МАТЕМАТИКА

ФИЗИКА

В

ШКОЛЕ

1 9 ® 3 6

НАРКОМПРОС

Учпедгиз

Р/ I,
Содержанке

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

О педологических извращениях и о наших задачах . . _ 3
А. А. Смирнов — Работы Торндайка по психологии ма-
тематики и педологические извращения в школе 6

Дроф. Н. Н. Довлев — Очерки по геометрии Лобачев-
ского .................-........................... 15

М. Б. Гельфанд — Теория иррациональности у Эвклида 25
Ь. А. Карасев — Полупраггльные многогранники, полу-
чаемые от сечения куба и изготовление их из
разверток, •..................-..............  .	. . 35

А.	Эльяшевнч — О спрямлении окружности............. 55

3.	Скрылев — Теорема тангенсов..................... 55

А.	А. Покровскпй — Метод теневого проектирования при
демонстрации опытов по физике...................... 55

. МЕТОДИКА

В.	К. Матынцк— О преподавании начальной части
тригонометрии ..................................... 67

В.	В. Репьев—Геометрические места точек в програм-
мах школы.......................................... 72

Дроф. В. Фурсенко — О третьем признаке равенства
треугольников....................................•	82

ИЗ ОПЫТА

В.	Допова — О преподавании геометрии...............85

КРИТИКА И БИБ..ЛОГРАФИЯ

Д. Н. Разумовский — Замечания педагогов по журналу
«.Математика и физика в школе».................... 88

От редакции . . . . *.............................. 90

ЗАДАЧИ

Решение задач по математике........................ 91

Задачи по физике.................................  103

Решение задач по физике..........................••	1G3

Задачи по математике . . . < ......................108

О конкурсе решений задач за 1935 г.................109

Содержание журнала за 1936 год.....................110

ОПЕЧАТКА

В № 2 журнала в содержании и в заголовке на 'стр. 101
занесена досадная опечатка.

Напечатано: Д. Васильев, следует читать: Д. Важеиков.

Отв. ред. А. Н. Барсуков, зам. отв. ред. А, Г. Калашников. Отв. секр. М« И. Гуревич.

Техредактор В. С. Якунина.

Адрес редацдии: Москва, Орликов, 3. Упчедгиа, Периодсентор, журн. «Матем. и физика».

Слано в производство 17/Х 1936 г.

Подписано к печати 28/XI 1936 г.

Учтив А1 86 И. Об'ем 7 п. л.

в 1 п. I. 74000 вн. Бумага 72 X 105/»

Зан. 1386.

Тираж 30000.

Уполномоченный»Главлита
№ Б —32948

18-я типография треста «Поллграфкнига». Москва, Шубивсний,.10.
научный отдел

О ПЕДОЛОГИЧЕСКИХ ИЗВРАЩЕНИЯХ И О НАШИХ ЗАДАЧАХ

I

Постановлением ЦК ВКП(б) от 5 сентября
1931 г. был нанесен уничтожающий удар
по антиленинской теории «отмирания шко-
лы». Была разоблачена антимарксистская
сущность теории, претендовавшей на роль
«последнего слова» именно марксистской пе-
дагогики, фактически же являвшейся слепым
отпечатком буржуазных классовых педаго-
гических теорий Западной Европы и Аме-
рики.

Этим постановлением были указаны кон-
кретные пути, по которым должна итти
дальнейшая работа по укреплению подлин-
но-советской школы, школы, обеспечивающей
воспитание «поколения, способного оконча-
тельно установить коммунизм» [программа
ВКП(б)]. Эти пути заключаются в борьбе с
«коренным недостатком» школы, в препода-
вании школой точно очерченного круга зна-
ний, в ликвидации «методического прожек-
терства» (в особенности г виде метода проек-
тов), в последовательной и подлинной поли-
технизации школы, в «изучении и обобщении
опыта, накопленного практическими работ-
никами школы» и т. д.

И все же, несмотря на ясность и конкрет-
ность этих указаний, несмотря на разгром
теории «отмирания школы-, в практике своей
работы школа продолжала отставать от тех
требований, которые пред’являет к ней про-
летарское государство, строящее социализм.

Это «отставание имело своими корнями
преж де всего те остатки антиленинской тео-
рии «отмирания школы», которые, несмотря
на ее разгром, удержались в практике шко-
лы, оказывали свое давление на всю ее рабо-
ту, тормозили рост и продвижение советской
школы. Потребовался ряд новых постановле-
ний ЦК ВК11(б), чтобы окончательно вы-
корчевать эти остатки, окончательно освобо-
дить школу от их пут.

Теория «отмирания школы», последова-
тельно проводя линию ликвидации школы,

ставила во главу угла в преподавании так
называемый «метод проектов», отрицая необ-
ходимость правильного расписания, отрицая
урочную форму преподавания, отрицая необ-
ходимость твердых программ и т. д. Поста-
новление ЦК ВКП(б) от 25 августа 1932 г.
восстанавливает урок, как «основную форму
организации учебной работы в начальной и
средней школе», дает ряд указаний по улуч-
шению программ, ликвидирует остатки «мето-
да проектов», сохранившиеся в виде так наз.
«бригадно-лабораторного» метода.

По теории «отмирания школы» ученик
обучается в процессе своего соприкосновения
со «средой», с произзодством, с окружаю-
щей природой. Учебник или совсем не нужен
или, в крайнем случае, должен быть рассып-
ным, непрерывно меняющим свое содержание.
Постановление ЦК ВКП(о) от 12 марта 1933 г.
восстанавливает роль учебника, как основ-
ного руководства для ученика, руководства,
в систематической форме излагающего осно-
вы науки, охватывающего полностью все со-
держание программы по данному предмету.

Выдвигая на первый план роль «среды»,
«окружения» в деле «формирования ученика»,
теория «отмирания школы» проводила стену
между деревенской и городской школой, счи-
тая их существенно разными типами школы,
тем самым устанавливая «непреодолимость»
противоположности между городом и дерев-
ней. Постановление ЦК ВКП(б) от 16 мая
1934 г. устанавливает для всего СССР «об-
щие для всего СССР типы общеобразова-
тельной школы — начальная школ? неполная
средняя школа, средняя школа».

Теория «отмирания школы» во всем про-
цессе обучения последнее место отводила
педагогу, недопустимо снижая его роль в
организации всей учебно-воспитательной ра-
боты, делая ставку на «отмирание педагога».

Болтая о «педагогике советов», «педагоги-
ке профсоюзов» и т. п., теория «отмирания
школы» фактически ликвидировала педагоги-
ку, как науку, принижала роль методики,
изучения опыта педагога.

ЦК ВКП(б) во всех перечисленных поста-
новлениях выдвигал на первое место роль
педагога, как центральной фигуры педагоги-
ческого процесса, уделяя особое внимание
вопросу подготовки кадров, вопросу повы-
шения их методйческой квалификации, во-
просу изучения опыта школы.

Постановлением ЦИК СССР от .10 апреля
1936 г. устанавливается пожизненность почет-
ного званая учителя советской школы.

Последнее постанов (ение ЦК от 4 июля
1936 г. «о педологических извращениях в
системе Наркомпроса» является завершающим
актом, восстанавливающим в правах педаго-
гику и педагога.

II	.

В лице «педологов» в деле «педологизации
школы» мы имеем последний оплот теории
«отмирания школы», последний уголок, в ко-
тором пытались удержаться обломки этой
разбитой теории.

Среда, как «основной воспитатель», пре-
вратилась в «педологической теории» в ос-
новной фактор, определяющий психику, спо-
собности ученика, — второе определение по
существу недалеко от первого. Без всякой
критики переносится в нашу советскую дей-
ствительность буржуазная классовая теория
«среды», теория, ставящая себе совершенно
откровенно цель доказать «факт» более
низкой психики, более низкой одаренности
детей «низших классов» и «низших рас».
Этот тезис буржуазии превратился у наших
педологов в закон «фаталистической обусло-
вленности» судьбы детей биологическими и
социальными факторами, влиянием наслед-
ственности и какой-то неизменной среды.
Этот глубоко реакционный «закон» находится
в вопиющем противоречии с марксизмом и
со всей практикой социалистического строи-
тельства, успешно перевоспитывающего лю-
дей в духе социализма и ликвидирующего
пережитки капитализма в экономике и созна-
нии людей» (из постановления ЦК ВКП(б)
от 4 июля 1936 г.).

Недооценка руководящей роли педагога,
недоверие к педагогу выДвинули «педолога»,
как центральную фигуру в школе, которому
были передоверены «важнейшие функции по
руководству школой и воспитанию учащихся».
«На педологов были возложены обязанности
комплектования классов, организации школь-
ного режима, направление всего учебного про-
цесса» с точки зрения педологизации школы
и «педагога», определение причин неуспевае-

мости школьников, контроль за политическими
воззрениями, определение профессии оканчи-
вающих школы, удаление из школ неуспеваю-
щих и т. д.

Снижалась роль учителя, снижалась и его
ответственность за надлежащую постановку
обучения, за качество знаний учащихся. От-
сюда пренебрежение к педагогической науке,
к повседневному изучению и разработке «раз-
ностороннего опыта многочисленной армии
школьных работников».

Мы видим, таким образом, в «педологиче-
ской» теории и практике все те элементы,
которые входили составной частью в теорию
«отмирания школы».

Методология работы педологов усугубляла
вред, наносимый педологами школе. Голый
статистический подход к выявлению способ-
ностей ученика, к изучению состояния его
знаний; дождь тестов, «бессмысленных и вред-
ных анкет»; статистическая обработка полу-
ченных в результате всего этого в корне по-
рочных данных; выделение на основе их
абстрактного типа «среднего» ученика, отне-
сение всех учащихся, не укладывающихся в
рамки этого «среднего» ученика к разряду
«дефективных», «социально-запущенных» и
пр.; насаждение сети «специальных» школ —
вот методы и результаты хозяйничанья педо-
логов в школе.

ЦК ВКП(б) твердо ставит предел этому
хозяйничанью. «Восстановить полностью в
правах педагогику и педагога» — вот, что
требует Ленинский Центральный комитет
партии.

Органам народного образования, научно-ис-
следовательским учреждениям и работникам
в области педагогики и методики, руковод-
ству школами, всем педагогам предстоит важ-
нейшая работа по реализации этого истори-
ческого постановления, поднимающего на но-
вую высшую ступень советскую школу: работа
по окончательной ликвидации остатков лже-
марксистских, педологических теорий и их
проявлений в практике школы; работа по
созданию подлинно-марксистской научной пе-
дагогики на основе изучения массового опыта
советской школы и советского педагога.

III

Несомненно, что преподаватели математики
и физики так же чувствовали на себе, на
своей работе гнет «педологов», как и препо-
даватели других предметов. Так же отводилась
им второстепенная и третьестепенная роль в
определении способностей и знаний ученика,
в его пригодности к обучению в «нормальной»
школе, к переводу в следующий класс. Так
же разрешались эти вопросы педологическим
наскоком, педологическим «молниеносным»
исследованием, с игнорированием результатов
ежедневных наблюдений ученика педагогом в
процессе преподавания, проверки домашних
работ, в кружках и т. п.

Но в математике и физике больше, чем в
других предметах, сказалось влияние педоло-
гических «методов» и именно в вопросах
учета и анализа знаний учащихся. Именно
здесь получили наибольшее распространение
характерные для педологии искусственные ме-
тоды учета знаний в виде всякого рода
«стандартных» контрольных работ, тестов,
измерителей и т. п. И здесь же наиболее ши-
роко применяли также характерные для педо-
логов чисто статистические методы обработки
полученных данных — вывод процентов, сред-
них норм успеваемости и т. д. Отсутствовал
качественный подход й знаниям ученика, ана-
лиз причин неуспеваемости, имело место све-
дение под одну норму всех учеников, имею-
щих «одинаковый показатель успешности»,
из каких бы данных этот «показатель» ни
складывался.

Этому внедрению педологических «методов»
учета знаний именно в математику немало
способствовало культивирование некоторыми
нашими «теоретиками» авторитета американ-
ского «теоретика» Торндайка, усиленная про-
паганда ими его идей, перевод и распрос~ра-
нение его книг, без достаточной марксистско-
ленинской критики проповедуемых им взгля-
дов. Именно эти его книги, его выводы в
них построены на квази-научной методике
тестов, где формалистические методы' вариа-
ционной статистики заменяли собой живое
исследование знаний конкретных учащихся,
где с помощью этих методов устанавливалась
обусловленность способностей учащихся сре-
дой и расовой ’принадлежностью *.

Преодоление «авторитета» Торндайка, раз-
облачение классово - враждебной сущности
его теории для советской школы составляет
Неотложную задачу для научно-исследователь-
ских работников в области педагогики и в
частности для нашего журнала.

IV

Педологические извращения в области по-
становки преподавания математики и физики,
в особенности в области учета знаний уча-

* Подробнее о Торндайке см. в следующей
статье этого номера.

щихся, нашли некоторое отражение и на стра-
ницах нашего журнала. Можно назвать ряд
статей, помещенных в журнале, в которых
имеется налицо «педологический» подход к
методам преподавания, к ученику, к анализу
его знаний.

Так в статье проф. А. Г. Калашнико-
в а «Сравнение общеклассных занятий и са-
мостоятельных лабораторных работ по физике
на примере темы «переход электрической
энергии в механическую» («М. и Ф.», № 5
за 1935 г.) мы имеем дело с экспериментом,
ь корне неверно поставленным как по своим
исходным пунктам (искусственное обособле-
ние и противопоставление двух различных
методов на теме, где как раз  должно быть
применено «все разнообразие методов»), так
и по методам его проведения (начальные и
конечные «измерители», т. е. схемы с даль-
нейшим чисто статистическим подсчетом про-
центов, средних и т. п.). Понятно, что не-
верно поставленный и проведенный экспери-
мент и не мог дать каких-либо правильных
и методически-ценных выводов, как го пока-
зывает и самая статья.

Совершенно такой же характер )госит и
ту же тему (сравнение методов) разрабаты-
вает, а потому и теми же недостатками
страдает статья т. Е. Петрова «Опытная
проверка эффективности методов препода-
вания физики в средней школе»/ помещен-
ная в № 2 «М. и Ф.» за 1936 г. Статья
Е. Игнатьева «Анализ причин неуспе-
ваемости по математике в средней школе»,
давая ценный материал в виде высказываний
учащихся о причинах их неуспеваемости,
имеет в своей основе ясно выраженную «пе-
дологическую окраску». Уже привлечение
в качестве материала (наряду с другими дей-
ствительно ценными) «педологического изу-
чения отстающих учеников» говорит зА это.
Подтверждает это также подтягивание в ка-
честве мотива неуспеваемости — «социальной
запущенности» ученика, ссылки ‘на «автори-
тет» Торндайка и пр.

Пресловутые «измерители»' нашли свое
место на страницах журнала в статьях проф.
А. Г. Калашникова—«Систематическое
применение измерителей успешности по фи-
зике» (№ 4 за 1934 г.) и Е. Загоски-
ной — «Измеритель знаний учащихся по те-
ме «I [елые числа».

Ставя во главу угла повышение научной, и
методической квалификации малоопытного
педагога путем подбора нужного и полезного
для него материала по разделам научному и
методическому, журнал отводил значительное
место «опыту школ» — описанию удачных
приемов преподавания, постановке опытов
отдельных преподавателей по отдельным воп-
росам математики и физики. Но чего нехва-
тало в журнале, это—целостного описания и
анализа опыта лучших школ и лучших пе-
дагогов нашей страны, т. е. именно того ма-
териала, йа основе которого и может быть
создана настоящая, обогащенная опытом, ис-
ходящая из опыта теория меточки препода-
вания. На эту сторону в дальнейшем должно
быть обращено особое внимание. Конечно,
это не говорит об отказе и от освещения
отдельных достижений школы и педагога, для
чего попрежнему Должно быть оставлено
место в журнале.

Наконец совсем не освещались в журнале
вопросы, непосредственно связанные с уча-
щимся, с методами его работы, с его дости-
жениями, с его борьбой за качество знаний,
не было показа лучших образцов работы
ученика в виде хотя бы лучших письменных
работ и т. п. Этот пробел также должен
быть восполнен.

Мы призываем педагогов помочь редакции
осуществить эти задачи путем присылки ма-
териалов, освещающих их опыт, опыт других
учителей, школы в целом, материалы, осве-
щающие работу ученика—лучшие домашние
тетради, .контрольные работы, доклады в ма-
тематических кружках и пр.

РАБОТЫ ТОРНДАЙКА ПО ПСИХОЛОГИИ МАТЕМАТИКИ
И ПЕДОЛОГИЧЕСКИЕ ИЗВРАЩЕНИЯ В ШКОЛЕ

А. А. СМИРНОВ

Постановление ЦК ВКП(б) о педологиче-
ских извращениях в системе наркомпросов
устанавливает, что эти извращения могли
«возникнуть «лишь в результате некритиче-
ского перенесения в советскую педагогику
взглядов и принципов антинаучной буржуаз-
ной педологии». Американский психолог
Торндайк занимает одно из первых мест
в ряду тех «авторитетов», труды которых
особенно широко «изучались» нашими «пе-
дологами» и педагогами и путем переводов
широко пропагандировались среди массовых
работников школ (на русский язык переве-
дено 6 основных работ Торндайка по воп-
росам психологии обучения) *. При этом,
возражая Торндайку на словах, наша «педо-
логия» фактически (в теории и в практике)
была, несомненно, в плену у него, что ясно
вытекает из сопоставления вскрытых ЦК пе-
дологических извращений с основными поло-
жениями Торндайка, а именно:

1.	Категорически осужденный ЦК, как глу-
боко реакционный, «главный закон» педоло-
гии—закон фаталистической обусловленности

* 1) «Принципы обучения, основанные на пси-
хологии».

2) «Психология арифметики».

3) «Новые методы преподавания арифметики».

4) «Вопросы преподавания алгебры» (в под-
линнике — «Психология алгебры»).

5) «Психология обучения взрослых».

6) «Процесс учения у человека».

судьбы детей биологическими и социальными
факторами, влиянием наследственности и ка-
кей-то неизменной среды, у Торндайка
является также одним из основных законов.
Свое учение о способностях и «одаренности»
Торндайк развивает, исходя из ассоциациони-
стических позиций. Все различия в интеллекте
он сводит к различиям в количестве имею-
щихся у людей механистически понимаемых
им связей или ассоциаций. «Человек, интел-
лект которого выше, или больше, или лучше,
чем интеллект другого, отличается от него
в конечном анализе не новым сортом физио-
логического процесса, но просто большим
числом связей обычного сорта» («Измерение
ума», американское издание, сэр. 415). Каза-
лось бы, что если интеллект характеризуется
количеством связей, то нет еще никаких
оснований, исходя из констатации отсутствия
каких-либо связей в данный момент, судить
об ограниченных возможностях дальнейшего
развития интеллекта. Изменения среды, вос-
питание человека, вся его последующая прак-
тика, его планомерная и сознательная работа
над самим собой —все это может решительно
изменить количество имеющихся у него свя-
зей и поднять интеллект его на совершенно
иную, значительно более высокую ступень.
Но Торндайк не делает этого вывода, а счи-
тает вполне законным, исходя из уровня ин-
теллекта в данный момент, безоговорочно
судить о перспективах его дальнейшего раз-
вития. Значительное количество тестов, пред-
лагаемых Торндайком, предназначено как паз
именно для прогностических целей, для суж-
дения не только о. «настоящем» уровне
развития тех или иных способностей, но и
о «будущем» этого развития. Тем самым
обнаруживается, что чисто механистическая
концепция Торндайка, по существу, является
фаталистической, и в дальнейшем ее разви-
тии Торндайк постоянно ссылается на неиз-
менные врожденные способности, как на
основу индивидуальных различий между людь-
ми. «Суть нашей доктрины,—говорит он
в той же. работе «Измерение ума»,—в том,
что, поскольк” речь идет о прирожденных
свойствах, интеллект, способный к высшим
формам мышления и приспособления, отли-
чается от интеллекта имбецила только спо-
собностью (подчеркнуто мною—А. С.)
к образованию большего количества связей».

В работах по математике фаталистическая
концепция интеллекта и способностей нашла
у Торндайка весьма яркое выражение. В «Пси-
хологии алгебры» он прямо утверждает, что
««подавляющая часть разницы в успешности
•занятий отдельных учеников алгеброй обусло-
вливается, вероятно, различием в их при-
южденных способностях» (стр. 184). Поэтому,
исходя из данных, характеризующих умствен-
ное развитие учащихся в данный момент,
Торндайк делает прогностические выводы
о возможности усвоения этими учащимися
курса ал 'ебры в дальнейшем. «Конечно,—•
говорит он /стр. 30), — интерес к занятиям
и усердие могут до некоторой степени ком-
пенсировать способность к занятиям алгеброй;
бесспорно также, что особая способность
к математике может компенсировать недоста-
ток общего развития, измеряемого при по-
мощи альфа-теста (один из тестов для «изме-
рения» умственного развития.—А. С.). Но все
же ученик, который обнаруживает общее
развитие, не достигающее отметки 100 в ис-
пытаниях при помощи альфа-теста, не будет
в состоянии понять ни символики, ни обоб-
щений, ни доказательств, свойственных ал-
гебре. Возможно, что он формально проедет
курс алгебры, но действительно изучить и
усвоить последнюю он не сможет». «Это,—•
замечает тут же Торндайк, — относится, при-
мерно, к половине (точнее 56%) учащихся,
поступающих в настоящее время в школы
повышенного типа» (стр. 30).

Если учесть, что, по заявлению Торндайка,
«ученики школ повышенного типа принадле-
жат, за редкими исключениями, к той части
населения (?1), которая обладает предрасполо-
жением к абстрактному мышлению» (стр. 127)

и примять во внимание, что по данным Торн-
дайка в школах повышенного типа обучается
только одна треть детей соответствующего
возраста (стр. 21), то не трудно понять, что
возможностями изучения алгебры Торндайк
наделяет только одну шестую часть детей
определенного возраста. Таким образом, даже
из избранной «части населения» (не трудно
догадаться, какой именно) он считает необ-
ходимым произвести отбор «наиболее избран-
ных» (руководствуясь, конечно, тем же при-
знаком отбора) и только их он считает
достойными среднего образования.

О том, какую именно «часть населения»
Торндайк считает «избранной» и имеющей
предрасположение к абстрактному мышлению,
можно судить по тому, как заботливо разде-
ляет он в одной из других своих работ
(«Психология обучения взрослых») «показа-
тели» умственного развития «белых» и «цвет-
ных» испытуемых, приводя в таблице 16
якобы более высокие показатели первых *.
Наряду с этой «расовой» чепухой классовое
и политическое лицо Торндайка в той же
работе хорошо вскрывается и теми «надежда-
ми», которые он возлагает на организацию
обучения взрослых: «Если часть школьного
обучения была бы продолжена на зрелые
годы, при организации этой части обучения
вероятно была бы тенденция организовать
специальные группы по классовому и эконо-
мическому признаку» (стр. 156). В конце
книги, выражая благодарность (буржуазии?)
«за свой хлеб» (стр. 162) и удивляясь, «как
весь наш современный государственный аппа-
рат... не взрывается от страстей, которые он
воспитывает в своих членах», Торндайк ста-
рается утешить сьоих хозяев —• американскую
буржуазию — тем, что, по его мнению, «в ве-
чернем обучении взрослых он готов видеть
симптом социального оздоровленья» (читай:
средство отвлечения внимания пролетариата
от классовой борьбы).

Сходные с «Психологией адгебры» рассу-
ждения о «врожденных» способностях имеют
мес>'0 и в «Психологии арифметики»: «Раз-
личие, обнаруженное в способностях детей
одних ' и тех же групп в одном и том же
городе, в весьма значительной степени обус-
ловливается различием их прирожденных спо-
собностей и естественных качеств. Если бы
каким-либо чудом дети... получили все
совершенно одинаковое воспитание с момента

* Аналогичные, тоже якобы научные «данные»
приводятся Торндайком в его статье «Mental
Dircipline in High school studies» («Jouma! of
educat Psychology» XV, 1, 2; 1924 r.).
рождения до момента обследования, то все
же у них были бы обнаружены весьма боль-
шие колебания в способности к арифметике,
вероятно, не меньшие (!), чем наблюдаемые
в настоящее время» (стр. 296). Здесь же
Торндайк ссылается на свое исследование
близнецов, обнаружившее, что близнецы дают
гораздо более близкие результаты, чем дети
той же семьи, различающиеся по возрасту
на два или три года, причем «у более юных
близнецов (в возрасте 9—11 лет) обнару-
живается столь же большое совпадение в ре-
зультатах, как у более взрослых близнецов
(в возрасте 12—15 лет), хотя в последнем
случае сходство в условиях изучения ариф-
метики имеет вдвое ббльшую продолжитель-
ность» (стр. 297). О степени распростра-
ненности математической способности Торн-
дайк высказывается следующим образом:
«Большинство людей обладает ею в уме-
ренном (подчеркнуто мною.—А. С.) коли-
честве» (стр. 302).

По существу те же самые положения
имеют место и в «Новых методах обучения
арифметике», где Торндайк фактически про-
водит «теорию предела»: «Если тысяче уче-
ников на шестом году обучения предложить
проделать с начала до конца сто задач...,
то некоторое количество учеников сможет
решить все сто задач, некоторые же участ-
ники не смогут решить более пятидесяти,
хотя бы они старались добиться
этого сотни ч ас о в (подчеркнуто мною.—
А. С.). Они просто не могут решить задач
определенной сложности и отвлеченности,
совершенно так же, как они не могут пе-
репрыгнуть через барьер высотой в 5 м или
поднять груз в 500 кгт> (стр. 172). Харак-
терно, что и в этом случае Торндайк гово-
рит о старших детях, поскольку основная
задача его рассуждений — доказать непригод-
ность к среднему образованию значительной
части детей (детей трудящихся, как основной
массы населения).

В связи с фаталистическим пониманием
врожденности способностей необходимо от-
метить также, что, говоря о «составе спо-
собностей» (арифметических и алгебраиче-
ских), Торндайк фактически относит к ним
ряд знаний, усваиваемых при обучении, на-
пример: знание значения дроби, знание таб-
лиц вычитания и деления и др. Отсюда не-
избежен вывод, что и все эти «способности»
также врожденны человеку. До признания
«врожденности идей» Торндайк не договари-
вается, но до признания врожденных способ-
ностей к каждому отдельному знанию или
навыку, получаемому в школе, он дошел

несомненно. «Судьба» человека предопреде
лена его наследственностью даже вплоть до-
возможности усвоить умножение «без пере-
носа»! Мало того, даже последовательность
школьного обучения, намечаемая програм-
мами. по утверждению Торндайка, передается
по наследству («Психология арифметики»,
стр. 154). «Мы наследовал и (подчерк-
нуто мною.—А. С.) обычай проходить пол-
ностью сначала сложение целых чисел, потом
вычитание, потом умножение, а затем и де-
ление». К чести Торндайка, однако, надо
сказать, что такие «наследственные» обы-
чаи он все же считает, невидимому, возмож-
ным изменить, предлагая смело нарушать
систему в обучении.

2.	Решительно осужденная постановлением
ЦК обширная ш стема обследований умствен-
ного развития и одаренности школьников...
представляющая собой форменное издева-
тельство над учащимися»,— в лице Торндайка
имеет одного из наиболее ясных основопол >ж-
ников и пропагандистов. Исходя в основном
из позиций психологии поведения, Торндайк
не интересуется изучением качественных
особенностей психических процессов, взя-
тых в их жизненной форме, в условиях обыч-
ной школьной работы учащихся. Все свое
внимание он сосредоточивает на проблеме
измерения результатов деятельности пу-
тем широкого использования всякого рода
тестов. Можно с полной категоричностью
утверждать, что «Психология а риф четики» и
«Психология алгебры» отнюдь сне являются
психологиями, так как они совершенно не
вскрывают психических процессов, характери-
зующих работу учащихся. В лучшем случае
они ограничиваются простой констатацией ус-
ловий наиболее успешного заучивания (распре-
деления повторений и т. п.), чаще же всего,
как только речь заходит о психологических
проблемах, начинают фигурировать всякого
рода тесты. Торндайк — один из крупнейших
«тестолигов» современной Америки, автор и
соавтор разнообразных тестов, не только
психологических, но и педагогических. По-
этому его «психологические» работы перенасы-
щены тестовым материалом и иногда на про-
тяжении целых [ азделов представляют собой
изложение только тестов. Весьма показательны
в этом отношении главы о составе арифме-
тических способностей в «Психологии ариф-
метики» и соответствующие им главы о со-
ставе алгебраических способностей в «Психо-
логии ал1ебры».

Будучи ярым пропагандистом тестов, Торн-
дайк рекомендует этот метод даже для
измерения пере» ены в интересах и склонно-
стях учащихся, вызываемой алгебраическими
занятиями («Психология алгебры», стр. ПО).
Однако, тесты Келли, предлагаемые им в
этом случае, даже самыми крайними защитни-
ками этого метода никак не могут быть по-
ставлены в связь с интересами и склонно-
стями детей.

Весьма видное место среди тестов, предла-
гаемых Торндайком (оригинальных или дру-
гих авторов), занимают педагогические
тесты—для учета знан1Й и навыков по са-
мым различным школьном дисциплинам. В
этом отношении нашим «педологам», смело
взявшим на себя.ряд функций, принадлежа-
щих только педагогам и широко плодившим
материалы для тестового «учета» успешности,
было чему «поучиться» у Торндайка. О той
роли, 'какую отводил Торндайк тестовым ме-
тодам, можно судить хотя бы по следующему
высказыванию его в «Психологии арифметики»
(стр. 48): «Один из лучших способов уяс-
нить, в чем заключаются функции, которые
школа должна (подчеркнуто мною.—А. С.)
развивать и совершенствовать — это получить
измерители их». Таким образом, не задачи
образования и систематика самих предметов
должны определять собой программу и
в соответствии с ней измерители (если допу-
стить «необходимость^ их существования),
а, наоборот, измерители определяют собой
прогоамму, а, следовательно, и задачи обра-
зования. Здесь явно, что вся «теория» Торн-
дайка стоит на голове.

Что же лежит в основе тестомании Торн-
дайка? Как и все защитники тестов, Торн-
дайк считает, что тесты являются о б * е к т и в-
ным методом учета. Эго положение целиком
разделялось и нашими «педологами», с прене-
брежением относившимися ко всяким другим
методам изучения (в частности — к педагоги-
ческому наблюдению) ввиду якобы их пол-
ной «суб'ективности». Чтобы оценить эту
«концепцию», надо выяснить, что понимает
Торндайк, а вслед за ним и -так называемые
«педологи», под об'ективностью тестового
метода и вообще под об*ективностью. Ответ
на этот вопрос не представляет затрудшний:
можно сказать с полной категоричностью,
что об'ективность для Торндайка и всех
остальных тестологов есть совпадение в оцен-
ках у ряда «испытателей». В «Психологии
алгебры», например, говоря о том, как из-
бежать дробных отметок за частично непра-
вильную работу, Торндайк указывает, что
«мы можем рассчитывать получить об'ек-
т и в и ы е (подчеркнуто мною—А. С.) резуль-
таты только в том случае, если заранее раз-
работана подробная и единообразная схема

отметок за выполнение каждого отдельного
элемента». В противном случае «неизбежно
влияние личного усмотрения со стороны тех,
кто дает оценку, и как следствие — различие-
в отметках за работу одинакового качества»
(стр. 94). Что единообразие в критериях от-
меток за работу необходимо — с Торндайком
никто спорить не будет, но что единообра-
зие есть уже и объективность — совершенно-
неверно. Самая подробная и единообразная
схема отметок мож-ет быть полностью произ-
вольной схемой и никакого отношения к об‘-
ективности не иметь Все рассуждения Торн-
дайка (и наших «педологов») об об'ективно-
стн тестового метода возможны только по-
тому, что в основе их лежит неверное
понимание об'ективности. Для Торндайка
об'ективным является не то, что правильно
отражает об‘ективную действительность, а то,,
на чем сходя гея мнония людей, то, что люди
договорились считать правильным. Концеп-
ция явно идеалистическая, делающая в корне
порочными все уверения об < об'ективности»
тестовых методов.

Излюбленным методом Торндайка наряду
с тестами являются также анкеты. Их он
адресует и к учащимся (для изучения инте-
реса к занятиям алгеброй — см. «Психология
алгебры», гл. XIV) и в большом количестве-
и по разным поводам к преподавателям школ.
Даже такие вопросы, как вопрос о степени
общего развития, нужной для успешных заня-
тий алгеброй, разрешается Торндайком путем
опроса «некоторых авторитетных педагогов»
(глубокомысленно решивших, что только
половина или, как с целью максимальной
«точности» поправляется сам Торндайк, 56®/0
всех детей повышенных школ могут успешно
заниматься алгеброй.)

В тесной связи с широким применением'
тестов и анкет стоит исключительное при-
страстие Торндайка к количественным показа-
телям, в значительном числе случаев действи-
тельно выражающееся в «игре в цифирки».
Торндайк вполне довольствуется получением
некоторых средних величин и совершенно-
не пытается вскрыть основания различий в-
полученных им данных. В качестве одного
из многих примеров можно привести резуль-
таты изучения (анкетным методом) вопроса
о количестве упражнений для разных тем по
алгебре («Психология алгебры», стр. 175)..
Данные, полученные им в этом случае (ог
пяти психологов и 64 преподавателей мате-
матики), по его же собственным словам, ко-
леблются значительно, причем некоторые
«эксперты» в своих ответах проявили неуве-
ренность, но эти различия, стоящие, нссом-
'ценно, в связи и с методикой преподавания
и с требованиями, пред'явллемыми, преподава-
телями, не смущают Торндайка, и он полагает,
что они не должны подрывать доверия к
близости средних величин (как будто бы
основную ценность имеют име-шо средние
величины).

3.	Постановление ЦК четко указывает, что
«антинаучная и невежественная теория отми-
рания школы, осужденная партией, продол-
жала до последнего времени пользоваться
признанием в наркомпросах, и ее адепты
в виде недоучившихся педологов, насажда-
лись во все более и более широких разме-
рах». Работы Торндайка и в этом отношении
могут рассматриваться как один из источни-
ков извращений нашей «педологии», посколь-
ку в них имеется ряд положений, фигуриру-
ющих в качестве основных и в теории отми-
рания школы. Торндайк многократно выступает
против необходимости строгой системы обу-
чения. определяемой систематикой самого
предмета. В «Психологии алгебры» (стр. 154)
он полемизирует с уителями, которые
добычно обнаруживают большое пристрастие
•(I) к систематическому изложению тем, при-
чем изучение последних разделяется на от-
делы и под‘отделы, которые проходятся
каждый в свое время и в определенном по-
рядке» (как будто бы достоинство обучения
в том, чтобы проходить все не в свое время
и без всякого порядка). Это «пристрастие»
учителей ,к системе Торндайк об'ясняет
дем, что оно свойственно всякому предста-
вителю точного знания (но, повидимому, не
должно быть, по Торндайку, свойственно
представителям педагогики). «В Психологии
арифметики» (стр. 155) он говорит, что
«критика других схем, как «лоскутных» и
«бессистемных», была бы довольно ценной,
если бы школьный курс мыслился как пред-
мет созерцания; но она становится неоснова-
тельной, если рассматривать его как рабочее
орудие для усовершенствования обучения
арифметике». По мнению Торндайка, «Moi
должны помнить, что все наше систематизи-
рование и классифицирование в значитель-
ной степени лишено значения в глазах учени-
ков... Их не слишком смущает отсутствие
так называемой «системы» и «логической
последовательности» по той же причине,
по которой наличность такой системы не
оказывает им слишком большой помощи»
(стр. 156).

Исходя из этих позиций, Торндайк прихо-
дит к утверждению комплексного принципа
в расположении материала. «Мы не видим
оснований,— говорит он в «Психологии ал-
110

гебры» (стр. 56),— почему нельзя привести
ряд задач, использующих данные, относящи-
еся к одной и той же области, например
к здравоохранению, и требующие при реше-
нии как составления уравнений первой сте-
пени, так и квадратных уравнений и дей-
ствий над радикалами». «Впрочем,— заявляет
он тут же,— расположение задач менее важ-
но, чем их выбор» (другими словами: если
даже в задачнике задачи расположены не по
комплексному принципу, выбирать их (из
разных мест) надо* все же только по этому
принципу!. Весьма характерна в этой связи
и та «самостоятельность», которую предо-
ставляет Торндайк учащимся при выборе за-
дач: «Многие затруднения, возникающие при-
прохождении решения задач, могут быть
значительно ослаблены, если мы предоставим
учащимся право самим выбирать задачи для
решения, давая им, например, в пять раз
большее число задач, чем должен решить
каждый учащийся» («Психология алгебры»,
стр. 80). Что разрешение учащимся выбирать
задачи (из числа задач разной трудности,
как это имеет в виду в данном случае Торн-
дайк) может облегчить выполнение контроль-
ных работ, вряд ли кто-либо станет оспари-
вать, но что этим могут быть «значительно
ослаблены многие затруднения, возникающие
при прохождении решения задач» (т. е. при
обучении решению задач)—этому вряд ли
кто-либо поверит. Совершенно очевидно,
что это уже не самостоятельность, воспиты-
вающая творческую и активную личность, а
свобода от обязательств, и, Поскольку о ней
говорится в «Психологии алгебры» было бы
очень интересно знать, разрешается ли она
всем или только «части населения». Весьма
положительно относится Торндайк и к само-
учету учащихся, считая его «об'ективным,
реальным, количественным изучением своей
собственной деятельности» («Психология
арифметики», сгр. 230). При этом он глу-
бокомысленно поучает, что «беспристрастное
изучение самого себя ни в ^какой мере не
поощряет и не должно поощрять самодо-
вольства». «Сказанное,—добавляет он,—спра-
ведливо не только в отношении мальчиков,
но в еще большей степени и в отношении
девочек». При чем здесь мальчики и девочки—
непонятно, если не предположить, что Торн-
дайк убежден, что, вообще говоря, девочки
больше предрасположены к самодовольству,
чем мальчики.

4.	В полном соответствии с отрицанием зна-
чимости системы в обучении стоит чрезвы-
чайно характерная для Торндайка (а вслед
за ним и для наших «теоретиков» отмира-
ния школы) недооценка теории. В этом от-
ношении весьма характерно, например, сле-
дующее высказывание в «Психологии алгеб-
ры» (стр. 127): «Современная психология
-(читай: американская психология поведения.—
А. С.) относится весьма подозрительно ко
всем случаям, в которых навыки предполага-
ются легко выводимыми из принципов.
Весьма часто оказывается, что действительно
эффективные принципы являются результа-
том навыков, а не причиной, их порождаю-
щей. Поведение человека •опреде-
ляет его совесть, повидимому,
в большей мере, чем последняя —
его поведение». В поведении не. надо,
следовательно, исходить из принципов, а, на-
оборот, принципы надо фабриковать в соот-
ветствии с поведением, так, чтобы они
оправдывали эго поведение. Да здравствует
ттолная беспринципность! Сам Торндайк, надо
полагать, так называемым «угрызениям сове-
сти» не подвержен, так как свою «совесть»
он целиком приспособляет к своему поведе-
нию. Во всяком случае во всех своих рабо-
тах он энергично полемизирует с учителями,
начинающими обучение действиям с об'ясне-
ния правил.

Было бы неверно утверждать, что Торн-
дайк совеошенно отрицает необходимость
понимания учащимися правил. В «Новых ме-
тодах», например, он не согласен с теми,
кто, исходя из факта, чтб дедуктивные об‘-
яснения оказываются часто бесполезными;
приходят к мысли, что «вовсе нет необхо-
димости стремиться к действительному пони-
манию учениками правил и действий, и что
ученики просто должны научиться механиче-
ски делать то, что нужно» (стр. 58). Дости-
• гнуть «рационального понимания правил и
действий», по его мнению, «все же» (!)
возможно, и «ученик не должен обрекаться
на слепое механическое зазубривание того,
что нужно делать». Но Торндайк не может
понять, что осознание принципа не должно
быть придатком и завершением первоначально
не осмысливтемого изучения действий, а должно
быть теснейшим образом взаимосвязано
с этим изучением. Что для понимания общих
Принципов нужен конкретный опыт, на ко-
торый должен опираться уч*итель—несом-
ненно, но что для понимания всякого нового
принципа весь предшествующий опыт ученика
оказывается недостаточным, и изложение этого
принципа возможно только после того, как
учащиеся «поплавают» некоторое время в
непонятных им новых действиях,—совер-
шенно неправильно. Всякое действие будет
усвоено тем лу низ, чем осмысленнее выпол-

нение его с самого начала, что отнюдь не
исключает, а, наоборот, Предполагает раз-
витие понимания. «Поведенческая» концеп-
ция Торндайка лишает его возможности по-
нять роль сознания и осмышления в прио-
бретении навыков, и усвоение принципов
он рассматривает, как стихийный процесс,
утешая педагогов, что «то, что начинается
со слепой привычки умственного обра-
щения, основанной на подражании, мо-
жет вырасти в способность правильного
представления существенного элемента» (под-
черкнуто мной.—А. С.) и что «почти наверное
все дети, за исключением одной двадцатой
или около того, приходящейся на наиболее
тупых учеников, придут в конце концов (1)
к чему-то большему, чем зазубренное знание, (
к пониманию и сознанию того, что
прием, о котором идет речь, правилен»
(«Психология арифметики», стр. 89). Пони-
мание и сознание, значит, «в конце концов»,
а «в на чале начал» — зазубренное знание.
И придут дети все же к пониманию, что
прием правилен, а не к тому, почему он
правилен. По Торндайку это, впрочем, и не
требуется Разбирая дальше вопрос о воз-
мо кности для детей понимать, почему пра-
вилен данный прием вычисления, он полагает,
что «большинство детей (повидимому не от-
носящееся к «части населения,— имеющей
предрасположение к абстрактному мышле-
нию») вообще не будет знать этого ни при ка-
ких методах преподавания» (!). Единственное
«почему», которое доступно этим детям —
это то, что с данным ответом «согласны
опытные люди» (таков критерий истины для
этих детей по Торндайку).

Неизбежным следствием всей этой кон-
цепции является утверждение тренировки,
как основного метода обучения. Наши «тео-
ретики» отмирания школы, в результате
своего отрицания системы обучения совер-
шенно игнорировали и систематические, а
вслед за этчм по существу н всякое обуче-
ние навыкам. Торндайк не делает этого:
он — «за навыки», но, отвергая возможность
осмысленного овладения ими, он всячески
пропагандирует неизбежность механического
их приобретения. Исходя из своей основной,
ассоциационистической концепции, он все
обучение рассматривает, как образование ме-
ха шстически понимаемых связей или ассоциа-
ций. «Если попытаться,— говорит он в «Пси-
хологии арифметики» (на стр. 18),— точно
определить задачи элементарного образо-
вания, то мы найдем, что они должны за-
ключаться в создании изменений в человече-
ской натуре, выражаемых почти бес-
конечным перечнем сопоставле-
ний или связе Й».

Равным образом и «обучение алгебраиче-
скому счислению в значительной мере сво-
дится и должно сводиться к образова-
нию и организации системы умственных •
сопоставлений нли связей» («Психология
алгебры», стр. 134). Как же обра-
зуются эти связи? По мнению Торндайка,—
на основе привычки, обусловленной повторе-
нием, и в силу эмоционального состояния,
следующего за выполнением действия (удов-
летворения или неудовольствия). Эти условия
определяют собой образование всех связей,
а следовательно и ту форму их, которая
обычно относится к так называемым «выс-
шим умственным процессам» (процессам
сравнения, различения, анализа, обобщения,
рассуждения и т. п.). «Процесс обучения,
направленный на создание представлений
разницы в высоте тонов, издаваемых каким-
либо инструментом, «квадратичное™» какого-
либо числа, треугольной формы, некоторой
комбинации линий различной длины, равен-
ства каких-либо пар и честности человека
вытекает из общего обучения ассоциациям,
не требующего никаких иных сил,
кроме сил привычки и непривыч-
ки, удовлетворенности и неудовле-
творенност и» («Психология арифметики»,
стр. 187). При этом необходимо подчерк-
нуть, что состояние удовлетворенности и
неудовлетворенности Торндайк понимает
так же, как состояние, механически следую-
щее за каким-либо действием, а отнюдь не
как результат сознательного отношения к ра-
боте, влияние которого относится им к об-
ласти магии (там же, стр, 203). Таким обра-
зом, всякое обучение сводится им в конеч-
ном счете к повторению одних и тех же
действий, сопр'овождаемых состоянием удовле-
творения.

Каковы конкретные формы методики обу-
чения, рекомендуемые Торндайком, можно
судить по следующему описанию рекоменду-
емого им способа обучения учащихся крат-
ному умножению без переноса.

Дается задача: «Дети третьей группы устраи-
вают прогулку. Всех участников оудет 32.
Сколько надо заготовить для них бутербро-
дов, если каждый из 32 учеников получит
по 4 бутерброда».

Вот быстрый способ найти это
число (хотя Торндайк прямо это не указы-
вает, но из всего контекста ясно, что эти и
последующие подчеркнутые нами слова гово-
рятся учителем).

Думай так: 4X2, запиши 8 под 2
в столбце единиц.

Думай так: 4X$S» зап иши 12 под 3
в столбце десятков.

Далее дается вторая задача (точнее про-
должение первой): «Сколько потреоуется детям
яблок, если каждый из 32 учеников получит
по 2 яблока? 32X2, или 2X32 даст
ответ».

Мы не приводим описания дальнейшей
части рекомендуемых Торндайком «об'яснений»
учителя, так как приведс иного уже д< ста-
точчо для тою, чтооы понять, что никаких
об'яснений здесь нет, а есть голое приказание
делать так-то и так-то. Слова учителя, обра-
щенные к ученику («Думай так: 4X2»)»
звучат здесь только иронией, так как факти-
чески думать здесь учащимся в сущности не
приходится.

5.	Недооценка Торндайком теории и сведение
им обучения к простой тренировке застагляет
критически отнестись и к пропа1анде им прин-
ципа жизненности и реальности.

Во всех трех работах по математике Торн-
дайк многократно подчеркивает, что предла-
гаемый учащимся материал (вычисления и за-
дачи) должен быть жизненным. «По старым
методам, — начинает он свою работу «Новей-
шие методы обучения арифметике»,— ариф-
метика преподавалась для арифметики, с пол-
ным отвлечением от потребностей жизни.
Новейшие методы преподавания выдвшают
приемы, которых требует жизнь, и задачи,
которые представляются в жизни» (стр. 17).
«] (ель элементарной школы ь области ариф-
метических задач - научить правильно и эко-
номично разрешать жизненные задачи» («Пси-
хология арифметики», стр. 30). При препода-]
вании алгебры «наиболее желательно развитие
таких навыков, которые легче всего позволяли]
бы распознавать реальные, существующие*
соотношения» («Психология алгебры», стр. 56),
Если взять эти положения «абстрактно», отор-
вав их от всех основных концепций Торн-
дайка, то в ряде мест они звучат положи-
тельно. Но такая «абстрактная» оценка была
бы, конечно, совершенно неверна. Чтобы по-
нять подлинный смысл принципа жизненности
и реальности у Торндайка, надо брать этот
принцип в свяйи с основными положениями
Торндайка о месте теории и тренировки
в процессе обучения. А в этой связи указан-
ный принцип звучит совершенно по-иному.
В нашем понимании отрывать «жизненность»
от теории, равно как и теорию от жизни,
нельзя, ибо мы исходим из признания един-
ства теории и практики. В понимании Торн-
дайка «жизненность» отрывается от теории,
и теория в значительной мере противопола-
гается «жизненности». Эго возможно только
потому, что «жизненность» и реальность пре-
вращаются у него в «жизненность» и реаль-
ность только отдельных эмпирических фактов,
а теория — в оторванную от действитель-
ности абстракцию. Вместе с тем «жизнен-
ность» отдельных эмпирических фактов,
а, следовательно, и «жизненность» знания
этих фактов оценивается им с точки зре-
ния непосредственной, чисто утилитар-
ной полезности их. Теоретическая значи-
мость изучения действительности по существу
отвергается и над всем доминирует узкоути-
литарный и чисто «деляческий» подход. Это
очень ярко сказывается на том методе, кото-
рым пользуется Торндайк при построении
программ обучения. Он исходит не из теоре-
тических положений, непосредственно выте-
кающих из задач обучения и воспитания, не
из систематики самой науки, не из теорети-
ческой значимости арифметики и алгебры,
а из механического подсчета количества тех
случаев, в которых встречаются в отдельных
профессиях, в быту (опрос родителей), при
чтении разных книг (например Британской
энциклопедии) те или иные «элементы» мате-
матических знаний. Вместе с тем нетрудно
расшифровать, в чем именно заключается
в понимании Торндайка та непосредственная
полезность, которая применяется им в каче-
стве критерия при отборе учебного материала:
непосредственно полезно то, что нужно для
«деловой» жизни американского (крупного
или мелкого) буржуа. Задачи, которые Торн-
дайк считает правильными, своей тематикой
должны иметь ведение счетов в хозяйстве,
вычисление процентов и учета (векселей),
определение количества материалов, необхо-
димых для изготовления определенных про-
дуктов в домашнем хозяйстве, ответы на
письма клиентов, запрашивающих о цене
товаров, страховка жизни и т. п. («Психо-
Иогия арифметики», стр. 30—3J). «Жизнен-
ность’» и «реальность» в понимании Торн-
дайка при ближайшем анализе являются, сле-
довательно, не чем иным, как непосредственным
выражением американского прагматизма —
наиболее популярной философской теории
американской буржуазии, а «жизненное» и
«реальное* обучение поизвано, по Топндайку,
выполнять социальный заказ правящих клас-
сов США.

Наши «теоретики» отмирания школы одним
из основных положений своей «теории» также
выдвигали «жизненность» и «реальность" обу-
чения, причем и они в конечном счете сво-
дили эту «жизненность» к «ползучему эмпи-

ризму», игнорировали единство теории и
практики и не понимали тоге, что, «теория,
если она является действительно теорией,
дает практикам силу ориентировки, ясность
перспективы, уверенность в работе, веру
в победу нашего дела* (Сталин). Методо-
логическое родство их «теорий» с работами
Торндайка несомненно.

Сказанного достаточно, чтобы показать,
что работы Торндайка и в частности его
работы по математике действительно питали
собой те вреднейшие педологические извра-
щения, которые безоговорочно осуждены
июльским постановлением ЦКВКП(б). Нали-
чие в этих работах отдельных ценных заме-
чаний по некоторым частным вопросам ни-
сколько не умаляет, конечно, полнейшей не-
приемлемости основных положений Торндайка.
Переводные работы Торндайка нуждаются
поэтому в основательных, методологически и
политически заостренных предисловиях. Оце-
нивая же с этой точки зрения имеющиеся
предисловия, следует признать полнейшую
их неудовлетворительность.

В предисловии к «Новым методам» на
первой же странице подчеркивается, что
Торндайк «стоит на пути об'ективного
изучения духовной жизни человека» (о том,
что этот «объективизм» выражается только
в безудержной тестомании и ничего общего
в действительно об'ективным изучением чело-
века не имеет, нами у-ке было сказано).
Далее автор предисловия (проф. Волковский)
в качестве наиболее яркой особенности мето-
дики, рекомендуемой Торндайком, подчерки-
вает ее «жизненный характер» (буржуазно-
прагматическая природа этой «жизненности»
также была отмечена выше). Этим в сущности
и ограничиваются замечания автора предисло-
вия о Торндайке. Никакой критики в преди-
словии нет. Читателю остается только пре-
клоняться перед Торндайком, являющимся,
по словам автора предисловия, «отцом совре-
менной психологии обучения», имя которого
исключительно автооитетно в науке (ка-
кой?—А. С.), и сторонником того «совершенно
правильного направления в педагогической
науке, по которому для написания хорошей
книги по начальному обучению недостаточно
быть только специалистом известного пред-
мета, а необходимо, сверх того, быть хоро-
шим психологом, педагогом и педологом»
(стр. 7).

Столь же по существу хвалебно и преди-
словие к «Психологии арифметики», напи-
санное проф. Волковским, где «Психология
арифметики» об'является «капитальным про-
изведением», которое «вызовет благое кл о н-
ное внимание (подчеркнуто мной. —А. С.)
любознательных читателей и критиков, хотя
бы и несогласных с автором по некоторым
как принципиальным (подчеркнуто
мной.—}А.С.), так и частным вопросам».

Некоторую критику Торндайка мы находим
во втором предисловии, написанном к той
же книге проф. Андроновым. Здесь уже ука-
зываются, как неправильные, такие положе-
ния как признание неизменной среды (правда,
речь идет только о школьной среде), абсолю-
тизирование различий дедуктивного и индук-
тивного метода, отмечается «односторонность»
эксперимента, лежащего в основе «социоло-
гии арифметики», но нет никакого намека на
развернутую принципиальную критику исход-
ных концепций Торндайка. Мало того, автор
предисловия утверждает даже, что Торндайк
«не создает ведущей теории, а односто-
ронне увлекается экспериментом». Это, ко-
нечно, абсолютно неверно, ибо в основе
самого «эксперимента» у Торндайка лежит
развернутая, но совершенно для нас неприем-
лемая теория. Неясно отношение автора пре-
дисловия к рефлексологии и характеристика
позиции Торндайка в этом вопросе. С одной
стороны, утверждается что Торндайк пытается
«оформить психологическое направление в
арифметическом образовании, которое сози-
дается в противовес односторонне-рефлексо-
логическому загнивающему направлению, ожи-
дающему с часу на час своего исторического
удара», с другой же — в заслугу Торндайка
ставится то, что им «разрабатывается назрев-
ший в методике вопрос о разной прочности
рефлексов» (подчеркнуто мной). Правильно
(но не с отрицательной, а с положительной
оценкой этого факта) указывается, что Торн-
дайк является апологетом «педологизирован-
ной» школы. Вот именно поэтому-то Торн-
дайк и неприемлем для нас.

Наконец, что касается предисловия к «Психо-
логии алгебры» (написанного проф. Андро-
новым), то и здесь, хотя предисловие заключает
в себе много критических замечаний, выявление
основных методологических позиций Торн-
дайка и резкая критика их отсутствуют.
Правда, в ряде мест даются указания на не-
правильность некоторых теоретических поло-
жений Торндайка (указывается, например, реак-
ционность вывода о непригодности 56% детей
к обучению алгебре, вскрывается «фетишизм
количества», отмечается «воинствующая недо-
оценка теории» и системы, говорится о разо-
чаровании читателя, когда он не увидит
истинного развертывания сложной проблемы
измерения алгебраических способностей, а по-
лучит все те же «надоевшие тесты», но все
это сделано настолько бегло и так переме-
шано с рядом других частных замечаний по
поводу книги (иногда * справедливо положи-
тельных), что мобилизовать читателя на сугуба
критическое отношение к Торндайку все эти
указания не могут, а, тем более, они не
могут и вооружить читателя пониманием
методологических корней теории Торндайка
и порочности основных его методологических
концепций. Вместе с тем автор предисловия
неоднократно утверждает, что Торндайк поль-
зовался экспериментальным методом исследо-
вания (хотя у самого Торндайка нигде нет
изложения каких-либо экспериментов). Это
об'ясняется тем, что автор предисловия со-
вершенно неправильно отождествляет тесты
с экспериментом. Такое отождествление легко
может вызвать у читателя (в противовес ряду
критических замечаний о тестах) извращенное
понимание научного метода исследования
и пробудить доверие к выводам Торндайка,
построенным якобы на подлинно-научном
исследовании. Предисловия к работам Торн-
дайка должны быть даны совершенно иные.
ОЧЕРКИ ПО ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

ОЧЕРК ТРЕТИЙ

Т?ИГС"ОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Профессор Н. Й. ПОВЛЕК (Москва)

к Чисты й анализ, без всякой уже примесы
синтеза, не прежде может начинаться в гео-
метрик, как после того, .:огда всякая зависи-
мость представлена будет уравнениями и
для всякого рода геометрической величины
будут даны выражения».

Н. И. Лобачевский

В настоящем очерке изложены основные
теоремы и соотношения тригонометрии Ло-1
бачевского, необходимые для введения ме-
тода координат в эту геометрию. Основными
формулами являются соотношения между
сторонами и углами прямоугольного треуголь-
ника. Зная эти соотношения, уже легко полу-
чить основные формулы и косоугольного
треугольника.

Но, кроме того, в дальнейшем изложении
нам понадобятся соотношения между элемен
тами так ^называемых «трехсторонников», или
треугольников с одной бесконеч-
но удаленной вершиной, а также и
четыреугольников Ламберта (с тремя пря-
мыми углами) иСаккери (с двумя прямыми
углами).

Для понимания выводов всех этих теорем
и формул по предлагаемому нами Методу
необходимо знание только тех тео-
рем и положений геометрии Лобачевского,
которые изложены и доказаны нами во вто-
ром очерке при помощи метода пределов.
Ключом же для вывода тригонометрических
формул служит найденная нами -основная
лемма», благодаря которой вывод этих фор-
мул становится очень простым и сводится
к несложным трш онометрическим выкладкам.

Окружность на предельной поверхности

Каждую параллель, начерченную на гло-
бусе, можно рассматривать или как окруж-
ность круга, описанного дугою АВ меридиана,
лежащего на поверхности глобуса, или же
как окружность плоского круга, описанного
половиною хорды А В, вращающейся около
ее средины. Совершенно аналогично окруж-
ность, лежащую на предельной поверхности,
можно получить двумя способами:

1.	Можно описать такую окружность к о н-

цом предельной дуги АСВ, лежащей
на предельной поверхности и вращающейся-
вокруг своей средины С (рис. 1).

2.	Можно описать ее концом хорды-
АСХВ, вращающейся вокруг ее средины

В первом случае она будет окружностью-
круга, описанного на предельной поверхности
предельной дугой СВ, а во втором — окруж-
ностью плоского круга, описанного полухор-
дой СХВ, вращающейся вокруг средины хорды
Съ перпендикулярно к оси СБ предельной
поверхности. Отсюда следует такая теорема:

Теорема 1. Окружность, построенная на
полухорде (QB) предельной дуги (ЛС7?),
как на радиусе, равна окружности круга,
описанного на предельной поверхности по-
ловиною дуги (АСВ), как радиусом. Обо-
значая окружность плоского круга (радиуса
= 0^) символом0С±В, а окружность, опи-
санную предельной дугой СВ, — символом
G СВ, можем выразить нашу теорему (I)
таким равенством:

0С\В = 0СВ

(D

Основное построение

При выводе основных формул тригономет-
рии Лобачевского мы будем пользоваться
трехгранным углом, с бесконечно-удаленной
«ершиной. Ребра этого трехгранника прохо-
дят через вершины данного прямоугольного
треугольника и параллельны между собою;
причем ребро, проходящее через вершину
одного из острых углов, перпендикулярно к
•плоскости треугольника, а через вершину
другого острого угла проводится предель-
ная поверхность, осью коей служит
ребро, проходящее через эту вершину.

Сделаем это построение и рассмотрим
заранее некоторые необходимые нам соотноше-
ния между элементами данного прямоуголь-
ного треугольника, трехгранного угла и
предельного треугольника, который полу-
чится от пересечения предельной поверхности
•с гранями этого трехгранника.

Возьмем (рис. 2) какой-нибудь прямоуголь-
ный прямолинейный треугольник АВС, в

котором угол C=z= 90°; через вершину А од-
ного из его острых углов проведем прямую
АА', перпендикулярную к плос-
кости треугольника АВС, а через
другие его две вершины В и С проведем
прямые ВВ' и СС, параллельные АА'
в одном и том же направлении.

Получим трехгранный угол АВСБ, с беско-
нечно-удаленной вершиной Б, причем дву-
гранный угол его (СС) будет прямой, как
это докажем ниже (п. 5).

Затем через вершину В, приняв прямую
' ВВ' за ось, проведем предельную поверх-
ность, т. е. шар, центр коего удален в беско-
нечность в направлении пара [дельности линий
АА', В В' и СС, каждая из которых будет
осью этой поверхности.

От пересечения этой предельной по-
верхности с гранями трехгранного
угла, т. е. с плоскостями, в коих лежат
прямые АА’, ВВ' и СС, получатся три
предельных дуги, образующих «пре-
дельный треугольник» А1С1В.

1°. Легко убедиться в том, что внутрен-
ние углы «предельного треугольника» AtCtB
равны внутренним"углам трехгранного угла
АВСБ.

В самом деле, углом между предельными
дугами CtB и BAi называется угол КВКХ
между касательными к этим дугам в точке
их пересечения В, а эти касательные
будут перпендикулярны к оси В В'
предельной поверхности, т. е. к ребру дву-
гранного угла (ВВ‘), и будут расположены
на его гранях. Следовательно, Z КВК1 будет
линейным углом двугранного угла (ВВ1) и
равен этому углу. Точно так же и Z 5С]1Л1 =
z= двугранному углу (СС), а /ВАХСХ —
= двугранному углу (ЛЛ').

2°. По построению плоскость △ АВС
перпендикулярна к ребру АА', а потому
/ВАС (или Л) будет линейным углом дву-
гранного угла (ЛЛ'), т. е.

/ВАС = двугранному углу (ЛЛ').

3°. Но если АА' _]_ АВС, то и проходя-
щая чрез АА' плоскость АА'СС также пер-
пендикулярна к плоскости АВС, т. е. дву-
гранный угол (ЛС) — прямой, откуда
ВС±СС.

4°. Угол АСВ — прямой по условию; сле-
довательно, сторона СВ этого' угла, «ежа-
щая на грани ССВВ' двугранного угла (СС),
перпендикулярна к его ребру С С; поэтому,
СВ будет перпендикулярна и к другой гра-
ни этого угла, АА'СС, и к прямой СС,
лежащей на этой грани.

5°. Итак, СВ перпендикулярна к плоскости
А'АСС и к прямым С А и СС, лежащим
в этой плоскости. Поэтому, проходящая чрез
СВ плоскость ССВВ', перпендикулярна к
плоскости А'АСС, т. е. двугранный
угол (СС) — 'п ря м ой и плоский угол
ВСС—тоже прямой.

6°. Но в предельном треугольнике Л1С1В
Z равен двугранному углу (QC'); сле-
довательно, Z—тоже прямой, а пре-
дельный треугольник AtC^B —
прямоугольный.

7°. Острый угол Л1 предельного треуголь-
ника А/ВВ, равный двугранному углу (ЛЛ'),
будет равен и его линейному углу, т. е.

Z ВА& - Z Лх = (ЛЛ') = Z А,
угол же A^Ct = Z (ВВ'), но не = Z АВС.

8°. Фигуры А'АХВВ' и С'С^ВВ' в нашем
построении совершенно такие же, как фигура
СВБ на чертеже (1), а потому

GBCx = 0)BC. 0ВАх = 0ВА.

Рассмотренные нами соотношения между
элементами нашего основного построения
дают нам возможность легко доказать сле-
дующие три вспомогательные теоремы (лем-
мы), служащие для вывода основных фор-
мул тригонометрии Лобачевского.

Теорема 2. Во всяком прямоугольном
прямолинейном треугольнике АВС окруж-
ность с радиусом, равным катету а, равна
окружности с радиусом, равным гипотенузе
с, умноженной на синус противулежащего
угла А:

0а = Ос-51пД.	- (2)

Доказательства. Эта теорема справед-
лива и в геометрии Эвклида. В самом деле,
на плоскости Эвклида катет а прямоуголь-
ного треугольника АВС равен его гипотенузе
с, умноженной на синус противулежащего
угла или на косинус прилежащего:

(1 = С.51ПД.	(3)

а=с-cos В.	(3')

Умножив обе части этих равенств на 2тг,
получим:

2Tt*a = 2TO-sin A, 2it-a=2m- cos В,
или	0a = Oc-sin4,	(2)

0 а = 0 с-cos В, (2')
где 0<f и Ос означают длины окружностей
с радиусами d и с.

Соотношения (2) и (2') имеют место и
для «предельного» прямоугольного тре-
угольника 1) в пространстве Лобачевского.
Для прямолинейного же прямоуголь-
ного треугольника на плоскости Лобачев-
ского справедливо только1 соотношение (2),
но не (2').

Докажем теперь нашу теорему. С этой
целью сделаем с треугольником АВС «основ-
ное построение» (см. черт. 2). Получим пре-
дельный треугольник AiBClt в котором*

О ВС\ = О В?^ • sin At. (4)
Но в силу теоремы I

^0BC.=0BC = Q а,

0ВА1 — 0ВА = 0с,
а (по 7°)‘

LAX =LA.

Подставляя Эти значения в (^), находим:

| Q а—Ос-sin'А	(2)

что и требовалось доказать.

• На основании следствия I теоремы XIX очер-
ка 2-го (см. ЭД 2 за 1936 г. «Математики и фи-
зики», стр. 18.)	—

Рассмотрим теперь отдельно ту часть на-
шего основного построения, которая располо-
жена на плоскости, проходящей чрез парал-
лельные линии СХС' и ВВ' (рис. 3).

В этой плоскости лежит предельная дуга
ВСг и Прямая ВС, перпендикулярная к С\С.
Очевидиц что с изменением длины перпен-
дикуляра ВС изменяется и расстояние CClt
т. е. CCt будет функцией от ВС:

сс1=/(вс)

(5)

Заметив это, докажем следующую теорему.

Теорема 3. Отрезки ВС—а и CCt —

—/(а) основного построения связаны между
собой уравнениями

или

_ сс,
sin it(BC)=e k

f(g)

sin it (я) = e *

(6°)

(6)

Доказательство. Нг нашей фигуре
(3) Z СВВ1 = тг (ВС) = тг (а) Дополним ее
еще двумя линиями:

1) предельной дугой СМ с осью СБ и
2) прямой CL, перпендикулярной к ВВ'.
Получим прямолинейный треугольник BCL,
в котором (теорема 2):

' QCL — OBC-sinCBB',

0™>'м	slnCBB-'=®££,

О ВС

или	.	0С£ *

I sin7t(a) =--------.	(7)

0BC	' '

Но (теорема I)

•»

0CL —0CM, 0BC=O'BClt

а длина окружности на предельной
поверхности равна ее «предельному
радиусу», умноженному на 2~, почему

0CL=.2~-CM.,

QBC^2~BC1.

t Математика и фишка. М 5
Подставляя эти значения в равенство (7) и
сокращая на 2л, получим:

. Т ^СМ
sin л (с) —--(8)

'--s j

причем (в силу соотношения 3, § 9, очерк
2-й):

Число т здесь произвольно, а потом/
мы можем его выбрать так, чтобы .

где е~Ч,718281828....—основание нату-
ральных логарифмов; но тогда

ma — k (постоянной),

а

СМ
ВС.

со,
*

I (9)



где	*

CCt— f (а)

Вставляя эти значения в отношение (8),
получим

Л1пл(а) = е	,	(6°)

или

sin л (а) — е t,	(6)

что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь всю фигуру нашего
основного" построении, дополнив ее двумя
линиями, лежащими в плоскости А'АСС
(черт. 2):

а)	перпендикуляром	опущен-

ным из вершины Ci прямого угла предель-
ного треугольника на ось АА', и

б)	предельной дугой СЕ, имеющей ось
АА' («концентричной» с пре тельной дугой
QA)..

Основная лента. Перпендикуляр Ь' «вя-
зан с катетами а и b прямолинейного прямо-
угольного треугольника АЬС уравнением: •

ОЬ’=-ОЬ -
sin л (а)

(Ю)

Доказательство. В нашем основном
построении отрезки

CiDi = b', СА—Ь,
причем на основании теоремы I настоящего

очерка
имеем:

и следствия I теоремы XIX 2-го,'

О Ь’ — О = 2л • AiCt,

0 Л = О СЕ=2ъ-СЕ.

Разделяя эти равенства почленно друг на
друга и принимая во внимание теорему 3 и
равенство (9), получим:

ev _ '—AiCi _ еФ_ 1 t

, 06	' СЕ	sin л (с)

откуда

0У —,
sin л (a) u
что и требовалось доказать.
Непосредственными следствиями нгшей
леммы являются следующие теоремы.

Теорема 4.

(оь \ 2

- V- +(о«)!
sin л (с)/	,

(П)

Доказательство. В нашем основном
построении (черт. 2) Д А^В — предель-
ный, а потому для него имеет место теорема
Пифагора, т. е.

AiB^ = AiCi2 -\-CiB2,
гд'; АгВ, АгСг и СгВ— дуги предельной
линии. Умножив все члены этого равенства
на (2л)2, долучим:

(2л  AiB)2 = (2л ^C\) 2.4- (2л • CiB}2,
или

(О Л1Д)2 = (®Л1С1^+(Оад2- (12)

Но в силу соотношения (1). имеем:

OAtB = QAB =

О С\В = 0 СВ — О а,

О AiCi = 0 cjji = 0 b',
а основная лемма дает:

sin л (а)

Подставляя эти значения длин окружностей
в равенство (12) и получим соотношение:

(О^^Г-^-У^Оа)2.	(”>

LSin Л (fl) J

Что ji требовалось доказать.
Qa = M- ctgir^)!

Теорема 5. Длина окружности радиуса
а пропорциональна ctgiz(a), т. е.

(13)

где М — постоянная, одинаковая для всех
окружностей.

Доказательство. В самом деле, раз
теорема наша справедлива, то отношение длины
любой окружности к котангенсу угла параллель-
ности ее радиуса есть величина постоянная,
равная Л1, а потому:'

ctgir(«) CtgTt(ft) ctgir(c)
или

Ga_____ ctgit(a)

Qb ctgir(ft)

(15)

Но, рассматривая равенство (11), мы видимо
что в него входят только длины окружностей
сторон /\АВС и sin— (а). Следовательно, мы
можем выразить sin —(«), а через него и
ctgr^a) через длины этих окружностей.

Действительно, решая уравнение (11) отно-
сительно sin2-rc(a) находим:

sin2rc(a) =

(Об)2

(©с)2 — (Ст?)2

Но разделяя равенство) cos2-rt(«) =
= 1 — sin2 -д(а) на sin2Ti(a), имеем:

Cig2 Tt(a) —----------------, 1;

sin2 iz(a)

подставляя же сюда вместо sinir(a) его зна-
чение, находим

(О»)1

В последнем равенстве с—гипотенуза, а
и b— катеты прямоугольного треугольника
АВС; но раз это равенство справедливо для
катета а, то оно должно быть справедливо
и для катета Ь. Отсюда очевидно, что равен-
ство это не нарушится, если в нем мы вместо
катета а подставим катет Ь, и взаимно. По-

лучим:

(О»)!

Разделяя последние два равенства почленно
друг на друга, получил! '

ctg2K(a)____(©й)2 .	„

ctg2Tr(ft)4 (Oft)2 ’

что и требовалось доказать.

Основные тригонометрические формулы
прямоугольного треугольника

Первое соотношение, соответству-
ющее равенствам: a = c-sinH н b=c-smB
тригонометрии Эвклида:

cig к(й) = ctg тс(с) • sin А;	.

ctg it( ft) = ctg тг(с) • sin В.	'1

Доказательство. В самом деле, по
теореме 2, из прямоугольного треугольника
АВС мы имеем:

Oa = Oc-sinA,	(2)

* ©ft — Qc-sinВ,	(21)

Вставляя в эти равенства вместо-адлин ок-
ружностей их значения из (14) и сокращая
на /И, получим равенства (I). ’ »

Второе соотношение. Возвратимся
снова к нашему основному построению. Мы
знаем, что в предельном треугольнике ДВД:

QA^—. ©ДВ-cos А (2")

Но, в силу теоремы 2 и основной леммы,

имеем:

одд=Oft'— Qb -
sin -(й)
а по теореме 2:

Oft = Ос-sin В;

наконец, по теореме Г:
ОДВ=Ос.

Вставляя все эти значения в равенство (2)
и сокращая на Ос, получим:

sin В—sin тг(й) • cos А.	(П)

 •

Аналогично, из соотношения *
ОВХД = GA^B• cos В
найдем, что:
-	•

sin A=sin 7t(ft)-cosB.	(П1)

Третье соотношение.

sin 7t(c) = sin —(й)- sin Tt(ft)	(III)

Это соотношение аналогично теореме Пифа-
гора и получается из теоремы (4) и отноше-
иий (14) путем простых тригонометрических
преобразований. В самом деле, гставляя в ра-
венство (И) вместо длин окружностей их зна-
чения из равенства (14) и сокращая резуль-
тат на 7И2, получим:

ctg2 ir(c)~ ‘ Я ^4^-ctg2 тг(«).

Sltr 7t(«)

Заменяя в этом равенстве котангенсы их
значениями и приведя правую часть к одному
знаменателю, получим:

cos2 тг(с) ’ cos2 тг(6) -ф- cos2 ~(а) - sin2 Tr(f>)
sin2Tt(c) ।	sin2 it(b) • sin2 (та)

Прибавляя к обеим частям этЬго соотно-
шения по единице и приведя затем каждую
из них к одному знаменателю, находим.

cos2 тг(с)Ц- sin2 'к(с)'.

sin2 тг(с)

cos2Tt(6)-f-cos2 7t(a) • sin2Tt(Z>) • sin2 rc(a)sin27t(&)
rsin2ir(ft) sin2 ir(a)^

Так как сумма квадратов косинуса и сину-
са каждо! о угла равна единице, то легко убе-
диться в том, что числители обеих частей
последнего равенства равны единице, а сле-
довательно, должны быть равны и знаменате-
ли, т. е.

&п тг(с)'= sin тг(а) • sin тг(£>),
что и требовалось доказать.

Четвертое соотношен]ие:

(IV)

Доказательство. Перемножая почлен-
но равенства (II) и (IP) друг иа друга, имеем
sin A -sinB=sin-rt(n) • sin тг(Л) • cos Л-cos В,
откуда, разделяя на cos Л-cos В и принимая
во внимание соотношение (III), получим

tg-A  tg B«=ysin n(c),
что и требовалось доказать.

Замечание. В геометрии Эвклида угол па-
раллельности тг(с) = 90°, а потому там

tg A-tgB=l,
т. е.

/_А =±:90о - /_В.

Пятое соотношение

tg A • tg В — sin Tr(t).
------------------Г '	-----

cos л(«) = cos k(c) • cos B.

(V)

Это соотношение легко получить из ра-
венства (I). Именно, заменив в равенстве (I)
котангенсы их значениями и определяя cos тг(а),
находим:

, ,	, . sin т;(й) • sin A

 cos tv a) — cos 7r(Q-t-2---------

Но (равенство IP)

sin A = sin it(b) • cos B,
а потому

. .	, . simr(a)-sin7r(Z>)-cos В

cos Tt{a) = cos 7t(c)----------—------— -;

sin тг(с)
наконец, принимая во внимание соотношение
(Ш), получим:

cos it(a) — cos тг(с) • cos В	(V)

и аналогично

cosir(ft) = cos7t(c)-cos А	(V')

Очевидно, что эти формулы соответствуют
соотношениям

«=c-cosB,
и

£=c-cos А

тригонометрии Эвклида	*

Шестое соотношение. Разделяя (V)
на (V'), имеем:

/ cos 7t(a)______со? В

cosir(Z>) cos А ’
откуда, умножая обе части этого равенства
на simr(&) и принимая во внимание (IP),
находим

cosTr(a)-sinir(ft)_sin Л

cos ir(Z>)	cos А *

или

со% Х«) • tg ir(0 = tg А.

(VI)

Основное'соотношеиие ’еочетрпп Лобачевского
(между длиной отрезка и его углом параллель-
ности):'

(\И)

I	—-

tg — it(b)=e *

Возьмем прямоугольный треугольник АВС,
один из катетов коего (АС) равен данному
отрезку Ь, продолжим этот катет в сторону
прямого угла, а через конец В другого кате-
та (СВ| проведем линию ВВ', параллельную
АС' и дугу ВЛ предельной линии с осью
АС* (и ВВ', так как ВВ' 1] АС').

В полученной фигуре углы АВВ" и ВАС',
образуемые осями АС' и ВВ' предельной
дуги ее хордой АВ, равны между собою,
а угол СВВ'

Таким образом,

/ А — /_АВВ‘ = £В -J- ir(«),
откуда

Сравнивая эти равенства, находим:

Применяя к дАВС соотношение (II), имеем
sin В — sin tt(iz) - cos А;

но в нашем треугольнике

Л.В=/_А— ir(a), а потому
sin[A — ‘п(а)] = sin -й(а) - cos А,
или

sin А • cos z(a)— cos А • sin тс(а) =
•=sinTc(a)-cos А,

откуда

sin А • cos тс(а) = 2 sin т.(а) - cos A,
а по разделении этого равенства на

cos A-cosTc(a):

tgA = 2fgn:(a)	(17)

С другой стороны, разделяя равенства (V)
и (V') почленно друг на друга и снова за-
меняя /_В через А — тг(а), получим:

cos т.(а) cos В cos [А— тс(а)]

cos n(b) cos A cos А
откуда, по разделении на costc(<z),

* 1

-----—= 1 + tg А • tg тс(а),

costc(^)

а по замене tgA его значением из равен-
ства (17),

-----1—=l + 2tgM«)- (18)
costc(c)

Из этого равенства находим:

cosn:(£»)	 2tg2-n(a)

1

cos rt(b) 1

2(1 -H tg2Tr(«)]

(19)

a no теореме (3) имеем (равенство 6):
ь

sinn^c) — е * .	(20)

Сравнивая, мы и получим искомое соотноше-
ние	'

1	-ь-

tg—^(^)=е * • (vii)
2

Аналогичное Соотношение существует и для
катета а:

tg^-7i:(a)=e	*

(VII')

Гиперболические функции

Формула (VII) позволяет ввести в формулы
тригонометрии Лобачевского так называемые
гиперболические функции. В самом
деле, основная формула геометрии Лобачев-
ского:

tgl-ir(x)=e *»

показывает, что тригонометрические функции
угла параллельности суть функции от пока-
а

зательной функции е *. Но так называемые
гиперболические функции также
выражаются через показательную функцию.
Отсюда заключаем, что тригонометрические
функции угла параллельности также должны
выражаться через функции гиперболические
от перпендикуляра х.

Найдем эту связь. Имеем по определению*

х

косинус гиперболический от — ;
k

30	30

, х & T-U

/’М   —	— —J______ - •

tg2n:(a) . 2

=----------- - sin2 "(a).

sec- ir(a)

С другой стороны, из тригонометрии

вестно что
—1_____________________________________________1

f 21	J — cosT<f>)	cosTc(fr)

2	1 —|— cos т.(Ь)	1	। J

cos, ~(b)

иЗ-

i

♦ Из этого определения гиперболических функ-
ций легко вывести следующие соотношения:

X ’ X

ch2— — sh?— - 1,
к k	'

fx	г/\	xv	xv

\k	k)	k k	k k’

X—y	x	у	X	у

sh----= sh -ch	—ch^sh—, и т. Д.

k	k	k	k	k
синус гиперболический от —:

. x e к —e T
sh — — ------>

k 2

Тригонометрические соотношения плоскости
Лобачевского, выраженные в гиперболических
функциях

Вставляя значения sin тг (х), cos тс (х) и
tgir(x) из (VIII) в равенства fl)—(V), по-
лучим:

тангенс гиперболический от —:
k

„ x e к —e к
th — =------

k ±	_ x

С другой стороны, возводя равенство (*)
в квацрат и прибавляя затем к обеим частям
его по единице, получим:

2 a

2 1

<Т —

С 2

1

cos2—д(х)

, а	. С .	)

sh = sh — • sin А !

k k I

, b	. c .	[

sh —=sh—-sm В 
k k « J

. „ cos A
sin В —----

ua
Chh

. . cos В
sin A —---—

ch —
k

(IX)

(X)

откуда J

sin2— д(х) =

е к

2 х

, с а
сп — == ch — -ch

k

k

£
k

(XI)

Далее: .	1	1

sin д (x) = 2 sin — it (x) -cos - - it(x),
z	z

а потому, подставляя сюда вместо sin — тс(х)
2

и cos — ir(x) их значения из предыдущих
двух равенств, находим:

ctg Д • ctg В = сЛ —•
k

th = th 4- • cos A ]
k	k	I

a	c	।

th — -th—- cos В |
k	k	I

(XII)

(XIII).

или

f , 2е к

Шпд(х)—-------

Тригонометрические соотношения в

прямоли-

Sin It (х) =;

2

(24)

нейном косоугольной треугольнике

Выводятся эти формулы аналогично фор-
мулам сферической тригонометрии Эвклида
Именно (рис. 6).	*

откуда	х _ _с

е к —е к
cos д(х) = —---------

(25)

а разделив почленно (24) на (25)
2

имеем;

(26)

в t —е к

Сравнивая формулы (24)—(26)
(21)—(23), видим, ЧТО

с

ствами

равен-

sin д (x) = ------

. x
ch---

k

cos it (x) — th —-•
k

tgir(x)=r------.

IVHI)

Возьмем
и-делим его

косоугольный треугольник АВС
высотою BD на два пр/шоуюль-

ных треугольника ABD и DBC.

1. Теорема синусов. Из прямоугольного
треугольника ABD имеем:

k
из △ BDC-.

sh —
» k

= sh— sin A,
k

о . „
~ sh	 sin С,

k
откуда	. с sin	sin А  k	, й . „ — sh —sin С, k
«ли	а-  1	. с  Sh — k
	sin А	sin С
Точно'так же, опустив высоту из верши- ны А, получим:		
1	А	sh  К
	sin В	sin C

Вставляй в ‘правую часть этого равенства
AD	AD

из (26) и (28) значег—я ch ---- и sh-- —

k	k

и сравнивая результат с равенством 29, мы
и получим формулу кос шусов:

, а , b , с

• ch—— ch—• ch------

k k k

, b , c *

— sh —,• sh —  cos A.
k k

Если заменим в этих соотношениях гипер-
болические синусы сторон их значениями по
третьей формуле (VIII), то получим:

tg т (а) • sin А = tg тс (b) • sin В — tg тс (c) • sin C.

2. Теорема косинусов. Из прямоуголь-
ного треугольника ABD по формуле (XI)

Заменяя в этой формуле гиперболические
функции их значениями ' из формул (VIII)
Представим ее в таком виде:

sin ~(b) • sin тс(с)

sin т:(а)	(X1V)

= 1 — cosTrfi») costc(c)-cos А.

имеем:

, с , h AD
ch — — ch — *ch —

Совершенно так же, как в сферической

k k k

откуда
/

, AD
ch —
k

с/г (-^-

Ch-k

(26)

тригонометрии, выводятся и следующие соот-
ношенья между сторонами и углами косо-
угольного треугольника:

, b ь с ь с . ь ...

ch — • sh — — ch — • sh — cosA -+-

k k k k

а по формуле (XIII):

.AD

k ,,AI) 'с

—— —- — th -—cos A.

, AD k k

(27)

Из равенства (27) находим:

.AD	c	AD

sh —« z=th —cosA-ch—,
k	k	k

до

a i ставляя сюда значение ch-из (26) и со-

-4-	sh — • sin A • cos B.
k

cos C = — cos В • cos A • -|-

c

-4-	sin В • sin A • ch — -
, k

cos В • sin A — sin C - ch — —
k

c

— cos A  sin В • ch' —

‘ k

и T. Д.

(XV)

кращая, получаем

sh

. „	sh-- cos А

AD___ k

fe . h
ch —
k

(28)

Из △ BDC по формуле (XI) имеем:

ch — — ch — -ch
k , k

b — AD

k ’

(29)

Четыреугольнпк Ламберта (с тремя прямыми
углами).

Пусть в четыреугольнике АС^ВС2 углы
Сь В и- С2 — прямые, a /4 — острый.

Из прямоугольных треугольников АС2В и
ABCj имеем (формула IX):

Ь с
sh — — sh----sin ЛВС2, (31)

,	k k	' ’

ch— — sh— • sin ВАС, (32)
k k

лричем (см. примечание, стр. 21):

Ho ZABC2 —--------ZABQ, а потому

h — AD
ch-----

k

ch — - ch
k

AD
k

, b , AD
— sh—  sh —

k k,

равенство (31) можно написать так:

(30)	sh	= sh	• cos ABCy ;

а разделяя это равенство на равенство (32)
и принимая во внимание соотношение (X),
получим:

k cos ЛВС , b. '
----=-----— —ch — ;
, а. ‘ sin ВАС. k
sh -A-----1

далее, по формулам (XIII), в £\ВАС2’
f)	с

th —= th — • cos ВАС-,, (33)
k	k	J

th	;	(34)

k cos ABC2

а по формуле (X):

cosBAC2 — ch — - sin ABC2-	(35)

Рис. 7

Вставляя эти значения из (34) и (35)
в (33) и сокращая, получим:

th ~  = sh — • tg АВС2. (36)
k k

Точно так же по формуле (XIII), из △ ABCt
находим:

CL	С

th — = th — • cos АВСХ;
k	k

а из t\ABC2.

th — — th — • cos 4BC2 —
k k

•	t

— th — -sin ABC.,
k

Сравнивая равенства (36), (37) и

(37)

(38)

(38),

получим второе основное соотношение между
сторонами четы реу голышка Ламрерга:

;Четыреугольник Салкери (с двумя прямыми
углами).

Рассмотрим теперь четьреугольник АС2ВВи
в котором только два угла АС2В и В1ВС2—
прямые, и из его вершины A onj стим на
сторону ВАВ перпендикуляр ACt. Этот пер-
пендикуляр разделит наш четыреугольник на
четьреугольник АС1ВС2 с тремя прямымг
углами и на прямоугольный треугольник
/IBjCp Поэтому мы можем применить фор-,
мулу (XVI) и писать:

sh — — sh — • ch —.	(39)

k k k

Но (см. черт. 8)

аг — BBt — B1C1 — a — a',

.a.	, a , a‘ ,	, a'

sh——sh— • ch-------ch— - sh— ,

k	k	k	k	k.

а по формулам (XI) и (XIII):

h ch~b '	’	R

' k	a'	k	k

‘h-k	\

вставлял в (39), получим:

, b2__ . cx f о, , a, . a* \

sh— = ch— I sh-----ch—-th — ],

k k\k k kJ
или

, b2 , a , q
sh—=sh —• ch ——

k k k

— ch — - sh —’ • cos B,.
k k

(XVII)
~ На чертеже Z В± — острый, но результат
не изменится, если предположим, что угол
В} будет тупой.

Трехсторонний сводной бескоиечно-удалениой
“ вершиной

Если одну нз вершин.треугольника станем
удалять в бесконечность, то в пределе тре-
угольник обратится в фигуру с тремя сто-
ронами, из которых две стороны параллельны
между собою, а вершина — точка пересечения
этих параллельных сторон — будет лежать на
бесконечности в направлении их параллель-
ности.

Такую фигуру мы будем называть трех-
сторонн и к о м; Трехсторонних предста-
вляет из себя бесконечную полосу, ограни-
ченную двумя параллельными прямыми АБ и
ВБ и их секущей АВ, называемой основа-
нием трехсторонника.

1.	Дье вершины трехсторонника А к В
лежат на конечном расстоянии, а третья — Б
на бесконечности в направлении параллель-
ности прямых АБ и ВБ и называется «не-
собственной» точкой или «несобственной»
вершиной трехсторонника.

2.	Всякая прямйя, проходящая через внут-
реннюю точку трехсторонника С и через
одну, из его вершин (например Л) встречает
сторону (ВБ), противолежащую этой вер-

Если прямая «проходит» через внутрен-
нюю точку трехсторонника С и через его
«несобственную» (бесконечно-удаленную) вер-
шину Б, то эта прямая будет параллельна
двум параллельным сторонам трехсторонника
и пересечет его третью сторону.

3.	Прямая, не проходящая через вершины
трехсторонника, но встречающая одну из его
сторон, встречает еще другую его сторону,
но только одну. Исключение составляют
только те прямые, которые параллельны
параллельным сторонам трехсторонника и
встречают только его основание.

4.	В трехсторониике внешний угол
больше или равен внутреннему
углу, с ним не смежному.

»

5.	Если один из внутренних yi лов от трех -
сторонника — поямой, то другой будет острым.
Такой трехсторонних мы будем называть
прямоугольным, а стороны, прилежащие
к прямому углу,— катетами.

Условия равенства трехстороиникев

Трехсторонники называются равными, если,
они при наложении совпадут.

Два прямоугольных трехсторон-
ника равны:

1)	Если «катет», соединяющий «собствен-
ные» вершины одного из них, равен такому
же катету другого;	•

2)	Если острый угол одного из них раве»
острому углу другого.

В самом деле, острые углы таких трехе горен -
ников будут углами параллельности их кате-
тов, а мы знаем (см. очерк 2, теоремы VI
и VIII), что если углы параллельности равны,,
то -и соответствующие им перпендикуляры
тоже равны, и взаимно.

Трехстсронник называется равнобед-
ренным, если ^гглы при собственных еге
•вершинах равны. Сторону, соединяющую
«собственные» вершины трехсторонника, мы
будем называть его «основа и йен!».

3)	Два равнобедренных трехсто-
ронни каравны, если равныихосн[о-
вания. В самом деле, если из средин раз-
ных оснований этих трехсторонников мь»
восстановим перпендикуляры, то они разделят
их на две пары прямоугольных трехсторон-
ников, равных между собою по условию (I),

4)	Два каких угодно четырех-
сторонника равны между собою,,
если основание и прилежащий
к нему угол одного из них равных
основанию и прилежащему к нему
углу другого.

5)	Два каких-нибудь трехсторонника равны,,
если углы, прилежашие к основанию одного
из них, равны таким же углам другого.

Тригонометрические соотношения
в прямоугольном трехсторониике

Фигура 5, которой мы пользовались при
выводе основной формулы геометрии Лоба-
чевского, состоит из прямоугольного тре-
угольника АВС и из прямоугольного же-
трехсторонника ВСБ, с «несобственной»
(бесконечно-удаленной) вершиной Б и острым
углом СВБ :=тс(ВС) — тс(а), причем (равен-
ство VII):

1 °

tg (а',=е к . (VII'^

Но по формулам (VIII):

2Ь
sin тс (a) =: —-—

k
cos тс (a) — th-j-

(VIII)

откуда

, sfhTc(<5tj 1 a
tg тс (a) —------— =-------'.th — ,

cos it (f ) a k
'ch~k

шли, по сокращении,

tg тс (a) ~ 1 - .	- (VIH)

Формулы (VII') и (VIII) являются различ-
ными формами одного и тогЬ же основного
соотношения мгжду длиной перпендикуляра
ли углом его параллельности тс(а).

Тригонометрические формулы для
произвольного 1 рехсторонника

4 Возьмем произвольный треугольник АВС
в приложим к нему вторую из формул (XV):

<fos С = — cos В • cos А -|-

-|- sin В • sin А • ch . (XV)

Если мы станем удалять вершину С в бес-
конечность в каком-нибудь иаправл шии, то
Л С обратится в пределе в нуль, a cos С —

в единицу, почему и формула (XV) в п р е-
деле обратится в такую:

,, с 1 -cos В  cos Л
ch — =:---!------------,

k sin В  sin А

а так как

ch2 —— sh-—— 1,
k k

то

, c cos А -4- cos В
sh — —---------------,

k sin В - sin Д

откуда

й,±= C0S'1+£Sg... (xix)

k 1	cos A • cos В

Если • трехсторонний — прямоугольный, на-
пример, если угол В = ЭО°, то угол А = т:(с),
и предыд)щие формулы принимают такой
вид:

, с 1	, с 1 ,

sh——---------, ch- —----------—

k tgz(c) k sinz(c)

и	7

c

th — — cosTtlc).
k

t. e. мы получим формулы (VIII), связываю-
щие длину перпендикуляра с углом его па-
раллельности тс(с).

\ I

ТЕОРИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ У ЭВКЛИДА

М. Б. ГЕЛЬФАНД (Киев, У идеи)

Несмо>ря на давность (свыше 2 000 лет)
теории иррационального числа у Эвклида,
эта теория и сейчас имеет для нас значитель-
ный математический и методический интерес.

Теория иррациональности у Эвклида дает
возможность лучше понять новые теории
иррационального числа (Дедекинда, Кандора
и Вейерштрасса), которые должны служить
основой для преподавания этого раздела ма-
тематики в средней школе.

В ‘классическом сочинении «Начала» Эвкли-
да (П в. до н. э.) приведены в стройную
логическую систему достижения математики
•прежних веков.

«Начала» на протяжении мнопх столетий
были основным учебником геометрии и еще
теперь в значительной мере определяют со-

I
держание и оформление курса геометрии
в нашей школе. *

Полагают, что «Начала» имели своей
целью дать математическую подготовку для
слушания курсов философии в греческих фи-
лософских школах (Клей н). Поэтому Эвклид
приписывал исключительную роль безупречно-
му логическому оформлению, даже тогда,
когда это шло в ущерб содержанию и при-
менениям,

Эвклид обходит метр!ческие проблемы
геометрии и числовые операции, ибо счита-
лось, что эта область есщ> груоая практика,
недостойная науки. Эвклид придерживался
традиций своих предшественников, резко
разделяя науку о ди< кретчом и науку о сплош-
ном (геометрия). Доминирующую роль он от-
лает геометрии. Все же X и V книги «На-
чал», несмотря на их геометрический характер
в форме теории геометрических отношений,
трактуют в значительной мере вопроси раци-
онального и иррационального чисел.

1.	Существование несоизмеримых величин

Еще пифагорейцы знали о существовании
иррациональных отношений. Они знали, что
диагональ квадрата несоизмерима с его сторо-
ной. Новейшие открытия устанавливают, чур
и древние вавитоняне знали о существовании
иррациональностей (Н е й г е 5 а у е р).

В «Началах» Эвклида уже подается дока-
зательство их существования. Доказательство
исходит из такого основного свойства соиз-
меримых и несоизмеримых величин: соизмери-
мые величины относятся между собою, как
некоторые (рациональные) числа, несоизмери-
мые величины не могут относиться между со-
бой, как числа (5-я и 7 -я теоремы X книги).
Действительно, когда величины А и В соиз-
меримы, то они имеют общую меру. Пусть
эта мера соД“ржится в первой величине три
раза, а во второй пять раз, тогда

А:В = 3:5.

Если бы несоизмеримые величины относи-
лись, как числя, то это означало бы, что они
имеют (вопреки определению) общую меру.

На основе этого свойства Эвклид в 9-й
теореме X книги устанавливает такое условие
несоизмеримых отрезков * «Квадраты, относя-
щиеся между собой, как квадратные числа,
имеют стороны по длине соизмеримые, а квад-
раты, которые не относятся между собою,
как некоторые числа, имеют стороны по дли-
не несоизмеримые».

Если стороны квалпатон А и В соизмеримы,
то они относятся между собою, как числа,
потому что имеют общую меру. Когда же
квадраты не относятся между собою, как
квадратные числа, то у их стороны не могут

т. е. р
пусть

относиться, как числа, т. е. стороны не бу-
дут иметь о^щей меры и потому несоизме-
римы. Отдельно Эвклид рассматривает вопрос
несоизмеримости диагонали квадрата с его
стороною. У Эвклида два доказательства этой
теоремы.

* Цитируем по переводу «Начал» Эвклида
Ващенко-Захарченко.

Первое доказательство.

Имеем

□ 4Cr=2QAB,
или

□ ДС:ПДВ = 2:1,
т. е. площади квадрата АС и квадрата АВ
не относятся между собой, как квадратные
числа, а потому, согласно предыдущей тео-
реме (теорема 9) отрезки АС и АВ несоизме-
римы.

Рис. 2

Второе доказательство.

Допустим, что диагональ и сторона кчад-

' а — JL

рата соизмеримы, т. е» “jr—

(рис вза-

имно-простые числа);

тогда

но

а2 = 2 ₽2

тот да

а2 р2

2 fl2  р2

Рис. 3

2 с2 — р2,
число четное;

р = 2 к,

тогда

р2 = 4к2,

или

2 с2 —4 к2,
с2 = 2 к2.

противоречит

т. е. с2

и р

числа четные, что

условию (потому что мы допустили, что числа
рис взаимно-простые).
Отсюда вы эд: отрезки а и р— несоизме-
римы.

Пслагаю, что второе доказательство дал
не Эвклид, а одни из его комментаторов *.

2.	Алгоритм Эвклида и цепные дроби-

Основным моментом в теории соизмеримости
и несоизмеримости Эвклида есть его алгоритм,
или способ надежда ия общей меры двух
величин. Величины, имеющие общую меру,
Эвклид называет соизмеримыми величинами.
Величины, не имеющие оещей меры, Эвклид
называет несоизмеримыми величинами. Алго-
ритм Эвклида базируется на следующем
принципе исчерпывания: «Если от данной
величины АВ отнимем часть, большую ее по-
ловины, а от отстатка отнимем снова больше
его половины и будем продолжать этсГг про-
цесс неопределенно, то, наконец, получим та-
кой остаток, который будет менее какрй
угодно малой данной величины:» ** (теорема
1, кн.Х).

Докажем, что в результате этого метода
исчерпывания остаток (на отрезке АВ) будет
меньше какой угодно малой величины т.

Для доказательства возьмем отрезки АВ
DE, притом DE>AB.

Л  О Ев

Г	М Л»G £

Рис. 4

*

Пусть DE в 2* раз больше отрезка т:
DE—2*-nr

теперь от отрезка АВ отнимем отрезок
АО^>-^ АВ, а от отрезка DE отнимем от-

* Намек иа это доказательство мы встречаем
еше у Аристотеля. Аристотель, обосновывая
причину несоизмеримости диагонали квадрата
с его стороною, выразился однажды так: «При-
чина этой иррациональности лежит в том, что
четные и нечетные числа должны были быть
равными; Der Grind dleser Irrationalitat liegt da-
rin, weil sonst Grades und Cngrades gleich sein
mUsste: (Moritz Cantor «Vorlesuugen fiber Geschich-
te der Mathematik» Bd. I S 154j

** M. Кантор также замечает, что из этого по-
ложения Эвклид не делает никаких выводов,
даже тот, что отношение двух несоизмеримых
отрезков можно всегда заменить таким отноше-
нием двух соизмеримых отрезков, которое бу-
дет отличаться от первого отношения на любую
малую величину «...Zieht Euklid kelne Folgerwig
aus ihm, nicht elnmal die, welche man vor alien
Dingen crwarti n sollte, dass wenn zwel GrCssen
incommensurable sind, man immer ein der ersten
Grosse Commensurables bilden konne, 'Welches von
der zweiten GrCsse sich urn beliebig weniges unter-
scheide» (M, Cantor, там же, стр. 231).

резок DM=— DE; тогда отрезок OB<F
• 2

<^МЕ=^2к~^.т.

'Ро же самое мы сделаем с отрезками ОВ
и ME.

Так как от остатка ОВ мы отняли отре-
зок OF ОВ, а от отрезка ME отняли.

MN=-—ME, то остаток

лг 2

EB<Af=2*-2-nz.

Если теперь этот процесс исчерпывания
применим # раз, то в результате получим
остаток, меньше 2* — г‘-т = т, т. е. получи»
остаток, меньшйй какой угодно малой дан-
ной величины.

Способ нахождения общей меры двух ве-
личин заключается в последовательном исчер-
пывании большей величины меньшею.

Когда величины АВ, CD соизмеримы, то
в результате исчерпывании оольшей величины
меньшей получим остаток, которой будет об-
щей мерой этих двух отрезков. Пусть в ре-
зультате применения алгоритма Эвклида мы
получим на отрезках АВ, CD ряд остатков
ЕС, FA, КС... и др.

Пусть КС—последний остаток, который
содержится без остатка в FA. Отрезок FA
измеряет отрезок ЕК, ЕК измеряет отрезок
BF, a цзмеряет отрезок DE, отрезок КС,
измеряя отрезки ЕК и DE, измеряет и их
сумму, т. е. отрезок DC.

Д F	В

> -	।---- -------1

С К	Е	D

|—<—--------1-------------------

Рис. 5

Точно так же отрезок КС, измеряя отре-
зок ЕК, измеряет и отрезок BF, т. е. отре-
зок КС измеряет отрезок BF и отрезок FA,
а, значит, и весь отрезок В А. Поэтому отре-
зок КС есть общая мера двух отрезков ВА
и DC. 

От] езок К С есть иаибо; ыпая общая мера
этих двух отрезке в. j \

Доказательство. Допустим, что какой-
нибудь другой отрезок а, больший отрезка КС,
представляет общую меру .этих двух отрез-
ков. Тогда отрезок а измеряет отрезок ВА.
Отрезок ВА измеряет отрезок Г)Е, т. е. от-
резок а измеряет также и отрезок ЕС. С дру-
гой стороны, отрезок ЕС измеряет отрезок
FA, отрезок FA измеряет отрезок КС. Мы
пришли к противоречию, что большая вели-
чина а измеряет меньшую величину КС, а это
невозможно. Следовательно, отрезок КС есть
общая наибольшая мера двух отрезков АВ
и CD.

В случае несоизмеримости отрезков про-
цесс откладывания меньшей величины на
большей, остатка — иа меньшей величине и
т. д. будет бесконечным, т. е. мы никогда
«е получим остатка, равного 0.

Отношение двух отрезков в этом процессе
представляется, как цепная дробь. Когда ве-
личины несоизмеримы, то эта цег.ная дробь
будет бесконечна. Например, отношение ги-
потенузы квадрата к его стороне выражается
такой ^бесконечной цепной дробью.

Это можно доказать последовательным
«счерпыванием диагонали квадрата его ка-
тетом.

Отложим катет а на диагональ b (пусть на
гипотенузе этот катет будет АМ). Из точки М
восставим перпендикуляр MN к АС.

&MNC прямоугольный и равнобедренный,
тогда МК=МС, но MN=ND (как каса-
тельные, проведенные до окружности из одной
точки).

Теперь отложим на гипотенузе NC отрезок
NF=MC=F
DC=/W4-NF + FC=2Z4-
4^XC=2Z-f-Z1

к проведем /Т) | DC; тогда аналогично по-
лучим

AfC=Z = 2Z1 + FzC1 = 2Z1 4-Z2

и т. д. Мы видим, что процесс исчерпыва-
ния гипотенузы катетом" будет бесконечен.

Из полученных неравенств

=«-}-. z
a = 2z4'4
Z = 2Z1-|-Z2
= 2 ^2 4“ ?3

выведем, чему равняется отношение —
а

+ l = i + ±

а а

I

(О

Подставляя в равенство (1) последователь-
но ряд значений
е»

a	I

— »	.	• 4

I	II	z2

получим:

Выражаясь нашим математическим языком
и считая, чго существование иррациональных
чисел и действий иад ними нам известны,
мыслим, например, таким образом: если сто-
рону квадрата принять за единицу, то отно-

шение диагонали
няется ]/”2 .

Из тождества
выводим

квадрата к его стороне рав-

(j/2-l) (/-24-1)=!

V 2 - 1 = —1

у/2’= 1 +

Рис. 7

1

1

/а — 1

1
3.	Теория пропорций у Эвклида и ее -
сравнение с теорией иррационального числа

у Дедекинда

«Говорят, что две величины имеют между со-
бой отношение, если меньшую из них можно пов-
торить столько раз, чтобы результат был
равен или больше большей ьеличинь» (тео-
рема IV 4 кнши V «Начал»). Это есть тре-
бование, чтоб для «величин» имел силу по-
стулат Архимеда*.

Кода два отрезка А и В соизмеримы, то
mA = г>В,
или

А.__т

В п

(т и п—числа натуральные).

Когда же величины и В несоизмеримы,
то всегда найдется натуральное число пт та-
кое, что будет действительно такое двойное
неравенство

^>А>[пт—\)В.

Если отрезок В разделим на т равных
частей и нанесем эти части на отрезок А
столько раз, сколько возможно, то в резуль-
тате получим остаток, меньший одной из на-
несенных частей.

Пусть на отрезке А отложилось пт—1 та-
ких частей, тогда

^=^В<<А.

т

Если же отложить на отрезке А пт честей,
то выйдет

А<~В
т

Итак,

п„—1	.	п„, ~

— В<А<-”1 В,
т ' ' т

или %

п„—1 А п „

—----<— <— • (£1)

т Вт

Итак, мы получаем распределение всей
области положительных рациональных -чисел
на 2 класса:

нижний класс:

—, —,...——- {т=^\, 2, 3...)

т т т

* Постулат Архимеда: «Я принимаю следую-
щее.. что из неравных линий н неравных пло-
щадей и неравных тел большее превосходит
мень нее на такую величину, которая, будучи
прибавляема к самой себе, может стать больше,
чем любая заданная величина из тех, -которые
сравнимы между собою» (Вилейтнер. «Хресто-
матия по истории математики*).

верхний класс
п пт + 1 п -1-2

—, -2-1—, -r-—... (т «= 1, 2, 3 ...)
/п т т

Покажем, что разделение рациональных
чисел на 2 класса есть сечение Дедекинда,
А
определяющее отношение
D

Для этого докажем:

1)	что каждое чгело нижнего класса меньше
каждого числа верхнего класса;

2)	что в нижнем классе нет наибольшего,
а в верхнем — наименьшего числа.

Возьмем любое число верхней) класса и
докажем, что оно больше всякою числа ниж-
него класса.

1.	Докажем, что

Пт~-^Пт1--*.

т т,
пусть

ОМ = В.

I "т A = OL>B.
т

М К L

Рис. 8

Выберем среди дробей (рациональных) со
знаменателями тт1 такую наименьшую дробь
N
----, для которой будет действительно сле-

mmt
дующее неравенство:

— А>В
ттх

N

(на рисунке  — А означает отрезок ОК),

Теперь сравним дроби
7V
—и -------------------.

т mmt

Первая дробь не меньше второй. На самом
деле первую дробь можно преобразовать 
„ п .га,	„	.,

в так”ю дрооь: ; величина этой дроби
raffq	ч

не изменилась, но если теперь этот самый
4
отрезок OL измерять не частями а мень-

А
шчми частями -----, то этот отрезок содер-

гага/

жит в себе или равно «„Wj таких частей или
во всяком случае не меньше.
Итак, I

Л
ти _____

т тт1

Аналогично докажем, что

N- 1 >Д;

Итак, мы получим такое двойное неравен-
ство:

п„ > N	- 1'мД .

т ~ тт±	тр1±	тл

”и ^г-1

т ,/i1

2.	Тепеоь докажем, что в нижнем классе
нет наибольшего, а в верхнем — наименьшего
чиёла.

Пусть в нижнем классе есть наибольшее
Ж—1	D М — 1 ,

число —-— и пусть В———Л = а: те-
Л	N ’

перь, если мы N заменим большим чис-
лом 7Уц то

М — 1 л < М— 1 ,

- —-------------А,

Nt	N

или

Л!1— 1	Л4— 1

. •	>—N~*

Поэтому неверно наше допущение, что
в нижнем кла/се есть наибольшее число.

Аналогично докажем, что в верхнем классе
нет наименьшего числа.

Итак, эти 2 класса рациональных чисел
дают сечение Дедекинда, которое определяет
величину отношений двух несоизмеримый
отрезков А и В (а в нашем понимании — ве-

А\
личину иррационального числа — I.

В J

Эвклид дает такое определение равенства
двух отношений (а в нашем понимании усло-
вие равенства двух действительных чисел):

«Четыре величины находятся в том же
отношении, первая ко второй и третья к чет-
вертой, когда равнойратные величины первой
и третьей, взятые по произвольной кратности,
всегда или больше, или равны, или меньше
соответственно равнократных величин 2-й и
4-й, взятых также по произвольной кратности»
(теорема 5, книга V). То есть, если даны 4
величины А, В, С, D, а т и п натуральные
числа, то

А С
В~Ъ'

тогда, когда для каждой пары значений ря
и я одно из трех отношений:

I. тА<^пВ; II. гпА — пВ-, III. тА^> пВ
влечет за собой соответствующее из соотно-
шений:

IV. mC<^nD; V. ,mC=nD; VI. mC>nD.

Неравенства I—IV можно преобразовать,
и тогда условие оавенства двух отношений
несоизмеримых величин напишется так:

п — 1 А я

т Вт
соотношению

я — 1<_А^я	г

т Вт

для каждого т долж ю соответствовать соот-
ношение:

я — 1 С я

т Dm

То есть, условие равенства двух отноше-
ний несоизмеримых отрезков (а в нашем по-
нимании— двух иррациональных чисел) сов-
падает с условием равенства двух чисел
в теории Дедекинда.

Условие неравенства отношений двух пар
несоизмеримых отрезков (а в нашем понима-
нии — условие неравенства двух иррациональ-
ных чисел) выглядит так: «Если кратное пер-
вой величины больше кратного 2-й, а кратное
3-й меньше кратного 4-й, то говорят, что»
отношение первой величины ко второй больше
отношения третьей к четвертой» (теорема 7,
книга V);

то есть	А С

В D

тогда, когда при определенных т и Л нера-
венству тА^> пВ соответствует неравенство

А. п
тС<^пВ, т. е., когда неравенству —
будет соответствовать такое неравенство

С п

D т

Следовательно, и это условие совладает
с условием неравенства двух иррациональных
чисел по теории Дедекинда.

~	А л	С

Отношение — больше отношения —

(а в нашем понимании — иррациональное

А л	С

число — больше иррационального числа —

В	D"

потому, что существует такое рациональное
я
число —, которое одновременно, принадлежит
нижнему классу рациональных чисел сечения
л

— и верхнему кл юсу рациональных чисел
5

(Л
сечения — J.

*

4. Геометрическая алгебра иррациональных
чисел у Эвклида

Произвольно взягый отрезок А Эвклид
«аз лвает рациональны и отрезком. Существует
бесчисленное множество других отрезков,
соизмеримых или несоизмеримых с данным
•отрезком.

Отрезки, соизмеримые с данным произ-
вольно взятым отрезком, называются рацио-
нальными отрезками. Отрезки, несоизмеримые
с данным фгрезком, Эзклид * называет ирра-
циональными отрезками (alogas).

Эвклид устанавливает понятие рациональ-
ных и иррациональных площадей: «Квадрат,
построенный на взятой прямой, называется
рациональным». Площади, соизмеримые с этим
квадратом, называются рациональными, а не-
соизмеримые— иррациональными. Исходя из
•основного свойства, что соизмеримые вели-
чины- относятся между собою, как (рациональ-
ные) числа, Эвклид доказывает такую теорему:
•«Если две величины А и В порознь соизме-
римы с величиной С, то они соизмеримы
между собой» (теорема 12).

Доказательство такое:

Так ‘]как отрезки А и С, В и С соизмеримы,
то они относятся между собой, как числа.
Пусть

А___т

С~~п’

£_Р
В q '

№ Р

Отношения —1 — можно всегда заменить от-
« q

г
ношениями таких целых чисел — и — >
s t

чтобы

Si = O(s);

пусть st=.ks (k — рациональное число);
тогда

А_ г
С~Т

 С__ks '

в ~~Г

Ц * Эвклид еще устанавливает понятие соизме-
римости в степенн. Соизмеримые в степени ве-
личины это — те величины, квадраты которых
соизмеримы. Таким образом, у Эвклида величины
а и /Т соизмеримы, потому что нх квадраты
а1 и b соизмеримы.

или

A r-k
В~~

Видим, что отрезки А н В относятся между
собой, как числа, а потому они соизмерим^!.

Аналогично Эвклид доказывает, что когда
одна из величин А и В соизмерима, а вто-
рая несоизмерима с третьей С, то величины
А и В несоизмеримы между собой (теорема 13);
если же из двух соизмеримых величин А. В
одна, например А, несоизмерима с третьей
С, то величина В будет несоизмерима с С
(теорема 14).

Эвклид оперирует отношениями отрезков
так же свободно, как мы — действите [ы.ыми
числами *.

Теорема 9 говорит, что «когда отрезки
А и В по длине несоизмеримы, то квадраты,
построенные на них, не могут относится меж-
ду собой, как квадратные числа»; на нашем
математическом языке это означает, что
квадрат иррационального числа
не может равняться квадрату
рационального числа.'

Теорема 10. «Если из 4 пропорциональ-
ных величин А, В, С, D первые две соиз-
меримы, то и последние будут соизмеримы,
а если первые две несоизмеримы, то и пос-
ледние также будут несоизмеримы». Это
означает на нашем математическом языке, что
рациональное число не может
равняться иррациональному чис-
лу, и наоборот.

Эвклид рассматривает такое построение
(теорему 15). Если из квадратов, построен-
ных на 4 пропорциональных отрезках А, В, C,D
разность первых двух квадратов (А2—В2)
есть квадрат, сторона которого соизмерима
(или несоизмерима) со стороною А, то раз-
ность двух остальных квадратов (С2—Л2)
есть квадрат, сторона которого соизмерима
(или несоизмерима) со стороною С, т. е., когда
А : В —С : D и сторона уСА2 — В2 соизме-
рима (или несоизмерима) со‘стороною А, то
_________ ♦ '

• Слово «иррациональный» ведет свое начало
вероятно от неправильной перевода греческого
слова на латинский язык. Это греческое слово,
невидимому, означало «невыговариваемое чис-
ло». Этим желали сказать, что эти новые числа,
т. е. отношения отрезков, ие могут быть выра-
жены отношением двух целых чисел; лишь не-
пониманием переводчика об'ясняется то, что эти
числа оказались «нелогичными», как это, неви-
димому, выражается словом «иррациональные
числа» (Ф. К ле йн— «Элементарная математика
с точки зрения высшей', т. 1, стр. 10).
и сторона С2—D2 соизмерима (или несо-
измерима) со стороною С.

Дано: А : В~С : D;

сторона ]/ А2 — В2 соизмерима со стороною А.

Доказать, что стирона У С2—D2 со-
измерима со стороною С.

№-вг

l/B-D1

₽нс. 9

Доказательство:

А С

В D

А2—С2

В2~ D2

A2 _ в2 __C2 — D2

А2 ~ С2 ’
или

]/А2 —В2 у С2 — D2
д ~~ С

Здесь видно, что если сторона У А2 — В2
соизмерима со стороною А, то и сторона
УС2—D2 соизмерима со стороною С.

Теорема 18. Содержание этой теоремы
такое:

Даны два отрезка АВ и CD и на большем
отрезке CD построен прямоугольник CF—
такой, что площадь его равняется одной чет-

0	N

Рис. 10

верти площади квадрата ABNO и отрезок
DE равняется отрезку EF.

Если при таком построении отрезок СЕ
соизмерим (или несоизмерим) с отрезком EF,
то и разность двух квадратов (CD2 — АВ2}

3 Матема-, ииа и физика, № 6

есть квадрат, сторона которого соизмерима
(или несоизмерима) с отрезком CD.

Дано:

СЕ -EF=-AB2;

4
DE=>=EF.

Отрезок СЕ соизмерим с отрезком EF.

Доказать, что:

отрезок ]ЛСО2 — АВ2 соизмерим с отрез-
ком CD.

Доказательство.

Имеем

CD'2 — А В2 — (СЕ 4- EF)2 — АВ2 ~
~(CE-i-EF)2 — 4 CE-EF=(CE — EF)2.

У CD 2 —А В2 = СЕ — EF,

но из соизмеримости отрезков СЕ и EF мож-
но написать

СЕ (т '

— (т и п — натуратьные числа);

EF п

тогда

г----------СЕ — EF т т ~ 11

у CD- — АВ2 ' —— --CE=z----------СЕ;

СЕ	т

то же самое

CD — CE-\- EF=m^—  СЕ;
т

потому отношение

VCD2 — AB2 m — n	m^ncEz-

CD	т ' т

tn — п

/л 4- п

т. е. отрезок усZ)2 — АВ2 соизмерим с от
резком CD.

Аналогично можно доказать, что когда
отрезок СЕ несоизмерим с отрезком EF, то
и сторона У CD2 — АВ2 несоизмерима с от-
резь ом CD.

У Эвклида, конечно, отсутствует определение
действий над иррациональными числами. Сло-
жение и вычитание иррациональных чисел
у него фигурируют в форме сложения и вы-
читания отрезков.

Теорема 16. Если сложить две соизме-
римые величины АВ, ВС, то их сумма — це-
лая величина АС — будет величина, соизме-
римая с каждой из частей АВ и ВС, или
если целая АС будет соизмерима с одной
из частей АВ или ВС, то эти части будут
соизмеримы между собою, т. е. если АВ-у
-\-BC~ АС и АВ соизмерима с отрезком
ВС, то отрезок АС соизмерим и с отрезком
АВ и с отрезком ВС.

33
Доказательство.

Если отрезок АВ соизмерим с отрезком
ВС, то э>и отрезки имеют общую меру т,
которая будет измерять и величину АС.

Теорема 17. Если сложить две несоиз-
меримые величины АВ и ВС, то целая вели-
чина АС будет несоизмерима и с втрез^Ьм
АВ и с отрезком ВС.

Действительно, если допустить, что отрезок
АС соизмерим, например, с отрезком АВ, то
эти отрезки (АС и АВ) имели бы обшую
меру т. Очевидно, что величина т, измеряя
отрезки АС и АВ, измеряла бы и остаток
АС — АВ — ВС, т. е. отрезок ВС.

Следовательно, отрезки АВ и ВС соизме-
римы, что противоречит условию.

Эквивалент умножения иррациональных
чисел у Эвклида мы находим в операциях
с площадями.

Теорема 20. «Прямоугольник, имеющий
рациональные, по длине соизмеримые стороны,
будет рациональный», т. е. произведение
рациональных чисел дает раци-
ональное число.

Теорема 21 (обратная теорема). «Рацио-
нальный прямоугольник АС, построенный на
рациональной прямой АВ, будет имет! раци-
ональную, по длине соизмеримую с ним
высоту ВС», т. е. если произведение
двух чисел есть число рациональ-
ное 11 один из множителей есть
рациональное число, го и второй
сомножитель всегда будет раци-
ональное число.

Теорема 23. Прямоугольник BD, постро-
енный на рациональном отрезке ВС, равня-
ется квадрату, построенному на среднем *

отрезке А, будет иметь высоту DC, несоиз-
меримую по длине с отрезком ВС, т. е. если
СВ -DC = А2, причем СВ рациональный отре-
зок, а / -"-иррациональный отрезок, то и от-
резок DC будет иррациональный отрезок.
Иначе говоря, произведение рацио-
нального и иррационального чи-
сла дает всегда число иррацио-
нальное.

* Средний отрезок это — один из 25 видов
иррациональностей, принятых Эвклидом в своей
классификации.

Так развивается геометрическая алгебра
Эвклида. Мы видим, чтд Эвклид оперирует
отношениями отрезков так, как мы оперируем
действительным числом.

С таким же мастерством Эвклид преобра-
зовывает радикалы, упрощает двойные ирра-
циональности *, не имея аппарата алгебраи-
ческой символики. Для этого Эвклид класси-
фицирует иррациональности. Он разбирает
25 видов иррациональностей. Эти ирраци-
ональности представляют собою квадратные
радикалы и их комбинации, т. е. разговор
идет об отрезках, которые можно построить
циркулем и линейкою.

Надо признать велиыую силу математиче-
ского мышления и воображения Эвклида
который смог, не пользуясь алгебраической
символикой, представить себе и оперировать
такими сложными иррациональностями

Уа±Уа--Ь- = у - г±у

Уа± \Tcf- -^=sj/
где величины а и b соизмеримы.

Выводы

Идею иррационального числа у Эвклида
мы находим в скрытой геометриче-
ской форме отношения двух несо-
измеримых отрезков. Теория ирраци-
онального числа у Эвклида имеет много
общеро с теорией иррационального числа
у Дедекинда. Но Эвклид не дошел до
идеи иррационального числа, он
не рассматривал отношение отрезков, ка> i
число, он не обобщил понятия о числе (на
случай числа иррационального). У Эвклида
отсутствуют эффективные способы вычисле-
ния, отсутствуют определения арифметических
действий над иррациональными числами.
«Если бы Эвклид об'единил все равные меж-
ду собою отношения в одну идею (в одно
родовое понятие), то он дат бы строгое
определение общего понятия о числе (раци-
ональном и иррациональном). Но такая мысль
далека от тех точек^зр .ния, на которых стоял
Эвклид» (Вебер и В ел ь ш г е й н — «Эн-
циклопедия математики», т. I, стр. 144).

Для этого нужно было узаконить в мате-
матике идею бесконечности, которой избега ia
греческая наука.

* На этом мы остановимся в отдельной статье.

«Древние не предполагали, как это делали
впоследствии новейшие математики, все вели-
чины, подвергаемые теоретическому исследова- •.
«ию, выраженными в числах, отнесенных к ка-
Тонкая логическая структура «Начал», ви-
димо, особенно обнаруживается в X книге.
Но здесь ясно обнаруживается диалектическое
противоречие эвклидовского метода. Здесь
больше сказывается давление формы на со-
держание. I

Безусловно, все сложные геометрические
операции над иррациональностями, при по-

могли современного математического аппарата,
суть задачи, достаточно элементарные.

Отдельные моменты теории иррациональ-
ности у Эвклида могут быть использованы
в преподавании в средней школе для геомет-
рической интерпретации иррациональных чи-
сел и преобразования иррациональных выра-
жений. 4

ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ОТ СЕЧЕНИЯ

КУБА И ИЗГОТОВЛЕНИЕ ИХ ИЗ РАЗВЕРТОК	•

Методические материалы для кружковой работы в средней школе

И. А. КАРАСЕВ

§ 1.	Введение

Наряду с вопросами и задачами текущего
курса геометрии средней школы можно ука-
зать целый ряд тем, выходящих из рамок
ее программы и вместе с тем представляю-
щих значительный интерес как с чисто мате-
матической точки зрения, так и с точки
зрения их практического применения. Такие
вопросы математики можно штудировать во
внеурочное время в математических круж
ках, составленных из учеников наиболее
пытливых и живо интересующихся матема-
тикой.

Выбор тем для работы такого кружка
должен быть особенно тщателен. Темы дол-
жны быть свежи и интересны и, вместе
с тем, посильны учащимся и не должны
ребовать большой дополнительной теорети-
ческой базы. Применение тем к вопросам
практики или связь их со смежными отде-
лами техники или естествознания может при-
дать им еще больший интерес в глазах уча-
щихся. Помимо этого, работа над темами
должна преследовать определенную методи-
ческую цель, в частности среди геометри-
ческих тем особенно ценными являются
такие, которые способствуют развитию про-
странственного воображения и мышления.

Среди подобных геометрических тем мало
найдется таких, которые могли бы соперни-

коЦ-нибудь мере, принятой за единицу, но рас-
сматривали их, как quota; такое предположение
в приложении к несоизмеримым величинам
потребовало бы введения иррациональных чисел;
строгое определение этих последних включало
бы в себя идею бесконечности, что было про-
тивно традициям греческцх геометров» (К е д-
ж о р и — «История элементарной математики»,
стр. 367).

3*
с

чать по красоте и изяществу изучаемых
об'ектов с теорией правильных и полупра-
вильных многогранников. Недаром великие
художники, как Леонардо да Винчи и Дю-
рер, изучали и зарисовывали их форму.

Но вместе с тем аналитическая сторона
изучения их (в большей их части) вполне
доступна учащимся и отличается не меньшим
изяществом, чем чистогеометрическая.

Наконец, самое осуществление и изго-
товление самих тел не так уж трудно и
вполне по силам учащимся, особенно если
применить для вычерчивания разверток и
^склеивания тел приемы, указанные ниже.
Самый процесс вычерчивания тел и их
разверток и склеивания из них тел — в
сильной степени развивает пространственное
воображение. Наконец работа над правиль-
ными и полуправильными многогранниками
является хорошей подготовкой к изучению
кристаллографии, и с этой точки зрения
интересы учащихся расширяются, выходя из
рамок математики в широкую область есте-
ствознания.

§ 2.	Методические замечания

Важнейшей целью изучения стереометрии
является развитие пространственного во-
ображения, т. е. отчетливого представления
расположения прямых и плоскостей в про-
странстве, их пересечения, представления
фигур, получаемых при этом,— представле-
ния величины н направления кривизны по-
верхностей и геометрических форм, получае-
мых от пересечения кривых поверхностей
как между собою, так и с различными пло-
скостями и линиями.	4
При изучении стереометрии, в отличие от
планиметрии, плоский рисунок далеко не
всегда помогает уяснению поставленного
вопроса. Рисунок, изображающий стереомет-
рическую форму, надо сначала научиться
читать, т. е. научиться рользоваться теми
условиями, знание которых облегчает чте-
ние и которые не всегда совпадают с дей-
ствительно помогающими воображению тре-
бованиями естественной переспективы.

Плоский рисунок при изучении стерео-
метрии есть вторая ступень наглядности;
предшествующей ей ступенью является мо-
дель. Модели бывают самые разнообразные:
сплошные деревянные, полые деревянные,
металлические и картонные, каркасы прово-
лочные, деревянные, бумажные-трубчатые,
нитяные. Изучение модели является наиболее
доступным способом изучения стереометри-
ческих образов. Имея мод . ль и пользуясь
правилами перспективы (для геометрии обычно
ортогональной, реже—центральной) учащийся
сможет и сам сделать ,чертеж изучаемого
тела. При этом он научится применять услов-
ные правила переспективы, которые затем
помогут ему правильно читать чертежи.

При изучении стереометрии и ее техни-
ческих приложений чрезвычайно большое
значение имеет изучение сечений тела
(обычно сечений плоскостью). Сечение тела
(ош рация, обратная проектированию) есть
мощный метод изучения свойств тела.
Неопытному глазу учащегося проследить
контур сечения обычно бывает довольно
трудно. Поэтому в начале изучения следует
предпослать чертежам сечений предваритель-
ные эксперименты. Эти эксперименты могут
быть самых разнообразных видов. Простей-
ший из них, но и наименее точный — это
изготовление моделей из пластичного ма-
териала, или материала легко поддающегося
рассечению. Модели тел лучше всего вырезы-
вать из крупного картофеля или из брюквы
и затем производить сечения острым и тон-
ким ножом. При достаточном навыке можно
получить довольно удовлетворительные ре-
зультаты. Ребра полученного тела следует рас-
крашивать остро очиненными химическими
карандашами, причем периметр сечения сле-
дует выделять особым цветом, например
красным.

Более точный, но и более трудный способ
изготовления моделей тел, это вычерчивание
разверток тела на бумаге и склеивание из
них тел. Способы вычерчивания разверток
даются в курсах черчения.

Как самое тело, так и ча’сти его, получае-
мые при сечении, учащиеся склеивают из

развертки, вырезанной .из плотной бумаги-
папки. Так как работа вычерчивания развеп-
ток и склеивания из них тел требует значи-
тельного времени, то здесь предлагается
несколько приемов, сокращающих обычный
процесс черчения.

Методическое значение предлагаемых за-
дач заключается, главным оиразом, в развитии
пространственного воображения. Вот отдель-
ные моменты этого процесса:

1)	Прежде всего при самом задании сече-
ния учащийся должен начертить его, а для
этого он должен представить себе, как
пройдут секущие плоскости и какие фигуры
получатся от пересечения этих плоскостей
с поверхностью дачного тела, а иногда и
между собою.

2)	Затем, представив себе совокупность
граней тела, получаемого от сечения, и пред-
ставив себе самое тело, учащийся должен
осуществить его, т. е. склеить разверку как
самого тела сечения, так и оставшихся от
сечения частей (обрезков). Изготовление раз-
вертки, обыкновенно состоящей из одного
неправильного и сложного многоугольника,
рассеченного целой сетью прямых, является
прекрасным упражнением в деле развития
пространственного воображения.

3)	Склеивая развертки тела и тут же на-
чертив его в аксонометрической или централь-
ной переспективе, учащийся должен решить
ряд задач на вычисление по отношению к
этому телу: определить его об'ем, полную
поверхность, двугранный угол (или углы)
между гранями, между ребрами, наклон
ребра к грани и т. д. Здесь ему придется
проводить ряд прямых линий как на поверх-
ности тела, так и внутри его, находить их
функциональную связь и на основе ее
решать поставленные вопросы.

Рея эта работа дает богатый материал как
для развития пространственного воображе-
ния, так и для развития функционального
мышления.

§ 3. Несколько сведений о полуправнль-
ных многогранниках

Сведения о правильных многогранниках
можно найти почти в каждом учебнике гео-
метрии. Менее известны так называемые
«полуправильные многогранники». Так назы-
ваются многогранники, имеющие равные
ребра и равные конгруентные многогранные
углы. Гранями их являются правильные
многоугольники разных видов. Одно-
именные многоугольники должны быть равны,
разноименные должны имегь равные стороны.
Так, например, полуправильные многогранники
могут быть ограничены равными квадратами
и равными треугольниками, равными пяти-
угольниками и равными шестиугольниками и
т. д. Основными пунктами учения о полу-
правильных многоугольниках являются: клас-
сификация таких многогранников, число и
виды многоугольников, которые могут быть
гранями полуправильных многоугольников,
число их rj аней, ребер и вершин, число
граней многогранного угла, вычисление по-
верхностей и об'емов этих тел, вычисление '
их двугранных углов, радиусов вписанных и
описанных шаров и, наконец,—симметрия
многогранников.

Полуправильные многогранники были из-
вестны еще Архимеду, открывшему несколько
видов их. Ими занимались великие ученье,
как Кеплер, и художники Леонардо да Винчи
и Дюрер. Учение о них оформилось в начале
XIX в. в работах Kostner’a и Sergonne’a, и
в позднейшее время—Catalan’a, М. Briickner’a
и других.

Построение полугравильных многогранников
осуществляется обычно усечением ребер
правильных многогранников.

Исследование их видов ведется на основа-
нии общеизвестной формулы Эйлера: e-J- f=
— k-\-2 (т. е. число вершин-}-число граней
равно числу ребер -}-2) и теорем о плоских
углах трехгранного и многогранного углов,
т. е. тем же методом, который применяется
к исследованию правильных многогранников.

В отличие от правильных многогранников
(их число 5), число полуправильных много-
гранников не ограничено. Это легко видеть
из следующих соображений:

I. Правильная призма, в основании кото-
рой лежит правильный многоугольник с п
сторонами, а боковыми гранями служат
квадраты, — полуправильный многогранник.
Сумма плоских углов его многогранною угла
выражается такой формулой:

(2 \
1-----).

п /

При любом п S<360°, следовательно
число таких полуправильных многогранников
не ограничено.

П. Четырехгранный угол без участия пра-
вильного треугольника составить аз правиль-
ных многоугольников нельзя. На самом деле:
наименьшие из углов правильных фигур,
следующих за треугольником,— углы квад-
рата, дают для суммы 4 плоских углов
формулу: 4-90 — 360. Образовав четырех-
гранный угол из 3 углов правильных тре-

угольников и одного угла правильного и-
угольника, мы получим такую формулу
для суммы плоских углов этого четырех-
гранного угла

(2 \

1-----]•

77 /

И здесь при любом п S < 360°.

Такие комбинации выделяют бесчисленное
множество полуправильных многогранников
с четырехгранными углами. Это—так назы-
ваемые «антипризмы», имеющие в осно-
вании равные правильные многоугольники,
расположенные так, что против вершины
одного из них находится средина стороны
другого. Боковыми гранями их служат пра-
вильные треугольники.

III.	Исключив эти два общих случая —
правильных призм и антипризм,— в дальней-
шем получим, как эго выясняется при под-
робном исследовании, ограниченное число
комбинаций, дающих нам уже ограниченное
число полуправильных многогранников, имен-
но 13, с различным числом граней—о'г 8 до 9.

§ 4. Формулы для числа вершин, граней
и ребер полуправильных многогран-
ников*

Если мы выберем определенный тип грани
(например треугольник, квадрат и т. п.) и
определенное число граней этого типа, рас-
положенных при одной вершине полупра-
вильного мнргогранника, то можно составить
формулы, позволяющие исследовать вид
многогранника, и установить общее число
таких видов.

Как известно из теоремы Эйлера, число
вершин многогранника, сложенное с числом
его граней, больше числа его ребер на 2.
Обозначая число всех вершин многогранника
буквой Е, число граней его через F, а число
ребер через К, мы выразим эту теорему
так:

Как сейчас увидит читатель, конструкция
многогранного угла полуправильноТо много-
гранника вполне определяет вид многогран-
ника, т. е. число его вершин, граней и ре-
бер. а также число граней каждого вида,
Образующих поверхность многогранника. '
Поэтому обратимся к исследованию одного
из многогранных углов нашего многогранника.
Ниже (примеч. 1) будет доказано, что число

* Вывод формул 4—7 взят из «Сборника гео-
метрических задач на построение» А. Н. Г л а-
голева, 1890 г.
различных типов многоугольников, ограни-
чивающих многогранник, не может быть
более 3.

Пусть даны 3 типа граней, образующих
многогранник.

Одна грань I типа содержит а сторон:—
й-угольник _

Одна грань II типа содержит Ь сторон:—
^-Угольник	•

Одна грань III типа содержит с сторон:
с-угольник.

Пусть при одной вершине находится а
граней I типа, граней II типа, у , граней
III типа, т. е. многогранный угол образован
а. а-угольниками, £>=угольниками, у с-уголь-
никами.

Подсчитаем теперь общее число плоских
углов многогранника. При одной вершине
находится а плоских углов I типа, —
плоских углов II типа, у — III типа. Следо-
вательно, общее число плоских углов при
одной вершине равно а -J- [i -f- у. • А так как
всего вершин Е, то общее число плоских
углов много! раз ника равно

£(*+'₽ +7)-

С другой стороны, при каждом ребре рас-
положено 4 плоских угла; полагая число
ребер К, получим общее число плоских
углов при всех ребрах = ^К, но так как
каждый плоский угол образуется двумя
ребрами, то при предыдущем подсчете мы
каждый плоский угол считали 2 раза, сле-
довательно общее число плоских углов мно-
гоугольника будет в два раза меньше, т. е.
~2К.

Таким образом Е (а р -J- у) — 2К. (1).
Формула дает зависимость между числом
ребер и числом вершин.

Выразим теперь число граней многогран-
ника F через Е. '

Число граней I типа при одной вершине =а,

»	»	» »	> всех Е вершинах—

= а.Е. '

Но так как каждая грань имеет а вершин,
то при предыдущем подсчете мы каждую
грань считали а раз, следующее общее
(tE

число граней 1 типа =—	(2).

а

Подобным же образом подсчитывая, полу-
чим, что, число всех граней II типа будет
$Е

равно — (ty, число всех граней III типа

''Е

будет равно -—	(3)

-	с

I

Следовательно, общее число граней много-
гранника равно

(4,
а b с \а Ь с /

Подставляем выражения для 2^ и F в
формулу Эйлера, придав ей такой вид:
2£ f-2F —2tf=4.

2Е-\- 2а7—)—£•(« + ₽-!-у) =4,
. \а b с /

, откуда получим выражение Е через а, Ь, с,
и а, р, у.	(5)

2 - (а + ₽ +у) + 2 f-4-4	46)

be]

t Примечание 1. Число типов правильных
многоугольников, ограничивающих полупра-
вильный многогранник, не может быть более
3. В самом деле) допустив 4 типа и взяв
при этом при вершине по одному много-
угольнику с наименьшими углами, т. е.
3-,4-,5-и 6-угольники, мы получим для мно-
гогранногЬ угла сумму углов: 60°-4-90°-|-
-{—'108° у 120°=378°, т. е. число, большее
360°.

Примечание 2. Полуправильный мно-
гогранник может иметь лишь трех-,
четырех- и пятигранные углы, так как
шестигранный угол с наименьшими плос-
кими углами, равными 60°, дает для
них сумму 360°.

Обратимся теперь* к рассмо-
трению различных видов полу-
правильных многогранников.

§ 5. Многогранники* с трехгранными
углами и с гранями 2 типов

Положим, что трехгранный угол образуется
одним многоугольником I типа и двумя
многоугольниками II типа.| Тогда а = 1,
р=2, у = 0.

Формула для Е принимает такой вид:

2-ЧН 2)4-2
преобразован и й

_	4п/?

Е —-------------------

4<z-|- 2Ь — ab

или после

(7)

Давая a n b разные значения, мы будем

получать различные виды полуправильных
многогранников а трехгранными углами.

При этом следует иметь в виду, что Е
(число вершин) должно быть целым и
положительным числом.
1) Пола! асм, что трехгранный угол нашего
многогранника образован одним правильным
«-угольником и двумя квадратами. Тогда

а — 1, р = 2

«=,«, Ь — ^.

Число граней II типа (правильный воеьми-

2-24
угольник) = F2 =-------~ б

8

4 • п 4- 2 • 4 — 4 • п

Число граней I типа = — =------------ — 2

а п

прав, «-угольника.

„	„	?>Е	2-2 п

Число граней II типа = -— —-----------= п

b 4

Получаем полуправильный 14-гранник, об-
разованный 8 правильными треугольниками
и 6 правильными восьмиугольниками.

Формула числа граней (8Ш6VIII).
(См. задачу 7.) Число ребер его Е =
= 1-24 (14-2) =36.

квадратов.

„	_ аЕ , BE 2н , 2-2/?

Число граней г—--------——-—4-----------=

а b п ' 4

-4- 2 п,

т. е. получаем правильную «-угольную
призму с 2 основаниями (правильные « уголь-
ники) и « боковыми гранями — квадратами.

теперь а=1’л= 2
вершин

4-3-10

4) Положим

Тогда число

Е-—

4-34-2-ID—3-10

Ft— число 1 раней I типа (правильный

60

треугольник) = — = 20.

2) Положим теперь « = 3; Ь = 6, т. е.
при вершине сходятся 1 треугольник и 2

правильных шестиугольника
Тогда число вершин

а—1
а— 3

(1 = 2

£ — 6

F2 — число граней II типа (правильный
х 2-60 ,п
десятиугольник) = — ^	= 12.

Е =

4-3-6

4-34-2-6 — 3-6

= 12.

Число ребер /<=— -60-3 = 90.
2

Число граней I типа (правильных гре-

ч аЕ 1-12
угольников) = —=---------= 4.

а 3

Число граней II типа (шестиугольников)—
“>£==2-12^1
' b 6

Получаем полуправильный восьмигранник,

ограниченный 4 правильными треугольниками
и 4 правильными шестиугольниками (см. за-
дачу 5). Общая формула его поверхности

1

(4I1I-|-4V1). Число ребер его К=- Е(а4~



' 3) Положим

теперь

« = 3,
а=1,

6 = 8J

е.

при вершине сходится один правильный тре-
угольник и 2 правильных восьмиугольника.

г-	4-3-8

i огда Е =---------------= 24.

4-34-2-8 —3-8

Число граней I типа (правильный тре-

 • аЕ 1-24 о
угольник) = Et = -—- =----= 8.

а 3

Общее числе граней F= 32. Получается
правильный 321 ранник, ограниченный 20
правильными треугольниками и 12 правиль-
ными десятиугольниками.

Общая формула его (20Ш -f- 12Х). Получа-
ется при рассечении додекаедра.

Примечание 1. При « = 3 Ь не может
быть более 10, так так, полагая 7> = 12,
мы получаем Е = оо. Сумма плоских углов
трехгранного угла в этом' случае = 60о4~
4-2-150° = 360°, при £^>12 получаем
£<0.

Примечание 2. Если предположить слу-
чай, что « = 3, а b = нечетному числу,
например 9, то хотя формула для Е дает
целое число 36, но построить многогран-
ник нельзя.

* В трехгранном угле b должно быть число
четное. В самом деле, поместив один &-уголь-
ник в средине и приставляя к нему по оче-
реди «-угольник и /^-угольник, мы можем
только в том случае образовать при всех его
вершинах трехгранные углы одной схемы
(abb), с одним «-угольником и двумя ^-уголь-
никами, если ^-угольник содержит целое число
пар сторон (см. рис. 1)
то получаем один трехгранный угол, образо-
ванный не по схеме (abb), а по схеме (ааЬ).

5) Полагая а = 4, Ь = 6, получим для Е

4-4-6

4^4 4-2-6 — 4-6

 1

Число граней I типа Ft = ——= 6

квад-

ратов).

24-2

Число граней II типа F2z=l———8

(шестиугольников).

Многогранник ограничен 14 гранями, из
которых 6 квадратов и 8 правильных шести-
угольников. Формула (6IV4- 8VI). (См. зада-

чу 6.) Число ребер: К — ~ • 24 (3) = 36.
2

При а — 4, b не может быть более 6. В

самом деле, полагая b = 8 (только четному
числу), мы получим Е — ОО.

Сумма плоских углов трехгранного угла при
этом равна 90° 4~ 2 • 135° = 360°.

6) Полагая а = 5, Ь — 6, получим-

4-54-2-6 — 30

60 • 1

F± — число граней I типа =---= 12 пра-

•	5

вильных треугольников.

F2 — число граней II типа = -^-^=20пяти-
6

угольников.

Многогранник имеет 32 грани, ограничен
12 правильными треугольниками и 20 правиль-
ными пятиугольниками. Получается от сече-
ния икосаедра. Число ребер его К =

= 60- —-3 = 90.
2

§ 6. Многогранник с трехграннляь уг-
лами, образованными гранями 3 типов

Предположим теперь, что наш трехгран-
ный угол составлен из 3 правильных много-
угольников разных типов. Тогда а = ^ = у =
= 1 и формула (6) для Е принимает такой
вид.

2 — 3-1- 2 (“ + ~4------)

\ а b с/
4

Таких многогранников может быть только
два.

7)	я = 4, /? = 6, с=8.

£ =----------------= 48.

- V-

4	6

т	1-48	'

Fi — число граней 1 типа = ———=1Z
квадратов.

1 -48
F2 — число граней II типа = —— = 8

правильных шестиугольников.

1-48

F3 — число граней III типа = -	- — &

правильнь’Х восьмиугольников.
*

Многогранник имеет 26 граней (12lV—|—

8 VI-)-6 VIII); получается от сечения окта-
едра (или куба).

8) Пусть fl=4; /> = 6; с=10;

Е =--------------=120.

л-угольники, а боковую поверхность, состав-
ленную из 2л правильных треугольников.

10) Положим теперь, что а = 4, Ь = 3,
тогда

а = 3, а = 4,
£=1, Л = 3.

4	6	10

„ 2аЬ	2-4-3

Е —__________—_____________— 94

a-\-3b—ab	4X3-3 —3-4

Ft —число граней I типа =	= 30 ква-

дратов.

Г-	„	!-120 ПП

Д2 —число граней II типа = ---=20 ше-

стиугольников.

„	.	1-120

г3 — число граней III типа = ——- =12 де-

сятиугольников.

Общее число граней Д=62

Число ребер: Л"=120- ^-3=180.

Полуправильнь'й 62-гранник	(30IV -(-

-|- 20VI -[ 12Х), получается из "йкосаедра.

Таким образом, всего имеется 8 видов
полуправильных многогранников, имеющих
трехгранные углы; из них 1-й вид общего
типа — призмы с «-сторонами.

§ 7. Многогранники с четырехгранными
углами

I. Предположим, что каждая вершина
многогранника четырехгранная, и пусть
граней I типа при ней 3, т, е. а=3.

» II »	»	» 1, т. е. £=1.

Тогда формула для Е принимает вид:

4

Д=-------------=—или

2-(3+1) + 2 р + -

\а О/

9) Полагая « = 3, можем дать b любое
значение п.

г, 2-3-я

Тогда Е —------------= 2п.

3 —|— Зл — Зп

_	,	2п • 3

Ft—число граней 1 типа =-----—2п пра-

	3

вильных треугольников.

2 л • 1

F2 — число граней II типа =. - —=2 пра-
п

вильных «-угольников.

Получается антипризма, имеющая сво-
ими основаниями правильные и равные

Ft — число граней 1 типа =	
• а _, 3	
= Д- = 24--= 18	
а	4	формула
До — число граней II типа = R	1	(18111-f- 61V)
= Д—=24-—=6	
b	3	

Общее число граней Д=26.

Получается 26-гранник (см. §11, задача
№ 8). Образуется сечеНием куба (или окта-
едра).

При b > 3 многогранники невозможны,
так как Е = «> или Е 0.

II. Предположим, что четырехгранный угол
образован двумя многоугольниками I типа
двумя многоугольниками И типа, т. е. а =

и ji = 2. Тогда основная формула для Е при-
мет такой вид:

№ s

2 (а и) — ab

11) Допустим, что а = 3, b = 4, т. е„
четырехгранный угол образован двумя правиль-
ными треугольниками и двумя квадратами,
тогда

а = 2, а~3,

Р = 2, 6 = 4,

Подставляя эти значения в формулу (10),
получим:

а	2

Число граней Iтипа F1~E — =12- — =
а	3

= 8 треугольников.

В	2

Число граней II типа /го = ДГ-= 12  — =

Ь	4

= 6 квадратов.

Общее число граней Д=14.

Формула поверхности (8IIIЦ- 6IV).
Число ребер К= — • 12 (2-|- 2) — 24.

2

Полученный при этом полуправильный
14-гранник может быть построен посред-
ством сечения ребер куба или октаецра по-
полам (см § И, задачи № 3, 4).

12)	Положим, что а=3, ft = 5, т. е.
четырех! ранный угол образован двумя правиль-
ными треугольниками и двумя правильными
пятиугольниками;

а = 2, в = 3,
j} = 2, ft = 5.

Тогда по формуле 10 получим

Е  -----------------— 30.

2(34-5)—3-5

2

Число граней I типа Ft — 30 • — = 20 тре-

угольников.

2

Число граней II типа F2 = 30— —12 пяти-

I	5

угольников.

Всего граней F—32.

Формула поверхности (20III —|— 12V).

Число ребер /С= — -30 (3-|-5)= 120.

2

Полученный 32-гранник образуется посред-
. ством рассечения ребер икбсаедра пополам.

Значения а 4> 3 и b > 5 дают для Е от-
рицательные числа.

13)	Предположим теперь, что четырехгран-
ный угол образован правильными многоуголь-
никами трех типов, причем один из них
треугольник, два — квадрата, один — пяти-
угольник. /Тогда, следовательно, полагая

а—1, р — 2, у=1,
а=3, ft = 4, с—Ь,

получим для Е такую формулу:

тов. Число граней III типа F3 = 60- -=12

правильных пятиугольников.

Всего граней F=62.

Формула поверхности (20I1130IV 4~ 2V)

Число ребер /<=— -3-60 = 90.

%	2

Полученный полуправильный 62-гранннк
образуется путем сечения икосаедра.

§ 8. Полуправильные многогранники
с пятигранными углами

Пусть пятигранный угол многогранника
образован многоугольниками двух типов, при-
чем граней I типа при каждой вершине бу-
дег 4, а второго типа — 1, т. е. а = 4; [) =
= 1; у = 0. Тогда формула для Е примет
такой вид:

/?=-

4-аЬ

4

20 4- 8ft — За ft

(формула» 11)

14) Полагая, что грань I типа — правиль-
ный треугольник, а грань II типа — квадрат,

мы получим

которая для

Е =

таблицу;

а = 4, а = 3,

₽=1, ft-.4,
Е дает

4-3-4

= 24.

2.34-8-4 —3-3-4

4

Число граней 1 типа /\ = 24 • —= 32

лра-

2-(а + ₽ + у)+2(- -Д + 1)
\а b с)

/1	2	1 \

2 — (1 Ь2 + 1)4-2 (’х + 'т+т)

\ о	О /

Число граней I типа Ft = 60 • — = 20 тре-

угольников.

1

Число граней II типа F.,—60 — = 30 квадра-

2

вильных треугольника

Числи граней II типа /г2 = 24- — = 6

ратов.

квад-

Общее число граней F=38.

Формула поверхности (32Ш -|- 6IV).

Число ребер К = — • 24• 5 = 60.

2

15) Положим теперь, 'его при предыду-
щих условиях гранью II типа будет служит!
правильный пятиугольник.

Тогда

а = 4, а = 3,

р = 1, ft = 5 по формуле (И).
2-3-I-8-5 — 3-3.5

4

Число граней I типа /у = 60 —= 80 пра-

3
вильиых треугольников.

• 1

Число граней И типа F2 - 60 •—= 12 пра-

5

вильных пятиугольников. '

—»------—---------—______________________

Общее число граней F = 92.
Формула поверхности (80Ш-|-12V).

Число ребер: К=— -60 (44-1) = 150.

При иных значениях а, у и а, b и с в слу-
чае пятигранных углов получаются для Е дроб-
ные, бесконечные или отрицательные значе-
ния.

Таким образом, всего существует 15 полу-
правильных многогранных тел, из них два —
общего типа: n-сторонняя призма и 2п-уголь-
•ная антипризма. 1

Ниже приводим таблицу полуправильных
многогранников с указанием числа и типов
их граней, числа вершин и ребер.

§ 9.	Таблица полуправильных
многогранников

Обозначения: число граней полуправиль-
ного многогранника — F, число вершин его —

Е, число ребер его - К. Число сторон много-
угольника I типа ~ а, II типа = ^, III типа
= с. Число многоугольников I типа, сходящихся
в вершине телесного угла многогранникам а,
число многоугольников II типа, сходящих-
ся в вершине телесного угла = ^. III — соот-
ветственно = у.

Число граней, являющихся многоугольни-
ками I типам/у, II типам F2, III типам

§ 10.	Построение простейших полупра-
вильных многогранников

Основной способ построения полуправиль-
ных многогранников это — отсечение от пра-
вильных многогранников равных частей
плоскостями, рассекающими ребра их одина-
ковым способом.

I.	Деление ребер пополам.

а)	Рассекая ребра тетраедра пополам пло-
скостями, получаем октаедр.

б)	Делая то же с кубом, получаем
полуправильный 14-гранник, ограниченный
восемью правильными треугольниками и
шестью квадратами, что можно записать
такой формулой (8III -|- 61V).

в)	Рассекая пополам ребра каждого из
Четырехгранных углов октаедра плоско-
стью, мы получаем полуправильный 14-гран-
ник такого же вида, что и выше (8П1—j—
-|-6IV). Об’яснить это можно тем, что куб
и октаедр — сопряженные правильные много-

	5 О CS Cl <и г-														
		ч У	*												
№	О «ч		а	Ь	С	«		7				Е	К	Е	
		□3 С-													
	2Г	3 X													
														•	
1		4	3	п	—	3	1	—	2	2	——	2 п	4 п	2 л+2	антипризма
2		3	п	4	—	1	2	—	2	11	—	2 п	3 п	«4-2	призма
3		3	3	6	—	1	2	—	4	4	—	12	18	 8	
4		3	3	8	—	1	2	—	8	6	—-	24	36	14	
5		3	3	10	—	1	2	—	20	12	—	50	90	32	
6		3	i	6	—	1	2	—	6	8	—	24	36	14	
7		3	5	6	—	1	2			12	20	—	60	90	32	
8		3	4	6	8	1	1	!	. !2	8	6	48	72	26	
9		3	4	6	10	1	1	1	30	20	12	120	180	62	
												/			
10		4	3	4	—	1	3	—	8	18	—	24	48	26	
11		4	3	4	—	2	2	—	8	6	—	12	24	14	
12		4	3	5	—	2	2	—-	20	12	—	30	60	32	
13		4	4	2	5	2	1	1	30	20	12	60	120	62	
14		5	3	4	—	4	1	—	32	6		24	60	38	
15		5	3	’ 5	—-	4	1	—	8Э	12	—	60	150	92	
гранники: число граней одного равно числу
вершин другого, и обратно.

г)	Рассекая подобным же образом ребра
каждого из трехгранных углов додекаеfl-
pa, мы на месте каждой из 20 вершин его
ставим правильный треугольник, а прежние
пятиугольные грани заменяем новыми (мень-
шими) пятиугольными гранями, вписанными
в прежние. Таким образом получаем полупра-
вильный 32-гранник. Формула поверхности
его (20Ш+ 12V).

д)	Делая подобное же построение с и к о-
саедром, мы создаем на месте каждой из
12 его вершин правильные пятиугольники,
а на месте каждой из 20 граней вчетверо
меньшие треугольники. В результате получа-
ется 32-гранник, подобный предыдущему,
с формулой поверхности (20Ш —|— 12V). Это
понятно, так как додекаедр и икосаедр —
сопряженные правильные многоугольники.

II.	Удвоение числа сторон каждой грани
правильного многогранника.

е)	Деля плоскостями ребра тетраедра в
отношении 1:2, мы заменяем каждую тре-
угольную грань правильным шестиугольни-
ком; в результате получаем полуправильный
восьмигранник с формулой поверхности
(41114-4 VI).

ж)	Из октаедра при подобном же рас-
сечении ребер (1: 2) получается полуправиль-
ный 14-гранник с формулой поверхности:
(6IV-4-8VI).

з)	Из икосаедра при таком же построении
образуется полуправильный 32-гранник, ог-
раниченный 20 правильными шестиугольни-
ками и 12 правильными пятиугольниками, с
формулой поверхности (12V-}-20VI).

и)	Удвоение числа сторон квадрата, т. е.
образование правильного восьмиугольника,
вписанного в квадрат путем замены ломаной
части его периметра прямолинейным отрез-
ком, достигается более сложным построением
(см. задачу № 8). Отсекая от ребра куба с
,	/.	1/"2\

обеих сторон отрезки, равные ( 1 — I___)

\ 2 /

его, и проводя через точки деления плоскости,
мы образуем полуправильный 14-гранник,
ограниченный шестью правильными восьми-
угольниками и восемью правильными тре-
угольниками. Формула поверхности (6VIII—|—
+ 8П1).

к)	Поступая аналогичным образом с до-
декаедром, мы образуем полуправильный
32-гранник, ограниченный 12 правильными
десятиугольниками и 20 правильными тре-
угольниками. Формула поверхности (20’П -j-
4- 12Х).

Дальнейшие, более сложные (см. задачу
№ 8) построения дают полуправильные 26-,
38-, 62- и 92-гранники.

§	11. Система тел, получаемых от сече-
ния куба

Куб, как и всякое другое тело, можно
рассекать бесчисленным множеством способов.
Особенно интересны такие сечения, которые
дают в результате или правильные многогран-
ники, или так называемые полуправильные
многогранники.

Эти задачи отличаются своеобразной кра-
сотой, заключающейся как в красоте и сим-
метрии получаемых тел, так, с другой сто-
роны, в изяществе алгебраических формул,
в которых все искомые в конечном итоге
выражаются в виде функций одного аргу-
мента, а именно: ребра данного куба. Об'емы
тел отличаются лишь коэфициентами, стоя-
щими при а3, поверхности — коэфициентами,
стоящими при а2, линейные величины —
коэфициентами, стоящими при а, углы харак;
тсризуются тригонометрическими функциями,
несложно выраженными. При этом между
об’емами куба и об’емами получаемых от
его сечения тел получается очень интересная
и в большинстве случаев рационально ьы-
раженная зависимость.

Вот система более простых тел, полуа-
емых от последовательного сечения куба.

А. Правильные многогранники

1.	Куб, рассеченный четырьмя плоскостями,
дает тетраедр, ребро которого равно диаго-
нали грани куба, т. е. (1^'2} и четыре пра-
вильные треугольные пирамиды, причем об'ем

1 ,

татраедра равен — об ем а куба, а пирамида =
3

= — части об'ема куба.

6

2.	Рассекая далее полученный тетраедр
четырьмя плоскостями, про» дящими через,
средины ребер его трехгранных углов мы
получаем октаедр, ребро которого равно
половине ребра тетраедра, или ребра ку-

. 1

ба. Об ем октаедра равен -об ема тетраед-
ра или 1-об’ема основного куба.
Б. Полуправильные Многогранники

3.	Рассекая далее октаедр шестью плос-
костями, делящими каждое ребро его на 3
равные части, отсекаем от октаедра 8 пра-

вильных четыреугольных пирамид, и в резуль-
тате получаем полуправильный 14-гранник

с ребром, равным ребра куба, а об'ем

-у^-обема куба. 14-гранник этот ограничен

шестью квадратами и восемью правильными
треугольниками.

4.	Возвращаясь к кубу, рассечем каждый
из трехранных углов его плоскостью, делящей
ребра куба пополам,— получим полуправиль-
ный 14-гранник, ограниченный шестью ква-
дратами и восемью правильными треуголь-
никами. Ребро этого 14-гранника равно ради-
усу круга, описанного около грани куба,
_ Q

т.е. а14_^2-

5

Об'ем 14-гранника равен —а3.

5.	Можно отсечь плоскостью от каждого
из 8 четырехгранных углов куба правильную
треугольную пирамиду так, что каждая грань
куба превратится в правильный восьмиуголь-
ник.

Тогда мы получим 14-гранник нового типа.
Он будет ограничен шестью правильными вось-
миугольниками и восемью правильными' треу-
гольниками, ребро его равно 2—1) ребра

7	_

куба и об'ем 2—1) об'ема куба.

6.	Рассекая каждый из трехгранных углов
тетраедра плоскостью так, чтобы ребра те-
траедра целились иа 3 равные части, мы по-
лучим полуправильный восьмигранник, огра-
ниченный четырьмя правильными шестиуголь-
никами и четырьмя правильными треуголь-
никами.

Об'ем этого восьмигранника составляет
23	4

д- об'ема куба,
о 1

7.	Рассекая октаедр шестью плоскостями,
причем каждая из них делит соответственно
ребра одного из трехгранных у>лов октаедра
пополам, мы получим полуправильный 14-
гранник, ограниченный восемью правильными
треугольниками и шестью квадратами.

5

Об'ем этого 14-гранника составляет--- об‘-

48

ема куба.

8.	Наконец, рассекая куб способом более

сложным, указанным в задачей 8§ 11, причем
как вершины его (8), так и ребра (12) заме-
няются । ранями, мы получаем полуправильный
многогранник с 26 гранями (26 = 8 -f-12 -f-

-|- 6). 06‘ем его т26

2

— —а3 (8—5 V2).

Полное изучение полуправильных многогран-
ников вылодит за границы возможностей
средней школы, но изучение-.наиболее простых
тел, особенно тех, которые получаются от
сечения куба — вполне по силам даже средним
учащимся IX и X классов. Вместе с тем в гео-
метрии мало найдется областей, где бы пред-
меты изучения были так изящны, как здесь.
Недаром великие художники занимались полу-
правильными многогранниками. Но красота
здесь не только внешняя — зрительная; здесь
имеется еще и аналитическая красота — изя-
щество и простота получаемых формул. Все
это заставляет рекомендовать отдел полупра-
вильных многогранников для изучения в мате-
матических кружках средней школы.

§12	. План работы с учащимися IX—X
классов средней школы по изучению
сечения круга и полуправильных много-
 гранников

Задача № 1. Куб (рис. 3) рассечен
четыпьмя плоскостями так, что каждая
из них проходит через 3 вершины куба.
Каждая плоскость отсекает от куба
правильную треугольную пирам -ду, реб-
рами которой служат ребра куба.

Рис. 3

1.	Сделать чертеж сечения и заштриховать
плоскости сечения, обращенные к зрителю.

2.	Проверить чертеж на модели, вырезан-
ной из картофеля или брюквы.

3.	Определить, какое тело останется после
удаления пирамид.

4.	Вычислить по данному а — ребру куба:

а) ребро оставшегося тела, б) его поверх-
ность, в) об'ем; при этом установить, какую
часть об'ема куба составляет это тело, г) дву-
гранный угол между гранями тела, ц) наклон ре-
бра к грани.

5.	Те же вопросы решить относительно
отсекаемой от куба пирамиды.

6.	Начертить развертки куба, пирамиды

и остающегося тела.

7	Склеить все части куба и составить из
них Целый куб.

Решение. Полагая ребро правильного тетра-

едра = Ь, получим его об'ем = —- £3]/2".

Так как Ь—	2, то v тетраедра—

= ^«32 1/2" -/2 =
1 X

Об‘ем пирамиды =—а3 (см. § 12, п. 4);

6

об'ем 4 пирамид (-^- об'ема октаедра) —

2	3

=- - а3, т. е.

3

об'ем правильного тетраедра, реб-
ром которого служит диагональ
грани куба, составляетодну треть
об'ема куба.

Иначе: об'ем куба равен сумме об'емов
правильного тетраедра и половины октаедра,
ребра которых равны диагонали грани куба.

Поверхность тетраедра S=2a2 ]/з .

Решение вопроса 5.

Развертки: отсекаемой пирамиды — рису-
нок 4, правильного тцтраедра-—рисунок 5.

3.	По чертежу' определить, какое тело-
останется после удаления пирамид.

4.	Начертить развертки всех 5 частей:
тетраедра.

Рис. 6

5.	Склеить пять тел и составить из них
тетраедр.

6.	Вычислить: а) об'ем остающегося тела,
как функцию а — ребра основного куба; опре-
делить, какую часть об'ема первоначально
данного куба сос гавляет вычисляемый об'ем,
б) полную поверхность остающегося тела,
в) двугранный угол между его гранями.

7.	Для отрезываемого тетраедра: а) вычис-
лить его об'ем и, сравнив с об'емом тетра-
едра задачи № I, подчеркнуть правильность
теоремы: «Об'емы подобных тел относятся,
как кубы соответствующих линейных эле-
ментов» ; б) Вычислить поверхность.

8.	Показать, что об'ем остающегося тела
равен сумме об'емов отсекаемых тетраедров.

Решение задачи № 2 (см. рис. 6).
В сечении получается октаедр и 4 правиль-
ных тетраедра.

I.	а; Обозначим ребро октаедра через
с. Тогда рассматриваем октаедр как сумму

откуда

двух пирамид с квадратным основанием.

2	> ^ппр

с2

с- 1/2

Т — С ‘

Задача № 2. Правильный тетраедр,
полученный выше в задаче № 1, рассека-
ется четырьмя плоскостями, делящими
ребра тетраедра пополам (рис. 6).

1.	Сделать чертеж Течения, заштриховать
плоскости, обращенные к зрителю.

2.	Вырезать модель тетраедра из какого-
нибудь мягкого материала и произвести указан-
ные сечения.

Об'ем октаедра

ve = 2- —-C--C	сз

8	3	2	3 С И 

Как функция ребра куба

Vs~ Гз

а3

Т

Об'ем октаедра равен части об'ема ос-
новною куба и по лов. не данного в задаче
тетраедра.

2.	Об'ем отсекаемого (малого тетраедра)

I , „, л—	аУ 2 .

vi = — р3 у 2, ребро тетраедра равно >

1	<4	Z

1	д321/~2	—

следовательно, v.=-----------L_ . т/о—

12	8 й

1 з

— а3

24

3.	Об‘емы тетраедров данного и отсекаемого
относятся

а3

О

г. е., как кубы ребер.

4.	Двугранный угол

а3

- = 8:1,
24

октаедра:

5. Поверхность октаедра =

тела, оставшегося после удаления 6 пирамид
(полуправильного многоугольника), б) выяс-
нить, какие у него грани и по скольку каж-
дого вида, в) каковы его ребра.

3.	Начертить развертки отсекаемых пирамид
и оставшегося полуправильного многогран-
ника и склеить самые тела. Составляя их
вместе, убедиться в том, что они образуют'
октаедр, равный данному.

4.	Вычислить об‘ем отсекаемых пирамид
пользуясь формулой, данной в § 12. п. 3.

5.	Вычислить об‘ем полученного полупра-
вильного многогранника сначала как функцию
ребра октаедра, а потом как функцию исход-
ного куба (задача № 1).

6.	" Вычислить его двугранные углы.

7.	Вычислить поверхность остающегося те та.

Решение задачи № 3

Обозначим ребро полученного 14-гранника
через d. Тогда об‘ем отсекаемой от октаедра

пирамиды равен -и ~ — d31/2~- Ребро пира-
6

миды равно половине ребра октаедра: d =

, следовательно, об‘ем пирамиды
~ 4

6. Развертки: октаедра — рисунок 7,
секаемого малого .тетраедра — рисунок 8.

от-

Рис. 8

Задача № 3-

Октаедр, полученный в задаче № 2, рас-
сечь шестью плоскостями так, чтобы каж-
дая из них рассекала ребра телесного угла
октаедра пополам (рас. 9 и 10).

1.	Сделать чертеж сечения.

2.	Сделать сечение на модели (вырезанной
/13 картофеля или брюквы).

а) Определить по чертежу число граней

выразится, как функция ребра куба так: =
_а3

~9б’

5. 06‘ем полуправильного 14-гранника:

а3	ба3	5

v,. — v —bv —---------------=—а3^

14 окт пир. 6	дб	4R

5 з

= —а 3
48

Две отсекаемые пирамиды, сложенные, об-
разуют «малый» октаедр, об'ем которого ра-

1 о

вен — а3.

48	'

Отношение об‘ема этого октаедра к об'ему
Рие. 11

данного равно — а3 : — а3 = 1 8 — 13 :23,
48	6

т. е.

отношению кубов их ребер.

Поверхность 14-гранника =

85д+65П = 8--1	- 1/3 +

* \ 4 / г

+6
\ 4 /

•Si4=

Задача № 4.

Куб с ребром а рассечь восемью плоско-
* ятями так, чтобы каждая делила 3 ребра
одного из трехгранных углов куба пополам
{рис. 13, 14).

1.	Сделать чертеж, заштриховав видимые
плоскости сечения.

2.	Сравнить результат с моделью, сделан-
ной из брюквы или картофеля.

3.	Сравнить полученный после удаления

6. Вычислить:

а)	ребро полуправильного многогранника,

б)	об'ем отсекаемой пирамиды,

в)	об'ем полуправильного многогранника,
как функцию ребра куба,

г)	отношение об'ема полученного много-
гранника к об'ему многогранника задачи № 3;
при этом проверить справедливость теоремы
об об'емах подобных тел,

д)	полную поверхность многогранника,

е)	его двугранный угол (или углы).

Показать, что об'ем полуправильного много-
гранника, сложенный с об'емом октаедра,
имеющего то же ребро, что и полуправиль-
ный многогранник, цает в сумме об'ем куба

8 пирамид многогранник с многогранником
предыдущей задачи (№ 3).

Какими и сколькими многоугольниками он
•ограничен? Каковы его ребра?

4.	Начертить развертки отсекаемых частей
куба и оставшегося тела.

5.	Склеить из разверток тела и составить
из них куо.

Решение задачи № 4.

а)	Ребро: е=а .

б)	Об'ем отсекаемой	пирамиды: Чз —

1 / а V 1 а ____а3

3 I?)	48

в)	Об'ем полуправильного 14-гранника:

3 й а3	5 3	5

v,, = a3 — 8-— — — а3, или— об'ема куба.

14	48	6	6

5 з

Уи = — а3 .

6

г) Отношение обемов	—

—а3 : — а3 = 8.

6	48
д) Двугранный угол: а — 180 —(3~114о05’.
е) Поверхность тела S14 —а2 (3-|- |Лз).

Отношение к поверхности S14, полученной
в задаче № 4 S14: S14 = 4, т. е. поверхности
подобных тел относятся как квадраты их ре-
бер.

Отношение к поверхности куба=:

3. Развертка — та же, что и в задаче № 3.

Задача № 5

Тетраедр задачи 1 рассечь четырьмя
алосностями так, чтобы они делили реб-
ра каждого тре игранного угла тетраедра
в отношении 1:2 (рис. 16, 17).

1.	Сделать сечение на чертеже и ножом
«а мягкой модели.

2.	Какими и сколькими правильными много-
угольниками ограничено это тело? Как его
назвать?

3.	Начертить развертки отсекаемых тетра-
ед ров и развертку остающегося тела.

4.	Склеить тела н составить из них дан-
ный тетраедр.

5.	Вычислить:	ч

а)	ребро тела,

б)	об'ем малого тетраедра. Проверить тео-
рему об отношении подобных тел,

в)	об'ем остающегося полуправильного
многогранника, как функцию ребра куба
^задача № 1).Сравнить с об'емэм куба,

г)	полную поверхность остающегося тела,
«ак функцию ребра куба; сравнить ее с пол-
агой поверхностью куба..

д)	двугранные углы тела.

Решение задача, № 5
а) Ребро тела f=a -

б)	Об'ем малоготетраедра v4=-^

ста основании формулы § 6, п. 1 v4~

12 \ 3 ) * — 81'

Л Математика и физика, -'N1 о

Об'ем данного тетраедра (см. задачу № 1)
а3

Отношение об'емов V4:v4~ 27 (т. е. от-
ношению кубов ребер).

в)	Об'ем остающегося полуправильнсго
восьмигранника

_ 23 ,
T’8~81 а

Об'ем v8 составляет — об'ема данного ку-
ми Л’-	ЬЛ

ба.

г)	Полная поверхность $8 = $4—12 площа-
дей «малых» треугольников $й —(108 — 12)

/ А\2	1	о

Но Ь — а\[2.

16
Следовательно, S8=— а2]/~3~.

Разьертки гел (см. рис. 18, 19).

Рис. 18

Рис. 19

Задача № 6

Октаедр задачи № 2 рассечь шестью
п. носкостями так, чтобы каждая из них
делила ребра октаедра в отношении 1:2
и отсекала от него правильные четыре-
угол'ные пирамиды (рис. 19, 20).

1.	Сделать чертеж сечения и рассечь но-
жом мягкую модель.

2.	Какое тело получается в сечении? Рав-
ны ли его ребра? Сколькими и какими гра-
нями ограничено это тело? Как назвать его?

3.	Начертить развертки отсекаемых пира-
мид и остающегося тела, использовав для
этого развертку октаедра.

4.	Склеить из разверток тела и составить
из нпх данный октаедр.
5. Вычислить:

б) На основании формулы § 2 п. 3

Об'ем полуправильного 14-гранника состав-

ляет -= об'ема основного куба (задача № 1}.

г) Полная поверхность =

= 48

а)	ребро остающегося тела,

б)	об'емы отсекаемых пирамид,

в)	об'ем остающегося тела, _ как функцию
ребра основного куба (задача № 1) и срав-
нить с об'емом куба,

д) Двугранные углы/
Развертки (рис. 22 и 12).

Задача № 7

Рассечь куб восемью плоскостями так,
чтобы каждая плоскость пересекала один

г)	полную поверхность остающегося тела,
д) двугранные углы его.

Решение задачи № 6

из трехгранных углов куба, и каждая из
граней куба после удаления треугольных
пирамид превратилась в правильный вось-
миугольник (рис. 23 и 24).
1.	Сделать чертеж сечения и заштрихо-
вать фигуры, полученные в сечении.

2.	Выполнито сечение на мягкой модели.

Равны ли ребра полученного многогран-
ника? Сколькими и какими гранями ограни-
чено тело?

Рис. 24

3.	Начертить развертки отсекаемых пира-
мид и остающегося многогранника, исполь-
зовав для этого развертку данного куба.

• 4. Склеить из разверток тела и составить
из них куб.

5. Вычислить, полагая ребро данного ку-
ба равным а:

а)	ребро многогранника,

б)	об'ем отсекаемой пирамиды '(на7осно-
вании § 12, п. 3),

в)	об'ем многогранника, как функцию
ребра куба, и определить отношение этого'
об'ема к об'ему данного куба',

г)	поверхность многогранника и отношение
ее к поверхности куба,

д)	двугранный угол многогранника.

Решение

а)	Ребро многогранника k—a( г2— 1).

,	Д- А  , лсп.	*

Пояснение: —-—= k cos 45°;	а — k=

= kj/T,

откуда fe—у—1 =а!У2 — Л-

б)	Об'ем отсекаемой пирамиды (на осно-
вании § 6, п. 4):

1	1 Г	>—	1/713

г/пир=--6з=	а(]/Т—1)2—1	-

о о I	2 I

=1п’(Ю-7/П

К

в)	Об'ем многогранника

т,)4 = а3-8 ’ о3(ю — 7lr2) =

7	_

= —as(]/2 —1);

О

^4=^3(Г2 -П
о

Отношение

у _____

к об'ему куба. — (J/2 — 1).

О

г)	Поверхность многогранника: обозначая
отсекаемую с каждой стороны часть ребра

,	, , а (2 — V2

куба через I; I =----$----, получим s14 =

= ба2 — (12/2 4- 8	б«2 — 2/2 (6 -|-

4-}/з"). Подставляя значение I в s14 =
^^(3-2У2')(64-]/з')-

д)	Двугранные углы: а = 90°;	114°05'

(см. задачу № 4).

Развертки (рис. 25 и 4).

Задача № 8

Полуправильный 26- г р а н и и к
Дан куб с ребром = о.

Проведем в одной из граней квадрата диа-
гональ (рнс. 26). Отложим на ней сторону
квадрата а. Тогда оставшаяся часть диагона-
ли DE будет равна о]/2 — а — <?(}/2 —J).

Этот отрезок DE будет стороной правиль-

ного восьмиугольника, вписанного в данный
квадрат. На самом деле, обозначив сторону
такого восьмиугольника через х, мы получим
. а — х	/а-хХ2 о г.

=—, откуда 2 —-— I = г. Решая
это уравнение, получим x—a(\f 2 — 1); от-
ловив на стороне квадрата DF=DE, раз-
делим отрезок AF пополам в точке К. От-
ложив от концов каждого ребра отрезки,
равные АК, мы наметим тем самым вершины
правильного восьмиугольника.

Затем через соответственные точки деле-
ния [(например Е и F) противоположных
сторон каждой грани проведем прямую (па-
раллельную ребру куба). Таких прямых при-
дется прозести 24. Взаимным пересечением
этих прямых на каждой грани образуется
квадрат со стороною, равною сторо-е пра-
вильного восьмиугольника. Соединив вершину
каждого такого квадрата с ближайшими дву-
мя вершинами квадратов на двух смежных
гранях, мы получим всего 12 квадратов и 8
равносторонних треугольников (доказать).
Проведя через периметры этих фигур плоско-
сти. мы образуем полуправильный 26-гранник
(12-IV-f-8-III) (рис. 27).

путем отсечения 4 треугольников и равно
af/F — 1)~ 0,414а (грубо ~0,4а).

б)	Двугранный угол = 135°.

в)	Полная поверхность 526 — 2<is(3 —
— 2/Г) (6 +/3").

г) Об'ем

v26=(- а3(8-5]/2).
О

Об'ем 26 гранника вычисляется, как раз-
ность об'ема куба и 8 об'емэв v± и 12 об'е-

мов т/2. При этом есть <об‘ема малого

куба, помещающегося в трехгранном yi лу
основного куба; ребро малого куба равно
крайней части ребра куба, разделенного спо-
со 5ом, указанным в начале задачи. Так как
сторона восьмиугольника равна,	—

— 1), то крайняя часть п =

у (2- /2 ).

Поэтому	пя =

г>2 вычисляем, как об'ем призмы с пло-
. п-

щадью основаниям - и высотою —т.

1

1

•v.2 = ув’/и — ~

Задачи: 1) Начертить куб и в нем опи-
санный выше 26-гранник.

2)	Вырезать из мягкого материала куб и
затем -из куба 26-гранник.

3)	Начертить развертку, составив ее из двух
неравных частей.

4)	Склеить из развертки 26-гранник.

5)	Доказать, что начерченный и вырезан-
ный многогранник ограничен равными квад-
ратами и равными правильными треугольни-
ками.

6)	Вычислить по данному ребру куба:

а) ребро многогранника,

’ б) его двугранный угол,

в)	его поверхность,

г)	его об'ем.

Решение задачи № 8

а) Ребро 26-гранника tn есть сторона
восьмиугольника, полученного из грани куба

Рис. 28
Отсюда

^26 = а3— (8^ -J- 12щ) =

2	__

= ?аз(8-5У2).

О

Развертка — рисунок 28.

§ 13. Некоторые формулы, необходимые
для решения задан Ла 1—8

Для вычисления об'емов отсекаемых частей
полезно пользоваться следующими форму-
лами:

7. Формула об'ема тетраедра (правиль-
ного), как функция его ребра (рис. 29).

3.	Об'ем правильной четырехугольной
пирамиды с равными ребрами

( 1 , , \
оо ема октаедра!

1 .

^'пИр ----"g- а'

4.	Об'ем правильной треугольной пира-
миды с Плоскими углами при вершине, рав-
ными 90°, вычисленный, как функция бо-
кового ребра (рис. 31).

Боковое ребро — а.

Сторона основания — a J/GF.

1 а2 1 ,
V3~ 3 ' 2 'а~ 6 а '

2. Формула об'ема октаедра, как функция
его ребра (рис. 30).

Ребро октаедра = а,

а

§ 14. Применение сеток: квадратной
и треугольной—при вычерчивании
разверток тел, получаемых от
сечения куба

(См. задачу №1 — 7).-

Вычертить развертки тел, описанные в за-
дачах № 1—8, и притом каждую самостоя-
тельно,— дело очень кропотливое и мешкот-
ное. Работу можно сильно упростить и со-
кратить: развертки более сложных тел мож-
но I случить или из развертки куба или из
развертки тетраедра и октаедра путем соот-
ветственных усечений и добавлений.

Основную развертку куба легко начертить
имея под руками квадратную сетку с квад-
ратами, равными граням куба, т. е. со сто-
ронами сетки, равными ребрам куба. Вычер-
чивание разверток, отсекаемых в задаче № 1
треугольных пирамид, а также всех тел за-
дачи № 7 можно легко осуществить на этой
же сетке (см. рис. 24 и 4).

Развертку тетраедра нетрудно вычертить
на тщательно вычерченной правильной тре-
угольной сетке, образованной тремя систе-
мами параллельных прямых, проходящих друг
от друга на равном расстоянии и пересекаю-
щихся с прямыми других двух систем под
углом в 60°. Взаимное пересечение их дает

равные правильные треугольники.

При этом в задаче № 1 ребро тетраедра
вдвое больше ребра октаедра (задача № 2),
втрое больше ребра восьмигранника (задача
№5) и в 6 раз больше' ребра 14-гранника
(задача № 6). Поэтому проще и практичнее

всего взять мелкую треугольную сетку со

сторонами, равными части ребра основного
о

тетраедра (задача № 1) и для ребер осталь-
ных, тел брать соответственно по 2, по 3 и
по 6 сторон ячеек сетки. Контуры разверток
были уже даны выше, но от учащегося сле-
дует добиваться, чтобы он самостоятельно
изобретал способы черчения разверток в фор-
ме, наиболее симметричной.

В случае сложных разверток вполне воз-
можно разбивать их на две части. Нередко
от этого развертки становятся более симме-
тричными. Для склеивания тел вообще сле-

дует сложные развертки разрезать на части.

Для того чтобы ребра многогранников
были строго прямолинейны, развертку на-
до по линиям сгиба слегка прорезать на
половину толщины листа бумаги, пап-
ки или картона, из которой склеивается
тело.

Ниже приводится таблица, указывающая,
на какой сетке следует вычерчивать разверт-
ку данного тела и сколько единиц ее брать
для р₽брг этого тела.

я  « tn  £	Название тет	Сетка	4> >т кг ж C-J ч о о <и X О. Ь Фс _ ч ф с о, CL™ £ е-" о 3 а> « Си п емо	Скольким еди- ницам сетки равно ребро даняого тела
1.	Куб	Квадратная'	а	1
1.	Тетраедр	Треугольн.	а]/2	6
1.	Треугольная пирамида	F адратная	а	1
2.	Октаедр	Треугольн.	а У 2 ’ 2	3
2.	Малые пира- миды	>	а 2 2	3
3.	14-гранник	»	пУч  2	'—
3.	Четыреуго- льная пира- мида	—	—	
4.	14-гранннк	—	—	—.
4.	Треугольная пирамида	Квадратная	а  ~2	1  2
5.	Восьмигран- ник	Треугольн.	аУ 2 3	2
5.	Тетраедры ма- лые	»	аУ 2  3	2
6.	14-гранннк	>	а.у 2 6	1
6.	Четырехуго- льные пира- миды		аУ 2 6	1
7.	14-гранник	Квадратная	а	1
7.	Треугольные пирамиды	>>	а	1
8.	26-гранник	»	а (у 2-1]	

ЛИТЕРАТУРА

1.	Глаголев А- Н. —Сборник геометрических
задач иа построение.

2.	BrCckner — «Vlelecke und Vielflache».

3.	Holtz in tiller — Elemente der Stereometric.
О СПРЯМЛЕНИИ ОКРУЖНОСТИ

А. ЭЛЬЧШЕВПЧ

Дана окружность О, сторона правильного
шестиугольника CD и диаметр АВ, перпенди-
кулярный к CD. Продолжаем прямую CD и
отлагаем по ней от точки Л1 (пересечение
АВ с CD) прямую MN, равную 6 радиусам.
Прямая AN приблизительно равна длине
окружности О, причем ошибка не превыша-
ет 0,00015 длины диаметра, или 0,00005
длины окружности. Высчитать ее длину мож-
но следующим образом: AN2 = AM2MN2.
Считая диаметр равным единице, имеем:
Д^=ЛЛРф(3)2. ЛИ — ЛОЦ-ОЛ1-ДО=
= 0,5, а OM=\fОС2—МС2,	откуда

ОМ = l/f/2)2 - (Vd2 = 7«V3 = 0,4330127,
откуда АМ2 = (0,5 -|- 0.4330127)2 =
= 0,87051269836129; таким образом, AN=
= 1/9^87051269836129 <3,14174, послед-
няя величина превышает длину окружности
меньше чем на 0,00015 длины диаметра.

ТЕОРЕМА ТАНГЕНСОВ

В. СЕРЕ ДЕВ

Существует несколько геометрических до-
казательств теоремы тангенсов. Одно из них
дано в курсе тригонометрии Крогиуса.
Другое, построенное на иных соображениях,
можно найти в статье Н. Кувырки'иа
«Доказательство закона тангенсов», поме-
щенной в № 2 журнала «Математическое
образование» за 1930 г. Это доказательство
является несколько видоизмененным доказа-
тельством Georges’a, помещенным в амери-
канском журнале «School Science and Ма-
themathics: за 1329 г. и основанным на гармо-
нически разделенном отрезке.

Упомянутые здесь доказательства довольно
сложны, поэтому не лишено интереса следую-
щее простое доказательство.

Пусть в Л АВСа>$. Проведем через
точку В до пересечения с продолжением
стороны АС прямую BD, составляющую со
стороною АВ /^ABD—a. В результате по-
лучаем Д BCD, в котором / BCD = а Ц- f,
a/CBDszzxa—₽.

Далее, полагая CD~d., найдем, что BD=.

=AD = b -\-d. Значит, в Д BCD полупе-
риметр треугольника BCD

а 1

р — CD = — (а + Ь) и р — BD =

=-’	(а+»)+<|-(»+<*)=
Применяя теперь к Д BCD известные
формулы

а г	р г

1 г *
lgT=’^'
где г радиус вписанного в Д АВС круга,
найдем:

1	р

Y (“+₽)= ~г^—	и

1	р

tgy(“-^= ~т^—

(радиус круга, вписанного в Д BCD), откуда
разделив почленно первое равенство на вто-
рое, будем иметь:

=а+ь

1	а — b

tg Y (« — 0)

МЕТОД ТЕНЕВОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРИ ДЕМОНСТРАЦИИ ОПЫТОВ
ПО ФИЗИКЕ

А. А. ПОКРОВСКИЙ

В русской дореволюционной методической
литературе и руководствах по физике для
различных типов школ, а также и в русской
современной литературе до сих пор не раз-
работан более или менее подробно вопрос
о методе теневого проектирования и его ро-
ли при демонстрации классных опытов по
физике.

Некоторые намеки на применение этого
метода, проникшего к нам, невидимому, из
западной школы и выражающиеся в трех-че-
тырех оригинальных примерах, разбросаны
в разных переводных и русских руковод-
ствах по физике, изданных еще до мировой
войны.

Так, в известной книге Абрагама —
«Сборник элементарных опытов по физике»—
в опыте, иллюстрирующем влияние наэлек-
тризованного тела на форму вытекающей
струи, применяется теневое проектирование
этой струи на экран. В книге «Практичес-
кие занятия по физике* Григорьева,
Знаменского при описании работы на
параллелограм сил рекомендуется направле-
ление составляющих сил отмечать при помо-
щи тени от нитей, спроектированных на лист
бумаги. Или в известном в свое время учеб-
нике физики Индриксона указывается на
теневое проектирование кругового маятникав
для демонстрации перед аудиторией просто-
го гармонического колебательного движения.
В дальнейшем проник в учебники физики и
распространенный теперь опыт с плоской

* Эти формулы обычно в курсах тригонометрии
следует за теоремой тангенсов. Но в данном
случае эта последовательность является делом
традиции, а не логической необходимости.

ванной, через стеклянное дно которой про-
ектируют на потолок тени волн, распростра-
няющихся по поверхности воды.

Современная русская методическая литера-
тура не дала чего-либо новею сверх приве-
денных выше примеров. В методике физики
Знаменского и др. и в методике фи-
зики Соколова, вышедших в 1934 г.,
а также в методике физики Гана, переиз-
данной у нас в 1935 г., этот вопрос вообще
не затрогивается.

Очень слабо представлен метод теневого
проектирования и в специальной книге «Ме-
тодика и техника демонстрационных опытов
по физике» Зибера, Красикова и Че-
люсткина, изд. 1934г. В ней кроме опы-
та с ванной, о котором говорилось выше и
который в книге описан подробно, имеется
лишь три упоминания о теневом проектиро-
вании (стр. 46, 60 и 107). Причем все они не
содержат необходимых методических и тех-
нических подробностей и, за исключением-
одного случая, даны так, что не заставляют
учителя-экспериментатора прибегать, а следо-
вательно и постепенно приучаться именно
к этому сравнительно новому и простому
методу.

Вероятно, единственной из современных,
русских книг, где видно, что метод теневого
проектирования действительно нашел себе
должное место, правда, при демонстрациях,
опытов только в одной области физики, яв-
ляется очень полезная, свежая книга проф..
Мл одзеевск ого — «Демонстрации по мо-
лекулярной физике», изд. 1934 г.

Между тем сравнительно давно появив-
шиеся в русском переводе книги ппоф. Поль.
"Введение в механику и акустику» и «Введе-
ние в учение об электричестве», в которых
этим методом дс статочно широко и удачно
пользуются, как вполне установившимся и
где даже конструкция некоторых приборов
проведена с учетом возможности получения
от них наиболее выразительной тени, несом-
ненно должны были бы наложить известный
отпечаток и на технику физического экспе-
римента в нашей русской школе и на кон-
струкции некоторых, выпускаемых в настоя-
щее время промышленностью, приборов.

Мой опыт частичного применения этого
метода при чтении лекций по физике в
Военной воздушной академии и по методике
физического эксперимента в пединституте с
несомненностью подтвердил его методичес-
кою ценность, рациональность и предпочте-
ние в достаточно многих случаях перед обыч-
ным способом показа некоторых демонстра-
ционных опытов. При подку пающей простоте
осуществления метода теневою проектиро-
вания его главным достоинством, как пока-
зала практика, является то, что мало отве-
чающая требованию в демонстрационном
смысле (не наглядная) аппаратура становится
при такой постановке очень выразительной
и воспринимается аудиторией с большим
интересом.

Все это подчеркивает необходимость и
полную возможность введения этого метода
более или менее широко в практику препо-
давания физики именно средней школы, где
в настоящее время пред'являются серьезные
требования к классному эксперименту, а в то
же время в физических кабинетах еще чув-
ствуется недостаток в хороших демонстраци-
онных приборах, и на уроках физики перед;
ко приходится пользоваться неполноценной
в смысле наглядности аппаратурой.

С целью помочь учителю и положить на-
чало более широкому внедрению метода те-
невого проектирования в практику препода-
вания физики в средней школе остановимся
прежде всего несколько подробнее на самой
технике проектирования. Затем, чтобы отте-
нить самостоятельное значение этого метода
наряду с другими, повышав, щими выразитель-
ность классных демонстраций, опишем неко-
торые опыты, типичные для его применения.
И, наконец, дадим перечень некоторых школь-
ных приборов и опытов, могущих многое
выиграть при теневом проектировании.

Идея этого метода крайне проста. Она
заключается в получении на вертикальнэм
экране-стене или горизонтальном экране-по-
толке увеличенной в несколько раз тени дан-
ного прибора или целой установки с тем,

чтобы на этой тени можно было всей ауди-
тории коллективно рассмотреть нужные дета-
ли, мало заметные на самом приборе при
обычном обозрении, или проследить посте-
пенные изменения, происходишь г в установке
в течение опыта.

Но увеличенную, резкую и отчетливую
тень во всех малейших деталях, как известно,
можно получить путем подбора соответствую-
щего источника света, близкого к то гечноь у._
А создать подходящие условия для удобного'
обозрения этой тени, когда она хорошо вы-
делялась бы на экране, можно путем полу-
чения достаточно яркого и равномерного
освещения экрана. Поэтому наиболее удов-
летворяющей требованию теневого проекти-
рования надо признать из современных источ-
ников < вета вольтову дугу с тонкими углями,
и несколько менее удовлетворяющей, но зато
более удобной в обращении, обычную кино-
лампу на 12 вольт и мощностью 50 ватт.
Такую лампу в связи с широким распростра-
нением в настоящее время кинопередвижек
достать легче, чем вольтову дугу; кроме-
того, при работе она не требует почти
никакого ухода за собой и может питаться
в случае необходимости электроэнергией ог
аккумуляторной батареи.

Важное значение в успешном зрительном
восприятии учащимися тени на экране играет
и фон, окружающий эту тень. Как правило,
фон должен быть совершенно ровным, без
каких-либо посторонних деталей, обычно
разбивающих внимание аудитории и отвле-
кающих от основного об’екта наблюдения.
Кроме того, фон не должен чрезмерной
яркостью очень быстро утомлять и, тем более,,
раздражать зрение учащихся. Фон, как иногда
выражаются фотографы, должен быть «по-
койным» и «мягким». Очень важно обратить
внимание и на то, чтобы источник света был
обязательно закрыт со стороны аудитории
и «не слепил» глаза учащихся.

Когда за источник света берут вольтову
Ayiy, то для защиты от излишних лучей —
задних, боковых и верхних — при вертикаль-
ном теневом проектировании удобно пользо-
ваться кожухом любого проекционного фонаря.
Для этого располагают фонарь перед экраном,
как для „бычного прозрачного проектирова-
ния*. Снимают с него об'ектив и конденсатор

* Экран значительно выгоднее вешать не на
стену за экспериментальным столом, как это
часто делается, а па отдельной стойке несколько
сбоку от стола под углом 40—45° к стене. Тогда
фонарь почти не мешает аудитории видеть
экран, и используется рационально большая
площадь экспериментального стола.
и располагают дугу против центра отверстия
для конденсатора. Затем помещают перед
конденсатором на своем обычном месте рамку
для диапозитивов, в которую вставляют кар-
тонный экран с квадратным или лучше круг-
лым вырезом, такого размера, чтобы пучок
лучей, проходящий через него от вольтовой
дуги, укладывался на экране, не освещая
других побочных предметов.

Если теперь в этот пучок лучей между
фонарем и экраном поместить тот или иной
прибор, то на экране проложится его резкая,
•ясная тень. В зависимости от того, на каком
расстоянии от экрана расположить предметы
и источник света (в данном случае фон££>ь
с вольтовой дугой), меняется и величина
тени.

Когда же источником света выбирается
кинолампа, то лучше для теневого проекти-
рования совсем не пользоваться кожухом
«проекционного фонаря, обычно достаточно
громоздким, ограниченным в движениях, а
завести для целей проектирования отдельный,
легкий, переносный осветитель.

Самый простой из них, дешевый, доста-
точно удобный и в то же время вполне
пригодный, к которому и мы иногда прибе-
гаем в своей практике, можно собрать во
всяком физическом кабинете средней школы
«з следующих простых частей: Нормальной-
«инолампы на 12 вольт с цвановским патро-
ном (или электролампы на 12 вольт с нор-
мальным патроном, так называемой котельной),
мягкого длинного шнура электропроводки,
глубокого жестяного рефлектора (колпачка)
для подвесных электроламп и штатива Бун-
зена с одной лапкой (рис. Г

Рис. 1

Патрон для лампы укрепляется в рефлекторе
при помощи обыкновенной корковой пробки,
а картонная диафрагма с круглым или квад-
ратным ^отверстием, ограничивающая пучок
лучей, идущих от осветителя на экран,— при
помощи кольца из узкой полоски картона,
прикрепленного изнутри к краю рефлектора
(рис. 2).

Рис. 2

Собранный таким образом прибор может
свободно передвигаться вместе со штативом
вперед и назад, вращаться вокруг горизон-
тальной оси и подниматься вверх и вниз,
т. е. будет иметь все необходимое для полу-
чения теневой проекции в любых вариантах.
В случае надобности, свободно перемещая
такой подвижной «теневой проектор» в нуж-
ных направлениях от проектируемого пред-
мета, можно резко подчеркнуть на тени
необходимую деталь прибора или целой
установки.

Чтобы придать фону более приятный той,
можно защитить источник света слабо окра-
шенным цветным стеклом или слюдой*.

Как правилр, приборы при теневом про-
ектировании следует располагать на какой-
либо достаточно устойчивой подставке, кото-
рую обычно помещают при этом на экспе-
риментальном столе. Наиболее удобной явля-
ется подставка, изображенная на рисунке 3.

Рис. 3

Она имеет простое приспособление для быст-
рого изменения высоты и угла наклона верхней
крышки, в то же время при проектировании
эта подставка не создает на экране сплошной
«тяжелой» тени, почему лучше гармонирует
с разнообразными физическими приборами.

* При кинолампе, дающей сравнительно мало
света, всякий светофильтр является излишним.
Удобен также и весьма распространенный
в физических кабинетах под'емный столик
Липшица, а для малых приборов — обычный
круглый под'емный столик*.

Помимо источника света для проектирования
разных опытов на потолок (горизонтальная
проекция), необходимо иметь еще неглубокую
ванну с краями, приблизительно в 5 см
высотой и со вставным дном из хорошего
бемского стекла. Такую ванну довольно про-
сто изготовить из четырех деревянных бру-
сков длиною не менее 65 см, а шириною
и толщиною — 6 см и 1— см, связавши их
2’

шипами в квадратную рамку. По всей длине
бортов этой рамки, внутри ее, приклеиваются
столярным клеем и вместе с тем для большей
прочности прибиваются деревянные рейки,
сечением 1X1 см, на которые должно
опираться своими краями сгекло, служащее
в рамке дном.

Чтобы стекло сидело в рамке плотно и не
пропускало воды, нужно в углы, образован-
ные рейкой и стенкой рамки, положить
сначала тонкий и ровный слой хорошей,
мягкой оконной замазки, а затем к ней
плотно прижать стекло. Когда эта замазка
засохнет, нужно заново промазать стекло
свежей замазкой, но со стороны рамы, изнутри,
так, как это делают стекольщики, вставляя
стекло в оконную раму.

Через два-три дня, когда замазка высохнет
и стекло окончательно «сядет- на место
всю раму снаружи и внутри покрыть не менее
двух раз масляной краской — черной эмалью.
К внешнему краю ванны со всех четырех
сторон прибивают гвоздями с большими
головками (обойными) какую-либо более или
менее плотную черную материю такой длины,
ч /обы она свободно спускалась на пол, когда
ванну располагают над полом приблизительно
«а высоте 60—80 см (рис. 4).

* См. книгу Покровского «Оборудование
физического кабинета», стр. 69, рис. 67.

-Материя нужна для того, чтобы устранить
боковой свет от источника при пользовании
ванной *.

Для демонстрации опытов с ванной ее
обычно опирают краями на 2 высоких табу-
рета, ’ стола или какие-либо другие подставки
такой же высоты и располагают всю уста-
новку перед экспериментальным столом,
чтобы экраном могла служить вполне доста-
точная площадь потолка. Окна класса при
этом затемняются. Затем под ванну помещают
или вольтову дугу, угли которой в этом
случае должны ..ежать в горизонтальной
плоскости, или описанный выше теневой
проектор, или кинолампу без всякой отра-
жательной арматуры.

Имея под руками один из описанных выше
источников света и такую ванну, можно
показать целый ряд демонстрационных опытов
в вертикальной и горизонтальной проекции.

Остановимся на некоторых из них.

Одним из простейших, но типичных опы-
тов для вертикального проектирования можно
считать, например, наблюдение за конвекцией
струй теплого воздуха над горящей спиртов-
кой, электрической лампой или каким-либо
нагретым телом: гирей, металлическим шаром,
электрической плиткой и т. д.

Дело в том, что при обычном способе
показа струи теплого воздуха, идущие от
нагретого тепа, совершенно незаметны и не-
посредственному наблюдению не поддаются.
Поэтому о них обычно судят по вращению
бумажной или какой-либо иной легкой
вертушки. Но стоит только нагретое тело
чпоместить в проходящие лучи от точечного
источника света и получить на экране резкую
увеличенную тень, как эти струи, благодаря
неодинаковому преломлению света холодным
и теплым воздухом, становятся отчетливо
заметными. Особенно выразительно этот
опыт получается с электрической плиткой,
которую можно показать сначала холодной,
затем включить ток и наблюдать по мере
нагревания плитки все увеличивающиеся пото-
ки теплого воздуха.

Если зажженную газовую горелку, спир-
товку или свечу поместить так, чтобы потоки
теплого воздуха проходили между пластин-
ками раздвижного конденсатора — довольно
распространенного прибора в средней шко-
ле** — и постепенно заряжать эти пластинки
от эпектростатической машины, то на тенн

* См. описание подобной ванны также в книге
Галанина, Горячкина и др.— «Физический
эксперимент в школе», т. II.

*• См. Двинянннов — Учебные пособия й
политехническое оборудование, стр, 131, рис. 320.
ясно видно, как тепловые струи разделяются
на две части вследствие определенного
взаимодействия с положительно и отрицательно
заряженной пластинкой. Опыт наглядно по-
казывает, что продукты горения, перемещаю-
щиеся с теплыми потоками воздуха, оказы-
ваются зараженными разноименным электри-
чеством. Этим и об'ясняется ионизирующее
действие всякого пламени и наблюдающееся
в присутствии его спадение листочков разно-
именно заряженных электроскопов.

На тенч легко обнаружить, что тепловые
струи от достаточно (докрасна) нагретого
твердого тела (гайки, гири и т. п.) ведут
себя в пиле конденсатора иначе: заряженный
конденсатор почти не влияет на характер их
обычного движент я вверх.

Подобно потокам теплого ьоддуха при
помощи теневого проектирования можно
наглядно показать, как вытекают из стеклян-
ной трубки и газы, например, углекислый
газ. Для этого трубку соединяют при помощи
резины с баллоном для жидкого углекислого
газа или с прибором Киппа и,спроектировав
трубку на экран, выпускают газ медленной,
ровной струей. Если рядом с этой трубкой'

Рис. 5

поместить в таком же положении другую, из
которой выпускать, например, светильный газ,
то можно легко видеть, как углекислый газ
падает вниз: он тяжелее воздуха, а светиль-
ный газ поднимается вверх — он легче во.'духа.

Особенно просто и красиво протекает
опыт на экране с гпарами эфира, когда их
переливают из склянки с небольшим количе-
ством эфира в какой-нибудь сое\д емкостью
в 1 — 1—литра с плоско-параллельными стен-
2

ками из хорошего, ровного стекла (рис. 5).

Когда сосуд окажется наполненным, пары
переливаются через край и падают вниз.
Если теперь медленным движением сосуд
немного наклонить, а затем снова отпустить,
чтобы он быстро занял свое первоначальное
положение, то на экране будет ясно видно,
как часть паров подобно жидкости, «выпле-
снемся» из сосуда. Медленно перевертывая
сосуд дном вверх, можно эффектно «разлить>
пары на подставку.

11ум но заметить, что обычный химический
стакан для' этого опыта не годится, так как
лучи света сильно «играют» в стекле стакана
и на экране получается ря 1 бликов, правда,
красивых, но мешающих наблюдению основ-
ного явления (рис. 6).

Очень удобен метол теневого проектиро-
вания и дтя демонстрации всевозможных
опытов с мыльными пленками на проволочных
контурах: растяжение нитяной петли при
прорыве пленки, боковое сжатие натянутых
нитей при образовании на них пленки,
давление мыльных пузырей и т. п. *

Чтобы эти опыты показать лишь более
или менее удовлетворительно без проектиро-
вания, размеры проволочных контуров обычно’
стремятся взять побольше, но тогда прихо-
дится прибегать к особенно хорошим мыль-
ным жидкостям, составленным по специальному
рецепту, иначе опыты идут не отчетливо.
При теневом же проектировании размерь»
контуров могут быть взяты достаточно малы,
когда очень многие опыты прекрасно полу-
чаются с самым обыкновенным водным раст-
вором почти любого мыла или мыльного-
порошка для бритья (концентрацию раствора
в этом случае приходится подбирать опытным
путем). Выразительность же опытов с плен-
ками при теневом проектировании, благодаря
увеличенному масштабу, безусловно выигры-
вает, тем более, что сравнительно прозрачные-

* См. подробное описание опытов с мыльными?
пленками в книге профессора Млодзеевско-
го — Демонстрации по молекулярной физике,
изд. 1934 г.

fOi
Рис. 6

в проходящих лучах света мыльные пленки
все же дают хорошо заметные тени на
экране.

Примером более сложной установки, тре-
бующей вертикального теневого. проектиро-
вания, может служить установка с электро-
магнитом в опытах, иллюстрирующих диама-
гнитные свойства тел и токи Фуко. Так как
индукция магнитного поля здесь играет
существенную роль, то на полюсы электро-
магнита надевают железные наконечники —
«башмаки»—и оставляют между ними по
возможности минимальное расстояние.

В первом опыте между башмаками, раздви-
нутыми на 2 — 2-^- см подвешивают за се-
редину на тонкой некрученой шелковинке

вдоль силовых линий поля тонкий ^3 мм

1 —---I и короткий (около 2 см) стерже-

нек из висмута или цинка и проектируют
всю установку на экран (рис. 7). Затем
включают максимально допустимый ток в об-

мотку электромагнита и наблюдают повора-
чивание стерженька, стремящегося устано-
виться поперек силовых линий поля.

Во втором опыте — убирают висмутовый
стерженек и, повернув башмаки электромаг-
нита на 180° вокруг вертикальной оси,
сближают их так, чтобы между ними оста-
валось простра ство только в 3—4 мм.
Если теперь установку спроектировать сильно
увеличенной на экран и в пространство
между наконечниками электромагнита пустить
свободно падать медную или серебряную
монету (пятачок из красной меди, полтинник),
то на экране очень наглядно видно застре-
вание монеты, когда она, падая, пересекает
магнитное поле, вследствие образующихся
в ней токов Фуко.

В этих установках внимание учащихся
привлекается к изменению положения предме-
тов, настолько незначительных по размерам
(толщина стерженька и монеты приблизительно
2—3 мм), что видеть их и замечать изме-
нения, происходящие с ними при обычном
обозрении вся аудитория безусловно не может.
Поэтому только в теневой проекции эти
опыты приобретают определенный смысл,
так как им придается необходимейшее свой-
ство всякого классного эксперимента — на-
I лядность.

Нужно сказать, что сама методика демон-
стрирования опытов при теневом проекти-
ровании может быть различна. Есть, например,
такие опыты, в которых теневое проектиро-

Рис. 7

вание играет настолько узко подсобную
роль, что прибегают к нему лишь в некото-
рые моменты демонстрирования опыта и на
сравнительно короткое время.
Таков опыт с электромагнитом, описанный
выше, или опыт, показывающий вес воздуха
с грубыми весами Беранже, уписанный
проф. Полем *.	8,

В последнем опыте, который мы здесь не
описываем, отдельные приборы/ как шар
большой емкости (если под руками нет
такого шара, можно, не без успеха, воспользо-
ваться весьма распространенной в школьных
физических кабинетах трубкой Ньютона),
воздушный насос и отдельные детали самих
весов (но не показания весов), достаточно
наглядны. При объяснении они не требуют
какого-либо приема, повышающего вырази-
тельность. Проекцией же в этой установке
нужно воспользоваться только для тою,
чтобы совершенно ясно подчеркнуть всей
аудитории два момента: отклонение весов от
положения равновесия, когда на одну из
чашек положили шар с разреженным возду-
хом, и восстановление равновесия,— когда
воздух снова пустили в шар.

Но в курсе физики довольно часто встре-
чаются и такие опыты, в процессе демон-
стрирования которых необходимо несколько
раз прибегать к теневому проектированию
через сравнительно короткие промежутки
времени. Таков, например, опыт с конденса-
тором, описанным выше, где сначала пока-
зываются сами потоки теплого воздуха, а
затем к ним подносится и постепенно заря-
жающийся конденсатор.

 Рис. 8

Кроме того, иногда бывает нужно по смыслу
опыта привлечение внимания учащихся и ко
всем промежуточным постепенным изменениям
установки, например, к тем или иным переклю-

* Поль — «Введение в механику и акустику»,
1932 г., стр. 141, рис. 221.

чениям электрической цепи. Тогда, как пока-
зывает практика, чтобы не разбивать внимания
аудитории, весь опыт, включая и начальную
сборку установки, следует провести методом,
теневого проектирования.

Рис. 9

Чтобы яснее подчеркнуть основную мысль,,
разберем опыт на взаимодействие двух пря-
мых параллельных проводников, когда по
ним идет ток в одну или разные, стороны.

Так как в этом случае даже при сравни-
тельно больших токах в 10—15 А и длинных
нитях в 1 м сила взаимодействия между
ними очень мала, то для опыта приходится
брать металлические нити, легкие и тонкие
(пригодна, например, так называемая «мишу-
ра»), а ток должной силы включать в них
только на короткий момент, чтобы не пере-
жечь нити.

Но и при таких условиях отталкивание
и притяжение проводников при обычном
способе показа почти незаметно для большой
аудитории, и рациональным выходом явля-
ется теневое проектирование. Опыт' произво-
дится приблизительно так.

В лапку штатива зажимается пластинка с
двойной клеммой, например из набора к уни-
версальной струбцинке (на экране появляется
тень, как на рис. 8). К клемме подвешивается
за середину нитка мишуры (на экране под-
вешивается нить, как на рис. 9). Два нижних
конца нити соединяются — один с рубильни-
ком, а другой с двойной соединительной
клеммой (на экране появляется рубильник и
клемма; проводчики соединяются, как на
рис. 10). К рубильнику и двойной клемме
подводится ток (на экране производите*
соединение подводящих юк проводников).
Что будет, если теперь включить ток? На
экране рубильник замыкает цепь и провод-
ники отталкиваются, как на рисунке 11
и т. д.

Такой способ показа позволяет представить
опыт очень выразительно и, кроме того, дает
возможность легко управлять вниманием уча-

щихся. Для успешного проведения демонст-
рации здесь требуется тщательный подбор
отдельных деталей, так, чтобы все они давали
на экране простые и характерные для себя
(похожие) тени.

Еще большее значение имеет метод теневого
проектирования в опытах, требующих гори-
зонтальной площади и протекающих обычно
в плоскости крышки экспериментального
стола или в плоскости какой-либо подставки,
расположенной выше стола.

В классной обстановке эти опыты вообще
очень неудобны для обозрения, так как в боль-
шинстве средних школ физические кабинеты
не оиорудсваны амфитеатром. Эксперимен-

тальный же стол чаще располагают на досчатоя»
настиле высотой 25—30 см, почему глаза
учащихся, сидящих за рабочими стонами,
расположены приблизительно на уровне-
крышки экспериментального стола. Видеть
ясно, что происходит в этом случае на пло-
скости стола и, тем более, на подставке —
выше стола, не представляется никакой
возможности. Подобные опыты проходят
совсем не убедительно, почему их приходится"
опускать совсем или показывать на полу,
повторяя несколько раз для небольших
групп учащихся одного и того же класса,,
что далеко не всегда возможно и удобно

Примером такого опыта, нуждающегося в
иных, чем это обычно принято, приемах де-
монстрирования, может служить сложение
импульсов на весьма распространенном при-
боре с молоточками, ударяющими шарик
в двух, взаимно-перпендикулярных направ-
лениях*. Отдельные детали прибора имеют
достаточные размеры, хорошо заметны из-
дали, поэтому при их описании можно при-
бегнуть к обычному способу показа. Дей-
ствие же прибора просто и очень наглядно
можно продемонстрировать при помощи те-
невого проектирования.

На стеклянное дно ванны, описанной вы-
ше, ставят прибор близко к середине одной
из боковых стенок так, чтобы молоточки
могли свободно отклоняться на нужный угол,
не задевая за край ванны. Между молоточ-
ками помещают деревянный шарик и, под-
ставив под ванну Лампочку, как указано бы-
ло выше, проектируют прибор на потолок,
(рис. 12).

Так как установить шарик на стеклянном
дне ванны в надлежащем месте бывает до-

* См. Двинянинов — «Учебные пособия и
политехническое оборудование», стр. 15, рис. 16.
•статочно трудно (шарик очень легко скаты-
вается), то под него рекомендуется подло-
жить маленький кусочек наждачной бумаги,
приклеив его временно чем-либо к стеклу.

На тени совершенно ясно видно, как пе-
ремещается шарик под влиянием удара того
или другого молоточка, а затем — под влия-
нием удара обоих молоточков сразу. .

Достаточно выразительным в теневом
проектировании становится и другой демон-
страционный опыт, иллюстрирующий явление
преломления света при помощи механической
модели и требующий при обычной поста-
новке почти горизонтальной плоскости.

Сама модель очень проста. Она состоит из
небольшой оси (проволока длиной 8—10 см,
диаметром 3—3,5 мм) с двумя расположен-
ными по концам и самостоятельно (не скре-
плены с осью) вращающимися с возможно
малым трением легкими колесиками в 3—3,5 см
диаметром, из дерева или металла.

Перед демонстрацией опыта закрывают
•одну половину дна ванны бумагой и насы-
пают при помощи частого металлического
сита на другую половину дна по возможно-
сти тонкий слой самого мелкого, хо-
рошо просеянного сухого песка. Слой дол-
жен быть такой толщины, чтобы через него
все же мог хорошо проходить свет от источ-
ника, поставленного под ванну. Затем сни-
мают бумагу и получают резкую границу
песка. Слегка приподнимают не засыпанный
•песком край ванны и получают тем самым
наклон, благодаря которому ось с колесиками
должна свободно, но без заметного ускоре-
ния, катиться по дну ванны.

Если^теперь пустить модель под некото-
рым углом к фронту песка (рис. 13), то па
тени ясно будет видно, как колесо А, вслед-

ствие трения о песок затормозится, в то
время как колесо В е це продолжает дви-
жение по гладкой поверхности стекла, от-
чего вся ось изменит направление своего
движения.

Насыпая песок на дно ванны в виде
треугольника или разреза двояковыпуклой
или вогнутой чечевицы, можно наглядно
показать- «ход лучей в призме и линзах».
А если сделать наклон ванны в другую сто-
рону и пускать модель с песка на чистое
стекло, то иногда удается при некоторой
тренировке показать и явление «полного
внутреннего страже шя», когда колесики,
пущенные под предельным углом к линии
раздела, заворачивают и возвращаются снова
на посыпанную половину дна ванны.

Если опыт приходится показывать в вы-
сокой комнате, и тень модели получается на
потолке слишком большой, то, чтобы полу-
чить большую четкость, ванну следует рас-
положить выше, например на спинках двух
стульев.

Эти простые, полезные и сравнительно
давно известные опыты, указанные еще в
каталоге физических приборов Трындина,
изданном в 1914 г., страница 254, № 3609
А и В, не нашли себе широкого примене-
ния в школе невидимому* потому, что их
обычно рекомендуют показывать на слегка
наклонной доске с наклеенным сукном или
бархатом, т. е. таким способом, при кото-
ром теряется почти вся выразительность.

В заключение разберем еще один весьма
распространенный опыт — вычерчивание си-
нусоиды при помощи камертона с пером.

Обычно для этой цели берут закопченную
стеклянную пластинку и в присутствии уча-
щихся проводят по ней пером звучащего
камертона. Затем, в лучшем случае, пластин-
ку помещают в проекционный фонарь и рас-
сматривают полученную синусоиду на экране,
а в худшем — дают пластинку на руки уча-
щимся. При такой постановке опыта уча-
щиеся не видят самого процесса вычерчива-
ния синусоиды, а наблюдают эту синусоиду
как результат некоторых манипуляций экс-
периментатора.

Теневое проектирование позволяет совер-
шенно свободно и наглядно показать этот
опыт всей аудитории в полной динамичности
и без традиционного закопченного стекла.

Ставят под ванну источник света и, как
было указано выше, насыпают на дно ванны
при помощи частой сетки тонкий слой мел-
кого песка. Затем берут самый большой
камертон из имеющихся в физическом ка-
бинете (чем больше камер! он, тем эффект-
нее выходит опыт)* и на конце одной из
его ножек укрепляют перо при помощи
кольца, отрезанного от резиновой трубки.
Перо лучше всего вырезать в виде узкого,
длинного треугольника из достаточно тонкой
полоски какого-либо упругого металла. Для
этой цели можно с успехом воспользоваться
верхней латунной покрышкой от старой
трубки Бергмана, часто употреоляемой для
электропроводки.

Если теперь пером звучащего камертона
с той или иной скоростью проводить по пес-
ку, то на потолке будут видны в увеличен-
ном масштабе образующиеся при этом сину-
соиды.

Следует заметить, что как этот опыт, так
и ряд других, в которых пользуются ванной,
можно совершенно просто и достаточно ярко
показать на вертикальном экране вместо
потолка, соблюдая при этом желаемый мас-
штаб.

Для этого нужно только воспользоваться
обычным плоским зеркалом (приблизитель-
ные размеры — 40 lm X 30 см), повернув
его к проекционному экрану и оперев на
дно ьанны под углом приблизительно 45°.

Все описанные здесь опыты являются лишь
примерами, при помощи которых мы стре-
мились показать возможности и пользу при-
менения метода теневого проектирования и
которые, конечно, не исчерпывают всех слу-
чаев, когда этот метод был бы очень поле-
зен.

Совершенно не претендуя на полноту и
систематичность, приведем еще некоторые
опыты и приборы, отвечающие курсу физи-
ки средней школы, из сравнительно много-
численных опытов, проверенных нами в прак-
тике преподавания.

Вертикальная проекция

1.	Звуковой резонанс с камертонами в
обычной установке удается выразительно
показать при хорошо настроенных в унисон
камертонах, которые в настоящее время
г школе встречаются редко. Плохо настро-
енные— резонируют слабо, и звучание для
всей аудитории не слышно. Легче всего
в таком случае обнаружить даже самые нич-
тожные колебания камертона при помощи
легкого маятника, например из стеклянной
бусинки бисера, отскакивания которого от

* Вместо ка1 'ертона можно с таким же успе-
хом воспользоваться «са .юварными щипцами»
для углей или толстой латунной или стальной
проволокой, согнутой соответствующим обра-
JOM.

ножки резонирующего камертона на увели-
ченной тени отчетливо заметны всей аудито-
рии.

2.	Таким же приемом можно значительно
повысить выразительность опыта на резонанс
воздушного столба. Для этого следует взять
широкогорлую бутылку и заклеить ее горло
наполовину тонкой, но плотной бумагой.
Расположи гь бутылку на под‘е лном столике
в горизонтальном положении и повесить пе-
ред бумагой-мембраной на отдельном шта-
тиве небольшой маятничек — легкий шарик из
пробки или бузины на тонкой нити. Шарик
маятника должен слегка касаться мембраны.

Возбуждая теперь на некотором расстоя-
нии от бутылки звуки разной высоты при
помощи органной трубы с поршнем, легко
добиться того, что столб воздуха в бутылке
будет резонировать на некоторый определен-
ный тон. Тогда мембрана придет в колеба-
ние, а вместе с ней будет отскакивать и
маятник на заметный угол, что отчетливо
видно на экране.

3.	В теневой проекции можно просто и в
то же время достаточно наглядно показать
магнитное поле электромагнита, пользуясь
сравнительно небольшими токами.

Устанавливают на подставке в вертикаль-
ном положении небольшой прямой электро-
магнит (здесь пригодна, например, одна из
катушек от трансформатора Неймана с же-
лезным сердечником) и накрывают его кус-
ком обычного стекла. Если на стекло поло-
жить тонкие, длинные булавки и, спроекти-
ровав прибор в виде тени на экран, вклю-
чить в катушку постоянный ток, то булавки,
ранее совсем незаметные на стекле, теперь
наглядно поднимаются- и располагаются по
силовым линиям магнитного поля.

Можно вместо булавок постепенна насы-
пать на стекло железные опилки, когда в
катушку электромагнита включен ток, и от-
четливо видеть, как эти опилки, распола-
гаясь по силовым линиям магнитного поля,
образуют постепенно вырисовывающуюся
фигуру, напоминающую собою растущий на
глазах зрителей куст.

Выключение тока из катушки электромаг-
нита значительно меняет всю картину.

4.	Взвешивание паров эфира (см. стабиль-
ный учебник физики для девятого года,
рис. 2) приобретает при теневом проекти-
ровании значительно большую выразитель-
ность, так как на экране пары эфира ста-
новятся хорошо заметными, о чем говори-
лось выше. Кроме того, при теневом проекти-
ровании легко следить за изменением поло-
жения коромысла и стрелки весов, что поз-

5 Математика и физика, № 6

65
воляет пользоваться самыми простыми апте-
карскими чесами-.

5.	Определение угла естественного откоса
при насыпании, например, песка между дву-
мя вертикально поставленными стеклянными
пластинками можно произвести достаточно
•наглядно и быстро с помощью тени, отбро-
шенной на экран от всей кучи песка. А по
углу естественного откоса определить и ко-
эфициент трения.

*6. Различную форму капель, полученных
на поверхности стекла в зависимости от
количества жидкости в капле и от рода
взятых жидкостей (стабильный учебник, для
девятого года, рис. 36 и 39), можно хорошо
показать на экране при максимально увели-
ченных тенях.

Жидкости при этом лучше капать на
стекло в процессе демонстрирования опыта,
а не заготовлять заранее.

7.	Простое гармоническое колебание мож-
но показать, проектируя на экран тень кру-
гового маятника *.

8.	Шар с отверстиями для демонстрации
закона Паскаля в газах наполняют табачным
дымом и проектируют на. экран. При легком
нажиме на поршень из всех отверстий рав-
номерно выбиваются струйки дыма, дающие
хорошо заметную тень на экране.

9.	Трубка Бурдона для пояснения прин-
ципа устройства металлического манометра
(см. Двинянинов—«Учебные пособия и
политехническое оборудование», выпуск 1,
№ 130) в настоящее время выпускается
малых размеров и нуждается в теневом проек-
тировании при демонстрации в классе. По
своей конструкции трубка вполне приспо-
соблена для этой цели, почему опыт при-
обретает необходимую наглядность.

10.	Пружинные весы с ведерком Архи-
меда (Двинянинов — «Учебные пособия»,
№ 85)**.

11.	Выгибание пластинки Брегета при
нагревании.

12.	Соскакивание бумажных рейтеров со
струны монохорда пои демонстрации обер-
тонов.

* См. Галанин, Горячкин и др.—«Физи-
ческий эксперимент в школе», т. 11 стр. 266.

** Как этот опыт, так и опыты 11, 12 и 13 в
особых пояснениях не нуждаются.

13	Электрометр Кольбе; он по конструк-
ции приспособлен для вертикального проек-
тирования (Двинянинов — Учебные по-
собия, № 222).

Горизонтальная проекция

1.	Движение камфары хорошо заметно
для всей аудитории, если ее бросить на
поверхность воды, налитой или в самую
ванну или в кристаллизатор с хорошим,
плоским дном из чистого стекла без пузы-
рей, поставленный на дно ванны и спроекти-
рованный на потолок.

2.	Выразительно получается в теневом
проектировании опыт с моделью Юнга для
пояснения молекулярного строения магнита,
если острия (иглы), на которых в этой мо-
дели вращаются магнитные стрелки, посадить
при помощи сургуча на чистое б^мское
стекло вместо доски и весь прибор поместить
на дно ванны.

3.	Волны на поверхности воды — распро-
страненный опыт, описанный, например, в
книге Кельзи, Красикова, Челюст-
кина—«Методика и техника классных опы-
тов по физике» или в книге Галанина,
Горячкина и др.— -Физический экспе-
римент в школе», т. II, страница 297.

4.	Фигуры Хладни, которые надо полу-
чить для целей проектирования не на метал-
лической, а на стеклянной пластинке. Так
как подставка или струбцинка, в которую
зажимается пластинка, мешает проектирова-
нию, то тенью приходится пользоваться только
для рассмотрения уже полученных фигур, для
чего пластинку с фигурами отнимают от стойки
и располагают на дне ванйы.

5.	При помощи ванны можно очень выра-
зительно показать и магнитные спектры маг-
нита. Для этого помещают магниты прямо
на дно ванны, а затем при помощи сита насы-
пают на них железные опилки. При этом
бывает полезно легкое госту кивание по краю
ванны.

6.	Магнитные спектры токов (прямого, кру-
гового, соленоидального) хорошо получаются
в теневом проектировании, когда проволока,
по которой идет ток, продета в стекле, как
в рамках по Бергофу (Двинянинов —
«Учебные пособия», № 301).
МЕТОДИКА

О ПРЕПОДАВАНИИ НАЧАЛЬНОЙ ЧАСТИ ТРИГОНОШЗ'ИПИ *

В. К "’КТЫШУК

Тригонометрия занимает среди других мате-
матических дисциплин своеобразное положе-
ние. С одной стороны, это геометрическая
наука, так как имеет своей целью решение
треугольников. С другой стороны, гониомет-
рией она упирается в алгебру. Некоторые
методисты, в том числе Юнг, отрицают за три-
гонометрией право на самостоятельное сущест-
вование. Часть ее они относят к геометр:.и,
а гониометрию к алгебре. С этим конечно
нельзя согласиться, так как методы, которыми
пользуется тригонометрия, обладают многими
особенностями.

Первый вопрос, который естественно воз-
никает при преподавании тригонометрии, —
это: когда начинать знакомить с ней учащихся.
В школьной практике мы встречаем три раз-
личных ответа на этот вопрос:

1)	Изложение тригонометрии начинают
после доказательства теоремы Пифагора и ее
распространения на косоугольные треугольники
(метрические соотношения в треугольнике);

2)	преподавание тригонометрии можно на-
чинать и после учения о подобии треуголь-
ников;

3)	наконец известны случаи, когда уча-
щиеся знакомились с понятиями об основных
тригонометрических функциях после изучения
пропорциональной зависимости величин в
арифметике.

Несомненно, что наиболее целесообразно
ставить преподавание тригонометрии только
после проработки теоремы Пифагора и рас-
смотрения метрических соотношений в тре-
угольнике.

Дело в том, что геометрия не в состоянии
своими средствами разрешить проблему о ре-
шении треугольников. Что три сгопоны тре-
угольника, например, вполне определяют един-
ственный треугольник—это легко устанавли-
ваемый в геометрии факт. Но найти величину
углов этого треугольника геометрия не в
состоянии. Она может сделать это лишь
в отдельных случаях, например в случае

равностороннего треугольника. Теорема’Пи-
фагора дает нам частичное решение треу-
юльника: она устанавливает зависимость
между сторонами прямоугольного треуголь-
ника. Но мы не можем найти величину
углов этого треугольника при помощи ее.
Лишь в отдельных случаях можно, зная
длину сторон прямоугольного треугольника,
определить его углы.

Таким образом, получается следующее:
планиметрия, которая занимается изучением
свойств плоских геометрических образов и
в частности многоугольников, не в состоянии
решить треугольник, т. е. установить зави-
симость между его элементами — сторонами
и углами. С другой стороны, задача реше-
ния треугольников имела и имеет сущест-
венное значение для практики человека.

Тригонометрия дает выход из этого поло-
жения.

Эти соображения очень важны с методи-
ческой точки зрения. После проработки тео-
ремы Пифагора и рассмотрения зависимости
между сторонами косоугольного треугольника
через их проекции (метрические соотношения
в треугольнике), весьма уместно учителю обра-
тить внимание учащихся на бессилие геометрии
определять углы треугольника по его сто-
ронам. Тем самым дети будут подведены
к пониманию необходимости изучения новой
математической дисциплины — в Данном слу-

* Помещая в порядке обсуждения статью
т. Матышук, редакция обращает внимание чита-
телей на то обстоятельство, что т. Матышук вы-
двигает своей статьей требование изменения про-
граммы в сторону увеличения в VIII классе
числа часов на тригонометрию.

Наоборот, т. Шевченко (см. статью в 4 «М.
и Фа) отрицает вообще целесообразность концент-
рического построения курса тригонометрии (хотя
немногие предварительные сведения, даваемые
в восьмых классах на протяжении 8 часов, едва
ли можно назвать первым концентром).

Редакция просит читателей высказаться по
существу вопросов, поднимаемых обеими стать-
ями.— Ред.	|,_
чае тригонометрии. Таким образом, появле-
ние новых понятий будет здесь естественно
вытекать из всего предшествующего.

Выше было указано, что преподавание
тригонометрии можно начинать и после уче-
ния о подобии треугольников. Но это го-
раздо хуже, так как те соображения, кото-
рые были высказаны мною при рассмотре-
нии предыдущего случая, не могут уже
здесь иметь такое значение. Однако о по-
добном начале тригонометрии наиболее умест-
но говорить в профессиональной школе, где
производство может потребовать от учаще-
гося скорейшего ознакомления с тригономет-
рическими функциями. Впрочем в связи
с введением всеобщего обязательного семи-
летнего обучения и эта необходимость отпа-
дает.

О том, чтобы давать понятие о тригоно-
метрических величинах в связи с арифмети-
кой, об элЛ« можно говорить сейчас лишь
как о курьезе. Но несколько лет тому назад,
в условиях рабфаков, дело было именно так.
Если развернуть учебники того времени, как
например, «Рабочую книгу по математике»,
составленную для рабфаков Беркутом,
Гастевым и др., или «Практическое руко-
водство по математике» Гуревича и М и-
норского (год издания 1930), то там
можно увидеть, что непосредственно после
учения о пропорциональной зависимости
величин давались самые кратенькие сведения
о подобии многоугольников, а затем шла
специальная глава о тригонометрических
величинах углов. Здесь рассматривались синус
и тангенс угла и решались различные про-
изводственные задачи с применением нату-
ральных таблиц тригонометрических величин.
Раннее введение тригонометрии в препода-
вание математики об'яснялось тем. что на
первом курсе рабфаков шло уже изучение
физики, и физика начиналась с механики.

Вполне понятно, что после постановления
партии и правительства о начальной- и сред-
ней школе, требующего систематичес-
кого изложения математики, не может
быть и речи о таком раннем начале триго-
нометрии.

Установив, когда лучше всего начинать пре-»
подавание тригонометрии, необходимо рас-
смотреть, как лучше всего это сделать. Для
дореволюционной школы характерно было
изолированное от геометрии преподавание
тригонометрии. Классический учебник Рыб-
кина начинался с установления новой меры
углов — радианной. Затем вводилась окруж-
ность произвольного радиуса (в тригономет-
рии Шапошникова — радиуса, равного

единице). В ней проводились какие-то пря-
мые линии, и отрезкам их давались особые
названия. Затем бралось отношение длины ,
этих отрезков к радиусу, рассматривалось
изложение этих величин, их зависимость между
собой и т. д. Только проработав всю гонио-
метрию, ученик переходил к решению треу-
гольников и тем самым познавал, зачем ему
нужна эта новая математическая дисциплина.
О приложении же решения треугольников
к геодезии, т. е. практике, он узнавал лишь
оканчивая изучение тригонометрии. Таким
образом, преподавание тригонометрии в доре-
волюционной школе носило абстрактно-фор-
мальный характер. Нельзя сказать, что тогда
не было учебников по этой дисциплине,
построеных иначе. Учебники Глазенапа и
других сперва ставили решение треугольни-
ков, а затем давали гониометрию.

Но это не привилось, так как вывод фор-
мул решения косоугольных треугольников
без гониометрии носит достаточно сложный и
зачастую искусственный характер.

Кроме тоТо, и учащиеся труднее усваивали
этот раздел тригонометрии, не зная гонио-
метрии. Таким образом, господствующим был
тогда учебник Рыбкина, который без сущест-
венных изменений принят сейчас и советской
школой.

Однако начинать преподавание тригоно-
метрии так, как это имело место в дорево-
люционной школе, сейчас нельзя. Ученик
должен сразу видеть, чем вызывается! необ-
ходимость введфзия тригонометрических ве-
личин, г,очему вывод понятия о них связы-
вается с особым кругом и линиями в нем и
т. д. Он может понять это лишь в том слу-
чае, если тригонометрия будет естественно
примыкать к геометрии, и первые понятия
о тригонометрических величинах появятся у
него из решения прямоугольных треугольни-
ков. Таким обпазом, я считаю безусловно
необходимым, чтобы перед началом система-
тического курса тригонометрии учащийся
проработал специальный переходный (пред-
' варительный) курс тригонометрии емкостью
в 20—25 акад, часов. В задачу этого курса
входит ознакомление учащихся с синусом,
косинусом и тангенсом угла, исходя из пря-
моугольного треугольника, с их простейшими
свойствами, с применением их в практике
человека и с пользованием натуральными
таблицами этих величин.

- Правда, стабильная программа по матема-
тике предусматривает в VIII классе 8 акад,
часов для ознакомления учащихся с перво-
начальными понятиями о тригонометрических
величинах, но этих часов -так мало, что
фактически они пропадают без всякой поль-
зы для дела. Поэтому я считаю крайне
необходимым включить в программу VIII
класса предварительный курс тригонометрии
на 20—25 часов, с тем, чтобы в IX классе
начать уже систематический ее курс.

Содержание подобного предварительного
курса триг&юмстрии я представляю себе
в следующем виде.

Учащийся знакомится здесь только с тремя
основными функциями — синусом, косинусом
и тангенсом. При этом изучение их надо
начинать непременно с тангенса. Эго потому
надо делать, что по тангенсу легче построить
угол, чем по синусу и косинусу; тангенс
чаще, чем синус и косинус, применяется на
практике, как величина, измеряющая угол
(например определение наклона дороги).

Затем очень легко подобрать много инте-
ресных задач с производственным содержа-
нием на применение тангенса и т. д.

Для того, чтобы подвести учащегося к
понятию о тангенсе, надо предварительно
доказать следующую теорему. Если из про-
извольных точек сторон угла опускать пер-
пендикуляры на противоположную его сто-
рону, то в получающихся прямоугольных
треугольниках отношения катетов, противо-
лежащих углу, к прилежащим катетам есть
величина постоянная.

Это постоянство «величины позволяет про-
вести следующую мысль: так как для дан-
ногэ угла отношение катетов постоянно, то
оно может служить для измерения его вели-
чины. Этому отношению дается специальное
название тангенса угла.

Таким образом, тангенс есть величина,
измеряющая угол: мысль, которая, к сожале-
нию, не проводится (не подчеркивается) чи
в учебниках, ни на урока* тригонометрии.
Ученику очень легко показать это, предло-
жив ему проделать ряд следующих упражне-
ний:

г «Начертить j глы, тангенсы которых равны

112
4’ 3’ 5

з ^,4>

3 4	2	2

Делается это по линеечке на клеточной
бумаге, причем в нескольких случаях необхо-
димо показать, что величина угла не зависит
•т того, возьмем - ли мы, к примеру, катеты
треугольника в 3 и 4 единицы, в 6 или 8 и
т. д., лИшь бы отношение катетоь было
одним и тем же.

При выполнении этих упражнений полезно
при помощи транспортира определять градус-
ную величину каждого из построенных углов,

проводя при этом мысль, что каждому зна-
чению величины угла, выраженному в граду-
сах, отвечает вполне определенная отвлечен-
ная величина, называемач тангенсом угла.
Этим мы подводим учащихся к пониманию
сущности натуральных таблиц тангенса. Для
закрепления этого понимания важно выпол-
нить следующее упражнение, которое дает
учащимся таблицу тангенсов через каждые
15°, правда, не особенно точную: на мил-
лиметровой бумаге (можно и на клеточной)
чертится дуга в — окружности радиуса 10
4

единиц, например 50 мм (единица масштаба
раша 5 мм). На дуге наносятся деления
через каждые 15°.

В конце радиуса ОА проводится к нему
перпендикуляр, а через деления окружности,
из центра ее лучи до п ресечения с восста-
новленным из точки А перпендикуляром.

Длина получившихся отрезков АВ, АС.
AD, АЕ и т. д. измеряется, и берется отно-
шение получившихся чисел к радиусу. Мы
будем иметь таблицу тангенсов через каждые
15°. Полезно учителю иметь заготовле иным
такой чертеж в большом масштабе на мил-

лиметровой бумаге. Чем больше масштаб,
тем большая точность найденной таким обра-
зом таблицы. Затем учащимся сообщают,
что такие таблицы с достаточно большой
точностью составлены, и что ими пользуются
для решения ряда задач.

Знакомство учащихся с натуральными
таблицами тригонометрических величин имеет
большое значение. Прежде всего они под-
готовляются здесь к пользованию в даль-
нейшем таблицами логарифмов. На этих
таблицах учащийся видит характер изменения
тригонометрических величин, что непосред-
ственно не видно в соответствующих лога-
p-i(J мических таблицах. Наконец, пользование
натуральными таблицами тригонометрических
величин дает возможность решать задачи
практического и прэизводстзенного характе-'
ра. Таких задач можно подобрать достаточно
большое количества.

Здесь мы имеем задачи на определение
расстояний до недоступных точек, задачи,
связанные с военным телом и т. д. Ряд
таких задач дан в стабильном задачнике по
тригонометрии Рыбкина (§ 6). Учитель
и сам мо кет придумать их.

При решении подобных задач нужно брать
числа, достаточно удобные для вычисления,
так как здесь приходился иметь дело с дей-
ствием умножения и деления. Полезно озна-
комить детей и с интерполированием по
таблицам. Однако при отсутствии времени
или при наличии сравнительно слабых групп
с л г-дует ограничиться решением только таких
задач, где интерполирование ненужно.

В заключение рассматривается характер
изменения тангенса при изменении угла в пре-
делах от 0 до 90°. Эго нетрудно сделать
каждому учащемуся у себя в тетради и по-
казать на соответствующих наглядных посо-
биях, в частности на разобранной выше за-
даче (см. рис.).

После изучения тангенса угла в таком же
порядке прорабатывается и синус. Сперва
рассматривается основная теорема, доказываю-
щая, что для данного угла отношение кате-
та, противолежащего углу, к гипотенузе есть
величина постоянная (формулировка такая же,
что и в случае тангенса).

Таким образом, синус так же, как и тан-
генс, служит для измерения угла. Ученику
нетрудно показать на соответствующих при-
мерах, что это именно так. Для этого ему
предлагается построить ряд углов, синусы
которых заданы, например синусы равны

1 1 2	1 3 2 2 4

4’3’5' 2’5’3’4’5’ ’

Делается это обычным путем, как указано,
например, в тригонометрии Рыбкина, но ра-
диус четверти дуги окружности, которая прн
этом строится, берется равным 60 мм, чтобы
удобнее было откладывать отрезки прямой
соответствующей длины. Полезно при помо-
щи транспортира находить величину получаю-
щихся углов в градусном измерении. Обрат-
ную задачу, т. е. определение синусов углов
по заданным их величинам в градусном изме-

рении, можно не производить, так как это
довольно хлопотливо. Однако из рассмотре-
ния соответствующих прямоугольных треуголь-
ников выводятся числовые выраженья синуса
для углов в 30°, 45°, 60° и 90°

После проведения этих упражнений реша-
ются задачи прикладного характера с при-
менением натуральных таблиц синуса, а в зак-
лючение учащиеся знакомятся с характером
измененья синуса при изменении угла от 0°
до 90°.

После проработки синуса угла в таком же
самом порядке и в таком же об‘еме рассмат-
ривается косинус угла.

В заключение на основании рассмотрения
прямоугольного треугольника устанавливаются
элементарные зависимости между изученными
тригонометрическими величинами, а именно—
доказываются следующие тождества:

sin2 а cos2 а =. 1;

sin а = cos (90° — а);

cos а — sin (90° — а);

Примерное распределение материала пред-
варительного курса тригонометрии в классе
следующее:

1)	Установление понятия о тангенсе утла,
построение угла по тангенсу и определение
тангенса угла графическим методом — 2 часа.

2)	Натуральные таблицы тангенса, решение
задач и изменение тангенса — 6 часов.

3)	Установление понятия о синусе утла и
построение угла пэ синусу — 1 час.

4)	Таблицы синуса, решение задач и изме-
нение синуса — 3 часа.

5)	Установление понятия о косинусе и по-
строение угла по косинусу—1 час.

6)	Таблица косинуса, решение задач — и
изменение косинуса — 2 часа.

7)	Решение смешанных задач — 3 часа.

8)	Установление зависимости между три-
гонометрическими величинами — 2 часа.

9)	Поименная контрольная работа — 1ч.

Итого — 21 час.

Систематический курс тригонометрии про-
ходится учащимися в IX классе, причем в
качестве стабильного учебника принят в на-
шей школе учебник Рыбкина, перепечатан-
ный с дореволюционного издания с неболь-
шими изменениями.

Для того, чтобы лучше связать предвари-
тельный курс тригонометрии VIII класса с
систематическим курсом этой дисциплины
в IX классе, надо при распространении по-
нятия о тригонометрических величинах на
углы, превышающие 90°, напомнить детям
прежние определения синуса, косинуса
и тангенса. Надо сказать, что новые опре-
деления этих величин, данные в связи с
линиями синуса, косинуса и тангенса в кру-
ге не противоречат прежним определениям,
взятым из прямоугольного треугольника,
а включают их в себя, как частный случай.
Прежние определения неудобны для систе-
матического курса тригонометрии, так как
имеют ограниченное применение — они спра-
ведливы для углов, не превышающих 90Q.

Выше уже отметалось, что преподавание
тригонометрии в дореволюционной школе
было изолировано от геометрии и что появ-
ление тригонометрического круга в начале
учебника Рыбкина ничем не оправдывалось
в глазах учащихся. Введение в VIII классе
предварительного концентра тригонометрии
устраняет изолированность систематического
курса тригонометрии от геометрии. Но, по-
мимо этого, необходимо в начальную часть
учебника тригонометрии Рыбкин» внести еще
ряд небольших, изменений.

Прежде всего надо об‘яснить учащемуся,
почему мы при определении тригонометри-
ческих величин вводим круг. Делается это
потому, что легче всего судить о величине
угла по величине дуги окружности, для ко-
торой данный угол есть центральный. Гра-
дусное измерение угла потому имеет такое
широкое применение, что дуга пропорцио-
нальна стягиваемому ею углу.

В учебнике Рыбкина тригонометрический
круг берется произвольного радиуса. Но в
других учебниках, например в учебнике Ш а-
пошникова, он берется радиуса, равного
единице. При радиусе, равном единице, три-
гонометрические величины выражаются таки-
ми же самыми числами (отвлеченными), как
и соответствующие тригонометрические ли-
нии (в последнем случае эти числа имено-
ванные). Благодаря этому выводы всех фор-
мул в гониометрии упрощаются, так как ра-
диус равен единице. Но с методической точки
зрения введение окружности радиуса, равного
единице, крайне нежелательно, так как это
приведет к тому, что учащийся не будет
различать тригонометрической линии от со-
ответствующей тригонометрической величины.
Таким образом, ему не будет ясно, напри-
лер, что синус есть отношение определенного
отрезка прямой в круге к радиусу, и что он,
следовательно, есть число отвлеченное. В учеб-
пике Рыбкина совершенно правильно взят
радиус, не равный единице. Но надо было
бы при этом с самого начала отметить, что
радиус круга потому берется произвольный,

что величина угла не зависит от того, какого
радиуса взята измеряющая его дуга.

При установлении понятия о тригономет-
рических величинах следует подчеркнуть
мысль, что они служат для измерения вели-
чины угла. Градусное измерение угла, весьма
удобное, главным образом, вследствие легко-
сти измерения угла, не является естественным
тогда, когда нужно найти зависимость между
углами и сторонами треугольника. В этом
случае целесообразно ввести новые принци-
пы измерения угла. Синус, косинус, ташенс
'и т. д. служат для измерения угла, для вы-
ражения его величины, так же как и ради-
анное измерение угла. Эти мысли в учебни-
ке Рыбкина не подчеркиваются.

Как известно, в тригонометрии пользуются
шестью величинами — синусом, косинусом,
тангенсов, котангенсом, секансом и косекан-
сом.

Первые три величины — главные, ьторые
три — вспомогательные. Они и исторически
были введены в три! онометрию гораздо поз-
же первых трех. Их значение — заменить
деление на тригонометрическую величину,
которая вообще выражается приближенными
числами, умножением. Вместо того, чтобы
делить, например на синус, мы умножаем на
косеканс. От этого упрощаются формулы и
облегчается вычисление тригонометрических
выражений. Совершенно по той же причине
мы избавляемся в алгебре от иррациональ-
ности в знаменателе, а деление на число к

заменяем умножением на дробь —, выражение
тс

которой в виде десятичной дроби дается во
всех таблицах.

Разделение тригонометрических величин
на главные, и вспомогательные надо было бы
провести и в самом преподавании. В частно-
сти, например, я считаю лишним введение в
школу понятий о линиях котангенса, косекан-
са и секанса.

Достаточно ограничиться только линиями
синуса, косинуса и тангенса, использовать
их для установления зависимости между этими
величинами, судить по их изменению о ха-
рактере изменения соответствующих триго-
нометрических величин, вывести формулы
приведения этих величин к первой четверти
и т. д. На практике приходится встречаться
только с линиями синуса, косинуса и тангенса.
Что касается линий котангенса, секанса и
косеканса, то, прежде всего, надо заметить,
что они носят достаточно искусственный
характер. Их изменения не так легко себе
представить, как изменение линий пеовых
трех тригонометрических величин. Практиче-
ски дальше первых глав тригонометрии они
нигде не встречаются. Поэтому я считаю
целесообразным от них отказаться. В связи
с этим котангенсу надо дать аналитическое
определение: это — величина, обратная тан-
генсу. Секансом будем называть величину,
обратную косинусу, и косекансом — величину,
обратную синусу. Все формулы приведения
надо выводить на основании формул приве-
дения основных тригонометрических величин.
Например:

ctg (180° - «) = tg(]80° —a) ~ —	=

- — ctg а.

Изменение вспомогательных тригонометри-
ческих величин по четвертям угла надб пред-
ставлять себе на основании изменения основ-
ных величин. Например синус угла изменя-
ется в первой четверти от 0 до 1. Косеканс
есть величина обратная синусу. Синус нуля
равен нулю. Следовательно, косеканс нуля
равен бесконечности (это легко показать,
рассматривая дробь, у которой знаменатель

берется приближающимся к нулю). Синус
возрастает в первой четверти. Следовательно,
косеканс будет убывать. Наконец sin 90° = 1
Следовательно, и cosec 90° = 1. Таким обра-
зом, в первой четверти угла косеканс изме-
няется от бесконечности до единицы.

Аналогично можно представить себе изме-
нение косеканса и по другим четвертям, а
также изменение и остальных двух тригоно-
метрических величин. Не будем спорить, что
установить характер изменения одних триго-
нометрических величин на основании измене-
ния других гораздо труднее, чем представить
себе это на основании изменения соответ-
ствующих линий в круге. Но тут надо заме-
тить, что линия секанса, косеканса и котан-
генса быстро забываются учащимися, так как
ими вообще не приходится больше нигде
пользоваться. С другой стороны, заставляя
учащихся рассматривать изменение одних
величин на основании изменения других вели-
чин, мы даем для воображения детей пре-
красное упражнение. Не всегда же им поль-
зоваться наглядными представлениями. В IX
классе можно требовать и силы воображения.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА -ТОЧЕК В ПРОГРАММАХ ШКОЛЫ

В В. РГПЬЕВ

I

Геометрия, как научная дисциплина, уде-
ляет значительное внимание геометрическим
местам точек? На самом деле, аналитическая
геометрия устанавливает соответствие между
геометрическими местами точек и уравнени-
ями: она показывает, что заданному геомет-
рическому месту точек соответствует опреде-
ленное уравнение, и наоборот—заданному
уравнению, говоря вообще, соответствует оп-
ределенное геометрическое место точек. Обыч-
ные в курсах аналитической геометрии подхо-
ды к изучению окружности, эллипса, гипербо-
лы и параболы являются иллюстрацией к выска-
занному положению. Таким образом геомет-
рические места точек (в дальнейшем сокра-
щенно — г. м. т. или г. м) играют видную
роль в построении и развитии некоторых
геометрических дисциплин.

Другое видное значение г. м. т. заключа-
ется в том, что с их помощью решаются
весьма многие и разнообразные*геометриче-
ские задачи на построение. Очень часто,
когда решение задачи сводится к отысканию

положения точки или нескольких .точек на
плоскости, задача легко, удобно и изящно
решается путем использования двух подходя-
ще выбранных г. м.

Как показывает изложенное, г. м. играюь
существенную роль в геометрии. А в силу
этого геометрия в школе, как «основа нау-
ки», уделяет внимание изучению г. м. и их
применению к решению задач на построение.
Программа по математике неполной средней
и средней школы первое знакомство с г. м.
относит к главе об окружности, изучаемой
в VII классе.

По широко распространенному среди пре-
подавателей математики мнению изучение
г. м. и их использование для решения за-
дач на построение является делом довольно-
трудным.

В чем же заключаются основные трудно-
сти изучения г. м?

А. В предшествующем курсе геометрии уча-
щиеся встречались с точками, вполне опре-
деленными, ооычно неподвижными: это кон-
цы отрезка, вершины углов, вершины много-
угольников и т. д. При изучении г. м. он»
впервые встречаются с «любой точкой пря-
мой», с «любой точкой г. м.»: точка стано-
вится движущейся, меняющей свое положе-
ние на г. м. В этом заключается первая труд-
ность. Эта трудность — того ке вида, какую
мы встречаем при изучении аналитической
геометрии. Если на окружности х2-]~у2 =
— 25 задать 2 точки А (3;4) и В (х, _м), то
по характеру своего поведения это 2 разные
точки: точка А — определенная точка, лежа-
щая в I четверти на 3 единицы от оси ор-
динат и на 4 единицы от иси абсцисс,
а точка В — любая точка окружности,
она является подвижной точкой, перемеща-
ющейся по окружности. Различное поведе-
ние этих точек делает их в понимании уча-
щихся различными.

Чтобы преодолеть с учащимися эту труд-
ность, чтобы научить их мыслить о любой
точке г. м., следует с первых же уроков
изучения г. м. систематически и настойчиво
подчеркивать, что любая точка, взятая на
г. м., обладает определенным свойством, что
то дока щтельство, которое дано, чтобы уста-
новить наличие это) о свойства, имеет силу*
не только для отмеченной точки, а для лю-
бой точки г. м. Точка может перемещаться
по г. м., однако от этого она не теряет
своего определенного свойства. Такое настой-
чивое и систематическое раз'яснение позво-
лит преодолеть отмеченную трудность.

Б. Вторая трудность изучения г. м. заклю-
чается в том, что язык, на котором форму-
лируются определения новых понятий и раз-
личные г. м., отличается некоторым своеобра-
зием и новизною для учащихся. Формули-
ровка многих г. м. длиннее обычных фор-
мулировок теорем. А вместе с тем точные
формулировки играют в этой главе важное
значение: ими необходимо овладеть, их сле-
дует запомнить.

Чтобы помочь учащимся овладеть нужным
языком, чтобы научить их правильно и без
затруднений формулировать г. м., препода-
ватель с самого нвчала изучения этого мате-
риала прежде всего с особым вниманием дол-
жен относиться к своей собственной речи,
давая образцы правильно поставленных во-
просов и безукоризненных формулировок.
Вместе с тем он должен требовать от уча-
щихся полных, развернутых ответов, точных
формулировок, заставлять неоднократно пв-
втирять их, возвращаться к ним на следую-
щих уроках. Такие последовательные и на-
стойчивые высокие треоования к языку поз-
волят преодолеть и те трудности, которые
связаны с особ нностями языка.

В. Следующее затруднен-ие вызывается тем,

что в отношении каждого г. м. приходите»
установить 2 пбложения: первое заключается
в доказательстве того, что «все точки рас-
матриваемой линии обладают определенным
свойством», а второе заключается в доказа-
тельстве того, что «все точки, обладающие
определенным свойством, лежат ' на рассмат-
риваемой линии». Понимание этих двух по-
ложений вызывает затруднения, хотя учащи-
еся уже неоднократно встречались с прямы-
ми и обратными теоремами. Эти затруднения
усиливаются традициями части нашей учеб-*
ной литературы, которая в этой главе впер-
вые начинает использовать наряду с пря
мыми теоремами теоремы противоположные
доказательство которых отличается искусст-
венностью и сложностью.

Чтобы наметить пути преодоления этой
трудности и 'наиболее целесообразного изло-
жения г. м. в школе, напомним ту зависи-
мость, какая существует между прямой, об-!
ратной и противоположной теоремами. Если,
прямую теорему выразим сокращенно так:

«Если есть А, то есть и В» (1),

то обратная теорема получается обычно из:
прямой путем постановки условия заключением
и заключения условием. Таким образом, в на-
шем случае обратная теорема будет читать-
ся так:

«Если есть В, то есть и Аг. (2)

Теорема, противоположная прямой, получа-
етей путем отрицания условия и заключения-
прямой теоремы. В нашем случае буде\
иметь:

«Если нет А, то нет и В». (3)

Наконец, теорема, противоположная обрат-
ной, получается через отрицание условия и
заключения обратной теоремы. Получим:

«Если нет В, то нет и А». (4)

Очевидно, что теорема, противоположная
обратной, есть в то же время и теорема,,
обратная противоположной.

Пример 1.

Прямая теорема. Если сумма цифр чи-
сла делится на 9, то и число делится на 9.

Обратная теорема. Если число делится
на 9, то и сумма его цифр делится на 9.

Теорема, противоположная прямой. Если
сумма цифр числа не делится на 9, то и
число не делится на 9.

Теорема, противоположная обратной
и обратная противоположной. Если число
не делится на 9, то и сумма его цифр не
делится на 9.

Пример 2.

Прямая теорема. Если углы смежные,
то сумма их равна 2d.
Обратная теорема. Если сумма углов
фавна 2d, ю они смежные (неверное положе-
ние).

Тгорема, противоположная прямой.
Если углы не смежные, то сумма их не рав-
на 2d (неверное положение).

Теорема, противоположная обратной.
Если сумма углов не равна 2d, то они не
-смежные.

Приведенные примеры показывают, что
обратная теорема может быть верна, но мо-
жет быть и неверна. В первом примере вер-
<яы и прямая и обратная теоремы, во втором
примере прямая теорема верна, а обратная
неверна.

В первом примере верны прямая и проти-
воположная ей теоремы, а во втором при-
мере прямая верна, а противоположная ей
неверна. Таким образом, верность прямой те-
оремы не влечет за собою верности проти-
воположной теоремы.

Но верность прямой теоремы необходимо
-влечет за собою верность теоремы, проти-
воположной обратной, и наоборот (пример
второй). А верность обратной теоремы не-
обходимо влечет за собою верность теоремы
противоположной прямой, и наоборот. Эти
положения можно формулировать так: а) те-
оремы прямая и противоположная обратной
зззимно обратимы; б) теоремы обратная и про-
тивоположная прямой также взаимно обратимы,
Эти два положения легко обосновать, пользу-
ясь приведенными выше общими формулиров-
ками теорем (I), (2), (3) и (4). Из теоремы:
«Если есть А, то есть и В» необходимо сле-
лует, что «Если нет В, то нет и А». Если
бы А было, то по прямой теореме было бы
и В. Значит (I) теорема обратима в J4)
теорему. Предположим теперь, что теорема
-«Если нет В, то нет и А» верна. Тогда не-
обходимо следует, что и теорема «Если есть
А, то есть и В» тоже верна, так как если
бы не было В, то не было бы и А. Таким же
путем можно убедиться во взаимной обра-
тимости теорем (2) и (3).

Из изложенного следует: чтобы убедиться
в верности всех 4 теорем, не надо доказы-
вать каждую из них отдельно, а достаточно
• .доказать только две из четырех: или прямую
и обратную, или прямую и противоположную.

Надо заметить, что приведенные схемы за-
висимости между прямой, обратной, проти-
воположной прямой и противоположной об-
ратной теоремами имеют безоговорочное зна-
чение только в том случае, если в условии
.еоремы дается только одно положение. В
противном случае зависимость между пере-
численными видами теорем не поддается та-

кой простой схематизации. Однако при из-
учении г. м. мы встречаемся с такими тео-
ремами, которые укладываются в схему зави-
симости между перечисленными видами тео-
рем, а поэтому развитые соображения об
этих теоремах полностью применимы в инте-
' ресующем нас разделе геометрии.

При изложении г. м. в школе авторы учеб-
ников, желая показать взаимное соответствие
между точками, обладающими определенным
геометрическим свойством и точками неко-
торой прямой или кривой линии, часто вста-
ют на путь доказательства прямой и проти-
воположной ей теорем. А этот путь в мето-
дическом отношении не является простейшим,
удобнейшим: появление противоположных те-
орем, довольно искусственные способы их
доказательства,— все это делает этот путь
тр) дным и мало способствует эффективному
усвоению учащимися учения о геометричес-
ких местах.

Чтобы избежать этих неудобств и затруд-
нений, при изучении г. м. целесообразно
встать на путь изучения прямой и обратной
•теорем. Это даст гот же эффект в отноше-
нии полноты и законченности изложения,
в отношении ёго «строгости»; это избавит
от противоположных теорем с их искус-
ственными доказательствами; это сделает
учение о геометрических местах более про-
стым, естественным и позволит повысить
эффективность изучения этого раздела прог-
раммы. Так преодолевается 3-я трудность.

Г. Г. м. используются для решения задач.
Применение г. м. к решению задач требует
значительных умений и навыков в мышлении,
свойственном геометрии, требует достаточно
развитого мышления. Это является 4-й] труд-
ностью при изучении г. м. в школе. Эта
трудность углубляется еще и тем, что со-
временная учебная литература не дает пре-
подавателю и учащимся систематически по-
добранных задач, решаемых с помощью г. м.
доступных учащимся VII класса. Подбор же
задач учителем часто встречает затруднения,
как из-за отсутствия литературы, так и из-
за недостатка опытности.

Пути преодоления этой трудности будут
указаны ниже, когда речь будет итти о за-
дачах.

II

Изучение г. м. т. и их применения к ре-
шению задач на построение относится к по-
следнему разделу программы VII класса, ко-
торый носит название: «Геометрические места.
Окружность и измерение углов». Этот ра шел
программы состоит из 5 подтем, которые
имеют следующее содержание:

1) понятие о г. м.; некоторые простейшие
г. м. и применение их к решению задач;

2—4) окружность и измерение углов; ,

5) решение задач на построение методом
г. м.”

Таким образом,, сама программа в течение
одного раздела указывает два концентра
в изучении геометрических мест. Такое пост-
роение программы имеет несколько преиму-
ществ. Г. м. при таком построении входят в
число тех методов и способов, которые при-
влекаются к изложению теоретической части
геометрии: окружность трактуется, как опре-
деленное г. м. т.; при изложении главы об
окружности пользуются и другими г. м. Изу-
чение г. м. и их приложений к решению
задач распределяется на значительный интер-
вал школьного времени, что при трудности
этого вопроса способствует лучшему усвоению
материала. Концентрическое расположение
ютериала позволяет во втором концентре
удобно повторить то, что изучено в первом,
и затем, учитывая имеющееся время и общую
кон'юнктуру работы класса, в большей или
меньшей степени расширить и углубить во-
прос о г. м. и. их приложении.

Базируясь на программе, можно наметить
следующий план изучен 1я г. м. в первом
концентре:

1)	понятие о геометрическом месте. Ок-
ружность;

2)	г. м. т., равноудаленных от ко щов от-
резка (от двух данных точек);

3)	г. м. т., равноудаленных от сторон
угла;

4)	г. м. т., удаленных от данной прямой
на данное расстояние;

5)	г. м. т, равноудлленных от двух парал-
лельных прямых;

6)	применение изученных г. м. к решению
задач на построение. План решения.

В частности решение задач: а) найти точку,
равноудаленную от 3 данных точек, б) най-
ти точку, равноудаленную от 3 пересекаю-
щихся прямых.

Как дать понятие о г. м. т.?

Очевидно, что необходимо начать с какого-
либо конкретного г. м. Целесообразно исполь-
зовать с этой целью окружность.

Приведем примерное содержание беседы.

На плоскости дана точка О и дан отре-
зок прямой г. Постройте несколько точек (4—
6), находя'щхся от точки О на расстоянии г.

Можно ли еще построить точки, удаленные
от О на расстояние г?

Где же лежат точки, удаленные от О на

расстояние г? Можно ожидать на этот вопрос
2 ответа: или на дуге или на окружности
с центром О и радиусом г. В дальнейшем
будем исходить из предположения первого
ответа.

Построим эту дугу...

Все ли точк! построенной дуги находятся
на данном расстоянии г от точки О?

Все ли точки, удаленные от точки О на
расстояние г, находятся на дуге ?

На какой же линии лежат все точки, уда-
ленные от точки О на расстояние г?

Каково же место точек, удаленных ot то-
чки О на расстояние г?

В результате беседы дается, Примерно,
следующая формулировка: место точек, уда-
ленных от данной точки на расстояние г,
есть окружность, описанная из данной точки
радиусом, равным г.

Еще раз подчеркивается, что любая точка,
удаленная на расстояние г от точки О, лежит
на окружности, и наоборот — любая точка
окружности удалена от точки О на расстоя-
ние г.'

Таким образом, путем беседы с последу-
ющим резюме преподавателя учащиеся зна-
комятся с первым г. м. т.

Это первое г. м. и служит тем конкретным
примером, пользуясь которым дается понятие
о г. м. Понятие о г. м., примерно, можно
дать в следующей редакции:

Если точки, обладающие одним и тем же
свойством, лежат на некоторой линии, и если
любая точка этой линии обладает тем же
свойством, то такая линия называется г. м. т.,
обладающих этим свойством.

Такое определение несколько узко, так как
охватывает полностью только плоские г. м. т.
Но, очевидно, при изучении стереометрии
оно легко может быть расширено. Теперь же
такое узкое определение неизбежно.

Определение прямо устанавливает необхо-
димость удостоверяться в прямом положении,
что все точки, обладающие одним и тем же
свойством, лежат на линии, и в обратном
положении, что любая точка этой линии обла-
дает тем же свойством. Таким образом, опре-
деление исключает необходимость доказывать
противоположные положения.

Далее следует изучение нескольких про-
стейших г. м. Наметим общий план этого
изучения.

1)	Ставится вопрос: что является г. м. т.,
обладающих таким-то свойством? Например:
«Что является г. м. т., равноудаленных от
сторон угла?» Очевидно, что подходить
к изучению г. м., как к теореме, нецелесо-
образно, во-первых, потому, что при изу-
чении г. м. приходится доказывать не одну
теорему, а две—прямую и обратную (или
прямую и противоположную); во-вторых, по-
тому что г. м. при решении задач появляются
обычно в виде ответов на вопросы, аналогич-
ные указанным выше.

2)	Отыскание ответа на поставленный воп-
рос может вестись двояко: илч индуктивно
или дедуктивно. В первом случае учащиеся
строят несколько точек, обладающих требуе-
мым свойством, и, рассматривая их располо-
жение, дают предположительную формулиров-
ку искомого г. м. Во втором случае, поль-
зуясь аналитическим приемом рассуждения,
убеждаются, что интересующие нас точки ле-
жат на такой-то линии. В результате опять
дается предположительная формулировка гео-
метрического места.

В отношении формулировок отметим, что
их целесообразно давать, ьак ответ на постав-
ленный в начале вопрос. Пример. Что явля-
ется г. м. т., равноудаленных от концов
отрезка? Т. м. т., равноудаленных от концов
отрезка, есть перпендикуляр к этому отрезку,
восставленный в его середине.

3)	Далее выполняется построение г. м. Это
построение, как и йри всяких планиметриче-
ских задачах на построение, следует обяза-
тельно выполнять как на доске, так и в тет-
радях с помощью пипкуля и линейки.

4)	Затем следуют два доказательства. Во-
первых, доказывается прямая теорема, что
любая точка, взятая на г. м., обладает опре-
деленным свойством. Во-вторых, доказывается
обратная теорема, что точки, обладающие
определенным свойством, лежат на г. м.

Надо заметить, чти какую из этих теорем
считать прямой, какую — обратной, особого
значения не имеет. В случае, если отыскание
г. м. зелось с помощью анализа, надобность
в доказательстве обратной теоремы отпадает.

5)	В результате всего описанного пути
освоения г. м. дается окончательная его фор-
мулировка.

Этот общий план изучения г. м. в конк-
ретных условиях может наскодько изменяться.
Например, встречаются настолько простые
в отношении их отыскания г. м., что отпа-
дает надобность в индукции или в анализе.
Учащиеся, как говорят, интуитивно дают вер-
ный ответ на поставленный вопрос. Конечно,
интуиция в этом случае есть не что иное,
как обобщение не развернутого, мысленно
выполненного опыта.	'

Иногда доказательства прямой и обратной
теорем настолько легки, что в них не чув-
ствуется надобности. В таких случаях эти
доказательства также могут быть опущены.

Покажем на двух примерах, как реализу-
ется намеченный выше план.

Пример 1.

1)	Дан отрезок АВ. Найти место точек,
равноудаленных от концов этого отрезка.

Для пояснения можно поставит^ такой
вопрос:

Где лежат точки, равноудаленные от кон-
цов отрезка?

2)	Чтобы найти ответ на поставленный
вопрос, преподаватель предлагает построить
на доске и в тетрадях несколько точек (3—5),
равноудаленных от концов отрезка.

На какой линии будут лежать интересую-
щие нас точки?

Как же ответить на вопрос, что является
г. м. т., равноудаленных от концов отрезка?

Дайте точную формулировку этого г. м. т.

3)	Начертите отрезок АВ. Тщательно вы-
полните построение г. м. т.

4)	Докажем, что любая точка, взятая на
перпендикуляре к отрезку, проведенном че-
рез его середину, равноудалена от концов
отрезка (черт. 1).

Дано: АС = СВ, MN | АВ\

D—произвольная точка на MN.

Доказать: AD^^BD.

Доказательство. Д ACD = Д BCD, так как
они прямоугольные, DC — общий катет и дру-
гие катеты равны (АС = СВ). Из равенства
треугольников следует, что AD ~ BD* Так-
как точка D — произвольная точка на MN,
то, значит, теорема верна.

Докаже и обратную теорему, что точка,
равноудаленная, от конгов отрезка, лежит на
перпендикуляре к отрезку, проходящем через
его середину (черт. 2).

Дано: отрезок АВ и точка £); AD — BD\
АС = СВ.

Доказать: DC | АВ.

Доказательство: Д ACD = Д BCD, так кан-
три стороны одного из них равны трем сто-
ронам другого (DC— общая, AD = f'D и
АС=ВС). Из равенства этих треугольников
следует, чго ,/1 = А эти углы смеж-
ные, значит £>С_1_Л.В. Следовательно, точка
.к^кит на перпендикуляре к отрезку, прохо-
дящем через его середину. Очевидно, что это
доказательство применимо к любой точке,
равноудаленной от концов отрезка.

Рис. 2

5)	В результате изучения дается оконча-
тельная формулировка: г. м. т., равноудален-
ных от концов отрезка, есть прямая, перпен-
дикулярная к отрезку, проходящая через его
середину.	ч

Пример 2.

1)	Найти г. м. т., равноудаленных от сто-
рон угла.

2)	Анализ. Предположим, что точка М
(черт. 3) есть одна из искомых точек. Опу-
стим из точки М перпендикуляры на стороны
угла: Л1А _[_ ВД и Л1С_[ВС. Тогда должно
иметь место равенство: АМ—СМ. Соединим
точку М прямою с точкой В.

Л АВМ должен равняться Д ВСМ, так
как они прямоугольные, имеют общую гипо-
тенузу ВМ и по предположению катеты АМ
и СМ равны. А значит / 1 = / 2, т. е. ВМ
должна являться биссектрисой данного / АВС.
Таким образом, точки,- равноудаленные от
сторон угла, лежат на биссектрисе этого угла.

3)	Начертим / АВС и построим его бис-
сектрису (черт. 4).

4)	Докажем, что точки, лежащие на бис-
сектрисе угла, равноудалены от его сторон
(черт. 4).

Дано: / ABC, BN—его биссектриса.

М — любая точка биссектрисы, МА | АВ
и МС±ВС.

Доказать: МА=МС.

Доказательство: Д АВМ = Д ВСМ, так
как они прямоугольные, имеют общую гипо-
тенузу ВМ и равные острые углы (^/1 — Д2).
Из равенства треугольников следует: МА —
= МС.

Точка М — любая точка биссектрисы; зна-
чит, любая точка, лежащая на биссектрисе,
равноудалена от сторон угла.

Доказывать обратную теорему нет надоб-
ности: она доказана при анализе.

5)	Дается окончательная формулировка:
г. м. т., равноудаленных от сторон угла, есть
биссектриса этого угла.

Таким же путем изучаются еще два г. м.:

1)	г. м. т_, удаленных от данной прямой
на расстояние а, являются две прямые, парал-
лельные данной и проведенные от нее на рас-
стоянии а;

2)	г. м. т. равноудалейных от двух парал-
лельных прямых, есть прямая, параллельная
данным и равноудаленная от них.

Таким образом, при первом знакомстве
с г. м., учащиеся изучают пять простейших
г. м. Это позволит решать некоторые про-
стейшие задачи на построение методом г. м.,
при этом эти задачи по своим сюжетам будут
достаточно разнообразны.

III

При решении задач на построение методом
г. м. целесообразно познакомить учащихся
с отысканием решения помощью анализа
и вместе с тем приучить их пользоваться
обычным четырехэтапным планом решения
задач на построение: а) анализ, б) построение,
в) доказательство, г) исследование.

а)	Анализ при решении задач на построе-
ние методом г. м. проводится всегда по одной
и той же схеме. Прежде всего предполагают,
что задача решена, что одна из искомых точек
найдена. Делают чертеж, примерно, соответ-
ствующий условиям задачи. Затем исключают
из рассмотрения одно условие задачи; задача
становится неопределенной — ей удовлетво-
ряет бесчисленное множество точек. Находят
одно г. м., на котором должна лежать иско-
мая точка. Далее, включив в рассмотрение
первое условие, исключают другое условие
задачи. Вновь задача становится неопределен-
ной. Находят другое г. м., на котором должна
лежать искомая точка. Наконец, делают за-
ключение, что искомая точка лежит на пере-
сечении двух найденных г. м., и таким путем
намечается план построения. На этом анализ
и заканчивается. Так как план анализа одно-
образен, то его Следует сообщить учащимся,
а затем научить их пользоваться им. Заме-
тим, что при некотором навыке анализ задач
иногда может быть проведен и без чертежа.

б)	Пользуясь планом построения, который
получился 6 результате анализа, выполняют
с помощью циркуля и линейки самое постро-
ение. При построении используются данные
величины. Полезно рекомендовать учащимся
чертеж, получаемый пои построении, распо-
лагать по отношению краев бумаги, примерно,
так же, как он расположен при анализе: это
облегчает построение, особенно при сложных
задачах. ,

в)	Далее следует доказательство. В дока-
зательстве убеждаются, что построенная фи-
гура удовлетворяет всем требованиям задачи.
При решении задачи методом г. м. доказа-
тельства обычно бывают просты, а иногда
могут быть опущены, так как правильность
построения может оказаться очевидной.

г)	Наконец при исследовании задачи выяс-
няются условия возможности задачи, число
решений. Исследование облегчается тем, что ,
г. м. в планиметрии — это прямая и окруж-
ность, и вопрос о числе решений сводится
к выяснению числа точек, пересечения двух
г. м., а очевидно, это вопрос незатруднитель-
ный. Необходимо отметить одну особенность
исследования задач, решаемых методом гео-
метрических мест: решение зависит как от
размерив данных геометрических образов, так
и от их взаимного положения. А это требует
уменья комбинировать геометрические образы,
находить особые их расположения, дающие
особые случаи решения. Такие упражнения
являются хорошей школой для развития про-
странственного .воображения.

Приведем, как пример, решение одной
задачи.

Задача. Найти точку, равноудаленную от
сторон данного угла и в то же время равно-
удаленную от концов данного отрезка.

а)	Анализ. Даны / АВС и отрезок MN
(черт. 5).

Пусть точка X будет искомая. Согласно
условиям задачи: АХ=СХ и MX=NX.

Исключим из рассмотрения отрезок AiN.
Тогда задача будет читаться так: найти точку,
равноудаленную от сторон данного утла. Оче-

видно, таких точек бесчисленное множество.
Г. м. таких точек есть биссектриса / АВС.
Итак, искомая точка лежит на биссектрисе
данного утла.

Исключим из рассмотрения / АВС. Тогда
задача будет читаться так: найти точку, рав-
ноудаленную от концов отрезка MN. Очевид-
но, что таких точек бесчисленное множество.

Г. м. таких точек есть перпендикуляр
к данному отрезку, проведенный через его
середину. Значит, искомая точка лежит на этол
перпендикуляре.

Итак, искомая точка лежит на биссектрисе
/ АВС и на перпендикуляре к отрезку ./ИЛ
в его середине. План решения найден.

б)	Построение (черт; 6). Строим биссект-
рису ВК угла АВС; строим далее перпенди-
куляр ST к отрезку MN в его середине.
Пересечение двух построенных г. м. дает
искомую точку X.

в)	Доказательство. Точка X лежит на бис-
сектрисе / АВС; значит, она равно удалена
от сторон этого угла.

Точка X лежит на перпендикуляре к отрез-
ку AW в его середине; значит, она равно
удалена от концов этого отрезка. Следова-
тельно, точка X действительно искомая точка.

г)	Исследование. Каждое из использован-
ных г. м. есть прямая, а две прямые пере-
секаются в одной точке. Значчт, задача, во-
обще говоря, имеет одно решение.

Если данный угол и данный отрезок рас-
положены так, что использованные г. м. не
пересекутся, т. е. биссектриса угла и пер-
пендикуляр к отрезку будут параллельны, то
задача не будет иметь решений. Очевидно,
для этого отрезок MN должен быть рас-
положен перпендикулярно к биссектрисе и
притом так, чтобы биссектриса не прохо-
дила через его середину (черт. 7).

Если биссектриса угла и перпендикуляр
к отрезку сольются (черт. &), то задача будет
неопределенна: любая точка слившихся г. м.
является искомой точкой- А это, очевидно,
случится тогда, когда MN | ВК и ВК прохо-
дит через середину отрезка.

Чтобы овладеть простейшими г. м. и чтобы
научиться применять их к решению задач,
следует уже в первом концентре их изуче-
ния дать учащимся достаточное количество
задач, решаемых методом г. м. К сожале-
нию, наши современные задачники, принятые
в школе, в этом вопросе не мо>ут удовле-
творить запросы преподавателя. Поэтому
приведем в этой статье ряд таких задач.

1. Найти точку, нахоцяшуюся в равном
расстоянии от концов данного отрезка и

1)	лежащую на данной прямой,

2)	находящуюся в данном расстоянии от
данной точки,

3)	находящуюся в равном расстоянии от
концов другого данного отрезка,

4)	находящуюся в равном расстоянии от
сторон данного угла.

2. Построить равнобедренный треугольник,
имеющий данное основание, вершина кото-
рого:

1)	лежала бы на данной окружности,

2)	находилась бы на данном расстоянии
от данной точки,

3)	находилась бы в равном расстоянии от
двух дачных точек,

.4) находилась бы в равном расстоянии Ст 
двух параллельных прямых.

5)	находилась бы в данном расстоянии от
данной прямой,

6)	лежала бы в равном расстоянии от сторон
угла.

3	. Найти точку, находящуюся в равном*
расстоянии от сторон данного угла, котора»
последовательно удовлетворяла бы пунктам
1—6 предыдущей задачи.

4	На данном, основании построить треу-
гольник, имеющий данную высоту, и вер-
шина которого последовательно 'удовлетво-
ряла бы пунктам 1—6 второй задачи.

IV

Переходим ко второму концентру изучения
г. м. и их приложения к решению задач н,
построение. В этом концентре целесообраз-
но повторить изученные ранее г. м., позна-
комить учащихся с некоторыми новыми г. м
по преимуществу связанными с окружностью
и измерением углов, дать достаточное число
задач на применение г. м. и, наконец, привить-
навыки в исследовании решения задач.

Что касается изучения новых г. м., то*
в этом отношении можно поступать, как и
ранее: каждое г. м. изучить самостоятельно.
Приведенный выше план изучения отдельного-
г. м. остается в силе и зде<;ь.

С целью ознакомления учащихся с новыми
г. м. можно использовать неопределенные
задачи. Например, построить окружность,
касающуюся данной прямой в данной на
ней точке. Решение и исследование такой-
задачи приведет класс к новому г. м.

Кроме этих приемов введения новых г. м.. ’
можно поступить и так: подбирается задача»
на построение, решаемая с помощью одного-
из известных учащимся г. м. и требующая
отыскания некоторого, еще неизвестного г. м.
Значит г. м, появляется в результате ре-
шения задач на построение. Этот путь введе-
ния новых для учащихся г. м. интересен
потому, что он является обычным и естест-
венным путем, который имеет место при
решении задач. Но чадо отметить, что он
пред'являет к учащимся более высокие тре-
бования: надо преодолеть две трудности —
решить конкретную задачу и изобрести дл»
этого новое г. м. Поэтому этот второй путь
возможен в таких классах, которые в мате-
матическом отношении хорошо развиты.

С какими г. м. целесообразно познакомить,
учащихся?

Естественно познакомить с теми г. м
•которые связаны с только что изученными -
главами об окружности и измерении .углов.

•Увлекаться большим числом г. м., а также
особо сложными г. м. не приходится: этому
мешает весьма скромное число часов, отво-
димое на изучение геометрии в VII классе.
Ниже дасм перечень тех г. м., которые
целесообразно изучить.

1)	Г. м. центров окружностей данного
радиуса, касающихся данной прямой, явля-
ются две линии, параллельные данной прямой
« проведенные от нее на расстоянии, равном
данному радиусу.

2)	Г. м. центров окружностей, касающихся
данной прямой в данной на ней точке, есть
перпендикуляр к этой прямой в данной точке.

3)	Г. м. центров окружности, касающихся
«сторон угла, есть биссектриса этого угла.

4)	Г. м. центров окружностей, касающихся
двух параллельных линий, есть прямая, парал-
лельная данным и проведенная от них на
равном расстоянии.

5)	Г. м. центров окружностей данного
радиуса, касающихся данной окружности,
являются две окружности концентрические
с данной и описанные радиусами, равными
сумме и разности данных радиусов.

6)	Г. м. центров окружностей, касающих-
ся данной окружности в данной на ней
точке, есть секущая этой окружное, и, прохо-
дящая через центр ее через данную точку.

7)	Г. м., из которых данный отрезок виден
юд прямым углом, есть окружность, по-
«строенная на данном отрезке, как на диаметре.

8)	Г. м. т., из которых данный отрезок
•виден под данным углом, суть дуги сегмен-
тов, построенных на данном отрезке и вме-
щающих данный угол.	.

В отношении двух последних г. м. тадо
.заметить, что их лучше дать, как разные
г. м., потому что построения того и дру-
гого места различные. Кроме того, первое
из них встречается значительно чаше, чем
второе и в дальнейшем курсе геометрии
встречается неоднократно в различных вопро-
гах, связанных с средней пропорциональной.

Может показаться, что приведенный список
г. м. очень велик, непосилен для учащихся
и не может уложиться в отводимое для изу-
чения геометрии время. На это заметим, что
многие из приведенных восьми г. м. пред-
ставляют собой по существу уже ранее
изученные места, только изложенные е ис-
пользованием других геометрических понятий
и терминов, другим языком. А значит, пони-
мание этих г. м. затруднений не вызовет
и потребует незначительного времени.

Переходим к исследованию задач.

Плоские геометрические места крайне разно-
образны. Однако в элементарной геометрии
г. м. являются или в виде одной прямой
линии, в виде совокупности двух прямых
линий, или в виде окружности (или дуги
окружности) и совокупности двух окруж-
ностей (или Двух дуг окружностей). Таким
образом, в школьном курсе геометрии г. м„
как линии, очень однообразны. Такое поло-
жение значительно облегчает выяснение во-
просов о числе решений задачи, о ее воз-
можности и других вопросов, связанных
с исследованием.

Основные случаи, могущие, встретиться
при исследовании, .легко предусмотреть и
зафиксировать в виде схемы.

А) Если для решения задачи исполь-
зованы два г. м. в виде двух прямых, то
возможны следующие случаи:

а)	если прямые пересекаются, задача имеет
одно решение;

б)	если прямые параллельны, задача не
имеет решений;	•

в)	если прямые сливаются, задача имеет
бесчисленное множество решений (любая
точка двух слившихся прямых удовлетворяет
требованиям задачи).

Б) Если для решения задачи использованы
Два г. м.— прямая и окружность, то воз-
можны такие случаи:

а) если прямая пересекает окружность,
задача имеет два решения;

69 если прямая касается окружности, задача
имеет одно решение;

в) и, наконец, если прямая не имеет общих
точек с окружностью, то задача не имеет
решений.

В) Если для решения задачи использованы
два г. м, в виде двух окружностей, то воз-
можны такие случаи:

а)	если окружности пересекаются, задача
имеет два решения;

б)	если окружности касаются, задача имеет
одно решение;

в)	если окружности не имеют общих точек,
то задача невозможна;

г)	если окружности сливаются, то задача
имеет бесчисленное множество решений (любая
точка двух слившихся окружностей удовле-
творяет требованиям задачи).

Приведенная схема указывает все возмож-
ности для таких случаев, когда использован-
ные при решении задачи г. м. являются
одной линией. Но, очевидно, когда то или
другое г. м. выражается не одной линией,
а совокупностью линий, то исследование
несколько усложняется, однако по существу
оно сводится все к той же схеме.
Приведенная схема несложна: она сводится
к изучению взаимного расположения или
двух прямых, или прямой и окружности,
или, наконец, двух окружностей. А эти воп-
оосы известны учащимся; последние два только
Что изучены в этом же разделе программы.
Учитывая это, приведенную схему иссле-
довайия решения задачи можно сообщить
учащимся. Конечно, при этом она должна
иллюстрироваться целесообразно подобран-
ными примерными задачами.

Приведем ряд задач, который можно
решить в VII классе.

1. Провести окружность данного радиуса,
касающуюся данной прямой и центр которой
находился бы:

1)	в равном расстоянии от концов данного
отрезка,

2)	в данном расстоянии от другой данной
прямой,

3)	в равном расстоянии от двух пересе-
кающихся прямых,

4)	в равном расстоянии от двух параллель-
ных прямых,

5)	в данном расстоянии от данной точки.

2.	Провести окружность, касающуются дан-
ной прямой в данной на ней точке, чтобы
центр окружности последовательно удовле-
творял пп. 1—b предыдущей задачи.

3.	Описать окружность данным радиусом,
касающуюся данной окружности и

1)	центр которой, лежал бы в равном рас-
стоянии от сторон данного угла,

2)	данной прямой,

3)	другой данной окружности.

4.	Построить окружность, касающуюся
двух параллельных прямых и

1)	проходящую через данную точку,

2)	касающуюся данной прямой,

3J касающуюся данной окружности,

5. Провести окружность, касающуюся
сторон данного угла и

1) центр которой находился бы в равном
расстоянии от двух параллельных прямых,

Ь) прямой," параллельной одной и$ сторон
угла,

3) данной прямой.

6.	Построить окружность, касающуюся
данной окружности в данной точке и

1)	центр квторой лежал бы в данном рас-
стоянии от данной прямой,

2)	данной прямой,

3)	центр которой лежал бы в точке, из
которой данный отрезок виден под прямым
углом.

7.	Построить прямоугольный треугольник
по гипотенузе С и

1)	медиане mt,

2)	высоте he,

3)	чтобы вершина прямого угла лежала
в равном расстоянии от двух данных точек.

8.	Построить треугольник по основанию
а, углу при вершине А <м

1)	высоте ha,

2)	медиане та,

3)	проекции ръ боковой стороны на ос-
нование,

4)	углу между основанием и медианой та.

Кс нечно, следует использовать и те задачи,
которые дает стабильный задачник по плани-
метрии.	I *

В заключение отметим, что в дальнейшем
курсе геометрии г. м. используются неодно-
кратно как для определения новых понятий,
так и для решения задач на построение. Такое
пол >жение позволяет частично углубить, час-
тично расширить метод г. м.

Так как изучение г. м. и применение их
к решению задач на построение, как пока-
зывает все изложенное, имеет значительный
интерес с точки зрения преподавания гео-
метрии, и так как школьные программы
позволяют только познакомиться с основой
этого метода, то полезно рекомендовать—-
более глубокое и полное знакомство с г. м.
вынести ра занятия математического кружка.
Эта тема яа кружковых занятиях и инте-
ресна н полезна.

6 Математика и физика, № 6
О ТРЕТЬЕМ ПРИЗНАКЕ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Проф. В. ФУРСЕПКО (Москва)

В редакцию журнала «Математика и фи-
зика в школе» поступает много писем от
учителей по поводу трудностей, связанных
с изложением третьего признака равенства
треугольников.

И. Кацман (Житомир), указывая на эти
трудности, находит причины их в том, что
«в первых двух случаях основание доказа-
тельства непосредственно наблюдаем в самих
рассматриваемых об'ектах. В третьем же слу-
чае основание для доказательства притягива-
ем извне, что и является усложняющим эле-
ментом». И. Кацман в подтверждение своих
слов'ссылается на учебник А. Давидова, где
доказательство третьего признака основано
на лемме: «Если две стороны одного треу-
гольника соответственно равны двум сторо-
нам другого треугольника, то против боль-
шего угла лежит и большая сторона» (цити-
рую по изд. 1871" г. — В. Ф.), и иа учеб-
ник А. Киселева1 с его методом «приложе-
ния». 

Метод изложения равенства треугольников,
предлагаемый И. Кацманом в приводимом
письме, также сводится к установлению не-
которых промежуточных звеньев между пер-
выми двумя и третьим признаком равенства
в виде доказательства равенства прямоуголь-
ных треугольников по двум катетам, т. е.
имеет принципиально тот же недостаток,
что и критикуемый им метод А. Давидова.

М. Петров (Москва) по поводу третьего
признака равенства треугольников говорит,
что «по общему убеждению преподавателей
математики доказательство этого случая тру-
дно дается учащимся, и они скорее заучи-
вают, нежели осознают его». Усматривая ос-
новную причину трудностей в новом способе
доказательства, т. е. в способе «приложения»,
М. Петров предлагает методы преодоления
этой трудности, рекомендуя начинать дока-
зательство теоремы не с черте ка, а с нагляд-
ной модели, и затем рассмотреть сначала
случай симметричных треугольников, для при-
ложения которых не требуется предваритель-
ное вращение треугольника не в плоскости
чертежа, после чего уже перейти к общему
случаю.

Более того, М. Петров рекомендует взять
способ приложения в качестве основного ме-
тода доказательства всех трех признаков ра-
венства треугольников, введя лемму: «Если
два треугольника имеют соответственно рав-

ные стороны, то они имеют соответствен-
но равные углы».

Мы считаем, что обычное доказательство
этого признака «способ приложения» — за-
ключает два серьезных Дефекта. Во-первых,
мы доказываем равенство двух треугольни-
ков при помощи третьего, т. е. предполагаем,
что равенство треугольников и равенство
углов подчиняется закону «транзитивности»;
во-вторых, «способ приложения» связан с
вращением треугольника не в той плоско-
сти, в которой он расположен. Кроме того,
надо иметь в виду, чго в школьном курсе
геометрии при доказательстве всех трех при-
знаков равенства треугольников вопрос о
симметричных треугольниках не рассматри-
вается.

Доказательство обычно ведется таким об-
разом, чтобы свести третий признак к слу-
чаю, когда равны две стороны и угол, зак-
люченный между ними.

Например, в «Elements de geometric» Ру-
ше и Комберусса (изд. 1898 г.), т. е.
в учебнике, который по существу играл роль
основного руководства по геометрии в Ев-
ропе XIX в., доказательство ведется следу-
ющим образом (черт. 1).

Рис. 1

Пусть треугольники ABC, А'ВГС' таковы,
что АВ —А’В’, ВС —В'С, АС=А'С'.
Перевернув Д А'В'С’,приложим его к Д АВС
так, чтобы В' упала в В, С в С и А’ а А"
под стороною ВС (предполагая, что А ле-
жит над ВС). Так как BA'r = B,A’=BAJ
ЛАВА" будет равнобедренный и равноделя-
щая ABi 1" перпендикулярна ' к прямой АА"
в ее середине. Но /sACA" тоже равнобедрен-
ный вследствие равенств А"С = А’С’ = АС, а
потому перпендикуляр, восставленный из сере-
дины прямой ААП, пройдет через вершину
С; Итак, равноделящая АВА" есть именно
прямая ВС и Z. АВС равен Z А"ВС, т. е.
/ А'В'С.

Приводим для сравнения доказательство
по учебнику А. Киселева (изд. 1928 г.), ко-
торый был построен по типу Руше и Ком-
берусса и у нас являлся руководящим учеб-
ником геометрии на протяжении 50 лет.

Приложим Л АВС к Ё\А’В’С' так, чтобы
у них совместились равные стороны АС и
А'С. Тогда Д АВС займет положение А’СВп
(черт. 2). Соединяя прямою точки В' и В",

мы получим два равнобедренные треуголь-
ника АВ'В" и В'СВп с общим основанием
В'В". Но в равнобедренном треугольнике
углы при основании равны; следовательно,
/ 1=22иДЗ = 214, а потому А'В'С =
= /_А'ВпС = /_В.

Доказательство Киселева, ставящее целью
показать равенство углов при вершине, пред-
ставляется нам менее удачным, нежели дока-
зательство Руше и Комберусса, так как в
случае, если ДЛВС окажется тупоугольным,
потребуется отдельное рассмотрение, что
становится особенно ясным, если мы при-
ведем доказательство из современного ста-
бильного учебника Гурвица и Ганг-
нуса.

«Повернем f\AtB,Ct на 180° вокруг сто-
роны A,Bt, оставляя ее неподвижной; тогда
/ХА^С, займет положение А,В,С2 (черт. 3).

Очевидно, что /\А,В,СА,В,С2. При-
ложим затем Д AtB,C2 к Д/ВС так, чтобы
точка А, совпала с точкой А и сторона
A,Bt пошла по стороне АВ; тогда вследст-
вие равенства сторон A,B, и АВ точка В,
совпадет с точкой В и вершина С2 займет
6*

положение С3. Соединим прямою СС3 вер-
шину С с вершиною С3; обозначим углы,
на которые прямая СС3 разбила углы С и
С3, соответственно через 1, 2, 3 и 4 и рас-
смотрим полученные два равнобедренных
треугольника АСС3 и СВС3, у которых СС3
общее основание, AC=ACS и ВС = ВС3».

«В равнобедренных треугольниках углы
при основании равны, поэтому 1) в ДАСС3
/ 1 = Д 3; 2) в Д СВС3 — Склады-
вая, почленно, получим Д 1-|-д2=д 3-|-
+Z4, но Z.l + z2=Zc и Z3+Z4 =
= Д С3, а потому Z.C = /_С3у>.

Здесь так же, как и в доказательстве
А. Киселева, если бы А или В оказался
тупым, то д С определялся бы не суммой,
а разностью углов при основании равнобед-
ренных треугольников.

Это доказательство характерно еще и тем,
что если в доказательстве Киселева предла-
галось приложить один треугольник к дру-
гому без указания способа, как этого можно
достичь, то в геометрии Гурвица и Гангнуса
предлагается (в планиметрии!) вращать тре-
угольник не в плоскости чертежа.

В разобранных трех доказательствах на-
лицо и способ приложения и применение
закона транзитивности к равенству углов.

А. Розенталь («Math, апп», Bd. 71) пред-
ложил строгое доказательство, не опираю-
щееся на транзитивность равенства углов .

Если АВ — А’В', ВС=:В'С' и АС—А'С,
то мы в плоскости ДИ'В'С' строим
Д А'В"С', такой, чтобы С А' В" — САВ и
/ А'СВ"= АСВ и чтобы точка В" лежала
относительно А'С по другую сторону, не-
жели В'. Тогда Д АВС и Д А'В”С конгру-
ентны и АВ= Д' В", ВС = ВпС (черт. 4).

Пусть д САВС А'В'; тогда /_САВ —
= /_СА'х. Возьмем на луче А'х точку В"',
такую, чтобы АВ = А'В"’ (а, следовательно,
А'В"' =*А'В"). Соединяя В"' с С, получим
треугольник А'В'"С', конгруентный треуголь-
нику АВС (АС=А'С,АВ = А'В"' и £СДВ
— С'А'В'"'). Отсюда вытекает, что В'" С =
= ВпС. Проведя прямую В’" В", получим
два равнобедренные треугольника В"А'В'" и
В"СВ'" откуда заключаем, о равенстве уг-
лов В"' и В", о конгруелтности треуголь-
ников А'В"’С и А'ВПС' и равенстве углов
В'"А'С и В"А'С. Совершенно аналогично,
провЕдя прямую В'В", можно доказать ра-
равенствоуглов В" А'С и В' 4'С. Совместное
существование равенств^/B'''A'C' — /_В"А'С
и В'А’С’ — В" А'С противоречит 4-й
аксиоме конгруентности Гильберта о том,
что при данном луче по данную сторону пло-
скости существует только один угол равный
данному.

В доказательстве А. Розенталя равенство
треугольников определяется при помощи тре-
угольника, симметричного данным двум.

/ Известно, однако, совершенно простое до-
казательство третьего признака, независимое
от остальных признаков, не связанное с вра-
щением и не требующее построения треть-
его треугольника.

В самом деле, при наложении двух тре-
угольников с соответственно равными сторо-
нами при совмещении оснований могут пред-
ставиться лишь три случая (предполагается,
как обычно,что треугольники не симметричны).

1°. Контур одного из треугольников ле-
жит внутри другого.

2°. Контур одного из треугольников пере-
секает контур другого.

3°. Контуры обоих треугольников совпа-
дают.

Рис. 5

Если допустить один из первых двух слу-
чаев, то, соединив вершины В и В', мы по-
лучим равнобедренные треугольники АВВ' и
СВВ' (черт. 5).

Но так как медианы равнобедренных тре-
угольников в точке 7) служат одновременно
и высотами, то мы имеем из точки D два
перпендикуляра, восставленные к одной и
той же прямой ВВ', что невозможно.-

Остается, следовательно, единственное пред-
положение, что контуры АВС и А' В’ С сов-
падают.

(1 ^возможность первого случая можно бы-
ло бы заключить также из того, что по ус-
ловию АВ —АВ' и СВ = СВ', а, следова-
тельно, АВ -|- СВ — АВ' -|- СВ'. Первый же
случай требует, чтобы АВ ВС £ АВ' СВ')

Такое изложение мы считали бы приемле-
мым для школы, и оно применяется некото-
рыми учителями.

В заключение приведем строгое доказа-
тельство третьего признака, отличное от
всех приведенных выше.

Пусть попрежнему АВ = А’В’, АС = .4' С
и ВС —В'С. Достаточно» доказать, что
^А=./_А', чтобы, опираясь на 5-ю акси-
ому конгруентности Гильберта (соответству-
ет признаку равенства треугольников по двум
сторонам и углу, заключенному между ними),
считать теорему доказанной.

Допустим, что А =j= А', тогда А =
— /_В' А' к (чертежа не приводим). Возьмем
на луче А'х точку В", такую, что АВ = А! В".
Соединяя точку В" с точкой С, получаем
£\А'ВПС — /\ АВС (по первому признаку,
й В"С =ВС = В’С'.

X

Если точка В" лежит внутри или вне
/\А'В'С, то получим один из двух случаев,
изображенных на чертеже 5 (где точку В
надо переименовать в Вя), невозможность ко-
торых установлена. Если допустить, что точ-
ка В" лежит на контуре △ А'В'С, то в силу
того, что £_ Аф Д', она заведомо не совпа-
дает ни с одной из точек А’В'. Точно так
же она не может совпасть ни с одной из
точек В'С, кроме В', принадлежащей А'В*,
так как в этом случае нарушится равенство
B^C—B'C

Таким образом, допущение, что / Аф/_А',
во всех случаях приводит к противоречию.
ИЗ ОПЫТА

О ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ

(Лепжнграл).



В. ПОПОВА

Мне хочется сказать об одном узком месте
в преподавании геометрии — стереометрии.
Мне в своей педагогической практике при-
ходилось много затрачивать энергии на вы-
работку пространственных представлений у
учащихся, на выработку умения разбираться
в данных задачи, проводить анализ и уметь
составить план решения задачи.

Обычно считалось, что начало стереомет-
рии, так называемая вводная часть, где сооб-
щаются основные положения линий и плос-
костей в пространстве, — самая скучная
часть стереометрии, даже как-то стоящая от-
рывом от остального материала; между тем,
усвоение этих положений и есть основа не
только для успешного решенья стереометри-
ческих задач, но и для развития простран-
ственного представления. Небольшие теоремы
первой части стереометрии не легко запоми-
наются учащимися, а потому следует под-
креплять их задачами. Очень хорошо иметь
в математическом кабинете модели из про-
волоки на деревянной подставке, хотя бы
для таких теорем, как теорема о 2 и 3*пер-
пендикулярах. И еще лучше иметь парал-
лельные плоскости из мелкой металлической
сетки и набор тоненьких металлических илн
деревянных палочек, чтобы можно было да-
вать различное положение линиям на пло-
скости и вне ее. Хорошо иметь модель дву-
гранного угла с прикрепленным транспор-
тиром.

Сейчас же после знакомства с теоремами
о 2 и 3 перпендикулярах я давала учащим-
ся понятие о пирамиде — как правильной,
так и неправильной. Тогда у меня было ши-
рокое поле для упражнений. Первое, что
можно было указать на модели пирамиды
(проволочной с деревянной подставкой),
это — перпендикулярность высоты пирамиды
к плоскости основания, т. е. перпендиИу-
лярность ее ко всякой линии, проведенной
на плоскости. При решении задач я требо-
вала от учащихся, чтобы они указывали не
меньше 2 линий на плоскости, к которым
перпендикулярна высота, добиваясь, чтобы

они отдавали себе отчет, почему они взяли
ту или иную линию за высоту. Нг правиль-
ной же пирамиде учащиеся должны были
указать свойство 3 перпендикуляров: сторо-
на основания, будучи перпендикулярна к
апофеме пирамиды, будет перпендикулярна
к апофеме основания.

На пирамиде иллюстрировалась теорема о
проекции линии на плоскость—апофема
основания правильной пирамиды есть про-
екция апофемы пирамиды. При изучении
свойств перпендикуляра и наклонных, про-
веденные к плоскости из одной точки, ука-
зывалось положение высоты, ребер и их про-
екции у правильной пирамиды. Тут необхо-
димо твердо закрепись у учащихся, что у
правильной пирамиды проекции ребер суть
радиусы описанного круга; следовательно,
высота проходит через центр описанной
окружности. При рассмотрении проекции
апофем пирамиды устанавливается их равен-
ство между собой и их значение, как радиу-
сов вписанной окружности. Рассматривая
треугольники, образованные ребром и апо-
фемами пирамиды с их проекциями, полезно
указать углы, полученные при этом. Тут
уместно дать понятие и об угле линии с
плоскостью, указать эти углы в пирамиде
и также обратить внимание учащихся на
плоские углы при вершине; тогда можно
дать иную формулировку положения высоты
в пирамиде: при одинаковом наклоне ребер
к плоскости основания высота пройдет через
центр описанного круга, при одинаковом
наклоне высот боковых граней к плоскости
основания — через центр вписанного круга.

Когда последние определения даны, то
можно познакомить и с неправильной пира-
мидой, например, имеющей одинаковые ребра,
и дать учащимся отыскать положение вы-
соты. Для лучшего закрепления последнего
положения предложить построить пирамиду с
параллелограмом в основании и одинако-
вым наклоном ребер; гут придется припом-
нить из планиметрии о невозможности опи-
сать окружность около парачлелограма и,
следовательно, указать и невозможность по-
строений такой пирамиды. Среди моделей
правильных и неправильных пирамид необ-
ходимо иметь и модель пирамиды в случае,
когда одно из ребер служит высотой: как
ни странно, этот случай вызывает затрудне-
ния у учащихся.

На пирамиде же хорошо проработать и
вопрос о двугранном угле; если легко дается
построение линейного угла для двугранного
угла между боковой гранью и плоскостью
основания, то построение линейного угла
для двугранного между двумя боковыми гра-
нями всегда вызывает затруднение. В пра-
вильной пирамиде при таком построении
необходимо довести до отчетливого понимания,
почему высоты двух смежных боковых гра-
ней, опущенные на общее боковое ребро,
служащее одной из равных сторон равнобе-
ренных треугольников, сойдутся в одной точ-
ке и будут служить сторонами линейного
угла. Необходимо на моделях правильной
трехгранной пирамиды и четырехгранной
иметь проведенными проволокой стороны
линейных углов для двугранных углов этих
пирамид. Также необходимо указать, что
плоскости, проведенные через стороны ли-
нейных углов, перпендикулярны к ребрам
двугранных углов.

Установив все эти положения и построе-
ния, я достаточное время уделяла определе-
нию какой-либо тригонометрической функ-
ции этих углов по двум линейным данными
пирамиды и, что я считаю ценным, умению
выразить зависимость между функциями ли-
нейных углов в пирамиде. Например: в пра-
вильной треугольной пирамиде плрекий угол
при вершине = 2а. Определить двугранный
угол при боковом ребре. Хорошо, если к
этому времени учащиеся будут знать по
тригонометрии формулы двойных углов, но
нет и большой беды, если ответ не будет
упрощен и будет дан в виде

. х	sina

Sin — = —------.

2	sin 2a

Это все упражнения, которых не так уже
много в современных задачниках, но кото-
рые имеют большое значение для уча-
щихся.

Кроме проекции отрезка прямой на плос-
кость, я считаю нужным говорить и о про-
екции фигуры на плоскость; обычно эта тео-
рема о проекции плоской фигуры не вызы-
вала затруднения, и учащиеся часто прибе-
гали к ней при решении задач. В пирамиде
она дает зависимость между площадью осно-
вания и боковой поверхностью. Для правиль-
.86

/
ной пирамиды учащиеся устанавливали, что
площадь основания равна боковой поверх-
ности, умноженной на cos угла наклона бо-
ковой грани на плоскость основания, и об-
ратно

Sa=^.
° cos a

Теория проекций может помочь и при
рассмотрении пирамид неправильных, в слу-
чае, когда высота совпадает с боковым рео-
ром. На моделях таких пирамид учащиеся
указывали проекции ребер, граней — это тоже
были хорошие упражнения для развития
пространственных представлений. Но главны-
ми упражнениями, которые давали отчетли-
вые пространственные представления, я счи-
тала решение задач на сечения пирамид
(преимущественно правильных) различно про-
веденными плоскостями. На эти задачи я
отводила много времени, давались они не
легко, требовалось много усидчивости от
учащихся и терпения у преподавателя, но
зато это приводило к цели. Когда этот этап
бывал пройден и учащиеся доведены доста-
точным числом упражнений до отчетливого
представления о расположении линий и плос-
костей в пространстве, чувствовалось удовле-
творение и учащихся и у преподавателя.
Решали, например, такие задачи: определить
площадь сечения правильной четырехуголь-
ной пирамиды плоскостью, проведенною че-
рез диагональ основания параллельно боко-
вому ребру. Будет очень хорошо, если на
модели правильной четырехугольной пира-
миды учащиеся шнуром покажут контур се-
чения, который получится при проведении
этой плоскости. При решении таких задач
необходимо, чтобы учащиеся не только ука-
зали полученную формулу сечения, но и
составили формулу для определения площади,
нашли бы нужные им величины и, подста-
вив их, вычислили. Здесь самое ценное бу-
дет обоснование теоремой, почему стороны
полученного треугольника, лежащие на боко-
вых гранях, а также высота сечения будут
параллельны боковому ребру, и почему вы-
сота сечения по величине равна половине
ребра. Необходимо указать, что число сто-
рон получаемой фигуры всегда равно числу
пересеченных граней. Данные в этой задаче
можно брать различные: 1) стооона основа-
ния а и угол наклона ребра а; 2) сторона
основания а и апофема пирамиды т\ 3) бо-
ковое ребро и его угол, наклонный к плос-
кости основания.

Необходимо следить, чтобы учащиеся с
самого начала правильно записывали данные
задачи, в первую очередь определяли число
сторон получаемой фигуры, затем особен-
ности этой фигуры, например, в случае тре-
угольника определяли, равнобедренный ли
он, прямоугольный и т. д. Затем указы-
вали точные формулировки теорем, ко-
торые применялись при построении сече-
ния, составляли формулу, по которой нужно
«проводить решение задачи и выделяли иско-
мые линии. Обычно после такого анализа
само нахождение входящих искомых элемен-
тов очень легко. Я привожу несколько за-
дач на сечения, которые считаю полезным
решить с учащимися, с подробным анализом.

1)	.Определить площадь сечения правиль-
ной четырехугольной пирамиды, проведен-
ного через сторону основания, перпендику-
лярно противоположной боковой грани — по
данным: стороне основания и углу наклона
Соковой грани.

2)	Определить площадь сечения правиль-
ной трехгранной пирамиды плоскостью, про-
веденной через середину бокового ребра, пер-
пендикулярно плоскости основании — подан-
ным: стороне основания а и боковому ребру Ь.
На последней задаче можно показать тео-
рему об условиях параллельности прямой и
плоскости, которые перпендикулярны к одной
и той же прямой, и теорему: две прямые,
•перпендикулярные к одной и той же плос-
кости, параллельны и, наконец, теорему:
•если плоскость проходит через перпендику-
ляр к другой плоскости, то она перпенди-
кулярна к этой плоскости.

Хороший материал для анализа дают за-
дачи:

3)	Определить сечение правильной тре-
угольной пирамиды плоскостью, проведен-
ной через середину высоты, параллельно двум
непересекающимся ребра я — по данной сто-
роне основания пирамиды и углу наклона
боковой грани или по стороне основания и
боковому ребру,

4)	Определить в правильной треугольной
пирамиде площадь сечения, проведеннбго че-
рез середину высоты, параллельно боковой
«грани по данным а — стороне основания —
и « — углу наклона боковой грани. Задач на
сечения пирамид, где при анализе построе-
ния сечения необходимо применять теоремы
вводной части курса стереометрии, можно со-
ставить не мало.

Чтобы выработать навык у учащихся в
составлении определенного плана при ана-
лизе задач и их решения, можно давать та-
кую схему вопросов:

а)	Определить форму сечения (по числу
«пересеченных граней).

б)	Определить: не б]дет ли форма сече-
ния частным случаем ? (Обосновать теоремами).

в)	Составить формулу для решения во-
проса.

г)	Определить, какие входящие в формулы
величины известны и какие необходимо найти.

д)	Найти эти величины, связав их с дан-
ными задачи, подставить в формулу и сде-
лать все преобразования.

Все решения, конечно, ведутся в общем
виде, и если в условии даются числовые
значения, то следует требовать их подста-
новки только в окончательно упрощенную
формулу.	t

Итак, пирамида дает очень богатый мате-
риал для развития пространственного пред-
ставления и для закрепления теорем о рас-
положении линий и плоскостей в простран-
стве. А потому ей должна уделяться боль-
шая часть времени, отводимого для прохож-
дения курса.

Затем большие возможности дает комби-
нация тел, например той же • пирамиды с
призмами, шаром и затем шара со всеми
остальными телами. Конечно, следует разо-
брать правильные пирамиды и конус, впи-
санные в шар, хотя бы по разнообразию
способов решения задач на эту комбинацию
тел. Из комбинации шара с неправильными
пирамидами я бы указала на пирамиду с ос-
нованием в форме прямоугольного треуголь-
ника и гранью, проходящей через его гипо-
тенузу, nepnei дикулярно к плоскости основа-
ния, а также на пирамиду с основанием в
форме прямоугольного треугольника и высо-
той, совпадающей с боковым ребром, прохо-
дящим через вершину острого угла; эти за-
дачи имеют свою ценность. При прохожде-
нии геометрии огромную услугу может ока-
зать хорошо оборудованный математический
кабинет. Не следует бояться, что проволоч-
ные контуры тел и даже проволочные модели-
контуры на деревянных подставках отучат
учащихся составлять модель в воображении
и изображать ее на чертеже. Пусть эти мо-
дели как можно чаще будут в руках уча-
щихся: они сыграют свою роль, помогут за-
печатлеть геометрические образы, помогут
разобраться во взаимных положениях линии
и плоскости в пространстве. Пусть кабинет
пополняется моделями к задачам, сделанными
самими учащимися. Только подробным анали-
зом задач и соответствующими моделями
можно из отвлеченного курса стереометрии
создать интересную и увлекательную учебную
дисциплину. А тогда и поступающие во вту-
зы не будут так «безграмотные в вопросах
пространства.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

I

I

*

ЗАМЕЧАНИЯ ПЕДАГОГОВ ПО ЖУРНАЛУ
«МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА В ШКОЛЕ;

(Из бесед с учителями)

•

Н. Н. РАЗУМОВСКИМ ’

Преподавателям математики и физики сред-
них школ, педтехиикумов, студентам педвузов
широко известен журнал Наркомпроса «Матема-
тика и физика в школе».

Педагог хорошо виает, целевую установку
журнала, помнит выработанную редакцией и
опубликованную в печати программу журнала,
и теперь в беседах говорит о том, как журнал
спрсвнлся со своими задачами.

«Много интересных статей,— говорит т. М о -
р е в,— подбор статей интересный и хороший».

Эту сторону, это достижение журнала, что он
стал интересным, что подбор статей хороший,
подчеркивают все педагоги, с которыми приходи-
лось иметь беседу. Педагоги отмечают, что осо-
бенно это улучшение качества журнала чувствует-
ся за последние два года.	’

Одновременно педагоги говорят, что журнал
«Математика и физика» надо разделить на два
жуоиала—на журнал «Математика в школе» и
отдельно — «Физика в школе». Это-пожелание
идет от всех, принимавших участие в беседе
педагогов.

В связи с этим разделением можно будет пред‘-
явить к журналу требование — больше освещать
вопросы научно-теоретического и методического
характера.

Поэтому педагоги отмечали, что разделение
журнала отнюдь не должно итти за счет умень-
шения об’ема журнала «Математика в средней
школе».	*

С другой стороны, отдельные товарищи, в ча-
стности т. Л е п п е н (преподаватель рабфака),
в подтверждение необходимости разделить жур-
нал говорят о том, чтс/ редакция журнала «Ма-
тематика и физика в школе» мало отводила
места отделу физики.

Отдельные педагоги-авторы высказывают свое
недовольство характером редакционной правки
материала: так например т. Леппеи говорит,
что его статью редакция так переработала, что
выпустила самое важное.

Многие говорят: «Журнала мы почти не видим.
Нужно обязательно увеличить его тираж. Мы
надеяллсь получить его через школу и библио-
теку. Но ничего не удалось добиться. Почти
невозможно выписать я урнал для себя.

Журнал можно выписать только через школу
и для школы».

Эти выступления ярко иллюстрируют неблаго-
получное положение в отношении тиража жур-
нала.

Приведем высказывания педагогов по основ-
ные разделам журнала.

а)	Научный раздел, по отзывам педагогов-,
интересен по содержанию, но многие статьи для
среднего педагога тяжелы. Материал рассчитан
главным образом на педагогов, имеющих закон-
ченное высшее математическое образование.

О трудности научного математического отдела»
для рядового преподавателя средьей школы,
говорили несколько педагогов. Очевидно, это-
имеет место, и редакции журнала надо будет
еще и еще побеседовать с педагогами по воп-
росу о характере изменения научного отдела
в таком направлении, чтобы сделать его более
доступным.

Говорили и о том, что журнал, помещая
чрезвычайно полноценные н необходимые для-
педагога статьи, все еще мало печатает матери-
алов по линии современных научно-математиче-
ских достижений.

Этому разделу надо уделить большее внимание,
так как далеко не всегда удается педагогу до-
стать книгу или прослушать лекцию, посвящен-
ную изложению последних изысканий, последних
достижений в области математики,

Поэтому работники просвещения указывают
иа необходимость увеличения этого раздела
журнала, на необходимость широкого освеще-
ния научных вопросов, поднимающих, квалифи-
кацию работников народного просвещения. Поме-
щение коротеньких рецензий о новых книгах,
научного характера с кратким изложением содер-
жания самой книги очень поможет педагогу.

б)	По методическому разделу журнала указы-
валось иа следующие два недочета.

Большинство статей посвящено тематике стар-
ших классов (VIII—X). Мало печатается матери-
ала для преподавателей младших классов.

При наличии большого количества ценных
Методических статей в журнале почти ие печа-
тались стенограммы или подробные записи»
образцовых уроков. Надо из номера в номер-
широко развертывать показ богатого методиче 
ского опьта школ.

в)	Разбирая журнал в соответствии с требо-
ваниями школы, педагоги говорили, что отдел-
задач «является безусловно интер( сным отделом».
Морев и другие педагоги считают совершенно-
правильным, что редакция так много внимания
и места уделяет отделу задач.

г)	Настойчивые требования шли по линии
значительного расширения раздела критики и
библиографии.	х

Поднимался вопрос о том, что библиографиче-
ский отдел журнала должен быть поставлен на.
такой уровень, чтобы педагог к этому отделу
мог обращаться как к справочнику по вопросу
о состоянии наличного литературного фонда,
который может быть использован учителем.

Для этого педагоги прилагают помещать
в этом отделе больше ма-ериалов о научной
книге с рецензиями о ней, с подробным указа-
нием, в каком органе, какие именно (даже поме-
щая иногда отрывки) напечатаны или где-либо
имеются в письменном виде рецензии, как
к этим рецензиям подходить, что можно исполь-
зовать из рецензируемой книги учителям сред-
них школ для повышения своей квалификации,
а также в процессе преподавания и в каком
именно разделе программы. Одновременно с
этим, по мнению педагогов, необходимо давать
списки рекомендательной литературы для вне-
классного чтения, типа «занимательной матема-
тики» и «занимательной физики», присоединяя
к спискам небольшие методические указания,
как именно использовать то или иное название.

Особенно предупреждали против того, чтобы
редакция журнала пе помещала общих указаний
ко всему списку, ко всем названиям. Не надо
педагогу и такого лаконического указания, что
такая-тс книжка может быть исполгзована в V
или VI классе; надо давать такие указания,
которые педагог сможет использовать н прак-
тике своей работы на урокдх по определенному
отрезку изучаемого материала, использовать,
может быть, хотя бы как пособие, прочтение
которого учеником поможет закрепить прой-
денный материал.

Надо помещать списки популярных книг „ля
внеклассного чтения учащихся, присоединяя не
только небольшую аннотацию, но и краткое
изложение содержания этой книги, оценку ее,
некоторые методические указания, как лучше
использовать книгу.	»

Надо систематически помещать рецензии иа •
методическую литературу. Педагоги рекомен-
дуют, чтобы эти рецензии были не «вообще»,
а применительно к школе, учесть, что журнал
дорожит каждой строчкой текста, поэтому ре-
цензии должны быть краткими, но количество
книг, охваченных рецензиями,аннотациями, должно
быть большим. Рекомендательные библиографи-
ческие списки должны появляться чаще, систе-
матически.

д)	Некоторые учителя на общем совещании
предлагали расширить или несколько видоизме-
нить раздел «из опыта школ».

Педагоги предлагают в этом отделе давать
очень небольшие, ие больше полустранички,
статейки, заметки преподавателей математики
или физики, описывающих свой опыт.

О ценности этого предложения наши педагоги
судят так: в этом отделе педагоги большие
мастера своего дела, но начинающие авторы,
сумеют освещать свой богатый опыт по работе
школы. Редакция же сумеет систематически
заняться выращиванием авторских кадров непо-
средственно из среды учителей — математиков
и физиков. А это входит в одну из основных
задач журнала. Помимо этого всякая работа,
конечно, а особенно работа по привлечению
авторских кадров, по Оказанию помощи им
в их методическом росте требует прежде всего
организации. Не рассчитывать на самотек, а
организовать дело. Организация работы это —
основное, что нужно в каждом деле и чего по-
рою нехватает в журнале.	-

По пример» других журналов редакции жур-
нала «Математика в школ:» необходимо в мес-
тах, где имеются крупные методические силы,
выделить группы авторского актива.

В задачи этих коллективов должно войти,
по мнению педагогов, следующее:

1)	Созыв совещаний педагогов в целях обсуж-
дения тематического годового плана журнала,
плана отдельных номеров; обсуждение отдельных
статей или разделов журнала в то время, когда
материал уже готов к сдаче в производство.
Эта предварительная проверка, помощь редак-
ции журнала должна быть систематической, по-
стоянной.	,

2)	Обсуждение по инициативе редакции жур-
нала вышедших номеров, присылка в редакцию,
замечаний о них.

3)	Организация авторского коллектива, по-
мощь этим авторам, состоящая в том, что от-
дельные статьи их могут быть обсуждены на
авторском активе, неправлены на основе заме-
чаний, сделанных педагогами, и затем уже по-
сланы в редакцию.

Педагоги предложили, и это вполне правиль-
но, чтобы при п едстанциях организовать группы
авторского актива и через эти группы, которые
будут регулярно собираться, журнал сможет
получат > очень пенный и большой материал,
который будет предварительно фильтроваться'
в. этих группах. Ведь многие педагоги оьотно
дали бы свои статьи, у иих огромный опыт,
знания, но как начать статью — они порою не
умеют, чем кончить ее — они иногда не знают,
ц вот необходимо помочь им в этом. И такая
группа авторского актива несомненно может
оказать большую помощь. Редакция должна бу-
дет организовать такой актив, обрасти им. Не-
обходимо в эту группу систематически высылать
периодику, не только этот журнал, ио и миогие-
другие, чтобы эти товарищи за свою организа-
ционную работу в виде поощрения получали бы
наши журналы, чтобы товарищи чувствовали,
что если эни ведут какую-то полезную организа-
ционную работу, то и они получают в свою-
очередь помощь.

Вот все основное, что можно было записать
как предложения педагогов по журналу «Мате-
матика и физика в школе».

Какие выводы из всего этого?

1) Добиться разделения методического журнала"
на два самостоятельных методических журнала:

а)	«Математика в школе» с сохранением об'е-
ма (6-7 печ. листов) и с сохранением периодич-
ности;

б)	«Физика в Тйколе» — тоже с сохранением;
об'ема и периодичности.

2)	Бороться за дальнейшее улучшение каче-
ства журнала с учетом всех пожеланий педаго-
гов, причем накопление и учет этих пожеланий
надо будет поставить в систему, надо будет-
провести еще беседы со многими десятками
педагогов — мастеров своего дела. Эти беседы
дадут огромный материал и новому тематиче-
скому плану, только организацию этого дела-
надо начать сейчас же.

3)	Учесть высказывания многих педагогов.
что для учителя средней школы научный отдел
^математики тяжел.

Сделать из этого практические выводы пр)
составлении плана очередных номеров и темати-
ческого плана на 1937 г. Но при этом иметь
в виду и то, что научно-теоретический уровень I

? I
журнала ни в коем случае понижать нельзя.
Надо увеличить отдел методики, в котором поме-
щать статьи мастеров-педагогов.

4)	Развивать и в дальнейшем отдел задач,
ставя эту работу, как необходимое звено в по-
мощь педагогу. Придумать систему поощрений
за решение задач. Может быть, не ограничива-
ясь премированием книгами, ставить вопрос
шире, рассматривая раздел задач, как одно из
-средств для подготовки журналом кадров, для
повышения квалификации педагогов, и соответ-
ственно этим целям поднимать его значение.

5)	Проследить самой редакции лично продви-
жение до учителя тиража журнала, изучить лицо
подписчиков.	%

6)	Массовую работу с читателем и подписчи-
ком поставить так, чтобы знать голос пздагога-
ярактика о журнале, об отдельных статьях, по-
мещенных и помещаемых в журнале, прислу-

шиваться к его предложениям и реализовать их
по мере их ценности.

Массовую работу строить на основе проведе-
ния совещаний, конференций с учителями для
обсуждения тематического плана журнала, опен-
ки качественного уровня отдельных разделов
,в журнале как в смысле подбора статей по те-
мам, так и качества этих статей.

7)	Выращивать авторские кадры систематиче-
ски, не рассчитывать на самотек, а организовать
авторские группы во всех крупных методиче-
ских центрах.

Выводы можно было продолжить, но реализа-
ция и этих предложений педагогов, инициатива
самой редакции при проведении их в жизнь,
большевистская настойчивость и напористость
редакции помогут поднять журнал еще на более
высшую ступень.

ОТ РЕДАКЦИИ

Редакция чрезвычайно благодарна т. Разумов-
скому за сообщение тех высказываний о жур-
нале «М. и Ф.», которые ему удалось собрать из
бесед с преподавателями.

Само собой разумеется, что журнал только
тогда и будет ценен для педагогов, когда он идет
•навстречу их насущным потребностям, а для этого
журнал должен чутко и постоянно прислуши-
ваться к суждениям о журнале, к запросам и по-
желаниям массового учительства.

Редакция и до сих пор старалась придержи-
ваться этого правила (см. иаппимер, письмо
т. Тарасова и ответ нт него в № 6 журна ia
за 1935 г.) и ставит себе дальнейшей задачей
укрепление еще большей связи с читателями
как путем переписки (уже и теперь редакцией
в порядке персональной переписки, консультации
и пр. посылается 80—100 писем в месяц), так и
путем созыва конференций читателей с личным
участием членов редакции. В октябре — декабре
ластоящего года уже предположено несколько
таких конференций.

Несколько очень кратких замечаний по поводу
высказываний педагогов, изложенных в статье
т. Разумовского.

1.	О разделении журнала.

Безусловно разделение журналов по матема-
тике и физике дало бы выигрыш обоим и со
•стороны об'ема и в отношении содержания (боль-
шая возможность планирования, бдлее быстрое
продвижение рукописей в печать и пр.). Поэтому
можно только порадоваться, что к настоящему
моменту этот вопрос уже решен в положитель-
ном смысле.

2.	О трудности научного раздела.

Неясно, какие статьи именно оказались для
педагогов трудными. Мы, например, считаем, что
Ценные статьи: проф. И з в о л ьс ко г о—о построи-
дости циркулем и линейкой, проф. Павлова
«и доцента Молод ш его по геометрии Лоба-
чевского, т. Горншгейна о действиях над

корнями и т. п. являются достаточно популяр-
ными. Излагать такие вопросы нужно, об этом
говорят и письма читателей, изложить еще
проще—трудно. Кроме того, как мы уже пи-
сали, журнал один, а читатель по образованию
и по стажу очень разнообразен и в наших школах
работает значительное количество квалифициро-
ванных преподавателей, пред'являющих к жур-
налу повышенные требования как в отношении
тематики, так и глубины изложения. Все же
в дальнейшем в соответствии с замечаниями
редакция постарается в основном держать курс
иа массового педагога, все время стараясь по-
вышать его квалификацию.

3.	Об изучении и освещении опыта педагога-
практика см. передовую статью в этом номере,

4.	О расширении библиографического раз-
дела — замечания совершенно правильные и ре-
дакция в дальнейшем учтет их.

’5	. Об организации читательских и авторских
коллективов на периферии. Мысль очень ценная
и заманчивая. Редакция постарается осуществить
эту мысль через тех педагогов, с которыми она
уже связана или как с авторами или как с уча-
стниками в решениях задач. Но крайне жела-
тельна в этом деле и прямая инициатива мест.
Всякое такое начинание будет редакцией под-
держано.

>	6. О разделе задач см. ваметку в № 5, также
сообщение о результатах конкурса в настоящем
номере.

В заключение редакция снова обращается
к читателям с просьбой сообщать в редакцию
все свои замечания по журналу. Редакция не
имеет возможности ответит" на каждое письмо,
но это совсем не значит, что оно не прочиты-
вается ею внимательно и ие учитывается в ра-
боте. Тзк можно было бы привести ряд статей
за 1936 г., помещенных имение в связи с полу- ч
чаемыми редакцией письмами.
ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ,
помещрпимх в № 3 сб. «Математика и физика в школе» за 1936 г.

1.	Найти два числа А и В, зная, что их сумма
равна 667, а частное от деления их общего наи-
меньшего кратного на их общий наибольший
делитель равно 120.

Обозначим общий наибольший делитель иско-
мых чисел через х, а их наименьшее кратное
черев у, тогда

А — Л'х, В = В'х,
у = АВ' = А'В = А'В'х,
где А' и В' — целые числа.

По условию задачи
у

А 'В' = —=120	(1)

х (А' + В') = А + В = 667.	(2)

А' и В' не имеют общих миожителей. Так
как 120 = 2а-3-5, то разложение числа 120 иа два
ьзаимно простые числа дает

1 и 120; 2» и 3-5; 3 и 2а-5; 5 и 2а-3.

Отсюда получаем такие возможные случаи:

А1 18 3	5

В' 120 15 40 24
А' + В'	121 23 43 29

Но число 667, которое должно -делиться
ва А'*+В', равно 23-29.	Это 'дает	два решения

А'	В'	А' + В'	х	А	В

8	15	|23	29	232	435

5	21	с29	23	115	552

Другой способ. Можно рассуждать,
исходя не из равенства (1), а из равенства (2).
Именно:

х (Д' + В') = 667.

Так как 667 = 23. 29, то 'х может быть равен
одному чз трех чисел: 1, 23, 29. В первом слу-
чае А' + В' — 667, что вместе с А'В' = 120 ие
дает решений. Во втором и третьем случаях
имеем;

2)	х = 23; Д' + В' = 29; А!В' — 120.

Отсюда находим Д' = 24; В' = 5 или наобо-
рот и А — 552, В = 115.

3)	х = 29; А' + В' = 23; А 'В' = 120.

Отсюда находим Д' = 15, В' = 8 и А = 435,
В = 232.

Если принять, как было напечатано первона-
чально, A-j-B- 677, то, так как 677 число про-
стое, числа А и В имеют общим наибольшим
делителем единицу х=1. Тогда А'—А, В'— В
я выражения (1) и (2) дают

АВ= 120;

Д4-В = 677.

Числа А и В найдутся из уравнения:
г1 — 677^4-120 = 0.

Так как это уравнение не дает целых решенийа
то чисел, удовлетворяющих условиям задачи,
«е существует.

Вее такие решения и подобные им, устанавли-
вающие отсутствие решений при А 4* В = 677,

мы зачитывали. Но, конечно, ие, зачитывали тех
«решений», котооые, исходя из ч'исла 677, давали
для А и В дробные и иррациональные решения,
не имеющие никакого смысла.

К. Агриискйй (Москва), П. Бессонов
(Злынка), Ф. Б р и ж а к (Краснодар), Ф. Гасс
(Ваниовка Азово-Чеоном. кр.), В. Г и л ь ц (Омск),
А. Гольдберг (Ленинград), С. Городов
(Ленинград), А. Егоров (Демянск), В. Е ф и м о в
(ст. Сходия), И. Зайцев (Москва), Г. Знамен-
ский (Ял а), А. И в а н о в (Торопец'. И. Изо-
теи к о в (Плавск), Н. Карелина {(Смоленск),
К Кириллов (Казань), С. Колесник (Харь-
ков), Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев
(Обояиь), А Лучко (Балта), Н. Покровский
(Нижнеудинск),Проскуряков( ?),Г.Ржав-
с к и й ' (Фролово), Н. Рождест."енекий
(Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е.Костю-
ков а (Луга), А. Сахаров (Москва), П. С е р-
г и е н к о (Запорожье), А. Соловьев (Кали-
нин), В. Счастиев (Коломна), О. X а и ч а р ляи
(Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь),
М. Шевелев (Казань), Л. Шмулеисои (Вин-
ница), М. Яглом (Москва).

2. Найти число, зная, что 1) число его дели-
телей нечетно; 2) если разделить его на 39, то
в частном получим простое число и в остатке 1.

Как известно, число делителей какого-либо
числа равно

л = (а + 1£(ЗЫ)(т + 1)...,

где ос, ₽, у... показатели степеней простых чисел,
входящих в состав данного числа. Число п мо-
жет быть нечетным только в том случае; если
все показатели а, р, у... четны, т. е. данное число
является точным квадратом. Обозначим поэтому
искомое число через х*.

Согласно условию:

x* = 30p-f-l,	(1)

где р — простое число. Отсюда

(х+;1)(х— 1) = 39р.	(2)

Итак, число 39 р должна разлагаться иа два
множителя, разность которых равна дзум. Рас-
смотрим все возможные разложения (помня,
что р — простое число).

1	2	3	4	5	6	7	8

л 4-1 39 р 39 13р Зр 13	3 р 1

х~ 1	1	р	3	13	Зр	13р	39	39р

Из этих разложений сразу отпадают 6 и 8, так
как в них х — 1 получилось больше, чем х4-1-
Затем отпадают 1-е, 3-е и 5-е, так как в них раз-
ность не может быть равна двум. Остаются три
возможных случая

X + 1	X — 1 X хг

39	37	38	1444

15	(р = 5)	13	14	’96

41	39	40	1600
Другой спосо-б. Из равенства (2) имеем:
(х-11)(х-1)

Р~ 39

Так как р число простое, то один из множи-
телей (x-f-1) или (х—1) по сокращении со
знаменателем должен дать единицу. Все случаи
сокращения могут быть представлены так:

2)

о, *+1 X— 1 x-flx-1
' з ' 13 ;4) 13 ~з~;

1)	Очевидно

^±2_1

39 ~ 11

так как х—1 не может быи> равен единице,
когда (х-р 1) делится на 39. Отсюда:

х + 1 = 39; х - 38; х2 = 1444.

2)	По тем же основаниям, как и в первом
случае, имеем:

х— 1 ‘ 39; х = 40; х2 = 1600.

3)	Так как одни из сомножителей должен
равняться единице, то
или

х + 1 = 3,
или

х— 1 <= 13.

Но в первом случае получаем х = 2, и х—1
не делится на 13. Во втором случае

х-~ 1 - 13;	= 5; х - 14; хг - 196.

4)	В этом случае или

х 4-1 = 13,
ио тогда’	,

х~ 1 = 11

не делится на 3;
или,

х — 1 = 3,
тогда

х х +1=5
ие делится на 13.

Итак, опять получаем три числа: 196, 1444 и
1600.	L

Многие из решений ограничивались одним или
двумя числами, иногда указывая, что таких
чисел может быть несколько. Конечно, такие
решения нельзя признать удовлетворительными.

К. Агринский (Москва), А. Г< льдберг
(Ленинград), Г. 3 н < меиский (Ялта). А. И в а-
ч о в (Торопец), Б. Кобылин (Галич), Г. Л fl-
бе д е в (Обоянь), А. Л ога шов (Пенза), Н. Ро-
ждестьеиский (Днепропетровск), В. Сча-
стие о (Коломна), М. Я г л о м (Москва).

3.	Доказать, что

25 (х2+_у2) + (12 — Зх — 4y)25s7£
при любых значениях х и у.

Заметив, что 25 = 9-(- 16, можем написать:
25 с2 + у2)	9х2 + 16у2 + 16х‘ + 9у2 + 24ху —

— 24ху = ,9х2 -f- 24xv + 1 бу2) + (16Х2— 24ху +
+ 9у2) = (Зх + 4у)2 4- (4х — Зу)2.

Тогда будем иметь:

25 (х«‘+ у‘) + (12 — Зх — 4_у)2 = (Зх + 4_у)£ +

+ I4X — Зу)2 + 122 — 24 (Зх+ 4>) + (Зх + 4_у)2 =
= 4х —3_у)2 4 - 2 [(Зх + 4у)2 —12 (Зх 4 4у) +

4-	36] + 72 = (4х - пу .2 + 2 (Зх + 4у — 6)2 + 72.

Но при любых значениям х и у выражения
(4х — Зу)2 и (Зх + 4у — 6)2 могут иметь наимечь-
jnee значение нуль (понятно, что мы рассматри-
ваем лишь действительные значения х и у, так

как при комплексных значениях левая часть
данного неравенства будет комплексной и нера-
венство теряет смысл). Следовательно, наимень-
шее значение левой части неравенства равно 72.

Можно, как делали некоторые, предварительно
раскрыть скобки, перенести 72 в левую часть
и затем, группируя члены полученного много-
члена притти к тому же выражению (2) или
некоторому другому варианту, например

(5х — 3,6)2 + (5х — 4,8)* + (Зх + 4у — 6)2.

Отметим, что некоторые решали задачу с
применением дифференциального исчисления (на-
хождение максимумов и минимумов). На будущее
договоримся, что задачи, помещаемые в журна-
ле, должны решаться средствами элементарной
математики.

Ф. Б р и ж а к (Краснодар), А. Велланд
(Москва!, А. Гольдберг (Ленинград), И. 3 a fi-
ne в (Москва), Г Знаменский (Ялта),
А. Иванов (Торопец', К. Кириллов (Казань), *
Н. Покровский (Нижнеудинск), Г. Р ж а в-
ский (Фролово), Н. Рождественский
(Днепропетровск), П. Сергиенко (Запорожье),
А. Соловьет (Калинин), В. Счастнев
(Коломна), Б. 'Харитонов (Б. Сундырь).
М. Я г л о м (Москва).

4.	Куплено три отреза А, В и С материи
одинакового качества. А и В имеет одинаковую
длину, В и С~ одинаковую ширину. Общая
длина всех трех отрезов— ПО м, ширина 3,15 м
Стоимость трех отоезов пропорциональна чи-
слами 5, 6 и 3, а их общая стоимость 1850 руб.
Вычислить длину, ширину и стоимость каждого
куска.

Стоимость легко вычисляется путем пропор-
ционального деления

= 486,84 руб.; -	- = 584.21 руб.;

778,95 руб.

Далее, обозначим длину куска'А и куска В через
х, ширину куска В и куска С через у. Составим
таблицу.	,

Кусок	Длина	Ширина

А	х	3,15—2у

В	х	у

С	110—2х / у ।

Так как по смыслу задачи стоимости кусков
пропорциональны количеству квадратных метров,
содержащихся в каждом куске, то имеем;

х (3,15—2у) :ху = 5:6;

(НО—2х) у:ху = 8:6 = 4:3.

Отсюда по сокращении:

*	6 (3,15—2у)'= 5у:

3 (110—2х) - 4-х.

Решая эти уравнения, найдем:

х — 33; у = 1,112.

Искомые таблице:	числа представятся		в следующей
Кусок	Длина	Ширина Стоимость	
А	33 -и	0,93 м	486,84 руб.
В	33 »	1,11 »	534,21 >
С	44 »	1.11 »	778,95 »

Признаемся, что помещение i/гои очень простой
по существу задачи как и еще двух (№ 7 и 19)
имело особую цель. Взяв ее ив французского
математического журнала («L'Fducation Mathejna-
tique»), мы имели в виду одну ее особенность; она
говорит о некотором реальном факте (покупка)
и оперирует с некоторыми именованными чи-
слами (рубли, метры). Вопрос состоял в том:
учтут ли наши читатели это обстоятельство и
дадут ли реальные решения или же в погоне за
«точностью» будут вычислять тысячные доли
копейки. Между прочим, на эту цель очень
ясно намекало и искусственное включение вопро-
са о стоимости каждого куска, что, во-первых,
совершенно ие треиуется для дальнейших вычи-
слений, во-вторых, является элементарнейшей
задачей на пропорциональное деление для
ученика VI (а недавно V) класса.

К сожалению, должны констатировать, что
подавляющее большинство читателей отнеслось
к задаче «математически», т. е. вычисляли все

1

требуемые данные с точностью, до Jqqq или до

ЮОоО или> в лУчшем слУчае, давали эти числа
. 63	19

в простых дробях (Ширина: gg; 1 Стои-
18

ыость: 233jy и т. д.) По смыслу задачи достаточно
было ограничиться для разменов сантиметрами,
для стоимости — копейками. Многие из прислав-
ших решение правильно подходили к вопросу,
указывая, что «цифры выбраны неудачно, так
как дают дробные числа». Но следующего
шага — исправить результат вычислений—не
сделали. Вместо этого часто меняли данные так,
чтобы в ответе получились целые числа. Это
очень характерно. В этом сказывается давнишний
грех преподавателей математики, который пере-
дается ученикам и с которым в вузе и в осо-
бенности во втузе приходится вести жестокую
борьбу.

Всегда ожидается, что ответ должен быть
простым, в частности, выражаться целым числом,
в других случаях — простой дробью, в третьих —
элементарными радикалами, вроде j/2, "|Лз и
тг. п. К этому, нужно признаться, приучают и
наши задачники. О неправильности такого пред-
взятого подхода говорить ие приходится.

С тем с большим удовлетворением отмечаем
товарищей; которые пошли именно по подска-
зываемому задачей пути: Н. Рождествен-
ский (Днепропетровск), А. Соловьев (Ка-
линин), Б. Шехтман (Одесса), Я. Шор (Тула),
причем прощаем т. Шехтману некоторую неточ-
1850-5

ность в вычислениях (например —уд— = 486,80 .
и др.) и все же недостаточное приближение

у т. Шор (стоимость с точностью до рубля).

К. Агринский (Москва), Ф. Б р и ж а к
(Краснодар), В. Г и л ь ц (Омск), А. Гольдберг
^Лениитрад), А. Егоров (Демянск), Н. Зайцев
(Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов
(Торопец), Н. К а р ел и н а (Смоленск), М. К е де-
ли я (Бандзз, Грузия), С Колесник (Харь-
ков), Н. К у л а ко в (Бугуруслан), А. Л о г а-
шов (Пенза), А. Лучко (Балта), В. Павлов
•'Балятиио), Н. Покровский (11ижнеудииск),
Г. Ржацский (Фролово), Н. Рождест-
венский (Днепропетровск), Е. Сапунцов
м Е. Костюкова (Луга), П. Сергиенко

(Запорожье), А. С ол о в ь е в (Калинин), О. X ан-
чар л ян (Кпаснодар), Г Харитонов (Б.
Сундырь), М.Ш ев е л е в (Казань), Б. Шехт-
м а и (Одесса), Я. Шор (Тула), М. Я гл 6 м
(Москва).

5.	Решить уравнение:

~

хпУ Ьт" +(2 + x)xfr,n"

у X

f fa-

= р~ 1/	— "ХЬ,”П) (l — •

г	Ур™

Упростим каждый член равенства.

х п VЬтл + (2 + х) xb-n _

fx	*

1 т ,

= * - Ь- J-L+H-+*Lg - bn 11 4- 2jt + Xs)m =
1 _ *

•д

~ bn (1 + xf;

____________ _1 m __________

' b™ — bmaj? __gx ЬпУ 1—x2
a!

1	_t

= f"(l,+ x)”! (1—x)m.

: m (b™ - xb”-} (l^x)

= - Rnb” f(l~x) U—-ci -J,’1 (1 m.

Итак, по сокращении на bn, имеем:
— * 1 1
(1 +X)m — (14-Х)т(1_X)m _ (}—х)т

Делим обе части на (1 — хрп ;

Обозначив
будем иметь:3,
у2 —у — 1 = 0.

Отсюда

Получаем два уравнения

l±^=(l + Vr5')mI1 1±^ = О -/б)"

1 — х	2m 1 — х 2т

Отсюда легко найдем

_ (1+]/б) —2"* .	_(1— у1Г-2т

** ”(1 + ]/~5) + 2га Х3 (1+Уб)+2т

В. Агеев (Слатииское), К. А’-ринский
(Москва), Г. Бобылев (Бредихино Моск, обл.),
И. Б о р од у л я (Москва), А. Веплаид^Мо-
сква), А. Волков (Чухлома), Ф. Гасс(Ван-
новка), А. Гольдберг (Ленинград), С. Г о р о-
д о в (Ленинград), И. Зайцев (Москва),
Г. Знаменский (Яли), А. Иванов (Торо-
пец),.И. Изотеико в (Плавск),К. Кириллов
(Казань), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков
(Бугуруслан), С. Кулиги.и (ст. Зиновьевская),
Г. Лебедев (Обояиь), А. Логашов (Пенза),
А. Лучко (Балта), Н. Маланов (ст. Чер-
вления, Дагестан), И. Нагорный (Кошеватое),
В. Павлов (Балятино), Н. Покровский
(Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фролово),
Н. Рождественский (Днепропетровск),
Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга),
С. Севастьянова (Москва), П. С е р г и е н-
к о (Запорожье), А. Соловьев (Калинин),
Н. Столяр'ов (Порецкое Горьк. кр,). В. Сча-
стие в (Коломна), Г. Харитонов (Б. Сун-
дырь), М- Шевелев (Казань), Л. Ш м у л е н-
с о и (Винница), М. Я г л о м (Москва).. -

6. Построить прямоугольный треугольник, зная
длину а гипотенузы и длину т медиань BD,
которая делит катет AC.	|“з. i 

1)	Подавляющее большинство решений было
таково. По условиям задачи имеем:

b*-[-c2 = a2;	(1)

fe2

-+^ = т‘.	(2)

Отсюда

3 62

---= а2 — т!,
4

или
4

b2 = -(a2-m")	(3)

О

Далее решение идет двумя путями. По одно-
му b находится как средняя пропорциональная
из равенства:

Ь —	т'')=	+ G* — т);

У О	г о

для этого сначала обычным путег находятся от-

По другому сначала находится отрезок
k = ya^-m?r

как катет прямоугольного треугольника с гипо-
тенузой а и другим катетом т. Затем находит-
ся Ь, как четвертая пропорциональная в соот-
ношении

или

6:2=:_/3 :k.

Зная катет Ь, легко построить искомый тре-
угольник

Исследование. Из (I) находим

4

с2 = а- — Ь2 - а2 — — (а2 — т2),
3	'

или

с2=Д(4ж2 — а2),

4

Ь2=-(а2 — т2).

3

Так как 6>0 и с^>0, то

4т2—а2>0 и ап — т2>0.

Отсюда

т < а <С 2 т.

Данное неравенство дает условие возможности
задачи.

Этот, подсказываемый вадачей «алгебраиче-
ский» способ является однако довольно гро-
ме здким, так как требует ряда промежуточных,
построений. Приведем более простые и изящные
решения (для краткости ограничимся построение*,
без предварительного анализа).

2)	Приведем оригинальное решение т. Неми-
ровского. Строим две равных касательных друг
к другу окружности диаметра т. Из точки В
радиусом, равным а, делаем засечку на второй

окружности. Точку С соединяем с D, и отрезо!
CD продолжаем до пересечения с первой окруж-
ностью в точке А. Точку А соединяем с В. Тре-
угольник ВАС и будет искомый, так как в ием:
2_ Л—прямой (опирается на диаметр т), гипо-
тенуза СВ = а; и BD = т — медиан. АС. (Равен-
ство CD — AD доказывается легк< хотя бы из
равенства треугольников DOA и СОДР).

3)	Воспользуемся тем свойством медиан, что

2

они отсекают друг от друга — их длины, считая

О

от вершины. Следовательно в£\ВОЕ сторона ВО=
2	1	1	1

=—/я; сторона ОЕ = - АЕ = — ВС = —а, сто-
3	3	6	6

роиа BE = — а. Строим А ВОЬ по трем сторо-

нам. Продолжаем ОЕ на длину ОА — 2 ОЕ; точ-
ку А соединяем с В и С. Треугольник ВАС —
искомый; /_А—прямой, так как окружность с цеи-

а

тром в Е радиуса BE = — проходит через точки

А и С. Прямая BD — медиана АС, так как отсе-
кает от мёдиаиыя AL две трети ее, считая от
вершины; BD = т. Этот способ также требу ет
предварительных, хотя и простых построений:
а 2т	а

нахождения —, —- и —.

2 3	6

4)	Соединив конец медианы D с серединой
гипотенузы О, замечаем, что DO средняя линия
△ ЛВС; следовательно, она параллельна АВ и
/ CDO прямой, т. е. лежит на окружности, по-

строенной на СО =—, как на диаметре. Отсюда

построение. На СВ — а, как на диаметре, строим

а
полуокружность; на СО = — — тоже. Из точки

В радиусом, равным т, делаем засечку D на
второй окружности. Продолжаем CD до пересе-
чения с первой окружностью в точке А, которую
Соединяем с В.

Были даны и другие решения.

I. К. Агрииский (Москва), Ф. Брижак
(Краснодар), А. Веплаид (Москва), А. Вол-
ков (Чухлома), В. Гильц (Омск), А. Голуб-
ч е н к о (Лохвица), А. Егоров (Демянск),
А. Иванов (Торорец), К. Кириллов (Ка-
зань), А. 1 о га ш о в (Пенза), В. П а в j. о в (Ба-
лятино), Г. Ржавский (Фролово), Н. Рожде-
ственский (Днепропетровск), П. С е р г и е и-
к о (Запорожье), Д. Т к а ч и к (Шпола Ки^вск.
обл.), О. Хаичарлян (Краснодар), Б. Шехт-
м а и (Одесса), М. Я г л о м (Москва).

II С. Немировский (Житомир).

III; В. Агеев (Слатинское), П. Бгссоно»
(Злынка), А. Гольдберг (Ленинград), И. К ар-
хан и и (Чернигов), С. Колесник (Харьков),
Г. Лебедев (Обояиь), Н. Маланов (ст. Чер-
вленная) Н. Покровский (Нижнеудинск),.
Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Луга),
А. Сахаров (Москва), С. Севастьянова!
(Москва), В. Счг<тнев (Коломна), М. Шеве-
лев (Казань), Я. Шор (Тула).

IV.	Ф. Гасс (Ванновка), Г. Знаменский
(Ялта), Н. Кулаков (Бугуруслан).

V.	Другие решения: А. Соловьев (Калинин),
Г. Xа р итоно в (Б. Сундырь)< Л. Шйу леи-
с о н (Винница).	»

7. Решить уравнение

tg тх = tg пх.

Из равенства тангенсов следует, что аргументы»
разнятся на целое число тс, т. е.

тх ~ пх -|- k it,
или
k тс
х =----------------------.

т- - п

Как видим, здесь по существу никакой задачи,
нет, а есть лишь простая констатация факта пе-
риодичности тангенса. Эта констатация и требо-
валась от читателей. Однако большинство все-
таки решало «задачу t>, причем, примерно, таким»
способом:

tgmx — tgnx - 0;

sin (т — п) х д
cosmx cosnx

Отсюда

sin (т — п)х = О,
при этом не оговаривалось, что cos тх и cos пх:
не могут равняться бесконечности. И далее уже
получалось

(т — п) х — kit

(у некоторых даже 2 А тс). Понятно, что все эти
рассуждения были совершенно лишними.

Это—второй пример задачи, рассчитанный на
преподавателя, из года в год трактующего у че-
никам об основных свойствах тригонометриче-
ских функций, следовательно, могущего заметить.,
одно из основных свойств тангенса. Ответ: свы-
ше 60% неправильных решений, при этом мно-
гие с невероятным количеством тригонометри-
ческих формул и даже с «исследованием» воз-
можности решения задачи.

И. Бор'< дуля (Москва), А. Вепланд (Мо
сква), Ф. Гасс (Ванновка), Н. Гимадеев
(Бондюкский з. Тат. респ.), А. Гольдберг
(Ленинград), А. Егоров (Демянск), И. 3 а fl-
це в (Москва), Г. Зиамеиский (Ялта) А. И в а-
и о в (Торопец), И. Изотенков (Плавск),
М. Кекелня (Баидза), К. Кириллов (Ка-
зань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник
(Харьков),Г. Лебедев (Обоянь),А. Логашов
(Пенза), Н. Петровский (Нижнеудинск),
Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождествен
с к и й (Днепропетровск), Г. Харитонов (Б.
Суидырь), М. Шевелев (Казань), М. Я г л о м
(Москва).
\s. Определить углы ромба, гели его периме-.р
з 1 ~ раза о'олее суммы его диагоналей.

Обозначив сторону ромба через а, а диаплга-
яи через т и п, по условию задачи им^ем:

3

4л = —(«+«)

Но

А	А

т — 2a sin —; п = 2а cos —.

2	2

.Делая подстановку, получим:

(А А \ .
sfn — -|- cos — 1.

Отсюда

. А , А	4

Sin —+ cos— =	(1)

Z	z	о

Возведем обе части последнего уравнения з
квадрат

, А , А	А	А	16

sin2—-4-cos2 — +2 sin— cos— = —,
2	2	2	2	9

или

“ ,	.16	. 7

1 -4-sin А = —, sin А

9	S

'Отсюда:

А = 51° 3' 30"; В = 128° 56' 39".

Некоторые из присланных решений приводили
«с тангенсу или cos (45° а), но ход решения по
существу один и тот же.

К- Агринс кий (Москва), Г. Бобылев
{Бредихино), Ф. Брижак (Краснодар), А. Ве-
лланд (Москва;, Ф. Гасс (Ванновка), Н. Г и-
м а д е е в (Бондюкский завод), А. Гольдберг
•^Ленинград), С. Городов (Ленинград), А. Е г о-
ров (Демянск), И. Зайцев (Москва), Г. Зна-
менский (Ялта;, А Иванов (Торопец),
И. Изотенков (Плавск), К. Кириллов (Ка-
зань), Б. Кобылин (Галич), Н. Кулаков
{Бугуруслан), Г. Лебедев (Обоянь), А. Лога-
нов 'Пенза;, Н. Маланов (ст. Червлениая),
.В. Павлов (Ьалятино), Н. Покровский
(Нижнеудинск), «Г. Ржавский ’Фролово),
С. {Севастьянова (Москва), П. С е р г и е н-
ко (Запорожье), А. Соловьев (Калинин),
Н. (-w л яров (Порецкое), В. Счастиев
(Коломна), Ц. Т к а ч и к (Шпола, Киевск. обл.),
О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Харитонов
(Б. Сундырь;, М. Шевелев (Казань), М. Я г-
л о м (Москва). »

9. Доказать, что если в четыреугольнике сум-
1 мы квадратов противоположных сторон равны,
то диагонали его взаимно-перпендикулярны.

1 Приведем способ решения, данный большин-
ством.

Предположим, что диагонали не перпендику-
лярны друг к другу. Пусть ВОС = /_ AOD —
гупые, тогда / АОВ = COD будут острыми.
Высота ВЬ{\АЕС упадает между точками А и О,
а высота DF&ADC между точками О и С (при
тупых углах АОВ и DOC будет обратное поло-
жение). Из треугольников АВО и DCO находим:

АВ2 = АО2 4- ВО1 — 2 АО-ЕО;

CD* - СО* + DO* — 2 СО- OF.

Отсюда:

АВ2 -р CD2 - АО*+ВО2 + СО2 + DO’- -

— 2 (АО-ЕОСО-OF).	(1)

Таким же образом из треугольников ВОС и
AOD найдем

ВС2 = ВО* 4- СО* 4-2 СО-ЕО;

AD* = AO*-\-DO*-}-2 AO-OF.

Отсюда:

ВС2 4- AD* = АО2 + ВО2 4- СО2 4- DO2 +
4-2 (СО-ЕО4-АО-OF).	(2)

Сравнивая (1) и (2), находим, что

АВ2 4- CD* < ВС2 4- AD*,
что противоречит условию задачи.	>

Можно оассуждать и так. Согласно условию
задачи (1) должно быть равно (2), т. е.

АО* 4- ВО* 4- СО* 4- DO*—2 (АО-ЕО 4 CO-OF)=
= АО 4- ВО 4- СО 4- DO 4-2 (СО-ЕО 4- AO-OF)

Отсюда:

СО-ЕО 4- AO-OF 4- АО-ЕО 4- CO-OF= 0;
(СО 4- АО) ЕО 4- (АО 4- СО) OF= 0;

АС.£О4-АС-ОВ=0;

AC-EF=0.

Так как АС^=0, то EF—0, т. е. высоты BE и
DE должны составить одну прямую, каковой
может быть только диагональ BD.

Второй способ почти не отличается от
первого, но гораздо лучше его, так как не тре-
бует проведения • высот. Обозначим один нз
углов между диагоналями через а (смежный
будет 180°- а) и определяем стороны данного
четыреугольника по формуле

а* = Ь* 4- с* — 2bc cos А, 1
затем вносим найденные выражения в условие
данное в задаче, и после приведений и упроще-
ний приходим к выводу, что cos а должен рав-
няться нулю, т. е. а = 90°.

Приведем еще вариант первого решения, не
-ребующий проведения высот. Известно, что
свадрат стороны треугольника, лежащий против
тупого угла, больше, а против острого меньше
суммы квадратов двух других сторон. Предпо-
ложи! j опять, что углы ВОС и AOD тупые,
а АОВ и COD — острые; тогда имеем:

АВ* < ВО* 4- АО2;

CD* < СО2 4- DO*.

Отсюда

АВ2 4- CD* < АО2 4- ВО* 4- СО2 4- DO*. (1)
Точно так же:

ВС* > ВО2 + СО2;

AD2 > АО2 + DO2.

Отсюда:

ВС2 + AD2 > АО2 + ВО' + СО2 + D0‘. (2)

Из (1) и (2) заключаем

ВС2 + AD2 > АВ2 + CD2,
что противоречит условию.

Совершенно неправильное решение давали те,
кто, исходя из предположенной перпендику-
лярности днагоналеи, выводили равенство,
данное в условии. Требуется доказать как раз
обратную теорему.

К. А гри нс-кий (Москва), Ф. Брижак
(Краснодар), А. Вепланд (Москва), А. Вол-
ков (Чухлома), Ф. Г а с с (Ванновка), В. Г и л ь ц
/Омск), А. Гольдберг (Ленинград), А. Его-
ров (Демянск), В. Ефимов (Ст. Сходня),
И. Зайцев (Москва),Г. Знаменский (Ялта),
А. Иванов (Торопец), Н. Карелина (Смо-
ленск), М. Кекелия (Бандза), К. Кириллов
(Казань), Б. Кобылин (Галич), С. Колесник
'Харьков), Н. Кулаков (Бугуруслан),
Г. Лебедев (Обоянь), А. Л о г а ш о в (Пенза),
В. Павлов (Балятино), Г. Ржавский (Фро-
лово), Н. Рож де ст венский (Днепропетровск),
Е. Сапунцов и Е. Костюкова (Л у га),
А. С а х а р о в (Москва), П. Сергиенко (За-
порожье), А. Соловьев (Калинин), Н. Сто-
ляров П 1орецкое), В. Счастиев (Коломна),
Д. Т к а ч и к (Шпола) О. Ханчарлян (Красно-
дар), Г. Харитонов (Б. Суидырь), М. Ш е в е-
лев (Казань), М. Яглэм (Москва).

10. Найти целое число, состоящее из семи
циф[), являющееся точным квадратом и имеющее
вид abc abc 1 (а, Ь, с — цифры единиц соответ-
ствующего разряда).

О 5означим искомое чи-ло через х2, а число,
составленное из цифр а, Ь, с, через у (т. е. у =
- 100с + 10 6 + с).

Тогда

104j+ 10> + 1 = х2,
или

10010у = (х + 1) (х—1).

Предварительно заметим, что:

1)	так как искомое число — семизначное, т. е.
меньше 10’, то х2 < 10’; -х<’рл10’, т. е. х<3163;

2)	так как л2, а следовательно и х, число не-
четное, то х + 1 кх — 1 — числа четные.

Установив это, будем разлагать число 100WJ'
на два множителя, разность между которыми рав-
нялась бы двум. Пусть у = zt. Разложим на мно-
жители число 10010:

101)10 != 2-5-7-11-13-

Числа 10010. 5005 не могут равняться ии х -f- 1
ни х—1, согласно замечанию 1. Число 2 непре-
менно входит вх+1 и в х—1, согласно заме-
чанию 2. Итак, рассмотрим следующие случаи
разложения:

а)	2-7-11-132	и	5t	20022	и	5t

б)	2-5-11-132	и	It	1430г	и	It

или

в)	2-5- 7-132	и	lit	9102	и	lit

Г) 2-5- 7 112	и	13t	7702	и	13t

а)	Сразу видим, что 2 не может оыть больше
единицы, так как в противном случае 2U022 было
бы больше 3164. Таким образом один множитель
равен 20J2. Так как 2004 ие делится на 5, то
имеем

л:+ 1 =2002; х— 1 =2000.

Отсюда

л: = 2001; х2= 4004001.

б)	Так как г не может быть больше двух (за-
мечание 1) то первый множитель может быть
только 1430 и 2860. В первом случае 1430—2 де-
лится на 7, и мы имеем

х+ 1 = 1430; х— 1 = 1438;

х = 1429; х2 = 2042041.

Во втором случае числа 2860 + 2 не делятся
иа 7 и, следовательно, этот случаи”отпадает.

в)	В этом случае 2 может быть равно только
1, 2, 3.

Получаем числа.

910; 1820; 2730.

Числа 910 ±2 и 1820 + 2 не делятся на 11. Но
число 2730 — 2 = 2728 делится на 11, и мы имеем:

х + 1 = 2730; х— 1 = 2728;

х = 2729; х2 = 7447441.

г)	Число 2 может быть равно только 1,2, 3, 4.

Так же, как и в предыдущих случаях, убеж-
даемся, что ни при одном из этих значений число
7702 ±2 не делится иа 13. Следовательно, в чтом
случае не находим чисел, удовлетворяющих
условию задачи.

Можно было бы все предыдущие рассуждения
повести другим путем, привлекая теорию не-
определенных уравнений. Возьмем, например,
случай б), когда множители равны 14302 и 7.
Имеем уравнение

14302 — 7t = + 2.

Решив эти два уравнения, найдем
г = + 1 + 7tj
t- ±204 + 1439Л

Приняв во внимание, что 14302 <3164 и 7t<
<3164 и решив соответствующие неравенства,
найдем для 2 значение 1 и для t значение 204.
Так же поступаем и во всех остальных случаях.

Другие комбинации множителей, как напри-
мер:

2-11-132 5- 7t

2- 71-132 5-llt

2- 5-13г 7-llt

мы можем исследовать тем же способом, как и
случаи а, б, в и г и найдем, что они не дают
новых чисел, удовлетворяющих условию задачи
(случаи 2-5-7/, 11-132 и другие приводятся
к предыдущим, так ^ак оба числа должны быть
четными).

Но мы могли вообще ограничить наши иссле-
дования первыми четырьмя случаями. Именно,
мы могли, не обращая пока внимания на мно-
житель 10, исследовать лишь следующие случаи:

7-11 132 t

11-132 7t
7-132 lit
7-112 13t

и принять во внимание лишь те решения, в ко-
торых одно из чисел делится иа 10. И в этом
случае опять придем к уже найденным трем
числам

2042041; 4004001; 7447441.

Эту, по существу ппостую, но несколько кро-
потливую по вычислениям задачу решили пол-
ностью всего четверо. Многие, подходя правиль-
но к решению, неправильно предполагали, что
х + 1 или х—1 должен быть делителем 10010,
т.. е. не может включа-ь в себя одновременно
некоторых множителей из 100'0 и некоторых
из у. Поэтому онн получали только два числа-
2002 и 1430.

А. Гольдберг (Ленин!рад), Н. Рожде-
ственский (Днепропетровск), П. Сергиен-
ко (Запорожье), М. Яглоы (Москва).

11. Стратостат виден в одно и то же время
с трех земных ‘точек А, В и С соответственно
под углами 45°, 45° и 60°. Зная, что В находится
от С на расстоян ги b к северу, а А на рас-
стояним а к востоку от С, вычислить высоту
взлета стратостата.

Пусть МН будет исковая высота h

АС = а', ВС=Ь.

Имеем по условию

2 МАИ = / МВН = 45°.

Значит, прямоугольные треугольники МНА и »
МНВ равнобедренные и

AH-BH-MH=h.

В прямоугольном треугольнике / МСН = 60°,
а £НМС =30°.

Следовательно, МС — 2НС. Отсюда

Если точка Н находится вне / ВАС, то

/ ВСН = / АСН — — и cos / ВСН =

- cos АСН— = cos / AC6/J =
= sin / АСН, т. е. приходим к тому же сротио-
шению. Тогда будем иметь:

1 = sin2 Z. АСН + cos2 АСН -
ibs — 2Л2 \2 /За2—7Л2 у

- \ 2bh ]/~3 ) П 2ah УЗ ) ’•

Отсюда получаем уравнение для h

4 (а- + 62) Л4 — 36«262Л2 4- 9а26- (а2 + 62) - 6;

18а262± )<324а464 — 3<-а262 (л2+ 62) .

-	-	4 (а2 + 62)

1йа262 ± iab УЪа2Ь2 — ( л2 + 62) .

4 (с2 + 62)	’

ЗаЬ г _______________________ -»

2^+,b^ L ±(°5 + И J•

Для действительных решений должно быть

или

9а262> (а2 + 62)2,

ЗаЬ > а2 + Ъ2',
а2 + Ь2 — ЗаЬ < 0.

или

НС + h2 = 4 НС2,

„ Л

НС = ----7=^.

1/3

Из Д АСН определим сторону АН = Л:
А/ Г2 - АС2 + НС2 — 2 АСНС cos АСН,

Следовательно,' а должно заключаться между
корнями этого трехчлена, т. е.

3~ b С а < 3 + У<5 ь

2	*	2	’

или	0,3826 < а < 2,6186.

или

А. Гольдберг (Ленинград), И. Зайце!
(Москва), Г. Зи а м ея с к и й (Ялта), А. И в а н о i
(Торопец), К. Кириллов (Казань), Н Кула
ков (Бугуруслан), А. Лога шов (Пенза)
Н. Рождественский {Днепропетровск)
А. Сахаров (Москва), С. Севастьянов;
(Москва), А. Соловьев (Ка динин), М. Шеве
лев (Казань), М. Я г л о м (Москва)

12. Доказать справедливость тождества:

а2 -|~ 62 + с2 = 4р2— 2 D (ha + Л6 -|~ he),

где а, Ь, с, стороны треугольника, р — его лолу
периметр, D— диаметр описанного круга и 'Л<
Л6, Лс — три высоты треугольника.

У

и

Отсюда:	—

3a2 — 2h2
cos АСН — 1-----т=~ •

2аЛ]/3

Таким же способом из Д ВСН найдем*

cos ВСН —

3 62 — 2 Л2

2 bhyt ’

Но / ВСН - — — / АСН
2

cos / ВСН = sin / АСН

Первый способ.

4 (о + 6 + с)2

АР 2 =------4-----”

2D = 47? =

= (а + 6 4- с)2;

Aabc abc
~is=~s’

2S 2S 2S
haA-hb-\-hc =-4-4-— -

abc

28 (be 4- ас 4- аб)
abc
Делая подстановку в правой части данного.
равенства, имеем:	,

4р2—9D 4ia-\-hb 4- he) = (а + Ь + г)2 —

—	(ab + Ъс -4- ас) = (а + b 4- с)2—2 (ab +

S abc

+ be -f- ас) = а2 -|- Ьг 4- с2.

Второй способ.

Воспользовавшись формулами:

а = D sin A; hb = с sin A he = b sin Aha— с sin В =
be sin А

а

делаем соответствующую подстановку в правую
часть равенства. Будем иметь:

1	.(д.+	_ 2	4- С sin А 4-

4	sin А \ а

4 b sin A J = (а 4- b + с)2 — 2 (Ьс + ас + ab) =
= а2 + 62 4- с2 ' '

Имеются и другие решения, но в общем все
оин, как и приведенные два, сходны по методу
решения, за исключением некоторых, излишне
сложных и длинных.

В. Агеев (С латинское), К. А г р и н-
ский (Москва), А. Арефьев (Винница),
Г. Бобылев (ст. Бредйхино), И, Бор о дуля
(Москва), А. Вепланд (Москва), А. Волков
(Чухлома), В. Г и л ь ц (Омск/, Н. Гимадеев
(Бондюкский з.), Г. Г о л о в я ш к и и (Н. Хутор),
В. Гольдбепг (Ленинград), С. Городов
(Ленинград), А. Егеров (Демян/b к), В. Е Ф > -
м о в (ст. Сходня), Ц, Зайцев (Москва), Г.
Знаменский (Ялта), А. Иванов (Торопец),
Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия*
(Бандза), К. Кириллов (Казань), о. Коб ы»
л ц н (Галич), С. Колесник (Харьков), Н. К у л а-
ков (Бугуруслан), Г. Л^едев (Обоянь),
А. Логашов (Пенза), С. Hq-миг овский
(Житомир), В. П а в л о в (Балятино), Н. П о к р оп-
еки й (Нижнеудинск), Г. Ржавский (Фро-
лово), Н. Рождественский (Днепропет-
ровск), Е. Сапунцов и Е. Костюкова
(Луга), А. С а х а р о в (Москва), С. Севасть-
янова (Москва), П. Сергиенко (Запорожье),
Е. Скворцова (уч. IX класса Куйбышевск.
кр.), П. Славский (ст. Павловская), А. Соло-
вьев (Калинин), Н. Столяров (Порепкое),
О. Ханчарлян (Краснодар), Г. Хао итонов
(Б. Сундырь), М. Шевелев (Казань), Я. Ш о р
(Тула), М. Я гл ом (Москва).

1.1.	Написать две прогрессии — арифметичес-
кую и геометрическую, удовлетворяющие сле-
дующим условием: 1) первые члены обеих
прогреснй равны; 2) сумма первых двух членов
арифметической прогрессии больше суммы
двух цервых членов геометрической на утроен-
ный первый член; 3) суммы первых трех членов
обеих прогрессий равны.

Обозначим первые члены обеих прогрессий
через а, разность первой через г и знамена-
тель второй через <у.

Согласно второму условию

[а + (a -f- гJj — (а + ад) = 3 а,
или:	—

2	а 4 г — а — ад — За.

Отегод1

Г = а(р + 2).	ч (1)

7»

Согласно третьему условию:

а 4- (а + г) + (а + 2 г) = а + ад -f- ад2,
или

2a + 3r=a<z4~ а<?2-

Отсюда:

/ Зг — а{д‘-\-д — 2).	(2)

Подставляя сюда значение г из (1), по сокра-
щении на а, имеем:

3(74-2) = д2 4-’?-2.

ОтЛда:

д2 — 2 д— 8 = 0;

7 = 1± [~9
= 4 ; дг = — 2.

Подставляя значения д в (1), имеем:

rt = ta; r2 ~ 0. 1

Очевидно, второе значение г = 0 не дает про-
грессии. Итак, искомые прогрессии будут:

а 7а 13a. . .
a 4a 16a. . .

где a — произвольное чцсло.

В. Агеев Слатинское), К. Агринский
(Москва), Г. Бобылев (ст. Бредихино, Моск,
обл.), И. Б о п о д v л я (Москва), Ф. Брижак
(Краснодар), Ф. Гасс (Вачногка). В. Г и л ь ц
(Омск), А. Г олубченко (Лохвица), А. Г о л ь fl-
бе р г (Ленинград), С. Городов (Ленинград),
Г. Дакацьян (Ростов-на- Тону), А. Егоров
(Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), И. Зай-
цев (Москва), Г. Знаменский (Ялта1,
А. Иванов (Торопец). И. Изотенков
(Плавск), Н. К а р е л и н а (Смоленск), М. Кеке-
лия (Бандза). К. Кириллов (Казань), Б. Ко-
былин (Галич), С. Колесник (Харьков),
В. Кременский .(Ленинград). Н. Кулаков
(Бугуруслан), С Кулиг ин 'ст. Зиповьевская),
Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашов (Пенза),
А. Лучко /Балта), Н. Маланов (ст. Чер-
вленная), С. Немировский (Житомир),
В. Павлов (Валят! ио), Н. Покровский
(Нижнеудинск). Г. Ржавский (Фролово), Е. С а-
пуицов и Е. Костюкова (Луга), А.Саха-
ров (Москва', С. Севастьянова (Москва),
П. Сергиенко (Запорожье), П. Славский
(ст. Павловская), А. Соловьев (Калинин),
Н. Столяров (Порецкое), В. Счастнев
(Коломна),Л.Толмачов (Кисловодск),О.Xан-
чар л я и (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сун-
цырь), С. Ч у капце ь (Брянск), А. Шаг и ня н
(Эривань), М. Шевелев (Казань), Е Шехт-
ман (Одесса), Л Шмуленсон (Винница).
И. Яворский (Москва), М. Я г л о м (Москва).

14.	Три стороны треугольника равны соответ-
ственно: АВ~ 10, АС—12, ВС= 18. Через точку D,
взятую на АВ, проведена прямая DE, параллель-
ная ВС, и через точку F прямая FH, параллель-
ная АВ.

1)	Вычислить BD = х и EF=y, если пери-
метр параллелограма BDFH равен 2a (2a = 24).

2)	Для каких значений а задача возможна?

3)	Для каких значений а параллелограм явля-
ется ромбом?

Из условия задачи:

Л.4г_у = а.)	(1)

Л' DAF подобен Л ВАС.

Отсюда

DF _ AD . у 10 — х
ВС ~ АВ ' 18 ~ 10 ’

99
или

I 9х + 5у = 90.	(2)

Решая систему (1) и (2), найдем:

90 — 5а 9а — 90
1 • у- — 

1)	При а — 12; х = 7.5, у = 4,5.

При а — 24, как было н шечатано, задача не-
возможна, так как х = — 7,5 отрицательному
числу.

2)	Так как точка D должна быть между В и
А, то 0 /_ х /. АВ,
или

0 <90 —5а <40;

5а < 90 < 4С + 5а.

Отсюда:

10<а <18.

К такому же выводу придем из неравенства

18:

0<у <
0- 9а —90

0 < 9а — 90

90<9а <

Ю<а <

<18;

<72;

162;

18.

3)	Для того, чтобы паралделограм был ромбом,
необходимо, чтобы х = у, т. е.

90 — 5а = 9а - 90.

Отсюда:	, 180	,„6

°-=-й = 12т-

Эта простая задача имеет одну особенность,
отмеченную лишь одним-двумя читателями. Дли-
на третьей стороны (12) не фигурирует в реше-
нии. Значит, величина хну. при данных
АВ, ВС и а, не зависит от длины АС или, что
то же, от величины / АВС.

И. Бородуля (Москва), Ф. Б р и ж а к (Красно-
дар), А. Be п л а ид (Москва), R. Г и л ь Д (Омск),
Н. ''имадеев (Бондюкский з.)1ЧГ. Г о л о в я ш
кин (Н. Хутор), А. Гольдберг (Ленинград),
И. Зайцев (Москва), Г. Зиамеиский (Ял-
та), А. Иванов (Торопец), И. Изотеико.в
(Плавск), Н. Карелина (Смоленск), К. К и р и fl-
fl о в (Казань), Б. Коиыл ин (Галич), Н. Кула-
ков (Бугуруслан), С. Кулигин (ст. Зиновь-
евская), Г. Л.е б е д е в (Обоянь). А. Л о г а ш о в
(Пенза), А. Лучко (Балта), В. П а в

тино), Н. Покровский (Нижнеудинск),
А. Потехин (Арзамас). Г. Ржавский (Фро-
лово), Н. Рождественский (Днепропет-
ровск;, ‘Е. Сапунцов и Е. Костюкова
>Луга), И. Сергиенко (Запорожье), П. С л а в-
ский (ст. Павловская), А. Соловьев (Кали-
нин), В. Счастиз в (Коломна), Г. Харито-
нов (Б. Сундырь), О. Ханчарляи (Краснодар)-,
Я Ш о р (Тула), М. Я г л о ч (Москва).

15. Дан прямоугольный треугольник АВС
(/ 4—прямой). На перпендикуляра* к гипоте-
нузе ВС, восставленных в точках В и С,
отложены В В’ — АВ и СС = АС. Вычислить
стороны треугольника, зная, что периметр е-о
равен ‘ip, а площадь трапеции ВВ'С'С равна
\ а2	,.	,

где а — данное число. Исследовать решение.

Обозначим сторойы треугольника через х, у>
и z (z—гипотенуза. Чертеж не воспроизводим
ввиду его простоты). Тогда условия задачи дают
z2 = x°--'ry2.	(1)

x+y + z = 2p.	(2)

(х+у) z = а2.	(3)

(Последнее уравнение получим, вычисляя пло-
щадь полученной трапеции с основаниями х и у
и высотой z).

Пусть

х +у = t-

Тогда (2) и (3) дают

t + z = 2р; tz = а1

Составляем квадратное уравнение и решаем
его:

и2 — 2ра + а2 = 0;

и = р ±	(4)

Так как

2<х + у,

х + У =р +Ург — а2,	(5)

z^p-Vp2-a2.	(6)

Из (1) имеем:

(х + у)2 — 2ху = z2.

Отсюда:

2 ху = (х + у)2 — г2 — (х + у + z) (x+y — Z} =
= 2р (х + у -z],
или, приняв во внимание (5) и (6):

ху = 2р~Ур2~а2-	(7)

Из (5) и (7) составляем уравнение

v2 — (Р + Уг^а2) v + 2р у р2—а2.	(8)

Отсюда:

_ Р + Уд2—g2±

(р + угр2—-а212 — 8р]/р2-а2

Итак, катеты равны (допустим, что х^>у].

_ р + У"р‘ ~^а2 + l/2/r — а2 — бр'Ур2 — а2

р У р2 — а2 —	2р2 — а2 — бр'Ур2— а2

~	2	‘

Для возможности решения из (4) имеем:

Р> а

Из (8)

(р +	р=— а2)2 — 8р]/р2—а2 > 0.

или:

2р2 — а2 — 6р У р2— а- > 0.

2р2 — а2 > 6р |/ р2— а2

Ар* — Аа2р2 + а4 < 36р4 — Зоа2р2;

0>32р4 —32а2р2 —а4

а4 + 32а!р2 — 32р4 == 0.	(9)

Гешая это уравнение (отбросив пока знак <i,
найдем:

а2 = — 16р2 + )/288р4 = ~ 16р= + 12р2|/Т
Для того, чтобы трехчлен (9) был положите-
лен, необходимо чтобы аг было меньше— 16р2—
— 12р2у2 (что невозможно, так как я2(>0) или
больше— 16 + 12р2 У2-

Итак,

а£^рг (— 16 + 12]/2“) = 4рг (Зу2—4).

Получаем окончательно:

I 2р У 3 У 2 — 4 а <^р.

К. Агринский (Москва), А. Велланд
(Москва), В. Гильц (Омск), Н. Гимадеев
|БоьГдюкский з.), А. Гольдберг (Ленинград),
И. Зайцев (Москва), Г. Знаменский (Ялта),
А. Иванов (Торопец), И. Изотеиков
I Плавск), Б. Кобылин (Галич), А- Л о г а ш о в
(Пенза), В. Павлов (Балятино), Н- Покров-
с к и й (Нижнеудинск), Г. Ржавскпй (Фроло-
во). Н. Рождественский (Днепропетровск),
Е. Сапуицов и Е. Костюкова (Луга),
П. Сергиенко (Запорожье), А. Соловьев
(Калинин), В. Счастнев (Коломна), О. Хан-
чар л я и (Краснодар), Г. X а р и т о и о в (Б. Сун-
дырь), М. Шевелев (Казань), М. Я г л о м
(Москва).

16.	Восстановить н написаиом ниже выраже-
нии на месте звездочек стершиеся цифры

у/ ****** _ **♦

***

**

4*»*

****

1)	Первая цифра корня очевидно 3, так как
число, стоящее на месте первых двух звездочек,
не меньше 10 и в то же время квадрат первой
цифры корня — число однозначное.

2)	Вторая цифра корня должна быть 1, так как
только в этом случае 61-1 (2-3-10 + 1) дает дву-
значное число, как того требует четвертая
строка.

3)	Третья цифра должна быть 7, так как толь-
ко произведение (62-10 + 7) 7 дает цифру десят-
ков тысяч 4.

Итак, корень ранен 317- Подкоренное выраже-
ние 100489.

В. Агеев (Слатинское), К. Агринский
(Москва), Ф. Гасс (Ванновка), А. Г олубчен-
к о (Лохвица), А. Гольдберг (Ленинград),
Г. Знаменский (Ялта), А, Иванов (Торо-
пец), Н. Карелина (Смоленск), М. Кекелия
(Бандза), К. Кириллов (Казань), С. Колес-
ник (Харьков), Н. Кулаков (Бугуруслан),
Г. Лебедев (Обоянь), А. Логашон (Пенза),
А. Лучко (Балта), Л. Маслова (Воронеж),
С. Немировский (Житомир), В. Павлов,
IБалятино), Н. Покровский (Нижнеудинск),
Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождествен-
ский (Днепропетровск), Е. Сапуицов и

Е. Костюкова (Луга), А- Сахаров (Моск-
ва), П. Сергиенко (Запорожье), А. С о л о в ь-
ев (Калинин), Н. Столяров (Порецкое),
В. Счастнев (Коломна), О. "

. Ханчарлян
(Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сун,тырь),
С. Чуканцев (Брянск), М. Шевелев (Ка-
зань), Б, Шехтман (Одесса), М. Я г л о м
(Москва).

17.	Решить уравнение:

(х4-1)в + (*- 1)« = я (х«+ 1).

Представим данное уравнение в таком Вите:
[(* + DT + [(х - I )ф = а [(х2)» + 1]

Разлагаем иа множители по формуле для
суммы кубов

[(х+ I)2 + (х — 1)2J [(х + I)4 (х 4-1)* (х- 1 у +
+ (х —1)« = а (х2 + 1) (х4 —х1 + 1),
или, по упрощении,

2 (х'4-I) (х4-j-14х + 1)—
— а (х‘ -J- 1) (х4 — х2 -}- () = О
(хг + 1) [(2— а) х4 + (28 + а)х24-(2 — а) = 0.

Отсюда:	х- -}-1 = 0;

-ri>« = + 7;

(2 — я) х4 4- (28 + я) Xs 4- (2 — я) — 0:

„ _ — 28 — а + У (28 4- я)2—4 j2^z)2

2 (2-я)"

— 28 — а + }/3 (32 —я) (8-|-я)
2(2 —я)'

_ , , Г—28-я+Уз (32 - яГ(8 +я)
л 8’ 4> 5’ 6— -2- I/	q /.) х

К. Агринский (Москва), Г. Бобылев
(ст. Бредихине), Ф. Брижак (Краснодар),
А. Волков (Чухлома), В. Гильц (Омск)
Н. Гимадеев (Бондюкский з.), Г. Головя-
шкии (Н. Хутор), А. Гольдберг (Ленинград),
С. Городов (Ленинград), И. Зайцев (Мо-
сква), В. Ефимов (ст. Сходия), А. Иванов
(Торопец), И. И зо тенков (Плавск), Н. К а-
р е л и и а (Смоленск), К. Кириллов (Казань),
С. Колесник (Харьков), В. Крикунов
(Казань), Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Л е-
бедев (Обоянь), А. Л о г а ш о в (Пенза),
С. Немировский (Житомир), В. Павлов
(Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск),
Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождествен-
ский (Днепропетровск), Е. Сапуицов и
Е. Костюкова (Луга), С. Севастьянова
(Москва), П. Сергиенко (Запорожье), А. С о-
л о в ь е в (Калинин), Н. Столяров (Порецкое),
В. Ураевский (Кузнецк), О. Хаичарляи
(Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сундырь),
С, Чуканцев (Брянск). М. Шевелев (Ка-
зань), А. Шмуленсон (Винница), М. Я г л о м
(Мобква).

18. Привести к логарифмическому виду вы-
ражение

1 + 2 cos 2а 4- 2 cos 4а + cos 6а 4- cos 8а 4- cos 10а.

С небольшими вариациями большинство реше-
ний шло таким путем:

14- 2 cos 2а 4- 2 cos 4а 4-cos 6a4-cos 8a4-cos 10а =
= (1 4- cos 8а) 4- 2 cos 4а -}- 2 cos 2а + (cos 6а 4-
4- cos 10а) = (2 cos2 4а -}- 2 cos 4а) 4- (2 cos 2а

4- 2 cos 8а cos 2а) — 2 cos 4а (cos 4а 4- 1) 4~
4- 2 cos 2а (1 -f~ cos 8а) = 4 cos 4а cos2 2а 4~
+ 4 cos 2а cos14а = 4 cos 2а cos 4а (cos 2а 4-
4- cos 4а) = 8 cos 2а cos 4а cos За cos а =

— 8 cos a cos 2а cos За cos 4а.

Это выражение можно еще несколько упро-
стить. Умножим и разделим его на sin а. Получим:
8 cos a cos 2a cos 3a cos 4a =

8 cos 4a cos 3a cos 2a cos a sin a
sin a

___4 cos 4a cos 3a cos 2a sin 2a {_
sina

_ 2 cos 4a cos 3a sin 4a  sin 8a cos 3a
sin a	sin a

Это выражение можно получить и непосред-
ственно из данного в адаче, как то сделали
тт К. Агринский и В. Павлов.

В. Агеев (Слатинское), К. Агринский
(Москва), Г. Б о б ы л е в (ст. Бредихине), И. Бо-
род у л я (Москва), А. Велланд (Москва),
А. Волков (Чухлома), Ф. Г а с с (Ваннов ка),
Н. Гимадеев (Бондюкский з.), А. Гольд-
берг (Ленинград), А. Егоров (Демянск),
В. Ефимов (ст. Сходня’, И. Зайцев (Москва),
Г. Знаменский (Ялта),,А. И в а н о в (Торо-
пец), Н. Карелина (Смоленск), К. Кирил-
лов (Казань’, Б, К о б ы.л и и (Галич), С. Колес-
ник (Харьков), В. Крикунов (Казань), ,
Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев
(Обоянь), А. Логашов (Пенза), Л. М at л о в а
(Воронеж), В. Павлов IБалятино), Г. Ржав-
ский (Фролово), Н. Рождественский
(Днепропетровск), Е. Сапунцов и Е. Костю-
киву (Луга), С. Севастьянова (Москва),
И. С е 1 и е н к о (Запорожье), П. Славский
(ст. Павловская), А. Соловьев (Калинин),
Н Столяров (Порецкое), С. Сусликов
(Марпосад), В. С части ев (Коломна), О. X ан-
чар л я н (Краснодар), Г. Харитонов (Б. Сун-
дырь), М. Шевелев (Казань), Б Шехтмаи
'Одесса), Л. Шмуленсон (Винница), М. Я г л о м
(М сква)

19.	Доказать, что число 10"+ 18п —28 при вся-
ком целом и неотрицательном п делится на 27.

Непосредственно убеждаемся, что данное вы-
ражение:

при п = 0 равно — 27;

» л = 1	»	0;

» п — 2 »	108,

т. е. делится на 27. При л>2 имеем:	-

10" = (1 +9)"= 1Н-9л+9*ЛГ,

(де М — целое число — сумма, всех членов раз-
ложения, начиная с третьего,’ у которых вынесеи
за скобку общьй множитель 91. Теперь! имеем

10" + I8zi — 28 = 1 + 9л-р 8144 + 18л —28 =
= 8144 + 27zi —27 = 27 (344-f-zi —1).

Вот еще пример простейшей задачи, к кото-
рой, в силу ее простоты, отнеслись недостаточно
внимательно и дали неверное или неполное ре-
шение.	.

Громадное большинство исходило без всяких
оговорок нз разложения:

1П"-(1+-9)“4-9«4-8141,

тем самым предполагая л>1, тогда как в за-
даче говорится о всяком неотрицательном п.
Другие, непосредственно вычисляя значение вы-
ражения при л = 1 и п = 2, забывали о значе-
нии л = 0. *

К. Агринский (Москва), С. Г родов (Ле-
нинград), А. Логашов (Пенза), Н. Маланов
(Черзленная), Г. Р ж а вс к и й (Фролово), Н. Р ож-
дестве некий (Днепропетровск), Я. Шор
(Тула), М. Я гл ом (Москва).

20.	По трем высотам треугольника вычислить
радиус вписанного в него круга.

Имеем:

s = рг или 2s = (а + b с) г.	(1)

Но

2s aha = bhb = ch,.

Отсюда

2s 2s 2s
T7 —— L , b - i, , C -—- J, 

*^b

Делая подстановку в (1), получаем:
/2s 2s , 2s\
2s \к+ъ+к)г-

Отсюда.

l./l 1 |1\

*
или:

J____j_ 1 J_

Z- •“ ha + hb + hc ’

ИЛИ

__________kg hC______
' ~ fiahb + hbha±hjia-

В. Агеев (Слатинское), К. Агринский
(Москва), Г. Бобылев (Бредихиии), И. Б о р о-
д у л я (Москва), А. Веплаид (Москва), А. В о л-
ко'в (Чухлома), Н. Гимадеев (Бондюкский
завод), Г. Г о л о в я пт к ив (Н. Хутор), А. Гольд-
берг (Ленинград), С. Городов (Ленинград),
И. Гришин (Осташков), А. Егоров (Де-
мянск), В. Е ф и м о в (ст. Сходня), И. Зайцев
(Москва), Г. Знаменский (Ялта), А. Иванов
(Торопец), Н. Карелина (Смоленск), К. К и-
р и л л о. в (Казань), Б. Кобылин (Галич), С. К о-
лесник (Харьков), В. Крикунов (Казаны,
Н. Кулаков (Бугуруслан), Г. Лебедев
(Обоянь), А. Логашов (Пенза), К. Павлов
(Балятино), Н. Покровский (Нижнеудинск),
Г. Ржавский (Фролово), Н. Рождествен-
ский (Днепропетровск), Е. Сапунцов и
Е Костюкова (Луга), А. Сахаров (Мо-
сква), С. Севастьянова (Москва), И. Сер-
гиенко (Запорожье), А. Соловьев (Кали-
иин), В. Счастев (Коломна), О. Хан чар-
ля н (Краснодар), Г. Харитонов^. Сундырь),
М.‘ Шевелев (Казань), Я. Шор (Тула),
И. Яворский (Москва), М. Я г л о м (Москва).

СВОДКА РЕШЕНИИ ПО № 2

К. Агринский (It), А. Аляев (4), М. Андре-
ев (6), С. Аитоневнч (1),Г. Арутюнов (1), В. Аэу-
шаиов (2), В. Барановский (19), М. Бархударов
j (2), А. Бауэр (3), В. Бацев (3), И. Бородуля (6),
Ф. Брижак (б), Г. Броит (14), А. Вепланд (12),
М. Вигдерзон (16), А. Владимиров (16), М. Гера-
симова (2), В. Гильц(Ю), И. Глотов (2), В. Голу-

бев (Камеика) (3), В. Голубев (Кувшиново) (9),
А. Голубченко (1), А. Гольдберг (’9), С. Горо-
дов (5), И. Гришин (12), А. Гурвич (13), И. Де-
мидов (16), А. Егоров (6), Н. Енгурин (4),
В. Ефимов (3), О Жаутыков (1), И. Зайцев (17),
Ю. Залесский (16), Г. Знамет :кий (1$), В. Зяб-
лицкий (1), А. Иванов (18), И Изотенков (8),
Н. Кавказский (5), В. Камендровский f15J, И. Ка- •
цман 8), М, Кекелия (3), Г. Кипнис (2), К. Ки-
риллов (13), Б. Кобылин (13), П. Ковальский (4),
С. Колесник (13), К. Краенский (13), В. Кре-
менский (1), Г. Кронос (5), А. Крутиков (8),
А. Кулаков (16), Кулигин (i), Е. Куннцын (б),
В. Лебедевская (1), Л. Литвиненко (1), А. Лога-
шо1 (12), А. Любомудров (t>), Е. Марчевская (7),
Н. Милковский t6), .. Митюгов (I), Мифтахон
(2), В. Мортв (8), И. Нагорный (3), С. Нагор-
ных (2), Г. Олехнович (И), С. Остащев (1),
В. Павлов (16), Г. Пекер (7), В. Полякл» (1),

Г. Ржавский (15), Н. Рождественский (18), Д. Са-
вельев (3), Н. Самодуров (3), Е. Сйпунцов (13),
А. Сахаров (5), П. Сергиенко (16), П. Славский
!(1), А. Соловьев (16), Б. Сосницкий (17), К. Сте-
панов (4), Н. Столяров (13), А. Сухацкий (5),
Д. Толмачев (4), С. Тубии (10), В. Ураевский (1),
О. -Ханчарлян (i6), Г. Харитонов (12), М. Хол-
мянский (i), К. Хоменко и С. Пичкур (4), С. Чу-
канцев (/), М. Шевелев (19,, Г. Шестопалов (5),
Б. Шехтман (6), Н. Шибанов (1), И. Шилин (2),
Л. Шмулёисон (6), А. Шу-цьман (2), М. Ф. и
Ф. П. Щиновы (12), М. Яглом (18).

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ

1.	Определить емкость системы конденсаторов,
:оединенных по схеме на рисунке 1. Рассмотреть
частные случай: с6 =. О и сБ=со. Показать, что

С1	ся

при условии — = ~~ емкость системы не за-
cs	ct

висит от с5.	х

Д. Сахаров

2.	В сосуд, наполненный до краев водой, впу-
скают сплошной алюминиевый шарик. чОпредс-
делить время, в течение которого шарик дости-
гает дна- сосуда, если высот? сосуда 2 м.

Сопротивление, трение и движение виды в рас-
чет не принимаются.

3.	Предположим, что часы- с маятником идут
верно, причем время колебания маятника равно Т.

Затем часы поднимают на значительную высоту Н.
Узнать, на сколько надо изменит! длину маят-
ника, чтобы часы опять шли верно?

П. Г р и ц ы и

4.	Метеор, имеющий форму.шара, движется, вра-
щаясь, неподалеку от земли, но вне земной атмо-
сферы-Оиределить среднюю температуру метеора,
принимая его за абсолютно-черное тело.

Г. Ткаченко

5.	Ро бота парохода Тароход прошел мо-
рем 2 км. В течение всего рейса сила тяги, раз-
виваемая гребным винтом, была равна 3 030 кг.
В другой раз тот же пароход прошел то же рас-
стояние, ведя на буксире баржу. В этом рейсе
сила тяги оставалась прежней: поэтому ‘пароход
с баржей шел медленнее и затра гил больше вре-
мени, чем на первый рейс.

Так как работа равна произведению силы pa
расстояние, пройденное точкой ее приложения
в направлении силы

T = fs,

то пароходом произведена в обоих случаях оди-
наковая работа.

Одинаковую ли работу произвел винт паро-
хода и на что она была затрачена в том и дру-
гом случае?

А. Бойко"

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ,
помещенных в № 1 и 2 сборника «Математика и физика в школе»

Задачи в № 1.

Задача JVs 1. 1. Раз'яснить следующие не-
доразумение: пусто камень с массой т находится
на поезде, движущемся со скоростью V. В таком
случае он обладает относительно земли эиер-
mV1

гиен —2~. Затем камень бросают по направле-
нию движения поезда со скоростью о относитель-
но поезда, сообщая ему таким образом эиер-
niv°

гию -g—. Итого он будет обладать энерги-
т V2	mv‘

ей 2 т ~2~* "° можно рассуждать и так:
#амен1 движется относительно земли со ско-
ростью (У-|-о) и, следовательно, обладает энер-

щ(У-|-»)'

гией -----------• Это выражение больше пре-

дыдущею на tnVv. В чем же здесь дело?

Решение. Рассуждение, приводящее к резушь-
mV* , mv*

тату, что энергия камня равна ~jj-+~2~ невер-
но. Изменение энергии камня могло получиться
только за счет работы бросания камня. Но эта

, •	mv° г,

работа не равна . Дело в том, что при бро-
сании камня вперед, кроме увеличения скорости
камня, происходит уменыиен- е скорости поезда.
Обозначим массу поезда М и изменение его
скорости Л V. Тогда работа бросания камня вы-
разится так:

/яс' ЛТ (Д V2)

2 '	2

(почему это так — легко понять, если вспомнить,
что скорость v отсчитывается наблюдателем, дви-
жущимся с поездом со скоростью V). Из работы
бросания камня надо вычесть изменение энергии
поезда, которое равно:

М .У- -Л У)2	I/2	........ ЛПДо)2

2	'	2 ——А	2

Таким образом, мы получаем для изменения
энергии камня:

mv2	mv1 ,

-5-	.+ /ИУД V -
z	z

так как по третьему закону движения

М Л V — mv.

Следовательно, полная энергия камня действи-
тельно равна:

mV1 . mvs , _ ,, m(V-l-v)1
’ 2	2	'

Решавшие эту задачу подходили к вопросу
формально, без рассмотрения физической сущ-
ности явления; поэтому хотя многие получили
тот же ответ, его нельзя засчитать в качестве
правильного решения, так как оно построено на
чисто -математических рассуждениях, ’ешение
прислали: Б. Сосницкий (Калуга), Л. Бело-
усов.

2.	Шарик радиуса г скатывается по желобу
с «мертвой петлей», радиус окружности кото-
рой /?. Определить наименьшую высоту, скаты-
ваясь с которой шарик ие выпадет из петли.
Считать, что шарик катится по дну желоба и
пренебречь трением.

Решение Обозначим массу шарика т, момент
инерции его /, скорость в верхней точке петли ос,
угловую скорость в той же точке ч>г. искомую
высоту h (см. рис. 1) Тогда на основании закона

Определим соотношение между ш и v при дви-
жении шарика внутри петли. За бесконечно ма-
лый промежуток времени dt шарик пройдет по
желобу путь Rda. (см. рис. 2), в таком случае
rw-dt = RdcL.

В то же время центр шарика продвинется на
расстояние

v-dt = (R — r) drt.

Отсюда:

ч>г R	v

Подставляя этот результат в первое равенство
и принимая во внимание, что для шара

, 2 .

1= Ттг'

имеем:

V* (7Яг —10r/? + 5z*)
h~ g 10(7?- гр-

Условие невыпадения шарика есть равенство
центростремительного ускорения шарика и вели-
чины g

Отсюда:

0,77?2 — Rr + 0,5г2
Ь-	(R — r)

Данную задачу решали многие из читателей,
одиако никто ее правильно не решил, «так как
все решавшие не обращали внимания иа то, что
часть энергии падения идет на вращение шарика
вокруг своей оси.

3.	Определить ускорение тела, скользящего без
трения "о наклонной плоскости с / р, если на-
клонная плоскость в свою очередь скользит по
другой неподвижной наклонной плоскости с / а
(рис. 1).

Решение. Обозначим массу второго тела тг>
массу первого тела (скользящей наклонной пло-
скости) их ускорения соответственно аг и at.
Кроме того, ускорение тела т? вдоль скользящей
наклонной плоскости обозначим a't.

Рис. 1

Уравнение движения для скользящей наклон-
ной плоскости имеет вид:

тгах •= tn-ig sin а— [g cos (а + ₽) Н4 sin р] sin р.
Здесь znjgsina— составляющая сила тяжести
/п« [geos (<х—р) 4-flj sin pj — сила нормального
давления второго тела ш, иа скользящую пло-
скость »it; член fljSinp учитывает движение
тела mi в направлении нормали. Эта сила проек-
тируется на направление аг, для чего умножается
на sin р.

Отсюда

nil sin а — cos (а -|- р) sin р
a* & т, f- т2 sin2 р
Ускорение а1» определится из уравнения дви-
жения

= tii^g sin (а + ₽) — msa1 cos ₽.

Второй член учитывает, что сама плоскость
скользит с ускорением а*.

а*г = g sin (а]+ Р) — at cos 0.

Ускорение а» найдем из соотношенья

ог = у а\ а*22 4~ 2utats cos 0 .

Отсюда______________________________

«г = У ахг sin' р + g* sin' (« + Р) .

Рассмотрим частные случаи:

1)	Пусть	тогда

Oj = gsin я;

— g У sin" я sin- р |- sin2 (я	Р).

Физически это означает, что наклонная пло-
скость tn-i скользит вниз так, как если бы вто-
рого тела не было.

*	cos(a-j-p)

2)	Пусть т,))»!,. Тогда at = — g —:
as ± g.

Физический смысл тот, что второе тело пьдает
вниз, как бы не встречая на своем пути никаких
препятствий.

3)	0 = 0 (рис. 2); я, = gsln a, fl« = gsina.

Оба тела соскальзывают вместе вниз.

4)	а - 0 (рис. 3)
т2 cos р sin р
а* —	& m14-m2sin'p ’

6) Пусть 0 =—а. В таком случае

= g-Sifi я

«1

-J- игг

/Из 4- т2 sin' я’

яг = at sin «.

Первое тело скользит вниз с ускорением-, не-
сколько большим, чем при отсутствии второго?
тела, так как второе тело давит на него. Второе-
тело движется вертикально вниз (вспомним, ч’с
треные отсутствует) (рис. 5).

Задача № 4. Два парашютиста А и В пры-
гали с двух аэропланов в один и тот же м*,м.еит_

А находится на высоте а метров и В — на вы-
соте b метров над землей. Сопротивлением воз-
духа до раскрытия парашютов пренебрегаем-;.

Если при этом	то я,=0; fis = gsin0.

Первое село неподвижно, а второе соскальзы-
вает вниз.

Если же ms)) mv то «j = — g etg 0; яг - g-

5)	я = 50°;	= g; at — g (рис. 4).

Это и понятно, так ка« оба тела беспрепят-
ственно падают вниз

движение парашютистов после раскрытия пара-
шюта принимаем за равномерное со скоростью =
т

= v---

сек.

Нужно определить высоту, на которой А дол-
жен раскрыть свой парашют, чтобы приземлиться-
одновременно с В.

Решение- Разберем два случая.

Первый случай, когда парашютист В сраз’.
раскрывает парашют.

Пусть парашютист А раскрывает парашют в
точке At (см. черт.) на высоте h (когда парашю-
тист В был в точке R2 тоже на высоте /г); в
этом случае они одновременно приземлятся.

Время падения парашютиста А от Л до А-.
будет ?'а g = ускорение силы тя-
жести. Время падения парашютиста В, сраскры-

| ](>:
тым парашютом будет---------. Следовательно,

/ 2 (д К) _---- _ Из этого- уравнения нахо-

» g	V

дим h; сначала приводим его к квадратному
уравнению:

gh* — 2 (gb — v2)h + gb- — 2д o' = 0; а из него
gb — o' -4- v ]/ o' + 2g (д — b)'.

~	g~

Второй случай, когда парашютист В падает
в течение t, не раскрывая парашюта, причем (
известно.

Парашютист В падает свободным падением
t сек. и в точке раскрывает парашют и да-
лее с парашютом падает х сек. Когда его догнал
свободным падением парашютист А, то он тоже
раскрыл свой парашют; это случилось, когда
оба парашютиста были иа равной высотб Л:
один в точке Аг другой — в точке Bt (см. черт.).

Парашютист А за время (< + х) рек. пролетит

g(tA-x)‘	'

расстояние ААг =---------; парашютист В за то

рТ1

же время пролетит расстояние BBt = — -j-vx.

ААг — ВВг = а — Ь; следовательно,

2	2

Из этого уравнения находим х;

v — gtyj/'v*— 2 vgt gW — 2g (a — b)

X~	g	'

лл g(t-±x]2

Зная x, можем определить AAS —-----1 а

из формулы а - ААг = Л,
ятайдем высоту Л.

Решение прислали П. Постников (Рязань),
И Шалыпин (ДВК), М. Парцхоладзе
Тбилиси), Л. Белоусов.

Задача JVs 3. Деревянное колесо вертится на
оси, вделанной в боковую стенку резервуара,
наполненного водой. При этом ,одна половина
•его вращается в воде, а другая — в воздухе.
Церево всплывает в воде и тонет в воздухе.
Почему колесо не будет вертеться само собой,
производя таким образом вечное движение?

Решение-, потому что выталкивательная сила
направлена перпендикулярно оси вращения.

Решение этой задачи прислали: Н. Са коду-
ров (Бийск), П. Владыкин (Красный луч),
Славский П. (Ст. Павловская), С. И. Попов
Мариуполь), Н. Кулаков (Бугуруслан),
И И. Ш а л ы п и н (ДВК), П. Постников
(Рязань), Б. Сосницкий 'Калуга), Пари-
ло л а д з е (Тбилиси), Л. Белоусов, Царев-
< к и й.

Задача № 6. Железная труба в 15 км дли-
ной и 4,5 м в диаметре помещена иа земле так,

что она составляет прямую линию, параллель-
ную касательной к земле в середине длины
грубы. Эта труба закрыта у обоих концов и
наполнена во„ол. Когда концы трубы открыва-

ются, то выльется воды менее чем половина:
почему выльется не вся вода?

Приводим ее решение:

MN—поверхность земли,

АВ— труба, С — ее середина,

О — центр земли,
ОС = R = 6378 км,
СВ = 7,5 км.

ОВ=х = У6378s + 7,5г км = 6378,0044 км;

BD = х - R — 4 4 м.

I	‘

Поверхность уровня проходит внутри трубы;
поэтому вода не может вылиться вся.

Правильное решение этой задачи прислали:

М. К у л а к о в (Бугуруслан), П. Постников
(Рязань), С. И. П О п о в (Мариуполь), П. П. С л а в-
ский (ст. Павловскаг1), Н. Самодуров
(Бийск), П. Владыкин (Красный луч), Б. Со-
сницкий (Калуга), М. Парцхоладзе (Тби-
лиси), Л. Белоусов, Царевский.

Задача № 7. Дв конькобежца стоят вместе
иа середине пруда. Поверхность льда горизон-
талоНа. Предположим, что движение коньков
по льду происходит без трения Как могут конь-
кобежцы достигнуть берега, не снимая коньков
и че призывая кого-либо на помощь?

Решение задачи. Конькобежцы становятся
спинами друг к другу, затем быстро отталкива-
ются. В результате, каждый из иих получит
толчок, который движет 'его по направлению
к берегу.

Правильное решение этой задачи прислали:
А. Капдинский (ученик IX класса, Слуцк),
П. П. Славский (Ст. Павловская), П. А. В л а-
д ы к .. н (Красный луч), И. И Шалыпц'н
(ДВК), С.. И. Попов (Мариуполь), Г. И. Хари-
тонов (Б. Сундырь), Б. Сосницкий (Калу-
га), Л. Белоусов.

Задачи, взятые из статьи А. Цннгера, помещен-
ные в № 2 сборника.

Задача № 8. При помощи ультрамикроскопа
можно обнаруживать в коллоидальном растворе
золота частицы, размер которых не превосхо-
дит 5 [-'!* ПредполонКгм, что эти частицы имеют
форму куба. Сколько таких кубиков можно по-
лучить из 1 см3 золота? Как велика сумма по-
верхностей этих частиц.

Решение', если ребро кубика равно 5 (ч*,=
— 7	-21

Г- 5-10 см, то об'ем кубгка равен 125-10 см3.
Из 1 куб. см таких кубиков получится 1:125Х

— 21

ХЮ = 0,008-1021 = 8-1018.

- 14

Поверхность одного кубика = 6-25-10 см —

- 14	- 12

= 150-10 см3 — 1,5-10 си. к

Сумма поверхностей всех кубиков =

— 12

= 1,5 ХЮ -8-Ю18 сч- = 12-10" см*= 1,2- 10’c.w2
Решение этой задачи прислали: Н. Кулаков
(Бугуруслан), А. Я. Карлинский (Слуцк),
6. Сосницкий (Калуга), П П. Славский
(Азова-Черн., м. кран), Кравцов.

Задача -У° 9. Какова должна быть толщина
веревки, чтобы ее об'ем был равен об'ему Земли
и ее длина равнялась расстоянию между Солн-
цем и Землей?

Решение задача. Диаметр веревки най-
дется из уравнения:	t

4	«D1

— к — 6371s =---145 500 009, откуда

3	4

о ¥ х-йё^бо=97>472 кч ~1,10 кч-

Решение дали: Н. Кулаков (Бугуруслан),
А. Я. Карлинский (Слуцк), Б, Сосниц-
кий (Калуга), П. П. С л а в с к и й (Азово-Чер-
ном. край) Кравцов, М. Кокелия, Л. Бело-
усов.

Задача № 10. Достаточно чувствительным
гальванометром легко можно показать ток в одну
-12

биллионную долю ампера (10	А). Какое по-

требуется время, чтобы током разложить одну
кзпельку воды массой в 1 мг? Сколько молекул
воды разлагалось бы при этом в 1 сек?

Решение задачи. Если будет разложен 1 мг =
-з

-10 г воды, то водооода выделится при этом
— з

1	10

— кг =-----г. В формуле, выражающей законы

Фарадея:

-5 а
т = 1,036-10 •— It
п

-з

полагаем т -	-; А — 1, п —

— 12

10	, по-

-3

10	.-5-12

лучим ----= 1,036-10 -10 -t откуда

— з

10  10е-10“______________10ц

9• 1,036 СеК' ~9-1,036-3600-24-365,24

10“

---------------лет
9-324-864-335,24

340 000 лет.

В 1 сек. будет выделено водорода т-, =. 1.036Х
— 5 -12

-10 г.

Так как в воде отношение количества водоро-
да к кислороду = 1:8, то при э~ом будет раз-

-14

ложено 9 хп- = 9-1,036-10 г воды. По закону
Азогадро 18 ч. воды (1 грамм/молекула) содер-
жит 6-062 1023 молекул; следовательно, 9 тг во-
ды содержат:

- 18

5-06£U0ss±.^L036^J0 молекул ь

= 6,062 -0,518 • 10е молекул ~ 3,10е молекул.

Н. Кулаков (Бугуруслан). Б. Сосниц-
кий (Калуга), Л. Белоусов, Л. Сомутин.

Задача № 11. Поезд весом р = 750 т равно-
мерно двигался по горизонтальному пути. Пос-
ледний вагон весом р = 25 т оторвал^ я. Маши-
нист продолжил двигаться еще на расстоянии
I = 290 м, пока он закрыл доступ пара в машину
и, не тормозя, остановил поезд. На каком рас-
стоянии должны находиться друг от друга отор-
вавшийся вагон и поезд? (Предполагается, что
машина раб «тала все время равномерно и сила
трения пропорциональна весу тела, двигающе-
гося иа рельса.; )

Решение задачи. Положим, что масса поезда
М, масса вагона т и расстояния выражены в
системе cgs;

М = 750-10“ г; т = 25-10“ г.; £ = 290-10' сч.

Обозначим силу трения на 1 г веса через /.
Когда поезд двигается равномерно (со скоростью
Vq), вся сила F работы пара тратится на прео-
доление силы трения; поэтому F = Mf дин.
Когда оторвался вагон, масса которого т = —^М,
та же сила стала действовать на массу Mt =
29 

= — М. На преодоление силы трения теперь

29

тратится часть этой силы Рг = — Mf~, ос-

29	1

тальиая часть/ч = F— F, = Mf — — Mf = — Mf',
!	30	30

а	л/	F'

сообщаем массе M ускорение со = — =

-	Mt

1	29	f

= -Mf'.— Mt= — -	(1)

30	3 0	29

Если через t обозначить время, в течение
которого поезд проходит путь L (до закрытия

1 wF.

доступа пара), то L = vet —	,2)

Скорость поезда в конце пути L будет
»=«04-w£	(3)

После закрытия доступа пара поезд двигался
еще время tlt которое найдется из уравнения
v—fit = 0 (поещ двигается в это время с отри-
цательном ускорением, численно равным (—/),
откуда

За это время поезд пройдет путь ч—/G* —

1 Vs 1	1	*

= У-Л у. = ^ »' = у / &<>' + 2vo vit + w2/2) (4)

(по форм. ->). Оторвавшийся вагон ^тройдет
путь Ls = ту ... (5); расстояние между поездом

и оторвавшимся вагоном, когда они остановятся,
будет:

х = L-j-Lt —Ls = L +	(v0* + 2va wt + uFF) —

vns	vnwt . wsF w wt1

— ^f = L / +~2T = £ + у (vot 4- -y~) =
w	1

= £ + у •£ (по форм. 2) = £ + 29 £ (no
30	30-290 „

форм. 1) = 29 £ = ““29—~	M'

Л. Самутин, Л. Б ел о j co в, H Кулаков
(Бугуруслан). В. Ремез.
ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

1.	Можно ли, соединяя точки пересечения
клетчатой бумаги, получить равносторонний
треугольник?*

Я. Перельман

2.	Доказать, что неделимость целого числа п
на 2 и иа 3 есть необходимый и достаточный
признак делимости числа 4п2+Зп 4~б на 6.

И. Кастровицкий

3.	Найти сумму п членов ряда

7 4-77 4-777 .....

С. Городов

4.	Решить уравнение

(р 2- 1)лз—р2хг4-2л —гЧ/ГС/г"— i ) = о

В. Камеидровский

5.	Две окружности радиусов R и г внешне
касаются друг друга. Провести окружность так,
чтобы она касалась обеих данных окружностей
и их общей касательной.

Ф. Б р и ж а к

6.	Решить систему уравнений
ху = 2;

(3—y)z- 3;

(2-x)(4-z) = l.

7]	Определить число учеников в каждом из
трех классов, если известно:

1)	что 11-я степень числа учеников во всех
трех классах выражается числом, состоящим из
22 цифр, а 12-я степень из 23 цифр;

2)	что квадрат числа учеников I класса равен
числу, состоящему из трех цифр, сумма кото-
рых равна 19;_

3)	сумма квадратов чисел учеников во П и в
III классах равна 1 466.

8 Найти четырехзначное число abed, являю-
щееся точным квадратом, цифры которого удов-
летворяют соотношению

а4"^ + с-Ь^ — °5; b — с + d

(ab — число, составленное из цифр а и Ь).

9.	Дана несократимая дробь -- (а > Ь}.

3. Может ли р быть выражено точной деся-
тичной дробью?

Каков в этом случае общий вид дроби

а

7?

Какова в этом случае будет дробь, если ее члены
состоят из одной цифры?

10.	Найти двухзначное число ab, являющееся
делителем произведения его цифр.

11.	Вычислить квадратный коргнь из — с
точностью до —. Существуют ли дроби с зна-

менателем 17, квадратный корень из которых,
1

вычисленный с точностью до —, дает ту же ве-
/”23

личину, как и у ^?

12.	Углы некоторого четырехугольника обра-
зуют арифметическую прогрессию, разность ко-

торой —; Доказать, что каждый из углов этого
5

четырехугольника может
части с помощью циркуля

13.	Вычислить сумму

1

1

1

COS X cos у	cos у COS Z

1

быть разделен на три
и линейки.

COS t COS 11

COS U COS V

если дано, что х, у, z„ t, и, v, образуют ариф-
метическую прогрессию, разность которой рав-
на г.

14.	Дано, что медианы та и лгс А АВС обра-
зуют со стороной АС углы, равные 31° 15' 42"
и 28° 44' 48", и что площадь прямоугольника,
построенного иа этих медианах, равна 1^3. Вы-
числить без помоши тригонометрии площадь
△ АБС.

15.	Решить уравнение:

л + П 3x4-1

2	х—1

а — b

Ь

16.	Доказать тождество:

1. Будут 'ли

несократимыми дроби

и

Igab х =

tggXlgbx t
lga*+ \gBX

а + b '

2. Будет ли несократимым произведение

_ а — Ь а

~ Ь ' а-^-Ь

* Задача была поставлена перед Я. Б. Перель-
маном группой преподавателей-математиков
Свердловской об.асти.

17.	Доказать равенство

ab-j- bc-f- ca
6 (14- m-j- n)

где a, b, с, стороны, r — радиус вписанного
круга, al, tn, n — расстояния центра тяжести
от сторон некоторого треугольника.

18.	Дана четверть круга АОВ (центр в С) ради-
уса R и полуокружность с центром в 0‘ пс-
строенная на АО, как на диаметре (внутри дан-
ной четверти круга). Ра 1иус этой полуодруж-
иости, перпендикулярный к О А, встречает окруж-
ности О' и О в точках N и М. Найти периметр
и площадь криволинейной трапеции MNOR.

19.	Найти пятизначное число, являющееся
точным кубом, корень кубичный из которого
-равен сумме его цифр.

20.	Доказать без помощи тригонометрических
таблиц, что

1 ,	1	1т

arctg у + arctg — + arctg у = —.

(Дуги взяты между 0 и у)

О КОНКУРСЕ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЗА 1935 г.

Редакцией подведены итоги по конкурсу ре-
шений задач, помещенных в журнале за 193о г.

Нужно отметить, что в первой половине года
принимало участие сравнительно небольшое
количество читателей. Постепенно от номера
к номеру количество участников увеличивалось,
но поскольку первые номера были ими уже
пропущены, в итоге получилось для многих
сравнительно небольшое количество задач.

Ряд решений не мог быть зачтен потому, что
сии были получены редакцией уже после выхо-
да номера журнала с этими решениями. Конеч-
но это, до некоторой степени, «формальный»
подход, так как в ряде мест журнал получается
через 1—2 месяца по его выходе. Но трудно
здесь провести какую-либо границу между
Москвой и далекой провинцией.

По данному конкурсу редакция премирует
всех решивших 50% и больше от числа поме-
щенных задач. Таковых оказалось 12 следующих
товарищей (цифра рядом с фамилией пока-

зывает количество решенных задач):

1.	Б. Кобылин (Галич)	88.

2.	А. Соловьев (Калинин)	80.

3.	В. Камеидровский (Оренбург) 70.

4.	А. Вепланд (Москва)	56.

5.	И. Гришин (Осташков;	54.

6.	В. Павлов (Балятино)	51.

7.	' К. Кириллов (Казань)	49.

8.	Г. Знаменский (Ялта)	48.

9.	П. Ми лов	46.

10.	А. К о л о с о в с к и й	46.

11.	А. Егоров (Демянск)	45.

12.	С. Шор (Тула)	45.

В качестве премий высылаются книги по
списку, присланному премированными товари-
щами. До сих пор ие получены списки от
тт. Знаменского, П. Милова и А. Колосовско!о.

Редакция просит поспешить с присылкой
списков.	*

К сожалению, редакция не всегда в состоянии
закупить .отмеченную в списке книгу, особенно
из старых изданий. В этих случаях редакция
стаоается заменить ее из числа вновь выходя-
щих, интересных для преподавателя научных
или методических книг Так, некоторым това-
рищам наряду с другими книгами высылается
олько что вышедшая, очень интересная книга
Д. Кольмада «Предмет и метод современной
математики», а также некоторые другие но-
винки.

Результаты второго конкурса будут выявлены
значительно раньше, чем первого, и опублико-
ваны в № 4 за 1937 г.

В заключение редакция с удовлетворением
отмечает большой интерес к разделу задач,
который привлекает все больше и больше
участников. Это обязывает редакцию с еще
большим вниманием отнестись к этому разделу,
повышает ее ответственность за него, требует
полной ликвидации всех имевших место недоче-
тов. С своей стороны редакция еще раз просит
читателей облегчить ей ведение этого раздела.

Основные наши требования к читателю изло-
жены в Ns 5 журнала («По поводу задач»).

Редакция

ЗАОЧНАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ.

Научно-исследовательский институт политехнического об-
разования проводит бесплатную заочную консультацию для
учителей по отдельным конкретным вопросам преподавания
математики, физики, химии, биологии и трудового обуче-
ния в неполной средней и средней школе.

Для получения заочной консультации ответа на вопрос,
совета) достаточно только послать в институт по адресу:
Москва, Лубянский проезд, д. 4, под‘езд 8, Кабинет массо-
вой работы ЦНИИПО, письмо с указанием тех конкретных
вопросов, которые интересуют учителя по тому или иному
учебному предмету.
СОДЕРЖАНИЕ ЖУРНАЛА

♦МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ШКОЛЕ» ЗА 1936 ГОД

I. НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

А- Математика

1.	М. Беневольски й—Геомет-
рический вывод формулы Герона

2.	Р. Боичковский — Об одной
задаче

3.	М. Г е л ьф о н д — Теория ирра-
циональности у Эвклида

4.	М. Гор и штей и—Действия над
корнями

5.	Проф. М. Гребенча—Извлече-
ние корней из чисел методом ите-
рации

6.	Проф. Н. Извольский—О
пифа< орецских числах

7.	Проф. Н. Извольский —Воп-
росы построимости линейкой и
циркулем

8.	П| оф. Н. Извольский — Во-
просы построимости линейкой и
циркулем

9;	Проф. И. И о в л е в — Очерки
по геометрии Лобачевского

10.	Проф. И. И о вл ев — Очерки
по геометрии Лобачевского

11.	П. Карасев — Полу правиль-
ные многогранники

12.	И. К а ц м а и — Уравнения Пелля

13.	И. К а ц ма и —Тегрия целочис-
ленных треугольников

14.	Л. Лей ферт—Кратные- отно-
шения и пропорции и примене-
ние их свойств к решению ли-
нейных уравнений

15.	Доц. В. Молодший — Истинна
ли геометрия Лобачевского?

16.	А. М о т о р и и —Теорема о точке
пересечения медиан треугольника

17.	О педологических извращениях

18.	А. Покровский — Метод те-
невого проектирования

19.	Проф. 3. Приблуда — Индук-
тивное доказательство теоремы
Безу

20.	Е. Р а ч к о — Средняя линия тра-
пеции

21.	И. С а м о й л е и к о— Биномиаль-
ная теорема

22.	В. Серпинский — О матема-
ческой индукции

№ Стр.

1 37—38

1 38-39

6 26—35

2 18 -29

5	3-11

1 39—40

3 7—17

4	1—14

2	1—18

6 15—26

6 35—56

2 29—32

4 15-23

5 11—14

1 13—25

4 28—28

6 3—6

6 56—66

3 24-24

4 27-27

5 14—18

3 17—23

№ Стр.

23.	И. Сигов — О многогранниках 4 24—27

24.	М. С к р ы л е в — Теорема тан-
- генсов	-	6 55—56

25.	А. Смирнов — Работы Торн-
дайка по психологии математики 6	6—14

26.	Проф. И. Ч-t с т я к о в - Бона-
вентура Кавальери и его метод
неделимых	3	1—6

27.	Проф. И. Ч и ст я к о в — Прило-
жение свойств комплексных чи-
сел к решению неопределенных
уравнений...................... 5	19—20

28.	А. Эльяшевич—О спрямле-
нии окружности	6 55—55

Б. Физика.

1.	Проф. В. Альтберг — Физи-
ческие условия ледообразова-
ния ............................1	25—30

2.	Проф. И. Л о б к о •— Размер-
ность величин при выводе ос-
новного уравнения кинетичес-
кой теории газов..............  3	37—40

3.	И. Сутчев — Кварцевая ртут-
ная лампа ....	......... 1 31-37

4.	Доп. А. Торчинский — Си-
стемы единиц измерений элек-
трических величин.............. 3	25—33

5.	Б. Флоринский — О внеш-
нем трении .................... 3	34—36

6.	Проф. А. Цингер —О пор-
третах Архимеда ............... 4	29-31

7.	С. Шарыгин — Проекты К. Э.
Циолковского................	• 1	3—12

8.	А.ч Штернов, Н. Симоно-
вич, А. Ускова—О про-
стых способах наблюдений флюк-
туаций ...................  -	4 32—33

9.	Я к о в л е в — Диффракция элек-
тронов ........................ 2	32—44

В. Астрономия

1.	Проф. П. Попов и Н. Бугу-
славская — Полное солнечное

I затмение 19 июня 1936 г. в СССР 2 49—57

П. ИЕТОДИКА

А. Математика

I.	Проф. А. Астряб — Аналитиче-
ское доказательство теоремы о
двух перпендикулярах по Ле-
жандру .......................... 4	64—65

2.	В. Борисов — Геометрический
вывод формулы Герена ....	4 68—68

3.	И. Браун — Задачи на построе-
ние в средней школе.............. 4	34—58

4.	И. Браун — О составлении
уравнений................'. . .	5 49—59

5.	И. Б р а у и — Основные типы
арифметических задач............. 5	68—76

6.	А. Гнедов — Разложение трех-
члена вида ахг -j- bx -f- с на
множителей.................... 3	51—5'

7.	А. Дрокии — Измененная фор-
мула Герона................... 2	69—71

8.	Е. Игнатьев — Анализ причин
неуспеваемости по математике в
средней школе................. 3	41—51

9.	Проф. Н. Извольский —Об
уравнениях и их методике . с 5 37—40

10.	Проф. И. И о вл е в— Методы
решения задач на равновесие	4

плоской системы сходящихся сил 5 21—33

11.	X. Копелевич — Вывод фор-
мулы Герона................... 4	66—67
’ К. К р а е в с к и й —К методике
проведения логарифмических
вычислений •	............. 2 58—61

1 Н. Кувыркин — О некоторых
математических приборах для
средней школы.................... 1	56—60

1. Л. Маергойз — К методике
составления уравнений по усло-
виям задач....................... 5	43- -49

5.	Доц. В. Матышук — Учение
о логарифмах в средней школе 1 41—56

6.	В. Матышук — О преподава-
нии тригонометрии................ 6	67—72

7.	В. Падучев — Как рационали-
зировать урок с геометрическим
доказательством теорем ....	2 65—69

8.	Гроф. 3. Приблуд а—Об изло-
жении первых теорем геометрии 4 5в-63

9.	Доц. В. Репьев — Устные заня-
тия в курсе алгебры.............. 3	52—53

10.	Доц. В. Репьев — О проверке
. омашиих рабо) по математике 5 62—67

21.	В. Репьев — Геометрические
места точек.................. .	6 72—81

22.	Г. Сегалови ч—Методика про-
центных вычислений............... 2	62—65

23.	Н. Семенов — Определение
уравнения с функциональной
точки зрения..................... 5	59—62

24.	Г. Стальков — Письменные
контрольные работы по матема-
тике в средней школе............	3 59—69

25.	Проф. В. Фурсенк о—Об алго-
ритме извлечения квадратного
корня..................» . . . .	5 76—76

26.	В Ф у р с е н к о—О третьем при-
знаке равенства тр-ков..........	6 82—87,

27.	Проф. М. Черняев — К прора-
ботке бинома Ньютона............	1 60—60

28.	Проф. М. Черняев - Теорема
Сальмона.....................  .	4 68—69

29.	Проф. М. Ч е р н я е в—К методи-

ке решения уравнений I степени 5 40—41

Б. Физика.

1.	И. Базаров — О формуле пе-
риода колебания математическо-
го маятника..................... 1	68—69

2.	С. Василов и В. Карми-
л о в — Электрифицированные
схемы машин, физических при-
боров и установок в преподава-
нии физики ..................

3.	Д. Галанин — Почему две
лампы горят тускло.........

4.	Д. Галанин — Коэфипиент по-
лезного действия тепловых ма-
шин .......................

5.	Д. Г а л а н и н—Применение чув-
ствительного электрометра в
школе ......................

6	Д о ц. М. Гинзбург — Вопро-
сы статики в курсе физики . .

7.	М. Грабовский — Неоно-
вая лампа как демонстрацион-
ный прибор ..................

8.	Н. Еже в — К элементарному
выводу формулы физического
маятника.....................

9.	Проф. Н. Иовлев — Методы
решения задач на равновесие
плоской системы сходящихся сил

10.	Г. И о ффе — Элементарный вы-
вод выражения для энергии коле-
бания математического маятника

11.	Проф. А. Калашников — Со-
стояние знаний учащихся по
механике, получаемых в непол-
но! средней школе ...

12.	И. Леппен—Явления индук-1
ции в равномерном магнитном
, noaet ......................

13.	Проф. 3. Приблуда — Особый
метод вывода формулы периода
гермоиического движения . . .

14.	Н. Руткевич — О графиче-
ском способе вычисления кине-
тической энергии движущегося
тела...........*..............

15.	Б. Спасский — Два новых вы-
сококачественных прибора по
электростатике ...............

16.	Доц. А. Тори и нс к и^1 — Лабо-
раторные работы по теме «Эле-
ктрический ток»...............

1 69-71

1 64—66

2 71—72

2-82-85

5 34—37

3 70—82:

2 77-79

5 21—33

2 75—77

4 69—79»

4 81—84-

2 72-75-

1 66—68

2 79—82

1 61- -64

III. ОПЫТ ШЕОЛ

А. Математика

I 1. В. Антропов — О некоторых
распространенных ошибках в во-
просах алгебры .................

2.	Гермаиов — О составлении
уравнений с одним неизвестным
W 3. И. Ка ц м а и — В тисках традиции
14. С. Кишкин — Назревшая ре-
форма ..........................

5.	И. Макаревич — Метод моде-
лирсваню. в преподавании сте-
реометрии ....................

6.	Е. Рачко — К методике состав-
ления уравнений по условию за-
дачи ........................

7.	Рудницкий — Уравнения —
дольное место в преподавании
алгебры........................

8.	Д. Скарлато — Новый знак
деления ......................

2 86-87

5 77-81

3 89—91

3 86- 89

3 92—93

5 82—83

I

5 84—86

3 83—86

9-	Стальков — Некоторые выво-
ды о подготовленности по мате- *
матике поступающих в техникум 1 72—81

10.	Л. Штюмпель — Графический
метод решения квадратных урав-
нений ............................. 5	87- -88.

Б. Физика

1,	А. Белогорский—Алоскоп
как осветитель .........

2.	А. Белогорский—Лабора-
тория работ с меднозакислым
фотоэлементом.............

3-	Проф. Д. Галаннн и С. Лив-
шиц— Два опыта по закону
сохранения энергии в механике

4.	М. Грабовский — Маятник
в магнитном поле . ... • -

5.	Г. Грошевой — Как сделать
демонстрационный секундомер
из обыкновенных часог ходиков

1 94—95

3 95—97

3 93--94

1 85—88

2 97—101
А» Стр.

Ъ. Д. Ва женков — По поводу
графического способа решения
задач на равномерно-перемен-
ное движение .............•	• • 2101—102

7.	Н Е ж е в — Исследование поля
вокруг электрических лампочек
с помощью ф >тоэлемента ...	1 95—96

8.	Н. Еже в — К определению уве-
личения микроскопа.............. 5	90—90

9.	Зворыкин — Фо1?одейк Лебе-
дева ........................... 5	88—89

10.	С. Иванов — Доступные инди-
каторы в опытах по электроли-
зу солей........................ 1	94—04

11.	Проф. А. Калашников —
Изменение состояния знаний уча-
щихся по физике в течение
учебного года................... 1	80 - 85

Я2. Н. Кеслин — Как быстро за-
помнить азбуку' Морзе..........	1 9'<—97

.	№ Стр.

13.	Ф. А. Кравченко — Склейка
диска для электростатической
машины.......................... 5	91—91

14.	В. Кубинцев — О магнитном
напряжении внутри кольвидного

• олсноида.......................1	92—93

15.	Е. Петров — Опытная провер-
ка эффективности методов пре-
подавания физики в средней

* школе............'.......... 2	93—96

16.	В. П-0 п о в а — О преподавании
геометрии '....................  6	85—87

17-	А. Рабинович — Демонстра-
ционный термометр сопротив-
ления со стрелочным гальвано-
метром ......................... 1	88—92

18.	И солодовник—Приемные
испытания по физике в Киевском

индустриальном институте в
1935 г........................ 2	88 —93

IV. КРИТИКА И

I.	Проф. А. Бачинский — По
пс воду заметки Д. Галанина 4 89— 90

2.	Р. Г а н г н у с — По поводу одной
заметки.................: . . 1 99—100

Р. Гангиус--О решении зада-

чи № 11 из № 4 за 1935 г. . . 1 100—101

<3. А-. Г о. л ь д е и б е й и — Еще раз
О законе Ома . ............ 4 85—89

1. Д. Гончаров — Пути созида-
ния методики алгебры........ 3 98—102

5.	М. Г р - с к и — Новые книги
по физике............... 3 104 — 105

6.	М. Г р-с кий — Новые книги по
физике . .'................ 5 92—94

— Еще о зеркалах
Архимеда................. 1 98—99

V. ХРОНИКА И КОНСУЛЬТАЦИЯ

Педагогическая консультация ... 1 113—113
51. Перельман — Ответ иа вопрос 3 106—10/
В. Юськович — Хроника .... 1 112—112

БИБЛИОГРАФИЯ

7.	В. Морев — Методико-матема-
тическая библивграфия. Решение
арифметических задач .	. I 108—111

8.	- В. Морев — ТО же. Уравнения 5	94-f)6

9.	В. М о р е в — Новые книги по ма-
тематике ..................... 1	102—104

10.	Разумовский — Замечания
педагогов по журналу .... 6	88—90

11.	С. Плитки и— Рецензия на
книгу-проф.-Лобко...............1	101—102

12.	Доц. Н. Хренов — «Математи-
ческое просвещение»...........3 103—104

13.	К. Шевченко — О целесооб-
разности концентрического изу-
чения тригономе грии............4	91—92

14.	С. Ш а р ы г и н — Книги о стра-
тосфере ........................1	105—108

а

VI. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В каждом номере

О ПЕЧАТКА В № 6

В части тиража на стр. 61, в I кол. иа 5 стр. снизу

Напечатано:

3 мм 1 ---

Должно быть:

Г 2$ — 3 мм J