/
Текст
К. Капур
Л. Ламберсон
НАДЕЖНОСТЬ
И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ
Reliability
in
Engineering
Design
К. C. KAPUR
L. R. LAMBERSON
Department of Industrial Engineering and Operations Research Wayne State University
Detroit, Michigan 48202
JOHN WILEY & SONS
New York Santa Barbara London Sydney Toronto
К. Капур, Л. Ламберсон
НАДЕЖНОСТЬ
И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ
Перевод с английского Е. Г. КОВАЛЕНКО
под редакцией д-ра техн, наук, проф« И. А. УШАКОВА
Издательство «Мир» Москва 1980
УДК 620.004.5
В книге рассматривается широкий круг вопросов, связанных с анализом и синтезом надежных систем различного технического назначения. Такой анализ и синтез осуществляются на всех этапах создания системы — от проектирования и производства до испытаний и эксплуатации. Большое внимание уделено вероятностным оценкам безопасности при воздействии случайных нагрузок на изделия со случайными прочностными характеристиками.
Книга предназначена для специалистов, занимающихся разработкой радиоэлектронной и электромеханической аппаратуры. Может служить пособием для студентов старших курсов технических вузов
Редакция литературы по новой технике
1502000000 Copyright © 1977, by John Wiley & Sons, Inc. All
rights reserved. Authorized translation from English 30Ю0___150 language edition published by John Wiley & Sons, Inc.
К 041 (01)—80 © Перевод на русский язык, «Мир», 1980
Предисловие редактора перевода
Проблема надежности технических систем продолжает оставаться одной из главных, несмотря на постоянное улучшение характеристик надежности и долговечности различных комплектующих изделий. Это объясняется в первую очередь тем, что продолжающаяся научно-техническая революция характеризуется все более широким использованием различных технических систем во всех сферах управления и промышленного производства. Выполняемые современными техническими системами функции весьма сложны, решаемые задачи чрезвычайно ответственны, и поэтому в новых условиях старые нормы надежности становятся неприемлемыми. Эти факторы в определенной степени объясняют появление все большего числа работ по надежности у нас в стране и за рубежом. (Читатель может получить представление об имеющихся на русском языке книгах по надежности из библиографического справочника [1], а об основных статьях по этой тематике—из библиографии, опубликованной в журнале „Надежность и контроль качества** [2].)
В связи с обилием работ по надежности возникает необходимость осуществлять строгий отбор книг для перевода на русский язык, чтобы исключить параллелизм и давать советским специалистам возможность знакомиться с лучшими работами зарубежных ученых. В этом смысле выбор книги К. Капура и Л. Ламберсона представляется удачный. Она содержит оригинальный и весьма полезный для практиков материал, затрагивающий такой важный вопрос, как оценка надежности устройств при воздействии случайных нагрузок на схемы и конструкции со случайными значениями показателей запаса прочности. Авторы детально анализируют математическую модель отказов, связанных с превышением реально действующей нагрузкой предела прочности изделия, который может случайным образом меняться
6 Предисловие редактора перевода
от образца к образцу вследствие нестабильности технологического процесса и разброса различных параметров исходных материалов.
В столь подробном изложении и с таким большим числом примеров этот вопрос в отечественной литературе не освещался. Кроме того, авторы приводят большое число таблиц длд расчета надежности при различных сочетаниях воздействующих нагрузок и пределов прочности. Заметим, что статистический подход к расчету прочностных характеристик надежности различных конструкций в отечественной литературе развивается сравнительно давно [3]. Имеются также работы, посвященные изучению вероятностных характеристик, связанных с достижением случайным процессом (например, нагрузкой) некоторого уровня (предела прочности) в общем виде [4], и работы, посвященные непосредственно приложению данного подхода к расчету надежности при случайных механических нагрузках [5]. Однако анализ надежности в статическом случае столь подробно, насколько нам известно, в нашей литературе не рассматривался. Авторы излагают методы расчета в достаточно общем виде, что позволяет применять их для оценки надежности как механических конструкций, так и электронных систем, у которых воздействующая нагрузка и предел прочности имеют свои определенные аналоги (например, флуктуацию входного сигнала и случайный уровень порога).
К достоинствам книги можно отнести и то, что изложение сопровождается конкретными примерами расчетов с использованием предлагаемых методик, причем эти примеры отличаются наглядностью и простотой.
Однако советский читатель безусловно заметит, что не все разделы книги изложены в одинаковой степени ровно. В первую очередь это касается гл. 14, в которой рассматриваются методы оптимизации надежности при наличии ограничений экономического характера. Мы не будем вдаваться в анализ содержания этой главы, а лишь порекомендуем читателю книги, в которых строго излагаются задачи оптимального резервирования [6—9]. Однако еще раз подчеркнем, что эти вопросы в данной книге имеют второстепенный характер и занимают сравнительно небольшой объем.
Предисловие редактора перевода 7
В целом читатель найдет книгу К. Капура и Л. Ламберсона полезной и интересной. Она охватывает почти все сферы расчетных работ по оценке надежности на стадии проектирования и опытной проверки образцов, причем статистическая часть дается в хорошем методическом стиле с указанием рецептов практического применения.
Книга займет достойное место в ряду специальных пособий по теории и практике надежности, и мы надеемся, что она окажется полезной как инженерам, занимающимся расчетами надежности и оценками эксплуатационных показателей по результатам испытаний, так и студентам технических вузов, изучающим теорию надежности технических систем.
И. А. Ушаков
ЛИТЕРАТУРА
1. Козлов Б. А., Ушаков И. А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики.—М.: Советское радио, 1975.
2. Ушаков И. А., Фишбейн Ф. И. Библиография работ по надежности.— Надежность и контроль качества, 1978, № 6—12; 1979, № 1—3.
3. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике.—М.: Стройиздат, 1961.
4. Свешников А. А. Прикладная теория случайных функций.— Л.: Судпром-гиз, 1961.
5. Коненков Ю. К., Ушаков И. А. Вопросы надежности радиоэлектронной аппаратуры при механических нагрузках.— М.: Советское радио, 1975.
6. Оптимальные задачи надежности. Под ред. И. А. Ушакова.— М.: Стандарты, 1968.
7. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. Пер. с англ./ /Под ред. Б. В. Гнеденко.— М.: Советское радио, 1969.
8. Райкин А. Л. Элементы теории надежности технических систем. Под ред. И. А. Ушакова.— М.: Советское радио, 1978.
9. Ушаков И. А. Методы решения простейших задач оптимального резервирования при наличии ограничений.— М.: Советское радио, 1969.
Моей жене Джеральдине и детям Анджали и Джею
К. КАПУР
Моей жене Ивонне и дочери Дебре
Л. Л AM БЕРСОН
Предисловие
В этой книге мы стремились изложить те разделы теории надеж* ности, которые могут быть полезны инженерам-конструкторам и специалистам по надежности. Основное внимание было уделено проблеме определения количественных показателей надежности при проектировании и испытании изделий. Нас побудили напи* сать эту книгу многочисленные слушатели наших лекций по теории надежности, работающие на промышленных предприятиях Детройта. Большинство из них, являясь опытными инженерами, оказали нам большую помощь в выработке нашего подхода к проблеме надежности. Мы выражаем им за это большую бла* годарность.
Книга, подобная этой, может охватывать множество тем, излагаемых в различной последовательности. Мы объясним здесь, почему была выбрана данная конкретная последовательность.
Гл. 1 представляет собой введение в теорию надежности. В ней освещаются проблемы, встречающиеся при определении количественных показателей надежности, и рассматриваются некоторые вопросы, необходимые для изложения полной программы обеспечения надежности. В гл. 2 определяются и обсуждаются многие термины и показатели, используемые при испытаниях на надежность. Представлены как количественные, так и качественные характеристики. Очень часто эти термины употребляются неправильно либо неточно. Поэтому мы старались дать точные и полные определения, чтобы помочь читателям правильно употреблять термины теории надежности. В гл. 2 и 3 рассматриваются простые статические модели надежности, и читатель получает элементарное представление о терминологии теории надежности.
Следует признать, что гл. 2 и 3 можно было бы поменять
10 Предисловие
местами, и в некоторых случаях при обучении, возможно, будет целесообразно вначале изложить материал гл. 3. Мы решили начать с более трудного материала — гл. 2, а затем дать более легкий материал—гл. 3. Мы надеемся, что это позволит лучше усвоить понятия и определения, изложенные в гл. 2.
Поскольку надежность является по существу конструктивным параметром, который должен вводиться в систему на этапе проектирования, мы с самого начала обращаем внимание на связь между процессом проектирования и надежностью. Мы знакомим читателя с некоторыми методами оценки и проверки надежности изделия на этапе проектирования. Если рассматривать повседневную деятельность, то определение надежности на этапе проектирования является сравнительно новым вопросом, и в этой части книги подчеркивается необходимость совершенствования методов обеспечения надежности, связанных с другими аспектами проектирования.
При проектировании любой системы следует иметь в виду, что ее рабочие характеристики и параметры являются вероятностными по своей природе. Очевидно, что факторы, определяющие прочность элементов и действующие на них нагрузки, также являются вероятностными. Это означает, что при оценке показателей надежности на этапе проектирования необходимо учитывать вероятностный характер параметров системы.
Вероятностный подход к проектированию и определению надежности рассматривается в гл. 4.
В гл. 5 и 6 подробно излагается методика, применяемая при анализе надежности сложных изделий на этапе проектирования. В частности, в гл. 5 рассматриваются выходные параметры, являющиеся функциями случайных параметров изделия, и приводятся понятия, используемые при установлении статистических допусков. В этой главе читатель знакомится и с другими методами математической статистики, необходимыми для оценки надежности на этапе проектирования. В гл. 6 изложены методы определения надежности после вероятностного моделирования рабочих характеристик и параметров.
Для иллюстрации методики определения надежности на этапе проектирования в гл. 7 используются примеры простых конструкций.
Предисловие 11
В гл. 8 рассматриваются более сложные модели временной зависимости прочности от нагрузки.
В гл. 9 обсуждаются динамические модели надежности, а также даются понятия, относящиеся к ремонтопригодности. Предполагается, что на данном этапе читатель уже получил достаточную подготовку в области математической статистики и сможет легко усвоить материал этой главы.
При создании нового изделия после завершения этапа проектирования начинаются испытания. Поэтому в гл. 10 и И рассматривается проблема оценки надежности по результатам испытаний. В частности, в гл. 10 в качестве основной модели используется экспоненциальное распределение и изложены методы оценки надежности в различных случаях. Для каждого случая четко формулируются допущения, необходимые для правиль-ного использования метода, а в приложении к главе для более подготовленного читателя дан вывод основных соотношений. Подобным же образом в гл. 11 в качестве модели долговечности изделия рассматривается распределение Вейбулла. В ней также приводится объяснение использования графических и аналити* ческих методов.
Гл. 12 посвящена теории последовательных испытаний для подтверждения надежности. Рассматриваются методы их проведения, а также некоторые проблемы практического использования.
В гл. 13 вводится новый материал — байесовские статистические методы применительно к испытаниям изделия. Следует заметить, что во многих случаях инженеру-конструктору заранее бывает многое известно о характеристиках системы. Чтобы программа испытаний была эффективной, эти знания необходимо использовать для вывода количественных показателей. На практике конструкторы и инженеры-испытатели не всегда грамотно используют эти априорные сведения и не рассматривают достаточно большие выборки, необходимые для проведения статистически обоснованных испытаний. В данной главе показано применение байесовского метода при испытаниях изделий, приводятся связанные с ним практические задачи и иллюстрируется возможность использования априорной информации.
Решение задач инженерного проектирования и обеспечения надежности приводит к компромиссному выбору одного из мно-
12 Предисловие
Рис* А,
Предисловие 13
гих вариантов. Характеристики изделия зависят как от фиксированных, так и от регулируемых параметров. Гл. 14 знакомит с применением методов оптимизации при обеспечении надежности на этапе проектирования. В ней рассматриваются различные компромиссы, на которые вынужден идти инженер-конструктор; при этом одним из факторов, безусловно, является стоимость. Инженер-конструктор получает необходимое представление о теории нелинейной оптимизации, однако чтобы полностью усвоить материал этой главы, читатель должен быть знаком с методами оптимизации.
Мы рекомендуем использовать эту книгу как учебное пособие при изучении теории надежности в течение семестра в высшем учебном заведении или при проведении занятий для инженеров, рассчитанных примерно на 80 часов. Необходимо заметить, что в любом случае слушатели должны иметь определенную предварительную подготовку в области технических дисциплин и прослушать вводные курсы по теории надежности и математической статистике.
Если при обучении упор делается на обеспечении надежности на этапе проектирования, то необходимо тщательно изучить гл. 1—8, 13 и 14. Если же основное внимание уделяется испытаниям на надежность, то для преподавания предмета можно использовать гл. 1—3, 5, 9—14. Эти две последовательности изучения материала, зависящие от того, какой теме уделяется основное внимание, показаны на рис. А. Разумеется, существует много других возможностей отбора материала для курса, рассчитанного на изучение в течение полусеместра или целого семестра. Охват материала в конечном счете будет зависеть от подготовки слушателей в области математической статистики, их учебных потребностей и интересов преподавателя.
Мы считаем, что представленный в книге учебный материал подходит для слушателей многих специальностей. В наших учебных группах были представлены слушатели, имеющие подготовку по разнообразным инженерным специальностям, а также по математике и физике.
Авторы хотят поблагодарить ряд организаций, которые помогли накопить знания и приобрести опыт в области теории надежности. Наша работа совместно с отделением „Шевроле мо
14 Предисловие
тор" фирмы Дженерал моторе", Управлением бронетанковой и автотракторной техники сухопутных войск США и фирмой „Форд мотор" позволила нам приобрести опыт, который оказался исключительно ценным при создании этой книги.
Мы хотим поблагодарить также В. Бола, помощника декана факультета организации производства и исследования операций университета Уэйн в Детройте, шт. Мичиган, за его многочисленные замечания и критику первоначального варианта рукописи. Кроме того, мы выражаем искреннюю признательность большой группе слушателей, прочитавших окончательный вариант книги и высказавших много критических замечаний. Все они оказали нам огромную помощь.
К. Капур, Л. Ламберсон.
Обозначения
Глава 2
t—наработка до отказа, случайная величина;
Е (х) —математическое ожидание случайной величины х;
|лх —математическое ожидание случайной величины х;
сгх —среднее квадратическое отклонение случайной ве* личины х;
F(t)—функция распределения наработки до отказа;
F (/) —дополнение функции распределения наработки до отказа, F(t)= 1 —F
Р(А)— вероятность появления события А;
/? (/) —вероятность безотказной работы, R (/) — Р (t /); f(t)— плотность распределения случайной величины t; h(t)—интенсивность отказов;
z—нормированная случайная величина, распределенная по нормальному закону;
<р (г) —плотность нормального распределения нормированной случайной величины;
Ф(г)—функция нормального распределения нормированной случайной величины;
Г (п)—гамма-функция с аргументом п;
Т—средняя наработка на отказ;
Т'—средняя наработка до отказа.
Глава 3
Ez — событие, состоящее в том, что r-я подсистема работает безотказно;
R;—вероятность безотказной работы i-й подсистемы,
Rs—вероятность безотказной работы системы;
Qs—вероятность отказа, Q$=l—Rs.
Глава 4
s—напряжение, случайная величина;
S—прочность, случайная величина;
R—вероятность безотказной работы элемента;
16 Обозначения
7?—вероятность отказа элемента, 7? = 1—/?;
|xs—математическое ожидание напряжения s;
s—оценка среднего значения напряжения s;
ps—математическое ожидание прочности S;
S—оценка среднего значения прочности S;
<rs—среднее квадратическое отклонение напряжения s;
<Ts—среднее квадратическое отклонение прочности S;
п—коэффициент безопасности, n. = jxs/p-s»
Vs—коэффициент вариации для S, Vs = os/ps;
Vs —коэффициент вариации для s; ___
пс—центральный коэффициент безопасности, nc = S/s;
п—коэффициент безопасности, случайная величина, n = S/s;
У(х)—дисперсия случайной величины х.
Глава 5
cov(x, у)—ковариация случайных величин х и у;
р—коэффициент корреляции.
Глава 6
fs(‘)—плотность распределения случайной величины s;
/s(-)— плотность распределения случайной величины S;
у—разность между прочностью и напряжением, случайная величина, y = S—s;
х—медиана случайной величины х;
So—минимальное значение случайной величины S;
Р(/п, п)—бета-функция с аргументами /пип;
$х(т, п)—неполная бета-функция с аргументами тип, усеченная в точке х.
Глава 7
х—оценка среднего значения случайной величины х;
т—напряжение сдвига;
Т—крутящий момент.
Глава 8
/?„—вероятность безотказной работы после п циклов приложения нагрузки;
х,-—напряжение в t-м цикле, случайная величина;
у,- — прочность в t-м цикле, случайная величина;
—событие, состоящее в отсутствии отказов в t-м цикле;
Обозначения 17
gi\yi)— плотность распределения случайной величины уо i = 0, 1,2,
—плотность распределения случайной величины xlt i = 0, 1, 2,
зт;(/)—вероятность появления i циклов в промежутке времени [0, /].
Глава 9
—наработка i-й подсистемы до отказа, случайная величина;
Rs(t)—вероятность безотказной работы системы в момент времени t;
Qs(f)—вероятность отказа системы в момент времени t;
A (t)—коэффициент готовности;
М (t)—коэффициент ремонтопригодности.
Глава 10
0—математическое ожидание случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение (обычно средняя наработка на отказ);
А—интенсивность отказов, А=1/0;
Вг—критерий согласия Бартлетта (г—число отказов);
Ха.п —100(1—а)-й процентиль для случайной величины, распределенной по закону хи-квадрат с п степенями свободы;
Fa, т, п—100(1—а)-й процентиль для случайной величины, имеющей /"-распределение с т и п степенями свободы;
Т—суммарная продолжительность испытаний;
г—общее число отказов;
0—оценка для 0;
б—минимальная долговечность.
Глава 11
Р—параметр формы распределения Вейбулла, или угловой коэффициент прямой;
0—параметр масштаба распределения Вейбулла, или ресурсная характеристика;
б — параметр положения распределения Вейбулла, или минимальная долговечность;
р*—k-й центральный момент;
„ру—случайная величина, обозначающая долю изделий, выходящих из строя до появления /-го упорядоченного наблюдения в выборке объемом ц.
18 Обозначения
Глава 12
Нй—нулевая гипотеза;
Нг—альтернативная гипотеза;
—функция правдоподобия, £Л>п = Л(х1, хг, . ..,xn|0ft), где 0ft—истинное значение параметра.
Глава 13
Р(Д|В)—вероятность появления события А при условии появления события В;
1(хг, х2) — плотность совместного распределения случайных величин Xi и х2;
&(%1|х2)—плотность условного распределения случайной величины xt при данном значении случайной величины х2;
0—оценка параметра 0;
Т—суммарная продолжительность испытаний.
Глава 14
R{—вероятность безотказной работы элемента или подсистемы;
п—число подсистем;
с(р)— функция стоимости, связанная с параметром р.
Глава I. Введение
Изучение надежности связано со случайными появлениями нежелательных событий или отказов во время работы системы. В этой книге используется следующее определение:
„НадежностьХ) системы представляет собой вероятность того, что при работе в заданных условиях система будет удовлетворительно выполнять требуемые функции в течение установленного промежутка времени".
При таком определении очевидны следующие проблемы: 1) допущение о вероятностном характере надежности при возможности появления отказа; 2) принятие принципа удовлетворительной работы системы, параметры которой медленно ухудшаются с течением времени; 3) необходимость оценивать соответствие заданным окружающим условиям.
При оценке надежности системы прежде всего необходимо определить и систематизировать различные виды отказов системы. К сожалению, обычно бывает исключительно трудно дать однозначное определение отказа. Разумеется, полный и катастрофический отказ обнаружить легко, однако характеристики системы могут ухудшаться постепенно с течением времени, и иногда только тонкая грань отделяет исправное состояние системы от отказа. По существу необходимо найти логический способ определения различных видов отказов системы. Если функция системы и критерии отказов заданы в явном виде, то надежность может быть точно выражена количественно через вероятности.
Прежде чем оценить надежность системы, необходимо установить условия и особенности ее эксплуатации. Например, должен быть задан объем профилактического технического обслуживания, если оно вообще допускается; необходимо установить степень
ГОСТ 13377-75 дает следующее определение термина надежность*. „Свойство объекта выполнять заданные функции, сохранения во времени значения установленных эксплуатационных показателей в заданных пределах, соответствующих заданным режимам и условиям использования, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования“. Авторы же имеют в виду один из показателей надежности вероятность безотказной работы.— Прим, ред.
20 Глава 1
участия оператора системы в устранении отказов. Иначе говоря, способ обслуживания системы может влиять на уровень надежности.
1.1. Надежность изделия на этапе проектирования
Надежность является точно таким же внутренним свойством системы, как пропускная способность или номинальная мощность. Уровень надежности устанавливается на этапе проектирования, и впоследствии при проведении йспытаний и изготовлении продукции нельзя повысить надежность без внесения изменений в основную конструкцию. Так как надежность является достаточно абстрактным понятием, которое трудно представить, многие организации оказались неспособными осуществить обширные программы обеспечения надежности. Это не значит, что разработчики систем или руководители фирм не заинтересованы в создании надежных изделий. Скорее затруднительные обстоятельства, в которых находится разработчик, и организационная структура проектно-конструкторских подразделений очень часто препятствуют осуществлению таких программ. Разработка системы обычно требует усилий нескольких конструкторских групп, каждая из которых компетентна в таких вопросах, как определение номинальной мощности, выбор материала или допуски. Однако часто разработчики недостаточно знают основы и принципы теории надежности. Кроме того, проблема надежности в конечном счете требует системного подхода, который трудно применить, если система разрабатывается несколькими специализированными группами.
Существуют многочисленные инженерные справочники для конструкторов по таким вопросам, как свойства материалов и допуски, и они широко используются. Однако в справочнике нелегко изложить применение принципов обеспечения надежности на этапе проектирования. В данной книге рассматриваются метод и принципы, необходимые всем, кто занимается анализом надежности любых систем на этапе проектирования. Для оценки и проверки надежности изделия на этапе проектирования разработаны различные методы.
Конструктор находится в наиболее выгодном положении с точки зрения применения принципов надежности, поэтому он должен знать основные положения теории надежности. Обычно разработчики могут обращаться к нескольким группам специалистов за помощью. Например, конструкторы обычно хорошо знают возможности группы анализа механических напряжений, так как они сами имеют подготовку в этой области. В результате этого они знают, когда давать консультации этой группе,
Введение 21
каких результатов можно ожидать от ее работы и как истолковать полученные ими результаты. Аналогичное взаимодействие должно существовать между конструкторами и группой надежности. Однако часто незнание конструкторами принципов обеспечения надежности препятствует установлению таких взаимосвязей.
1.2. Управление надежностью
Для успешного осуществления программы обеспечения надежности необходимо, чтобы за надежность всей системы в целом отвечала специальная группа. Эта группа надежности должна оказывать помощь при проведении анализа, задании показателей надежности и информировании о ходе работ по их обеспечению. Она должна быть также достаточно компетентной, чтобы наладить взаимодействие на этапе проектирования и обеспечить работу на уровне систем. Поэтому кроме понимания математического аппарата теории надежности группа должна обладать хорошими знаниями принципов проектирования, проблем сопряжения элементов системы, инженерной психологии и уметь выполнять анализ экономической эффективности. Чтобы управлять показателями качества системы, группа должна иметь эффективную и хорошо организованную систему сбора, анализа и обобщения данных о показателях надежности проектируемых и ранее разработанных изделий.
1.3. Испытание изделий
Руководители фирмы не должны сомневаться в выгодности хорошей программы обеспечения надежности, хотя значительно легче подсчитать затраты на содержание группы обеспечения надежности, чем выгоды от нее. Это же относится и к испытаниям изделий. Очевидно, что единственным способом заранее измерить надежность системы является проведение испытаний изделий или элементов в условиях, имитирующих реальные условия эксплуатации до возникновения отказа. Не имея соответствующих данных, невозможно оценить надежность, и, разумеется, чем больше имеется данных, тем более достоверной будет оценка уровня надежности. К сожалению, всесторонние испытания часто оказываются нежелательными, поскольку требуют больших затрат времени и средств. Таким образом, необходимо находить определенный компромисс между ценностью более достоверной оценки надежности и затратами на проведение дополнительных испытаний. Не представляет труда вычислить стоимость программы испытаний, однако трудно вычислить, во что обойдется отсутствие программы испытаний, или определить, какова
22 Глава 1
стоимость различных доверительных уровней. Таким- образом, отсутствие программы испытаний или группы обеспечения надежности не обязательно должно означать, что продукция окажется ненадежной.
1.4. Надежность и инженерная психология
В большинстве случаев человек управляет системой и следит ва ее работой. Человека необходимо рассматривать как еще один фактор, способный ухудшить или улучшить надежность системы. Ухудшение надежности может быть просто результатом взаимодействия человека с машиной. Например, наличие нечетких индикаторов контрольно-измерительных приборов или неправильное расположение органов управления могут ограничивать возможности оператора и вызывать появление непреднамеренных ошибок. Такие факторы, как усталость оператора или ослабление внимания могут еще более усложнить ситуацию. Следует также отметить, что операторы могут повысить надежность системы, выполняя функции, не предусмотренные первоначальной конструкцией, но оказавшиеся необходимыми при устранении недостатков системы. Поэтому для получения полной картины надежности необходимо учитывать человека как элемент системы, и группа обеспечения надежности должна понимать взаимодействие между человеком и машиной и уделять ему внимание. Хотя в этой книге не рассматриваются проблемы инженерной психологии, в книге Маккормика [20] и статье Мейстера [21] приводится обширная литература по этому вопросу.
1.5. Повышение надежности
Надежность часто можно улучшить на начальном этапе разработки и испытаний системы. Повышение надежности можно обеспечить за счет различных факторов. Например, при появлении отказов их анализ дает информацию, используемую для совершенствования системы. Кроме того, опыт, полученный при создании опытных образцов, можно использовать для изготовления более совершенных элементов. Если производится систематическая оценка надежности в начальном периоде эксплуатации, то обнаруживается повышение надежности. Это явление называется „ростом надежности". В задачу группы обеспечения на-, дежности входят наблюдение, прогнозирование и информирование о наличии роста надежности. Эти прогнозы и сообщения о наличии роста надежности указывают на степень продвижения к заданным показателям надежности. Кроме того, они дают основу, позволяющую определить, будет ли достигнут требуемый уровень надежности к установленному сроку. Если окажется,
Введение 23
что поставленных целей нельзя достичь к определенному сроку, то заблаговременно в программу можно внести соответствующие изменения. Более подробно вопросы роста надежности освеща-ются в других работах [5, 9, 18, 23, 24].
1.6. Пересмотр конструкции, характер отказов и анализ дерева отказов
Решения проблем надежной работы или дорогостоящего обеспечения надежности никогда не вносятся в систему заранее. Однако поскольку такие проблемы возникают, желательно использовать независимые друг от друга формальные процедуры пересмотра конструкции. На начальном этапе проектирования используются такие методы, как пересмотр конструкции, анализ характера отказов и анализ дерева отказов. Ясно, что легче всего и экономически наиболее выгодно повышать надежность до того, как будут приняты окончательные решения о конструкции изделия и его выпуске. Однако повышение надежности в начале этапа проектирования в значительной степени зависит от опыта персонала, разрабатывающего изделие, так как работа по существу начинается с технического задания на разработку рабочих чертежей и предварительных макетов системы и на этом этапе отсутствуют какие-либо достоверные данные, необходимые для количественной оценки надежности.
Пересмотр конструкции, т. е. формальный анализ проекта системы с ведением соответствующей документации, осуществляется комиссией, в которую входят ведущие работники фирмы, обладающие опытом в таких областях, как проектирование, надежность и учет производственных затрат. Пересмотр конструкции обычно продолжается на протяжении нескольких стадий разработки изделия. На каждой стадии уточняются результаты проделанной работы, и, таким образом, пересмотр конструкции основывается на текущей информации. Порядок пересмотра конструкции изложен во многих работах [12, 15—17].
Анализ характера отказов представляет собой процедуру предварительной оценки конструкции, применяемую для определения ее недостатков, которые могут вызывать помехи безопасной работе или затруднить обеспечение надежности. Процедура анализа характера отказов начинается на уровне элементов и требует ответа на вопрос: что произойдет, если этот элемент выйдет из строя? Затем прослеживаются последствия отказа до уровня системы в целом. Идентифицируются все отказы элементов, способные вызвать критические последствия для системы; они по возможности устраняются или контролируются. Применение и преимущества анализа характера отказов хорошо освещены в литературе [3, 4, 6, 7, 14, 22].
24 Глава 1
Анализ дерева отказов начинается с определения нежелательного события, и это событие прослеживается через всю систему до выяснения его основных причин. Этот метод анализа сверху вниз может применяться для определения многочисленных проблем, включая неисправности, вносимые оператором. Описание анализа дерева отказов и более подробную информацию о нем можно найти в ряде статей [6, 8, 13]. Ценность этих методов состоит в том, что они требуют рассматривать систему в целом. В процессе проектирования часто подсистемы разрабатываются независимыми группами, и поэтому могут оставаться необнаруженными отказы, возникающие при объединении подсистем.
1.7. Краткая история теории надежности0
Внимание к анализу надежности явилось косвенным следствием проблем, связанных с разработкой в начале 1940-х гг. радиоэлектронных систем, предназначенных для военных целей. По мере усложнения этих систем возрастали проблемы, связанные с радиоэлектронным оборудованием, что побудило ВВС, ВМФ и сухопутные войска США учредить комитеты для исследования вопросов надежности. В 1952 г. Министерство обороны США скоординировало их деятельность и организовало Консультативную группу по вопросам надежности радиоэлектронной аппаратуры [1]. В последние годы вопросы надежности стали важным фактором, учитываемым при проектировании и разработке систем.
1.8. Содержание книги
В этой книге изложены аналитические методы, применяемые при оценке надежности в самом начале разработки нового изделия. Вначале дается определение многих терминов и показателей, используемых при анализе надежности, а затем рассматриваются различные распределения и модели интенсивности отказов. Изложен вероятностный метод, используемый для оценки надежности изделия на этапе проектирования, и исследуется взаимосвязь между вероятностным и обычным подходами к проект тированию. Приводятся методы определения надежности изделия при однократной и многократной нагрузках. Излагается
В отечественной литературе первые статьи, посвященные оценке надежности систем энергетики, появились в середине 30-х годов (см. библиографию к книге: Руденко Ю. Н., Чельцов М. Б. Надежность систем энергетики.— Иркутск: Энергия, 1976).
Развитие теории надежности в нашей стране можно отнести к концу 50-х годов. Именно с этого времени советская школа теории надежности, возглавляемая академиком АН УССР Б. В. Гнеденко, заняла ведущие позиции в мире.— Прим. ред.
Введение 25
систематический подход к оценке надежности на основе результатов испытаний, и дается детальный анализ, для случая, когда наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение и распределение Вейбулла. Кроме того, приводится метод последовательных испытаний на надежность. В книге освещена и такая новая область, как применение байесовских статистических методов при анализе надежности изделия на этапе проектирования, а также при анализе результатов испытаний. Рассматриваются также модели распределения надежности по элементам системы и модели оптимизации.
ЛИТЕРАТУРА
1. AGREE, Reliability of Military Electronic Equipment, Report of the Advisory Group on Reliability of Electronic Equipment, Office of the Assistant Secretary of Defense, Washington, D. C., June 4, 1957.
2. AMCP 702-3, Quality Assurance-Reliability Handbook, Headquarters, U.S. Army Materiel Command, October 1968.
3. ARP-926, Design Analysis Procedure for Failure Mode, Effects and Criticality Analysis (FMECA), Society of Automotive Engineers, Inc., 485 Lexington Ave., N. Y., 10017, September 1967.
4. Arnzen H. E., Failure Mode and Effect Analysis: A Powerful Engineering Tool for Component and System Optimization, Annals of Reliability and Maintainability, Fifth Reliability and Maintainability Conference, N. Y., 5. July 18—20, 1966.
Barlow R. E., Scheuer E. M., Reliability Growth During a Development Testing Program, Technometrics, 8 (1966).
6. Burgess J. A., Shotting Trouble Before it Happens, Machine Design (September 17, 1970).
7. Crown P. L., Design Effective Failure Mode and Effect Analysis, Annals of Assurance Science, 1969.
8. Corsetti P. A., Bruce R. A., Commercial Application of Fault Tree Analysis, Proceedings of the Reliability and Maintainability Conference, V. 9, 1970.
9. Duane J. T., Learning Curve Approach to Reliability Monitoring, IEEE Transactions on Aerospace, 2 (April 1964).
10. Drenick R. F., Mathematical Aspects of the Reliability Problem, Journal of the Society of Industrial and Applied Mathematics, 8, 1 (March 1960).
11. Drenick R. F., The Failure Law of Complex Equipment, Journal of the Society of Industrial and Applied Mathematics, 8, 4 (December 1960).
12. Frederiksen K. A., Reliability Design Review Techniques, Proceedings of the Aerospace Systems Reliability Symposium, Salt Lake City, Utah, April 16—18, 1962.
13. Fussell J. B., Powers G. J., Bennetts R. G., Fault Trees—A State of the Art Discussion, IEEE Transactions on Reliability, R-23, 1 (April 1974).
14. Greene K., Cunningham T. J., Failure Mode, Effects, and Criticality Analysis, Annals of Assurance Science, 1968.
15, Jacobs R. M., Implementing Formal Design Review, Proceedings of the Annual Symposium on Reliability, Washington, D. C., January 10—11, 1967,
16. Jacobs R. M., Cazanjian R., Design Review—The Why and the How, Seventh National Symposium on Reliability and Quality Control, January 9, 1961.
17. Jacobs R. M., Competitive Product Design via Design Review, Proceedings of the Annual Symposium on Reliability, San Francisco, California, January 25—27, 1966.
26 Глава 1
18. Littlewood В., Verrail J. L., A Bayesian Reliability Growth Model foi Computer Software, Journal of the Royal Statistical Society, Series C, 22, 3 (1973).
19. Lloyd D. K., Lipow M., Reliability: Management, Methods, and Mathematics, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1962. [Имеется перевод: Ллойд Д. К., Липов М. Надежность. Организация исследования, методы, математический аппарат.— М.: Советское радио, 1964.]
20. McCormick Е. J., Human Factors Engineering, New York, McGraw-Hill, 1970.
21. Meister D., A Critical Review of Human Performance Reliability Predictive Methods, IEEE Transactions on Reliability, R-22, 3 (August 1973).
22. MIL-STD-1629 (SHIPS), Procedures for Performing a Failure Mode and Effects Analysis for Shipboard Equipment, Department of the Navy, Naval Ship Engineering Center, Hyattsville, Md. 20782, November 1, 1974.
23. Read R. R., A Remark on the Barlow-Scheuer Reliability Growth Estimation Scheme, Technometrics, 13, 1 (February 1971).
(February 1971).
24. Weiss H. K., Estimation of Reliability Growth in a Complex System with a Poisson-Type Failure, Operations Research, 4, 5 (October 1956).
Глава 2. Показатели надежности
Любой анализ надежности системы должен основываться на точно определенных понятиях. Известно, что даже у одинаковых систем, работающих в аналогичных условиях, отказы происходят в различные случайные моменты времени, т. е. отказы могут быть описаны только в терминах теории вероятностей. Таким образом, основные определения надежности должны основываться главным образом на понятиях теории вероятностей.
Данная глава посвящена выводу основных определений и понятий теории надежности. Эти понятия дают основу для количественного описания надежности системы, так как только точное количественное описание позволяет проводить сравнение систем и дает логическую основу для повышения надежности системы. Дается определение таких терминов, как вероятность безотказной работы, ожидаемое время безотказной работы, интенсивность отказов, и на разнообразных примерах иллюстрируется содержание этих понятий.
Основные определения даются в разд. 2.1—2.3. В разд. 2.4 рассматриваются различные распределения, используемые в теории надежности. В нем дается описание нескольких распределений, наработки до отказа, а затем определяются соответствующие им интенсивности отказов. В разд. 2.5 принят противоположный подход: вначале рассматриваются различные интенсивности отказов,. а затем выводятся соответствующие распределения. Такое знакомство с распределениями наработки до отказа и моделями интенсивности отказов имеет важное значение для правильного применения различных моделей.
Поскольку часто решение о выборе того или иного распределения или модели интенсивности отказов принимается на основе результатов испытаний, разд. 2.6 посвящен вычислению и наглядному представлению этих данных с целью использования их в качестве основы для выбора одной из представленных здесь моделей.
Наилучшим способом выбора модели распределения было бы описание физических явлений, вызывающих отказ, а затем использование этих явлений в качестве логической основы для вывода распределения. К сожалению, это трудная задача. В разд. 2.7
28 Глава 2
делается попытка такого подхода, а также продолжается знаком* ство с моделями распределения.
Напомним, что в предыдущей главе основной показатель надежности системы был определен как вероятность того, что система будет удовлетворительно выполнять требуемую функцию при заданных окружающих условиях в течение определенных промежутка времени, числа рабочих циклов или километров пробега. Таким образом, надежность является количественным показателем.
Назначение конкретной системы и ее важность фактически определяют вид показателя надежности, использование которого имеет наибольший смысл и который является наиболее подходящим. Обычно от системы может требоваться выполнение различных функций, каждой из которых может соответствовать различная надежность. Кроме того, в различные промежутки времени (при различном числе циклов либо различных значениях любого другого показателя использования системы) система может иметь различную вероятность успешного выполнения требуемой функции при заданных условиях.
В теории надежности термин „отказ" означает, что система не способна выполнять требуемую функцию. Термин „способность" употребляется здесь в том смысле, что система способна либо не способна выполнять требуемую функцию. Однако обычно понятие „способность" является весьма расплывчатым, и можно определить различные степени способности системы выполнять требуемую функцию.
2.1. Вероятность безотказной работы
Вероятность отказа , как функцию времени можно определить следующим образом:
P(t</) = F(0, />0, (2.1)
где t—случайная величина, обозначающая наработку до отказа. Тогда F (f)—вероятность того, что система выйдет из строя к моменту времени t. Другими словами, F(t)—функция распределения наработки до отказа. Вероятность безотказной работы или вероятность того, что невосстанавливаемая система будет выполнять требуемую функцию в заданный момент времени /, можно записать в виде
/?(O=l-F(O = P(t>O, (2-2)
где R (f) —вероятность безотказной работы.
Показатели надежности 29
> Если случайная величина t (наработка до отказа) имеет плотность распределения f(t), то
t 00
R (t) = 1 — F (0 = 1 — J f (т) dr = J f (т) dx. (2.3) о t
Например, если наработка до отказа описывается экспоненциального распределения, то
/>0, 0 > О,
ПЛОТНОСТЬЮ
(2.4)
и в этом случае вероятность безотказной работы имеет вид
00
Я(0= f (2.5)
Если наработка до отказа имеет распределение Вейбулла
F (0 ~ 1 —ехр t > О, 0 > 0, 0 > 0, (2.6)
то ему соответствует вероятность безотказной работы /?(f)=e-w0>₽, />0. (2.7)
Таким образом, если задана определенная плотность распределения наработки до отказа, то вероятность безотказной работы можно найти непосредственно. Другие распределения рассматриваются в разд. 2.4.
2.2. Среднее время безотказной работы
Среднее время безотказной работы элемента определяется как
00
Е (t) == J xf (т) dx. о
(2.8)
Другое удобное выражение для среднего времени безотказной работы имеет вид
00
£(t) = J R(t)dt. (2.9)
о
Чтобы вывести уравнение (2.9), проведем интегрирование по частям, используя соотношение
30 Глава 2
Пусть и = /?(/) и dv = dt, тогда du = — f (t)dt ”и v=t. Интеграл принимает вид
со со да
$/?(/)(И = р-Ж0]| +\H(t)dt=E(t), (2.10)
0 0 0
так как при / = 0 имеем — Q и для конечного среднего полагаем, что lim [Л 7? (/)] = 0.
t ->да
Когда испытываемая система восстанавливается путем технического обслуживания и ремонта, то £(/) называется средней наработкой до отказа или средней наработкой на отказ. Значительная часть теории восстановления основана на допущении, что с точки зрения появления отказов поведение отремонтированной системы тождественно поведению новой системы. Однако обычно идеальное восстановление невозможно, и в таких случаях уместны такие термины, как „средняя наработка до первого отказа" или „средняя наработка до второго отказа"п.
Термины „средняя наработка до отказа" или „средняя наработка на отказ" следует употреблять, когда задана функция распределения наработки до отказа, так как уровень надежности, определяемый средней наработкой на отказ, зависит от распределения наработки до отказа. Рассмотрение формул (2.3) и (2.10) показывает, что двум различным распределениям наработки до отказа может соответствовать одинаковая средняя наработка на отказ, и в то же время уровни надежности будут различными. Рассмотрим случай, когда значения средней наработки на отказ одинаковы, а наработка до отказа имеет нормальное и экспоненциальное распределения. Нормальное распределение наработки до отказа симметрично относительно среднего значения. Таким образом,
Z?(T) = P(z>0) = 0,5, где z—нормированная нормально распределенная случайная величина. Вычисляя надежность при экспоненциальном распределении наработки до отказа по формуле (2.5) и полагая, что 0 равно средней наработке на отказ Т, получаем, что в момент Т вероятность безотказной работы равна
R (Т) = ехр (- у-) = ехр (-1) = 0,368.
Ясно, что в случае экспоненциального распределения вероятность безотказной работы составляет около 75% значения веро-
Более четкое и детальное изложение понятий „наработка на отказ", „наработка до отказа", „наработка между отказами" см. в книге: Козлов Б. А., Ушаков И. А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики.Советское радио, 1975. —Прим. ред.
Показатели надежности 3!
ятности безотказной работы при нормальном распределении при одинаковых значениях средней наработки на отказ.
2.3. Интенсивность отказов
Вероятность отказа системы в данном промежутке времени [/п /2] можно выразить через вероятность отказа
N tt it
J f(t)dt = $ J f(/)d/ = F(/2)—F(^)
tt — 00 — 00
либо через вероятность безотказной работы
tt 00 со
$ f (О dt = $ / (/) dt- = R (/J —R (t2). ti tt tt
Частота появления отказов в некотором промежутке времени [/р /2] называется интенсивностью отказов в этом интервале. Она определяется вероятностью того, что в этом интервале произойдет отказ за единицу времени при условии, что отказ не-произошел до момента времени с которого начинается этот интервал1*. Таким образом, интенсивность отказов имеет вид
Заметим, что интенсивность отказов является функцией времени. Если записать интервал как [/, t + Д/], то выражение (2.11)
принимает вид
(2.12)
Здесь „интенсивность" выражается числом отказов в единицу времени, однако, как уже говорилось, вместо „времени" можно использовать километры, число оборотов и т. д.
Мгновенное значение интенсивности отказов определяется как предел интенсивности отказов, когда длина интервала стремится к нулю. Таким образом, мгновенное значение интенсивности отказов определяется выражением
t. (/\_ 1™ R (О R (t + AO 1 Г d /А 1_________f (0 /о i q\
Величина h(t)dt представляет собой вероятность того, что изделие, имеющее наработку t9 выйдет из строя в малом проме-
Это определение интенсивности отказов неточно. Точное определение см. в „Справочнике по расчету надежности44.—Прим. ред.
32 Глава 2
жутке времени (/, Важность мгновенного значения ин-
тенсивности отказов состоит в том, что оно показывает изменение интенсивности отказов на протяжении срока службы некоторой совокупности изделий. Например, два варианта изделия могут иметь одинаковую вероятность безотказной работы в определенный момент времени, однако до этого момента их интенсивности отказов могут быть различными.
Выражение для интенсивности отказов h(t) можно вывести также рассматривая совокупность, состоящую из N одинаковых изделий, имеющих функцию распределения наработки до отказа F(t). Пусть МД/)— случайная величина, обозначающая число изделий, безотказно работающих в момент времени t. Тогда МД/) имеет биномиальное распределение
Р [N , (0 = п\ = [7? (/)]»[1-7? (ОГ-,
п = 0, 1....N.
Математическое ожидание случайной величины Nf(/) равно E[N,(t)] = NR(t)=N(t), или
= (2.14)
Таким образом, вероятность безотказной работы в момент времени / выражается средней долей изделий, безотказно работающих в момент времени /. Заметим, что
F(/)=l-7?(0=l-^- = ^^ (2.15)
и
г______________1 dN(t)
dt ~ N dt ’
или
ИО- lim А<0-^ + а-). (2.16)
д/-> О
Ясно, что эта плотность распределения наработки до отказа нормирована относительно первоначального размера совокупности AZ. Однако часто имеет больше смысла нормирование относительно среднего числа изделий, безотказно работающих в момент /, так как это позволяет получить интенсивность отказов для изделий, продолжающих работать. Подставляя в формулу (2.16) N (/) вместо AZ, получаем интенсивность отказов
Л(/) = lim N ^(t+/ (0, (2.17)
Показатели надежности 33
или
h (t) — f т (l' R (0 •
(2.18)
Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы можно связать друг с другом еще одним способом. Из выражения (2.17) следует, что
/г(/) = _^Д J-----------A [1пЛЦ/)1
4 7 dt /V (/) di 1
ИЛИ
t
In N (t) = — J h (t) dx + c, (2.19)
о
где c—постоянная интегрирования. Следовательно,
Af (/) = ec-exp
t
J h (t) dx о
имеем
(2.20)
В данном случае /V (0) = W = ес. После подстановки У вместо ес в выражение (2.20) получаем
t
— J h (т) dx о
Af (/) = Af .ехр
Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов связаны соотношением
Я(0 =
N(t)
= ехр
t
— J h (т) dx о
(2.21)
Рассматривая записать
совместно выражения (2.18) и (2.21),
f(t) = h (/) ехр
t
— J h (т) dx о
можно
(2.22)
Таким образом, функции f(/), R(t) и h(t) взаимосвязаны и, зная одну из них, можно найти две остальные.
К выводу выражений для интенсивности отказов можно подойти также с точки зрения условных вероятностей. Рассмотрим изделие, безотказно проработавшее в интервале [0, /]. Какова вероятность того, что оно выйдет из строя в следующем интервале времени (/, /J? Это означает, что нас интересует условная вероятность 2
2 Кв 544
34 Глава 2
Полагая, что
получаем
(/ < t<^)n(t>/) = <
_F(/1)-F(O_F(Z1)-F(O
R(t)
(2.23)
Если в выражении (2.23) заменить на разделить обе
части на Д/ и перейти к пределу при Д/ -* 0, то получим
lim PU<t</ + A/|t>j] =
Д/ -> о
1 lim 1 dF (t) f(t)
Поэтому можно заключить, что
, /,ч г P(t < t < t + M 11 > /) /i(0= hm
Д/ -> 0
(2.24)
(2.25)
Таким образом, функция h(t) представляет собой скорость изменения условной вероятности появления отказа при условии, что до момента t система работала безотказно. Следует также заметить, что /(/)—скорость изменения во времени обычной вероятности появления отказа.
2.4. Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов при известных распределениях наработки до отказа
Вероятность безотказной работы и соответствующая интенсивность отказов связаны взаимно однозначной зависимостью. В следующем разделе рассматриваются некоторые распространенные распределения наработки до отказа и соответствующие им интенсивности отказов. Рассмотрим также несколько моделей интенсивности отказов.
2.4.1. Экспоненциальное распределение
Экспоненциальное распределение находит широкое применение в теории надежности. Однако его следует применять критически, так как существует множество случаев, когда оно явно не подходит. Для этого распределения запишем формулы (2.4) и (2.5)
Показатели надежности 35
где 0 > 0, и
7?(О = е-'/0, />0.
Плотность экспоненциального распределения показана на рис. 2.1.
В случае экспоненциального распределения наработки до отказа интенсивность отказов постоянна и имеет вид
<2'26>
Гл. 10 полностью посвящена применению экспоненциального распределения при испытаниях на долговечность.
Рис. 2.1. Плотность экспоненциального распределения наработки до отказа.
2.4.2. Нормальное распределение
Плотность нормального распределения имеет колоколообразную форму, симметричную относительно среднего значения.
В данном случае функция распределения записывается как
= j -^exp [-1 (V)’] Л (2.27)
И
/?(/) = 1 —F(0.
Этот интеграл не вычисляется в замкнутом виде, однако таблицы для нормированного нормального распределения легко доступны и могут использоваться для нахождения вероятностей любого нормального распределения.
Плотность нормированного нормального распределения можно представить как
Ф (z) =ёхр (— г2/2)» — 00 <г < °°- (2.28)
у
2*
36 Глава 2
Тогда функция нормированного нормального распределения имеет вид
2
Ф (г) = J ехр (- т2/2) Л. (2.29)
— 00
Для случайной величины t, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием ц и средним квадратическим отклонением о, выражение
Р (t < t) = Р (z С Ь£) = Ф (2.30)
является необходимым соотношением, если должны использоваться таблицы для нормированного нормального распределения (подобные приведенным в приложении 2).
В случае нормального распределения интенсивность отказов является монотонно возрастающей функцией времени t. Это легко показать, доказав, что h' (Z)^0 для всех t. Так как
7(0 1-W то
(2.31)
В формуле (2.31) знаменатель является неотрицательной величиной для всех t. Следовательно, достаточно показать, что
(l-F)/' + f2>0.
Читателю предлагается провести это доказательство, используя основное выражение для плотности нормального распределения f.
Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов для некоторых нормальных распределений показаны на рис. 2.2 и 2.3 соответственно.
Пример 2.1. Элемент имеет нормальное распределение наработки до отказа с параметром (1=20000 циклов и о=2000 циклов. Найдите надежность элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 19 000 циклов.
Решение. Вероятность безотказной работы связана с нормированной случайной величиной z, распределенной по нормальному закону, следующим соотношением:
/?(/)=p(z>^), когда функция распределения случайной величины г задана формулой (2.9).
Показатели надежности 37
R (t)
Рис. 2.2. Вероятность безотказной работы при нормальном распределении наработки до отказа.
Рис. 2.3. Интенсивность отказов при нормальном распределении наработки до отказа.
38 Глава 2
В данном конкретном случае
Р (19 000) = Р [z > —?09^n2—1 = Р [z > - 0,5] = Ф (0,5),
где значение функции Ф(г), заданной формулой (2.9), находим с помощью таблиц (приложение 2). Имеем
R (19 000) = 0,69146.
Значение интенсивности отказов может быть найдено с помощью соотношения
где ф(г) определяется по формуле (2.28) и находится с помощью таблиц (приложение 1). В данном случае
ft (19000) = = 200;:g!,46 = O,000254 отказ/цикл.
2.4.3. Логарифмически нормальное распределение
Плотность логарифмически нормального распределения имеет вид
'>0' ‘2-32>
где р, и о — параметры распределения, —оо<р,<оо и о > 0. Различные кривые плотности логарифмически нормального распределения показаны на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Плотность логарифмически нормального распределения наработки до отказа (а= 1).
Показатели надежности 39
Если случайная величина х определяется как х= In t, то х имеет нормальное распределение- с математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением о, т. е.
Е (х) = £ (In t) = p и
И(х) = И(1п t) = o2.
Так как t = ex, математическое ожидание логарифмически нормального распределения можно найти с помощью нормального распределения. Полагая, что
ЕЩ-ЕИ- j -l=exp[x — — со
и преобразуя выражение для ехр, получаем
Е (t) = exp [и + у] J —-Ц=-ехр^—2^[х—(p + o2)]2j-dx. — со
Математическое ожидание логарифмически нормального распределения равно
E(t)==exp|p + y].
Продолжая аналогичные преобразования, имеем
Е (t2) = Е (е2х) = ехр [2 (р + о2)].
Таким образом, дисперсия логарифмически нормального распределения имеет вид
I/(t) = (^+Q2) (^2—1).
Функция логарифмически нормального распределения имеет вид
(2-33> о г
и ее можно следующим образом связать с нормированной случайной величиной z, распределенной по нормальному закону:
Вероятность безотказной работы записывается как
/?(Z)=P(t>0 = -P(z>^v^). (2-34)
а интенсивность отказов имеет вид
/ Int — р\
(2-35)
40 Глава 2
где ф — плотность нормированного нормального распределения, а р и о—соответственно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение натурального логарифма случайной величины t, обозначающей наработку до отказа. На рис. 2.5 и 2.6 показаны графики функции соответственно вероятности безотказной работы и интенсивности отказов для различных логарифмически нормальных распределений.
Наработка до отказа t
Рис. 2.5. Вероятность безотказной работы при логарифмически нормальном распределении наработки до отказа (а = 0,2).
Пример 2.2. Наработка некоторого элемента до отказа имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами р = 5 и о=1. Найдите вероятность безотказной работы элемента и интенсивность отказов при наработке, составляющей 150 единиц времени.
Решение. Подставляя в формулу (2.34) численные значения |i, о и /, получаем
R (150) = Р (z > ln-ly~5) = Р (z > 0,01)=0,496.
Используя выражение (2.35) для интенсивности отказов, имеем /1п 150-5Х
ННт-’Ч 1 J _ Ф(0,01) _ 0,399 _ — —150.0,496“ 150-0,496“
= 0,0053 отказа в единицу времени.
Показатели надежности 41
Таким образом, значения функции логарифмически нормального распределения легко вычислить, используя таблицы для нормированного нормального распределения.
Рис. 2.6. Интенсивность отказов при логарифмически нормальном распределении наработки до отказа (а = 0,2).
2.4.4. Распределение Вейбулла
Плотность распределения Вейбулла имеет вид
—б)₽-1 Г (t — б\Р1
(2.36)
где р—параметр формы, а (0—б) — параметр масштаба; эти величины всегда положительны. Можно легко показать, что для <>б
R(t) = 1 -F(0 = ехр [- )3] (2.37)
и, следовательно, h = -Уж = “ • (2.38)
v/ R(t) ( _ 6)Р '
Различные формы плотности распределения Вейбулла при 6 = 0 показаны на рис. 2.7.
В отечественной литературе по надежности это распределение носит название распределения Гнеденко — Вейбулла, поскольку Б. В. Гнеденко первым доказал, что это одно из распределений экстремальных значений.— Прим. ред.
42 Глава 2
На рис. 2.8 и 2.9 показаны различные формы функций R(t) и h(i) соответственно при различных значениях 0. Интенсивность отказов убывает при 0 < 1, возрастает при 0>1 и постоянна при 0=1.
Время., t'
Рис. 2.7. Плотность распределения наработки до отказа по закону Вейбулла.
Рассмотрим в частности распределение Вейбулла при 0=1 и 6 = 0. В этом случае выражение (2.37) для вероятности безотказной работы принимает вид
R (0 = ехр [-(2.39)
а интенсивность отказов, определяемая по формуле (2.38), становится равной постоянной величине 1/0. Таким образом, экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
При 0 < 1 распределение Вейбулла принимает форму гиперэкспоненциального распределения. При 0 = 3,5 это распределение приблизительно симметрично относительно центра распределения 6, а при 0 > 3,5 распределение смещается вдоль оси t относительно 6 и приобретает отрицательную асимметрию.
Пример 2.3. Наработка некоторого элемента до отказа имеет распределение Вейбулла с параметрами 0 = 4, 9 = 2000 и 6 = 1000.
Наработка до отказа t
Рис. 2.8. Вероятность безотказной работы при распределении наработки до отказа по закону Вейбулла (0=1).
Рис. 2.9. Интенсивность отказов при распределении наработки
до отказа по закону Вейбулла (0 = 1).
44 Глава 2
Найдите вероятность безотказной работы элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 1500 ч.
Решение. Подставляя заданные значения в формулу (2.37), получаем
R (1500) = ехр[- (SeS)'] - “Р <-°’0625> = °’9Ю-
С помощью формулы (2.38) находим искомую интенсивность отказов:
, ,1СЛЛ. 4 (1500—1000)4-1 4-5003 п ЛПЛ(-
Л(1500) — (2000—1ооо)4 “ 1ооо4 “0’0005 откэз/ч.
2.4.5. Гамма-распределение
Плотность гамма-распределения имеет вид
= />0,п>0, Х>0, (2.40)
где я—параметр формы, а X—параметр масштаба. Следовательно,
Если т) — целое число, то путем последовательного интегрирования по частям можно показать, что
Тогда
00 т=£ £ = Т)
(М)Л ехр (-—X/) k\
n-i
J?(O = l-F(f) = S
fe = 0
(Kt)k ехр (— Kt) k\
hit)
f(i) __ Г(п/
R (t) «-1
у (X0* exp [—A,*]
**
k-0
(2.41)
(2.42)
(2.43)
и
Типичные примеры функций R(t) и h(t) показаны на рис. 2.10 и 2.11 соответственно. Плотность гамма-распределения бывает очень похожа на плотность распределения Вейбулла.
Гамма-распределение может также использоваться для описания времени до n-го отказа системы, если исходное распределение наработки до отказа является экспоненциальным. Это означает, что если случайная величина х( имеет экспоненциаль-
Показатели надежности 45
Рис. 2г1Ю. Вероятность безотказной работы при гамма-распределении наработки до отказа (Л=1).
Рис. 2.11. Интенсивность отказов при гамма-распределении наработки до отказа (Л = I).
46 Глава 2
ное распределение с параметром 0= 1/Х, то случайная величина t = х1 + х2+ ... 4-хп имеет гамма-распределение с параметрами X и п.
Пример 2.4. Наработка некоторого элемента до отказа имеет гамма-распределение с параметрами т] = 3 и Х = 0,05. Определите вероятность безотказной работы элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 24 единицам времени.
Решение, Используя формулу (2.42), определяем
2
(0,05- 24)* ехр (-0,05- 24) п оо £! —0,88.
С помощью формулы (2.40) вычисляем
/ (24)»— 001 j.
1 (о)
Тогда
, /О,Х /(24) 0,011 ЛА1ОС
n(24) = -^75^ = -?f^g-==0,0125 отказа в единицу времени. t\ U,OO
На этом заканчивается рассмотрение распределений наработки до отказа и соответствующих им вероятностей безотказной работы и интенсивностей отказов.
*(24) = Х
2.5. Модели интенсивности отказов и долговечности изделий
Интенсивность отказов h(t) для некоторой совокупности изделий изменяется во времени, как показано на рис. 2.12. Для начального периода времени (от t9 до /х) характерны ранние отказы вследствие дефектов материала или производственных дефектов. Контроль качества и испытания первых образцов обычно
Время
Рис. 2.12. Интенсивность отказов за период службы изделия.
Показатели надежности 47
позволяют исключить многие изделия, не отвечающие техническим требованиям, и тем самым избежать такой большой интенсивности отказов в начальный период. В демографии этот отрезок кривой называется периодом „детской смертности".
Второй отрезок кривой (от момента до момента t2) изображает случайные отказы, вызываемые неожиданным увеличением напряжения, предельно тяжелыми условиями работы и т. д. С точки зрения страхового дела можно было бы провести аналогию с несчастными случаями, происходящими с людьми ежедневно. В таких механических устройствах, как автомобили, подобные отказы можно было бы исключить, осуществляя проектирование в расчете на предельно тяжелые условия эксплуатации, но тогда автомобиль был бы спроектирован с чрезмерным запасом.
Отрезок кривой после точки /2 изображает износовые отказы. Здесь интенсивность отказов возрастает по мере старения оборудования. Если бы удалось достоверно предсказывать момент времени /2, то оборудование можно было бы заменять до начала этого периода.
В некоторых случаях, возможно, более удобно выбирать модель интенсивности отказов, а не распределение наработки до отказа. Поэтому рассмотрим теперь различные модели интенсивности отказов.
2.5.1. Постоянная интенсивность отказов
Рассмотрим вначале случай, когда интенсивность отказов постоянна. Как указывалось выше, на рис. 2.12 постоянная интенсивность отказов имеет место в период службы изделия от момента времени до t2. В этом периоде происходят случайные или внезапные отказы, и эти отказы нельзя объяснить ухудшением прочности изделия стечением времени. Пусть интенсивность отказов задана выражением
h (/) = % отказов в единицу времени, (2.44)
где X — постоянная. Подставляя это значение h(t) в формулу (2.22), получаем
(t X
— J h (т) dxj о /
и
= (2.45)
Функция надежности имеет вид
R^=h^=e'Kt- (2.46)
48 Глава 2
Таким образом, при постоянной интенсивности отказов наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение.
2.5.2. Линейно возрастающая интенсивность отказов
Возрастающая интенсивность отказов наблюдается на последнем участке кривой, изображенной на рис. 2.12, после момента времени t2. В общем случае это нелинейная функция. Для простоты будем считать, что данная функция является линейной. Пусть
й(0 = с/, (2.47)
где с—положительная постоянная. Тогда формула (2.22) принимает вид
f(t) = ct ехр
= ct ехр
/>0. . (2.48)
Выражение (2.48) представляет собой плотность распределения Рэлея. В данном случае функцией надежности является
р (+\__ ! (О _exn I___\
KU) — h(t) ~ехР 2 ) '
2.5.3. Кусочно-линейная U-образная интенсивность отказов
Периоду от момента t0 до момента tv соответствует убывающая интенсивность отказов, характеризующая появление ранних отказов. Обычно после того, как система изготовлена или собрана и введена в эксплуатацию, в начальном периоде интенсивность отказов выше, чем в нормальный период работы. Ранние отказы могут вызываться различными производственными дефектами или дефектами сборки, которые не были обнаружены системой контроля качества. По мере замены неисправных элементов новыми надежность системы повышается. Примером кусочно-линейной U-образной модели интенсивности отказов является следующая модель, рассматриваемая в книге Шумана [17]. Для этой модели
h =
Ч— < К
О t Cq/c^ ^0^1 < ^0»
(2.49)
где X > 0. Эта интенсивность отказов линейно возрастает до значения X, достигаемого в момент cjcb остается постоянной до момента /0, а затем снова линейно возрастает. Соответствующая
I
Показатели надежности 49
плотность распределения определяется для этих трех областей с помощью формулы (2.22):
' (с0 + Х,—С1/)ехр{—[(с0Ч-А.)/— O^i^co/cit
_ J 1 ехр I- № + c"/2ci)J’ c«/ci < z fo>
l{ ’ ~ ] fc (t - ta) +1] exp [(c/2) (t - ttf + (^) + X/j), (2.50)
< t.
Затем определяется вероятность безотказной работы для этих трех областей
Г ехр{—[(СОН-Х) t—С1(/а/2)]}, 0</<c0/Ct;
R (0 = j ехр [— (X/ + cg/2cx)], с0/сг < t (2.51)
I exp {-[(c/2)(/-f0)’ + M + («}. t, < i.
Эта модель интенсивности отказов весьма универсальна и может соответствовать интенсивностям отказов, определяемым эмпирическим путем на основании результатов испытаний.
2.5.4. Интенсивность отказов, описываемая степенной функцией
Интенсивность отказов может быть описана степенной функцией. При параметризации степенной функции в виде
(2.52) имеем
Н0 = Ё§2ехр[-(|)₽] (2.53)
И
Я(0 = ехр[- (|)Р]. (2.54)
Эта параметризация дает распределение Вейбулла. Выбирая различные значения 0, можно получить убывающую, постоянную и возрастающую интенсивности отказов.
2.5.5. Экспоненциальная модель
Если интенсивность отказов резко возрастает или убывает, обнаруживая экспоненциальное поведение, то можно использовать модель
/i(0 = ^a/. (2.55)
Тогда
(2.56)
50 Глава 2
и
£(/)=e-«7a)(eaZ-i).
(2.57)
В данном случае имеем распределение экстремальных значений. Далее это распределение рассматривается в разд. 2.7.4. Характер интенсивности отказов зависит от значений постоянных с и а.
2.6. Оценивание интенсивности отказов, плотности распределения наработки до отказа и вероятности безотказной работы по эмпирическим данным
Рассмотрим теперь методы оценивания различных показателей надежности по эмпирическим данным. Для иллюстрации этих методов используются как малые, так и большие выборки.
В табл. 2.1 приводятся данные о наработке до отказа для восьми пружин. Эти данные позволяют показать применение этого метода для случая малой выборки.
Таблица 2.1
Данные об отказах восьми пружин
Порядковый номер отказа 1 2 3 4 5 6 7 8
Наработка до отказа, тыс. циклов 190 245 265 300 320 325 370 400
В случае малой выборки функция распределения наработки до отказа в r-й по порядку момент появления отказа Zz оценивается как
F (/) = (г _о,3)/(п + 0,4), (2.58)
где п—объем выборки. Методика получения такой оценки рассматривается в разд. 11.3.
Оценка вероятности безотказной работы находится в виде
R (/.) = 1 _F (/z) = (ti— i + 0,7)/(n + 0,4). (2.59)
С помощью выражений (2.11) и (2.12) интенсивность отказов определяется как
h (/.) = /2.60)
Показатели надежности 51
Подставляя в это выражение оценку для получаем
h (//) = 1 /[(G+1 - //) (n -I + 0,7)]. (2.61)
Значение /Г (//)» вычисленное с помощью полученных данных, является оценкой интенсивности отказов.
Значения ординат плотности распределения в момент tt могут быть вычислены с помощью формулы (2.16). Эта оценка имеет вид
f (^) = ; (2.62)
после упрощений имеем
Ш = !/[(« + 0,4) (^+I-OJ- (2.63)
Таблица 2.2
Вычисление показателей надежности с помощью данных, полученных при испытаниях пружин
Порядковый номер отказа i 7(0
1 190 0,083 0,917 55 0,0022 0,0024
2 245 0,202 0,798 20 0,0060 0,0075
3 265 0,321 0,679 35 0,0034 0,0050
4 300 0,440 0,560 20 0,0059 0,0171х
5 320 0,560 0,440 5 0,0248
6 325 0,679 0,321 45 0,0025 0,0082
7 370 0,798 0,202 30 0,0040 0,0198
8 400 0,917 0,083 — — —
1 Это значение интенсивности отказов было получено путем объединения четвертого и пятого интервалов и, таким образом, рассматривался один интервал продолжительностью 20 + 5 = 25 тыс. циклов.
В табл. 2.2 приводятся результаты вычислений, выполненных для данных, полученных при испытаниях пружин. Поскольку короткий интервал между пятым и шестым отказами приводит к резкому увеличению значения h(t), этот интервал был объединен с предыдущим. При использовании эмпирических данных часто бывает необходимо проводить подобное сглаживание.
Оценки вероятности безотказной работы и интенсивности отказов графически изображены на рис. 2.13 и 2.14. При анализе малых выборок необходимо проявлять исключительную осторожность, так как даже одно ложное наблюдение может оказать существенное влияние на результат. Из рис. 2.14 видно, что интенсивность отказов является возрастающей функцией,
52 Глава 2
а это указывает на то, что в качестве теоретического распределения наработки до отказа может быть использовано распределение Вейбулла или распределение Рэлея.
Второй пример посвящен вычислениям в случае выборки большего объема. В табл. 2.3 приводятся данные об отказах
Рис. 2.13. График вероятности безотказной работы, построенный по результатам испытаний пружины.
Рис. 2.14. График интенсивности отказов, построен-ный по результатам испытаний пружины,
Показатели надежности 53
ведущих валов на 46 автомобилях, подвергавшихся испытаниям. В данном конкретном испытании отказ регистрировался, когда ведущий вал изнашивался настолько, что появлялся избыточный шум.
Таблица 2.3
Данные об отказах ведущих валов
Пробег, тыс. км Число отказов
0 т 20 19
20 < т 40 11
40 < т 60 7
60 < т 80 5
80 < 100 4
100 < т 0
В этом примере данные сгруппированы по интервалам шириной 20 тыс. км каждый. Оценка вероятности безотказной работы вычисляется по формуле (2.14), которая имеет вид
Я(0 = ^,
где N (0—число изделий, безотказно работающих в момент t, a N—общее число изделий, поставленных на испытания. Первое значение t, т. е. /0, принимается равным нулю.
Оценивая вероятность безотказной работы для t = 20 тыс. км, получаем
R (20 000) = 27/46 = 0,587.
Интенсивность отказов вычисляется непосредственно по формуле (2.17), имеющей вид
h(f)
где N (/)—число элементов, безотказно работающих в момент времени t, а Д/—ширина интервала. Для первой группы ведущих валов из табл. 2.4 имеем
‘(')“4Йгао=“.2О7'1о“-
Плотность распределения вычисляется по формуле (2.16). Для второго интервала имеем
Л40000)=игаи”°’120-10"‘-
54 Глава 2
Таблица 2,4
Вычисление показателей надежности с помощью данных об отказах ведущих валов
t N-N(t) ho-ю« Я (П • 10*
20 000 19 0,413 0,587 0,207 0,207
40 000 30 0,652 0,348 0,120 0,204
60 000 37 0,804 0,196 0,076 0,219
80 000 42 0,913 0,087 0,055 0,278
100 000 46 1,000 0 0,044 0,500
Показатели надежности, вычисленные с помощью данных о наработке до отказа для ведущих валов автомобилей, графически изображены на рис. 2.15 — 2.17. Из графиков для интен-
Рис. 2.15. График вероятности безотказной работы, построенный по результатам испытаний приводного вала.
Рис. 2.16. График интенсивности отказов, построенный по результатам испытаний приводного вала,
Показатели надежности 55
Рис. 2.17. График плотности распределения наработки до отказа, построенный по результатам испытаний приводного вала.
сивности отказов и плотности распределения наработки до отказа видно, что в качестве теоретической модели распределения наработки до отказа вполне может быть выбрано экспоненциальное распределение. Большое приращение для последнего интервала на графике для интенсивности отказов является неизбежным результатом дискретности метода вычисления.
2.7. Некоторые замечания относительно выбора распределения
На практике обычно приходится выбирать распределение, не имея достаточного объема данных, чтобы можно было проверить его адекватность. Выбор должен основываться либо на прошлом опыте, либо на знании конкретного физического механизма появления отказов. Поэтому было бы крайне важно, если это возможно, научиться устанавливать взаимосвязь между некоторыми физическими состояниями и конкретным распределением. К сожалению, это сложная задача. В следующем разделе рассматриваются причины этой сложности и показан вывод некоторых распределений.
2.7.1. Экспоненциальное распределение, распределение Вейбулла и другие связанные с ними распределения
Рассмотрим случаи, когда окружающие условия оказывают крайне неблагоприятные' воздействия на систему (например, удары, получаемые автомобилем при движении вследствие рытвин и ухабов на дороге, скачки напряжения в бытовых электрических приборах, действие порывов ветра на здания или самолеты). Примем следующие допущения:
56 Глава 2
1. Возмущающие воздействия появляются совершенно случайно и независимо друг от друга, т. е. появление некоторого возмущающего воздействия не дает какой-либо информации о том, когда появится следующее такое же воздействие.
2. Вероятность появления возмущающего воздействия в любом интервале времени Д/ пропорциональна длине этого интервала, коэффициент пропорциональности равен X. Таким образом, вероятность появления одного возмущающего воздействия в интервале Д/ равна ХД/.
3. Функция p(t) обозначает вероятность того, что система выйдет из строя, если в момент t появится возмущающее воздействие.
Если R (/) определяется как вероятность безотказной работы системы в момент то для малого интервала времени Д/ имеем
R(t + &t) = P<
[(система работает безотказно в момент / Л в интервале Д/ возмущающие воздействия не появляются) U (система работает безотказно
в момент t П появляется одно возмущающее ^воздействие П отказ не происходит)
= /?(0(1-ХД0 + /?(/)ХД/[1-р(0] +
После перегруппировки членов и деления на Д£ получаем
= — (0 р (/) +о (Д/).
Переходя к пределу при Д/ —<• 0, имеем ^ = -WW).
Преобразуя это уравнение и решая его относительно R (/), получаем
или
откуда
Если
In R (!) = — j Кр (0 dt, R(t) = e~^pWdt.
Р (t) = р (т) dxt
Показатели надежности 57
ТО
R(t) = e (2.64)
и
f(t) = lp(t)e-KP^9 t^O. (2.65)
Теперь можно посмотреть, какое влияние на систему окажет возмущающее воздействие с течением времени, чтобы выбрать соответствующее распределение. Постоянное значение p(t), равное 1, означает, что любое возмущающее воздействие вызовет отказ системы. В данном случае f(t) является плотностью экспо* ненциального распределения.
Если kp(t)—функция, имеющая вид (0/9) (//О)^"1, то f(t) — плотность распределения Вейбулла. В данном случае система стареет с течением времени, если 0 > 1, т. е. вероятность появления отказа вследствие возмущающего воздействия возрастает с увеличением наработки. Другими моделями, пригодными для описания данной ситуации, являются гамма-распределение и распределение Рэлея. В частности, линейная функция при 0 = 2 приводит к распределению Рэлея.
На рис. 2.18 показана типичная картина изменения напряжения в элементе подвески передних колес автомобиля. Верхним
At,|At2 |At3|
Время t
Рис. 2.18. Изменение напряжения в элементе во времени.
пределом напряжения является омакс, превышение которого приводит к отказу. Допускаем, что задан именно этот верхний предел. Это означает, что элемент не испытывает каких-либо изменений с течением времени, например таких, как деформационное упрочнение вследствие приложенных ранее нагрузок.
Направление напряжения изменяется случайным образом, и приемлемо допущение, что для двух несмежных интервалов времени, например и Д/3, уровни напряжения независимы. В коротких смежных интервалах эта независимость, по-видимому, отсутствует, и малое напряжение в одном интервале озна
58 Глава 2
чает, что и в последующем интервале напряжение будет небольшим. Однако вполне приемлемо допущение о независимости для несмежных интервалов, в особенности при рассмотрении максимальных значений напряжения, приводящих к отказам, когда напряжение превышает верхний предел.
Обычно такая реальная ситуация может быть описана экспоненциальным распределением наработки до отказа. Однако, если основная нагрузка остается неизменной, а постепенное старение или износ с течением времени приводит к изменению значения омакс, то более подходящими могут оказаться распределение Вейбулла, гамма-распределение или распределение Рэлея.
2.7.2. Геометрическое и экспоненциальное распределения
Рассмотрим некоторую систему авиационных приборов. Каждый раз при посадке самолета эта система испытывает нагрузки, а грубая посадка может привести к отказу системы. Грубая посадка может произойти из-за ошибки пилота, плохого состояния взлетно-посадочной полосы или трудных метеорологических условий, т. е. это событие не зависит от состояния системы приборов. Пусть — вероятность того, что f-я посадка окажется грубой, Е( — событие, состоящее в том, что ья посадка является грубой, Fn—событие, состоящее в том, что первый отказ происходит при n-й посадке. Тогда
— £1 П £2 П • • • П П Еп, откуда
Если допустить, что значение не меняется от посадки к посадке, то
P(Fw) = (l-X)-a.
Если обозначить случайную величину, описывающую порядковый номер посадки, при которой система приборов получает повреждение, через ап, то
Р(иг) = (1— 1, 2, ... .
Это выражение представляет собой плотность геометрического распределения.
Теперь для оценки надежности требуется найти вероятность того, что самолет делает п посадок без повреждения системы приборов,
Р(/п>п) = (1 — Х)«. (2.66)
Это и есть вероятность безотказной работы в течение промежутка времени, в котором происходит п посадок.
Показатели надежности 59
Для больших п и малых X можно записать
R (П) = Р (т > и) ж е~п\ (2.67)
Таким образом, если п рассматривается как непрерывная переменная, то вероятность безотказной работы в данном случае в точности соответствует вероятности безотказной работы, получаемой при экспоненциальном распределении. Это указывает на связь между геометрическим и экспоненциальным распределениями.
2.7.3. Распределения наработки системы до отказа
С точки зрения надежности большинство механических и электромеханических бытовых приборов можно рассматривать как системы с последовательным соединением элементов. Это означает, что для нормального функционирования системы все ее элементы должны быть работоспособными. Потребителю часто бывает неизвестно о том, что произошло ухудшение характеристик отдельного элемента; он узнаёт только о полном прекращении работ и отправляет прибор в ремонт.
Допустим, что нас интересует вероятность безотказной работы системы и известно, что вероятность безотказной работы f-го элемента равна R{(t). Тогда для системы, состоящей из т последовательно соединенных элементов, в которой все эти элементы должны функционировать, при допущении о независимости отказов имеем
п.
Яз(0 = П*,(0. (2.68)
1=1
Рассмотрим интенсивность отказов весьма общего вида для г-го элемента ftz (/)==2iz4-cz/*, где Xz, cz и k — постоянные, приведенные в книге Шумана [17]. Тогда
Rt (0 = ехр [ — ]
И
Г / т ^k+i т \1
/?5(0 = ехр — +грт£с'’) •
х 1=1 1=1 /J
Пусть
2 с* = 2 с{, T=k*t.
1 = 1 1=1
Откуда
60 Глава 2
Полагаем, что при увеличении числа элементов т параметр X,* —► оо и с*/(&+1)^*—конечная величина. Тогда
lira = = (2.69)
Это означает, что распределение наработки системы до отказа приближается к экспоненциальному. Практически это означает, что в большой сложной системе наработка на отказ будет иметь экспоненциальное распределение.
2.7.4. Распределение экстремальных значений
Рассмотрим случайную выборку объемом п, взятую из бесконечной совокупности, имеющей функцию распределения F (х), где х—непрерывная случайная величина (—оо<х<оо). Обозначим элементы выборки xv х2, хя. Введем случайную величину
y„ = min(x1, х2..х„).
Случайная величина уп называется наименьшим значением.
Поскольку разрушение материала или выход из строя оборудования связаны с существованием наиболее слабой точки или наиболее слабого элемента, в работах по теории надежности обычно встречается распределение экстремальных значений. Здесь рассматривается распределение наименьших значений, однако этот подход можно использовать и при выводе распределения наибольших значений.
Функция распределения случайной величины у„ может быть представлена в виде
Р<Уа>У) = Р[(Ъ > f/) П (х2 > у) Л ... Л(х„> «/)].
Поскольку независимость обеспечивается в силу того, что выборка является случайной,
п
P(yn>y)=:]lP^i>y), 1= 1
или
Р(Уп>У) = [1 — F (//)]», и тогда функция'распределения случайной величины у„ имеет вид
G»(0== !—[1——00 <У<°°- (2.70)
Плотность распределения легко найти, дифференцируя выражение (2.70):
= (^)[1—^(t/)]"-1» — °°<У<°°. (2.71)
Эта функция называется также плотностью распределения первой порядковой статистики в выборке объемом п.
Показатели надежности 61
Пример 2.5. Найдем Gn(y) и gn(y) в случае экспоненциального распределения
f (х) — \е~к\ х 0.
Функция экспоненциального распределения имеет вид
F(x) = l— е~и, х>0.
Подставляя это выражение в формулу (2.70), получаем
Gn(f/)=l-e-"4 У>0. (2.72)
Это функция распределения наименьших значений, а плотность этого распределения имеет вид
gn (У) = п.ке~п\ «/>0. (2.73)
В данном случае gn (у) можно рассматривать как экспоненциальное распределение с параметром пк.
Если /(х)—интегрируемая функция, то не представляет труда найти Gn(y)-, однако функция f(x) не всегда является интегрируемой, поэтому необходимо исследовать функцию G„(y) при больших п.
Введем следующую случайную величину:
u„ = nF (у„). (2.74)
Здесь F (х)—функция распределения случайной величины х, и поскольку 0 F (х) 1, то 0 С и„ п.
Рассмотрим теперь функцию распределения случайной величины ия. Она определяется как
(и) = Р (и„ < и) = Р [nF (у0) < и] =
=',[>.<'’-(т)]-°. к1©]
Подставляя сюда выражение (2.70) Для Gn(y), получаем
ад-1 О^и^п. (2.75)
При п —* оо Я («) = !-<?-“, и^О, (2.76)
и h (и) = И' (и) = е~и, и^О. (2.77)
Из полученного результата следует, что, поскольку последовательность функций распределения Нп (и) сходится к 1 — последовательность случайных величин иЛ сходится по распределению к некоторой случайной величине, например и. Из соотношения (2.74) следует, что, поскольку последовательность слу
62 Глава 2
чайных величин ип сходится по распределению к случайной величине и, последовательность случайных величин уп сходится по распределению к некоторой случайной величине, например у:
y=F-1 (£)•
Таким образом, предельное распределение наименьших значений задается распределением случайной величины у. В приведенном ниже примере дается вывод соответствующих выражений для случая экспоненциального распределения.
Пример 2.6. Пусть f (х)=Хе-и, х^О, X > 0, и, как и ранее, ип = «^(Уп)-
Следовательно,
u„=n(l—
или
V - 1 1 \ — 1 ГЦП I I funy I. 1
п \ 1 ~(ип/и) у X п \ п ) +•••]•
При п—* оо случайная величина и„ сходится по распределению к случайной величине и; если отбросить члены второго и более высоких порядков, то можно сделать вывод, что случайная величина уп сходится по распределению к случайной величине u/Xn. Плотность асимптотического распределения случайной величины и имеет вид е~и, что следует из выражения (2.77), и после преобразования случайных величин получаем
gn(f/)=«^-n4 //>о,
И
Gn (у) = 1 —е~пКу.
Этот результат совпадает с результатом, полученным в примере (2.5), где было найдено теоретическое распределение случайной величины уя. Предельная форма этого распределения называется асимптотическим распределением наименьших значений типа III.
Если исходное распределение таково, что при х—> оо плотность распределения по экспоненте стремится к нулю, то такое предельное распределение наименьших значений Гумбель [10] называет асимптотическим распределением наименьших значений типа I. Например, это имеет место в том случае, когда исходное распределение случайной величины х является нормированным нормальным распределением. Крамер [4] показал, что в этом случае предельное распределение наименьших значений имеет вид
G(y) = l— ехр ехр > — °° < у < оо, (2.78)
где а > 0 и 0 > 0—постоянные.
Показатели надежности 63
Если в формуле (2.78) ввести обозначение z = (y—а)/0, то
Н (г) = 1 —ехр (—ez),
— оо < г < оо.
Это так называемое приведенное распределение экстремальных значений; оно имеет нормированные параметры а = 0 и 0 = 1. Случайные величины у и z взаимосвязаны. Так, если zR — такое значение случайной величины z, что — Я, то yR~
= a + 0zz?—такое значение случайной величины у, что G(y^) = = 1-Я.
Асимптотическое распределение наибольших значений является зеркальным отражением асимптотического распределения наименьших значений. Функция распределения наибольших значений имеет вид
J (у) = ехр(—^),
— оо < у < оо.
(2.79)
Моменты этих двух приведенных распределений экстремальных значений взаимосвязаны через соотношение £ (х^) = (—1)Л Е (х$), где L и S — наибольшее и наименьшее значения соответственно. Таким образом, эти распределения имеют противоположные знаки при своих средних значениях и одинаковые дисперсии.
Применение распределения экстремальных значений. Распределения экстремальных значений используются, например, при изучении отказов вследствие коррозии. Новые выхлопные трубы автомобилей имеют на внутренней поверхности различные микроскопические дефекты. Выхлопные газы й другие вещества, вызывающие коррозию, увеличивают размеры этих дефектов, и в конечном счете происходит разрушение трубы, когда выхлопные газы могут проходить через какую-либо одну такую каверну, проникшую на всю толщину трубы и образовавшую отверстие. Если допустить, что время образования отверстия пропорционально разности между толщиной выхлопной трубы и первоначальной глубиной каверны, и если эти значения имеют экспоненциальное распределение, то можно показать, что наработка до отказа имеет распределение экстремальных значений.
Пусть D—толщина выхлопной трубы, a dz—первоначальная глубина f-й каверны, i = l, 2, ..., N. Тогда dz обозначает случайную выборку из совокупности, имеющей усеченное экспоненциальное распределение с размахом O^d^D, т. е.
Следовательно,
p—Kd p—'KD l-F(d) = P(d,->d) = e1_^-5-,
64 Глава 2
Пусть tz —время развития f-й каверны в отверстие. На основании принятого нами допущения, tt = k (D — dz), где k — скорость распространения коррозии для данного материала. Тогда
G(0 = JP(t/<0 = p(d^D-|) = ^^l. O^t^kD.
Если t — время безотказной работы выхлопной трубы, то t = min (tz, z = 1, ..., Af),
а поскольку отказ происходит при превращении каверны в точечное отверстие, то в соответствии с формулой (2.70) функция распределения случайной величины t имеет вид
р (t =< о = н (/) = 1 —[1 — g (0F-
Если допустить, что число каверн велико, то при N—>оо //(/)« 1— e-NGa\
Подставляя сюда выражение для G(/), получаем
I—ехр( —.
Введем обозначения a = Af/(ew — 1) и y = X/k, тогда
/>0.
Дифференцируя, имеем
h (0 = Н' (0 «
Полученное выражение представляет собой плотность распределения экстремальных значений.
Пример 2.7. Толщина выхлопной трубы равна D = 1,6 мм. Скорость распространения коррозии k равна 4-10* ч на 1 мм толщины трубы. Число первоначальных каверн равно 10*, а средняя глубина каверны в самом начале работы составляет 0,2 мм. Можно считать, что А. = 0,2 мм-1. Это допущение основано на том факте, что Р (di d)« е~Ка, поскольку можно отбросить e~w как очень малую величину. Нас интересует вероятность безотказной работы, равная 0,90, и требуется определить, при какой наработке обеспечивается эта вероятность безотказной работы.
Решение:
1П4 Л,0,2//4 -104 _ 1\
Р = 0,90 = 1 -Н (0 = ехр Ц
Показатели надежности 65
ИЛИ
0,90 = ехр
104 (e5//1°e—1) ео,з2_1
Решая это уравнение относительно t, получаем
/ = 242 ч.
2.7.5. Некоторые замечания об отказах элементов
В последние годы проводились исследования механизма отказов и распределений наработки до отказа для различных металлов. В настоящее время самым распространенным видом отказа является усталостное разрушение. По существу усталостное разрушение представляет собой постепенный отказ, появляющийся, когда элемент подвергается воздействию достаточно сильных циклических нагрузок. При усталостном разрушении вблизи поверхности появляется одна или несколько трещин, которые распространяются на остальную область, пока не возникнет напряжение, достаточное для появления внезапного разрушения.
Две теории претендуют на объяснение механизма образования трещин и вызываемого ими усталостного разрушения. Первая из них утверждает, что в молекулярной структуре любого металла существуют микроскопические дефекты. Разрушение начинается в самой слабой точке, аналогичной наиболее слабому звену цепи. Поскольку число таких звеньев очень велико, то в качестве модели наработки до отказа, которая может быть выражена через время или число циклов, можно использовать распределение экстремальных значений.
Вторая теория утверждает, что взаимосвязанные структуры в металле укрепляют друг друга примерно так же, как параллельные нити в пучке. Это вызывает эффект усреднения, так как нагрузка распределяется по всем прядям. В этом случае, согласно центральной предельной теореме, применимо допущение о нормальном распределении наработки до отказа. Однако экспериментальные результаты не позволяют сделать определенные выводы, и в качестве удовлетворительных моделей наработки до отказа можно рекомендовать нормальное распределение, распределение экстремальных значений или логарифмически нормальное распределение.
Усталостная долговечность материала описывается кривой усталости, полученной для полированных стандартных лабораторных образцов, подвергаемых изгибанию с перегибом при определенном уровне напряжения до появления разрушения. Теоретическая кривая усталости показана на рис. 2.19, а, а ее различные участки поясняются на рис. 2.19,6. В действительности под действием различных факторов эта теоретическая зависимость 3
3 № 511
66 Глава 2
искажается. Даже в случае идеальных образцов отказы происходят в соответствии с некоторым распределением относительно этой теоретической кривой, как показано на рис. 2.20. Как следует из этого рисунка, распределение числа циклов до отказа
У
Рис. 2.19. Теоретические кривые усталости, построенные в логарифмическом масштабе по результатам испытаний на усталость.
Наработка до отказа
Рис. 2.20. Кривая усталости, построенная в логарифмическом масштабе, с указанием изменчивости при определенном уровне напряжения.
Показатели надежности 67
имеет большую дисперсию при меньших напряжениях, чем при больших. К сожалению, в прошлом объем доступных разработчику данных о фактической изменчивости был ограниченным. Верно также и то, что хотя статистические методы, необходимые для правильного решения этой проблемы, уже существуют в течение некоторого времени, они почти не применяются в подобных случаях.
Рис. 2.21. Изменчивость напряжения и наработки до отказа в реальных условиях (в логарифмическом масштабе).
Необходимо упомянуть еще об одной проблеме. Обычно напряжение элемента меняется, и оно испытывает влияние таких факторов, как коррозия, ползучесть и износ. К сожалению, на практике имеет место определенное распределение напряжения, подобное показанному на рис. 2.21. Путем преобразования его относительно кривой усталости получаем распределение наработки до отказа. Хотя этот график показывает сложность реальной ситуации, на основании теоретических положений невозможно выбрать какое-либо конкретное распределение наработки до отказа. Однако график показывает, что на уровне элементов экспоненциальное распределение можно исключить.
2.8. Краткие выводы
В данной главе были рассмотрены основные показатели надежности, и представленные здесь понятия различным образом используются во всей книге. В данной главе вероятность безотказной работы R(t) выражается как функция времени /. При предварительном анализе на этапе проектирования очень трудно
з*
68 Глава 2
определить, как будет изменяться функция /?(/) во времени. Иначе говоря, без накопленного в прошлом большого опыта в ходе испытаний трудно правильно выбрать распределение наработки до отказа или модель интенсивности отказов. Поэтому часто целесообразно рассматривать статический, или постоянный, уровень надежности. Когда это делается, то имеется в виду, что задан некоторый базовый промежуток времени. Таким промежутком времени может быть гарантийный срок службы или какой-либо другой подходящий период. Если такой промежуток времени выбран, то значения надежности системы и подсистемы оцениваются на основании опыта. Эти показатели надежности используются для определения соответствия изделия техническим требованиям с точки зрения надежности. Именно этим вопросам и посвящена следующая глава.
Трудной с практической точки зрения проблемой, связанной с материалом данной главы, является выбор распределения наработки до отказа. Без большого объема результатов испытаний трудно определить, какое именно распределение подойдет лучше всего — распределение Вейбулла, логарифмически нормальное или гамма-распределение. Эти модели обычно обеспечивают хорошее соответствие экспериментальным данным в средней части области случайных величин, однако они отличаются друг от друга в области больших отклонений. В теории надежности основное внимание обычно сосредоточено на обеспечении высокой надежности, т. е. наибольшее значение, к сожалению, имеют именно эти участки распределения. Хотя существует много статистических критериев согласия, на практике обычно имеется ограниченный объем результатов испытаний, и выбор распределения, по-видимому, лучше всего производить на основании опыта, приобретенного для аналогичных систем. Надеемся, что данная глава поможет сделать правильный выбор.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть t — случайная величина, обозначающая наработку некоторого прибора до отказа, когда
= /^0;
найдите функцию надежности и интенсивность отказов. С помощью интенсивности отказов определите приближенное значение ожидаемого числа отказов за второй час работы, если к концу первого часа вышли из строя три из 50 приборов, поставленных на испытания
2. Долговечность некоторой совокупности приборов имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 800 ч и средним квадратическим отклонением 25 ч.
Показатели надежности 69
а) Постройте в определенном масштабе график плотности нормального распределения для данного случая.
б) Постройте здесь же график интенсивности отказов до зна-чения / = 800 ч.
в) Определите значение плотности распределения в точке / = 775ч и вычислите площадь, соответствующую этой точке на кривой интенсивности отказов.
Допустим теперь, что в момент t = 0 на испытания поставлены 100 приборов.
г) Рассматривая нормальное распределение наработки до отказа, определите ожидаемое число приборов, вышедших из строя за 775 ч.
д) Определите это же число для момента /==800ч.
е) Используя результаты, полученные в п. „г“ и „д“, определите, сколько приборов выйдет из строя в интервале 775—800 ч.
ж) Определите графически плошадь под кривой интенсивности отказов в интервале 775—800 ч. Покажите, как с помощью полученного значения площади определить ожидаемое число приборов, которые выйдут из строя в этом интервале. Почему эти два результата различны?
3. Исследуются два варианта важного элемента для выбора одного из них. Обширные испытания опытных образцов показали, что наработка до отказа имеет распределение Вейбулла при нулевой минимальной долговечности. Стоимость изготовления изделия А составляет 1200 долл., и распределение Вейбулла имеет параметры р = 2 и 0=100^10 4. Стоимость изготовления изделия В составляет 1500 долл., и распределение Вейбулла имеет параметры Р = 3 и 0=1ООч.
а) Гарантийная наработка элемента составляет 10 ч. Какой вариант изделия должна изготавливать фирма и почему?
б) Каким должен быть выбор при продолжительности гарантийной наработки 15 ч?
4. Испытаниям на долговечность подвергаются 15 одинаковых элементов автомобиля. Наработка измеряется в тысячах рабочих циклов. Отказы произошли при следующих значениях наработки: 90, 150, 240, 340, 410, 450, 510, 550, 600, 670, 710, 770, 790, 830, 880.
а) На основании полученных данных постройте графики для плотности распределения наработки до отказа, вероятности появления отказа, интенсивности отказов.
б) Какую модель вы предложите для интенсивности отказов?
5. Случайная величина t имеет нормальное распределение, интенсивность отказов описывается функцией h(f), Найдите асимп
70 Глава 2
тоту интенсивности отказов при произвольно больших значениях t.
6. Рассмотрим кусочно-линейную U-образную интенсивность отказов, определенную в трех представляющих интерес областях следующим образом:
о<.
h(i) = bi—c1ti—c2(t2 — t1) + ca(i — ti), /2<Z<4-oo.
Постоянные, входящие в эти уравнения, определяются таким образом, чтобы удовлетворялись обычные требования к функции h(t), описывающей интенсивность отказов. Найдите вероятность безотказной работы, соответствующую интенсивности отказов, описываемой данной функцией.
7. Рассмотрите следующие функции: а) е~м, б) еа‘, в) с/5, г) di~3, д) e3tlt3, где а, с и d—постоянные, a t^O.
Какая из этих функций может служить моделью интенсивности отказов? Выведите также математические выражения для плотности распределения наработки до отказа и вероятности безотказной работы.
8. Покажите, что при нормальном распределении наработки до отказа интенсивность отказов является монотонно возрастающей функцией.
9. Вычислите ожидаемое число отказов через 18000 км пробега, если испытаниям подвергаются 50 одинаковых элементов автомобиля, характеризуемые следующими' интенсивностями отказов: а) /г(/)=10-5, б) в) h (/) = 10“4ехр[10“2/].
10. Рассмотрите гамма-распределение с различными значениями параметра X при г) = 2 и постройте кривые, аналогичные изображенным на рис. 2.10 и 2.11.
00
11. Покажите, что J h (t)dt —> оо. о
12. Наработка некоторого элемента до отказа имеет гамма-распределение с параметрами т| = 2 и Х= 0,001. Определите вероятность безотказной работы элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 100 единицам времени. Каково среднее время безотказной работы элемента?
13. Ниже в таблицах приведены данныеп, показывающие пробег до первого и последующих серьезных отказов двигателя в автобусном парке, состоящем из 191 машины. Постройте гра-
L) С разрешения автора эти данные взяты из статьи: Davis D. J., An Analysis of Some Failure Data, Journal of the American Statistical Association, 47, 258 (June 1952),
Показатели надежности 71
фики для интенсивности отказов и плотности распределения наработки до первого отказа, наработки до второго отказа и т. д. Определите возможные теоретические распределения наработки до отказа.
Пробег, тыс. км Наблюдаемое число отказов Пробег, тыс. км Наблюдаемое число отказов
Наработка до первого отказа Наработка до второго отказа
Менее 30 6 0— 30 19
30— 60 11 30— 60 13
60— 90 16 60—90 13
90-120 25 90—120 15
120—150 34 120—150 15
150—180 46 150—180 18
180—210 33 180—240 7
210—240 16 240 и более 4
240—270 2
270 и более 2 Всего 104
Всего 191
Наработка до третьего отказа Наработка до четвертого отказа
0— 30 27 0- 30 34
30- 60 16 30— 60 20
60— 90 18 60— 90 15
90—120 13 90-120 15
120—150 И 120 и более 12
150 и более 16
Всего 96
Всего 101
Наработка до пятого отказа
0— 30 29
30— 60 27
60— 90 14
90—120 8 —
120 и более 7
Всего 85
14. Полагая, что f(x)—унимодальная плотность распределения с модой х, докажите, что Л'(х) = /i2(x).
72 Глава 2
15. Совокупность имеет равномерное распределение с плотностью
о<х^е.
Найдите функцию распределения и плотность распределения экстремальных значений в случайной выборке объемом п. Используйте точную теорию, а не аппроксимацию для больших п.
16. При условиях упражнения 15 найдите математическое ожидание и дисперсию распределения наименьших значений.
17. Выполните упражнение 15 при допущении, что п велико, используя асимптотическое распределение экстремальных значений.
18. Задана плотность распределения
= 0<х<1, р>0.
Найдите асимптотическое распределение наименьших значений.
19. Допустим, чтох—непрерывная случайная величина с функцией распределения F(x), а хп х2, ..., хп—случайная выборка объемом п, взятая из данной совокупности. Введем обозначение zn = max(x1, х2, ..., х„). Найдите функцию распределения и плотность распределения случайной величины zn. При п—>оо найдите асимптотическое распределение случайной величины zn. Указание: пусть un = n[l —-F (zn)].
20. Задана функция распределения
F(x)=l —ехр [—(1)“] , х>0, р > 0, 9 > 0.
Найдите распределение наименьших значений, используя как точную, так и асимптотическую теорию.
21. В систему гарантийного обслуживания поступают данные об эксплуатационных отказах. Получены следующие данные об отказах тормозных барабанов задних колес пикапа определенной марки.
Пробег, тыс. км Число отказов Пробег, тыс. км Число отказов
М < 2 707 12<М < 14 141
2<Л1 < 4 532 14<М < 16 78
4<Л1 < 6 368 16<М < 18 101
6<М < 8 233 18<М < 20 46
8<Л4 < 10 231 20<Л4 < 22 51
10 < М < 12 136 22 < М < 24 56
Показатели надежности 73
Постройте с помощью полученных данных графики для интенсивности отказов, функции распределения наработки до отказа и функции вероятности безотказной работы. Поскольку эти данные только об отказах, то что затрудняет использование их для прогнозирования?
22. Рычаги стеклоочистителя автомобиля имеют усталостную долговечность, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 500 тыс. циклов и средним квадратическим отклонением 25 тыс. циклов.
а) Найдите вероятность безотказной работы рычагов стеклоочистителя за 450 тыс. циклов.
б) Постройте график интенсивности отказов.
в) Если вероятнрсть появления отказа в процессе эксплуатации не должна превышать 10%, то как часто нужно заменять щетки стеклоочистителя на вашем автомобиле? (Заметим, что при решении этой задачи потребуется получение нескольких оценок, например частоты включения стеклоочистителей и количества дождливых дней в вашем районе.)
ЛИТЕРАТУРА
1. Aziz P. М., Application of the Statistical Theory of Extreme Values to the Analysis of Maximum Pit Depth Data for Aluminium, Corrosion, 12 (October 1956).
2. Bazovsky 1., Reliability Theory and Practice, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1961. [Имеется перевод: Базовский И. Надежность. Теория и практика.— М.. Мир, 1965.]
3. Bompas-Smith J. Н., The Determination of Distributions that Describe the Failure of Mechanical Components, Annals of Assurance Science, 1969.
4. Cramer H., Mathematical Methods of Statistics, Princeton, N. J., Princeton University Press, 1946. [Имеется перевод: Крамер Г. Математические методы статистики. Изд. 2-е.— М.* Мир, 1975.]
5. Epstein В., Statistical Aspects of Fracture Problems, Journals of Applied Physics, 19 (1948).
6. Epstein B., Elements of the Theory of Extreme Values, Technometrics, 2, 1 (February 1960).
7. Freudenthal A. M., Gumbel E. J., Failure and Survival in Fatigue, Journal of Applied Physics, 25, 11 (November 1954).
8. Freudenthal A. M., Gumbel E. J., Minimum Life in Fatigue, American Statistical Association Journal, 49 (1954).
9. Герцбах И. Б., Кордонский X. Б. Модели отказов.—М.: Советское радио, 1966.
10. Gumbel Е. J., Statistics of Extrems, New York, Columbia University Press, 1958. [Имеется перевод: Гумбель Э Статистика экстремальных значений—М.. Мир, 1965.]
11. Kececioglu D., Smith R. Е.» Felstead Е. A., Distributions of Cycles-to-Failure in Simple Fatigue and the Associated Reliability, Proceedings of the 8th Reliability and Maintainability Conference, Denver, Colorado, July 7—9, 1969.
12. Lloyd D. K., Lipow M., Reliability: Management, Methods and Mathematics, Englewood Cliffs, N. J,, Prentice-frail, 1962. [Имеется перевод: Ллойд Д. К.,
74 Глава 2
Липов М., Надежность. Организация исследования, методы, математический аппарат.— М.: Советское радио, 1964.]
13. Military Standard 781В, Reliability Tests: Exponential Distribution, Department of Defence, November 1967.
14. Miner M. A., Cumulative Damage in Fatigue, Journal of the American Society of Mechanical Engineers, 12, 3 (1945).
15. Reliability Handbook, AMCP 702-3, U. S. Army Materiel Command, Washington, D. C., October 1968.
16. Sasieni M., Yaspen A., Friedman L., Operations Research: Methods and Problems, New York, John Wiley and Sons, 1959.
17. Shooman M. L., Probabilistic Reliability: An Engineering Approach, New York, McGraw-Hill, 1968,
Глава 3. Статические модели надежности
В этой главе при анализе надежности используются статические модели. При исследовании надежности системы с использованием статических моделей показатели надежности элементов или подсистем считаются постоянными, поскольку задается некоторый базовый промежуток времени. Разд. 3.1 и 3.2 посвящены моделям надежности простых систем с последовательным и параллельным соединением элементов, и в них приводится вычисление показателей надежности. Затем в разд. 3.3 и 3.4 рассматривается вычисление показателей надежности для более сложных комбинаций таких простых моделей. В разд. 3.5 обсуждаются некоторые конструктивные методы обеспечения надежности.
Анализ надежности систем с помощью статических моделей представляет собой определенную форму предварительного анализа. Он используется для оценки возможного состава оборудования на этапе проектирования и определения необходимых уровней надежности подсистем и элементов. Пр мере перехода проектирования на заключительные этапы может выполняться более детальный анализ, и, наконец, изготавливаются опытные образцы для проверки надежности системы путем проведения испытаний.
Функциональная блок-схема системы позволяет определить влияние отказа той или иной подсистемы на рабочие характеристики системы. При таком анализе, требующем разбиения сложных систем на подсистемы или элементы, предполагается, что каждый элемент находится в одном из двух состояний: исправное состояние или отказ.
Структура блок-схемы конкретной системы зависит от вида выполняемых функций. В качестве примера рассмотрим простой двойной выключатель, изображенный на рис. 3.1. Если основное требование состоит в том, чтобы цепь срабатывала на замыкание, то блок-схема будет представлять собой последовательное соединение, изображенное на рис. 3.2, а. Однако, если основное требование состоит в том, чтобы цепь срабатывала на размыкание, то блок-схема будет представлять собой параллельное соединение, представленное на рис. 3.2, б. Заметим, что эти блок-схемы по
76 Глава 3
строены для определения безотказной работы, а не для представления электрической схемы.
Покажем применение методов теории вероятностей при оценке надежности системы. Больше всего нас интересует вероятность безотказной работы в заданном промежутке времени. При изложении этого материала предполагается, что функциональная схема уже составлена и рассматриваемые подсистемы выходят из строя независимо друг от друга. В зависимости от способа разбиения системы подсистема представляет собой некоторую группу элементов низшего уровня или же только один элемент.
Рис. 3.1. Пример двойного выключателя (Л, В).
Рис. 3.2. Блок-схема двойного выключателя.
Употребляются следующие обозначения: £z—событие, состоящее в том, что i-я подсистема работает безотказно; Р^Р(Е{)— вероятность безотказной работы подсистемы; Rs—вероятность безотказной работы системы.
3.1. Системы с последовательным соединением элементов п
Последовательное соединение элементов, по-видимому, является наиболее распространенной моделью и, к счастью, также наиболее простой для анализа. Чтобы система с последовательным соединением функционировала, все подсистемы должны работать
Здесь и далее по тексту имеется в виду соединение элементов в смысле надежности.— Прим. ред.
Статические модели надежности 77
безотказно. Блок-схема системы с последовательным соединением элементов показана на рис. 3.3. В данном случае
= Р [£i П Е2 П • • • П £я],
Рис. 3.3. Блок-схема системы с последовательным соединением элементов.
и вследствие принятого нами допущения о независимости отказов /?5=Р(Е1)Р(£2)...Р(£п), или
п
#3= П Rt, (3.1)
1= 1
где правая часть представляет собой произведение вероятностей безотказной работы подсистем.
Формула (3.1) выражает правило умножения вероятностей. Очень часто структура изделия требует применения именно этого правила для вычисления вероятности безотказной работы. К сожалению, надежность системы быстро убывает при увеличении числа последовательно соединенных элементов; всегда надежность системы не превышает надежности наименее надежного элемента. Таким образом, для системы с последовательным соединением элементов имеем
min {/<•}. (3.2)
i
Если требуется обеспечить заданную вероятность безотказной работы системы, то быстрое приближенное вычисление необходимой вероятности безотказной работы подсистем производится следующим образом. Пусть q—вероятность отказа подсистемы. Тогда, полагая, что для всех подсистем значения q одинаковы, имеем
#s=(i-<7)n;
разлагая бином Ньютона, находим
1 + п (- qy + (-# qy.
Полагая, что значение q мало, и отбрасывая члены высокого порядка, получаем
Rsm l—nq.
При использовании этой аппроксимации полезно знать, что если ш? = 0,1, то получаем результат с точностью до двух десятичных знаков.
78 Глава 3
Пример 3.1. Если требуемая вероятность безотказной работы системы, состоящей из 20 элементов, составляет /?$ = 0,99999, то 0,99999=1 — 20^ и
<7=0,0000005 или
R = 0,9999995.
Таково приближенное значение надежности элемента, необходимое для того, чтобы обеспечивалась заданная надежность системы.
Приближенное выражение для надежности системы с последовательным соединением элементов при различных значениях q( имеет вид1’ п
(3.3)
i= 1
3.2. Системы с параллельным соединением элементов
Система с параллельным соединением элементов не выходит из строя, пока не отказали все ее элементы. Блок-схема для анализа надежности системы с параллельным соединением элементов показана на рис
3.4.
Рис. 3.4. Блок-схема системы с параллельным соединением элементов.
Вероятность безотказной работы системы вычисляется следующим образом. Если Qs—вероятность безотказной работы системы, то
Сз = Р[Ё1Л£2П ... п£„],
Выражение (3.3) справедливо при выполнении условия п max qi<^. 1. —
Прим, ped,
Статические модели надежности 79
где Еп и Еп—взаимно дополнительные события. Полагая, что все эти события независимы, имеем
Qs = P(£1)P(Es)...P(En' или
&=П(1-ЯЛ (3.4)
i=l
Тогда вероятность безотказной работы системы определяется как дополнение вероятности до единицы, и
п
Я$ = 1 — П (1—Я,). (3-5)
1= 1
При анализе системы с параллельным соединением элементов подразумевается, что при включении системы включаются все подсистемы и что отказы не влияют на надежность подсистем, продолжающих работать.
Рассмотренное параллельное соединение называется чисто параллельным включением, и, как уже говорилось, оно нетипично. Во многих случаях используются другие способы параллельного соединения. В действительности в системах с параллельным соединением элементов, особенно в механических, чаще используется включение по схеме ненагруженного резерва и параллельное соединение с распределением нагрузки.
В системе с ненагруженным резервом ненагруженный элемент не включается, пока не выйдет из строя нагруженный элемент. Этот случай показан на рис. 3.5. Переключатель S может пред-
Рис. 3.5. Система с ненагруженным резервом.
ставлять собой автоматический датчик либо просто условно означать, что оператор заменяет элемент А элементом В, Хорошим примером ненагруженного резерва является запасное колесо автомобиля. Систему с ненагруженным резервом нужно анализировать как динамическую модель, и этот вопрос рассматривается в следующей главе.
В системе с распределением нагрузки по параллельным элементам при появлении отказа увеличивается интенсивность отказов элементов, продолжающих работать. Примером системы с распределением нагрузки по параллельным элементам является
80 Глава 3
автомобильное колесо в сборе; если какая-либо стопорная гайка ослабляется, то остальные гайки должны выдерживать большую нагрузку; следовательно, с каждым последовательным отказом увеличивается интенсивность отказов. Таким образом, система с распределением нагрузки при параллельном соединении элементов фактически не является статической моделью.
Еще одной формой резервирования является система „г из п“. В такой системе имеется п параллельно соединенных элементов, однако для того, чтобы система продолжала работать безотказно, должны сохранять работоспособность не менее г элементов. Примером такой формы резервирования являются канаты висячего моста, когда для того, чтобы держать это сооружение, необходимо некоторое минимальное число таких канатов.
Вероятность безотказной работы системы „г из п“ имеет вид
п
Х=' 4 '
где R—вероятность безотказной работы подсистемы, предполагаемая одинаковой для всех подсистем, и
/ п \_ п!
\ X J — х\ (п—х) I ‘
В случае подсистем с неодинаковой надежностью может использоваться простой перебор всех вариантов (этот вопрос рассматривается в одном из последующих разделов).
3.3. Сочетание параллельного и последовательного соединений элементов
Простые комбинации подсистемы с параллельным и последовательным соединениями элементов можно легко проанализировать путем последовательного объединения подсистем в группы
Рис. 3.6. Система с последовательно-параллельным соединением элементов.
параллельно или последовательно соединенных эквивалентных элементов. Рассмотрим в качестве примера последовательное соединение подсистем с параллельными элементами, изображенное на рис. 3.6. Для вычисления надежности этой системы
Статические модели надежности 81
вначале объединим параллельно соединенные элементы подсистем и будем рассматривать последовательное соединение эквивалентных элементов. Допустим, что известны показатели надежности этих элементов: /?л = 0,9, 7?8=0,8, Rc = 0,7 и T?D = 0,6. Тогда вероятность безотказной работы последовательно соединенных эквивалентных элементов равна
ЯАв= 1 — 0,1.0,2 = 0,98
и
RCd= 1—0,3-0,4 = 0,88.
Таким образом, вероятность безотказной работы системы равна
7?s = 0,98-0,88 = 0,8624.
Вторая система показана на рис. 3.7, где подсистемы с последовательным соединением элементов соединены параллельно. В данном случае методика преобразования состоит в том, что
Рис. 3.7. Система с параллельно-последовательным соединением элементов.
вначале объединяются последовательно соединенные элементы подсистем, а затем рассматриваются параллельно соединенные эквивалентные элементы. Предположим, что в данном случае элементы имеют такую же надежность, как и в предыдущем примере. Таким образом, вероятность безотказной работы параллельно соединенных эквивалентных элементов равна
RAC — 0,9.0,7 = 0,63 и
flBD = 0,8.0,6 = 0,48.
Следовательно, вероятность безотказной работы системы равна Яя=1-(1-Ялс)(1-Яво) =
= 1—0,37-0,52=1 —0,1924 = 0,8076.
Заметим, что различие в значениях показателя надежности систем обусловлено различным соединением подсистем.
При рассмотрении комбинаций последовательно и параллельно соединенных элементов применимы прямые методы вычислений, используемые в случае простых систем с последовательным и параллельным соединениями элементов. Таким образом, для
82 Глава 3
анализа систем с комбинациями последовательных и параллельных соединений элементов основные формулы применяются последовательно.
3.4. Анализ сложных систем
Конфигурация некоторых изделий или характер сложных отказов могут привести к созданию систем, для описания которых параллельное или последовательное соединение элементов не годится. Рассмотрим в качестве примера систему, изображенную на рис. 3.8. В этой системе отказ подсистемы Е сразу нарушает пути ED и ЕС. Таким образом, это соединение не яв-
Рис. 3.8. Конфигурация сложной системы.
ляется параллельным. Может быть предложено несколько способов описания такого случая. Рассматриваемый здесь метод не является простейшим для некоторых конкретных приложений. Однако его всегда можно применить, и он позволяет рассмотреть влияние различных видов отказов на работу системы.
Метод состоит в том, что рассматриваются все взаимоисключающие способы появления отказов в системе. Рассмотрим, например, трехэлементную систему. Обозначим элементы А, В и С. Определим А как событие, состоящее в том, что элемент А работает безотказно. Введем аналогичные определения для В и С. Пусть Р (Л) = 0,95, Р (В) = 0,90 и Р (С) = 0,85. Затем при допущении независимости отказов вычисляются вероятности для каждого способа появления отказов. Так, вероятность Р (Л П В П С) равна Р (Л) Р (В) Р (С). Эти вычисления показаны в табл. 3.1.
Поскольку появления отказов являются взаимно несовместными событиями, эти вероятности можно суммировать^ Например, если отказ вызывают только события ЛпВПС, ЛпВПС и ЛПВПС, то вероятности появления отказа равна 0,0808 + + 0,0042 + 0,0008 = 0,0858. Этот метод позволяет анализировать и систематизировать влияние на систему каждого способа появления отказа.
Очевидным недостатком метода является то, что число способов появления отказов быстро возрастает при увеличении
Статические модели надежности 83 '
Таблица 3.1
Вычисление вероятности безотказной работы системы
Число отказавших элементов События, характеризующие состояния системы Вероятность
0 jnanc 0,7268
1 ЛПВПС 0,0382
4ЛВПС 0,0808
4ПВПС 0,1282
2 АПВПС 0,0042
АЛбПС 0,0068
4ЛВПС 0,0142
3 АЛВЛС 0,0008
2=1.0000
числа элементов. Число способов появления отказов можно легко вычислить. Так, если п—общее число подсистем, ах— число рассматриваемых отказов, то —число способов появ-
ления х отказов. Например, если п = 5 и х= 2, то имеем ^) = = 10 способов появления отказов, когда выходят из строя два элемента, а общее число различных способов появления отказов равно
s(:)=2"-х=0
Громоздкие вычисления, неизбежные для данного метода, можно упростить, используя машинные методы.
3.5. Определение надежности при проектировании
Уровень надежности определяется в процессе проектирования, и на последующих этапах изготовления, сборки и поставки системы, безусловно, невозможно повысить этот заложенный уровень надежности. На этапе проектирования определяется также структура системы, а выбранная структура системы влияет на уровень надежности и определяет затраты, необходимые для достижения этого уровня. Таким образом, предварительный анализ надежности, а также определение многих других конструктивных параметров необходимо проводить на этапе проектирования.
84 Глава 3
Конструктор, создавая систему, должен быть знаком с основными методами теории надежности, которые могут применяться для оценки конструкции. Только после завершения проектирования специальная группа надежности может провести расчетную и экспериментальную оценку показателей надежности изделия. Поэтому важно, чтобы конструктор оценивал уровень надежности и стоимость различных проектов прежде, чем сделать окончательный выбор. В этом разделе рассматриваются некоторые компромиссные решения, принимаемые при расчете надежности, которые могут оказаться полезными для конструктора при оценке различных вариантов.
3.5.1. Системы с последовательным соединением элементов
Вследствие характера системы с последовательным соединением элементов ее надежность зависит как от числа элементов, так и от их уровня надежности. Эта зависимость показана на
Рис. 3.9. Вероятность безотказной работы системы с последовательным соединением элементов, характеризующихся вероятностью безотказной работы /?.
рис. 3.9. Как можно видеть, надежность системы с последовательным соединением элементов можно увеличить за счет уменьшения числа последовательно соединенных элементов и за счет
Статические модели надежности 85
повышения надежности каждого из них. При этом вероятность безотказной работы системы возрастает незначительно. Очевидно также, что с увеличением числа элементов вероятность безотказной работы системы уменьшается.
3.5.2. Системы с параллельным соединением элементов
Параллельное соединение элементов обычно рассматривается как способ повышения надежности системы. Однако этот выигрыш не всегда может быть реализован. Прежде всего проектирование системы с параллельным соединением элементов механического типа обычно является исключительно трудным делом. По-види-мому, более типичны такие формы резервирования, как обеспечение запасными частями (ненагруженный резерв) или использование конструкции с распределением нагрузки.
Вторая проблема, связанная с параллельным соединением элементов, заключается в следующем. На рис. 3.10 показано,
Вероятность безотказной работы элемента
Рис. 3.10. Повышение надежности при параллельном соединении т элементов,
86 Глава 3
что при заданной надежности элемента выигрыш в вероятности безотказной работы системы вследствие увеличения числа параллельно соединенных элементов растет все медленнее.Х) На графике показано, что после подключения четвертого параллельного элемента прирост надежности системы исключительно мал. Таким образом, увеличение числа параллельно соединенных элементов может оказаться менее выгодным по сравнению с установкой более надежного элемента.
3.5.3. Системы с последовательным и параллельным соединением элементов
Допустим, что имеется система, состоящая из п элементов. Мы можем либо ввести резервные элементы и получить блок-схему, изображенную на рис. 3.11, либо создать полностью резервированную систему, показанную на рис. 3.12. Первый
Рис. 3.12. Общее резервирование.
п Более естественно, на наш взгляд, говорить об уменьшении вероятности отказа,. Действительно, если разница между значениями вероятности безотказной работы 0,99 и 0,9999 и может показаться несущественной, то уж никто не будет сомневаться в целесообразности резервирования для снижения вероятности отказа в 100 раз: с 0,01 до 0,0001.—Прим. ред.
Статические модели надежности 87
способ называется поэлементным или раздельным резервированием, а второй—общим. Задача проектирования состоит в том, как сравнить эти два способа резервирования. При последующем анализе предполагается, что все элементы имеют одинаковую надежность.
В случае раздельного резервирования (рис. 3.11) вероятность безотказной работы группы параллельно соединенных элементов имеет вид
Я£(?=1-(!-₽)“. (3.7)
Затем, рассматривая вероятность безотказной работы Req этих последовательно соединенных эквивалентных элементов, находим вероятность безотказной работы системы
Rs, разд = [1-(1-/?ГЬ (3.8)
На рис. 3.13 построен график, соответствующий этому уравнению для различных уровней надежности элементов. График показывает влияние надежности элементов, их числа, а также числа групп параллельно соединенных элементов на надежность системы.
Число последовательно соединенных групп элементов п
Рис. 3.13. Раздельное резервирование.
~ ------К^0г7.
88 Глава 3
В системе с общим резервированием, изображенной на рис. 3.12, вероятность безотказной работы эквивалентной цепочки элементов имеет вид
REQ = Rn
для каждой параллельной цепочки. Таким образом, вероятность безотказной работы выражается формулой
Rs. общ =1-(1 — Rn)m- (3.9)
График, соответствующий этому уравнению, показан на рис. 3.14. И в этом случае можно наблюдать влияние структуры системы и надежности элементов на надежность системы.
Число последовательно соединенных элементов п
Рис. 3.14. Общее резервирование. - - - R = o,9; ----Я=0,7.
Сравнение графиков на рис. 3.13 и 3.14 показывает, что во всех случаях раздельное резервирование обеспечивает более высокую надежность. Однако это различие не является существенным, если элементы имеют высокую надежность. По существу эти графики показывают, что введение резервных элементов обеспечивает более высокую надежность, чем введение резервных систем. Разумеется, это может относиться и к подсистемам различного уровня в зависимости от возможного разбиения системы, поскольку в некоторых случаях конструкция или особенности
Статические модели надежности 89
системы делают невозможным применение всех этих правил. Кроме того, необходимо рассматривать работу системы в целом. Например, если тормозная система автомобиля отказывает при скорости 80 км/ч в условиях интенсивного уличного движения, то мало проку от того, что в багажнике будет полный набор запасных частей. Поэтому эти общие рекомендации нужно применять осмотрительно1}.
3.6, Краткие выводы
Надежность необходимо рассматривать на самой ранней стадии процесса проектирования, когда внесение изменений не вызывает серьезных затруднений и связано с минимальными затратами. Рассмотренные в этой главе методы могут использоваться для анализа уровней надежности с тем, чтобы необходимые усовершенствования конструкции и компромиссное задание требований к надежности осуществлялись в самом начале этапа проектирования. Представленный здесь простой анализ систем с последовательным и параллельным соединениями элементов является весьма предварительным, однако он показывает, каким образом можно достичь удовлетворительного уровня надежности.
Для проведения такого анализа необходимо вначале разбить систему на достаточно малые составные части, чтобы получить приемлемую точность оценки надежности. Для сложных систем такое разбиение на элементы и подсистемы может вызвать определенные трудности. После разбиения системы на элементы вычисляются показатели надежности для определения слабых мест конструкции. Для устранения слабых мест может применяться параллельное соединение элементов, использование более совершенной подсистемы или повышение надежности путем уменьшения нагрузок. Наилучший способ повышения надежности в конечном счете определяется опытом инженера-конструктора.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислите вероятность безотказной работы систем, структуры которых показаны на рис. 3.15, где каждый элемент имеет указанную вероятность безотказной работы.
2. Система состоит из 100 элементов, соединенных последовательно. Для каждого элемента гарантируется вероятность безотказной работы 0,9999 в течение 1000ч. Вычислите вероятность безотказной работы системы за это же время.
Следует подчеркнуть, что нагруженный резерв требует, как правило, использования в схемах специальных переключателей, собственная надежности которых может свести на нет весь выигрыш от резервирования. —Прим. ред.
90 Глава 3
Рис. 3.15. Конфигурации систем.
3. Система состоит из четырех больших подсистем, соединенных параллельно. Вероятность безотказной работы каждой подсистемы составляет 0,900. Для удовлетворительной работы системы должны функционировать не менее двух подсистем из четырех. Какова вероятность безотказной работы этой системы?
4. Система состоит из 10 подсистем, соединенных последовательно. Если задана вероятность безотказной работы системы, равная 0,999, то какая необходима минимально допустимая вероятность безотказной работы элемента?
Статические модели надежности 91
5. Допустим, что с конструктивной точки зрения достаточно иметь четыре болта для крепления колеса. Однако рассматриваемое крепление колеса имеет пять болтов. Если вероятность потерять болт составляет 0,00001, то какова вероятность успешного крепления колеса для системы болтов?
6. На рис. 3.16 показан карбюратор с оттяжной пружиной. Если в такой конструкции пружина разрушится, то на дроссель не будет передаваться возвратное усилие. ,
а) Проанализируйте, является ли эта система надежной.
б) Рассмотрите различные способы повышения надежности этой системы.
в) Специалисты фирмы считают, что необходимо повысить надежность этой системы закрывания дросселя и что очевидным способом является параллельное соединение. Специалисты также указывают, что можно изменять только наружные кронштейны карбюратора, так как они не оказывают влияния на конструкцию карбюратора как такового. Дайте эскиз новой конструкции кронштейнов, позволяющей разместить вторую пружину.
Объясните, с какими конструктивными проблемами связана эта задача и почему теоретические преимущества резервирования могут быть не реализованы. Можете ли вы предложить другие методы?
7. На рис. 3.17 показана электрическая схема включения стартера на коробке передач с ручным переключением. Согласно
92 Глава 3
инструкции по эксплуатации, для запуска этого автомобиля необходимо полностью отжать педаль сцепления, а ключ зажигания должен находиться в положении пуска.
Ключ зажигания
Рис. 3.17. Цепь включения стартера.
Выключатель стартера, приводимый в действие педалью сцепления
а) Определите вероятность безотказной работы этой системы.
б) Постройте соответствующую блок-схему надежности.
в) Полагая, что для каждого функционального блока вашей схемы вероятность отказа равна 0,0001, вычислите вероятность безотказной работы.
г) Какова вероятность того, что стартер не удастся включить?
8. Рассматривается система определения содержания окиси углерода в испытательной камере, в которой имеется датчик, замыкающий цепь и тем самым подающий сигнал персоналу, если обнаруживается определенная концентрация окиси углерода. Возможны следующие отказы этого датчика.
Вид неисправности Вероятность
Подача сигнала о высокой концентрации окиси углерода при ее отсутствии Необнаружение высокой концентрации окиси углерода при ее наличии 0,10 0,15
Очевидно, что этот датчик не очень надежен, и было принято решение использовать три таких датчика, включаемых в цепь постоянного тока.
а) Составьте схему включения датчиков таким образом, чтобы вероятность обнаружения высокой концентрации окиси углерода при ее наличии была максимальной.
б) Вычислите вероятность подачи ложного сигнала для каждой рассмотренной вами схемы включения.
Статические модели надежности 93
9. Изготовителю необходимо знать надежность системы защиты от пробуксовки, которая должна использоваться на военном тягаче. В состав системы входят:
а) два датчика на каждом колесе с питанием от аккумуляторной батареи или генератора;
б) одна логическая схема на каждом датчике для прогнозирования пробуксовки колес;
в) командный блок, приводящий в действие электрический или вакуумный соленоид;
г) соленоиды, приводящие в действие исполнительный механизм, регулирующий давление на тормоза.
Блок-схема системы показана на рис. 3.18.
Рис. 3.18. Блок-схема системы защиты от пробуксовки.
Вычислите вероятность безотказной работы системы при следующих значениях вероятности безотказной работы элементов:
Элемент Вероятность безотказной работы
Аккумуляторная батарея 0,90
Генератор 0,99
Датчик 0,98
Логическая схема 0,97
Командный блок 0,99
Вакуумный соленоид 0,97
Электрический соленоид 0,98
Исполнительный механизм 0,99
10. В электроэнергетической распределительной системе могут устанавливаться выключатели для прекращения подачи напряжения, приводимые в действие электронным устройством.
94 Глава 3
Если ток превышает 105% его номинального значения, то необходимо, чтобы выключатель размыкал цепь, прекращая подачу напряжения. Вероятность того, что выключатель работает правильно, составляет 0,98, и каждый выключатель имеет собственный датчик линейного напряжения. Если вероятность размыкания цепи должна быть не менее 0,999, то сколько необходимо иметь последовательных выключателей для обеспечения заданной надежности?
11. Время безотказной работы батареи аккумуляторов постоянного тока имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 30 ч и средним квадратическим отклонением 4 ч.
а) Какова вероятность безотказной работы в течение 25 ч?
б) Когда необходимо заменить батарею аккумуляторов, чтобы гарантировать, что вероятность появления отказа до момента замены не превышает 10% ?
в) Две батареи аккумуляторов соединены параллельно для подачи напряжения на фары. Полагая, что фары не выходят из строя, определите вероятность безотказной работы этого источника питания в течение 35 ч.
г) Батарея аккумуляторов непрерывно использовалась в течение 30 ч. Какова вероятность того, что эта батарея проработает еще 4 ч?
ЛИТЕРАТУРА
1. Amstadter В. L., Reliability Mathematics. Fundamentals; Practices; Procedures, New York, McGraw-Hill, 1971.
2. Balaban H. S., Some Effects of Redundancy on System Reliability, Proceedings of the 6th National Symposium on Reliability and Quality Control, Washington, D. C., January 11—13, 1960.
3. Bazovsky I., Reliability Theory and Practices, Englewood-Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1961. [Имеется перевод: Базовский И. Надежность. Теория и практика.—М.: Мир, 1965.]
4. Esary J. D., Proschan F., Walkup D. W., Association of Random Variables, with Applications, Annals of Mathematical Statistics, 38 (1967).
5. Lieberman G. J., The Status and Impact of Reliability Methodology, Naval Research Logistics Quarterly, 16, 1 (March 1969).
6. Shooman M. L., Probabilistic Reliability: An Engineering Approach, New York, McGraw-Hill, 1968.
7. Von Alven W. H. (Ed.), Reliability Engineering, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1964.
Глава 4. Вероятностные методы при инженерном проектировании
В очень сложных системах, встречающихся сегодня повсеместно, отказ даже одного элемента может привести к исключительно серьезным последствиям. Поэтому основной задачей инженера-конструктора и специалиста по надежности является выбор наилучших конструктивных и механических параметров системы с учетом таких факторов, как стоимость, надежность, вес и объем. Для. достижения этой цели необходимо проведение оценки надежности элементов на этапе проектирования.
В основу расчетов надежности заложено то, что каждый элемент обладает определенной прочностью по отношению к нагрузкам. Обычный способ проектирования, основанный на применении таких весьма произвольных коэффициентов, как коэффициент безопасности и запас прочности, не позволяет судить о вероятности отказа элемента. Некоторые конструкторы считают, что отказ элемента можно полностью исключить, используя коэффициент безопасности, превышающий некоторое определенное значение. В действительности же при одном и том же коэффициенте безопасности вероятность отказа может колебаться в весьма широких пределах.
Использование коэффициента безопасности оправдано только в том случае, когда его значение задано на основе большого опыта применения элементов, аналогичных рассматриваемому. Кроме того, конструктивные параметры часто являются случайными величинами^ что полностью игнорируется при обычных методах проектирования.
Ясно, что обычный детерминистский подход к проектированию не является удовлетворительным с точки зрения анализа надежности. Поэтому необходима другая методика проектирования, которая учитывала бы вероятностный характер конструктивных параметров, с тем чтобы надежность элементов можно было оценивать на этапе проектирования. В этом случае в явном виде задаются все конструктивные параметры, которые в свою очередь определяют распределения напряжения и прочности (рис. 4.1). Если оба эти распределения определены, то можно легко вычислить вероятность безотказной работы элемента.
96 Глава 4
Рис. 4.1. Иллюстрация влияния различных факторов на распределение напряжения
s=g(yi, у2...уг) (/)
и распределение прочности
s=/ (х1( х2, ... , хЛ) (2).
Вероятностные методы при инженерном проектировании 97
Методика вероятностных прочностных расчетов изложена в разд. 4.1. Некоторые основные работы, посвященные распределениям напряжения и прочности, приводятся в разд. 4.2. В остальной части главы рассматривается связь между традиционным подходом с использованием коэффициентов безопасности и вероятностным подходом, когда используются понятия надежности. В разд. 4.3. показана взаимосвязь между коэффициентами безопасности, коэффициентами вариации таких случайных величин, как напряжение и прочность, и вероятностью безотказной работы. В разд. 4.3 приводятся пределы значений вероятности безотказной работы в зависимости от коэффициента безопасности и коэффициентов вариации напряжения и прочности для случая, когда неизвестны распределения напряжения и прочности, но известны два первых момента распределений этих случайных величин. Вероятность безотказной работы зависит только от распределений напряжения и прочности, и, следовательно, для оценки надежности необходима только эта информация. Инженер-конструктор должен уметь оценивать вероятности больших отклонений напряжения и прочности на основании прошлого опыта проектирования и хорошего знания условий эксплуатации. Нижний и верхний пределы этих вероятностей дают количественное выражение погрешностей оценок, сделанных инженером. В разд. 4.4 на основании этих оценок определяются пределы значений вероятности безотказной работы.
4.1. Методика вероятностных прочностных расчетов
В последнее время инженеры и конструкторы все в большей степени привлекают расчетные методы различных дисциплин при разработке технических изделий. В частности, вероятностные прочностные расчеты, получившие развитие при проектировании авиационной и космической техники, в настоящее время распространяются и на другие изделия.
На рис. 4.2 эта методика представлена схематически. Первым этапом при проектировании элемента является определение окружающих условий, так как они являются важнейшим фактором при расчетах напряжения и прочности. При расчете прочности необходимо учитывать свойства используемого материала и распределение вероятностей для таких факторов, влияющих на прочность, как например, чистота и способ обработки поверхности. При расчете напряжений необходимо учитывать статистические данные о нагрузках и распределениях факторов, влияющих на напряжение, например таких, как концентрация напряжений и температура. Путем таких расчетов можно найти 4 № 544
98 Глава 4
Взаимосвязь с другими элементами , подсистема ми и системами
Расчет параметров окружающих условий
Расчет прочности
Л
Статистические данные о параметрах окружающих услодий
Статистические данные о материалах и распределения
Рис. 4.2. Блок-схема, показывающая применение вероятностных методов при проектировании. .
распределения напряжения и прочности и их параметры. Затем эти распределения используются для вычисления такого показателя надежности элемента (в отношении определенного вида отказов), как вероятность того, что прочность элемента превышает нагрузку, действующую на элемент. Для эффективного применения этой методики инженер-конструктор должен распо-, лагать достаточной информацией о распределении прочности, иметь данные о ее ухудшении и расчетные данные о распределении нагрузок.
Вероятностные методы при инженерном проектировании 99
Процесс анализа надежности состоит из следующих этапов:
1. Проведение предварительного проектирования.
2. Оценивание внешних факторов.
3. Анализ предварительного варианта системы, включая действующие на элементы нагрузки с учетом плотностей их распределения.
4. Выбор материалов на основании их механических и физических свойств, а также экономической целесообразности применения.
5. Характеристика прочности материала и разрушающих нагрузок, включая их распределения.
6. Количественная оценка прочности элементов и разрушающих нагрузок, которые зависят от характеристик материала, геометрической конфигурации элементов, ожидаемых рабочих нагрузок.
7. Описание совместного воздействия прочности и разрушающих нагрузок.
Если рассматривать полную программу обеспечения надежности при проектировании, то она должна включать следующие этапы:
1. Постановка задачи.
2. Определение конструктивных параметров.
3. Анализ характера, последствий и важности отказов.
4. Проверка правильности выбора наиболее важного конструктивного параметра.
5. Формулировка соотношения между критическими параметрами и критериями, определяющими появление отказа.
6. Расчет напряжения, определяющего появление отказа.
7. Выбор распределения напряжения, определяющего появление отказа.
8. Расчет прочности, определяющей появление отказа.
9. Выбор распределения прочности, определяющей появление отказа.
10. Расчет показателей надежности, связанных с этими распределениями, определяющими появление отказа, для каждого критического вида отказа.
И. Повторный цикл проектирования с целью обеспечения заданной надежности.
12. Оптимизация конструкции с точки зрения рабочих характеристик, стоимости, веса и т. д.
13. Повторный цикл оптимизации для каждого ответственного элемента системы.
14. Расчет показателей надежности системы.
15. Повторение перечисленных этапов с целью оптимизации надежности системы.
4*
100 Глава 4
4.2. Распределение прочности и распределение напряжения
Анализ имеющейся литературы в этой области показывает, что накоплен значительный объем данных о распределениях прочности и распределениях напряжения [1—5, 16, 17, 23]. Имеется несколько специальных работ Американского общества специалистов по испытаниям материалов, посвященных статистическим характеристикам усталостной прочности [2 — 4]. Имеются также работы [11, 18, 22, 23], в которых дается обоснование и приводятся правила использования поправочных коэффициентов или показателей ухудшения характеристик, позволяющих учесть разницу между лабораторными образцами и серийно изготавливаемыми элементами. Распределение прочности можно получить двумя способами [6]. Если предполагается, что прочность элемента определяется в наиболее слабой точке, то такое распределение будет определено по минимальным значениям выборок, взятых из совокупностей с распределениями, описывающими прочность всех точек. Такое допущение приводит к распределению экстремальных значений [6, 23]. Другое допущение состоит в том, что более слабые точки усиливаются окружающими их более прочными точками, т. е. происходит процесс усреднения. В этом случае распределение прочности связано со средними значениями выборок, взятых из совокупностей с распределениями, описывающими прочность всех точек. Такое допущение приводит к нормальному распределению. Некоторые экспериментальные данные подтверждают последнее допущение. Например, оказалось, что предел прочности на разрыв, предел текучести и предел усталостной прочности имеют нормальное распределение [2, 6, 17, 22, 27]. Кроме того, при постоянном числе циклов распределение усталостной прочности является близким к нормальному [22, 27]. Следует заметить, что нормальное распределение не очень удобно для. описания модели прочности, так как нормальное распределение имеет пределы от —оо до +оо, а отрицательные значения прочности не имеют смысла. Однако, когда коэффициент вариации меньше 0,3, то вероятность появления отрицательных значений прочности пренебрежимо мала. Кроме того, поскольку нормальное распределение является симметричным, его нельзя использовать для описания совокупности, когда известно, что ее распределение асимметрично. Было обнаружено, что прочностные свойства сплавов часто имеют логарифмически нормальное распределение [2, 12]. Липсон и др. [23] собрали данные об усталостной прочности различных материалов, способах термической обработки, состояниях поверхности и т. д. и связали их с прочностью при заданной долговечности. При исследовании сплавов на основе железа авторы использовали в
Вероятностные методы при инженерном проектировании 101
качестве распределения прочности распределение Вейбулла. Для каждого сплава составлены таблицы параметров распределения Вейбулла для различных способов обработки и различных состояний поверхности. Однако в другом исследовании, посвященном сплавам цветных металлов, авторы сообщают об использовании нескольких распределений (Вейбулла, наименьших значений, наибольших значений и нормального). Они исследовали влияние на распределение усталостной прочности таких факторов, как способ термической обработки, чистота обработки поверхности и температура. Оказалось, что в большинстве случаев эти факторы изменяют функцию распределения. Например, при определенной чистоте поверхности данного материала имеет место распределение Вейбулла, однако при изменении чистоты обработки поверхности возможен переход к распределению максимальных значений. Иногда оказывается, что время безотказной работы при данном уровне нагрузки описывается распределением с левой асимметрией. По-видимому, в этих случаях имеет место логарифмически нормальное или гамма-распределение [6, 12, 14].
С другой стороны, невозможно дать такое же удобное обобщение для распределений напряжения, как для распределений прочности. Некоторые нагрузки имеют почти нормальное распределение, как, например, тяга реактивного двигателя [14] или давление газа на головки цилиндров поршневого двигателя [23]. В других случаях нагрузки являются асимметричными либо характеризуются сравнительно большим разбросом. Бомпас-Смит [6] рассматривает ожидаемые распределения напряжений и прочности при различных условиях и приводит данные о надежности при различных условиях эксплуатации и различных режимах.
4.3. Коэффициенты безопасности и вероятность безотказной работы
Пусть S—случайная величина, обозначающая прочность, a s — случайная величина, обозначающая напряжение. Тогда случайную величину y = S—s можно связать с вероятностью безотказной работы элемента следующим образом:
/? = Р(у>0). (4.1)
Если прочность и напряжение описываются нормальным распределением, то случайная величина у также имеет нормальное распределение, и выражение для вероятности безотказной
102 Глава 4
работы 7? имеет вид
00 2е
R = С е2 dz,
/2л J
M-S — M-s тЛ ”"2” 2 ’ у asH“as
(4.2)
где z—нормированная случайная величина, распределенная по нормальному закону: —среднее значение прочности; ps — среднее значение напряжения, a os и os—средние квадратические отклонения прочности и напряжения соответственно. Этот вопрос более подробно рассматривается в гл. 6. Ясно, что вероятность безотказной работы зависит от нижнего предела интеграла в формуле (4.2). Более высокое значение вероятности безотказной работы можно получить, снижая нижний предел.
Табл. 4.1 дает представление об изменении вероятности безотказной работы при различной степени изменения прочности и напряжения как случайных величин. Коэффициент безопасности равен ps/Hs-
Таблица 4.1
Коэффициенты безопасности и вероятность безотказной работых)
Случай Средняя прочность Hs Среднее напряжение Hs Среднее квадратическое отклонение прочности as Среднее квадратическое отклонение напряжения °, Коэффициент безопасности Hs/Ms Вероятность безотказной работы R
1 50 000 20 000 2 000 2500 2,5 1,0
2 50 000 20 000 8 000 3000 2,5 0,9997
3 50 000 20 000 10 000 3000 2,5 0,9979
4 50 000 20 000 8 000 7500 2,5 0,9965
5 50 000 20 000 12 000 6000 2,5 0,987
6 25 000 10 000 2 000 2500 2,5 0,9(6)4
7 25 000 10 000 1 000 1500 2,5 0,9(16)6
8 50 000 10 000 20 000 5000 5,0 0,9738
9 50 000 40 000 2 000 2500 1,25 0,99909
10 50 000 10 000 5 000 5000 5,0 1,0
О Предполагается,
что прочность и напряжение имеют нормальное распределение
Обозначим отрицательное значение нижнего предела интеграла в формуле (4.2) через г0:
(4-3)
Вероятностные методы при инженерном проектировании 103
Соотношение между г0 и вероятностью безотказной работы R показано на рис. 4.3.
Рис. '4.3. График зависимости вероятности безотказной работы от z0.
«0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
R 0,5000 0,6914 0,8413 0,9331 0,9772 0,9986 0,9999 0,9(6)
Рассмотрим теперь влияние ошибок в исходных данных на вычисленное значение вероятности безотказной работы. Пусть ру = 40, а = 10, где y = S—s. Тогда вероятность отказа элемента равна 3-10“^. Допустим, что погрешность вычисления
104 Глава 4
математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины у составляет 10%. Как видно из табл. 4.2 (вторая и третья строки), в этом случае вероятность отказа изменяется весьма значительно. Очевидно, что для получения удовлетворительной оценки вероятности безотказной работы необходима высокая точность определения и оу. Такая исключительно высокая чувствительность вероятности безотказной работы к погрешностям исходных данных часто обескураживает даже самого решительного конструктора.
Таблица 4.2
Чувствительность вероятности отказа R к значениям
Ну И Оу
Цу °У г0 R, Ю--
40,0 10,0 4,00 3
36,0 11,0 3,27 53
44,0 9,0 4,89 0,05
Если среднее значение коэффициента безопасности определить как
Ms п = — н8
и если коэффициенты вариации прочности и напряжения, обозначаемые как Vs и К соответственно, определяются как
и
то формула (4.3) принимает вид
(4-4)
На рис. 4.4. изображен ряд графиков, построенных с помощью уравнения (4.4). Эти графики показывают соотношение между следующими конструктивными параметрами:
Вероятностные методы при инженерном проектировании 105
Рис. 4.4. Соотношения между и, Vs , Vs и
1. Коэффициент безопасности п.
2. Коэффициент вариации прочности Vs.
3. Коэффициент вариации напряжения Vs.
4. Вероятность безотказной работы
Рассмотрим теперь коэффициент безопасности п как случайную величину. Выразим случайную величину п как отношение прочности S, определяющей появление отказа, к напряжению s, определяющему появление отказа, т. е.
п = |. (4.5)
Последующий вывод выражений основан на результатах, приведенных в работах [9, 24]. Пусть S и s обозначают среднюю прочность и среднее напряжение соответственно, а п обозначает
106 Глава 4
математическое ожидание коэффициента безопасности п. Тогда можно записать неравенство Чебышева
Р (| п—а | е) >1 — £{("7а)}2, (4.6)
где а—произвольная положительная постоянная, а 8 > 0.
Чтобы доказать справедливость неравенства (4.6), заметим, что
Е {(п—а)2} = a)2f (и) $ (n—a)2f(n)dn, (4.7)
n *
где * показывает, что интеграл берется только для тех значений п, для которых |п—а|>8. Однако _
J (n—a)2f(n)dn > 82^ f(n)dn = z2P (| п—а |) > 8). (4.8)
* *
Из выражений (4.7) и (4.8) имеем
р (I п—а I > е) < Е {(п—а)2},
откуда непосредственно следует неравенство (4.6). Пусть a = kn, тогда
Е (п—а)2 = Е {(п—&n)2} — Е |п2—2^п-п + ^п2) = = Е (п2)—2kn2 + &2п2 = 4 + п2—2fen2 + £2п2 =
= п2
п2
2
°п ф(1-k)2 =ЭД+(1-£)2].
Теперь неравенство (4.6) можно переписать как
Р(а—e<n<a + е) > 1 — £ {(п~й)2} . (4.9)
Пусть а—8=1, тогда соотношение (4.9) можно записать как
Р(1^п<2^-1)>1-^±±^. (4.Ю)
V (An—I)2 ' ’
По определению имеем /? = Р(п>1). (4.11)
Рассматривая совместно формулы (4.10) и (4.11), получаем нижний предел вероятности безотказной работы
„ . n2[V2 + (l — fe)2]
R 1-----п-—---— . М 19'1
(fen—I)2
Вероятностные методы при инженерном проектировании 107
(4.13)
Максимальное значение нижнего предела можно получить, минимизируя по k величину
H2[Vn+(i~*)2l о>=-------------
(Лп — I)2
Дифференцируя w по k и приравнивая результат нулю, имеем
dw = -2n3[V4+(l—^)2] —2n2 (1—fe) = 0 (Jfen—I)3 (йп—I)2 “
Решая уравнение (4.14), находим критическое значение k* .
n(V„+l)—1 k* = v _ (n— 1)
(4-14)
(4-15)
Вторая частная производная d2w/dk\ вычисленная при этом значении &*, всегда положительна, что гарантирует минимум w. Подставляя значение k* в неравенство (4.12), получаем ч
п2у2
R> 1 _ 2
"" [n2vl+(n-l)2l
(4-16)
ИЛИ
(4-17)
Формулы (4.16) и (4.17) дают искомые соотношения между средним значением коэффициента безопасности, коэффициентом вариации коэффициента безопасности и вероятностью безотказной работы. Формула (4.17) дает нижний предел значения п, при котором гарантируется, что вероятность нахождения п в интервале 1^п^2£*п — 1 равна R.
Другим способом определения пределов является разложение в ряд Тейлора. Напомним, что, согласно формуле (4.5), n = S/s., Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины п можно найти, рассматривая только первые два члена ряда Тейлора, как показано в гл. 5. Имеем
H«£ + la2=nJl+Vs2], (4.18)
S S3
где nc£S/s—центральный коэффициент безопасности. Кроме того, имеем
Г 1 а? 1
Е (n2) = £ (S2/s2) « Е (S2) +3 -=М
108 Глава 4
или
a2n + n*«(al + S2)|4 + 34i- Щ9)
L s s J
После деления на п2 и подстановки n = nr(l+Vs) имеем
Г||~, [(»+^)(1+3V52)-(1+Vs2)T/8 . (4 20)
1 + Vs
Подставляя соотношение (4.20) в формулу (4.11), получаем
. пЦ(1+ И1) (1 + ЗКП + ** (**-2) (1 н- vs2)2 J
R 1 [*М1+^)-'Г ’
k» = ”4(1 + ^)(1+3Vs)/(1+^s2)]-» ,4 22.
[nc(l+ys2)-j]
Формула (4.21) co знаком равенства дает нижний предел вероятности безотказной работы, выраженный через центральный коэффициент безопасности пс и коэффициенты вариации прочности и напряжения. Рассматривая совместно формулы (4.16), (4.17) и (4.20), получаем
Если пренебречь членами, содержащими Vs и К в степенях выше второй, то формула ’ (4.23) упрощается и принимает вид
______1
(Vg+ Т/«
1-R
(4.24)
Формула (4.24) дает нижний предел детерминированного коэффициента безопасности, когда вероятность того, что фактическое значение коэффициента безопасности п находится в интервале
1<п<[2£%(1 + И) —1],
не меньше /?. Другим способом непосредственного вычисления пс является аппроксимация n = S/s путем разложения в ряд Тей-
Вероятностные методы при инженерном проектировании 109
(4.25)
Таким образом,
лора. Имеем
, o^ + <js2S*
или
(4.26)
Нижняя оценка вероятности безотказной работы, определяемая по формуле (4.12), является максимальной при значении k*, вычисляемом по формуле (4.15). Таким образом, подставляя соотношения (4.18) и (4.25) в формулу (4.15), получаем
k*
(4-27)
Подставляя значения n, Vn и k* в формулу (4.12), имеем
7?>1
n?(Vs + Vs2)+K(l+Vs)-l]2 ’
(4.28)
Полученное неравенство дает нижний предел вероятности безотказной работы 7? при заданных значениях пс1 Vs и Vs.
Используя формулу (4.17), имеем
(4.29)
Таким' образом, выражение (4.29) и выведенное ранее выражение (4.24) одинаковы.
Следует заметить, что оценки, определяемые по формулам (4.16) и (4.17), являются точными, а оценки, определяемые по формулам (4.21) и (4.24), приближенными. Это обусловлено тем, что в неравенства (4.16) и (4.17) были подставлены приближенные значения п и Vn, полученные путем разложения в ряд Тейлора.
Таким образом, в данном разделе были выведены формулы, показывающие соотношение между вероятностью безотказной работы, коэффициентом безопасности и коэффициентами вариации напряжения и прочности. С помощью формул (4.17), (4.23), (4.24), (4.28) и (4.29) можно построить различные расчетные номограммы
ПО Глава 4
(см. упражнение 4). Эти номограммы могут использоваться инженером-конструктором для оценки надежности на этапе проектирования и изучения ее зависимости от коэффициента безопасности и коэффициентов вариации напряжения и прочности.
Пример 4.1. Прочность элемента имеет распределение Вейбулла с параметрами: нижний предел прочности 50 = 54МПа, параметр формы 0 = 2, параметр масштаба 0 = 72 МПа.
Возникающее в элементе напряжение имеет нормальное распределение с математическим ожиданием s= 54 МПа и средним квадратическим отклонением о8 = 1,8МПа. Таким образом, коэффициент вариации напряжения равен К = 0,033. Чтобы вычислить коэффициент вариации прочности, найдем S и os- Имеем (см. разд. 6.7)
s = So + (0 - so) Г (1 +1) = 54 + (72 - 54) Г (1 +1) =
= 54 + 18 • 0,88623 = 69,95 МПа,
al = (0-S0)2 {Г + 1)-[Г (1 + I)]2} =
= 182 (1 — 0.886232) = 69,53 МПа.
Таким образом,
У 69,53 Q s 69,95 и’
Имеем
С помощью формулы (4.28) находим, что 0,8647. Точное значение вероятности безотказной работы можно вычислить методом, рассматриваемым в разд. 6.7. Чтобы вычислить вероятность безотказной работы по таблицам, приведенным в приложении 3 для случая, когда напряжение распределено по нормальному закону, а прочность имеет распределение Вейбулла, находим
л = ^>-5 = 54 - 54 =()
И
C_0=So=72=54_1oo
С- as 1,8 ~w’u-
С помощью таблиц из приложения 3 находим, что вероятность безотказной работы равна 0,9951.
Вероятностные методы при инженерном проектировании 111
4.4. Пределы вероятности безотказной работы
При расчете надежности учитывается вероятностный характер параметров. Согласно существующей методике, в явном виде определяются параметры распределений напряжения и прочности. Если эти распределения определены, то надежность (в случае простой модели зависимости прочности от нагрузки) может быть оценена аналитическими или численными методами либо путем моделирования (см. гл. 6). В реальных условиях трудно определить истинное распределение напряжения и прочности во всем интервале значений; в то же время вероятность безотказной работы зависит только от соотношения между напряжением и прочностью. Поэтому для вычисления вероятности безотказной работы необходима информация только для области, где распределения прочности и напряжения перекрываются.
Во многих случаях может оказаться невозможным определить истинные распределения напряжения и прочности в интервале, где эти распределения перекрываются. Однако инженер-конструктор может научиться оценивать с определенной погрешностью вероятности больших отклонений напряжения и прочности, основываясь на прошлом опыте и хорошем знании конструкции и условий эксплуатации. Верхний и нижний пределы этих вероятностей являются количественным выражением неопределенности оценок, сделанных инженером. Допустим, что уже имеются такие верхние и нижние пределы вероятностей больших отклонений для различных интервалов. Теперь, имея некоторые оценки границ интервалов, в которых находятся вероятности больших отклонений напряжения и прочности, изложим методику определенйя пределов вероятности безотказной работы на этапе проектирования [19].
Вероятность отказа R имеет вид [см. формулы (6.6) и (6.7)]
• £ = P{s>S}= $ f(u)G(u)du= $ g(u)F(u)du, (4.30) — 00 со
где /(•) — плотность распределения случайной величины s, а g(-) — плотность распределения случайной величины S.
Пусть sMaKC—верхний предел для s, а 5МИН —нижний предел для S. Таким образом, распределение напряжения и распределение прочности перекрываются в интервале [5МИН, sMaKC]. Значения 5МИН и sMaKC находятся с помощью распределений случайных величин S и s соответственно либо их значения оцениваются с требуемой точностью. Предполагается, что вероятность выхода случайной величины y = s—S за пределы этого интервала является незначительной либо пренебрежимо малой. Рассматривая
112 Глава 4
этот интервал перекрытия распределений, формулу (4.30) можно записать как
5макс Бмакс
£ = $ f(u)G(u)du=\ g(u)F(u)du. (4.31) е с
мин мин
Разобьем интервал [5МИЯ, sMHB] на п подынтервалов. Пусть а0 = 5мии и а„ = «макс —крайние точки интервала sMIiH], а аи а2, ...,ап_1 — крайние точки подынтервалов. Введем обозначения р{ == Р {az_f < s^di} для1 = 1, ... , п, (4.32)
qt = Р{а^ < для i= 1, ... , п. (4.33)
Вероятность отказа R определяется по формуле (4.34) путем замены интегралов в выражении (4.31) конечными суммами
п
1=1
(4.34)
Здесь Pi обозначает вероятности больших отклонений в правой части кривой плотности распределения напряжения, a обозначает вероятности больших отклонений в левой части кривой плотности распределения прочности. Пусть р( и имеют следующие нижние и верхние пределы:
LP'{^Pi^Upj для i=l.............п, (4.35)
L<,, t < qt < U с, i для 1 = 1, ... , п. (4.36)
Очевидно, что
Р {S < sMaKJ = £ qh Р (s > = 2 Pi. (4.37)
1 = 1 1 = 1
Предполагается, что пределы значений этих сумм известны инженеру-конструктору. Они имеют вид
ар С S Pt С Ьр, а9 < 2 4i < Ьд. (4.38)
Основываясь на пределах, задаваемых формулами (4.35), (4.36) и (4.38), необходимо найти пределы для вероятности появления отказа 7?, выражаемой формулой (4.34). Верхний предел для R определяется путем максимизации/Гв формуле (4.34) при ограничениях, задаваемых соотношениями (4.35), (4.36) и (4.38), а нижний предел для R определяется путем минимизации R в формуле (4.34) при тех же ограничениях. В любом случае мы сталкиваемся с задачей квадратичного программирования.
Вероятностные методы при инженерном проектировании 113
Пример 4.2. Даны пределы значений pt и qt для случая га = 4.
Вероятность появления отказа R имеет вид
Я = Р1?1 + Ра (<71 + <7«) + Рз (<71 + <?2 + <7з) + Pi (Qi + <?2 + <7з + Qi)
и заданы следующие ограничения:
0,05 <pt <0,12, 0,04 <р2< 0,08, 0,02 <р3< 0,05, 0,01 <р4< 0,05,
4
0,14 < 2 Pi <0,20, 1=1
0,04 <0,10,
0,03 < Qi < 0,07,
0,02 <<7s <0,05,
0,01 < qt < 0,03,
4
0,13s ^2 Qi <0,22. 1=1
Вероятность появления отказа /?, которая является квадратичной функцией pi и qh максимизируется и минимизируется при заданных выше десяти ограничениях в виде неравенств. Оптимальными значениями являются следующие:
i Значения Ямин Значения «макс
« Pi p*i <4.
1 0,07 0,04 0,05 0,10
2 0,04 0,03 0,04 0,07
3 0,02 0,03 0,06 0,04
4 0,01 0,03 0,05 0,01
R 0,0089 0,0354
Получен следующий результат: 0,0089 R 0,0354, т. е. один предел отличается от другого в четыре раза.
Пример 4.3. Нагрузка, действующая на элемент, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием ps = 30 и средним квадратическим отклонением os = 3, а коэффициент вариации равен 0,1. Прочность элемента имеет трехпараметрическое распределение Вейбулла с параметрами: минимальная прочность So = 2O, параметр масштаба 0 = 60, параметр формы (3 = 2, 3 или 4. Вероятность отказа элемента равна [см. формулу (6.36)]
00
R= 1 — ф (а) —J ехр [—4 (by+d^dy, у Я О
где
а s (So—ps )/os, b = (0—S0)/os, у н= (s—So)/(0—So).
114 Глава 4
Ясно, что 5мин=30, а значение sMaKC принято равным ps +6,67os=50. Таким образом, распределение напряжения и распределение прочности перекрываются в интервале [30, 50]; этот интервал был разделен на 10 равных частей (п=10). Вероятности, относящиеся к этому интервалу, можно вычислить, рассматривая нормальное распределение и распределение Вейбулла. Вероятность того, что напряжение превысит 50 МПа, будет порядка 10“9 и сосредоточена в последнем интервале.
Эти вероятности вычислены с определенной погрешностью (составляющей ±«% истинного значения вероятности), т.е. Lpii= =Pi — (a/100)pz и U= pz + (a/100) pz. Аналогичные пределы были найдены и для вероятностей, относящихся к прочности. Погрешности оценок суммарных вероятностей для всего интервала перекрытия [формула (4.37)] были приняты равными (а/2)% истинного значения вероятности. Это допущение вполне приемлемо, так как для всего интервала перекрытия распределений инженер может иметь более точную оценку суммарных вероятностей, чем для подынтервалов. Анализ был выполнен для а=2, 4, 6, 8 и 10%. Была решена задача оптимизации для каждого значения аир.
Верхний и нижний пределы значений вероятностей отказа показаны в табл. 4.3.
Таблица 4.3
Параметр формы 0 Погрешность а,%. ^мин ^макс
2 2 0,00704 0,00760
4 0,00677 0,00789
6 0,00650 0,00818
8 0,00624 0,00848
10 0,00598 0,00878
3 2 0,00123 0,00133
4 0,00118 0,00138
6 0,00113 0,00143
8 0,00108 0,00148
10 0,00104 0,00154
4 2 0,00024 0,00026
4 0,00023 0,00027
6 0,00022 0,00029
8 0,00021 0,00030
10 0,00020 0,00031
Вероятностные методы при инженерном проектировании 115
4.5. Краткие выводы
Вероятностные прочностные расчеты при проектировании являются конструктивным способом получения количественных оценок рабочих характеристик надежности изделия, прежде чем оно выйдет из стен конструкторского бюро. Применение этих методов требует знания теории вероятностей и математической статистики, которые знакомы не каждому инженеру-конструктору. Методика, рассмотренная в данной главе, помогает при проведении таких расчетов. Как указывалось в разд. 4.3, можно построить ряд расчетных номограмм, которые могут использоваться инженерами-конструкторами для исследования чувствительности рабочих характеристик изделия к изменчивости напряжения и прочности. Метод, рассмотренный в разд. 4.4, может применяться совместно инженером-конструктором и специалистом по надежности. Вероятностный подход требует от инженера-конструктора умения количественно выражать погрешности при задании конструктивных параметров и, таким образом, иметь представление о собственной надежности изделия. Поскольку при таком подходе рабочие характеристики изделия выражаются через статистические показатели, это помогает конструктору оценивать затраты на гарантийное обслуживание, разрабатывать программы технического обслуживания и планировать, движение запасов. Необходимо иметь в виду, что этот подход находится еще на самом начальном этапе развития, и в будущем по мере его совершенствования конструкторы будут располагать большим объемом статистических данных.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Рассмотрите какую-либо знакомую вам простую задачу проектирования. Составьте для этой задачи методику проектирования, аналогичную методике, изложенной в разд. 4.1.
2. Необходимо спроектировать механический элемент, работающий на изгиб и кручение. Прочность этого элемента и возникающие в нем напряжения являются случайными величинами и являются функциями других случайных величин. Назовите некоторые из этих случайных величин, влияющих на напряжение и прочность, и покажите, как бы вы определили их распределения.
3. Обсудите применение распределений экстремальных значений при выводе распределений напряжения и прочности.
4. Постройте расчетную номограмму, показывающую взаимосвязь между следующими четырьмя конструктивными параметрами:
116 Глава 4
а) коэффициентом безопасности и;
б) коэффициентом вариации прочности 7s;
в) коэффициентом вариации напряжения Vs;
г) вероятностью безотказной работы R.
5. Известно, что плотность распределения коэффициента безопасности п является унимодальной. Выведите новое соотношение, аналогичное формуле (4.16), в котором используется свойство унимодальности распределения п. Какое влияние окажет это свойство на взаимосвязь между и, Vn и /?? Во сколько раз уменьшится отношение новых пределов?
6. Используя выражение, полученное в упражнении 5, выведите соотношение, связывающее пс, Vs, Vs и R и аналогичное формуле (4.24). Какое влияние на пределы оказало свойство унимодальности распределения в этом случае?
7. Можно ли при допущениях, принятых в разд. 4.3, уточнить границы, заданные неравенствами (4.16) и (4.24)? Если можно, то определите новые, более точные границы. Какая информация имеется на практике для того, чтобы уточнить границы, задаваемые неравенствами (4.16) и (4.24)?
8. Прочность элемента имеет логарифмически нормальное распределение с математическим ожиданием 400 МПа и средним квадратическим отклонением 50 МПа. Нагрузка, действующая на элемент, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 250 МПа и средним квадратическим отклонением 50 МПа. Вычислите пределы вероятности безотказной работы при а = 5 и 10%, где а имеет тот же смысл, что и в упражнении 4.3.
9. Прочность элемента и действующая на него нагрузка имеют распределение Вейбулла со следующими параметрами: прочность £о = ЗООМПа, 0s = 400 МПа, 0S=3,O; нагрузка §о=150МПа, 0S =300 МПа, ps=4,0.
Вычислите пределы вероятности безотказной работы для а = 5 и Ю'%, где а—величина, определенная в примере 4.3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Aerospace Structural Metals Handbook, Syracuse, N. Y., Syracuse University Press, 1963.
2. American Society for Metals, Metals Handbook, Properties and Selection v. 1, 8th ed. (1969).
3. American Society for Testing Materials, Symposium on Statistical Aspects of Fatigue, ASTM Special Technical Publication No. 121, June 19, 1951.
4. American Society for Testing Materials, Symposium on Fatigue with Emphasis on Statistical Approach — II, ASTM Special Technical Publication No. 137, June 24, 1952.
5. American Society for Testing Materials, A Guide for Fatigue Testing and the Statistical Analysis of Fatigue Data, ASTM Special Technical Publication No. 91-A, 2nd ed., 1963.
6. Bompas-Smith J. H., Mechanical Survival: The Use of Reliability Data, Ed. R. H. W. Brook, New York, McGraw-Hill, 1973.
Вероятностные методы при инженерном проектировании 117
7. Bouton I., Fundamental Aspects of Structural Reliability, Aerospace Engineering, 1, 2116 (June 1962).
8. Bratt M. J., Reethoff G., Weber G. W., A Model for Time Varying and Interfering Stress/Strength Probability Density Distributions with Consideration for Failure Incidence and Property Degradation, Proceedings Third Annual Aerospace Reliability and Maintainability Conference, 1964, pp. 566—575.
9. Dao-Thien M., Massoud M., On the Relation Between the Factor of Safety and Reliability, Journal of Engineering for Industry, Transactions of ASTM, 1973, paper No. 73-WA/DE-l.
10. Disney R. L., Sheth N. J., The Determination of the Probability of Failure by Stress/Strength Interference "Theory, Proceedings of Annual Symposium on Reliability, 1968, pp. 417—422.
11. ForrestP. G.,Fatigueof Metals, New York, Pergamon Press, 1962. [Имеется перевод: Форрест П. Усталость металлов.— М.: Машиностроение, 1968.]
12. Freudenthal А. М., Gumbel Е. J., Distribution Functions for the Prediction of Fatigue Life and Fatigue Strength, International Conference on Fatigueof Metals, British Institute of Mechanical Engineers, London, 1966.
13. Haugen E. B., Statistical Methods for Structural Reliability Analysis, Proceedings of the Tenth National Symposium on Reliability and Quality Control, 1964, pp. 97—121.
14. Haugen E. B., Implementing a Structural Reliability Program, Proceedings Eleventh National Symposium on Reliability and Quality Control, 1965, pp. 158—168.
15. Haugen E. B., Probabilistic Approach to-Design, New York, John Wiley and Sons, 1968.
16. Haugen E. B., Mutti D. H., Statistical Metals Manual, The University of Arizona, Tuscon, Arizona, 1972.
17. Haugen E. B., Probabilistic Mechanical Design, The University of Arizona, Tuscon, Arizona, 1974.
18. Juvenal R. C., Lipson C., Handbook of Stress and Strength, New York, Macmillan, 1963.
19. Kapur К. C., Reliability Bounds in-Probabilistic Design, IEEE Transactions on Reliability, R-24, 3 (August 1975).
20. Kececioglu D., Cormier D., Designing a Specified Reliability Directly into a Component, Proceedings Third Annual Aerospace Reliability and Maintainability Conference, 1964, pp. 546—565.
21. Kececioglu D., Haugen E. B., A Unified Look at Design Safety Factors, Safety Margins and Measures of Reliability, Annals of Assurance Sciences—Seventh Reliability and Maintainability Conference, 1968, pp. 520—530.
22. Lipson C., Kerawalla J., Mitchel L., Krafus A., Engineering for Reliability, 'Unpublished Lecture Notes, University of Michigan, Ann Arbor, Michigan, 1962.
23. Lipson C., Sheth N. J., Disney R. L., Reliability Prediction—Mechanical Stress/Strength Interference, Rome Air Development Center, Technical Report No. RADC-TR-66-710, March 1967.
24. Mischke C., A Method of Relating Factor of Safety and Reliability, Journal of Engineering for Industry, Transactions of ASME, pp. 537—542 (August 1970).
25. Papoulis A., Probability, Random Variables and Stochastic Process, New York, McGraw-Hill, 1965.
26. Shaw L., Shooman M., Schatz R., Time Dependent Stress/Strength Models for Non-Electrical and Electrical Systems, Annajs of Reliability and Maintainability Symposium, 1972, pp. 186—197.
27. Vincent L. R., Kececioglu D. B., An Approach to Reliability Determination of a Rotating Component Subjected to Complex Fatigue, Annals of Reliability and Maintainability, 1970, pp. 534—548,
Глава 5. Композиции случайных величин при проектировании
Надежность технического изделия обычно зависит от нескольких конструктивных параметров. Как показано в гл. 4, в большинстве случаев эти параметры являются случайными величинами. Рабочие характеристики изделия выражаются математически в виде функции этих случайных величин. Полное описание рабочих характеристик можно получить только в том случае, если собрать достаточный объем данных о поведении системы. В случае больших и сложных систем такой сбор данных не всегда может оказаться возможным. Часто продолжительность эксплуатации изделия не позволяет получить достаточно большие выборки данных, необходимых для оценки функции распределения характеристик системы. Однако, если система в целом разбивается на подсистемы и элементы, статистическое поведение этих отдельных элементов можно изучить и включить в полное описание поведения первоначальной системы.
В этой главе рассматриваются композиции нескольких случайных величин. Например, скорость представляет собой отношение расстояния ко времени, сила есть произведение массы на ускорение. Распределение напряжения в электрической цепи можно определить, зная распределения тока и сопротивления. В механической системе распределение напряжения можно определить, зная распределения силы и площади. Мы не ограничимся рассмотрением суммы, разности, произведения или отношения двух или более случайных величин, а исследуем несколько других функциональных комбинаций.
При расчете балки нас обычно интересует вычисление изгибающих напряжений. Максимальные напряжения возникают в верхней части верхнего пояса и в нижней части нижнего пояса балки. Максимальное напряжение в волокне определяется в виде
где s—максимальное напряжение в волокне, кПа; М—внешний изгибающий момент, Н-м; с—расстояние от нейтральной оси до наружных волокон, м; / —момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси, м\
Композиции случайных величин при проектировании 119
Если требуется рассчитать трубчатую балку с наружным радиусом г(м) и толщиной стенок t (м), то при r^t имеем
7 = лг3Л (5.2)
Таким образом, уравнение (5.1) принимает вид
В реальных задачах проектирования М, с, г и t являются случайными величинами. Следовательно, для определения распре-дёления или какого-либо статистического показателя напряжения s необходимо знать, как вычислять случайные величины М, с, г и t.
Таким образом, в этой главе рассматривается следующая основная задача: задана функция f случайных величин хг, ха,... ,х„:
У = /(х1, х2, ..., х„); (5.4)
требуется найти некоторые свойства случайной величины у как функции свойств случайных величин х1? х2, ..., хп. Случайные величины х1? хп могут быть независимыми. Плотности распределения случайных величин хх, ..., хп могут быть известны, и может потребоваться найти плотность распределения случайной величины у. В разд. 5.1 показано, как найти плотность распределения случайной величины у, если известна плотность распределения случайной величины х. Результаты для нескольких случайных величин можно найти в работах [2, 6, 7]. Обычно довольно сложно найти распределение случайной величины у, а иногда это вообще невозможно. Во многих случаях при проектировании бывают известны только первые несколько моментов случайных величин хх, х2, ..., хп и требуется найти соответствующие моменты случайной величины у. Некоторые известные результаты для математического ожидания и дисперсии даны в разд. 5.2. В разд. 5.3 приводятся важные результаты для суммы и разности случайных величин, распределенных по нормальному закону. В разд. 5.4 рассматривается вычисление моментов распределения случайной величины у путем аппроксимации с помощью ряда Тейлора, а также приводится анализ погрешностей, допускаемых при использовании этих методов аппроксимации. При вероятностном проектировании очень важную роль играет определение статистических допусков; этим вопросам посвящен разд. 5.5.
5.1. Преобразование случайных величин
Вначале рассмотрим зависимость от одной случайной величины х. Дано
у=/(х). (5.5)
120 Глава 5
Допустим, что известна плотность распределения g(x) случайной величины х. Наша задача состоит в том, чтобы найти плотность распределения h(y) случайной величины у. Известно (2, 6], что
(5.6)
где k(y) определяется как функция, обратная функции f. Теперь уравнение (5.5) можно записать в виде
^(«/) = Г1 («/) = *• (5.7)
Член \dk/dy\ обозначает модуль производной обратной функции k(y) по у. Если обратная функция является двузначной, то в формуле (5.7) будем иметь два значения х. Обозначим их через Xi и х2. Тогда выражение (5.6) принимает вид
h (у) = | | g (*i)+| | g (х2). (5.8)
В общем случае, если функция k (у) имеет п корней хг, ..., хп, то уравнение (5.8) будет иметь п членов (по одному на каждый корень).
При двух или более случайных величинах подобное преобразование возможно, но анализ будет более сложным. Рассмотрим свойства случайной величины у, когда случайные величины хх, ..., хп имеют некоторые известные распределения.
Пример 5.1. Чтобы вычислить растягивающее напряжение в круглом стержне диаметром D, необходимо знать площадь поперечного сечения A=^D2. Допустим, что диаметр имеет нормальное распределение с математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением о. Требуется найти плотность распределения случайной величины А.
Известно, что
Д=/(О) = (л/4)О2.
Следовательно, обратная функция имеет вид D = f~1(A) = ±Vr4A/n.
Дифференцируя, получаем
Обратная функция является двузначной. Поэтому после подстановки ее в уравнение (5.8) получаем
Л (Д) = J/j/Лл [g (К 4Л/л) + g (— К4Л/л)], (5.9)
Композиции случайных величин при проектировании 121
где g—плотность нормального распределения с математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением о. Следовательно,
{ехр£- +
4-ехр [-Ь (5.Ю)
5.2. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных величин
Рассмотрим некоторые известные результаты для математического ожидания и дисперсии функции случайных величин.
5.2.1. Свойства математического ожидания
Пусть а обозначает некоторую постоянную, а х и у обозначают случайные величины с математическими ожиданиями Е (х) и Е (у) соответственно. Тогда
Е (ах) = аЕ (х), (5.11)
Е (а + х) = а + Е (х), (5.12)
Е(х + у) = Е(х)4-Е(у), (5.13)
Е(х—у) = £(х)—Е(у), (5-14)
Е(х2) = [Е (x)J24-V(x). (5.15)
Если х и у—независимые случайные величины, то
Е(ху) = Е(х).£(у). (5.16)
5.2.2. Свойства дисперсии
Пусть снова а—постоянная, ахи у—случайные величины 2 2
с математическими ожиданиями рх и ру и дисперсиями ох и оу соответственно. Тогда
V (ах) = a2V(x), (5.17)
У(а+х) = У(х), (5.18)
V(x2) =Е(х*)-(Их2 + а2х)2. (5-19)
Если х и у—независимые случайные величины, то
V(x + y) = V(x) + V(y), (5.20)
V(x-y) = K(x) + V(y), (5.21)
V (ху) == о*оу 4" Цур-х + О'хр'у* (5.22)
122 Глава 5
Ковариация случайных величин х и у, обозначаемая через cov(x, у), имеет вид
COV (х, у) = £[(х—|1х)(у—цу)] = £(ху) —£(х)£(у). (5.23)
Можно нормировать ковариацию относительно ох и оу. Нормированная ковариация называется коэффициентом корреляции и определяется как
covO^jO (5.24)
г ахау ' ’
Можно показать, что —1 С Р С + 1 • При р = 0 и конечных ох и Оу, согласно формуле (5.24), cov(x, у) = 0 и
£(ху) = £(х)£(у). (5.25)
5.3. Сумма и разность случайных величин, распределенных по нормальному закону
Пусть х и у—две распределенные по нормальному закону случайные величины с параметрами (рХ1 Ох) и (р.у, оу) соответственно и коэффициентом корреляции р. В этом случае имеем следующие результаты:
•1) Если z = x + y, то z имеет нормальное распределение с параметрами
Их = Их + |Ху (5.26)
и
аг = ]/ Ох + Оу + 2рОхОу. (5.27)
2) Если z = x—у, то z имеет нормальное распределение с параметрами
Hz = И* Ну (5.28)
и
az = gx ±оу—2рохоу. (5.29)
Пример 5.2. Узел машины состоит из пяти деталей, собранных вместе таким образом, что их допуски суммируются. Необходимо, чтобы окончательный допуск для узла в собранном виде был равен А = ±0,25 мм. Примем, что для всех деталей допуски на обработку одинаковы и имеют независимые нормальные распределения* Задача состоит в том, чтобы найти допуск для детали, при котором обеспечивается требуемый допуск для узла.
Обозначим допуск для детали как ± i. Поскольку допуски для отдельных деталей имеют нормальное распределение, известно, что допуск для всего узла также будет распределен по нормаль
Композиции случайных величин при проектировании 123
ному закону. Допустим теперь, что все допуски основаны на пределах ±3о (т. е. для каждой детали среднее квадратическое отклонение размеров составляет //3). Тогда искомое среднее квадратическое отклонение размеров для всего узла составит Д/3. Обобщая выражение (5.27) на случай пяти переменных, имеем
4 = V №* + (t/Зу + (*/3)2 + (t/3y + (Z/3)2 = у /5?
, или
. А 0.25 л ...л t= ^-= = 0,1118 мм.
Кб Кб
Следовательно, требуемый допуск на обработку для каждой детали составляет ±0,1118 мм.
Пример 5.3. При проектировании электрической цепи необходимо, чтобы ток I = V/R находился в некоторых заданных пределах. Предположим, что приложенное к цепи напряжение достаточно постоянно, т. е. колебание напряжения пренебрежимо мало. Поэтому при проектировании основное внимание должно быть уделено тому, чтобы сопротивление R обеспечивало заданные пределы для тока. Резистор R состоит из двух отдельных соединенных последовательно резисторов Rt и R2 со средним сопротивлением, равным 100 и 200 Ом соответственно. На основании исследования процесса изготовления известно, что сопротивление резисторов имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, равным 5% среднего значения сопротивления.
Среднее значение полного сопротивления R определяется выражением
- ^ = ^±[1^= 100±200 = 300 Ом, а среднее квадратическое отклонение—выражением
a₽ = yo^+a^ = /5a + 10«==ll,18 Ом.
Заметим, что среднее квадратическое отклонение полного сопротивления R составляет всего 3,73% среднего значения. Это значительно меньше значений среднего квадратического отклонения для отдельных резисторов. Таким образом, при последовательном соединении двух резисторов достигается сужение допусков.
Допустим, что эти два резистора должны изготавливаться на двух отдельных станках. Предположим, что эти два резистора выбраны для сборки не случайным образом, поэтому существует корреляция с коэффициентом, равным —0,7. Тогда,
124 Глава S
используя формулу (5.27), имеем
<Ь? = К o*Ri + <Jr2 + 2ро/?1о/?г =
= Г52+ 102 — 2-0,7-5-10 = 7,42 Ом. (5.30)
В данном случае вследствие существования корреляции среднее квадратическое отклонение полного сопротивления составляет всего 2,47% среднего значения, что значительно меньше первоначального производственного допуска, равного 5%.
5.4. Вычисление моментов функции случайных величин
В общем случае очень трудно, найти плотность распределения функции случайных величин. В этих случаях для решения инженерных задач весьма полезно знать моменты преобразованной случайной величины.
Если у—случайная величина с математическим ожиданием р и дисперсией о2, то для любого положительного числа k справедливо следующее неравенство Чебышева:
Р(\ у-Hl > М < (1/П (5.31)
Если случайная величина у имеет непрерывное распределение только с одним максимумом #макс (мода распределения) и если математическое ожидание случайной величины у равно г/макс, то справедливо следующее неравенство Гаусса:
Л|У—(4^)- (5.32)
5.4.1. Аппроксимации для E[F(x)] и V[F(x)]
Вначале рассмотрим случай, когда х—одномерная случайная величина. Разложение функции y = f(x) вокруг точки х = р в ряд Тейлора до первых трех членов имеет вид
У = Их) = f (р) + (х-р) Г (р) 4- Г (р) + (5.33)
где 5? — остаточный член. Взяв математическое ожидание выражения (5.33), имеем
Б (у)=Е [f (р)]+Е [xf (р) —pf (р)]4-Е [4 f" (И) (х — р)2] + Е (5?) = = f (р) + (И) - Н/' (И)] + 4 Г (н) V (х) + Е (Я)«
«/(H) + |/"(H)V(x). (5.34)
Композиции случайных величин при проектировании 125
Формула (5.34) является приближенным выражением для математического ожидания случайной величины у, так как мы отбросили остаточный член разложения в ряде Тейлора. Если дисперсия случайной величины х мала, то можно пренебречь вторым членом в формуле (5.34) и получить соотношение
Е(у) = £[Дх)]~/(И). (5-35)
Чтобы получить приближенное значение V (у), снова рассмотрим разложение в ряд Тейлора до первых двух членов:
у = /(И) + (х-|г)Г(И) + 5?. (5.36)
Дисперсия имеет вид
V (У) « V [f (И)] + V [(х-р) Г (И)] «[/' (И)]2 V (х). (5.37)
Формула (5.37) является приближенным выражением для дисперсии случайной величины у, так как мы отбросили остаточный член 5?, чего не рекомендуется делать в случае нелинейных функций.
Пример 5.4. Радиус стержня имеет среднее значение = 2,0 мм и среднее квадратическое отклонение 0^ = 0,10 мм. Найдите среднее значение и среднее квадратическое отклонение площади поперечного сечения.
Имеем
Л = f (7?) = л7?2, откуда f (7?) = 2л7?, Г(7?) = 2л.
С помощью формулы (5.34) получаем
Е [Л]« f (iiR) (2л) (ft = л • 22 +12л • 0,12 = 4,01л мм2
и с помощью формулы (5.37) находим
V [Л] « (2л|*дМ = (2л • 2)2 • 0,12, или
сA = ]/rV(А) —0,4л мм2.
Рассмотрим теперь аппроксимацию для функции f(n) случайных величин, т. е.
у = /(х1,х2, ..., х„) = /(х). (5.38)
Обозначим через р. = (|х1(..., р„) и = ап) векторы
математических ожиданий и средних квадратических отклонений
126 Глава 5
случайных величин хп . .., хп соответственно. Разложив в ряд Тейлора, имеем п
У = /(х1> .... xn) = f(Н1>-• + (X/—Н«) +
1=1 1 |И
п п
+4- £ £ йй L- (5-39>
Математическое ожидание выражения (5.39), имеет вид п
Е (У) = f (Hi. • • • > Ю + S |Х=|Х Е (х<— Н«) + п п
+4г££Ж.в Е Г(х,— Н,) (Ху — Цу)] + Е (91). / = 1 1=1 7 1
Если хп х2, ..., хп — независимые случайные величины, то после исключения нулевых членов получаем п
£(y) = f(b, .... + V(x,.) + £(5l).
2 1=1 0*1 х = И
Отбрасывая остаточный член, получаем приближенное выражение
п
£(У)«НИ1, И„) + 1£^1 V(xz). (5.40)
l=l "Xf |х = И
Если в выражении" (5.40) опустить второй член, то
£[f(x)]«f(R. .... Ю- (5.41)
Если рассматривать только первые два члена разложения (5.39), то дисперсия имеет вид
(5.42)
Пример 5.5. Растягивающая нагрузка Р, действующая на стержень, имеет среднее значение р,Р= 10 000 Н и среднее квадратическое отклонение оР = 1000 Н. Среднее значение площади поперечного сечения А составляет рл= 5,0 см2, а среднее квадратическое отклонение случайной величины А составляет
Композиции случайные величин при проектировании 127
=0,4 см2. Найдите среднее значение и среднее квадратическое отклонение растягивающего напряжения s. **
Это напряжение задается выражением
s = /(P, Д) = 4.
Следовательно,
Ня) = ^ = ^^ = 2000 Н/см2 = 20 000 кПа.
Дифференцируя, получаем
дР А дА А2' -
Следовательно, a2~(df\ V^A.(df\ УЯ2_
= Ш2. 10002 + Г-^0У .0,42 = 65600, \ 5) \ 52 ) ’
или
os = /65600 = 256,1 Н/см2 = 2,561 кПа.
- Пример 5.6. В электрической цепи, изображенной на рис. 5.1, имеются два параллельно соединенных резистора. Сопротивление каждого резистора является случайной величиной. Известно, что рР1= 100 Ом, о^=10 Ом, ряз=200 Ом, о^з=15 Ом. Определите и ор?.
<_____________________RT___________________
Рис. 5.1. Два параллельно соединенных резистора.
Известно, что
*г=№.
Поэтому
Е-гп 1 4/ ч 100-200
Е [Рг] « f (р.₽1, Р-Д,) — 100+ 200 “ 66,7 ОМ'
128 Глава 5
Дифференцируя, получаем д/ & и df _ dRi (Rt+Rz)2 dRt (Я1+Яг)а*
Следовательно,
9f I 2002 Л ллл
^“зоо* -°-444’
_2LI =2221=0 111
№гК,> 300» U’1U-
Дисперсия составляет
о^г = 0,444* • 102 + 0,111» • 15* = 22,4858,
или
ояг=4,74 Ом.
Если известны ковариации случайных величин, входящих в формулу (5.39), то можно обобщить результат, выраженный формулой (5.42). Легко показать, что
V (ао + aixi + аА + • • • + аях„) =
= afV (xi) + ... 4-а2У (х„) + 2 2J 2 а/а/ cov (xz, хх). (5.43)
Оставим только первые два члена разложения (5.39). Беря дисперсию, имеем
п
ny)-S(^,U‘i'W +
п-1 п
+2S Ш-») cov(x'’ х'>- (5-‘|4>
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи функции /(•). Пусть
y=/(X) = lgX.
Тогда
оу « 0,4343 — = 0,4343Ух, (5.45)
Гх
где Ух — коэффициент изменчивости случайной величины х. Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной величины 1g х пропорционально коэффициенту вариации случайной величины х.
Рассмотрим теперь функцию у = хв, для которой имеем
о, = |арх| . -ч (5.46)
Композиции случайных величин при проектировании 129
Поскольку Цу = Цх. то
Vy«|a|Vx. (5.47)
Можно легко проверить, что
V1/x«Vx (5.48)
VKx«T^x. (5.49)
Рассмотрим теперь следующий общий случай:
' у = аох?‘х?...х“”. (5-50)
Используя формулу (5.44), можно записать
VJ « 2 а?^.+ 2 2 j 21 aiajPi/VxyXj, (5.51) где обозначает коэффициент корреляции для (xz, х,).
В'двух частных случаях соотношения (5.50) и (5.51) принимают следующий вид:
а) у=ахгх2, (5.52)
V^Vl+Vl + ^V^-, (5.53)
б) у = аххх2/х8, (5.54)
Vy « V’, + П + VI + 2риУЛ-2рх,И«Л.-2риУ,Л,-
(5.55)
5.4.2.. Анализ погрешностей при использовании методов аппроксимации
Рассмотрим разложение в ряд Тейлора до члена третьего порядка в случае функции двух переменных. Имеем
У = /(Х1. Х2)==
м (*1—(х*-ЮС*.-1Ь)+
+ 41 (Х.-На)’1 +
^х2 |Ц1, J
+ ^Г4| (Х1“ И1)3 + 3лЙг| (Х1 —Н1)2(*2—Н2) +
1 L |Щ. Ц» ^х2 |Ц1, Ut
(хг-Р1)(хз-Р2)’+4-1 (х2-на)’1+Я. (5.56)
ОХх 0X2 Щ, 0Х2 ||Л1, Ц» J
5 К2 544
130 Глава 5
Проведем разложение в ряд Тейлора следующей специальной функции, которая обычно встречается при расчете надежности ha этапе проектирования. Коэффициент безопасности п, который Является случайной величиной, имеет вид
<5-57>
Где S и s обозначают прочность и напряжение соответственно. Имеем
2 6S
I2----_
s4
(5.58)
n=7+T{S_S)+C^(s“s) +
+ 1 Го- 4(S-S)(s— 5j+4(s-s)2l +
I Sa s3
+ Л r° + 0+4(S-S)(s-i)2 —4(s-s)s1+5? =
L s3 s4
"f+T(S-5)“l(s-’)-?(S-S)(s-s+l<s-?,’+
+ <s-SHs-s)2 — J. (S—s)3 + 91. (5.69)
s3 s4
Если в выражении (5.59) отбросить остаточный член 91 и перейти к математическому ожиданию, то получим
п = Е(п)«^ + 4 <5-60)
S S’5 S4
где Из —третий центральный момент для s.
Переходя к дисперсии в обеих частях выражения (5.59) И опуская остаточный член, имеем
;V Яф + i (S-3) +4 (s—s)—4-(S-3)(S-S) +
( L s s sz sa
+4 (s-Fr 4
s3
(S-S)(s-fo S.
7s s* 1
S . S 2 S A* - + =-Os— =-p3 .
s s3 s4 /
(5.61)
Если предположить, что случайные величины S и s распределены по нормальному закону, то
|*3 = 0, |х4 = 3о4, р8 = 0 и |л6=15о®.
Композиции случайных величин при проектировании 131
Подставляя эти значения в формулы (5.60) и (5.61) и производя упрощения, имеем
£(n)«-L + 4<Ts (5.62)
S S3
И
(j2 —2 _ ~~ q —6
V (n)«+ 4 (S’ + M) +4 (3ffs + 8S2) +15-=5 . (5.63)
s® s8
Таблица 5,1
Анализ погрешностей при аппроксимации соотношения n=S/s путем разложения в ряд Тейлора
ms os Ms О.; Аппроксимация
первого порядка второго порядка третьего порядка
п V (п) п V (п) п V (П)
100,0 9,0 10,0 з,о 10,0000 9,8100 10,9000 11,5029 10,9000 17,6219
120,0 11,0 20,0 4,0 6,0000 1,7425 6,2400 1,8698 6,2400 2,2756
140,0 12,0 30,0 5,0 4,6666 0,7649 4,7962 0,8029 4,7962 0,9200
150,0 13,0 40,0 7,0 3,7500 0,5362 3,8648 0,5659 3,8648 0,6578
180,0 15,0 50,0 8,0 3,6000 0,4218 3,6921 0,4410 3,6921 0,5000
200,0 16,0 60,0 10,0 3,3333 0,3798 3,4259 0,3988 3,4259 0,4580
В табл. 5.1 представлены средние значения и дисперсии коэффициента безопасности п, вычисленные вначале с помощью формул (5.40) и (5.42), а затем с помощью формул (5.62) и (5.63) соответственно. Формулы (5.62) и (5.63) обеспечивают лучшую аппроксимацию, так как учитываются члены более высокого порядка.
Рассмотрим еще один пример, показывающий величину ожидаемой погрешности при аппроксимации путем разложения в ряд Тейлора.
Пусть у~еах, где х—случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением о. Можно легко вывести следующие точные выражения:
Е (eflX) = exp + , (5.64)
у(^ах) = ехр (2а2о2+ 2ар) — £ехР + • (5.65)
5*
Таблица 5.2
Погрешности при приближенном вычислении цу и or* путем разложения у = еот в ряд Тейлора
а и о Точные значения Приближенные значения при использовании первых двух членов Приближенные значения при использовании первых трех членов
V(eax) Е(е“) v (еах) v(em)
1,00 0,00 1,00 1,64872 4,67077 1,50000 1,50000 1,50000 2,91667
1,00 1,00 1,00 4,48169 34,51262 4,07742 11,08358 4,07742 21,55141
1,00 1,00 0,50 3,08022 2,69476 3,05807 2,07817 3,05807 2,58809
1,00 2,00 1,00 12,18249 255,01555 11,08358 81,89722 11,08358 159,24458
2,00 0,00 1,00 7,38906 2 926,35986 3,00000 12,00000 3,00000 54,66666
2,00 0,00 0,50 1,64872 4,67077 1,50000 1,50000 1,50000 2,91667
2,00 1,00 1,00 54,59814 159 773,812 22,16716 655,17773 22,16716 2 984,69824
2,00 1,00 0,50 12,18249 255,01555 11,08358 81,89772 11,08358 159,24458
3,00 0,00 1,00 90,01714 . 65 651 856,0 5,50000 49,50000 5,50000 434,24976
3,00 0,00 0,50 3,08022 80,52939 2,12500 4,78125 2,12500 14,58984
3,00 2,00 0,50 1242,64819 13 106 545,0 857,28589 778 171,375 857,28589 2 374 566,000
3,00 1 2,00 0,25 534,45630 215 676,562 516,89282 117 297,875 516,89282 180 864,000
132 Глава 5
Композиции случайных величин при проектировании 133
Вычислим теперь первые два момента случайной величины путем разложения в ряд Тейлора. Мы видим, что
у = ет = + aeav- (х—р.) + а2еа|1 (х—р)2 +
4-1(а^)(х—р)3 + 5?. (5.66)
Следовательно,
у « еа“ + о + у а2е^а2 + 0. (5.67)
Рассмотрим первые три члена уравнения (5.66) и вычислим дисперсию. Имеем
V (у) = £ (х—ц)4-уй’^(х—р)2]8}-—
—^ea|X+aeatl(х—р,)+уа2еа^(х—p.)2j^2=i
=s aaeaatt<ya (1 + у а2°2) • (5.68)
Если рассматривать все члены уравнения (5.66), то
V (у) = а’е2ана2 (1 + у аааа + а4о4) . (5.69)
Табл. 5.2 составлена с помощью выведенных выше соотношений. Она показывает, какая разница существует между точными значениями математического ожидания и дисперсии случайной величины у и их приближенными значениями, полученными путем разложения в ряд Тейлора с точностью до членов второго и третьего порядка.
5.5. Задание статистических допусков
Размеры или какие-либо другие конструктивные параметры обычно задаются как номинальное значение плюс—минус некоторый допуск. Например, на рис. 5.2 длина элемента задана как 2500 ±3 мм. Здесь 2500 мм—номинальная длина, а 3 мм—до-
Рис. 5.2. Пример задания допуска.
2500*3™
134 Глава 5
пуск. Этот размер является случайной величиной с некоторым распределением, свойством которого является то, что размер только некоторой доли элементов выйдет за нижний или верхний установленный предел. Так, если этот размер имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 2500 мм и средним квадратическим отклонением 1 мм и в техническом задании указан размер 2500 ± 3 мм, то за эти установленные пределы выйдет размер не более, чем у 27 элементов из 10000. На рис. 5 3 показана плотность распределения этого размера и естественный допуск или установленные пределы. Это означает, что размер не более (а/2)% элементов выйдет за верхний предел и не более (а/2)% элементов — за нижний предел. И наоборот, если известно распределение размера и задано значение а как допустимый процент дефектных изделий, то можно вычислить установленные пределы, показанные на рис. 5.3.
Рис. 5.3. Задание параметра в технических требованиях при данном значении а.
Пусть ty обозначает номинальный размер i-го элемента, а ti—его допуск. Тогда размер этого элемента можно записать как При статистическом анализе допусков обычно /,•
принимается приближенно равным 3oz.
Пусть X; обозначает фактический размер i-ro элемента, а хА—фактический размер узла в собранном виде. Тогда математическое ожидание случайной величины х,- будет равно т)(-, а среднее квадратическое отклонение — /,-/3. Следовательно, для случая задания линейных допусков при сборке k элементов имеем
ти = П! ±1)2±Пз±---±П*.
= Ка! + ^ + ... + ai = /(^/З)2 + (t2/3)2 + ... + (/А/3)2 или
= Зол - + +
Композиции случайных величин При проектировании 135
Пример 5.7. Рассмотрим сборку, состоящую из вала и подшипника. Пусть xs обозначает фактический размер вала, хь — фактический размер подшипника, а хс—зазор между валом и подшипником. Тогда
= х$.
Допуск для зазора составляет ±0,05 мм. Определите допускй для вала и подшипника, если задано, что они равны.
Используя соотношение
имеем
0,05 = /F+^ = /2Z,
ИЛИ
t = tb = t. = = 0,035 мм.
5.6. Краткие выводы
При вероятностных прочностных расчетах при проектировании все конструктивные параметры рассматриваются как случайные величины. Такая методика позволяет охватить весь диапазон возможных значений параметра. Таким образом, рабочие характеристики изделия, которые являются функцией этих случайных величин, также рассматриваются как случайные величины. В этой главе приведено несколько композиций случайных величин. В общем случае трудно найти плотность распределения случайной величины у как функции плотностей распределения случайных величин хп ..., х„. В большинстве случаев проектирования имеется информация только о нескольких первых моментах случайных величин хг, ..., х„. Эта информация используется для вычисления приближенных значений моментов случайной величины у. Результаты, полученные в этой главе, широко используются в различных простых задачах проектирования (гл. 7). В разделе, посвященном анализу погрешностей, дается некоторое представление о погрешностях приближенного вычисления первых двух моментов случайной величины у путем разложения в ряд Тейлора. Рассматриваемый в гл. 7 анализ изделия на этапе проектирования основан на вычислении первых двух моментов случайной величины у с помощью формул (5.41) и (5.42).
136 Глава 5
УПРАЖНЕНИЯ
1. На рис. 5.4 показаны элементы контактного реле. Размер х обозначает величину перехода за установленное предельное положение (называемую перебегом) верхнего контакта, который имеет место при частичном отжатии верхнего контакта влево. Найдите номинальный размер х и его допуск.
Рис. 5.4. Контактное реле.
2. Размеры вала и кольца в собранном виде показаны на рис. 5.5. Размер х обозначает зазор. Найдите номинальное значение х и его допуск.
3. На рис. 5.6 показан шатун, каждый радиус которого имеет допуск ±2 мм. Допуск для расстояния L между центрами отверстий составляет ±4 мм. Найдите допуск для размера h.
4. Определите допуск для вычисленного значения удельного расхода топлива Z при испытании двигателя на тормозном стенде, если известны допуски для расхода топлива X и тормозной мощности Y. По определению удельный расход топлива при испытании двигателя на тормозном стенде равен часовому расходу топлива, деленному на тормозную мощность, т. е. Z=X/Y. В дизельном двигателе данного конкретного типа допуск для удельного расхода топлива составляет ±2о. Заданы следующие величины: рх=915 кг/ч, ох= 11 кг/ч, рг=2500 л. с., <jr=24 л. с.
5. Определите допуск для объема прямоугольной заготовки, изображенной на рис. 5.7, если даны следующие размеры: Х = 2000±2 мм, У=1000±1 мм, Z=4000±8 мм.
6. Определите допуск для объема цилиндра, если заданы диаметр D и длина L со следующими допусками: D = 250Q±2 мм,
Композиции случайных величин при проектировании 137
Рис. 5.5. Вал в собранном виде.
г=620±2
Рис. 5.6. Шатун.
L = 8000±4
138 Глава 5
£ = 4000±5 мм. Диаметр цилиндра получен независимо от его длины.
7. На рис. 5.8 представлена головка винта. Показанные размеры образованы таким образом, что между ними нет связи, т. е. они независимы друг от друга. Определите допуск для высоты головки винта Н. Заданы следующие размеры б, D и d и их допуски: 0 = 9O°d;2O', D = 20±0,050 мм, d= 10±0,025 мм.
Рис. 5.7. Прямоугольная заготовка.
X-ширина; У—высота;
Z—длина; У=ХУ2—объем.
Рис. 5.8. Головка винта.
8, В электрической цепи, изображенной на рис. 5.9, —
напряжение, подаваемое на трансформатор. С трансформатора напряжение поступает на усилитель. На выходе усилителя имеется фазосдвигающий синхронизатор. Определите расчетную величину выходного напряжения Vo при условии, что
Vo = V2cos0 + V^/Csin0,
где Vi = 60±l В, ЛГ = (1—3)±2%, tf = 2±3%, 0 = 6О±О,5°, Уг = 80±0,6 В.
Предполагается, что случайные величины V*, N, К, 9 и V9 независимы,
Композиции случайных величин при проектировании 139
।--------------- г.---------------1
Рис. 5.9. Электрическая цепь.
9. Случайная величина у является функцией трех других случайных величин xt, х2, Xj и имеет вид
у = ох1/х2х8.
Имеется следующая информация о случайных величинах xlt Xj и х3: цХ1 = 4,0, ох, = 0,4, рХ1 = 2,0, ох, = 0,2, цх,= 1,0, ах, = 0,1, Pia = 0,8, р23 =—0,7, р13 =—0,5. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины у.
10. Эффективный предел усталости стали определенного сорта вычисляется по формуле
$n = kjk2Sn,
где ki—коэффициент чистоты обработки поверхности, к2—коэффициент концентрации напряжения, S'n—предел выносливости. По различным причинам S'n, kj и k2—случайные величины, имеющие следующие значения с допусками: к1 = 0,8±0,12, к2= =0,6±0,21, S„ = 200±60 кПа. Найдите допуск для эффективного предела усталости.
11. Элемент автомобиля испытывает действие переменной нагрузки, изображенной на рис. 5.10. Максимальное значение
Время
Рис. 5.10. Действие переменной нагрузки на элемент.
140 Глава S
напряжения sMaKC является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием PsMaKC= =600 кПа и средним квадратическим отклонением OsMaKC = 40 кПа. Минимальное значение напряжения sMHH является случайной величиной, имеющей гамма-распределение с параметрами 11=17 и 1Д = 20 кПа. Среднее значение напряжения равно
_ 8макс~Ь 8мин
»ср — 2 ’
а полуразмах колебаний напряжения равен с __________________________8макс smhh
апр — 2
а) Аппроксимируя гамма-распределение случайной величины sMBh нормальным распределением, определите распределение случайных величин scp и snp.
б) Найдите значение, которое случайная величина scp превысит только в течение 1,3% времени.
в) Найдите значение, которое случайная величина snp не превысит в течение 90% времени.
— 0сь Рис. 5.11. Поперечное сечение трубчатой балки.
12. Трубчатая балка, изображенная на рис. 5.11, используется в одном из узлов автомобиля. Для вычисления напряжений необходимо вычислить момент инерции балки. Момент инерции / балки относительно нейтральной оси равен
I = ri4.
Средний радиус г и толщина трубчатой балки t имеют следующие размеры: г = 2000±60 мм, /=110±15мм. Найдите среднее значение момента инерции и среднее квадратическое отклонение.
Рис. 5.12. Схема действия Нагрузок.
13. Анализ показал, что к элементу приложены нагрузки, схема действия которых изображена на рис. 5.12. Четыре силы Fp Л2, Fa и являются случайными величинами, распределения которых приводятся в следующей таблице:
Композиции случайных величин при проектировании 141
Сила " Распределение 4 Параметры
F, Экспоненциальное 1Д = 2,6 кН
Ft Г а мма-распределен ие 1Д=2,6 кН, п=18
F3 Нормальное ц=37,5 кН, о=3,9 кН
Ft Г амма-расп ределение 1Д=2,6 кН, t)=15
Вычислите математическое ожидание и дисперсию суммарной нагрузки. (Указание: гамма-распределение можно аппроксимировать нормальным распределением с р,= т)Д и о = ргт)/Х.)
14. Найдите математическое ожидание и дисперсию максимального напряжения сдвига г в спиральной пружине путем-разложения в ряд Тейлора следующего выражения:
(\ + df2D)dGy nD*N
Известна следующая информация о пяти случайных величинах, входящих в это выражение:
Случайная величина Среднее значение Среднее квадратическое отклонение
Диаметр проволоки d, мм 3,81 0,20
Диаметр витка D, мм 20,32 0,38
Модуль упругости второго рода G, кПа 7,83-107 1,38-10е
Число витков N 20 0,5
Прогиб у, мм 24,3 0,76
ЛИТЕРАТУРА
1. Benjamin J. R., Statistics for Civil Engineers, New York, McGraw-Hill, 1964.
2. Bowker A. H., Liebermann G. J., Engineering Statistics, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1963.
3. Cramer H., Mathematical Methods of Statistics, Princeton, N. J., Princeton University Press, 1946. [Имеется перевод: Крамер Г. Математические методы статистики.— М.: Мир, 1975.]
4. Haugen Е. В., Probabilistic Approaches to Design, New York, John Wiley and Sons, 1968.
5. Parrott L. G., Probability and Experimental Error in Science, New York, John Wiley and Sons, 1961.
6. Parzen E., Modern Probability Theory and Its Applications, New York, John Wiley and Sons, 1960.
7. Shooman M. L., Probabilistic Reliability: An Engineering Approach, New York, M^aw-Hill, 1968.
8. Shoomirili. L., Reliability Physics Models, IEEE Transactions on ReliabiiitiK R-17, 14-Д» (March 1968)»
Глава 6. Зависимость надежности от распределений прочности и напряжения
В этой главе рассматриваются способы определения вероятности безотказной работы элемента, подсистемы или системы, когда приложенные напряжения превышают прочность. Чтобы оценить надежность, необходимо знать распределения случайных величин — напряжения s и прочности S. В гл. 4 и 5 рассматривались различные факторы, которые необходимо учитывать, чтобы определить распределения этих случайных величин. В этой главе будет показано, как рассчитать вероятность безотказной работы элемента, если эти распределения известны. В разд. 6.1 выводится общее выражение для вероятности безотказной работы, а в разд. 6.2—6.8 приводятся частные выражения при различных распределениях напряжения и прочности (нормальном, экспоненциальном, логарифмически нормальном, гамма-распределении и распределении Вейбулла). В разд. 6.9 рассматривается графический способ расчета вероятности безотказной работы элемента, когда имеется лишь ограниченный объем данных о напряжении и прочности. Большинство методов иллюстрируется соответствующими числовыми примерами. В разд. 6.10 приводятся выражения для вероятности безотказной работы в случае распределения экстремальных значений.
6.1. Общее выражение для вероятности безотказной работы
Обозначим через Д(-) плотность распределения напряжения $, а через /$(•)—плотность распределения прочности S, изображенные на рис. 6.1. Тогда, по определению, вероятность безотказной работы имеет вид
P = P(S> s) = P(S—s>0). (6.1)
Заштрихованный участок на рис. 6.1 показывает область перекрытия распределений напряжения и прочности, которая характеризуется определенной вероятностью отказа. И^с^азим эту область в увеличенном масштабе, как показано на ририр42, чтобы рассмотреть ее более детально. Вероятность того, что некоторое
Зависимость надежности от прочности и напряжения 143
Рис. 6.1. Перекрытие распределений напряжения /s (s) (7) и прочности fs (S) (2).
Рис. 6.2. Вычисление вероятности безотказной работы (участок области перекрытия распределении напряжения и прочности личен). ‘ '
144 Глава б
значение напряжения находится в небольшом интервале шириной ds, равна площади элемента ds, т. е.
Р [se—g^s^se+£)=ft(se)ds.
Вероятность того, что прочность S превышает некоторое значение напряжения s0, задана выражением
во
P(S>s.) = Jfs(S)dS.
Вероятность того, что значение напряжения заключено в малом интервале ds, а прочность S превышает напряжение, задаваемое этим интервалом, при условии, что случайные величины (напряжение и прочность) независимы, имеет вид
со
fs(s0)ds$fs(S)dS. (6.2)
>0
В данном случае вероятность безотказной работы есть вероятность того, чтб прочность S превышает напряжение s для всех возможных значений напряжения s и, следовательно, имеет вид
00
* = J fs(s) — 00
fs(S)dS ds.
(6.3)
,s
Вероятность безотказной работы можно также рассчитать исходя из того, что напряжение остается меньше прочности. Вероятность того, что значение прочности S находится в малом интервале dS, определяется выражением
p(so-f <s^so + f ) =fs(S0)dS,
а вероятность того, что напряжение меньше So, имеет вид
s.
P(s<S0)= $ f,(s)ds.
— 00
Снова полагая, что напряжение и прочность являются независимыми случайными величинами, определяем вероятность того, что значение прочности находится в малом интервале dS, а значение напряжения S не превышает So:
з,
fstSJdS $ A(s)ds, (6.4)
Зависимость надежности от прочности и напряжения 145
Следовательно, вероятность безотказной работы элемента при всех возможных значениях прочности S имеет вид
$ fs(S)
$ fs(s)ds — CD
dS.
(6-5)
Здесь выводятся и некоторые другие выражения для вероятности безотказной работы и вероятности отказа, используемые ниже.
Вероятность отказа R определяется как
P=l-P = P(S<s).
Подставляя сюда выражение для R из формулы (6.3), получаем
во Г во
P = P(S^s)= 1 - $ fs(s) \fs(S)dS
-СО L.S
ds =
во со
= 1- $ A(s)[l-Fs(s)]ds = $ Fs(s)fs(s)ds. (6.6) — во — во
Кроме того, используя формулу (6.5), имеем
со со
= 1- $ fs(S)Fs(S)dS= $ [1-Fs(S)]fs(S)dS. — со — со
(6.7)
Введем случайную величину y=S—s. Теперь можно опреде-^ лить вероятность безотказной работы как
/? = Р(у>0). * (6.8)
Допустим, что S и s—независимые неотрицательные случайные величины. Тогда плотность распределения случайной величины у имеет вид
fy(Z/)=$fs(y + s)fs(s)ds= (6.9)
S
ps(y4-s)/s(s)ds,
(6.10)
$ fs(y + s)fs(s)ds,
Ч -У
146 Глава 6
Следовательно, вероятность появления отказа определяется как о $ fy(y)dy = — 00 О оо
= $ $ fs(y + s)fs(s)dsdy, (6.11)
-00 -у
а вероятность безотказной работы как
00
я = $ /у (y)dy=*
О оо оо
= ^fs(y+s)fs(s)dsdy. (6.12)
О о
6.2. Вычисление вероятности безотказной работы при нормальном распределении прочности и напряжения
Плотность нормального распределения напряжения s имеет РИД
Л(8)=—-J==-exp Г—— oo<s<oo, (6.13) а плотность нормального распределения прочности S имеет вид fs(S) = —-у===-ехр Г— 1/^yi, — oo<S<oo, (6.14) где ps — математическое ожидание напряжения, os — среднее квад-ратическое отклонение напряжения, ps — математическое ожидание прочности, os —среднее квадратическое отклонение прочности. Введем случайную величину y = S—s. Известно, что случайная величина у имеет нормальное распределение с математическим ожиданием
p,y=ps— Hs (6,15)
и средним квадратическим отклонением
Oy = -/as + ©s (6.16)
(рис* 6.3). Теперь вероятность безотказной работы можно выразить через у, как оо
/?=Р(у>0) = f—i=-exp [—
J ay у 2л I 2 ay !
Зависимость надежности от прочности и напряжения 147
Рис. 6.3. Плотность распределения случайной величины у.
> о ), где и а =1/ о| +
У У У » у т
J — вероятность безотказной работы системы: 2—вероятность отказа.
Если г —(у—ру)/оу, т0 fydz — dy. При у —О нижний предел случайной величины г имеет вид
г =
°-Ну °у
P'S—Hs
(6.17)
а при у—>4-оо верхний предел г—>4-оо. Следовательно,
Я
/2л Ц-S - Hs V ®s+os
е~г2/а dz.
(6.18)
Ясно, что z = (у—р,у )/сгу является нормированной случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Следовательно, вероятность безотказной работы можно найти с помощью таблиц функции нормального распределения.
Соотношение (6.17), используемое для определения нижнего предела нормированной случайной величины z, распределенной
148 Глава в
по нормальному закону, обычно называется уравнением связи. Формулу (6.18) можно записать как
/? = 1 — ф(----+ \ (6.18а)
Пример 6.1. Деталь автомобиля способна выдерживать определенные нагрузки. Из опыта известно, что вследствие изменения нагрузки напряжение имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 30 000 кПа и средним квадратическим отклонением 3000 кПа. Вследствие колебаний характеристик материала и допусков на размеры прочность элемента также является случайной величиной. Было определено, что прочность имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 40 000 кПа и средним квадратическим отклонением 4000 кПа. Вычислите вероятность безотказной работы элемента.
Задано
S~N (40 000, 4000) кПа, s ~ N (30 000, 3000) кПа.
Тогда нижний предел интеграла для вычисления R определяется как
~ _ 40000—30000 _ 10000 _ 2 0
V4000® 4- 3000» 5000 ’ ’
и, следовательно, из таблицы для нормального распределения находим, что
/? = 0,977.
Пример 6.2. Известно, что напряжение, возникающее в элементе двигателя, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 350,00 МПа и средним квадратическим отклонением 40,00 МПа. Вследствие воздействия температуры и некоторых других факторов прочность материала имеет случайные значения с нормальным распределением с математическим ожиданием 820,00 МПа и средним квадратическим отклонением 80,00 МПа.
Обычный коэффициент безопасности, определяемый как отношение средней прочности к среднему напряжению, имеет вид
Для вычисления вероятности безотказной работы элемента используем уравнение связи
HS—щ 820,00 — 350,00 _ 470,00 _ &
1/ °s + CTs И 40,00?-f-80,00» 89,44
Зависимость надежности от прочности и напряжения 149
Следовательно, вероятность безотказной работы элемента равна 0,9999999.
Допустим теперь, что плохая термическая обработка и большие колебания окружающей температуры вызывают увеличение среднего квадратического отклонения прочности элемента до 150,00 МПа. В этом случае вычисленный выше коэффициент безопасности остается без изменения, а вероятность безотказной работы меняется. Используя уравнение связи, имеем
820,00— 350,00 470,00 о Л0
2 — г •; " . ... — * г г- q а — —"O.Uu
Y40,002 + 150,002 155,24
и находим, что вероятность безотказной работы элемента равна 0,99877. Таким образом, мы являемся свидетелями снижения надежности вследствие увеличения изменчивости прочности элемента.
Пример 6.3. Требуется спроектировать новый элемент. Анализ напряжений показал, что элемент испытывает растягивающее напряжение. Нагрузка меняется, и растягивающее напряжение имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 2460 кгс/см2 и средним квадратическим отклонением 280 кгс/см2. Производственные операции вызывают остаточное сжимающее напряжение, имеющее нормальное распределение с математическим ожиданием 700 кгс/см2 и средним квадратическим отклонением 105 кгс/см2. Анализ прочности элемента показал, что среднее значение эффективной прочности составляет 3500 кгс/см2. В настоящее время еще не ясно, как изменяется прочность вследствие действия различных факторов. Инженеру требуется знать максимальное значение среднего квадратического отклонения прочности, при котором гарантируется, что вероятность безотказной работы элемента не окажется меньше 0,999.
Итак, дано
st~ N (2460, 280)'кгс/см2, sc~ N (700, 105) кгс/см2, где $(—растягивающее напряжение, a sc—остаточное сжимающее напряжение.
Среднее эффективное напряжение имеет вид s = sf—se = 2460—700= 1760 кгс/см2, а его среднее квадратическое отклонение определяется выражением _
crs = Y о^+ os2c = У'2802+ 1052 = 300 кгс/см2.
С помощью таблиц для нормального распределения находим, что значение г, соответствующее вероятности безотказной работы 0,999, составляет —3,1. Подставляя это значение в уравнение
150 Глава 6
связи, получаем
—Я 1 — 3500—1760,
/ а|+300« ‘ Решая это уравнение относительно os, имеем os = 480 кгс/см2.
6.3. Вычисление вероятности безотказной работы при логарифмически нормальном распределении прочности и напряжения
Стандартная форма плотности логарифмически нормального
распределения имеет вид
fy(y)=—i^exP [—А(1пУ—И)2] > У>®, (6-19)
ус у 2л L 2оа J
где у—случайная величина. Параметры р, и а представляют собой соответственно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины 1пу, распределенной по нормальному закону. Вначале выведем те соотношения для логарифмически нормального распределения, которые потребуются впоследствии при анализе.
Пусть х = 1пу. Тогда dx — (\/y)dy. С помощью формулы (6.19) находим
f(*) = 1/-к-ехР [—i(*—И)2] » а у 2л L 2а2
— оо < х < оо,
следовательно, и
Е(х) = Е[1пу] = ц
V [х] = о2 = V [In у] = Он, у.
Рассматривая теперь показатель при экспоненте е выражения
00
Е(у) = Е(ех)= f —U=r^exp Г— dx,
J а у 2л 2 \ а /
имеем
х~ 4 )2 “х ~ ifx2 ~2х|х+р2)=
=* —i(x2—2рх—2o2x + p2) =
= 2^(W + o4)—if* — (м t-Oa)Ja=;
“н+у—if*—(н+о2)!2-
Зависимость надежности от прочности и напряжения 151
Таким образом,
, (6.20)
= ехр + •
Чтобы вычислить дисперсию случайной величины у, заметим, что
£(у,)= j тйнехр
— СО
2х----— (х—р)21 dx.
2о2 v
Рассматривая показатель при е в выражении для Е (у2), имеем 2х 2а2 Р)2 =
= — 2^2 (—4а2х 4- х2—2рх 4- р2) =
= ~ i Г*2—2* (Р + + <Р + 2<>2)2]-ё + ^2^ =*
= - 2^ [х- (р 4- 2о2)]2 + 2р + 2а2.
После обратной подстановки и упрощения получаем
Е (у2) = ехр [2 (р 4-а2)].
Следовательно, по определению дисперсии можно записать
V (у) = ехр [2 (р 4-а2)]—[ехр (р 4- а2/2)]2 =
= [ехр (2р 4-а2)] [ехр (а2) — 1]. (6.21)
Заметим теперь, что
[Е (У)]2 С Ь
После преобразования получаем
<6-22)
Мы показали, что формула (6.20) имеет вид
Е (у) =gi1+<jl/2, а это означает, что
р = 1п£(у)—jo2. (6.23)
152 Глава 6
Если у обозначает медиану случайной величины у, то можно записать
С---7=-ехр
J уа К2л о
-^(,ny-H)2W
Используя соотношение х = 1пу, перепишем это выражение в виде
1пу
°,5 = С ехр Г— (х—p)’l dx,
J а у 2л 2аа J
— 00
откуда получаем
|л = 1пу, или у = е
(6.24)
Возвращаясь теперь к первоначальной задаче, когда S и s имеют логарифмически нормальное распределение, полагаем y = S/s, а это означает, что Iny^lnS—1ns. Заметим, что In у имеет нормальное распределение, так как In S и In s распределены по нормальному закону.
Плотность логарифмически нормального распределения имеет положительную асимметрию, следовательно, медиана является лучшим и более удобным средним показателем в случае логарифмически нормального распределения, чем математическое ожидание. Ясно, что антилогарифм среднего значения InS равен медиане распределения fs(’), а антилогарифм среднего значения 1ns равен медиане распределения /$(•), т. е.
S = guinst или pin s = In S, и
s = еИ1п ’, или
Pin s — In S,
где S и s—медианы случайных величин S и s соответственно. По аналогии добавим
pin у = 1П у, так как известно, что случайная величина у также имеет логарифмически нормальное распределение. Но
Piny = Pins—pins^lnS Ins. (6.25)
Зависимость надежности от прочности и напряжения 153
Объединяя эти два уравнения, получаем
In у — In S— In s = In 3-. s
Известно также, что
Oln у = ^Oln S 4*0>ins- (6.26)
По определению вероятности безотказной работы,
R=p (-г>1)=Р(у>1)=ру(у)^-
Пусть z = (lny—piny)/oiny, тогда z—нормированная случайная величина, распределенная по нормальному закону. Теперь необходимо найти новые пределы интегрирования. При у=1
__ In 1 — Pin у InS—Ins а,пу У olns + alns ’
Последнее равенство следует из формул (6.25) и (6.26) при у—>-]-оо иг—>4-°о. Вероятность безотказной работы можно легко вычислить как
R— J <p(z)dz, (Q.Z7)
InS-ln s V alnS+olns
где <р (г)—плотность распределения нормированной случайной величины z, распределенной по нормальному закону.
Пример 6.4. Прочность S и напряжение s распределены по логарифмически нормальному закону со следующими параметрами: Е(8)=100МПа, o(S)= 10 МПа, Е(з) = 60МПа, о(з) = 20МПа. Требуется вычислить вероятность безотказной работы. Пусть
Е (In S) = ps и Е (In s) =ps, V(lnS)=os и V(lns) = Os.
С помощью формулы (6.22) находим
о! = 1п Ш + 1} = 1п (т^- + 1) =1п 1 ’01 = °’00995’
а с помощью формулы (6.22) получаем
ps In £ (S) - у al = In 100 000 - = 11,50795.
154 Глава 6
Аналогично для напряжения s имеем
о2 = In (-^S-+l) = ln(l,Hl) = 0,10535
И
ps = In Е (s) — у а* == 11,00209 —у • 0,10535 = 10,94942.
Следовательно,
00
/?= $ <р(г)йг,
-Z где z задается уравнением связи
P'S—11,50795—10,94942 ,
Z —----7=== =------/..г---; —--1 , Ь4.
У а2 _|_а2 У 0,00995+0,10535
С помощью таблиц для нормального распределения при z — —1,64 находим, что /? = 0, 9495.
Пример 6*5* Прочность S и напряжение s распределены по логарифмически нормальному закону со следующими параметрами: Е (S)= 150 000 кПа, Е (s) = 10 000 кПа, o(s) = 15 000 кПа. Требуется определить максимально допустимое среднее квадрати* ческое отклонение прочности S, при котором вероятность безотказной работы окажется не ниже 0,999. Вначале вычислим
"‘=|пШ+1}=1п (S+1)-0’02225 и
gs = InE (s)—“У Os8 == 11,51243, а также
Us = lnE(S)-yo| = 11,9183—у а|-
Теперь с помощью таблиц для нормального распределения Находим, что значение z, соответствующее вероятности безотказной работы 0,999, составляет
г— Л..-.н?_„з,1.
V <4+°s2
После упрощения получаем
ps—2|isp-s + р2 * 9,61os + 9,610s-
Подставляя в это выражение найденные ранее значения ps, о* и (is и упрощая, получаем квадратное уравнение относительно а|:
0,16422— 10,0153os 4-0,25 (as)2 == 0,
Зависимость надежности от прочности и напряжения 155
имеющее корни 0,01645 и 40,04475. Выбирая меньший корень, получаем
ps = ll,9183 — у а1=11,91,
следовательно,
V (S) = [ехр (2ps + os)] [ехр (<4— О] =
= [ехр (2-11,91+0,01645)] [ехр (0,01645)—1]= 19314.
Требуемое максимально допустимое среднее квадратическое отклонение прочности S составляет /19314 = 139 кПа.
6.4. Вычисление вероятности безотказной работы при экспоненциальном распределении прочности и напряжения
В данном случае плотность распределения прочности имеет вид fs(S) = kse~xsS, 0CS<oo,
а напряжение имеет плотность распределения fs (s) = 0 s < оо.
С помощью формулы (6.3) находим
7? = $fs(s) $fs(S)d$ ds = о
00
~~^ss
О
о
+ <6-28> 0
Если обозначить среднее значение плотности через S= 1Д5, а среднее значение напряжения—через s=l/Xs, то 7? = S/(S + s).
6.5. Вычисление вероятности безотказной работы при нормальном (экспоненциальном) распределении прочности и экспоненциальном (нормальном) распределении напряжения
Плотность нормального распределения прочности имеет вид
156 Глава 6
а плотность экспоненциального распределения напряжения имеет вид
fs(s) = ke~Ks, s^O.
Известно, что ps=l/X и os=l/X.
Перепишем формулу (6.5) для вероятности безотказной работы
(6.29)
Если положить t — (S—ps + ^os)/os, то as dt = dS. Теперь выражение для R принимает вид
* [ ехр Г Л1х
\ °s / К2л J [---------Г]
-p,s - Л,о|
X ехр [ — 4 (2ps^—А,8о|) j dt =>
= 1—ф(—5^-)— ехр [—y(2ps^—ХМ)]х
(6.30)
Зависимость надежности от прочности и напряжения 157
Поменяем распределения прочности и напряжения, т. е. если прочность имеет экспоненциальное распределение с параметром 1s, а напряжение имеет нормальное распределение с параметрами р, и as, то, используя формулу (6.3), можно получить следую-щее выражение для вероятности безотказной работы:
. 7? = $fs(s) [fs(S)dS ds = о
_s
=^exp
2л r о
ехр (— l$s) ds.
После упрощения получаем
Я = ф(— у-)4-ехр [-у (2|xsls — )][ 1—ф( — --~2A'sg* .
, \ °s / I *• J L \ as / J
(6.31)
Этот результат несколько отличается от выражения (6.30).
Пример 6.6. Прочность элемента имеет нормальное распределение с параметрами ps — 100 МПа иа$ = 10 МПа. Возникающее в элементе напряжение имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 50 МПа. Вычислите вероятность безотказной работы элемента.
С помощью формулы (6.30) получаем
= 1 —0,0—ехр (—1,98) (1 —0,0)=»
= 1 —0,13806 = 0,86194.
6.6. Вычисление вероятности безотказной работы, когда прочность и напряжение имеют гамма-распределение
Плотность гамма-распределения случайной величины х имеет вид
f(x)=—, п > 0, 1>0, 0<х<оо,
где 1—параметр масштаба, а п—параметр формы.
Вначале рассмотрим случай, когда 1=1. Имеем
f*^=TWSa~ie~s> 0<5<°°-
158 Глава 6
И
A(s)=^j-sn-Ie-;S, 0<5<°°-
Затем, используя соотношение (6.9) для y = S—s, получаем
fy = Г(т)Г(п) j+ s^e~s ds, у^О,
Положим v = sly, тогда dv = (\ly)ds. Теперь
L (»)=-, J-. . ym+n-lg-t С vn-l (] -|-I;)»»-le_2’/odO. iy\a> Г (m) Г (n) э J '
Следовательно,
R = $ f у (У) dy = 0
= _ . С ут+п~*е~Ыу С л”-1 (1 +v)m~l e~2y0dv, Г (m) Г (n) J * J
a
C um + n-le-(i + 2v) УИн = —Г (^+п) e ay (1 + 2^ + * ’
0
Таким образом,
n r(/n + n) C (14-0M-ip*-i __
A Г (m) Г (n) J (l + 2u)^ + «
о
x=,.L({n+n) C (1___u)m^1un^1du
Г(/И)Г(Л) u) u au>
где u = v/(\ + 2v). Данный интеграл представляет собой известную неполную бета-функцию п) [10]. Следовательно,
^ = .Г(т) Пп) (6.32)
Рассмотрим теперь общий случай, когда Xy=lt Имеем
fs(5) = I^j-5'»-1e-AS, Х>0, m>0, 0^S< оо, и
= Пп) S'1~le~|ls» Р>0. «>0> о s < оо.
Зависимость надежности от прочности и напряжения 159
Используя уравнение (6.9), как и ранее, имеем
со
Я = j fy(u)dy О
гпГ(/и+п) С (1j
Г (т) Г (n) J [1 + (1 + r) v]m + n М’
где г = |1/Х. Полагая u = rv/[l+(1+r) v], имеем
Г/(1+Г)
О
где г входит только в верхний предел интегрирования. Следо* вательно, вероятность безотказной работы можно выразить через неполную бета-функцию, усечение которой производится при г/(1 4-г), а не при 1/2, как ранее, т. е.
—Г(т) Пп)^г/<1+г)(/и’ п^'
(6.33)
Теперь кратко рассмотрим три частных случая:
1. Если /п==п=1, то S и s имеют экспоненциальное распре-
деление при
Г (2)
Г (1) Г (1)
— 7-7— — —
14-г iH-A.
R
Этот результат совпадает с выражением (6.29).
2. Если т = 1, а п=/=1, то прочность S имеет экспоненциальное распределение, а напряжение s имеет гамма-распределение. В этом случае
г/(1+г)
Г (n+D Г пГ(п) / г X» 1 / г у_/ Ц у
* Г (1) Г (п) J “ аи~ Г (п) U + J п U+J AH-V *
(6.34)
3. Если /п=/=1, а п~1, то прочность имеет гамма-распределение, а напряжение имеет экспоненциальное распределение. В этом случае
г/(1+г)
£>_ С /1 Ага-1 Л<( — 1 ( 1 _ 1 ( \т
^-Т(пЬг(1) J (1 и) du-l—\—r) •
6.7. Вычисление вероятности безотказной работы при нормальном распределении напряжения и распределении прочности по закону Вейбулла
В этом случае плотность распределения прочности S имеет вид
160 Глава 6
где 0 — параметр наклона, (0—So) — параметр масштаба, a So — параметр усечения, т. е. значение прочности, ниже которого вероятности равны нулю.
Функция распределения прочности S имеет вид Fs(S)-l-exp[-(5=i;)S],
а математическое ожидание и дисперсия определяются как Hs =So + (0--$0)Г (| + 1) , a| = (e-ser{r(|+i)-[r (j+1)]2}.
Трехпараметрическое распределение Вейбулла является исключительно гибким и может принимать самые различные формы. При р=1 оно становится экспоненциальным распределением.
Плотность нормального распределения напряжения s имеет вид
с/\ 1 Г (S-M21
f!(s,-^7^exp[—st]'
Подставляя это выражение в формулу (6.6) для вероятности отказа, получаем
P(S^s)= j fs(s)Fs (s)ds =
Введем соотношение z = (s—ps)/as- Тогда первый интеграл будет равен площади под кривой плотности нормированного нормального распределения от значения z = (S0—ps)/os до +<х>. Обозначим этот интеграл через 1—Ф[(50—ps)/os]- Пусть далее у= =(s—So)/(0—So), тогда dz/ = ds/(0—So) и s = y (0—So) + So. Имея в виду, что
(*-ш)8 [y(e-So)+so-p»]8 = 1Г / е-з0\ s0-ps~|»
2с8 “ 2а8 2 [\ )у + °s J ’
Зависимость надежности от прочности и напряжения 161
второй член в правой части формулы (6.35) можно записать в виде
При такой записи легко выделить следующие три параметра:
о 9 — $о тт So—М-р, ----- и -----.
Следовательно, вероятность отказа имеет вид
(6.36)
Для вычисления этого интеграла при различных значениях параметров используются методы численного интегрирования. Таблицы значений этого интеграла для некоторых значений параметров приводятся в приложении 3.
Пример 6.7. Необходимо рассчитать пружину, если задана вероятность отказа 10-4. Прочность материала, из которого изготавливается эта пружина, имеет распределение Вейбулла со следующими параметрами: £о = 68 950кПа, (3 — 3, 0 = 89635 кПа. Нагрузка, действующая на пружину, имеет нормальное распределение с коэффициентом вариации os/p,s = 0,02. Требуется вычислить допустимые параметры нормального распределения напряжения, при которых обеспечивается заданная надежность. Выполним необходимые вычисления:
с _ 0—So _ 89 635— 68 950 _ 20 685
“ °s “ CTs ” °s ’
So—Ps 68 950— 50as 68 950
Я “ as “ as “ 20685/C
50 = 3,333C—50,
или
С = 0,ЗЛ + 15.
С помощью таблиц в приложении 3 находим, что при А = 0,6 и С=15 вероятность отказа составляет 0,0001. Точное значение
С при А = 0,6 равно
С = 0,3-0,6 + 15= 15,18, откуда
as = -^g- = 1360 кПа 1D, 10
6 Кв 544
162 Глава 6
И
ps = 0^2 = 68 000 кПа.
Пример 6.8. Необходимо спроектировать элемент, если задана вероятность отказа 0,0002. Известны только два параметра распределения Вейбулла: |3=2,О, 0 = 550000 кПа. Напряжение, действующее на элемент, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием ps= 100 000 кПа и средним квадратическим отклонением os= 10000 кПа. Требуется определить для этого элемента параметр минимальной прочности So.
- Имеем
с _ 0—So _ 550 000—So
С as 10000
И
_ So— |is _ s0 _ юо 000
A~ os ~ 10000
Исключая So, получаем
Л = 45—С.
Из таблиц в приложении 3 находим, что заданной вероятности отказа 0,0002 соответствуют С = 45 и Д=0. При Д = 0 So= = 100 000 кПа.
6.8. Вычисление вероятности безотказной работы, когда прочность и напряжение имеют распределение Вейбулла
Плотности распределения прочности и напряжения имеют вид г ₽S /5 — <Sg\^S 1 Г /S —S0\^sl о о /s(S)=ir(”0r) J* s»<s<oo>
соответственно; здесь мы заменили 0s—So на 0s и 0S—s0 на 0S.
Вероятность отказа, заданная формулой (6.7), имеет вид
00
£=P(S<s)= j [l-Fs(S)]fs(S)dS=.
Зависимость надежности от прочности и напряжения 163
Пусть
Тогда
S = //₽s0s+So.
Таким образом,
dy. (6.37)
Значения этого интеграла были определены [8, 9] численными методами для различных комбинаций параметров напряжения и прочности.
6.9. Графический метод определения вероятности безотказной работы при эмпирических распределениях напряжения и прочности
Здесь рассматривается метод вычисления вероятности безотказной работы, используемый тогда, когда нет оснований для принятия допущения о каком-либо конкретном распределении напряжения или прочности, но имеется достаточный объем экспериментальных данных.
Введем обозначения
G= J fc(S)dS=l—Fs(s)
H = J /s (и) du = Fs (s).
Тогда dH = fs(s)ds. Очевидно, что значения H заключены в интервале (0—1). Подставляя эти выражения в формулу (6.3), получаем
7? = J GdH.
(6.38)
164 Глава 6
Выражение (6.38) показывает, что вероятность безотказной работы элемента равна площади под кривой зависимости G от Н. С помощью данных о прочности и напряжении легко определить различные значения s, значения Fs (s) и Fs (s) и, следовательно, значения G и Н. Для определения вероятности безотказной работы необходимо построить график зависимости G от Н, изображенный на рис. 6.4, и графически измерить площадь. Проиллюстрируем применение этого графического метода на двух примерах.
Таблица 6.1
Данные о напряжении
Номер измерения Напряжение s, кПа Fs(s;
1 207 500 0,10
2 236 000 0,20
3 245 000 0,30
4 262 500 0,40
5 265 000 0,50
6 275 000 0,60
7 292 500 0,70
8 300 000 0,80
9 337 500 0,90
10 375 000 1,00
Пример 6.9. Был проведен анализ напряжений, испытываемых элементом. Выполнено 10 измерений напряжения при имитированных рабочих условиях; на основании полученных данных, приведенных в табл. 6.1, оценивалось распределение напряжения.
График функции A(s) показан на рис. 6.5. Гладкая кривая использовалась как оценка неизвестной функции распределения Fs(s).
Зависимость надежности от прочности и напряжения 165
Аналогично при анализе прочности элемента были получены 14 значений прочности, приведенные в табл. 6.2, на основании которых оценивалась неизвестная функция распределения прочности.
Рис. 6.5. Эмпирическая функция распределения напряжения.
Таблица 6.2
Данные о прочности
Номзр измерения Прочность S, кПа fs(5)
1 338 000 0,07
2 343 000 0,14
3 354 000 0,21
4 359 000 0,28
5 360 000 0,35
6 360 000 0,43
7 368 000 0,50
8 370 000 0,57
9 371 000 0,64
10 373 000 0,71
И 382 000 0,78
12 385 000 0,85
13 400 000 0,93
14 420 000 1,00
166 Глава 6
График для функции A (S) показан на рис. 6.6. Гладкая кривая использовалась как оценка функции распределения проч*
Прочность, кПа
Рис. 6.6. Эмпирическая функция распределения прочности.
Таблица 6.3
Значения И и О
Напряжение s, кПа H=FS (S) G= 1 - Fs (s)
0 0 1,00
100 000 0 1,00
150 000 0 1,00
200 000 0,07 1,00
250 000 ’ 0,31 1,00
300 000 0,77 1,00
320 000 0,87 0,98
330 000 0,90 0,95
340 000 0,94 0,90
350 000 0,96 0,81
360 000 0,98 0,67
370 000 0,99 0,42
380 000 0,995 0,22
390 000 1,00 0,12
400 000 1,00 0,05
410 000 1,00 0,02
420 000 1,00 0,01
Зависимость надежности от прочности и напряжения 167
ности. Теперь, когда определены эти две функции распределения, можно приступать к нахождению значений G и Н для различных значений напряжения s. Полученные результаты приводятся в. табл. 6.3.
График зависимости G от //, изображенный на рис. 6.7, показывает, что площадь под кривой равна 0,9878; это значение и представляет собой вероятность безотказной работы.
Рис. 6.7. График зависимости 7} от Н\ площадь под кривой равна 0,9878.
Пример 6.10. Напряжение, испытываемое элементом, имеет экспоненциальное распределение. Известно, что величина напряжения не должна превышать 100 000 кПа. Следовательно, плотность распределения напряжения можно записать в виде
£/ч (°’ 0<s< 10000,
fs (s) — | 1 exo [ — 10 °00)] s > 10 000
(looooexp[ 10000 J’ Mwwv-
Известно, что прочность элемента имеет. распределение Вейбулла. Используется материал, прочность которого не может быть ниже 150 000 кПа. Распределение прочности имеет следую
168 . Глава 6
щие параметры: So= 150 000, 0 = 200 000, р = 2. Следовательно, плотность распределения прочности имеет вид
f 2(3—150 000) Г / S —150 000 VI _
's '°' (200 000— 150 000)2 еХр L \ 200 000-150 000 ) J
= 2 (S—150 000) Г (5-150 000)1 . „
500002 ехр[ 500002 j’ ,t>U UUU-
Функции распределения напряжения и прочности имеют вид
F (£) = 1 схрГ (s—100000>]
rs(S) i ехр^ юоооо J’
г /еч 1 Г (5-150 000)2!
Fs(S)— 1 ехр 50 0002 J’
Следовательно,
G = jfs (S)dS = 1 -Fs (s) = exp [-%'У]
s
И
Я - j f. (s) <fe - F, (s) - 1 -exp [- ]
0
Значения H и G, вычисленные для различных значений s, приведены в табл. 6.4.
Таблица 6,4
Значения Н н G
Напряжение s, кПа н • G Напряжение s, кПа н G
100 000 0 1,0000 320 000 0,8892 0,0000
120 000 0,1804 1,0000 340 000 0,9093 0,0000
140 000 0,3288 1,0000 360 000 0,9259 0,0000
150 000 0,3935 1,0000 380 000 0,9392 0,0000
160 000 0,4512 0,9600 400 000 0,9502 0,0000
180 000 0,5496 0,6978 420 000 0,9593 0,0000
200 000 0,6321 0,3679 440 000 0,9667 0,0000
220 000 0,6988 0,1408 460 000 0,9727 0,0000
240 000 0,7534 0,0390 480 000 0,9777 0,0000
260 000 0,7981 0,0080 500 000 0,9817 0,0000
280000 0,8348 0,0011 520 000 0,9850 0,0000
300 000 0,8647 0,0001 -
График зависимости G от Н показан на рис. 6.8. Площадь под кривой равна 0,6093, что представляет собой оценку вероятности безотказной работы элемента.
Зависимость надежности от прочности и напряжения 169
Рис. 6.8, График зависимости 6 от Н\ площадь под кривой равна 0,6093.
6.10. Вычисление вероятности безотказной работы в случае распределений экстремальных значений
В гЛ. 2 рассматривалось использование распределения экстремальных значений для моделей отказов, когда отказ вызывался процессами коррозии. В общем случае распределение экстремальных значений применимо, когда явление, вызывающее отказ, зависит от наименьшего или наибольшего значения в последовательности случайных величин. Гумбель [6] и Эпштейн [3, 4] исследовали соответствие этой теории для случаев разрушения материала вследствие излома или усталости, пробоя диэлектриков и коррозии металлов. Гумбель описал различные другие применения теории экстремальных значений в задачах теории надежности.
Существуют три асимптотических распределения для наименьших порядковых статистик и три асимптотических распредели-
170 Глава 6
ния для наибольших порядковых статистик. Они имеют следующий вид.
Распределения наименьших значений
Тип I:
F(x)=l—ехр^—ехр(^р)], —оо<х< + оо, 0 > 0. (6.39) Тип II:
F(x)= I—ехр[— (—
—оо<х<6, 0>О, Р>0. (6.40)
Тип III:
F(x)=l—ехр [—б^х<оо, 0 > 0, Р>0. (6.41)
Каждый тиш распределения появляется при определенных условиях. Распределение типа I появляется, когда при х—> — оо плотность’ распределения экспоненциально стремится к нулю. С другой стороны, если область плотности распределения не ограничена снизу и если для некоторых 0 > 0, 0 > 0 имеем
litn(—х)еЛ(х) = 0, (6.42)
то предельное распределение наименьшей статистики будет относиться к типу II. ,
Распределение типа III появляется, когда удовлетворяются следующие условия.
1. Область плотности распределения ограничена снизу (т. е.
х S).
2. Функция Fx(x) ведет себя как (0—6)0 для некоторых 0>0, Р > 0 и при х —* 6.
Распределение наименьших значений типа III представляет собой известное распределение Вейбулла.
Распределения наибольших значений
Тип I:
F(x) = exp| — ехр^—(пл)]}’ —оо<х<оо, 9>О.Л (6.43) Tin II:
F(x)=exp[— х>6, 0>О, р>0. (6.44)
Тип III:
F(x)=exp^—(—Р > 0. (6.45)
Распределение наибольших значений типа I появляется, когда плотность распределения /\(х) экспоненциально приближается к нулю при х—* оо. Распределение типа II появляется, если
Зависимость надежности от прочности и напряжения 171
при некоторых 0 > 0 и 0 > 0 имеем
limxe[l — Fx(x)]=0.
Х->00
Если область плотности распределения ограничена сверху (т. е. х^б) и если при некоторых конечных б функция 1—Fx(x) ведет себя как 9(6—х), то имеет место предельное распределение наибольшей порядковой статистики типа III.
6.10.1. Распределение прочности и напряжения
, Отказ элемента, вызванный разрушением или усталостью, можно описать на основе принципа наиболее слабого звена или наибольшего дефекта. В первом случае предполагается, что прочность элемента определяется прочностью его наиболее слабого звена. Принцип наибольшего дефекта основан на допущении, что прочность элемента определяется наибольшим имеющимся дефектом. Дефекты вносятся отклонениями параметров производственных процессов, уходом за допуски, неоднородностью материала и т. д. Если исходное распределение прочности „звеньев" является нормальным, то прочность будет иметь распределение наименьших значений типа I. Если предположить, что исходным является распределение Вейбулла, то прочность будет иметь распределение экстремальных значений типа III. Распределение наибольших значений типа I связано с использованием принципа наибольшего дефекта. Липсон [8] показал, что распределение наибольших значений типа I обеспечивает хорошее соответствие для некоторых данных об усталостной прочности.
Теория экстремальных значений применяется при анализе скорости порывов ветра, нагрузок на самолет при порывах ветра и нагрузок на самолет при посадке. В общем случае напряжения можно описать распределениями экстремальных значений. Если исходное распределение является экспоненциальным или нормальным, применимо распределение наибольших значений типа I. Распределение наибольших значений типа II используется для анализа максимальных скоростей ветра.
6.10.2. Вычисление вероятности безотказной работы
Рассмотрим вначале случай, когда прочность имеет распределение Вейбулла, а напряжение — распределение наибольших значений типа II. Имеем
Fs(S) = l-ехр Г-(^)Ч 50<5<оо, 6s>0, ₽s>0 (6.46)
172 Глава 6
и
Fs(s)=exp
S — $0 \ Ps 0s /
s0<s<oo, 6S > 0, ps > 0. (6.47)
Подставляя в формулу (6.3) соответствующие значения, получаем
е г /S—s0\~₽s] ₽s /S—S0\₽s-1 exp
«So
Пусть
/S-S^Ys
У к 0s ) ’
тогда
j 0s /S — S0\^s 1 in
dy=-^\~or) ds
и
//f4 + S0=S. Следовательно,
S-S0\₽s 0s J
dS.
CO
R —^e~y exp о
0S i/₽. ^У
S# — So\ ₽s
0S )
dy.
(6.48)
Данный интеграл определяется численными методами; значения его для различных значений параметров даны в приложении 4.
Аналогично можно вычислить вероятность безотказной работы и в других случаях. Рассмотрим к примеру следующие случаи:
1. Прочность имеет распределение Вейбулла, а напряжение — распределение наименьших значений типа III:
где
00
R = У е~уехр о
6S — 0s In у— Sq \ Ps
(6.49)
е<
2. Прочность имеет распределение наименьших значений типа I, а напряжение—распределение наибольших значений типа I:
со
R — j e~v ехр \ — ехр о '
в. , (6S-6S VI.
-g-ln«/ + ( 0 J fdy,
(6.50)
где
j/ = exp
S-6s
o.
Зависимость надежности от прочности и напряжения 173
3. Прочность имеет распределение наименьших значений типа I, а напряжение—распределение наибольших значений типа II:
о
I > 6S — s° \]"₽s 1 .
Int/H----5---- ) }dy,
gs J J J
(6.51)
где
4. типа
где
/ S-6s\ z/ = expl —п— 1.
\ gs /
Прочность имеет распределение наименьших
I, а напряжение—распределение Вейбулла:
ехр _exp-g-^/Ps------
значений
//=
s—s0 Vs 0s )
dy,
(6.52)
5. Как напряжение, так и прочность имеют распределение наибольших значений типа I:
°s
где
6. типа типа
/ 5~6s\
f/=exp(----§—).
\ s /
Прочность имеет распределение наибольших значений
I, а напряжение имеет распределение наибольших значений II:
R= I е~у ехр
0sWi es-SoY₽s‘ es j \lni/ es )
dy, (6.54)
где
7. типа
f 5—6S А y==expk-----
Прочность имеет распределение наибольших значений
I, а напряжение имеет распределение Вейбулла:
* ( Го / 6 — s \lPs 1
Я=1 — lexps— у+ —-И \dy, (6.55)
5 I Is \ s /J J
— so
где
}е'У О
f
174 Глава 6
8. Прочность имёет распределение Вейбулла, а напряжение имеет распределение наибольших значений типа I:
7? = Jexp'| — у—ехр —t/1ZPs + S°es
где
/S—S0\Ps к 0s )
Интеграл в выражении для R определяется численными методами; значения R для различных значений параметра даны в приложении 4.
6.11. Краткие выводы
Ниже приводятся выражения для вероятности безотказной работы, выведенные в этой главе при различных распределениях напряжения и прочности:
1. Если прочность и напряжение распределены по экспоненциальному закону, то
n Xs 5 1 1 1 1
R =---=---= =—=, As — — и As = -=г-.
Ч + Ч s+S s S
где S и s—средние прочность и напряжение соответственно.
2. Если прочность имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением os, а напряжение имеет экспоненциальное распределение с параметром XS(XS = 1/s), то
7? = 1—ехр ps + у A-sOs).
3. Если прочность и напряжение распределены по нормальному закону, то выражение для вероятности безотказной работы имеет вид
/? = Ф (г) dz = 1—Ф (г), г
где ф(г)—нормированная плотность нормального распределения, и
Зависимость надежности от прочности и напряжения 175
где p-s, as — параметры прочности, a ps, os — параметры напряжения. Однако, когда прочность и напряжение являются коррелированными случайными величинами с коэффициентом корреляции р, нижний предел г имеет вид
_ ~
0| + as— 2P°aa> I
4. Если прочность и напряжение распределены по логарифмически нормальному закону, то
00
R — J Ф (г) dz, где
In S—Ins г =------- 1 —,
' V °?ns + °?n$ а S и i—медианы распределений прочности и напряжения соответственно; oins и oins—средние квадратические отклонения случайных величин InS и 1ns соответственно.
5. Если прочность и напряжение имеют гамма-распределение с параметрами tn, X и п, ц соответственно, то
/? = С (1 un~l du.
А Г (т) Г (n) J 1 ’
о
где г==рД. Этот интеграл является неполной бета-функцией, усеченной при г/(1+г).
6. Если прочность имеет распределение Вейбулла с параметрами р, 0, So, а напряжение распределено по нормальному закону с параметрами р и о, то
' «> '
R = 1—J q>(z)dz— г»
о где
- __ $0 И и и___ S
го— a и //— е—5о •
7. Если прочность и напряжение имеют распределение Вейбулла с параметрами Ps, 9s, So и ps, 0S, s0 соответственно, то
R = 1 - f e-y exp [ - f £ y1'^ • 1 dy,
о L \ s Л / J
176 Глава 6
где
e's=0s-so, e;=es-s0 и y=(^pys.
Сводка результатов для распределений экстремальных значений дана в разд. 6.10.2. С помощью результатов, приведенных в этой главе, можно вычислить вероятность безотказной работы любого элемента, если известны распределения прочности и напряжения. В этой главе были выведены формулы вероятности безотказной работы для большинства известных распределений прочности и напряжения. Рассматривался графический способ вычисления вероятности безотказной работы, применяемый при наличии лишь ограниченного объема экспериментальных данных о прочности и напряжениях. Многие элементы подвергаются повторным нагрузкам. Выражения для вероятности безотказной работы, когда распределения прочности и напряжения являются функциями времени или числа циклов, выводятся в гл. 8.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите справедливость выражения (6.9). Используйте метод, основанный на преобразованиях якобиана.
2. Выведите выражение (6.18) методом свертки случайных величин (прочности и напряжения), распределенных по нормальному закону.
3. Допустим, что прочность и напряжение являются коррелированными случайными величинами с коэффициентом корреляции г. Выведите выражение для вероятности безотказной работы для^данного случая.
4. С помощью соотношения, выведенного в упражнении 3, и коэффициента корреляции 0,5 вычислите вероятность безотказной работы, используя данные из примера 6.1.
5. Прочность S и напряжение s при расчете элемента имеют логарифмически нормальное распределение, и известны следующие величины: Е (S)=750,00 МПа, os = 50,00 МПа, Е (s)=500,00 МПа, о5 = 80,00 МПа. Вычислите вероятность безотказной работы элемента.
6. Требуется спроектировать элемент с надежностью 0,99990, если прочность и напряжение имеют логарифмически нормальное распределение и известны следующие показатели: Е (S) = = 1100,00 МПа, os = 100,00 МПа, Е (s) = 850,00 МПа. Определите максимально допустимое среднее квадратическое отклонение напряжения, испытываемого элементом, при кото'ром обеспечивается требуемая вероятность безотказной работы.
Зависимость надежности от прочности и напряжения 177
7. Выведите выражение (6.31) для случая, когда прочность элемента имеет наименьшее значение So. Покажите, как изменится выражение (6.31).
8. С помощью выражения, выведенного в упражнении 7, найдите вероятность безотказной работы элемента, если известны следующие величины:
So = 30 000, p,s = 35 000, Xs = 0,001, os = 5000.
9. Прочность элемента и напряжение, вызывающее отказ, имеют гамма-распределение с параметрами Х=1,/п = 4ир=1, п = 2 соответственно. Вычислите вероятность безотказной работы элемента.
10. В упражнении 9 положим Х = 4 и р = 2,5. Вычислите вероятность безотказной работы элемента для этого случая.
11. Требуется рассчитать листовую рессору грузового автомобиля, обеспечивающую вероятность безотказной работы 0,9995, исходя из усталостного разрушения рессоры. Усталостная прочность материала, из которого изготавливается эта рессора, имеет распределение Вейбулла со следующими параметрами: So= = 500,00 МПа, (3 = 3,0, 0 = 800,00 МПа. При случайных нагрузках, действующих на рессору, возникают напряжения. Предполагается, что напряжение имеет нормальное распределение с коэффициентом вариации 0,08. Вычислите допустимые параметры нормального распределения напряжения, при которых обеспечивается заданная вероятность безотказной работы.
12. Анализ напряжений, возникающих в элементе, выполнялся в имитированных условиях эксплуатации, и были получены следующие восемь результатов: 15,0; 20,5; 22,5; 23,5; 25,0; 26,5; 28,5; 30,5 кПа. Прочность элемента необходимо оценить на основе следующих 10 результатов: 18,0; 24,5; 28,0; 30,5; 31,5; 33,0; 33,5; 35,5; 40,4; 48,5 кПа. С помощью этих данных вычислите вероятность безотказной работы элемента.
13. Прочность элемента имеет логарифмически нормальное распределение с математическим ожиданием 800,00 МПа и средним квадратическим отклонением 150,00 МПа. Напряжение, вызывающее разрушение элемента, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 600,00 МПа и средним квадратическим отклонением 110,00 МПа. Вычислите вероятность безотказной работы, используя графический метод, рассмотренный в разд. 6.9.
14. Прочность и напряжение, вызывающие разрушение элемента, имеют распределение Вейбулла со следующими параметрами: So = 40 000, р = 4,0, 0 = 80 000, s0 = 20 000, р = 3,2,0 = 70 000. Вычислите вероятность безотказной работы, используя графический метод, рассмотренный в разд. 6.9,
178 Глава 6
15. Напряжение, возникающее в элементе, имеет равномерное распределение в интервале sMaKCj. Прочность элемента имеет нормальное распределение (jxs> as). Выведите выражение для вероятности безотказной работы элемента. Пусть sMIIH = 10, sMaKC = 40, ps = 35, as = 5. Найдите R.
16. Напряжение, возникающее в элементе, имеет равномерное распределение в интервале [sMIIH, sMaKCJ. Прочность элемента имеет распределение Вейбулла с параметрами So, Р и 9. Выведите выражение для вероятности безотказной работы элемента. Пусть sMHH=10, $макс = 30, So = 20, р = 3,0, 0 = 30. Найдите /?.
17. Напряжение, возникающее в элементе, имеет равномерное распределение в интервале [sMHH, sMaKC]. Прочность элемента имеет гамма-распределение с параметрами т) и 1. Выведите выражение для вероятности безотказной работы элемента. Пусть $МИн = Ю, $макс = 30, т] = 5, Х=0,2. Найдите R.
18. а) Прочность S и напряжение s являются случайными величинами. Заданы гистограммы для S и s:
гистограмма для напряжения (wh As^), i=l, ..., n,
гистограмма для прочности (vz, AS/), / = 1, ...» т,
где и Vj—частости для интервала Asz значений напряжения и интервала AS; значений прочности соответственно. Используя эти гистограммы, выведите выражение для вероятности безотказной работы. Пусть s и S—случайные величины, имеющие распределение Вейбулла с параметрами so=10, р = 2, 0 = 20 и So = 15, р = 3, 0 = 35 (п = 20, /и = 20) соответственно. Найдите/?.
б) Решите эту задачу при следующих условиях: случайные величины s и S имеют гамма-распределение с параметрами т) = 5, Х = 0,2 и т] = 7, Х = 0,16 соответственно.
Для обоих п.п. „а" и „6м выполните анализ чувствительности к погрешностям в определении частостей. Примите соответствующие допущения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Colombo A. G., Reina G., Volta G., Extreme Value Characteristics of Distributions of Cumulative Processes, IEEE Transactions on Reliability, R-23, 3 179—193 (August 1974)
2. Disney R. L., Sheth N. J., Lipson C., The Determination of the Probability of Failure by Stress/Strength' Interference Theory, Proceedings of Annual Symposium on Reliability, 1968, pp. 417—422.
3. Epstein B., Elements of the Theory of Extreme Values, Technometrics, 2, 1 (February 1960).
4. Epstein B., Brooks H., The Theory of Extreme Values and Its Applications in the Study of the Dielectric Strength of Paper Capacitor, Journal of Applied Physics, 19, 544—550 (June 1948).
5. Gumbel E. J., Statistical Theory of Extreme Values and Some Practical Application, Bureau of Standards, Applied Mathematics, Series 33, Washington, D. C., GPO, 1954.
Зависимость надежности от прочности и напряжения 179
6. Gumbel Е. J., Statistics of Extremes, New York, Columbia University Press, 1958. [Имеется перевод: Гумбель Э. Статистика экстремальных значений.— М.: Мир, 1965.] —
7. Lipson С., Sheth N. J., Statistical Design and Analysis of Engineering Experiments, New York, McGraw-Hill, 1973.
8. Lipson C., Sheth N. J., Disney R. L., Reliability Prediction—Mechanical Stress/Strength Interference, Rome Air Development Center, Technical Report RADC-TR-66-710, March 1967.
9. Lipson C., Sheth N. J., Disney R. L., Altum M., Reliability Prediction — Mechanical Stress/Strength Interference, Final Technical Report RADC-TR68-403, Rome Air Development Center, Research and Technology Division, Griffiss Air Force Base, New York, 1969.
10. Pearson K. (Ed.), Tables of Incomplete Beta Function, Biometrika Office, Cambridge, Cambridge University Press, 1948.
11. Roberts N. H., Mathematical Methods in Reliability Engineering, New York, McGraw-Hill, 1964.
12. Taraman S. I., Design Reliability Models and Determination by Stress-Strength Interference Theory, Unpublished Doctoral Dissertation, Dept, of Industrial Engineering, Wayne State University, Detroit, Michigan, 1975.
Глава 7. Примеры проектирования с учетом надежности *
В этой главе на реальных примерах расчета иллюстрируется применение вероятностного подхода, позволяющего получить представление о надежности изделия на этапе проектирования, а также проанализировать чувствительность характеристик конструкции к изменению различных расчетных параметров.
Функции случайных величин приближенно представляются разложением в ряд Тейлора. Для упрощения примеров такие случайные величины, как напряжение и прочность, считаются нормально распределенными.
В разд. 7.1 приводится задача расчета механического элемента, на который действует растягивающая нагрузка. Предполагается, что растягивающая нагрузка, диаметр кругового поперечного сечения и предел прочности на .растяжение являются случайными величинами. Элемент, испытывающий растягивающую нагрузку, должен быть рассчитан на заданную надежность. Анализируется также чувствительность надежнссти к допускам на размеры и к изменению прочности материала. Это дает конструктору количественную оценку чувствительности надежности к изменению дспусков и прочности материала. В разд. 7.2 приводится вероятностный расчет двутавровой балки с опорой на двух концах. Рассматривается двутавровая балка с сечением Wx8x67 и вычисляется ее высота при заданной надежности. В разд. 7.3 дается расчет круглого вала, на который действует скручивающая нагрузка. В разд. 7.4 приводится расчет торсионного стержня капота грузового автомобиля. При вероятностном анализе используются методы, изучавшиеся в гл. 5, в частности аппроксимация путем разложения в ряд Тейлора. Рассматриваются усталостные отказы и вычисляется вероятность безотказной работы для данного вида отказов при различной наработке, выраженной через число циклов.
7.1. Расчет элемента, на который действует растягивающая нагрузка
Требуется рассчитать элемент, на который действует растягивающая нагрузка (рис. 7.1). Нагрузка Р, действующая на элемент, является случайной величиной. Элемент имеет круговое
Примеры проектирований с учетом надежности 181
поперечное сечение. Вследствие производственных допусков его диаметр d является случайной величиной. Предел прочности на растяжение материала, используемого для изготовления этого элемента, также является случайной величиной, так как свойства материала меняются. Имеем следующие данные:
Нагрузка Р = 17 800 Н, ор = 445 Н.
Рис. 7.1. Элемент, работающий на растяжение.
Предел прочности на растяжение: S = 690 МПа, Os = 34,5 МПа.
Задана вероятность безотказной работы, равная R = 0,99990. Известно, что отказы происходят вследствие усталостного разрушения.
Растягивающее напряжение равно s=P/A, где А = пг2. Используя разложение в ряд Тейлора, легко определить Л = лга и ол = 2лгог. Если допуск для радиуса кругового поперечного сечения равен некоторой доле а радиуса г, то Зог = аг, т. е. ог = (а/3)г. В данном случае имеем
/ 1 \2 / Р \2
о82=^(±) +аИ^г) • (7.2)
Подставляя значения А и аА в формулу (7.2), получаем
Л2 Г*0Р 4п2Г* (-7^ Р2 Ор-^-^гОрР2 _2 \ «3 / У
.. .... .
Подставляя полученные выражения для s и of в уравнение связи при допущении, что напряжение и прочность имеют нормальное распределение, имеем
182 Глава 7
При заданной вероятности безотказной работы R = 0,99990 имеем г =—3,72. При а = 0,015 уравнение (7.3) принимает вид
690-10» 17’8^03
’ —3,72 =
лг2
4452+• (0,015)2 •( 17,8 • Ю3)2")7’ (34,5-10«)2 4- 9
(7.4)
л2/-4
После упрощений получаем следующее уравнение для г: 144,63г4 — 24,б72+ 1 =0. (7.5)
Это уравнение имеет два положительных корня: /4 = 2,60 мм и га = 3,21 мм.
Последний корень дает заданную вероятность безотказной работы, равную 0,99990. Интересно заметить, что другой корень, Г! = 2,60 мм, приводит к вероятности, равной 0,0001; этот показатель характеризует ненадежность элемента.
7.1.1. Чувствительность надежности к изменчивости размеров
Пусть в уравнении (7.3) г — 3,21 мм. В табл. 7.1 показано, что вероятность безотказной работы меняется в зависимости от значения допуска а, выраженного как доля среднего радиуса. Действительно, надежность уменьшается при увеличении допуска, что и следовало ожидать.
Таблица 7.1 _
Зависимость R от допуска для г
1 Допуск для г, % 1 — 2
0 3,76^ 0,999914945
0,5 3,75 0,999911481
1,0 3,74 0,999907888
1,5 3,72 0,999900286
3,0 3,61 0,999846797
5,0 3,36 0,999610197
7,0 3,10 0,999032344
7.1.2. Чувствительность надежности к изменчивости прочности материала
Подставляя г = 3,21 мм в формулу (7.3), можно вычислить вероятность безотказной работы при различных значениях среднего квадратического отклонения прочности (as) элемента. С по
Примеры проектирования с учетом надежности 183
мощью данных, приведенных в табл. 7.2, можно убедиться, что надежность уменьшается при увеличении изменчивости прочности материала.
Таблица 7.2
Зависимость R от cts
Среднее квадратическое отклонение прочности кПа R
13 790 1,00000
20 685 0,99999
27 580 0,99996
34 475 0,99990
41370 0,99906
48 265 0,99664
55 160 0,99157
62 055 0,98382
68 950 0,97381
7.2. Расчет двутавровой балки
Рассмотрим балку с опорами в точках А и В, изображен ную на рис. 7.2. Балка может свободно вращаться в точках А и В вдоль продольной оси и имеет роликовые опоры в точ-
Рис. 7.2. Балка с простыми опорами.
Р
ке В. Весом балки пренебрегаем. Нагрузка Р, длина балки I и нагрузка, приложенная на расстоянии а от конца балки Л, являются случайными величинами. Средние значения этих случайных величин обозначаются чертой над символом, а среднее квадратическое отклонение—величиной о с соответствующими индексами.
Момент М максимален в точке приложения нагрузки и равен м Ра (1-а). (7.6)
184 Глава 7
Максимальное напряжение возникает в верхней части верхней полки и в нижней части нижней полки балки и определяется
Где §—напряжение в волокне, М—внешний изгибающий момент, с — расстояние от нейтральной оси до внешних волокон, /—момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси.
Балка должна быть рассчитана на вероятность безотказной работы, равную 0,9990. Она изготавливается из профильной стали, средняя прочность которой составляет 5= 1172 МПа при os = 32,8 МПа. Заданы следующие расчетные параметры:
Р = 27 000 Н, ор = 890 Н,
/ = 3050 ±30 мм, т. е. / = 3050 мм, oz = 10 мм,
а = 1830 ±30 мм, т. е. л =1830 мм, оа=10 мм.
Используя рассмотренный в гл. 5 метод разложения в ряд Тейлора, с помощью формулы (7.6) находим
М = 19752 Н*м, (jM = 650 Н*м.
Для профиля Wx8x67 (рис. 7.3) имеем
= 8,88, = 1V, 4- = 0,92. (7.8)
Следовательно,
1 == = 0 0822Л (7.9)
с W
Рис. 7.3. Поперечное сечение двутавровой балки.
Примеры проектирований с учетом надежности 185
Полагаем <jd — 0,Q\d, тогда (//c) = 0,0822d8 и Q(i/c) = 0,002466d3.
С помощью формулы (7.7) находим
М 14 663 .. г,
s = -=7 = —- МПа (//с) cP
и
Os =
1 1г ’ I I —м (773)J Om + L(777)2J
12 2 1 1/2 653,5
(7.Ю)
При заданной вероятности безотказной работы, равной 0,999, г — — 3,09; с помощью уравнения связи получаем
- 1.72 104- 1т-3''°' __3 ng______________________________
' Г(6ю^")'у + |32,8.1ОТ1'Л '
После упрощений имеем следующее уравнение:
Iе—25,028с/3 + 153,595 = 0.
Решая это уравнение, находим, что заданная вероятность безотказности, равная 0,999, обеспечивается при d = 62,15 мм.
При полученном значении d = 62,I5 мм можно исследовать чувствительность надежности к изменчивости прочности материала, используя следующее соотношение:
14663-10»
н/2 iu -f- 2 4.10_4
—z =-----------------------
2 . 1653,5 • 10®\а1 ’/. • as’’\2,4-10-»,1 J
Значения вероятностей безотказной работы R при различных значениях os приводятся в табл. 7.3.
Таблица 7,3
Зависимость R от <rs
о§, кПа -2 R
34 475 3,035 0,998797
48265 2,604 0,995393
62 055 2,239 0,987418
75 845 1,945 0,974110
89 635 1,709 0,956276
• 103 425 1,519 0,935614
186 Глава 7
7.3. Расчет вала, на который действует скручивающая нагрузка
Рассмотрим вал сплошного сечения, один конец которого закреплен, а на другом конце приложен крутящий момент. Пусть т—напряжение среза, G — модуль упругости на срез, d—диаметр вала, 0—угол закручивания на единицу длины.
Известно, что
T = 4-G9d, (7.П)
T = G0/p, (7.12)
где 1„—полярный момент инерции вала. Объединяя формулы (7.11) и (7.12), имеем
T = (7.13)
л,р
Для круглого вала сплошного сечения /р = зи1*/32, следовательно,
Требуется рассчитать вал при заданной вероятности безотказной работы, равной 0,999. Имеется следующая информация о расчетных параметрах, рассматриваемых как случайные величины:
Приложенный крутящий момент:
7=11300 Н-м; ат= ИЗО Н-м.
Допустимое срезывающее напряжение:
S = 345 МПа, os=34,5 МПа.
Изменчивость радиуса вала определяется как
ог=(а/3)г, (7.15)
где а—допуск, выраженный в виде десятичной дроби.
С помощью формулы (7.14) получаем
?=^2 НЖПа зтг3 ЛГ3
и
+ =^^-Г1+(10а)2. (7.17)
У Л2Гв л2г8 лг3
Подставляя полученные результаты в уравнение связи, имеем
О ла 345 10е—2-11 ЗОО/лТз ,-1О.
о,иу —1 — . — _ ... . (/. 1о)
У (34,5- 10е)2 + (2 • 1130/лг3)2 (1 + 100а2)
I Примеры проектирования с учетом надежности 187
При а=0,03 уравнение (7.18) упрощается и принимает вид 7е—46,1056? + 0,8666 = 0.
Решая это уравнение, получаем>, = 32,131 мм и ?2 = 23,495 мм. Можно показать, что при ^ = 32,131 мм получаем требуемую вероятность безотказной работы R = 0,999.
7.3.1. Чувствительность надежности к допускам на размеры
Изменив в формуле (7.18) значение а при г = 32,131 мм, вычислим соответствующие значения г и вероятность безотказной работы R. Полученные результаты приводятся в табл. 7.4.
Таблица 7.4
Зависимость R от допуска для г
Допуск для г, а -2 R
0,010 3,136 0,99916
0,020 3,123 0,99910
0,030 3,099 0,99903
0,040 3,072 0,99890
0,050 3,035 0,99880
0,100 2,772 0,99740
7.3.2. Чувствительность надежности к изменчивости прочности материала
Подставляя в формулу (7.18) г = 32,131 мм и а=0,03 и варьируя среднее квадратическое отклонение допустимой прочности на срез, получаем соответствующее изменение значений вероятности безотказной работы. Полученные значения представлены в табл. 7.5.
Таблица 7.5
Зависимость R от as
Среднее квадратическое отклонение прочности на срез og, кПа -2 R
13 790 4,825 0j99999
27 580 3,585 0,99983
34 475 3,090 0,99903
41 370 2,712 0,99664
- 55 160 2,145 0,98422
68 950 1,763 0,96080
188 Глава 7
7.3.3. Зависимость надежности от радиуса вала
В табл. 7.6 показано соотношение между средним радиусом вала, на который действует скручивающая нагрузка, и вероятностью безотказной работы, когда а и as имеют первоначальные значения.
Таблица 7,6
Зависимость R от среднего радиуса г
Средний радиус г, мм — 2 R
25,40 — 1,640 0,05050
30,48 2,086 0,98169
35,56 4,824 0,99999
40,64 6,555 0,99999
45,72 7,621 0,99999
50,80 8,736 1,00000
Рис. 7,4. Внутренний вид капота двигателя в открытом положении,
Примеры проектирования с учетом надежности 189
7.4. Расчет торсионного стержня капота двигателя
Назначение торсионного стержня состоит в том, чтобы облегчить открывание и закрывание капота двигателя грузового автомобиля. Кроме того, стержень удерживает капот в открытом и закрытом положениях. На рис. 7.4 изображен торсионный стержень (/), когда капот поднят вверх и находится в открытом положении. На рисунке показано, что изогнутый конец торсионного стержня крепится к кронштейну на шасси двумя болтами (2). Другой конец стержня входит в вилочный крон-' штейн (3), прикрепленный внутри капота к его нижней части.
двигателя (размеры в мм).
e-капот опущен; б—капот поднят на угол 90° и удер живается тросом.
190 Глава 7
Пусть угол между закрытым (горизонтальным) и открытым (вертикальным) положением капота составляет 90°. Размеры при двух положениях капота показаны на рис. 7.5. В открытом положении капот удерживается тросом.
Прямоугольное поперечное сечение торсионного стержня является более предпочтительным по сравнению с распространенным круговым сечением, так как оно более экономично. На рис. 7.6 изображен эскиз торсионного стержня с указанием размеров.
25А
Рис. 7.6. Эскиз торсионного стержня.
7.4.1. Характер отказов
Рассматриваемый стержень при открывании и закрывании капота подвергается действию знакопеременных срезающих нагрузок. Таким образом, логическим следствием таких нагрузок является усталостный отказ. Было проведено полное металлургическое исследование разрушенного торсионного стержня и обнаружено, что этот стержень заметно скручен и имеет трещины. На двух противоположных сторонах наблюдается одинаковое растрескивание. Исследование показало, что эти трещины усталостного типа.
Примеры проектирования с учетом надежности 191
7.4.2. Вычисление среднего напряжения т и среднего квадратического отклонения ох
В книге Сили и Смита [6] приводятся следующие формулы для прямоугольного стержня при чистом скручивании:
T = ^bh3G/L, (7.19)
T = T/ab/i2 = (p/a)(0/L)/iG, (7.20)
где Т—крутящий момент; £—коэффициент, зависящий от отношения b/h; 0—угол скручивания; Ь—длина поперечного сечения прямоугольного стержня; h—ширина поперечного сечения прямоугольного стержня; G— модуль упругости материала; L—длина стержня; т—срезывающее напряжение; a—коэффициент, зависящий от отношения b/h.
Имеются следующие данные:
Ь = 2,54-10"2 м, /г = 7,62-10-3 м, 1 = 0,625475 м,
<т6 = 2,54-10~4 м, <тА = 8,367-10~- м о£ = 6,35- 10-3 м.
Пусть с = |3/а. Вычислим теперь с и ас. Обращаясь снова к книге Сили и Смита [6j, в табл. 13 находим, что с = 0/а монотонно возрастает при увеличении отношения b/h и изменяется почти по линейноиу закону. С помощью этих данных составляем табл. 7.7. В таблице показано, чтос = 0,99191 иас=(смш—смин)/6= =(0,99528—0,98883)/6 = 0,00109.
Таблица 7.7
Значения с—р/а при различных значениях b/h
t/h Р a c=P/a
Минимальное значение Среднее значение Максимальное значение (1—0,03)/(0,3 + 0,01) = 3,129 1/0,3 =3,333 (1 + 0,03)/(0,3—0,01) = 3,552 0,2655 0,2698 0,2739 0,2685 0,2720 0,2752 0,98883 0,99191 0,99528
Модуль упругости G и угол скручивания 0 считаются постоянными величинами, равными 82737 МПа и я/4 (45°) соответственно.
С помощью формулы (7.20) получаем
т = chG = f (с, h, L). (7.21)
192 Глава 7
Используя разложение в ряд Тейлора, имеем
= OG (ch/L) 4- у [0 + 0 + 20G (ch/L3) cl ] =
= у • 82,737-109• 0,99191.7,62-10"3/0,625475 4-
4-1 • 2 • 82,737-IO’-0,99191-7,62- 10~3/0,6254752x
X (6,35 • 10-3)a = 785 334 кПа (7.22)
= 02G2 [(h/Dffi 4- (c/L)2 o2h + (—cft/L2)2 a[] =
= (y)8.(82,737.10’)2 {[(7,62.10-3)/0,625476]2x
X (0,00109)2 + (0,99191/0,625475)3 • (8,367 • 10~6)2 4-
+ [(—0,99191) • 7,62 • 10-3/0,6254752j2 • (6,35 • 10"3)2} =
= 140,4234-1018, (7.23)
или
oT = 11 852 кПа.
7.4.3. Вычисление среднего крутящего момента Т и среднего квадратического отклонения ог
Из табл. 7.7 берем а = 0,2720 и вычисляем оа = (амакс'—амин)/6= =(0,2752—0,2685)/6 = 0,00117. Используя, как и в предыдущем случае, разложение в ряд Тейлора для уравнения
T = a&/i2x =/(<*, b, h, т), (7.24)
получаем
Т « а&йЧ 4- у [0 + 0 + (2а6т) а£ 4- 0] =
= 0,272-2,54.10-2-(7,62-10-3)2.785,334-1064-
4-1 • 2.0,272.2,54.10-2-785,334 • 10е • (8,47 • 10~5)2 =
= 315,0814-0,034 = 315,115 Н-м
Примеры проектирования с учетом надежности 193
и -
о2г = (662т)2о2 + (Ж)2<^ 4- 2 (<Ж)2 4- (абб2)2 о2 = = [2,54-10“2-(7,62-10-3)2-785,334-10’]2-0,001172 4-4- [0,272-(7,62- IO"3)2• 785,334• 10е]2-(2,54 10~4)2Ч + (2 • 0,272 • 2,54 10-2 • 7,62 • 10~3 • 785,334 • 10~в)2 • (8,367 • 10"3)2 4-4- [0,272 • 2,54 -10"2 • (7,62 • 10~3)2]2 -(11852- 10е)2 = = 1,6815 4- 9,8868 4- 49,0128 4- 22,6056 = 83,1867, или
от = 9,118 Н-м.
7.4.4. Вычисление среднего усилия ЁО, прилагаемого при открывании капота, и среднего квадратического отклонения <зЕ0
Обращаясь к эскизу на рис. 7.5, а, когда капот находится в закрытом положении, и рассматривая моменты при вращении капота относительно шарнира по часовой стрелке, имеем Wa— — Т—ЕО-Ь = 0, откуда
E0 = (Wa —T)/b, (7.25)
где W— вес капота; а—плечо рычага; Т—крутящий момент, создаваемый торсионным стержнем; ЕО—усилие, прилагаемое при открывании капота; b—плечо рычага при открывании капота. Допустим, что Ц7 = 956±11 Н, а = 0,384175 ± 0,003175 м, 6 = 0,8397875 + 0,0127 м. Заметим, что допуск на плечо рычага при открывании капота весьма произволен, так как эту операцию выполняет человек. Разделив допуск на 3, получаем среднее квадратическое отклонение. Итак,
Г = 956 Н, 0^=11 Н, а = 0,384175 м, ов = 0,003175 м, 6 = 0,8397875 м, а6 = 0,0127 м. Применяя ту же методику, что и ранее, вычисляем ЕО и оЕО:
ЁО «(Wa - T)ib 4-4 {0 4-04-04-[2 (Wa-f)/^] =
= (956-0,384175— 315,115)/0,83978754-
4-1 [2 • (956 - 0,384175—315,115)/0,83978753 - (0,0127)2] =
= 62,1064-0,012 = 62,118 Н;
о2£0 « (S/6)2o2^ 4- (№/W 4- (-1 /b)WT 4- [- (Wa - T)/62]2Oj = = (0,384175/0,8397875)2- (11)2 4- (956/0,8397875)2- (0,003175)2 4-4-(—1/0.8397875)2-9,11824-
4- [— (956 - 0,384175 — 315,115)/0,83978752]2 • (0,0127)2 = = 25,8784- 13,064 4-117,8834-0,622= 157,447,
7 № 544
194 Глава 7
ИЛИ
geo = 12,548 Н.
7.4.5. Вычисление среднего усилия ЕС, прилагаемого при закрывании капота, и среднего квадратического отклонения оЕС
Обращаясь к эскизу на рис. 7.5, б, когда капот находится в закрытом положении, и повторяя в точности операции предыдущего подраздела, получаем
EC = (Wd — Т)/е, (7.26)
где ЕС — усилие, прилагаемое при закрывании капота; d—плечо рычага, образуемое весом капота в открытом положении; е—плечо рычага при закрывании капота.
Пусть d = 0,371475 ± 0,003175 м, а е = 0,37084 ± 0,0254 м, т. е.
d = 0,371475 м, Gd =0,003175 м,
е — 0,37084 м, се = 0,0254 м.
Вычислим теперь ЕС и ояс:
ЁС & (Wd — Т)/ё+ [(¥d—7)/?] о2 =
= (956 • 0,371475—315,115)/0,37084 +
+ (956 • 0,371475—315,115)/0,370843 • (2,54 • 10~2)2 =
= 108,270 + 0,489 = 108,759 Н;
ок « (d/ёу + (¥/ё)2 ad + (-1 /ёу <4 + [- (Wd - Т)/?] о2 =
= (0,371475/0,37084)2-112 + (956/0,37084)2- 0,0031752 +
+ (— 1 /0.37084)2 • 9,1182 + [— (956 - 0,371475 — 315,115)/0,370842J2 х
X (2,54 •' 10"2)2 = 124,078 + 66,993 + 604,527 + 54,622 = 850,220, или
аЕС — 29,180 Н.
7.4.6. Определение на диаграмме усталости пределов, равных Зо
Материалом для изготовления торсионного стержня является сталь AISI 5160 с заданным числом твердости по Бринелю в интервале 415— 477 В табл. 3.6 „Справочника по расчету усталостных характеристик" [10] находим, что соответствующий интервал значений предела прочности на растяжение Su составляет 1448,90—1703,01 МПа. Запишем следующие две формулы, которые позволят вычислить требуемые пределы:
при 103 циклов
(7.27)
Примеры проектирования с учетом надежности 195
а при 10е циклов
Se = MASA, (7.28)
где Sa — приложенное знакопеременное напряжение; Sa — предел прочности на растяжение; S'n — предел усталости; — коэффициент, учитывающий наработку, равную 103 циклов; k2— коэффициент перехода от предела прочности на растяжение к пределу прочности на сдвиг; ^—коэффициент, учитывающий крутящий момент; fe4— коэффициент, учитывающий размеры; kb — коэффициент, учитывающий чистоту обработки поверхности.
Средние значения и дисперсии большинства определенных выше величин были вычислены непосредственно либо взяты из гл. 12 книги Липсона и Джувиналла [5]. Эти данные приводятся в табл. 7.8. Заметим, что напряжение и прочность даны в мегапаскалях.
Таблица 7*8
Значения различных величин
Величина Среднее значение Допуск Среднее квадратическое отклонение (a = t/3) Пределы
Sa 1575,452 ±127,552 42,520 1447,900—1703,006
SA(=0,5Sb) 787,726 ±63,776 21,260 723,950—851,503
0,92 ±0,03 0,01 0,89—0,95
^2 0,82 ±0,03 0,01 0,79—0,85
&3 0,60 ±0,03 0,01 0,57—0,63
0,94 ±0,06 0,02 0,88—1,00
^5 0,44 ±0,14 0,0467 0,30—0,58
С помощью формулы (7.27) при наработке, равной 103 циклов, имеем _________
Sa = krk2 Sa = 0,92 • 0,82 • 1575,45• 10е = 1188,52 МПа и
<!sa = (Ми)2 aakl + (ktSa)* at + (М2)2 a>„ =
= (0,82 • 1575,453 • 10’)2 • 0,012 ± (0,92 • 1575,453 • 10е)2 • 0,012 +
4- (0,92 • 0,82)2 • (42,520 • 10’)2 = 166,893 • 1012 + 210,117 • 1012 ±
+ 1028,716-1012= 1405,726-10», или
ase — 37,5 МПа.
Следовательно, при наработке, равной 103 циклов, Sa±3a.$a = = 1187,97 ±3-37,51 МПа, или 1075,44 МПа <Se< 1300,49 МПа.
7*
196 Глава 7
Аналогично с помощью формулы (7.28) при наработке, равной 10е циклов, имеем
Sa = = 0,6 • 0,94 • 0,44 • 787,726 - 10е = 195,482 МПа
и
о$в = (Jttk6Sn)2(ik3 4~ (^з И* (^3^4Sn)2 о*5 4~ (k3 ktks)2 с= = [0,94 • 0,44 • 787,726 • 10’]2 • 0,04672 4-
+ (0,6 • 0,44 • 787,726- 10е)2 • 0,022 ±
4- (0,6 - 0,94 • 787,726 • 1 O’)2 • 0.04672 ± + (0,6 • 0,94 0,44)2 • (21,298 • 10’)2 =
= 39,601 • 1012 4-17,299-1012 4-430,470- 10l2 = 487,370-1012, или
oSa = 22,063 МПа.
Следовательно, при 10’ циклов получаем следующие пределы, равные За:
195,466 ±3-22,063, или (129,35 МПа, 261,59 МПа).
Если теперь построить график зависимости lg Sa от lg Nj (где Nf—наработка до отказа, выраженная через число циклов), или, что то же самое, график зависимости Sa от Му на логарифмической бумаге, то прямую, соединяющую две точки (103 циклов, 1301,01 МПа; 10’ циклов, 261,59 МПа), можно рассматривать как верхний предел интервала, равного ±3а, на диаграмме усталости. Аналогично можно считать, что прямая, соединяющая другие две точки (103 циклов, 1076,13 МПа; 10’ циклов, 129,35 МПа), изображает нижний предел интервала, равного ±3о, на диаграмме усталости. Рассмотрим область, образуемую пересечением этих пределов с пределами для Sa, равными х±3ат(рис. 7.7). Крайние точки А и В этой области представляют собой минимальное и максимальное числа циклов до появления отказа N,.
Полагая, что Nf имеет нормальное распределение, получаем п = (пА + пв)/2, (7.29)
ои = (пв—пл)/6, (7.30)
где n = lgMy. Из графика, изображенного на рис. 7.7, видно, что Мл = 2417 и NB = 10732 циклов. С помощью формул (7.29) и (7.30) находим, что
п = 3,7070 и о„ = 0,1246.
Следовательно, медиана долговечности торсионного стержня равна 10” = 5093 цикла.
Примеры проектирования с учетом надежности 197
6895
МПа
Число циклов до появления отказа Nf
Рис. 7J. Диаграмма усталости.
7.4.7. Определение вероятности безотказной работы
Допустим, что требуется вычислить вероятность безотказной работы рассмотренного выше торсионного стержня при наработке, равной 1) 2000 циклов и 2) 10 000 циклов:
1) /?2000 = (Л//> 2000) = Р(п> 3,301) =
= 1—Ф [(3,301—п)/о„] =
= 1 —Ф [(3,301 — 3,707)/0,1246] =
= 1 —Ф (—3,258) = 0,99944.
2) Я1о 000 = 1 —Ф[(4—3,707)/0,1246] =
= 1 —Ф (2,352) = 1 —0,99071 = 0,00929.
Таким образом, как показано выше, вероятность безотказной работы торсионного стержня можно оценить при любом значении наработки. Решение о принятии данной конструкции может приниматься на основе требуемой долговечности и исходя из серьезности отказа.
198 Глава 7
На основе известных свойств заданного материала после введения различных коэффициентов, например коэффициентов, учитывающих чистоту обработки поверхности и размеры стержня, была построена усталостная диаграмма с пределами, равными За. Лучшим методом было бы проведение испытаний стержня на долговечность в реальных условиях, однако часто проведение испытаний на долговечность требует недопустимо много времени и почти всегда является дорогостоящим.
Для быстрого сравнения результатов, полученных нашим методом, и результатов, получаемых при обычном подходе, читатель отсылается к табл. 7.9.
7.$. Краткие выводы
В этой главе методика применения вероятностного подхода к расчетам при проектировании была проиллюстрирована на четырех примерах. Рассматривались элементы, испытывающие растяжение, изгиб и кручение. Во всех этих задачах на проектирование такие характеристики, как нагрузки, размеры и прочность, рассматривались как случайные величины. При анализе использовались только первые два момента распределений этих случайных величин. При исследовании функций случайных величин использовалось разложение в ряд Тейлора и вычислялись приближенные значения первых двух моментов. В частности, вычислялись первые два момента распределения напряжения и прочности. Надежность оценивалась в предположении, что напряжение и прочность являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону с известными первым и вторым моментами. Следует иметь в виду, что в реальных задачах проектирования могут рассматриваться другие распределения, основанные на имеющихся данных. В этом случае могут использоваться результаты, полученные в гл. 6. Многие элементы в процессе эксплуатации подвергаются многократному воздействию нагрузок, и их прочность снижается. Анализ надежности таких элементов рассматривается в гл. 8, результаты которой можно использовать для проектирования элементов, подвергаемых многократным нагрузкам.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Требуется рассчитать тягу сцепления автомобиля. Анализ видов отказов тяги показал, что наиболее вероятным является отказ вследствие разрушения при приложении растягивающей нагрузки. Предел прочности на растяжение для материала, из которого изготовлена тяга, имеет среднее значение 10000 МПа и среднее квадратическое отклонение 500 МПа. Тяга имеет круглое поперечное сечение, и производственный допуск для диаметра
Таблица 7.9
Сравнение результатов, полученных при вероятностных и традиционных прочностных расчетах
Величина Вероятностный подход Традиционный подход
среднее значение интервал ±3о значение
Срезывающее напряжение т, МПа 785,313 (749,460—821,166) 810,134
Крутящий момент 7, Н«м 315,115 (291,953—342,345) (286,869—344,604)
Усилие при открывании капота ЕО, Н 51,154 (12,455—87,630) (27,134—96,082)
Усилие при закрывании капота ЕС, Н 108,537 (20,907—196,167) (28,913—184,601)
Наработка до отказа Ny, число циклов 50931) (2417,10732) 2800
*) Эта величина является медианой, а не средним значением
Примеры проектирования с учетом надежности 199
200 Глава 7
составляет ±2%, исходя из пределов, равных 4а (т. е. aD = =0,5% диаметра). Нагрузка, действующая на тягу, имеет среднее значение 10 000 Н при среднем квадратическом отклонении 1000 Н. Тяга должна быть спроектирована таким образом, чтобы вероятность отказа не превышала 0,0001 (т. е. вероятность безотказной работы равна 0,99990). При заданных условиях работы рассчитайте тягу для заданной вероятности безотказной работы. Исследуйте чувствительность надежности данной конструкции к изменению среднего квадратического отклонения прочности материала от 20 до 1000 МПа и к изменению допусков для диаметра от ±0,5 до ±10%, исходя из пределов, равных 4а.
2. Требуется рассчитать балку прямоугольного поперечного сечения с опорами, к которой приложена сосредоточенная нагрузка. Нагрузка, длина балки и место приложения нагрузки являются случайными величинами:
Нагрузка Р: Р = 30000 Н, ар = 2000 Н.
Длина балки 1: Z = 3,0m, oz = 0,01 м.
Расстояние от точки приложения нагрузки до одного из концов балки а: а = 2,0 м, <уа = 0,01 м.
Эффективная прочность балки S: 5 = 400 МПа, о$ = 20 МПа.
Предполагается, что ширина прямоугольного сечения равна половине высоты балки и допуски для размеров составляют ±3%. Тр.ебуется рассчитать балку, имеющую вероятность безотказной работы 0,9990. После того как будут определены размеры балки, исследуйте чувствительность надежности к следующим расчетным параметрам:
а) среднее квадратическое отклонение прочности (изменяется в пределах 10—80 МПа);
б) среднее квадратическое отклонение нагрузки (изменяется в пределах 500—4000 Н);
в) допуски для размеров прямоугольного сечения (изменяются в пределах 1—10%).
3. Требуется рассчитать полую цилиндрическую стойку с нецентральной нагрузкой при заданной вероятности безотказной работы 0,999. Максимальное напряжение sMaKC имеет вид
8Макс = 4 [1 + тгsee (j K/W)] ,
где Р — нагрузка, А — площадь поперечного сечения, е—эксцентриситет, с—расстояние до крайних волокон, г — радиус вращения, £ —модуль упругости.
Наружный радиус /?0 в 1,25 раза превышает внутренний радиус /?z. Среднее квадратическое отклонение радиуса принимается равным 5%. Стойка изготавливается из холоднотянутой стали AISI-1018 со средним значением предела текучести 537,8 МПа и
Примеры проектирования с учетом надежности 201
средним квадратическим отклонением 34,5 МПа. Рассчитайте стойку при следующих данных:
Параметр Среднее значение Среднее квадратическое отклонение
Нагрузка Р, Н Эксцентриситет е, м Модуль упругости Е, МПа Длина 1, м 355 860 1,27.10-2 206 850 1,778 17 793 8,367-10-3 6895 1,524-10-2
4. На рассмотренный в разд. 7.3 сплошной трансмиссионный вал помимо растягивающей нагрузки действует изгибающий момент. Математическое ожидание изгибающего момента равно 3390 Н-м, а среднее квадратическое отклонение равно 2260 Н-м. Используя данные из разд. 7.3, определите радиус вала при заданной вероятности безотказной работы 0,9990.
5. Требуется рассчитать консольную балку прямоугольного сечения с опорой при заданной вероятности безотказной работы 0,990. Нагрузка приложена, как показано на рис. 7.8. Имеем следующие данные:
р = 20000 Н, ор = 2000 Н,
I =5,0 м, oz =0,2 м,
а = 3,0 м, ofl = 0,3 м.
Рис, 7.8, Кронштейн с опорой.
Высота балки d вдвое превышает ее ширину w. Максимально допустимое напряжение имеет математическое ожидание 500 МПа и среднее квадратическое отклонение 30 МПа. Допуски для размеров балки составляют 3% номинальных значений.
6. Рассчитайте двутавровую балку, рассмотренную в разд. 7.2, когда к ней приложена равномерно распределенная нагрузка с математическим ожиданием 584 Н/м и средним квадратическим отклонением 29,2 Н/м. Все остальные данные о балке приводятся в разд. 7.2.
202 Г лава 7
ЛИТЕРАТУРА
1. Haugen Е. В., Analysis of Electromagnetic Devices by Probabilistic Methods, NAA/S and ID, January 1966.
2. Haugen E. B., Probabilistic Approaches to Design, New York, John Wiley and Sons, 1968.
3. Haugen E. B., Probabilistic Mechanical Design, The University of Arizona, Tucson, Arizona, 1974.
4. Kivenson G., Durability and Reliability in Engineering Design, New York, Hayden Book Company, 1971.
5. Lipson C., Juvinall R.C., Handbook of Stress and Strength of Manufactured Parts, New York, Macmillan, 1963.
6. Seeley F. B., Smith J. O., Advanced Mechanics of Materials, New York, John Wiley and Sons, 1952.
7. Smith С. O., Design of Pressure Vessels to Probabilistic Criteria, First International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology, Berlin, September 1971.
8. Smith С. O., Structural Designs Based on Probability, Design News, December 8, 1969, pp. 98—108.
9. Smith С. O., Haugen E. B., Design of Circular Members in Torsion to A Probabilistic Criteria, Design News, 108—115 (November 8, 1968).
10. Society of Automotive Engineers, Fatigue Design Handbook, V. 4, 1968.
Глава 8. Динамические модели зависимости надежности от распределений прочности и напряжения
В гл. 6 изучались статические модели зависимости надежности от распределений прочности и напряжения. Такие модели соответствуют случаю однократного приложения нагрузки. В этой главе изучаются модели, позволяющие учитывать многократное приложение нагрузки, а также изменение прочностных характеристик во времени.
Такие модели надежности обычно называются моделями временной зависимости надежности от распределений прочности и напряжения [1, 2, 4—6]. В числе причин практического характера, обусловливающих интерес к динамическим моделям надежности, можно указать снижение прочности вследствие старения или накопления повреждений. Кроме того, по мере уточнения характеристик распределений в процессе безотказной работы эти модели позволяют получить новые, более точные оценки надежности.
Употребление таких терминов, как „напряжение" и „прочность", представляется неудачным. У многих специалистов, особенно у инженеров, эти термины вызывают ограниченные представления, связанные с механическими нагрузками. Мы же употребляем их в более широком смысле, применительно к самым разнообразным ситуациям, выходящим за рамки традиционных механических систем или строительных конструкций. Термин „напряжение" употребляется для обозначения любого фактора, способствующего появлению отказа, а „прочность" обозначает любой фактор, препятствующий его появлению. Под отказом подразумевается прекращение выполнения требуемой функции; отказ происходит, когда впервые фактическая величина напряжения превышает фактическую величину прочности.
На рис. 8.1 изображены различные картины изменения нагрузки во времени. На рис. 8.1, б показана периодическая нагрузка с постоянной амплитудой. Обычно такое изменение нагрузки имеет место при испытаниях в лабораторных условиях. В общем случае элементы изделия подвергаются воздействию нагрузок, амплитуда и частота которых изменяются случайным образом. Примером могут служить нагрузки на самолет, создаваемые порывами ветра, а также нагрузка на элементы подвески
204 Глава 8
автомобиля, вызываемая хаотическими неровностями дороги.
(Подобная картина показана на рис. 8.1, в.)
Одинаковые элементы, подвергаемые одинаковым переменным нагрузкам, вследствие неоднородности свойств материала выходят
' Время
а
УЛЛ/
------------------------------Время
Рис. 8.1. Модели изменения нагрузки (напряжения).
а—постоянная нагрузка; б—циклическая нагрузка с постоянной амплитудой; в—спектр случайной нагрузки
из строя при различном числе циклов. Для оценки наработки элемента проводятся испытания нескольких опытных образцов при различных уровнях напряжения до появления отказа. Полученные результаты наносятся на логарифмическую бумагу, при этом напряжение откладывается по оси ординат, а соответствующие значения наработки—по оси абсцисс, как показано на
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 205
рис. 8.2. Затем подбирается линия, изображающая среднюю наработку; горизонтальный участок этой линии показывает, что элемент будет иметь практически бесконечную наработку при напряжениях, лежащих ниже этой линии, а напряжение, соответ-
Рис. 8.2. Обычная диаграмма усталости, построенная в логарифмическом масштабе.
Рис. 8.3. Разброс значений усталостной долговечности при заданном напряжении (график построен в логарифмическом масштабе).
ствующее этой линии, называется пределом выносливости. На практике для оценки усталостной долговечности испытываются несколько элементов при заданном уровне напряжения. На рис. 8.3 показан разброс значений усталостной долговечности при данном уровне напряжения.
В любой момент времени существует неопределенность относительно значений напряжения и прочности, которые являются случайными величинами, а также относительно поведения напря-
206 Глава 8
жения и прочности во времени. Для описания этих двух видов неопределенности употребляются два термина: „фиксированная случайная величина" и „независимая случайная величина". Значение обеих этих величин в начальный момент времени является случайным. Поведение фиксированной случайной величины во времени задано, т. е. она изменяется во времени заранее известным образом. Например, если из некоторой совокупности выбирается один элемент, то априорное значение его прочности до того, как будет произведен выбор, является случайным. Однако, как только элемент выбран и установлен в систему, его прочность остается постоянной до момента появления отказа либо предполагается, что она изменяется заданным (неслучайным) образом. Последовательные значения, принимаемые независимой случайной величиной во времени, являются статистически независимыми, и одно какое-либо отдельно взятое значение не дает никакой информации о величине последующих значений. В случае фиксированных случайных величин их значения для различных моментов времени за-' висимы, так как они связаны функциональной зависимостью. Под-
робно эти .случаи рассматриваются в разд. 8.1. По существу три вида величин описывают напряжение и прочность: детерминированные, фиксированные случайные и независимые случайные величины. В общем случае можно рассмотреть другую классификацию, но тогда модели окажутся очень сложными [7—9]. В разд. 8.2 выводятся выражения для вероятности безотказной работы после n-кратного приложения нагрузки для всех девяти возможных комбинаций величин, описывающих напряжение и прочность. Некоторые из этих случаев рассматриваются в других работах [3—6]. В разд. 8.3 выражения для вероятности безотказной работы Rn преобразуются в выражения для текущих значений вероятностей безотказной работы, обозначаемых R(t) и определяемых при допущении, что число циклов, появляющихся в данном промежутке времени, имеет пуассоновское распределение. В разд. 8.4 выводятся общие модели надежности с учетом старения, периодических повреждений и их накопления. Все эти факторы существенно усложняют аналитические модели. Для изучения надежности элемента в этих случаях используют имитационные модели [1, 8].
8.1. Классификация напряжения и прочности
Выход из строя элементов, испытывающих многократные на-грузки исследовался главным образом с точки зрения усталостных характеристик материалов. Расчет этих элементов основан на использовании зависимости усталостной долговечности от напряжения, или диаграммы усталости. Максимально допустимое
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 207
знакопеременное напряжение определяется путем умножения предела выносливости на соответствующий коэффициент безопасности. Прочность элемента можно определить как максимальное напряжение или нагрузку, вызывающую отказ при определенных окружающих условиях. Прочность может задаваться также через долговечность системы при конкретной схеме приложения нагрузок или при определенном спектре напряжения. Долговечность может измеряться числом циклов приложения нагрузки. Кроме того, прочность может различным образом зависеть от картины изменения напряжения во времени.
Знакопеременные нагрузки характеризуются продолжительностью их приложения и продолжительностью интервалов времени между моментами приложения нагрузки. Приложение нагрузки может происходить следующим- образом:
1. Нагрузка прилагается в известные моменты времени t2f ..., tn. В этом случае изменения могут носить периодический характер. Это могут быть сезонные, суточные изменения, циклы между включениями, периодические убывания и возрастания нагрузки и т. д. Продолжительности циклов в точности известны заранее, причем нагрузка может быть постоянной либо меняться от цикла к циклу.
2. Нагрузка прилагается в случайные моменты времени. Таким образом, в этом случае продолжительности циклов являются случайными величинами (скорее всего не фиксированными, а независимыми). Случайные продолжительности этих циклов могут иметь, например, экспоненциальное или гамма-распределение. Прилагаемая нагрузка по своему характеру может быть детерминированной или случайной.
По степени неопределенности напряжение и нагрузка могут быть отнесены к одной из следующих трех категорий [4].
Детерминированная величина. Такая величина принимает значения, которые в точности известны заранее. Такое положение может свидетельствовать о том, что процесс проектирования и изготовления продукции полностью контролируется. Недействительности так бывает редко, но в некоторых случаях детерминированные величины могут служить приемлемой аппроксимацией реальных процессов.
Фиксированная случайная величина. Нас интересует поведение прочности во времени или в зависимости от числа циклов приложения нагрузки. В начальный момент времени прочность является случайной величиной, которая, реализовавшись, затем изменяется во времени известным образом. Пусть g0(y0)— плотность распределения прочности у0 в начальный момент времени. Тогда прочность y(t) в любой момент времени t определяется как
|/(О=^оФ(О,
208 Глава 8
где у0 — прочность в начальный момент времени, а ф(/) — заранее известная функция, в точности описывающая характер изменения прочности во времени. Пусть, например,
ф (0 = 1—0,001 t.
Это означает, что за единицу времени прочность уменьшается примерно на 0,1% первоначального значения у0. Таким образом, первоначальное значение прочности является случайной величиной, но если ее значение в реализации стало известно, то будет в точности известно ее значение в любой будущий момент. Пусть yk обозначает прочность при k-м цикле приложения нагрузки, и допустим, что уЛ является функцией у0 и порядкового номера цикла приложения нагрузки k. Таким образом, имеем
Уй = £(Уо. k),
где у0 — случайная величина с известной плотностью распределения. Таким образом, поведение случайной величины уЛ задано поведением случайной величины у0. Например, это может быть функция
У* = У<Л-“
или
У*=Уо+^-
Эти уравнения показывают, что прочность уменьшается при увеличении числа циклов приложения нагрузки при а > 0 и b < 0 соответственно. Если вследствие деформационного упрочнения происходит увеличение прочности, то а<0 и &>0х).
Независимая случайная величина. Последовательные значения, принимаемые этой случайной величиной во времени, статистически независимы. Наблюдение какого-либо одного значения напряжения или прочности не дает никакой информации о величине последующих значений. Обычно последовательные значения напряжения независимы. Прочность может изменяться случайным образом и быть независимой от цикла к циклу только в том случае, если на нее влияют другие факторы окружающей среды, например температура и вибрации, которые не зависят от процесса приложения нагрузки.
Прочность зависит от числа циклов приложения нагрузки, ее величины и продолжительности. Эффект изменения прочности во времени называется старением. Примером причины старения является коррозия. Если прочность является функцией числа циклов приложения нагрузки, то такой эффект называется изно
х) Авторы не оговаривают (считая это, видимо, очевидным), что рассматриваемые случайные величины не могут быть отрицательными, т. е. уравнение */л = */о + имеет смысл лишь при к^—у^/Ь.—Прим, ред,
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 209
сом вследствие циклических нагрузок. Если же прочность зависит как от числа циклов приложения нагрузки, так и от ее величины, то такой эффект называется накопленным повреждением. Прочность может зависеть также от последовательности приложения нагрузки. Учет накопленного повреждения существенно усложняет модели надежности. Кроме того, необходимо учитывать частоту приложения нагрузки или интенсивность использования. В разд. 8.3 это делается путем перехода от Rn к /?(/), при допущении о пуассоновском распределении. Аналогично могут быть построены другие модели при других допущениях о частоте приложения нагрузки.
8.2. Вычисление вероятности безотказной работы при детерминированной продолжительности циклов
Выведем теперь выражения для вероятности безотказной работы, рассматривая различные случаи. При выводе этих выражений будем рассматривать сочетания трех степеней неопределенности напряжения и прочности и двух способов появления циклов. В данном случае нас интересует вероятность безотказной работы Rn в каждом из п последовательных циклов приложения нагрузки, а не вероятность безотказной работы R (i) в момент /, где t—непрерывная величина. Мы поступаем таким образом потому, что при детерминированной продолжительности циклов очень просто перейти от первой величины ко второй. Например,
R(t) = Rn, tn<t<tn+1, n=l, 2. ..., (8.1)
где ti—момент времени, когда заканчивается i-й цикл.
Случай 1. Напряжение и прочность — постоянные величины. Пусть X/ и yt (где i = \, 2, . .<, п)—соответственно напряжение и прочность в i-м цикле. Тогда
Rn = P[Elt Ev .... Е„], (8.2)
где Rn— вероятность безотказной работы после п циклов, a £z— событие, состоящее в том, что в i-м цикле отказ не происходит.
Следовательно,
j 0, если X/ > у{- для некоторых i, 1 i и;
( 1, если x^yi для всех i, 1 i п. ^-3)
В частном случае, когда напряжение не уменьшается, а прочность не возрастает во времени, Rn можно определить на основании однократного сравнения значения хп со значением уп.
Случай 2. Напряжение—постоянная величина, а прочность — фиксированная случайная величина. Пусть напряжение х0 — по
210 Глава 8
стоянная величина, а прочность в f-м цикле—случайная величина, определяемая как
У/ = Уо— ab i=l, 2, (8.4)
где а{~^0—известные постоянные. Кроме того, предполагается, что постоянные а,- не убывают с течением времени. Полагаем, что g0(«/0) — плотность распределения случайной величины у0 — известна. Тогда
Р [Е„] = Р (х„ < у„) = Р (х0 У»—а„) = Р (Уо > х0 + ап) =
00
= $ go(l/oWo- (8-5)
*„+а„
Но
Кп~Р[Ец Ег,..., ^п] =
= P[^il^. Е3.....Е„]Р[Е2, Е3......Е„] =
= Р|Е1|Е„ Е3,..., Еп]Р[Е2\Е3, Е...... Е„]х
хР[Е8, Е......Е„] =
= P[Et\E3, Е3....Еп1Р[Ег1Е3, Е4,..., E„J...
...Р[£„_г|ЕДхР[Е„]. (8.6)
В правой части уравнения (8.6) все члены, кроме Р[ЕП], равны 1 вследствие налагаемых на значения а{ ограничений, вызывающих уменьшение прочности yz с течением времени. Следовательно,
со
Rn=P[En] = $ g<Mdy3. (8.7)
х0 + ап
Пусть — вероятность безотказной работы в n-м цикле при условии, что изделие безотказно работало в предыдущих (п — I) циклах. Тогда
п -PIE IE Е Е 1 — Р '*'*
(8.8)
Случай 3. Напряжение—постоянная величина, а прочность— независимая случайная величина. Пусть, как и в случае 2, напряжение— постоянная величина х0, а прочность уг- в f-м цикле — случайная величина с плотностью распределения (у). Поскольку последовательные значения случайной величины уг- независимы, получаем
Р„ = Р [Е1( Е2..Е„] = Р [Ех] Р [Е2] ... Р [£„], (8.9)
где
00
/’[£"] = р(хо^У<)= \si(y)dy, 1 = 1, 2,..., п. (8.10)
*9
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 211
В частности, если плотность распределения не меняется в течением времени, т. е. если
& (£) = &(*/)= ••=gn(y)=g(l/). то /оо \ п
яя=(т])п= • (8Л1)
/
Случай 4. Напряжение—фиксированная случайная величина, а прочность — постоянная величина. Этот случай аналогичен случаю 2, но здесь напряжение и прочность поменялись ролями. Пусть напряжение в j-м цикле определяется как
К1 = хЛ+Ьь i=l, 2, ..., (8.12)
где Ь{ — известные постоянные, не убывающие во времени. Прочность постоянна и равна уа. Полагаем, что f0(x0) — плотность распределения случайной величины хс—известна.
Ограничения, налагаемые на постоянные bh гарантируют, что напряжение является неубывающей величиной, а это в свою очередь гарантирует, как и в случае 2, что
R„ = Р [£„] = Р (х„ < уп) = Р (х0 4- Ьп < 1/0) = (х0 < у0—Ьи), (8.13)
Р„ = $ (8.14)
О
Случай 5. Напряжение и прочность—фиксированные случай* ные величины. Пусть напряжение определяется как
xz=x0+&f, i==l, 2, (8.15)
где на налагаются те же ограничения, что и в случае 4, а именно — известные неотрицательные постоянные, не убывающие во времени. Кроме того, пусть прочность определяется как
У/ = Уо—«/. » = 1, 2, ..., (8.16)
где на at налагаются те же ограничения, что ’и в случае 2, т. е. а,-— известные неотрицательные постоянные, не убывающие во времени. Предполагается, что плотности распределения /о (хо) и ёо(Уо) известны. Требуется, чтобы напряжение не уменьшалось, а прочность не увеличивалась с течением времени. Рассуждая, как и в случае 2, получаем
Rn = Р [£«] = Р (х„ < У«) = Р (х04Л < Уо—«») =
00
р (х0 С Уо—ап—b„) = J g0 (у9) О
г-Ил-а. —Ь уо п п
О
fо (Хо) dy9.
(8.17)
(8.18)
>12 Глава 8
В частности, если напряжение и прочность не меняются стечением времени, т. е. а^Ь — О, г = 1, 2, то легко установить, что правая часть соотношения (8.18) представляет собой стандартное выражение для вероятности безотказной работы, выведенное в гл. 6 на основе зависимости надежности от распределений прочности и напряжения.
Случай 6. Напряжение—фиксированная случайная величина, а нагрузка — независимая случайная величина. В этом случае напряжение х является случайной величиной с известной плотностью распределения f(x). Последовательные случайные значения прочности уп у2, ..., уп— независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения g(y). Таким образом,
R„=P[Ei, Ег.......£„].
Событие Ej означает, что yz>x, т. е.
Ei~ (У/>х).
Следовательно,
= Р [(У< > х) П (у2 > х) П -. • П(у„>х)] =
= P[min(yl, у2, у„)>х]. (8.19)
Функция распределения случайной величины
УМин = т'п(У1> Уг> •••> Уп)
была выведена в гл. 2 и имеет вид
Gn(y) = 1- [1- О(У)]п- (8.20)
Теперь формулу (8.19) можно переписать как
#п = ? (Умин > х).
Откуда с помощью формулы (6.3) получаем
/?„ = p(x)[l-G(x)]»dx. (8.21)
о
Случай 7. Напряжение—независимая случайная величина, а прочность—постоянная величина. Это случай, обратный случаю 3. Меняя местами напряжение х и нагрузку у, получаем
/?„ = Р(£1)Р(А2)...Р(£„), (8-22)
где
Уо
P(Et) = P(xi^y0) = lfi(x)dx. (8.23)
о
Здесь у0—постоянная прочность, a f/(x)—плотность распределения напряжения х; в i-м цикле. В частности, если /\(х) =
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 213
= ft (*) = • • • = fn W = f W, TO
Rn = [P (£1)]"= Ш(х)<&
(8.24)
Случай 8. Напряжение—независимая случайная величина, а прочность—фиксированная случайная величина. Этот случай аналогичен случаю 6. Имеем
Pn = P[(«i <У)П(х2<у)П ... П(х„<у)] = = Р[тах(хп..х„) <у].
Пусть хмакс = max (хп х2, х„). Тогда распределение Fn (х)
случайной величины хмакс имеет вид
Г„(х) = [Г(х)]».
Следовательно,
Рп = ^g(y) [P(y)]ndy.
(8.25)
Если напряжения, возникающие при каждом приложении нагрузки, —независимые, но неодинаково распределенные случайные величины, то формула (8.25) принимает вид
Рп = $ g (У) П Fx (У) dy, о |? = 1 J
(8.26)
где II Fx.(y) — функция распределения для максимума после-h _ 1 Л
довательности п независимых значений напряжения.
Другой способ вывода формулы (8.25) основан на таких понятиях, как условная вероятность и условная плотность распределения. Используя общую формулу умножения вероятностей, имеем
Rn = P[Ei.... En] = P(El)P(Ei\E1)...P(En\Ei, ...» £„_,).
(8.27)
Это выражение можно представить в виде рекуррентного соотношения
Rn —Рп^Р (E„\Eit..., Еп_д.
(8.28)
Найдем теперь условные вероятности, входящие в формулу (8.27). Вначале получаем
00 (У
Р (EJ = Р (хх < yj = $ g (z/И j f (х) dx} dy. (8.29)
о Vo
214 Глава 8
Отсутствие отказа элемента при каждом последовательном приложении нагрузки уменьшает неопределенность, связанную с прочностью как случайной величиной. Даже если фактическое значение прочности системы неизвестно, совершенно очевидно, что оно должно быть больше неизвестного напряжения, возникающего при приложенной нагрузке. Чтобы найти Р (£п| Ef,... ..., заменим f (я) в формуле (8.29) соответствующей
плотностью условного распределения прочности. Таким образом,
где gn {у | Ei, • • •, En-i) — плотность условного распределения случайной величины у, выражающей заданное значение прочности, если в каждом из первых (п—I) циклов приложения нагрузки отказы не наблюдались. Элемент плотности условного распределения можно записать как
е. (»• I ..........е»-г) лв-Р [</’ ~т « у + т I £<...............=
(8.3l)
Пусть событие А определяется как у* — (dy/2)^.y^y* 4-+ (dy/2), событие Et как х, < у*, а событие Вп как Et П Ег Г) •..
Тогда формулу (8.31) можно записать как
gn(y I •••» Р (Btt)
Кроме того,
Р (А(}Вп) = Р (Вп\А) Р(А) —Р (А) Р (Ef......£Я_,|Л) =
= Р(Л) Р (£г | 4) Р (Ег | А П EJ... Р (E^i | A A Et А ... Л £„-2).(8.32)
Так как значения напряжения — независимые случайные величины, то каждый из последних (п—1) членов в формуле (8.32) V*
не что иное, как J f(x)dx. Таким образом, ' о
fy* *]я-1
У f (х) dx I =5
о J
= g(y*)dy
f (х) dx
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 215
Поэтому формулу (8.31) можно записать как плотность распре-
деления ’ у "|п-1
g(y) j f W dx
go (У IE........£„-i) =-----. (8.33)
Kn-1
Заметим, что это известное выражение для интенсивности отказов. Таким образом, подставляя выражение (8.33) в формулу (8.30), получаем условную вероятность успешного исхода при n-м приложении нагрузки, определяемую как
^g(y) ^f(x)dx dy
Р \Еп | Еь ..., Е„_х] = ’----1° J . (8.34)
^Л-1
Рассматривая совместно формулы (8.34) и (8.28), получаем
00 $£(«/) о
1”
f (х) dx dy.
Это выражение совпадает с формулой (8.25).
Случай 9. Напряжение и прочность—независимые случайные величины. Пусть f{(x) и gi(y)—плотности распределения напряжения х(- и прочности у,- в i-м цикле (t' = l, 2, ...). Тогда, поскольку х; и у(-—независимые случайные величины,
п
/?„ = Р[Е„, .....£1] = Р(£В)Р(ЕП_Х)...Р(£1)^ПР(Е1.),
i=l
где
00 00
Р (Е{) = у,-) = J ft (х) J gi (у) dy-dx.
О X
В частности, если f и g не меняются с течением времени, то
п
Ra~]IiP(Ei)=\P(E1№, (8.35)
где Р(£г)—вероятность безотказной работы, определяемая с помощью моделей зависимости надежности от распределений прочности и напряжения, рассмотренных в гл. 6.
8.3. Вычисление вероятности безотказной работы при случайной продолжительности циклов
В предыдущем разделе вероятность безотказной работы вычислялась как функция числа циклов приложения нагрузки. Не представляет труда связать полученные формулы с вираже-
216 Глава 8
ниями для временной зависимости, если известна постоянная или переменная детерминированная продолжительность циклов. Однако, если циклы появляются в случайные моменты времени, то
Я (0 = S Л/ (/) Rh (8.36)
1 = 0
где лДО—вероятность появления i циклов в промежутке времени [0, tj, a Rh как и ранее,— вероятность безотказной работы во всех i циклах. Ясно, что детерминированную продолжительность циклов можно рассматривать как частный случай выражения (8.36). В некоторых случаях приемлемо допущение о том, что число циклов приложения нагрузки в данном промежутке времени имеет пуассоновское распределение. Следовательно,
ak(t) = P(Nt = k) = -^^, - (8.37)
где а—параметр, равный среднему числу циклов за единицу времени. Следует заметить, что могут применяться и другие распределения, но они приводят к более сложным результатам.
В этом разделе с помощью формул (8.36) и (8.37) будут выведены выражения для вероятности безотказной работы R (/) для всех девяти случаев. Будем считать, что лЛ(/) — плотность пуассоновского распределения, а соответствующие выражения для /?z будут заимствованы из предыдущего раздела.
Случай 1. Напряжение и прочность — постоянные величины. Пусть напряжение xz—известная неубывающая величина, а прочность yz— известная невозрастающая величина. Пусть п*—такое число, что Rn* = 1, а /?п*+1=0. Тогда 7?z=l для г = 0, 1,2, ...,п* и 7?z = 0 для i = п*+ 1, п* + 2, ... . Следовательно,
со п* п*
R (0 = £ л,- (/) Rt =£ л,- (0 =£ e~a.,(g<)‘ . (8.38)
1 = 0 i=0 i = 0
В частности, если xz = x0 и у( = yQ, i = 1, 2, ..., то п* равняется либо нулю (х0 > «/„), либо бесконечности (х0 уа), и соответственно имеем
Я (0 = л0(0 (8.39)
или
Я(/) = 5л,(0Я, = Ь = (8.40)
1=0 1=0
Случай 2. Напряжение—постоянная величина, прочность — фиксированная случайная величина. Пусть напряжение — известная постоянная х0, а прочность yz=y0, i=l, 2, ...,— случай
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 217
ная величина с известной плотностью распределения /0(у0). Тогда
с Л
P/=PI£,.J=$fo(//o)d// = «, ( = 1,2. (8.41)
«о
Ясно, что выражение для R{ не зависит от номера цикла i. Следовательно,
R (О = Е (0 • Ri=л0 (0 Ro+Е ni (О R/ = i=0 1=]
= e~ao,(g/)o • 1 + rE Л/ (0 - е~а< + R [ 1 - л0 (/)] =
= e~ai + R (1 —е-«<) = R + (1 — R) е~а‘, (8.42)
где R определяется по формуле (8.41). Заметим, что R—вероятность безотказной работы при статических условиях, определенная в гл. 6. Заметим также, что в предыдущем разделе все значения а(- полагались равными нулю, так как иначе нам не удалось бы получить в замкнутой форме выражение, подобное формуле (8.42). Если предполагается, что прочность убывает с течением времени, то значение Rt будет зависеть от номера цикла I, а получаемое выражение для вероятности безотказной работы окажется более сложным.
Случай 3. Напряжение—постоянная величина, прочность — независимая случайная величина. Пусть напряжение — известная постоянная величина х0, а прочность у—независимая случайная величина с плотностью распределения g(y). Тогда
Rn = Rn, п = 1, 2, ..., где
R=jg(y)dy. (8.43)
*0
Заметим, что R—вероятность безотказной работы для одного цикла приложения нагрузки.
Для п —0 при /?л=1 справедливо равенство Rn = Rn. Следовательно,
R (0- £«,(OR,--
i=0 1 = 0 е 1 = 0
я- g-at + Rat . | = e~at (1 -Я), (8.44)
где 00
R = \g(y)dy. х0
218 Глава 8
Случай 4. Напряжение—фиксированная случайная величина, а прочность—постоянная величина. Это случай, обратный случаю 2, поэтому
R(t) = R+(\—R)e~<*, (8.45)
Уо
где J fo(*o)dxo—вероятность безотказной работы для одного цикла о
приложения нагрузки. Напряжение х0—фиксированная случайная величина с плотностью распределения fQ (х0), не меняющейся во времени, a yQ—известная постоянная прочность, постоянная во времени.
Случай 5. Напряжение и прочность—фиксированные случайные величины. В данном случае напряжение х0 и прочность у0 — случайные величины с известными плотностями распределения fo(xo) и So (хо) соответственно. Предполагается, что х0 и у0 не меняются с течением времени, т.е. «/=&/ = О, / = 1, 2, ... . Следовательно, ® Ро
Кг = f<,Mdxtdy0 = R, i = l,2............. (8.46)
о о
В этом случае не зависит от i. Следовательно,
К(0 = 2 лг(О-К/=яо(ОКс + 2 =
i=0 i=l
= e~ai • 1 + R (1 —= R + (1 —R) e"**, (8.47)
где R определяется по формуле (8.46).
Случай 6. Напряжение—фиксированная случайная величина, прочность—независимая случайная величина. Имеем
со Г со "In
К„=р(х) ^g(y)dy dx, n = 0, 1, 2, ..., (8.48)
о L*
где f (х)—плотность распределения напряжения х, a g(y)—плотность распределения прочности у. Следовательно,
00 00 „-а/
i=0 i=0
J/(x) §g(y)dy dx. (8.49) О Lx
Изменяя порядок интегрирования и суммирования, имеем
R(f) = e~at
f (х) e~ai ехр
a/J g (У) dyl dx.
X )
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 219
X
Подставляя сюда G (х) = J g(x)dy, получаем о
00 00
. ^(/)==p(x)e-arearii-<?wJdx:==J f (x)e~atG^dx. О о
(8.50)
При малых at несколько первых членов бесконечного ряда (8.49) могут служить хорошей аппроксимацией для R (/).
Случай 7. Напряжение—независимая случайная величина, прочность—постоянная величина. Эго случай, обратный случаю 3, поэтому
(8.51)
Ро
где /?=J f (x)dx—вероятность безотказной работы для одного о
цикла приложения нагрузки. Напряжение х—независимая случайная величина, а прочность z/0—постоянная величина.
Случай 8. Напряжение—независимая случайная величина, прочность—фиксированная случайная величина. Это случай, обратный случаю 6, поэтому
i=0
- i
f (x) dx dy =
у T
at J f (x) dx Л
—------------- dy = C g (y) e-aieatF ^dy9 (8.52)
у
где F(y)=^ f (x)dx. Следовательно, о
00
R (0 = $ g(y) e~at l1-Fwidy. о
(8.53)
При малых значениях at первые несколько членов бесконечного ряда (8.52) могут служить удовлетворительной айпроксимацией точного результата, даваемого формулой (8.53).
Случай 9. Напряжение и прочность—независимые случайные величины. Пусть f (х) и g (у) обозначают плотность распределения напряжения х и прочности у соответственно. Предполагается, что эти случайные величины независимы в каждом цикле. Тогда
R„ = R”, п = 1, 2, ... и = =
220 Глава 8
00 00
где R=J f (x) J g(y)dydx—вероятность безотказной работы при о х
одном цикле приложения нагрузки. Следовательно,
1=0 i=0
Ri = ^-ateRat е __
i=0 *'
= e-at + Rat.\ =e-a/a-R). (8.54)
8.4. Надежность в случае старения и износа из-за циклических нагрузок и накопленных повреждений
Во многих случаях распределения напряжения и прочности меняются от времени или в зависимости от числа циклов приложения нагрузки и ее интенсивности (случаи старения, износа из-за циклических нагрузок, накопленных повреждений).
Рассмотрим случай, когда напряжение—независимая, а прочность—фиксированная случайные величины с известной зависимостью от числа циклов. Прочность можно рассматривать как случайную величину, распределенную по нормальному закону с известной дисперсией, а ее математическое ожидание определяется по формуле
£ (у„) = а + b~cn, b > 0, с > 0. (8.55)
В данном случае математическое ожидание убывает от начального значения а + b до конечного значения а. Плотность условного распределения gn(y, п) имеет вид
gn (У> п)= ?[У ^Уп^У + dy | (га— 1) циклов безотказной работы).
(8.56)
Подставляя это выражение в формулы для случая 6, получаем соответствующие выражения для вероятности безотказной работы. Другим способом введения зависимости от числа циклов является изменение напряжения при увеличении п. Поэтому мы заменяем f(x) на f(x, и). Таким образом, для случая 8 вместо формулы (8.33) получаем следующее выражение:
" в
.о
- у
gn(yi n)=gi(y) $f(x, l)dx ^f(x,2)dx .. _o ’c I
... \f(x, n)dx R,
.о J
(8.57)
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 221
В случае старения прочность является функцией времени а не только функцией числа циклов приложения нагрузки. Условная плотность распределения, подобно плотности, определяемой с помощью формулы (8.31), имеет следующий вид:
gn(y< h, h, •••• Qdt/ = p[t/—+ безотказная работа в моменты времени ..., tn^. (8.58)
При использовании формулы (8.58) можно обобщить определенные ранее функции вероятности безотказной работы. Если в случае модели накопленных повреждений предполагается, что последние снижают прочность элемента при каждом приложении нагрузки на величину, пропорциональную приложенной нагрузке, то получаем закон накопления повреждений, основанный на суммировании напряжений:
п
yn^yt—'SiWi, (8.59)
1 = 1
где С(—коэффициенты пропорциональности.
Рассмотрим теперь случай, когда прочность меняется во времени или в зависимости от числа циклов приложения нагрузки. Пусть уЛ—прочность после k циклов приложения нагрузки, выражаемая как детерминированная функция первоначального (случайного) значения прочности у0 й значения k. Таким образом, имеем
Ул = МУо. (8.60)
Такой функцией может быть, например, функция
У* = Уо<Р(£)> (8-61)
где ф(А)—монотонно убывающая неотрицательная функция значения k, k = l, 2, ... . Допустим, что значения напряжения х0, xv х2, ..., хп—независимые случайные величины с функциями распределения Fo, Flt F2, ..., Fn соответственно. Тогда
Rn = Р I(Xo < Уо) Л (xf < z/i) П • • • П (х„ < у„)]. (8.62)
Так как прочность ул является известной функцией первоначального значения прочности у0, формулу (8.62) можно записать как
Rn = Р <(х0 < Уо) n [xf < h (у0, 1)] П • • • П [xn < h (у0, п)]}. (8.63)
Если первоначальное значение прочности у0 находится между у и y-\-dy, то вследствие независимости значений напряжения вероятность успешного исхода (определяемую как событие Е)
222 Глава 8
можно описать следующим выражением:
Р[Е\У <Уо<У + ^] = Р[х1 <у]Р[х2 <h(y, 1)]...
...P\xn<h (у, п)\. (8.64)
Следовательно, вероятность безотказной работы Rn равна
СО
Rn = j Ро (У) Ft [h (У, 1)] рг [Л (У, 2)]... Fa [h (у, n)J g {у) dy, (8.65)
где g(y)— плотность распределения первоначальной прочности. Если случайная величина уА задана формулой (8.61) и все значения напряжения—независимые одинаково распределенные случайные величины, то
= (01
о I
dy.
(8.66)
ГЦ1-ЫШ 0]})^. (8.67)
i«0 /
Вероятность безотказной работы /?„, определяемая по формуле (8.65), может быть аппроксимирована следующим образом. Пусть Г = 1—F и y0=/i(y0, 0), тогда
ё(У) о
Имеем следующее неравенство: п _ л_
' ПР-Мй. 0Л>1-2^[Л(у, 0]; (8.68)
f=0 1=0
таким образом, нижний предел для Rn определяется как
п ®
Rn > 1 - S $ £ (У) Pi [h (у, 0] dy. (8.69)
1 = 0 о
п
Если У, F/ pi (у, 0] 1 >' то нижний предел, задаваемый нера-
1 = 0
венством (8.69), довольно близок к R„. Вероятность отказа при i-м приложении нагрузки равна
00
Pf(i)=\g(y)Pi[h(y, i)]dy. (8.70)
0 - i
Следовательно, Rn можно представить как
п Г п 1
Яв>.1-2Р/(0~ехр -2Р,(0 . (8.71)
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 223
Соотношение (8.71) является хорошей аппроксимацией для Rn при
1 = 0 7
Для определения R (/) требуются сложные вычисления, однако г^ожно установить верхний и нижний пределы, переходя к смежным, более простым случаям. Насколько узкими будут эти пределы, зависит от конкретной ситуации.
Рассмотрим теперь несколько примеров, которые помогут читателю уяснить некоторые вопросы, которые, возможно, оказались невыясненными при изучении теоретического материала.
Пример 8.1. Известно, что на элемент металлорежущего станка периодически воздействует нагрузка, равномерно возрастающая при _ каждом последовательном цикле. Фактическое значение первоначального напряжения является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием рх = 70МПа и средним квадратическим отклонением ох=ЗМПа. Наблюдалось, что значения напряжения подчиняются следующему линейному закону:
xz = х0+а/, i = 1, 2, ...,
где X;—напряжение в f-м цикле; х0 — первоначальное напряжение; а — постоянная.
Прочность материала, из которого изготовлен элемент, также является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Первоначальная прочность характеризуется параметрами |лу = 95 МПа и оу =4 МПа. Можно предположить, что прочность уменьшается по закону
У1 = уо—ы, 1 = 1, 2, где у,—прочность в i-м цикле; у0—первоначальная прочность; b—постоянная.
Пусть а = 0,001 МПа/цикл и Ь — 0,0001 МПа/цикл, требуется определить вероятность безотказной работы после 10 000 циклов приложения нагрузки.
В данном случае как напряжение, так и прочность являются фиксированными случайными величинами. Подставляя соответствующие величины в стандартное уравнение связи, при 10 000 циклов получаем
Иу-Нх _ (95-10-М04)—(70+10-3-10«) оо
Z — --г -..=- —----------------• =---------= —2,0.
уЛ Кзг-н2
1) Следует опять иметь лишь на начальном периоде
в виду, что записанное выражение имеет смысл работы, до 4 у^Ь.— Прим. pedt
224 Глава 8
Следовательно,
7?10< = 1 —ф [2] = 1 —0,00256 = 0,99744.
Заметим, что формула (8.18) дает такую же вероятность безотказной работы.
Пример 8.2. Если в примере 8.1 не допускается уменьшение прочности при увеличении числа циклов, то насколько больше потребуется времени, прежде чем вероятность безотказной работы снизится до ее первоначального значения при 10000 циклах?
Если требуется получить такую же надежность, как и ранее, то необходимо иметь такое же значение г, т. е. нам нужно иметь такую же разность ру — цх, как и ранее, если знаменатель остается без изменения. Следовательно,
95—(70 +10’3-n) = (95—10~ 4-104)-—(70+ 10 “3* 104), или
п = 11 000 циклов.
Таким образом, если старение не допускается, то для достижения такой же надежности элемента потребуется еще 1000 дополнительных циклов.
Пример 8.3. Вероятность безотказной работы элемента самолета, определенная методами, описывающими зависимость надежности от распределений прочности и напряжения, равна 0,99 и постоянна при любом числе циклов. Если число циклов имеет пуассоновское распределение с математическим ожиданием 0,5 цикла/ч, найдите вероятность безотказной работы элемента в момент / = 200 ч.
С помощью уравнения (8.47) получаем
7? (200) = 0,99 + (1 —0,99) е~ °’5’200 = 0,99 + 0,01 е" 100 = 0,9900045.
8.5. Краткие выводы
Статические модели зависимости надежности от распределений прочности и напряжения, рассмотренные в гл. 6, справедливы только в случае однократного приложения нагрузки, и для описания обычно встречающихся случаев многократного приложения нагрузки они должны быть модифицированы. В этой главе даны модели, в которых учитывается многократное приложение нагрузки, а также изменение распределения прочности с течением времени, что может вызываться старением или накопленными повреждениями. Для полноты анализа исследовались все возможные комбинации напряжения и прочности. Рассматривались две модели многократного приложения нагрузки —с детерминированным появлением циклов и случайным появлением циклов по
Модели зависимости надежности от прочности и напряжения 225
закону Пуассона. Во многих практических ситуациях напряжение и прочность изменяются во времени в результате изменения нагрузок и ухудшения свойств материалов. Это приводит к существенному усложнению аналитических моделей. Можно построить имитационные модели [8] для изучения отказов элемента, подвергаемого воздействию случайных нагрузок и испытывающего снижение прочности вследствие старения, износа от воздействия циклических нагрузок или накопленных повреждений.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Напряжения, испытываемые элементом в различных циклах, независимы и имеют одинаковое нормальное распределение с параметрами р = 20,0 и о = 3,0. Прочность элемента изменяется при каждом приложении нагрузки по следующему закону:
У(6) = Уоф(*).
где <p(fe) = l—0,0001 k.
Интервалы между моментами приложения нагрузки имеют экспоненциальное распределение с параметром 1=10. Найдите выражение для вероятности безотказной работы элемента как функцию времени t. Покажите порядок вычисления вероятности безотказной работы элемента при / = 50.
2. Выполните упражнение 1, когда^напряжение и прочность — случайные величины, распределенные по экспоненциальному закону с математическими ожиданиями, равными 20,0 и 45,0 соответственно. Все остальные данные те же, что и в упражнении 1.
3. Прочность элемента в упражнениях 1 и 2 изменяется во времени в соответствии со следующим законом:
у(/) = у(О)<р(О,
где ф(0—такая линейная функция, что
Ф (0) = 1 и ф (100) = 0,3.
Найдите вероятность безотказной работы элемента в момент /, если в упражнениях 1 и 2 в интервале (0, t) имели место п случаев приложения нагрузки.
4. Формула (8.65) дает выражение для Rn в случае износа от воздействия циклических нагрузок. Выведите выражение для Rn в случае накопленных повреждений при соответствующих допущениях.
5. Обсудите роль имитационных моделей временной зависимости надежности от соотношения между напряжением и прочностью.
8 № 544'
226 Глава 8
ЛИТЕРАТУРА
1. Bratt М. J., Reethoff G., Wieber G. W., A Model for Time Varying and Interfering Stress/Strength Probability Density Distributions with Consideration for Failure Incidence and Property Degradation, Proceedings Third Annual Aerospace Reliability and Maintainability Conference, 1969, pp. 566—575.
2. Freudenthal A. M., et al., The Analysis of Structural Safety, Journal of the Structural Division, ASCE, 92, No 572, 267—325 (February 1966).
3. Parzen E., Stochastic Processes, Holden-Day, San Francisco, 1962.
4. Schatz R., Shooman M., Shaw L., Application of Time Dependent Stress-Strength Models of Non-Electrical and Electrical Systems, Proceedings Reliability and Maintainability Symposium, January” 1974, pp. 540—547.
5. Schatz R., Time/Cycle Reliability Modeling Techniques Utilizing the Stress-Strength Interference Method, Westinghouse Astronuclear Laboratory Memo No. 54071.
6. Shaw L., Shooman M., Schatz R., Time Dependent Stress-Strength Models for Non-Electrical and Electrical Systems, Proceedings Reliability and Maintainability Symposium, January, 1973, pp. 186—197.
7. Sweet A. L., Kozin F., Investigation of a Random Cumulative Damage Theory, Journal of Materials, 3, 4 (1968).
8. Taraman S. I., Design Reliability Models and Determination by Stress-Strength Interference Theory, Unpublished Ph. D. Dissertation, Department of Industrial Engineering and Operations Research, Wayne State University, Detroit, Michigan, 1975.
9. Tumolillo T. A., Methods for Calculating the Reliability Function for Systems Subjected to Random Stresses, IEEE Transactions on Reliability, October 1974.
Глава 9. Динамические модели надежности
Ранее были рассмотрены статические модели, имевшие дело с состояниями системы в определенный момент времени. Теперь мы переходим к более общим динамическим системам, в которых уровень надежности зависит от времени. Модели, зависящие от времени, труднее строить и оценивать, чем статические модели. В разд. 9.1—9.4 рассматриваются различные динамические модели надежности, в разд. 9.5 вводятся новые показатели качества функционирования системы, которые являются в ряде случаев весьма полезными для оценки эффективности таких систем.
Динамические модели надежности, рассматриваемые в разд. 9.1—9.4, охватывают простые модели с последовательным соединением элементов и некоторые модели с параллельным соединением элементов, включая модели с ненагруженным резервом и модели с распределением нагрузки по параллельно соединенным элементам.
В разд. 9.5 вводятся такие понятия, как удобство обслуживания, готовность и ремонтопригодность. Эти показатели расширяют область факторов, которые должны учитываться при оценке надежности изделия.
9.1. Система с последовательным соединением элементов и связанные с ней модели
Чтобы система с последовательным соединением элементов работала безотказно, в ней должен работать каждый элемент. Иногда для удобства анализа сложные системы разбиваются на ряд последовательно соединенных подсистем путем соответствующего объединения элементов в группы.
Если tz—случайная величина, обозначающая наработку до отказа для f-го элемента, то вероятность безотказной работы системы, состоящей из п последовательно соединенных элементов, равна
Rs (t) = Р [ti > t П t2 > t П ... П t„ > /]. (9.1)
При допущении e независимости формулу (9.1) можно записать как
^(0 = Р(^>0Р(^>0---Р(^>0.
8*
228 Глава 9
но по определению Р (t(-> t) = R{(t) и
п я5ю=Пад), i= 1
(9.2)
где Ri(t)—вероятность безотказной работы i-ro элемента.
В случае системы с последовательным соединением элементов интенсивность отказов также выражается довольно удобной формулой. Взяв'натуральный логарифм функции, выражающей вероятность безотказной работы системы с последовательным соединением элементов [формула (9.2)], будем иметь
п
ln£s(0= 2 1пЯ/(0- (9.3)
i = l
Напомним, что
R (0 = ехр
t
— h (т) dx о
а это означает, что
t
Jft(T)dT = — ln#(/), о
или
мо=-41п*(о.
(9.4)
Подставляя это выражение в формулу (9.3), вначале получаем
п
ln₽s(0 = S-4ln/?- (0,
1=1
а затем, используя соотношение (9.4), будем иметь
п
= (9.5)
Таким образом, при допущении о независимости интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов отдельных элементов при любом распределении наработки элементов до отказа.
Пример 9.1. Рассмотрим систему с п последовательно соединенными элементами, в которой 7-й элемент имеет постоянную интенсивность отказов т. е. каждый элемент имеет экспоненциальное распределение наработки до отказа. Определим интенсивность отказов и вероятность безотказной работы.
Динамические модели надежности 229
Принимая допущение о независимости и используя формулу (9.5), находим интенсивность отказов системы
п
(/) — 2 £=1
(9.6)
которая, разумеется, постоянна. Таким образом, вероятность безотказной работы равна
7?s(0 = exp( — t 2 ХД (9.7)
\ 1=1 /
Среднюю наработку на отказ для этой системы можно найти по формуле
СО E(t)=$/?s(Odt о
В данном случае она равна
ts=i/2*0
i1
и интуитивно можно сделать очевидный вывод, что средняя на» работка системы на отказ будет уменьшаться при увеличении числа последовательно соединенных элементов.
К сожалению, если для многих элементов распределение наработки до отказа отличается от экспоненциального, то получить результаты не так легко, как в рассмотренном примере.
9,1,1. Модель «слабейшего звена»
Фактически эта модель не является моделью, учитывающей зависимость от времени. Она представлена здесь потому, что методы, используемые для ее решения, совпадают с другими методами, рассматриваемыми в данной главе.
Модель „слабейшего звена" представляет собой систему с последовательным соединением элементов, в которой при отказе одного элемента выходит из строя вся цепь. В качестве примера отказа такого рода рассмотрим электрическую цепь, состоящую из п одинаковых элементов, когда эта цепь подвергается тепловой нагрузке. Допустим для простоты, что тепловая нагрузка является единственной причиной отказов. В данном случае элемент, имеющий наименьшую стойкость к тепловым нагрузкам, выйдет из строя первым и вероятность безотказной работы системы будет иметь вид
/?s = min/?z, (9.8)
230 Г лава 9
где R{—вероятность безотказной работы i-ro элемента, характеризующая устойчивость элемента к отказу от тепловой нагрузки.
Эту модель можно сравнить с цепью, состоящей из п звеньев, когда она разрушается, если приложена нагрузка, превышающая прочность какого-либо одного звена. Поэтому и употребляется название „модель слабейшего звена“. Пусть fs(s) — плотность распределения случайной величины s, обозначающей напряжение, a fs (S)— плотность распределения случайной величины S, обозначающей прочность. Тогда вероятность безотказной работы любого одного звена равна
Ri = P(S>s),
и, рассматривая график на рис. 9.1 [см. также формулу (6.3)], находим, что этот показатель равен
Pi=^fs(s)fs(S)dSds. (9.9)
Рис. 9.1. Область значений S > s.
Данное выражение можно переписать как
00
/?,. = $ [S(s)[l—Fs(S)Jds. (9.10)
о
Если цепь состоит из п случайно выбранных звеньев, то это равносильно выбору п случайных значений прочности из совокупности с распределением fs(S). Пусть S„—случайная величина, обозначающая прочность цепи, состоящей из п звеньев, тогда
S„ = min(S,-), (9.11)
i
где Sz — прочность f-ro звена. Используя распределение экстремальных значений, имеем
G(Sn) = l-[l-Fs(S„)]", (9.12)
где G (S„)—функция распределения прочности цепи.
Для этой модели слабейшего звена вероятность безотказной работы системы имеет вид
F„ = P(S„>s),
Динамические модели надежности 231
поэтому, используя формулу (9.10), получаем
со
^ = ps(s)fl- Fs(S)]nds. (9.13)
о
Эта формула выражает вероятность безотказной работы системы через число элементов п, плотность распределения fs (s) нагрузки, действующей на систему, и распределение прочности Fs(5) для отдельного элемента. Необходимо отметить сходство выражения (9.13) с выражением (8.21).
9.2. Системы с нагруженным резервом
Дублирование элементов или другие подобные способы обеспечения безотказной работы системы приводят к моделям с параллельным соединением элементов. В системе с нагруженным резервом все элементы включены с самого начала, но для обеспечения работы системы достаточно одного элемента. При нагруженном резервировании п элементов вероятность безотказной работы системы описывается выражением
Qs (0 = Р [ti < t П t2 < t П ... tn < /J, (9.14)
которое при допущении о независимости принимает вид
Qs (0 = Р (t. < 0 Р (t2 < /)... Р (t„ < t). (9.15)
В данном случае независимость означает, что вероятность выхода из строя работающих элементов не меняется при выходе из строя какого-либо одного элемента.
Подставляя в формулу (9.15) выражение для вероятности безотказной работы, имеем
п
Qs(t) = R[l-Ri(t)] (9.16)
i = 1
ИЛИ
п
(9.17)
Это вероятность безотказной работы системы, в которой в момент / = 0 включены все резервные элементы.
9.2.1. Системы с нагруженным резервом при экспоненциальном распределении наработки элементов до отказа
Рассмотрим частный случай системы с нагруженным резервом, в которой каждая подсистема имеет экспоненциальное распределение наработки до отказа. Для г-й подсистемы вероятность
232 Глава 9
безотказной работы имеет вид
Где к. — интенсивность отказов. Тогда в соответствии с формулой (9.17) вероятность безотказной работы системы определяется как
п
(9-18)
i = 1
Можно заметить, что в данном случае распределение наработки системы до отказа не является экспоненциальным.
Рассмотрим теперь случай, когда имеются две подсистемы, -т. е. п = 2. В этом случае формула (9.18) принимает вид
(/) = — g-uM+Xt), /^0. (9.19)
Тогда средняя наработка системы до отказа определяется выражением
£ (t) =-J-J(9-20) д 4 7 Хг 1 Х2 М+ Х2
При экспоненциальном распределении наработки до отказа не представляет труда найти выражения для Rs(t) и Es(t) при п~3:
Rs (t) = —g-t (Л-i+M—
—в - ++q - t (М+^2+^з) (9.21)
и
р /П__ Ji _______}_______!_____!______i , i
$ Х^ Х2 Х3 Xi-|-X2 Xi-j-X3 X2-j-X3 Xj Х2”Ь Х3
(9.22)
Таким образом, можно сразу записать выражения для вероятности безотказной работы системы и средней наработки до отказа.
Рассмотрим теперь случай, когда все подсистемы имеют одинаковую интенсивность отказов X. Тогда по формуле (9.20) для средней наработки до отказа в случае двухэлементной системы получаем
Е _________1 — J*
s w X . 2Х ~ 2Х ’
а по формуле (9.22) для трехэлементной системы находим
Р /4Л _J 3 .___]_1 1
X 2ХФЗХ“6Х*
В общем сдучае для системы, имеющей п идентичных элементов, средняя наработка до отказа имеет вид
п
(9.23) 1=1
1 Динамические модели надежности 233
где 0=1/X. Легко видеть, что в этом случае при добавлении-очередного резервного элемента приращение средней наработки системы до отказа убывает.
Рассмотрим теперь другие способы резервирования, которые в большей степени подходят для реальных систем.
9.3. Системы с ненагруженным резервом
Система с ненагруженным резервом представляет собой систему с параллельным соединением элементов, в которой в каждый момент времени работает только одна подсистема; если работающая подсистема выходит из строя, то включается другая подсистема. Например, одной из форм ненагруженного резерва является обеспечение запасными частями.
Структура системы с ненагруженным резервом показана на рис. 9.2. Под переключателем S может подразумеваться оператор, производящий замену отказавшего элемента, либо специаль-
Рис. 9.2. Система с ненагруженным резервом.
ный комплект датчиков и коммутационной аппаратуры. В самом переключателе также могут возникать различные неисправности, и, кроме того, невключенная резервная подсистема может выходить из строя, если она находится в состоянии неполной разгрузки. Таким образом, в системах с ненагруженным резервом возможны несколько различных состояний.
При последующем анализе подсистемы обозначаются 1, 2, . ..,п в порядке их включения. Обозначим через £,• событие, состоящее в том, что работает i-я подсистема, а через t(-—случайную величину, обозначающую время безотказной работы i-й подсистемы с плотностью распределения
9.3.1. Случай идеального переключателя
Примем допущение, что переключатель является безотказным. Рассмотрим вначале двухэлементную систему с ненагруженным резервом. Возможные способы обеспечения безотказной работы до момента t показаны на рис. 9.3,
234 Глава 9
Время
Рис. 9.3. Состояния безотказной работы двухэлементной системы с ненагруженным резервом.
Обозначим через /?$(/) вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом, состоящей из п подсистем. Рассматривая события, соответствующие безотказной работе двухэлементной системы до момента t, получаем следующее выражение:
(О = Р [(t, > О U (t, < t П t2 > t-1,)]. (9.24)
Поскольку эти события являются непересекающимися,
(П = Р (ti > <) + Р (ti < t П t2 > Z-tJ, отсюда следует, что
CO
Pl (0 = Pi (0 + $ fi (Q RAt-h) dtx. (9.25) 0
Таким образом, при заданной плотности распределения наработки подсистемы до отказа формула (9.25) определяет вероятность безотказной работы двухэлементной системы с ненагруженным резервом.
В частном случае, когда все подсистемы имеют постоянную интенсивность отказов X, формула (9.25) принимает вид
(I) = е-^ (1 +М), t 0. (9.26)
Перейдем теперь к анализу трехэлементной системы с ненагруженным резервом. Возможные события, соответствующие безотказной работе, показаны на рис. 9.4. Можно видеть, что в данном случае первые два события тождественны встречавшимся в случае двухэлементной системы с ненагруженным резервом, поэтому нужно рассмотреть только третье. Вероятность его появления имеет вид
Рз = Р[(tf < 0 л (t2 < t-tr) П (t, < г-ti-Q] и вычисляется по формуле t t-tt
P»=$fM 5 fztQRAt-ti-tJdtzdti. (9.27) 9 о
Динамические модели надежности 235
Тогда вероятность безотказной работы системы определяется из выражения
/?К0 = ^(0 + Р.. (9.28)
Если рассматривается частный случай, когда каждая подсистема имеет постоянную интенсивность отказов X, то формула (9.28) принимает вид
Я|(/) = е-»[1 +^+(М)2/2], />0. (9.29)
Рис. 9.4. Состояния безотказной работы трехэлементной системы с ненагруженным резервом.
Теперь очевидно, что для системы с ненагруженным резервом, состоящей из четырех элементов, необходимо дополнительно рассмотреть только одно событие. Вероятность его появления имеет вид
= Р [t, < О n (t2 < t -tx) n (t, < /- tf-t2) n (t4 > t --t^-t,)] (9.30)
и вычисляется по формуле t t-tx t-ti-t,
— $ ^2(^2) j fa (^3) Pi(^ it ^2 is)dt9dt2dti.
00 0
(9.31)
Вероятность безотказной работы четырехэлементной системы с ненагруженным резервом определяется как
= (9.32)
Если снова рассмотреть частный случай, когда интенсивность отказов постоянна и равна X, то
Р
~~ 6
236 Глава 9
И
^(0=r«[l+W+(W)‘/2 + (W)’/6],' f>0. (9.33)
Теперь с помощью формулы (9.33) легко по аналогии записать выражение для общего случая1’:
п—1
R§(t) = e~w 2 (W5, (9.34)
z=o
где X—интенсивность отказов одного элемента.
Мы. показали здесь общий подход к определению вероятности безотказной работы систем с ненагруженным резервом. При вычислении этой вероятности могут возникать проблемы, связанные с трудностью вычисления интегралов.
9.3.2. Неидеальный переключатель
Существуют различные виды отказов переключателя в системах с ненагруженным резервом, зависящие от конкретного механизма переключения и характера системы. Здесь рассматриваются два вида отказов.
Вначале рассмотрим случай несрабатывания переключателя. Вероятность правильного срабатывания переключателя равна ps. Легко видеть, что для двухэлементной системы с ненагруженным резервом формула (9.25) имеет вид
t
+ (9.35)
О
Для трехэлементной системы формула (9.28) принимает вид
R3s(tY = Rl(tY+p2sP3- (9.36)
Таким образом, выведенные ранее формулы легко изменить с учетом этого вида статического отказа переключателя.
Предположим теперь, что переключатель представляет собой сложный комплект аппаратуры с постоянной интенсивностью отказов Таким образом, вероятность безотказной работы этого переключателя имеет вид
/?s(/) = e-V, t^Q,
й переключатель4 может внезапно выйти из строя.
Все эти формулы для ненагруженного резерва идентичных элементов при экспоненциальном распределении существенно проще и понятнее, они могут быть получены путем подсчета числа событий пуассоновского потока на заданном интервале времени.-= Прим, ред.
'Динамические модели надежности 237
Рассмотрим теперь двухэлементную систему с ненагруженным резервом. Вероятность безотказной работы системы в момент t имеет вид
R% (t)' = P f(ti > t) U (ti < / Л t, > t, П t, > t - tj], (9.37) где t4—случайная величина, обозначающая наработку переключателя до отказа. Формула (9.37) принимает вид
t
R's (t)- = (О + $ fi (ti) Rs (ti) R2 (t -Q dtt. (9.38)
0
Подставляя сюда выражение для Rs(tf), получаем t
RKty^Ri^ + ^fi^e-^'RAt-Qdt,. (9.39)
О
В частном случае, когда для всех подсистем интенсивность отказов постоянна и равна X, формула (9.39) принимает вид
Я>(0!«е-хф+£-(1—е’М], />0. (9.40)
Рассмотрим теперь трехэлементную систему с ненагруженным резервом, и этого будет достаточно для того, чтобы показать, какие изменения необходимо внести в ранее выведенные формулы.
В случае трехэлементной системы с ненагруженным резервом в формуле (9.38) необходимо учесть только третье событие, соответствующее безотказной работе. Вероятность появления этого дополнительного события имеет вид
=Р [(ti < t) л (t2 < t - tt) П (t, > t - tf -t2) Л (t, > ti 4- t2)J
(9.41) и определяется по формуле
t t~it
Pi = \fi(ti) $ fMR,(t-ti-tJRstfi + Qdt'dti. (9.42) 0 0
Вероятность безотказной работы системы имеет вид
КШп = КШ' + Рз- (9.43)
В частном случае, когда для каждой подсистемы интенсивность отказов постоянна и равна X, формулу (9.43) можно записать как
(/)" = е-м [1 + -£ (1 -e-w)] +
+ e-w(X/Xj2[l-e-V_l^e-V], />0. (9.44)
238 Глава 9
На практике встречаются многие другие виды отказов переключателя. Например, переключатель может не включить подсистему либо может произвести ошибочное включение. Необходимо анализировать каждый случай в отдельности, и если приемлемо допущение о постоянной интенсивности отказов, то могут быть получены очень простые выражения.
9.4. Системы с распределением нагрузки по параллельно соединенным элементам
В такой системе нагрузка равномерно распределяется по параллельно соединенным подсистемам, и при отказе одной подсистемы остальные должны выдерживать возросшую нагрузку. Таким образом, по мере последовательного выхода из строя подсистем интенсивность отказов остающихся элементов возрастает. Примером параллельного соединения с распределением нагрузки является применение болтов для крепления детали станка; если один болт разрушается, то остальные болты должны выдерживать возросшую нагрузку.
Ограничимся рассмотрением двух подсистем. Пусть h(t) — плотность распределения наработки до отказа при половинной нагрузке, а /(/)—плотность распределения наработки до отказа при полной нагрузке. Предполагается, что после появления отказа распределение наработки исправного элемента до отказа имеет плотность f (/), которая не истекшего промежутка времени.
зависит от продолжительности
Рис. 9.5. Состояния безотказной работы.
Возможные события, соответствующие безотказной работе, показаны на рис. 9.5. Рассмотрим первое из них, когда оба элемента находятся в исправном состоянии. Вероятность появления этого события равна
Динамические модели надежности 239
где
Rk(t) = \h(x)dx. t
Рассмотрим второе событие. Теперь Р [(tj t при половинной нагрузке) П (t2 > tj при полной нагрузке)
П (t2 > /— tj- при полной нагрузке)] = t
О
где
00 Rf(t)=^f(x)dx. t
Третье событие идентично второму, если принять допущение, что элементы одинаковы. Таким образом, вероятность безотказной работы системы определяется выражениемп
t
Rs (0 = [Ял (О]8 + 2 $ h (/,) Rh (t.) Rf (t-tj dti. (9.45) 0
Вычисление Rs(t) является сложной задачей для многих распределений вследствие трудностей, связанных с интегрированием. В качестве простого примера рассмотрим частный случай, когда интенсивности отказов постоянны. Если —интенсивность отказов при половинной нагрузке, а Лу —интенсивность отказов при полной нагрузке, то формула (9.45) принимает вид
t
Rs (t) =е~г^‘+2 $ (9.46)
О
ИЛИ
Я5(0 = е’2^ + 2%p.-^(^V-e~2V)> ОО. (9.47)
Авторы не делают одной очень существенной оговорки о независимости функции Rf (0 от предыстории. В действительности следует говорить об условной вероятности Rj(t\ti), где /j—-время, в течение которого проработал уже тот элемент, который начал с этого момента работать с повышенной нагрузкой. На самом деле за время t элементом, оставшимся исправным, вырабатывается некоторый ресурс, который самым естественным образом влияет на то, сколько времени он сможет проработать затем при повышенной нагрузке. Это приводит к тому, что в общем случае формула (9.45) не верна. Формулы (9.46) и (9.47) остаются справедливыми, если оговорить, что X/ не зависит от момента —Прим, ред.
240 Глава 9
Это выражение справедливо для вероятности безотказной работы двухэлементной системы с распределением нагрузки по параллельным элементам.
Метод динамических моделей здесь проиллюстрирован для систем с различной конфигурацией. Существует много других возможных конфигураций, зависящих от конкретных применений. Кроме того, если приемлемо допущение о постоянной интенсивности отказов, то возможен другой подход, основанный на использовании марковских процессов. Марковский подход в данной главе не рассматривается, и в качестве источника информации по этому вопросу рекомендуется книга Сандлера [4]п.
9.5. Показатели технического обслуживания систем
До сих пор рассматривались главным образом показатели безотказности работы системы. Однако для потребителя надежность обычно имеет более широкий смысл. Допустим, например, что потребитель должен выбирать между высоконадежным изделием, которое очень трудно ремонтировать, и несколько менее надежным изделием, которое легче ремонтировать. В этом случае с экономической точки зрения, возможно, было бы более целесообразно иметь менее надежное изделие. Очевидно, что для надлежащего описания надежности с точки зрения потребителя могут потребоваться и другие показатели. Здесь будут даны определения нескольких таких показателей.
С точки зрения затрат желательно, чтобы изделие было удобным в обслуживании. Такой показатель, как удобство обслуживания (serviceability), определяет, насколько легко проводить техническое обслуживание и ремонт системы. Удобство обслуживания является характеристикой конструкции системы и должно планироваться на этапе проектирования. Возьмем, к примеру, легковой автомобиль, в котором удобство технического обслуживания двигателя зависит не только от его конструкции, но и от легкости доступа ко всем его элементам. Если доступ к важным частям двигателя затруднен, то его ремонт будет трудным и дорогостоящим.
Удобство технического обслуживания трудно измерить количественно. Обычно оценка сводится к сравнению систем, путем расположения их в порядке возрастания или убывания степени легкости обслуживания.
Более широко употребляется понятие ремонтопригодность (maintainability), которая определяется как вероятность того,
Х) Представление об эффективности марковского подхода читатель может составить по книге: Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д., Математические методы в теории надежности. —М.: Наука, 1965. — Прим. ред.
Динамические модели надежности 241
что неисправная система может быть восстановлена за заданное время. В данном случае время простоя охватывает все время, в течение которого система бездействует. Продолжительность простоя зависит от таких составляющих, как время обнаружения отказа, продолжительность ремонта, затраты времени на организационные мероприятия, а также время доставки запасных частей, определяющих в совокупности длительность ремонта. Теоретически для любого изделия существует определенная вероятность восстановления работоспособности за данное время, точно так же как существует определенная вероятность безотказной работы. Вероятность восстановления работоспособности как функция времени описывает в терминах теории вероятностей продолжительность сохранения неисправного состояния системы.
Термин ремонтоспособность (repairability) является более ограниченным, чем ремонтопригодность, и связан только с той частью цикла технического обслуживания, в которой производится ремонт системы. Конкретно ремонтоспособность определяется как вероятность того, что неисправная система будет восстановлена до удовлетворительного рабочего состояния в течение заданной продолжительности ремонта. Этот показатель, по-видимому, наиболее важен для руководителей ремонтной организации, так как он позволяет количественно выразить рабочую нагрузку обслуживающего персонала.
Коэффициент эксплуатационной готовности (operational readiness) определяется как вероятность того, что система работает или может работать удовлетворительно, когда она эксплуатируется в заданных условиях. Коэффициент эксплуатационной готовности—более общий показатель, чем коэффициент готовности. Коэффициент готовности (availability) определяется как вероятность того, что система работает удовлетворительно в любой момент времени непосредственного ее использования; при этом учитывается только время работы и время-простоя, но не учитывается время, когда система не используется. Коэффициент готовности представляет собой отношение времени безотказной работы системы к сумме времени безотказной работы и времени простоя. Таким образом, этот показатель охватывает как безотказность, так и ремонтопригодность. Как и при определении безотказности, в данном случае удовлетворительная работа означает работу при заданных окружающих условиях и нагрузках.
Коэффициент собственной готовности (intrinsic availability) определяется как вероятность того, что система удовлетворительно работает в любой момент времени при эксплуатации ее в заданных условиях и идеальной организации ремонта. Коэффициент готовности всегда будет не больше коэффициента собственной готовности, поскольку при его вычислении учитываются время доставки запасных частей и другие организационные из
242 Глава 9
держки. Например, отсутствие запасных частей уменьшает коэффициент готовности, но не уменьшает коэффициент внутренней готовности.
Эти различные показатели представлены на рис. 9.6, где за основу анализа взят определенный цикл. Каждый отрезок на временной оси изображает единицу времени.
Рис. 9.6. Графическое изображение состояния системы на временной оси.
Общая продолжительность простоя для одного полного цикла составляет шесть единиц времени, из них продолжительность ремонта — четыре единицы.
Коэффициент эксплуатационной готовности определяется как
_______Полезная наработка4-Время ожидания_______14__g уд
Полезная наработка + Время ожидания + Время простоя 20 ’
(9.48)
Этот результат означает, что система способна нормально функционировать в течение 70% времени.
При определении коэффициента готовности время ожидания (готовности к работе) исключается, и он определяется как
__ Полезная наработка __J9 Q 60 (9 49) Полезная наработка + Время простоя 15__________’ к • /
Теперь определим коэффициент собственной готовности, при выделении которого из цикла ремонта исключаются организаци
Динамические модели надежности 243
онные затраты и время доставки запасных частей. Коэффициент собственной готовности оценивается как
л ---------Полезная наработка-----= 9
Полезная наработка + Время ремонта 13 ' '
Таким образом, при исключении из цикла ремонта указанных составляющих существующий коэффициент готовности, равный 0,60, в пределе может быть увеличен до значения коэффициента собственной готовности, равного 0,69, т. е. существует возможность повышения готовности на 9%.
Как и вероятность безотказной работы, коэффициент готовности и вероятность восстановления работоспособности могут быть представлены как функции времени. В рассмотренном примере оценивались статические значения этих показателей. Теперь перейдем к конкретным распределениям наработки между отказами и временем простоя. Рассмотрим самый простой случай экспоненциальных распределений. Однако мы еще раз предостерегаем читателя, что в некоторых реальных случаях экспоненциальное распределение может оказаться неудовлетворительной моделью для описания времени простоя.
Рассмотрим систему, в которой наработка между отказами имеет экспоненциальное распределение с параметром X, где X — интенсивность отказов. Предполагается, что время простоя также имеет экспоненциальное распределение с параметром р. Вероятность восстановления работоспособности М (/) определяется как
P(t^/)=Af (0 = 1— е~м, (9.51)
где t—общая продолжительность простоя.
В случае экспоненциального распределения для некоторого малого интервала времени А/ вероятность выхода системы из строя в интервале А/ имеет вид
Р = ХдО (9.52)
а вероятность восстановления системы в интервале А/ при условии выхода ее из строя имеет вид
Р' = рД«. (9.53)
Обозначим коэффициент готовности через А (/). Используя выражения (9.52) и (9.53), имеем
А (/ + А/) = А (0 (1 — ХдО + [1 — А (/)] рА/ =
— А (0—ХД (/)Д^ + рД^—рД (0 ДО или
"^^(^-(Х+южо+и.
$44 Глава 9
Переходя к пределу Д/—*0, получаем
^Л(0=-(Х+р)Д(0+н.
Это дифференциальное уравнение имеет следующее решение:
А (/)=_Ji_+ * (9.54)
'' н+л и+л ' '
Ясно, что при увеличении t коэффициент готовности А (f) стремится к некоторому постоянному пределу. Стационарное значение коэффициента готовности определяется как
Л =lim А(0=т-т-,
-_______________Средняя интенсивность ремонтов
Средняя интенсивность отказов+Средняя интенсивность ремонтов
(9.55) или как
д____________Средняя наработка на отказ______
Среднее время простоя+Средняя наработка на отказ*
К счастью, если распределение времени простоя отличается от экспоненциального, результаты для установившегося состояния будут такими же. Заметим, что на практике часто используется логарифмически нормальное распределение времени простоя.
Предел для коэффициента собственной готовности определяется аналогично. Единственное различие состоит в том, что в выражении для коэффициента готовности вместо средней продолжительности простоя используется средняя продолжительность активного ремонта. Таким образом, стационарное значение коэффициента собственной готовности определяется как
д _________________Средняя наработка на отказ__________
1 Среднее время активного ремонта+Средняя наработка на отказ’
(9.56)
Стационарные значения коэффициентов А и также можно рассматривать как соответствующие средние доли времени за большой период .эксплуатации.
Рассмотренные показатели технического обслуживания систем зависят от полных и точных определений различных составляющих времени простоя. Заметим, что не существует какого-либо набора универсальных определений, приемлемых для всех изделий.
Динамические модели надежности 245
9.6. Краткие выводы
Динамические модели являются естественным обобщением статических моделей, рассмотренных ранее в гл. 3. Для использования динамических моделей необходимо для каждой системы знать распределения наработки до отказа, а это означает, что требуется достаточно большой объем данных об отказах подсистем. Часто при использовании динамических моделей удобно принимать допущение о постоянной интенсивности отказов. Принятие допущения о постоянной интенсивности отказов, по-видимому, целесообразно в том случае, когда система при анализе не разбивается на слишком большое число мелких подсистем, так как крупные подсистемы, состоящие из многих элементов, во время эксплуатации имеют практически постоянную интенсивность отказовх>.
Такие свойства системы, как эксплуатационная готовность, удобство обслуживания, ремонтопригодность и готовность, являются важными для анализа общей эффективности функционирования системы. Показатели, характеризующие эти свойства, зависят также и от факторов, которые являются- внешними по отношению к системе, например таких, как наличие достаточного количества запасных частей, доступность средств ремонта, легкость ремонта. К сожалению, для многих технических изделий анализ таких свойств, как удобство обслуживания, начинается спустя много времени после завершения проектирования и часто тогда, когда уже нужно составлять инструкцию по эксплуатации.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Две подсистемы соединены последовательно и имеют следующую плотность распределения наработки до отказа:
Л(О = (//0,-)ехр(-/2/20/),
где 0,-—параметр для i-й подсистемы. Найдите: а) интенсивность отказов системы hs (t)\ б) вероятность безотказной работы системы (/); в) плотность распределения наработки системы до отказа; г) вероятность безотказной работы системы Rs при наработке 200 ч, если 01 = 300 ч и 02 = 4ОО ч; д) такое значение /*, что 7?$(/*) = О,9О при данных значениях 0( и 02.
2. Рассмотрим систему, состоящую из двух последовательно соединенных подсистем, когда наработка первой подсистемы до отказа имеет распределение Вейбулла с параметрами р = 2 и
Этот факт имеет теоретическое обоснование в теоремах Ососкова—Хинчина и Григелиониса об асимптотическом поведении суперпозиции случайных потоков. ^-Прим. ред.
246 Глава 9
9 = 200 ч. Для второй подсистемы наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение при 9 = 300 ч. Найдите для рассматриваемой системы: а) интенсивность отказов; б) вероятность безотказной работы; в) среднюю наработку до отказа.
3. В электронной системе управления три ответственных элемента (транзисторы) подвергаются тепловым нагрузкам. Случайная величина теплового напряжения х описывается экспоненциальным распределением
?(х) = ^е~х/6в,
Способность транзисторов выдерживать тепловые напряжения описывается экспоненциальным распределением
где у—прочность. При отказе какого-либо одного транзистора вся цепь выходит из строя. Найдите вероятность безотказной работы электрической цепи.
4. В системе с параллельным соединением двух одинаковых подсистем интенсивность отказов подсистемы X постоянна. Постройте графики для вероятности безотказной работы: а) рассматривая чисто параллельное соединение и откладывая по оси абсцисс нормированное время t' — i/к; б) рассматривая систему с ненагруженным резервом для случая идеального переключателя; в) полагая, что вероятность отказа переключателя системы с нагруженным резервом равна 0,20. Проведите сравнение этих трех систем.
5. Рассмотрите систему из двух элементов с нагруженным резервом, когда каждая подсистема имеет постоянную интенсивность отказов и сравните ее с системой с ненагруженным резервом, для которой интенсивность отказов переключателя постоянна и равна %$. Каково, в частности, максимально допустимое значение при котором вероятность безотказной работы системы с нагруженным резервом выше, чем для системы с ненагруженным резервом?
6. Рассмотрите двухэлементную систему с ненагруженным резервом, имеющую идеальный переключатель, когда наработка элемента до отказа имеет плотность распределения
где 9—постоянная. Найдите: а) вероятность безотказной работы системы; б) то же для 0=10 при / = 20.
7. Рассмотрите двухэлементную систему с ненагруженным резервом, в которой переключатель имеет постоянную интенсивность отказов К,. При отказе переключателя система выходит из строя.
Динамические модели надежности 247
В этой системе оба элемента имеют одинаковое распределение наработки до отказа с плотностью f(t). Найдите: а) вероятность безотказной работы для этой системы; б) то же при наработке, равной 50 ч, если ^ = 0,01 ч”1 и обе подсистемы имеют постоянную интенсивность отказов, равную 0,02 ч’1.
8. Рассмотрите двухэлементную систему с ненагруженным резервом, когда интенсивность отказов работающего элемента постоянна и равна X. Ненагруженный элемент также может выйти из строя, и интенсивность отказов в режиме ненагруженного резервирования равна р. Найдите: а) вероятность безотказной работы этой системы, полагая, что переключатель является идеальным; б) среднюю наработку до отказа.
9. Плотность распределения времени технического обслуживания задана в виде
m(t) =—^=- ехр Г-4-(In t—4)21, / > 0,
t у 2л L 2 J
где t — время простоя в часах, а вероятность безотказной работы имеет вид
7? (0 = ехр ( — //20), />0.
Найдите: а) выражение для вероятности восстановления работоспособности; б) стационарный коэффициент готовности.
Рис. 9.7. Блок-схема безотказной работы передатчика.
10. Рассмотрите двухэлементную систему с ненагруженным резервом, когда включенный элемент имеет постоянную интенсивность отказов \, а выключенный элемент в рабочем состоянии имеет интенсивность отказов Х2. Найдите вероятность безотказной работы системы 7?$(/) и покажите, что при результат выражается формулой (9.26).
11. Рассмотрите двухэлементную систему с распределением нагрузки по параллельно соединенным элементам, когда
h(t) = />0,
и
/(0 = 5%е-6^, />0.
Найдите: а) вероятность безотказной работы системы; б) среднюю наработку до отказа.
12. Рассмотрите блок-схему безотказной работы передатчика, изображенную на рис. 9.7. Оба передатчика идентичны и имеют
248 Глава 8
среднюю наработку до отказа, равную 40 ч (при экспоненциальном распределении наработки до отказа). Вышедший из строя передатчик может ремонтироваться, пока работает другой. Вероятность восстановления работоспособности имеет вид М (t) = = 1—схр(—i/З), где t —продолжительность ремонта в часах. Какова вероятность того, что эта подсистема передатчиков выйдет из строя при заданной наработке, равной 28 ч?
Рис, 9.8, Электрическая схема преобразователя.
13. На рис. 9.8 показана электрическая схема источника питания, применяемого в преобразователях энергии, которые являются составной частью установок для испытаний на усталость. За исключением двух диодов и двух конденсаторов, все элементы этого источника питания соединены последовательно. При отказе одного диода и одного конденсатора источник питания будет продолжать работать. Используя приведенные в таблице данные об интенсивностях отказов элементов, постройте динамическую модель для этого источника питания и найдите среднюю наработку до отказа.
Элемент Название Интенсивность отказов
LP и S Штепсельная вилка и розетка 2,5-10"’
F Предохранитель 1,0-10-’
Т Трансформатор 3,4-10-’
D Диод 1,7-10-’
С Конденсатор, фильтр 4,4-10-’
R Резистор 3,5-10-»
IC Регулятор на интегральной схеме 4,0-10"’
Р Выключатель 3,0-10"»
Динамические модели надежности 249
ЛИТЕРАТУРА
1. Balaban Н. S., Some Effects of Redundancy on System Reliability, Proceedings of the Sixth National Symposium on Reliability and Quality Control, Washington, D. C., January 11—13, 1960.
2. Bazovsky I., Reliability Theory and Practice, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1961. [Имеется перевод: Базовский И. Надежность. Теория и практика.—М.: Мир, 1965.]
3. Maintainability Engineering Handbook, NAVORD OD 39223, Naval Ordnance Systems Command, Louisville, Kentucky, 1970.
4. Sandler G. H., System Reliability Engineering, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1963. [Имеется перевод: Сандлер Дж. Техника надежности систем.—М.: Наука, 1966.]
5. Shooman М. L., Probabilistic Reliability, New York, McGraw-Hill, 1968.
6. Von Alven W. H. (Ed.), AR INC Research Corporation, Reliability Engineering, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1964.
Глава 10. Оценивание надежности: экспоненциальное распределение
Экспоненциальное распределение, несомненно, находит наиболее широкое применение при анализе испытаний на надежность. К сожалению, во многих случаях оно используется лишь вследствие легкости его применения, и его выбор не основывается на глубоком понимании фундаментальных положений, лежащих в его основе. Эта глава посвящена теории и применению экспоненциального распределения.
Основные свойства экспоненциального распределения рассматриваются в разд. 10.1. В этом разделе читатель познакомится с экспоненциальным распределением наработки до отказа и соответствующими выражениями для интенсивности отказов и вероятности безотказной работы. Знакомство с экспоненциальным распределением позволит уяснить присущие ему ограничения.
После получения результатов испытаний на надежность можно оценить применимость экспоненциального распределения как модели времени безотказной работы. В разд. 10.2 показано, как это делать при различном порядке проведения испытаний на надежность.
При статистическом выводе основное внимание уделяется оценке параметров, доверительным уровням и проверке гипотез. Именно эти вопросы излагаются в разд. 10.3, 10.4 и 10.7 соответственно. Разд. 10.5 посвящен оценкам вероятности безотказной работы и процентилей, а в разд. 10.6 кратко рассматривается экспоненциальное распределение при ненулевой минимальной долговечности.
В разд. 10.8 оценивается ожидаемая продолжительность испытаний на долговечность и показаны компромиссные решения, которые могут быть приняты для ускорения испытаний. В конце главы даны приложения, где изложено теоретическое обоснование рассмотренных здесь результатов.
10.1. Статистические свойства экспоненциального распределения
Плотность экспоненциального распределения случайной вели* чины х имеет вид
f(x; 0) = |е-х/е> (10.1)
Оценивание надежности:: экспоненциальное распределение 251
где х обозначает наработку на отказ, выраженную, например, в единицах времени или в километрах пробега. Выражение для вероятности безотказной работы имеет вид
R(x) = e */0, х>0. (10.2)
Это распределение имеет один параметр 0>0. Параметр 0 представляет собой математическое ожидание этого распределения, т. е. £(х) = 0. Величина 0 часто называется средней наработкой на отказ. Величина Л = 1/0 называется интенсивностью отказов.
Часто считается, что до конца периода, равного средней наработке на отказ, сохраняется высокая надежность. Однако R (х = д) = ехр (— 1) = 0,368; поэтому фактически существуют не такие уж большие шансы, что система будет безотказно работать по истечении времени, равного средней наработке на отказ, если наработка на отказ имеет экспоненциальное распределение.
Экспоненциальное и пуассоновское распределения непосредственно связаны друг с другом, что часто используется при различных теоретических выводах. Продемонстрируем взаимосвязь между этими двумя распределениями на иллюстративном примере. Рассмотрим систему подвески передних колес автомобиля. Допустим, что для большой совокупности автомобилей средняя интенсивность сильных толчков, испытываемых системой подвески передних колес, равна X. Здесь под сильным толчком подразумевается удар достаточной силы, способный вызвать катастрофический отказ. Толчки могут вызываться глубокими выбоинами на дороге, наездом на бордюрный камень тротуара и т. д.
Примем обычные допущения для пуассоновского процесса, которые состоят в следующем: п
1. Число толчков в некотором заданном интервале времени Д/ не зависит от числа толчков, имевших место до начала этого интервала.
2. Вероятность появления ровно одного толчка в любом интервале времени Д/ пропорциональна его продолжительности с коэффициентом пропорциональности X.
Обозначим вероятность того, что до момента t произошло г толчков от неровностей дороги, через Pf(r). Тогда
Р/+д40) = [РД0)](1-ХД0 (10.3)
и
Pt+ы (г) = Pt (г) (1 — %Д0 + Рг (г-1) (Ш), Г > 0. (10.4)
п Более строгое и точное определение характеристических свойств пуассоновского потока (стационарность, ординарность, отсутствие последействия) читатель может найти е основополагающих работах по теории массового обслуживания: Хинчин А. Я- Работы по математической теории массового обслуживания. — М.: Наука, 1С60; Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания.—М.: Наука, 1S66. — Прим, ред.
252 Глава 10
При Ы —>0 из выражений (10.3) и (10.4) получаем систему дифференциальных уравнений:
*₽,(())=*-ХРДО),
Apf(0) = X[P<(r-l)-Pt(r)], г > 0.
Начальными условиями являются Ро(О) = 1 и Рг(0) = 0 при г>0. Единственное решение этой системы дифференциальных уравнений имеет вид
= r = 0, 1, 2....
Это выражение является пуассоновским распределением. Таким образом, при заданных допущениях число отказов в интервале времени t имеет пуассоновское распределение с параметром М.
В данном случае вероятность безотказной работы определяется как
P(0-P[t>/].
Это означает, что отказ не появляется до момента /. Следова-телыю,
Я(/) = рдг = 0)=е-^ и
т. е. получаем плотность экспоненциального распределения. Таким образом, если число отказов, появляющихся в некотором интервале времени, имеет пуассоновское распределение, то время между отказами имеет экспоненциальное распределение. Доказательство справедливости обратного утверждения можно найти в приложении 10.А.
Допущение 1 о независимости событий иногда называют свойством отсутствия последействия пуассоновского или экспоненциального распределения. Для иллюстрации этого свойства другим способом рассмотрим условную вероятность Р [х > / + + а [ х > /]. В данном случае предположим, что некоторое устройство проработало в течение времени t и требуется найти вероятность того, что оно будет безотказно работать в течение дополнительного промежутка времени а. Заметим, что (х > / 4-+ а) П (х > t) = (х > t +«), и, используя понятие условной вероятности, имеем
р-а + а)/0
Р[х> /+а|х + Л=^ е_</0 =е~а/0.
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 253
Видно, что искомая вероятность не зависит от т. е. от продолжительности промежутка времени, в течение которого устройство безотказно работало до начала интервала а. С практической точки зрения это означает, что система не испытывает влияния износа, и это является свойством экспоненциального распределения.
Если в примере с подвеской автомобиля некоторые элементы испытывают деформационное упрочнение вследствие появившихся ранее деформаций ниже предела упругости, то интенсивность отказов в системе может изменяться. В этом случае экспоненциальное распределение не будет подходящей моделью. Однако при анализе надежности систем, состоящих из большого числа элементов, экспоненциальное распределение обычно является хорошей моделью.
Рассмотрим систему, состоящую из большого числа элементов, имеющих, предположительно, различные распределения наработки до отказа. Распределение наработки до отказа будет приближаться к экспоненциальному, даже если причиной отказа отдельных элементов может быть износ, который не описывается экспоненциальным распределением. Для иллюстрации этого явления рассмотрим очень простой пример.
Допустим, что система состоит из 1000 элементов, соединенных последовательно. Распределение наработки до отказа для каждого элемента одинаково; значения вероятностей отказа приводятся в табл. 10.1. Безусловно, это распределение не является экспоненциальным.
Таблица 10.1
Распределение отказов вследствие износа
Период времени 1 2 3 4 5
Вероятность отказа 0,05 0,25 0,40 0,25 0,05
При выходе из строя элементы заменяются. Положим, что время работы вновь установленных элементов до конца периода, в котором произошла замена, не учитывается. Вычислим теперь число отказов, появляющихся в последовательных промежутках времени.
Вычисления показывают, что интенсивность отказов устанавливается на уровне 333. Теоретически математическое ожидание наработки до отказа равно 3, поэтому интенсивность отказов должна стабилизироваться на уровне 1000/3 = 333, т. е. через некоторый промежуток времени интенсивность отказов устанав.-
254 Глава 10
Период времени Вычисления Число отказавших элементов
1 0,05-1000 50
2 0,25-1000-1-0,05-50 252
3 0,40-10004-0,05-252+ 0,25-50 425
4 0,25-1000+ 0,05-425+ 0,25-252+ 0,40.50 354 -х
5 0,05-1000 + 0,05-354 + 0,25-425+ 0,40-252+ 0,25-50 287
6 0,05-287+ 0,25-354 + 0,40-425+ 0,25-252+ 0,05-50 338
7 0,05-338 + 0,25-287+ 0,40-354+ 0,25-425+ 0,05-252 349
8 0,05-349+ 0,25-338 + 0,40-287+ 0,25-354+ 0,05-425 326
9 0,05-326 + 0,25-349+ 0,40-338+ 0,25-287+ 0,05-354 328
10 0,05-328+ 0,25-326+ 0,40-349+ 0,25-338+ 0,05-287 336
11 0,05-33^+0,25-328+ 0,40-326+ 0,25-349+ 0,05-338 333
12 0,05-333 + 0,25-336+ 0,40-328+ 0,25-326+ 0,05-349 331
13 0,05-331+0,25-333+ 0,40-336+ 0,25-328+ 0,05-326 333
14 0,05-333 + 0,25-331+ 0,40-333 + 0,25-336+ 0,05-328 333
15 0,05-333 + 0,25-333+ 0,40-331+0,25-333 + 0,05-336 333
ливается на некотором постоянном уровне. Если рассматривать непрерывный, а не дискретный вариант этой задачи, то интенсивность отказов будет вести себя, как показано на рис. 10.1.
Комбинации различных элементов, замена некоторых элементов до выхода их из строя (профилактика) и существование
Рис. 10.1. Изменение интенсивности отказов во времени.
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 255
различных распределений наработки до отказа у неодинаковых элементов—все это определяет картину появления отказов в системе, которая вполне может быть аппроксимирована экспоненциальным распределением. Особенно это относится ко многим бытовым приборам, для которых практически не проводится профилактическое техническое обслуживание. п
10.2. Анализ данных
Данные должны подвергаться тщательному анализу как с инженерной точки зрения, так и с точки зрения математической статистики. Иногда результаты, которые не являются статистически значимыми, все же могут иметь определенное значение с инженерной точки зрения. В этом разделе рассматриваются простые статистические проверки, которые могут проводиться для оценки обоснованности использования экспоненциального распределения в качестве модели наработки до отказа. Для этой проверки существует несколько критериев согласия, и рассматриваемый здесь критерий не относится к числу наиболее часто применяемых на практике. Однако, как показали недавние исследования, он является наиболее мощным по сравнению с другими существующими критериями для обнаружения возрастающей или убывающей интенсивности отказов* 2).
Этот простой критерий называется критерием Бартлетта, и статистика, лежащая в основе критерия, имеет вид
2г In 1-
где х,-—случайная величина, обозначающая наработку до отказа, Г
г—число отказов, a tr = 2 xi [12]. i = 1
При. допущении об экспоненциальном распределении статистика Вг имеет распределение хи-квадрат с г—1 степенями свободы, и в данном случае имеем двусторонний критерий хи-квадрат.
Относительная мощность критерия Бартлетта показана на рис. 10.2. В частности, на рис. 10.2, а показаны оперативные характеристики для критерия Бартлетта. Эти кривые были построены
J) Еще раз обратим внимание на теоремы Ососкова —Хинчина и Григе-лиониса об асимптотическом поведении суперпозиции случайных потоков. — Прим. ред.
2) Подробное изложение методов проверки статистических гипотез об убывании или возрастании интенсивности отказов можно найти в книге: Barlow R., Proschan F., Mathematical Theory of Reliability: Probabilistic Models, N. Y., 1975. — Прим. ped.
256 Глава 10
Вероятность приемки
S
Рис. 10.2. Оперативные характеристики для критерия Бартлетта (а = 0,05).
а—оперативные характеристики (г—объем выборки); б—плотности распре* Деления, используемые для построения оперативных характеристик.
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 257
методом моделирования при использовании плотностей распределений, изображенных на рис. 10.2, б. Это плотности распределения Вейбулла с дисперсией, равной единице, и различными значениями параметра формы Ь, указанными на рисунке. (Распределение Вейбулла подробно рассматривается в гл. 11.) Для различных форм кривых плотности распределения, изображенных на рис. 10.2,6, можно определить вероятность принятия гипотезы об экспоненциальном распределении, рассматривая оперативную характеристику на рис. 10.2, а и определяя соответствующее значение по оси абсцисс. Из рис. 10.2, а видно, что необходима выборка, содержащая не менее 20 отказов, чтобы критерий обладал мощностью, достаточной для статистического различения.
10.2.1. Оценка применимости экспоненциального распределения наработки до отказа
Проверим справедливость гипотезы о соответствии данных экспоненциальному распределению для ряда примеров. Если данные противоречат этой гипотезе, то следует искать другую модель для описания наработки до отказа.
Пример 10.1. В табл. 10.2 приведены моменты появления отказов во время стендовых виброиспытаний автомобиля грузоподъемностью 0,5 т в течение 245 ч. Рассмотрим эти данные и определим, возможна ли достаточно хорошая аппроксимация наработки до отказа экспоненциальным распределением.
Таблица 10,2
Испытания на вибрацию: моменты появления отказов (ч) при испытаниях автомобиля грузоподъемностью 0,5 т (Регистрируется итоговое время испытаний к моменту очередного отказа; общая продолжительность испытаний составляет 245 ч)
21,2 74,7 108,6 157,4
47,9 76,8 112,9 164,7
59,2 84,3 127,0 196,8
62,0 91,0 143,9 214,4
74,6 93,3 151,6 518,9
Значения случайной величины хг, представляющие собой наработку между отказами и вычисленные по первоначальным данным, приведены в табл. 10.3.
9 № 544
258 Глава 10
Таблица 10.3
Наработка между соседними отказами (ч) при испытаниях автомобиля грузоподъемностью 0,5 т
21,2 0,1 15,3 5,8
26,7 2,1 4,3 7,3
11,3 7,5 14,1 32,1
2,8 6,7 16,9 17,6
12,6 2,3 . 7,7 4,5
Таким образом, имеем
2 In X/= 38,80, /г = 218,9
и
= 15,42.
Критические значения для двустороннего критерия при а =10 имеют вид
* %0,9б; 19 =*10,12 И Хо.ов; 19==30,14.
Следовательно, этот критерий не противоречит гипотезе о том, что для описания наработки до отказа может использоваться экспоненциальное распределение.
Таблица 10.4
Наработка до отказа 20 выключателей нагревателя, выраженная через число циклов
100 7 120 24 НО 36860
340 12910 28 570 38 540
1940 13670 31 620 42 НО
5670 19 490 32 800 43970
6010 23 700 34 910 64 730
Пример 10.2. В табл. 10.4 приведены данные, полученные при испытаниях на долговечность 20 выключателей нагревателя. В этих испытаниях определялась наработка каждого выключателя до отказа, выраженная через число циклов. Для ускорения испытаний использовалось повышенное напряжение.
В данном случае каждое полученное значение представляет собой наработку до отказа xz. (Данные об отказах приводятся в упорядоченном виде.)
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 259
Поскольку все выключатели испытываются до появления отказа, этот набор данных аналогичен случайной выборке объемом п = 20, в которой каждый результат представляет собой значение xz.
Промежуточные величины, необходимые для вычисления статистики, лежащей в основе критерия, имеют вид
20
2 1пх, = 188,22,
i = 1
20
tr= 2 х, = 469 170.
i = 1
Следовательно,
В20 = 22,19.
Используя те же критические значения, что и в предыдущем примере, можно сделать вывод, что допущение об экспоненциальном распределении наработки до отказа приемлемо.
Примечания.
Прочерк означает, что отказ не появился.
При остановке на испытания нового выключателя счетчики не переводились на нуль. Счет числа циклов ведется непрерывно от нуля. Общая продолжительность испытаний составила 20 000 циклов с заменой отказавших выключателей.
Пример 10.3. В табл. 10.5 приводятся данные, полученные в несколько иных условиях испытаний, чем в предыдущем примере. В данном случае использовались девять испытательных стендов и отказавшие выключатели заменялись. На каждом стенде испытания продолжались в течение 20000 циклов и счетчик регистрировал номер цикла, когда происходил отказ.
Возможно, кое-кто попытается рассматривать данные о наработке до отказа, полученные на девяти испытательных стендах, как если бы они были получены на одном „эквивалентном** испытательном стенде, увеличив в девять раз интенсивность отказов, полученную на одном стенде. Однако такая процедура приведет к появлению экспоненциального распределения, даже если наработка до отказа для отдельных стендов не описывается
9*
260 Глава 10
экспоненциальным распределением [4]. Поэтому нужно брать непосредственно те значения наработки до отказа, которые были получены на каждом стенде. Эти данные приводятся в табл. 10.6.
Таблица 10.6
Результаты испытаний выключателей
Номер стенда 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Число ЦИКЛОВ до появления отказа 6700 4600 4 100 14 000 8 500 5400 3100 5000 2600 — 4700 —
После вычислений получаем
/г = 51 050, 21пх/ = 83,32, В10 = 4,Н1
а критическими значениями являются
%0,9б;9=3,32 И Хо,95; 9 = 16,92.
Таким образом, допущение об экспоненциальном распределении справедливо.
Таблица 10.7
Данные о техническом обслуживании автомобилей
Номер автомобиля Показания одометра в момент появления неисправности, км Общая дальность пробега, км
1 2467; 3128; 3283; 7988 8012
2 —. 6 147
3 1870; 6121; 6175 9 002
4 3721; 4393; 5848; 6425; 6535 11000
5 498 4 651
6 184; 216; 561; 2804 5012
7 2342; 4213 12718
Пример 10Л. Данные табл. 10.7 взяты из журнала учета технического обслуживания небольшого автомобильного парка. Регистрировались показания одометра в момент, когда автомобиль поступал на внеплановое техническое обслуживание. В момент обследования был записан общий километраж, и ни один автомобиль не находился в неисправном состоянии.
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 261
В данном примере общая дальность пробега различна для каждого автомобиля и мы использовали принцип „общего времени до появления отказа". Для иллюстрации этого принципа обратимся к рис. 10.3. На этом рисунке обозначает дальность пробега в момент появления отказа или прекращения испытаний.
Рис. 10.3. Снятие автомобилей с испытаний при различных значениях наработки.
Пусть т,—- общее расстояние, пройденное до момента t-го отказа. Основная идея здесь состоит в том, что пройденное расстояние км вызывает появление отказа. Или, другими словами, tz обозначает общую дальность пробега до появления /-го отказа. Тогда
^ = 3^,
<г2 = З/j + 3 (/2 — /1) = + 3 (/2—/$), Тд =. + /д
и общее расстояние между отказами равно тх, (т2—тх) и (т3 — т2). Эти величины используются затем для вычисления статистики, лежащей в основе критерия. Заметим, что этот метод мог быть применен и в предыдущем примере.
Данные об отказах автомобилей приводятся в табл. 10.8. В этом случае
/г = 47 762, £ In 139,42
В19= 15,89.
Критическими значениями хи-квадрат являются
Хо,9б; is= 9,39 и %о,о5; is == 28,87.
Таким образом, допущение об экспоненциальном распределении справедливо.
262 Глава 10
Таблица 10.8
Вычисление данных об отказах автомобилей
Пройденное расстояние, км Число работающих автомобилей Общее расстояние, км Наработка на отказ х>, км
184 7 1288 1288
216 7 1512 224
498 7 3486 1974
561 7 3927 441
1870 7 13090 9163
2342 7 16394 3304
2467 7 17269 875
2804 7 19628 2359
3128 7 21896 2268
3283 7 22981 1085
3721 7 26047 3066
4213 7 29491 3444
4393 7 30751 1260
(4651) 7 32557 —
(5012) 6 344651) —
5848 5 389032) 8152
6121 5 40268 1365
(6147) 5 40398 —
6175 4 40510 242
6425 4 41510 1000
6535 4 41950 440
7988 4 47762 5812
(8012) 3
(9002) 2
(11000) 1
1) 6.50124- 1-4651=34465.
«) 5-58484-50124-4651 = 38903.
(Цифры в скобках означают, что произошло снятие автомобиля с испытаний.)
Пример 10.5. 20 резиновых уплотнителей, предназначенных для защиты от попадания грязи на трущиеся поверхности шаровых соединений, бы^и подвергнуты ускоренным испытаниям на долговечность. Полученные данные приводятся в первом столбце табл. 10.9. В остальных трех столбцах табл. 10.9 приводятся результаты вычислений.
В данном случае можно использовать тот же принцип, что и в предыдущем примере. С помощью этих данных получаем
tr = 2 495 050,
2 1пх,= 118,22
1 = 1 д
10,22,
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 263
Таблица 10.9
Результаты испытаний уплотнителей шаровых соединений
Число циклов до появления отказа Наработка на отказ, число циклов Число испытываемых изделий Суммарная наработка до отказа при испытаниях, число циклов
20 400 20 400 20 408 000
30 000 9 600 19 182 400
50 700 20700 18 372 600
57 750 7 050 17 119 850
60 300 2 550 16 40 800
74 100 13800 15 207 000
78 300 4 200 14 58 800
144 000 65 700 13 854 100
153 500 9 500 12 114000
166 000 12 500 И 137 500
Критическими значениями хи-квадрат являются
%о,9&; 9 = 3,32 И %о,ов; 9 = 16,92.
Таким образом, вычисленное значение не является значимым. Поэтому мы не можем отклонить гипотезу о применимости экспоненциального распределения.
Пример 10.6< В табл. 10.10 приводятся результаты испытаний трех автомобилей на полигоне. Испытания состояли в проведении пробега на 100 000 км.
Характер системы регистрации данных не позволяет определить наработку до отказа для одного автомобиля. Нет смысла доказывать, что такая система регистрации данных является неудовлетворительной, так как эти данные уже получены. Если бы для описания приведенных данных можно было использовать экспоненциальное распределениё, то это дало бы большую экономию при получении данных. Если же допущение об экспоненциальном распределении неприемлемо, то нам потребовались бы данные о наработке до второго отказа, так как интенсивность отказов может изменяться.
В данной ситуации можно было бы использовать основное свойство экспоненциального распределения: теоретически в интервалах одинаковой продолжительности должно появиться одинаковое число отказов. В этом случае число отказов на интервал можно оценить теоретически как
f - Общее число отказов 75 g q (10 5)
Общее число интервалов ““25 ’ V • /
264 Глава 10
Таблица 10.10
Данные об отказах, зарегистрированных при испытаниях автомобилей на полигоне через равные расстояния пробега
Пройденное расстояние, тыс. км Число отказов fQ-ft (fo-Л)2
4 0 —3 9
8 3 0 0
12 8 5 25
16 4 1 1
20 8 5 25
24 1 —2 4
28 1 —2 4
32 6 3 9
36 5 2 4
40 0 —3 9
44 8 5 25
48 5 2 4
52 0 —3 9
56 2 —1 1
60 0 —3 9
64 1 —2 4
68 7 4 16
72 0 0 0
76 4 1 1
80 2 — 1 1
84 3 0 0
88 2 — 1 1
92 2 — 1 1
96 2 — 1 1
100 1 —2 4
75 167
Теперь эту величину необходимо сравнить с наблюдаемой частотой f0 для каждого интервала. Это легко сделать, используя критерий хи-квадрат:
k
(/о7/</)2 > <10-6)
где foi—наблюдаемое число отказов в i-м интервале, fu—теоретическое число отказов в i-м интервале, k—число интервалов. Для определения статистической значимости вычисленное значение %? сравнивается с х«, *-2, т. е. при у?>Ха, *-2 предполагается, что отклонение от экспоненциального распределения является статистически значимым.
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 265
В нашем примере
Х?= 55,67,
а критическим значением хи-квадрат является
Хо,О5; 23 = 35,2.
Следовательно, можно сделать вывод, что в данном случае экспоненциальное распределение не является удовлетворительной моделью для наработки до отказа.
При испытаниях изделий появление одного преждевременного отказа или одного случая малой наработки на отказ может существенно повлиять на процесс оценивания и привести к неудовлетворительным результатам. Желательно иметь процедуру, позволяющую оценить, действительно ли данный предположительно ранний отказ характерен для модели отказов данного изделия. Теперь рассмотрим метод проверки при появлении необычно раннего (нехарактерного) отказа.
10.2.2. Проверка случаев необычно малой наработки до отказа
При испытаниях изделий случаи малой наработки до отказа могут вызываться производственными дефектами или применением нестандартных материалов. Такие дефекты приводят к тому, что эти изделия оказываются нехарактерными для совокупности в целом, и такие отказы следует исключать из дальнейшего анализа. Несомненно, наилучшим способом, позволяющим определить, следует ли учитывать тот или иной конкретный отказ при оценке надежности, является инженерный анализ, дающий возможность установить причину отказа. Если же это невозможно, то д^я подкрепления интуитивной оценки случаев малой наработки до отказа можно использовать рассматриваемый далее критерий. Его вывод не вызывает затруднений, и, хорошо поняв вывод, можно использовать этот критерий в других ситуациях.
Пусть (хп х2, ..., хг) — последовательность г независимых и имеющих одинаковое экспоненциальное распределение случайных величин. Например, при испытаниях автомобилей эти случайные величины могут представлять собой наработку на отказ для первых г отказов, выраженную через дальность пробега. Тогда величина 2xz/0 будет иметь распределение хи-квадрат о двумя степенями свободы (см. приложение 10.Б). Известно, что при сложении двух или большего числа независимых случайных величин, распределенных по закону хи-квадрат, новая случайная величина также имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным суммарному числу степеней свободы отдельных случайных величин. Итак, случайная величина
266 Глава 10
(2/0) 2 xz имеет распределение хи-квадрат с 2г — 2 степенями 1=2
свободы. Таким образом, случайную величину, имеющую ^-распределение, можно представить в следующем виде:
В данном случае предполагается, что случайная величина Xj—малая наработка до отказа.
Если наработка до отказа Xj значимо мала, то данное отношение будет непропорционально мало. Это означает, что если
Л-а;»; „-»> (Л71)?1', (Ю.8)
2 х/ /=2
то это свидетельствует о том, что обозначает необычно малую наработку до отказа-
Так как значение Fi-a; 2; 2Г-2 нельзя непосредственно поместить в таблицу процентилей F-распределения, можно попытаться использовать обратное соотношение для случайных величин, имеющих F-распределение, которое дает критерий отклонения гипотезы:
2 *
^а; 2г-2; 2 < '(г — 1) хх ’ (10.9)
Пример 10.7. В табл. 10.11 приводятся данные об отказах 20 лопаток турбин, представляющие собой наработку до отказа, выраженную через число циклов.
Таблица 10.11
Наработка до отказа лопаток турбины, тыс. циклов
- 193 1793 3479 5310
1582 2028 4235 6 809
1637 2260 4264 8317
1658 2272 4635 9 728
1786 2700 4919 10 700
Выборочное значение F вычисляется следующим образом: 20
2=80112; xf=193;
f = 2
р __ 80 112 _q . л
|9 193
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 267
Критическому значению F соответствует
Fо,о5; зв; а =* 19,47.
Это указывает на то, что первое значение наработки до отказа, равное 193 тыс. циклов, не является характерным для этого набора данных.
Пример 10.8. Снова рассмотрим результаты испытаний выключателя обогревателя. Первые два отказа появились значительно раньше остальных. Выведем критерий с целью определить справедливость гипотезы о том, что первые два отказа относятся к той же совокупности, что и остальные.
Применяя изложенную ранее методику, определяем, что (2/0) (х, + х2) имеет распределение хи-квадрат с четырьмя степе-20
нями свободы, а (2/0) 2 xz—распределение хи-квадрат с 36 сте-i=3
пенями свободы. Таким образом,
р _ (Х1 + хз)/4 _9(xx+.x2)
2 4; Зв — /20 \ 20
( I xi ) / 36 У X/ М = 3 /' i = 3
Это значение F-отношения будет мало, если первые два значения наработки до отказа необычно малы. При преобразовании этого соотношения в не ограниченный сверху критерий F гипотеза о том, что первые два отказа характерны для данной совокуп-
ности, отвергается, если
20
1 izs3
0,05; 36,4 << 9(Х1_|_Ха) ’
В данном примере
20
2 Xi
i = 3 _ 468 730
9(х1 + х2)“ 9-440
118,37,
а критическим значением F является
F0,05; 36,4 =5,74.
Таким образом, это свидетельствует о том, что первые два отказа появились необычно рано.
10.2.3 . Проверка случаев необычно большой наработки до отказа
Метод, аналогичный использовавшемуся при проведении предыдущей проверки, может применяться для того, чтобы определить, не является ли наработка до отказа необычно большой. При
268 Глава 10
модификации рассмотренной выше методики случайная величина х, обозначает необычно большую наработку до отказа, если
Fo.os; 8; (Ю.Ю)
S х/
1=2
где Xj может быть любым, а не только первым значением наработки до отказа.
Таблица 10,12
Данные о заменах глушителя (дальность пробега, км)
43 850 65 324 83 541 89950
47 737 67 105 84 543 100791
49 111 67 549 84 899 102 431
61900 69 291 88191 104 343
64 511 81 154 88 901 105 062
Пример 10.9. В табл. 10.12 приведена выборка данных о дальности пробега автомобиля определенной марки в километрах в момент, когда производилась замена глушителя. В данном случае мы рассмотрим первое значение наработки до отказа, равное 43 850 км, с целью определить, не является ли оно необычно большим.
Вычисляем
20
2 = 1 550184, i = 2
D 19-43 850 п п. = 1 550 184 = °’54'
Так как значение /\,<1, то очевидно, что оно не является значимым. Таким образом, нельзя сделать вывод, что первое значение наработки до отказа является необычно большим.
10.2.4 . Обнаружение изменения интенсивности отказов
Теперь очевидно, что выведенный выше критерий можно применять различными способами для обнаружения изменений интенсивности отказов.' Обычно это делается в тех случаях, когда заранее известно, что произошло изменение.
Пример 10.10. Снова рассмотрим данные, приведенные в табл. 10.2, и допустим, что мы сомневаемся в типичности для этого набора данных первых пяти отказов. Здесь не высказывается какого-либо суждения о направлении этих изменений,
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 269
поэтому используется двусторонний критерий. Значение F принимает вид
5
U х//10 z = i _ 3-74,6 --
20 218,9—74,6 ’
2 *<730 i=6
При уровне значимости 0,05 критическими значениями F с 10 и 30 степенями свободы являются 0,30 и 2,51 соответственно. Следовательно, не обнаруживается значимого изменения.
До сих пор мы пытались оценить применимость допущения о том, что наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение. Остальная часть этой главы посвящена статистическим выводам, когда предполагается, что исходное распределение наработки до отказа является экспоненциальным.
10.3. Оценивание средней наработки на отказ
Оценивание средней наработки на отказ в случае экспоненциального распределения связано с простыми вычислениями. Этот факт, несомненно, способствовал популярности экспоненциального распределения.
Оценка параметра средней долговечности 0 имеет вид
0 = ^, (10.11)
где Т—суммарное время испытаний всех изделий, включая и те, которые вышли из строя в процессе испытаний; г — общее число отказов.
Оценка 0 называется оценкой максимального правдоподобия. Она обладает свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности (вывод оценки максимального правдоподобия см. в приложении 10.В).
Вернемся к некоторым рассмотренным ранее примерам и определим оценку средней наработки на отказ 0.
Пример 10.11. Рассмотрим снова пример 10.1, в котором были приведены результаты испытаний на вибрацию автомобиля грузоподъемностью 0,5 т. В данном случае 7 = 245 4 иг = 30 отказов, откуда 0= 12,25 ч.
Пример 10.12. В примере 10.3 рассматривались результаты испытаний выключателей обогревателя на девяти стендах. Каж
270 Глава 10
дый стенд обеспечивал проведение испытаний в течение 20000 циклов. В данном случае
Т=(9 стендов) • (20 000 циклов на стенд) = 180000 циклов,
г =10, откуда а 180 000 циклов . о ППЛ 0=---------------------jo----= 18 000 циклов.
Пример 10.13. Рассмотрим пример 10.4, в котором приводятся данные о техническом обслуживании семи автомобилей. В данном случае
Г = 56 542 км и г =19.
Следовательно,
между операциями технического обслуживания.
Приведенные примеры иллюстрируют различные приложения. Однако, чтобы полностью охватить этот вопрос, рассмотрим две обычно используемые формулы для оценивания 0. Рассмотрим вначале случай, когда испытаниям подвергаются одновременно п изделий и испытания прекращаются при появлении первых г из п отказов (г^п). Изделия, вошедшие из строя, не заменяются (цензурирование первого рода). Рассуждая, как и ранее, имеем
У */+(«— Г) хг
& = —-----------—, (10.12)
где xt—наработка i-ro изделия до отказа.
Рассмотрим второй случай, когда имеется п испытательных стендов и на каждом стенде испытания проводятся в течение т циклов. По' мере выхода изделий из строя .они заменяются. Если задано время прекращения испытаний, то имеем цензурирование второго рода. В данном случае
0 = у, (10.13)
где г—число отказов.
Как можно видеть, испытания могут быть прекращены в определенный момент времени или при появлении определенного числа отказов либо испытания могут продолжаться до выхода из строя всех изделий.1’ При планировании испытаний важно
D Подробнее с различными планами испытаний и оценками параметров для этих планов при экспоненциальном распределении можно познакомиться в упоминавшейся ранее книге Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляева и А. Д. Соловьева,— Прим, ред,
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 271 /
иметь в виду, что при использовании экспоненциального распределения точность получаемой оценки зависит от числа отказов, появившихся за время испытаний. Это будет пояснено в разд. 10.4 при рассмотрении доверительных интервалов. Кроме того, чем больше изделий будет поставлено на испытания, тем быстрее можно получить заданное число отказов (см. разд. 10.8). Однако изделия, подвергаемые испытаниям, и установки для проведения испытаний стоят денег. Поэтому необходимо соизмерять экономические выгоды от более короткой продолжительности испытаний с экономическими затратами вследствие постановки на испытания большего числа изделий.
10.4. Доверительные интервалы для средней наработки на отказ при нулевой минимальной долговечности
Определим теперь доверительные интервалы для средней наработки на отказ для случая экспоненциального распределения. Рассматриваются двусторонние интервалы, а необходимые преобразования для получения односторонних пределов предлагается выполнить читателю.
Доверительные интервалы в случае экспоненциального распределения основаны на двух различных способах проведения испытаний, зависящих от порядка регистрации данных (вывод этих доверительных пределов рассматривается в приложении 10.Г).
10.4.1. Регистрация моментов выхода из строя
Вначале рассмотрим условия проведения испытаний, когда регистрируются моменты хп х2, ..., хг (г п) выхода изделий из строя. В этом случае величина 2гО/0 имеет распределение хи-квадрат с 2г степенями свободы. Соответствующее вероятностное соотношение имеет вид
Р j^Xi-a/a; 2г ^Ха/г: 2rJ = 1 —а> (10.44)
откуда после алгебраических преобразований получаем
. (Ю.15)
Ха/з; 2г Xi-a/з: 2г
где Т = гб. Заметим, что здесь справедливо приведенное ранее определение Т.
100 (1— а) %-ный двусторонний доверительный интервал для средней долговечности имеет ширину
------7?— Н (10.16)
I Л1-а/2; 2г Ла/г; 2г I
272 Глава 10
Поскольку 9—случайная величина, то доверительный интервал и> является случайной величиной, и его математическое ожидание можно получить, если в формуле (10.16) заменить 9 на 9. Разумеется, при необходимости можно найти и дисперсию величины w.
Пример 10.14. Восемь листовых рессор автомобиля подвергались ускоренным испытаниям на надежность до появления отказа. Получены следующие значения наработки до отказа (число циклов): 8712, 21915, 39 400, 54613, 79000, 110200, 151 208, 204 312.
Средняя наработка оценивается как 8
У, XI
А 1 = 1 669 360 оо с<тл
9 = —5— = —5— = 83 670 циклов. о о
Определим теперь двусторонний доверительный интервал для этой средней наработки. Соответствующими значениями критерия хи-квадрат являются
Хо, 975; 16 = 6,91 И %о,025; 16 = 28,84.
Пределы для 9 имеют вид
2-699 360 2-669 360
28,84 6,91
ИЛИ
46 419 циклов ^0^ 193 736 циклов.
Пример 10.15. Проводились испытания 15 автомобильных переключателей переменного тока и регистрировалось число циклов в момент отказа. Испытания проводились до появления пятого отказа. Отказавшие переключатели не заменялись. Отказы произошли при достижении следующего числа циклов: 1410, 1872, 3138, 4218, 6971.
В данном случае Т —87 319 циклов, откуда 9= 17 464 цикла. При 95%-ном двустороннем доверительном интервале для средней наработки критическими значениями критерия хи-квадрат являются
Хо, 975; 10 = 3,25 И %0,025; 10 = 20,48.
Следовательно, искомый интервал имеет вид
2-87 319 в 2-87 319 20,48 3,25 ’
ИЛИ
8527 циклов ^9 53 735 циклов.
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 273
10.4.2. Подсчет числа отказов за время испытаний
Допустим, что в соответствии с условиями проведения испытаний подсчитывается число отказов за время испытаний Т. На практике это может быть осуществлено различными способами. Например, испытания могут проводиться на п стендах, когда вышедшие из строя изделия заменяются и испытания прекращаются в заданный момент времени. Либо программой испытаний может предусматриваться пробег автомобиля, например на 40000 км, и производиться подсчет числа отказов, а не определение значений наработки на отказ.
В том случае, когда за время испытаний Т наблюдается г отказов, 100(1—а)%-ный двусторонний доверительный интервал имеет вид
_____2Г_____2Т
Ха/а; г (г+1) Xi-a/a; аг
(10.17)
Эти пределы напоминают предыдущие, и действительно верхний предел такой же. Однако они определяются другим способом. По существу вывод основан на допущении, что в промежутке времени Т наблюдается пуассоновский процесс, а это означает, что определяются доверительные пределы для параметра пуассоновского распределения 1/9. Существует известное соотношение между пуассоновским распределением и распределением хи-квадрат, позволяющее легко найти эти пределы с помощью стандартных таблиц. Вывод соответствующих выражений дается в приложении 10.Г.2.
В следующем примере иллюстрируется не только применение данных доверительных пределов, но и показано использование аппроксимации с помощью распределения хи-квадрат с большим числом степеней свободы. Эта аппроксимация необходима вследствие того, что эти значения обычно не приводятся в таблицах.
Пример 10.16. Каждый из шести автомобилей высокой проходимости грузоподъемностью 0,5 т подвергался испытаниям во время пробега на 100 000 км. При испытаниях зарегистрировано 84 отказа определенной категории. Требуется определить 95%-ные доверительные пределы для средней наработки на отказ Т.
Чтобы вычислить доверительный интервал, необходимо найти Хо.ои; I?© и Хо.»в; юо- Значения хи-квадрат для такого большого числа степеней свободы в таблицах обычно не приводятся, однако величина К2%2 может быть аппроксимирована нормальным распределением с математическим ожиданием p = 2v—1 и дисперсией а2=1, где v обозначает число степеней свободы.
274 Глава 10
Используя эту аппроксимацию, найдем вначале %о,»5; ies-Математическое ожидание аппроксимирующего нормального распределения имеет вид
ц = /2-168—1 = 18,30.
Тогда
г = ! 645- К^~18’30
г0,95— — J
Решая это уравнение относительно %2, получаем
Хоies = 138,69.
Приближенное выражение для критерия хи-квадрат имеет вид
Xi, v«JZo + /2T-[p/2,
где z—нормированная случайная величина, распределенная по нормальному закону. Используя это выражение для нахождения хо.ов; 170, получаем
XU; 170 « (1,645 +/2.170-1)а/2 = 201,10.
Таким образом, имеем* следующий доверительный интервал:
2 -600 000 2-600 000
201,10 138,79 ’
ИЛИ
5967 км < Т < 8652 км.
Во многих случаях при проведении испытаний можно определять доверительные границы либо подобным образом, либо с помощью предыдущего метода, когда рассматривается наработка на отказ. Если наработка на отказ не рассматривается, то доверительный интервал будет шире, чем при использовании предыдущего способа, когда определяется каждое значение наработки на отказ. По существу при использовании этого метода, когда не рассматриваются значения наработки на отказ, не учитывается некоторая информация, и это, естественно, приводит к расширению доверительного интервала.
Данный метод становится весьма полезным, когда в интервале Т не происходит ни одного отказа. С помощью этого метода может быть получена нижняя доверительная граница. В частности, если отказы не наблюдаются, то 100(1—а)%-ная односторонняя нижняя доверительная граница для средней наработки имеет вид
(10.18)
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 275
Пример 10.17. Грузовой автомобиль-тягач был переоборудован для испытаний газотурбинного двигателя. Испытания проводились при полной нагрузке на тягач, равной 50 т, и прекратились после пробега 14 400 км вследствие отказа стартера. Другие отказы не наблюдались. Отказ стартера нельзя рассматривать как отказ газотурбинного двигателя. Таким образом, испытания газотурбинного двигателя продолжались при дальности пробега 14 400 км, и при этом отказы не наблюдались. Что можно сказать о средней наработке этого двигателя?
Так как х?,™; а = 4,605, можно сказать, что при 90%-ной доверительной границе средняя наработка имеет вид
д _ 2 -14 400 сое.
0 > —2----— 6254 км.
Хо,ю;2
Если бы в рассмотренном примере испытания тягача продолжались, то, очевидно, увеличилась бы нижняя граница средней наработки. В подобных случаях необходимо проявлять очень большую осторожность и проводить различие между статистической и инженерной трактовками результатов. Использование нижних доверительных границ для сравнения различных вариантов изделий или в качестве критерия для принятия решений может ввести в заблуждение. Допустим, что имеется другой двигатель тягача, который мы хотим сравнить с данным, и этот второй двигатель испытывается до появления отказа. Было обнаружено, что 90%-ная нижная доверительная граница средней наработки для второго двигателя равна 75 000 км. Часто при использовании подобной информации делается вывод, что второй двигатель имеет большую среднюю наработку. Однако может оказаться, что это не так; во всяком случае, первый двигатель был снят с испытаний по причинам, не связанным с появлением отказа. Если бы первый двигатель проработал до появления отказа, то, возможно, он показал бы большую среднюю наработку.
10.5. Доверительные оценки вероятности безотказной работы
В случае экспоненциального распределения наработки до отказа выражение для вероятности безотказной работы имеет вид
R(x) = e~x^, х > 0, (10.19)
где 9—оценка параметра 0, определенная выше.
Из приведенных соотношений можно также получить доверительный интервал. Если верхнюю и нижнюю доверительные
276 Глава 10
границы параметра 0 обозначить через U и Z соответственно, то вероятность безотказной работы будет заключена в пределах
e-x'z^R(x)^e-*/u. (10.20)
Иногда рассматривается время (или пробег в километрах), по истечении которого определенная доля изделий продолжает безотказно работать. Выведем выражение для описания такого -события. Если р обозначает долю изделий, вышедших из строя к моменту х то
R(xp)=l —р.
В случае экспоненциального распределения наработки до отказа /?(x/))==e“Ve.
Объединяя эти два выражения и решая полученное уравнение относительно хр, получаем
x^ein^), (10.21)
а оценка примет вид
Х_ = ё1п G-M. (10.22)
” \ 1 —р /
Доверительные пределы для хр можно найти, подставив L и U вместо 0.
Пример 10.18. При испытаниях опытного образца автомобиля произошли отказы в электрической цепи двигателя при следующих значениях пробега (в км): 28 820, 36 707, 46128 и 68 345. Общий пробег при испытаниях составил 72 000 км.
Найдем вначале вероятность безотказной работы и определим 90%-ную нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной работы при пробеге, равном 12 000 км.
В данном случае
я 72 000 . о
0 = ——= 18 000 км.
4
Следовательно, выражение для вероятности безотказной работы имеет вид
R (х) = е”х/18 000.
Поскольку регистрировалась наработка на отказ, используем значение хи-квадрат с восемью степенями свободы. Следовательно,
£ = 2^2000 == 10 777 км
%о,1 о; 8
Таким образом,
7? (12 000) >e~12 °00/10 777 =0,33.
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 277
Это означает, что при 90%-ном доверительном уровне и пробеге 12 000 км вероятность безотказной работы составляет не менее 0,33.
Теперь определим, при какой дальности пробега 10% автомобилей выйдут из строя. Используя формулу
имеем
хоЛ = 18000 In уд — 1896 км.
Иногда эта величина называется ресурсом, достигнутым для 90% изделий (этот термин обычно употребляется при испытаниях шарикоподшипников).
10.6. Случай ненулевой минимальной наработки
В некоторых случаях при испытаниях на надежность подходящей моделью является двухпараметрическое экспоненциальное распределение. Например, с точки зрения потребителя гарантийный срок можно рассматривать как период, в течение которого отсутствуют отказы. Кроме того, при изучении усталости металлов известно, что существует некоторый начальный период, когда отсутствуют отказы. Например, при разрушении подшипников в поршневых двигателях с кривошипно-шатунным механизмом, которое вызывается главным образом усталостью, существует ненулевая минимальная долговечность. Несомненно, имеется множество других примеров.
Плотность двухпараметрического экспоненциального распределения имеет вид1’
f (х; 6, 6) = -g-exp[— (х—6)/0], х>6>0, 0> 0, (10.23) а вероятность безотказной работы
(х) = ехр[—(х—б)/0], х>б>0. (10.24)
Параметр б часто называется минимальной наработкой. Это распределение имеет математическое ожидание, равное 0 + 6.
10.6.1. Оценивание параметров
Рассмотрим случай, когда испытаниям на надежность подвергаются п изделий и испытания прекращаются в момент появления r-го отказа (т. е. имеет место цензурирование второго
D Это по существу распределение случайной величины, представляющей собой сумму постоянной величины, равной 6, и случайной экспоненциально распределенной величины со средним значением 0.— Прим. ред.
278 Глава 10
рода). В этом случае оценки для 0 и 6 определяются следующим образом:
г
2 (xi~ xi) + (n—r) (Xr—Xi)
б' = ---------—j----------- (10.25)
и
S = (10.26)
Здесь штрих в обозначении 0' употребляется для того, чтобы отличить эту оценку от оценки, рассматриваемой в случае нулевой минимальной наработки. Эти оценки считаются наилучшими в том смысле, что имеют минимальную дисперсию и являются несмещенными (подробный теоретический вывод дается в приложении 10.Д).
Оценка вероятности безотказной работы имеет вид
Л(х) = ехр[—(х—6)/б'], х>б. (10.27)
Таблица 10.13
Данные о наработке оттяжных пружин до отказа
Наработка до отказа х>, число циклов
Xf-Xt
190 437
245 593
277 761
432 298
530 100
626 300 1043 307 1 055 528 1 221 393 2 099 199
0 55156 87 324 241 861 339 663 435 863 852 870 865 091
1 030 956 1 908 762
2 = 5817 546
Пример 10.19. В табл. 10.13 показана наработка до отказа оттяжных пружин дросселя. В условиях, близких к реальным, проводились испытания 20 пружин. В момент появления 10-го отказа испытания были прекращены.
В этом случае
й, 5 817 546+10-1908 762
6 =--------------------- 2 767 241 цикл
И
б = 190 437 — 2767241 = 52 075 циклов.
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 279
Выражение для вероятности безотказной работы имеет вид ft(x) = exp[- ^=S], х>52075.
Так, например, оценивая. вероятность безотказной работы при наработке х = 2-10* циклов, находим, что /? (2-10е) = 0,49.
10.6.2. Доверительные интервалы для средней наработки, — минимальной наработки и вероятности безотказной работы
Доверительный интервал для средней наработки 0 определяется, как и в случае однопараметрического распределения. В этом случае величина 2 (г — 1)0'/О имеет распределение хи-квадрат с (2г—2) степенями свободы. Соответствующее вероятностное соотношение имеет вид
Р [Xi-a/a; аг-2 2 (г—1)0 /0 Ха/2: гг-г] — 1 —а- (10.28)
Преобразуя это неравенство, получаем 100(1—а)%-ный доверительный интервал:
<е< . (10.29)
Ха/2; 2г-2 Xj-а/г; гг-2
Доверительный интервал для минимальной наработки 6 основан на величинах 2n(Xj— б)/0 и ’2 г — Ю'/О, где хх — минймаль-ная наработка до отказа. Эти две величины независимы и имеют распределение хи-квадрат с двумя и (2г—2) степенями свободы соответственно. Это указывает на способ образования случайной величины, имеющей Г-распределение.
Поскольку б—истинное значение минимальной наработки, верхний предел для б равен минимальной наработке до отказа. Обозначив эту минимальную наработку через хп можно составить случайную переменную
^;,г-^У. (10.30)
и
Вероятностное соотношение, необходимое для получения наиболее узкого доверительного интервала, имеет вид
Р [0_<^|=^<ГР;2;2,-21=1-₽. и
(10.31)
После преобразования этого неравенства получаем следующие 100(1—Р)%-ные доверительные границы для б:
Xj ~ Ffi; 2; 2г—2 б ^Xj. (10.32)
280 Глава 10
Это выражение для вероятности безотказной работы содержит как б, так и 0. Доверительные границы для вероятности безотказной работы можно определить следующим образом.
Если обозначить нижнюю и верхнюю 100(1—а)%-ные доверительные границы для 0 через L' и U' соответственно, а нижнюю и верхнюю 100(1—Р)%-ные доверительные границы для б —через L и U, то получим следующий доверительный интервал для R (х):
ехр [— (х—L)/L']^R (х) ^ехр [— (х— U)/U'] (10.33) при уровне значимости а'=а+р—сф. Таким образом, имеем 100(1—а')%-ный доверительный интервал для вероятностей безотказной работы.
Пример 10.20. Обратимся снова к данным табл. 10.13 о наработке до отказа оттяжных пружин дросселя. Найдем доверительные границы для средней наработки. Пусть а = 0,1'0, тогда при г — 10
Хо.вз; 18 = 9,390 и ха0,05:18 = 28,869.
Следовательно, 2-9-2 767 241 „ 2-9.2 767 241
28,869 ° 9,390
ИЛИ
1725 392^0 <5 304 615.
Доверительные границы для минимальной наработки при а = = 0,10 можно найти следующим образом:
2; 18 = 2,62.
Таким образом,
190 437—2 - - 2о С 6 С190 437.
Так как в этом случае нижняя граница отрицательна, необходимо представить эти границы в следующем виде:
0^6^190 437.
Поскольку одной из границ является нуль, такой интервал не содержит полной информации.
10.7. Проверка гипотез
При испытаниях на надежность часто возникают ситуации, когда важно определить, удовлетворяет ли новая система конструктивным требованиям либо установленному стандарту. Это вводит нас в область статистического вывода, называемую проверкой гипотез.
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 281
Строго говоря, гипотезой является допущение о значении параметров совокупности или форме распределения. Например, некоторые критерии, рассмотренные в разделе, посвященном анализу данных, в действительности были просто оценками, полученными при допущении, что распределение является экспоненциальным.
Здесь мы рассмотрим параметры средней и минимальной наработки. Например, в случае параметра минимальной наработки нулевой гипотезой может быть Яо: 9^90, где 90— некоторое конкретное значение. Тогда альтернативной гипотезой будет 9 < 90. В данном случае имеем так называемую составную (нулевую и альтернативную) гипотезу. Такая гипотеза, как ff:9 = 90, называется простой и на практике встречается редко.
Основная схема проверки гипотез состоит в том, что берется случайная выборка (например, xt, х2, ..., хп) из рассматриваемой совокупности и вычисляется критерий значимости ^ = Л(хп х2, ..., хп). Если значение критерия значимости попадает в некоторую заданную критическую область С, то гипотеза Но отвергается. Если 9 = 90, то вероятность принятия гипотезы HQ определяется выражением
Ра = Р[^С|9 = 90]=1-а.
Величина а называется уровнем значимости. Кроме того, величина а известна как вероятность допущения ошибки первого рода, которая определяется как вероятность отклонения гипотезы HQi когда она справедлива.
Допустим, что 9 = 9П при этом 91^90. Тогда вероятность принятия гипотезы Но имеет вид
Ра = РК<С|0=0о]»₽.
Величина (3 представляет собой вероятность появления ошибки второго рода, которая определяется как вероятность принятия гипотезы Но, когда она ложна. Важно заметить, что при проверке гипотез никогда нет полной уверенности в том, что принято правильное решение, однако можно контролировать вероятность допущения ошибок.
Величина Ра является функцией истинного значения параметра 9 и числа отказов г. Можно вычислить Ра для различных значений 9 и с помощью полученных результатов построить график, называемый оперативной характеристикой для данного критерия.
При испытаниях на надежность статистические проблемы, связанные с определением критической области, сравнительно незначительны, и не представляет труда построить оперативную характеристику для критерия. Однако часто является проблемой получение репрезентативной выборки из конкретной сово
282 Глава 10
купности. Обычно выборку составляют опытные образцы или изделия, подготовленные к серийному выпуску. Они подвергаются испытаниям по программе, которая составлена с учетом некоторого типичного применения. Все эти факторы еще более усложняют проблему в целом, и, возможно, единственным способом учесть все эти факторы является применение инженерной оценки наряду с использованием статистических критериев.
10.7.1. Гипотеза о минимальной наработке
Допустим, что на испытания поставлены п изделий и испытания прекращаются в момент появления r-го отказа (г^п). Таким образом, мы получаем упорядоченную последовательность моментов появления отказа: xit х2, ..., хг. Представляют интерес следующие гипотезы:
Яо: 6 = 0, Ht: 6 > 0.
В этом случае, когда, согласно нулевой гипотезе, 6 = 0, может использоваться ранее выведенная статистика [формула (10.30)]. Процедура состоит в следующем:
14 Вычисляется
F е ’
где 0' определяется по формуле (10.25).
2. Гипотеза Но отвергается, если Fc > Fa; 2; 2Г_2, где а—уровень значимости.
Пример 10.21. При выполнении вычислений в примере 10.19» где рассматривалась наработка оттяжных пружин дросселя, мы подучили §' = 2 767241. Тогда
Р —ПХ1 15-190437 “ 2 767 241 '
Критическим значением F для а = 0,05 является
^0,05; а; 18 — 3,55.
Следовательно, нельзя сделать вывод о том, что минимальная наработка отличается от нуля. Разумеется, это следует из установленных ранее доверительных границ для минимальной наработки. Заметим, что существует соответствие между установлением доверительных границ и проверкой гипотез.
10.7.2. Гипотеза о средней наработке -
Вывод критерия для проверки этой гипотезы основывается на том факте, что в случае постановки на испытания п изделий и прекращения испытаний при появлении г-го отказа вели
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 283
чина 2г0/0 имеет распределение хи-квадрат с 2г степенями свободы.
Рассмотрим гипотезы
Яо: 0С0о, 7/t:0>0„.
Тогда при уровне значимости а вероятность принятия гипотезы Яо имеет вид .
Ра==р [?^Х“^|0=0°] = 1-а- (Ю.34)
Процедура^ состоит в следующем:
1. Вычисляется х? = 2г0/0о.
2. Гипотеза Н„ отвергается, если Хс > %«, 2Г.
Оперативная характеристика для этого случая определяется по формуле
Ра = р[х1г<|х*:аг]. (10.35)
Оперативные характеристики, построенные для различных значений г и показывающие зависимость вероятности принятия гипотезы Но от величины отношения Oo/Oi, приводятся в приложении 7. '
Пример 10.22. Рассмотрим снова пример 10.19, касающийся оттяжных пружин дросселя, и примем допущение о нулевой минимальной наработке.
Допустим, что нас интересуют гипотезы:
Но: 0^1 000 000 циклов; Ht: 0 > 1 000 000 циклов.
Тогда для случая нулевой минимальной наработки величина б находится по формуле (10.12):
0 = 2 871 391 циклов, а а_2-10-2871 391 _ --1000000 —
Критическим значением хи-квадрат для а = 0,05 является
Хо.ое; 20 = 31,41.
Таким образом, существуют достаточные основания отвергнуть гипотезу Но и сделать вывод, что 0 > 1 000 000 циклов.
При а = 0,05 оперативные характеристики для этого случая можно найти в приложении 7. С помощью этих оперативных характеристик можно определить, что при истинном значении 0, равном, например, 1500000 циклов, вероятность появления ошибки второго рода составляет около 0,59.
284 Глава 10
Другим возможным случаем является следующий:
//о:О>0о, Я1:0<0О.
Простая перестройка предыдущей теории дает
Ра = Р f4£>%U:a,|e«e0Kl-a. (10.36)
L ° о J
Процедура состоит в следующем:
1. Вычисляется = 2г0/0о.
2. Гипотеза Но отвергается, если %* < х?-а, аг-Характеристические кривые для этого случая также приводятся в приложении 7.
10.7.3. Сравнение двух вариантов изделия
Рассмотрим случай, когда испытываются два варианта изделий. В качестве распределения наработки до отказа для этой совокупности выбирается двухпараметрическое экспоненциальное распределение. Обозначим выборки через Sj и S2, где Sj = (xu, xi2, ..., х1Г1) и St = (x81, х22, ..., x2rj). Здесь nt и п2—соответствующие объемы выборок, a rt и г2—соответствующие точки усечения (г* пь rt п2). Для простоты за примем выборку, ДЛЯ КОТОрОЙ ХП^Х21.
Рассмотрим гипотезы
Яо: 0£ = 02, Я,: 0£^02.
Процедура проверки состоит в следующем:
I Вычисляем г» 2(х2/—х2) + (п2—г^(х2Гг—х2)
С = . (10.37)
S (Х1/—Х11)+ («!—/-!) (xln —хи) / = 1
2. Вычисляем
Fe = r-±=\c. (10.38)
'2 1
3. Гипотеза Но отвергается, если
Fс > Fa.lT, 2Г2-2; 2Г1-2 ИЛИ Fc
ra/2; 2fj-2; 2г8-2
Пример 10.23. Электронно-лучевые трубки подвергались испытаниям на надежность до появления пяти отказов. Через некоторое время были поставлены на испытания еще 10 электроннолучевых трубок с целью проверки влияния другого метода обра
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 285
ботки на среднюю наработку. Были зарегистрированы следующие моменты выхода из строя (в ч):
S1 102 137 161 195 230 2 = 825
«$2 160 161 205 241 270 2=Ю37
В данном случае гипотезами являются
Яо: 01 = 02 и Hf. 0f#=02.
Вычисляем
С = У^=1,43 и Fe = C=l,43.
Критические значения составляют
г-------= ТТз=0,23 И ^0,025; 8; 8 = 4,43.
Г0,025;8;8 ’
Таким образом, гипотезу Но отвергнуть нельзя.
Могут представлять интерес следующие гипотезы о минимальной наработке:
Яо: 6, = 63, Hi. 6fy=6a.
Процедура проверки состоит в следующем:
1. Вычисляем
d=—---------. (10.39)
2 (X2j—*21) + (П2-^Г J (*2Га“'*21) /=1
2. Вычисляем
Fe=^=^d. (10.40) -
3. Гипотеза Яо отвергается, если Fc > Fa; i; 2Г1_2,
10.8. Ожидаемая продолжительность испытаний
При оценивании средней наработки и вероятности безотказной работы точность оценки зависела от числа отказов г, при котором прекращаются испытания, а не от числа изделий п, подвергающихся испытаниям. Это означает, что обеспечивается одинаковая точность как при испытаниях п изделий до появления отказов, так и при постановке на испытания п изделий и прекращении испытаний в момент появления r-го отказа.
Возникает логичный вопрос: зачем ставить на испытания более г изделий? Ответ: для экономии времени. Испытания
286 Глава 10
Таблица 10,14
Требуемая доля времени при испытаниях до выхода из строя г из п изделий
Число Число отказов, при котором
испытываемых изделий п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1,000
2 0,500 1,000
3 0,333 0,556 1,000
4 0,250 0,389 0,591 1,000
5 0,200 0,300 0,427 0,616 1,000
6 0,167 0,244 0,336 0,456 0,635 1,000
7 0,143 0,206 0,278 0,365 0,479 0,650 1,000
8 0,125 0,179 0,237 0,305 0,387 0,497 0,663 1,000
9 0,111 0,157 0,207 0,262 0,327 0,406 0,513 0,673 1,000
10 0,100 0,141 0,183 0,230 0,283 0,345 0,423 0,526 0,682 1,000
11 0,091 0,127 0,165 0,205 0,250 0,301 0,361 0,437 0,537 0,690
12 0,083 0,116 0,150 0,185 0,224 0,267 0,316 0,375 0,449 0,547
13 0,077 0,107 0,137 0,169 0,202 0,240 0,282 0,330 0,388 0,460
14 0,071 0,099 0,126 0,155 0,185 0,218 0,254 0,295 0,342 0,399
15 0,067 0,092 0,117 0,143 0,170 0,200 0,232 0,267 0,307 0,353
16 0,063 0,086 0,109 0,133 0,158 0,184 0,213 0,244 0,279 0,318
17 0,059 0,081 0,103 0,125 0,147 0,171 0,197 0,225 0,255 0,289
18 0,056 0,076 0,096 0,117 0,138 0,160 0,183 0,208 0,235 0,265
19 0,053 0,072 0,091 0,110 0,130 0,150 0,171 0,194 0,219 0,245
20 0,050 0,068 0,086 0,104 0,122 0,141 0,161 0,182 0,204 0,228
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 287
прекращаются испытания, г
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1,000 -
0,696 1,000
0,556 0,703 1,000
0,470 0,564 0,708 1,000
0,409 0,479 0,572 0,713 1,000
0,363 0,418 0,487 0,578 0,717 1,000
0,328 0,373 0,426 0,494 0,583 0,722 1,000
0,299 0,337 0,381 0,434 0,501 0,590 0,725 1,000
0,275 0,308 0,345 0,389 0,441 0,507 0,595 0,729 1,000
0,255 0,284 0,316 0,353 0,396 0,448 0,513 0,600 0,732 1,000
288 Глава 10
прекращаются в момент tr, и ожидаемая продолжительность испытаний (см. приложение 10.Е) имеет вид
«юли i= 1
Дисперсия задается выражением
Г
= (10-42>
Экономию времени при проведении испытаний можно оценить, рассматривая отношение Е (tr, „)/Е (tf( г), где E(tr<n) — ожидаемая продолжительность испытаний п изделий, когда они испытываются до появления r-го отказа. Полученные результаты приводятся в табл. 10.14. Например, если на испытания ставятся 10 изделий и испытания прекращаются при появлении пятого отказа, то потребуется только 28% времени, необходимого для появления отказа у пяти изделий.
10.9. Краткие выводы
В этой главе мы пытались дать исчерпывающее изложение статистических выводов для случая экспоненциального распределения наработки до отказа. Экспоненциальное распределение лучше всего подходит в качестве модели отказов, если система состоит из большого числа элементов. Композиция распределений наработки до отказа для отдельных элементов при определенных условиях дает экспоненциальное распределение наработки системы до отказа.
Один из параметров экспоненциального распределения 0, называейый средней наработкой на отказ, оценивается как 0 = Т/r, а величина 2г0/0 имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы. Напомним, что эти два соотношения позволяют оценить вероятность безотказной работы или определить доверительные интервалы в случае экспоненциального распределения наработки на отказ, используемого при испытаниях на надежность.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для метеорадиолокатора пассажирского самолета средняя наработка на отказ составляет 1140 ч. При допущении об экспоненциальном распределении наработки до отказа дайте ответ на следующие вопросы: а) Какова вероятность отказа системы в полете продолжительностью 4 ч? б) Какой должна быть максимальная дальность полета, чтобы вероятность безотказной работы была
Оценивание надежности! экспоненциальное распределение 289
не меньше 0,99? (Предполагается, что в полете система работает непрерывно.)
2. Для танка ХМ-1 средняя наработка на отказ составляет 810 км. При допущении об экспоненциальном распределении наработки до отказа дайте ответ на следующие вопросы: а) Какой должна быть максимальная дальность боевого рейда, чтобы вероятность возвращения танка составила 0,98? б) Какова вероятность того, что танк вернется из боевого рейда дальностью 160 км? в) Сколько танков нужно послать в боевой рейд дальностью 160 км, чтобы с вероятностью 0,99 не менее пяти танков прибыли в заданный район (расстояние до которого составляет 80 км)?
3. Испытывались 10 автомобильных двигателей в течение времени, эквивалентного пробегу 50 000 км. При проведении внеплановых операций технического обслуживания регистрировались показания одометра. Получены следующие данные:
Номер двигателя Показания одометра, км
01 220 11 970 21 397 27 766
02 45 270 48836
03 25 695 25989 30 980 32 769 47 459
04 4 200 14 672 21 831 29 187 31 964 36 535 44 094
05 3 900 29 147 31 613 37 524 43 601 45 028
06 12 750 21 183 23 649 33348 40 907
07 3 730 6 300 11 840
08 22 565 22 710 28 301 31 628 45 784 47 213
09 12 759 14 548 19 539 41 108 44 550
10 12212 18 727 41 854 42 169 47 996
а) Можно ли для описания этих данных использовать экспоненциальное распределение (принять а = 0,10)? б) Если ответ будет положительным, определите среднюю наработку на отказ.
4. Приведенные здесь данные показывают наработку на отказ, выраженную через дальность пробега (км):
43 000 68 000 27 200 40 500 10 600 109 000 12 400 14 200
27000 46000 4100 2 600 200000 2 400 18200 24 500
а) Оцените возможность использования в данном случае экспоненциального распределения. Если экспоненциальное распределение окажется приемлемым, б) оцените среднюю наработку на отказ; в) установите 90%-ную нижнюю доверительную границу для дальности пробега, при которой вероятность отказа составляет 10%; г) определите 90%-ные доверительные границы для вероятности безотказной работы при дальности пробега 24 000 км.
10 № 544
290 Глава 10
5. Дополнительные испытания при условиях упражнения 4 дали следующие результаты (в км):
1650 61 000 1 400 1670 182 400
14 300 61 700 21 700 65 000 28 700
20 900 215 000 184 300 121 400
Оцените возможность использования экспоненциального распределения, используя а = 0,10.
6. Получены следующие данные о наработке на отказ систем кондиционирования воздуха реактивных самолетов «Боинг-720».
Значения наработки на отказ (в км)
Номер самолета
7907 | 7908 7909 7910 7911 7912 | 7913 | 7914 791.» 7916 7917 8044 | 8045
194 413 90 74 55 23 97 50 359 50 130 487 102
15 14 10 57 320 261 51 44 9 254 493 18 209
41 58 60 48 56 87 11 102 12 5 100 14
29 37 186 29 104 7 4 72 270 283 7 57
33 100 61 502 220 120 141 22 603 35 98 54
181 65 49 12 239 14 18 39 3 12 5 32
9 14 70 47 62 142 3 104 85 67
169 24 21 246 47 68 15 2 91 59
447 56 29 176 225 77 197 438 43 134
184 20 386 182 71 80 188 230 152
36 79 59 33 246 1 79 3 27
201 84 27 *** 21 16 88 130 14
118 44 * * * 15 42 106 46 230
59 153 104 20 206 5 66
34 29 26 35 5 82 5 61
31 118 326 12 54 36 34
18 25 120 31 22
67 156 11 216 139
57 310 3 46 210
62 76 14 111 97
7 26 71 39 30
22 44 11 63 23
34 23 14 18 13
62 11 191 14
*** 16 18
130 90 163
208 1 24
70 16
101 52
208 95
Звездочки (♦♦♦) обозначают полный капитальный ремонт кондиционера, однако наработка на отказ определялась без учета полного капитального ремонта.
Данные взяты из статьи Prochan F., Theoretical Explanation of Observed Decreasing Failure Rate, Technometrics, V. 5, No. 5 (August 1963).
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 291 -
а) Используя методику, рассмотренную в гл. 2, постройте график интенсивности отказов для системы кондиционирования воздуха самолета № 7909, а также график интенсивности отказов для всех систем кондиционирования воздуха, б) Проведите проверку данных для систем кондиционирования воздуха самолета № 7909 и для систем всех самолетов, используя а=0,10. в) Найдите среднюю наработку на отказ, г) Используя вычисленное значение средней наработки на отказ, постройте график эмпирической функции распределения и для сравнения здесь же постройте график суммарной доли времени безотказной работы кондиционеров, вычисленной с помощью приведенных данных.
7. Автомобиль проходил испытания во время пробега на расстояние 120 000 км. При появлении каждого отказа определенного вида были зарегистрированы следующие показания одометра (в км):
4 123 10 506 27 720 40 887 63 582 100 763
4 497 12 317 28 496 48 323 66 057
При допущении об экспоненциальном распределении наработки на отказ определите, отличается ли интенсивность отказов на первых 40 000 км от интенсивности отказов на последних 80 000 км (используйте а = 0,10).
8. При испытаниях автомобиля произошли серьезные отказы электрического оборудования при следующих значениях пробега (в км):
63 14 820 17 393 19 179 23 128 33 832
114 16 105 18 707 22 642 24 145 34 345
Автомобиль прошел 36 000 км. а) Найдите среднюю наработку на отказ, б) Определите 90%-ный двусторонний доверительный интервал для средней наработки на отказ, в) Оцените вероятность безотказной работы, г) Определите 95%-ную нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной работы при наработке 12 000 км. д) Определите 90%-ный доверительный интервал для наработки, при которой 10% изделий выйдет из строя.
9. Во время испытаний шести автомобилей при суммарной дальности пробега 600 000 км произошло 69 отказов. При допущении об экспоненциальном распределении наработки на отказ: а) найдите среднюю наработку на отказ; б) определите 90%-ную нижнюю доверительную границу для средней наработки на отказ; в) определите 90%-ную нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной работы.
10. Клапан коробки передач проработал 9276 циклов, после чего испытания были прекращены, так как вследствие выхода из строя масляного насоса клапан перегрелся и сгорел, а) Определите 90%-ную нижнюю доверительную границу для средней ю*
292 Глава 10
наработки на отказ, б) Второй клапан другой конструкции вышел из строя, проработав 19 460 циклов. Руководителям фирмы нужны рекомендации, какой клапан лучше. Каким будет ваш ответ?
11. Изделие нового образца поступает на испытания; если окажется, что оно лучше изделия старого образца, то заменит его. Всесторонние испытания изделия старого образца в течение нескольких лет показали, что средняя наработка на отказ составляет 1250 ч. Если у изделия нового образца средняя наработка на отказ окажется на 50% выше, чем у изделия старого образцу, то с вероятностью 80% будет отдано предпочтение изделию нового образца. Если же новое изделие окажется не лучше старого, то с вероятностью 95% новое изделие не будет выбрано, а) Сколько отказов необходимо наблюдать? б) Полагая, что изделие нового образца имеет среднюю наработку на отказ 1565 ч, а испытания должны проводиться до выхода из строя всех изделий, определите, какова ожидаемая продолжительность испытаний? в) Сколько изделий необходимо поставить на испытания, чтобы сократить их продолжительность на 30% ?
12. Получены следующие данные о наработке на отказ, выраженные через дальность пробега (в км):
14 240 27 950 16870
25988 22 819 16152
14 749 18656 10170
21 909 14 749 8170
41810 21 089 8169
22 128 16 432 12 195
При допущении о ненулевой минимальной наработке: а) найдите параметры двухпараметрического экспоненциального распределения; б) определите 95%-ный доверительный интервал для этих параметров; в) определите, при какой дальности пробега выйдет из строя 10% изделий, и определите 90%-ную нижнюю доверительную границу для этой величины.
13. Получены следующие данные наработки до отказа (в ч) двух образцов лазерного устройства наведения при испытаниях в тяжелых условиях работы:
1 726 189 209 8 113 260 1604 430 25 39 177 660 1880 260 905 751
2 411 203 306 535 417 394 246 279 554 570 1259 346 708 519
а) Существует ли статистически значимое различие между этими двумя образцами?
б) Существует ли ненулевая минимальная наработка для каждого образца?
14. Принимая допущение о ненулевой минимальной наработке, найдите 90%-ную нижнюю доверительную границу для
Оценивание надежности:' экспоненциальное распределение 293
вероятности безотказной работы (п = 20) при следующих данных о наработке до отказа (в ч), полученных при испытаниях на надежность: 508, 525, 539, 613, 677, 689, 709, 760, 930, 1160, 1226, 1251, 1405, 1683.
15. Из журналов учета технического обслуживания автомобилей в таксомоторном парке известно, что подшипники колес выходят из строя в среднем через 200000 км пробега при техническом обслуживании в обычном объеме. При допущении об экспоненциальном распределении найдите вероятность выхода из строя одного или большего числа подшипников при наработке менее 100000 км.
16. Элементами цилиндра дизельного двигателя являются поршень, гильза цилиндра и шатун. Интенсивность отказов для этой системы составляет 0,03000 отказа на 200000 км пробега. Появление отказа приводит к значительному увеличению потребления масла и как следствие—к претензиям потребителей.
Предполагается, что при затратах в сумме 125 тыс. долл, на инженерное проектирование и незначительные изменения технологической оснастки интенсивность отказов можно уменьшить на 0,00004 отказа на 200 000 км пробега.
Рассматриваемый дизельный двигатель имеет шесть цилиндров, и ежегодно продается около 150000 двигателей для установки в грузовых автомобилях-тягачах. Целесообразны ли эти затраты с точки зрения фирмы? Проанализируйте ситуацию и составьте краткий технический отчет руководителю фирмы.
17. Вероятность безотказной работы военного автомобиля составляет 0,975 при дальности пробега 200 км. а) Какова средняя наработка на отказ для этого автомобиля? б) Сколько таких пробегов можно совершить, прежде чем вероятность невыполнения боевой задачи превысит 10%?
18. В соответствии с условиями контракта на разработку и изготовление военного автомобиля подрядчик обязан продемонстрировать при 90%-ном доверительном уровне вероятность безотказной работы 0,98 при наработке 150 км. Метод проведения испытаний состоит в том, что шесть автомобилей проверяются на испытательном треке на дальность пробега более 6000 км. а) Какова средняя наработка на отказ, требуемая контрактом? б) Какое максимальное число отказов допустимо при демонстрационных испытаниях, чтобы при этом условия контракта все же выполнялись? Постройте оперативные характеристики для этих испытаний (а = 0,05).
ЛИТЕРАТУРА
1. A/ttman О. L., Goor С. G., Actuarial Analysis of the Operating Life of B-29 Aircraft Engines, Journal of The American Statistical Association^ 41 (1946).
294 Глава 10
2. Bazovsky I., Reliability Theory and Practice, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1961. [Имеется перевод: Базовский И. Надежность. Теория и практика.—М.: Мир, 1965.]
3. Bulgren W. G., Hewett L. Е., Double Sample Tests for Hypotheses about the Mean of an Exponential Distribution, Technometrics, 5, 1 (February 1973).
4. Cox D. R., Smith W. L., On the Superposition of Renewal Processes, Biometrika, 41 (1954).
5. Davis D. J., An Analysis of Some Failure Data, Journal of The American Statistical Association, 48, 258 (June 1952).
6. Drenick R. F., Mathematical Aspects of the Reliability Problem, Journal of the Society of Industrial and Applied Mathematics, 8, 1 (March. 1960).
7. Epstein B., Truncated Life Tests in the Exponential Case, Annals of Mathematical Statistics, 25 (1954).
8. Epstein B., The Exponential Distribution and Its Role in Life Testing, Industrial Quality Control, December 1958.
9. Epstein B., Estimation from Life Test Data, Technometrics, 2, 4 (November 1960).
10. Epstein B., Life Test Acceptance Sampling Plans When the Underlying Distribution of Life is Exponential, Proceedings of the Sixth National Symposium on Reliability and Quality Control, Washington, D. C., January 11—13, 1960.
11. Epstein B., Statistical Life Test Acceptance Procedures, Technometrics, 2, 4 (November 1960).
12. Epstein B., Tests for the Validity of the Assumption that the Underlying Distribution of Life is Exponential., Technometrics, 2, 1 (February 1960).
13. Epstein B. Tests for the Validity of the Assumption that the Underlying Distribution is Exponential, Part II, Techno metrics, 2, 2 (May 1960).
14. Epstein B., Statistical Techniques in Life Testing, PB-171580 U.S. Department of Commerce,- Office of Technical Services, Washington, D. C., 1959.
15. Epstein B., Sobel M., Life Testing, Journal of the American Statistical Association, 48 (1953).
16. Epstein B., Sobel M., Some Theorems Relevant to Life Testing from an Exponential Distribution, Annals of Mathematical Statistics, 25 (1954).
17. Epstein B., Tsao С. K., Some Tests Based on Ordered Observations from Two Exponential Populations, Annals of Mathematical Statistics, 24 (1953).
18. Grubbs F. E., Determination of Number of Failures to Control Risks of Erroneous Judgments in Exponential Life Testing, Technometrics, 15, 1 (February 1973).
19. Halperin M., Maximum Likelihood Estimation in Truncated Samples, Annals of Mathematical Statistics, 23 (1953).
20. Hogg R. V., Craig A. T., Introduction to Mathematical Statistics, 2nd ed., New York, Macmillan, 1965.
21. Kumar S., Patel H. I., A Test for the Comparison of Two Exponential Distributions, Technometrics, 13, 1 (February 1971).
22. Lamberson L. R., An Evaluation and Comparison of Some Test for the Validity of the Assumption that the Underlying Distribution of Life is Exponential, Al IE Transactions, 12 (December 1974).
23. Military Standard 781B, Reliability Tests: Exponential Distribution, Department of Defence, November 1967.
24. Mood A. M., Graybill F. G., Introduction ot the Theory of Statistics. 2nd ed., New York, McGraw-Hill, 1963.
25. Paulson E., On Certain Likelihood-Ratio Test Associated with the Exponential Distribution, Annals of Mathematical Statistics, 12 (1941).
26. Prochan F., Theoretical Explanation of Observed Decreasing Failure Rate, Technometrics, 5, 2 (August 1963).
27. Sasieni M., Yaspan A., Friedman L., Operations Research: Methods and Problems, New York, John Wiley and Sons, 1959.
Приложения к гл. 10. Дополнительный теоретический материал
В приложениях 10.А —10.Е приводятся некоторые обоснован ния и доказательства, связанные с применением экспоненциального распределения. Мы считаем, что этого материала достаточно для понимания теории.
10.А. Соотношение между экспоненциальным и пуассоновским распределениями
Экспоненциальное и пуассоновское распределения связаны друг с другом еледующей теоремой.
Теорема. Если наработка на отказ является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с параметром 9, то число отказов в интервале продолжительностью t единиц является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром //0, т. е. если
f (%) = -i- ехр (— х/0), х > 0,
где х—наработка на отказ (случайная величина), то Для иНтер* вала продолжительностью t единиц имеем
р(г)^ (Wexp (- tty,
где г—число отказов, наблюдаемых в интервале продолжительностью t единиц.
Доказательство. Пусть N (/)—число отказов в интервале [0, /], а Тг—момент появления r-го отказа. Заметим, что
N(0<r
тогда и только тогда, когда
Tr>L
Или
Р[М(0<г] = Р(Т,>П и
P[N Ю<г + 1] = Р(Тг+1>0.
296 Глава 10
Следовательно,
Р [N (0 = г] = Р (Тг+1 > 0 - Р (Tr > 1}! = [1 - Р (lr+i < 0] -- [1 - Р (Тг < 0J = Р (Т, < О-Р (Т,+1 < 0 = Ртг (t)-Frr+, (О-
Но Тг = х1 + х2+ ... +хг, где xz—независимые случайные величины, распределенные по экспоненциальному закону. Производящая функция моментов для Тг имеет вид
МТг(8) = [Л4х (s)]'.
В случае экспоненциального распределения
Следовательно,
откуда
f<Tr) = -----(7±T)-r-Z— > Л>0.
Интегрируя, получаем
р —е“7>/° (—Т Y-1 /•
(0- -—„X (Т^п] T’W'-
о о
После интегрирования по частям находим, что структуру этих выражений можно представить как
(Я'‘ + (7=51 (т)'”+ + 1] + 1
И
откуда
Р [N (0 = г] = Гтг (0-Frr+l (0 = [- ± (I)'] = №ге~Ув.
Последнее выражение представляет собой функцию пуассоновского распределения с параметром t/Q.
Таким образом, если в некотором интервале [0, /] наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение с параметром 0, то число отказов имеет пуассоновское распределение с параметром t/Q. Заметим, что нужно знать только длительность интервала t, а не момент начала этого интервала.
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 297
10.Б. Соотношение между экспоненциальным распределением и распределением хи-квадрат
Рассмотрим наработку до отказа t, когда
/>0.
Теорема. Случайная величина y = 2t/0 имеет, распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы.
Доказательство. Имеем dy = (2fii)dt и / = (0/2) г/. Используя соотношение
I I
получаем (разд. 5.1)
g(y)dy=±e-y/2dy, y^Q.
Данная формула выражает плотность распределения хи-квадрат с двумя степенями свободы.
10.В. Оценка максимального правдоподобия для средней долговечности
Вначале рассмотрим задачу нахождения функции максимального правдоподобия при некоторых условиях проведения испытаний на надежность. Допустим, что испытаниям на надежность подвергаются два изделия и регистрируются моменты выхода их из строя и /2. В данном случае tt /2, т. е. моменты выхода из строя упорядочены и, следовательно, не являются независимыми. Эта зависимость показана на рис. 10.4.
Для случая, изображенного на рис. 10.4, имеем следующую функцию правдоподобия:
L (tt, /2; 0) = 2f (/f; 0) • f (/2; 0), 0< < f2.
В общем случае для п. упорядоченных отказов функция правдоподобия имеет вид
Ь(^/8,...,/„;0) = п!ПН^ 0).
1 = 1
которая для экспоненциального распределения записывается кац
М ^ехр(~Х (i/Q\
298 Глава 10
Можно с уверенностью сказать, что это упорядочение ничего не меняет, если все п изделий выходят из строя. Однако, если испытания прекращаются после появления г отказов, где г < п, то наблюдения охватывают' самые слабые изделия выборки, и в этом случае упорядочение необходимо принимать во внимание.
Рис. 10.4. Испытания двух изделий на надежность.
Максимизация функции правдоподобия для п изделий позволяет получить оценку параметра 0:
п
Г А
10.В.1. Случай, когда не производится замена отказавших изделий
Рассмотрим случай, когда на испытания ставятся п изделий и испытания прекращаются при появлении г-го отказа (г < п). Функция правдоподобия имеет вид
£ =___2*___Le-/i/0-Lz>-G/0 . J_e-/r/0.e-(n-r)^/9_
• (п — r) 10е 0е де е —
П| 1 (rt_r)!0rexP
(10.В.1)
Логарифмируя, получаем
1п/. = 1п{^у1-г1п9—i
Z h + (n — r) tr 1=1
Оценивание надежности? экспоненциальное распределение 299
Дифференцируя по 0 и приравнивая результат нулю, получаем
О О2
Решая это уравнение относительно 0, получаем оценку 0, максимизирующую InL, а следовательно, и функцию правдоподобия L:
Поскольку плотность совместного распределения случайных величин tn t2, ..., tr, входящих в формулу (10.В.1), можно представить как g(Q, tr), то оценка 0 является
достаточной.
10.В.2. Случай, когда производится замена отказавших изделий
Рассмотрим случай, когда испытываются п изделий и производится замена изделий, вышедших из строя во время испытаний, которые прекращаются через заданный промежуток времени. Для наглядности представим себе, что имеется п пронумерованных стендов: 1,2, ...,п. Пусть xz—число отказов на ьм стенде, а у—общее число отказов, наблюдаемых в интервале т. Тогда
п
У = 2 */•
1 = 1
Таким образом, если случайная величина х, имеет пуассоновское распределение с параметром т/0, то случайная величина у также имеет пуассоновское распределение с параметром пт/0, т. е.
(тгУ ехр ( — пт/0)
P(y)=k » // = 0,1,2.....
У •
Если y = r = const, то
(пт;\г /
-и- ехр (— пт/0)
L(r,0) = ib' -----------
И
1пЛ==г|— 1п0-|-1п(пт)]—1пг! —•
300 Глава 10
Для максимизации InL необходимо, чтобы 1 , пт п г 0 02 — °’
или
Поскольку оценки максимального правдоподобия инвариантны, то для вероятности безотказной работы во всех случаях их можно записать в виде
R (х) = ехр (— х/0), х 0.
Читателю предлагается интересная задача — найти распределение оценки R (х), а затем ее математическое ожидание и дисперсию.
10.Г. Определение доверительных интервалов
10.Г.1. Наблюдение моментов выхода из строя
Рассмотрим задачу определения доверительных интервалов для 0 (или R). Вначале рассмотрим случай, когда п изделий подвергаются испытаниям, которые прекращаются после появления г отказов (г ^п). Находим, что
2 /,+(»-/•)/, 6=^1____________.
г
Введем новые переменные
y,=tz-i=l, 2, ...,/•; /о = 0. (10.Г.1)
Теорема.. Случайные величины yz взаимно независимы, и каждая случайная величина у,- имеет плотность распределения [(п—i4-l)/0]exp{-[(n-i+l)yz/0]}.
Доказательство. Используя формулу (10.В.1) для плотности совместного распределения случайных величин t,-, имеем
k
f (Уи У„---, У А 9) = ‘1 '• (10Т-2)
где случайные величины yz необходимо подставить в выражение
Л =2 t, + (n—r)tr. (10.Г.З)
4=1
После простых алгебраических преобразований формулы (10.Г. 1) получаем i
Оценивание надежности? экспоненциальное распределение 301
Подставляя это выражение в формулу (10.Г.3), получаем
Г
k= 5 («— i + l)y?.
I « 1
Рассмотрим теперь якобиан для этого преобразования (заметим, что это простое взаимно-однозначное преобразование). Для i — = 1, 2, ..г имеем
Qtt ( 1, если j tyj ~ ( 0, если j > i. Следовательно,
|7| = 1.
После подстановки полученных результатов в формулу (10.Г.2)
получаем
1(У1, Уг> •
L i = I
Безусловное распределение случайной величины yft можно получить, интегрируя г— 1 раз плотность совместного распределения:
ехР, — И (п~ » + 1)у(70 х L
Хехр[—(n—р + V)yp/&]dyp П dy{.
i^k, р
Пусть и~ — (1/0)(п—р+1)ур, тогда du = — (1/0)(n—р + V)dyp. Следовательно, после однократного интегрирования плотность безусловного распределения можно выразить с помощью п—2 интегралов:
• • Jexp [-E(n-J‘+ 0 MQ]x
X{exp[—(n—p+l)p/0]}S. П dye
i- 1 p
Заметим, что после интегрирования всех случайных величин, кроме у*, произведение [п!/(п—г) !][l/(n—р+1)] становится равным (п—k+1). Следовательно, безусловное распределение случайной величины yk после интегрирования г—1 раз принимает вид
h (Уk) = (п—k+ 1) -g-exp [— (n—k + 1) z/ft/0], ук 0.
302 Глава 10
В общем случае существует взаимная независимость, если Ж. У2, •••. yr) = h(yl)h(yi)...h(yr),
и в этом случае
П {(«—i + 1) у ехР (п ~1 + 1) ^/01} =
п 1
(и —г)
1 O'-
ехр
г
— ^(n—i + l)yi/e i=\
Таким образом, у{ и у7 (/¥=0—взаимно независимые случайные величины, имеющие заданное распределение.
Найдем распределение оценки 9~. Рассмотрим оценку, выраженную через у,-, в виде
Г
1= 1
Поскольку случайные величины yz взаимно независимы, для нахождения распределения оценки 0 можно использовать производящую функцию моментов. При экспоненциальном распределении случайной величины yz
^yz(s)= g • n—i‘+l s
Тогда
= Му. s) Му, s) ...МУг =
= —V-Y . (10.Г.4)
1----S
г
откуда следует, что
f (0) =77=Т)Т (трГ-1 ехр I- <0W. (10.Г.5)
Заметим, что £(9) = 9; следовательно, 9 является несмещенной оценкой для 9. Кроме того, а2 (9) = 92/г; это выражение идентично нижней границе Крамера — Рао. Таким образом, оценка 9 имеет минимальную дисперсию и является эффективной.'
Очевидно, что доверительный интервал для 9 можно найти непосредственно по формуле (10.Г.5), однако большим преимуществом является возможность использования распределения, для которого составлены таблицы процентилей. Напомним, что если случайная величина z имеет распределение хи-квадрат с k
Оценивание надежности: экспоненциальное распределение 303
степенями свободы, то
/(г) =-----г>0.
2*'2Г (yj
Таким образом, если в формуле (10.Г.5) провести небольшое преобразование:
z___
2 о ’
или
2г0 е ’
то
dz = ^-db, и
и после соответствующих подстановок эта формула принимает вид
f (?) = ..... ——-2'(Г—1)1 Z С
Очевидно, что 2г0/0 имеет распределение хи-квадрат с 2г степенями свободы. Теперь можно задать доверительный интервал 1—а как
Р у2 у2 —J___а
[_М-а/2; 2Г ^=5 0 Ла/2; 2rJ ’
или
• —• (10.Г.6),
%а/2; 2г %1 -а/2; 2г
Если нижнюю и верхнюю границы для 0 в формуле (10.Г.6) обозначить через L и U соответственно, то доверительный интервал для вероятности безотказной работы можно записать в виде
e-‘/L^R(t)^e-W. (10.Г.7)
10.Г.2. Число отказов, наблюдаемых в интервале
В некоторых случаях регистрируется число отказов, появившихся в процессе испытаний за определенный промежуток времени. Чтобы установить доверительные интервалы в этом случае, используем известное соотношение между суммой членов пуассоновского распределения и интегралом распределения хи-квадрат. По существу мы устанавливаем доверительные границы для математического ожидания пуассоновского распределения,
304 Глава 10
Найдем 100 (1—а)%-ные доверительные границы для случая, когда наблюдаемое число отказов г в интервале времени Т известно. В этом случае пуассоновское распределение можно записать в виде
Р(х) = -^, х = 0, 1, 2.....
где Х = 7'/0, а х—число отказов, появляющихся в интервале времени Т. Доверительные границы находим, решая уравнения
<«о-г.в> х=0
И
= 1 (Ю.Г.9)
х= t
относительно %. В уравнении (10.Г.8) а/2 обозначает вероятность появления г или меньшего числа отказов при данном Л. Эта вероятность уменьшается, когда % возрастает при заданном г. Таким образом, это уравнение дает верхний предел для X. Для уравнения (Ю.Г.9) справедливо обратное соотношение. Уравнения (10.Г.8) и (10.Г.9) можно записать в виде
Р(х<г|Хи) = |,
Р(х>г|М = у.
Рассмотрим теперь неполную гамма-функцию
W
Г(а»; о, Р) = J dx.
о
Последовательно интегрируя по частям, можно легко определить структуру выражения а
Ну, а,р)^1_£^1. (ю.г.ю)
г х=0 н
Чтобы установить соотношение этого выражения с искомой пуассоновской суммой, полагаем г/=Х, 0=1 и о = г. Тогда уравнение (Ю.Г.Ю) принимает вид
Г(Х; г, 1)=1 —Р(х<г|Х), т. е.
- Г(Л„; г, 1)=1-1
Оценивание надежности? экспоненциальное распределение 305
И
Г(^; г-1, 1) = |.
Эти выражения можно использовать для нахождения %о и с помощью таблиц для неполной гамма-функции; однако известно, что гамма-функцию можно легко связать с распределением хи-квадрат.
Рассмотрим неполную гамма-функцию
х
Г (%; г, =
о
Пусть х=г/2 и г = о/2—1, тогда 2dx = dz. После подстановки получаем
2 X
Р 2(0/2)-1 г<х; г, 1)= г(„;2)2.;,
0
т. е. имеем распределение хи-квадрат с числом степеней свободы и = 2(г-Ь1). Таким образом,
%а/а; а (г+1)*
Нижнюю границу находим аналогичным образом в виде 2^ = xj_a/a. аг-
Рассматривая совместно эти два выражения, получаем 100(1 — — а)%-ные доверительные границы:
Х1-а/2; 2г п Ха/г; 2(г-1) ---------§,
ИЛИ
2Т
%а/2: 2(г + 1)
2Т
м-а/з; ar
(10.Г.11)
Заметим, что если за время Т число отказов равно нулю, тем не менее можно получить нижнюю доверительную границу.
10.Д. Ненулевая минимальная наработка
В этом случае плотность распределения имеет вид f(x; 0, 6)«уе-<1/ех*-в), х>б>0. (10.Д.1)
Для случая испытаний на надежность, прекращаемых при появлении r-го отказа, функция правдоподобия имеет вид
, П ! I
L~~ (Е ехр
(xt — б) + (п — г)(х, — б)
(Ю.Д.2)
306 Глава 10
Логарифмируя, получаем lnL=ln , —
(n—г)1
У (х(—б)4-(п—г) (хг —б) .
-Г In 0-1
Дифференцируя по 0, полагая (d/d0) In L — 0 и решая полученное уравнение относительно 0, имеем
2j (v * * * * xt—s)+(«—r)(xr~6)
0 = -^-------------------. (Ю.Д.З)
Заметим, что L—монотонно возрастающая функция переменной 6, a откуда
6==Xj.
Поскольку хх—минимальная порядковая статистика в выборке объемом и, случайная величина имеет плотность распределения
£(хг) = п[1 — F(Xi)]»-1/(Xj)= ,
= -g-exp[— n(x,— 6)/0], Xj>6, (10.Д.4)
и математическое ожидание случайной величины xf имеет вид
£(Х1) = 6+4-
Это указывает на то, что оценка для б может быть представлена в виде
S = xf-1-, (Ю.Д.5)
где 0' — несмещенная оценка для 0.
Рассмотрим теперь числитель формулы (Ю.Д.З), в котором 0' заменено на 0. Имеем
v = 2 (*/—Х1)4-(п —г)(хг—xj. (Ю.Д.6)
Z= 2
Используя способ, аналогичный рассмотренному в случае минимальной наработки [формула (10.Д.1)], введем обозначение
Wi = (n—i+ l)(xz—xf_t), х0 = б.
Заменяя переменные в формуле (Ю.Д.З), получаем
/Г \
/(®1> .....®г) = 4’еХр( “ S Wi/Q]-
Оценивание надежности? экспоненциальное распределение 307
На этот раз якобиан преобразования равен (п—r)l/nl. Заметим, что безусловным распределением для t=l, 2.........г яв-
ляется распределение
• g(«'i) = 4’exP^— wi>®- (10.Д.7)
Таким образом, wz—независимые одинаково распределенные случайные величины.
Формула (10.Д.6) для случайных величин wz принимает вид
v=2w(. (Ю.Д.8)
i = 2
Случайная величина 2v/0 имеет распределение хи-квадрат с (2г — — 2) степенями свободы. Следовательно,
Е 2,
\ и /
ИЛИ
£(v) = 0(r—1).
Таким образом, несмещенная оценка для 0 имеет вид
2 to—*i)+(«-'’) (*г—*1)
§' = —--------. (Ю.Д.9)
10.Д.1. Доверительные границы для средней наработки 0
Известно, что 2 (г—1)0'/0 имеет распределение хи-квадрат с (2г—2) степенями свободы. Следовательно, определение доверительных границ производится аналогично. В данном случае 100(1—а)%-ные двусторонние границы имеют вил
2(r-l)fr 0< 2(r-l)fr
^а/а: 2г-а Xi-а/г: гг-2
10.Д.2. Доверительные границы для минимальной долговечности 6
Рассматривая формулу (10.Д.4) и выражение для случайной величины wx, имеем
2n(xi—б) 2п § “ о wi*
308 Глава 10
Эта случайная величина имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы. С помощью формул (10.Д.6) и (10.Д.8) получаем
2v О
(•2
Эта случайная величина имеет распределение хи-квадрат с 2г—2 степенями свободы. Из соотношения (10.Д.7) можно заключить, что случайные величины wt и v независимы.
Таким образом, случайная величина, имеющая F-распределение, может быть представлена как
р »(г—l)(xi—6)
Известно, что 6^xf, и 100(1—а)%-ный доверительный интервал для б имеет вид
р [о< «<<—*> са.= 1 _р.
После преобразований 100(1—а)%-ные доверительные границы для б можно записать
А/ р
10.Е. Ожидаемая продолжительность испытаний
Если на испытания ставятся п изделий и испытания прекращаются при появлении г отказов, то продолжительность испытаний определяется как
tr= S Уь 1 = 1
где у,- находится по формуле (10.Г.1). Таким образом,
£(М=2£(У1-).
Ранее мы показали, что случайная величина у,- имеет экспоненциальное распределение с параметром 0/(n—i -|- 1). Следовательно,
Г
£(M = 0E^Z7+r- , (10.Е.1)
Заметим, что Е (tr) убывает при возрастании п..
Глава II. Оценивание надежности: распределение Вейбулла
При испытаниях на наработку, по-видимому, наиболее широко (уступая лишь экспоненциальному распределению) используется распределение Вейбулла. Это распределение известно в математической статистике как распределение Фишера—Типпетта типа II1, или третье асимптотическое распределение наименьших значений. Это распределение было использовано также шведским ученым Вейбуллом в качестве вероятностной модели сопротивления материалов разрушению. Вейбулл основывался на практических допущениях о разрушении материалов. Последующие его работы, опубликованные в популярных технических журналах, способствовали широкому применению полученных им результатов. В настоящее время распределение Вейбулла хорошо известно, и его можно найти во многих вводных курсах математической статистики.
Сначала в разд. 11.1 будут рассмотрены статистические свойства распределения Вейбулла. Назначение этого раздела состоит в том, чтобы познакомить читателя с различными формами распределения Вейбулла, получаемыми при изменении параметров распределения. Здесь дается вывод выражений для интенсивности отказов и вероятности безотказной работы.
Для определения вероятности безотказной работы или параметров распределения Вейбулла может использоваться графическое оценивание. В разд. 11.2 подробно рассматриваются существующие графические методы для распределения Вейбулла, включая процедуру для случая, когда изделия снимаются с испытаний. Рассматриваются.также доверительные границы.
В разд. 11.3 изложены методы статистического оценивания, разработанные недавно для распределения Вейбулла. С помощью этих методов можно ослабить субъективность графического оценивания. Однако для их применения требуется составление таблиц, поэтому они несколько более громоздки, чем графические методы.
В разд. 11.4 рассматривается критерий согласия, специально полученный для распределения Вейбулла, а в разд. 11.5 дается задача на вычисление экономии времени при испытаниях в случае цензурирования второго рода.
310 Глава И
11.1. Статистические свойства распределения Вейбулла
Функция трехпараметрического распределения Вейбулла случайной величины х имеет вид
/(х;9,₽,6)=1-Л«-«/, х>8, (11.1)
где (3 > 0, 0>О и б>0. Параметр £ называется параметром формы или угловым коэффициентом распределения Вейбулла; 0 называется параметром масштаба или ресурсной характеристикой, а б — параметром сдвига или минимальной наработкой.
В случае двухпараметрического распределения Вейбулла минимальная наработка равна нулю, а функция распределения имеет вид
F(x;0, ₽)=1— e-W0)3, х>0. (11.2)
Для иллюстрации свойств этого распределения будем использовать двухпараметрическое распределение Вейбулла, так как путем простого линейного преобразования трехпараметрическое распределение всегда можно превратить в двухпараметрическое.
Дифференцируя выражение (11.2), получаем плотность распределения Вейбулла
f(x; 0,P) = |(|)₽-1e-(W, х>0. (11.3)
Интенсивность отказов
Л(х)=|(^)₽1’ х^° О1-4)
убывает во времени при р< 1, возрастает при р> 1 и остается постоянной при р=1.
Л-й момент распределения Вейбулла имеет вид
= Е (х*) = J х* | (|)₽1e-we>(’ dx. (11.5)
О
Введем обозначение
тогда В / ,
аи — у I у I ах
и со
^=0*JuA/₽e-"da. (11.6)
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 311
Легко обнаружить, что получена гамма-функция, т. е.
= (1 + . (11.7)
Следовательно, математическое ожидание распределения Вейбул- ~ ла имеет вид
Н = 0Г(1+}). (11.8)
а дисперсия —
а*=0а[г (1+|)_р(1+|)]. (11.9)
Параметр формы 0, как следует из его названия, определяет фсфму распределения. При увеличении 0 математическое ожидание этого распределения стремится к ресурсной характеристике 6, а дисперсия стремится к нулю, как показано в табл. 11.1.
Таблица 11.1
Математическое ожидание и дисперсия распределения
Вейбулла как функции параметра формы 0
3 Математическое ожидание /0 Дисперсия/02
0,5 2,0000 20,000
1,0 1,0000 1,000
2,0 0,8862 0,215
3,0 0,8934 0,105
3,5 0,8998 0,081
4,0 0,9064 0,065
5,0 0,9182 0,044
6,0 0,9275 0,033
10,0 0,9514 0,013
20,0 0,9730 0,004
Коэффициент асимметрии и эксцесс распределения Вейбулла также являются функциями параметра формы 0. Коэффициент асимметрии имеет вид
г (1+т)“зг (1+i)г (1+т)+2ГЗ(1+т)
(П.Ю)
С помощью формул (11.7) и (11.9) можно найти также и эксцесс. В табл. 11.2 представлены различные числовые значения коэффициента асимметрии и эксцесса. Напомним, что нормальное распределение имеет нулевую асимметрию и эксцесс, рав-
312 Глава 11
Таблица 11.2
Коэффициент асимметрии и эксцесс распределения Вейбулла
3 Коэффициент асимметрии Эксцесс
0,5 6,619 87,72
1,0 2,000 9,00
2,0 0,626 3,28
3,0 0,454 2,672
3,5 0,026 2,742
4,0 —0,062 2,925
5,0 —0,333 2,938
6,0 —0,905 3,624
10,0 — 1,000 9,000
20,0 —2,000 25,000
fM
Рис, 11.1. Распределение Вейбулла при различных значениях g.t
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 313
ный 3. Можно видеть, что коэффициент асимметрии и эксцесс распределения Вейбулла приближаются к этим значениям, когда параметр формы 0 заключен в пределах 3,5—4,0. Это дает основания утверждать, что распределение Вейбулла в ряде случаев можно аппроксимировать нормальным распределением. Следует заметить, что эта аппроксимация не является аналитической и значения 0, отличающиеся от значений, лежащих в пределах 3,5—4,0, могут быть получены в случае данных, распределение которых кажется нормальным. Этот факт будет пояснен ниже на примере.
На рис. 11.1 показаны различные формы распределения Вейбулла, когда параметр масштаба 0 принят равным единице. Параметр масштаба позволяет расположить распределение вдоль оси х. Это можно видеть, рассматривая функцию распределения. Подставляя х = 0 в формулу (11.2) для функции распределения Вейбулла, получаем
f(x=0) = 1—е-1 = 0,632. (11.11)
Таким образом, для любого распределения Вейбулла вероятность появления отказа до момента 0 равна 0,632. Следовательно, значение 0 всегда делит площадь под кривой плотности распределения в отношении 0,632:0,368 при любых значениях 0. Поэтому 0 и называется ресурсной характеристикой.
11.2. Графическое оценивание
Графическое оценивание параметров и графическое прогнозирование находят широкое применение на практике. По существу для применения метода графического оценивания необходимо иметь удобное преобразование функции распределения, приводящее ее к линейному виду.
Рассмотрим функцию распределения Вейбулла
F(()=l—e-W0)P.
После перестановки членов и двойного логарифмирования получаем
1п[1пь=Ло]=Р1п^Р1п0- (П-12)
Приводя уравнение к стандартной форме для зависимой и независимой переменных, получаем
In t = j In [in-pJ—] + In 0.
Это уравнение вида У = (1/0) X-|-Л, и его можно представить в виде прямой на графической бумаге в координатах X и У.
314 Глава И
Графическую бумагу для распределения Вейбулла можно построить, обозначив оси прямоугольной системы координат Y— int и Х = 1п(1п{1/[1—F (0]})- Кроме того, оси обычно меняют местами, и тогда 0 является угловым коэффициентом прямой. Такая вероятностная бумага для распределения Вейбулла показана на рис. 11.2.
Допустим теперь, что на испытания поставлены пять элементов и зарегистрированы следующие значения наработки до отказа: 67, 120, 130, 220 и 290 ч. Эти значения откладываются по оси абсцисс на вероятностной бумаге для распределения Вей-
Процентили распределения
Рис, 11,2. Вероятностная бумага для распределения Вейбулла.
-F(t)
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 315
булла (рис. 11.2). Необходимы также соответствующие значения функции распределения F (х), чтобы получить значения ординат, либо требуется знать, какая доля изделий выйдет из строя к каждому из этих моментов времени.
Обозначим j-e упорядоченное наблюдение (порядковую статистику) через оХу, а долю совокупности, предшествующую этому наблюдению, через ру, т. е. py = F(0Xy). Так как значения 0Ху меняются от выборки к выборке, ру является случайной величиной. Таким образом, нужно рассмотреть распределение случайной величины Ру. Первоначально может возникнуть искушение оценить Ру как отношение j/n, где п—объем выборки. Однако j/n представляет собой долю отказавших изделий в выборке, и, безусловно, на основе наблюдения выборки из пяти изделий никто не поверит, что все 100% изделий выйдут из строя к моменту наиболее позднего наблюдаемого отказа. Приступим теперь к выводу распределения случайной величины Ру.
11.2.1. Вывод распределения порядковых статистик
Задан вариационный ряд, т. е. упорядоченная случайная выборка oXj, ох2, ..., ох„ объемом п, взятая из совокупности с функцией распределения F (х), где х—непрерывная случайная величина. Требуется найти оценки для F(ox1), F(ox2), ..., F(ох„). Введем обозначение
npy = F(oX/), (11.13)
т. е. пРу—доля изделий, вышедших из строя до появления /-й порядковой статистики в выборке объемом и.
Разобьем совокупность на три области, как показано в табл. 11.3.
Таблица 11.3
Разбиение совокупности
Область 1 2 3
Границы об- Л 1 . , 1 ;
ласти ® °Х1 2 oxJ~y 2 d°xl
Вероятность появления того или иного исхода в данной области 1 я \ F \oxj 2 doxj} f (oxj) doxj 1 — F ^oxy+-bdoxy)
316 Глава 11
Чтобы в области 2 появилось /-е наблюдение оху, должно появиться j — 1 наблюдений в области 1 и п — j наблюдений в области 3. Эти области являются взаимодополнительными, и вероятность того, что каждое наблюдение попадает в определенную область, постоянна. Ясно, что в этом случае применимо полиномиальное распределение.
Напомним, что полиномиальное распределение имеет вид
...............».) = (0.)п • k k
где и = Заметим, что 0Z — вероятность появ-
г=1 i=i
ления i-ro исхода, и она постоянна от испытания к испытанию, а у,-—случайная величина, обозначающая число исходов i-ro типа.
Если пренебречь членами порядка l/2dox/, то имеем
Число иоходов Вероятность
/-1 Р(0Х/)
1 KoxAdx
n—j 1 (oxj)
Таким образом, вероятность попадания j — 1 исходов в область 1, одного исхода в область 2 и п—j исходов в область 3 имеет вид
(/-1)1 WWWW -Е(Л)ГЛ (11.14)
Это выражение представляет собой функцию распределения случайной величины оху, обозначающей j-ю порядковую статистику. Теперь мы знаем, что
после дифференцирования получаем dF(ox/)=f(ox/)dx = dnp/.
Следовательно, элемент вероятности имеет вид
ё (пР/) dnP/ = пР!Г1 (1 — nPfY1"1 dnPp (11.15)
где
Оценивание надежности:' распределение Вейбулла 317
Фактически случайная величина „р, имеет известное бета-распределение. На рис. 11.3 показана плотность распределения для различных значений j при объеме выборки п ==10.
Рис. 11.3. Распределение рангов для выборки объемом п=10.
Важно заметить, что единственное допущение, принимавшееся при выводе распределения порядковых статистик, состояло в том, что F(x)—дифференцируемая функция. Таким образом, распределение порядковых статистик применимо не только для распределения Вейбулла, но и в равной мере для нормального или экспоненциального распределения, а также для множества других непрерывных распределений.
Так как „Р/—случайная величина, то возникает проблема выбора единственного репрезентативного значения для этой совокупности, чтобы нанести его на вероятностную бумагу для распределения Вейбулла. Рассмотрим несколько возможных показателей.
318 Глава И
Математическое ожидание случайной величины „ру задается в виде
1
Е (иРу) = У npj (и —/)! пР\ 1 (1 nPjY j dnPj ~
о
= (Ч-16)
о
Бета-функция в стандартной форме записи имеет вид
1
В(т, k)^x^(\-x)^dx= rr(g^\ (11-17) О
Таким образом, формулу (11.16) можно записать как
Z7Z п \ ________ Г (/4~ 1) Г (п~~/ + 1) / /11 1 о\
Г(п—/+1 + /+0 ~ п+1' k '
Это означает, что математическое ожидание доли изделий рассматриваемой совокупности, выходящих из строя до момента появления /-й порядковой статистики в выборке объемом и, равно Ц(п+ 1); при малых объемах выборки п это значение может существенно отличаться от j/n.
Медиану, иногда называемую медианной порядковой статистикой, найти несколько труднее. Рассмотрим интеграл
X
(11.19) О '
где функция g(np/) определяется по формуле (11.15). Значение х, при котором Р = 0,50, является искомой медианой.
Неполная бета-функция имеет вид
X
Вх(т, n) = $i/»-i(l— yy-'dy. (11.20)
о
Используя определение бета-функции, представленное в виде формулы (11.17), интеграл в выражении (11.19) можно записать как
/.-(«, П-/+1)=^=2+Ц. (11.21)
Существуют подробные обширные таблицы значений отношений Ix(m, k) неполных бета-функций (см., например, Karl Pearson, Tables of the Incomplete Beta Function, Cambridge University Press, Cambridge, England, 1932). Можно легко найти значения х для различных значений Р — 1-Ц, п — j + 1). Однако для удоб
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 319
ства в приложении 8 приводятся значения медианных порядковых статистик.
Приближенное выражение для медианной порядковой статистики имеет вид
(Н.22)
Эта аппроксимация потребуется нам впоследствии.
На данном этапе имеются два возможных репрезентативных значения для функции F (0Ху). Это математическое ожидание Е [F(0Xy) = //(n+1) и медиана Е (ох7) « (/— 0,3)/(п4-0,4). Оба показателя находят применение. Математическое ожидание используется вследствие того, что обычно среднее берется как репрезентативное значение для выборки из генеральной совокупности. Однако в случае сильно асимметричных распределений, какими являются большинство распределений порядковых статистик, лучшим показателем может оказаться медиана. Распределения порядковых статистик систематически обладают то правосторонней, то левосторонней асимметрией по мере перехода от минимального к максимальному значениям вариационного ряда. Таким образом, вероятность того, что выборочное значение окажется меньше среднего, будет максимальной для первой порядковой статистики. Это означает, что если для нанесения на вероятностную бумагу .для распределения Вейбулла берется средняя порядковая статистика, то ранг, приписываемый первому наблюдению, по-видимому, будет слишком большим, а ранг, приписываемый последнему наблюдению, будет слишком малым, а для промежуточных наблюдений погрешность будет последовательно изменяться. Если при использовании средних порядковых статистик по этим наблюдениям построить прямую, то, вероятнее всего, угловой коэффициент прямой будет убывать, т. е. оценка ее наклона будет заниженной. Эго основной аргумент, выдвигаемый в защиту построения графика не по средним рангам, а по другим показателям.
Предложены другие показатели положения. Например, Уайт [37] рассматривает „yy = ln„ty, где t—случайная величина, имеющая распределение Вейбулла. Напомним, что именно это преобразование использовалось при составлении вероятностной бумаги — для распределения Вейбулла. Затем Уайт находит Е [пуД =Е [1п„/у] и дает эти значения в табличной форме для использования в качестве величин, наносимых на график.
Кимбелл [21] провел исследование с целью сравнения некоторых возможных показателей. Полученные им результаты приведены в табл. 11.4. Эти результаты основаны на полных выборках объемом п = 6 и учитывают только оценки параметра формы [3. Если основываться на результатах Кимбелла по оце-
320 Глава 11
Таблица 11.4
Проведенное Кимбеллом сравнение параметров положения, используемых при графическом оценивании параметра формы 0
Используемый показатель Систематическая ошибка/^ Среднее квадратическое отклонение /З2
Математическое ожида-
ние, равное t/(n+1) 0,2284 0,3011
Медиана 0,0632 0,1928
+ е со |оо. 1 0,0220 0,1758
(‘“Jr —0,0547 0,1543
Мода 0,1916 0,2692
0 0,1686
Эквивалентно методу Уайта.
Ливанию р, то показатель Уайта оказывается наилучшим. При нанесении на график значений (i—3/8)/(п+1/4) приходим к результатам, близким к получаемым методом Уайта и простым в использовании. Заметим, что при применении медианной порядковой статистики результаты оказываются хуже, чем при любом из этих методов, но лучше, чем в случае средних рангов.
Следует заметить, что результаты Кимбелла очень ограничены, и предстоит выполнить более широкие сравнительные исследования. Поэтому мы считаем обоснованным использование в последующих примерах метода медианной порядковой статистики.
Таблица 11.5
Медианные и средние порядковые статистики для выборки
Наработка до отказа, ч Средний ранг Медианный ранг
67 0,167 0,129
120 0,333 0,314
130 0,500 0,500
220 0,667 0,686
290 0,833 0,871
В табл. 11.5 показаны медианные и средние порядковые статистики для рассмотренной выше выборки объемом п — 5. Хотя численные значения средней и медианной порядковых статистик
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 321
различаются незначительно, построенные прямые могут существенно отличаться друг от друга вследствие чувствительности масштаба осей вероятностной бумаги для распределения Вейбулла. На рис. 11.4 показаны графические оценки, полученные с использованием как средних, так и медианных порядковых статистик. Рис. 11.4 иллюстрирует еще одну проблему, связанную с графическим оцениванием. Вследствие погрешностей выборочного метода точки, получаемые на основе выборочных данных, редко образуют идеальную прямую, и обычно прямая подбирается по этим данным визуально. Может использоваться процедура подбора прямой методом наименьших квадратов, однако это несколько снижает основное достоинство графического оценивания —его простоту.
11.2.2. Графическое оценивание параметров
Уравнение прямой, построенной на вероятностной бумаге для распределения Вейбулла, имеет вид
In [in ;—L-т—rl=pinx—В1п0. [ 1— F(x)J ' г
Ясно, что Р можно оценить по угловому коэффициенту прямой, изображенной на этом графике. На рис. 11.5 показана прямая с угловым коэффициентом р = 1,6. На вероятностной бумаге для распределения Вейбулла обычно имеется дополнительная шкала, позволяющая оценивать угловой коэффициент прямой: На рис. 11.5 такая шкала показана в верхней части.
Ресурсную характеристику 0 можно оценить, имея в виду, что F(x = 0) = 0,632. Проецируя на ось абсцисс точку прямой, соответствующую значению 63,2% на оси ординат, получаем оценку параметра 0. На рис. 11.5 показано, что 0=190 ч. ~
Среднее значение также можно оценить графически. Подставляя ц = 0Г (1 4-1 /р), получаем
F(x = n)==l — е-'га+1/₽Л (11.23)
Данное выражение является функцией только 0. Значения этой функции представлены в табл. 11.6. Таким образом, выбирая на оси ординат значения F (р) при данном угловом коэффициенте прямой, определяем среднее значение как соответствующую точку на оси абсцисс. На рис. 11.5 при угловом коэффициенте 1,6 оценка среднего составляет 170 ч. Среднее значение, вычисленное по первоначальным данным, составляет 165, 4 ч Поскольку при графическом оценивании неизбежны ошибки, целесообразно вычислять среднее непосредственно по первоначальным данным.
11 Кв 544
322 Глава 11
Процентили распределения
Рис. 11.4. Пример нанесения на график значений среднего (/) и медианного (2) рангов.
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 323
Процентили распределения
Рис. 11.5. Оценивание параметров распределения Вейбулла графическим методом (Р = 30,6/25,4 = 1,6).
11*
324 Глава 11
Таблица 11.6
Теоретическое соотношение между функцией распределения и угловым коэффициентом
Угловой коэффициент Р F(n) Угловой коэффициент 3 F(n)
0,5 0,757 1,8 0,555
1,0 0,632 2,0 0,544
1,1 0,618 2,2 0,535
1,2 0,605 2,5 0,524
1,3 0,594 2,7 0,517
1,4 0,584 3,0 0,509
1,5 0,576 3,2 0,505
1,6 0,568 4,0 0,491
Рассматриваемый ниже пример показывает, что данные, имеющие нормальное распределение, при нанесении на вероятностную бумагу для распределения Вейбулла образуют прямую с угловым коэффициентом, приближенно равным 3,6.
Пример 11.1. В табл. 11.7 приведены данные, предположительно имеющие нормальное распределение (действительно, эти данные обнаруживают хорошее соответствие нормальному распределению при нанесении их на нормальную вероятностную бумагу). Рассмотрим теперь, как выглядят эти данные при нанесении их на вероятностную бумагу для распределения Вейбулла.
Таблица 11.7
Прочность на растяжение швов, полученных точечной сваркой
Прочность в средней точке интервала, Н
Частота
142
146
150
154
158
162
166
3
5
20
36
18
13
____5
Сумма = 100
Вычислим медианные ранги, полагая, что половина наблюдений в каждом интервале меньше значения в средней точке. Так, для первого интервала со средней точкой 142 Н число та
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 325
ких наблюдений равно 3/2, и медианный ранг составляет
ioo+o,4 A>zu/0-
Аналогичным образом находим остальные ранги, приведенные в табл. 11.8.
Таблица 11.8
Данные о прочности сварных швов для нанесения на вероятностную бумагу для распределения Вейбулла
Прочность, Н
Медианный ранг, %
142 1,20
146 5,18
150 17,63
154 45,52
158 72,41
162 87,85
166 96,81
Если теперь нанести эти данные на вероятностную бумагу для распределения Вейбулла, то получим почти вертикальную прямую. На рис. 11.6 показан график, построенный по этим данным; при этом масштаб по оси абсцисс увеличен в 10 раз. Эти данные достаточно хорошо аппроксимируются прямой, и параметры распределения оцениваются как 0 = 29 и 9=157 Н. Заметим, что эти данные, распределение которых кажется нормальным, характеризуются большим угловым коэффициентом, что обусловлено большим отклонением от нуля.
Математическое ожидание и дисперсию можно оценить по формулам (11.8) и (11.9) как
Р=157Г(1 4-1) = 154Н,
о2=1572 [г(1 +1)]=20,4Н«.
Для такой большой выборки можно получить лучшие оценки ц и о2 непосредственно с помощью этих данных. Находим выборочное среднее
х=154,9Н
и выборочную дисперсию
а»«21,4Н».
326 Глава 11
Таким образом, как показывает сравнение с параметрами, вычисленными с помощью выборочных данных, графический метод дает хорошие оценки.
Распределение Вейбулла с параметрами 0 = 157, 0 = 29 и нормальное распределение с математическим ожиданием |л= 154,9 и дисперсией о2 = 21,4 графически изображены на рис. 11.7. Гистограмма построена с помощью первоначальных данных. Можно провести наглядное сравнение этих трех графиков, так как все* они построены в одинаковом масштабе.
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 327
Рис. 11.7. Сравнение нормального распределения (----) и распределения Вейбулла (-------), подобранных эмпирически для одних и
тех же данных.
11.2.3. Непараметрические доверительные интервалы
Распределение порядковых статистик можно использовать также для построения доверительных пределов на вероятностной бумаге для распределения Вейбулла. Если wa/z и ^i-a/2 такие величины, что
wi-a/2
a
"2
(11.24)
gtnP/)^
и
1
wa/2
(11.25)
328 Глава 11
ТО
ша/2
J £(яР/МпР/=1-а. (11.26)
“>1 -а/2
Величины и»а/2 и о>1_а/2 называются 100(1—а)%-ными непараметрическими доверительными границами. Эти пределы называются непараметрическими потому, что, хотя исходным является распределение Вейбулла, эта информация при их построении не используется.
При вычислении доверительных границ с помощью распределений порядковых статистик возникают те же трудности, связанные с вычислением интегралов, что и при нахождении медианы, поэтому в приложении 8 приводятся соответствующие таблицы. Следует указать, что поскольку распределение порядковых статистик представляет собой бета-распределение, то, используя известные преобразования, можно получить случайную величину, имеющую F-распределение (вывод и применение этого преобразования для аналогичного случая дается в разд. 13.2). Для а ^0,50 доверительная граница определяется в виде
Wa = ^_______IKn-j+y________
° ^1-а; 2(«-/ + 1);2/+//(«“/+D ’
а для а < 0,50 в виде
_ 1//(л— /+ 1)] Fa; 2j; 2(п-/+1)
“ 1+ (//(«-/+1)Иа: 2/; 2(n-/+l)’
где Pa,nitnt—такая случайная величина, имеющая /•'-распределение с Mj и п2 степенями свободы, что Р (Fni, ni^ Fa, = а. Здесь wa такая случайная величина, имеющая распределение порядковых статистик с параметрами п и j, что Р (p^wa) = a.
В табл. 11.9 приводятся 5 и 95%-ные уровни для выборки объемом п = 5. Если при построении этих ранговых значений
Таблица 11.9
Значения 5 и 05%-ных уровней для построения доверительных границ
Номер 5%-ный уровень 95%-ный уровень
1 1,02 45,07
2 7,64 65,74
3 18,92 81,08
4 34,26 92,36
5 54,93 98,98
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 329 предположить, что проведенная прямая изображает истинное распределение Вейбулла, то любое отклонение от этой прямой можно рассматривать как выборочную ошибку. Поэтому любые точки, не попадающие на эту прямую, можно горизонтально спроецировать на нее., Затем на эту прямую проецируются 5 и 95%-ные уровни. Порядок построения доверительных границ показан на рис. 11.8. Точка А соответствует результату, полученному при первом отказе в выборке, состоящей из пяти изделий. Напомним, что первый медианный ранг для выборки объемом п = 5 равен 12,9%, поэтому точка А наносится на график на уровне 12,9% по оси ординат. В данном случае линия, построенная по всем выборочным значениям, проходит мимо точки А. Поэтому для построения доверительных границ для этой линии, охватывающей всю рассматриваемую совокупность, точку А необходимо спроецировать на эту линию. Эта проекция определяет точку В на линии, описывающей всю совокупность.
Теперь из табл. 11.9 находим, что 5 и 95%-ные уровни для первого отказа в выборке из пяти изделий составляют 1,02 и 45,07% соответственно. Эти значения проецируются по вертикали в точку В, находящуюся на линии для генеральной совокупности.
Если доверительные границы спроецировать относительно первоначальных выборочных точек, то они будут иметь не колоколообразную, а неправильную форму.
Доверительные границы, изображенные на рис. 11.8, определяют 90%-ную доверительную область относительно линии для генеральной совокупности. Рассмотрим, например, значение 200 ч по оси абсцисс; в данном случае можно сказать, что с вероятностью 0,9 от 6 до 61% изделий совокупности будут иметь наработку до отказа менее 200 ч. Разумеется, очень большая ширина этого интервала вызывается малым объемом выборки.
Рассматривая этот график, возьмем на оси ординат точку, соответствующую 50%. В данном случае можно сказать, что для 50% изделий данной совокупности наработка до отказа составит от 140 до 770 ч.
Если используется доверительная область, изображенная на рис. 11.8, то доверительный уровень составляет 95%. Возьмем, например, на оси ординат точку 90%. Можно сказать, что 10% изделий совокупности с вероятностью 0,95 будут работать безотказно более 480 ч. Это 95%-ная односторонняя нижняя доверительная граница для вероятности безотказной работы 0,1.
В качестве второго примера использования одного предела рассмотрим значение 300 ч на оси абсцисс. В данном случае с вероятностью 0,95 менее 75% изделий совокупности выйдут из строя, проработав менее 300 ч.
330 Глава 11
Рис. 11.8. Построение доверительных границ на вероятностной бумаге для распределения Вейбулла.
/—95%-ный уровень; 2—линия генеральной совокупности, имеющей распределение Вейбулла; 5—5%-ный ранг; 4—выборочное значение.
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 331
11.2.4. Случай ненулевой минимальной наработки
Существуют случаи, когда минимальная наработка не является нулевой, что можно легко обнаружить, изучая вероятностную бумагу для распределения Вейбулла. Для случая минимальной наработки 6 > 0 функция распределения была приведена выше [формула (11.1)]. Необходимые преобразования для получения линейной зависимости имеют вид
•п [1п т=7£)] =Р ln 1п (0-6)- с11 -27>
Таким образом, вычитая из каждого наблюдения х значение минимальной наработки, в конце концов получаем прямую. Однако при построении графика на вероятностной бумаге для распределения Вейбулла заранее может быть неизвестно, что при такой минимальной наработке оперативная характеристика в области малых значений отклоняется вниз.
В табл. 11.10 приводятся данные о наработке шлифовальных
Таблица 11.10
Данные о наработке шлифовальных кругов
Номер круга
1
2
3
4
5
6 7
8
Число обработанных изделий
22 000 25 000
30 000 33000 35000 52 000 63 000
104 000
кругов прецизионного шлифовального станка/выраженной через число обработанных изделий. По этим данным с использованием медианных рангов построен график, изображенный на рис. 11.9. Очевидно, что кривая отклоняется вниз. Теперь мы знаем, что минимальная наработка 6 находится между нулевым и наименьшим значениями; последнее в данном случае составляет 22000 изделий.
В качестве оценки минимальной долговечности можно взять наименьшее выборочное значение, но эта оценка будет смещена в сторону бблыпих значений (приложение 11.А). Удобнее произвольно выбрать значение, несколько меньшее наименьшего
332 Глава 11
Процентили распределения
Рис. 11.9. График на вероятностной бумаге для распределения Вейбуллапри ненулевой минимальной наработке»
Оценивание надежности распределение Вейбулла 333
выборочного значения (например, 0,90 хх). Так, в данном случае произвольно выбрано
8=19600.
Возьмем эту величину в качестве первой оценки и вычтем 6 из каждого значения первоначальных данных. Теперь снова построим график для полученных данных. Если первая оценка 8 слишком велика, то линия будет отклоняться вверх, а если слишком мала — вниз. Обычно требуется определенная корректировка, проводимая методом проб и ошибок.
На рис. 11.10 представлены скорректированные данные, которые достаточно хорошо аппроксимируются прямой. Получены следующие оценки параметров:
8=19600, 0 = 24500 и 0 = 0,84.
Следовательно, вероятность безотказной работы оценивается функцией
Г> / \ ( Х---19600\°>М 1АСЛЛ /11 Г>О\
7?(х) = ехр^----4900") 19600. (11.28)
Если требуется графически оценить наработку, при которой 10% шлифовальных кругов выйдут из строя, то на рис. 11.10 нужно найти точку для 2000 изделий и прибавить минимальную наработку. Получаем оценку, равную 21600 изделий. Как и ранее, можно определить доверительные границы для этой прямой.
11.2.5. Графический анализ в случае снятия отдельных изделий с испытаний
Иногда изделия снимаются с испытаний по причинам, не связанным с отказами. Например, испытания могут быть остановлены, если испытательный стенд вышел из строя или испытательный автомобиль попал в аварию. Преднамеренно на испытания может быть поставлено большее число изделий, чем предполагалось, чтобы сократить продолжительность испытаний.
В этом случае полученные данные обрабатываются путем задания среднего порядкового номера для каждого значения наработки до отказа. Если испытываются пять изделий до появления отказа, то упорядоченные значения наработки до отказа будут иметь целочисленные порядковые номера 1—5. Ранее мы строили графики подобным образом и вычисляли медианные ранги по формуле (11.22) или находили их в приложении 8.
334 Глава 11
Процентили распределения
(X-19,600)
Рис. 11,10, Данные, скорректированные с учетом ненулевой минимальной наработки.
Рассмотрим теперь случай, когда на испытания поставлены четыре изделия; полученные результаты приводятся в табл. 11.11.
Таблица 11.11
Данные о результатах испытаний
Отказ или снятие с испытаний П родолжи тельное ть испытаний, ч
Отказ (Fi) 84
Снятие с испытаний (Sx) 91
Отказ (F2) 122
Отказ (Г3) 274
Оценивание надежности! распределение Вейбулла 335
Из таблицы следует, что первый отказ произошел через 84 ч. Затем при наработке 91 ч одно изделие было снято с испытаний по причинам, не связанным с появлением отказа. Еще два отказа появились при наработках 122 и 274 ч соответственно.
Если бы изделие, снятое с испытаний, испытывалось до появления отказа, то возможно появление одного из следующих трех исходов:
ш
Si — F
Fs
Fi S^F F3
F9
Sj-^F
Иначе говоря, изделие, снятое с испытаний, могло бы выйти из строя в любой из указанных позиций, что привело бы к конкретному упорядочению значений наработки до отказа. При построений графика каждому значению наработки до отказа ставится в соответствие средняя позиция или порядковый номер.
В данном примере первое наблюдаемое значение наработки до отказа всегда будет в первой позиции, и, таким образом, оно имеет порядковый номер / — 1. Однако второе значение наработки до отказа может двумя способами получить порядковый номер 1 = 2 и одним способом получить порядковый номер / = 3; таким образом, средний порядковый номер равен
/=У±^ = 2,33.
Мы используем эти значения средней позиции для вычисления медианного ранга. Например, для второго значения наработки до отказа Д2 медианный ранг составляет
Данные, необходимые для построения графика на вероятностной бумаге для распределения Вейбулла, приводятся в табл. 11.12.
Таблица 11.12
Данные об изделиях, снятых с испытаний
Продолжительность испытаний, ч Позиция Медианный ранг
84 1 0,159
122 2,33 0,461
274 3,67 0,766
336 Глава И
Очевидно, что отыскание всех последовательностей для комбинаций нескольких случаев снятия изделий с испытаний и нескольких отказов требует много времени. Однако существует простая формула для вычисления порядковых номеров f 17]. Эта формула дает так называемое новое приращение. Новое приращение / определяется формулой
j _ (n-h 1) —Предыдущий порядковый номер , ।
1 +Число изделий, оставшихся на испытаниях' ' ’ '
Проиллюстрируем использование формулы (11.29) для данных, приведенных в табл. 11.13. Хотя в данном случае первоначально
Таблица 11.13
Результаты, полученные в случае снятия отдельных изделий с испытаний
Продолжительность испытаний, ч Последовательность Состояние
544 Л Отказ
663 Отказ
802 $i Снятие с испытаний
827 Sj Снятие с испытаний
897 F3 Отказ
914 Ft Отказ
939 S8 Снятие с испытаний
1084 Fb Отказ
1099 Ft Отказ
1202 st Снятие с испытаний
на испытания были поставлены 10 изделий, наблюдались только шесть отказов. Первые два значения наработки до отказа будут иметь порядковые номера 1 и 2 соответственно. Для третьего отказа необходимо вычислить новое приращение. Используя формулу (11.29), получаем
г__(Ю+О—2____। pq
'-----Г+6
Прибавляя значение / к предыдущему порядковому номеру 2, для третьего отказа получаем порядковый номер 3,29.
Продолжаем использовать это же значение приращения до следующего случая снятия изделия с испытаний. Так, для четвертого отказа порядковый номер составляет 3,29 + 1,29 = 4,58.
Для пятого отказа с помощью этой формулы получаем
(10+1)-4,58 .
1 + 3
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 337
Порядковый номер для пятого отказа составляет 4,58+1,60 = = 6,18, для шестого 6,18+1,60 = 7,78. Окончательные данные для построения графика приводятся в табл. 11.14. Для нанесе-
Таблица 11.14
Ранги для результатов, полученных в случае снятия отдельных изделий с испытаний
Наработка, ч Порядковый номер Медианный ранг Средний ранг
544 1,00 0,067 0,091
663 2,00 0,163 0,182
897 3,29 0,288 0,299
914 4,58 0,411 0,416
1084 6,18 0,565 0,562
1099 7,78 0,719 ' 0,707
ния значений наработки до отказа на вероятностную бумагу для распределения Вейбулла могут использоваться средние или медианные ранги.
Доверительные границы можно определить путем интерполяции. Используя порядковые номера, приведенные в табл. 11.14, для выборки объемом п=10 с помощью таблиц в приложении 8 можно определить доверительные границы. Интерполированные доверительные границы для данных из табл. 11.14 приводятся в табл. 11.15.
Таблица 11.15
Доверительные пределы для результатов, полученных в случае снятия отдельных изделий с испытаний
Наработка, ч Порядковый номер 5%-ный ранг 95%-ный ранг
544 1,00 0,51 25,89
663 2,00 3,68 39,42
897 3,29 10,55 53,48
914 4,58 19,20 65,87
1084 6,18 31,97 79,06
1099 7,78 47,12 89,89
Пример 11.2. В автомобильном парке изучается интенсивность отказов водяных насосов. К моменту анализа произошло четыре отказа, а несколько водяных насосов проработали безотказно. Руководителям важно знать, обеспечивается ли гаран
338 Глава 11
тийная наработка, равная 24 000 км. Данные о наработке водяных насосов до отказа приводятся в табл. 11.16.
Таблица 11.16
Данные об отказах водяных насосов (дальность пробега, км)
4010 14 992 22 112 26 002
4 731 16 121 ,23110 26 179 (отказ)
4812 16 437 24 020 (отказ) 26 842
8657 20 740 25 004 30 529 (отказ)
12 550 (отказ) 21 021 25112
В этом случае для построения графика может использоваться метод учета данных о наработке изделий, снятых с испытаний. Вычислим порядковые номера. При наработке до отказа 12 250 км
1,250.
и порядковый номер равен 1,250. При наработке до отказа 24 020 км
2,344,
и порядковый номер составляет 1,250 + 2,344 = 3,594. При наработке до отказа 26 179 км
/=<12+!>^ = 4,102,
и порядковый номер составляет 3,594 + 4,102 = 7,696. Для последнего отказа при дальности пробега 30 529 км
, 20 — 7,696 с
/ = —6,152,
и порядковый номер составляет 7,696 + 6,152 = 13,848.
Затем для вычисления средних рангов с помощью порядковых номеров используется приближенное выражение (11.22). Полученные результаты приведены в табл. 11.17, а график—на рис. 11.11.
Таблица 11.17
Результаты испытаний водяных насосов с медианными рангами
Дальность пробега, км Порядковый номер Медианный ранг, %
12 050 1,250 4,66
24 020 3,594 16,15
26179 7,696 38,12
30 529 у. „ , , , 13,848 69,84
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 339
Процентили распределения
Наработка , км
Рис. 11.11. Результаты испытаний водяных насосов.
Порядковый номер 95%-ный уровень, % Интерполированное значение, %
1 14,75 16,80
1,250 2 22,96
з 29,95 33,67
3,594 4 36,21
7 52,89 56,47
7,696 8 58,04
13 81,13 84,62
13,848 14 85,25
340 Глава 1t
На этом графике можно также показать доверительные границы, определенные путем интерполяции для выборки объемом п = 19. В данном случае для наших оценок устанавливается односторонняя 95%-наядоверительная граница. Эти значения также наносятся на график.
Допустим, что требуется определить пробег, при котором выходит из строя 10% изделий. Точечная оценка составляет 17000 км. Можно также сказать, что при 90 %-ном доверительном уровне 95% насосов будут безотказно работать при дальности пробега 10000 км.
Так как для большинства серийно выпускаемых изделий при установлении гарантийных сроков наработки интенсивность отказов в 1 % считается большой, необходимо обращать внимание именно на эту часть графика. Можно ожидать, что при дальности пробега около 7800 км выйдет из строя 1 % изделий рассматриваемой совокупности. В данном случае возникают трудности при определении нижней доверительной границы. Можно сказать, что к концу гарантийной наработки, составляющей 24 000 км, с вероятностью 0,95 выйдут из строя не менее 46% изделий.
Какое бы значение наработки ни рассматривалось, эти водяные насосы не соответствуют требованиям к надежности и, безусловно, требуют доработки. В данном случае мы смогли прийти к такому выводу, имея сравнительно небольшой объем данных, как это часто имеет место при испытаниях опытных образцов.
Пример 11.3. Осуществляется периодический контроль за отказами определенного элемента двигателя 100 патрульных автомобилей городской полиции. Полученные данные об отказах этого некритического элемента приводятся в табл. 11.18. Требуется оценить наработку этого элемента до отказа, рассматривая распределение Вейбулла.
Таблица 11.18
Данные об отказах элемента двигателя
Дальность пробега, км Число безотказно работающих элементов Число отказавших элементов
2 000 18 3
4000 26 4
6000 17 3
8000 16 2
10000 7 1
Более 10 000 3 । ।
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 341
Полученные данные показывают число отказов в интервалах шириной 2000 км. Например, в первом таком интервале вышли из строя элементы трех автомобилей, а 18 автомобилей до 2000 км проработали безотказно.
При анализе данной ситуации предполагается, что в любом интервале все отказы происходят в конце интервала. Используем метод учета наработки изделий, снятых с испытаний.
Вычислим первое новое приращение, когда число изделий, снятых с испытаний, равно 18:
. _(100+1)-0_. 917 11----Г+82 1’ZU'
Следовательно, для последних трех отказов порядковый номер соответствует 0 + 3-1,217 = 3,651. Этот порядковый номер используется для вычисления медианного ранга для нанесения на график точки, соответствующей 2000 км.
Следующее новое приращение равно /2==1О11+%651 = 1'803-
Порядковый номер составляет 3,651+4-1,803=10,862. Продолжая вычисления, получаем
z 101 —10,862_Q 7Q1 z3— 1-1-32 —
Порядковый номер составляет 10,862 + 3-2,731 = 19,056. Для следующего интервала
т 101 — 19,056 г* оке
Г+Тз 5’856,
Порядковый номер составляет 19,056 + 2-5,853 = 30,762. И, наконец,
/. = 10'~^?62д 14,048.
6 1 + 4
Порядковый номер составляет 30,762 + 1 • 14,048 = 44,810. Данные для построения графика приводятся в табл. 11.19, а полученный график — на рис. 11.12.
Таблица 11.19
Данные об отказах элемента двигателя
Дальность пробега, км Порядковый номер Медианный ранг, %
2 000 3,651 3,34
4000 10,862 10,52
6 000 19,056 18,68
8000 30,762 30,34
10 000 44,810 44,33
342 Глава 11
Процентили распределения
Наработка, км
Рис. 11.12. Данные об отказах элементов двигателя автомобиля.
В следующем примере дается сравнение двух выборок, взятых из различных совокупностей с распределениями Вейбулла.
Пример 11.4. В табл. 14.20 приводятся кодированные данные о сопротивлении срезу латунных и стальных заклепок тормозов. Графически эти данные изображены на рис. 11.13. Как показано на рисунке, графики для распределения Вейбулла расходятся при более высоких значениях сопротивления срезу. С точки зрения надежности это может означать, что выбор элемента зависит от того, рассматривается ли вероятность безотказной работы за малое или большое время.
Не существует какого-либо точного статистического критерия
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 343
для определения значимого различия между выборками, если предполагается, что обе совокупности имеют распределение Вейбулла. Чтобы решить эту проблему, предлагается для обеих этих линий построить доверительные границы, а затем сделать вывод о существовании значимого различия, если доверительные интервалы не перекрываются. Однако этот метод неточен, и данный вопрос требует дальнейшего исследования.
Таблица 11.20
Кодированные данные о результатах испытаний на сопротивление срезу латунных и стальных заклепок
Латунные заклепки
Стальные заклепки
сопротивление срезу
медианный ранг, %
сопротивление срезу
медианный ранг, %
4,2
4,5
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,4
5,7
5,7
5,9
6,4
6,8
4,8
11,7
18,6
25,6
32,6
39,5
46,5
53,5
60,5
67,4
74,4
81,4
88,3
95,2
7,4
7,4
7,8
8,3
9,2
9,6
11,0
11,2
12’9
5,6
13,6
21,7
29,8
37,9
45,9
54,0
62,1
70,2
78,3
86,4
94,4
11.3. Методы статистического оценивания
Традиционные методы статистических выводов применимы в случае распределения Вейбулла (как и при любом другом распределении), и они более объективны, чем неизбежно субъективные графические методы. Методы статистического оценивания позволяют определить свойства оценки и точность оценивания.
Однако в случае распределения Вейбулла применение традиционных методов статистических выводов затруднено. Например, применение известного метода максимального правдоподобия для оценивания параметров приводит к уравнениям, которые невозможно решить в явном виде, и в этом случае необходимо использовать итеративный способ. С методом максимального правдоподобия связаны и другие проблемы; например, в случае цензурированных выборок полученные оценки могут не обладать минц-
344 Глава 11
Рис. 11.13. Сравнение сопротивлений срезу латунных (/) и стальных (2) заклепок (распределение Вейбулла).
мальной дисперсией. Некоторые из этих проблем встречаются также при оценивании параметров методом согласования моментов.
Метод, используемый для оценивания параметров в случае распределения Вейбулла, связан по существу с заданием весов наблюдений. Веса задаются таким образом, что получаемые оценки обладают минимальной дисперсией. Вывод этой процедуры дается в работах Манна [22—31]. Ниже рассматривается процедура оценивания параметров.
Оценивание надежности; распределение Вейбулла 345
11.3.1. Оценивание параметров
Пусть t—случайная величина, имеющая двухпараметрическое распределение Вейбулла, определяемое формулой (11.2). Если ввести обозначение х = lot, то функция распределения случайной величины х примет вид
/?(х) = 1—ехр I — ехр , —оо<х<оо, (11.30)
где ы=1п9 и 6=1/р. Это функция распределения наименьших значений. Если нас интересует оценивание случайной величины х при заданной вероятности безотказной работы 7?, то формулу (11.30) можно записать в виде
х= и 4-6 [In (In 1/7?)]. (11.31)
Это известное уравнение прямой у — А + Вх с параметрами и и Ь.
Пусть Ч, ta, ..., tr—порядковые статистики наработки до отказа, описываемые двухпараметрическим распределением. Вейбулла. Введем обозначение xz = lnt,. Тогда параметры и и Ь, входящие в формулу (11.31), можно определить в виде
и = 2 (11.32)
i = 1
И
Ь=2с/Х,., (11.33)
1=1
где а/ и q — линейные весовые множители (значения которых даются в приложении 9) для соответствующих значений п и г. Эта процедура обеспечивает линейное оценивание параметров и и Ь.
Оценки первоначальных параметров распределения Вейбулла имеют вид
II «х> (11.34)
и
р=4-. (11.35)
Кроме того.
^(0=ехр[-(4-)₽]. (11.36)
Эти оценки называются наилучшими линеиными инвариантными оценками. Они являются „наилучшими" в том смысле, что дают равномерно меньшие ошибких), чем любые другие линейные
г) В данном случае ошибка рассматривается как произведение математического ожидания среднего квадрата и 02.
346 Глава 11
оценки, и они остаются инвариантными при преобразованиях параметров положения и масштаба распределения.
Полученные оценки не являются несмещенными. Однако несмещенные оценки для и и b могут быть получены с помощью следующих простых линейных преобразований:
b* =b][l—E'(LB)], (11.37)
и* = и + Ь*Е(СР). (11.38)
Значения Е (LB) и Е (СР) приводятся в приложении 9.
Пример 11.5. В табл. 11.21 приведены данные о наработке до отказа торсионных стержней капотов автомобильных двигателей. В данном случае на испытания были поставлены 10 торсионных стержней и испытания прекращены в момент появления седьмого отказа. Весовые множители для п=10 и г = 7, найденные с помощью таблиц в приложении 9, приводятся в табл. 11.21.
Таблица 11.21
Результаты испытаний торсионных стержней капота автомобильного двигателя
Наработка до отказа t, число циклов x=In t ai ci
2670 7,889834 —0,022198 —0,124170
5 810 8,667336 —0,006909 —0,126894
7 220 8,884610 0,013224 —0,118392
7 410 8,910586 0,037994 —0,100924
9600 9,169518 0,068153 -0,073988
12 240 9,412465 0,105164 —0,035501
13 680 9,523690 0,804572 0,579868
Вычисляем
7
и = 2 = 9,493392
i = 1
И
7
Ь= 2 с.-х,-= 0,479225. i=i
Следовательно, оценки параметров распределения Вейбулла со-ставляют
0 = еи — 13 272 цикла
8 = 4 = 2,07.
г ь
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 347
Вероятность безотказной работы оценивается по формуле
= ехр [-(^У’07] , />0. (11.39)
Если продолжительность эксплуатации торсионных стержней принимается равной 200 циклов, то вероятность безотказной работы определяется по формуле (11.39) как R (200) = 0,9998 для одного торсионного стержня. Однако в каждом капоте имеются два стержня, и если предусмотрено последовательное срабатывание каждого торсионного стержня, то вероятность безотказной работы системы составляет Rt = (0,9998)2 = 0,9996. Это означает, что на 10000 автомобилей число отказов составит около 4.
Допустим, что необходимо оценить число циклов, при котором ожидается выход из строя 1% изделий рассматриваемой совокупности. Тогда с помощью формулы (11.31) получаем
х0101 = 9,4933392 4- 0,479225 In f In (1/0,99)] = 7,288885,
или
(0,01 = e7-288885 = 1464 цикла.
Теперь очевидно, что таблица весовых коэффициентов существенно облегчает применение этого метода.
11.3.2, Доверительные границы
Доверительные границы для параметров распределения Вейбулла были определены с помощью соответствующей статистики. Рассмотрим вначале параметр Ь. Таблицы значений статистики IF = blb приводятся в приложении 10. Можно выбрать такие конкретные значения W, например Fi_a/2 и И7а/2, что
Р 1 -а/2 Wа/2 — 1 —ОС.
D
(11.40)
Данное неравенство можно переписать в виде
Это неравенство определяет 100(1—а) %-ные двусторонние доверительные границы для Ь. По формулам (11.35) и (11.41) можно определить 100(1—а) %-ные двусторонние доверительные границы для параметра £ распределения Вейбулла:
^^а/2 ь "~Рь ‘
(11.42)
Пример 11.6. Вернемся к примеру 11.5, где рассматривались торсионные стержни капота. Требуется установить 90%-ный до-
348 Глава 11
верительный интервал для значений параметра 0 распределения Вейбулла.
С помощью таблиц в приложении 10 для п=10 и г — 7 находим
№0105 = 1,46 и Го,и = О,42.
Подставляя эти значения в неравенство (11.42), получаем
0,479225 0,479225 ’ ИЛИ Р 3,05,
что является искомым доверительным интервалом.
Найдем значение xR для заданной вероятности безотказной работы R. Значения статистики
(П.43) ь
приводятся в таблицах приложения 12. Можно выбрать такие нижние и верхние доверительные границы, что
p[vR;i_a/2Ci^<VR;a/2l = l-a. (11.44) b J
Преобразуя это неравенство, можно задать доверительные границы для xR в виде
й — feV«;a/2 <хй<й — bVR,i _a/2. (11.45)
В приложении 12 приводятся таблицы, в которых содержатся значения Уддля #=0,90; 0,95 и 0,99 при различных значениях п и г.
Тогда 100(1 —а)%-ный двусторонний доверительный интервал для долговечности t, имеющей распределение Вейбулла, принимает вид
ехр [й — bVRi a/2] < tR С ехр [й — bVR; a/2]. (11.46)
Пример 11.7. Вернемся еще раз к примеру 11.5, где рассматривались испытания торсионных стержней, и определим 90%-ную одностороннюю доверительную границу для наработки до отказа, выраженной через число циклов при вероятности безотказной работы 0,99. Из таблиц приложения 12 для R = 0,99, a = 0,10, п=10 и г = 7 находим
Уо,99; одо =8,99.
Следовательно,
9,493392 —0,479225-8,99 <х0,ев, или х0.м>5,18,
и при распределении Вейбулла t 179 циклов.
Можно установить доверительные границы для ресурсной характеристики, используя статистику V —~(и—и)/Ь, значения
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 349
которой приводятся в таблицах приложения 11. Вероятностное
выражение имеет вид р[^_а/2<^<уа/2] = 1-а, L b J
(П.47)
откуда после преобразований получаем
U —*bVа/2 Ц,—~bV 1 -а/2 • (11.48)
Так как 0 = е“, данное неравенство дает следующие доверительные границы для 6:
ехр (и — bVa/2) ^ 0 ехр (и — bVi _а/2). (11.49)
Пример 11.8. Рассматривая снова данные об испытаниях торсионных стержней капота с помощью таблиц приложения 11 для п=10, г = 7 и а = 0,10, находим
V.,oe = O,7O и Уо>и = 1,О8.
После подстановки этих значений в формулу (11.49) получаем
ехр (9,493392—0,479225 • 0,70) С 0 < ехр [9,493392 —
-0,479225-(—1,08)].
Таким образом, 90%-ный доверительный интервал для ресурс- . ной характеристики 0 имеет вид
9489 циклов ^0 22 269 циклов.
Для установления нижней доверительной границы вероятностей безотказной работы R (/*) при конкретном значении наработки до отказа t* могут использоваться таблицы значений статистики VR. Для этого рассматривается преобразованиеxR=In/* и вычисляется значение статистики VR=(u—xR)jb. Затем при заданном уровне значимости а находится значение R*, соответствующее, Уд, 1—а* Это значение R* представляет собой искомую 100(1—а)%-ную нижнюю доверительную границу для R при наработке /*.
Пример 11.9. Рассмотрим снова пример с торсионными стержнями. В данном случае требуется определить 95%-ную нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной работы при /* = 200 циклов.
Имеем
/* = 200 циклов,
следовательно,
xR = In 200 = 5,30.
Подставляя эти значения в формулу (11.43), получаем ... 9,493392 — 5,30 о
Vr ~ 0,479225 “°’'5’
350 Глава 11
Из таблиц приложения 12 для п= 10, г = 7 и а = 0,05 находим Vo,95,0,95 = 6,83 и Vo,99, 0,95 = 10,66.
Интерполируя для У$;о>95 = 8,75, получаем R (200 циклов) >= 0,97.
11.4. Критерий согласия для двухпараметрического распределения Вейбулла
Манн и др. [31] разработали критерий согласия, предназначенный специально для распределения Вейбулла. Так как этот критерий используется для конкретного распределения, то можно ожидать, что он будет более мощным, чем любой общий критерий согласия.
В данном случае нулевая гипотеза состоит в том, что рассматриваемая совокупность имеет двухпараметрическое распределение Вейбулла. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует рассмотреть другие распределения, в том числе трехпараметрическое распределение Вейбулла.
Применение данного критерия согласия довольно просто и производится следующим образом. Пусть tf, t2, ..., tr—первые г порядковых статистик наработки до отказа, полученные при прекращении испытаний в момент появления г-го отказа (г п). Введем обозначение xz = lntf при i=l, 2...г. Тогда стати-
стика, лежащая в основе критерия, будет иметь вид
S [^=^]
[—L, (1150)
V Г (Х/4-1~-Ц)! £ L ЛЬ J
где [г/2] обозначает наибольшее целое число г/2; например, если г —7, то [г/2] —3. Значения Mh а также критические значения S приводятся в таблицах приложения 13.
Пример 11.10. Рассмотрим еще раз данные о наработке шлифовальных кругов, приведенные в табл. 11.10. Этот пример рассматривался для иллюстрации распределения Вейбулла при ненулевой минимальной наработке. Применим рассматриваемый критерий согласия к полученным данным. Результаты вычислений приводятся в табл. 11.22.
Имеем [г/2] +1 =5 и с 2,848957 а *т о
д — 3,674627 — 0,7°'
С помощью таблиц приложения 13 находим, что для п=г=8 и а =0,05 критическое значение 5 = 0,71. Таким образом, мы
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 351
Таблица 11.22
Данные о наработке шлифовальных кругов
*1 Х> = In t* М,. xi + l~xi
22 000 9,998798 1,068252 0,127833 0,119666
25 000 10,126631 0,577339 0,182323 0,315796
30 000 10,308953 0,422889 0,095310 0,225379
33 000 10,404263 0,356967 0,058841 0,164835
35000 10,463103 0,334089 0,395896 1,185001
52 000 10,859000 0,349907 0,191891 0,548406
63000 11,050890 0,449338 0,501256 1,115544
104 000 11,552146
должны отклонить гипотезу о том, что эти данные имеют двухпараметрическое распределение Вейбулла. Это согласуется с выводом, к которому мы пришли ранее при субъективном суждении на основании результатов графического анализа.
При графическом анализе из каждого значения наработки мы вычитали 19 600 и полагали, что получаемые данные имеют двухпараметрическое распределение Вейбулла. В табл. 11.23 приводятся скорректированные данные и вычисления, выполненные для их проверки с помощью этого критерия согласия.
Таблица 11.23
Данные о наработке шлифовальных кругов, скорректированные с учетом ненулевой минимальной наработки
‘i Xz- = ln xi + i~xi (*i + i xi)/Mi
2 400 7,783224 0,810930 0,7592
5 400 8,594154 0,655407 1,1352
10 400 9,249561 0,253449 0,5993
13 400 9,503010 0,139113 0,3897
15 400 9,642123 0,743791 2,2263
32 400 10,385914 0,392301 1,1212
43 400 10,678215 0,665108 1,4802
84 400 11,343323
В данном случае
С 4»8277 л рп
S = 7JHT = 0’63-
Определяя критические значения S с помощью таблиц приложения 13, видим, что вычисленная статистика не является значимой при 95 и даже 90%-ном уровнях значимости.
352 Г лава 11
11.5. Сокращение продолжительности испытаний вследствие цензурирования
В случае распределения Вейбулла значительно труднее оценить экономию времени, получаемую при цензурировании второго рода, чем при экспоненциальном распределении. Если пХу — /-я порядковая статистика наработки до отказа при испытании п изделий с прекращением испытаний в момент появления /-го отказа, то Е (nxz) представляет собой среднюю продолжительность испытаний. В приложении 11.А дается вывод Е („хД но непосредственное использование этого показателя требует сложных вычислений. Однако существует простой способ вычисления отношения Е (nx.r)/E (гхг) в случае распределения Вейбулла. Напомним, что это отношение показывает, насколько сокращается продолжительность испытаний при увеличении числа испытываемых изделий до га и прекращении испытаний в момент появления r-го отказа,
Введем обозначение
X„„ = E(tr.n)/E(tnr), (Н.51)
где t—случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону. Значения ХГ1П приводятся в табл. 10.14. Соответствующее отношение для распределения Вейбулла с параметром 0 аппроксимируется А,1^. Например, при га = 8иг = 6из т^бл. 10.14 находим, что % = 0,50, и для распределения Вейбулла с параметром 0 = 3 экономия времени при проведении испытаний составляет (0.50)1/* =0,79, т. е. 79%.
11.6. Краткие выводы
Распределение Вейбулла обладает известной универсальностью, так как оно может принимать самые различные формы. В то же время оно имеет определенные недостатки. Так, вопреки распространенному мнению о его универсальности существуют многие ситуации, когда это распределение не обеспечивает достаточно хорошего соответствия. Асимметрия и эксцесс распределения Вейбулла (определяющие форму распределения) взаимосвязаны и влияют друг на друга. Существуют определенные значения коэффициента асимметрии и эксцесса, которые не могут быть достигнуты для распределения Вейбулла. К счастью, для большинства инженерных приложений распределение Вейбулла обеспечивает вполне хорошее соответствие и дает приемлемые оценки.
В случае распределения Вейбулла может применяться быстрая и очень наглядная процедура графического оценивания, что является большим преимуществом этого распределения. Однако при малых выборках графические методы могут давать система
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 353
тическую ошибку, особенно при оценивании малых процентилей распределения. К сожалению, в инженерной практике оценивание малых процентилей при малом объеме выборки является правилом, а не исключением. В этом случае лучшие результаты дает применение методов статистического оценивания параметров распределения Вейбулла, рассмотренных в разд. 11.3. На вероятностной бумаге для распределения Вейбулла может быть получено наглядное изображение этого распределения с помощью оценок параметров и оценок процентилей, полученных на этом графике.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Наработка системы до отказа имеет распределение Вейбулла с параметрами 0 = 3 и 0 = 200 км. а) Найдите вероятность безотказной работы за время пробега, равного 150 км. б) Найдите среднюю наработку до отказа, в) Какова вероятность безотказной работы системы 'после достижения средней наработки до отказа?
2. Найдите эксцесс распределения Вейбулла.
3. Найдите коэффициент вариации распределения Вейбулла и постройте график его зависимости от параметра формы.
4. Проводятся испытания 16 водяных насосов автомобиля до появления отказа. Получены следующие значения наработки, выраженные через дальность пробега (в км):
30 254 , 35 ПО, 39 606, 43 112, 49 038, 49 245, 50539, 53 418, 56636, 62130, 63144, 63552, 64 065, 66 868, 72132, 75 068.
С помощью графического метода а) оцените параметры распределения Вейбулла, описывающего наработку до отказа; б) найдите 95%-ную нижнюю доверительную границу наработки до отказа, при которой ожидается выход из строя 10% изделий.
5. Восемь листовых рессор были подвергнуты ускоренным испытаниям на надежность. Получены следующие значения наработки до отказа, выраженные через число циклов:
8712, 21915, 39400, 54613, 79000, 110200, 151 208, 204312.
С помощью графического метода и процедуры статистического оценивания а) найдите параметр формы и ресурсную характеристику распределения Вейбулла; б) 95%-ную нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной работы при наработке, равной 20 000 циклов; в) при 95%-ном доверительном уровне найдите число циклов, которое может быть превышено для 50% изделий рассматриваемой совокупности.
6. Рассмотрите еще раз данные из упражнений 4 и 5 в гл. 10. а) С помощью критерия согласия проверьте соответствие данных распределению Вейбулла. б) С помощью графических методов дайте ответ на вопросы, поставленные в задаче 4. в) Выполните п. „б“, исполззуя методы статистического оценивания.
12 № 544
354 Глава И
7. Используя данные, приведенные в табл. 2.1, графически оцените интенсивность отказов в случае распределения Вейбулла и сравните эти значения со значениями, приведенными в табл. 2.2.
8. При испытаниях шарикоподшипников получены следующие упорядоченные данные об усталостной долговечностих)
Число подшипников Усталостная долговечность, млн. оборотов Число подшипников Усталостная долговечность, млн оборотов
16 17,88 4 68,64
10 28,92 6 68,64
5 33,00 25 68,88 (снятие
19 4L,52 с испытаний)
9 42,12 22 84,12
11 45,60 17 93,12
15 48,48 7 98,64
12 51,84 23 105,12
20 51,96 24 105,84
18 54,12 8 125,04
13 55,56 21 127,92
1 67,80 14 173,40 (снятие с испытаний)
С помощью графических методов а) оцените параметр формы и ресурсную характеристику распределения Вейбулла; б) оцените медиану долговечности; в) оцените долговечность, достигнутую для 90% изделий (точка Т, в которой Р(1^Т) = 0,10); г) оцените среднюю наработку на отказ.
9. Рассмотрите следующие данные, показывающие наработку до отказа или наработку до снятия изделия с испытаний (в ч), где S и F обозначают снятие изделия с испытаний и отказ соответственно. Испытания были прекращены в момент, когда было зарегистрировано последнее значение наработки до отказа (56,2 ч).
В этот момент на испытаниях оставалось еще 19 изделий:
1,0 S 17,7 S 31,9 S 44,2 S
2,2 F 18,4 S 36,4 F 44,9 S
3,6 F 19,8 S 36,8 F 45,3 F
3,8 F 22,7 F 37,1 S 47,4 S
4,7 S 23,5 S 37,4 F 48,5 S
11,2 F 25,0 S 38,0 S 49,6 S
11,3 F 26,1 S 39,2 F 50,4 S
13,1 F 27,7 F 40,6 S 50,9 F
13,3 S 28,9 F 43,7 F 53,2 S
15,0 S 29,5 S 44,0 S 55,5 S
15,8 S 30,2 S 44,1 S 56,2 F
х> С разрешения авторов эти данные взяты из статьи: Lieblein J. Zelen М., Statistical Investigation of the Fatigue Life of Deep-Grooved Ball Bearings, Journal of Research of the' National Bureau of Standards, 57, 5 (November 1956).
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 355
а) С помощью графических методов найдите вероятность безотказной работы, б) Определите наработку до отказа, при которой 10% изделий выйдут из строя, в) Установите 95%-ную нижнюю доверительную границу для оценки, полученной в предыдущем пункте.
10. Получены следующие данные о наработке подшипников вентилятора, используемого в дизельном двигателе полуприцепа для отказов определенного вида, выраженные через дальность пробега (в км). Стоимость замены подшипника в гараже' фирмы составляет 80 долл. Дорожный ремонт при отказе подшипника обходится примерно в 300 долл., так как не всегда имеются запасные части и отсутствует квалифицированный механик. Используя эти данные, дайте рекомендации о политике технического
обслуживания, минимизирующей СТОИМОСТЬ ремонта:
23 600 51 600 122 000 185 000
24 200 60 000 128 000 200 200
26 000 60 242 130 400 238 000
27 600 71 400 135 040 264 200
28 200 86 000 168 900 344 000
30 900 99 800 177 440 362 000
36 400 116 000 178 200
11. Используя логарифмическую графическую бумагу, составьте методику графического оценивания для экспоненциального распределения, аналогичную используемой в случае распределения Вейбулла. С помощью этого метода дайте ответ на вопросы, поставленные в упражнении 8 гл. 10.
12. На полигоне автомобильной фирмы испытывались 24 автомобиля. Запланированная дальность пробега составила 64 000 км. Предполагается, что дальность пробега на полигоне эквивалентна дальности пробега пользователя.
Во время испытаний вышли из строя восемь шлангов радиатора при следующих значениях наработки, выраженной через дальность пробега (в км): 2760, 3700, 7100, i7 220, 29500, 48400, 52 600, 64 000.
Оцените число замен при гарантийной наработке, равной 24 000 км, если будет продано 2 млн. автомобилей, и составьте краткий технический отчет для главного инженера, отвечающего за выпуск этой партии автомобилей.
13. Колонна автомобилей эксплуатируется в одном из районов северо-восточной части Соединенных Штатов, где происходит интенсивное образование коррозии. Для 100 автомобилей ведется наблюдение за отказами вследствие коррозии некоторых элементов, расположенных в нижней часта кузова. За два года были получены следующие данные об отказах вследствие коррозии:
12*
356 Глава 11
'Наработка, км Число отказов
М < 10 000 11
10000 < Л1<20000 26
20 000 < УИ<30 000 28
30 000 < Л1<40 000 20
40000 < ЛК50 000 14
50 000 < М. < 60 000 1
Используя в качестве модели распределение Вейбулла, определите вероятность безотказной работы для пробега длиной 24 000 км.
14. В лаборатории испытывались рулевые сошки системы рулевого управления легкового автомобиля. Рулевые сошки испытывались до появления отказа путем приложения знакопеременной постоянной нагрузки к нижнему концу рулевой сошки, когда верхний ее конец был закреплен. Таким образом, появлялись усталостные отказы рулевых сошек. Для 10 изделий получены следующие значения наработки до отказа, выраженные через число циклов:
2200, 5200, 8600, 8900, 9700, 19500, 21 000, 27800, 35200, 59900.
Используя вероятностную бумагу для распределения Вейбулла, оцените: а) среднее время безотказной работы; б) вероятность безотказной работы; в) среднее число циклов, в течение которых откажут 10% всех изделий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bain L. G., Inference Based on Censored Sampling from the Weibull or Extreme Value Distribution, Technometrics, 14, 3 (August 1972).
2. Benard A., Bos-Levenbach E. C., Het Uitzetten Van Waarnemingen op Waarschijnlykheidspaper, Statistica, 7 (1953).
3. Billman B. R., Antle С. E., Bain L. J., Statistical Inference from Censored Weibull Samples, Technometrics, 14, 4 (November 1972).
4. Cohen A. C., Maximum Likelihood Estimation in the Weibull Distribution Based on Complete and on Censored Samples, Technometrics, 1, 4 (November 1965).
5- D’Agostino R. B., Linear Estimation of the Weibull Parameters, Technometrics, 13, 1 (February 1971).
6. Danziger L., Planning Censored Life Tests for Estimation of the Hazard Rate of a Weibull Distribution with Prescribed Precision, Technometrics, 12, 12 (May 1970).
7. Dubey S. D., Asymptotic Properties of Several Estimators of Weibull Parameters, Technometrics, 7, 3 (August 1965).
8. Engelhardt M., Bain L. J., Some Results on Point Estimation for the Two-Parameter Weibull or Extreme-Value Distribution, Technometrics, 16, 1 (February 1974).
Оценивание надежности: распределение Вейбулла 357
9. Falls L. W., Estimation of Parameters in Compound Weibull Distributions, Technometrics, 12, 2 (May 1970).
10. Gumbel E. J., Statistics of Extremes, New York, Columbia University Press, 1958.
[Имеется перевод: Гумбель Э. Статистика экстремальных значений.—М.: Мир, 1965.]
11. Hager Н. W., Bain L. J., Antle С. Е., Reliability Estimation for the Generalized Gamma Distribution and Robustness of the Weibull Model, Technometrics, 13, 3 (August 1971). ’
12. Harter H. L., Moore A. H., Point and Interval Estimators, Based on m Order Statistics, for the Scale Parameter of a Weibull Population with Known Shape Parameter, Technometrics, 7, 3 (August 1965).
13. Harder H. L., Moore A. H., Maximum-Likelihood Estimation of the Parameters of Gamma and Weibull Populations from Complete and from Censored Samples, Technometrics, 7, 4 (November 1965).
14. Hogg R. V., Craig A. T., Introduction to Mathematical Statistics, 2nd ed., New York, Macmillan, 1965.
15. Jaech J. L., Estimation of Weibull Distribution Shape Parameters When No More Than Two Failures Occur per Lot, Technometrics, 6, 4 (November 1964).
16. Johnson L. G., Some Statistical Techniques in Analyzing Failure Data, Detroit, Research Laboratories Division, General Motors Corporation, Report No. MEI-68, January 20, 1950.
17. Johnson L. G., Theory and Technique of Variation Research, Elsevier Publishing Company, New York, 1964.
18. Johns M. V., Jr., Lieberman G. J., An Exact Asymptotically Efficient Confidence Bound for Reliability in the Case of the Weibull Distribution, Technometrics, 8, 1 (February 1966).
19. Kao J.H.K., A Summary of Some New Techniques on Failure Analysis, Proceedings of the Sixth National Symposium on Reliability and Quality Control, Washington, D. C., January 11—13, 1960.
20. Kao J.H.K., A Graphical Estimation of Mixed Weibull Parameters in Life-Testing of Electron Tubes, Technometrics, 1, 4 (November 1959).
21. Kimball B. F., On the Choice of Plotting Positions on Probability Paper, Journal of the American Statistical Association, 55 (September 1960).
22. Mann N. R., Results on Location and Scale Parameter Estimation with Application to the Extreme-Value Distribution, Dayton, Ohio, Wright Patterson Air Base, Aerospace Research Laboratories, ARL 67-0023, February 1967.
23. Mann N. R., Tables for Obtaining the Best Linear Invariant Estimates of Parameters of the Weibull Distribution, Technometrics, 9, 4 (November 1967).
24. Marin N. R., Results on Statistical Estimation and Hypothesis Testing with Application to the Weibull and Extreme-Value Distributions, Dayton, Ohio, Wright Patterson Air Force Base, Aerospace Research Laboratories, ARL 68-0068, April 1968.
25. Mann N. R., Point and Interval Estimation Procedures for the Two-Parameter Weibull and Extreme-Value Distribution, Technometrics, 10, 2 (May 1968).
26. Mann N. R., Estimation of Location and Scale Parameters under Various Models of Censoring and Truncation, Dayton, Ohio, Wright Patterson Air Force Base, Aerospace Research Laboratories, ARL 70-0026, February 1970.
27. Mann N. R., Cramer-Rao Efficiencies of Best Linear Invariant Estimators of Parameters of the Extreme-Value Distribution Under Type II Censoring from Above, SIAM Journal of Applied Mathematics, 17, 6 (1969).
4 28. Mann N. R., Optimum Estimators for Linear Functions of Location and Scale Parameters, Annals of Mathematical Statistics, 40, 6, 1969.
358 Глава 11
29. Mann N. R., Estimators and Exact Confidence Bounds for Weibull Parameters Based on a Few Ordered Observations, Technometrics, 12,2 (May 1970).
30. Mann N. R., Best Linear Invariant Estimation for Weibull Parameters under Progressive Censoring, Technometrics, 13, 3 (August 1971).
31. Mann N. R., Fertig K. W., Scheuer E. M., Tolerance Bounds and a New Goodness-of-Fit for Two-Parameter Weibull or Extreme-Value Distribution (with Tables for Censored Samples of Size 3[1]25), Dayton. Ohio, Wright Patterson Air Force Base, Aerospace Research Laboratories, ARL 71-0077, May 1971.
32. Menon M. V., Estimation of the Shape and Scale Parameters of the Weibull Distribution, Technometrics, 5, 2 (May 1963).
33. Mood A. M., Graybill F. A., Introduction to the Theory of Statistics, 2nd ed., New York, McGraw-Hill, 1963.
34. Qureishi A. S., Nabavian K. J., Ahanen J. D., Sampling Inspection Plans for Discriminating Between Two Weibull Processes, Techno metrics, 7, 4 (November 1965).
35. Thoman D. R., Bain L. J., Antle С. E., Inferences on the Parameters of the Weibull Distribution, Technometrics, 11, 3. (August 1969).
36. Thoman D. R., Bain L. J., Antle С. E., Maximum Likelihood Estimation, Exact Confidence Intervals for Reliability, and Tolerance Limits in the Weibull Distribution, Technometrics, 12, 2 (May 1970).
37. White J. S., The Moments of Log-Weibull Order Statistics, Technometrics, 11, 2 (May 1969).
Приложение к гл. II. Вывод математических выражений
Математическое ожидание наработки до у-го отказа
Пусть хх хг х„—вариационный ряд совокупности,
имеющей двухпараметрическое распределение Вейбулла. Плотность распределения случайной величины х, имеет вид
х>0, (11.А.1)
где F (х)— функция распределения Вейбулла и f(x) — F'(x). Используя тождество
F(xy-i = {l-[l-F(x)J}/-\
и разложение бинома, формулу (11.АЛ) можно записать в виде
= ') n-f (11.А.2)
Тогда математическое ожидание случайной величины Ху прини» мает вид 1 °®
В W- Ё ('71) (41 (Ч-А-З)
1=0 о
Подставляя в формулу (11.А.З) стандартные выражения для функции F(x) и плотности / (х) распределения Вейбулла, получаем
jix^-(»-‘+/+1)(-0₽dx. (11.А.4)
о
Пусть
гв(п_г+/+1)(*у,
тогда формула (11.А.4) принимает вид
* (—тЬдпУ/(₽+1) ( z^e-’dz. (11.А.5)
о
360 Глава 11
Легко обнаружить, что получена гамма-функция. Следовательно,
£ (х ) - 0₽Г У “1V 1 \1/(₽+1’
(11.А.6)
Теперь математическое ожидание случайной величины х£ получаем, полагая в формуле (И.А.6) /=1, откуда после упрощений имеем
(11.А.7)
Если нас интересует случайная величина Y, имеющая трехпараметрическое распределение Вейбулла с ресурсной характеристикой 0*, параметром формы р и минимальной долговечностью 6, то можно использовать преобразование x=Y—6. Новая случайная величина х имеет двухпараметрическое распределение Вейбулла с параметром формы 0 = 0*—б. Ясно, что
E(Y) = E(x) + 6,
где Е (х) определяется по формуле (11.А.6), если 0 заменить на 0*—б. Например, математическое ожидание случайной величины минимальной порядковой статистики Y! имеет вид
£(Y1) = 6 + (0-6)₽ (4)1/<₽+1)Г (^) . (11.А.8)
Глава 12. Последовательные испытания на наработку
Последовательные испытания на наработку представляют собой проверку гипотез в процессе накопления результатов наблюдений. Как только достигается достаточный объем информации, на основании которой возможно принятие решения, испытания прекращаются. Таким образом, объем выборки не устанавливается заранее, а зависит от необходимого числа наблюдений. Основной целью таких испытаний является проверка гипотезы о соответствии изделия требованиям надежности, а не оценивание параметров надежности. Последовательные испытания привлекательны в том отношении, что требуется меньший объем испытаний, чем при проверке гипотез, когда рассматривается выборка заданного объема11.
Процедура последовательного выборочного контроля дает правила принятия одного из трех решений при появлении каждого наблюдения. Этими решениями являются: 1) принятие нулевой гипотезы, 2) отклонение нулевой гипотезы и 3) получение дополнительной информации путем проведения еще одного наблюдения.
В разд. 12.1 дается краткое и простое изложение теоретических выводов для процедуры последовательных испытаний. Рассматривается построение оперативных характеристик. Материал данного раздела может быть использован, когда необходимо проведение последовательных испытаний в случае распределений, не рассматриваемых в разд. 12.2.
Разд. 12.2 посвящен применениям последовательных испытаний. Рассматриваются биномиальное, экспоненциальное и пуассоновское распределения. Приводятся различные схемы проведения испытаний, а также различные оперативные характеристики. В разд. 12.3 кратко обсуждается проблема прекращения последовательных испытаний до принятия решения.
Следующий раздел’ посвящен основам теории последовательных испытаний. Те, кого интересуют главным образом приложения, могут переходить непосредственно к разд. 12.2.
Точнее, следует говорить об уменьшении объема испытаний в среднем, причем для вполне определенных соотношений истинных значений проверяемых парамегров и принятых гипотез.— Прим, ред.
362 Глава 12
12.1. Теоретические сведения
В этом разделе даются краткие теоретические сведения о последовательных испытаниях. Охват материала достаточен, чтобы дать общее представление, а те, кто пожелает изучить этот вопрос более глубоко, должны обратиться к работам, указанным в списке литературы.
Рассмотрим простую нулевую гипотезу
Яо: 0 = 0О против альтернативной гипотезы Яр 0 = 01.
В соответствии с определением ошибок первого и второго рода при испытаниях гипотез имеем
Р(Я1|Я0) = а и Р(Я0|/7!) = р, (12.1)
где —вероятность принятия гипотезы Hh когда истинна
гипотеза Hj.
При выводе последовательного критерия используется отношение правдоподобия Llin/L0,n, где Lkt „=L(xlt х2, ..., хп |0ft). Функция Lk>„ называется функцией правдоподобия, а 0Л—истинное значение параметра. До того, как будет взята выборка, Lkt п представляет собой плотность распределения случайных величин (хь х2, ...,х„), если 0Л—истинное значение параметра. Поскольку случайные величины xz независимы, плотность совместного распределения случайных величин, составляющих выборку, образует произведение плотностей безусловного распределения. Таким образом, п
„ = Ц/СМ©*), (12.2)
1 = 1
где f (Xj 10А) — плотность распределения~случайных величин х,-, a 0ft—представляющий интерес параметр. Здесь Lkt „—плотность распределения случайных величин, составляющих выборку.
Если значения случайных величин xf находятся путем взятия случайной выборки, то Lk< п уже не является плотностью распределения, а рассматривается как функция неизвестного параметра Qk. В этом случае Lkt п называется функцией правдоподобия. При выборе значения 0ft мы исходим из того, что если 0Й представляет собой истинное значение параметра, то функция Lk<n должна принимать максимальное значение. Если выбирается такое значение 0А, что функция Lk, п максимальна, то это значение Qk называется оценкой максимального правдоподобия для 0А.
Вернемся снова к отношению правдоподобия Litn/L2>n. При последовательных испытаниях эта величина называется’ после
Последовательные испытания на наработку 363
довательным критерием отношения вероятностей, так как п не задается заранее. Если 0j ближе к истинному. значению параметра, чем 0О, то Lit „ > LO1 я, и это отношение увеличивается. Таким образом, было бы целесообразно определить такую границу В, что если £1>Я/£О>Я^В, то гипотеза Яо отвергается. Кроме того, можно определить такую границу А, что если Lj, n/L0, А то гипотеза Но принимается. Итак, эта процедура определяется следующими правилами:
1. Если Lit B/LO1 я А, то гипотеза Яо принимается.
2. Если LltB/LOt„>B, то гипотеза Но отвергается.
3. Если А < Lit B/LOi я < В, то берется еще одно наблюдение.
Для определения этих границ определим 1FO и 1F( как две такие области пространства параметров, что если (х£, х2, .... хв) € € то принимается гипотеза Ни а если (хъ х.......... хя) С We,
то принимается гипотеза Но. Напомним, что LOtB—плотность распределения для (х1( х2, ..., хя), когда 0 = 0О; тогда
Р(Я1|Я0) = $$ ...\L^ndX1dXi...dxn, (12.3) '
или в общем случае можно записать выражение
= \ $ ... \LhndXldXi...dXn, i = 0, 1; / = 0, 1, (12.4)
которое дает четыре уравнения, включая уравнение (12.3).
С помощью формулы (12.4) получаем
Р(ЯО|ЯГ)=5$ ... ^LUndX1dXi...dxn, (12.5)
и в соответствии с правилом 1 в области 1Г0 принимается гипотеза Яо, когда истинна гипотеза Нь если £11Я^Л£01Я. Если учесть тот факт, что Llt„s^AL0,„, то формула (12.5) принимает вид
Р(Я0|Я,)<Л^ J ... J LOtndXidXi.. .dXn. (12.6)
Возвращаясь к формуле (12.4) и подставляя в правую часть выражения (12.6) значение кратного интеграла, имеем
Р(Я0|Я1)<ЛР(Я0|Я0). (12.7)
Рассуждая аналогичным образом для области можно заключить, что
Р(ЯХ|Я1)>ВР(Я4|ЯО). (12.8)
Если допустить, что с вероятностью 1 в конечном счете эта процедура заканчивается принятием или отклонением гипотезы
364 Глава 12
Яо. то
Р(Я0|Я,)+Р(/7,|Я,)=1, « = 0,1, (12.9)
или
Р(Я0|Я0) = 1-Р(Я1|Я0). (12.10)
Подставляя соотношение (12.10) в формулу (12.7), получаем
PtH^HJ^AV-PtHM)]. (12.11)
Согласно определению ошибок первого и второго рода [формулы (12.1)1, имеем
р<А(1—а). (12.12)
Кроме того, из соотношения (12.9) следует, что
PfH^H^l-PtHM). (12.13)
Рассматривая этот результат совместно с неравенством (12.8), получаем
[l-P(H'>\Hl)]^BP(Hi\HQ), (12.14)
или
(1—р)^В(а). (12.15)
Если в формулах (12.12) и (12.15) заменить неравенства равенствами, то можно определить границы для А и В. Для этого необходимо принять допущение, что при прекращении испытаний L1>n/Lt>n в точности равняется одному из граничных значений. Поскольку в действительности п—дискретная величина, то это допущение не совсем точно, однако на практике ошибка, как правило, незначительна, так как значения аир выбираются малыми. Таким образом, значения А и В аппроксимируются выражениями
(12.16)
И
В = (12.17)
Погрешность этой аппроксимации можно исследовать, представив выражения (12.12) и (12.15) в следующем виде:
(12.18)
И
(12.19)
Рассматривая неравенства (12.18) и (12.19) как равенства, мы использовали значения Л и В, которые соответственно меньше
Последовательные испытания на наработку4 365
и больше точного значения. Определим а' и Р' как вероятности соответственно, допускаемых Л=Р/(1—а) и В = (1—Р)/а. в формулы (12.18) и (12.19),
ошибок первого и второго рода при использовании соотношений Подставляя эти значения А и В получаем
и
и
и
Перепишем
Так как (1 тельны, то
У ' 1—а > У 1—а' (12.20)
1-Р < а -1-У 5 а' (12.21)
эти неравенства в следующем виде: Pz < Р 1—а' 1 —а (12.22)
а' Г=У 5 а (12.23)
—(1-УХ 1 и обе эти разности положи-
р-'< Р 1—а (12.24)
аХ а 1-р • (12.25)
Теперь можно показать, как влияет выбор а и р на истинные значения ошибок (а', Р'). Если, например, а = 0,05 и Р = 0,10, то истинные значения ошибок ограничены следующими величинами: а'<10,05$ и р' г< 0,105. Если неравенство (12.22) умножить на (1 — а)(1 — а'), а неравенство (12.23)—на (1—Р)(1—р') и сложить полученные результаты, то получим
сх 4“Р ^^сх~НР. (12.26)
Это означает, что помимо пределов, задаваемых формулами (12.24) и (12.25), нам известно также, что хотя бы одно из неравенств а'^а или р'<Р должно выполняться. Поэтому использование приближенных пределов может привести к увеличению вероятности ошибки того или иного рода.
Легко показать справедливость допущения о том, что в конечном счете испытания прекратятся. Если ввести случайную
величину
zz = In
f(^|Qi) f(*i 10o) ’
то последовательность наблюдений xlt x2, ... образует последо-довательность zx, z2, .где случайные величины zz независимы,
366 Глава 12
как и случайные величины xz. Согласно правилу 3 (см. выше), последовательные испытания продолжаются до тех пор, пока in Л <zz < In В.' Заметим, что, согласно принятому определению величин А и В, величина In Л положительна, а величина In В отрицательна и если С = in А — In В, то С > 0.
Если какое-либо одно значение zz попадает за пределы интервала (—С, С), то испытания прекращаются. Введем обозначение Р = Р(—C<zz<C), тогда для п наблюдений вероятность того, что все п значений zz попадут в этот интервал, равна Рп. Так как Р<1, то при увеличении п вероятность того, что ни одно значение zz не попадет за пределы области продолжения испытаний, стремится к нулю. Таким образом, в конечном счете испытания прекращаются. Здесь мы не учитывали возможность того, что сумма значений z{ может оказаться за пределами области продолжения испытаний, прежде чем какое-либо одно значение zz попадет за ее пределы.
12.1.1. Теоретические соображения относительно построения оперативной характеристики -
Рассмотрим две простые гипотезы, Н{ и Нj. Введем такую постоянную й, что
(LiiB/LOin)ft = L,,n/L/in. (12.27)
Область продолжения последовательных испытаний для гипотез Н( и Hf можно представить в виде
если й>0, (12.28)
Н. П или
Bft < Lit n/L/t „ < Ah, если й<0, (12.29)
где, как и ранее, Л =0/(1—а) и В = (1—0)/а.
Рассмотрим вначале случай, когда h > 0 и выполняется неравенство (12.28). Для проведения последовательных испытаний при гипотезах Ht и Hj можно использовать последовательный критерий отношения вероятностей LiynlL^n. Обозначим ошибки первого и второго рода для этого критерия соответственно через а' и 0'. Тогда с помощью формулы (12.28) находим
ьЬ- = ЛА (12.30)
И
Ц^ = ВА. (12.31)
Последовательные испытания на наработку 367
Решая уравнения (12.30) и (12.31) относительно а', получаем
Это (приближенная) вероятность принятия гипотезы Hf, когда верна гипотеза Так как соотношение (12.32) выполняется при любых I и j, вероятность принятия гипотезы Ht, когда верна гипотеза Яо, имеет вид
1__&h
р-в^лп- <12-М>
Такой же результат будет получен при использовании неравенства (12.29), когда h < 0.
Тогда оперативная характеристика находится как дополнение до единицы вероятности, определяемой по формуле (12.33):
«Л__1
Ра = в^- <12'34’
Однако определение h для конкретных гипотез Hi и Яо является проблемой. К счастью, эта проблема может быть разрешена, и мы рассмотрим способ определения h. Из соотношения (12.27) следует, что
(12.35)
где f (х 10(-)—плотность распределения. В зависимости от того, является случайная величина х дискретной или непрерывной, производится суммирование или интегрирование правой части этой формулы, и в результате получаем 1.
Допустим, что х—непрерывная случайная величина; определим функцию
’(*>-i <12-зб)
- оо
Общая схема построения оперативной характеристики состоит в том, что по формуле (12.36) определяется функция <p(/i). Затем полагаем <р (/i) = 1 и решаем полученное уравнение относительно 0. Произвольно выбирая значения h, с помощью уравнения (12.36) находим значение 0, что позволяет по формуле (12.34) определить Р (0) — Ра.
Пример 12.1. Рассмотрим экспоненциальное распределение f (х 11) = х^О,
368 Глава 12
Согласно формуле (12.36),
или
<р(А) =
J
ke-^dx,
<p(/i)
X (Xj/Xo)*
Приравнивая <p(/i) единице и решая уравнение относительно %, получаем
__ Ь (^0—^1)
Рассматривая этот результат совместно с соотношением (12.34) и используя экспоненциальное распределение, можно получить данные, необходимые для построения оперативных характеристик.
12.2. Процедура последовательных испытаний
С точки зрения вычислений процедура последовательных испытаний сравнительно проста. В этом разделе излагается методика испытаний и рассматриваются различные конкретные приложения.
Последовательные испытания проводятся обычно с использованием двух простых гипотез (т. е. гипотез типа До: 0 = 0О и Hi- 0 = 0г, где 01=5^9О)- К сожалению, такие простые гипотезы на практике встречаются редко. Допустим, что нас интересуют гипотезы На‘. 0 = 0О и Нг: 0 > 0О, и необходимо, чтобы вероятность ошибки первого рода равнялась а. Вероятность ошибки второго рода не является постоянной величиной, а представляет собой функцию истинного значения параметра 0. Если f (х 10)— непрерывная функция х и 0, то вероятность ошибки второго рода стремится к 1—а при 0—»0О и убывает, когда 0 превышает 0О. Напомним еще раз, что этот случай не отличается от простой проверки гипотез, когда необходимо выбирать такое значение 01э чтобы при 0 = 0f вероятность ошибки второго рода не превышала 0. Таким образом, последовательные испытания могут проводиться при использовании 0О и 0t; при 0 = 0О получаем вероятность ошибки первого рода, равную 0, а при 0>0t— вероятность ошибки второго рода, меньшую или равную 0. Разумеется, такие же рассуждения справедливы и для гипотез До: 0г^0о и Н^. 0>0О; в данном случае при 0 = 0О вероятность появления ошибки первого рода равна а.
Для проведения последовательных испытаний необходимо задать значения 0о, 0*. а и 0. Тогда при использовании f(x|0)
Последовательные испытания на наработку 369
в качестве плотности исходного распределения с параметром 0 последовательные испытания проводятся следующим образом:
1. Вычисляется А = 0/(1 —а).
2. Вычисляется В = (1—0)/а.
3. Берется случайное наблюдение х{ из совокупности, имеющей распределение f (х 10), и вычисляется
4. Если X А, то гипотеза Но принимается.
5. Если то гипотеза Нй отвергается.
6. Если А < X < В, то берется еще одно наблюдение х, и вычисляется
^ = nf(xz|0i)/H^|9e)- (12.37)
1
7. Этапы 4—6 повторяются до тех пор, пока процесс не прекратится.
Эти вычисления часто упрощаются, если область продолжения испытаний на этапе 6 и аналогично на этапах 4 и 5 рассматривается как In А < In X < In В. Затем эти неравенства можно представить в более удобном виде.
12.2.1. Последовательные испытания в случае биномиального распределения
При биномиальном распределении имеет место один из двух возможных исходов испытаний. Рассмотрим, например, лабораторные испытания, когда изделие испытывается в течение заданного числа циклов и либо выдерживает испытания, либо выходит из строя. Вероятность появления того или иного исхода при испытаниях изделия описывается биномиальным распределением
{О, если изделие выдерживает
ИСПЫТаНИЯ, /1О оо\
1, если изделие выходит из (12-38) строя,
где р—вероятность отказа изделия.
Пусть нулевой гипотезой является
^о’ Р ^Рв>
а альтернативной гипотезой —
Яр р>р0-
Здесь р0—такое значение р, что при р — рп вероятность принятия гипотезы Яр равна (1 — а). Кроме того, пусть Pj—такое
370 Глава 12
значение р, что pt > р0, и при p — Pi вероятность принятия гипотезы Но равна 0. Эти величины (а, р0, pt и 0) определяют порядок проведения последовательных испытаний. Теперь эти испытания можно проводить, установив последовательный критерий отношения вероятностей.
При п наблюдениях последовательный критерий отношения вероятностей, задаваемый формулой (12.37), принимает вид
/PlV (\—JPAn~u (12.39)
\Ро/ \1— Ро) ’
п
где представляет собой общее число отказов при п
i=i
испытаниях.
Тогда область продолжения испытаний определяется неравенством
Л< (£)'(=£. у-«< В, (12.40)
\Ро/ \1— Ро/ ' '
где А =0/(1—а) и В=(1—0)/а. Логарифмируя каждый член этого неравенства и устанавливая соотношение между п и у, имеем
п I" /1—Ро\ 1 1„ /l— «\ п 1„ /1— Ро\ , 1 1„ /1— 0 \
(12.41) где
° = |П[(Й(^Й)]- (12-42>
Напомним, что
Ро < Pi-
Представим неравенство (12.41) в виде
Ап<у<В„. (12.43)
В соответствии с приведенными выше правилами при у Ап принимается гипотеза Но, при у^Вп отвергается гипотеза Ht, а при Ап < у < Вп берется дополнительное наблюдение.
Границы области продолжения испытаний, определяемые -соотношением (12.43), являются параллельными линиями, и для последовательных испытаний можно построить график, изображенный на рис. 12.1. Затем на этот график можно нанести результаты испытаний и получить наглядное представление о процессе принятия решений во время испытаний.
Можно построить также оперативную характеристику для этого критерия. Вероятность принятия гипотезы Яо, когда р — истинная доля изделий, вышедших из строя, имеет вид в*__________________________________I
= (12.44)
Последовательные испытания на наработку 371
где
Число испытываемых изделий п
Рис. 12.1. График последовательных испытаний, /—отклонение гипотезы Яо’« 2—продолжение испыта» ний; 3—принятие гипотезы Яо.
(12.45)
Чтобы построить оперативную характеристику для данного критерия, вначале для вычисления р используется формула (12.45) с произвольно выбранным значением h. Затем по формуле (12.44) вычисляется вероятность принятия гипотезы На при данном значении р. Разумеется, Ра(р0) — а при р — р0 и Pa(Pi)=0 при p = pi.
Ожидаемое число наблюдений, при котором достигается точка принятия решений, имеет вид
£(р,п) = + (12.46)
где Ра(р) определяется по формуле (12.44). График для Е (р, п) как функции р показан на рис. 12.2, где максимум находится между р„ и pt.
Пример 12.2. Допустим, что требуется проверить гипотезы Яо: 0,001; Яр р > 0,001
для случая биномиального распределения. При анализе задачи получаем а=0,05 и 0 = 0,10 при рй = 0,001 и pf = 0,020. Определим теперь порядок последовательных испытаний для данного случая.
372 Глава 12
После подстановки соответствующих значений в формулу (12.41) для области продолжения испытаний получаем следующее неравенство:
0,0064/1—3,151 <у< 0,0064п + 0,9587.
Рис. 12.2. Кривая среднего объема выборки.
Графически, это неравенство изображено на рис. 12.3. /Можно видеть, что в данном случае самый короткий путь в область приемки требует появлений 493 успешных исходов подряд,
Рис. 12.3. График последовательных испытаний при гипотезах HQ: 0,001 и Нх: р > 0,001, когда рг = 0,020.
/—отклонение гипотезы Но; 2—продолжение испытаний; 3—принятие гипотезы Но.
Последовательные испытания на наработку 373
а самый короткий путь в область браковки требует, чтобы первое изделие, поставленное на испытания, вышло из строя.
Границы области продолжения испытаний зависят от того, насколько близки друг другу значения и р0, и от относительной величины рг и р0. Для иллюстрации на рис. 12.4 по-
Рис. 12.4. График последовательных испытаний при гипотезах Я о : р «С 0,001 и Нх:р > 0,001, когда pt = 0,100.
/—отклонение гипотезы Но; 2—продолжение испытаний; 3—принятие гипотезы Но.
казаны последовательные испытания при рв = 0,001 и /?, = 0,100. В данном случае различие между р0 и pt более чем в пять раз превышает различие между заданными выше вероятностями. Теперь самый короткий путь в область приемки требует появления всего 92 успешных исходов подряд, а самый короткий путь в область браковки — появления четырех отказов. Для сравнения напомним, что в предыдущем случае требовалось появление 493 успешных исходов и одного отказа.
Рассмотрим теперь еще один случай, когда р0 = 0,050 и Pi = 0,100. Эти последовательные испытания показаны на рис. 12.5. Заметим, что здесь на графике масштаб по оси ординат изменен по сравнению с предыдущими графиками. В этом случае кратчайшие пути в область приемки или отклонения гипотезы составляют 175 успешных исходов или 25 отказов соответственно. Очевидно, что увеличение требуемого числа успешных исходов
374 Глава 12
или числа отказов по сравнению с предыдущим случаем вызвано близостью р0 и pf, однако уменьшилось число успешных исходов, требуемое для принятия гипотезы, так как увеличилось значение р0.
Рис. 12.5. График последовательных испытаний при гипотезах Но: 0,050 и Нг: р > 0,050, когда р± = 0,100.
/—отклонение гипотезы Но; 2—продолжение испытаний; 5—принятие гипотезы #0.
Здесь рассматривается довольно сложная задача, и сравнение этих трех последовательных испытаний дается в табл. 12.1.
Таблица 12.1
Сравнение трех последовательных испытаний в случае биномиального распределения
Испытания Ро Pi Pi/Po Pl-Po Самый быстрый путь
число успешных исходов число отказов
1 0,001 0,020 20 0,019 493 1
11 0,001 0,100 100 0.099 92 4
III 0,050 0,100 2 0,050 175 25
Последовательные испытания на наработку 375
Обычно, когда значения р0 и близки друг другу, параллель-ные линии, представляющие собой границы областей приемки и отклонения гипотезы, далеко отходят друг от друга, так как становится все труднее провести различие между р0 и р±. Это можно показать, наблюдая различие между наиболее быстрыми путями в область приемки "й область отклонения гипотезы для испытаний I по сравнению с испытаниями II и для испытаний II по сравнению с испытаниями III. Кроме того, как показывает сравнение рис. 12.3 и 12.4, при увеличении рв по сравнению с Pi наклон линий увеличивается.
Таблица 12.2
Вычисленные значения для построения оперативной характеристики (по данным примера 12.2)
ь р Ра(р) R
—2,00 0,035 0,011 0,965
-1,00 0,020 0,100 0,980
-0,75 0,016 0,167 0,984
-0,50 0,012 0,268 0,988
—0,30 0,010 0,375 0,990
-0,20 0,008 0,435 0,992
-0,02 0,007 0,549 0,993
0,07 0,006 0,606 0,994
> 0,20 0,005 0,680 0,995
0,60 0,002 0,863 0,996
1,00 0,001 0,950 0,999
Если вернуться к примеру 12.2, то табл. 12.2 показывает значения р и Ра(р), вычисленные по формулам (12.44) и (12.45) соответственно при произвольно выбранных значениях h. На рис. 12.6 изображена оперативная характеристика для этих испытаний, полученная путем .построения по табличным данным.
12.2.2. Последовательные испытания при экспоненциальном распределении
Условия проведения испытаний могут быть несколько изменены. Вначале будет рассмотрен случай, когда на испытания последовательно ставятся одиночные изделия. Этот случай можно рассматривать также как определение наработки на отказ, например при испытаниях автомобиля. Таким образом, в результате
376 Глава 12
Рис. 12.6. Оперативная характеристика для последовательных испытаний при гипотезах Но: 0,001' и
когда Pi 5= 0,020,
испытаний получаем случайную величину xz, выражающую наработку l-го изделия до отказа при испытаниях.
Плотность экспоненциального распределения имеет вид
f(x)=-g-e-*/0, х>0,
где 0—средняя наработка до отказа. Проверяются следующие
гипотезы:
Яо: 9>90,
9 < 90.
Если 0 = 9О, то вероятность принятия гипотезы /70 равна 1 —а, а если 0 = 9j, где 9х<90, то вероятность принятия гипотезы Но устанавливается на низком уровне р. Если решение относительно этих величин принято, то порядок проведения испытаний определен.
Последовательный критерий отношения вероятностей прини
мает вид
п
t=i
(1/01)ехр(-х,-/01)_/0о\'’ Г /1 J\]Vr
(1/0о) ехр (-х,-/0о) - ^0 J eXpL Ч 0ОЛ2Л
i=i
Последовательнее испытания на наработку 377
После соответствующих подстановок получаем следующее неравенство для области продолжения испытаний:
1=1
Логарифмируя и группируя члены, получаем
п 1п(0о/01) —In [(1—Р)/а] у п In (0о/01) + 1п [(1-а)/р] ,]9 1/0X—1/0O 1/0J- 1/0о ’ 0^*0
при этом следует иметь в виду, что (1/0J— 1/0о) > 0.
Характеристическая кривая для этого испытания, т. е. вероятность Р (0) принятия гипотезы /70, когда истинным значением параметра является 0, вычисляется с помощью уравнений
«А__1
(12.48)
(12.4У)
где Д = 0/(1—а) и В = (1—0)/а. Уравнение (12.49) используется для определения 0 при произвольно выбранном значении h, затем по формуле (12.48) можно вычислить значение Р(0). Значение h может быть любым действительным числом, выбор его производится методом проб и ошибок.
Пример 12.3. Допустим, что нас интересует проведение испытаний нового изделия на надежность, чтобы определить, обеспечивается ли заданная средняя наработка, равная 1000 ч. Выбираем 0О— 1000 ч при а = 0,05 и полагаем 0г = 500 ч при 0 = 0,10.
После подстановки этих значений в формулу (12.47) имеем следующее неравенство для области продолжения испытаний:
п In 2—In (0,90/0,05) у п in 2 + In (0,95/0,10)
(1/500—1/1000) (1/500—1/1000) ’
откуда получаем
693п—2890 < 2 х{ < 693п + 2251.
С помощью этого неравенства можно построить график последовательных испытаний, показанный на рис. 12.7, а используя данные, приведенные в табл. 12.3, можно построить оперативную характеристику для этих испытаний, изображенную на рис. 12.8.
Выбор оперативной характеристики необходимо осуществлять весьма тщательно, так как это определяет оценку риска, связанного с процессом принятия решений. Заметим, что в предыдущем примере вывод о том, что достигнут требуемый уровень надежности, был сделан на основе принятия нулевой гипотезы.
378 Глава 12
Таблица 12.3
Вычисленные значения для построения оперативной характеристики (по данным примера 12.3)
h р(0) е
2,000 0,9969 1500
1,000 0,9500 1000
0,500 0,8275 828
0,250 0,7110 757
0,100 0,6242 718
0,001 0,5625 693
—0,500 0,2681 586
— 1,000 0,1000 500
—2,000 0,0110 375
Рис, 12.7, График последовательных испытаний на надежность при экспоненциальном распределении.
/—отклонение гипотезы Яо; 2—продолжение испытаний: 3—принятие гипотезы Но.
Подобный процесс принятия решений нельзя считать удачным, так как если принимается решение отвергнуть нулевую гипотезу, то существует уверенность в том, что имеет место статистическая значимость. Важно знать ошибки, связанные с процессом принятия решений; принятие решений, основанных на нулевой или альтернативной гипотезе, которая не учитывает
Последовательные испытания на наработку 379
величину ошибок, является опасной и неразумной процедурой. При анализе процедуры принятия решений необходимо рассматривать ошибки первого и второго рода.
Рис. 12.8. Оперативная характеристика для последовательных испытаний.
12.2.3. Применение экспоненциального распределения: соотношение между общей продолжительностью испытаний и общим числом отказов
В предыдущем примере последовательные испытания изделий проводились до появления отказа. Напомним, что суммарная продолжительность испытаний и общее число наблюдаемых отказов могут быть выражены в терминах соотношения между экспоненциальным и пуассоновским распределениями (разд. 10.1 и 10.А). Это позволяет планировать проведение последовательных испытаний в тех случаях, когда отказавшие изделия за меняются или суммируется дальность пробега нескольких автомобилей.
Так, если наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение. с интенсивностью отказов X, то в промежутке времени Т число отказов г имеет пуассоновское распределение
380 Глава 12
с параметром КТ. Плотность пуассоновского распределения г имеет вид
P(r I Х)= (ХГ)'*~-. , г = 0, 1, 2.
а последовательный критерий отношения вероятностей равен Р(г|\)/Р(г|Х0).
Рассмотрим теперь конкретные гипотезы
и Я1:Х<%0.
В данном случае отклонение гипотезы HQ означает, что интенсивность отказов значительно меньше Хо. Здесь Хо, вероятно, представляет собой некоторый стандарт для изделия старого образца, и вопрос об изготовлении изделия нового образца не будет рассматриваться, если не наблюдается существенного повышения надежности.
Для определения порядка проведения последовательных испытаний необходимо задать значения а, 0 и Здесь —такое значение интенсивности отказов, что < Хо. Критерий последовательного отношения вероятностей равен
(^1Ао)Л ехР [ (М ML
а область продолжения испытаний определяется неравенством Т(Л0-М+1п(-Ь^-')
------in(X0/M 7 <' < -----------in(X^ Р 7 • (12.50)
Оперативная характеристика для этих испытаний определяется по формуле
где, как и ранее, Л=|3/(1—а), В — (1—0)/а и
<12 02)
Здесь Р(Х)—вероятность принятия гипотезы Но, когда % — истинное значение интенсивности отказов. И в данном случае эти уравнения решаются при произвольно выбранных значениях h.
Пример 12.4. Допустим, что нас интересует проведение последовательных испытаний при гипотезах Яо: Л ^0,002 и Ht: Х< <0,002. Дано: а = 0,05, р = 0,10 и %г = 0,001. С помощью формулы (12.50) получаем
14,4-10~4Т —4,1699 < г < 14,4- 10-4Т +3,2479.
Независимая переменная Т откладывается по оси ординат графика для последовательных испытаний.
Последовательные испытания на наработку 381
Для построения оперативных характеристик вычисляются значения
А 0,001Л
и р /а \__________________________18^ 1
18Л—0,105Л *
Значения X и Р(Х), вычисленные для построения оперативных характеристик с помощью этих формул, приводятся в табл. 12.4. Оперативная характеристика показана на рис. 12.9.
Таблица 12.4
Вычисленные значения для построения оперативной характеристики (по данным примера 12.4)
h Р(М X
2,000 0,9969 0,0027-
1,000 0,9500 0,0020
0,500 0,8275 0,0017
0,250 - 0,7110 0,0016
0,100 0,6242 0,0015
0,001 0,5625 0,0014
—0,500 0,2681 0,0012
— 1,000 0,1000 0,0010
— 2,000 0,0110 0,0007
12.2.4. Испытания партии изделий при экспоненциальном распределении наработки до отказа
Следует заметить, что возможны самые различные схемы проведения испытаний. Как и в предыдущем случае, предполагается, что наработка до отказа имеет экспоненциальное распре-г деление. Однако теперь на испытания ставятся одновременно п изделий, и испытания прекращаются через промежуток времени Т при появлении г отказов (г^О). В этот момент принимается решение о приемке, браковке или постановке на испытания другой партии, состоящей из п изделий.
При экспоненциальном распределении наработки до отказа и интенсивности отказов X вероятность выхода из строя изделия до конца интервала Т имеет вид
F(T)==1— e~KTt Т^О.
382 Глава 12
2,5 7,25 0,83 0,62 10s Л
Интенсивность отказов и средня? наработка до отказа
Рис. 12.9. Оперативная характеристика для последовательных испытаний при экспоненциальном распределении.
Тогда вероятность того, что г из п изделий, находящихся на испытаниях, выйдут из строя, имеет биномиальное распределение
P(r|X) = (")(l— e~KT)r (e~KT)n~r, г —О, 1.......п.
Допустим, что нас интересуют гипотезы
Н 0: X Хо и Н х; X
и что значения а, р и (Хг < Хо) заданы. Тогда, если k—число партий объемом п, поставленных на испытания, то область продолжения испытаний имеет вид
(Ло—(-—&Л * (Хо—Х,-)ТпЛ+1п
---------------\ а J /У г.г_____________________р
1= 1
(12.53)
Последовательные испытания на наработку 383
где
D = Т (kQ —+ In (1 — е^т) — In (1 —e-W). (12.54)
Если в этом случае верхний предел превышается, то гипотеза Яо отвергается.
12.3. Процедура досрочного прекращения испытаний
Иногда встречаются ситуации, когда требуется • прекращение испытаний через заданный промежуток времени-или после определенного числа наблюдений. На графике для последовательных испытаний (рис. 12.10) можно провести линию, делящую его
Рис. 12.10. Процедура сокращения последовательных испытаний.
/—отклонение гипотезы Яо; 2—линия раздела; 5—отклонение; 4—принятие; 5—принятие гипотезы Яо; 6—точка, соответствующая прекращению испытаний.
на две части. Эта линия проходит через начало координат параллельно линиям приемки и браковки. Тогда при достижении точки прекращения испытаний решение о принятии или отклонении гипотезы Н„ зависит только от того, на какой стороне линии находится окончательный результат. Очевидно, что эта процедура меняет уровни аир, определенные для первоначальных испытаний; однако это изменение незначительно, если усечение производится при больших значениях п или Т в точке прекращения испытаний.
Фактически ожидаемое число изделий или ожидаемая продолжительность испытаний (в зависимости от конкретных условий их проведения) должны вычисляться как при 0 = 0О, так и при 0 = 0Х. Тогда число наблюдений или продолжительность
384 Глава 12
испытаний должны в 3—4 раза превышать эти средние значения, чтобы аир изменились незначительно. Мы не даем формул для вычисления ожидаемого числа наблюдений, отсылая читателя к работам [4—6].
12.4. Краткие выводы
Очевидным преимуществом последовательных испытаний является экономия времени, необходимого для проведения испытаний, что приводит к сокращению затрат *). Однако при последовательных испытаниях приходится сталкиваться со всеми ошибками, связанными с проверкой гипотез, в то время как при испытаниях, планируемых по другой схеме, можно оставаться в счастливом неведении относительно этих ошибок. К сожалению, при других методах испытаний слишком часто берется малая выборка, затем вычисляется статистический критерий, при котором нулевая гипотеза не отклоняется, и на основании этого принимается очень важное решение. (При последователь, ных испытаниях это невозможно.) Следует иметь в виду, чтл так поступать нельзя при проверке гипотез в любой ситуации, и необходимо учитывать последствия появления ошибки второго рода, которая всегда имеет место.
Процедуру последовательного метода, изложенную в разд. 12.2, довольно легко приспособить для испытаний в условиях, отличающихся от тех конкретных условий, которые рассматривались в этом разделе. Для построения оперативных характеристик при иных методах испытаний необходимо использовать формулы (12.34) и (12.36) из разд. 12.1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. При испытаниях автомобиля наработка на отказ, выраженная через дальность пробега в километрах, имеет экспоненциальное распределение. При гипотезах Яв: 0^0О и Н^. 0 > 0О для 0о = 16ООО км, 0Х = 24ООО км, а = 0,05 и £ = 0,10 постройте: а) график последовательных испытаний; б) оперативную характеристику для этих испытаний.
2. Допустим, что при условиях предыдущего упражнения заданы гипотезы ЯО:0^0О и Я1:0<0О при 0о = 24ОООкм, 0f = = 16000 км, а = 0,05 и 0 = 0,10. Постройте оперативную характеристику для испытаний и сравните ее с полученной в предыдущем упражнении.
3. Разрабатывается новый двигатель легкового автомобиля. Заданная средняя наработка на отказ составляет 45000 км^
См. сноску на стр. 361.— Прим. ред.
Последовательные испытания на наработку 385
Определите порядок проведения последовательных испытаний, который может быть использован при ходовых испытаниях этого двигателя для определения соответствия заданным’требованиям. Составьте план проведения испытаний и укажите, какие решения необходимо принимать, и соображения, которыми вы будете руководствоваться при принятии этих решений.
4. При ускоренных лабораторных испытаниях шаровые соединения вращаются и подвергаются нагрузкам в неблагоприятных условиях в течение 300 ч. Считается, что эти испытания'проводятся в условиях, характерных для определенных режимов эксплуатации. На имеющемся испытательном оборудовании одновременно может размещаться 20 шаровых соединений. Считается, что каждое шаровое соединение либо выдерживает испытания, либо выходит из строя. Представляющими интерес гипотезами являются HQ: р^р0 и Нг: р<р^ а) Выведите правила последовательного принятия решений для этих испытаний при р0 = = 0,001, Pi = 0,0001, а = 0,05 и 0 = 0,10 и постройте график для последовательных испытаний; покажите области принятия и отклонения гипотез, б) Используя понятия из разд. 12.2. Г, постройте оперативную характеристику для этих испытаний.
5. Допустим, что нас интересует проведение последовательных испытаний в случае распределения Вейбулла с плотностью fW = -§-(-j)₽-1exp [— , х>0.
Допустим, что значение 0 известно. Используя тот факт, что случайная величина у = х& имеет экспоненциальное распределение, выведите. последовательный критерий для ресурсной характеристики 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bazovsky I., Reliability Theory and Practice, Englewood-Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1961. [Имеется перевод: Базовский И. Надежность. Теория и практика.— M.i Мир, 1965.]
2. Epstein В., Sobel М., Sequential Life Tests in the Exponential Case, Annals of Mathematical Statistics, 26 (1955).
3. Hald A., Statistical Theory with Engineering Applications, New York, John Wiley and Sons, 1952. [Имеется перевод: Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями.— М.: ИЛ, 1956.]
4. Johnson N. L., Leone F. С., Statistics and Experimental Design in Engineering and the Physical Sciences, V. 2, New York, John Wiley and Sons, 1964.
5. Mood A. M., Greybill F. A., Introduction to the Theory of Statistics, 2nd ed., New York, McGraw-Hill, 1963.
6. Wald A., Sequential Tests of Statistical Hypotheses, Annals of Mathematical Statistics, 16,2 (1945).
7. Wald A., Sequential Analysis, New York, John Wiley and Sons, 19474 [Имеется перевод: Вальд А. Последовательный анализ.—M.: Физмат-гиз, I960.]
13 № 544
Глава 13. Байесовский подход к оценке надежности при проектировании и испытаниях
При проектировании изделий задается требуемый уровень надежности, и конструктор, опираясь на свой опыт, стремится его обеспечить. Однако при традиционном вероятностном подходе этот прошлый опыт не учитывается. Поэтому необходим большой объем данных, получаемых путем проведения испытаний, для подтверждения уровня надежности с большой степенью достоверности.
Часто конструктор может с большой уверенностью оценить характеристики своей системы после проведения испытаний в сравнительно небольшом объеме. Кроме того, конструктор может скептически относиться к результатам, полученным щри использовании традиционных статистических методов, так как эти результаты могут не соответствовать его прошлому опыту (здесь небайесовский подход называется традиционным). Допустим, например, что конструктор дорабатывает систему кондиционирования воздуха. Ее назначение идентично назначению предыдущей модели, и конкретной целью доработки является повышение надежности. Если в данном случае при заданном доверительном уровне будет получено значение интенсивности отказов, превышающее прошлогоднее значение, то конструктор может просто не поверить полученным результатам. Такое расхождение может возникнуть при незначительном объеме достоверных данных. Поэтому специалисты по надежности находятся в трудном положении, поскольку они не могут полагаться только на традиционные статистические методы для получения достоверных результатов.
Один из ответов на эту дилемму дает байесовский подход, который объединяет субъективное суждение или опыт с достоверными данными и дает оценки, аналогичные получаемым при традиционном статистическом подходе. Однако байесовский подход может вызывать сомнение, так как не существует каких-либо экспериментальных или аналитических методов для количественного выражения степени уверенности в характеристиках новой системы, а для применения байесовского подхода эта
Байесовский подход к оценке надёжности 387
субъективная информация должна быть выражена количественно х).
Основные понятия байесовской аналитической процедуры представлены в разд. 13.1. Вначале рассматривается теорема Байеса, а затем условные распределения, байесовские точечные оценки и байесовские доверительные интервалы. Читатели, знакомые с байесовским анализом, могут опустить разд. 13.1.
В разд. 13.2 рассматривается байесовский подход к испытаниям по схеме Бернулли. В этом случае результатом испытания является успех или неудача. Выводятся точечные оценки и определяются доверительные пределы для доли изделий, вышедших из строя, или для уровня надежности. Кратко рассматривается также выбор априорного распределения.
В разд. 13.3 изложены те же понятия, что и в разд. 13.2, но здесь используется экспоненциальное распределение наработки до отказа.
Байесовский подход может применяться при последовательных испытаниях, и разд. 13.4 посвящен таким испытаниям. Рассматривается также процедура проведения укороченных последовательных испытаний.
Материал разд. 13.5 и 13.6 охватывает вопросы применения байесовского анализа на этапе проектирования. В разд. 13.5 представлены различные ситуации принятия решений, которые могут^ встречаться на этапе проектирования, и показано применение байесовского подхода при принятии решений. В разд. 13.6 рассматривается элемент, подвергаемый нагрузкам, и показано, каким образом информация об условиях, в которых работает элемент, может использоваться для оценивания надежности.
13.1. Байесовский подход к статистическим выводам
Байесовский подход к статистическим выводам основан на применении теоремы, которую впервые сформулировал Томас Байес, английский министр, живший в XVIII в. Впоследствии Лаплас модифицировал эту теорему; этот измененный вариант ' и используется в настоящее время, он обычно называется теоремой Байеса.
Чтобы показать вывод этой теоремы, остановимся вначале на понятии условной вероятности. Рассмотрим диаграмму Венна,
х) В отечественной литературе по теории надежности различают использование априорной (количественной или качественной) информации при оценке показателей надежности и применение байесовского метода в строгом смысле, когда используется именно количественная, информация, полученная ранее в экспериментах.— Прим. ред.
13*
388 Глава 13
i изображенную на рис. 13.1. Здесь А и 5—два представляющих интерес события, определенные на пространстве выборок Q. Пусть Р(А), Р(В) и Р(АПВ)—вероятности появления событий А, В и А П В соответственно.
Рис. 13.1. Диаграмма Венна.
Можно сказать, что если известно, что произошло событие В, то вероятность появления какого-либо другого несовместного события равна нулю. Общее пространство элементарных событий теперь ограничено событием В. Таким образом, вероятность того, что произошло событие А, имеет вид
Р(А|В) = £^1, (13.1)
где, разумеется, Р(В)>0. Здесь Р(А|В) называется условной вероятностью появления события А при условии, что произошло событие В.
Из соотношения (13.1) также следует, что
Р(АПВ) = Р(В)Р(А|В), (13.2)
или, рассматривая Р (В | А), имеем
Р(А П В) = Р (А) Р (В | А). (13.3)
Подставляя значение Р(АпВ) в формулу (13.1), можно записать
Р(А|В) = Р(А)-^^-. (13.4)
Здесь Р(А)—априорная вероятность появления события А, определенная до того, как стала известна информация о событии В, а Р(А|В)—апостериорная вероятность появления события А, основанная на этой информации. Это и есть вариант теоремы Байеса.
Теорему об условной вероятности можно обобщить и получить другой вариант теоремы Байеса.- Рассмотрим диаграмму Венна, изображенную на рис. 13.2, где события Н2, Н2, ...,Йк определены на пространстве выборок й. Пусть события Hv
Байесовский подход к оценке надежности ЗЙ>
Н2, .... Hk образуют разбиение пространства выборок Q, а это означает, что и?-1Я; = й, a Hh Н}-—взаимно исключающие события для всех i и /, где i j.
Рис. 13.2. Иллюстрация теоремы Байеса с помощью диаграмм Венна.
Пусть В—представляющее интерес событие, также определенное на пространстве выборок Й. Рассмотрим теперь вероятность появления события В с точки зрения событий Я,-. Мы видим, что
Q = tfiUtf2U ... № и, разумеется,
ВПЙ = В, следовательно,
В = ВП(Я1иЯ2и ... ия*), и, используя распределительный закон, имеем в=(впя1)и(впя2)и... и(впяА). ; Поскольку Я,-—взаимно исключающие события, то события (В П Н/) и (В П Яу) являются взаимно исключающими для всех i и /, где
Таким образом, вероятность появления события В можно записать в виде
Р(В) = Р(ВпЯ1) + Р(ВпЯ2)+...+Р(ВПЯй). (13.5)
Тогда, используя соотношение (13.2), формулу (13.5) можно представить в следующем виде: k
В(В)= 2 В(Я()Р(В|Я,.). (13.6)
Пример 13.1. В качестве примера использования соотношения (13.6) рассмотрим две совершенно одинаковые урны. Известно, что в одной урне имеется 30 красных и 70 зеленых шаров, а в другой—50 красных и 50 зеленых шаров. Условно обозначим их как урны I и II соответственно. Предлагается выбрать урну случайным образом и наугад вынуть из урны один шар.
390 Глава 13
Допустим, требуется определить вероятность того, что вынутый шар является красным.
Пусть В—событие, состоящее в том, что вынутый шар является красным, а Н{—событие, состоящее в том, что выбрана i-я урна (i = l, 2). Тогда, используя формулу (13.6), записываем
Р (В)=р (Ях) р (В \Ht)+P (Я,) Р (В IЯ2).
Мы видим, что в данном случае события Ни Н2 образуют разбиение пространства S, необходимое для применения этой формулы. Подставляя числовые значения, получаем
1 зо . 1 50 А ,Л
В (В) — 2 • 100 + 2 • 100 — 0,40.
Рассмотрим снова рис. 13.2 и остановимся на одном из событий Нт. Конкретно нас интересует вероятность Р (Нт | В). Используя формулу (13.1) для условной вероятности, получаем
Р (Нт I В) = р-^^-, . Р (В) > 0. (13.7)
Подставляя сюда значение Р (В), а также несколько преобразуя числитель, имеем
Р (Нт | В) = - Р . (1з,8)
Это выражение теоремы Байеса иногда называют формулой Байеса—Лапласа. Соотношение (13.8) показывает путь обратного рассуждения от следствия к причине. ,
Пример 13.2. Вернемся снова к предыдущему примеру, где рассматривались две урны. Допустим, что независимый наблюдатель наугад берет шар из одной урны, и этот Щар оказывается красным. Требуется определить вероятность того, что была выбрана урна I, если известно, что вынут красный шар.
Рассматривая события, определенные ранее в примере 13.1, и используя формулу (13.8), имеем '
J___30_
Р (Н -1 В)---? ____________% ЮР — 0 375
/>(//!)(В|W2) - о,4О -и>0/0-
Ясно, что Р(Я1)—априорная вероятность появления события —в данном случае равна 0,50, а Р(Нг\В)—апостериорная вероятность, основанная на этой информации,— уменьшилась до 0,375.
Байесовский подход' к оценке надежности 39L
Пример 13.3. Рассмотрим еще один гипотетический пример с целью продолжить иллюстрацию этих понятий. Допустим, что нас интересует надежность новой системы, еще не подвергавшейся испытаниям. Будем ~ считать, что эта система может быть охарактеризована следующими двумя значениями вероятности безотказной работы Р* и Р2: на основании прошлого опыта можно предположить, что система будет иметь вероятность безотказной работы 7^ = 0,95, однако, если конструктор системы допустил ошибку при расчете определенного параметра, то вероятность безотказной работы окажется равной 7?2 = 0,75.
Степень нашего доверия к конструктору системы выражается в том, что вероятность достижения значения Pt принимается равной 80%, а вероятность достижения значения Р2—всего 20%.
Допустим теперь, что один образец этой системы был подвергнут испытаниям и оказалось, что система работает безотказно. Требуется определить вероятность того, что достигнута вероятность .безотказной работы
Введем обозначения: —событие, состоящее в том, что достигнуто значение Рг; S,-—событие, состоящее в том, что испытания i-й системы оказались успешными. Теперь требуется найти P^ISJ. С помощью формулы (13.8) получаем
р (р । е ч _ P(Pi)P(Si|Pi)
1 1' “ Р (Rt) Р (St | Rt) +Р (R2) Р (St | /?2) ’
Подставляя сюда численные значения, находим, что
Р (7?х | Sj) = 0,80-0,95+0,20 0,75= °’835,
Допустим, что были проведены испытания второго образца системы и они также оказались успешными. Теперь требуется вычислить
р/р I с л 9 :___
441 111 р (Rt) р (StftSa I Rt) +Р (Ri) Р (St ns21 Rt) • Получаем
п/г» io ^ <-> \ 0,80(0,95-0,95) noct:
^(#1|51П52)—д ед (о,95-0,95)+20(0,75-0,75) =“0,8^'
Видим, что при применении теоремы Байеса вероятность появления события корректируется появлением новой информации.
13.1.1. Условные распределения и теорема Байеса
Полученные результаты можно обобщить на случай совместных распределений. Рассмотрим плотность совместного распределения f(xlt хг) случайных величин хх и х2. Тогда плотность
392 Глава 13
условного распределения случайной величины при данном значении х2 имеет вид
мт?’’ <13-9’
где f2(x2)— плотность безусловного распределения случайной величины х2.
Используя соотношение (13.9), можно представить f(x19 х2) в следующем виде:
f(Xi, x2) = ft(x1)g(x2|xJ), (13.10)
где /i(Xi) — плотность безусловного распределения случайной величины хг Подставляя это выражение в формулу (13.9), получаем
fe(x1|x2) = /,(X1^|X1), /2(х2)>0. (13.11)
Это выражение эквивалентно теореме Байеса. В данном случае /2(х2) можно найти по формуле
fs (^2)= J f (-*-1» ^2) J Л (^1) ё 0^21 ^1) (13.12)
Х1 X,
если Xi—непрерывная случайная величина. Если же х2-—дискретная случайная величина, то интегрирование заменяется суммированием.
В случае непрерывных случайных величин нахождение f2 (х2) по формуле (13.12) является трудной задачей, так как для вычисления интеграла, записанного в правой части этой формулы, может потребоваться применение численных методов. Это действительно имеет место, если плотность априорного распределения h(x1) и плотность условного распределения g(x2 |хх) не выбраны согласованно. Существуют плотности распределения, повторяю щие по форме друг друга; в этом случае выражение (13.12) является интегрируемым и плотность апостериорного распределения имеет т^кую же форму, что и плотность априорного распределения. Для иллюстрации байесовского метода полагаем, что случайная величина х имеет плотность распределения f(x), которая зависит от в. При традиционном методе статистического вывода неизвестный параметр и, следовательно, является постоянной величиной. Опишем теперь наше априорное знание значения 0 плотностью распределения h(e). Это обеспечивает количественную оценку субъективного суждения, однако эту величину не следует путать с так называемой объективной оценкой вероятности, получаемой при частотном подходе к определению вероятности. Таким образом, 0 можно рассматривать как •случайную величину 0 с плотностью распределения Л(0).
Байесовский подход к оценке надежности 393
Рассмотрим выборку случайных величин хп х2, ..., х„ с плотностью распределения f (х) и определим статистику у как функцию этой случайной выборки. Существует условная плотность распределения g (у 10) случайной величины у при данном значении 0. Плотность совместного распределения случайных величин у и 0 имеет вид
А(0, ^) = Л(0)£(!/|0). (13.13)
и если 0—непрерывная случайная величина, то
fAy)^^h(B)g(y\Q)dQ (13.14)
е
— плотность безусловного распределения статистики у. Плотность условного распределения случайной величины 0 при наличии информации у имеет вид
К'(у)>0. (13.15)
Здесь /i(0) — плотность априорного распределения, выражающая степень нашей уверенности в отношении значения 0 до того, как будут, получены достоверные данные (у). Тогда k(Q\y) является плотностью апостериорного распределения случайной величины 0 при наличии достоверных данных (у).
Если бы в формуле (13.15) можно было объективно определить плотность априорного распределения h (о) случайной величины 0, выражающую степень уверенности в отношении значения параметра 0, то байесовский подход не вызывал бы никаких споров. Однако, поскольку мы имеем дело с. системой, не подвергавшейся испытаниям, и располагаем лишь мнениями отдельных лиц, то Л(0) является распределением, определенным субъективно, и естественно, что такая субъективность вызывает споры.
Если вернуться к формуле (13.15), то изменение формы плотности априорного распределения /г(0) и превращение ее в плотность апостериорного распределения k (01 у) вследствие полученной информации является результатом умножения g (у 10) на h (0), поскольку /2 (у) является просто нормирующей постоянной при заданном значении у. Можно сказать, что
fc(0|fO «•£(0|0)Л(0)-
D В американской литературе в последнее время весьма часто стали использоваться так называемые субъективные вероятности. Следует отметить, что, совпадая с традиционными вероятностями по ряду чисто формальных свойств (задаваемых также чисто субъективно), эти субъективные вероятности у многих исследователей вызывают по меньшей мере недоверие. Во всяком случае, к использованию их при байесовском подходе следует относиться крайне осторожно. — Прим, ред.
394 Глава 13
Величина g(g|0) иногда называется функцией правдоподобия и основана на информации, даваемой выборкой (у) и изменяющей априорное распределение й(0).
Пример 13.4. Проиллюстрируем теперь применение формулы (13.15), используя более реалистический подход, чем в предыдущем примере. Допустим, что разработана система, которая, по нашему мнению, имеет достаточно высокую надежность. Наша степень уверенности в надежности системы выражается плотностью распределения
Л(г) = 4г», OCrCl, (13.16)
где г—уровень надежности. Эта плотность распределения показана на рис. 13.3.
Вероятность безотказной работы г
Рис. 13.3. Плотность априорного распределения.
Допустим, что были проведены испытания одной системы и они оказались успешными. Требуется найти k (г | — плотность
апостериорного распределения уровня надежности г при появлении события Sj, состоящего в том, что испытания системы оказались успешными.
С помощью формулы (13.13) получаем
f(r, S1) = A(r)g(Sllr).
В этом конкретном случае вероятность успеха при данном уровне надежности равна
g(Si|r) = r, а затем, перемножая Л (г) и g(Sx | г), получаем f(r, S1) = 4r\
Теперь найдем плотность безусловного распределения для S,: 1
f2(Sx) = j4rMr=4.
Q
Байесовский подход к оценке надежности 395
После соответствующих подстановок в формулу (13.15) имеем
*(dSi)=7£T=5r\ 0<г<1.
Это плотность апостериорного распределения случайной величины г после получения достоверной информации Sp
13.1.2. Точечная байесовская оценка
Байесовский подход позволяет получить плотность апостериорного распределения k (01 у), выражающего степень нашей уверенности относительно значения представляющего интерес параметра, основанной на достоверной информации у. Чтобы получить точечную оценку для 0, необходимо выбрать одно репрезентативное значение из совокупности, имеющей это апостериорное распределение. Возможным показателем является среднее или медиана распределения k (91 у), и выбор любого из этих показателей обоснован с точки зрения теории принятия решений. Будем использовать в качестве байесовской точечной оценки параметра 0 среднее значение; таким образом, байесовская точечная оценка параметра 0 имеет вид
б6 = Е(0|(/) = $0£(0|#)Л0. (13.17)
е
13.1.3. Байесовские доверительные пределы
Обычно при оценке надежности представляет интерес односторонний доверительный интервал. С помощью апостериорной плотности распределения k (01 у) случайной величины 0 можно найти такие значения и (у) или v(y), что
«(»)
$ k(Q\y)dd=sa, (13.18)
— 00
ИЛИ 00 $ k(Q\y)dQ=a. (13.19)
0(0
Тогда и (у) представляет собой байесовскую 100(1—а) %-ную нижнюю доверительную границу для 0, a v(y) —100(1—а) %-ную верхнюю доверительную границу для 0. В этом случае следует заметить, что, поскольку k (01 у) — плотность распределения, Р[0>«(у)] = Р[е<«(у)]=1-а.
Глава 13
Пример 13.5. Рассмотрим еще раз предыдущий пример и найдем вначале байесовскую точечную оценку вероятности безотказной работы г, а также нижнюю доверительную границу для нее.
Ранее мы нашли, что апостериорная плотность распределения имеет вид
k(r\S1) = 5r\ 0<г<1.
Тогда точечная оценка вероятности безотказной работы составляет ) 1
7?b=J(r) 5гМг = |.
о
Рассмотрим теперь байесовскую 97,5%-ную нижнюю довери- _ тельную границу для вероятности безотказной работы. Имеем
Ч
0,025 = J 5гМг, о
откуда находим нижнюю доверительную границу для Rl — 0,478. Таким образом, с вероятностью 97,5% можно сделать вывод, что г >0,478.
Рассмотрим теперь конкретные применения байесовского подхода в некоторых обычных испытаниях на надежность.
13.2. Испытания по схеме Бернулли
Испытаниям по схеме Бернулли, когда возможными исходами являются успех или неудача, соответствует биномиальное распределение. Например, некоторый прибор может подвергаться испытаниям в течение заданного числа циклов, и если он выдерживает испытания, то имеет место успешный исход.
Если на испытания поставлены п приборов, то случайная величина у, обозначающая число отказов, имеет биномиальное распределение с плотностью
g(y\p) = (^)pytt-P)n~y, 0 = 0, 1,2....... (13.20)
где р—вероятность успешного исхода при испытаниях прибора. Обозначим через р степень априорной уверенности в отношении того, какая доля приборов выйдет из строя. Если случайная величина р имеет бета-распределение, то апостериорное распределение также является бета-распределением. Тогда
Байесовский подход к оценке надежности 397
где 8 и р—постоянные, определяющие форму распределения. Требуется найти
f(y, p) = h(p)g(y\p).
В данном случае
НУ, = (1-P)p+^-1. (13.22)
где 0 р 1 и у = 0, 1,2, ..., п. Плотность безусловного распределения находится по формуле (13.22) и имеет вид
ft (?) - (;) rwns j р"’-’ о -rt»—»-
Этот интеграл представляет собой бета-функцию, и мы получаем так называемое гипербиномиальное распределение ,
= У = о, 1,2..n. (13.23)
Тогда плотность апостериорного распределения случайной величины р определяется в виде
В данном случае
*(р।р)--р^-’-'> «<?<>• (13.24)
Это бета-распределение с параметрами (б + у) и (р + п—у).
Байесовская точечная оценка для р равна Е (р | у) и находится . о помощью плотности условного распределения, определяемой по формуле (13.24). Запишем ее в виде
= , (13.25)
6+р+п’ v '
где п—число испытываемых приборов, а у—наблюдаемое число отказов.
Байесовский доверительный интервал для р легче всего определить, используя известное соотношение между бета- и F-распределениями.
Если rf==p4-n—у и г2=*6 + у, то выражение (13.24) можно записать в виде
= 0<РС1. (13.26)
398 Глава 13
Рассмотрим случайную величину F, определяемую соотношением
1
тогда
|dp|
{ri/r^dF
[l+O-i/'aH]*'
Подставляя эти f(F)dF
выражения в формулу (13.26), получаем
_ г (rt+ f2) (_ч_V’ Г 1 ]Г,+Гг(FVidF Г (ч) (r2) \ J Ll + (4/r2)Fj v ;
Это F-распределение с v( = 2r1 и v2 = 2r2 степенями свободы.
Обозначим через Ра такое значение случайной величины р, что
Р[Р</’а]=1—а-
Если G(p)—функция распределения случайной величины р, то
ИЛИ
_ ra ( 1
1-а; V,:
1
(13.27)
Поскольку значения /ч-а, v„ vt не приводятся в стандартных таблицах, используем обратное соотношение для случайных величин, имеющих /"-распределение, и решим уравнение (13.27) относительно Ра. Получаем
р р ____________а: 2 (&+у); 2 (р+л-у)___ /i о по\
““ Лх: 2 0+,): 3 «>+п-в)4*[(Р+»~У)/(6+у)1 ’
что является верхней границей случайной величины р. Аналогичным образом находим нижний предел:
1+fe±^V ‘' <13-29*
1 ' \ б-ру / Г“: 2 (р+п 0>: 2 <в+0>
Используя соотношение (13.29), находим, что параметр р с ве роятностью (1 —а) лежит в интервале
Р1-а<Р<1.
Это односторонняя нижняя байесовская доверительная граница для доли приборов р, выходящих из строя яри испытаниях, при доверительной вероятности (1 —а). С помощью формулы (13.28) аналогичным образом можно найти верхнюю доверительную границу.
Байесовский подход к оценке надежности 399
Пример 13.6. Рассмотрим случай, когда р—доля приборов, выходящих из строя при испытаниях, и требуется оценить р при испытаниях приборов в течение заданного промежутка времени. Пусть плотность априорного бета-распределения имеет вид
й(р) = 2О(1 — р)19, 0^p<L
Здесь р = 20 и 6 = 1. Данное распределение показано на рис. 13.4. Из этого рисунка следует уверенность в малом значении р*
Рис. 13.4. Пример априорных бета-распределений.
Допустим, что при испытаниях 20 приборов произошел один отказ. Требуется найти точечную оценку и определить 95%-ную байесовскую верхнюю доверительную границу для доли изделий, выходящих из строя при испытаниях.
С помощью формулы (13.25) находим точечную оценку:
= 14-204-20 = О’ 0488-
Ее можно сравнить с результатом, полученным путем традиционного статистического вывода:
^--я-я>-°.0500-
В данном случае точечные оценкр близки.
400 Глава 13
Для 95%-ной верхней доверительной границы табличное значение F составляет
Fа; 2 (04-sO; 2 (р + п-у) = ^0,05; 4; 78 — 2,49.
Подставляя это значение в формулу (13.28), получаем верхнюю границу для р:
__ 2,49 по
Po.os — 2,49+ (39/2) — и>11 °-
Поэтому можно сказать, что с 95%-ной вероятностью 0,113, или R > 0,887.
Проведем теперь сравнение байесовского доверительного интервала с небайесовским в случае биномиального распределения.
13.2.1. Небайесовские и точные доверительные границы в случае биномиального распределения
В случае испытаний по схеме Бернулли верхняя доверительные границы соответственно имеют вид р __ (У+О^а/г; 2 (ff+l); 2 (п-у)
а/2 (« —у) + (у+о ^а/2; 2G/+1): 2 (п-у) ’
р _____________У_____________
1~а/2 (П_ j) 2 (п_^+1). 2у *
Это точные границы для параметра р биномиального
ления, и они выводятся аналогично байесовским доверительным границам, определяемым по формулам (13.28) и (13.29). Как известно, можно показать, что биномиальная сумма и бета-функция эквивалентны, поэтому бета-функцию можно приравнять F-распределению, как это делалось в случае оценки байесовских доверительных границ.
Пример 13.7. Обычная статистическая доверительная граница для предыдущей задачи, когда испытывались и = 20 изделий при числе отказов у=1, определяется по формуле (13.30). Необходимое табличное значение F в данном случае составляет
Л),05; 4,38 = 2,62,
откуда получаем _ 2-2,62
Ро.05— 19-)_2-2,62”‘U’21b*
Таким образом, 95%-ной доверительной границей для р является р< 0,216, цли
и нижняя
(13.30)
(13.31) распреде*
R > 0,784.
Байесовский подход к оценке надежности 401
Как можно видеть, байесовская доверительная граница устанавливает более благоприятную с точки зрения изготовителя нижнюю границу вероятности безотказной работы.
Пример 13.8. Рассмотрим еще один пример, когда априорное бета-распределение имеет параметры р = 200 и а = 2 (рис. 13.4). Допустим, что в результате испытаний 20 элементов бтказы не наблюдались. Требуется оценить вероятность безотказной работы.
При использовании байесовского подхода точечная оценка доли изделий, вышедших из строя, находится по формуле (13.25):
Р ~ 2+200+20 = ^’^00, или
R = 0,9910.
В данном случае получить точечную оценку обычным способом нельзя, так как отказов не было.
Рассмотрим теперь 95%-ную нижнюю доверительную границу вероятности безотказной работы. С помощью формулы (13.28) находим верхнюю доверительную границу для доли изделий, вышедших из строя:
п_________^*0,05; 4; 440__ПЛО11
г 0,05 —
или
следовательно,
Для сравнения с (13.30) получаем
^0.05; 4; 440+ (440/4) ’
р<0,0211,
R > 0,9799.
обычным подходом с помощью формулы
^0,05; 2; 40 $,23
или
R > 0,8610.
В данном случае байесовское априорное распределение дает информацию, обеспечивающую более высокую нижнюю границу для вероятности безотказной работы.
13.2.2. Задача выбора априорного бета-распределения
Выбор априорного бета-распределения является нелегкой задачей, так как он оказывает непосредственное влияние на последующие оценки- Рассмотрим некоторые последствия выбора
402 Глава 13
параметров априорного распределения в надежде, что это окажет некоторую помощь в практической работе.
Бета-распределение, заданное формулой (13.21), имеет математическое ожидание
6 ^=6+7 •
(13.32)
После проведения испытаний п изделий и получения у отказов байесовская оценка для доли изделий, вышедших из строя, имеет вид
Формулу (13.32) можно рассматривать как субъективную оценку доли изделий, вышедших из строя до завершения испытаний. Допустим, что первоначальной субъективной оценкой является р = 0,10. Рассматривая формулу (13.32), можно видеть, что значение 0,10 может быть получено при различных комбинациях б и р. В первых двух строках табл. 13.1 даны различные комбинации таких значений б и р, что 6/(6 + р) = 0,10.
Рассмотрим теперь случай, когда при испытаниях 10 изделий отказы не наблюдались. Эти результаты испытаний, по-видимому, подтверждают нашу первоначальную субъективную оценку, когда р = 0,10. В табл. 13.1 значения являются байесовскими точечными оценками для данного случая. Можно видеть, что при увеличении б и р результаты испытаний оказывают меньшее влияние на получаемую оценку.
Таблица 13,1
Пример выбора параметров априорного распределения при байесовском оценивании
б 0,5 1 3 10 20
б+р 5 10 30 100 200
Р1 0,03 0,05 0,075 0,091 0,095
Р2 0,70 0,55 0,325 0,182 0,143
Рассмотрим теперь эту же априорную оценку р = 0,10 для случая, когда при испытании 10 изделий произошло 10 отказов. В данном случае интуиция подсказывает, что первоначальная оценка является совершенно ошибочной и полученные результаты вызывают серьезное беспокойство. Посмотрим, что покажет байесовское оценивание. Значения р2 в табл. 13.1 представляют собой оценки для данного случая. Теперь видно, что при больших значениях б и р априорное распределение является на
Байесовский подход к оценке надежности 403
столько сильным; что даже совершенно противоположные результаты испытаний не в состоянии в значительной степени изменить априорную оценку. Эго можно объяснить тем фактом, что дисперсия бета-распределения равна бр/(б-|-р)2(б4-р-]-1) и при увеличении б и р она уменьшается. Малая дисперсия априорного распределения означает твердую уверенность в субъективной оценке доли изделий, которые выйдут из строя до завершения испытаний.
Ясно, что большие значения б и р оказывают сильное влияние на априорное распределение, даже если результаты испытаний противоречат априорной оценке. Это говорит о том, что, если требуется, чтобы результаты испытаний оказали влияние на ап* риорную оценку, необходимо брать малые значения 8 и р. Это свидетельствует также о том, что слепое применение байесовского метода, даже когда результаты испытаний противоречат здравому смыслу, может привести к ошибочным оценкам.
13.3. Испытания при использовании экспоненциального распределения
В данном случае наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение. Если интенсивность отказов равна X, то число отказов г за общее время испытаний Т имеет пуассоновское распределение: "
Р(г|%) = г = 0, 1,2, ... . (13.33)
Представляющий интерес параметр X и наша априорная уверенность в отношении величины этого параметра описываются гамма-распределением. Плотность априорного гамма-распределения имеет вид
Я(Х)=^П^~Р- , 1>0, б>0, р>0. (13.34)
Плотность апостериорного распределения случайной величины К при появлении г отказов за время Т находим с помощью теоремы Байеса. Требуется найти
адг)= . (13.35)
I 2 V/
Заметим, что плотность совместного распределения случайных величин г и X находится по формуле
Иг, Х)=Л(Х)Р(г|Х), которая в данном случае принимает вид l<r> x) = n6jTF+DV+,"e’X<P+r’’ (13,36)
404 Глава 13
Тогда случайная величина г имеет следующее безусловное распределение: 00
/<г>=гйт£+оУ (13.37)
о
Если положить и = Х(р + Т), то формула (13.37) принимает вид
со
Мг) = Г (g) Г (г+ 1) (p + T)6+r J “6+Г BdU‘ (13-38)
О
Легко обнаружить, что этот интеграл является гамма-функцией. Таким образом,
(г)~ г(6) Г(г+1)(S+V)6~’ г = °> 1> 2» ••• • (13.39)
Подставляя выражения (13.36) и (13.39) в формулу (13.35), получаем апостериорное распределение для X:
^^1г)=^пЙ^Г%6+г’1е’х<₽+т>’ (13-40>
Имеем плотность гамма-распределения с параметрами (р+Т) и (6 4- г).
Байесовская точечная оценка для 1 представляет собой математическое ожидание апостериорного гамма-распределения, заданного формулой (13.40), и имеет вид
^-$г-
13.3.1. Доверительные границы в случае экспоненциального распределения
Чтобы получить верхнюю или нижнюю доверительную границу для X, необходимо с помощью апостериорного распределения, заданного формулой (13.40), найти такие значения Хв или Х£, что 00
J &(X|r)dX=*a
Ки
или
KL
J &(X|r)dX = a. о
Тогда Хи и Х£ будут определять 100(1—а) % -ные односторонние, соответственно верхнюю и нижнюю, байесовские доверительные границы для X.
байесовский подход к оценке надежности 40S
Так как апостериорным распределением является гамма-рас* пределение, то простое соотношение
г = 2Х(р + Т), (13.42)
подставленное в формулу (13.40), дает случайную величину г, имеющую распределение хи-квадрат с 2(6 +г) степенями свободы. Таким образом, для определения доверительных границ могут использоваться табличные значения хи-квадрат. Рассматривая соотношение, заданное формулой (13.42), можно записать
2 (в+r) < 2Х (р + Т)] = 1 —а, (13.43)
а после преобразований получаем неравенство
-а; 2 (б + г)
2(р+Л
(13.44)
Это 100(1—а)%-ная байесовская нижняя доверительная граница для интенсивности отказов X. Аналогично верхней границей является
х 1 Ха; 2 (б + г)
2(р+Т) ’
13.3.2. Соображения относительно выбора параметров априорного гамма-распределения
Для применения байесовского подхода необходимо объединить всю объективную и субъективную информацию, чтобы получить распределение, описывающее степень уверенности относительно интенсивности отказов некоторой новой системы, еще не подвергавшейся испытаниям. Хотя могут иметься в наличии данные, относящиеся к аналогичным системам, использовавшимся в прошлом, все же необходимо давать прогноз, касающийся будущей системы, а это является камнем преткновения при применении байесовского подхода. Если выбрано априорное распределение, то оно все же не является бесспорным, и нет способа проверить его правильность, так как невозможно получить выборку данных, позволяющую оценить субъективную степень уверенности относительно будущих ситуаций.
Параметры плотности априорного гамма-распределения можно рассмотреть таким же способом, как и параметры априорного бета-распределения при проведении испытаний по схеме Бернулли. Рассмотрим, например, случай, когда априорная оценка интенсивности отказов составляет Х = 0,0001. Напомним, что байесовская оценка имеет вид
5 — 6+г р4-г ’
406 Глава 13
что позволяет использовать 6/р как априорную оценку интенсивности отказов.
В табл. 13.2 для иллюстрации влияния выбора параметров на байесовскую оценку приводятся различные комбинации таких значений 6 и р, что 6/р = 0,0001.
Таблица 13.2
Влияние выбора параметров априорного распределения в случае гамма-распределения
6 1 5 100 1000
р 10 000 50 000 10е Ю7
0,033-Ю”3 0,07-10”3 0,098-Ю”3 0,0998-10-3
Х2 0,7.Ю”3 0,358 -Ю”3 0,118-Ю”3 0,102-Ю”3
Рассмотрим вначале испытания, в результате которых получены следующие данные: Т = 20000 единиц времени и г = 0 отказов. Эти данные, по-видимому, подтверждают априорную уверенность, что А. = 0,0001. В данном случае X является априорной байесовской оценкой. Как можно видеть, при больших, значениях 6 и р достоверные данные оказывают малое влияние на априорную оценку.
Рассмотрим теперь второй случай, когда в результате испытаний в течение Т = 20 000 единиц времени наблюдалось г = 20 отказов. Интуитивно ощущается, что результаты испытаний противоречат априорной оценке.' Полученная байесовская оценка в табл. 13.2 обозначена Х2. Здесь мы снова видим, что большие значения 6 и р дают оценку, которая зависит от априорной степени уверенности. Это вызывается тем, что дисперсия априорного гамма-распределения равна 6/ра, а при больших значениях р дисперсия мала.
Параметры априорного гамма-распределения можно определить путем субъективной оценки двух уровней надежности системы. Эти два оцениваемых уровня надежности можно выразить как два процентиля гамма-распределения, так как эти два процентиля однозначно определяют параметры гамма-распределения. Например, можно оценить медиану интенсивности отказов А0160. В этом случае с вероятностью 50% интенсивность отказов системы может быть больше и меньше данного значения. Затем необходимо найти оценку второго значения интенсивности отказов, например 95-й процентиль Х0)86, представляющий собой такое значение интенсивности отказов системы, которое может быть превышено только в пяти случаях из 100. В случае априорного гамма-распределения, плотность которого определяется
Байесовский подход к оценке надежности 407
по формуле (13.34), используя последовательное интегрирование по частям, можно сказать, что
Н (X) = 1 — £ ^ехР/~рХ), (13.45)
(=0
где 6 принимает только целочисленные значения, аЯ(Х)—функция распределения. Подставляя оценки интенсивностей отказов Ч,5о и 4,95» получаем два уравнения:
0,95 = Я (Х0>96) (13.46)
и
0,50 = Я(%0,60). (13.47)
Решив эти уравнения, можно найти искомые параметры б и р. Однако итеративный процесс решения этих уравнений очень громоздок.
Пример 13.9. Допустим, что требуется разработать новую систему кондиционирования воздуха автомобиля. Для новой системы инженер-конструктор дает следующие оценки:
4.69 = 2,1.10-’-отказ/км и
4,95 = 3,3- Ю-s отказ/км.
В результате испытаний при дальности пробега 36000 км появились два отказа. Требуется найти точечную и интервальную оценки интенсивности отказов.
Для решения этой задачи вначале требуется найти априорное гамма-распределение. Решая уравнения (13.46) и (13.47) итеративным способом, находим, что параметр формы, равный 12, и параметр масштаба, равный 554 896, наилучшим образом соответствуют субъективным оценкам. Следует сразу же заметить, что такие большие значения параметров априорного гамма-распределения оказывают существенное влияние на процесс оценивания.
Байесовская точечная оценка интенсивности отказов находится путем подстановки полученных результатов в формулу (13.41):
4 ~ 554 896+36 ООО “ отказ/км.
Байесовская 95%-ная верхняя доверительная граница находится по формуле (13.44). Требуемое табличное значение хи-квадрат соответствует
%0,9б; ад4 = 41»337,
408 Глава 13
и байесовская доверительная граница определяется в виде
41,337
2 (554 896+36 000) ’ откуда
3,50-10-6 отказ/км.
Это означает, что наработка на отказ, выраженная через дальность пробега,
6 >28 571 км.
В данном случае 95%-ная нижняя доверительная граница для вероятности безотказной работы при наработке 12000 км выражается в виде
R (12 000) > ехр (—12 000/28 571) или
7? (12 000) >0,657.
Читателю предлагается сравнить эти данные с результатами, которые можно получить при традиционном подходе.
13.4. Байесовский подход к последовательным
испытаниям
При байесовском подходе к последовательным испытаниям используется апостериорная вероятность, которая постоянно уточняется по мере появления' новых результатов в процессе испытаний. Для иллюстрации байесовского подхода к последовательным испытаниям используется случай, рассмотренный в разд. 13.3. Напомним, что в разд. 13.3 наработка на отказ имеет экспоненциальное распределение, а интенсивность отказов описывается априорным гамма-распределением.
Рассмотрим нулевую гипотезу
и альтернативную гипотезу
Критерий основывается на апостериорной вероятности Р (к > %0). Интуитивно следует ожидать, что при этой вероятности будет справедлива гипотеза Н1. Такой ход рассуждений приводит к следующим правилам принятия решений:
1. Принять гипотезу HQ, если Р (X > Хо)^[3.
2. Отклонить гипотезу Нл, если Р (1 > Хо) > 1 —а.
3. Продолжать испытания, если, Р < Р (к > Х?) < 1 —а,
Байесовский подход к оценке надежности 409
При таких условиях проведения испытаний плотность апостериорного распределения k (X | г) определяется по формуле (13.40) и требуемая вероятность имеет вид
Р(Х>%0)= J^(X|r)dX.
Хо
Применение соотношения (13.42) позволяет использовать распределение хи-квадрат, и критерии принятия решений будут следующими:
1. Принять гипотезу Яо, если Т > —Р-
2. Отклонить гипотезу Яо, если Т < —( +f)—р.
3. Продолжать испытания до тех пор, пока выполняется следующее неравенство:
Х1-а;2(С + г) гр Хр; 2 (С+г) Л /ЮЛОЧ
Щ--------р=С/<—-------------р. (13.48)
Пример 13.10. Рассмотрим случай, когда заданная наработка некоторой подсистемы автомобиля до отказа, выраженная через дальность пробега, составляет 12000 км. Априорная оценка разработчиком способности системы удовлетворять заданным требованиям выражается гамма-распределением с параметрами 6 = У и р = А,0, где %0= 1/12000 км-1. Тогда плотность априорного гамма-распределения имеет вид
%>0.
у л
Спланируем последовательные испытания для этого случая при а —0,05 и р=0,10. Чтобы определить границы критерия, необходимо вычислить
2Х0 н
и
2 (в + г)
2Л0 Р
для различных значений г. Результаты этих вычислений приводятся в табл. '3.3, где величина р= 1/12000 не учитывается, так как она мала.
410 Глава 13
Таблица 13.3
Вычисления для байесовских последовательных испытаний
Г 2 (6 + г) У2 Ло,95; 2 (б 4-г) Граница браковки -У2 Ло,ю; 2 (6 + г) Граница приемки
0 1 0,004 24 2,706 16 236
1 3 0,352 2 112 6,251 37 506
2 5 1,145 6 870 9,236 55 416
3 7 2,167 13 002 12,017 72 102
4 9 3,325 19 950 14,684 88 104
5 11 4,575 27 450 17,275 103 650
6 13 5,892 35 352 19,812 118 872
7 15 7,261 43 566 22,307 133 842
8 17 8,672 52 032 24,769 —
9 19 10,117 60 702 27,204 —
10 21 11,591 69 546 29,625 —
Затем вычисленные граничные значения используются для построения графика, на который могут быть нанесены результаты испытаний, как только они будут получены. Такой график показан на рис. 13.5.
13.4.1. Усечение байесовских последовательных испытаний
Байесовские последовательные испытания могут иметь довольно большую область продолжения испытаний, поэтому для их проведения потребуется много времени. Однако эти испытания могут быть сокращены вполне естественным образом в соответствии с процедурой, рассмотренной для случая небайесовских последовательных испытаний.
Усечение байесовских последовательных испытаний требует выбора, таких двух значений X, и Хо, что Хх < Хо. Эти значения аналогичны рассматривавшимся при небайесовских последовательных испытаниях. Если в данном случае Р (к > Хо) < р (малая величина), то наиболее вероятно, что Х^Х0 (допустимое значение) и нам следует принять изделие. С другой стороны, -если Р(X < XJ <а, где а—малая величина, то наиболее вероятно, что X^Xt и изделие следует забраковать.
В области Хг < X < Хо решение о приемке или браковке продукции должно приниматься на основе компромисса между изготовителем и потребителем. Допустим, например, что для тягача средняя наработка на отказ должна быть 700 км, или, что то же самое, интенсивность отказов Х= 1/700. При подходе с точки зрения средней наработки на отказ (0=1/Х) изготовитель и за-
Байесовский подход к оценке надежности 411
Рис. 13.5. График байесовских последовательных испытаний, /—принятие; 2—продолжение испытаний; 5—отклонение.
казчик должны согласовать два приемлемых значения 9f и 0О, чтобы обеспечить проведение менее продолжительных испытаний. Заказчик должен согласиться принять продукцию, если будет показано, что Р(0 < 610) < 0,10. Это означает, что 0 < 610 км с вероятностью менее 10%. Кроме того, изготовитель должен пойти на такой компромисс: его продукция будет забракована, если окажется, что Р (0 > 720) < 0,05. В данном случае имеем Хх = 1/720 и Хо= 1/610 при а = 0,05 и 0 = 0,10.
Тогда область продолжения испытаний определяется как
Р(Х>Хо)>0 и Р (1<К)> а. (13.49)
Если соотношения (13.49) не выполняются, то испытания прекращаются и принимается решение о приемке продукции, если Р (X > Хо) < 0, или о ее браковке, если Р (X < Хх) < а.
412 Глава 13
Рассмотрим теперь Р(1>11) = 0, т. е. границу области продолжения испытаний. Здесь РСк^^)—апостериорная вероятность, которая может быть вычислена по формуле (13.40). Однако, используя соотношение (13.42) для распределения хи-квадрат, получаем
2Х0(р + 7’) = %|:2(6+г). (13-50)
Аналогично для Р (1 < = а имеем
21.(р+П-х;_о!,и„,- (13.51)
Тогда область продолжения испытаний определяется в виде
Х1 -а; 2 (С+Г) <т+ < (бн-.г). . (13.52)
ZAj zA о
Несколько преобразуя нижнюю границу этой области, имеем / Х1 - а; 2 (д+г) । _ Хр; 2 (6 +г) /1 о ко \
u J-----2Ц----< 1 + Р <---------• (13
Теперь очевидно соотношение между этиуи и полученными ранее границами [формула (13.48)]. Нижняя граница предыдущих последовательных испытаний умножается на постоянную Х0/Хх, которая больше единицы, а это сужает границы области продолжения испытаний.
Максимальное число отказов, необходимое для прекращения испытаний, можно найти, рассматривая точку, в которой эти границы сходятся. В этой точке
Хр; 2(б+/-»)== 2(б+г»). (13.54)
где г*—максимальное число отказов. Напомним, что в примере 10.16 давалась аппроксимация распределения хи-квадрат нормальным распределением:
^;v«1.(2/)+/2VZ7i)2, (13.55)
где zp есть (1—р)-й процентиль нормированного нормального распределения. Применяя эту аппроксимацию к уравнению (13.54) и решая это уравнение относительно г*, получаем
•» =1 [ гр+(^о/М)1/2 za Р 4[ (VM)1/2-l J +
(13.56)
Пример 13.11. Для иллюстрации усеченных байесовских последовательных испытаний используем Хо = 0,005, 2^ = 0,002, a --= 0,05 и р = 0,10. Полагаем, что априорное гамма-распределение имеет параметры 6 = 2 и р = 350.
Байесовский подход к оценке надежности 413
Вычисления для случая усеченных байесовских последовательных испытаний приводятся в табл. 13.4. С помощью этих вычисле-
Таблица 13.4
Вычисления для усеченных байесовских последовательных испытаний
Г 2 (6 + г) V2 *о, 1 о; 2 (б+г) Y2 *о,ю; 2 (б + Н 2Х0 V2 *0,95; 2 (б+г) V2 *0,95; 2 (б + г) 2М
0 4 7,779 778 0,7Ц 178
1 6 10,645 1064 1,635 409
2 ' 8 13,362 1336 2,733 683
3 10 15,987 1599 3,940 985
4 12 18,549 1855 5,226 1306
5 14 21,064 ' 2105 6,571 1643
6 16 23,542 \ 2354 7,962 1990
7 18 25,989 2599 9,390 2348
8 20 28,412 2841 10,851 2713
9 22 30,813 3081 12,338 3084
10 247 33,196 3320 13,848 3462
ний был построен график последовательных испытаний, изображенный на рис. 13.6. Можно видеть, что в этом случае испытания-должны прекратиться при появлении девяти отказов или при достижении суммарной дальности пробега 3080 км.
13.5. Применение теоремы Байеса при расчете надежности на этапе проектирования
При расчете надежности требуется количественная оценка всех инженерных параметров. В некоторых случаях имеются данные за прошлое время. Важное значение байесовской теории статистических решений состоит в том, что она дает методику, позволяющую учитывать инженерные данные и имеющиеся данные за прошлое время при принятии решений, касающихся существующего изделия. Эта идея иллюстрируется на следующем примере, взятом из статьи Корнелла [3].
Пример 13.12. Допустим, что инженер-конструктор разработал новую механическую систему, которая никогда ранее не создава- -лась и не испытывалась. На основании своего прошлого опыта и интуиции инженер считает, что если система разработана правильно и удовлетворяет техническим требованиям, то наработка на отказ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием р = 50 000 км. Если же система спроектирована непра-
414 Глава 13
Рис. 13.6. График усеченных байесовских последовательных испытаний.
/—принятие гипотезы; 2—продолжение испытаний; 3—отклонение гипотезы.
вильно, то средняя долговечность может составить 30 000 км. Основываясь на своем опыте, инженер может с большой степенью уверенности оценивать свою систему. Априори он утверждает, что с вероятностью 0,80 средняя наработка системы до отказа составит 50 000 км и, следовательно, с вероятностью 0,20 средняя наработка будет равна 30 000 кмп.
Авторы на этом и последующих примерах ярко иллюстрируют надуманность и сомнительность подхода с „субъективными вероятностями'-4. С таким же успехом можно было бы экспертным путем определить сразу требуемые показатели надежности.— Прим. pedt
Байесовский подход к оценке надежности- 4IS
Был изготовлен единственный опытный образец, испытания которого проводились в условиях, близких к реальным. Из экономических соображений испытания должны быть прекращены при дальности пробега 40 000 км. Кроме того, на основании прошлого опыта инженер утверждает, что среднее квадратическое отклонение долговечности системы составляет 10% средней долговечности.
Задача состоит в том, чтобы оценить вероятность безотказной работы системы и определить доверительную вероятность оценки на этапе проектирования. >-
Пусть А—событие, состоящее в том, что система испытана и безотказно проработала при дальности пробега 40 000 км. Пусть Bi—гипотеза, согласно которой средняя наработка до отказа составляет 50000 км, а В2 —гипотеза, согласно которой средняя наработка до отказа составляет 30 000 км.
В соответствии с априорными оценками инженера-конструктора имеем
Р (р, = 50 000) = 0,8,
- Р (р, = 30 000) = 0,2.
Если t—время безотказной работы системы, то Р(Л|В) вычисляется по формуле
Р (A |B2) = P(t >40 000 (ЯД (13.57)
где t—случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 50 000 км и средним квадратическим отклонением 5000 км. Таким образом, значение нормированной случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет вид
40 000— 50000 оп
--------5000--------2’0’
и с помощью таблиц для значений функции нормированного нормального распределения можно найти Р(Л | Вг) = 0,9772. Кроме того, для вычисления Р (Л | В2) находим /
40 000 — 30 000 , о
г==----зобб-----= +3,33
и е помощью таблиц определяем, что Р (Л | В2) = 0,00045. Используя формулу Байеса, имеем
Р(В1М) =
Р(В1)Р(4|В1) PfPjlP^IBO + P^P^IS,)
(13.58)
_________0,8-0,9772 л QQQQ — 0,8-0,9972 + 0,2-0,00045
?1 Л) = р (В1)р (Л(| Jp (Л | в2) =1 — р(В1 И)' (13.59)
416 Глава 13
Следовательно, Р(В2| Л) = 0,0001.
Допустим теперь, что впоследствии, когда началось изготовление системы, потребуется выбрать случайным образом одну систему, которая должна безотказно работать при дальности пробега 35 000 км. В этом случае
35 000 — 50 000 о Л z =----5000-----=-3’0
и вероятность безотказной работы равна 0,9987 при доверительной вероятности 0,9999, так как это вычисленная выше вероятность P(Bi\A). Однако до начала испытаний мы видели, что вероятность безотказной работы системы при дальности пробега 35 000 км составила 0,9987 при доверительной вероятности 0,8, полученной на основании априорных оценок инженера. После завершения испытаний при использовании формулы Байеса доверительная вероятность для оценки вероятности безотказной работы увеличилась до 0,9999.
Пример 13.13. Нас интересует проверка надежности новой дорогостоящей системы, которая никогда ранее не разрабатывалась, не создавалась и не проектировалась. Если конструкторы успешно справились с работой и обеспечили выполнение технических требований, то наработка системы на отказ имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 100000 км (т. е. 1/Xj= 100000). Если же при проектировании не были учтены или игнорировались определенные важные аспекты, то средняя наработка на отказ резко сокращается и составляет 10 000 км (т. е. 1Д2= 10000). Специалист по надежности имеет определенное представление о средней наработке на отказ. Он знает характер этой системы, уровень качества проектно-конструкторских работ, и ему известны результаты работы этой конкретной группы конструкторов. Он выражает эту информацию через априорную вероятность того, что система будет работать безотказно, равную 0,9. Следовательно, специалист по надежности выдвигает гипотезы
Р(Х = \) = 0,9 и Р(Х = А,2) = 0,Е
Один образец системы испытывался до тех пор, пока дальность пробега не составила 30 000 км; в этот момент испытания были прекращены по экономическим соображениям. Используя теорему Байеса, инженер может объединить эти два источника информации в едином утверждении.
Пусть А—событие, состоящее в том, что наблюдается наработка до отказа, превышающая 30000 км, и вероятность этого события равна e_?°(looXi> с помощью формулы Байеса определяем
Байесовский подход к оценке надежности 417
апостериорные вероятности для этих двух гипотез:
Р (X = Xt | Л) = =
1=1
А о / —30 000 \
=_________0,9 ехр \ loo ооо 7________
’ ехр \ 100 000 J+0>lexP^ 10000 J
= одаУХ)о«-°’9927 <13М’
и аналогично
Р(Х = Х2| А) = 0,66674-0,0049= ^>0073.
Таким образом, даже результаты испытаний, не дающие осно; ваний для каких-либо выводов, существенно изменили степень уверенности инженера в справедливости второй гипотезы.
Если система должна безотказно работать в течение пробега в 10000 км, то в зависимости от значения X ее вероятность безотказной работы R составляет е-0,1 = 0,905, или е-1 = 0,368..Следовательно, на основании своих суждений и имеющихся ограниченных данных инженер может утверждать, что с вероятностью 0,9927 вероятность безотказной работы системы равна 0,905.
Более правильным с практической точки зрения был бы следующий вопрос, ответ на который позволяет решить, удовлетворяет ли система предъявляемым требованиям: „Какова вероятность того, что система будет работать безотказно при дальности пробега 10 000 км?" Ответ инженера должен содержать все возможные значения вероятностей безотказной работы с соответствующими доверительными Вероятностями. Используя этот принцип, можно вычислить байесовскую вероятность безотказной работы следующим образом:
R 2 (ЯI h = М Р (X = = 0,905 • 0,9927 4- 0,368 • 0,0073 = 0,9011.
i
До начала испытаний эта вероятность составляла (0,905-0,9)4* 4-(0,368-0,1) = 0,851. Следовательно, числа 0,851 и 0,9011 можно назвать априорной и апостериорной вероятностями соответственно. Следует заметить, что эти априорные и апостериорные вероятности характеризуют надежность системы способом, который отражает не только внутреннюю неопределенность системы, но и статистическую неопределенность, связанную с неопределенными значениями параметров. Таким образом, как экспертная информация, так и результаты наблюдений влияют на степень неопределенности при оценке надежности системы.
14 № 644
418 Глава 13
13.6. Расчет надежности элемента, испытывающего случайные напряжения
Рассмотрим элемент, подвергающийся многократному воздействию нагрузок. Нас интересует вероятность безотказной работы элемента, находящегося в таких условиях. Имеется априорная информация о величине и интенсивности напряжения.
Пусть интенсивность напряжения от цикла к циклу является независимой случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с параметром % (гл. 8), а прочность—фиксированная случайная величина, равная у0. Кроме того, пусть число случаев появления напряжения описывается пуассоновским распределением. Следовательно, имеем следующие данные:
1. Напряжение х: f[x) = Ke~ijc, Х>0, х^О. (13.61)
2. Прочность у: у=у9, где уй—постоянная, у0 > 0. (13.62)
3. Число случаев появления напряжения Nr:
P(Nr = n)= (а’Т)Ппе1~аТ , n = 0, 1, 2, 3, .... (13.63)
где Nr—число случаев появления напряжения за время Т; а—среднее число случаев появления напряжения за единицу времени; 1/Л—средняя интенсивность напряжения.
Допустим, 'что данная задача решается на физической модели и для получения результатов испытаний проводится эксперимент. Испытания показывают, что в промежутке времени продолжительностью 6 единиц (Т = 6) наблюдалось 60 случаев появления напряжения: xit х...... хв0 (Мв = 60). Суммарное значение напря-
жения для этих 60 случаев составляет 78 МПа. Значение у0 равно 9,1 МПа.
Небайесовский подход к решению этой задачи состоит в том, что используются классические статистические методы и на основании наблюдаемых данных находятся точечные оценки вероятности безотказной работы элемента в момент Т. В данном случае уравнение (8.51) имеет вид
(13.64) где
Уо
R=^f(.x)dx=\—e^. (13.65)
о
Таким образом,
7?(Т) = ехр(—аТе-^«), Т>0. (13.66)
Это означает, что выражение для вероятности безотказной работы имеет форму плотности распределения экстремальных значений.
Байесовский подход к оценке надежности 419
По результатам испытаний находим точечные оценки:
а = 60/6=10 случаев за единицу времени, (13.67)
Ь = -----^ = 0,77. (13.68)
У А- 60 4 = I
Подставляя значения а и \ в формулу (13.66), получаем
R (Т) = ехр (—ЮТе-0’77*9’1) = е -0.00912г. (13.69)
Например,
/?(1) =0,990922 и R (10) = 0,912835.
Допустим теперь, что имеется некоторая априорная информация (до проведения испытаний), которую необходимо учесть, чтобы получить „лучшую" оценку для /?(Т), чем оценка, выраженная формулой (13.69). Это можно сделать, применяя байесовский подход. На основании прошлого опыта полагаем, что средняя частота появления напряжения составляет 8 случаев за единицу времени с допуском, равным 30% среднего значения (в данном случае допуск берется равным трем средним квадратическим отклонениям), а среднее значение 1 равно 1/1,5 с допуском, равным 40% среднего значения. Таким образом,
я /г 0 >30 *8 л л
Ра — 8, Оа— £ —0,8,
л с? 0,40-0,67 п поо
Рх = 0,67, Ох = -у-- = 0,088.
При использовании байесовского подхода параметры а и X неизвестны, и предполагается, что они являются случайными величинами. Оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения этих случайных величин определяются на основе прошлого опыта. Кроме того, наша априорная информация об этих параметрах выражается в виде утверждения, что а и 1 имеют гамма-распределение. Если случайная величина х имеет гамма-распределение, то плотность распределения случайной величины х имеет вид
h (х) = , р > о, 6 > 0, х > 0, (13.70)
и
6 2 6
Рх = - И <тх
Таким образом, для а имеем
Иа = 8 = ^ и оа = 0,8 = |/6Ж,
(J4*
420 Глава 13
откуда
6а=100 и ро = 12,5.
Аналогично для X получаем
щ = 0,67 = -^ и аЛ = 0,088
откуда
бх = 56,25 и рх = 84,375.
В разд. 13.3 было показано, что апостериорным распределением случайной величины 1 также является гамма-распределение с измененными параметрами. Обозначая байесовские величины для апостериорного распределения знаком тильда (~) над символом, имеем
~ ___ 6а + п __100-J-60_о R(.
***“ Ра+Т “ 12,5-4-6 —
И
= 8a + w = 100+ 60 = о 4675
“ (РаН-П2 (12.54-6)2 U-W/0’
ИЛИ
оа = 0,684.
Наблюдаем последовательность п случаев появления напряжения, обозначаемую х2 ветствует
х2, ..., х„. Выборочное среднее соот-
п
Х =
а плотность априорного имеет вид
распределения случайной величины X
рвхв-1е-Рл г (6)
Поэтому плотность распределения случайных величин хо ..., хп при данном % запишется в виде
kfa, ..., хп | %) = ... Хе-1х» = Х'‘е~',х^. (13.71)
Плотность совместного распределения для этой выборки и случайной величины % может быть представлена в виде
1(хь ..., хп, K)=h(K)f(xlt ..., х„|Х) =
п6 - пб -
= (13.72)
Г (о) Г (о)
Байесовский подход к оценке надежности 421
Плотность безусловного распределения выборки случайных величин хх, ..., х„ выражается следующим образом:
f(xn .... xn) = j^Jx«+6-ie-MP+Mdx =
Ра Г(п+б)
Г (6) (р+пх)п+в ’
(13.73)
Таким образом, плотность апостериорного распределения случайной величины % при данной выборке значений х*.............
имеет вид
h (X | ....хп) = Ц*1’ ,Х) =
_(р+п£)л+«Х"+в-1е-МР+М
Г (п+6) • UJ./4)
И снова это гамма-распределение с параметрами (п+6) и (р + пх). Таким образом,
еа,+п п Px+S xi I = 1
56,25+60
84,375+78
0,716
и
116,25 п ААЛЛ1 (162.375)2 ~ 0,0044 '
Используя в качестве байесовских, точечных оценок для а и X средние значения апостериорных распределений, имеем а = 8,65 и Х=0,716. С помощью формулы (13.66) находим байесовскую точечную оценку вероятности безотказной работы R (Т):
R (Т)=ехр(—8,65Те-°>’1в»’1) = е-0-0128Г. (13.75)
Таким образом, на основе априорной информации получаем £(1) = 0,9872 и /?(10) = 0,8798.
Можно определить 100(1—а) %-ные двусторонние доверительные интервалы как для а, так и для X. Методика аналогична применявшейся в разд. 13.3.1. Используя соотношение (13.42) для перехода от гамма-распределения к более удобному распределению хи-квадрат, имеем
Р [%!-а/2; a (6^+nj 2Х (pi -f-nx) ^Да/г; 2 (ei+/I)J —а>
422 Глава 13
а после преобразований получаем неравенство
л/2
Л1-а/2; 2 (6^+л)
2(рЛ+пГ)
Ха/2; 2 (6^ +п} 2(рх4-пх)
Это 100(1—а)%-ный двусторонний байесовский доверительный интервал для X. Таким образом,
Xl-a/21 2 + Ха/2; 2 (6^ + П)
—7------п---* \
- 2( рл+ 2 х/) 2( рх+ 2 xi)
\ i=l / \ £=1 /
(13.76)
Для 95%-ного доверительного интервала имеем
Хо.9751 232,5 \ Хо,325: 232,5
324,75 324,75
Заметим, что используемое в этом примере преобразование нельзя считать вполне обоснованным, так как параметр б исходного гамма-распределения необязательно будет иметь целочисленные значения. Поэтому в этом примере значения хи-квадрат, входящие в формулу (13.76), не будут иметь целое число степеней свободы. Но поскольку число степеней свободы велико, округление до целого числа приведет к незначительным погрешностям. Напомним, что в примере 10.16 приводилось следующее выражение для аппроксимации распределения хи-квадрат нормальным распределением:
2 _ (га+К2^Т)>
Ха, v ~ ’
где z—нормированная случайная величина, распределенная по нормальному закону. Используя это соотношение, находим пределы для %:
0,59 < 0,85.
Средняя интенсивность напряжения имеет следующие пределы:
1,18< 1,69.
Л
100(1 — 0)%-ный доверительный интервал для среднего числа случаев появления напряжения (а) можно получить аналогичным образом:
Х1-Р/21 2 (6а+п) _ _ ЭСр/2; 2 (С„+п)
>+г) <“< 2(Р.+Г) •
Байесовский подход к оценке надежности 423
После соответствующих подстановок находим, что
или
7,35 С Ю.ОЗ.
Доверительный интервал для (Т) можно найти, объединяя интервалы для а и 1. Обозначим 100(1—а')%-ные доверительные границы для X через а 100(1— 0)%-ные
доверительные границы для а—через а,<а<а2. Тогда 100(а'4-р—а'Р)%-ный доверительный интервал для R(T) имеет вид
ехр (— ааТе-х*»о) R (Т) ехр (—а^Те-^).
Например, используя ранее вычисленные пределы для % и а, находим доверительные границы для R (10):
ехр (-10,03- Юе-о.»» ».!) < R (10) < ехр (-7,35- Ю-®-8®»-1), или
0,627 </?(10)< 0,968
при доверительной вероятности, соответствующей 1 — 0,05 — — 0,054-0,05’= 0,9025.
13.7. Краткие выводы
Эта глава посвящена байесовскому подходу, основанному на использовании априорной информации в случае биномиального и экспоненциального распределений. Изложены методы получения точечных оценок, определения доверительных интервалов и проведения последовательных испытаний. Рассматривались различные ситуации принятия решений, связанных с определением' показателей надежности на этапе проектирования. Во всех случаях при проведении анализа предполагалось, что субъективная информация может быть каким-либо образом выражена количественно и представлена в виде априорного распределения. Этот процесс количественного выражения субъективной информации является основной проблемой при байесовском подходе. В настоящее время не существует какого-либо способа упорядочения этой информации, отражающей субъективные оценки отдельных лиц.
Одной из проблем является также существование сильного априорного распределения, это необходимо со всей осторожностью учитывать в случае процедуры байесовского оценивания. Однако здесь существует своего рода дилемма, состоящая в том, что
424 Глава 13
в действительности требуется выбирать сильное априорное распределение, чтобы лучше описать априорную информацию. В таком случае возникает вопрос: «Зачем вообще проводить испытания, если результаты испытаний оказывают незначительное влияние на оценку?» Если используется такое априорное распределение и кажется, что результаты испытаний не согласуются с априорной информацией, то в этом случае, по-видимому, целесообразно отказаться от оценивания в байесовском смысле и приступить к устранению причин, вызывающих появление отказов. Именно так и поступают многие инженеры-конструкторы.
Следует подчеркнуть, что, хотя процедура байесовского оценивания интуитивно привлекательна, ее применение сопряжено с трудностями, и поэтому необходимо проявлять осторожность.
УПРАЖНЕНИЯ
1. В двух одинаковых урнах содержится по 10000 красных и синих фишек. В одной урне, которую мы условно назовем урна находится 4000 красных фишек, во второй урне (урна II) находится 6000 красных фишек. Наугад выбирается одна урна, и из нее извлекается 10 фишек, а) Какова вероятность того, что в этой выборке будут находиться четыре красные фишки? б) Если известно, что выборка действительно содержит четыре красные фишки, какова вероятность того, что была выбрана урна I?
2. В комоде имеются три выдвижных ящика. В первом ящике находятся две монеты в 1 цент, во втором—две монеты: в 10 центов и в 1 цент, а в третьем две монеты в 10 центов. Ящик выбирается наугад, и из него случайным образом берется одна монета. Какова вероятность того, что в ящике останется монета в 1 цент, если была извлечена монета в 10 центов?
3. Допустим, что в примере 13.2 на испытания одновременно поставлены 10 систем и в результате испытаний зарегистрированы два отказа. Найдите вероятность того, что достигнута надежность 7?х.
4. Допустим, что требуется оценить надежность пиротехнического устройства. Проводятся испытания с разрушением устройства, и в результате испытания может быть получен успешный исход или отказ. При испытаниях 10 устройств произошли два отказа. Используя байесовский подход, дайте ответ на следующие вопросы: а) Полагая, что вероятность безотказной работы этого устройства соответствует <RX = 0,99 или 7?2 = 0,80 с априорными вероятностями 0,90 и 0,10 соответственно, найдите апостериорную вероятность для каждого из этих значений вероятности безотказной работы. Как бы вы оценили надежность на основании
Байесовский подход к оценке надежности' 425
этой информации? б) Допустим, что априорное распределение вероятности безотказной работы г является равномерным с плотностью f(r) = l (0^г<Д). Найдите апостериорное распределение и определите вероятность безотказной работы, в) Допустим, что априорным распределением наработки до отказа является бета-распределение с параметрами 6 = 4,0 и р = 4,1; оцените вероятность безотказной работы, г) При условиях предыдущего пункта найдите 90%-ный доверительный интервал для вероятности безотказной работы.
5. Плотность распределения времени безотказной работы некоторого устройства имеет вид
к*)=4е_<+4е’а1’
а) Найдите вероятность того, что устройство будет безотказно работать еще не менее часа, если оно проработало ровно 1 ч и не вышло из строя, б) Найдите вероятность того, что устройство будет безотказно работать не менее 2 ч. в) Объясните, почему эти два результата различны.
6. Рассмотрим испытания, проводимые по схеме Бернулли, когда априорное распределение является равномерным и имеет плотность
й(р) = 1, 0<р 1,
где р—доля изделий, вышедших из строя, а) Найдите плотность апостериорного распределения, б) Найдите точечную оценку для р. в) Найдите верхнюю доверительную границу для р.
7. Семь автомобилей подвергаются испытаниям во время пробега на 36000 км каждый. В процессе испытаний появилось 19 отказов. Предполагается, что наработка до отказа распределена по экспоненциальному закону, а априорным распределением является гамма-распределение с параметрами р = 30000 и 6 = 3. а) Найдите байесовскую точечную оценку средней наработки на отказ, б) Определите 90%-ную нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной работы при наработке 10000 км.
8. Требуется Провести испытания тягача. Проводятся байесовские последовательные испытания при 0О = 700 км, 0j = 900 км, а = 0,05 и 0 = 0,10. Априорное гамма-распределение интенсивности отказов имеет параметры 6 = 2 и р = 10. а) Спланируйте усеченные последовательные испытания и постройте соответствующий график, б) Оцените максимальное число отказов, необходимое для прекращения испытаний.
9. Рассмотрите еще раз испытания при условиях, заданных в разд. 13.3, когда испытания проводятся по схеме Бернулли
426 Глава 13
при априорном биномиальном распределении. Спланируйте последовательные испытания для этого случая.
10. Некоторый элемент должен иметь ожидаемую наработку до отказа 50 000 км. Наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение. Такой элемент никогда ранее не создавался и не испытывался, и поэтому не существует каких-либо данных, позволяющих оценить его ожидаемую дли среднюю долговечность. Инженер дает следующие доверительные вероятности для четырех значений средней долговечности:
30 000 0,1
40 000 0,2
50 000 0,5
60 000 0,2
1,0
Был изготовлен один опытный образец этого элемента. Из экономических соображений испытания были прекращены после пробега на 45 000 км. Найдите байесовские оценки для вероятности безотказной работы элемента.
11. Рассмотрйм задачу байесовского оценивания надежности на этапе проектирования, приведенную в разд. 13.6. Допустим, что ожидаемое значение а равно 0,40, а среднее квадратическое отклонение для а равно 0,06. В последние 1000 единиц времени наблюдалось 55 случаев, когда напряжение превышало установленный предел, а) Найдите плотность апостериорного распределения параметра а. б) Допустим теперь, что параметр X также имеет гамма-распределение с математическим ожиданием 0,5 и средним квадратическим отклонением 0,85. Была взята выборка, содержащая 50 значений напряжения, и выборочное среднее оказалось равным 7,5. Найдите плотность апостериорного распределения параметра X. Проверьте правильность всех соотношений, которые вы используете, в) Определите 95%-ные двусторонние байесовские доверительные границы для параметров а и X.
ЛИТЕРАТУРА
1. Barnett V. D., A Bayesian Sequential Life Test, Technometrics, 15, 2 (May 1972).
2. Bayes T., An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, Biometrika, 45 (1958).
3. Cornell C. A., Bayesian Statistical Decision Theory and Reliability-Based Design, International Conference on Structural Safety and Reliability of Engineering Structures, Washington, D. C., April 1969.
4. Deely J. J., Zimmer W J., Some Comparisons of Bayesian and Classical Confidence Intervals in the Exponential Case, Proceedings of the Sixth National Symposium on Reliability and Quality Control, Washington, D. C., January 11—13, 1960.
Байесовский подход к оценке надежности 427
5. DeHardt J. Н., McLaughlin Н. D., Using Bayesian Methods to Select a Design with Known Reliability without a Confidence Coefficient, Annals of Reliability and Maintainability, 1966.
6. Grohowski G., Hausman W. C., Lamberson L. R., An Application of the Bayesian Statistical Inference Approach to Automotive Reliability Estimation, Journal of Quality Technology, 8, 4 (October 1976).
7. Hamburg M., Bayesian Decision Theory and Statistical Quality Control, Industrial Quality Control, 19, 6 (December 1962).
8. Hartley H. O., In Dr. Bayes’ Consulting Room, The American Statistician, 17, 1 (February 1963).
9. Hogg R. V., Craig A. T., Introduction to Mathematical Statistics, Second Edition, New York, Macmillan, 1965.
10. Lindley D. V., Bayesian Statistics, A Review, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa., Copyright, 1972.
11. MacFarland W. J., Use of Bayes Theorem in Its Discrete Formulation for Reliability Estimation Purposes, Proceedings of the Sixth National Symposium on Reliability and Quality Control, Washington, D. C., January 11—13, 1960.
12. Mood A. M., Graybill F. A., Introduction to the Theory of Statistics, New York, McGraw-Hill, 1963.
13. Olsson J. E., Implementation of a Bayesian Reliability Measurement Program, Proceedings of the Sixth National Symposium on Reliability and Quality Control, Washington, D. C., January 11—13, 1960.
14. Pratt J. W., Raiffa H., Schlaifer R., Introduction to Statistical Decision Theory, New York, McGraw-Hill, 1965.
15. Raiffa H., Schlaifer R., Applied Statistical Decision Theory, Boston, Mass., School of Business, Harvard University, 1961.
16. Weir W. T., Bayesian Reliability Evaluation?,/Proceedings of the Sixth National Symposium on Reliability and Quality Control, Washington, D. C., January 11—-13, 1960.
Глава 14. Оптимизация надежности
В этой главе рассматриваются модели распределения требований к надежности между элементами системы и методы оптимизации надежности при проектировании. Цель такого распределения требований состоит в том, что с помощью модели надежности задается надежность подсистем таким образом, чтобы обеспечивался требуемый уровень надежности системы в целом. В разд. 14.1 выводятся модели распределения требований к надежности и даются методы решения этих задач. В разд. 14.2 рассматривается метод динамического программирования для решения сложной задачи распределения требований к надежности между элементами системы. Решение задач инженерного проектирования и обеспечения надежности обычно требует компромиссного подхода к достижению поставленных целей. Характеристики изделия зависят от постоянных, а также от регулируемых конструктивных параметров. В разд. 14.3 приводятся задачи оптимизации надежности при проектировании и обсуждаются различные методы их решения. Задача оптимизации может состоять в том, чтобы максимизировать показатель надежности при заданных ограничениях на количество имеющихся ресурсов или минимизировать расход ресурсов при достижении требуемого уровня надежности. Чтобы усвоить этот материал, читатель должен иметь некоторое представление о методах оптимизации. По мере необходимости даются объяснения некоторых основных принципов оптимизации. Детали рассматриваемых здесь методов можно найти в различных книгах по теории оптимизации [3, 5, 6, 9, 13].
14.1. Распределение требований к надежности между элементами системы
На основании требований к рабочим характеристикам системы в целом, включая надежность, специалисты по надежности и инженеры-конструкторы должны выработать требования к характеристикам отдельных элементов, включая надежность. Проблема задания требований к надежности зависит от таких факторов.
Оптимизация надежности 429
как степень важности того или иного элемента для функционирования системы, метод выполнения системой своих функций, сложность системы и изменение надежности элемента в зависимости от характера выполняемой функции. Проблема еще более усложняется в связи с отсутствием подробной информации о многих из этих факторов на начальном этапе проектирования системы.
Программы задания требований к надежности и распределения их между элементами системы состоят в следующем:
1. Программа распределения требований, к надежности между элементами системы заставляет конструктора выявить и уяснить соотношения между уровнями надежности системы, подсистем и элементов. Это способствует пониманию основных свойств данной конструкции с точки зрения надежности.
2. Конструктор вынужден при этом рассматривать надежность наравне с другими параметрами системы, например такими, как вес, стоимость и рабочие характеристики.
3. В военных контрактах от разработчика требуется обеспечение требуемой надежности. В этом случае программа распределения требований к надежности приводит к созданию изделия улучшенной конструкции, обеспечивает применение более совершенных методов изготовления и испытания изделий.
Распределение заданной надежности по элементам системы требует решения следующего неравенства:
f(Ri> R».....Rn)>R', (14.1)
где Rj—заданная вероятность безотказной работы i-ro элемента; f—функциональное соотношение между элементами и системой.
Для систем с последовательным и с параллельным соединением элементов это функциональное соотношение хорошо известно. При других конфигурациях системы это соотношение является сложным, а для некоторых сложных систем его даже нельзя представить в виде простых математических выражений. Если нас интересует вероятность безотказной работы как функция времени, то неравенство (14.1) можно обобщить, рассматривая R* и Rh i=l, ..., п, как функции времени t.
Большинство основных моделей распределения требований к надежности основаны на допущениях, что элементы системы выходят из строя независимо друг от друга, что отказ любого элемента приводит к отказу всей системы (т. е. система состоит из последовательно соединенных элементов) и что интенсивность отказов элементов постоянна. При этих допущениях получаем 6 следующее неравенство как частный случай неравенства (14.1):
/?х(0/?а(0-.. /?„(0>/?*(0- (14.2)
430 Глава 14
Пусть — интенсивность отказов r-го элемента, а X* — интенсивность отказов системы. Тогда неравенство (14.2) принимает вид
g— hit@— g— Kt @ к* t
и
^1 + ^24" ••• 4"^»^^*-
Таким образом, распределение требований к надежности, если общие требования выражены через /?*(/) или V, может выполняться аналогичными методами. Далее рассматриваются некоторые модели распределения требований к надежности.
14.1.1. Метод равномерного распределения
При использовании метода равномерного распределения для обеспечения требуемого уровня надежности системы задается одинаковая надежность всех подсистем. Предполагается, что система состоит из п последовательно соединенных подсистем. Основным недостатком этого метода является то, что заданный уровень надежности подсистем устанавливается без учета степени трудности его достижения.
Пусть R*—требуемая вероятность безотказной работы системы, a Rj—вероятность безотказной работы r-й системы. Тогда
п
1= 1 или
Rz = (R»)i/n, i=l, 2, п. (14.3)
Пример 14.1. Рассмотрим систему связи, состоящую из трех подсистем (передатчик, приемник и кодирующее устройство). Чтобы система работала, должна работать каждая из этих подсистем. Допустим, что затраты на разработку каждой подсистемы примерно одинаковы. Какие требования к надежности каждой подсистемы должны быть заданы, чтобы получить вероятность безотказной работы, равную 0,8573?
С помощью уравнения (14.3) получаем
R i = (R*)*/» = (0,8573)*/. = 0,95.
Таким образом, для каждой подсистемы этой системы связи должна быть задана вероятность безотказной работы, равная 0,95.
14.1.2. Метод распределения требований к надежности, разработанный фирмой «Аэронот икл ресерч»
При использовании метода фирмы „Аэронотикл ресерч** предполагается, что подсистемы соединены последовательно и имеют постоянную интенсивность отказов, что отказ любой подсистемы
Оптимизация надежности 431
вызывает отказ всей системы и что заданная наработка подсистем равна заданной наработке системы. При использовании этого метода необходимо выразить требуемую надежность через интенсивности отказов. Задача состоит в том, чтобы выбрать такие XJ, что
п,
2 х; < х*.
i = 1
(14.4)
где X,—заданная интенсивность отказов »-й подсистемы, а X*— требуемая интенсивность отказов системы.
Метод включает следующие этапы:
1. Определение интенсивности отказов подсистем X, по результатам наблюдений или на основе оценок по данным за прошлое время.
2. Задание весового множителя для каждой подсистемы в соответствии с интенсивностями отказов, определенными на этапе 1; со, определяется по формуле
со, = -^1-, i=l, (14.5)
Таким образом, со, показывает относительную уязвимость i-ro элемента и п 2®z=i-i= 1
3. Вычисление требуемой интенсивности отказов подсистемы с помощью соотношения
XJ=cozX*, i=l, ...» n,
когда формула (14.4) рассматривается как равенство>
Ясно, что этот метод позволяет задать новые значения интенсивности отказов на основе весовых множителей, которые являются функциями интенсивностей отказов подсистем за прошлое время.
Пример 14.2. Рассмотрим систему, состоящую из трех подсистем, для которых получены следующие оценки интенсивности отказов: = 0,005, Х2= 0,003 и Х3 = 0,001. Требуемая вероятность безотказной работы системы за 20 ч составляет 0,95. Определите требования к вероятности безотказной работы подсистемы.
432 Глава 14
С помощью формулы (14.5) вычисляем весовые множители: ________________________0,005_______о 555 0,005+0,003+0,001’ ’
0,003 __q ччч
®2 — 0,005+0,0034-0,001 — и’ ° ’ 0,001 _ н 111
“ 0,005 + 0,003+ 0,001 — и*111 •
Известно, что
R* (20) = ехр [— (20)] = 0,95, или
V = 0,00256.
Следовательно, интенсивности отказов для подсистем имеют вид = 0,555 • 0,00256 = 0,00142 и аналогично
= 0,333 • 0,00256 = 0,000852, Х; = 0,111-0,00256 = 0,000284.
Соответствующие заданные значения вероятностей безотказной работы подсистем определяются следующим образом:
7^(20) = ехр (—0,00142 -20) = 0,97, /?г*(20) = ехр (—0,000852 - 20) = 0,98, 7?з*(20) = ехр (-0,000284-20) = 0,99.
14.1.3. Метод Консультативной группы по вопросам надежности радиоэлектронной аппаратуры ВВС США
I
Данный метод [1] сложнее описанного выше. Его использование основано на учете сложности элемента или подсистемы-и здесь в явном виде рассматривается соотношение между отказом элемента и системы. Для определения требуемой минимальной средней наработки на отказ каждого элемента, при ^которой обеспечивается заданная надежность системы, используется специальная формула, выведенная этой-группой. Предполагается, что система является последовательной в смысле соединения элементов, а элементы взаимно независимы по отказам и имеют экспоненциальное распределение времени работы.
Сложные элементы определяются как модули, имеющие соответствующие схемные соединения. Примерами модулей являются электронно-лучевая трубка, транзистор или магнитная лента. Црказатель важности элемента или подсистемы определяется
Оптимизация надежности 433
через вероятность отказа системы, если эта конкретная подсистема выйдет из строя. Показатель важности, равный 1, означает, что для безотказной работы системы эта подсистема должна безотказно работать, а показатель важности, равный 0, означает, что отказ этой подсистемы не влияет на работу системы.
При распределении требований к надежности предполагается, что каждый модуль вносит одинаковый вклад в безотказную работу системы. Эквивалентность требований состоит в том, что интенсивность отказов одинакова для каждого модуля. Поскольку для очень малых х имеем е~х&1—х, заданная интенсивность отказов для z-го элемента имеет вид
ЛГИ !„«♦(,» .....
1 9 9 9 9 ' '
где t—требуемая продолжительность работы системы; —требуемая продолжительность работы ьй подсистемы за время работы системы (0 < /); —число модулей в i-й подсистеме;
N—общее число модулей в системе, = —показатель
важности для ьй подсистемы (вероятность отказа системы при выходе из строя f-й подсистемы); R*(t)—требуемая вероятность безотказной работы системы при заданной наработке Л
Заданная вероятность безотказной работы ьй подсистемы при . требуемой наработке tt имеет вид
Л((М=1 2^М^. (14.7)
Данная формула дает неточные результаты, если показатель важности некоторого элемента очень мал. Она обеспечивает хорошую аппроксимацию, если для каждой подсистемы значение <й/ близко к единице.
Пример 14.3. Для системы, состоящей из четырех подсистем, требуется обеспечить вероятность безотказной работы 0,96 при непрерывной работе в течение 10 ч. Для подсистем 1 и 3 показатель важности составляет 1. Подсистема 2 должна проработать только 9 ч за время работы системы, а подсистема 4 имеет показатель важности 0,90, и для беаотказной работы системы она должна проработать 8 ч. Используя данные, приведенные в табл. 14.1,' решите задачу распределения требований к надежности подсистем рассматриваемым методом. Имеем
N = 5 ЛЛ = 210,
434 Глава 14
Таблица 14.1
Номер подсистемы i Число модулей Ni Коэффициент важности Продолжительность работы '/
1 15 1,00 10
2 25 0,95 9
3 100 1,00 10
к 4 70 0,90 8
Минимальные допустимые интенсивности отказов для подсистем определяются по формуле (14.6):
титтаг1’0.000366’,
0,000714.
Ч- - 0.ОТ2442,
*" = = 0,002311.
Таким образом, по формуле (14.7) находим заданные значения вероятностей безотказной работы подсистем:
Ri (10) = 1 — 1-<°’^)16С-.. = 0,99635,
R2 (9)= 1 —1 ~(°о99^---и = 0,99274,
Rs (10) = 1 _ (°’95)100/21<> = 0,97587,
/?4 (8) = 1 - = 0,98116.
Для проверки вычислим вероятность безотказной работы системы:
R* = 0,99635.0,99274 • 0,97587 • 0,98116 = 0,94723.
Данный результат несколько меньше требуемого значения. Это явилось следствием приближенного характера вычислений, а также того факта, что показатели важности подсистем 2 и 4 меньше 1,0.
Оптимизация надежности 435
14.1.4. Алгоритм минимизации затрат
Пусть Rn — вероятности безотказной работы под-
систем. Если подсистемы соединены последовательно, то вероятность безотказной работы системы имеет вид
£=n*z-i= 1
(14.8) .
Допустим, что требуемая вероятность безотказной работы системы R* превышает достигнутое значение 7?. Из формулы (14.8) видно, что для того, чтобы обеспечивалось условие R* > /?, необходимо повысить вероятность безотказной работы хотя бы для одной подсистемы, что потребует определенных затрат. Некоторыми типичными примерами таких затрат являются дальнейшая инженерная разработка, привлечение дополнительной рабочей силы, проведение обширных исследований, применение новой технологии.
Введем функцию затрат G(Rif 7?J), i=l, ..., п, определяемую как средство, необходимое для повышения безотказной работы i-й системы от уровня Rt до нового уровня Щ. Предполагается, что функция усилий G(x, у), у>х^0, удовлетворяет следующим условиям:
1. G(x, z/)>0.
2. 0(х, у)—неубывающая функция по у при фиксированном значении х и неубывающая функция по х при фиксированном значении у, т. е.
G(x, y)^G(x, у+&У), &У>0, G (х, у) G (х + Дх, у), Дх > 0.
3. G(x, у)—аддитивная функция, т. е.
G(x, y) + G(y, z) = G(x, г), х<у<2.
4. Функция G(0, у) имеет такую производную h(y), что yh (у) является строго возрастающей функцией у, 0 < у < 1.
Теперь можно легко сформулировать следующую задачу оптимизации:
минимизировать
п
2G(Rh
1 = 1
при ограничении
Пя*>я*-i=l
(14-9)
436 Глава 14
Можно показать, что данная задача оптимизации имеет следующее единственное решение1):
(Ro, если
если (14.10)
где подсистемы упорядочены в порядке возрастания вероятностей безотказной работы, т. е. справедливо соотношение
/?1 /?2 ^П'
Число k0 представляет собой максимальное значение /, для которого выполняется условие
(14.11)
где Rn+1=l по определению. / Значение RJ определяется по формуле
(14.12)
Преобразуя это выражение, можно определить вероятность безотказной работы системы /?•:
л+1
= П /?/. (14.13)
/=fe0 + 1
Пример 14.4. Система состоит из трех подсистем А, В и С. Чтобы обеспечить безотказную работу системы, все эти подсистемы должны работать безотказно. Требуемая вероятность безотказной работы системы равна 0,75. Прогнозируемые значения вероятностей безотказной работы подсистем: 7?л = 0,90; Rs = 0,80 и Rc = 0,85. Каким образом можно распределить требования к надежности подсистем, чтобы общие усилия, затраченные на повышение надежности систем, были минимальны и в то же время обеспечивалась заданная вероятность безотказной работы системы?
х) Предлагаемое решение является одной из возможных эвристик. Однако сформулированная задача условной оптимизации (14.9) имеет достаточно про* стое точное решение, если функция непрерывна по своим аргументам и поэтому использование подобных эвристик выглядит, на наш взгляд, несколько наивным. Некорректность этого решения в общем случае следует уже из того, что оно никак не учитывает функции затрат G. Наиболее ярко это видно из приведенного ниже численного примера авторов, где для всех подсистем требуется повышение вероятности безотказной работы до одного и того же уровня, независимо от затрат и начальных уровней надежности. — Прим. ред.
Оптимизация надежности' 437
Допустим, что для всех трех подсистем функции затрат одинаковы. Упорядочим значения вероятностей безотказной работы подсистем:
/?1=7?в = О,8, 7?2 = ₽с=0,85, = 0,90.
Теперь найдем кл, т. е. такое максимальное значение /, что
При j=1
0,75
0,85 0,9 1J —°’980-
При / = 2
Я2=0,85
При / = 3
2.2.^ ~| /г=о 912 [_O,9-1J U’S1Z>
Я» = 0,9
О 7Ч-!1/»
=0,908.
1
Следовательно, . &о = 3, откуда
1/А° = р/0/75 = 0,908.
Следовательно, для каждой из этих трех подсистем необходимо повысить вероятность безотказной работы до 0,908,
14.2. Применение динамического программирования при распределении требований к надежности
между элементами системы
Рассмотренный алгоритм минимизации затрат требует, чтобы все подсистемы описывались одной и той же функцией усилий. Если же это требование не может быть выполнено, то при распределении надежности между элементами системы с минимальными затратами может оказаться эффективным применение метода динамического программированиях).
г) Заметим, что в инженерной практике при недостаточно точных исходных данных (что, к сожалению, обычно и имеет место) одним из наиболее употребительных методов оптимизации являются различные градиентные методы, которые в данной книге совершенно не освещены.—Прим. ред.
438 Глава 14
Рассмотрим систему, состоящую из п последовательно соединенных независимых подсистем, каждая из которых должна разрабатываться самостоятельно. Для каждой подсистемы требуется определить уровень показателя надежности, который должен быть достигнут при минимальных затратах. Дадим определение следующих величин:
п — число подсистем;
у—требуемое значение показателя надежности системы г), 0 < у < 1;
xz—уровень показателя надежности Z-й подсистемы при существующем состоянии разработки (начальный уровень), 0 < х( < 1;
z/z— текущий уровень надежности i-й подсистемы, 1;
Gz (xz, yt)—затраты, связанные с повышением, показателя надежности i-й подсистемы от уровня xz до уровня yh х^у^
у}—оптимальный уровень показателя надежности ' i-й подсистемы, получаемый при минимизации общих затрат на разработку.
Задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом:
минимизировать
п
^Gi{xh yt) (14.14)
при ограничениях
П у{>~у
i = 1
И
0<хгС^/С1» 2....п.
Эту задачу можно сформулировать как задачу динамического программирования (схематически алгоритм показан на рис. 14.1). Более подробно этот метод рассматривается в книге Немхау-зера [9].
Этапы. Каждая из- п подсистем определяет этап решения задачи о распределении требований к надежности. Решение принимается последовательно на каждом этапе. Определим множество Sk всех возможных значений показателя надежности sk на
*) Имеется в виду показатель надежности типа вероятности безотказной работы или коэффициента готовности.—Прим. ред.
Оптимизация надежности 439
Рис, 14.1. Последовательная блок-схема динамического программирования.
этапе k:
1 =S„>Sn_£> ... >Si>S„ = jT.
Величины sk показывают, какой показатель надежности должен быть задан для данной подсистемы на k-м этапе решения, чтобы. обеспечивалось требуемое значение показателя надежности системы.
Параметр принятия решения. Определяем множество Dk всех таких возможных решений dk — y на этапе k, что
хк^ук<\, k=\, 2, .... п.
Функция преобразования
dk) = skyk = sk_b fe=l, 2.....п.
Функция возврата
Rk(sk, dk) = Gk(sk, ук), Л=1, 2....п.
Пусть fk(sk) — оптимальная функция возврата для этапа fe. Основное функциональное уравнение в этом случае имеет вид следующего рекуррентного соотношения:
fft(s*)= min [Gft(sft, + & = 1, 2....n (14.15)
Ук^У/^Ук-1
где
fo(so) = 0, sn = 1,
Методика иллюстрируется ниже на числовых примерах»
440 Глава 14
Пример 14.5. Некоторая система состоит из трех независимых последовательно соединенных подсистем. Требуемая вероятность безотказной работы системы составляет 0,95. На основании расчетов или анализа статистических данных для аналогичных систем известно, что вероятности безотказной работы подсистем равны 0,93; 0,95 и 0,96 соответственно. Какую вероятность безотказной работы необходимо задать для каждой подсистемы, чтобы минимизировать общее количество затрачиваемых усилий, если использовать функции усилий, приведенные в табл. 14.2?
Таблица 14,2
У\ Gi(0,93, yt) У» G2(0,95, yt) У» Gs(0,96, y3)
0,93 0
0,94 0,5
0,95 1,0 0,95 0
0,96 1,5 0,96 2 0,96 0
0,97 2,5 0,97 6 0,97 3
0,98 4,5 0,98 12 0,98 9
0,99 20,0 0,99 22 0,99 32
0,995 45,0 0,995 40 0,995 65
На рис. 14.2 показана последовательная блок-схема для данного примера. Рекуррентные уравнения имеют вид
— min [G1.(0,93; yj],
f2(s2)= min (G2(0,95; y.2) + (sj], -
^8>0,95/s8j/i
f2(s3)= min [G4(0,96; y3) + f2 (s2)]. (14.16)
Уз^^^^/&зУз
5зУз S2 SzUz~ ^^У1~ 50
Рис. 14,2. Блок-схема.
Оптимизация надежности 441
Вначале составим таблицы, в которых дается набор всех возможных сочетаний значений показателей надежности- для различных подсистем, которые обеспечивают требуемую надежность (табл. 14.3—14.5). Так как требуемая вероятность безотказной работы системы равна 0,95, то в табл. 14,5 приводятся только
Т аблица 14.3
Преобразования на этапе 3
^3_Уз =^3 = ®2
Уз ~ 0,96 0,97 0,98 0,99 0,995
«2 0,96 0,97 0,98 0,99 0,995
Таблица 14.4 Преобразования на этапе 2 «1 =«2^2
X. Уг 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 0,995
0,96 г 0,9552
0,97 0,9603 0,9651
0,98 0,9604 0,9702 0,9751
0,99 0,9603 0,9702 0,9801 0,9850
0,995 0,9552 0,96515 0,9751 0,9850 0,9900
Таблица 14.5
Преобразования на этапе 1
Ух 51 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 0,995
0,9552 0,9603 0,9604 0,9651 0,9702 0,9751 0,9801 0,9506 0,9507 0,9555 0,9604 0,9506 0,9507 0,9554 0,9604 0,9653 0,9702 0,9504 0,9554 0,9555 0,9602 0,9653 0,9702 0,9751
0,9850 0,9550 0,9653 0,9702 0,9751
0,9900 0,9504 0,9603 0,9702 0,9801 0,9850
442 Глава 14
значения s0, превышающие 0,95. С помощью формулы (14.15) получаем
MS1) = min [Gjtsj, z/1) + ^0(s0)] = minG1(Si, Уг),
Vi Vi
так как f9 (s0) — 0. Вычисленные значения (s,) представлены в табл. 14.6.
Таблица 14.6
Gi(Si, J*i)
S1 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 0,995 fl(Sl)
0,9552 45 45
0,9603 20 45 20
0,9604 20 45 20
0,9651 20 45 20
0,9702 -- 4,5 20 45 4,5
0,9751 4,5 20 45 4,5
0,9801 2,5 4,5 20 45 2,5
0,9850 2,5 4,5 20 45 2,5
0,9900 1,5 2,5 4,5 20 45 1,5
Переходя к следующему этапу, записываем f2(sa) = min[G2(s2, t/2) + f1(s1)], У*
откуда получаем табл. 14.7.
Таблица 14.7 ^2 ($2, У2) + /1 ($1)
0,95 0,96 0,97 0,98
0,99 0,995 f8(s8)
40+20 60,0
22 + 4,5 40+4,5 26,5
12+4,5 22+2,5 40+2,5 16,5
6+20 12+4,5 22+2,5 40+1,5 16,5
Наконец, имеем
/3(s8) = min[Gs(s3, t/s) + f2(s2)], Уз
данные для этого случая приведены в табл. 14.8. В ней показано, что минимальное значение общих усилий составляет 35,5.
Оптимизация надежности 443
Кроме того, это значение достигается, когда #j = 0,98. Двигаясь в обратном направлении, с помощью табл. 14.7, находим, что у* = 0,99, когда /2($2) = 26,5. Это означает, что fx(sx) = 4,5 и из табл. 14.6 следует, что #* = 0,98.
Таблица 14.8
(®з> Уз)+/2 (^2)
S8 Уъ 0,9G 0,97 0,98 0,99 0,995 /я (S3)
1 3+60 9+26,5 32+16,5 65+16,5 35,5
Пример 14.6. Система состоит из четырех параллельно соединенных подсистем, как показано на рис. 14.3. Существующие
Рис. 14.3. Система с параллельным соединением элементов.
оценки вероятностей безотказной работы для этих четырех подсистем составляют 0,900; 0,980; 0,940 и 0,960 соответственно. Требуемая вероятность безотказной работы системы' равна 0,9999990. Определите, какую вероятность безотказной работы каждой подсистемы необходимо задать, чтобы минимизировать общие затраты усилий, если рассматриваются функции усилий, приведенные в табл. 14.9.
Этот пример можно превратить в задачу, которая по своей структуре аналогична задаче, рассмотренной в примере 14.5. Для этого необходимо рассматривать вероятности отказа подсистем. Пусть yt—вероятность безотказной работы f-й подсистемы. Тогда должно выполняться условие
1 -(1-У1) (1 -Уз) а-У4) > 0,9999990.
Пусть
г( = 1— у(,
444 Глава 14
Таблица 14.9
Функции усилий
У1 <?, (0.90; yt) Уъ <?е(0,98; у %) Уз <?з(0,94; у3) У4 <?<(0,96; у.)
0,90 0,00
0,91 0,80
0,92 1,30
0,93 2,50
0,94 4,80 0,94 0,00
0,95 7,40 0,95 3,5
0,96 10,50 0,96 7,0 0,96 0,0
0,97 15,00 0,97 11,5 0,97 2,5
0,98 24,00 0,98 0 0,98 19,6 0,98 7,8
0,99 35,00 0,99 17,5 0,99 28,6 0,99 11,5
0,995 48,00 0,995 25,0 0,995 42,5 0,995 28,0
0,999 82,00 0,999 41,0 0,999 61,4 0,999 41,5
тогда 4 П Z/C 0,000001. 1 = 1
Следовательно, задача оптимизации состоит в том, чтобы мини-
мизировать (1-Z,)]
при ограничении П zy = F<0,000001. (14.17)
Условие, выраженное формулой (14.17), аналогично условию (14.14), следовательно, эту задачу можно решить методом динамического программирования. Оптимальным является следующее решение: zJ=0,08, zJ=0,02, г;=0,06 и zJ==O,Ol, и значение минимальных усилий составляет 12,8 единицы. При данном значении обеспечивается вероятность безотказной работы системы, равная 0,99999904.
Пример 14.7, Пусть вероятность безотказной работы некоторого элемента в момент t имеет вид
/?(0 = ехр(— t/T). (14.18)
Стоимость изготовления элемента является функцией средней наработки до отказа Т. Это соотношение выражается степенной функцией вида
С(7’) = с7'в, (14.19)
Оптимизация надежности 445
где с и а—заданные постоянные. Допустим, что нас интересует вероятность безотказной работы в заданный момент времени /0. Тогда
7? = /?(Q = exp(-/„/T) (14.20)/'
или
T = -70/lntf.
Рассмотрим два варианта изделия со средними наработками до отказа, равными Тг и Т2 соответственно, где 7\ < Тг. Тогда, используя формулу (14.20), получаем
С(Т1) = сГ? = с^(-1п/?1)-в (14.21)
и
C(T2)=cTg=c^(—1п/?2)-“, (14.22)
где /?! = ехр(—и Т?2 = ехр(—ta/T^. Таким образом, функция затрат, необходимых для того, чтобы увеличить вероятность безотказной работы Rt до значения Л?2 (Т?2 > 7?х), имеет вид
/?3) = С/?[(-1п/?а)-»-(-1п/?1)-«]. (14.23)
Рассмотрим систему, состоящую из п последовательно соединенных элементов. Тогда функция усилий Gt для i-ro элемента имеет вид
Gt(Ri, 7?2)=^[(-ln7?2)-a'-(-ln7?1)-fl']. (14.24)
Ниже приводятся оценки функций стоимости для этих четырех элементов, выраженные через Т:
Сх (Г) = 0,7573 Т0’430’, С2(Т) = 0,0001 Т1’2?48, Cs (Т) = 0,00000275 Т1’3131, С4(Т) = 0,000037 Т1’3-688,
10 000 <Т <50000, 20 000 < Т < 48 000, 15000 <Т <45000, 25000 <Т <60000.
Эти функции стоимости приводят к следующим граничным точкам для этих функций:
Сх (10 000) = 40,0, Сх (50 000) = 80,0,
С2 (20 000) = 25,0, Сг (48 000) = 75,0,
Ся (15 000) = 15,0, С3 (45 000) = 90,0,
Ci (25 000) = 35,0, С4 (60 000) = 115,0.
Нас интересует анализ надежности системы при наработке, равной 30000 единиц времени. При заданном размахе значений средней наработки этих, элементов до отказа с помощью формулы (14.18) можно вычислить верхний и нижний пределы значений вероятности безотказной работы в течение 30000 единиц времени.
446 Глава 14
Элемент 1.
Нижний
Верхний
Элемент 2.
Нижний
Верхний
Элемент 3.
Нижний
Верхний
Элемент 4.
Нижний
Верхний
предел для = ехр ( ' 30 000 > 10 000, )=--0,0498,
предел для К = ехр ( ' 30 000 > 50 000, ) = 0,5488.
предел для = ехр( ’ 30 000 > 20 000 , ) = 0,2231,
предел- для Rt = ехр( _ 30 000 > 48 000 , 1 = 9,5353.
предел для = ехр ( 30 000 > 15 000 у 1=0,1353,
предел ДЛЯ Ri = ехр ( ' 30 000 > 45 000 у 1=0,5134.
предел для /?4 = ехр ( 30 000 > 25000, 1 = 0,3012,
предел ДЛЯ R* = ехр ( 30000' - 60 000 , ) = 0,6065.
В существующей системе вероятность безотказной работы элементов 1, 2, 3 и 4 равна 0,20; 0,25; 0,29 и 0,35 соответственно. Таким образом, имеется информация, необходимая для того, чтобы для всех элементов с помощью формулы (14.24) определить функции затрат при повышении надежности. После вычисления затрат с помощью рассматриваемого ниже метода можно решить задачу определения оптимального уровня требуемой надежности этих четырех элементов, при котором общие затраты минимальны. Допустим, что требуемая вероятность безотказной работы системы равна 0,9000. Эти четыре элемента соединены параллельно, и достигнутая вероятность безотказной работы составляет
1 —(1—0,20) (1 —0,25)(1 —0,20) (1 — 0,35) = 0,688.
Данная задача была решена методом, использованным в примерах 14,5 и 14,6, и оптимальным решением является следующее: минимальные общие затраты равны 84,95; 7?J = 0,55; /?2 = 0,50; 7?* = 0,20; R: =0,45.
14.3. Оптимизация в задачах вероятностных прочностных расчетов
Решение задач инженерного проектирования и обеспечения надежности требует компромиссного выбора одного из нескольких задаваемых уровней. Характеристики изделия зависят как
Оптимизация надежности 447
от постоянных, так и от регулируемых конструктивных параметров. Как показано в гл. 6, где рассматривается вычисление надежности, надежность зависит от соотношения между распределениями прочности и напряжения, причем некоторые параметры этих распределений зависят от конструктивных параметров. Значения некоторых из этих параметров могут быть изменены, но для этого необходимы затраты определенных ресурсов. Может потребоваться либо максимизировать надежность при некоторых ограничениях на количество ресурсов, расходуемых на достижение нужных значений этих параметров, либо минимизировать затраты при условии, что будет достигнут требуемый уровень надежности.
14.3.1. Нормальное распределение прочности и напряжения
Вначале рассмотрим.случай, когда прочность и напряжение являются независимыми случайными величинами, распределенными по нормальному закону. Согласно формуле (6.18), вероятность безотказной работы зависит от значения нижнего предела интеграла, причем для ее максимизации нужно уменьшать значение этого предела.
Пусть Mps) обозначает зависимость стоимости от значения средней прочности. Для повышения средней прочности может потребоваться применение лучших материалов, других процессов термической обработки или лучших методов контроля за процессами изготовления материалов, что, естественно, обычно увеличивает затраты. Таким образом, Cj(ps) является монотонно возрастающей функцией ps- С точки зрения надежности при симметричных распределениях желательны меньшие значения ors-Для уменьшения as необходимо устранить такие факторы, вызывающие изменчивость прочности, как недостаточная чистота обработки поверхности, эффект скалывания или неоднородная внутренняя структура. Таким образом, c2(os) является монотонно убывающей функцией as.
Пусть ся (ps) и с4 (as) обозначают функции затрат, связанные с математическим ожиданием и дисперсией напряжения соответственно. Очевидно, что при меньших значениях ps и as вероятность безотказной работы будет выше. Для уменьшения значений этих величин может потребоваться увеличить размеры элемента и уменьшить колебания размеров, а также лучше контролировать нагрузки, действующие на элемент. Таким образом, c3(ps) и с4 (as) также являются монотонно убывающими функциями своих аргументов ps и as соответственно.
Рассмотрим теперь задачу оптимизации, когда требуется минимизировать общие затраты при ограничении, согласно кото-
448 Глава 14
рому элемент должен иметь определенный требуемый уровень надежности:
минимизировать общие затраты
ТС = q (ps)+С2 (Os) + Са (ps) + с4 (os) (14.25)
при ограничении
где г определяется с помощью уравнения связи при заданной вероятности безотказной работы. Заметим, что в формуле (14.25) г представляет собой то же самое значение г, что и в уравнении связи, но взятое с обратным знаком. Функция Лагранжа, связанная с задачей, представленной формулой (14.25), имеет вид
L(|xs, os, P's, Os, %)=^1(ps)+c2"(oS)+c3 (Ps)+ *
' +M®s) + 4PS-Ps-2(o2 + Os2)‘/2]. (14.26)
Чтобы найти локально оптимальные решения, продифференцируем функцию Лагранжа по соответствующим переменным и приравняем производные нулю, т. е.
d£= (Ps) +х=0, (14.27а)
dps <3ps ’ v >
— h = 0, (14.276)
<?PS <4 '
д„^)ЛгО5(о. + ег,)_,;, = 01 (14 27в)
- = + = <14.27г)
^=Ps- Ps — г/о|+а|==0. (14.27Д)
Решение этой системы пяти уравнений с пятью неизвестными дает все локальные оптимумы. Затем можно определить функцию цели для всех этих. локальных решений и найти глобальный оптимум. В некоторых задачах проектирования различные функции стоимости могут быть строго монотонными; в этом случае для получения оптимального решения вместо неравенства в формуле (14.25) должно удовлетворяться равенство.
Чтобы найти глобальный оптимум, исследуем структуру данной задачи. Запишем вначале функцию ограничений
g (os, Os, Ps, Ps) = г V'a| + (jf — ps + Р».
Оптимизация надежности 449
Матрица Гесса для этой функции имеет вид
Г га:т<7П’3/2 — 20SOs(as+ors)-s/2 0 0~1 — HGsOs (214-Os)~3/2 *4 Н+о.8)-3/2 О О
О 0 0 0
О О 0 0.
Легко показать, что матрица Гесса является положительной полуопределенной матрицей для г > 0 и, следовательно, функция ограничений является выпуклой. Если все функции затрат являются выпуклыми, то условия (14.17) выражают задачу выпуклого программирования, в которой любой локальный оптимум является глобальным [3]. Чтобы решить задачу оптимизации, необходимо решить систему уравнений (14.27а) — (14.27д).
Как показано в примере, рассматриваемом в следующем разделе, задачу оптимизации можно свести к одномерной задаче пОйска. При заданном значении ps с помощью уравнений (14.27а)—(14.27д) можно однозначно определить ps, решив уравнение
X
&1 (Ps) дсз (Ps) fys — dps
(14.28)
Затем с помощью уравнения (14.27д) можно вычислить значение OsH-Os, так как теперь известны ps и ps. После этого с помощью уравнений (14.27в) и (14.28г) можно определить средние квадратические отклонения as и as соответственно. Таким образом, можно вычислить общие затраты при этих значениях переменных. Легко показать, что общие затраты являются выпуклой функцией ps • Можно определить общую функцию затрат при различных значениях ps и найти глобальный оптимум одним из известных методов поиска.
Пример 14.8. Ниже приводятся значения функции затрат для некоторой системы. Прочность и напряжение выражены в мегапаскалях (МПа), а затраты в сотнях долларов.
Ps 5 10 15 20 25 30 35 40
ci (Ps) 2,23 6,32 11,62 17,89 25 32,86 41,41 50,60
as 1 2 3 4 5 6 7 8
c2 (as) 100 43,53 26,76 18,95 14,50 11,65 9,68 8,25
Ps 5 10 15 20 25 30 35 40
(Ps) 38,07 25,12 19,69 16,57 14,50 12,99 11,85 ‘ 10,93
as 1 2 3 4 5 6 1 8
Mas) 50 30,78 23,17 18,95 16,21 14,36 12,81 11,66
15 № 544
450 Глава 14
Часто оказывается возможным вывести аналитические выражения для различных функций затрат, соответствующих дискретным данным. Приведенным выше данным соответствуют следующие функции затрат:
c1(ps) = 0,2p|’e,
(as) = lOOas1>2, с9 (Н») = Ю0р7°’в, с4 (as) = 5Oas-0’7.
Все эти четыре функции являются выпуклыми, так как все они имеют положительную вторую производную.
Заданная вероятность безотказной работы системы составляет 0,990. Используя уравнение связи, с помощью таблиц для нормального распределения находим z = 2,33. Таким образом, задача минимизации состоит в следующем:
минимизировать общие затраты
ТС ==O,2j4’s -ь lOOas1,2 + 100ps-°’’ 4-5О<0’’ (14.29)
при ограничении
|*s— ps-2,33 (as + o2)1/2 >0.
Получаем следующую систему уравнений, соответствующую уравнениям (14.27а)—(14.27д):
0,Зр|-5 + Х=0, — б(к1,в—ь=о, (14.30а) (14.306)
— 120os2,2 — 2,33M°S + О2) ’1 % = о, (14.30b)
- 35os-1’’ —2,ЗЗХ (^ 4-as2)’ 1/2os = 0, (14.30г)
Ps—Ps—2,33 (ol-f-o2)1^2 =0. (14.30д)
С помощью уравнений (14.30a) и (14.306) находим
ps= 27,424ps °’3125, (14.31)
а с помощью уравнений (14.30в) и (14.30г) имеем
os = 0,6336а|л86. (14.32)
Подставляя выражение (14.32) в формулу (14.30а), получаем
а| + 0,4014оГ704 = ^^=£-. (14.33)
Вследствие свойств монотонности многочлена, заданного формулой (14.33), можно найти единственное значение os, удовлетворяющее формуле (14.33).
5; Таблица 14 JO
us % GS+(Ts °s % °* 0‘s) °* (%) CS(Os) °* 0’s) TO
15 11,7656 3.2344 1,9270 1,1625 0,7574 11,6190 22,7841 83,4696 60,7355 178,6082
20 10.7540 9,2460 15,7469 3,1252 2,4454 17,8885 24,0468 25,4769 26,7378 94,1500
25 10,0297 14.9703 41,2809 4,895 4,1621 . 25,0000 25,0742 14,8695 18,4269 83,3706
26 9.9075 16,0925 47,7018 5,2345 4,5064 26,5149 25,2593 13,7199 17,4297 82,9237
27 9.7913 17,2087 54.5484 5,5695 4,8502 28,0592 25,4388 12,7356 16,5553 82,7889
28 9,6807 18.3193 61,8167 5,9019 5,1951 29,6324 25,6127 11,8798 15,7781 82,9031
30 9,4742 20,5258 77,6047 6,5549 5,8831 32,8634 25,9462 10,4742 14,4626 83,7464
Оптимизация надежности 451
452 Глава 14
На основании этих соотношений была составлена таблица 14.10. Из этой таблицы видно, что оптимальное значение ps находится в пределах 26—28 МПа. Для нахождения оптимального значения использовался поиск методом Фибоначчи [5]. Можно использовать также для этих целей метод проб и ошибок и простой метод случайного поиска при допущении, что функция является выпуклой. Читателю предоставляется возможность самостоятельно рассмотреть другие методы поиска оптимума. Оказалось, что оптимальное значение |is находится в пределах 27,00—27,25. Некоторые оценки приводятся в табл. 14.11. На рис. 14.4 показан график зависимости общих затрат ТС как функции ps-
Рис. 14,4. Кривая общих затрат как функция средней прочности.
Оптимальное решение:
1X^=27,125 МПа; |xj=9,772 МПа; о£=5,6124МПа; oj=4,8929 МПа; общие затраты 8278,83 долл.
Рассмотрим практический пример. Требуется рассчитать стержень, испытывающий растягивающее напряжение под действием случайных нагрузок. Стержень может изготавливаться из различных материалов, имеющих различные значения предела проч-
Таблица 14.11
“S % °s о S с* см с’(%) C!(°s) “(%) то
27,000 9,7913 17,2087 54,5484 5,5695 4,8502 28,0592 25,4388 12,7356 16,5553 82,7889
27,125 9,7772 17,3478 55,4341 5,6124 4,8929 28,2543 25,4608 12,6189 16,4543 82,7881
27,250 9,7632 17,4868 56,3261 5,6539 4,9327 28,4498 25,4827 12,5078 16,3610 82,8013
27,375 9,7492 17,6258 57,2248 5,6950 4,9782 28,6458 25,5046 12,3996 16,2562 82,8062
27,500 9,7354 17,7646 58,1301 5,7355 5,0220 28,8422 25,5263 12,2946 16,1568 82,8199
27г625 9,7216 17,9034 59,0419 5,7790 5,0654 29,0391 25,5480 12,1836 16,0598 82,8305
Оптимизация надежности 453
454 Глава 14
ности на растяжение. Другие значения средней прочности материала и ее изменчивости можно получить путем термической обработки либо применения некоторых других способов контроля технологических процессов, что потребует дополнительных затрат. На основании информации о стоимости материалов, термической обработки и технологических процессов можно определить функции затрат Cj(ps) и c2(os). Размеры и допуски стержня определяют функции затрат cs(ps) и c4(os). Увеличение допусков означает более высокую изменчивость напряжений в стержне. Уменьшение допусков потребует лучших методов контроля за процессами изготовления и, следовательно, приведет к увеличению затрат. В реальных условиях расчета элемента, работающего на растяжение для определения функций затрат, подобных рассмотренным в примере 14.8, необходимы данные о всех перечисленных выше факторах.
Пример 14.9. Рассмотрим задачу, которая в некотором смысле является обратной по отношению к задаче, условие которой задано соотношениями (14.29). Требуется максимизировать вероятность безотказной работы для случая нормального распределения прочности и напряжения, рассмотренного в гл. 6, при некоторых ограничениях на ресурсы:
максимизировать
z = (ps — Ps)(os + Os)-1/2 (14.34)
при ограничении
Ci (ps) +с2 (os) + cs(ps) +ct (as) r,
где г обозначает количество имеющихся ресурсов.
Эту задачу на оптимизацию можно решить методом, используемым в примере 14.8. Функцию Лагранжа запишем в виде
L(ps, ps, as, as; M = (Ps—Ps)(as + <Js2)"1/2+ + X[t?i (ps) +c2 (crs) +c3 (ps) + (os)—r].
Чтобы найти локальные оптимумы, необходимо решить следующую систему уравнений:
-^_ = (о|-|_as2) -1/2 +i^s) = o, (14.35а)
^_ = _(al+as2)-1/2 + X^^ = 0, (14.356)
= + (14.35s)
= - o. (Hs — H.) (oi + a,1) + J. = 0, (14.35г)
s s
~^.;=МР8)+с2(о8)+£3( s)+c4(os)—r = 0. (14.35Д)
Оптимизация надежности 455
С помощью уравнений (14.35а) и (14.356) получаем дс1 (Ms) дс3 (Ms)
5Ms ~ fys ’
а с помощью уравнений (14.35в) и (14.35г) находим
1 ^2 (gs) = 1 gs dcs ~ as ctas
.(14.36)
(14.37)
Полученные соотношения используются, как и ранее, для того, чтобы задачу оптимизации привести к задаче одномерного поиска. Чтобы гарантировать, что любое локальное оптимальное решение является глобальным оптимальным решением, необходимо доказать, что функция цели (14.34) является выпуклой. Это можно доказать, рассмотрев матрицу Гесса для функции цели, имеющую вид
” (Ms-Hs)(2aS-gs) 3gSgs (Ms-Ms) -gs gs 1
(gs + °s)5/2 (a| + os2)6/2 (o| + a03/2 (gl + gs2 ) 3/2
3gSgs (Ms-Ms) (Ms—Ms) (2gf-gs) ~qs gs
(gl + gs2)5/2 (°s+as2)5/2 (gs+gI) (as+as) । 3/2
-°S (gs+g0’/2 ~°s (as + as2)3/2 0 0
gs gs о o
L (4+».’)>z’ (gi+g,2)3/2‘ V -
Это отрицательная полуопределенная матрица, если (2os—Следовательно, функция цели (14.34) является выпуклой, если as/Os^ 1/К2; в этом случае локальный оптимум будет глобальным оптимумом [3, 5].
Рассмотрим следующий числовой пример с теми же функциями стоимости, что и в примере 14.8:
максимизировать
z = (ps — Ps)(<Js + Os)‘1/2 (14.38)
при ограничении
0,2ps6 + lOOas1,2 + lOOps”°’’ + 50<rs-°’7 <75.
G помощью уравнений (14.36) и (14.37) находим
ps= 27,4248ps 0,3125 и
as = 0,6336ai186,
456 Глава 14
а с помощью уравнения (14.35д) получаем
lOOas1,2 + 68,8183as 0,8296 = 75—(0,2ps6 + 100щ" °’ ’) •
Используем полученные соотношения для составления табл. 14.12. Ясно, что если выбрано значение ps, то можно однозначно определить значения ps, os, и <ys. Для составления таблицы применялся метод дихотомического поиска при использовании значений ps в интервале 20—30 МПа.
Таблица 14.12
Номер результата “s % °s а S 2
1 24,5000 10,0932 6,3440 5,6595 1,6946
2 25,5000 10,0406 6,7620 6,1041 1,6970
3 22,5000 10,3654 5,6120 4,8941 1,6296
4 23,5000 10,2255 5,9520 5,2474 1,6729
5 23,3750 10,2426 5,9070 5,2004 1,6687
6 24,3750 10,1094 6,2890 5,6014 1,6838
7 23,9380 10,1667 6,1150 5,4182 1,6858
8 24,9380 10,0375 6,5250 5,8513 1,7001
9 24,2190 10,1297 6,2270 5,5359 1,6909
10 24,2190 10,0024 6,6590 5,9940 1,6984
Читатель может найти оптимальное решение методом проб и ошибок при допущении, что функция является выпуклой и что любой локальный оптимум является глобальным оптимумом.
Оптимальное решение, полученное на основе данных из табл. 14.12, является следующим: р§ = 24,9380; pj= 10,0375; 05 = 6,52508; о? = 5,8513; г*= 1,7001 и Я* = 0,95543.
Из данных, приведенных в табл. 14.12, следует, что Os/tfsss51/К2. Следовательно, полученное решение является глобальным оптимумом.
14.3.2. Нормальное распределение прочности и экспоненциальное распределение напряжения
Рассмотрим теперь метод оптимизации, когда прочность имеет нормальное распределение с параметрами (ps, os), а напряжение имеет экспоненциальное распределение с параметром 2^. Как было показано выше, функция стоимости ^(ps) является монотонно возрастающей функцией ps, а сг (os) является монотонно возрастающей функцией os- Полагаем, что с3 (Xs) является монотонно возрастающей функцией Xs. Кроме того, предполагается, что эти функции являются выпуклыми. Рассмотрим теперь еле-
Оптимизация надежности 457
дующую задачу максимизации надежности [опуская члены Ф (.) в формуле (6.30)]:
максимизировать
Я=1— ехр(— (14.39)
при ограничении
Oi (Hs) 4-с2 (as) +с8 (М г, где г обозначает общее количество имеющихся ресурсов. Предпринималась попытка решить эту задачу методом функций Лагранжа, однако в этом случае оказалось невозможным привести ее к задаче одномерного поиска. Поэтому мы были вынуждены решать систему четырех нелинейных уравнений с четырьмя неизвестными. Для приведения этой задачи к задаче одномерного поиска оказался полезным метод геометрического программирования [10, 13] (в то время как метод функций Лагранжа давал задачу поиска по четырем переменным).
Пример 14.10. Максимизировать
7?=l-exp[-(nsXs-4^al)] (14.40)
при ограничении
0,1P-S 14-1 OOas 1'1 + 50Xs°16 < 75.
Чтобы решить эту задачу методом геометрического программирования, полагаем = ^s = ^2 и ^s = *3- Тогда эта задача становится эквивалентной следующей задаче оптимизации:
минимизировать
У~~ при ограничении (1,3333- IO-’)*?1-}- ЬЗЗЗЗх^’Ч- 0,66674е < 1.
Двойственные переменные (см. приложение 14.А) удовлетворять следующей системе уравнений: — Юо1 4" ®ва = а«>
—®oi 4~2,l<»if =0,
—1,1 coj а = 0,
— 4- 2®оа 4- 0,6<о13 = 0.
Степень трудности задачи, условия которой заданы соотношениями (14.41), равна 5 —(3-f-l)=l. Таким образом, эту задачу можно привести к задаче одномерного поиска. Было найдено, что значение а, = 4-1 невозможно, поэтому при последующих
(14.41)
должны
(14.42)
458 Глава 14
вычислениях использовалось значение а0 =—1. Система уравнений была решена при различных значениях соо1. Если значение <оо1 задано, то значения остальных переменных двойственной задачи однозначно определяются с помощью формулы (14.42). Рассматриваемая в приложении 14.А функция для двойственной задачи, вычисленная при этих значениях двойственной переменной, приводится в табл. 14.13. Наша задача состоит в том, чтобы найти максимальное значение этой двойственной функции.
Таблица 14.13
<001 Двойственная функция d (to, а0)
1,6 1,5 1,4 1,3 —5,1917 —4,5254 —4,2961 —4,4775
Из табл. 14.13 видно, что оптимальное значение находится между 1,3 и 1,5. Для нахождения оптимального значения <оох в интервале (1,3; 1,5) использовался поиск методом Фибоначчи. Оптимальное значение оказалось равным wjx = 1,3952. Остальные переменные имеют следующие значения:
®ю ~ аг (®u Ч" ®is)= 2,4568, d* = (/* = —4,2953.
Значения переменных для прямой задачи находятся с помощью уравнений, выводимых в приложении 10.А, и они имеют вид х\= 12,7133; х‘2 = 3,8747; 4 = 0,4659.
Таким образом, оптимальным решением задачи, условия которой заданы соотношениями (14.39), является следующее: ps= = 12,7133; os = 3,8747; 2^ = 0,4659 или |4 = 2,1276 и /?*=0,9864.
14.4. Краткие выводы
В этой главе были представлены модели оптимизации требований к надежности. Для решения этих задач использовались методы динамического, нелинейного, геометрического программирования и метод функций Лагранжа. Более подробно эти методы рассматриваются в других работах [3, 5, 6, 9, 10, 13J.
Оптимизация надежности 459
УПРАЖНЕНИЯ
1. Дайте вывод неравенства (14.4). Четко сформулируйте все принимаемые допущения.
2. Система состоит из пяти последовательно соединенных подсистем. Требуемая вероятность безотказной работы системы составляет 0,990 при продолжительности работы 10 ч. Необходимые данные о подсистемах приводятся ниже:
Номер подсистемы i Число модулей N. Показатель важности (а- Продолжительность работы
1 25 1,00 10
2 80 0,97 9
3 45 1,00 10
4 60 0,93 7
5 70 1,00 10
Используя метод Консультативной группы по вопросам надежности радиоэлектронной аппаратуры, вычислите требуемую вероятность безотказной работы подсистем.
3. Покажите, что задача оптимизации, условия которой заданы соотношениями (14.9), имеет решение в виде выражения (14.10). Четко сформулируйте все допущения, которые могут быть приняты в процессе доказательства.
4. Некоторая система состоит из четырех подсистем, которые должны исправно функционировать, чтобы система работала безотказно. Требуемая вероятность безотказной работы системы равна 0,950. Для всех четырех подсистем функции усилий, необходимых для повышения ъероятности безотказной работы системы, одинаковы. В настоящее время вероятности безотказной работы подсистем имеют следующие значения: 0,75; 0,85; 0,90; 0,95. Какие требования к надежности подсистем должны быть заданы, чтобы минимизировать общие усилия, необходимые для повышения надежности системы?
5. Допустим, что рассмотренная в примере 14.5 система состоит из трех подсистем, соединенных параллельно. Требуемая вероятность безотказной работы системы равна 9,999995. Используя функции затрат, приведенные в табл. 14.2, определите, какие требования к надежности каждой подсистемы должны быть заданы, чтобы минимизировать общие затраты усилий.
6. Решите задачу из примера 14.6 и проверьте правильность оптимального решения, данного в этом примере.
7. Решите задачу из примера 14.7 и проверьте правильность оптимального решения, данного в этом примере.
460 Глава 14
8. Допустим, что система, рассмотренная в примере 14.7, состоит из четырех последовательно соединенных элементов и требуемая вероятность безотказной работы системы составляет 0,070 при наработке, равной 30 000 единиц времени. Используя данные, приведенные в примере 14.7, решите задачу минимизации усилий.
9. Система состоит из N подсистем. Пусть Rj обозначает вероятность безотказной работы j-й подсистемы; / = 1, 2, ..., АЛ Тогда вероятность безотказной работы системы будет иметь вид
TV N __
(1-/?/).
/=1 /=1
Надежность каждой подсистемы повышается путем введения резервных элементов. Пусть Пу—число резервных элементов в /-й подсистеме. Таким образом, вероятность отказа J-й подсистемы Rj связана с вероятностями отказов отдельных элементов следующим образом:
nz>o.
Пусть Cf—стоимость элемента /-й подсистемы, a Wj—вес элемента /-й подсистемы. Пусть С—общее количество имеющихся ресурсов (допустимые затраты), a W—максимально допустимое увеличение веса системы. Имеем следующую задачу оптимизации: максимизировать
/?5=П(1-гЛ+1>)
при ограничениях
N
n,j~^ 0, где nz—целое число. Решим эту задачу оптимизации для следующих данных:
Номер подсистемы / Стоимость Су Вес Wj Вероятность безотказной работы Гу Имеющиеся ресурсы
1 1,1 4,0 0,85
2 2,5 3,8 0,75 С = 40
3 3,8 7,5 0,90 № = 60
4 4,1 9,5 0,80
Оптимизация надежности 461
10. На производственной линии используется станок, который, работая в тяжелом режиме, изнашивается настолько быстро, что ухудшается качество продукции и падает производительность; поэтому его проверяют в конце каждого рабочего дня. После проверки регистрируется одно из четырех состояний станка:
1 Полностью исправное состояние
2 Исправное состояние — незначительный износ
3 Исправное состояние — значительный износ
4 Неисправное состояние — изготавливаемая продукция недопустимо низкого качества
Если Станок оказывается в неисправном состоянии, то требуются одни сутки для его замены. Стоимость замены 10000 долл., производственные потери в этот день оцениваются в 3000 долл. Следовательно, суммарные затраты равны 13 000 долл. При других состояниях станка затраты составляют:
Ожидаемые затраты вследствие изготовления дефектной продукции, долл.
1 о
2 2000
3 3000
При принятой политике замены оборудования Ра имеем следующую матрицу вероятностей перехода:
Состояние 1 2 3 4
1 0 3/4 3/16 1/16
2 0 5/8 1/4 1/8
3 0 0 1/2 1/2
4 1 0 0 0
Возможны другие политики замены оборудования: Рь, Ре и Ра.
Ра Замена при состоянии 4
Рь Замена при состоянии 4, капитальный ремонт при состоянии 3
Рс Замена при состояниях 3 и 4
Pd Замена при состояниях 2—4
462 Глава 14
Соответствующие матрицы вероятностей перехода имеют вид ръ <р< Pd
О 3/4 3/16 1/16
О 5/8 1/4 1/8 0 10 0
10 0 0
0 3/4 3/16 3/16
0 5/8 1/4 1/8
10 0 0
10 0 0
0 3/4 3/16 1/16
10 0 0
10 0 0
10 0 0
Данные о затратах:
Решение Состояние Ожидаемые убытки от брака Стоимость ремонта или замены Производственные потери Общие потери за сутки
1. Оставить все без 1 0 0 0 0
изменения 2 3 000 0 0 3 000
3 7 000 0 0 7 000
4 оо 0 0 00
2. Капитальный
ремонт станка 3 0 5 000 3 000 8 000
3. Замена станка 2, 3 или 4 0 10 000 3 000 13 000
Найдите оптимальную политику для данной задачи, когда интервал планирования не ограничен. Найдите также оптимальную политику при коэффициенте дисконтирования (3 = 0,95.
11. Рассмотрим задачу определения вероятности безотказной работы на этапе проектирования, когда напряжение s и нагрузка S имеют нормальное распределение. Требуемая вероятность безотказной работы элемента составляет 0,990. Функции стоимости для этих четырех элементов являются, следующими:
ct (ps) = 0,0002|Xs 1S6, 30 000 < ps <75 000 МПа,
c2(as) = 800as°’4’6, 1000<as <10000 МПа,
Cg (Ps) =89 997ps-°’61s, 10000<ps <68000 МПа,
c4(a)e= 366os-0’358, 500<oe< 7500 МПа.
Найдите значения четырех параметров pis, Hs, Qs и os, минимизирующие общие затраты при условии, что требуемая надежность элемента достигнута.
12. Рассмотрите функции затрат, приведенные в упражнении 11. Определите значения этих четырех параметров, дающие максимальное значение вероятности безотказной работы элемента при условии, что общие затраты не должны превышать 100 единиц.
13. Наработка элемента до отказа имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 0. Таким образом, R (/) = ехр (— //0), t > 0, 0 > 0.
Оптимизация надежности 463
Стоимость изготовления элемента является функцией 0 и выражается следующим соотношением:
С(0) = £0‘,
где k и а—заданные постоянные. Допустим, что разрабатывается система, состоящая из трех последовательно соединенных элементов. Постоянные k и а для этих трех элементов необходимо определить с помощью следующих граничных соотношений для стоимости элемента:
Q (10) = 20,0, Ci (40) = 45,0,
С2 (20) = 15,0, С2 (50) = 30,0,
С3 (15) = 30,0, С3 (35) = 50,0.
Средняя наработка на отказ 0 выражается в тыс. км. Система должна быть спроектирована для 0=10. Решите задачу минимизации стоимости системы одновременно с достижением требуемой средней наработки на отказ.
ЛИТЕРАТУРА
1. AGREE Report, Reliability of Military Electronic Equipment, Office of the Assistant Secretary of Defence, Washington, D. C., GPO, 1957.
2 American Society for Metals (ASM), Vol. I, Properties and Selection of Materials; Vol. II, Heat Treatment, Cleaning and Finishing; Vol. Ill, Machining, Ohio, American Society for Metals, Metals Park, 1969.
3. Beveridge G. S. L., Schecter R. S., Optimization; Theory and Practice, New York, McGraw-Hill, 1970.
4. Haugen E., Probabilistic Approaches to Design, New York, John Wiley and Sons, 1968.
5. Himmelblau D. M., Applied Nonlinear Programming, New York, McGraw-Hill, 1973.
6. Kapur К. C., Optimization in Design by Reliability, Al IE Transactions, 7, 2 (June 1975).
7. Kececioglu D., Cormier D., Designing a Specified Reliability Directly into a Component, Proceedings of the Third Annual Aerospace Reliability and Maintainability Conference, Washington, D. C., June 29 —July 1, 1967, pp. 546—565.
8. Lipson C., Sheth N. L., Disney R. L., Reliability Prediction—Mechanical Stress/Strength Interference, Rome Air Development Center, Technical Report No. RADC-TR-77-810, March 1967.
9. Nemhauser G. L., Introduction to Dynamic Programming, New York, John Wiley and Sons, 1966.
10. Passy V., Wilde D. J., Generalized Polynomial Optimization, SIAM J. Appl. Math., 15, 1344—1356 (September 1967).
11. Quality Assurance Reliability Handbook, AMCP 702-3, U. S. Materiel Command, October 1968.
12. Shooman M. L., Probabilistic Reliability: An Engineering Approach, New York, McGraw-Hill, 1968.
13. Taraman S. I., Kapur К. C., Optimization Considerations in Design Reliability by Stress-Strength Interference Theory, IEEE, Transactions on Reliability, R-24, 2 (June 1975).
14. Tri bus M., Rational Descriptions, Decisions and Designs, New York, Per-gamon Press, 1970*
Приложение к гл. 14. Геометрическое программирование с положительными полиномами
Общая задача геометрического программирования может быть сформулирована следующим образом [10]:
минимизировать ga (х) при ограничении m=l,2...................................М,
где Тт N
gm = ,2 aatcmt П <мии> т = 0, 1...М,
i=l л=1
amt=±l, cmf>0, х„>0,
а амии—любые действительные числа. Эту задачу можно решить, рассматривая для каждой функции ограничений {§(%)} множество двойственных переменных удовлетворяющих следующим условиям:
1. 0 < оо, /п = 0, 1, ..JV.
2. Условие нормальности Го Sao*«>ot==ao.
3. N условий линейной ортогональности м тт
2 2 %ABAf = °> П = 1, 2.......N.
т=01=1
4. М ограничений в виде линейных неравенств Тт
®mo = ara 2a«,t®JB(>0, п=1,2......М.
В этих условиях значение а0 заранее не задано, и, следовательно, его необходимо выбирать таким образом, чтобы выполнялись заданные ограничения. Степень трудности общей за-
Приложения 465
дачи геометрического программирования равна м
m=0
где
— число двойственных переменных. Двойственная функция имеет вид
‘ М Тт z . 1а0
d(<o, а0) = а0 П .
|_m=0f=l\ &mt / J
где ®00=l.
Для любого решения х*, где g0(x*)—локальный минимум, существует такое множество двойственных переменных aj, ®*, удовлетворяющих условиям 1 —4, что
d(co*, a0‘) = g0(x*).
После того как будут найдены оптимальные двойственные переменные, соответствующие значения переменных х для прямой задачи вычисляются по формулам:
N
c9t П^=«', /= 1, 2, ..То Л=1
И N
«„П‘=>>2...............т.. '..м.
Приложение I. Значения ординат плотности нормированного нормального распределения0
ф(г) - 0.00 < z < 4.99.
Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
.0 .3989 .3989 .3989 .3988 .3986 .3984 .3982 .3980 .3977 .3973
.1 .3970 .3965 .3961 .3956 .3951 .3945 .3939 .3932 '3925 .3918
.2 .3910 .3902 .3894 .3885 .3876 .3867 .3857 .3847 .3836 .3825
.3 .3814 .3802 .3790 .3778 .3765 .3752 .3739 .3725 .3712 .3697
.4 .3683 .3668 .3653 .3637 .3621 .3605 .3589 .3572 .3555 .3538
.5 .3521 .3503 .3485 .3467 .3448 .3429 .3410 .3391 -.3372 .3^52
.6 .3332 .3312 .3292 .3271 .3251 .3230 .3209 .3187 .3166 .3144
.7 .3123 .3101 .3079 .3056 .3034 .3011 .2989 .2966 .2943 .2920
.8 .2897 .2874 .2850 .2827 .2803 .2780 .2756 .2732 .2709 .2685
.9 .2661 .2637 .2613 .2589 .2565 .2541 .2516 .2492 .2468 .2444
1.0 .2420 .2396 .2371 .2347 .2323 .2299 .2275 .2251 .2227 .2203
1.1 .2179 .2155 .2131 .2107 .2083 .2059 .2036 .2012 .1989 .1965
1.2 .1942 .1919 .1895 .1872 .1849 .1826 .1804 .1781 .1758 .1736
1.3 .1714 .1691 .1669 .1647 .1626 .1604 .1582 .1561 .1539 .1518
1.4 .1497 .1476 .1456 .1435 .1415 .1394 .1374 .1354 .1334 .1315
1.5 .1295 .1276 .1257 .1238 .1219 .1200 .1182 .1163 .1145 .1127
1.6 .1109 .1092 .1074 .1057 .1040 .1023 .1006 .09893 .09728 .09566
1.7 .09405 .09246 .09089 .08933 .08780 .08628 .08478 .08329 .08183 .08038
1.8 .07895 .07754 .07614 .07477 .07341 .07206 .07074 .06943 .06814 .06687
1.9 .06562 .06438 .06316 .06195 .06077 .05959 .05844 .05730 .05618 .05508
2.0 .05399 .05292 .05186 .05082 .04980 .04879 .04780 .04682 .04586 .04491
2.1 .04398 .04307 .04217 .04128 .04041 .03955 .03871 .03788 .03706 .03626
2.2 .03547 .03470 .03394 .03319 .03246 .03174 .03103 .03034 .02965 .02898
2.3 .02833 .02768 .02705 .02643 .02582 .02522 .02763 .02406 .02349 .02294
2.4 .02239 .02186 .02134 .02083 .02033 .01984 .01936 .01888 .01842 .01797
11 Во всех таблицах приложений сохранены обозначения дробей, принятые в американской литературе.—Прим, ред,
Приложения 467
Продолжение
ф(г)= е~^2для 0.00 < z < 4.99.
У2тт z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 ,U9
2.5 .01753 .01709 .01667 .01625 .01585 .01545 .01506 .01468 .0143,1 .01394
2.6 .01358 .01323 .01289 .01256 .01223 .01191 .01160 .01130 .01100 .01071
2.7 .01042 .01014 .0*9871 .0*9606 .0*9347 .0*9094 .0*8846 .0*8605 .0*8370 .0*8140
2.8 .0*7915 .0*7697 .0*7483 .0*7274 .0*7071 .0*6873 .0*6679 .0*6491 .0*6307 .0*6127
2.9 .0*5953 .0*5782 .0*5616 .0*5454 .0*5296 .0*5143 .0*4993 .0*4847 .0*4705 .0*4567
3.0 .0*4432 .0*4301 .0*4173 .0*4049 .0*3928 .0*3810 .0*3695 .0*3584 .0*3475 .0*3370
3.1 .0*3267 .0*3167 .0*3070 .0*2975 .0*2884 .0*2794 .0*2707 .0*2623 .0*2541 .0*2461
3.2 .0*2384 .0*2309 .0*2236 .0*2165 .0*2096 .0*2029 .0*1964 .0*1901 .0*1840 .0*1780
3.3 .0*1723 .0*1667 .0*1612 .0*1560 .0*1508 .0*1459 .0*1411 .0*1364 .0*1319 .0*1275
3.4 .0*1232 .0*1191 .0*1151 .0*1112 .0*1075 .0*1038 .0*1003 .0*9689 .0*9358 .0*9037
3.5 .0*8727 .0*8426 .0*8135 .0*7853 .0*7581 .0*7317 .0*7061 .0*6814 .0*6575 .0*6343
3.6 .0*6119 .0*5902 .0*5693 .0*5490 .0*5294 .0*5105 .0*4921 .0*4744 .0*4573 .0*4408
3.7 .0*4248 .0*4093 .0*3944 .0*3800 .0*3661 .0*3526 .0*3396 .0*3271 .0*3149 .0*3032
3.8 .0*2919 .0*2810 .0*2705 .0*2604 .0*2506 .0*2411 .0*2320 .0*2232 .0*2147 .0*2065
3.9 .0*1987 .0*1910 .0*1837 .0*1766 .0*1698 .0*1633 .0*1569 .0*1508 .0*1449 .0*1393
4.0 .0*1338 .0*1286 .0*1235 .0*1186 .0*1140 .0*1094 .0*1051 .0*1009 .0*9687 .0*9299
4.1 .0*8926 .0*8567 tfKlTL .0*7890 .0*7570 .0*7263 .0*6967 .0*6683 .0*6410 .0*6147
4.2 .0*5894 .0*5652 .0*5418 .0*5194 .0*4979 .0*4772 .0*4573 .0*4382 .0*4199 .0*4023
4.3 .0*3854 .0*3691 .0*3535 .0*3386 .0*3242 .0*3104 .0*2972 .0*2845 .0*2723 .0*2606
4.4 .0*2494 .0*2387 .0*2284 .0*2185 .0*2090 .0*1999 .0*1912 .0*1829 .0*1749 .0*1672
4.5 .0*1598 .0*1528 .0*1461 .0*1396 .0*1334 .0*1275 .0*1218 .0*1164 .0*1112 .0*1062
4.6 .0*1014 .0*9684 .0*9248 .0*8830 .0*8430 .0’8047 .0’7681 X^iyiX .0’6996 .0’6676
4.7 .0*6370 .0*6077 .0*5797 .0*5530 .0*5274 .O’SOSO .0’4796 .0’4573 .0’4360 .0’4156
4.8 .0*3961 .0*3775 .0*3598 .0*3428 .0*3267 .0’3112 .0’2965 .0’2824 .О’ЗбЭО .О’ЗЗб!
4.9 .0*2439 .0*2322 .0*2211 .0*2105 .0*2003 .O’ 1907 .0’1814 .0’1643 .O’1563
Приложение 2. Значения функции нормированного нормального распределения
...........— — । «I —
Ф(г)=-^=-Г е-^'гйх9ля0.00<z<4.99.
V2?r •'-оо
Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06* .07 .08 .09
.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359
.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753
.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141
.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517
.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879
.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224
.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549
.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852
.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133
.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389
1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621
1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830
1.2 ’8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .90147
1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91309 .91466 .91621 .91774
1.4 .91924 .92073 .92220 .92364. .92507 .92647 .92785 .92922 .93056 .93189
1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408
1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449
1.7 .95543 .95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327
1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062
1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670
2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169
2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574
2.2 .98610 .98645 .98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899
2.3 .98928 .98956 .98983 .920097 .9*0358 .9*0613 .920863 .921106 .921344 .921576
2.4 .9*1802 .9*2024 .9*2240 .9*2451 .9*2656 .9*2857 .923053 .923244 .923431 .9*3613
Приложения 469
Продолжение
Ф(г) = [г e~xl^dx для0.00 < z <4.99.
V2w •'-to
г .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
2.5 .9*3790 .9*3963 .9*4132 .9*4297 .9*4457 .9*4614 .9*4766 .9*4915 .9*5060 .9*5201
2.6 .9*5339 .9*5473 .9*5604 .9*5731 .9*5855 .9*5975 .9*6093 .9*6207 .9*6319 .9*6427
2.7 .9*6533 .9*6636 .9*6736 .9*6833 .9*6928 .9*7020 .9*7110 .9*7197 .9*7282 .9*7365
2.8 .9*7445 .9*7523 .9*7599 .9*7673 .9*7744 .9*7814 .9*7882 .9*7948 .9*8012 .9*8074
2.9 .9*8134 .9*8193 .9*8250 .9*8305 .9*8359 .9*8411 .9*8462 .9*8511 .9*8559 .9*8605
3.0 .9*8650 .9*8694 .9*8736 .9*8777 .9*8817 .9*8856 .9*8893 .9*8930 .9*8965 .9*8999
3.1 .9*0324 .9*0646 .9*0957 .9*1260 .9*1553 .9*1836 .9*2112 .9*2378 .9*2636 .9*2886
3.2 .9*3129 .9*3363 .9*3590 .9*3810 .9*4024 .9*4230 .9*4429 .6*4623 .9*4810 .9*4991
3.3 .9*5166 .9*5335 .9*5499 .9*5658 .9*5811 .9*5959 .9*6103 .9*6242 .9*6376 .9*6505
3.4 .9*6631 .9*6752 .9*6869 .9*6982 .9*7091 .9*7197 .9*7299 .9*7398 .9*7493 .9*7585
3.5 .9*7674 .9*7759 .9*7842 .9*7922 .9*7999 .9*8074 .9*8146 .9*8215 .9*8282 .9*8347
3.6 .9*8409 .9*8469 .9*8527 .9*8583 .9*8637 .9*8689 .9*8739 .9*8787 .9*8834 .9*8879
3.7 .9*8922 .9*8964 .9*0039 .9*0426 .9*0799 .9*1158 .9*1504 .9*1838 .9*2159 .9*2568
3.8 .9*2765 .9*3052 .9*3327 .9*3593 .9*3848 .9*4094 .9*4331 .9*4558 .9*4777 .9*4988
3.9 .9*5190 .9*5385 .9*5573 .9*5753 .9*5926 .9*6092 .9*6253 .9*6406 .9*6554 .9*6696
4.0 .9*6833 .9*6964 .9*7090 .9*7211 .9*7327 .9*7439 .9*7546 .9*7649 .9*7748 .9*7843
4.1 .9*7934 .9*8022 .9*8106 .9*8186 .9*8263 .9*8338 .9*8409 .9*8477 .9*8542 .9*8605
4.2 .9*8665 .9*8723 .9*8778 .9*8832 .9*8882 .9*8931 .9*8978 .9’0226 .9’0655 J»1066
4.3 .9*1460 .9’1837 .9’2199 .9’2545 .9’2876 .9*3193 .9’3497 .9’3788 .9’4066 .9’4332
4.4 .9’4587 .9’4831 .9’5065 .9’5288 .9’5502 .9’5706 .9’5902 .9’6089 .9*6268 .9’6439
4.5 .9*6602 .9’6759 .9’6908 .9’7051 .9’7187 .9’7318 .9*7442 .9’7561 .9’7675 .9*7784
4.6 .9*7888 .9*7987 .9’8081 .9*8172 .9*8258 .9’8340 .9*8419 .9*8494 .9’8566 .9’8634
4.7 .9’8699 .9’8761 .9’8821 .9*8877 .9’8931 .9’8983 .9*0320 .9*0789 .9*1235 .9*1661
4.8 .9*2067 .9*2453 .9*2822 .9*3173 .9*3508 .9*3827 .9*4131 .9*4420 .9*4696 .9*4958
4.9 .9*5208 .9*5446 .9*5673 .9*5889 .9*6094 .9*6289 .9*6475 .9*6652 .9*6821 .9*6981
Пример: Ф(3,39)-0.9996505 Ф(0.98)-0.8365
Приложение 3. Таблицы показателей надежности, когда напряжение имеет нормальное распределение, а прочность— распределение Вейбулла
Тадлицы содержат вероятности отказа, когда напряжение имеет нормальное распределение, а прочность-распределение Веидрлла В — So So я* £ = 1.00, С= о, ая
л\с 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
.8 .0115 .0078 .0059 .0047 .0039 .0034 .0030 .0026 .0024 .0022
.6 .0160 .0109 .0082 .0066 .0055 .0047 .0042 .0037 .0033 .0030
.4 .0218 .0148 .0112 .0090 .0075 .0065 .0057 .0051 .0046 .0041
.2 .0290 .0197 .0149 .0120 .0100 .0086 .0076 .0067 .0061 .0055
.0 .0375 .0255 .0193 .0156 .0130 .0112 .0098 .0087 .0079 .0072
-.2 .0475 .0323 .0245 .0197 .0165 .0142 .0125 .0111 .0100 .0091
-.4 .0588 .0401 .0304 .0245 .0205 .0176 .0155 .0138 .0124 .0113
-.6 .0713 .0487 .0370 .0298 .0250 .0215 .0189 .0168 .0151 .0138
-.8 .0849 .0581 .0442 .0356 .0298 .0257 .0225 .0201 .0181 .0165
-1.0 .0994 .0681 .0518 .0418 .0351 .0302 .0265 .0236 .0213 .0194
-1.4 .1301 .0896 .0683 .0552 .0463 .0399 .0350 .0312 .0282 .0256
-1.8 .1620 .1121 .0857 .0693 .0582 .0502 .0441 .0393 .0355 .0323
-2.2 .1940 .1348 .1033 .0837 .0704 .0607 .0533 .0476 .0430 .0391
-2.6 .2252 .1574 .1209 .0981 .0826 .0713 .0627 .0559 .0505 .0460
-3.0 .2555 .1795 .1382 .1124 .0947 .0818 .0720 .0643 .0581 .0529
. -3.4 .2847 .2010 Л553 .1265 .1067 .0922 .0812 .0725 .0656 .0598
-3.8 .3127 .2221 .1720 .1430 .1185 .1025 .0903 .0808 .0730 .0666
-4.2 .3397 .2425 .1884 .1540 .1302 .1127 0994 .0889 .0804 .0734
-4.6 .3656 .2625 .2045 .1674 .1417 .1228 .1084 .0969 .0877 .0801
-5.0 .3904 .2819 .2202 .1806 .1530 -.1328 .1172 .1049 .0950 .0867
-5.5 .4202 .3054 .2395 .1968 .1670 .1451 .1282 .1148 .1040 .0950
-6.0 .4484 .3282 .2583 .2127 .1808 .1572 .1390 .1246 .1129 .1032
-6.5 .4753 .3502 .2766 .2283 .1944 .1692 .1497 .1343 .1217 .1113
-7.0 .5009 .3715 .2944 .2436 .2077 .1809 .1603 .1438 .1305 .1194
-8.0 .5484 .4120 .3288 .2733 .2336 .2040 .1810 .1627 .1477 .1352
-9.0 .5914 .4500 .3616 .3018 .2588 .2264 .2012 .1811 .1646 .1508
-10.0 .6303 .4854 .3927 .3291 .2831 .2482 .2210 .1991 .1811 .1661
Приложения 471
Продолжение So-0, О,
/зм.оо, f-Sn
с=- —А
60 65 70 75 80 85 90 95 100
.8 .0020 .0018 .0017 .0016 .0015 .0014 .0013 .0013 .0012
.6 .0028 .0026 .0024 .0022 .0021 .0020 .0019 .0018 .0017
.4 .0038 .0035 .0033 .0031 .0029 .0027 .0025 .0024 .0023
.2 .0051 .0047 .0043 .0041 .0038 .0036 .0034 .0032 .0031
.0 .0066 .0061 .0056 .0053 .0049 .0047 .0044 .0042 .0040
— 2 .0084 .0077 .0072 .0067 .0063 .0059 .0056 .0053 .0050
-.4 .0104 .0096 .0089 .0083 .0078 .0074 .0069 .0066 .0063
-.6 .0126 .0117 .0109 .0101 .0095 .0090 .00^5 .0080 .0076
-.8 .0151 .0140 .0130 .0121 .0114 .0107 .0101 .0096 .0091
-1.0 .0178 .0164 .0153 .0143 .0134 .0126 .0119 .0113 .0107
-1.4 .0235 .0218 .0202 .0189 .0177 .0167 .0158 .0150 .0142
-1.8 .0297 .0274 .0255 .0238 .0224 .0211 .0199 .0189 .0179
-2.2 .0360 .0332 .0309 .0289 .0271 .0255 .0241 .0229 .0218
— 2.6 .0432 .0391 .0364 .0340 .0319 .0301 .0284 .0270 .0256
-3.0 .0486 .0450 .0419 .0391 .0367 .0346 .0327 .0610 .0295
-3.4 .0550 .0509 .0473 .0442 .0415 .0391 .0370 .0351 .0334
-3.8 .0612 .0567 .0527 .0493 .0463 .0437 .0413 .0392 .0372
-4.2 .0675 .0625 .0581 .0544 .0511 .0481 .0455 .0432 .0411
-4.6 .0737 .0682 .0635 .0594 .0558 .0526 .0498 .0472 .0449
-5.0 .0798 .0739 .0688 .0644 .0605 .0571 .0540 .0512 .0487
-5.5 .0875 .0810 .0755 .0706 .0664 .0626 .0592 .0562 .0535
-6.0 .0950 .0881 .0821 .0768 .0722 .0681 .3644 .0612 .0582
-6.5 .1025 .0951 .0886 .0829 .0780 .0736 .0696 .0661 .0629
-7.0 .1100 .1020 .0951 .0890 .0837 .0790 .0748 .0710 .0676
-8.0 .1247 .1157 .1079 .1011 .0951 .0898 .0850 .0807 .0768
-9.0 .1392 .1292 .1206 .1130 .1063 .1004 .0951 .0902 .0860
-10.0 .1534 .1425 .1330 .1247 .1174 .1109 .1051 .0999 .0951
472 Приложения
Продолжение
Д-2.00, С»^, н о,
л\с 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
.8 .ООП .0005 .0003 .0002 .0001 .0001 .0001 .0(Ю1 .0000 .оОоо
.6 .0017 .0008 .0004 .0003 .0002 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001
.4 .0025 .ООП .0007 .0004 .0003 .0002 .0002 .0001 .0001 .0001
.2 .0035 .0016 .0009 .0007 .0004 .0003 .0002 .0002 .0001 .0001
.0 .0049 .0022 .0012 .0008 .0006 .0004 .0003 .0002 .0002 .0002
-.2 .0067 .0030 .0017 .ООП .0008 .0006 .0004 .0003 .0003 .0002
-.4 .0089 .0040 .0023 .0014 .0010 .0007 .0006 .0004 .0004 .0003
-.6 .0116 .0052 .0030 .0019 .0013 .0010 .0007 .0006 .0005 .0004
-.8 .0149 .0067 .0038 .0024 .0017 .0012 .0010 .0008 .0006 .0005
-1.0 .0188 .0085 .0048 .0031 .0021 .0016 .0012 .0009 .0008 .0006
-1.4 .0284 .0128 .0073 .0047 .0032 .0024 .0018 .0014 .0012 .0010
-1.8 .0407 .0185 .0105 .0067 .0047 .0034 .0026 .0021 .0017 .0014
-2.2 .0557 .0254 .0144 .0093 .0065 .0047 .0036 .0029 .0023 .0019
— 2.6 .0733 .0336 .0191 .0123 .0086 .0063 .0048 .0038 .0031 .0026
-3.0 .0935 .0431 .0246 .0158 .0110 .0081 .0062 .0049 .0040 .0033
-3.4 .1159 .0538 .0308 .0198 .0138 .0102 .0078 .0062 .0050 .0041
-3.8 .1406 .0658 .0377 .0243 .0170 .0125 .0096 .0076 .0062 .0051
-4.2 .1671 .0789 .0453 .0293 .0205 .0151 .0116 .0092 .0074 .0061
-4.6 .1954 .0930 .0536 .0347 .0243 .0179 .0137 .0109 .0088 .0073
-5.0 .2251 .1082 .0626 .0406 .0284 .0210 .0161 .0127 .0103 .0086
-5.5 .2640 .1286 .0748 .0486 .0341 .0251 .0193 .0153 .0124 .0103
-6.0 .3043 .1504 .0879 .0573 .0402 .0297 .0228 .0181 .0147 .0121
-6.5 3457 .1735 .1020 .0667 .0468 .0346 .0266 .0211 .0171 .0142
-7.0 .3876 .1977 .1170 .0767 .0539 .0399 .0307 .0244 .0198 .0164
-8.0 .4713 .2490 .1493 .0985 .0695 .0516 .0398 .0316 .0256 .0212
-9.0 .5525 .3032 .1845 .1226 .0869 .0646 .0499 .0396 .0322 .0267
-10.0 .6285 .3591 .2222 .1488' .1059 .0790 .0611 .0486 .0396 .0328
Приложения 473
Продолжение 0-So Д-2.00, C-—J-S А а,
л\С 60 65 70 75 80 85 90 95 100
.8 .0000 хх/йо .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.4 .0001 .0001 ,0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.2 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000
.0 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001
-.2 .0002 .0002 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001
-.4 .0003 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001.
-.6 .0003 .0003 .0002 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001 .0001
-.8 .0004 .0004 .0003 .0003 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002
-1.0 .0005 .0005 .0004 .0003 .0003 .0003 .0002 .0002 .0002
-1.4 .0008 .0007 .0006 .0005 .0005 .0004 .0004 .0003 .0003
-1.8 .0012 .0010 .0009 .0008 .0007 .0006 .0005 .0005 .0004
-2.2 .0016 .0014 .0012 .0010 .0009 .0008 .0007 .0006 .0006
-2.6 .0022 .0018 .0016 .0014' .0012 .ООП .0010 .0009 .0008
-3.0 .0028 .0024 .0020 .0018 .0016 .0014 .0012 .ООП .0010
-3.4 .0035 .0030 .0026 .0022 .0020 .0017 .0015 .0014 .0013
-3.8 .0043 .0036 .0031 .0027 ,0024 .0021 .0019 .0017 .0015
-42 .0052 .0044 .0038 .0033 .0029 .0026 .0023 .0021 .0019
-4.6 .0061 .0052 .0045 .0039 .0035 .0031 .0027 .0025 .0022
-5.0 .0072 .0061 .0053 .0046 .0041 .0036 .0032 .0029 .0026
-5.5 .0086 .0074 .0064 .0055 .0049 .0043 .0038 .0035 .0031
-6.0 .0102 .0087 .0075 .0066 .0058 .0051 .0046 .0041 .0037
-6.5 .0119 .0102 .0088 .0077 .0067 .0060 .0053 .0048 .0043
-7.0 .0138 .0118 .0101 .0088 .0078 .0069 .0062 .0055 .0050
-8.0 .0179 .0153 .0132 .0115 .0101 .0090 .0080 .0072 .0065
-9.0 .0225 .0192 .0166 .0145 .0127 .0113 .0101 .0090 .0082
-10.0 .0277 .0236 .0204 .0178 .0157 .0139 .0124 .0111 .0100
474 Приложения
Продолжение
О—So So
j8 = 3.OO, C«----
°,
a\C 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
.8 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.6 .0003 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.4 .0004 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.2 .0005 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.0 .0008 .0002 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.2 .0011 .0003 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.4 .0016 .0005 .0002 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.6 .0022 .0007 .0003 .0001 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000
-.8 .0030 .0009 .0004 .0002 loooi .0001 .0000 .0000 .0000 .0000
-1.0 .0041 .0012 .0005 .0003 .0002 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000
-1.4 .0069 .0021 .0009 .0004 .0003 .0002 .0001 .0001 .0001 .0000
-1.8 .0111 .0033 .0014 .0007 .0004 .0003 .0002 .0001 .0001 .0001
-2.2 .0169 .0051 .0022 .0011 .0006 .0004 .0003 .0002 .0001 .0001
—2.6 .0247 .0075 .0032 .0016 .0009 .0006 .0004 .0003 .0002 .0002
-3.0 .0349 .0106 .0045 .0023 .0013 .0008 .0006 .0004 .0003 .0002
-3.4 .0475 .0145 .0062 .0032 .0018 .0012 .0008 .0005 .0004 .0003
-3.8 .0630 .0193 .0082 .0042 .0024 .0015 .0010 .0007 .0005 .0004
-4.2 .0815 .0252 .0108 .0055 .0032 .0020 .0014 .0010 .0007 .0005
-4.6 .1031 .0322 .0138 .0071 .0041 .0026 .0017 .0012 .0009 .0007
-5.0 .1279 .0404 .0173 .0089 .0052 .0033 .0022 .0015 .0011 .0008
-5.5 .1634 .0524 .0225 .0116 .0067 .0043 .0029 .0020 .0015 .0011
-6.0 .2037 .0665 .0287 .0148 .0086 .0054 .0036 .0025 .0019 .0014
-6.5 .2485 .0828 .0360 .0186 .0108 .0068 .0046 .0032 .0023 .0018
-7.0 .2973 .1013 .0443 .0230 .0134 .0084 .0057 .0040 .0029 .0022
-8.0 .4039 .1454 .0645 .0336 .0196 .0124 .0083 .0059 .0043 .0032
-9.0 .5165 .1985 .0897 .0471 .0276 .0175 .0117 .0083 .0060 .0045
-10.0 .6269 .2600 .1202 .0636 .0374 .0327 .0160 .0112 .0082 .0062
Приложения 475
-Продолжение /?=з.оо, с= о «О • 1 * . So-**» А = °9
л\с 60 65 70 75 80 85 90 95 100
.8 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.4 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.2 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.0 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 0000 .0000
-.2 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.4 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-Я .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-1.0 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-1.4 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-1.8 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-2.2 .0001 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
— 2.6 .0001 .0001 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-3.0 .0002 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000
-3.4 .0d02 .0002 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0000
-3.8 .0003 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001 10001 .0001 .0001
-4.2 .6004 .0003 .0003 .0002 .0002 .0001 .0001 .0001 .0001
-4.6 .0005 .0004 .0003 .0003 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001
-5.0 .0006 .0005 .0004 .0003 .0003 .0002 .0002 ..0002 .0001
-5.5 .0008 , .0007 .0005 .0004 .0004 .0003 .0003 .0002 .0002
-6.0 .ООН .0009 .0007 .0006 .0005 .0004 .0003 .0003 .0002
-6.5 .0014 .0011 .0009 .0007 .0006 .0005 .0004 .0003 .0003
-7.0 .0017 .0013 .ООП .0009 .0007 .0006 .0005 .0004 .0004
-8.0 .0025 .0019 .0016 .0013 .0010 .0009 .0007 .0006 .0005
-9.0 .0035 .0027 .0022 .0018 .0015 .0012 .0010 .0009 .0008
-10.0 .0048 .0037 .0030 .0024 .0020 .0017 .0014 .0012 .0010'
476 Приложения
Продолжение 9— 5п /3=4.00, С=--------Л =
ав
Sq-Д» ав
и\с 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
.8 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.4 .0001 <0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.2 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.0 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.2 .0002 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.4 .0003 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.6 .0065 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.8 .0007 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-1.0 .0010 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
— 1.4 .0018 .0004 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-1.8 .0033 .0006 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-2.2 .0055 .ООП .0003 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-2.6 .0088 .0018 .0006 .0002 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000
-3.0 .0136 .0027 .0009 .0004 .0002 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000
-3.4 .0201 .0041 .0013 .0005 .0003 .0001 .0001 .0001 .0000 .0000
-3.8 .0289 .0059 .0019 .0008 .0004 .0002 .0001 .0001 .0000 .0000
-4.2 .0404 .0082 .0026 .ООН .0005 .0003 .0002 .0001 .0001 .0000
-4.6 .0051 .0113 .0036 .0015 .0007 .0004 .0002 .0001 .0001 .0001
-5.0 .0732 .0152 .0048 .0020 .0010 .0005 .0003 .0002 .0001 .0001
-5.5 .1015 .0214 .0068 .0028 .0014 .0007 .0004 .0003 .0002 .0001
-6.0 .1366 .0293 .0094 .0039 .0019 .0010 .0006 .0004 .0002 .0002
-6.5 .1788 .0392 .0126 .0052 .0025 .0014 .0008 .0005 .0003 .0002
-7.0 .2282 .0515 .0167 .0069 .0033 .0018 ..ООП .0007 .0004 .0003
-8.0 .3466 .0839 .0275 .0114 .0055 .0030 .0017 .ООП .0007 .0005
-9.0 .4838 .1284 .0429 .0179 .0087 .0047 .0027 .0017 .ООП .0008
-1Q.0 .6252 .1862 .0638 .0267 .0130 .0070 .0041 .0026 .0017 .0012
Приложения
478 Приложения
Продолжение
О So Sq /i, /? = 5.00, С=---------А = ———
н ' а ’ а.
л\С 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
.8 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000' .0000 .0000 .0000
.6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.4 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.2 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.0 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
— .2 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.4 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-.6 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
— .8 .0002 .0000 .0000 ..0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-1.0 .0003 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-1.4 .0005 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-1.8 .0010 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-2.2 .0019 .0003 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-2.6 .0033 .0004 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-3.0 .0055 .0007 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-3.4 .0089 .0012 .0003 .0001 .0000. .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-3.8 .0137 .0018 .0004 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
-4.2 .0206 .0028 .0007 .0002 .0001 .0000' .0000 .0000 .0000 .0000
-4.6 .0300 .0041 .0010 .0003 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000
-5.0 .0426 .0058 .0014 .0005 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000’ .0000
-5.5 .0639 .0089 .0021 .0007 .0003 .0001 .0001 .0000 .0000 .0000
-6.0 .0924 .0131 .0031 .0010 .0004 .0002 .0001 .0001 .0000 .0000
-6.5 .1295 .0187 .0045 .0015 .0006 .0003 .0001 .0001 .0000 .0000
-7.0 .1761 .0263 .0063 .0021 .0008 .0004 .0002 .0001 .0001 .0001
-8.0 .2988 .0484 .0118 .0039 .0016 .0007 .0004 .0002 .0001 .0001
-9.0 .4546 .0828 .0205 .0068 .0027 .0013 .0006 ..0004 .0002 .0001
-10.0 .6235 .1328 .0337 .0112 .0045 .0021 .0011 .0006 .0004 .0002
Источник: С. Lipson, N. J. Sheth, and R. Disney: Reliability Prediction-Mechanical Stress/Strength Inference, Final Tech. Rep. RADC-TR-66-710, Rome Air Development Center, Research and Technology Division, Air Force Systems Command, Griffiss Air Force Base, New York, March 1967.
Приложение 4. Таблицы показателей надежности, когда напряжение имеет распределение наибольших значений, а прочность— распределение Вейбулла
Приложение 4,4. Значения вероятностей безотказной работы, когда напряжение имеет распределение наименьших значений типа Цг а прочность имеет распределение Зейдулла
Or S0 S0
Л = -^ = 1.0; С=-—— =0.5
fip*' 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
1.0 0.440427 0.482383 0.509071 0.527856 0.541200 0.550930 0.558254 0.563932 0.568446 0.572113
2.0 0.462273 0.536687 0.590609 0.629214 0.657077 0.677534 0.692872 0.704627 . 0.713826 0.721165
3.0 0.475469 0.566076 0.635951 0.688020 0.726510 0.755107 0.776600 0.792994 0.805699 0.815703
4.0 0.483549 0.583475 0.662781 0.723179 0.768426 0.802237 0.827635 0.846898 0.861684 0.873183
5.0 0.488889 0.594683 0.679834 0.745383 0.794777 0.831720 0.859376 0.880202 0.896025 0.908176
6.0 0.492648 0.602401 0.691366 0.760191 0.812139 0.850923 0.879809 0.901389 0.917615 0.929922
7.0 0.495425 0.607996 0.699573 0.770555 0.824104 0.863958 0.893473 0.915348 0.931632 0.943836
8.0 0.497556 0.612219 0.705660 0.778113 0.832686 0.873156 0.902960 0.924882 0.941048 0.953032
9.0 0.499241 0.615510 0.710328 0.783816 0.839059 0.879877 0.909777 0.931619 0.947591 0.959316
10.0 0.500605 0.618143 0714009 0.788246 . 0.843935 0.884939 0.914832 0.936534 0.952285 0.963747
в, = 1.00, С So— So '2.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
1.0 0.699606 0.872192 0.946399 0.977289 0.990224 0.995722 0.998097 6.999138 0.999601 0.999809
2.0 0.702140 0.879543 0.953341 0.981982 0.992966 0.997208 0.998870 0.999530 0.999796 0.999905
3.0 0.705176 0.883602 0.956490 0.983919 0.994028 0.997755 0.999140 0.999661 0.999858 0.999934
4.0 0.707293 0.886034 0.958221 0.984924 0.994555 0.998016 0.999265 0.999719 0.999885 0.999946
5.0 0.708781 0.887625 0.959297 0.985525 0.994859 0.998162 0.999332 0.999749 0.999899 0.999953
6.0 0.709869 0.888739 0.960025 0.985920 0.995055 0.998253 0.999374 0.999768 0.999907 0.999956
7.0 0.710695 0.889560 0.960547 0.986198 0.995189 0.998315 0.999402 0.999780 0.999912 0.999958
8.0 0.711341 0.890188 0.960939 0.986402 0.995287 0.998360 0.999421 0.999788 0.999915 0.999960
9.0 0.711860 0.890684 0.961244 0.986559 0.995361 0.998393 0.999436 0.999794 0.999918 0.999961
10.0 0.712285 0.891084 0.961487 0.986683 0.995419 0.998419 0.999447 0.999799 0.999920 0.999961
А- — А 9. -1.50, С-1.00
flsxP* 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
1.0 0.612033 0.748128 0.820728 0.862993 0.889869 0.908215 0.921446 0.931402 0.939149 0.945341
2.0 0.631698 0.794637 0.881379 0.927403 0.952851 0.967687 0.976808 0.982695 0.986665 0.989444
3.0 0.642296 0.814069 0.903691 0.948557 0.971283 0.983176 0.989658 0.993347 0.995538 0.996894
4.0 0.648521 0.824165 0.914247 0.957710 0.978557 0.988733 .0.993840 0.996489 0.997915 0.998710
5.0 0.552546 0.830197 0.920130 0.962475 0.982085 0.991234 0.995581 0.997696 0.998754 0.999299
6.0 0.655340 0.834157 0.923795 0.965292 0.984062 0.992557 0.996447 0.998258 0.999119 0.999538
7.0 0.657387 0.836938 0.926265 0.967116 0.985289 0.993343 0.996937 0.998561 0.999306 0.999653
8.0 0.658947 0.838989 0.928028 0.968377 0.986110 0.993851 0.997243 0.998742 0.999413 0.999716
9.0 0.660174 0.840561 0.929345 0.969294 0.986691 0.994201 0.997448 0.998860 0.999480 0.999755
10.0 0.661163 0.841802 0.930362 0.969938 0.987122 0.994455 0.997593 0.998941 0.999525 0.999780
А^ в. =2.00, С Sq Sq 0. “ = 1.00 -
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
1.0 0.647614 0.786332 0.853737 0.890715 0.913363 0.928450 0.939150 0.947106 0.953243 0.958115
2.0 0.673881 0.839279 0.915781 0.951970 0.970297 0.980308 0.986179 0.989942 0.992252 0.993911
3.0 0.686517 0.859679 0.936458 0.969665 0.984520 0.991535 0.995055 0.996932 0.997993 0.998627
4.0 0.693591 0.869722 0.945578 0.976642 0.989506 0.995022 0.997495 0.998662 0.999242 0.999545
5.0 0.698036 0.875504 0.950416 0.980043 0.991727 0.996432 0.998388 0.999232 0.999612 0.999790
6.0 0.701066 0.879202 0.953323 0.931960 0.992896 0.997121 0.998790 0.999468 0.999752 0.999875
7.0 0.703256 0.881747 0.955232 0.983159 0.993590 0.997508 0.999002 0.999584 0.999816 0.999911
8.0 0.704908 0.883597 0.956568 0.983967 0.994039 0.997748 0.999128 0.999650 0.999850 0.999929
9.0 0.706198 0.884998 0.957550 0.934543 0.994350 0.997908 0.999209 0.999690 0.999870 0.999939
10.0 0.707232 0.886094 0.958299 0.984972 0.994575 0.998021 0.999264 0.999717 0.999883 0.999945
480 Приложения
Продолжение
Oo So Зл
A = у-=2.00, C=—-g—-=2.00
fis^ 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
1.0 0.746624 0.905983 0.963942 0.985600 0.994047 0.997467 0.998894 0.999504 0.999769 0.999887
2.0 0.756684 0.920493 0.974231 0.991381 0.996998 0.998909 0.999583 0.999830 0.999923 0.999959
3.0 0.762509 0.926670 0.978079 0.993344 0.997915 0.999319 0.999763 0.999908 0.999957 0.999974
4.0 0.766018 0.929931 0.979944 0.994231 0.998303 0.999481 0.999830 0.999935 0.999968 0.999978
5.0 0.768318 0.931906 .0.981008 0.994711 0.998502 0.999561 0.999861 0.999947 0.999972 0.999980
6.0 0.769931 0.933218 0.981684 0.995004 0.998619 0.999605 0.999877 0.999953 0.999975 0.999981
7.0 0.771119 0.934146 0.982147 0.995199 0.998695 0.999634 0.999887 0.999957 0.999976 0.999981
8.0 0.772029 0.934837 0.982482 0.995337 0.998747 0.999652 0.999894 0.999959 0.999977 0.999982
9.0 0.772749 0.935369 0.982735 0.995438 0.998785 0.999666 0.999899 0.999961 0.999977 0.999982
10.0 0.773330 0.935791 0.982932 0.995516 0.998814 0.999676 0.999902 0.999962 0.999978 0.999982
Os =2.50, C L** </) II s 2.00
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0- 10.0
1.0 0.763316 0.916444 0.968886 0.987795 0.995012 0.997893 0.999084 0.999589 0.999808 0.999904
2.0 0.776397 0.932856 0.979641 0.993525 0.997827 0.999229 0.999708 0.999880 0.999943 0.999967
3.0 0.783213 0.939429 0.983413 0.995325 0.998622 0.999569 0.999852 0.999940 0.999969 0.999978
4.0 0.737162 0.942771 0.985163 0.996095 0.998936 0.999692 0.999900 0t999959 0.999976 0.999981
5.0 0.789696 0.944744 0.986130 0.996495 6.999089 0.999749 0.999920 0.999966 0.999978 0.999982
6.0 0.791447 0.946031 0.986731 0.996733 0.999177 0.999780 0.999931 0.999970 0.999980 0.999982
7.0 0.792726 0.946930 0.987136 0.996887 0.999231 0.999799 0.999937 0.999972 0.999980 0.999983
8.0 0.793698 0.947592 0.987425 0.996995 0.999268 0.999811 0.999941 0.999973 0.999981 0.999983
9.0 0.794461 0.948098 0.987641 0.997073 0.999295 0.999819 0.999944 0.999974 0.999981 0.999983
10.0 0.795076 0.948497 0.987808 0.997133 0.999315 0.999826 0.999946 0.999974 0.999981 0.999983
Приложения
&
Приложение 4.5. Значение верояпгяо&пей ЗеЗоткаЗРПи работы, когда напряжение имеет распределение наименьших значении типа Ц а прочность имеет распределение Вейбулла Для /3S= 1.00
482 Приложения
c^A 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25
-1.50 0.220605 0.278581 0.330518 0.376619 0.417471 0.453734 0.486034 0.51^923 0.540873 0.564284
-1.00 0.343602 0.400128 0.443717 0.490605 0.526922 0.558623 0.586484 0.611132 0.633073 0.652718
-0.50 0.489891 0.538326 0.578828 0.613058 0.642297 0.667524 0.689490 0.708776 0.725835 0.741027
0.00 0.632108 0.669253 0.699780 0.725257 0.746812 0.765271 0.781247 0.795204 0.807499 0.818409
0.50 0.749756 0.775991 0.797324 0.814991 0.829850 0.842515 0.853435 0.862945 0.871302 0.878701
1.00 0.836662 0.854182 0.868336 0.880002 0.889778 0.898088 0.905236 0.911449 0.916899 0.921719
1.50 0.396263 0.907544 0.916622 0.924083 0.930322 0.935615 0.940162 0.944110 0.947569 0.950626
2.00 0.935255 0.942354 0.948053 0.952729 0.956633 0.959942 0.962783 0.965247 0.967405 0.969311
2.50 0.960027 0.964431 0.967961 0.970854 0.973269 0.975313 0.977067 0.978589 0.979920 0.981096
3.00 0.975483 0.978191 0.980360 0.982136 0.983618 0.984872 0.985948 0.986880 0.987697 0.988417
3.50 0.985020 0.986676 0.988002 0.989087 0.989992 0.990759 0.991415 0.991985 0.992483 0.992923
4.00 0.990865 0.991875 0.992683 0.993344 0.993896 0.994362 0.994762 0.995109 0.995412 0.995680
4.50 0.994433 0.995047 0.995539 0.995941 0.996276 0.996560 0.996803 0.997014 0.997199 0.997361
5.00 0.996606 0.996979 0.997277 0.997522 0.997726 0.997898 0.998046 0.998174 0.998286 0.998385
5.50 0.997926 0.998153 0.998334 0.998483 0.998606 0.998711 0.998801 0.998878 0.998946 0.999006
6.00 0.998728 0.998866 0.998976 0.999066 0.999141 0.999205 0.999259 0.999306 0.999348 0.999384
6.50 0.999215 0.999299 0.999366 0.999420 0.999466 0.999504 0.999537 0.999566 0.999591 0.999613
7.00 0.999511 0.999562 0.999602 0.999635 0.999663 0.999686 0.999706 0.999724 0.999739 0.999752
7.50 0.999690 0.999721 0.999746 0.999766 0.999782 0.999797 0.999809 0.999819 0.999829 0.999837
8.00 f " 0.999799 0.999818 0.999833 0.999845 0.999855 0.999864 0.999871 0.999877 0.999883 0.999888 1
,.hn 11
Продолжение
С\Л 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 з.оо 3.25
-1.50 0.178603 0.246742 0.315060 0.380320 0.440771 0.495690 0.544978 0.588889 0.627850 0.662353
-1.00 0.328603 0.400397 0.466387 0.525570 0.577873 0.623713 0.663717 0.698572 0.728948 0.755456
>-0.50 0.495244 0.558153 0.612944 0.660169 0.700669 0.735350 0.765068 0.790585 0.812561 0.831552
0.00 0.645980 0.694329 0.735081 0.769356 0.798207 0.822555 0.843179 0.860725 0.875722 0.888602
0.50 0.764035 0.798071 0.826195 0.849499 0.868891 0.885110 0.898752 0.910290 0.920106 0.928503
1.00 0.848077 0.870719 0.889205 0.904385 0.916929 0.927363 0.936100 0.943464 0.949711 0.955042
1.50 0.904361 0.918896 0.930678 0.940300 0.948217 0.954781 0.960262 0.964873 0.968776 0.972102
2.00 0.940039 0.949767 0.957133 0.963129 0.968050 0.972121 0.975516 0.978367 0.980778 0.982831
2.50 0.963476 0.969131 0.973682 0.977379 0.980409 0.982912 0.984997 0.986747 0.988227 0.989485
3.00 0.977644 0.981119 0.983911 0.936176 0.988030 0.989561 0.990836 0.991905 0.992808 0.993577
3.50 0.986357 0.983481 0.990186 0.991568 0.992699 0.993632 0.994409 0.995061 0.995611 0.996079
4.00 0.991686 0.992980 0.994019 0.994560 0.995548 0.996116 0.996589 0.996985 0.997320 0.997604
4.50 0.994935 0.995722 0.996353 0.996865 0.997283 0.997628 0.997915 0.998156 0.998359 0.998532
5.00 0.996911 0.997389 0.997773 0.998084 0.998338 0.998547 0.998722 0.998868 0.998991 0.999096
5.50 0.998112 0.998403 0.998635 0.998824 0.998978 0.999105 0.999211 0.999300 0.999375 0.999438
6.00 0.998841 0.999018 0.999159 0.999273 0.999367 0.999444 0.999508 0.999562 0.999608 0.999646
6.50 0.999234 0.999393 0.999477 0.999546 0.999603 0.999650 0.999689 0.999721 0.999749 0.999772
7.00 0.999553 0.999617 0.999669 0.999712 0.999746 0.999774 0.999798 0.999818 0.999835 0.999849
7.50 0.999716 0.999755 0.999786 0.999812 0.999833 0.999850 0.999864 0.999876 0.999887 0.999895
8.00 0.999814 0.999838 0.999857 0.999873 0.999886 0.999896 0.999905 0.999912 0.999918 0.999923
Приложения 483
Для /5S=3.00
С\Л 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 '2.75 3.00 3.25
— 1.50 0.171489 0.242270 0.316359 0.389480 0.458723 0.522419 0.579835 0.630861 0.675774 0.715050
— 1.00 0.330704 0.407848 0.480527 0.546804 0.605901 0.657792 0.702892 0.741829 0.775313 0.804046
-0.50 0.503539 0.571714. 0.631893 0.684154 0.729030 0.767294 0.799787 0.827326 0.850654 0.870430
0.00 0.655843 0.708164 0.752611 0.790071 0.821500 0.847815 0.869840 0.888290 0.903773 0.916797
0.50 0.772559 0.809295 0.839773 0.864996 0.885860 0.903134 0.917464 0.929382 0.939324 0.947648
1.00 0.854411 0.878791 0.898730 0.915049 0.928432 0.939437 0.948516 0.956033 0.962283 0.967499
1.50 0.908691 0.924315 0.936982 0.947281 0.955682 0.962562 0.968218 0.972890 0.976764 0.979992
2.00 0.943461 0.953260 0.961164 0.967563 0.972767 0.977018 0.980506 0.983381 0.985763 0.987746
2.50 0.965263 0.971329 0.976206 0.980145 0.983342 0.985950 0.988086 0.989846 0.991303 0.992515
3.00 0.978757 0.982482 0.985471 0.987882 0.989836 0.991428 0.992733 0.993806 0.994694 0.995432
3.50 0.987042 0.989319 0.991144 0.992614 0.993805 0.994775 0.995568 0.996222 0.996762 0.997211
4.00 0.992106 0.993493 0.994604 0.995493 0.996223 0.996813 0.997295 0.997692 0.998020 0.998293
4.50 0.995191 0.996034 0.996710 0.997253 0.997694 0.998052 0.993345 0.998586 0.998785 0.998951
5.00 0.997067 0.997579 0.997990 0.998320 0.998587 O.9988Q5 0.998983 0.999129 0.999250 0.999350
5.50 0.998207 0.998518 0.998767 0.998967 0.999130 0.999262 0.999370 0.999458 0.999532 0.999593
.6.00 0.998899 0.999088 0.999239 0.999360 0.999459 0.999539 0.999604 0.999658 0.999703 0.999740
6.50 0.999319 0.999434 0.999525 0.999599 0.999659 0.999707 0.999747 0.999780 0.999807 0.999829
7.00 0.999574 0.999643 0.999699 0.999744 0.999780 0.999809 0.999833 0.999853 0.999870 0.999883
7.50 0.999728 0.999771 0.999804 0.999831 0.999853 0.999871 0.999886 0.999898 0.999908 0.999916
8.00 0.999822 6.999848 0.999868 0.999885 Q.999898 0.999909 0.999918 0.999925 0.999931 0.999936
Приложения
ПроЗмжше Дмр5-4.00
1.00 1.25- 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25
• —1.50 0.171120 0.243742 0.321091 0.398482 0.472451 0.540816 0.602470 0.657085 0.704841 0.746211
— 1.00 0.334869 0.414980 0.491159 0.561053 0.623537 0.678355 0.725805 0.766489 0.801145 0.830537
— 0.50 0.510289 0.581086 0.643911 0.698561 0.745432 0.785237 0.818815 0.847018 0.870646 0.890417
0.00 0.662574 0.716823 0.762983 0.801851 0.834348 0.861396 0.883852 0.902473 0.917912 0.930722
0.50 0.778009 0.816004 0.847522 0.873540 0.894957 0.912565 0.927041 0.938950 0.948761 0.956859
1.00 0.858331 0.883493 0.904055 0.920822 0.934493 0.945649 0.954766 0.962229 0.968354 0.973393
1.50 0.911324 0.927431 0.940465 0.951018 0.959574 Q.966524 0.972182 0.976801 0.980583 0.983687
2.00 0.945158 0.955253 0.963375 0.969922 0.975211 0.979496 0.982976 0.985812 0.988131 0.990032
2.50 0.966331 0.972577 0.977585 0.981610 0.984856 0.987481 0.989610 0.991343 0.992759 0.993919
3.00 0.979419 0.983253 0.986321 0.988784 0.990766 0.992368 0.993666 0.994722 0.995584 0.996290
3.50 0.987450 0.989792 0.991665 0.993166 0.994373 0.995348 0.996138 0.996780 0.997304 0.997734
4.00 0.992355 0.993782 0.994922 0.995835 0.996569 0.997162 0.997642 0.998032 0.998351 0.998611
4.50 0.995342 0.996210 0.996903 0.997458 0.997904 0.998264 0.998556 0.998793 0.998986 0.999144
5.00 0.997159 0.997687 0.998107 0.998444 0.998715 0.998934 0.999111 0.999254 0.999372 0.999468
5.50 0.998263 0.998583 0.998838 0.999043 0.999207 0.999340 0.999447 0.999535 0.999606 0.999664
6.00 0.998933 0.999127 0.999282 0.999406 0.999506 0.999587 0.999652 0.999705 0.999748 0.999783
6.50 0.999340 0.999457 0.999552 0.999627 0.999687 0.999736 0.999776 0.999808 0.999834 0.999855
7.00 0.999586 0.999658 0.999715 0.999761 0.999797 0.999827 0.999851 0.999870 0.999886 0.999899
7.50 0.999736 0.999779 0.999814 0.999842 0.999864 0.999882 0.999896 0.999908 0.999918 0.999926»
8.00 0.999827 0.999853 0.999874 0.999891 0.999904 0.999915 0.999924 0.999931 0.999937 0.999942
Приложения
i
^/?s=5.00
1.00 1.25 L50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25
— 1.50 0.172281 0.246375 0.325931 0.406031 0.482886 0.554014 0.618087 0.674652 0.723842 0.766144
-LOO 0.338711 0.420765 0.499093 0.571112 0.635507 0.691901 0.740535 0.782007 0.817084 0.846581
г-0.50 0.515348 0.587763 0.652107 0.708064 0.755965 0.796500 0.830520 0.858908 0.882503 0.902066
0.00 0.667316 0.722672 0.769762 0.809345 0.842337 0.869673 0.892234 0.910808 0.926080 0.938632
0.50 0.781722 0.820414 0.852469 0.878863 0.900506 0.918209 0.932670 0.944477 0.954121 0.962005
1.00 0.860954 0.886545 0.907409 0.924374 0.938147 0.949325 0.958399 0.965770 0.971767 0.976652
1.50 0.913068 0.929430 0.942641 0.953301 0.961904 0.968852 0.974471 0.979022 0.982714 0.985717
2.00 0.946276 0.956524 0.964749 0.971356 0.976668 0.980946 0.984397 0.987187 0.989447 0.991283
2.50 0.967032 0.973370 0.978439 0.982499 0.985756 0.988374 0.990484 0.992187 0.993566 0.994685
3.00 0.979853 0.983743 0.986847 0.989329 0.991318 0.992915 0.994201 0.995238 0.996077 0.996758
3.50 0.987716 0.990093 0.991987 0.993499 0.994710 0.995682 0.996464 0.997095 0.997605 0.998018
4.00 0.992518 0.993965 0.995118 0.996038 0.996775 0.997365 0.997840 0.998223 0.998533 0.998784
4.50 0.995442 0.996322 0.997023 0.997582 0.998029 0.998388 0.998676 0.998909 0.999097 0.999249
5.00 0.997220 0.997754 0.998180 0.998519 0.998791 0.999009 0.999184 0.999325 0.999439 0.999531
5.50 0.998800 0.998624 0.998883 0.999089 0.999253 0.999386 0.999492 0.999577 0.999647 0.999703
6.00 0.998955 0.999152 0.999309 0.999434 0.999534 0^999614 0.999679 0.999731 0.999773 0.999807
6.50 0.999353 0.999473 0.999568 0.999644 0.999704 0.999753 0.999792 0.999823 0.999849 0.999870
7.00 0.999595 0.999667 0.999725 0.999771 0.999808 0.999837 0.999861 0.999880 0.999895 0.999908
7.50 0.999741 0.999785 0.999820 0.999848 0.999870 0.999888 0.999902 0.999914 0J999923 0.99993 Ь
8.00 0.999830 0.999856 0.999878 0.999895 0.999908 0.999919 0.999928 0.999935 0.999940 0.999945
486 Приложения
Приложение 5. Процентили распределения хи-квадрат
х2«
V Х2995 ^2 X .99 Х2 975 V2 X .95 X .90 Х280 V2 X .75 №.70 V
1 .0000393 .000157 .000982 .00393 .0158 .0642 .102 .148 1
2 .0100 .0201 .0506 .103 .211 .446 .575 .713 2
3 .0717 .115 .216 .352 .584 1.005 1.213 1.424 3
4 .207 .297 .484 .711 1.064 1.649 1.923 2.195 4
5 .412 .554 .831 1.145 1.610 2.343 2.675 3.000 5
6 .676 .872 1.237 1.635 2.204 3.070 3.455 3.828 (Г
7 .989 1.239 1.690 2.167 2.833 3.822 4.255 4.671 7
8 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 4.594 5.071 5.527 8
9 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 5.380 5.899 6.393 9
10 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 6.179 6.737 7.267 10
11 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 6.989 7.584 8.148 11
12- 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 7.807 8.438 9.034 12
13 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042 8.634 9.299 9.926 13
14 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 9.467 10.165 10.821 14
15 4.601 5.229 6.262 7.261 8.574 10.307 11.306 11.721 15
16 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 11.152 11.192 12.624 16
17 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 12.002 12.792 13.531 17
18 6.265 7.015 8.231 9.390 10.865 12.857 13.675 14.440 18
19 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 13.716 14.562 15.352 19
20 7.434 8.260 9.591 10.851 12.443 14.578 15.452 16.266 20
21 8.034 8.897 10.283 11.591 13.240 15.445 16.344 17.182 21
22 8.643 9.542 10.982 12.338 14.041 16.314 17.240 18.101 22
,23 9.260 10.196 11.688 13.091 14.848 17.187 18.137 19.021 23
24 9.886 10.856 12.401 13.848 15.659 18.062 19.037 19.943 24
25 10.520 11.524 13.120 14.61J 16.473 18.940 19.939 20.867 25
488 Приложения
Продолжение
V X2.995 X299 X2975 -.2 X .95 X2.90 X28o X275 X270 V
26 11.160 12.198 13.844 • 15379 17.292 19.820 20.843 21.792 26
27 11.808 12.879 14.573 16.151 18.114 20.703 21.749 22.719 27
28 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 21.588 22.657 23.647 28
29 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 22.475 23.567 24.577 29
30 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 23.364 24.478 25.508 30
35 17.156 18.484 20.558 22.462 24.812 27.820 29.058 30.181 35
40 20.674 22.142 24.423 26.507 29.067 32.326 33.664 34.874 40
45 24.281 25.880 28.356 30.610 33.367 36.863 38.294 39.586 45
50 27.962 29.687 32.348 34.762 37.706 41.426 42.944 44.314 50
55 31.708 33.552 36.390 38.956 42.078 46.011 47.612 49.055 55
60 35.510 37.467 40.474 43.186 46.478 50.614 52.293 53.808 60
65 39.360 41.427 44.595 47.448 50.902 55.233 56.991 58.572 65
70 43.253 45.426 48.750 51.737 55.349 59.868 61.698 63.344 70
75 47.186 49.460 52.935 56.052 59.815 64.515 66.416 68.125 75
80 51.153 53.526 57.146- 60.390 64.299 69.174 71.144 72.913 80
85 55.151 57.621 61.382 64.748 68.799 73.843 75.880 77.707 85
90 59.179 61.741 65.640 69.124 73.313 78.522 80.623 82.508 90
95 63.963 65.886 69.919 73.518 77.841 83.210 85.374 87.314 95
100 67.312 70.053 74.216 > 77.928 82.381 87.906 90.131 92.125 100
105 71.414 74.241 78.530 82.352 86.933 92.610 94.894 96.941 105
110 75.536 78.448 82.861 86.790 91.495 97.321 99.663 101.761 110
115 79.679 82.672 87.207 91.240 96.067 102.038 104.437 106.585 115
120 83.839 86.913 91.567 95.703 100.648 106.762 109.216 111.413 120.
Источник: Reliability Handbook, MAC? 702-3, Headquarters, U. S. Army Materiel Command, Washington, D. G, October, 1968.
Приложения 489
Продолжение
Х2а
V Х2.5О Х2зо V2 X .25 X2jo Х2.ю Х2Л5 Х2.025 Х2.01 Х2.005 г
1 .455 1.074 1.323 1.642 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 1
2 1.386 2.408 2.773 > 3.219 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597 2
3 2.366 3.665 4.108 4.642 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838 3
4 3.357 4.878 5.385 5.989 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860 4
5 4.351 6.064 6.626 7.289 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750 5
6 5.348 7.231 7.841 ’8.558 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 6
7 6.346 8.383 9.037 9.803 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 7
8 7.344 9.524 10.219 11.030 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955 8
9 8.343 10.656 11.389 12.242 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 9
10 9.342 11.781 12.549 13.442 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 10
11 10.341 12.899 13.701 14.631 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757 11
12 11.340 14.011 14.845 15.812 18.549 21.920 23.337 26.217 28.300 12
13 12.340 15.119 15.984 16.985 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 13
14 13.339 16.222 17.117 18.151 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 14
15 14.339 17.322 18.245 19.311 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 . 15
16 15.338 18.418 19 369 20.465 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267 16
17 16.338 19.511 20.489 21.615 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 17
18 17.338 20.601 21.605 22.760 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 18
19 18.338 21.689 22.718 23.900 27.204 30.144 32.852 • 36.191 38.582 19
20 19.337 22.775 23.828 25.038 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997 20
21 20.337 23.858 24.935 26.171 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401 21
22 21.337 24.939 26.039 27.301 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796 22
23 22.337 26.018 27.141 28.429 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181 23
24 23.337 27.096 28.241 29.553 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558 24
25 24.337 28.172 29.339 30.675 34.382 37.652 40.646 44314 46.928 25
490 Приложения
Продолжение
V Х25О Х2зо Х2Л5 Х220 Х2.ю Х2.О5 Х2.025 Х2.01 Х2.ОО5 У
26 25.336 29.246 30.434 31.795 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290 26
27 26.336 30.319 31.528 32.912 36.741 40.113 43.194 46.963 49.645 27
28 27.336 31.391 32.620 34.027 37.916 41.337 44.461 48.278 50.993 28
29 28.336 32.461 33.711 35.139 39.087 42.557 45.722 49.588 52.336 29
30 29.336 33.530 34.800 36.250 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672 30
35 34.338 38.860 40.221 41.802 46.034 49.798 53.207 57.359 60.304 35
40 39.337 44.166 45.615 47.295 51.780 55.755 59.345 63.706 66.792 40
45 44.337 49.453 50.984 52.757 57.480 61.653 65.414 69.971 73.190 45
50 49.336 54.725 56.333 58.194 63.141 67.502 71.424 76.167 79.512 50
55 54.336 59.983 61.665 63.610 68.770 73.309 77.384 82.305 85.769 55
60 59.336 65.229 66.982 69.006 74.370 79.080 83.301 88.391 91.970 60
65 64.336 70.466 72.286 74.387 79.946 84.819 89.181 94.433 93.122 65
70 69.335 75.693 77.578 79.752 85.500 90.530 95.027 100.436 104.230 70
75 74.335 80.912 82.860 85.105 91.034 96.216 100.843 106.403 110.300 75
80 79.335 86.124 88.132 90.446 96.550 101.879 106.632 112.338 116.334 80
85 84.335 91.329 93.396 95.777 102.050 107.521. 112.397 118244 122.337 85
90 89.335 96.529 98.653 101.097 107.536 113.145 118.139 124.125 128.310 90
95 94.335 101.723 103.902 106.409 113.008 118.751 123.861 129.980 134.257 95
100 99.335 106.911 109.145 111.713 118.468 124342 129.565 135.814 140.179 100
105 ,104.335 112.095 114.381 117.009 123.917 129.918 135.250 141.627 146.078 105
ПО 109.335 117.275 119.612 112.299 129.355 135.480 140.920 147.421 151.956 ПО
1И U4.335 122.451 124.838 127.581 134.782 141.030 146.574 153.197 157.814 115
120 119.335 127.623 130.059 132.858 140.201 146.568 152.215 158.956 163.654 120
Приложение 6. Процентили F-распределения -)
492 Приложения
Верхние
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 16211. 20000. 21615. 22500. 23056. 23437. 23715. 23925. 24091.
2 198.5 199.0 199.2 199.2 199.3 199.3 199.4 199.4 199.4
3 55.55 49.80 47.47 46.19 45.39 44.84 44.43 44.13 43.88
4 31.33 26.28 24.26 23.15 22.46 21.97 21.62 21.35 21.14
5 22.78 18.31 16.53 15.56 14.94 14.51 1420 13.96 13.77
€ 18.63 14.54 12.92 12.03 11.46 11.07 10.79 10.57 10.39
7 16.24 12.40 10.88 10.05 9.52 9.16 8.89 8.68 8.51
8 14.69 1L04 9.60 8.81 8.30 7.95 7.69 7.50 7.34
9 13.61 10.11 8.72 7.96 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54
10 12.83 9.43 8.08 7.34 6.87 6.54 6.30 6.12 5.97
11 12.23 8.91 7.60 6.88 6.42 6.10 5.86 5.68 5.54
12 11.75 8.51 7.23 6.52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.20
13 11.37 8.19 6.93 6.23 5.79 5.48 5.25 5.08 4.94
14 11.06 7.92 6.68 6.00 5.56 5.26 5.03 4.86 4.72
15 10.80 7.70 6.48 5.80 5.37 5.07 4.85 4.67 4.54
16 10.58 7.51 6.30 5.64 5.21 4.91 4.69 4.52 4.38
17 10.38 7.35 6.16 5.50 5.07 4.78 4.56 4.39 4.25
18 10.22 7.21 6.03 5.37 4.96 4.66 4.44 4.28 4.14
19 10.07 7.09 5.92 5.27 4.85 4.56 4.34 4.18 4.04
20 9.94 6.99 5.82 5.17 4.76 4.47 4.26 4.09 3.96
21 9.83 6.89 5.73 5.09 4.68 4.39 4.18 4.01 3.88
22 9.73 6.81 5.65 5.02 4.61 4.32 4.11 3.94 3.81
23 9.63 6.73 5.58 4.95 4.54 4.26 4.05 3.88 3.75
24 9.55 6.66 5.52 4.89 4.49 4.20 3.99 3.83 3.69
25 9.48 6.60 5.46 4.84 4.43 4.15 3.94 3.78 3.64
26 9.41 6.54 5.41 4.79 4.38 4.10 3.89 3.73 3.60
27 9.34 6.49 5.36 4.74 4.34 4.06 3.85 3.69 3.56
28 9.28 6.44 532 4.70 4.30 4.02 3.81 3.65 3.52
29 9.23 6.40 5.28 4.66 4.26 3.98 3.77 3.61 3.48
30 9.18 6.35 5.24 4.62 4.23 3.95 3.74 3.58 3.45
40 8.83 6.07 4.98 4.37 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22
60 8.49 5.79 4.73 4.14 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01
120 8.18 5.54 4.50 3.92 3.55 3.28 3.09 2.93 2.81
00 7.88 5.30 4.28 3.72 3.35 3.09 2.90 2.74 2.62
'И > *9.005; м1-*[*•> 2135]-0.005
Приложения 493
0,5-е процм/тма
10 12 15 20 24 30 40 60 120 00
24224. 24426. 24630. 24836. 24940. 25044. 25148. 25253. 25359. 25465.
199.4 199.4 199.4 199.4 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5
43.69 43.39 43.08 42.78 42.62 42.47 42.3 Г 42.15 \ 41.99 41.83
20.97 20,70 20.44 20.17 20.03 19.89 19.75 19.61 19.47 19.32
13.62 13.38 13.15 12.90 12.78 12.66 12.53 12.40 12.27 12.14
10.25 10.03 9.81 9.59 9.47 9.36 9.24 9.12 9.00 8.88
«.38 8.Г8 7.97 7.75 7.65 7.53 7.42 7.31 7.10 7.08
7.21 7.01 6.81 6.61 6.50 6.40 6.29 6.18 6.06 5,95
6.42 6.23 6.03 5.83 5.73 5.62 5.52 5.41 5.30 5.19
5.85 5.66 5.47 5.27 5.17 5.07 4.97 4.86 4.75 4.61
5.42 5.24 5.05 4.86 4.76 4.65 4.55 4.44 4.34 4.23
5.09 4.91 4.72 4.53 4.43 4.33 4.23 4.12 4.01 3.90
4.82 4.64 4.46 4.27 4.17 4.07 3.97 3.87 3.76 3.65
4.60 4.43 4.25 4.06 3.96 3.86 3.76 3.66 3.55 3.44
4.42 4.25 4.07 3.88 3.79 3.69 3.58 3.48 3.-37 3.26
4.27 4.10 3.92 3.73 3.64 3.54 3.44 3.33 3.22 3.11
4.14 3.97 3.79 3.61 3.51 3.41 3.31 3.21 3.10 2.98
4.03 3.86 3.68 3.50 3.40 3.30 3.20 3.10 2.09 2.87
3,93 3.76 3.59 3.40 3.31 3.21 3.11 3.00 2.89 2.78
3.85 3.68 3.50 3.32 3.22 3.12 3.02 2.92 2.81 2.69
3.77 3.60 3.43 3.24 3.15 3.05 2.95 2.84 2.73 2.61
3.70 3.54 3.36 3.18 3.08 2.98 2.88 2.77 2.66 2.55
3.64 3.47 3.30 3.12 3.02 2.92 2.82 2.71 2.60 2.48
3.59 3.42 3.25 3.06 2.97 2.87 2.77 2.66 2.55 2.43
3.54 3.37 3.20 3.01 2.92 2.82 2.72 2.61 2.50 2.38
3.49 3.33 3.15 2.97 2.87 2.77 2.67 2.56 2.45 2.33
3.45 3.28 3.11 2.93 2.83 2.73 2.63 2.52 2.41 2.29
3.41 3.25 3.07 2.89 х2.79 2.69 2.59 2.48 2.37 2.25
3,38 3.21 3.04 2.86 2.76 2.66 2.56 2.45 2.33 2.21
3.34 3.18 3.01 2.82 2.73 2.63 2.52 2.42 2.30 2.18
3.12 2.95 2.78 2.60 2.50 2.40 2.30 2.18 2.06 1.93
2.90 2.74 2.57 2.39 229 2.19 2.08 1.96 1.83 1.69
2.71 2.54 2.37 2.19 2.09 1.98 1.87 1.75 1.61 1.43
2.52 2.36 2.19 2.00 1.90 1.79 1.67 1.53 1.36 1.00
494 Приложения
Ъерхнае
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 4052. 4999.5 5403 5625 5764. 5859. 5928. 5982. 6022.
2 98.50 99.00 99 17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39
3 34 12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35
4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66
5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16
6 13.75 10.92 9.78 9 15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98
7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72
8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91
9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35
10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.80 4.74 4.63
12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39
13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19
14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03
15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89
16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78
17 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68
18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60
19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 *3.94 3.77 3.63 3.52
20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46
21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 - 3.40
22 7.95. 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35
23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30
24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26
25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22
26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18
27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15
28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.30 3.23 3.12
29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09
30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89
60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72
120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56
00 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41
Приложения 495
1-е процентили
10 12 15 20 24 30 40 60 120 00
6056. 6 106. 6157. 6209. 6235. 6261. 6287. 6313. 6339. 6366.
99.40 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.47 99.78 99.49 99.50
27.23 27.05 26.87 26.69 26.60 26.50 26.41 26.32 26.22 26.13
14.55 14.37 14.20 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56 13.46
10.05 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.11 9.02
7.87 7.72 7.56 7.40 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.88
6.62 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.65
5.81 5.67 5.52 5.36 5.28 5.20 5.12 5.03 4.95 4.86
5.26 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.40 4.31
4.85 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4.00 3.91
4.54 4.40 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 “ 3.60
4.30 4.16 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.45 3.36
4.10 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 325 3.17
3.94 3.80 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09, 3.00
3.80 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96, 2.87
3.69 3.55 3.41 3.26 3.18 3.10 3.02 2.93 2.84 2.76
3.59 3.46 3.31 3.16 3.08 3.00 2.92 2.83 2.75 2.65
3.51 3.37 3.23 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57
3.43 3.30 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49
3.37 3,23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42
3.31 3.17 3.03 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36
3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40 2.31
3.21 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26
3.17 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31 2.21
3.13 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17
3.09 2.96 2.81 2.66 - 2.58 2.50 2.42 2.33 2.23 2.13
3.06 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.20 2.10
3.03 2.90 2.75 2.60 2.52 2.44 2.35 2.26 2.17 2.06
3.00 2.87 2.73 2.57 2.49 2.41 2.33 2.23 2.14 2.03
2.98 2.84 2.70 2.55 2.47 2.39 2.30 2.21 2.11 2.01
2.80 2.66 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.02 1.92 1.80
2.63 2.50 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.60
2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38
232 2.18 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.47 1.32 4.00
496 Приложения
Верхние
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 647.8 799.5 864.2 899.6 921.8 937.1 948.2 956.7 963.3
2 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39
3 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47
4 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90
5 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 ,6.85 6.76 6.68
6 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52
7 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82
8 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36
9 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03
10 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78
11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59
12 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44
13 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31
14 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21
15 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12
16 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05
17 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98
18 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93
19 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88
20 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84
21 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80
22 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76
23 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73
24 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70
25 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68
26 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65
27 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.80 2.71 2.63
28 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61
29 5.59 4.20 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59
30 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75. 2.65 2.57
40 5.42 . 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45
60 529 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 <2.33
120 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 ?.ЗО 222
со 5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11
Приложения 497
2,5-в процентили
10 12 15 20 24 30 40 60 120 оо
968.6 976.7 984.9- 993.1 9972 1001. 1006. 1010. 1014. 1018.
39.40 39.41 39.43 39.45 39.46 39.4$ 39.47 39.48 39.49 39.50
14.42 14.34 14.25 14.17 14.12 14.08 14.04 13.99 13.95 13.90
8.84 8.75 8.66 8.56 831 8.46 8.41 8.36 8.31 820
6.62 6.52 6.43 6.33 628 623 6.18 6.12 6.07 6.02
5.46 5.37 527 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.90 4.85
4.76 4.67 4.57 4.47 4.42 4.36 4.31 4.25 420 4.14
4.30 4.20 4.10 4.00 3.95 3.89 3.84 3.78 3.73 3.6Т
3.96 3.87 3.77 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.39 333
3.72 3.62 3.52 3.42 3.37 331 3.26 320 3.14 3.08
3.53 3.43 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3.00 2.94 2.88
3.37 3.28 3.18 3.07 3.02 2.96 2.91 2.85 2.79 2.72
3.25 3.15 3.05 2.95 2.89 2.84 2.78 2.72 2.66 2.60
3.15 3.05 2.95 2.84 2.79 2.73 2.67 2.61 2.55 2.49
3.06 2.96 186 2.76 2.70 2.64 2.59 232 2.46 2.40
2.99 2.89 2.79 2.68 2.63 2.57 2.51 2.45 2.38 2.32
2.92 2.82 2.72 2.62 2.56 2.50 2.44 238 232 225
2.87 2.77 2.67 2.56 2.50 2.44 238 2.32 226 2.19
2.82 2.72 2.62 2.51 2.45 2.39 233 227 220 2.13
2.77 2.68 2.57 2.46 2.41 235 229 222 2.16 2.09
2.73 2.64 2.53 2.42 237 2.31 2.25 2.18 2.11 2.04
2.70 2.60 2.50 2.39 233 227 221 2.14 2.08 2.00
2.67 2.57 2.47 2.36 230 2.24 2.18 2.11 2.04 1.97
2.64 2.54 2.44 233 227 2.21 2.15 2.08 2.01 1.94
2.61 2.51 2.41 230 2.24 2.18 2.12 2.05 1.98. 1.91
2.59 2.49 239 2.28 222 2.16 2.09 2.03 1.95 1.88
2.57 2.47 236 225 2.19 2.13 2.07 2.00 . 1.93 1.85
2.55 2.45 2.34 223 2.17 2.11 2.05 1.98 1.91 1.83
2.53 2.43 232 2.21 2.15 2.09 2.03 1.96 1.89 1.81
2.51 2.41 231 220 2.14 2.07 2.01 1.94 1.87 1.79
239 229 2.18 2.07 2.01 1.94 1.88 1.80 1.72 1.64
227 2.17 2.06 1.94 1.88 1.82 1.74 1.67 138 1.48
2.16 2.05 1.94 1.82 1.76 1.69 1.61 1.53 L43 131
2.05 1.94 1.83 1.71 1.64 1.57 1.48 139 127 1.00
498 Приложения
Верхние
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18
10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02
11 4.84 3.98 3.59 3.36 320 3.09 3.01 2.95 2.90
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71
14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65
'15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54
17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46
19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42
20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 .2.51 2.45 2.39
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37
22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34
23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32
24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25
28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24
29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12
60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04
120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96
со 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88
Приложения 499
5-е процеятйт
10 12 15 20 24 30 40 60 120 00
•241.9 243.9 245.9 248.0 249.1 250.1 251.1 252.2 253.3 254.3
19.40 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 . 19.50
8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53
5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63
4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.36
4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67
3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23
3.35 328 3.22 3.15 ' 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93
3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71
2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54
2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45. 2.40
2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30
2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 ‘ 2.21
2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13
2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07
2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01
2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96
2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92
2.38 ' 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88
2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84
2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81*
2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78
2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76
2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73
2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71
222 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.85 1.80 1.75 1.69
220 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67
2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65
2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.64
2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62
2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74- 1.69 1.64 1.58 1.51
1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39
1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.55 1.43 1.35 1.25
1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00
500 Приложения
Верхние
«'Л’’1 1 2 3 4 5 6 1 8 9
1 39.86 49.50 53.59 55 83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86
2 8.53 9.00 9 16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38
3 5.54 5.46 5.39 5.34 531 5.28 5.27 5.25 5.24
4 4.54 4.32 4 19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94
5 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32
6 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96
7 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72
8 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56
9 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 244
10 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35
11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27
12 3.18 2.81 2.61- 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21
13 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16
14 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12
15 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09
16 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06
17 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 .2.15 2.10 2.06 2.03
18 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00
19 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98
20 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96
21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95
22 2 95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93
23 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92
24 2.93 2 54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91
25 2.92 2.53 2.39 2.18 2.09 2.02 _ 1.97 1.93 1.89
26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88
27 2.90 251 2.30 2.17 2.07 2.00 1.95 1.91 1.87
28 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 ‘ 1.94 1.90 1.87
29 2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86
30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85
40 2.84 244 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79
60 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74
120 2 75 2.35 2 13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68
00 2.71 2 30 2.08 1.94 1.85 1.77 Ь72 1.67 1.63
Приложения 5GI
10-е процентили
10 12 15 20 24 30 40 60 120 00
60.19 60.71 61.22 61.74 62.00 62.26 62.53 62.79 63.06 63.33
9.39 9.41 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.48 9.49
5.23 5.22 5.20 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.14 5.13
3.92 3.90 3.87 3.84 3.83 3.82 3.80 3.79 3.78 3.76
3.30 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.12 3.10
2.94 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.74 2.72
2.70 2.67 2.63 2.59 2.58 2.56 2.54 2.51 2.49 2.47
2.54 2.50 2.46 2.42 2.40 2.38 2.36 2.34 2.32 2.29
2.42 2.38 2.34 2.30 2.28 2.25 2.23 2.21 2.18 2.16
2.32 2.28 2.24 2.20 2.18 2.16 2.13 2.11 2.08 2.06
2.25 2.21 2.17 2.12 2.10 2.08 2.05 2.03 2.00 1.97
2.19 2.15 2.10 2.06 2.04 2.01 1.99 1.96 1.93 1.90
2.14 2.10 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.90 1.88 1.85
2.10 2.05 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.86 1.83 1.80
2.06 2.02 1.97 1.92 1.90 1.87 1.85 1.82 1.79 1.76
2.03 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72
2.00 1.96 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69
1.98 1.93 1.89 1.84 1.81 -1.78 1.75 1.72 1.69 1.66
1.96 1.91 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.70 1.67 1.63
1.94 1.89 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 / 1.68 1.64 1.61
1.92 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59
1.90 1.86 L81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57
1.89 1.84 1.80 1.74 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 1.55
1.88 1.83 1.78 1.73 1.70 1.67 1.64 1.61 1.57 1.53
1.87 1.82 1.77 1.72 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52
1.86 “ —Н81 1.76 1.71 1.68 1.65 1.61 1.58 1.54 1.50
1.85 1.80 1.75 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57 1.53 1.49
1.84 1.79 1.74 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52 1.48
1.83 1.78 1.73 1.68 1.65 1.62 1.58 1.55 1.51 1.47
1.82 1.77 - 1.72 1.67 1.64 1.61 1.57 1.54 1.50 1.46
1.76 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.42 1.38
1.71 1.66 1.60 1.54 1.51 1.48 1.44 1.40 1.35 1.29
1.65 1.60 1.55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.32 1.26 1.19
1.60 1.55 1.49 1.42 1.38 1.34 1.30 1.24 1.17 1.00
502 Приложения
Верхние
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 5.83 7.50 8.20 8.58 8.82 8.98 9.10 9.19 9.26
2 2.57 3.00 3.15 3.23 3.28 3.31 3.34 3.35 3.37
3 2.02 2.28 2.36 2.39 2.41 2.42 2.43 2.44 2.44
4 1.81 2.00 2.05 2.06 2.07 2.08 2.08 2.08 2.08
5 1.69 1.85 1.88 1.89 1.89 1.89 1.89 L89 1.89
6 1.62 1.76 1.78 1.79 1.79 1.78 1.78 1.78 1.77
7 1.57 1.70 1.72 1.72 1.71 1.71 1.70 1.70 1.70
8 1.54 1.66 1.67 1.66 1.66 1.65 1.64 1.64 1.63
9 1.51 1.62 1.63 1.63 1.62 1.61 1.60 1.60 1.59
10 1.49 1.60 1.60 1.59 1.59 1.58 1.57 1.56 1.56
11 1.47 1.58 1.58 1.57 1.56 1.55 1.54 1.53 1.53
12 1.46 1.56 1.56 1.55 1.54 1.53 1.52 1.51 1.51
13 1.45 1.55 1.55 1*53 1.52 1.51 1.50 L49 1.49
14 1.44 1.53 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.48 1.47
15 1.43 1.52 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.46
16 1.42 1.51 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44
17 1.42 1.51 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43
18 1.41 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42
19 1.41 1.49 1.49 1.47 1.46 1.44 1.43 1.42 1.41
20 1.40 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41
21 1.40 1.48 1.48 1.46 1.44 1.43 1.42 1.41 1.40
22 1.40 1.48 1.47 1.45 1.44 1.42 1.41 . 1.40 1.39
23 1.39 1.47 1.47 1.45 1.43 1.42. 1.41 1.40 1.39
24 1.39 1.47 1.46 1.44 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38
25 1.39 1.47 1.46 1.44 1.42 1.41 1.40 1.39 1.38
26 1.38 1.46 .1.45 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37
27 1.38 1.46 1.45 1.43 1.42 1.40 1.39 1.38 137
28 1.38 1.46 1.45 ,1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37
29 1.38 1.45 1.45 1.43 1.41 1.40* 1.38 1.37 1.36
30 1.38 *1.45 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.36
40 1.36 1.44 1.42 1.40 1.39 1.37 1.36 1.35 1.34
60 1.35 1.42 1.41 1.38 1.37 1.35 1.33 1.32 1.31
120 1.34 1.40 1.39 1.37 1.35 1.33 1.31 1.30 1.29
00 1.32 1.39 1.37 1.35 1.33 1.31 1.29 1.28 1.27
из mate. 19 книги
Biometrika Tables Jb'r Statisticians, Volume I, becona
Приложения 503
25 процентили
10 12 15 20 24 30 40 60 120 oo
9.32 941 9.49 9.58 9 63 9 67 971 9 76 9.80 9.85
3.38 3.39 3.41 3.43 3.43 3.44 3 45 3.46 3.47 3.48
2.44 2.45 2.46 2.46 2.46 2.47 2 47 2.47 2.47 2.47
2,08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08. 2.08 2.08 2.08 2.08
1.89 1.89 1.89 1.88 1.88 1.88 1 88 1 87 1.87 1.87
1.77 1 77 1.76 1.76 1.75 1 75 1 75 1 74 1.74 1 74
1.69 1.68 1.68 1.67 1.67 1.66 J 66 1.65 1.65 1.65
1.63 1.62 1.62 1.61 1.60 1.60 1.59 1 59 1.58 1.58
1.59 1.58 1.57 1.56 1.56 1.55 1.54 1.54 1.53 1.53
1.55 1 54 1.53 152 1.52 1.51 1 51 1.50 1.49 1.48
1.52 1.51 1.50 1.49 1.49 1.48 1.47 1.47 1.46 1.45
1.50 1.49 1.48 1.47 1.46 1.45 1.45 1.44 143 1.42
1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.40
1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.41 1.40 1.39 138
1.45 1.44 1.43 ’ 1.41 141 1.40 1.39 1 38 1.37 1 36
1.44 1.43 1.41 1.40 139 1 38 1.37 1 36 1.35 1.34
1.43 1.41 1.40 1.39 j.38 1.37 1 36 1.35 1.34 1 33
1.42 1.40 1.39 1.38 137 1.36 1.35 1 34 1 33 1.32
1.41 1.40 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.30
1.40 1.39 '' 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1 32 1.31 1 29
1.39 1.38 1.37 1.35 1.34 1.33 1 32 1 31 1.30 1 28
1.39 1.37 1.36 1.34 1 33 1.32 1 31 1.30 1 29 ] 28
1.38 1 37 1.35 1 34 1 33 1 32 ] 31 1 30 1.28 1 27
1.38 1.36 1.35 133 1.32 1.31 1.30 129 1.28 1 26
1.37 1.36 1.34 1.33 1.32 1.31 1.29 1 28 127 1 25
1.37 1.35 1.34 1.32 1.31 1.30 1.29 1.28 1 26 125
1.36 1.35 1.33 132 1.31 1.30 1.28 1 27 1.26 1 24
1.36 1.34 1.33 1.31 1.30 1.29 1.28 1.27 1.25 1 24
1.3f 1.34 1.32 1.31 1.30 1.29 1.27 1.26 1.25 1 23
1.35 1.34 1.32 1.30 1.29 1.28 1.27 1.26 1.24 1.23
1.33 1.3 f 1.30 1.28 1.26 1.25 1.24 1.22 1.2L 1 19
1.30 1.29 1.27 1.25 1.24 1.22 1.21 1.19 1 17 1 15
1.28 126 1.24 1.22 1.21 1.19 ] 18 1 16 J 13 1 10
1.25 x 1.24 1.22 1 19 1 18 1 16 Г 14 1 12 1 08 1 00
Edition, 1958, by permission of the Biometnka Trustees.
Приложение 7. Оперативные характеристики для испытаний на наработку (экспоненциальное распределение)
Рис. П.7.1. Оперативные характеристики для испытаний на наработку.
Уровень значимости 0.01; нулевая гипотеза Но:0<0(>; альтернативная гипотеза > 0О.
Рис. П.7.2. Оперативные характеристики для испытаний на наработку.
Уровень значимости 0,01; нулевая гипотеза /f?:0<0 ; альтернативная гипотеза fZt:0>0p
Рис. П.7.3. Оперативные характеристики
Уровень значимости Я1:0<Оо-
0,01; нулевая гипотеза
для испытаний на наработку.
HozO^Gq; альтернативная гипотеза
0,01;
Рис. П.7.4. Оперативные характеристики для испытаний на наработку. Уровень значимости Я1:0<0О.
нулевая гипотеза Но: 0 > Оо; альтернативная гипотеза
ЗА
Рис. П.7.5. Оперативные характеристики для испытаний на наработку.
Уровень значимости 0,05; нулевая гипотеза Но:0< 0О; альтернативная гипотеза Hj:0>er.
Рис. П.7,6* Оперативные характеристики для испытаний на наработку.
Уровень значимости 0*05; нулевая гипотеза /?О:0<0О; альтернативная гипотеза
Рис. П.7.7. Оперативные характеристики для испытаний на наработку. Уровень значимости 0,05; нулевая гипотеза Но:0>0о; альтернативная гипотеза Ht:0<0o.
Рис. П.7.8* Оперативные характеристики для испытаний на наработку.
Уровень значимости 0,05; нулевая гипотеза /?о:0 > 0о? альтернативная гипотеза :0 < 0О
Приложения 507
Рис. П.7.9. Оперативные характеристики для испытаний на наработку. .
Уровень значимости 0,10; нулевая гипотеза Но:0 < 0О; альтернативная гипотеза *Л:0>
Рис. П.7.10. Оперативные характеристики для испытаний на наработку. Уровень значимости 0,10; нулевая гипотеза Н(>:0<0О; альтернативная гипотеза н 1; 0 > 0о.
508 Приложения
Рис. П.7.11. Оперативные характеристики для испытаний на наработку.
Уровень значимости 0,10; нулевая гипотеза <0О; альтернативная гипотеза Ht:6>e0.
Рис. П.7.12. Оперативные характеристики для испытаний на наработку.
Уровень значимости 0,10; нулевая гипотеза Но:0 < 0qJ альтернативная гипотеза :0>0©
Приложение 8. Таблицы рангов (медианный, 5%-ный, 95%-ный)0
Медианные ранги
Л" 1 2 3 Объем выдерни 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 50.000 29.289 70.711 20.630 50.000 79.370 15.910 38.573 61.427 84.090 12.945 31.381 50.000 68.619 87.055 10.910 9.428 8.300 7.412 6.697 26.445 22.849 20.113 17.962 16.226 42.141 36.412 32.052 28.624 25.857 57.859 50.000 44.015 39.308 35.510 73.555 63.588 55.984 50.000 45.169 89.090 77.151 67.948 60.691 54.831 90.572 79.887 71.376 64.490 91.700 82.038 74.142 92.587 83.774 93.303
Медианные ранги -
Л* 11 12 13 Объем выборки 14 15 16 17 18 19 20
1 6.107 5.613 5.192 4.830 4.516 4.240 3.995 3.778 3.582 3.406
2 14.796 13.598 12.579 11.702 10.940 10.270 9.678 9.151 8.677 8.251
3 23.578 21.669 20.045 18.647 17.432 16.365. 15.422 14.581 13.827 13.147
4 32.380 29.758 27.528 25.608 23.939 22.474 21.178 20.024 18.988 18.055
5 41.189 37.853 35.016 32.575 30.452 28.589 26.940 25.471 24.154 22.967
б 50.000 45.951 42.508 39.544 36.967 34.705 32.704 30.921 29.322 27.880
7 58.811 54.049 50.000 46.515 43.483 40.823 31.469 36.371 34.491 32.795
8 67.620 62.147 57.492 53.485 50.000 46.941 44.234 41.823 39.660 37/710
9 76.421 70.242 64.984 60.456 56.517 53.059 50.000 47.274 44.830 42.626
10 85.204 78.331, 72.472 67.425 63.033 59.177 55.766 52.726 50.000 47.542
11 93.893 86.402 79.955 74.392 69.548 65.295 61.531 58.177 55.170 52.458
12 94.387 1 87.421 81.353 76.061 71.411 67.296 63.629 60.340 57.374
13 94.808 88.298 82.568 77.525 73.060 69.079 65.509 62.289
14 95.169 89.060 83.635 78.821 74.529 70.678 67.205
15 95.484 89.730 84.578 79.976 75.846 72.119
16 95.760 90.322 85.419 81.011 77.033
17 96.005 90.849 86.173 81.945
18 96.222 91.322 86.853
19 96.418 91.749
20 - 96.594
510 Приложения
Продолжение
Медианные ранги
Объем выборки
Л” 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 3.247 3.101 2.969 2.847 2.734 2.631 2.534 2.445 2.362 2.284
2 7.864 7.512 7.191 6.895 6.623 6.372 6.139 5.922 5.720 5.532
3 12.531 11.970 11.458 10.987 10.553 10.153 9.781 9.436 9.114 8.814
4 17.209 16.439 15.734 15.088 14.492 13.942 13.432 12.958 12.517 12.104
5 21.890 20.911 20.015 19.192 18.435 17.735 17.086 16.483 15.922 15.397
6- 26.574 25.384 24.297 23.299 22.379 21.529 20.742 20.010 19.328 18.691
7 31.258 29.859 28.580 27.406 26.324 25.325 24.398 23.537 22.735 21.986
8 35.943 34.334 32.863 31.513 30.269 29.120 28.055 27.065 26.143 25.281
9 40.629 38.810 37.147 35.621 34.215 32.916 31.712 30.593 29.550 28.576
10 45.314 43.286 41.431 39.729 38.161 36.712 35.370 34.121 32.958 31.872
11 50.000 47.762 45.716 43.837 42.107 40.509 39.027 37.650 36.367 35.168
12 54.686 52.238 50.000 47.946 46.054 44.305 42.685 41.178 39.775 38.464
13 59.371 56.714 54.284 52.054 50.000 48.102 46.342 44.707 43.183 41.760
14 64.057 61.190 58.568 56.162 53.946 51.898 50.000 48.236 46.592 45.056
15 68.742 65.665 62.853 60.271 57.892 55.695 53.658 51.764 50.000 48.352
16 73.426 70.141 67.137 64.379 61.839 59.491 57.315 55.293 53.408 51.648
17 78.109 74.616 71.420 68.487 65.785 63.287 60.973 58.821 56.817 54.944
18 82.791 79.089 75.703 72.594 69.730 67.084 64.630 62.350 60.225 58.240
19 87.469 83.561 79.985 76.701 73.676 70.880 68.288 65.878 63.633 61.536
20 92.136 88.030 84.266 80.808 7,7.621 74.675 71.945 69.407 67.041 64.852
21 96.753 92.488 88.542 84.912 81.565 78.471 75.602 72.935 70.450 68.128
22 96.898 92.809 89.013 85.507 82.265 79.258 76.463 73.857 71.424
23 97.031 93.105 89.447 86.058 82.914 79.990 77.265 74.719
24 97.153 93.377 89.847 86.568 83.517 80,672 78.014
25 97.265 93.628 90.219 87.042 84.078 81.309
26 97.369 93.861 90.564 87.483 84.603
27 97.465 94.078 90.865 87.896
28 97.555 94.280 91.186
29 97.638 94.468-
30 97.716
Приложения 511
Продолжение
Медианные раней
Л» Одъем выборки
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
1 2.211 2.143 2.078 2.018 1.961 1.907 1.856 1.807 1.762 1.718
2 5.355 5.190 5.034 4.887 .4.749 4.618 4.495 4.377 4.266 4.160
3 8.533 8.269 8.021 7.787 7.567 7.359 7.162 6.975 6.798 6.629
4 11.716 11.355 11.015 10.694 10.391 10.105 9.835 9.578 9.335 9.103
5 14.905 14.445 14.011 13.603 13.218 12.855 12.510 12.184 11.874 11.580
6 18.094 17.535 17.009 16.514 16.046 15.605 15.187 14.791 14.415 14.057
7 21.284 20.626 20.007 19.425 18.875 18.355 17.864 17.398 16.956 16.535
8 24.474 23.717 23.006 22.336 21.704 21.107 20.541 20.005 19.497 19.013
9 27.664 26.809 26.005 25.247 24.533 23.858 23.219 22.613 22.038 21.492
10 30.855 29.901 29.004 28.159 27.362 26.609 25.897 25.221 24.580 23.971
11 34.046 32.993 32.003 31.071 30.192 29.361 28.575 27.829 27.122 26.449
12 37.236 36.085 35.003 33.983 33.022 32.113 31.253 30.437 29.664 28.928
13 40.427 39.177 38.002 36.895 35.851 34.865 33.931 33.046 32.206 31.407
14 43.618 42.269 41.001 39.807’ 38.681 37.616 36.609 35.654 34.748 33.886
15 46.809 45.362 44.001 42.720 41.511 40.368 39.287 38.262 37.290 36.365
16 50.000 48.454 47.000 45.632 44.340 43.120 41.965 40.871 39.832 38.844
17 53.191 51.546 50.000 48.544 47.170 45.872 44.644 43.479 42.374 41.323
18 56.382 54.638 52.999 51.456 50.000 48.624 47.322 46.087 44.916 43.802
19 59.573 57.731 55.999 54.368 52.830 51.376 50.000 48.696 47.458 46.281
20 62.763 60.823 58.998 57.280 55.660 54.128 52.678 51.304 50.000 48.760
21 65.954 63.915 61.998 60.193 58.489 56.830 55.356 5*913 52.542 51239
22 69.145 67.007 64.997 63.105 61.319 59.632 58.035 56.521 55.084 53.719
23 72.335 70.099 67.997 66.017 64.149 62.383 60.713 59.129 57.626 56.198
24 75.526 73.191 70.996 68.929 66.973 65.135 63.391 61.738 60.168 58.677
25 78.716 76.283 73.995 71.841 69.808 67.837 66.069 64.346 62.710 61.156
26 81.906 79.374 76.994 74.752 72.637 70.639 68.747 66.954 65.252 63.635
27 85.094 82.465 79.993 77.664 75.467 73.391 71.425 69.562 67.794 66.114
28 88.282 85.555 82.991 80.575 78.296 76.142 74.103 72.171 70.336 68.593
29 91.467 88.644 85.989 83.486 81.125 78.899 76.781 74.779 72.873 71.072
30 94.645 91.731 88.985 86.397 83.954 81.645 79.459 77.387 75.420 73.550
31 97.789 94.810 91.979 89.306 86.782 84.395 82.136 79.994 77.962 76.029
32 97.857 94.966 92.213 89.608 87.145 84.813 82.602 80.503 78.508
33 97.921 95.113 92.433 89.894 87.490 85.209 83.044 80.986
34 97.982 95.251 92.641 90.165 87.816 85.585 83.465
35 98.039 95.382 92.838 90.422 88J26 85.943
36 98.093 95.505 93.025 90.665 88.420
37 98.144 95.622 93.202 90.897
38 98.192 95.734 93.371
39 98238 95.839
40 98282
512 Приложения
Продолжение Медианные ранги | ........... _
Объем выбооки
221 41 42 43 44 45 . 46 47 48 49 50
1 1.676 1.637 1.599 1.563 1.528 1.495 1.464 1.434 1.405 , 1.377
2 4.060 3.964 3.872 3.785 3.702 3.622 3.545 3.472 3.402 3.334
3 6.469 6.316 6.170 6.031 5.898 5.771 5.649 5.532 5.420 5.312
4 8.883 8.673 8.473 8.282 8.099 7.925 7.757 7.597 7.443 7.295
5 11.300 11.033 10.778 10.535 10.303 10.080 9.867 9.663 9.467 9.279
6 13.717 13.393 13.084 12.789 12.507 12.237 11.979 11.731 11.493 11.265
7 16.135 15.754 15.391 15.043 14.712 14.394 14.090 13.799 13.519 13.250
8 18.554 18.115 17.697 17.298 16.917 16.551 16.202 15.867 15.545 15.236
9 20.972 50.477 20.004 19.553 19.122 18.709 18.314 17.935 17.571 J7.222
10 23.391 22.838 22.311 21.808 21.327 20.867 20.426 20.003 19.598 19.209
11 25.810 25:200 24.618 24.063 23.532 23.025 22.538 22.072 21.625 21.195
12 28.228 27.562 26.926 26.318 25.738 25.182 24.650 24.140 23.651 23.181
13 30.647 29.924 29.233 28.574 27.943 27.340 26.763 26.209 25.678 25.168
14 33.066 32.285 31.540 30.829 30.149 29.498 28.875 28.278 27.705 27.154
15 35.485 34.647 33.848 33.084 32.355 31.656 30.988 30.347 29.731 29.141
16 37.905 37.009 36.155 35.340 34.560 33.814 33.100 32.415 31.758 31.127
17 40.324 39.371 38.463 37.595 36.766 35.972 35.212 34.484 33.785 33.114
18 42.743 41.733 40.770 39.851 38.972 38.130 37.325 36.553 35.822 35.100
19 45.162 44.095 43.078 42.106 41.177 40.289 39.437 38.622 37.839 37.087
20 47.581 46.457 45.385 44.361 43.383 42.447 41.550 40.690 39.866 39.074
21 50.000 48.819 47.692 46.617 45.589 44.605 43.662 42.759 41.892 41.060
22 52.419 51.181 50.000 48.872 47.794 46.763 45.775 44.825 43.919 43.047
23 54.838 53.543 52.307 51.128 50.000 48.921 47.887 46.897 45.946 45.033
24 57.257 55.905 54.615 53.383 52.206 51.079 50.000 48.966 47.973 47.020
25 59.676 58.267 56.922 55.639 54.411 53.237 52.112 51.034 50.000 49.007
26 62.095 60.629 59.230 57.894 56.617 55.395 54.225 53.103 52.027 50.993
27 64.514 62.991 61.537 60.149 58.823 57.553 56.337 55.172 54.054 52.980
28 66.933 65.353 63.845 62.405 61.028 59.711 58.450 57.241 56.081 54.966
29 69.352 67.714 66.152 64.660 63.234 61.869 60.562 59.310 58.107 56.953
30 71.771 70.076 68.459 66.916 65.440 64.027 62.675 61.378 60.134 58.940
31 74.190 72.438 70.767 69.171 67.645 66.186 64.767 63.447 62.161 60.926
32 76.609 74.800 73.074 71.426 69.851 68.344 66.900 65.516 64.188 62.913
33 79.028 77.162 75.381 73.681 72.056 70.502 69.012 67.585 66.215 64.899
34 81.446 79.523 77.689 75.937 74.262 72.660 71.125 69.653 68.242 66.886
35 83.865 81.885 79.996 78.192 76.467 74.817 73.237 71.722 70.268 68.873
36 86.283 84.246 82.303 80.447 78.673 76.975 75.349 73.791 72.295 70.859
37 88.700 86.607 84.609 82.702 80.878 79.133 77.462, 75.859 74.322 72.646
38 91.117 86.967 86.916 84.956 83.083 81.291 79.574 77.928 76.349 74.832
39 93.531 91.327 89.222 87.211 85.283 83.448 81.686 79.997 78.375 76.819
40 95.940 93.684 91.527 89.465 87.493 85.606 83.798 82.065 80.402 78.805
41 98.324 96.036 93.830 91.718 89.697 87.763 85.910 84.133 82.428 80.791
42 95.363 96.127 93.969 91.900 89.920 88.021 86.201 84.455 82.778
43 98.401 96.215 94.102 92.075 90.132 88.269 86.481 84.764
44 98.437 96.298 94.229 92.243 90.337 88.507 86.750
45 98.471 96.378 94.351 92.403 90.532 88.735
46 98.504 96.455 94.468 92.557 90.721
47 98.536 96.528 94.580 92.705
48 98.566 96.598 94.688
49 98.595 96.666
50 98.623
Приложения 513
Продолжение 5%-ные ранги
Д» । 2 Объем выборки 3 4 5 6 7 8 9 10
1 5.000 2.532 2 22.361 3 4 5 6 7 8 9 10 1.695 1.274 1.021 0.851 0.730 0.639 0.568 0.512 13.535 9.761 7.644 6.285 5.337 4.639 4.102 3.677 36.840 24.860 18.925 15.316 12.876 11.111 9.775 8.726 47.237 34.259 27.134 22.532 19.290 16.875 15.003 54.928 41.820 34.126 28.924 25.137 22.244 60.696 47.930 40.031 34.494 30.354 65.184 52.932 45.036 39.338 68 766 57.086 49.310 71.687 60.584 74.113
5°/<тные ранги
Л" 11 12 13 Объем выборки 17 18 19 20
14 15 16
1 0.465 0.426 0.394 0.366 0.341 0.320 0.301 . 0.285* 0.270 0.256
2 3.332 3.046 2.805 2.600 2.423 2.268 2.132 2.011 1.903 1.806
3 7.882 7.187 6.605 6.110 5.685 5.315 4.990 4.702 4.446 4.217
4 13.507 12.285 11.267 10.405 9.666 9.025 8.464 7.969 ( 7.529 7.135
5 19.958 18.102 16.566 15.272 14.166 13.211 12.377 11.643 10.991 10.408
6 27.125 24.530 22.395 20.607 19.086 17.777 16.636 15.634 14.747 13.955
7 34.981 31.524 28.705 26.358 24.373 22.669 21.191 19.895 18.750 17.731
8 43.563 39.086 35.480 32.503 29.999 27.860 26.011 24.396 22.972 21.707
9 52.991 47.267 42.738 39.041 35.956 33.337 31.083 29.120 27.395 25.865
10 63.564 56.189 50.535 45.999 42.256 39.101 36.401 34.060 32.009 30.195
11 76.160 66.132 58.990 53.434 48.925 45.165 41.970 39.21’5 36.811 34.693
12 77.908 68.366 61.461 56.022 51.560 47.808 44.595 41.806 39.358
13 79.418 70.327 63.656 58.343 53.945 50.217 47.003 44.197
14 80.736 72.060 65.617 60Г436 56.112 52.420 49.218
15 • 81.896 73.604 67.381 62.332 58.088 54.442
16 82.925 74.988 68.974 64.057 59.897
17 83.843 76.234 70.420 65.634
18 84.668 77.363 71.738
19 85.413 78.389
20 86.089
17 Ks 544
514 Приложения
Продолжение
5%-ные раней .
Одъем выборка
Л” 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 0.244 0.233 0.223 0.213 0205 0.197 0.190 0.183 0.177 0.171-
2 1.719 1.640 1.567 1.501 1.440 1.384 1.332 1.284 1.239 1.198
3 4.010 3.822 3.651 3.495 3.352 3.220 3.098 2.985 2.879 2.781
4 6.781 6.460 6.167 5.901 5.656 5.431 5.223 5.031 4.852 4.685
5 9.884 9.411 8.981 8.588 8.229 7.899 7.594 7.311 7.049 6.806
6 13.245 12.603 12.021 11.491 11.006 10.560 10.148 9.768 9.415 9.087
7 16.818 15.994 15248 14.569 13.947 13.377 12.852 12.367 11.917 11.499
8 20.575 19.556 18.634 17.796 17.030 16.328 15.682 15.085 14.532 14.018
9 24.499 23.272 22.164 21.157 20238 19.396 18.622 17.908 17.246 16.633
10 28.580 27.131 25.824 24.639 23.559 22,570 21.662 20.824 20.050 19.331
11 32.811 31.126/ 29.609 28.236 26.985 25.842 24.793 23.827 22.934 22.106
12 37.190 35.254 33.515 31.942 30.513 29.508 28.012 26.911 25.894 24.953
13 41.720 39.516 37.539 35.756 34.139 32.664 31414 30.072 28.927 27.867
14 46.406 43.913 41.684 39.678 37.862 36209 34.697 33.309 32.030 30.846
15 51261 ' 48.454 45.954 43.711 41.684 39.842 38.(61 36.620 35.200 33.889
16 56.302 53.151 50.356 47.858 45.607 43.566 41.707 40.004 38.439 36.995
. 17 61.559 58.020 54.902 52,127 49.636 47.384 45.336 43.464. 41.746 40.163
18 67.079 63.091 59.610 56,531 53.779 51.300 49.052 47.002 45.123 43.394
19 72.945 68.409 64.507 61.086 58.048 55.323 52.861 50.621 48.573 46.691
20 79.327 74.053 69.636 65.819 62.459 59.465 56.770 54.327 52.099 50.056
21 86.705 80.188 75.075 70.773 67.039 63.740 60.790 58.127 55.706 53.493
22 87269 80.980 76.020 71.828 68.176 64.936 62.033 59,403 57.007
23 87.788 81.711 76.896 72.810 69.237 66.060 63.200 60.605
24 88265 82.388 77.711 73.726 70.231 67.113 64.299
25 88.707 83.017 78.470 74.583 71.168 68.103
26 89.117 83.603 79.179 75.38*6 72.038
27 89.498 84.149 79.844 76.140
28 89,853 84.661 80.467
*29 - 90.185 85.140
30 90,497
Приложения 515
Продолжение
5%-ные ранда '
Объем выборка
Л« 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
1 0.165 0.160 0.155 0.151 0.146 0.142 0.138 0.135 0.131 0.128*
2 1.158 1.122 1.086 1.055 1.025 0.996 0.969 0.943 0.919 0.896
3 2.690 2.604 2.524 2.448 2.377 2.310 2.246 2.186 2.129 2.075
4 4.530 4.384 4.246 4.120 3.999 3.885 3.778 3.676 3.580 3.488
5 6.578 6.365 3.166 5.978 5.802 5.636 5.479 5.331 5.190 5.057
6 8.781 8.495 8.227 7.976 7.739 7.516 7.306 7.107 6.919 6.740
7 11.109 10.745 10.404 10.084 9.783 9.499 9.232 8.979 8.740 8.513
8 13.540 13.093 12.675 12.283 11.914 11.567 11.240 10.931 10.638 10.361
9 16.061 15.528 15.029 14.561 14.122 13.708 13.318 12.950 12.601 12.271
10 18.662 18.038 17.455 16.909 16.396 15.913 15.458 15.028 14.622 14.237
И 21.336 20.618 19.948 19.319 18.730 18.175 17.653 17.160 16.694 16.252’
12 24.077 23.262 22.501 21.788 21.119 20.491 19.898 19.340 18.812 18.312
13 26.883 25.966 25.111 24.310 23.560 22.855 22.191 21.565 20.973 20.413
14 29.749 28.727 27.775 26.884 26.049. 25.265 24.527 23.832 23.175 22.553
15 32.674 31.544 30.491 29.507 28.585 27.719 26.905 26.138 25.414 24.729
16 35.657 34.415 33.258 32.177 31.165 30.216 29.324 28.483 27.690 26.940
17 38.698 37.339 36.074 34.894 33.789 32.754 31.781 30.865 30.001 29.185
18 41.797 40.317 38.940 37.657 36.457 35.332 34.276 33.283 32.346 31.461
19 44.956 43.349 41.656 40.466 39.167 37.951 36.809 35.736 34.725 33.770
20 48.175 46.436 44.823 43.321 41.920 40.609 39.380 38.224 37Л36 36.109
21 51.458 49.581 47.841 46.225 44.717 43.309 41.988 40.748 39.581 38.480
22 54.810 52.786 50.914 49.177 47.560 46.049 44.634 43.307 42.058 40.881
23 58>234 56.055 54.344 52.181 50.448 48.832 47.320 45.902 44.569 43.314
24 64.739 59.314 57.235 55.239 53.385 51.658 50.045 48.534 47.114 45.778
25 65.336 62.810 60.493 58.355 56.374 54.532 52.812 51.204 49.694 48.275
26 69.036 66.313 63.824 61.534 59.416 57.454 55.624 53.914 52.311 50.805
27 72.563 69.916 67.237 64.754 62.523 60.429 58.483 56.666 54.966 53.370
28 76.650 73.640 70.748 68.113 65.695 63.483 61.392 59.463 57.661 55.972
29 81.054 77.518 74.375 71.535 68.944 66.561 64.357 62.309 60.399 58.612
30 85.591 81.606 76.150 75.069 72.282 69.732 67.384 65.209 63.185 6Г.294
31 90.789 86.015 82.127 78.747 • 75.728 72.990 70.482 68.168 66.021 64.021
32 91.063 86.415 82.619 79.312 76.352 73.663 71.196 68.916 66.797
33 91.322 86.793 83.085 79.848 76.946 74.304 71.876 69.629
34 91.566 87.150 83.526 80.357 77.510 74.915 72.525
35 91.797 87.488 83.946 80.841 78.048 75.497
36 92.015 87.809 84.344 81.302 78.560
37 92.Й2 88.115 84.723 81.741,
38, 92.419 88.405 85.085.
39 92.606 88.681
40 9Z784
17*
516 Приложения
Продолжение
5°/>-Hbfe ранги
Объем выборки 50
41 42 43 44 45 46 47 48 49
1 0.125 0.122 0.119 0.116 0.114 0.111 0.109 0.107 0.105 0.102
2 0.874 0.853 0.833 0.814 0.795 0.778 0.761 0.745 0.730 0.715
3 2.024 1.975 1.928 1.884 1.842 1.801 1.762 1.725 1.689 1.655
4 3.402 3.319 3.240 3.165 3.093 3.025 2.959 2.897 2.836 2.779
5 4.930 4.810 4.695 4.586 4.481 4.382 4.286 4.195 4.108 4.024
6 6.570 6.409 6.256 6.109 5.969 5.836 5.708 5.586 5.469 5.357
7 8.298 8.093 7.898 7.713 7.536 7.366 7.205 7.050 6.902 6.760
8 10.097 9.847 9.609 9.382 9.166 8.959 8.762 8.573 8.392 8.218
9 11.958 11.660 11.377 11.107 10.850 10.605 10.370 10.146 9.931 9.725
10 13.872 13.525 13.195 12.881 12.582 12.296 12.023 11.762 11.512 11.272
11 15.833 15.436 15.058 14.698 14.355 14.028 13.715 13.416 13.130 12.856
12 17.838 17.389 16.961 16.554 16.166 15.796 15.443 15.105 14.782 14.472
13 19.883 19.379 18.901 18.445 18.012 17.598 17.203 16.825 16.464 16.117
14 21.964 21.406 20.875 20.370 19.889 19.430 18.993 18.574 18.174 17.790
15 24.081 23.466 22.881 22.326 21.796 21.292 20.810 20.350 19.910 19.488
16 26.230 25.557 24.918 24.311 23.732 23.180 22.654 22.151 21.671 21.210
17 28.412 27.679 26.984 26.323 25.694 25.095 24.523 23.977 23.455 22.955
18 30.624 29.831 29.078 28.363 27.683 27.034 26.416 25.825 25.261 24.721
19 32.867 32.011 31.200 30.429 29.696 28.997 28.331 27.696 27.088 26.507
20 35.138 34.219 33.348 32.520 31.733 30.984 30.269 29.588 28.936 28.313
21 37.440 36.455 35.522 34.636 33.794 32.993 32.229 31.500 30.804 30.138
22 39.770 38.719 37.722 36.777 35.879 35.025 34.210 33.434 32.692 31.980
23 42.129 41.009 39.949 38.943 37.987 37.078 36.212 35.387 34.599 33.845
24 44.518 43.328 42.201 41.133 40.118 39.154 38.235 37.360 36.524 35.726
25 46.937 45.674 44.480 43.347 42.273 41.251 40.279 39.353 38.469 37.625
26 49.388 48.050 46.785 45.587 44.451 43.371 42.344 41.366 10.432 39.541
27 51.869 50.454 49.117 47.852 46.652 45.513 44.430 43.398 42.415 41.476
28 54.385 52.889 51.478 50.143 48.878 47.678 46.537 45.451 44.416 43.428
29 56.935 55.356 53.868 52.461 51.129 49.866 48.666 47.524 46.436 45.399
30 59.522 57.857 56.288 54.807 53.406 52.078 50.817 49.618 48.477 47.388
31^ 62.149 60.393 58.741 57.183 55.710 54.315 52.991 51.734 50.537 49.396
32 64.820 62.968 61.228 59.590 58.042 56.578 55.190 53.871 52.617 51.423
33 67.539 56.585 63.753 62.029 60.404 58.868 57.413 56.032 54.720 53.470
34 70.311 68.248 66.318 64.505 62.798 61.187 59.662 58.217 56.844 55.538
35 73.146 70.963 68.927 67.020 65.227. 63.537 61.940 60.427 58.991 57.627
36 76.053 73.738 71.587 69.578 67.694 65.921 64.247 62.664 61.164 59.738
37 79.049 76.584 74.306 72.185 70.203 68.341 66.587 64.931 63.362 61.874
38 82.160 79.517 77.093 74.849 72.759 70.805 68.963 67.228 65.589 64.034
39 85.429 82.561 79.964 77.580 75.370 73.309 71.378 69.561 67.846 66.222
40 88.945 85.759 82.944 80.392 78.046 75.870 73.838 71.932 70.136 68.440
41 92.954 89.196 86.073 83.310 80.802 78.494 76.350 74.347 72.465 70.691
42 93.116 89.437 86.374 83.661 81.196 78.924 76.812 74.836 72.978
43 93.270 89.666 86.662 83.998 81.573 79.337 77.256 75.306
44 93.418 89.887 86.939 84.321 81.936 79.734 77.683
45 / 93.560 90.098 87.204 84.631 82.285 80.117
46 93.695 90.300 87.459 84.929 82.621
47 93.825 90.494 87.703 85.216
48 93.950 90.681 87.939
49 94.069 90.860
50 94.184
Приложения 517
Продолжение 95°/»-ные ранги
Л” 1 2 Объем Выборки 8 9 10
3 4 5 6 7
1 95.000 77.639 63.160 52.713 45.072 39.304 34.816 31.234 28.313 25.887
2 97.468 86.465 75.139 65.741 58.180 52.070 47.068 42.914 39.416
3 98.305 90.239 81.075 72.866 65.874 59.969 54.964 50.690
4 98.726 92.356 84.684 77.468 71.076 65.506 60.662
5 98.979 93.715 87.124 80.710 74.863 69.646
6 99.149 94.662 88.889 83.125 77.756
7 99.270 95.361 90.225 84.997
8 99.361 95.898 91.274
9 99.432 96.323
10 99.488
Э5°/<тные ранги
j\n 11 12 13 Объем выборки 17 18 19 20
14 15 16
1 23.840 22.092 20.582 19.264 18.104 17.075 16.157 15.332 14.587 13.911
2 36.436 33.868 31.634 29.673 27.940 26.396 25.012 23.766 22.637 21.611
3 47.009 43.811 41.010 38.539 36.344 34.383 32.619 31.026 29.580 28.262
4 56.437 52.733 49.465 46.566 43.978 41.657 39.564 37.668 35.943 34.366
5 65.019 60.914 57.262 54.000 51.075 48.440 46.055 43.888 41.912 40.103
6 72.875 68.476 64.520 60.928 57.744 54.835 52.192 49.783 47.580 45.558
7 80.042 75.470 71.295 67.497 64.043 60.899 58.029 55.404 52.997 50.782
8 86.492 81.898 77.604 73.641 70.001 66.663 63.599 60.784 58.194 55.803
9 92.118 87.715 83.434 79.393 75.627 72.140 68.917 65.940 63.188 60.641
10 96.668 92.813 88.733 84.728 80.913 77.331 73.989 70.880 67.991 65.307
11 99.535 96.954 93.395 89.595 85.834 82.223 78.809 75.604 72.605 69.805
12 99.573 97.195 93.890 90.334 86.789 83.364 80.105 77.028 74.135
13 99.606 97.400 94.315 90.975 87.623 84.366 81.250 78.293
14 99.634 97.577 94.685 91.535 88.357 85.253 82.269
15 99.659 97.732 95.СН0 92.030 89.009 86.045
16 99.680 97.868 95.297 92.471 89.592
17 99.699 97.989 95.553 92.865
18 99.715 98.097 95.783
19 99.730 98.193
20 99.744
518 Приложения
Продолжение
55%-ные ранги
21 22 23 Объем выборки 29 30
24 25 26 27 28
1 13.295' 12.731 12.212 11.735 11.293 10.883 10.502 10147 9.814 9.503
2 20.673 19.812 19.020 18.289 17.612 16.983 16.397 15.851 15.339 14.860
3 27.055 25.947 24.925 23.980 23.104 22.289 21.530 20.821 20.156 19.533
4 32.921 31.591 30.364 29.227 28.172 27.190 26.274 25.417 24.614 23.860
5 38.441 36.909 35.193 34.181 32.961 31.824 30.763 29.769 28.837 27.962
6 43.698 41.980 40.390 38.914 37.541 36.260 35.062 33.940 32.887 31.897
7 48.739 46.849 45.097 43.469 41.952 40.535 39.210 37.967 36.800 35.701
8 53.594 51.546 49.643 47.873 46.221 44.677 43.230 41.873 40.597 39.395
9 58.280 56.087 54.046 52.142 50.364 48.700 47.139 45.673 44.294 42.993
10 62.810 60.484 58.315 56.289 54.393 52.616 50.948 49.379 47.901 46.507
11 67.189 64.746 62.461 60.321 58.316 56.434 54.664 52.998 51.427 49.944
12 71.420 68.874 66.485 64.244 62.138 60.158 58.293 56.536 54.877 53.309
13 75.501 72.869 70.391 68.058 65.861 63.791 61.839 59.996 58.254 56.605
14 79.425 76.728 74.176 71.764 69.487 67.336 65.303 63.380 61.561 59.837
15 83.182 80.444 77.836 75.361 73.015 70.792 68.686 66.691 64.799 63.005
16 86.755 84.006 81.366 78.843 76.441 74.158 71.988 69.927 67.970 66.111
17 90.116 87.397 84.752 82.204 79.762 77.430 75.207 73.089 71.073 69.154
' 18 93.219 90.589 87.978 85.431 82.970 80.604 78.338 46.173 74.106 72.133
19 95.990 93.540 91.019 88.509 86.052 83.672 81.378 79.176 77.066 75.047
20 98.281 96.178 93.832 91.411 88.994 86.623 84.318 82.092 79.950 77.894
21 99.756 98.360 96.348 94.099 91.771 89.440 87.148 84.915 82.753 80.669
22 99.767 98.433 96.505 94.344 92.101 89.851 87.633 85.468 83.367
23 99.777 98.499 96.648 94.569 92.406 90.232 88.083 85.981
24 99.786 98.560 96.780 94.777 92.689 90.584 88.501
25 99.795 98.616 96.902 94.969 92.951 90.913
26 99.803 98.668 97.015 95.148 93.194
27 99.810 98.716 97.120 95.314
28 99.817 98.761 97.218
29 99.823 98.802
30 99.829
Приложения 519
Продолжение
95%-ные ранги Дл 31 32 33 34 Объем выборки 35 36 37 38 39 40 '
1 9.211 8.937 8.678 8.434 8.203 7.985 7.778 7.581 7.394 7.216*
2 14.409 13.985 13.585 13.207 12.850 12.512 12.191 11.885 11.595 11.319
3 18.946 18.394 17.873 17.381 16.915 16.474 16.054 15.656 15.277 14.915
4 23.150 22.482 21.850 21.253 20.688 20.152 19.643 19.159 18.698 18.259
5 27 137 26.360 25.625 24.931 24.272 23.648 23.054 22.490 21.952 21.440
6 30.964 30.084 29.252 28.465 27.718 27.010 26.337 25.696 25.085 24.503
7 34.665 33.687 32.763 31.887 31.056 30.268 29.518 28.804 28.124 27.475
8 38.261 37.190 36.176 35.216 34.305 33.439 32.616 31.832 31.084 30.371
9 41.766 40.606 39.507 68.466 37.477 36.537 35.643 34.791 33.979 33.203
10 45.190 43.945 42.765 41.645 40.582 39.571 3S.608 37.691 36.815 35.979',
11 48.542 57.214 45.956 44.761 43.626 42.546 41.517 40.537 39.601 38.706
12 51.825 50.419 49.086 47.819 46.615 45.468 44.376 43.334 42.339 41.388
13 55.044 53.564 52.159 50.823 49.552 48.341 47.187 46.086 45.034 44.028г
14 58.203 56.651 55.177 53.775 52.440 51.168 49.955 48.796 47.689 46.63Q'
15 61.302 59.683 58.144 56.678 55.282 53.951 52.680 51.466 50.305 49.19$
16 64.343 62.661 61.060 59.534 58.080 56.691 55.366 54.098 52.886 51.72Г
17 67.326 65.585 63.926 62.34Г 60.833 59.391 58.012 56.693 55.431 54.222 1
18 70.251 68.456 66.742 65.106 63.543 62.049 60.620 59.252 57.942 56.686
19 73.117 71.272 69.509 67.823 66.210 64.668 63.190 61.776 60.419 59.119
20 75.922 74.034 72.225 70.493 68.835 67.246 65.723 64.264 62.864 61.520
21 78.664 76.738 74.889 73.116 71.415 69.784 68.219 66.717 65.275 63.891
22 81.338 79.382 77.499 75.689 73.951 72.280 70.676 69.135 67.654 66.230
23 83.939 81.961 80.052 78.2Г2 76.440 74.735 73.094 71.517 69.999 68.539
24 86.460 84.472 82.545 80.680 78.881 77.145 75.473 73.862 72.310 70.815
25 88.891 86.907 84.971 83.091 81.270 79.509 77.809 76.168 74.586 73.060
26 91.219 89.255 87.325 85.439 83.604 81.825 80.101 78.435 76.825 75.270
27 93.422 91.505 89.596 87.717 85.878 84.087 82.347 80.660 79.027 77.447 j
28 95.470 93.635 91.772 89.916 88.086 86.292 84.542 82.840 81.188 79.587 !
29 97.310 95.615 93.834 92.024 90.217 88.433 86.682 84.972 83.306 81.688
30 98.841 97.396 95.752 94.021 92.261 90.501 88.760 87.050 85.378 83.746
31 99.835 98.878 97.476 95.880 94.198 92.483 90.768 89.069 87.399 85.763
32 99.840 98.912 97.552 96.001 94.364 92.694 91.021 89.362 87.729
33 99.845 98.945 97.623 96.114 94.521 92.893 91.260 89.639
34 99.849 98.975 97.690 96.222 94.669 93.081 91.487
35 99.854 99.004 97.754 96.324 94.810 93.260
36 99.858 99.031 97.814 96.420 94.942?
37 99.861 99.057 97.871 96.51 Р
38 99.865 99.081 97.92<
39 99.869 99.1 ОФ
40 £9.872
520 Приложения
Продолжение 95%-ные ранги
Объем выборки
j\n 1 41 ' 42 43 44 45 46 47 48 49 50
’ 1 7.046 6.884 6.730 6.582 6.440 6.305 6.175 6.050 5.931 5.816
2 11.055 10.804 10.563 10.334 10.113 9.902 9.700 9.506 9.319 9.140
3 14.571 14.241 13.927 13.626 13.338 13.061 12.796 12.541 12.297 12.061
4 17.840 17.439 17.056 16.690 16.339 16.002 15.679 15.369 15.071 14.784
5 20.951 20.483 20.036 19.608 19.198 18.804 18.427 18.064 17.715 .17.379
6 23.947 23.416 22.907 22.420 21.954 21.506 21.076 20.663 20.266 19.883
7 26.854 26.262 25.694 25.151 24.630 24.130 23.650 23.188 22.744 22.317
8 29.689 29.037 28.413 27.814 27.241 26.691 26.162 25.623 25.164 24.694
9 32.461 31.752 31.073 30.422 29.797 29.198 28.622 28.068 27.535 27.022
10 35.180 34.415 33.682 32.980 32.306 31.659 31.037 30.439 29.864 29.309
И 37.851 37.032 36.247 35.495 34.773 34.079 33.413 32.772 32.154 -31.560
12 40.478 39.607 38.772 37.971 37.202 36.463 35.753 35.069 34.411 33.778
13 43.065 42.143 41.259 40.410 39.596 38.813 38.060 37.336 36.698 35.933
14 45.615 44,644 43.712 42.817 41.958 41.132 40.338 39.573 38.836 38.126
15 48.131 47.110 46.132 45 Л 93 44.290 43.422 42.587 41.783 41.008 40.262
16 50.612 49.546 48.522 47.539 46.594 45.665 44.810 43.968 43.156 42.373
17 53.062 51.950 J0.883 49.857 48.871 47.922 47XXJ9 46.129 45.280 44.462
18 55.482 54.326 53.215 52.148 51.122 50.134 49.183 48.266 47.382 46.530
19 57.871 56.672 55.520 54.413 53.348 52.322 51.334 50.382 49.463 48.577
.20 60.230 58.991 57.799 56.653 55.549 54.487 53.463 52.476 51.523 50.604
21 62.560 61.281 60.051 58.867 57.727 56.629 55.570 54.549 53.563 52.612
22 64.861 63.545 62.273 61.057 59.882 58.749 57.556 56.602 55.584 54.801
23 67.133 65.781 64.478 63.223 62.013 60.846 59.721 58.634 57.585 56.572
24 69.376 67.989 66.652 65.363 64.121 62.922 61.765 60.647 59.568 58.524
25 71.588 70.169 68.800 67.480 66.205 64.975 63.787 62.640 61.531 60.459
26 73.769 72.320 70.922 69.571 68.267 67.007 65.790 64.613 63.476 62.375
27 75.919 74.443 73.016 71.637 70.304 69.016 67.771 66.566 65.401 64.274
28 78.035 76.534 75.082 73.677 72.317 71.002 69.730 68.500 67.308 66.155
29 80.117 78.594 77.119 75.689 74.306 72.966 71.668 70.412 69.196 68.017
30 82.162 80.621 79.125 77.674 76.268 74.905 73.584 72.304 71.064 69.862
31 84.166 82.611 81.099 79.630 78.203 76.819 75.477 74.175 72.912 71.687
32 86.128 84.564 83.039 81.554 80.111 78.708 77.346 76.023 74.739 73.493
33 88.042 86.475 84.942 83.446 81.988 80.569 79.19Й 77.848 76.545 75.279
34 89.903 88.340 86.805 85.302 83.834 82.402 81.007 79.650 78.329 77.045
35 91.702 90.153 Л8.623 87.119 85.645 84.204 82.797 81.426 80.090 78.790
‘36 93.430 91.907 90.391 88.892 87.418 85.972 84.557 83.175 81.826 80.511
37 95.070 93.591 92.102 90.618 89.150 87.704 86.285 84.895 83.536 82.210
38 96.598 95.190 93.744 92.287 90.834 89.395 87.977 86.584 85.218 83.882
39 97.976 96.681 95.305 93.891 92.464 91.041 89.630 88.238 86.870 85.528
40 99.126 98.025 96.760 95.414 94.030 92.633 91.238 89.854 88.488 87.144
41 99.875 99.147 98.071 96.835 95.518 94.164 92.795 91.427 90.069 88.728
42 99.878 99.167 98.116 96.907 95.618 94.291 92.950 91.608 90.275
43 44 45 46 47 48 49 50 99.881 99.186 99.883 98.158 99.205 99.886 96.975 98.199 99.222 99.889 95.714 97.041 98.238 99.239 99,891 94.414 95.805 97.103 98.275 99.255 99.893 93.098 94.531 95.892 97.163 98.311 99.270 99.895 91.781 93.240 94.643 95.976 97.221 98.345 99.285 99.897
'Печатается с разрешения научно- исследобательскихрлабораторий фирмы „Дженерал моторе'’, г. Уоррен, шт, Мичиган
Приложение 9. Весовые коэффициенты для получения оценок параметров распределения Вейбулла
n r i ai n r i
2 2 1 0.110731 -0.421383 4 3 1 -0.044975 -0.297651
2 0.889269 0.421383 2 0.088057 -0.234054
E(LU)^ 0.65712995 3 0.956918 0.531705
E(CP) 0.03757418 E(LU) 0.4^315147
E(LB) 0.41583918 E(CP) 0.08477554
E(LB) 0.2817293b
3 2 1 -0.166001 -0.452110
2* 1.166001 0.452110 4 4 1 0.064336 -0.203052
E(LU) 0.79546061 2 0.147340 -0.182749
E(CP) 0.25750956 3 0.261510 -0.070109
E(LB) 0.45005549 4 0.526813 0.455910
E(LU) 0.29247651
3 3 1 0.081063 —0.278666 E(CP) -0.02831210
2 0.251001 -0.190239 E(LB) 0.18386193
3 0.667936 0.468904
E(LU) 0.40240741 5 2 1 -0.481434 -0.472962
E(CP) -0.01842169 2 1.481434 0.472962
E(LB) 0.25634620 E(LU) 1.24921018
E(CP) 0.53379141
4 2 1 -0.346974 -0.465455 E(LB) 0.47230837
2 1.346974 0.465455
E(LU) 1.01477788 5 3 1 —0.137958 -0.306562
E(CP) 0.41350875 2 -0.025510 -0.257087
E(LB) 0.46438768 3 1.163468 0.563650
^E(LU) - ожидаемые потери для оценки и. Е(СР) - ожидаемое смешанное произведение. E(LB) - ожидаемые потери для оценки Ь.
1) Источник: Mann N. R., Resuls on Location and Scale Parameter Estimation with Application to the Extreme-Value Distribution, Aerospace Research Laboratories, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, ARL 67-0023, Contrac No. AF 33 (615)-2818, February 1967.
Приложения 52 L
Яродояж&пп
Z n r . i Oi
Е(Ш) 0.49029288 E(LU)
Е(СР) 0.16612899 E(CP)
E(LB) 0.29419192 E(LB)
5 4 1 —0.006983 -0.217766
2 0.059652 -0.199351
3 0.156664 -0.118927
4 0.790668 0.536044
E(LU) 0.29062766 E(LU)
Е(СР) 0.03076329 E(CP)
«(LB) 0.20241894 E(LB)
5 5 1 0.052975 -0.158131
2 0.103531 -0.155707
3 0.163808 -0.111820
4 0.246092 -0.005600
5 0.433593 0.431259
E(LU) 0.23040495 E(LU)
E(CP) — 0.02913523 E(CP)
«(LB) / 0.14284288 E(LB)
6 2 1 -0.588298 -0.477782
2 1.588298 0.477782
E(LU) 1.48102383
E(CP) 0.63148980
E(LB) 0.47734078
6 3 1 -0.211474 -0.311847 E(LU)
2 -0.112994 -0.271381 E(CP)
3 1324468 0.583229 E(LB)
r i Ci
4 1 0.57539484 0.23269670 0.30173252 -0.063569 - 0.225141
2 -0.006726 - 0.209083
3 0.079882 -0.146386
4 0.990412 0.580610
5 1 0.31552097 0.08035062 0.21242254 0.007521 -0.169920
2 0.048328 - 0.166319
3 0.101608 - 0.129510
4 0.172859 -0.054453
5 0.669685 0.520201
6 1 0.22351297 0.00888019 0.15690540 0.044826 -0.128810
2 0.079377 - 0.132102
3 0.117541 -0.111951
4 0.163591 -0.064666
5 0.226486 0.031796
6 0.368179 0.405733
0.19030430 —0.02771574 0.11657671
622 Приложения
7 2 1 2 —0.676894 1.676894 -0.481140 0.481140 7 6 1 2 0.013524 0.041588 -0.13843d -0.140342
E(LU) 1.70468001 3 0.075499 -0.121821
Е(СР) 0.71366553 4 0.117461 -0.082938
E(LB) 0.48082310 5 0.172092 -0.015394
6 0.579835 0.498931
7 3 1 -0.272195 -0.315369 E(LU) 0.18269947
2 -0.184061 -0.281139 E(CP) -0.00130057
3 1.456255 0.596507 E(LB) 0.12760617
E(LU) 0.66758707
E(CP) 0.28885432 7 7 1 0.038743 -0.108323
E(LB) 0.30681307 2 0.064086 -0.113479
3 0.090785 -0.103569
7 4 1 -0.110274 -0.229691 4 0.120971 -0.078748
2 —0.060226 -0.215613 5 0.157657 -0.032632
3 0.018671 -0.164168 6 0.207825 0.054727
4 1.151829 0.609472 7 0.319934 s 0.382022
E(LU) 0.35340223 E(LU) 0.16219070
E(CP) 0.12260834 E(CP) -0.02578937
E(LB) 0.21884662 E(LB) 0.09836496
7 5 1 -0.030368 -0.176203 8 2 1 -0.752513 -0.483616
2 0.004333 -0.172399 2 1.752513 0.483616
3 0.052957 -0.141218 E(LU) 1.91861540
4 0.117599 -0.082820 E(CP) 0.78453314
5 0.855480 0.572640 E(LB) 0*48337662
E(LU) 0.23316740
E(CP} 0.04212562 8 3 1 -0.323875 -0.317890
E(LB) 0.16497315 2 -0.243808 -0.288231
3 1.567683 0.606120
Приложения 523
Продолжение
n r i a c, n
E(LU) 0.76198737 8
Е(СР) 0.33734068
E(LB) 0.31047652
8 4 1 -0.149973 -0.232805
2 -0.105015 -0.220324
3 -0.032257 -0.176675
- 4 1.287245 0.629805 E(LU)
E(LU) 0.39805551 E(CP)
Е(СР) 0.15928131 E(LB)
E(LB) 0.22335819
8
8 5 1 — 0.062656 -0.180231
2 -0.032248 -0.176510
3 0.012767 -0.149566
4 0.072446 -0.101642
5 1.009691 0.607948
E(LU) 0.25192092
E(CP) 0.07129172
E(LB) 0.17037848 E(LU)
E(CP)
8 6 1 -0.013509 -0.143834 E(LB)
2 0.010292 — 0.145006
3 0.041357 -0.128393 9
4 0.080475 -0.095696
5 0.130327 -0.043280 E(LU)
6 0.751058 0.556209 E(CP)
E(LU) 0.18599844 E(LB)
E(CP) 0.02247163
E(LB) 0.13422386
r i ai c,
7 1 0.015973 -0.116317
2 0.036729 -0.120331
3 0.060439 -0.110582
4 0.088239 -0.088450
5 0.122062 -0.050995
6 0.165529 0.009700
7 0.511030 0.476975
0.15505149
-0.00641304
0.10726405
8 1 0.034052 -0.093270
2 0.053552 -0.098886
3 0.073452 -0.093994
4 0.095062 -0.079752
5 0.119768 -0.053918
6 0.149934 -0.010179
7 0.191236 0.069325
8 0.282943 0.360675
0.14136026
-0.02386561
0.08501680
2 1 -0.818444 -0.485517
2 1.818444 0.485517
2.12272209
0.84680378
0.48532951
624 Приложения
9 3 1 2 3 -0.368833 -0.295280 1.664113 -0.319786 -0.293621 0.613407 9 / 7 1 2 3 -0.004220 0.013386 0.035068 — 0.120988 -0.124245 -0.115091
E(LU) 0.85621748 4 0.061198 -0.095508
Е(СР) 0.37995861 5 0.093013 -0.064162
E(LB) 0.31324611 6 0.132740 — 0.017187
7 0.668815 0.537180
9 4 1 -0.184461 -0.235080 E(LU) 0.15547192
2- -0.143505 -0.223891 E(CP) 0.01139509
3 -0.075815 -0.185970 E(LB) 0.11278822
4 1.403781 0.644941
E(LU) 0.44625568 9 8 1 0.016797 -0.100011
E(CP) 0.19160927 2 0.032919 -0.104750
E(LB) 0.22671251 3 0.050582 -0.099608
4 0.070497 -0.086226
9 5 1 -0.090726 -0.183061 5 0.093635 -0.063541
2 -0.063541 -0.179515 6 0.121560 -0.028346
3 -0.021495 -0.155825 7 0.157175 0.026525
4 0.034159 -0.115133 8 0.456836 0.455956
5 1.141604 0.633534 E(LU) 0.13496842
E(LU) 0.27605014 E(CP) -0.00906894
E(CP) 0.09715351 E(LB) 0.09236358
E(LB) 0.17429417
9 9 1 0.030338 -0.081777
9 6 1 -0.037118 -0.147411 2 0.045872 — 0.087308
2 -0.016377 -0.148150 3 0.061368 -0.085084
3 0.012499 -0.133219 4 0.077742 —0.076470
4 0.049305 -0.105060 5 0.095769 -0.060667
5 0.095614 -0.062073 6 0.116517 -0.035136
6 0.896078 0.595913 7 0.141932 0.006001
E(LU) 0.19579592 8 0.176764 0.0788281
E(CP) 0.04378261 9 0.253697 0.341614 -
- 0.13880129
Приложения 525
ПродоЛЖЫХВ
n r i ai n r i Ci
E(LU) 0.12529518 10 6 1 -0.058017 -0.149985
Е(СР) -0.02209438 2 -0.039595 -0.150451
E(LB) 0.07482425 3 -0.012513 -0.136941
4 0.022314 -0.112224
10 2 1 -0.876869 -0.487022 5 0.065750 -0.075721
2 1.876869 0.487022 6 1.022062 0.625321
E(LU) 2.31744054 E(LU) 0.20973843
Е(СР) 0.90232208 E(CP) 0.06299841
E(LB) 0.48687150 E(LB) 0.14219828
10 3 1 -0.408602 —0.321265 10 7 1 -0.022198 -0.124170
2 -0.340443 -0.297858 2 -0.006909 -0.126894
3 1.749045 0.619124 3 0.013224 -0.118392
E(LU) 0.94907551 4 0.037994 -0.100924
E(CP) 0.41795081 5 0.068153 -0.073988
E(LB) 0.31541467 6 0.105164 -0.035501
7 0.804572 0.579868
10 4 1 -0.214930 -0.236817 E(LU) 0.16066059
2 -0.177223 -0.226688 E(CP) 0.02762724
3 -0.113820 -0193159 E(LB) 0.11670571
4 1.505973 . 0.656663
E(LU) 0.49619736 10 8 1 0.001179 -0.104082
E(CP) 0.22047816 2 0.014889 -0.108163
E(LB) 0.22930885 3 0.030998 -0.103119
4 ' 0.049734 -0.090835
10 5 1 -0.115524 -0.185169 5 0.071745 -0.070902
2 -0.090868 -0.181821 6 0.098114 -0.041560
3 -0.051341 -0.160697 7 0.130649 0.000799
4 0.000925 -0.125311 8 0.602692 0.517864
5 1.256809 0.652997 EKLU) 0.13403554
E(LU) 0.30344549 E(CP) 0.00474963
E(CP) 0.12033056 E(LB) 0.09704810
E(LB) 0.17727542
526 Приложения
9 1 0.016841 —0.087538 П 3 1 -0.444245 -0.322452
Z 0.029807 -0.092405 2 -0.380642 -0.301277
3 0.043570 -0.089839 3 1.824887 0.623729
4 0.058640 -0.081428 E(LU) 1.03995578 >
5 0.075576 — 0.066855 E(CP) 0.45220741
6 0.095169 -0.044670 E(LB) 0.31715930
7 0.118707 -0.011816
8 0.148575 0.038159 11 4 1 -0.242206 -0.238188
9 0.413116 0.436394 2 -0.207204 -0.228941
E(LU) 0.11965747 3 -0.147490 -0.198888
Е(СР) -0.01043859 4 1.596900 0.666017
E(LB) 0.08100409 E(LU) 0.54681985
E(CP) 0.24653583
10 10 1 0.027331 -0.072734 E(LB) 0.23138012
2 0.040034 -0.077971
3 0.052496 -0.077242 11 5 1 -0.137718 -0.186803
4 0.065408 -0.071876 2 -0.115110 -0.183651
5 0.079263 -0.061652 3 -0.077762 -0.164597
6 0.094638 -0.045420 4 -0.028411 -0.133278
7 0.112414 -0.020698 5 1.359000 0.668329
8 0.134239 0.017927 E(LU) 0.33282848
9 0.164178 0.085070 E(CP) 0.14129911
10 0.230001 0.324597 E(LB) 0.17962678
E(LU) 0.11252220
E(CP) -0.02050852 11 6 1 -0.076739 -0.151936
E(LB) 0.06679250 2 -0.060142 -0.152221
3 -0.034581 -0.139907
11 2 1 -0.929310 -0.488243 4 -0.001490 -0.117886
2 1.929310 0.488243 5 0.039518 -0.086131
E(LU) 2.50340024 6 1.133434 0.648081
E(CP) 0,95239887 E(LU) 0.22640907
E(LB) 0.48812000 E(CP) 0.08045010
Ж 0.14483423
Приложения 527
Продолжение — - _ -
п г i °! ct п г •/ а, с.
11 1 1 -0.038349 -0.126507 E(LU) 0.11809425
2 -0.024842 -0.128838 Е(СР) 0.00058414
3 -0.005964 -0.120951 E(LB) 0.08503131
4 0.017632 -0.105219
5 0.046354 -0.081602 It 10* 1 0.016502 -0.077717
6 0.081182 -0.048929 2 0.027205 -0.082449
7 0.923987 0.612047 3 0.038291 -0.081388
E(LU) 0.16905710 4 0.050160 -0.075977
Е(СР) 0.04246025 5 0.063170 -0.066222
E(LB) 0.11966982 6 0.077772 -0.051429
7 0.094625 -0.030120
Н 8 1 -0.012943 -0.106922 8 0.114811 0.000537
2 -0.001050 -0.110498 9 0.140333 0.046381
3 0.013869 -0.105662 10 0.377130 0.418384
4 0.031661 -0.094405 E(LU) 0.10756449
5 0.052723 -0.076693 Е(СР) -0.01109747
6 0.077815 -0.051525 E(LB) 0.07207183
7 0.108161 -0.016860
8 0.729765 0.562564 11 11 1 0.024850 -0.065444
E(LU) 0.13669382 2 0.035456 -0.070318
Е(СР) 0.01751192 3 0.045727 -0.070456
E(LB) 0.10043756 4 . 0.056215 — 0.067076
5 0.067261 -0.060207
11 9 1 0.004425 -0.091115 6 0.079220 -0.049300
2 0.015498 -0.095437 7 0.092560 -0.033156
3 0.028023 -0.092780 8 0.108034 -0.009427
4 0.042178 -0.084833 9 0.127068 0.026879
5 0.058340 -0.071581 10 0.153197 0.089148
6 0.077093 -0.052182 11 0.210412 0.309357
7 0.099349 -0.024880 E(LU) 0.10212039
-8 0.126592 0.013606 Е(СР) -0.01910164
9 0.548502 0.499201 E(LB) 0.06030372
528 Приложения
18
12 2 1 2 -0.976872 1.976872 -0.489254 0.489254 12 6 1 2 -0.093679 -0.078561 -0.153471 -0.153632
E(LU) 2.68127021 3 —0.054320 -0.142329
Е(СР) 0.99799849 4 -0.022769 -0.122474
E(LB) 9.48915157 5 0.016136 -0.094355
6 1.233193 0.666261
12 3 1 -0.476530 -0.323426 E(LU) 0.24490094
2 — 0.416836 -0.304093 E(CP) 0.09641022
3 1.893367 0.627519 E(LB) 0.14694548
E(LU) 1.12857097
E(CP) 0.48338667 12 7 1 —0.052987 -0.128308
E(LB) 0.31859354 2 -0.040893 -0.130339
3 -0.023072 — 0.123007
12 4 1 -0.266888 -0.239300 4 -0.000515 -0.108712
2 —0.23^180 -0.230796 5 0.026930 -0.087681
3 -0.177681 -0.203562 6 0.059918 -0.059256
4 1.678749 0.673657 7 1.030620 0.637304
E(LU) 0.59748043 E(LU) 0.17967935
E(CP) 0.27026774 E(CP) 0.05607919
E(LB) 0.23307201 E(LB) 0.12200601
12 5 1 -0.157792 -0.188109 12 8 1 -0.025785 -0.109045
2' -0.136884 -0.185142 2 -0.015312 -0.112224
3 -0.101445 -0.167790 3 -0.001353 -0.107627
4 -0.054640 -Q. 139693 4 0.015634 — 0.097276
5 1.450761 0.680734 5 0.035853 -0.081361
E(LU) 0.36338878 6 0.059835 -0.059315
E(CP) 0.16042600 7 0.088444 -0.029900
E(LB) ^0.18153147 8 0.842684 0.596748
Приложения 52£
Продолжение - ,
n r i Ci n r i • ai Ci
E(LU) 0.14186580 12 11 1 0.015982 -0.069798
Е(СР) 0.02930146 2 0.024997 -0.074285
E(LB) 0.10304331 3 0.034156 -0.074131
4 0.043790 -0.070617
12 9 1 — 0.006944 -0.093658 5 0.054149 -0.063891 ;
2 0.002669 -0.097540 6 0.065515 -0.053621
3 0.014239 -0.094893 1 0.078264 -0.039034
4 0.027669 -0.087448 8 0.092958 -0.018715
5 0.043189 -0.075371 9 0.110521 0.009948
6 0.061225 -0.058180 10 0.132666 • 0.052280
7 0.082441 -0.034802 11 0.347003 0.401864
8 0.107856 -0.003342 E(LU) 0.09775217
9 0.667655 0.545234 E(CP) -0.01134890
E(LU) 0.11929957 E(LB) 0.06487266
Е(СР) 0.01087297
E(LB) 0.08799386 12 12 1 0.022771 -0.059449
- 2 0.031776 -0.063952
12 10 1 0.006411 -0.080881 3 0.040408 -0.064601
2 0.015598 -0.085171 4 0.049122 -0.062489
3 0.025675 -0.083952 5 0.058175 -0.057754
4 0.036799 -0.078714 6 0.067800 -0.050137
5 0.049211 — 0.069610 7 0.078281 -0.039010
6 0.063256 -0.056237 8 0.090017 -0.023199
7 0.079438 -0.037675 9 0.103664 -0.000505
8 0.098522 -0.012272 10 0.120475 0.033696
9 0.121752 0.022956 11 0.143566 0.091751
10 0.503338 0.481555 12 0.193947 0.295648
E(LU) 0.10573191 E(LU) 0.09348388
E(CP) -0.00210755 E(CP) -0.01785537
E(LB) . 0.07557509 E(LB) 0.05495436
§
Приложения
!3 2 1 2 - 1.020378 2.020377 -0.490105 0.490105.
E(LU) 2.85169694
E(CP) 1.03985071
E(LB) 0.49001823
13 3 1 —0.506031 -0.324239 E(LU)
2 -0.449735 -0.306454 E(CP)
3 1.955765 0.630694 E(LB)
E(LU) 1.21480934
E(CP) 0.51198847
E(LB) 0.31979363
13 4 1 -0.289420 -0.240219
2 -0.258687 -0.232349
3 -0.205024 -0.207450
4 1.753131 0.680018
E(LU) 0.64778295 E(LU)
E(CP) 0.29204583 E(CP)
E(LB) 0.23448055 E(LB)
13 5 1 -0.176109 -0.189177
2 -0.156637 -0.186381
3 -0.122893 -0.170454
4 -0.078337 -0.144971
5 1.533976 0.690983
E(LU) 0.39459617
E(CP) 0.17799724
E(LB) 0.18310709^
13 6 I —0.109’
2 —0.09'
3 -6.07
4 -0.041997
5 -0.004940 28
6 1.323488 0.26460952 ..81140
0.11109896
0.14867755
13 7 1 -0.066358 -0.129743
2 -0.055414 -0.131538
3 -0.038503 -0.124701
4 -0.016879 -0.111609
5 0.009416 -0.092649
6 0.040810 -0.067475
7 1.126930 0.19187273 0.657714
0.06864731
0.12390133
13 8 1 -0.037540 -0.110704
2 -0.028206 -0.113563
3 -0.015049 -0.109206
.4 0.001231 . -0.099644*
5 0.020686 -0.085204
6 0.043677 -0.065581
7 0.070830 -0.039995
8 0.944372 0.623896
Приложения
8
Продолжение
n r i ai 4 n r i at c,
E(LU) 0.14885020 1? 11 1 0.007628 -0.072617
Е(СР) 0.04022462 2 0.015408 —0.076746
E(LB) 0.10512398 3 0.023732 -0.076418
4 0:032743 -0.072938
13 , 9 1 -0.017389 -0.095590 5 0.042611 -0.066531
2 -0.008934 -0.099109 6 0.053556 -0.057014
3 0.001863 -0.096521 7 0.065876 -0.043886
4 0.014684 -0.089554 8 0.080005 -0.026244
5 0.029637 -0.078490 9 0.096594 -0.002552
6 0.047027 -0.063068 10 0.116703 0.029910
7 0.067346 -0.042607 И 0.465143 0.465037
8 0.091328 -0.015928 E(LU) 0.09583611
9 0.774437 0.580865 E(CP) —0.00388188
E(LU) 0Д2250342 E(LB) 0.06795140
Е(СР) 0.02046326
E(LB) 0.09030201 13 12 1 0.015382 -0.063288
2 0.023100 -0.067492
13 10 1 -0.002927 -0.083170 3 0.030818 -0.067892
2 0.005067 -0.087085 4 0.038824 -0.065622
3 0.014356 -0.085792 5 0.047302 -0.060887
4 0.024891 -0.080789 6 0.056444 -0.053540
5 0.036816 -0.072325 7 0.066482 -0.043158
6 0.050389 -0.060181 8 0.077739 -0.028970
7 0.065995 -0.043768 9 0.090699 -0.009644
8 0.084201 -0.022048 10 0.106166 0.017233
9 0.105863 0.006715 11 0.125627 0.056547
10 0.615348 0.528441 12 0.321416 0.386713
E(LU) 0.10607774 E(LU) 0.08961947
.E(CP) 0.00635741 E(CP) -0.01136145
E(LB) 0.07818835 E(LB) 0.05895232
532 Приложения
13 13 1 0.021005 -0.054436
2 0.028757 -0.058585
3 0.036127 -0.059535
4 0.043501 -0.058259
5 0.051078 -0.054942
6 0.059028 -0.049472
7 0.067533 -0.041504
8 0.076831 -0.030398
9 0.087274 -0.015037
10 0.099441 0.006644
- ' 11 0.114446 0.038943
12 0.135068 0.093324
13 0.179913 0.283257
E(LU) 0.08619744
E(CP) -0.01674914
E(LB) 0.05046988
14 2 1 — 1.060461 -0.490831
2 2.060461 0.490831
E(LU) 3.01527998
E(CP) 1.07852097
E(LB) 0.49075663
14 3 1 -0.533185 -0.324929
2 -0.479874 -0.308462
3 2.013059 0.633391
E(LU) 1.29865775
E(CP) 0.53840104
E(LB) 0.32081269
14 4 1 -0.310144 -0.240992
2 -0.281132 -0.233670
3 -0.229990 -0.210735
4 1.821266 0.685397
14 '5
14 6
0.69748231
0.31216081
0.23567174
1 —0.192947 - 0.190068
2 -0.174709 -0.187427
3 -0.142478 -0.172710
4 -0.099930 -0.149393
5 1.610065 0.699598
0.42609561
0.19423903
0.18443288
1 -0.123352
2 - 0.110490
3 -0.088443
4 -0.059523
5 - 0.024111
6 1.405919
-0.155736
-0.155747
-0.146054
-0.129460
-0.106556
0.693553
0.28511973
0.12469427
0.15012578
14 7
1 — 0.078656 -0.130915
2 — 0.068666 -0.132521
3 -0.052554 -0.126123
4 -0.031776 -0.114051
5 -0.006522 -0.096788
6 0.023467 -0.074184
7 1.214708 0.674581
Приложения
0.20518434
0.08030259 0.12547311 8
Продолжение
П' г i <7, <7 п г i at с,
14 8 1 - 0.048365 -0.112041 14 10 1 -0.011580 -0.084931
2 -0.039964 -0.114637 2 -0.004548 -0.088528
3 —0.027495 -0.110509 3 0.004100 -0.087207 ,
4 -0.011849 -0.101635 4 0.014144 -0.082451
5 0.006905 -0.088422 5 0.025647 -0.074573
6 0.029002 -0.070735 6 0.038794 -0.063473
7 0.054897 -0.048074 7 0.053879 -0.048768
8 1.036868 0.646052 8 0.071335 — 0.029776/
E(LU) 0.15716466 9 0.091783 -0.005398
Е(СР) 0.0503824(9 10 0.716445- 0.565105
E(LB) 0.10683049 E(LU) ОЛ 0803536
Е(СР) 0.01430729
14 9 1 -0.02703,0 -0.097117 E(LB) 0.08024763
2 -0.019516 -0.100334
3 -0.009363 -0.097827 14 П 1 -0.000170 — 0.074686
4 0.002928 -0.091298 V 2 0.006622 -0.078499
5 0.017368 -0.081103 3 0.014283 -0.078064
6 0.034165 -0.067124 4 0.022800 -0.074680
7 0.053685 -0.048921 5 0.032273 - 0.068624
8 0.076476 -0.025720 6 0.042866 -0.059816
9 0.871287 0.609445 7 0.054817 -0.047926
E(ltJ) 0.12719148 • 8 0.068463 -0.032355
Е(СР) 0.0Ж694 9 0.084290 -0.012126
E(LB) 0.09216556 10 0.103025 0.014349
11 0.570731 0.512429
534 Приложения
E(LU) 0.09566494 ВДЦ)
E(CP) 0.00320055 ЦСР)
ВДВ) 0.07027548 ВДВ)
14 13 1 0.008361 —0.065816
2 0.015058 -0.069728
3 0.022076 -0.069962
4 0.029552 —0.067659
5 0.037615 -0.063070
6 0.046411 -0.056130
7 0.056132 -0.046558
8 0.067039 -0.033834
9 0.079506 -0.017101
10 - 0.094096 0.005064
11 0.111723 0.035156
12 0.432431 0.449638
ВДЦ) 0.08771669
ВДР) -0.00506397
ВДВ) 0.06168210 E(LU)
E(CP)
14 13 1 0.014760 -0.057849 ВДВ)
2 0.021453 —0.061764
3 0.028064 —0.062506
4 0.034842 -0.061074
5 0.041933 -0.057693 E(LU)
6 0.049474 -0.052317 E(CP)
7 0.057619 -0.044707 ВДВ)
8 0.066569 -0.034420
9 0.076605 -0.020713
10 0.088151 -0.002338
11 0.101914 0.022943
12 0.119200 0.059643 ВДП)
13 0.299416 0.372795 E(CP)
ВДВ)
0.08276211
—0.01123278
0.05400148
14 14 1 0.019487 -0.050186
2 0.026238 -0.054008
3 0.032614 -0.055130
4 0.038941 -0.054419
5 0.045399 -0.052075
6. 0.052097 , — 0.048066
7 0.059168 -0.042197
8 0.066767 -0.034099
9 0.075102 -0.023149
10 0.084482 -0.008285
11 0.095428 0.012430
12 0.108942 0.043015
13 0.127523 0.094166
14 0.167807 0.272004
0.07996685
-0.01576372
0.04665712
15 2 1 —1.097617 — 0.491458
2 2.097617 0.491458
3.17256460
1.11445612
0.49139327
15 3 1 —0.558336 -0.325521
2 —0.507671 0.310191
3 2.066007 0.635712
1.38015851
0.56293169
0.32168886
Приложения
Продолжение
n r i a, c, n r i at c,
к 15 4 1 -0.329324 -0.241651 15 7 1 —0.090036 -0.131891
2 -0.301829 -0.234806 2 -O.O8O85O -0.133342
3 -0.252948 -0.213548- 3 -0.065446 -0.127335
4 1.884101 0.690005 4 -0.045441 -0.116138
E(LU) 0.74642859 5 -0.021137 -0.100291
Е(СР) 0.33084387 6 0.007597 -0.079774
E(LB) 0.23669248 7 1.295312 0.688771
E(LU) 0.21929214
15 5 1 -0.208525 -0.190823 E(CP) 0.09116039
2 -0.191357 -0.188323 E(LB) 0.12679942
3 -0.160491 -0.174645
4 -0.119748 -0.153153 15 8 1 -0.058390 -0.113143
5 1.680121 0.706944 2 -0.050767 -0.115520
E(LU) 0.45764555 3 -0.038897 -0.111607
E(CP) 0.20933279 4 -0.023825 -0.103332
E(LB) 0.18556433 5 -0.005717 -0.091156
6 0.015565 -0.075053
15 6 1 -0.136498 —0.156597 7 0.040351 -0.054703
2 -0.124518 -0.156563 8 1.121680 0.664514
3 -0.103401 -0.147517 E(LU) 0.16646559
4 -0.075614 -0.132182 E(CP) 0.05986446
5 -0.041680 -0.111215 E(LB) 0.10825884
6 1.481712 0.704074
E(LU) 0.30614004
Е(СР) 0.13734Г00
E(LB) 0.15135556
536 Приложения
15 9 1 — 0.035972 -0.098361
2 — 0.029235 -0.101322
3 -0.019633 -0.098904
4 -0.007812 -0.092773
5 0.006156 -0.083327
6 0.022403 -0.070544
7 0.041203 -0.054142
8 0.062969 -0.033595
9 0.959920 0.632967
E(LU) 0.13300106
E(CP) 0.03779810
E(LB) 0.09370837
15 10 1 -0.019626 -0.086339
2 -0.013383 -0.089664
3 -0.005271 -0.088341
4 0.004351 -0.083828
5 0.015475 -0.076474
6 0.028227 — 0.066261
7 0.042832 -0.052943
8 0.059624 -0.036054
9 0.079072 -0.014863
iO 0.808700 0.594768
E(LU) 0.11121862
E(CP) 0.02177795
E(LB) 0.08192616
15 11 1 -0.007450 -0.076297
2 -0.001467 -0.079835
3 0.005652 -0.079332
4 0.013759 -0.076068
5 0.022893 -0.070355
6 0.033174 -0.062181
7 0.044787 -0.051331
8 0.057997 -0.037396
9 0.073180 -0.019723
10 0.090865 0.002701
11 0.666610 0.549817
E(LU) 0.09681113
E(CP) 0.00989471
E(LB) 0.07212492
15 12 1 0.001756 -0.067695
2 0.007624 -0.071342
3 0.014079 -0.071459
4 0.021133 -0.069178
5 0.028861 -0.064779
6 0.037374 -0.058256
7 0.046827 -0.049425
8 0.057431 -0.037926
9 0.069479 -0.023180
10 0.083393 -0.004280
11 0.099799 0.020236
12 0.532243 0.497284
E(LU) 0.08723346
E(CP) 0.00094612
E(LB) 0.06376409
Продолжение
п г i af ct п г i at с.
15 13 1 0.008779 -0.060130
2 0.014620 -0.063805
3 0.020637 -0.064394
4 0.026961 -0.062900
5 0.033693 -0.059574
6 0.040939 -0.054417
7 0.048828 -0.047269
8 0.057528 -0.037821
9 0.067265 -0.025565
10 0.078368 -0.009694
11 0.091330 0.011113
12 0.106947 0.039155
13 0.404106 0.435302
E(LU) 0.08092217
Е(СР) ~ — 0.00585240
E(LB) 0.05644073
15 14 1 0.014143 -0.053241
2 0.020013 -0.056879
3 0.025750 -0.057827
4 0.031576 -0.056973
5 0.037611 -0.054542
6 0.043958 -0.050539
7 0:050725 -0.044833
8 0.058045 -0.037157
9 0.066092 -0.027072
10 0.075114 -0.013872
11 0.085490 0.003612
12 0.097844 0.027465
13 0.113340 0.061879
14 0.280298 0.359980 '
Е(Ш) Е(СР) E(LB) 0.07689745 -0.01102126: 0.04980248
15 15 1 0.018170 - 0.046538
2 0.024108 - 0.050064
3 0.029685 -0.051279
4 0.035191 -0.050957
5 0.040762 - 0.049298
6 0.046496 - 0.046315
7 0.052488 -0.041899
8 0.058844 -0.035827
9 0.065696 - 0.027731
10 0.073230 — 0.017008
11 0.081725 - 0.002653
12 0.091651 0.017156
13 0.103914 0.046191
14 0.120784 0.094483
15 0.157255 0.261738
E(LU) 0.07457775
Е(СР) -0.01488220
E(LB) 0.04337628
16 2 1 -1.132243 - 0.492005
2 2.132243 0.492005
E(LU) 3.32404220
Е(СР) 1.14801534
E(LB) ' 0.49194784
538 Приложения
16 3 1 2 3 —0.581757 — 0.533457 2.115214 -0.326035 -0.311694 0.637730 16 7 1 2 3 -0.100621 -0.092121 -0.077354 -0.132718 -0.134040 -0.128381
E(LU) .1.45938438 4 -0.058057 -0.117942
Е(СР) 0.58582769 5 -0.034624 -0.103296
E(LB) 0.32245028 6 -0.007020 -0.084506
7 1.369798 0.700883
16 4 1 -0.347172 -0.242220 E(LU) 0.23396225
2 .— 0.321026 -0.235794 E(CP) 0.10131710
3 —0.274186 -0.215984 E(LB) 0.12793461
4 1.942384 0.693998 16 8 1 — 0.Q67719 -0.114069
E(LU) 0.79453329 2 -0.060754 — 0.116260
E(CP) 0.34828173 3 -0.049415 -0.112545
E(LB) 0.23757701 4 -0.034868 -0.104798
5 -0.017357 -0.093508
16 5 1 -0.223015 -0.191470 6 0.003178 -0.078726
2 -0.206788 — 0.189099 7 0.026973 -0.060251
3 -0.177158 -0.176323 8 1.199963 0.680158 1
4 -0.138048 -0.156390 E(LU) 0.17650200 i
5 1.745009 0.713282 E(CP) 0.06874770
E(LU) 0.48908000 E(LB) 1 0.10947376
E(CP) 0.22342597
E(LB) 0.18654151 16 9 1 -0.044303 -0.099396
2 -0.038218 -0.102138
16 6 1 -0.148725 -0.157331 3 — 0.029094 —0.099811
2 -0.137508 -0.157263 4 -0.017697 -0.094037
3 -0.117232 -0.148785 5 -0.004166 -0.085242
4 -0.090481 -0.134532 6 0.011570 -0.073467
5 -0.057883 -0.115196 7 0.029712 -0.058535
6 1.551828 0.713108 8 0.050576 -0.040084
E(LU) 0.32746210 9 1.041619 0.652711
E(CP) 0.14915808 E(LU) 0.13966768
E(LB) 0.15241337 E(CP) 0.04566615
E(LB) 0.09501012
Приложения
§
Продолжение
п г i ai с. п г i at с,
16 10 1 -0.027135 -0.087496 16 12 1 — 0.004450, -0.069172
2 — 0.021550 -0.090585 2 0.000732 -0.072584
3 -0.013895 -0.089277 3 0.006721 -0.072615
4 -0.004646 -0.084992 4 0.013424 -0.070383
5 0.006132 -0.078105 5 0.020868 -0.066184
6 0.018515 -0.068653 6 0.029134 -0.060054
7 0.032675 -0.056482 7 0.038344 -0.051876
8 0.048869 -0.041268 8 0.048668 -0.041398
9 0.067459 -0.022503 9 0.060342 -0.028216
10 0.893576 0.619360 10 0.073692 -0.011716
E(LU) 0.11534960 11 0.089173 0.009035
Е(СР) 0.02881067 12 0.623351 0.535164
E(LB) 0.08332716 ^E(LU) 0.08784015
Е(СР) 0.00665801
16 11 1 — 0.014263 -0.077597 E(LB) 0.06543511
E(LU) Е(СР) E(LB) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -0.008950 -0.080895 -0.002286 - 0.080349 0.005469 -0.077213 0.014303 •-0.071820 0.024297 - 0.064207 0.035593 -0.054237 0.048404 - 0.041625 0.063020 -0.025917 0.079847 - 0.006432 0.754566 0.580293 0.09897866 0.01622073 0.07364497 16 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 0.003118 0.008256 0.013789 0.019747 0.026189 0.033196 0.040872 0.049357 0.058836 0.069568 0.081920 0.096438 0.498713 -0.061843 -0.065297 -0.065770 -0.064259 -0.061031 -0.056120 -0.049427 -0.040731 -0.029675 -0.015710 0.002010 0.024833 0.483018
540 Приложения
E(LU) 0.08025299
E(CP) -0.00069037
E(LB) 0.05831799
16 14 1 0.008992 -0.055309
2 0.014141 -0.058750
3 0.019370 -0.059563
4 0.024804 -0.058635
5 0.030525 -0.056208
6 0.036615 -0.052317
7 0.043164 -0.046878
8 0.050284 -0.039699
9 0.058124 -0.030467
10 0.066884 -0.018695
11 0.076854 -0.003625
12 0.088469 0.015969 E(LU)
13 0.102433 0.042224 E(CP)
14 0.379341 0.421953 E(LB)
E(LU) 0.07514429
E(CP) -0.00637294
E(LB) - 0.05199709
16 15 1
2
0.013547
0.018743
-0.049291
-0.052670
3
4
5 6
7
8 9
10
11
12
13
14
15
0.023778 -0.053739
0.028849 - 0.053290
0.034060 - 0.051538
0.039489 - 0.048520
0.045218 -0.044164
0.051338 -0.038307
0.057965 -0.030678
0.065253 - 0.020850
0.073425 - 0.008156
0.082818 0.008503
0.093994 0.031075
0.107995 0.063476
0.263528 0.348149
0.07182155 -0.01076262 0.04619787
Продолжение 1
n r i * n r i a, ci
16 16 1 0.017016 -0.043375 E(LU) 1.53642388
2 0.022284 -0.046633 E(CP) 0.60729095
3 0.027208 -0.047890 E(LB) 0.32311812
4 5 6 7 8 9 10 11 0.032046 0.036912 0.041887 0.047042 0.052455 0.058216 0.064444 0.071304 -0.047839 -0.046675 -0.044432 -0.041053 -0.036402 -0.030249 -0.022230 -0.011772 E(LU) E(CP) E(LB) 17 4 1 2 3 4 — 0.363861 -0.242716 -0.338922 -0.236662 -0.293934 -0.218114 1.996717 0.697492 0.84174810 0.36462724 0.23835098
E(LU) E(CP) E(LB) 12 13 14 15 16 0.079051 0.002079 0.088111 0.021044 0.099315 0.048675 0.114733 0.094419 0.147977 0.252333 0.06987019 -0.01409012 0.04052374 E(LU) E(CP) E(LB) 17 5 1 2 3 4 5 -0.236557 -0.192031 -0.221164 - 0.189778 -0.192661 -0.177793 -0.155037 -0.159206 1.805419 0.718809 0.52028442 0.23663986 0.18739415
E(LU) E(CP) b(LB) 17 2 1 2 -1.164659. -0.492486 2.164659 0.492486 3.47015408 1.17949167 0.49243526 17 6 1 2 .3 4 5 -0.160149 -0.157965 -0.149601 -0.157871 -0.130090 -0.149896 -0.104290 -0.136581 -0.072907 -0.118639
17 3 1 —0.603668 — 0.326486 6 1.617037 0.720952
2 -0.557497 -0.313014 E(LU) 0.34893506
3 2.161166 0.639500 E(CP) 0.16024410
E(LB) 0.15333326
542 Приложения
17 7 1 •0.110512 •0.133428
2 •0.102606 -0.134640
3 •0.088415 -0.129294
4 •0.069771 -0.119517
5 •0.047139 -0.105901
6 •0.020560 •0.088568
7 1.439003 0.711349
E(LU) 0.24902198
E(CP) 0.11085361
E(LB) 0.12891783
17 8 1 •0.076441 -0.114859
2 •0.070039 -0.116891
3 •0.059173 -0.113357
4 •0.045110 -0.106076
5 •0.028154 -0.095554
6 •0.008307 -0.081890
7 0.014595 -0.064968
8 1.272628 0.693595
E(LU) 0.18708688
E(CP) 0.07709833
E(LB) 0.11052085
17 9 1 -0.052096 -0.100271
2 — 0.046565 -0.102825
3 -0.037862 -0.100587
4 -0.026851 -0.095136
5 -0.013728 -0.086910
6 0.001531 -0.075995
7 0.019069 -0.062288
8 0.039129 -0.045535
9 1.117373 0.669546
0.14699387
0.05307401
0.09612512
17 10 1 -0.034167 -0.088465
2 -0.029139 -0.091350
3 -0.021881 -0.090064
4 -0.012965 -0.085992
5 -0.002507 -0.079521
6 0.009531 -0.070728
7 0.023273 -0.059520
8 0.038922 -0.045671
9 0.056761 -0.028822
10 0.972172 0.640135
0.12022174
0.03544569
0.08451762
17 11 1 -0.020654 -0.078673
2 -0.015906 -0.081761
3 -0.009632 -0.081188
4 -0.002186 -0.078180'
5 0.006378 -0.073083
6 0.016104 -0.065964
7 0.027102 -0.056744
8 0.039540 -0.045224
9 0.053648 -0.031078
10 0.069744 -0.013827
11 0.835861 0.10195092 0.605723
0.02220540
0.07492279
Приложения
Продолжение
п г / п г i at с,
17 12 1 -0.010288 -0.070375 E(LU) 0.08049558
2 -0.005683 -0.073577 Е(СР) 0.00423893
3 -0.000086 -0.073546 E(LB) 0.05983608
4 0.006316 -0.071375
5 0.013511 -0.067372 17 1Ф 1 0.004088 -0.056878
6 0.021553 -0.061602 2 0.008636 -0.060131
7 0.030535 -0.053996 3 0.013446 — 0.060836
8 0.040597 -0.044377 4 0.018560 -0.059871
9 0.051928 -0.032455 5 0.024028 -0.057487
10 0.064785 -0.017797 6 0.029909 -0.053742
11 0.079517 0.000228 7 0.036278 -0.048586
12 0.707314 0.566244 8 0.043231 -0.041881
E(LU) 0.08930564 9 0.050892 -0.033402
Е(СР) 0.01208216 10 0.059426 -0.022799
E(LB) 0.06681858 11 0.069060 -0.009558
12 0.080119 0.007112
17 13 1 -0.002231 -0.063202 13 0.093083 0.028459
2 0.002318 -0.066454 14 0.469244 0.469601
3 0.007448 -0.066839 E(LU) 0.07436842
4 0.013101 -0.065335 Е(СР) -0.00189289
5 0.019298 -0.062220 E(LB) г 0.05369960
6 0.026098 -0.057556 *
7 0.033584 -0.051282
8 0.041872 -0.043242
9 0.051113 -0.033181
10 0.061516 -0.020708
11 0.073364 -0.005250
!*2 0.087058 0.014056
13 0.585461 0.521211
544 Приложения
ns W 81
17 15 1 2 0.009066 0.013648 -0.051176 -0.054390
3 0.018244 -0.055341
4 0.022974 -0.054815
5 0.027908 -0.053042
6 0.033111 — 0.050075
7 0.038648 -0.045871
8 0.044600 -0.040314
9 0.051065 -0.033203
10 0.058176 -0.024231
11 0.066111 -0.012936
12 0.075128 0.001394
13 0.085616 0.019905
14 0.098200 0.044587
15 0.357506 0.409507
E(LU) 0.07016498
E(CP) -0.00670775
E(LB) - 0.048184^
17 16 1 0.012979 -0.045870
2 0.017617 -0.049009
3 0.022076 -0.050145
4 0.026538 -0.049982
5 0.031091 -0.048727
6 0.035799 -0:046430
7 0.040724 -0.043057
8 0.045932 -0.038508
9 0.051504 -0.032609
10 0.057542 -0.025090
11 0.064186 — 0.015545
12 0.071635 -0.003341
13 0.080195 • 0.012556
14 0.090373 0.033974
15 0.103110 0.064588
16 0.248699 0.337194
E(LU) 0.06738336
Е(СР) — 0.01047916
E(LB) 0.04307100 »
17 17 1 0.015998 -0.040607
2 0.020706 -0.043624
3 0.025089 -0.044891
4 0.029378 —0.045031
51 0.033671 -0.044229
6’ 0.038035 -O.O4253I
7 0.042527 -0.039913
8 0.047204 -0.036289
9 0.052133 -0.031512
10 0.057392 -0.025352
11 0.063089 -0.017458
12 0.069375 -0.007282
13 0.076482 0.006082
14 0.084803 0.024262
15 0.095098 0.050618
16 0.109270 0.094076
17 0.139752 0.243681
E(LU) 0.06572241
E(CP) -0.01337530
E(LB) 0.03802109
18 2* 1 -1.195128 -0.492912
2 2.195128 0.492912
E(LU) 3.61129585
E(CP) 1.20912723
E(LB) 0.49286703
18 3 1 -0.624252 -0.326884
2 -0.580008 -0.314183
3- 2.204260 0.641066
Приложения 545
Продолжение
n r i ai ci n
E(LU) 1.61137253 E(LU)
E(CP) 0.62748837 E(CP)
E(LB) 0.32370865 E(LB)
18 4 1 —0.379529 -0.243153 18
2 -0.355679 -0.237429
3 -0.312382 -0.219992
4 2.047590 0.700574
E(LU) 0.88805128
E(CP) 0.38000703
E(LB) 0.23903395
E(LU)
18 5 1 -0.249266 -0.192523 E(CP)
2 -0.234618 -0.190376 E(LB)
3 -0.207148 -0.179091
4 -0.170883 —0.161679 18
5 1.861914 0.723670
•E(LU) 0.55118001
•E(CP) 0.24907530
E(LB) 0.18814472
18 6 1 -0.170868 -0.158518
2 -0.160910 -0.158405
3 -0.142100 -0.150876 E(LU)
4 -0.117175 -0.138383 E(CP)
-4 э -0.086906 -0.121647 E(LB)
6 1.677960 0.727829
i a, ct
0.37044855
0.17068152
0.15414076
7 1 -0.119793 -0.134044
2 -0.112406 -0.135163
3 -0.098738 -0.130098
4 -0.080698 — 0.120904
5 -0.058807 -0.108183
6 -0.033165 -0.092095
7 1.503605 0.26434202 0.720486
0.11983820
0.12977806
1 — 0.084626 -0.115541
2 -0.078711 -0.117434
3 -0.068272 -0.114068
4 -0.054656 -0.107202
5 -0.038217 —0.097349
6 -0.019006 —0.0846^5
7 0.003084 -0.069031
8 1.340405 • 0.705270
0.19807869
0.08497296
0.11143330
18 9 1 —0.059414 -0.101022
2 —0.054359 -0.103411
3 -0.046030 -0.101260
4 -0.035375 -0.096099
5 -0.022631 -0.088374
6 -0.007819 -0.078203
7 0.009161 -0.065532
8 0.028495 -0.050186
9 1.187973 0.684087
E(LU) 0.15482946
E(CP) 0.06006815
E(LB) 0.09709201 E(LU)
E(CP)
18 10 1 -0.040776 —0.089291 E(LB)
2 -0.036223 -0.091997
3 -0.029314 -0.090739
4 -0.020701 —0.086863
5 -0.010540 -0.080764
6 0.001172 -0.072544
7 0.014523 -0.062157
8 0.029671 -0.049445
9 0.046841 -0.034147
10 1.045347 0.657947
E(LU) 0.12567798
E(CP) 0.04172006
E(LB) 0.08554362.
E(LU) E(CP) E(LB).
18 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И —0.026669 - 0.079582 -0.022402 - 0.082484 —0.016466 - 0.081896 -0.009294 - 0.079012 -0.000979 - 0.074183 0.008496 - 0.067503 0.019212 - 0.058930 0.031300 - 0.048324 0.044947 - 0.035451 0.060404 - 0.019962 0.911449 0.627325 0.10556433 0.02787638 0.07601539
18 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -0.015793 - 0.071378 —0.011677 - 0.074393 -0.006416 -0.074315 -0.000278 -0.072211 0.006695 - 0.068395 0.014529 -0.062952 0.023297’ —0.055848 0.033110 -0.046959 0.044122 -0.036073 0.056540 - 0.022877 0.070637 —0.006924 0.785235 0.592326 0.09145851 0.01723593
0.06798899
Приложения
2
Продолжение
п г i а. Ci
18 13 1 -0.007289 -0.064317
2 -0.003238 -0.067387
3 0.001550 -0.067701
4 0.006940 -0.066218
5 0.012925 -0.063222
6 0.019540 -0.058792
7 0.026851 -0.052898
8 0.034951 -0.045430
9 0.043969 -0.036200
10 0.054072 -0.024926
11 0.065486 -0.011201
12 0.078516 0.005561
13 0.665728 0.552731
E(LU) 0.08146655
Е(СР) 0.00893995
E(LB) 0.06110111
18 14 1 -0.000568 -0.058133
2 0.003471 -0.061213
3 0.007930 -0.061830
4 0.012775 -0.060849
5 0.018027 -0.058527
.6 0.023730 -0.054936
7 0.029942 -0.050053
8 0.036744 -0.043781
9 0.044239 -0.035952
10 0.052564 -0.026314
11 0.061904 -0.014497
’12 0.072509 0.000034
13 0.084730 O.O18O8O
14 0.552004 0.507970
n r i at ci
E(LU) 0.07436294
Е(СР) 0.00240300
E(LB) 0.05508562
18 15 1 0.004780 -0.052617
2 0.008843 -0.055674
3 0.013074 -0.056526
4 0.017522 -0.055953
5 0.022232 -0.054191
6 0.027249 -0.051307
7 0.032630 —0.047281
8 0.038443 -0.042029
9 0,044772 -0.035403
10 0.051728 -0.027176
11 0.059460 -0.017018
12 0.068169 -0.004442
13 0.078145 0.011289
14 0.089813 0.031340
15 0.443142 0.456986
E(LU) 0.06933298
E(CP) -0.00278409
E(LB) 0.04973648
548 Приложения
18 16 1 0.009048 -0.047594
2 0.013157 -0.050597
3 0.017235 -0.051629
4 0.021397 -0.051393
5 0.025706 -0.050102
6 0.030212 -0.047820
7 0.034966 -0.044532
8 0.040027 -0.040165
9 0.045465 -0.034587
10 0.051368 -0.027599
11 0.057855 -0.018906
12 0.065087 -0.008069
13 0.073294 0.005581
14 0.082827 0.023119
15 0.094248 0.046408
16 0.338109 0.397887
E(LU) 0.06582537
E(CP) — 0.00691185
E(LB) 0.04487895
18 17 1 0.012444 -0.042879
2 0.016611 -0.045800
3 0.020593 -0.046965
4 0.024555 -0.047008
5 0.02857Э -0.046121
6 0.032702 -0.044362
7 0.036990 .-0.041722
8 0.041487 -0.038137
9 0.046252 -0.033494
10 0.051355 -0.027618
11 0.056889 -0.020248
12 0.062980 -0.010994
13 0.069810 0.000742
14 0.077655 0.015937
15 0.086979 0.036313
16. 0.098636. 0.065331
17 0.235490 0.327023
E(LU) 0.06346845
Е(СР) -0.01018489
E(LB) 0.04033369
Приложения 549
Продолжение
n r i at cf
18 18 1 0.015092 -0.038165
2 0.019328 -0.040965
3 0.023258 -0.042221
4 0.027089 -0.042497
5 0.030909 -0.041963
6 0.034773 -0.040676
7 0.038728 -0.038627
8 0.042820 -0.035765
9 0.047095 -0.031992
10 0.051612 -0.027160
11 0.056443 -0.021041
12 0.061685 -0.013300
13 0.067477 -0.003410
14 0.074032 0.009488
15 0.081713 0.026940
16 0.091221 0.052132
17 0.104314 0.093529
18 0.132411 0.235693
E(LU) 0.06204005
Е(СР) -0.01272745
E(LB) 0.03580789
19 2 1 -1.223869 -0.493292
2 2.223869 0.493292
E(LU) 3.74782267
E(CP) 1.23712437
E(LB) 0.49325215
19 3 1 — 0.643659 -0.327238
2 —0.601169 -0.315224
3 2.244827 0.642462
n r i ai c,
E(LU) 1.68432765
Е(СР) 0.64655945
E(LB) 0.32423458
19 4 1 -0.394294 —0.243540
2 -0.371431 -0.238113
3 -0.329685 -0.221662
4 2.095409 0.703314
E(LU) 0.93343886
E(CP) 0.39452713
E(LB) 0.23964110
19 ’ 5 1 -0.261237 -0.192958
2 -0.247259 —0.190909
3 -0.220739 -0.180245
4 -0.185724 -0Д63869
5 1.914959 0.727980
E(LU) 0.58171310
E(CP) 0.26081700
E(LB) 0.18881059
19 6 1 -0.180964 -0.159004
2 -0.171530 -0.158877
3 -0.153365 -0.151748
4 -0.129250 -0.139981
5 -0.100003 -0.124297
6 1.735111 0.733908
E(LU) 0.39192137
E(CP) 0.18053993
E(LB) 0.15485543
550 Приложения
19 7 1 -0.128533 -0.134583 E(LU) 0.16305851
2 -0.121602 -0.135622 E(CP) 0.06668914
3 -0.108414 -0.130811 E(LB) 0.09793914
4 -0.090935 -0.122136
5 -0.069730 -0.110197 19 10 1 -0.047007 -0.090004
6 -0.044949 -0.095185 2 -0.042865 -0.092551
7 1.564162 0.728535 3 -0.036265 -0.091324
E(LU) 4 0.27982455 4 -0.027929 -0.087629
Е(СР) 0.12832890 5 -0.018045 -0.081863
E(LB) 0.13053726 6 —0.006641 -0.074147
7 0.006343 -0.064468
19 8 1 -0.092336 -0.116135 8 0.021029 -0.052718
2 -0.086846 -0.117908 9 0.037595 -0.038703
3 -0.076795 —0.114696 10 1.113786 0.673407
4 -0.063593 -0.108201 E(LU) 0.13159684
5 -0.047637 -0.098937 E(CP) 0.04766707
6 -0.029016 -0.087065 E(LB) , 0.08643819
7 -0.007670 -0.072570
8 1.403893 0.715513 19 11 1 -0.032345 — 0.080360
E(LU) 0.20936888, 2 -0.028492 -0.083097
E(CP) 0.09242024 3 -0.022852 -0.082502
E(LB) 0.11223593 4 -0.015928 -0.079736
5 -0.007843 -0.075152
19 9 1 -0.066309 -0.101674 6 0.001395 -0.068861
2 — 0.061667 -0.103918 7 0.011842 -0.060851
3 -0.053675 -0.101850 8 0.023603 — 0.051025’
4 -0.043347 -0.096952 9 0.036827 -0.039209
5 -0.030960 -0.089671 10 0.051716 -0.025147
6 — 0.010565 -0.080147 11 0.982076 0.645940
7 -0.000103 -0.068365 E(LU) 0.10969257
8 0.018570 -0.054204 E(CP) 0.03326000
9 1.254056 0.696782 E(LB) 0.07696225
Приложения 55
Продолжение
n г i а, с, n r i a( c,
19 12 1 -0.020995. -0.072230 E(LU) 0.08302831
2 -0.017298 -0.075078 E(CP) 0.01342381
3 -0.012331 - -0.074965 E(LB) 0.06217738
4 -0.006425 -0.072929
5 0.000344- -0.069288 19 14 1 -0.004989 -0.059169
6 0.007984 -0.064141 2 -0.001384 -0.062091
7 0.016548 -0.057480 3 0.002773 —0.062636
8 0.026124 -0.049218 4 0.007387 — 0.061652
9 0.036839 -0.039200 5 0.012453 -0.059399
10 0.048859 -0.027194 6 0.017997 -0.055961
11 0.062404 -0.012872 7 0.024066 -0.051334
12 0.857947 0.614595 8 0.030726 -0.045450
E(LU) 0.09416748 9 0.038064 -0.038185
Е(СР) 0.02213853 10 0.046194 -0.029351
E(LB) 0.06899532 11 0.055267 —0.018676
12 0.065482 -0.005781
19 13 1 -0.012077 -0.065253 13 0.077109 0.009882
2 -0.008453 -0.068158 14 0.628854 0.539802
3 -0.003960 -0.068416 E(EU) 0.07498023
4 0.001201 -0.066962 E(CP) 0.00651543
5 0.006996 -0.064084 E(LB) 0.05624730
6 0.013442 -0.059872
7 0.020588 -0.054320
8 0.028511 -0.047351
9 0.037316 -0.038827
10 0.047141 -0.028538
11 0.058169 -0.016185
12 0.070640 -0.001353
13 0.740487 0.579318
552 Приложения
19 15 1 0.000692 -0.053779 19
2 0.004313 -0.056686
3 0.008234 -0.057456
4 0.012444 -0.056855
5 0.016963 -0.055121
6 0.021823 -0.052332
7 0.027068 -0.048486
8 0.032757 -0.043523
9 0.038961 -0.037334
10 0.045774 -0.029749
11 0.053320 -0.020523
12 0.061762 -0.009310
13 0.071323 0.004394
14 0.082316 0.021334
15 0.522250 0.495426
E(LU) 0.06915784
Е(СР) 0.00099208 E(LU)
£(LB) 0.05100764 E(CP)
E(LB)
1 0.005271 -0.048924
2 0.008929 -0.051792
3 0.012687 -0.052735
4 0.016601 -0.052449
5 0.020708 -0.051151
6 0.025048 -0.048913
7 0.029663 -0.045735
8 0.034603 —0.041566
9 0.039929 -0.036308
10 0.045717 -0.029809
11 0.052068 -0.021850
12 0.059114 -0.012118
13 0.067036 -0.000151
14 0.076094 0.014738
15 0.086669 0.033642
16 0.419861 0.445119
0.06496979
—0.00344791
0,04630055
Приложения
Продолжение
п г i at п
19 17 1 0.008968 -0.044464 19
2 0.012677 -0.047270
3 0.016326 -0.048344
4 0.020023 -0.048319
5 0.023825 -0.047390
6 0.027772 —0.045626
7 0.031906 -0.043028
8 0.036272 -0.039552
9 0.040920 -0.035112
10 0.045913 -0.029573
11 0.051331 -0.022740
12 ' 0.057280 -0.014330
13 0.063906 —0.003928
14 0.071419 0.009098
15 0.080136 0.025759
16 0.090563 0.047806
17 0.320763 0.387016
E(LU) 0.06200679
Е(СР) —0.00702291 E(LU)
E(LB) 0.04198714 Е(СР)
E(LB)
I ai Ci
1 0.011941 -0.040244
2 0.015709 —0.042966
3 0.019289 -0.044136
4 0.022835 -0.044327
5 0.026412 -0.043716
6 0.030068 -0.042366
7 0.033841 -0.040281
8 0.037772 -0.037423
9 0.041903 -0.033716
10 0.046286 -0.029044
11 0.050984 -0.023232
12 6.056083 -0.016030
13 0.061695 -0.007067
14 0.067989 0.004227
15 0.075216 0.018774
16 0.083802 0.038205
17 0.094528 0.065788
18 0.223648 0.317554
0.05998848
-0.00988868
0.03791809
554 Приложения
19 19 1 0.014282 -0.035995 E(LU) 1.75538518
2 0.018115 -0.038600 E(CP) 0.66462201
3 0.021661 -0.039833 E(LB) 0.32470597
4 0.025107 -0.040204
5 0.028531 -0.039873 20 4 1 -0.408252 -0.243885
6 0.031980 -0.038897 2 -0.386289 -0.238726
7 0.035494 -0.037282 3 -0.345972 -0.223154
8 0.039109 -0.034997 4 2.140513 0.705766
9 0.042861 -0.031977 E(LU) 0.97791855
10 0.046794 -0.028121 E(CP) 0.40827717
11 0.050958 -0.023280 E(LB) 0.24018443
12 0.055419 -0.017234
13 0.060267 -0.009660 20 5 1 -0.272551 -0.193344
14 0.065629 -0.000055 2 -0.259179 -0.191385
15 0.071704 0.012400 3 -0.233536 -0.181278
16 0.078826 0.029177 4 -0.199675 -0.165821
17 0.087648 0.053305 5 1.964941 0.731828
18 0.099799 0.092832 E(LU) 0.61184794
19 0.125817 0.228292 E(CP) 0.27193675
E(LU) 0.05874886 E(LB) 0.18940540
Е(СР) -0.01213794
E(LB) 0.03383684 20 6 1 -0.190502 -0.159435
2 -0.181539 -0.159298
20 2 1 -1.251068 -0.493634 3 -0.163969 -0.152528
2 2.251068 0.493634 4 -0.140605 -0.141408
E(LU) 3.88005370 5 -0.112303 -0.126651
E(CP) 1.26365389 6 1.788917 0.739321
E(LB) 0.49359782 E(LU) 0.41329354
E(CP) 0.18987852
20 3 1 -0.662014 -0.327555 E(LB) 0.15549251
2 -0.621129 -0.316157
3 2.283144 0.643713
Приложения 555
Продолжение
n r i at
20 7 1 -0.136790 -0.135060
2 — 0.130264 -0.136029
3 -0.117518 -0.131448
4 -0.100561 -0.123236
5 -0.079995 -0.111990
6 -0.056007 -0.097918
7 1.621135 0.735681
E(LU) 0.29539488
Е(СР) 0.13637533
E(LB) 0.13121241
20 8 1 -0.099621 -0.116659
2 -0.094504 — 0.118326
3 -0.084808 -0.115255
4 -0.071993 -0.109093
5 — 0.056488 -0.100352
6 -0.038416 -0.089210
7 -0.017755 -0.075681
8 1.463585 0.724575
E(LU) 0.22087332
E(CP) 0.09948206
E(LB) 0.11294771
20 9 1 -0.072826 — 0.102246*
2 -0.068544 — 0.104362
3 -0.060858 -0.102371-
4 -0.050834 -0.097711
5 -0.038781 -0.090828
6 -0.024779 -0.081874
7 -0.008798 -0.070863
8 0.009270 -0.057714
9 1.316151 0.707969
Л Г 1 a, С1
E(LU) 0.17159045
Е(СР) 0.07297238
E(LB) 0.09868793
20 10 1 — 0.052900 —0.090626
2 -0.049115 -0.093031
3 -0.042792 -0.091837
4 -0.034710 -0.088309
5 -0.025087 -0.082842
6 -0.013973 -0.075573
7 -0.001335 -0.066511
8 0.012921 -0.055584
9 0.028939 -0.042651
10 1.178052 0.686964
E(LU) 0.13788300
Е(СР) 0.05331635
E(LB) 0.08722579
556 Приложения
20 11 1 -0.037716 — 0*081036
2 -0.034222 -0.083625
3 -0.028845 -0.083028
4 -0.022146 -0.080373
5 -0.014276 -0.076014
6 -0.005262 -0.070070
7 0.004930 -0.062554
8 0.016382 -0.053398
9 0.029216 -0.042476
10 0.043593 -0.029594
11 1.048347 0.662168
E(LU) 0.11423656
Е(СР) O.O3838O53
E(LB) 0.07779186
20 12 1 -0.025922 -0.072964
2 -0.022589 -0.075662
3 -0.017879 -Ю.075522
4 -0.012183 -0.073554
5 -0.005600 -0.070076
6 0.001858 -0.065197
7 0.010227 -0.058928
8 0.019578 -0.051211
9 0.030012 -0.041931
10 0.041668 -0.030912
11 0.054724 -0.017911
12 0.926107 0.633868
E(LU) 0.09732994
E(CP) 0.02680890
E(LB) 0.06987174
20 13 1 -0.016619 -0.066052
2 -0.013364 -0.068809
3 -0.009129 -0.069021
4 -0.004170 -0.067601
5 0.001453 -0.064835
6 0.007742 -0.060825
7 0.014732 -0.055581
8 0.022485 -0.049051
9 0.031087 -0.041132
10 0.040654 -0.031666
11 0.051333 -0.020429
12 0.063321 -0.007116
13 0.810474 0.602120
E(LU) 0.08507430
E(CP) 0.01770390
E(LB) 0.06310742
20 14 1 -0.009191. -0.060043
2 -0.005961 -0.062821
3 -0.002065 -0.063307
4 0.002348 -0.062329
5 0.007248 -0.060148
6 0.012649 —0.056856
7 0.018585 —0.052465
8 0.025109 -0.046929
9 0.032297 -0.040154
10 0.040241 -0.031999
11 0.049069 -0.022261
12 0.058941 -0.010659
13 0.070069 0.003196
14 0.700660 0.566775
E(LU) 0.07610847
E(CP) 0.01045130
E(LB) 0.05724068
20 15 1 -0.003203 -0.054744
2 ,0.000035 -0.057513
3 0.003690 -0.058213
4 0.007695 -0.057596
5 0.012048 -0.055899
6 0.016769 -0.053209
7 0.021892 -0.049537
8 0.027467 -0.044842
9 0.033552 -0.039043
10 0.040230 -0.032010
11 0.047602 -0.023560
12 0.055804 -0.013436
13 0.065012 -0.001280
14 0.075467 0.013416
45 0.595940 0.527466
Продолжение
п Г 1 at с,
E(LU) 0.06951916
Е(СР) E(LB) 0.00461910 0.05207861
20 16 1 0.001656 -0.050002
2 0.004926 -0.052742
3 0.008410 -0.053608
4 0.012111 -0.053287
5 0.016048 -0.051997
6 0.020247 -0.049816
7 0.024742 -0.046757
8 0.029575 -0.042785
9 0.034801 -0.037825
10 0.040482 -0.031763
11 0.046707 -0.024432
12 0.053585 -0.015601
13 0.061262 -0.004939
14 0.069938 0.008023
15 0.079893 0.023984
16 E(LU) 0.495616 0.06467887 0.483548
Е(СР) E(LB) -0.00010333 0.04747116
п г i at ct
20 17 1 0.005617 -0.045695
2 0.008931 -0.048385
3 0.012297 -0.049380
4 0.015773 -0.049304
5 0.019394 -0.048357
6 0.023192 -0.046613
7 0.027201 -0.044083
8 0.031459 -0.040736
9 0.036010 -0.036510
10 0.040910 -0.031298
11 0.046228 -0.024954
12 0.052055 -0.017265
13 0.058509 -0.007934
14 0.065756 0.003474
15 0.074029 0.017606
16 0.083671 0.035486
17 0.398968 0.433947
E(LU) 0.06114864
Е(СР) -0.00394307
E(LB) 0.04329477
558 Приложения
20 18 1 0.008847 -0.041706
2 0.012215 -0.044331
3 0.015502 -0.045422
4 0.018813 -0.045550
5 0.022197 ' -0.044896
6 0.025690 -0.043529
7 0.029324 -0.041460
8 0.033136 —0.038666
9 0.037162 -0.035086
10 0.041450 -0.030632
11 0.046055 -0.025168
12 0.051050 -0.018506
13 0.056532 -0.010374
14 0.062634 -0.000381
15 0.069547 0.012071
16 0.077558 0.027938
17 6.087131 0.048871
18 0.305157 0.376826
E(LU) 0.05861867
E(CP) -0.00706723 E(LU)
E(LB) 0.03943688 E(CP)
E(LB)
20 19 1 0.011469 -0.037905
2 0.014895 -0.040446
3 0.018135 -0.041607
4 0.021329 -0.041903
5 0.024538 -0.041503
6 0.027802 -0.040467
7 0.031153 -0.038810
8 0.034624 -0.036509
9 0.038247 -0.033514
10 0.042061 -0.029746
11 0.046112 -0.025085
12 0.050458 -0.019364
13 0.055176 —0.012340
14 0.060372 -0.003660
15 0.066198 0.007217
16 0.072887 0.021167
17 0.080830 0.039737
18 0.090746 0.066024
19 0.212971 0.308714 0.05687410 -0.00959610 0.03577112
Приложения 559
Продолжение
п г i ai с,
20 20 1 0.013553 -0.034055
2 0.017039 -0.036484
3 0.020257 -0.037686
4 0.023376 -0.038123
5 0.026464 -0.037945
6 0.029565 -0.037211
7 0.032711 г-0.035932
8 0.035932 -0.034091
9 0.039258 -0.031646
10 0.042720 -0.028527
11 0.046357 -0.024632
12 0.050215 -0.019814
13 0.054354 -0.013860
14 0.058856 -0.006460
15 0.063842 0.002866
16 0.069496 0.014902
17 0.076128 0.031052
18 0.084346 0.054203
19 0.095669 0.092028
20 0.119862 0.221415
п г 1 ai et
E(LU) Е(СР) E(LB) 0.05578958 -0.01159947 0.03207039
Приложения
Приложение 10. Процентили распределения статистики
Процентили распределения статистики IV
n r 0.02 0.05 0.10 0*25 0.40 1 —а 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
3 3 0.11 0.17 0.25 0.42 0.57 0.67 0.78 0.99 1.33 1.56 1.86
4 3 0.10 0.15 0.22 0.39 0.53 0.64 0.75 0.96 1.32 1.56 1.90
4 0.20 0.28 0.37 0.54 0.68 0.77 0.86 1.05 1.33 1.53 1.77
5 3 0.09 0.14 0.21 0.37 0.51 0.61 0.73 0.94 1.32 1.59 1.93
4 0.18 0.26 0.34 0.50 0.64 0.74 0.84 1.03 1.35 1.55 1.82
5 0.28 0.36 0.44 0.60 0.73 0.82 0.91 1.07 1.33 1.50 1.70
6 3 0.09 0.14 0.21 0.36 0.50 0.61 0.72 0.93 1.32 1.59 1.92
4 0.18 0.25 0.32 0.49 0.62 0.72 0.82 1.01 1.33 1.55 1.84
5 0.25 0.33 0.42 0.58 0.71 0.79 0.89 1.05 1.33 1.51 1.73
6 0.33 0.41 0.50 0.65 0.77 0.85 0.93 1.07ч 1.31 1.46 1.64
7 3 0.08 0.14 0.20 0.35 0.49 0.59 0.71 0.92 1.30 1.56 1.92
4 0.17 0.24 0.31 0.48 0.62 0.71 0.81 1.01 1.32 1.54 1.82
5 0.25 0.32 0.40 0.56 0.70 0.78 0.88 1.05 1.33 1.52 1.75
6 0.32 0.39 0.47 0.63 0.75 0.84 0.92 1.07. 1.32 1.48 1.67
7 0.38 0.46 0.54 0.69 0.80 0.87 0.95 1.08 1.30 1.43 1.60
Примера Для п~5, г«4 имеем ИИ0>05- 1.55.
^Источник: Mann, N. R.; К. W. Fertig and Е. М. Scheuer; Confidence and Tolerance Bounds and a New Goodness-of-Fit Test for Two-Parameter Weibull or Extreme-Value Distribution (With Tables for Censored Samples of Size 3(1)25); Aerospace Research Laboratories, Wright-Patterson Air Force Base, «Ohio, ARL 71-0077, Contract No. F33(615)-70-C-1216, May 1971.
562 Приложения
Продолжение_________________________________________________________________
1 — а п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
8 3 0.08 0.13 0.19 0.35 0.49 0.59 0 70 0.92 1.31 1.58 1.95
4 0.16 0.23 0.31 0.47 0.61 0.70 0.81 1.00 1.33 1.55 1.83
5 0.23 0.31 0.39 0.55 0.68 0.77 0.87 1.05 1.33 1.52 1.76
6 0.30 0.38 0.46 0.62 0.74 0.82 0.91 1.06 1.32 1.49 1.69
7 0.36 0.44 0.52 0.67 0.78 0.86 0.94 1.08 1.30 1.45 1.62
8 0.42 0.50 0.58 0.71 0.82 0.89 0.96 1.09 1.28 1.41 1.56
9 3 0.08 0.13 0.19 0.34 0.49 0.59 0.70 0.92 1.31 1.58 1.92
4 0.16 0.23 0.31 0.47 0.60 0.70 0.80 1.00 1.33 1.55 1.84
5 0.23 0.31 0.39 0.54 0.68 0.77 0.86 1.04 1.33 1.52 1.76
6 0.30 0.38 0.45 0.60 0.73 0.81 0.90 1.06 1.31 1.48 1.70
7 0.35 0.43 0.50 0.66 0.77 0.85 0.93 1.07 1.30 1.46 1.65
8 0.40 0.48 0.55 0.70 0.81 0.88 0.95 1.08 1.28 1.42 1.59
9 0.45 0.53 0.60 0.74 0.84 0.90 0.97 1.08 1.27 1.39 1.53
10 3 0.08 0.13 0.19 0.34 0.48 0.59 0.71 0.93 1.31 1.59 1.92
4 0.16 0.23 0.30 0.46 0.60 0.70 0.80 1.00 1.33 1.57 1.86
5 0.23 0.30 0.38 0.54 0.68 0.77 0.86 1.04 1.33 1.53 1.77
6 0.29 0.37 0.45 0.60 0.73 0.81 0.90 1.06 1.32 1.49 1.71
7 0.34 0.42 0.50 0.65 0.77 0.84 0.92 1.07 1.31 1.46 1.66
8 0.39 0.47 0.54 0.69 0.80 0.87 0.95 1.08 1.29 1.43 1.60
9 0.43 0.51 0.59 0.73 0.83 0.89 0.96 1.08 1.28 1.40 1.55
10 0.48 0.55 0.62 0.76 0.85 0.91 0.98 1.09 1.26 1.38 1.51
11 3 0.08 0.13 0.19 0.34 0.48 0.59 0.71 0.92 1.31 1.60 1.97
4 0.15 0.22 0.30 0.46 0.60 0.70 0.80 1.00 1.34 1.58 1.87
5 0.22 0.30 0.38 0.54 0.67 0.76 0.86 1.04 1.34 1.54 1.82
6 0.28 0.36 0.44 0.60 0.73 0.81 0.90 1.07 1.33 1.52 1.73
7 0.33 0.41 0.49 0.65 0.76 0.84 0.92 1.08 1.32 1.48 1.67
8 0.38 0.46 0.54 0.68 0.80 0.87 0.95 1.08 1.31 1.45 1.62
9 0.42 0.50 0.57 0.71 0.82 0.89 0.96 1.09 1.29 1.42 1.58
10 0.46 0.54 0.61 0.74 0.85 0.91 0.98 1.09 1.27 1.38 1.53
11 0.50 0.57 0.64 0.77 0.87 0.93 0.99 1.09 1.25 1.36 1.49
12 3 0.08 0.13 0.19 0.34 0.48 0.58 0.70 0.92 1.30 1.56 1.87
4 0.16 0.22 0.30 0.46 0.60 0.70 0.80 1.00 1.33 1.55 1.82
5 0.23 0.30 0.38 0.54 0.67 0.76 0.86 1.04 1.33 1.53 VS
6 0.29 0.36 0.44 0.60 0.72 0.81 0.90 1.06 1.33 1.49 1.72
7 0.34 0.41 0.50 0.65 0.76 0.84 0.93 1.08 1.31 1.47 1.66
8 0.38 0.46 0.54 0.68 0.79 0.87 0.95 1.08 1.30 1.45 1 61
9 0.42 0.50 0.57 0.71 0.82 0.89 0.96 1.09 1.29 1.43 1.58
10 0.45 0.53 0.61 0.74 0.84 0.90 0.97 1.09 1.28 1.40 1.55
11 0.49 0.56 0.64 0.76 0.86 0.92 0.98 1.09 1.27 1.37 1.51
12 0.53 0.60 0.66 0.78 0.87 0.93 0.99 1.09 1.24 1.35 1.46
&'
564 Приложения
Продолжение 1 — а п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
16 3 0.08 0.13
4 0.15 0.22
г 5 0.22 0.29
' 6 0.27 0.35
7 0.31 0.40
8 0.36 0.44
9 0.40 0.48
10 0.43 0.51
11 0.46 0.53
12 0.49' 0.56
13 0.51 0.59
14 0.54 0.61
15 0.56 0.63
16 0.59 0.65
17 3 0.08 0.13 ' 4 0.15 0.22
5 0.22 0.30
6 0.28 0.35
7 0.33 0.40
8 0.37 0.44
9 0.40 0.48
10 0.44 0.51
11 0.46 0.54
12 0.49 0.56
13 0.51 0.58
14 0.53 0.61
15 0.56 0.63
16 0.58 0.65
17 0.61 0.67
0.19 0.33 0.47 0.29 0.45 0.59 0.36 0.53 0.66 0.43 0.58 0.71 0.48 0.63 0.75 0.52 0.66 0.78 0.55 0.69 0.80 0.58 0.72 0.82 0.61 0.74 0.84 0.63 0.76 0.85 0.65 0.77 0.86 0.67 0.76 0.88 0.69 0.80 0.89 0.71 0.82 0.90
0.18 0.33 0.48 0.30 0.45 0.59 0.37 0.53 0.67 0.43 0.59 0.71 0.48 0.63 0.75 0.52 0.67 0.78 0.55 0.70 0.80 0.58 0.72 0.82 0.61 0.74 0.84 0.63 0.76 0.85 0.65 0.78 0.87 0.67 0.79 0.88 0.69 0.80 0.89 0.71 0.82 0.90 0.73 0.83 0.91
0.56 0.68 0.90
0.68 0.79 0.99
0.75 0.85 1.03
0.79 0.88 1.05
0.83 0.91 1.07
0.85 0.93 1.07
0.87 0.94 1.08
0.89 0.96 1.08
0.90 0.97 1.09
0.91 0.97 1.09
0.92 0.98 1.09
0.93 0.99 1.09
0.94 0.99 1.09
0.95 1.00 1.09
0.58 0.69 0.92
0.69 0.80 1.00
0.76 0.86 1.04
0.80 0.89 1.06
0.83 0.92 1.07
0.86 0.94 1.08
0.88 0.95 1.09
0.89 0.96 1.09
0.90 0.97 1.09
0.91 0.98 1.09
0.92 0.99 1.09
0.93 0.99 1.09
0.94 1.00 1.09
0.95 1.00 1.09
0.95 1.00 1.09
1.29 1.58 1.94
1.33 1.56 1.86
1.33 1.54 1.78
1.33 1.51 1.74
1.31 1.47 1.69
1.30 1.45 1.64
1.29 1.43 1.60
1.28 1.41 1.57
1.27 1.39 1.54
1.26 1.38 1.50
1.25 1.36 1.48
1.24 1.34 1.46
1.23 1.32 1.43
1.21 1.29 1.40
1.33 1.59 1.95
1.35 1.58 1.87
1.34 1.55 1.79
1.33 1.52 1.73
1.32 1.48 1.68
1.31 1.47 1.63
1.30 1.44 1.60
1.29 1.42 1.58
1.28 1.39 1.55
1.27 1.38 1.50
1.26 1.36 1.48
1.24 1.34 1.46
1.23 1.33 1.44,
1.22 1.31 1.41
1.21 1.29 1.39
Приложение II. Процентили распределения статистики (и—и)1Ъ
п 1 — а
г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
3 3 -4.47 -2.54 -1.49 -0.52 -0.10 0.10 0.31 0.69 1.46 2.12 3.39
•4 3 -6.92 -3.85 -2.32 -0.84 -0.29 -0.04 0.18 0.50 1.06 1.55 2.43
4 -2.37 -1.50 -0.96 -0.37 -0.08 0.09 0.25 0.55 1.07 1.49 2.15
5 3 -9.35 -5.22 -3.04 -1.22 -0.50 -0.19 0.06 0.40 0.86 1.20 1.76
4 -3.13 -1.94 -1.24 -0.50 -0.16 0.02 0.18 0.45 0.88 L22 1.74
5 -1.63 -1.08 -0.73 -0.31 -0.06 0.08 0.22 0.47 0.89 1.20 1.64
6 3 -10.54 -6.12 -3.72 -1.56 -0.69 -0.32 -0.04 0.33 0.75 4.02 1.39
4 -3.69 -2.39 -1.59 -0.67 -0.25 -0.05 0.12 0.38 0.76 1.03 1.42
5 -2.05 -1.36 -0.91 -0.38 -0.11 0.04 0.17 0.40 0.77 1.04 1.41
6 -1.29 -0.91 -0.64 -0.28 -0.06 0.07 0.19 0.41 0.77 1.04 1.39
7 3 -13.00 -7.39 -4.45 — 1.87 -0.89 -0.48 -0.16 0.26 0.68 0.90 1.20
4 -4.67 -2.95 -1.94 -0.84 -0.36 -0.13 0.05 0.32 0.66 0.89 1.20
5 -2.48 -1.59 -1.10 -0.48 -0.17 -0.02 0.12 0.34 0.66 0.89 1.21
6 -1.54 -1.04 -0.73 -0.32 -0.10 0.03 0.15 0.35 0.67 0.90 1.20
7 -1.09 -0.79 -0.56 -0.26 -0.06 0.05 0.17 0.36 0.68 0.90 1.18
В 3 - 14.36 -8.15 -5.01 -2.14 -1.04 -0.58 -0.21 0.24 0.67 0.88 1.12
4 -5.34 -3.30 -2.18 -0.99 -0.43 -0.19 0.02 0.30 0.64 0.83 1.07
5 -2.78 -1.86 -1.25 -0.56 -0.22 -0.05 0.10 0.32 0.62 0.82 1.07
6 -1.80 -1.20 -0.83 -0.36 -0.12 0.01 0.13 0.33 0.63 0.82 1.08
7 -1.28 -0.88 -0.61 -0.27 -0.07 0.04 0.15 0.33 0.63 0.82 1.08
8 -0.97 -0.70 -0.50 -0.22 -0.05 0.06 0.16 0.34 0.63 0.82 1.07
9 3 -15.68 -9.12 -5.64 -2.38 -1.17 -0.66 -0.28 0.20 0.66 0.86 1.06
4 -6.31 -3.78 -2.47 -1.08 -0.50 -0.24 -0.01 0.28 0.61 0.79 1.00
5 -3.19 -2.10 - 1.40 -0.63 -0.26 -0.08 0.08 0.30 0.58 0.76 0.98
6 -2.01 -1.38 -0.94 -0.41 -0.15 -0.01 0.11 0.30 0.57 0.76 0.99
7 -143 -0.99 -0.70 -0.31 -0.10 0.02 0.13 0.31 0.57 0.76 0.99
8 -1.08 -0.76 -0.55 -0.25 -0.07 0.04 0.14 0.31 0.58 0.76 0.99
9 -0.87 -064 -0.47 -0.21 -0.05 0.05 0.15 0.32 0.58 0.76 0.98
Пример г»4 имеем Г0|0 — О.76.
568 Приложения
Продолжение
п г 0.02 0.05 0.10 0.25 1 — а 0.40 0.50 0.60 0.75 0 90 0.95 0.98
10 3 - 17.45 -9.98 -6.05 -2.58 -1.29 -0.76 -0.34 0.17 0.66 0.87 1.07
4 -6.54 -4.17 -2.70 -1.22 -0.58 -0.28 -0.04 0.27 0.60 0.77 0.96
5 -3.56 -2.37 -1.56 -0.73 -0.31 -0.12 0.05 0.28 0.56 0.72 0.93
6 -2.21 -1.51 -1.03 -0.48 -0.19 -0.04 0.09 0.28 0.54 0.71 0.92
7 - 1.56 -1.08 -0.77 -0.35 -0.12 -0.00 0.11 0.28 0.54 0.70 0.93
8 -1.20 -0.86 -0.62 -0.27 -0.08 0.02 0.12 0.28 0.53 0.71 0.93
9 -0.97 -0.70 -0.50 -0.23 -0.06 0.04 0.13 0.29 0.54 0.71 0.93
10 -0.80 -0.60 -0.44 -0.20 -0.04 0.04 0.14 0.29 0.54 0.71 0.92
11 3 -18.52 -10.68 -6.42 -2.76 -1.41 -0.85 -0.42 0.13 0.65 0.87 1.07
4 -7.26 -4.57 -2.95 -1.37 -0.66 -0.36 -0.10 0.24 0.58 0.75 0.92
5 -4.00 -2.58 -1.75 -0.81 -0.37 -0.16 0.01 0.26 0.54 0.69 0.88
6 -2.45 -1.67 -1.16 -0.53 -0.22 -0.07 0.06 0.26 0.52 0.66 0.85
7 -1.70 -1.21 -0.85 -0.40 -0.15 -0.02 0.09 0.26 0.50 0.65 0.86
8 -1.30 -0.92 -0.66 -0.30 -0.11 0.00 0.10 0.26 0.50 0.65 0.86
9 -1.06 -0.76 -0.54 -0.25 -0.08 0.02 0.11 0.26 0.50 0.65 0.86
10 -0.87 -0.63 -0.46 -0.21 -0.06 0.03 0.12 0.27 0.50 0.65 0.86
11 -0.75 -0.55 -0.42 -0.19 -0.05 0.03 0.12 0.27 0.50 0.65 0.85
12 3 -19.08 -11.23 -6.92 -3.03 -1.58 -0.97 -0.49 0.10 0.64 0.88 1.10
4 -7.44 -4.81 -3.17 -1.47 -0.74 -0.40 -0.14 0.21 0.58 0.75 0.92
5 -4.17 -2.72 -1.88 -0.89 -0.42 -0.20 -0.01 0.24 0.53 0.68 0.84
6 -2.63 -1.83 -1.27 -0.60 -0.26 -0.10 0.05 0.25 0.50 0.64 0.81
7 -1.91 -1.32 -0.92 -0.42 -0.17 -0.04 0.08 0.25 0.48 0.62 0.80
8 -1.41 -1.00 -0.71 -0.33 -0.12 -0.01 0.09 0.25 0.48 0.62 0.79
9 -1.15 -0.80 -0.58 -0.27 -0.09 0.01 0.10 0.25 0.47 0.62 0.80
10 -0.91 -0.67 -0.48 -0.23 -0.07 0.02 0.11 0.25 0.47 0.62 0.80
11 -0.78 -0.58 -0.43 -0.20 -0.06 0.03 0.11 0.25 0.47 0.62 0.80
12 -0.69 -0.53 -0.39 -0.19 -0.05 0.03 0.11 0.25 0.47 0.62 0.79
13 3 -19.77 -11.66 -7.41 -3.21 -1.64 -1.02 -0.54 0.08 0.65 0.88 1.09
4 -8.22 -5.21 -3.37 -1.60 -0.82 -0.48 -0.19 0.20. 0.59 0.76 0.93
5 -4.44 -2.95 -1.99 -0.96 -0.47 -0.24 -0.04 0.24 0.54 0.68 0.84
6 -2.86 -1.94 -1.35 -0.66 -0.31 -0.13 0.03 0.25 0.51 0.64 0.79
7 -2.04 -1.40 -0.98 -0.46 -0.19 -0.06 0.06 0.25 0.47 0.61 0.77
8 -1.52 -1.06 -0.77 -0.36 -0.14 -0.02 0.08 0.24 0.46 0.59 0.75
9 -1.18 -0.86 -0.61 -0.29 -0.10 -0.00 0.09 0.24 0.45 0.58 0.74
10 -1.00 -0.72 -0.52 -0.24 -0.08 0.01 0.10 0.24 0.45 0.58 0.74
11 -0.85 -0.63 -0.45 -0.21 -0.06 0.02 0.11 0.24 0.45 0.58 0.75
12 -0.74 -0.56 -0.41 -0.19 -0.05 0.03 0.11 0.25 0.45 0.59 0.75
Р -067 -0.51 -0.38 -0.18 -0.05 0.04 0.11 0.25 0.45 0.59 0.75
Приложения 569
Продолжение
1 — а
п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
14 3 -21.43 -12.49 -7.65 -3.31 -1.71 -1.08 -0.57 0.06 0.65 0.90 1.11
4 -8.30 -5.38 -3.53 -1.68 -0.87 -0.49 -0.20 0.19 0.59 0.77 0.94
5 -4.72 -3.13 -2.17 -1.03 -0.51 -0.26 -0.04 0.24 0.54 0.69 0.84
6 -3.07 -2.10 -1.45 -0.70 -0.32 -0.14 0.02 0.24 0.50 0.63 0.79
7 -2.16 -1.50 -1.06 -0.50 -0.22 -0.07 0.06 0.24 0.47 0.60 0.75
8 -1.67 -1.15 -0.81 -0.39 -0.15 -0.04 0.08 0.24 0.45 0.58 0.73
9 -1.30 -0.93 -0.66 -0.30 -0.11 -0.01 0.09 0.23 0.44 0.56 0.72
10 -1.07 -0.76 -0.54 -0.26 -0.09 0.00 0.09 0.23 0.43 0.56 0.72
11 -0.89 -0.65 -0.48 -0.22 -0.07 0.01 0.09 0.23 0.43 0.56 0.72
12 -0.76 -0.57 -0.42 -0.19 -0.06 0.02 0.10 0.23 0.43 0.56 0.72
13 -0.68 -0.51 -0.38 -0.18 -0.05 0.02 0.10 0.23 0.43 0.56 0.72
14 -0.63 -0.47 -0.36 -0.17 -0.05 0.03 0.10 0.23 0.43 0.56 0.72
3 -23.14 -13.14 -8.14 -3.63 -1.92 -1.20 -0.65 0.02 0.64 0.89 1.12
4 -8.79 -5.55 -3.74 -1.78 -0.94 -0.55 -0.23 0.19 0.60 0.78 0.95
5 -4.88 -3.35 -2.27 -1:10 -0.56 -0.29 -0.07 0.23 0.55 0.70 0.85
6 -3.21 -2.21 -1.55 -0.75 -0.36 -0.17 -0.00 0.23 0.50 0.64 0.78
7 -2.29 -1.56 -1.11 -0.55 -0.25 -0.09 0.04 0.23 0.47 0.59 0.74
8 -1.72 -1.20 -0.86 -0.42 -0.18 -0.05 0.06 0.23 0.45 0.57 0.71
9 -1.35 -0.96 -0.70 -0.35 -0.13 -0.03 0.07 0.23 0.43 0.56 0.69
10 -1.10 -0.82 -0.59 -0.28 -0.10 -0.01 0.08 0.23 0.42 0.55 0.68
11 -0.96 -0.70 -0.51 -0.24 -0.08 0.01 0.09 0.23 0.42 0.54 0.69
12 -0.83 -0.62 -0.45 -0.21 -0.07 0.01 0.09 0.23 0.41 0.54 0.68
13 -0.73 -0.55 -0.41 -0.19 -0.06 0.02 0.10 0.23 0.41 0.54 0.68
14 -0.66 -0.50 -0.37 -0.18 -0.05 0.03 0.10 0.22 0.41 0.54 0.68
15 -0.59 -0.46 -0.35 -0.17 -0.04 0.03 0.10.0.23 0.42 0.54 0.68
16 3 -22.72 -13.55 -8.42 -3.73 -2.01 -1.27 -0.69 0.00 0.66 0.92 1.13
4 -9.38 -5.89 -3.92 -1.89 -0.99 -0.58 -0.24 0.18 0.60 0.79 0.97
5 -5.17 -3.45 -2.35 -1.15 -0.58 -0.32 -0.10 0.21 0.54 0.70 0.85
6 -3.34 -2.34 -1.64 -0.79 -0.38 -0.19 -0.01 0.22 0.50 0.63 0.77
7 -2.42 -1.68 -1.19 -0.57 -0.27 -0.11 0.03 0.23 0.46 0.59 0.73
8 -1.81 -1.30 -0.93 -0.44 -0.19 -0.06 0.05 0.22 0.44 0.56 0.70
9 -1.44 -1.05 -0.74 -0.36 -0.14 -0.03 0.07 0.22 0.42 0.54 0.68
10 -1.18 -0.86 -0.61 -0.29 -0.11 -0.01 0.07 0.21 0.41 0.53 0.67
11 -1.00 -0.72 -0.52 -0.25 -0.08 0.00 0.08 0.21 0.41 0.52 0.66
12 -0.87 -0.64 -0.46 -0.21 -0.07 0.01 0.09 0.21 0.40 0.52 0.66
13 -0.76 -0.56 -0.41 -0.19 -0.06 0.02 0.09 0.21 0.40 0.52 0.66
14 -0.68 -0.51 -0.37 -0.17 -0.05 0.03 0.10 0.21 0.40 0.52 0.66'
15 -0.61 -0.46 -0.35 -0.16 -0.04 0.03 0.10 0.22 0.40 0.52 0.66
16 -0.56 -0.44 -0.33 -0.15 -0.04 -0.03 0.10 0.22 0.40 0.52 0.66
570 Приложения
Продолжение
п Г 0.02 0.05 0.10 0.25 1 -а 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
17 3 -24.35 -13.91 -8.80 -3.79 -2.01 -1.27 -0.69 0.04 0.69 0.95 1 17
4 -9.31 -6.05 -4.07 -1.92 -1.00 -0.60 -0.26 0.17 0.62 0.81 0.98
5 -5.32 -3.60 -2.50 -1.21 -0.62 -0.34 -0.10 0.21 0.55 0.72 0.86
6 -3.54 -2.43 -1.75 -0.85 -0.42 -0.21 -0.03 0.23 0.50 0.64 0.78
7 -2.60 -1.82 -1.28 -0.62 -0.29 -0.13 0.02 0.22 0.46 0.59 071
8 -1.94 -1.39 -0.98 -0.48 -0.21 -0.07 0.05 0.22 0.44 0.55 0.68
9 -1.49 -1.11 -0.78 -0.38 -0.17 -0.05 0.06 0.21 0.42 0.53 0.66
10 -1.25 -0.92 -0.66 -0.32 -0.13 -0.03 0.07 0.21 0.40 0.51 0.64
11 -1.07 -0.77 -0.56 -0.27 -0.10 -0.01 0.07 0.21 0.39 0.50 0.63
12 -0.90 -0.67 -0.50 -0.24 -0.08 -0.00 0.08 0.21 0.39 0.49 0.63
13 -0.80 -0.59 -0.44 -0.21 -0.07 0.01 0.08 0.20 0.38 0.49 0.63
14 -0.72 -0.54 -0.40 -0.19 -0.06 0.01 0.08 0.20 0.38 0.49 0.63
15 -0.65 -0.49 -0.36 -0.18 -0.05 0.02 0.09 0.20 0.38 0.48 0.62
16 -0.60 -0.46 -0.34 -0.16 -0.05 0.02 0.09 0.21 0.38 0.48 0.63
17 -0.56 -0.43 -0.32 -0.16 -0.05 0.02 0.09 0.21 0.38 0.49 0.63
18 3 -25.92 -14.29 -8.73 -3.84 -2.01 -1.27 -0.69 0.02 0.69 0.97 1.21
4 -9.67 -6.23 -4.12 -2.00 -1.04 -0.63 -0.29 0.17 0.62 0.83 1.00
5 -5.55 -3.74 -2.59 -1.27 -0.66 -0.36 -0.12 0.21 0.56 0.72 0.87
6 -3.67 -2.56 -1.77 -0.88 -0.43 -0.23 -0.03 0.22 0.51 0.65 0.78
7 -2.64 -1.87 -1.31 -0.65 -0.31 -0.14 0.01 0.22 0.47 0.60 0.72
8 -2.02 -1.42 -1.02 -0.51 -0.23 -0.09 0.04 0.22 0.44 0.55 0.68
9 -1.62 -1.16 -0.83 -0.40 -0.17 -0.06 0.05 0.21 0.42 0.52 0.65
10 -1.33 -0.95 -0.67 -0.33 -0.13 -0.03 0.06 0.21 0.40 0.50 0.63
11 -1.13 -0.81 -0.58 -0.28 -0.11 -0.01 0.07 0.21 0.38 0.49 0.62
12 -0.95 -0.69 -0.50 -0.24 -0.08 -0.00 0.08 0.20 0.37 0.48 0.61
13 -0.84 -0.61 -0.45 -0.21 -0.07 0.01 0.08 0.20 0.37 0.48 0.61
14 -0.74 -0.55 -0.40 -0.19 -0.06 0.01 0.08 0.20 0.37 0.48 0.60
15 -0.67 -0.50 -0.37 -0.18 -0.05 0.02 0.09 0.20 0.37 0.48 0.61
16 -0.61 -0.46 -0.35 -0.16 -0.05 0.02 0.09 0.20 0.37 0.48 0.60
17 -0.57 -0.44 -0.32 -0.15 -0.04 0.02 0.09 0.20 0.37 0.48 0.61
18 -0.54 -0.41 -0.31 -0.15 -0.04 0.02 0.09 0.20 0.37 0.48 0.61
Приложения 571
Продолжение
1- a -
n r 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
19 3 -25.46 -14.84 -9.23 -4.11 -2.17 -1.37 -0r77J -0.02 0.68 0.96 1.22
4 -10.39 -6.56 -4.35 -2.08 -1.13 -0.67 -0.31 0.15 0.62 0.83 1.01
5 -5.84 -3.94 -2.68 -1.31 -0.69 -0.39 -0.14 0.21 0.57 0.72 0.87
6 -3.76 -2.62 -1.84 -0.92 -0.46 -0.24 -0.05 0.22 0.51 0.65 0.78
7 -2.77 -1.94 -1.38 -0.68 -0.33 -0.16 0.00 0.22 0.47 0.59 0.71
8 -2.11 -1.50 -1.07 -0.53 -0.25 -0.10 0.04 0.22 0.43 0.55 0.67
9 -1.67 -1.20 -0.87 -0.42 -0.19 -0.06 0.05 0.21 0.41 0.52 0.63
10 -1.37 -0.98 -0.72 -0.35 -0.14 -0.04 0.06 0.21 0.40 0.50 0,62
11 -1.13 -0.84 -0.61 -0.29 -0.11 -0.02 0.07 0.20 0.38 0.48 0.61
12 -0.97 -0.72 -0.53 -0.25 -0.09 -0.01 0.07 0.20 0.37 0.48 0.60
13 -0.84 -0.63 -0.46 -0.22 -0.08 0.00 0.08 0.20 0.36 0.47 0.59
14 -0.75 -0.56 -0.41 -0.20 -0.07 0.01 0.08 0.20 0.36 0.47 0.59
15 -0.68 -0.51 -0.37 -0.18 -0.06 0.01 0.08 0.19 0.36 0.47 0.59
16 -0.62 -0.47 -0.35 -0.17 -0.05 0.02 0.08 0.19 0.36 0.46 0.59
17 -0.58 -0.44 -0.33 -0.16 -0.05 0.02 0.08 0.19 0.36 0.46 0.58
18 -0.54 -0.41 -0.31 -0.15 -0.04 0.02 0.08 0.19 0.36 0.46 0.59
19 -0.51 -0.39 -0.30 -0.15 -0.04 0.02 0.09 0.20 0.36 0.46 0.59
20 3 -26.67 -15.33 -9.32 -4.12 -2.18 -1.40 -0.79 -0.02 0.71 0.99 1.25
4 -10.49 -6.64 -4.47 -2.15 -1.16 -0.70 -0.34 0.15 0.62 0.83 1.02
5 -5.99 -4.00 -2.78 -1.37 -0.71 -0.41 -0.16 0.19 0.56 0.73 0.89
6 -3.95 -2.73 -1 94 -0.96 -0.49 -0.26 -0.06 0.21 0.51 0.65 0.79
7 -2.91 -2.04 -1.43 -0.72 -0.35 -0.17 -0.01 0.21 0.46 0.59 0.72
8 -2.20 -1.55 -1.11 -0.55 -0.26 -0.11 0.02 0.21 0.43 0.55 0.68
9 -1.72 -1.26 -0.91 -0.44 -0.19 -0.07 0.04 0.21 0.41 0.52 0.63
10 -1.42 -1.03 -0.75 -0.37 -0.15 -0.05 0.05 0.20 0.39 0.49 0.60
11 -1.19 -0.88 -0.63 -0.31 -0.13 -0.03 0.06 0.20 0.38 0.47 0.59
12 -1.02 -0.76 -0.56 -0.26 -0.10 -0.01 0.07 0.20 0.36 0.46 0.59
13 -0.89 -0.67 -0.49 -0.23 -0.08 -0.00 0.07 0.19 0.35 0.46 0.58
14 -0.80 -0.59 -0.43 -0.20 -0.07 0.01 0.08 0.19 0.35 0.45 0.57
15 -0.72 -0.53 -0.39 -0.19 -0.06 0.01 0.08 0.19 0.35 0.45 0.57
16 -0.65 -0.49 -0.37 -0.17 -0.05 0.02 0.08 0.19 0.35 0.45 0.57
17 -0.60 -0.46 -0.35 -0.16 -0.05 0.02 0.08 0.19 0.35 0.45 0.57
18 -0.56 -0.43 -0.33 -0.15 -0.04 0.02 0.08 0.19 0.35 0.45 0.57
19 -0.53 -0.41 -0.31 -0.14 -0.04 0.02 0.08 0.19 0.35 0.45 0.57
20 -0.50 -0.40 -0.30 -0.14 -0.04 0.02 0.09 0.19 0.35 0.45 0.57
^Источник: Mann, N. R.; К. W. Fertig and E. M. Scheuer: Confidence and Tolerance Bounds and a New Goodness-of-Fit Test for Two-Parameter Weibull or Extreme-Value Distribution (With Tables for Censored Samples of Size 3(1)25); Aerospace Research Laboratories, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio^ ARL 71-0077, May 1971.
Приложение 12. Процентили распределения статистики Fr
Процентили распределения статистики Vо,9о
1 -а
П г 0.02 0.05 0.10 0.25 О.4О“б75О 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
3 3 0.75
4 3 0.78
4 0.87
5 3 0.78
4 0.97
5 0.97
6 3 0.73
4 1.00
5 1.02
6 1.02
7 3 0.64
4 1-04
5 1.08
6 1.08
7 1.08
1.10 1.43
1.16 1.49
1.16 1.46
1.18 1.51
L23 1.51
1.23 1.49
1.18 1.53
1.28 1.55
1.29 1.54
1.27 1.53
1.18 1.53
1.31 1.58
1.33 1.57
1.32 1.56
1.32 1.55
2.18 2.88
2.18 2.82
2.06 2.60
2.17 2.79
2.09 2.61
2.02 2.49
2.15 2.73
2.10 2.60
2.05 2.50
2.01 2.42
2.13 2.66
2.10 2.57
2.06 2.49
2.03 2.42
2.00 2.37
3.40 4.06
3.33 3.96
2.99 3.45
3.27 3.87
2.99 3.44
2.82 3.20
3.18 3.74
2.98 3.41
2.82 3.21
2.70 3.04
3.08 3.60
2.91 3.33
2.80 3.15
2.70 3.01
2.62 2.90
5.50 8.99
538 9.03
4.40 6.47
5.24 8.78
4.40 6.49
3.93 5.48
4.98 8.24
4.30 6.33
3.94 5.42
3.67 4.86
4.79 7.80
4.21 6.16
3.87 5.36
3.63 4.86
3.44 4.46
13.16 20.93
13.07 20.23
8.39 11.66
12.58 20.38
8.48 11.73
6.73 8.66
11.74 18.65
8.18 11.39
6.73 8.89
5.83 7.31
11.12 17.54
7.89 10.90
6.68 8.44
5.82 7.23
5.25 6.37
Источник: Mann N. R,, Fertig К. W., Scheuer Е. М., Tolerance Bounds and a New Goodness-of-Fit Test for Two-Parameter Weibull or Extreme-Value Distribution [with Tables for Censored Samples of Size 3 (1)251, Aerospace Research Laboratories, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, ARL 71-0077, May 1971,
Приложения 573
Процентили распределения статистики Vo,so (продолжение)
п 1 — а 0.98
г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95
8 3 0.49 1.13 1.52 2.11 2.62 3.01 3.48 4.62 7.51 10.67 16.36
4 1.04 1.33 1.60 2.10 2.56 2.88 3.27 4.10 5.96 7.79 10.76
5 1.11 1.36 1.60 2.08 2.49 2.78 3.12 3.82 5.28 6.50 8.62
6 . 1-13 1.36 1.59 2.05 2.43 2.71 3.02 3.62 4.83 5.83 7.18
7 1.12 1.36 1.58 2.03 2.38 2.64 2.93 3.46 4.49 5.31 6.40
8 1.12 1.36 1.58 2.01 2.34 2.57 2.83 3.32 4.21 4.90 5.84
9 3 0.42 1.12 1.51 2.09 2.57 2.95 3.40 4.43 7.14 10.21 15.61
4 1.06 1.36 1.61 2.10 2.52 2.84 3.21 4.00 5.77 7.39 10.26
5 1.17 1.41 1.63 2.08 2.47 2.76 3.08 3.76 5.13 6.34 8.13-
6 1.19 1.41 1.62 2.06 2.43 2.70 2.99 3.59 4.74 5.67 7.06
7 1.19 1.41 1.62 2.04 2.39 2.64 2.91 3.45 4.48 5.28 6.46
8 1.19 1.40 1.61 2.02 2.36 2.59 2.84 3.34 4.26 4.95 5.94
9 1.19 1.40 1.60 2.00 2.33 2.55 2.78 3.22 4.04 4.66 5.50
10 3 0.09 0.99 1.46 2.05 2.51 2.84 3.27 4.25 ’ 6.75 9.36 14.88
4 0.99 1.34 1.62 2.08 2.48 2.77 3.13 3.90 5.56 7.17 9.60
5 1.17 1.42 1.64 2.07 2.45 2.71 3.02 3.67 5.00 6.13 8.02
6 1.20 1.43 1.64 2.05 2.41 2.66 2.94 3.53 4.67 5.59 6.99
7 1.21 1.43 1.64 2.04 2.38 2.62 2.88 3.41 4.41 5.18 6.29
8 1.21 1.43 1.63 2.02 2.35 2.58 2.83 3.31 4.22 4.91 5.83
9 1.21 1.42 1.63 2.01 2.32 2.54 2.77 3.22 4.03 4.63 5.51
10 1.21 1.42 1х62 1.99 2.30 2.50 2.72 3.13 3.86 4.41 5.16
11 3 -0.09 0.90 1.42 2.01 2.45 2.77 3.17 4.07 6.41 9.11 14.47
4 0.97 1.35 1.61 2.06 2.44 2.73 3.06 3.79 5.46 7.04 9.98
5 1.18 1.43 1.64 2.05 2.41 2.68 2.98 3.60 4.90 6.07 7.83
6 1.24 1.45 1.64 2.04 2.38 2.63 2.91 3.4б 4.58 5.52 6.96
7 1.25 1.45 1.64 2.03 2.35 2.59 2.86 3.36 4.36 4.16 6.34
8 1.25 1.45 1.64 2.01 2.33 2.56 2.80 3.28 4.15 4.87 5.82
9 1.25 1.44 1.64 2.00 2.31 2.53 2.76 3.21 4.01 4.63 5.54
10 1.25 1.44 1.64 1.99 2.29 2.49 2.71 3.14 3.87 4.44 5.23
11 1.25 1.45 1.63 1.98 2.28 2.46 2.67 3.06 3.76 4.26 4.94
574 Приложения
Процентной распределения статистики Vo 90 (продолжение)
1 - а
п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
12 3 -0.38 0.75 1.37 1.98 2.41 2.71 3.08 3.89 6.00 8.40 12.96
4 0.95 1.34 1.60 2.05 2.42 2.69 3.00 3.67 5.17 6.60 9.07
5 1.20 1.44 1.66 2.05 2.40 2.65 2.93 3.52 4.72 5.79 7.35
6 1.26 1.46 1.67 2.04 2.38 2.62 2.88 3.39 4.41 5.31 6.61
7 1.28 1.47 1.67 2.03 2.36 2.58 2.82 3.30 4.21 4.98 6.09
8 1.28 1.47 1.66 2.02 2.34 2.54 2.78 3.22 4.06 4.75 5.71
9 1.27 1.46 1.66 2.01 2.31 2.52 2.74 3.16 3.94 4.53 5.40
10 1.27 1.47 1.65 2.00 2.30 2.49 2.70 З.Н 3.87 4.37 5.11
11 1.27 1.46 1.64 2.00 2.28 2.47 2.67 З.Й5 3.72 4.23 4.88
12 1,28 1.47 1.64 1.99 2.27 2.44 2.63 3.00 3.62 4.07 4.68
13 3 -0.45 0.72 1.34 1.99 2.40 2.69 3.04 3.85 5.88 8.16 12.45
4 0.88 1.31 1.60 2.06 2.42 2.68 2.98 3.64 5.10 6.45 8.82
5 1.20 1.45 1.67 2.07 2.40 2.64 2.92 3.49 4.71 5.75 7.32
6 1.27 1.48 1.68 2.07 2.38 2.61 2.86 3.38 4.43 5.30 6.49
7 1.30 1.49 1.68 2.06 2.36 2.58 2.82 3.30 4.23 4.96 6.02
8 1.30 1.49 1.68 2.04 2.34 2.55 2.78 3.22 4.06 4.73 5.63
9 1.30 1.49 1.68 2.03 2.33 2.52 2.75 3.16 3.94 4.55 5.32
10 1.30 1.49 1.68 2.03 2.31 2.50 2.72 3.12 3.83 4.37 5.11
11 1.30 1.49 1.68 2.02 2.30 2.48 2.69 3.06 3.74 4.23 4.90
12 1.30 1.49 1.67. 2.01 2.28 2.46 2.65 3.02 3.65 4.09 4.73
13 1.30 1.49 1.67 2.01 2.27 2.44 2.62 2.97 3.57 3.97 4.51
14 3 -0.81 0.57 1.25 1.93 2.34 2.62 2.95 3.70 5.56 7.69 11.56
4 0.83 1.29 1.59 2.03 2.37 2.62 2.92 3.54 4.93 6.17 8.28
5 1.18 1.46 1.67 2.05 2.36 2.60 2.86 3.42 4.58 5.54 6.96
6 1.28 1.51 1.69 2.05 2.35 2.57 2.82 3.34 4.33 5.12 6.27
7 1.32 1.52 1.69 2.04 2.34 2.55 2.78 3.27 4.15 4.82 5.75
8 1.33 1.52 1.69 2.03 2.33 2.52 2.74 3.19 4.03 4.61 5.47
9 1.33 1.52 1.69 2.03 2.31 2.50 2.71 3.14 3.90 4.45 5.18
10 1.33 1.51 1.68 2.02 2.30 2.48 2.70 3.09 3.78 4.30 4.94
11 1.33 1.51 1.68 2.01 2.28 2.47 2.67 3.05 3.71 4.20 4.79
12 1.33 1.51 1.68 2.01 2.27 2.45 2.65 3.01 3.64 4.09 4.67
13 1.33 1.51 1.68 2.00 2.26 2.43 2.62 2.97 3.55 3.98 4.51
14 1.33 1.51 1.68 2.00 2.25 2.42 2.60 2.93 3.46 3.85 4.36
Приложения 575
Процентили распределения статистики V0 90 (продолжение)
1 -а
П г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
15 3 -1.05 0.43 1.19 1.91 2.33 2.60 2.91 3.64 5.39 7.23 10.78
4 0.77 1.26 1.59 2.03 2.37 2.61 2.89 3.49 4.78 5.95 7.94
5 1.15 1.44 1.67 2.06 2.37 2.59 2.85 3.38 4.43 5.36 6.85
6 1.29 1.50 1.69 2.06 2.36 2^7 2.81 3.30 4.22 4.97 6.19
7 1.33 1.52 1.70 2.06 2.35 2.55 2.78 3.23 4.08 4.72 5.77
8 1.34 1.52 1.70 2.05 2.33 2.53 2.74 3.17 3.95 4.57 5.40
9 1.35 1.52 1.69 2.04 2.32 2.51 2.72 3.13 3.85 4.40 5.16
10 1.35 1.52 1.69 2.04 2.31 2.49 2.69 3.09 3.76 4.26 4.95
11 1.35 1.52 1.69 2.03 2.30 2.48 2.67 3.04 3.69 4.15 4.76
12 1.34 1.52 1.69 2.02 2.28 2.46 2.64 3.00 3.62 4.08 4.62
13 1.35 1.52 1.68 2.01 2.27 2.44 2.63 2.96 3.55 3.98 4.51
14 1.35 1.51 1.69 2.01 2.27 2.43 2.60 2.93 3.49 3.89 4.39
15 1.35 1.52 1.68 2.01 2.25 2.41 2.58 2.89 3.41 3.77 4.23
16 3 -1.38 0.25 1.10 1.90 2.31 2.57 2.88 3.57 5 22 7.07 10.49
4 0.74 1.23 1.58 2.03 2.37 2.59 2.87 3.45 4.72 5.90 7.94
5 1.17 1.45 1.68 2.06 2.37 2.59 2.84 3.36 4.42 5.33 6.73
6 1.30 1.52 1.71 2.07 2.36 2.57 2.81 3.28 4.20 4.98 6.18
7 1.35 1.53 1.72 2.06 2.35 2.56 2.77 3.21 4.05 4.74 5.81
8 1.37 1.54 1.72 2.06 2.34 2.53 2.75 3.16 3.94 4.56 5.38
9 1.37 1.54 1.72 2.05 2.33 2.51 2.72 3.11 3.84 4.38 5.77
10 1.37 1.54 1.71 2.04 2.31 2.50 2.70 3.08 3.74 4.24 4.97
11 1.37 1.54 1.71 2.04 2.30 2.48 2.68 3.04 3.67 4.13 4.79
12 1.37 1.54 1.71 2.03 2.29 2.46 2.65 3.00 3.60 4.05 4.65
13 1.37 1.54 1.71 2.03 2.28 2.45 2.63 2.97 3.52 3.94 4.49
14 1.37 1.54 1.71 2.02 2.27 2.43 2.61 2.94 3.48 3.87 4.38
15 1.37 1.54 1.71 2.02 2.26 2.42 2.59 2.90 3.41 3.79 4.26
16 1.38 1.54 1.71 2.02 2.26 2.40 2.56 2.87 3.36 3.71 4.16
17 3 -1.56 0.10 1.03 1.86 2.26 2.50 2.79 3.41 4.96 6.54 9.76
4 0.61 1.18 1.56 2.01 2.32 2.54 2.80 3.33 4.48 5.56 7.33
5 1.08 1.43 1.67 2.04 2.33 2.54 2.78 3.27 4.24 5.09 6.35
6 1.28 1.52 1.71 2.05 2.33 2.52 2.75 3.20 4.07 4.76 5.81
7 1.34 1.54 1.72 2.05 2.32 2.51 2.72 3.14 3.95 4.56 5.44
8 1.36 1.55 1.72 2.04 2.31 2.49 2.69 3.10 3.85 4.41 5.19
9 1.37 1.56 1.72 2.04 2.30 2.48 2.67 3.05 3.76 4.28 4.97
10 1.38 1.55 1.72 2.03 2.29 2.47 2.65 3.01 3.69 4.16 4.80
11 1.38 1.55 1.72 2.03 2.28 2.45 2.64 2.98 3.62 4.05 4.66
12 1.38 1.55 1.71 2.02 2.27 2.44 2.62 2.95 3.56 3.98 4.53
13 1.38 1.55 1.71 2.02 2.26 2.42 2.60 2.97 ,3.50 3.90 4.45
14 1.38 1.55 1.71 2.01 2.25 2.42 2.58 2.90 3.45 3.83 4.31
15 1.38 1.55 1.71 2.01 2.25 2.40 2.57 2.88 3.40 3.76 4.19
16 1.38 1.55 1.71 2.00 2.24 2.39 2.55 2.85 3.35 3.70 4.10
17 1.38 1,55 1.71 2.00 2.24 2,38 2.53 2.82 3.29 3.62 4.04
576 Приложения
Процентили распределения статистики У090 (продолжение)
1 — а
п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
18 3 -1.61 0.11 1.01 1.85 2.26 2.50 2.77 3.38 4.81 6.43 9.64
4 0.66 1.19 1.56 2.01 2.32 2.54 2.79 3.32 4.44 5.52 7.38
5 1.10 1.45 1.69 2.05 2.34 2.54 2.77 3.26 4.22 5.04 6.40
6 1.30 1.53 1.73 2.06 2.34 2.53 2.75 3.19 4.06 4.73 5.79
7 1.37 1.56 1.74 2.06 2.33 2.52 2.73 3.14 3.94 4.55 5.41
8 1.40 1.57 1.74 2.06 2.32 2.50 2.71 3.09 3.84 4.39 5.15
9 1.41 1.58 1.74 2.05 2.31 2.49 2.68 3.06 3.75 4.25 4.99
10 1.41 1.58 1.74 2.05 2.30 2.48 2.67 3.03 3.67 4.14 4.80
11 1.41 1.58 1.74 2.05 2.29 2.46 2.65 3.00 3.63 4.05 4.63
12 1.41 1.58 1.74 2.04 2.28 2.45 2.63 2.97 3.56 3.97 4.51
13 1.41 1.57 1.74 2.04 2.28 2.44 2.61 2.94 3.50 3.91 4.40
14 1.41 1.57 1.73 2.03 2.27 2.43 2.60 2.92 3.45 3.84 4.30
15 1.41 1.57 1.73 2.03 2.26 2.42 2.59 2.89 3.40 3.75 4.21
16 1.41 1.57 1.73 2.02 2.26 2.41 2.57 2.87 3.36 3.71 4.14
17 1.41 1.58 1.74 2.02 2.25 2.40 2.55 2.84 3.31 3.66 4.04
18 1.42 1.58 1.74 2.02 2.24 2.39 2.54 2.82 3.27 3.59 3.97
19 3 -2.13 -0.16 0.83 1.81 2.23 2.47 2.72 3.29 4.68 6.09 9.01
4 0.43 1.11 1.51 1.99 2.30 2.51 2.75 3.25 4.32 5.33 7.04
5 1.09 1.44 1.67 2.04 2.33 2.52 2.74 3.20 4.13 4.94 6.21
6 1.30 1.53 1.72 2.05 2.33 2.52 2.72 3.15 3.98 4.67 5.67
7 1.38 1.56 1.74 2.05 2.32 2.50 2.70 3.11 3.87 4.45 5.33
8 1.41 1.58 1.74 2.05 2.31 2.49 2.68 3.07 3.79 4.30 5.09
9 1.42 1.58 1.74 2.05 2.31 2.48 2.67 3.03 3.71 4.23 4.88
10 1.43 1.58 1.74 2.05 2.30 2.46 2.65 3.00 3.64 4.11 4.73
11 1.43 1.58 1.74 2.04 2.29 2.45 2.63 2.98 3.57 4.02 4.63
12 1.43 1.58 1.74 2.04 2.28 2.45 2.62 2.95 3.52 3.94 4.51
13 1.43 1.58 1.74 2.03 2.27 2.43 2.60 2.93 3.48 3.99 4.41
14 1.43 1.58 1.73 2.03 2.26 2.42 2.59 2.90 3.43 3.81 4.29
15 1.42 1.58 1.74 2.03 2.26 2.41 2.57 2.88 3.39 3.75 4.22
16 1.42 1.58 1.73 2.03 2.25 2.40 2.56 2.86 3.36 3.70 4.10
17 1.42 1.58 1.74 2.02 2.25 2.40 2.55 2.84 3.32 3.65 4.06
18 1.42 1.58 1.74 2.02 2.24 2.38 2.54 2.81 3.29 3.59 3.99
19 1.43 1.59 1.74 2.02 2.24 2.38 2.52 2.78 3.24 3.53 3.90
Приложения, 577
Процентили распределения статистики V0t90 (продолжение)
п г 0.02 0.05 0.10 0.25 1 -а 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
20 3 -2.27 -0.19 0.82 1.79 2.20 2.44 2.69 3.23 4.53 6.04 9.01
4 0.46 1.10 1.51 1.99 2.29 2.49 2.72 3.21 4.24 5.24 7.00
5 1.07 1.42 1.67 2.04 2.31 2.50 2.72 3.16 4.04 4.82 6.16
6 1.30 1.54 1.73 2.06 2.32 2.50 2.71 3.13 3.90 4.55 5.68
7 1.38 1.58 1.74 2.06 2.31 2.49 2.69 3.08 3.80 4.41 5.33
8 1.42 1.59 1У75 2.06 2.30 2.48 2.67 3.04 3.71 4.29 5.06
9 1.43 1.60 1.75 2.06 2.29 2.46 2.65 3.01 3.65 4.15 4.85
10 1.44 1.60 1.75 2.05 2.29 2.45 2.64 2.98 3.59 4.05 4.71
11 1.44 1.60 1.75 2.05 2.28 2.44 2.63 2.95 3.54 3.97 4.57
12 "1.44 1.60 1.75 2.04 2.28 2.43 2.61 2.92 3.49 3.92 4.46
13 1.44 1.60 1.75' 2.04 2.27 2.42 2.59 2.90 3.44 3.84 4.39
14 1.44 1.60 1.75 2.04 2.26 2.41 2.58 2.88 3.40 3.77 4.29
15 1.43 1.60 1.75 2.03 2.26 2.40 2.56’ 2.86 3.37 3.72 4.20
16 1.44 1.60 1.75 2.03 2.25 2.40 2.55 2.84 3.33 3.67 4.12
17 1.44 1.60 1.75 2.03 2.24 2.39 2.54 2.82 3.29 3.61 4.04
18 1.44 1.60 1.74 2.02 2.24 2.38 2.53 2.81 3.25 3.57 3.97
19 1.44 1.60 1.75 .2.02 2.24 2.37 2.52 2.78 3.21 3.52 3.92
20 1.44 1.60 1.75 2.02 2.23 2.36 2.51 2.76 3.17 3.47 3.84
19 № 544
578 Приложения
Процентили распределения статистики VOf3S
1 —а
п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
3 3 1.26 1.64 2.04 2.94 3.83 4.49 5.33 7.20 11.85 17.21 27.32
4 3 1.38 1.73 2.11 2.98 3.82 4.47 5.30 7.19 12.17 17.55 27.59
4 1.36 1.69 2.04 2.78 3.44 3.95 4.51 5.73 8.40 10.88 15.06
5 3 1.44 1.79 2.16 3.00 3.81 4.46 5.27 7.16 12.07 17.36 28.30
4 1.45 1.76 2.10 2.82 3.49 3.98 4.56 5.80 8.56 11.14 15.51
5 1.44 1.74 2.06 2.72 3.29 3.70 4.17 5.11 7.06 8.68 11.14
6 3 1.48 1.83 2.20 2.99 3.77 4.37 5.15 6.93 11.53 16.66 26.85
4 1.52 1.83 2.15 2.84 3.49 3.98 4.55 5.75 8.47 10.95 15.32
5 1.51 1.81 2.12 2.76 3.33 3.73 4.21 5.17 7.08 8.82 11.58
6 1.50 1.80 2.10 2.70 3.20 3.56 3.97 4.77 6.27 7.53 9.39
7 3 1.52 1.87 2.22 2.97 3.71 4.30 5.04 6.80 11.20 16.07 25.31
4 1.59 1.88 2.19 2.86 3.47 3.94 4.49 5.69 8.39 10.80 14.80
5 1.59 1.86 2.16 2.78 3.32 3.72 4.18 5.13 7.12 8.84 11.18
6 1.57 1.84 2.14 2.72 3.21 3.57 3.96 4.76 6.33 7.61 9.40
7 1.58 1.85 2.14 2.68 3.14 3.45 3.79 4.47 5.76 6.73 8.19
8 3 1.53 1.90 2.24 2.96 3.67 4.22 4.95 6.61 11.02 15.76 24.57
4 1.63 1.91 2.22 2.87 3.46 3.91 4.44 5.60 8.19 10.74 15.22
5 1.63 1.90 2.20 2.79 3.32 3.71 4.18 5.09 7.07 8.78 11.57
6 1.62 1.89 2.18 2.75 3.24 3.58 3.99 4.77 6.35 7.67 9.43
7 1.62 1.89 2.17 2.71 3.16 3.48 3.83 4.52 5.83 6.91 8.38
8 1.62 1.89 2.17 2.69 3.10 3.38 3.71 4.31 5.44 6.29 7.50
9 3 1.55 1.93 2.26 2.95 3.63 4.18 4.85 6.45 10.71 15.33 23.80
4 1.67 1.96 2.25 2.88 . 3.44 3.86 4.40 5.50 8.02 10.40 14.41 5 1.69 1.95 2.23 2.80 3.33 3.70 4.13 5.07 6.90 8.59 11.05
6 1.68 1.95 2.22 2.76 3.24 3.58 3.98 4.77 6.27 7.51 9.46
7 1.67 1.94 2.21 2.73 3.18 3.50 3.85 4.53 5.86 6.91 8.40
8 1.68 1.94 2.20 270 3.12 3.41 3.73 4.36 5.53 6.39 7.73
9 1.69 1.95 2.19 2.68 3.08 3.35 3.63 4.19 5.72 6.00 7.09
Приложения 579
Процентили распределения статистики VOtas (Продолжение)
1 — а
г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
3 1.51 1.91 2.26 2.91 3.56 4.06 4.70 6.23 10.24 14.50 23.00
4 1.70 1.98 2.27 2.86 3.39 3.81 4.29 5.42 7.81 10.12 13.69
5 1.72 1.97 2.24 2.80 3.31 3.65 4.07 4.97 6.87 8.39 11.00
6 1.71 1.97 2.23 2.76 3.22 3.55 3.93- 4.70 6.24 7.50 9.42
7 1.71 1.96 2.22 2.73 3.18 3.48 3.80 4.50 5.79 6.83 8.29
8 1.70 1.96 2.21 3.71 3.13 3.41 3.72 4.33 5.52 6.40 7.61
9 1.71 1.96 2.21 2.69 3.08 3.35 3.64 4.20 5.23 6.01 7.12
10 1.72 1.96 2.21 2.67 3.04 3.29 3.56 4.08 4.98 5.67 6.65
3 1.48 1.93 2.25 2.88 3.49 3.98 4.59 6.07 9.89 14.11 22.60
4 1.73 2.01 2.27 2.83 3.37 3.76 4.24 5.31 ‘7.71 10.03 14.44
5 1.75 2.01 2.26 2.78 3.27 3.62 4.03 4.89 6.72 8.34 10.93
6 1.75 2.00 2.24 2.74 3.19 3.52 3.90 4.63 6.16 7.42 9.39
7 1.75 1.99 2.23 2.72 3.14 3.45 3.79 4.45 5.79 6.83 8.42
8 1.75 1.99 2.22 2.70 3.10 3.39 3.70 4.31 5.46 6.38 7.65
9 1.75 1.98 2.22 2.68 3.07 3.34 3.63 4.21 5.23 6.04 7.23
10 1.76 2.00 2.22 2.67 3.04 3.28 3.56 4.09 5.03 5.75 6.73
11 1.77 2.00 2.22 2.66 3.01 3.25 3.50 3.98 4.85 5.49 6.35
3 1.42 1.91 2.26 2.87 3.47 3.91 4.50 5.85 9.41 13.40 21.39
4 1.74 2.02 2.28 2.84 3.34 3.72 4.18 5.16 7.42 9.56 13.27
5 1.79 2.03 2.28 2.78 3.26 3.61 3.99 4.82 6.54 8.08 10.40
6 1.79 2.02 2.27 .2.75 3.20 3.52 3.86 4.56 5.97 7.22 9.00
7 1.79 2.02 2.26 2.73 3.14 3.43 3.76 4.40 5.63 6.66 8.08
8 1.79 2.01 2.25 2.71 3.11 3.38 3.68 4.26 5.36 6.27 7.49
9 1.78 2.00 2.24 2.69 3.07 3.33 3.62 4.16 5.16 5.95 7.06
10 1.77 2.01 2.23 2.67 3.04 3.29 3.56 4.07 4.99 5.67 6.63
11 1.78 2.01 2.24 2.67 3.02 3.25 3.51 3.98 4.84 5.47 6.29
12 1.80 2.02 2.24 2.66 3.00 3.22 3.46 3.91 4.68 5.26 6.00
3 1.44 1.92 2.27 2.88 3.45 3.90 4.47 5.84 9.23 13.11 20.76
4 1.78 2.05 2.31 2.84 3.35 3.73 4.18 5.18 7.38 9.47 13.09
5 1.82 2.06 2.30 2.81 3.26 3.60 3.98 4.80 6.57 8.04 10.25
6 1.82 2.05 2.29 2.78 3.21 3.50 3.86 4.58 6.03 7.24 8.89
7 1.82 2.05 2.28 2.75 3.15 3.44 3.75 4.41 5.65 6.68 8.10
8 1.81 2.04 2.27 2.74 3.12 3.39 3.69 4.28 5.40 6.29 7.43
9 1.81 2.04 2.27 2.72 3.10 3.35 3.63 4.16 5.17 6.00 6.99
10 1.81 2.04 2.27 2.70 3.07 3.31 3.58 4.09 5.01 5.70 6.66
11 1.82 2.04 2.27 2.70 3.05 3.27 3.53 4.02 4.87 5.50 6.36
12 1.82 2.04 2.27 2.69 3.02 3.24 3.48 3.95 4.73 5.30 6.12
13 1,83 2,05 2.27 2,68 3.00 3.21 3.43 3,87 4.61 5.12 5.80
19*
580 Приложения
Процентили распределения статистики. (продолжение)
1 —« п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
14 3 1.39 1.92 2.26 2.84 3.39
4 1.77 2.06 2.31 2.82 3.30
5 1.84 2.08 2.31 2.79 3.22
6 1.85 2,08 2.30 2.76 3.17
7 1.85 2.07 2.29 2.73 3.12
8 1.85 2.07 2.28 2.72 3.09
9 1.84 2.07 2.28 2.71 3.07
10 1.85 2.06 2.27 2.70 3.05
11 1.85 2.07 2.28 2.69 3.03
12 1.85 2.07 2.28 2.68 3.01
13 1.85 2.07 2.29 2.68 2.99
14 1.86 2.08 2.28 2.66 2.98
15 3 1.24 1.88 2.24 2.84 3.38
4 1.77 2.06 2.31 2.83 3.3,0
5 1.84 2.09 2.32 2.80 3’.23
6 1.87 2.09 2.31 2.79 3.1'8
7 1.87 2.08 2.30 2.76 3.14
8 1.86 2.08 2.29 2.74 3.11
9 1.86 2.07 2.29 2.73 3.09
10 1.85 2.07 2.28 2.72 3.06
11 1.85 2.07 2.28 2.70 3.04
12 1.86 2.07 2.28 2.70 3.02
13 1.87 2.07 2.28’ 2/69 3.01
14 1.87 2.07 2.28’ 2.68.’ 3.00
15 1.89 2.08 2.28 2.68 2.98
16 3 1.13 1.85 2.25 2.84 3.38
4 1.77 2.06 2.33 2.83 3.30
5 1.87 2.11 2.34 2.81 3.24
6 1.89 2.11 2.33 2.79 3.19
7 1.89 2.10 2.33 2.77 3.15
8 1.89 2.10 2.32 2.75, 3.12
9 1.88 2.09 2.31 2.74 3.10
10 1.88 2.09 2.31 2.72 3.07
11 1.89 2.09 2.30 2.71 3.05
12 1.88 2.09 2.31 2.71 3.03
13 1.89 2.10 2.31 2.70 3.02
14 1.90 2.10 2.31 2.69 3.00
15 1.90 2.11 2.31 2.69 2.99
16 1.92 2.12 2.33 2.69 2.98
3.83 4.36 5.64 8.84 12.73 19.14
3.67 4.09 5.06 7.18 9.10 12.45
3.55 3.93 4.72 ,6.38 7.82 9.93
3.46 3.81 4.52 5.91 7.07 8.71
3.40 3.72 4.38 5.58 6.53 7.78
3.36 3.66 4.25 5.35 6.16 7.30
3.32 3.59. 4.15 5.14 5.88 6.92
3.29 3.56 4.07 4.98 5.65 6.49
3.26 3.51 4.00 4.86 5.48 6.26
3.23 3.47 3.93 4.73 5.31 6.06
3.21 3.44 3.87 4.61 5.14 5.80
3.18 3.41 3.81 4.48 4.97 5.60
3.80 4.35 5.56 8.75 12.22 18.38
3.65 4.07 4.99 7.00 8.90 11.93
3.55 3.92 4.69 6.25 7.64 ..9.79
3.47 3.80 4.48 5.79 6.91 -;8.55
3.41 3.73 4.34 5.50 6.41 7.90
3.36 3.66 4.23 5.29 6.10 7.26
3.33 3.60 4.14 5.11 5.81 6.87
3.30 3.56 4.08 4.96 5.61 6.50
3.27 3.52 3.99 4.84 5.43 6.22
3.25 3.48 3.94 4.73 5.31 6.00
3.22 3.45 3.88 4.63 5.17 5.88
3.20 3.41 3.83 4.53 5.02 5.66
3.18 3.39 3.77 4.43 4.88 5.46
3.78 4.30 5.47 8.49 11.98 18.76
3.64 4.06 4.95 7.00 8.88 12.30
3.54 3.89 4.67 6.28 7.67 9.72
3.48 3.81 4.47 5.80 6.92 8.63
3.42 3.72 4.33 5.51 6.47 7.98
3.38 3.66 4.22 5.28 6.12 121
3.34 3.62 4.13 5.11 5.84 6.92
3.32 3.57 4.07 4.95 5.60 6.60
3.28 3.54 4.00 4.85 5.44 6.30
3.25 3.50 3.94 4.71 5.30 6.06
3.23 3.47 3.89 4.60 5.14 5.87
3.21 3.43 3.84 4.52 5.02 5.68
3.18 3.40 3.79 4.44 4.91 5.53
3.16 3.36 3.74 4.35 4.80 5.35
Приложения 581
Процентили распределения статистики V0t95 (продолжение)
1 -« п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
17 3 1.07 1.84 2.22 2.80 3.29
4 1.76 2.08 2.32 2.80 3.24
5 1.86 2.11 2.33 2.79 3.19
6 1.90 2.11 2.33 2.77 3.15
7 1.90 2.11 2.32 2.76 3.11
8 1.90 2.11 2.32 2.74 3.09
9 1.89 2.10 2.3L 2.73 3.07
10 1.89 2.10 2.31 2.71 3.05
11 1.89 2.10 2.31 2.71 3.03
12 1.89 2.11 2.31 2.70 3.01
13 1.89 2.11 2.31 2.69 3.00
14 1.90 2.12 2.31 2.69 2.99
15 1.90 2.11 2.31 2.68 2.98
16 1.90 2.12 2.31 2.67 2.97
17 1.92 2.12 2.32 2.67 2.96
18 3 1.11 1.83 2.23 2.80 329
4 1.81 2.09 2.34 2.82 3.25
5 1.90 2.14 2.36 2.80 3.20
6 1.93 2.14 2.36 2.78 3.16
7 1.94 2.14 2.35 2.77 3.13
8 1.94 2.14 2.35 2.75 3.10
9 1.94 2.14 2.34 2.74 3.08
10 1.93 2.13 2.34 2.73 3.06
11 1.93 2.13 2.34 2.73 3.04
12 1.93 2.14 2.34 2.72 3.03
13 1.93 2.14 2.33 2.71 3.01
14 1.93 2.13 2.33 2.70 3.01
15 1.94 2.14 2.34 2.70 3.00
16 1.94 2.14 2.34 2.70 2.99
17 1.95 2.15 2.34 2.69 2.97
18 1.97 2.17 2.35 2.69 2.97
3.67 4.15 5.26 8.19 11.24 17.44
3.57 3.95 4.81 6.65 8.45 11.48
3.48 3.83 4.57 5.98 7.34 9.21
3.42 3.75 4.40 5.61 6.67 8.19
3.38 3.67 4.26 5.39 6.26 7.56
3.34 3.61 4.15 5.17 5.95 7.05
3.30 3.56 4.07 5.01 5.72 6.70
3.28 3.52 4.00 4.89 5.53 6.37
3.25 3.48 3.94 4.77 5.35 6.16
3.23 3.45 3.89 4.67 5.23 5.92
3.20 3.4? 3.84 4.58 5.10 5.79
3.19 3.40 3.80 4.51 5.00 5.61
3.17 3.38 3.77 4.43 4.88 5.44
3.15 3.35 3.72 4.34 4.79 5.30
3.14 3.33 3.68 4.27 4.68 5.19
3.66 4.12 5.23 7.96 11.18 17.89
3.56 3.95 4.79 6.66 8.46 11.66
3.49 3.83 4.56 6.00 7.32 9.43
3.43 3.75 4.40 5.63 6.61 8.27
3.38 < 3.68 4.25 5.39 6.23 7.45
3.35 3.63 4.15 5.17 5.95 6.97
3.32 3.58 4.09 5.03 5.72 6.71
3.29 3.54 4.03 4.88 5.51 6.38
3.26 3.51 3.98 4.79 5.35 6.15
3.24 3.48 3.92 4.68 5.23 5.96
3.22 3.45 3.86 4.60 5.12 5.75
3.21 3.42 3.83 4.52 5.01 5.60
3.19 3.40 3.79 4.44. 4.88 5.46
3.18 3.38 3.75 4.37 4.83 5.36
3.1*6 3.35 3.71 4.31 4.74 5.22
3.15 3.33 3.68 4.24 4.65 5.11
582 Приложения
Процентили, распределения статистики Vo 95 (продолжение)
1 —а п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60- 0.75 0.90 0.95 0.98
19 3 0.96 1.73 2.19 4 1.76 2.08 2.34 5 1.90 2.14 2.36 6 1.94 2.15 2.36 7 1.95 2.16 2.35 8 1.95 2.15 2.35 9 1.95 2.15 2.35 10 1.95 2.41 2.34 И 1.95 2.14 2.34 12 1.95 2.14 2.34 13 1.95 2.14 2.34 14 1.95 2.14 2.33 15 1.95 2.14 2.33 16 1.95 2.15 2.33 17 1.95 2.15 2.34 18 1.96 2.16 2.35 19 1.98 2.17 2.35
20 3 0.94 1.75 2.19 4 1.79 2.09 2.34 5 1.92 2.15 2.36 6 1.94 2Л7 2.37 7 1.95 2.17 2.36 8 1.96 2.17 2.36 9 1.96 2.16 2.35 10 1.95 2.16 2.35 11 1.95 2.16 2.35 12 1.95 2.16 2.35 13 1.96 2.16 2.35 14 1.96 2.16 2.34 15 1.96 2.16 2.35 16 1.97 2.16 2.35 17 1.98 2.17 2.35 18 1.98 2.18 2.35 19 1.99 2.18 2.36 20 2.00 2.19 2.36
2.79 3.27 3.62 4.08
2.81 3.24 3.54 3.92
2.80 3.19 3.47 3.79
2.78 3.15 3.42 3.72
2.76 3.13 3.37 3.65
2.75 3.10 3.34 3.60
2.74 3.07 3.31 3.56
2.73 3.05 3.27 3.52
2.72 3.03 * 3.26 3.50
2.72 3.02 3.24 3.47
2.71 3.01 3.22 3.44
2.70 3.00 3.20 3.41
2.70 2.99 3.18 3.39
2.70 2.98 3.17 3.37
2.70 2.98 3.16 3.35
2.70 2.97 3.14 3.33
2.69 2.96 3.13 3.31
2.78 3.24 3.60 4.02
2.81 3.21 3.52 3.88
2.80 3.18 3.46 3.79
2.79 3.15 3.40 3.71
2.77 3.12 3.37 3.64
2.76 3.09 3.32 3.59
2.75 3.07 3.29 3.55
2.74 3.05 3.27 3.51
2.73 3.04 3.24 3.49
2.72 3.02 3.22 3.45
2.72 3.01 3.21 3.42
2.71 3.00 3.19 3.40
2.70 2.99 3.17 3.38
2.70 2.98 3.16 3.36
2.70 2.97 3.15 3.34
2.69 2.96 3.14 3.33
2.69 2.96 3.13 3.31
2.70 2.95 3.12 3.29
5.16 7.80 10.74 16.87
4.72 6.52 8.23 11.18
4.50 5.95 7.23 9.20
4.35 5.56 6;60 8.07
4.23 5.31 6.16 7.45
4.14 5.14 5.87 6.94
4.05 4.98 5.70 6.58
4.00 4.84 5.49 6.35
3.95 4.73 5.33 6.17
3.89 4.65 5.22 5.97
3.86 4.55 5.10 5.80
3.81 4.49 4.98 5.61
3.78 4.43 4.88 5.51
3.74 4.38 4.81 5.35
3.71 4.31 4.74 5.25
3.68 4.26 4.65 5.15
3.64 4.20 4.57 5.02
5.00 7.72 10.78 16.96
4.66 6.49 8.16 11.03
4.45 5.85 7.09 9.12
4.31 5.48 6.49 8.11
4.19 5.25 6.11 7.42
4.09 5.06 5.88 6.97
4.02 4.92 5.62 6.57
3.97 4.79 5.43 6.30
3.91 4.70 5.29 6.09
3.87 4.61 5.18 5.92
3.83 4.53 5.07 5.79
3.79 4.46 4.96 5.63
3.76 4.41 4.86 5.49
3.73 4.35 4.78 5.37
3.70 4.29 4.70 5.23
3.67 4.23 4.64 5.14
3.63 4.18 4.57 5.06
3.60 4.12 4.49 4.95
Приложения 583
Процентили распределения статистики Vo 93
1 — а
п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
3 3 2.24 2.75 3.32 4.63 5.93 6.96 8.19 11.05 18.15 26.71 42.07
4 3 2.38 2.87 3.44 4.74 6.02 7.07 8.38 11.31 19.38 27.97 43.72
4 2.37 2.82 3.31 4.38 5.34 609 6.91 8.74 12.79 16.62 23.12
5 3 2.45 2.95 3.47 4.80 6.09 7.14 8.48 11.55 19.73 28.71 46.68
4 2.43 2.86 3.37 4.44 5.44 6.20 7.09 9.00 13.31 17.41 24.31
5 2.45 2.87 3.32 4.28 5.11 5.71 6.39 7.81 10.75 13.23 16.87
6 3 2.55 3.02 3.55 4.80 6.08 7.11 8.39 11.42 19.18 28.02 45.73
4 2.52 2.96 3.45 4.49 5.50 6.25 7.16 9.01 13.49 17.54 24.27
5 2.52 2.94 3.38 4.33 5.18 5.79 6.52 7.95 10.96 13.67 17.96
6 2.56 2.94 3.39 4.25 4.96 5.49 6.08 7.26 9.49 11.41 14.37
7 3 2.64 3.11 3.61 4.81 6.07 7.04 8.37 11.40 19.27 27.76 44.93
4 2.61 3.04 3.49 4.52 5.48 6.25 7.14 9.08 13.53 17.47 23.96
5 2.59 3.00 3.44 4.37 5.19 5.80 6.51 8.02 11.20 13.91 17.78
6 2.61 3.01 3.41 4.26 5.00 5.53 6.14 7.32 9.75 11.74 14.36
7 2.65 3.02 3.43 4.21 4.87 5.32 5.82 6.83 8.75 10.20 12.38
8 3 2.67 3.12 3.65 4.82 6.01 7.03 8.27 11.28 19.24 ,27.78 44.29
4 2.66 3.07 3.53 4.54 5.51 6.23 7.12 9.04 13.42 17.64 25.03
5 2.64 3.05 3.47 4.39 5.20 5.83 6.55 8.03 11.12 13.92 18.42
6 2.64 3.04 3.45 4.30 5.04 5.57 6.17 7.41 9.82 11.87 14.78
7 2.67 3.06 3.47 4.24 4.90 5.38 5.90 6.95 8.92 10.52 12.89
8 2.71 3.08 3.47 4.20 4.79 5.21 5.69 6.58 8.27 9.52 11.35
9 3 2.75 3.20 3.66 4.81 6.02 6.97 8.17 11.14 19.00 27.91 43.02
4 2.72 3.12 3.56 4.56 5.49 6.21 7.10 8.99 13.28 17.57 24.34
5 2.71 3.10 3.52 4.40 5.23 5.83 6.53 8.05 10.98 13.78 17.99
6 2.72 3.10 3.52 4.32 5.06 5.59 6.20 7.43 9.82 11.78 14.84
7 2.71 3.10 3.51 4.27 4.96 5.42 5.95 6.99 9.06 10.66 12.96
8 2.75 3.12 3.50 4.24 4.84 5.27 5.74 6.68 8.44 9.75 11.85
9 2.79 3.17 3.50 4.20 4.78 5.16 5.59 6.41 7.90 9.04 10.71
584
Приложения
Процентили распределении статистики V0 9g (продолжение)
п
1о
11
12
13
1-а
г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
3 2.75 3.20 3.68 4.77 5.91 6.86 8.10 10.93 18.61 27.05 43.21
4 2.74 3.16 3.60 4.53 5.45 6.15 7.00 8.87 13.12 17.17 23.48
5 2.75 3.13 3.54 4.41 5.22 5.79 6.47 7.94 11.05 13.70 17.82
6 2.75 3.11 3.51 4.33 5.04 5.56 6.15 7.38 9.81 11.86 15.01
7 2.77 3.12 3.50 4.28 4.95 5.47 5.92 6.99 8.99 10.66 13.03
8 2.77 3.15 3.50 4.23 4.86 5.29 5.75 6.68 8.49 9.88 11.69
9 2.81 3.16 3.51 4.21 4.78 5.17 5.60 6.43 7.97 9.17 10.82
10 2.84 3.19 3.53 4.18 4.72 5.07 5.48 6.23 7.57 8.57 10.03
3 2.79 3.22 3.67 4.75 5.87 6.79 7.98 10.78 18.19 26.45 43.82
4 2.79 3.16 3.58 4.53 5.43 6.13 6.96 8.81 13.02 17.25 24.97
5 2.79 3.15 3.55 4.39 5.19 5.77 6.44 ’ 7.88 10.99 13.66 18.13
6 2.77 3.14 3.52 4.30 5.02 5.53 6.13 7.33 9.79 11.86 15.02
7 2.78 3.16 3.51 4.26 4.92 5.39 5.92 6.95 9.03 10.72 13.30
8 2.81 3.16 3.51 4.23 4.83 5.27 5.74 6.69 8.43 9.86 11.88
9 2.84 3.17 3.51 4.20 4.77 5.16 5.61 6.49 8.02 9.24 11.08
10 2.86 3.20 3.53 4.18 4.71 5.09 5.49 6.27 7.67 8.73 10.20
11 2.88 3.24 3.55 4.17 4.66 5.01 5.38 6.09 7.36 8.31 9.57
3 2.88 3.28 3.72 4.77 5.85 6.76 7.88 10.59 17.59 25.73 41.44
4 2.85 3.22 3.62 4.52 5.41 6.08 6.87 8.67 12.72 16.60 23.41
5 2.82 3.19 3.58 4.39 5.17 5.75 6.41 7.79 10.68 13.37 17.35
6 2.82 3.19 3.55 4.31 5.03 5.54 6.12 7.26 9.61 11.60 14.59
7 2.81 3.18 3.54 4.27 4.92 5.39 5.89 6.89 8.85 10.55 12.65
8 2.84 3.18 3.54 4.24 4.83 5.25 5.73 6.63 8.34 9.75 11.64
9 2.86 3.18 3.53 4.21 4.77 5.16 5.60 6.44 7.98 9.18 10.90
10 2.86 3.20 3.54 4.18 4.73 5.10 5.50 6.26 7.66 8.68 10.17
И 2.90 3.23 3.55 4.17 4.69 5.03 5.41 6.12 7.37 8.31 9.53
12 2.94 3.27 3.57 4.17 4.64 4.97 5.32 5.97 7.09 7.96 9.03
3 2.88 3.30 3.74 4.78 5.87 6.76 7.89 10.68 17.58 25.37 40.28
4 2.89 3.25 3.66 4.56 5.46 6.11 6.94 8.75 12.81 16.56 23.73
5 2.87 3.22 3.60 4.43 5.20 5.78 6.43 7.81 10.89 13.47 17.15
6 2.89 3.21 3.57 4.35 5.05 5.54 6.14 7.32 9.71 11.72 14.47
7 2.89 3.21 3.57 4.30 4.94 5.38 5.92 6.94 8.97 10.61 13.04
8 2.89 3.22 3.57 4.28 4.86 5.29 5.75 6.69 8.46 9.88 11.74
9 2.91 3.23 3.56 4.25 4.81 5.21 5.64 6.47 8.02 9.27 10.88
10 2.91 3.24 3.57 4.23 4.78 5.14 5.54 6.31 7.72 8.80 10.25
11 2.94 3.25 3.58 4.22 4.73 5.07 5.44 6.18 7.46 8.42/ 9.65
12 2.97 3.27 3.60 4.21 4.68 5.00 5.37 6.05 7.21 8.03 9.27
13 3.00 3.30 3.61 4.20 4.66 4.95 5.28 5.91 6.99 7.75 8.76
Приложения 585
Процентили распределения статистики V0 3a (продолжение)
1-<г
п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
14 3 2.90 3.30 3.75 4.75 5.80 6.63 7.76 10.37 17.23 25.09 39.16
4 2.91 3.28 3.68 4.52 5.39 6.05 6.83 8.61 12.48 16.19 22.41
5 2.91 3.25 3.62 4.40 5.14 5.71 6.38 7.77 10.64 13.22 16.89
6 2.88 3.24 3.59 4.33 5.00 5.50 6.07 7.25 9.59 11.55 14.29
7 2.91 3.23 3.58 4.28 4.90 5.35 5.86 6.92 8.88 10.47 12.51
8 2.91 3.24 3.58 4.25 4.83 5.25 5.72 6.66 8.40. 9.71 11.54
9 2.93 3.25 3.58 4.23 4.79 5.16 5.59 6.45 8.00 9.17 10.81
10 2.95 3.26 3.58 4.22- 4.74 5.11 5.52 6.31 7.71 8.72 10.06
11 2.95 3.28 3.60 4.20 4.71 5.06 5.44 6.17 7.46 8.42 9.61
12 2.98 3.31 3.61 4.20 4.67 5.00 5.36 6.04 7.25 8.11 9.25
13 3.00 3.31 3.62 4.19 4.65 4:96 5.30 5.93 7.03 7.82 8.81
14 3.02 3.34 3.63 4.17 4.62 4.92 5.24 5.82 9.81 7.49 8.45
15 3 2.96 3.34 3.77 '4.78 5.83 6.72 7.82 10.45 17.15 24.54 38.14
4 2.94 3.29 3.69 4.55 5.40 6.05 6.82 8.54 12.41 15.96 21.82
5 2.93 3.28 3.64 4.42 5.18 5.72 6.36 7.72 10.56 12.94 16.99
б 2.93 3.26 3.61 4.37 5.03 5.52 6.09 7.23 9.45 11.38 14.24
7 2.93 3.25 3.59 4.31 4.92 5.37 5.90 6.89 8.81 10.31 12.84
8 2.93 3.25 3.59 4.27 4.86 5.27 5.73 6.64 8.36 9.64 11.58
9 2.95 3.26 3.58 4.26 4.81 5.19 5.62 6.48 8.00 9.11 10.79
10 2.94 3.27 3.59 4.24 4.77 5.13 5.54 6.33 7.71 8.72 10.06
11 2.95 3.26 3.59 4.21 4.73 5.08 5.46 6.18 7.48 8.37 9.61
12 2.98 3.29 3.61 4.21 4.70 5.04 5.39 6.07 7.29 8.17 9.24
13 3.01 3.30 3.61 4.20 4.68 4.99 5.33 5.96 7.09 7.89 8.92
14 3.03 3.32 3.62 4.19 4.65 4.95 5.26 5.86 6.92 7.63 8.59
15 3.07 3.35 3.62 4.19 4.63 4.91 5.21 5.77 6.70 7.37 8.24
16 3 2.98 3.36 3.78 4.79 5.86 6.70 7.78 10.30 17.06 24.06 38.50
4 2.96 3.32 3.70 4.57 5.41 6.04 6.82 8.52 12.49 16.24 23.03
5 2.94 3.30 3.65 4.46 5.18 5.73 6.37 7.71 10.64 13.23 16.90
6 2.93 3.29 3.63 4.37 5.05 5.53 6.11 7.23 /9.53 11.53 14.38
7 2.94 3.28 3.62 4.32 4.96 5.40 5.89 6.89 8.84 10.54 12.97
8 2.95 3.28 3.62 4.30 4.88 5.30 5.75 6.65 8.39 9.75 11.59
9 2.96 3.28 3.61 4.27 4.84 5.22 5.66 6.47 8.03 9.18 10.96
10 2.97 3.28 3.62 4.25 4.79 5.16 5.55 6.32 7.71 8.75 10.29
11 2.99 3.29 3.62 4.23 4.74 4.10 5.48 6.19 7.50 8.43 9.76
12 2.99 3.31 3.63 4.23 4.71 5.04 5.41 6.09 7.27 8.17 9.32
13 3.01 3.34 3.63 4.21 4.68 5.01 5.36 5.99 7.07 7.86 9.04
14 3.05 3.35 3.65 4.21 4.66 4.96 5.30 5.90 6.93 7.68 8.67
15 3.07 3.37 3.66 4.21 4.64 4.92 5.24 5.80 6.78 7.46 8.39
16 3.12 3.39 3.69 4.20 4.62 4.88 5.17 5.72 6.60 7.26 8.1Q.
586 Приложения
Процентили распределении статистики V0,9d (продолжение) \
1 — а
п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
17 3 2.97 3.37 3.76 4 2.97 3.32 3.70 5 2.96 3.30 3.66 6 2.95 3.28 3.63 7 2.96 3.29 3.63 8 2.97 3.28 3.61 9 2.97 3.29 3.61
10 2.98 3.30 3.61 11 2.99 3.31 3.62 12 3.01 3.33 3.63 13 3.03 3.34 3.63 14 3.04 3.35 3.64 15 3.05 3.37 3.66 16 3.09 3.39 3.67 17 3.12 3.41 3.68
18 3 3.03 3.38 3.78 4 3.03 3.35 3.72 5 3.01 3.35 3.68 6 3.00 3.33 3.66 7 3.00 3.33 3.65 8 3.01 3.33 3.65 9 3.03 3.33 3.64 10 3.04 3.34 3.64 И 3.04 3.34 3.64 12 3.05 3.35 3.66 13 3.06 3.37 3.67 14 3.08 3.38 3.67 15 3.11 3.39 3.68 16 3.13 3.41 3.69 17 3.16 3.43 3.70 18 3.19 3.47 3.73
4.71 5.69 6.50 7.56
4.51 5.32 5.94 6.71
4.42 5.12’ 5.65 3.27
4.34 5.01 5.47 6.03
4.30 4.90 5.34 5.83
4.27 4.83 5.23 5.69
4.25 4.79 5.17 5.58
4.23 4.76 5.12 5.50
4.22 4.71 5.06 5.42
4.21 4.69 5.01 5.36
4.21 4.66 4.97 5.30
4.19 4.64 4.93 5.25
4.19 4.62 4.91 5.21
4.19 4.60 4.87 5.17
4.18 4.58 5.85 5.12
4.72 5.69 6.50 7.53
4.55 5.33 5.94 6.72
4.44 5.14 5.67 6.29
4.37 5.01 5.47 6.04
4.33 4.93 5.35 5.86
4.30 5.87 5.28 5.73 4.27. 4.82 5.19 5.61
4.26 ’ 4.77 5.15 5.54
4.25 4.74 5.08 5.47
4.25 ‘ 4.71 5.03 5.39
4.23 4.68 4.99 5.34
4.21 4.67 4.97 5.29
4.21 4.65 4.94 5.25
4.21 4.64 4.91 5.22
4.20 4.61 4.88 5.17
4.20 4.60 4.86 5.13
10.06 16.55 23.57 37.77 8.36 11.93 15.54 21.68 7.62 10.23 12.58 16.34 7.14 9.32 11.13 13.79 6.83 8.70 10.18 12.33 6.58 8.25 9.56 11.40 6.39 7.91 9.07 10.65
6.25 7.66 8.70 10.01 6.13 7.42 8.33 9.63 6.02 7.22 8.08 9.21 5.93’ 7.05 7.86 8.92 5.85 6.91 7.67 8.63
5.79 6.77 7.45 8.29 5.71 6.62 7.29 8.04
5.63 6.48 7.11 7.84
9.97 16.20 23.42 38.75 8.32 12.10 15.75 21.93 7.61 10.29 12.75 16.76 7.15- 9.34 11.10 14.07 6.84 8.80 10.17 12.25 6.60 8.28 9.62 11.30 6.46 7.97 9.12 10.71 6.31 7.63 8.69 10.04 6.20 7.45 8.34 9.69 6.09 7.26 8.11 9.24 5.99 7.10 7.92 8.84 5.90 6.95 7.70 8.60 5.82 6.82 7.50 8.32 5.76 6.68 7.37 8.15 5.69 6.57 7.19 7.94 5.63 6.45 7.Q4 7.75
Приложена 587
Процентили распределения статистики V0t9a (продолжение)
Ь - а
п г 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 0.95 0.98
19 3 3.03 3.40 3.79 4.73 5.72 6.52 7.51 9.96 16.17 23.13 36.55
4 3.05 3.37 3.73 4.55 5.35 5.95 6.70 8.27 11.98 15.31 21.70
5 3.03 3.36 3.69 4.43 5.14 5.65 6.27 7.54 10.29 12.70 16.31
6 3.02 3.34 3.66 4.36 5.01 5.47 6.01 7.10 9.28 11.15 13.95
7 .3.02 3.33 3.66 4.33 4.93 5.36 5.83 6.80 8.65 10.16 12.41
8 102 3.33 3.64 4.29 4.87 5.25 5.69 6.58 8.25 9.52 11.35
9 3.03 3.33 3.65 4.26 4.80 5.18 5.59 6.40 7.93 9.09 10.61
10 3.03 3.34 3.64 4.25 4.76 5.11 5.52 6.26 7.63 8.67 10.08
11 3.06 3.35 3.65 4.24 4.72 5.07 5.44 6.15 7.42 8.34 9.70
12 3.07 3.37, 165 4.23 4.70 5.03 5.39 6.05 7.22 8.13 9.34
13 3.08 3.38 3.65 4.22 4.68 4.99 5.33 5.97 7.06 7.88 8.99
14 3.09 3.38 3.66 4.21 4.66 4.96 5.28 5.89 6.93 7.69 8.63
15 3.10 3.40 3.67 4.22 4.64 4.93 5.24 5.81 6.79 7.49 8.46
16 3.13 3.42 3.68 4.21 4.63 4.90 5.20 5.76 6.70 7.35 8.19
17 3.14 3.43 3.69 4.21 4.62 4.88 5.16 5.70 6.59 7.23 8.01
18 3.17 3.44 3.71 4.21 4.60 4.86 5.14 5.64 6.49 7.08 7.84
19 3.20 3.46 3.72 4.21 4.59 4.83 5.10 5.57 6.38 6.91 7.60
20 3 3,01 3.39 3.79 4.72 5.67 6.42 7.38 9.80 16.16. 23.55 37.26
4 3.02 3.37 3.73 4.54 5.32 5.93 6.66 8.21 11.97 15.38 21.61
5 3.03 3.36 3.70 4.44 5.13 5.64 6.26 7.53 10.15 12.57 16.40
6 3.02 3.34 3.67 4.38 5.01 5.46 6.01 7.08 9.17 11.05 14.08
7 3.02 3.34 3.66 4.33 4.93 5.35 5.82 6.78 8.63 10.10 12.40
8 3.03 3.35 3.66 4.30 4.85 5.25 5.68 6.53 8.18 9.55 11.47
9 3.04 3.34 3.65 4.28 4.80 5.17 5.58 6.36 ’7.86 9.02 10.65
10 3.04 3.35 3.65 4.26 4.76 5.12 5.50 6.24 7.59 8.61 10.02
11 3.06 3.36 3.66 4.25 4.73 5.06 5.45 6.12 7.37 8.35 9.57
12 3.08 3.38 3.66 4.24 4.70 5.03 5.38 6.03 7.20 8.08 9.28
13 3.09 3.38 3.67 4.23 4.68 4.98 5.33 5.95 7.01 7.86 9.02
'14 3.11 3.40 3.67 1 4.22 •4.65 4.95 5.26 5.87 6.89 7.66 8.68
15 112 3.41 3.69 4.21 4.63 4.92 5.23 5.80 6.79 7.49 8.44
16 3.14 3.42 3.70 4.21 4.62 4.89 5.20 5.74 6.67 7.34 8.23
17 3.16 3.44 3.71 4.20 4.61 4.87 5.16 5.69 6.57 7.22 7.98'
18 3.18 3.46 3.72 4.20 4.60 4.86 5.13 5.63 6.47 7.07 7.82
.19 3.21 3.47 3.73 4.21 4.58 4.84 5.11 5.57 6.38 6.96 7.64
20 3.24 3.49 3.74 4.21 4.57 4.81 5.06 5.52 6.25 6.80 7.48
Приложение 13. Процентили распределения S -статистики для критерия согласия в случае двухпараметрического распределения Вейбулла1’
Процентили распределения S-статистики и ожидаемых значений Mt
n i Mi 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
3 1 1.216395
2 0.863046
3 0.75 0.79 0.84 0.90 0.95 0.99
4 1 1.150727
2 0.706698
3 0.679596 0.74 0.79 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.50 0.55 0.60 0.67 0.76 0.89
5 1 1.115718
2 0.645384
3 0.532445 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.583273 0.50 0.56 0.61 0.68 0.77 0.89
5 0.67 0.71 0.75 0.79 0.86 0.94
6 1 1.093929 »
2 0.612330
3 0.474330 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.442920 0.50 0.55 0.61 0.68 0.76 0.89
5 0.522759 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.93
6 0.54 0.57 0.61 0.66 0.73 0.84
Источник: Mann N. R., Fertig К. W., Scheuer E. M., Tolerance Bounds and a New Goodness-of-Fit Test for Two-Parameter Weibull or Extreme-Value Distribution [with Tables for Censored Samples of Size 3(1) 25], Aerospace Research Laboratories, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, ARL 71-0077, Contract No. AF 33 (615)-70-C-1216. May 1971.
Приложения 589
Продолжение
п i М( 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 ‘ 0.99
7 1 1.079055
2 0.591587
3 0.442789 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
. 4 0.387289 0.50 0.55 0.61 0.68 0.77 0.89
5 0.387714 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.480648 0.54 0.58 0.62 0.67 0.74 0.85
7 0.64 0.67 0.70 0.74 0.80 0.88
8 I 2 1.068252 0.577339
3 0.422889 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.356967 0.50 0.55 0.61 0.68 0.77 0.90
5 0.334089 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.349907 0.54 0.58 0.62 0.67 0.74 0.85
7 0.449338 0.64 0.67 0.70 0.74 0.80 0.89
8 0.55 0.58 0.61 0.65 0.71 0.81
9 1 1.060046
2 0.566942
3 0.409157 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.337763 0.50 0.55 0.61 0.68 0.77 0.89
5 0.304777 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.297949 0.54 0.58 0.62 0.67 0.75 0.86
7 0.322189 0.63 0.67 0.70 0.74 0.80 0.89
8 _0.424958 0.55 0.58 0.61 0.66 0.72 0.82
9 0.62 0.64 0.67 0.71 0.76 0.85
10 1 1.053606
2 0.559013
3 0.399100 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.324470 0.50 0.55 0.61 0.68 0.77 0.90
5 0.286163 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.269493 0.54 0.58 0.62 0.68 0.75 0.85
7 0.271645 0.63 0.67 0.71 0.75 0.81 0.89
8 0.300869 0.55 0.58 0.62 0.66 0.72 0.81
9 0.405316 0.62 0.65 0.68 0.71 0.76 0.85
10 0.55 0.58 0.61 0.64 0.69 0.79
590 Приложения
Продолжение
п i м, 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
11 1 1.048411
2 0.552769
3 0.391410 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.314705 0.49 0.55 0.61 0.68 0.77 0.90
5 0.273245 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.251386 0.54 0.58 0.63 0.68 0.75 0.86
7 0.243928 0.64 0.67 “0.71 0.75 0.81 0.89
8 0.251548 0.55 0.58 0.62 0.66 0.72 0.82
9 0.283879 0.62 0.64 0.68 0.71 0.77 0.85
10 0.389071 0.55 0.58 0.61 0.64 0.70’ 0.79
11 0.60 0.63 0.65 0.69 0.74 0.82
12 1 1.044137
2 0.547721
3 0.385338 0.75 0.79 0.84 0.90 0.95 0.99
4 0.307221 0.50 0.55 0.61 0.68 0.78 0.89
5 0.263737 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.238797 0.54 0.58 0.62 0.67 0.74. 0.85
7 0.226264 0.64 0.67 0.70 0.75 0.81 0.89
8 0.224477 0.55 0.58 0.62 0.66 0.72 0.82
9 0.235630 0.62 0.64 0.68 0.71 0.77 0.85
10 0.269966 0.55 0.58 0.61 0.65 0.70 0.79
11 0.375356 0.60 0.63 0.66 0.69 0.74 0.82
12 0.55 0.57 0.60 0.63 0.68 0.76
13 1 1.040555
2 0.543556
3 0.380417 6.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 O.3O13OO 0.50 0.55 0.61 0.68 0.77 0.89
5 0.256437 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.229515 0.54 0.58 0.63 0.68 0.75 0.86
7 0.213966 0.64 0.67 0.71 0.75 0.81 0.90
8 0.207205 0.55 0.58 0.62 0.66 0.72 0.82
9 0.209131 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.85
10 0.222667 0.55 0.58 0.61 0.65 0.70 0.79
11 0.258323 0.60 0.63 0.66 0.69 0.74 0.82
12 0.363582 0.55 0.57 0.60 0.64 0.68 0.76
13 0.59 0.61 0.64 0.67 0.72 0.79
Приложения 591
Продолжение
п i м, 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
14 1 1.037513
2 0.540059
3 0.376352 0.75 0.79 0.85 0.90 0.95 0,99
4 0.296496 0.49 0.54 0.61 0.68 0.77 0.90
5 0.250650 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.222377 0.54 0.58 0.62 0.68 0.74 0.86
7 0.204885 0.64 0.67 0.71 0.75 0.81 0.89
8 0.195165 0.55 0.58 0.62 0.66 0.73 0.82
9 0.192209 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.85
10 0.196679 0.55 0.58 0.61 0.65 0.70 0.79
11 0.211875 0.60 0.63 0.66 0.69 0.74 0.82
12 0.248409 0.55 0.57 0.60 0.64 0.68 0.77
13 0.353334 0.59 0.61 0.64 0.67 0.72 0.79
14 0.55 0.57 0.59 0.62 0.67 0.75
15 1 1.034894
2 0.537085
3 0.372934 0.75 0.80 0.84 0.90 0.95 0.99
4 0.292518 0.51 0.56 0.62 0.69 0.78 0.90
5 0.245947 0.68 0.71 0.76 0.80 0.86 0.94
6 0.216712 0.54 0.58 0.62 0.67 0.75 0.86
7 0.197893 0.64 0.67 0.71 0.75 0.81 0.89
8 0.186266 0.55 0.58 0.62 0.66 0.72 0.82
9 0.180402 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.85
10 0.180072 0.55 0.58 0.61 0.65 0.70 0.79
11 0.186347 0.61 0.63 0.66 0.69 0.74 0.82
12 0.202727 0.55 0.57 0.60 0.64 0.68 0.77
13 0.239842 0.59 0.62 0.64 0.67 0.72 0.79
14 0.344309 0.55 0.57 0.60 0.63 0.67 0.75
15 0.59 0.61 0.63 0.66 0.70 0.77
592 Приложения
Продолжение
п i 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
16 1 1.032617
2 0.534521
3 0.370021 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.289169 0.51 0.56 0.62 0.69 0.78 0.89
5 0.242049 0.68 0.72 0.76 0.80 0.86 0.94
6 0.212103 0.54 0.58 0.63 0.68 0.75 0.86
7 0.192338 0.64 0.67 0.71 0.75 0.81 0.89
8 0.179407 0.55 0.58 0.62 0.66 0.72 0.82
9 0.171667 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.85
10 0.168476 0.55 0.58 0.61 0.65 0.71 0.79
И 0.170026 0.60 0.63 0.66 0.69 0.74 0.82
12 0.177619 0.55 0.58 0.60 0.64 0.69 0.77
13 0.194859 0.60 0.62 0.64 0.68 0.72 0.80
14 0.232350 0.55 0.57 0.60 0.63 0.67 0.75
15 0.336283 0.59 0.61 0.63 0.66 0.70 0.77
16 0.55 0.57 0.59 0.62 0.66 0.73
17 1 1.030618
2 0.532290
3 0.367507 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.286312 0.50 0.55 0.61 0.69 0.78 0.90
5 0.238765 0.67 0.71 0.75 0.80 0.87 0.94
6 0.208278 0.54 0.58 0.62 0.68 0.74 0.85
7 0.187813 0.64 0.67 0.71 0.75 0.80 0.89
8 0.173951 0.55 0.58 0.62 0.66 0.72 0.81
9 0.164928 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.85
10 0.159891 0.55 0.58 0.61 0.65 0.70 0.79
11 0.158624 0.61 0.63 0.66 0.69 0.74 0.82
12 0.161559 0.55 0.58 0.61 0.64 0.69 0.77
13 0.170132 0.59 Q.62 0.64 0.67 0.72 0.80
14 0.188005 0.55 0.57 0.60 0.63 0.68 0.75
15 0.225729 0.59 0.61 0.63 0.66 0.70 0.77
16 0.329085 0.55 0.57 0.59 0.62 0.66 0.74
17 0.58 0.60 0.62 0.65 0.69 0.75
Приложения 593
Продолжение
п i м, 0.75 0.80 0.85 0J0 0.95 0.99
18 1 1 1.028850
2 0.530332
3 0.365314 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.283846 0.49 0.55- 0.61 0.68 0.77 0.90
5 0;235958 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.205051 0.54 0.58 0.62 0.67 0.75 0.86
7 0.184055 0.64 0.67 0.71 0.75 0.81 0.89
8 0.169504 0.55 0.58 0.62 0.66 0.73 0.82
9 0.159564 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.85
10 0.153263 0.55 0.58 0.61 0.65 0.71 0.80
11 0.150176 0.61 0.63 0.66 0.69 0.74 0.82
12 0.150333 0.55 0.68 0.61 0.64 0.69 0.77
13 0.154313 0.60 0.62 0.64 0.68 0.72 0.80
14 0.163630 0.55 0.57 0.60 0.63 0.67 0.76
15 0.181971 0.59 0.61 0.63 0.66 0.70 0.78
16 0.219825 0.55 0.57 0.59 0.62 0.66 0.74
17 0.322580 0.58 0.60 0.62 0.65 0.69 0.76
18 0.55 0.57 0.59 0.61 0.65 0.72
19 1 1.027277
2 0.528594
3 0.363389 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.281692 0.50 0.55 0.61 0.69 0.78 0.90
5 0.233535 0.67 0.71 0.76 0.81 0.86 0.94
6 0.202291 0.54 0.58 0.62 0.68 0.75 0.86
7 0.180882 0.64 0.67 0.71 0.75 0.81 0.89
8 0.165807 0.55 0.58 0.62 0.67 0.72 0.82
9 0.155189 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.85
10 0.147984 0.55 0.58 0.61 0.65 0.71 0.80
11 0.143650 0.61. 0.63 0.66 0.69 0.74 0.82
12 0.142012 0.55 0.58 0.60 0.64 0.69 0.77
13 0.143250 0.60 0.62 0.64 0.68 0.72 0.80
14 0.148031 0.55 0.58 0.60 0.63 0.68 0.76
15 0.157921 0.59 0.61 0.63 0.66 0.70 0.78
16 0.176611 0.55 0.57 0.59 0.62 0.66 0.74
17 0.214520 0.58* 0.60 0.62 0.65 0.69 0.76
18 0.316666 0.55 0.57 0.59 0.61 0.65 0.72
19 0.57 0.59 0.61 0.64 0.67 0.74
594 Приложения
Продолжение
п i м, 0.75 о.«о 0.85 0.90 0.95 0.99
20 1 1.025866
2 0.527046
3 0.361682 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.279798 0.50 0.55 0.61 0.68 0.78 0.90
5 0.231417 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.199905 0.54 0.58 0.62 0.67 0.75 0.86
7 0.178167 0.64 0.67 0.71 0.75 0.81 0.89
8 0.162684 0.55 0.58 0.62 0.66 0.73 0.82
9 0.151549 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.85
10 0.143674 0.55 0.58 0.61 0.65 0.71 0.80
11 0.138448 0.61 0.63 0.66 0.69 0.74 0.83
12 0.135580 0.55 0.58 0.61 0.64 0.69 0.77
13 0.135306 0.60 0.62 0.65 0.68 0.72 0.80
14 0.137120 0.55 0.57 0.60 0.63 0.68 0.76
15 0.142527 0.59 0.61 0.63 0.66 0.71 0.78
16 0.152861 0.55 0.57 0.59 0.62 0.67 0.74
17 0.171810 0.58 0.60 0.62 0.65 0.69 0.76
18 0.209721 0.55 0.57 0.59 0.62 0.66 0.72
19 0.311257 0.58 0.59 0.61 0.64 0.68 0.74
20 0.55 0.56 0.58 0.61 0.65 0.71
21 1 1.024594
2 0.525657
3 0.360159 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.278117 0.50 0.56 0.62 0.69 0.78 0.90
5 0.229551 0.68 0.71 0.76 0.80 0.86 0.94
6 0.197821 0.54 0.58 0.62 0.67 0.74 0.85
7 0.175815 0.64 0.67 0.71 0.75 0.80 0.89
8 0.160009 0.55 0.58 0.62 0.66 0.73 0.82
9 0.148471 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.85
10 0.140087 0.55 0.58 0.61 0.65 0.70 0.80
11 0.134200 0.60 0.63 0.66 0.69 0.74 0.82
12 0.130451 0.55 0.58 0.60 0.64 0.69 0.77
13 0.128702 0.59 0.62 0.64 0.68 0.72 0.79
14 0.129025 0.55 0.57 0.60 0.63 0.67 0.75
15 0.131756 0.59 0.61 0.63 0.66 0.70 0.78
16 0.137659 0.55 0.57 0.60 0.63 0.67 0.74
17 0.148341 0.58 0.60 0.62 0.65 0.69 0.76
18 0.167481 0.55 0.57 0.59 0.62 0.66 0.73
19 0.205352 0.58 0.60 0.62 0.64 0.68 0.75
20 0.306285 • 55 0.56 0.58 0.61 0.65 0.72
21 0.57 0.59 0.61 0.63 0.67 0.73
Продолжение
n i 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
22 1 1.023439
2 0.524405
3 0.358790 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.276618 0.50 0.55 0.61 0.68 0.77 0.90
5 0.227895 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.195983 0.54 0.58 0.63 0.68 0.75 0.85
7 0.173760 0.64 0.67 0.71 0.75 0.81 0.89
8 0.157692 0.55 0.58 0.62 0.66 0.72 0.82
9 0.145834 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.85
10 0.137052 0.55 0.58 0.61 0.65 0.70 0.80
11 0.130662 0.61 0.63 0.66 0.69 0.74 0.82
12 0.126260 0.55 0.58 0.61 0.64 0.69 0.78
13 0.123640 0.60 0.62 0.65 0.68 0.72 0.80
14 0.122763 0.55 0.58 0.60 0.63 0.68 0.75
15 0.123763 0.59 0.61 0.63 0.67 0.71 0.78
16 0.127019 0.55 0.57 0.60 0.62 0.67 0.74
17 0.133316 0.58 0.60 0.62 0.65 0.69 0.76
18 0.144273 0.55 0.57 0.59 0.62 0.66 0.73
19 0.163552 0.58 0.60 0.62 0.64 0.68 0.75
.20 0.201355 0.55 0.57 0.59 0.61 0.65 0.72
21 0.301693 0.57 0.59 0.61 0.64 0.67 0.73
22 0.54 0.56 0.58 0.61 0.64 0.70
23 1 1.022389
2 0.523269
3 0.357557 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.275268 0.50 ’ 0.55 0.61 0.68 0.77 0.89
5 0.226417 0.67 0.71 0.75 0.80 0.86 0.94
6 0.194351 0.55 0.59 0.63 0.68 0.76 0.86
7 0.171948 0.64 0.68 0.71 0.76 0.82 0.89
8 0.155666 0.56 0.59 0.63 0.67 0.73 0.83
9 0.143549 0.62 0.65 0.68 0.72 0.78 0.86
10 0.134451 0.56 0.59 0.62 0.66 0.71 0.80
11 0.127667 0.61 0.63 0.66 0.70 0.75 0.82
12 0.122768 0.55 0.58 0.61 0.64 0.69 0.78
13 0.119503 0.60 0.62 0.65 0.68 0.73 0.80
14 0.117764 0.55 0.57 0.60 0.63 0.68 0.76
15 0.117577 0.59 0.61 0.63 0.67 0.71 0.78
16 0.119120 0.55 0.57 0.60 0.63 0.67 0.75
17 0.122799 0.58 0.60 0.63 0.65 0.69 0.77
18 0.129416 0.55 0.57 0.59 0.62 0.66 0.73
19 0.140590 0.58 0.60 0.62 0.64 0.68 0.75
20 0.159966 0.55 0.57 0.59 0.61 0.65 0.72
21 0.197679 0.57 0.59 0.61 0.63 0.67 0.73
22 0.297435 0.55 0.56 0.58 0.60 0.64 0.70
23 0.57 0.58 0.60 0.63 0.66 0.72
596 Приложения
Продолжение
п i м, 0.75 0.80 0.85 . 0.90 0.95 0.99
24 1 2 3 1.021431 0.522233 0.356436 0.75 0.80 1 0.85 0.90 0.95 0.99
4 0.274051 0.50 0.56 0.62 0.69 0.78 0.90
5 0.225086 0.67 0.71 0.76 0.81 0.86 0.94
6 0.192892 0.54 0.58 0.62 0.68 0.75 0.85
7 0.170338 0.64 0.67 0.71 0.75 0.81 0.89
8 0.153877 0.55 0.58 0.62 0.67 0.73 0.83
9 0.141549 0.62 0.65 0.68 0.72 0.77 0.86
10 0.132195 9.56 0.58 0.61 0.66 0.71 0.80
11 0.125099 0.61 0.63 0.66 0.70 0.75 0.83
12 0.119811 0.55 0.58 0.61 0.64 0.70 0.78
13 0.116054 0.60 0.62 0.65 0.68 0.73 0.80
14 0.113677 0.55 0.58 0.60 0.64 0.68 0.76
15 0.112638 0.59 0.61 0.64 0.67 0.71 0.78
16 0.113007 0.55 0.57 0.60 0.63 0.67 0.74
17 0.114990 0.58 0.60 0.62 0.65 0.69 0.76
18 0.119014 0.55 0.57 0.59 0.62 0.66 0.73
19 0.125889 058 0.60 0.62 0.64 0.68 0.75
20 0.137235 0.55 0.57 0.59 0.61 0.65 0.72
21 0.156679 0.57 0.59 0.61 0.64 0.67 0.73
22 0.194285 0.55 0.56 0.58 0.61 0.64 0.71
23 0.293473 0.57 0.59 0.60 0.63 0.66 0.72
24 0.54 0.56 0.58 0.60 0.64 0.69
Предметный указатель
Анализ
— графический 333
— данных 255
— дерева отказов 23
— надежности 99
— сложных систем 82
Алгоритм минимизации затрат 435
Байесовский подход 387, 408
Вариационный ряд 359
Величина
— детерминированная 207
— случайная 207
---независимая 208
---фиксированная 207
Вероятностная бумага 321
Вероятность
— апостериорная 388, 417
— априорная 388, 417
— безотказной работы 39, 50, 102,
111, 142, 171, 215, 275
— отказа 31
— субъективная 393
— условная 33
Время безотказной работы 29
-------- среднее 29
— простоя 242
--- среднее 244
— - ремонта 243
Гипотеза
— альтернативная 281
— нулевая 281
— о минимальной наработке 283
---средней наработке 282
— простая 366
— составная 281
Дерево отказов 23
Диаграмма Венна 388
— усталости 194
Дисперсия 121
Доверительные границы 328, 347, 404
---точные 400
Доверительные пределы ---байесовские 395
Доверительный интервал 271, 279, 300
---непараметрический 327
Долговечность 46
— минимальная 307
— средняя 297
Допуски 133
Износ 220
Инженерная психология 22
Интенсивность отказов 31, 39, 46, 50
---кусочно-ли ней на я 48
---линейно возрастающая 48
---описываемая степенной функцией 49
---постоянная 47
--- средняя 244
— ремонтов 244
Испытания
— изделий 21
— последовательные 361, 369
— по схеме Бернулли 396
Композиция случайных величин 118
Коэффициент асимметрии 311
— безопасности 95, 101
— вариации 104
— готовности 241
— собственной готовности 241
— эксплуатационной готовности 241
Критерий Бартлетта 255
— значимости 281
— отношения вероятностей последовательный 370
— согласия 350
— хи-квадрат 255
- F 267
Предметный указатель 599
Математическое ожидание 121
Метод аппроксимации 129
— равномерного распределения 430
— согласования параметров 344
— функций Лагранжа 457
Мода распределения 124
Модель долговечности изделий 46
— надежности 75
---динамическая 203
---статическая 75
— «слабейшего звена» 229
— экспоненциальная 49
Надежность 19
Наработка до отказа 30 --------необычно большая 267 —-------малая 265
--- средняя 30 — минимальная 279 ---ненулевая 305, 331 — на отказ 30 ---средняя 30, 244, 269, 305 — полезная 242
Область
— критическая 281
— отклонения гипотезы 375
— приемки 372
— продолжения испытаний 366 , 370, 412
Оптимизация надежности 428
Отказ 28
Отношение правдоподобия 362
Оценивание надежности 250 ---графическое 313, 321 --- статистическое 343 Оценка — априорная 297 — байесовская 395 — доверительная 275 — инвариантная 345 — максимального правдоподобия 269, 297
— наилучшая 345
— несмещенная 346
— субъективная 402
— точечная 399
Ошибка второго рода 281, 362
— первого рода 281, 362
Параметр
— конструктивный 95
— принятия решения 439
— средней долговечности 269
— формы 311
Переключатель
— идеальный 233
— неидеальный 236
Пересмотр конструкции 23
Показатели надежности 27
Порядковая статистика 315
Преобразование случайных величин 119
Проверка гипотез 280
Программа обеспечения надежности 99
Программирование
— геометрическое 457, 464
— динамическое 437
Продолжительность испытаний 285, 308
Пространство выборок 388
Распределение
— априорное 401, 405
— безусловное 362
— бета 397, 401
— биномиальное 369, 396, 400
— Вейбулла 41, 55, 159, 305, 359
---двухпараметрическое 350
---трехпараметрическое
— гамма 44, 157, 405
— логарифмически нормальное 38, 150
— напряжений 100, 171, 447
— наработки до отказа 34, 50, 59, 381
— нормальное 34, 122, 146, 155, 447, 456
---нормированное 466
— порядковых статистик 315
— прочности 100, 171, 447
— пуассоновское 298
— требований к надежности между элементами системы 428
— условное 391
— хи-квадрат 267, 297
— экспоненциальное 34, 55, 155, 231, 257, 375, 381, 456
— экстремальных значений 50, 169
— эмпирическое 163
— F 266, 397
Резерв
— нагруженный 231
— ненагруженный 85, 233
Резервирование
— общее 86
— раздельное 86
Ремонтопригодность 241
Ремонтоспособность 241
Система с нагруженным резервом 231
---йена груженным резервом 79, 85, 233
600 Предметный указатель
----параллельным соединением элементов 78, 84
----последовательным и параллельным соединением элементов 80, 86
— — последовательным соединением элементов 76, 85, 227
----распределением нагрузки 238
— сложная 82
Старение 220
Статистический вывод 387
Сумма случайных величин 122
Теорема Байеса 387, 391, 413
Функция возврата 439
— затрат 447
— надежности 47
— преобразования 439
— случайных величин 121
— степенная 49
— усилий 444
Характеристика
— оперативная 281, 366
— ресурсная 313, 321
Удобство обслуживания 240
Управление надежностью 21
Усечение испытаний 410
Цензурирование 352
Эксцесс 311
> *^'*J^*»
Оглавление
Предисловие редактора перевода...................................... 5
Предисловие......................................................... 9
Обозначения........................................................ 14
Глава 1. Введение.................................................... 19
1.1. Надежность изделия на этапе проектирования.............. 20
1.2. Управление надежностью.................................. 21
1.3. Испытание изделий....................................... 21
1.4. Надежность и инженерная психология...................... 22
1.5. Повышение надежности.................................... 22
1.6. Пересмотр конструкции, характер отказов и анализ дерева отказов...................................................... 23
1.7. Краткая история теория надежности....................... 24
1.8. Содержание книги........................................ 24
Литература.............................................. 25
Глава 2. Показатели надежности..................................... 27
2.1. Вероятность безотказной работы........................... 28
2.2. Среднее время безотказной работы......................... 29
2.3. Интенсивность отказов................................... 31
2.4. Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов при известных распределениях наработки до отказа.................. 34
2.5. Модели интенсивности отказов и долговечности изделий ... 46
2.6. Оценивание интенсивности отказов, плотности распределения наработки до отказа и вероятности безотказной работы по эмпирическим данным......................................... 50
2.7. Некоторые замечания относительно выбора распределения . . 55
2.8. Краткие выводы ........................................- 67
Упражнения............................................... 68
Литература .............................................. 73
Глава 3. Статические модели надежности........................... 75
3.1. Системы с последовательным соединением элементов .... 76
3.2. Системы с параллельным соединением элементов............. 78
3.3. Сочетание параллельного и последовательного соединения элементов .................................................... 80
3.4. Анализ сложных систем................................ 82
3.5. Определение надежности при проектировании............. 83
3.6. Краткие выводы........................................ 89
Упражнения............................................. 89
Литература ............................................ 94
602 Оглавление
Глава 4. Вероятностные методы при инженерном проектировании ... 95
4.1. Методика вероятностных прочностных расчетов....... 97
4.2. Распределение прочности и напряжения.............. 100
4.3. Коэффициенты безопасности и вероятность безотказной работы 101
4.4. Пределы вероятности безотказной работы............ 111
4.5. Краткие выводы ........................................... 115
Упражнения........................................ 115
Литература ............................................... 116
Глава 5. Композиции случайных величин при проектировании .... 118
5.1. Преобразование случайных величин........................ 119
5.2. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных величин .................................................... 121
5.3. Сумма и разность случайных величин, распределенных по нормальному закону .................................... 122
5.4. Вычисление моментов функции случайных величин.......... 124
5.5. Задание статистических допусков......................... 133
5.6. Краткие выводы.......................................... 135
Упражнения....................................... . . . 136
Литература ............................................. 141
Глава 6. Зависимость надежности от распределений прочности и напряжения ........................................................... 142
6.1. Общее выражение для вероятности безотказной работы ... 142
6.2. Вычисление вероятности безотказной работы при нормальном распределении прочности и напряжения........................... 146
6.3. Вычисление вероятности безотказной работы при логарифмически нормальном распределении прочности и напряжения 150
6.4. Вычисление вероятности безотказной работы при экспоненциальном распределении прочности и напряжения .... 155
6.5. Вычисление вероятности безотказной работы при нормальном (экспоненциальном) распределении прочности и экспоненциальном (нормальном) распределении напряжения .... 155
6.6. Вычисление вероятности безотказной работы, когда прочность и напряжение имеют гамма-распределение......................... 157
6.7. Вычисление вероятности безотказной работы при нормальном распределении напряжения и распределении прочности по закону Вейбулла ............................................... 159
6.8. Вычисление вероятности безотказной работы, когда прочность и напряжение имеют распределение Вейбулла...................... 162
6.9. Графический метод определения вероятности безотказной работы при эмпирических распределениях напряжения и прочности ......................................................... 163
6.10. Вычисление вероятности безотказной работы в случае распределений экстремальных значений...................... 169
6.11. Краткие выводы........................................ 174
Упражнения............................................. 176
Литература ............................................ 178
Глава 7. Примеры проектирования с учетом надежности............... 180
7.1. Расчет элемента, на который действует растягивающая нагрузка .................................................... 181
7.2. Расчет двутавровой балки.............................. 183
7.3. Расчет вала, на который действует скручивающая нагрузка 186
Оглавление 603
7.4. Расчет торсионного стержня капота двигателя............... 189
7.5. Краткие выводы ........................................... 198
Упражнения................................................ 198
Литература ............................................... 202
Глава 8. Динамические модели зависимости надежности от распределений прочности и напряжения.................................... 203
8.1. Классификация напряжения и прочности...................... 206
8.2. Вычисление вероятности безотказной работы при детерминированной продолжительности циклов ......................... 209
8.3. Вычисление вероятности безотказной работы при случайной продолжительности циклов................................... 215
8.4. Надежность в случае старения и износа из-за циклических нагрузок и накопленных повреждений......................... 220
8.5. Краткие выводы........................................... 224
Упражнения...................)............................ 225
Литература ............................................... 226
Глава 9. Динамические модели надежности ............................ 227
9.1. Система с последовательным соединением элементов и связанные с ней модели........................................ 227
9.2. Системы с нагруженным резервом............................ 231
9.3. Системы с ненагруженным резервом.......................... 233
9.4. Системы с распределением нагрузки по параллельно соединенным элементам .......................................... 238
9.5. Показатели технического обслуживания систем............... 240
9.6. Краткие выводы............................................ 245
Упражнения................................................ 245
Литература ............................................... 249
Глава 10. Оценивание надежности: экспоненциальное распределение . . 250
10.1. Статистические свойства экспоненциального распределения 250
10.2. Анализ данных............................................ 255
10.3. Оценивание средней наработки на отказ.................... 269
10.4. Доверительные интервалы для средней наработки на отказ при нулевой минимальной долговечности....................... 271
10.5. Доверительные оценки вероятности безотказной работы . . . 275
10.6. Случай ненулевой минимальной наработки................... 277
10.7. Проверка гипотез......................................... 280
10.8. Ожидаемая продолжительность испытаний.................... 285
10.9. Краткие выводы .......................................... 288
Упражнения •.............................................. 288
Литература ............................................... 294
Приложения к гл. 10. Дополнительный теоретический материал 295
Глава 11. Оценивание надежности: распределение Вейбулла...... 309
11.1. Статистические свойства распределения Вейбулла.. 310
11.2. Графическое оценивание .................................. 313
11.3. Методы статистического оценивания........................ 343
11.4. Критерий согласия для двухпараметрического распределения Вейбулла ................................................... 350
604 Оглавление
11.5. Сокращение продолжительности испытаний вследствие цензурирования ................................................ 352
11.6. Краткие выводы........................................ 352
Упражнения............................................. 353
Литература ............................................ 356
Приложение к гл. 11. Вывод математический выражений .... 359
Глава 12. Последовательные испытания на наработку................ 361
12.1. Теоретические сведения................................. 362
12.2. Процедура последовательных испытаний................... 368
12.3. Процедура досрочного прекращения испытаний ............ 383
12.4. Краткие выводы......................................... 384
Упражнения............................................. 384
Литература ............................................ 385
Глава 13. Байесовский подход к оценке надежности при проектировании и испытаниях................................................ 386
13.1. Байесовский подход к статистическим выводам............ 387
13.2. Испытания по схеме Бернулли ........................... 396
13.3. Испытания при использовании экспоненциального распределения ............................................... ..... 403
13.4. Байесовский подход к последовательным испытаниям .... 408
13.5. Применение георемы Байеса при расчете надежности на этапе проектирования ............................................ 413
13.6. Расчет надежности элемента, испытывающего случайные напряжения .................................................... 418
13.7. Краткие выводы......................................... 423
Упражнения............................................ 424
Литература .......................................... 426
Глава 14. Оптимизация надежности................................ 428
' 14.1. Распределение требований к надежности между элементами
системы................................................ 428
14.2. Применение динамического программирования при распределении требований к надежности . . . . >................ 437
14.3. Оптимизация в задачах вероятностных прочностных расчетов 446
14.4. Краткие выводы ........................................ 458
Упражнения............................................. 459
Литература .......................................'. . 463
Приложение к гл. 14. Геометрическое программирование с положительными полиномами.............................. 464
Приложения................................................... 466
Предметный указатель.................................. . . 598
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, изд-во «Мир».
К. Капур, Л. Ламберсон
НАДЕЖНОСТЬ
И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ
Научный редактор В. С. Соболев Младший редактор Н. Н. Титова Художник В. И. Шаповалов
Художественный редактор Л. Е. Безрученков Технический редактор 3. И. Резник
Корректор Е. К- Монякова
ИБ № 1756
Сдано в набор 26.07.79. Подписано к печати 25.12.79. Формат 60X90*/м. Бумага № 2. Гарни-тура латинская. Печать высокая. Объем 19.00 бум. л. Усл. печ. л. 38. Уч.-изд. л. 32,57. Изд. № 20/0234. Тираж 12 000 экз. Зак. № 544. Цена 2 р. 50 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии № 2 имени Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29 с матриц ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» выпустило в свет
Надежность электронных элементов и систем. Под ред. X. ШНАЙДЕРА. Пер. с нем.— М.: Мир, 1977, 16 л., 1 р. 45 к.
Книга содержит наиболее интересные работы, отражающие современное состояние теории и практики надежности интегральных микросхем, транзисторов, резисторов, конденсаторов, магнитомеханических фильтров, контактных соединений и систем. Рассмотрены проблемы надежности и перспективы ее развития на ближайшие годы. Приведено много полезных сведений об интенсивности и физике отказов электронных элементов. Значительное внимание уделено неразрушающим методам контроля с использованием растрового электронного микроскопа, инфракрасных устройств визуализации теплового излучения, а также анализу шумов полупроводниковых приборов.
Большое количество иллюстраций обеспечивает наглядность излагаемого материала.
Книга адресована специалистам, занимающимся разработкой и эксплуатацией радиоэлектронной аппаратуры и вычислительной техники, а также инженерно-техническим работникам других отрас-слей народного хозяйства, интересующимся вопросами надежности.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» выпустило в свет
РАЙНШКЕ К. Модели надежности и чувствительности систем. Пер. с нем.— М.: Мир, 1979, 30 л., 2 р. 50 к.
Книга посвящена оценке надежности сложных технических систем. В ней обсуждаются общие модели систем, применение полу-марковских процессов для анализа надежности, устойчивость систем, описываемых линейными алгебраическими или интегродиф-ференциальными уравнениями. Подробно рассматриваются функции параметрической чувствительности характеристик системы и методы их определения, развивается метод оценки надежности систем по параметрическим отказам. Приводятся основные ограничения-применения общих методов и моделей анализа надежности на практике.
Адресована всем, кто интересуется теоретическими вопросами надежности: электро- и радиоинженерам, специалистам по информационной технике, горным инженерам, физикам и математикам.