - Е)Ч 2) 1Т 2 = о
{('Р2,'Р2)2Я 1 + (Т2,Я2Т 2)2 + ('Р2,С Т 2)2} Т 1 = Е ( ^ 2^ 2)Ч>2
(Яі +GOT i = [ е - ^
Н^ 2) } т |
(Т 2, т 2)2 j
Gi =
(Т 2С Т 2)2
( ѵр
g2 =
2, ѵр 2)2
(Т ь'Р О і
Таким образом, получаются уравнения Хартри:
(Н\ + Gj )Ч/1 = Е1Ч>1
(H2 + G2)'¥2 = E24'2
148
Ь&сьсА-ѵп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 16. Н естационарная зад ача и предельны й
переход
Нестационарная задача
Решается уравнение Шредингера со временем:
ih
дЧ*
dt
НЧ1
н ч >= еч >
Рассматривается следующая задача:
Я = Я0 + Я '
Я0Т П= ЕпЧ>п
Решение можно записать в следующем виде:
п
Необходимо найти коэффициенты разложения как неизвестный функции време
ни:
(Ч',Ч') = 1 = 2 > » |2
п
Як = ~ Y j anHknel(0knt
П
Н'ы - (ЧѴ.Я'ЧУ
Е>кп
Ек - Е„
h
Происходит замена на порядок малости:
н' —хн'
149
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
texbcA-im .
К О Н С П Е К Т П О Д Г О Т О В Л Е Н С Т У Д Е Н Т А М И , НЕ П Р О Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь ОШ ИБКИ
С Л Е Д И Т Е ЗА О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M / T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П Е Т Р О В С Е Р ГЕ Й В Л А Д И М И Р О В И Ч
Разложение для неизвестных коэффициентов времени записывается в следующем
видет
Яп —йп ^ + АеЗд ^ + ...
dk = А д ^ + Х 2а ^ + ...
Поправка первого порядка записывается в следующем виде:
4" п
п
Пусть в начальный момент времени:
а(°)
я
ип - ипт
Тогда:
4 !) = JhHkmeiC°kmt
Следовательно:
t
ad . - Г н \ Н' ^ У Ѵ Л '
0
Н' = Ѵеіш + Ѵ+е~іш
gi[(D-\-(Dfcm)t
41} ~ ѴН ( ю
®km)t
+ « ь „ )+Ѵ'”*А(ю-<вы)
Предельный переход квантовой механики
Основное уравнение квантовой механики —динамическое уравнение, которое опи
сывает эволюцию системы записывается в следующем виде:
dW
ih— = Я Т
dt
150
\
ФИЗИЧЕСКИЙ
1 ФАКѴПЬТЕТ
tecucA -im .
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Применяется предельный переход:
/г —>О
записывается волновая функция в комплексном виде:
Ч '= А е^5 A =A(r,t)S = S(r,t)
Ч = Ч(г)е —l E t
Решение можно записать в следующем виде':
ih ^ + (^ A -u )4 ' =0
dt
\2 т
)
A*F = V W
Вычисляется действие первого градиента:
V (а ^ 5) = (VA)e*s + A^VSe*s
Вычисляется действие второго градиента:
Дѵр = (ДА) + (V A )jV S+ (VA) j V S + A j A S+ A j VS j VS
h
h
h
h h
, c4>
, сА лdS
in—---- >in—— A—
dt
dt
dt
dA
d4
h2
h
h
„
1
ih—— A —— UA + — AA + z—(VA)(VS) + i— AAS - A (VS)2— = 0
dt
dt
2m
m v A 1 2m
K 1 2m
pjA h
h
h - + -(VA)(VS) + — AAS = 0
dE m
2m
-A 3^- - U A - -*-A(VS)2 + % -M = 0
dt
2m v ;
2m
1 ,
dS h2 AA
-—(VS) + U + -г— — — —0
2m
dt 2m A
151
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
МВ ЛОМОНОСОВА
t&cbcA-im.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Пусть осуществлен предельный переход:
/г —>0 : —!-(VS)2 + U + ^~ = О
2т> ’
dt
Классическая функция Гамильтона записывается в следующем виде:
H(q,p,t)
{q,p}
{Q Р}
H (Q ,P ,t)= H (q,p) + —
Q=О P=О
F —*F2(q,P,t)
H
p
+^ - o
dt
dq
S{q,t)
Пусть есть координаты q\,q 2 , — В качестве трех координатах выбираются 3 де
картовых координат:
1_
Н = ^ p 2 + U(r,t)
Ъп
р 2 = р2х +Ру+РІ
Следственно, уравнение Гамильтона-Якоби записывается в следующем виде:
Р
2
V S -V S = (V S )2
^ - ( V S ) 2+ U + ^ = о
2т у J
dt
152
t&cucA-un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 17. К лассический переход и
квазиклассическое приближение
Классический переход
Уравнение Шредингера записывается в следующем виде:
ih
dW
dt
ЯТ
Y = A e llS
§ + L ( V A ) V S + ^ A A S -0
Рассматривается второе уравнение в классическом приближение:
2Ад
^ - + -2A(VA)VS + - А 2AS = О
dt т
т
~ + —Ѵ(А2Ѵ£) = О
dt
т
—2А(ѴА)Ѵ5 + - ( А 2AS) = О
т
т
Ч'*Ч' = 14f\2]A2
Постоянная планка устремляется к 0:
Я >0 : ѴА = р
Т<>гда получается следующее выражение:
Щ + ѵ( ^ = °
|
+ Ѵ(рѵ) = 0
Следовательно, уравнение непрерывности имеет следующий вид:
др
т
T
+d,v,=
О
Уравнение Шредингера:
ЯТ
153
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
tecbcA-un
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Комплексно сопряженное выражение записывается в следующем виде:
дЧ**
й і г — (о т )'
дЧ*
1
т*— = —ч гн ч ?
dt
in
дч>*
1
ѵр
= -Ч'(ЯЧ')*
dt
ih
Если сложить эти уравнения, то получится следующее уравнение:
<*НЧ'-Ч'(НЧ')*}
h2
Н = --Z А + U
2т
ih
{ЧЛЯЧ'-Ч^ЯЧ')*} = — {'¥*А'¥-'¥А'¥*}
Операторы Лапласа можно заменить градиентами:
Ѵ ^ Ѵ Ч '-Ч 'Ѵ Ч '* ) = (ѴЧ'ЙѴЧШЧ'*АЧ'
(W )W *
Ч'ДЧ'*
—ih
V—— (Ч'ѴЧ'* - Ч1*ѴЧ*)
Следовательно, получается следующее выражение для тока вероятности:
др
I d iv j = О
dt
ih
7= — ( W ^ -^ W )
j = ~ A 2V S
m
Сделав предельный переход, получается следующий набор:
h
О: Aeh^
154
t&cbcA-un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Квазиклассическое приближение
Необходимо найти решение приближенного уравнения Шредингера стационарно
го:
H4f = E4f
В этом случае волновая функция записывается в следующем виде:
Ѵ(7) - е~іЕ‘
<¥(7) - е і °
A eis = A(r)ei<w- E< )-A e iw - e - iE<
Ч»(г) = A(r)Jw<E>=
а
А = eh
W —іа = о
Стационарное уравнение Шредингера для одной частицы, которая движется под
действием заданного потенциала:
(-^ -А + и -Е ]ч > = 0
\ 2т
)
Неизвестная волновая функция записывается в следующем виде:
Ч>= ет>а
Рассматривается одномерная задача:
д2
*** - ^
і
д і
dxh
-^-о " +
2т
2т
^
- \ jo "
'
^ (o ')2 \ е*
h2
+ U -E = О
Комплексная неизвестная функция, которая является решением уравнения вто
рого порядка, зависит от х и от постоянной планки h:
а = a(x;h)
155
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
Ь елсА -іль
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Эту функция можно представить в виде ряда по параметру малости:
, м
h
С = ( 7 [ X ',h ) — С о Н— г С 'і +
(h \2
I т
I
С2 + • • •
Следовательно:
С ^ Со + - о [ + ...
і
(с ')2 ^ К ) 2 + 2^о(>о[
с " - аЦ
1 (о^)2 + U - E = 0
2т
Решение этого уравнения записывается в следующем виде:
Со = +д/ і т і Е - U ) = ±р(х)
- с 0 + c 0Cj —О
- І < — і-ы .
г& 0
dx
Cl = —In д/cn + In C
В результате получается приближенная волновая функция:
ІШ
1
= e°le'hao = т Ѵ \ р (х )\ 4 с\е 0
п
лі;
+с е 0
156
t& cuA -vn
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
Рис. 17.1. Квазиклассическое приближение
157
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 18. М еханика Л андау и аппарат Д и р ака
К квазиклассическому переходу
Точная волновая функция записывается в виде:
y/ = Ae*s _-^ ф = А е^
й—>0
Если есть волновая функция стационарного состояния, то:
у/ = уг(г)е~^ЕТ
Нуг = Еу/
у/ = eL
ha
h2 д2
H -~ 2 m & ? + U
Дифференциальное уравнение второго порядка для функции о записывается в
следующем виде:
2т
- — о" + U - E = 0
2т
Приближение заключается в том, что:
o(x\h) «й (7о + ~0\
I
Квазиклассическая волновая функция в этом приближении записывается в сле
дующем виде:
у/ = еаіеТіа°
Oq = ±л/2 m(E —U) = ±p(x)
1
ox=
V \p \
В результате казиклассическая волновая функция принимает следующий вид:
V
1
\М №
С\е 0
+С2е
о
Ѵ \р Ш
158
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
ЬелсоЯ -Іт ,
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Граница применимости записывается следующим образом:
h\aS\
PI2 < < 1
Следовательно, это приводит к:
Цр'\ «
Р2
1
dU
dx
Таким образом, записывается выражение применимости квазиклассического при
ближения :
hm
d ll
dx
1
\Р\:
Это выражение говорит о том, что потенциальная энергия должна быть доста
точно плавной функцией, и импульс должен быть достаточно большим.
Квантовая механика по Л андау
Основу квантовой механики составляет утверждение, что состояние системы мо
жет быть описано волновой функцией
Вычисление вероятностей и различных
результатов и измерений определяются выражением типа:
J
Y f a W W W M ')dqdq'
Волновая функция меняется на следующую функцию:
v ( q ,t)
J |v l2^ = i
Рассматривается принцип суперпозиции. Пусть есть физическая величина / . Лан
дау ввел понятие такое, как собственные значения физической величины, которые
может принимать физическая величина. Их совокупность называется спектром. То
гда:
/ = /ь /г, •••
159
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
t& acA -un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Рис. 18.1. Квазиклассическое приближение
Состояние, в котором физическая величина принимает одно из своих собственных
значений, описывается волновой функцией угп, где п — один из индексов собственного
значения физической величины. Такая функция называется собственной функцией
физической величины.
J \y/n\2dq= 1
Если квантовая система находится в каком-то состоянии у/, то измерение физи
ческой величины / дает одно из собственных значений физической величины. Тогда
в соответствии с принципом суперпозиции записывается следующее выражение:
уr = Y fn V n
П
Отсюда следует утверждение, что всякая волновая функция может быть разло
жена по собственным функциям любой физической величины. Вероятность измерить
или вычислить какое-то значение физической величины должна удовлетворять сле
дующим условиям:
160
ѣелсА-іт ,
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
1) Вероятность должна быть билинейной формы по Сп,С„
2) Вероятность должна быть положительной.
3) Вероятность должна быть равна 1, если:
V =
Щг
4) Вероятность должна быть равна 0, если:
Vf = Y f kWk Сп = О
кфп
Чтобы удовлетворить следующим условиям следует принять, что:
К ]2 2
іс« і2 =
1 с « =?
2]|С П|2 = 1 = Y f nCn = Г y x fd q =
п
п
**
^ С Ж < * « -2 с „* ftfv d q
п
Сп =
J
п
J
VnVdci
Отсюда следует следующая конструкция:
Сп
=
I yfn yfdq = I у п У р тy md q = 'У~'Ст I у/п \jfmd q
С
'J
т
и і
По теории вероятности среднее значение физической величины / записывается в
следующем виде:
7 - Ц | с „ і2а
Это выражение должно быть билинейным по у/, 1/7*. Вводится оператор, который
определяется следующим образом:
7-
\v fr d g
/ — оператор соответствующей физической величины.
/-2 с» с „ * /„ = 2 с„ А
VnV*dq =
п
161
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
ѢесисЛ-іт.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Jty ~ YC nfn tyn
П
/ V = lY fn V n
п
f ¥п = fn ¥п
Собственные функции физической величины / являются решениями уравнения:
f¥ =f¥
Квантовая механика по Д ираку
В основу квантовой механики Дирака положен принцип суперпозиции. Состояние
системві должно описыватвся вектором. Дирак ввел понятие вектор состояния, где
|А > — набор значков, которвіе полностью характеризуют это состояние. Дираков
ский вектор — Iпіт >. Набор всех таких векторов образует пространство состояний:
Сі |Aj > +С2ІА2 > = |А >
" £ f n\ K >
ГС(А)|А > dX
п
^
Вводится сопряженное пространство, которое состоит из сопряженных векторов:
|А > ^ < А|
IА > =
С\
|Аі > +С2ІА2 >
< А| =СГ < А і|+ С | < А2|
Каждой паре векторов состояния ставится в соответствие комплексное число а,
и называется скалярным произведением двух векторов состояния:
{|А >, |/і >}
а =< /і |А >
Это число такого, что:
162
Ь&сьсА-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
< А | д > = < д | А > * ^ < АIА >
2)
< АIА > ^ 0
|А > = Сі|Аі > +С2ІА2 >
< д|А > =
С\
< д|Аі > +С2 < д|Аг >
Этих свойств достаточно, чтобві доказать следующее выражение:
|ѵ > = |А > +С|д >
< ѵ|ѵ > = < А|А > +СС* < д |д > + С
С=
с* =
< А|д >
|2
<
д|А > +С < А|д
О
< д|А >
< д |д >
< А|д >
< д |д >
s$< А|А > < д д >
Вводится оператор:
|А >-* |Д >: |д > = АIА >
А|А > = C]A|Ai > +С2АІА2 >
Пусть есть следующий вектор:
ѵ >=А\и >
Тогда:
< w|ѵ > = < w\A\u > = а\и >
Скалярное произведение:
< д|м > = а(\и >)
Следовательно:
< д| = <
w \A
163
ФИЗИЧЕСКИЙ
МГУ ИМЕНИ
м.е. Ломоносова
б е а с Л -о 7і
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 19. О ператоры в ф орм ализм е Д и р ака и
теория обобщенного углового момента
Формализм Дирака
Вектор обозначается следующим образом: |А >. Сопряженные вектора записыва
ются в следующем виде:
\Х >
^< А |
bracket = bra + ket
Скалярное произведение записвівается следующим образом:
< A|ju
С помощвю скалярного произведения можно определитв нулевой вектор 0 . Ли
нейное соответствие между двумя векторами состояния является линейным опера
тором:
|А
І/і >: А\Х >= І/і >
Скалярное произведение:
< ѵ|/і > = < ѵ|АIА >
Когда встречается такая конструкция, оператор А действует на вектор, которвій
стоит за ним, или он действует на вектор, которвій стоит перед ним. Результат не
меняется.
Операторы в формализме Дирака
Рассматриваются сопряженные операторы. Пуств есть следующий вектор, на ко
торый действует оператор А:
< и\А = < ѵ|
< и\ >< ѵ|
< и| —> |ѵ >
|w >— > |v >
|ѵ > = Б |и >
164
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
МВ ЛОМОНОСОВА
t& a c A -v n
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Таким образом, оператор В является сопряженным оператору А:
В =А
Рассматриваются свойства сопряженного оператора:
|ѵ > = А +\и >
< и\А = < ѵ|
Образуется пара сопряженных векторов:
{А+\и >, < и\А}
< w|ѵ > = < ѵѵ|А+ |и > = < ц\и >
По свойству скалярного произведения записывается следующее произведение:
< v|w >*=< u\A\w >*=< u\ii >*
|jU > =
<
A \w >
д| = <
{A \w
w \A +
> ,< w|A+}
Пусть:
< w\A+ =< w\C
Тогда:
A\w >= C+\w >
(A + y= A
A ++ = A
Таким образом, вводится понятие эрмитов оператор. Если оператор задан в виде
осА, то сопряженный оператор будет записываться в следующем виде:
(аА )+ = а*А+
165
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
Ь ел сА -іл г
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
(А + В)+ = А+ + В+
(АВ)+ =4 АВ\и >=A\w >
Вводится сопряженный вектор:
< и\(АВ)+ =
< w\A+ =<и\В+А +
' Тогда:
(.АВ)+ = В +А +
Рассматриваются правила сопряжения. Если имеется число а, то сопряженный
объект к нему — это сопряженное число СС+:
а -> а+
Если имеется вектор, то:
/и > —>•< и\
Если есть оператор, то:
А^А +
Рассматривается оператор проектирования:
|ju > < Л | ѵ > = oc|jU >
|ju><A|=A
Л |ѵ>=а|д>
Пусть есть следующая конструкция (оператор):
АВ\и >< ѵ\С = D
Необходимо построить сопряженное:
£>+ = С+ |ѵ > < и\В+А +
166
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
ЬеяьсА-іт,
КВА Н ТОВА Я М ЕХАНИКА
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Пусть есть следующая конструкция (вектор):
АВ\и >< v\C\w >= 11 >
Необходимо построить сопряженное:
< t I =<w\C+\ v x u \ B +A +
Пусть есть следующая конструкция (число):
< t\AB\u >< v\C\w >= а
Необходимо построить сопряженное:
а* =< t\A+B+\u >< v\C+\w >
Теория обобщенного углового момента
Орбитальный угловой момент записывается в следующем виде:
ѵ х р >L = {Lx,Ly,Lz}
Коммутатор записывается в виде:
[La,Lp] = ihLy а\Зу = xyz,yzx,zxy
Оператор определяется следующим образом:
L2 = L2X +L2y +L2z
[La ,L2}= О
Собственные значения для оператора L2:
L2 = h2l(l +
1) 0,1,2,...
/=
Lz = hm т = —/ , . . . , + /
167
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
£ е а сЯ -с т
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Необходимо выбрать систему единиц, где h = 1. Даны 3 эрмитовых оператора
/ ѵ, Jy,Jz таких, что:
[Ja,Jp\ — iJy
Вводится оператор квадрата:
J2 = H2+ J2+ J2 [Ja , J 2] = о
J± =Хх ± і./х [/+,/_] = 2.1[JZJ ± ] = +J±
Вводится сопряженный оператор:
4=7+
Необходимо получить решение задачи на сосватанные значения для операторов
/ 2 и Jz. Пусть Я — собственные значения оператора J2, к — собственные значения
оператора Jz. Собственный вектор для оператора 72 записывается в следующем виде:
/ 2|Я > = АIА >
< АIА21А > = А < АIА >
< А |/2 + / 2 + / 2|А > = А
< А |/2|А > = < А|7Л-7Л-|А > = < ѵ|ѵ >
Таким образом:
А^0
Рассматривается следующее действие:
-ДІА > Iіл>
J2\ji >= J2Jz\k >= JzJ2\k > = 7jA|A > = A7Z|A >
727 j |A > = A7j|A >
JZ\X >=
jc|A >
168
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
t&CLcA-OTl
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
|А >-> IХк >
Таким образом:
J2 < Хк > = А |Хк >
Jz\Xk = к \Хк
Действие на общий собственный вектор записвівается в следующем виде:
J2\Xk >= к 2\Х к >
J2 = J2 J2 - 72
J2\Xk > - [J2 + J2) \Хк > = к2\Хк >
АIА к*> - к 2\Хк> = (J2 + J2) IАтс >
А - к2 =< X k \J2 + J2\ Хк>
Таким образом:
XЖ 2
Рассматривается следующее действие:
Jx\Xk > = ?
|Л, X I I = JzJ+
JZJ+
J+Jz
= 7 1 + •/ I JZ =
JI
J+ (1 +Jz )
JzJ+\Xk >= 7+(l + 7Д|А/с >=7+(1 + jc) |A k: > = (1 + k:)7+ |Ak->
J+\Xk >=C£ k\Xk +1 >
Таким образом:
J+\X k > = C I k\X k + \ >
Рассматривается следующее действие:
7
_| Ак > =
С^к \ Х к -
1
>
169
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
ѣесисЛ-йтг
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Таким образом:
/ _ | Як > = СЯк.|Атс- 1 >
Пусть есть собственный вектор:
клm
*2ax <
^ 1
( Ктах + 1) > Я
к >< Д
(Ктіп
1) > Я
Таким образом, парадокс разрешается следующим образом:
/_і-1Яктах > = 10 >
Я—IЯктіп > —10 >
170
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В ЛОМОНОСОВА
t& cvcA -un
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 20. Теория обобщенного углового момента и
пространственное квантование
Теория обобщенного углового момента
Собственный вектор и собственное значение записываются в следующем виде:
J2\Xk >=
АIАк* >
Jz\Xk >= к\Хк >
Таким образом:
Я ^0
Я ^ к2
На собственный вектор действует оператором 7+:
J+\Xk >=
|ju >
Необходимо использовать операторные соотношения, записываются коммутато
ры:
[АД ] = А = А Д
J іА
Оператор А действует на неизвестный вектор:
А А > = А Д \ Х к > = (J+ + J +Jz)\X k > = J + ( 1 + J z)\X k > = J + (1 + k )\X k > = (1 + k )J+ \X k >
Таким образом:
JzJ+ \X k > = (1 + k )J+ \X k >
Jz\X k > = к \ Х к >
А-1Як: > = С^к \ Х к + 1 >
Следовательно, получается следующее:
/ + |Як: > = С^к \ Х к + 1 >
171
іе л с Я -с т
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
J - \ X k > = Сх IА к: — 1 >
Было установлено следующее:
X ^ к2
к > к + 1 ^ к \ 2. >... ктах к2ах^ Х
Рассматривается оператор повышения:
А | Я , Кпах >
(^ т ш с +
1)
^ Х
Рассматривается оператор понижения:
/_ IЯ, Kmjn >
( кт іп — 1) ^ Я
Это противоречие разрешается следующим образом:
J ьIЯ, ктах > = 10 >
J IЯ, кт іп > = j0 >
Рассматривается следующее действие операторов:
J^J+\XKmax > = |0 >
Необходимо использовать следующим коммутатор:
|./|./ I = 2.1z =
J J+
J J+ = . / 1./ — 2Jz = (Jx + iJy) (Jx —iJy) —2JZ =
J2 + J2 + i(JxJy - JxJy) - 2Jz = J2 + J2 I Jz
2JZ = J2
J2
Jz =
Тогда:
(j
Jz
Jz) I'XKmax > — (Я
Щпах
^max) |Я Kmax > —|0 >
Следовательно, получается следующее:
^ —Чглх T ^иах
172
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В ЛОМОНОСОВА
t& c u A -v n
К О Н С П Е К Т П О Д Г О Т О В Л Е Н С ТУ Д ЕН ТА М И . НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВА Н ТОВА Я М ЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Рассматривается следующее действие:
J+J—\XKmin '>— |0 >
При этом действии получается следующее:
^
~ Кт іп
Кт іѣ
Следователвно, получается соотношение между максимальным и минимальным
значением собственного значения К:
2
К'max Т к т а х =
2
Кт іп ~ *чпіп
Необходимо найти Ктіп и Ктах:
IХ к т іп ->
* IX К/пах >
Ктах = Ктіп + N
уКтіп -\- N)
+
Ктіп -\- N = Kmjn — кт
Линейное соотношение относительно
2 KninN I
N
кіпіп записывается
+2
в следующем виде:
Kffiifi -\- N = О
N
Ктіп — Т"
Соответственно:
N
~ 2
о N /'N
X = - —+ 1
2 \. 2
Кщах
Таким образом, собственные вектора можно записать в следующем виде:
N,
2 |Г>
Рассматривается следующий вектор:
|ѵ > =
J+\Xk >= С^к\Хк — 1 >
173
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
tecL cA -іл г
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Применяется правило сопряжения:
< ѵ| = < X k \J+ = < Хк + 1| (C+J +
a AK < Хк + 1|Хк + 1 >
< V V > =
< ѵ|ѵ > = < X k \J+J+\Xk >=< X k \J-J+\X k >=
= < Хк\ (J2 - j \ - Jz) IХ к > = (X - к2 - к) < X k \Xk ) >
Получается следующее выражение:
Щ -ѵ 'Я
к-2
Если:
К" - Кіплх -
N
То коэффициент превращается в 0.
СК\ІШ^
1
=
І - к О г - 1)
Для орбитального момента собственное значение записывается в следующем виде:
L2 = h2l{l+ 1)
Если N зафиксировано, и есть пространство Е ■■1). Необходимо найти размерность
этого пространства:
dim
e
W =N+1
Строится следующий оператор:
F(JZ,J+) = А
ае(Ю
= е (Ю
Базисные вектора следующие:
1 1
2’ 2
>
1
2’
174
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8 ЛОМОНОСОВА
ЬесисА-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
1 1
3 1 1
— + —> = —
2
2
2 2 ’± 2 >
а 1 1 > +Ь 1 1 >= \и >
2 2
2 2
1 1
1 1 1
— ,+ — > = + —
2 2
“ 2 2 ’~ 2 >
1 1
>= 0 >
J+
2 2
1
1 1
1 1
J+
2’ 2 >_ 2 2
1 1
1 1
J
2 2
2 ’~ 2 >
J 1 —1 > = 0 >
2 2
1
,
’
’
>
>
_
’
Пространственное квантование
Рассматривается опыт Штерна-Герлаха. Пусть есть пушка, которая выстрелива
ет атомами серебра. Эти атомы ускоряются. Область с магнитным полем создается
магнитом. Атомы серебра осаждаются на экране. В следующих опытах они исполь
зовали водород, натрий, калий, кадмий, галлий, цинк, медь и золото.
Z
Рис. 21.1. Опыт Штерна-Герлаха
При включении магнитного поля все атомы обладают магнитным моментом:
е
£ = 2ml /
175
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
С елсЛ -ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
е
2тс
Энергия взаимодействия:
(Д в)
F = -V E B3 = nz dBz
dz
-II < JU5 ^ JU
11истицы двигаются только по избранным траекториям, поэтому на экране видны
пятна.
176
іесссЯ -ст
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 21. О ткры тие спина электрона
Рассматривается опыт Штерна-Герлаха. Пусть есть пушка, которая выстрелива
ет атомами серебра. Эти атомы ускоряются. Область с магнитным полем создается
магнитом. Атомы серебра осаждаются на экране. В следующих опытах они исполь
зовали водород, натрий, калий, кадмий, галлий, цинк, медь и золото.
Z
Рис. 22.1. Опыт Штерна-Герлаха
При включении магнитного поля частицы двигаются только по избранным тра
екториям, поэтому на экране были видны пятна.
В ^ \xz ^ JU
При включении магнитного поля все атомы обладают магнитным моментом:
^0
eh
4ml
іл = іл01
Записывается Гамильтониан:
Н
Но
Напряженность магнитного поля:
В = {0-0-В}
177
іе л с Л -и п .
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Таким образом, собственный вектор записывается в следующем виде:
Но\пІт > = Е п^піт >
ІВ = lzB
Появляется расщепление и собственнвіе значения записвівается в следующем ви
де:
Е
до) - тehB
—г/я т = 1
2ml
lz\nlm >= mhl\nlm >
7
Идея опыта Майкла Фарадея в 1862 году заключаласв в следующем: осветитв
силовые линии магнитного поля и намагнитить свет. В 1868 году Ангстрем снял
спектр солнца и обнаружил в видимой области 4 длины волны:
1)
На
Аа = 6592
Щ
Ар = 4861.
2)
3)
Ну Ау = 4340.
4)
Н8 А8 =4101.
Формула для частот волн записывается в следующем виде:
\ 2 Г т2)
\п 2
т2)
Соотношения между длинами волн:
Ап
^ = 1.3500
Ар
178
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
te a x A - i n r
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
^
= 1.5120
^
= 1.6000
Ху
Хр
Ху
= 1.1200
X,
-f- = 1.1851
Хд
І = 1.0582
Я5
Вводится константа h. Тогда:
K -\h
, - 25и
h -Y ih
Длины волн были представлены в следующем виде:
9
З2
5 _ 32- 2 2
4 16
42
5 ~~ І2 “ 42 —22
25
52
21 “ 52 —22
9 36
62
8 “ 32 “ 62 —22
Таким образом, формула для длины волны записывается в виде:
ш2
X = h—,---- у h = 3645.6Л
mz —nz
В 1893 году Зейман подумал о том, что не будет ли свет пламени, подверженный
действию магнетизма испытвіватв какие-либо изменения. Он исполвзовал пары на
трия. Но он ничего не обнаружил. Два года спустя он повторил этот же эксперимент.
179
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
t& cbcA-vn
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
В 1897 году он обнаружил уширением двух d линий натрия. Паули ввел выражение
для магнитного момента электрона в атоме водороде на самой нижней орбите в 1920
году:
lh
4лml
В 1923 году Зоммерфельд и Ламдэ ввели понятие магнитного острова. Принцип
запрета заключался в том, что два электрона с одинаковыми квантовыми числами
не могут находиться на одной и той же орбите.
В 1981 году Комптон высказывал идею, что электрон — это элементарный магнит
или миниатюрный гироскоп. Внутренний момент импульса электрона, обусловлен
ный вращением электрона вокруг своей оси.
В рамках теории обобщенного углового момента возникают полу целые числа у.
Пространство векторов записывается в следующем виде:
1
~2 >
3
4
h2 ± \ h
2
Волновую функцию всегда можно разложить по базису:
V
'У IСпфп
ц/ <>С
Необходимо построить матрицу:
./ >„Ѵ
180
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
Ь&сьсА-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
: :
2 :
s+
- (:
:)
- (:
:)
S_
+i
bo
I
S+
: iSy
Sx =
■ :(: : )
Sy -
:
2 (:
)
Вводится следующий вектор:
а —
( ;)(
: : ) • ”
181
-
■ :
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 22. А нтикоммутация и значения
стационарного релятивистского уравнения
Волновое уравнение Дирака записывается в следующем виде:
дуг
Ну
ih
~ді
При переходе к релятивизму необходимо записать релятивистский гамильтониан.
Классическая функция Гамильтона для свободной частицы записывается в виде:
Н = у/с2р2 + т 2с4
Р2 = Р Р
Соответствующий релятивистскому импульсу оператор записывается следующим
образом:
h ду
- с -г— = с РІ + pj + Рі + т2с2у/
і да
Ро + у РІ + Pi + Рз + m2c2 ) V = О
h д
Рк = т
дХк
Необходимо извлечь корень:
р \ + РІ + РІ + т2с2 = a\p z + «2Г2 + ссзрз + рте
ак = Р2 = 1
акап + Опоек = О
ССпРрССп = О
182
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУПЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
t&cvcA-un
К О Н С П Е К Т П О Д Г О Т О В Л Е Н С Т У Д Е Н ТАМИ. НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И Б К И
С Л Е Д И Т Е ЗА О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M TEA CH IN M SU
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В С ЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РО ВИ Ч
Записывается коммутатор:
[cfyсСц\
о^/сап
ос„
2 сскссп
Матрицы должны быть эрмитовыми. Уравнение Шредингера записывается в сле
дующем виде:
(ро + « і pz + СС2Р2 + а3р з + рте) у/ = 0
Необходимо требовать 3 условия: антикоммутация, равенство единицы квадрата
этих матриц и эрмитовость. Рассматривается задача на собственные значения для
матрицы р:
р с = Лс
р 2с = Л2с
Л=
+1
Матрица р выглядит следующим образом:
акр + р а к = 0
СікСіп ССцсск —0
O-kO-n “ЬеіцСІк = 0
Необходимо получить явный вид этих матриц.
й\й3 —сі3сі2 = О
Используя это тождество, можно записать следующее выражение:
<22(<22<2з ~ Л 3 Л 2 ) + { а 2а 3 ~~ й з й 2 )С І2 = О
<32[<32<2з] + [<32<3з]<32 = О
183
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣ&сьсЛ-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Сравнение с соотношением антикоммутации:
а\й2 + 0.20-1 = 0
Следовательно, коммутационные соотношения записываются в следующем виде:
|^2ф] = С\й\
[азаі\ = с2а2
[а\а2] = с3аз
Записывается следующее соотношение:
а\а@ + 0.20-1 = 0
1
1
а\—
^\аза\\ +02 —[0203] =
=
0
=
1
2 т
2 т
, —2а\Оз) + 0 2 —(2а20з)
= ---- аіаз ч----а?а3 = 0 >с\ = С2
(
CL
С1
с2
Сі
1
Таким образом, соотношение коммутации выглядит следующим образом
[020з\ = СО\
[азО\\ = С02
[а\02] = саз
Рассматривается следующее выражение:
9 9
а\ +
9
=а
9
Таким образом, записывается следующее соотношение:
[а2,ак] = 0
184
>
I
——
\
ФИЗИЧЕСКИЙ
— 1 1 ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
t&cucA-vn,
К О Н С П Е К Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Теория обобщенного углового момента
Пусть есть 3 эрмитовых оператора: Jx, Jy, h - Коммутатор записывается в следу
ющем виде:
[JaJp ] = iJy а ,J3 , y = xyz, yzx, zxy
J2 = J2 I .]] I J\
\J2,Ja\ =
0
Собственные значения:
т2
Ci J
N (N
= 2Л VЛ
2 +1
N
N
C3Jz~ ~ 2 , ' " 2
>Jx
аг
аз ^ J z
1Л о
Л
2 10
аз =
1
1
-
.
О
.0 - 1 ,
Рассматриваются следующие соотношения для определения матрицы а\ :
а\аз + аза\ = О
1
Jx * 2й1
О
а\ =
, е~1<
*
О
Аналогично:
1
Jy * 2й2
аг =
О
е~іх
О
С = 2і
185
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣесьсА-ѵп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Антикомутациионое соотношение для этих матриц записывается в следующем
виде:
а\сі2 + Я2 Я1 = О
ж
<Р X =
<р = О
к
X
Таким образом, получаются следующие результаты:
'о
а\ = ох =
іч
1 О,
СІ2
0 -Г
(Уу
1 О
1
аз = оѵ =
О
,0 -1 .
Вектор оператора спина записывается следующим образом:
$
h (д
S = r
о\
^
О = {ax,Oy,Oz}
Ш
Л \0
о)
(ро + а\р\ + СС2Р2 + ССЗРЗ + рте) у/ = О
h дуг
i det
В итоге получается следующее выражение:
,дуг
Hd = cap + тс2ft
Следовательно, волновая функция выглядит в следующем виде:
а =
О <7N
а
О
186
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАНУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
Ь&сьсА-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
О
ар =
Ор
\ 0Р
0
Pz
Ор = GxPx + GyPy + GzPz =
f (t ) y ( r )
( Px +
ik y —
Px - iPy
ipy
-
= fH Dy
f
ik y f
= Hd V
f
ik ( y
f
i k f - 1—
+, y ) r
=
(y +, (H d
1
=
(y +,H D y q
(y +, y )- 1 (y +,H D y ) =
- E
)y ) = 0 ^
f =e
k
HDy = E y
Et
Таким образом, переменные были разделены.
187
E
Pz
)
К О Н С П Е К Т П О Д Г О Т О В Л Е Н С Т У Д Е Н Т А М И , Н Е П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И Б К И
С Л Е Д И Т Е ЗА О Б Н О В Л Е Н И Я М И НА V K .C O M /T E A C H IN M SU
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П Е Т Р О В С Е Р Г Е Й В Л А Д И М И РО В И Ч
Л екция 23. Сложение моментов
Электрон в атоме водорода вращается вокруг ядра, что означает, что у него есть
орбитальный угловой момент. У электрона так же есть внутренний угловой момент.
Каждому механическому моменту соответствует магнитный момент. Магнитное поле
взаимодействует с суммарным моментом. У системы частиц — векторная сумма всех
угловых частиц. Рассматривается квантовая система. Пусть она состоит из двух под
систем, которые характеризуются соответствующими операторами моментов. Для
классической системы записываются следующие выражения:
Г
N
N {N
2 ’* > = 2 2 +1
N
N
Л —, к > = к
2 К>
N
N
2 К>
/7
= 1
=7
к = щ = —у,... j
Размерность пространства записывается в следующем виде:
dim E = N + l = 2 j + l
Для квантовой системы записываются следующие выражения:
> =
h
(А
+
l)|7 im i >
J \z \h m >= mi | ; i mi >
J i l h m > = 72(72 + 1) 172^2 >
Ы І 2 Ш 2 > = т 2 \І2т 2 >
Предполагается, что эти подсистемы не взаимодействуют между собой, но ком
мутатор какой-то проекции имеет следующий вид:
[•ЛаДгос] = О
188
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ѣ&сьсА-йп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Следовательно, система характеризуется квантовыми числами, которые являют
ся собственными числами всей системы: ./іЩЦ, /2, m2. Необходимо определить про
странство, в котором находятся операторы с индексами 1 и 2. Пространство первой
подсистемы:
dim Е\ = 2/і + 1
Пространство второй подсистемы:
dim Е2 = 2 / 2 + 1
Квантовые числа 7 1 , 7 2 фиксированы. Вводится тензорное произведение двух этих
пространств:
£ = £\ ®е2
Элементами этого пространства являются каждая пара векторов: {\j\m\ >, |/2т 2 >
}. Размерность этого пространства записывается в следующем виде:
dim £ =
(2 7 1
+ 1 )(2 у2 + 1 )
j\\m\m2 >= 71(71 + l)|wi/n2 >
Jl\m\m2 >= 72(72 + l)|wim2 >
Соответствующие проекции записываются в следующем виде:
Jiz\m\m2 >
=
ті\т\т2 >
і=
1,2
Это представление называется несвязанным представлением. Необходимо опре
делить связанное представление в этом же пространстве. Вводятся следующие опе
раторы:
Ja = J\a + Л а
СС = X,y,z
г = Д і ./; і Л
189
Ь&сьсА-і/п.
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Ua-fp I = iJy а р у = xyz,yzx,zyx
[J2J a ]
= О
В силу этих коммутационных соотношений наблюдается теория обобщенного уг
лового момента:
J2\jm>= j ( j + l ) \ j m >
Jz\№ >= m\jm >
m=
j
Собственные вектора связанного представления являются собственнвіми векто
рами для операторов:
Jf\jm >= ji(ji + 1)|jm >
i'= l,2
Достаточно д оказатв следующее:
[ J l J 2] = [ J l J x2 + J 2 + 4 ]
[ j j j 2] = [J2Jx\Jx + Jx[J2Jx]
[ J l h x + hx]
= |./|./|v| =
-[JuJft
= -
{[Jlxjfy]\ + I h x J l l )
Базисный вектор из пространства £:
Ij m > = J ] U\ j 2 m m 2\jtn)\mim2 >
ГП\Ш2
Jz =
^2z
m\jm > = ^ {І\І 2 Ш^П2 \Іт){т\ + тг)\т\тг >
т\пі2
190
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
МВ ЛОМОНОСОВА
te a c A - v n
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
m\ j m>=
{j i j 2 mim2\jm)m\mim2 >
іщт2
т = т \+ т2
=
= -
72
, ••• , 7 2
Необходимо определить у.
Ш \ = Ш \т а х = Уі
Ш2 = ІПііпах = 72
ТП= ГПтах = Уі + У2
Базисные вектора несвязанного представления \т.\ГП2 > записываются в следую
щем виде1:
\h h >
IJl
І7і -2, у2 >
Г jl >
1)2,72— 1 >
IJi —1,72 —1 >
IJl —2,72 >
Базисные вектора связанного представления \jm > записываются в следующем
виде':
І7і +72,71 +72 >
IJl + 72,7i +72— 1 >
І7'і+72,71 +72 - 2 >
Ij l + j 2 - 1,71 + 72 - 1 >
|ji+ 7 2 - l,7l+ 7 2-2 >
|jj + j 2 - 2,yj + y2 - 2 >
П ри м ер 24.1. Базисные вектора несвязанного представления \т\т2 > при yj = у'г =
1 записываются в следующем виде :
|1 1 >
|0 1 >
1 -1 >
|1 0 >
|0 0 >
I —1 1 >
191
t&cucA-im,
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
|0 ,-1 >
I — 1,0 >
1-1,- 1 >
Базисные вектора связанного представления \j m > при j\ = Л = 1 записываются
в следующем виде:
2,2 >
2, 1 >
2,0 >
| 1, 1 >
11,0 >
2, - 1 >
|0 , 0 >
1>
| 1,
2 , —2 >
Размерность пространства £ записывается в виде:
h
+72
(2л + 1 ) ( 2 л + 1 ) = 2
(2./+1)
J —J min
Jmin ^ J ^ Jmax = Jl + J2
Таким образом, получается следующее выражение:
Jm in = J 1 ~ J 2
192
МГУ ИМЕНИ
беасЛ -ѵ п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Л екция 24. Вектор спина
Если есть две подсистемы с угловыми моментами, то они характеризуются сле
дующим образом: j\tn \; 7 2 ^ 2 - При их сложении получается следующее выражение:
jm
т = т і + т 2 j\
mmax = 71+72
72 < 7 < j\ + j i
=
7
71+72
Размерность этого пространства имеет следующее значение:
2(7і + 7г) + 1
(27і + 1)(272 + 1)
Пусть есть 2 спина. Необходимо их сложить:
1
1 1
Л = 2 ">1 = 2 ' ~ 2
1
1 1
Л - j т 2 = 2 ’—2
Таким образом, базисные вектора записываются в следующем виде:
\m\m\ >:
11
1 1
>,
22
2_ 2>
~
11
22
>
1 1
~2 “ 2 >
Максимальное значение т определяется следующим образом:
т = 1,0, —1
Соответствующее значение j:
7 = 1,0
Базисные вектора несвязанного представления \т\т,2 > записываются в следующем виде:
1 1
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
1
1
2
2 >
1 1
~2 2 >
1
1
'2
2 >
Базисные вектора связанного представления |jm > записвіваются в следующем
виде:
< 1 1>
10>
II
|0 0 >
1>
Разложение записывается в следующем виде:
\jm >= Y j U i h m m 2 \jm)\mim2 >
т\пі2
«
|1 О > г= а 1 1
2 ’~ 2 >н +fS
1 1
>н
2 ’2
Необходимо определить а и J3. Базисные вектора несвязанного представления
т і т2 > при ji =
/2
= 1 записываются в следующем виде :
|1 1 >
|0 1 >
|1 0 >
Базисные вектора связанного представления |jm > при j\ = j 2 = 1 записываются
в следующем виде:
|2,2 >
|2,1 >
11,1 >
Вектор связанного представления можно представить в виде линейной комбина
ции двух векторов несвязанного представления:
|2 1 > с= а\1 О > н +j8|0 1 >
Необходимо использовать операторы рождения и уничтожения, которые повыша
ют или понижают магнитное квантовое число.
J |2 2 > с= (У |2 1 > с= д /2(2 + 1) —2(2 —1)|2 1 > с
194
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
іе л сЯ -и п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
С)
N
2 К>
+
II
Общая формула записывается в следующем виде:
+ 1 ) - K:(d=l)
I2 1 > с _ 2'
|2 1 > с= і ( / і _ + / 2- ) | 1
=
J—— J\ —+ J2
1
1 > н = \ ( С ~ |0
2
1 >с=
1>
+Н +
С
11 О > ) я
1 >н + Ѵ 2 ^ 0 >н
Таким образом, были получены коэффициенты а и /3.
Спин электрона и его направление
Вектор спина записывается в следующем виде:
S = —о
о = {ox,Oy,(jz}
Матрицы Паули обладают следующими свойствами:
1)
a l = l {a=x, y , z )
2) эрмитовость
3) унитарность
4) антикоммутация
195
Ь&сьсА-ѵп
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
5)
[°а 1Ор ] — гоу
Формула для орбитального углового момента записывается в следующем виде:
Д = gnohl
рассматривается теорема максимальной проекции спина. Пусть есть два базисных
вектора:
1 1
1
2 2
2 ~ 2 >
а - - > +Ь
1
о2 + Ь2 = 1
Выбирается представление:
+Ь
Х =а
В общем виде выражение записывается в следующем виде:
cos 8
= \х >
e'r sin5
emcos 8
elP sin 8
у =Д
«
X — вектор, определяющий произвольное состояние спина. Направление в трех
мерном пространстве задается следующим образом:
Я = {cos <рsin 0, sin <рsine, cos 0}
^
h,
2-
f cos Ѳ е i<psin0'
\e lvsin0
cos0
Stl = Sn = —\ОхПх + ОуПу + GznZ ) = I
'
s « iy > |Xi > =
2
cos 8
e17sin 8
>
cosf
el(psin j
Рассматривается прямое утверждение:
Я —>у = (р
196
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.8. ЛОМОНОСОВА
ѣ&сьсЛ-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , Н Е П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Ч
Рассматривается обратное утверждение:
{у,5}— й
(р = у
Ѳ=28
Таким образом, теорема доказана в обе стороны. Рассматривается первый пример:
п = п7
|Хі > =
2
Sx =<
k \Sx \k
h
h
>= - < X|ctx|a; > = -sin25cosy
Sy = < K’|Sy|/c>= ^ < jc|ay|jc>= ^sin25siny
h
h
Sz = < kt|5z|/c >= - < к*|оѵ|к*>= -cos25
n — nz \ Sx — Sy
—0
-Sz
—
b_
2
Необходимо найти дисперсию:
asx
=
a
(sx - s x)2 = 4 ;
_9 h1
h2
s x = — < K \ o ? \ K > = — (1 0)(TX
h
l4
(Sz - S z) 2 = 0
Пусть:
Я =
nx ( в =
Or —
^,0
h
Si = S2 =
ASx =
0
0
A S y = A S z = -h
197
te a c A -v n
К О Н С П Е К Т П О Д Г О Т О В Л Е Н С Т У Д Е Н Т А М И , Н Е П РО Х О Д И Л
П РО Ф Р Е Д А К Т У Р У И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И Б К И
С Л Е Д И Т Е ЗА О Б Н О В Л Е Н И Я М И НА V K .C O M /T E A C H IN M SU
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
ПЕТРОВ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ
Л екция 25. К вантование твердого тела
Если рассматривается система, которая состоит из двух разных частиц, то до
статочной разумной моделью будет являться такая модель, когда тяжелая частица
является неподвижной, а легкие частицы движутся вокруг тяжелой частицы под
действием Кулоновских сил. Электронное уравнение Шредингера записывается в
следующем виде:
Нещ, = Д ■щ,
Уе =
у е{ Л )
Ее = ЕеЛ )
Расстояние меняется на другую величину:
R -►R + 8R
В результате получается значение этой электронной энергии в зависимости от
меж-ядерного расстояния.
Рис. 26.1. Значение электронной энергии в зависимости от меж-ядерного расстояния
198
іе л с Л -й п
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Записывается радиальное уравнение':
Рассматривается ситуация, когда движение от положения равновесия не велико:
=В
L2 h2l(l + 1)
Энергетический спектр вращательного движения двухатомной молекулы записы
вается в следующем виде:
Erot = Bh2l{l + 1)
Если имеется многоатомная молекула, то очевидно спектр будет другим, но на
самом деле из классический механики можно расклассифицировать все мыслимые.
Функция Гамильтона выгладит следующим образом:
—
J2+ —
21
х
Л 1ХХ
21
J 2+ —
Л 1УУ
у
J2
21 z
^ l ZZ
Н = A J2+ ВJ2+ СJ2
Гамильтониан сферический волчок записывается в следующем виде:
H = BJ2
Собственные значения:
Bh2j(j+ 1 )
Записывается коммутатор:
[Д ф;] — iJz
Рассматривается следующее тождество:
(аТ)(ЬТ) —(bf)(aJ) = —іТ(а х Ъ)
а и Ъ — любые вектора, характеризующие твердое тело. ./ — угловой момент.
Iab\ = О
199
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
t&cucA-un
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х ОДИ Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П Е Т Р О В С Е Р ГЕ Й В Л А Д И М И Р О В И Ч
Пусть:
а = пх
Ь = Пу
Тогда:
( axb) = nz
JXJy ~~JyJ.X = ~iJz
Рассматривается симметричный волчок:
А = ВфС
Тогда Гамильтониан записывается в следующем виде:
Н = BJ2 + (С В) J2
Таким образом, спектр записывается в следующем виде:
Е = Bh2j ( j + 1) + (С - B)hm2 т =
j
Рассматривается асимметричный волчок:
АФВФС
Точного решения при асимметричном волчке не существует.
/ = f(J z, J+) dim E = 2 j + l
Следовательно, собственное значение этого Гамильтониана будет некоторая ли
нейная комбинация из собственных векторов оператора:
+J
Y
j
Q n\jm >
m=—j
200
t& cuA-im .
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H I N M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Элементы теории представления
Импульсное представление:
+оо
1
Ѵ(х) =
л/ln h
Ф(р)еърлЛр
-оо
Обратное преобразование Фурье записывается в следующем виде:
+ 00
ф(р) =
■\j2jzh
Ч*(х)е >‘pxdx
—00
Это позволяет ввести импульсно волновую функцию. Теорема Парсеваля запи
сывается в следующем виде:
(Т ь Т2) = (Фь Ф2)
Рассматривается следующее линейное соответствие:
Ф >Ф
Ф ^Ф
В силу линейного соответствия:
Ф = РФ
Ф = Р ]Ф
(Ф,Ф) = (РФ, РФ) = (Ф,Р+РФ) = (Ф,Ф)
Следовательно, получается следующее соотношение:
(Ф1,Ф2) = (Ф1,Ф2) - Р +Р = 1
Пусть волновая функция разложена следующим образом:
п
С
¥
201
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
ЬельсЛ-ип
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ ДЕН ТА М И, НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕ Д А К Т У РУ И М О Ж Е Т С О Д Е Р Ж А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И Н А V K .C O M /T E A C H IN M S U
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
с
¥
Вводится следующий оператор:
= (с, с) = Y } cn\2
П
Предполагается, что имеется следующие функции: 'Р и 'Р '. Между ними устанав
ливается связь:
Т ' = S4>
S+ = S“ 1
В силу унитарности этого оператора уравнение Парсеваля записывается в следу
ющем виде:
(Т ,Т ) = (Т /Т ')
Пусть в не штрихованном представлении имеется функция:
Ч>2 =А*Р 1
Т'2 = А'Ч>\
Необходимо определить А '.
S 4 2 = A 'S 4 x
5+УР2 = S+A'S4>1
4*2 = S+A'S4>1
S+A 'S = A
Таким образом:
А' = SAS+
Пусть:
АВ = С
202
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
Ь&сѵсА-ілг
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
К О Н С П ЕК Т П О Д ГО Т О В Л ЕН СТУ Д ЕН ТА М И , НЕ П РО Х О Д И Л
П РО Ф РЕД А К ТУ РУ И М О Ж Е Т С О Д Е РЖ А Т Ь О Ш И БК И
С Л Е Д И Т Е З А О Б Н О В Л Е Н И Я М И НА V K .C O M /T E A C H IN M S U
П ЕТРО В СЕРГЕЙ ВЛА ДИ М И РОВИ Ч
Необходимо найти следующее:
А'В' = С'
SaS+SВ S+ = SABS+ = SCS' = С'
Следовательно, если есть коммутатор:
[АВ] = С
[А'В'] = С'
Таким образом, все операторные соотношения ковариантные.
Рассматривается среднее значение. Пусть есть некая физическая величина:
F ^ A : 7= (Ч ',АЧ ‘)
Применяется смена представления:
F ^ A : F = О^АЧО = (S+Y , S +A'SS+Y ) = (¥ ' ,SS+A'SS+W') = (ЧфАѴ)
Эволюция квантовой системы
Эволюция квантовой системы — это то, что происходит с системой с течением
времени, если известно состояние системы в начальный момент времени. Состоя
ние квантовой системы полностью определяется ее волновой функцией. Необходимо
определить следующее:
ад ) -
а д
C i^ i (to) + С2ч а д ) - » Cl'Pi (t) + С2а д )
а д = t/ а д )
Оператор U является линейным. Плотность вероятности не изменяется со време
нем:
( а д ,а д ) = ( а д ),а д ) )
( н а д ) , t/ а д ) ) = ( а д ) , а д ) )
( а д ) , с +с а д ) ) = ( а д ) , а д ) )
Следовательно, оператор U является унитарным.
U+U = 1
203
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
Ь&сѵсА-Ілг
ХИМИЧЕСКИМ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
Л Е К Ц И И
У Ч Е Н Ы Х
М Г У