SPINORS AND SPACE-TIME
Volume 2
SPINOR AND TWISTOR METHODS IN
SPACE-TIME GEOMETRY
ROGER PENROSE
Rouse Ball Professor of Mathematics, University of Oxford
WOLFGANG RINDLER
Professor of Physics, University of Texas at Dallas
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS

Р.Пенроуз, В.Риндлер
СПИНОРЫ
и пространство-время
спинорные и твисторные
методы в геометрии
пространства-времени
Перевод с английского
кандидатов физ.-мат. наук
Е. М. Серебряного и 3. А. Штейнграда
под редакцией
д-ра физ.-мат. наук Д. В. Гальцова
Москва «Мир» 1988

ББК 22.31
П25
УДК 533.9.01
Пенроуз Р., Риндлер В-
П25 Спиноры и пространство-время. Спинорные и твистор-
ные методы в геометрии пространства-времени: Пер. с
англ. — М.: Мир. 1988.— 572 с, ил.
ISBN 5-03-001049-1
Книга известного английского ученого Пенроуза и известного аме-
американского ученого Риндлера написана как продолжение вышедшей
ранее книги тех же авторов «Спиноры и пространство-время. Два-спи-
норное исчисление и релятивистские поля» (М.: Мир, 1987), но вполне
самостоятельна, поскольку в ней воспроизводится весь необходимый
материал из предыдущей книги. Представляет собой фундаментальную
монографию, в которой впервые в мировой литературе с единых пози-
позиций излагается широкий круг вопросов, связанных с твисторными ме-
методами (предложенными Пенроузом) в теоретической физике. Авторы
излагают спинорные и твисториые методы, наделяя спинорной (твистор-
иой) структурой само понятие многообразия, которое является основой
физико-геометрической «динамики».
Для физиков-теоретиков широкого профиля (ие только работаю-
работающих в области релятивистской физики и физики элементарных частиц)
и математиков, а также аспирантов и студентов соответствующих спе-
специальностей.
1604030000-073 ББК2231
П 041@1)-89 42~89> Ч" ' Б К 2>31
Редакция литературы по физике и астрономии
ISBN 5-03-001049-1 (русск.) © Cambridge University Press 1986
ISBN 0-521-25267-9 (англ.) Т^^Ь uaf ог1§1па11У published in
4 ' the English langauge by Cambridge
University Press of Cambridge, Eng-
England. Reprinted with corrections 1988
© перевод на русский язык, «Мир»,
1988

Предисловие редактора перевода
Второй том монографии Р. Пенроуза и В. Риндлера посвя-
посвящен применению спинорных методов для более углубленного
анализа структуры пространства-времени, включая исследование
изотропных конгруэнции, классификацию типов тензора Вейля,
асимптотические симметрии. Хотя эти вопросы до известной сте-
степени являются традиционными для общей теории относитель-
относительности, их изложение в книге оригинально и значительно превос-
превосходит по глубине все имеющееся сейчас в учебной и обзорной
литературе.
Центральным моментом изложения является введение поня-
понятия твисторного пространства, восходящее к работам Р. Пен-
Пенроуза конца 60-х — начала 70-х гг. Согласно первоначальному
замыслу автора, теория твисторов была призвана послужить
основой такого математического аппарата, в котором комплекс-
комплексная структура квантовой теории поля непосредственно вытекала
бы из комплексной структуры, ассоциируемой с самим простран-
пространством-временем. И хотя до сих пор нет единого мнения, следует
ли относиться к теории твисторов как к более адекватной основе
построения будущей полной квантовой теории фундаментальных
взаимодействий или как к мощному математическому инстру-
инструменту анализа «обычных» теорий, твисторные методы завоевали
заслуженную популярность и признание в современной теорети-
теоретической физике. С помощью твисторных методов были получены
нетривиальные результаты в теории полей Янга — Миллса (пол-
(полное описание инстантонных решений, построение монополей);
были развиты способы построения некоторых классов решений
уравнений Эйнштейна; предложены новые пути решения проб-
проблемы энергии в общей теории относительности. В данной книге,
однако, не затрагивается вся широкая тематика, связанная с
применением твисторов; авторы ограничиваются теми ее аспек-
аспектами, которые непосредственно связаны с более традиционными
спинорными методами и проблематикой общей теории относи-
относительности. Более подробно ознакомиться с идеологией твистор-
твисторного подхода и так называемой «твисторной программой» Пен-

6 ПРЕДИСЛОВЛЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
роуза читатель может по сборнику статей «Твисторы и калибро-
калибровочные поля», выпущенному издательством «Мир» в 1983 г. под
редакцией В. В. Жаринова, в который вошли основополагаю-
основополагающие работы Р. Пенроуза, Р. Уорда, Р. Уэллса и других авторов,
написанные в 70-е годы. Более широко применение методов
комплексной геометрии в теории поля излагается в книге
Ю. И. Манина «Калибровочные поля и комплексная геометрия»
(М.: Наука, 1984).
Теория твисторов продолжает активно исследоваться мно-
многими авторами, и за время, прошедшее с момента выхода анг-
английского издания этой книги, были получены новые результаты,
имеющие непосредственное отношение к излагаемому материа-
материалу. Читателю следует обратить внимание на краткое авторское
послесловие к русскому изданию, в котором указаны вопросы,
получившие новое освещение в самое последнее время. Мы бла-
благодарим профессора Р. Пенроуза за эти комментарии, а также
замечания, которые помогли нам при подготовке русского изда-
издания книги.
Новизна предмета и стилистические особенности оригинала
в ряде случаев потребовали при переводе введения новых тер-
терминов, отчасти имеющих общий характер, а отчасти специфиче-
специфических для данного контекста. Возможно, не всегда читатель най-
найдет предлагаемые варианты перевода удачными. Однако мы
стремились к тому, чтобы не только передать «сухое» мате-
математическое содержание того или иного математического утверж-
утверждения, но и по возможности сохранить оригинальный авторский
стиль.
Краткое содержание тома 1, гл. 6, 7 и часть приложения пе-
перевел Е. М. Серебряный, а гл. 8, 9 и вторую часть приложения —
3. А. Штейнград.
Д. В. Гальцов

Предисловие
Данная книга следует непосредственно за нашей вводной ра-
работой «Спиноры и пространство-время, Том 1: два-спинорное
исчисление и релятивистские поля». В первом томе мы ставили
себе целью продемонстрировать, что 2-спинорное исчисление
может служить мощным и элегантным методом исследования
структуры пространства-времени и физических полей, а также
провести мысль, что спиноры имеют более глубокую связь с сущ-
сущностью (даже макроскопических) законов физики, чем векторы
и тензоры стандартного формализма. Теперь мы далее разви-
развиваем эти идеи, а также рассматриваем новые важные области
их приложения. Мы даем введение в теорию твисторов и пока-
показываем, каким образом она позволяет прояснить ряд важных
физических понятий, в частности структуру энергии-импульса
и момента импульса систем с гравитационным взаимодействием.
Большая ясность, которую вносит теория твисторов в анализ
таких проблем, еще больше укрепляет нас в мысли о спинорной
структурной основе фундаментальных физических законов.
Те, кто хорошо знаком со стандартным формализмом 2-спи-
норного исчисления, смогут читать данный том, не обращаясь
к другим источникам. Весь необходимый для этого исходный
материал собран в вводной главе, в которой представлена крат-
краткая сводка результатов первого тома. В томе 2 много ссылок на
обозначения и результаты предыдущего тома, но все это имеется
в предлагаемой сводке, причем сохранена нумерация формул
первого тома, что позволяет легко найти требуемое соотношение.
Правда, подробные выводы мы не приводим, так что читателю,
которого интересуют сами эти результаты, следует обратиться
к предыдущему тому.
Основная тема этой книги — теория твисторов и связанные
с ней вопросы, такие, как теория безмассовых полей и геомет-
геометрия световых лучей, энергия-импульс и момент импульса (рас-
(рассматриваемые с необычной, но, как мы надеемся, многое прояс-
проясняющей точки зрения), а также конформная структура бесконеч-
бесконечности. Кроме TQro, в гл. 8 дается подробная классификация

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
типов кривизны пространства-времени на основе 2-спинорного
исчисления. Хотя главным образом мы будем рассматривать
классификацию типов тензора Вейля (или тензора Римана в
пустом пространстве), мы также приведем полную классифика-
классификацию для тензора Риччи и покажем, что она представляет собой
частный случай общей классификации симметричных спиноров.
Главу 8 можно читать независимо от остального материала
этого тома, хотя между результатами, приведенными в ней и в
других главах, существует определенная взаимосвязь.
Несколько слов о роли твисторов в этом томе. Возможны две
точки зрения на теорию твисторов. С одной стороны, ее можно
рассматривать просто как новый математический метод реше-
решения задач обычной физической теории. С другой стороны, в ней
можно видеть альтернативную основу для построения всей фи-
физики, характеризующуюся тем, что понятию события (точки про-
пространства-времени) отводится не основная,а лишь второстепен-
второстепенная роль. В данном томе твисторы рассматриваются преиму-
преимущественно с первой точки зрения. Это не книга по твисторной
физике как таковой, но он может служить весьма полным вве-
введением для тех, кто хотел бы вплотную познакомиться с неко-
некоторыми из ее более развитых сложных или спекулятивных
идей.
В основном нас интересует здесь математическая взаимо-
взаимосвязь между теорией твисторов и теорией двухкомпонентных
спиноров. О представлении твисторов спинорными полями го-
говорится более подробно, чем делалось ранее. Приводятся раз-
различные приложения твисторных методов, в частности: доказа-
доказательство того, что из равенства нулю тензора Вейля следует, что
пространство-время локально является пространством Минков-
ского; теорема Керра о построении бессдвиговых конгруэнции в
пространстве Минковского (включая обобщение, пригодное в
случае искривленного пространства-времени); контурные интег-
интегралы для свободных безмассовых полей и основные идеи теории
когомологий пучков; конструкция Уорда для общих самодуаль-
самодуальных полей Янга — Миллса (хотя, к нашему сожалению, исход-
исходный гравитационный аналог этой конструкции не вошел в книгу,
так как мы сочли необходимым ограничиться обсуждением ре-
результатов, прямо приложимых к действительному, т. е. лорен-
цеву, пространству-времени); конформные векторы Киллинга;
спиноры Киллинга; космологические модели; явление Гржина
для безмассовых полей. Проводится подробный «твисторный»
анализ энергии-импульса и момента импульса в линеаризован-
линеаризованной теории гравитации, и этот анализ мы обобщаем при изло-
изложении некоторых последних разработок, использующих соответ-
соответствующие методы твисторного типа в общей теории относитель-
относительности и позволяющих дать многообещающее «квазилокальное»

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
определение массы. Это приводит нас к исследованию энергии-
импульса и момента импульса на изотропной бесконечности, и
поведения этих величин при преобразованиях группы Бонди —
Метцнера — Сакса (БМС), т. е. группы, описывающей асимпто-
асимптотические симметрии асимптотически-плоского пространства-вре-
пространства-времени. Мы также подробно рассматриваем точную формулу Бон-
Бонди — Сакса для потери массы и приводим вариант виттеновского
доказательства положительности массы в общей теории относи-
относительности, использующий понятие изотропной бесконечности.
Все результаты, касающиеся энергии-импульса и момента им-
импульса, впервые появляются в некой монографии. Они иллю-
иллюстрируют новую важную область физики, в которой спинорный
(и твисторный) подход может найти замечательные приложе-
приложения. Большая часть подробного анализа конформной бесконеч-
бесконечности на основе спинорного исчисления представлена здесь
впервые.
В приложении показывается, какое место занимают 2-спи-
норы, 4-спиноры Дирака, твисторы и функции со спиновым
весом в общей схеме /г-мерных спиноров.
Как и в своей работе над первым томом, мы опирались на
прямую и косвенную поддержку многих. Особая наша благодар-
благодарность М. Атья, Т. Бейли, Н. Бухдалу, Ю. Дэниельс, М. Иствуду,
Р. Герочу, Д. Хиллу, Л. Хьюстон, Б. Джеффрису, Р. Келли,
Р. Керру, Т. Ньюмену, 3. Перешу, А. Робинсону, Н. Росс, Р. Сак-
Саксу, Э. Шюкингу, В. Шоу, И. Зингеру, П. Соммерсу, Д. Спар-
лингу, П. Тоду, X. Урбантке, Р. Уэллсу и Н. Вудхаусу. Вновь
мы выражаем признательность Д. Шьяме за поддержку и твер-
твердую уверенность в реальности этого проекта на протяжении
более двадцати лет, а также Цзю Шен Цзюн, которая оказала
неоценимую помощь в составлении списка литературы.
1985 Роджер Пенроуз
Вольфганг Риндлер

Краткое содержание тома 1
Здесь мы кратко излагаем содержание тома 1 (Два-спинор-
ное исчисление и релятивистские поля), приводя все результаты,
необходимые для чтения данного тома. Нумерация формул
(а также воспроизводимая в отдельных случаях нумерация раз-
разделов) та же, что и первом томе, хотя некоторые формулы
приводятся не в том порядке, который соответствует их
номеру.
Световой конус в пространстве Минковского
Мы используем стандартные (ограниченные, т. е. правовинто-
вые и изохронные) координаты Минковского
х°=Т, xi = X, x2 = Y, x? = Z
для (аффинного) пространства Минковского М (или векторного
пространства Минковского V). Для пары точек Р и Q с коор-
координатами Р* = (Р°, Р\ Р2, Р3), Q* = (Q°, Ql, Q2, Q3) в М опре-
определен (квадрированный) инвариантный интервал
Ф (Р, Q) = (Q0 - />0J _ (Ql _ plJ _ (Q2 _ р2J _ (Q3 _ рЗJ ( у
Световой конус в точке Р (или соответственно изотропный ко-
конус в У.если Р совпадает с началом координат) есть множество
точек Q еМ (или QeV), для которых Ф(Р, Q) = 0. Образую-
Образующими конуса являются световые лучи, проходящие через точку
Р. Световые лучи, проходящие (например) через начало коор-
координат О, можно параметризовать с помощью комплексного пара-
параметра ^еС[| {°°}, который дается выражением
Г _^ n9lq
В обычных сферических координатах на сфере 5+, заданной
уравнением
Г=1, X2 + Y2 + Z2=l,

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 ц
мы имеем
£ = e<>ctg-|-. A.2.10)
Сфера S+ иногда называется антинебесной. Световые лучи, про-
проходящие через точку О, задают взаимно-однозначное отображе-
отображение сферы 5+ на сферу vS~ (заданную уравнениями Т = —1,
X2 + У2 + Z2 = 1), т. е. небесную сферу наблюдателя, располо-
расположенного в точке О, ось времени которого совпадает с линией
X=Y = Z = 0. Обе сферы связаны между собой антиподаль-
ным отображением (X, Y, Z)->{—X, —У, —Z).
Преобразование Лоренца индуцирует дробнолинейное пре-
преобразование параметра £:
gJ{ d.2.17)
причем коэффициенты а, р, у, 6 образуют спин-матрицу
("б) («6 — PY = 1; «. Р, Y, бе С).
Эта матрица задает общее конформное движение сферы S+, при
котором точки сферы 5+ мы рассматриваем просто как метки
образующих светового конуса будущего в точке Р. Матрица
действует на спин-вектор к, записанный в виде вектор-столбца
(\) с компонентами х° = |, к1 = ц, где
Изотропный вектор («флагшток»), соответствующий этому спин-
вектору, имеет координаты
A-2.15)
[см. также формулы C.1.31), C.2.2)]. Унитарные спин-матрицы
описывают вращения, тогда как активный буст вдоль оси Z со
скоростью v описывается матрицей
( \ \ ( ш 0 \ / I \
UJ-Чо --■-)(,)■ <'-237>
где
» = D^Г. (..2.36)
Лоренц-инвариантное двойное отношение четырех изотропных
направлений (или точек сферы S+) с комплексными парамет-

12 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
рами £ь £2, £з, £4 записывается в виде
т. е.
где J/ = £//Л/- При перестановке изотропных направлений отно-
отношение х заменяется одним из следующих выражений:
Х) ! Х) х' 1-х' х ' х-1 • U.d'U)
Если х — действительная величина, то четыре изотропных на-
направления принадлежат одной гиперплоскости, т. е. соответ-
соответствующие точки сферы 5+ коцикличны. Гармоническому слу-
случаю отвечают значения <% = —1 (а также 2 и 1/2), когда ука-
указанные четыре точки подходящим преобразованием можно пе-
перевести в вершины квадрата; случай % = —ехр(±2ш/3) назы-
называется эквиангармоническим, в этом случае указанные точки
располагаются в вершинах правильного тетраэдра.
§ 5 (гл. 1). Спинорные объекты и спиновая структура
Отличный от нуля спин-вектор v. с точностью до знака можно
представить изотропным флагом (т. е. ориентированным в бу-
будущее изотропным вектором и проходящей через него ориенти-
ориентированной изотропной 2-плоскостью, см. формулы C.2.2), C.2.9),
а также работу [230]) или парой инфинитезимально близких
изотропных направлений, ориентированных в будущее. Однако
знак спин-вектора х не имеет локальной геометрической интер-
интерпретации, поскольку непрерывный поворот на угол 2я (вокруг
произвольной оси) изменяет знак спин-вектора х, тогда как вся-
всякая локальная геометрическая структура (в обычном смысле)
должна оставаться без изменения после такого поворота. По-
Поэтому мы расширяем понятие «локальной геометрии» так, что-
чтобы оно включало спинорные объекты, такие, как х, которые пе-
переходят в себя при поворотах на 4я, а не на 2я. Для того что-
чтобы на многообразии Ж могли существовать спинорные объекты,
оно должно удовлетворять определенным топологическим огра-
ограничениям, и тогда говорят, что Ж имеет спиновую структуру.
Чтобы непротиворечиво ввести спин-векторы на многообразии
пространства-времени ^.следует рассмотреть непрерывные дви-
движения изотропного флага, при которых точка Р расположения
флага может непрерывно смещаться, а также допускаются вра-
вращения флага в точке Р. Движение этого вида называется путем
флага. Для непротиворечивости многообразие Ж, имеющее спи-
спиновую структуру, должно еще быть ориентируемым во времени
и в пространстве, и тогда говорят, что Ж имеет спинорную

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 13
структуру. Отличный от нуля спин-вектор в точке Р^.<Л есть
элемент универсального двулистного накрытия пространства
изотропных флагов в Р; отличное от нуля спин-векторное рас-
расслоение над Ж есть (не обязательно универсальное) двулистное
накрытие расслоения изотропных флагов над Ж. Если многооб-
многообразие Ж не односвязно, то на нем могут существовать различные
неэквивалентные расслоения спин-векторов, т. е. различные спи-
норные структуры. Двузначность возникает для каждой неза-
независимой петли на Ж, такой, что нечетно-кратная ей петля не
стягивается в точку.
§ 2 (гл. 2). Формализм абстрактных индексов
в тензорной алгебре
Тензорные (или спинорные) индексы, набранные светлым
курсивом, представляют собой просто абстрактные метки и не
принимают численных значений, а также не нумеруют компо-
компоненты тензора в каком-либо базисе. Например, символ Va есть
обозначение обычного вектора V в паре с меткой а (элементом
некоторого заданного множества меток 3?)\ и символы Vb, Va°
и т. д., хотя и представляют один и тот же геометрический век-
вектор V, суть разные элементы алгебры абстрактных индексов, по-
поскольку в них данный вектор спарен с разными элементами
Ь, ао и т. д. множества 3?. Аналогично спин-вектор х может
изображаться различными элементами алгебры: к4, кв* и т. д.,
а также комплексно-сопряженными величинами х4'', хв* и т. д.
Тензорные произведения в этой алгебре коммутативны (напри-
(например, UaVb = VbUa, но ФУиь). Индексы, набранные прямым
жирным шрифтом, принимают численные значения и нумеруют
компоненты тензоров по отношению к выбранному базису (на-
(например, индексы мирового тензора а, Ь, ... принимают значения
О, 1, 2, 3, а индексы спинорных компонент А, В,... или А', В',...
принимают значения 0, 1 или 0, 1' соответственно).
Обозначив базис (в /г-мерном пространстве) символом
б" = б", ... б", а дуальный базис символом б£ = 6^, . .., б£,
мы можем записать компоненты тензора Ах'.'.'Л в виде
Al;;;l = Al;;:Z6aa...?>y>U? B.3.13)
и, наоборот, выразить тензор через его компоненты:
А1\уЛ = А1.;;'Ж ... б?б£ ... б*. B.3.14)
Различные символы, используемые для обозначения абстрактных
индексов (которые, если это требуется, могут представлять собой
некий набор верхних и нижних индексов), можно «объединять»
в един собирательный (абстрактный) индекс, который обычно
обозначается рукописной заглавной буквой. Собирательные

14 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
индексы удобны в утверждениях общего характера о тен-
тензорных (спинорных) системах. Символ ©"* (что в явной записи
индекса s& может означать, например, SpqJ обозначает сово-
совокупность (©-модуль) тензоров (спиноров), структура абстракт-
абстрактных индексов которых обозначена собирательным индексом зФ
в верхней позиции (хотя в него входят и верхние и нижние ин-
индексы). Скаляры образуют коммутативное кольцо с единицей <§
(обычно мы рассматриваем гладкие С°°-комплексные скалярные
поля на многообразии пространства-времени Л). Для действи-
действительных полей мы используем символ % вместо ©. Модуль, ду-
дуальный модулю ©**, обозначается через ©^. Для вполне реф-
рефлексивной системы имеет место более общее предложение.
Предложение
Множество всех ^-полилинейных отображений из
(^л у/ <g# X • • • X S" в &с может быть идентифици-
идентифицировано с модулем ©2?л> &, причем отображения
имеют вид свернутых произведений.
B.2.38)
Таким образом, можно считать, что всякий элемент Г*, „.е
з, задает отображение
в дополнение к другим возможным отображениям между этими
пространствами, полученным путем иной группировки исход-
исходных индексов. Разные рукописные буквы в индексе, вообще го-
говоря, указывают на разные группировки тензорных (или спи-
спинорных) индексов. Если же требуются одинаковые группы ин-
индексов, то собирательный индекс дополняют цифровой меткой,
например si-u з^ъ ■ ■ ■ ■
Множество спиноров или тензоров, взятых в фиксированной
точке Р многообразия Ж, обозначают символом ЪЛ\Р\ и соот-
соответственно ©"* [4/] обозначает ограничение элементов ©** на
подмножество Ш многообразия Jt.
Соответствие между абстрактными индексами тензоров
и спиноров
Индексы мировых тензоров рассматриваются как собиратель-
собирательные индексы, каждый из которых просто заменяет пару спинор-
спинорных индексов — штрихованного и нештрихованного. Мы примем

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 15
обычные обозначения
а^АА', Ъ = ВВ', с = СС, ... z=ZZ',
а0 = АаА'о, .... а, = AlAv .... C.1.2)
Штрихованные спинорные индексы комплексно-сопряжены со-
соответствующим нештрихованным (в том смысле, что фАв' = фА'в
и т. д.). Спинорные индексы можно поднимать и опускать умно-
умножением на антисимметричные е-спиноры:
£B.5.14)
B.5.15)
(аналогично для штрихованных индексов, причем еА'в' := ЪА'В'=
= еАВ, &а'В' := ва'в1 = &ав), и это согласуется с обычным пра-
правилом поднятия и опускания индексов для мировых тензоров
(с помощью метрики £а6 и и), поскольку имеют место соот-
соотношения
gab = ZABBA'B>, ga" = BA4A'B'gab = ВАЧА'В'. C.1.9)
(Заметим, что ga6 = g6a, едв = — евА и еА'в' = — ъв'а' — это
б-символы Кронекера.) Порядок штрихованных, а также не-
штрихованных индексов нельзя изменять произвольно, тогда
как расположение штриховых индексов относительно нештри-
хованных несущественно; например, величину ■ф'У? можно за-
записать во всех следующих видах, кроме последнего:
^A'ABB,Q = ^A'ABQB, = ^ABQA'B, = ^AA'flB,Q ф ^AA-Q^ B.5.33)
Для е-спиноров выполняются тождества
Zab&cd + евсело + еСдево = 0, B.5.21)
аналогичные тождества с поднятыми индексами, такие, как
елвесо + евсело + еслево = 0, B.5.20)
eAceBD - eBceAD = eABeCD, B.5.22)
а также их комплексно-сопряженные варианты. Мы заключаем,
что
, B-5.23)
а поэтому для величины фЯАВ, кососимметричной по А, В, спра-
справедливо представление
{^сЧ- B-5.24)

16 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
Базисы и компоненты
Для спинорного базиса в <3Л, т. е. для диады, мы исполь-
используем обычные символы оА, И, причем оА':= дА' (= оА) и
ЬА'; \а' (= ^а). Диада не обязательно нормирована на единицу,
а поэтому мы вводим также величину
% = eABoAiB = oAiA. B.5.46)
При %= 1 диада называется спиновой системой отсчета; в этом
случае справедливы соотношения
eAB = oAiB — iAoB, едв = оД1В —ов1Д, &АВ = oAiB — 1дов. B.5.54)
Условие же для общей диады имеет простой вид % Ф О в силу
следующего предложения.
Предложение
Условие аА$А = 0 в некоторой точке является
необходимым и достаточным для того, чтобы
спиноры аА, рд в этой точке получались друг
из друга путем умножения на скаляр.
B.5.56)
Со всякой спиновой системой отсчета ассоциирована изотропная
тетрада la, na, ma, ma:
та = о\А', та=ьАоА',
удовлетворяющая соотношениям
1а1а = папа = тата = тата = 0, C.1.15)
1апа=\, тата 1, C.1.16)
/«=/«, па = па, C.1.18)
а также стандартная ограниченная тетрада Минковского
о 1 1
' =ттг(/ + п") =-JT (oAoA'+ iAiA'),
та) j
та) =
4- (т + т) = -j=r (o\A + Ио*),
7 7 (ЗЛ-20)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА I
17
Рис. 1.17. Стандартная связь между спиновой системой отсчета о, .1 и (ограни-
(ограниченной) тетрадой Минковского t, х, у, г.
причем обратные соотношения имеют вид
/2 1 //О | ~а\ г.АпА' па lta
= ИИ',
та = * (Ха - tya) = сИИ', та = -)=■ (ха + iya) = \*аА'.
C.1.21)
Геометрическая связь между oA,iA и ta, xa, ya, za показана на
рис. 1.17. Компоненты вектора Ка, заданные в тетраде Минков-
Минковского, связаны с компонентами КАА' в спиновой системе от-
отсчета соотношениями
......
Чтобы найти связь между компонентами тензора общего вида,
заданными по отношению к тетраде Минковского и в спиновой
системе отсчета, удобно использовать символы перехода
0
V2" \l
C.1.49)

18 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
Изотропные векторы и изотропные флаги
Комплексный изотропный вектор %а (для него выполняется
равенство эса%а = О) может быть записан в спинорнои форме
х« = х^', C.2.6)
где в случае действительного изотропного вектора %а, ориентиро-
ориентированного в будущее (или в прошлое), можно положить 1А' — ЦА'
(или — yA'). Два комплексных изотропных вектора %а и -фа, ко-
которые можно представить в виде C.2.6) при %а Ф О, ортогональ-
ортогональны в смысле равенства
Х"+« = О C.2.22)
в том и только в том случае, если -ф** = хАг\А' или хА\А' для
некоторого ту4' или хА.
Со всяким спин-вектором хА, отличным от нуля, ассоцииро-
ассоциирован действительный ориентированный в будущее изотропный
вектор
Ка = хАпА', C.2.2)
называемый его флагштоком, а также простой действительный
изотропный бивектор
Р°» = хА%веА'в/ + еАВИА хв', C.2.9)
которым определяется элемент ориентированной изотропной
2-плоскости (проходящей через флагшток), называемый полот-
полотнищем флага (или «топором» по терминологии книги [230]).
Флагшток и полотнище флага образуют вместе изотропный флаг,
который описывает спинор хА с точностью до знака. При умно-
умножении хА на гею (г, 6—действительные величины) в г2 раз
увеличивается протяженность флагштока и поворачивается на
угол 26 полотнище флага.
§ 3 (гл. 3). Операции симметрии
Операцию симметризации индексов мы, как это принято,
обозначаем круглыми, а операцию антисимметризации — ква-
квадратными скобками. Индексы, выделенные вертикальными чер-
черточками, не включаются в (анти-) симметризацию. Если выра-
выражение содержит две пары скобок, расположенных одна внутри
другой, то сначала выполняется операция внутренней скобки, а
над полученным расположением индексов (за исключением тех,
которые отделены вертикальной чертой) выполняется дальней-
дальнейшая (анти-) симметризация. [Строго говоря, такие обозначения
избыточны, но они могут быть очень наглядными в записи до-
доказательств; см., например, формулу D.3.17).] Хотя скобками
обычно обозначают симметризацию индексов отдельных тензо-
тензоров или спиноров, ими можно также обозначать подпростран-

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА ! 19
ства модуля %л, на которые накладываются дополнительные
требования (анти-)симметрии. Так, например,
Яг) ПРИ том и только том
условии, что %JVWv)W'*l) = Х-ЛЛ**' C.3.14)
Полезны различные элементарные результаты, касающиеся
свойств симметрии. Например (греческими буквами обозначены
/г-мерные абстрактные тензорные индексы):
Предложение
£л<* а*"*" • • • *в = ° для всех ^ sS"e тем
и только в том случае, если фЛ(а 5 =0.
C.3.22)
Следовательно,
Функцией фЛ (X) = фЛ(х 6Ха ... X6 однозначно
определяется тензор фЛ(а...ьг • C.3.23)
Комбинируя операции симметризации и антисимметризации,
можно построить тензор с симметрией схемы Юнга, который,
следовательно, будет (точечно) неприводимым относительно
группы общих линейных преобразований (оставляющих данную
точку неподвижной). Некоторые вопросы теории схем Юнга рас-
рассматриваются в обширном «примечании», начинающемся на
с. 186 т. 1. В частности, тензор с симметрией схемы Юнга в ва-
варианте, в котором выделяются группы невозрастающей длины
симметризованных (а не антисимметризованных) индексов, мо-
может быть представлен однородным полиномом Р(Ха, ..., Za),
содержащим невозрастающие степени переменных Ха, ..., Za.
[В этом случае следствие C.3.23) применяется к каждой сим-
симметричной группе индексов тензора ф ... .] Данное свойство
схемы (т. е. «скрытое насыщение антисимметриями») может
быть выражено соотношениями
XadPtdYa = 0, ..., XadPldZa = 0, .... YadP[dZa = ^
(переменная, стоящая первой, сворачивается с последующим
оператором производной по индексу переменной дифференциро-
дифференцирования). В этом случае Р можно представить как функцию лишь
антисимметризованных произведений вида XlaY&Zy\ ^ГаУР1, Хп
(переменные располагаются в алфавитном порядке, начиная с
Ха). Альтернативная формулировка основного свойства схемы
такова: всякая дополнительная симметризация тензора фа... ^ по
индексам, содержащим полную группу симметризованных ин-
индексов и один индекс из какой-либо другой группы симметризо-
симметризованных индексов, обращает его в нуль. Если в таком тензоре
число групп индексов превышает п (т. е. число векторов-пере-

20 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
менных Ха, ..., Za в Р(Ха, ..., Za) превышает п), где п —
размерность пространства, то <f>a...л. = 0. Это следует из «скры-
«скрытой антисимметрии» групп, содержащих более п индексов, в
тензоре фа...),.
В случае спинорных индексов мы имеем п = 2, а следова-
следовательно, антисимметризация группы, содержащей более двух ин-
индексов, дает нуль. Более того, в силу равенства B.5.24) группа
из двух индексов всегда может быть «отделена» в виде е-сим-
вола. Поэтому достаточно рассматривать лишь вполне симмет-
симметричные спиноры. Спинор, содержащий как штрихованные, так
и нештрихованные индексы в нижней позиции, будет неприводи-
неприводимым [точечно неприводимым по отношению к ограниченной
группе Лоренца, или, более корректно, по отношению к спино-
спиновой группе SLB, C)j, если он вполне симметричен как по всем
штрихованным, так и по всем нештрихованным индексам. Число
независимых компонент такого спинора определяется следую-
следующим предложением.
Предложение
Если спинор фл СР, R, симметричен и имеет
валентность [° °\, то число его независимых
(комплексных) компонент равно (р+1)(<7+1). C.3.62)
Здесь символ валентности I I означает, что соответствую-
соответствующий спинор содержит г верхних нештрихованных, s верхних
штрихованных, р нижних нештрихованных и q нижних штрихо-
штрихованных индексов. В случае когда г =^= 0 или 5=^0, условие не-
неприводимости формулируется так: необходима не только сим-
симметрия по всем четырем группам индексов, но и равенство нулю
всех сверток между верхними и нижними индексами (что экви-
эквивалентно полной симметрии, когда все индексы опущены). Под-
Подсчет компонент, согласно предложению C.3.62), в этом случае
дает (p + r+ l)( + +l)
Переход от спинорной к тензорной форме записи, и наоборот;
преобразование дуальности
ГО 01
Для спинора <f>A FA,t р, валентности J I соотношение
приводимости
ФаЬ...!=^ЛВ...РАВ' ...F'—'t>(AB...F)(A'B'...F") C.3.58)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 21
в тензорной форме имеет вид
*»»...f = *«,»... о- C-3.59)
Ф'ас... f = 0, C.3.60)
где число независимых компонент тензора равно (г+ IJ.
Поскольку пространство мировых векторов четырехмерно, в
нем определен альтернирующий тензор еаъса, полностью антисим-
антисимметричный, т. е. удовлетворяющий равенству еаьсй = е \аьссс\, ко-
который мы нормируем условием вот = 1 в стандартной тетраде
Минковского [формула C.1.20)]. В спинорных переменных
имеем
• • /О О О1\
В случае симметричного тензора ТаЬ его бесследовую часть
C.4.9)
можно представить в виде
SaBA'B' = Т(АВ)(А'В') = Т(АВ) А'В' = ТАВ (А'В')- C.4.5)
Если симметрия тензора ТаЬ заранее не предполагается, то вто-
второе выражение в формуле C.4.5) определяет симметризованную
бесследовую часть этого тензора. В случае симметричного тен-
тензора Таь тензор, обращенный по следу, ТаЬ допускает простые
спинорные представления
ТаЪ 2" ^С Sab = Т'АВА'В' ~ ^ВАА'В' = ?'АВВ'А'- C.4.13)
Всякий (комплексный) антисимметричный тензор Раь можно
(однозначно) представить в виде
Fab = FAA'BB> = i'AB^A'B' + RAB^A'B" C.4.17)
где фАВ и 1|зЛ/В> — симметричные спиноры. В случае действи-
действительного тензора Fab имеем
Fab = ФаВ^А-В' + *Ав1>А'В» C-4.20)
Определяя тензор, дуальный тензору Fa6, как
'Г*ь == | e«bcdFcd = 4- eabcdFcd, C.4.21)
находим
__ 'Fab = *FАВА'В' = ~ $AB*A'B> + ^АВ^А'В" C-4.22)
где УА'В' = Фа'в" если Fab ~ действительный тензор, и
*F aba'B' = iF авв'а' = — iFbaa'b'. C.4.23)

22 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА I
Операцию дуального отображения можно выполнять лишь по
некоторой части индексов: если паьл = G[ab\ л, то
*ваьл :=Y^bcdGcd^, C.4.25)
что также допускает спинорные представления вида C.4.22)
и C.4.23). Отсюда следует, что
Отметим, что
G{abc\ Si = 0 ^ *Ga6atf = 0. C.4.26)
Аналогично можно ввести отображение дуальности на одном
или на трех индексах:
Уаьсл = eabcdld.*, C.4.29)
*Кая> = у еа"ыКьааа, C.4.30)
ТоГДЭ
iRACRB'C'JВА'Л — i^BC&A'C'J АВ'Л, C.4.33)
*КаЯ = -j Кав'ва-вв'в, C.4.34)
^ KabcSS. C.4.31)
Мы говорим, что кососимметричный комплексный тензор вто-
второго ранга Fab будет (I) антисамодуальным или (II) само-
самодуальным, если
I- *Fab= — iFab или II. *Fab = iFab. C.4.35)
Для тензора Fab общего вида C.4.17) мы определяем анти-
самодуальную часть
\ C.4.38)
и самодуальную часть
fF (Р Гр) еЪ C-4.39)
так что * ±Fa6 = ± i ±/;>a6, а также выполняется соотношение
Fab = ~Fab + +Fab. C.4.40)
Условия C.4.35) антисамодуальност"и и самодуальности в спи-
спиновой форме записываются в виде I. ^А,в, = 0, II. ^лв = 0, т.е.
I- Fab= фАВгА,в„ II. Fa6 = e^^/B. C.4.41)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 23
Комбинируя спинорную форму записи симметричной и антисим-
антисимметричной частей тензора, мы получаем следующую тензорную
запись перестановки пары спинорных индексов:
(Н + Н Hcgb + ieHcd)
= у (Наь + НЬа - Hccgab + ieabcdHcd), C.4.53)
И ABB'A' " Т (Н«Ь + Hba - Нс'ёаЬ ~ "abet""), C-4.54)
где Наь = Нава'в' есть тензор общего вида (который может
иметь дополнительные индексы). Отметим, что кососимметрич-
ная часть тензора Наь записывается в виде
Н\аЬ\ = Н \АВ\ (А'В') + Н(АВ) \А'В'\ = у ВАвНСС(А'В') + у ЪА'В'Н(АВ) С'°
C.4.55)
и аналогичное выражение справедливо для симметричной части
Н(аьу Очевидно, что результаты данного подраздела верны и в
том случае, если имеются и дополнительные индексы.
Некоторые свойства тензоров и спиноров в точке
Здесь мы отметим ряд простых свойств, которые справед-
справедливы для спиноров и тензоров, вычисленных в фиксированной
точке (так что© теперь будет кольцом с делением), и не обяза-
обязательно справедливы в случае спинорных и тензорных полей.
Предложение
Условие 1|з(лх...*f Флг+,...*tr+s)* = 0 означает, что либо
Ф(л,...-ег)* = 0, либо Фр1...*,)* = О. C.5.15)
Предложение
Если ФАВЬ = ^АВЬ)^=0' ™
для некоторых аА, рл, .... ХА е ©л. Это разложение един-
единственно с точностью до численных коэффициентов и по-
порядка множителей. C.5.18)
Это — каноническое разложение спинора фл ... с, величины ал,
Рл, ... (и спиноры, пропорциональные им с ненулевыми коэффи-
коэффициентами) называются главными спинорами спинора фА... ь-
Флагштоки этих спиноров называются главными изотропными
векторами спинора фА ... l, а соответствующие им изотропные на-
направления— главными изотропными направлениями (ГИН)

24 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
спинора фл ... L. При 1А ф О равенство
C.5.22)
выполняется в том и только в том случае, если Ъ,А — главный
спинор спинора Фа ... l. Спинор Фа-.l изотропен, если все его ГИН
совпадают. Если ал есть в точности k-кратный главный спинор,
то
Фав ... db...LaB ■ ■ • aL = ™Аав •••«!>. C.5.24)
где кфО, причем число множителей а в правой части равно k.
Кроме того, справедливы следующие предложения:
Предложение
Необходимое и достаточное условие того, что Ел =Ф О
будет k-кратным главным спинором для ненулевого сим-
симметричного спинора фАви состоит в тон, что выражение
*a...gh...lIH --V-
равно нулю, если оно содержит п — k + 1 множителей %,,
свернутых с фА L, и отлично от нуля, если число мно-
множителей | на единицу меньше. C,5.26)
Предложение
поли s =г= v, Та...в — t(a...g) "
1А ... EcED^f...cz>£...G==0' T0 существует спинор
У А*... С так°й, ЧТО
П...сов...о = ^...о1о1Е ■■■la- C-5.27)
Как частный случай мы имеем
Если Хв фО, то из равенства ^ЛВ^В = 0 следует равен-
равенство ^лв = %лЬв для некоторого %л. C.5.17)
Отметим, что если ц>ДВ = сца$в), то
так что равенство нулю величины ф/»яфлв может служить крите-
критерием изотропности спинора ц>Ав- Отметим также, что det(q>/»fl) =
A/2)Лв
(/)фф
Антисимметричный тензор (в «-мерном векторном простран-
пространстве) , который может быть представлен косым произведением
векторов, называется простым. Один из признаков простоты
таков:

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 25
Предложение
Если тензор Fa$...p кососимметричен по всем индек-
индексам, то
(Зля некоторых аа, 6р, ... гр. C.5.30)
Этот же признак можно сформулировать иначе:
*F»-P°FOT...<a = 0. C.5.32)
Здесь звездочкой обозначено преобразование дуальности в
«-мерном пространстве. Следовательно, справедливы еще два
предложения.
Предложение
Тензор Fa...у является простым при том и только при
том условии, что простым является дуальный ему тен-
тензор */*••• °. C.5.34)
Предложение
В четырехмерном пространстве бивектор Fab будет про-
простым тогда и только тогда, когда выполняется одно из
следующих условий:
I. FlabFcdi = 0; II. ^6*^ = 0;
III. det(Fa6) = 0. C.5.35)
Активные лоренцевы и спиновые преобразования
Преобразование Лоренца
V"-+LabVa,
которое отображает (в точке) пространство мировых векторов
в себя, дается одним из следующих спинорных выражений:
LAA'BB'=dzQBA, Qab', C.6.14)
ЬААвв'=±фАвфАв', C.6.15)
где можно положить
det(9B^)=l, det(^/)=l. C.6.16)
Верхние (нижние) знаки в формулах C.6.14) и C.6.15) отно-
относятся к ортохронным (неортохронным) преобразованиям, кото-
которые будут собственными в случае C.6.14) и несобственными в
случае C.6.15). Для несобственных преобразований условие для

26 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
детерминанта C.6.16) может быть переписано в виде
2, C.6.22)
а для собственных преобразований — в виде
= 2. C.6.80)
Ограниченное (т. е. собственное изохронное) преобразование
Лоренца, отличающееся от тождественного, оставляет инвари-
инвариантными в точности два изотропных направления, которые мо-
могут совпадать. Эти направления суть ГИН спинора ф(лву В том
случае, когда два ГИН совпадают (т. е. когда спинор Ф(ав) изо-
изотропный), мы называем преобразование Лоренца изотропным
вращением. Если же два ГИН различны, их можно использо-
использовать в качестве флагштоков спиновой системы отсчета, по отно-
отношению к которой спинор Ф&в будет диагональным. В случае
изотропного вращения можно выбрать флагшток спинора iA в
направлении кратного ГИН (поскольку вектор флагштока те-
теперь инвариантен) и тогда получим
Ковариантная производная
Мы обозначаем символом V с соответствующими индексами
(например, Va, Va и т. д.) ковариантную производную на (ска-
(скажем, л-мерном) многообразии J[, определенную по отношению
к некоторой связности (не обязательно стандартной связности
Кристоффеля). При действии на скаляры символ Va выступает
как обычный оператор градиента и связывает обозначение Va
векторного поля в формализме абстрактных индексов с его обо-
обозначением V как дифференциального оператора:
V=VaVa (на скалярах). D.1.40)
Вообще говоря, операторы Va не коммутируют, и поэтому мы
вводим величину
Aa(J:=VaV,j — VpVa = 2V[aVpl. D.2.14)
Тогда тензор кручения Та^у определяется соотношением
VVv/' D-2.22)
а тензор кривизны Raay — соотношением
(VaVp-V^-VVv)^^^^7 D-2.31)
(для произвольного скаляра / и вектора Vy).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 27
Если jTaflv = O (т. е. Va — симметрический оператор), то выра-
выражение для кривизны упрощается: Aa^V6 = Raay6Vy- В этом слу-
случае для скобки Ли
W = [U,V]:=U°V-VoU D.3.26)
можно ввести обозначение с абстрактными индексами
W* = £/Х^ - VaVafA D.3.2)
В общем случае производная Ли тензорного поля вдоль век-
вектора V имеет вид
£ н1::: ? -.= v'v.hI ::: ? - H%;;;jvaya -...-hi ::: vY°vYovv +
+ //X.w.XvxV*' + •.. + Hl:::lvvv4\ D.з.з)
Определение скобки Ли и производной Ли не зависит от выбора
(симметрической) связности Va- Следовательно, их можно вы-
вычислять покомпонентно, заменяя Va производной д/дха.
Для обозначения дифференциальных форм мы используем
набранный жирным шрифтом коренной символ соответствую-
соответствующего антисимметричного тензора, а индексы и, i2 (по которым
тензор антисимметричен) опускаем. Например,
Л:=Л1112...1р D.3.10)
есть обозначение р-формы, причем Л1]12... t = Л[1]12... t ]. Вообще
говоря, тензор может содержать и другие индексы; тогда набор
антисимметризованных индексов ц, ... \р идет «раньше»:
Все сказанное относится к общему «-мерному случаю; в случае
пространства-времени вместо и мы используем символы i, или
Irl'T. Внешнее произведение формы А и С определяется так:
D.3.13)
внешняя производная формы А (для симметрической связности
^:=V{liA2...lp+l] D.3.14)
(эти определения справедливы и при наличии дополнительных
индексов). Если других индексов нет, то d2 = 0:
d(dA) = 0. D.3.15. VIII)
Равенство D.3.14) останется справедливым, если связность Va
заменить (локально) любым другим симметрическим операто-
оператором, например оператором да, для которого равны нулю и кру-

28 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
чение, и кривизна. Отсюда следует простое доказательство со-
соотношения D.3.15. III):
= dl.dl.A...n = dl.d.A...l=dll.d.lA...l = O. D.3.17)
Мы иногда пользуемся правилом, что d^i|3 означает
а не d($$), и таким же правилом для других символов диффе-
дифференцирования (например, Va, бит. д.). Если ха — локальные
координаты на JC, то (локально)
А = ЛО]... ар dxa> Л ... Л dxap, D.3.20)
где компоненты определяются по отношению к ассоциирован-
ассоциированному координатному базису
6£ = Va;ca. D.2.55)
(Отметим, что dxa = Vltxa.) Интеграл от р-формы А по ориенти-
ориентируемой р-мерной поверхности 0* определяется следующим
образом:
\ А = J Ло,... Ор dxa> Л ... Л dxap=p\ \ Л,... pdxl Л ... Л dx",
D.3:24)
где поверхность У локально задана уравнениями xp+l = ...
...=хп = 0. Фундаментальная теорема внешнего исчисления
гласит
jj |, D.3.25)
где Q — компактная (р + 1)-мерная поверхность с границей
Иногда применяется обозначение
D.3.31)
X
для ковариантной производной по направлению. Тогда выраже-
выражение D.2.31) для кривизны принимает вид
(VV-VV- V) ]Z6 = /?aevdZaFpZY, D.3.33)
XY YX [X,Y]
причем третье слагаемое в левой части необходимо и в том слу-
случае, когда кручение отсутствует.
Если Ж есть пространство-время, то вместо а, р, ... мы ис-
используем символы а, Ъ, ..., причем в соответствии с правилами
перехода к спинорам можно заменить а на АА'', Ь на ВВ'_ и т. д.
Таким образом, VAA'=Va, Vbb'^V6 и т. д., и определена дейст-
действие соответствующих операторов VAB', V^'h т. д. на спинорные

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
29
величины (однозначно, если потребовать выполнения условия
VaeBC = 0). Следовательно, можно записать, например, уравне-
уравнение Дирака — Вейля для (безмассового) нейтрино в виде
^АА'фА = 0. D.4.61)
Спиновые коэффициенты
Выбрав диаду оА, И, т. е. базис еАл и дуальный ему
базис елА в соответствии с условиями
о А
е0 —
А | Л.
| Л. о О
—i , ел —
О v—1
— *
[формула B.5.46), где не обязательно выполняется условие нор-
нормировки х = 11, мы вводим шестнадцать величин
Yaa'cb := eABVAA'8cA = — 8cAVAA'eAB,
D.5.2)
которые называются спиновыми коэффициентами. Для них
используются следующие стандартные обозначения:
Vaa'b —
\^ С
\ в
АА' X
00'
10'
01'
II'
0
0
8
а
Р
Y
1
0
— х
— Р
— а
— т
0
1
-х'
-а'
-Р'
-х'
1
1
Y'
Р'
а'
е'
Тогда для YAA'Bc имеем
X
р
от
т
8
а
Р
Y
Y'
Р'
а'
е'
т'
а'
Р'
х'
oADoA
олб'ол
оА бол
oAD'oA
iADoA
Иб'ол
Ибол
ИД'ол
- оА DiA
-оЧ\А
- оА &iA
- oAD\A
-ИД1Л
-И6'1Л
-И61Л
-идчл

30
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
X
ma Dla
ma6'la
ma &la
maD'la
±-(naDla+niaDma+XDx)
1
— (na &la+ ma &ma+ x &X)
2
-i (naD'la+maD'ma+xD'x)
J_(
T(
1(
T(
fa £>na+ ma Dtna-
1Ч>па+гп°Ъ'таЛ
la &na + rha 6ma -
\-XDx) ma Dna
-yfi'X) ma6'na
т-Хвх) та6па
hxD'x) thaD'na
где
D :=
б :=
6' :=
-.QAQA'VAA' = laVa = D,
o\A'VAA' = maVa = br,
■■ 1AOA'VAA' = maVa = 6,
D.5.21)
D.5.23)
Если, как чаще всего бывает, используется нормировка %= 1,
отвечающая выбору спиновой системы отсчета, то
и, вводя часто используемые символы я, X, ц, v, мы имеем
Yaa
ВС'
^\ ВС
аа\
00'
10'
01'
11'
00
X
р
а
т
10
е =
а =
или
= —
= —
р
Y
01
Y'
11
я= —
Х=~
\i = -
v = —
-т'
а'
-Р'
х'
D.5.29)
Здесь предпочтение отдано штрихованным индексам, поскольку
они совместно с D.5.23) последовательно используются с об-
общей операцией штрих, которая осуществляет замену
лА^ь,;А ,Л1_^,-ОЛ) оЛ'н^»_дЛ') ,Л ,__^ _1 1ОА' D.5.17)
hA, И
Спинорная форма кривизны
Спинорное выражение для риманова тензора кривизны имеет
вид
Rabcd = XaBCD^A
+
D.6.1)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 31
где
X.ABCD = X(AB)(CD), ФаВС'ГУ = Ф(ЛВНС'О'). D.6.3)
Xabcd = Jfсолв, Флвсо' = Флвсо'. D.6.4)
Поскольку тензор RabCd асимметричен по двум парам индексов,
можно определить дуальное преобразование по второй паре
индексов (Rabcd), по первой CRabcd) и по обеим (*Rabcd). Резуль-
Результат применения дуальных преобразований к спинорному выра-
выражению D.6.1) записывается в виде
«---«+*+«■ _ D.6.И)
(в правой части индексы и е-спиноры опущены).
Мы определяем
A:=gVB- D.6.18)
так что
ХАВСв = ЗАвАС, D.6.19)
откуда следует запись циклического тождества Ra [bcd\ = 0:
Л = Л. D.6.17)
Отметим, что дважды дуальный тензор *Rabcd тоже удовлетво-
удовлетворяет ему:
Х16с*1 = 0- D-6.9)
Вводя по определению')
Rab == Racb > R == Ra >
находим
R = 24A, D.6.22)
Rab = ЬАёаЬ-2ФаЬ. D.6.21)
Полевые уравнения Эйнштейна (с космологической постоянной
Я, и гравитационной постоянной GJ)
Rab — \ RSab + Ьёаь = -8nGT
ab,
') Принятое нами правило знаков приводит в случае положительно-оп-
положительно-определенного пространства к выражениям для тензора Риччн и скалярной кри-
кривизны, противоположным по знаку выражениям, обычно принятым в чисто
математической литературе.
2) Здесь встречаются два несущественных отклонения от обозначений
первого тома: G вместо у для гравитационной постоянной, а также индекс
с вместо 9 для конформно-инвариантных операторов б и р; см. формулу
E.6.33) ниже.

32 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
записываются с использованием этих спинорных величин в виде
), Л = 4*ОГ? + -|. D.6.32)
Симметричная часть спинора Хдвсо
xPabcd'-=X(abcd) = Xa(Bcd) D.6.35)
называется гравитационным спинором или (конформным) спино-
спинором Вейля. Имеем
Xabcd = ^abcd + Л (влсвВ1) + badbbc), D.6.34)
и полный тензор Римана записывается в виде
Rabcd = ^ABCDUA'B'UC'iy + ^А'В'
+ Флвсл'вл'в'всо + Ф
+ 2Л (еАС&вг#А'с'Вв'1У — ъавЪвсЪатуЪв'с. D.6.38)
Слагаемые, которые содержат только спинор ^abcd* Дают (кон-
(конформный) тензор Вейля:
Cabcd := ^ABCD&A'B'RC'D' + *P'А'В'С'ГУ^АВ^СО', D.6.41)
соответствующая "Тензорная форма записи такова:
CabCd = RabCd ~ 2Ц№ь\* + J Rg\aCgb\d. D.8.2)
Его антисамодуальная и самодуальная части имеют вид
~Cabcd := WABCDBA'B'BC'iy, D.6.42)
+Cabcd ■■= ^A'B'CiyBABBCD', D.6.43)
те же результаты получаются, если использовать левое дуаль-
дуальное преобразование вместо правого. По аналогии с соответствую-
соответствующей операцией для поля Максвелла мы вводим дуальное вра-
вращение
Cabcd ►"-* {6}Cabcd = Cabcd cos 6 + *Cabcd sin 9 = e-t6~Cabcd + el6+Cabcd,
D.8.15)
которое соответствует преобразованию
D.8.16)
Тождества для спинора Риччи
Разложение C.4.20) дает для коммутатора производных
D.2.14) выражение
2V[aV61 = еА'В' Пав + вав Пл'В', D.9.1)

Краткое содержание тома i 53
где
. Пав = VX'(aA ПА,В, = VX(^VB0. D.9.2)
При действии на спин-вектор vP оператор D.9.1) дает выражение
Ьаь%с = {еА>в'ХАВЕс + еАвФА'в>ЕС}хЕ, D.9.7)
которое можно разделить на два соотношения
UAByP = XABEcy.E, ПА,В*С = ФА,В,ЕС«.Е. D.9.8)
Аналогично для v.c находим
ПаВ*С ХАВСЕ*Е> &А'В>'ЛС = -ФА'В'СЕ*Е- D.9.11)
Чтобы найти соответствующие выражения для случая штрихо-
штрихованных индексов, достаточно выполнить комплексное сопряже-
сопряжение в формулах D.9.8) и D.9.11). Комбинируя полученные вы-
выражения, находим для спинора с несколькими индексами
'p' = Xabqc&>de'f' - Xabd%cqe'f' +
+ Oabq^WdI'p' - Oabp^^d^q-, D.9.13)
,C E f C'.Q' E у Q'.C E ■
D' p A-A'B'Q' 9 D'P~AA'B'D' T Q' p ~T
Иногда оказываются полезными формулы дифференцирования,
в которых явно выделена зависимость от WABCd и Л, например:
Плв'х-с = — ^abcDix-d — Л (елсив + евсхА), D.9.15)
откуда
П{АВхс)=-у1гАВсОХо' D.9.16)
D.9.17)
Спинорные тождества Бианки
Тождество Бианки
преобразуется к виду
т.
ДУ
У b'Xabcd = Vb Фспа'В',
А А*
V ФсйА'В' + ЗУдв'Л ^ 0.
D.10.1)
D.10.3)
D.10.7)
D.10.8)
Если выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна (с космо-
космологическим членом)
' = 0, Л = 4-Л, D.10.10)

34 краткое содержание тоМа i
то равенство D.10.7) сводится к «уравнению для безмассового
свободного поля»
^'O. D.10.9)
При наличии материи полевые уравнения Эйнштейна D.6.32)
приводят к появлению источника в правой части:
Wb = 4rtGV£r' D.10.12)
Компоненты спинорной кривизны
ко
иви
o, ^1:= Я"№001, ^2 := Х-
В дополнение к спиновым коэффициентам D.5.16) введем
обозначения для компонент кривизны
ь D.11.6)
П:=ххЛ, D.11.7)
'•= ФоОО'О' Ф01 ''= ФоММ' Ф02 •*= ФоОП',
Фю := Фок/о' Фп := Фонп' Ф12 := Фонт, D.11.8)
Ф21 := Фиск Ф22 := Фшч',
причем диада не предполагается нормированной. (Отметим:
Фою'о'= Флвсо'0л1вос'о1)' и т. д.) Через соответствующую изотроп-
изотропную тетраду эти величины выражаются следующим образом:
^о = X-lX-lCabcdlamblcmd, ¥, = X~lX-lCabcdlamblcnd,
^2 = X-lX-lCabcdlambfhcnd, ¥3 = Х-1Х-1Саьы!апстьпа, D.11.9)
_ lab lab 1 а Ь
Фоо = 2" Ra*r I ' ^01 == 2" Rabl m , Ф02 == 2" Rabtn m ,
Ф10 = - y Rabla>nb, Ф, 1 у Rablanb + ЗП, Ф12 у Rabmanb,
D.11.10)
Ф20 = - у Rab>namb, ф21 = - i- Rabtnan\ Фи = — 4 /?ainV.
Модифицированный формализм спиновых коэффициентов
Величина ц (обычно скаляр), которая при масштабных пре-
преобразованиях
оль-*-А,о<\ Hi—>\iiA D.12.2)
преобразуется по закону
Л^АЛ,'УйЧ D.12.9)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 35
называется взвешенной величиной типа {г', г; t', t}. Отметим,
что % — величина типа {1, 1; 0, 0}:
%ь->*цх. D.12.3)
Если же мы желаем сохранить нормировку %= 1, то лишь два
числа
p = r'-r, q = t'-t D.12.10)
могут выбираться произвольно. В этом случае т\ — величина типа
{р, ч)> или> чт0 эквивалентно, величина со спиновым весом
A/2) (р — q) и бустовым весом A/2) (р + q). Иногда такой ска-
скаляр г\ мы кратко называем {г', г; f, tj-скаляром или {р, q)-ска-
q)-скаляром.
Для скаляра (тензора, спинора) ту типа {г', г; f, t} мы опре-
определяем
pr\ = (D- г'г - пг - Гг - tyf) л,
дг\ = (б — г'р — Ы — t'a — /р') л,
_ D.12.15)
бт] = (б' — г'а - гр' — /'р — /а') л,
^'Л = Ф' — r'v — re' — t'y — ft') л
и показываем, что р, д, д', р' — взвешенные операторы (т. е.
операторы, которые переводят взвешенные величины во взве-
взвешенные же величины) следующих типов:
*»:{1,0; 1,0}, 6 : {1,0; 0,1), д':{0,1; 1,0}, р': {0,1; 0,1}. D.12.17)
Спиновые коэффициенты, которые входят в выражения D.12.15),
не являются взвешенными величинами. Все остальные спиновые
коэффициенты — взвешенные следующих типов:
%: B, -1; 1,0}, а: {2, -1; 0,1}, р:: {1,0; 1,0},
т:{1,0; 0,1}, и': {-1,2; 0,1}, У: {-1,2; 1,0}, D.12.13)
р':{0,1; 0,1}, V: {0,1; 1,0}.
Компоненты кривизны есть взвешенные скаляры следующих ти-
типов:
¥г:{3-г, г—I; 1,1}, П:{1,1; 1,1}, Фг/:{2-г, г; 2-t, t),
D.12.25)
и компоненты
D-12.26)
Г0 0 1
произвольного симметричного спинора валентности / _, ,/ ,
будут величинами типа {г7, г, te, t}. В этом формализме компо-

36 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
ненты производных спинора %а...мг записываются в виде
(о*... I*')DU...к... = plr,t + r'xgr+1,t + rx%_ltt +
+ft/S
D.15.27)
Полезны также следующие соотношения:
роА = — vxA, piA = — т'о-4, роА' = — vxA', рИ' = —т'оА',
ЬоА = — стИ, diA = — р'о-4, до-4' = — рИ, дИ' = — ctV, D.12.28)
бо-4 = — pi/, 6И = — агоА, б'о-4' = — aiA\ 6\А' = — р'о-4',
р'оА = — тИ, ^'И = — %'оА, р'оА' = — тИ', р\А' = — v.'oA'.
Кроме того,
*>% = 0, дх=0, д'Х = 0, Кх = О. D.12.23)
Штрихом здесь обозначена операция D.5.17). Поэтому для
скаляра г\ типа {г', г; /', /} имеем
(r\y = (-lf+*-'-* т\, D.12.24)
(л)'=л'.
Кроме того, операции штрих отвечает следующая подстановка
компонент кривизны D.11.6), D.11.8):
3 2^2, 4
Уравнения для модифицированных спиновых коэффициентов
Операторы D.12.15) позволяют записать дифференциальные
соотношения, которым удовлетворяют (взвешенные) спиновые
коэффициенты (и кривизны), в форме сравнительно простых
равенств
рр — dv. = р2 + ад — y.% — т'у. + Фго, (а)
ра-дУС = (Р+р)а-(х + х')х + ^0, (б)
^-^^(т-тОр + ^-тОа + ^ + Фо!, (в)
бр-б0 = (р-р)т + (р/-рОх-ЧГ1 + Фо„ (г) &Л2'32>
бт -р'о = - р'а - а'р + т2 + чей' + Ф02, (д)
^р — бт^рр' + аог' — тт/ — ум'— Ya — 2П (е)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 37
и соответствующих штрихованных (и комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженных) вариантов. Спиновые коэффициенты с неопределенным ве-
весом здесь не фигурируют явно, но они войдут в следующие урав-
уравнения для коммутаторов, в которых операторы действуют на
{/■', г, f, t)-скаляр:
W'- р> = (т - т') б + (т - тО б'- р (хх'- тт') + ¥2 +
+ Фи - П) - q №' - тт' + W2 + Ф„ - П), D.12.33}
рд — др = рд + <тб — т> — кр' — р (р'и — х'а + W{) —
-д(о'ш' + Ф(п), D.12.34)
«'_ б'б = (р'- р')р + (р - р)р' + р(рр' - ао' + Ч2-Фп - П) -
Т2-Ф11-П), D.12.35)
а также в соответствующие штрихованные (с pi—>—р и
^н-»■—^), комплексно-сопряженные (с p^^q и q*-^*p) и штри-
штрихованные комплексно-сопряженные уравнения (с pt—>—q и
<yi—>—р). (Мы полагаем, что р и q — действительные величи-
величины.) Тождества Бианки принимают вид
- 2рФ01 - 20Ф1О + 2хФ„ + йФ02, D.12.36)
д'Фо! + ^Фоо + 2рП = о'Ч0 -
+ р'Фоо - 2тФ01 - 2тФ10
О2, D.12.37)
_ 2д'П в 20^! - 3t'Y2 + грЧ^з -
-2рФ21 + йФ22, D.12.38)
- d'W3 - дФ21 + ^'Фго = 30^2 - 4т'Ч'3 + Р^4 -
- 2х'Ф10 + 2</Фи + р'Фгэ - 2тФ21 + 0Ф22, D.12.39)
рфп + ^5'Фоо - 6Ф1О - б'Ф01 + 3*>П = (р' + р') Фоо +
+ 2 (р + р) Ф„ - (т' + 2т) Фо, - Bт + f') Ф10 - ЙФ12 -
- иФ21 + 0Ф2О + 0ФО2, D.12.40)
рф12 + ргФ01 - 6ФИ - д'Фо, + ЗбП = (р' + 2р') Ф01 + Bр + р) Ф12 -
- (т7 + т) Ф02 - 2 (т + тО Ф„ - й'Фоо - «Ф22 +
D.12.41)
Уравнения для свободных полей с нулевой массой покоя (без-
(безмассовых полей)
?аа'Фав...ь = 0, D.12.42)
где <j>a...l = 4>w...l), записываются в виде уравнений
РФг ~ йфг-l = (Г - 1) о'Фп-2 ~ ГХГфг_х + (П-Г + 1) Рфг -
— (п-г)нф,+1 (/•—!,..., я) D.12.44)

38 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
и аналогичных штрихованных уравнений, в которых компоненты
будут взвешенными величинами типа
Фг= Фо о ,... ,= f^U: (« - г, г; 00} (г = 0, ... , л). D.12.43)
п.—г г
Твисторное уравнение V^}o>B>=0 (где ш — величина, типа @, 1;
0, 0}, а ©' — типа {1, 0; 0, 0}) записывается в виде
и©° = ^@1, аш° = д(о1, d'©° = a'©1, t>V = xV,
£©° + рю° = б'©1 + т'ш1, дш° + т©° = )/©' + р'©1. D.12.46)
Геометрия пространственноподобных 2-поверхностей
Мы полагаем, что в каждой точке ориентированной простран-
ственноподобной 2-поверхности & в пространстве-времени Л
определена спиновая система отсчета (%=1), такая, что флаг-
флагштоки сА и iA ортогональны к 9> в каждой точке, причем про-
пространственная проекция флагштока спинора оА указывает в по-
положительном направлении от 9*. Мы используем модифициро-
модифицированный формализм, так что выбор полотнищ флагов оА и И
несуществен. Следовательно, не имеют значения топологические
ограничения, необходимые для построения гладкого поля по-
полотнищ флагов. Продолжив гладкое поле спиновых систем от-
отсчета в окрестность поверхности ^ в Ж, мы находим, что спра-
справедливо следующее предложение.
Предложение
Если изотропные векторы 1а и па ортогональны простран-
пространет венноподобной 2-поверхности 91, то оба спиновых коэф-
коэффициента р « р' действительны на &.
D.14.2)
Оператор проекции на <? (на поверхности &) имеет вид
Sab = - mamb - mamb, D.14.6)
и Sab имеет смысл отрицательно определенного внутреннего ме-
метрического тензора поверхности 9'. Комплексная кривизна по-
поверхности 9
/C = 0a/-1F2-pp/ + O11 + A D.14.20)
содержит мнимую часть, которая является внешней величиной.
Предложение
К ~h К есть гауссова кривизна поверхности <?. D.14.21)
Отметим, что К можно представить в виде суммы двух частей
аа' — Ч2 и Фц + Л — рр', D.14.41)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 39
причем первая из них имеет простые конформные свойства, а
вторая оказывается действительной. На основании теоремы
Гаусса — Бонне мы заключаем, что если 9?— замкнутая по-
поверхность рода g (при g = 0 это будет топологическая сфера),
то
§K& = 2n(l—g) D.14.44)
■у
и конформно-инвариантная величина
ф(сгсг' — ЧГ2)У действительна; D.14.45)
здесь У есть 2-форма площади поверхности 9", которая опреде-
определяется как
_ i/>: = im/\m, D.14.65)
где m = nii1, m = fhil.
Отметим, что если
& = $abdxa Adx", D.14.52)
то ограничение этой формы на 9" имеет вид
4 *Р : = Ропс = - Picor = IWna/n6, D.14.53)
откуда
^P = Jp^ D.14.66)
г г
для области Гс^.
На 9> можно ввести (локально) голоморфную координату 1
(типа {0, 0}), которая характеризуется условием
д'% = 0
(т. е. б'1=0). Вводя, кроме того, на ^{1,—1}-скаляр Р в со-
соответствии с равенством
д = Р-~ (на скалярах типа {0, 0}), D.14.27)
находим
m= — P~ldl, m= — P~[dl D.14.29)
и для произвольного {s, —s} -скаляра т]
дц = Р'р-°-^(Р3г)). D.14.34)
Если 9° — замкнутая поверхность, то
0, D.14.70)

40 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
где а—величина типа {1, —1}, а а — типа {—1, 1}. Следо-
Следовательно,
* & D.14.71)
где суммарный тип величин ^ и г\ равен {1, —1}, а для %, г\ он
равен {—1, 1}.
На изотропной гиперповерхности
Рассмотрим компактную трехмерную область 2 изотропной
гиперповерхности Jf, ограниченную двумя гладкими простран-
ственноподобными 2-поверхностями:
дЪ = 9" — 9>. D.14.73)
Выберем ориентации так, чтобы флагшток спинора И указывал
в изотропном направлении в J43 (т. е. в направлении нормали
к JF, поскольку поверхность Jf изотропна). Каждую образую-
образующую поверхности JC параметризуем с помощью монотонно воз-
возрастающего параметра и, согласованного с выбором па так, что
выполняется соотношение
n«VaU = U (=^о); D.14.88)
следовательно, U есть {—1, 1}-скаляр. Изотропный элемент
«объема» на )с мы определяем следующим образом:
Jf. = im Am /\l=*U~xi/> /\du. D.14.89)
В приложении к 2 фундаментальная теорема внешнего исчис-
исчисления D.3.25) принимает вид
\ {(*>' - 2р') ц0 - (д - т) ц,} JV = ф ц0^ - ф цо.!Л D.14.92)
где (хо — величина типа {0, 0}, а ц-i — типа {—2, 0}.
§ 15 (гл. 4). Функции на метрической сфере
При изучении сферических гармоник (со спиновым весом)
удобно выбрать в качестве & метрическую сферу радиусом R
в М, которая является пересечением изотропного конуса бу-
будущего 3? точки L с изотропным конусом прошлого Jf точки jV.
Положение переменной точки Q на 9" определяется вектором vla,
исходящим из точки L, и вектором —ипа, исходящим из точки

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 41
N. Тогда v будет {—1, —1}-скаляром, а и— {1, 1}-скаляром, и
спиновая система отсчета ((И, iA) изменяется с перемещением Q
так, как говорилось выше. Нас будут интересовать {р, ^-ска-
^-скаляры, определенные на У, и в частности их свойства, инва-
инвариантные относительно собственных вращений сферы SP (огра-
(ограниченных движений при действии группы Пуанкаре на М,
оставляющих неподвижными как L, так и N), а также свойства,
инвариантные относительно конформных движений сферы 9'.
Последние индуцируются ограниченными пуанкаре-движениями
пространства М, оставляющими неподвижной точку L, причем
<У теперь отождествляется с пространством образующих конуса
3?; можно дать другое определение этих движений, считая, что
фиксированной остается точка N, a SP отождествляется с про-
пространством образующих конуса JC. Как и ранее, мы называем
величину s=(l/2)(p — q) спиновым весом, а бустовый вес
6 = A/2) (р + q) теперь интерпретируется либо как 6 = w (если
точка L остается фиксированной), либо как & = —w (если фик-
фиксирована точка N), где w будет конформным весом.
Имеем
ди = 0, бо = 0, д'и = 0, d'v = O, D.15.28)
(бб' - б'б) / = —sR~2f, D.15.29)
где f имеет спиновый вес s, и
баб'6/ = б/Ьба/ D.15.36)
при Ь — а = 2s. Кроме того, если g определяется соотноше-
соотношением х)
+lf, D.15.30)
где f —величина типа {р, q) и р ^ 0, то соотношение между f
и g инвариантно относительно ограниченных преобразований
Лоренца, оставляющих неподвижной точку L; то же справед-
справедливо для соотношения между / и h
А = (об)<7+1/, D.15.32)
если q^O. Конформно-инвариантная операция в формуле
D.15.32) по существу эквивалентна действию оператора 6w~s+l
на скаляр со спиновым весом s и конформным весом w ^ —s,
тогда как для соотношения D.15.30) следует взять оператор
F)w+s+l при w>s.
') Множитель v вводится здесь только для того, чтобы рассматриваемые
величины имели правильный бустовый вес. На практике же в вычисления^
при желании можно положить о' = 1.

42
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
Мы определяем сферическую гармонику со спиновым весом 1)
как {р, q)-функцию на 9", которая будет собственной функцией
h оператора бб:
б'бЛ = -(/ + а+1)(/-в)у/ГаЛ, D.15.54)
где s — спиновый вес собственной функции h, а / — целое или
полуцелое число («полный спин»), удовлетворяющее неравен-
неравенству
Спиновые сферические гармоники можно определить иначе —
как компоненты в базисе оА, И постоянного спинора
...£>)<£'...Я"), D.15.42)
для которого
Ja...de'...h'Te -..Th ^Sa...h,
где Та — времениподобный вектор в направлении LN. Здесь
символом SU обозначена подсистема (векторное пространство
над С) ©о«, образованная постоянными спинорными полями, а
также приняты обозначения со скобками, введенные в формуле
C.3.14).
Полезна следующая таблица:
i
1
2
j
4
6
3
5
2
4
6
1
3
5
2
4
6
3
5
4
6
5
-2
-1 -
0
1
1...
D.15.60)
Числа в треугольном массиве (неограниченно простирающемся
вниз)—комплексные размерности различных пространств этих
гармоник; оператор б переводит нас на одну s-единицу вправо
и дает нуль в том и только в том случае, если он выводит за
рамки массива; действие оператора б аналогично, но в проти-
противоположном направлении. В частности, имеем следующее пред-
предложение.
■') См. [210]; по существу те же самые объекты, неудачно названные «гар-
«гармониками монополя>, описаны в работе [380], см. [76], а также ранние ра-
работы [90, 71, 333]; см. также ссылку на функции Гегенбауэра в работе [53].

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 43
Предложение
Если функция /, определенная на 9", имеет отрицательный
[положительный] спиновый вес, то из равенства df = О
[или 67 = 0] следует равенство / = 0. D.15.59)
Отметим, что если s = y=Q (верхушка треугольника), то гар-
гармоника будет константой. Следовательно, если h характеризу-
характеризуется значением s = 0 и удовлетворяет одному из уравнений
бЛ = О, б'Л = О, ббЛ = О, бб'Л = О, то h есть константа на сфе-
сфере 9>.
Таблица D.15.60) оказывается также полезной при рассмот-
рассмотрении конформных преобразований сферы Э?. Фиксируя точку
с координатами (s, /), находим для заданного конформного веса
ш=/, что пространства, которые изображаются множеством
точек s-столбца, расположенных сверху до выбранной точки
включительно, вместе образуют (/-f-s+l)(/ — s+1)-мерное
пространство, которое преобразуется в себя при конформных
движениях сферы Ф. [Оно совпадает с пространством компонент
спиноров D.15.42) при p = j-\-s, q = j — s.\ Если же мы поло-
положим конформный вес равным w =—/ — 2 (дуальная ситуация),
то можно показать, что свойство величины со спиновым весом s
иметь нулевую проекцию на указанное подпространство кон-
конформно-инвариантно.
Выбирая на 3* стандартную стереографическую координату
%, определенную формулой A.2.10), находим, что она антиголо-
морфна, и поэтому можно положить
1 = 1 D.15.115)
Затем, полагая Р > 0, находим, что
р=Ш- DЛ5Л16)
и для величины ti типа {s, —s} справедливы равенства
б —
D.15.117)
Отметим, что при /=1/2 спиновые сферические гармоники
(в ^-координатах) будут линейными комбинациями величин

44 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА I
(кратными -1/2^1/2, -1/2 и -1/2^1/2, i/2 соответственно) или величин
(при s = — )
ss + i v 2;
(краТНЫМИ 1/2^1/2,-1/2 И 1/2^1/2, 1/2). ЕСЛИ /=1 И 5 = 0, ТО ОНИ
будут линейными комбинациями величин
с сё — 1 ё
ССЧ-1 " SS + 1 SS + 1
(кратными оУ-1.-ь 0У-1, о и оУ-i, i).
Производные заряженных полей
При наличии заряженных полей символ Va обозначает опе-
оператор ковариантной производной, зависящей не только от кри-
кривизны, но также от электромагнитного поля. Таким образом, для
скалярного поля ip на Ж с зарядом е имеем
ibab^ = eFab1p, E.1.30)
где Да6 — оператор D.2.14), а Fab — тензор поля Максвелла.
Более общий результат: если "§л е ©■* (где ©** — модуль спи-
норных полей с зарядом е и индексом типа si>), то справедливо
следующее предложение.
Предложение
Величина Ь.аЬ^л отличается от результата действия ком-
коммутатора на незаряженный спинор ■$•* лишь дополнитель-
дополнительным членом —ieFgb'ty*. E.1.31)
В частности,
ЛаЛ = ~ Robert - ieFab^c. E.1.34)
В соответствии с C.4.20) спинорная запись тензора Fab имеет
вид
раь = Флвел-в' + sab4a'b-'> E.1.39)
этим соотношением определяется электромагнитный спинор
Флв = Ф(ЛВ). Если оператор Пав [формула D.9.2)] действует
на поле ip* с зарядом е, то результат отличается от случая
незаряженного поля г|И слагаемым —1е^Ав^А, и то же спра-
справедливо ДЛЯ Пл'В'» т- е-
= Хавс°Ъс - ie<pABqD, E.1.44)
= Фл'в'С°Фс - 'ефд'в^. E.1.45)
Потенциал Фа, для которого
Fab = Va®b—Vb<ba, E.1.37)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 45
связан с Флв соотношением
цг E.1.46)
Если выполняется условие калибровки Лоренца
VaOa = 0, E.1.47)
то соотношение E.1.46) может быть приведено к виду
Чав = ЧА'аЧ'- E-1.49)
При наличии источника имеем
b E.1.38)
Ток J" — действительная (и незаряженная) величина, которая
удовлетворяет уравнению
Va/a = 0. E.1.54)
В спинорной записи уравнение E.1.38) имеет вид
Va'%ab = 2kJaa'. E.1.52)
При /а=0 получаем еще один пример [кроме D.4.61) и
D.10.9)] уравнения D.12.42) для свободного безмассового поля,
а именно
улд-флв = 0. E.1.57)
Напишем явные соотношения между компонентами фАВ и
компонентами поля Максвелла:
Фоо =
ФО1 =
Фи =
1
i.(_/?03_i/?12)= J-C
4" (^ei— Fol + lFm -iFw
E.1.59)
+ Ю2),
причем комплексный 3-вектор С связан с электрическим 3-век-
тором Е и магнитным 3-вектором В соотношением
C = E — iB. E.1.60)
Хорошо известные скалярные инварианты
Р = В2 — Е2, Q = 2E-B E.1.67)
в спинорной форме записываются следующим образом:
К := ФлвФлв = т ~Fab~Fab = т ^ь'Р0" = Р + iQ. E.1.68)
Иногда мы рассматриваем комплексное поле Максвелла, и в
этом случае величину фл,в, в формуле E.1.39) следует заменить

46 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
независимой величиной фЛ/В/. Соответственно этому
К := ФЛ,В-ФЛ'В' = Тр*ь+раЬ = P~iQ E.1 -69)
не зависит от К, и мы имеем обращенные равенства
р = (К + К)/2, Q = (K- K)I2L E.1.70)
Действительное поле чисто электрическое (или чисто магнит-
магнитное) [т. е. может быть приведено с помощью преобразования
Лоренца к виду, когда В = 0 (или £ = 0)], если К < 0 (или
К>0). Действительное поле простое, если К— действительная
величина.
Электромагнитный тензор энергии-импульса имеет простой
вид в спинорной записи:
Таь = &Г ЧавФа'в- E.2.4)
Если этот тензор рассматривается как источник гравитационного
поля, то уравнения Эйнштейна D.6.32) принимают вид
|Л, E.2.6)
а тождества Бианки D.10.7) записываются следующим образом:
- E-2.7)
Поля Янга — Миллса
Мы обозначаем заглавными греческими буквами индексы,
относящиеся к слою. В частности, заряженное поле Янга — Мил-
Миллса (ЯМ-заряженное) Кф содержит такой индекс. Теперь сим-
символ \а при действии на такие поля имеет смысл связности в
расслоении, удовлетворяющей условиям
Va:Z*->Z? [или <5Ф^<S?\, E.4.17)
E.4.18)
Va (ДФ) = X*VJ + /VaA*, / e= t [или ©I, E.4.19)
где через £ф в случае действительного векторного расслоения и
через <3Ф в случае комплексного векторного расслоения обозна-
обозначен модуль сечений расслоения (снабженный абстрактным ин-
индексом Ф). Кривизна в расслоении Каьаф [в отсутствие круче-
кручения; ср. с формулой D.2.31)] определяется как
/fawV = (VaV6 - V6Va) ЛФ. E.4.23)
В случае полей Янга — Миллса (ЯМ) мы часто принимаем,
что расслоение снабжено унитарной (эрмитовой) структурой

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 47
(т. е. комплексное сопряжение переставляет верхние и нижние
заглавные греческие индексы). Вместо Каьаф мы используем ве-
величину FabQ® ^= Н(аьаф, которая в этом случае эрмитова и удов-
удовлетворяет уравнению
Aabfa = $eFab4re. E.5.30)
Ее компоненты, принадлежащие слою, выражаются через по-
потенциалы ЯМ Фае4' (матрица ковекторов) по формуле
-L FabBv = V[a<D61 в* - 1Фл*1аФь\ вл E.5.28)
(причем пространственно-временные индексы перестановочны
с индексами ЯМ-компонент). Действие калибровочных преоб-
преобразований записывается в виде
в=Ф./Г.ЧТ+V V»'* E-5-25)
при этом абстрактная кривизна Раьв^ (поле ЯМ) не изменяется.
Матрицы (г **\ и (<7-чг) взаимно обратны (а также эрмитово-
сопряжены в унитарном случае).
В спинорной записи имеет место разложение
раьвЧГ = Ч>АвеЧГгА'В' + &А'в>ХА'в>еЧГ> E.5.36)
в котором
ЧГ m V J_C- С V
Ч'(ЛВ) в 2 ABC в '
2 E.5.37)
_L p с чг
2 с Л'В'
(в унитарном случае эти величины комплексно-сопряжены друг
с другом). Имеем ^спинорные «тождества Риччи»
и выражения через потенциалы
А Л
E-5-41)
Полевые уравнения ЯМ (без источников)
VFabe* = 0 E.5.35>
совместно с тождеством
V[aF6cle4r = 0 E.5.34)
в спинорных обозначениях записываются в виде

48 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
Самодуальная и антисамодуальная части поля ЯМ имеют вид
^> E-5-49)
«г- E.5.50)
Поле ЯМ называется самодуальным (антисамодуальным), если
его антисамодуальная (самодуальная) часть равна нулю. В этом
случае уравнение E.5.35) следует из E.5.34).
Конформные изменения масштаба
Мы полагаем, что конформное преобразование метрики про-
пространства-времени
ёаЬ^йаЬ = &ёаЬ E.6.1)
сопровождается «геометрически естественным» преобразованием
8лв ■-> 8ЛВ = &&ав E.6.2)
(одновременно с преобразованием комплексно-сопряженной ве-
величины), где Q — нигде не обращающееся в нуль (обычно поло-
положительное) действительное скалярное поле. (Индексы величин
со шляпками поднимаются и опускаются с помощью символов
g. и ё.) Определяя
To = Q~1VoQ = ValnQ, E.6.14)
находим, что ковариантная производная преобразуется сле-
следующим образом:
V vp...s' w vp...s' у vp...s'... v vp...s'
т AA'*B ... F' v АА'*В ... F'... х ВА'*А... F'... ' • ' L AF'X-B ... А'... • ' •
■ - • + ч^ха^в-Л'-:. + ■•■+ *$аХах*.рв-::Л'>:: +■■•■ E.6.15)
При преобразованиях E.6.1), E.6.2) диада может преобразо-
преобразовываться по-разному, а потому мы пишем
6A = Qw°oA, iA = Qw>'iA, x = Qw°+Wl+l%. E.6.2)
Полагая
© = lnQ, E.6.23)
находим, что спиновые коэффициенты преобразуются следую-
следующим образом:
р
д
8
a
Р
Y
V,
Р'
а'
ё'
6'
Р'
ft'

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 49
X
(р-
с
х —
S2
Z)co)S
iS
-в©
[в
+ (<
а
Р +
(Y-t
г»0+ l)Z)co]S
+ Шоб'со
(ш0 + 1) бсо
- WoD'a)?,'1 [в
(Y'+a»i
Р' + (a»i
а' + а
' + (Ш! +
Da
+
1)
OS
1N'
га
D'co]
со
(Р'
(
—
— б'со
D'cuJS
В частности,
Величины х, а, х', о' суть конформные плотности
E.6.28)
веса Зш0 — W\, 2ш0, Swx — w0, 2wx соответственно, а также
Величина х — х' и мнимые части величин р, р', е, г', у, у'
являются конформными плотностями E.6.29)
веса, соответственно, wo + wu 2ш0, 2ш0, 2wu 2w0, 2wx. Здесь сло-
слова «величина ti конформного веса w» означают, что эта величина
преобразуется в соответствии с равенством
Л = £2юл E.6.32)
при конформном преобразовании E.6.1), E.6.2), E.6.22). Пред-
Предположим, что л — одновременно величина типа {r\ r; f, i) [т. е.
она преобразуется по закону D.12.9) при масштабных преобра-
преобразованиях диады D.12.2)]. Тогда мы вводим следующие опера-
операторы, определяемые их действием на величину г\:
рс = р + [w — г' (w0 + 1) — rwi — t' (ш0 + 1) — twi\ р,
— rw{ — t'w0 —
К = д' + О - r4 - г (а», + 1) - /' (w0 + 1) - /a»,] x'.
Величины, которые получаются при действии таких операторов
на т), будут конформными инвариантами:
= 6cfj =
Используя эти операторы, можно упростить модифицированные
уравнения для свободных безмассовцх полей и привести их к

50 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
виду
бсфг ~ КФг-i = (г ~ V *'Фг-2 ~(п-г) афг+1, (Ь
а также упростить модифицированную запись твисторного урав-
уравнения D.12.46):
дсоа° = а/оа1, д(хо1=О(а0,
' р'саР = н'<о1, рса>1 = уш°, E.6.38)
и уравнения D.14.92), выражающего фундаментальную теорему
внешнего исчисления для случая изотропной гиперповерхности:
^- E-6-40)
Безмассовые свободные поля
Выше мы записали полевое уравнение D.12.42) для свобод-
свободного безмассового поля фАв... l = Ф(ав ... d со спином л/2 (п ин-
индексов). Комплексно-сопряженная форма этого уравнения
V^'W ...// = 0, QA'B'...l> = Q{a'B'...l') E.7.3)
также описывает свободное без массовое поле со спином л/2, но
между этими полями существует определенное различие, а имен-
именно если мы рассматриваем положительно-частотные волновые
функции, то E.7.3) описывает правополяризованные безмассо-
безмассовые частицы [спиральность -\-(l/2)ntt], тогда как D.12.42) опи-
описывает левополяризованные частицы [спиральность —A/2)лЙ].
Отметим также, что, вообще говоря, эти уравнения выполняются
только в (конформно) плоском пространстве-времени, поскольку
выкладки
0 = П^ФАВС ... L = *№) ФАВС ... L
_ ХАВМвфАМС L — ХавмсФавм ...l~ ■■ ■ — ХЛВМьФавс ... м
E.8.1)
приводят к уравнению связи Фирца — Паули — Бухдала —
Плебаньского
(» - 2) Фавм(с... **«"* = - "<*АВФавс ... l- E-8,2)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 51
Случай п = 4 четырехмерного пространства Минковского М
представляет особый интерес, поскольку в этом случае уравне-
уравнения для безмассовых полей совпадают с линеаризованными
уравнениями общей теории относительности. Мы полагаем, что
метрика пространства-времени gab (и) является гладкой функ-
функцией параметра ц, причем gab=gab@) есть метрика Минков-
Минковского и
gab (") = gab + "Kb + О (ц2).
Получаем
Къи ■= Ит ("~Ч6с (")) = 2V[OV, [eAfl, д E.7.4)
для кривизны в приближении слабого поля, а уравнения Эйн-
Эйнштейна в этом пределе имеют вид
Каьс ~ т SacKbdbd = -8nGEac E.7.6)
(где Еаь — тензор энергии-импульса в приближении слабого
поля). Тензор Kabcd обладает симметриями тензора Римана и в
отсутствие источников допускает спинорное описание вида
D.6.41):
Kabcd = fABCDeA'B'eC'D' + Фл'^С'ОгАВеСО ■ E.7.8)
В отсутствие источников <j>abcd удовлетворяет уравнению
D.12.42) для безмассового свободного поля [ср. D.10.9)] в силу
линеаризованных тождеств Бианки
VlaKbc}de = 0. E.7.9)
Выражение через линеаризованную метрику hab таково:
Свойства при конформных изменениях масштаба
Уравнение для безмассового свободного поля D.12.42) сохра-
сохраняет свой вид при конформных изменениях масштаба при любом
п, если положить
*AB..L = °rl+AB~L' E.7.17)
поскольку в этом случае из соотношения E.6.15) следует ра-
равенство
*АА'*ав...ь= &~^АА'*ав...1.- E.7.20)
Другое конформно-инвариантное уравнение — равенство нулю
E.9.1)

S2 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
ковариантной дивергенции бесследового симметричного тензора
Таь = Т(ав)(А'в'). Действительно, если
ТаЬ=ОГ2ТаЬ, E.9.2)
то из E.6.15) мы получаем
Мы видели, что электромагнитный тензор энергии-импульса
E.2.4) принадлежит к тензорам этого типа. То же справедливо
для тензора энергии-импульса в случае уравнения Дирака —
Вейля D.4.61) (вместо v^ мы используем символ фА)
Таъ = Ь (™{а*в)А'*в' ~ 'VVb'Mvb) E-8.3)
(k — некоторая действительная константа). Проверка уравнения
E.9.1) для тензора E.8.3) в искривленном пространстве-вре-
пространстве-времени облегчается, если использовать тождество
*А'*В'(А$В) = ^В'В^А&А ~2 ^А'В^В&А + .А>В&В ABA
E.8.4)
которое потребуется нам в дальнейшем.
Закон сохранения тока заряда E.1.54) также конформно-
инвариантен при замене
/a=Q~2/a. E.9.3)
Это прямо следует из того, что в силу уравнения E.1.54) равна
нулю внешняя производная величины+/ [формула C.4.29)]
+/ = +/м1<3 = ^заЛ E-9-5)
так как
dfJ = 7№+/w.u = —j (Va/a) е1Ш. E.9.6)
Отметим, что
eabcd = &eabed, E.9.7)
а поэтому закон преобразования E.9.3) согласуется с равен-
равенством +/=+/. Естественный закон преобразования величины
F = Fiti, как 2-формы, а именно F = F, тоже согласуется с
уравнениями Максвелла, содержащими источник [формула
E.1.38)],
dF = Q, d'F = -~fJ. E.9.13)
Следовательно, при обычном законе масштабного преобразова-
преобразования безмассового поля E.7.17)
т. е. ФЛВ = О-УВ. E.9.8)
уравнение E.1.52) также является конформно-инвариантным.

Краткое Содержание Тома i gg
Другие полевые уравнения
Волновому уравнению
п ф := ?ААУАА,ф = о E.10.6)
можно дать спинорную трактовку, если переписать его в виде
v£vil'* = 0. E.10.7)
Равенство E.10.7) означает, что величина ^аа'^вв'Ф есть сим-
симметричный спинор [в смысле предложения C.3.62)]. В про-
пространстве М всякое безмассовое свободное поле [в том числе и
поле ф, удовлетворяющее уравнению E.10.6)] обладает тем
свойством, что его повторные производные любой кратности
(без свертки) дают симметричные спиноры. Обозначим резуль-
результат дифференцирования через 8л ."'if (с правильным располо-
расположением индексов). Тогда
„АА'пР'... S' n ~ nP'Q'.-S' n » 1nm
V Qab...e=0, vppSa...e =0. E.10.9)
И наоборот [формула C.3.14)], справедливо следующее.
Предложение
Если выполняются соотношения E.10.9), то поле 9л.."/ ^
s 3(л.;; £)' представляет собой п-ю производную некото-
некоторого свободного безмассового поля. E.10.10)
Уравнение Дирака для электрона (спин 1/2) может быть
записано в 2-спинорном виде
?лл'чгл==цхл'( Vaa^'=-V-xPa. E.10.15)
где Йцд/2 — масса. (Разница в положении индексов у спино-
спиноров фл и %А' не имеет значения.) Уравнение Шредингера —
Клейна — Гордона (спин 0) имеет вид
(П+2ц2)9=0. E.10.20)
Уравнение (Дирака) для больших спиноров (в М в случае,
когда нет электромагнитного поля) записывается в виде пары
связанных уравнений
—г%во yAP'^BD — И>ч>лво (oi
в которых спиноры предполагаются симметричными (масса та
же, что и выше), а спин равен половине числа индексов каж-
каждого спинора. В силу симметрии обоих спиноров выполняются
два «дополнительных условия»
"bT' = 0. VWZZd Г = °- E-1 °-36)
Кроме того, каждый из спиноров -ф"; и %'." удовлетворяет урав-
уравнению E.10.20).

54 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1
Данные на изотропной гиперповерхности
Система спинорных полей, удовлетворяющих полевым урав-
уравнениям и уравнениям для коммутаторов производных, образует
точную систему, если все симметризованные производные могут
принимать любые значения в произвольной точке, а все несим-
метризованные производные могут быть выражены через сим-
симметризованные. Всем обычным «самосогласованным» системам
полей (например, системе Эйнштейна — Максвелла — Дирака)
может быть придана форма точных систем. Пусть Jf — изотроп-
изотропная гиперповерхность, а спинор \А определен на JT так, что его
флагшток направлен вдоль образующих гиперповерхности Jf.
Если 1|)л Ер, s — поле, принадлежащее рассматриваемой си-
системе полей, то его изотропные данные в точке leyf опреде-
определяются как
Ф = 1Л ... 1ЧР' ... !5'|>Л...ЕР'...5'1Г E.11.11)
Определение точной системы полей эквивалентно утверждению,
что вдоль светового конуса (в аналитическом пространстве-вре-
пространстве-времени Ж) нулевые данные на JC для всех полей системы обра-
образуют полное неприводимое (без связей) множество начальных
данных.
Простейший пример точной системы — единственное свобод-
свободное безмассовое поле Фа.-.l в М. Пусть J? — изотропная гипер-
гиперповерхность общего вида (но допустимая) в пространстве М.
Тогда можно использовать обобщенную формулу Кирхгофа —
Дадемара
£§ ■■ Л,^-^ E.12.6)
чтобы выразить в поле в точке Pel через изотропные данные
ф в точках Q многообразия 3", которое является пересечением
светового конуса <£? точки Р с Jf. При смещении точки Q флаг-
флагштоки спинора г)А направлены вдоль образующих гиперповерх-
гиперповерхности JP и параметр г определяется соотношением
(QP)a = гг\АцА'. E.12.2)
Оператор рс определен в формуле E.6.33), спиновая система
отсчета здесь выбирается в виде
ол = 1л, iA= — цА E.12.7)
(так что 1лПл=1)! и можно написать
D-ne~(n+l)p. E.12.8)
Как и прежде, if есть 2-форма элемента поверхности 9* в
точке Q.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 1 55
Для доказательства формулы E.12.6) мы сначала фикси-
фиксируем Ч? и, изменяя 9*, показываем, что правая часть не зависит
от выбора сечения & конуса W, а затем переходим к пределу,
когда 91 стягивается к Р. То, что интеграл не зависит от выбора
сечения, следует из формулы D.14.92) (точнее говоря, из фор-
формулы, ей комплексно-сопряженной, с заменой Jf на <&), а так-
также из равенства нулю величины А, определяемой соотношением
А := (р' — 2р') цо' - (б - т) [х, = 0. E.12.17)
Здесь
11О' = а>пг-%ф, E.12.16)
ц1> = а>пг-1(дф — (п+ 1)хф + паф) E.12.18)
при ^, = ^lo...o и <й = <йлЛл. где <йл — константа на М. При же-
желании можно заменить величину (лпг~1 {—п— 1, —1} — скаля-
скаляром Г, удовлетворяющим (при р' = 0) условиям
^Г = О = б^Г, т. е. }>Т = 0, 6Г = О. E.12.32)
На этом мы заканчиваем сводку наиболее важных резуль-
результатов первого тома. Он был посвящен в основном установлению
связи между фундаментальными понятиями 2-спинорного исчис-
исчисления и геометрии, а также спинорному описанию наиболее из-
известных физических полей. Далее мы рассмотрим с более общей
точки зрения те из важных вопросов геометрии пространства-
времени, при анализе которых спинорный метод оказался осо-
особенно плодотворным. Сюда относятся асимптотики и тензор
энергии-импульса в общей теории относительности, подробная
классификация типов кривизны пространства-времени и геомет-
геометрия изотропных лучей. В качестве большой и важной части на-
нашего изложения нам придется также дать введение, знакомя-
знакомящее читателя с мощными методами теории твисторов. С этого
мы и начнем.

6
Твисторы
§ I. Твисторное уравнение и пространство его решений
В первом томе мы неоднократно подчеркивали, что два-спи-
норное исчисление оказывается исключительно полезным при
изучении структуры многообразий пространства-времени. Дейст-
Действительно, четырехмерность и сигнатура (Ц ), а также
требуемые глобальные свойства пространственной ориентируе-
ориентируемости, ориентируемости во времени и существования спиновой
структуры могут рассматриваться в известном смысле не как за-
заданные наперед, а как выводимые из свойств двухкомпонентных
спиноров. До сих пор значимость такого подхода представлялась
ограниченной, поскольку само многообразие точек пространства-
времени все же считалось заданным, хотя его природа в какой-то
мере определялась требованием существования спиновой струк-
структуры. Если принимать всерьез мысль о том, что все свойства про-
пространства-времени должны выводиться из более фундаменталь-
фундаментальных спинорных свойств, то нам нужно было бы найти подход,
при котором точки пространства-времени можно было рассма-
рассматривать как производные объекты.
Спинорная алгебра недостаточно богата, чтобы служить
основой такого подхода, но определенное ее расширение, а имен-
именно алгебра твисторов, действительно может рассматриваться как
первичное по отношению к пространству-времени. Более того,
оказывается возможным дать определение других физических
понятий, исходя непосредственно из понятия твисторов и не
обращаясь к промежуточной стадии точек пространства-времени.
По существу цель твисторной теории состоит в том, чтобы всю
фундаментальную физику перевести на твисторный язык. С из-
известной долей спекулятивных рассуждений и различной сте-
степенью полноты понятия точки пространства-времени, кривизны,
энергии-импульса, момента количества движения, квантования,
структуры элементарных частиц и их внутренних квантовых чи-
чисел, волновых функций, полей в пространстве-времени (включая
их нелинейные взаимодействия) могут быть определены более
или менее прямым путем на основе исходных положений теории
твисторов.
Однако теория твисторов весьма сложна в математическом
отношении. Чтобы с достаточной полнотой и общностью издо-

твисторы §7
жить все аспекты теории, упомянутые выше, потребовалась бы
книга, намного превосходящая этот том. (Некоторые из указан-
указанных вопросов будут рассмотрены в книге [361].) Во всяком
случае, чтобы полностью оценить теорию твисторов и научиться
пользоваться ею, необходимо изучить теорию спиноров, в основ-
основном те ее результаты, которые изложены в первом томе. Таким
образом, мы отнюдь не претендуем на полноту изложения тео-
теории твисторов. Будет дано лишь расширенное (пожалуй, не-
несколько одностороннее) введение в предмет. Мы подробно
изложим в основном ту часть теории, которая связана со спинор-
ными описаниями твисторов, и итметим глубокую связь твисто-
твисторов с понятиями энергии-импульса, момента количества движе-
движения, а также безмассовых полей. Мы не будем подробно обсуж-
обсуждать, в каком смысле твисторы можно считать объектами более
элементарными, чем точки пространства-времени, не будем так-
также долго останавливаться на вопросах квантования, теории ча-
частиц и нелинейной теории поля. Всюду в этой главе, кроме раз-
раздела о локальных твисторах в общем искривленном простран-
пространстве-времени (а теория локальных твисторов находится несколь-
несколько в стороне от общей теории твисторов), мы будем рассматри-
рассматривать твисторы в основном в пространстве-времениМинковского
М, хотя и будем всякий раз подчеркивать связь с аналогичными
свойствами в искривленнном пространстве-времени. В гл. 7, § 4
мы укажем на некоторые приложения теории твисторов для слу-
случая произвольного пространства-времени JC (в частности, их
связь с гиперповерхностью Ж с Ж). В гл. 9, § 5 будет пока-
показано, как твисторы могут быть использованы в космологических
моделях. В гл. 9, § 9 мы введем понятие твисторов на 2-поверх-
ности и покажем, как теория в плоском пространстве-времени,
изложенная в § 3—5 данной главы, преломляется в контексте
искривленного пространства, а также предложим квазилокаль-
квазилокальное (и асимптотическое) определение массы-импульса-момента
импульса в области, ограниченной 2-поверхностью (причем
асимптотическое определение массы-импульса будет согласо-
согласоваться со стандартным определением Бонди — Сакса). Однако
нам пришлось опустить большую часть теории твисторов в про-
произвольном искривленном пространстве-времени. К сожалению,
твисторное описание кривизны — один из наиболее сложных и
развитых (и даже наиболее интересных, хотя и не до конца
решенных) вопросов теории — остается за рамками нашей кни-
книги. (См. [252, 254, 122, 336, 342, 358, 267, 285, 131, 13, 366].) Су-
Существует много замечательных приложений теории твисторов
уже в приближении слабого поля в теории относительности
(§ 4, 5). Этот материал будет существенно использоваться в
гл. 9, § 9 при обсуждении искривленного пространства. (См.
также [141].)

б8 ГЛАВА 6
Твисторное уравнение
Мы будем исходить из уравнения [формулы D.12.46) и
E.6.38)]')
#a> 0, F.1.1)
называемого твисторным уравнением [239] (см. также [99] J).
Сначала исследуем его формальные свойства, отложив обсуж-
обсуждение физического и геометрического смысла до следующих
параграфов. Во-первых, легко показать, что оно конформно-
инвариантно. Выбрав
&в = а>в, F.1.2)
получаем из E.6.15) и E.6.14)
Vaa,&b = v^g>s + е/ТСл^, F.1.3)
откуда
V^cb^^Q-'V^). F.1.4)
Тем самым конформная инвариантность доказана.
В искривленном пространстве-времени существует жесткое
условие совместности для уравнения F.1.1), аналогичное усло-
условию E.8.2). В самом деле, мы имеем [формулы D.9.2), D.9.11),
D.6.35), E.1.44)]
уА'(СуА/(йВ) = _ ЩСАоуВ) = _ VjfCA^aD _ геф(СЛ(йВ)) (Q. 1.5)
что позволяет учесть наличие электромагнитного поля и возмож-
возможное наличие у поля &в заряда е. Таким образом, из уравнения
F.1.1) следует уравнение
^ABCD^D=-ie%AB^Cy F-1.6)
аналогичное уравнению E.8.2). Если (л° =ф О и е = 0, то, учиты-
учитывая предложение C.5.26), мы находим, что <л° есть четырех-
четырехкратный главный спинор спинора Wabcd. Таким образом, нену-
ненулевые незаряженные решения твисторного уравнения могут
существовать лишь в точках, где спинор Wabcd либо равен нулю,
либо является «изотропным» (т. е. имеет четырехкратный глав-
главный спинор). При е ф- 0 ситуация не улучшается. Учитывая эти
трудности, мы будем в настоящей главе рассматривать уравне-
уравнение F.1.1), ограничиваясь случаем конформно-плоского про-
пространства-времени (которое характеризуется условием WAbcd =
') Все формулы, предложения и т. д. из первого тома (т.е. из гл. 1—5),
на которые мы ссылаемся в этом томе (кроме немногочисленных прямых
ссылок на том 1), можно найти в предпосланной сводке содержания тома 1.
2) Один из вариантов этого уравнения, записанный с использованием
Y-матриц, был предложен Вессом и Зумино [367] в связи с теорией супер-
суперсимметрии. Смотри приложение к этому тому: (Б.94), (Б.95).

твисторы 59
= 0; см. § 8, 9), причем большая часть вычислений будет выпол-
выполнена фактически в пространстве Минковского М. Обобщение на
конформно-плоское пространство затем получается из условия
конформной инвариантности. (Относительно обобщения на
искривленное пространство см.: локальные твисторы — § 9; тви-
твисторы на гиперповерхности — гл. 7, § 4; на 2-поверхности —
гл. 9, § 9.) Даже в плоском пространстве уравнение F.1.6)
имеет лишь тривиальные решения, если е^Ои поле <рАВ не вез-
везде равно нулю. Поэтому в дальнейшем, если специально не ого-
оговаривается, все поля будем считать незаряженньили.
В пространстве Минковского уравнение F.1.1) допускает не-
нетривиальные решения. Найдем их явный вид. Для этого фикси-
фиксируем в М произвольную точку О в качестве начала координат
и будем описывать точки векторами ха, исходящими из точки О.
Мы рассматриваем ха как векторное поле на М. В точке О оно
принимает нулевое значение и всюду удовлетворяет уравнению
VaX" = ga\ F.1.7)
поскольку в стандартных координатах Минковского компоненты
ха вектора ха, определяющего точку, совпадают с координатами
этой точки. Далее рассмотрим величину
F.1.8)
где сос — решение уравнения F.1.1). Эта величина антисим-
антисимметрична по индексам В, С. Но так как пространство М плоское,
производные коммутируют, откуда следует антисимметрия по
индексам А, С. Следовательно, все выражение F.1.8) антисим-
антисимметрично по индексам А, В, С, а значит равно нулю. Это говорит
нам, что V|,a)c есть константа. В силу антисимметрии она долж-
должна быть пропорциональна евс, например равна —ingzBC, где
п#— некоторый постоянный спинор. (Множитель —i введен для
удобства.) Таким образом, имеем
VB^a>c = - ieBcnA>. F.1.9)
Интегрирование этого уравнения дает ю = хВА' (— isBcnA')-\-con&i,
что можно показать, записав его в явном координатном пред-
представлении; следовательно, мы находим
— ixAA'nA>,
F.1.Ю)
о о
где <аА и лА' — спиноры, которые имеют следующий смысл. Так
как а>А—спинорное поле, правая часть первого равенства
F.1.10) тоже должна быть спинорным полем. Это требование
можно выполнить, рассматривая юЛ и пА' как постоянные

60 ГЛАВА 6
спинорные поля, значения которых совпадают со значениями
спинорных полей юл и яА', соответственно, в начале координат.
В дальнейшем такой смысл будут иметь все спиноры, которые
отмечены кружком над корневой буквой. (Символ «о» над пА'
здесь, конечно, «избыточный»; но он поможет сделать более по-
последовательным дальнейшее изложение.)
Пространство твисторов
Как и решения всех (комплексных) линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, решения твисторного уравнения образуют век-
векторное пространство над комплексными числами со стандарт-
стандартными правилами сложения и умножения на скаляр. В случае
линейных уравнений общего вида это пространство часто ока-
оказывается бесконечномерным. В нашем же случае из уравнения
F.1.10) следует, что решения со4 твисторного уравнения пол-
полностью определяются четырьмя комплексными числами — зна-
значениями компонент полей аИ и пА' в спинорном базисе в точке
О. Следовательно, такие решения образуют четырехмерное век-
векторное пространство Та над полем комплексных чисел, называе-
называемое пространством твисторов (его действительная размерность
равна, очевидно, восьми). Элементы пространства твисторов на-
назовем [д]-твисторами и будем обозначать «рублеными» заглав-
заглавными корневыми буквами с (четырехмерными) строчными гре-
греческими абстрактными индексами, например Z". Если этот сим-
символ означает определенное решение шл уравнения F.1.1), то мы
пишем
Умножение на комплексное число и сложение твисторов опреде-
определяются очевидным образом:
Х[(ЛА] = [ЫА] (ЯеС), К] + [£Л] = К + 1Л]. F.1.12)
Из [ц]-твисторов можно сконструировать твисторы произволь-
произвольной валентности [£], пользуясь обычными правилами построе-
построения тензорных объектов, изложенными в гл. 2.
Используя абстрактные индексы, мы получаем копии про-
пространства Та: Тр, Ту, ..., а также пространства Тр7*, ... . Но
оказывается, что твисторы высшей валентности, вообще говоря,
не могут быть представлены одним спинорным полем. Чтобы
сделать более последовательной и более простой в обращении
алгебру твисторов высшей валентности в спинорном представ-
представлении, гораздо удобнее описывать Za двумя полями"© и пАг,
а не одним полем оИ. В этом случае вместо равенства F.1.11)

ТВИСТОРЫ 61
мы пишем ')
Za = (юл, я,,-), F.1.13)
где <лА и пА' связаны между собой соотношением F.1.9) [или,
что эквивалентно, равенствами F.1.10)]. В отличие от F.1.11)
представление F.1.13) не является конформно-инвариантным
(см., однако, § 9).
Поскольку поле <оА полностью определяется постоянными
спинорами ю-4 и пА' [формулы F.1.9) и F.1.10)], мы можем
представить его, а следовательно, и поле Za значениями юл(О)
и яЛ'(О) спинорных полей <оА и т.А- в точке О. В этом случае
мы записываем
Za->(o/@), яА'(О)), F.1.14)
где символ -*-*- напоминает, что соответствие F.1.14) не яв-
является пуанкаре-инвариантным, но зависит от выбора начала
координат О в пространстве-времени. Иногда мы будем исполь-
использовать обозначения
Za = g>a, ZA' = nA', F.1.15)
где (оА, я/могут быть либо спинорными полями [представление
F.1.13)], либо спинорами в точке О [представление F.1.14)].
В обоих случаях они называются «спинорными частями» тви-
стора Za («в точке О»). В силу соотношений F.1.14) и F.1.10)
имеем
Пространство Та можно было бы рассматривать (такой под-
подход не был бы пуанкаре-инвариантным) как прямую сумму
@л [О]ф©Л'[О] пространств спиноров типа сол и пА> в О. (На-
(Напомним, что ©"^[P]ecTb комплексное векторное пространство
спиноров с индексом типа si-, взятых в точке Р.) Тогда индекс
а в символе Za должен был бы рассматриваться как некоторого
рода прямая сумма абстрактных индексов А и А', взятых в
верхней и нижней позиции соответственно (отметим, что такая
процедура полностью отлична от образования собирательного
индекса в гл. 2, § 2). На практике можно считать, что индекс a
принимает два «значения»: Л и Л'. С этой точки зрения индекс a
оказывается чем-то промежуточным между абстрактным индек-
') Не следует идентифицировать твистор F.1.13) с дираковским спино-
спинором [см. формулу E.10.15) и приложение ]. Хотя между ними существует
определенное формальное сходство в фиксированной точке, принципиально
важная зависимость твистора F.1.10) от положения не имеет места в форма-
формализме. Дирака.

62 ГЛАВА 6
сом и индексом, принимающим численные значения. Поскольку
«компоненты» F.1.15), соответствующие двум «значениям» А и
А' индекса а, изменяются при сдвиге начала координат [форму-
[формула F.1.10)], мы предпочитаем отказаться от такого подхода.
Выбрав некоторую спиновую систему отсчета (оА, iA) в точке
О, можно построить твисторный базис следующим образом:
6о°~(<Ло), б? Д (,л, О),
о о F.1.1.7)
S
Линейная независимость этих твисторов очевидна. Далее, по-
поскольку
К (О), пА>@)) = (ш° (О) оА + о»1 (О) И, я,. (О) оА> - я, (О) 1Д/),
F.1.18)
из соотношений F.1.12), F.1.16) и F.1.17) следует, что
Т^ТЫ, F.1.19)
где
Z" = (ш° (О), ш1 (О), яу (О), я,- (О)), о = 0, 1, 2Г 3. F.1.20)
Отсюда и из F.1.15) мы получаем следующие явные выраже-
выражения:
Z°=<d°(O), Г = а>1@), Z2 = Jt0'@) = Zo', Z3=^(O) = Z,'.
F.1.21)
Таким образом, Z0 и Z1 можно непротиворечиво рассматривать
либо как 0, 1-компоненты твистора Za, либо как компоненты
спинорной части твистора 7.А в точке О. В дальнейшем (если
специально не оговаривается) будем считать, что спинорные
части произвольного твистора всегда вычисляются в начале ко-
координат.
Дуальные твисторы
Поскольку пространство [ lQ]-твисторов может быть предста-
представлено как прямая сумма пространств спиноров fnna юА и яЛ'
в точке О, дуальное [°]-твисторное пространство также должно
быть представимо в виде прямой суммы пространств спиноров
типа ХА, цА', взятых в точке О. Типичное представление имеет
вид
We-£►(** (О), ИЛ'(О)), F:1.22)

ТВИСТОРЫ 63
И тогда скалярное произведение определяется следующим об-
образом:
WaZa = XA@)<*A@) + iiA'@)nA>@). F.1.23)
По аналогии с F.1.13) желательно представлять [°]-твисторы
с помощью двух спинорных полей ХА и цА', опуская явную за-
зависимость от выбора начала координат. Мы пишем
цЛ, F.1.24)
причем значения в точке О определяются из соотношений
F.1.22). Потребуем, чтобы выражение F.1.23) имело место не
только в точке О, но и в произвольной точке пространства М:
Ьа<*А + ЦЛ'яЛ' = WaZa = ХА (О) шЛ (О) + цл'(О) лА- (О) =
= ХАаА + °11<А,, F.1.25)
о о
где, как и прежде, ХА и цА — постоянные спиноры, прини-
принимающие в точке О значения ЯЛ(О) и цл'(О). Подстановка вы-
выражений F.1.10) в эти уравнения дает
ХА (<И - ixAA'nA') + vA'nA> = lJoA + \iA'nA'.
И поскольку данное соотношение должно выполняться при
о о
любых константах «И, лА', «коэффициенты» при этих спинорах
должны быть равны; это приводит к следующим выражениям
для полей ХА, \iA':
Ха = \А FЛ.26)
Используя соотношения F.1.26), легко убедиться в том, что
поле цА' является решением (и даже общим решением) сопря-
сопряженного твисторного уравнения
V^s') = o F.1.27)
и что по аналогии с F.1.9) величину Ял можно найти, зная цА':
Чаа'»в' = 1*а'в'Ьа- F-1.28)
Таким образом, переменная ХА в выражении F.1.24) не является
независимой, и твистор Wa полностью определяется спинорным
полем \х.А'. В действительности вместо F.1.24) можно исполь-
использовать представление, в котором твистор Wa отождествляется с
цА' [формула F.1.11)], и записать представление
We = [n*], F-1,29)

64 ГЛАВА 6
которое является конформно-инвариантным, так же как F.1.П),
хотя и менее удобным, чем F.1.24), для построения твисторов
высших валентностей.
Полезно выразить внутреннее произведение WaZa через
спинорные поля сол и цА'. Для этого достаточно подставить
F.1.9) и F.1.28) в F.1.25). Имеем
:= WaZa = i- / (HA'VBA«»B - ш\У). F.1.30)
Всякое решение цА' уравнения F.1.27) может быть полу-
получено комплексным сопряжением соответствующего решения
уравнения F.1.1): сол i—> \iA' = аИ'. В этом легко убедиться,
сравнив либо непосредственно оба дифференциальных уравне-
уравнения, либо их общие решения F,1.10) и F.1.26). Это позволяет
нам отождествить [°]-твисторы Wa с величинами, комплексно-
сопряженными [0]-твисторам Za, и наоборот. Следовательно,
можно определить
Теперь ясна роль множителя —i в формуле F.1.9): он позволяет
путем комплексного сопряжения непосредственно переходить от
уравнения F.1.9) к F.1.28) и от F.1.10) к F.1.26). Ниже мы
рассмотрим комплексное сопряжение произвольного твистора.
По аналогии с обозначением F.1.15) мы иногда используем
запись
WA = XA, \NA' = \iA' F.1.32)
(как в случае спинорных полей, так и в случае спиноров, вычис-
вычисленных в точке О) для спинорных частей твистора Wa.
В дальнейшем нам также потребуется базис Ьа, дуальный
базису F.1.17). Он должен удовлетворять соотношению
б£б£=б;. F.1.33)
Как нетрудно убедиться, этому условию удовлетворяет базис
К(^), (л,),
о о F.1.34)
62->(О, оА'), 63ч->(О,И')-
Отсюда находим
Wa = Wa6a, F.1.35)
где
W* = (a,0(O), МО), ц°'(О), ц1'(О)), а = 0, 1, 2, 3. F.1.36)

ТВИСТОРЫ
65
Из данного выражения и равенств F.1.32) получаем в явном
виде
F.1.37)
[См. также то, что говорится после формулы F.1.21).]
Твисторы высшей валентности
Рассмотрим теперь прямое (тензорное) произведение XaZe
двух твисторов вида
Ха = (|л,лл'). Za = («A^) F.1.38)
или, выписывая явную зависимость от точки О,
Х° Л (|л (О), ти- (О)), Za Л (сол (О), пА, (О)). F.1.39)
Сравнивая это представление с F.1.20), находим, что компо-
компоненты произведения XaZp выражаются через все компоненты
следующих четырех спиноров, взятых в точке О:
%Аъв, 1длв>, г)А>а>в, Лл'Яв'. F.1.40)
Спинорные поля F.1.40) представляют собой спинорные части
произведения XaZ , а их зависимость от точки определяется
соотношением F.1.10) [примененным к твисторам F.1.38)].
Произвольный [д]-твистор SaP, будучи суммой произведений
вида XaZe, полностью характеризуется четырьмя независимыми
спинорами, взятыми в точке О, а именно значениями в точке О
четырех полей
SAB, SV, Sa'b, Sa'b'- F.1.41)
Мы говорим, что они образуют спинорные части твистора SaP*
Это особые выделенные взаимосвязанные величины, которые
равны суммам произведений вида F,1.40), сомножители кото-
которых определяются выражениями F.1.38), а зависимость от точ-
точки— соотношениями F.1.10).
Используя обозначения F.1.41), важно сохранять неизмен-
неизменный порядок спинорных индексов, т. е. нельзя писать Sab' =
= SB'A [в отличие от обычных обозначений, см. B.5.33)], по-
поскольку этот порядок — наше единственное указание в обозна-
обозначениях на то, какая из спинорных частей имеется в виду. Но эти
обозначения могут приводить к путанице, когда индексы под-
поднимаются и опускаются с помощью е-символа. Поэтому, если в
вычислениях постоянно используются спинорные части опреде-
определенного твистора, удобнее ввести для них отдельные символы,

66 ГЛАВА 6
При общем же изложении теории твисторов используемые обо-
обозначения оказываются очень экономными. Мы часто пишем
A'B' /
По аналогии находим типичные представления') для [} ]- и
[2]-твисторов:
Ясно, что в общем случае [£]-твистор имеет 2Р+Ч спинорных
частей, которые, однако, не удается записать в таких же удоб-
удобных обозначениях, как выше. Например, [JJ-твистор 1""% имеет
восемь независимых спинорных частей вида
ТАвс, ТА>ВС, TVc, TMC\
ТАВ>С', ТА'ВС', Та'в-с, Та>в<с. F.1.44)
Спинорная часть, все индексы которой расположены в верхней
позиции (в предыдущем случае ТАВС'), называется главной спи-
норной частью твистора. Часть, все индексы которой находятся
в нижних позициях, называется проекционной (projection part).
Определение F.1.23) произведения WaZa приводит к опре-
определениям сверток произвольных твисторов. Практически они сво-
сводятся к свертке «соответствующих» спинорных частей по индек-
индексам А та А' для каждого сворачиваемого твисторного индекса а.
Например:
Г\ = (ТАВА + 1/А\ Т\А + W). F.1.45)
Теперь по аналогии с формулами F.1.21) и F.1.37) легко вы-
вычислить компоненты произвольных твисторов в базисе F.1.17).
•Рассматривая в качестве примера твистор
F.1.46)
мы находим [компоненты спинорного поля должны быть взяты
в точке О в соответствии с замечанием, сделанным после фор-
формулы F.1.21)]
= Т«>о, ТО'^Т01, и т. д.,
-Уь Т»з = У1', T3l2 = Tl'w и т. д. F.1.47)
') Сохранение пробелов между индексами твнсторов, как, например, в
записи 2?ар и Га^у> не требуется с «чисто твисторной» точки зрения, так как
«метрика» для поднятия и опускания твисторных индексов отсутствует, но
пробелы помогают прослеживать за различными спинорными частями. Соот-
Соответственно этому мы будем сохранять пробелы между индексами только то-
тогда, когда нас будут интересовать спинорные части.

ТВИСТОРЫ 67
Здесь левая часть каждого из равенств — компонента твистора,
а правая — компонента спинорной части. Поскольку твисторные
индексы не штрихованы, а спинорные никогда не принимают
значений 2 и 3, вторая строка в соотношениях F.1.47) опреде-
определена однозначно. Может показаться, что неоднозначность имеет-
имеется в первой строке, но это не так. В самом деле, мы имеем сле-
следующее правило:
0 (верхний/нижний) -*-»■ 0 (верхний/нижний),
1 (верхний/нижний) ■*-»■ 1 (верхний/нижний),
2 (верхний/нижний) ■*->■ 0' (нижний/верхний),
3 (верхний/нижний) ■«->-1'(нижний/верхний).
Далее выясним зависимость спинорных частей F.1.41)
[д]-твистора Sap от точки. Зависимостью от точки и от отноше-
отношения взаимности (полевых) спинорных частей 1-валентных тви-
сторов определяется вид (полевых) спинорных частей всех тви-
сторов. В случае твистора S это можно вывести из требова-
требования, чтобы (скалярное) поле
SaPUaWp, F.1.49)
образованное из двух произвольных [,]-твисторов Ua, Wa,
было постоянным и, следовательно, равнялось своему значению
в начале координат. Действуя далее так же, как при выводе
формулы F.1.25), мы легко находим требуемые соотношения.
Чтобы записать их в удобном виде, введем более конкретные
обозначения для спинорных частей твистора Sa^, а именно
(хотя вполне можно было бы использовать обозначения ком-
компонент SAB, SAB' и т. д.). Определенные таким образом спинор-
спинорные части связаны между собой следующими соотношениями:
F.1.51)
Информация, которую несут эти равенства, содержится также
в следующих дифференциальных уравнениях [см. формулы
TB —
аАВ =
ХА'
'А-
О
аАВ_
ixBB
ixAA>
-ix*1
г
КА'В'>
о
КА'В'>
i\B _

68 ГЛАВА 6
F.1.9), F.1.28)]:
"сС'Рв' ^ i8C ^C'B'i
CCM' —■ tbC A'C">
Это можно показать, вычислив производные обеих частей ра-
равенств F.1.51) в начале координат; поскольку выбор начала
координат произволен, мы приходим к выводу, что уравнения
F.1.52) выполняются в любой точке. В этом специальном случае
твистор Sap полностью определяется одним полем, а именно
главной спинорной частью аАв. Первое уравнение системы
F.1.52) дает
V пСВ О/тв inB
— — ixB - 2ioB F.1.53)
откуда находим т^, и р£,. Затем, используя второе или третье
уравнение системы F.1.52), находим кА'В\
Соотношения, аналогичные соотношениям F.1.51) и F.1.52),
очевидно, имеют место для твисторов любой валентности и мо-
могут быть получены тем же способом. Рассмотрим еще один спе-
специальный случай, а именно случай [ {]-твистора Еар вида
F.1.43), для полевых спинорных частей которого мы тоже вве-
введем свои обозначения:
<61-54)
Для таких полей находим
о
что [аналогично случаю равенств F.1.51) и F.1.52)] эквива-
эквивалентно уравнениям
FЛ;

ТВИСТОРЫ 69
Замечая, что преобразование
вАв>-*вАс + хгсА,
• tc'B'^Z,c'B' + teeB' (* = const) FЛ-57)
не меняет уравнений F.1.55), мы видим, что главная спинорная
часть £АВ' твистора Еар«£ определяет его однозначно. Преобра-
Преобразование F.1.57) изменяет след
Еаа = Qaa + Za>a' F.1.58)
этого твистора:
Еаа •-»■ Еаа + 4А,. F.1.59)
Только при условии, что след известен (например, равен нулю),
твистор Еаз однозначно восстанавливается по его главной спи-
норной части £,АВ'.
Уравнения, аналогичные уравнениям F.1.51) и F.1.55), вы-
выполняются для всех твисторов. Определенный класс твисторов,
например Sap, полностью определяется заданием их главной
части. Однако пример твистора Eag показывает, что это не
всегда справедливо. Один класс твисторов, которые полностью
определяются своей главной частью, состоит из бесследовых
симметричных твисторов:
Ta-v..T = T<°-V..T), F.1.60)
Т°Р-баа...т^0. F.1.61)
Уравнение, которому удовлетворяет главная часть этого твис-
твистора JA...DR'...T' = XA...DR'...T'^ имеет ВИД1
fc%=o. F,1.62)
Другой предельный случай — альтернирующие твисторы 8арув,
8«Р\в? удовлетворяющие уравнениям
e«pve = *[«Э*ь ea^ = e^vei, eo123 = 8<3 = i. F.1.63)
Каждый такой твистор имеет шестнадцать спинорных частей,
причем лишь шесть из них отличны от нуля. Это спинорные
части с двумя штрихованными и двумя нештрихованными ин-
индексами, они имеют вид
ZA'B'CD = eA'B'ecDt ZA-BC'D=_eA-C'&BD и т д- F.1.64)
Для 8apYe и
8л/в'со = ел'3/8со, гА,вс,о = _ гА,с,гво и Т- д F.1.65)
для saPv6. Главная часть в этих случаях равна нулю. (Она
раЁна нулю также в случае антисимметричного твистора XaPv =
= X[aPv1)- Оказывается, что только бесследовые симметричные
твисторы восстанавливаются однозначно по единственному спи-

70 ГЛАВА 6
норному полю (а именно по главной спинорной части), удовле-
удовлетворяющему одному дифференциальному уравнению первого по-
порядка. В некоторых других случаях (например, в случае кососим-
метричного [§]-твистора) главная спинорная часть все же опре-
определяет твистор полностью, но для ее вычисления недостаточно
одного дифференциального уравнения первого порядка. В боль-
большинстве же случаев твистор не определяется главной спинорной
частью. Например, главная часть симметричного твистора
F.1.60), след которого отличен от нуля, удовлетворяет уравне-
уравнению F.1.62), но различные слагаемые, входящие в определение
следа, скажем выражения вида 6(£Ua.'.'.'т)> не определяются глав-
главной частью (т. е. выражения такого вида можно добавлять к
Та-"бр...г» не изменяя главной части).
Особый интерес для нас будут представлять симметричные,
косоеимметричные и эрмитовы 2-валентные твисторы. Твистор
SaP вида F.1.50) будет симметричным, если Sap = Sea, т. е.
если выполняются соотношения
аЛВ = аВАу pAf = xAf> %А>в) = %BfAf. F ! 66)
Из уравнений F.1.52) видно, что для выполнения второго и
третьего равенств F.1.66) достаточно потребовать, чтобы сим-
симметрия спинорной части (Г45 имела место во всех точках; следо-
следовательно, это свойство является достаточным для симметрии
твистора Sap. В случае кососимметричного твистора (Sap =
== — SPa)B уравнениях F.1.66) следует поставить знак минус в
правой части. Аналогично можно показать, что из требования
кососимметричности спинорной части аАВ во всех точках авто-
автоматически следуют второе и третье уравнения.
Мы говорим, что твистор Еаз вида F.1.54) эрмитов, если
Epa = EV F.1.67)
т. е.
ЪАВ' = \АВ\ Чав> = г\ав>, QAb = IbA. F.1.68)
Используя уравнение F.1.55), можно показать, так же как и в
случае симметричных спиноров, что эрмитовостью спинорной
части \АВ' во всех точках обеспечивается выполнение второго из
уравнений F.1.68), однако левая и правая части третьего урав-
уравнения допускают при этом сдвиг на спинор гвА, умноженный на
мнимое число. Поэтому из требования эрмитовости спинорной
части эрмитовость твистора Еаз следует только в том случае,
когда след его равен нулю.
В дальнейшем для нас будет важно следующее обстоятель-
обстоятельство: главная спинорная часть аАВ любого твистора SaB автома-
автоматически удовлетворяет дифференциальному уравнению
bVB) = 0, F.1.69)

ТВИСТОРЫ 71
что явствует из первого уравнения F.1.52). Кроме того, главная
спинорная часть %АВ' любого твистора £ар автоматически удов-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
V!I<1#) = O F.1.70)
(которое по существу есть конформное уравнение Киллинга, см.
§ 5), что следует из первого уравнения F.1.56). По аналогии
с уравнением F.1.1), которому удовлетворяет главная спинор-
спинорная часть твистора Za, эти два уравнения также конформно-
инвариантны при
ЬАВ = аАВ) 1>АВ'=%АВ' F.1.71)
(на что в случае конформно-плоского пространства указывает их
твисторное происхождение). Так же как и относительно уравне-
уравнения F.1.1), это можно показать, не делая предположения, что
пространство-время является плоским. Более того, так же как
при выводе уравнений F.1.10), можно показать, что общие ре-
решения уравнений F.1.69) и F.1.70) в М в предположении сим-
симметрии спинорной части аАВ определяются четвертыми уравне-
уравнениями F.1.51) и F.1.55), соответственно. Отметим, что уравне-
уравнения F.1.69) и F.1.70) —это частные случаи уравнения F.1.62),
которое также конформно-инвариантно [формула E.6.15)],
причем
%ACR-T' ACR'T^
К обсуждению уравнений F.1.69), F.1.70) и F.1.62) мы вер-
вернемся позже [§ 7; формула F.4.1)]. В § 7 будет показано, что
все симметричные решения уравнения F.1.62) есть главные
части бесследовых симметричных твисторов.
Рассмотрим теперь вопрос о комплексном сопряжении тви-
твистора общего вида. Соответствующее правило по существу сле-
следует из определения F.1.31) для 1-валентных твисторов, а так-
также из требования, чтобы операция комплексного сопряжения
коммутировала с операциями умножения и сложения, например:
V°We + X°Ye = V^W^ + Х^.
В частности, рассмотрим твистор
'В
В соответствии с нашим определением имеем
-,в ^ \а!
F.1.73)
2Л Ws zA'WB-

72 ГЛАВА 6
Поскольку в общем случае [|]-твистор есть сумма твисторов
типа Раз и аналогично можно рассматривать [р]-твистор самого
общего вида, мы формулируем следующее общее правило:
Чтобы, выполнить комплексное сопряжение твистора, следует
выполнить комплексное сопряжение всех его спинорных частей,
расположив их затем в правильном порядке, соответствующем
твистору со всеми индексами исходного твистора, перенесенными
на противоположный уровень.
Конформная инвариантность спиральности и скалярного
произведения
Определим спиральность s твистора Za следующим образом:
8 : = - ZaZa = у («>Л«л + па><Ьа') F.1.74)
(аналогично спиральность твистора Wa равна s = (l/2) WaWa).
При таком определении спиральность, очевидно, действительна,
но может быть как положительной, так и отрицательной. Будем
называть твистор Za (или Wa) изотропным, если его спираль-
спиральность равна нулю, правополяризованным, если s>0, и левопо-
ляризованным, если s < 0. Таким образом, твисторное простран-
пространство Т*(=Т = Та) состоит из трех частей TPr=N, T+ и Т~,
образованных изотропными, правополяризованными и левопо-
ляризованными твисторами. Аналогично дуальное твисторное
пространство Т. (=Т* = Та) разбивается на компоненты То,
Т+ и Т-. Для обозначения проективных образов этих про-
пространств, т. е. совокупностей содержащихся в них одномерных
линейных подпространств (включая начало координат), будем
добавлять букву Р перед соответствующим символом (рис. 6.1;
гл. 9, § 3).
Из соотношений F.1.9) и F.1.3) мы видим, что при кон-
конформном преобразовании масштаба выполняется второе из ни-
нижеследующих уравнений; первое же просто совпадает с F.1.2):
i -v л (о. 1.75)
Таким образом, спинорное поле ла> не имеет определенного кон-
конформного веса. [Отметим формальную аналогию второго урав-
уравнения F.1.75) с уравнением F.1.10).] Второе уравнение F.1.75)
описывает результат конформного изменения масштаба данного
многообразия М. При этом считается, что вариация конформного
множителя не влияет на сам твистор Za. Однако вид его пред-
представления с помощью спинорных частей изменяется, если не
приписать полю ла> специальных трансформационных свойств.

ТВИСТОРЫ
73
Рис. 6.1. Проективное твнсторное пространство РТГ" образовано одномерными
линейными подпространствами твнсторного пространства ТГ*. Оно состоит нз
трех областей РТГ+, РТГ и РТ» (=PN').
Из уравнения F.1.75) следует, что ял' можно рассматривать не
как поле с определенным конформным весом, а как объект,
который при конформных преобразованиях метрики ведет себя
более сложным образом. (При этом ял- нельзя рассматривать
независимо от аИ.) С учетом такой интерпретации можно сохра-
сохранить запись Z.a = (&A, ял'). Мы примем такой подход, когда речь
пойдет о локальных твисторах в § 9.
Аналог формул F.1.75) для спинорных частей [JJ-твистора
имеет вид
А'
1 ' F.1.76)
[ср. с формулой F.1.26)]. Теперь мы можем сразу же показать
конформную инвариантность твисторного внутреннего произве-
произведения F.1.23), а следовательно, и спиральности, определяемой
формулой F.1.74):
%а& + ji ял' = (Ял — г'Тлл'Ц ) со + ц,л (ял' + 1ТАА'<йА) =
= ХАа>А + цл'ял'. F.1.77)
Таким образом, твисторное внутреннее произведение опреде-
определяется свойствами самого твисторного пространства и не зави-
зависит от точки в пространстве-времени и от выбора конформного
множителя.

74 ГЛАВА 6
§ 2. Некоторые геометрические аспекты твисторной алгебры
Геометрический смысл твисторов наиболее ясен в случае изо-
изотропных [д]-твисторов:
ZaZo = 0. F.2.1)
Допустим, мы имеем некоторый изотропный твистор Za = (aH,
па'), причем яа' ¥= 0. Сначала определим геометрическое место
точек Z в М, в которых оИ = 0: геометрию поля аИ лучше всего
описывать, рассматривая это множество. На Z радиус-вектор
должен удовлетворять соотношению [см. систему F.1.10)]
1хАА'пА' = аА. F.2.2)
Будем считать, что спиноры сод и пА не пропорциональны друг
другу в точке О. Если это не так, то мы можем воспользоваться
произволом, который имеется при выборе решений уравнения
F.1.9) в виде F.1.10), и взять за начало отсчета другую точку,
так чтобы спиноры аИ и пА удовлетворяли данному требованию.
[Этого всегда можно добиться, так как в силу формулы F.1.10)
О о
мы имеем пА<аА = пА(лА — ixAA'nA^Ar, так что при лА<йА = 0 усло-
условие ядоИ =fc 0 будет выполняться, если выбрать начало отсчета,
удовлетворяющее условию хаа'папа' Ф- 0.] Допустим, что тре-
требуемое условие выполняется. Тогда частное решение уравнения
F.2.2) можно записать в виде
ха = (ш>Глв')~1 аА€>А'. F.2.3)
Этот.вектор действителен, так как в силу формул F.2.1) и
F.1.74) действительно выражение в скобках. Остальные реше-
решения уравнения F.2.2) должны отличаться от F.2.3) слагаемым,
которое дает равную нулю свертку с пу. Поскольку вектор ха
действителен, эта добавка должна быть пропорциональна про-
произведению пАпА' с действительным множителем. Следовательно,
общее решение уравнения F.2.2) запишется следующим об-
образом:
(I< F.2.4)
Это — уравнение изотропной прямой линии Z, в дальнейшем
именуемой лучом, идущей вдоль флагштока спинора пА; луч
проходит через точку Q, определяемую условием Л = 0 в урав-
уравнении F.2.4). Точка Q сдвинута относительно О в направлении
О
флагштока спинора аИ, а следовательно, лежит на световом
Отметим, что положение луча Z не зависит от масштабных
конусе с вершиной в точке О (рис. 6.2).
преобразований твистора Za; если заменить ZaHa

ТВИСТОРЫ
75
Рис. 6.2. Луч Z, который определяется изотропным твнстором Za, идет в
направлении флагштока спинора лА и проходит через точку Q, смещенную
относительно начала координат О в направлении флагштока спинора шд.
В произвольной «неисключительной» точке Р (в которой спиноры аИ и пА не
пропорциональны друг другу) флагшток спинора оИ лежит на луче, пересе-
пересекающемся с лучом Z.
то луч Z при этом не изменится. И наоборот, как легко видеть,
лучом Z твистор Za определяется с точностью до постоянного
о о
множителя, поскольку выражение F.2.2) однородно по со , па'.
Если ла' = 0, то луч Z оказывается расположенным на беско-
бесконечности [ср. с формулой F.2.2)]. В этом случае (при условии,
О
что аИ =£ 0, так как тогда аИ = 0 и, следовательно, Za = 0) мы
говорим, что Z есть образующая «изотропного конуса на бес-
бесконечности». Подробнее этот вопрос рассматривается в гл. 9.
Поле флагштоков спинора аИ: конгруэнция Робинсона
После того как найден луч Z, легко описать общую геометри-
геометрическую структуру флагштоков поля аИ. Учитывая произвол в вы-
выборе начала координат О, мы видим, что построение, аналогич-
аналогичное описанному выше, может быть выполнено в любой точке Р,
в которой спинор сал не пропорционален спинору ял. Если же
имеет место пропорциональность, то флагшток спинора сад на-
направлен параллельно лучу Z. Однако в точке Р общего положе-
положения флагшток спинора аИ направлен параллельно (единственно-
(единственному) лучу, соединяющему точку Р с той точкой, в которой луч Z
пересекает световой конус, проходящий через Р. Таким образом,
поле направлений флагштоков спинора оу4 просто совпадает с
полем всех изотропных направлений всех световых конусов, вер-

76 ГЛАВА 6
шины которых лежат на луче Z, включая также предельный све-
световой конус, вершина которого стремится к бесконечности вдоль
Z — это (единственная) изотропная гиперплоскость, содержа-
содержащая Z. Эта гиперплоскость есть геометрическое место точек, в
которых направления флагштоков спинора аИ параллельны лучу
Z (спинор (од пропорционален спинору пА).
Если твистор Z" = (сол, па') не изотропный, то его все-таки
можно рассматривать как представляющий некоторый луч в
«комплексифицированном» пространстве-времени. Такой подход
мы будем рассматривать в гл. 9, § 3. Но можно дать реализацию
твистора Za и с действительными лучами. Оказывается, что и в
этом случае направления флагштоков спинора аИ принадлежат
конгруэнции действительных лучей. Лучи закручиваются относи-
относительно друг друга (без сдвига) в направлении правого или ле-
левого винта в зависимости от того, положительно или отрицатель-
отрицательно произведение ZaZa- [To, что конгруэнция бессдвиговая, а
лучи прямые, есть следствие уравнения а>ла>в Улл'сов = О, которое
выводится из F.1.9); см. гл. 7, § 1.] Такие конгруэнции, связан-
связанные с твисторами, называются конгруэнциями Робинсона [239].
Конгруэнция Робинсона, ассоциированная с твистором, фикси-
фиксирует его с точностью до скалярного множителя.
Можно указать и другой путь, тоже приводящий к конгруэн-
конгруэнции Робинсона, ассоциированной с твистором Z. Рассмотрим
фиксированный луч X, проходящий через точку О в направле-
направлении флагштока спинора аИ(О). Его можно представить твисто-
ром
Ха^@, ыа>@)),
определенным с точностью до_ненулевого множителя. Очевидно,
что выполняется условие XaZa = 0, которым характеризуется в
точке О направление флагштока спинора аИ. Однако выбор на-
начала координат произволен, а следовательно, в любой точке
направление флагштока спинора аИ совпадает с направлением
луча X, проходящего через эту точку и ассоциированного с тви-
твистором X", удовлетворяющим условию
XaZa = 0 = XaXa, F.2.5)
где твистор Ха может быть, конечно, только изотропным. Таким
образом, все флагштоки поля со направлены вдоль лучей, опре-
определяемых соотношением F.2.5) (при фиксированном Za), от-
откуда следует, что равенством F.2.5) описывается конгруэнция
Робинсона.
Чтобы получить наглядную картину конгруэнции Робинсона,
выберем специальный твистор Za = (co-A, ял'), удовлетворяющий
условию Zaza = 2s и имеющий в спиновой системе отсчета

твисторы 77
[формуле C.1.31), см. также гл. 1], связанной со стандартной
системой координат, представление
Za = @, s, 0, 1) (isR). F.2.6)
Уравнение поля со в этом случае принимает вид [формула
F.1.10)]
Gt +
так что _
eP:rf = x + iy.t — z+is*/2. F.2.8)
Теперь мы можем найти дифференциальное уравнение лучей
конгруэнции, исходя из того, что направление касательной, ха-
характеризуемое отношением dt: dx : dy : dz, есть направление
флагштока спинора аИ, т. е.
dt + dz : dx + idy = dx — idy : dt — dz =
= x — iy\t — z — is V2. F.2.9)
Общее решение этих уравнений можно найти прямым путем. Но
оно по существу уже определено соотношением F.2.5): положим
Х° = (Я, -s, ц, 1),
так что соотношение F.2.5) будет выполнятся, если
Re(A.jI) = s. F.2.10)
Тогда уравнение F.2.2) с заменой твистора Za на Ха есть
уравнение луча X конгруэнции [решения уравнения F.2.9)],
определенное параметрами Я, це С [удовлетворяющими усло-
условию F.2.10) ]. В явном виде имеем
X + iy)(}!) F.2.11)
—sJ V2 \Х — ty t — Z
Для получения наглядной картины больше подходит трехмерное
описание. Рассмотрим пересечение конгруэнции с пространствен-
ноподобной гиперплоскостью t = %{= const). Каждый луч пере-
пересекается с ней в одной точке (т, х, у, z), и мы можем характе-
характеризовать направление луча его ортогональной проекцией на ги-
гиперплоскость t = т, вычисленной в точке пересечения. Проекции
направлений оказываются касательными к множеству кривых,
лежащих на гиперповерхности t = т и дающих картину струк-
структуры конгруэнции Робинсона в трехмерном евклидовом про-
пространстве. Дифференциальное уравнение этих кривых получает-

78
Рис. 6.3. В случае произвольного твистора Za флагштоки спинора аИ в лю-
любой момент времени ориентированы так, что их пространственные проекции
касаются семейства окружностей и одной прямой линии, образующих стерео-
стереографическую проекцию клиффордовых параллельных на S3. С течением вре-
времени вся конфигурация движется со скоростью света в направлении, проти-
противоположном направлению прямой _линии (т. е. вдоль проекции направления
п*ял').
ся заменой t на т в формуле F.2.9), а также dt на dl =
= (dx2 + dy2 + dz2I/2. Это дает уравнение
(х - iy) (dl -dz) = (x-z- is л/2 ) (dx - idy),
решения которого имеют вид
хг + у1 + (z — тJ — 23/2s(х
cosф)tg8 = 2s2,
z — т = (х cos ф — у sin ф) tg 8,
F.2.12)
где 8 и ф — константы для разных кривых. Эти кривые пред-
представляют собой, очевидно, окружности, будучи пересечениями
сфер с плоскостями. Они закручиваются (отсюда термин «тви-
«твистор») относительно друг друга так, что каждая пара окруж-
окружностей оказывается сцепленной (рис. 6.3). Закручивание проис-
происходит в направлении правого винта, если s > 0, т. е. если Za —
правополяризованный твистор. Окружности лежат на множестве
коаксиальных торов, уравнение которых получается из системы
F.2.12) исключением угла ф. Эти торы образуются вращением

ТВИСТОРЫ
79
вокруг оси z системы коаксиальных окружностей, лежащих в
плоскости (х, z).
С точки зрения компактифицированного пространства-вре-
пространства-времени, о котором речь пойдет в гл. 9, § 2, гиперплоскость t = т
можно рассматривать как (конформно) компактифицированную
добавлением бесконечно удаленной точки. Тогда она приобре-
приобретает топологию трехмерной сферы S3 (стереографической проек-
проекцией которой является гиперплоскость / = т). Векторное поле на
S3 не имеет особенностей и не обращается в нуль. Окружности
образуют структуру, называемую расслоением Хопфа над S3.
Подходящим выбором масштаба они превращаются в клиффор-
довы параллельные на S3 [57, 138, 351]. Отметим, что все окруж-
окружности на гиперплоскости сцеплены с одной (наименьшей) окруж-
окружностью радиусом |s| д/2, центр которой находится в точке
г = х, х = у = 0, а уравнение отвечает значению 8 = 0'). Если
величина s мала, то с увеличением т окружность описывает
траекторию, близкую к лучу. Если же s = 0, то траектория
точно совпадает с положением луча: z = t, х = у = 0. При ма-
малых значениях s линии конгруэнции Робинсона можно мыслить
как определяющие «приближенный» луч, но в действительности
эти линии закручиваются относительно друг друга и никогда не
пересекаются. Направление закручивания будет правовинтовым
или левовинтовым в зависимости от того, является ли твистор
Za право- или левополяризованным. В пределе при s->-0 окруж-
окружности F.2.12) сливаются с осью z при z = т. Касательные к этим
окружностям ортогональны сферам, касающимся плоскости
(х, у) при z = т. Эти сферы представляют собой пересечения
гиперплоскости ^ = тс изотропными конусами, вершины которых
расположены в точках z = t, х = у = 0, т. е. на луче Z. Тогда
линии конгруэнции оказываются в точности образующими этих
изотропных конусов, что отвечает случаю, рассмотренному выше
(луч Z изотропный). Такая конгруэнция, т. е. система лучей, пе-
пересекающих заданный луч, называется специальной конгруэн-
конгруэнцией Робинсона. (К ней относится любая система параллельных
лучей — предельный случай, когда луч Z удален в бесконеч-
бесконечность; см. гл. 9, § 2.)
Отношение взаимности твисторов
Из всего сказанного о специальной конгруэнции Робинсона
следует, что лучи, соответствующие паре изотропных твисторов
') Спиральность s — инвариант твисторного описания, но радиус мини-
минимальной окружности таковым не является. В общем случае этот радиус ра-
равен | s | (tAA'ntfiA?)~x, причем t" — единичный вектор вдоль оси времени
(т. е., как будет показано в § 3, этот радиус равен спину, деленному на
энергию).

80 ГЛАВА в
Ха, Za, пересекаются (хотя бы на бесконечности, когда X и Z
принадлежат одной изотропной гиперплоскости) в том и только
в том случае, если
XaZa = 0, т. е. XaZa = 0. F.2.13)
Это и понятно: требование пересечения эквивалентно требова-
требованию, чтобы луч X принадлежал конгруэнции, определяемой тви-
стором Za, и наоборот. Мы также называем F.2.13) «условием
ортогональности» твисторов, или, что более привычно, отноше-
отношением инцидентности между Za и Ха.
Условие пересечения/ортогональности F.2.13) можно обо-
обосновать иначе, замечая, что радиус-вектор ха = га произвольной
общей точки /? лучей X и Z определяется уравнениями [фор-
[формула F.2.2)]: ч
О
1гал'ла' =
F.2.14)
где Ха = (|л, r\A'), Za = (aH, ял'). Эти уравнения можно решить,
перейдя к компонентной форме записи в произвольной диаде.
Условием существования единственного (комплексного) решения
является требование, чтобы 2 X 2-матрица (яд*, г\А') была не-
несингулярна, т. е. чтобы спинор ял' не был пропорционален спи-
спинору г\Аг. (В случае их пропорциональности лучи X и Z па-
параллельны и, следовательно, могут иметь общую точку лишь на
бесконечности в том смысле, что оба лежат на одной изотроп-
изотропной гиперплоскости.) Прямой подстановкой легко убедиться, что
решение системы F.2.14) имеет вид
F.2.15)
в точке О. Но, поскольку выбор начала координат произволен,
можно опустить значок «о» в формуле F.2.14), а следовательно,
и в F.2.15) и рассматривать ra как радиус-вектор точки R от-
относительно точки, в которой вычисляются со4 и |л. Но именно
условие действительности га эквивалентно условию F.2.13); точ-
точнее говоря, оно эквивалентно трем условиям XaXa=:0, ZaZa =
= 0, ZaXa = 0(H3 которых первые два считаются выполняющи-
выполняющимися). В самом деле, эти условия означают действительность
величин гаа'г\аг\а' и гаа\ а также выполнение соотношения
гаа'ц = г ял'Лл', соответственно, из чего следует, что ра-
разность гАА' — гАА' имеет нулевые г компоненты в спинорном
базисе (ял, г\А).

ТВИСТОРЫ 81
Комплексная геометрия
Отметим, что равенством F.2.15) определяется комплексный
вектор, а следовательно, точка в СМ в комплексификации1)
пространства Минковского М независимо от того, будет ли тви-
стор Ха или Za изотропным, а также независимо от того, орто-
ортогональны эти два твистора или нет, лишь бы их проекционные
части [см. замечание После формулы F.1.44)] не были пропор-
пропорциональны. В действительности при изучении твисторов часто
оказывается полезным рассматривать их связь с комплексными
подмножествами в СМ. Уравнению F.2.2), которым определяет-
определяется луч в (VI, если твистор Za изотропный (и паг Ф 0), можно
придать смысл уравнения, определяющего некоторое подмноже-
подмножество точек в СМ. Это подмножество не является комплексифи-
кацией луча в обычном смысле2). Оно определено независимо
от того, будет ли твистор Za изотропным или нет, имеет комп-
комплексную размерность, равную двум, и, следовательно, действи-
действительную размерность, равную четырем, и называется а-плоско-
стью (гл. 9, § 3). Аналогично дуальный твистор Wa определяет
р-плоскость (комплексно-сопряженную a-плоскости) как область
значений в СМ решений уравнения
Далее, a-плоскость (Р-плоскость) есть геометрическое место то-
точек в СМ, в которых обращается в нуль главная часть некото-
некоторого твистора Za(Wa). Тогда выражением F.2.15) определяется
единственная точка пересечения a-плоскостей, соответствующих
твисторам Ха и Z - Мы говорим, что твистор Za (или Wa) инци-
инцидентен точке /?еМ, если его а-плоскость (р-плоскость) содер-
содержит точку R; кроме того, твисторы Z" и Wa инцидентны в том
и только в том случае, если их а- и р-плоскости пересекаются.
Твистор общего вида, a-плоскость которого проходит через
точку пересечения а-плоскостей твисторов Ха и Za, имеет вид
Ya=pXa + vZa, F.2.16)
') Пространство СМ имеет действительную размерность, равную восьми,
и получается из М, если предположить, что координаты t, х, у, z могут при-
принимать комплексные значения. Метрика в СМ имет вид dt2—dx2—dy2—dz2,
т.е. является голоморфным (комплексно-аналитическим), а не эрмитовым про-
продолжением метрики в М. Отметим, что СМ совпадает с комплексифицирован-
ным четырехмерным евклидовым пространством, а последнее изометрично
подпространству пространства СМ, которое получается, если фиксировать t
действительным, а х, у, г — чисто мнимыми.
2) Комплексификация луча соответствовала бы тому, что в формуле
F.2.4) параметр h принимал комплексные значения. Тогда комплексное ха
описывает геометрическое место точек с действительной размерностью, равной
двум, и удовлетворяет одновременно уравнениям оИ = ixanA, и <вл' =
= — 1хапД [формулы F.2.2) и (9.3.22)]-

82 ГЛАВА 6
где р, у е С и одновременно не обращаются в нуль. Справед-
Справедливость равенства F.2.16) легко установить, замечая, что общие
(комплексные) нули главных частей твисторов Ха и Za должны
быть также нулями главной части твистора Ya. Чтобы доказать
обратное, достаточно поменять ролями твистор Ya и твистор Ха
или Za.
Отметим, что если твисторы Ха и Za изотропны и пересе-
пересекаются, то твистор Ya тоже будет изотропным. В этом случае
равенство F.2.16) — уравнение светового конуса с вершиной в
точке R. Можно считать, что семейством a-плоскостей рХа + у7.а
определяется точка R. В действительности всякому двумерному
подпространству твисторного пространства Та может быть со-
сопоставлена определенная точка пространства Минковского. Во-
Вообще говоря, это будет точка ко мплексифщиро ванного про-
пространства Минковского СМ, поскольку вектор га, определяемый
соотношением F.2.15), не будет действительным, если только
твисторы Ха и Za не изотропны и не ортогональны. Только в
том случае, когда каждый элемент линейного пространства бу-
будет изотропным, этому пространству отвечает точка в М. Эта
точка конечна лишь в том случае, если выражение F.2.15) ко-
конечно, т. е. если в этом линейном пространстве существует пара
твисторов, проекционные части которых не пропорциональны
друг другу. (Подробно о геометрии такого пространства гово-
говорится в гл. 9, § 3.)
Одна из основных идей теории твисторов состоит в том,
чтобы предложить альтернативный способ описания физических
явлений, при котором точки пространства-времени, т. е. «собы-
«события», уже не играли бы фундаментальной роли. Само твисторное
пространство Та рассматривается как более фундаментальный
объект, чем пространство-время. Понятие события же выводится
из структуры твисторного пространства. Выше мы уже показали,
как можно было бы сопоставить событиям определенные линей-
линейные подмножества в Та. Эти идеи могут быть развиты гораздо
дальше, вплоть до искривленного пространства-времени. Но
здесь мы не будем их развивать.
Представление точек с помощью простых косоеимметричных
твисторов
Рассмотрим теперь [д]-твистор
Я«Р = ZaXP _ XaZP, F.2.17)
где Xa, Za — твисторы, входящие в формулу F.2.12). Если из-
известно множество F.2.16), то мы знаем твистор Rap с точно-
точностью до постоянного множителя, и наоборот. Следовательно,

ТВИСТОРЫ
83
точку R пересечения плоскостей, определяемую множеством
F.2.16), можно с точностью до произвольного множителя пред-
представлять твистором R°P. Спинорные части твистора Rap запи-
записываются в виде [формулы F.1.40) и F.1.42)]:
И£в i^* И,. - 1Алв> \
I =
В' — Г)А'ЛВ'/
— Г\А'(йВ ПА'Г\В'
L pr r irAD, \
2 е В )• F.2.18)
— irA'B гА'В' У
Напомним, что гс есть радиус-вектор точки R относительно про-
произвольно выбранной «неисключительной» точки.
Полезно рассмотреть твистор Rap, дуальный твистору RaP.
Мы записываем его без звездочки, что не приведет к путанице,
так как не существует твисторной метрики, с помощью которой
можно поднимать и опускать индексы. Имеем
8Rve Rap^8aPveR F.2.19)
где eapYe и e°Pve — альтернирующие твисторы, определенные
формуле F.1.63). Из F.2.18) и F.1.64) находим
se ir,B' ч
/ еАВ lrA \
Rap = noV'( , 1 ,в, Л- F.2.20)
Вычислив твистор, комплексно-сопряженный твистору F.2.18),
по правилу, сформулированному после формулы F.1.73), нахо-
находим, что с точностью до множителя твистор Rap совпадает с
твистором Rap, если заменить га комплексно-сопряженной вели-
величиной га (считая, что г" — комплексный мировой вектор). Таким
образом, условие действительности радиус-вектора га можно
записать в виде
Rap ОС Rap. F.2.21)
Отметим, что твистор Rap может быть сопоставлен определен-
определенной точке лишь в том случае, когда он является кососимметрич-
ным и простым [это означает, что имеет место представление
F.2.17) для некоторых Xa, Za]. Эти условия можно записать
в виде
Rap = _ RPa, R»PRvp = 0. F.2.22)
Второе из них (условие простоты) допускает следующие четыре
эквивалентные формы записи [ср. с формулами C.5.30) и
C.5.35)]:
1 = 0, det(RaP) = O. F.2.23)

84 ГЛАВА 6
Наконец, в дополнение к F.2.21) и F.2.22) мы требуем, чтобы
твистор R°P, изображающий конечную точку пространства М,
удовлетворял условию
R^W ф 0, F.2.24)
где lap — один из асимптотических твисторов |ар, |аР (взаимно
дуальных, взаимно комплексно-сопряженных), которые опреде-
определяются выражениями
Это требование понятно, так как произведение Rapla« равно
2nD'i]D' и если оно равно нулю, то спиноры яд' и r\Dr пропор-
пропорциональны друг другу и лучи Z и X параллельны. То, что вели-
величина |ар (а также |ар) действительно является твистором, яв-
явствует из того, что она записывается в виде F.2.18), где следует
положить ял'=т]л' = 0 и сод1л=1. Можно сослаться и на то,
что величина lap удовлетворяет уравнению F.1.52).
Поскольку твисторное уравнение конформно-инвариантно,
структура твисторного пространства определяется с использова-
использованием только конформной структуры пространства М. Комп-
Комплексное сопряжение и переход к дуальному твистору тоже
конформно-инвариантны, а потому все базисные операции тви-
сторной алгебры также обладают этим свойством. (Мы уже про-
проверили это в явном виде в случае твисторного внутреннего про-
произведения WaZa.) Более того, конформно-инвариантны все гео-
геометрические понятия, введенные при обсуждении теории тви-
твисторов: луч (изотропная геодезическая), световой конус, точка,
пересечение и т. д. Конформный множитель метрики пространства
М нами нигде не использовался. Фактически твисторы можно
рассматривать как «редуцированные спиноры» для псевдоорто-
псевдоортогональной группы О B, 4), действующей в шестимерном про-
пространстве (она сохраняет квадратичную форму, сигнатура кото-
которой содержит два плюса и четыре минуса). Эта группа локально
изоморфна 15-параметрической конформной группе пространства
Минковского [73, 249], т. е. группе точечных отображений про-
пространствам на себя, сохраняющей конформную структуру этого
пространства (гл. 9, § 2). Такие отображения индуцируют ли-
линейные преобразования твисторного пространства, которые со-
сохраняют форму ZaZa. а также альтернирующие твисторы. Сиг-
Сигнатура формы ZaZa имеет вид (+ -\ ), а это означает, что
соответствующая группа в пространстве твисторов есть SUB,2)
(группа псевдоунитарных (+ -} ) унимодулярных 4X4-
матриц [40]). Если рассматривать |ар и |ар как базисные эле-
элементы твисторной алгебры (по аналогии с gab и gab в алгебре

твисторы 85
тензоров), то редуцированная группа, оставляющая также инва-
инвариантными 1ар и !™Р, локально изоморфна группе Пуанкаре, дей-
действующей на М (неоднородной группе Лоренца). Таким обра-
образом, введение твисторов Q°P и Rap обогащает твисторную алгеб-
алгебру в том смысле, что она теперь учитывает метрическую структуру
пространства Минковского, а не только его конформную струк-
структуру. Действительно, фундаментальную характеристику про-
пространства Минковского — расстояние между двумя точками Q
и /? в М [формула A.1.22)] — можно выразить через твисторы
Qp и рар) отвечающие этим точкам, следующим образом:
F.2.26)
где qa и га — радиус-векторы точек Q и R (за начало координат
можно взять произвольную «неисключительную» точку). Чтобы
упростить эту формулу, удобно выбрать нормировку твистора,
изображающего точку R пространства М, в виде
RapU = 2, F.2.27)
что эквивалентно отбрасыванию множителя я/уч°' в формуле
F.2.18) или, точнее говоря, выбору
я2уЛ2У=1. F.2.28)
Учитывая соотношение
Raplap = 2, F.2.29)
дуальное равенству F.2.27), получаем для F.2.26) следующее
простое выражение:
QapRap=-(^-ra)(9a-ra). F.2.30)
В силу формул F.2.20) и F.2.28) коэффициент пропорциональ-
пропорциональности в соотношении F.2.21) теперь оказывается равным еди-
единице, так что условие действительности вектора га принимает
вид равенства
Rap = RaP. F.2.31)
Итак, мы сформулировали основные свойства твисторной ал-
алгебры, а также показали, как она связана с геометрией про-
пространства Минковского. Целый ряд вопросов остался, правда,

86 ГЛАВА 6
незатронутым '), но часть из них будет рассмотрена в гл. 9, § 3.
Анализ взаимосвязи между геометрией твисторного простран-
пространства и геометрией пространства М дает много плодотворных
идей. Заинтересованного читателя мы отсылаем к литературе
[239, 265, 361, 141].
§ 3. Твисторы и момент импульса
Обратимся к физической интерпретации твистора, В извест-
известном смысле эта интерпретация более естественна и более полна,
чем геометрическая, обсуждавшаяся выше. Физический смысл
имеет не класс эквивалентности пропорциональных твисторов
{AZa|0 -ф Я g:C}, а сам твистор Z™, взятый с точностью до фа-
зово£О множителя, и, что более важно, неизотропные твисторы
(ZaZa=7£= 0) возникают в рамках этой интерпретации совершенно
естественным образом.
Пусть твистор Za записан в стандартном виде
Za = (aH, лА'), F.3.1)
где предполагается, что па- ф 0. Введем следующие определения:
ра : = пАпА', МаЬ : = ШАпвЪА'в' — ША'пв%АВ. F.3.2)
Тогда ра есть изотропное векторное поле, направленное в буду-
будущее, а МаЬ — действительное кососимметричное тензорное поле.
о о
Пусть ра и МаЬ — постоянные поля, принимающие те же зна-
значения, что и ра и МаЬ, в начале координат О. Зависимость тен-
тензоров F.3.2) от положения (от точки) определяется соотноше-
соотношениями [формула F.1.10)]
Ра = °Ра, МаЬ = МаЬ - хар" + хъра. F.3.3)
Эти формулы в точности совпадают с законом преобразования
4-вектора импульса и шестикомпонентного тензора момента им-
) Н
| XaYa |/1
') Например, если Ха и Ya — изотропные твисторы, то величина
имеет простой геометрический смысл в трехмерном евк-
евклидовом пространстве. Она равна
| 1/2
■<j— + cos 6 cos Ф A — cos ij)) j-
где г — расстояние в фиксированный момент времени между двумя «фотона-
«фотонами», мировыми линиями которых служат лучи X и Y. Угол i|> — это угол
между их 3-скоростями, а 6 и Ф — углы между скоростями и прямой, соеди-
соединяющей частицы. В системе отсчета, в которой скорости последних равны и
направлены противоположно, данное выражение сводится к умноженному на
2-1'2 расстоянию между частицами в момент максимального сближения. Под-
Подразумеваемая пуанкаре-инвариантность рассматриваемого общего выражения
отнюдь не очевидна!

ТВИСТОРЫ 87
пульса (момента количества движения) в специальной теории
относительности [327]. В них названные величины, отнесенные
к произвольной точке Р, выражаются через те же величины, от-
отнесенные к началу отсчета О. Для дальнейших ссылок отметим
также, что из формул F.3.3) можно получить следующее урав-
уравнение для дуального тензора *МаЬ = A/2) еаШ = Mcd:
= 0, т. e. Va*Mbc = V[a*Mbc\. F.3.4)
И наоборот, можно показать, что из равенства F.3.4) следует
второе равенство F.3.3).
Рассмотрим далее физическую систему, импульс и момент
импульса которой определяются формулами вида F.3.2). По-
Поскольку 4-импульс изотропен и направлен в будущее, можно
считать, что мы имеем дело с безмассовой частицей (масса по-
покоя которой равна нулю). Ее спин можно выразить через спин-
вектор Паули — Любаньского:
Sa = YeabcdP"Mcd, F.3.5)
который в силу равенств F.3.3) не зависит от точки:
В случае реальных безмассовых частиц вектор Паули — Лю-
Любаньского должен быть пропорционален 4-импульсу:
Sa = spa. F.3.6)
Действительное число s называют спиральностью частицы, а
модуль \s\ или |s|ft-' — спином. В случае квантовых систем
спиральность s равна целому числу, умноженному на A/2) ft.
Подставляя F.3.2) в F.3.5), находим [формула ( 3.4.22)]
5а = *Маьрь = ЦляВ)ел,в, + <в(Л,яв,)елв) явяв' =
= -у (<овяв + шв'яв') ялял'. F.3.7)
Таким образом, равенство F.3.6) действительно выполняется и
в соответствии с определением F.1.74) имеем
<, JL 7а7
s — yZ Za.
Требования, чтобы вектор ра был изотропным и ориентирован-
ориентированным в будущее, а тензор МаЬ совместно с ра удовлетворял соот-
соотношениям F.3.3) и F.3.6), позволяют интерпретировать их как
4-импульс и 6-компонентный тензор момента импульса безмас-
безмассовой частицы. Как мы уже видели, если задан твистор
Za (ял' -ф 0), эти требования выполняются автоматически в силу
формул F.3.2). Можно обратить ход рассуждений и восстано-

88 ГЛАВА 6
вить твистор Z™ по заданной паре (ра, МаЬ). Восстанавливае-
Восстанавливаемый твистор Za определяется тогда с точностью до фазы, по-
поскольку ра и МаЬ, очевидно, не изменяются при подстановке
Za н-*-eteZa (9 — действительная величина) F.3.8)
[ср. с формулой F.3.2)]. Таким образом, имеем.
Предложение
Импульс и момент импульса произвольной безмассовой
частицы описываются, согласно формуле F.3.2), твисто-
ром Za (для которого яаг ¥= 0) с точностью до неопреде-
неопределенности в фазе, отвечающей преобразованию F.3.8).
F.3.9)
Отсюда следует, что твистор Za общего вида описывает клас-
классическую безмассовую частицу со спиральностью A/2) ZaZa.
Если спиральнрсть равна нулю, то данное описание тесно
связано с геометрической трактовкой твистора, данной ранее.
Луч Z есть геометрическое место точек, в которых шд = 0, и в
силу формулы F.3.2) в этих точках МаЬ = 0. Таким образом,
луч Z можно представлять себе как мировую линию частицы.
Дополнительная информация, которая содержится в твисторе
Za, но не содержится в луче Z, есть величина («протяжен-
(«протяженность») 4-импульса (флагштока спинора лА и фаза (полотнище
флага спинора пА'). Полотнище флага спинора пА' можно в
определенном смысле рассматривать как «плоскость поляриза-
поляризации» частицы, но не ясно, в какой мере адекватна такая интер-
интерпретация. Можно также думать, что фаза должна иметь отно-
отношение к фазе квантовомеханического вектора состояния. Это
действительно так. Подобная трактовка связана с материалом
§ 4, но здесь мы на этом останавливаться не будем.
Если спиральность отлична от нуля, то не существует дейст-
действительных точек, в которых сод = О [формула F.1.74)], т. е. та-
таких, в которых МаЬ = 0. Это и понятно, поскольку такая частица
обладает спиновым моментом, который дает вклад в полный
угловой момент. Можно было бы предположить, что должен
существовать какой-то выделенный луч, который можно рас-
рассматривать как мировую линию частицы. Однако это не так.
Самое большее, что можно сделать — выделить изотропную ги-
гиперплоскость П, которая определяется соотношением раМаЬ = 0.
(В случае массивной частицы этим уравнением действительно
определяется единственная времениподобная линия, которую
можно отождествить с мировой линией частицы [327].) Все обра-
образующие гиперплоскости П равноправны. Существует преобразо-
преобразование Пуанкаре, переводящее твистор Za в себя и отображаю-
отображающее произвольную точку Р гиперплоскости П в любую наперед

твисторы 89
заданную точку Q этой гиперплоскости. В самом деле, соотно-
соотношение раМаЬ = 0 в силу формулы F.3.2) эквивалентно равен-
равенству Im (аИя^) = О, а потому на основании формулы F.1.74) мы
получаем а>АлА = «наП, откуда сол (Р) пА(Р) = <*> (Q)nA(Q). Следо-
Следовательно, преобразование группы Пуанкаре требуемого вида
есть трансляция из Р в Q с последующим преобразованием Ло-
Лоренца (фактически изотропным поворотом), переводящим диаду
сйА(Р)лА(Р) в точке Р в диаду сол (Q) пА (Q) в точке Q. Поскольку
твистор Z.™ полностью определяется заданием его спинорных
частей в любой из этих точек, указанное преобразование группы
Пуанкаре переводит твистор Z™ в себя. Так что в указанном
смысле классическая безмассовая частица с ненулевым спино-
спиновым моментом оказывается нелокализованной.
Определенный интерес представляет то обстоятельство, что
конгруэнция Робинсона, определенная по твистору Z™, имеет
прямое отношение к структуре момента импульса безмассовой
частицы со спином. Ее угловой момент относительно фиксиро-
фиксированной точки пространства М определяется спинорами сод и ял,
причем ГИН тензора МаЬ [формула C.5.18) и далее, а также
формулы C.4.20), F.3.2)] совпадают с направлениями флагшто-
флагштоков этих спиноров. Направление флагштока спинора ял неиз-
неизменно и совпадает с направлением 4-импульса, а направление
флагштока спинора сод совпадает с направлением конгруэнции
Робинсона в рассматриваемой точке.
Момент импульса произвольной системы
Теперь кратко остановимся на твисторном описании импульса
и момента импульса массивных частиц или совокупностей (си-
(систем) частиц. Пусть ра — действительный вектор, а МаЬ — дей-
действительный и кососимметричный тензор, причем зависимость
последнего от координат дается формулой F.3.3), так что вы-
выполнено условие F.3.4). (В случае физических систем вектор
ра обязательно будет времениподобным и ориентированным в
будущее, но здесь для нас это несущественно.) Тогда для неко-
некоторого спинора ц'4'5' е ©(Л'В'> мы имеем [формула C.4.20) J:
М°Ь = рАВгА'В' + рА'В'гАВ F3. ! 0)
Далее, введем твистор момента импульса [или твистор момен-
момента, или кинематический твистор1)] Аар^Т<ар) в соответствии с
равенствами
° °' АВ ^
\ А (
') Соответствующие твисторы (высшей валентности) для описания выс-
высшей мультипольной структуры системы были получены в работе [63].

90 ГЛАВА 6
(Не опасаясь путаницы, мы могли бы принять Аар: = Аар,
как и в случае величин 1аР и гА'в>.) В том, что это действи-
действительно твистор, нетрудно убедиться, проверив зависимость его
спинорных частей от координат [формула F.1.51)] с учетом
формул F.3.3) и F.3.10). Он обладает двумя особыми свойст-
свойствами. Первое из них — симметрия [формула F.1.66)]. Второе
можно выразить соотношением
p p, F.3.12)
которое проверяется непосредственно. Легко показать, что в
силу симметрии и равенства F.3.12) твистор Аар можно запи-
записать в виде
Aap = 2EVlp)Y> F.3.13)
где ЕУа—некоторый эрмитов [}]-твистор [формула F.1.68)],
допускающий «калибровочные преобразования» вида
Е°р <-* Еар + Lav I¥P +lvP Г, F.3.14)
причем Lap — произвольный элемент пространства TIapl. Раз-
Разложение F.3.13) можно получить, потребовав, чтобы спинорные
части 6лв = Елв и г\ва'=Еа'в твистора Еар [формула F.1.54)]
имели вид
Г\АВ' (О) = РАВ' (О), Ю<ЛВ> (О) = ДЛВ (О),
причем 9'ЛВ], £лв' принимали произвольные значения в точке О
[в соответствии с формулой F.3.14)], но, разумеется, удовлетво-
удовлетворяли твисторным дифференциальным уравнениям. Соотношение
F.3.13) можно переписать в спинорном виде
?£!л> = еСм'Йлс, F.3.15)
где £лв' = £лв' есть главная спинорная часть твистора Еар
[формула F.1.54)]. Действительно, в силу первого уравнения
F.1.56) левая часть равенства F.3.15) равна 18с'л'9( ', а эта
величина равна правой части в силу формулы F.3.13). Равен-
Равенство г)ав' = Рав' следует из равенства й)<лв>=:Длв, которое
справедливо во всех точках. В самом деле, если спинор 9(ЛВ)
задан во всем пространстве, то мы знаем и \ав> [3-е и 4-е
равенства F.1.55)] и аналогично рлв' определяется твистором
Длв.
Отметим, что из формул F.3.15) и F.3.10) следует соотно-
соотношение
м<л = у[л'|(Л|В) |В'] _|_ у<л'1 И|В] \в>) = уи»!^ (бз. 16)
Напомним, что главная часть твистора Е™р должна удовлетво-
удовлетворять уравнению F.1.70). Подробнее это уравнение будет рас-

ТВИСТОРЫ 9|
смотрено в § 5; оно называется конформным уравнением Кил-
линга, а его решения |а называются конформными векторами
Киллинга. Таким образом, мы можем сформулировать следую-
следующее предложение.
Предложение
Зависимость момента импульса МаЬ системы от коорди-
координат такова, что он равен ротору конформного вектора
Киллинга. F.3.17)
В случае безмассовой системы можно положить в соответствии
с формулой F.3.24) (см. ниже)
|а = йИEл' F.3.18)
Прямой проверкой [с использованием формулы F.1.9)] можно
убедиться, что для тензора углового момента F.3.2) допустимо
представление F.3.16). Как мы видели ранее, направления флаг-
флагштоков спинора сод касательны к линиям конгруэнции Робин-
Робинсона. Из равенства F.3.18) следует, что эти направления сов-
совпадают с полем направлений изотропного и ориентированного в
будущее конформного вектора Киллинга. Немного ниже мы
докажем справедливость обратного утверждения, так что можно
сформулировать следующее предложение.
Предложение
Поле всякого изотропного и ориентированного в будущее
конформного вектора Киллинга в пространстве Минков-
ского совпадает с полем флагштоков главной спинорной
части аА твистора Z™, и наоборот.
F.3.19)
Предложения F.3.17) и F.3.19) можно объединить.
Предложение
Тензор МаЬ может быть тензором момента импульса без-
безмассовой частицы [удовлетворяющей условию F.3.6)]
в том и только в том случае, если он равен ротору поля
изотропного и ориентированного в будущее конформного
вектора Киллинга. F.3.20)
Доказательство первой части предложения F.3.19) не совсем
тривиально. Если V$S|') = 0 и |а = рлрл\ то
_ р(вул> <л'рВ') = о. F.3.21)
Мы получим требуемый результат, если найдем действительную
функцию X, такую, что спинор сйА = е1*рА будет удовлетворять

92 ГЛАВА 6
твисторному уравнению [формула F.1.1)] V$coB> = 0. Рассмот-
Рассмотрим для этого уравнение V${pBVx} = 0, т. е.
р<ву#Х = ^рВ). F.3.22)
Из F.3.21) следует равенство
РлРвР(В'?л'Л)Рв = О,
откуда, учитывая предложение C.5.15), находим
РлРв?лмрв = 0.
Согласно предложению C.5.27), величину V4' (ЛрВ) действительно
можно представить в виде
F.3.23)
так что соотношение F.3.22) выполняется; здесь Vй — величина,
однозначно определяемая формулой C.5.15). Осталось показать,
что поле V действительное и имеет вид градиента. Из уравне-
уравнений F.3.23) и F.3.21) следует равенство
откуда в силу предложения C.5.15) находим VAA' = VAA, т. е.
ваем, что в пространстве М производные коммутируют), полу-
полуполе V — действительное. Дифференцируя обе части равенства
F.3.23) и выполняя затем свертку и симметризацию (мы учиты-
чаем
Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу симметрии;
поэтому на основании предложения C.5.15) мы можем сделать
вывод, что
Но так как поле Va действительное, это эквивалентно равенству
V[aFc]=0 [формула E.1.46)], откуда и следует существование
функции %, такой, что Va = V%> чем завершается доказательство
нашего утверждения.
Представление твистора Аар с помощью одноиндексных
твисторов
Вернемся к твистору Аац. Считая, что он описывает момент
импульса безмассовой частицы, мы можем положить [формула
F.3:2)]
((°^ ШЛ^Л -/F.3.24)

ТВИСТОРЫ
93
Таким образом, в случае безмассовой частицы твистор Аар при-
принимает вид
Аар = 2Z(a lp)YZv. F.3.25)
Если ра — времениподобный вектор, ориентированный в бу-
будущее, то твистор Еар можно представить в виде суммы выра-
выражений вида F.3.25) (алгебраической суммы, если ра— совер-
совершенно произвольный вектор). Нетрудно даже показать, что
любой твистор момента импульса в случае времениподобного
вектора импульса, ориентированного в будущее, может быть
представлен в виде
Аар = 2Х(а lp> YXV + 2Z(a Ip, YZV F.3.26)
со значительным произволом в выборе твисторов Ха и Za.
Этот произвол отвечает" преобразованиям
Ха -> аХа + ЪТ + Яс1а% + *<?|Zp, F
Za н-> сХа + dZa - Аа|арХр - Я&|аргв,
где ("^) есть унитарная матрица и АеС. Согласно твистор-
ной программе теории частиц1), одна массивная частица опи-
описывается двумя или большим числом твисторов, причем в случае
двух твисторов ее твистор момента импульса дается выражением
F.3.26), а в общем случае имеет вид
Аар = 2Х(а1р) YXV + ... + 2Z(alp) YZV. F.3.28)
В частности, масса покоя частицы m определяется суммой из
п(п—1)/2 слагаемых:
/л2 = - 1 Aap Аар = 21 XaYBlap Г + ...
2|XaZplae|2+...+2|YaZplapB+... .
Преобразование F.3.27) в случае п твисторов обобщается до
преобразования
+ AU I • I F.3.29)
где U — унитарная («Х«) -матрица, а Л — комплексная косо-
симметричная (гаXti)-матрица. [Отметим, что при п=1 фор-
формула F.3.29) дает калибровочное преобразование F.3.8), о
'.) См. работы [251, 142, 143, 268—270а, 320], а также работу [149] и
цитируемую в ней литературу.

94 глава б
котором говорилось выше.] Преобразования вида F.3.29) обра-
образуют я-твисторную внутреннюю группу симметрии1), или про-
просто /г-твисторную группу. Закон умножения в этой группе имеет
вид
(U, А) X (О, А) = (UU, А + UAUT). F.3.30)
И наконец, последнее замечание. Требование, чтобы вектор
ра был времениподобным и ориентированным в будущее [при-
[причинным 2) ориентированным в будущее], в твисторной форме
имеет вид требования положительной определенности [полу-
[полуопределенности (по Z™)] выражения
ZaAa/vZp. F.3.31)
Таким образом, положительная определенность выражения
F.3.31) наряду с требованием симметричности и выполнения
равенства F.3.12) есть необходимое и достаточное условие того,
чтобы твистор Аар можно было представить в виде суммы
F.3.28), содержащей не менее двух независимых слагаемых.
§ 4. Симметричные твисторы и безмассовые поля
Обратимся теперь к дифференциальному уравнению F.1.62)
для главной части симметричного бесследового твистора и рас-
рассмотрим его замечательную связь с уравнениями для безмас-
безмассовых полей D.12.42). Сначала остановимся на случае сим-
симметричного спинора КАВ ■■■D, содержащего г нештрихованных
индексов и, следовательно, являющегося главной частью симмет-
симметричного [ц]-твистора и удовлетворяющего уравнению F.1.62):
у$Ллв-°' = 0. F.4.1)
[Его частные случаи — уравнения F.1.1) и F.1.69).] Если
Фа...1.~ симметричный «-индексный спинор («>г), удовле-
удовлетворяющий уравнению D.12.42), а КА---°— некоторое симмет-
симметричное решение уравнения F.4.1), то справедливо равенство
^ЕЕ'(Фа...оЕ...^А-°) = °- F.4.2)
[Относительно случая п = г см. формулу F.4.31).] В скобках
стоит новое безмассовое свободное поле со спином A/2) (п — г),
так что мы понизили спин на г/2 единиц. Хотя такая процедура
получения безмассовых полей формально выполнима не только
в плоском, но и в кривом пространстве-времени, она оказывается
') См. например, работу [266], а также литературу, цитированную в пре-
предыдущем примечании.
2) Напомним (том 1), что слово «причинный» означает здесь «времени-
подобный или изотропный».

твисторы 95
малоэффективной, если пространство-время не является кон-
конформно-плоским, так как условия совместности вида F.1.6),
возникающие для уравнения F.4.1), допускают только тривиаль-
тривиальные решения. (См., однако, гл. 9, § 9.)
Сохраняющиеся интегралы для линейной гравитации
В линеаризованной теории Эйнштейна представляет интерес
частный случай, когда п. = 4 и г = 2. [Обобщение для точной
теории будет дано с формуле (9.9.16).] Как мы видели в фор-
формулах E.7.4) и E.7.8), симметричный спинор Фавсо, удовлетво-
удовлетворяющий уравнению D.12.42) в пространстве М, описывает сво-
свободное гравитационное поле в пределе слабого поля. Таким
образом, спинор
С° F.4.3)
с любым симметричным решением аАВ уравнения F.1.69) удов-
удовлетворяет уравнениям Максвелла в вакууме E.1.57), хотя он
может не иметь никакого отношения к электромагнетизму.
Предположим теперь, что в конечной части пространства рас-
расположены источники поля Фавсо, окруженные вакуумом. «Мак-
свеллово» поле %ав тоже должно иметь источники в этой об-
области, так как оно удовлетворяет уравнениям для свободного
поля одновременно с Фавсо- В теории Максвелла существует хо-
хорошо известный способ вычисления заряда источника как элек-
электрического, так и магнитного (если последний считать теорети-
теоретически возможным). Мы хотим вычислить этим способом %ав,
чтобы получить информацию об источниках поля Фавсо- Полу-
Полученные результаты, как мы увидим, позволяют дать определе-
определение 4-импульса и тензора момента импульса этих источников.
Указанный способ вычисления заряда основан на фундамен-
фундаментальной теореме внешнего исчисления D.3.25) и состоит в том,
что полный заряд находят, вычисляя интеграл по замкнутой
2-поверхности 9*, охватывающей источник. Пусть Ja — вектор
тока, описывающий источник поля Максвелла Fab- Тогда пол-
полный заряд q в (пространственноподобном) 3-объеме Т дается
выражением
q = -g- J /aeapqr dx*> A dx* A dxT = — —■ J +/,
r r
где использованы обозначения D.3.20), E.9.5) для дифферен-
дифференциальных форм. (Заметим, что если Т отвечает выбору сечения
Т = const, а в пространстве М введены стандартные координаты
Минковского, то это выражение переписывается в виде q =
=J /°dX A dY A dZ.) Уравнение Максвелла d'F = D/3)я +/
г

96 ГЛАВА 6
совместно с формулой D.3.25) дает
где 9} — граница компактного объема Т: 3? = дУ. Данное вы-
выражение можно переписать в виде
q = -5J- Im § <рлвел/в, dxa A dxb,
Fab = ^АВЪА'В' + *АвЧ>А'В» ^ab = ~ ^АВ&А'В' + 1гАвФА'В» КЭК И
в формулах C.4.20) и C.4.22), dxa эквивалентно gua, dx"/\dxb
эквивалентно gnfgij' и т. д. Аналогично, если бы система
обладала «магнитным зарядом» ц, его можно было бы вычис-
вычислить по формуле
так что
L $ в>dx" Л dx*. F.4.4)
Интеграл F.4.4) есть следствие уравнений Максвелла в пустом
пространстве, он не меняется при деформации поверхности 9"
в области, не содержащей источников. (В частности, он не ме-
меняется во времени, если «заряды» не пересекают поверхность 93,
в чем находит выражение закон сохранения «заряда».) В самом
деле, если 91 деформируется до &' и при этом заметает 3-объем
У, то мы имеем дТ = &' — 9* и указанное свойство следует из
нашей формулы, так как +/ = 0 на У".
Применим эти результаты к полю %АВ, причем роль Fab будет
играть действительный бивектор Раь, отвечающий полю %Ав
[формула C.4.38)]:
"аЬ = %АВеА'В' + ЪАВ%А'В" ^АВЪА'В' = ^ab = ~2 Vab + J ^ab)'
F.4.5)
Соответственно всякому симметричному решению уравнения
F.1.69) при заданном поле Фавсп мы получаем один комплекс-
комплексный «интеграл заряда», т. е. две действительные сохраняющиеся
величины. Мы видели, что симметричное решение уравнения
F.1.69) дается четвертым равенством F.1.51) с дополнитель-
дополнительным условием F.1.66). Следовательно, оно определяется де-
десятью комплексными независимыми величинами: тремя компо-
нентами аАВ, четырьмя компонентами р^„ а также тремя компо-

ТВИСТОРЫ g7
О
нентами хл,в,. Таким образом, мы получаем 10 независимых
комплексных интегралов, т. е. 20 независимых действительных
интегралов, для поля фАвсо-
Но физический смысл этого поля таков, что должно быть
лишь 10 независимых действительных сохраняющихся величин,
а именно четыре компоненты импульса и шесть компонент тен-
тензора углового момента источника. И на самом деле оказывается,
что 10 независимых действительных зарядов из 20 перечислен-
перечисленных выше равны нулю при условии, что поле </>ABcd выражается
через симметричный тензор Ла6 по формуле E.7.12). В § 5 мы
увидим, что этот вывод прямо следует из существования во всем
объеме У тензора Каьса, который обладает симметриями тензора
Римана, удовлетворяет тождествам Бианки V[aKbc]de = 0 и на
поверхности 91 сводится к виду E.7.8) с заданным полем
Фавсо- Роль источника играет тензор Еас, который определяется
формулой E.7.6). Десять остающихся независимых интегралов
о
даются комплексными компонентами спинора у.АгВ, и четырьмя
о о
действительными компонентами суммы р" + р". Интегралы, ко-
торые обращаются в нуль, содержат величины аАВ и i (р — р ).
Эти вопросы рассматриваются также в работе [301].
Может показаться странным, что интегралы, которые обра-
обращаются в нуль, представляют собой вклад как раз тех спинор-
ных частей твистора S, которые остаются, когда он редуциру-
редуцируется до твистора гдар. т. е. принимает вид г'Х(твистор момента
импульса), так что это как раз те части, которые непосред-
непосредственно интерпретируются как 4-импульс и тензор момента;
в то же время интегралы, дающие полный 4-импульс и момент
импульса, на самом деле определяются «остальной» частью тви-
твистора S"P. Этот кажущийся парадокс мы объясним позже
(стр. ПО, 116).
Далее нам понадобится тензорный вариант записи соотно-
соотношения F.1.69) для случая симметричного поля аАВ:
V V с - V(aQc) * + ga [*V<fQcl " = 0, F.4.6)
где Qab — кососимметричный тензор, который определяется вы-
выражением
Qab := iaABsA'B' - 1дА'в'гАВ. F.4.7)
Эквивалентность уравнений F.4.6) и F.1.69) доказывается пря-
прямой подстановкой выражения F.4.7) в уравнение F.4.6). Общее
решение уравнения F.4.6) имеет вид
Qab = £aft + AU\axb\ _
+ 2КС ["ха]хс, F.4.8)

98 ГЛАВА в
где Ua, Vй, КаЬ — постоянные тензоры, которые определяются
следующими соотношениями:
Ua + iVa = pa, Kab = i^A,B,zAB-iy.ABzA,B,. F.4.9)
Решение F.4.8) получено преобразованием соответствующего
спинорного выражения с использованием формулы C.4.53)
и т. д.
Точно так же как свертка аАВ с $abcd дает безмассовое поле
со спином 1, свертка Qab с Каьса—тензорным аналогом спинора
Фавсо [формула E.7.8)] — дает кососимметричный двухиндекс-
ный тензор, удовлетворяющий уравнениям Максвелла в ва-
вакууме. В самом деле, в силу формул E.7.8) и F.7.4) имеем
cd = 2 (?%лв*#в> - Ча'в>*ав) = - 2 'Раь, (б-4-10)
где %ав дается формулой F.4.3). Поскольку поле у^в удовлетво-
удовлетворяет уравнениям Максвелла в вакууме, записанным в спинорной
форме, наше утверждение можно считать доказанным.
Общий случай; потенциалы
Далее мы рассмотрим связь общего уравнения F.1.62)
V$'Ap'V;.Dio = O F.4.11)
с уравнением для массового поля D.12.42). В уравнение F.4.11)
входит симметричный спинор %a...dp'...s' валентности [о о]'
которым определяется главная часть бесследового симметрич-
симметричного [р]-твистора. Пусть спинор fA L (число индексов п>р)
будет симметричным решением уравнения D.12.42). Введем
новое поле
VP'...S' J, \A...DP'...S' ffi4 19^
Тогда из F.4.11) и D.12.42) следует, что это поле удовлетворяет
уравнению
Оно будет конформно-инвариантным, как следует из соотноше-
соотношения F.7.31). Пусть, далее, некоторое симметричное спинорное
поле ■фл'/.Уд" валентности [°_г £] (где п — г> р) удовлетворяет
уравнению F.4.13)—уравнение для безмассового поля является
частным случаем последнего при г = 0. Подставим его в опре-
определение %;;; вместо поля <j>.,.:
%Р> ...S' Г ... V = %А ... D(P' ... 5>Г' ...70 l F.4.14)
Новое поле %.;: также удовлетворяет уравнению F.4.13).

ТВИСТОРЫ
99
Особый интерес представляет случай п — г= 1. Дело в том,
что, как следует из результатов теории твисторов [82] и как
можно доказать непосредственно (что сделано Спарлингом), если
^b'...l'— симметричный спинор валентности [° ""JJ1], удовле-
удовлетворяющий уравнению
VA(A'^B'...L') = Oj F.4.15)
то (в плоском пространстве-времени) поле
...L' F.4.16)
удовлетворяет уравнению для безмассового поля D.12.42). Сле-
Следовательно, спинор it»;""' удовлетворяющий уравнению F.4.15),
есть аналог потенциала для ф... [ср. с формулой E.7.12)]. Бо-
Более того, и безмассовое поле ф... общего вида допускает такое
представление локально. Калибровочный произвол в выборе по-
потенциала имеет вид преобразования
ув'с... l- ,__^ ^в'с... и + v<f'6c'--- ц. F.4.17)
Он параметризуется произвольным (симметричным) спинором
QC..L' валентности [„ п^] во всех случаях, кроме случаев
п= 1, когда калибровочный произвол отсутствует, и п = 0, ког-
когда не существует потенциал. Соотношение F.4.16) конформно-
инвариантно в слабом смысле, т. е. не изменяется при любых
конформных преобразованиях, которые переводят плоскую мет-
метрику в плоскую, причем потенциалу следует приписать конформ-
конформный вес, равный —1.
Повышение спина
Всякому симметричному [°]-твистору отвечает главная
часть Xp'--S', которая удовлетворяет уравнению
vW'KP'...s' = 0 F.4.18)
[это уравнение можно рассматривать как частный случай урав-
уравнения F.4.11), а также как уравнение, сопряженное уравнению
F.4.1)]. Следовательно, мы можем подставить ее в соотношение
F.4.14), чтобы преобразовать потенциал для безмассового поля,
содержащего п нештрихованных индексов, в потенциал, содер-
содержащий (п + д) нештрихованных индексов:
%B'...E'F'...L' =ty(B'...E'XF'.../.')_ F.4.19)
Продифференцировав (п— 1) раз if»;"" в первом случае и
(/г + <7—1) раз %'." во втором, мы получим альтернативный

100 ГЛАВА 6
(«дуальный») формуле F.4.2) способ построения из одного без-
безмассового поля новое безмассовое поле с другим спином. Общее
выражение выглядит достаточно сложно, но в частном случае
q=\ эта процедура приводит к (/г + 1)-индексному безмассо-
безмассовому полю
Уа ... lm = ЬМ'?мм'Фа ... l + Пп + 1) р(МфА... L), F.4.20)
где ХА' — главная часть [JJ-твистора (рл, ХА"), так что PAzB,c' =
= — iVab'W [237]. Этот результат полезно сравнить со случаем
г=1 [формула F.4.2)], в котором [„]-твистор (ХА, рА,) осуще-
осуществляет «понижение спина»
yA...K = 'i'A...KLKL- F.4.21)
Формулы F.4.2), F.4.3), F.4.12), F.4.20), F.4.21) [а также
F.4.31) ниже] и некоторые конкретные примеры F.4.12),
F.4.14) показывают, как при помощи бесследового симметрич-
симметричного твистора можно изменять спин безмассового поля. Разу-
Разумеется, мы могли бы написать также комплексно-сопряженные
варианты этих выражений. Есть важный общий момент во всех
этих результатах, который будет разъяснен в § 9 [формулы
F.10.37), F.10.38)]. Если говорить об изменении спина как об
изменении спиральности (положительно-частотного) безмассо-
безмассового поля [см. текст после формулы E.7.3)], то она изменяется
вполне определенным образом: в случае бесследового симмет-
симметричного твистора валентности [£] увеличение спиральности
равно A/2)(р—q)h.
Другие виды потенциалов; связь с оператором □
Существует другой тип (полностью симметричного) потен-
потенциала 1|э.;; для безмассового поля ф... с произвольным спином
(в плоском пространстве-времени), с которым работать несколь-
несколько проще. Соотношение между полем и потенциалом в этом слу-
случае имеет вид
где на потенциал ф.;; налагается несколько более жесткое
условие, чем F.4.13) (так как отсутствует симметризация),
Данное уравнение в отличие от уравнения F.4.13) не обладает
свойством конформной инвариантности. Но зато для заданного
поля ф... всегда можно построить такие потенциалы (локаль-
(локально) с произвольным числом штрихованных и нештрихованных

ТВИСТОРЫ
101
индексов вплоть до п (а не только с одним нештрихованным).
В самом деле, если потенциал ф;;; имеет по крайней мере один
нештрихованный индекс (противоположный случай будет рас-
рассмотрен далее), то из F.4.23) следует, что спинорное поле
будет симметричным по индексам D, Е и, следовательно, пол-
полностью симметричным, а также что оно удовлетворяет уравне-
уравнению вида F.4.23). (При доказательстве этого приходится при-
принимать, что производные коммутируют, т. е. ограничиваться
случаем плоского пространства-времени.) Таким образом, мы по-
получаем симметричное безмассовое поле, которое удовлетворяет
правильному уравнению, а также представимо в виде F.4.22).
Заметим, что мы нигде не использовали симметрию спинора
ф... по штрихованным индексам, и, вообще говоря, он не обя-
обязательно должен быть симметричным; но, поскольку кососим-
метричные части выпадают в соотношении F.4.22), мы можем
без потери общности ограничиться случаем симметричного спи-
спинора. Заметим также, что из уравнения F.4.23) следует соотно-
соотношение '■'•'•
которое представляет собой калибровочное условие Лоренца
E.1.47), обобщенное на электромагнитный потенциал. Кроме
того, из F.4.23) следует, что выражение
симметрично по индексам N, Е, а также по М, Е (поскольку
производные в плоском пространстве коммутируют), а следова-
следовательно, по М, N. Таким образом, потенциал ф"; удовлетворяет
волновому уравнению
иЪв:::?=°> F.4.26)
где
П=ъш
есть оператор Даламбера, определенный формулой E.10.6) [см.
также формулу F.8.26) ниже].
Можно даже построить величину %А'--и (которую без по-
потери общности можно считать симметричной) типа потенциала
Герца. Этот потенциал содержит только штрихованные индексы
и удовлетворяет единственному уравнению
n%A'...L'=o: F.4.27)

[02 ГЛАВА 6
Как и в случае формулы E.10.7), из уравнения F.4.27) сле-
следует соотношение A^'V^V ■■■ д' = 0, а значит,
Теперь можно подставить величину в скобках вместо i|3.;." в со-
соотношение F.4.24) и повторить рассуждения; в конечном счете
получим
Каждое из выражений вида F.4.22) для потенциалов -фГ;Г» удов-
удовлетворяющих перечисленным выше требованиям, включая
F.4.28), дает (локальное) представление произвольного безмас-
безмассового поля. Каждое из них определено с точностью лишь до
калибровочных преобразований, включающих только безмассо-
безмассовые поля со спином, не превышающим спин поля <j>..., а также
производные этих полей [237]. Пользуясь этим, можно еще бо-
более редуцировать спинор %A'-L', входящий в соотношения
F.4.27), F.4.28), а именно к виду %pA'...Lr (локально), где
pA'...L _ постоянный спинор, не зависящий от поля <f>A L, a
% удовлетворяет уравнению □% = 0. Таким образом, свободное
поле фА L с заданным спином локально имеет столько же сте-
степеней свободы, как и скалярное безмассовое поле %, что, впро-
впрочем, нам уже известно из результатов гл. 5, § 11.
Интересно, что главная часть произвольного симметричного
[д]-твистора удовлетворяет волновому уравнению в плоском
пространстве-времени:
Из $x , t у d
F.4.29)
(99). Чтобы доказать это, заметим, что в пространстве М мы
имеем равенство
Vm'nV%.= -±b''m'u F.4.30)
[которое следует из B.5.24), поскольку его левая часть кососим-
метрична по N, М, так как операторы V коммутируют; см. также
F.8.33)]. Применив равенство F.4.30) к производной левой ча-
части первого уравнения F.4.29), свернутой по индексу М', полу-
получаем
откуда в силу формулы C.5.15) вытекает требуемое равенство
4вд

твисторы 103
Как следствие утверждения F.4.29) мы легко получаем
обобщение уравнения F.4.2) на случай, когда поля ХА---°
и фА D имеют одинаковое число (симметризованных) индек-
индексов:
Из V$XA-D> = 0, V^>^B...D = 0 следует Q (фА...DlA-D) = 0.
F.4.31)
Мы ограничивались пространством Минковского М, но, учиты-
учитывая конформную инвариантность обоих уравнений в исходном
условии утверждения F.4.31) (поля кА---° и ФА„йО имеют кон-
конформный вес 0 и —1 соответственно), а также результат
F.8.30), который будет получен ниже, можно показать, что
утверждение F.4.31) справедливо и в конформно-плоском про-
пространстве-времени, если даламбертиан □ заменить оператором
A/6)Я(П Л)
§ 5. Конформные векторы Киллинга;
сохраняющиеся величины и точные последовательности
В предыдущем параграфе мы познакомились с одним из спо-
способов получения десяти сохраняющихся величин, связанных с
группой Пуанкаре (энергия-импульс, момент импульса) и ха-
характеризующих источники линеаризованного гравитационного
поля. Приведем теперь другой способ вычисления этих величин,
а также укажем на их связь с пятью дополнительными сохра-
сохраняющимися величинами, возникающими в конформно-инвари-
конформно-инвариантной теории. Соотношения между сохраняющимися величина-
величинами группы Пуанкаре и конформной группы весьма любопытны и
довольно сложны. Чтобы получить более полное представление
об этих соотношениях, мы кратко остановимся на важном поня-
понятии точных последовательностей (что пригодится нам также в
дальнейшем в другом контексте).
Конформные векторы Киллинга
Сначала еще раз обратимся к уравнению V{g,£$) = 0 [фор-
[формула F.1.70)]. На основании результатов C.4.5) и C.4.9) его
можно рассматривать как тензорное уравнение, выражающее
факт равенства нулю бесследовой симметричной части тензора
± = 0- F.5.1)

104 ГЛАВА в
Это — конформное уравнение Киллинга. Оно эквивалентно соот-
соотношению прямой пропорциональности
V(aift)oc£aft, F.5.2)
причем коэффициент пропорциональности можно найти, вычис-
вычислив след в предыдущем уравнении. Соотношение F.5.2) можно
записать иначе [формула D.3.3)]:
F.5.3)
Если |а — действительное векторное поле, то уравнение F.5.3)
означает, что при переносе метрики вдоль поля |а она лишь при-
приобретает дополнительный множитель. Таким образом, в поле §а
находит выражение локально-конформная (активная) симмет-
симметрия пространства-времени. Такое поле |а иногда называют гене-
генератором инфинитезимальных конформных движений простран-
пространства-времени, при которых каждая точка сдвигается на вектор
е£а, где е — бесконечно малый параметр преобразования х*
В общем случае искривленного пространства-времени локаль-
локальная конформная симметрия отсутствует и, следовательно, урав-
уравнение F.1.70) не имеет нетривиальных решений. В другом
крайнем случае плоского или конформно-плоского пространства-
времени это уравнение допускает максимальное число линейно-
независимых решений — 15. Эти решения в явном виде представ-
представлены в четвертом равенстве F.1.55). Поскольку поле |а счи-
считается действительным, условия F.1.68) выполняются, т. е.
ассоциированный твистор Еар, который определен в формулах
F.1.54) и F.1.56), является эрмитовым. Подсчитывая полное
число степеней свободы, мы видим, что имеются четыре незави-
независимые компоненты спинора \АВ', восемь компонент спинора
%А, =6 А, и четыре компоненты спинора х\А,в— всего 16. Однако
эти коэффициенты не определяются полностью полем \АВ\ Как
показано в § 1, это поле инвариантно по отношению к преоб-
преобразованиям
в^ь-^в + Лвв* (AesR) F.5.4)
(где параметр h должен быть действительным, чтобы твистор
Еав оставался эрмитовым), которые изменяют лишь след тви-

твисторы 105
стора Еар. Таким образом, бесследовая часть твистора Еар,
равная
Е%-|Е\б%, F.5.5)
однозначно определяется конформным вектором Киллинга. Те-
Теперь мы имеем 15 степеней свободы [по числу независимых
действительных компонент твистора F.5.5)].
Решение четвертого уравнения F.1.55) (для эрмитова поля
) можно следующим образом переписать в тензорных обо-
обозначениях:
Ъа = Та + Lab^ + Rxa + Sb (x*Xcgab - 2xaXb), F.5.6)
где
Ta = la, # = - Im (9ЛЛ), /,"* = - i&AB> гА'в' + Ш*В%АВ,
Sa = -±na. F.5.7)
Эти четыре слагаемых имеют смысл генераторов трансляций
(четыре параметра), генераторов лоренцевых вращений (шесть
параметров), растяжений (один параметр) и специальных кон-
конформных преобразований (четыре параметра), иногда неудачно
называемых преобразованиями постоянного ускорения. Если R
и Sa равны нулю одновременно, то |а — обычный вектор Кил-
Киллинга
V(A> = 0> T- e- fSab = O F.5.8)
и генерирует преобразования группы Пуанкаре A0 параметров).
В искривленном пространстве-времени уравнение F.5.8) имеет
нетривиальные решения лишь в том случае, когда пространство-
время допускает локальные движения, сохраняющие метрику
(а не только конформные движения), как это имеет место, на-
например, в случае стационарного пространства-времени.
Законы сохранения
Существует важная связь между (конформными) векторами
Киллинга и законами сохранения в общей теории относитель-
относительности. Допустим, что Таь — симметричный тензор энергии-им-
энергии-импульса, дивергенция которого, как обычно, равна нулю:
Таь = ТЬа, VTab = 0. F.5.9)
Если рассматриваемое пространство-время допускает поле век-
вектора Киллинга |а, то величина
С9 = ТаЬ1ь F.5.10)

106 ГЛАВА 6 i *
удовлетворяет уравнению
VaCa = lbVaTab + TabValb = 0 F.5.11)
в силу равенств F.5.9) и F.5.8), поскольку Таь^а1ь = Tab\ial»\
Таким образом, вектор Са удовлетворяет уравнению непрерыв-
непрерывности, которое аналогично уравнению Va/a=:0 для 4-вектора
тока Ja [формула E.1.54)].
Теорема непрерывности, утверждающая, что интеграл по
3-объему от величины J" или С" есть сохраняющаяся величина,
справедлива не только в плоском, но и в искривленном про-
пространстве-времени. В самом деле, в формуле E.9.6) мы видели,
что при использовании дифференциальных форм условие равен-
равенства нулю дивергенции записывается в виде i£+/ = 0, где +/ =
= euiwla так же, как в формуле E.9.5), а сохраняющаяся ве-
величина есть интеграл \ +/, вычисленный по 3-объему. Теорема
непрерывности есть частный случай фундаментальной теоремы
внешнего исчисления D.3.25): интеграл от формы +/ по трех-
трехмерной границе любой компактной четырехмерной области ра-
равен нулю — в нашем случае роль границы играет начальное и
конечное положение 3-объема. То же справедливо в отношении
формы +C = e;,i.,ijOCa. Однако тензор ТаЬ, входящий в уравнение
F.5.9), сам по себе не определяет никакой сохраняющейся ве-
величины. «Лишний» индекс в выражении ei,i..i,aTai не позволяет
использовать теорему непрерывности в искривленном простран-
пространстве-времени. Лишь в том случае, когда имеется вектор Кил-
линга |а, можно построить сохраняющийся ток.
Пространство М допускает десять независимых векторов
Киллинга. Каждый из них дает сохраняющуюся величину при
подстановке в формулу F.5.10). Генераторы трансляций дают
четыре сохраняющиеся величины, а именно энергию и три им-
импульса. Генераторы лоренцевых вращений определяют шесть
компонент релятивистского углового момента, из которых три
описывают обычный нерелятивистский угловой момент, а осталь-
остальные три — положение центра масс и его равномерное движение.
Предположим теперь, что |а имеет смысл конформного век-
вектора Киллинга. Тогда из F.5.2) следует, что соотношение
F.5.11) остается справедливым, если только след тензора Таь
равен нулю:
Таа = 0. F.5.12)
Напомним, что если тензор бесследовый, то уравнение для ди-
дивергенции VaTab—О будет конформно-инвариантным [формула
E.9.2) и далее]. Нулевой след имеют тензоры энергии-импульса
для поля Максвелла и для нейтрино Дирака — Вейля, а также
«улучшенные» тензоры энергии-импульса безмассового скаляр-

ТВИСТОРЫ J07
ного поля [см. формулы E.2.4), E.8.3) и F.8.36)]. На основании
теоремы Нётер в рамках лагранжева формализма можно пока-
показать, что конформно-инвариантные поля всегда описываются
тензорами энергии-импульса с нулевым следом [352, 448]. Сле-
Следовательно, такие поля характеризуются сохраняющимися вели-
величинами, число которых равно числу конформных векторов Кил-
линга в пространстве-времени1)- В пространстве Минковского
имеется 15 независимых конформных векторов Киллинга и, сле-
следовательно, 15 независимых сохраняющихся величин. Таким об-
образом, мы имеем пять дополнительных законов сохранения (сверх
законов сохранения энергии, импульса и момента импульса), от-
отвечающих генераторам инфинитезимальных растяжений (один)
и специальным конформным преобразованиям (четыре) [форму-
[формулы F.5.6), F.5.7)].
Твисторное описание
Взаимосвязь между десятью стандартными сохраняющимися
величинами пуанкаре-инвариантных теорий и пятнадцатью со-
сохраняющимися величинами конформно-инвариантных теорий в
пространстве Минковского весьма элегантно выявляется при
твисторном подходе. Мы уже видели [формула F.5.5)], что
каждое из 15 линейно-независимых решений конформного урав-
уравнения Киллинга F.5.1) может играть роль главной части эрми-
эрмитова [ } ]-твистора Е°р и однозначно определяет его бесследовую
часть. Твисторы Еар, которые получаются из векторов Киллин-
Киллинга, образуют действительно-десятимерное подпространство в Тр.
В то же время в формуле F.3.11) было показано, что десять
компонент энергии-импульса и углового момента системы могут
быть собраны в единый симметричный твистор Aag ^ Т(ар>, ко-
который можно выразить через эрмитов твистор Eag по формуле
F.3.13). (Кроме того, след A/4N^Е v твистора Еаз не дает
вклада в Аа«. Таким образом, путем отображения F.3.13) мы
извлекаем из набора 15 конформных величин, входящих в Еар,
всю информацию о 10 компонентах энергии-импульса и момента
импульса.
Естественно предположить, что между двумя процедурами
редукции 15 конформных величин к 10 пуанкаре-величинам су-
существует некоторая связь. Это действительно так. Но эта связь
не совсем прямая и включает переход от исходного пространства
') Тензор Беля -г- Ребинсена Тиьсл тоже симметричный, бесследовый и
в вакууме имеет дивергенцию, равную нулю. Для любого конформного векто-
вектора Кнллннга £а выполняется уравнение Va (Tabcd\b4,%d) = 0. н, следовательно,
мы также получаем одну сохраняющуюся величину [23].

108 ГЛАВА б
твисторов к дуальному пространству. Действительно, переход от
произвольного бесследового твистора Еар к твистору, который
определяется произвольным (а не только конформным) векто-
вектором Киллинга, есть замена исходного пространства его линей-
линейным подпространством. В то же время отображение F.3.13), пе-
переводящее Е°р в Аар, есть проекция, отображающая простран-
пространство твисторов Еар на факторпространство. Подпространства и
факторпространства — это дуальные структуры.
Чтобы увидеть, почему нужны дуальные пространства, выяс-
выясним физический смысл величины Аор и вектора Киллинга. Фик-
Фиксированный твистор Аар описывает полную структуру 4-импуль-
са и момента импульса некоторой конкретной физической си-
системы, скажем бильярдного шара, тогда как фиксированный
вектор Киллинга относится к одной компоненте этой структуры,
скажем к энергии, но в случае произвольной физической си-
системы. Если мы связываем одно с другим, например спраши-
спрашиваем какова энергия бильярдного шара, то получаем действи-
действительную величину. Она получается как соответствующее скаляр-
скалярное произведение (над полем действительных х чисел) твистора,
представляющего вектор Киллинга, на твистор, представляющий
4-импульс и момент импульса данной физической системы, по-
поскольку оно R-линейно и по тому, и по другому. Аналогично
можно рассмотреть конкретную конформно-инвариантную фи-
физическую систему (например, свободное электромагнитное поле),
сохраняющиеся конформные величины которой описываются
эрмитовым твистором Еар. Тогда, если задан конформный век-
вектор Киллинга |а, который будет теперь главной частью бессле-
бесследового эрмитова твистора Fap, можно построить сохраняющуюся
величину, отвечающую вектору |а, как некоторое R-билинейное
«скалярное произведение» твисторов Fap и Е°р. Условие кон-
конформной инвариантности означает, что этот твистор должен
быть скаляром (не содержащим |аР или 1ар); следовательно, он
должен быть пропорционален свертке
Это — действительная величина в силу эрмитовости сомножи-
сомножителей Fap и Е%- Она не изменится, если к одному из твисторов
(но не к обоим) добавить величину, пропорциональную следу
(ЯЛ«Э).
В частном случае, когда векторы |а оказываются векторами
Киллинга, твисторы Fap приводятся к особому виду, при кото-
котором лишь часть компонент твистора Еар определяется скаляр-
скалярными произведениями типа F.5.13). Эти компоненты суть как

ТВИСТОРЫ 10g
раз те сохраняющиеся величины, которые характеризуют произ-
произвольную (а не всего лишь конформную) пуанкаре-систему, а
именно тензоры энергии-импульса и момента импульса, т. е.
десять независимых действительных компонент величины Аар>
определенной в формуле F.3.13);
Аар = 2eVp> v F.5.14)
При переходе к Аар выпадают те компоненты твистора Еар, ко-
которые непригодны для описания произвольной пуанкаре-систе-
мы. Хорошо определенными в этом смысле будут лишь сохра-
сохраняющиеся величины, явная зависимость которых, скажем, от
времени несущественна. Пуанкаре-системой определяется тви-
стор Аар, но не Еар.
Сравнив F.5.14) и F.5.13), можно -предположить, что при
заданном векторе Киллинга £а твистор Fap должен приво-
приводиться к виду Fap = 2SavYlp, где SPv s T(Pv), или, точнее, к виду
F% = Sa\p + Spvr, F.5.15)
поскольку твистор Fap должен быть эрмитовым. Условие ра-
равенства нулю следа Faa = 0 вытекает из симметрии твистора
Sap, поскольку твистор lag кососимметричен. Подставляя раз-
разложение F.5.15) в свертку F.5.13), находим, используя пред-
представление F.5.14):
FapEPa = Re{SapAap}. F.5.16)
Таким образом, свертку можно переписать непосредственно в
виде скалярного произведения твисторов Sap и Аар, билинейного
над полем действительных чисел.
Чтобы доказать, что твистор Fap действительно можно пред-
представить в виде F.5.15), используя вектор Киллинга |а, заметим,
что дополнительное условие для Fap, вытекающее из F.5.8),
имеет вид
Vala = 0. F.5.17)
Используя обозначения, введенные в формуле F.1.54), получаем
из F.1.56)
9 А «.Л'
A = £ А'ш
Мы полагаем, что след твистора Fap равен нулю:
Следовательно, он полностью определяется своей главной
частью I". Тогда 9лл = |л,л' = 0 и из второго соотношения

110 ГЛАВА 6
F.1.56) и условия F.1.68) находим
1АВ' = 1АВ', ъАВ = ъВА = 1АВ = 1в\ т,лв, = 0. F.5.18)
Из этих уравнений следует, что
F[aplvlp = 0. F.5.19)
Анализируя выражения F.5.15) и F.5.19) с использованием
спинорных частей, взятых в произвольной точке О, легко пока-
показать, что в силу равенства F.5.19) твистор Fa« действительно
можно выразить через твистор SapeT(aP) с помощью соотноше-
соотношения F.5.15), как утверждалось выше.
Таким образом, для описания вектора Киллинга можно поль-
пользоваться твистором S вместо F°p. В некоторых случаях это
оказывается более удобным. Дело в том, что твистор Fap дол-
должен удовлетворять дополнительному условию F.5.19), тогда как
твистор SaP определен неоднозначно, с точностью до «калибро-
«калибровочного преобразования» вида
7|а) v, F.5.20)
где Gap — произвольный эрмитов твистор:
G% = Gpa. F.5.21)
Связь с интегралами от источников в линейной гравитации
Теперь мы можем подробнее проанализировать результаты
§ 4, связанные с сохраняющимися величинами для слабого гра-
гравитационного поля <Pabcd- Там мы использовали симметричное
спинорное поле аАВ, которое, будучи главной спинорной частью
твистора Sap, определяемого формулой F.1.50), удовлетворяет
уравнению F.1.69), чтобы сконструировать из него и <j>abcd де-
десять комплексных (т. е. 20 действительных) интегралов, из ко-
которых независимыми оказались лишь десять действительных ве-
величин. Десять интегралов, которые обращаются в нуль, по су-
существу возникают из «калибровочного слагаемого»
2G(a/)Y F.5.22)
в формуле F.5.20). Отметим, что по виду это слагаемое совпа-
совпадает с выражением для АаР в формуле F.3.13). В этом и
кроется причина «кажущегося парадокса», с которым мы встре-
встретились на с. 97. Как раз та «часть» твистора SaP, которая имеет
вид произведения г"А , не дает вклада в тензор энергии-им-
энергии-импульса и момента импульса источника. Лишь перейдя к дуаль-

ТВИСТОРЫ
111
ному пространству, мы сможем построить твистор, который
имеет структуру твистора Аар и определяет энергию-импульс и
момент импульса системы. Вскоре мы вернемся к обсуждению
этих важных вопросов.
Рассмотрим подробнее связь между вектором Киллинга |а и
твистором S°P. Из разложения F.5.15) и представлений F.1.50)
и F.1.54) для твисторов SaP и Fap получаем
|лв' = рлв'_рлв- F.5.23)
Поэтому из уравнений F.1.52) с учетом равенств F.1.66) на-
находим
VccoAB = — 2гес<лр3)с. F.5.24)
Комбинируя два последних уравнения, имеем
|ЛЛ' = ^ (iVA'aAB _ iVAdA'B'y F.5.25)
Таким образом, спинор аАВ, удовлетворяющий уравнению
F.1.69), можно рассматривать как потенциал для поля |а. Если
считать, что выполняется уравнение F.1.69), то уравнение Кил-
Киллинга для |а есть по существу следствие соотношения F.5.25).
Кроме того, величина ра является частным случаем комплекс-
комплексного вектора Киллинга, и, следовательно, ее мнимая часть тоже
вектор Киллинга. Он ассоциирован с полем |а, но не опреде-
определяется этим вектором однозначно. Условия существования и не-
неоднозначность в выборе Im pa связаны с «калибровочным произ-
произволом» F.5.20).
Точные последовательности
Чтобы лучше понять ситуацию, связанную с наличием (ли-
(линейного) калибровочного произвола, полезно связать его с по-
понятием точных последовательностей [325]. Это последователь-
последовательности отображений между векторными пространствами (или
вообще между модулями, абелевыми группами и т. д., хотя нам
достаточно рассматривать векторные пространства):
...-*P-»Q-»/?-*S-»"..., F.5.26)
которые либо продолжаются бесконечно в обе стороны, либо
оканчиваются с одного или обоих концов нулем (нулевым век-
векторным пространством). Предполагается, что все отображения
линейные (над коммутативным кольцом действительных R или
комплексных С чисел), а также обладают следующими двумя
свойствами:
I. Композиция двух последовательных отображений при-
принимает нулевые значения,

112
ГЛАВА 6
Р Q R S
Выполняются условия j и J/
Выполняется только условие ±
Выполняется только условие V
Рис. 6.4. Графическое представление точной последовательности, для которой
выполняются оба условия I и И, и двух частных случаев, когда выполняется
лишь одно из условий. (Если выполняется лишь условие I, то последователь-
последовательность называется комплексом.')
II. Всякий элемент, который данным отображением пере-
переводится в нуль, должен иметь непустой прообраз при
предшествующем отображении.
Эти два условия можно объединить; ядро любого отображения
(т. е. прообраз нуля — множество элементов, отображающихся
в нуль) есть в точности образ предыдущего отображения. Иног-
Иногда оказывается полезным наглядное представление таких после-
последовательностей в виде диаграмм (рис. 6.4).
Отметим, что если мы имеем точные последовательности
то Л = О, В ж С и F есть факторпространство Е по D, т. е.
F « E/D (рис. 6.5). Отметим также, что если задана лишь пара
отображений D^-E^-F, такая, что ядро второго есть образ
первого, то, используя дополнительные пространства и отобра-
отображения, мы всегда можем продолжить это звено до точной после-
последовательности произвольной длины. На основании условия ли-
Рис. 6.5, Простые примеры точных последовательностей: Д == О, В « С,

ТВИСТОРЫ • [ 13
нейности можно утверждать, что если точная последователь-
последовательность начинается с нуля, то образом его обязательно будет ну-
нулевой элемент', если же она оканчивается нулем, то прообразом
его будет все пространство.
Хорошо известный и важный пример точной последователь-
последовательности дает последовательность (Пуанкаре—)де Рама
0^R-^> Л°-£>Л1 -^А2-^..., F.5.27)
где Аг — векторное пространство (над R) гладких С°°-действи-
тельных r-форм, причем все они определены на некотором
С-гладком л-мерном многообразии °U с евклидовой топологией.
Отметим, что последовательность оканчивается на пространстве
дп+i __ о. Отображение k сопоставляет действительному числу /
0-форму, которая принимает на Ш постоянное значение /. Отоб-
Отображения d обозначают внешнее дифференцирование D.3.14).
Поскольку константы как раз образуют класс 0-форм, которые
обращаются в нуль оператором d, условие точности выполняется
вплоть до Л1. Более того, сР = О [формула D.3.15) (VIII)], а
поэтому условие I имеет место вдоль всей последовательности.
Благодаря тому что в Щ введена евклидова топология1), на
каждом шаге из условия dw = 0 следует, что существует функ-
функция v, такая, что w = dv, в силу (обращенной) леммы Пуан-
Пуанкаре, так что условие II тоже выполняется. Отметим, что урав-
уравнение dw = 0 для w e Лр+1 есть условие интегрируемости урав-
уравнения w = dv относительно формы v e Лр. Если же, наоборот,
мы рассматриваем условие dw = 0 как «полевое уравнение» для
w, то v играет роль «потенциала» для ш. «Калибровочный произ-
произвол» t»i—>v-\-u в выборе v сводится к добавлению величины и,
удовлетворяющей условию du = 0. Такая форма и должна быть
представима в виде полного дифференциала и = dt формы
feA"-1, и, следовательно, возникает «калибровочный произвол
второго рода» t*—*-t-\-dr, reA^2 и т. д. Этот простой пример
показывает, как последовательный анализ калибровочного про-
произвола позволяет смещаться вдоль точной последовательности
к ее началу на один шаг на каждом этапе; обратный путь свя-
связан с рассмотрением условий интегрируемости.
Для нас будет важна следующая точная последовательность,
содержащая только конечномерные векторные пространства:
0->5Л -^ Т -^ SA' -» 0, F.5.28)
') Если не вводить предположения об евклидовой топологии, то условие
точности может нарушиться на некотором шаге. Для таких пространств ука-
указанная точная последовательность определена лишь локально («точная по-
последовательность пучков»). Переход к ее глобальному варианту приводит к
понятию когомологий [см. § 10, текст после формульд F.10.55)].

114 ГЛАВА 6
где 5Л и 5л' — пространства постоянных спинорных полей, тип
которых определяется видом используемого индекса [265]. Ото-
Отображение 1 переводит всякое постоянное спинорное поле хА в
твистор (кА, 0). Отображение 2 переводит всякий твистор
(оИ, ял-) в постоянное спинорное поле пя:
л^КО), (йИ, пА')^ПА'. F.5.29)
То, что последовательность F.5.28) точная, очевидно. Очевидна
и пуанкаре-инвариантность: всякое отображение F.5.29) канони-
канонически определено как пуанкаре-инвариантное (но не конформно-
инвариантное) ; следовательно, оно не изменяется при новом
выборе начала отсчета.
Важным свойством точных последовательностей является то,
что последовательности, дуальные им, тоже точны1), однако
отображения действуют в противоположном направлении. Так
что в случае векторных пространств Р* и Q*, дуальных про-
пространствам, входящим в последовательность F.5.26), мы имеем
следующую точную последовательность 2):
... *-P**-Q**-/F*-S**-.... F.5.30)
Последовательность, дуальная последовательности F.5.28),
имеет вид
0«-5л«-Та«-5л'«-0, F.5.31)
1* 2*
где (ХА, \iA) —*■ ХА, \ьА' —*" @, \1А')', отметим также, что эта
последовательность комплексно-сопряжена с последователь-
последовательностью F.5.28) (читаемой в обратном направлении).
Последовательности моментов
Исследуем теперь точную последовательность, которая свя-
связана с соотношениями F.5.15), F.5.19) и F.5.20). Мы рассмот-
рассмотрим следующую частичную последовательность:
где Нр — векторное пространство (над R) эрмитовых [ [ ]-твис-
торов, а Т и Y — пространства симметричных н антисим-
антисимметричных [о]-твисторов, рассматриваемых в этом случае как
векторные пространства над R. Отображение т определено так,
') Для доказательства этого свойства в общем случае требуется аксиома
выбора.
2) Обратное отображение, скажем из Q* в Р", сопоставляет каждому эле-
элементу ?eQ* элемент р е Р*, такой, что рх = qy для всех ieP, где у —
образ переменной х при исходном отображении P~*-Q.

тзИсторЫ
что его ядро совпадает с ядром отображения F.5.19):
F[a/Jv. F.5.33)
Здесь Fap — произвольный (не обязательно бесследовый) эле-
элемент пространства Нр. Решения уравнения F.5.19) имеют вид
F.5.15), что дает отображение q:
q : T<a(J) -> Н|:: Sap •-* Savlvp + Spvlva. F.5.34)
Калибровочный же произвол в выборе SaP [формула F.5.20)]
дает отображение р:
р : H^T(ap):: G% •-»► 2/G(aYlp) v. F.5.35)
Последовательность F.5.32) с такими отображениями может
рассматриваться как звено отображения точной последователь-
последовательности, поскольку образ отображения q есть ядро отображения г,
а образ отображения р есть ядро отображения q.
Последовательность F.5.32) можно продолжить бесконечно
в обоих направлениях до точной последовательности, которая
оказывается периодической:
и н|-^ T(afJ) -^ Hg- ? ,
F.5.36)
причем еще одно дополнительное отображение s определено так:
s : T[apl -> Н? :: Kap -+ /Kavlvp - /К„УГ F.5.37)
(где КаР — кососимметричный твистор). В том, что эта полная
последовательность является точной, можно убедиться непосред-
непосредственно (подстановкой спинорных частей, взятых в точке О).
Последовательность, дуальная последовательности F.5.36),
имеет вид
... «-Tiapi-1- Н8-£-Т(«э, «— Hg ^- Tlapi -^Hp *-..., F.5.38)
где отображение р [или q, r, s соответственно], дуальное отобра-
отображению q (или р, s, г), связано с отображением р [или q, r, s]
следующим образом: умножаем исходный элемент на (—i), за-
затем действуем отображением р [или q, г, s], после чего выпол-
выполняем комплексное сопряжение. Полученная последовательность
F.5.38), дуальная последовательности F.5.36), точна и оказы-
оказывается тривиальной модификацией последовательности F.5.36),
прочитанной справа налево (с включением множителя —i и
комплексного сопряжения). Заметим, что скалярные произве-
произведения пространств, входящих в последовательность F.5.36), на
дуальные им пространства определяются как действительные

116 ГЛАВА 6
части сверток между парами элементов этих пространств. (Ра-
(Разумеется, в том случае, когда пространствами оказываются
Нр и На, свертка заведомо будет действительной.) Этим опреде-
определением скалярного произведения и задаются отображения
р, q, f, s. ^
Отметим, что соотношение F.5.14) между твистором Eag и
твистором момента АаР имеет в точности вид отображения р, пе-
переводящего элемент ЕРа еНоВ А(ар) ^ Т(аР), а преобразование
F.3.14) дается отображением s. To, что (действительное) ска-
скалярное произведение S"P на А"р равно свертке F"p с Е%
[формула F.5.16)], есть также следствие общего факта сущест-
существования пары дуальных (над пространством R) последователь-
последовательностей F.5.36) и F.5.38) (в нашей записи соответствующие про-
пространства расположены в средней части последовательностей).
Вернемся к кажущемуся парадоксу, отмеченному на с. 97, ПО:
выражение для твистора момента F.5.14) и идентичное выра-
выражение F.5.22), связанное с построением твистора вектора Кил-
линга, играют в теории, казалось бы, противоположную роль:
первое из них задает проекцию конформных сохраняющихся
величин на сохраняющиеся величины, связанные с группой Пу-
Пуанкаре, а второе отражает наличие калибровочного произвола
в твисторном описании вектора Киллинга. Теперь это различие
можно трактовать с более общей точки зрения. Соотношение
F.5.14) совпадает с отображением р в последовательности
F.5.38), тогда как калибровочные слагаемые составляют образ
при отображении р в последовательности F.5.36), т. е. это ядро
отображения q, дуального отображению р. Можно сказать, что
структура последовательности F.5.38) отражает процедуру по-
построения наборов сохраняющихся величин для конкретных фи-
физических объектов (таких, как бильярдный шар, о котором шла
речь, на с. 108 и твистор момента которого Аар принадлежит
пространству Т(ар)), структура же последовательности F.5.36)
подчеркивает роль (конформных) векторов Киллинга и т. п. в вы-
вычислении отдельных сохраняющихся величин (например, вектора
Киллинга, отвечающего энергии системы).
До сих пор мы рассматривали последовательности F.5.36)
и F.5.38) алгебраически (т. е. лишь как примеры алгебры тви-
сторов). Но мы видели в формуле F.5.25), что линейные отобра-
отображения между твисторами можно рассматривать на уровне диф-
дифференциальных уравнений для спинорных полей на М. Тогда
перемещение вдоль последовательности в направлении к ее на-
началу соответствует вычислению потенциалов [типа потенциала
аАВ для вектора |° в формуле F.5.25)]. На рис. 6.6 представлена
полная схема преобразований для последовательности F.5.36).
Уравнения написаны с использованием главных частей оАВ, %еАВ

ID
El
HJ
Щ
\
\
'■'■
V.* -мнит.
const.
\
\ *X >
6-мерн. >o\
у" дейстб.
"-"«■•
уадейст0.
V у. xg
\
S«'(= S("")
\
F%(= F,«)
^a действ.
V ^\ = 0
\
* \
\ V.
К •'(=«!■«)
*£-"■
const.
\
12-мерн. \Ь-мерн. 20-мвт \6-мерн.
Рис. 6.6. Периодическая последовательность момента (дуальная).
\2-м$рн.

i lg ГЛАВА 6 '
твисторов S"p e= T<afJ) и KaP <ee TlaP1 соответственно (это те слу-
случаи, когда твистор полностью определяется главной частью), а
также с использованием пар (уа, ц) и (ga, А,), описывающих
твисторы G"p еН° и Fap еHjj, соответственно. Здесь у4' и
|лл' — главные части, а через ц = Gaa. Я, = Faa обозначены (не-
(независимые) следы, которые должны быть заданы для полного
определения твисторов.
Большинство соотношений на рис. 6.6 записано в тензорной
форме. Остальные (спинорные) соотношения, расположенные в
центре схемы, можно преобразовать к тензорному виду, если
ввести по аналогии с F.4.7) величину
Qab • АВ А'В' .-А'В' АВ 1а с олч
= ю 8 — ia е . F.5.39)
Тензорная форма уравнения V^icrBC> —0 дана в формуле F.4.6).
Тензорная форма отображения q имеет вид
ia = i-VftQa6 F.5.40)
(включая случай Я. = 0), а для отображения р находим
Qab = -eabcd4cyd, F.5.41)
так что образ отображения р (т. е. ядро отображения q) состав-
составлен из тензоров Qab, удовлетворяющих уравнению F.4.6), а так-
также уравнению
V6Qa6 = 0. F.5.42)
Как мы уже видели, дуальная последовательность (читаемая
справа налево) представляет собой тривиальную модификацию
исходной последовательности. В частности, отображение р, ко-
которое переводит конформную величину Еар в твистор момента
Aap. по существу имеет вид F.5.41), где, однако, вместо Qab
стоит дуальный тензор. Это — следствие наличия дополнитель-
дополнительного множителя —i в определении отображения р [см. текст
после формулы F.5.38)]. Главная часть твистора Аа& равна
[формула F.3.11)] 2фл'в', так что, заменив дА'в' в определе-
определении F.5.39) тензора Qab этой величиной, мы получим удвоенный
тензор момента F.3.10), а именно 2МаЬ. Конформный вектор
Киллинга 1АВ\ который мы рассматриваем как главную спинор-
ную часть твистора Еар, можно связать равенством F.5.41) с
тензором, дуальным тензору 2МаЬ. Следовательно, тензор МаЬ
может быть представлен как ротор конформного вектора Кил-
Киллинга |°, что уже отмечалось в формуле F.3.16). Наконец, урав-
уравнение, аналогичное дуальной форме уравнения F.5.42), озна-
означает просто, что ротор тензора МаЬ равен нулю.

твисторы ■ 119
Для последовательности F.5.36) и дуальной ей последова-
последовательности F.5.38), которые в дальнейшем мы будем называть
периодическими последовательностями момента [точнее говоря,
F.5.38) есть последовательность момента, а F.5.36)—дуальная
ей последовательность], существует полезное представление в
виде перекрывающихся систем более коротких последовательно-
последовательностей, содержащих по девять членов. Последовательность такого
вида, которую мы кратко будем называть последовательностью
момента, показана на рис. 6.7. Здесь пространство Нр эрмито-
эрмитовых твисторов расщеплено в прямую сумму
где Нр— пространство бесследовых эрмитовых твисторов, a R
учитывает вклад следа. Пространство l"'0*1 представило в виде
где Rl"Pi — шестимерное действительное пространство твистор-
но-действительных кососимметричных Твисторов, т. е. твисторов
Rap, удовлетворяющих условию R = R , где R =
= (l/2)8aPv8Rve [формулы F.2.19) и F.2.31)], так что их главная
часть хеав содержит действительный множитель %.
Как было показано в работе [146], последовательность мо-
момента можно рассматривать как пример точной последователь-
последовательности Кошуля [117]:
О -► V -> УФ -> у1Ф'Фг1 -> \ЛФ1<1>2Фз] ->...->• У1Ф' - ф»1 -> О,
"t1 ^ ^ ^ ^
! ! ! ! ! F-5.43)
* * * * *
О <— V <— Уф ■*— У[ф(ф2] <— У^ф^^з] <—...<— Vp,... фп] <— 0.
Здесь Уф есть n-мерное векторное пространство над кольцом
V с делением, а отображения определены на фиксированных
элементах /ф пространства Уф. Верхние отображения имеют
вид
и т. д.,
а нижние таковы:
и т. д.
Точность легко проверяется, как и то, что последовательности
взаимно дуальны, причем соответствующие дуальные пары про-
пространств отмечены вертикальными штриховыми линиями со
стрелками на обоих концах. Чтобы получить последовательность
момента, следует положить V=R и Уф= RlaPi, где Ф—■

(«■)!
IM--IMU1
Ht'1'M-Id
j «eR
se дёйс/nS.
>^
(G% = 0)
,«действ.
\ *^'
(F>, = A)
('Эейсгд.
pdeucrf
V,.«., = 0
io-wew.\
«ciR
is-мерн. 20~иерн, is-мерн. ь-wpu.
Рис. 6.7. Последовательность момента (дуальная).
\~мерн.

ТВИСТОРЫ . 121
абстрактный индекс, изображающий антисимметризованную па-
пару индексов [ар]. Фиксированный элемент /ф заменяется элемен-
элементом /а&, и с точностью до тривиальных множителей последова-
последовательность F.5.43) сводится к последовательности, изображенной
на рис. 6.7. Детали этого перехода мы оставляем читателю.
В работе [146] было отмечено, что такая процедура может
рассматриваться и в космологии (гл. 9, § 5), где возможны аль-
альтернативные варианты «бесконечно удаленного твистора», ко-
который не обязательно будет простым (или действительным). Это
приводит к некоторой модификации наших твисторных выра-
выражений.
Интегралы в линейной теории гравитации
Мы предложили два метода построения интегралов энергии-
импульса и момента импульса физической системы в простран-
пространстве М- Желательно установить связь между этими методами.
Первый метод был таким. Мы рассмотрели (§ 4) случай слабого
гравитационного поля в вакууме в области пространства вне
источников. Выбрав симметричное решение аАВ уравнения
F.1.69), мы построили из него и гравитационного спинора <j>abcd
(описывающего приближение слабого поля) интеграл по замк-
замкнутой 2-поверхности 9", полностью лежащей в цакуумной части
пространства и охватывающей источник [формулы F.4.3),
F.4.4) и далее]. Значение С этого интеграла не изменяется при
непрерывной деформации поверхности &, если она не пересе-
пересекает область, в которой сосредоточен источник. Более того, С
не зависит от выбора 3-объема, ограниченного поверхностью 9".
В этом смысле С есть сохраняющаяся величина.
Во втором методе [формулы F.5.9), F.5.10) и далее] мы
рассматриваем интеграл по компактной 3-поверхности (объему)
У с границей дУ от тока Са = Таь%ь, образованного тензором
энергии-импульса ТаЬ и вектором Киллинга £°. Интеграл С имеет
смысл полного потока величины С" через У. Область интегри-
интегрирования может теперь пересекать область, в которой сосредото-
сосредоточен источник. Величина С сохраняется в том смысле, что этот
интеграл не изменяется при непрерывных деформациях V, со-
сохраняющих границу дУ. Этому эквивалентно следующее выска-
высказывание: Са-поток через любую замкнутую 3-поверхность (огра-
(ограничивающую компактный 4-объем) должен быть равен нулю
(рис. 6.8). Если граница дУ полностью расположена в вакуум-
вакуумной области, скажем дУ = &, то ее тоже можно деформировать
без изменения результата при условии, что 9> все время остается
в вакууме; дело в том, что область, заметаемая границей
9" = дУ, дает нулевой вклад в интеграл.

122 ГЛАВА 6
— ЪГ
Рис. 6.8. Закон сохранения заряда: интегральный поток через компактную
3-поверхность У с границей 9> равен потоку через 3-новерхность У. Объеди-
Объединение 3-поверхностей У и У, взятых с противоположными ориентациями,
образует границу компактного 4-объема.
По аналогии с электромагнетизмом можно ожидать, что воз-
возможен переход от первого описания ко второму, основанный на
фундаментальной теореме внешнего исчисления [формула
D.3.25)]. Действительно, именно отыскивая эту связь, мы по-
получаем возможность отождествить результаты обоих методов.
Однако здесь возникает дополнительная сложность, поскольку в
указанных способах построения сохраняющейся величины С ис-
используются разные типы спиноров, а именно аАВ и |а. Но соот-
соотношение F.5.25) дает нам связующее звено.
Доказательство оказывается более простым, если использо-
использовать тензорные обозначения, а необходимые для этого формулы
уже были получены, когда рассматривался переход к тензорной
записи соотношений спинорного формализма. Мы используем
кососимметричный тензор Qab, который определен через спинор
аАВ в формуле F.4.7). Нам понадобятся также соотношение
F.4.6) и тензорная форма записи F.5.40) соотношения F.5.25):
ga =A/3)VbQab. В формулу D.3.25) фундаментальной теоремы
внешнего исчисления
в = jj
jj F.5;44)
дг
мы подставляем вместо 2-формы в выражение
e^Kt^Q0"' F-5.45)
где Kabcd — тензор кривизны E.7.4) в приближении слабого
поля, a K"abcd — дуальный ему тензор [формула D.6.11)]. Тогда
= VK, {Км *<**} =
a»
где в силу линеаризованных тождеств Бианки E.7.9) дуальному
преобразованию подвергаются лишь два последних индекса а, Ъ

ТВИСТОРЫ
123
тензора /С... . Выполняя дуальное преобразование индексов
формы в F.5.46), получаем
+dO = 4- VcQab*K*. . F 5 47)
[формулы C.4.30) и C.4.25)]. Но в силу формул F.4.6), F.5.40)
и D.6.11) имеем
= 3 (Kdebe - \ gabKe?ef) l"=- 24nGEdbZb, F.5.48)
где Еаь — тензор энергии-импульса в приближении слабого поля
[он связан с Kabcd так же, как тензор ТаЬ связан с Rabcd, см.
формулу E.7.6), причем G — гравитационная постоянная]. Да-
Далее, тензор *K*abcd удовлетворяет циклическому тождеству [фор-
[формула D.6.9) ], откуда
9* К* VaOcb — *К* Vcnab
и, как следствие формулы F.5.48),
*ff* VcOab
Подставив это в F.5.47), получим
^ F.5.49)
В то же время, если перейти в выражении F.5.45) к спинорам,
используя формулы E.7.8) и D.6.11), то мы получим в вакуум-
вакуумной области
+ fA'B'P'Q'OA'B'zPQ) dx"Adx4. F.5.50)
Следовательно, левая часть равенства F.5.44) пропорциональна
сумме выражения вида F.4.4) [в котором спинор фдВ заменен
спинором %дв, определяемым соотношением F.4.3)] и комплекс-
комплексно-сопряженного выражения. Другими словами, мы получили
интеграл, вычисляемый при первом методе построения сохра-
сохраняющихся величин. Подставив в правую часть равенства
F.5.44) величину, дуально сопряженную величине F.5.49), ис-
используя формулу C.4.29) и первое равенство C.4.31), мы видим,
что указанная правая часть пропорциональна интегралу потока
величины вида F.5.10), т. е. соответствует второму методу по-
построения сохраняющихся величин. Выбирая общий множитель
так, чтобы в случае вектора Шиллинга |а, отвечающего времен-

124 ГЛАВА 6
ным трансляциям d/dt, получалась полная энергия, заключенная
в объеме 7°, переписываем F.5.44) в виде
Kbc<iQcddxa*dxb = - | J eabcdEdftfdxaAdx*Adxc. F.5.51)
Это соотношение дает искомую связь между сохраняющимися
величинами, построенными двумя методами, причем дУ° не обя-
обязательно лежит в вакуумной области. Отметим, что в спинорной
записи в левую часть равенства F.5.51) в явном виде входят
источники линеаризованной кривизны (отвечающие спинорам
Флвсо' и Л) в отличие от аналогичной ситуации для электро-
электромагнитного поля. Если эти источники обращаются в нуль на
границе дУ=9' (поверхность 9> расположена в вакуумной об-
области), то на основании формулы F.5.50) левую часть можно
записать в виде
где РаЬ определяется формулой F.5.4).
Десять интегралов, равных нулю
Правая часть равенства F.5.51) тождественно равна нулю
при любом распределении источников, если |а = 0, т. е. если
V6Qa* = 0. Из соотношения F.5.23) следует, что при этом дейст-
действительная часть вектора ра в формуле F.1.50) [и, следовательно,
ха — см. формулу F.1.66)] равна нулю во всем пространстве.
Тогда из равенств F.1.50) и F.1.51) следует, что независимо
от того, выполняются ли условия причинности и ориентирован-
ориентированности в будущее для 4-вектора импульса, твистор S"^ имеет вид
произведения /Х(ТВИСТОР момента) [формула F.3.11)] и, сле-
следовательно, этот твистор возникает из калибровочного слагае-
слагаемого в преобразовании F.5.20), как и предполагалось. Этим до-
доказывается утверждение, сделанное на с. 97, что десять инте-
интегралов F.5.52) всегда равны нулю, если $Abcd удовлетворяет
уравнениям D.12.42) для свободного безмассового поля в
окрестности %L поверхности 9", при условии, что Фавсо продол-
продолжается до тензора Каьы с симметриями тензора Римана, кото-
который определен на всем 3-объеме У, ограниченном поверхностью
9", и удовлетворяет уравнению E.7.9), имеющему вид «тождеств
Бианки». Это же условие для $Abcd в окрестности <U поверх-
поверхности О7 можно сформулировать в виде требования, чтобы в W
существовало возмущение метрики hab(=hba), такое, что спи-
норное поле флвсо выражается через него по формуле E.7.12).
Поскольку возмущение hab такого вида может быть гладко про-

ТВИСТОРЫ
125
должено (произвольным способом) на весь объем У, тензор
Kabcd требуемого типа можно построить по формуле E.7.4).
Интересно, .что в то время как уравнение D.12.42) для сво-
свободного безмассового поля конформно-инвариантно [формула
E.7.17)], указанное дополнительное условие для $ABcd таковым
не является. Например, если на М определено конформное пре-
преобразование, переводящее метрику в плоскую (в области <%/),
то оно индуцирует преобразование в Та, при котором единичный
твистор I06*1, вообще говоря, изменяется. (Подробнее см. гл. 9,
§ 3, 5.) Чтобы возникали нулевые интегралы, твистор S0* дол-
должен приводиться к виду F.5.22). Последнее выражение явно
содержит твистор 1аР и, следовательно, не инвариантно. В дей-
действительности можно выбрать такие решения безмассовых урав-
уравнений (в области <U специального вида), что все 20 интегралов
F.5.22) будут иметь независимо произвольные значения.
Роль дуальности в последовательностях момента
Отметим, что если фиксировать Каьы, ЕаЬ и 3-поверхность У
(с границей дУ°), а величины Qab и |° считать переменными, то
обе части равенства F.5.51) будут задавать линейные отобра-
отображения (над полем действительных чисел) в пространство R из
соответствующих твисторных пространств, а именно: для Qab
это будет пространство Т(аР\ а для £а — образ при отобра-
отображении q F.5.34) из К? в Н«. Если \а будет конформным векто-
вектором Киллинга, то правая часть равенства F.5.51) будет зада-
задавать отображение в R, определенное на всем пространстве Н?.
При таких условиях отображение, вообще говоря, зависит от
выбора объема У (ограниченного фиксированной 2-поверхно-
стью дУ°), хотя в частном случае, когда Еаа = 0, такой зависи-
зависимости нет.
Указанные отображения строятся с помощью элементов ду-
дуальных пространств (над R), а именно Аар^Т(ар> и ЕраеНра
соответственно; при этом равенство F.5.51) записывается в виде
Re(AafJSafJ) = EpaFaP F.5.53)
[что совпадает с F.5.16)], где аАВ — главная часть твистора
SaP, а 1а — главная часть твистора Fas (бесследового: Faa = 0).
Левой частью этого равенства определяется твистор Аар мо-
момента импульса материи, заключенной в объеме У (т. е. ограни-
ограниченной поверхностью дУ°), в виде интеграла по дУ. Если счи-
считать, что в правой части равенства F.5.51) величина ga есть кон-
конформный вектор Киллинга, то мы получаем Ера в виде инте-
интеграла по У, В общем случае (когда Eaa ф 0) выражение для Ера
зависит от выбора объема У (при фиксированной границе дУ).

126 ГЛАВА 6
Твисторы l P<zi которые получаются таким образом, связаны
друг с другом «калибровочным» преобразованием вида F.3.14).
Связь между Аае и Ер<*. которая следует из F.5.53) [где теперь
F"p e Кр, так что £а — вектор Киллинга, выражающийся через
аАВ по формуле F.5.25), откуда следует, что F"p и S"p свя-
связаны между собой соотношением F.5.15)], совпадает со стан-
стандартным выражением F.3.13). При этом скалярные произведе-
произведения в формуле F.5.53) правильно описывают соотношение меж-
между последовательностями момента и дуальными им последова-
последовательностями [формула F.5.38) и далее].
Полезно было бы выписать различные интегральные выра-
выражения для компонент твистора А„р, которые получаются сопо-
сопоставлением равенств F.5.51) и F.5.53), однако здесь мы не
будем заниматься анализом этих выражений. Общий множитель
в равенстве F.5.51) выбран так, чтобы обеспечивалось числен-
численное соответствие с равенством F.5.53). Это легко проверить,
выбрав в качестве %а генератор временных трансляций.
§ 6. Производные Ли спиноров
В существовании конформного вектора Киллинга %? в про-
пространстве-времени Ж находит выражение то обстоятельство, что
Ж допускает непрерывные движения (сейчас мы не учитываем
глобальные аспекты), при которых остается неизменной струк-
структура изотропных конусов (т. е. конформная структура). В обыч-
обычном тензорном анализе существует понятие «переноса» вектора
или тензора по отношению к произвольному векторному полю %а.
Локально правило переноса определяется так, чтобы производ-
производная Ли вдоль поля \а была равна нулю. Эту операцию можно
обобщить на спиноры, но здесь следует потребовать, чтобы поле
|° было конформным вектором Киллинга. В противном случае
изотропный вектор (а следовательно, изотропный флаг) будет
при переносе «оторван от изотропного конуса». Требование, что-
чтобы поле |а было конформным вектором Киллинга, означает, что
движение переводит изотропные конусы в себя, а в этом случае
имеет смысл и понятие переноса спинора. Рассмотрим теперь
формальную сторону этой задачи. (Мы считаем, что поле %"
выбрано действительным.)
Чтобы найти результат действия оператора £ = £ на спин-
вектор кА, рассмотрим действие этого оператора на (комплек-
(комплексный) бивектор v.Av.B&A'B'. Из D,3.3) получаем
£ (%АхвеА'в') = |CVC {кА%вгА'в') — xDxBeD'B'VdZa
F.6.1)

ТВИСТОРЫ , 127
Если потребовать, чтобы оператор £ формально обладал свойст-
свойствами оператора дифференцирования (правило Лейбница!), то
из F.6.1) следует
v.Av.B£.&A'B' = c +
+ хVvSV"' - «У<Г. F.6.2)
Выполняя антисимметризацию по индексам А, В и переобозна-
переобозначая немые индексы, находим
Это равенство должно выполняться при всех значениях хл,
а потому имеем [формула C.3.23)]
v8'd?-o, F.6.3)
т. е, поле |а должно быть конформным вектором Киллинга, как
и предполагалось.
Далее, сворачивая F.6,2) с еА'в', находим
j \ F.6.4)
где Я определяется из уравнения
F6.5)
которое получается с учетом косой симметрии спинора £еАВ по
индексам А, В. В силу предложения C.5.15) формула F.6.4)
дает
£хА = l°VcV.A — KDhDA, F.6.6)
где
4 XeDA). F.6.7)
Применяя обычные правила продолжения оператора дифферен-
дифференцирования к пространству всех спиноров [а также аналогичную
формулу для тензоров D.3.3) ], мы получаем формулу для про-
производной Ли спинора общего вида
£VA... Р' ttfy VA...P'... U AVAO...P'...
^X-D-.S'., = v yX-D.-.S' ... 'Mo *D...S'...
. . , hp'P'xA-P'° - ... + А °»ХЛ-°'- + ■ ■ ■ + h soXA"p';- + ....
0 ^D.-.S'... ^ D ^Do-S'... ^ S' *'D...S'...~
So.
F.6.8)
В частном случае, когда % — = еАВ, мы получаем с помощью
F.6.5)
£вав = хеав = _ hcA&cB _ hcBe,AC,

128 ГЛАВА 6
т, е. [в силу формулы F.6,7)]
F.6.9)
Этот же результат можно получить из тензорного выражения
для £gab, пользуясь соотношением
£gab = £ (еАВеА'в') = еАВ£еА'в' + еА'в'£еАВ = (к + к) g"".
Отметим, что равенство F.6,9) фиксирует лишь действительную
часть множителя А.. Формальный анализ, проведенный выше, не
позволяет однозначно определить мнимую часть множителя А.
по заданному конформному вектору Киллинга £а. С геометриче-
геометрической точки зрения естественно выбрать мнимую часть множи-
множителя А. равной нулю. Аргументация целесообразности такого вы-
выбора по существу совпадает с той, которая дана в гл. 5, § 6, и
приводит к формуле E.6.2). Там множитель Q был выбран
действительным с тем, чтобы геометрическая интерпретация
спин-вектора была конформно-инвариантной1). Те же сообра-
соображения имеют силу и в данном случае. Выбор действительного
множителя А, в формуле F.6.5) гарантирует, что спинор еАВ бу-
будет «удлиняться», приобретая действительный множитель (соот-
(соответствующий действительной величине А.), при переносе его
вдоль векторного поля £а. В некоторых случаях удобнее отка-
отказаться от такого «геметрически естественного» ограничения, но
здесь мы временно принимаем его. Тогда из F.6.9) следует, что
* = -^vcr. F.6.10)
Подставляя это выражение в F.6.7), получаем три альтернатив-
альтернативные формулы, позволяющие выразить Ад-4 через £а:
hDA = i- VDB'lAB' - 4- eDAVcB>tCB',
± V<?,^>B' + \ V#6*lB', F.6.11)
A 3 _ ZAB' . 1 -уЛ %В'
B качестве проверки можно сравнить результат действия
оператора £ на вектор V, вычисленный по формуле F.6.8), со
стандартным выражением D.3.2). Чтобы оба метода приводили
к одному и тому же выражению, должно выполняться равенство
' + Rb^'&b* = V6|a. F.6.12)
') Возможная интерпретация комплексного множителя Я рассматривалась
в работе [260] (см. также том 1, примечания иа с. 420, 424, 430).

ТВИСТОРЫ ' 129
Подставляя сюда, скажем, третье выражение F.6.11), получаем
равенство, справедливость которого сразу не очевидна, но ста-
становится несомненной, если поднять индексы ВВ' и рассмотреть
его компоненты
[АВ][А'В'\, (АВ)[А'В'], [АВ](А'В') и (АВ)(А'В')
по.отдельности [последняя дает нуль в правой части равенства
в силу формулы F.6.3) ].
Связь с теорией твисторов
Формулы F.6.11) выглядят довольно сложно. Замечательно,
что они существенно упрощаются, если для конформных векто-
векторов Киллинга в пространстве Минковского мы используем тви-
сторные выражения, полученные ранее. Для спинора Ъ,АВ' (=
_ ^ав'^ рассматриваемого как главная спинорная часть эрми-
эрмитова твистора £ар, мы имели (при QAB = EAB, t,A'B>= Еа'В)
VcclAA' = iBcA'QAc — /ес V, F.6.13)
причем условие эрмитовости твистора Еар (действительности
спинора |а) приводило к соотношению
£сл' = вл'с. F.6.14)
Вводя также требования равенства нулю следа: Еаа — 0, мы
получаем
Qaa- + Ia'a' = 0. F.6.15)
Подставляя это в однократно свернутое соотношение F.6.13),
находим
VDB'lAB' = 2/0% - /eD V = i {2QAD + Bd^s). F.6.16)
Следовательно,
4 v™*"- + i- у US = i {|e% + \ e^ + D -1)
0^ + 0^ + 0^
Таким образом, третье выражение F,6.11) дает
hDA = LQAD. F.6.17)
Итак, если не считать множителя i, спинорная производная
Ли величины hAB совпадает с одной из спинорных частей эрми-
эрмитова твистора Еа0, главная часть которого равна Ъ,АВ'\ другая
сдчнорная часть этого твистора равна На'3 ■
В этой связи, пожалуй, стоит отметить, что если мы опу-
опустим требование F.6.15) равенства нулю следа Еар, то един-

130 ГЛАВА 6
ственным изменением в окончательном результате будет нали-
наличие действительной части следа спинора QAB. [Из выражения
F.6.15) совместно с F.6.14) следует, что спинор QA'B' должен
быть чисто мнимым.] Чтобы перейти от рассмотренного выше
случая, когда Еаа = 0, к данному более общему случаю, вы-
выполним подстановку
AAB + keBA, F.6.18)
где k — действительная константа. Вспоминая равенство F.6.17),
получаем
VWV + <W, F.6.19)
откуда следует, что множитель Я в выражении F.6.5) приобре-
приобретает мнимую часть:
Я I-* Я + 2ik. F.6.20)
Это как раз тот случай, когда возникает «геометрически неесте-
неестественная» производная Ли спинора — случай, отброшенный нами
при выводе соотношений F.6.11).
Если \а есть требуемый вектор Киллинга, то [формулы
F.5.1), F.5.17)] VcEc = 0, откуда в силу формулы F,6.7) сле-
следует, что Ъ.аа = 0, т. е. спинор Нав симметричен:
hAB = hBA. F.6.21)
Тогда тензор V&£a будет кососимметричным, так что формулу
F.6.12) можно рассматривать как частный пример представле-
представления C.4.20) кососимметричного тензора с помощью симметрич-
симметричного спинора.
§ 7. Интегралы движения частиц;
конформно-инвариантные операторы
Как мы видели в § 5, конформному вектору Киллинга |а,
заданному в пространстве-времени Ж, в случае любой непре-
непрерывно распределенной физической системы с бесследовым сим-
симметричным тензором энергии-импульса Таь, удовлетворяющим
условию VaTab = 0, отвечает некая сохраняющаяся величина.
То же самое справедливо и в случае системы пробных частиц
в Ж. Мы предполагаем, что в промежутках между столкновения-
столкновениями пробные частицы движутся по геодезическим многообразиям
Ж, а при столкновениях сохраняется 4-импульс. Уравнение гео-
геодезической имеет вид
p'VaP» = 0, F.7.1)
где ра есть 4-импульс частицы; он определяется как вектор, ка-
касательный к мировой линии, и при движении переносится вдоль
нее параллельно.

ТВИСТОРЫ . 131
Имеем
Ра4а ilbp") = ЪьРаЧаР" + Рар"?а1ь = 0, F.7.2)
где предполагается, что либо |° — вектор Киллинга (и тогда
с учетом симметрии по ра и рь можно переписать Vagft в сим-
метризованном виде, откуда следует, что последнее слагаемое
равно нулю), либо £а — конформный вектор Киллинга и ра —
изотропный вектор (так что последнее слагаемое вновь обра-
обращается в нуль, будучи пропорциональным papbgab)- В обоих
случаях вдоль мировой линии каждой частицы сохраняется ве-
величина
Q = laPa- . F.7.3)
Если в столкновениях частиц сохраняется сумма их импульсов,
то благодаря линейности выражения F.7.3) по импульсу ра
сохраняется и сумма соответствующих величин Q. Таким обра-
образом, мы получаем закон сохранения: полный поток величины Q
через границу дЖ компактного 4-объема W равен нулю. Следо-
Следовательно, ситуация аналогична (и по существу тождественна)
случаю непрерывно распределенных физических систем.
Полиномиальные интегралы движения; спиноры Киллинга
Величина F.7.3) допускает обобщение на нелинейные выра-
выражения вида
Q = lab...<iPapb...pd, F.7.4)
где без потери общности тензор Ъ,а ,..d можно считать симмет-
симметричным:
l d)- F.7.5)
Обобщение первого из условий, при которых имеет место ра-
равенство F.7.2), запишется в виде
V(e£aft...d) = 0. F.7.6)
Тензор |а... d, удовлетворяющий условиям F.7.5) и F.7.6), часто
называют тензором Киллинга; мы здесь тоже будем пользо-
пользоваться этим термином (хотя иногда его употребляют примени-
применительно к другому объекту; см. формулы F.7.19) и F.7.20)
ниже]. В отличие от вектора Киллинга тензор Киллинга не до-
допускает простой геометрической интерпретации. Но если вели-
величина ра имеет тот же смысл, что и выше, то из уравнений F.7.1)
и F.7.6) находим
p"VeQ = p«Ve (£a... dpa ... pd) = pepa . . . pdVela... a = 0. F.7.7)
Таким образом, величина Q сохраняется вдоль мировой линии
каждой из частиц в промежутке между столкновениями. Но

132 ГЛАВА 6
вследствие нелинейного характера зависимости Q от ра полная
величина Q не сохраняется в процессе столкновения.
Чтобы получить обобщение второго из условий, при которых
выполняется равенство F.7.2), положим
V(ЛаЬ ...d) = g(eaT\b ... d) F.7.8)
для некоторого тензора r\b...d. Тогда в случае изотропного век-
вектора ра имеют место преобразования вида F.7.7). На основании
равенства F.7.8) заключаем, что бесследовая симметричная
часть тензора Ve|a.,.d равна нулю; стало быть, вспомнив ска-
сказанное в конце гл. 3, § 3 [формулы C.3.58) — C.3.60)], можно
следующим образом переписать соотношение F.7.8) в спинор-
ной форме:
^1£&":.^) = 0. F.7.9)
Не теряя общности, можно принять, что спинор %%"'DD, симме-
симметричен по группам индексов А ... D и А' ... D'; при этом выра-
выражение F.7.4) не изменяется, если ра — изотропный вектор (т. е.
если ра—вида ялял'). Отметим, что, хотя уравнение F.7.9)
справедливо теперь не только в плоском пространстве, оно мо-
может служить примером уравнения вида F.1.62) [см. также фор-
формулу F.4.11)], решением которого в плоском пространстве бу-
будет спинор %A;"DD,, имеющий смысл главной части бесследового
симметричного твистора. В частном случае, когда присутствует
только один штрихованный и один нештрихованный индекс (не
обязательно в плоском пространстве), мы имеем конформное
уравнение Киллинга F.1.70). В формуле F.7.9) число штрихо-
штрихованных и нештрихованных индексов одинаково, но возможно
дальнейшее обобщение на случай, когда эти числа не равны.
Пусть %a»-dk'...n' — симметричный спинор, такой, что
V|S'1^A = O, F.7.10)
причем %A"'DK'...n' ИМеет г нештрихованных и s штрихованных
индексов. В этом случае мы получаем обобщение не только
уравнения F.1.70), но также уравнения F.1.69) и era расши-
расширенного варианта— уравнения F.4.1). Величину £A...jv иногда
называют спинором Киллинга, и мы здесь тоже принимаем эту
терминологию. Если вектор ра — изотропный и ориентирован в
будущее, т. е. имеет вид произведения яАяА\ а величина Q опре-
определена соотношением
Q==lA...DK>...N>jiA , , . nDltK,.. . Яд,, F.7.11)
то в силу формулы F.7.10) выполняется равенство
' = 0

ТВИСТОРЫ
133
при условии, что параллельный перенос вектора ра сопровож-
сопровождается параллельным переносом полотнища флага спинора пА':
■ p«VynA' = 0. F.7.13)
При r = s в случае эрмитова спинора %a...dk'...n' мы возвра-
возвращаемся к уравнению F.7.7): величина Q действительна и сохра-
сохраняется вдоль геодезических мировых линий. При гфя величина
Q существенно комплексна; она несет информацию о направле-
направлении полотнища флага ла'. Замена
индуцирует преобразование
Таким образом, Q будет величиной с определенным спиновым
весом, если яаг рассматривать как базисный спинор [формула
D.12.9) и далее].
Иногда спинор £;;;, удовлетворяющий уравнению F.7.10), из-
известен как явная функция точки пространства-времени. При
г = s он дает «первый интеграл» уравнения изотропных геоде-
геодезических и, таким образом, оказывается полезным для интегри-
интегрирования этих уравнений. Аналогично величина, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению F.7.6), дает «первый интеграл» уравнения гео-
геодезических, которые не обязательно предполагать изотропными.
Метрика gab тождественно удовлетворяет уравнению F.7.6). Та-
Таким образом, если мы найдем еще три «первых интеграла», то
получим систему величин, позволяющих определить явный вид
геодезических в четырехмерном пространстве с точностью до
квадратур. (Вскоре мы покажем, что требуемые три интеграла
существуют, например, для решения Керра.) Если мы нашли
величину £;•• с г Ф s, удовлетворяющую уравнению F.7.10), то
имеем информацию, позволяющую определить, как изменяются
плоскости поляризации вдоль изотропных геодезических. Так,
если величина £••; известна в двух точках изотропной геодези-
геодезической у, то мы можем сразу же (без интегрирования) предска-
предсказать результат параллельного переноса полотнища флага спи-
спинора яа' из первой точки во вторую вдоль у. при параллельном
переносе величина arg(Q) должна принимать одинаковые значе-
значения в этих точках. Отметим, что из Q мы тоже получаем дейст-
действительный «первый интеграл» при гфз, а именно модуль \Q\,
который определяется через величину Q = QQ, ассоциированную
с решением уравнения F.7.10) :|^/^^A )+^°5V
(См. работу [354].)

134 ГЛАВА 6
Спиноры Киллинга для вакуумных решений типа {22}
В гл. 8 мы рассмотрим классификацию гравитационного
(вейлевского) спинора Wabcd в искривленном пространстве-вре-
пространстве-времени в зависимости от кратности его четырех ГИН [ср. с фор-
формулой C.5.18) и далее]. Особый интерес представляет случай
вакуумного пространства-времени Ж (возможно, с ненулевой
космологической постоянной), в котором ГИН попарно совпа-
совпадают (т. е. имеют кратность, равную двум):
^лвсо = 6г})а<лаврсрО) (алрл=1) F.7.14)
(в дальнейшем мы относим это пространство к типу {22} или
типу D), поскольку величина %АВ, определенная соотношением
F.7.15)
оказывается в этом случае спинором Киллинга [354]:
£ F.7.16)
Доказательство состоит в том, чтобы преобразовать тождество
Бианки для тензора F.7.14) [ср. с формулой D.10.9) ] к виду,
совпадающему с уравнением F.7.16) (см. также работу [354]1).
Из сказанного ранее следует, что тогда мы получим явно (комп-
(комплексную) величину, сохраняющуюся при переносе вдоль геоде-
геодезических в пространстве-времени указанного вида. Это оказы-
оказывается особенно ценным в случае пространства Керра, которое
является вакуумным, принадлежит типу {22} и изображает гра-
гравитационное поле стационарной (вращающейся) черной дыры
[125, 53, 352]. В частности, непосредственно из такого решения
с помощью спинора у.АВ может быть получена информация о
влиянии вращения на поляризацию фотонов [58]. Другие при-
примеры вакуумных метрик типа {22} таковы: решение Шварц-
шильда (специальный случай метрики Керра, принадлежность
которого к типу {22} может быть установлена без вычислений,
см. с. 273), решение НУТ и С-метрика [172]
Более того, мы имеем следующее предложение [148].
Предложение
Для всякого вакуумного пространства-времени (в том
числе и с космологической постоянной), допускающего
') В этой работе показано также, что если вместо вакуумных уравнений
выполняются уравнения Эйнштейна—Максвелла, в которых (рВл = 2фа(/,Рвь
причем а.А, рл — БСЛ (гл. 7, § 3), и имеет место представление F.7,14), то
величина Фи2а<л$В) является спинором Киллинга.

ТВИСТОРЫ 135
спинор Киллинга %АВ <= ©ив>, вектор
ka = V%%AB F.7.17)
является (комплексным) вектором Киллинга.
Доказательство. Нужно показать, что V(a&u> = 0 [формула
F.5.8)]. В спинорнои записи это уравнение распадается на два,
выражающие равенство нулю кососимметричной и симметричной
по индексам А, В и А', В' частей спинора VIiaa'bb'- Рассмотрим
первое из этих уравнений, эквивалентное уравнению Vлл'fcлл' =
= 0. Имеем
[в силу формулы D.9.2) и симметрии спинора %АВ]. Эта вели-
величина, очевидно, равна нулю [формула D.9.7) и далее], что ясно
и без вычислений (независимо от предположения о том, что
решения вакуумные), поскольку невозможно сконструировать
скаляры, билинейные по %АС и спинорам кривизны.
Симметрично-симметричная часть имеет вид
^А (А'^В') B%CD.
Это выражение симметрично по индексам А, В, поскольку сла-
слагаемое, пропорциональное кривизне, возникающее от коммута-
коммутаторов производных, выражается через величину Ф_, равную
нулю. Часть, симметричная по индексам В, С, D обращается в
нуль вследствие спинорного уравнения Киллинга Vл'(в%CD) = 0.
и то же справедливо для части, симметризованной по А, С, D
(в силу симметрии по А, В). Таким образом, по индексам А, В
и С, D выполнены симметрии таблицы Юнга, отвечающие раз-
разбиению B, 2) [см. подробное «примечание» в гл. 3, § 3, приве-
приведенное за несколько абзацев перед формулой C.3.62)]. Отсюда
следует антисимметрия по двум парам нештрихованных индек-
индексов, так что все четыре нештрихованных индекса могут быть
«отделены» в виде е-спиноров. Отсюда следует равенство
которое (с заменой [ВС] сверткой) приводит ко второму из
двух требуемых равенств. (При желании к последнему уравне-
уравнению можно прийти путем прямых, хотя и более сложных вы-
вычислений.)
Свойства решения Керра
В случае решения Керра (а следовательно, и решения
Шварцшильда, но только в этих случаях) вектор Киллинга ka,
сконструированный так, как в предложении F.7.17), с заменой

136 ГЛАВА 6
спинора %АВ спинором %АВ является действительным (и генери-
генерирует стандартные времениподобные трансляции, отвечающие
симметрии1) рассматриваемых решений). Свойство действи-
действительности означает, что бивектор
КаЬ = iV-AB^A'B' — ie.ABV.A'B' F.7.18)
удовлетворяет условиям
= 0, т. е. VaKbe = VlaKbci, F.7.19)
в чем легко убедиться прямой проверкой. [Выражения, полу-
полученные симметризацией по индексам А, В, С или А', В', С ле-
левой части первого равенства F.7.19), равны нулю в силу урав-
уравнения F.7.16). Другая часть, кососимметричная по индексам
А, В и Л', В', равна нулю вследствие действительности ka.] От-
Отметим, что равенство F.7.19) формально тождественно условию
F.3.4), при котором бивектор в М имеет ту же зависимость от
координат, что и бивектор, дуальный тензору момента. Поэтому
можно было бы сделать вывод, что бивектор *Каь должен опи-
описывать в некотором смысле структуру углового момента реше-
решения Керра. Но на самом деле ситуация не столь проста. В при-
приближении слабого поля отношение спина к угловому моменту,
вычисленному по *Каь, имеет неправильный знак [94]. Оказы-
Оказывается, что твистор, главная часть которого есть ix/iB, пропорцио-
пропорционален обратной величине твистора углового момента Аар. По-
Подробнее мы рассмотрим этот вопрос в гл. 7, § 4, с. 246.
Крсосимметричный объект Каь, удовлетворяющий уравнению
F.7.19), иногда называют тензором Киллинга, поскольку
F.7.19) можно рассматривать как обобщение уравнения Кил-
Киллинга, отличное от F.7.6). В современной литературе для вели-
величины Каь s <3[аб], удовлетворяющей уравнению F.7.19), принят
термин тензор Киллинга — Яно, который мы будем использовать
в дальнейшем. Это понятие обобщается на кососимметричный
тензор /Сар...в (в п измерениях) с произвольным числом индек-
индексов, и аналогично мы имеем величину раКа$...&, сохраняющуюся
вдоль геодезической с касательным вектором ра. (Тензоры
Киллинга — Яно в пространстве-времени изучались, например,
в работах [66, 67], а спиноры Киллинга — в работах [354, 147,
154]; см. также [315, 148].)
В работе [94] было отмечено (см. также [248]), что произ-
произведение
НаЬ = КасКсь F.7.20)
') Для общего решения Керра величина Habki, [формула F.7.20)] оказы-
оказывается вторым независимым вектором Киллинга (для решения Шварцшильда
эта величина равна нулю) и совместно с ka служит базисом на полной 2-по-
верхности векторов Киллинга (которая содержит также вектор Киллинга, опи-
описывающий аксиальную симметрию) [148].

ТВИСТОРЫ 137
удовлетворяет условиям
НаЬ=НЬа, ViaHbC) = 0 F.7.21)
и, следовательно, представляет собой тензор Киллинга
вида F.7.6). Сохраняющуюся величину Q = Наьрарь =
=— (раКас) (рьКьс) называют постоянной Картера решения
Керра. Это решение допускает еще два независимых вектора
Киллинга, так что вместе с метрикой gab перечисленные вели-
величины образуют набор из четырех сохраняющихся величин, по-
позволяющих определить геодезические явно с точностью до ква-
квадратур [46, 47, 53].
Физический смысл постоянной Картера не вполне ясен, од-
однако этой величине можно пытаться приписать смысл «полного
момента» пробной частицы, движущейся по орбите вокруг чер-
черной дыры. («Полный» означает, что эта величина пропорцио-
пропорциональна квадрату 3-вектора момента импульса.) Действительно,
такая интерпретация справедлива в частном случае решения
Шварцшильда, поскольку имеет место тождество
(mGJl3Hab = xaxb + yayb + zazb, F.7.22)
связывающее НаЬ с векторами Киллинга ха, уа, za; которые ге-
генерируют вращения в направлении стандартных осей. Сохра-
Сохраняющиеся величины pav.a, paya, PaZ? — это компоненты углового
момента пробной частицы вдоль названных осей. Константа пг
имеет смысл массы источника (G — гравитационная постоян-
постоянная). Отметим, кстати, что для решения Шварцшильда со стан-
стандартной координатой г справедливо равенство
ф = — mG/r3. F.7.23)
Решение Керра замечательно и в том отношении, что все пере-
переменные в стандартных полевых уравнениях на фоне метрики
Керра разделяются [46, 53]. Это связано с существованием тен-
тензора Киллинга — Яно Каь [49].
Конформно-инвариантные первые производные
Как отмечалось выше, из соотношений F.1.60) — F.1.62) сле-
следует тесная связь уравнения F.7.10) с понятием твистора. Вся-
Всякое симметричное решение этого уравнения в пространстве М
есть в точности главная спинорная часть однозначно определен-
определенного бесследового симметричного твистора Х£"".*:
Ха... б у(а...б) у(|Р... б) « /А 7 04
*...v=: Л(х...V)> A|\...v "• (O./.Z4\
Это можно сформулировать иначе: для каждого изотропного
твистора Za величина
x5:::vZx...zvZa...z6 F.7.25/

138 ГЛАВА 6
совпадает с выражением F.7.11) в каждой точке Р соответ-
соответствующего светового луча Z (поскольку а>А = 0 на Z и един-
единственной спинорной частью твистора Х£ ;;;*> свертка которой
не содержит множителей <аА, будет %к'".'..ы'). Следовательно, об-
общее симметричное решение уравнения F.7.10) дается подходя-
подходящим обобщением соотношений F.1.10), F.1.26), F.1.51),
F.1.55). Проиллюстрируем это на примере. Рассмотрим бес-
следовый симметричный [jj-твистор X"pv. Его главная спи-
норная часть Хлвс' дается выражением
I 0*.СС'И'(Л£ B) ; А'(А В) В' CC S /ft 7 0А\
-\-2x x Лл' с — tx x x Ал'В'С. (o.7.zo)
° ЛВС' ®
содержащим постоянные спиноры X , ... , Ха'в'с Диффе-
Дифференцированием этого выражения с последующей симметриза-
симметризацией непосредственно убеждаемся, что оно действительно яв-
является решением уравнения F.7.10).
Поскольку бесследовые симметричные твисторы вполне опре-
определяются симметричными решениями уравнения F.7.10), можно
предположить, что последнее конформно-инвариантно [формула
F.1.72)]. Действительно, при
находим, что симметризованная производная, входящая в урав-
уравнение F.7.10), есть по существу конформный спинор. Это мож-
можно показать, прямо применив формулу E.6.15). Результат имеет
«ид
^(Q'\(P£A...D)\K'...N')=Q-2y(Q'\P£A...D\K'...N') F 7 28)
Это выражение определено не только в плоском или конформно-
плоском пространстве, но и в искривленном пространстве об-
общего вида.
Наличие свойства конформной инвариантности у симметри-
зованной производной на спинорах £'" с каким-то определенным
конформным весом не удивительно. Важно то, что в результате
симметризации мы из неприводимого спинора %"' вновь полу-
получаем спинор, неприводимый в каждой точке (гл. 3, § 3). Следо-
Следовательно, в производной имеется слагаемое, содержащее Та,
лишь одного типа, но выбор в F.7.27) нулевого конформного
веса обеспечивает обращение этого слагаемого в нуль.
По той же причине симметричные спиноры, полученные с по-
помощью различных операций, содержащих свернутые или сим-
метризованные производные, характеризуются определенным
конформным весом. Выбирая наиболее естественное расположе-

ТВИСТОРЫ 139
ние верхних и нижних индексов, мы получаем для симметрич-
симметричного спинора |- следующее соотношение:
V«'("i£r'?.V= Q-3V«'(Pgjk'?.V, F.7.29)
если
iK;':.DN'=Q'%K'":DN', F.7.30)
а также
ЙЛ(С2'£*'...ЛГ'> n-3TJAiQ'r.K'...S') /А7ЧП
V £ЛВ...О=Ц V ZAB...D, (D.7.O1)
если
iK'...N' n~UK'...N' ,(. _ оо\
§л...о = Q &л ...d F.7.32)
[что не совпадает с равенством F.7.30), если не выполняется
условие r = s]\ в то же время
... N' = И" V*'i4B ... DK'L'... *', F.7.33)
где
Ia...dk'...n' = &~ %a...dk'...n'- F.7.34)
Все эти соотношения выполняются как в плоском и конформно-
плоском пространстве-времени, так и в произвольном простран-
пространстве-времени. Несколько частных случаев мы уже рассмотрели
выше. Например, из соотношений F.7.31) и F.7.32) в частном
случае, когда индексы К' ... N' отсутствуют, следует конформ-
конформная инвариантность безмассовых уравнений D.12.42). Можно
также заново доказать конформную инвариантность уравнений
F.4.13), F.4.15). Отметим, что из равенства F.7.33) следует
конформная инвариантность уравнения для дивергенции ковек-
тора веса —2 или симметричного бесследового тензора валент-
валентности [°] и веса —2, отмечавшаяся в гл. 5, § 9.
Твисторные решения различных уравнений
Оказывается, что в пространстве Минковского М твистор-
ными методами можно решать не только уравнение F.7.10), но
также уравнения, которые получаются приравниванием нулю
выражений F.7.29), F.7.31) и F.7.33). Здесь мы не будем
подробно рассматривать все эти уравнения, поскольку это увело
бы нас слишком далеко. Тем не менее имеет смысл хотя бы
просто привести формулы, которые описывают класс общих
(аналитических) решений этих уравнений, и объяснить, почему
это будут решения. Для полноты мы также выпишем решение
уравнения F.7.10) в несколько ином виде. Те специальные слу-
случаи соотношений F.7.29) и F.7.31), которые приводят к без-
массовым полевым уравнениям, мы рассмотрим более подробно
в § 10, где также приведем иную, более общую форму записи
их решений.

140 ГЛАВА 6
Возьмем твисторы Za = (co'4, Ла>) и \Л/а = (Ал, ЦЛ)> как
в формулах F.1.13) и F.1.24). Нас будут интересовать голо-
голоморфные функции твисторов Za и Wa, т. е. голоморфные функ-
функции их компонент, взятых в некотором твисторном базисе вида
F.1.17), F.1.34). Эти функции могут иметь особенности в неко-
некоторых областях подходящего для нас вида. Пусть
ftWe, Z")
есть голоморфная и однородная функция своих аргументов со
следующими показателями однородности по Wa и Za:
(р, q) в случае F.7.28),
(р, —2 — q) в случае F.7.29),
(-2-р, q) в случае F.7.31), ^.
(—2 — р, —2 — q) в случае F.7.33),
причем £.!. имеет р нештрихованных и q штрихованных индек-
индексов и дополнительно предполагается, что f — полином по той пе-
переменной, которой отвечает неотрицательный показатель одно-
однородности. Для наших целей достаточно ограничить область
определения функции подпространством Та X Та, для которого
выполняется условие взаимности
WaZa = 0 F.7.36)
формулы F.2.13), (9.3.17)]. Относя твисторы Wa и Za к фик-
фиксированному началу отсчета О е М, при условии Ял Ф 0 и
пА'Ф 0 [эти спиноры параметризуем их значениями в точке О,
см. формулу F.1.14) и далее] можно показать, что существует
вектор га в О (не обязательно действительный), такой, что
(Это легко показать, рассмотрев компоненты.) Вектор га опре-
определен неоднозначно, допустимые преобразования имеют вид
ra I—-t-ra + kXAnA', k e С. Таким образом, геометрическое место
точек R комплексифицированного пространства Минковского
СМ положений переменного вектора га есть комплексная изо-
изотропная прямая. (Геометрический смысл этого исследуется в
гл. 9, § 3.) Отметим, что из изложенного, в § 1, 2 следует, что
R есть в точности геометрическое место точек, инцидентных как
твистору Wa, так и твистору Za в пространстве СМ.
Далее, функцию f можно выразить через переменные г', ХА
и пд', а потому напишем [в области, в которой выполнено со-

ТВИСТОРЫ
141
отношение F.7.36)]
f(We, Za) = F (г1, ХА, ял-) F.7.38)
при допустимых значениях переменных г'\ Хд, пд', причем функ-
функция F будет однородной по Ял, пд' со степенями однородности,
указанными в формуле F.7.35).
Далее рассмотрим выражения
Za), F.7.39)
Ik'".Dn' (г1) XA...XD=-±r§nK>... nN>f (Wa, Za) nQ>dnQ\ F.7.40)
Ia.Wd (r1)nK-. .. nN- = 2^г ф А л . .. XDf (Wa, Za) XP dXP, F.7.41)
U... dk- ... n' (r1) = -~? § Ял ... ADJtr . .. я^-f (Wa) Za) ЯР X
F.7.42)
При вычислении интегралов в правую часть следует подставить
функцию F вместо /, согласно формуле F.7.38). То, что в левой
части каждого из равенств стоит величина £'", зависящая только
от г' и не зависящая от Хд или лл', следует либо из предположе-
предположения о полиномиальном характере функции f, либо из того, что
зависимость от спинорных переменных исчезает в результате
интегрирования в правой части.
Интеграл в выражении F.7.40) вычисляется вдоль замкну-
замкнутого одномерного контура в спиновом пространстве переменной
пд> при фиксированных значениях переменных г' и ХА; контур
обходит определенным образом особенности функции F и дефор-
деформируется непрерывно при вариации г' и Ха- В формуле F.7.41)
интеграл вычисляется по замкнутому одномерному контуру в
спиновом пространстве переменной ХА при фиксированных зна-
значениях г1 и пд' и также деформируется непрерывно при вариа-
вариации этих переменных. В F.7.42) интеграл вычисляется по дву-
двумерному контуру в пространстве прямого произведения спиноров
пд' и Ял при фиксированном значении г1 и положение контура
непрерывно изменяется с переменной г>. В каждом случае по-
показатели однородности, приведенные в F.7.35), выбраны так,
что указанные интегралы действительно имеют смысл «интегра-
«интегралов по контуру», т. е. их значения не изменяются при непрерыв-
непрерывной деформации контура, если последний не пересекает сингу-
лярностей функции F. Это свойство следует из того, что
внешняя производная [формулы D.3.14) и D.3.25)] подынтег-
подынтегральных выражений при фиксированном значении г1 равна нулю,
если показатели однородности выбраны так, как указано выше
[см. текст после формулы F.10.4)].

142 ГЛАВА 6
Выбор симметричных спиноров £;" позволяет однозначно
фиксировать их как функции параметра г* при всех его значе-
значениях, при которых контуры интегрирования существуют, а в
случае F.7.39) — при всех значениях гК Величина г1 имеет
смысл радиус-вектора, направленного из точки О в некоторую
точку R в пространстве СМ. Мы видели также, что соотношения
F.7.37) выражают условия взаимности каждого из твисторов
Wa и Za с точкой R. Далее, мы можем рассматривать f как
функцию восьми независимых комплексных переменных, если
она представлена как F, т. е. как функция переменных га, ХА,
лА>. В этом случае дополнительное условие F.7.36) для твисто-
твисторов Wa и Za подразумевается неявно, так что интересующие нас
значения f в действительности определяются комплексно-семи-
комплексно-семимерным многообразием ее аргументов. Следовательно, функция
f, рассматриваемая как функция переменных rf, ХА и лА>, долж-
должна удовлетворять дополнительному условию. Это условие имеет
вид
XPnQ>VpVF = 0, F.7.43)
где введено обозначение Va для производной по га, вычисляемой
при фиксированных Ял и пА>. В самом деле, из соотношения
следует равенство XPVp<?Wa = 0, а из соотношения
V*Q'Za~(V*Q>^'), VPQ'nA,)=(in%PA, 0)
— равенство :rtQ'VPQZa=:O. Уравнение F.7.43) можно записать
в виде
kPVpK'F ос я*' F.7.44)
или
jiq'V^F ос ХА. F.7.45)
Действуя оператором, входящим в F.7.43), на F.7.39), опера-
оператором, входящим в выражение F.7.44), на F.7.40), оператором,
входящим в F.7.45), на равенство F.7.41) и оператором VAK'
на F.7.42), находим, что получающиеся выражения равны нулю.
Поскольку это справедливо при всех значениях Ял, пА>, обра-
обращение в нуль производных в формулах F.7.28), F.7.29), F.7.31).
F.7.33) автоматически следует из вида соответствующих выра-
выражений в формулах F.7.39) — F.7.42).
Отметим, что в силу предположения о полиномиальном ха-
характере функции F в соотношении F.7.39) можно написать
f (wa, za) =: F5:::vewa... wez*... zv.

твисторы 14з
Вследствие равенства F.7.36) в определение поля ^A-DK'-N'
входит только бесследовая и симметричная часть твистора
Fh"'.v- Поэтому поля такого вида отвечают бесследовым, сим-
симметричным твисторам, и мы вновь возвращаемся к классу ре-
решений, описанному ранее в связи с уравнением F.7.10). Легко
видеть, что справедливы следующие представления:
f(W«, Za)=:Fa-e(Zv)Wa... We
в F.7.40) и
f(W«, Ze)=:Fx...v(Wp)ZH...Zv
в F.7.41).
Ранее мы отмечали, что, приравнивая нулю выражение
F.7.31) при <jr = O [или выражение F.7.29) при р = 0], мы по-
получаем уравнения, описывающие безмассовые поля со спином
A/2)р [или со спином (l/2)q]. Таким образом, формула
F.7.31) [или F.7.29)] дает сжатую форму записи решений этих
уравнений в М с использованием твисторных голоморфных
функций (см. также § 10 ниже).
Повторные операции; разрешения уравнений
Отметим, что из всех операций F.7.28), F.7.29), F.7.31),
F.7.33) только F.7.29) и F.7.31) могут действовать одновре-
одновременно на один и тот же спинор £;;; и то при условии, что у него
одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов
(р = q). Заметим также, что, хотя каждая из упомянутых четы-
четырех операций дает в результате спинор с правильными симмет-
риями, так что можно было бы рассматривать их повторное
действие, возникающие веса, как правило, не позволяют полу-
получить конформно-инвариантные выражения. В самом деле, требо-
требование конформной инвариантности будет выполняться только
для следующих пар операций:
F.7.28), затем F.7.29) при р = 0,
F.7.28), затем F.7.31) при q = 0,
F.7.29), затем F.7.31) при p = <jr>0,
F.7.31), затем F.7.29) при p = q>0, F.7.46)
F.7.29), затем F.7.33) при р = 0, q> 1,
F.7.31), затем F.7.33) при q = 0, р> 1.
В этих специальных случаях можно построить конформно-инва-
конформно-инвариантные операторы дифференцирования второго порядка как
для конформно-плоского, так и для любого пространства-вре-

144 ГЛАВА 6
мени Вскоре мы также рассмотрим некоторые другие способы
построения конформно-инвариантных операторов второго по-
порядка.
Легко видеть, что операции, указанные в первой, второй, пя-
пятой и шестой строках формулы F.7.46), дают нуль, если опера-
операторы ^коммутируют (т. е. в случае плоского пространства и от-
отсутствия электромагнитного взаимодействия). С точки зрения
задачи построения конформно-инвариантных дифференциальных
операторов второго порядка такой результат разочаровывает.
Однако, как мы видели в § 5, композиции операторов дифферен-
дифференцирования могут оказаться важными в другом отношении, а
именно в связи с конструкцией точных последовательностей.
В действительности можно (если ограничиться в М или СМ
«выпуклой» областью, в которой все поля могут быть выбраны
голоморфными) показать не только, что композиция двух по-
последовательных отображений дает нуль, но и что ядро после-
последующего отображения есть в точности образ предыдущего. Ста-
Стало быть, мы имеем точную последовательность из двух отобра-
отображений. Более того, эти частные точные последовательности
могут быть продолжены. Здесь мы укажем такие продолжения
для 1-го и 6-го случаев формулы F.7.46). Случаи 2 и 5 полу-
получаются путем комплексного сопряжения случаев 1 и 6.
Начнем со случая 6. Ядро отображения F.7.31) на сим-
симметричных спинорах фА Е с <7 = 0 образовано безмассовыми
свободными полями:
Фав...е^^АА'Фав...е- F-7.47)
За ним должно следовать отображение F.7.33) (на симмметрич-
ных спинорах Вв'...е):
вв'с...Е^?А>ЯА-'с...Е. F.7.48)
Эта пара операторов занимает третье и четвертое место в по-
последовательности
I \АА' А'
°-^%авс...е—*Цавс...Е) *®?вс...£)—^ф(с...£)-^°- F.7.49)
Поясним смысл используемых обозначений. Если °U — открытое
множество в (VI (или в СМ)> то величину ®d"'.fs'.V.'5' временно
можно трактовать как элемент множества €>д;" ££'.'.'.'и' ¥М\ спи-
норных полей на <М, рассматриваемых как векторное простран-
пространство над С; величины ©;;;, индексы которых заключены в скоб-
скобки, обозначающие симметризацию, могут рассматриваться как
элементы множества %'".. YU\ тензоров, имеющих симметрии ука-
указанного типа. (Далее мы дадим более точное определение каж-
каждого из объектов £), которые по существу являются «пучками».)
Пространство %АВ g можно мыслить (пока что) как векторное

твисторы I45
пространство над С решений безмассовых полевых уравнений
в °U и, следовательно, как ядро отображения F.7.47). Отобра-
Отображение i в F.7.49) есть просто «инъекция», т. е. оно переводит
всякое безмассовое поле в него же. Из приведенных определений
следует, что первые три звена последовательности F.7.49) обра-
образуют точную последовательность. Чтобы продемонстрировать
это свойство для остальных звеньев, нужно показать, что всякий
симметричный спинор i|)c E можно представить в виде
^А'Ввс.е, где Э;.. — некоторый симметричный спинор. Доказа-
Доказательство проводится просто, если перейти к компонентам, отне-
отнесенным к произвольному базису [см. формулы F.7.50), F.7.51)].
Пусть множество <Ы достаточно мало (или имеет подходя-
подходящую форму), так что не возникает глобальных препятствий для
существования решений, рассматриваемых дифференциальных
уравнений. Напомним, что в формуле F.5.27) мы ввели допол-
дополнительное предположение о евклидовой топологии области °U.
При решении других дифференциальных уравнений может ока-
оказаться необходимым также ввести ограничения на форму об-
области °U. Такой подход представляется приемлемым для пред-
предварительной интерпретации последовательности F.7.49). Более
аккуратная трактовка состоит в том, что элементы последова-
последовательности рассматриваются как пучки. Но ни изложение теории
пучков, ни даже точное определение понятия пучка в наши цели
не входит. Существенным моментом является то, что свойство
последовательности F.7.49) (и других точных последовательно-
последовательностей пучков, рассматриваемых ниже) быть точной доказывается
локально. Вместо того чтобы фиксировать открытое множество
<U специального вида и рассматривать спинорные поля на °U,
мы требуем только, чтобы для всякой точки в М (или в СМ)
существовала некоторая окрестность, где уравнения разрешимы.
Например, можно показать, что пара отображений F.7.47) и
F.7.48) образует точную последовательность, если потребовать,
чтобы в каждой точке РеМ для спинора Qbc...e> удовлетворяю-
удовлетворяющего уравнению Va'Qjbc...e = 0 в некоторой окрестности °U точки
Р, существовали окрестность <W cr °U и спинор фАВ... е, такой,
что Э^'с Е = VAA'фАВ Е. [Это локальный вариант условия II,
входящего в определение точной последовательности; см. текст
после формулы F.5.26). Мы уже видели, что свойство I выпол-
выполнено — условие локальности здесь не требуется.] Для доказа-
доказательства нужно фиксировать некий базис. Положим
'0='00...0' М^'Ю-.О' •"■' i/i= M1...P

146 • ГЛАВА 6
Нам нужно показать, что уравнения
F-7-5°)
могут быть решены локально, если только выполняется условие
^L_£h±L_^i±L + ^L=0 F.7.51)
д£ ди dt дх>
(г = 0, ..., р— 1). Оказывается, что условие F.7.51) действи-
действительно позволяет шаг за шагом проинтегрировать систему
F.7.50) и тем самым доказать наше утверждение. Поэтому усло-
условие F.7.51) можно также рассматривать как условие интегри-
интегрируемости системы F.7.50), позволяющее «подняться» вдоль точ-
точной последовательности.
Последовательность F.7.49) есть так называемое разрешение
пучка %А Е, или разрешение безмассовых полевых уравнений.
Это означает, что каждый из пучков ЗУ/.; свободен, т. е. заранее
не предполагается, что он удовлетворяет определенным диффе-
дифференциальным уравнениям. (Как и прежде, мы не приводим бо-
более строгие формулировки; разрешения играют важную роль в
теории дифференциальных уравнений и в теории когомологий.)
Отображение, указанное в первой строке формулы F.7.46),
имеет важное значение, поскольку входит составной частью в
разрешение пучка, комплексно-сопряженного с пучком F.4.1),
т. е. связанного с уравнением для главной спинорной части сим-
симметричного твистора вида Ta...Y. Подмножество (пучок) мно-
множества 2)л'""с, состоящее из решений уравнения F.4.18) (спи-
(спиноры Киллинга), будем обозначать символом Э1Л '"с. При р = 0
операция F.7.28) есть отображение, определенное на симметрич-
симметричных спинорах кА'"'с , ядро которого совпадает с пространством
всех таких главных частей:
XA'-C\-*V%\A'~C\ F.7.52)
Это отображение занимает третье место в последовательности,
точность которой таким образом установлена вплоть до третьего
шага:
' - с>
<6-7-53)

ТВИСТОРЫ
147
(То, что симметризация должна выполняться после действия
операторов дифференцирования, отмечено явно в обозначениях
пространств-образов.) Отметим, что последний отрезок последо-
последовательности F.7.53) тот же, что и в F.7.49). Пространство
Ф(л...е)©Ф(Л ■"Е) [записанное вертикально в формуле F.7.53)]
есть просто пространство пар (фА_Е, цА' -в") (каждая компо-
компонента пары — симметричный спинор), а отображения, указан-
указанные слева и справа, имеют следующий смысл:
ЪА'...1У. ^/у у i.A'...D Т7А(Е'*.А'... 1У\
ЬА *^{У{А\А'\ ••' VD| D'\*E) ' V ЬЛ j
(A, yiA'B'...E'\i_^.^AA'(k rr тт
\JAB...E> 'l )>—^-V TAB...E VBB' ■ • • VЕЕ'1»
A'B' ...E'
Легко убедиться, что условие точности I выполнено на каж-
каждом шагу. Доказательство же того, что условие II тоже выпол-
выполняется, оказывается более сложным, чем ранее (если сохранять
условие локальности), а потому мы не будем его рассматривать.
(Последовательность F.7.53) была введена Иствудом [79] и
Бухдалом [35]).
Интересно, что если спинорам каждого (ненулевого) пучка
последовательности приписать веса
О, -1, (-1, -3), -3, -4 F.7.56)
соответственно, то для каждого из отображений последователь-
последовательности будет выполняться свойство конформной инвариантности
при конформных отображениях, переводящих плоскую метрику
gab (локально) в плоскую метрику g'aft. Как мы увидим далее
в формуле F.8.27), такой класс отображений характеризуется
условием
?аГь = Глв,ГВА,, F.7.57)
которое необходимо для доказательства нашего утверждения.
Для масштабных преобразований общего вида производные по-
порядка выше первого, входящие в F.7.54) и F.7.55), должны
быть модифицированы добавлением слагаемых, содержащих
тензор Риччи и его производные [см. текст после формулы
F.8.29)].
Утверждение, что последовательность F.7.53) точная, несет
в компактном виде очень много информации. Укажем как всего
лишь один пример на следствие из этого утверждения, выра-
выраженное формулами F.4.15)—-F.4.17): все безмассовые поля
ФА L при условии F.4.15) локально могут быть вычислены по
формуле F.4.16), в которой калибровочный произвол величины
■ф дается соотношением F.4.17). Справедливость этого яв-
явствует из того, что часть ядра отображения F.7.55), отвечающая
значениям ту = 0> есть пространство вида (ф , 0), где ф —

148 ГЛАВА 6
безмассовое поле; следовательно, это в точности та часть образа
при отображении F.7.54), для которой выполняется уравнение
уд(Е'£Л'... d') — о [совпадающее с уравнением F.4.15)]; калибро-
калибровочный произвол определяется ядром такого отображения, т. е.
ядром отображения F.7.52), что в точности приводит к произ-
произволу, зафиксированному в соотношении F.4.17).
§ 8. Кривизна и конформные преобразования
В предыдущем параграфе мы видели, что операции 1, 2, 5 и
6 в формуле F.7.46) приводят к тривиальным операторам вто-
второго порядка, поскольку дают нуль, если операторы V коммути-
коммутируют. Тем не менее оказалось, что они играют существенную
роль. В случае искривленного пространства-времени (или в
присутствии электромагнитного взаимодействия) эти операции
тоже не приводят к операторам второго порядка. Они сводятся
к сверткам величин вида £;" с тензором кривизны (или тензо-
тензором электромагнитного поля). В данном параграфе для нас
важно то, что из конформной инвариантности этих операций
вытекают конформные свойства кривизны. Отметим, что опера-
операция 6 в формуле F.7.46) совпадает с отображением E.8.1), вхо-
входящим в определение условий совместности безмассовых по-
полей, из которого (при г> 1) получается следующий результат:
...L - (P - 2) lABM(C... KWL*™. F.8.1)
Аналогично отображение 1 в формуле F.7.46) входит в условие
совместности для твисторного уравнения F.1.1) и его обобщения
F.4.1). Выбирая для простоты случай г=\ (случай г > 1 по
существу не отличается от рассматриваемого), находим из
F.1.5)
Операции 5 и 2 в формуле F.7.46) получаются из приведенных
выше с помощью комплексного сопряжения.
Конформная инвариантность спинора Ч^^д
Значение конформной инвариантности соотношений F.7.46)
состоит для нас в том, что из самого вида этих операций явст-
явствуют конформные свойства спинора Wabcd. Самым простым для
анализа оказывается случай отображения F.8.2). Выберем
е = 0 [поскольку закон преобразования фдв=:£2-1фд8 при, кон-
конформных отображениях уже рассматривался выше — см. фор-
формулу E.9.8)]. Далее, из F.7.28) и F.7.29) имеем
VA'(CVAA'lB) = Q-V'(CV^B), F.8.3)

ТВИСТОРЫ 149
откуда
Но величина \D произвольна, а следовательно,
^ F.8.4)
Такой закон преобразования показывает, что величина
связана с той частью кривизны, которая остается инвариантной
при конформных преобразованиях. Так как равенство Wabcd = О
выполняется в плоском пространстве-времени, оно остается спра-
справедливым и в конформно-плоском пространстве-времени. Более
того, как мы увидим далее (в § 9), условие Wabcd = 0 оказы-
оказывается даже достаточным для того, чтобы пространство было
конформно-плоским (т. е. для всякой точки пространства-вре-
пространства-времени имеется окрестность, в которой существует конформный
множитель Q, такой, что метрика QPgab совпадает с плоской в
этой окрестности). Вот почему величину Wabcd называют кон-
конформным спинором (Вейля). В силу соотношения D.6.41), свя-
связывающего Wabcd с тензором Вейля Саьс<1, имеем
Cabcd — QPCabcdi ^bcd — C^bcd И Т. Д. F.8.5)
Сравним соотношение F.8.4) с законом преобразования [фор-
[формула E.7.17)]
Фавсп = 2~ Фавсп, F.8.6)
выражающим свойство конформной инвариантности безмассово-
безмассового поля со спином 2. Различие между этими двумя соотношения-
соотношениями заслуживает специального обсуждения. Ситуация здесь пол-
полностью противоположна случаю электромагнитного поля, когда
требование конформной инвариантности уравнения для свобод-
свободного безмассового поля, которому должен удовлетворять спинор
q>AB, и требование, чтобы этот спинор получался из коммутатора
ковариантных производных на заряженных полях, приводят к
одному и тому же конформному весу, равному —1 [см. текст
после формулы E.9.8)]. Различие между F.8.4) и F.8.6) свя-
связано с тем, что уравнения общей теории относительности не яв-
являются конформно-инвариантными. Одно из проявлений этого —
то, что правая часть конформных тождеств Бианки D.10.7) не
будет конформной плотностью. Действительно, допустим, что
мы имеем вакуумное решение уравнений Эйнштейна; при этом
соответствующий спинор Вейля Wabcd удовлетворяет уравнению
0. F.8.7)
Полагая <1>abcd = x¥abcd используясь законом преобразова-
преобразования F.8.6), находим ^AA'i>ABcD = 0. С учетом этого из F.8.4)

150 ГЛАВА 6
получаем
F.8.8)
т. е. [формула E.6.14)]
^ F.8.9)
так что в силу формулы D.10.7) конформный образ спинора
Риччи должен удовлетворять уравнению
Ч?вФсо)А>в> = ГА,ЧАВсо, F.8.10)
а поскольку эта величина, вообще говоря, не равна нулю (в от-
отличие от Фавсчу), спинор Риччи не имеет определенного кон-
конформного веса. Следовательно, конформный образ некоторого
решения (пространства-времени) уравнений Эйнштейна, вообще
говоря, не удовлетворяет вакуумным уравнениям.
Конформные свойства величин <&Abc'd' и Л
Установим теперь закон преобразования величин OABc'd' и
Л при конформных преобразованиях. Для этого удобно восполь-
воспользоваться тождеством
^В) == ^ В'В^А&А 2 ^'A'B^i&A +
которое получается из выражения E.8.4). Умножая его на 2/3
и складывая с умноженным на 1/3 таким же тождеством, в ко-
котором переставлены индексы А' и В', получаем
3 А'УВ'(А*>В) ~ 3 в' А'{А^В) 2 B'BVA'^A 5 rABA'B'' V«.O.li;
где
Рава'в' = Фава'а' - Лвддвд'д/ = -^ Rgab -\Rab- F.8.12)
Рассмотрим теперь результат действия конформного преобразо-
преобразования на равенство F.8.11), в котором мы полагаем
5 — 5 , Т. е. Е,А — li£,A.
Оба слагаемых в левой части равенства F.8.11) содержат про-
производные от выражений вида VB,(/1£B., которые являются, как
показано выше, конформными плотностями:
^(л1в) = й^,(ЛЦ. F.8.13)
Вычислим теперь разность равенства F.8.11) и его конформного
образа. В силу соотношения F.8.13) в левую часть полученного
равенства смогут входить только слагаемые, содержащие первые

ТВИСТОРЫ 15i
производные от спиноров £д. Эти слагаемые обязательно долж-
должны взаимно уничтожаться. Левая часть нового равенства будет
содержать только непродифференцированные и однократно про-
продифференцированные спиноры %а, но, поскольку величины \а и
VBB'%A независимы в произвольно выбранной точке (причем \л
может принимать любые значения), эти два типа слагаемых
должны уничтожаться независимо. Таким образом, можно рас-
рассматривать лишь правую часть в равенстве F.8.11), опуская
однократные производные спиноров %а, которые появляются при
конформных преобразованиях. Имеем
На этом основании, вычитая из конформного образа равенства
F.8.11) исходное равенство F.8.11) и опуская члены с одно-
однократными производными спиноров 1а, получаем
Поскольку величины \А произвольны, находим закон преобра-
преобразования величины РаЬ при конформных преобразованиях
Къ = Раь ~ V6Ya + ГАВ>ГВА>. F.8.14)
Благодаря соотношению
Rab=-2Pab-gabPcc F.8.15)
из равенства F.8.14) следует также закон преобразования тен-
тензора Rab. Отметим, однако, что данная конкретная комбинация
следа и бесследовой части тензора Rab, совпадающая с Раь,
часто входит в формулы, связанные с конформными преобразо-
преобразованиями.
В этой связи отметим, что формулу D.8.2), в которой тензор
Cabcd выражается через тензор Римана, тензор Риччи и скаляр-
скалярную кривизну, можно переписать в виде
тогда как тождество Бианки D.10.1) принимает вид
VaCabcd = -24^01 ь, F.8.17)
а его спинорный эквивалент [формула D.10.3)] — вид
Сразу же видна симметрия
РаЬ = Рьа> т. е. Рава'в'^Рвав'а'- F-8.19)

152 ГЛАВА 6
Такая симметрия выражения F.8.14) обусловлена тем, что Ya
есть градиент [формула E.6.14)] и, значит,
VaY4 = VbTa. F.8.20)
Иногда полезны другие формы записи закона преобразова-
преобразования F.8.14):
Раь = Раь + VaY4 + ГАВ-ГВА. F.8.21)
[это выражение получается из F.8.14), если поменять ролями
ёаь и gab, что эквивалентно замене Q—*-Q~[ и, следовательно,
Ya*—*—Та), а также
Раь = Раь ~ QTlVaVbQ + 2Q~2V aQV bQ - 4 gab0r2VcQVcQ =
= РаЬ + QVaV4Q-' - ±-gabQ~2VcQVcQ F.8.22)
[что получается, если подставить первое выражение E.6.14) в
F.8.14) и использовать соотношение C.4.13)].
Вычисляя след и бесследовые части выражений F.8.14),
F.8.22) и используя равенства [формула F.8.12)]
В'), А=-\раа, F.8.23)
получаем
ФЛВА'В' — ФаВА'В' = — ^
F.8.24)
Q2A = Л + i- VaYa + | YaYa =
= A+{Q''qQ, F.8.25)
где [формула E.10.6)]
П = VaVa. F.8.26)
Конформные отображения плоских пространств
В качестве прямого следствия соотношения F.8.14) отметим,
что условие
VaY4 = Тда'Тдд', F.8.27)
при котором конформные преобразования не изменяют тензора
Риччи, в случае плоского пространства М означает, что при та-
таких преобразованиях метрика остается плоской. Легко найти
общее решение уравнения F.8.27). Оно имеет вид

ТВИСТОРЫ
(включая возможные предельные случаи), что дает
—2(xh — Qh)
' Y>=(*°-Q°)(*a-QJ'
поскольку правая часть уравнения F.8.27) равна
— A/2)ТеТевг„» [формула C.4.13)].
Конформно-инвариантное волновое уравнение и оператор □
Выяснив закон преобразования всех составных частей тен-
тензора кривизны при конформных отображениях, мы можем пе-
перейти к исследованию конформной инзариантности уравнений,
содержащих вторые и высшие производные. Формулы преобра-
преобразования кривизны необходимы, поскольку в такие уравнения
часто приходится вводить «поправочные слагаемые», содержа-
содержащие кривизну, чтобы обеспечить конформную инвариантность.
Простейший пример такой ситуации дает волновое уравнение,
которое в плоском пространстве записывается в виде □ ф = 0.
В такой записи оно не будет конформно-инвариантным (если
только конформная метрика вновь не будет плоской или кон-
конформное отображение не отвечает переходу от одного простран-
пространства с нулевым скаляром Риччи к другому). Чтобы добиться
конформной инвариантности, это простое уравнение нужно мо-
модифицировать следующим образом:
+-g-*)* = 0, т.е. (П+4Л)^. = 0, F.8.30)
причем закон преобразования поля ф, как и в случае безмассо-
безмассовых полей с положительным спином1), мы выбираем в виде
ф= а~1ф. F.8.31)
Инвариантность уравнения F.8.30) следует прямо из соотно-
соотношения F.8.25). Действительно, если поле ф преобразуется по
закону F.8.31), а в остальном произвольно, то мы имеем
(П +4A)f=Q~3(D +4Л)^>. F.8.32)
') В недавно опубликованной работе Иствуда и Зингера [83] получена
конформно-инвариантная модификация квадрата даламбертиана П2, дей-
действующего на скаляры конформного веса, равного нулю (т. е. "ф = Ф)\ соот-
соответствующее выражение имеет вид
t 2/?а^ -4- —- /?'
[Отметим, что — 2R"* + B/3) Rgab = 4РАВ'ВА'.] Новая теория, предложенная
Иствудом и Райсом, позволяет получить целый ряд конформно-инвариантных
выражений вида (V^V^ + Ф$в') Ф для поля Ф с конформным весом, рав-
равным единице.

1S4 ГЛАВА 6
Отметим, что равенство F.8.25) можно рассматривать как част-
частный случай равенства F.8.32), когда ^ = Йи <f= Q~lQ = 1:
Уравнение F.8.30) представляет собой естественное обобщение
уравнения D.12.42) для безмассовых полей с положительным
спином на поля со спином, равным нулю. Поскольку поле ф не
несет индексов, точный аналог уравнения D.12.42) сконструи-
сконструировать нельзя. Но поле^лв удовлетворяет уравнению второго
порядка, которое является следствием полевого уравнения
D.12.42) и может быть обобщено на случай спина, равного
нулю. В плоском пространстве-времени выполняется соотно-
соотношение
^'▼а' = Т«лаП, F.8.33)
так как из коммутативности производных следует кососиммет-
кососимметричность по индексам А, В [формула B.5.24)]. Аналогичное соот-
соотношение в искривленном пространстве-времени (или в присут-
присутствии электромагнитного взаимодействия) имеет вид
Vлл'Vй' = ie^П+□,il) F.8-34)
гдеПлв — оператор, определенный в формуле D.9.2). В при-
применении к уравнению D.12.42) это равенство в случае безмас-
безмассового поля с зарядом е и спином га/2 дает
О = ?АА*МА'<1>МВ ... L = Т *л" ° 1>МВ ... L + О АМФМВ ... L =
= Т □ Ф АВ ... L + Хам"М4>»В ... L ~ ХАМВ"ФМЫС ... L "
где мы использовали соотношения D.9.13) и E.1.44). С учетом
равенств D.6.19) и D.6.34) находим
Это уравнение допускает переход к «пределу при п-»-0» только
при условии, что обе величины Wabcd и ефлв равны нулю. Отме-
Отметим, что и в случае (достаточно большого) положительного спи-
спина дополнительно должно выполняться условие совместности
E.8.2), если только указанные величины не обращаются в нуль.
Таким образом, в любом случае уравнение D.12.42) для поля
с произвольным спином имеет самостоятельный интерес только

ТВИСТОРЫ ]55
в конформно-плоском пространстве и в отсутствие электромаг-
электромагнитного взаимодействия. В этом случае его предельная форма
при п = 0 действительно совпадает с уравнением F.8.30), как
следует из соотношения F.8.35). Разумеется, появления «попра-
«поправочного слагаемого» 4Л в этом пределе можно было ожидать
заранее, поскольку оно необходимо для обеспечения конформной
инвариантности.
Можно также отметить, что для решений уравнения F.8.30)
существует сохраняющийся тензор энергии-импульса
Tab = ^-k {2УА(А>ф?в')вф — ^VЛ(Л'Vвoв^ + Ф2Фава'в'} =
b<j> 4-
F.8.36)
(k = const), который симметричен, имеет нулевую дивергенцию,
а также след, равный нулю [220, 38]. Его обычно называют
улучшенным тензором энергии-импульса. Дивергенция канони-
канонического тензора энергии-импульса
Kb = TkVAB'^sA = Т * B W - SabW*) (б'8'37)
обращается в нуль на решениях (не являющегося конформно-
инвариантным) уравнения П^ = 0, но след его не равен нулю.
Однако тензор Т'аЬ обладает важным свойством знакоопределен-
знакоопределенности: Т'аЬ1апь ^= 0 (в случае изотропных, ориентированных в бу-
будущее векторов 1а, па), которое не выполняется для ТаЬ. В пло-
плоском пространстве разность ТаЬ — Т'аЬ есть полная дивергенция
Vc{(l/3)k<pgaibVc]<f>}, которая не дает вклада в полный тензор
энергии-импульса. Тензоры энергии-импульса (с нулевым сле-
следом) для безмассовых полей со спином 1/2 и 1 были приведены
в формулах E.8.3) и E.2.4). Для безмассовых полей с большими
спинами не существует (локальных) тензоров энергии-импульса.
Отметим мимоходом два частных случая уравнения F.8.35).
Для максвелловского поля в искривленном пространстве-вре-
пространстве-времени без зарядов имеем уравнение
□ Флв = 2WABCDq>CD - 8ЛфЛВ) F.8.38)
которое полезно сравнить с уравнением
UFab = RabedFed F.8.39)
(см. [84, § 74]; множитель 2 в записи этого уравнения в книге
Эддингтона — ошибка).
Для гравитационного поля имеем
D ¥авсо = бЧ^в^Рсо) bf - 2XWabcd F.8.40)

[56 ГЛАВА 6
в пустом пространстве с космологической постоянной X [фор-
[формулы D.10.9) и D.10.10)]. Если тождества Бианки содержат
ненулевую правую часть [формула D.10.12)], то уравнение
F.8.40) модифицируется следующим образом:
□ Vabcd = 6W^befWcd)ef — BА, + 4nG7V) Wabcd —
где использовано второе соотношение D.6.32). Рассматривая
последние два слагаемых в правой части как «источники», мы
интерпретируем первое слагаемое как «поправочное» к гравита-
гравитационному волновому уравнению. Равенство его нулю является
необходимым и достаточным условием того, что спинор Wabcd
изотропный (т. е. все его главные изотропные направления сов-
совпадают) . Мы докажем это в гл. 8, § 6. Отметим, что существуют
точные вакуумные изотропные решения волнового типа, кото-
которые вполне аналогичны решениям соответствующих линейных
уравнений, хотя для неизотропных решений эта аналогия не
столь очевидна [296, 172, 316, 317].
Конформно-инвариантный тензор Баха
Еще один интересный пример конформно-инвариантной ве-
величины— тензор Баха [16, 305, 170]
g, + фсо,) WABCD F.8.42)
(здесь дана его запись в виде, предложенном в работах [68,
69]). Этот тензор обладает свойствами
Bab = Bba, Bab = Bab, VaBab = Q F.8.43)
и при конформных преобразованиях ведет себя следующим об-
образом:
ВаЬ = ВаЬ. F.8.44)
Тензорные представления величины ВаЬ таковы:
Ваь = VcVdCacM - у RcdCacbd = 2VcVXaPc] b + PcdCacbd. F.8.45)
§ 9. Локальные твисторы
До сих пор мы рассматривали теорию твисторов главным
образом в плоском пространстве-времени. Отчасти это обуслов-
обусловлено тем, что условие совместности F.1.6) для твисторного урав-
уравнения F.1.1) приводит к ограничению Чгл8сд=:0, а отчасти —
тем, что даже в случае конформно-плоского пространства-вре-
пространства-времени (т. е. когда условие Wabcd = 0 действительно выполняется)

твисторы 157
часто оказывается удобным перейти к плоскому пространству-
времени и выражать твисторы через радиус-вектор ха точки в М
относительно фиксированного начала отсчета О. Формализм
локальных твисторов, который мы рассмотрим в этом параграфе,
позволяет распространить понятие твистора на общий случай
произвольного искривленного пространства-времени Ж. В част-
частном же случае, когда Ж — конформно-плоское пространство-
время, этот новый формализм дает возможность проводить вы-
вычисления с нашими исходными твисторами( которые в данном
параграфе мы будем называть «глобальными» твисторами), не
переходя к плоской метрике. В качестве приложения теории
локальных твисторов мы покажем, что равенство нулю спинора
^abcd есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
пространство-время было кусочно-конформным пространству М-
Комплексное пространство-время
В большей части данного параграфа и даже в большей части
всей книги речь идет об обычном действительном пространстве-
времени. Однако современная теория твисторов обычно строится
на фоне комплексного пространства-времени, а потому мы здесь
скажем об этом несколько слов. Как отмечалось выше (см. при-
примечания на с. 81), комплексифицированное пространство-время
получается из «обычного» действительного пространства-вре-
пространства-времени (которое параметризуется действительными аналитически-
аналитическими координатами ха и допускает действительную аналитическую
метрику с лоренцевой сигнатурой -| ), когда допускаются
комплексные значения координат, а метрические коэффициенты
продолжаются в комплексную область как голоморфные функ-
функции. При этом исходное действительное пространство-время ста-
становится неким выделенным подпространством. Комплексное же
пространство-время есть комплексно-четырехмерное комплексно-
риманово многообразие общего вида, в котором нельзя одно-
однозначно выделить действительно-четырехмерного подпростран-
подпространства, допускающего действительную структуру. (В общем случае
такое подпространство даже не существует [375].) В комплекси-
фицированном пространстве-времени определена операция комп-
комплексного сопряжения, сопоставляющая каждой точке с (комп-
(комплексными) координатами х* точку с координатами х& (и анало-
аналогично для тензоров). Это отображение есть инвариант действи-
действительных аналитических преобразований координат в исходном
действительном пространстве. (Разумеется, оно не будет инва-
инвариантом общих голоморфных преобразований координат в комп-
комплексном пространстве, и по этой причине комплексное сопряже-
сопряжение в нем не определено.) Инвариантами комплексного сопря-
сопряжения будут действительные точки исходного пространства

158 ГЛАВА 6
(и действительные тензоры, заданные в этих точках); эта инва-
инвариантность может служить критерием «действительности». От-
Отметим, что не существует критерия действительности тензоров
(или понятия пары комплексно-сопряженных тензоров), задан-
заданных в комплексных точках даже в комплексифицированном про-
пространстве, поскольку сопряженный тензор оказывается перене-
перенесенным в комплексно-сопряженную точку. (Только в плоских
комплексифицированных пространствах можно дать довольно
искусственное определение дальнего параллелизма, позволяю-
позволяющего переносить тензоры в одну и ту же точку.)
Повторяя рассуждения, проводившиеся при построении спи-
норного формализма, мы можем сформулировать следующее
правило перехода к комплексному пространству-времени1)
в формулах, содержащих спиноры: все алгебраические операции
(кроме комплексного сопряжения) и операции дифференциро-
дифференцирования остаются неизменными, действительные величины заме-
заменяются комплексными, если же наряду с комплексной величи-
величиной Я фигурирует комплексно-сопряженная величина Я, то
следует обе заменить двумя независимыми комплексными вели-
величинами, скажем Я и Я. Например, в формулу A.2.19) входит комп-
комплексная координата £= (X+iY)/(T—Z), определенная на све-
световом конусе, и аналогично координата t, = (X — iY)/(T — Z).
Но если Т, X, У, Z принимают комплексные значения, оба этих
выражения приводят к двум независимым величинам £ и £. Не-
Неголоморфные (но действительно-аналитические) функции пере-
переменной £, такие, как A + Е£J, превращаются при комплексифи-
кации в голоморфные функции двух комплексных переменных
£, £—в данном случае A + ££J. Двукратное комплексное сопря-
сопряжение, разумеется,_сводится к тождественному отображению,
так что величина Я отождествляется с исходной величиной Я.
Пространства €>л и ©л' становятся независимыми, и пара
спиноров %А, \А> — каждым из которых ранее определялся дру-
другой— заменяется парой независимых спиноров?*4, \А'. Изотроп-
Изотропный (ориентированный в будущее) вектор \А\А'общего вида при
комплексификации переходит в комплексный изотропный век-
вектор \А\А' общего вида [формула C.2.6)]. Величины У, которые
первоначально были действительными, при комплексификации
не дают новых величин Y, поскольку равенство Y = 7 переходит
в У=Г. Таким образом, например, действительный оператор
ковариантной производной Va не переходит в новый оператор
Ya, но приобретает смысл комплексного голоморфного опера-
оператора. Величины xVabcd> ®abc'd'> Л, описывающие комплексную
') Подробнее см. в работах [91, 92], а также [192].

ТВИСТОРЫ 159
кривизну, должны дополняться величинами вида *Va'b'c'd'>
Фсдл'в'. Л, но в силу исходных условий действительности D.6.4)
и D.6.17) последние две из них не приводят к появлению новых
величин, так как
Флвс'о' = Флвс'о'. А = Л. F.9.1)
В то же время ^a'b'c'd' есть новая характеристика кривизны,
независимая от ^abcd-
Оказывается, что может существовать комплексное простран-
пространство-время, для которого у¥а'в'с'о'= 0, но ^авспФО. Его назы-
называют правым конформно-плоским (или конформно-антисамо-
дуальным) пространством, а если обращается в нуль только
^Pabcd, to пространство называют левым конформно-плоским
(или конформно-самодуальным). Если дополнительно Флвс'г>'=0
и А = 0, то такие пространства называют соответственно пра-
воплоским (или антисамодуальным) и левоплоским (или само-
самодуальным). Замечательно, что такие пространства возникают
естественным образом (^-пространства Ньюмена [216, 163,
122]) при изучении действительных асимптотически плоских
многообразий пространства-времени. (Мы весьма кратко рас-
рассматриваем их в гл. 9, см. с. 460 и далее.) Отметим, что в случае
комплексного пространства-времени общего вида ГИН спиноров
и ^a'b'c'd' независимы и схема совпадений ГИН спинора
может совершенно отличаться от соответствующей схемы
для '^a'b'c'd'- Таким образом, в каждой точке мы имеем две
независимые схемы классификации, аналогичные той, которая
будет рассматриваться в гл. 8 для спинора ^1)
Условие совместности для твисторного уравнения
Хотя мы будем излагать теорию локальных твисторов при-
применительно к действительному лоренцеву пространству-времени,
') В действительном (псевдо-)римановом 4-пространстве с сигнатурой
(+ + ++). (+ Н ) или ( ) определен иной тип операции ком-
комплексного сопряжения на спинорах, переводящей модули SH и ©■*' в них
самих независимо друг от друга. [В частности, в случаях знакоопределенной
сигнатуры (+ + + +) и ( ), которые по существу эквивалентны,
модуль в* не содержит действительных ненулевых элементов, т. е. при комп-
комплексном сопряжении переходящих в себя, тогда как в пространстве с сиг-
сигнатурой (+Н ) такие действительные элементы существуют.] Таким
образом, классификационные схемы для спиноров ^ДВСО и VA'tfc'D' СТРОЯТ-
ся независимо, но условия действительности налагают на каждую из них
определенные ограничения. В частности, существуют нетривиальные право-
плоские н левоплоские решения уравнений Эйнштейна для всех упомянутых
сигнатур; некоторые из них носят название гравитационных инстантонов
[124, 106, 131, 132, 13].

160 ГЛАВА 6
каждый этап построения теории допускает переход к комплекс-
комплексному пространству-времени, выполняемый по правилам, сфор-
сформулированным в предыдущем разделе. При этом, однако, сле-
следует помнить о некоторых особенностях такого перехода. Напри-
Например, условие «Флвсо = 0». при котором пространство является
конформно-плоским, в контексте комплексного пространства-вре-
пространства-времени следует понимать как «4*UBCD = 0 и 4?a'b'c'd' = 0»- В этой
связи сделаем одно замечание. Как мы видели, из условия сов-
совместности F.1.6) для твисторного уравнения F.1.1) следует, что
это уравнение имеет несколько (более одного) линейно незави-
независимых решений, если Wabcd = 0. Казалось бы, что отсюда можно
сделать вывод о существовании полного семейства решений в
левом конформно-плоском пространстве-времени, для которого
это условие выполняется автоматически. Действительно, это
верно в случае безмассовых полевых уравнений D.12.42), для
которых условия E.8.2) Бухдала — Плебаньского выполняются,
если ^abcd = 0, но ^A'b'c'd' =#= 0, и в этом случае локально су-
существует широкое семейство решений для полей с произвольно
большим числом нештрихованных индексов как в левом кон-
конформно-плоском, так и в плоском (комплексном) пространстве-
времени. (Аналогичный результат, разумеется, справедлив и в
случае полей со штрихованными индексами в правых конформ-
конформно-плоских пространствах.) Однако твисторное уравнение при-
приводит к более жестким ограничениям, чем уравнения для без-
безмассовых полей (это явствует уже из того, что даже в плоском
пространстве-времени данное уравнение допускает только ко-
конечномерное пространство решений). Заметим, что, как след-
следствие из второго уравнения D.9.8), часть спинора
V£Vf,Vg,coD, F.9.2)
кососимметричная по индексам В, С, равна нулю, если
ФЛВС'О' = 0; таким образом, если выполняется твисторное урав-
уравнение F.1.1), то выражение F.9.2) обращается в нуль, будучи
кососимметричным по индексам С, D. Стало быть, для решений
твисторного уравнения в левоплоском комплексном простран-
пространстве-времени в силу формулы D.9.14) имеем
0 = VA {A'Vi'Vnu? = WA>B'c>iyVCD'«>D. F.9.3)
Отсюда следует, как и в случае уравнения F.1.6), что твистор-
твисторное уравнение допускает только ограниченное семейство реше-
решений, если спинор Ч*'a'b'c'd' не равен нулю. Фактически же всякое
левоплоское комплексное пространство-время всегда допускает
(локально) два линейно-независимых решения уравнения
VaCOB = 0. F.9.4)

ТВИСТОРЫ 161
В самом деле, в силу соотношения D.9.7) коммутаторы произ-
производных дают нуль при действии на нештрихованный спинор:
(VaV& — VftVa)a>c = 0. Таким образом, можно фиксировать про-
произвольное значение спинора &в в точке, а затем с помощью па-
параллельного переноса непротиворечиво продолжить эту величину
на всю окрестность выбранной точки. В общем случае не су-
существует других решений уравнения F.9.3), а следовательно, и
твисторного уравнения в левоплоском пространстве. (Еще одно
линейно-независимое решение существует в том случае, когда
спинор 4VS'C'.d' изотропен и принимает постоянные значения.)
На этом мы завершаем отступление, посвященное комплексному
пространству-времени, и возвращаемся к теории локальных тви-
твисторов.
Определение локального твистора
Существенное различие между локальными и глобальными
твисторами состоит в том, что глобальный твистор определен
сразу во всем пространстве-времени Ж (как решение твистор-
твисторного уравнения) и зависимость от точек ж здесь несущественна,
в то время как локальный твистор определен только как функ-
функция точек пространства Ж. В каждой точке пространства-вре-
пространства-времени Ж определено локальное комплексно-четырехмерное тви-
сторное пространство, причем твисторные пространства в разных
точках полностью независимы, если не считать требований не-
непрерывности и дифференцируемости. Таким образом, простран-
пространство локальных твисторов есть (комплексно-четырехмерное) век-
векторное расслоение над пространством-временем Ж, а не просто
комплексно-четырехмерное векторное пространство. (Можно
также рассматривать поля локальных твисторов как сечения
этого расслоения, определенные стандартным способом.) Сле-
Следовательно, на основе локальных твисторов нельзя построить
формализм для некоего альтернативного описания физических
явлений, в котором понятие точки пространства-времени не рас-
рассматривалось бы как фундаментальное, что было одной из глав-
главных целей при построении теории глобальных твисторов. (Для
этих целей могут оказаться пригодными асимптотические тви-
сторы в искривленном пространстве-времени, которые мы крат-
кратко рассмотрим в конце гл. 9, § 8. Определение асимптотического
твистора опирается на понятие локального твистора. См. также
определение твисторных 2-поверхностей в гл. 9, § 9.) Однако
формализм локальных твисторов дает нам исчисление, удобное
для анализа конформной геометрии произвольного многообразия
пространства-времени Ж. Необходимые для этого понятия в
принципе были введены в работах Картана [43, 44]; см. также
[349, 265].)

162 ГЛАВА 6
Пусть точка Р принадлежит пространству Ж с метрическим
тензором gab- Локальный твистор Z™ в точке Р есть пара
(а>А, лА') спиноров в точке Р (мы подчеркиваем, что это именно
спиноры, взятые в фиксированной точке, а не спинорные поля).
Мы требуем, чтобы при конформных преобразованиях gab>—»
*—>£аь = QPgab компоненты новой пары (юл, лА') выражались
через компоненты исходной пары по формулам F.1.75), и пишем
^•"^ F.9.5,
Z —{со , лА').
Дополнительно потребуем, чтобы формулы перехода имели вид
<ал = юл, АА' = лА' + 1ГАА'(йА. F.9.6)
Таким образом, спинор <оА характеризуется определенным кон-
конформным весом (равным нулю), а величина ял- преобразуется
по более сложному закону. Если считать, что для заданного
твистора Z" пара ю и лА>—это не просто спиноры, вычислен-
вычисленные в фиксированной точке, но величины, которые обладают
функциональной зависимостью от метрики g, то мы можем опу-
опустить символы gag над знаком равенства в формуле F.9.5) и
писать, как обычно,
Za = (vA,nA>). F.9.7)
Пространство всех локальных твисторов есть векторное расслое-
расслоение, образуемое совокупностью твисторов Z™, взятых во всех
точках Р. Слой над точкой Р есть комплексно-четырехмерное
векторное пространство — пространство локальных твисторов
в точке Р.
Перенос локального твистора
Далее мы определим процедуру, позволяющую сравнивать
локальные твисторы в разных точках [т. е. построим связность
в расслоении, см. формулы E.4.17) — E.4.19)]. При этом мы
будем исходить из двух требований. Во-первых, мы хотим со-
сохранить соответствие с теорией глобальных твисторов. Это помо-
поможет нам определить процедуру параллельного переноса, которую
будем называть переносом локального твистора. Для всякой
гладкой кривой т в JC, соединяющей точки Р и Q, локальному
твистору Z™ в точке Р сопоставим определенный локальный тви-
твистор в точке Q. Это соответствие не зависит от пути только в
случае конформно-плоского пространства-времени. Именно в
этом случае мы потребуем соответствия с понятием глобального
твистора; локальный твистор, который в указанном смысле пе-

твисторы 163
реносится «параллельно» во все точки, должен совпадать с гло-
глобальным твистором. Во-вторых, мы потребуем инвариантности
относительно конформных преобразований. Отметим, что парал-
параллельный перенос твистора Z™, понимаемый как параллельный
перенос его спинорных компонент, не удовлетворяет указанным
выше требованиям.
Вначале еще раз проанализируем понятие глобального тви-
твистора, введенное в § 1, с точки зрения теории локальных тви-
сторов. Глобальный твистор Z™ в конформно-плоском простран-
пространстве-времени отождествляется со спинорным полем &А, удовле-
удовлетворяющим твисторному уравнению
O. F.9.8)
Определим спинор ял- с помощью соотношения
F-9.9)
которое в совокупности с уравнением F.9.8) эквивалентно со-
соотношению F.1.9). Из F.8.11) немедленно находим, что
О = Яв*пА— «>аРава'в'
[где Раь — величина, определяемая формулой F.8.12)]. Таким
образом, глобальный твистор представляется парой (юл, пА')
полей, удовлетворяющих уравнениям
[В частном случае плоского пространства-времени эти уравне-
уравнения сводятся к соотношению F.1.9).]
Воспользуемся системой F.9.10) для определения понятия
параллельного переноса локальных твисторов в произвольном
пространстве-времени Ж. Будем называть локальный твистор
Z" (сол, яЛ') постоянным на JC (и совпадающим с глобальным
твистором), если выполняются уравнения F.9.10). В произволь-
произвольном пространстве-времени в общем случае не существует не-
нетривиальных локальных твисторов, удовлетворяющих уравне-
уравнениям F.9.10) во всех точках Jt. Но, сворачивая F.9.10) с век-
вектором ta, мы получаем более слабые равенства
taVa<oB + itBA'nA> = 0,
^алВ' + ИаРаь<*в = 0, F-9Л1)
которые выражают свойство постоянства твистора Z™ в направ-
направлении ta. Пусть в Ж задана кривая т с касательным вектором
ta. Тогда твистор Za называется постоянным вдоль кривой т
(т. е. на т задан перенос локального твистора), если уравнения

164 ГЛАВА 6
F.9.11) выполняются в каждой точке кривой т. Ясно, что, вы-
выбрав (произвольно) начальные значения спиноров пары (юл, лА')у
с помощью уравнений переноса F.9.11) мы можем однозначно
определить твистор Z™ в каждой точке кривой т. (При этом
предполагается, что кривая т не имеет самопересечений и вектор
ta всюду отличен от нуля.)
От определения локального твистора, постоянного вдоль кри-
кривой, естественно перейти к понятию вариации твистора Z™ вдоль
кривой т. Вводя для этой величины обозначение VZa, мы опре-
t
деляем
уZa = 0Ч<оЛ + #ЛВV. *Ч«л- + Ивв'РАВА'В'<йАУ F.9.12)
Далее, используя формулу F.8.14), непосредственно убеждаем-
убеждаемся, что VZa удовлетворяет закону преобразования F.9.5),
t
F.9.6), если ему удовлетворяет твистор Z™. Таким образом, ве-
величина VZa будет локальным твистором ') в каждой точке кри-
t
вой т. По существу это можно рассматривать как свойстео кон-
конформной инвариантности оператора V в указанном смысле. По-
Поскольку определения F.9.11) и F.9.12) относятся к произволь-
произвольному пространству-времени, как следствие такой инвариантности
оператора V мы получаем конформную инвариантность пере-
t
носа локального твистора. Постоянный локальный твистор, опре-
определенный на всем многообразии Ж (т. е. глобальный твистор),
должен удовлетворять уравнению VZa = 0 в каждой точке мно-
многообразия Ж для произвольного вектора t.
До сих пор мы рассматривали только локальные твисторы
типа [ц]. Обобщение на случай [ £]-локальных твисторов осу-
осуществляется по стандартному образцу. Наряду с локальными
твисторами в фиксированной точке многообразия Ж можно
рассматривать поля локальных твисторов на Ж. В первом
случае [^-локальные твисторы образуют четырехмерное век-
векторное пространство над С, а во втором — вполне рефлексив-
рефлексивный четырехмерный модуль над комплексными скалярными по-
полями @. Определение умножения твистора на число AZa и сум-
'■) Локальные твисторы со связностью V при определенных условиях
можно трактовать как определяющие разновидность теории Янга — Милл-
са [205] (кривизна определяется тензором Баха).

твисторы 165
мы твисторов Ха + Za очевидно. Система абстрактных индек-
индексов и общая схема построения величин произвольной валент-
валентности, приведенная в гл. 2, применимы и в этом случае; разло-
разложение величин на спинорные части (и соответствующие обозна-
обозначения) выполняются по той же схеме, что и в случае глобальных
твисторов (см. § 1). Так же как для глобальных твисторов,
определена операция комплексного сопряжения, которая пере-
переводит [£]-твистор в [р]-твистор. Продемонстрируем это в част-
частном случае р= 1, q = Q и проанализируем связь этой операции
с понятием переноса локального твистора. Если твистор Z™ вы-
выбран в соответствии с условиями F.9.5), имеем Z.a = (nA, <ал')
по аналогии с F.1.31), так что, заменяя метрику gab на £аь =
= Q2gab, получаем новое представление Za = (HA — г'ТЛЛ'шл',
йИ')- Таким образом, из представления
Wa = (^, ц*)
[°]-локальных твисторов в метрике gab находим представление
в метрике gab
we=(XA, ало,
где
Ъа = Ка-Каа>^', £л'=|И'. F.9.13)
Отсюда находим, что, например, спинорные части [jj-локаль-
ного твистора Qa преобразуются по закону
(
V
\аА'в в
Olab - rCAA
OiA'B
и аналогично для твисторов с другим набором индексов.
Из выражения, комплексно-сопряженного выражению
F.9.12), следует, что
VWa = (tbVbXA - ИВВ'РАВА'В'»А', tbVb\iA' - itBA'XB). F.9.14)
Так же как в случае [ц]-твисторов, находим, что оператор V
должен быть конформно-инвариантным в том смысле, что вели-
величина VWa удовлетворяет правильному закону преобразования
t
F.9.13) локального твистора при конформных отображениях,
если этому закону удовлетворяет сам твистор Wa- Более того,
инвариантом конформного преобразования будет скалярное
произведение WaZa := Ялюл + цл'яЛ' [что явствует из сходства

166 ГЛАВА 6
формул F.9.6) и F.9.13) с аналогичными выражениями F.1.75)
и F.1.76) для глобального твистора], и это произведение удов-
удовлетворяет соотношению
v(WaZa) = W«VZa + ZaVWa, F.9.15)
t t t
в чем легко убедиться, используя формулы F.9.12) и F.9.14).
Левая часть этого равенства имеет смысл обычной производной
по направлению (V = /aVa) от скаляра [формула D.3.31)]. Од-
t
ним из следствий соотношения F.9.15) является то, что спираль-
ность A/2) ZaZa локального твистора не изменяется при парал-
параллельном переносе. И в частности, изотропный твистор остается
изотропным. Это свойство имеет аналог в римановой геометрии:
норма и скалярное произведение векторов остаются неизмен-
неизменными при параллельном переносе. В теории твисторов роль, ана-
аналогичную римановой метрике, играет операция комплексного
сопряжения: перенос локального твистора коммутирует с комп-
комплексным сопряжением твистора.
Определение оператора V распространяется на локальные
твисторы произвольной валентности с учетом обычных требова-
требований аддитивности и выполнения правила Лейбница. Проиллю-
Проиллюстрируем общую схему частным примером:
e(^cOAB+iecBQAC'-iPacQiA'B VcCkAB' + iPbcCkAB-iPacaA'B'\
\VCQ.A'B +iscBaA'c- ieC'A'QcB VcCkA'B>+iPbcQ.BA'-izC'A'OLcB>) '
F.9.16)
Кривизна в пространстве локальных твисторов
Как мы уже упоминали, процедура переноса локального тви-
твистора не предполагается «интегрируемой» (т. е. не зависящей от
пути) в произвольном искривленном пространстве-времени. Ко-
Количественную меру неинтегрируемости можно установить, рас-
рассматривая результат обхода малой петли, натянутой на векторы
t, и (рис. 6.9). Если t и и — векторные поля, то мерой «невязки»,
возникающей при попытке построить малый четырехугольник из
близлежащих векторов этих векторных полей, будет скобка Ли.
Если четырехугольник не замыкается1), т. е. скобка Ли [t, и]
отлична от нуля, то в результате получается бесконечно малый
пятиугольник. Вариация геометрического объекта при парал-
') Если векторы и и t на диаграмме имеют порядок О(в), то рассогла-
рассогласование будет порядка О(е2), поскольку скобка Ли билинейна по t и и.
«Замыкание» означает, что рассогласование — порядка О (в3).

167
Рис. 6.9. Скобка Ли [и, v] является мерой «невязки» малого четырехуголь-
четырехугольника, построенного из близлежащих векторов полей и и г».
лельном переносе по пятиугольнику вычисляется как результат
действия оператора W — W — V [74], который служит для
t a at It, a]
определения кривизны. Мы уже рассматривали [формула
D.3.33)] соответствующее выражение для обычного параллель-
параллельного переноса. Здесь же мы введем локальную твисторную кри-
кривизну Kofi(t, и) с помощью соотношения
t(VV —VV— V ) Z3 = ZaKa3 (t, и) F.9.17)
t a at {tu]
и после вычислений найдем1)
ка^,«)=е
— I. (и.9.18)
— It U EpQT p'q' b' /
Множитель l в формуле F.9.17) вводится для того, чтобы вели-
величина Кар была эрмитовой [как и тензор F... в формуле E.5.30)].
Кривизна Кар будет, разумеется, билинейной функцией по-
полей и и t, но можно ввести величину Кр?ар, не зависящую от
и и t:
K^(t,u)=:tpuqKpq^. F.9.19)
Аналогично, учитывая линейную зависимость оператора V от t,
t
можно ввести оператор ковариантной производной Vp, дейст-
действующий в пространстве локальных твисторов, положив
F.9.20)
') В это выражение входят как V , так и V... . Стало быть, в комп-
комплексном пространстве-времени локальная твисторная кривизна будет опре-
определяться обеими величинами ЧГ и W..., что следует уже из формул F.1.6)
и F.9.3).

168 ГЛАВА 6
при произвольном t [что дает нам связность в расслоении, как
и в случае соотношений E.4.17) — E.4.19)]. Тогда определение
кривизны F.9.17) можно переписать в виде
(iVpVq - iVqVp) Z3 = KpJZa F.9.21)
[что будет частным случаем соотношения E.4.23)].
Такой подход, пожалуй, ближе к построениям, рассмотрен-
рассмотренным в гл. 4, § 2 и гл. 5, § 4, 5, и мы можем сконструировать выс-
высшие производные кривизны вида
V, ... VrKs,aP. F-9.22)
Однако подобные величины не будут комфорно-инвариантными,
так как результат действия оператора Va на величину с тензор-
тензорными индексами, вообще говоря, не является конформным инва-
инвариантом. Можно получить конформно-инвариантные производ-
производные, если воспользоваться методом Дайтона [69] (см. также
[264]), в котором тензорные и спинорные индексы исключаются
за счет перехода к локальному твисторному представлению. При
этом каждый (нижний) штрихованный [нештрихованный] ин-
индекс будет появляться в виде верхнего [нижнего] твисторного
индекса. Этого можно добиться с помощью (второго) отображе-
отображения [например, лД' *—> @, яЛ')] каждой из следующих конформно-
инвариантных точных последовательностей:
О -»<3Л- [Р] -» Та [Р] -»<5А [Р] -» О,
О -* ©л [Р] -> Та [Р] -»@л' [Р] -+ О,
где через [Р] обозначено локальное пространство в точке Р е Ж
(см. с. 14; ср. с с. 114). Таким способом оператор VAB> превра-
превращается в конформно-инвариантный оператор VaP, хотя наличие
(постоянного) кручения и приводит к некоторым усложнениям.
Конформно-инвариантные спиноры можно получить (с помощью
третьего отображения), отбирая главные части твистора, или
вторичные, если главные равны нулю, или третичные, если рав-
равны нулю главные и вторичные, и т. д. Подобная процедура будет
эффективной только в том случае, когда на твисторные индексы
наложены определенные требования симметрии. Таким методом
Дайтон [68, 69] получил тензор Баха F.8.42) и другие конформ-
конформно-инвариантные объекты (относительно альтернативного метода
см. работу [78]).
Нулевая кривизна Вейля как свойство конформно-плоского
пространства
Локальная твисторная кривизна F.9.18) содержит кривизну
Вейля и ее (свернутые) производные. Если пространство Ж кон-
конформно-плоское, то эти величины должны быть равны нулю.

твисторы 169
Действительно, в плоском пространстве-времени мы имеем
^Pabcd = О, и, будучи конформным инвариантом [формула
F.8.4)], спинор Wabcd должен также быть равен нулю в кон-
конформно-плоском пространстве-времени. Следовательно, (это, во
всяком случае, явствует из конформной инвариантности про-
процедуры переноса локального твистора), локальная твисторная
кривизна тоже должна быть равна нулю во всяком конформно-
плоском пространстве-времени. Здесь мы хотим доказать обрат-
обратное утверждение.
Теорема
Если во всем пространстве-времени JC выполняется ра-
равенство Wabcd = 0, то каждая точка многообразия Ж
имеет окрестность Щ, в которой можно выбрать •) кон-
конформный множитель, переводящий метрику окрестности
Щ в метрику некой области пространства Минковского.
Будем называть такое пространство-время Ж «кусочно-
конформным» пространству Минковского. F.9.23)
Доказательство. Допустим, что равенство Wabcd = 0 выполня-
выполняется во всем пространстве JC. Такая локальная твисторная кри-
кривизна равна нулю в каждой точке пространства Ж. Пусть О —
точка в пространстве Ж; выберем окрестность У точки О так,
чтобы она была односвязной и допускала спинорную структуру
(гл. 1, § 5). Тогда любые две кривые в окрестности У, соеди-
соединяющие точку О с некоторой фиксированной точкой Р, могут
быть непрерывно деформированы друг в друга. Пусть Z™ — ло-
локальный твистор в точке О. Для всякой гладкой кривой г
(в окрестности У), соединяющей точки О и Р, можно опреде-
определить соответствующий локальный твистор в точке Р с помощью
параллельного переноса локального твистора Z™ из О в Р вдоль
%. Пусть теперь эта кривая деформируется непрерывно на У так,
что ее концевые точки О и Р остаются неподвижными. Вспоми-
Вспоминая определение твисторной кривизны, основанное на параллель-
параллельном переносе локального твистора по замкнутому контуру, из
того, что кривизна равна нулю, заключаем, что результат пере-
переноса локального твистора Z™ из О в Р вдоль т не изменяется,
если т деформируется непрерывно (рис.6.10). (Можно предло-
предложить и более строгое доказательство, но основная идея уже
ясна.) Ввиду односвязности области У результат параллельного
переноса Z™ из О в Р не зависит от выбора пути на У. Изменяя
положение точки Р на Y, мы получаем поле локальных твисто-
ров Z05 на У, которое удовлетворяет системе F.9.11) в каждой
точке для всех векторов ta. Таким образом, справедлива также
') Не обязательно должен существовать конформный множитель, пере-
переводящий метрику в плоскую сразу во всем пространстве Ж.

170 ГЛАВА 6
Рис. 6.10. Равенство нулю локальной твисторной кривизны означает, что
результат переноса локального твистора Z" вдоль кривой т из точки О
в точку Р не изменяется при непрерывной деформации кривой т.
система уравнений F.9.10), и мы получаем глобальный тви-
твистор Z™.
Результат не изменится, какой бы локальный твистор в точ-
точке О мы ни взяли. Таким образом, пространство локальных тви-
сторов в точке О находится во взаимно-однозначном соответст-
соответствии с пространством глобальных твисторов на У. Всякой парой
спиноров («И, пА') в точке О определяется глобальный твистор
на У, и наоборот. Если компонента юл глобального твистора Za
равна нулю в точке Р, принадлежащей области У, то мы гово-
говорим, что твистор Z05 инцидентен точке Р. Поскольку соответст-
соответствующий локальный твистор в точке Р будет изотропным и это
свойство сохраняется при параллельном переносе локального
твистора, твистор Z05 будет также изотропным и в точке О. Если
X™ — другой глобальный твистор, инцидентный точке Р, то,
очевидно, выполняется равенство XaZa=0 в точке Р. Вновь
вспоминая, что условие ортогональности инвариантно при па-
параллельном переносе локальных твисторов [формула F.9.15)],
мы заключаем, что XaZa = 0 в точке О. Таким образом, сово-
совокупность всех глобальных твисторов, инцидентных точке Р,
может быть представлена в точке О как комплексно-двумерное
пространство локальных твисторов в точке О, которые изотроп-
изотропны и взаимно ортогональны.
Касательное пространство в точке О можно отождествить
о
с пространством Минковского М, а пары спиноров («И, лА')
в точке О рассматривать как обычные твисторы пространства
о
М. Описанное выше комплексно-двумерное пространство ло-
локальных твисторов в точке О, изображающее точку Р многооб-
многообразия У, есть в точности пространство, образуемое всеми тви-
о о о
сторами в М, инцидентными некоторой точке РеМ, причем
о о
точка р может оказаться бесконечно удаленной в М. Такой
исключительный случай можно не рассматривать, если выбрать
окрестность °U cr У точки О достаточно малой, так чтобы каж-

ТВИСТОРЫ
171
дой точке РвЩ отвечала конечная точка РЬМ. Более того, мы
выбираем окрестность Щ настолько малой, чтобы различные
О
точки в Щ имели разные образы в М. В этом случае мы по-
получаем взаимно-однозначное и непрерывное отображение
О
окрестности Щ на конечную область пространства Щ. Кроме
того, данное отображение будет конформным. Чтобы показать
это, рассмотрим глобальный твистор Z™, инцидентный точке Р,
со спинорными компонентами в точке Р, имеющими вид @, пА').
Выберем в качестве х изотропную геодезическую, проходящую
через точку Р в направлении флагштока спинора яЛ' (мы прини-
принимаем t" = лАпА'). Из соотношения F.9.11), очевидно, следует,
что представление @, яЛ') справедливо всюду на т. Таким обра-
образом, твистор Za инцидентен каждой точке геодезической т. От-
о
сюда следует, что при рассматриваемом отображении из °U в М
изотропные геодезические в °U переходят в изотропные прямые
(точки фиксированных изотропных твисторов) в М. В силу
этого световые конусы окрестности Щ отображаются в световые
о
конусы пространства М, чем доказывается конформность рас-
рассматриваемого отображения. Но тем самым и завершается дока-
доказательство теоремы F.9.23), так как в качестве точки О можно
взять произвольную точку многообразия JC.
§10. Безмассовые поля и когомологии твисторов
В § 7 мы кратко изложили метод контурного интегрирования,
позволяющий (среди прочих уравнений) проинтегрировать урав-
уравнения для безмассовых полей с любым спином в М. В данном
параграфе мы проведем более глубокий анализ этого метода
построения безмассовых полей, поскольку он является одним из
краеугольных камней, на которых строится дальнейшая теория
твисторов. Обсуждение этих вопросов приведет нас к знаком-
знакомству с теорией когомологии пучков твисторов, хотя подробное ее
изложение остается вне рамок этой книги.
Контурные интегралы для безмассовых полей
Сначала вернемся к формуле F.7.41) в частном случае q = 0,
когда верхние (т. е. штрихованные) индексы отсутствуют. В этом
случае она дает решения безмассовых полевых уравнений1)
') Данный частный случай этой формулы для полей с произвольным спи-
спином в виде F.10.1) был впервые выписан в работе [265], авторы которых
основывались на более ранних работах Пенроуза [241, 243]. Однако в случае
спина 0 практически эквивалентное выражение было получено гораздо раньше

172 ГЛАВА 6
в пространстве М или СМ. Подынтегральная «функция /» будет
тогда константой как функция твистора Z™, т. е. будет функцией
только твистора Wa. Это однородная функция степени (—р — 2),
где р есть число индексов спинорного поля фд D, которое мы
хотим найти (а также число множителей Ал, .... Хо под зна-
знаком интеграла):
Функция f должна быть голоморфной в определенной области
пространства Та (вид которой мы уточним позднее). Интеграл
вычисляется в произвольной точке R пространства-времени
вдоль некоторого одномерного замкнутого контура в простран-
пространстве [5 ^-твисторов Wa, инцидентных точке R. Это пространство
можно отождествить с векторным пространством <3л [R] спин-
(ко) векторов в R, или, что эквивалентно, со спиновым простран-
пространством SA постоянных спинорных полей Ал, получающихся из
твистора УУа = (Ал, цл'). Первая точка зрения оказывается более
удобной, если рассматривается искривленное конформно-плоское
пространство-время, а вторая лучше подходит для явных вы-
вычислений в пространстве М или СМ. В случае конформно-пло-
конформно-плоского пространства можно рассматривать Wa как постоянный
локальный твистор; тогда в каждой точке R, инцидентной ему,
твистор Wa записывается в виде (Ал, 0), где Ад-е©л [./?]. Если
же вычисления производятся вМ или СМ, то проще всего ис-
использовать представление
Wa*?+(kA, -irAA"kA), F.10.2)
где га — радиус-вектор точки R, отложенный из точки О <= М'
а величины г° и %а рассматриваются как фиксированные спино-
спиноры в точке О. Представление F.10.2) можно заменить более
инвариантным выражением
где ХА — постоянный спинор (е5л), а га [так же как и в фор-
формулах F.2.15) и F.2.18)] есть радиус-вектор точки R, отло-
отложенный из точки общего положения. Тогда, в частности, в точке
R твистор Wa записывается в виде (hA, 0).
Аналогично в случае безмассовых полей с q штрихованными
индексами [р = 0 в формуле F.7.40)] мы имеем формулу
А' ■ ■ • nD,f(Za)*E>dnE', F.10.3)
Бейтменом [20, 22] в развитие результатов Уиттекера [368] по решениям
трехмерного уравнения Лапласа. Случай спина 1 (теория Максвелла) также
был рассмотрен Бейтменом [22].

ТВИСТОРЫ 173
где f — однородная функция степени (—q — 2), а также голо-
голоморфная функция в некоторой области Т™ (вид которой мы
вскоре уточним); интеграл вычисляется по одномерному замкну-
замкнутому контуру в пространстве [ \ ]-твисторов Z", инцидентных
точке R. Это пространство можно мыслить как SA' [/?], т. е. как
пространство точечных спиноров в R (что особенно удобно в
случае конформно-плоского искривленного пространства), для
которых справедливо представление Za = (a>A, ял')[=@, яЛ')
локально в R]. В то же время в М или СМ в качестве такого
пространства можно взять спиновое пространство SA' постоян-
постоянных спинорных полей пА' и воспользоваться представлением
д / А А' \
Z = \ir пА', лА>), где г° — радиус-вектор точки R относительно
точки общего положения. Так же как в формуле F.10.2), удобно
фиксировать точку О и воспользоваться представлением твисто-
ра Z™ вида
^A'nA>, яА-), F.10.4)
в котором га и лА' — точечные спиноры в точке О.
Считая радиус-вектор га постоянным и учитывая то, что
функция f голоморфная и однородная указанной степени, легко
убедиться, что внешняя производная подынтегрального выраже-
выражения в формулах F.10.1) и F.10.3) равна нулю, так что резуль-
результат интегрирования не изменяется при непрерывных деформа-
деформациях контура в (несингулярной) области интегрирования.
В каждой из указанных формул компоненты подынтегрального
выражения имеют вид h(u, v) (udv — vdu), где h — голоморфная
и однородная функция степени —2, откуда на основании теоре-
теоремы Эйлера находим
dh , dh o,
и -s \- v -^— = —2Л
ди ' dv
и, следовательно,
d((udv - vdu)h) = {и -|£ + о-Щ- + h + h) du A dv = 0.
Отметим также, что безмассовые полевые уравнения легко по-
получаются из рассматриваемых интегральных представлений,
если воспользоваться формулами
= -/^A-, F.10.5)
= mx^, F.10.6)
где Va означает д/дга, а точечные спиноры цл' и оИ в О опре-
определяются, как в формулах F.10.2) и F.10.4), соотношениями
\iA' = - irAA"kA, оИ = irAA'nA-. F.10.7)

174 ГЛАВА 6
(Смысл частной производной по спинору с абстрактными индек-
индексами самоочевиден в данном контексте; всегда можно проводить
вычисления, перейдя к компонентам, отнесенным к определен-
определенному базису, а затем вернуться к обозначениям с абстрактными
индексами.)
Непроективное представление
Иногда удобным оказывается интегральное представление,
в котором функция f не обязательно должна быть однородной
(но должна быть голоморфной), причем в процессе интегриро-
интегрирования автоматически выделяется лишь ее компонента с правиль-
правильными свойствами однородности:
а...О (Ы)§а ()rf% F.10.8)
или
*А>...о'(Ю = 1£1у-§лА, ... nD,f(Za)d2n, F.10.9)
где
d?X = dl0 AdX{ = Y dXA A dXA,
j r F.10.10)
d?n = dn0' A d:iy' = -g- dnA' A dnA',
а интегралы вычисляются по двумерным контурам в подходя-
подходящем спиновом пространстве. Независимо от свойства однород-
однородности внешние производные подынтегральных выражений (при
ra=-const), очевидно, равны нулю, так что интегралы не изме-
изменяются при непрерывной деформации контура в области опреде-
определения функции f. Если f содержит компоненту с неправильной
степенью однородности, то соответствующий интеграл должен
обращаться в нуль, поскольку иначе замена Wa—>&Wa или Za->
—*■ kZ.a (k — константа) привела бы к умножению всей подынте-
подынтегральной функции (включая дифференциал) на некоторую не-
нетривиальную степень k, тогда как результат не может зависеть
от k. Только в случае функции f с правильными свойствами
однородности (и в случае интегралов по контурам допустимого
вида) формула F.10.8) согласуется с F.10.1), а формула
F.10.9)—с F.10.3). Действительно, если функция h(u, v) имеет
степень однородности, равную —2, то
н, выполняя интегрирование по и на основании теоремы Коши,
получаем
2nih A, £) d (-£) = 2тоА (и, v) (udv-v du).

ТВИСТОРЫ
175
Здесь предполагается, что контур обходит точку и = О, но, даже
если это условие не выполняется, результат не изменится, по-
поскольку все рассуждения можно провести так, чтобы и и v по-
поменялись местами (разумеется, точка и = v = 0 обязательно бу-
будет сингулярной точкой функции Л).
Квантование твисторов
Остановимся теперь на одном результате теории квантова-
квантования твисторов, который поможет прояснить роль твисторных
функций /, а также понять смысл определенного выбора их сте-
степени однородности. Как мы знаем, стандартная процедура по-
построения квантовой теории («первичное квантование») состоит
в том, что координаты ха и импульсы ра частиц заменяются опе-
операторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям
paxb-xbpa = itigab. F.10.11)
В координатном представлении волновая функция о|) (ха) есть
комплексная функция переменных ха, но не импульсов ра, при-
причем операторам ра сопоставляются операторы дифференциро-
дифференцирования:
Ра:*->»й-0-, F.10.12)
а операторам ха — обычное умножение:
ха:у^ха$. F.10.13)
В р-пространстве волновая функция будет комплексной функ-
функцией ijj(pa) переменных ра, но не координат ха, а представления
операторов ра и ха меняются ролями:
Ра '■ Ч> *-> Pa*. F.10.14)
х* : $ н_^ _ щ J±. F.10.15)
Какое бы из двух представлений ни использовалось, мы полу-
получаем теорию с коммутирующими величинами, если в качестве
переменных использовать только ха или только ра, но не то и
другое, а дополнительные переменные заменять дифференциаль-
дифференциальными операторами.
Аналогичная процедура квантования твисторов («первичное
квантование твисторов») состоит в том, что твисторы Za и Za
(или, что эквивалентно, Wa и Wa) считаются операторами,
удовлетворяющими коммутационным соотношениям
F.10.16)

176 ГЛАВА 6
в Та-представлении мы имеем волновую ф_ункцию /, которая за-
зависит от переменных Z" и не зависит от Za; отсутствие зависи-
зависимости от Za выражается равенством
df/dZa = O, F.10.17)
которое означает, что / — голоморфная функция переменной Z™.
Оператору Za сопоставляется оператор дифференцирования:
2в:/н->-А^., F.10.18)
а оператор Za сводится к обычному умножению:
Za:f*->Zaf. F.10.19)
в Та-представлении твисторы Z" и Za меняются ролями. Твистор-
ная волновая функция / будет теперь голоморфной по Za
(т. е. антиголоморфной по Za); или, обозначая Za через Wa,
а Za через Wa, можно сказать, что / — голоморфная функция
переменной Wa, причем для операторов Wa и Wa имеет место
представление
W/WJ F.10.20)
- F.10.21)
Как и прежде, теория будет содержать только коммутирующие
переменные, если одновременно не используются Za и Za или
Wa и Wa (т. е. если мы имеем дело с голоморфными твистор-
ными функциями и операциями), а сопряженные переменные
всегда заменяются дифференциальными операторами.
Формулы для перехода от твисторных к более привычным
пространственно-временным переменным даются выражениями
для импульса и момента импульса, приведенными в § 3. Для
системы, описываемой одним твистором, соответствующие соот-
соотношения даны в формуле F.3.2), причем масса покоя обяза-
обязательно равна нулю. Твисторные волновые функции — это по су-
существу функции /, входящие в интегралы F.10.8) и F.10.9)
[или F.10.1) и F.10.3)], которые в этом случае можно рас-
рассматривать как интегральные преобразования, описывающие пе-
переход к обычным волновым функциям в координатном пред-
представлении, т. е. к спинорным полям в пространстве-времени.
Спиральность
Квантовый оператор, отвечающий спиральности s, определен-
определенной формулами F.3.5) и F.3.6), с учетом некоммутативности

ТВИСТОРЫ 177
переменных записывается в виде
s = 4-(ZaZ« + ZaZa). F.10.22)
Отметим, что если твисторы Za и Za коммутируют, то мы воз-
возвращаемся к соотношению F.1.74). Учитывая, что из коммута-
коммутационных соотношений F.10.16) следует равенство ZaZa —
— ZaZa=4ft, находим, что в Та-представлении величина 5 изо-
изображается оператором
s : f-*-jft (z"^r+ 2У' F.10.23)
а в Та-представлении — оператором
)- F.10.24)
Таким образом, если мы хотим, чтобы волновая функция опи-
описывала состояние с определенной спиральностью, то нужно по-
потребовать, чтобы функция / (Za) была собственной функцией
оператора F.10.23), а / (Wa) — оператора F.10.24). Уравнения
на собственные значения по существу совпадают с эйлеровыми
условиями однородности; следовательно, в любом представлении
функции f должны быть однородными. Если выбрать степень
однородности функции /(Za) равной (—q— 2), а функции
f (Wa) — равной (—р — 2), то мы получим, что собственные зна-
значения спиральности будут равны соответственно
{й? и ~{~Пр. F.10.25)
Переходя к волновой функции ф в пространстве-времени,
мы с удовлетворением отмечаем, что значения F.10.25) в точ-
точности совпадают со значениями спиральности, которые мы при-
приписали безмассовым положительно-частотным полям с р не-
штрихованными и q штрихованными индексами в гл. 5, § 7
[см. текст после формулы E.7.3)], причем требование положи-
положительной частотности необходимо для того, чтобы волновая функ-
функция описывала физическую частицу (с положительной энергией).
Интегралы для спиральности противоположного знака
Недостатком данного описания волновой функции с помощью
твисторной функции является необходимость перехода от
Непредставления к Ta-представлению при изменении знака спи-
спиральности. Очевидно, что желательно иметь единое описание в
рамках одного из представлений. Как этого добиться, подска-
подсказывают условия квантования F.10.18) и F.10.21). Казалось бы,-

178 ГЛАВА 6
Та-представление волновой функции с положительной спираль-
ностью (р нештрихованных индексов) можно получить, выпол-
выполнив комплексное сопряжение в формуле F.10.3) или F.10.9) и
заменив f(Za) голоморфной функцией твистора Za, однородной
степени (р— 2), чтобы она удовлетворяла правильному уравне-
уравнению на собственные значения для оператора F.10.23). Однако
после комплексного сопряжения под интегралом возникает про-
произведение спиноров
nA...nD, F.10.26)
и, хотя присутствие такого множителя кажется естественным
(если мы хотим, чтобы в результате получался спинор <f>A D
с нештрихованными индексами), этот множитель нарушает го-
голоморфность подынтегральной функции. К тому же использовать
главную часть <лА твистора Za в точке О вместо па было бы
неправильно по ряду причин, главным образом потому, что по-
полученный спинор ф не удовлетворял бы уравнениям для без-
безмассового поля; нарушился бы и сам дух построения теории,
так как в силу координатной зависимости спинора а>д подынте-
подынтегральное выражение уже не было бы конформно-инвариантным.
Указанную трудность можно обойти, если (в соответствии
с идеей, высказанной Хьюстоном в 1973 г. [142, 251]) восполь-
воспользоваться соотношением F.10.18), из которого следует, что проек-
проекционной спинорной части сопоставляется оператор
А F.10.27)
Производя такую подстановку в формуле F.10.9) (и опуская
знаки и множители Й), мы получаем
, 2T—а---—w I v*- ) d'n- F.10.28)
BгоТ J Л» 3coD ' ч ' v
Достаточно воспользоваться соотношением F.10.6), чтобы пока-
показать, что определенное таким образом спинорное поле j>A D
удовлетворяет безмассовым уравнениям D.12.42). Интересно,
что соотношение F.10.6) [и аналогично F.10.5)] в известном
смысле неявно содержит рецепт квантования, поскольку опера-
оператор уа, стоящий в левой части, равен в сущности д/дха, т. е.
[в силу формулы F.10.12)] квантовому аналогу величины
—lh~xpa. Оператор ША'д/да>А в правой части равенства F.10.6)
в силу соответствия F.10.27) есть квантовый аналог величины
— Ш~1яа'Яа, что замечательно согласуется с формулой F.3.2).

ТВИСТОРЫ 179
По аналогии с F.10.28) легко написать интегральную фор-
формулу для безмассовых волновых функций с положительной спи-
ральностью в Та-представлении:
= 77^§-Г^--- TVf(Wa)rf2A, F.10.29)
Bт) J дц d\i
где \iA' — главная часть твистора Wa (в точке О).
Отметим, что операторы д/д(лА и д/дцА' зависят от выбора
начала координат, а операторы д/дпА' и д/дКА не зависят. Это
видно из того, что два последних оператора есть проекционные
части твисторных операторов d/dZa и d/dWa соответственно. Но
в этом можно убедиться и непосредственно, перейдя от перемен-
переменных (ол, лА', представляющих твистор Z06 в точке О, к паре но-
новых переменных йл, пА', представляющих Z05 по отношению к
другой точке Q[_Za -*->(Eл, ял')_|, положение которой определя-
определяется радиус-вектором qa, так что
~ А Л * А А* —' //? 1 С\ ОЛ\
со ^^ со — iq ял', Ял'=== Ял'. (o.iu.ouj
Легко убедиться, что (при постоянном qa) выполняются соот-
соотношения
•Аг = -^д-. -^—=-^- + iqAA'-^T, F.10.31)
да да длА, длА, да
т. е. зависимость от координат здесь та же, что и у спинорных
частей твистора Wa в формуле F.1.26). Тем самым мы убеж-
убеждаемся в правильной зависимости от координат спинорных ча-
частей оператора d/dZa, как это и должно быть в случае [°]-тви-
стора. Аналогично, если пара спиноров ХА, Дл' представляет тви-
твистор Wa в точке Q [Wa -*-> (кА, Дл')], имеем
ХА = хАу ДЛ' = рА' _[_ iqAA'xAi F.10.32)
так что
С 0 • я д / 0 0 0 //* t л о о \
—^г— = iqAA —-Т7 , _.; =—jr, F.10.33)
дХ ■ дХ. д\х д\х' д\х
т. е. мы получаем правильную зависимость от координат, отве-
отвечающую [g]-fBHCTOpy.
Рассмотрим теперь интеграл, который содержит оба типа ве-
величин: как ял', так и д/дюА. Мы определяем
F.10.34)

180 ГЛАВА 6
Уравнение, которому удовлетворяет симметричный спинор
имеет вид
или, что эквивалентно,
*АА'Фав...Рк'...р'=0, ^КК'Фа...рк'Ь'...р' = ^ F.10.36)
Уравнение F.10.36) в точности совпадает с уравнением E.10.9),
а потому, используя предложение E.10.10), находим, что-
Фа... fk'... р' (локально) есть просто не свернутая г-я производ-
производная свободного безмассового поля. Здесь r = min(«, v), если
спинор ^> имеет валентность [° °]. Безмассовое поле содер-
содержит \и — v\ индексов, штрихованных или нештрихованных в за-
зависимости от того, какое из двух неравенств имеет место: и <Cv
или и > v (при u = v имеем скалярное волновое поле). То, что-
выражение F.10.34) получается как результат повторного-
действия операторов V... (без свертки) на интеграл F.10.9) или
вторую строку выражения F.10.28), представляется очевидным.
Наш результат состоит в доказательстве того, что формула
F.10.34) дает общее аналитическое решение уравнения F.10.35)
(для симметричного спинорного поля ф ) при исходном пред-
предположении, что это справедливо для частных случаев интегра-
интегралов, стоящих во второй строке в формулах F.10.9) и F.10.28).
Повышение и понижение спиральности
Полученные представления в виде контурных интегралов по-
помогают также лучше понять некоторые из результатов § 4.
В частности, мы отмечали [после формулы F.4.21)], что бес-
следовый симметричный [£]-твистор
й:?=о, (б.ю.з7>
который полностью определяется своей главной частью
^a...dr ...т е (gW...d)(«'... л^ удовлетворяющей уравнению
„(М.Л ...О) п
V(M'A*'...r') = 0>
можно (разными способами) использовать для того, чтобы по-
повысить спиральность положительно-частотного безмассового
поля на величину A/2) (р — q)h (которая может быть отрица-
отрицательной). В Та-представлении для твисторной функции f эта
процедура сводится к замене
fK->TS:::fep... z^.-.-^rf (б.ю.зв)

ТВИСТОРЫ 181
(и аналогично для Та-представления). При этом степень одно-
однородности по Z™ возрастает на q — р, что согласуется с форму-
формулой F.10.23). Отметим также, что условие отсутствия следа
[второе равенство F.10.37)] означает, что порядок следования
операторов в формуле F.10.38) несуществен.
Можно также предложить формулы, аналогичные F.10.34),
которые позволяют непосредственно вычислить потенциалы, рас-
рассмотренные в § 4. Однако здесь мы их рассматривать не будем
(см. работы [82]).
Массивные твисторные волновые функции
Результаты, полученные в предыдущих параграфах, показы-
показывают, что твисторы позволяют построить элегантный формализм
для описания безмассовых полей — или волновых функций без-
безмассовых частиц. Естественно задаться вопросом, а нельзя ли
с помощью твисторов описывать и массивные частицы? Ответ
оказывается положительным. Идея основана на использовании
соотношений F.3.26), F.3.28), показывающих, как построить
массивный твистор углового момента общего вида из набора
одновалентных твисторов. Отсюда получаем формулу, обобщаю-
обобщающую представления F.10.8), F.10.9), F.10.28) B) и F.10.29) B):
= 1/BшТ §ХА ... ЯЕ'д/ду.1'... d/d<*Nf (Wa, ..., Za)d2XA ■.. Ad2n,
F.10.39)
содержащую, скажем, п твисторов Wa. ..., Za. Существует
много неэквивалентных способов расположения сомножителей
под знаком интеграла, а, кроме того, дифференцирование инте-
интегрального представления F.10.39) может дать много новых по-
полей, которые в отличие от F.10.34) не сводятся к производным
от более простых полей.
Значительный произвол в построении подобных выражений
можно связать с существованием /г-твисторной внутренней груп-
группы симметрии F.3.29), рассматривая ее действие на квантовых
твисторах. Полиномиальные выражения, построенные из генера-
генераторов этой группы, дают довольно хорошее приближение для
операторов наблюдаемых величин [251, 268—270а, 142, 143]. Од-
Однако построение интегральных представлений, которые, так же
как выражение F.10.1) и т. д., автоматически удовлетворяли бы
уравнению Шредингера — Клейна — Гордона E.10.20) или урав-
уравнениям Дирака E.10.15), E.10.35), E.10.36), оказывается непро-
непростой задачей. Мы не будем развивать эту тему далее и отсы-
отсылаем заинтересованного читателя к цитированной выше литера-
литературе (см. также [250, 134—137]).

182 ГЛАВА 6
Геометрия контурных интегралов
Вместо этого мы более тщательно исследуем случай безмас-
безмассовых полей. Ранее анализ носил чисто формальный характер.
Теперь же мы рассмотрим явный вид твисторных функций, а
также геометрию их сингулярностей. Геометрическая структура,
связанная с интегралами типа F.10.3) и первого выражения
F.10.28I), становится гораздо более прозрачной, если перейти
к проективному твисторному пространству РТ" (или РТР), т. е.
к пространству классов эквивалентности [gj-твисторов с отно-
отношением эквивалентности
Za = xZa O^xeC. F.10.40)
В качестве координат в РТ™ мы выбираем три независимых
комплексных отношения
Z^Z'iZ'iZ8. F.10.41)
Геометрия этого пространства и ее связь с геометрией простран-
пространства СМ будут подробно рассмотрены в гл. 9, § 3. Здесь же
нам будет достаточно утверждения, что всякая точка R в СМ
изображается в РТГ* комплексной проективной прямой R. Оно
следует из результатов § 2 [формула F.2.16)]. Точкам прямой R
отвечает семейство твисторов, инцидентных точке R в СМ.
Напомним, что интегралы F.10.3) и первый F.10.28) вычисля-
вычисляются вдоль одномерного контура в пространстве таких твисто-
твисторов. Фактически это контур в комплексном одномерном проек-
проективном пространстве, параметризованном координатами
яо-:я1' F.10.42)
и совпадающем с проективной прямой R. Напомним далее, что
пространство с координатами F.10.42) топологически эквива-
эквивалентно сфере S2— римановой сфере частных этого вида (см.
гл. 1, § 2). В гл. 1 мы видели, что для точки R действительного
пространства М это — небесная сфера наблюдателя в R, по-
поскольку ее точки находятся во взаимно-однозначном соответ-
') В теории твисторов имеются и другие типы контурных интегралов.
Особый интерес представляют те из них, в которых интегрирование выпол-
выполняется по всем твисторным переменным, а не только по я0, или nlf. Напри-
Например, при вычислении электрического заряда возникают интегралы вида \ fd^Z,
где / — однородная функция переменных Za степени —4; твистор А
можно представить в виде интеграла \ ZaZ^d4Z от функции /, однородной
степени —6. (Здесь d*Z = Z° Л dZ1 Л dZ2 Л dZ3.) Теория подобных выра-
выражений строится с помощью относительных когомологий пучков [17]. Их обоб-
обобщение на случай нескольких твисторных переменных приводит к теории тви-
твисторных диаграмм [265, 250, 319, 145, 81, ПО, 288, 137, 134—136].

ТВИСТОРЫ
183
ВПК
Рис. 6.11. Сингулярными множествами (полюсами) интегрируемой функции f
в пространстве РТ" являются плоскости А и В. Точке R пространства СМ
отвечает прямая R в РТа, имеющая топологию сферы S2. На S2 полюсам
А и В отвечают точки, разделенные контуром Г.
ствии с лучами, проходящими через R. Оказывается, что и точке
R комплексного пространства СМ в РТ* отвечает геометриче-
геометрическое место точек R с топологической (комплексно-аналитиче-
(комплексно-аналитической) структурой римановой сферы (рис. 6.11). Для вычисления
интегралов на римановой сфере следует определить контур Г,
который охватывает сингулярности функции f и, следовательно,
не может быть стянут в точку на сфере так, чтобы он не пере-
пересекал сингулярностеи функции f (в противном случае интеграл
должен быть равен нулю). Таким образом, очень важно изучить
геометрию сингулярностеи твисторных волновых функций.
Поясним ситуацию на простом примере (см. рис. 6.11). Рас-
Рассмотрим случай, когда спин равен нулю, и попробуем построить
решение волнового уравнения в М с помощью однородной тви-
сторной функции степени —2. Выберем
F.10.43)
Тогда в пространстве Т™ сингулярности функции f будут лежать
на двух гиперплоскостях, положение которых определяется урав-
уравнениями
AaZa = 0, F.10.44)
BaZa = 0. F.10.45)
В пространстве РТ™ этими уравнениями определяются две пло-
плоскости, которые мы обозначим через А и В. Предположим, что
эти плоскости различны (т. е. твисторы Аа и Ва не пропорцио-
пропорциональны друг другу) и прямая R не пересекается с пересечением
плоскостей. Тогда R пересекает А и В в двух разных точках,
которым на сфере R отвечают сингулярности функции f. Мы

184 ГЛАВА 6
выбираем контур Г так, чтобы он имел топологию окружности
S1 и разделял точки А П R и В f| R-
Вычислим контурный интеграл F.10.3) для рассматриваемой
функции f. Имеем
2тф (R) =
Фиксировав направление обхода, по теореме Коши получаем
J (а
л (
9 .1
с(Ь + е (— а/с)) ~ сЪ — ае
и, следовательно,
ф (R) = {еж (Adrcc' + Ас') (BDirDD' + BD')}~1 =
= 2 {ACBC (ra - qa) (ra - qa)y\ F.10.46)
где
"~ ■, F.10.47)
причем Ac, Ac', Bc, Bc'—главные спинорные части, из кото-
которых другие получаются (однозначно в данном случае) подня-
поднятием и опусканием индексов. [Можно сравнить выражение
F.10.47) с выражением F.2.15), с которым оно по существу
совпадает.]
Точке Q, положение которой определяется радиус-вектором
qa, в РТ' отвечает линия Q пересечения плоскостей А и В.
Контурный интеграл становится неопределенным [а поле <£(i?) —
бесконечным] только в том случае, когда R пересекается с Q,
а это означает (см. гл. 9, § 3), что точки R и Q разделены изо-
изотропным интервалом в СМ, т. е. точка /? лежит на световом ко-
конусе точки Q.
Положительно-частотные поля
Рассматривая вектор qa как комплексный с времениподобной
мнимой частью, мы можем добиться, чтобы выражение F.10.46)
было несингулярно при любых действительных значениях век-
вектора га. Если времениподобная мнимая часть вектора qa ориен-
ориентирована в будущее, то из утверждения, которое мы докажем
позднее [предложение (9.3.24)], следует, что Q принадлежит
подпространству РТ~ (пространства РТ*), которое получается

ТВИСТОРЫ 185
из пространства Т~ твисторов Za, удовлетворяющих неравен-
неравенству ZaZa < 0. (Аналогично мы определяем пространства
РТ+, Т+, РТ-, Т-, РТ+, Т+, например: WasT. при том и
только при том условии, что WaWa < 0, и т. д. Все пары про-
пространств Т+, Т+, РТ+, РТ+, -.. комплексно-сопряжены друг
другу.) В этом случае поле ф хорошо определено во всех точ-
точках /?, где вектор г" содержит времениподобную мнимую часть,
ориентированную в прошлое. [Поскольку в этом случае мы
имеем га — <7a = ua— ita, где иа и ta — действительные векторы,
причем t" — времениподобный вектор, ориентированный в буду-
будущее. Величина (/■" — qa) (ra — qa) может обращаться в нуль
только при условии, что taua = 0; но отсюда следует, что иа —
пространственноподобный вектор, а значит, Re{(ra— <7a)X
X{га — qa)}= иаиа — tHa < 0.]
Точки в СМ, радиус-векторы которых имеют времениподоб-
времениподобную мнимую часть, ориентированную в будущее, составляют об-
область, называемую трубкой будущего в СМ. Положительно-ча-
Положительно-частотные поля можно определить как поля, допускающие несин-
несингулярное голоморфное продолжение в эту область. (В гл. 5,
§ 7 у нас было другое определение положительно-частотного
поля, основанное на его фурье-разложении; можно показать, что
оба этих определения эквивалентны [18].) В соответствии с та-
таким определением поле ф будет положительно-частотным, если
Q сг РТ~. Трубке будущего в РТ* отвечают линии подпростран-
подпространства РТ+ (определенного выше), что тоже вытекает из пред-
предложения (9.3.24). С этой точки зрения ясно, что поле ф будет
несингулярным только при условии R сг РТ+ (и Q сг РТ~), так
как тогда точка R не может совпадать с точкой Q и интеграл
будет хорошо определен.
В твисторной теории необходимо определить понятие поло-
положительной частотности в приложении к твисторным волновым
функциям. Из выкладок F.10.43) — F.10.46) видно, что если
функция ф(Я) голоморфна в трубке будущего РТ+СРТ\ то
волновая функция / не может быть голоморфной на всем про-
пространстве Т+ (Из теории функций комплексной переменной сле-
следует [116, 89], что однородными функциями, голоморфными на
всем пространстве Т+ могут быть только полиномы по Z", а,
стало быть, степень однородности таких функций неотрицатель-
неотрицательна; и этот случай тривиален, так как соответствующие интегра-
интегралы равны нулю.) Рассмотренный пример показывает, что сле-
следует потребовать, чтобы сингулярности функции f располагались
в двух областях, которые пересекались бы всеми линиями про-
пространства РТ+, и тогда, как и на рис. 6.11, риманова сфера,
отвечающая прямой R, содержала бы сингулярности тоже в
двух раздельных областях, между которыми проходит контур

186
ГЛАВА в
РТ-
/у/у Область сингулярности
Рис. 6.12. Вид сингулярностей твисторной функции, которая дает положи-
положительно-частотное поле. Сингулярности в РТ имеют вид двух несвязных за-
замкнутых множеств.
интегрирования. Это замечание остается в силе, если мы рас-
рассматриваем поля, определенные на произвольных открытых
подмножествах °Ц пространства СМ. Точкам области <Ы отве-
отвечает семейство линий в РТ*, которое заполняет некую открытую
область 41 в РТ". Мы не требуем, чтобы соответствующая
твисторная функция была голоморфной на всей области 41; та-
такое требование было бы слишком жестким и не привело бы к
полезным результатам.
Имеется много твисторных функций с областями сингуляр-
сингулярностей, необходимыми для существования положительно-частот-
положительно-частотных полей. Например, можно воспользоваться прямым обобще-
обобщением формулы F.10.43)
f(ya) (CaZ")c(DaZ")
(AaZ«)a+1(BaZ«)
&+I
F.10.48)
Если Aa, Ba, Ca, Da линейно-независимы и А Л В сг РТ , то
эта функция дает положительно-частотные поля, называемые
элементарными состояниями. Их спиральность равна
b-c-d).
F.10.49)
причем а, Ь, с, d — неотрицательные целые числа. Выражения
для полей аналогичны выражению F.10.46), но более сложны.
Можно также взять сумму твисторных функций вида
F.10.48) с разными значениями Аа и Ва при условии, что А-син-
гулярности и В-сингулярности разделяются так, чтобы в РТ+
получались области требуемого вида. Дальнейшее обобщение
состоит в «суммировании» непрерывного семейства выражений
вида F.10.48) (т. е. в интегрировании по некоторым парамет-
параметрам), что возможно, если области зФ, 31, заполненные сингуляр-
ностями типа А и В, соответственно, не пересекаются в РТ+,

твисторы 187
В этом случае сингулярности на римановой сфере не обяза-
обязательно будут полюсами, но могут иметь вид протяженных замк-
замкнутых (непустых) областей на сфере (рис. 6.12).
Введение когомологий
Указанная выше процедура позволяет построить широкий
класс твисторных функций, дающих положительно-частотные
поля. Но в ней есть один недостаток: область сингулярностей
получающегося поля в СМ неоднозначно связана с областью
сингулярностей твисторной функции. Особенно ясно это видно
из рассмотренного выше примера поля со спином 0 [формула
F.10.43)]; поле ф в формуле F.10.46) остается неизменным,
если величины Аа и Ва заменить величинами
РАа + СгВа, ТДа.+ «Ва, F.10.50)
где р, а, т, хеС, рх — сгт=:1. Множества сингулярностей в
этом случае представляют собой две произвольные неколлинеар-
ные плоскости, проходящие через прямую Q. По существу мы
даже не обязаны ограничиваться выбором твисторной функции
в виде F.10.43). То же самое поле ф (в трубке будущего) мож-
можно получить, взяв твисторную функцию множества, сингуляр-
сингулярности которой в РТ+ вообще не являются плоскостями. Более
того, если взять разность двух твисторных функций, дающих
одно и то же поле, но таких, что множества их сингулярных
точек не пересекаются, то мы получим отличную от нуля тви-
твисторную функцию, которая дает нулевое поле. Отмеченной не-
неопределенностью несколько омрачается элегантность описания
безмассовых полей в рамках твисторного формализма. Но с дру-
другой (и более глубокой в математическом отношении) точки зре-
зрения эта неприятная особенность предстает как необходимый
атрибут весьма элегантного математического формализма, на-
называемого теорией когомологий пучков. С этой точки зрения
твисторная волновая функция должна рассматриваться не как
обычная функция, а как функция «второго порядка» (смысл
этого термина мы вскоре поясним). Функции такого типа, если
говорить специальными терминами, являются элементами «пер-
«первых групп когомологий пучков» и в дальнейшем называются
1-функциями в отличие от обычных функций, которые являются
элементами «нулевых групп когомологий пучков» и кратко на-
называются 0-функциями.
Чтобы развить требуемый формализм, рассмотрим еще раз
ситуацию, изображенную на рис. 6.12 (или на рис. 6.11). Здесь
мы имеем дело с пространством РТ+, поскольку именно оно
отвечает трубке будущего в СМ, т. е. области, в которую голо-
голоморфно продолжается обычная одночастичная волновая функ-

188 ГЛАВА 6
ция в координатном представлении. Напомним, что мы услови-
условились рассматривать функции/с сингулярностями, сосредоточен-
сосредоточенными в двух несвязных замкнутых подмножествах пространства
РТ+, которые в дальнейшем мы будем обозначать через s4- и &.
Но более целесообразно говорить не об областях сингулярности
функции f, а об области ее голоморфности. Этому соответствует
удобная запись
«ПЭГ, F.10.51)
причем
<М=РТ+-е£, Г = РТ+-;Я. F.10.52)
Отметим, что
РТ+ = <МиГ F.10.53)
и, следовательно, множества 41 и У образуют открытое покры-
покрытие пространства РТ+.
Если рассматривать только функции, определенные на мно-
множестве 11П V фиксированного вида, так, как это мы делали для
твисторных волновых функций (когда при переходе к полям в
пространстве-времени для каждой прямой R в интеграле можно
было задавать фиксированный контур независимо от вида функ-
функции), то нам вновь придется столкнуться с трудностями. Напри-
Например, некоторые из функций рассматриваемого типа при интегри-
интегрировании всегда дают нуль; это те функции, которые голоморфно
продолжаются на всю область 41 или область У* (поскольку в
этом случае контур можно стянуть в точку с одной из сторон
римановой сферы), а также любая линейная комбинация таких
функций с постоянными коэффициентами. Простой пример та-
такого рода, когда области <*/t и 3S имеют вид плоскостей, пока-
показанных на рис. 6.11, дает функция
<6-10-54'
Каждое из слагаемых имеет только одну сингулярность на ри-
римановой сфере, так что в каждом из интегралов контур может
быть стянут в точку, и в результате получаем нуль. Другим при-
примером может служить разность функции F.10.43) и твисторной
функции, которая получается из нее путем замены Аа и Ва вы-
выражениями F.10.50). В самом деле, при рх — ох = 1 выпол-
выполняется тождество
~АВ ~ (рА + а В) (хА + V.B) = А (рА + а В) + В (хА + хВ) ' F-10-55)
где в нашем случае нужно положить А = AaZa, В = BaZa. Мы
определяем область &£ как объединение двух плоскостей
AaZa = 0 и (pAa + crBa) Za = 0 и аналогично определяем об-

твисторы 189
ласть 3&. (Следует положить р=^=0=ф-л, чтобы объединение
4l\jy действительно покрывало РТ+.) Первое слагаемое в
правой части равенства F.10.55) голоморфно на 41, а второе на
У, и поэтому при интегрировании опять получается нуль. Та-
Таким образом, твисторные функции на пересечении ^f)y нельзя
однозначно сопоставить волновым функциям1).
Понятие 1-функции
Отсюда следует, что нужно рассматривать не просто функ-
функции на 41 П У, но функции 41 П У по модулю функций, голо-
голоморфных на 41 или на У. Другими словами, две функции на
Ч1(~[У будут считаться эквивалентными, если они различаются
суммой функций, которые допускают голоморфное продолжение
либо на 41, либо на У . (Суть этого отношения эквивалентности
в том, что интеграл от разности эквивалентных в таком смысле
функций очевидным образом обращается в нуль в силу стяги-
стягиваемости контура.) Например, функция, определенная соотно-
соотношением F.10.54), эквивалентна нулю. Указанные классы экви-
эквивалентности функций образуют первую группу когомологий
голоморфных пучков по отношению к покрытию {°U, У} про-
пространства РТ+. Такие классы эквивалентности мы будем назы-
называть 1-функциями по отношению к покрытию {Ш, У}. При этом
обычные функции мы будем называть 0-функциями.
Мы сразу же вынуждены распространить определение
1-функций на более сложные покрытия РТ+, а затем и вовсе
устранить зависимость от специального выбора покрытия. Ведь
даже простейшая задача сложения 1-функций, определенных на
разных парах покрытий {41, У}, приводит к рассмотрению
1-функций на общем подпокрытии [см. далее формулу F.10.62)]
этих покрытий. Поэтому мы будем рассматривать открытые по-
покрытия пространства РТ+ общего вида (открытыми множест-
множествами) с дополнительным ограничением локальной конечности
покрытий, которое означает, что всякая точка принадлежит ко-
конечному числу покрывающих множеств. (Отметим, что неком-
некомпактные множества, такие, как РТ+, допускают локально-конеч-
локально-конечные покрытия, содержащие бесконечное число множеств.) На
рис. 6.13 показано покрытие пространства РТ+, состоящее из
большого (и. даже, может быть, бесконечно большого) числа
') При рассмотрении функций на так фиксированном покрытии воз«
никают и другие трудности. Например, каков бы ни был выбор этого покры-
покрытия всегда будут существовать волновые функции, которые невозможно по-
получить при таком выборе. Кроме того, класс волновых функций, которые
можно получить при заданном выборе покрытия, не будет конформно (или
Пуанкаре-) инвариантным. Все эти трудности отпадают в теории когомоло-
когомологий пучков.

190
ГЛАВА 6
Рис. 6.13. Покрытие пространства РТ , имеющее вид большого числа (кото-
(которое может быть бесконечно большим) открытых множеств, образующих
локально-конечную систему. Интегрирование проводится по разветвленному
контуру.
открытых множеств U^ Для такого покрытия потребуется вве-
ввести целое семейство {/*/} голоморфных функций, определенных
на пересечениях пар открытых множеств из этого набора:
ftUj. F.10.56)
Функция f{j определена на пересечении
Далее, прямая R, будучи компактным множеством, пересекает
локально-конечную систему только по конечному числу мно-
множеств 11, так что лишь конечное число функций /у имеет непу-
непустое ограничение на R. Мы должны теперь обобщить интеграль-
интегральные формулы так, чтобы они были пригодны в рассматривае-
рассматриваемой ситуациии. Наглядное представление об этой процедуре
можно получить из рис. 6.13: мы переходим к интегралу по раз-
разветвленному контуру в виде сетки из отдельных ориентирован-
ориентированных отрезков. Каждый отрезок принадлежит пересечению двух
множеств покрытия, и соответствующий интеграл вычисляется
от функции вида F.10.56). Каждый отрезок начинается и окан-
оканчивается вершиной (если он не является замкнутой петлей), ле-
лежащей на пересечении трех множеств 11, каждая вершина при-
принадлежит трем и только трем отрезкам, а каждый отрезок —
двум из трех указанных множеств. В силу свойств контурных
интегралов результат интегрирования не изменится, если любой
из отрезков деформировать непрерывно на заданном пересече-
пересечении пары множеств 41 при условии, что конечные точки оста-
остаются неподвижными (если все пересечения имеют евклидову
топологию, то слово «непрерывно» можно опустить).
Чтобы рассматриваемый интеграл был определен однозначно,
следует ввести два дополнительных требования к семейству
функций fa. Во-первых, поскольку интеграл вдоль данного от-
отрезка можно вычислять в любом направлении, вклад в полный
интеграл оказывается неопределенным и зависящим от этого
выбора. Чтобы устранить эту неопределенность, будем считать,
что знак функции изменяется, когда изменяется направление

ТВИСТОРЫ
191
Рис. 6.14. При интегрировании функции fr, направление контура выбирается
так, птобы множество lit оставалось слева, а множество 'Ы; — справа. При
интегрировании функции fit = —fц направление контура изменяется на об-
обратное, так что результат не изменяется.
Рис. 6.15. Благодаря свойству коцнкличности F.10.58) интеграл не изменяет-
изменяется, если вершину, в которой сходятся три отрезка контура, непрерывно сме-
смещать на пересечении IIWHU IC
контура интегрирования. Это правило удобно записать, обозна-
обозначая функцию fa, взятую с обратным знаком, через fji:
fi, = -fi,- F.10.57)
Правило выбора функции, отвечающей заданному направлению
интегрирования, проиллюстрировано на рис. 6.14.
Второе требование к семейству функций fif должно избавить
нас от необходимости располагать вершины на пересечении
тройки множеств 41 неподвижно. Как видно из рис. 6.15, для
этого нужно потребовать, чтобы функции на пересечении
^i П *М/ П Ilk удовлетворяли условию
/*/-/« + //* = 0. F.10.58)

192 ГЛАВА 6
Всякое семейство функций fa, определенных на пересечениях
<U{ Л11/ пар открытых множеств открытого покрытия {Ч1{},
удовлетворяющее условиям F.10.57) и F.10.58), называется
1-коциклом по отношению к данному покрытию. Хотя мы ввели
коциклы в связи с контурными интегралами, это — более широ-
широкое понятие, которое возникает во многих математических по-
построениях, не связанных с интегралами. Нам также потребуется
ввести понятие 1-кограницы и определить факторпространство
1-коциклов по 1-кограницам. (Это приводит к обобщению ранее
приведенного определения 1-функций на случай покрытия, со-
состоящего только из двух множеств. Итак, 1-кограницей некото-
некоторого семейства функций (в данном контексте голоморфных) бу-
будем называть 1-коцикл, который можно представить в виде
fu = ht-h,, F.10.59)
где
функция hi определена на Я1{, F.10.60)
причем в соотношение F.10.59) входят ограничения функций hi
и h,- на пересечение Ilifitlj. Очевидно, что 1-кограница удов-
удовлетворяет условиям 1-коцикла F.10.57) и F.10.58).
Определим теперь 1-функцию (или элемент первой группы
когомологий) по отношению к выбранному покрытию как класс
эквивалентности 1-коциклов. Два коцикла считаются эквива-
эквивалентными, если их разность есть 1-кограница (всюду подразу-
подразумевается, что фиксировано определенное покрытие {lit}. Выго-
Выгоды такого перехода к факторпространству 1-коциклов можно
понять, возвращаясь к задаче вычисления контурных интегра-
интегралов. Из рис. 6.16 интуитивно ясно (в предположении евклидовой
топологии всех множеств °Ui), что интеграл от (голоморфной)
1-кограницы равен нулю.
Ранее мы упоминали, что переход к рассмотрению более
сложных покрытий РТ+ (чем покрытие, образованное только
двумя множествами 41 и У) отчасти обусловлен желанием
иметь возможность складывать 1-функции, определенные по от-
отношению к различным покрытиям. Сейчас мы уже достаточно
подготовлены, чтобы рассмотреть этот вопрос. Для удобства
обозначим ограничение функции Ft.,.k, определенной на пере-
пересечении <Ut П ... Г\<ик, на подмножество %{] ... Л <Мь Л #i Л •••
... П ип через
Fl...k\l...a {=Fi...k\t ...»))• F.10.61)
Пусть теперь ftj и g?j — два коцикла, определенные по отно-
отношению к покрытиям {<Иг} и {У-;}, соответственно, на РТ+. Опре-
Определим покрытие {W/}, которое назовем общим подпокрытием

ТВИСТОРЫ 1ЭЗ
Рис. 6.16. Когда выполняется условие кограницы, интеграл сводится к интег-
интегралу по набору стягиваемых замкнутых контуров и оказывается равным
нулю.
покрытий {<KJ и {У?}:
**! = Жи = % П Тъ F.10.62)
где / — собирательный индекс, заменяющий два независимых
индекса /, ?. (Аналогично мы будем обозначать через / пару
индексов /, / и т. д.). Введем также обозначения
Легко видеть, что после перехода к подпокрытию кограница
остается кограницей, а также выполняются условия коцикла
F.10.57) и F.10.58) для функций в F.10.63) (роль обычных
индексов будут играть собирательные индексы). Однако может
случиться так, что новые кограницы, возникающие в подпокры-
подпокрытии, приведут к такому расширению классов эквивалентности,
что 1-функции, отличные от нуля в исходных покрытиях, ока-
окажутся равными нулю в подпокрытии. Относя 1-функции к под-
подпокрытию, мы можем их складывать: сумме величин fif и g-^j
отвечает сумма /// + gu. Поскольку некоторые из 1-функций мо-
могут обращаться в нуль при переходе к подпокрытию, можно
определить 1-фунщию на всем пространстве (в данном случае
на пространстве РТ+), не зависящую от выбора покрытия, как
прямой предел при переходе ко все более тонкому покрытию.
(Проще говоря, это означает, что всякую 1-функцию можно
представить с помощью 1-коцикла на некотором покрытии, но

194 ГЛАВА 6
чтобы выяснить, определяют ли два коцикла, взятые в одном
и том же или в различных покрытиях, одну и ту же 1-функцию,
нам, быть может, придется обратиться к подпокрытию этого по-
покрытия.) Подводя итог всему изложенному, с учетом данного
определения1) можно сказать, что твисторная волновая функ-
функция безмассовой частицы в состоянии с определенной спираль-
ностью есть голоморфная однородная l-функция в простран-
пространстве Т+.
r-Функции общего вида
Полный анализ следствий рассматриваемого формализма за-
завел бы нас слишком далеко. Отметим только, что он связан с
мощной математической техникой: имеется много глубоких ма-
математических результатов, которые можно привлечь для изуче-
изучения когомологий этого типа (когомологий пучков). Существует
исчисление r-функций (или элементов r-х групп когомологий)
[116, 54], в котором определены операция сложения, операция
умножения, а также понятие интеграла. Теория твисторов пока-
показывает, что такое исчисление должно иметь важное значение
при исследовании природы квантовых частиц. Поэтому мы хотя
бы вкратце остановимся на определении г-функций.
Такие функции можно определить на комплексном многооб-
многообразии Q общего вида и даже на всяком паракомпактном хаус-
дорфовом топологическом пространстве. Но поскольку для нас
важны лишь голоморфные функции2), этот последний случай мы
рассматривать не будем. Пусть {<%}—локально-конечное по-
покрытие многообразия Q. Для всякого неотрицательного целого г
определим r-коцепь (Чеха) по отношению к {%} как набор го-
голоморфных функций fft Л, удовлетворяющих условиям:
f. { определена на Ш1 Л ••• П%, F.10.64)
/*...* = /[!...«• FЛ0-65)
') Существуют и другие определения 1-функций, например, с помощью
когомологий Дольбо [208, 364]. С этих позиций теория твисторов строится
в работе [379].
2) В более общем случае рассматривают когомологий произвольных
пучков, а ие только пучков голоморфных функций. Хотя бы кратко укажем,
что кроется под термином «пучок» в общем случае. В принципе исходят из
понятия «функции» (которая не обязательно должна быть обычной функцией
точки, но тем не менее определяется локально) на любом открытом множе-
множестве пространства Q. Для иее должно быть определено понятие ограничения
на любое открытое подмножество. Для всякого покрытия {<Ui\ множества
Q должны выполняться следующие два условия: из равенства fk ^ ly-j = 0 сле-
следует равенство fki = gk]t при некотором gt, а если fk\t = gk]t при всех i, то
f* = gt.

ТВИСТОРЫ 195
Эта г-коцепь будет r-коциклом, если дополнительно
/[,-... *1Ч — 0. F.10.66)
Здесь вертикальной черточкой обозначено ограничение в том же
смысле, что и в F.10.61), а квадратными скобками —обычная
антисимметризация. Очевидно, что частным случаем равенства
F.10.66) является равенство F.10.58), так как более строгая
его запись имеет вид: fij\k — /*а|/ + //а|* = 0; очевидно также,
что равенство F.10.57) есть частный случай равенства F.10.65).
Некоторую r-кограницу в покрытии {<%} можно следующим об-
образом выразить через г-коцикл:
для некоторой голоморфной (г— 1)-коцепи {й*.../}. Ранее рас-
рассматривавшееся равенство F.10.59)—частный случай этого об-
общего соотношения (умноженного на 2). Такие же рассуждения,
как и при доказательстве тождества d2 — 0 в формуле D.3.17)
(d— оператор внешней производной), показывают, что всякая
r-кограница есть в действительности r-коцикл. В самом деле,
если определить пограничный оператор б1) как отображающий
(г—1)-коцепь h в г-коцепь / по формуле F.10.67), то мы по-
получим
62=0, т. е. V../I«i = 0' F.10.68)
так как порядок, в котором вычисляется ограничение функции,
очевидно, несуществен [формула F.10.61)].
Теперь можно определить r-функцию в данном покрытии
{<%■} как r-коцикл по модулю r-кограниц. Тогда (голоморфная)
r-функция на пространстве Q получается как прямой предел
r-функции в покрытии аналогично случаю 1-функции. При таком
определении 0-функции действительно оказываются обычными
голоморфными функциями.
Разумеется, вычисление прямого предела составляет опреде-
определенную сложность, однако существуют теоремы [116, 111, 130],
из которых следует, что в (данном) случае когомологий голо-
голоморфных пучков на самом деле нет необходимости переходить
к пределу, если выбрать подходящие множества <%, а именно
«голоморфно выпуклые» (или, более строго, «многообразия
Штейна» [119]).
Если принять, что в твисторной теории волновые функции
отдельных безмассовых частиц должны быть голоморфными
1-функциями на Т+ (или Т+). то естественно будет сделать вы-
вывод, что квантовое состояние системы п безмассовых частиц при
твисторном подходе должно описываться я-функцией, определен-
') Наше определение отличается от общепринятого простым множителем.
Обозначения, которыми мы здесь пользуемся, были предложены Хьюстоном.

196 ГЛАВА 6
ной на соответствующей области пространства, равного произ-
произведению л твисторных пространств, т. е. л-функцией л твистор-
ных переменных. В самом деле, мы можем определить произве-
произведение /--функции на s-функцию так («чашечное произведение»),
чтобы оно было равно (г + х)-функции [116]. Тогда, перемно-
перемножив 1-функции, описывающие состояния отдельных частиц (и
образовав их линейные комбинации), мы получим упомянутую
л-функцию, описывающую состояние системы частиц. Пока что
не ясно, как построить твисторные функции, которые описывали
бы массивные частицы. Можно думать, что они тоже должны
быть какого-то рода r-функциями нескольких твисторных пере-
переменных, и очень притягательна мысль, что отдельная массивная
частица должна описываться твисторной 1-функцией. Тогда опи-
описание систем массивных частиц четко отличалось бы на уровне
когомологий от описания систем безмассовых частиц и можно
было бы думать, что вообще л-частичная твисторная волновая
функция должна быть л-функцией.
Нелинейные 1-функции
Есть и еще одна причина, чтобы приписывать 1-функции осо-
особую роль, аналогичную роли отдельной частицы. Это связано
со способом включения взаимодействия. Напомним, что 1-функ-
1-функция есть семейство обычных функций, определенных на пересе-
пересечениях открытых множеств и удовлетворяющих некоему условию
совместности [условию коцикличности F.10.58)] на пересече-
пересечениях троек множеств. Это напоминает введение координат на
многообразии с помощью координатных окрестностей: на пере-
пересечении каждой пары окрестностей определены функции пере-
перехода, задающие переход от одной координатной системы к дру-
другой, причем на пересечении трех множеств эти функции должны
удовлетворять некоторым условиям совместности. Кроме того,
если нас интересуют лишь внутренние свойства многообразия,
то можно произвольно менять координаты в каждой окрест-
окрестности. Этот дополнительный произвол аналогичен произволу до-
добавления кограницы вида F.10.59), причем функции л* [фор-
[формула F.10.60)] аналогичны функциям перехода к новым коор-
координатам. Основное различие же состоит в том, что соотношения
F.10.58) и F.10.59) линейны, тогда как соотношения между
функциями перехода, вообще говоря, нелинейны.
Здесь мы имеем не просто внешнюю аналогию. Рассмотрим
вместо склеивания многообразия из открытых множеств лишь
инфинитезимальную деформацию заданного (комплексного) мно-
многообразия Q. Мы разделяем многообразие Q на систему исход-
исходных открытых множеств {<%}, а затем вновь склеиваем их не-
несколько по-другому. Если новая склейка мало отличается от ис-

твясторы 197
Рис. 6.17. Деформация комплексного многообразия Q.
ходной, то относительное смещение можно представить вектор-
векторным полем, определенным на пересечении каждой пары окрест-
окрестностей, и в этом случае условия совместности для векторного
поля на пересечении трех окрестностей в точности совпадают
с равенством F.10.58) (рис. 6.17). Условие же тривиальности
деформации, т. е. условие того, что деформированное многооб-
многообразие эквивалентно исходному в принятом здесь смысле, совпа-
совпадает с условием F.10.59) (записанным для векторных полей).
Мы видим, что деформации описываются голоморфными 1-функ-
1-функциями или, точнее, векторными полями i-функций.
Итак, в определенных ситуациях 1-функции можно рассма-
рассматривать как отвечающие линеаризованным деформациям, имею-
имеющим, быть может, смысл приближения к точной теории, описы-
описывающей нелинейные деформации. В теории твисторов существует
точка зрения, согласно которой взаимодействия следует тракто-
трактовать в терминах деформаций, по отношению к которым 1-функ-
ции свободных частиц играют роль линейного приближения.
Поскольку взаимодействие вводится между отдельными части-
частицами, а не системами частиц, можно предположить, что основ-
основную роль в такой теории должны играть 1-функции.
Действительно, эта точка зрения получает определенную под-
поддержку (хотя перспективы пока не ясны) при анализе следую-
следующих двух примеров. Пространство Т* твисторных 1-функций,
однородных степени -\-2, описывает частицы со спиральностью
— 2й (гравитоны), и соответствующие контурные интегралы
дают волновые функции фАвсо, удовлетворяющие линеаризован-
линеаризованным уравнениям Эйнштейна для антисамодуального случая.

198 ГЛАВА 6
Оказывается, что с помощью этих функций можно описывать
линеаризованные деформации областей в Т", которые экспонен-
цируются до конечных деформаций. Отсюда получаем в про-
пространстве-времени (хотя и в неявном виде) общие решения не-
нелинейных уравнений Эйнштейна с антисамодуальным тензором
кривизны Вейля (т. е. правоплоские комплексные многообразия
пространства-времени, см. с. 159), а также работу [252]). Анало-
Аналогично, рассматривая деформации областей в Т., можно полу-
получить решения с самодуальным1) тензором Вейля (леволлоские).
Конструкция Уорда
Другой хороший пример того же явления — конструкция Уор-
Уорда [357] общих антисамодуальных (или самодуальных) решений
полевых уравнений Янга—Миллса. Напомним, что антисамо-
дуальному полю Янга — Миллса отвечает связность Va в рас-
расслоении, антисамодуальная часть кривизны которой равна нулю.
Уравнения Янга — Миллса в этом случае будут следствиями
тождества Бианки для этого поля [формулы ( 5.5.35) — E.5.50)
и далее]. В обозначениях E.5.37), E.5.49) данное требование к
кривизне может быть записано в виде %А.В>^ = 0, т. е. [в силу
второго равенства E.5.40)] в виде уравнения
nA,B,nw = 0 F.10.69)
для любого заряженного поля Янга — Миллса ц^ (как обычно,
^а'В'==^а(А'^в'))-^ы считаем что поле ^ в каждой точке при-
принадлежит конечномерному комплексному векторному простран-
пространству yw, а векторное расслоение Янга — Миллса 38 голоморфно
в рассматриваемой области пространства СМ. Условие F.10.69)
можно переписать, пользуясь скобками Ли [формула D.3.26) ],
в виде
nByB'i\\iv='O F.10.70)
•) В соответствии с общими принципами твисторной программы можно
пытаться построить нелинейный аналог 1-функций, однородных степени —б,
в пространстве Т* (вместо функций в Т. степени +2). Этой гипотетической
и пока что мало разработанной конструкции сопоставляют частицу, которую
называют гугли-гравитоном, пользуясь термином googly игроков в крикет
[254, 255, 257, 177]. Можно надеяться, что будет найден комбинированный
формализм, который позволит получать общие (а не только самодуальные
или антисамодуальные) решения. Другой подход основан на понятии «амби-
«амбитвисторов». Элементами стандартного плоского (проективного) пространства
амбитвисторов являются пары проективных тзисторов Za, Wa, удовлетворяю-
удовлетворяющих дополнительному условию ZaWa = 0 (гравитационное поле рассматри-
рассматривалось в работах [250, 180, 182], а поле Янга — Миллса — в работах [151,
373, 80]; см. также [202, 108]).

ТВИСТОРЫ 199
(компоненты отнесены к неподвижной спиновой системе отсчета)
при всех значениях Ял'е Зл'. Далее, а-плоскость в СМ есть изо-
изотропная комплексная 2-поверхность, в каждой точке которой
касательная плоскость натянута на векторы оАпА' и \.АпА', отве-
отвечающие некоторому фиксированному значению паг (см. с. 81 и
гл. 9, § 3). Уравнение F.10.70) показывает, что связность
Янга — Миллса интегрируема на всякой а-плоскости. Следова-
Следовательно, заряженные поля Янга—Миллса, определенные в не-
непустой связной односвязной области на а-плоскости, глобально
параллелизуемы. Поскольку каждой а-плоскости Z отвечает
единственная точка Z пространства РТ* (см. с. 81, гл. 9, § 3
и таблицу (9.3.22)], множество постоянных заряженных полей
Янга — Миллса \№, постоянных на Z, образует векторное про-
пространство, которое можно рассматривать как слой над точкой
Z ^ РТ". Этот слой изоморфен исходному векторному простран-
пространству Vх?, совпадающему со слоем расслоения &. Те а-плоскости
(или куски а-плоскостей), на которых выполняется условие гло-
глобальной параллелизуемости, образуют подмножество tf прост-
пространства РТ*, с каждой точкой которого связана копия исходного
векторного пространства Янга — Миллса У^. Таким образом,
мы имеем ^"'-расслоение <& над tf с: РТ*. Это расслоение будет
голоморфным по построению.
Менее очевидным представляется то обстоятельство, что
связность Янга — Миллса Va, а вместе с ней и кривизна Янга —
Миллса РаЬф^ полностью определяется условием голоморфности
расслоения 9" над tf. Несмотря на то что на Я£ введения связ-
связности не требуется, информация об исходном расслоении Jf и его
янг-миллсовой связности Va содержится в структуре W. Чтобы
объяснить в общих чертах, почему это становится возможным,
начнем с того, что с помощью & можно восстановить J? (над
некой областью в пространстве СМ, которая не обязательно сов-
совпадает с базой исходного расслоения J?). Каждой точке R е СМ
соответствует проективная прямая R в РТ", и, если R с: tf,
исходное голоморфное расслоение W индуцирует над R расслое-
расслоение 'S'r. Это расслоение обладает тем свойством, что оно допу-
допускает лишь постоянные голоморфные сечения. (Это следует из
общей теории голоморфных векторных расслоений [54, 118],
если для расслоения Фц выполняются определенные условия
«стабильности», как в общем, «генерическом», случае, так, следо-
следовательно, и тогда, когда <& получено из заданного расслоения 3$,
как в нашем случае.) Этими постоянными сечениями опреде-
определяется векторное пространство, играющее роль слоя над точкой
JR е СМ в расслоении <S'. Чтобы показать, что в этой конструк-
конструкции неявно содержится информация о связности на <$, рассмот-
рассмотрим семейство линий R cz tf cz РТ*, проходящих через фикси-
фиксированную точку Zef/' (рис. 6.18). Поскольку слой над Z бу-

200
СлойнаВТ.
ГЛАВА в
Слой над R
В еилу голоморфной
структуры 3 —
только постоянные
сечения
Постоянное
\сечение Над
/d~ плоскостью,
использующее
Связность ЯМ,
интегрируемая на
с(-плоскости
Рис. 6.18. Конструкция Уорда в случае (анти-) самодуальных полей Янга —
Миллса.
дет общим для всех расслоений 9^, индуцированных над различ-
различными линиями R из Я?, переход от одного постоянного сечения
к другому задается отображениями слоя над Z на себя. Таким
образом возникает естественный изоморфизм между всеми слоя-
слоями над а-плоскостью, т. е. мы имеем глобальный параллелизм
для поля \iw на а-плоскости. Это дает связность Va, ограничен-
ограниченную на а-плоскость, а рассматривая затем совокупность всех
а-плоскостей, мы получаем связность \а на всем пространстве
(которая, разумеется, уже не обязательно будет глобально-ин-
глобально-интегрируемой). Этим завершается доказательство утверждения о
том, что связность Янга — Миллса Va полностью определяется
условием голоморфности расслоения <ё>.
Поскольку расслоение <<Р не требует введения связности, роль
функций склейки в нем могут играть произвольные голоморф-
голоморфные функции, определенные в соответствующих областях. [Ра-
[Разумеется, если группой Янга — Миллса будет GL(n, ;C); в про-
противном же случае следует доопределить генерические элементы
группы Янга — Миллса как решения некоторых алгебраических,
но не дифференциальных уравнений.] Склейка осуществляется
(так же как в гл. 5, § 4) заданием функций перехода между
областями пространства расслоения, лежащими над множества-
множествами <Ui, образующими некоторое (локально-конечное) открытое
покрытие множества1?/". Если группа абелева (как в случае элек-
электромагнетизма), то условия склейки будут линейными и, следо-
следовательно, могут описываться некоторой 1-функцией. В неабеле-
вом же случае получаем пример функций склейки, которые
могут рассматриваться как нелинейные обобщения 1-функций,
обсуждавшихся выше.

ТВИСТОРЫ 201
Пример конструкции Уорда
В заключение мы несколько подробнее остановимся на том,
как осуществляется конструкция Уорда. В качестве группы
Янга — Миллса & будем рассматривать группу комплексных
матриц [2?cz GL(n, С)]. Чтобы построить %?, выберем подходя-
подходящее покрытие {lit} подпространства 1&. На пересечении каждой
пары окрестностей <Ul Г) 11/ зададим п X я-матрицу F*/ твистор-
ных функций, однородных степени 0 и таких, что
Fi;(Za)cz£, F.10.71)
Fw = F,r!. F.10.72)
причем на пересечении трех окрестностей выполняются условия
Fj/F/fc — ^ik (нет суммирования). F.10.73)
[Строго говоря, уравнение F.10.73) должно быть записано в
виде (Ff/jft) (F/A|*) == Fifej/, и то же самое относится к некоторым
формулам ниже. Кроме того, в обозначениях гл. 5, § 4 следовало
бы записывать матрицу F*/ как Fj/e4'. но мы для упрощения
записи придаем корневой букве матричный смысл, а индексы
Янга — Миллса опускаем. Поскольку мы рассматриваем кон-
конкретную конструкцию, эти индексы принимают численные значе-
значения.] [Уравнения F.10.72) и F.10.73)—нелинейные аналоги
уравнений F.10.57) и F.10.58).]
Напишем теперь
G/* (г*, я#) = Fjk {irAA'nv, лА'). F.10.74)
Из общей теории следует, что (если выполняется условие «ста-
«стабильности», упомянутое выше) матрицу Ojk всегда можно «рас-
«расщепить» следующим образом:
Gik(r°, ялг)= H;(ra, nA')[Hk(ra, яА')Г\ F.10.75)
где матрица Н,- е § будет однородной функцией переменной я а
степени 0 и при заданной линии R определяется на пересечении
<Uj П R. [Это нелинейный аналог условия типа F.10.59), при
котором коцикл является кограницей.] На практике построение
расщепления F.10.75) может оказаться очень сложной задачей;
в этом смысле данная конструкция Уорда на самом деле не
«явная». Расщепление выполняется неоднозначно, с точностью
до «калибровочного преобразования»
Н; (г*, яд-) ^ Ну (г*, яА') А (г"), F.10.76)
где Ае? есть голоморфная функция переменной га.

202 ГЛАВА 6
В силу соотношения F.10.74) [формула F.10.6)] оператор
tca'Vaa' дает нуль при действии на G;*.. Действуя этим опера-
оператором на соотношение F.10.75), получаем на пересечении каж-
каждой пары окрестностей равенство
/= Щ'я^ад'Нй (по /, k нет суммирования).
F.10.77)
Это равенство можно рассматривать как условие согласования
на пересечении /-й и k-й окрестностей для (@л-значной) матрицы
&а, которая при любых фиксированных значениях вектора га бу-
будет голоморфной и однородной функцией переменной ла' сте-
степени 1. Используя условия согласования на пересечениях всех
пар открытых множеств (окрестностей) вида 4tt Г) R, продол-
продолжаем вл до глобальной функции ztA> (так как га имеет смысл
радиус-вектора точки R, образ которой — прямая R в РТ — пол-
полностью принадлежит рассматриваемой области W). Отсюда сле-
следует равенство
вл (г*, пА) = ЫА'Фаа, (г-), F.10.78)
где Фа(гь) — некоторое поле в пространстве-времени. Действуя
оператором лвУ^, на обе части равенства F.10.77), получаем
f + 1Ф(В'Фа') а = 0. F.10.79)
Теперь можно выписать индексы Янга — Миллса явно, заме-
заменив %а на Оле4', а Фа на Фае4' и переписав последнее уравне-
уравнение в виде
W*^ ^&W + ^&a'av = О- F-10.80)
что дает требуемое условие антисамодуальности в силу второго
равенства E.5.41). Преобразование F.10.76) индуцирует на по-
полях Фа обычное калибровочное преобразование полей Янга —
Миллса E.5.25):
фак-^Л~!фаА —/A~'vaA. F.10.81)
Очевидно, что в случае самодуальных полей возможно вполне
аналогичное построение, в котором, однако, роль пространства
РТ* будет играть пространство РТ.. (Произвольные поля Ян-
Янга— Миллса, а не только самодуальные или антисамодуальные,
рассматривались методами, близкими к твисторным, в работах
[151, 373]. Соответствующая конструкция, однако, не столь
проста и эффективна, как конструкция Уорда.)
Отметим, что в конструкции Уорда информация о локальном
поле в пространстве-времени «закодирована» в глобальной
структуре твисторного описания, тогда как в конкретном тви-
сторном описании нет никакой локальной (дифференциальной)

ТВИСТОРЫ 203
информации. Какое бы конкретное поле Янга — Миллса мы ни
«закодировали» в структуре расслоения Я>>, вид расслоенного
пространства над сколь угодно малой, но конечной областью
в РТ* будет один и тот же, если не меняется группа 3. Такая
«сублимация» локальных полевых уравнений (в пространстве-
времени) в глобальную голоморфную структуру есть характер-
характерная (и весьма замечательная) особенность твисторного форма-
формализма.
Это еще более разительно в случае твисторной конструкции
для (анти-) самодуальных решений уравнений («нелинейного
гравитона»), о которой мы здесь скажем лишь несколько слов
[252] (случай ненулевой космологической постоянной см. в ра-
работе [360]). Пусть Ж — комплексное пространство-время (с. 157)
с антисамодуальной кривизной Вейля №а'в'оу — 0)> чем обеспе-
обеспечивается локальное существование комплексного 3-параметриче-
ского семейства сс-плоскостей, т. е. комплексных 2-плоскостей,
А А'
касательные векторы к которым имеют вид л я при фиксиро-
фиксированных значениях ХА и яА'- Эти а-плоскости отвечают точкам
искривленного проективного твисторного пространства PST, а
при условии, что масштаб спинора пА, выбран ковариантно-по-
стояннымЛгс^д^я^^О)—точкам пространства ЗГ. Эйнштейнов-
Эйнштейновские уравнения ЯаЬ = 0и самодуальность играют роль условий
интегрируемости, определяющих параллелизм штрихованных
спиноров (\Уа, Vb]nA' = 0), что дает проекцию П: &~->SA' — {0},
(где S — пространство постоянных спиноров пА'). Локально
я определяется простой (с. 25) 2-формой т (= У2 "еА'в'пА> А лв>").
Определены также 4-форма объема е (= 7г+ "&а$уб dZa Л dZ А
AdZyAdZ6") и эйлерово векторное поле Т (= "Zad/dZa"),
интегральные кривые которого дают проекцию ^->Р9Г. Вы-
Выполняются соотношения £гт = 2т, £г8 = 4», откуда следуют
степени однородности 2 и 4 для хне, соответственно. Чтобы
восстановить Ж из £Г, мы отождествляем точки пространства Ж
с сечениями расслоения, определяемого проекцией П: пара
точек на Ж будет разделена изотропным интервалом в том и
только том случае, если соответствующие сечения совпадают.
Формы т и е служат для того, чтобы фиксировать метрику
на М. (Даже в отсутствие т, е, Г или П такая конструкция,
рассматриваемая на Р£Г, дает полу-конформно-плоское про-
пространство-время М общего вида.) Локально пространство 9~
образовано областями 'Ui с: Т, что ^следует из формулы
^"<1И\ = е^^1]/д'£/, где е — бесконечно малая величина, Z" e <Ui
и ftj определяет 1-функцию, однородную степени 2.

7
Изотропные конгруэнции
§ 1. Изотропные конгруэнции и спиновые коэффициенты
Конгруэнции изотропных линий в пространстве-времени
(в дальнейшем именуемые изотропными конгруэнциями), и осо-
особенно конгруэнции лучей (изотропных геодезических), играют
важную роль в теории электромагнитного и гравитационного
излучения, а также при построении точных решений уравнений
Эйнштейна. Напомним, что конгруэнцией называется семейство
линий, поверхностей и т. д., обладающее тем свойством, что че-
через каждую точку рассматриваемой области пространства про-
проходит один и только один элемент этого семейства. (Простран-
(Пространство элементов, касательных к конгруэнции, называют слоением
[127].) Но, поскольку все вычисления, рассматриваемые в дан-
данной главе, носят локальный характер в пространстве-времени,
требование взаимно-однозначного соответствия элементов кон-
конгруэнции всем точкам пространства-времени здесь несуществен-
несущественно. Изотропные конгруэнции часто оказываются глобально мно-
голистными; это означает, что при возврате по замкнутому кон-
контуру в пространстве-времени в исходную точку ассоциированная
линия конгруэнции не возвращается к первоначальному поло-
положению. Однако данное обстоятельство не может сказаться на
результатах нашего локального анализа. Кроме того, конгруэн-
конгруэнция может содержать особые точки (такие, как точки ветвления
и «источники» мировых линий, служащие началом семейства
расходящихся линий). Будем считать, что в рассматриваемой
области нет таких сингулярностей. Мы здесь исследуем геоме-
геометрические свойства изотропных конгруэнции, многие из кото-
которых тесно связаны с описанием физических явлений. При этом
в значительной мере будет использоваться формализм спиновых
коэффициентов в его исходной (а также модифицированной)
формулировке.
Конгруэнцию Я? линий ц можно задать, указав в простран-
пространстве-времени Ж (или на открытом подмножестве последнего)
поле векторов Iй, касательных к линиям 4и. Линии ц будут инте-
интегральными кривыми поля 1а. Выбрав для каждой кривой ц кон-
конгруэнции Ч? подходящий параметр и, можно задать «масштаб»

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 205
(scaling) векторов la соотношением
laVau=l. G.1.1)
Тогда производная по параметру и от любой гладкой скалярной
функции /, определенной вдоль кривых fxe'g', записывается в
виде
-Jt = /«.Ve/= /(/). G.1.2)
Если в координатах хл на Ж уравнения кривых ц имеют вид
х* = х*(и, У\ У2, У3), G.1.3)
где у1 (i= I, 2, 3) — параметры, «маркирующие» отдельные кри-
кривые конгруэнции, а и— параметр, «маркирующий» точки одной
кривой, то имеем
^! ^L^L^l /aVJ G14)
ди ди дха ди
Мы будем рассматривать только изотропные конгруэнции,
т. е. такие, которые характеризуются условием
Ua = 0. G.1.5)
Параметр и выбирается так, чтобы вектор 1а был ориентирован
в будущее и нигде не обращался в нуль. С вектором 1а стандарт-
стандартным образом ассоциируется спин-вектор ол:
1а = оаоа\
причем ориентацию полотнища флага сл мы пока что считаем
произвольной.
Изотропные геодезические; интерпретация спиновых коэффи-
коэффициентов кие
Конгруэнция является геодезической (т. е. всякий ее элемент
является геодезической), если векторы I" переносятся парал-
параллельно вдоль кривых конгруэнции:
laVJboclb. G.1.6)
Если к тому же выполняется равенство
laVJb = 0, G.1.7)
то параметр и называется аффинным. Такая параметризация
всегда возможна при условии G.1.6). В этом случае, определяя
£ = /aVa [формула D.5.23) ], имеем
DoAocoA. G Л.8)

206 ГЛАВА 7
Если же выполняется и условие G.1.7) (и только при этом усло-
условии), спинор оА можно выбрать так, чтобы он удовлетворял
уравнению
DoA = 0. G.1.9)
С геометрической точки зрения это означает, что не только флаг-
флагштоки, но и полотнища флагов параллельны вдоль кривых %?
(см. гл. 3, § 2 и гл. 4, § 4 относительно геометрической интер-
интерпретации спин-векторов).
Отметим, что условие геодезичности G.1.8) эквивалентно
условию
сИ£)ол = 0, G.1.10)
т. е. [формула D.5.21)] равенству
х = 0. G.1.11)
Таким образом, параметр х можно рассматривать как меру кри-
кривизны каждой из линий ц конгруэнции Ч?. Однако в силу кон-
конформного поведения величины к (имеющей определенный спи-
спиновый и бустовый вес)
х, G.1.12)
фактическое значение % (если не считать случая к = 0) не имеет
геометрического смысла для линии ц без заданного на ней мас-
масштаба (unsealed). Только в случае линии ц с заданным масшта-
масштабом (scaled), т. е. линии ц с выбранным гладким семейством ка-
касательных векторов в каждой ее точке, или, что эквивалентно,
линии ц с выбранным параметром и, фиксированным с точностью
до константы (hi->y-\-k), модуль величины к приобретает ин-
инвариантный смысл. В самом деле, в этом случае, какова бы ни
была гладкая положительная функция г на ц, скажем г = ЯЯ,
при масштабном преобразовании G.1.12) имеем
Из fy-^rf (или иу-^г~1и) следует \%\у-^г2\%\. G.1.13)
Заданием масштаба (scaling) на ц посредством Vх или и. исклю-
исключается всякое масштабное преобразование спинора оА, кроме
такого, при котором г = 1. Необходимость выбора масштабного
преобразования для ц (вместо задания некоего канонического
масштабного преобразования) обусловлена, разумеется, изотроп-
изотропным характером этой линии, а именно отсутствием параметра
типа собственной длины или собственного времени, на который
можно было бы нормировать векторное поле 1а. Чтобы приписать
смысл величине argx, необходимо не только задать масштаб на
ц, но и фиксировать положение полотнища флага в каждой
точке этой линии. К вопросу о геометрической интерпретации
величины к и других спиновых коэффициентов мы вернемся
чуть позднее.

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 207
Предположим, что Ч? — геодезическая конгруэнция. Это озна-
означает, что выполняется условие G.1.8), которому эквивалентно,
как мы видели выше, условие G.1.11)
oaoboa'Vaa-ob = 0, G.1.14)
а стало быть, и все следующие равенства:
oaoa'Vaa'Ob = 80s, G.1.15)
oboa'VAa'Ob = рол, G.1.16)
олов Vaa'Ob = стол', G.1.17)
где е, р, а — некоторые коэффициенты пропорциональности. По-
Последние совпадают со спиновыми коэффициентами, определен-
определенными в формуле D.5.21) (для а это справедливо только при
дополнительном условии, что величина % = oaia действительна).
Это можно показать, выполнив в каждом из уравнений свертку
со спинорами iB, И и iA' соответственно. Для простоты в даль-
дальнейшем мы будем полагать, что спиноры оА и iA образуют спи-
спиновую систему отсчета, т. е. выполняется условие
и, следовательно, имеют место соотношения D.5.29).
Отметим, что в формулы для величин е, р и а не входит iA,
поскольку к = 0. Таким образом, эти величины полностью опре-
определяются геометрией поля оА.
Как явствует из сравнения соотношений G.1.15) и G.1.9),
для того чтобы геодезическая конгруэнция ^ допускала аффин-
аффинную параметризацию, а полотнище флага переносилось вдоль
нее параллельно, необходимо и достаточно условия
е = 0. G.1.18)
Условие одной лишь аффинной параметризации таково:
е + ё = 0 G.1.19)
[формулы G.1.7), D.5.21)]. Условие же одного параллельного
переноса полотнищ флагов имеет вид равенства
е — ё = 0. G.1.20)
Последнее означает, что за счет масштабного преобразования
спинора оА:
ол*-^Лол G.1.21)
(с действительным множителем К) можно добиться того, чтобы
выполнялось равенство е = 0, ценой изменения лишь протяжен-
протяженности флагштока.

208 ГЛАВА 7
Для дальнейших ссылок соберем все полученные результаты
в следующей таблице:
Конгруэнция ЯП ■
геодезическая <=>• х = 0;
геодезическая, параметр и
аффинный ■*=»• х = 0, е + е = 0;
геодезическая, полотнища флагов
параллельны <=>■ к = 0, е — ё = 0; G.1.22)
0<*=*-х = 0, е=0,
DiA = 0■<=>• т' = 0, е=0.
Последнее условие получается, если перейти к диадным компо-
компонентам в левой части и затем воспользоваться таблицей D.5.21).
Из первого условия и формулы E.6.28) следует, что лучи кон-
конформно-инвариантны.
Из уравнения G.1.14), а также из результатов гл. 3, § 2
следует, что величина 2Re(e) есть мера возрастания протяжен-
протяженности флагштоков спинора ол вдоль конгруэнции, a 2Im(e) —
мера поворота его полотнища флага в положительном направ-
направлении при смещении вдоль конгруэнции.
Теперь можно дать геометрическую интерпретацию коэффи-
коэффициента х в случае, когда конгруэнция ^ не обязательно геоде-
геодезическая. Благодаря изотропности вектора 1а его производная
Dla ортогональна ему. Таким образом, имеем
Dla = (е + ё) /" — ш" — хпга, G.1.23)
так как из D.5.22) следует, что
maDla = %, maDla = x, naDla = e + e. G.1.24)
Отсюда, между прочим, получаем полезное соотношение
DlaDla = —2xx. G.1.25)
Как нетрудно видеть, путем соответствующего изменения мас-
масштаба на (i (ол н-?-А,о , 1Л н-^-А,!/4) можно добиться, чтобы ко-
коэффициент е был равен нулю. (С геометрической точки зрения
это означает, что мы выбираем спиноры И параллельными вдоль
ц.) Поэтому первое слагаемое в правой части равенства G.1.23)
не связано с геометрическими характеристиками конгруэнции
Ч?. Следовательно, поворот линий конгруэнции определяется ве-
величиной— ш" — у.та. Нам будет удобно описывать геометрию
конгруэнции *&, используя плоскость П, натянутую на действи-
действительную и мнимую части вектора ща. Ее можно рассматривать
как плоскость Арганда комплексной переменной 2^2£; = X — iY,
где X и Y — координаты тетрады Минковского, ассоциированной

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 209
с диадой оА, iA [формула C.1.20)]. Произвольный вектор на
плоскости П записывается в виде
va=Xxa+Yya = lma + lma. G.1.26)
Вектор иа, для которого £ = —%, характеризует вращение каса-
касательного вектора 1а, если е = 0 [формула G.1.23)]. Следователь-
Следовательно, модуль вектора va, равный 2^2|£;| = 21/2|х|, есть мера кри-
кривизны линии, тогда как argx характеризует направление кри-
кривизны по отношению, скажем, к ха, т. е. к полотнищу флага
спинора оА (см. рис. 1.17).
Интерпретация величин р, а и х; изопараметричность лучей
В отличие от е коэффициенты р и а характеризуются опре-
определенными бустовыми весами, а именно при масштабном пре-
преобразовании G.1.21) имеем
р I—» XXp, о ь-»■ X К о,
т. е. [формула D.12.13) при к = 1] р и о — величины типа {1, 1}
и {3, —1} соответственно. Таким образом, их нельзя свести к
нулю за счет масштабного преобразования и, как мы видели,
они не зависят от выбора i/4 в случае геодезической конгруэн-
конгруэнции 'S'. Исходя из определения этих величин, можно показать
(см., например, [294]), что при Dla = 0
р = 4 (~ **1а ± * V2V[a/»,Vl«Z»l ), G.1.27)
Следовательно, можно утверждать (и мы это покажем), что
условие равенства нулю коэффициента р или а связано с ка-
каким-то геометрическим свойством геодезической конгруэнции (ё>.
В случае негеодезической конгруэнции ф любую из величин
р, ст, е можно свести к нулю за счет выбора спинора И, не изме-
изменяя масштаба. В самом деле, поскольку в этом случае
oaoboa'Vaa'Ob Ф 0 и, например, величина oboa'Vaa'Ob не пропор-
пропорциональна спинору оа, достаточно выбрать iA ~ oboa'Vaa'Ob, что-
чтобы коэффициент р обратился в нуль: р = iAoBoAVаа'Ов = 0. Ана-
Аналогично можно добиться того, чтобы были равны нулю коэффи-
коэффициенты О И 8.
Исследуем теперь взаимное расположение близких друг к
другу линий конгруэнции *§". Для этого введем понятие вектора
девиации qa: он направлен из точки Р луча ц в точку Р' сосед-
соседнего луча ц', отвечающую тому же, что и Р, значению параме-
параметра и. (Векторы такого типа образуют векторное поле вдоль

210 ГЛАВА 7
фиксированного луча ц е <&.) Математически это можно выра-
выразить как равенство нулю производной Ли вектора qa в направле-
направлении 1а, поскольку векторы qa переносятся параллельно вдоль
векторного поля Vх [формула D.3.3)]:
£<7 = 0, т. е. Dqa = qbVbla, G.1.29)
на ц. (При этом достаточно определить поле qa только на луче
\i. Кроме того, не обязательно считать, что поле 1а образовано
изотропными векторами, но мы примем это условие.) Можно
очень просто доказать эту формулу, используя представление
G.1.3), G.1.4) конгруэнции Ф, в котором
q* = ~- 6у1 (бу1 = const). G.1.30)
Имеем очевидное равенство
( = (
ди \ду1) ду1 \ ди
Умножая обе его части на константу Ьу1 и сворачивая по i, по-
получаем соотношение
да* dla . ,
ди ду1 у '
которое эквивалентно второму равенству G.1.29), так как в силу
инвариантности операции D.3.2) относительно выбора (симмет-
(симметричного) оператора связности V скобка Ли не изменяется при
переходе от координатной производной к ковариантной.
Нас в первую очередь интересуют такие свойства конгруэн-
конгруэнции <ё>, которые «не слишком сильно» зависят от выбора мас-
масштаба; фактически для нас важны «масштабно-ковариантные»
величины, которые при изменении масштаба просто приобретают
числовой множитель, например la\—>rla или оА>—>ЪоА. В тензор
Vbla, описывающий перенос векторного поля qa вдоль луча в со-
соответствии с формулой G.1.29), входят величины, преобразую-
преобразующиеся ковариантно, и другие величины, не обладающие таким
свойством. Мы увидим, что можно отобрать только масштабно-
ковариантные величины (или величины, им комплексно-сопря-
комплексно-сопряженные) , которые, поскольку они обладают такими простыми
трансформационными свойствами, принадлежат к модифициро-
модифицированному формализму спиновых коэффициентов, если ввести
вектор
* G.1.31)
с масштабными свойствами
G.1.32)

изотропные конгруэнции 211
Этот же вектор можно получить из ~Vbla следующим образом:
оАЧь1а = oAVb (оаоа') = SbOA<, G.1.33)
а также записать в форме, в которой он лишь кажется завися-
зависящим от iA:
Sb = 0\A'Vbla = maVbla. G.1.34)
Компоненты oAoA'Vbla, oAiA'Vbla тензора \bla являются масштаб-
но-ковариантными, а величина iAiA"Vbla— нет. Величины первой
группы могут быть выражены через Sb и Sb. Следовательно, ска-
скаляр Sbvb будет масштабно-ковариантной частью тензора \bla,
если мы перемещаемся в направлении vb. Поскольку диадными
компонентами вектора Sb будут как раз спиновые коэффициенты
■л, р, а, т:
<J = Soi', t = Sn', G.1.35)
мы заключаем, что величины %, %, 2~1/2{о-\- р), 2~1/2(в—р), гру-
грубо говоря, показывают, как изменяется направление вектора 1а
при смещении вдоль /а, па, ха и уа соответственно. Однако век-
вектор 5а является «более инвариантным» носителем этой инфор-
информации, нежели набор спиновых коэффициентов, поскольку он не
зависит от произвола в выборе спинора И.
Роль вектора Sa в уравнении переноса G.1.29) можно выяс-
выяснить, свернув это уравнение со спинором оА:
oADqa = OA'Sbqb. G.1.36)
Более точная информация о геометрическом смысле коэффици-
коэффициентов к, р, о и -г содержится в уравнении G.1.36) неявно. Чтобы
извлечь ее, удобно выбрать спиноры i/4 параллельными вдоль ц,
т. е. так, чтобы выполнялось равенство DiA = 0, эквивалентное
равенству е=т/ = 0 [формула G.1.22)]. При таком выборе
компоненты уравнения G.1.36) записываются в виде
ЯЛ = *5 + »«ё, G.1.37)
Dl=-&-oi-Th, G.1.38)
причем h и £; входят в разложение вектора да следующим об-
образом:
ga = g^+t>ma-\-lma-\-hna. G.1.39)
Уравнение переноса для g менее интересно с геометрической
точки зрения, поскольку оно не является масштабно-ковариант-
масштабно-ковариантной частью уравнения G.1.29). Оно получается как результат
свертки уравнения G.1.29) с iA. Для полноты напишем здесь со-
соответствующий результат:

212 ГЛАВА 7
[формулы D.5.21), D.5.29)]. Напишем также закон преобра-
преобразования величин g, £,, h, индуцированный общим допустимым
преобразованием спинора i/4, а именно преобразованием i/41—>
k-liA + сое4 и оА>—>коА:
g t-^ ЯГ'АГ1^ — ЯГ1©? — ЯГ'со£ + сосоЛ,
Уравнения G.1.37) и G.1.38) допускают матричную форму запи-
записи, которая иногда оказывается полезной:
\\—[\ : °М G1-41>
Как мы увидим, уравнение G.1.38) позволяет дать ясную
геометрическую интерпретацию величин р и ст при условии, что
h = 0. Правда, из соотношения G.1.37) следует, что если к^=0
(и £=7^0), то величина h не может быть равна нулю вдоль всего
луча ц. Но, как мы видели, коэффициенты р и ст не зависят от iA
только при к = 0, так что четкая интерпретация этих величин
возможна лишь при этом условии. Однако это и есть наиболее
интересный случай.
Рассмотрим теперь изотропную геодезическую конгруэнцию
Чг? и предположим, что диада переносится параллельно1) вдоль
каждого ее луча [4-е и 5-е соотношения G.1.22)]
к = 8 = т' = 0. G.1.42)
В этом случае уравнение G.1.37) принимает вид
Dh = 0, G.1.43)
что эквивалентно уравнению
D(qJa) = 0. G.1.44)
Будем называть два соседних луча изопараметрическими
(abreast), если для них выполняется условие
qJa=*O, G.1.45)
т. е. h = 0. В том, что это свойство не зависит от выбора пара-
параметризации (очевидно, что оно также не зависит от выбора
') Можно несколько обобщить ситуацию, потребовав лишь, чтобы направ-
направления флагштоков оА и iA переносились параллельно, т. е. чтобы в нуль обра-
обращались только у. и т'. Уравнения этого раздела, содержащие оператор D,
остаются справедливыми, если его всюду заменить оператором у [формула
D.12.15)].

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 213
спинора И), можно убедиться, выполнив подстановку
qa^qa+Wa, G.1.46)
оставляющую условие G.1.45) без изменения.
Если представить себе конгруэнцию наглядно в виде облака
фотонов, то два изопараметрических луча будут соответствовать
траекториям двух соседних фотонов, таких, которые в данный
(а следовательно, во всякий) момент времени в локальном
3-пространстве наблюдателя лежат на 2-плоскости, перпендику-
перпендикулярной их траекториям (т. е. движутся «голова в голову» —
abreast).
Более того, всякие два локальных наблюдателя увидят фо-
фотоны на одном и том же расстоянии друг от друга, если соот-
соответствующие лучи изопараметричны (и только при этом усло-
условии). Действительно, если считать заданным лишь направление
вектора 1а, а остальные векторы тетрады па, та, та выбирать
произвольно по модулю требуемой нормировки, то всегда можно
ввести тетраду Минковского наблюдателя, движущегося с про-
произвольной скоростью. Его локальное 2-пространство натянуто на
векторы та, ina, la — па = 2l'2za [формула C.1.20), рис. 1.17].
Лучи в соответствующем 3-пространстве расположены в направ-
направлении za, а векторы та, та лежат в ортогональной 2-плоскости.
Путем репараметризации G.1.46) можно добиться, чтобы вы-
выполнялось условие g = 0, и тогда из G.1.39) находим, что век-
вектор девиации лежит в той же 2-плоскости, а его (инвариантная)
длина B££) '^2 отвечает расстоянию между фотонами. Переход
к новому наблюдателю отвечает выбору нового спинора i/4, а в
формуле G.1.40) мы видели, что величина tfe при этом не изме-
изменяется в том и только в том случае, если h = 0. Этим и завер-
завершается доказательство нашего утверждения.
Отметим, что инвариантность расстояния между изопараме-
трическими фотонами, о которой говорилось выше, тесно свя-
связана с «ненаблюдаемостью лоренцевого сокращения»: все фото-
фотографии данного события, выполненные в параллельных лучах
по-разному движущимися наблюдателями, выглядят одинаково
(см. работы [334, 293], а также том 1, с. 44).
Напомним, что коэффициент % может служить мерой изме-
изменения вектора 1а в направлении па. Однако при исследовании
свойств конгруэнции лучей данная величина оказывается не
столь удобной, как р и ст. Это объясняется главным образом
тем, что она зависит от выбора И. Только в том случае, когда
оба коэффициента р и ст равны нулю, такая зависимость отсут-
отсутствует. Это можно проиллюстрировать трансформационными
свойствами коэффициента т при замене iA>—> iA + сое4 (полагая
к = 0):
т -{- <вст -j- <вр.

214 ГЛАВА 7
П
Рис. 7.1. Два изопараметрических соседних луча. Мерой их относительного
положения, изменяющегося во времени, служит вектор девиации £ (коорди-
(координата на плоскости Арганда, если смотреть в направлении, противоположном
направлению распространения луча).
Как это следует из соотношения G.1.38), в случае неизопараме-
трических лучей при р = ст = О коэффициентом % (умноженным
на константу h — «степень неизопараметричности») определяется
перенос величины £.
Нас будет в основном интересовать связь луча ц с изопара-
метрическими ему соседними лучами. Мы будем рассматривать
деформации пересечения пучка лучей с 2-плоскостью П, натяну-
натянутой на векторы пга и ina, которая ортогональна лучу ц и перено-
переносится вдоль него параллельно. Поскольку поперечные расстоя-
расстояния от ц до соседних лучей одинаковы для всех наблюдателей,
сжатие, сдвиг и вращение указанного пересечения имеют прямой
физический смысл.
Поскольку h = О, условие изопараметричности G.1.38) сво-
сводится к равенству
Де = -р£-а5. G.1.47)
Это уравнение описывает движение точки пересечения плоскости
П с лучом \*?, близким к ц (которому отвечает значение 5 = 0)
(рис. 7.1). Для более детальной интерпретации величин р и ст
удобнее рассматривать раздельно роль величин Re(p), Im(p) и
ст. Напишем
p = k + it, a = se2ie, G.1.48)
где k, t, s, 9 — действительные величины и s ^ 0. Полагая
t = s = Q в G.1.47), получаем

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИУ1
215
'Полотнище
Фляга
I = Im (p)
Рис. 7.2. Геометрическая интерпретация коэффициентов р и а как характе-
характеризующих деформацию пучка лучей в ^-плоскости. Фотоны распространяются
от читателя.
откуда следует, что & = Re(p) есть мера сжатия однородного
пучка лучей, т. е. конвергенция конгруэнции 9. Полагая k = s =
= 0, находим соотношение
которое показывает, что f = Im(p) есть мера вращения (twist).
Аналогично при р = 0 имеем
так что производная Dt, пропорциональна t, при arg£; = 0, 9 + я
или 9± 1/2я; в первых двух случаях получаем сжатие по на-
направлению к центру, а в двух других случаях— растяжение. Сле-
Следовательно, |ст| есть мера сдвига (дисторсии) пучка лучей, а
величина (l/2)argcr дает угол между направлением максималь-
максимального сжатия и направлением полотншда флага спинора оА
(рис. 7.2).
Рассматривая изменение вдоль «g7 площади
уД?1?2-Ш G.1.49)
малого треугольника с вершинами в точках о, |i, \% на П, мы
находим, используя G.1.47), что всякий элемент площади бЛ
удовлетворяет уравнению переноса
£)FЛ) = — 2&бЛ= — (р + рNЛ. G.1.50)
Отсюда видно, что величина k может служить мерой конверген-
конвергенции, а также, что деформации, связанные с t и а, не изменяют
площадь.
Иногда удобно пользоваться «яркостным параметром» [27] L
для конгруэнции лучей, определяемым так, что L2 ~ бЛ. Из со-
соотношения G.1.50) немедленно следует, что
DL= — kL, f. e. D\nL= — k.
G.1.51)

216 ГЛАВА 7
Сравнение с G.1.47) показывает, что в отсутствие дисторсии
(и только в этом случае)
Loc| 5|, G.1.52)
так что L изменяется пропорционально длине вектора девиации,
соединяющего изопараметрические лучи.
Отметим и другую формулу для р, справедливую при е = 0:
P^-oa'Vaa'Oa, G.1.53)
где использовано соотношение, вытекающее из формул B.5.54),
D.5.21):
oa'Vaa'Oa = оА' (ол1в — 1лов) Vba-oa = г — р.
Аналогично в случае е + ё = О находим
Vja = — p-p = —2k. G.1.54)
Ортогональность гиперповерхности;
изотропные гиперповерхности
Случай, когда вращение равно нулю, оказывается важным
с геометрической точки зрения и в другом отношении, а именно
как условие того, что лучи конгруэнции 1? ортогональны некото-
некоторой гиперповерхности, т. е. пропорциональны градиенту скаляр-
скалярной функции:
la^Vj для некоторой функции /е J, G.1.55)
(Напомним, что 5; есть кольцо действительных скалярных полей
на Ж.) Для доказательства рассмотрим условие, при котором
конгруэнция Ч? является градиентом:
la = Vaf для некоторой функции f^ZT, G.1.56)
а именно:
Поле 1а есть {локально) градиент
Последний набор равенств получен (в предположении изотроп-
изотропности вектора 1а) вычислением компонент тензора \[а1ь] по отно-
отношению к изотропной тетраде с учетом формулы D.5.22). Если
вектор 1а лишь пропорционален полю градиента, то последние
два равенства в формуле G.1.57) не обязательно выполняются,
поскольку они не инвариантны относительно масштабных пре-

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 217
образований вектора lal). В этом случае мы имеем (см. работу
[217], а также формулу D.14.2))
Лоле 1а (локально) ортогонально гиперповерхности «ф=>
Х~ _'" G.1.58)
р = р.
Последние два равенства можно получить прямым вычислением
компонент liaVblc], но проще написать [формулы C.4.26) и
C.4.23)]
'[aVu6c] = ()■<=>• '{V [„/&]} /а = О,
• oaoboa'Vab'OA' = оА'ов'ОАУвл'Ол, G.1.59)
а затем вычислить диадные компоненты последнего выражения.
Можно дать следующую формулировку условия G.1.58):
Предложение
Изотропная конгруэнция ортогональна гиперповерхности
в том и только в том случае, если она геодезическая и не
содержит вращения. G.1.60)
В качестве альтернативной формулировки имеем
Предложение
Изотропная конгруэнция ортогональна гиперповерхности
в том и только в том случае, если она образует изотроп-
изотропную гиперповерхность [т. е. существует однопараметриче-
ское семейство изотропных гиперповерхностей (гиперпо-
(гиперповерхностей с изотропными нормалями), таких, что век-
векторы 1а касательны к ним в каждой точке]. G.1.61)
В самом деле, если изотропная конгруэнция, отвечающая полю
1а, ортогональна гиперповерхности, то (по определению) гипер-
гиперповерхности Jf, которым она ортогональна, будут изотропными
и, следовательно, вектор Vх будет касательным к ним. Более того,
поскольку нормаль в каждой точке фиксированной гиперповерх-
гиперповерхности JC единственна и вектор 1а задает единственное направ-
направление, ортогональное полю Vх, этот же вектор задает единствен-
') Следовательно, условие G.1.57) не может быть непротиворечиво вы-
выражено через модифицированные спиновые коэффициенты, тогда как условие
G.1.58) выражается через такие величины. [Вспомним о роли равенств р = р
и к = 0, встречавшихся в гл. 4, § 14 и гл. 5, § 12 в т. 1, см., в частности,
формулы D.14.75), D.14.76), E.12.11), E.12ЛЗ).] Заметим также, что утвер-
утверждения G.1.57) и G.1.58) без последних равенств для спиновых коэффи-
коэффициентов справедливы и в случае неизотропных векторов 1а-

218
ГЛАВА 7
JT"
Рис. 7.3. Однопараметрическое семейство изотропных гиперповерхностей. Это
гиперповерхности, нормали I" к которым являются изотропными векторами,
а следовательно, и касательными векторами. Соседние лучи, принадлежащие
одной гиперповерхности, изопараметричны (рада ==0), и вращение отсут-
отсутствует.
ное касательное направление в каждой точке гиперповерхности
JP, ориентированное в будущее. Такими направлениями на Л*
задается двухпараметрическое семейство интегральных кривых,
называемых образующими гиперповерхности JC. И наоборот,
образующие однопараметрического семейства изотропных гипер-
гиперповерхностей /С составляют трехпараметрическое семейство изо-
изотропных линий, ортогональных гиперповерхности. Тем самым
эквивалентность двух высказанных предложений доказана
(рис. 7.3). Отметим, что семейство образующих гиперповерх-
гиперповерхности JP, будучи нормальным и изотропным, должно быть гео-
геодезическим [в силу формулы G.1.58)]. Поскольку всякий вектор
qa, соединяющий точки двух соседних образующих гиперповерх-
гиперповерхности JC, лежит на JC, он должен быть ортогональным полю 1а,
а следовательно, всякие две соседние образующие гиперповерх-
гиперповерхности /С изопараметричны. По этой причине коэффициенты р и
а описывают как геометрию гиперповерхности /С [при р =р
вследствие формулы G.1.58)], так и конгруэнцию лучей в це-
целом. Следовательно, можно говорить о конвергенции и дисторсии
отдельно взятой изотропной гиперповерхности.
Изопараметричность в теории твисторов
В заключение данного параграфа покажем, что понятие изо-
параметрических изотропных лучей существенно и в теории тви-
твисторов. Пусть Ua и Ua + 6Ua — два изотропных твистора, описы-

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 219
вающие луч ц и соседний с ним луч ц', принадлежащие некой
изотропной конгруэнции в пространстве Минковского М. Как и
прежде, выберем точку Р е \х и вектор девиации qa в Р, который
направлен в соседнюю точку Р' на ц'; имеем [формула F.1.22)]
Ua^K, 0), G.1.62)
Ua + SUa *-* (ОА + ЯЬУь<>А> ~ ЧАА'°а)> G.1.63)
так что
SUa ^ (q"VbOA, - iqAA'oA), G.1.64)
откуда
Ua 6Ua = — iqala. G.1.65)
Таким образом, чтобы лучи цнц' были изопараметрическими,
твисторы Ua и 6Ua должны быть взаимно ортогональными.
Отметим, что обе части равенства G.1.65) чисто мнимые:
Ua6Ua+ Ua6Ua = 0; G.1.66)
это следует и из того, что твистор Ua + 6Ua изотропный (если
пренебречь слагаемыми второго порядка по 6Ua). Отметим так-
также, что выполняется равенство
UaOUp^ — q оь, G.1.Ь7)
где Sb — вектор G.1.31) [формула F.2.25)]. Дальнейшие ре-
результаты теории твисторов, относящиеся к изотропным кон-
груэнциям, будут даны в § 4.
§ 2. Изотропные конгруэнции
и кривизна пространства-времени
Посмотрим теперь, как влияет кривизна пространства-вре-
пространства-времени на геометрию изотропной конгруэнции W. Для этого рас-
рассмотрим результат двукратного действия оператора переноса
D, определенного в формуле G.1.29), на вектор девиации qa.
В силу формул D.3.31) и D.3.33) имеем
= Wtd = DIVV + V \td + Rabcdlaqblc =
I q \ql V, q\)
= qaVa (Dld) + Rabcdlaqblc. G.2.1)
Мы ограничимся случаем геодезической конгруэнции W, так что
/>i<* = 0. Тогда из G.2.1) получаем уравнение девиации геодези-
геодезических (уравнение Якоби) для лучей:
y/c. G.2.2)

220 ГЛАВА 7
Поле векторов qa, определенных вдоль геодезической (не обяза-
обязательно изотропной) с касательным вектором Vх и удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнению G.2.2), называют полем. Якоби [125, 128]. Учи-
Учитывая разложение G.1.39) и вычисляя компоненты по отноше-
отношению к диаде, образованной спинорами ол, iA (где 1а = оАоА'),
переносимой параллельно, получаем*)
G.2.3)
ФО1)Л. G.2.4)
D2g = OF, + Фю) g + OF, + Фш) I +
+ (W2 + W2-2A + 2Ou)h, G.2.5)
где мы использовали формулы D.11.9) и D.11.10).
Изопараметринеские луни; уравнения Сакса
В случае изопараметрических лучей в формуле G.1.38) сле-
следует положить h = 0, и тогда из G.1.41) находим важное
B X 2) -матричное уравнение
Dz = — Pz, G.2.6)
где
-(!)• '-с ;)■
Игнорируя уравнение G.2.5), поскольку величину g не тре-
требуется знать, если нас интересует лишь пересечение лучей с П
[формула G.1.47)], мы перепишем уравнение G.2.4), которое
несет существенную для нас информацию, содержащуюся в
уравнении G.2.2), в виде
D2z= — Qz, G.2.8)
где
/ Фоо Ч'о Л
Повторно дифференцируя G.2.6) и используя равенство G.2.8),
получаем
D2z = —Qz = — (DP) z — PDz = (—DP + P2) z. G.2.10)
') Здесь также (см. примечание на с. 212) возможно некоторое обобще-
обобщение, если потребовать, чтобы параллельно переносились лишь направления
флагштоков диады, и всюду заменить оператор D оператором р. При этом,
однако, возникают определенные сложности, поскольку оператор 1р может
действовать только на взвешенные величины, а аффинный параметр и, исполь-
используемый здесь, к таким величинам не относится. Эту трудность можно обойти,
если «расцепить» и и I", заменив уравнение Du = 1 уравнением $и = U, где
U есть {—1,—1}-скаляр. Аффинный характер параметра и выражается тогда
уравнением fU = 0, т. е. р2и = 0. Такой подход мы будем использовать
в гл. 9, § 8—10 (ранее он использовался в гл. 4, § 14, см. т. 1).

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 221
Так как полученное равенство справедливо при произвольных
значениях % и для произвольных линейных комбинаций векторов
z, мы приходим к уравнениям
P2 + Q, G.2.11)
которые в развернутом виде
известны как уравнения Сакса [297, 298, 300]. [Эти уравнения
можно получить непосредственно из первых двух уравнений
D.12.32), используя формулу D.12.15) и учитывая, что в случае
параллельно переносимой диады справедливы равенства х =
= е = т' = 0, см. формулу G.1.22). Мы имеем у'= —е, так как
X = 1, см. формулу [4.5.29].)
Уравнения Сакса показывают, что при распространении пуч-
пучка лучей их конвергенция определяется величиной Фоо), а дис-
торсия — величиной Wo. Приведем два простых следствия из
системы уравнений G.2.12). Первое:
фм=0 (т. е. Rablalb = 0), p = 0 на ii=^a = 0 на ц. G.2.13)
Это означает, что при ФОо = 0 (например, в плоском простран-
пространстве или пространстве Эйнштейна) изотропная конгруэнция не
может претерпевать сдвига (дисторсии) без всестороннего сжа-
сжатия (или растяжения) или вращения (условие Фоо ^= 0 факти-
фактически это и означает). Второе:
Поле 1а бессдвиговое (а = 0) -фф- 1а есть
главное изотропное направление спинора WABCd, G.2.14)
поскольку из условия а = 0 следует Ч*о = 0, что в силу формул
D.11.6) и C.5.22) эквивалентно правой части соотношения
G.2.14).
Распространение вращения же не зависит от кривизны1),
так как разность первого уравнения G.2.12) и комплексно-со-
комплексно-сопряженного ему уравнения записывается в виде [формула
G.1.48)]
Dt = 2kt G.2.15)
(Фоо — действительная величина).
') Отметим, однако, что при наличии кручения (torsion), когда понятие
«луча» определяется на основе представления о связности с кручением
(см. гл. 4, § 2 и обсуждение теории ЭКШК, гл. 4, § 7, т. 1), величина Фоо
не обязательно действительна и уравнения G.2.15), G.2.16), вообще говоря,
не выполняются. Таким образом, кручение может индуцировать эффект вра-
вращения лучей (относительно возможных физических следствий этого эффекта
см. работу [260]).

222 ГЛАВА 7
Мы видим, что яркостный параметр L, определенный в фор-
формуле G.1.51), удовлетворяет уравнению
D(L2t) = 0. G.2.16)
Следовательно, величина L4 есть мера вращения, постоянная
вдоль лучей. Отсюда заключаем, что:
/ = 0 в некоторой точке на (х=ф-/ = 0 на \i. G.2.17)
Отметим, что в дополнение к геометрическим характеристи-
характеристикам h и LT, которые постоянны вдоль лучей [формула G.1.43)],
существует также «симплектический инвариант» 2 двух лучей,
соседних с ц, векторы девиации которых qa и qa независимо
удовлетворяют уравнению G.2.2), а именно:
2Z^qaDqa-qaDqa. G.2.18)
Эта величина постоянна вдоль ц (тождество Лагранжа) вслед-
вследствие перестановочной симметрии тензора Rabcd [128]. Рассмат-
Рассматривая лишь изопараметрические лучи, мы получаем (звездочкой
обозначено эрмитово сопряжение)
22 = — (Dz*) z + z*Dz = z* (Р* — Р) z =
= (р-р) (&-&) = const G.2.19)
[формула G.1.49)]. Это фактически другая форма записи урав-
уравнения G.2.16).
Существование такого инварианта имеет ряд замечательных
следствий, и некоторые из них важны для теории твисторов,
как будет отмечено в конце § 4. Несколько иная форма записи
условия постоянства величины 2 вдоль луча ц приведена в ра-
работе [238], в которой исследуются свойства постоянной вдоло
ц матрицы Vi2, связывающей два соседних с ц пучка изопара-
метрических лучей. Одно из следствий (неочевидное) — то, что
яркостное расстояние между двумя точками на луче (я (с вы-
выбранным масштабом) есть симметричная функция этих точек
(см. т. 1, с. 475, а также работы [27, 173]).
В матричной форме G.2.11) уравнения Сакса позволяют лег-
легко определить поведение величин р и а для конгруэнции лучей
в плоском пространстве-времени; то же можно сказать и об
искривленном пространстве-времени, если Q = 0 для рассматри-
рассматриваемого типа лучей. Требуется решить уравнение
DP = Р2. G.2.20)
Оно эквивалентно уравнению
1~1 = 1, G.2.21)

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 223
где I — единичная матрица B X 2); но
О = D (Р~*Р) = (DP) Р + Р~'/)Р,
откуда на основании равенства G.2.21) находим
т. е.
— л и\,
где А = const, аи — аффинный параметр вдоль луча \i, удовле-
удовлетворяющий уравнению Du = 1. Таким образом,
Р = (А — и\)~\ G.2.22)
Записывая
А—(9°
чб'о Ро.
где ро и <хо — значения величин р и а при ц = 0, получаем в яв-
явном виде
Ро — И (РоРо — CTpdo)
1 — и (Ро + Ро) + и2 (РоРо — <ТоОо) '
ffo
1 — и (ро + Ро) + и2 (РоРо — ffodo) "
Неизопараметрические лучи
Матрицы, которые мы использовали выше, можно обобщить
по аналогии с G.1.41) так, чтобы включить в рассмотрение
неизопараметрические лучи, близкие к ц. (По-прежнему считаем,
что конгруэнция Ч? геодезическая, и выполняются уравнения
DoA = D\A = 0.) Для этого переопределим матрицы следующим
образом:
Л"
2=Ш U 5 *J
G.2.24)
I V \J \J
н
и тогда с помощью формул G.1.41), G.2.4) и G.2.5) так же,
как и выше, получаем уравнения G.2.6) и G.2.8). Цепочка пре-
преобразований, аналогичная равенствам G.2.10), снова приводит
к уравнениям Сакса вида G.2.11) в матричной форме. Кроме
исходных уравнений Сакса G.2.12) эта система содержит также
уравнение для коэффициента т:
Дт = тр + та + Чг1 + Фо1, G.2.25)
[0 0 0"
^1 + Фю Ч'о Ф(Ю -

224 ГЛАВА 7
которое, если учесть систему уравнений D.2.15), совпадает с
уравнением D.12.32в) прих = е(=—у') = т' = О [ср. с форму-
формулами G.1.22), D.5.29)].
Решение уравнения G.2.20) в плоском пространстве вида
G.2.22) непригодно, поскольку матрица Р формулы G.2.24) в
этом случае сингулярна. Однако в пространстве Минковского М
(а также в искривленном пространстве-времени Ж, в котором
величины 4V 4*1, Фоо, Фо равны нулю на рассматриваемом луче
|х) существует другой способ решения этих уравнений. Рассмот-
Рассмотрим три произвольных независимых решения уравнения G.2.6),
в котором, однако, матрицы 2X2 заменены трехрядными матри-
матрицами вида G.2.24), и определим (ЗХ 3)-матрицу
Z=£i £2 £3 . G.2.26)
столбцами которой служат эти решения. Из G.2.8) имеем
D2Z = 0, G.2.27)
так что величина Z линейна по и:
Z = ZiU + Z2, G.2.28)
где Zi и Z2 — постоянные матрицы CX3). Отсюда с учетом
формул G.2.6) получаем
п П ,, I гг \ 1*7 О ОСП
так что
-Za). G.2.30)
Формулу G.2.22) можно было бы получить, положив Z\ = I,
Z2 = —А. Эта же формула допускает бесконечное число эквива-
эквивалентных способов записи, поскольку выражение G.2.30) есть
инвариант преобразования Ъ\\—*-Z2T, Z2i—*Z2T, определяемого
произвольной несингулярной (ЗХ 3) -матрицей Т. Мы выбираем
Ъ\ так, чтобы нули располагались в первом ряду [для согласо-
согласования второй формулы G.2.24) с формулой G.2.29) ], но в
остальном она произвольна. Вместо этого можно было бы вы-
выбрать Z2 = —I и положить
0 0 ОТ
Г
: то
L
Ро ст0
Сто PoJ
G.2.31)
что приводит к решению уравнения G.2.20) с матрицей Р в фор-
формуле G.2.24) в виде
P = Z1(I-uZ1)-1. G.2.32)

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 225
Описание в трехмерном пространстве Минковского
Обратимся теперь к уравнению G.2.11) в искривленном про-
пространстве-времени Ж общего вида, где для простоты мы будем
рассматривать лишь изопараметрические лучи. Матрицы вновь
имеют формат 2X2, причем Q — произвольная эрмитова
BX2)-матрица. Для большего упрощения выберем конгруэн-
конгруэнцию без вращения (т. е. конгруэнцию, лучи которой являются
образующими изотропной гиперповерхности), так что р = р, от-
откуда следует, что матрица Р тоже эрмитова. Следуя предложе-
предложению Росса (N. F. Ross), мы вводим трехмерную метрику «Мин-
«Минковского» . .;,;..,:;-s
dS2 = dp2 — dodo G.2.33)
в пространстве $Р, точками которого являются матрицы Р. По
существу нас будет интересовать лишь конформная структура
пространства &, т. е. структура изотропных конусов, определяе-
определяемая метрикой G.2.33). Две точки этого пространства разделены
изотропным интервалом [т. е. принадлежат некоторому «свето-
«световому лучу» в 0*—изотропной геодезической в метрике G.2.33)]
в том и только в том случае, если коэффициенты матриц Р! и
Р2 удовлетворяют уравнению
(Pi - Р2J - К - <т2) (<xi - а2) = 0, G.2.34)
т. е.
det(P,-P2) = 0, G.2.35)
или
= P2z G.2.36)
для некоторой ненулевой BХ 1)-матрицы Z. Это означает, что
два пучка изопараметрических лучей, соседних с ц, описываемые
матрицами Р! и Р2 соответственно, имеют общий луч (отличный
от |х). Таким образом, конформная метрика (эквивалентная
структуре световых лучей), определяемая соотношением G.2.33),
имеет инвариантный геометрический смысл независимо от спе-
специального выбора точки Р на (х, в которой определяются значе-
значения р и о. Когда точка Р движется вдоль \i, величины р и а
изменяются, но пространство ZP при этом рассматривается как
неизменное, причем различным его точкам отвечают разные
пучки лучей без вращения, изопараметрические с лучом ц. Раз-
Различным точкам Р соответствует разный выбор «координат» р и
а в пространстве $Р. Каждому такому выбору отвечает метрика
вида G.2.33). Для разных точек Р эти метрики неодинаковы, но
в силу сказанного выше, они должны быть связаны друг с дру-
другом конформным преобразованием.

226 ГЛАВА 7
В последнем легко убедиться, если воспользоваться уравне-
уравнением Сакса G.2.12), примененным к dS2:
D (dS2) = D (dp2 — dodo) =
= 2dpDdp — doDdo — doDdo =
= 2dpd (p2 + oo + Фоо) — dod Bpo + Wo) — dad Bp<x + Wo) =
= 4p (dp2 — dodo) = 4pdS2. G.2.37)
Здесь символ d означает бесконечно малое изменение, отвечаю-
отвечающее выбору близкого к (х изопараметрического луча, а не изме-
изменению положения точки Р (последняя вариация обозначается
символом D). Поэтому, чтобы получить требуемый результат,
мы полагаем dWo = О = dOoa в формуле G.2.37). [Отметим, что
эти вычисления справедливы и в случае полей с вращением,
когда р =£= р. В этом случае метрика G.2.33) заменяется метри-
метрикой dS2 = dpdp — dodo, а результат вариации положения точки
Р имеет вид: D(dS2) = 2(p -j-p)rf52. Следовательно, в случае
изопараметрических лучей с вращением вместо «трехмерного
пространства Минковского» <Р с сигнатурой (Ч ) мы долж-
должны рассматривать конформные метрики, отвечающие четырех-
четырехмерному пространству с сигнатурой (+ Ч ) •]
Одно из преимуществ данного подхода (как отмечал Росс)
состоит в том, что он позволяет рассматривать и такие положе-
положения точки Р, для которых р и (быть может) о становятся беско-
бесконечно большими (каустические точки), например соседние с \i
лучи в вершине светового конуса, содержащего \i. В этом слу-
случае следует рассматривать конформную компактификацию 9>*
пространства &, следуя процедуре перехода от М к М#, описы-
описываемой в гл. 9, § 2 (см. примечание на с. 353). Оказывается, что
конформные изменения масштаба, индуцированные на & дви-
движением точки Р вдоль луча \х, следует связывать со структурой
пространства &*, а не &. Их можно рассматривать как пас-
пассивные преобразования на 5я*, т. е. переход от одной системы
координат (р, а) к другой, причем ни одна из этих систем коор-
координат не покрывает &* полностью.
Сама точка Р приобретает в пространстве 9* смысл точки,
представляющей совокупность лучей, соседних с \i, образующих
световой конус точки Р в Ж. Когда точка Р смещается вдоль
луча (х, ее образ в 9* претерпевает гладкую деформацию, сме-
смещаясь вдоль линии, времениподобной в смысле метрики dS2.
В этом направлении можно получить ряд интересных ре-
результатов, но мы не будем здесь на этом останавливаться. Отме-
Отметим, однако, что пространство 3"# получается также в ином
подходе как пространство лагранжевых 2-плоскостей в четырех-
четырехмерном симплектическом векторном пространстве, элементами
которого являются все соседние с ц изопараметрические лучи.

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 227
Симплектическая структура в этом пространстве дается в точ-
точности формой G.2.18). (Подробно эта структура исследуется в
работе [377] ,• в частности, см. с. 307 данной работы, где ком-
компактифицированное 3-мерное пространство Минковского &>*
рассмотрено с этих позиций.)
§ 3. Бессдвиговые конгруэнции лучей
Изотропную конгруэнцию, т. е. изотропное векторное поле
(или ассоциированное с ним поле спин-векторов), которое яв-
является геодезическим, а также характеризуется нулевым сдви-
сдвигом, будем называть бессдвиговой конгруэнцией (БСК). Условия
«бессдвиговости» конгруэнции таковы:
la~оV есть БСК*ж = о = 0<^-oAoBVAA-oB = 0. G.3.1)
БСК играют важную роль в теории относительности. Они возни-
возникают в связи с решениями безмассовых полевых уравнений и
особенно важны в теории твисторов. Здесь мы в основном оста-
остановимся на связи БСК с безмассовыми полями. В § 4 мы проил-
проиллюстрируем роль БСК в теории твисторов и помимо прочего по-
покажем, как можно использовать твисторы, чтобы получать БСК
общего вида в пространстве Минковского (теорема Керра).
Здесь же можно отметить, что всякое спинорное поле ав, кото-
которое удовлетворяет твисторному уравнению F.1.1), автомати-
автоматически удовлетворяет условию БСК G.3.1); другими словами,
конгруэнции Робинсона являются БСК (см. с. 76).
Связь с ГИН; вполне изотропные комплексные 2-поверхности
Сначала отметим два результата предварительного харак-
характера, касающихся БСК. В качестве альтернативной формули-
формулировки утверждения G.2.14) имеем
1а есть БСК.=$~1а есть главный изотропный вектор
спинора ^abcd, G.3.2)
т. е. Wo = 0, что, разумеется, очевидно уже из уравнений G.2.12).
Если дополнительно ФОо = О (т. е. Rablalb= 0), как, например,
в плоском пространстве или в пространстве Эйнштейна, то оста-
остаются в силе вычисления, приводящие к формулам G.2.23). На-
Напишем результат для случая а = 0 и р = k + it:
ko-u(kl + tl) t0
1-2к0и + и2(% + %)' l-2k0u + u*(kt + tl)- K'- ■ }
В частности, замечаем, что если поле 1а есть БСК, то
р=0 в некоторой точке ц,=^р = О на ц,. G.3.4)

228 ГЛАВА 7
Напомним, что безмассовые поля со спином я/2 описываются
симметричными спинорами j>ab...l валентности [° £], так что
имеет место каноническое разложение C.5.18):
Фав...ь=^в ••• V G-3.5)
Если два или более ГИН спинора ф... (т. е. направления флаг-
флагштоков спиноров ал, ..., A,L) совпадают, то поле ф... назы-
называется алгебраически специальным («вдоль» кратных ГИН).
Если все п ГИН совпадают (и п> 1), то поле называется изо-
изотропным («вдоль» совпадающих ГИН). Напомним, что, как сле-
следует из соотношения C.5.29), в случае электромагнитного поля
изотропность эквивалентна обращению в нуль комплексного ска-
скалярного инварианта:
лв = 0 G.3.6)
(т. е. двух его действительных скалярных инвариантов). Соот-
Соответствующие условия для случая, когда спин равен 2, будут
приведены в формуле (8.6.3). ГИН спинора "*¥ABcd называются
гравитационными главными изотропными направлениями
(ГГИН).
Из C.5.26) следуют два предложения:
Спинор Фав ... l является алгебраически специальным
вдоль 1А (=^0)<*=^лв...£.1в ... iL = 0. G.3.7)
Спинор флв...ь (п > 1) является изотропным вдоль |л<ф=ф-
Ав...аА = 0. G.3.8)
Как явствует из этих предложений, алгебраически специальные
и изотропные поля тесно связаны с БСК. Предположим, что спи-
спинор удовлетворяет уравнению D.14.42) для свободного безмас-
безмассового поля.
Предложение
Если выполняется уравнение VAAФав ... l = 0 и спинор
Фав ... l является алгебраически специальным вдоль 1а, то
(в области, где Фа...ь¥=0) поле Г есть БСК. G.3.9)
Доказательство. Рассмотрим открытую область, в которой
/а = |л|л' будет А-кратным ГИН спинора ф... (границу между
такими областями мы не рассматриваем; условие БСК продол-
продолжается по непрерывности). В силу предложения C.5.26) имеем
фА...Рвн...ь1а1н ... iL = 0, G.3.10)

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 229
где спинор | встречается (n — k-\- 1) раз, тогда как в уравне-
уравнении [формула C.5.24)]
<t>A...FGH...Ll" ... |L = V|,, ... SfSg, G.3.11)
где v =£= О, левая часть содержит (п — k) множителей |, а пра-
правая— Этаких множителей. Дифференцируя равенство G.3.10) и
выполняя свертку по индексу F (эта операция определена, так
как k ^ 2), получаем
= {n-k+\)<t>A...FQH...L{VPF'lQ)lH ... t =
с учетом равенства G.3.11). Поскольку v=^0,
имеем равенство
lFlQ4FF'f = b G.3.12)
и, сравнив его с G.3.1), получаем требуемый результат (см.
также работы [203, 188, 156]).
Мы увидим также, что при п = 2 справедиво утверждение,
обратное предложению G.3.9) {теорема Робинсона [294]: 1а есть
БСК =>- существует такой спинор Фав). В случае когда п > 2,
оно справедливо лишь при дополнительных жестких ограниче-
ограничениях на кривизну, которые следуют из соотношений Бухдала —
Плебаньского E.8.2) и составляют содержание следующего
предложения.
Предложение
Если безмассовое свободное поле Фа ... l со спином п/2 > 1
изотропно вдоль I", то спинор Вейля будет алгебраически
специальным вдоль I" (в области, где Фа...ьФ 0).
G.3.13)
Доказательство. Полагая в E.8.2) е = 0и
Фав ... l = х!л£в • ■ • £l>
получаем
откуда в силу предложения C.5.15) находим
В силу этого равенства требуемый результат следует из G.3.7)
при ta=tAiA'.
Теперь можно сформулировать утверждение, обратное пред-
предложениям G.3.9) и G.3.13).

230 ГЛАВА 7
Теорема [294, 316]
Если поле векторов 1а определяет БСК и аналитично, то
существует ненулевое решение уравнений Максвелла
VAA'yAB = 0, которое изотропно вдоль 1а; кроме того, если
спинор Вейля является алгебраически специальным вдоль
1а, то при всех значениях спина я/2 > 1 существует нену-
ненулевое симметричное решение уравнения Vaa<j>a ... l = 0,
изотропное вдоль 1а. В обоих случаях произвол в выборе
решения параметризуется одной голоморфной функцией
двух комплексных переменных1). G.3.14)
Прежде чем перейти к доказательству [которое мы проводим,
следуя Соммерсу [316], по аналогии с рассуждениями, идущими
после равенства G.3.22)], рассмотрим некоторые леммы о свой-
свойствах БСК. Они оказываются важными в другом контексте и
имеют отношение к задаче построения точных решений уравне-
уравнений Эйнштейна, а также к теории твисторов. Первая лемма
фактически та же, что и в работе [294] [если спинор фА ... L удов-
удовлетворяет уравнению G.3.14), то последнему удовлетворяет и
величина /(со,, (и2)Фа ... l] ■
Лемма
Пусть £л — аналитическая БСК. Тогда существуют функ-
функционально независимые комплексные скаляры со, и ю2,
такие, что
1 = 0 = lAVAA'a2,
и всякое решение оэ уравнения |лУлл'<й = 0 является голо-
голоморфной функцией величин щ и со2. G.3.15)
(В качестве важного приложения этого результата отметим, что
из мнимых и действительных частей величин coi и со2 можно
выбрать три удобные координаты в JC, «привязанные» к БСК.
Все они постоянны вдоль лучей БСК, а потому четвертая коор-
координата должна быть введена иным способом. Отметим, что гра-
градиент каждой из величины coi и со2 имеет вид %,ач\а', а поэтому
в любой точке можно образовать линейную комбинацию гра-
') Применительно к действительнозначной функции действительных
переменных термин «аналитическая» означает допускающая разложение в ряд
Тейлора. Применительно же к комплексной функции этот термин означает, что
ее действительная и мнимая части допускают разложение в ряд Тейлора и
по действительной, и по Мйнмой Части своих аргументов. Термин «голо-
«голоморфная» мы сохраняем в качестве синонима обычно используемого термина
«комплексно-аналитическая». Во всяком случае, какой бы объект, обладаю-
обладающий свойством аналитичности иа многообразии: Л, мы НИ рассматривали,-
всегда предполагаетея, что ~Ж\ а также метрика go» тоже аналитичны.

Изотропные конгруэнции 231
дйентов, равную |л|л». В конце данного параграфа мы покажем,
что можно выбрать Ю] естественным образом, если пространство
Jt вакуумное.)
Доказательство. Сначала комплексифицируем пространство Ж,
позволив координатам принимать комплексные значения в от-
открытых аналитических множествах. Поскольку все рассматри-
рассматриваемые величины аналитичны, мы получаем (при достаточно
малых мнимых частях координат) комплексное многообразие
С\Ж с голоморфной метрикой и голоморфным полем БСК \А-
[Напомним, что при «комплексификации» величин, которые и
так уже комплексны, мы рассматриваем комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженные им величины как независимые; см. текст после формулы
F.9.1).]
Далее мы вводим аналитический спинорный базис оА, i
на JC и считаем его тоже комплексифицированным, так что он
будет голоморфным на ,СЖ. Рассмотрим теперь голоморфные
векторные поля
If = IV, Va = S V. G.3.16)
Мы хотим показать, что существует комплексно-двухпараметри-
ческое семейство комплексных 2-поверхностей 2, таких, что поля
U, V являются касательными к ним. В этом случае, выбирая
в качестве параметров, постоянных на каждой поверхности 2,
величины а>ь ©2. имеем 17(ю/) = О = V(cot), i= I, 2, откуда сле-
следует лемма G.3.15). Необходимое и достаточное условие, при
котором U и V связаны с системой 2-поверхностей, указано в
следующей лемме [165].
Лемма
[U, V] = XU + \>У для некоторых голоморфных скалярных
полей X, у. на CJC. G.3.17)
Доказательство: [U, V]33' = |лУДо- (|V) - lAVAv (! V)>-
следовательно, 1в[1/, V]33' = 0 в силу условия БСК '
Из последнего равенства заключаем, что коммутатор [17, V]
имеет вид |BvB', где \в' — некоторый голоморфный спинор, и,
следовательно, должен быть голоморфной линейной комбина-
комбинацией полей U и V, что и требовалось доказать.
Тем самым мы доказали следующее предложение.
Предложение
Аналитическое поле |л есть БСК при том и только при
том условии, что все векторы вида |ЛЯ,Л' (где поле |л
аналитически продолжено на С Л) являются касатель-

232 ГЛАВА 7
ными к некоторому комплексно-двухпараметрическому
семейству комплексных 2-поверхностей в СЛ. G.3.18)
Это, по-видимому, основное свойство поля |л, удовлетворяю-
удовлетворяющего условию БСК-
В этой связи нам потребуются еще две леммы.
Лемма
Система дифференциальных уравнений V {х) = а, V (х) = Ь
[формула D.1.40)], где а и Ь — поля на Ж, интегрируема,
если U (Ь) — V (а) = Ха-\-цЬ, где X, ц — те же величины,
что и в формуле G.3.17). G.3.19)
Доказательство. Это стандартный результат [165]. Ход рассуж-
рассуждений таков: интегрируем уравнение 17(д;) = а на некоторой ли-
линии, принадлежащей 2-поверхности 2; затем продолжаем реше-
решение вне линии в направлении V, решая уравнение V(x) = Ь. Если
U(b)— V(a) = Xa-\- цЬ, то имеем
V (V (х) — а) = U (V (х)) — XV (х) — цУ (х) — V (а) =
= U(b) — XV (х) — цб — V (а) =
= -X(U(x)-a),
откуда U(x) = a на 2. (Эти рассуждения носят локальный ха-
характер и могут быть неверными для семейства в целом.)
Лемма
Уравнение 1аУаа'Х = <ха' интегрируемо относительно (ком-
(комплексного) х (для аналитической БСК 1Л). если
1Л1ВУлаА'~аА&А^а^в• Общее решение, отвечающее дан-
данному частному решению х0, имеет вид: х = х0 + f((ou ю2).
где f — голоморфная функция, а сох и ю2 — такие же, как
в лемме G.3.15). G.3.20)
Доказательство. Условие интегрируемости этого уравнения в
компонентах, отнесенных к базису оА, И, то же, что и в лемме
G.3.19) при a = ao',6 = cti'. Таким образом, аналог условия ин-
интегрируемости G.3.19) имеет вид
— IaVavolo = Хае + цен-, G.3.21)
где X и ц удовлетворяют уравнению
IaVao> (lBiBl - IaVav (lBoB') = Я|вов' + ц|в1в'. G.3.22)
Сворачивая это уравнение с ав, и сравнивая результат с G.3.21),
находим

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 233
что после некоторых преобразований приводит к искомому усло-
условию интегрируемости. Относительно общего решения см. лемму
G.3.15).
Теперь мы можем доказать теорему G.3.14). Пусть /а = |л|л'
есть заданная БСК. Нам потребуется отличное от нуля решение
безмассового полевого уравнения вида фл ... £ = х!л ■ ■ ■ S/,. т- е.
= itAVAA х) h---h + %{чАА'Ъа ~ (п - 1) У'} 1в ■ ■ ■ lL, G.3.23)
где х\ определяется как коэффициент пропорциональности
в уравнении
^AA'h = hr\A" G-3.24)
которое получается из G.3.1). Таким образом, требуется решить
уравнение
tAV^VtA( 1). G.3.25)
Подставим его правую часть вместо аА, в условия интегрируе-
интегрируемости леммы G.3.20). Используя уравнение G.3.24), после не-
некоторых преобразований приведем полученное уравнение к виду
G.3.26)
Чтобы проверить, выполняются ли эти условия интегрируемости,
удобно воспользоваться следующим представлением входящих
сюда величин (Соммерс):
G.3.27)
G.3.28)
Выражение G.3.27) получаем следующим образом:
= tAvAA, (I
= 0 + |Л|С пАСЪв =
где использовано уравнение G.3.24), а на последнем шаге —
уравнение D.9.15). Чтобы получить выражение G.3.28), возь-
возьмем производную обеих частей последнего равенства в формуле
G.3.1):
= lAtD^BA^lo + 2 (W) 1А^А%оу G.3.29)
С учетом формулы B.5.23) и D.9.15) первое слагаемое во вто-
второй строке может быть записано в виде
*Ль T7A'pD \Tf pAbCtD I рАь у УЛ'?^> G 3 30^
В ё ёвудЬ гЛВС^ё S 9 ^S ЬвУЛЛ'уд5 ■ V-O-OV)
DA'

234 ГЛАВА 7
Аналогично соотношению G.3.24) введем величину £л' с по-
помощью первого из следующих равенств:
■ Ыа- := 1в?аЛв = 4"S* ^aa'Ib + ЧвЛА + е^VDA-lD) =
= 4М?л' + Лл'-?од,1°). G-3.31)
Таким образом,
?л' = Лл'-^°- G-3.32)
Тогда последнее слагаемое в уравнении G.3.29) преобразуется
к виду
(£°) W A1 Ы* $Т- G-3.33)
В силу равенства G.3.29) сумму в правых частях равенств
G.3.30) и G.3.33) можно положить равной нулю, а отсюда сле-
следует выражение G.3.28). Теперь с учетом равенств G.3.27) и
G.3.28) условие интегрируемости G.3.26) непосредственно пре-
преобразуется к виду
(п - 2) 4>ABCDt44D = 0, G.3.34)
чем доказывается основная часть предложения G.3.14). Остав-
Оставшаяся часть, а именно степень произвола в выборе решения, мо-
может быть установлена с помощью леммы G.3.20): к In % [фор-
[формула G.3.25) ] можно добавлять любую голоморфную функцию
величин со! и Ю2, а следовательно, саму функцию ty можно умно-
умножать на такую функцию.
Обобщенная теорема Голдберга — Сакса
Теперь перейдем к другому важному результату, относяще-
относящемуся к БСК, а именно к теореме Голдберга — Сакса [113]. Мы
представим ее обобщенную формулировку [175, 295] (доказа-
(доказательство дано Соммерсом):
Предложение
Три условия:
I. 1А есть р-кратное ГГИН B<р<4);
П. 1А есть БСК;
III. 1А ... tcVDD'xirABCD = Q [E-p) множителей |];
следующим образом взаимосвязаны:
при р = 2, 3 или 4 имеем I и П=ф-П1, а также
I и 1П=>П;
при р = 2 имеем II и III=s»I':=:I при р = 2, или 3,
или 4. G.3.35)
Замечание. В первоначальной формулировке теоремы Голдбер-
Голдберга — Сакса утверждалрсь? что всюду неплоская вакуумная мет-

Изотропные конгруэнции 23!з
рика допускает кратные ГГИН 1а в том и только в том случае,
если 1а есть БСК. Очевидно, что это частный случай теоремы
G.3.35), поскольку условие III при р = 2 есть следствие вакуум-
вакуумного тождества Бианки ^dd'^abcd = О-
Доказательство. Для определенности положим р = 2. Переписы-
Переписывая условие I в виде %а\в1Сл¥ ABCd = 0, затем дифференцируя
обе части этого равенства и, наконец, используя представление
|(л|еасРо) (где ни ал, ни рл не пропорциональны |д) для
имеем
= S I S V XYABCD +
где W — отличный от нуля скаляр. Из G.3.1) теперь ясно, что
I и 11=^ III, а также I и Ш=ф-П. При р = 3 и р = 4 доказа-
доказательство вполне аналогично.
Чтобы доказать соотношение II и III (p = 2)=>V, заметим,
что вследствие утверждения G.3.2) поле |д есть ГГИН, а отсюда
следует равенство IaIbIcWABcd = *|o при некотором х. Наша
цель — показать, что л: = 0. Вычисление производной дает
1A1B1CVDD'WABCD + W ABCDt\B4DD\c = 1DVDD'X + x4DD'lD.
G.3.36)
Если выполнено условие III (при р = 2), то первое слагаемое в
левой части равно нулю. Чтобы преобразовать второе слагаемое,
положим Wabcd = |(даврс7о)- Тогда оно запишется в виде
что в силу равенств G.3.24) и G.3.31) эквивалентно выражению
Последнее слагаемое в G.3.36) упрощается с помощью уравне-
уравнения G.3.32). Таким образом, равенство G.3.36) при х¥=0 мож-
можно переписать в виде
l^^, (In х) = 2Лл, + 4?л, = 6цА, - 4VDA,lD. G.3.37)
Чтобы проверить, существует ли решение этого уравнения отно-
относительно In л:, подставим его правую часть в условия интегри-
интегрируемости леммы G.3.20) вместо аА' Это дает
) = 1в«лV' = 41ВПЛ£Я G.3.38

236 ГЛАВА 7
что с помощью тождеств G.3.27) и G.3.28) сразу же преобра-
преобразуется к виду Wabcd %a%b%d = 0. Отсюда следует, что х = 0, а
это противоречит исходному предположению, чем и доказывает-
доказывается требуемое утверждение.
Мы приведем еще альтернативное, прямое доказательство
теоремы Голдберга — Сакса, в котором используется модифици-
модифицированный формализм спиновых коэффициентов, изложенный в
гл. 4, § 12. (Основная идея этого доказательства была предло-
предложена в работе [217].) Для простоты мы будем доказывать тео-
теорему в ее первоначальной формулировке, хотя аналогичные рас-
рассуждения справедливы и для обобщенной теоремы. Итак, тре-
требуется доказать, что если выполняются вакуумные тождества
Бианки, то Г<=^П. Предположим, что выполнено условие I
при р = 2, т. е. [формула D.11.6)] 4r0 = 4ri=0, у¥2¥=0. Вспо-
Вспоминая, что в вакууме Ф(/- = 0 и Л = 0, из тождеств Бианки
D.12.36) находим, что и = 0, а из формулы1) D.12.39)' сле-
следует, что а = 0, т. е. условие II. Аналогично, если р = 3, т. е.
Wo = Yi = W2 = 0, W3¥=0, из D.12.37) и D.12.38)' соответ-
соответственно находим х = 0 и а = 0. Наконец, при р = 4, т. е. при
Ч?о = Yi = W2 = ЧЛз = 0, 4*4 ¥= 0, аналогичную роль играют урав-
уравнения D.12.38) и D.12.37)' соответственно.
Пусть теперь выполнено условие II, т. е. % = а = 0. Из
G.3.2) видим, что в этом случае Wo = 0. Поэтому требуется по-
показать, что 4*1 = 0. Опустим тривиальный случай р е= 0 в от-
открытой области; в этом случае D.12.32д) сразу получаем требуе-
требуемое условие Wi = 0. Если всюду в открытой области р =#= 0 (на
границу области рассматриваемые соотношения продолжаются
по непрерывности), то можно выполнить преобразование И"—>
i—> iA -\-(ооА. При этом х и а остаются неизменными, но индуци-
индуцируется преобразование ti—>x-\-ap, с помощью которого можно
добиться равенства т = 0. Предположим теперь, что Wi ф 0.
Тогда уравнение D.12.36) дает
, р„ G.3.39)
а из D.12.39)' находим
6^1 = 0. G.3.40)
Вычисляя смешанные производные и образуя разность получен-
полученных уравнений, получаем
(рд - вр) % = 0-д DрЧг1) = 4 OF,J, G.3.41)
где использованы уравнения G.3.40), D.12.32г). Выражение для
этой же смешанной производной можно найти из D.12.34), ис-
•) Здесь, как и всюду в данной книге, штрих у номера формулы, как,
например, D.12.39)'. означает, что к этой формуле применена операция
«штрих» D.5.17Д.

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 237
пользуя уравнения G.3.39) и G.3.40):
(рд - др) ¥, = (рб - т'р - 24S) Y, = (-4т'р - 2W,) ¥,,
где также учтено, что Wx есть величина типа {2, 0} [формула
D.12.25)}. Сравнивая эти два выражения, получаем Ti =
= — B/3)т/р, или Чг1 = 0. В то же время из D.12.32в) следует
равенство Чг1=т'р [=— (З^)^], т. е. 4ri = 0, что и требова-
требовалось доказать.
Теорема Голдберга — Сакса в ее первоначальной формули-
формулировке применима не только к вакуумной, но и к любой другой
метрике, которая конформна вакуумной. Действительно, при
конформном преобразовании условие и = а = 0 сохраняется, а
вместе с ним сохраняются условие изотропности и бессдвиго-
вость конгруэнции. Поскольку же не изменяется спинор Вейля,
не изменяются и ГИН, а следовательно, справедливо наше
утверждение.
Конформные изменения масштаба не влияют на условия I
и II теоремы Голдберга — Сакса. Поведение условия III при кон-
конформных преобразованиях можно определить из соотношения
^ ^ + ОГ^'Чавсо, G.3.42)
которое следует из E.6.15). Оно показывает, что условие III
конформно-инвариантно в том и только в том случае, если вы-
выполнено условие I.
Приведем интересное следствие обобщенной теоремы Голд-
Голдберга — Сакса, которое было доказано Робинсоном и Шильдом
[295].
Предложение
Гравитационное поле, создаваемое полем, Максвелла с
бессдвиговыми лучами, является алгебраически специаль-
специальным. G.3.43)
Поле Максвелла щв называется полем Максвелла с бессдвиго-
бессдвиговыми лучами, если по крайней мере одно из его ГИН [формула
E.1.39)] образует БСК- Из предложения G.3.9) следует, что все
электромагнитные изотропные поля являются полями с бессдви-
бессдвиговыми лучами. Отметим, что и неизотропные поля могут обла-
обладать этим свойством; пример — поле Райсснера — Нордстрема
(«заряженное шварцшильдовское»). Отметим также, что предло-
предложение G.3.43) нельзя рассматривать как частный случай пред-
предложения G.3.13) для изотропных полей, поскольку G.3.13) от-
относится к пробным полям, т. е. к таким, которые не входят в
источник гравитационного поля в уравнениях Эйнштейна. Для
доказательства предложения G.3.43) достаточно заметить, что

238 ГЛАВА 7
условие III в G.3.35) при р = 2 выполняется вследствие эйн-
штейн-максвелловских тождеств Бианки E.2.7), представления
флв = 1(лав) и условия G.3.1) для £А.
Координаты Керра
В заключение данного параграфа мы приведем результат
Керра [157], который особенно важен при изучении алгебраи-
алгебраически специальных точных решений вакуумных уравнений Эйн-
Эйнштейна.
Лемма (Керра)
Если |л есть аналитическая БСК и выполняются уравне-
уравнения ЧгЛВС£>|'4|в|с = 0, Флвсо'1'41в = 0, то существуют ком-
комплексные скаляры %, Ф, такие, что £А^6|Л = Х^ьоэ.
G.3.44)
Доказательство. Комплексифицируем JC и перейдем к СЖ- Нам
нужно показать, что величина
Sb:=lAVblA G.3.45)
(в смысле комплексных переменных) на CJC пропорциональна
некоему градиенту. Это возможно при условии [формула
G.1.59)] *(V[aS6])S6 = 0, т. е. в силу формулы C.4.23) [ср. с
формулой G.1.60)] при условии
SAB\aSb] = 0. G.3.46)
Далее,
V[aS6] = icV(aV6]|c + (V[a|C) (V6]|c) =
= 4" EA'B'XABEClElC + (Valc) (V ic), G.3.47)
где использовано уравнение D.9.7), а также заданное условие
для Флвсо'. Из того что |л есть БСК, следует равенство
3*" = %*?' G.3.48)
[формула G.3.31)], которое после свертки с G.3.47) дает
,ic)(?B'VBB,ic), G.3.49)
где слагаемое, содержащее спинор X, выпало в силу формулы
D.6.35) и заданного условия для Wabcd- Правая часть равенства
G.3.49) преобразуется к виду [формула G.3.24)]
п ЬСгВ'Т7 р — ~ f-B'f- ?■ — Г)
Тем самым доказано равенство G.3.46), а вместе с ним и лемма.
Напомним, что величина S& была определена ранее в фор-
формуле G.1.31) как мера изменения направления флагштока |л.

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 239
При масштабном преобразовании |Л1—э-Л|л она преобразуется
по закону S&i—s-A,2S&, что позволяет нормировать ^ на единицу:
|лТ&|л = V&ffl.- Отметим, что если удовлетворяются вакуумные
уравнения Эйнштейна или уравнения Эйнштейна — Максвелла
с' космологическим членом или без него (в первом случае спи-
спинор |л должен совпадать с ГИН электромагнитного спинора
Флв), то выполняется второе из условий для кривизны в лемме
Керра [формула E.2.6)], а также условие III обобщенной тео-
теоремы Голдберга — Сакса G.3.35) как следствие вакуумных эйн-
штейн-максвелловских тождеств Бианки E.2.7) и, таким обра-
образом, остальные два условия леммы Керра будут следовать одно
из другого. Действительная и мнимая части величины со играют
роль естественных координат для многообразий пространства-
времени такого типа и используются при отыскании точных ре-
решений1). Аналогично можно в случае расходящихся лучей
(О) ввести естественные спиновые системы отсчета, связан-
связанв\А в
)
ные с %А и f, так что
§ 4. БСК, твисторы и геометрия лучей
Существует глубокая внутренняя связь между БСК в про-
пространстве Минковского и однородными голоморфными функ-
функциями твисторов. Мы проиллюстрируем эту связь на ряде кон-
конкретных результатов, первый из которых был получен Керром
до появления теории твисторов. Будут приведены как первона-
первоначальная формулировка теоремы Керра, так и ее твисторный ва-
вариант. Далее в оставшейся части параграфа мы покажем, как
идеи твисторов могут быть использованы в искривленном про-
пространстве-времени, и в заключение приведем формулировку тео-
теоремы Керра, справедливую (по отношению к гиперповерхности)
в общем случае произвольного пространства-времени.
Первоначальная формулировка теоремы Керра
В пространстве Минковского IV! введем спинорные коорди-
координаты
а = *°°\ ? = *01', l = xw, v = x"', G.4.1)
в которых компоненты ха радиус-вектора точки вычисляются по
отношению к неподвижной спиновой системе отсчета ол, iA. Сле-
Следовательно, метрика записывается в виде
ds2 = 2dudv - 2dld\. G.4.2)
>) См., например, работы [158, 159, 295, 279, 172].

240 ГЛАВА 7
Величины хкк связаны со стандартной системой координат
Минковского ха соотношением C.1.31). Поскольку координаты
принимают комплексные значения, мы вводим обозначение £
вместо £. Предположим, что |д есть БСК, т. е.
1Ч*1ллЬв = 0, G.4.3)
и выберем такой масштаб на |д, чтобы выполнялись соотно-
соотношения
1о=-11=1, ё1 = !° = Я. G.4.4)
Таким образом, комплексным числом X определяется изотропное
направление БСК, в каждой точке совпадающее с направлением
флагштока спинора |л. Через спинорные координаты точки об-
общего положения это направление задается соотношением1)
du + Ы1 = 0 = di + X dv, G.4.5)
эквивалентным равенству |д^АА =0.
Рассмотрим теперь соотношение G.4.3) как уравнение отно-
относительно неизвестной X, зависящей от переменных и, £,, £. Под-
Подставляя G.4.4) в G.4.3) и учитывая, что спиновая система от-
отсчета образована постоянными спин-векторами, получаем си-
систему уравнений для X:
« ~d% дХ « дХ дХ ,_ . дч
X —}— = —=-, А-^г-=-^—. G.4.о)
du д£ ' д£ dv K '
Можно положить
так что
Тогда
1) В этих (и других) формулах символ d можно понимать либо «по-
старому», т. е. представлять себе величину dxa (и Ьха) как вектор (или бес-
бесконечно малое смещение) в точке с радиус-вектором х", либо в более «совре-
«современном» смысле как векторнозначную дифференциальную форму. При первом
понимании равенство Aadx" = 0 означает, что вектор dxa принадлежит эле-
элементу гиперплоскости, определяемому вектором Аа; при втором — мы гово-
/рим, что этим свойством обладают векторы, на которых 1-форма Aadxa
*•= А^ принимает нулевые значения.
Таким образом, рассматриваемое уравнение %А dxAA' = 0 показывает, что
соответствующие векторы направлены параллельно флагштокам спинора |А.

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 241
откуда следует, что dX = 0, если выполняется равенство du +
+ Xdt, = 0 = dt,-\-Xdv. Поэтому X — постоянная величина, если
постоянны величины и + Я£ и £; + Xv. В теории функций действи-
действительных переменных доказывается, что в этом случае должно
существовать функциональное уравнение
ф(А., u + Xl,Z + Xv) = 0, G.4.7)
где г|>(а, р, у)— произвольная функция переменных а, р, у [59].
Этот результат непосредственно неприменим в нашем случае,
поскольку в пространстве Минковского действительны только
и и v, тогда как величины £ и £ комплексно-сопряжены, а вели-
величина Я тоже комплексна. Эту трудность можно обойти, если
принять, что X — аналитическая функция переменных и и v, a
также действительной и мнимой частей переменной |. В этом
случае процедура комплексификации, изложенная в § 3, позво-
позволяет перейти от М к СМ, так что при этом и и v приобретают
мнимые части, а £ и £, становятся независимыми комплексными
переменными. Если X продолжается на комплексные значения
этих переменных как голоморфная функция, то метод реше-
решения G.4.7) формально применим при условии, что функция
\!р(а, р, 7) голоморфная. Более того, при указанных ограничениях
на X справедливо обратное утверждение о том, что уравнение
G.4.7) дает общее решение системы G.4.6). Без таких ограни-
ограничений на X указанный результат может оказаться неверным.
[В самом деле, в М существуют неаналитические БСК, напри-
например система изотропных лучей без вращения, пересекающих
неаналитическую кривую. Вообще говоря, их нельзя получить
указанным способом, если не вводить некую предельную про-
процедуру. БСК с вращением тоже могут быть неаналитическими,
но в этом случае можно показать, что решение вида G.4.7)
определено; см. замечания в конце параграфа]. Итак, мы
имеем.
Теорема (Керра)
Произвольную аналитическую БСК в М локально можно
получить, выбрав произвольную голоморфную функцию
ty(a, P. У) трех комплексных переменных а, р, у и поло-
положив -ф (Я, и + X I, t, + Xv) = 0. Решив это уравнение отно-
относительно X, можно найти направление БСК в каждой
точке (и, £,, £, и) пространства М с помощью соотношений
G.4.5) {и, v — действительные величины, £, — комплекс-
комплексная). G.4.8)

242 ГЛАВА 7
Твисторная форма теоремы Керра
Теперь переведем этот результат на язык твисторов. Опреде-
Определим (дуальный) твистор Wa соотношением 1)
УаЛ&А, -ЦАх™) G.4.9)
[формула F.1.22)]. С учетом равенств G.4.1) и G.4.4) полу-
получаем компоненты твистора Wa (относительно фиксированного
начала отсчета j" = 0 и заданной спиновой системы отсчета)
в виде
Wa = (l, Я, -i(u + Xl), -i(Z + Xv)). G.4.10)
Если учесть формулу F.1.26), то выражением G.4.9) гаранти-
гарантируется, что точка Р с координатами ха лежит на Э-плоскости
CW с СМ. Напомним: р-плоскость есть геометрическое место то-
точек в СМ, в которых обращается в нуль главная часть твистора
Wa (см. гл. 6, § 2, 81 и гл. 9, § 3). Эта комллексная 2-пло-
скость определяет твистор Wa с точностью до множителя. Если
координаты ха действительны, то твистору Wa отвечает действи-
действительная изотропная линия W, проходящая через точку Р в на-
направлении флагштока спинора |4.
Заметим, что аргументы функции aj> в формуле G.4.7)—это
по существу компоненты твистора Wa. В самом деле, уравнение
G.4.7) можно переписать в виде
t(W,, fW2, iWs) = 0. G.4.11)
Мы можем избавиться от нормировки Wo= 1 для т"вистора Wa
[которая подразумевается в формуле G.4.4): |0=1], заменив
■ф однородной голоморфной функцией твистора Wa:
G.4.12)
где целое число k (степень однородности функции у) мы можем
выбирать по своему усмотрению. Уравнение G.4.11) теоремы
Керра напишется в виде
X(Wa) = 0. G.4.13)
Как мы уже видели, это означает, что поле спин-векторов |л
аналитично и образует БСК. Но направление флагштока спино-
') Выбор твистора валентности [jj диктуется тем, что для определения
конгруэнции мы использовали нештрихованный спин-вектор %а. В случае
штрихованного спин-вектора мы ввели бы твистор Wa, для которого Ъ,А, слу-
служит проекционной частью, и соответствующая теория была бы «сопряжен-
«сопряженно»» к той, которая излагается здесь.

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 243
pa |д совпадает с направлением светового луча W, проходящего
через точку Р. Отметим также, что ввиду геодезичности БСК
флагшток спинора |л будет касательным к лучу W в каждой
точке. Изотропными твисторами, удовлетворяющими условию
%(Wa) = 0, определяется конгруэнция лучей W, которая совпа-
совпадает с исходной БСК. Таким образом, получаем твисторную фор-
формулировку теоремы Керра.
Теорема
В общем случае аналитической БСК в М такая БСК есть
система лучей W в М, локально определяемая изотроп-
изотропными твисторами Wa, удовлетворяющими уравнению
% (Wa) = 0, где % — произвольная голоморфная однородная
функция твистора Wa. G.4.14)
Существуют и другие, «более геометрические» (бескоорди-
(бескоординатные) доказательства этой теоремы. Одно из них основано на
предложении G.3.18). Всякая E-плоскость CW есть множество
точек, радиус-векторы которых представимы в виде хАА' + £>А£,А',
где хАА' и \А те же, что и в формуле G.4.9), а спинор t,A' играет
роль переменного параметра. Касательные векторы записыва-
записываются в виде %АЕ,А' при тех же значениях |л, а следовательно, CW
есть комплексная 2-поверхность, которая определена в предло-
предложении G.3.18). Как указано в G.3.18), условием аналитичности
БСК будет существование голоморфного 2-параметрического се-
семейства этих 2-плоскостей, такого, что векторы вида [1А£,А' каса-
тельны к ним при всех значениях t,A'. Поскольку всякая E-пло-
скость CW определяется твистором Wa, фиксированным с
точностью до множителя, можно задать голоморфное 2-парамет-
рическое семейство р-плоскостей CW с помощью 3-параметриче-
ского семейства (дуальных) твисторов Wa, инвариантного от-
относительно преобразования Wa-^-^Wa(^O). Очевидно, что
такое 3-параметрическое семейство можно получить, приравняв
нулю однородную голоморфную функцию (W)
Линейные и квадратичные функции твисторов;
момент импульса
Два класса функций %(Wa), определяющих БСК, представ-
представляют особый интерес. Во-первых, если функция % линейна по
Wa, то на основании теоремы G.4.14) мы получаем в общем
случае конгруэнцию, которая уже встречалась в теории твисто-
твисторов, а именно конгруэнцию Робинсона. Она определялась по
БСК-спинорному полю сол, ассоциированному с заданным тви-
твистором Za, так что Za -*-♦■ (а>л, па') (гл. 6, § 2). Как было по-
показано в формуле F.2.5), ее образующими являются изотроп-

244 ГЛАВА 7
ные линии W, ассоциированные с твисторами Wa, которые
удовлетворяют условию WaWa = 0 = ZaWa. Поэтому теорема
G.4.14) приводит к конгруэнции Робинсона для заданного твй-
стора Za, если функцию % выбрать в виде
X(Wa) = ZaWa. G.4.15)
Итак, конгруэнции Робинсона возникают, если % в теореме
G.4.14) или, что эквивалентно, л|з в теореме G.4.8) есть произ-
произвольная линейная функция.
Чтобы определить второй класс функций, рассмотрим (сопря-
(сопряженный) твистор момента импульса Аа$ общего вида, который
мы определили соотношением F.3.11), и положим
p. G.4.16)
Если в качестве базовой выбрать точку Р, то Wa запишется
в виде
, 0). G.4.17)
Следовательно, с учетом формулы F.3.11) имеем
0 G.4.18)
в точке Р, если только выполнено условие x(Wa) = 0. Здесь
спинор Длв (= р.вл) связан с моментом импульса МаЬ относи-
относительно точки Р соотношением F.3.10):
и, следовательно, соотношение G.4.18) показывает, что БСК,
определяемая функцией G.4.16), образована лучами, которые в
каждой точке совпадают с ГИН тензора момента импульса.
В частном случае, когда спин равен нулю (но масса отлична от
нуля), конгруэнция образована световыми лучами, которые пе-
пересекают (прямую) времениподобную мировую линию центра
масс у. В этом случае конгруэнция ортогональна системе гипер-
гиперповерхностей (а ее лучи образуют изотропные гиперповерхно-
гиперповерхности) , которые будут световыми конусами точек линии у. При
наличии спина конгруэнция носит более общий характер и об-
обладает вращением, зависящим от спина. Всякую такую конгру-
конгруэнцию можно получить как линейный предел ГГИН конгруэнции
решения Керра вакуумных уравнений Эйнштейна, изображаю-
изображающего вращающуюся черную дыру или содержащего голую син-
сингулярность. В случае нулевой массы покоя конгруэнция распа-
распадается на две части, поскольку в силу формулы F.3.2) имеем
Ддв = ш<ляв). Таким образом, одна часть будет конгруэнцией
Робинсона, определяемой спинором оИ, а другая — системой па-

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 245
раллельных лучей, определяемых спинором ле и ориентирован-
ориентированных в направлении 4-импульса.
В случае произвольного времениподобного импульса локаль-
локально имеем две конгруэнции (т. е. через каждую точку проходят
два луча), которые, однако, сцеплены глобально в том смысле,
что существует непрерывный путь перехода от одной конгруэн-
конгруэнции к другой. Если %(Wa) — полином порядка /г, а не порядка 2,
как в формуле G.4.16), то мы имеем п таких конгруэнции, сцеп-
сцепленных глобально.
Связь с твисторными функциями безмассовых полей
Рассмотрим теперь приложения к безмассовым полям.
В предложениях G.3.9) и G.3.14) мы уже видели, что сущест-
существует тесная связь между БСК и алгебраически специальными
безмассовыми полями. Эта связь проявляется, например, в двух
основных приложениях голоморфных функций твистора Wa, ко-
которые мы уже рассматривали выше, а именно в теореме G.4.14)
и формуле F.10.1), позволяющей получать решения безмассовых
полевых уравнений. Чтобы проиллюстрировать характер этой
связи во втором случае, предположим, что функция f в выра-
выражении
^ab...l = ^%^b ... XLf(XR, -iXRx™')XpdXp G.4.20)
имеет /fe-кратный полюс в заданной точке х°, охватываемой кон-
контуром интегрирования. Если в этом полюсе спинор ХР пропор-
пропорционален |р, то имеем
J. fc£> tL — (С, 1 1 f\ iD\k
— iXRx™')XPdXp = 0 G.4.21)
(в левой части содержится k множителей g), так как полюс га-
гасится множителем (XD%D)k. Таким образом, в силу предложения
C.5.26) поле <j>A L в точке ха имеет по крайней мере
(п — &+1)-кРатное ГИН вдоль флагштока спинора |д. Если
этот полюс порядка k сохраняется при изменении ха, то функ-
функция f должна иметь вид
/(Wa) = 9(Wa){x(Wa)}-fe, G.4.22)
где 9 — однородная голоморфная функция, регулярная в рас-
рассматриваемых полюсах, которые определяются из условия ра-
равенства нулю знаменателя
Х(£*. -HRxRR') = Q G.4.23)
при переменных значениях xf. Мы полагаем, что интересующие
нас нули функции % — простые, а также что х — однородная и

246 ГЛАВА 7
голоморфная функция. Сравнивая этот результат с G.4.9) и
G.4.13), мы видим, что поле |л образует БСК, как и ожидалось.
Особый интерес представляют функции f вида
a) = (BafJWaWp)
3
При всех значениях xR%' имеем два полюса третьего порядка;
располагая контур интегрирования между ними, получаем гра-
гравитационное поле в линейном приближении, которое в каждой
точке имеет две пары кратных ГИН (типа {2, 2}). Линейное
приближение к решению Шварцшильда и Керра принадлежит
к этому типу (кулоновское электромагнитное поле тоже принад-
принадлежит этому типу с заменой показателя —3 на —2). Если те-
теперь воспользоваться процедурой вычисления твистора момента
импульса Аар, изложенной в гл. 6, § 4, 10, то получим, что он
пропорционален матрице, обратной матрице ВаР и деленной на
квадратный корень из ее детерминанта. Таким соотношением
между Вар и Аар объясняется аномалия в знаке спина, ассо-
ассоциированного со спинором Киллинга для решения Керра, упо-
упоминавшегося на с. 135.
Отметим, что при k = n мы вновь получаем поле |я, которое
образует БСК, тогда как ГИН будут простыми. Это не озна-
означает, что простые ГИН безмассовых полей всегда образуют
БСК. Однако поля, которые получаются по формуле G.4.20),
принадлежат к специальному типу, когда функция f имеет вид
G.4.22). При k = n это проявляется не в том, что поле явля-
является алгебраически специальным, а в том, что оно содержит
лучи (ГИН), образующие БСК. Чтобы получить поле фл...ь
общего вида, потребовалось бы рассматривать функции f с осо-
особенностями более общего типа, чем полюса.
Интересно сопоставить результат G.4.22) с теоремой Робин-
Робинсона G.3.14) об изотропных полях. Поле G.4.20) будет изотроп-
изотропным, если в формуле G.4.22) мы имеем k = 1 (когда контур
охватывает этот простой полюс). Следовательно, в интеграл
G.4.20) дают вклад только значения функции 9 (Wa) в полюсах
функции %, т. е. существенны значения 9 лишь при % = 0. Гео-
Геометрическое место точек, где % = 0, будет комплексно-трехмер-
комплексно-трехмерным подмножеством множества Та. которое заметают линии,
проходящие через начало координат. Следовательно, семейство
таких линий будет комплексно-двумерным. Поскольку 9 — одно-
однородная функция, это означает, что интересующие нас значения 9
определяются двумя комплексными параметрами. Таким обра-
образом, формула G.4.20) позволяет, исходя из БСК, получать в М
изотропные безмассовые поля с любым значением спина л/2^1.
Эти БСК определяются нулями функции % (теорема Керра), а
произвол в значениях получаемого изотропного поля (теорема

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 247
Робинсона) определяется множеством значений функции 9 в ну-
нулях функций х- Все аналитические безмассовые изотропные поля
в М локально допускают подобное представление1).
Определенный интерес представляет обобщение этого резуль-
результата на случай алгебраически специальных полей меньшей
кратности вырождения (не все ГИН совпадают). Поскольку те-
теперь в формуле G.4.22) мы имеем k > 1, для нас существенны
не только значения 9 при % = О, но также (k— 1) первых про-
производных 9 при % = О, вычисленных в направлении от множе-
множества, определяемого этим уравнением. Это означает, что факти-
фактически мы должны рассматривать k голоморфных функций двух
комплексных переменных. Таким образом, интегральная фор-
формула G.4.20) позволяет получать безмассовые поля со спином
1/2, для которых заданная аналитическая БСК будет по мень-
меньшей мере (п— &+1) -кратной ГИН. Полученные поля пара-
параметризуются k голоморфными функциями двух комплексных
переменных.
Покажем, как можно переписать формулу G.4.20) в обозна-
обозначениях G.4.1) — G.4.4). Вычисляя компоненты функции G.4.20)
в постоянной спиновой системе отсчета и записывая
*r = *o...oi...p G.4.24)
так что индекс в правой части содержит (п — г) нулей и г еди-
единиц, получаем
фг = ф XrF (X, u + Xt,, Z, + Xv)dX (r = 0 n), G.4.25)
где
F(a, P, v) = /(Wn), Wa = (l, o, — fp, —iy), G.4.26)
причем F — произвольная функция, голоморфная в области, не
включающей области сингулярностей, охватываемых контуром
интегрирования. Как нетрудно убедиться, выполняются уравне-
уравнения
—r.±L = —-Lt —!±L=—L (r = 0 л—1),
ди д£ dt, dv У
являющиеся компонентами безмассового полевого уравнения
D.12.42) при п > 0. Кроме того, мы имеем волновое уравнение
') Заметим в историческом плане, что перевод этой комбинации теорем
Робинсона и Керра на язык твисторов оказался весьма плодотворным и при-
привел к построению (в контексте теории твисторов) первоначальных представ-
представлений полей в виде контурных интегралов, рассмотренных в гл. 6, § 10
[241, 264]. По существу это теоремы о том, что изотропное поле описывается
голоморфной функцией на голоморфной поверхности в (проективном) тви-
сторном пространстве. Ключевую роль сыграла идея рассматривать такую
доверхиость как полюс, а голоморфную функцию — как вычет в этом полюсе:

248 ГЛАВА 7
для метрики G.4.2)
дЧ д
dudv
которое показывает, что спин 0 также учтен в выражении
G.4.25) (при п = 0 = г).
Пространства PJP и Jf; инвариантная контактная структура
Перейдем теперь к общему случаю произвольного простран-
пространства-времени Ж. Мы увидим, что идеи теории твисторов плодо-
плодотворны и в этом случае.
В § 1 мы показали, что, хотя изопараметричность некоего
луча соседнему лучу ц определяется локально, в действитель-
действительности она является глобальным свойством: если она имеется в
одной точке луча ц, то она имеется и во всех других его точках.
В § 2 мы показали, что то же справедливо для условия отсут-
отсутствия вращения пучков лучей, близких к лучу ц и изопараметри-
ческих ему. Следовательно, эти два свойства отвечают некото-
некоторой инвариантной структуре в пространстве PJF, каждая точка
которого изображает определенный луч в .Ж1).
Обозначение PN аналогично тому, которое использовалось
в гл. 6, § 10 и гл. 9, § 3, где (см. с. 370) через PN обозначено
пространство проективных изотропных твисторов в М. Эле-
Элементы пространства PN— изотропные твисторы, заданные с точ-
точностью до множителя, а поэтому (если не считать, что PN со-
содержит еще и «бесконечно удаленные лучи», см. гл. 9, § 3) PN
можно рассматривать как пространство лучей в М- Но опреде-
определение не проективного пространства N изотропных твисторов со-
содержит дополнительные требования к спинору паг в каждой
точке луча: его флагшток должен быть касательным к лучу, а
весь спинор должен переноситься вдоль луча параллельно. По-
Положив оА=лА, мы получаем определенного рода (аффинную)
параметризацию (scaling) луча ц и базовое полотнище флага,
которые применялись ранее в данной главе. Строго говоря, спи-
спинор ла' относится к пространству N* (или 1Ма) изотропных
[ц]-твисторов. Нештрихованный же спинор оа относится к про-
пространству N. (или Na) изотропных [ J ]-твисторов, комплексно-со-
пряженному с пространством N*. (Проективные образы этих
пространств PN* и PN. по существу одинаковы.) По аналогии с
точками пространства N. мы определим теперь точку простран-
') При некоторых условиях определенное таким образом пространство
PSP может оказаться нехаусдорфовым (см. работу [245], а также т. 1,
с. 232). Но если Ж — глобально гиперболичное пространство [125, 245] или
наш подход является локэльным, то пространство РЛ° будет хаусдорфовым,

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 249
ства Л*, как пару: луч в Ж и спинор оА, флагшток которого ка-
сателен к лучу и который переносится вдоль луча параллельно.
Пространство Л" определяется аналогично, однако роль спи-
спинора оА играет штрихованный спинор пА>. Здесь мы будем иметь
дело почти исключительно с пространствами Jf, и PJf., а по-
потому ради простоты примем для них упрощенные обозначения
Jf и PJf в тех случаях, когда не требуется подчеркнуть их от-
отличие от Jf' и PJf'.
Одно из преимуществ пространства Jf перед PJf в том, что
оно допускает интерпретацию меры неизопараметричности
h = q% G.4.27)
[формулы G.1.39), G.1.43)], а не только условия h = 0. В силу
формул G.1.65), G.1.66), G.4.27) имеем представление
h = iUa6Ua = - Шаб0а G.4.28)
для твистора Ua s Na, и вскоре мы покажем, что аналогичная
формула справедлива в Jf, если использовать формализм ло-
локальных твисторов (гл. 6, § 9) в некоторой точке рассматривае-
рассматриваемого луча. Аналогично мера вращения, т. е. либо LH [где L —
яркостный параметр, а t — вращение, см. формулы G.1.51),
G.1.48), G.2.16)], либо более общая характеристика — симп-
лектический инвариант 2, определенный в формуле G.2.18),
также допускает в Jf прямую интерпретацию.
Чтобы найти выражение для величины 2, рассмотрим луч _ц
в пространстве М, а также два соседних с ним луча v и v.
Представим ц, v и v твисторами Ua, Ua + SUa и Ua + §Ua<=Na-
Выбирая начало координат в точке Ре ц, имеем [здесь qa = bxa,
qa=lxa,cM. формулы G.1.62) —G.1.64)]
Ua «^ (OA, 0),
W (q2), G.4.29)
Далее, опуская слагаемые третьего порядка, находим
- (iqaoA>, qbVboA') (q"VboA, - iqaoA) =
= iqaqboA'VbOA — iqbqaoA4boA' — iqaqboA'VboA +
+ iq"qaoAVbOA' = iqaqbVbla - iqaqbVbta ==
= iqaDqa-iqaDqa = 2tZ G.4.30)

250 ГЛАВА 1
[с учетом условий £оа = 0, £qa = 0, см. формулу G.1.29)].
11
Предпоследняя строка в формуле G.4.30) может быть переписа-
переписана в виде
2iqlaqbWlalb], G.4.31)
а это в силу изложенного в § 1 есть произведение мнимой еди-
единицы на квадрат яркостного параметра и на вращение, когда
лучи v и v изопараметричны лучу ц. В случае неизопараметри-
ческих лучей дополнительная информация, содержащаяся в вели-
величине G.4.31), состоит лишь в том, как изменяется масштаб
(scaling), задаваемый вектором L, при переходе от луча к лучу.
В частности, выражение G.4.31) равно нулю при всех значениях
векторов qa, qa в том (и только в том) случае, если поле 1а есть
поле некоего градиента [р = р, т = а + Р;см. формулу G.1.57)],
а не всего лишь пропорционально градиенту [р = р, см. формулу
G.1.58)], что мы имеем, если выражение G.4.31) обращается
в нуль только для изопараметрических лучей (когда qala = 0 =
= qala)- Отметим, что здесь автоматически выполняется равен-
равенство х = 0 = е.
Пусть теперь лучи принадлежат искривленному простран-
пространству-времени Ж. Воспользуемся локальным твисторным описа-
описанием в точке Р и представим лучи v и v с помощью локальных
твисторов, которые редуцируются к виду (од, 0) при смещении
от точки Р на qa и q" соответственно. Пренебрегая слагаемыми
второго порядка по qa и qa, находим, что выражения для тви-
твисторов Ua + 6Ua и Ua + 6Ua, заданных соотношениями G.4.29),
действительно обладают требуемым свойством, как это прямо
следует из F.9.14). Таким образом, выражение
2 = 1/ FUa 6U" - биДР) G.4.32)
определено в Ж в смысле локальных твисторов в точке Р. Более
того, оно справедливо в каждой точке луча ц, так как величина
2 постоянна [см. текст после формулы G.2.18)] вдоль \х, хотя
локальное твисторное описание каждого луча v, v', вообще го-
говоря, не является постоянным вдоль ц (в смысле локальных тви-
твисторов). Аналогичное замечание справедливо в отношении вели-
величины G.4.28).
Структура, индуцированная в пространстве JV величинами
А и 2, наиболее естественно описывается с помощью дифферен-
дифференциальных форм (гл. 4, § 3). Имеем 1-форму
a G.4.33)
и 2-форму
U G.4.34)

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 251
которые канонически определены в JC, причем правая часть
в каждом случае понимается в смысле локальных твисторов
по аналогии с' выражениями G.4.28) и G.4.32) соответственно.
Величины h и S получаются как значения форм ft и 2 на векто-
векторах qa (и qa). Это утверждение легко проверить (в любой точке
Р луча \х). Строго говоря, векторы qa и qa следует рассматри-
рассматривать как поля Якоби, заданные вдоль всего луча ц [см. текст
после формулы G.2.2)], поскольку именно полем Якоби опре-
определяется касательный вектор в точке пространства JC (т. е. сме-
смещение от одного луча в целом к соседнему).
Отметим также важное соотношение
S = rfft. G.4.35)
Справедливость этого соотношения более или менее очевидна
из формул G.4.33) и G.4.34)'), но нужна осторожность при фор-
формальном вычислении действия операции d на величину G.4.33),
так как твисторы Ua и U" не являются независимыми, а свя-
связаны между собой в JC соотношением
UaUa = 0. G.4.36)
Правда, не составляет труда избавиться (локально) от этого
ограничения, рассматривая JC как часть (действительно-восьми-
(действительно-восьмимерного) многообразия 0~, для которого условие G.4.36) не
обязательно. В этом случае равенством G.4.36) выделяется под-
подмножество JC в 0~. Формы ft и 2 не продолжаются на 0~ кано-
канонически, однако эта неопределенность не влияет на соотношение
G.4.35). Соответствующий произвол сводится к добавлению сла-
слагаемого вида UaUa, умноженного на гладкую форму, которое не
дает вклада во внешнюю производную на JC, поскольку
d(UaUa) = UadUa + UadUa, G.4.37)
а это выражение равно нулю на Л3 в силу равенства G.4.33).
Выше мы допустили некоторую вольность, рассматривая ло-
') Соотношение G.4.35) тоже допускает прямую геометрическую интер-
интерпретацию. Образующие изотропной гиперповерхности в JC представляют со-
собой систему изопараметрических лучей. Следовательно, в JC им отвечает об-
область Q, в которой ft = 0 (т. е. форма А принимает нулевые значения на век-
векторах, касательных к множеству Q). В силу равенства G.4.35) форма 2 так-
также должна обращаться в нуль иа Q, откуда следует, что отсутствие вра-
вращения образующих изотропной гиперповерхности есть следствие изопарамет-
ричности и условий интегрируемости касательных элементов к множеству Q,
которые означают, что лучи действительно заметают гиперповерхность в JC.
(Заметим, что многие из рассматриваемых здееь идей содержались уже в
работах Ли [190].)

252
ГЛАВА 7
Координатная окрестность,
определяемая лучами,
проходящими в у
Рис. 7.4. В пространстве PJf можно ввести локальные координаты, сшив
область <U искривленного пространства Ж с плоским пространством Т (с по-
помощью соответствующей переходной области).
кальные твисторы Ua и U" с абстрактными индексами так, как
если бы они были обычными функциями координат на JC и 9~.
Но наши рассуждения нетрудно изменить, чтобы они стали бо-
более строгими. Например, можно считать, что рассматриваемая
область <U<^JC (которая предполагается достаточно малой)
гладко продолжается в другое многообразие') пространства-
времени Ж'(гэ Ш), которое является плоским в некоем открытом
подмножестве У, содержащем часть продолжения рассматри-
рассматриваемого луча ц на JC' (рис. 7.4). Многообразие JC не обязано
удовлетворять каким-либо полевым уравнениям, так что это
продолжение можно осуществить разными способами. Выберем
одно такое продолжение и введем стандартный координатный
базис б" в Т [формулы F.1.17), 6.1.34]. Все лучи, лежащие
вблизи [д., продолжаются в У, и, следовательно, им можно сопо-
сопоставить стандартные (изотропные) твисторные компоненты, взя-
взятые по отношению к базису б". Вычисляя компоненты форм ft
и S, постоянных вдоль ц, в этом базисе, получаем просто коор-
координатные представления выражений G.4.33), G.4.34), а следо-
следовательно, и G.4.35). Отметим, что указанная процедура позво-
позволяет ввести координатную окрестность на многообразии JC, в
которой формы ft, S представимы с помощью этих стандартных
выражений. Очевидно, что в таком построении (взятом из ра-
') Используемый нами термин «многообразие пространства-времени» и
соответствующее обозначение Л или Ж' подразумевают пару: пространство
точек плюс метрика. Таким образом, достаточно изменить метрику простран-
пространства-времени Ж вне <U, чтобы получить «другое» многообразие пространства-
времени Ж'.

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 253
боты [246]) имеется широкий произвол. Проведенное построе-
построение одновременно показывает, что формы ft u2 на Jf не содер-
содержат локальной информации о кривизне Ж, поскольку они
эквивалентны соответствующим формам в плоской области Т.
Структуру, связанную с формами ft и 2 на JC, иногда назы-
называют контактной структурой [3]. Мы будем называть ее инва-
инвариантной контактной структурой1) на JC [241]. Форма 2, будучи
невырожденной и замкнутой:
d2 = 0, G.4.38)
индуцирует в пространстве 3~, определенном неканонически,
симплектическую структуру [3, 377]. Более того, форму 2 можно
рассматривать как симплектическую структуру на действитель-
действительном шестимерном пространстве JC, полученном из JC факториза-
факторизацией по фазовым преобразованиям:
оА нн* elf>oA (8 е= R). G.4.39)
(Симплектические структуры существуют только на четномер-
ных многообразиях.) Стало быть, симплектическое многообразие
JP есть пространство аффинно-параметризованных (scaled) лу-
лучей в jf(. Что касается 1-формы ft, то она тоже хорошо опреде-
определена на Jf и связана с 2 соотношением G.4.35) (подробнее см.
в работах [246, 61]).
Комплексная структура и КД-структура
К сожалению, инвариантной контактной структуры простран-
пространства JC далеко не достаточно, чтобы ввести комплексную струк-
структуру, необходимую для формулировки аналога теоремы Керра
G.4.14) в искривленном пространстве. Нам потребуется комп-
комплексная структура на некотором действительно-восьмимерном
подпространстве ZT =э JC, чтобы определить, какие из функций
на (открытом подмножестве множества) JC следует рассматри-
рассматривать как голоморфные функции (или их ограничения). [По су-
существу нам требуется определить понятие «голоморфной коор-
координаты», аналогичной величинам а, р, у в формуле G.4.8) или
Wa в формуле G.4.11).] Из теоремы G.4.14) мы видим, что
имеется очень тесная связь между понятиями «бессдвиговости»
лучей в Ж (т. е. а = 0) и голоморфности в/cf. Это говорит
о том, что мы встретимся с трудностями, если попытаемся обоб-
обобщить наше определение комплексной структуры на произволь-
') Векторное поле, определяемое эйлеровым оператором однородности
Ua d/dUa + Uad/dUa, также будет частью инвариантной контактной структуры
подмножества Jf, но оно дает неполную информацию об этой структуре, бу-
будучи по существу формой ft Л 2 Л 2 Л 2, «деленной» на S Л S Л 2. Л 2.

254 ГЛАВА 7
ное пространство-время и использовать его для лучей в целом,
безотносительно к выбору выделенных точек на каждом луче.
Второе из уравнений Сакса G.2.12) означает, что если условие
ЧЛ> = 0 не выполняется вдоль луча ц, то условие «бессдвиго-
вости» 0 = 0 в заданной точке не будет справедливым для дру-
других точек (не ^переносится» в другие точки). Это условие будет
выполняться для всего луча только в том случае, когда Ж — кон-
конформно-плоское пространство-время.
Чтобы обойти эту трудность, мы будем искать лишь такую
комплексную структуру, которая зависит от выбора гиперпо-
гиперповерхности Ж в Ж. В этом случае понятие «бессдвиговости»
достаточно определить только на пересечении лучей с 36. Наибо-
Наиболее простой вид эта конструкция приобретает, когда гиперпо-
гиперповерхность 36 выбрана пространетвенноподобной, и наше изло-
изложение в основном будет ориентировано на этот случай. Тем не
менее гиперповерхность 36 может быть и времениподобной,
и изотропной (с некоторыми оговорками). Изотропный случай
представляет интерес, когда гиперповерхность Ж удалена на
бесконечность, так что она совпадает с одной из гиперповерх-
гиперповерхностей Sf-, определяемых в гл. 9, § 6 для асимптотически пло-
плоского пространства Ж. В этом случае наша конструкция приво-
приводит к пространству асимптотических твисторов Ж, которое мы
кратко рассмотрим в конце гл. 9, § 8.
Прежде чем подробно разбирать эту конструкцию, уточним,
какого рода «комплексную структуру» мы хотим получить. На-
Напомним, что в теореме Керра G.4.14) нас интересовали ограни-
ограничения на Ма функций, голоморфных в некоторой области про-
пространства Та, т. е. фактически (поскольку рассматриваемые
функции были также однородными) ограничения на РМа функ-
функций, голоморфных в пространстве РТа- Именно действительно-
нечетномерные пространства |Ч1„ и P!Na, а не действительно-чет-
номерные комплексные пространства Т« и РТа могут быть
прямо интерпретированы как лучи в Щ, и эти же действительно-
нечетномерные пространства допускают дальнейшие обобщения
на случай искривленного пространства Ж, переходя в JC и ^JC
соответственно. Таким образом, в первую очередь нас будет
интересовать не сама комплексная структура объемлющего ком-
комплексного (обязательно действительно-четномерного) многообра-
многообразия, а ее ограничение на (действительно-нечетномерную) гиперпо-
гиперповерхность. Ограничение комплексной структуры на действитель-
действительную гиперповерхность называется реализуемой КД-структурой ')
') Некоторые авторы под «КД-миогообразием» понимают более общую
структуру, которая получается как ограничение на подмногообразие, размер-
размерность которого меньше размерности гиперповерхности (т.е. меньше 2я—1,
если объемлющее многообразие компдексно-я-мерное). Здесь такая термине'
■тогия не используется.

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 255
[95, 226, 261]. Нам потребуется более детальное знакомство с
некоторыми из ее геометрических свойств.
Посмотрим.сначала,.каким образом можно характеризовать
действительное 2л-мерное многообразие Ж как л-мерное комп-
комплексное многообразие с действительными величинами. Одно из
основных геометрических свойств, которым должно обладать
многообразие Ж, — возможность выделить комплексные каса-
касательные векторы. С точки зрения действительных чисел вектор z
можно рассматривать как пару действительных касательных
векторов: его «действительной части» х и «мнимой части» у.
z = x + iy. G.4.40)
Преобразованию комплексного вектора
г ь-* е*г (8 е= R) G.4.41)
соответствуют преобразования действительных векторов
дс н—s.-дс cos 8 — у sin 8,
у *—>х sin 9 + ycosQ.
В частности, когда
г ь-+ iz, G.4.43)
инеем
до—*- — у,
G.4.44)
у |—=~ •» v
Отображение G.4.44) обычно обозначают буквой /:
/(*) = -у, /(*)=•*, G.4.45)
и называют комплексной структурой на W. Оператор /, дейст-
действующий в (действительном) 2л-мерном пространстве, касатель-
касательном к Ж, является действительно-линейным и удовлетворяет
условию
Р = —1, G.4.46)
что явствует из G.4.45). Тогда комплексные векторы, касатель-
касательные к Ж, однозначно записываются в виде
t-U(t), G.4.47)
где t — действительный вектор, касательный к Ж (и, следова-
следовательно, при заданном отображении / мы имеем взаимно-одно-
взаимно-однозначное соответствие между действительными и комплексными
касательными векторами).
Однако свойство G.4.46) оказывается недостаточным для
того, чтобы охарактеризовать Ж как комплексное многообразие,
оно означает только, что Ж — почти комплексное многообразие.
Чтобы получить комплексное многообразие, дополнительно тре-

256 ГЛАВА 7
буется наложить на оператор ] условие интегрируемости'). При-
Приведем одну из возможных формулировок этого дополнительного
требования:
Скобка Ли любых двух гладких полей комплексных каса-
касательных векторов есть тоже комплексный касательный век-
вектор. G.4.48)
Здесь термин «гладкое поле» понимается в смысле действитель-
действительных функций и не включает условия голоморфности. В общем
случае произвольного почти комплексного многообразия скобка
Ли может давать комплексно-сопряженные касательные векто-
векторы, которые имеют вид
G.4.49)
в отличие от G.4.47).
Согласно теореме, доказанной Ньюлендером и Ниренбергом
[214], на всяком комплексном (в указанном смысле) многооб-
многообразии W всегда существуют локальные комплексные координаты
£ь • • •, £л, такие, что комплексные касательные векторы в лю-
любой точке могут быть представлены как комплексно-линейные
комбинации векторов
-£-.... , д|- G.4.50)
в этой точке. Такие координаты называются голоморфными ко-
координатами в W. С их помощью можно ввести понятие голо-
голоморфной функции в открытых областях Ж как голоморфной
(комплексно-аналитической) функции этих координат. Голо-
Голоморфными на W будут те комплексные функции /, которые удов-
удовлетворяют условию z(/)= 0 для всякого комплексно-солрядаеем-
ного касательного вектора г [см. также предложение D.14.25),
т. 1].
Указанное понятие требуется, очевидно, чтобы определить
аналог голоморфных функций в искривленном пространстве, ко-
который существенным образом используется в теореме Керра. Но
для их интерпретации, основанной на геометрии лучей, нам до-
дополнительно потребуется разобраться в геометрической струк-
структуре, ассоциированной с ограничением комплексной структуры
на определенного вида действительную гиперповерхность SB
в Ж.
Касательное пространство Т [Q] в каждой точке такой гипер-
гиперповерхности 9S будет Bл—1)-мерным. Оно содержит действи-
действительно-Bл— 2)-мерное подпространство H(Q), называемое го-
голоморфным касательным пространством, которое является инва-
') Будучи выражено через /, это условие сводится к равенству нулю вы-
выражения D.3.39) (введенного Нейенхёйсом), см. т. 1, с. 259 [305]. ,

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 257
риантом отображения / и, следовательно, имеет структуру комп-
комплексного (п— 1)-мерного векторного пространства. Базис H(Q)
образован (п— 1) комплексными векторами Z\, ..., zn~\ (их
действительными и мнимыми частями). Чтобы получить базис в
^[QL требуется еще один действительный вектор и в Q (отобра-
(отображение J в Ж не переводит и в вектор, касательный к гиперпо-
гиперповерхности SB).
Следовательно, само многообразие SB обладает внутренней
структурой, определяемой оператором /, который по-прежнему
удовлетворяет условию G.4.46), но теперь определен (действи-
(действительно-линейно) только на каждом подпространстве H(Q). Усло-
Условие интегрируемости G.4.48) сохраняется, однако комплексные
касательные векторы обязательно принадлежат подпростран-
подпространствам H[Q]. Многообразие SB вместе с такой «интегрируемой»
структурой / называют КЦ-многообразием (комплексно-действи-
(комплексно-действительным).
Если многообразие SB и оператор / действительно-аналитич-
ны, то можно показать, что пространство вложения Ж(zd SB)
локально будет комплексным л-мерным многообразием, комп-
комплексная структура которого индуцирует заданное отображение /
на SB. Голоморфные функции на W переходят в объекты, кото-
которые называют КД-функциями на SB (комплексно-сопряженные
касательные векторы г принимают на этих функциях нулевые
значенияI). Без дополнительного условия аналитичности вопрос
о существовании такого многообразия вложения Ж (или
КД-функций) для заданного КД-многообразия SB оказывается
довольно тонким. Если пространство вложения Ж существует,
то мы говорим, что КД-многообразие SB реализуемо (или допу-
допускает вложение). Нереализуемые КД-многообразия встречаются
при некоторых условиях [227, 152, 261] и даже могут возникать
в интересующих нас случаях [181], если отсутствует упомяну-
упомянутое требование аналитичности.
Твисторы гиперповерхности
Рассмотрим теперь пространство PJF и выделим естествен-
естественную КД-структуру, индуцированную в нем пространственнопо-
добной гиперповерхностью Ж в JC. (По предположению гипер-
гиперповерхность Ж согласована с рассматриваемой областью в РЛ"
так, что каждый луч, отвечающий точкам этой области, пере-
пересекает данную гиперповерхность один и только один раз.) Каса-
Касательное пространство Г[ц] к РЛ" в точке |ie PJC образовано
лучами, «соседними» с ц, в Ж. Голоморфное касательное про-
пространство //[ц] в точке ц (рассматриваемое как действительное
') Понятие КД-функций существенно не только в теореме Керра G.4.8),
G.4.14), но также в лемме G.3.15) и т. д.

258
ГЛАВА 7
ТЕР! (все близкие лучи)
НПРО' (изапаранетрические
j
7
Рис. 7.5. Всякому выбору (пространственноподобной) гиперповерхности Эё в
Ж можно сопоставить некоторую КД-структуру на PJC. Эта структура зави-
зависит от положения Эв, если только пространство Л не конформно-плоское.
четырехмерное векторное пространство) оказывается состоящим
из соседних с ц изопараметрических лучей. На самом деле та-
такая структура определяется инвариантной контактной структу-
структурой пространства JC безотносительно к выбору гиперповерх-
гиперповерхности Ж.
Роль гиперповерхности 36 состоит в том, чтобы определить
действие оператора / на H[[i] и тем самым наделить это про-
пространство структурой комплексного двумерного векторного про-
пространства. Пусть Р — точка пересечения луча ц с Ж. Определим
П как элемент 2-плоскости в Р, касательный к гиперповерхности
Ж и ортогональный лучу ц. Рассмотрим луч v, соседний с ц и
изопараметрический ему, и возьмем вектор девиации qa, при-
принадлежащий элементу П. Для определения луча v требуется
знать не только вектор qa, но и величину Dfja. В силу формулы
G.1.14) имеем laDqa = D(laqa)= 0, так что вектор Dqa должен
быть ортогонален вектору I". Изменив масштаб (scaling) на
луче v, мы можем добавить к Dqa вектор 1а с произвольным мно-
множителем так, чтобы полученный новый вектор Dqa лежал в пло-
плоскости П. Таким образом, различным соседним с ц изопараме-
трическим лучам v указанного типа, т. е. различным точкам про-
пространства Н [ц], ставятся в соответствие свои значения векторов
qa и Dqa, лежащих в плоскости П. Тогда действие оператора /
(рис. 7.5) сводится к повороту на прямой угол [в отрицатель-

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 259
ном направлении') вокруг пространственной проекции вектора
1а] векторов qa, Dqa в плоскости П [261].
На рис. 7.2 видно, что пучок соседних с ^ изопараметриче-
ских лучей будет бессдвиговым в точке Р в том и только в том
случае, если он инвариантен по отношению к действию опера-
оператора /, определенного выше. Первые две диаграммы на рис. 7.2,
изображающие конгруэнцию при наличии сходимости и враще-
вращения, инвариантны относительно поворота на прямой угол, тогда-
как третья, отвечающая наличию сдвига, этим свойством не об-
обладает. Если бы при таком определении операции / она вводила
на PJC реализуемую КД-структуру, то можно было бы доказать
теорему о конгруэнциях лучей, бессдвиговых на пересечении с
гиперповерхностью 36, типа теоремы Керра.
Оказывается, что операция / действительно удовлетворяет
условиям интегрируемости для КД-структуры (реализуемой,
если гиперповерхность 36 вкладывается аналитически в анали-
аналитическое пространство-время Ж). Прямое доказательство этого
было дано Ле-Брюном [181] и Брайантом 2). Здесь мы наметим
схему другого доказательства, которое в аналитическом случае
дает требуемое комплексное многообразие £7"C6) явно. Про-
Пространство JC вкладывается в него как действительная гиперпо-
гиперповерхность и наследует требуемую КД-структуру.
Многообразие 5ГC6) будем называть пространством твисто-
ров гиперповерхности 96. В том случае, когда 36 удовлетворяет
в Jt определенным условиям аналитичности, оно может быть
получено следующим образом. (Подробнее см. в работах [250,
261].) Сначала, комплексифицируя гиперповерхность 36, а так-
также Ж в окрестности этой гиперповерхности (т. е. выбирая ло-
локально-аналитические координаты и полагая, что они прини-
принимают комплексные значения с малой мнимой частью, см. гл. 6,
§ 9, с. 156), получаем несколько «утолщенные» комплексные
многообразия С36, CJC. Далее рассмотрим комплексные линии
в С36, называемые ^-кривыми, касательные векторы к которым
(изотропные, комплексные) имеют вид
oAoBNA'B, G.4.51)
') В случае пространства РЛ"„. В случае же пространства Pjf' поворот
происходит в положительном направлении.
2) Интересный подход, предложений в работе Спарлинга [323], опира-
опирается на понятие метрики Феффермана [88]. Последняя определяется в рас-
расслоении окружностей над КД-многообразием, КД-структура которого выво-
выводится из нее. Метрика Феффермана, предложенная Спарлингом, имеет вид
dl)adl)a (локально) и определена в факторпространстве многообразия J¥(a/e),
порожденном масштабными преобразованиями твисторов с действительным
множителем. См. также работы [164, 199].

260 ГЛАВА 7
где Na — нормаль к гиперповерхности 36, причем спинор ос пе-
переносится вдоль кривой параллельно:
oAoBNA'BV аа'Ос = 0. G.4.52)
Уравнение G.4.52) сводится к обычному дифференциальному
уравнению, определяющему р-кривые.
Значение вектора G.4.51) в том, что он автоматически яв-
является ортогональным нормали Jfa и, следовательно, касатель-
касательным^ к пространству £,36, а также допускает представление вида
ол£л'. В плоском или конформно-плоском (комплексном) про-
пространстве-времени ^-плоскости [см. текст после формулы
G.4.10), а также гл. 9, § 3] будут вполне изотропными комп-
комплексными 2-поверхностями, касательные векторы к которым
имеют тот же вид, причем в каждой точке, считая спинор о-4
фиксированным и варьируя £л', мы получаем все касательное
пространство. Если в каждой точке р-плоскости выбрать спинор
од специальным образом, а именно с помощью процедуры па-
параллельного переноса, то полученным полем будет определяться
[ 1 ]-твист"ор. Формулы G.4.51) и G.4.52) дают проекцию ука-
указанных свойств на гиперповерхность 36, так что, например, в слу-
случае конформно-плоского пространства Ж решениями уравнения
G.4.52) будут кривые, являющиеся пересечениями гиперповерх-
гиперповерхности 36 с р-плоскостями, которые отвечают [°]-твисторам в Ж.
В общем случае, ввиду того что мы оперируем только с голо-
голоморфными величинами, решения уравнения G.4.52) образуют
комплексное 4-многообразие, совпадающее с искомым простран-
пространством 0~C6). Сами р-кривые есть точки комплексного 3-много-
образия Р&~{36). Параметр, связанный с параллельно перено-
переносимым спинором оА, дает недостающее комплексное измерение
в пространстве ТCё). Элементы этого пространства [или про-
пространства Р$ГC6)] имеют смысл [проективных] твисторов ги-
гиперповерхности.
Соответствующее пространство правильнее было бы обозна-
обозначать символом &~% (Ж) в отличие от пространства 9~' (Ж), кото-
которое строится с помощью векторов
nA'nB-NAB', G.4.53)
касательных к комплексным а-кривым в пространстве С36, при-
причем параллельно переносится штрихованный спинор яс':
nA'nB'NAB'V аа'Пс = 0. G.4.54)
Комплексное сопряжение отображает а-кривые в В-кривые и пе-
переводит пространство 36 в него же.
Всякая В-кривая, которая содержит действительную точку
(точку гиперповерхности 36), должна пересекаться с комплексно-

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ
261
— еле —.
Рис. 7.6. Связь между твисторами гиперповерхости, дуальными твисторами
гиперповерхности и изотропными геодезическими. Вообще говоря, не суще-
существует простого соответствия между р-кривыми на различных гиперповерх-
гиперповерхностях. Это связано с тем, что КД-структура, показанная на рис. 7.5, в об-
общем случае зависит от положения гиперповерхности Ж
сопряженной а-кривой в этой точке, поскольку это неподвижная
точка операции комплексного сопряжения. (Если пространство
С«Ж достаточно «тонкое» и гиперповерхность Ж — простран-
ственноподобная, то р-кривая пересекается с сопряженной а-кри-
а-кривой только в таких точках.) Элементы пространства 9~т {Ж) [или
Р£Г, (<%)]> которые отвечают р-кривым (или р-кривым, пересе-
пересекающим Ж), называются изотропными (проективными) твисто-
твисторами гиперповерхности, и то же относится к элементам простран-
пространства &" (Ж) [или Р0~' (Ж)] для а-кривых, пересекающих Ж.
Пространства изотропных твисторов обозначаются через Jf (Ж)
[или РЖ. (Ж)] и Л" (Ж) [или РЛ"{Ж)\ соответственно.
Чтобы связать все с изложенным ранее, заметим, что в точке
Р пересечения р-кривой с сопряженной ей а-кривой (случай изо-
изотропного твистора гиперповерхности) мы можем положить
la = ОлЯЛ' = ОлОЛ'
(так как при комплексном сопряжении спинор оА переходит в
па' и ол' := бл')- Далее, мы определяем ц как луч (с масшта-
масштабом, задаваемым посредством спинора ол), направление кото-
которого в точке Р определяется вектором 1а (рис. 7.6). Таким обра-
образом, пространство Л''. (Ж) [или Р./Г. {Ж)] можно локально отож-
отождествить с JC [или pJf], и оно дает требуемую КД-структуру.
Отметим, однако, что эта КД-структура зависит от выбора ги-
гиперповерхности Фв и (если не считать случая конформно-плоско-
конформно-плоского пространства Ж), вообще говоря, изменяется, если изменяется
положение гиперповерхности Ж в Ж. При этом согласование с

262 ГЛАВА 7
инвариантной контактной структурой пространства JC остается
(в том смысле, что голоморфные касательные пространства по-
прежнему переходят в пространства изопараметрических лучей,
хотя их комплексная структура меняется).
Важное свойство этих конструкций — конформная инвариант-
инвариантность:
Предложение
Пространства Ж {Ж) и РЛ'(Ж), а также формы h и 2,
описывающие инвариантную контактную структуру,
не изменяются при конформном изменении масштаба
gab ь-»• Q?gab метрики многообразия М {при котором
выбрано преобразование оА\—*-ол). G.4.55)
Доказательство. Конформная инвариантность пространств
JfC6) и PJf@6) следует из того, что при выбранном масштаб-
масштабном преобразовании мы имеем
oaVaa'OC *-*-QTloA (Vaa'Qc — Тса'Оа) = ОГ^Члл'Ос G.4.56)
в силу формул E.6.2), E.6.14) и E.6.15), так что определяю-
определяющее их уравнение G.4.52) не изменяется. Инвариантность форм
h и 2 при конформном изменении масштаба следует из их инва-
инвариантности при переносе вдоль луча ц, поскольку, например, из
формулы G.4.56) видно, что условие параллельного переноса
спинора Ол вдоль луча ц не зависит от выбора масштаба на луче
ц. В самом деле, изменение масштаба вблизи одной точки луча
ц не может, очевидно, привести к изменению значений рассмат-
рассматриваемых форм в удаленных точках. Инвариантность формы h
явствует также из выражения G.4.27), поскольку мы имеем
qai—>qa, la*—>ta, а инвариантность формы 2 тогда следует из
соотношения G.4.35).
Используя гиперповерхность Ж, можно дать следующую фор-
формулировку теоремы Керра:
Если все рассматриваемые величины аналитичны, то кон-
конгруэнция лучей будет бессдвиговой на пересечении с ги-
гиперповерхностью Ж при том и только при том условии,
что она определяется равенством нулю [однородной] го-
голоморфной функции на Р0~,(%$) [или V, (Ж)].
G.4.57)
Таким образом, конгруэнции, бессдвиговые на гиперповерхности
5^, получаются как пересечение комплексной (голоморфной)
гиперповерхности в Р0~.{Ж) с PJC,(Ж) (рис. 7.7). С точки зре-
зрения геометрии КД-структуры на Р/С, {Ж) (см. рис. 7.5) это
означает, что такое пересечение (КД-гиперповерхность) должно
иметь касательные пространства, пересечения которых с про-
пространством Н[Р) инвариантны относительно операции /. По-

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ
263
Р.Г.-
Комплексная
поверхность
(Керра)
Рис. 7.7. Теорема Керра в искривленном пространстве-времени, сформулиро-
сформулированная с использованием гиперповерхности Эё. Конгруэнция лучей, которая
на пересечении с Эё имеет нулевой сдвиг, соответствует (в аналитическом
случае) пересечению комплексно-аналитической поверхности в pff~. (Э@)
с пространством РЖ. i
следнее утверждение соответствует тому, что конгруэнция будет
бессдвиговой на 36. Подробное доказательство этих утверждений
проводится путем рассуждений, аналогичных представленным
выше.
Роль аналитичности
Скажем несколько слов об условии аналитичности на гипер-
гиперповерхности <Ж Это условие потребовалось, чтобы определить
«комплексно-утолщенные» пространства С 26 и С Л, необходи-
необходимые для построения &~{3ё). Однако в исходном геометрическом
определении операции / на Jf{M) такие понятия не фигурируют.
Поэтому КД-структура (возможно, нереализуемая) простран-
пространства JCC6) может быть определена непосредственно при нали-
наличии необходимых условий интегрируемости. То, что эти условия
фактически выполняются, можно доказать без дополнительных
вычислений, показав, что в аналитическом случае наше геоме-
геометрическое определение операции / согласуется с тем, которое
получается в рамках конструкции твисторов гиперповерхности.
(Это довольно легко сделать, рассматривая локальное твистор-
ное описание в точке Р.) Условия интегрируемости в этом случае
будут просто системой дифференциальных соотношений, кото-

264
ГЛАВА 7
рые в силу аналитичности удовлетворяются автоматически. По-
Поскольку в неаналитическом случае уравнения те же, что и в ана-
аналитическом, они будут выполняться в первом случае, если вы-
выполняются во втором.
Это показывает, что Л*(£ё) будет КД-многообразием неза-
независимо от того, выполняются ли условия аналитичности на ги-
гиперповерхности Ж. Но, как отмечалось выше, эти «условия ин-
интегрируемости» для КД-многообразия недостаточны для того,
чтобы оно было реализуемым как действительная гиперповерх-
гиперповерхность в комплексном многообразии, и без условия аналитичности
пространства °Г{36) и Р£Г(«Э&), вообще говоря, не существуют.
В этом случае в пространстве JC@6) может не существовать
КД-функций, а значит, может оказаться [187], что на гиперпо-
гиперповерхности Ж не существует бессдвиговых конгруэнции!
Даже в случае, когда 36 удовлетворяет условиям аналитич-
аналитичности, а также в случае (конформно-) плоского пространства-
времени, когда выбор гиперповерхности £в не имеет значения,
условие аналитичности существенно в отношении свойств самой
конгруэнции. Хотя в различных формулировках теоремы Керра
нам всегда приходилось принимать, что конгруэнция аналитич-
на, мы отмечали [см. замечание перед теоремой G.4.8)], что в
М существуют и неаналитические БСК. В примере, упомянутом
выше (система лучей, пересекающаяся с неаналитической кри-
кривой), вращение отсутствует, и небезынтересно заметить, что при
наличии вращения всегда (локально) существует «односторон-
«односторонняя» функция Керра в том смысле, как это показано на рис. 7.8.
Направлением вращения определяется, в какую сторону про-
пространства PN (или PJC) локально продолжима поверхность
Комплексная поверхность
(Керра) с границей
Образ неаналитических
БСЛс вращение»
Поверхность не мажет
быть продолжена го/го-
морерно л эту сторону
-РТ
Рис. 7.8. Неаналитические БСЛ с вращением в пространстве М изображаются
в PN в виде 3-поверхностей, которые (локально) являются границами ком-
комплексных многообразий в РТ лишь по одну сторону от PN (какая именно
сторона, это зависит от направления вращения) и которые не могут быть
продолжены как комплексные многообразия в РТ по другую сторону от PN

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ 265
Керра, а именно РТ+ (или РТГ+) в случае правостороннего
вращения и РТ- (или РТ~) в случае левостороннего (то же
относится к пространствам Р£Г± или РёГ*, определенным со-
соответствующим образом). Эти результаты являются следствием
некоторых свойств КД-структуры при дополнительных условиях
голоморфной «выпуклости» [186, 139]. Оказывается, что такие
свойства выпуклости определяются вращением конгруэнции.
Сказанное относится также к теореме Робинсона G.3.14).
В лемме G.3.15) мы по существу строим КД-функции на дейст-
действительно-трехмерном КД-подмногообразии, скажем простран-
пространства PN (как ограничения голоморфных функций на поверх-
поверхность Керра). Однако без предположений об аналитичности про-
процедура Робинсона приводит к дифференциальному уравнению,
рассматривавшемуся Леви [187], которое, вообще говоря, не
имеет решений [331]. Полное изложение всех этих вопросов
увело бы нас слишком далеко от нашей цели.

8
Классификация тензоров кривизны
§ 1. Изотропная структура спинора Вейля
Один из наиболее ярких и убедительных примеров, показы-
показывающих эффективность спинорного метода в общей теории отно-
относительности,— спинорная классификация тензора Вейля [41,
232, 233]. Эта классификация существенно упрощает (в прош-
прошлом более известную) классификацию вейлевского тензора кри-
кривизны, предложенную Петровым [271, 272] (см. также работы
[273, 195, 172] и литературу, цитируемую в них). Согласно опре-
определению D.6.41), тензор Вейля (т. е. тензор кривизны пустого
пространства) представляется в виде вполне симметричного спи-
спинора Wabcd- В предложении C.5.18) было показано, что любой
(ненулевой) вполне симметричный спинор валентности [° о]
можно единственным (с точностью до коэффициентов при мно-
множителях и порядка множителей) образом представить в виде
симметризованного произведения п спин-векторов. Направления
флагштоков последних являются п главными изотропными на-
направлениями (ГИН) указанного симметричного спинора, кото-
которые (с точностью до комплексного масштабного множителя)
определяют этот спинор единственным образом. Картина совпа-
совпадений, имеющих место среди ГИН, и дает классификационную
схему для спиноров. В данной главе мы подробно рассмотрим
вопрос о применимости такой классификационной схемы к спи-
спинору Wabcd и о ее связи с геометрией и алгеброй гравитацион-
гравитационного поля. В двух последних параграфах мы покажем, как обоб-
обобщить эту схему, чтобы ее можно было применять к любым сим-
симметричным спинорам, в частности к спинору Риччи (т. е. бес-
бесследовому тензору Риччи).
ГГИН и их кратности
Будем рассматривать только одну точку Р пространства-вре-
пространства-времени. Каноническое разложение спинора Wabcd в точке Р имеет
вид
(8.1.1)

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 267
Гравитационные ГИН (ГГИН), поскольку они являются направ-
направлениями фрагштоков спиноров «л, рл, ул и бл, можно найти, со-
согласно формуле C.5.22), если отыскать нули полинома
. = (ао + га,) (ft, + гр,) (Yo + *Yi) (б0 + z6,), (8.1.2)
выбрав произвольную спиновую систему отсчета (с %:=oaia = 1)
и приняв, что спинор |д имеет компоненты A, г). Кратностям
множителей в разложении (8.1.2) соответствуют кратности
ГГИН. Таким образом, зная пять величин Wo, ■ ■ ■, 4*4 [ср. с
формулой D.11.6)], можно сразу же установить положение
ГГИН и выявить их совпадения. Напомним, что величины
Wo, .... ^4 можно выразить непосредственно через тензор Ри-
мана и изотропную тетраду [формула D.11.9)]. Все это дает
возможность строить ГГИН, исходя непосредственно из тензор-
тензорных выражений для кривизны.
Вместо этого можно воспользоваться тензорными выраже-
выражениями таблицы (8.1.4), в которой приводятся эквивалентные
спинорные и тензорные условия того, что изотропный вектор
va = ±lAlA' (8.1.3)
представляет собой простое, двукратное и т. д. ГГИН не равного
нулю спинора Wabcd'-
Как минимум WABC
простое
Как минимум WAB
двукратное
Как минимум WA
трехкратное
Четырех- Ч?
кратное
W[fCa] be [dVe\VbVC = 0
Cauc[dt»e]t»UyC=O
Cabc [dVe\VC = 0
(8.1.4)
Эквивалентность первого и второго столбцов следует из пред-
предложения C.5.26) (и уже использовалась в гл. 7). Чтобы уста-,
новить эквивалентность второго и третьего столбцов, рассмотрим1
последовательность тождеств, справедливых в силу формул

268 ГЛАВА 8
D.6.41), C.4.55) и B.5.23):
^D' + К- С->
(-'abcdV =
2 ABCX* S ьЛ'В'ьО£»о'5£'T^ ^- ^-»
- -1 ^SCxiC^^D£lD4'L' + К. С,
Чг1с1^в1гее 1-|£'1л'1/" + к. с,
где под «к. с.» нужно понимать выражение, комплексно-сопря-
комплексно-сопряженное предыдущему члену данного тождества с учетом его
знака. Из этих тождеств видно, что при наличии условия из вто-
второго столбца таблицы (8.1.4) выполняется соответствующее
условие из третьего столбца. Обратное тоже верно, так как из
обращения в нуль левой части любого равенства (8.1.5) следует
обращение в нуль обоих соответствующих членов в правой ча-
части, в чем легко убедиться, выполнив операцию трансвекции в
случае первых двух тождеств последовательно с гА'в' и гАВ, а
в случае двух остальных — с eD'£/ и eDE.
Из сказанного следует также, что всякое тензорное условие
из таблицы (8.1.4) эквивалентно такому же условию, но с заме-
заменой тензора Cabcd тензором -CabCd = A/2) {Саьса+ PCabcd) [ср.
с формулой D.6.42)], а значит (после разделения действитель-
действительной и мнимой частей), эквивалентно тому же условию, но с тен-
тензором * Сabcd ВМеСТО Сabcd.
Варианты всевозможных совпадений ГГИН в одной произ-
произвольной точке пространства-времени задаются пятью различ-
различными разбиениями числа 4. Этими вариантами вместе с остав-
оставшейся возможностью обращения Wabcd в нуль определяются
различные типы спиноров Wabcd, записываемые следующим об-
образом:
; {1111}:
{211}: {)
{22}: WABCD = a{AaB№D), (gл 6)
{4}: Чabcd = vAaBaca.D,
Здесь предполагается, что спиноры аД, $а, ул " бд отличны от
нуля и не пропорциональны друг другу. В литературе исполь-
используются еще и следующие обозначения, которые обычно назы-
называют типами Петрова:
, D={22}. Ill = {31}. W = {4}, O = {-},
(8.1.7)

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 269
где О — нулевой спинор Вейля, D—так называемый двойной
(или, первоначально, «вырожденный») случай, а N — изотроп-
изотропный случай по аналогии с изотропным электромагнитным полем,
которое характеризуется совпадением всех (а именно двух)
ГИН. Символы I, .... О иногда используются для обозначения
спиноров Вейля соответствующего типа, например Dabat- Все
типы, кроме {1111}, являются алгебраически специальными [см.
текст после формулы G.3.5)]. Сам Петров относил типы I, D и
О к типу 1 своей классификации, типы II и N—к типу 2, а
тип III — к типу 3.
Иногда требуется сложить несколько спиноров (или тензо-
тензоров), каждый из которых обладает симметрией спинора (или
тензора) Вейля и канонические разложения которых полностью
или частично известны. В этом случае может оказаться полез-
полезным следующее предложение.
Предложение («Теорема сложения»)
Если два или большее число слагаемых вейлевского типа
обладают одним или большим числом общих ГИН, то
кратность любых таких ГИН в рассматриваемой сумме
не меньше их наименьшей кратности в слагаемых.
(8.1.8)
Например, выкладки
(где последнее есть результат применения канонического разло-
разложения к выражению в фигурных скобках) показывают, что дан-
данная сумма относится к типу {211} или еще более специальному
типу. Общий случай аналогичен.
Схема специализации
Покажем с помощью диаграммы, каким образом различные
типы рассматриваемой классификационной схемы могут возни-
возникать как специализация другого ее типа:
(8.1.9)

270 ГЛАВА 8
Стрелками указано направление специализации (вырождения),
а из формулы (8.1.6) следует, что всякая такая специализация
может быть достигнута чисто алгебраическим путем (т. е. в од-
одной точке и без требования, чтобы удовлетворялись уравнения
поля). Можно так же получить специализации, которые явля-
являются композициями простых специализаций, приведенных на
диаграмме (8.1.9). Например, специализацию {1111} —»-{4}
можно получить либо как последовательность {1111} —*- {211} ->•
-*- {22} -*■ {4}, либо как последовательность {1111} ->• {211} ->•
-»-{31} —»-{4}. Более того, подобного рода специализации могут
быть получены и напрямую. К примеру, для ща (осв + е|3в) (ас +
+ е-ус) (ав) + ебд)) при е—*-0 сразу достигается специализация
{1111} ->-{4} без каких бы то ни было промежуточных стадий;
для еа(лавРсув) при е-»-0 сразу достигается специализация
{211}—»- {—} и т. д. Подчеркнем, что каждая специализация на
диаграмме (8.1.9) дает предельный, а не частный случай пред-
предшествующего типа. Причем типы по определению являются
взаимоисключающими.
§ 2. Представление спинора Вейля на сфере S+
Для наглядности ГГИН иногда представляют точками на
сфере 5+—римановой сфере комплексного числа z. Напомним
(см. гл. 1, § 2), что эта сфера как сечение изотропного конуса
будущего в Р очень удобна для представления различных изо-
изотропных направлений будущего в точке Р. Всякое ГГИН в Р
соответствует единственной точке на S+, так что полный спинор
Вейля с точностью до комплексного множителя определяется
неупорядоченным набором четырех точек А, В, С и D на S+, ко-
которые представляют четыре ГГИН в точке Р. Чтобы получать
специализации типа (отличные от специализации до типа {—-}),
нужно лишь сдвигать некоторые из точек А, В, С, D на 5+ до
их совпадения друг с другом.
Интересно рассмотреть действие на ГГИН преобразований
Лоренца. Вспомним сказанное в гл. 1, § 2: любое активное пре-
преобразование Лоренца приводит к конформному отображению
сферы 5+ на себя. Такие преобразования (и отображения) ге-
генерируются вращениями сферы S+ и чистыми бустами, которые
состоят в переносе всех точек на сфере S+, кроме двух антипо-
дальных точек Q- и Q+, остающихся фиксированными, вдоль
меридианов от полюса, совпадающего с Q-, к полюсу, совпадаю-
совпадающему с Q+ (см. т. 1, рис. 1.7).
Указанные преобразования можно рассматривать еще и как
пассивные преобразования Лоренца, оставляющие само про-
пространство-время без изменений, но описывающие его кажущиеся
изменения, которые обнаруживает наблюдатель при изменении

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 271
своей скорости и ориентации. Такой подход здесь, пожалуй, про-
проще, ибо довольно мудрено определить активное преобразование
Лоренца в точке искривленного пространства-времени. Рассмот-
Рассмотрим, в частности, результат действия пассивных преобразований
Лоренца при больших скоростях на представления ГГИН на S+,
а также результат действия предельных преобразований при
скорости, стремящейся к единице. Ясно, что ни одно конечное
преобразование Лоренца не может повлиять на тип спинора
Вейля (т. е. на схему совпадений точек А, В, С, D), тогда как
в предельном случае тип измениться может. Например, в пре-
пределе буста все точки на S+, кроме Q-, переносятся до совпаде-
совпадения с Q+, а точка Q- остается на месте. Таким образом, спинор
Вейля в общем случае приводится к одному из типов {4} [232,
253, 274]. В частных же случаях, когда с Q- совпадают одна,
две, три или четыре из точек А, В, С, D, предельными будут
типы {31}, {22}, {31} или {4} соответственно.
Выше рассматривались только главные изотропные направ-
направления. Но столь же интересно и поведение самих компонент спи-
спинора Вейля (а следовательно, и тензора Вейля) при такого рода
бустах. Исследование этого вопроса тоже сильно упрощается
при использовании спинорного формализма. Компоненты спино-
спинора Вейля в пределе остаются конечными (не равными ни нулю,
ни бесконечности) только в случае, когда предельным будет тип
{22}. В общем случае, когда только одна из точек А, В, С, D
совпадает с Q-, компоненты спинора Вейля становятся бесконеч-
бесконечными, а в случаях, когда три или четыре из точек А, В, С, D
совпадают с Q~, они равны нулю. В этом проще всего убедиться,
выбрав спиновую систему отсчета о-4, iA так, чтобы флагшток
спин-вектора оА отвечал точке Q-, а спин-вектора iA — точке Q+.
Тогда рассматриваемые пассивные преобразования Лоренца
определяются как [формула A.2.37)]
; (8.2.1)
а предел достигается при 8—»-0. Таким образом получается, что
откуда следует, что аД стремится к бесконечности как е-1, если
ао ^= 0 (т. е. если точка А не совпадает с Q~), а в противном
случае (при ао = О)—к нулю как 8. То же самое относится и
к Рд, ул и 8а, из чего сразу следуют сделанные выше высказы-
высказывания. Очевидно, что в обоих случаях, для того чтобы предел
был конечным, масштаб компонент спинора Вейля должен в
процессе предельного перехода непрерывно уменьшаться или
(в зависимости от случая) увеличиваться. С физической точки
зрения предельный буст, характеризуемый точками Q- и Q+ на
S+, соответствует мировым измерениям наблюдателя, мировая

272 ГЛАВА 8
линия которого стремится к изотропному направлению, характе-
характеризуемому точкой Q~. Итак, если скорость наблюдателя не сов-
совпадает по направлению с какими-либо ГГИН, то он «видит», что
все ГГИН, направленные в будущее, совпадают позади1) него,
а большинство компонент спинора (и тензора) Вейля в его си-
системе отсчета стремятся к бесконечности. Если же направление
его скорости стремится к направлению «указывающего» в бу-
будущее простого ГГИН, то такое ГГИН остается в пределе фик-
фиксированным и простым, спинор Вейля имеет в пределе тип {31},
а некоторые из его компонент становятся бесконечными. Чтобы
проводимые наблюдателем предельные измерения спинора
Вейля давали конечные значения, его скорость должна стре-
стремиться к двукратному ГГИН, и тогда спинор Вейля имеет в
пределе тип {22}. Если же скорость наблюдателя стремится к
трехкратному или четырехкратному ГГИН, то его предельные
измерения спинора Вейля дают нулевые значения (наблюдатель
«следует за волной»), а тип спинора остается тем же самым.
ГГИН в пространстве-времени высокой симметрии
В нижеследующем во многих случаях будет существен ре-
результат действия на спинор Вейля и на ГГИН обычных конеч-
конечных преобразований Лоренца. В частности, всякий тип спинора
Вейля имеет по отношению к группе Лоренца свою собственную
характеристическую симметрию. Даже анализ очень простой
симметрии может дать весьма полезную информацию о типе
спинора Вейля. Например, в известных космологических моде-
моделях Фридмана — Робертсона — Уокера (гл. 9, § 5) в каждой
точке существует времениподобный вектор (ассоциированный с
галактикой, «покоящейся во вселенной»), по отношению к кото-
которому пространство-время сферически-симметрично. Тензор Вейля
тоже должен обладать такой симметрией. Но ни одна конфигу-
конфигурация из 1, 2, 3 или 4 точек на S+ не может быть сферически-
симметричной, откуда следует, что тензор Вейля в каждой точке
должен иметь тип {—}, т. е. Wabcd — 0. Тогда из теоремы
F.9.23) незамедлительно следует:
Предложение
Всякая космологическая модель Фридмана — Робертсо-
Робертсона — Уокера является конформно-плоской. (8.2.2)
В качестве второго примера рассмотрим метрику Шварцшильда.
Соответствующее пространство-время в каждой точке аксиаль-
1) Это соответствует тому, что изотропные направления, «указывающие»
в прошлое (направления, которые наблюдатель «видит» физически), совпа-
совпадают впереди него.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 273
но-симметрично по отношению к пространственному направле-
направлению, ассоциированному с источником, и, кроме того, симметрич-
симметрично во времени. Поскольку вся система ГГИН должна обладать
такой же симметрией, каждое из ГГИН должно идти к источ-
источнику или от него, так что спинор Вейля должен относиться к
типу {4}, {31} или {22}. (Рассматриваемая метрика является
вакуумной, а потому кривизна всюду отлична от нуля и тип
{—} исключается.) При преобразованиях отражения во времени
выходящее изотропное направление будущего становится входя-
входящим изотропным направлением будущего и наоборот (при этом
направления ±оа рассматриваются как одно и то же изотропное
направление).
Таким образом, симметрия во времени исключает типы {4}
и {31}. (После рис. 8.3 мы увидим, что для этого достаточно
аксиальной симметрии.) Отсюда следует, что спинор Вейля от-
относится к типу {22} (см. также с. 134). Аналогичные рассужде-
рассуждения возможны, например, в случае плосковолнового простран-
пространства-времени. В этом случае спинор Вейля относится к типу
{4}.
«Картина» тензора Вейля на S+
Прежде чем переходить к подробному изучению различных типов
тензора Вейля, сделаем одно замечание общего характера, кото-
которое, помимо прочего, имеет прямое отношение к симметриям
спинора Wabcd- В дополнение к расположению ГГИН спинор
^Vabcd характеризуется еще «фазой» и «амплитудой», которые
необходимы для его полного описания. Сначала выясним, как
его фаза связана с S+. Рассмотрим величину
^ — ^abcdIaIbIcId- (8.2.3)
Если флагшток спинора %А не относится к ГГИН (и |л =^0), то
выбором полотнища флага, связанного с %А, можно, сохраняя
фиксированное положение флагштока, добиться, чтобы выполня-
выполнялось условие
Ч' > 0. (8.2.4)
Существуют четыре разных варианта таких спиноров |, которые
дают нужный эффект, а именно
± ЪА, ± ИА. (8.2.5)
У двух первых спиноров здесь одинаковые полотнища флагов.
Этим же свойством обладают и два вторых. Однако направле-
направления полотнищ первой пары противоположны направлениям по-
полотнищ второй. Что же касается представления всего сказан-
сказанного на сфере S+, то в каждой точке этой сферы имеются два

274 ГЛАВА 8
соответствующих касательных направления (отвечающие как
раз тем полотнищам флагов, которые дают W >0), не связан-
связанные с ГГИН и противоположные друг другу. Следовательно,
в каждой точке сферы 5+ однозначно определено неориентиро-
неориентированное касательное направление (или линейный элемент). А это
означает, что на 5+ есть поле такого рода направлений и оно
характеризует не только ГГИН (в чем мы скоро убедимся), но
еще и фазу спинора Wabcd, ибо, чтобы выполнялось условие
(8.2.4), преобразование
^abcd |—*■ e'^ABCD должно влечь за собой £л ь-*• е 4 £л,
(8.2.6)
где k — целое число. При изменении фазы вида (8.2.6) каса-
касательные направления поворачиваются на угол —A/2)9.
Будем называть такое поле направлений на S+ картиной
(fingerprint) тензора Вейля. Этой картиной с точностью до по-
положительного множителя определяется спинор Wabcd. Следова-
Следовательно, ею с точностью до положительного множителя опреде-
определяется и тензор Вейля Cabcd (причем —Cabcd соответствует кар-
картине, ортогональной данной).
Картина касательных направлений допускает прямую фи-
физическую интерпретацию. Из уравнения Сакса G.2.12) видно,
что изменения в сдвиге лучей конгруэнции изотропных геодези-
геодезических характеризуются величиной Wo, а изменения в сходи-
сходимости— величиной Фоо- Рассмотрим изотропно-геодезическую
од-конгруэнцию 'ё', один из лучей которой проходит через точку
Р в направлении полотнища флага спинора |л, и пусть од = £л
в Р. Характеристики кривизны Фоо и Wo «действуют» на такие
лучи подобно линзе [238], причем величина ф00 ответственна
за саму фокусировку, a Wq— только за астигматизм фокусиров-
фокусировки. Чтобы в этом убедиться, достаточно вернуться к рис. 7.2
(перед формулой G.1.49)), дающему интерпретацию Re(p) и а.
Но если Re(p) и а связаны с относительными «скоростями», то
Фоо и ^Ро фактически связаны с относительными «ускорениями»
соседних лучей. Причем Фоо и ЧЛ) дают прямой вклад в р и а
только в том случае, если пучок лучей проходит через точку Р
без сдвига и сходимости (р = сг = О в Р). Направление макси-
максимальной фокусировки задается малой осью эллипса на рис. 7.2
и составляет с полотнищем флага спинора оЛ угол (l/^JargM'o.
Однако мы полагаем, что полотнище флага спинора оА то лее,
что и у 1А, а ^Ро — это W > 0 из формул (8.2.3) и (8.2.4). Следо-
Следовательно, плоскость максимальной фокусировки совпадает здесь
с полотнищем флага, а значит, и с направлением картины
тензора Вейля на S+. Мы приходим к следующему пред-
предложению.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 275
Рис. 8.1. Направление картины тензора Вейля на сфере S+ соответствует
направлению максимальной фокусировки, обусловленной вейлевой кривизной.
Предложение
Картина тензора Вейля дает направления астигматизма
и направления максимальной фокусировки (а также на-
направления максимальной дефокусировки, ортогональные
направлениям максимальной фокусировки) для линзового
эффекта, обусловленного кривизной пространства-времени
в точке Р (рис. 8.1).
(8.2.7)
То обстоятельство, что в каждой точкг существуют четыре
ГГИН, тесно связано с известным топологическим свойством
векторных полей на сфере E+). Оно обычно формулируется
[54, 204, 335] так: существуют две и только две (при правиль-
правильном подсчете) точки, в которых векторное поле1) на S+ должно
быть равно нулю (при подсчете точки могут быть отрицатель-
отрицательными). На картине тензора Вейля мы имеем поле линейных
элементов, которые, будучи неориентированными, допускают
конфигурации, подобные представленным на рис. 8.2, а, где эти
элементы окружают точки (ГГИН), в которых они не определе-
определены [256], в дополнение к конфигурации, изображенной на
рис. 8.2, б. Направлениям на рис. 8.2, а нельзя сколько-нибудь
') Если бы речь шла об электромагнитных ГИН, то нам было бы за-
задано векторное поле на S+, а ориентация линейного элемента определялась
бы направлением электрического вектора. В этом случае в полном согласии
с топологическим результатом было бы два ГИН. Соответствующая топо-
топологическая теорема справедлива при всех (целых и полуцелых) значениях
спина.

276
ГЛАВА 8
последовательным образом приписать стрелки. Поскольку же
две неориентируемые конфигурации всегда можно объединить в
одну ориентируемую, у нас получается ровно 4 точки с равным
нулю полем. При подсчете каждое ГГИН считается положи-
положительным, так что существование четырех ГГИН согласуется с
топологическим результатом. В случае кратных ГГИН следует
принимать в расчет их кратность. Конфигурация линейных эле-
элементов, как явствует из рис. 8.3, при каждой кратности, разу-
разумеется, своя. Мы видим, что вращательная симметрия по отно-
отношению к ГГИН встречается только в случае п = 2. Значит, как
уже отмечалось, вращательной симметрии достаточно, чтобы
исключить в шварцшильдовском случае типы {31} и {4}. То
обстоятельство, что случай п = 2 допускает несколько сущест-
существенно разнящихся конфигураций, связано с тем, что вращатель-
вращательная симметрия лишает нас информации, равноценной «одному
параметру» относительно ориентации конфигурации, и мы вновь
получаем эту информацию из вариаций последней.
Отметим, что свойства симметрии конфигураций (на картине
тензора Вейля) вблизи ассоциированной с ГГИН точки Р свя-
связаны со спиновым весом различных спиноров VF Если принять,
что оА = 1А, то для /г-кратного ГГИН мы имеем Wo =
... =4^n_i = 0. Вид картины вблизи точки Р определяется ве-
ведущим ненулевым членом в выражении (8.2.3), в котором спи-
спинор |л заменен спинором оА + eiA, что дает Wn. Таким образом,
в случае п = 2 (спиновый вес равен нулю) мы имеем локальную
полную вращательную симметрию; в случаях п = 1,3 (спиновый
"-^Sa*
---~\ ! '/
\ I /
* I I
Рис. 8.2. Некоторые типы особенности на «картине» тензора Вейля. а — по-
последовательно указать ориентацию невозможно (имеет отношение к спи-
спину 2); б — можно непротиворечиво указать ориентацию (имеет отношение
к спинам 1 и 2). Нижняя конфигурация в обоих случаях считается отрица-
отрицательной и в данном контексте не рассматривается.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ
277
Рис. 8.3. Типы особенности на картине тензора Вейля (на сфере S+), соот-
соответствующие кратности ГИН, равной п.
вес равен ±1) вращательной симметрии нет — локальная кон-
конфигурация картины характеризуется единственным касательным
направлением на S+ и, наконец, в случае п = 4 (спиновый вес
равен —2) имеется простая центральная симметрия.
§ 3. Собственные спиноры спинора Вейля
Рассмотрим комплексное трехмерное пространство <5(ав) сим-
симметричных спиноров ') Фав валентности ["о] в заданной точке
Р многообразия Ж. Записав спинор Вейля в виде Wabcd, можно
считать, что он осуществляет на <3(лв> линейное преобразование
Фав^^авС°Фсо. (8.3.1)
Пространство @лв обладает комплексной метрикой, которая
определяется канонически, так что скалярное произведение двух
элементов фАв, %ав s <элв имеет вид
(8.3.2)
причем выражение в фигурных скобках играет роль «метриче-
«метрического тонзора». Под действием активных спиновых преобразо-
преобразований эти элементы претерпевают собственные комплексные
') В соответствии с принятой нами общей схемой обозначений это про-
пространство следовало бы записывать в виде ®(Ав)[Р], но мы в данной главе
отбрасываем [/>], поскольку все исследование проводится только в одной точ-
точке многообразия Ж.

278 ГЛАВА 8
ортогональные преобразования '), по отношению к которым ука-
указанная метрика, очевидно, инвариантна. Выбрав любую спино-
спиновую систему отсчета оА, iA, можно построить соответствующий
12 3а» ■ ;
, 0= 1, 2,
ортонормированный базис Ьав, блв, &ав (блвблв = дч, а
3) для ©<лв), такой, что '
1 i 2
1
&АВ = /5^ (°А°В 1Л1й)> &АВ = /я"
блв = i -y/2 о<Л1в). . (8.3.3)
Из нескольких возможных вариантов мы выбрали именно этот,
чтобы в дальнейшем наши обозначения согласовались со стан-
стандартным выражением для спиновой системы отсчета в простран-
пространстве Минковского. К тому же в силу ортонормированности базиса
нам не понадобится делать каких-либо различий между верхним
и нижним расположением индексов а, р, ....
Обратно, задав любую ортонормированную триаду 6АВ,
2 3
блв. 6лве©(лв), мы получим соответствующую спиновую систему
отсчета од, iA, которая с точностью до знака будет единственной.
2 1
В самом деле, поскольку разность блв — гб^в в силу ортонор-
' 2 1 2 1
мированности триады изотропна [т. е. Fав-~^ав) (блв—i6AB) = 0],
она единственным (с точностью до знака) образом определяет
спинор iA: 1Л1В = A/V2 ) (&ав — Мав)- Этот спинор ортогонален
з
(но не пропорционален) спинору дАв> так что каноническое раз-
з
ложение [третье равенство (8.3.3) ] элемента б^д при данном
выборе знака спинора iA приводит к единственному спинору од.
2 1
Так как разность 6^ — ibAB тоже изотропна и ортогональна
з
спинору дАВ, она должна быть пропорциональна оаов. Теперь
осталось лишь удовлетворить требованию нормировки величин
1 2 3
&ав> &ав и &ав> Для чего, очевидно, достаточно наложить на спи-
спиновую систему отсчета условие од1л = 1.
По отношению к базису (8.3.3) можно определить «декарто-
«декартовы» компоненты произвольного элемента <f>AB <= ®(лву-
ф = ^(фоа-фп), £ = ^= Ми + *„), £ = fV2>oi. (8.3.4)
:) Это преобразование группы SO C, С), изоморфной ограниченной груп-
группе Лоренца и 1—2-гомоморфной спиновой группе SL B, С). Такой 1—3 гомо-
гомоморфизм есть следствие 1—2-соответствия между стандартными базисами в
©мв) и @д, которые определяются формулой (8.3.3).

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 279
Отметим, что если спинором фАв определяется электромагнитное
поле в соответствии с формулой E.1.39), то эти компоненты
представляют собой всего лишь компоненты комплексного 3-век-
тора — (j'/V2~) (E — iB) в стандартном ортонормированном ре-
репере C.1.20) [ср. с формулами E.1.59), E.1.60)].
Аналогично компоненты спинора Wabcd по отношению к это-
этому базису можно записать в виде следующей матрицы W:
( %
(8.3.5)
где Wa, ..., W4— рассмотренная ранее [формула D.11.6)] стан-
стандартная форма компонент спинора Вейля. Заметим, что W —
бесследовая матрица. Это следует из симметрии спинора Wabcd,
которая требует равенства
ЧгАвАв=у = 0 (83.б)
Это фактически единственное ограничение, налагаемое на комп-
комплексную матрицу ЧГ (помимо свойств ее симметрии): оно остав-
оставляет только пять независимых матричных элементов, линейно-
связанных с 4*0, ..., W4.
Собственным спинором спинора Вейля является ненулевой
элемент фАв <= @(лв), для которого выполняется соотношение
^авс°Фсо = ^Фав> (8.3.7)
где X — соответствующее комплексное собственное значение. За-
Записывая (8,3.7) с помощью компонент в базисе (8,3.3), можно
убедиться, что к — это еще и собственное значение матрицы Ч*1
в обычном смысле слова. Если Х\, Х2, А,3 — три собственных зна-
значения матрицы W, то
[, (8.3.8)
и можно заметить, что Xi, X2 и Х3 являются корнями уравнения
6Хг — 3IX — 2/ = 0.
С помощью выражения
— 4Чг1о<л1в1с1£>) + 6xP2O(aobicid) —
(8.3.9)

280 ГЛАВА 8
(в справедливости которого можно убедиться, рассмотрев ком-
компоненты левой и правой частей) не составляет труда получить
первое из нижеследующих выражений для инвариантных скаля-
скаляров I и J [второе следует из приводимой ниже формулы
(8.3.11)]:
(8.3.10)
Кроме того, из соотношений (8.3.8) следует (после возведения
в куб первой строки и вычитания из полученного равенства
утроенного произведения первой строки на вторую) равенство
(8.3.11)
Согласно этому равенству, детерминант матрицы Ч1" равен
A/3)/, что позволяет доказать справедливость второго соотно-
соотношения (8.3.10), а также [путем возведения в куб второй строки
в формуле (8.3.8)] соотношения
/3 - б/2 = 2 (Я, - Я,J (Я2 - Я3K (Я,3 - Я,J, (8.3.12)
на основании чего можно утверждать следующее:
Два или большее число собственных значений X
одинаковы ^/з = б/2. (8.3.13)
Соотношение между собственными значениями и двойными
отношениями
Чтобы выяснить, каков геометрический смысл величин A,i, Я,2, Я,з,
/и/, вернемся к формуле A.3.9) и вспомним, что для любого
упорядоченного множества четырех изотропных направлений
(в котором никакие три не совпадают) имеется определенное
единственным образом двойное отношение (элемент простран-
пространства С U{°°}), которое инвариантно по отношению к ограничен-
ограниченным преобразованиям Лоренца. Если переписать формулу
A.3.10) в спинорных обозначениях, то для двойного отношения
ГГИН получим
^- (8314)
причем обозначения в левой части будут соответствовать обозна-
обозначениям в формуле A.3.9) [в которой точки А, В, С, D из § 2 сле-
следует считать элементами пространства С U {°о}), если сферу S+
в соответствии с предписаниями гл. 1, § 2, рассматривать как

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 281
риманову сферу для .С.U{°°}]. Для левой части равенства
(8.3.14) справедливы выражения
{А, В, С, D} = {B, A, D, С} = {С, D, A, B} = {D, С, В, А}.
(8.3.15)
Предположим, что В, С и D — несовпадающие друг с другом
точки; тогда их можно перевести в любое другое заданное упо-
упорядоченное множество различных изотропных направлений с
помощью единственного ограниченного преобразования Лорен-
Лоренца. При этом указанным двойным отношением определяется
единственный образ точки А, получившийся в результате этого
преобразования, и его связи с образами точек В, С и D.
Пусть
%={А, В, C,D}. (8.3Л6)
В силу сказанного выше можно выбрать нашу спиновую систему
отсчета су4, И, а также масштаб спинора а и т. д. так, чтобы
выполнялись соотношения
Рл = °л. Ул=°л + 1л. бл = 1л (8.3.17)
(здесь ро = О, P'i = l, Yo = —1. Yi = l, бо=—1, б, = 0), откуда
при некотором г\=фО с учетом формул (8.3.14) и (8.3.16) полу-
получим (коэффициент 6 введен для удобства)
ал = 6лК + Х1л) (8.3.18)
(что дает ао = —бпх, ai=6ti). Тогда полином (8.1.2) приво-
приводится к виду
¥ ABC DlAlBlClD = 6*1 B - %) Z (Z - 1) (- 1) =
= _6т,{Хг-(я+1J2 + 23}, (8.3.19)
такому, что в данной частной системе отсчета
(8.3.20)
Подставляя эти выражения в (8.3.10), получаем
/ = 6л2 (X2 - X + 1) = 6л2 (X + «О (X + *>2) (8-3.21)
(где ш = е231*/3) и
D) (8.3.22)
Из этих выражений для / и / сразу же вытекают следующие
утверждения:
ГГИН эквиангармонтно (х = — ©» — ю2) ■<=*" J = 0 ^ /, (8.3.23)
ГГИН гармонично (х= — 1, 2, 1/2)-<=*./ = 0 ф I. (8.3.24)

282 ГЛАВА 8
Заметим, что три уравнения (8.3.8) позволяют выразить три
величины X через / и / [причем два последних уравнения (8.3.8)
можно заменить уравнениями (8.3.11) и (8.3.12)], тогда как
соотношения (8.3.21) и (8.3.22) позволяют выразить / и / через
% и т|. Это дает возможность выразить три величины X через %
и т). Проведя соответствующие выкладки, получим
К = ц(\-2%), А2 = лA + Х), *з = Л@С-2). (8.3.25)
Вспомним [формула A.3.12)], что изменение порядка следова-
следования точек А, В, С, D влечет за собой замену величины % одним
из следующих выражений:
1-Х, %~\ A-Х), 1-Х"', Х(Х-1Г'. (8.3.26)
Пользуясь равенствами (8.3.25), несложно убедиться, что такого
рода замена, если она сопровождается соответствующей заменой
г\ на
-% ЧХ. Л(Х-1), — ЧХ, Л A-Х), (8.3.27)
ведет всего лишь; к перестановкам значений А, а именно Я,,
А-2> "з'—^"i> ^з» ^2> "з, л2, A|; А2, Лз, Л|; Лз, л«1, л2; л2, л«1, Лз,
соответственно.
Частные случаи
Решения (8.3.25) мы получили, полагая, что точки -В, С и D
не совпадают друг с другом [формула (8.3.17)]. Представляют
интерес различные частные и предельные случаи. Если % = О
или 1 = 1, то точка А совпадает соответственно с В или С [фор-
[формула (8.3.18)); при % = оо, т) = 0 (удерживая произведение ХП
конечным) мы придем к ситуации, когда А совпадает с D.
В каждом из этих трех случаев два значения X в формуле
(8.3.25) одинаковы, а третье всегда от них отличается. Если
после такого рода совпадений А с одной из точек В, С, D два
оставшихся направления тоже совпадут, но будут отличаться от
А, то величина % останется неизменной [что следует из (8.3.14)],
а кроме того, останутся в силе соотношения (8.3.25). Однако,
как видно из (8.3.14), если совпадут три из точек А, В, С, D, то
в зависимости от того, как они будут стремиться к совпадению,
X может принять любое предельное значение, что мы догово-
договоримся записывать как % = 0/0. (Если, например, положить ал =
= аул + Ь8А и рл = су а + йЬл, то получится % = 1 — be/ad; пред-
предположив же, что b = fid-»-0 при произвольном значении ц, мы
обнаружим, что совпадение точек А, В и С достигается при
/-*-! — iic/a.) Очевидно, что для непротиворечивости сказан-

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 283
ного все X в формуле (8.3.25) в пределе должны обращаться в
нуль. Итак, установлено следующее соответствие:
Совпадают два или большее число ГГИН~$=>% = 0, 1, оо
или 0/0 -$=> совпадают два или больше значений%<=з-13 = 6Р
(8.3.28)
[ср. с формулой (8.3.13)] и, как частный случай этого соответ-
соответствия,
Совпадают три или большее число ГГИН ■<=>■ % = 0/0 -
l = %2 = X3 = 0 = I = J. (8.3.29)
Если известны компоненты спинора Вейля Wo, .., 4f4, то
для построения его собственных спиноров достаточно найти соб-
собственные векторы (ai, a2, аз) матрицы (8.3.5), с помощью кото-
которых соответствующий собственный спинор можно записать в
виде
1 2 3
Фав = а^лв + оФав + <*Фав =
= —j=- {(а, — iax) оАОв + 2ia3O(AiB) + (jh + ш,) iaib}. (8.3.30)
(В этом не трудно убедиться, умножив первую строку на Wcdab-)
Отметим, что собственные спиноры, относящиеся к различ-
различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Это из-
известный результат теории матриц, справедливость которого в
данном контексте следует из равенств
где ф(\)Ав и ФA)ав — собственные спиноры, относящиеся к соот-
соответствующим собственным значениям Хх и Х2; если Хх Ф Х2, то
tPCD
Таким образом, в ситуации, когда все собственные значения
Я,1, Х2, Х3 различны (т. е. в случае {1111}), в пространстве @<лв)
существует триада взаимно ортогональных собственных спино-
спиноров (этот вывод нельзя считать заранее очевидным, поскольку
наша матрица не является действительно-симметричной), кото-
которую можно выбрать так, чтобы она была ортонормированной.
1 2 3
Введя для этой триады обозначения дАВ, 6АВ, 6Ав, мы получим
спиновую систему отсчета ол, 1Л [см. текст после формулы
C.8.3)], в которой матрица Ч1" из (8.3.5) будет диагональной,
скажем diag (A,i, X2, Хз)- Тогда из равенства нулю недиагональ-
недиагональных элементов матрицы в этой системе отсчета следует, что
Чго = ^4, 4^=^3 = 0, (8.3.31)

284 ГЛАВА 8
а для диагональных элементов выполняются равенства
(8.3.32)
которые приводят к следующим выражениям для компонент
спинора Вейля:
(8.3.33)
Подставив эти выражения в (8.3.9), получим формулу
3 3
^ABCD = -сГ "W-AlBlClD + ЗТ) B — %) О(ЛОВ1С1£)) + "^ ШРАОвОсОо,
(8.3.34)
которая дает каноническую форму любого спинора Вейля типа
{1111}. Можно сравнить эту формулу с альтернативной канони-
канонической формой, определяемой выражениями (8.3.20) и (8.3.9),
где флагштоки спиноров од и iA являются ГГИН [формула
(8.3.17)]. Здесь флагштоки спиноров ол и 1Л являются ГИН од-
з
ного из собственных спиноров (а именно спинора 6АВ в формуле
(8.3.3)]. Ясно, что в выборе канонической формы есть опреде-
определенный произвол, но сделанный нами выбор в виде (8.3.34)
позволяет проанализировать свойства геометрической симметрии
типа {1111} (см. § 5) в более явной форме, нежели при любом
другом выборе.
Отметим, что при значении % = 2, которое дает гармониче-
гармонические ГГИН, спинор Вейля Wabcd можно представить в виде
суммы двух симметричных спиноров типа {4}. И наоборот, сум-
сумма (или разность) (не пропорциональных друг другу) спиноров
типа {4} должна быть гармонической, так как
= {щА + р(л} К + фв) {ас - рс} {ао> + Фо)) (8.3.35)
и двойное отношение четырех сомножителей в правой части
является гармоническим [формула (8.3.14)].
Каноническая форма (8.3.34) не требует, чтобы все вели-
величины Я,1, %2 и Я,3 были разными. Она требует лишь, чтобы для
спинора Wab00 существовал набор из трех линейно-независимых
собственных спиноров (который потом можно выбрать так, что-
чтобы он был ортонормированным). В случае типов {211} и {22}
можно положить % = 0 и' чтобы убедиться в возможности су-
существования такой канонической формы, подставить это значе-
значение в (8.3.34). Результат такой подстановки имеет вид
°в1с1в) (8.3.36)

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 285
и показывает, что спинор Вейля относится к типу {22}, т. е. что
пространство @(лв) нельзя натянуть на собственные спиноры спи-
спинора Вейля типа {211}, но можно натянуть на собственные спи-
спиноры спинора Вейля, относящегося к типу {22}. Ясно, что лю-
любой спинор Вейля типа {22} обладает канонической формой
(8.3.36) с г\ = Ч?2. Столь же ясно, что спинор типа {—} может
принять форму (8.3.34) с г\ = 0 и на его собственные спиноры
можно натянуть пространство @(дВ). Однако в случаях типов
{31} и {4} пространство <5(Ав) нельзя натянуть на собственные
спиноры, но все они имеют форму а(Л|В), где ал — кратный глав-
главный спинор спинора Wabcd [а спинор |л в случае типа {31} про-
пропорционален спинору ал', см. таблицу (8.3.41), которая приво-
приводится ниже]. Поскольку aAaB4fabcd = 0, из формулы Wabcd<J>cd =
= ХфАв следует, что Ха?авфАВ = 0; таким образом, либо спинор
аА, как и утверждалось, является главным спинором спинора
<f>AB, либо X = 0. Однако и в последнем случае остается справед-
справедливым равенство аАавфАв = 0, которое совершенно очевидным
образом получается из Wabc^cd = 0 для типа {4} и почти столь
же очевидным образом в случае типа {31} (нужно один раз
провести операцию трансвекции с другим главным спинором
спинора Wabcd).
Канонические формы для типов {4} и {31} можно получить
совершенно тривиальным образом, положив
(8.3.37)
() (8-3.38)
соответственно. И в том, и в другом случае имеет место свобода
(ол, 1Л)|—>(Яол, X~hA), которая позволяет избавиться от любого
множителя перед всем выражением. [В случае же типа {22}
такая свобода не позволяет избавиться от коэффициента 6т) в
формуле (8.3.36).] В случае {211} мы имеем ровно три различ-
различных ГГИН, а потому можем выбрать такую спиновую систему
отсчета, чтобы ГГИН имели по отношению к ней три любые за-
заранее заданные ориентации, скажем совпадали с направлениями
флагштоков спиноров од, ол ± йл, что дает
^ABCD = 6Т1 @A°B0C°D + °(A°BlClD))< (8.3.39)
где множители перед полными выражениями выбраны так, что-
чтобы обеспечивалось согласие с формулой (8.3.25) при % = 0 [соб-
[собственные значения Х\ = Х2 = г\, Х3 = —2ц матрицы (8.3.5) соот-
соответствуют следующим значениям компонент спинора Вейля:
Ч?о = Ч? 1 = 4*3 = 0, 4*2 = Л. ^4 = 6п]. Очевидно, что возможны
и многие другие альтернативные канонические формы спинора
Вейля.

286 ГЛАВА 8
Сводка канонических форм; типы Петрова и жордановы формы.
Канонические формы (8,3.34), (8.3.36) —(8.3.39), соответ-
соответствующие разным типам спинора Вейля, можно свести в таб-
таблицу:
{1111}
{211}
{31}
{22}
{4}
{-}
C/2) та
0
0
0
0
0
V,
0
л
0
0
0
0
^2
A/2)чB —х)
0
0
л
0
0
Ч'з
0
0
1
0
0
0
C/2) тис
6Л
0 (8.3.40)
0
1
0
Собственные спиноры и соответствующие собственные векторы
легко находятся в каждом случае из матрицы (8.3.5); нужно
лишь перевести рассматриваемые собственные векторы в спинор-
ную форму, пользуясь соотношением (8,3.30), Полученные ре-
результаты приведены в таблице (8,3,41), где каждое собственное
значение помещено непосредственно под соответствующим соб-
собственным спинором. В тех случаях, когда одному и тому же
собственному значению соответствует более одного собствен-
собственного спинора, можно использовать альтернативные линейные
комбинации собственных спиноров.
{1111}
{211}
{31}
{22}
{4}
ОдОд — 1д1в
4A-2Х)
°А°В
Л. Л
o,V о
л
0, 0
°А<>в + 1Л1
4A +Х)
-24
Л
О(Л1В)
0
В O(AlB)
Л (ОС-2)
-24
(8.3.41)

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ
287
Отметим, что в случаях типов {1111}, {22} и {—} собствен-
собственные спиноры стягивают трехмерное комплексное пространство,
в случаях типов {211} и {4} на них натянуто двумерное комп-
комплексное пространство и, наконец, в случае типа {31} они стяги-
стягивают одномерное комплексное пространство. В первоначальной
терминологии Петрова (хотя сам он пользовался тензорным, а
не спинорным исчислением) три случая {1111}, {22} и {—} от-
1211} и {4}—к
чай {31} — к «типу III». Схема (8.1.9) построена таким образом,
носятся к «типу I», два случая
«типу II», а слу-
что каждый ее столбец соответствует одному типу Петрова.
Нормальные жордановы формы, к которым может быть при-
приведена матрица ЧГ (8.3.5) с помощью преобразования подобия,
легко получить из (8.3.41). Результаты приведены на схеме
(8.3.42), которая содержит и схему специализации (8.1.9).
{1111}:
{22}:
(8.3.42)
§ 4. Собственные бивекторы тензора Вейля
и его классификация по типам Петрова
Уравнение на собственные значения, подобное уравнению
(8.3.7), но для тензора Вейля Саьса можно построить следующим
образом:
CcdX X (8.4.1)

288 ГЛАВА 8
Здесь Хаь Ф 0 принадлежит шестимерному комплексному про-
пространству ©[аьь содержащему антисимметричные элементы из
пространства @аЬ (как и всюду в этой главе, в данном пара-
параграфе мы будем рассматривать только одну точку пространства-
времени). Величина Хаь называется собственным бивектором
тензора Саьса, принадлежащим собственному значению ц. Если
выразить Cabcd и ХаЬ через их неприводимые части D.6.41) и
C.4.17):
= Ч?ABCrpA'B'eC'D' + eABeCD^A'B'C'D'< (8.4.2)
, (8.4.3)
то уравнение (8.4.1) переходит в два уравнения
у Т (8.4.4)
Из сравнения этих уравнений с уравнением (8.3.7) следует, что
собственные значения ц тензора Вейля Саьса должны иметь вид
ц = 2Я,„ 2Х2, 2Х3, 2Х„ 2Х2, 2Х3, (8.4.5)
где Я,1, %2 и Хз — собственные значения спинора Wabcd- Собствен-
Собственные бивекторы, соответствующие первым трем собственным зна-
значениям, имеют вид
(8.4.6)
а трем остальным собственным значениям соответствуют соб-
собственные бивекторы
(8.4.7)
где <рАВ — соответствующий собственный спинор спинора Вейля
Wcd
Отметим, что в формулах (8.4.6) и (8.4.7) все собственные
бивекторы — комплексные, в первом случае антисамодуальные,
а во втором — самодуальные [формулы C.4.41), C.4.35)]. Дей-
Действительные собственные бивекторы могут возникнуть только
как линейная комбинация этих комплексных, например как
сумма собственного бивектора (8.4.6) и комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженного ему бивектора (8.4.7). Однако эти линейные комбинации
дадут именно собственный бивектор лишь в случае, когда равны,
а значит, и действительны соответствующие собственные значе-
значения (т. е. Xi =A,i). Но тогда каждому действительному значению
X будет принадлежать целый двумерный массив действительных
собственных бивекторов тензора Саьса (а возможно, четырех-
или шестимерный массив, если собственное значение А, соответ-
соответствует двум или трем линейно-независимым собственным спино-

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 289
рам спинора 4?abcd соответственно). Можно выделить представ-
представляющий определенный интерес частный случай, в котором появ-
появляется действительное значение Я,, а именно случай, когда два
других собственных значения X комплексно-сопряжены друг
другу (скажем, Х{ = Х2), и тогда из требования Xi + А,2 + Я,3 = О
будет следовать действительность собственного значения А,з-
В этом случае шесть собственных значений тензора Вейля СаЬы
(как минимум) попарно совпадают, что дает дополнительные
возможности построения собственных бивекторов [например,
в виде комплексной линейной комбинации бивектора (8.4.6) для
%i с бивектором (8.4.7) для Х2]. На основании формулы
(8.3.25) — полагая Х^ = Х2%2 и т. д. — легко показать, что такая
ситуация может возникнуть только при |1—%|=1 (случай
h = А,2), при |х|=1 (случай A,i = Я,3) или при Re(x) = 1/2 (слу-
(случай %3 = %2).
Компоненты тензора Вейля CabCd в бивекторном базисе
Мы хотим связать канонические формы, полученные ранее в
различных случаях для спинора Wabcd, с соответствующими ка-
каноническими формами для Cabcd, Но для этого сначала нужно
построить общую схему переходов между бивекторными компо-
компонентами в стандартной тетраде Минковского и этими же компо-
а
нентами в спинорном базисе б^д е@<лв)|[ср. с формулой (8.3.3)].
а а
Определив шесть действительных бивекторов УаЬ, *Каь(а= 1, 2, 3)
с помощью соотношения
Vab + rVrt^dMBA'B' (8.4.8)
[звездочкой обозначена операция дуального отображения; см.
формулы C.4.21), C.4.38)], мы благодаря ортонормированности
спиноров fi получим базис для множества %[аь] действительных
бивекторов, который можно считать псевдоортонормированным
в том смысле, что
VabVab = 6af, *VabVab=-bat, Vab*Vab = 0. (8.4.9)
Тогда связь между компонентами бивектора Хаь в этом ба-
базисе и компонентами (8.3.4) соответствующих спиноров фАВ и
а а
1А'В' [формула (8.4.3)] по отношению к базисам 6АВ ЬА-В' для

290 ГЛАВА 8
и <3(Л'В')> соответственно, дается формулами
- i*Vab) = 2|л-в'
(8.4.11)
Хаь
а а
Если перевести ф и | в соответствии с формулой (8.3.4) и
комплексно-сопряженной с ней формулой в форму спинорной
диады и сравнить соотношения (8.4.10) и (8.4.11) с компонен-
компонентами Zab бивектора Хаь в стандартной тетраде Минковского
C.1.20) [ср. с формулой C.1.49)], то после соответствующих
выкладок получим
X J* * ^* Х *> (8'4Л2)
1 .' 1 2 1 3
лю = /— X, X20^ л=- л, Лзо^""^1" л- (8.4.13)
Но, В СИЛу ТОГО ЧТО *Cabcd = ~ Cabcd И Cubed = Cabcd [фор-
мула D.6.11) и далее], компоненты тензора Cabcd в базисе Vat,t
а
*Vab можно записать в следующем виде:
2А : = V^CabJr" = - 'V^Cabc/h", (8.4.14)
2В : = V^CabJV1* = 'УаЬСаЬЫУы. (8.4.15)
Вскоре мы убедимся, что для этих компонент выполняются со-
соотношения симметрии и бесследовости
а|1 ра аа ар pi аа
А^А, А = 0, В = В, В = 0 (8.4.16)
[см. формулу (8.4.21) ниже, а также формулу (8.3.6)]. Поль-
Пользуясь формулами (8.4.12) и (8.4.13), компоненты тензора Риччи

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 291
в стандартной тетраде Минковского можно привести к виду
11 12
— Coioi = С2323 = А, — СОю2 = С2331 = А,
13 22
^0103 == ^2312 = Л, 0J02 == С3131 == А,
23 33
0J03 = Сз112= А, —0K03 —^1212 = А, 1Я. А \7\
п 12 16.4.1/;
Оигз == В, Coi3i = С2302 == -S.
13 22
£-0112 == ^2303 == В, С(Ш1 == ^'
23 33
0J12 == ^3103 = 5, Соз12 = 5-
ар ор
Обозначив матрицы компонент Л и В просто через А и В, мож-
можно представить компоненты (8.4.17) в форме
ab
01
02
03
Cabcd
31
12
cd
01 02 03
— A
В
23 31 12
В
A
(8.4.18)
Компоненты тензоров Саьса и Cabcd получаются аналогично:
Эти матрицы очень легко связать с матрицей Ч? (8.3.5), компо-
ар
ненты которой обозначим через W. В самом деле, имеем
ар
|| . /а а \ р , ор , ор
dc° = \ {Vab + ПаЬ) CabcdVcd = у А + \ IB,
(8.4.20)
т. е. Y = A/2)(A + /B). Таким образом,
А = Т + Т, В = — CV+C9'. (8.4.21)

292
ГЛАВА 8
Канонические формы Петрова
Полученные в предыдущем параграфе канонические формы спи-
спинора Вейля для различных типов можно теперь перевести в со-
соответствующие канонические формы для матрицы (8.4.18), со-
состоящей из компонент тензора Вейля Cabcd. Пользуясь табли-
таблицей (8.3.40) и формулой (8.3.5), находим первые три строки
этой матрицы для различных типов (в случае типов {211} и
{22} здесь £ел=:Л1. 1тл=:Лг):
{1111}:
{211}:
2RefoBx-
. -2 Re
. . 2 Re
D]. •
[л(х +
[ЛB-
—
1)]
X)]
2
.
Im
. 2
•
[л С
Im
—
h(x
2Im
D] •
+ D]
[ЛB-
X)]
{22}:
{31}:
{4}:
-2л,
■
-2л,
2Л2
.
4л,
.
2л2
—4Лг
(8.4.22)
Все эти канонические формы, кроме случая {211}, по существу
идентичны формам, которые установил Петров A954 г.) прямы-
прямыми тензорными методами. В случае {211} форма Петрова не-
несколько отличается от нашей и соответствует замене в таблице
(8.3.40) строки (ООлОбл) строкой @0л01). Нетрудно найти изме-
изменение спиновой системы отсчета, при котором достигается этот
результат.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 293
§ 5. Геометрия и симметрия вейлевской кривизны
В данном параграфе мы рассмотрим геометрию бивекторной
структуры (имеются в виду собственные бивекторы) тензора
Вейля Cabcd (или спинорной — в смысле собственных спиноров —
структуры спинора Вейля ^abcd в ее связи с ГГИН), а резуль-
результатами этого анализа затем воспользуемся для исследования ди-
дискретных симметрии вейлевской кривизны в случае типа {1111}.
Кроме того, мы с помощью более прямых методов исследуем
симметрии и в случае других типов. В дополнение к этому для
сравнения проведем соответствующее обсуждение классифика-
классификации тензора Максвелла.
Особые плоскости направления для типа {1111}
Как мы выяснили, базисные собственные бивекторы (8.4.6)
и (8.4.7) тензора Вейля встречаются в виде антисамодуальных-
самодуальных пар. Каждой такой парой в точке Р определяется
пара вполне ортогональных плоскостей1), проходящих через на-
начало отсчета касательного пространства, построенного в Р. Эти
плоскости характеризуются двумя простыми действительными
бивекторами, представляющими собой линейные комбинации
рассматриваемых пар собственных бивекторов. Одна из этих
плоскостей времениподобна и может быть альтернативно оха-
охарактеризована (и это проще) как плоскость, натянутая на два
ГИН соответствующего собственного спинора спинора Вейля
WABCD- Вторая плоскость пространственноподобна и является
ортогональным дополнением первой. Чтобы сказанное стало
яснее, предположим, что Фав = Ща$в) есть собственный спинор,
а Фав^а'в' — соответствующий самодуальный собственный бивек-
бивектор. Действительный бивектор
Fab = уФавВа'в' + УВавФа'в' (8.5.1)
(где у— некоторый комплексный коэффициент) будет простым
[см. формулу C.5.30) и все, что о ней говорится] в том и только
том случае, когда выражение у^лв^8 действительно, что сле-
следует непосредственно из формул (8.5.1), C.4.22) и критерия
C.5.35. II). Легко видеть, что при выполнении этого условия
имеет место либо равенство у = аАфА', либо равенство у — галфл'
(это верно с точностью до не равных нулю действительных коэф-
') Термин «вполне ортогональные» здесь означает, что эти плоскости
являются ортогональными дополнениями друг друга, т. е. что всякое направ-
направление в одной плоскости ортогонально всякому направлению в другой [при-
[пример — плоскости (х, у) и (г, t) в пространстве Минковского]. Термин же
«ортогональные» будет означать, что лишь некоторое направление в одной
плоскости-ортогонально всякому направлению в другой.

294 ГЛАВА 8
фициентов, которыми мы здесь пренебрегаем). В обоих случаях
Fab можно записать в форме
Fab = РаЯь — ЯаРь, (8.5.2)
где при у = &a'$a' мы имеем
Ра = аАаА>, ?а = РлРл'. (8.5.3а)
а при у = г<*л'Рл
рв = V2 Re (Рдод-), <7а = л/21т(РлаЛ')- (8.5.36)
Простой бивектор (8.5.2) можно рассматривать как характери-
характеристику плоскости векторов ра, qa- В случае (8.5.3а) он характери-
характеризует времениподобную плоскость, натянутую на ГИН спинора
фАв\ в случае же (8.5.36) он характеризует пространственнопо-
добную плоскость, натянутую на два вектора, которые ортого-
ортогональны обоим ГИН спинора фАВ (что легко проверить). Заме-
Заметим, что два простых бивектора, о которых только что шла речь,
(±) -дуальны друг другу, поскольку соответствующие коэффи-
коэффициенты у в формуле (8.5.1) различаются мнимым множителем
[формула C.4.22)].
Если применить эти результаты к спинору (или тензору)
Вейля типа {1111}, то выяснится, что три собственных спинора
спинора Wab00 дают три пары вполне ортогональных плоско-
плоскостей. Фактически все шесть этих «собственных плоскостей» орто-
ортогональны друг другу, что следует из ортогональности собствен-
собственных спиноров, соответствующих различным собственным значе-
значениям, и следующей отсюда ортогональности соответствующих
простых бивекторов; например, ортогональность бивекторов
Fab = раЦъ — Царь и Gab = raSb — sarb означает, что FabGab = 0.
Отсюда следует существование пары не равных нулю коэффи-
коэффициентов а и Ъ, таких, что вектор ара + bqa ортогонален векторам
Га и sa (т. е. арага + bqara = 0, apasa + bqasa = 0), для которых
выполняется условие paraqbSb — ра$а<7г>гь = 0, т. е. FabGab — 0.
Теперь мы покажем, что шесть собственных плоскостей пере-
пересекаются по четырем действительным прямым, обладающим ха-
характеристиками тетрады Минковского. Четыре определенных
таким образом направления называются главными римановыми
направлениями тензора Саьса- Как и должно быть, они нахо-
находятся в определенном отношении к главным изотропным направ-
направлениям Cabcd- Чтобы доказать это, сначала покажем, что всякая
собственная плоскость U пересекается с любой другой собствен-
собственной плоскостью V, кроме ее собственного ортогонального допол-
дополнения U', по прямой. Итак, плоскость U содержит вектор р, орто-
ортогональный плоскости V, которая является дополнением плоско-
плоскости V. Но V содержит все векторы, ортогональные плоскости
V1, а значит, и вектор р. Поскольку же U и V проходят через

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ
295
начало, они пересекаются вдоль р. Рассмотрим следующие две
пары вполне ортогональных собственных плоскостей: U, U' и V,
V. Они пересекаются по четырем прямым: U[\ V, U f\ V, U' f\ V,
U'f\V. Любые две из этих прямых взаимно ортогональны, ибо
одна из них всегда относится к собственной плоскости, а вто-
вторая — к соответствующему дополнению. Две оставшиеся соб-
собственные плоскости WhF пересекаются с каждой из четырех
остальных, а значит, должны пересекаться с ними вдоль прямых
Uf\V, U'(\V и Uf\V, U'f\V соответственно (в чем легко убе-
убедиться, выбрав эти направления в качестве базиса и рассмотрев
векторы, на которые натянута плоскость W или W). Таким об-
образом, как и утверждалось, существуют в точности четыре ли-
линии пересечения шести собственных плоскостей и все они взаим-
взаимно ортогональны. Так как они находятся в пространстве Мин-
ковского, три из них должны быть пространственноподобными,
а одна — времениподобной. Ясно, что последняя прямая явля-
является линией пересечения трех времениподобных собственных
плоскостей.
Можно также представить собственные плоскости как линии
в проективном 3-пространстве направлений, проходящих через
начало. Конфигурацию, образуемую плоскостями U, V, U', V,
можно представить в виде асимметричного четырехсторонника,
противолежащие ребра которого, представляя дополнительные
плоскости, не могут иметь общих точек (так как плоскости не
имеют общих линий). Плоскости W и W представляются двумя
новыми линиями, каждая из которых пересекается со всеми че-
четырьмя старыми прямыми. Очевидно, что плоскости W и W
должны соответствовать диагоналям четырехсторонника и не
должно возникнуть ни одной новой точки (линии) пересечения.
В целом шесть собственных плоскостей соответствуют ребрам
тетраэдра (рис. 8.4), противолежащие ребра которого являются
Рис. 8.4. В проективном 3-пространстве (PV) направлений, проходящих через
начало отсчета, собственные плоскости тензора Cat,cd представляются ребрами
тетраэдра, вершины которого соответствуют римановым главным направле-
направлениям. [Не следует путать этот тетраэдр с изображенным на рис. 8.5. Вер-
Вершины первого отвечают трем осям EF, GH и KL второго и времениподобному
направлению, задающему собственную (покоящуюся) систему отсчета.]

296 ГЛАВА 8 ;
ортогонально дополнительными, а вершины дают направления
осей.
Теперь легко убедиться, что определенные выше главные ри-
мановы направления совпадают с тетрадой Минковского, по от-
отношению к которой вычислялась (в неявном виде) форма Пет-
Петрова (8.4.22.1) тензора Саьс<ь
Из этой формы следуют определенные дискретные симметрии
тензора Cabcd типа {1111}, а именно такие (сохраняющие ориен-
ориентацию) отражения, которые обращают две (и только две) про-
пространственные оси. Форма (8.4.22.1) дает конпоненты, обладаю-
обладающие свойством
= 0 при а = с, b^=d, (8.5.4)
из которого видно, что при обращении двух и только двух осей
и неизменности остальных все компоненты тензора Cabcd ос-
остаются без изменений.
Дисфеноид для типа {1111}
Эти симметрии можно обнаружить непосредственно, не об-
обращаясь к каноническим формам Петрова. Рассмотрим сферу
S+ с четырьмя точками А, В, С и D на ней, описывающими
ГГИН (см. § 2). Существует единственное ограниченное преоб-
преобразование Лоренца Su переводящее А, В, С в В, A, D, откуда
в силу равенства [формула (8.3.15) ] двойных отношений
{А, В, С, D} и {В, A, D, С} следует, что 3?\ также переводит D
в С. Квадрат преобразования 3?\, очевидно, является тожде-
тождественным преобразованием, ибо переводит каждую точку А, В,
С (и D) в нее же. Следовательно, преобразование 3?\ не мо-
может быть изотропным поворотом [формула C.6.47)], а значит,
оставляет инвариантными две и только две точки Е и F. В са-
самом деле, если выбрать лоренцев репер, в котором Е и F будут
антиподальными точками на S+, то преобразование 2?\ будет
выглядеть просто как поворот на угол я вокруг оси EF. Точно
так же существует соответствующее ограниченное преобразо-
преобразование Лоренца 2£i, которое переводит точки А, В, С, D в С, D,
А, В и оставляет без изменения точки G и Н. Преобразование
ЗРг инвариантно по отношению к 2£\ (т. е. 3!~\Х&ъ2£\ — 2?ъ, что
выполняется, ибо преобразование, стоящее в левой части ра-
равенства, ведет к цепочке ABCD^-^BADd-^DCBAi-^CDAB).
Таким образом, точка G при повороте под действием 3?\ пере-
переходит в точку Н, а значит, прямая GH перпендикулярна оси
EF. Теперь воспользуемся бустом вдоль оси EF, перемещая ли-
линию GH так, чтобы она пересекла ось EF в ее средней точке
(являющейся центром сферы S+). Теперь обе пары точек Е, F
и G, Н являются антиподальными (и располагаются в верши-

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ
297
нах квадрата). Существует еще и преобразование SB г, которое
ведет к обращению ABCDt-^DCBA и имеет инвариантные точ-
точки К и L. Прямая KL пересекает каждую из прямых EF и GH
под прямым углом, в результате чего возникает триада взаимно
перпендикулярных линий, проходящих через центр S+ (шесть
точек Е, F, G, Н, К и L образуют вершины правильного окта-
октаэдра).
Каждый из поворотов на угол я вокруг осей EF, GH и K.L
переводит неупорядоченное множество (А, В, С, D) в него же.
Фактически, задав точку А, можно найти положение точек В,
С и D, просто выполнив поочередно все эти повороты. Так,
точка В получается в результате отражения точки А относи-
относительно оси EF; С — в результате отражения А относительно
GH; D — при отражении А относительно KL. Окончательная
конфигурация из четырех точек ABCD дает набор вершин тет-
тетраэдра специального типа, носящего название дисфеноида и
характеризуемого попарным равенством противолежащих ре-
ребер, — в данном случае выполнение этого условия следует из
существования поворотов, переводящих каждое ребро в проти-
противолежащее. Следовательно, прямые, соединяющие середины
противолежащих ребер (линии EF, GH и KL на рис. 8.5),
дают три взаимно ортогональные оси двойной симмет-
симметрии.
При условии действительности двойного отношения % дис-
феноид ABCD уплощается и переходит в прямоугольник. При
% = —1,2 или 1/2 (гармонический случай) он превращается
в квадрат, а при % = е231^3, е~2л'/г (эквиангармонический слу-
случай)— в правильный тетраэдр. [См. текст после формулы
A.3.12).]
Рис. 8.5. Дисфеноид, вершины которого соответствуют ГИН, представленным
на сфере S+ в специальной системе отсчета (тип {1111}).

298 ГЛАВА 8 '
Каждый из поворотов 9?\, Si, 3?з переводит дисфеноид
ABCD в него же. Значит, каждый такой поворот должен пере-
переводить спинор Вейля в кратный ему же. Но, поскольку квад-
квадрат каждого преобразования является тождественным преоб-
преобразованием, эта кратность должна ограничиваться значениями
±1 и в силу симметрии каждому преобразованию 9?\ 3?ъ и 9?%
должна соответствовать одна и та же кратность. Однако
9?i3>2=: 3?з, так что в действительности эта кратность во всех
случаях должна быть равна единице, откуда следует, что спи-
спинор Wabcd (а значит, и тензор Cabcd) должен быть инвариант-
инвариантным по отношению к этим трем поворотам.
Три пары точек (E,F), (G, Н) и (К, L) имеют то отноше-
отношение к изложенному ранее в этой главе, что они являются пред-
представлениями на сфере S+ главных изотропных направлений
трех собственных спиноров спинора Wabcd- Это следует из ин-
инвариантности спинора Wabcd по отношению к трем поворотам
&\, 9?2 и 9?г. Дело в том, что собственные спиноры должны
быть инвариантными еще и по отношению к каждому повороту
(причем с разными собственными значениями). Единственными
парами точек, обладающими инвариантностью именно такого
рода, и являются пары (Е, F), (G, Н) и (К, L).
Спиновые преобразования, которые ведут к этим поворотам,
можно представить в следующей явной форме:
1в, (8.5.5)
где фДв—нормированный собственный спинор (ФавФав = 1)
[множитель л/2 обеспечивает правильную нормировку C.6.30)
спинового преобразования]. Из сказанного в гл. 3, § 6 следует,
что главные изотропные направления спинора фДВ являются
фиксированными направлениями преобразования (8.5.5) и что
квадрат преобразования (8.5.5) дает_ отрицательное тожде-
тождественное спиновое преобразование [(-\/2 Фав) (л/2 Фвс) — — влс1>
которое, как и требуется, соответствует тождественному преоб-
преобразованию Лоренца. Выбрав спиновую систему отсчета о4, И,
для которой выполняется условие (8.3.34)
^abcd = Y tWaWcId + 3Л B — X) о(ловС1оI + у mflAoBocoD,
можно убедиться, что эти преобразования, в самом деле, имеют
место, когда элементы флв принимают по очереди значения
(8.3.3), так, что
Оа1-* ilA, 1л ь^-Юд,
или

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 299
ИЛИ
олн-^гол> 1Л1—^ — ioA
во всех трех случаях соответственно.
Геометрическая картина, которую мы представили, дает не-
независимый способ определения канонической формы Петрова
для типа {1111}. При указанном выше (единственном) выборе
оси времени (опирающемся на шесть собственных плоскостей)
четыре точки А, В, С и D располагаются на симметричном
дисфеноиде, образуя только что описанную конфигурацию. Со-
Соответствующие этому дискретные вращательные симметрии
(связанные с существованием времениподобных плоскостей, на-
натянутых на главные изотропные направления собственных спи-
спиноров, а значит, и с существованием осей вращения EF, GH и
KL) указывают на то, что компоненты тензора Саьсй в репере,
который определяется осями вращений, должны обладать ха-
характеристическим свойством (8.5.4).
Симметрии в частных случаях типа {1111}
Если в некоторых частных случаях дисфеноид имеет еще и
другие симметрии, то это вовсе не означает, что тензор Саьсй
обязательно должен быть инвариантным по отношению к ним.
Например, в эквиангармоническом случае правильный тетраэдр
ABCD можно перевести в него же путем поворота на 2я/3 во-
вокруг оси тройной симметрии, удерживая одну его вершину, ска-
скажем А, в фиксированном положении и осуществляя переста-
перестановку трех других. То, что тензор СаъС£ не может быть инва-
инвариантным по отношению к такому повороту, станет ясно, если
проанализировать его «картину» на 5+ (см. § 2). Поскольку
точка А соответствует простому ГГИН, мы имеем в ней конфи-
конфигурацию, подобную первой диаграмме рис. 8.3. Эта конфигура-
конфигурация не обнаруживает тройной симметрии, которая требуется,
чтобы тензор Cabcd в результате поворота перешел в себя
И действительно, такого рода повороты ведут к дуальным вра-
вращениям тензора CabCd на углы 2я/3 и 4я/3 [формулы D.8.15) и
D.8.16)]. Аналогично в гармоническом случае квадрат ABCD
допускает поворот на я/2 вокруг оси, проходящей через его
центр перпендикулярно его плоскости. Однако эта ось пере-
пересекает сферу S+ в двух точках, в которых картина тензора не
может обнаруживать четырехкратной симметрии. Поэтому та-
такой поворот тоже ведет к дуальному вращению тензора Саьсо.,
но теперь на угол я, в результате чего Саьса переходит в себя
со знаком минус (ибо однократное повторение такого поворота
дает одну из присущих тензору Сасьа симметрии рассмотрен-
рассмотренного выше типа).

300 ГЛАВА 8
Дисфеноид обладает симметриями отражения в следующих
двух случаях: 1) когда он сплющивается в прямоугольник
(двойное отношение % действительно) и 2) когда равны четыре
его ребра: |х|=1> |1 — х|=1 или Re(x)=l/2 [см. текст
между формулами (8.4.7) и (8.4.8) ]. Тензор же Саьс<1 в этих
случаях будет обладать симметрией отражения, если конкрет-
конкретное значение параметра ц, сопровождающего двойное отноше-
отношение х, таково, что картина тензора обнаруживает соответствую-
соответствующую симметрию. Оказывается, что Саьса будет обладать
симметрией отражения в случае 1, если параметр г\ имеет дей-
действительное значение, а в случае 2, если значение параметра г\
таково, что одно из собственных значений спинора Wabcd комп-
комплексно-сопряжено другому 1). Необходимость этих условий сле-
следует из того, что спинор Wabcd при пространственном отраже-
отражении переходит в Wa'B'C d , в результате чего неупорядоченное
множество собственных значений исходного спинора (A,i, Я2, Яз)
переходит в неупорядоченное множество собственных значений
(Я], Я2, Я3) конечного спинора. Достаточность же гарантируется
следующим соображением: если собственные значения Я в ре-
результате преобразования отражения переходят в собственные
значения Я в определенном порядке, то спинор Wabcd нельзя
подвергать каким бы то ни было дуальным поворотам, ибо
если Wabcd приобретет фазовый множитель, то то же самое
должно произойти с каждым Я.
Тип {211}
Рассмотрим симметрии тензора Саьса в алгебраически спе-
специальных случаях. Начнем с типа {211}. Любое ограниченное
преобразование Лоренца должно переводить три ГГИН в него
же, но так как двукратное ГГИН выделяется, то единственно
возможной остается дискретная симметрия, которая ведет лишь
к перестановке двух других ГГИН. Это снова вращательная
симметрия с периодом 2 (поворот на угол л.) в подходящем ло-
ренцевом репере, и она фактически переводит тензор Саьса
в него же, а ке в него с противоположным знаком. Справедли-
Справедливость сказанного легко показать разными способами. Напри-
Например, это следует из того, что преобразование
о а |-* ioA, iA ь-». — иА (8.5.6)
(и обратное ему) оставляет без изменения каноническую форму
(8.3.39)
6 ( + ouoBicio>), (8.5.7)
') В обоих случаях существует еще одна симметрия отражения, если
двойное отношение % является гармоническим. '

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 301
но меняет местами направления флагштоков главных спиноров
оА + пА, оА — iiA. Или же достаточно взглянуть на картину тен-
тензора на рис. 8.3, соответствующую двукратному ГИН (п = 2),
чтобы убедиться, что вращательная симметрия, при которой
двукратная точка остается фиксированной, не может привести
к преобразованию такой конфигурации в ортогональную ей (что
должно было бы происходить, если бы тензор Саъса переходил
в себя с обратным знаком — единственная альтернатива сим-
симметрии с периодом 2).
Имеются два подходящих ортохронных несобственных пре-
преобразования Лоренца, каждое из которых имеет период 2.
Одно из них оставляет без изменения все три ГГИН, а другое
меняет местами два простых ГГИН. В спинорной форме они
могут быть представлены в виде линейных отображений из <3д
в <&А', генерируемых преобразованиями
олн-*1оЛ', iA<-^ — hA', (8.5.8)
оА •—*■ оА', iA»—> iA' (8.5.9)
(и обратными им), соответственно. Тензор Вейля переходит в
себя (в себя с обратным знаком) только в том случае, когда
спинор 4ABCd переходит в Ч'л'в'со' (в — 4?A'b'cd'), и это может
иметь место в обоих случаях лишь при условии, что собствен-
собственные значения действительны (мнимые) [т. е. параметр х\ в фор-
формуле (8.5.7) действительный (мнимый) ].
Тип {31}
Теперь рассмотрим случай {31}. Каноническая форма
(8.3.38)
инвариантна только по отношению к ограниченным преобразо-
преобразованиям Лоренца, переводящим спиноры оА и iA в кратные им.
При сохранении диадной нормировки oAiA = 1 останутся лишь
преобразования (см, ia)>—-*-±(oa, ia), которые оба соответствуют
тождественному преобразованию Лоренца. Единственным не-
нетривиальным ортохронным преобразованием Лоренца, сохра-
сохраняющим тензор Cabcd, является отражение, определяемое преоб-
преобразованиями (8.5.9). Конфигурация картины тензора Вейля на
рис. 8.3, отвечающая значениям л=1, 3, убедительно показы-
показывает, что не существует такого собственного вращения, по от-
отношению к которому оставался бы инвариантным тензор Вейля
типа {31}. Вращения, оставляющие инвариантными оба ГИН,
ведут к дуальным поворотам тензора Саьса-

302 ГЛАВА 8
Тип {22}
Перейдем теперь к случаю {22}. Каноническая форма
(8.3.36)
(8.5.10)
очевидным образом инвариантна по отношению к спиновым
преобразованиям
олн-^ЯоЛ) 1А*-+ЬЛА, (8.5. И)
oA*-+biA, iA>-* — X~loA (8.5.12)
(с О^АеС) и никаким другим. Преобразования (8.5.11) об-
образуют связную группу двух действительных размерностей, а
именно мультипликативную группу не равных нулю комплекс-
комплексных чисел. (В смысле преобразований Лоренца это мультипли-
мультипликативная группа всех величин Я2.) Преобразования же (8.5.12)
образуют не связанную с последними двух (действительно) па-
параметрическую систему. Кроме того, нужно учитывать еще и
несобственные ортохронные преобразования Лоренца, которые
задаются формулами (8.5.9) и их сочетаниями с (8.5.11) и
(8.5.12). Они отвечают симметриям тензора Саьса в том и толь-
только том случае, когда параметр ц действителен (а следова-
следовательно, конфигурация картины в точках двойных ГГИН имеет
вид первой или третьей диаграммы на рис. 8.3 при п = 2, что
означает возможность существования симметрии отражения).
Многое из сказанного выше по поводу случая {1111}, ко-
конечно, относится и к типу {22}. Однако дисфеноид вырождается
в пару кратных антиподальных точек на S+, так что теперь
становятся возможными непрерывные вращения (и бусты).
Тип {4}
Перейдем к случаю {4}. Ясно, что ограниченные преобразова-
преобразования Лоренца, определяемые формулами
ол!-*ол, iAi-*iA + hoA (8.5.13)
или
ол1-э*/ол, iA н-»- — UA— iXoA (8.5.14)
(и формулами обратного знака), сохраняют каноническую
форму (8.3.37)
^Abcd = oAoBocoD (8.5.15)
и не существует других сохраняющих ее преобразований. Пре-
Преобразования (8.5.13) являются изотропными вращениями [фор-
[формула C.6.47)] и образуют действительно-двухпараметрическую
связную группу, а именно аддитивную группу комплексных чи-
чисел. Неизотропные преобразования (8.5.14) образуют двух (дей-

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 303
ствительно) параметрическую систему, не связанную с преды-
предыдущей. Несобственными ортохронными преобразованиями Ло-
Лоренца (8.5.8). и (8.5.9) и их сочетаниями с (8.5.13), очевидно,
исчерпываются симметрии тензора Саьса (так как они перево-
переводят WABCd B ^a'b'c'd'), что дает два дополнительных двух (дей-
(действительно) параметрических семейства. Все эти четыре варианта
можно выявить по их различному поведению в окрестности
кратного ГГИН. Обратимся к конфигурации рис. 8.3 при п = 4.
Она указывает на существование группы дискретной сим-
симметрии порядка 4, причем две из симметрии — отражения.
И наконец, два слова о случае {—}. Группой симметрии
тензора Вейля этого типа является шести (действительно) пара-
параметрическая группа (с отражениями или без).
О размерностях групп симметрии
Размерность группы симметрии в каждом конкретном слу-
случае следующим образом связана с числом независимых скаля-
скаляров (всех, которые могут быть построены) и числом изме-
измерений пространства тензоров Вейля, относящихся к данному
типу:
(размерность пространства тензоров Вейля) + (размерность
группы симметрии) = (число независимых скаляров) + 6.
(8.5.16)
Чтобы определить (действительную) размерность пространства
тензоров Вейля заданного типа, нужно проанализировать сво-
свободу выбора спинора Wabcd с заданной кратностью его ГГИН.
Допустим, что г — число различных ГГИН. Тогда существует
2г-мерная свобода в выборе этих направлений, а следовательно,
и двумерная свобода в выборе общего комплексного «масштаб-
«масштабного» множителя для спинора Wabcd- Чтобы определить число
независимых скаляров, достаточно найти число соотношений
(если они вообще есть), которыми обязательно должны быть
связаны два комплексных скаляра / и / при данном конкрет-
конкретном выборе типа тензора Вейля. Тогда оставшаяся свобода
в выборе / и / даст нам требуемую информацию. Можно также
подсчитать число независимых собственных значений или, что
эквивалентно, свободу в выборе параметров ц и х- Слагае-
Слагаемое 6 в формуле (8.5.16) есть размерность группы Ло-
Лоренца.
Разнообразная информация о различных типах тензора Вей-
Вейля собрана воедино в таблице (8.5.17). В частности, в ней
иллюстрируется соотношение (8.5.16). Кроме того, она показы-
показывает, какое значение имеют все горизонтальные, вертикальные
и оба наклонных направления в схеме (8.1.9).

Таблица (8.5.17)
4разных ГГИН,
10 измерений -
тензоре Савса
3 разных ГГИИ,
8 измерений —
тензора СавсЫ
2 разных ГГИН,
б измерений —
тензора CaScd
1 ГГИН,
■Ц измерения
тензора
О измерений
тензора CaScd
0скаляроВ
0-мерная
группа
симметрии
4 2 -мерная группа
симметрии
3 независимых
собственных
спинора типа 1
по Петрову
2 независимых,
собственных
спинора типа 2
по Петрову
1 независимый
собственный
спинор типа 3
по Петров!/

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 305
Классификация тензора Максвелла
Полезно провести соответствующий анализ и построить со-
соответствующую таблицу в случае электромагнитного поля. Пусть
ГИН спинора электромагнитного поля (ЭГИН) пропорцио-
пропорциональны спинорам аА, Рл, так что
Ч>ав =
Тогда
(8.5.18)
откуда следует, что ал — собственный вектор спинора фл в при
соответствующем собственном значении
Ь=±аАРА- (8.5.19)
Аналогично рл — собственный вектор, которому соответствует
собственное значение —к. (То, что сумма собственных значе-
значений равна нулю, не должно быть неожиданностью, ибо ц>АА =0.)
В предельном случае изотропного электромагнитного поля
(ал ~ Рл) эти собственные векторы, а значит, и собственные
значения совпадают и, следовательно, к = 0. Необходимым и
достаточным условием изотропности электромагнитного поля
[формула E.1.68) и текст после формулы C.5.29)] является
обращение в нуль инварианта
К = Р + iQ = флвфлв = — 2ЯЛ (8.5.20)
Действительный тензор электромагнитного поля Раь связан со
спинором электромагнитного поля соотношением E.1.39):
Fab = VabZa'b' + Фл'в'8лв- (8.5.21)
Его собственные векторы Ха и соответствующие им собствен-
собственные значения f определяются уравнением
FabXb = fXa, (8.5.22)
из которого в силу соотношения (8.5.21) следует уравнение
<РавХва' + <Ра'в'ХАв' = !ХАА'- (8.5.23)
Легко убедиться прямой подстановкой, что эти собственные век-
векторы и соответствующие им собственные значения будут та-
такими:
:к + к; рлрЛ': — (А, + к);
aJA-:k-k; рла4-: - (к - к).
Если спиноры ал и р,4 различны, то выберем спиновую систему
отсчета ол, 1л так, чтобы спиноры оА и и были им пропорцио-

306 ГЛАВА 8 ■-...., ■■ ■ .
нальны. В этом случае векторы в (8.5.24) оказываются пропор-
пропорциональными векторам изотропной тетрады C.1.21), ассоции-
ассоциированной с см, ia, т. е.
Ха = 1а, па, та, та, (8.5.25)
чем вполне характеризуется взаимное расположение четырех
собственных векторов тензора Fab в общем случае.
Частный случай набора (8.5.24) имеет место, когда [в силу
равенства (8.5.20) ] X — либо действительная, либо мнимая ве-
величина, т. е. когда инвариант К. — действительная величина. Но
это совпадает с условием простоты тензора Fab [см. текст после
формулы E.1.70)], при котором он имеет вид
Fab = P\aqb\- (8.5.26)
Сначала предположим, что К > 0, т. е. что X — мнимая вели-
величина. [Как отмечалось после формулы E.1.70), поле в таких
условиях должно быть «чисто магнитным».] В этом случае оба
собственных значения из первой строки формулы (8.5.24) рав-
равны нулю. Однако соответствующие им собственные векторы не
совпадают; более того, они «размываются»: теперь любой век-
вектор, лежащий в плоскости, которая содержит 1а и па, является
собственным вектором с собственным значением, равным
нулю. В этом случае тензор Максвелла имеет вид
Fab=—4Xmlambh (8.5.27)
откуда, если учесть формулы C.1.15) — C.1.18), следуют соот-
соотношения
^а/ = 0, Fabn" = 0, Fabmb = 2Xma, Fabm"=—2Xma (8.5.28)
[которые согласуются с формулой (8.5.24) и тем самым под-
подтверждают правильность формулы (8.5.27)]. Аналогично если
К < 0, т. е. А, — действительная величина (и поле «чисто элек-
электрическое»), то
Раь = Ш1апь], (8.5.29)
Fablb = 2kla, Fabnb = -2Xna, Fabmb = 0, Fabthb = O. (8.5.30)
Отметим, что в случае чисто магнитного поля существует
полная времениподобная плоскость собственных векторов, кото-
которая вполне ортогональна пространственноподобной плоскости,
содержащей два остальных неодинаковых собственных вектора
и к тому же являющейся плоскостью (8.5.27) тензора Fab;
в случае же чисто электрического поля — все наоборот.
Набор векторов (8.5.25) неприменим лишь в случае, когда
поле изотропно (аА ~ р^, X = 0, К = 0). В то же время из

Таблица (8.5.31)
2 разных ЭГИН,
6 измерений —
тензора Fag
1ЭГИН,
4 измерения
тензора Fae
О измерений <_\
тензора FaB | ч
I Ч
I
\
\
кфо
Z скаляра
\
46-мерная группа
симметрии
I
2 независимых.
собственных
спинора спинора
К
/ О скаляров
2-мерная
группа
симметрии
i независимый
собственно/и
спинор спинора
У/

308 ГЛАВА 8
формулы (8.5.24) следует, что для такого поля все собственные
значения равны нулю, а все собственные векторы тензора Раь
одинаковы.
Теперь можно построить таблицу (8.5.31) для электромаг-
электромагнитного поля, аналогичную таблице (8.5.17) для поля тяготе-
тяготения. Присутствующие здесь непрерывные группы симметрии в
точности те же самые, что и в случае гравитационного поля,
однако совершенно отсутствуют дискретные симметрии (кроме
типа {—}, что тривиально). Таблица (8.5.31) фактически совпа-
совпадает с нижним левым углом таблицы (8.5.17). В этом нет ни-
ничего удивительного, ибо можно формально положить ф(двфсд) =:
= '.x¥abcd и отнести спинор щв (с точностью до знака) к той же
классификационной группе, что и WAbcd-
§ 6. Коварианты кривизны
Величины / и / (8.3.8) образуют совокупность, которая в
классической теории инвариантов [114] называется полным
набором инвариантов формы Р = ЧглвсдЕ'4ЕвЕсЕ£>. Это означает,
что всякое скалярное выражение, построенное из спинора Wabcd
общего вида с помощью таких четырех тензорных операций,
как сложение, тензорное произведение, свертка и замена индек-
индексов1), можно тождественно представить в виде полиномиаль-
полиномиальной функции переменных / и /. Классическая теория инвариан-
инвариантов имеет дело еще и с «ковариантами», представляющими со-
собой «формы» относительно^,т. е.выражения вида Qab... lIaIb.. •
... lL, где Qab...l— симметричный спинор, построенный из
спинора Wabcd с помощью все тех же четырех тензорных опе-
операций. В случае более высокой размерности определение «кова-
рианта» нуждалось бы в обобщении, включающем в себя по-
помимо |х какие-нибудь еще дополнительные переменные. Здесь
достаточно одной переменной (т. е. полной симметрии), по-
поскольку двумерность спинового пространства гарантирует, что
для построения всех спиноров достаточно вполне симметричных
спиноров и антисимметричного спинора е. «Полный» набор ко-
вариантов формы Р есть такая совокупность независимых пе-
переменных, которая позволяет тождественно представить в виде
полинома любой другой ковариант формы Р.
') Включение операции замены индексов является довольно жестким во
многих отношениях ограничением. Иногда для построения более общих ти-
типов инвариантов (но не в случае спинора ^Vabcd) могут быть использованы
отношения пропорционально индексированных выражений. Кроме того, здесь
не рассматриваются неалгебраические выражения и комплексно-сопряженные
величины.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 309
Такого рода полный набор ковариантов дается следующим
перечнем [114]-:
J = ABCDEF
, Q = ^abef^cdefIaIbIcId, (8.6.1)
R =
Коэффициентами переменных Р, Q, R являются, конечно, выра-
выражения
™(AB ^CD)EF> ^(ABC ™DE ' ™F)KLM (8.6.2)
соответственно.
Обозначим через { }замкн ') все типы вейлевской кривизны,
не менее специальные, чем { }, если прослеживать нарастание
специализации вдоль стрелок в схеме (8.1.9). Так, например,
тип {211}замкн включает в себя все типы, кроме {1111}, тогда
как тип {31}замкн состоит из типов {31}, {4} и {—}. Интересно,
что необходимые и достаточные условия отнесения к типу
{ } замки можно выразить через инварианты и коварианты (8.6.1):
= 0 (tf = 0), (8.6.3)
{4}™ ^ 4r{ABEFWcD)EF = 0 (Qя 0),
Справедливость первых двух условий следует из утверждений
(8.3.28) и (8.3.29) для не менее чем двух и не менее чем трех
совпадающих ГГИН соответственно. Требование выполнения
равенства Wabcd = 0, очевидно, является тривиальным усло-
условием отнесения к типу {—}. Теперь рассмотрим условие
^¥ BFy¥cD)EF = 0. Оно эквивалентно требованию
где r\AB = 4ABEFi4F, (8.6.4)
а принимая во внимание формулу C.5.29), еще и требованию
= ЧаЧв- (8.6.5)
В частности, оно выполняется, когда |л — главный спинор спи-
спинора Вейля Wabcd; в этом случае г\Ав1л1в = 0, откуда в силу со-
соотношения (8.6.5) следует равенство г\а£,а = 0, а значит, и ра-
равенство г\ав%,в = 0, которое в силу второго равенства (8.6.4)
дает 4abefIaIbIf = 0, а это [см. предложение C.5.26)] есть
') Индекс <замкн» означает топологическую замкнутость в пространстве
спиноров Вейля.

310 ГЛАЙА 8
условие того, что |л является двукратным главным спинором.
Следовательно, всякий главный спинор является кратным, а это
имеет место только для типов {22}, {4} и {—}. Но в случае
типа {22} выражение W{ab En¥cD)EF не может быть равным нулю
[будучи, как легко проверить с помощью канонической формы
(8.3.36), равно —iL?abcd], тогда как в случаях {4} и {—} оно,
очевидно, равно нулю, чем и доказывается справедливость чет-
четвертого утверждения (8.6.3).
Наконец, рассмотрим равенство R = 0, когда |л — главный
спинор спинора Wabcd, так что при некотором ц мы имеем
^abcdIbIcId = Aa, (8.6.6)
откуда
0 — /? — \^k^delm^fklmIdIeV = lir\LMr\LM, (8.6.7)
где г\ав имеет тот же смысл, что и в формуле (8.6.4). Если
\i ф 0, то путем таких же рассуждений, как и выше, мы прихо-
приходим к выводу, что |л—двукратный главный спинор; если же
ц = 0, то аналогичный вывод будет следовать из равенства
(8.6.6). А значит, как и раньше, спинор Вейля должен отно-
относиться к типу {22}, {4} или {—}. Положив в этом случае
^abcd = а<лавРсрд), мы при некотором v получим
4(abck4delm4f) кш = vauaBacpDp£pF) (а«£к? (8.6.8)
(ибо ни один член другого типа сохраниться не может). Од-
Однако перестановка множителей ал и Рл, оставляя неизменным
спинор Wabcd, меняет знак правой части равенства (8.6.8). Сле-
Следовательно, v = 0, чем доказывается справедливость последнего
утверждения (8.6.3).
Третье выражение (8.6.2) представляет интерес по другой
причине: если Wabcd не относится к типу {22}замкн, то при не-
некотором £ =ф 0 выполняется равенство
УшсКх¥оеЬМх¥Р) кьм = С^ощвсаФвл, (8-6.9)
где фАв, Qab и флв — собственные спиноры спинора Ч?ав cd [с со-
соответствующими кратностями в случаях типов {211} и {31};
см. таблицу (8.3.41)]. Чтобы убедиться в этом, положим
Фав = Р{а°ву (8.6.10)
Поскольку флв — собственный спинор, при некотором К должно
выполняться равенство
^лвСОРс°Ъ=Мл%- (8-6Л1)
Следовательно,
^abcdPa9b9cod = 0, (8.6.12)
откуда при некотором у получим
(8.6.13)

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 311
Согласно формулам (8.6.13), (8.6.11) и (8.6.12), мы имеем
DELMPL<y M9D9E = 0, (8.6.14)
а это равенство показывает, что всякий главный спинор соб-
собственного спинора спинора WAfiCD является также и главным
спинором левой части равенства (8.6.9), из чего следует спра-
справедливость последнего в случае типа {1111}. Оставшиеся два
случая {211} и {31} получаются в результате предельных пере-
переходов {1111}->-{211}-»-{31}, ибо, согласно нашему предположе-
предположению [формула (8.6.3)], левая часть равенства (8.6.9) не может
стать равной нулю.
Отметим также, что обращение в нуль третьего выражения
(8.6.2) в случае типа {22} является следствием равенства
(8.6.9). В этом случае собственные спиноры должны оставать-
оставаться определенными лишь с точностью до непрерывной группы
симметрии, а значит, никакой конкретный набор их нельзя пред-
представить в виде правой части равенства (8.6.9). Кроме того, без
всяких вычислений ясно, что равенство (8.6.9) выполняется и
в общем случае (если только предположить, что входящее в
него выражение не является тождественно равным нулю), ибо
шести ГИН трех собственных спиноров должен отвечать не-
неупорядоченный набор из шести точек на сфере S+ (между ко-
которыми не исключаются совпадения), который определяется не-
неупорядоченным набором точек (А, В, С, D) и, следовательно,
инвариантен по отношению ко всем трем поворотам 9?\, 3?2 и
9?ъ (см. § 5). Это может быть только набор точек (Е, F, G, Н,
K,L).
Инварианты полной кривизны
Мы закончим параграф короткими замечаниями по поводу
инвариантов полной кривизны и несколько более подробными
по поводу инвариантов объединенной системы спиноров, опи-
описывающей гравитационное и электромагнитное поля. Эти, по-
последние инвариантны, если потребовать выполнения уравнений
Эйнштейна — Максвелла, приводят непосредственно к инвариан-
инвариантам полной кривизны. Мы отметим ряд трудностей, связанных
с построением полной системы инвариантов в общем случае.
Если заранее не требовать выполнения вакуумных уравне-
уравнений поля, то в общем случае следует рассматривать все харак-
характеристики кривизны
Vabcd, ®abc'd', Л (8.6.15)
вместе. Вопрос об общей классификации спинора ФАВС'й Рас"
смотрен в двух следующих параграфах (и это достаточно слож-

312 ГЛАВА 8
ная проблема). Но изложенного там будет недостаточно для
классификации полной римановой кривизны, поскольку необхо-
необходимо рассмотреть еще и взаимосвязи между структурами спи-
спиноров OABC'd' и ^abcd-
Число инвариантов тензора Rabcd можно установить, поль-
пользуясь правилом (8.5.16). Пространство тензоров Rabcd 20-мерно
(по числу независимых компонент), и у таких тензоров отсут-
отсутствует группа непрерывной симметрии (как она, вообще говоря,
отсутствует и у тензора Вейля). Следовательно, имеется
20 — 6=14 инвариантов некоторого рода, но все это ничего
не говорит о том, как эти инварианты можно было бы по-
построить. В принципе не составляет особого труда образовать
различные комбинации тензоров кривизны или спиноров кри-
кривизны и отобрать из них 14 независимых инвариантов [372].
Но проблема построения «полного набора» значительно слож-
сложнее (и, насколько нам известно, до сих пор не решена). Ибо
можно полагать, что нам потребуется избыточная система, эле-
элементы которой связаны между собой рядом соотношений, назы-
называемых сизигиями. Мы не ставим перед собой задачу проана-
проанализировать самый общий случай, но лишь отметим, что такого
рода сложности присутствуют даже в гораздо более простой
проблеме одновременной классификации гравитационного и
электромагнитного полей.
Система полей Эйнштейна — Максвелла
Итак, рассмотрим объединенную систему спиноров
(8-6-16)
каждый из которых симметричен. В дополнение к / и / должно
быть, по-видимому, еще три комплексных инварианта, посколь-
поскольку спинором Wabcd фиксируется (с точностью до дискретных
симметрии) такой репер Минковского, что выраженные через
него три комплексные компоненты спинора <рАВ оказываются
инвариантами. И в самом деле, в качестве возможного набора
инвариантов мы вправе взять
. (8.6.17)
С помощью теории матриц несложно доказать, что эти инва-
инварианты независимы. (Коэффициенты в разложении ц>АВ по соб-
собственным спинорам спинора Wabcd остаются произвольными,
так что К, L и М можно рассматривать как независимые ли-
линейные функции квадратов этих коэффициентов.) Нетрудно убе-
убедиться, что выражения вида
(8.6.18)

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ
313
представимы в виде полиномиальных функций переменных /,
J, К, L и М. Однако пять перечисленных скаляров вовсе не
образуют полного набора в том смысле, в каком это пони-
понимается в классической теории инвариантов. Так, величина
N = VABWABCD^CDEPq>EO^Fap%PQ, (8.6.19)
очевидно, не представима в указанной форме, ибо она нечетна
по флл, тогда как скаляры /, ..., / четны. Но величина N все
же зависит от /,..., М в силу сизигии [232, 114]
6
8
-±-PK3 + -j I KM2 + -J- IL2M.
(8.6.20)
Так что полным набором инвариантов для Wabcd и ц>ав можно
считать только всю совокупность инвариантов /, /, К, L, М, N.
Ранее (в конце § 5) мы выяснили, что условием совпадения
двух электромагнитных ГИН (ЭГИН) является равенство
К = 0. Условием же совпадения ЭГИН и ГГИН является об-
обращение в нуль результанта соответствующих форм четвертого
и второго порядка:
64^
Фо 2ф[ ф2
Фо 2Ф1 Ф2
Фо 2ф! ф2
Фо 2ф1
Ф2
= 0.
(8.6.21)
Пользуясь инвариантами, это условие можно представить в виде
[232]
2К21 - 4КМ + L2 = 0. (8.6.22)
Следовательно, чтобы оба ЭГИН лежали вдоль ГГИН, должно
выполняться условие
K = 0 = L. (8.6.23)
Если выполняются уравнения Эйнштейна — Максвелла (ска-
(скажем, cl = 0), то, как следует из уравнений E.2.6),
и можно утверждать, что 4 действительные величины КК, LL>
ММ, NN и три комплексные величины KL, LM, MN предста-
представимы в виде инвариантов спиноров
, Vabcd, ^a'b'Cd'- (8.6.24)

314 ГЛАВА S
Существуют очевидные тождества, связывающие эти величины
[например, (КК) (LL) = (ДХ) (KL)] и показывающие, что неко-
некоторые из них излишни. Фактически может быть только девять
независимых действительных инвариантов спиноров (8.6.24),
ибо один действительный инвариант из десяти, построенных из
действительных и мнимых частей независимых инвариантов
спиноров щв и Wabcd утрачивается из-за существования такой
степени свободы, как дуальный поворот флв'—>етц>АВ (фаза 8
действительна).
§ 7. Классификационная схема для спиноров
с любым числом индексов
В предыдущих параграфах довольно подробно рассматри-
рассматривалась структура тензора (спинора) Вейля. В этом и следую-
следующем параграфах мы займемся оставшейся частью кривизны
пространства-времени, а именно тензором Риччи (не останав-
останавливаясь, однако, на его связи со структурой тензора Вейля).
На первый взгляд может показаться, что классификация тен-
тензора Риччи должна быть менее сложной задачей, нежели клас-
классификация тензора Вейля, поскольку у Rab всего два тензорных
индекса, а у Саьсч их четыре. Число его индексов вроде бы поз-
позволяет трактовать тензор Риччи непосредственно как матрицу
и классифицировать его в рамках (не представляющей прин-
принципиальных трудностей) схемы совпадений собственных значе-
значений и собственных векторов этой матрицы. Но (в первую
очередь из-за индефинитной сигнатуры метрики пространства-
времени) такой подход оказывается не столь простым и про-
прозрачным, как хотелось бы [56].
Поэтому мы изберем альтернативный подход, основанный
на спинорной технике. Но, поскольку спинорная форма записи
тензора Rab требует введения штрихованных индексов наряду
с нештрихованными, спинорный подход не приводит к столь же
простой классификации, как в случае спинора (тензора) Вейля.
По-видимому, не следует считать это дефектом спинорной тех-
техники в приложении к симметричным двухиндексным тензорам.
Просто спинорный формализм выявляет здесь принципиальные
сложности, связанные с такими тензорами, которые, вероятно,
удивительным образом отсутствуют в случае выглядящего на-
намного сложнее четырехиндексного тензора Вейля.
Метод, излагаемый (в общих чертах) в данном параграфе,
применим к тензорам или спинорам с любым числом индексов.
В следующем параграфе мы, не вникая в детали (более пол-
полный анализ см. в работе [244]), применим его в частном слу-
случае (бесследового) спинора Риччи Oabc'd'- Кроме того, мы ука-
укажем связь этого метода с собственными векторами и собствен-

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 315
ными значениями тензора Фа ь- И еще мы покажем, как наш
метод связан с альтернативным подходом Плебаньского [276]
(сравнение с матричной и спинорной формулировками прово-
проводится в работе [198]), при котором спинор
Habcd = Op'Q'(abOc'd) (8.7.1)
классифицируется в соответствии со схемой, предложенной
нами ранее для спинора Вейля и позволяющей охарактеризо-
охарактеризовать сам спинор Фавс d ■
Комплексная функция Q и геометрическое место точек ш
Общую идею нашего метода можно рассматривать как есте-
естественное развитие идеи процедуры канонического разложения
C.5.18) симметричного спинора фдв L. Соответствующая проце-
процедура в случае симметричного (т. е. симметричного по каждому
набору Л ... L и Р' ... V в отдельности; иначе говоря, точечно-
неприводимого) спинора общего вида должна основываться на
анализе выражения
Q (I, I): = Qa...lp'... vlA ■ ■ ■ lLlp' ■ ■ ■ lv'- (8.7.2)
Если бы спинор Qa...v оказался несимметричным, то сначала
нужно было бы выделить в явной форме его симметричные ча-
части, а уже затем классифицировать каждую такую часть в от-
отдельности. (Правда, такой подход сам по себе еще не дал бы
полной классификации несимметричного спинора Qa...v, так
как, помимо прочего, следовало бы рассмотреть и взаимосвязь
между его различными частями.) Один из объектов, который
нас будет интересовать в особенности, — это множество спи-
спиноров |, удовлетворяющих требованию
O(S, |) = 0. (8.7.3)
Такое множество дает (с точностью до коэффициента пропор-
пропорциональности) структуру спинора Q.... Если ввести изотропный
вектор
ха : = 1А1А', (8.7.4)
то станет ясно, что равенство (8.7.3) есть уравнение локуса
Ra> (чуть ниже мы определим и комплексный локус ш), т. е.
геометрического места точек на сфере 5+, которые с точностью
до коэффициента пропорциональности представляют на этой
сфере изотропные векторы ха. Но действительный локус не так
уж много может сказать о характерных свойствах спинора
Q.... (Возьмем, например, случай, когда QAA'— времениподоб-
ный ковектор. Очевидно, что для таких ковекторов геометри-
геометрическое место точек R© оказывается вообще пустым.) Это

316 ГЛАВА 8
вынуждает нас рассматривать комплексные векторы [формула
C.2.6)]
Z . = 5 Т] , (O./.DJ
считающиеся эквивалентными, если они различаются лишь от-'
личным от нуля комплексным множителем. Такие векторы
можно считать точками Z комплексификации CS+ сферы S+:
<L/O = 2; X. -^ > (в./.Ь)
где 2 — сфера спиноров |А (с точностью до комплексного коэф-
коэффициента пропорциональности), а 2' — сфера спиноров г\А
(взятых с точностью до коэффициента пропорциональности).
В результате мы приходим к локусу ш комплексных точек на
S+ (т. е. точек комплексификации CS+), определяемому требо-
требованием обращения в нуль выражения
Q (I, ti) : = QA... lp' ... wlA . .. IV • • • V"- (8.7.7)
Поскольку 1А и г\А' теперь независимы, двукратным примене-
применением утверждения C.3.23) доказывается, что спинор Q... и в са-
самом деле полностью определяется локусом <о с точностью до
коэффициента пропорциональности.
Приводимость локуса ш
Представляет определенный интерес вопрос о приводимости
локуса ш. Допустим, что
пР'...3'Т'...У' x(P'...S'rT'...V) (87m
b&A...CD...L ==Л(Л... С l D. ..£.)• (о.'.°)
Тогда
ё, r\) = (AA...cp'...s'lA . ■ ■ |СП ...iTs)X
X (Td...lt'... vlD ■ ■ ■ IV • • • тГ). (8-7.9)
так что
03 = a,UY» (8.7.10)
где К — локус на С5+, определяемый спинором Л..., а у — ана-
аналогичный локус, определяемый спинором Г.... Подобный же
результат, очевидно, будет иметь место и в том случае, когда
локус ш сводится к более чем двум сомножителям.
Важнейшее свойство симметричных спиноров, обладающих
только одним типом индексов, на чем основано каноническое
разложение C.5.18), заключается в том, что все они вполне
приводимы к линейным множителям в вышеуказанном смысле.
Так, если изложенный метод применить к спинору Вейля Wabcd-
то соответствующий локус ш на CS+ будет представлять собо£
набор из четырех комплексных линий (образующих поверх-
поверхности второго порядка CS+, в чем мы вскоре сможем убедить-
убедиться) , пересекающих действительную часть. S+ комплексификации

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 317
CS+ в действительных точках А, В, С и D, которые представ-
представляют ГГИН на сфере S+.
Когда присутствуют оба типа индексов, такое разложение,
вообще говоря, невозможно (например, QAA, можно разложить
только в том случае, если выполняется условие QAA'QAA'= 0),
так что классификационная схема сильно усложняется. В этом
случае следует рассматривать отдельно структуру каждого не-
неприводимого множителя.
Комплексные (р, q) -кривые на CS+
Комплексное многообразие CS2 = 2 X 2' представляет со-
собой поверхность второго порядка, которая в комплексном про-
проективном 3-пространстве СР3 определяется квадратным урав-
уравнением gabZazb = 0. Образующими этой поверхности служат две
системы комплексных кривых: одни из них определяются фик-
фиксированными спинорами г\А' и изменяющимися спинорами |л
и называются Ъ-образующими (будучи различными копиями 2
в 2X2'). другие — фиксированными спинорами \Л и изменяю-
изменяющимися спинорами г\А' и называются 2''-образующими. Но все
алгебраические кривые ш на С5+ могут быть классифициро-
классифицированы в соответствии с двумя неотрицательными целыми чис-
числами (p,q)'- р — это число точек (при правильном учете крат-
ностей), в которых локус ш пересекается с 2-образующей, а
q — число точек, в которых он пересекается с 2'-образующей.
В случае локуса ш, связанного со спинором Q... по описанной
выше схеме, р и q — это просто числа нештрихованных и штри-
штрихованных индексов. В самом деле, в случае 2-образующей фик-
фиксируем в выражении (8.7.7) спинор г\А' и найдем число реше-
решений (правильно подсчитанных и с точностью до коэффициента
пропорциональности) \А, допускаемых уравнением Q(|, tj) = 0.
Оно равно числу нештрихованных индексов спинора Q.... Ука-
Указанные решения имеют вид
1л = сИ(т1), ..., l^ = ^(ri), (8.7.11)
где аА (г\), ... , ХА (г\) — это р главных спиноров спинора
&a...lp'...v"<\p' ...V"- (8.7.12)
Аналогичным образом находим и число пересечений локуса ш
с 2'-образующей и получаем, что оно равно числу q штрихо-
штрихованных индексов.
Заметим, что если (р, q) -кривая на CS+ приводится к объ-
объединению (г, s) -кривой с (t, и) -кривой, то должны выполняться
равенства г + t = р, s + и = q. Нужно не забывать о кратно-
стях в такого рода объединениях. Например, если р = 2г,
q = 2s, то локус ш может представлять собой двойную (г, s) •

318 ГЛАВА 8
кривую [т. е. одну (г, s) -кривую «в квадрате»]. Возможны и
такие случаи, когда локус ш имеет несколько компонент с раз-
разными кратностями. В каноническом разложении C.5.18) нахо-
находит выражение то обстоятельство, что всякая (р, 0) -кривая мо-
может быть сведена к множеству р 2'-образующих, а всякая
(Q,q) -кривая состоит из q 2-образующих (причем их кратность
может быть любой).
Процедура классификации спинора Qa ... lp' ... v
Первый этап классификации спинора Q... — анализ струк-
структуры приводимости локуса ш. Так (если pq Ф 0), в самом об-
общем случае локус ш неприводим, но в отдельных частных слу-
случаях он может расщепляться на то или иное число различных
компонент. В некоторых же еще более специальных случаях ряд
этих компонент могут оказаться кратными. Рассмотрим, напри-
например, случай р = 2, q= 1, в котором для спинора QABC' можно
указать следующие пять типов (наборами чисел, стоящих в скоб-
скобках слева, определяются различные типы неприводимых множи-
множителей) :
B,1):£2ЛВС' неприводим,
A,0) A,1): QABC' = Л(дГв) с Ф 0, ТВс неприводим,
):£W' = AweB)Yc' = 0, (8.7.13)
: QABC' = ЛАЛВТС' Ф 0,
Тип B,0) @,1) отсутствует, так как в силу канонического раз-
разложения множитель типа B,0) расщепляется на A,0) A,0).
Кроме того, при р = q = 1 соответствующая классификация
спинора Qaa' приводит к трем типам: A,1), A,0) @,1) и (—),
которые соответствуют случаям неизотропного, изотропного и
равного нулю комплексного вектора Qa.
При р = q может иметь значение структура эрмитовости
спинора Q.... Например, может быть задано, что Qa...i =
= Qa...la'...и есть действительный тензор. Это означает, что
возможны только симметричные конфигурации неприводимых
множителей (скажем. B.1) A,2) C,3), но не C,1) A,2) B,3) или
B,1JA,2) A,2) при p = q = 4]. Все это, конечно, существенно
при классификации спинора 4>abc'd'-
Структура кривой ш (ее кратные точки)
На следующем этапе рассматривается вопрос: можно ли под-
подразделить класс неприводимых (г, s)-кривых на подклассы и
если можно, то каковы критерии для различных подклассов.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ
319
а
<
6
в
%
г
Рис. 8.6. Некоторые типы особых точек (комплексной) кривой, а — узел;
б — точка возврата; в — точка соприкосновения; г — тройная точка.
Очевидно, что для этого можно проанализировать структуру
кривой ш, связанную с ее кратными точками [356]. Преиму-
Преимущество подобного анализа в том, что он тесно связан с вопро-
вопросом о приводимости. Так, точка пересечения двух компонент А.
и у кривой ш всегда является ее кратной точкой. Если компо-
компоненты А. и у имеют в точке пересечения разные касательные, то
такая точка называется узлом. Однако следует иметь в виду,
что узлы, вообще говоря, возможны и у одной неприводимой
кривой ш в месте самопересечения, когда разные ее ветви
имеют в этой точке неодинаковые касательные (рис. 8,6,а).
В более специальных случаях компоненты А. и у в точке пересе-
пересечения могут лишь касаться друг друга и соответственно этому
неприводимая кривая ш тоже может иметь две ветви с точкой
касания. Такая точка называется точкой соприкосновения (см.
рис. 8.6, в). Может встретиться и вырожденная форма узла —
так называемая точка возврата (или острие). В такой точке ка-
касательные двух ветвей совпадают, но в отличие от точки сопри-
соприкосновения в точке возврата имеется не две, а только одна ветвь
кривой (см. рис. 8.6, б). Узлы, точки соприкосновения и точки
возврата относятся к двойным точкам кривой ш. Такое название
обусловлено тем, что любая кривая, проходящая через эту точ-
точку, дважды пересекается в ней с кривой ш. Возможны также
тройные точки и точки более высокой кратности (см. рис. 8.6,г).
Тройную точку можно рассматривать как вырожденный случай
точки соприкосновения, которую в свою очередь можно считать
вырожденным случаем точки возврата, а точка возврата — это,
как уже отмечалось, вырожденный случай узла (рис. 8.7).
Точные определения этих понятий для кривых, записанных
в обычных (комплексных) декартовых координатах х, у (ко-
(которые позволяют легко выявить указанные вырождения), уста-
устанавливаются следующим образом. Рассмотрим кривую ш, урав-
уравнение которой имеет вид
О Ос, у)*=0,

320
ГЛАВА 8
a
<
б
в
Рнс. 8.7. Возникновение особых точек в процессе специализации, а — особой
точки нет, но конфигурация близка к конфигурации узла; б — узел, почти
перешедший в точку возврата; в — точка возврата, почти перешедшая в точку
соприкосновения; г — точка соприкосновения, почти перешедшая в тройную
точку.
где функция Q предполагается аналитической (голоморфной)
функцией координат х и у в начале координат О. Тогда в неко-
некоторой окрестности точки О допустимо разложение
п (х, у) = Л + (Вох + ВД + С,,*2 + 2ClXy + С^1) +
+ (А,*3 + ЗА*2*/ + 3ZW + D3y*) + ... . (8.7.14)
Точка О принадлежит кривой ш только в том случае, если
Q@,0) = 0, т. е. при
Л о
Если при этом оба коэффициента Во и В\ не равны нулю, то
уравнение касательной в точке О должно иметь вид
Вох + Вху = 0.
Ее наклон определяется отношением коэффициентов
В0:Ви т. е. отношением -q^'-^t в точке О. (8.7.15)
В частности, кривая ш касается оси х в точке О только при
условии
_— = 0 в точке О,
ах
а оси у в точке О при условии
да
—— = 0 в точке О.
(8.7.16)
(8.7.17)
Точка О будет как минимум двойной (т. е. будет узлом), если
помимо условия Ло = 0 будут выполняться условия
£0=5i = 0, т. е.^=^ё- = 0 в точке О.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 321
В этом случае уравнение пары касательных к двум ветвям кри-
кривой в точке О имеет вид
= 0. (8.7.18)
Решения этого уравнения определяются отношениями
„ „ п д2а d2Q д2а ~
Co.Cr.C2, т. е. -1-г:ш-1-:— в точке О.
Чтобы у кривой ш была точка возврата (или еще более специ-
специальная точка) в О, указанные касательные должны совпасть,
а это произойдет, если
= С\, т. е. Ц0 = (-||-J s точке О. (8.7.19)
Точка соприкосновения (или более специальная точка) возни-
возникает как вырожденный случай точки возврата, когда двойная
касательная в точке О пересекает кривую ш как минимум с
кратностью четыре, а не три, как в случае исходной (generic)
точки возврата. Таким образом, если в соответствии с форму-
формулой (8.7.19) положить
С0 = а2, Ci=a6, C2 = b2, (8.7.20)
в результате чего уравнение (8.7.18) сведется к виду (шс +
+ byJ = 0, то, поскольку разность Ь(д/дх)— а(д/ду) представ-
представляет собой производную в направлении (двойной) касательной,
условие [наряду с (8.7.20)] возникновения точки соприкоснове-
соприкосновения (или более специальной точки) будет таким:
(~-a-§jf Q = 0 в точке О, (8.7.21)
т. е.
D0b3 — ЗВфЬ + SD2ba2 — D3d = 0. (8.7.22)
Чтобы точка О была как минимум тройной, должно выполнять-
выполняться условие
С0=С1 = С2 = 0, т. e. ig- = -|!- = !J = O в точке О.
Кратные точки кривой ш
Интересующая нас кривая ш, конечно, определяется не неодно-
неоднородным уравнением, подобным уравнению, получающемуся в
результате приравнивания нулю выражения (8.7.14), а уравне-
уравнением, которое получается в результате приравнивания нулю
дважды однородной функции (8.7.7). Поэтому точка X комп-
лексификации CS+, задаваемая радиус-вектором £АцА', будет
принадлежать кривой ш только при условии
Q(|^ тИ') = О. (8.7.23)

322 ГЛАВА 8
В этом случае направление касательной в рассматриваемой
точке определяется отношением
Смысл этих выражений, записанных в обозначениях с абстракт-
абстрактными индексами, становится понятным, если принять во внима-
внимание определение (8.7.7):
~^ = PUAB...LP'...V'1B • • ■ IW ■ ■ ■ ТГ,
OS
-Щг = Чйл ... LP'Q'... V'lA ■ ■ • V"lP • • • Tf'-
Отношение же W^: Ф^ величин, записанных в обозначениях
с абстрактными индексами, — это просто класс эквивалент-
эквивалентности пар (Фл, Ф«) относительно соотношения (W^ )
( ) ()
Согласно теореме Эйлера об однородных функциях, полу-
получим
При Q^O из этих соотношений в силу предложения B.5.56)
следуют равенства
dQ Qt дп
где 0 и £ — некоторые функции. Таким образом, вся информа-
информация, которая остается от (8.7.24), это отношение
9: С. (8.7.26)
Следовательно, им и определяется наклон кривой ш в точке X.
Заметим, что оператор
^Г-^а^ (8.7.27)
«сводит к нулю» спинор Q в точке X только в том случае, если
a:b = Q:Z,
а значит, он соответствует дифференцированию в направлении,
задаваемом отношением а : Ь.
В качестве первого приложения изложенного найдем усло-
условие соприкасания кривой ш в точке X с 2-образующей, опреде-
определяемой фиксированным спинором ту4' (т. е. условие существо-
существования двух совпадающих пересечений кривой ш в точке X).
В соответствии с (8.7.16) это условие имеет вид
9 = 0, т. е. -^ = 0 в точке X. (8.7.28)

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 323
Оно же есть условие того, что спинор g-4 является двукратным
главным спинором канонического разложения выражения
(8.7.12). Точно так же Е'-образующая, определяемая фиксиро-
фиксированным спинором £л, касается кривой ш в точке X при условии
[аналогичном условию (8.7.17)]
С = 0, т. е. -^- = 0 в точке X. (8.7.29)
Точка X будет двукратной (или более специальной) точкой кри-
кривой ш только при одновременном выполнении этих двух усло-
условий:
-т- = 0, ~jr = 0 в точке X. (8.7.30)
Заметим, что в силу тождеств (8.7.25) условие Q = 0, при ко-
котором точка X лежит на кривой ш, следует из любого равенства
(8.7.30).
Как и в формуле (8.7.25), на основании теоремы Эйлера
имеем равенство
Следовательно, условие существования двукратной точки таково:
Е -SFte) = 0' т- е- W^=Qa1b e точке х-
Но в силу симметрии производной должна иметь место пропор-
пропорциональность между QA и |д, и мы приходим к первому из ни-
нижеследующих соотношений, тогда как остальные получаются в
результате аналогичных рассуждений:
-Щ^ё=рЫв' WW=alAr]A'' -£?^ = ^А>г\в'в точке X,
(8.7.31)
причем p, or и т—некоторые функции. Отношениями р:сг:т
определяется наклон двух ветвей кривой ш в точке X. Направ-
Направление, определяемое условием а : Ъ = Э : £ [как и в формуле
(8.7.26) ], соответствует наклону одной из ветвей, если
рб2 — 2aab + та2 = 0, (8.7.32)
ибо это условие есть уравнение Aaa'&bb'Q = 0 с оператором
Аад', отвечающим формуле (8.7.27). Наклон обеих ветвей оди-
одинаков, если уравнение (8.7.32) имеет кратные корни, т. е. если
рх = а2, (8.7.33)
а это в свою очередь является условием того, что X — точка
возврата или более специальная точка [ср. с формулой (8.7.19)].

324 ГЛАВА 8
В силу уравнения (8.7.32) направление, задаваемое отноше-
отношением а : Ь, будет отвечать указанному двойному наклону, если
[как в формуле (8.7.20)]
р = а2, а = аь> т = 62. (8.7.34)
Поэтому [как и в случае (8.7.21)] точка возврата X выродится
в точку соприкосновения (или точку более специального типа)
при условии
АДй = 0 в точке X, (8.7.35)
которое приводит к соотношению, сходному с (8.7.22). [Вели-
[Величины а и Ь в формуле (8.7.35) считаются фиксированными чис-
числами, удовлетворяющими уравнениям (8.7.34), а значит, не
подлежащими дифференцированию.
Чтобы существовала (как минимум) трехкратная точка, на-
наряду с условием (8.7.30) должно [при определениях (8.7.31)]
выполняться условие
р = ог = т = 0. (8.7.36)
Отметим, что все сказанное выше о кратных точках относит-
относится и к кривым на ,CS+, являющимся просто голоморфными и не
обязательно алгебраическими.
Локус Roa на S+
Хотя мы и отказались от анализа локуса Rat [см. текст после
формулы (8.7.4)] как основной процедуры классификации спи-
спинора Q..., исследование локуса Rca на S+ может представлять
интерес само по себе. Точки этого локуса задаются уравнением
(8.7.3). В общем случае, когда спинор Q... не эрмитов (напри-
(например, когда р Ф q), локус Rca обычно состоит из отдельных точек
на S+, так как (8.7.3) есть комплексное уравнение, действитель-
действительная и мнимая части которого дают два уравнения для точек
сферы S+. Если же спинор Q... эрмитов, то локус Rca обычно
оказывается кривой на S+, хотя в исключительных случаях все
же может состоять из изолированных (двойных) точек (или со-
содержать такие точки). В схему классификации спинора Q... в
принципе может входить исследование числа (не обязательно
отличного от нуля) несвязанных кусков, на которые распадает-
распадается локус Rca. Заметим, что при p = q локус Rca имеет совер-
совершенно ясный смысл, поскольку он в такой ситуации описывает
множество действительных изотропных решений уравнения
Qa...ixa... xl = 0. (8.7.37)
Так, например, если р = ?=1, a Of — действительный век-
вектор, то общий класс A,1) естественным образом распадается

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 325
на два подкласса: первый подкласс, для которого локус Rca
пуст, получается, когда вектор Qa — времениподобный (так что
уравнение Qaxa = О не имеет отличных от нуля изотропных ре-
решений); второй подкласс, для которого Кш — окружность, имеет
место, когда вектор Qa — пространственноподобный (так что
изотропные решения уравнения Qax" = 0 лежат на пересечении
изотропного конуса с времениподобной гиперплоскостью, орто-
ортогональной вектору Q"). Поскольку времениподобные и про-
пространственноподобные векторы образуют не связанные друг с
другом системы, причем такие, "что- при непрерывном переходе
от одной к другой необходимо пройти через алгебраически от-
отдельный тип [а именно, тип A,0) @,1)—изотропные вектор"ы]:;
представляется логичным рассматривать времениподобные и
пространственноподобные векторы как два разных типа. Чтобы
окружность К<й (вектор Qa — пространственноподобный) могла
непрерывно деформироваться вплоть до полного исчезновения
!(вёктор О"— времениподобный), она должна пройти через поло-
положение, в котором становится «точечной окружностью» (вектор
Q" — изотропный). Это — изолированная двойная точка, которая
является не чем иным, как узлом на кривой ш с комплексногсо-
пряженными касательными. Этот узел есть точка пересечения
двух образующих комплексификации CS+, составляющих кри-
кривую ш (когда вектор Q" изотропен, кривая ю относится к типу
A,0) @,1)], и является точкой сферы S+, представляющей на
ней изотропное направление вектора Q". ; .:.;■ - - :
Знак спинора Q, черный и белый цвета сферы Sf\
Читатель, возможно, почувствовал, что классификация; : не
принимающая в расчет знак спинора Й..., слишком груба. Ma-
пример, в нашей классификации никак не учитывается, куда
направлены векторы йа-—в будущее или в прошлое. В случае
эрмитовых спиноров £2... можно учесть этот знак, проанализи-
проанализировав не только нули многочлена в (8.7.37), но и его знак для
всевозможных направленных в будущее изотропных векторов
ха. Для наглядности можно представлять себе, что Две области
сферы S+, на которые ее разбивает кривая Коа, по-разному ок-
окрашены, скажем в черный цвет, когда многочлен в (8.7.37) от-
отрицателен, и в белый, когда он положителен. Причем, как толь-
только: Многочлен в (8.7.37) становится положительно-полуопреде-
положительно-полуопределенным (т. е. неотрицательным для всех причинных векторов
х", направленных в будущее), вся сфера S+ окрашивается в бе-
белый цвет, за исключением, может быть, нескольких точек самой
кривой Ro), которые должны быть двойными. Теперь уже не со-
составит труда отличить случай, когда Q" — направленный в бу-
; времениподобный вектор, от случая^ когда^чэм направлен

326 ГЛАВА 8
в прошлое: в первом случае сфера S+ белая, а во втором — чер-
черная. Когда же вектор Qa — пространственноподобный, сфера S+
окрашивается по одну сторону от кривой Кш в черный цвет,
а по другую — в белый.
§ 8. Классификация спинора Риччи
Применим методы, изложенные в предыдущем параграфе,
к случаю (бесследового спинора Риччи Qabcd' = Флвсо'. След
тензора Rab мы рассматривать не будем. Чтобы одновременно
с Фава'в' рассмотреть еще и Л, потребовалось бы дальнейшее
усложнение классификации. Но она и так достаточно сложна:
если полностью провести изложенную выше схему, то мы при-
придем к классификации спинора Фава'в', содержащей 41 тип
[245]. Такое число разных типов может показаться чрезмер-
чрезмерным, но если при создании классификационной схемы для
Фава'в' придерживаться некоторых довольно естественных кри-
критериев (устанавливающих, как специализация спинора приво-
приводит к новым типам), то, по-видимому, невозможно без нару-
нарушения логики обойтись меньшим числом типов. Все другие су-
существующие классификационные схемы в том или ином отно-
отношении аномальны. Упоминавшиеся критерии в общем требуют,
чтобы схема была лоренц-инвариантной и обладала следую-
следующими двумя свойствами: элементы, относящиеся к каждому от-
отдельному типу, должны образовывать связное многообразие;
элементы, являющиеся общими специализациями двух разных
типов, ни один из которых не состоит только из специализации
другого, не должны считаться относящимися ни к одному из
этих двух типов. Такие критерии, вместе с некоторыми дру-
другими, довольно расплывчатыми критериями, согласно которым
определенные спиноры Фава'в' «очевидным образом» должны
быть отнесены к отдельным типам, по-видимому, приводят по
меньшей мере к столь же подробной (в смысле числа типов)
классификации как и та, что предлагается здесь. Конечно, вся-
всякий раз, когда внутри одного типа присутствуют переменные
скалярные инварианты, можно неограниченно продолжать даль-
дальнейшее деление данного типа. Например, в случае тензора Вей-
ля типа {1111} при желании можно было бы рассматривать
гармонический (/ = 0) и эквиангармонический (/ = 0) случаи
в качестве типов, отличных от общего типа. Или (менее оправ-
оправданно) можно было бы считать относящимися к отдельным ти-
типам случаи с рациональными, или действительными, или алгеб-
алгебраическими двойными отношениями, либо те случаи, в которых
удовлетворяются любые из бесконечного множества иных допу-
допустимых условий. Совершенно очевидно, что альтернативным

Классификация тензоров кривизны 327
подходам нет конца, а критерии, на основании которых можно
было бы судить о том, какая классификационная схема лучше,
неизбежно в какой-то мере субъективны. Поэтому мы, желая
избежать догматизма и не претендуя на последнее слово в во-
вопросе о классификационной схеме для спинора Фава'в', просто
покажем, как пользоваться нашим методом и как он связан с
альтернативными подходами, которые были предложены дру-
другими авторами.
Приводимость спинора
Сначала проанализируем возможные способы приведения
спинора Фава'в'- Поскольку он эрмитов, имеется семь следую-
следующих вариантов:
B,2)
A, 0A,
A, О2
A, 0A,
A, 0)A,
A, 0J@,
0
оно,
оно,
О2
0
0@, 0
Флвл"в'
Фав' =
Фа£' =
Фава'В'
Фава'в'
Фава'В'
неприводим,
Л(Л 1 В) или Ч?АВ =
, А (А' л В')
± Л(л Лв),!
= р(лЛв)(Сро'),
= ± р(ЛОГв) Р(А'двг),
— -(- раРвРа'Рв',
(8.8.1)
Здесь Ааа' и YAA' — эрмитовы спиноры, а все Л.., Т.., Г..,
р. и <т. не равны нулю и не пропорциональны друг другу.
Чтобы как-то различать две возможности в случае A,1) A,1),
мы впредь будем обозначать этим символом только первую из
них, а для второй будем писать |A,1)|2, указывая тем самым
на ее развернутую форму записи A,1) A,1), где вторая кривая
комплексно-сопряжена первой. Для согласования обозначений
мы также изменим соответствующим образом формы записи
последних трех ненулевых типов:
A, 1)A, 0)@, 1) .-*-(!, 1IA, 0)|2,
A, 0)A, 0)@, 0@, 1)н-*|A, 0)A, 0)|2, (8.8.2)
О, оJ(о, о2н-НA, оJр.
Диаграмма специализаций для этих восьми типов представлена
в таблице (8.8.3). В первом столбце указана действительная
размерность (т. е. число степеней свободы) для каждой си-
системы кривых в этой диаграмме; эту размерность легко найти,
зная число действительных и мнимых частей независимых спи-
норных компонент каждого из сомножителей.

328
ГЛАВА 8
Таблица (в. 8.3)
Я епстВительная
размерность
9
7
6
5
4
3
О
(UNI. 1)
B,2).
Id, 1)|2
(UJ
Собственные значения и собственные векторы тензора Фаь;
двукратные точки локуса ш
Наша классификация пока что не может претендовать на
совершенство, ибо не включает в себя другие предлагавшиеся
схемы, такие, как основанная на совпадении собственных зна-
значений и на размерности пространства, натянутого на .собствен-
.собственные векторы тензора Фаь (см., например, работы [56,198];
дальнейшие ссылки можно найти в работе [172]). Условие ра-
равенства собственных значений тензора Фаь уменьшает размер-
размерность его пространства на единицу (а не на два, как было бы
в случае положительно определенной метрики — в чем мы скоро
убедимся). Таким образом, чтобы усовершенствовать нашу
классификацию, нужно найти подтип общего типа B,2), сужен-
суженный на одну степень свободы, так что кривая ш обязательно
остается неприводимой. Этот подтип возникает, когда у кривой
ш появляется узел.
Чтобы удостовериться в том, что такая связь между нали-
наличием узла у кривой ш и существованием кратного собственного
значения у спинора Фа ь, в самом деле, имеется, рассмотрим
сначала более общую ситуацию, возникающую при исследова-
исследовании некоторой матрицы А с двумя совпадающими собствен-
собственными значениями Ki и %2- Если матрица А не предполагается
симметричной, то направления соответствующих собственных
векторов xi и х2 в исходном общем (генерическом) случае тоже
совпадают. Лишь когда матрица А еще более специализиро-
специализирована, удается найти пару независимых собственных векторов,

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 329
соответствующих кратному собственному значению [в качестве
иллюстрации, см. формулу (8.3.42)]. Если же матрица А сим-
симметрична, то из требования \\ ф К2 сразу следует ортогональ-
ортогональность xi и Хг. Стало быть, указанный выше «генерический» слу-
случай, когда xi и Х2 совпадают, возникает при условии, что каж-
каждый из векторов Xi и х2 становится ортогональным самому себе,
т. е. становится изотропным вектором. Итак, любой вектор, со-
соответствующий кратному собственному значению, должен быть
изотропным (при условии его единственности с точностью до
коэффициента пропорциональности). Поскольку с действитель-
действительно-симметричными (т. е. эрмитовыми) матрицами А такого
произойти не может, в подобных ситуациях совпадение двух
собственных значений приводит к еще большему уменьшению
числа степеней свободы матрицы А, так что становится воз-
возможным более специальный случай, в котором у нас оказы-
оказывается целая плоскость собственных векторов, принадлежащих
кратному собственному значению. Если же матрица А комп-
комплексно-симметрична (как это было в случае ЧГ), то «генериче-
«генерический» случай возможен; совпадение собственных значений те-
теперь ведет к потере лишь одной степени свободы, а соответ-
соответствующий собственный вектор — изотропный. В интересующей
нас ситуации тензор Фа * симметричен относительно индефи-
индефинитной метрики gab, так что изотропные векторы снова воз-
возможны и как следствие возможно возникновение «генериче-
ского» случая. (В том, что это на самом деле может произойти
с Фа *, легко убедиться на примере.)
Из сказанного следует, что первый (т. е. самый общий)
вырожденный случай возникает, когда тензор Фа •* обладает
изотропным собственным вектором:
ФаЬ2ь = кга, га2а = 0, 0=^гае©а. (8.8.4)
(И обратно, согласно общей теории матриц, собственный век-
вектор может быть изотропным только в том случае, если Я —
кратное собственное значение. Доказать это можно путем пре-
предельного перехода, рассмотрев сначала невырожденный слу-
случай.) Представив z° так, как это сделано в формуле (8.7.5), мы
получим Флл/ВВ'1в'Пв'= ^%ат\а'у что можно переписать в виде
Флвсо'1л1вЛ°' = 0, Флвсо'1вт1сУ = 0. (8.8.5)
Сравнение с формулами (8.7.28) — (8.7.30) показывает, что
представленная спинором |лт]л' точка Z комплексификации
CS+ должна быть кратной точкой кривой ш, т. е. в самом об-
общем случае это должен быть узел. Но в наиболее общем слу-
случае у этой кривой может быть только один узел, а значит,
точка Z должна быть действительной (т. е. Zg 5+) и в фор-
формуле (8.8.5) можно положить Т4' = %А .

330 ГЛАВА 8
В случае действительных узлов возможны два варианта:
один, когда две ветви кривой ш в точке Z обладают действи-
действительными касательными, и второй, когда две ветви имеют комп-
комплексно-сопряженные касательные. В последнем случае Z есть
изолированная двойная точка кривой а>. Примером изолирован-
изолированной двойной точки может служить точечная окружность, рас-
рассмотренная нами ранее в связи с анализом действительного
изотропного вектора Q". Если, как и в формуле (8.7.31), опре-
определить комплексное число а и действительное число р соотно-
соотношениями
|С1°' Л1С'|', (8.8.6)
чтобы сравнение с формулой (8.7.31) давало]
1 1 _ 1 1 _
то из формулы (8.7.32) явствует, что условие действительности
ветвей в узле [т. е. решений уравнения (8.7.32) с |а|=|6|]
имеет вид
аа > 4р2, (8.8.7)
а условие его изолированности таково:
аа < 4р2. (8.8.8)
Согласно формуле (8.7.33), узел выродится в точку возврата
(или в точку соприкосновения, или в точку еще более специ-
специального типа), если
ай = 4р2. (8.8.9)
Чтобы выяснить, каков смысл этих условий в плане струк-
структуры собственных значений тензора Фа *, предположим, что
#а = !л|л' есть собственный вектор тензора Фаь, принадлежа-
принадлежащий двукратному собственному значению X, собственными век-
векторами для которого могут служить только векторы, кратные
ха, и что два оставшихся собственных вектора лежат в действи-
действительной пространственноподобной плоскости П, ортогональной
вектору ха. Плоскость П совпадает с пучком векторов
У(|v'+0Л|Л'} (lv' -0Л|Л/)- {8ЯЛ0)
где и и v — действительные величины, а спинор 0Л фиксируется
единственным образом за счет масштаба спинора %А равенством
!лвл=1. (8.8.11)
[Два вектора в скобках в формуле (8.8.10) — это ортогональ-
ортогональные пространственноподобные единичные векторы, которые орто-

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 331
1 2
тональны также и вектору ха-\ Если уа и уа — два вектора из
пучка (8.8.10), соответствующие значениям [и, v) и \и, v), то
из формулы (8.8.6) следует, что
=--{и v)\
Матрицей BX2) в формуле (8.8.12) определяется в перемен-
переменных и и v линейное преобразование в плоскости П, индуциро-
3 2
ванное тензором Фа *. В самом деле, если вектор уа = Фа уь, то
/з з\
его \и, ty-представление (как явствует из сравнения соска-
13 13 1 3\
лярным произведением уауа = — ии — vv) должно в окончатель-
окончательном виде записываться в форме присутствующего в формуле
(8.8.12) произведения: (окончательная матрица)X (вектор-стол-
(вектор-столбец). Собственные значения этой матрицы, которые, как легко
видеть, равны —р±|а|, должны быть равны тем двум соб-
собственным значениям Х2 и ^з тензора Фа ь, которые принадлежат
собственным векторам в плоскости П. Далее из формулы (8.8.6)
следует, что р есть (двукратное) собственное значение (=Хо =
= A,i), p есть (двукратное) собственное значение (=A,o = A,i),
принадлежащее двукратному собственному вектору ха, так что
= -|а|-р. (8.8.13)
Точка возврата
Отсюда следует, что условие (8.8.9) существования точки
возврата (или точки более специального типа) говорит о трой-
тройном совпадении собственных значений (KQ = Xi = Х2 или Ко =
= Ki = A,3). Однако в самом общем случае, а именно в случае
точки возврата, оказывается, что собственными векторами, при-
принадлежащими трехкратному собственному значению (=Р), мо-
могут быть только векторы, кратные Xй. Единственными оставши-
оставшимися собственными векторами являются векторы, принадлежа-
принадлежащие простому собственному значению (=—Зр). Следовательно,
в данном случае не существует определенной выше простран-
ственноподобной плоскости П. (Она становится изотропной пло-
плоскостью, содержащей вектор ха.) Вместо этого мы имеем изо-
изотропный собственный вектор ха и ортогональный ему простран-
ственноподобный собственный вектор уа. Общая форма, к кото-
которой приводится тензор Фаь, когда на кривой ш имеется точка

332 ГЛАВА 8
возврата, соответствующая изотропному вектору ха, такова:
ь + х1атаь), (8.8,14)
где уауа =—1. a wa{¥=0)—еще один пространственноподобный
вектор, ортогональный как вектору х°, так и вектору у° (Р =£ 0).
.'■ ' ■ Точка соприкосновения
Чтобы получить условие существования дальнейшей специа-
специализации точки возврата, можно воспользоваться формулой
(8.7.35) [вместе с (8.7.27)], положив
а:6 = а:2р=2р :а (8.8.15)
[ср. с формулой (8.8.9) ]. Что-то новое дает только полностью
симметричная часть выражения (8.7.35). После некоторых вы-
выкладок мы с помощью предложения C.5.15) придем к следую-
следующему условию существования (как минимум) точки соприкос-
соприкосновения;
С С (8.8.16)
Свернув обе части равенства (8.8.16) с |л, мы сразу же убе-
убедимся, что в нем неявно содержится условие (8.8.9). О вели-
величинах а и р достаточно лишь знать, что они не могут обе быть
равны нулю, ибо их отношение определяется сверткой с %А'. Но
при наличии точки соприкосновения кривая ш должна вырож-
вырождаться в две окружности; из формулы (8.8.1) [тип A,1) A,1)
или |A,1)|2] следует, что Флвл'в' имеет вид
Флв =Л(лТв) или ±1(л1в). @.8.17)
где Ла и Ya действительны [и, согласно приводимой ниже фор-
формуле (8.8.22), пространственноподобны]. Соприкосновение этих
окружностей, если они действительны, определяется условием
с' = ±у1а, (8.8.18)
а в случае комплексно-сопряженных окружностей — условием
Тас1С'=ч1а, TAC'ic' = -±vtA (8.8.19)
[при соответствующем выборе масштаба для двух множителей
в формуле (8.8.17)], где
<z = v2, 2p = ±vv. (8.8.20)
Предположим, что р>0 и, стало быть подходит верхний знак.
(В противоположном случае можно провести те же рассужде-
рассуждения для —Фай.) Собственными векторами тензора Фа ь, при-
принадлежащими трехкратному собственному значению р, являют-

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 333
сявсе_ векторы, ортогональные и вектору Аа, и вектору Та (или
Га и Га) (двумерное пространство), тогда как собственные век-
векторы, принадлежащие простому собственному значению —Зр,
кратны вектору Аа + Та (или Га + Та).
Вместо (8.8.17) может оказаться более удобной тензорная
форма, напоминающая (8.8.14):
Фай = $gab + ^УаУь =F *%ХаХь, (8.8.21)
где _
(A + Te) или у(Г« + Га),
а масштаб спинора \А выбран так, что
Ха = Ыа> = Y (Ла — Та) UAU 1у (Га — Га).
Пропорциональность вектора ха этим выражениям следует
из формул (8.8.18) и (8.8.19).] Верхний знак в формуле (8.8.21)
относится к первым из этих выражений для ха и уа, а ниж-
нижний — ко вторым. Векторы ха и «Л как и требуется, удовлетво-
удовлетворяют условиям
a U а 0
что следует из соотношений
ЛаЛа = ТаТ" = ЛаТа = -4р, (8.8.22)
ГаГа = ГаГ" = -4р, (8.8.23)
вытекающих из формул (8.8.18) — (8.8.20). Пользуясь этими со-
соотношениями, выражение (8.8.21) можно без труда вывести из
формулы (8.8.17).
Поскольку в рассматриваемом здесь случае точки соприкос-
соприкосновения, кроме ха снова имеется пространственноподобная 2-пло-
скость собственных векторов, все, о чем говорилось в связи с
формулами (8.8.10) — (8.8.12), остается в силе, чего нет в слу-
случае точки возврата. Следовательно, специализация (8.8.9) в
формуле (8.8.12), приводя к трехкратному собственному зна-
значению, дает нам более специальный случай точки соприкосно-
соприкосновения, а не точку возврата.
Типы узлов
Возвращаясь снова к общему случаю узла, заметим, что
условие изолированности узла (8.8.8), выраженное через соб-
собственные значения (8.8.12), соответствует требованию, чтобы
двукратное собственное значение находилось вне интервала,
ограниченного двумя простыми собственными значениями, т. е.
^•0 = ^i > тах (^2. ^з) или ^о = ^i < min (Я2, Х3).

334 ГЛАВА 8
Условие же (8.8.7) существования в узле двух действительных
ветвей соответствует требованию, чтобы двукратное собствен-
собственное значение лежало в интервале между простыми собствен-
собственными значениями, т. е.
Л*2 "^ "о = Aj \ л#з ИЛИ /»з \ Aq =^= Aj *^ Л2»
Отметим, что при а = 0 имеет место иное, дополнительное
совпадение собственных значений, а именно л2 = Я,3. Если те-
теперь обратиться к формуле (8.8.6), то окажется, что это ведет
к условию
С1°'
из которого следует", что Фавсг/ имеет вид
= 1(лЛв)(С'|о')
(Авс — некоторый эрмитовый спинор), так что кривая ш отно-
относится к типу A,1) | A,0) |2 или к более специальному типу.
Мы видим, что наша схема специализаций снова переско-
перескочила через некоторые случаи, на этот раз через узлы типа
A,1) A,1) и |A,1)|2. Причиной этого является возникновение
дополнительных собственных векторов, а не новые совпадения
собственных векторов. В такой ситуации, как и в случае точки
соприкосновения, остается справедливой формула (8.8.17), но
перестают быть верными формулы (8.8.18) и (8.8.19). Суще-
Существует двумерное пространство собственных векторов, ортого-
ортогональных векторам Ла и Та (или Га и Га), которое натянуто на
указанные два узла, и есть два отдельных собственных вектора,
являющихся линейными комбинациями векторов Лл и Та (или
Га и Та). В зависимости от того, являются ли эти собственные
векторы пространственноподобными или времениподобными,
действительными или комплексными, возникает много разных
возможностей.
Разные «категории» в пределах одного типа
В наши планы сейчас не входит сколько-нибудь подробный
анализ всех конкретных частных случаев. Но все же укажем,
что даже общий случай типа B,2), в котором у кривой ш нет
кратных точек, нуждается в дальнейшем разбиении, если про-
продолжать придерживаться нашего требования, чтобы всякий тип
образовал связное многообразие. Следовательно, нужно раз-
разбить типы на связные «категории» с той же размерностью.
(Специализация же типов всегда приводит к типам низшей раз-
размерности.)

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 335
В общем случае, когда все собственные значения различны
и действительны, одно из них, скажем Ко, должно соответство-
соответствовать времениподобному собственному вектору, а три других,
Я.1, Я,2 и К3, — пространственноподобным собственным векторам.
(Это связано с тем, что все собственные векторы, в рассматри-
рассматриваемых случаях действительные, взаимно ортогональны.) Рас-
Рассмотренные выше частные случаи возникают как предельные
состояния такого рода общих случаев, когда Я,о совпадает с од-
одним из оставшихся собственных значений. (Поскольку в случае
действительных собственных векторов только при совпадении
времениподобного и пространственноподобного собственных век-
векторов в качестве предельного может появиться изотропный соб-
собственный вектор.)
Итак, возможны четыре существенно различающихся ва-
варианта четырех неодинаковых действительных собственных зна-
значений, а именно: Хо может быть наибольшим из них, вторым
по величине, третьим и, наконец, наименьшим. Каждый из этих
четырех возможных вариантов дает отдельную категорию;
чтобы непрерывным образом перейти от одной категории к дру-
другой, необходимо пройти через вырожденный случай, соответ-
соответствующий одному из более специальных типов, скажем наличию
узла у кривой о (см. выше), хотя, как оказывается, такой пе-
переход возможен лишь при условии, что на некоторой стадии
у кривой о возникает сразу два узла1), а это означает, что
кривая о либо относится к типу A,1) A,1) или |A,1)|2, либо
к еще более специальному типу.
Этим четырем подслучаям типа B,2) отвечают определен-
определенные конфигурации кривой ш на сфере S+. Когда Ко является
наибольшим собственным значением, имеет место следующее
свойство положительной определенности2):
Фаьхахь > 0 для всех не равных нулю
действительных изотропных векторов ха
[ср. с приводимыми ниже неравенствами (8.8.33) и (8.8.34)].
В этой ситуации локус Ra> пуст и вся сфера S+ окрашена в бе-
белый цвет (см. конец § 7).
*) Когда два собственных значения как бы «сталкиваются» на действи-
действительной оси, они в общем случае «отскакивают», претерпевая комплексное
сопряжение. Случай, когда Х\ проходит вдоль действительной оси «через»
А.2, соответствует двойному «столкновению» пары узлов.
2) Если знак строого неравенства «>» заменить символом «^», то это
будет слабое энергетическое условие., по терминологии Пенроуза [245] (или
условие изотропной сходимости по терминологии Хокиига и Эллиса [125],
использующих термин слабое энергетическое условие для более сильного
условия, которое получается, когда вектор х" может быть также времени-
подобным, а теизор Фаь заменяется полным тензором энергии-импульса Та^\
см- также, т, 1, стр. 391).

336 ГЛАВА 8
Когда ко — второе по величине собственное значение, можно
показать, что локус Ro состоит из двух отдельных петель, вну-
внутренние области которых окрашены в черный цвет, тогда как
кольцевая область, расположенная между ними, белая. Когда
Хо — третье по величине собственное значение, Ra> опять со-
состоит из двух петель, но цвет областей теперь противоположен
только что указанному. Когда же Ко — наименьшее собственное
значение, локус Ro пуст и вся сфера S+ — черная.
Вообще говоря, кривая Ro может представлять собой и одну
петлю. Тогда одна часть сферы будет черной, а другая — бе-
белой. В этом случае не существует действительной ортонорми-
рованной собственной тетрады тензора Фаь- Два собственных
значения действительны и соответствуют двум пространствен-
ноподобным собственным векторам; два оставшихся собствен-
собственных значения — сопряженные комплексные •) и соответствуют
паре комплексно-сопряженных собственных векторов. Это —
единственная оставшаяся возможность для неособого типа
B,2), так что всего мы имеем пять несвязных категорий.
Особые случаи типа B,2) тоже допускают дальнейшее раз-
разбиение и дают еще восемь категорий. Две категории возникают,
когда локус Ro имеет точку возврата с альтернативными че-
чередованиями белого и черного цветов по отношению к ней.
В шести оставшихся категориях локус Ro имеет узел. Две из
этих категорий появляются, когда в узле есть действительные
ветви, а четыре других — когда он изолирован. Они разли-
различаются окраской, а также наличием и отсутствием петли у Ro,
в дополнение к изолированной двойной точке. Все эти различ-
различные случаи можно отделить один от другого, анализируя свой-
свойства соответствующих собственных значений и векторов, но мы
не будем здесь на этом останавливаться.
Многие случаи, когда кривая ш приводима, тоже допускают
разбиение на подклассы и различные категории. Например, в
случае A,1) A,1) локус R<b состоит из двух отдельных окруж-
окружностей, каждая из которых может иметь действительный или
мнимый радиус в зависимости от того, пространственноподобны
или времениподобны соответствующие действительные векторы
Ла и Та в выражении
Фав' = Мл?%, т. е. <t>ab = &(aYb)-±gabAcrc.
Эти окружности пересекаются в двух различных действитель-
действительных или сопряженных комплексных точках (в зависимости от
того, какая плоскость натянута на Ла, Ya — времениподобная
') Выражение «сопряженные комплексные» очень удобно, когда имеешь
дело с парой объектов (чисел, кривых, точек и т. п.), которые переходят
друг в друга при операции комплексного сопряжения.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 337
или пространственноподобная), а в более специальных ситуа-
ситуациях (с более низкой размерностью) эти окружности, как мы
видели, могут касаться друг друга (когда на векторы Л", Та
натянута изотропная плоскость; при этом кривая ш имеет в
точке контакта точку соприкосновения). Таким образом, исход-
исходный (генерический) случай A,1) A,1) разбивается на ряд раз-
различных категорий — всего их шесть (с учетом цвета). Во всех
этих категориях у кривой а> имеются два разных узла (точки
пересечения двух окружностей). В случае точки соприкоснове-
соприкосновения радиусы окружностей действительны и присутствуют оба
цвета.
Случай |A,1)|2 также разделяется на (четыре) категории
(которые различаются соотношениями цветов, а также тем, ка-
каковы узлы: действительные и изолированные или сопряженные
комплексные). Специальный случай типа |A,1)|2 снова раз-
разделяется (на две категории) из-за наличия точки соприкосно-
соприкосновения.
В заключение особо отметим случай A,1) | A,0) |2. Здесь
опять генерический тип подразделяется на (четыре) категории.
Но имеет место еще и частный случай, который возникает,
когда точка пересечения пары линий |A,0)|2 (которая изна-
изначально является изолированной двойной точкой) лежит на ок-
окружности A,1) (и становится трехкратной точкой с одной дей-
действительной и двумя сопряженными комплексными ветвями).
Исследование только множества действительных точек локуса
Ко не позволило бы узнать даже о существовании в рассмат-
рассматриваемом случае тройной точки.
Полная классификация и схема специализации
Полная схема типов и их специализаций дана в работе
[244]. В целом она довольно сложна, но ее сравнительно про-
просто воспроизвести, если, конечно, не упускать из виду, что
кратности кратных точек при специализации не могут умень-
уменьшаться и что кратными (с четными кратностями) могут быть
только те куски кривой Ro), которые при специализации могут
возникать разрывным образом.
В таблице (8.2.25) приведены различные возможные типы
кривой о вместе с соответствующей характеристикой Сегрэ ')
') Характеристика Сегрэ [ ] указывает жорданову нормальную форму
матрицы [формула (8.3.42)] [345]. Каждому набору одинаковых собственных
значений, расположенных на диагонали матрицы, соответствует отдельная
цифровая запись в характеристике [ ]. Однако в некоторых квадратных бло-
блоках матрицы такие наборы могут сопровождаться единицами, стоящими пря-
прямо над диагональю; размер этих блоков находит отражение в этой записи.
Например, характеристика [C21) D4)] говорит о наличии блока из трех Я

338
Таблица
Число
степеней
свободы
9
8
7
7
6
6
5
5
4
3
0
(8.8.25)
Число
различных
категорий
5
6
2
10
4
4
1
2
4
2
1
ГЛАВА
Структура
8
Приводи- _
мость Сингулярности
B,2)
B,2)
B,2)
A,1) (U)
A,1)A,1)
A,1) A,0) @,1)
A,1) A,0) @,1)
A,0) A,0) @,1) @,1)
A.1I
г
A,0)*@,1)* {
1
(-)
Нет
Узел
Точка возврата
Два узла
Точка касания
Три узла
Трехкратная
точка
Четыре узла
Двукратная
кривая
Двукратная
кривая
Четырехкратная
точка
CS +
Характе-
Характеристика
Сегрэ
величины
<т> ь
а
llllj
211]
31]
A1I1]
B1I]
2(П)]
C1)]
(И) (И)]
A11I]
[B11)]
[(ПИ)]
Тип
спинора
Плебань-
ского
{1111}
{211}
{31}
{22}
{4}
{22}
{4}
{22}
{-}
{-}
{-}
для тензора Фаь, но без учета расщепления тех или иных клас-
классов на различные категории одной и той же степени общности
(которое могло бы проявиться в различном упорядочении соб-
собственных значений и в различии действительной (веществен-
(вещественной) структуры. Соответствующая схема специализации дана
в таблице (8.8.26). (Обозначения, введенные в формуле (8.8.1),
появляются снова в связи с тем, что эрмитова структура со-
сомножителей теперь включена в разбиение на категории.)
Тип спинора по Плебаньскому
Единственное, что в таблице (8.8.25) осталось совершенно
без внимания — это типы спиноров по Плебаньскому [276].
В формуле (8.7.1) был введен симметричный спинор TIabcd,
на диагонали (с двумя единицами над ней), вслед за которым идет блок
нз двух А, (с одной единицей над диагональю), за которым следует отдельное
X; далее идет блок из четырех и (с тремя единицами) и вслед за ним еще
один блок из четырех р. (тоже с тремя единицами). Круглые скобки вокруг
одиночных цифр опускаются. Размерность пространства, натянутого на все
собственные векторы, равна полному числу цифр в характеристике [ ]
(в данном случае она равна пяти). Размерность пространства, ассоциирован-
ассоциированного с собственными векторами, соответствующими каждому собственному
значению, равна числу цифр, заключенных в свои (круглые) скобки (в дан-
данном примере — 3,2).

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ
339
Таблица (8.8.26)
Число . Число измерений пространства, стягиваемого
степеней собственными векторами
свободы 4 3 2
Р(П)]
[B1I]
сР
О
такой, что
Habcdz 5
=<Pp'qmb
(8.8.24)
Метод Плебаньского заключается в применении классификации
стандартного спинора Вейля к спинору Habcd c целью ее даль-
дальнейшего использования в качестве классификационной схемы
для Флвсо'- Рассмотрим прежде всего взаимосвязь между кри-
кривыми л и о, представляющими спиноры П... и Ф... на С5+.

340 ГЛАВА 8
Из уравнения (8.8.24) следует, что если g-4—главный спинор
спинора Habcd, то [см. текст после формулы C.5.29)] для неко-
некоторого г\с имеем
Флвсо'!л!в = ЛсЛс. (8.8.27)
Но тогда
Флвсо'1л1в<=0, " (8.8.28)
а это, согласно формуле (8.7.29), есть условие того, что S'-обра-
зующая, определяемая спинором |л, касается кривой и в точке
^тГ4'. Так как это применимо ко всякому главному спинору
спинора Habcd, мы приходим к выводу, что кривая я состоит из
четырех S'-образующих, которые касаются кривой о>. Схему
совпадений для этих образующих теперь довольно просто полу-
получить, проанализировав структуру особенностей кривой и. По-
прежнему следует иметь в виду, что «касание» нужно интерпре-
интерпретировать как совпадение точек пересечения, так что S^-обра-
зующая, проходящая через какую-либо кратную точку кривой
и, считается касающейся этой кривой. Исследуя появление
кратных точек в предельных случаях, можно показать, что
каждая S'-образующая, проходящая через кратную точку кри-
кривой и, для я должна считаться как минимум двойной. Точную
кратность можно установить в каждом отдельном случае только
после подробного анализа рассматриваемого предела. Резуль-
Результаты такого рода анализа представлены в таблице (8.8.25).
Отметим, что в некоторых случаях схема Плебаньского не
позволяет полностью различить все возможные типы спинора
Ф,... Наиболее отчетливо это проявляется в трех последних
случаях таблицы (8.8.25), ибо во всех трехП...=0.
Двойное отношение четырех ГИН спинора П... представ-
представляет особый интерес, так как в общем случае B,2)-кривой оо>
не имеющей особенностей, им определяется характеристика,
называемая модулем эллиптической кривой и. (Слово «эллип-
«эллиптическая» здесь означает, что кривая и может быть аналити-
аналитически параметризована с помощью эллиптических функций, но
не рациональных функций. Этот модуль относится к так назы-
называемым бирациональным инвариантам кривой и, ибо остается
неизменным при любом аналитическом «почти всюду 1 — 1» пре-
преобразовании вида кривой и.) (Более полно эти вопросы рассма-
рассматриваются, например, в работе [356].)
Чтобы выразить указанное двойное отношение через соб-
собственные значения тензора Фаь в общем случае, можно (если
все собственные значения действительны и различны) сначала
выразить через эти собственные значения и стандартную тет-
тетраду Минковского C.1.20) (построенную из собственных век-
векторов 6°а, ,.., 63) и сам тензор ФаЬ:

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 341
[т. е. матрица Ф<»& = diag (Хо, ^i» ^2» ^з)]- В другой генериче-
ской ситуации необходимы комплексные векторы и комплекс-
комплексные собственные значения, но мы можем ввести комплексные
комбинации векторов 6° и 6^ и написать
-, . ФаЬ = — -J '^0 (ОЛОЛ' + НЛ1Л') (ОВОВ' +
■■■■ ' : + ~2 *^
(8.8.30)
где Xi и Х2 — действительные величины, а Х3 = Х0, причем
использованы стандартные соотношения C.1.20) между спинор-
ной диадой и тетрадой Минковского. Если применить соотноше-
соотношения C.1.20) к выражению (8.8.29), то можно сразу же вычис-
вычислить-спинор JJabcj} и получить для него выражение в стандарт-
стандартной канонической форме (8.3.34), где
Формула же (8.8.30) дает для Пдвсв выражение, которое лишь
несущественно отличается от стандартной канонической формы
[и которое сводится к ней при (Ич—^■eni/8oA, iA*—>е-л'/8И, так
что мы опять приходим к тем же значениям т) и % для TIabcd,
что и в формуле (8.8.31)].
Интересно, что двойное отношение ГИН для спинора Павсо
одновременно является двойным отношением четырех собствен-
собственных значений тензора Фыь. Следовательно, в случае, когда Фаь
имеет действительную тетраду собственных векторов, это двой-
двойное отношение должно быть действительным. В противополож-
противоположном случае, поскольку величины X действительны, величина %
удовлетворяет условиям |%|=1> |1—%l=l> T- e. Re(%)=l/2.
Напомним, что, согласно изложенному в § 6, эти четыре воз-
возможности представляют собой как раз те случаи, в которых
ГИН (спинора Uabcd) обладают симметриями отражения. И на-
наконец, исходя из равенства Хо + М + Х2 + Х3 = 0 можно пока-
показать, что три собственных значения спинора Habcd таковы:
XqX<) -\- Aj/,3 -p S, XqX^ -\- Х2Х^ -\- о, XqXq -\- X2Xi -\- о,
где
S = -L(x2o + X2l + Xl + Xl). (8.8.32)
Физические тензоры энергии-импульса
Теперь уже ясно, что тензор Риччи в самом деле гораздо
более сложный объект для общей классификации, нежели тен-
тензор Вейля. Однако с полным основанием можно утверждать,

342 ГЛАВА 8
что в случае пространства-времени, представляющего интерес
с физической точки зрения, огромное большинство типов исклю-
исключается. Согласно слабому энергетическому условию') (в его
обычной нестрогой формулировке), тензор энергии-импульса Таь
удовлетворяет неравенству
(8.8.33)
где ха— любой изотропный вектор. Тогда, если выполняются
уравнения Эйнштейна D.6.32), то мы имеем
ФаьХахь^0. (8.8.34)
А это как раз условие того, что на сфере S+ нет «черного цве-
цвета», т. е. что всякая точка сферы S+ либо «белая», либо лежит
на кривой Rod. Но, поскольку всюду, где кривая Rxo проста,
цвет по разные стороны от нее должен быть разным, отсюда
следует, что локус R<a целиком состоит из двукратных (или
четырехкратных) точек. Единственными категориями, которые
удовлетворяют этому критерию, могут быть следующие «бе-
«белые» варианты:
B,2) без особенностей (и кривая Roo пуста),
B,2) узел (изолированный; и остальная часть кривой R©
пуста),
A,1) A,1) два узла (комплексные и кривая Roo пуста),
|A,1)|2 два узла (оба изолированные),
| A,1I 2 два узла (оба комплексные),
|A,1)|2 точка возврата (изолированная), (8.8.35)
A,1I A,0) |2 три узла (один изолированный; в остальном
кривая R© пуста),
| A,0) A,0) |2 четыре узла (два изолированных, два комп-
комплексных),
A,1J двойная кривая (действительная),
A,1J двойная кривая (комплексная),
|A,0J|2 двойная кривая и четырехкратная точка (изоли-
(изолированная),
() (R +
Остальные категории при желании можно отбросить как «не-
«нефизические». Но иногда интерес представляют симметричные
2-индексные тензоры независимо от того, являются ли они тен-
тензорами Риччи «физически приемлемого» пространства-времени.
Например, могут представлять интерес различные типы, кото-
которые могут входить в виде отдельных членов в асимптотическое
разложение тензора Риччи (гл. 9, § 7). Такие отдельные члены
разложения не обязаны удовлетворять энергетическому условию,
*) См. примечание 2 иа с. 335.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 343
Разумеется, в физическом пространстве-времени генериче-
генерическим (родовым) типом будет тип B,2), почти всюду не имею-
имеющий (как и выше) особенностей. Но если выполняются уравне-
уравнения Эйнштейна — Максвелла, то генерическим является тип
| A,0) A,0) |2 [что сразу же следует из соотношения ФАВА>В'~
= 2(ЗфдвфА'В'; ср. с формулой E.2.6) ], а в случае изотропного
поля — тип |A,0J[2. В случае изотропной среды в силу сфе-
сферической симметрии [три одинаковых собственных значения; см.
также формулу (8.8.1)] генерическим всегда должен быть тип
A,1J с комплексной двойной кривой.

9
Конформная бесконечность
§ 1. Бесконечность в случае пространства Минковского
Одной из областей наиболее эффективного применения 2-спи-
норных методов оказалось исследование асимптотических про-
проблем теории относительности. Примером таких проблем, имею-
имеющим важное значение, может служить определение полной
величины энергии-импульса, содержащейся в асимптотически
плоском пространстве-времени, и гравитационного излучения.
В этом случае спинорные методы особенно эффективны в со-
сочетании с методом [234, 236, 237], при котором путем конформ-
конформного преобразования метрики «бесконечность делается конеч-
конечной». При таком методе мы преобразуем метрику пространства-
времени Ж, заменяя исходную физическую метрику ds новой,
«нефизической» метрикой ds, конформно-связанной с ds:
ds = Qds, (9.1.1)
где Q — достаточно гладкая и всюду положительная функция,
определенная на Ж. Метрический тензор gab и обратный ему
тензор gab преобразуются по формулам
, g* -> t" = ^g^ ■ (9.1.2)
Если Ж обладает соответствующей асимптотической структурой
и выбран подходящий конформный множитель Q, то к Ж мож-
можно «присоединить» некоторую граничную поверхность 9 [это
обозначение читается «скрай» — аббревиатура от «script I»1)].
Эта поверхность вводится таким образом, что «нефизическая»
метрика gab может быть продолжена до лежащих на границе
новых точек без вырождения и с определенной степенью глад-
гладкости. Функция Q тоже может быть продолжена с соответ-
соответствующей степенью гладкости, но на поверхности 2f обращается
в нуль. Это означает, что физическая метрика должна быть на
границе У бесконечной, а потому не может быть на нее про-
продолжена. Так что в плане физической метрики новые точки
(а именно точки на поверхности &) бесконечно удалены от со-
Что переводится как «/ рукописное». — Прим. перев.

Конформная бесконечность 345
седнйх с ними точек. В физике это соответствует «точкам в бес-
бесконечности».
Присоединение поверхности 2Г к такого рода пространству-
времени Л дает нам гладкое многообразие с границей1), ко-
которое мы будем обозначать символом JC, причем
(д — символ границы, int — символ внутренней области много-
многообразия). Преимущество предлагаемого подхода заключается в
том, что теперь можно применить к Jt мощные локальные ме-
методы дифференциальной геометрии и спинорной алгебры, кото-
которые будут давать информацию об асимптотике пространства-
времени \М. Таким образом, при исследовании важнейших
законов убывания физических и геометрических величин, напри-
например в вопросах, связанных с излучением в асимптотически-пло-
асимптотически-плоском пространстве-времени, отпадает необходимость в сложных
предельных переходах. Да и само определение асимптотической
евклидовости (flatness) в общей теории относительности может
быть теперь дано в удобной «бескоординатной» форме. Кон-
Конформные методы очень подходят для теории относительности
по той простой причине, что многое в ней является конформно-
инвариантным: уравнения для безмассового свободного поля,
конформный тензор Вейля, изотропные геодезические, изотроп-
изотропные гиперповерхности, релятивистская причинность и (особен-
(особенно в случае пространства Минковского) теория твисторов. Пред-
Предлагаемый метод подобен используемому в комплексном
анализе, где для получения римановой сферы «точку на беско-
бесконечности» присоединяют к аргандовой плоскости (гл. 1, § 2), а
также методу, используемому в проективной геометрии.
Описание в явно координатной форме: 3^±, £* и i°
Сначала рассмотрим процедуру построения конформной бес-
бесконечности для пространства Минковского /VI. В этом случае
физическая метрика в сферических координатах имеет вид
ds2 = dt2 — dr2 — г2 (сШ2 + sin2 9 df2). (9.1.3)
Для удобства введем два параметра времени: запаздывающий
и = t — г и опережающий v = t -\-r. Получим
ds2 = du dv — \ (v — иJ (de2 + sin2 9 df2). (9.1.4)
О Мы здесь не будем вдаваться в подробности точного определения
многообразия с границей (см. работу [176]). В двух словах, это простран-
пространство, точки которого обладают окрестностями, являющимися либо евклидо-
евклидовыми пространствами, либо евклидовыми полупространствами (например,
{(>/)R»|'>D})

346 ГЛАВА 9
Свобода в выборе конформного множителя Q довольно велика.
Однако в случае интересующего нас здесь пространства-вре-
пространства-времени (а именно асимптотически-простого) из общих соображе-
соображений [см. текст после формулы (9.7.22) ] функцию Q нужно вы-
выбрать так, чтобы она вдоль любого луча стремилась к нулю
(и в прошлом, и в будущем) как величина, обратная аффин-
аффинному параметру луча X (т. е. QX -*■ const при Я->-,оо и ЙЯ-»-const
при Я-»-—оо вдоль луча). Всякая гиперповерхность и = const
представляет собой световой конус будущего, построенный из
лучей (изотропных прямых линий), для которых величины 0
и ф тоже остаются постоянными. Координата v играет роль
аффинного параметра будущего каждого из этих радиальных
лучей. Аналогично координата и служит аффинным парамет-
параметром прошлого этих лучей. Следовательно, нужно потребовать,
чтобы выполнялись условия Qv—>-const при и-»-.оо на луче и,
0, ф = const; Qu -*■ const при и -*■ —оо на луче v, 0, ф = const.
Если мы к тому же хотим, чтобы функция й была гладкой на
конечных кусках пространства-времени, то сам собой напраши-
напрашивается выбор
Q = 2 A + и2)'1'2 A + v2)-1'2
(множитель 2 введен для удобства в дальнейшем), и тогда
**=<**■ - d+ffo';-) - d+wd+o-)(de2+sin2
Допустимы и многие другие формы функции Й, но эта, как мы
скоро убедимся, оказывается особенно удобной.
Чтобы нашим «точкам на бесконечности» соответствовали ко-
конечные значения координат, следует и и v заменить парамет-
параметрами р и q, такими, что
u = tgp, v = tgq.
Тогда
d§2 = 4dp dq — sin2 (q — p) (rfO2 + sin2© dj>2). (9.1.5)
Пределы изменения переменных р и q указаны на рис. 9.1, где
каждая точка представляет 2-сферу радиусом sin(<7 — р)- Вер-
Вертикальная прямая q — р = 0 соответствует пространственному
началу координат (г = 0) и представляет всего лишь коорди-
координатную сингулярность. Само же пространство-время на этой пря-
прямой (да и всюду), конечно, несингулярно. Наклонные прямые
p = -(l/2)n[-(l/2)n<q<(l/2)n] и q =A/2)я(-A/2)я<
<р<;A/2)я] изображают (изотропную) бесконечность (обо-
(обозначаемую символами 2f~ и 3f+, соответственно) простран-
пространства Минковского (ибо этим прямым отвечают значения
и = —*» и v = оо). Но метрика (9.1.5), очевидно, идеально ре-
регулярна на этих прямых. Можно ожидать, что пространство-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
347
Рис. 9.1. Область пространства (р, <?), соответствующая пространству М.
Прямая q— р = О (а значит, и q — р = л) является осью сферической сим-
симметрии.
время и его метрика йй будут несингулярными и вне этих об-
областей. Вертикальная прямая q — р = п тоже является коорди-
координатной сингулярностью точно такого же типа, что и прямая
q — р = 0. Всю вертикальную полосу 0 =£: q — р ^ я можно ис-
использовать для определения пространства-времени <£, глобаль-
глобальная структура которого отвечает произведению пространствен-
ноподобной 3-сферы и бесконечной времениподобной прямой
(«статическая вселенная Эйнштейна»). Чтобы убедиться в
этом, выберем новые координаты
что дает
ds2 = dx2 — {dp2+ sin2p(d82+ sin2ed^2)}. (9.1.6)
Часть этой метрики, заключенная в фигурные скобки, есть мет-
метрика единичной 3-сферы.
Часть пространства-времени <£, конформную исходному про-
пространству Минковского, можно рассматривать как простран-
пространство, заключенное между световыми конусами точек i~ и i+.
Точка t- имеет координаты p = q — —A/2) я, а точка i+ — ко-
координаты р = q =A/2)я. Эта часть «обертывается» вокруг 8

348
ГЛАВА 9
Рис. 9.2. Область на эйнштейновском цилиндре Ш, соответствующая про;
странству М.
и замыкается с «тыльной» стороны в единственной точке i° с
координатами q =—р—A/2)л. Заметим, что ■ sin* (q—, р) = 0
в точке i°, а это и говорит о том, что точку t° следует рассматт
ривать как единственную точку, а не 2-сферу. Рассматриваемая
ситуация изображена на рис. 9.2, где отброшены два измерения.
Два-пространство Минковского конформно внутренней части
квадрата (изображенного наклоненным на 45°). Этот квад-
квадрат обертывается вокруг цилиндра, который представляет со-
собой двумерный вариант статической вселенной Эйнштейна.
Учет недостающих измерений ничего существенно не изменяет.
Вблизи точки i~ интересующая нас область находится внутри
светового конуса будущего, связанного с точкой /-. Этот свето-
световой конус (т. е. точечное множество, «ометаемое» лучами, ко-
которые идут из точки j- в будущее) фокусируется на задней
стороне вселенной Эйнштейна в одной точке i'° (которая в про-
пространственном отношении диаметрально противоположна точке
t~). Вблизи точки i° интересующая нас область (пространства
Минковского) простирается в пространственноподобных на-
направлениях от /°. Световой конус будущего для точки j° ОДЯТЬ
же фокусируется в одной точке i'+, простратетвенное положение

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 349
которой соответствует положению точки г-. Вблизи i+ интере-
интересующая нас область лежит внутри светового конуса прошлого
для точки i+. •
Отрезки лучей, соединяющие точки j- и t°, ометают часть
границы области пространства Минковского, которую мы обо-
обозначили через ■&-. Точно так же отрезки лучей, соединяющие
точки i° и i+, ометают границу У+. Сами же точки.-i-, t° и i+
считаются не относящимися к границе Э~ или &+; Точка г~
имеет физический смысл временной бесконечности прошлого,
граница ^гт—изотропной бесконечности прошлого, точка i° —
пространственной бесконечности, граница 2Г+ — изотропной бес-
бесконечности будущего и точка i+ — временной бесконечности бу-
будущего. Эта терминология станет понятной, если проанализи-
проанализировать ход прямых (по отношению к метрике Минковского ds)
линий в пространстве Минковского. Времениподобная прямая
достигает концевой точки прошлого /-, а также концевой точки
будущего t+. Изотропная прямая достигает концевой точки про-
прошлого, лежащей на Зг~, и концевой точки будущего, лежащей
на 2f+. Времениподобная прямая линия становится замкнутой
кривой, проходящей через точку i°. (Во всем этом нетрудно убе-
убедиться путем «прямых» рассуждений.) Поскольку лучи после
конформных преобразований остаются лучами, изотропные пря-
прямые при переходе к метрике ds становятся лучами, но времени-
подобные и пространственноподобные прямые, вообще говоря,
не будут геодезическими по отношению к ds.
ГНПиГНБ
При исследовании кривых в пространстве Минковского во-
вопрос о достигаемых ими концевых точках несколько услож-
усложняется. Например, винтовая линия t = <j>, r=l, 9=A/2)я,
хотя и является изотропной кривой, имеет концевую точку про-
прошлого в точке i"-, а концевую точку будущего — в точке i+
(и в обеих концевых точках полная кривая не является глад-
гладкой). Времениподобная же кривая г =A + t2I'2, 9=A/2)я,
Ф = 0 гладко достигает концевой точки прошлого на границе
3(- и концевой точки будущего на границе &+. К тому же легко
найти пространственноподобные кривые, достигающие конце-
концевых точек либо на обеих границах Sf±, либо в точке i±. Если
ограничиться только причинными кривыми (т. е. кривыми, кото-
которые всюду либо времениподобны, либо изотропны; а это в
обоих случаях единственные кривые, вдоль которых распро-
распространяются частицы и информация), то можно указать очень
простой критерий (целиком опирающийся на характеристики
самого пространства Минковского (VI), позволяющий опреде-
определить, достигают ли две такие кривые одной и той же концевой

350 ГЛАВА 9
точки прошлого или концевой точки будущего и лежат ли эти
точки на границе 2f^ или в точке i*.
Чтобы установить этот критерий, рассмотрим произвольное
множество точек 2 в пространстве (VI и обозначим через /+[2]
подмножество пространства (VI, состоящее только из тех точек,
которые могут быть достигнуты направленной в будущее вре-
мениподобной кривой, выходящей из некоторых точек множе-
множества 2. Иными словами, /+[2] — это (открытое) будущее мно-
множества 2. (О том, почему оно будет открытым множеством в
(VI, см. работы [245, 125].) Аналогично, пусть /~[2]—(откры-
/~[2]—(открытое) прошлое множества 2. Тогда если а — любая причинная
кривая с (конечной) концевой точкой прошлого Р в (VI, то бу-
будущее точки Р совпадает с множеством /+[а]. Этим свойством
не обладает никакая другая точка в (VI (в чем читателю не-
нетрудно будет убедиться самому; полное доказательство можно
найти в работе [104]). Таким образом, любая другая причин-
причинная кривая р тоже имеет в точке Р свою концевую точку про-
прошлого только в том случае, если /+ [{$] = /+ [а]. Преимущество
этого критерия состоит в том, что он применим и в случае,
когда аир — кривые, бесконцевые в прошлом (т. е. неограни-
неограниченно продолжимые в прошлое и не достигающие конечных
концевых точек прошлого в (VI): такие кривые аир достигают
одних и тех же концевых точек прошлого, лежащих на 2f~ или
совпадающих с i~, только в том случае, когда /+[а] = /+[р]
(рис. 9.3). (Они, очевидно, не могут иметь концевые точки про-
прошлого в ;°, i+ или на &+.) Отсюда следует, что бесконцевая
в прошлом причинная кривая а достигает концевой точки про-
прошлого в точке г~ или на ЗГ~ в зависимости от того, является ли
Рис. 9.3. Две причинные кривые ос и f$ имеют одну и ту же концевую точку
на гиперповерхности Э~ в том и только в том случае, когда у них одинако-
одинаковое будущее.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 351
множество /+[а] всем пространством М или нет (так, напри-
например, будущим оси времени t = 0 является все пространство (VI).
Точно так же • бесконцевая в будущем причинная кривая а до-
достигает точки t+ или точки на ЗГ+ в зависимости от того, яв-
является ли /~[а] всем пространством М или нет; более того,
бесконцевая в будущем кривая р достигает на бесконечности
той же точки, что и кривая оь, в том и только в том случае,
если /~[а] = /-[р].
Эти критерии особенно ценны тем, что они применимы и в
искривленном пространстве. Множества типа /+[а], где а —
бесконцевая в прошлом причинная кривая, называются гра-
граничными неразложимыми множествами будущего (ГНБ); мно-
множества же типа /~[а] с бесконцевой в будущем причинной
кривой а называются граничными неразложимыми множе-
множествами прошлого (ГНП). Ими можно воспользоваться для того,
чтобы дать определения прошлых/будущих границ в простран-
пространстве-времени самого общего вида [307,104]. Границы ГНБ и
ГНП тоже представляют определенный интерес. Они порож-
порождаются лучами, которые являются бесконцевыми в будущем
или прошлом, соответственно [245, 125]. В случае пространства
Минковского (VI эти границы (если они не пустые) являются
изотропными гиперплоскостями в (VI, т. е. множествами, опи-
описываемыми уравнениями типа xaAa — Bt, где Аа и В— постоян-
постоянные и Аа — изотропный вектор. Это будет иметь существенное
значение в следующем параграфе.
Итак, требуемое конформное многообразие (с границей) (VI
состоит из исходного пространства Минковского (VI с его кон-
конформной метрикой и двух граничных 3-поверхностей &+ и &~.
Однако точки i+, i° и г- исключаются из (VI, ибо граница не
была бы в этих точках гладкой. Мы видим, что границы 9+ и
2(- имеют топологию S2XR. гДе сфера S2 параметризована
сферическими полярными углами 9 и ф, а пространство R — за-
запаздывающим временем и в случае границы 2f+ и опережаю-
опережающим временем v в случае границы 2Г~.
§ 2. Компактифицированное пространство Минковского
Когда мы позднее перейдем к исследованию асимптоти-
асимптотически-плоского пространства-времени, выяснится, что многое из
того, о чем говорилось выше, остается в силе. Но есть одно
свойство, очень специфичное для модели пространства Минков-
Минковского: всякая изотропная геодезическая, исходящая из некото-
некоторой точки А- на 2f~, должна пройти через такую же точку А+
на 2Г+ (рис. 9.4). Это свойство поначалу может показаться не-
неожиданным, но оно становится очевидным, как только мы

352 ГЛАВА 9
Рис. 9.4. Все лучи, выходящие в пространстве М из точки А^еУ-, прихо-
приходят в одну и ту же концевую точку будущего А+ е 2f+. (Это специфика
пространства М, не относящаяся к произвольному пространству-времени.)
вспомним, что световой конус будущего для точки на 3~ есть
просто изотропная гиперплоскость в пространстве Минков-
ского. (Это предельная конфигурация светового конуса, к кото-
которой он стремится, когда его вершина уходит в прошлое вдоль
изотропной прямой.) Точно так же световой конус прошлого
для любой точки на 3+ тоже является изотропной гиперпло-
гиперплоскостью. Следовательно, изотропная гиперплоскость достигает
какой-либо прошлой «вершины» на 3~ (скажем, точки А~) и
соответствующей будущей «вершины» (скажем, точки А+) на
3+. Это находит простое объяснение в модели вселенной Эйн-
Эйнштейна <£\ световой конус будущего точки А- фокусируется
в точке А+, которая в пространственном отношении антипо-
дальна точке А~.
Принимая во внимание эту естественную взаимосвязь ме-
между точками гиперповерхностей 3~ и 3+ в случае пространства
Минковского, в определенных отношениях представляется есте-
естественным отождествить 3~ и 3+, т. е. точку А~ отождествить
с точкой А+, а обе гиперповерхности 3~ и 3+ обозначить од-
одним символом 3. Тогда, чтобы быть последовательными, мы
должны также отождествить г- с t°, a j° с t+. Три точки £* и t°
теперь превращаются в одну, которую мы обозначим символом /.
Из чертежа, приведенного на рис. 9.5, видно, что в точке /
эти разные области пространства Минковского очень хорошо
«пригнаны» друг к другу, так что точка / становится нормаль-
нормальной внутренней точкой многообразия, построенного нами в ре-
результате всех этих отождествлений. Такое компактное конформ-
конформное многообразие называется компактифицированным простран-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
353
Рис. 9.5. При отождествлении Sf- и &+, приводящему к возникновению про-
пространства М*, отождествляются и все точки i~, i° и t+. Получающаяся в
результате такого отождествления неособая точка / имеет окрестность, со-
составленную из трех отдельных кусков пространства М.
ством Минковского М* [24, 60, 174, 235]. По причинам, ко-
которые станут яснее несколько позже, подобного рода отожде-
отождествление невозможно достаточно корректно провести в искрив-
искривленных асимптотически-плоских пространствах. (Мало того, что
в общем случае явно отсутствует какой бы то ни было кано-
канонический способ проведения таких отождествлений, при отлич-
отличной от нуля полной массе любое отождествление приводит к
нарушению требуемых условий регулярности вдоль отожде-
отождествленной гиперповерхности.) Даже в пространстве Минков-
Минковского отождествление гиперповерхностей 2f- и &+ может ока-
оказаться во многих отношениях нефизическим (и в нем, разу-
разумеется, нет необходимости). Однако такое отождествление ока-
оказывается весьма удобным в математическом отношении1), а
') Аналогичная конструкция в трех пространственно-временных измере-
измерениях [с сигнатурой метрики (Ч ] тоже имеет важное значение в тео-
теории относительности. Как уже говорилось в конце гл. 7, § 2, пространство
0>* допустимых пучков лучей, которые граничат с данным лучом ц, и кото-
которые могут лежать на некоторой изотропной гиперповерхности, проходящей
через ц, является как раз таким компактифицированным 3-пространством
Минковского. Построение !Р* из !Р (параметризованного в некоторой точ-
точке & луча ц, действительной величиной р и комплексной а) в точности ана-
аналогично построению М* из М [единственное существенное отличие заклю-
заключается в том, что в конечном итоге получается не пространство с топологией
S2 X 51, аналогичной случаю (9.2.1), а неориентируемое 3-пространство, по-
подобное бутылке Клейна]. Аналог гиперповерхности 2? теперь представляет
собой пучок лучей, для которого обе величины р и а расходятся в точке Р
(общий случай каустической точки в точке Р), тогда как в аналоге точки /
величина р расходится, а величина а остается конечной (как в вершине
светового конуса).

354 ГЛАВА 9 '■
потому мы кратко остановимся в данном параграфе на геомет-
геометрии компактифицированного пространства Минковского, тем
более что она важна для теории твисторов и к тому же это
пространство, на котором действует 15-параметрическая кон-
конформная группа.
Если отождествить 2Г~ с J+ так, как говорилось выше, то
всякая изотропная геодезическая в пространстве (VI* приобре-
приобретет топологию окружности S1, превратившись в изотропную
прямую пространства М, замыкаемую в петлю единственной
точкой на бесконечности. Пространство же М* в целом при-
приобретает топологию -
M*~S3XS1. (9.2.1)
Чтобы убедиться в этом, можно выбрать в /VI* произвольную
конгруэнцию Робинсона (см. гл. 6, § 2, с. 75 и далее, а также
рис. 6.3) и рассмотреть семейство пространственноподобных ги-
гиперповерхностей, которые в метрике (9.1.6) задаются условием
т = const. Отождествление 3(- с 3f+ приводит к тому, что вся-
всякая гиперповерхность т = т0, где 0 < то < я, стыкуется с дру-
другой гиперповерхностью т = то— я, образуя пространственно-
подобное сечение S3. Все сечения S3 равноправны относительно
конформной метрики, так как преобразование -п—»т +
+ const (mod я) эквивалентно «вертикальному» сдвигу цилиндра
Эйнштейна (см. рис. 9.2), ничего не меняющему при условии,
что выполняются соответствующие отождествления, сохраняю-
сохраняющие конформную метрику. Линии конгруэнции Робинсона
имеют топологию окружности 51, и каждая из них пересекает
каждое сечение S3 один (и только один) раз, но не пересекает-
пересекается с другими линиями. Таким образом, они устанавливают 1 — 1-
значное соответствие между различными сечениями S3, что и
дает структуру топологического произведения (9.2.1).
Очевидно, что рассмотренные выше конформные преобразо-
преобразования пространства (VI* вида ti—> т + const (mod я) не сохра-
сохраняют исходную метрику Минковского g пространства /VI.
(Строго говоря, они вообще неприменимы к (VI, поскольку неко-
некоторые точки пространства М отображаются на гиперповерх-
гиперповерхность 3, и наоборот.) Пространственноподобная гиперпло-
гиперплоскость, задаваемая в исходных координатах Минковского урав-
уравнением t = 0 (ее можно задать и уравнением т = 0), отобра-
отображается на одну из гиперповерхностей т = То (mod я), которые,
если вернуться к координатам (t, r, 9, ф), оказываются двумя
ветвями пространственноподобного 3-гиперболоида
В(/2 — r2) + 2t — B = 0, (9.2.2)
где
В: =te(io = te(p + Q) = T^£=l_?f+t,. (9.2.3)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 355
Комбинируя такие конформные преобразования с движениями
группы Пуанкаре, можно генерировать всю связную компо-
компоненту С+A,3) 15-параметрической группы СA,3) конформ-
конформных движений пространства (VI* (содержащей единицу), под
действием которой пятипараметрическое семейство гиперповерх-
гиперповерхностей, являющихся пространственно-временными трансляциями
гиперболоидов (9.2.2), вместе с пространственноподобными ги-
гиперплоскостями в (VI преобразуются друг в друга.
Описание в пространстве Р5
Существует еще один способ построения пространства М*
и конформной группы его движений. Рассмотрим шестимерное
псевдоевклидово пространство Е6 с координатами Т, V, W, X,
Y, Z и метрикой
ds2 = @* + dV'2 — dW2 — dX2 — dY2 — dZ2. (9.2.4)
Световой конус Ж с вершиной в начальной точке описывается
уравнением
J2 + уг _ W2 _ Х2 _ Y2 _ z2 = 0. (9.2.5)
С учетом уравнения изотропной 5-плоскости
V-W=l (9.2.6)
из выражения (9.2.4) следует, что пересечение такой 5-плоско-
5-плоскости с конусом Ж обладает индуцированной метрикой типа мет-
метрики Минковского
= dT2-dX2-dY2-dZ2. (9.2.7)
Для этого пересечения достаточно координат Г, X, Y и Z, об-
область изменения которых не ограничена; стало быть, данное
пересечение, взятое само по себе, тождественно пространству
Минковского (VI, и мы его так и будем обозначать. Но как
подпространство пространства Е6 пространство М имеет вид
«параболоида» (рис. 9.6)'), причем остальные координаты вы-
выражаются через Т, X, Y и Z следующим образом:
V = W -\-\=\(\—T2 + X2 + Y2 + Z% (9.2.8)
Всякая образующая конуса Ж [представляющая собой множе-
множество точек, для которых остаются постоянными отношения
Т : V :W :X :Y :Z и выполняется уравнение (9.2.5)], не лежа-
лежащая на изотропной гиперплоскости V = W, пересекает парабо-
•) Это многомерный вариант ситуации, представленной на рис. 1.5 (т. 1,
с. 30), где евклидова 2-плоскость изображена в виде «параболического» се-
сечения обычного лоренцева светового конуса. : .

356 ГЛАВА 9
Образующая конуса X
\
М
- Е« -
Начало
пространства^.*
Рис. 9.6. Конус Ж с сигнатурой ++ ) в пространстве Е6. Про-
Пространство Минковского М представлено как параболическое сечение кону-
конуса Ж, а компактифицированное пространство М* — как пространство обра-
образующих конуса Ж.
лоид (VI в единственной точке. Образующим конуса Ж, лежа-
лежащим на гиперплоскости V = W, соответствуют точки, принад-
принадлежащие бесконечности пространства ML Прямым, проходящим
через начало пространства Е6, соответствуют точки проектив-
проективного 5-пространства Р5, координатами которого служат пять
независимых отношений Т : V: W:X : Y:Z. Образующими ко-
конуса Ж определяются точки квадрики (т. е. многообразия, за-
задаваемого равенством нулю квадратичной формы) в Р5, урав-
уравнение которой имеет вид (9.2.5) и которая отождествляется
с М* (рис. 9.7). Точки этой квадрики, не лежащие на гипер-
гиперплоскости V = W, соответствуют точкам пространства М. Но
теперь появляются еще и точки пространства М*, лежащие на
гиперплоскости 1/=Fh обеспечивающие требуемую компакти-
фикацию М (Пространство М* является компактным, будучи
алгебраическим подмножеством проективного пространства.)
Мы не будем вдаваться в подробности рассматриваемой
геометрической структуры. Остановимся лишь на некоторых мо-
моментах1). Прежде всего отметим, что М* обладает всюду хо-
хорошо определенной конформной геометрической структурой. Это
следует, например, из того, что две любые (локальные) гипер-
гиперповерхности (являющиеся поперечными сечениями конуса Ж),
пересекающие одни и те же образующие конуса Ж, конформно
1) См. также работы [60, 73, 174, 146, 150, 239, 249].

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
357
Рис. 9.7. Пространство М* можно представить в пространстве Р5 в виде
квадрики. Касательная гиперплоскость, построенная в точке /, пересекается
с этой квадрикой по гиперповерхности Э'.
отображаются ими друг на друга. Данное утверждение можно
доказать, либо проведя такие же рассуждения, как в гл. 1 (т. 1,
с. 59, рис. 1.11), либо показав, что метрику конуса Ж локально
можно привести к виду
ds2 = q2aa(i (*Y) dxa dx* + .0 • dq2,
образующие можно задать уравнениями ха = const, а попереч-
поперечные сечения — зависимостью q от ха. При такой форме метрики
два вышеуказанных поперечных сечения несомненно будут кон-
конформно отображаться друг на друга. А чтобы привести метрику
к требуемой форме, можно выбрать в качестве координаты q
любую переменную, скажем W, и переписать выражение (9.2.4)
[с учетом уравнения (9.2.5)] в виде
ds2 = W2 {d (T/WJ + d (V/WJ — d (X/WJ — d (Y/WJ — d (Z/WJ}.
Затем [еще раз воспользовавшись уравнением (9.2.5)] нужно
исключить одну из переменных T/W, ..., Z/W, выразив ее че-
через остальные.
Итак, пространство образующих конуса Ж приобретает кон-
конформную структуру (как это уже имело место в случае свето-
светового конуса с вершиной в начале координат пространства Мин-
ковского в гл. 1 и гл. 4, § 15), т. е. пространство *.* как под-
подпространство пространства Р5 имеет канонически определенную
конформную структуру с сигнатурой (+ — — —). Световые
конусы этой конформной структуры оказываются пересечениями
пространства М* с проективными 4-плоскостями, касаюши-

358 глава э ;
мися пространства М*. Эти 4-плоскости пересекаются с М* по
конусам квадрик, образованным прямыми из М*. Проектив-
Проективными прямыми в М* (прямыми по отношению к проективной
пространственной структуре пространства р5) представляются
световые лучи в М*. Одна из 4-плоскостей, удовлетворяющая
уравнению V = W, тоже касается пространства М* — в точке
Т = Х= Y = Z=(V— W) = 0. Это не что иное, как точка /
(отождествленные точки i~, i° и i+, фигурировавшие выше при
построении компактифицированного пространства Минковско-
го), а остальная часть пересечения данной 4-плоскости с
М* — это 3 (отождественные поверхности 3+, Э~ в том же
построении).
0B,4) и конформная группа
Псевдоортогональная группа 0B,4) линейных преобразова-
преобразований в пространстве Е6, сохраняющих уравнение (9.2.5), сохра-
сохраняет и Ж, а значит, индуцирует преобразование пространства
Р5,- переводящее М* в М*. Поскольку эта группа сохраняет
линейность в Р, она переводит проективные прямые простран-
пространства М*в другие такие же прямые, т. е. в световые лучи, и,
следовательно, сохраняет конформную структуру пространства
М*. Фактически это наиболее общая группа, обладающая та-
таким свойством [239], и она индуцирует на М* конформную
группу СA,3) [60, 73, 174, 249]. К тому же это 15-параметри-
ческая группа, ибо инфинитезимальные (псевдо-) ортогональные
матрицы кососимметричны [относительно метрики (9.2.4)], а
значит, имеют 15 действительных линейно-независимых компо-
компонент. Однако группа 0B,4) не идентична группе СA,3), так как
минус-единичный элемент группы О B,4) обращает ориентацию
всякой прямой, проходящей через начальную точку простран-
пространства Е6, а Р5 при этом остается точечно-инвариантным. Поло-
Положительный и отрицательный единичные элементы группы
ОBг4)—единственные два преобразования группы 0B,4), ко-
которые дают единичный элемент группы СA,3), так что группо-
групповой гомоморфизм
О B,4)->- С A,3) (9.2.9)
есть 2—1-локальный изоморфизм. К тому же это «отображение
на» (сюръекция). Поскольку единичный со знаком минус эле-
элемент труппы 0.B,4) принадлежит связной компоненте 0^.B, 4),
■содержащей единицу {так как преобразование (Т-\-iV, W-\-iX,
:Y-+iZ)^{e«>{T + iV), e**[W+iX), e*(Y + iZ)) относится к
группе О B,4) при всех О < 0 ^ я и связывает непрерывным

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 359
образом единичный и минус-единичный элементы], групповой
гомоморфизм
О* B, 4)-*С*.A, 3) (9.2.10)
тоже есть 2—1-локальный изоморфизм и «отображение на».
(Индекс «f» указывает на сохранение направления хода вре-
времени, а индекс «+'»— на сохранение общей ориентации.) Ха-
Характер B—1) этого отображения весьма сходен с характером
отображения, связывающего спиновые преобразования с огра-
ограниченными преобразованиями Лоренца, но есть и одно сущест-
существенное различие: группа О\. B, 4) не является универсальным
накрывающим пространством для компоненты С*A, 3),. ибо
представляет собой только конечную ее «развертку», тогда как
для перехода к универсальному накрывающему пространству
компоненты С*. A, 3) требуется бесконечная «развертка». В § 4
мы продемонстрируем преимущества перехода и к четырехкрат-
четырехкратной накрывающей группе компоненты С^_A, 3), а именно к
псевдоунитарной твисторной группе SU B,2), которая также-яв-
также-является двукратной накрывающей группой компоненты 0^B/4)
(но, разумеется, не универсальной накрывающей группой).
Группа Пуанкаре является подгруппой группы СA,3) и ха-
характеризуется тем, что оставляет инвариантными как гиперпло-
гиперплоскость F=U?+1, так и конус Ж. Отсюда следует, что про-
пространство М преобразуется в себя с сохранением метрики, как
это и требуется. Возникающая таким образом подгруппа группы
0B,4) фактически изоморфна (а не 2—1-гомоморфна) группе
Пуанкаре, так как отрицательный единичный элемент группы
0B,4) не сохраняет равенства V = W -\- 1. [Прообраз группы
Пуанкаре при отображении (9.2.9)—это подгруппа группы
0B,4), сохраняющая две гиперплоскости V=W±\.\ Если-к
элементам группы Пуанкаре добавить растяжение, то гипер-
гиперплоскость F=U?+1 не будет инвариантной, семейство гипер-
гиперплоскостей V = W-j- const будет преобразовываться в себя и
только гиперплоскость V = W будет инвариантна относительно
всей группы. В пространстве Р5 это соответствует инвариант-
инвариантности 4-плоскости, касающейся пространства М* в точке /
(см. рис. 9.7), т. е. тому, что гиперповерхность 2/ преобра-
преобразуется в себя. Однако в случае произвольного элемента группы
0B,4) эта 4-плоскость преобразуется в другую 4-плоскость, ка-
касающуюся пространства М*, т. е. световой конус У преобра-
преобразуется в полный световой конус какой-нибудь другой точки про-
пространства М*. В этом можно видеть иллюстрацию к тому, что
относительно конформной структуры пространства М (а не
его метрической структуры) конус 2f равноправен с любым дру-

360 ГЛАВА 9
гим световым конусом в М*. Точно так же точка / (вершина
конуса &) равноправна с любой другой точкой простран-
пространства М*.
Посмотрим теперь, какое значение имеют неизотропные (т. е.
не касательные) 4-плоскости в пространстве Р5. Например, запи-
записанная в координатах Минковского координатная гиперпло-
гиперплоскость £ = 0 представляется в Р5 как пересечение пространства
М* с 4-плоскостью Т = 0. Как было установлено выше [см.
текст перед формулой (9.2.2) и далее], произвольный элемент
группы СA,3) переводит гиперплоскость < = 0 в двухполостной
(в пределах М) пространственноподобный 3-гиперболоид')
в М Группа 0B,4) переводит 4-плоскость Г = 0 в другие
4-плоскости пространства Р5, «времениподобные» по отноше-
отношению к световому конусу (9.2.5). Они образуют пятипараметри-
ческую систему и пересекают М* по 3-поверхностям, соответ-
соответствующим пространственноподобным 3-гиперболоидам (или
пространственноподобным 3-плоскостям) в М. Точно так же
в пространстве Р5 существуют 4-плоскости (например, Х = 0),
которые по отношению к световому конусу (9.2.5) «временипо-
добны». Они тоже образуют пятипараметрическую систему и
пересекают М* по 3-поверхностям, соответствующим времени-
подобным однополостным (в пределах М) 3-гиперболоидам
или, в частных случаях, времениподобным 3-плоскостям в М.
§ 3. Комплексифицированное компактифицированное
пространство Минковского и твисторная геометрия
Чтобы связать все сказанное с твисторами, вспомним [фор-
[формула F.2.18)], как пространственно-временная точка с радиус-
вектором г° представляется простым кососимметричным твисто-
ром Rap. Согласно формуле F.2.18) [см. также F.1.46) и
F.1.47)], имеем (поскольку Rap = — Rpa)
R°i: R°2: ro3 : Ri2: Ri3: R23= -±.Гага : -ir01': ir™': -ir"' \irw: l.
(9.3.1)
Но [см. формулу (9.2.8) и рис. 9.6], выбрав стандартные коор-
координаты Минковского
I / , X Г , у Г , Z Г , (y.O.Z)
можно представить точку пространства Минковского (t, x, у, z)
линией, проходящей через начало (XT, XV, XW, XX, XY, KZ) про-
'' На самом деле это «3-сфера» или, вернее, «псевдосфера» по отношению
К лоренцевой метрике (или псевдометрике) пространства М.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 361
странства Е6 с А е R, так чтобы при подходящих Я выполнялись
соотношения
XV = -j A — t2 + х2 + у2 + z2) = XW + 1 • ' '
Таким образом,
^ ^(У U^)~\
что дает
/ = T(F —Г), jc = *(V —IP),
т ■ (9.3.4)
y = Y(V — W) , z = Z(V — W)~ ,
в связи с чем из уравнения (9.2.5) следует, что
— ГаГ"= — B _J_ X2 _j_ y2 _j_ 22 __ ^у _|_ ^)(у IF)"', (9.3.5)
Г: V-: Г : X: У: Z = t: i-(l -rara): -i-(-1 -rara): jc : г/: z.
(9.3.6)
Сравним формулу (9.3.6) с формулой (9.3.1). На основании
установленного в формуле C.1.31) стандартного соответствия
вектор — 2-спинор с использованием обозначений (9.3.2) по-
получаем
(V + W), R ¥(YiX), R ^
! (9.3.7)
) R13 (Y iX) R™
R = ~(Z-T), R = ~(Y + iX), R=V-W,
где выбран масштабный множитель, обеспечивающий стандарт-
стандартную твисторную нормировку F.2.27), а именно R23=l, когда
V—W=\. Обратно:
r4(RI2-R03), V = R01 + - R23, r = R0I--R23,
2 2 (9.3.8)
i
X = -MR-R), y = -i^(R-fR), Z = =^=(R+R).
V2 V2 V2
Заметим, что в с^лу равенств R^ = R,3, R02= — Ri3 и т. д.
а также равенств R01 = R23, RO2^R2o и т. д. условие F.2.31)
действительности вектора га означает, что
Roi^ROi, R02=Ri3, Ro5=_R03; Rl2__Ri2> r23= R23) (9 3-9)
и компоненты (9.3.7), конечно, удовлетворяют этим требова-
требованиям. Линейные соотношения между деитвительными координа-
координатами (Г, V, W, X, Y, Z) и тЕисторными компонентами R р не

362 ГЛАВА 9
могут не содержать комплексных коэффициентов. Поэтому усло-
условие «действительности» твистора R"p не может сводиться к
действительности его компонент. Это объясняется тем, что урав-
уравнение конуса Ж, записанное через Rap, эквивалентно утвержде-
утверждению [формула F.2.23)], что твистор Rap прост:
RafJRap = 0, (9.3.10)
тогда как квадратичная форма
^R^Ra^R^R23- R02RI3+ R03R12 (9.3.11)
в случае, когда все компоненты Rap действительны, будет иметь
сигнатуру (+ + -| ) вместо требуемой формулой (9.2.5)
сигнатуры (+ -\ ). В конечном итоге спиноры ока-
оказываются существенно комплексными объектами. Следователь-
Следовательно, чтобы разобраться в твисторной геометрии, необходимо про-
проанализировать комплексную геометрию и, в частности, рассмот-
рассмотреть процедуру комплексификации встречавшихся нам действи-
действительных пространств.
Обозначим через С£\ СЖ, СМ, СР5, СМ* и О,ЗГ комплекси-
комплексификации пространств Е6, Ж, М, Р5, М* и 3 соответственно.
Координаты Т, V, W, X, Y, Z пространства СЕ6 будут теперь
комплексными переменными, принимающими значения на всем
множестве комплексных чисел С6. Исходное пространство t6
является действительным шестимерным подпространством про-
пространства С Р (которое само, если его рассматривать как дей-
действительное пространство, является 12-мерным), определяемым
равенством нулю мнимых частей всех координат. Пространство
С/Е6 допускает комплексно-аналитическую метрику, которая
формально задается тем же выражением (9.2.4), что и метрика
для Е6. Тогда комплексифицированный световой конус СЖ опи-
описывается комплексным уравнением (9.2.5), а комплексифициро-
комплексифицированное пространство Минковского СМ является пересечением
конуса СЖ с комплексной 5-плоскостью V— W = 1. Комплекс-
Комплексное проективное пространство СР5 — это пространство комп-
комплексных прямых, проходящих через начало пространства С ~6,
а его координатами служат пять независимых комплексных от-
отношений Т : V : W : X : Y : Z. Комплексифицированное компакти-
компактифицированное пространство Минковского СМ* — это про-
пространство комплексных образующих конуса С Ж, т. е. локус
комплексного уравнения (9.2.5) в СР5. И наконец, СЗ опре-
определяется как пересечение СМ* с комплексной плоскостью
V = W (но, строго говоря, без точки /).

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ ЗбЗ
Соответствие Клейна
Исследуем геометрическую связь между СМ* и проектив-
проективным твисторным пространством ') РТ, точки которого являются
классами эквивалентности пропорциональных (ненулевых) тви:
сторов Z™. Пространство РТ обладает структурой комплексного
проективного 3-пространства CF3 и может быть параметризо-
параметризовано с помощью трех независимых комплексных отношений
Z0: Z1: Z2 : Z3. Как следует из абзаца, содержащего формулу
F.2.15), комплексные линейные 2-пространства в твисторном
пространстве Т (по меньшей мере те, для которых не все тви-
сторы имеют пропорциональные проекционные части) представ-
представляют точки в комплексифицированном пространстве Минков-
ского СМ. Кроме того из абзаца, содержащего формулу F.2.17),
следует, что эти 2-пространства могут быть представлены как
классы эквивалентности пропорциональных (не равных нулю)
простых кососимметричных твисторов Rap. В пространстве РТ
эти 2-пространства можно рассматривать как комплексные
проективные прямые [каждая из них является пространством
С;ГI)]- Следовательно, эти прямые представляют в PI точки
пространства СМ. Но, чтобы получить некую конечную точку
пространства СМ, мы требуем, чтобы прямая, представляющая
ее в РТ, не пересекалась с прямой |, которая задается уравне-
уравнением R = I . Дело в том, что прямой | определяется система
твисторов Z™ с равной нулю проекционной частью, а поэтому
прямая в РТ, пересекающаяся с I, представляет линейное
2-пространство в Т, содержащее твистор с равной нулю проек-
проекционной частью, откуда следует, что проекционные части всех
твисторов в 2-пространстве обязательно пропорциональны друг
другу. Тем не менее такая прямая, будучи представлена про-
простым кососимметричным твистором R , должна соответство-
соответствовать точке пространства СМ*. Следовательно, она соответствует
точке конуса С^, а сама прямая I — вершине / конуса У. Мы
видим, что точками пространства <LM представляются линии
пространства РТ. Такого рода соответствие, при котором линии
проективного 3-пространства представляются точками квадрики
в проективном 5-пространстве, называется соответствием
*) Мы будем рассматривать здесь исключительно пространства Т и РТ
и не будем касаться дуальных пространств. Но для упрощения обозначений
мы будем опускать поднятые точки (или индексы а, р, ...; см. гл. 6, § 1,
10).

364 ГЛАВА 9
(представлением) Клейна1). Оно лежит в основе всей твистор-
ной геометрии.
Теперь рассмотрим обратное соответствие. Нам нужно вы-
выяснить, как представить точку Z пространства РТ в простран-
пространстве СМ*. Проанализируем поведение прямых в РТ, проходя-
проходящих через точку Z. Они входят в 2-комплексно-параметрическое
семейство (которое называется связкой прямых), соответствую-
соответствующее комплексной 2-поверхности Z в СМ*. Этой 2-поверхностью
и можно воспользоваться для представления точки Z. Чтобы
установить, каков характер этой 2-поверхности, вернемся к фор-
формуле F.2.2) как основе уравнения F.2.15), которое связывает
радиус-вектор га точки R пространства Cfvi с линейным 2-про-
странством твисторов. Уравнение F.2.2) есть условие инцидент-
инцидентности2) между точками пространства СМи твисторами. Так,
мы говорим, что точка R инцидентна твистору Z.a = ((oA, ял,),
если
(йА = 1ГАА'ПА-, (9.3.12)
где гАА' — радиус-вектор точки R относительно любой точки, в
которой вычисляются спинорные поля (йА, па'. (Для определен-
определенности будем вычислять все интересующие нас соотношения в
фиксированной начальной точке О.) Если зафиксировать в со-
соотношении (9.3.12) радиус-вектор гАА> и позволить изменяться
твистору Za = (a^, я^')' то мы получим линейное 2-простран-
ство в Т, о котором говорилось выше и которым представляется
точка R в твисторном описании. Если же зафиксировать Za и
менять га, то мы получим искомый локус Z, которым представ-
представляется Z в СМ. При условии, что па> Ф 0, т. е. что Ъф-\, урав-
уравнение (9.3.12) имеет как минимум одно комплексное решение га
х) В основу найденного им соответствия Клейн [160, 162] (см. также,
например, работу [350]) положил линейчатые координаты Плюккера [280—
282], которые независимо от него предложил Кэли [50, 51] (и которые вхо-
входят в схему, выдвинутую гораздо раньше Грассманном). Еще более прямое
отношение к теории твисторов имеет наблюдение Ли, который в 1869 г. [190]
установил, что ориентированные сферы в (комплексном) евклидовом 3-про-
странстве могут быть представлены прямыми в СР3, причем (последователь-
(последовательно ориентированные) точки касания сфер представляются пересечениями
прямых в СР3. Эти сферы можно считать пересечениями световых конусов
точек (комплексного) пространства Мннковского с гиперповерхностью по-
постоянного времени. (Мы признательны X. Урбантке (Н. Urbantke), указав-
указавшему нам на эту работу Ли; см. также [109, 264].)
2) Термин инцидентность (incidence), вообще говоря, означает, что раз-
размерность локуса пересечения двух рассматриваемых пространств больше, чем
в общем (generic) случае. [В обычной математической терминологии это тер-
термин, выражающий отношение принадлежности между геометрическими объ-
объектами (точками, прямыми, плоскостями), в число которых в данном случае
включены и твисторы.— Прим. перев.]

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 365
Рис. 9.8. Всякая ос-плоскость в пространстве СМ вполне изотропна. Разность
двух радиус-векторов, проведенных к двум ее точкам, — это комплексный
изотропный вектор ХАпА', причем спинор лА' фиксирован, а Хл изменяется.
Аналогичным свойством обладает р-плоскость, но роли спиноров ХА и пА' ме-
меняются.
(в чем легко убедиться, рассмотрев это уравнение в компонент-
компонентной форме записи). Обозначим это решение через га. Тогда
о
остальные решения должны удовлетворять уравнению
{г"гаЛяА'= 0 и в силу формулы C.5.17) имеют вид
ra = ra + XAnA', (9.3.I3)
о
где областью изменения спинора ХА является все многообразие
@А [0]. Комплексные векторы ХАпА' в точке О при фиксирован-
фиксированных ял' и меняющихся КА образуют дву (комплексно) мерное
векторное пространство, все элементы которого изотропны и
взаимно ортогональны. Следовательно, пространство Z — это
2-плоскость в СМ (рис. 9.8) и все ее касательные векторы изо-
изотропны и взаимно ортогональны. Стало быть, расстояние между
двумя любыми точками на Z равно нулю, т. е. тождественно
равна нулю индуцированная на Z метрика.
В пространстве СМ имеются два семейства плоскостей, об-
обладающих таким свойством. Второе получается, когда спиноры
ХА и ял' меняются ролями, т. е. когда выполняется соотноше-
соотношение (9.3.13), но ХА остается фиксированным, а я^' изменяется
[ср. с формулой C.2.22) и далее]. Плоскости первого типа на-
называются а-плоскостями, а второго — р-шюскостями. (Эта тер-
терминология согласуется с принятой в гл. 6, § 2 и гл. 7, § 4.)
Итак, мы только что доказали, что представлением точки Z
пространства РТ (при пА> ф. 0) в СМ является а-плоскость.
Если же рассматривать а-плоскости в СМ*, то от ограничения
пА, гф о можно отказаться. Это сразу же следует из полной

366 ГЛАВА 9
однородности пространства СМ* и из конформной инвариант-
инвариантности (которую мы сейчас докажем) а-плоскости.
В самом деле, а-плоскость есть комплексная 2-поверхность,
все касательные векторы к которой в любой данной точке имеют
при некотором ял' форму Ллял' [это эквивалентно утвержде-
утверждению, что касательные бивекторы самодуальны и изотропны, по-
поскольку имеют вид елвял'яв'; см. формулу C.4.39)] и касатель-
касательные пространства которой при параллельном переносе вдоль
касательных направлений переходят в себя (т. е. поверхности
плоские). Последнее условие при некоторых vs и при любых V
и [хв можно записать в виде
ХАЛАУа (|1ВЯВ') = \ВПВ', (9.3.14)
т. е. для всех ХА и \хв выполняется уравнение
= 0,
а значит, и уравнение
лв'лаУаа'Лв' = О, (9.3.15)
которое, как следует из формулы G.4.56), является конформно-
инвариантным, если приписать спинору пв' конформный вес,
равный 1. [Сходство между уравнениями (9.3.15) и G.3.1) не
случайно: см. предложение G.3.18).] Уравнение (9.3.15) оказы-
оказывается фактически следствием того, что все касательные к по-
поверхности векторы имеют вид Ллял' [с определенным спинором
ял' в каждой точке в силу условия со скобками Ли, при кото-
котором касательными плоскостями определяется поверхность; см.
формулу G.3.17)]: при некоторых рв имеем
ХАлАУа (\хвлв') — ]хАлАУа (Явяв') = рвяв';
свертка обеих частей этого равенства с яв, дает
откуда снова получается уравнение (9.3.15) и его следствие
(9.3.14I).
') Если, вместо того чтобы рассматривать специфическое конформно-
плоское пространство СМ*, провести те же рассуждения в произвольном
искривленном комплексном римановом 4-многообразии, то после дальнейшего
дифференцирования мы получим условие совместности "Ч? a'B'C'D'71 n n n =
■= 0, которое должно выполняться в каждой точке поверхности [см. фор-
формулу, комплексно-сопряженную формуле D.9.16)]. Условие того, что (хотя бы
локально) в данном многообразии должно существовать столь же большое
семейство ос-плоскостей, как ив СМ* (т.е. 3-параметрическое), имеет вид
уравнения Ч^'В'С'О' = 0 и означает, что конформная кривизна должна быть
антисамодуальной, т. е. что пространство должно быть право-конформно-пло-
право-конформно-плоским [252, 267, 216, 122, 163, 277].

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 367
Что касается р-плоскостей, то они появляются совершенно
аналогичным образом, если заменить только что рассмотрен-
рассмотренный [ц]-твистор Za «дуальным» [ ° ]-твистором Wa = (^, цл')
и поменять ролями штрихованные и нештрихованные спинорные
индексы. Условие инцидентности (9.3.12) заменяется уравне-
уравнением
]iA'=— ir"XA. (9.3.16)
Решения этого уравнения имеют, как и раньше, вид (9.3.13), но
теперь спинор Хл фиксирован, а пА' изменяется. Отсюда сле-
следует, что р-плоскость можно рассматривать как представление
проективного дуального твистора в CfVJ или СМ*. Но проектив-
проективный дуальный твистор можно также представить комплексной
проективной 2-плоскостью W (т. е. пространством С Р2) в РТ,
поскольку твистор Wa {ф 0) можно с точностью до пропорцио-
пропорциональности представить системой W точек Z е РТ, для которых
WaZa = 0. (9.3.17)
Уравнение (9.3.17) указывает на инцидентность между пло-
плоскостью W и точкой Z в РТ, т. е. между дуальным твистором
Wa и твистором Za. Условие инцидентности (9.3.12) в чисто
твисторной форме имеет вид
R[aPzvl = 0 или> что эквивалентнО1 RapZ9 = 0. (9.3.18)
Из этих формул следует, что в РТ точка Z лежит на прямой R
(представленной твистором Rap). Если RopZa ф 0, то этот ду-
дуальный твистор можно рассматривать как представление пло-
плоскости, связывающей Z с R, в TJT. Соответственно этому усло-
условие инцидентности (9.3.16) можно переписать в виде
RapWp = 0 или, что эквивалентно, R[afJWV]=0. (9.3.19)
Это означает, что в РТ прямая R лежит в плоскости W.
И аналогично если Ra?Wp Ф 0, то этот твистор является пред-
представлением точки пересечения прямой R с плоскостью W.
Итак, в пространстве СМ* точка Z, прямая R и плоскость W
представляются a-плоскостью Z, точкой R и р-плоскостью W.
Инцидентность между Z и R в РТ переходит в инцидентность
между Z и R в СМ*: точка R лежит на а-плоскости2. Инци-
Инцидентность между R и W в РТ переходит в инцидентность
между R и If в СМ*: точка /? лежит на р-плоскости W. Инци-
Инцидентность между Z и W в РТ переходит в инцидентность меж-
между Z и W в СМ*: a-плоскость Z пересекается с р-плоскостью W.
В: справедливости последнего утверждения можно убедиться,

368 ГЛАВА 9
либо снова обратившись к формулам (9.3.12), (9.3.16) и (9.3.17)
и построив рассуждения так, чтобы охватить случаи, когда
точка /? лежит на У или в точке /, либо просто приняв во вни-
внимание, что если точка Z лежит на плоскости W, то существует
прямая R, которая одновременно лежит на плоскости W и про-
проходит через точку Z, т. е. существует точка У? е СМ*, которая
лежит одновременно на р-плоскости W и на а-плоскости Z. За-
Заметим, что если это условие выполняется, то существует не одна
прямая R, а целое однопараметрическое семейство таких пря-
прямых, лежащих в плоскости W и проходящих через точку Z, т. е.
плоский пучок прямых. В СМ* можно указать кривую пересе-
пересечения р-плоскости W с а-плоскостью Z — комплексную изотроп-
изотропную геодезическую в конформной метрике пространства СМ*,
ибо это изотропная прямая в СМ* (потому, например, что па-
параметрическое уравнение этой кривой имеет вид линейной функ-
функции га = га + иХАлА\ иеС). И обратно, всякая комплексная
о
изотропная геодезическая в СМ* появляется именно таким пу-
путем, так что справедливо следующее предложение.
Предложение
Через всякую изотропную геодезическую пространства
СМ* проходит единственная а-плоскость и единственная
^-плоскость; линия пересечения а-плоскости с ^-плоско-
^-плоскостью всегда является изотропной геодезической.
(9.3.20)
В то же время две любые разные а-плоскости всегда имеют
в СМ* единственную общую точку, ибо две разные точки на РТ
связаны между собой единственной прямой; аналогично две лю-
любые разные р-плоскости всегда имеют в СМ* единственную
общую точку, так как две разные плоскости в РТ имеют един-
единственную общую прямую. («Инцидентность» между двумя а-пло-
скостями или между двумя р-плоскостями — это обязательно
«совпадение».) Две прямые в РТ в общем случае не пересе-
пересекаются (они «скрещиваются»), но если пересекаются, то лежат
в одной плоскости. Таким образом, пересекающиеся прямые в
РТ соответствуют изотропно-разделенным точкам в СМ*.
Итак, справедливо следующее предложение.
Предложение
Точки Р, Qe CM* являются изотропно-разделе иными
, Q лежат на общей а-плоскости
, Q лежат на общей ^-плоскости
соответствующие прямые в РТ пересекаются. (9.3.21)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
369
СМ»
Рис. 9.9. Основное геометрическое соответствие — соответствие Клейна, —
связывающее отношения инцидентности точек, плоскостей и прямых в про-
пространстве РТ (комплексном проективном 3-пространстве) с отноше-
отношениями инцидентности ос-плоскостей, Р-плоскостей и точек (в комплексной
проективной 4-квадрике) СМ*.
Взаимосвязи геометрий пространств
рис. 9.9 и в таблице (9.3.22).
и РТ приведены на
Твисторное отношение дуальности
Выше мы рассматривали пространство PI" (которое в дан-
данном контексте эквивалентно пространству РТ), а не дуальное
проективное пространство РТ. . Если же рассматривать послед-
последнее, то а- и р-плоскости должны поменяться ролями. Изменения,
которые следует тогда внести в таблицу (9.3.22), если оставить
левый столбец таким же, а правый заменить столбцом, относя-
Таблица (9.3.22)
СМ*
а-Плоскость
РТ
Точка
на
на
на
Р-Плоскость
Изотропная геодезическая
(=а-плоскость^р-плоскость)
Изотропно-разделенные точки
Точка
Прямая
Плоскость
Плоский пучок
(<—> точка на плоскости)
Пересекающиеся прямые

370 ГЛАВА 9
щимся к РТ., а не к РТ", сводятся к тому, что нужно поменять
местами стоящие вверху слова «точка» и «плоскость», а также
изменить направление вертикальных стрелок на противопо-
противоположное.
Геометрическое соответствие между пространствами РТ. и
РТ* — это отношение дуальности, при котором точки соответ-
соответствуют плоскостям, прямые — прямым, а плоскости — точкам.
При дуальном отображении сохраняется инцидентность, но ме-
меняется на противоположное направление отношений включения
между пространствами.
Действительная структура
Выше мы ничего не говорили о действительной (т. е. вещест-
вещественной) структуре пространства СМ* и об операции комплекс-
комплексного сопряжения в нем. Операция комплексного сопряжения Я?
в пространстве СМ* приводит к тому, что меняются ролями
а- и р-плоскости; в пространстве РТ (= РТ') это операция ду-
дуального отображения элементов самого пространства РТ, ко-
которая переводит точки в плоскости и наоборот, а прямые —
в другие прямые. Действительными точками пространства СМ*
(т. е. точками пространства М*) являются точки, инвариантные
по отношению к операции с&. Они соответствуют семейству пря-
прямых в РТ. каждая из которых инвариантна относительно опе-
операции W. Согласно сказанному в гл. 6, § 2 [формула F.2.16)],
эти прямые происходят из линейных 2-пространств, полностью
состоящих из изотропных твисторов. Таким образом, действи-
действительные точки пространства СМ* соответствуют прямым про-
пространства РТ. которые полностью лежат в подпространстве
PN изотропных проективных твисторов. Твисторное простран-
пространство Т состоит из элемента {0} и еще трех частей Т+,
Т~ и N, содержащих ненулевые твисторы Za, для которых
произведение ZaZa является положительным, отрицатель-
отрицательным и равным нулю (соответственно); следовательно, и
пространство РТ состоит из трех соответствующих частей1):
РТ+, РТ~ и PN. Прямая I, представляющая точку / простран-
пространства СМ*, лежит, конечно, в PN, ибо / — «действительная»
точка.
Любая точка Z е РТ (соответствующая твистору Za ф 0)
имеет комплексно-сопряженную плоскость Z е РТ (соответ-
(соответствующую дуальному твистору Za). И обратно, любая пло-
') Эти куски пространства РТ обладают следующими топологиями:
РТ+ « РТ~ « S2 X R4, PN » S2 X S3. "Т+« Т~ «S3XR5, N ~ S3 X S3 X R.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 371
скость W cz PT имеет единственную комплексно-сопряженную
точку W е РТ, Чтобы точка Z из РТ лежала на своей комп-
комплексно-сопряженной плоскости Z, должно выполняться условие
ZaZa = 0 (т. е. Ze PN). Таким образом, точки пространства
I — это точки, которые представляют a-плоскости простран-
пространства СМ*, пересекающиеся с их же комплексно-сопряженными
р-плоскостями. Такие a-плоскости содержат действительные
точки. В самом деле, если точка Р е М* лежит на a-плоскости
Z, то, применив операцию сопряжения, можно убедиться, что
она лежит и на р-плоскости Z. И обратно, если Z пересекается
с Z, то пересечение должно происходить по изотропной геодези-
геодезической, которая обязательно должна быть «действительной»
(в смысле инвариантности относительно операции Щ, а значит,
некоторые ее точки должны быть действительными. Но не все>
поскольку такая «действительная» изотропная геодезическая
должна содержать еще и комплексные точки (а именно точки с
комплексными значениями аффинного параметра). В целом же
она обладает топологией римановой сферы S2, и ее действи-
действительные точки образуют на этой сфере окружность. Согласно
данной в гл. 6, § 2 первоначальной интерпретации изотропного
твистора, его с точностью до пропорциональности можно рас-
рассматривать как изотропную прямую в М. Теперь мы видим, что
эта интерпретация согласуется с настоящим геометрическим
описанием.
Неизотропный твистор Za соответствует точке Z простран-
пространства РТ+ или РТ~. Чтобы дать его действительную интерпре-
интерпретацию в М*, можно рассмотреть пересечение комплексной пло-
плоскости с PN. Область пересечения представляет собой
трех (действительно) мерное множество точек, каждая из кото-
которых является представлением изотропной геодезической в М .
Это трех (действительно) параметрическое семейство изотропных
геодезических в М* представляет собой конгруэнцию Робинсо-
Робинсона (с точностью до пропорциональности), представляющую тви-
твистор Za. Данная ситуация тесно связана с обсуждавшейся в
гл. 6, § 2 геометрической интерпретацией неизотропных твисто-
ров (а также с вопросами, затронутыми в гл. 7, § 4; см. рис. 7.7
и т. д.). Заметим, что точки пространства РТ+ соответствуют
конгруэнциям Робинсона с правым вращением, а точки про-
пространства РТ~" — конгруэнциям Робинсона с левым вращением
(см. гл. 6, § 2); кроме того, твисторы в пространствах Т+ и Пр-
Прописывают структуру момента импульса безмассовых частиц
с правовинтовой и левовинтовой спиральностью, соответственно
(см. гл. 6, § 3).

372
ГЛАВА 9
Различные типы комплексных точек в СМ*
До сих пор мы рассматривали роль вышеописанной действи-
действительнозначной структуры в связи с точками в пространстве РТ.
В самом пространстве СМ* можно выделить шесть различных
(конформно-инвариантных) областей. Точку R е СМ* можно
задать комплексным радиус-вектором
г = и -\- iv , [У.6.26)
исходящим из действительной начальной точки О (причем иа и
va — действительные мировые векторы). Свойства вектора va,
связанные с его пространственноподобностью/времениподобно-
стью, а также свойства его ориентированности в будущее/прош-
будущее/прошлое, очевидно, инвариантны относительно действительных пере-
переносов начальной точки О. Имеет место и инвариантность по от-
отношению к конформным изменениям масштабов, хотя она и
менее очевидна из-за более сложного поведения формулы
(9.3.23) при такого рода конформных преобразованиях. Эта ин-
инвариантность является следствием сформулированного ниже
предложения (9.3.24) (рис. 9.10), справедливого и в случае
/(eCJ (в котором достаточно изменить масштаб так, чтобы
новая комплексификация С£У не содержала точки /?).
Предложение
Точка R е СМ* с радиус-вектором в произвольном стан-
стандартном репере Минковского, имеющим мнимую часть,
которая: 1) времениподобна и направлена в будущее,
2) изотропна и направлена в будущее, 3) прост ранет вен-
ноподобна, 4) изотропна и направлена в прошлое, 5) врг-
Т
Вектор У*'*1т(г")
Y
—
рт-
-— \
Е '
■ • Ж '•:•::!
Л
— —
I
ш
г
\
R в РТ
Рис. 9.10. Причинное описание мнимой части va радиус-вектора точки R про-
пространства СМ имеет (действительный) конформно-инвариантный смысл.
В пространстве РТ это обнаруживается в том, как соответствующая пря-
прямая R пересекает всевозможные области пространств РЖ* и PN.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 373
мениподобна и направлена в прошлое или, наконец,
6) равна нулю, соответствует прямой R cz PT, которая;
1) полностью лежит в РТ~, 2) лежит в РТ~, но в одной
точке касается PN, 3) пересекает все три подпростран-
подпространства РТ* и PN, 4) лежит в РТ+, но в одной точке ка-
касается PIV, 5) полностью лежит в РТ+ " 6) полностью
лежит в PN, соответственно. (9.3.24)
Доказательство. Пусть твистор Za = (coA, ял') инцидентен с точ-
точкой /?, так что Z лежит на прямой R cz PT; тогда
С0Л = 1ГаЛ.А' = ШаЛА' — Va7lA'.
Выполнив свертку с лА и выделив действительную часть, по-
получим
ZZ V
Анализ этого соотношения в различных случаях и дает искомый
результат.
Соотношение между пространствами Т* и прошлым/буду-
прошлым/будущим в предложении (9.3.24), обусловленное другими нашими
соглашениями, на первый взгляд может показаться «неестест-
«неестественным» с точки зрения обозначений. Но следует иметь в виду,
что область С!\И+, называемая трубкой будущего [см. третий
абзац после формулы F.10.47)], в которой квантовые поля, рас-
распространяющиеся в нормальном направлении будущего, долж-
должны быть голоморфными, является куском (вектор va временипо-
добен и направлен в прошлое) пространства СМ*, соответ-
соответствующим прямым линиям в пространстве РТ+. Точно так же
трубка прошлого СМ соответствует пространству РТ~ и по-
полям, распространяющимся в прошлое.
В связи с предложением (9.3.24) отметим, что если твистор
Rop, как и выше1), соответствует точке R gCM и выполняется
соотношение (9.3.23), то
F?apRap i* 0 соответственно неравенствам vava 3* 0. (9.3.25)
Произведение R WpRaYWv является положительно-[отри-
цательно]-полуопределенным в плоскости Wp, если va —
причинный вектор, направленный в прошлое [будущее].
(9.3.26)
») Если R е=СМ*и R«&Rap ¥= 0, то R е=СМ.

374 ГЛАВА 9
Чтобы доказать утверждение (9.3.26), из которого следует
(9.3.25), нужно принять во внимание, что произведением RapWp
представляется пересечение прямой R с плоскостью W, и вос-
воспользоваться предложением (9.3.24).
§ 4. Четырехзначность твисторов и индекс Гржина
Итак, благодаря рассмотренному выше соответствию воз-
возможно изящное описание комплексной конформной геометрии
пространства СМ на основе комплексной проективной геомет-
геометрии пространства РТ. В случае действительной конформной гео-
геометрии пространства М* комплексную проективную геометрию
пространства РТ нужно дополнить эрмитовым [сигнатура
(+Н )] отношением дуальности <g?, обеспечивающим вза-
взаимный обмен точек и плоскостей пространства РТ; иначе го-
говоря, необходимо знать положение пяти (действительно) мерной
гиперповерхности PN в РТ. Симметрии пространства РТ, ко-
которые сохраняют эту структуру, индуцируют конформные дви-
движения пространства М* в себя, а значит, соответствуют элемен-
элементам группы 0B,4). Эти симметрии получаются из линейных
преобразований пространства Т. Если они сохраняют не только
N (т. е. локус ZaZa = O), но и фактическое значение
(+Н )-эрмитовой формы ZaZa и к тому же нормированы
так, что их детерминант равен единице, то эти преобразования
составляют группу SU B,2) [двойки соответствуют частям
(++) и ( ) сохраняемой эрмитовой формы]. Указанная
нормировка не определяет это преобразование однозначно по
его действию на РТ; она оставляет четырехкратную неодно-
неоднозначность, ибо скалярное произведение единичного элемента на
любую из четырех величин 1, с, —1, —i является элементом
группы SUB,2), дающим единичный элемент на *. Как мы
скоро узнаем, все эти элементы связаны с единичным элементом,
так что неопределенность существенна. Итак, имеет место локаль-
локальный 4—1-изоморфизм группы SUB,2) на группу С* A, 3). По-
Поскольку наша твисторная конструкция приводит к простран-
пространству, на котором действие группы О^ B,4) представляется косо-
симметричными [д]-твисторами R (соответствующим образом
антисимметризованными), тензорное произведение двух эле-
элементов группы SU B,2) можно интерпретировать как элемент
группы 0B,4) [и группы 0^B,4)]. Это приводит к 2—1-ло-
кальному изоморфизму группы 56'B,2) на группу 0^B,4).
который, если его скомбинировать с (9.2.10), показывает, что
4—1-отображение из SUB,2) в С*. A,3) можно составить из

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 375
двух 2—1-локальных изоморфизмов (каждый из которых яв-
является «изоморфизмом на»):
Четырехкратная неоднозначность пространственно-
временного описания твистора Za
Указанное 4—1-соответствие между твисторной группой
SUB,2) и пространственно-временной группой С^_A,3) имеет
ряд любопытных следствий. Так, например, конформно-инвари-
конформно-инвариантное [в смысле инвариантности относительно группы С* A,3)]
пространственно-временное описание твистора Za должно быть
четырежды неоднозначным. Иными словами, описание твисто-
ров Za iZa, —Za и —CL.a, основанное на геометрии простран-
пространства-времени, должно быть одинаковым. На первый взгляд это
кажется парадоксальным, поскольку в гл. 6 было дано кон-
конформно-инвариантное определение твистора как решения со4
твисторного уравнения F.1.1). Хотя из сказанного в гл. 1, § 5
и следует, что в геометрической интерпретации спинора сол
имеется существенная двукратная (знаковая) неоднозначность,
неоднозначность в описаниях спиноров сол и пол носит гораздо
более тонкий характер и связана с граничной поверхностью 3.
Непрерывный пространственный поворот пространства М на 2я
переводит частное решение со4 твисторного уравнения F.1.1)
в другое его решение, а именно в —сол, а значит, переводит Za
в —Za. Так как собственные повороты являются элементами
группы С* A,3), замкнутый контур в С+.A,3), представляю-
представляющий этот активный поворот на 2я пространства М, соответ-
соответствует незамкнутой траектории в SU B,2), начинающейся
единичным элементом 6? и оканчивающейся отрицательным
единичным элементом — 6р.Следовательно, такой поворот пере-
переводит Za в —Za. Семейство полотнищ флага, представляющее
поле сол, конечно, переводится этим поворотом в него же, так
что неопределенность знака в геометрическом истолковании тви-
твистора 7.А представляет собой нечто, с чем мы уже знакомы бла-
благодаря анализу, проведенному в гл. 1, § 5.
Чтобы найти причины четырехкратной неоднозначности, не-
необходимо исследовать компактифицированное пространство М*.
Явный вид траектории в SU{2,2), связывающей 6р с гбр, полу-
получим, положив
e (9-4.1)

376 ГЛАВА 9
где 0 — действительная величина, а твистор Q" фиксирован и
удовлетворяет единственному условию
Q«Qa=l.
Легко убедиться, что преобразования
в самом деле относятся к группе SUB,2). (Сохранение произ-
произведения ZaZa почти очевидно; равенство detT(j@)=l следует
из вида собственных значений еш, еш, еш и е-3'6.) Эти преобра-
преобразования составляют однопараметрическую группу;
а искомая траектория, соединяющая 6р с гбр, получается при
изменении угла 0 от 0 до я/2.
Нетрудно убедиться, что преобразования (9.4.1) индуцируют
конформное движение пространства М* вдоль лучей конгруэн-
конгруэнции Робинсона
Q«Za = 0.
[Это интегральные кривые изотропного конформного вектора
Киллинга, определяемого главной частью твистора Qa; см. фор-
формулу F.3.19).] О такого рода движениях говорилось в § 2
[после формулы (9.2.1)] в связи с вопросом о топологической
структуре пространства М . При непрерывном изменении ве-
величины 0 от 0 до я/4 пространство М* скользит вдоль этих
линий (которые все имеют топологию сферы S1) по самому себе
и каждая точка пространства М возвращается в исходное по-
положение, пересекая в процессе движения одну из сфер 51 и один
раз гиперповерхность Э'. Стало быть, чтобы узнать, как элемен-
элементы группы SU'B,2) и, в частности, преобразования (9.4.1) влияют
на поля в М, нужно выяснить, как ведут себя эти поля при пере-
переходе через 3?'.
Ниже будет показано, что если в качестве поля сол, как и
раньше, взять обычное спинорное поле с конформным весом,
равным нулю [чтобы обеспечить конформную инвариантность
выражения F.1.1)], то, хотя при приближении к У с обеих сто-
сторон величина сол стремится к конечному пределу, пределы разли-
различаются множителем I. Чтобы описание поля сол в окрестности
точки, принадлежащей поверхности Sf, было сходным с его опи-
описанием всюду в М, приходится, по-видимому, продолжать со'1
через Э одновременно двумя различными путями, приводящими
к различию как раз в множителе L Отсюда следует, что в гео-
геометрическом описании твистора Za поле шл должно быть свя-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 377
зано не только с —со-4, но и с ±иол. Этим и устраняется кажу-
кажущийся парадокс, касающийся четырехкратной неоднозначности
представления твистора Za. Но нам нужно лучше разобраться
в том, что здесь на самом деле происходит.
Две спиновые структуры на М*
Чтобы исследовать глобально поле сол на М* или хотя бы
сказать, что мы понимаем под спинорным полем соА на М*, не-
необходимо сначала точно определить спиновую структуру про-
пространства М*. Это не тривиальная задача, ибо пространство
[Ml* не односвязно (см. гл. 1, § 5). У пространства М* с топо-
топологией 53Х5' [формула (9.2.1)] имеется один-единственный
«нестягиваемый» замкнутый контур, а все остальные могут
быть непрерывной деформацией переведены в него или в крат-
кратный ему. Этот контур можно считать изотропной геодезической,
или лучом, у (««51) в (VI*. (То, что ни один ненулевой контур,
кратный контуру у, не может быть непрерывно деформирован
в точку, должно быть ясно из сказанного в начале § 2.) Значит,
в соответствии с изложенным в гл. 1, § 5 в пространстве М*
должно быть две (и только две) спиновые структуры, и их
можно различать, указывая, как следует непрерывно переносить
изотропный флаг по у, чтобы получить исходный спин-вектор,
а не противоположный ему.
Может возникнуть мысль, что здесь существует «очевидный»
выбор: считать спин-вектор неизменившимся, если его флаг
переносится параллельно самому себе по контуру у. Но это зна-
значило бы игнорировать ряд тонкостей, связанных с переходом
через гиперповерхность Zf. Исходная связность Кристоффеля
Va, определение которой опирается на метрику пространства
М, непригодна для определения параллельного переноса через
3f. Чтобы все же перейти через Э', можно было бы воспользо-
воспользоваться связностью Кристоффеля Va для какой-нибудь другой
метрики. Разумеется, тем самым мы допустили бы некоторый
произвол, но суть проблемы не в этом. Рассмотрим изотропный
флаг с флагштоком вдоль у. этого вполне достаточно, ибо если
есть один ненулевой спин-вектор, определенный вдоль у, то его
можно дополнить до спиновой системы отсчета вдоль у и все
такие наборы, полученные в результате дополнения исходного
спин-вектора до полной спиновой системы отсчета, непрерывно
деформируемы друг в друга. Из формулы G.1.20) следует, что
условием параллельного переноса полотнища флага спинора оА
вдоль направления (у) его флагштока является действитель-
действительность спинового коэффициента е (с х=0- Но, согласно фор-
формуле E.6.29), это свойство сохраняется при конформных мае-

378 глава 9 ;
штабных преобразованиях, а значит, перенос полотнищ флага
вдоль направления флагштока не зависит от выбора кристоф-
фелевой связности Va> т. е. не зависит от выбора масштаба для
метрики gab- (Это рассуждение явно носит локальный характер
и не требует глобального определения спинора ол.)
Итак, у нас есть естественный конформно-инвариантный спо-
способ переноса таких изотропных флагов по контуру у. Упоминав-
Упоминавшаяся выше тонкость состоит в следующем: когда мы проносим
флаг таким способом по контуру у один раз, направление по-
полотнища флага по возвращении в исходную точку меняется на
обратное. Посмотрим, как это происходит.
Возьмем второй луч у', бесконечно мало смещенный относи-
относительно у так, что векторы смещения ортогональны направлению
у, т. е. лучи у и у' изопараметричны (см. гл. 7, § 1). Этому
требованию отвечает, например, случай, когда у и у' — два со-
соседних луча одной изотропной гиперповерхности. Если полот-
полотнище нашего изотропного флага в этом случае направлено от
у к у' (т. е. является полуплоскостью направлений всех соеди-
соединяющих у и у' векторов смещений), то это полотнище перено-
переносится вдоль у параллельно самому себе. Теперь предположим,
что, вместо того чтобы быть параллельным лучу у, луч у' стал
образующей светового конуса с вершиной в произвольной на-
наперед заданной точке Р луча у. В смысле конформности это
эквивалентно параллельному случаю, в котором Р лежит на ЗГ
(см. § 1, 2). Так как параллельный перенос направлений по-
полотнища флага вдоль у конформно-инвариантен, он определяет-
определяется лучом у' во втором случае столь же хорошо, как и в первом.
Двигаясь вдоль луча у, можно обнаружить, что в вершине ко-
конуса Р векторы смещений, идущие от у к у', меняют свой знак
(рис. 9.11). Поскольку изотропный конус имеет только одну
вершину, такая ситуация больше нигде на у не повторяется.
Все это означает, что параллельный перенос изотропного флага,
скажем флага спинора уА с флагштоком, расположенным вдоль
у, по всему контуру Y в М* из точки, являющейся непосред-
непосредственным будущим точки Р, в точку, являющуюся ее непосред-
непосредственным прошлым, обращает направление флага. Только от
нас зависит, считать ли это обращение эквивалентным отрица-
отрицательному или положительному повороту на угол я. С таким вы-
выбором и связаны упоминавшиеся выше две возможные спиновые
структуры пространства М*. Будем называть правовинтовой
спиновой структурой пространства М структуру, гарантирую-
гарантирующую, что следующее замкнутое движение флага спинора уА (т.е.
«путь флага», см. гл. 1, § 5) должно еще и возвращать сам
спинор уА к его исходному, а не противоположному по знаку,
значению: полотнище флага спинора уА совершает один парал-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
379
Рис. 9.11. Обращение направления полотнища флага при параллельном пере-
переносе в случае, когда луч у пересекается с гиперповерхностью Э только один
раз.
лельный перенос из точки Р луча у по у в направлении буду-
будущего в точку, являющуюся непосредственным прошлым точки Р,
а затем для восстановления связи с исходным положением оно
совершает правый поворот на л вокруг направления флагштока.
Вторая спиновая структура называется левовинтовой спиновой
структурой пространства М*. Отметим, что результаты таких
двух допустимых движений изотропного флага различаются
поворотом на 2я, а значит, они и в самом деле определяют раз-
различные спиновые структуры. Поскольку интуитивно смысл по-
понятия «правого» поворота — относительно указывающего в бут
дущее направления вдоль спинора уА — вполне ясен, обратив-
обратившись к повороту вектора, касающегося римановой сферы S+ и
представляющего направление полотнища флага, можно дать
и точное определение: «правый» — значит против часовой стрел-
стрелки, если смотреть снаружи сферы. К тому же представление
о правом вращении позволяет говорить о пространственной
проекции изотропного направления будущего вдоль у.
Если нет каких-либо оснований предпочесть правый поворот
левому или наоборот, что обе эти спиновые структуы совер-
совершенно равноправны. Фактически мы можем сказать следующее:
При пространственном отражении пространства М* одна
из двух таких спиновых структур-заменяется другой.

380 ГЛАВА 9
Напомним, что пространственные отражения переводят не-
штрихованные спиновые пространства в штрихованные, и на-
наоборот. Связь этого факта с только что обсуждавшимися воз-
возможностями выбора спиновой структуры можно усмотреть в
следующем. В случае нештрихованного спинора у^ правый пово-
поворот на л вокруг флагштока эквивалентен преобразованию
уА\—э-гу4» а левый поворот на л— преобразованию 7х'—*—WA
(в общем случае правые и левые повороты на угол а эквива-
эквивалентны преобразованиям у4)—>е±'(«/2)уА? соответственно). В слу-
случае же штрихованного спинора т)А соответствующие преобра-
преобразования будут иметь вид г\А' ь-э- =F ЩА' и г\А'^-^■ е*l W2)r)A'. Та-
Таким образом, если принять правовинтовую спиновую структуру
пространства М* (что мы, как правило, и будем делать), то
обнаружится, что параллельный перенос спинора уА по контуру
V в направлении будущего в исходную точку приводит к перво-
первоначальному значению спинора уА, умноженному на —i (по-
(поскольку поворот на угол л восстанавливает первоначальное зна-
значение этого спинора). Та же процедура, примененная к спинору
iT4', дает его первоначальное значение, умноженное на +i. Если
же вместо этого принять левовинтовую спиновую структуру, то
множители —i и +j поменяются местами. (Несколько иной под-
подход можно найти в работе [377].)
Отметим следующее:
По отношению к отражению во времени пространства М*
обе указанные спиновые структуры инвариантны, (9.4.3)
хотя такое отражение приводит к замене штрихованных спино-
спиноров нештрихованными и наоборот. В этом нетрудно убедиться.
Если обратить направление времени, то последствия для дви-
движения, определяющего непрерывность спин-вектора, скажем
правовинтовой спиновой структуры, будут двоякого рода. Во-
первых, поскольку все движения теперь рассматриваются при
обращенном времени, положительный поворот на угол л из-за
этого обращается и становится отрицательным. Но тут же обра-
обращается и пространственное направление, по отношению к кото-
которому измеряется поворот, ибо направление будущего вдоль кон-
контура у теперь в пространственном отношении противоположно
тому, что было. А это ведет ко второму обращению право-лево-
вращательности, в результате чего правовинтовая спиновая
структура при обращении времени фактически переходит в себя,
что справедливо и для левовинтовой структуры.
Комбинируя последствия пространственного отражения и не-
независимого от него отражения во времени, получаем, что
Пространственно-временное отражение пространства М
ведет к взаимной замене двух указанных спинорных
структур. (9.4.4)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 381
(Отметим, однако, что пространственно-временные отражения не
ведут к обмену местами штрихованных и нештрихованных спи-
норных индексов.)
Поведение спинора сол на У
Вернемся к спинорному полю сол, удовлетворяющему тви-
сторному уравнению F.1.1). Мы можем выбрать контур у в ка-
качестве одного из лучей (возможно, специальной) конгруэнции
Робинсона, определяемой спинором сол. Воспользовавшись стан-
стандартной формой записи соотношений в пространстве М относи-
относительно начала отсчета О, принадлежащего у, мы получим, как
в формуле F.1.10),
со-4 = <вА — ixAA'nA', (9.4.5)
причем
хАА' = иуАуА' (heR) (9.4.6)
вдоль луча у. Поскольку луч у принадлежит конгруэнции Ро-
Робинсона, то (положив «И ф 0) можно выбрать
и тогда он, очевидно, будет параллельно переноситься вдоль
луча у. В таком случае формула (9.4.5) дает
@-4 = [1 —u(b + is)]yA, (9.4.7)
где
суть действительные постоянные. Заметим, что, согласно фор-
формуле F.1.74), величина s — это спиральность
«г — — ZaZ"
6 — 2 a
твистора Za = ((i/\ ла'). На аргандовой плоскости коэффициент
пропорциональности [1 — u(b-\-is)] из соотношения (9.4.7) при
изменении и от —оо до -(-оо описывает прямую, причем аргу-
аргумент комплексного уравнения этой прямой возрастает или
уменьшается в зависимости от того, отрицательна или положи-
положительна спиральность твистора Za (рис. 9.12,а). Чтобы связать
это с геометрией полотнища флага спинора сол, лучше рассмо-
рассмотреть квадрат этого коэффициента, который описывает пара-
параболу с фокусом в начале координат (см. рис. 9.12,6). Аргумент
этой точки служит прямой мерой поворота полотнища флага
спинора (оА (гл. 3, § 2). Из сказанного следует, что предельные
направления полотнища флага одни и те же при и->—оо и при
и-*--\-оо, но знак спинора сол в формуле (9.4.7) при переходе
от одного предела к другому меняется на обратный.

382
ГЛАВА 9
*
\
. \^-
\
\
l + u(b-is)
s
\u=0
' \
1
A+U0-U))'
Рис. 9.12. Поворот (на аргандовых ппоскостях) направления полотнища фла-
флага спинора шд в случае твнстора с ненулевой спнральностью, когда кон-
конгруэнция Робинсона идет в направлении будущего. (Диаграмма б дает более
непосредственное представление: направление полотнища флага соответствует
направлению движения точки в начале аргандовой плоскости.) Луч на-
направлен к читателю.
Как нетрудно видеть (см., например, рис. 9.12,6), направле-
направление вращения полотнища флага противоположно спиральности
твистора. Направление же вращения соседних лучей конгруэн-
конгруэнции Робинсона относительно луча у, как мы видели в гл. 6, § 2,
совпадает со спиральностью. Кроме того, скорость вращения
полотнища флага в 2 раза больше скорости соседних лучей.
Все это вытекает и из уравнений для спиновых коэффициентов
Im(p) = s, 2Im(e)=-2s, (9.4.8)
которые являются прямым следствием соотношения (9.4.5), в
чем можно убедиться, выбрав спиновую систему отсчета вдоль
луча у с
оА = (ол, iA = лА (а>АлА)~1
и вспомнив, что, согласно сказанному в гл. 7, § 1, величина
Im(p) есть мера скорости вращения соседних лучей конгруэн-
конгруэнции, a 2Im(e)—мера скорости вращения полотнища флага спи-
спинора ол. [Несмотря на внешний вид формул (9.4.8), эти ско-
скорости вращения не постоянны, поскольку они отвечают масшта-
масштабу спинора ©л, а не уА. Как явствует из формулы (9.4.7), «абсо-
«абсолютные» скорости вращения даются выражениями (9.4.8), де-
деленными на |1—u(b + is)\-2.] Отметим одно интересное об-
обстоятельство: для любого смежного луча конгруэнции, изопара-
метрического лучу ц, полотнище флага спинора сол в трех
(и только трех) местах луча у направлено вдоль вектора сме-
смещения, связывающего лучи конгруэнции, что обусловлено ука^
занными выше соотношениями между скоростями вращения.
(Записанные в обычных обозначениях, не требующих пояснения,
уравнения 28 = —^ и 0 — ф = 2пл имеют решения 0 = 0, 2я/3,
4я/3.) Это .следует из соотношения (9.4.1):, которое, если его

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 383
применить к самому твистору Qa, дает
Qa — 3»9,—>a
так что при скольжении конгруэнции Робинсона вдоль самой
себя полотнища флагов поля сол, ассоциированного с твистором
Qa, оказываются в исходном положении, когда угол 0 прини-
принимает значения 0, 2я/3, 4я/3 (разумеется, следует также принять
во внимание и четырехкратную неоднозначность).
Итак, при изменении и от —оо до +°° поле а>А меняет знак
по отношению к спинору уА, т. е. по отношению к параллель-
параллельному переносу вдоль луча у. Кроме того, мы видели, что поле,
подвергшееся параллельному переносу в пространстве *, ме-
меняет направление на обратное при переходе через & и в случае
правовинтовой спиновой структуры спинор у1 в непосредствен-
непосредственном прошлом гиперповерхности & нужно было бы умножить на
I, чтобы он был равен своему значению в непосредственном бу-
будущем гиперповерхности &. Спинор у4 можно сделать непре-
непрерывным на 3', изменив его «масштаб» в соответствии с пре-
преобразованием ул = Q^v4, которое соответствует равенству
уд = уА. Дело в том, что это преобразование сохраняет
параллельный перенос [ср. с формулами G.1.18) и E.6.25), ко-
которые показывают, что равенство в = 0 сохраняется, когда
wo = —1]. Для поля ю-4 мы имеем одно «лишнее» изменение
знака, так что в случае правовинтовой спиновой структуры сле-
следовало бы значение спинора ю-4 в непосредственном прошлом
гиперповерхности 3 умножить на —i, чтобы обеспечить непре-
непрерывный переход к значению этого поля в непосредственном бу-
будущем гиперповерхности У.
Если бы вместо [д]-твистора Za мы выбрали [°]-твистор
Wa = (X^ \iA'), то получили бы поле \iA', полотнище флага кото-
которого в непосредственном прошлом гиперповерхности 3( нужно
было повернуть в том же направлении, что и полотнище флага
спинора ay4, чтобы обеспечить непрерывный переход к значению
в непосредственном будущем гиперповерхности 3 (то же в слу-
случае правовинтовой спиновой структуры). Но теперь это озна-
означает, что \iA' в непосредственном прошлом гиперповерхности У
нужно было бы умножить на -\-i, чтобы переход через 3 не на-
нарушал непрерывности. В случае левовинтовой спиновой струк-
структуры множители -\-i и —i, разумеется, следовало бы поменять
местами.
Твисторные спин-расслоения над М*
Рассмотренная выше довольно сложная геометрическая
структура свойственна не только данному твисторному уравне-
уравнению, но, как мы скоро увидим [см. теорему Гржина (9.4.15)],

384 ГЛАВА 9
и глобальным решениям уравнений для безмассового свобод-
свободного поля, которые на первый взгляд вроде бы никак не свя-
связаны с твисторами. В силу указанных геометрических тонко-
тонкостей спинорные поля, фигурирующие во всех этих случаях,
строго говоря, не являются спинорными полями в обычном
смысле этого слова, а представляют собой сечения некоторых
«скрученных» (или «твистовых» от twisted) векторных расслое-
расслоений (т. 1, гл. 5, § 4), к изучению которых мы сейчас и пе-
перейдем.
«Скручивание» («твист» — twist), которое мы собираемся
ввести, в какой-то степени аналогично скручиванию ленты в
листе Мёбиуса (см. т. 1, рис. 5.3, с. 404) и эквивалентно тому
«умножению на +t» на гиперповерхности &, о котором мы
только что говорили. Таким образом, если нам требуется кон-
конформная инвариантность полей а>А и \iA' в смысле инвариант-
инвариантности относительно группы SUB,2),то эти поля следует считать
скрученными в указанном смысле слова.
Есть прямой «твисторный» способ определения конкретных
нужных нам векторных расслоений [82], которые мы будем
называть твисторными спин-расслоениями над М*, а также
над СМ*, ибо они естественным образом могут быть распро-
распространены на все пространство СМ*. Начнем с твисторного рас-
расслоения 91'а' твистовых [° °]-спиноров над СМ*. Напомним
(см. гл. 6, § 2; гл. 9, § 3), что точки пространства СМ* одно-
однозначно соответствуют двумерным комплексным линейным под-
подпространствам твисторного пространства Т\ Пусть X — такое
линейное подпространство, соответствующее точке X е СМ .
С одной стороны (в пространстве Т"), различные твисторы,
инцидентные точке X, являются точками подпространства X,
а с другой (в пространстве СМ*) — каждый такой твистор
единственным образом определяется выбором спинора яд'
в точке X. Другими словами, пара (X, Z"), в которой твистор Za
инцидентен точке X, интерпретируется в пространстве Та как
пара
(X, Za) с Za 6= X <= Т\
а в пространстве СМ* как пара
(X, пА') с лА' в точке X <= СМ*.
Спиновое пространство спинора я^ в точке X теперь приобре-
приобретает смысл самого векторного пространства X.
Тогда можно начать с пространства Т\ обладающего задан-
заданной структурой комплексного векторного пространства. Затем

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 385
мы определим СМ* как пространство двумерных векторных
подпространств X с: ТР. Отсюда автоматически получается рас-
расслоение 9"а' как пространство пар (X, Z") с Z"gX, где слои
появляются вследеШЬй варьирования Z" при фиксированном X.
И наконец, мы шЩ^третируем эти слои как спиновые про-
пространства @л'[Х] crfSffopa па' в различных точках простран-
пространства см*.
Однако это не обычные спиновые пространства, а скручен-
скрученные в указанном выше смысле. Фактически эти пространства
дуальны спиновым пространствам ^А', которым принадлежат
обсуждавшиеся ранее (скрученные) спиноры иА' (части твисто-
ров Wa). Чтобы показать это, рассмотрим любой [°]-твистор Wa.
В пространстве Т" твистор Wa дает линейное отображение:
Т" —>-С, а в пространстве СМ* — скрученное поле [iA. Для
каждого X е СМ* мы получим конкретное поле цА, а именно
цА [X] е@А'[Х], что в Т" соответствует ограничению линейного
отображения Wa пространства Та до подпространства X. Это
ограничение представляет собой линейное отображение Х—>С,
т. е. элемент дуального пространства векторного простран-
пространства X, который показывает, что пространство X канонически
отождествляемо с пространством @л'[Х|, дуальным (сопряжен-
(сопряженному) спиновому пространству @А'[Х] в точке X. При измене-
изменении X над М* эти пространства 5л'[ЛГ] должны быть непрерывно
связаны друг с другом подходящим скручиванием, дуальным
скручиванию спинора цЛ', характеризующего пространство 9"аг-
Этим и доказывается наше утверждение. (Слои взаимно дуаль-
дуальных расслоений Я'а' и 9"аг точечно дуальны друг другу. Поля цЛ'
являются сечениями пространства 9"А'.)
Теперь рассмотрим твисторное расслоение 9>'А скрученных
[° °]-спиноров над СМ*. Проще всего считать &А расслоением,
комплексно-сопряженным определенному выше расслоению
9>а'- Это эквивалентно представлению точек пространства СМ*
двумерными линейными подпространствами в дуальном тви-
сторном пространстве Та, поскольку твисторное комплексное со-
сопряжение меняет Та на Та, и наоборот. (Считать пространство
Та дуальным, а не комплексно-сопряженным пространству Та
здесь более логично, ибо такая точка зрения приводит к вполне
голоморфной конструкции. В некоторых ситуациях [82], когда
приходится иметь дело с комплексным пространством СМ , а
не с М*, важно, насколько это возможно, удерживать все опе-
операции голоморфными.) Таким образом, представляя точку
X е СМ* двумерным подпространством X* с= Та, мы приходим

386 ГЛАВА 9
к расслоению 9?'А над СМ*, которое является пространством
пар (X*, Wa), где WaGX", так что слой над X — это просто
пространство X*. Каждая такая пара эквивалентна паре (X, Ял),
и это позволяет сказать, что понималось под «скрученным»
спинором Ял. Дуальное расслоение S*7-4 можно получить обычным
путем, взяв в качестве его слоев слои, дуальные слоям расслое-
расслоения 9"а- Аналогично полю цА' и расслоению 9"А' решения сол
твисторного уравнения (корректным образом скрученного) яв-
являются сечениями расслоения 9"А, индуцированными линейными
отображениями вида Za:To-*-tC.
В качестве альтернативного подхода расслоение ЗРа можно
определить непосредственно в пространстве Та (что более ло-
логично, если пространство Та считается первичным). В этом
случае х е СМ* представляется исходным двумерным подпро-
подпространством X <= Т". Рассмотрим для каждого такого X дву-
двумерное пространство тех линейных отображений Wa:Ta—>C,
которые дают нуль в каждой точке подпространства X. Эти
отображения мы принимаем за слои расслоения 9"а, что, как
легко видеть, эквивалентно определению, данному в предыду-
предыдущем абзаце. Далее расслоение ФА можно определить как рас-
расслоение, дуальное расслоению Э'а.
Имея расслоения 9>а, 9"аг, УА и 9"а' над СМ*, ничего не стоит
ограничить их на М*. Тогда пространства ©л, ©л', @л и ©л'
можно определить как гладкие сечения этих (соответствующих)
расслоений (какую бы степень гладкости мы ни выбрали, ска-
скажем С00, чтобы можно было сравнивать с нашими прежними ре-
результатами). Если мы имеем дело с пространством СМ*, то тре-
требуются голоморфные сечения, но тогда необходимо локальное
рассмотрение, ибо произвольные сечения определены только над
некоторым открытым множеством пространства СМ .
Пользуясь методами, изложенными в гл. 2, § 2 (см. также
т. 1, гл. 5, § 4), можно теперь определить элементы произволь-
произвольного (скрученного) [* *]-спинорного пространства 'Вв'.'.'.ы'- За-
Заметим, что если рассматривать обычные спинорные поля на
М, то скачок на гиперповерхности Sf относительно правовинто-
вой спиновой структуры определяется требованием, чтобы поле
в непосредственном прошлом гиперповерхности 3( было умно-
умножено на величину
r-p-t+я (9>49)
для обеспечения непрерывного перехода к значениям этого поля
в непосредственном будущем гиперповерхности 9'. В частности,
скачок для элементов пространства <&А должен быть противопо-
противоположен скачку для элементов дуального ему пространства в-4.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 387
(Так, например, скалярное произведение типа хлш-4 должно
быть, очевидно, в любой точке пространства М* (или СМ*)
обычным нескрученным скаляром, т. е. элементом простран-
пространства С]
Хотя данное выше определение модуля ©;;; не приводит
к спинорным полям в обычном смысле этого понятия (во всех
случаях, кроме случая, когда величина г — р— t + q кратна 4),
мы можем считать «твистовую спиновую структуру», из которой
оно получено, более естественной, чем правовинтовая или лево-
винтовая спиновая структура на М*. [Разумеется, мы можем
с тем же успехом записать «скачок» (9.4.9) и относительно лево-
винтовой спиновой структуры, просто заменив в выражении
(9.4.9) i на —I, или, что эквивалентно, изменив на обратный
знак показателя степени.]
Конформные плотности на М*; индекс Гржина
Скачок (9.4.9) согласуется с рассмотренным ранее в этом
параграфе поведением параллельно переносимого спинора уА
при условии, что мы берем последний в конформно-инвариант-
конформно-инвариантной форме с нижним индексом. Если же мы возьмем спинор у*
(или, скажем, спинор аА), который является конформной плот-
плотностью и не является конформно-инвариантным, то в случае
произвольного конформного веса w в формулу следует включить
дополнительный множитель (—1)ш, причем показатель w здесь
должен быть целым числом. Правда, при интерпретации этого
нужна осторожность. Если определить конформную метрике gab
несингулярную метрику gab в некоторой окрестности точки ги-
гиперповерхности 3( обычным способом с помощью соотношения
6ab = Q2gab, (9.4.10)
где Q — конформный множитель, скажем, из § 1, то окажется,
что последний либо на одной, либо на другой стороне гиперпо-
гиперповерхности & отрицателен. Поэтому приходится отказаться от
обычного (см. гл. 5, § 6) требования, чтобы конформный мно-
множитель был всюду положительным. Величины с нечетным кон-
конформным весом в областях, где выбирается знак минус перед
квадратным корнем из Q2 в формуле (9.4.10), в дополнение к
изменению масштаба претерпевают еще и изменение знака.
Если действовать так, как в начале § 2, где для построения
пространства М* к пространству М сначала добавлялись, а за-
затем отождествлялись граничные гиперповерхности &+ и Sf~, то
мы не обнаружим появления отрицательных множителей Q. Но
если продолжать Q гладко через 3(+ в будущее или через 2f— в

388 ГЛАВА 9
прошлое, то мы попадем в области отрицательных Q. Это не
очень желательно и особенно потому, что для представления
спин-вектора хл изотропным флагом используется бивектор
[формула C.2.9)], причем все спиноры е, входящие в него, об-
обладают нечетным конформным весом. Следовательно, там, где
Q < 0, видимо, нужно потребовать обратного по сравнению с
данным в гл. 3, § 2 (и т. 1, гл. 1) соотношения между спин-век-
спин-вектором х-4 и его полотнищем флага (т. е. касательный к сфере
S+ вектор, представляющий это полотнище флага, должен быть
направлен в противоположную сторону). Но это не устраняет
встреченную нами выше проблему неопределенности выбора
между право- и левовинтовой спиновыми структурами (посколь-
(поскольку спиновая структура — это всегда исключительно топологиче-
топологическое и абсолютно неметрическое понятие [206]), ибо в случае
отрицательных Q нужно дважды «обойти» пространство М*,
прежде чем мы вернемся к исходным значениям. В связи с этим
в формулируемом ниже определении принята процедура «склей-
«склейки» (при которой Q 5s 0 всюду в М#), использованная в на-
начале § 2.
Определение
Лоле [ Р qt \спинора в пространстве М, являющегося кон-
конформной плотностью с (целым) весом w, называется
гржиновским полем на бесконечности, если при изменении
масштаба (с ft > 0) и использовании правовинтовой спи-
спиновой структуры оно непрерывно продолжается через ги-
гиперповерхность 3(, будучи в непосредственном прошлом
граничной гиперповерхности 2f умножено на{—i)p-r-q+t-2w_
(9.4.11)
Целое число (mod4)p — г — q-\-t — 2да называется (по пред-
предложению Вудхауса) индексом Гржина данного поля. Отметим,
что индекс Гржина главной спинорной части [д]-твистора равен
+ 1, а [JJ-твистора — (— 1). Поэтому, выполнив тензорное умно-
умножение, мы сможем сформулировать следующее предложение.
Предложение
Индекс Гржина главной спинорной части \р\твистора
равен р — <7(mod4). (9.4.12)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 389
Кроме того, справедливо следующее положение весьма общего
характера:
Если индексы Гржина полей i|>"" и %"' равны а и Ь, то
индекс Гржина поля Ф"Х". Равен a-\-b (mod 4). (9.4.13)
При желаний отмеченные ранее трудности интерпретации в слу-
случае ненулевого конформного веса можно обойти, заменив поле
^g'.'.jv' полем
J.A...F' ,A...F' PQ TU ,г\ л t л\
^о...лгер<з ■•• ети или ^G.../ve ---e ", (9.4.14)
чтобы в результате получилось поле с нулевым конформным
весом. Индекс Гржина при этом остается прежним, так как для
спиноров е он равен нулю1).
Теорема Гржина
Введенные выше термины, содержащие фамилию Гржина,
связаны со следующим замечательным результатом.
Теорема Гржина [115]
Любое несингулярное решение уравнения D.12.42) для
безмассового свободного поля на эйнштейновском ци-
цилиндре &, который в результате стандартной процедуры
отождествления становится пространством М*, соответ-
соответствует определению (9.4.11). (9.4.15)
Прежде чем доказывать эту теорему, отметим, что в случае без-
безмассовых полей со спином A/2) га, имеющего нештрихованные
индексы, выполняются равенства r = n, w = —1 и p = <7 = ^ =
= 0, так что индекс Гржина равен —п + 2, тогда как для
таких же полей со штрихованными индексами индекс Гржи-
Гржина равен п + 2. Напомним (гл. 5, § 7), что для положительно-
■'■) Замена в формуле (9.4.14) штрихованными спинорами е некоторых и
даже всех иештрихованных ничего не изменила бы. Это связано с тем, что
(в данной книге) при изменениях масштабов еАВ = Q&AB, &A,B, — Q&A,B, и
&db~ ®®8аЬ мы всегда полагали Q = Q, хотя, вообще говоря, можно
было бы рассмотреть независимые Q и Q. В данном конгексте это соответ-
соответствует тому, что нас интересует инвариантность относительно группы SU
B, 2) [или ее комплексификации SL D, С) ], а не относительно более общей
группы U B,2) [или GL D, С)]. Сохранение твистора eapYj и является от-
отличительной особенностью этих несколько более ограниченных преобразова-
преобразований. Согласно формуле F.1.64), спинорными частями твистора 8aRve яв"
ляются члены типа е 8св> масштаб которых устанавливается множителем
Й-'Q. Поэтому из сохранения твистора eag.yj следует равенство Я = Я.

390 ГЛАВА 9
частотных полей спиральность в первом случае равна s =
= —(\/)пН, а во втором — s = (l/2)nft. Следовательно, ин-
индекс Гржина равен 2s%-1 + 2. Чтобы устранить возникающий
теперь в определении (9.4.11) множитель (— 1)*п+2, нам потре-
потребовалось бы двукратное покрытие пространства Мг в случае
безмассовых полей с четным спином (т. е. в случае конформно-
инвариантного безмассового скалярного поля Даламбера) и че-
четырехкратное в случае полей с полуцелым и нечетным спином.
Однако в случае полей с нечетным целым спином (например,
максвелловского поля) достаточно пространства М .
Для доказательства теоремы Гржина воспользуемся дока-
доказанной ранее леммой, позволяющей свести случай произволь-
произвольного спина к случаю нулевого. Предположим, что ХА'" в кон-
конформно-плоском пространстве-времени Ж есть главная спинор-
ная часть симметричного ["]-твистора, так что выполняется
условие F.4.1), и допустим, что симметричный «-индексный спи-
спинор фА _ D удовлетворяет уравнению для безмассового поля
D.12.42). Тогда, согласно формуле F.4.31) (и последующим вы-
выводам), поле
удовлетворяет конформно-инвариантному уравнению [ср. с фор-
формулой F.8.30)]
Возьмем именно такой спииор фА D. В любой точке Qg^"
спиноры, удовлетворяющие условию F.4.1), стягивают про-
пространство <SiA"'D)[Q], поскольку (симметричный) твистор в лю-
любой одной точке обладает произвольной (симметричной) глав-
главной спинорной частью. Пусть Р — это точка, в которой впервые
снова сходится световой конус будущего, построенный в Q, т. е.
это первая точка будущего по отношению к точке Q, которая
отождествляется с Q в результате процедуры отождествления,
проводимой для получения пространства М*.
Из предложения (9.4.12) следует, что спинор ХА"'° явля-
является гржиновским полем. Поэтому благодаря мультипликатив-
мультипликативному свойству такого спинора (9.4.13) и свойству спиноров К"'
стягивать в каждой точке указанное выше пространство доста-
достаточно показать, что скаляр ф тоже является гржиновским полем.
(Доказательство этой теоремы для штрихованного безмассово-
безмассового поля фА, D, можно будет провести путем комплексного со-
сопряжения.) Чтобы скаляр ф был гржиновским полем, для
каждой выбранной точки Q должно выполняться равенство

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 39Г
Р ,
р->— оо<
Рис. 9.13. Явление Гржииа в случае безмассовых скалярных полей на
эйнштейновском цилиндре & [объяснение на основе интегральной формулы
Кирхгофа—Дадемара E.12.6)]. Лучи, проходящие через точку Q, впервые
снова сходятся в точке Р. Различие в знаках поля в точках Р и Q обуслов-
обусловлено различием в знаке сходимости р изотропной гиперповерхности Jf между
точками Р и Q при приближении к той или другой из них.
Ф(Р) = —ф(Я). Показать, что оно выполняется, можно, напри-
например, исходя из того, что всякое решение волнового уравнения
в пространстве М строится из «элементарных» решений, кото-
которые в стандартных координатах, взятых относительно множе-
множества различных начал отсчета, имеют форму
Коэффициент при б-функции имеет на световых конусах буду-
будущего и прошлого противоположные знаки и, очевидно, является
гржиновским полем, что и доказывает теорему. Эту теорему
можно доказать также, основываясь на формуле Кирхгофа —
Дадемара E.12.6), позволяющей представить ф(Р) в виде инте-
интеграла по пересечению светового конуса прошлого, построенного
в точке Р с некоторой изотропной гиперповерхностью JC. При
выводе этой формулы мы исследовали предельную ситуацию,
когда пересечение приближалось к точке Р из прошлого (ин-
(интеграл не зависит от рассматриваемого пересечения гиперпо-
гиперповерхностей). Если же теперь сравнить этот предел с соответ-
соответствующим выражением, полученным при приближении пересе-
пересечения гиперповерхностей к точке Q по световому конусу прош-
прошлого с вершиной в Р из будущего (рис. 9.13), то мы обнаружим,
что, поскольку в выражении рсф = (й — р)^ (где е положено
равным нулю) вблизи точек Р и Q доминирует член —р^, оба
предела различаются лишь знаком сходимости р пересекаемой
изотропной гиперповерхности JC и что в первом случае в него
входит значение Ф(Р), а во втором—ф(B). Таким образом,
снова, как и требовалось, ф(С}) = —ф{Р)-

392
ГЛАВА 9
Негржиновские поля
Заметим, что гржиновскими являются поля, удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнениям поля глобально, и не являются поля, имеющие
сингулярности. Одно из негржиновских полей — хорошо зна-
знакомое нам кулоновское поле. Индекс Гржина здесь равен
нулю, так что будь это поле гржиновским, оно должно было бы
непрерывно продолжаться через гиперповерхность 3 в М*. Но
как нетрудно видеть, на самом деле это поле меняет знак на 3(.
Так, в случае положительного заряда вектор напряженности
электрического поля всегда направлен радиально вовне и, сле-
следовательно, ассоциирован с направленным вовне ЭГИН (гл. 8,
§ 5, с. 305). Но на гиперповерхности 2f+ это — ЭГИН, прони-
пронизывающее У, тогда как на 2f- оно идет по касательной к 3
(рис. 9.14). Таким образом, знаки поля при отождествлении 3f+
с 2f— должны быть противоположными. В этом можно убедиться
и иначе — рассмотрев универсальное накрывающее пространство
& пространства М* и продолжив поле аналитически (без изме-
изменения знака на гиперповерхности &) на все пространство &.
Поскольку пространство-время <g пространственно замкнуто, за-
заключенный в нем полный заряд должен быть равен нулю [на-
[например, в силу формулы F.4.4) с 9> = ф]. Следовательно, образ
мировой линии исходного заряда, который в пространственном
отношении лежит в антиподальной точке сферы S3, должен пред-
представлять заряд, противоположный исходному (т. е. отрицатель-
отрицательный). А стало быть, продолжение исходного кулоновского поля
через гиперповерхность 3 должно быть кулоновским полем про-
- ЗаряЭ
Рис. 9.14. Антигржиновское поведение кулоновского поля. (Так как это макс-
велловское поле его индекс Гржина равен нулю.)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 393
тивоположного знака, что и говорит о негржиновском (анти-
гржиновском) характере полного поля.
Еще один пример антигржиновского поля — поле флвсо в
случае линеаризованного решения Шварцшильда Индекс Гржи-
на теперь равен 2, так что обычные волновые поля со спн-
ном, равным 2, меняют знак на гиперповерхности Э', тогда как
линеаризованное шварцшильдовское поле не меняет. Однако
вскоре [формула (9.6.40)] выяснится, что при переходе от спи-
спинора Фавсп к вейлевой кривизне Wabcd появляется дополнитель-
дополнительный множитель Q, а значит, в полной теории имеет место про-
противоположное поведение, а именно при аналитическом продол-
продолжении решения Шварцшильда через гиперповерхность 3 ме-
меняется знак массы [см. в § 6 первый абзац после формулы
(9.6.7)].
В заключение заметим, что при любом целом или полуцелом
значении спина существует много несингулярных решений урав-
уравнения для безмассовых свободных полей над всем простран-
пространством 8'. Например, можно задать любые подходящие началь-
начальные данные на пространственноподобном сечении S3 простран-
пространства 8, и ими будет определяться поле, несингулярное во всем
пространстве 8'. Теорема Гржина указывает, что такие реше-
решения обладают любопытным типом периодичности на 8. [Он
специфичен для конкретных уравнений поля, рассматриваемых
здесь. Например, в «Я^4-теории безмассового поля» с уравне-
уравнением поля (□ + 7бЯ) ф = кф3 периодичность такого типа воз-
возникнуть не могла бы.] Явные несингулярные решения на М*
легко строить твисторными методами; примером могут служить
элементарные состояния, возникающие кз твисторной функции
F.10.48). Индекс Гржина, равный 2s%-1 + 2, для безмассовых
полей определяется, как нетрудно сообразить, степенью одно-
однородности — BsH~l + 2) твисторных функций для безмассовых
полей со спиральностью s. Однако здесь мы не будем на этом
останавливаться.
§ 5. Космологические модели и соответствующие твисторы
Прежде чем рассматривать асимптотическую структуру про-
произвольного искривленного пространства-времени, интересно
рассмотреть ее сначала в случае стандартных космологических
моделей Фридмана — Робертсона — Уокера (ФРУ) [292]. В на-
настоящее время имеются довольно впечатляющие данные наблю-
наблюдений, свидетельствующие в пользу того, что структура реаль-
реальной Вселенной прекрасно аппроксимируется такой моделью.
Все модели ФРУ являются конформно-плоскими [см. предло-
предложение (8.2.2)], а значит, могут быть представлены как конформ-
конформные подмножества эйнштейновского цилиндра <j? (который сам

394 ГЛАВА 9
тоже относится к космологическим моделям ФРУ). Посмотрим,
как это связано с геометрическими и алгебраическими построе-
построениями, изложенными в § 1—3. Такой анализ откроет нам путь
к непосредственному использованию твисторного формализма
для изучения этих моделей.
Метрика модели ФРУ в общем случае имеет следующую
стандартную форму:
- [R (U)f <*f+fi<»+«*Wi, (9.5.
где U—«космическое время», a k — ±\ или 0, так что метрика
в фигурных скобках представляет собой метрику единичной
3-сферы, единичного трехмерного (гиперболического) простран-
пространства Лобачевского или трехмерного евклидова пространства, со-
соответственно. Перейдя к новым координатам
dU n~ -х"г4-<7 (k = l), (9.5.2а)
:=Л
или
dU
R(U)>
или
:=Л
4-<7 (k = — 1), (9.5.26)
эту метрику можно переписать в следующих альтернативных
формах:
rfs2= [S(x)]2 {dx2 — dp2 — sin2prfco2}, (9.5.3a)
ds2 = [S (a)]2 {do2 — d\x2 — sh2 ц rf(o2}, (9.5.36)
ds2 = [S (Of {dt2 — dr2 — r2d&2}, (9.5.3b)
где
R(U) = S(t), S(a), S(t), соответственно.
В формуле (9.5.3а) в фигурные скобки заключена рассмотрен-
рассмотренная в § 1 метрика эйнштейновского цилиндра &. В том же па-
параграфе мы выяснили, как конформно связать метрику про-
пространства & с метрикой пространства Минковского М, которая
взята в фигурные скобки в формуле (9.5.3в). Путем очевидных
модификаций можно также найти соответствующие формулы,
связывающие метрику антиэйнштейновской вселенной s4>, кото-
которая записана в фигурных скобках в формуле (9.5.36), с метри-
метрикой пространства Минковского, т. е. найти явное конформное
отображение из s4> в &. Все вместе это дает
(cos т + cos p)~2 (dx2 — dp2 — sin2 p d<o2) =
s= (cb a + ch p)-2h(dv2 - dy2 - sh2 pd®2) = dt2 *=- dr2 - rW, (9,5.4)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
395
* Р
Рис. 9.15. Полные конформные пространства при различных значениях k:
эйнштейновский цилиндр & (k = +!)> пространство Минковского М (й=0),
антиэинштеновское пространство id- (k = 1). Различные конформные обла-
области пространства S указаны с помощью координат р и т, введенных в про-
пространстве 8. В каждом случае показаны линии постоянного времени и ми-
мировые линии «фундаментального наблюдателя».
где
sin т
tgp
tha
sh a
cos x -+- cos p ch a + ch ц '
sin p shu
cos x + cos p ch a + ch ц '
It shg
r2 — t2 + 1 ch ц '
2r sh|A
Я — r2 + 1 ch a '
2t sin x
t2 — r2 + 1 cos p '
It sin p
r2 — t2 + 1 cos x
(9.5.5)
Координаты тир здесь те же самые, что использовались в § 1
для описания эйнштейновского цилиндра, и связаны с коорди-
координатами Минковского t и г соотношениями, тоже приведенными
в§ 1.
На рис. 9.1 и 9.2 мы видели, что пределы изменения пере-
переменных р и q (а значит, и т, р) соответствуют всему простран-
пространству Минковского М. В этих пределах конформный множитель
cos х + cos р,

396 ГЛАВА 9
определяющий отображение изМ в ^, положителен и граница
находится там, где этот множитель становится равным нулю
(р + т = я). Точно так же как пространство М конформно лишь
части пространства &', антиэйнштейновское пространство s& кон-
конформно лишь части пространства &. В этой части конформный
множитель
(ch a + ch ц)~\
определяющий отображение из М в $Ф, положителен и равен
нулю на границе, где координаты а и ц становятся бесконеч-
бесконечными:
r±t=\, т. е. р±т = я/2.
Вложенные одна в другую области зФ <= М <= <S этого конформ-
конформного отображения показаны на рис. 9.15.
Космологические горизонты
В любой конкретной космологической модели с заданной
функцией R(U) координата «космического времени» U может
изменяться лишь в определенном интервале значений. Это
означает, что модель конформна некоторой области простран-
пространства &, ограниченной гиперповерхностью т = const, t = const
или а = const в зависимости от рассматриваемого случая. Если
эти константы отличны от «бесконечности» (такую границу мы
уже видели на рис. 9.15), то граничные гиперповерхности всегда
пространственноподобны и соответствуют существованию гори-
горизонтов частиц или горизонтов событий в зависимости от того,
лежат ли эти границы в прошлом или в будущем [291, 236, 242]
(см. также [125]). Горизонты частиц1) [событий] — это грани-
границы ГНБ [или ГНП] максимально продолженной мировой линии
(идеализированной) галактики (q, 9, ф = const: «фундаменталь-
«фундаментальные наблюдатели»). Граничные гиперповерхности космологиче-
космологической модели могут представлять либо бесконечность исходного
космологического пространства-времени Ж [соответствующую
значению R(U) = oo, когда мы имеем сходящий интеграл
\ dU/R (U), и равному нулю конформному множителю при пе-
переходе от пространства Ж к пространству <8\, либо сингуляр-
сингулярность бесконечного сжатия [соответствующую значению R(U) =
= 0, когда мы имеем сходящийся интеграл \ dU/R(U), и беско-
бесконечно большому конформному множителю при переходе от про-
пространства Ж к пространству &\. Будем называть сингулярную
■) В книге [125] для такого рода границы ГНБ предпочтение отдается
термину «горизонт рождения» (creation horizon).

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Tpscif
397
Взрыв $з.эб/в
Рис. 9.16. Области, показанные на рис. 9.15 и соответствующие различным
пылевым фридмановским моделям с X = 0.
границу прошлого большим взрывом, а сингулярную границу
будущего — большим треском. Вне зависимости от того, пред-
представляет ли граница сингулярность или бесконечность, мы
всегда можем воспользоваться методом, изложенным в конце
§ 1 (ГНБ и ГНП), чтобы дать внутреннее определение этих
граничных точек, т. е. не выходящее за рамки понятий и по-
построений, относящихся исключительно к исходному простран-
пространству-времени .Ж. При таком подходе связь между этими про-
странственноподобными границами и физическими свойствами
горизонтов становится особенно прозрачной [242].
На рис. 9.16 показаны области, соответствующие трем стан-
стандартным пылевым фридмановским моделям с равной нулю кос-
космологической постоянной X. При & = +! «высота» цилиндра
такова, что наблюдатель, историей которого являются линии
р, 9, ф = const, приближается к событию своего рождения, до-
достигая большого треска; информация обходит при этом Вселен-
Вселенную один раз. На полпути к максимальному расширению он
впервые увидит свою антиподальную точку, и, начиная с этой
стадии, все галактики1) будут в его поле зрения. (Все эти
утверждения, а также то, что говорится ниже, легко выводятся
из стандартных уравнений; см., например, [292, 352].)
Рассмотрим еще несколько примеров. Толмэновские радиа-
радиационные вселенные с 1 = 0 [344, с. 440] аналогичны фридма-
фридмановским, но при & = +! цилиндр вдвое ниже, так что наблю-
наблюдатель, достигнув большого треска, лишь начинает «видеть»
■) Термин «галактика», как это принято на данном уровне обслуждения
космологических проблем, относится к идеализированной мировой линии,
исходящей из большого взрыва, и не имеет отношения к эпохе, в которую
могли сформироваться первые реальные галактики.

398 ГЛАВА 9
антиподальную галактику. Вселенная де Ситтера (о которой мы
еще поговорим) конформно сходна с толмэновской, но ее гра-
границы представляют не сингулярности, а бесконечности. Модель
Эддингтона — Леметра соответствует полубесконечному цилин-
цилиндру Эйнштейна с пространственноподобной границей будущего,
представляющей бесконечность. Модель Леметра соответствует
конечному цилиндру Эйнштейна, который может быть сделан
сколь угодно длинным, если граница прошлого является сингу-
сингулярностью, а граница будущего представляет бесконечность.
В моделях с Я > 0 бесконечность всегда является простран-
пространственноподобной границей [формула (9.6.18) ниже]. «Нормаль-
«Нормальные» модели ФРУ с X < 0 (которые исключают, например, ста-
статическое антиэйнштейновское пространство s4> и пустое макси-
максимально расширенное антидеситтеровское пространство) не
имеют (временных) бесконечностей: все они ограничены про-
странственноподобными взрывом и треском. Модель Милна
(пустая) конформна всему пространству s4>. (За дальнейшими
подробностями мы отсылаем читателя к работам [25, 125, 292
и 352].) Бесконечность антидеситтеровского пространства ере-
мениподобна: р = я/2.
Описание в пространстве Р5
Попытаемся связать эти соответствия со сказанным в § 2,
где пространство М* рассматривалось как квадрика в Р5. Пе-
Перейдя в формуле (9.5.5) к координатам, введенным в указанном
параграфе, мы получим
(9.5.6)
/ = T/(V — W).
Таким образом, в каждом отдельном случае поверхности по-
постоянного космического времени U описываются пересечениями
пучка плоскостей с квадрикой М*, а именно:
Т : V = sin т : cos т (k = 1),
T:—W = sho:cho (k = — 1), (9.5.7)
Т : V - W = i: 1 (k = 0).
В первом случае [3-(проективно) мерная] ось пучка (Г= V = Q)
не пересекает квадрику М* (напомним, ее уравнение имеет вид:
7*2 _|_ у2 _ ^2 _ х* — у2 — Z2 = 0). Во втором случае ось пучка
(r=W = 0) пересекает пространство М* по 2-сферам S2, а в
третьем случае ось пучка (Г = 0, V=W) касается квадрики
М* в одной точке (рис. 9.17).

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 399
ft = i ft = -1 к = о
Рис. 9.17. Различные сечения постоянного времени (для случаев k = 1, k =
= —1 и* = 0) иа проективной квадрике рХ в пространстве Р5.
Деситтеровская и антидеситтеровская модели;
твисторы 1ар и Гр
Среди космологических моделей ФРУ особого внимания за-
заслуживают деситтеровская и антидеситтеровская модели вместе
с пространством Минковского. Дело в том, что в этих простран-
пространствах (и только в них) имеются расширенные группы сим-
симметрии, вследствие чего сечения U = const геометрически не
выделяются. Оказывается, что можно дать описание простран-
пространства де Ситтера [306, 292] как моделей ФРУ с k= 1, —1 или 0,
хотя только в случае k = 1 это описание будет иметь глобаль-
глобальный характер. Пространство Минковского описывается с по-
помощью моделей ФРУ с k = 0 или k = —1 (глобальным описание
будет только в случае 6 = 0). Антидеситтеровское пространство
можно описать с помощью предпоследнего типа модели ФРУ
(k = —1), да и то не глобально.
Один из способов описания полной деситтеровской модели
основан на использовании введенных в § 2 координат Т, V, W,
X, Y и Z, но не как проективных координат пространства Р, а
ограниченных [в пространстве Е6 с метрикой (9.2.4)] на неко-
некоторой гиперповерхности
T = Q, (9.5.8)
где Q — действительная константа. Тогда уравнение (9.2.5)
квадрики М* позволяет рассматривать пространство де Ситтера
Ж как «псевдосферу»
1^2 то2 V2 у2 72 ^_ Q2
«радиусом» Q. В пространстве Р5 из модели теперь исключена
именно точка Г = 0, так что, убрав из пространства М* гипер-
гиперплоскость Г = 0, мы получим пространство, конформное про-
пространству Ж. Это очень похоже на случай М с: М* с единствен-
единственным отличием, что в случае пространства Ml удаляемая гипер-
гиперплоскость V—W = 0 в пространстве Ps касается пространства
в точке /,

400
ГЛАВА 9
Случай антидеситтеровского пространства аналогичен, но те-
теперь нужно ограничить координаты в пространстве £6 на гипер-
гиперплоскости
W = Q, (9.5.9)
так что мы получим гиперсферу с другой сигнатурой [по-преж-
[по-прежнему используя для пространства ;Р метрику (9.2.4)]:
Т2 + V2 — X2 — Y2 — Z2 = Q2.
Пространство Ж в Р5 теперь получается в результате удаления
из квадрики М гиперплоскости W = 0. (Строго говоря, анти-
деситтеровское пространство является универсальным накры-
накрывающим пространством этого пространства Ж [242, 125].)
Гиперплоскость Ж в пространстве Р5 можно задать в тви-
сторной форме с помощью антисимметричного твистора Нар
(«действительного» в обычном твисторном смысле, т. е. комп-
комплексно-сопряженный твистор Нар и твистор Нар, дуальный ис-
исходному, равны). Разумеется, мы можем также считать, что
твистор Н представляет точку Н в пространстве Р5, но эта
точка является просто полюсом гиперплоскости Ж относительно
квадрики М*. Точка Н и гиперплоскость Ж дают одинаковую
информацию. [Это геометрический эквивалент «подъема индек-
индексов» твистора Нар с помощью метрики A/2)ба^в.]
Выше нам встретились три такие гиперплоскости, а именно
Г = 0, W=0 и V—W = 0. Удаление каждой из пространства
М* дает деситтеровскую, антидеситтеровскую модели и про-
пространство Минковского, соответственно. Формула (9.3.7) позво-
позволяет перейти к стандартным твисторным координатам:
r=R01-4-R23. V-W=R23. (9.5.10)
Уз"
В результате можно следующим образом определить область,
удаляемую из М* (используя твистор 1ар вместо Нар):
|apRafJ = 0, (9.5.11)
где
— Г
1
|«в=
QV2
1
-1
' Q
— 1
-Чг
(9.5.12)
— 1

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 401
в случаях деситтеровского, антидеситтеровского пространств и
пространства. Минковского, соответственно. Последняя форма
твистора |ар имеет стандартный вид F.2.25) и является твисто-
ром бесконечности пространства Минковского. Теперь же мы
получили соответствующие твисторы бесконечности для деситте-
деситтеровского и антидеситтеровского пространства-времени. Более
того, конкретные масштабные множители, указываемые в соот-
соотношениях (9.5.12), позволяют нам пойти еще дальше и опреде-
определить фактическую метрику соответствующего пространства-вре-
пространства-времени, потребовав в пространстве Е6 выполнения уравнения
lapRap = 2 (9.5.13)
[ср. с формулами (9.5.8), (9.5.9), (9.2.6), соответственно, и фор-
формулой (9.5.12); в случае пространства Минковского это стан-
стандартная нормировка F.2.27)].
Можно считать, что уравнением (9.5.13) определяется под-
подмножество (сечение гиперплоскостью) конуса Ж (см. рис. 9.6),
описываемого уравнением (9.2.5), т. е.
(9.5.14)
в пространстве Е6. Метрика пространства "Е6 определяется фор-
формулой (9.2.4), т. е.
ds2=2dR0ldR23 + 2dR02dR31 + 2dR05dRl2 =
= dT2 + dV2 — dW2 — dX2 — dY2 — dZ2, (9.5.15)
и у нас есть стандартное условие действительности Rap =
= (l/2)eaflv6Ra6. Как мы выяснили в § 2, все сечения конуса Ж
локально конформно-тождественны (конформно-плоские), и вы-
выбор той или иной метрики из полного конформного класса опре-
определяется простым заданием конкретного сечения. В случаях де-
деситтеровского, антидеситтеровского пространств и пространства
Минковского эти сечения обладают особым свойством: все они
определяются линейным уравнением, а именно уравнением
(9.5.13), где твистор lag (для сохранения действительнознач-
действительнозначное™) должен удовлетворять условию
7ap = -l8apv6lv6=:lap (9.5.16)
и без потери общности может считаться кососимметричным:
laP = -V (9,5.17)

402 ГЛАВА 9
Деситтеровское, антидеситтеровское пространства и простран-
пространство Минковского различаются соответствующими значениями
произведения
или, что эквивалентно, значениями произведения
При наличии формул (9.5.16)—(9.5.18) становятся излишними
явные формы записи типа (9.5.12). В каждом отдельном случае
действующая в данном пространстве группа симметрии
([анти]деситтеровская группа, группа Пуанкаре) появляется
как подгруппа группы 0B,4), оставляющая инвариантным тви-
СТОР 'ав (см- предпоследний абзац § 2). Особенно простая
форма метрики во всех этих случаях позволяет сразу написать
выражения для геодезического расстояния (равного временному
интервалу) между точками, представляемыми твисторами R
и Рар:
(^) (^) (9.5.20)
Первое относится к деситтеровскому пространству, а второе —
к антидеситтеровскому. (Это можно проверить, снова вернув-
вернувшись к описанию в координатах Г, V, .... Z). Эти формулы
можно сравнить с соответствующей формулой F.2.30) для про-
пространства Минковского, которую можно заново вывести из фор-
формулы (9.5.20), перейдя к пределу при Q-voo. Существует также
вариант формул (9.5.20), соответствующий формуле F.2.26).
Он не требует нормировки вида (9.5.13) и относится непосред-
непосредственно к описанию в пространстве RP5. Его можно получить,
просто заменив выражения, стоящие в формуле (9.5.20) в круг-
круглых скобках, величиной
(9-5'21)
Функции I и 1 для конформно-плоского
пространства-времени
Займемся теперь общим случаем конформно-плоского про-
пространства JC (см. также работу [150]). Как и раньше, можно
определить масштаб метрики пространства Ж, задав сечение
(но теперь уже не гиперплоскостью) конуса Ж в пространстве
НЕ6. Запишем уравнение этого сечения в виде
= 2, (9.5.22)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 403
где 7 — функция со степенью однородности, равной 1 (так что
в трех рассмотренных выше случаях 7(Rap) = lapRafl. С помо-
помощью дуального твистора Rap уравнение (9.5.22) можно перепи-
переписать в форме
/(Rap) = 2, (9.5.23)
где /—функция со степенью однородности, равной тоже 1, опре-
определяемая соотношением
/ /в \— Г(&а&\ (Q К 94)
[следовательно, в трех рассмотренных выше случаях /(RaB) =
= lapRap]. Действительность интересующего нас сечения может
гарантироваться условием 7 = 7, т. е.
T0Q)= 7(Xap). (9.5.25)
Фактически же функции / и 7 интересуют нас только в тех
местах, где твистор Rap — простой. Поэтому более предпочти-
предпочтительно рассматривать их как функции пар унивалентных твисто-
ров Ua. Va или X", Y", таких, что
/(Ua,Va):=/(UaVp-UpVa),
7(Xa, Ya) := / (XaYp - XpYa). ( }
Поскольку функции / и 7 зависят от своих аргументов Ua. Va и
Xa, Ya только через их внешние произведения и по каждому
аргументу обладают степенью однородности, равной 1, мы
имеем
м Л o-V — U -^ /-V -^-
va dl n 4,a dl va d/ , „a dl (9-5-27)
(см. пространное «примечание» в § 3 гл. 3, в котором излагается
метод схем Юнга) или, что эквивалентно,
+ ^Va, PUa + aVa) = (Xa - щ>) I (Ua, Va),
+ (xYa, PXa + aYa) = (Xa - (xp) / (Xa, Ya). (9-5'28)
Записывая / и 7 таким образом в виде функций двух твистор-
ных переменных, мы получаем возможность дать им иную, воз-
возможно более значимую, интерпретацию. Приведенные выше со-
соотношения, в особенности (9.5.28), указывают на то, что / и 7
определяют внешние билинейные формы на линейных оболоч-
оболочках твисторов Ua, Va и X", Y", соответственно. Эти линейные

404 ГЛАВА 9
оболочки определяют точку R пространства Ж, определяемую
соотношением
Rap = 2U[aVpi или Rap = 2XlaYM,
а билинейные формы дают спиноры е в и е в в точке R, соот-
соответственно. В самом деле, используя локальное твисторное опи-
описание твисторов Ua Ya, мы получаем в точке R
7(Х-. Ча) = еА'в'ХА>Ув, (9'5-29)
[Эти выражения можно сначала вывести в случае пространства
Минковского из формулы F.2.25), а затем путем изменения
масштаба преобразовать к виду, пригодному в пространстве Ж.]
Выражения (9.5.29) ценны тем, что позволяют применять
различные твисторные формулы непосредственно к любому кон-
конформно-плоскому пространству Ж. В частности, в пространстве
Ж могут использоваться контурные интегралы из гл. 6, § 10 для
свободных безмассовых полей, а изменение масштаба про-
пространства Ж входит только через дифференциальные формы
XAdXA = eABXAdXB, dXA A dXA = eABdXA A dXB,
nA,dnA' = гА'в'пА4лв„ dnA, A dnA' = eA'B'dnA, A dnB, (9-5.30)
в каждой пространственно-временной точке R [формулы
F.10.1), F.10.3), F.10.10)]. Таким образом, функции / и 7 по-
позволяют определить спиноры еАВ и еА'в' в каждой точке R по
формулам (9.5.29).
Модели ФРУ, соответствующие твисторы начальной
и конечной сингулярностей
Вернемся к моделям ФРУ и найдем для них явные выраже-
выражения функций / и 7. Для этого можно, например, преобразовать
метрику ds2 пространства Ж к форме метрики Минковского.
Метрику Минковского (9.5.4) мы теперь запишем в виде ds2 =
= Q2ds2 и заметим, что в соответствии с равенствами ёАВ =
= Q~1eAB и еА'в> = Q~leA'B' должны выполняться соотношения
7=0-»/, ~I = Q~lT (9.5.31)
вместе с условиями
23 l(Rafi) (9.5.32)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 405
[ср. с формулами (9.5.10), (9.5.12)]. С учетом формул (9.5.3) и
(9.5.4) получаем
{(cosх + cosp)S(т) при 6=1,
(ch a + ch (x) S (а) при 6 = — 1, (9.5.33)
S(t) при 6 = 0,
тогда как на основании формул (9.5.5) и (9.5.6) можно полу-
получить
2 W2 2 V2
cos p= V2 + T2, cos т =
,2 У2 ,2
СП (X де,2 J2 > СП О —
Поскольку в подходящем интервале изменения переменных при
k = 1 величины cos т и V имеют одинаковый знак, a cos р и W —
разные знаки, тогда как при 6 = —1 мы имеем V > 0 и W < 0,
на основании формулы (9.5.6) мы получим
2 (V2 + Г2)»/2/5 (arctg (T/V)) при 6 = 1,
2(W2-r2I/2/S(Arth(-r/W) при 6 = -1,
2 (F - W)/S (Г/(У - W)) при 6 = 0.
(9.5.35)
Отметим, что / = 0 на 2^± и / = оо в сингулярностях.
В этих выражениях Т, V и W — просто комбинации некото-
некоторых компонент твистора R [формула (9.3.8)]:
V = R01 + 4" R23 = R23 + 4" R«.
(9.5.36)
Сами по себе эти компоненты особого значения не имеют. Они
представляют скалярные произведения твистора R (или Rag)
на некоторые кососимметричные твисторы Нар (или Н ), со-
соответствующие тем или иным элементам пучка гиперплоскостей
в пространстве Р5 [определенного в формуле (9.5.7) ], пересе-
пересечение которого с М* дает срез пространства-времени Ж в мо-
момент космического времени U = const. Геометрия двух подхо-
подходящих гиперплоскостей в ее связи с пространством М*) (т. е.
Т = 0, V = 0 при 6=1; Т = 0, W = 0 при 6 = —1; Т = 0,
V—W = 0 при 6 = 0) вместе с явными выражениями (9.5.35)
дает нам всю необходимую информацию о метрике на Ж.
Однако при конкретном отборе этих гиперплоскостей из
пучка имеется некоторый произвол, обусловленный тем, что в

406 ГЛАВА 9
исходные интегралы (9.5.2) входит произвольная постоянная.
Если модель содержит «большой взрыв», то можно добиться,
чтобы нулевые значения координат т, а или t соответствовали
большому взрыву, т. е., согласно формуле (9.5.6), чтобы ему
соответствовало значение
Г = 0.
Мы можем определить твистор начальной сингулярности (взрыва)
Вар, такой, что
BagR =0 при большом взрыве,
а также
Вар = -Вра, ВарВар = 4, BaYBpY = 6g. (9.5.37)
При сделанном выше выборе координат имеем
—i
—i
(9.5.38)
так что
3aeRap. (9.5.39)
Аналогично, в закрытой модели можно определить твистор
конечной сингулярности Сар, для которого CapRap = 0 в сингу-
сингулярности и который удовлетворяет условиям, соответствующим
(9.5.37). В закрытой пылевой модели Фридмана с Я = 0 имеет
место равенство Caa = Ban (которое следует из упоминавше-
упоминавшегося ранее свойства световых конусов с вершиной в большом
взрыве вновь фокусироваться в конечной сингулярности). То же
самое справедливо и для закрытой радиационной модели Тол-
мэна, но во фридмановской модели происходит дальнейшее вы-
вырождение: твистор, представляющий космическое время макси-
максимального расширения, тоже оказывается равным (—) Вар.
Если попытаться описать структуру пространства JC, ото-
отобрав характерные для него твисторы [такие, как la~ в случае
пространства М или (анти)деситтеровской модели], то в их
отборе обнаружится некоторый произвол. Определенные преи-
преимущества дает выбор, скажем, твистора Вар и соответствующего
твистора, представляющего какой-нибудь другой элемент пучка,
т. е. твистора, описывающего бесконечность в тех случаях, когда
пространство Ж допускает гиперплоскость У+. Какие два тви-
твистора мы на самом деле отберем, особого значения не имеет,

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 407
поскольку все другие возможные наборы будут линейными ком-
комбинациями этих. Для единообразия и простоты математического
описания удобно (во всех случаях, кроме случая 6 = 0) выбрать
два элемента пучка, касающиеся пространства СМ*, так что
соответствующие твисторы простые. В случае 6=1 это приво-
приводит к выбору пары комплексно-сопряженных простых кососим-
метричных твисторов |ар и Taf>; в случае 6 =—1 — пары разных
действительных (в твисторном смысле) простых кососимметрич-
ных твисторов 1ар и Jap; а в случае 6 = 0 следует отобрать один
действительный простой кососимметричный твистор la~ и (ска-
(скажем) действительный не являющийся простым кососимметрич-
кососимметричный твистор Вар. Нормируем их следующим образом:
\а~\а* = 2 при 6=1,
lapjap = 2 при 6 = -1, (9.5.40)
lapBap = O, BapBap = 4 при 6 = 0.
(Преимущество такой нормировки в случаях 6 = ±1 состоит
в том, что пара твисторов lapTpv и Га71р7 или пара \ау^у и Jay\^y
оказываются ортогональными идемпотентными проекционными
операторами, разбивающими твисторное пространство на два
канонически определенных спиновых пространства. При 6 = — 1
это спиновые пространства, которые рассматриваются в обоих
томах книг, тогда как при fe=i у них обнаруживается иная
связь с операцией комплексного сопряжения.) В случаях 6 =
= ±1 в качестве твистора начальной сингулярности (если есть
большой взрыв) можно взять выражения
Вар = lap + lap (£=1)» Вар = |ар + Jap F = —1),
что придает твистору Bag точно такую же структуру, как и в
формуле (9.5.40) при 6 = 0 (хотя связь этого твистора с |ар бу-
будет иной).
В стандартных расширяющихся моделях (с положительной
плотностью) при 6 = 0, —1 и Ц = 0 для представления гипер-
гиперповерхности У+ можно использовать твистор \а^:
|apRae = O при U = +oo.
Однако при Я, > 0 гиперповерхность 2f+ пространственноподоб-
на и не имеет столь очевидной связи с lap. (В частности, такой
выбор не согласуется со сделанным ранее в случае простран-
пространства де Ситтера!) При 6=1 и А, = 0 твисторы lap и |ар пред-
представляют «виртуальные» (комплексные) бесконечности, которые
могут быть достигнуты только в результате комплексификации

408
ГЛАВА 9
метрики. В расширяющихся моделях с 4= —1 и Я = 0 твистор
Jag тоже представляет «виртуальную» бесконечность, но при
этом соответствующая гиперповерхность 3f- связана с гипотети-
гипотетической фазой коллапса, предшествующей большому взрыву.
(См. рис. 9.15 и 9.16: твистор |ар представляет границу
р + т = я/2, а твистор Jap—границу р — т = л/2. Укажем также,
что точка /а& — это вершина р = 0, х = я/2, а точка Jap — вер-
вершина р = 0, т = —я/2.)
Явная реализация этих твисторов посредством наших коор-
координат при
т — w = -
1
V2"
Г
V2
= -l), (9.5.41)
,ар
Dap
дается выражениями
J/2
lap
Ja«
—г/2
//V2
-f/2
г/л/8
(k = 1),
1/V2
1/V2
-i/2
-f/2
_ (9.5.42)
_ 1/2
i/2
=F1/V8
=Ы/л/8
а при 6 = 0 она дается выражением (9.5.38) для Вар; в случае
пространства Минковского стандартное выражение для твисто-
ра |ар определяется третьим равенством (9.5.12). Никаких осо-
особых достоинств у этих явных представлений в общем-то нет,
ибо можно выбрать какие-нибудь другие координаты твистор-
ного пространства, которые позволяют значительно упростить
форму выражений (9.5.42). (Используемая здесь в твисторном
пространстве стандартная система координат была в свое время
введена для лучшей связи со спинорным описанием гл. 6 и ни-
никакого особого значения в данный момент не имеет.) Все су-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 409
щественные свойства содержатся в нормировке (9.5.40) и в уста-
установленных нами условиях простоты и действительности; отме-
отметим еще один «инвариантный» выбор: можно было взять комп-
комплексную точку, представляемую в трубке будущего [см. текст
перед формулой (9.3.25) ] твистором I , так что соответствую-
соответствующая прямая в пространстве РТ лежит в РТ+, а не в РТ~.
Явные выражения для функции I
Чтобы записать функцию
в явном виде, достаточно подставить (9.5.41) в (9.5.35). Зная
же вид функции /, можно восстановить исходный вид функции
R(U)—«радиуса вселенной»1) [формулы (9.5.1)—(9.5.3)].
В случаях k = ± 1 можно добиться некоторого упрощения, если
ввести величины
(9.5.43)
2 ттгг 1 rta£l
где а и b — комплексно-сопряженные величины при k=\ и
действительные при & = —1. Укажем, что, согласно формуле
(9.5.7),
а2 : Ь2 = V + iT : V — iT = eft : е-'х F = 1),
так что
ен=а/Ь, т = — г In (a/6) F^1),
е° = a/6, a = In (a/6) F = — 1).
Подставляя это в (9.5.35), мы получаем
t = — i при 6=1,
/ = -
{:=r
S (в In (a/ft)) I в = 1 при 6=— 1, v " '
а с учетом формул (9.5.2) и (9.5.3) мы можем завершить вы-
вычисление R(U), заметив, что
Эту функцию принято называть масштабным фактором.—Прим. перев.

410 ГЛАВА 9
где постоянную интегрирования можно зафиксировать, приняв
[/ = 0 в момент большого взрыва (происшедшего при а = 6).
Случай пылевых фридмановских моделей с 1 = 0 особенно
прост:
Это выражение приводит к уже знакомым параметрическим фор-
формам
£/ = -2-С(т — sin-r), /? = -i-C(l — cost) (k = l),
где С — постоянная с размерностью плотности 1), которой при
& = 1 определяется максимальный радиус вселенной R (когда
а = -Ь).
Толмэновские радиационные вселенные с А, = 0 столь же
просты:
(
Отсюда следует, что
U = C{\ — cost), /? = Csinr (k=l),
U = C(cho-l), R = Csha (k=—l).
Отметим, что (в случае k=l) максимальное расширение до-
достигается при а = 1Ь = е'я/*, а это соответствует отношению
Т: V, отличному от получающегося при большом взрыве и боль-
большом треске, тогда как в соответствующем случае максимального
расширения пылевой фридмановской модели и большой взрыв, и
большой треск благодаря квадратным корням, появляющимся,
согласно формуле (9.5.43), при переходе к а и Ь, происходят при
одном и том же значении отношения (а именно, при Г = 0),
так что, как уже отмечалось, все эти области на М* будут сов-
совпадать.
Лишь немногим сложнее получить функцию / в случае кос-
космологических моделей с идеальной жидкостью (£ = ±1, А,= 0)
и показателем политропы у [362]; она оказывается пропорцио-
пропорциональной выражению
аЬ Г
3Y~2_ 63Y-2I/CY-2)J •
(Авторы признательны К. Тоду за это выражение.)
') Постоянная С, плотность вещества р и масштабный фактор R свя-
связаны между собой соотношением С = (8/3) яр/?3. — Прим. перев.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 411
§ 6. Асимптотически-простое пространство-время
Займемся теперь общим случаем искривленного простран-
пространства-времени с достаточно «хорошими» асимптотическими свой-
свойствами, позволяющими так же, как в § 1 в случае пространства
Минковского, «присоединить» к нему гладкую конформную
границу. Требование существования такого рода конформной
границы в случае асимптотически-плоского пространства Ж ока-
оказывается весьма удобным условием: с одной стороны, оно доста-
достаточно мягкое, чтобы можно было учесть наличие массы, им-
импульса, момента импульса, а также существование приходящего
и уходящего свободно изменяющегося гравитационного излуче-
излучения, но, с другой стороны, достаточно жесткое, чтобы можно
было получить точные математические результаты, касающиеся
убывания интенсивности излучения и переносимых им энергии
и импульса.
Бесконечность пространства-времени Шварцшильда
Для начала исследуем конформную бесконечность решения
Шварцшильда. Знакомая нам форма метрики Шварцшильда
имеет вид
- (9.6.1)
Не будем пытаться ввести гиперповерхности ЗГ+ и 2Г~ одновре-
одновременно, как это делалось в случае пространства Минковского.
Проще ввести координату запаздывающего времени
ы = t — г — 2m In (г — 2т) (9.6.2)
и координату опережающего времени
v = t + r + 2tn\n(r — 2m) (9.6.3)
по отдельности. В первом случае метрика приобретает вид
ds2 = A - 2m/r) du2 + 2du dr — г2 (dQ2 + sin2 0 df2), (9.6.4)
а во втором —
ds2 = A - 2m/r) dv2 - 2dv dr - r2 (dS2 + sin20^2)- (9.6.5)
В любом из них можно использовать конформный множитель
Q = r~l = w, например. Тогда в первом случае мы придем к
«нефизической» метрике
ds2 = Q2ds2 = (w2 — 2/лш3) du2 — 2du dw — dQ*— sin2 Qdf\ (9.6.6)
а во втором к метрике
d§2 = (w2 — 2mr^)dv2 + 2dv dw — dP— sin2Qdf2. (9.6.7)

412 ГЛАВА 9 .
Метрики (9.6.6) и (9.6.7), очевидно, регулярны (и аналитич-
ны) на своих соответственных граничных гиперповерхностях
w = 0. (Их определители при w = 0 отличны от нуля.) В слу-
случае метрики (9.6.6) физическое пространство-время отвечает
условию w > 0, но это многообразие можно расширить, чтобы
оно включало в себя и граничную гиперповерхность 2f+, опре-
определяемую условием w = 0. В случае метрики (9.6.7) физическое
пространство-время тоже соответствует значениям w > 0 и мо-
может быть расширено включением в него гиперповерхности 3f~,
которая, как и выше, определяется условием w = 0. При жела-
желании мы могли бы продолжить пространство-время и за пределы
границы w = 0 в область отрицательных значений w, но здесь
мы этого делать не будем. К пространству-времени будет при-
присоединена только граница 3 = Sf- U 3+.
Укажем те трудности, с которыми пришлось бы столкнуться
при попытке отождествить Sf- с ЗГ+. Если распространить об-
область определения метрики (9.6.6) на отрицательные значения
w, а затем произвести замену ал—>—w, то окажется, что она
примет форму метрики (9.6.7) (с и вместо и), но с массой —т
вместо т. Следовательно, продолжение метрики через границу
3 требует обращения знака массы. Но информацию о массе
несет производная (конформной) кривизны на границе 3'. [См.
ниже формулу (9.9.56).] Значит, попытавшись отождествить ги-
гиперповерхность 3f+ с гиперповерхностью 2f— так, чтобы (нену-
(ненулевая) масса с обеих сторон имела один и тот же знак, мы
обнаружим, что при переходе через 3 производная кривизны
терпит разрыв (т. е. метрика d§ не может быть класса С3 на Sf).
Итак, установив, что отождествлять 3+ с 3~ нецелесооб-
нецелесообразно, мы приходим к ситуации, весьма сходной с рассмотрен-
рассмотренной в § 1 в случае пространства Ш. Единственное существен-
существенное отличие связано с точками £-, j° и j+. Оказывается, что при
наличии массы точка j°, а при обычных условиях и точки i±,
должны, если их присоединить к многообразию, быть сингуляр-
сингулярными точками интересующей нас конформной геометрии. (На
доказательстве этого мы здесь останавливаться не будем.)
Поэтому в общем случае имеет смысл не рассматривать эти
точки в качестве части конформной бесконечности (а как мы
уже знаем, даже в пространстве Минковского граничная по-
поверхность в точках t° и i-± не гладкая). В результате мы прихо-
приходим к картине, показанной на рис. 9.18: две несоединенные
граничные гиперповерхности 2f~ и 2f+, каждая из которых пред-
представляет собой «цилиндр» с топологией 52Х R- Из соотноше-
соотношений (9.6.6) и (9.6.7) явствует, что 3+ и Sf- — изотропные гипер-
гиперповерхности (причем индуцированная метрика при w = 0 вы-
вырождена). Образующими этих изотропных гиперповерхностей
являются лучи (их уравнения имеют вид 6, Ф = const, w = 0),

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
413
w =const
Рис. 9.18. Изотропная бесконечность пространства-времени Шварцшильда.
Значение w = 0 соответствует как гиперповерхности 5^+, так и гиперповерх-
гиперповерхности Э~. Точки i~ и V сингулярны (в них расходится вейлева кривизна) и
не рассматриваются. Рисунок может служить моделью асимптотически-пло-
асимптотически-плоского пространства-времени и в самом общем случае.
касательные к которым идут по нормалям к гиперповерхностям.
Эти лучи можно считать множителем R топологического произ-
произведения S2 X R.
Асимптотически-простое пространство-время
Итак, мы уяснили структуру конформной бесконечности в
случае пространства Минковского. Но такая структура может
возникать и в асимптотически-плоском пространстве-времени
многих других видов. Начнем с более общей метрики вида
ds2 = r~2Adr2 + 2В, dxl dr + г2Сц dxl dxK (I, j = 1, 2, 3), (9.6.8)
где r, xl, x2 и x3 — координаты, a A, Bt, Сц —достаточно глад-
гладкие (всюду, включая точку х° = 0) функции переменных х° =
= /—', х1, х2, х3. Полагая Q = г-1, получаем
d§2 = Q2ds2 = A dx° dx° — 2Bf dxl dx° + Сц dxl dx\ (9.6.9)
При условии
4 !]° (9-6-Ш)
метрика (9.6.9) будет идеально регулярной в точке х° = 0. Сле-
Следовательно, пространство-время с метрикой (9.6.8) будет обла-
обладать конформной бесконечностью.
Многие метрики, исследуемые в связи с гравитационным
излучением, фактически имеют форму (9.6.8). В частности, это
относится к оригинальным метрикам, построенным Бонди с

414 ГЛАВА 9
сотрудниками [26, 27, 298, 296, 224]. Эти метрики описывают
(асимптотически евклидово) пространство-время с источниками
и уходящим гравитационным излучением. В таких простран-
пространствах может присутствовать и приходящее гравитационное из-
излучение (соответствующим образом уменьшенной длительно-
длительности). Кроме того, в них может быть негравитационное (напри-
(например, электромагнитное или нейтринное) излучение безмассового
поля. Во всех этих случаях следует ожидать существования
изотропной конформной бесконечности будущего #+. В случае
обращенного времени можно ожидать существования Sf—. Воз-
Возможен также довольно обширный класс «физически приемле-
приемлемых» ситуаций, в которых могут существовать обе бесконеч-
бесконечности ЗГ+ и Sf-. Правда, высказывалось (см., например, работу
[19]), что допущение существования границы Sf— может ока-
оказаться излишне жестким ограничением поведения уходящего
излучения в бесконечно отдаленном прошлом. Можно даже
привести примеры с бесконечными цугами волн, в которых не
может быть одной из границ 5Г± или обеих. Но вопрос о «физи-
«физической приемлемости» таких вариантов зачастую оказывается
делом вкуса1). Сама по себе асимптотическая евклидовость
(flatness) является некой математической идеализацией; мате-
математическое удобство и простота описания представляют собой
важные критерии отбора подходящей идеализации.
Асимптотически плоские пространства-времена рассматри-
рассматриваемого здесь типа образуют наиболее важный подкласс таких
пространств-времен. Пространства-времена, относящиеся к это-
этому подклассу, называются (слабо) асимптотически простыми
[234, 237]. Пространство де Ситтера и некоторые пространства,
являющиеся асимптотически деситтеровскими, тоже попадают
под это название. Определение асимптотически простого про-
пространства-времени таково.
Определение
Пространство-время Ж с метрикой gab называется
k-асимптотически простым, если существуют гладкое
(класса Ck+X) многообразие с границей Ж, имеющее мет-
метрику £аь, скалярное поле Q и граница 3 = дЖ, такие, что:
1) Есть, правда, один класс физических ситуаций, которые следует счи-
считать «физически приемлемыми» независимо от чьего-либо вкуса, но для ко-
которых остается открытым вопрос о существовании или регулярности гра-
границы 9~. Типичный пример систем такого класса — два связанных гравита-
гравитационным взаимодействием тела, которые приходят из бесконечности (i~)
по почти гиперболическим орбитам, встречаются и снова уходят на бесконеч-
бесконечность (£+), причем их встреча сопровождается запаздывающим гравитацион-
гравитационным излучением [355].

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 415
а) JC=intJ(,
б) йаЬ = &2ёаЪ в Л, _
в) Q и g-ab — поля, всюду гладкие (класса Ck) в Ж,
2)Q>0eI;aQ = 0, VaQ=7^=0 на границе Sf,
д) всякая изотропная геодезическая в Ж достигает кон-
концевых точек будущего и прошлого на Sf. (9.6.11)
Точная степень дифференцируемости !) на & зачастую не будет
нас интересовать (в большинстве случаев достаточно иметь
& = 3). Условие «д» гарантирует, что граница Sf описывает всю
изотропную бесконечность. (Если бы его не было, то под данное
определение подходило бы любое гладкое пространство-время
с Ж =Ж, £2=1 и Sf = ф.) Однако в некоторых случаях условие
«д» оказывается слишком жестким — например, при исследова-
исследовании черных дыр; даже вне шварцшильдовского горизонта
г = 2гп существуют круговые (фактически спиральные) изотроп-
изотропные орбиты сг = Зпг, которые, подобно аналогичной (но не гео-
геодезической) изотропной кривой, рассмотренной в конце § 1, не
достигают границы Э'. Чтобы такие ситуации не оказались не-
неохваченными, приходится смягчать условие «д». Так, например,
слабо асимптотически-простое пространство-время Ж [242] —
это пространство, которое допускает конформную бесконечность
асимптотически простого пространства-времени, но может до-
допускать и другие «бесконечности»; точнее говоря, для таких
пространств Ж существует асимптотически-плоское пространство
Ж', такое, что в окрестности Q' границы 3f' в Ж' кусок Q''Г\Ж'
изометричен подмножеству пространства Ж. Но и в таком виде
данное условие может оказаться не вполне удовлетворительным
[103], поскольку не сделано никаких предположений относитель-
относительно «физической приемлемости» вспомогательного пространства
Ж'. Гипотеза асимптотической простоты весьма плодотворна в
основном, лишь когда она дополнена эйнштейновскими уравне-
уравнениями поля (с «физически приемлемыми» источниками); доста-
достаточно мягко ужесточить условие «слабой асимптотической про-
простоты» можно, наложив подходящие (но намного более мягкие)
ограничения «физической приемлемости» не только на Ж, но и
на Ж' (например, вполне достаточно слабого энергетического
условия или условия изотропной сходимости на Ж', требующего,
чтобы для любого изотропного вектора 1а выполнялось соотноше-
соотношение Rablalb^0. Один из предложенных альтернативных подходов
') Напомним, что «класс С*» означает существование непрерывной й-й
производной, причем допускаются значения k = оо (производные произвольно
высокого порядка) и k = а» (действительно-аналитическая функция).

416 ГЛАВА 9
[101, 103] сводится к наложению определенных дополнительных
условий непосредственно на структуру границы ЗГ — например,
(сильного) асимптотического эйнштейновского условия [фор-
[формула (9.6.21) и текст после формулы (9.6.37)] или требования
бесконечной протяженности [определение (9.8.1)] образующих
изотропной границы Э — но априори не ясно, какими должны
быть эти ограничения. Мы такого рода условия вводить не бу-
будем. Удивительно, сколько сложной и важной асимптотической
структуры привносится, если весьма мягкое условие (слабой)
асимптотической простоты пространства Ж дополнить всего
лишь требованием, чтобы в некоторой окрестности границы 3
в Ж выполнялись (вакуумные) уравнения Эйнштейна1).
Для большей общности будем рассматривать эти уравнения
с космологическим членом. Кроме того, до поры до времени
предположим, что в окрестности границы 3 есть какие-то без-
безмассовые материальные поля. [В случае скалярного безмассо-
безмассового поля будем пользоваться конформно-инвариантным вари-
вариантом F.8.30) с тензором энергии F.8.36).] Тогда Таа = 0 и,
пользуясь уравнениями Эйнштейна D.6.32), мы вблизи границы
3 получим
/? = 4Я, т. е. Я = 6Л (9.6.12)
(слова «вблизи границы Зг» означают на пересечении Ж[\Ж
для некоторой окрестности Ж границы 2f в пространстве Ж).
Формула F.8.22) вблизи границы Sf дает
Раь = Раь + Q-'VaV6Q - -i- Q-2£a6VcQVcQ (9.6.13)
(относительно последнего члена этой суммы напомним, что в со-
соответствии с правилом т. 1, гл. 5, § 6 индексы величин со «шляп-
«шляпками» поднимаются с помощью тензора gab, а опускаются
с помощью йаь)- Величина РаЬ =A/12)/? gab — (\/2)Rab была
введена в формуле F.8.12). Из условия (9.6.12) вблизи границы
Sf следует равенство
Ра"=--тК (9.6.14)
откуда в результате трансвекции выражения (9.6.13) с метри-
метрикой gab = Q2gab вблизи границы Sf получаем
— ~ к = Q2Paa + QVaVaQ — 2VaQVaQ. (9.6.15)
о
') Если предполагается, что выполняются вакуумные уравнения Эйнштей-
Эйнштейна, то становится излишним третье условие в п. «г» определения асимптоти-
асимптотической простоты (9.6.11), а именно условие отличной от нуля производной
конформного множителя Я на границе Э'. Это условие тогда оказывается
следствием из приводимого ниже уравнения (9.6.21) и даже просто из урав-
уравнения (9.6.17), если отлична от нуля космологическая постоянная.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 417
На границе 3 конформный множитель Q равен нулю, а его про-
производные со «шляпкой» и все компоненты тензора кривизны
со «шляпками» в силу требования «в» определения (9.6.11) с
k^2 конечны (непрерывны). Так что, положив
Na:=-VaQ (9.6.16)
(знак минус взят для удобства в последующем), получим
NaNa = ±-X на границе 3. (9.6.17)
Согласно требованию «г» . определения (9.6.11), мы имеем
jRa =И= 0 на & и, будучи ортогональным каждому локусу Q =
= const, вектор л/"а определяет нормаль к границе У в каждой
ее точке. Таким образом, при k ^ 2 уравнение (9.6.17) приводит
к следующему предложению.
Предложение
Если след тензора энергии вблизи границы Sf равен нулю,
то граница 3f пространственноподобна, времениподобна
или изотропна в зависимости от того, положительна, отри-
отрицательна или равна нулю космологическая постоянная X.
(9.6.18)
Оно справедливо при несколько более мягких условиях [237].
Когда граница 2f пространственноподобна или изотропна,
она состоит из двух кусков ЗГ+ и 2Г~. Точка границы 3 лежит на
гиперповерхности 2f+ [или 3f~\, если внутренняя часть ее све-
светового конуса прошлого [будущего] лежит в Ж. Следовательно,
точки гиперповерхности 2Г+ [или Sf~\ можно характеризовать
структурами в Ж, а именно как ГНП [или ГИБ] (см. случай
пространства Минковского в § 1). Во времениподобном случае
(А < 0) всякая точка границы .З^ проявляется и как ГНП и как
ГНБ. До недавнего времени1) казалось, что времениподобный
случай наименее интересен с физической точки зрения. Приме-
Примером такого случая может служить антидеситтеровское простран-
пространство (см. § 5), но оно никогда всерьез не рассматривалось как
модель реальной космологической структуры. Стандартные
космологические модели с Я < 0 — это все модели с фазами рас-
расширения и коллапса и сингулярными началами и концами, с ко-
которых ни один луч не достигает бесконечности. Обычное десит-
теровское пространство имеет пространственноподобные гранич-
граничные гиперповерхности 3-л вследствие -чего, как уже упоминалось
в § 5, в нем имеются горизонты частиц и горизонты событий.
*) Анализ этого случая можно найти в работе [8] и других работах,
которые в ней цитируются.

418 ГЛАВА 9
Мы видели, что горизонты могут соответствовать также сингу-
сингулярным (а не регулярным) граничным точкам, примером чему
служат горизонты частиц во всех стандартных моделях с боль-
большим взрывом. Ряд таких пространств-времен могут подходить
под определение (9.6.11), но с соответствующим образом моди-
модифицированными условиями «в» и «г»: стандартный большой
взрыв соответствует пространственноподобной граничной гипер-
гиперповерхности «&» с Q = оо (см. § 5).
Существование двух разъединенных частей 3+ и 3~ гра-
границы 3, когда она пространственноподобна или изотропна, по-
позволяет уточнить требования дифференцируемости в случае
(слабой) асимптотической простоты. Будем говорить, что про-
пространство Ж [слабо] (*)-асимптотически простое, если на ги-
гиперповерхности 3+ выполняются условия [слабой] k-асимптоти-
ческой простоты, а на гиперповерхности 3~— условия [слабой]
/-асимптотической простоты. (При решении задачи о гравита-
гравитационном излучении иногда делают допущение различия в свой-
свойствах дифференцируемости на 3+ и 3~.) Если нас интересует
только дифференцируемость на 3+, то можно говорить о [сла-
[слабой] k-асимптотической простоте будущего (и о соответствую-
соответствующем понятии для 3~).
Наибольший интерес представляет случай изотропной гра-
границы 3, ибо он существен при анализе асимптотически-плоских
пространств-времен. Справедлива следующая теорема [237,
100],
Теорема
В любом асимптотически-простом пространстве-времени
со всюду изотропной границей 3 каждая из гиперповерх-
гиперповерхностей 3± имеет топологию
а лучи, которые являются образующими гиперповерхности
3-, могут быть взяты в качестве множителей R этого то-
топологического произведения.
(9.6.19)
Таким образом, каждая из гиперповерхностей 3^ содержит S2
изотропных образующих и топология этих гиперповерхностей
почти идентична топологии пространства Минковского. Заметим,
что две точки гиперповерхности 3+ [или 3~] лежат на одной
и той же образующей в том и только в том случае, когда одно
из соответствующих ГНП [или ГНБ] содержит другое. Этим
асимптотически-простое пространство-время с изотропной грани-
границей 3 и отличается от асимптотически-плоского пространства-
времени с пространственноподобной границей 3,

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 419
Вакуумные уравнения; асимптотическое эйнштейновское условие
Чтобы сделать более конкретные выводы о структуре гра-
границы Sf, предположим, что вблизи границы 3f выполняются ва-
вакуумные уравнения Эйнштейна. Если принять вблизи границы
Sf другую, более общую систему уравнений, скажем уравнения
Эйнштейна — Максвелла, то следствия будут почти такими же,
но получить их будет значительно сложнее [237]. Поэтому при
исследовании свойств границы 3 мы ограничимся вакуумными
уравнениями Эйнштейна. При наличии же материальных полей
мы просто примем, что эти свойства границы У по-прежнему
имеют место.
Из выражения F.8.24), являющегося бесследовой частью
тензора (9.6.13), следует соотношение
Фаь = &аь + Q"'V^ WVB, b'Q. (9.6.20)
Вакуумные уравнения Эйнштейна, учитывающие возможность
существования космологической постоянной, принимают форму
Фай = 0. Поэтому, умножив обе части равенства (9.6.20) на Q
и заметив, что тензор ФаЬ должен быть непрерывным на гра-
границе & (и полагая k ^ 2), мы получим следующее важное урав-
уравнение, которое (вне зависимости от выполнения вакуумных урав-
уравнений) будем называть асимптотическим эйнштейновским усло-
условием:
У A' (aVB) b'Q ss 0 т. е. VaV6Q s -L £a6VcVcQ. (9.6.21)
Здесь введено обозначение «слабого равенства»1)
А\\\о*В\\\. (9.6.22)
Его следует понимать так, что тензорные или спинорные поля
А\\\ и В\\\ на Ж равны, когда они ограничены на Sf, т. е. что
А\\\ — В\\\ = 0 на границе Э'. При дифференцировании слабого
равенства следует помнить, что новое слабое равенство можно
получить, только если брать тангенциальные производные. Так,
из слабого равенства (9.6.22) следует слабое равенство
, (д.6.23)
но не следует слабое равенство VaA.'.\ ^ VaB.... В дальнейшем
мы можем опускать фразу «вблизи границы 3f?> всюду, где ис-
используется обычный знак равенства («строгое равенство»), так
как при этом предполагается, все все выкладки выполнены в
некоторой окрестности Ж границы У в пространстве Ж.
4) В оригинале «слабое равенство» обозначается символом ««», а при-
приближенное— символом «=».—Прим. ред.

420 ГЛАВА 9
Очевидно, что операция ковариантного дифференцирования
строгого равенства между величинами (гладкости С1) будет
корректной всегда и ведет к новому строгому равенству. Отме-
Отметим очевидное слабое равенство
Q=*0. (9.6.24)
Кроме того, теперь можно переписать соотношение (9.6.17)
в виде
ffjfa es з х- (9.6.25)
Асимптотическое эйнштейновское условие (9.6.21) можно
записать в форме .
Va- uNB) в- эй 0, т. е. VaNb <* -J- gabVcNc. (9.6.26)
Эти слабые равенства показывают, что векторы fta бессдвиго-
бессдвиговые [и без вращения, но это следует непосредственно из опре-
определения (9.6.16)]. В случае изотропной границы & можно по-
положить
Nb^AiBiB', (9.6.27)
где А — отличный от нуля скаляр, положительный на гиперпо-
гиперповерхности ЗГ+ и отрицательный на ЗГ-. Тогда, свернув первое
слабое равенство в (9.6.26) с \А\В и воспользовавшись стандарт-
стандартными обозначениями спиновых коэффициентов из т. 1, гл. 4,
§ 5 (со «шляпками»), получим
а'^0. (9.6.28)
[Кроме того, можно получить слабые равенства й'^Ои р as р',
которые являются лишь иной формулировкой факта изотроп-
изотропности гиперповерхностей 3f-\ см. формулу G.1.58) и далее.]
Слабое равенство (9.6.28) является условием бессдвиговости
для изотропной гиперповерхности. В силу изложенного в гл. 7,
§ 1 (см. рис. 7.2) из него следует формулируемое ниже предло-
предложение.
Предложение
Если Rab = 0 вблизи границы 3, то любые два сечения
гиперповерхностей 3?± конформно отображаются друг на
друга образующими гиперповерхностей Э-. (9.6.29)
Согласно теореме (9.6.19), все эти сечения имеют топологию
сферы S2, так что два пространства-множителя S2 в топологи-
топологическом произведении, точки которых представляют различные
образующие гиперповерхностей 3+ и &~, являются конформ-
конформными сферами. Можно привлечь классическую теорему Римана,

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 42:1
чтобы в результате изменения масштабов привести две эти мет-
метрики к метрике единичной евклидовой 2-сферы, а затем при же-
желании можно предположить, что наш исходный выбор конформ-
конформного множителя Q был сделан уже с учетом этого. Если на
евклидовой 2-сфере ввести сферические полярные координаты
0, ф или эквивалентную стереографическую координату
iWctg-fe, (9.6.30)
то метрику, индуцированную на гиперповерхности 3/+, можно
записать в виде
dl2 = —ds2 = dQ2 + sin2 0 d<f>2 + 0 • du2 =
где и — координата запаздывающего времени. Соответствующая
метрика на 3~ получается при замене координаты и координа-
координатой опережающего времени v. Поскольку метрика сечения &+,
представленная формулой (9.6.31), не меняется вдоль образую-
образующих этой гиперповерхности, в дополнение к а' =0 мы полу-
получаем р'=0 (см. рис. 7.2).
Обращение в нуль тензора Вейля на границе 3f
Еще одно важное свойство границы У можно сформулиро-
сформулировать в виде следующей теоремы (справедливой при к^З).,
Теорема
Если Rab = Xgab вблизи &, то СаЬЫ ^ 0. (9-6.32)
Доказательство: Прежде всего вспомним, что вакуумные тож-
тождества Бианки в спинорной форме имеют вид VAA'x¥abcd = Q
[формула D.10.9)]. Из формул F.8.4) и F.8.8) следует, что
^4' A =? 0 в Ж, т. е. [формула G.3.42)] ::
aa'Q, ..: , (9,6.33)
что в силу непрерывности имеет место и на границе 3'. Следо-
Следовательно,
AAf : (9.6.34)
Если К=£0, то «матрица» NAA не сингулярная [формула
(9.6.25)] и может быть инвертирована (вообще говоря,
NAA' • QX~lN№ = &£*), откуда, следует, что ЧАВсо = 0, и мы при-
приходим к искомому результату.

422 ГЛАВА 9
Случай X = О сложнее и частично связан с глобальным ре-
результатом, требующим существования топологии (9.6.19). Сла-
Слабое равенство (9.6.34) с учетом сообщения (9.6.27) дает
^abcd^^O, (9.6.35)
т. е.
^^ (9-6-36)
при некотором W. Дифференцируя еще раз (9.6.33) и используя
(9.6.24), получаем
^ NAA'
Опустив индекс А', просимметризовав по индексам А'Е' и вос-
воспользовавшись уравнением, комплексно-сопряженным первому
уравнению (9.6.26), мы после применения тождества для спино-
спиноров е [формула B.5.20)] получим
откуда в силу выражения (9.6.27) и предложения C.5.15) сле-
следует, что
JAVae>$ebcd^0- (9.6.37)
Таким образом, на любом сферическом сечении границы 3
(с ортогональным ему флагштоком спинора бл) имеет место
уравнение вида d'W— 0, где величина W, будучи определенной
соотношением (9.6.36), имеет спиновый вес, равный 2. Но тогда
из предложения D.15.59) следует, что Чг = 0 на сфере, след-
следствием чего оказывается слабое равенство (9.6.36) с равной
нулю правой частью, т. е. спинор Wabcd на границе & равен
нулю, чем и завершается доказательство теоремы.
Условие Wabcd ^ 0 вместе с соотношением (9.6.26) мы будем
называть сильным асимптотическим эйнштейновским условием—
вне зависимости от того, выполняются ли вакуумные уравнения
вблизи границы Э'.
Равенство нулю вейлевой кривизны на границе & приводит
к важному следствию, которое вытекает из формулируемого
ниже общего результата.
Лемма
Пусть Ж есть (слабо) k-асимптотически-простое
пространство, а Ж — окрестность границы 3 в про-
пространстве Ж. Предположим, что ТЛ е ©^ [Ж] {причем
т
г <I k) удовлетворяет слабому равенству ТЛ ^ 0.
Тогда существует £/■* е ©■* [Ж], такое, что Qf/"* = Г*.
(9.6.38)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 423
Здесь ®л есть символ модуля спинорных полей с индексами г
типа «я£ и класса гладкости Сг, а [Ж]— обозначение полей,
ограниченных на множестве Ж. Согласно этой лемме, всюду, где
гладкое поле Тл удовлетворяет слабому равенству Т^^О, мы
вправе определить поле £/"€ = Q~17"*. Справедливость леммы
следует непосредственно из хорошо известного положения ана-
анализа: если f(x°, х1, ..., хп)—функция класса Сг (г>0), опре-
определенная на некотором открытом подмножестве °и простран-
пространства Rn+l, обращающаяся в нуль при х° = 0, то выражение
(x°)-lf(x°, ..., хп) определяет функцию класса С-1 на °U, где
г = 1, 2, ..., оо или со (с оо — 1 = оо, со — 1 = со). Чтобы при-
применить этот результат к спинорному полю Р*, достаточно вы-
выбрать координаты в Ж с х° = Q и базис класса Сг, а затем при-
применить это положение анализа по отдельности каждой компо-
компоненте. Это можно сделать при условии, что r ^ k [формула
(9.6.11)].
В гл. 6, § 8 конформное поведение спинора Вейля Wabcd
противопоставлялось поведению безмассового поля флвсо со спи-
спином, равным 2 [формулы F.8.4) и F.8.6)]. Поскольку вакуум-
вакуумные тождества Бианки — это просто уравнения для безмассового
поля со спином, равным 2, мы вправе ввести специальное без-
безмассовое поле со спином 2
*ABCD = yPABCD- (9.6.39)
Но при конформном изменении масштаба желательно было бы
положить
ЪаВСО = QT^ABCD = &~lWABCD = Q^W ABCD, (9.6.40)
так как тогда сохранялись бы уравнения безмассового поля для
iIPabcd- Из теоремы (9.6.32) и леммы (9.6.38) следует важный
вывод.
Теорема
Поле $>Abcd продолжило до поля, непрерывного
(класса Ck~3) на границе &. (9.6.41)
Заметим, что, согласно формуле (9.6.40), поле ^abcd на 2f мож-
можно получить с помощью производной вейлевой кривизны на 2f:
~ Vaa^bcde = ЯаАвсов- (9-6-42)
Поле 1|завсо можно рассматривать как гравитационное поле со
спином, равным 2. Различные компоненты поля ^abcd на гра-
границе 3 имеют очень важное значение в теории гравитационного
излучения. Относительно физической метрики gab пространства
JC их можно интерпретировать как последовательное вырожде-

424 ГЛАВА 9
ние Сакса (Sachs peelig property) [297, 298, 234, 237, 217].
Представляет интерес рассмотреть это свойство несколько шире,
чем это требуется в случае гравитационного поля, чем мы сей-
сейчас и займемся.
§ 7. Последовательное вырождение
Допустим, мы имеем произвольное поле &а ...нк'... Q', кото-
которое можно считать конформной плотностью веса, —w, т. е.
6... = Q-al9..., (9.7.1)
и пусть 8... — поле, непрерывное [класса С" (О ^ h s£L k — 1 ^
^2)] в точке РеУ. Будем предполагать наличие (слабо)
^-асимптотической простоты1) и асимптотического эйнштейнов-
эйнштейновского условия (9.6.21), И пусть 7 — полный в пространстве JC
луч с одной концевой точкой, совпадающей с точкой Ре^.но
касающийся в точке Р границы 3 (такое касание возможно
только в лишенной физического смысла ситуации с «вогнутой»
времениподобной границей &). Выберем (как в гл., 7) парал-
параллельно переносимую вдоль луча 7 спиновую систему отсчета
(оА, И) с касательным к у флагштоком
/e = oV. (9.7.2)
Пусть г — аффинный параметр, ассоциированный с 7:
Dr = laVar=\. (9.7.3)
Тогда, если 8 — любая компонента поля 8д.... Q', имеющая в об-
общей сложности q нулевых индексов @ или 0'), то
. w+q+h
8= 52 Qr~l + о (r-w-i-h), (9.7.4)
t+ i
где каждая из величин 8 остается вдоль луча 7 постоянной2).
Особо отметим, что старший член этого разложения кратен ве-
величине l/rw+i.
. Мы докажем ниже сформулированное нами утверждение, но
сначала укажем его частную интерпретацию в случае безмассо-
безмассовых полей с произвольным спином. Предположим, что спинор
Фа..л имеет п симметризованных индексов, конформный вес
4) Если точка Р лежит на гиперповерхности ЗГ+ [или на Sf—\ то нам
фактически нужна лишь (слабо) ft-асимптотическая простота будущего [или
прошлого]. . .- - :
^.Символ порядка величины о (г-") означает величину, произведение
которой на г" при больших |г|, т.е. в точке Р, стремится к нулю. Аналогич-
Аналогично, О(г~п) есть величина, произведение которой на г" при больших \г\
остается конечным. - - -

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 425
w =—1 [в силу формулы E.7.17) и т. д. это делает уравнение
для безмассового поля конформно-инвариантными] и что
ФА L — непрерывное (класса С0) поле в точке Р. Тогда различ-
различные компоненты этого спинора ф0 := ^00 0, ф1 := ^10 0, ...
..., Фп:=Фп. .1 ведут себя следующим образом:
фо = фог-n-r + о (г—% ф{ = ф\г~« + о (г—), ....
Фп = Ф°пг~1 + о(г-1), (9.7.5)
причем все ф\ постоянны на луче у. Если допустить, что фА L
есть поле класса С" в точке Р, то, согласно формуле (9.7.4), мы
получим
ФА ь = £фл...1.г-1 + о(г-»), (9.7,6)
где каждый коэффициент фА ^ параллельно переносится вдоль
У и
В
Ф
Вспомнив предложение C.5.26), можно показать, что часть
ФА L поля фА L> имеющая порядок г~', обладает как мини-
минимум (а в ббщем случае точно) п — Г+Л главными изотропными
направлениями, указывающими вдоль направления луча у, т. е.
вдоль 1а [297, 298, 217, 234, 237]). При этом часть поля, имею?
щая порядок г"' («поле излучения»), изотропна. Мы приходим
к следующему наглядному представлению (рис. 9.19): при дви-
движении вдоль изотропного луча 7 от больших значений г к ма-
малым под нарастающим влиянием членов все более высокого по-
порядка главные изотропные направления одно за другим «от-
«отслаиваются» («peel off») от радиального направления1). Такая
картина не совсем соответствует действительности, ибо точная
форма последовательного вырождения дается всей совокуп-
совокупностью соотношений (9J.5) — (9.7.7). Различными старшими
членами ф\ в формуле (9.7.5) даются различные компоненты
спинора фА L в точке Р. Однако истинный характер этой связи
станет яснее лишь после доказательства существования разло-
разложения (9.7.4).
') Если двигаться вдоль луча у в противоположном направлении, т.е. в
направлении уменьшения кривизны, то кратность ГИН будет нарастать/^т-
иными словами, будет происходить последовательное вырождение (см. гл. 8).
Поэтому, хотя слова «peeling property» буквально переводятся как «свойство
отслаивания», мы предпочли перевод «последовательное вырождение», —
Прим. перев.

426
ГЛАВА 9
r~l- Член
Рис. 9.19. Последовательное вырождение Сакса: изменение вдоль уходящего
луча кратности радиальных ГИН вейлевой кривизны для различных членов
разложения по отрицательным степеням параметра г.
Параллельно переносимые спиновые системы отсчета
Это доказательство опирается на процедуру сравнения па-
параллельных переносов спиновых систем отсчета вдоль луча у
относительно двух метрик gab и gab. Прежде всего отметим, что,
взяв
бл = °л> б =Q~1o , т. е. 1а = 1а* /° = Q~2/a (9.7.8)
[формула (9.7.2)], мы тем самым обеспечиваем сохранение вида
уравнения параллельного переноса DoA = о: Ьод = Q~2lb (VboA—
— Тав'Ов) = Q~2Doa, где учтена формула E.6.15). Тогда, допол-
дополнив бд до полной спиновой системы отсчета, FА, iA), положим
D6A = 0, DiA = 0, (9.7.9)
где, для сохранения нормировки с (9.7.8) принято, что при не-
некотором v выполняется равенство
~lA = lA—VOA. (9.7.10)
Согласно формуле E.6.15),
0 = DiA = D
= lb
= 0 — oAoB"lcQ
~l
D (voA) =
+ oADv + 0,
откуда
где
(9.7.11)
(9.7.12)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 427
Сравнение аффинных параметров
Теперь сравним аффинные параметры на 7- Пусть г — ассо-
ассоциированный с 1а [формула (9.7.3)] аффинный параметр на
луче у с началом в точке Р:
fs*O, Dt=\. (9.7.13)
(Символ ^ теперь означает «равенство в точке Р»; нас не инте-
интересует происходящее на другом конце луча у.) Согласно усло-
условию «г» определения (9.6.11), flsO и й/^sO. Кроме того,
предполагается отсутствие контакта между лучом у и границей
Э'. В результате имеем
^§ = ~А, (9.7.14)
где А — некоторая не равная нулю величина (постоянная вдоль
у). Отметим, что
i i ±- А, (9.7.15)
так что эта величина А в изотропном случае совпадает с кон-
концевым значением А в формуле (9.6.27). Поскольку Q — гладкая
функция класса Ск, можно написать
Q = - At — А2Й —Аз?3— ... — Akfk + о (/»*), (9.7.16)
где А, А2, ... — постоянные. Но так как вектор ta изотропен и
О1а = 0, из асимптотического эйнштейновского условия (9.6.21)
следует, что
О s MbVaVbQ, = laVa {lbVbu) = D2Q, (9.7.17)
так что в выражении (9.7.16)
Л2 = 0. (9.7.18)
Но
£ = Df= Q2Df = Q2, (9.7.19)
откуда в силу соотношений (9.7.16), (9.7.18) следует выражение
= \ t~2 {A + A3f2 + V + ... + Ak?k~» + о (Г»'1)}-2 dt =
(9.7.20)

428 ГЛАВА 9 "
где все коэффициенты В ж С постоянны на у, aC0-постоянная
интегрирования. Обращение формулы (9.7.20) при больших г
дает .'-.,•
/ = - A~2r~l + D2r-3 + D3r~3+ ... +РьГк+:о(Гк)._ (9.7.21)
Подставив это выражение в формулу (9.7.16), получим
Q = A~lr~l + Е2г~2 + E3r~3 +-...+ Ekr~k + о (г~к), -(9.7.22)
причем все коэффициенты D и Е снова постоянны на у.
Формулой (9.7.22) доказывается сделанное в § 1 утвержде-
утверждение о том, что конформный множитель вдоль любой изотропной
геодезической изменяется обратно пропорционально ее аффин-
аффинному параметру. При этом rQ-*-A~l, но выражение (9.7.22) по-
позволяет значительно детальнее проанализировать поведение
конформного множителя. (Разумеется, можно выбрать масштаб
параметра г так, чтобы получить значение А = 1, если в этом,
конечно, есть необходимость.) Примечательно, что вытекающее
из вакуумных уравнений Эйнштейна асимптотическое эйнштей-
эйнштейновское условие (9.6.21) является необходимым условием исклю-
исключения логарифмического члена из выражений (9.7.20) — (9.7.22),
ибо именно оно гарантирует выполнение равенства (9.7.18).
Не менее интересно, что то же эйнштейновское условие (9.6.21)
исключает второй возможный источник логарифмических чле-
членов, теперь уже при сравнении двух спиновых систем отсчета,
к которому мы сейчас и перейдем.
Сравнение спиновых систем отсчета
Из (9.7.10) и (9.7.8) следует соотношение
И =1* + yQoA. (9.7.23)
Выберем коэффициент v так, чтобы выполнялись условия vQ—»-0
в точке Р, поскольку в этом случае две спиновые системы от-
отсчета будут согласованы вРв том смысле, что оа = оа и И s И.
Вследствие этого коэффициент ц в (9.7.11) в точке Р должен
быть равен нулю, иначе интегрирование уравнения (9.7.11) да-
давало бы величину v, ведущую себя в точке Р как не равное
нулю кратное множителя Q-1. Согласно формуле (9.7.12), это
означает, что спинор Nbb' должен быть линейной комбинацией
СПИНОРОВ ifilB' И OBOB' = tb, Т. в.
Nb^Mb + -jlA~4b, (9.7.24)
где коэффициент А определяется как в формуле (9.7.15) [и
(9.6.27)], а второй коэффициент определяется формулой

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 429
/л
Прас/пранственноподобная
Изотропная бесконечность' J" бесконечность f
Рис. 9.20. Когда гиперповерхность 3+ изотропна, направление вектора А"
в точке на 3f+ не зависит от выбора луча у, но это перестает быть верным,
если гиперповерхность Sf+ пространственноподобна (или времениподобна) —
плоскость, натянутая на изотропные векторы А" и /а, должна быть такой,
чтобы она содержала нормаль N" к 2Г . Это означает, что определение
поля излучения (член, изменяющийся как г~1) в случае пространствениопо-
добной (или времениподобной) гиперповерхности 2f+ менее инвариантно, не-
нежели в случае изотропной.
(9.6.25). Когда граница & изотропна, это означает, что вектор
ha считается направленным вдоль изотропного направления бу-
будущего на 2f. Если же граница Sf не изотропна (и во времени-
подобном случае не касается луча у), то изотропный вектор
будущего па можно выбрать так, чтобы он лежал во времени-
времениподобной 2-плоскости, натянутой на векторы ta и #а, но, разу-
разумеется так, чтобы он отличался от 1а (рис. 9.20).
При таком подходе tj = 0, и на первый взгляд кажется, что
интегрирование уравнения (9.7.11) должно давать величину v,
ведущую себя в точке Р как In Q. При таком поведении мы
получили бы требуемое в формуле (9.7.23) условие vQ>—»-(), но
оно портит форму степенного ряда для членов высших порядков
в формуле разложения компонент (9.7.4). Однако на самом деле
оказывается, что коэффициент г\ стремится в точке Р к нулю
как величина, квадратичная по конформному множителю, и в
результате логарифм исключается. Чтобы в этом убедиться, рас-
рассмотрим разность двух частей слабого равенства (9.7.24). Со-
Согласно лемме (9.6.38), существует определенный вдоль луча 7
ковектор Qb (класса гладкости Ck~2), такой, что
± (9.7.25)
Если применить к этому равенству операцию ковариантного
дифференцирования (с оператором Vc), а полученный результат
свернуть со спинором бсбвбс', то, воспользовавшись еще раз
первым асимптотическим эйнштейновским условием (9.6.21) и
формулой (9.7.15), мы получим
(9.7.26)

430 ГЛАВА 9
откуда в соответствии с формулой (9.6.38) следует равенство
— Qbb'ibob' = Qfx, (9.7.27)
где (j, — непрерывный (класса С*-3) на луче у скаляр. Подста-
Подставив (9.7.27) и (9.7.25) в (9.7.12) мы, как и утверждалось, по-
получим
Л = Й2Ц. (9.7.28)
Тогда из (9.7.11) следует регулярное (класса Ск~2) в точке Р
выражение
v=[^dh (9.7.29)
Теперь на основании формул (9.7.23) и (9.7.22) можно написать
разложение вида
/ = ХА + {Г\ +...+ г-*+Ч-1 + о 0-*+1)}бл, (9.7.30)
причем коэффициенты vb ..., vk-i постоянны вдоль луча у.
В то же время из (9.7.8) следует равенство
ол = Й6А. (9.7.31)
Доказательство свойства последовательного вырождения
Теперь мы в состоянии доказать равенство (9.7.4). Поскольку
величина Qa... нк... Q' считается непрерывной функцией класса
Сн в точке Р ее можно представить в виде ряда
6... = ё... + гв... + ■ ■■ +rhQ ... +o(fh). (9.7.32)
о 1 ft
Рассмотрим типичную компоненту [имеющую в общей слож-
сложности q равных нулю индексов @ и 0')]
e = eo...oi...io'...o'i'...i' (9.7.33)
поля 6л...q' относительно спиновой системы отсчета (ол, И) и
соответствующую компоненту
9 = ®о ..."о? ..Л'3'...'о'Т..Л' (9.7.34)
поля 6л... Q' относительно спиновой системы отсчета (бл, Гл).
Разложение (9.7.32) имеет место для любой компоненты поля,
так что
ёft ft (9.7.35)
+ +
0 1 ft
причем каждая величина 6 постоянна вдоль у. Если Qa...Q' —
конформная плотность веса — w [формула (9.7.1)], то
6 = Йшё0... 01... ю-... w... 1-, (9.7.36)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 431
причем компоненты получаются в результате свертки с оЛ, iA и
с комплексно-сопряженными им спинорами. Подставляя после-
последовательно (9.7.30), (9.7.31), (9.7.22) и (9.7.35) в (9.7.36), мы,
как и требовалось, получаем разложение (9.7.4). На этом и
заканчиваются наши несколько затянувшиеся рассуждения.
Поля излучений
Теперь мы, наконец, можем написать явный вид коэффи-
коэффициента Э в старшем члене разложения (9.7.4):
6 =A-W~q 6 ~A~W~% ?/. (9.7.37)
w+q w+q
Если выбрать А = 1 (выполнив при необходимости масштабное
преобразование г\—>Аг), то тогда старшие члены разложений
можно непосредственно отождествлять с различными компонен-
компонентами конформно-преобразованных полей на границе &. В слу-
случае гравитационного поля эти компоненты -фоооо, "vfoooi, •■-, фпп
и (при Л = 1) их можно отождествить с соответствующими
старшими членами Ч*}, Ч'?, ..., Ч^ разложений спинора Вейля
[формула (9.7.5)]
o X + о (г), ЛР1 =
W4 = W°4r~l + о (г-1) (9.7.38)
(см. ниже формулы в конце § 8). Следовательно, например, ве-
величина W°, которую мы вправе рассматривать как характери-
характеристику гравитационного излучения, может быть отождествлена
с компонентой спинора фдвсо на границе 3, получающейся в ре-
результате полной его свертки со спинором ХА. Аналогичная ситуа-
ситуация возникает в случае электромагнитного излучения в теории
Эйнштейна — Максвелла. Здесь асимптотическое эйнштейнов-
эйнштейновское условие (9.6.21) по существу снова является следствием
уравнений поля и асимптотической простоты, а преобразованное
в результате изменения масштаба полефдв конечно на границе
2f [237]. Так что последовательное вырождение имеет место и
в случае электромагнитного поля, излучение которого описы-
описывается компонентой спинора фДВ, получающейся в результате
полной свертки его со спинором ХА.
Отметим, однако, что в случае неизотропной границы & по-
понятие поля излучения не имеет вполне определенного смысла.
Достаточно беглого взгляда на рис. 9.20, чтобы убедиться, что
в этом случае направление вектора па, а значит, и спинора ХА
сильно зависит от выбора той или иной геодезической у, прохо-
проходящей через точку Р. Таким образом, в результате варьирования

432 ГЛАВА 9
лучей у, проходящих через Р, различные компоненты Ч\ сме-
смешиваются друг с другом. Если заменить луч у проходящей
через точку Р изотропной геодезической, касательным вектором
к которой в точке Р является вектор па, то обнаружится, что
порядок членов Ч™, W°v ..., Ч™ полностью обратится! (То же
самое имеет место для полей с иными спинами.) Но если гра-
граница & изотропна, то ситуация существенно улучшается. Прав-
Правда, при варьировании 7 компоненты W°t в какой-то мере сме-
смешиваются друг с другом, но лишь в сравнительно малой степени.
Характерно, что «радиационный» член Ч1^ остается неизмен-
неизменным, у W% появляется лишь одно новое слагаемое, кратное
^4» У ^2 появляются слагаемые, кратные Ч™ и Ч1^, и т. д. Это
связано с тем, что система отсчета (бл, 1Л) в Р заменяется систе-
системой (од + Ш1д, И) с некоторым ш. Соответствующим свойством
обладает и электромагнитное поле.
Когда граница Sf изотропна, существует удобное инвариант-
инвариантное описание полей излучений при любом значении спина.
Можно считать, что уходящее излучение описывается компонен-
компонентой Фп___1 на У+, а приходящее — компонентой фп_, l на &~
(флагшток спинора И в обоих случаях направлен по касатель-
касательной к границе 3). Напомним, что эти компоненты, когда они
используются на обычной изотропной гиперповерхности, а не
на изотропных бесконечностях будущего или прошлого 3^±, дают
изотропное значение E.1.11) рассматриваемого поля. Это ука-
указывает на то, что поле излучения {либо приходящего, либо ухо-
уходящего, но не обоих) должно отвечать соответствующим на-
начальным (или конечным) данным (для поля). Однако в неко-
некотором смысле более прямое влияние на поле во внутренней
части пространства-времени должна оказывать производная
V (или Ла^а) изотропного значения на Э', так как она входит
в обобщенную интегральную формулу Кирхгофа — Дадамера
E.12.6) для безмассовых полей в плоском пространстве-времени.
Конечно, при наличии конформной кривизны или нелинейностей
вопрос менее ясен. И тем не менее н случае скалярного поля,
согласно условию Зоммерфельда j[314], которое в сущности
требует равенства ^ф=0 на гиперповерхности 3f~ для любого
запаздывающего скалярного поля, эта производная безусловно
представляется наиболее подходящей мерой интенсивности поля
излучения. В случае больших спинов ситуация менее опреде-
определенна в силу иных соотношений между фп.. Л и потоком энер-
энергии [формула (9.10.13) и далее ].
Отметим, что последовательное вырождение возникает в дан-
данном исследовании в сущности из-за «бесконечного буста», кото-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 433
рый имеет место в пределе при приближении вдоль у к точке
Р, если сравнивать параллельно переносимую систему отсчета
(по отношению к физической метрике) с системой отсчета, для
которой конформно-преобразованное поле конечно на границе
Э'. В результате различные компоненты поля (на 2f) «вытяги-
«вытягиваются вовне» («spread out»), так что убывают как разные сте-
степени параметра г. Фактический конечный характер конформно-
преобразованного поля на Sf можно рассматривать как «правдо-
«правдоподобное» свойство конформно-инвариантных полей, поскольку
такое поле может эффективно распространяться через границу
&, «не замечая» ее.
В заключение отметим, что, как показано в работах [96, 97],
(слабо) асимптотическая простота будущего в случае вакуум-
вакуумных пространств-времен (с X = 0) допускает полную свободу
уходящего гравитационного излучения. Однако все же остается
неясным статус комбинированной регулярности для гиперпо-
гиперповерхностей 2f+ и 2f~.
§ 8. Группа БМС и структура гиперповерхности &+
Пространство-время Минковского М и рассмотренные в § 5
космологические модели допускают группы изометрий, пред-
представляющие значительный практический интерес. Правда, груп-
группа изометрий на произвольном пространстве-времени Ж— это
просто тождественное преобразование, так что ее наличие не
дает никакой существенной информации. Но группы симметрии
имеют большое значение в физике; в частности, группа Пуан-
Пуанкаре, описывающая изометрий пространства М, играет важную
роль в стандартных определениях энергии-импульса и момента
импульса. Уже одно это может служить основанием для поисков
обобщения концепции группы изометрий, пригодного в искрив-
искривленных пространствах-временах с теми или иными отклонениями
от регулярности.
В случае произвольного пространства-времени Ж вместо
группы Пуанкаре по историческим причинам часто рассматри-
рассматривают группу (или псевдогруппу), называемую «общей коорди-
координатной группой» (или, что эквивалентно, «группой диффеомор-
диффеоморфизмов»). Однако в данном контексте она практически беспо-
бесполезна, ибо слишком «велика» и сохраняет лишь дифференци-
дифференцируемую структуру пространства Ж, а не те или иные важные
физические свойства этого пространства. Значительно больший
интерес представляет концепция группы асимптотической сим-
симметрии. Она применима в любом пространстве-времени Ж, ко-
которое на бесконечности соответствующим образом стремится
либо к пространству-времени Минковского М, либо к подходя-
подходящей космологической модели Фридмана — Робертсона — Уоке-

434 ГЛАВА 9
pa. Суть этой концепции заключается в том, что, присоединив
к Ж подходящую конформную границу (либо &+ или 3~, либо
всю границу 3), мы можем получить такого рода асимптоти-
асимптотические симметрии в виде конформных движений границы, по-
поскольку наличие нужной нам группы симметрии у границы бо-
более вероятно, чем у самого пространства Ж. (Любая изометрия
пространства Ж проявляется, очевидно, как конформное дви-
движение границы, но конформные движения границы не обяза-
обязательно должно продолжаться в Ж каким-либо имеющим опреде-
определенный смысл образом.)
Параметры Бонда
Мы будем рассматривать лишь подходящие нам асимптоти-
асимптотически-плоские пространства Ж. Возьмем пространство Ж
с 3-асимптотической простотой будущего (см. § 6) и с изотроп-
изотропной гиперповерхностью У+, и пусть на нем выполняется сильное
асимптотическое эйнштейновское условие [формула (9.6.21)
вместе со слабым равенством Wabcd = 0], а также следующее
условие [103]: образующие гиперповерхности 3f+ имеют беско-
бесконечную протяженность. [Это дополнительное условие в данной
главе уже упоминалось после определения (9.6.11).] Дадим сле-
следующие определения.
Определение
Образующая у гиперповерхности &+ называется беско-
бесконечно протяженной, если параметр Бонди на у прини-
принимает на у все значения в интервале (—оо, оо). (9.8.1)
Определение
Увеличивающийся в направлении будущего действитель-
действительный параметр "и" на образующей у гиперповерхности 3+
называется параметром, Бонди, если в случае вектора па,
касательного к образующим гиперповерхности 3+, выпол-
выполняется уравнение
= 0, (9.8.2)
записанное в компактных обозначениях для спиновых коэффи-
коэффициентов (т. 1, гл. 4, § 5, 12).
Параметр и имеет тип {0,0}, так что величина у'и имеет тип
{—1, —1}, вследствие чего [с учетом формулы D.12.15)] урав-
уравнение в определении (9.8.2) означает, что
(£' _ 8' _ ё' — 2р') Du = 0. (9.8.3)
Если к тому же потребовать, чтобы параметр и имел конформ-
конформный вес, равный нулю, то, воспользовавшись обозначениями из

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 435
E.6.33), уравнение из определения (9.8.2) можно будет перепи-
переписать в виде
^2ы = 0. (9.8.4)
Уравнение (9.8.4) явно конформно-инвариантно [формула
E.6.34)], на основании чего можно утверждать, что определе-
определение параметра Бонди не связано с конформным множителем Q
(и, разумеется, с выбором масштаба для вектора па). Если вы-
выбрать такой множитель й, чтобы выполнялось условие р' = О
[см. текст после формулы (9.6.31)] и такой масштаб вектора
па, чтобы он параллельно переносился вдоль луча у, то уравне-
уравнение (9.8.3) можно будет привести к виду
£2ы = 0, (9.8.5)
откуда со всей очевидностью следует, что различные параметры
Бонди на у связаны друг с другом соотношением
u'=Gu + H, (9.8.6)
где G, Н — действительные постоянные и G>0,
Подчеркнем, что при обсуждении определения (9.8.2) мы
опустили «шляпки» над величинами, определенными на Зг+. Мы
будем поступать так и в дальнейшем, поскольку большая часть
расчетов будет связана с величинами, определенными на гипер-
гиперповерхности Зг+. Так, в частности (и в противоположность обо-
обозначениям двух предыдущих параграфов) gab будет обозначать
«нефизическую» регулярную на ЗГ+ метрику, конформную физи-
физической метрике. Если же случится иметь дело с величинами, от-
относящимися к «физическому» пространству-времени, то мы бу-
будем отмечать их тильдой сверху. Итак, конформное изменение
масштаба теперь будет выглядеть следующим образом;
- (9.8.7)
Материал этого и следующего параграфов изложен в при-
применении к гиперповерхности 2f+. Но совершенно очевидно, что
все полученные в них результаты будут применимы и к 2f~,
если, конечно, именно на 2f~ будут выполняться подходящие
асимптотические условия. Что касается физических проблем, то
результаты, полученные на Sf+, как правило, представляют боль-
больший интерес, чем результаты на 3f~. Для этого есть причины
двоякого рода. Во-первых, физические соображения вынуждают
интересоваться больше запаздывающим излучением, которое
связано со структурой гиперповерхности ЗГ+, чем опережающим
связанным со структурой 3f~, если бы она имелась. Во-вторых,
в случае гиперповерхности 2f— гораздо труднее, чем в случае 2f+,
объяснить, почему в «физически приемлемых» ситуациях на ней
должны выполняться требуемые асимптотические условия (см.,
например, работы [355, 283, 96, 97]).

436 ГЛАВА 9
Группа Ньюмена — Унти
Как показано в § б [см. (9.6.31)], при подходящем выборе
конформного множителя Q метрика гиперповерхности &+ (со
знаком минус) может быть представлена в виде
sin26 йф2 = О • du2 =
Ш-2 + 0-<*ы2 (9.8.8)
[где % = e'V>ctg(l/2)8, как в формуле A.2.10)]. Не вызывает
сомнений [формула A.2.17)], что эта (вырожденная) метрика
для гиперповерхности 2f+ конформно сохраняется при действии
активных точечных преобразований
Щ («. С £), (9.8.9)
где а, Ь, с и d— комплексные постоянные (причем ad—bc = 1),
a F — функция, (достаточно) гладкая на всей гиперповерхности
Sf+ « JR X S2 (так что можно рассматривать и 5 = °°); кроме
того, при каждом значении t, величина F должна быть моно-
монотонно возрастающей функцией переменной и, отображающей
всю область изменения и для каждой образующей £ на себя и
имеющей отличную от нуля производную по и (чтобы обратное
преобразование тоже было гладким). Первое преобразование
(9.8.9) — это конформные движения 52-пространства образую-
образующих гиперповерхности 3+ без отражений (конформная струк-
структура адекватно определяется любым из сечений этой гиперпо-
гиперповерхности), а второе преобразование (9.8.9) в случае, когда
первая является тождественным преобразованием (a — d=l,
Ъ = с = 0), определяет общие гладкие движения образующих
в себя без отражений. Группа преобразований (9.8.9) назы-
называется группой Ньюмена — Унти (НУ) или ограниченной груп-
группой НУ [224], но мы предпочитаем не рассматривать здесь пре-
преобразования отражения и будем называть «группой НУ» тож-
тождественно-связанные преобразования (9.8.9) без отражений.
Следовательно, группу НУ можно считать группой движений
гиперповерхности 2f+ без отражений, сохраняющей внутрен-
внутреннюю (вырожденную) конформную метрику этой гиперповерх-
гиперповерхности.
Всякий раз, когда пространство М в результате ограничен-
ограниченного движения Пуанкаре отображается на себя, граничная ги-
гиперповерхность &+ пространства М претерпевает преобразова-
преобразования вида (9.8.9). Это происходит из-за того, что конформная
структура гиперповерхности У+ определяется конформной струк-
структурой пространства М, а последняя, конечно, сохраняется при
движениях Пуанкаре. Следовательно, ограниченную группу

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 437
Пуанкаре можно считать подгруппой НУ. Однако последняя
явно намного «больше» первой, ибо является функционально-
пространственной (и, значит, бесконечномерной), а не просто
десяти мерной группой.
Группа Бонды — Метцнера — Сакса
От группы НУ можно естественным образом отсечь значи-
значительно меньшую подгруппу, если учесть, что, согласно опреде-
определениям (9.8.1) и (9.8.2), параметры Бонди и внутренняя кон-
конформная метрика (9.8.8) определяются конформной структурой
пространства JC. Согласно формуле (9.8.6), сохранение пара-
параметров Бонди требует, чтобы функция F в формуле (9.8.9)
имела вид
F (и, £, £) = uG (£, 0 + Я (£, £), (9.8.10)
где и считается параметром Бонди на каждой образующей ги-
гиперповерхности 9+ и предполагается, что эти образующие бес-
бесконечно длинны. Этим сужается свобода выбора F от функции
трех действительных переменных до двух функций двух действи-
действительных переменных.
«Улучшать» вид функции F можно и дальше, если, напри-
например, исключить всякую свободу выбора функции G в (9.8.10),
т. е. записать ее в явном виде. Для этого необходимо ввести
дополнительную структуру на гиперповерхности У+, которую мы
будем называть сильной конформной геометрией на 3f+ [234,
249]. (Такое название не совсем правильно, ибо рассматривае-
рассматриваемая структура включает в себя не только конформную геомет-
геометрию пространства JC, но и некоторые элементы, определяемые
его метрикой; однако в этом названии есть и полезная эвристич-
ность, что проявится несколько позднее.) Группа движений ги-
гиперповерхности У+ в себя, сохраняющая эту сильную конформ-
конформную геометрию, называется группой Бонди — Метцнера — Сакса
(БМС) (или ограниченной группой БМС — но мы опять предпо-
предпочитаем отказаться от преобразований отражения как части на-
нашего определения; см. [299]). Как мы сейчас увидим, сохране-
сохранение сильной конформной геометрии приводит к ограничению
функции G выражением
&- (98Л1)
где а, Ь, с и d те же, что и в первом равенстве (9.8.9).
Возможны разные способы описания этой дополнительной
структуры на граничной гиперповерхности 2f+. Пожалуй, самый
прямой — это указать, что изотропный касательный (и нормаль-
нормальный) к &+ вектор N", который определяется наперед заданным

438 ГЛАВА 9
конформным множителем Q [удовлетворяющим условиям опре-
определения (9.6.11)] с помощью выражения
Na = — VaQ вблизи Sf¥ (9.8.12)
[формула (9.6.16)], преобразуется при еще одном конформном
изменении масштаба
gab^&gab (9.8.13)
следующим образом:
Na^&Na, f. e. Na^e~lNa на &+. (9.8.14)
Предпола£ается, что конформный множитель в является глад-
гладким на Ж и нигде на 3f+ не обращается в нуль; он выражает
свободу выбора конформного множителя Q. Поскольку метрика
gab связана с физической метрикой §аь соотношением gab =
= Q2gab, конформное изменение масштаба (9.8.13) сопровож-
сопровождается заменой
Qh->6Q, (9.8.15)
в силу чего преобразование (9.8.14) сразу же следует из фор-
формулы (9.8.12) (так как член, содержащий производную кон-
конформного множителя в, на 2f+ обращается в нуль). Линейный
элемент dl [положительно полуопределенный и вырожденный;
см. формулу (9.8.8)] на &+ претерпевает преобразование
(9.8.16)
вследствие чего произведение
Nadl (9.8.17)
оказывается инвариантным относительно преобразования
(9.8.13):
Nadl^Nadl. (9.8.18)
Таким образом, выражение (9.8.17) дает нам инвариантную
структуру, которую можно использовать для определения силь-
сильной конформной геометрии на Зг+.
Смысл соотношения (9.8.18) заключается в следующем: хотя
не определен какой-либо естественный выбор масштаба пара-
параметра на образующих гиперповерхности 3+ и не определена
какая-либо естественная метрика на ее сечениях, сильной кон-
конформной геометрией определяется отношение масштаба к мет-
метрике. Взяв любой допустимый конформный множитель £2>, мож-
можно с помощью вектора W [формула (9.8.12)] зафиксировать
условием
№Vau=\ (9.8.19)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 439
определенный масштаб параметра и на образующих гиперпо-
гиперповерхности 3/+.. Тогда мы при преобразовании (9.8.15) [компен-
[компенсирующем преобразование (9.8.14)] получим
(9.8.20)
Сравнение этого преобразования с преобразованием (9.8.16) по-
показывает, что отношение
du:dl (9.8.21)
не зависит от выбора множителя Q.
На основе такого рода инвариантности можно дать опреде-
определение изотропного угла между двумя касательными направле-
направлениями в точке Р гиперповерхности 3f+, когда натянутая на них
плоскость содержит изотропное касательное в точке Р направ-
направление (ни одно из этих двух заданных направлений само не
является изотропным). Угол в обычном смысле этого слова,
если его определять с помощью (конформной) метрики (9.8.8),
во всех таких случаях будет равен нулю, а значит, без введения
на У+ дополнительной структуры невозможно сказать, какой
из изотропных углов в двух разных точках гиперповерхности 3+
больше или меньше, ибо такое сравнение лишено смысла. При
наличии же сильной конформной геометрии и инвариантного
отношения (9.8.21) можно дать следующее определение числен-
численного значения изотропного угла v(e R) между двумя касатель-
касательными направлениями в точке гиперповерхности 3/+:
v = 4r. (9-8.22)
где 6м и б/ — (бесконечно малые) приращения, указанные на
рис. 9.21. И обратно: индуцированная на гиперповерхности 2f+
конформная метрика (9.8.8), дополненная определением изо-
изотропного угла, дает сильную конформную геометрию на Зг+.
Угол v имеет совершенно четкий смысл в рамках геометрии
пространства JC, который мы вскоре выясним. Сейчас же мы
хотим связать определение параметра Бонди с только что рас-
рассмотренными определениями. Сначала вспомним определение
(9.6.27) величины А на гиперповерхности &+:
Апъ :o*Nh= — V6Q (9.8.23)
[формула (9.6.22)]. Мы, разумеется, вольны выбрать такой мас-
масштаб вектора изотропной тетрады пь, при котором А = 1. Од-
Однако здесь мы этого делать не будем, поскольку хотим восполь-
воспользоваться преимуществами, которые дает формализм спиновых
коэффициентов, а указанный выбор масштаба (или преждевре-
преждевременность такого выбора) может привести к трудностям (неод-
(неоднозначностям) при определении операторов производных. Из

440
ГЛАВА 9
вон
Рис. 9.21. Изотропный угол v = ди/Ы на Sf+ есть угол между двумя на-
направлениями на Sf+, на которые натянута плоскость, содержащая изотропное
нормальное к ЭГ+ направление. При изменении конформного множителя для
3f+ изотропные углы не изменяются.
того, что вектор пь имеет тип {—1, —1}, следует, что А — дей-
действительный {1, 1}-скаляр на 3F+. (Здесь n* = iBiB', а спинор
ов, необходимый для полной спиновой системы отсчета, мы
выбираем произвольно.)
Теперь вспомним асимптотическое эйнштейновское условие
(9.6.26)
JV'^0. (9.8.24)
В случае диадных компонент слабого равенства (9.8.24), отно-
относящихся только к производным, касательным к гиперповерх-
гиперповерхности У+, вместо Ncc можно подставить Aicic [формула
(9.6.23)]. Тогда эти компоненты получаются в результате по-
последовательной трансвекции обеих частей равенства (9.8.24)
Bc B' П б
р р
с iBic и iB'. Первая трансвекция дает слабые равенства
<х' ^ 0 ^
(9.8.25)
которые уже были получены ранее [формула (9.6.28) ], тогда
как вторая [при использовании, скажем, формул D.12.27) или
D.12.28)] дает
0>' + р') Л = 0 = б А. (9.8.26)
Отметим, что вследствие этого р' оказывается действительной
величиной:
р' = р', (9,8,27)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 441
но это мы и так уже знаем, ибо 3+ — изотропная гиперповерх-
гиперповерхность. Пусть Na в соответствии с формулой (9.8.14) имеет кон-
конформный вес,' равный 1. Тогда (9.8.26) можно записать в сле-
следующем конформно-инвариантном виде:
р'еА ^ 0 ^ 6СА (9.8.28)
[формула E.6.33); выбор величин Wo и W\ несуществен}.
Отметим также, что если специализировать Q таким обра-
образом, чтобы выполнялась и производная в направлении от 2Г+
уравнения Aicic = Ncc (т. е. таким образом, чтобы всякая
гиперповерхность Q = const «вблизи» 3+ тоже была изотроп-
изотропной), то из оставшихся компонент условия (9.8.24) будут сле-
следовать слабые равенства
р'^ т'si 0 ^ рА. (9.8.29)
Этого всегда можно добиться, однако особых преимуществ мы
не получим. Все условия (9.8.29) целиком нас в общем случае
интересовать не будут, но, как мы скоро увидим, нам потре-
потребуется условие р' ^ 0.
Укажем, что условие (9.8.19), связывающее частный выбор
масштаба параметра и на образующей гиперповерхности 2Г+ с
конкретным конформным масштабом на 2Г+, можно записать
в виде
р'н = А'1 (9.8.30)
(или, что то же, D'u^A~l, так как и — величина типа {0, 0}).
Задав конкретный параметр и условием (9.8.30), мы долж-
должны осторожно пользоваться операторами р'с, дс и т. п., которые
нельзя применять к параметрам и, не имеющим определенного
конформного, веса. Однако стандартный компактный формализм
все же остается однозначным. Заметим, что, согласно формуле
(9.8.26), мы имеем (р' — р')А~1^0, так что, подействовав опе-
оператором р' — р' на обе части равенства (9.8.30), мы получим
слабое равенство (р' — р')р'и^0. Сравнение этого результата
с формулой в определении (9.8.2) приводит к следующему пред-
предложению.
Предложение
Условие (9.8.19) [т.е. (9.8.30)] совместно с требованием,
чтобы величина "и" была параметром Бонди на всякой
образующей гиперповерхности £У+, в том и только в том
случае, если р' = 0 на 2f+, т. е. если образующие изо-
изометрически отображают сечения гиперповерхности 2f+
друг на друга. (9.8.31)

442 ГЛАВА 9
[То обстоятельство, что слабые равенства а' = р' = 0 являются
условием изометричности отображения этих сечений, уже отме-
отмечалось ранее; см. текст после формулы (9.6.31) и гл. 7, § 1,
рис. 7.2.]
Гладкая действительная функция и на &+, являющаяся па-
параметром Бонди на всякой образующей, называется (запазды-
(запаздывающей) координатой времени Бонди на £У+, если она удовле-
удовлетворяет не только условию (9.8.30) [или (9.8.19)], так что обра-
образующие гиперповерхности 2f+ изометрически отображают ее
сечения друг на друга, но и требованию, чтобы метрика этих
сечений была фактически такой же, как и у единичной 2-сферы.
[Выбором параметра и, очевидно, фиксируется метрика на &+
в силу инвариантности отношения du:dl (9.8.21), дающего ве-
величину изотропного угла. Канонический выбор «единицы» изме-
измерения этого изотропного угла ') дает каноническую пропорцио-
пропорциональность между масштабом параметра и на образующих и
метрикой сечения.] Как подразумевалось в гл. 1, § 2 (см. также
гл. 4, § 15), в выборе такого рода конформных масштабов при-
присутствует трех (действительно) параметрическая свобода, соот-
соответствующая различным выборам «асимптотической оси вре-
времени» (в качестве иллюстрации к этому см. т. 1, рис. 1.11, с. 59).
Связь между соответствующими допустимыми координатами р
определяется первым соотношением (9.8.9), дающим ограничен-
ограниченные преобразования Лоренца на (анти-) небесной сфере. Кон-
Конформный множитель, связывающий два таких масштаба, опре-
определяется отношением Г-координаты изотропного вектора, по-
построенного из спинора А,А = (£, 1), к Г-координате изотропного
вектора, построенного из спинора (а£ + &, ct,-\-d), полученного
в результате преобразования спинора ХА с помощью спин-мат-
спин-матрицы первого преобразования (9.8.9). Это отношение имеет вид
1 l+^r-L^log + bp + lcg + rff). (9.8.32)
Таким образом, для сохранения структуры (9.8.21), как того
требует преобразование БМС, функция G в (9.8.10) обязательно
должна иметь вид (9.8.11), о чем уже упоминалось. При учете
этого ограничения на форму функции F в (9.8.10) общий вид
преобразований группы БСМ должен определяться формулами
(9.8.9).
Укажем условия, при которых метрика на 3f+ принимает вид
(9.8.8) :
p'ssO, Ф„ + Л~^- (9.8.33)
') Вскоре выяснится, что изотропные углы имеют размерность «длины»
или «времени», так что этот канонический выбор содержит н выбор единиц
измерения.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 443
Второе слабое равенство следует из предложения D.14.21) при
учете соотношения (9.8.25), равенства единице гауссовой кри-
кривизны единичной сферы и слабого равенства W2 = 0, следую-
следующего из сильного асимптотического эйнштейновского условия.
Отметим, однако, что условия (9.8.33) приведены лишь для
удобства: сама группа ВМС, как она определена здесь, от су-
существования этих условий не зависит.
Связь между сильной конформной геометрией и твистором 1ар1ра
Теперь мы проанализируем структуру и геометрический
смысл этой группы. Но сначала рассмотрим сильную конформ-
конформную геометрию на 3+ с различных точек зрения. Прежде всего
отметим, что с помощью выражения NaNbdl2, полученного в ре-
результате возведения в квадрат выражения (9.8.17), эту гео-
геометрическую структуру можно представить в тензорной форме.
Величина dl2 есть (положительно определенный) внутренний
метрический тензор у^Ф гиперповерхности Sf+, причем большие
греческие буквы служат теперь абстрактными индексами, внут-
внутренними для гиперповерхности 3+. В формуле (9.8.18) у век-
вектора № использовался индекс, относящийся к 4-пространству,
что для контравариантных индексов более или менее приемлемо.
Но в случае ковариантных индексов важнее сохранить разницу
в обозначениях между индексами, относящимися к 3-простран-
ству и к 4-пространству, поскольку кокасательные пространства
гиперповерхности 2f+ — это фактор-пространства такой границы
пространства JC, а касательные пространства — ее подпростран-
подпространства. [Возникает трудность, связанная с изотропностью гипер-
гиперповерхности 2f+, при которой невозможно естественное опреде-
определение ортогональных проекторов (проекционных операторов),
таких, как Sab в формуле D.14.6).] Если вектор N" тоже запи-
записать, пользуясь такого рода внутренними абстрактными индек-
индексами, то внутренний по отношению к 3f+ тензор, равный ква-
квадрату выражения (9.8.17), можно переписать в виде
(9.8.34)
С помощью величин, относящихся к 4-пространству, тензор
(9.8.34) можно интерпретировать как абстрактный тензор
—NcNdgef no модулю кратных векторам Nf и Ne,
т. е. X?Nf, Yf/Ne. (9.8.35)
Ортогональность вектора № ко всем касательным к гиперпо-
гиперповерхности 3+ направлениям выражается соотношением
= 0 (9.8.36)

444 ГЛАВА 9
[которое в силу формулы (9.8.35) позволяет сделать очевидный
вывод, что тензор Nagab равен нулю по модулю кратных векто-
векторам Nb]. Кроме того, мы имеем
(9.8.37)
Внутренний тензор (9.8.34), подчиненный условиям (9.8.36) и
(9.8.37), представляет сильную конформную геометрию на Зг+.
Считая (вырожденную) конформную метрику гиперповерх-
гиперповерхности &+ заданной, можно предложить и другие способы опи-
описания сильной конформной геометрии. Например, если через SP
обозначить 2-форму, которая является мерой площади поверх-
поверхности (индуцируемой метрикой цаъ) для 2-поверхностей на 2f+,
то выражение
NTN*& (9.8.38)
тоже дает требуемую структуру сильной конформной геометрии.
То же можно сказать и о произведении
(9.8.39)
в котором <тчгФ = — стфчг, причем У = а^фdxv/\йхф на 9'+, и
Мур = 0. Вообще говоря, имеет место равенство
ar [A% v = T Yr [AYei чг (9.8.40)
(в чем легко убедиться, перейдя к диагонально-кооординатному
описанию). Знаком 2-формы if определяется ориентация пло-
площади 9?+, но он остается неопределенным в формуле (9.8.40).
Будем считать, что ориентация и ориентация во времени гипер-
гиперповерхности 3+ являются частью ее заданной внутренней струк-
структуры.
Еще одно проявление сильной конформной геометрии на 9!1+
связано с теорией твисторов (и понадобится нам в § 9). На-
Напомним, что в твисторном методе описания пространства М*
конкретный световой конус, определяющий гиперповерхность
У+, выделяется заданием (с точностью до коэффициента про-
пропорциональности) твистора бесконечности № или дуального
ему твистора lafl [формула F.2.25)]. Выбором требуемого мас-
масштаба для твистсра I (или для laplpa) и определяется сильная
конформная геометрия гиперповерхности 2f+. Мы покажем, что
такой подход пригоден и в случае пространства Ж, если ис-
использовать локальное твисторное описание твистора \п^ (см.
гл. 6, § 9).
Если предположить, что пространство Ж вблизи £/+ пусто,
то Ра6=0 [формула F.8.12)] и «спинорная часть» (8АВ, 0; 0, 0)
таистора lap относительно физической метрики gab постоянна

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 445
при локальном твисторном переносе F.9.12). В силу конформ-
конформной инвариантности локального твисторного переноса «спинор-
ная часть» твистора |аР относительно метрики gab тоже оказы-
оказывается постоянной. Согласно формуле F.9.6), такое представле-
представление твистора имеет вид
Г1 ]
L iTcvecs — TcR'TDS'eCDJ
0 — s I
(9.8.41)
Здесь не предполагается, что Rab = 0; просто считается [ср. с
предложением (9.6.18)], что физическая скалярная кривизна
вблизи 2Г+ равна нулю:
Л = 0, (9.8:42)
т. е. что вблизи 2f+ имеются только безмассовые поля. При вы-
выводе формулы (9.8.41) использовались соотношения F.8.21),
F.8.23), равенства eRS = Q-'8«s [формула (9.8.7)], Га = —QrlNa,
а также соотношение
VCJVC ^ — 4Лр', (9.8.43)
которое следует из равенства (9.8.24) (последнее показывает,
что перестановка индексов в выражении Vbb'Ncc приводит, са-
самое большее, к изменению знака), и соотношение
: oBiB'icoc'V6JVc = Лр', (9.8.44)
получающееся в результате подстановки выражения (9.8.23),
поскольку в него входит тангенциальная производная.
Можно показать, что локальный твистор (9.8.41) на самом
деле постоянен на гиперповерхности 2f+ даже в более общем
случае (9.8.42). Доказательство основано на прямом примене-
применении определений, данных в гл. 6, § 8, и несколько облегчается
при использовании условий (9.8.29), так как из них вытекает
равенство
0. (9.8.45)
Отметим, что существенная спинорная часть твистора |ра на
9+, согласно формуле (9.8.41), равна
iA\.R'\.s (9.8.46)
(так как путем изменения масштаба спинор р' можно сделать
равным нулю). Это тесно связано с сильной конформной струк-
структурой (9.8.34). Так, выражение (9.8.35) можно записать в еле-

446 ГЛАВА 9
дующей спинорной форме:
— A2icic\DiD'eEFBE'F' no модулю выражений
\ ? (9.8.47)
От произвола в выборе величин X" и К" можно избавиться,
применив свертку с iF или iF' и с Iя или Iя'. Очевидно, что
результатом свертки с двумя штрихованными спинорами или с
двумя нештриховаиными будет нуль; следовательно, чтобы по-
получить нетривиальный результат, нужно сворачивать с одним
штрихованным и одним нештрихова иным. Такая свертка дает
выражение
(и комплексно-сопряженное ему), из которого следует убрать
(скажем) ici°', чтобы скомпенсировать появившиеся в процессе
свертки дополнительные сомножители |ЛЯ\ Результат, который
мы запишем в виде
D ' (9.8.48)
имеет форму внешнего произведения величины (9.8.46) на комп-
комплексно-сопряженную ей величину. Таким оборазом, внутренний
тензор (9.8.34) на 2f+ фактически распадается на две части
[отличающиеся от (9.8.17)], а именно на (важную) спинорную
часть твистора |ра и на соответствующую часть дуального ему
твистора |ра. В этом смысле сильная конформная метрика на
2f+ «расщепляется» на два сомножителя произведения lafllpa> что
напоминает «расщепление» C.1.9) метрики пространства-вре-
пространства-времени на два сомножителя произведения
Интерпретация изотропных углов
Как уже говорилось, сильная конформная геометрия на
появляется как метрическое, а не конформное свойство про-
пространства Ж. Чтобы это было яснее, нужно дать прямую интер-
интерпретацию сильной конформной структуры на основе геометрии
пространства Ж. Пусть Р — точка гиперповерхности 2f+. Рас-
Рассмотрим два неизотропных направления аир, касательных в
точке Р к 9+. Чтобы лучше уяснить смысл двух типов углов,
возможных между направлениями аир, исходя только из гео-
геометрии пространства-времени, следует сначала рассмотреть
(в плане конформной структуры пространства-времени в точке
Р) не сами направления а и р, а их ортогональные дополнения.
Они представляют собой две гиперплоскости а* и р* в Р, соот-
соответственно. Поскольку направления аир пространственнопо-
добны, гиперплоскости а* и р* должны быть времениподобными,

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 447
Параболическое"сечение
конуса <6
Рис. 9.22. Касательное к гиперповерхности 3f+ в точке Р направление а
можно характеризовать его ортогональным дополнением а*. Последнее пере-
пересекается с «параболическим» сечением (имеющим структуру евклидова 2-про-
странства Е„) светового конуса прошлого S с вершиной в f по «прямой
линии» в Е и эта прямая тоже может служить характеристикой направ-
направления ос.
а значит, должны иметь нетривиальные пересечения со свето-
световым конусом прошлого с вершиной в точке Р. Эти пересечения
представляют собой совокупности изотропных направлений в
точке Р, каждое из которых продолжим© До луча в простран-
пространстве Ж, являющегося образующей светового конуса <& с верши-
вершиной в точке Р в пространстве JC. Это построение и дает нам
искомую интерпретацию гиперплоскостей а* и р*, а стало быть,
и направлений а и р на основе обычной пространственно-вре-
пространственно-временной геометрии световых лучей (рис. 9.22).
Возвращаясь к сказанному в § 1, вспомним, что изотропную
гиперповерхность "ё7 в пространственном отношении можно ин-
интерпретировать как асимптотически плоский волновой фронт,
а это приводит к тому, что геометрия 2-пространства (локаль-
(локального) сечения конуса <& по мере продвижения этого сечения
вдоль «ё7 в будущее переходит в геометрию евклидовой пло-
плоскости. Если JC есть пространство Минковского М, то *& обя-
обязательно является изотропной гиперповерхностью, все сечения
которой внутренне представляют собой точные евклидовы 2-пло-
скости и изометрически отображаются друг на друга образую-
образующими конуса <В. В общем случае мы имеем хорошо определен-
определенную предельную евклидову плоскость Ер, позволяющую описать
геометрию образующих конуса *&, точки которых соответствуют
различным изотропным направлениям (прошлого) в точке Р,

448 ГЛАВА 9
отличающимся от направлений, связанных с одной, проходящей
через точку Р образующей у гиперповерхности &+.
В сущности Ер можно рассматривать как сечение в касатель-
касательном пространстве %' [Р] в Р, возникающее в результате пересе-
пересечения светового конуса прошлого с вершиной в Р изотропной
гиперповерхностью, параллельной образующей у. Это «парабо-
«параболическое» сечение имеет внутреннюю евклидову 2-метрику [см.
рис. 9.22; ср. с рис. 9.6 и, что больше соответствует рассматри-
рассматриваемому кругу вопросов, с рис. 1.5 (т. 1, с. 30)], и можно до-
добиться, чтобы у нее был правильный масштаб, потребовав,
чтобы при использовании индуцированной ею («нефизической»)
метрики gab и ассоциированного вектора Na уравнение этого
сечения (с началом отсчета в точке Р) в пространстве X' [Р]
имело вид
xaNa +1 = 0 = gabxaxb. (9.8.49)
В этом случае индуцированная метрика инвариантна относи-
относительно преобразований (9.8.13), (9.8.14).
Перейдем теперь к ортогональным дополнениям в точке Р.
Для этого точку пространства ЕР лучше ассоциировать не про-
просто с изотропным направлением в точке Р, а с элементом 2-пло-
скости, натянутым на это изотропное направление и на изотроп-
изотропное направление, связанное с лучом у. В самом деле, всякий
элемент 2-плоскости, проходящий через направление луча у (но
не касающийся гиперповерхности ЗГ+), содержит помимо изо-
изотропного направления у в точке Р еще (одно и только одно)
это изотропное направление. Тогда ортогональным дополнением
такого элемента 2-плоскости является элемент другой 2-пло-
2-плоскости, но теперь уже касательный к гиперповерхности 3+ и не
содержащий направления, связанного с лучом у. Таким обра-
образом, имеем:
Точки пространства ЕР соответствуют неизотропным эле-
элементам 2-плоскостей, касающимся в точке Р гиперповерх-
гиперповерхности
Существует конструкция, «дуальная» только что описанной: ка-
касательное к 2f+ в точке Р направление а соответствует в tp
дуальному (в пределах \ЕР) точке элементу, а именно евклидо-
евклидовой прямой (рис. 9.23). (Отметим, что касательное к 9+ в точке
Р направление представляет собой пересечение двух касатель-
касательных к гиперповерхности 9+ 2-плоскостей; прямая линия в ЕР
объединяет две точки в jEp.) Итак, имеем:
Неизотропные направления, касательные к гиперповерх-
гиперповерхности 9+ в точке Р, соответствуют прямым линиям в ЕР.
(9.8.50)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
449
J
p
1
h
-,
к
1 .
■*]
Рис. 9.23. Если (пространственноподобные) касательные к 3f+ направления
представляются прямыми в Ер, то обычные углы на 3f+ равны просто соот-
соответствующим углам между прямыми в Ер. Изотропным же углам на ^+
соответствуют расстояния между параллельными прямыми в Ер.
Это то же самое соответствие, которое мы получили ранее
и в силу которого направления, аир были представлены пере-
пересечениями элементов а* и р* (соответственно) со световым ко-
конусом прошлого с вершиной в точке Р. Теперь на основании
утверждения (9.8.50) можно сказать, чему отвечают эти пересе-
пересечения: направления аир представляются прямыми аир (соот-
(соответственно) в Ер. Это позволяет наглядно представить два рас-
рассматриваемых типа углов между а и р, пользуясь обычным гео-
геометрическим языком. В общем случае имеется отличный от нуля
угол 0 между прямыми аир. Прямой геометрический анализ
показывает, что 0 — это еще и неизотропный угол между на-
направлениями а и р. Но угол 0 может оказаться равным нулю,
и тогда прямые аир становятся параллельными. В этом случае
возникает новая мера расстояния между а и р, а именно евкли-
евклидово расстояние v между ними! Простые вычисления показы-
показывают, что v — это в точности изотропный угол (9.8.22) между
направлениями аир.
Структура группы БМС
Выше мы проанализировали геометрический смысл сильной
конформной геометрии на У+, а тем самым и группы БМС, яв-
являющейся группой движений гиперповерхности &+, сохраняю-
сохраняющей эту геометрическую структуру. Однако в отличие от пре-
преобразований Пуанкаре преобразования БМС не сохраняют в

450 ГЛАВА 9
каком-либо очевидном смысле «физику»1). (Эта трудность в
наиболее очевидной форме проявляется в плоском пространстве-
времени.) Все дело, конечно, в том, что группа БМС все еще
слишком «велика», являясь функционально-пространственной
группой (бесконечномерной), а значит, даже не группой Ли.
Естественно спросить себя, не существует ли некое дополни-
дополнительное геометрическое ограничение, которое, не устраняя пол-
полностью эту функциональную свободу, позволило бы в конеч-
конечном итоге получить подгруппу, изоморфную ограниченной груп-
группе Пуанкаре.
«Размер» группы БМС зависит от функции Н в выражении
(9.8.10) [см. также (9.8.11)]. В случае пространства Минков-
ского М ограниченные движения Пуанкаре индуцируют преоб-
преобразования гиперповерхности 5Г+, которые можно записать в
виде преобразований (9.8.9), ограниченных условиями (9.8.10)
и (9.8.11) с функцией Н вида
Hit Ь 9851)
Я(Е,О- 2-1/2 A + ф > (9-8.51)
причем «матрица» #АВ' постоянна и эрмитова. Чтобы получить
это выражение, переменную и нужно считать разновидностью
координаты времени Бонди, такой, что значением и = 0 опре-
определяется пересечение некоторого светового конуса в М с гипер-
гиперповерхностью 5Г+. Возьмем вершину этого конуса за начало
отсчета О и выберем единичный времениподобный вектор бу-
будущего Та в точке О, обладающий тем свойством, что ассоции-
ассоциированный с ним выбор масштаба (анти-) небесной сферы, де-
делающий ее единичной сферой, согласуется с выбором масштаба,
который определяется координатой времени Бонди и [см. текст
после формулы (9.8.31)]. Тогда выяснится, что и — это просто
стандартный параметр запаздывающего времени инерциального
наблюдателя с началом отсчета в точке О и осью времени Т"
(рис. 9.24). Иначе говоря, заданное значение и времени Бонди
на 2Г+ достигается там, где световой конус будущего с верши-
вершиной в точке с радиус-вектором иТа в пространстве М пересе-
пересекается с гиперповерхностью 5Г+. Снабдив М стандартными ко-
координатами Минковского, легко убедиться, что частная форма
преобразований БМС (9.8.9) [с (9.8.10)], при которой функция
Я имеет вид (9.8.51), дается активными (ограниченными) дви-
движениями Пуанкаре (записанными с помощью радиус-вектора,
исходящего из считающейся фиксированной точки О):
хаа- ^ 3авХвв'$а'в, + HBB'f (9.8.52)
*) Относительно теории представлений группы БМС см. работы [299,
39. 200] и литературу, цитируемую в них.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
451
Рис. 9.24. Чтобы получить стандартную координату времени Бонди в про-
пространстве М, нужно взять времениподобную прямую в М и принять за и
собственное время наблюдателя, история которого описывается данной миро-
мировой линией. При этом значения и остаются постоянными вдоль световых
конусов будущего, исходящих из точек этой линии.
где Sab и Нвв' — спиноры, стандартными компонентами кото-
которых [формула C.3.31)] являются величины Явв' из (9.8.51) и
'в:=
с d
(9.8.53)
из формулы (9.8.9) A), соответственно. Выражение (9.8.51)
можно представить в следующей более «инвариантной» форме:
Я {%А, %А') =
HaLa
TbL"
где величина
L" = ХАХА\
1).
(9.8.54)
(9.8.55)
есть вектор, которым в точке О (или в любой другой точке
пространства М) определяется изотропное направление обра-
образующей (с параметром £) гиперповерхности 3+.
Укажем, что, когда преобразование (9.8.9) A) является тож-
тождественным [т. е., когда матрица (9.8.53) является единичной],
преобразования (9.8.52) представляют собой простые трансля-
трансляции пространства М. В связи с этим всякий раз, когда преоб-
преобразования (9.8.9) A) являются тождественными [так что в фор-
формуле (9.8.11) мы имеем G = l], а Я имеет вид (9.8.51), соот-
соответствующие преобразования БМС даже в случае искривленного
пространства JC называют трансляциями и говорят, что они
образуют 4-параметрическую подгруппу трансляций &~ группы
БМС 3&. Более общий вид преобразований, когда преобразова-
преобразования (9.8.9) A) по-прежнему остаются тождественными (а значит,

452 ГЛАВА 9
О = 1), но функция Н является гладкой функцией общего
вида на сфере, называют супертрансляциями — они образуют
бесконечнопараметрическую подгруппу <U группы 33. Таким об-
образом,
Tcz<Ucz&. (9.8.56)
Подчеркнем, что в определении трансляции (и супертрансля-
супертрансляции) фактически не существен выбор координаты времени Бон-
ди и и нет зависимости от нее. То, что форма функции (9.8.51)
сохраняется, когда £ подвергается преобразованию (9.8.9) A),
а и соответственно изменяется как произведение uG [с G из
формулы (9.8.11)], следует из того, что преобразования (9.8.52)
образуют группу. (Это легко проверить и непосредственно.)
Более того, трансляция оказывает на «супертранслированную»
координату времени Бонди ы + А(£, £) точно такое же влияние,
как и на исходную координату и. На этом основании можно
сделать вывод, что данное определение трансляции, как уже
говорилось, БМС-инвариантно. (Супертрансляциями мы сейчас
займемся.)
Сказанное выше можно сформулировать и иначе. Пусть ш —
группа лоренцевых вращений [т. е. преобразований (9.8.9), огра-
ограниченных условиями (9.8.11) и # = 0 в формуле (9.8.10)]. Тогда
г~хТг = 0" при всех г ^31. (9.8.57)
Кроме того,
s~xTs = T при всех s<=<U. (9.8.58)
(Поскольку все супертрансляции коммутируют, подгруппа £Г" во
втором случае сохраняется поэлементно.) Из формы преобра-
преобразований (9.8.9) следует, что каждый элемент группы 38 имеет
вид srcse^HreJf.T.e. что
(9.8.59)
Комбинируя это соотношение с (9.8.57) и (9.8.58), получаем
Ъ~1ТЪ = Т при всех Ъ<=&, (9.8.60)
т. е. &~ — это нормальный делитель группы 33. Аналогично мож-
можно показать, что <U тоже нормальный делитель группы 33:
= <U при всех Ь<=&. (9.8.61)
Таким образом, данное выше определение супертрансляции так-
также БМС-инвариантно. Кроме того, получен следующий резуль-
результат [299], который мы приводим без доказательства.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 453
Теорема
Подгруппа трансляций группы БМС является ее един-
единственным 4-параметрическим нормальным делителем.
(9.8.62)
Инвариантность определения трансляции — это по существу
пример феномена, уже отмечавшегося в гл. 4, § 15. В общем
случае супертрансляции определяются произвольной (гладкой)
функцией Н на 2-сфере, а из выражения (9.8.51) и из формул,
приведенных в конце гл. 4, § 15, вытекает следующее предло-
предложение.
Предложение
Трансляции — это супертрансляции, для которых функ-
функция Н построена только из сферических гармоник с j = О
и /=1. (9.8.63)
(Спин-вес здесь равен нулю.) Из таблицы D.15.60) видно, что
такое условие для Н можно записать в виде
62Н = 0.
Мы рассматриваем (£, £)-2-сферу как пространство образующих
гиперповерхности 2f+ (т. е. как фактор-пространство гиперпо-
гиперповерхности Sf+ при ее образующих). Под действием группы 91
(или, разумеется, группы <%) функции Н ведут себя как кон-
конформно-взвешенные скаляры с весом w = 1. Это связано с тем,
что дифференциал du параметра и имеет [согласно (9.8.20)]
конформный вес ш== 1, хотя сами параметры не являются кон-
конформно-взвешенными объектами. Из сказанного в гл. 4, § 15,
следует, что части таких скаляров с / = 0, / = 1 при конформ-
конформных движениях сферы преобразуются друг в друга, тогда
как части с более высокими значениями / этим свойством не
обладают (т. е. при таких движениях они могут «подхватывать»
части с / = 0 или /=1). Таким образом, хотя определение
трансляции лоренц-инвариантно, справедливо следующее пред-
предложение.
Предложение
Свойство супертрансляций не иметь трансляций не обла-
обладает лоренц-инвариантностью. (9.8.64)
В этом предложении слова «лоренц-инвариантность» при жела-
желании можно было бы заменить словами «БМС-инвариантность».
Интересующие нас преобразования Лоренца — это просто кон-
конформные движения (9.8.9) (£, £) -сферы. Следовательно, такая

454 ГЛАВА 9
(ограниченная) группа Лоренца 2? может быть интерпретиро-
интерпретирована как фактор-группа группы 38:
2 = &I<U. (9.8.65)
Однако группа Лоренца не появляется канонически как под-
подгруппа группы 38. Подгруппа 91 группы 38 изоморфна группе 3?,
но выделяется совершенно не канонически. Предположим, что
s — это любой элемент группы °U\ тогда группа
(9.8.66)
будет еще одной подгруппой группы 38 и тоже изоморфной
ограниченной группе Лоренца, да к тому же (в рамках группо-
групповой структуры группы 38) совершенно равноправна с группой
91. Отличительным свойством группы 91 является то, что она
состоит из элементов, оставляющих без изменения частное се-
сечение гиперповерхности 5Г+. Гладкие сечения гиперповерхности
3F+ называют срезами (cuts). Инвариантным относительно дей-
действия группы 9L остается срез Г, который в заданной системе
координат определяется уравнением и. = 0. Супертрансляция
s~l переводит Г в некоторый другой срез Г' = в-1Г, и из (9.8.66)
следует, что 91' — это подгруппа группы Я, оставляющая срез
Г' без изменения. Только в том случае, когда s — тождественный
элемент 1, группы 91' и 91 будут представлять собой одно и то
же; если же s пробегает все значения в 41, то инвариантный
срез пробегает все возможные срезы.
Разумеется, нельзя ожидать, что (ограниченная) группа Ло-
Лоренца будет естественным образом возникать как подгруппа.
Такие надежды необоснованы даже в связи с обычной (огра-
(ограниченной) группой Пуанкаре пространства IVH, где она также
возникает естественным образом только как фактор-группа.
(Как подгруппа она зависит от выбора произвольного начала
отсчета в пространстве М.) Но, что касается группы <%, то здесь
ситуация еще хуже, ибо в общем случае даже ограниченная
группа Пуанкаре & не возникает естественным образом как под-
подгруппа (или хотя бы как фактор-группа) этой группы 3S.
Чтобы правильно оценить сложившуюся ситуацию, рассмот-
рассмотрим сначала случай, когда группа 38 относится к гиперповерх-
гиперповерхности &+ пространства М. Группу <?> можно рассматривать в
качестве подгруппы группы 38, генерируемой трансляциями &~
и лоренцевыми вращениями 91 [ср. с формулой (9.8.59)]:
& = T9t. (9.8.67)
В то время как группа 5? не выделяется канонически в 3*, се-
семейство групп лоренцевых поворотов вокруг всевозможных раз-
различных начал отсчета в пространстве IMI выделяется. Любая
такая подгруппа Лоренца группы 9> возникает как подгруппа

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 455
группы 38, оставляющая без изменения определенный тип среза,
называемого хорошим срезом и представляющего собой пере-
пересечение светового конуса некоторой точки пространства М с
гиперповерхностью &+. Хорошие срезы, образующие 4-пара-
метрические системы, получаются один из другого в результате
трансляций; однако супертрансляции, не являющиеся трансля-
трансляциями, всегда переводят хороший срез в плохой (т. е. не являю-
являющийся хорошим). Следовательно, определение хорошего среза
не инвариантно относительно преобразований группы БСМ. Если
операция s из формулы (9.8.66) не является трансляцией, то
определяющая ее группа W должна быть взята вне 0*. Анало-
Аналогично, для такого рода супертрансляции десятипараметрическая
подгруппа группы &
ЗР = а-&а (9.8.68)
должна отличаться от £?, хотя и изоморфна ей. Фактически, в
случае самого общего элемента s подгруппы 9> и 9" вместе
обладают только трансляциями $Г.
Сдвиговая структура гиперповерхности 3f+
Из сказанного следует, что, имея дело с групповой струк-
структурой одной лишь группы .$, невозможно единственным образом
выделить ограниченную группу Пуанкаре как подгруппу.
(И проблема, как мы видели, не в том, чтобы отличить трансля-
трансляции от супертрансляций, а в том, чтобы выяснить, что следует
понимать под «бессупертранляционным» лоренцевым поворотом.)
В случае пространства М на гиперповерхности &+ есть некая
дополнительная структура, а именно определение «хорошего
среза», который позволяет выделить единственную подгруппу
Ф. Напрашивается вывод, что для получения подходящего един-
единственного аналога подгруппы 9* в случае искривленного про-
пространства Ж следовало бы и здесь ввести соответствующее поня-
понятие «хорошего среза».
Однако при этом возникают серьезные трудности. По ряду
причин не годится брать в качестве хороших срезов просто пере-
пересечения настоящих световых конусов в Ж с 3f+. (Например,
вследствие вида каустик и областей пересечения на конусе такие
«срезы» вовсе не обязаны быть сечениями гиперповерхности Sf+
и даже те из них, которые являются ими, в общем случае не
преобразуются друг в друга в соответствии с подгруппой группы
3$.) Правильнее было бы принять определение, «локальное» на
Sf+ (а следовательно, полностью асимптотическое в Ж). В про-
пространстве М световые конусы (будущего) выделяются по при-
признаку их расходимости и равенства нулю сдвига а = О (см. гл. 7,
§ 1). Значит, в пространстве М, чтобы установить, что срез

456 ГЛАВА 9 :
хороший, нужно лишь исследовать сдвиг на самом срезе. По-
Полагая флагштоки спинора о ортогональными срезу (как это
имеет место в стандартной трактовке пространственноподобных
2-поверхностей, данной в гл. 4, § 14), можно вычислить а на
срезе, и если обнаружится, что а — 0 всюду на этом срезе, то
можно утверждать, что это хороший срез.
Такой подход допустим не только в пространстве М, но и
в некоторых других пространствах-временах JC, особенно если
они стационарны. Однако при наличии гравитационного излу-
излучения возникают трудности фундаментального характера. Чтобы
выяснить, как это происходит, нужно вывести еще ряд формул.
Для начала предположим, что имеется гладкая координата и
на 5Г+, которая соответствующим образом возрастает на обра-
образующих этой гиперповерхности, но не обязательно является
параметром времени Бонди. Выберем о-флагштоки так, чтобы
они, как и выше, были ортогональны срезам и = const. Тогда
(если и— величина типа {0, 0}) имеем
ди s± 0. (9.8.69)
Применив к и коммутатор D.12.34)', мы с учетом условий
(9.8.25) получим слабое равенство
{р'д — др') и^р'ди — тр'и,
которое в силу равенства (9.8.69) сводится к формуле
(<5 — т) р'и е* 0. (9.8.70)
Далее будем считать, что выполняются условия (9.8.33). Тогда
условие (9.8.30), гарантирующее, что и — координата времени
Бонди (ассоциированная с выбранным для 2f+ масштабом),
приводится к виду у'и si Л, что вместе с (9.8.28) позволяет
свести слабое равенство (9.8.70) к виду
т~0. (9.8.71)
[Этот вывод частично обратим: если выполняется условие
(9.8.71) и предполагаются справедливыми условия (9.8.33), то
и является функцией такого рода ассоциированной координаты
времени Бонди, так что и последняя и первая будут постоян-
постоянными на одних и тех же срезах.] Будем называть о-флагштоки,
связанные указанным способом с параметром времени Бонди,
ассоциированным с выбранным масштабом для гиперповерх-
гиперповерхности 3f+, системой Бонди. Тогда справедливо следующее пред-
предложение.
Предложение
Условием существования системы Бонди является слабое
равенство т^0. (9.8.72)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 457
Уравнение D.12.32д) дает
р'о ё* <5* — т2 — JV, (9.8.73)
где
N <=* Фао (9.8.74)
есть комплексная функция новостей Бонди — Сакса, очень важ-
важная связь которой с потоком энергии гравитационного поля бу-
будет рассматриваться в § 9. В системе Бонди соотношение
(9.8.73) принимает вид
fa Q* — N. (9.8.75)
Вспомним, что как часть сильного асимптотического эйн-
эйнштейновского условия для пространства Ж должно выполняться
слабое равенство
Vabcd s« 0, (9.8.76)
т. е.
ур0 s< W, s< W2 o< W3 s< Wt ss 0. (9.8.77)
В результате из формул D.12.32а)' и D.12.32г)' следует, что
Ф22^0аФ21. (9.8.78)
Теперь нам потребуются тождества Бианки на 3f+. Принимая
во внимание, что поле со спином 2
(9.8.79)
является гладким класса С1 на 9+ [при наших начальных пред-
предположениях на JL; см. теорему (9.6.41)], получаем
(9-8.80)
[формула (9.6.42)]. С учетом равенств (9.8.77) это дает
Aipt^-№t A = 0,..., 4) (9.8.81)
(тогда как dWt = дГл¥{ ^ p'Wt ^ 0). Следовательно, принимая
во внимание D.12.39), получаем
Лг|L £ё &N. (9.8.82)
Кроме того, воспользовавшись комбинацией соотношений
D.12.38) + D.12.41)'+ D.12.38)' и замечая, что, согласно фор-
формуле (9.8.33), б'Л + 6Фп = 0, можно получить слабое равенство
Л-фз ^ 6N. (9.8.83)
Нас также интересует обобщение равенства (9.8.83), которое
получается, когда предполагается выполненным только условие
р' se 0, а второе условие (9.8.33) не привлекается. Следователь-
Следовательно, на 3+ выполняется такое масштабное преобразование, что
рее срезы этой гиперповерхности изометрически отображаются

458 глава э ;
друг на друга ее образующими, но не обязательно являются
метрическими сферами. В результате получается слабое равен-
равенство
Дг|>3 ^ <5Ф2О — д'К, (9.8.84)
где
К s* Фп + Л. (9.8.85)
Согласно формуле D.14.20), эта действительная величина К
представляет собой половину гауссовой кривизны срезов. Пока
что мы положим К= 1/2, и тогда соотношение (9.8.84) сведется
к (9.8.83).
Затем, вычитая D.12.37) из комплексно-сопряженного ему
выражения, мы получаем
<=ё 6Ф1О — б'Ф01 + oN — dN, (9.8.86)
тогда как из формулы D.12.32г) следует, что
Ф01^<5$>— д'а. (9.8.87)
При выводе формулы (9.8.87) использовалось равенство
р = р', (9.8.88)
в котором [формулы D.14.2) и G.1.58)] выражается то обстоя-
обстоятельство, что элементы 2-плоскостей на ЗГ+, ортогональные
о-флагштокам, являются поверхность-образующими (а именно
касательны к срезам и = const). Кроме того, в силу формулы
D.12.35) и действительного характера величины К величина
д'др тоже действительна, так что, подставив (9.8.87) в (9.8.86),
мы получим условие действительности
д'2а ss А^2 — oN + &д, (9.8.89)
которое нам понадобится в § 9.
Между прочим отметим, что приведенная в F.8.17) форма
тождеств Бианки
с Раь = Фаб — Авав&а'В' позволяет получить слабое равенство
,a,H, e* 2V[gPft] f, (9.8.90)
из которого следует много других выражений для Ч';. [С его
помощью можно дать другой вывод соотношений (9.8.82),
(9.8.84) и (9.8.86), хотя это и не тривиально; в этой связи отме-
отметим, что соотношения (9.8.78) и (9.8.85) можно скомбинировать
в одно соотношение пьРавв'аг = Кпа-]
Наибольший интерес для нас сейчас представляют соотно-
соотношения (9.8.82) и (9.8.75), которые вместе означают, что в си-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 459
стеме Бонд и мы имеем
р'2о£*—А-ф<. (9.8.91)
Согласно сказанному в § 7, величина г|з4 на ЗГ+ является мерой
уходящего гравитационного излучения (т. е. это «/—^часть» фи-
физического поля вейлевой кривизны). Таким образом, одно из
следствий соотношения (9.8.91) таково: когда имеется уходящее
гравитационное излучение, невозможно сохранить условие «хо-
«хорошего среза» о = 0 во всей системе Бонди. Суть системы Бонд и
состоит в том, что все срезы и = const являются трансляциями
во времени относительно фиксированного «временного направ-
направления» (а именно такого, которое определяется выбором мас-
масштаба единичной сферы срезов) наперед заданного среза (ска-
(скажем, среза, соответствующего значению параметра и = 0).
Здесь в сущности обнаруживается, что трансляция хорошего
среза — в общем случае плохой срез. (Термин «трансляция» в
данном контексте означает, что второй срез — это БМС-транс-
ляция первого, но само пространство-время, включая Зг+, при
этом не движется.)
Таким образом, в системе с уходящим гравитационным излу-
излучением гиперповерхность 3+ обладает «структурой хорошего
среза», которая отличается от аналогичной структуры для про-
пространства М, и мы уже не можем использовать методы, разви-
развитые ранее для выделения частной ограниченной подгруппы
Пуанкаре 0> группы &. Более подходящей «структурой хоро-
хорошего среза» для 3+ является сдвиговая структура, которая лю-
любому срезу гиперповерхности 3+ ставит в соответствие {3, —1}-
скалярную функцию а, определенную на этом срезе. Такая сдви-
сдвиговая структура на одну ступень более «внутренняя», чем силь-
сильная конформная геометрия гиперповерхности 3+ (хотя, что назы-
называть «внутренним» или «внешним», особенно в случае изотроп-
изотропной гиперповерхности, это в известной степени вопрос согла-
соглашения [247]). Ибо она относится к сдвигу на 3+ изотропных
гиперповерхностей в Ж. Из сказанного следует, что сдвиговая
структура гиперповерхности 3+ пространства (VI отличается от
сдвиговой структуры такой гиперповерхности в общем простран-
пространстве JL. Фактически сдвиговая структура гиперповерхности 3+
эквивалентна (по модулю, самое большее, двух постоянных ин-
интегрирования на каждой образующей гиперповерхности 3/+) ин-
информации об уходящем гравитационном излучении. Подгруппа
53 группы 38 в случае пространства (VI является группой, сохра-
сохраняющей в дополнение к сильной конформной геометрии гипер-
гиперповерхности 3?+ ее сдвиговую структуру. В случае произволь-
произвольного пространства Ж, в котором поле г|L лишено симметрии на
3+, ими не обладает и сдвиговая структура гиперповерхности
3+. Так что мы вернулись туда же, где были в начале этого

460 ГЛАВА 9
обсуждения: в случае произвольного пространства Ж группа
симметрии, сохраняющая сдвиговую структуру, состоит лишь из
тождественного элемента.
Сдвиговой структурой гиперповерхности 2f+t конечно, опре-
определяются хорошие срезы, а именно те, для которых а = 0. Но
в общем случае никакие хорошие срезы не нужны! Это объяс-
объясняется главным образом тем, что а — комплексная величина на
сфере, тогда как свободе в выборе среза отвечает одна действи-
действительная функция, определенная на сфере, а именно значение па-
параметра и, соответствующее пересечению с каждой образующей.
Легко показать [299], что в случае пространства М разница
между значением а = ох на одном срезе и значением а = а2 на
другом,_полученном из первого в результате супертрансляции
F(u* £. £) = #(£. £) в формуле (9.8.9) B), определяется слабым
равенством
<х2 ~ а! + 62Н. (9.8.92)
В пространстве М все срезы являются супертрансляциями не-
некоторого хорошего среза (<х = 0), так что действительный ха-
характер функции Н в формуле (9.8.92) указывает на то, что все
срезы удовлетворяют условию
д'2о s д2д, (9.8.93)
которое называется чисто электрическим [219], и этим эффек-
эффективная свобода комплексной функции а сводится к свободе дей-
действительной функции на сфере. Однако в случае произвольного
пространства Ж в соотношении (9.8.92) добавляется член, со-
содержащий интеграл по и от г|>4 (или от Щ, в силу чего условие
(9.8.93), вообще говоря, не выполняется.
Ж-пространство и асимптотическое твисторное пространство
Предпринимались многочисленные попытки обойти каждую
из отмеченных трудностей, но ни одна из них не привела к вы-
выделяемой единственным образом подгруппе Пуанкаре группы
3?. Наиболее интересная из этих попыток была сделана Ньюме-
Ньюменом [216] (см. также работы [5, 122, 163]) и привела его к за-
замечательной концепции ^-пространства1). Основная идея та-
такова: гиперповерхность 3f+ комплексифицируют, т. е. заменяют
гиперповерхностью С&+, позволив параметру и принимать
комплексные значения (и соответственно заменив £, £ независи-
') Символ 36 — первая буква слова «небеса» (Heaven) — «куда идут хо-
хорошие конусы (=Cohens) >. Используемая в этом абзаце тильда не связана
с «физическойж метрикой gab. [Игра слов: конусы (cones) и коганим (Cohens).
Коганим —■ потомки касты священников в древнем Израиле. — Прим. ред.]

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 461
мыми комплексными параметрами £, £; см. начало гл. 6, § 9), а
затем определяют хороший срез условием а = О, как это дела-
делалось выше. Комплексификация параметра и позволяет изба-
избавиться от отмеченной выше трудности, но приводит к осложне-
осложнению, связанному с тем, что «сопряженный сдвиг» б в общем
случае не равен нулю. Полагая, что сдвиговая структура гипер-
гиперповерхности 2Г+ обладает адекватной аналитичностью (т. е.
допускает достаточно экстенсивную комплексификацию), точки
сЖ-пространства можно по определению считать хорошими сре-
срезами в указанном выше смысле слова. Вспомним, что в случае
пространства (VI действительные хорошие срезы гиперповерх-
гиперповерхности 3f+ возникают из настоящих световых конусов, а значит,
точно соответствуют точкам (VI; точно так же комплексные хо-
хорошие срезы комплексификации Q3f+ соответствуют точкам про-
пространства СМ. Однако в случае произвольного (адекватным об-
образом аналитического) пространства Ж рассматриваемые
сЖ-пространства (с ньюменовским замечательным определением
метрики) оказываются общими голоморфно-римановыми само-
самодуальными решениями вакуумных уравнений Эйнштейна; и это
верно вне зависимости от того, выполняются в Ж вакуумные
уравнения или нет.
Существует тесная связь между описанной здесь конструк-
конструкцией и теорией твисторов. В гл. 7, § 3 было показано [формула
G.3.1) и предложение G.3.18)], что условия <т = 0 = и указы-
указывают на присутствие вполне изотропных комплексных 2-поверх-
ностей («дуально-твисторных поверхностей»). В нашем случае
геометрия ограничена на \G&+, так что условие и = 0 отпадает
и дуально-твисторные поверхности появляются только как комп-
комплексные одномерные кривые на комплексификации .СУ+. Эти
кривые оказываются комплексными изотропными геодезиче-
геодезическими на ,С^+ (при использовании конформной метрики про-
пространства <СЖ) и называются твисторными (при 5 = 0) и
дуально-твисторными линиями (при о = 0). Пространство [ду-
[дуально-] твисторных линий на С&+ позволяет определить [ду-
[дуальное] проективное асимптотическое твисторное пространство
для Ж. [Дуально-] твисторные линии — это а-кривые [или
р-кривые] введенные в гл. 7, § 4 при построении пространства
Р(Г' {2f+) [или V0". {2f+)\ проективных твисторов гиперповерх-
гиперповерхности. Таким образом, (проективные) асимптотические твисто-
ры —■ это частные примеры (проективных) твисторов гиперпо-
гиперповерхности, причем гиперповерхностью в данном случае является
2f+. (В общем случае а- и р-кривые не являются комплексными
изотропными геодезическими; это специфическое свойство имен-
именно комплексификации О&+.)
Оказывается, что ньюменовские хорошие срезы комплекси-
комплексификации С&+ определяются одно (комплексно) параметрическим

462 ГЛАВА 9
семейством дуально-твисторных линий, дающим голоморфную
кривую в дуальном асимптотическом твисторном пространстве.
Таким образом, конструкция Зё- пространств а оказывается ана-
аналогичной конструкции пространства СМ на основе прямых ли-
линий в стандартной картине дуального проективного твисторного
пространства (см. гл. 6, § 10; § 3 данной главы), к которой она
(конструкция) даже сводится при Л = М. Эта процедура слу-
служит примером (прототипом) так называемой «нелинейно-грави-
«нелинейно-гравитационной» конструкции всех самодуальных решений вакуумных
уравнений Эйнштейна [252, 267, 336, 13] (см. также работы
[358, 342, 131]), которая сама была прообразом описанной в
гл. 6, § 10 конструкции Уорда для случая самодуальных полей
Янга — Миллса. Однако подробное обсуждение этих проблем
увело бы нас далеко в сторону.
Отношение группы БМС к импульсу и моменту импульса
Даже «^-пространство, будучи в общем случае пространст-
пространством без симметрии, не ведет прямо к определению «группы сим-
симметрии» Пуанкаре для пространства Ж. Различные другие пред-
предложения сводятся к следующему. Предположим, что излучение
■ф4 убывает достаточно быстро либо в направлении будущего
вдоль образующих гиперповерхности 3f+, либо в направлении
прошлого. Зададим предельные (скажем, действительные) «хо-
«хорошие срезы» гиперповерхности &+ в соответствующем асимпто-
асимптотическом смысле условием ы-»-оо(/+) или ы->-—oo(t°). Тогда
«хорошие срезы» в общем случае определятся БМС-трансля-
циями этих предельных срезов. Это и дает нам соответствую-
соответствующую (ограниченную) подгруппу Пуанкаре 0> группы &, хотя
остается неприятная неоднозначность в выборе между «/+-опре-
делением» и «/--определением». В общем случае эти две под-
подгруппы не идентичны [219].
Серьезность этой неопределенности можно следующим об-
образом продемонстрировать графически. Пусть имеется изолиро-
изолированная физическая система, первоначально достаточно близкая
к стационарному состоянию, в котором сдвиговая структура ее
гиперповерхности 9+ (скажем, при и < щ) достаточно хорошо
согласуется с аналогичной структурой пространства М, так что
можно с необходимой степенью точности выделить единствен-
единственную ограниченную подгруппу Пуанкаре &х как подгруппу груп-
группы 3&, сохраняющую эту сдвиговую структуру1). Допустим, что
затем система в течение определенного периода, скажем в ин-
') Доказательство эквивалентности сдвиговых структур гиперповерхности
&+ в стационарном, случае в пространстве Л и пространстве М было в ра-
работах [299, 220].

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
463
Рис. 9.25. Изолированная гравитационная система испускает два импульса
излучения. До этих импульсов, между ними и после них она находится в
невозмущенном состоянии. В каждом из этих трех невозмущенных периодов
естественным образом определяется подгруппа Пуанкаре группы БМС, но в
общем случае эти три подгруппы в качестве общей имеют только подгруппу
трансляций 9'.
тервале щ < и < «2. испускает (запаздывающее) гравитацион-
гравитационное излучение, после чего следует еще один период покоя
«2 < и <С из, так что сдвиговая структура гиперповерхности &+
опять достаточно близка к аналогичной структуре в простран-
пространстве М, вследствие чего адекватным образом выделяется вто-
вторая подгруппа Пуанкаре &<& (рис. 9.25). Далее предположим,
что система после этого еще раз испускает излучение (и3 <
< и < Ы4), прежде чем окончательно успокоится. В результате
с соответствующей степенью точности выделяется третья под-
подгруппа Пуанкаре ^4 (при «4 < и). В общем случае все три под-
подгруппы 9>и 9>п и ^4 различны и в качестве общей имеют одну
лишь группу трансляций 9~, будучи сопряжены друг с другом
нетривиальными супертрансляциями, как в формуле (9.8.68).
Указанная группа °Г важна тем, что позволяет ввести фи-
физические концепции массы-энергии и импульса, ибо в случае
пространства М именно векторы Киллинга, генерирующие
трансляции, приводят к этим концепциям (см. гл. 6, § 5). Сле-
Следовательно, неоднозначность в определении группы & не влечет
за собой сереьезных последствий для энергии-импульса. В сле-
следующем параграфе мы увидим, как определение Бонди — Сакса
позволяет приписать системе вполне подходящие полные энер-
энергию и импульс, измеренные на произвольном срезе гиперповерх-
гиперповерхности ЛУ+. Но даже это не позволяет нам избавиться от труд-
трудностей, связанных с группой БМС, ибо выше мы видели, что

464 ГЛАВА 9
нужно сравнивать эти величины на срезах, которые не обяза-
обязательно являются трансляциями друг друга.
Что касается момента импульса, то здесь все осложняется,
так как появляется потребность в генераторах «вращательных»
элементов группы 9*. При переходе от 0>\ к 9>23, а затем к ^4
определение «бессупертрансляционного вращения» претерпевает
некий «сдвиг». Поэтому при наличии гравитационного излучения
и само определение момента импульса тоже должно, вероятно,
претерпевать соответствующий «сдвиг». Мы вернемся к этому
вопросу в следующем параграфе.
Асимптотические разложения в теории Эйнштейна — Максвелла
Анализируя структуру гиперповерхности &+, мы пытались
избежать излишней специализации как при выборе спиновой
системы отсчета и координат, так и при выборе конформного
фактора. Мы старались придать рассуждениям максимальную
общность и не навязывать тот или иной способ дальнейшей спе-
специализации при выполнении конкретных расчетов. Так, в боль-
большинстве работ по вопросам, связанным с уходящим гравита-
гравитационным излучением, используются изотропные координаты (на-
(например, локусы и = const продолжают внутрь от 3f+ так, чтобы
они стали изотропными гиперповерхностями в Ж); но это ни в
коей мере не обязательно и в некоторых случаях могут оказать-
оказаться более предпочтительными асимптотически изотропные (ска-
(скажем, пространственноподобные) гиперповерхности ы= const.
При этом остаются в силе все рассуждения и выводы данного
параграфа.
Что касается конформного множителя Q, то мы его специа-
специализировали лишь в той степени, которая была необходима, что-
чтобы привести внутреннюю метрику гиперповерхности 3*+ к требуе-
требуемому виду, во всем остальном выбор Q ничем не ограничивался.
При более детальных расчетах часто полезна дополнительная
специализация; например [см. текст, связанный с формулой
(9.8.29) ], иногда удобно выбрать такой конформный множитель,
чтобы гиперповерхность Q = const была изотропной. При ло-
локальных расчетах на 2f+ иногда можно даже полностью «упло-
«уплощать гиперповерхность &+», стереографически проецируя одну
из ее образующих «обратно на бесконечность» [240]. Тогда вся-
всякое «сечение» гиперповерхности &+ получает евклидову метрику
и можно добиться, чтобы выполнялось слабое равенство
VAA'iB es 0, (9.8.94)
т. е. полотнища флагов спинора t всюду на &+ считаются парал-
параллельными. Однако раньше условия типа (9.8.94) особого интере-
интереса для нас не представили бы, поскольку они мешают прямо при-
применять модифицированный формализм спиновых коэффициентов,

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 465
Кроме того, из-за изменения топологии, связанного с изъятием
одной образующей гиперповерхности &+, сильно усложняется
анализ глобальных проблем.
В заключение данного параграфа мы приведем без вывода
выражения для старших членов асимптотических разложений
физической метрики, спиновых коэффициентов, спинора элек-
электромагнитного поля и спинора Вейля, которые получаются,
когда построенная здесь асимптотическая структура гиперпо-
гиперповерхности ЗГ+ снова интерпретируется в пространстве Ж. Пред-
Предположим для определенности, что в Ж выполняются уравнения
Эйнштейна — Максвелла; это позволяет четко осуществлять
продолжение внутрь от &+. Для маркировки образующих мы
выбрали координату времени Бонди х1 = и на &+ и [в соответ-
соответствии с замечаниями, следующими за предложением (9.8.31)]
стандартные стереографические координаты х3 = £ и х* = £,
вследствие чего метрика сфер сечения гиперповерхности &+ при-
принимает вид (9.8.8). Координату и продолжим внутрь (един-
(единственным образом вблизи ИУ+), потребовав, чтобы гиперповерх-
гиперповерхности и = const были изотропны. Это — изотропные гиперпо-
гиперповерхности, образованные лучами в Ж, ортогонально пересекаю-^
щими срезы и = const гиперповерхности 2f+. Координаты £ и £
продолжены внутрь наложением требования, чтобы они были
постоянны вдоль этих лучей. Координата х2 = г выбрана в ка-
качестве аффинного параметра на каждом луче, а масштаб пара-
параметра г выбран так, что (при А = 1) компонента g12 физической
метрики равна единице. Нулевое значение радиального пара-
параметра г подобрано таким образом, чтобы /—2-член в разложении
р был равен нулю.
Мы здесь вернемся к обозначениям предыдущих парагра-
параграфов, в которых физическая метрика обозначалась символом
gab, а не gab, и соответственно этому не будем пользоваться
«тильдой» для маркировки физических спиновых коэффициен-
коэффициентов, характеристик кривизны и т. д.
Кроме того, мы выберем определенную спиновую систему
отсчета и тем самым исключим, наконец, инвариантность, не-
необходимую для строгого применения модифицированного фор-
формализма спиновых коэффициентов. Однако мы по-прежнему
будем пользоваться символом 5 и примем для операторов вы-
выражения D.15.117) (причем спиновые веса интересующих нас
величин считаются известными). Масштаб спинора оА выбран
таким образом, что вдоль образующих (как в § 7)
£> = |г, (9.8.95)
а полотнища флага указывают вдоль £-линий сфер на Sf+ (т. е.
на 2f+, Re£ возрастает, a Im£ = const) и параллельно перено-

466 ГЛАВА 9
сятся вдоль лучей, образующих гиперповерхность и = const.
[Это согласуется со схемой расположения интересующих нас
объектов, представленной на рис. 4.6 (т. 1, с. 371).] Используе-
Используемая спиновая система отсчета тоже параллельно переносится
вдоль лучей. В выборе спинора iA для каждого луча остается
степень свободы, отвечающая «изотропному повороту».
При таком выборе интересующих нас величин и объектов
все будет согласоваться с работами Ньюмена и его коллег
[224, 171, 219, 223], если не считать небольших различий в вы-
выборе координат и, г и замены оператора — 2~1/2д названных авто-
авторов нашим оператором д. Приводимые ниже соотношения взяты
из работы [86]. Напомним, что точкой обозначается производ-
производная д/ди.
Не сложно также преобразовать эти формулы к координа-
координатам @, ф), показанным на рис. 4.7 (т. 1, с. 372).
£22 = 2 ([/ _
<о) A = 3, 4),
(I, ] = 3, 4),
6 + о 0~7
начальные данные на и = О,
г'5 + О
+ DОФ?ф? - dV?) г + О (г-5),
+ BОф?ф£ - «) г + О (г),
+ о (г),
р = - г - а°а°г-3 + О (г),
а = а^-' + а°а0/-2 + а°а°а°г-3 + О (г),
Р = aV-1 - а°а°г-2 - (aVa0 + i Y?) г~3 + О (r~4),
т = - i- Y?r-3 + 4- (i « + ^S - 8Оф?ф?) г-* + О (г),
i- Y?r + 4-
а0/-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 467
- (aV + 20Ф?ф? - 4-d'Y?) Г3 + О (г),
Y = _ ±.Y2r~2 + -iBdV? + аЧ? - а°Ч??- 120Ф?ф?) /--3
v = - чф--1 + (I-d'^ - 2Оф?с$ г + О (г),
О (г),
- (г + d>d°r-3) + О (г'*),
а» = dVr-1 - (а°да° + 4 ^?) г'2 + О
•66).
где
= dV - д2а° + а°а° - д°о°,
[Три последних из этих соотношений соответствуют выражениям
(9.8.89), (9.8.83), (9.8.82) с условием (9.8.75).]
Ч°о - dWi - 3o°W°2 - 6Gq&p20 = О,
Wl0 + 4д (a>?) + д'дУ°0 - 8Оф?бф? -
— 16Ga Ф1Ф1 — 8бфоф2 = О,
= О,
= О,
фо — бф! — а ф2 = G,
ф° _ dq^ = 0.
§ 9. Энергия-импульс и момент импульса
В гл. 6, § 4 и 5 мы говорили об энергии-импульсе и моменте
импульса в линеаризованном пределе слабого поля общей тео-
теории относительности. Было предложено воспользоваться

468 ГЛАВА 9
[о]-твистором для понижения спина поля от двух до единицы,
с тем чтобы десять законов сохранения в гравитационном слу-
случае (энергии-импульса и момента импульса) можно было свести
к одному, как в теории электромагнетизма (закон сохранения
электрического заряда). Здесь будет дано обобщение этой про-
процедуры на полную общую теорию относительности [259] (бо-
(более ранние аналогичные подходы см. в работах [328, 167, 324]).
Как мы увидим, на пути получения столь же полного набора
законов сохранения в рамках общей теории относительности,
как и в ее линеаризованном пределе, возникают весьма большие
сложности. В нашем подходе они отражают особенности и огра-
ограничения, возникающие при введении твисторов в искривленном
пространстве-времени. Ключом к решению проблемы будет вве-
введение нового типа твисторов, так называемых твисторов дву-
двумерной поверхности, которые обладают свойством понижения
спина даже в общем случае искривленного пространства-вре-
пространства-времени Ж. Применительно к гиперповерхности ЗГ+ наш метод дает
не вызывающее возражений определение 4-импульса Бонди —
Сакса1). Он приводит также к новому определению момента
импульса, которое представляется имеющим преимущества пе-
перед определениями, предложенными ранее. Кроме того, предла-
предлагаемый метод в принципе позволяет дать определение комплекса
энергии-импульса/момента импульса, относящегося к полной си-
системе материи и гравитационного поля, ограниченной конечной
замкнутой двумерной поверхность.
Линейная теория
Напомним, что, когда речь шла об источниках в линеаризо-
линеаризованной теории гравитации (гл. 6, § 4 и 5), были даны два ин-
интегральных описания в М. В первом из них 2-форма
* = Ki,abQab (9-9.1)
[формула F.5.45)] интегрируется по замкнутой двумерной по-
поверхности &, что дает некоторую меру для источников, окру-
окруженных поверхностью 9", а во втором интегрируется 3-форма
1^аЕа% (992)
[формула F.5.49)] по области трехмерного объема У, что дает
меру полного потока источников через У. Когда У° — ком-
компактная область с границей дУ° = 9' [формула F.5.51)], оба
определения согласуются в силу фундаментальной теоремы
'> См. работы [26, 27, 298, 299, 234, 236, 240, 220, 28].

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 46$
внешнего исчисления. В этих формулах Каьсй и Еаь — линеари-
линеаризованный тензор кривизны и тензор энергии-импульса. Кроме
того, как и в формуле F.4.7),
Qab = iaAV'B' - ioA'B'eAB (9.9.3)
есть действительный кососимметричныи тензор, построенный из
главной части вАВ(=оВА) симметричного твистора Sap, так что
имеем
V#aBC) = 0 (9.9.4)
в силу формулы F.1.69). В соответствии же с формулой F.4.6)
мы имеем эквивалентное уравнение
v(aQft) с _ v(aQc) Ь + ga [6у^с] d = Q(g g 5)
где Qab — тензор, связанный с вектором Киллинга \а соотно-
соотношением
i = -r- VbQao = -5- (rVB a — iV^a ) (9.9.6)
О О
[ср. с формулами F.5.25) и F.5.40)]. Напомним также [см.
формулу F.5.15) и рис. 6.6, 6.7], что если |ЛА — главная часть
(твисторно-) эрмитова бесследового твистора Fap, то соотношение
(9.9.6) принимает вид
Fap = Sa\p + SpYra. (9.9.7)
Кроме того, из уравнений (9.9.4) [т. е. (9.9.5)] и (9.9.6) авто-
автоматически следует уравнение Киллинга
причем таким путем получаются все десять линейно-независи-
линейно-независимых векторов Киллинга для М. Поскольку пространство Т(<хР)
комплексно-десятимерно, имеются десять комплексных линейно-
независимых решений уравнения (9.9.4) и, следовательно, двад-
двадцать действительных линейно-независимых решений уравнения
(9.9.5). Десять из них приводят к нулевому вектору Киллинга
в уравнении (9.9.6), причем соответствующие тензоры Qab вы-
выражаются в виде
т. е. aAB=VB'(V)B' (9.9.9)
[ср. с формулой F.5.41) и рис. 6.6, 6.7], где ус — конформный
вектор Киллинга. Твисторное выражение для тензоров (9.9.9)
таково:
Sap = 2/G(aplP)(\ (9.9.10)
где \АВ' — главная часть (fвисторно-) эрмитова бесследового
твистора Gap.

470 ГЛАВА 9 ;
Усложнения в случае искривленного пространства-времени
Мы хотим выполнить аналогичное построение в произвольном
искривленном пространстве-времени Ж, а затем применить его
к случаю, когда JC асимптотически стремится подходящим об-
образом к пространству Минковского. Нам не удастся просто
переписать соотношения (9.9.4) [или (9.9.5)], (9.9.6) и (9.9.8)
прямо в искривленном пространстве. Как мы заметили ранее
(гл. 6, § 5), уравнение (9.9.8) имеет ненулевые решения лишь
в случае, когда Ж обладает (непрерывными) симметриями.
Кроме того, уравнение (9.9.4) должно быть совместным с весьма
жесткими алгебраическими требованиями, связанными с вейлев-
вейлевской кривизной, подобно тому, как это имело место для твистор-
ного уравнения валентности [J] в формуле F.1.6). В случае
произвольного пространства-времени Ж уравнение (9.9.4) допу-
допускает только нулевое решение.
С физической точки зрения понятно, почему интеграл от вы-
выражения вида (9.9.2), обращающийся в нуль, когда равна нулю
локальная плотность энергии-импульса источников, не может
дать удовлетворительного выражения для полного 4-импульса
гравитационной системы. Мы знаем, что само гравитационное
поле должно давать вклад в полную энергию (иногда отрица-
отрицательный, как в случае ньютоновской потенциальной энергии
двух тел, связанных гравитационным взаимодействием, а иногда
положительный, как в случае гравитационных волн), тогда как
здесь нет прямого вклада гравитационного поля в тензор энер-
энергии-импульса. Этот вклад можно рассматривать как связанный
с нелинейностью уравнений поля Эйнштейна. Гравитационная
энергия существенно нелокальна. Локально она может обра-
обращаться в нуль, но она дает вклад в выражение для полной энер-
энергии. Одним из проявлений этого оказывается то, что локальный
ковариантный «закон сохранения» \аТаЬ = 0 не дает в резуль-
результате интегрирования полного сохраняющегося 4-импульса. Но
так и должно быть, ибо иначе мы имели бы выражение для
энергии-импульса, в которое гравитационное поле вклада не
дает, что противоречит физическому опыту.
Поэтому вместо выражения (9.9.2) нам следует иметь такое
выражение, в котором имелось бы дополнительное слагаемое
нелокального характера. В § 10 мы приведем замечательное (по-
(положительно-определенное) выражение, найденное Виттеном [374]
и, по-видимому, удовлетворяющее требованиям, которые воз-
возникают для областей пространства-времени, асимптотически ста-
становящихся плоскими. Удивительной особенностью этого выра-
выражения является то, что оно существенно зависит от спинорных
величин (со спином 1/2). В данном же параграфе мы займемся
построением удовлетворительной замены выражения (9.9.1). За-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 471
мечательно, что и на этом пути мы также столкнемся с необхо-
необходимостью использовать в общем случае величины «со спином
1/2».
Твисторы двумерной поверхности
Нам нужен аналог уравнения (9.9.4) для заданной замкну-
замкнутой двумерной поверхности 9*. Как мы только что заметили,
само по себе уравнение (9.9.4), вообще говоря, не имеет нетри-
нетривиальных решений в Ж. Однако с физической точки зрения же-
желательно иметь подобные решения, потому что в вакуумной об-
области каждое такое решение давало бы 6=0 и мы имели бы
закон сохранения без гравитации в том смысле, что рассматри-
рассматриваемый интеграл не изменял бы своего значения при непрерыв-
непрерывной деформации поверхности 9* в такой области независимо от
наличия гравитационного поля. Однако мы требуем, чтобы поле
аАВ обеспечило нас только определением энергии и т. д. на 9",
а не столь сильным законом сохранения. Поэтому мы можем
попытаться рассмотреть только те компоненты уравнения
(9.9.4), в которых производная действует тангенциально. Пред-
Предположим, что поверхность 9" пространственноподобна, и вос-
воспользуемся модифицированным формализмом спиновых коэф-
коэффициентов, выбрав спиновую систему отсчета оА, iA, адаптиро-
адаптированную к 9° стандартным образом (см. гл. 4, § 14). Однако мы
найдем, что только два члена, которые получаются сворачива-
сворачиванием уравнения (9.9.4) с
оловос1л' и 1л1в1сол', (9.9.11)
содержат тангенциальные производные, тогда как поле оАВ
имеет три независимые комплексные компоненты. Таким обра-
образом, мы имеем недоопределенную систему с бесконечномерным,
а не десятимерным пространством решений.
Нам необходимо сделать нечто более тонкое. Вместо того
чтобы вводить непосредственно элементы нужного нам про-
пространства Т(<хР), можно понимать это пространство как возни-
возникающее вторично в виде симметризованного тензорного произ-
произведения на самого себя «твисторного пространства» валентности
[„], ассоциированного с 9". Таким образом, вместо того чтобы
рассматривать тангенциальную часть уравнения (9.9.4), будем
интересоваться тангенциальной частью первоначального тви-
твисторного уравнения F.1.1):
Ул'(л(йв» = 0. (9.9.12)
Сворачивая с i лвоА' и олов1л', получаем два тангенциальных
уравнения для двух комплексных компонент ©°, о/ типов, соот-

472 ГЛАВА 9
ветственно, {—1, 0}, {1, 0} [ранее эти уравнения были получены
в формуле D.12.46)]; в модифицированном формализме спино-
спиновых коэффициентов они имеют вид
а(й0. (9.9.13)
(Подчеркнем: оэ° = ^ = (aAiA, со1 = — оэ0 = — <аАоА.)
Любое решение1) {оэ°, со1} системы (9.9.13) (твистор аИ в
абстрактно-индексной форме) на всей замкнутой поверхности 91
называется твистором двумерной поверхности на 9" валентности
[J], а пространство таких решений будет обозначаться симво-
символом Та(^"). Оказывается, что в действительности для любой
поверхности 93, имеющей топологию 2-сферы, система (9.9.13)
будет всегда иметь по крайней мере четыре комплексных ли-
линейно-независимых решения. Кроме того, в генерическом случае
и в случаях, достаточно близких к канонической ситуации,
когда, как в гл. 4, § 15, поверхность 9* возникает как компакт-
компактное пересечение цвух световых конусов в М, система (9.9.13)
имеет четыре и только четыре независимых решения. Таким
образом, по крайней мере в такой «нормальной ситуации» Та{93)
будет комплексно-четырехмерным векторным пространством.
Индекс а тогда является четырехмерным абстрактным индек-
индексом, и остаются применимы стандартные правила и обозначения
гл. 2, § 2.
Доказательство высказанных утверждений выходит за рамки
этой книги. Схема его такова: можно вычислить индекс Атья —
Зингера [309, 107] для системы (9.9.13), рассматривая вначале
каноническую ситуацию, упомянутую выше, пересечения двух
световых конусов в М Тогда уравнения (9.9.13) расцепляются
и мы получаем д'вР = 0, доо1 = 0, причем величины оэ° и ю1
имеют, соответственно, спиновые веса —1/2, 1/2, и взгляд на
формулу D.15.60) [или предложение D.15.59)] говорит, что
каждое уравнение имеет два независимых решения (всего че-
четыре). Присоединенное уравнение имеет вид системы 6Л,° = О,
д'Х1 = 1, где А,0, Я,1 имеют соответственно спиновые веса —3/2,
3/2, и обращение к D.15.60) [или предложению D.15.59)] ука-
указывает, что теперь имеется лишь тривиальное решение. Индекс,
будучи разностью числа измерений этих пространств решений,
равен 4 — 0 = 4, причем он инвариантен относительно дефор-
деформации дифференциальных уравнений. В худшем случае система
(9.9.13) может приобрести при некоторых специальных условиях
') Скобками { } обозначаются величины, изменяющиеся на &. Это в
основном преследует цель отличить твисторные выражения, определенные
локально, от выражений, относимых к элементам пространства Т (&) в це-
целом, таким, как в формуле (9.9.25) ниже. Если же опасности путаницы нет.
тд не обязательно придерживаться таких обозначений.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 4?3
Дополнительные решения, причем присоединенное уравнение
одновременно приобретает пространство решений той же раз-
размерности. Это может произойти лишь в исключительных слу-
случаях (хотя такие примеры явно были построены Джефрисом).
Теперь вместо того чтобы использовать (9.9.4), мы по опре-
определению введем элементы "|ПаР> (9>) как симметричные тензорные
произведения решений системы (9.9.13), т. е.
| | ) (9.9.14)
1 2 2Г-1 2г
где {<в°, о»1} при г=1, ..., 2г есть решения системы (9.9.13).
Действительно, элемент общего вида пространства Т^Б'^) уже
получится, если сумма (9.9.14) содержит только два слагаемых
(т. е. г =2).
Заметим, что в пространстве М пространство Та(^) может
быть отождествлено со стандартным твисторным пространством.
(Если предположить, что поверхность 9> соответствует «нор-
«нормальной» ситуации, когда пространство Та(^) четырехмерно.)
Действительно, любое решение уравнения (9.9.12) обязательно
будет решением системы (9.9.13). Кроме того, с помощью соот-
соотношения E.6.38) можно переписать систему (9.9.13), используя
конформно-инвариантные операторы 5С, бс [формула E.6.34)],
и, значит, уравнения (9.9.13) конформно-инвариантны (если
приписать полю «И конформный вес, равный 0, при произвольно
выбранных весах для оА и ьА). Следовательно, можно отож-
отождествить Та{9") со стандартным пространством Та и в конформ-
конформно-плоском Ж. В этих случаях ТГ(ар)(^) можно аналогичным
образом отождествить с "|ПаР> и далее продолжить это для всех
пространств И%'.'.'. х (9"), получаемых из ТР*^) в соответствии со
стандартным предписанием (гл. 2, § 2). Но в случае генериче-
ских & и Ж пространства твисторов двумерной поверхности
(произвольной валентности), которые мы получаем, представ-
представляют собой некоторый совершенно новый объект исследования.
Контортные двумерные поверхности
Величины <т и </, входящие в систему (9.9.13) (точнее, их
действительные и мнимые части), совместно с величинами р и
р' [которые уже действительны в силу предложения D.14.2)
или соображений, изложенных в гл. 7, § 1] составляют объект,
обычно называемый внешней кривизной поверхности ЗР. В фор-
формуле D.14.20) мы рассматривали величину К, возникающую из
коммутатора операторов б и б', мнимая часть которых пред-
представляет собой внешнюю кривизну другого типа, включающую
производные внутри 9* более высокого порядка, а именно вто-

474 ГЛАВА 9
рого, подобно внутренней гауссовой кривизне К-\-К D.14.21).
Если мы рассмотрим вторую поверхность 9>, изометричную по-
поверхности 9Р, погруженную в пространство-время Ж, такую, что
все ее указанные внешние кривизны совпадают с соответствую-
соответствующими характеристиками для 9", то уравнения (9.9.13) будут оди-
одинаковы для обеих поверхностей и решения, полученные для од-
одной из них, могут быть непосредственно применены и ко второй.
В частных случаях, когда Ж можно выбрать конформно-пло-
конформно-плоским, подобное построение весьма эффективно, так как тогда
Ж допускает полное комплексное четырехмерное семейство ре-
решений (9.9.12) около 9", получаемое непосредственно из решений
F.1.10) в М с помощью конформного изменения масштаба. Да-
Далее ограничение этих решений на 9? может быть перенесено на
9", так что Та{9") легко построить. (Процедура подобного типа
была введена и впечатляющим образом применена в работе
Тода [337].) Если такое погружение в конформно-плоское про-
пространство-время существует, то мы говорим, что поверхность 9"
неконтортна. Напомним, что величины Im(K), а и о7 являются
конформными плотностями E.6.28) и потому существенно не
изменяются при переходе от Ж к М. Это, однако, не так для
Re (К), р и р'. Условие неконтортности поверхности 9>, очевидно,
конформно-инвариантно.
В более общем случае, когда такое конформно-плоское про-
пространство-время Ж не существует, мы называем поверхность
контортной. Даже и в этом случае подобное построение оказы-
оказывается возможным, но теперь (конформно-плоское) простран-
пространство погружения комплексно. Величины а и а' переносятся
(возможно, с изменением масштаба), но комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженные величины а и а' заменяются новыми независимыми комп-
комплексными величинами. Ограничивающий характер условия не-
неконтортности поверхности 9? определяется тремя действитель-
действительными уравнениями в каждой точке поверхности 9" [одно из ко-
которых таково: 1га(Чг2) = 0].
Квазилокальный твистор момента импульса
Одно из возможных определений 2-формы в на 9>, примени-
применимое в полной общей теории относительности [259] '), получается
подстановкой выражения (9.9.14) в (9.9.3), а затем полученного
тензора Qab вместе с полной кривизной — в формулу (9.9.1):
') Аналогичное выражение в теории Янга — Миллса дано Тодом [338].

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 475
Действительно, имеются довольно убедительные доказательства
[337] того, что в случае неконтортной поверхности 9" это опре-
определение дает меру массы-энергии в общей теории относитель-
относительности, превосходно (и даже замечательно) согласующуюся с
физическими требованиями. Но в настоящее время имеются
основания считать (как указывают и работы Тода, Келли и Вуд-
хауса), что в общем случае контортной поверхности 9? следует
не просто проинтегрировать выражение (9.9.15) по 9" [как тре-
требует стандартная процедура D.3.24)], но ввести дополнитель-
дополнительный множитель1). Напишем
где [в силу формул (9.9.15), (9.9.3) и C.4.22)]
*ifi (9-9-16)
[ср. с формулой D.6.38)]. Вместо того чтобы интегрировать в
по &, мы интегрируем 2-форму
в' : = ф + ЛА,
где х\ — комплексная скалярная величина на д>, предлагаемое
определение которой будет дано ниже. Если поверхность некон-
тортна, то следует положить г\ = 1, и это будет справедливо и
для контортных сечений гиперповерхности Sf+. Получим [обо-
[обозначив через У 2-форму элемента поверхности, как в формуле
D.14.65)]
в' = 2 Re ф ф = — 4 Re <§> iSov
= 8 Re ф / {aABW0lAB - Флв0'1') + 2Ла01}
= - 8 Im § {a00 OP, - Ф01) + 2а01 (W2 - Ф„ - А) +
+ <r»0F3-(D21)n^ (9.9.17)
в соответствии с формулами D.14.53), D.14.66), где о43 опреде-
определяется формулой (9.9.14J).
Напомним теперь о дуальности твистора Sap и твистора
момента-импульса Аар, обсуждавшейся в гл. 6, § 5. Приравни-
') Добавление при корректуре. Требуется, по-видимому, и еще одно из-
изменение. Можно предложить использовать «форму Тода/ (9.9.29), вводи-
вводимую на стр. 478, с предложенными заменами для я0/ и nv, но без дополни-
дополнительного члена (...) 6v6'v.
2) При наличии космологической постоянной % в уравнениях Эйнштейна,
по-видимому, логично заменить среднее слагаемое в этом интеграле вели-
величиной 2<f>\42— Фи — Л + A/6)Л].

476 ГЛАВА 9
вая F.5.53) и F.5.51), применительно к рассматриваемой си-
ситуации будем иметь
Re (AafJSafJ) = - -g^g- § в', (9.9.18)
откуда (в силу нелинейности)
- Ф<и) <ff + № - Фи - А) X
X ((й°(й1 + mW\ + (Ws — Ф21) аI*»1! Л«^- (9.9.19)
VI 2 12/ 1 2 J
Здесь Z" и Z" — произвольные элементы пространства
1 2
соответствующие решениям |а>°, со1!, fco°, а>4 уравнения
(9.9.13). Соотношение (9.9.19) определяет величину Aap e
^Т„р(^) как «твистор момента-импульса», описывающий сум-
суммарный источник гравитационного поля, окруженный поверх-
поверхностью 5*.
Заметим, что в соответствии с определением (9.9.19) вели-
величина А„р имеет десять компонент (поскольку пространство
ТГар(Р') комплексно-десятимерно). Но чтобы данная ее физиче-
физическая интерпретация была полностью удовлетворительна, необ-
необходимо, как можно полагать, дополнительно наложить некото-
некоторое аналогичное условию F.3.12) условие эрмитовости типа
Aa/v = Apvr, (9.9.20)
сводящее десять комплексных компонент к десяти действитель-
действительным. Однако точная форма такого условия пока не найдена.
Чтобы хотя бы сказать, что должно означать условие типа
(9.9.20), необходимы два момента. Во-первых, нужно ввести
операцию (инволюции) твисторного комплексного сопряжения
для Та{9"), переводящего это пространство в дуальное простран-
пространство:
Р (9.9.21)
так чтобы получающееся скалярное произведение ZaZa имело
сигнатуру (+Ч ). Во-вторых, очевидно, необходим (про-
(простой? твисторно-действительный?) элемент
1«Р е jiapi (^); (9.9.22)
который должен входить в условие (9.9.20).
Возможный путь реализации этого таков: ввести локальное
твисторное поле (<вл, ял,) на & (см. гл. 6, § 9) для каждого
ZT(^) ПОЛОЖИВ
я0, = /б'ю1 — /poo0, nv = /бю0 — ф'ю1, (9.9.23)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 477
причем вместе с (9.9.13) эти соотношения являются танген-
тангенциальными частями на М уравнения F.1.9). Нетрудно убедить-
убедиться, что формулы преобразования F.9.6) локальных твисторов
при конформном изменении масштаба выполняются. Однако
твистор {йИ, яд}, вообще говоря, не будет постоянным при ло-
локальном твисторном переносе F.9.10), если не считать случая,
когда пространство JL конформно-плоское. Построим теперь
конформно-инвариантное скалярное поле на 9":
\ZaZa} = со пА + яЛ'оИ' = ©°я0 + co'fti + яО'<50' + я^©1 =
= i (ю-1'*»0 — ©"б©1' + ©°'д'©1 — ю'б'ю0') =
= 2 Im (©"б©1' — ©''б©0), (9.9.24)
поскольку величины р и р' действительны. До тех пор пока ве-
величина (9.9.24) постоянна на 3?, это будет конформно-инва-
конформно-инвариантное число, которое нужным образом задает эрмитову тви-
сторную норму_{ZaZa} для Т*^)- Однако в общем случае
выражение {ZaZa} не постоянно на 93, причем условием по-
постоянства для всех ZaGjia(^) является неконтортность поверх-
поверхности 9" (см., например, работу [155]). В случае контортной
поверхности О7 можно пытаться преодолеть возникающую труд-
трудность усреднением
(^)§ (9.9.25)
или, возможно, иначе:
J§ 7(} (9.9.26)
где (К + К) — гауссова кривизна поверхности О7 [см. формулы
D.14.20), D.14.21), D.14.44)]; или же использовать некоторое
выражение, содержащее ц. Это дает два (или более) способа
введения произведения, осуществляющего отображение (9.9.21).
Но ни один из них не обеспечивает конформной инвариантности.
С соотношением (9.9.22) возникают на первый взгляд ана-
аналогичные проблемы. Например, можно было бы ввести скаляр-
скалярное поле на 9":
{f} ynv-nvnQ,, (9.9.27)
но оно опять в общем случае непостоянно (даже для неконторт-
ной поверхности 9>). Если усреднить это выражение по 9", то
соображения, связанные с конформной инвариантностью, пере-
перестают быть существенными. Однако получающаяся величина
lap s T[ap] (9') в общем случае не оказывается простой [в смысле
предложений C.5.30) и C.5.35)]. Такой твистор lap, не удовле-

478 ГЛАВА 9
творяющий указанному критерию простоты, все же можно было
бы использовать в условии (9.9.20); более того, есть веские
основания полагать, что в общем случае необходимо использо-
использовать такой твистор |ар «деситтеровского» типа. Пока не из-
известно, действительно ли соотношение (9.9.20) выполняется с та-
таким твистором 1ар, возможно дополнительно модифицированным
некоторым членом (или членами) с г\.
Разрешение этих трудностей требует дальнейших исследова-
исследований. Как мы увидим вскоре, ситуация на 3f+ намного приятней.
Более того, как было показано Шоу [310], в предельном слу-
случае, когда 9" стремится к пространственноподобной бесконеч-
бесконечности i°, приемлемое определение 1ар и соответствующей нормы
существует и условие (9.9.20) выполняется, если только кри-
кривизна удовлетворяет подходящим условиям убывания. В этом
случае достигается полное согласие с определением массы Арно-
витта — Дезера — Мизнера [4] и определением Аштекара —
Хансена [7] момента импульса. Прежде чем обратиться к слу-
случаю &+, следует сделать некоторые замечания, касающиеся
общего случая произвольной поверхности 9". Заметим сначала,
что в пространстве М справедлива формула
m2 = -4-Aa(JAaf5 (9.9.28)
для квадрата массы покоя т, которая без труда получается из
F.3.11), причем здесь требуется только операция твисторного
комплексного сопряжения, но не нужно введение lap. Таким
образом, можно воспользоваться соотношениями (9.9.25) или
(9.9.26) и предложить два возможных альтернативных опреде-
определения «квазилокальной массы покоя» в общей теории относи-
относительности (т. е. массы покоя, заключенной внутри конечной
замкнутой двумерной поверхности). Тодом [337] была также
предложена модификация формулы (9.9.28), в которой исполь-
используется определитель твистора Аар вместо нормы.
Отметим также указанное Тодом [337] соотношение, которое
справедливо при г\ = 1, а именно выражение (9.9.19), перепи-
переписанное в замечательно простой форме
• (9-9-29)
[При доказательстве используются соотношения (9.9.13),
(9.9.23), D.12.32д), D.12.35) и формула интегрирования по ча-
частям D.14.71); доказательство оказывается простым, если на-
начать с формулы (9.9.29).] Имеется интригующее сходство меж-
между формулами (9.9.29) и (9.9.27), указывающее на то, что соот-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 479
ношение типа (9.9.20) можно было бы получить, если найти
подходящие определения. Выражение (9.9.29) окажется для нас
важным в конце этого параграфа. Если т| =5^= 1, то формула
(9.9.29) модифицируется путем замены каждого множителя
л0, величиной vn0, + iVd'v, а каждого множителя я,, величиной
vn,, -\-iaPdv и добавления члена Л»1а>° + a>oaA6v6'v, rjs.ev2 = r\.
\1 2 1 2 )
Чтобы обосновать введение величины г\ в формулу (9.9.19)
и ее определение, к которому мы перейдем далее, полезно при-
привести некоторые результаты, полученные Тодом [337] в различ-
различных случаях неконтортных поверхностей 9Р. Будем рассматри-
рассматривать квазилокальную массу покоя т, определяемую формулой
(9.9.28); она однозначна, поскольку во всех случаях неконторт-
ности норма (9.9.24) постоянна на 3?.
Для пространства-времени Шварцшильда получен замеча-
замечательный результат: в случае поверхности 93, лежащей на любой
гиперповерхности Ж сферической симметрии (определяемой в
обычных шварцшильдовых координатах некоторым соотноше-
соотношением, фиксирующим функциональную зависимость /иг), масса
т оказывается в точности шварцшильдовой массой, если 9"
охватывает источник (и только один раз), и т = 0, если 9? не
охватывает источник. (Сама поверхность 9? не обладает сфери-
сферической симметрией гиперповерхности 36 и может произвольно
располагаться внутри Ж. Такая поверхность 9* неконтортна).
Похожие результаты получаются в произвольном вакуумном
пространстве-времени, содержащем конформно-плоскую гипер-
гиперповерхность Ж, симметричную во времени, причем Ж может со-
содержать «источники» либо в виде заполненных материей об-
областей, либо в виде «кротовых нор» [207] Снова, при условии
9? cz Ж, масса m зависит только от того, охватывает ли поверх-
поверхность 9" источники, независимо от ее конкретного положения
в Ж. Если обозначить через т;- значение ш, получаемое, когда
9f охватывает только /-й источник (один раз), и через rrijk значе-
значение, получаемое, когда 9Р охватывает /-й и k-й источники (по
одному разу каждый), то мы получим физически приемлемый
результат
Это указывает на то, что вклад гравитационной потенциальной
энергии уже содержится в определениях (9.9.19), (9.9.28) [при-
[причем вклад гравитационного излучения равен нулю в Ж1)].
Действительно, в пределе слабого поля разность пг;-\-тк —
') Наше определение, однако, учитывает и вклады гравитационного из-
излучения, если они имеются (см. ниже в связи с понятием массы Боиди —
Сакса).

480 ГЛАВА 9
оказывается в точности равной ньютоновскому г~'-члену потен-
потенциальной энергии').
[Эти результаты были получены с помощью введенного То-
дом понятия твистора 3-мерной поверхности, которое вводится
применительно к гиперповерхности Ж с нормалью ta, обладаю-
обладающей теми свойствами, что 1) магнитная часть
Нас — С abed t
тензора Вейля равна нулю на Ж и 2) магнитная часть
\teVeCabcd)tbtd
нормальной производной тензора Вейля также равна нулю на
Ж (Второе условие в вакууме можно сформулировать как обра-
обращение в нуль ротора электрической части тензора Саьса на Ж,
который определен подобно тензору Наь, но без дуализации.)
Такая гиперповерхность «неконтортна» в том смысле, что может
быть погружена в конформно-плоское пространство-время с той
же внутренней метрикой и внешней кривизной для Ж и любая
2-поверхность &, лежащая в Ж, тоже будет неконтортна. Свой-
Свойством такой гиперповерхности Ж является возможность задания
на ней твисторов 3-мерной поверхности2), которые являются ре-
решением частей уравнения (9.9.12), содержащих производные,
которые действуют лишь внутри Ж, а именно
(Фактически они являются также твисторами гиперповерхности
для Ж; см. текст, относящийся к соотношению G.4.52), которое
является в определенном смысле дуальным приведенному урав-
уравнению, так что величины ос<вс постоянны вдоль р-кривых. Здесь
Na = ta.)}
Выражения для квазилокальной массы можно также приме-
применять, если поверхность 3? лежит внутри областей, заполненных
материей. В частности, в случае сферически-симметричного
(электровакуумного) пространства-времени Райсснера — Норд-
') Интересно, как это получается в подходе Тода. Твистор момента им-
импульса Аар Для разных источников оказывается полностью аддитивным, а
неаддитивность получающихся скаляров m обусловлена нелинейностью выра-
выражения (9.9.28). Подобные неравенства имели бы место для масс покоя, если
отличны от нуля 4-импульсы, но тогда знак неравенства оказался бы проти-
противоположным. Дело в том, что эффективные твисторы 1ар для разных источ-
источников оказываются «искаженными» в различной степени и возникают вклады
от тех частей Аар. которые иначе всегда равны нулю [формула F.3.11)].
2) Тод также вводит модифицированный локальный перенос твистора,
который внутри Ж является интегрируемым и для которого величина Р...,
входящая в F.9.10), приобретает добавочный вклад от электрической части
Cabcd. Твисторы 3-мерной поверхности оказываются инвариантными по отно-
отношению к такому переносу.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 481
стрема величина т теперь определяется не только тем, охваты-
охватывается ли поверхностью 9> источник массы, но и вкладом в
массу энергии электромагнитного поля1). Модели Фридмана —
Робертсона — Уокера (см. § 5), будучи конформно-плоскими,
относительно легко исследовать. В частности, Тод показал, что
если поверхность 9" обладает вращательной симметрией, то ве-
величина пг равна массе, которая была бы окружена сферой рав-
равной площади в евклидовом пространстве, заполненном жидко-
жидкостью той же плотности, что и в исследуемой модели. Таким об-
образом, в частности, в случае пространственно-замкнутой модели
величина m возрастает по мере того как сфера расширяется,
достигает максимального значения для «экваториальной» сферы
и затем уменьшается до нуля по мере того как сфера сжимается
в точку. Это показывает, что полная масса в данной модели
равна нулю в согласии с выводами других подходов [207].
Отрицательными вкладами потенциальной энергии в точности
компенсируется вклад материи. Более того, весьма общим свой-
свойством нашей конструкции является то, что полная масса любой
модели замкнутой вселенной равна нулю. Это частный случай
еще более общего свойства масса по одну сторону любой конеч-
конечной поверхности & должна быть равна массе по другую сторону,
что непосредственно видно из симметрии выражения (9.9.19).
Определение множителя г\
Кажется, ясно, что описанные выше (и другие) весьма обна-
обнадеживающие результаты для неконтортных поверхностей 9?
должны каким-то образом обобщаться на случай, когда поверх-
поверхность & контортна. В частности, в пространстве-времени Шварц-
шильда, если поверхность 9* не охватывает источник, должно
получаться значение m = 0 независимо от того, является по-
поверхность 9* контортной или нет. Однако, как показали Тод и
Келли, если опустить множитель х\ в определении (9.9.19), то
для некоторых малых сфер, не охватывающих шварцшильдов
источник, получается физически неприемлемый результат
т2<0.
Такие сферы получаются, если выбрать точку Р в Jt я взять
сечения светового конуса с центром в Р на фиксированном рас-
расстоянии от Р по афинному параметру и, нормированному с по-
помощью времениподобного вектора Та в Р. Контортные сечения
возникают в случае, когда Та не лежит в плоскости г, t в шварц-
') Этот результат представляется более удовлетворительным, нежели
получаемый с помощью интегрального выражения Комара [166] (см. также
[275]), которое дает вклад электромагнитного поля с ошибкой в 2 раза по
сравнению с гравитационным вкладом (что можно проверить, перейдя к пре-
пределу слабого поля).

482
ГЛАВА 9
шильдовских координатах. Без множителя г\ отрицательные зна-
значения т2 возникают в порядке и5, но их можно устранить, вводя
множитель т] согласно нижеследующему предписанию. Это пред-
предписание возникло в результате анализа некоторых твисторных
контурных интегралов, из которых видно, что если спинор Кил-
линга F.7.15) принадлежит пространству "|ПаР> (^), то вводи-
вводимый множитель т] приводит к значению т = О, если только по-
поверхность 9* не охватывает источник пространства-времени
Шварцшильда.
Чтобы ввести г\, построим (конформно-инвариантный) опре-
определитель любых четырех линейно-независимых решений «И,
<вл, <вл, <вл уравнения (9.9.13) на 3?:
2 3 4
7 =
<ви
(В1
<ви
3
<в«
(Ви
4
(В1
12 3 4
б©0 а©0 а©0 а©0
12 3 4
б'(В1 б'(В1 б'(В1 б'©1
12 3 4
1 2 3
(9.9.30)
(см. также работы [339, 155]). Если поверхность 91 неконтортна,
то величина У постоянна на 9? (что показывает переход к ло-
локальному твисторному описанию в конформно-плоском про-
пространстве погружения Л), но в общем случае величина У изме-
изменяется, хотя никогда не обращается в нуль (предполагается,
что пространство четырехмерно). Тогда:
Выберем величину г\ равной определителю У
с некоторым постоянным на 3? множителем.
К сожалению, при этом в выборе г\ еще остается некоторая
неопределенность. Ее можно устранить (ценой нарушения кон-
конформной инвариантности определения величины г\), потребовав,
например, чтобы среднее значение величины г\ на Ф было равно
единице или (что, возможно, правильнее) чтобы среднее соот-
соответствующего логарифма было равно нулю; однако статус таких
доопределений не совсем ясен.
Одна из важных сторон величины х\ в том, что она описы-
описывает (локально на 9") отличные от нуля компоненты альтерни-
альтернирующего твистора
Неоднозначность в выборе множителя г\, а именно г\ = У- const,
эквивалентна произволу в выборе га$у6. Величина т\У>, которая
входит в формулу (9.9.19), порождает 2-форму элемента по-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 483
верхности в комплексном конформном Минковскому простран-
пространстве погружения, в которое 3? можно вложить, не изменяя а или
а'. Эта 2-форма естественно определена с точностью до упомя-
упомянутой неоднозначности. Детали этих построений, однако, здесь
не будут обсуждаться, и мы переходим в оставшейся части
параграфа к случаю, когда & находится на изотропной беско-
бесконечности— ситуация, для которой г\ = 1, как мы сейчас увидим.
Аар на У+
Конформная инвариантность определения Та(9>) в особенности
важна, когда мы переходим к применению нашего построения
на срезе 3f+ (см. § 8). Будучи предполагать выполненным усло-
условие асимптотической простоты в будущем C-мерное), а также
предположим, что вблизи 3f+ присутствуют только безмассовые
поля. Соответственно этому возьмем физический тензор энер-
энергии-импульса Таь бесследовым вблизи Ь+ и [формула F.7.34)]
преобразующимся как
ТаЬ = ОГ2Таь (9.9.31)
при конформном преобразовании
, (9.9.32)
где теперь физические величины помечаются тильдой, как в § 8.
Мы предполагаем, что материальные поля убывают доста-
достаточно быстро, так что тензор ТаЬ конечен (по крайней мере
класса С0) на ЗГ+, что совместимо с условиями последовательного
вырождения § 7, имеющими место на 3f+. [Если поля ф,.. до-
достаточно регулярны на 3f+, то и тензор Таь тоже — в силу пред-
предположения (9.9.31) для Tab при преобразовании (9.9.32), см.
формулы E.2.4), E.8.3) F.8.36).] При этих предположениях
сильное асимптотическое условие Эйнштейна (§ 6) будет вы-
выполнено.
Рассмотрим теперь выражение (9.9.19) [или (9.9.17)], пе-
переписанное с использованием физических величин
>, Л = О, (9.9.33)
подставляя указанные [в правых частях равенств (9.9.33)] их
значения. Учитывая масштабное преобразование (9.9.31) сов-
совместно с
4 (9.9.34)
[формула (9.6.40);] и законом преобразования спиновой систе-
системы отсчета (см. § 6, 7)

484
ГЛАВА 9
позволяющим системе оставаться конечной на 2Г+, находим
' = Q57ooo'l'>
Таким образом, в «нефизических» переменных формула (9.9.19)
принимает следующий вид:
AaBZaZp = - -т^- <Ь Г^аАо0 + WaAo1 + <dW\ + ihjcaWl ^+O(Q),
Pl 2 4ltC/ •'112 VI 2 1 2J 1 2 J
(9.9.35)
причем все вклады от Таь включены в O(Q) и к тому же при-
принято, что т] = 1 на ЗГ+, см. ниже. Если взять в качестве & срез
гиперповерхности 3+, члены O(Q) исчезают и величины Аар
будут полностью определены через ifi, -ф2, ^з и решения урав-
уравнений
б'а>° = 0, бш1 = аоH (9.9.36)
на срезе (поскольку а' = 0 на &+). Мы выбираем Q таким об-
образом, чтобы внутренняя метрика на д> была метрикой сферы.
Уравнения (9.9.36) имеют значительные преимущества перед
системой (9.9.13). Во-первых, ясно, что система (9.9.36) всегда
имеет в точности четыре независимых решения, так что про-
пространство Та(^) обязательно будет комплексно-четырехмерным.
Чтобы убедиться в этом, вернемся к соотношению D.15.60),
вспомнив, что со0 имеет спиновый вес, равный —1/2, и найдем,
что уравнение б'ю0 = 0 имеет в точности два независимых ре-
решения (линейные комбинации величин -1/2^1/2, -щ и —1/2^1/2. i/2,
см. гл. 4, § 15). Подставляя каждое из них в уравнение
бш1 = асо0 и вспоминая, что со1 и а имеют соответственно спино-
спиновые веса, равные 1/2 и 2, опять находим из D.15.60), что для
каждого ш° имеются как раз два независимых решения для со1,
т. е. всего, как и требовалось, оказывается четыре решения.
Во-вторых, мы находим, что множитель г\, о котором шла
речь выше, может быть выбран равным единице. Чтобы по-
построить соответствующий определитель (9.9.30), нам нужны че-
четыре линейно-независимых решения системы (9.9.36), два из
которых могут иметь юо = О (т. е. да>1 = 0), и, следовательно,
определитель (9.9.30) принимает вид
Y =
0
со1
1
0
б'ю1
1
0
со1
СО"
3
со»
3
бсо°
3
5'ю1
3
W
4
со»
4
бсо°
4
б'ю1
4
(О1
1
(О1
2
(О1
2
@°
3
бсо°
3
@°
4
бсо°
4

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 485
Учитывая сказанное выше, можно выбрать (oWaAo0, например,
12 3 4
в виде величин 1/2^1/2, -i/2, 1/2^1/2.1/2, -1/2У1/2,1/2, соответственно,
не содержащих а (см. гл. 4, § 15), и то же относится к вели-
величинам б'ю1, ... , бсо°. Таким образом, значение определителя,
1 4
постоянное на; 9, будем тем же самым, что и в пространстве
Минковского. Следовательно, мы имеем х\ = 1.
В-третьих, появляется единственный элемент lap e Т[ар] (9"),
висит от выбора среза в хорошо определенном смысле). Напом-
обладающий всеми необходимыми свойствами (который не за-
ним локальное твисторное выражение (9.8.41) для |р0 на 3?+
Выполнив комплексное сопряжение и свернув результат с
ZPZ°, мы получим локальное твисторное выражение на 9*
|lpaZpZ°l = А (ш°Щ' - fcoV - p'coV
I 1 2 J \i 2 21 12
= A /Vdco0 — (u°6cu°V (9.9.37)
V2 1 12/
Теперь из таблицы D.15.60) ясно, что любой скаляр со спино-
спиновым весом —1/2, удовлетворяющий уравнению 5'а>0=0, дол-
должен также удовлетворять условию
б2©0 = 0. (9.9.38)
(Это было бы не так, если бы поверхность 9 не была масштаб-
масштабным преобразованием приведена к сферическому виду.) При-
Применяя оператор б к окончательному выражению в (9.9.37), на-
находим, что результат обращается в нуль. Но выражение (9.9.37)
имеет спинорный вес, равный нулю, и поэтому в силу сказан-
сказанного в гл. 4, § 15 оно должно быть постоянным на 9. Эта по-
постоянная позволяет определить lpaZpZa e С как кососимметри-
ческую билинейную функцию Zp и Za, чем определяется условие
1 2
UeT[pa](^)- (9-9.39)
В-четвертых, можно дать определение твисторного комплекс-
комплексного сопряжения (9.9.21), удовлетворяющего всем необходимым
требованиям (инволюции, сигнатуры (+ Ч )» независи-
независимости от выбора конформного множителя), по отношению к ко-
которому твистор |ag является действительным. Тогда необхо-
необходимое свойство эрмитовости (9.9.20) тоже имеется. Тем не ме-
менее это определение не является прямым и в существующей
форме выглядит несколько неуклюже, как мы вскоре увидим.
Сначала нужно познакомить читателя с различными важными
соображениями.

486 ГЛАВА 9
Асимптотическое спиновое пространство
Прежде всего заметим, что для всякого твистора Za s
е 1а(9'), для которого со0 = 0 на 91, должно выполняться ра-
равенство
lapZa = O, (9.9.40)
поскольку компонента ю1 не входит в выражение (9.9.37). Таким
образом, имеется двумерное подпространство Та(.9>), «уничто-
«уничтожаемое» твистором lap в смысле равенства (9.9.40). Это — про-
пространство величин {0, со1}, где ю1 удовлетворяет уравнению
бсо1 = 0. (9.9.41)
Назовем данное пространство асимптотическим спиновым и бу-
будем обозначать его через |арТар(^), понимая его как подпро-
подпространство пространства Та(^), либо через SA(9>), понимая ве-
величину {0, со1} как две компоненты спинорного поля юл на 9?,
что аналогично ограничению на 91 полей аА, постоянных в М.
Эти особые спинорные поля на 91, удовлетворяющие соотноше-
соотношению (9.9.41), могут быть естественным образом продолжены на
всю гиперповерхность 3f+ с помощью требования
£©» : = (£' +р') «И = 0. (9.9.42)
Таким образом, концепция асимптотического спинового про-
пространства относится к 3f+ в целом, и потому возможно также
обозначение SACf+). (Более того, при юл ос И уравнения
(9.9.41) и (9.9.42) представляют собой части твисторного урав-
уравнения (9.9.12), тангенциальные к гиперповерхности 3?+ [30].
Удобно выбрать масштаб на &+ так, чтобы выполнялось равен-
равенство р' = 0 [как это было сделано в § 8, см. формулу (9.8.33)].
Тогда уравнение (9.9.42) принимает вид
р'а>1 = 0, (9.9.43)
и мы можем непосредственно отождествить все пространства
Зд(^) между собой для всевозможных срезов 91. Выбрав р' = 0,
мы можем также выбрать все срезы гиперповерхности 3+ имею-
имеющими метрику единичной сферы. Таким образом, далее мы при-
принимаем (9.8.33).
Свойства нормы на Sf+
Наша процедура определения величины ZaZa такова: мы
строим, как и раньше, выражение (9.9.24) и исследуем его по-
постоянство на 91, применяя оператор 55'. Удобнее, правда, взять
выглядящую несколько более общей (но, в сущности, эквива-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 487
лентную) «поляризованную» форму выражения (9.9.24)
(ZaZal = i {V'6cu° - coW + fflVco1 - cdWY (9.9.44)
loJVoo oo/
С учетом формулы (9.8.89) короткие выкладки дают выражение
дд' (ZaZa\ = со V (id% - 1д2а) = 2a>V Im (А-ф2 - oN). (9.9.45)
10 J 0 0
Отметим, что оно обращается в нуль, если срез чисто электриче-
электрический [формула (9.8.93)], как все срезы гиперповерхности 3+
в случае пространства М (или в случае стационарного простран-
пространства Ж). Таковыми являются неконтортные срезы гиперповерх-
гиперповерхности 3F+.
Когда величина (9.9.45) действительно обращается в нуль,
можно показать [формула D.15.60)], что выражение |ZaZa|
и в самом деле постоянно на &, так что мы получаем хорошее
определение величины ZaZa, а следовательно, и величины
о
(9.9.21). Поскольку |ZaZa| имеет на 91 конформный вес, рав-
равный нулю, свойство постоянства этого выражения оказывается
инвариантным относительно конформных изменений масштаба
(9.8.13). Но если величина (9.9.45) не равна нулю (а это обыч-
обычная ситуация для контортных <?), то не будет конформно-инва-
конформно-инвариантной операция усреднения {ZaZa} на 91, т. е. выделения
части этого выражения, соответствующей значению / = 0, ибо,
как следует из сказанного в т. 1, гл. 4, § 15, эта операция могла
бы быть инвариантной только для величин с конформным весом,
равным —2; для всех других весов части с большими значения-
значениями / при конформных преобразованиях перемешиваются с
частью этого выражения, соответствующей значению / = 0.
Вскоре выяснится, что все-таки есть (пусть не очень удовле-
удовлетворительный) способ обойти эту трудность. Предварительно
заметим, что если либо со0 = 0, либо со0 = 0, то правая часть
о
соотношения (9.9.45) обязательно равна нулю. Таким образом,
всякий раз, когда либо Za, либо Za относится к |арТр(^), эрми-
эрмитово скалярное произведение ZaZa приобретает совершенно
о
точный смысл. А это говорит о вполне корректном определении
отображения Та (^)-> |арТр (^), которое мы будем обозначать
так:
yr. (9.9.46)

488 ГЛАВА 9
Оно характеризуется следующим свойством. Если для каждого
Z^elP^) построить с помощью левого члена отображения
о
(9.9.46) Z™ хорошо определенную величину
I ZaZp
[полученную из постоянного выражения (9.9.37)], то мы полу-
получим тот же результат, что и в случае, когда мы построим с по-
помощью правого члена отображения (9.9.46) ZYlva хорошо опре-
определенное скалярное произведение
(
о
[в результате подстановки Zyl7" в (постоянное теперь) выра-
выражение (9.9.44) ]. Приравняв эти выражения, мы получим ото-
браженияе (9.9.46) и, как легко проверить, это достигается с по-
помощью отображения
{со0, (О1}н^{0, — iA<bv}. (9.9.47)
Эрмитовость твистора Аар на &+; 4-импульс Бонди — Сакса
Наш интерес к отображению (9.9.46) связан с тем, что его
достаточно для формулировки искомого свойства эрмитовости
(9.9.20). [Полное определение нормы на Т(^) будет дано чуть
ниже.] В самом деле для выполнения (9.9.20) достаточно усло-
условия _ «Щ
ZaAafS (Z"YlvP) €= R при всех Za <= T (9). (9.9.48)
Покажем, что при учете определения (9.9.47) это действительно
так. Подставив Za = Za и Zp = ZYlvP в формулу (9.9.35) и взяв
их в качестве левой и правой частей формулы (9.9.47), соот-
соответственно, мы получим следующую форму выражения из усло-
условия (9.9.48):
^§ (9.9.49)
Согласно формуле (9.8.83),
= — § oNa>°<hv&> (9.9.50)
,[где использованы формулы интегрирования по частям D.14.71),
а также (9.9.36) A) и (9.9.36) B)]. Подставив это снова в

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 489
(9.9.49), получим
ZaAap (ZYlvP) = - -±g § (А-ф2 - oN) a>V>. (9.9.51)
Мнимую часть величины (9.9.51) с помощью формулы (9.8.89)
можно предоставить в виде выражения
которое после двукратного интегрирования по частям и исполь-
использования формул (9.9.36) и (9.9.38) обращается в нуль. Следова-
Следовательно, условие (9.9.48) действительно выполняется и мы, как
и в формуле (9.9.20), достигаем желаемого уменьшения числа
независимых действительных компонент твистора Аар с двад-
двадцати до десяти.
Для выяснения смысла этих компонент обратимся к рассуж-
рассуждениям гл. 6, § 3—5, относящимся к плоскому пространству.
Обращение в нуль проекционной спинорной части в формуле
F.3.11) A) обусловлено тем, что, если бы мы взяли оба тви-
твистора Za и Za в формуле (9.9.35) из |аРТв(^), то в резуль-
1 2 Р
тате получили бы нуль [в силу тех же соображений, что и в
случае формулы (9.9.50)]. Можно показать, что само выражение
(9.9.51) относится к наддиагональной части твистора ЛаР и фор-
формуле F.3.11), т. е. к полному 4-импульсу, окруженному поверх-
поверхностью 91. Действительно замечая, что при использовании стан-
стандартного описания твисторов в плоском пространстве подста-
подстановки твистора
Sap = ZYlv(aZP) (9.9.52)
в выражение (9.9.7) дает
f;=(zvD(z\)-
и вспоминая, что главная часть твистора Fap является вектором
Киллинга |дв , мы обнаружим, что
^в' = ядяв', (9.9.53)
если твистор Za при стандартном способе описания в плоском
пространстве представить как (сод, яд'). Тогда левая часть фор-
формулы (9.9.51) примет вид
W, (9.9.54)
где ра — полный 4-импульс, описываемый твистором Аар. Сле-
Следовательно, формула (9.9.51) описывает изотропную компоненту
4-импульса, окруженного поверхностью 9'.

490 ГЛАВА 9
Такого рода описания имеют совершенно ясный смысл в
пространстве Ж, если рассматривать его асимптотическое спи-
спиновое пространство 5Д(Р') и другие пространства Sd'".'..f/(.9>),
построенные из этого стандартным способом. Вместо того чтобы
брать изотропную компоненту, как в формуле (9.9.54), гораздо
удобнее взять пространственноподобную или времениподобную
компоненту. Это означает выбор элементов линейной оболочки
выражений а)°ш' на 9*, т. е. элементов пространства Sfl {9>). Объ-
Объединив множитель А с сй°ш0', чтобы устранить зависимость от
спиновой системы отсчета, мы получим линейную оболочку вы-
выражений Лео0©0' как пространство скаляров W на 93, имеющих
спиновый вес 0 и конформный вес 1. Согласно соотношениям
(9.9.36) и (9.9.38), эти скаляры удовлетворяют уравнениям
62W = 0, d'2W = 0, (9.9.55)
и W обычно считается действительной функцией. Из таблицы
D.15.60) следует, что любой такой скаляр построен только из
сферических гармоник с j = 0 и /= 1. Таким образом, выбирая
в выражении
различные скаляры такого рода W, мы получим четыре компо-
компоненты энергии-импульса. Выбор W = 1 дает энергию, а ось
времени соответствует избранной нами метрике единичной сфе-
сферы на 93; выборы же, соответствующие значению / = 1 (и имею-
имеющие в стандартной сферической системе координат вид
sin 0 cos ф, sin 0 sin <f> и cos0 соответственно), дают 3 импульс.
На этой стадии можно без потери общности положить А = 1,
поскольку бустовые веса здесь особой роли не играют. Выра-
Выражение (9.9.56) представляет собой 4-импульс Бонди — Сакса,
окруженный поверхностью &*. Первоначально он был получен
совершенно иным способом [25, 27, 298].
Альтернативные выражения для массы Бонди — Сакса
Имеется много различных представлений величины (9.9.56),
и одно из них будет рассмотрено в следующем параграфе. Но
еще одно из них есть смысл рассмотреть здесь. Пусть мы вы-
выбрали Q. так, что гиперповерхность Q = const является изотроп-
изотропной. Тогда, согласно формуле (9.8.29), мы имеем т' ^ 0. Из
D.12.32д)' с учетом формулы (9.8.74) следует соотношение
ро' ££ — Ф20 г* — JV. (9.9.57)
Кроме того, согласно формуле (9.8.81), имеет место слабое ра-
равенство
(9.9.53)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 491
Согласно этим выражениям, формулу (9.9.56) при W = 1 можно
интерпретировать следующим образом. Пусть наш срез гиперпо-
гиперповерхности 2f+- является предельным членом 9> = 9*0 семейства
замкнутых пространственноподобных 2-поверхностей ^а, полу-
полученных как пересечения изотропных гиперповерхностей Q =
= const с фиксированной изотропной гиперповерхностью JC.
(Здесь JC — изотропная гиперповерхность, пересекающая Sf+ в
Ф.) Тогда оказывается, что в этом случае производная выра-
выражения
^^ <9-9-59>
по —Q при Q = 0 в точности равна энергии Бонди — Сакса
(W=l). [Это объясняется тем, что здесь д/д(—Q) = A~lD =
= А~1у и (f ^ 0.] Интеграл вида (9.9.59) уже кратко рассматри-
рассматривался в связи с формулами D.14.41) и D.14.45), где отмеча-
отмечалось, что он и конформно-инвариантен, и действителен. Из его
действительности следует действительность выражения (9.9.56),
так что первая тесно связана с формулами (9.9.48) и (9.9.20).
Отметим также, что формулу (9.9.59) с помощью соотношений
D.14.20) и D.14.44) можно записать в виде
и что в силу конформной инвариантности выражения (9.9.59)
интеграл (9.9.60) можно переписать с помощью характеристик
либо физической, либо нефизической кривизны. Если использо-
использовать физические величины, то при выполнении условий нормаль-
нормального убывания материальных полей члены, связанные с кривиз-
кривизной, исчезают и остается выражение
Отсюда следует, что темп стремления этого выражения на бес-
бесконечности к нулю тоже определяет массу Бонди — Сакса [123].
Норма для Та(^) на Э+
Мы вернемся к 4-импульсу ра (^) Бонди — Сакса в следую-
следующем параграфе. И там будут приведены доводы в пользу того,
что, если физический тензор энергии удовлетворяет на компакт-
компактной пространственноподобной гиперповерхности, натянутой на
91, соответствующему неравенству («условию энергодоминант-
энергодоминантности»), то величина ра^Ф)—времениподобный вектор будущего
(или равна нулю, если пространство-время всюду вдоль Ф пло-
плоское). Будем считать этот результат известным и воспользуемся

492 ГЛАВА 9
им, чтобы справиться с проблемой определения подходящей тви-
сторной нормы для пространства Та(9').
Для достижения этой цели предположим, что пространство
на 9' не плоское (иначе не о чем говорить, ибо никаких проб-
проблем с этим определением не возникает) и что, следовательно
(при учете вышеуказанного предположения), на 9* выделяется
определенное единственным образом асимптотическое времен-
временное направление, а именно направление вектора ра(&). Выбе-
Выберем такой конформный масштаб на &, чтобы метрика на сфере,
принадлежащей 9*, была ассоциирована с этим конкретным на-
направлением, т. е. такой, чтобы все величины W, соответствующие
значению /=1, обращали выражение (9.9.56) в нуль. Тогда
можно определить величину ZaZa, просто усредняя выражение
о
(9.9.44) [т. е. выбирая часть с /=1 в выражении (9.9.44)].
Хотя такое определение не очень изящно, оно, по-видимому, не
лишено логики в силу того, что постоянству выражения (9.9.44)
препятствует в формуле (9.9.45) та же величина Aip2 — oN, ко-
которая сейчас использована для фиксации масштаба, позволяю-
позволяющего преодолеть именно это препятствие. Правда, в одном слу-
случае входит мнимая часть, а в другом действительная. Полной
ясности в этих вопросах все еще нет.
Структура точной последовательности для Та(9}) на 3f+
Полное определение твисторной нормы [т. е. комплексно-
сопряженной операции (9.9.21)] нам необходимо по той про-
простой причине, что в противном случае мы не можем должным
образом интерпретировать оставшиеся компоненты «момента
импульса» твистора Аар. Что мы, в сущности, установили в про-
процессе получения формул (9.9.39) и (9.9.46), так это аналог ко-
короткой точной последовательности F.5.28) для Та(9'):
0н^Зд(^)->Та(^)->Зд'(^)->0, (9.9.62)
где второе отображение представляет собой просто включение
арТр (9") с= Т" {9"), а третье — отображение фактор-пространства
[формула F.5.29)]. Как будет показано ниже, структура выра-
выражений (9.9.39) и (9.9.46) говорит о том, что определенное таким
образом пространство Зд'(^) может быть естественным образом
отождествлено с пространством, комплексно-сопряженным про-
пространству, дуальному $А(9>) (на что указывают обозначения).
[Значение последовательности (9.9.62) для момента импульса
сейчас станет ясным.]
Чтобы убедиться в том, что выражения (9.9.39) и (9.9.46)
действительно имеют указанный выше смысл, мы обратимся
сначала к формуле (9.9.46), но через посредство формулы

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 493
(9.9.47). Вспомним, что пространство Зд(^) определяется усло-
условием со0 = 0, так что преобразованием (9.9.47) фактор-простран-
фактор-пространство ТР^УЗ (!?) [т. е. пространство, в котором со0 удовлетво-
удовлетворяет условию (9.9.36) A)] ассоциируется с пространством Зд'(^),
комплексно-сопряженным пространству Зл'(^). Однако пред-
представляется несколько более естественным перейти к простран-
пространству, комплексно-сопряженному дуальному пространству Зд(^).
Это вполне законная операция, ибо формулы (9.9.39) и
(9.9.46) на самом деле тоже позволяют ввести спинор
(9.9.63)
который, как мы знаем, устанавливает изоморфизм между
SA(9>) и дуальным ему пространством. Чтобы получить спинор
(9.9.63), заметим, что при условии Za, Zae|apTB(^) эти тви-
1 2 р
сторы можно, согласно формуле (9.9.46), представить в виде
Za = XYlva (/=1, 2). (9.9.64)
/ /
Тогда, учитывая, что, согласно стандартной процедуре пред-
представления спинорной части твистора в плоском пространстве
(как в М), имеет место равенство
= Х-ХЧра, (9.9.65)
i *. 12
где
Za=((uA,Q\ Xa=(V, -шдЛ (/=1,2), (9.9.66)
мы можем воспользоваться правой частью равенства (9.9.65)
в качестве определения спинора (9.9.63). Обращаясь к описанию
на 9* и используя (9.9.37) и (9.9.47), мы в случае
Za = /0, «Д, УС = {— А~ийЬУ, \х\ (/=1,2) (9.9.67)
получим следующее выражение для величины (9.9.65) :
А'1 Гш'б'сй1 - (o'd'co'V (9.9.68)
\ 1 2 2 1 /
Легко видеть, что это выражение, подобно выражению (9.9.37),
постоянно на &. С помощью выражения (9.9.68) [равного вы-
выражению (9.9.65)] спинор ers можно определить как косое би-
билинейное отображение
8*5 : 3* (9>) X 3s m -> С, (9.9.69)
и тогда мы, как и требовалось, приходим к спинору (9.9.63).

494 ГЛАВА 9
Пространство Минковского М(^) как пространство «.начал-»
Чтобы уяснить значение структуры, придаваемой простран-
пространству Та(^) последовательностью (9.9.62) и спинором (9.9.63),
построим пространство СМ(^), точки которого являются дву-
двумерными линейными подпространствами пространства Ya(9'),
отличающимися от тех, что пересекают |арТр (9") нетривиально.
Иными словами, СМ (9*) — это «комплексифицированное про-
пространство Минковского», ассоциированное с Та(^). Точки про-
пространства СМ О?7) можно отождествить с простыми элементами
Rap <= T[aP1 (SP), нормированными как в формулах F.2.17) и
F.2.29) по |в„:
Ra& = xaYp - YaXp, Rap|ap = 2. (9.9.70)
Тогда можно определить квадрат интервала между двумя та-
такими точками [ср. с формулой A.1.22)], как в формуле F.2.30),
с помощью выражения
Здесь элемент
(9.9.72)
будучи кососимметричным, фиксирован с точностью до масштаб-
масштабного множителя, который сам определяется уравнением
хауВ (хрГ) (Ye,<*) 8apve = | XaYplap |2, (9.9.73)
справедливость которого в стандартном пространстве Та можно
легко проверить. Выражение (9.9.71) придает пространству
СМ(^) плоскую комплексную метрику, идентичную метрике
пространства СМ.
Кроме того, у пространства СМ {9") есть определенная «струк-
«структура действительнозначное™», обусловленная тем, что его (по-
(постоянное) спиновое пространство SA(9') является стандартным
«лоренцевым» пространством и с помощью операции комплекс-
комплексного сопряжения отображается на пространство SA'(9>). Значе-
Значение последовательности (9.9.62) состоит в том, что она показы-
показывает, как два типа спиновых пространств, нештрихованное и
штрихованное, возникают в их связи со структурой твисторного
пространства. Отношение комплексного сопряжения, связываю-
связывающее здесь эти спиновые пространства, влечет за собой уже упо-
упоминавшуюся структуру действительнозначности для простран-
пространства СМ О?7). Еще один способ установить эту структуру опи-
опирается на существование действительных элементов векторного
пространства SA(9"). Таким образом, несмотря на то, что СМ(^)
является комплексным пространством, в нем имеет смысл поня-
понятие действительного направления.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 495
Но для полного твисторного комплексного сопряжения нам
необходимо определение, основанное на соотношении
Б L р dv*
Г\ар — 2 аРУв •* '
действительной точки в СМ (9>), т. е. нам нужно уметь выделять
каноническое подпространство
М(^)с=СМ(^) (9.9.74)
со структурой действительного пространства Минковского.
Значение пространства М(9") для момента импульса заклю-
заключается в том, что оно дает пространство «начал», относительно
которых определяется момент импульса. Дело в том, что в от-
отличие от 4-импульса, который относится просто к пространству
Sa (91), момент импульса невозможно определить только по от-
отношению к асимптотическим спиновым пространствам. Более
того, для этой цели, т. е. для физической интерпретации тви-
стора
T(^ (9.9.75)
недостаточно и самого пространства СМ(Р'), поскольку всегда
можно найти такое «комплексное начало», что вычисленный
относительно него самодуальный момент импульса, определяе-
определяемый спинором \иА'в' [таким, что 2i\xA'B' есть главная спинорная
часть твистора Аар; см. формулы F.3.11), F.3.10)], будет ра-
равен нулю.
Чтобы доказать это, приведем выражение для спинора \iA'B',
как функции полевой точки X <= СМ if?) с (комплексным) ра-
радиус-вектором ха, проведенным в нее из начала ОСМ(^)
рА'В' = ° А'В' + ХА (А'рВ') (9.9.76)
[ср. с комплексным аналогом выражения F.1.51) для твистора.
с двумя симметричными нижними индексами]; 4-импульс ра
О
здесь постоянен [т. е. ра g So (?")], и спинор |хА'в'[е5(Л'в/) (У)],
как и в гл. 6, § 1, тоже имеет постоянное значение, согласую-
согласующееся со значением спинора уиА'в' в точке Х = 0. Если в фор-
формулу (9.9.76) подставить выражение
ха = 2°\х.А'в'рА,т-2 + %ра (9.9.77)
с т2 = рсрс, то мы обнаружим, что спинор \iA'B' равен нулю.
Отсюда следует вывод, что самодуальный момент импульса,
вычисленный относительно любой точки мировой линии комп-
комплексных центров масс, описываемой радиус-вектором (9.9.77)
при изменении параметра X, равен нулю. [Отметим, что 4-им-
4-импульс ра в выражении (9.9.77) предполагается неизотропным;

496 ГЛАВА 9
как уже указывалось, он считается времениподобным вектором
будущего.] Таким образом, описание спинорной части твистора
Аа0 с помощью перехода к комплексной начальной точке в
СМ(^) можно свести к описанию спинора, у которого равна
нулю часть, связанная с моментом импульса [215]. Не имея
определения «действительных» точек в пространстве СМ(^), мы
не могли бы говорить о величине спина системы, ибо эта вели-
величина есть мера минимального полного момента импульса си-
системы (скажем, в специальной теории относительности) при
варьировании действительного «начала».
Проанализируем этот вопрос в связи со спин-вектором Sa
Паули — Любаньского [формула F.3.5)] в М- Пользуясь фор-
формулой
Mab = - ABZA'B' + рА'В^АВ ? (9.9.78)
сходной с формулой F.3.10), и выражением
Sa = ^eabcdpbMcd (9.9.79)
[формула F.3.5)], мы с учетом формулы C.3.31) получаем
(9.9.80)
Напомним, что вектор Sa постоянен; следовательно, выбрав «на-
о
чало» О еМ, можно вместо \iA'B' в (9.9.80) подставить Ил'в'-
Тогда сравнение с (9.9.77) показывает, что мировая линия комп-
комплексного центра масс смещена из М в СМ на величину
Im (ха) = - m-2Sa (9.9.81)
(при этом предполагается, что А, е= R). Таким образом, спин
системы в сущности является мерой того, как далеко в комп-
комплексную область смещается комплексный центр масс, и чтобы
сказать, на сколько именно он смещается, необходимо знать,
где расположена «действительная» часть пространства.
Может создаться впечатление, что всех этих сложностей не
будет, если наряду с твистором А«р определить твистор
Аар(=Аар),а затем из двух таких твисторов построить выра-
выражение (9.9.80). Но все дело в том, что без операции (9.9.21)
комплексного сопряжения на Та(^) не было бы никакой воз-
возможности отождествить пространство СМ О?7), к которому отно-
относится твистор Аар, с комплексно-сопряженным ему простран-
пространством СМ О?7), к которому относится твистор АаР, а потому
нельзя было бы достаточно корректно строить выражения вида
(9.9.80). [Более того, в отсутствие операции (9.9.21) нельзя
даже считать твистор А"Р элементом пространства Т

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 497
Момент импульса на 2Г+
Теперь проанализируем форму той части выражения (9.9.35),
которая описывает момент импульса. Взяв для простоты
Za = Za(=Za), воспользовавшись формулами (9.8.83),
(9.9.36) A) и выполнив интегрирование по частям, получим
ca1J} if =
2 (ф2 - oNA-1) «V} ST. (9.9.82)
Коэффициент (ш0J при i|5i является спин-весовой сферической
гармоникой с s=—2, /=1; его линейная оболочка дает все
такие гармоники. В этом конкретном отношении выражение
(9.8.82) тождественно всем остальным выражениям, предложен-
предложенным ранее. Но коэффициент оЛо1 во втором члене есть нечто
новое, поскольку он имеет более сложную угловую структуру,
которая зависит от точного вида решений уравнения (9.9.36) B).
(Более ранние исследования см. в работах [332, 31, 32, 191, 287,
324, 371, 105].)
Чтобы лучше понять все это, рассмотрим представление ре-
решений уравнений (9.9.36), основанное на «потенциале» вели-
величины а. Поскольку величина а имеет спиновый вес, равный 2, из
сказанного в т. 1, гл. 4, § 15 [формула D.15.60)] следует, что
уравнение
д2к = а (9.9.83)
всегда имеет решение на SP, а кроме того конформно-инвариант-
конформно-инвариантно на сфере [формула D.15.32)], где X считается конформной
плотностью с весом 1. В выборе величины к (со спин-весом 1),
удовлетворяющей уравнению (9.9.83), имеется некоторый произ-
произвол: можно добавить слагаемое, содержащее только гармоники
с / = 0 или ;'=1 (четырехмерная свобода). Кроме того, кон-
конформную плотность X можно выбрать так, чтобы она была дей-
действительной в том и только в том случае, если а является чисто
электрической величиной [формулы (9.8.92), (9.8.93)] [219],
т. е. если поверхность 9? неконтортна.
Теперь допустим, что ш удовлетворяет соотношению 5'ш0 = 0
[формула (9.9.36) A)]. Как мы уже знаем, следствием этого бу-
будет соотношение б2ш° = 0 [формула (9.9.38) ]. Таким образом,
можно решить уравнение бш1 = аш° (формула (9.9.36) B)), поло-
положив ')
ов1 = ов0аЯ, —Я.ав>° + 6, (9.9.84)
где
dg = 0 (9.9.85)
') Предложено Тодом.

498 ГЛАВА 9
и £ имеет спиновый вес, равный 1/2. Следовательно, уравнение
(9.9.85) имеет два решения [формула D.15.60)], что при любом
выборе величины ш° дает необходимую свободу в величине ю1.
Если подставить выражение (9.9.84) в формулу (9.9.82), то эта
свобода по | приводит в точности к тому типу свободы, который
мы и ожидали: при всяком смещении начала, относительно ко-
которого берется момент импульса, к моменту импульса добав-
добавляются величины, кратные 4-импульсу [формулы F.3.3),
(9.9.51)]. Угловая зависимость коэффициента оЛо1 в выраже-
выражении (9.9.82) в этом смысле является зависимостью от угловых
интегралов величины о. Это самое главное, в чем наше [259]
выражение (9.9.82) отличается от предложенных ранее (см.
также [77]).
Причиной данного расхождения является принятая в ран-
ранних работах иная точка зрения на «начало», относительно ко-
которого следует вычислять момент импульса. Раньше полагали,
что «начало» дается самим срезом 9Р, точно так же, как произ-
произвольный хороший срез гиперповерхности &+ пространства М
соответствует хорошо определенной точке в М, а именно вер-
вершине светового конуса, пересекающего 9+ по этому срезу. Од-
Однако в случае плохого среза такая интерпретация в М неудов-
неудовлетворительна. Если любое из этих ранних определений при-
применить к плохому срезу гиперповерхности 3f+ в пределе (ли-
(линеаризованного) слабого поля в ОТО, то получатся неверные
результаты, тогда как наш подход специально выбран таким
образом, чтобы в пределе слабого поля получались правильные
результаты. В нашем подходе пространством допустимых (дей-
(действительных) начал является пространство Минковского М(^),
которое интуитивно можно представлять себе как «наилучшую
оценку» местоположения плоского пространства начал при
взгляде просто из окрестности частного среза гиперповерхно-
гиперповерхности &+.
Вектор Киллинга %а, ассоциированный с любым конкретным
выбором тензора Qab по формуле (9.9.6), фактически будет соот-
соответствовать вектору Киллинга в М(9>). Сам срез 9* соот-
соответствует срезу ^{У) комплексифицированной гиперповерхно-
гиперповерхности СЗГ+(Ф) комплексифицированного пространства СМ(^),
имеющей тот же сдвиг а, что и Я?. Срез д'(Р') будет срезом
гиперповерхности 3f+{9>) только в том случае, если а — чисто
электрическая величина [формула (9.8.93)], так что & — некон-
тортная поверхность. В этом случае вектором ga определяется
частный генератор группы БМС для 3''+(9'), а значит [посколь-
[поскольку 9+{9>) и 3f+ можно отождествить друг с другом при 91 (&') =
= 9*], и частный генератор группы БМС для &+. Когда вели-
величина а не чисто электрическая, мы получаем комплексный БМС-
генератор. Однако этот генератор группы БМС можно предста-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 499
вить как векторное поле, тангенциальное поверхности 9", только
тогда, когда 9* — хороший срез с вектором %а, соответствующим
лоренцевым вращениям в М(9"), которые сохраняют срез 9>(9>).
(В этом отношении наш подход существенно отличается от всех
предлагавшихся ранее.)
Однако остается одна серьезная трудность, которая возни-
возникает, если рассматривать эволюцию момента импульса системы
во времени. Когда присутствует гравитационное излучение, про-
пространство М (9s1), хотя и остается стандартным пространством
Минковского при движении среза О7, тем не менее претерпевает
в некотором смысле «сдвиг». Поэтому не совсем ясно, можно
ли моменты импульса, отвечающие всем отдельным срезам ги-
гиперповерхности &+, считать «одним и тем же». Эта трудность
связана с проблемой, обсуждавшейся в § 8 (см. рис. 9.25), где
выяснилось, что процедура выделения (ограниченной) подгруп-
подгруппы Пуанкаре группы БМС тоже претерпевает некий сдвиг в про-
промежутке между импульсами гравитационного излучения. Но
сейчас мы находимся в несколько лучшем положении, поскольку
можем точно проследить возникновение «сдвига» по мере того,
как срез 9* движется вдоль Зг+. Правда, строго говоря, интере-
интересующая нас подгруппа Пуанкаре «смещается в комплексную
область», если о не является чисто электрической величиной, а
это может произойти только тогда, когда пространство-время
нестационарно [299, 220]).
Отметим, что этот «сдвиг» полностью обусловлен присут-
присутствием излучения и на него не оказывают влияния изменения
в выборе среза в период «радиационного молчания» системы.
Суть нашего подхода в том, что нам удалось скомпенсировать
(полностью, когда поле излучения слабое) «плохой» выбор сре-
среза и таким образом в значительной мере «развязать» определе-
определение момента импульса от среза.
Проблемы, возникающие при попытках отождествления друг
с другом различных пространств М (£?), пока что не вполне по-
понятны. Это вопрос адекватного отождествления друг с другом
твисторных пространств Т(9"), т. е. распространения простран-
пространства со временем. Свобода, имеющаяся первоначально при та-
такого рода отождествлениях, в некоторой степени дополнительна
к той свободе, что имеется при отборе подгруппы Пуанкаре
группы БМС. Если считать спиновые пространства SA (91) и
S^i^) в точной последовательности (9.9.62) фиксированными —
а это, как мы знаем, вполне законное предположение (см. текст,
относящийся к формулам (9.9.42), (9.9.43)] — то указанная
свобода относится к тому, каким способом в эту последо-
последовательность вводится средний член. Это соответствует свободе
выполнения комплексной трансляции в пространстве СМ или
действительной трансляции, когда считается, что задана еще и

500 ГЛАВА 9
структура комплексного сопряжения пространства Т(^). Для
точного распространения момента импульса потребовалось бы
исключить эту свободу [312, 313].
§ 10. Потери массы Бонди — Сакса
и положительность энергии
Распространение 4-импульса Бонди — Сакса не страдает
упоминавшимися в двух предыдущих параграфах неопределен-
неопределенностями, связанными с распространением момента импульса.
Четыре-импульс, содержащийся в области, окруженной любым
сразом & гиперповерхности 3+, относится к асимптотическому
(ко-) векторному пространству Sa(^), а такие пространства, как
мы знаем [см. текст, относящийся к формулам (9.9.42), (9.9.43)],
могут быть канонически отождествлены друг с другом как про-
пространство Sa (У+). Детальное распространение пространства
1а(9>) не требуется. В этом параграфе будет дано доказа-
доказательство одного важного (и желательного с точки зрения фи-
физического смысла) свойства положительности, которым обла-
обладает 4-импульс Бонди — Сакса, и в общих чертах будет дано
доказательство второго свойства. Первое — это формула потери
массы [26, 27, 298, 299, 234, 236, 240, 224, 220], которая пока-
показывает, что масса-энергия, переносимая гравитационным излу-
излучением, положительна и ее поток на &+ измеряется квадратом
нормы \N\2 комплексной функции новостей Бонди — Сакса N.
Второе свойство состоит в положительности самой массы Бон-
Бонди — Сакса и связано с выполнением в Ж соответствующего
«условия энергодоминантности». Наше доказательство послед-
последнего в значительной мере повторяет доказательство, данное
Людвигсеном и Виккерсом [194] (см. также работы [140, 290])
и являющееся развитием замечательной цепочки рассуждений,
выполненных Виттеном [374]. Положительность массы, измерен-
измеренной на пространственной бесконечности, впервые была доказана
в работах [302, 303], а Виттен занялся поисками альтернатив-
альтернативного доказательства для этого же случая.
Формула для потерь массы Бонди — Сакса
Будем считать, что Ж есть 4-асимптотически простое про-
пространство будущего и что, как и в § 9 [см. текст после формулы
(9.9.32)], тензор энергии, если задать его масштаб соотноше-
соотношением вида (9.9.31), будет регулярным на &+. Как и в § 8 и в
конце § 9, физические величины будем отмечать тильдами.
Тогда физические тождества Бианки D.10.12)
W 4nGV?T (9.10.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 50 1
после подстановки значения (9.9.33) A) и конформного преоб-
преобразования с помощью формулы (9.9.32), а также с учетом фор-
формул (9.9.31), (9.9.34), F.8.4), F.7.31), E.6.15) и E.6.14) примут
вид
№ Q,(RSV%fi. (9.10.2)
Следовательно [формула (9.8.23)],
Vp^pqrs= 12uGAi(QTRS)P,v. (9.10.3)
Записав 111Г-, 01 И'-, ООП'- и OOOl'-компоненты слабого ра-
равенства (9.10.3) в обозначениях модифицированного форма-
формализма спиновых коэффициентов, мы получим соответственно
[формула D.12.27)]
?Чз-(б-т)^4^0, (9.10.4)
Р'^2 — (<3 — 2т) -фз — <у^4 = inGATmY, (9.10.5)
*>4i — (<3 — Зт) i|52 — 2суфз ^ 8nGATm) vv, (9.10.6)
рЧо — (б — 4т) -ф! — Зсп|э2 ^ 12nG^rOOi'i', (9.10.7)
где масштаб гиперповерхности &+ выбран так, что р' = 0 (см.
§ 8, 9). [Фактически р' можно легко восстановить, заменив
выше оператор р' конформно-инвариантным оператором рс из
формулы E.6.33) и соответственно отнеся т-члены к бс. На-
Напомним также, что в системе Бонди т=0; см. формулу (9.8.72).]
Непосредственно нас здесь будет интересовать лишь выра-
выражение (9.10.5), однако все эти соотношения представляют инте-
интерес и сами по себе. Например, (9.10.4)—это условие совмест-
совместности двух формул (9.8.82) и (9.9.83), которые связывают соот-
соответственно я|э4 и 1{>з с функцией новостей Бонди — Сакса N:
A^s^p'N, A^z^dN (9.10.8)
[предполагается, что выполняется уравнение (9.8.33), и исполь-
используется коммутатор D.12.34)']. Кроме того, (9.10.6) будет играть
роль во временной эволюции момента импульса, сходную с той
ролью, которую будет играть здесь (9.10.5) во временной эво-
эволюции 4-импульса. И наконец, существует связь между форму-
формулой (9.10.7) и формулой Эйнштейна [85] для потерь энергии,
обусловленных изменениями квадрупольного момента масс си-
системы, мерой которого является величина -ф0 [153]. Но мы не
будем касаться здесь этих вопросов.
Нашей первой целью является обоснование формулы для
потерь массы Бонди—Сакса, для которой мы примем форму
(9.9.56)
±§{l}3>, (9.10.9)

502
J*
М
Рис. 9.26. Для исследования потерь массы-импульса излучающей системой ис-
используется разность глобальных величин массы Бонди — Сакса, соответствую-
соответствующих двум произвольным срезам SP, 9" гиперповерхности Э+ (таким, что 9"
целиком лежит в будущем относительно &).
где для простоты весовой множитель W принят равным еди-
единице. Таким образом, выражение (9.10.9) приписывает ту ком-
компоненту 4-импульса Бонди — Сакса, окруженного срезом 9*, ко-
которая относится к временному направлению, определяемому
нашим частным выбором метрики единичной сферы в 9*. Мы
будем называть . М просто массой на 9". Применим форму
D.14.92) фундаментальной теоремы исчисления внешних форм
к области 2 из &+, окруженной двумя срезами 91, 9", такими,
что 9" лежит целиком в будущем относительно 9" вдоль 3f+.
Ситуация изображена на рис. 9.26, который можно сравнить с
рис. 4.3 (т. 1, с. 341). Масса М на 9' может быть интерпретиро-
интерпретирована как полная масса-энергия (включающая нелокальные гра-
гравитационные вклады), отсекаемые компактной пространственно-
подобной 3-поверхностью в Ж, граница которой целиком лежит
в 91. Таким образом, всякое уходящее излучение, которое пере-
пересекает эту 3-поверхность, будет давать вклад з полную энергию.
То же самое относится к массе М' на 9". Но из соотношения
D.14.92) [вместе с D.14.89)] следует равенство
- (б - т)
A du =
(9.10.10)
&'
где (го и (xi — взвешенные скаляры типа {0, 0} и {—2, 0}, соот-
соответственно. Здесь мы положили р' = 0 и U = A~l, причем V
дается выражением D.14.88). Сравнивая D.14.88). с (9.8.30), мы
видим, что дифференциал в соотношении (9Л0.10), согласно

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 503
формуле D.14.89), должен иметь вид АУ Л du. Положим
H0 = <rNA~l — 1|э2, а также \хх = xNA~l — -ф3 (9.10.11)
и вычислим в области 2, пользуясь формулами (9.8.26), (9.8.73),
(9.10.5), (9.10.8) и (9.8.28), разность
Ар'цо — А (д — х) щ = ap'N + N (р'о — дх + х2) +
+ А {— p'ty2 + F — т) -ф3> — т 6N = аЛя|54 — NN — Л(л|э4 + Лт1|э3 —
— 4nGi42r111'1' — xdN= — NN — 4nGA2Tabnanb. (9.10.12)
Таким образом, формула (9.10.10) означает, что
М — М'= J {A2Tabnanb + DnG)-1 iViV>&> Adu^O. (9.10.13)
Первый член под интегралом дает поток энергии материальных
полей через 3+ и неотрицателен для мыслимых видов материи.
[Например, в случае электромагнитного поля мы имеем
7\n'i'= Bя)-1 |ф2!2^0, согласно формуле E.2.4). Соответствен-
Соответственно этому член DKG)-1 NN дает поток через 3+ гравитационной
энергии, чем и доказывается важное свойство положительной
определенности энергии гравитационного излучения. (Первые
доказательства, относящиеся только к сечениям 91 и Ф', были
связаны с трансляцией группы БМС. Наш более общий подход
основан на работе [240].)
Поскольку наше доказательство справедливо при любом вы-
выборе оси времени (т. е. при любой метрике единичной сферы на
9?), можно сделать вывод, что разность 4-импульса на 9? и
4-импульса на 9" должна быть причинным вектором будущего
[28]. Если же функция N всюду отлична от нуля, то указанная
разность является времениподобным вектором будущего.
Нелокальность энергии гравитационных волн
Хотя может показаться, что мы теперь имеем определенную
локальную меру потока гравитационной энергии на &+, на са-
самом деле это не так. По определению функция N не фиксируется
локально в точках гиперповерхности Zf+, а вместо этого фикси-
фиксируется только уравнениями типа (9.10.8) A), из которых следует,
что N представляет собой интеграл по времени от гравитацион-
гравитационного излучения; или соотношениями типа (9.10.82) B), из ко-
которых следует, что N — интеграл по углу от я|э3; или соотноше-
соотношениями типа (9.8.74), которые дают N как функцию компонент
тензора Риччи — зависящую от выбора Q и характеризуемую
глобальным требованием, чтобы метрика среза & была та же,
что у единичной сферы; или соотношениями (9.8.73) и (9.8.75),

504 ГЛАВА 9
которые тоже требуют глобальных условий типа метрики сферы
для &. Можно даже показать, что несмотря на конформную
инвариантность
Nb-^e~2N (9.10.14)
функции N относительно преобразований (9.8.13), сохраняющих
сферическую метрику поверхности SP [в соответствии, скажем, с
уравнением (9.10.8) B)], невозможно вычислить N в точке R
гиперповерхности &+, исходя лишь из геометрии пространства
Ж в малой окрестности точки R. Можно даже считать простран-
пространство Ж в этой окрестности совершенно плоским и все-таки по-
получить JV^O в точке R. Этим иллюстрируется существенно не-
нелокальный характер гравитационной энергии.
НП-константы
Заметим, что вычисления, проведенные в гл. 5, § 12 в связи
с получением и исследованием обобщенного интеграла Кирхго-
Кирхгофа— Дадемара E.12.6), могут быть выполнены и в том случае,
когда световой конус "S3 превращается в гиперповерхность &+,
причем результат оказывается сходным с выражением (9.10.13),
но только вместо положительной величины дает нуль [240, 218,
220]. [Это связано с тем, что в вакууме равна нулю величина
E.12.17).] В этом случае вместо интеграла массы (9.10.9) мы
получим пять линейно независимых комплексных величин, на-
называемых НП-константами:
§ (9.10.15)
где У—спин-весовые сферические гармоники типа {—5, —1} с
/ = 2. Величина pctyo, выраженная через разложения физиче-
физических величин, приведенные в конце § 8, превращается bTJ,
т. е. в коэффициент при г—6 в разложении функции Wo- Чтобы
дать определение и доказать постоянство этих пяти величин,
требуется ровно на одну степень дифференцируемости на 5Г+
больше, чем для 4-импульса, а именно требуется 5-асимптотиче-
ская простота будущего. Доказательство проводится тем же спо-
способом, что и в случае формулы E.12.6) в т. 1. Все величины, от
которых нужно избавиться, обращаются в нуль в силу свойств,
установленных в § 8 и 10 (в предположении вакуума).
Константы (9.10.15) обладают четырьмя весьма примеча-
примечательными свойствами, интуитивная неочевидность которых за-
заставила некоторых авторов усомниться в их реальности [19,
207]. (Однако соответствующие расчеты на 3?+ однозначны, не
зависят от разложений координат в степенные ряды и требуют
лишь весьма умеренной степени гладкости в &+.) Во-первых,

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 505
в отличие от 4-импульса, величины (9.10.15) строго сохраняются
в вакууме. Во-вторых, существуют соответствующие величины
для безмассовых полей с любым другим спином (например, три
независимые величины Ф Ypjcp^ в электромагнитном случае,
где У теперь имеет тип {—2, —1} с /= 1). В-третьих, сущест-
существуют модифицированные величины (9.10.15), которые точно со-
сохраняются даже при наличии определенных источников на 3f+
(а именно электромагнитных или нейтринных источников грави-
гравитационного поля [86]). В-четвертых, в стационарном простран-
пространстве-времени величины (9.10Л5) нормально отличны от нуля и
описывают некоторые любопытные не зависящие от выбора «на-
«начала» комбинации мультипольных моментов следующего общего
вида:
Q = Масса X (Комплексный квадрупольный момент) —
— (Дипольный момент + i X Момент импульсаJ (9.10.16)
в гравитационном случае и соответствующие билинейные комби-
комбинации гравитационного и электромагнитного моментов — в элек-
электромагнитном случае.
Последнее свойство, вероятно, самое удивительное, так как
оно указывает на нетривиальное содержание интегралов
(9.10.15). В противовес этому в случае линеаризованной грави-
гравитации интегралы (9.10.15) все же существуют и точно сохра-
сохраняются, но не имеют аналога в виде (9.10.16). Более того, ве-
величины (9.10.15) всегда равны нулю в случае запаздывающих
полей в линеаризованной теории, но этого нет в полной теории.
Смысл выражения (9.10.16) для случая стационарных гравита-
гравитационных полей в связи с точным сохранением величин (9.10.15)
состоит в том, что строго стационарная система не может, испу-
испустив гравитационное излучение, вернуться к полной стационар-
ционных полей в связи с точным сохранением величин (9.10.15)
отлична от первоначальной.
Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся загадоч-
загадочность, это выражение не лишено физического смысла. Надо
думать, что картина примерно такова. В строго стационарной
гравитационной системе комбинация мультипольных моментов
(9.10.16) имеет некоторое заданное значение. Когда она испу-
испускает импульс гравитационного излучения, мультипольная ком-
комбинация (9.10.16) принимает другое значение. Вследствие не-
нелинейности эйнштейновской теории излучение претерпевает в
какой-то мере обратное рассеяние, и в связи с этим возникает
значимый вклад в выражение (9.10.15), в который такое обрат-
обратно-рассеянное поле входит линейно и который поэтому мо-
может замаскировать проявление новой комбинации моментов
(9.10.16). Хотя такое обратно-рассеянное поле может пока-

506 ГЛАВА 9
заться слишком слабым в сравнении с почти стационарным но-
новым мультипольным полем, его постоянного присутствия может
оказаться достаточным для нарушения сационарности, необхо-
необходимой для применимости формулы (9.10.16).
Разумеется, это не дает понятного физического объяснения
необходимости сохранения выражения (9.10.15) и не разъясняет
физического содержания формулы (9.10.16). Эти вопросы оста-
остаются открытыми и все еще ожидают своего решения.
Подход Виттена в доказательстве положительности массы
Теперь мы перейдем к вопросу, физическая значимость ко-
которого бесспорна: это проблема положительности полной массы
в общей теории относительности. Первый достаточно полный
анализ этой проблемы был проведен в 1979 г. в работах [302,
303]. Но приведенное там доказательство положительности
массы относится к массе, определенной на пространственной
бесконечности (£°, см. § 1), а не непосредственно к массе Бон-
ди — Сакса (см., однако, работу [304]). Положительность массы
на изотропной бесконечности является более содержательным
результатом, нежели ее положительность на пространственной
бесконечности. Если принять ту точку зрения [9], что масса на
пространственной бесконечности является пределом прошлого
массы Бонди — Сакса, взятым так, что срез 9* уходит в прош-
прошлое вдоль 3f+ (т. е. стремится к i°) — хотя это никоим образом
не очевидно в случае стандартного выражения для массы, пред-
предложенного Арновиттом, Дезером и Мизнером (АДМ.) [4] — то
в силу формулы (9.10.13) для потерь массы положительность
массы на пространственной бесконечности оказывается след-
следствием ее положительности на изотропной бесконечности. Кроме
того, положительность массы на изотропной бесконечности имеет
более важное физическое значение, ибо гарантирует, что си-
система не может за счет излучения отдать энергию, превышаю-
превышающую ее начальную массу, поскольку тогда ее (ставшая отрица-
отрицательной) энергия не будет иметь определенной меры на про-
пространственной бесконечности, ибо такая система, по-видимому,
будет вечно испускать излучение. (Теорема о положительности
массы была бы наиболее удовлетворительной, если бы она была
доказана на квазилокальном уровне, но такое доказательство
пока что отсутствует).
Ключевой новый элемент, первоначально введенный Витте-
ном [374] в поисках альтернативного доказательства положи-
положительности массы на пространственной бесконечности, состоит в
способе продолжения от бесконечности вовнутрь вдоль про-
странственноподобной гиперповерхности Ж вектора %а, который
на бесконечности стремится к постоянному «вектору Киллинга»,

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 507
определяющему соответствующую компоненту 4-импульса. При
этом в качестве %а берется изотропный вектор, имеющий на 36
вид
|« = Я,л^', (9.10.17)
причем ХА соответствующим образом стремится на бесконечно-
бесконечности к постоянному значению. Спинор %А подчиняется эллипти-
эллиптическому дифференциальному уравнению на Ж (мы будем здесь
называть его СВ-уравнением), которым определяются его зна-
значения на Ж при условии указанного выше асимптотического
поведения. Замечательное тождество, полученное Виттеном
[374], а также — но в другом контексте — Сеном [308], показы-
показывает, что величина, построенная из %А (которая на бесконечно-
бесконечности фактически становится изотропной компонентой %ара асим-
асимптотического 4-импульса), равна неотрицательному интегралу
на Ж, если 1) локальный тензор энергии удовлетворяет приво-
приводимому ниже условию энергодоминантности (9.10.42) и. 2) КА
удовлетворяет СВ-уравнению всюду на Ж.
Пионерная работа Виттена [374] корректировалась рядом
авторов [213, 229], придавших ей большую строгость и моди-
модифицировавших исходные рассуждения таким образом, что они
стали применимы на изотропной бесконечности при доказатель-
доказательстве положительности массы Бонди — Сакса1). Это доказатель-
доказательство вряд ли уже приведено к своей окончательной форме, но
мы укажем три, по-видимому самых успешных, подхода, пред-
предложенных Людвигсеном и Виккерсом [194], Горовицем и Перри
[140] и Реулой и Тодом [290], причем основное внимание мы
уделим первому из них.
Общим моментом всех этих подходсз являются тождество
Сена — Виттена и восходящий к Виттену способ его применения.
Рассмотрим 2-форму
S = iXB<VaXB dxa A dJ, (9.10.18)
где спинор Лл считается в определенном смысле асимптотически
постоянным. Требуется, чтобы эта форма обладала двумя свой-
свойствами. Первое состоит в том, что интеграл от нее по замкнутой
2-поверхности 91 стремится к пределу
1
AnG
§S->palAlA\ (9.10.19)
когда 91 уходит на бесконечность, стремясь к срезу гиперповерх-
гиперповерхности 3f+ или к другой пространственноподобнои бесконечности,
и где ра — подходящая асимптотическая мера 4-импульса. Вто-
') См. также работу [353], в которой сделан обзор по некоторым из
этих результатов,

508 ГЛАВА 9
рое свойство таково: если Ж — компактная пространственнопо-
добная [или локально ахрональная1)!] 3-поверхность с грани-
границей дЖ = 9> и если спинор %А удовлетворяет соответствующему
эллиптическому уравнению на Ж и всюду на Ж выполняется
условие энергодоминантности, то
(9.10.20)
где равенство имеет место, лишь если спинор ХА постоянен на Ж.
Обычно в качестве уравнения, которому должен удовлетво-
удовлетворять спинор ХА на 36, берется СВ-уравнение
(хотя в выборе уравнения (9.10.21) есть некоторый произвол;
см. [140]), где
Da = fiabVb, (9.10.22)
a hab — ортогональный проектор, касательный к Ш, так что
ha=gab — tatb (9.10.23)
и ta — единичный вектор нормали к гиперповерхности 36. Этот
проектор удовлетворяет очевидным условиям
hlab] = 0, habhbc = hac, tahab = O. (9.10.24)
Как результат записи СВ-уравнения (9.10.21) в виде
tA'V Хв — 0 <Q]Ot2B)
иногда бывает полезным следующее спинорное выражение для
U Ь JL в Вр В' fB'fB
Па 2 A SA' lAlA"
(В вычислениях со спинорами на пространственноподобных
3-поверхностях может оказаться более удобной нормировка
tata = 2 вектора t", а не его нормировка как единичного вектора
нормали. В этом случае операторы tj[ и t-^, служат для замены
штрихованных индексов нештрихованными и наоборот, так что
можно пользоваться только одним типом индексов (см. прило-
приложение). Отметим, что хотя DAA, или tfflB)A'—это не совсем
оператор Дирака, внутренний по отношению к 3-поверхности,
но тесно связан с ним [308].)
') Термин «ахрональная» означает, что гиперповерхность может быть
местами изотропной. Это требуется в подходе Людвигсена — Виккерса.

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 509
Связь с 4-импульсом Бонди — Сакса
Заметим, что действительный характер интеграла (9.10.19)
очевиден, ибо мнимая часть 2-формы (9.10.18) — это ротор
(l/2)d(XAXA>dxa). Конечно, привычнее вместо вариантов, исполь-
используемых здесь, иметь дело в интегралах (9.10.19) и (9.10.20) с
действительной частью 2-формы S [213]. Причина, по которой
мы предпочитаем первые — это, помимо их большей простоты,
еще и более непосредственная связь с выражениями из § 9, в
особенности с выражением (9.9.29).
Чтобы убедиться в этом и получить необходимую связь с
4-импульсом Бонди — Сакса, вспомним, что в § 9 мы получили
изотропную компоненту 4-импульса ра, измеренную на срезе 9*
гиперповерхности &+, выбрав твистор Z™ е Т™ {9"), а затем
подставив в (9.9.19) вместо Z и Za твисторы ZP и Zyl7", соот-
соответственно. Сейчас наш план заключается в том, чтобы считать
«Хв» из (9.10.18) проекционной частью «лво> твистора Zp, а
«Лд» (или «Лв») из (9.10.18) — (взятой со знаком минус) глав-
главной частью твистора ZYlvP. Для упрощения полученной картины
будем писать пв> вместо ХВ' и &в (= — пв) вместо Хв в выра-
выражении (9.10.18). Интегрируя 2-форму S на пространственнопо-
добной 2-поверхности 9" (которую пока будем считать конечной
поверхностью), выполняя указанную замену символов и при-
привлекая формулы D.14.52), D.14.53) и D.14.66), мы, согласно
D.12.28), получаем
S = / ф яв/7аЗв dxa A dxb =
= ф {я0- (да0 — р'З1) + Щ' (д'й1 — рю0)} if =
= — I ф {ЯО'Я!' + Щ'По'} if,
где принято обозначение (9.9.23) (с тильдами). Отметим, что,
[если не считать множителя (inG)-1] это выражение формально
тождественно форме Тода (9.9.29) для квазилокального «4-им-
«4-импульса» (9.9.28). Когда 9", уходя, становится срезом гиперпо-
гиперповерхности Sf+, это соответствие становится точным, но при усло-
условии, что спинор ХА соответствующим образом стремится на бес-
бесконечности к постоянному значению. Для этого нужно, чтобы
конформно-преобразованный спинор 5И [при выборе стандарт-

510 ГЛАВА 9
ного твисторного масштаба сол =(ЬА, соответствующего формуле
F.1.2)] удовлетворял уравнениям для твистора двумерной по-
поверхности (9.9.36) на 9" сг 3f+ в частном случае уравнения
(9.9.41), соответствующем элементам пространства \a(iT^(9'), a
именно:
66' = 0, ё° = 0. (9.10.26)
Здесь величины со «шляпками» относятся к нефизической мет-
метрике, конечной на 3f+, так что вместо (9.9.32) мы снова придер-
придерживаемся формул E.6.1) и E.6.2):
Сказанное фактически доказывает, что левая часть соотно-
соотношения (9.10.19) действительно стремится к его правой части,
когда 9* становится срезом гиперповерхности 3f+, если ра — это
охарактеризованный в § 9 и ранее в этом параграфе 4-импульс
Бонди — Сакса. В более строгом анализе следовало бы уделить
несколько больше внимания предельному поведению спинора
Лд, но мы здесь не будем входить в детали. (Соответствующий
анализ в приложении к пространственноподобной бесконечности
i°, в рамках которого достигнуто согласие с определением массы
по Арновиту — Дезеру — Мизнеру, можно найти в работах [310,
311].
Спинор ХА в подходе Людвигсена — Виккерса
Такой анализ предельного поведения спинора ХА необходим
и при доказательстве положительности интеграла в формуле
(9.10.20). У разных авторов подход оказывается разным. На-
Например, Людвигсен и Виккерс требуют, чтобы гиперповерхность
Ж была пространственноподобной не на всем пути к 3f+, а со-
состояла из двух кусков: из внутренней части Ж, которая действи-
действительно пространственноподобна и ограничена конечной про-
пространственноподобной топологической 2-сферой Ф, и из изо-
изотропного кольцевого куска между 2-сферой & и срезом 9* гипер-
гиперповерхности 3f+ (рис. 9.27). Это требует небольшой модифика-
модификации СВ-уравнения, чтобы им можно было пользоваться, когда
гиперповерхность Ж становится изотропной. Можно взять урав-
уравнение (9.10.25) и заменить в нем вектор ta изотропным вектором
1а = олол', что дает
Л=0. (9.10.27)
Пользуясь модифицированным методом спиновых коэффициен-
коэффициентов со спинором iA, направление флагштока которого на 9* ста-
становится касательным к 3f+, это уравнение можно переписать

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 511
в виде
Но = О, 0> — 2р) Л., = B6' — х') Ло. (9.10.28)
(При желании можно потребовать, чтобы этот спинор парал-
параллельно переносился вдоль лучей, как в § 7, что влечет за собой
условие %' = 0).
В соответствии с уравнением (9.10.28) A) осуществляется
распространение Ха из бесконечности вовнутрь, причем на О7 ве-
величина Хо = —ю1 должна удовлетворять требуемому условию
(9.10.26). По достижении границы Ф величина Хо принимает
некоторые «гладкие» значения, если поверхность 9" выбрана до-
достаточно «близко» к 3f+ и на изотропном куске Ж гиперповерх-
гиперповерхности Ж не возникает никаких сингулярностей (каустик или
скрещивающихся областей). Эти значения величины Xq на 91
принимаются в качестве граничных условий для эллиптических
СВ-уравнений на (по предположению гладком) куске Ж гипер-
гиперповерхности Ж, ограниченном поверхностью Ф. (Существует
корректная постановка такой задачи граничных условий [14].)
Далее строится (единственным образом, если Ж имеет евкли-
евклидову топологию) поле Ха, удовлетворяющее СВ-уравнению на Ж
и согласующееся с Хо на Ф, что дает оставшуюся компоненту
А.1 на Ф. На следующем шаге эта компонента с помощью урав-
уравнения (9.10.28) B) распространяется обратно до 9" вдоль изо-
изотропного куска гиперповерхности Ж. Пользуясь асимптотиче-
асимптотической формой интересующих нас величин, нетрудно убедиться,
что условие (9.10.26) B) обязательно выполняется, какие бы
значения ни принимала компонента Х\ на &'.
В подходах Горовица — Перри и Реулы — Тода, как и в бо-
более раннем исследовании Тода и Горовица [340], гиперповерх-
гиперповерхность Ж считается всюду пространственноподобной и перекры-
Рис. 9.27. В доказательстве Людвигсена — Виккерса положительности массы
Бонди — Сакса СВ-уравнения сначала используются (в вырожденной форме)
для распространения Яо от ЗГ+ вдоль изотропного куска Ж, затем Я4 опреде-
определяется из эллиптической формы уравнений на пространственноподобной обла-
области Ж и, наконец, распространяется обратно на Зг+.

512 ГЛАВА 9
вающей срез ЭР гиперповерхности 3f+. Но лишь Реула и Тод
всюду используют уравнение (9.10.21). Горовиц и Перри поль-
пользуются модифицированным вариантом этого уравнения, в кото-
котором вектор ta уже не считается нормальным к Ж, а Горовиц и
Тод в ряде случаев вместо уравнения (9.10.21) берут уравнение
Вейля для нейтринного поля ^АА'Лл = 0. Для всех указанных
подходов, кроме подхода Людвигсена — Виккерса, типично одно
существенное усложнение: требуется решать тот или иной ва-
вариант задачи граничных условий для СВ-уравнения, которая
требует учета точного закона убывания на бесконечности. Од-
Однако останавливаться на этой проблеме мы не будем.
Положительность величины dS
Теперь докажем свойство (9.10.20). Положим
rfS = a + p, (9.10.29)
где
a = - iic>VaVbXc dxa A dx" A dxe, (9.10.30)
Р = - / (Vabc) We) dxa A dxb A dxc. (9.10.31)
Рассмотрим сначала соотношение (9.10.30). Поскольку dxa А
A dxb A dxc есть косое произведение, мы можем заменить VaV*
коммутатором Дсй (с коэффициентом 1/2) [формула D.12.14)],
вследствие чего операторы дифференцирования исчезают и оста-
остаются лишь члены, связанные с кривизной. Так как легче рабо-
работать с дуальными выражениями, мы введем
ъ A dxc A dxd (9.10.32)
[формула C.40.30)] и получим
«= - 4 eabcdXC'AabXcXd. (9.10.33)
С помощью формул C.4.22) и D.9.1) это выражение можно
переписать в виде
a = (Iе' П c-d'^d — bjy □ cd
= (Фсос'д'^0' + ЗЛЯ-oW) Xd = 4nGTablaX\ (9.10.34)
если учесть соотношения D.9.11) B), D.9.17), D.6.32) и
(9.10.17).
Теперь рассмотрим соотношение (9.10.31), которое можно
записать в форме
Р = iWac>Wbc dxa A dxb A dxc, (9.10.35)
где
WaB = VaXB. (9.10.36)

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 513
Снова перейдем к дуальным величинам; так, согласно опреде-
определению C.3.31), можно написать
= (e^¥V'D'eB'c' — eADeBCeA'c'eB'D') WbC'WdCXa =
= {WbB'WBA'A — WbA'WAB'B) Xa =
= (UBWBa + UB-WB'a — WbAWbA') Xa, (9.10.37)
где мы воспользовались тождеством B.5.20) и ввели обозна-
обозначение
UB>=WABA. (9.10.38)
Теперь мы готовы рассмотреть вопрос о положительности
интеграла (9.10.20):
§dS = ^a+^p. (9.10.39)
ж
Мы можем положить
Ха = ГЖ, (9.10.40)
где (если гиперповерхность Ж пространственноподобна) ta—
единичный вектор нормали к гиперповерхности Ж, & Ж — ее
трехмерный элемент объема (в случае подхода Людвигсена —
Виккерса здесь потребуется легко выполнимая модификация с
учетом изотропного характера части гиперповерхности Ж).
В результате мы приходим к интегралу
\Ла^Ж, (9.10.41)
который всегда неотрицателен, если выполняется условие энер-
энергодоминантности (см. работы [352, 125] и предложение E.2.9)
из т. 1)
Tabuavb ^ 0 для всех причинных векторов будущего иа и vb.
(9.10.42)
Более того, поскольку трансвекция выражения еаЬсЧа с tb или
in. (или, разумеется, с tc) дает нуль, в силу формулы (9.10.23)
мы имеем
еаЬс% = hbhqdeapcqta. (9.10.43)
Тогда из (9.10.40) следует, что на Ж можно произвести за-
замену Va*-^*Da, которая в свою очередь приводит к следующим
заменам в алгебраическом тождестве (9.10.37):
■ hacWcB = DaXB, UB' >-+ DAB,XA. (9.10.44)

514 ГЛАВА 9
Если выполняется СВ-уравнение, то правая часть в соотно-
соотношениях (9.10.44) равна нулю и, следовательно, при условии
(9.10.21) мы получим
J Р = - J hab (DaXc) (DbXc-) f36. (9.10.45)
Но так как внутренний метрический тензор hab гиперповерх-
гиперповерхности Ж является отрицательноопределенным (в случае про-
странственноподобной гиперповерхности Ж), его можно пред-
представить в следующем виде:
hab = -xaxb-yayb-za£>,
где ха, уа и га — действительные векторы; времениподобный же
вектор Iе можно записать в форме
f = -}=-(ococ'+icic').
В результате получаем
hab(DaXc)(DbXc>)tc^0, (9.10.46)
так как левая часть этого соотношения равна сумме отрица-
отрицательных членов, которые представляют собой квадраты модулей
различных компонент выражения
DaXc. (9.10.47)
Очевидно, что знак равенства в соотношении (9.10.46) отно-
относится лишь к случаю, когда величина (9.10.47) равна нулю,
т. е. только к случаю, когда величина Хс ковариантно постоянна
всюду на 26.
Тем самым мы доказали положительность интеграла
(9.10.39), а значит, и требуемую неотрицательность интеграла
(9.10.20). Если же разрешить величине Ха принимать иные до-
допустимые значения на бесконечности, то будет доказано и тре-
требуемое свойство неотрицательности, в соответствии с которым
4-импульс Бонди — Сакса ра является причинным вектором бу-
будущего. (Исходя из того, что величина Ха постоянна, когда вы-
выполняется соотношение (9.10.46) со знаком равенства, нетрудно
доказать и «обратное» свойство, а именно что ра = 0 и даже
что вектор ра изотропен только в том случае, если кривизна
всюду на Ж равна нулю [374].)
Подчеркнем, что мы доказали положительность полной энер-
энергии, хотя, как отмечалось ранее, гравитационная потенциальная
энергия отрицательна. Отсюда следует, что последняя никогда
не может превысить (по модулю) породившую ее положитель-
положительную массу-энергию. В подходе Виттена присутствует положи-

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 515
тельная полная гравитационная энергия, определяемая интегра-
интегралом (9.10.45) от р. Но это, очевидно, нелокальная величина, ибо
она зависит от выбора решения уравнения (9.10.21), а это реше-
решение соответствует заданным граничным условиям. Интересно,
что точное выражение для этой величины требует, по-видимому,
спинорной формы записи.
3-форма Спарлинга
Два-спинорное выражение
Q = i-C + B) (9.10.48)
[которым можно заменить S в формулах (9.10.19) и (9.10.20)]
было введено Нестером [213] (Виттен первоначально пользо-
пользовался дираковской 4-спинорной формулировкой). Внешний диф-
дифференциал этой величины тот же самый, что и у 2-формы S, и
определяется формулой (9.10.29). Согласно формуле (9.10.34),
величина а в вакууме равна нулю и представляет собой 3-форму,
которая при изменяющемся ХА по существу эквивалентна тен-
тензору энергии Таь- Таким образом, в вакууме
dQ = dB = p, (9.10.49)
а значит,
dP = O. (9.10.50)
Более того, как показал Спарлинг [321, 322], условие dp = 0
(если оно выполняется при всех ХА) оказывается также доста-
достаточным для выполнения вакуумных уравнений, так что равен-
равенство (9.10.50) есть весьма компактная запись вакуумных урав-
уравнений Эйнштейна. По этой причине величину р часто называют
3-формой Спарлинга.
Отметим, что формы Q, S, а и р фактически относятся к
(дуальному) спин-векторному пучку j? на Ж. [Графическое изо-
изображение такого пучка см. на рис. 1.15 (т. 1, с. 71).] Значит,
равенство нулю формы Спарлинга можно рассматривать как
выражение содержания вакуумных уравнений Эйнштейна в при-
приложении к спин-векторным пучкам. Спарлинг допускал присут-
присутствие кручения в связности Va, определяющей р в формуле
(9.10.31). Таким образом, равенство d$ = 0 показывает, что
наряду с выполнением вакуумных уравнений равно нулю кру-
кручение.
На & удобны обозначения
S = — iXB'dXB А йхъ, Р = — idle Л d%c Л dxc, (9.10.51)
(причем в соответствии с соглашениями, принятыми в гл. 4, § 3,
для любого сечения пространства 33 над частью пространства

516 ГЛАВА 9
Ж (т. е. для спинорного поля ХА) можно написать, что
dXB = YilXB = VakBdxa (9.10.52)
и (хотя сама величина ха не существует)
dxa:=gah. (9.10.53)
Форма записи (9.10.53) вполне приемлема [см. также формулу
D.2.55)], ибо в локальных координатах хл координатный дуаль-
дуальный базис имеет вид
** = #, = ate*. (9.10.54)
так что (9.10.53)—это просто вариант соотношений (9.10.54),
отвечающий методу абстрактных индексов. Мы не получим ра-
равенства d2 = 0 в приложении к ХА из-за абстрактного ') индекса
Д. Вместо этого, воспользовавшись формулами D.9.11), D.6.34)
и D.2.31), можно получить следующее соотношение [в которое
для большей общности включено кручение Таьс, как в формуле
D.2.22)]:
2 + TilhbVbXA =
а с учетом формул (9.10.54), D.2.22) и равенства йРдса = 0 еще
и соотношение
d4a = -^Tuua. (9.10.55)
Из этих соотношений можно легко вывести результат Спарлин-
га. (Отметим, что d2xa = 0 в том и только том случае, когда
кручение равно нулю.)
Существуют связи между формами, рассмотренными здесь,
и формами ft и S инвариантной контактной структуры теории
твисторов, рассмотренными в гл. 7, § 4 и определенными на
пространстве JC «изотропных твисторов» в Ж. Легко убедиться,
что
S = /S— №, (9.10.56)
где все формы теперь относятся к пространству $ (которое
представляет собой пучок как над Ж, так и над JC, в силу чего
') Иногда вместо d вводят другой символ, когда его применение приво-
приводит к условию d2 ф 0. Однако в рамках формализма абстрактных индексов
принятое здесь обозначение вполне логично (см. т. 1, гл. 2 и 4).

КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 517
эти формы могут быть отнесены к 38). Таким образом, согласно
формулам (9.10.56) и (9.10.48), Q и —A/2J —это действи-
действительная и мнимая части формы S, соответственно. Однако S
и форма Спарлинга В неприменимы непосредственно к твистор-
ному пространству Jc, так что уяснение смысла этих соотноше-
соотношений в полном объеме потребует дополнительных усилий.
Очень интересно обнаружить столь много подобных взаимо-
взаимосвязей между энергией-импульсом, моментом импульса, поле-
полевыми уравнениями Эйнштейна и теорией твисторов, хотя это и
не дает полного удовлетворения. Истинная роль и значение тео-
теории твисторов в данном контексте пока что остаются проблема-
проблематичными. Однако существенно спинорный характер подхода
Виттена и операций, связанных с твисторами двумерной поверх-
поверхности из § 9, убедительно свидетельствуют в пользу существо-
существования пока еще неясной, но глубокой связи между спинорными
представлениями и понятиями энергии и импульса. Это весьма
удивительно, если учесть, что физические характеристики такого
рода раньше всегда рассматривались как векторные или тензор-
тензорные (т. е. интегрально-спиновые) величины, в особенности те,
что связаны с трансляционными движениями пространства вре-
времени. В общей теории относительности такие трансляционные
симметрии могут отсутствовать, и тут, по-видимому, нужны спи-
спиноры, чтобы выявить более глубокие свойства этих физических
величин, имеющих фундаментально важное значение.

Приложение
Спиноры в п измерениях
Спиноры, которые рассматривались в этих двух томах нашей
книги, есть частный случай некоего общего понятия. Понятие
спинора 1) определено для группы собственных вращений в про-
пространстве произвольного числа измерений лис произвольной
сигнатурой.
Спинорный метод оказывается особенно мощным в случае,
когда /г=4 [и пространство-время имеет сигнатуру (-\ )],
но он эффективен и при других значениях п. И все же, по-
поскольку размерность спинорного пространства растет экспонен-
экспоненциально с ростом л, спинорный формализм, естественно, наибо-
наиболее эффективен при сравнительно небольших значениях п. Да-
Далее, при четных п спиноры естественным образом разбиваются
на более простые объекты — редуцированные спиноры, которые
оказываются наиболее важными элементами теории. При п = 4
это будут знакомые нам пространства нештрихованных и штри-
штрихованных спин-векторов, каждое из которых двумерно. При
п = 6, выбрав в качестве соответствующей ортогональной груп-
группы группу SO B,4), рассмотренную в гл. 9, § 2, мы увидим, что
редуцированные спиноры будут (унивалентными) твисторами и
дуальными твисторами — каждое из этих пространств четырех-
четырехмерно. При п = 2 в фиксированной точке 2-поверхности в про-
пространстве-времени это будут одномерные пространства скаля-
скаляров со спиновым весом + 1/2 или —1/2 (так же как со1 или со0
в гл. 9, § 9). При произвольном четном п размерность простран-
пространства редуцированных спиноров будет равна 2<1/2)"-1, а размер-
размерность соответствующего пространства комбинированных (нере-
(нередуцированных) спиноров есть N = 2<1/2К При произвольном
нечетном п не существует инвариантной процедуры расщепления
на более простые части2) и размерность спинового простран-
') В отсутствие специальных оговорок термин «спинор», используемый в
этом приложении, следует считать относящимся к унивалентному объекту —
разновидности «спин-вектора».
2) Отчасти это вопрос принятого определения. Можно было бы считать,
что в случае нечетных п спиновое пространство имеет размерность

СПИНОРЫ В п ИЗМЕРЕНИЯХ 519
ства равна АА = 2<1/2>л-<1/2>. В обоих случаях мы имеем двузнач-
двузначные спинорные объекты (см. т. 1, гл. 1, § 5), которые меняют
свой знак при повороте на угол 2я. Группа спиновых преобразо-
преобразований Spin (я) [или Spin(p, q)] есть двулистное накрытие со-
соответствующей собственной1) группы вращений SO(n) [или
SO(p, q), или 0\{р, qT\.
В данном приложении мы кратко изложим алгебраические
и геометрические основы теории спиноров в «-мерном простран-
пространстве. (За подробностями же отсылаем читателя к классическим
работам [45, 33]; см. также [346, 347, 55, 284, 2, 178].)
Уравнение Клиффорда; у-матрицы
Обычно исходят из уравнения Клиффорда (—Дирака)
где Yi. •••» Y« — (комплексные) NX АА-матрицы ^ принимает
значения, указанные выше), gab — компоненты некоторого (дей-
(действительного или комплексного) л-мерного невырожденного сим-
симметричного тензора и I — единичная матрица NXN. Вводя
/г-мерные абстрактные индексы а, Ь, с, ..., получаем несколько
более инвариантную форму записи того же уравнения
YeY»+Y»Ye=—2гв»1, т. е. Y(eY», = — ёаъХ- (Б-2)
Объект уа можно теперь мыслить как матрицу из элементов с
абстрактными индексами, каждый из которых (из элементов)
принадлежит /г-мерному векторному пространству Va (или,
быть может, модулю, если мы рассматриваем спинорные поля
на /г-многообразии) с невырожденным симметричным метриче-
метрическим тензором gaie V(ab). На данном этапе мы будем считать,
что Va — комплексное векторное пространство (или модуль), так
что вопрос о сигнатуре метрики gab не имеет смысла 2). В даль-
дальнейшем мы кратко рассмотрим условия действительности и про-
проанализируем зависимость структуры спинового пространства от
выбора сигнатуры.
При полностью инвариантном подходе мы должны мыслить
уа не как матрицу в явном виде {или набор Ya He как матрицы
2A/2)п + A/2) и распадается на два пространства, каждое из которых имеет
размерность 2<1/2)п~'<1/2). Однако в отлнчне от случая четных п прн переходе
к спннорной форме записи векторно-тензорных выражений используется толь-
только одно нз этих пространств.
') Соответствующее обозначение для О(п) [или O(n,q)] таково: Pin (я)
[или Pin (p, q)]; см. работу [284].
2) Наше изложение не изменится существенно, если в качестве Va взять
векторное пространство над любым полем, замкнутым относительно операции
извлечения квадратного корня и (при некоторой корректировке) произволь-
произвольной характеристики, не равной двум.

520 ПРИЛОЖЕНИЕ
в явном виде), а как элемент (элементы) некоторой абстрактной
алгебры, порождающий линейные преобразования некоторого
абстрактного пространства: спинового пространства. Таким об-
образом, при желании можно ввести (скажем, нижние греческие)
абстрактные индексы и написать
Yapa [или Yapa = Ylpa У.Л (Б.З)
где абстрактные индексы р, а относятся к спиновому простран-
пространству, которое является комплексным векторным пространством
Sp (или модулем Sp в случае спинорных полей на л-многооб-
разии). Мы предположим, что алгебра, генерируемая элемента-
элементами Ya» неприводима, и тогда оказывается, что Sp имеет размер-
размерность yv = 2<1/2)» (n четное) или N^г*1/2)"-*1/2» (п нечетное).
[Минимальный размер матриц, удовлетворяющих соотношению
(Б.1), будет NxN.] Уравнение (Б.2) можно теперь переписать
в виде
YapaY4aT + Y4paYaaT = -2gabbxp. (Б.4)
Если в пространстве Sp выбрать некоторый базис б?, ..., 6% =
= б?, то в этом базисе явная реализация матрицы уа будет
иметь вид
(ба — базис, дуальный базису б?) и аналогичные выражения
будут справедливы для ул. Однако обозначение уа или уа не свя-
связано с выбором определенного базиса в пространстве Sp и с тем
же успехом может использоваться, если рис — абстрактные ин-
индексы или частично разлагаются в прямую сумму абстрактных
индексов («блочно-абстрактно-индексные» матрицы).
Независимо от бР в пространстве Va можно выбрать базис
Sa1' • ■ ■' £ап = £а и дуальный ему базис gaa, который позво-
позволит нам осуществлять переход между величинами
Yi, -.., Yn (Б.6)
в формуле (Б.1) и более абстрактными объектами уа в фор-
формуле (Б.2):
Ya = Yagaa; Ya = Yagaa. (Б.7)
Обычно выбирают этот базис так, чтобы метрика gab была
диагональной со значениями ± 1. (Поскольку пространство Va
комплексно, можно даже выбрать все ненулевые значения рав-
равными -\-1, но так как действительный случай мы будем рассма-
рассматривать позднее, на этом этапе нам будет удобнее рассматри-
рассматривать оба знака). Тогда уравнение (Б.1) будет означать, что

СПИНОРЫ В л ИЗМЕРЕНИЯХ 521
различные матрицы (Б.6) попарно антикоммутируют и квадра-
квадраты их равны =Fl. Алгебра Клиффорда © [57] (которая может
быть комплексной) есть алгебра над -С, генерируемая величи-
величинами (Б.б), удовлетворяющими уравнениям (Б.1) [т. е. это
комплексные полиномиальные функции таких величин (Б.б)].
Элемент
v.Yn (Б.8)
алгебры <5 представляет особый интерес. Отметим, что если п. —
четное число, то он также антикоммутирует с каждой из вели-
величин Yi, ..., уп, а если п — нечетное, то он коммутирует с каж-
каждой из этих величин. Более инвариантная форма записи эле-
элемента (Б.8) такова:
^^'"Ч-Ч. (В.9)
где мы ввели альтернирующий тензор
eei--en<=vlei"e»l (Б-10)
с нормировкой е12-"=1, так что
J-^-V.-*^-,», ... ^„ = (-1Л (Б.И)
где и — число отрицательных значений (диагонального) тензора
ь- Отметим, что
где s = п — 2и — «сигнатура» тензора gab.
Рассмотрим случай, когда п — нечетное, так что элемент г\
коммутирует со всеми элементами алгебры <5. Предположим,
что для рассматриваемой алгебры выполняется условие непри-
неприводимости1); тогда в силу леммы Шура элемент г\ должен в
этом случае быть пропорционален единичной матрице I:
т) = ± I или dh t'l (т. е. %" = ± бр или ± /бр), если п нечетное
(Б.13)
[формула (В. 12)]. Коэффициент пропорциональности будет
действительным (мнимым), если s=l (mod 4) [или s = 3
(mod4)] [в формуле (Б.13) допускаются оба знака].
В случае же четного п антикоммутативность элемента г\ с
каждым из элементов va означает, что эти элементы могут
') См., например, т. 1, с. 184,

522 ПРИЛОЖЕНИЕ
быть представлены в виде
где р = R@R', o = S(BS', причем множитель i появляется,
если s = 2(mod4). Величины yans' и yaa's удовлетворяют
соотношениям
У(а\КГУьK'Т=-§аЬ{>1, Y(e | *',% s" = ~ £„»*£ (БЛ5)
в силу равенства (Б.4). Спиновое пространство Sp расщеп-
расщепляется в прямую сумму
Sp=S*0S*', (Б. 16)
где каждое из редуцированных спиновых пространств SR, SR'
имеет размерность A/2)АА = 2<1/2)'г-1.
В формуле (Б. 14) приняты обозначения, при которых, заме-
заменив индексы ригу корневого символа индексами R' или R, S
или S' и т. д., мы получим символ проекции интересующей нас
величины на соответствующее редуцированное спиновое про-
пространство. Явный вид проекционных операторов таков:
,) (n четное), (Б.17)
так что в индексной форме находим выражения
npa = diagFf, 0), npa = diag@, 6%) (Б.18)
[фиксировав по принятому соглашению неопределенный знак в
формуле (Б. 14)], которые позволяют получить указанные проек-
проекции на редуцированные спиновые пространства. Имеем
П2 = П, П2 = П, 1Ш = Ш1 = 0, П + П = 1. (Б. 19)
Алгебра Клиффорда и формы
Полная алгебра Клиффорда образована (конечными) сум-
суммами вида
А\ + Вауа + Cabyayb + Dabcyaybyc + ... . (Б.20)
Однако в силу формулы (Б.2) достаточно рассматривать только
антисимметризованные произведения
Уаь...а:=У1аУь •■• У01- (Б-21)
Например:
ЬУС] —

СПИНОРЫ В п ИЗМЕРЕНИЯХ 523
и аналогичные (но более сложные) выражения для произведе-
произведений высших порядков. Таким образом, коэффициенты в выра-
выражении (Б.20) можно считать антисимметричными:
cab = c\ab\^ jyibc _ j^abc]^ _ (Б.23)
и весь ряд (Б.20) обрывается на (л+ 1)-м слагаемом. Число
формально независимых элементов алгебры Клиффорда равно
полному числу независимых компонент тензоров А, Вл, СаЬ
[удовлетворяющих условию (Б.23)], т. е.
1+п + ±п(п—1)+ ... +л+ 1=2". (Б.24)
Всякий элемент формальной алгебры можно рассматривать как
набор, состоящий из 0-формы, 1-формы, 2-формы и т. д., кото-
который часто формально записывают в виде (конечной) суммы
A+B+C+D+ ____ (Б>25)
где
В = £*,, = £*"*„,,. С = С,,,, D = D..2.3, ... (Б.26)
[здесь индексы опускаются, вообще говоря, с помощью метрики
gab и принято обозначение, введенное в формуле D.3.10)].
Клиффордово умножение на выражениях (Б.25) [т. е. индуци-
индуцированное произведениями выражений вида (Б.20)] будет ди-
дистрибутивным (и ассоциативным), причем клиффордово произ-
произведение р-формы на <7-форму есть линейная комбинация сла-
слагаемых, каждое из которых получается вычислением ряда свер-
сверток в тензорном произведении форм с последующей антисим-
антисимметризацией остающихся индексов. [Слагаемое без сверток
имеет смысл внешнего произведения D.3.13) двух форм.]
В том случае, когда п нечетное, из нашего предположения о
неприводимости следует, что не все формально различные эле-
элементы алгебры Клиффорда линейно-независимы, поскольку ве-
величина ц [формула (Б.8)] будет пропорциональна единичной
матрице I [формула (Б.13)]. В самом деле, мы находим, что
4Ye...e = ±4...c (Б-27)
где (см. т. 1, с. 322)
4...c = ^-«a...cd-fYd...f, (Б.28)
причем число индексов d, ..., f равно г [индексы тензора
(Б.10) опускаются с помощью метрики gab]- Если выполняется
соотношение (Б. 13), то мы находим, что каждая из форм (Б.26)
равна своей дуальной форме, умноженной на ±1 или ±i- С уче-
учетом такого отождествления алгебра Клиффорда превращается
в полную матричную алгебру (над С) матриц Ny^N, где, как

524 ПРИЛОЖЕНИЕ
установлено выше, N = [ A/2J"]  = г*1/2)"-*1/2) [в силу фор-
формулы (Б.24)). Произвол в выборе знака в формуле (Б. 13) дает
два таких неэквивалентных представления, и формальная ал-
алгебра Клиффорда в точности представляется как прямая сумма
этих двух матричных алгебр, если п четное.
Если п четное, то дополнительных отождествлений нет и
полная алгебра Клиффорда может быть представлена полной
матричной алгеброй N X N-матриц (над .С), где N = B") 1>2 =
= 2№)п (как указано выше). Тем не менее полезно перейти к
редуцированным спинорам, величинам вида Qrs [или Qr's], воз-
возникающим как элементы алгебры @, которые проектируются в
нуль при действии как слева, так и справа оператором П [или
П] [формула (Б.18)], так что они изображаются слагаемыми
с нечетным числом множителей у; а также величинами вида
QRS' [или 6д'5], которые также будут элементами алгебры ©,
дающими нуль при действии слева [справа] оператором П и
справа [слева] оператором П, так что они даются слагаемыми
с нечетным числом множителей у.
2-валентные ъ-спиноры
Перейдем теперь к получению аналогов в общем /г-мерном
случае величин еАВ и &а'в' стандартной лоренцевой теории
2-спиноров. Определим два элемента пространства VpJ как
(±) гМХ сИсТ , 1 пах, 1 х ab X ,
'^pa^SpSadh-f^-Yap Y a + "gf Yaip Y a ±
±4-Ya6cpxYaV+ ..-, (Б.29)
что сводится к конечным суммам, поскольку существует лишь
конечное число отличных от нуля величин вида (Б.21) (индексы
поднимаются с помощью тензора gab, обратного тензору gab)-
Отметим, что в случае, когда gab = 6ab (положительно опреде-
определенный случай ы = 0), выражение (Б.29) можно переписать
так:
п
= I ® I ± Z Y, ® Y,
±i<Sk(YiYjYk)®(YiYjYk)+--- (Б-30)
[при «>0в формуле (Б.ЗО) следует соответствующим образом
изменить знаки]. В той части последующего изложения, где
используется выражение (Б.ЗО), можно будет считать, что дей-
действительно выполняется равенство gab = 6ab. Поскольку сейчас
мы не интересуемся условиями действительности, можно выби-

СПИНОРЫ В п ИЗМЕРЕНИЯХ 525
рать комплексный базис 6а, для которого это соотношение спра-
справедливо.
Отметим, что если п нечетное, то слагаемые в выражении
(Б.30) [и, следовательно, в определении (Б.29)], начиная с се-
середины, просто повторяют предыдущие слагаемые, так что после
сложения они либо удваиваются, либо дают нуль [см формулы
(Б.13), (Б.27)]. Имеем
<+)Е = 0 (п = 1 (mod 4)), <->Е = 0 (п = 3 (mod 4)) (Б.31)
и WE =^= 0 в остальных случаях. Если п четное, то ни <+)Е, ни
<->Е не обращается в нуль.
Отметим следующее важное следствие из формулы (Б.30):
(*)E(Ye®I) = =F(*)E(I®Ye), (Б.32а)
(±1ф;(±1О^ (Б.326)
Рассмотрим теперь оператор (<±>ЕJ. Подставляя в выражение
(Б.32) разложение (Б.29) для второго множителя (±>Е, получаем
где
П - «Г = тг v^V + ж v^VV - w wVV+ •■■■ (б.зз)
Подставив сюда численные значения индексов а, Ъ, ..., можно
показать, что последовательные слагаемые в разложении Р*
просто пропорциональны величине б£ с коэффициентами
1, п, —п{п-\), ■~гп(п-1)(п-2), ..., (Б.34)
соответственно. Суммируя их, получаем
Р£ = 2*, (Б.35)
откуда
Сра £.}#. = Z tga, (Ь.ОО)
т. е.
оператор 2~" (±)Е идемпотентен. (Б.37)
Отсюда следует, что матричный ранг оператора в формуле
(Б.37) равен его следу:
Т = 2~п(±)ЕЦ. (Б.38)
Однако величины
Ya...cpp, (Б.39)
которые входят в (Б.38) [ср. с формулой (Б.29)], отличны от
нуля только в том случае, когда число индексов а, ..., с равно

526 ПРИЛОЖЕНИЕ
либо 0, либо п. Иначе величина (Б.39) будет отличным от нуля
кососимметричным тензором (или формой), который инвариан-
инвариантен относительно соответствующей ортогональной группы, что
возможно только для скаляра или /г-формы. Более того, анализ
свойств симметрии показывает, что если п четное, то величина
(Б.39) с п индексами также должна равняться нулю. (Пере-
(Переставьте множители у циклически.) Если п нечетное, то свертка
последнего слагаемого в формуле (Б.33) должна равняться
свертке первого слагаемого, если только сам тензор (±)£р5 не
равен нулю. Замечая, что &9p = j\[, мы таким образом получаем
для (Б.38)
2~п • N2 (п четное) 1
п 2 f=1 (Б.40)
2~п • 2N2 (п нечетное) J
в тех случаях, когда (±>Е =^= 0 [формула (Б.31)].
Таким образом, ранг тензора (Б.29) равен единице (или
нулю), и мы можем его факторизовать:
^-1<±)£^ = <±)ера<±)ечт (п четное) (Б.41а)
и [с учетом формулы (Б.31)]
(«=1,5,9,...). VJ
Отметим, что это расщепление связано с выбором скалярного
множителя, который может быть отнесен к одному из сомножи-
сомножителей. Из выражения (Б.29) с учетом указанных свойств тен-
тензора (Б.39) получаем
<±) рт <±) тр= ( N^l (n четное),
[ 2Nb% или 0 (п нечетное),
так что
ероерт = б5 = еаретр (п нечетное), (Б.43а)
ера е т= еар етр= ера е = еар е ^6а (п четное).
(Б.436)
Рассмотрим теперь диагональную свертку тензора (±)££р, запи-
записанного в виде (Б.29). Мы получим выражение вида (Б.33) с
тем, однако, отличием, что последовательность знаков слагае-
слагаемых будет такой:
+ -4— — iri _(— -4-

СПИНОРЫ В п ИЗМЕРЕНИЯХ 527
и с учетом формулы (Б.34) имеем
Сумма слагаемых в скобках при четных п равна либо 2<'/2>/г,
либо —2<^2)", а при нечетных — 2<1/2>"+<1/2) или нулю. Таким об-
образом, сворачивая выражения (Б.41а, б) по х, а, получаем либо
61, либо — 6ХР. Знаки в сумме располагаются периодически
(mod 8), и мы находим
epa e =±6P|(/Xs2j д (mod8))) (Б.44а)
(->e 4e« = + 6x ( (" s °> 2 (mod 8))' (]
(n=l, 7 (mod 8)),
(« = 3,5 (mod 8)), (Б-44в)
Сопоставляя (Б.44) и (Б.43), мы получаем свойства симметрии,
которые суммированы в таблице (Б.45). В случае нечетных п
отличные от нуля величины (±)ера, (±)еР° сводятся к ера, ера. Та-
Таким образом, тензоры ера и еРа кососимметричны при п = 3, 5
(mod 8) и симметричны при /г = 1, 7 (mod 8).
<±)вра- <+)ера (~)вра- '"'еР*1 «(mod8)
Симметричны Симметричны О
Нуль Симметричны 1
Кососимметричиы Симметричны 2 (Б.45)
Кососимметричны Нуль 3
Кососимметричны Кососимметричны 4
Нуль Кососимметричны 5
Симметричны Кососимметричны 6
Симметричны Нуль 7
Если п четное, то можно продолжить редукцию, используя опе-
операторы Пра и Йра [формула (Б.17)]. Сначала заметим, что
ij i|a ■ ii ij » и» чсшиск ixj. *vji
Отсюда и из (Б.41 а) следует, что тензор ^'е4^^ пропорциона-
пропорционален (^е*1, а тензор т],/ <т)ерх, пропорционален (±)еРа. Удобно
выбрать произвольный множитель в определении (Б.41а) тен-
тензоров е так, что
(Б.47)

528 ПРИЛОЖЕНИЕ
Тогда определим [формула (Б. 17)]
ера ;= (+)ерЯ.П^а = 1
ера :=<+)еРШа* = \- (<+)ера + <->
, (Б-48)
ёРа := <+Vn</= у (<+V - '-'ера)-
Напомним, что П и П — проекционные операторы на редуциро-
редуцированные спиновые пространства [формулы (Б.16), (Б.18),
(Б. 19)]. Записывая p = R(BR', а^5Ф5' и т. д., как прежде,
мы можем выразить каждый из тензоров spa, .-.., 5pa через его
редуцированные части:
' \ f Irs &rs' \
S J> V у Br,s Br,s, J
e e \ f rs rs \
epa= r's *'S'b---> ёр„= _ _ • (Б.49)
При всяком (четном) значении п одна и только одна из четырех
редуцированных частей в каждой из матриц (Б.49) отлична от
нуля, а какая именно — это зависит от значения «(mod 4):
V в (
о о) ер°-\ о о)
0 0 \ /0 0 \ («-(mod 4)), (Б.50а)
тогда как
0 0\ /0 0
- _г° е"Л - _r° W^2(mod4))- (Б-50б)
8pa~lo о У 8pa~lo о )
При четных значениях числа A/5) п имеем
а при нечетных
8 BS'T^=B 8j'S'^=Os'i 8 8sr'^=8 8j"'5 ^= US- ^D.OIOJ
Далее из таблицы (Б.45) находим
_ Г симметричны (л = 0 (m
e*s, brS, eR s, е„,ч, < . .
'«*■(_ кососимметричны (л^4|
(л ^ 6 mod 8)),
(Б.526)

СПИНОРЫ В л ИЗМЕРЕНИЯХ 529
Отметим, что если п = О (mod 4), то пространства как штри-
штрихованных, так и нештрихованных редуцированных спиноров до-
допускают введение е-объектов, которые можно использовать для
того, чтобы поднимать и опускать редуцированные спинорные
индексы') (так же как в случае стандартных лоренцевых 2-спи-
норов). Таким образом, в этих случаях существует канонический
изоморфизм между пространствами SA, $A' и соответствующи-
соответствующими им дуальными пространствами 5л, Зл'- Если же п s 2
(mod 4), то е-объекты устанавливают изоморфизм между SA
и пространством $а', дуальным пространству $л' (и, следова-
следовательно, также между SA' и 5л), и, стало быть, могут быть ис-
использованы для того, чтобы исключить штрихованные индексы
(скажем) из всех выражений (что неявно использовалось нами
в теории твисторов). Отметим также, что в случае нечетных п
объект е устанавливает изоморфизм между Sp и дуальным ему
пространством Sp и, следовательно, также может быть исполь-
использован для поднятия и опускания индексов.
Переход от тензоров к спинорам
В предшествующем обсуждении неявно присутствовала про-
процедура перехода к спинорной форме записи тензорных объектов
(элементов различных пространств вида Vi'.'.'.l) с использова-
использованием величин уара, а также производных от них величин с под-
поднятыми, опущенными индексами и их редуцированных частей
[формула (Б. 14)]:
Yapa, VV, yaRS', yaRS и т. д. (Б.53)
Используя эти величины, при желании можно было бы исклю-
исключить все тензорные индексы, введя вместо них спинорные [см.
формулу (Б.55) ниже при г=1]. Для тензоров, содержащих
антисимметричные индексы (или группы таких индексов), про-
процедура оказывается несколько более экономичной, поскольку
величины
Ya...cpa, Ya-Cpa> Ya...c*s', Ya...c«s и т. д. (Б.54)
[формула (Б.21)] могут быть непосредственно использованы
для трансляции целого блока таких индексов в единственную
пару спинорных индексов. Кроме того, из изложенного выше
следует, что величины (Б.54) обладают особыми свойствами
') Для определенности мы принимаем, что если обе величины s и ё
кососимметричны, то штрихованные и нештрихованные индексы поднимаются
и опускаются по правилам B.5.14), B.5.15).

530 ПРИЛОЖЕНИЕ
симметрии. Считая, что полное число индексов а, ..., с равно
г, находим, что при нечетных п
( симметрична по р, а при п— 2г =
I =1, 7 (mod 8),
Величина v ра<
>а...с 1 кососимметрична по р, а при п — 2г =
1=3, 5 (mod 8),
(Б.55а)
а при четных п имеем:
Величины уа CRS и уа /?3'
симметричны по RS, R'S' при п — 2г = 0 (mod 8),
кососимметричны по RS, R'S' при п — 2г = 4 (mod 8),
f n + 2г = 6 (mod 8),
v «s'^_i_v s/i?< Ш 55в)
причем редуцированные части тензора Ya cpj со штрихован-
ными/нештрихованными индексными структурами, отличными
от этой, равны нулю. Соотношения (Б.55) остаются справедли-
справедливыми, если верхние/нижние положения индексов поменять ме-
местами.
Свойство (Б.55а) получается повторным действием опера-
оператора (Б.32) на величину (Б.21) с учетом равенства (Б.416), а
также с использованием следующего правила поднятия ин-
индексов:
(Б-56)
[см. формулу (Б.34а) и ср. с формулами B.5.14), B.5.15)].
Свойства (Б.556, в) следуют из равенств
[см. формулы (Б.32), (Б.416) и (Б.48) в повторяющемся при-
применении к величине (Б.21)]. Правило поднятия штрихованных
и нештрихованных заглавных индексов остается тем же, что и
в формуле (Б.56) [несмотря на то, что при п = 2(mod 4) штри-
штрихованные индексы переводятся в нештрихов энные и наоборот].
Перевод спиноров в тензоры; фундаментальные спиноры
Отметим, что указанная процедура перехода от тензорных
неличин к спинорным в известном смысле обратима: она позво-
позволяет выразить всякий спинор £р (п нечетное), а также редуци-
редуцированный спинор £* или £*' (п четное) через тензор (с точ-
точностью до знака). В самом деле, различными величинами
iPiV"V (я нечетное), (Б.57а)

СПИНОРЫ В п. ИЗМЕРЕНИЯХ 531
ИЛИ
lRlsya'"CRS (n четное), (Б.576)
или
lR'lsуа--ся,3, (п четное) (Б.57в)
с разным числом индексов а, ..., с, вместе взятыми, в каждом
случае спинор определяется с точностью до знака. Отметим, что
для этого из тензоров (Б.57) нужны те, которые симметричны
по парам индексов per, RS или R'S', т. е. [в силу формулы
(Б.55)] для которых число г индексов а, ..., с удовлетворяет
условию
п — 2г = 0, 1, 7 (mod 8). (Б.58)
Особый интерес представляет случай, когда
г = -j n ± -j (п нечетное) (Б.59а)
или
г = -^п (п четное). (Б.596)
Если все выражения (Б.57) равны нулю при всех значениях г,
кроме одного или двух, определяемых соотношениями (Б.59), то
величина £ называется фундаментальным спинором. (Термин
«фундаментальный спинор» используется в смысле «редуциро-
«редуцированный», если п — четное.) Отметим, что в силу условия (Б.58)
спинор | всегда является фундаментальным при п < 7.
Особое значение фундаментальные спиноры приобретают в
связи с тем, что соответствующие (отличные от нуля) кососим-
метричные тензоры (Б.57) обязательно являются простыми, т. е.
[в силу предложения C.5.30) ]
-«
гJlsY«r+.]«r+»-a*rTKlTlK = о. (Б.60)
Аналогичное условие справедливо для £*', когда число п(=2г)
четно, а также два аналогичных условия записываются при не-
нечетном /г(=2г± 1). Здесь мы не приводим доказательство ра-
равенства (Б.60), но отметим одно его интересное геометрическое
следствие: всякий фундаментальный спинор может быть пред-
представлен с точностью до множителя (л/2)-плоскостью, проходя-
проходящей через начало координат в векторном пространстве V"
(п четное), или парой, состоящей из [(/г/2) — A/2)]-плоскости
и [(/г/2)+ A/2)]-плоскости, тоже проходящих через начало
координат в Vе (п нечетное). В нечетномерном случае мы так-
также имеем две плоскости, но они взаимно-ортогональны [в силу
соотношений (Б.27), (Б. 13)], так что можно рассматривать
только одну [(/г/2)—A/2)]-плоскость. В силу тех же условий
в нечетномерном случае (/г/2)-плоскость сама образует свое

532 ПРИЛОЖЕНИЕ
ортогональное дополнение, т. е. является (анти-) самодуальной.
Это свойство (анти-)самодуальности даже не зависит от условия
простоты тензора (Б.60), а связано с тем, что используется лишь
величина ya--cas, все спинорные индексы которой нештрихо-
ванные, и не используется величина Ya"c«'s' со штрихованными
индексами. Более общий характер носит следующее утвержде-
утверждение: всякий элемент пространства Vla-Cl (г = л/2) можно пред-
представить в виде
a«V - CRS + a«'s'Ya - CR'S', (Б.61)
где aRS eS(/iS), aR's'^ g(«'s0. Он будет самодуальным или
антисамодуальным в том и только в том случае, если одно из
слагаемых суммы (Б.61) равно нулю.
Из (анти-) самодуальности совместно с условием (Б.60) сле-
следует, что при четных л
Sad (S«SV - crs) (irlV - fTK) = 0, (Б.62)
причем группы a ... с и d ... f содержат по п/2 индексов; вы-
выполняется также штрихованный вариант соотношения (Б.62).
Если же л нечетное, то соответственно имеем
gad (ipiV - cpa) (sTiV - fxx) = о, (Б.63)
где либо обе группы а ... end ... f содержат по (л/2) — A/2)
индексов, либо одна из них содержит (л/2) — A/2), а вторая
(л/2)+ A/2) индексов; последний случай соответствует усло-
условию простоты [формула (Б.60) с заменой заглавных латинских
индексов греческими], поскольку величины в скобках в формуле
(Б.63) в этом случае взаимно-дуальны. [Доказательства этих
утверждений аналогичны доказательству соотношения (Б.60), и
мы здесь на них не останавливаемся.]
Геометрия фундаментальных спиноров
Указанные свойства допускают прямую геометрическую ин-
интерпретацию. Для этого лучше всего использовать (л— 1)-мер-
1)-мерное (комплексное) проективное пространство PV, ассоцииро-
ассоциированное с пространством V" (т. е. пространство одномерных
линейных подпространств пространства V"). Отличные от нуля
изотропные векторы v" е V (т. е. такие, что gabVavb = 0), опре-
определяющие световой конус в Va, будут точками несингулярной
(л —2)-мерной поверхности Q в PV. В силу рассматриваемых
нами свойств всякий фундаментальный спинор определяет про-
проективную [(л — 3)/2]-плоскость на Q при нечетных значениях
п и проективную [(л — 2)/2]-плоскость на Q при четных п. Со-
Согласно теории (комплексных проективных) квадрик (см., на-

СПИНОРЫ В п. ИЗМЕРЕНИЯХ 533
пример, [133,284]), максимальная размерность линейного проек-
проективного пространства, лежащего на несингулярной (л—1)-квад-
(л—1)-квадрике, равна (-я— 3)/2, если я— нечетное, и такие [(я— 3)/2]-
плоскости образуют [(/г2 — 1)/8]-мерное семейство; если же я
четное, то максимальная размерность равна (я— 2)/2 и эти
[(я— 2)/2]-плоскости образуют два несвязных [я(я— 2)/8]-
мерных семейства1). В четном случае эти два семейства отве-
отвечают нештрихованным и штрихованным фундаментальным спи-
спинорам, соответственно, причем [(я— 2)/2]-плоскость первого се-
семейства часто называют а-плоскостью, а второго — р-плоско-
стью. (Это согласуется с терминологией гл. 9, § 3, когда я = 6
и £? = СМ.) Мы будем называть [A/2) (я— 3) ]-плоскости на
Q Y-плоскостями. Эти плоскости определяются проективными
фундаментальными спинорами (т. е. отличными от нуля фунда-
фундаментальными спинорами, заданными с точностью до пропорцио-
пропорциональности) , так что мы имеем
При четных значениях я нештрихованные проективные
фундаментальные спиноры находятся во взаимно-однозначном
соответствии с а-плоскостями, а штрихованные — с ^-плоско-
^-плоскостями на Q. (Б.64а)
При нечетных п фундаментальные проективные спиноры
находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии
с плоскостями на Q. (Б.646)
Условие фундаментальности; структура спинового пространства
Отсюда мы видим, что размерность dn пространства фунда-
фундаментальных спиноров равна A/8) п (п — 2)+ 1 в четномерном
случае и A/8) (л2 — 1)+1 в нечетномерном случае. Эти значе-
значения можно сравнить с размерностями (l/2)JV = 2<1/2>"-1 и JV =
= 2<1/2>"-<1/2>, соответственно, пространств (редуцированных) спи-
спиноров, которые не обязательно удовлетворяют условию фунда-
фундаментальности. Первые несколько значений этих размерностей
') В четномерном случае при п,= 2г уравнение поверхности Q всегда
можно записать в виде xiyi + ... + xryr = 0. Тогда произвольную (г — 1)-
плоскость одного из семейств можно записать в виде yi = Si/*', где Sij —
кососимметричная матрица гХл содержащая A/8)/г(я—2) независимых ком-
компонент. Если четное число величин х' поменять местами с соответствующими
им величинами yt, то, вообще говоря, мы вновь воспроизведем это пред-
представление. Если же произвести нечетное число таких замен, то получим
(г — 1) -плоскость другого семейства. В случае нечетных п вида п = 2г + 1
уравнение поверхности Q можно записать в виде x'yt = г2. Общую (г—1)-
плоскость тогда можно представить уравнениями z = Tix', yi = St/X1 + Ttz,
содержащими A/8) (/i2—1) независимых параметров.

534 ПРИЛОЖЕНИЕ
приведены в таблице (Б.65):
Л N
1,2 3,4 5,6 7,8 9,10 11,12 13,14...
1 2 4 7 11 16 22 ... (Б.65)
1 2 4 8 16 32 64 ...
Отсюда видно, что в то время как свойству фундаментальности
при п = 7, 8 отвечает одно дополнительное условие, число та-
таких условий быстро возрастает с ростом п. При /г = 7 условие
фундаментальности имеет вид
ePolPia = 0, (Б.66)
а при п = 8 мы имеем
e«sl*|S = 0 или bvsb*f = Q. (Б .67)
Введем обозначение
(r)G^ = ^rYa...cp"Ya-V (Б-68)
(где число индексов а, ..., с равно г) для (г+1)-го слагае-
слагаемого в формуле (Б.29). Тогда получим, что при п = 9, 11, 13
фундаментальные спиноры выделяются двумя условиями
= Un-9),
(Б.69)
= ±(n-7),
а при п = 15 дополнительно требуется положить
@>Gp5ip|CT=0. (Б.70)
В общем случае при нечетных п требуемые условия имеют вид
(Б.69), (Б.70), где величина (r)Gp5 симметрична по per [т. е.
п — 2r = ±l (mod 8)] и где 0 < 2г < п— 1.
При нечетных п, используя величины
(r)G0, (r)G££ (г нечетное), (r)G^', (r)G^s- (г четное), (Б.71)
записываем условие фундаментальности в виде соотношений
is = 0 или WG$W = O (Б.72а)
в нештрихованном случае и
()££ ^s' = 0 или (r)G&', £*£5'=0 (Б.726)

СПИНОРЫ В п ИЗМЕРЕНИЯХ 535
в штрихованном случае. Допустимые значения г удовлетворяют
условиям
п — 2г = 0 (mod 8) 0<2г</г. (Б.73)
Из всего этого ясно, что при больших значениях п структура
различных спиновых пространств может быть очень сложной.
Именно по этой причине, а не просто из-за экспоненциального
роста размерности спинового пространства, спинорную алгебру
нельзя считать реальной альтернативой тензорной алгебры, как
это, очевидно, имеет место при п = 4 (и при других малых раз-
размерностях) . Тем не менее понятие спиноров оказывается важ-
важным при любом числе измерений (например, в теореме Атьи —
Зингера об индексе [309]) и позволяет глубже понять свойства
различных объектов. В принципе (а не реально) все тензорные
выкладки можно представить в спинорной форме. Но структура
соответствующего (редуцированного) спинового пространства
при больших значениях п оказывается гораздо более сложной,
чем структура исходного векторного пространства. В основном
эта структура определяется объектом
G^=£a6YflpxY6(JT = A)G£ («нечетное) (Б.74)
или двумя объектами
G%f, Gi&> (л четное), (Б.75)
поскольку [в силу соотношений вида (Б.22)] все величины
(Б.68) (или их редуцированные части) выражаются через про-
произведения вида
Дополнительно следует ввести е-символы, поскольку величины
G не определяют их масштаба, а фиксируют с точностью до
множителя. Величины G удовлетворяют различным тождествам,
которые следуют из равенств
<r>G£ = ±("-r)G£ (n нечэтное).
Структура пространства Sp или S и S , очевидно, намного
сложнее (скажем, при г > 8), чем исходная структура простран-
пространства Va, определяемая тензором gab (совместно с е'0").
Индуктивное построение спинового пространства
Один из эффективных способов построения спиновых про-
пространств — индуктивный переход к случаю п измерений в пред-
предположении, что структура (п—1)-мерного пространства из-

536 ПРИЛОЖЕНИЕ
вестна. Это соответствует стандартной процедуре построения
явных представлений для ^-матриц. Если число (л—1) четно,
то (для Tj в п— 1 измерениях) все матрицы
Yi Уп-и Ц
антикоммутируют, как мы уже видели, так что мы непосред-
непосредственно получаем л-мерное представление из (п—1)-мерного,
выбирая матрицу уп пропорциональной ц [формула (Б.8) с за-
заменой л на л—1 и формула (Б.12)]. Если же число (л—1)
нечетное, то редуцированные матрицы у в л измерениях можно
представить как точные копии матриц у в (л—1) измерениях,
и полная алгебра для л измерений получается в виде блоч-
блочного матричного представления (Б. 14). [Каждая из величин
Yapa для (л — 1) измерений может быть представлена в виде
Yaj?sV а для л измерений — в виде ya^s. Допустимыми теперь
будут только такие произведения, которые принадлежат одному
из этих типов, а складывать можно лишь однотипные слагае-
слагаемые.]
Таким образом мы получаем прямой способ перехода от спи-
спиноров в (л— 1) измерениях к л-мерным спинорам. При переходе
от четной к нечетной размерности новое пространство Sp имеет
вид прямой суммы 5*®5^ старых пространств, а при переходе
от нечетной к четной размерности новые Sr и S^' представля-
представляются в виде копий старого пространства S0. Однако с аб-
абстрактной точки зрения в этой процедуре имеется произвол, свя-
связанный с выбором базисного элемента gan в Va [формула
(Б.7); п — не абстрактный индекс!]. Записывая
Ua = gan^Va, (Б.76)
мы видим, что единственное требование к иа состоит в том, что-
чтобы он был единичным вектором:
иаиа = ±1, (Б.77)
поскольку остальные элементы базиса gal, ..., ga"-1 при же-
желании могут быть восстановлены, если вектор иа уже задан.
[Можно также использовать модифицированную процедуру,
если иа выбран изотропным, и по существу именно эта про-
процедура использовалась в стандартном описании твистора как
пары 2-спиноров (гл. 6, § 1). Но здесь мы не будем вдаваться
в общий анализ этих вопросов.]
Величина иа является ковектором в пространстве V0 и,
стало быть, определяет (п—1)-мерное подпространство (гипер-
(гиперплоскость) у " cz V" с нормалью ыа. Таким образом, мы полу-
получаем спиноры в V" из спиноров, определенных в у а. Чтобы

СПИНОРЫ В п. ИЗМЕРЕНИЯХ
537
Четные п = 2к + 2
Нечетные п = 2£+3
Рис. Б.1. Фундаментальные спиноры в п измерениях могут быть построены
по индукции из фундаментальных спиноров в (п—1) измерениях, если
проанализировать, как а-, р- и упРостранства для (п—2)-квадрики Q свя-
связаны с соответствующими пространствами для произвольного сечения гипер-
гиперплоскостью— (/г — 3)-квадрики Q'.
перейти обратно от спиноров, определенных по отношению к
V, к спинорам в У ", мы вводим величину ')
Upa = 2~ll2uayapa (n нечетное). (Б.78а)
или, если п четное,
и£' = 2-11*иауа*', uR,s = 2-muayaR,s (n четное). (Б.786)
При нечетном п в качестве проекционных операторов Пра, Пра
(Б. 18) можно использовать величины
[в соответствии с двумя знаками в формуле (Б.77)], которые
необходимы для того, чтобы расщепить спиноры в V" на два
множества редуцированных спиноров в уа. [Отметим, что
ирхиха = —(l/2Npauaua.] Если п четное, то величины (Б.786)
служат для того, чтобы переходить от штрихованных к нештри-
хованным индексам. Итак, мы установили соответствие между
спинорами пространства у а и редуцированными спиновыми про-
пространствами для V.
Полезно рассмотреть геометрические свойства пространства
PV, которые используются в указанной процедуре (рис. Б.1).
Гиперплоскость у а дает нам проективную (п — 2) -плоскость
') Множитель 2~1/2, который выглядит здесь иеестествеиио, введен лишь
с целью согласования со стандартными обозначениями для 2-спииорных
трансляций.

538 ПРИЛОЖЕНИЕ
Р У в пространстве PV, которая пересекает поверхность Q по
некоторой (п— 3)-квадрике Q'. Поскольку мы предполагаем
здесь, что иаиа ф О, проективная плоскость Р у не касается
квадрики Q; следовательно, Q' — несингулярная квадрика. Рас-
Рассмотрим сначала случай, когда п — четное (рис. Б.1,а). Мы пи-
пишем /г = 2& + 2, так что Q есть 2&-квадрика, a Q' — Bk—1)-
квадрика; -уплоскости квадрики Q' (k— 1)-мерны и образуют
[(\/2)k(k-\- 1)]-мерное семейство. Кроме того, а- и р-плоскости
квадрики Q находятся во взаимно-однозначном соответствии со
своими -^плоскостями, образованными пересечениями с Q'. Рас-
Рассмотрим далее случай нечетного п (рис. Б. 1,6). Теперь мы пи-
пишем /г = 2£ + 3, так что поверхность Q будет Bk + 1)-квадри-
1)-квадрикой, a Q' — Bk) -квадрикой; ^-плоскости большей квадрики
&-мерны и образуют [A/2) (k2 + 3k + 2)]-мерное семейство.
Произвольный член этого семейства пересекает квадрику Q' по
(k—1)-мерной плоскости, через которую проходит единствен-
единственная а-плоскость, принадлежащая квадрике Q', а также един-
единственная р-плоскость, принадлежащая той же квадрике. (В осо-
особых случаях ^-плоскость квадрики Q в действительности лежит
на Q' и совпадает либо с а-плоскостью, либо с р-плоскостью
в Q'.) И наконец, а-плоскости и р-плоскости в Q' образуют
[(l/2)k(k+ 1)]-мерное семейство.
Связь между этой геометрией и изложенным выше в том, что.
она описывает соотношение между фундаментальными спинора-
спинорами пространств V*и U ".Редуцированные спиноры общего типа
образуют линейный базис для фундаментальных спиноров. От-
Отметим, что если п четное, то всякий фундаментальный спинор
V в 4J а непосредственно определяет пару фундаментальных
спиноров |^ и |^' для V*. а ^плоскость в Q' позволяет непо-
непосредственно восстановить а-плоскость и р-плоскость в Q. Од-
Однако между а-плоскостью и р-плоскостью существует особая
связь: их пересечение не только полностью принадлежит квадри-
квадрике Q'', но и имеет максимальную размерность k— 1 '). Два фун-
фундаментальных спинора |л и £*' в пространстве V* соответству-
соответствуют а-плоскости и р-плоскости на Q, пересекающимся по подпро-
подпространству максимальной размерности, в том и только в том
') Для несингулярной 2^-квадрики размерность подпространства, по ко-
которому пересекаются а- и р-плоскости, может принимать значения k — 1,
k — 3, k — 5, ..., —1 (k четное) или 0 (k нечетное), тогда как размерность
подпространства, по которому пересекаются две р-плоскости с двумя а-плос-
костями, может быть равна k, k — 2, k — 4 О (k четное) или —1 (k не-
нечетное). В случае несингулярной Bk + 1) -квадрики пересечение двух y-плос-
костей имеет размерность k, k—1, ..., 0, — 1. (Размерность—1 означает,
что множество пустое.) В каждом случае геиерической ситуации отвечает
наименьшая возможная размерность пересечения.

СПИНОРЫ В п ИЗМЕРЕНИЯХ 539
случае, если существует вектор v" e V, удовлетворяющий усло-
условиям
vava = ±\, (Б.80)
В рассмотренном выше случае роль вектора va играет вектор иа.
Если число п — нечетное, то мы должны позаботиться о том,
чтобы а-плоскость, определяемая фундаментальным спинором
1^ в у. ", пересекала р-плоскость, отвечающую фундаменталь-
фундаментальному спинору £ , максимальным образом. Это необходимо для
того, чтобы их композиция давала фундаментальный спинор в
пространстве V", Соответствующее условие для £" и £*' неявно
содержится в условиях (Б.80) и (Б.81), но мы не будем здесь
останавливаться на этом.
Можно также редуцировать спиновое пространство в V,
рассматривая подпространство у " произвольной размерности г
и его (п — г)-мерное ортогональное дополнение W* (подпрост-
(подпространство у а неизотропно, так что его индуцированная метрика
и, следовательно, метрика пространства W* невырожденна).
Таким образом, мы имеем прямую сумму
Va=-Ua®Wa (Б.82)
(хотя, строго говоря, нам, может быть, следовало бы ввести раз-
различные индексы, скажем а' и а", причем а = а? Ф а"). Спиноры
в пространстве Vе оказываются в этом случае в соответствую-
соответствующем смысле прямыми произведениями (тензорными произведе-
произведениями) спиноров пространств 1_)_а и W. Чтобы использовать
этот подход систематически, представляется более удобным в
нечетномерном случае мыслить спиновое пространство как со-
состоящее из двух «.копий-» спиновых пространств, рассматривав-
рассматривавшихся ранее для этого случая (см. примечание 2 на с. 518), при-
причем два знака, появляющиеся в формуле (Б. 13), могут быть
отнесены к любому из этих пространств — по одному каждой
«копии»1). Тогда, если оба числа г и п — г нечетные, так что
п — четное, 2<1/2'"-мерное полное спиновое пространство в V"
получается как прямая сумма двух его 2<1/2'"-1-мерных редуци-
редуцированных спиновых пространств, каждое из которых рассматри-
рассматривается как прямое произведение одной из 2<1/2>г~<1/2)-мерных «ко-
«копий» спинового пространства для, У "и одной из двух «копий»
2A/2)(л-г)-A/2)_мерНОГО спинового пространства для W*. Если
') Строго говоря, эти два спиновых пространства не вполне совпадают
и могут быть переведены друг в друга с помощью несобственных преобразо-
преобразований.

540 ПРИЛОЖЕНИЕ
одно из чисел г или п — г четное, а другое — нечетное, то кон-
конструкция прямых произведений возникает естественным образом
независимо от того, используются ли «копии». Если оба числа
г и п — г четные, то вопрос о таких «копиях» вообще не возни-
возникает. Однако мы отмечаем, что всякое редуцированное спиновое
пространство для V" получается как прямая сумма произведе-
произведений редуцированных пространств для у а и W в общем виде:
Нештрихованное пространство =
= (нештрихованное ® нештрихованное) ф
ф (штрихованное <8> штрихованное),
Штрихованное пространство =
= (нештрихованное ® штрихованное) ф
ф (штрихованное ® нештрихованное) (Б.83)
Действительность; комплексное сопряжение
Выше мы всюду предполагали, что V" — комплексное про-
пространство, но по большей части это не играло решающей роли
(если не считать случаев, когда речь шла о линейных подпро-
подпространствах на <?), поскольку мы допускали любую сигнатуру для
метрики gab. Однако многие приложения спинорного подхода
требуют, чтобы пространство V" было фактически действитель-
действительным. Мы здесь будем мыслить пространство V" как комплекс-
комплексное, но считать, что оно допускает «действительную структуру»,
определяемую инволютивным оператором комплексного сопря-
сопряжения ^. Требуемое действительное пространство в этом случае
будет (действительным) подпространством пространства V,
элементы которого инвариантны относительно операции <&. «Сиг-
«Сигнатура» s метрики gab имеет теперь инвариантный смысл по
отношению к операции (ё>, причем мы требуем, чтобы базис g^
состоял из действительных элементов пространства V.
Если п — четное, то оказывается, что отображение ^ может
быть продолжено на спиноры так, что:
Каждое из пространств SA, SA' инвариантно относительно
операции Ч?, если A/2) s нечетно; (Б.84а)
SA и SA' переходят друг в друга при отображении Ф,
если A/2) s нечетно. (Б.846)
Это, очевидно, согласуется с результатами для обычных лорен-
цевых 2-спиноров, а также для твисторов, если вспомнить, что
в теории твисторов мы договорились вводить вместо штрихован-
штрихованных индексов нештрихованные, располагая их в противополож-
противоположной позиции, что вполне законно [формула (Б.526) и далее],
поскольку в этом случае п = 6. Это также согласуется q

СПИНОРЫ В п ИЗМЕРЕНИЯХ 541
что функции со спиновым весом 1/2 на пространственноподоб-
ной 2-поверхности в пространстве-времени превращаются в
функции со спиновым весом —1/2 при действии оператора *&
(s = —2), тогда как функции с бустовым весом 1/2 и —1/2 на
времениподобной 2-поверхности инвариантны относительно опе-
операции W (s = 0).
Точнее говоря, значение (mod 8) сигнатуры s связано с во-
вопросом о существовании в Sp нетривиального подпространства
действительных спиноров («майорановских» спиноров — в физи-
физическом контексте). Мы находим, что при некоторых значениях
сигнатуры операция <& не продолжается на спиноры инволютив-
но, а лишь удовлетворяет условию1) <g74 = l. Существуют опре-
определенные проблемы выбора тех или иных соглашений, которые
приводят к дальнейшим усложнениям. Более того, если п нечет-
нечетное, мы видим из формулы (Б. 13) и т. д., что при s = 3(mod4)
множитель, связывающий ц с единичным оператором, обра-
обращается при действии оператора <S>. Отсюда следует, что про-
пространство Sp не будет, строго говоря, инвариантным относи-
относительно операции (&, но переходит в этом случае в свою «копию».
Но мы пренебрежем последними двумя усложнениями и сделаем
следующие замечания общего характера (поблагодарив за по-
помощь в этом Ф. Риза Харвея).
Если s = 3, 4, 5 (mod 8), то мы имеем 'g'2 = —1 при действии
в пространстве Sp. Это соответствует случаям, когда Sp допу-
допускает кватернионную структуру и нет действительных спиноров
(фО). [Примером могут служить спиноры для групп 50C) и
50D).] Если s = 2, 6 (mod 8) [формула (Б.846)], то каждое
из пространств SR, SR является, естественно, комплексным и
не содержит действительных спиноров (=^0), но о комбиниро-
комбинированном пространстве Sp можно сказать, что оно содержит дей-
действительные («майорановские») спиноры [в подходящих обозна-
обозначениях — обычным обозначениям отвечает случай s = 6 (mod 8) ].
Если s = О, 1, 7 (mod 8), то мы имеем полную систему действи-
действительных спиноров (т. е. действительные спиноры, по которым
всякий спинор рассматриваемого спинового пространства раз-
разлагается с комплексными коэффициентами). В частности, если
s = О, ±1, то это последнее свойство связано с максимальной
размерностью действительных проективных подпространств в Q,
равной
±(n-\s\)-l. (Б.85)
') Это позволяет обойти трудность упомянутую вт. 1, с. 141, возникаю-
возникающую в связи с действием операции 9 на спиноры групп SOC) и SO D).
В этом случае Ч?2!4 = —%А, так что невозможно придать смысл «действи-
«действительной части» спинора \А, записав ее в виде A/2) (\А + f?'4), поскольку по-
последняя величина не является действительной.

542 ПРИЛОЖЕНИЕ
Отметим, что квадрика Q не содержит действительных точек в
положительно определенном случае, но содержит действитель-
действительные а-плоскости и р-плоскости, если s = 0, и действительные
у-плоскости, если s = ±l.
Некоторые физически интересные случаи; триальность
Мы уже рассмотрели лоренцевы 2-спиноры, твисторы и функ-
функции со спиновым весом ±1/2 на пространственноподобных 2-по-
верхностях как примеры общей процедуры для случаев п = 4, 6
и 2, соответственно. Но при этом мало что было сказано (непо-
(непосредственно) о дираковских ^-спинорах, которые являются не-
неприводимыми спинорами при п = 4, s =■ —2 (и при п = 4,
s = 2). Они, разумеется, также подпадают под нашу общую
схему и даже находят больше явных приложений в литературе,
чем редуцированные лоренцевы 2-спиноры, которые составили
основную тему двух томов. То, что мы не стали рассматривать
дираковские 4-спиноры, связано до некоторой степени с прак-
практическими соображениями, так как редуцированные спиноры
имеют в этом случае простой вид и оказываются исключительно
простыми и эффективными в обращении. Два-спинорный фор-
формализм легко позволяет исключить все тензорные индексы, и
^-матрицы вместе с довольно сложными тождествами, которым
они удовлетворяют (формулы следа и т. д.), просто «улетучи-
«улетучиваются». В явном виде (см. т. 1, с. 275) можно написать
._ / О 8^8A'S' \ / — ieRs О \г
2U о )' V-( о . /.„Л (Б-86>
где ц обычно обозначают через у5; кроме того, мы имеем
о «„«ew) (Б'87)
Как правило, вычисления оказываются намного проще в 2-спи-
норном формализме, чем с использованием у-матриц, особенно
если имеется большое количество выражений, содержащих
I ± 1уь- (См., например, как упрощаются вычисления в кванто-
квантовой хромодинамике [87].)
Спиноры также находят приложение в теории относитель-
относительности при п = 3, так как соответствующий формализм непо-
непосредственно используется в теории пространственноподобных
гиперповерхностей (s = —3) или времениподобных гиперповерх-
гиперповерхностей (s = —1). Выбирая в качестве нормали к такой гиперпо-
гиперповерхности вектор иа = иАА' (нормированный так, что иаиа =
= ±2), с учетом изложенного ранее [формулы (Б.80), (Б.81)]
мы можем использовать величины иАА' и ил'А, чтобы ввести

СПИНОРЫ В п. ИЗМЕРЕНИЯХ 543
вместо всех штрихованных индексов нештрихованные. Это при-
приводит к удобной системе исчисления, которая использовалась
рядом авторов [318, 311]. (Подобная же процедура использова-
использовалась также нами в связи с доказательством Виттена положи-
положительности массы; см. гл. 9, § 10.)
Особенно интересная ситуация, которая, по-видимому, имеет
отношение к физике, дается случаем п = 8 (и когда либо s = 8,
либо s = 0), поскольку тогда все три пространства V, SA, SA'
замечательным образом оказываются равноправными. Оба тен-
тензора &ав и &а'в' симметричны [формула (Б.52а)] и входят в тео-
теорию наравне с метрическим тензором gab- Таким образом, мы
можем рассматривать пространства SA' и V как «нештрихо-
ванное» и «штрихованное» редуцированные спиновые простран-
пространства для S с метрикой еАВ, либо Уа и $А как «нештрихован-
ное» и «штрихованное» спиновые пространства для SA\ Возни-
Возникающую здесь удивительную дополнительную симметрию на-
называют принципом триальности для групп 50(8, С), 50(8) и
50D,4). Отметим, что в силу формулы (Б.67) фундаментальные
спиноры пространств SA, SA соответствуют в рамках этой сим-
симметрии изотропным векторам пространства V". Если говорить
о гиперповерхности Q, то это означает, что семейства а-плоско-
стей на Q, р-плоскостей на Q и точек Q могут рассматриваться
как равноправные. Свойство инцидентности для точки (принад-
(принадлежать а-плоскости) в рамках этой симметрии отвечает свой-
свойству инцидентности для а-плоскости (пересекать р-плоскость
максимальным образом, т. е. по 2-пространству). В случае груп-
группы 50(8) эти а-плоскости, р-плоскости и точки все будут мни-
мнимыми, но симметрия между ними тем не менее существует и
проявляется как симметрия между неизотропными (нефунда-
(нефундаментальными) элементами. (Подробнее см. в работах [2, 55].)
Величина
ЧаАА' -(Б.88)
теперь будет симметричной по отношению ко всем трем типам
индексов. Она удовлетворяет тождеству
Ч(аАА'Чь)АВ'=ёаьЪА'В' (Б-89)
и другим, полученным из него перестановкой индексов различ-
различных типов. Существует связь между этими величинами и алгеб-
алгеброй октанионов (числа Келли). Ее можно получить, фиксировав
в двух из трех пространств единичные элементы, скажем
ka e Va, mA' e SA', kaka = 1 = тАW,
определив третий соотношением
1А = yaAA,k°mA'

544 ПРИЛОЖЕНИЕ
и затем используя величины
УаЛЛ*">
и метрические объекты gab, eAB, га'в' для перехода между раз-
различными типами индексов. С помощью этих величин мы полу-
получаем из (Б.88) объекты уаЬс, от которых можно перейти к вели-
величинам уаьс, удовлетворяющим правилам умножения алгебры
Келли на V". Тождество (Б.89) обеспечивает в этом случае вы-
выполнение всех необходимых алгебраических свойств [например,
Y(a&)':!Yd/ = Y(a,dleY&)C':!. что соответствует свойству «альтерна-
«альтернативности» умножения: (АА)В = А (АВ) ].
В связи с изложенным отметим, что существует определен-
определенная связь между группами 50(8, С) и 50D,4) и теорией тви-
сторов. Рассмотрим пары твисторов, каждая из которых со-
состоит из [0']- и [ j ]-твистора:
(Za, Wp). (Б.90)
Метрика на пространстве таких объектов определяется отобра-
отображением
(Za, Wp)^2ZaW«, (Б.91)
а комплексное сопряжение определяется так:
<$ : (Za, W«) и-* (Wa, Za). (Б.92)
Сигнатура билинейной формы ZaZa + WaWa равна
(+ + + Л ) (т- е- s = 0, п = 8), так что изложенная
теория оказывается пригодной в этом случае. (Условие «изо-
«изотропности» совпадает здесь со свойством амбитвисторов
ZaWa = 0, см. примечание на с. 198.)
Спинорные поля; твисторы в п измерениях
Как мы помним, мы с самого начала допускали, что про-
пространство V* может быть (при соответствующих условиях) мо-
модулем, а не векторным пространством и может описывать, ска-
скажем, векторные поля на некотором (псевдо-)римановом л-мно-
гообразии. Соответствующее пространство Sp (или S" и S")
в этом случае описывало бы спинорные поля. Величина уара
(или yaRs' и VaR,s) служит в этом случае для преобразования
касательных векторных полей к спинорной форме. Таким об-
образом,, мы имеем аналоги уравнения Дирака или Дирака —
Вейля
= Йтг|>°, Ya/'Vai|>« = О (Б.93)

СПИНОРЫ В п ИЗМЕРЕНИЯХ 545
при всех значениях п. Можно также ввести аналоги локальных
твисторов и процедуры локального переноса твистора (см. ра-
работу [43] и гл.- 6, § 9, а также неопубликованную работу Спар-
линга (G. A. J. Sparling), где это выполняется в более явном
виде). На вопрос о том, что следует рассматривать в качестве
теории твисторов в п измерениях, можно дать разный ответ.
Можно, например, мыслить гиперпространство Минковского с
размерностью р-\- q и сигнатурой р — q компактифицированным,
как в гл. 9, § 2. В качестве конформной группы на этом компак-
компактифицированном пространстве действует группа 5О(р+1, q+\).
Таким образом, мы приходим к ситуации, описываемой пред-
предшествующей теорией для случая, когда размерность равна
Р + Я + 2, а сигнатура равна р — q. В качестве твисторов
этого гиперпространства могут быть взяты спиноры группы
SO(+ll)
(pq+)
Другой (но по существу эквивалентный) путь состоит в том,
чтобы написать я-мерное обобщение твисторного уравнения
F.1.1):
Y(auiS'Vu)«>«=-J-£auYc/'Vc«>« (n четное), (Б.94а)
с<й<> (п нечетное) (Б.946)
(т. е. Via<u\b) = n^g^^y0 во втором случае), общие решения
которого в гиперпространстве Минковского имеют вид
©* = Q« + xayaS?ns' (n четное), (Б.95а)
шр = йр + *aYaopn0 (я нечетное), (Б.956)
где Я и П — константы. Уравнение (Б.946) было введено Вессом
и Зумино [367] в контексте теории суперсимметрии. Здесь п = 4,
но уравнение (Б.946) эквивалентно двум копиям уравнения
(Б.94а), штрихованной и нештрихованной, которые переходят
друг в друга при комплексном сопряжении, если &р — «майора-
новский» спинор, а именно ©*' = <»*.
Эти соображения иногда оказываются полезными при реше-
решении дифференциальных уравнений методом, аналогичным изло-
изложенному в гл. 6, § 10, который приводит к выражениям, содер-
содержащим контурные интегралы. Элегантный пример подобной про-
процедуры был предложен Хьюстоном. Пусть/(Za, Wa) — функция
двух твисторов Za, Wa, которая голоморфна в некоторой об-
области и имеет общую степень однородности — 4 (она не обяза-
обязательно однородна по Za и Wa в отдельности). Твистор Хац
считается кососимметричным, а его значения рассматриваются

546 ПРИЛОЖЕНИЕ
как координаты точек в шестимерном пространстве, метрика
которого дается выражением
eaW dXap dXy&. (Б.96)
Тогда контурный интеграл
ф (Хор') = § f (Za, X«pZp) ea{JYaZ° JZP Л dZY Л dZ& (Б.97)
удовлетворяет (комплексному) уравнению Лапласа, или вол-
волновому уравнению,
™хуй=°- <Б-98>
Этот результат связан с упомянутым выше соотношением между
твисторами и спинорами группы 50(8, С). (Другие примеры
аналогичных выражений приводились недавно Уордом и Атья;
см. также работу [212], в которой такая процедура обсуждается
в весьма общем виде. Были предложены и другие обобщения
теории твисторов [34, 80].)

Послесловие авторов
Мы очень рады, что редакторам и переводчикам Д. В. Галь-
цову, В. И. Хлебникову, Е. М. Серебряному и 3. А. Штейнграду
удалось осуществить превосходное издание на русском языке
нашей двухтомной работы «Спиноры и пространство-время».
Несколько слов о дальнейшем развитии теории за время, про-
прошедшее с момента опубликования английского издания книги.
Продвижение было сделано в основном в теории твисторов. Так,
Ходже (А. Р. Hodges) добился значительных успехоз в разра-
разработке диаграммной техники твисторной теории (см. примечание
на с. 182), и ему удалось связать ее со стандартной теорией
электрослабых взаимодействий Глэшоу, Салама, Уорда и Вайн-
берга. Шоу (W. Т. Shaw) и Хьюстон (L. P. Hughston) пока-
показали, как решаются классические уравнения для релятивистской
струны в пространствах с размерностью четыре и более с по-
помощью теории твисторов и ее многомерных обобщений. Что
касается введенного в гл. 9, § 9 квазилокального определения
массы — импульса — момента импульса, то Джеффрис
(В. P. Jeffryes) продемонстрировал, что это определение кор-
корректно включает ньютоновскую потенциальную энергию в нью-
ньютоновском пределе общей теории относительности. Дальнейшие
исследования точных моделей, проводившиеся в основном То-
дом (К. P. Tod), по-видимому, подтвердили физическую аде-
адекватность нашего определения, хотя в нем остаются существен-
существенные неоднозначности. Работы Тода, Келли (R. M. Kelly) и Вуд-
хауса (N. M. J. Woodhouse) по теории малых сферических и
эллипсоидальных двумерных поверхностей подтвердили пра-
правильность выбора множителя ц, предложенного на с. 482 (так
что модификация, предложенная в первом примечании на
с. 475, оказывается ненужной)- Келли и Шоу получили также
интересные результаты, касающиеся асимптотически больших
двумерных поверхностей. Отметим еще, что последние работы
18*

548 ПОСЛЕСЛОВИЕ АВТОРОВ
Фридриха (Н. Friedrich) [а также Хэбисон (С. Habisohn)] ука-
указали на допустимость предположения о гладкости гиперповерх-
гиперповерхности Sf, которое требуется в гл. 9, § б и в последующих раз-
разделах.
Р. Пенроуз
В. Риндлер

Литература
1. Abbott L. F., Deser S. Stability of gravity with a cosmological constant,
Nucl. Phys., B195, 76 A982).
2. Adams I. F. Spin (8), triality, F4 and all that, in: Superspace and Super-
gravity, eds. S. W. Hawking, M. Rocek, Cambridge University Press,
Cambridge, 1981.
3. Arnol'd V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer,
New York, 1978. [См. также: Арнольд В. И. Математические методы
классической механики. — М.: Наука, 1974.]
4. Arnowitt R-, Deser S., Misner C. W. Coordinate invariance and energy
expressions in general relativity, Phys. Rev., 122, 997 A961).
5. Aronson В., Lind R., Messmer I., Newman E. T. A note on asympto-
asymptotically flat spaces, J. Math. Phys., 12, 2462 A971).
6. Ashtekar A. Asymptotical structure of the gravitational field at spatial
infinity, in: General Relativity and Gravitation, One Hundred Years after
the Birth of Albert Einstein, ed. A. Held, Plenum, New York, 1980.
7. Ashtekar A., Hansen R. O. A unified treatment of null and spatial infi-
infinity in general relativity. I. Universal structure, asymptotic symmetries,
and conserved quantities at spatial infinity, J. Math. Phys., 19, 1542
A978).
8. Ashtekar A., Magnon A. Asymptotically anti-de Sitter spacetimes, Class.
Quant. Grav. 1, L39 A984).
9. Ashtekar A., Magnon-Ashtekar A. Energy-momentum in general relativity,
Phys. Rev. Lett., 43, 181 A979).
10. Ashtekar A., Streubel M. Symplectic geometry of radiative mode and
conserved quantities at null infinity, Proc. Roy. Soc. (London), A376, 585
A981).
11. Atiyah M. F. Geometry of Yang-Mills Fields, Lezioni Fermiane, Scuola
Normale Superiore, Pisa, 1979.
12. Atiyah M. F., Hitchin N. I., Drinfeld V. G., Manin Yu. I. Construction of
Instantons, Phys. Lett., 65A, 185 A978).
13. Atiyah M. F., Hitchin N. I., Singer Т. М. Self-duality in four-dimensional
Riemannian geometry, Proc. Roy. Soc. (London), A362, 425 A978).
14. Atiyah M. F., Patodi V. K., Singer I. M. Spectral asymmetry and Rieman-
Riemannian geometry I, Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 77, 43; II, 78, 405; III,
79, 71 A975).
15. Atiyah M. F., Ward R. S. Instantons and algebraic geometry, Comm.
Math. Phys., 55, 111 A977).
16. Bach R. Zur Weylschen Relativitatstheorie, Math. Z., 9, 110 A921).
17. Bailey T. N. Twistors and fields with sources on worldlines, Proc. Roy.
Soc. (London), A397, 143 A985).
18. Bailey T. N., Ehreinpreis L., Wells R. O., Jr. Weak solutions of the mass-
less field equations, Proc. Roy. Soc. (London), A384, 403 A982).
19. Bardeen J. M., Press W. H. Radiation fields in the Schwarzschild back-
background, J, Math. Phys., 14, 7 A973),

550 ЛИТЕРАТУРА
20. Bateman H. The solution of partial differential equations by means of
definite integrals, Proc. Lond. Math. Soc, B) 1, 451 A904).
21 Bateman H. The transformation of the electrodynamical equations, Proc.
Lond. Math. Soc, B), 8, 223 A910).
22. Bateman H. Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Dover,
New York, 1944.
23. Bel L. Introduction d'un tenseur du quartieme ordre, Comptes Rend.,
248, 1297 A959).
24. Bdcher M. The infinite regions of various geometries, Bull. Amer. Math,
Soc, 20, 185 A914).
25. Bondi H, Cosmology, Cambridge University Press, Cambridge, 1960.
26. Bondi H. Gravitational waves in general relativity, Nature (London), 186,
535 A960).
27. Bondi H., van der Burg M. G. I., Metzner A. W. K. Gravitational waves
in general relativity. VII. Waves from axi-symmetric isolated systems.
Proc. Roy. Soc. (London), A269, 21 A962).
28. Bonnor W В., Rotenberg M. A. Gravitational waves from isolated sources,
Proc. Roy. Soc. (London), A289, 247 A966).
29. Boyer C. P., Finley I. D., III., Plebanski I. F. Complex general relativity,
ф and фф spaces — a survey of one approach, in: General Relativity and
Gravitation, One Hundred Years after the Birth of Albert Einsten,
ed. A Held, Plenum Press, New York, 1980.
30. Bramson B. D. The alinement of frames of reference at null infinity for
asymptotically flat Einstein — Maxwell manifolds, Proc. Roy Soc. (Lon-
(London), A341, 451 A975).
3!. Bramson B. D. Relativistic angular momentum for asymptotically flat
Einstein — Maxwell manifolds, Proc. Roy. Soc (London), A341, 463
A975).
32. Bramson B. D. The invariance of spin, Proc. Roy. Soc. (London), A364,
383 A978).
33. Brauer R., Weyl H. Spinors in n dimensions, Amer. J. Math.. 57, 425
A935).
34. Bryant R. L. Lie groups and twistor spaces. Duke Math. J., 52, 223
A985).
35. Buchdahl N. P. Applications of Several Complex Variables to Twistor
Theory, Oxford University D. Phil, thesis.
36. Buchdahl N. P. On the relative de Rham sequence, Proc. Amer. Math.
Soc, 87, 363 A983).
37. Buchdahl N. P. Analysis on analytic spaces and non-self-dual Yang-Mills
fields, Trans. Amer. Math. Soc, 288, 431 A985).
38. Callan C. G., Coleman S., lackiw R. A new improved energy-momentum
tensor, Ann. Phys., 59, 42 A970).
39. Cantoni V. Reduction of some representations of the generalized Bondi —
Metzner group, J. Math. Phys., 8, 1700 A967).
40. Cartan Ё. Groupes reels simplees, finis et continue, Ann. Sci. Ec. Norm.
Sup., 31, 263 A914).
41. Cartan Ё. Sur les equations de la graviation d'Einstein, J. Math. Pures et
Appl., 1, 141 A922).
42. Cartan Ё. Sur les espaces conformes generalises et l'univers optique.
Comptes Rend., 174, 734 A922).
43. Cartan Ё. Les espaces a connexion conforme, Ann. Soc. Po. Math., 2,
171 A923).
44. Cartan Ё. Sur la geometrie pseudo-conforme des hypersurfaces de l'espace
de deux variables complexes, Annali Mat., 11, 17 A932).
45. Cartan Ё. The theory of Spinors, Hermann, Paris, 1966. [Имеется пере-
перевод одного из предыдущих изданий: Картам. Э. Теория спиноров. — М.:
ИЛ, 1947.]

ЛИТЕРАТУРА 551
46. Carter В. Hamilton — Jacobi and Schrodinger separable solutions of Ein-
Einstein's equations, Comm. Math. Phys., 10, 280 A968).
47. Carter B, Global structure of the Kerr family of gravitational fields, Phys.
Rev., 174, 1559 A968).
48. Carter B. The commutation property of a stationary, axisymmetric system,
Comm. Math. Phys., 17, 233 A970).
49. Carter В., McLenaghan R. G. Generalized total angular momentum opera-
operator for the Dirac equation in curved space-time, Phys. Rev. D19, 1093
A979).
50. Cayley A. On a new analytic representation of curves in space, Quart.
J. Pure and Appl. Math., 3, 225 A860).
51. Cayley A. On the six co-ordinates of a line, Trans. Camb. Phil. Soc,
11B), 290 A869).
52. Chandrasekhar S. An introduction to the theory of the Kerr metric and
its pertrubations, in: General Relativity: An Einstein Centenary Survey,
eds. S. W. Hawking, W. Israel, Cambridge University Press, Cambridge, 1979.
53. Chandrasekhar S. The Mathematical Theory of Black Holes, Oxford Uni-
ersity Press, Oxford, 1983. [Имеется перевод: Чандрасекар С. Математи-
Математическая теория черных дыр. — М.: Мир, 1986.]
54. Chern S. S. Complex Manifolds Without Potential Theory, Springer Verlag,
New York, 1979.
55. Chevalley C. The Algebraic Theory of Spinors, Columbia University Press,
New York, 1954."
56. Churchill R. V. Canonical forms for symmetric linear vector functions in
pseudo-euclidean space. Trans Amer. Math. Soc, 34, 784 A932).
57. Clifford W. K. A preliminary sketch of biquaternions, Mathematical Pa-
Papers, London, 1882, p. 181.
58. Connors P. A., Stark R. F. Observable gravitational effects on polarized
radiation coming from near a black hole, Nature, 269, 128 A977).
59. Cox D., Flaherty E. I., Jr. A conventional proof of Kerr's theorem, Comm.
Math Phys., 47, 75 A976).
60. Coxeter H. S. M. The representation of conformal space on a quadric,
Ann. Math., 37, 416 A936).
61. Crampin M. J., Pirani F. A. E. Twistors, symplectic structures and Lag-
range's identity, in: Relativity and Gravitation, eds. Ch. G. Kuper,
A. Peres, Gordon and Breach, London, 1971.
62. Curtis G. E. Twistors and linearized Einstein theory on plane-fronted im-
impulsive wave backgrounds, Gen. Rel. Grav., 9, 987 A978).
63. Curtis G. E. Twistors and multipole moments, Proc. Roy. Soc. (London),
A359, 133 A978).
64. Curtis W. D., Lerner D. E., Miller F. R. Complex pp waves and the non-
nonlinear graviton construction, J. Math. Phys., 19, 2024 A978).
65. Curtis W. D., Lerner D. E., Miller F. R. Some remarks on the non-linear
graviton, Gen. Rel. Grav., 10, 557 A979).
66. Dietz W., Rudiger R. Space-times admitting Killing — Yano tensors I,
Proc. Roy. Soc. (London), A375, 361 A980).
67. Dietz W., Rudiger R. Space-times admitting Killing — Yano tensors II,
Proc. Roy. Soc. (London), A381, 315 A981).
68. Dighton K. The Theory of Local Twistors and its Applications, Ph. D. the-
thesis, Birkbeck College, University of London, 1972.
69. Dighton K. An introduction to the theory of local twistors, Int. J. Theor.
Phys., 11, 31 A974).
70. Dirac P. A, M. The quantum theory of electron, Proc. Roy. Soc. (London),
A117, 610 A928).
71. Dirac P. A. M. Quantized singularities in the electromagnetic field, Proc.
Roy Soc. (London) A133, 60 A931).
72. Dirac P. A. M. Relativistic wave equations, Proc. Roy. Soc. (London),
A155, 447 A936).

552 ЛИТЕРАТУРА
73. Dirac Р. А. М. Wave equations in conformal space, Ann. of Math., 37,
429 A936).
74. Dodson C. T. J., Poston T. Tensor Geometry, Pitman, London, 1977.
75. Doebner H. D., Palev T. D. (eds.) Twistor Geometry and Non-Linear
Systems, Proc. Primorsko 1980, Lecture Notes in Mathematics No. 970,
Springer-Verlag, Berlin, 1982
76. Dray T. The relationship between monopole harmonics and spin-weighted
spherical harmonics, J. Math. Phys., 26, 1030 A985).
77. Dray T. Streubel M. Angular momentum at null infinity, Class. Quant.
Grav., 1, 15 A984).
78. du Plessis J. С Polynomial conformal tensors, Proc. Camb. Phil. Soc, 68,
329 A970).
79. Eastwood M. G. A duality for homogeneous bundles on twistor space, J.
Lond. Math. Soc, 31, 349 A985).
80. Eastwood M. G. Supersymmetry, twistors and the Yang-Mills equations,
Trans. Amer. Math. Soc. [В печати.] A985).
81. Eastwood M. G., Ginsberg M. L. Duality in twistor theory, Duke Math. J.,
48, 177 A981).
82. Eastwood M. G., Penrose R., Wells R. O., Jr. Cohomology and massless
fields, Comm. Math. Phys., 78, 305 A981).
83. Eastwood M. G., Singer M. A conformally invariant Maxwell gauge, Phys.
Lett. [В печати.] A985).
84. Eddington A. S. The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge Uni-
University Press, Cambridge, 1924. [Имеется перевод: Эддингтон А. С.
Теория относительности. — Л. — М.: Гостехиздат, 1934.]
85. Einstein A. Ober Gravitationswellen, Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss., 1918
S. 154. [Имеется перевод: Эйнштейн А. О гравитационных волнах.—
В кн.: Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 1. — М.: Наука, 1966,
с. 631.]
86. Exton A. R., Newman E. Т., Penrose R. Conserved quantities in the
Einstein-Maxwell theory, J. Math. Phys., 10, 1566 A969).
87. Farrar G., Neri F. How to calculate 35,640 О (a5) Feynman diagrams in
less than an hour, Phys. Lett., 130B, 109 A983).
88. Fefferman C. Monge-Ampere equations, The Bergman kernel and geometry
of pseudo-convex domains, Ann. of Math., 103, 395 A976).
89. Feild M. Several Complex Variables and Complex Manifolds, Lond. Math.
Soc. Lecture Notes No. 65, Vol. 1, Cambridge University Press, Cambridge,
1982, p. 140.
90. Fierz M. Zur Theorie magnetisch geladener Teilchen, Helv. Phys. Acta,
17, 27 A944).
91. Flaherty E I., Jr. Hermitian and Kahlerian Geometry in Relativity, Lec-
Lecture Notes in Physics No. 46, Springer-Verlag, Berlin, 1976.
92. Flaherty E. J., Jr. Complex variables in relativity, in: General Relativity
and Gravitation, One Hundred Years after the Birth of Albert Einstein,
ed. A. Held, Plenum, New York, 1980.
93. Flaherty F.J. (ed.) Asymptotic Behavior of Mass and Spacetime Geo-
Geometry, Proc. Corvalis, Oregon 1983, Springer-Verlag, Berlin, 1984.
94. Floyd R. The Dynamics of Kerr Fields, Ph. D. thesis, University of Lon-
London, 1973.
95. Folland G. В., Kohn J. J. The Neumann Problem for the Cauchy — Rie-
mann Complex, Annals of Math. Studies No. 75, Princeton University
Press, Princeton, 1972.
96. Friedrich H. On the regular and the asymptotic characteristic initial value
problem for Einstein's vacuum field equations, Proc. Roy. Soc. (London),
A375, 169 A981).
97. Friedrich H. The analytic characteristic initial value problem for Einstein's
vacuum field equations as an initial value problem for a first-order quasi-

ЛИТЕРАТУРА 553
linear symmetric hyperbolic system, Proc. Roy. Soc (London), A378, 401
A981).
98. Frolov V. P. The Newman-Penrose method in the theory of general rela-
relativity, in: Problems in the General Theory of Relativity and Theory of
Group Representations, ed. N. G. Basov, Plenum, New York, 1979. [См.
также: Проблемы общей теории относительности.— Труды ФИАН СССР.
Т. 96.-М.: Наука, 1977.]
99. Girding L. Relativistic wave equations for zero rest-mass, Proc Camb.
Phil. Soc, 41, 49 A945).
100. Geroch R. P. Space-time structure from a global view point, in: General
Relativity and Cosmology, Proc. of Int. Sch. in Phys. «Enrico Fermi»,
Course XLVII, ed. R. K. Sachs, Academic Press, New York, 1971, p. 71.
101. Geroch R. P. Asymptotic structure od space-time, in: Asymptotic Structure
of Space-Time, eds. F. P. Esposito, L. Witten, Plenum, New York, 1977.
102. Geroch R. P., Held A., Penrose R. A space-time calculus based on pairs
of null directions, J. Math. Phys., 14, 874 A973).
103. Geroch R. P., Horowitz G. T. Asymptotically simple does not imply
asymptotically Minkowskian, Phys. Rev. Lett., 40, 203 A978).
104. Geroch R. P., Krohheimer E. #., Penrose R. Ideal points of space-times,
Proc. Roy. Soc. (London), A327, 545 A972).
105. Geroch R. P., Winicour I. Linkages in general relativity, J. Math. Phys.,
22, 803 A981).
106. Gibbons G. W., Hawking S. W. Classification of gravitational instanson
symmetries, Comm. Math. Phys., 66, 291 A979).
107. Gilkey P. B. The Index Theorem and the Heat Equation, Publish or Perish,
Inc., Boston, Mass., 1974.
108. Gindikin S. G. Integral geometry and twistors, in: Twistor Geometry and
Non-Linear Systems, eds. H. D. Doebner, T. D. Palev, Springer-Verlag,
Berlin, 1982, p. 2.
109. Gindikin S. G. The complex universe of Roger Penrose, Math. Intelli-
Intelligencer, 5, No. 1, 27 A983).
110. Ginsberg M. L. Scattering theory and the geometry of multi-twistor spaces,
Trans. Amer. Math. Soc, 276, 789 A983).
111. Godement R. Theorie des Faisceaux, Hermann, Paris, 1964.
112. Goldberg J. N.. Macfarlane A. J:, Newman E. Т., Rohrlich F., Sudar-
shan E, C. G. Spin-s spherical harmonics and д. J. Math. Phys., 8, 2155
A967).
113. Goldberg J. N., Sachs R. K. A theorem on Petrov types, Acta Phys. Po-
lon., Suppl., 22, 13 A962).
114. Grace I. H., Young A. The Algebra of Invariants, Cambridge University
Press, Cambridge, 1903.
115. Grgin E. A global technique for the study of spinor fields, Ph. D. thesis,
Syracuse University, Syracuse, New York, 1966.
116. Griffiths P., Harris J. Principles of Algebraic Geometry, John Wiley,
New York, 1978. [Имеется перевод: Гриффите Ф., Харрис Дж. Принци-
Принципы алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1982.]
117. Grothendieck A., Dieudonne I. Elements de Geometrie Algebrique, Publ.
Math. IHES, Paris, 1961, Ch. 3, § 1.1.
118. Gunning R. C. Lectures on Vector Bundles over Riemann Surfaces, Ma-
Mathematical Notes No. 6, Princeton University Press, Princeton, 1967.
119. Gunning R. C, Rossi H. Analytic Functions of Several Complex Variables,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1965. [Имеется перевод: Ганнинг Р.,
Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. — М.:
Мир, 1969.]
120. Hansen R. О., Ludvigsen M. A new ф-space formalism, Gen. Rel. Grav.,
8, 761 A977).
121. Hansen R. O., Newman E. T. A complex Minkoswki space approach to
twistors, Gen. Rel. Grav., 6, 361 A975).

554 ЛИТЕРАТУРА
122. Hansen R. О., Newman E. Т., Penrose R., Tod K. P. The metric and cur-
curvature properties of 5^-space, Proc. Roy. Soc. (London), A363, 445 A978).
l23.Hawking S. W. Gravitational radiation in an expandig universe, J. Math.
Phys., 9, 598 A968).
124. Hawking S. W. Gravitational instantons, Phys. Lett., 60A, 81 A977).
125. Hawking S. W., Ellis G. F. R. The Large Scale Structure of Space-Time,
Cambridge University Press, Cambridge, 1973. [Имеется перевод: Хо-
кинг С, Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-време-
пространства-времени. — М.:Мир, 1977.]
126. Hepner W. A. The inhomogeneous Lorentz group and the conformal group,
Nuovo Cim., 26, 351 A962).
127. Hermann D. Differential Geometry and the Calculus of Variations, Acade-
Academic Press, New York, 1968, p. 71.
128. Hicks N. I. Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton,
1965.
129. Higgins P. I. An Introduction to Topological Groups, Cambridge Univer-
University Press, Cambridge, 1974.
130. Hirzebruch F. New Topological Methods in Algebraic Geometry, Springer,
Berlin, 1962. [Имеется перевод: Хирцебрух Ф. Топологические методы
в алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973.]
131. Hitchin N, I. Polygons and gravitons, Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 85,
465 A979).
132. Hitchin N. I. Complex manifolds and Einstein's equations, in: Twistor
Geometry and Non-Linear Systems, eds. H. D. Doebner, T. D. Palev,
Springer-Verlag, Berlin, 1982, p. 73.
133. Hodge W. V. D., Pedoe D. Methods of Algebraic Geometry, Vol. 2,
Cambridge University Press, Cambridge, 1952. [Имеется перевод:
Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М.: ИЛ, 1954.]
134. Hodges A, P. Twistor diagrams, Physica, 114A, 157 A982).
135. Hodges A. P. A twistor approach to the regularization of divergences,
Proc. Roy. Soc. (London), A397, 341 A985).
136. Hodges A. P. Mass eigenstates in twistor theory, Proc. Roy. Soc. (Lon-
(London), A397, 375 A985).
137. Hodges A, P., Huggett S. Twistor diagrams, Surveys in High Energy
Physics, 1, 333 A980).
138. Hopf H. Ober die Abbildungen von Spharen auf Spharen neidrigerer Di-
Dimension, Fund. Math., 25, 427 A935).
139. Hormander L. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables,
Van Nostrand-Reinhold, New York, 1966.
140. Horowitz G. Т., Perry M. J. Gravitational energy cannot become negative,
Phys. Rev. Lett, 48, 371 A982).
141. Huggett S., Tod K. P. Introduction to Twistor Theory, London Math. Soc.
Lecture Notes Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
142. Hughston L. P. Twistors and Particles, Lecture Notes in Physics No. 97,
Springer-Verlag, Berlin, 1979.
143. Hughston L. P. The twistor particle programme, Surveys in High Energy
Physics, 1, 313 A980).
144. Hughston L. P. Applications of SO (8) spinors, in: Gravitation and Geo-
Geometry, I. Robinson Festschrift volume, eds. W. Rindler, A. Trautman, Bib-
liopolis, Naples, 1986.
145. Hughston L. P., Hurd T. R. A cohomological description of massive fields,
Proc. Roy. Soc. (London), A378, 141 A981).
146. Hughston L. P., Hurd T. R. А СРЪ calculus for space-time fields, Phys.
Rep., 100, 273 A983).
147. Hughston L. P., Penrose R., Sommers P., Walker M. On a quadratic
first integral for the charged particle orbits in the charged Kerr solution,
Comm. Math. Phys., 27, 303 A972).

ЛИТЕРАТУРА 555
148. Hughston L. P., Sommers P, Spacetimes with Killing tensors, Comm.
Math. Phys., 32, 147 A973).
149. Hughston L. P., Ward R, S. (eds.) Advances in Twistor Theory, Research
Notes in Mathematics No. 37, Pitman, San Francisco, 1979.
150. Hurd T. R. The projective geometry of simple cosmological models, Proc.
Roy Soc. (London), A397, 233 A985).
151. Isenberg J., Yasskin P. В., Green P. S. Non-self-dual gauge fields, Phys.
Lett., 78B, 462 A978).
152. Jacobowitz #., Treves F. Non-realizable CR structures, Invent. Math., 66,
231 A982).
153. lanis A. /., Newman E. T. Structure of gravitational sources, J. Math.
Phys., 6, 902 A965).
154. Jeff ryes B. P. Space-times with two-index Killing spinors, Proc. Roy. Soc.
(London), A392, 323 A984).
155. Jeff ryes B. P. Two-surface twistors and conformal embedding, in: Asymp-
Asymptotic Behavior of Mass and Spacetime Geometry, Proc. Corvalis (Oregon
1983), ed F. J. Flaherty, Springer-Verlag, Berlin, 1984.
156. Jordan P., Ehlers J., Sachs R. K. Beitrage sur Theorie der reinen Gravi-
tationsstrahlung, Akad. Wiss. Lit. Mainz, Abhandl. Math. Nat. Kl. 1960
no. 1, 1961.
157. Kerr R. P. Gravitational field of a spinning mass as an example of alge-
algebraically special metrics, Phys. Rev. Lett., 11, 237 A963).
158. Kerr R. P., Schild A. Some algebraically degenerate solutions of Einstein's
gravitational field equations, Proc. Symp. Appl. Math., 17, 199 A965).
159. Kerr R. P., Schild A. A new class of vacuum solutions of the Einstein
field equations, in: Atti del convegno sulla relativita generale, Firenze,
1967, p. 222.
160. Klein F. Zur Theorie der Liniercomplexe des ersten und zweiten Grades,
Math. Ann., 2, 198 A870).
161. Klein F. Autographierte Vorlesungen flber nicht-euklidische Geometrie,
Vol. II, Gottingen, 1892, S. 245.
162. Klein F. Vorlesungen flber hohere Geometrie, Springer-Verlag, Berlin,
1926, S. 80, 262.
163. Ко M., Ludvigsen M., Newman E. Т., Tod K. P. The theory of 5^-space,
Phys. Repts., 71, 51 A981).
164. Ко M., Newman E. Т., Penrose R. The Kahler structure of asymptotic
twistor space, J. Math. Phys., 18, 58 A977).
165. Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1
and 2, Interscience, London, 1963. [Имеется перевод: Кобаяси Ш., Но-
мидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981.]
166. Котаг А. В. Covariant conservation laws in general relativity, Phys.
Rev., 113, 934 A959).
167. Komar A. B. Generators of coordinate transformations in the Penrose
formalism of general relativity, Phys. Rev., 127, 955 A962).
168. Komar A. B. Commutators on characteristic surfaces, Phys. Rev. B), 134,
В1430 A964).
169. Kozameh С N., Newman E. Т., Porter I, R. Maxwell's equations, linear
gravity and twistors, 1985. [В печати.]
170. Kozameh C. N-, Newman E, Т., Tod K. P. Conformal Einstein spaces, Gen.
Rel. Grav., 17, 343 A985).
171. Kozarzewski B. Asymptotic properties of the electromagnetic and gravi-
gravitational fields, Acta. Phys. Polon., 27, 775 A965).
172. Kramer D., Stephani H., MacCallum M., Herlt E, Exact Solutions of
Einstein's Field Equations, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,
Berlin and Cambridge University Press, Cambridge, 1980. [Имеется пе-
перевод: Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М, Точные ре-
решения уравнений Эйнштейна. — М.: Энергоиздат, 1982.]

55G литература
173. Kristian I. Sachs R. K. Observations in cosmology, Astrophys. J., 143,
379 A966).
174. Kuiper N. H. On conformally-flat spaces in the large, Ann. Math., 50, 916
A949).
175. Kundt W., Thompson A. Le tenseur de Weyl et une congruence associee
de geodesiques isotropes sans distorsion, Comptes Rend., 254, 4257 A962).
176. Lang S. Differentiable Manifolds, Addison Wesley, Reading, Mass., 1972.
177. Law P. Twistor theory and the Einstein's equations, Proc. Roy. Soc. (Lon-
(London). [В печати.] A985).
178. Lawson H. В., Jr., Michelsohn M. L. Spin Geometry, 1986. [В печати.]
179. LeBrun С R. 5^-space with a cosmological constant, Proc. Roy. Soc. (Lon-
(London), A380, 171 A982).
180. LeBrun C. R. Spaces of complex null geodesies in complex Riemannian
geometry, Trans. Amer. Math. Soc, 278, 209 A983).
181. LeBrun C. R. Twistor Ci?-manifolds and three-dimensional conformal geo-
geometry, Trans. Amer. Math. Soc, 284, 601 A984).
182. LeBrun С R. Ambitwistors and Einstein's equations, Class, and Quantum
Grav. [В печати.] A985).
183. Lerner D. E. Twistors and induced representations of SUB, 2), J. Math.
Phys., 18, 1812 A977).
184. Lerner D. E., Clarke C. I. S. Some global properties of massless free
fields, Comm. Math. Phys., 55, 179 A977).
185. Lerner D. E., Sommers P. D. (eds.) Complex Manifold Techniques in
Theoretical Physics, Research Notes in Mathematics No. 32, Pitman, San
Francisco, 1979.
186. Lewy H. On the local character of a solution of an optical linear diffe-
differential equation in three variables and a related theorem for regular func-
functions of two complex varaibles, Ann. of Math. B), 64, 514 A956).
187. Lewy H. An example of a smooth linear partial differential equation
without solution, Ann. of Math. B), 66, 155 A957).
188. Lichnerowicz A. Sur les ondes et radiations gravitationelles, Comptes
Rend., 246, 893 A958).
189. Lie S. Cber Complexe, unbesondere Linien- und Kugelcomplexe mit An-
wendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen, Math. Ann.,
5, 145 A872).
190. Lie S., Scheffers G. Geometrie der Beruhrungstransformationen I, Leip-
Leipzig, 1896.
191. Lmd R. W., Messmer I., Newman E. T. Equations of motion for the
sources of asymptotically flat spaces, J. Math. Phys., 13, 1884 A972).
192. Lind R. W., Newman E. T. Complexification of the algebraically special
gravitational fields, J. Math. Phys., 15, 1103 A974).
193. Ludvigsen M., Vickers J. A. G. The positivity of the Bondi mass, J. Phys.,
A14, L389 A981).
194. Ludvigsen M., Vickers J. A. G. A simple proof of the positivity of the
Bondi mass, J. Phys., A15, L67 A982).
195. Ludwig G., Classification of electromagnetic and gravitational fields,
Amer. J. Phys., 37, 1225 A969).
196. Ludwig G. On asymptotically flat space-times, Gen. Rel. Grav., 7, 293
A976).
197. Ludwig G. On asymptotic flatness, Gen. Rel. Grav., 13, 291 A981).
198. Ludwig G., Scanlan G. Classification of the Ricci tensor, Comm. Math.
Phys., 20, 291 A971).
199. Lugo G. Structure of asymptotic twistor space, J. Math. Phys., 23 B),
276 A982).
200. McCarthy P. I. The Bondi-Metzner-Sachs group in the nuclear topology,
Proc. Roy. Soc. (London), A343, 489 A976).

ЛИТЕРАТУРА 557
201. McLennan S. A., Jr., Conformal invariance and conservation laws for
relativistic wave equations for zero rest mass, Nuovo Cim., 3, 1360
A956). .
202. Manin Yu. I. Gauge field and cohomology of analytic sheaves, in: Twistor
Geometry and Non-Linear Systems, eds. H. D. Doebner, T. D. Palev,
Springer-Verlag, Berlin, 1982. p. 43.
203. Mariot L. Le champ electromagnetique singulier, Comptes Rend., 238, 2055
A954).
204. Maunder С R. F. Algebraic Topology, Cambridge University Press, 1980.
205. Merkulov S. A. A conformally invariant theory of gravitation and electro-
magnetism, Class. Quantum Grav., 1, 349 A984).
206. Milnor I. Spin structure on manifolds, Enseign. Math., 9, 198 A963).
207. Misner С W., Thome K., Wheeler I. A. Gravitation, Freeman, San Fran-
Francisco, 1973. [Имеется перевод: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравита-
Гравитация. — М.: Мир, 1977.]
208. Morrow I., Kodaira К. Complex Manifolds, Holt, Rinehart and Winston,
New York, 1971.
209. Murai Y. On the group of transformations in six-dimensional space, Prog.
Theor. Phys., 9, 147 A953).
210. Murai Y. On the group of transformations in six-dimensional space, II —
conformal group in physics, Prog. Theor. Phys., 11, 441 A954).
211. Murai Y. New wave equations for elementary particles, Nucl. Phys., 6, 489
A958).
212. Murray M. K. A twistor correspondence for homogeneous polynomial dif-
differential operators, Research Report No. 47; Reprint, Mathematical Sci-
Sciences Research Centre, Australian National University, Canberra, 1984.
213. N ester I. M. A new gravitational energy expression with a simple posi-
tivity proof, Phys. Lett, 83A, 241 A981).
214. Newlander A., Nirenberg L. Complex analytic coordinates in almost com-
complex manifolds, Ann. of Math. B), 65, 391 A957).
215. Newman E. T. Complex space-time and some curious consequences, in:
Quantum Theory and the Structures of Time and Space, eds. L. Castell,
M. Drieschner, C. F. von Weizsacker, Carl Hanser Verlag, Munchen,
1975.
216. Newman E. T. Heaven and its properties, Gen. Rel. Grav., 7, 107 A976).
217. Newman E. Т., Penrose R. An approach to gravitational radiation by a
method of spin coefficients, J. Math. Phys., 3, 896 A962); Errata: 4, 998
A963).
218. Newman E. Т., Penrose R. 10 exact gravitationally-conserved quantities,
Phys. Rev. Lett, 15, 231 A965).
219. Newman E. Т., Penrose R. A note on the Bondi — Metzner—Sachs group,
J. Math. Phys., 7, 863 A966).
220. Newman E. Т., Penrose R. New conservation laws for zero restmass fields
in asymptotically flat space-time, Proc. Roy. Soc. (London), A305, 175
A968).
221. Newman E. Т., Porter J. R., Tod K. P. Twistor surfaces and right-flat
spaces, Gen. Rel. Grav., 9, 1129 A978).
222. Newman E. Т., Tamburino L., Unti T. Empty-space generalization of the
Schwarzschild metric, J. Math. Phys., 4, 915 A963У.
223. Newman E. Т., Tod K. P. Asymptotically flat space-times, in: General
Relativity and gravitation, One Hundred Years after the Birth of Albert
Einstein, ed. A. Held, Plenum, New Uork, 1980.
224. Newman E. Т., Unti T. W. J. Behavior of asymptotically flat empty space,
J. Math. Phys., 3, 891 A962).
225. Newman E. Т., Winicour I. A curiosity concerning angular momentum,
J. Math. Phys., 15, 1113 A974).
226. Nirenberg L. Lectures on Linear Partial Differential Equations, CBMS
Regional Conf. Ser. in Math. No. 17, Amer. Math. Soc, 1973.

558 ЛИТЕРАТУРА
227. Nirenberg L. On a question of Hans Lewy, Russian Math. Surveys, 29,
251 A974).
228. Palais R. S. Seminar on the Atiyah-Singer index theorem. Ann. of Math.
Study No. 57, Princeton University Press, Princeton, 1965. [Имеется пере-
перевод: Пале Р. С. Семинар по теореме Атьи — Зингера об индексе. — М.:
Мир, 1970.]
229. Parker Т., Taubes С. Н. On Witten's proof of the positive energy theorem,
Comm. Math. Phys., 84, 223 A982).
230. Payne W. T. Elementary spinor theory, Amer. J. Phys., 20, 253 A952).
231. Penrose R. The apparent shape of a relativistically moving sphere, Proc.
Camb. Phil. Soc., 55, 137 A959).
232. Penrose R. A spinor approach to general relativity, Ann. Phys., 10, 171
A960).
233. Penrose R. General relativity in spinor form, in: Les Theories Relativistes
de la Gravitation, eds. A. Lichnerowicz, M. A. Tonnelat, CNRS, Paris,
1962, p. 429.
234. Penrose R. Asymptotic properties of fields and space-times, Phys. Rev.
Lett, 10, 66 A963).
235. Penrose R. The light cone at infinity, in: Conference Internationale sur
les Theories Relativistes de la Gravitation, ed. L. Infeld, Gauthier-Villars,
Paris and PWN, Warsaw, 1964.
236. Penrose R. Conformal approach to infinity, in: Relativity, Groups and
Topology: the 1963 Les Houches Lectures, eds. B. S. DeWitt. С. М. De
Witt, Gordon and Breach, New York, 1964.
237. Penrose R. Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic be-
behaviour, Proc. Roy. Soc. (London), A284, 159 A965).
238. Penrose R. General-relativistic energy flux and elementary optics, in:
Perspectives in Geometry and Relativity, ed. B. Hoffmann, Indiana Uni-
University Press, Bloomington, 1966, p. 259.
239. Penrose R. Twistor algebra. J. Math. Phys., 8, 345 A967).
240. Penrose R. Conserved quantities and conformal structure in general rela-
relativity, in: Relativity Theory and Astrophysics, Lectures in Applied Mathe-
Mathematics, Vol. 8, ed. J. Ehlers, American Mathematical Society, Providence,
1967.
241. Penrose R. Twistor quantization and curved space-time, Int. J. Theor.
Phys., 1, 61 A968).
242. Penrose R. Structure of space-time, in: Battelle Rencontres: 1967 Lectures
in Mathematics and Physics, eds. С M. DeWitt, J. A. Wheeler, Benjamin,
New York, 1968. [Имеется перевод: Пенроуз Р. Структура пространства-
времени. — М.: Мир, 1972.]
243. Penrose R. Solutions of zero rest-mass equations, J. Math. Phys., 10, 38
A969).
244. Penrose R. Spinor classification о energy tensors, Gravitatsya, A. Z. Pet-
rov Festschrift volume, Nauk. dumka, Kiev, 1971. [См.: Пенроуз Р.
Спинорная классификация тензора энергии. — В кн.: Гравитация. Про-
Проблемы и перспективы. Памяти А. 3. Петрова. — Киев, Наук, думка, 1972,
с. 203.]
245. Penrose R. Techniques of Differential Topology in Relativity, CBMS Re-
Regional Conf. Ser. in Appl. Math., No. 7, S.I.A.M., Philadelphia, 1972.
246. Penrose R. On the nature of quantum geometry, in: Magic without Magic:
J. A. Wheeler Festschrift, ed. J. R. Klauder, Freeman, San Francisco, 1972.
247. Penrose R. The geometry of impulsive gravitational waves, in: General
Relativity, Papers in Honour of J. L. Synge, ed. L. O'Raifeartaigh, Cla-
Clarendon Press, Oxford, 1972, p. 101.
248. Penrose R. Naked singularities, Ann. N. Y. Acad. Sci., 224, 125 A973).
249. Penrsoe R. Relativistic symmetry groups, in: Group Theory in Non-linear
Problems, ed. A. O. Barut, Reidel, Dordrecht, 1974.

ЛИТЕРАТУРА 559
250. Penrose R. Twistor theory: its aims and achievements, in: Quantum Gra-
Gravity, an Oxford Symposium, eds. C. J. Isham, R. Penrose, D. W. Sciama,
Oxford University Press, Oxfrod, 1975.
251. Penrose R. Twistors and particles: an outline, in: Quantum Theory and
the Structures of Time and Space, eds. L. Castell, M. Drieschner, С F. von
Weizsacker, Carl Hanser Verlag, Munich, 1975.
252. Penrose R. Non-linear gravitons and curved twistor theory, Gen. Rel.
Grav., 7, 31 A976); The non-linear graviton, ibid., 171.
253. Penrose R. Any space-time has a plane wave as a limit, in: Differential
Geometry and Relativity, eds. M. Cahen and M. Flato, Reidel, Dordrecht,
1976.
254. Penrose R. A googly graviton, in: Advances in Twistor Theory, eds.
L. P. Hughston, R. S. Ward, Pitman, San Francisco, 1979.
255. Penrose R. On the twistor description of massless fields, in: Complex Ma-
Manifold Techniques in Theoretical Physics, eds. D. E. Lerner, P. D. Somers,
Pitman, San Francisco, 1979.
256. Penrose R. The topology of ridge systems, Ann. Hum. Genet. (London), 42,
435 A979).
257. Penrose R. A brief outline of twistor theory, in: Cosmology and Gravita-
Gravitation; Spin Torsion, Rotation and Supergravity, eds. P. G. Begrmann,
V. de Sabbata, Plenum, New York, 1980.
258. Penrose R. A brief introduction to twistors, Surveys in High Energy Phy-
Physics, 1, 267 A980).
259. Penrose R. Quasi-local mass and angular momentum in general relativity,
Proc. Roy. Soc. (London), A381, 53 A982).
260. Penrose R. Spinors and torsion in general relativity, Foundations of Phy-
Physics, 13, 325 A983).
261. Penrose R. Physical space-time and nonrealizable CR-structures, Proc.
Symp. Pure Math., 39, 401 A983).
262. Penrose R. Integrals for general relativistic sources: a development from
Maxwell's eletromagnetic theory, in: Maxwell Symposium Volume,
ed. M. S. Berger, North-Holland, Amsterdam, 1984.
263. Penrose R. Mass and angular momentum at the quasi-local level in ge-
general relativity, in: Asymptotic Behaviour of Mass and Spacetime Geo-
Geometry, Proc. Corvalis, Oregon 1983, ed. F. J. Flaherty, Springer-Verlag,
Berlin, 1984.
264. Penrose R. On the origins of twistor theory, in: Gravitation and Geometry,
I. Robinson Festschrift volume, eds. W. Rindler, A. Trautman, Bibliopolis,
Naples, 1986.
265. Penrose R., MacCallum M. A. H. Twistor theory: an approach to the
quantization of fields and space-time, Phys. Repts., 6C, 241 A972).
266. Penrose R., Sparling G. A. J. A note on the n-twistor internal symmetry
group, in: Advances in Twistor Theory, Research Notes in Mathematics
No. 37, eds. L. P. Hughston, R. S. Ward, Pitman, San Francisco, 1979.
267. Penrose R., Ward R. S. Twistors for flat and curved space-time, in: Ge-
General Relativity and Gravitation, One Hundred Years after the Birth of
Albert Einstein, ed. A. Held, Plenum, New York, 1980.
268. Perjes Z. Twistor variables in relativistic mechanics, Phys. Rev., Dll,
2031 A975).
269. Perjes Z. Perspectives of Penrose theory in particle physics, Rept. Math.
Phys., 12, 193 A977).
270. Perjes Z. Introduction to twistor particle theory, in: Twistor Geometry
and Non-Linear Systems, eds. H. D. Doebner, T. D. Palev, Springer-Ver-
Springer-Verlag, Berlin, 1982, p. 53.
270a. Perjes Z., Sparling G. A. J. The twistor structure of hadrons, in: Advan-
Advances in Twistor Theory, eds. L. P. Hughston, R. S. Ward, Pitman, San
Francisco, 1979.

560 ЛИТЕРАТУРА
271. Petrov A. Z. Classification of spaces defined by gravitational fields, Uch.
Zap. Kazan Gos. Univ., 114, 55 A954). [См.: Петров A. 3. Классифи-
Классификация пространств, определяемых гравитационными полями. Уч. Зап.
Казан. Гос. Унив., 1954, т. 114, с. 55.]
272. Petrov A. Z. Einstein Spaces, Pergamon Press, Oxford, 1969. [См. также:
Петров А. 3. Пространства Эйнштейна. — М.: Физматгиз, 1961.]
273. Pirani F. A. E. Invariant formulation of gravitational radiation theory.
Phys. Rev., 105, 1089 A957).
274. Pirani F. A. E. Gravitational waves in general relativity IV. The gravi-
gravitational field of a fast moving particle, Proc. Roy. Soc. (London), A252,
96 A959).
275. Pirani F. A. E. Gauss's theorem and gravitational energy, in: Les Theories
Relativistes de la Gravitation, eds. M. A. Lichnerowicz, M. A. Tonnelat,
С N. R. S., Paris, 1962, p. 85.
276. Plebanski I. F. The algebraic structure of the tensor of matter, Acta Phys.
Polon., 26, 963 A964).
277. Plebanski I. F. Some solutions of complex Einstein equations, J. Math.
Phys., 16, 2395 A975).
278. Plebanski I. F.y Robinson I. The complex vacuum metric with minimally
degenerated conformal curvature, in: Asymptotic Structure of Space-Time,
eds. F. P. Esposito, L. Witten, Plenum, New York, 1977.
279. Plebanski J. F., Schild A. Complex relativity and double KS metric, Nuovo
Cim., B35, 35 A976).
280. Plucker I. On a new geometry of space, Phil. Trans. Roy. Soc. (London),
155, 725 A865).
281. Plucker I. Neue Geometrie des Raumes, Vol. 1, Leipzig, 1868.
282. Plucker I. Neue Geometrie des Raumes, Vol. 2, ed. F. Klein, Leipzig,
1869.
283. Porrill I., Stewart I. M. Electromagnetic and gravitational fields in a
Schwarzschild space-time, Proc. Roy. Soc. (London), A376, 451 A981).
284. Porteous I. R. Topological Geometry, Cambridge University Press, Cam-
Cambridge, 1981.
285. Porter J. R. The nonlinear graviton: superposition of plane waves, Gen.
Rel. Grav., 14, 1023 A982).
286. Press W. H., Bardeen J. M. Non-conservation of the Newman — Penrose
conserved quantities, Phys. Rev. Lett, 27, 1303 A971).
287. Prior С R. Angular momentum in general relativity I. Definition and
asymptotic behaviour, Proc. Roy. Soc. (London), A354, 379 A977).
288. Qadir A. Penrose graphs, Phys. Repts., 39C, 131 A978).
289. Qadir A. Field equations in twistors, J. Math. Phys., 21, 514 A980).
290. Reula O., Tod K. P. Positivity of the Bondi energy, J. Math. Phys., 25,
1004 A984).
291. Rindler W. Visual horizons in world-models, Mon. Not. R. Astr. Soc.
(London), 116, 662 A956).
292. Rindler W. Essential Relativity, Springer-Verlag, New York, 1977.
293. Rindler W. Introduction to Special Relativity, Clarendon Press, Oxford,
1982.
294 Robinson I. Null electromagnetic fields, J. Math. Phys., 2, 290 A961).
295. Robinson /., Schild A. Generalization of a theorem by Goldberg and
Sachs, J. Math. Phys., 4, 484 A963).
296. Robinson /., Trautman A. Some spherical gravitational waves in general
relativity, Proc. Roy. Soc. (London), A265, 463 A962).
297. Saclis R. K. Gravitational waves in general relativity VI. The outgoing
radiation condition, Proc. Roy. Soc. (London), A264, 309 A961).
298. Sachs R. K. Gravitational waves in general relativity VIII. Waves in
asymptotically flat space-time, Proc. Roy. Soc. (London), A270, 103
A962).

561
ЛИТЕРАТУРА
299. Sachs R. К Asymptotic symmetries in gravitational theory, Phys
128, 2851 A962).
300. Sachs R. K- Distance and the asymptotic behavior of waves in general
relativity, in: Recent Developments in General Relativity, Pergamon Press,
Oxford and PWN, Warsaw, 1962.
301. Sachs R. K-, Bergmann P. G. Structure of particles in linearized gravi-
tatoinal theory, Phys. Rev., 112, 674 A958).
302. Schoen R., Yau S. T. Positivity of the total mass of a general space-time
Phys. Rev. Lett, 43, 1457 A979).
303. Schoen R., Yau S. T. On the proof of the positive mass conjecture in ge-
general relativity, Comm. Math. Phys., 65, 45 A979).
304. Schoen R., Yau S. T. Proof that the Bondi mass is positive, Phys. Rev.
Lett., 48, 369 A982).
305. Shouten I. A. Ricci-Calculus, 2nd ed., Springer, Berlin, 1954.
306. Schrodinger E. Expanding Universes, Cambridge University Press, Cam-
Cambridge, 1956. [Имеется перевод: Шредингер Э. Расширяющиеся вселен-
вселенные. — В кн.: Шредингер Э. Пространственно-временная структура все-
вселенной. — М.: Наука, 1986, с. 134.]
307. Seifert H. I. The causal boundary of space-times, Gen. Rel. Grav., 1, 247
A971).
308. Sen A. On the existence of neutrino «zero-modes» in vacuum spacetimes,
J. Math. Phys., 22, 1781 A981).
309. Shanahan P. The Atiyah-Singer Index Theorem, Lecture Notes in Mathe-
Mathematics, No. 638, Springer-Verlag, Berlin, 1978.
310. Shaw W. T. Twistor theory and the energy-momentum and angular mo-
momentum of the gravitational field at spatial infinity, Proc. Roy. Soc.
(London), A390, 191 A983).
311. Shaw W. T. Spinor fields at spacelike infinity, Gen. Rel. Grav., 15, 1163
A983).
312. Shaw W. T. Twistors, asymptotic symmetries and conservation laws at
null and spatial infinity, in: Asymptotic Behavior of Mass and Spacetime
Geometry, Proc. Corvalis, Oregon 1983, ed. F. J. Flaherty, Springer-Ver-
Springer-Verlag, Berlin, 1984.
313. Shaw W. T. Symplectic geometry of null infinity and two-surface twistors,
Class. Quant. Crav., 1, L33 A984).
314. Sommerfeld A. Partielle Differentielgleichungen der Physik, Akademische
Verlagsgesellschaf t, Leipzig, 1958. [Имеется перевод предыдущего издания:
Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных
физики. —М.: ИЛ, 1950.1
315. Sommers P. D. On Killing tensors and constants of motion, J. Math.
Phys., 14, 787 A973).
316. Sommers P. D. Properties of shear-free congruences of null geodesies,
Proc. Roy. Soc. (London), A349, 309 A976).
317. Sommers P. Type N vacuum space-times as special functions in C2, Gen.
Rel. Grav., 8, 855 A977).
318. Sommers P. Spase spinors. J. Math. Phys., 21, 2567 A980).
319. Sparling G. A. J. Homology and twistor theory, in: Quantum Gravity,
eds. С J. Isham, R. Penrose, D. W. Sciama, Oxford University Press,
Oxford, 1975.
320. Sparling G. A. J. Theory of massive particles I: Algebraic structure, Phil.
Trans. Roy. Soc. (London), 301, 27 A981).
321. Sparling G. A. I. Differential ideals and the Einstein vacuum equations,
Pittsburg preprint, 1983.
322. Sparling G. A. J. Twistors, spinors and the Einstein vacuum equations,
Pittsburg preprint, 1984.
323. Sparling G. A. J. Twistor theory and the characterization of Fefferman's
conformal structures. Pittsburg preprint. [В печати.] A985).

562 ЛИТЕРАТУРА ;
324. Streubel M. «Conserved» quantities for isolated gravitational systems,
Gen. Rel. Grav., 9, 551 A978).
325. Strooker I. R. Introduction to Categories, Homological Algebra and Sheat
Cohomology, Cambridge University Press, Cambridge, 1978.
326 Study E. Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung, Bd. XI,
S. 319, 1903.
327. Synge J. L. Relativity: The Special Theory, North-Holland, Amsterdam,.
1955.
328. Synge I. L. Relativity: The General Theory, North-Holland, Amsterdam,.
1960. [Имеется перевод: Синг Дж. Л. Общая теория относительности. —
М.: ИЛ, 1963.1
329. Szekeres P. Spaces conformal to a class of spaces in general relativity,.
Proc. Roy. Soc. (London), A274, 206 A963).
330. Szekeres P. Conformal tensors, Proc. Roy. Soc. (London), A304, 113
A967).
331. Tafel I. On the Robinson theorem and shearfree geodesic null congruences,.
Lett. Math. Phys. [В печати.] A985)
332. Tamburino L. A., Winicour I. H. Gravitational fields in finite and confor-
conformal Bondi frames, Phys. Rev., 150, 1039 A966).
333. Tamm Ig. Die verallgemeinten Kugelfunctionen und die Wellenfunktionen
eines Elektrons in Felde eines Magnetpoles, Z. Phys., 71, 141 A931).
334. Terrell I. Invisibility of the Lorentz contraction, Phys. Rev., 116, 1041
A959).
335. Thorpe J. A. Elementary Topics in Differential Geometry, Springer-Verlag,
New York, 1979.
336. Tod K. P. Curved twistor spaces and 5^-space. Surveys in High Energy-
Physics, 1, 299 A980).
337. Tod K. P. Some examples of Penrose's quasi-local mass construction, Proc.
Roy. Soc. (London), A388, 457 A983).
338. Tod K. P. Quasi-local charges in Jang-Mills theory, Proc. Roy. Soc. (Lon-
(London), A389, 369 A983).
339. Tod K. P. Three-surface twistors and conformal embedding. Gen. Rel.
Grav., 16, 435 A984).
340. Tod K. P., Horowitz G. T. A relation between local and total energy in
general relativity, Comm. Math. Phys., 85, 429 A982).
341. Tod К. Р-, Perjes A. Two examples of massive scattering using twistor
theory, Gen. Rel. Grav., 7, 903 A976).
342. Tod K. P., Ward R. S., Self-dual metrics with self-dual Killing vectors,
Proc. Roy. Soc. (London), A368, 411 A979).
343. Todd I. A. Projective and analytic geometry, Pitman, London, 1947.
344. Tolman R. С Relativity, Thermodynamics, and Cosmology, Oxford Uni-
University Press, Oxfrod, 1934. [Имеется перевод: Толмен Р. Относитель-
Относительность, термодинамика и космология. — М.: Мир, 1976.]
345. Turnbull H. W., Aitken А. С. An Introduction to the Theory of Canonical
Matrices, Blackie, London, 1948.
346. Veblen O. Geometry of two-component spinors, Proc. Nat. Acad. Sci., 19,
462 A933).
347. Veblen O. Geometry of four-component spinors, Prcc. Nat. Acad. Sci., 19,
503 A933).
348. Veblen O. Spinors, Science, 80, 415 A934).
349. Veblen O., Taub A. H. Projective differentiation of spinors, Proc. Nat.
Acad. Sci., 20, 85 A934).
350. Veblen O., Young J. W. Projective Geometry, Vol. I, Ginn, Boston, 1910,
p. 333.
351. Veblen O., Young J. W. Projective Geometry, Vol. II, Ginn, Boston, 1918,
p. 374.
352. Wald R. M. General Relativity, University of Chicago Press, Chicago,
1984.

ЛИТЕРАТУРА
563
353. Walker M. On the positivity of total gravitational energy at retarded
times, in: The 1982 Les Houches Summer School on Gravitational Radia-
Radiation, ed. R. Ruffini, 1982.
354. Walker M., Penrose R. On quadratic first integrals of the geodesic equa-
equations for type {22} spacetimes, Comm. Math. Phys., 18, 265 A970).
355. Walker M., Will С. М. Relativistic Kepler problem, I: Behaviour in the
distant past of orbits with gravitational radiation damping, Phys. Rev.,
D19, 3483 A979); II. Asymptotic behaviour of the field in the infinite
past, ibid, 3495 [Erratum: Phys. Rev., D20, 3437 A979).
356. Walker R. I. Algebraic Curves, Princeton University Press, Princeton, NJ,
1950.
357. Ward R. S. On self-dual gauge fields, Phys. Lett., 61A, 81 A977).
358. Ward R. S. A class of self-dual solutions of Einstein's equations, Proc.
Roy. Soc. (London), A363, 289 A978).
359. Ward R. S. Self-dual gauge fields, Surveys in High Energy Physics, 1,
289 A980).
360. Ward R. S. Self-dual space-times with cosmological constant, Comm.
Math. Phys., 78, 1 A980).
361. Ward R. S., Wells R. O., Jr. Twistor Geometry, Cambridge University
Press, Cambridge, 1985.
362. Weinberg S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of
the General Theory of Relativity, Wiley, New York, 1970.
363. Wells R. O., Jr. Complex manifolds and mathematical physics, Bull. (New
Series) Amer. Math. Soc, 1, 296 A979).
364. Wells R. O., Jr. Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer-
Verlag, New York, 1980. [См. также: Уэллс P. Дифференциальное
исчисление на комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1976.]
365. Wells R. О., Jr. Hyperfunction solutions of the zero-rest-mass field equa-
equations, Comm. Math. Phys., 78, 567 A981).
366. Wells R. O., Jr. Complex Geometry in Mathematical physics, Presses de
l'Universite de Montreal, Montreal, 1982.
367. Wess I., Zumino B. Supergauge transformations in four dimensions, Nucl.
Phys., 70, 39 A974).
368. Whittaker E. T. On the partial differential equations of mathematical
physics, Math. Ann., 57, 333 A903).
369. Willmore T. I., Hitchin N. (eds.) Global Riemannian Geometry, Ellis Hor-
word, Chichester; Wiley, New York, 1984.
370. Winicour I. Some total invariants of asymptotically flat space-times,
J. Math. Phys., 9, 861 A968).
371. Winicour I. Angular momentum in general relativity, in: General Rela-
Relativity and Gravitation, Vol. 2, ed. A. Held, Plenum, New York, 1980.
372. Witten L. Invariants of general relativity and the classification of spaces,
Phys. Rev., 113, 357 A959).
373. Witten E. An interpretation of classical Yang-Mills theory, Phys. Lett,
77B, 394 A978).
374. Witten E. A new proof of the positive energy theorem, Comm. Math.
Phys., 80, 381 A981).
375. Woodhouse N. M. I. The real geometry of complex space-times. Int. J.
Theor. Phys., 16, 663 A977).
376. Woodhouse N. M. J. Twistor theory and geometric quantization, in:
Group Theoretical Methods in Physics, Springer Lecture Notes in Physics
No. 50, eds. A. Janner, T. Janssen, N. Boon, Springer-Verlag, Berlin, 1979,
p. 149.
377. Woodhouse N. M. J. Geometric Quantization, Clarendon Press, Oxford,
1980.
378. Woodhouse N. M. J. On self-dual gauge fields arising from twistor theory,
Phys. Lett., 94A, 269 A983).

564 ЛИТЕРАТУРА
379. Woodhouse N. М. I. Real methods in twistor theory, Class. Quantum
Grav., 2, 257 A985).
380. Wu Т. Т., Yang С N. Dirac monopole without strings: monopole harmo-
harmonics, Nucl. Phys., B107, 365 A976).
381. Жаринов В. В., Сергеев А. Г.—В кн.: Твисторы и калибровочные поля/
Под ред. В. В. Жаринова. — М.: Мир, 1983.

Предметно-именной указатель
Абстрактных индексов формализм
13, 520
Альфа-кривая (а-кривая) 462
— бесконцевая в прошлом 462
«-плоскость 81, 369, 533, 538
— высшей размерности 532
Амбитвистор 198, 544
Аналитическая функция 230
Аналитичность на гиперповерхности
263
Анти симметризация 18
Арновитта — Дезера — Мизнера вы-
выражение для массы 506
Асимптотическая евклидовость 414
Асимптотически-простое простран-
пространство-время 411, 415
Асимптотическое разложение в тео-
теории Эйнштейна — Максвелла 464
— спиновое пространство 486
— эйнштейновское условие 419
Асимптотической простоты условия
418
Астигматизм фокусировки 274
Атья — Зингера индекс 472, 535
Аффинный параметр 205, 346, 427
в модифицированном форма-
формализме 220
Ахрональная гиперповерхность 508
Аштекара — Хансена выражение для
массы 478
Р-шюскость 81, 369, 533, 538
— высшей размерности 532
Бивектор простой 293
собственный (комплексный)
288
Бивекторная структура тензора Вей-
ля 293
Бирациональный инвариант кривой о
340
Большой треск (конечная сингуляр-
сингулярность) 397
Бонда координата времени 442
— параметр 434
— система 456
Бонда — Метцнера — Сакса группа 9,
437
— структура 449
— представления 450
Бонди — Сакса 4-импульс 468, 488,
490, 500
альтернативные выражения
490
формула для массы 57, 463
альтернативные выражения
490
формула потерь массы 500
— — функция новостей 457
Брайант 259
Буст активный 11
— предельный 271
Бустовый вес 35, 41
Базис:
бивекторный 289
координатный 28
спинорный 16
твисториый 62
Бейт мен 172
Бета-кривая (^-кривая) 259
— бесконцевая в прошлом 350
Вакуумные уравнения Эйнштейна
33
Вейля (конформный) спинор 32, 149
— (конформный) тензор 32, 289, 168
главные римановы направле-
направления 294
картина 273, 276, 277

566
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вейля (комформный) тензор на Э
(скрай) 421
собственный бивектор 288
Вектор девиации 209
— изотропный 18
Весе 58
Взвешенные величины типа {г', г;
t', t} 35
— операторы р Д р', б' 35
Виккерс 500
Виттен 470
Виттена доказательство положитель-
положительности массы 506
Внешнее произведение 27
Внешняя кривизна поверхности 473
Волновая функция положительно-
частотная 50
Волновое уравнение 53, 101
конформно-инвариантное 153
Вполне голоморфная конструкция 385
— изотропные комплексные 2-поверх-
ности 227
— ортогональные плоскости 293
Вселенная:
антидеситтеровская 398, 417
— как универсальное накрытие 400
антиэйнштейновская 394
де Ситтера 398
Милна 398
толменовская радиационная 397
Эддингтона — Леметра 398
Вудхаус 388, 475, 547
Гаусса — Бонне теорема 39
Гауссова кривизна поверхности 38
Гегенбауэра функции 42
Генерический случай 199, 200, 328,
329, 337, 343, 364, 472, 473, 538
Геодезическая комплексная изотроп-
изотропная 368
Геометрия 2-поверхностей 38
Главные изотропные векторы 23
направления 23
гравитационные (ГГИН)
228, 276
гармоничные 281
— — эквиангармоничные 281
спинора электромагнитного
поля (ЭГИН) 305
— спиноры 23
ft-кратные 24
Голдберга — Сакса теорема 234
Голая сингулярность 244
Голоморфное касательное простран-
пространство 256, 257
Горизонты космологические 396
Горовица — Перри доказательство по-
положительности массы 511
Гравитационный инстантон 159
— спинор 32
Гравитоны 197
Граница пространства-времени 344
Граничное неразложимое множество
будущего (ГНБ) 351
прошлого (ГНП) 351
Грассман 364
Гржина индекс 374, 387—389, 392
— теорема 383, 389
Группа:
асимптотических симметрии 433
диффеоморфизмов 433
когомологий 192
конформная пространства Минков-
ского 84, 354
— и группа 0B,4) 358
Ньюмена — Унти 436
псевдоунитарная твисторная
SUB,2) 359
Пуанкаре 85, 105
Гугли-гравитон 198
Даламбера оператор 101
Данные на изотропной поверхности
54
Двойное отношение 11
гармоническое 12
эквигармоническое 12
Джефрис 473, 547
Диада 29
Дираковский спинор 61
— твистор 61
Дисфенояд 296
Дуальное вращение 32
— преобразование 22
Дуальность проективных пространств
370
Дуально-твисторные линии 461
Дуальные расслоения 385
Жорданова нормальная форма 337
Жордановы формы 286
Законы сохранения 105
Заряд магнитный 95
— электрический 95
Зингер 153
Зоммерфельда условие 432
Зумино 58, 545
Изотропная бесконечность простран-
пространства-времени Шварцшильда 411,
413
— геодезическая 205

ПРЕДМЕТНО.ИМЕННОИ УКАЗАТЕЛЬ
567
Изотропная гиперповерхность 40
— прямая 74
Изотропное вращение 26
Изотропно-разДеленные точки 368
Изотропный вектор 18
— конус 10
на бесконечности 75
— угол 439, 442, 446
интерпретация 446
— флаг 18
Инварианты полной кривизны 311,
535
Индуктивное построение спинового
пространства 535
Инцидентность 80, 364, 367
Иствуд 147, 153
Калибровочные преобразования 90,
ПО
Калибровочный произвол 113
Картан 161
Картера постоянная 137
Картина тензора Вейля на S+ 473,
476, 477
Квадрика 356, 398, 400, 532, 542
Кватернионная структура 541
Келли 364, 475, 543, 547
Керра координаты 238
— поверхность 264, 265
— пространство 134
— решение 133—137, 244
— теорема 239, 241, 254, 262
твисторная форма 242
— функция односторонняя 264
Киллинга вектор 91, 103, 105, 121,
469
комплексный 111, 135
конформный 469
— конформное уравнение 91, 104
— спинор 131, 132, 134
— тензор 131
Киллинга—Яно тензор 136, 137
Кирхгофа — Дадемара формула 54,
391, 432, 504
Классификация тензора Максвелла
30?
Клейна бутылка 353
— представление 364
— соответствие 363, 369
Клиффорда алгебра 522
— уравнение 519
Клиффордовы параллельные (на S3)
78, 79
Когомологии Дольбо 194
— пучков твисторов 171
относительные 182
Кограница 192, 195
Кограничный оператор 195
Комар 481
Комплекс энергин-импульса/момента
импульса 468
Комплексифицированное простран-
пространство-время 76
Минковского 81, 82
Комплексная геометрия 362
— изотропная геодезическая 368
— кривизна поверхности (гауссова)
38
— структура 253, 255
и КД-структура 253
Комплексно-действительное (КД)
многообразие 254, 257, 264
структура 253
реализуемая 254, 257
Комплексное пространство-время 157
— сопряжение спиноров 540
Комплексные (р, q) -кривые 317
— размерности пространств 42
Конгруэнция бессдвиговая 227, 262
— вращение 215, 221
— геодезическая 205
— дисторсия 218, 221
— изотропная 212, 217
— конвергенция 215, 221
— Робинсона 76—79
— — специальная 79
Контактная структура (инвариантная)
248, 253, 262, 516
Контортные двумерные поверхности
473, 474
Контурные интегралы для безмассо-
безмассовых полей 171
геометрия 182
Конформная группа пространства
Минковского 84
— компактификацня 226
Конформное движение 11, 41
— изменение масштаба 48, 72, 372
— отображение плоских пространств
152
Конформно-инвариантнсе волновое
уравнение 153
Конформно-инвариантные операторы
Ьс и 9с 31, 49
Конформные плотности 49
Конформный вес 41
Космологические горизонты 396
Коцепь Чеха 194
Коцикличность 191, 196
Кронекера б-символ 15
Кротовая нора 479
Кручение 221
Лагранжевы 2-плоскости 226
Ле-Брюн 259

568
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Леей 265
Ли 364
— скобка 27, 256
Линейная гравитация ПО
Линзовый эффект кривизны 275
Лобачевского пространство 394
Локус а (геометрическое место то-
точек) 315, 316
— двукратные точки 328
приводимость 316
типы узлов 333
точка соприкосновения 332
точки возврата 331
Лоренца калибровка 45, 101
— преобразование активное 270
— ограниченное 26, 41, 280, 281, 296,
301, 302
— пассивное 270
Луч (изотропная прямая линия) 74
— изопараметрический 209, 212, 251,
378
— — на языке твисторов 218
— неизопараметрический 223
Людвигсена — Виккерса подход 500,
508, 512
Масса покоя 478
квазилокальная 478
Масштаб векторов 204, 205
— линии 206, 258
— спинора 465
Масштабное преобразование твисто-
твисторов 263
Масштабно-ковариантные величины
210
Масштабный фактор 409, 410
Модифицированный формализм спи-
спиновых коэффициентов 34
Модуль @ (тензоров, спиноров) 14
— эллиптической кривой 340
Момент импульса 89, 107, 462
Аштекара — Хансена 478
самодуальный 495
в асимптотически-плоском про-
пространстве 57, 464, 497
в линейной гравитации 95
в общей теории относительно-
относительности 467
в решении Керра 136, 244
Нейенхёйс 256
Нелинейно-гравитационная конструк-
конструкция 462
Неприводимости условие 20
Неприводимый тензор 19
— спинор [по отношению к группе
SLB,C)] 20
Нестер 515
Нётер теорема 107
Ниренберг 256
НП-константы 504
Ньюлендер 256
Ньюмен, ^-пространство 460
Ньюмена — Унти группа 436
Образующие гиперповерхности 218
Оператор £ 27
Операция штрих 30, 36, 236
Параметр яркостный 215, 222
Паули — Любаньского спинвектор 87,
496
Пенроуз 171, 335
Первичное квантование твисторов 175
Периодическая последовательность
момента 119
Петрова классификация 266
— канонические формы 292
— типы 268, 286
Плебаньский 315, 338
Полотнище флага 18
Плюккер 364
Поле:
алгебраически специальное 228
безмассовое 50, 390
гравитационное 95
изотропное 228
— электромагнитное 237
Максвелла действительное простое
46
— комплексное 45, 95, 147
негржиновское 392
положительно-частотное 184, 186
скалярное конформно-инвариантное
на Э (скрай) 477
скрученное 385
спинорное 144, 544
Янга — Миллса 46
(анти-) самодуальная часть 48
Полевые уравнения Эйнштейна 31,
34
Порядок спинорных индексов 65
Последовательное вырождение 425,
426, 430, 432
Потенциалы для безмассового поля
100
Почти комплексное многообразие 255

ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
569
Правый поворот 379, 380
Представление точек с помощью тви-
сторов 82
Принцип триальности 543
Причинная кривая 349
Причинный вектор 94, 373
Проективная прямая (комплексная)
363
Проективные образы пространств
(обозначения) 72
Производная:
внешняя 27
заряженных полей 44
ковариантная 26
конформно-инвариантная 137
Ли (оператор £) 27
Пространственно-временное отраже-
отражение пространства 380
Пространство-время:
асимптотически простое 415
комплексное 157
левое конформно-плоское (конформ-
(конформно-самодуальное) 159
левоплоское (самодуальное) 159
Минковского M(ff') как простран-
пространство начал 494
Минковского компактифицирован-
компактифицированное М* 352
— комплексифицированное СМ* 362
типы комплексных точек 372
правое конформно-плоское (кон-
формно-антисамодуальное) 159
правоплоское (антисамодуальное)
159
Пространство локальных твисторов
162
— кривизна 166
— начал 494, 495, 498
— постоянных спинорных полей 114
Путь флага 12, 378
Пучков теория 145
Пучок свободный 146
Радиус вселенной 409, 410
Разрешение уравнений 143
— пучка 146
Райе 153
Райсснера — Нордстрема простран-
пространство-время 237, 480
Расстояние, выраженное через тви-
сторы 85
Результант форм 313
Релятивистская струна 547
Реулы — Тода доказательство поло-
положительности массы 511
Решение НУТ 134
Риччи спинор 32
классификация 314, 326
схема специализации 337
Робинсон 237, 265
Робинсона конгруэнция 75, 76, 243,
354, 382
специальная 79
— теорема 229, 247
Росс 225
Сакса уравнения 220, 221
— процедура последовательного вы-
вырождения 424
Самосогласованные системы полей 54
Световой конус (в пространстве Мин-
Минковского) 10
Сегрэ характеристика 337
Сена — Виттена уравнение 507
Сильная конформная геометрия на
ЗГ+ 437, 444, 446
Символ валентности спинора 20
Симметризация 18
Симметрический оператор 27
Симплектический инвариант 227
Скрай (ЗГ) 344
Скрытое насыщение антисимметриями
Скручивание 384
Слабое равенство 419, 422
Собственные плоскости 295
Событие и структура твисторного
пространства 82
Соммерс 230, 233, 234
Сопряженные комплексные величины
336
Сохраняющаяся величина 95, 106,
116
Спарлинг 99, 259, 545
Спарлинга 3-форма 515
Спин-вектор 11
Спин-векторный пучок 515
Спин-матрица 11
Спиновая система отсчета 16, 17, 30,
41
— параллельно переносимая
426
— структура 12
пространства М""" 377
правовинтовая 378
—■ левовинтовая 379
Спиновое пространство 12
iV-мерное 520
структура 533
редуцированное 522
Спиновые коэффициенты 29
интерпретация 209
модифицированный формализм
34

570
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Спиновые коэффициенты уравнения
36
Спиновый вес 35, 41
Спинор:
группы SO(8, С) 543, 546
815, 524
— конформные преобразования 389
изотропный 24
масштабное преобразование 208
— симметричный 21
скрученный 385, 386
собственный спинора Вейля 279
электромагнитный 44
каноническое разложение 23
тип по Плебаньскому 338
Спинориые поля постоянные 59, 60
Спинорный базис 16
— объект 12
Спиноры майорановские 541
— редуцированные 84
Спиральность 87, 176
— интегралы 177
— повышение и понижение 180
Срез 454
— хороший 455, 461, 462, 498
Структура действительнозначности
494
— спинового пространства 533
Суперсимметрия 58, 545
Супертрансляции 452
Сфера (анти) небесная 11
Сферические гармоники 40
со спиновым весом 42
Твист (скручивание) 384
Твистор:
альтернирующий 83
асимптотический 254, 460
бесконечности 84, 121
— антидеситтеровский 401
— деситтеровский 401, 478
— пространства Минковского 444
бесследовый 69
валентности ££] 60
вариация вдоль кривой 164
взрыва 404 см. также Твистор на-
начальной сингулярности
2-валентный эрмитов 70, 110, 129
гиперповерхности 257, 259
глобальный 157, 161, 163, 170
двумерной поверхности 472
дуальный 62, 83
инцидентный точке 81, 140, 142,
170, 364
комплексное сопряжение 64, 71, 72
конечной сингулярности 402, 406
Твистор:
левополяризованный 72
локальный 161, 162, 429
— перенос 162, 476
момента импульса квазилокальный
474
кинематический 89
начальной сингулярности 402, 406,
407
представление 66—68
проективный 260
простой кососимметричный 82
(косо) симметричный 70
спинорные части 61, 65
— — главная 66
проекционная 66
спиральность 72
— физический смысл 86
треска см. Твистор конечной син-
сингулярности
трехмерной поверхности 480
Твисторная программа теории час-
частиц 93
— внутренняя группа симметрии 94
Твисторное отношение дуальности 369
— поле локальное 476
— пространство 60, 82
проективное 73, 182
— уравнение 38, 58, 160
— — условие совместимости 58
Твисторные волновые функции 176,
185, 194
для массивных частиц 181
я-частичные 196
и изотропные конгруэнции
245
— диаграммы 182
— линии 461
— решения уравнений 139
— спин-расслоения над М* 383
— функции безмассовых полей 245
Твисторы:
внутреннее произведение 64
конформная инвариантность
72
интегральное представление 174
квантование 175
обобщения 546
отношение взаимности (инцидент-
(инцидентность) 79
взрыва и треска (начальной и ко-
конечной сингуляриостей) в мо-
модели ФРУ 404
Тензор:
альтернирующий 21
антисамодуальный 22
Баха 164, 168, 156

ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
571
поля Дирака —
16, 17
СМ*
по-
235,
Беля— Робинсона 107
Вейля 269
дуальный 21
кривизны 26
кручения 26
обращенный по следу 21
простой 24
самодуальный 22
симметричный 21
энергии-импульса
Вейля 52, 106
— поля Максвелла 106
— улучшенный 155
— физический 341
Теорема сложения 269
Теория ЭКШК 221
Тетоада изотропная 16
— ограниченная Минковского
Типы комплексных точек в
372
Тод 474, 475, 478, 480, 547
Тода форма 475
Тода — Горовица доказательство
ложительности массы 511
Тождества:
Бианки 33, 151
спинорные 33, 37
— эништейн-максвелловские
239
для спинора Риччи 32, 47
Точная система полей 54
— последовательность 111
дуальная 114, 115
Кошу ля 119
моментов 114
Пуанкаре — де Рама 113
пучков 113
Трубка будущего 185, 373
— прошлого 373
Уиттекер 172
Улучшенные тензоры энергии-импуль-
энергии-импульса 106
У орда конструкция 198, 200—202, 464
Уравнение:
волновое 53
Дирака 53, 181, 544
Дирака — Вейля 544
Шредингера—Клейна—Гордона 53,
181
Уравнения для безмассовых полей 27
— для коммутаторов 27
— Максвелла с источником 45, 52
— Сакса 221—224
— Урбантке 364
Условие энергодоминантиости 491,
500
Условия фундаментальности 364
Феффермана метрика 259
Флаг изотропный 18
Фирца — Паули — Бухдала — Пле-
оаньского уравнение связи 50
Флагшток 11
— спинора аА 78
Фокусировка 274, 275
Фридмана — Робертсона — Уокера
(ФРУ) космологические модели
272, 393, 433, 481
Фридрих 547
Фундаментальная теорема внешнего
исчисления 28, 40, 95, 122
Фундаментальный спинор 531
геометрия 532
Функция новостей 457, 501
1-функция (элемент первой группы
когомологий) 192
— нелинейная 196
л-функция общего вида 194
Ходже 547
Хокинг 335
Хопфа расслоение 79
Хьюстон 178, 195, 545, 547
Хэбисон 547
Цвет сферы S+ 325
Черная дыра вращающаяся 134, 244
Чисто электрическое условие 460
Шильд 237
Шоу 310, 547
Штейна многообразия 195
Эддингтон 155
Эйнштейна уравнения 31, 462, 33
— вселенная 347
Эйнштейна — Максвелла система по-
полей 312
— уравнения 31, 462

572 ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
— цилиндр 348, 395, 398
Эйнштейновский цилиндр 348
Элементарные состояния 186
Эллис 335
Энергия гравитационных волн 503
Энергия-импульс в линеаризованной
теории гравитации 468
— в искривленном пространстве-вре-
пространстве-времени 470
Юнга схема 19
Якоби поле 220,
Я ига — Миллса
нии 46
251
кривизна в
полевые уравнения 47,
связность
спинорные
47
в расслоении
«тождества
расслое-
198
46
Риччиэ

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Краткое содержание тома 1 10
§ 5 (гл. 1). Спинорные объекты и спиновая структура 12
§ 2 (гл. 2). Формализм абстрактных индексов в тензорной алгебре 13
§ 3 (гл. 3). Операции симметрии . 18
§ 15 (гл. 4). Функции на метрической сфере 40
6. Твисторы 56
§ 1. Твисторное уравнение и пространство его решений ...... 56
§ 2. Некоторые геометрические аспекты твисторной алгебры .... 74
§ 3. Твисторы и момент импульса 86
§ 4. Симметричные твисторы и безмассовые поля 94
§ 5. Конформные векторы Киллиига; сохраняющиеся величины и точ-
точные последовательности 103
§ 6. Производные Ли спиноров 126
§ 7. Интегралы движения частиц: конформно-инвариантные операторы 130
§ 8. Кривизна и конформные преобразования 148
§ 9. Локальные твисторы 156
§ 10. Безмассовые поля и когомологии твисторов . 171
7. Изотропные конгруэнции 204
§ 1. Изотропные конгруэнции и спиновые коэффициенты 204
§ 2. Изотропные конгруэнции и кривизна пространства-времени . . . 219
§ 3. Бессдвиговые конгруэнции лучей 227
§ 4. БСК, твисторы и геометрия лучей 23&
8. Классификация тензоров кривизны 266
§ 1. Изотропная структура спинора Вейля 266
§ 2. Представление спинора Вейля на сфере S+ 270
§ 3. Собственные спиноры спинора Вейля 277
§ 4. Собственные бивекторы тензора Вейля и его классификация по
типам Петрова 287
§ 5. Геометрия и симметрия вейлевской кривизны . 293
§ 6. Коварианты кривизны 308
§ 7. Классификационная схема для спиноров с любым числом индек-
индексов 314
§ 8. Классификация спинора Ричча 326

574 ОГЛАВЛЕНИЕ
. Конформная бесконечность 344
§ 1. Бесконечность в случае пространства Минковского 344
§ 2. Компактифицированное пространство Минковского 351
§ 3. Комплексифицированное компактифицированное пространство
Минковского и твисторная геометрия 360
§ 4. Четырехзначность твисторов и индекс Гржина 374
§ 5. Космологические модели и соответствующие твисторы 493
§ 6. Асимптотически-простое пространство-время 311
§ 7. Последовательное вырождение 424
§ 8. Группа БМС и структура гиперповерхности 2f+ 433
§ 9. Энергия-импульс и момент импульса 467
§ 10. Потери массы Бонди — Сакса и положительность энергии . . .. 500
Приложение. Спиноры в я измерениях 518
Послесловие авторов .. 547
Литература 549
Предметно-именной указатель 565