В. Л. Левшин

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ
ФИЛЬТРАЦИЯ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
ПЕЛЕНГАЦИИ
В. Л. Левшин

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ
ФИЛЬТРАЦИЯ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
ПЕЛЕНГАЦИИ

Издательство «Советское радио»

Москва — 1971
УДК 621.384.3.001

Левшин В. Л. Пространственная фильтрация в оптических системах пелен-
гации. М., «Советское радио», 1971, стр. 200, т. 3 900 экз., ц. 1 р. 02 к.

В монографии рассмотрены вопросы теории первичной обработки ин-
формации в оптико-электронных системах пеленгации, решающих задачу
обнаружения малоразмерного объекта на неоднородном случайном фоне.
Излагаются вопросы оптимальной и подоптимальной пространственной филь-
трации применительно к непрерывным и дискретным выборкам входного сиг-
нала с учетом конечной разрешающей способности системы. На базе обобщен-
ного частотного метода развита общая теория подвижных анализаторов изо-
бражения и производится анализ характеристик пространственной фильтра-
ции, осуществляемой элементами оптики, сканирующими, модулирующими и
фотоприемными устройствами различных типов.

Исследуется влияние параметров источников излучений и элементов
системы на результирующее отношение сигнал/помеха.

Книга предназначена для научных работников, аспирантов, а также сту-
дентов старших курсов, специализирующихся в области оптико-электрон-
ных систем пеленгации.

81 рис., библ. 69 назв.

ВИКТОР ЛЬВОВИЧ ЛЕВШИН

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПЕЛЕНГАЦИИ

Редактор Ю. И. Суханов

Художественный редактор В. Т. Сидоренко

Обложка художнику Б. К. Шаповалова
Технический редактор Г. 3. Ш а л им о'в а
Корректор М. Ф. Белякова

Сдано в набор 27/Х 1970 г. Подписано в печать 30/111 1971 г. Т-05833

Формат 60 X ЭО1/™ Бумага типографская № 2 Объем 12,5 усл. п. л.

12,698 уч. изд. л.	Тираж 3900 экз.	Зак. 1490

Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, п/я 693. Цена 1 р. 02 к.

Московская типография № 4 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Б. Переяславская, 46.

3-4-4

25—71
ПРЕДИСЛОВИЕ

Пространственной фильтрацией называют совокупность опера-
ций по преобразованию оптического изображения, облегчающих
выделение искомого объекта среди других (мешающих).

Если фильтрация процессов, протекающих во времени, давно
стала общепринятым средством выделения одномерного полезного
сигнала из шумов, то представления о пространственной фильтра
ции пока еще не получили столь широкого распространения. Про-
странственная фильтрация может осуществляться с помощью опти-
ческих деталей, диафрагм, фотоприемников, а также путем исполь-
зования развертывающих устройств (подвижных анализаторов изо-
бражения) с последующей обработкой электрического сигнала.

Увеличение числа переменных и изменение их размерности при
переходе от временных процессов к пространственным вносит су-
щественные усложнения при обобщении описания одномерной филь-
трации на двумерный случай (или с учетом оптической фильтрации
по длинам волн излучения — на трехмерный случай). Эти услож-
нения обусловлены., в частности, необходимостью учета взаимо-
связи входных воздействий, а также характеристик приемной систе-
мы по разным аргументам.

Соответствующий математический аппарат многомерных инте-
гралов свертки и преобразования Фурье еще недостаточно приспо-
соблен для инженерных нужд.

Одной из важнейших областей применения пространственных
фильтров являются оптико-электронные системы пеленгации, осу-
ществляющие обнаружение излучающего объекта на мешающем
фоне. В настоящее время эта сравнительно молодая отрасль техни
ки получила уже довольно значительное развитие и ищет пути ис-
пользования скрытых резервов улучшения характеристик сво-
их устройств. К таким характеристикам, в первую очередь, отно-
сится помехозащищенность по отношению к воздействиям излуче-
ния неоднородностей фона облачного неба и земного ландшафта.

Требования обеспечения помехозащищенности становятся на-
столько настоятельными, что возникает необходимость формулиро-
вать их количественно. Это побуждает к разработке теории прост
ранственной фильтрации, являющейся одним из главнейших средств
подавления помехи от случайного коррелированного фона. В связи
с этим на первый план в данной работе выдвигаются задачи оценки
предельных возможностей систем, разработки методики предвари.
тельного вычисления их характеристик и отыскания способов приб-
лижения реальных устройств анализа изображения к оптималь-
ным пространственным фильтрам.

В связи с быстрым расширением сферы применения оптико-
электронных систем пеленгации ознакомление с основами их
.теории может потребоваться довольно обширному кругу инжене-
ров, научных работников и студентов, специализирующихся по
данному профилю.

Кроме того, в силу общности математической постановки задачи,
определенная часть теории, возможно, будет полезной и для рабо-
тающих в смежных отраслях (в области специальной телевизионной
аппаратуры, пассивной радиолокации и т. п.). Используя в основ-
ном оригинальные материалы, автор стремился в то же время мак-
симально охватить результаты предшествующих работ, касавшихся
отдельных сторон пространственной фильтрации.

Монография предполагает знакомство читателя с основами
гармонического анализа. В силу теоретической направленности
она содержит значительное количество выкладок, однако изло-
жение ведется так, чтобы читатель, менее склонный вникать
в методическую сторону дела, мог найти в тексте необходимые по-
яснения физики явления и соответствующую трактовку результатов.

Автор считает своим приятным долгом выразить большую при-
знательность докт. техн, наук проф. Д. М. Хоролу за сотрудниче-
ство при выработке методического подхода к некоторым вопросам
и ценные советы, докт. техн, наук проф. С. В. Елисееву и канд.
техн, наук Н. И. Ананову за ряд ценных замечаний и рекомендаций,
а также особую благодарность — инженерам В. П. Судакову,
Н. П. Петруненко, В. П. Конову, В. Б. Жариковой и другим
сотрудникам, оказавшим значительную помощь при расчете ряда
конкретных примеров.
ВВЕДЕНИЕ

Получившие в последнее время значительное развитие оптико-
электронные устройства пеленгации решают задачу выделения по-
лезного сигнала от искомого излучающего объекта на мешающем
неоднородном фоне. Вся совокупность информации, поступаю-
щая на вход устройства, сводится в основном к пространственному
распределению лучистости (приведенному к некоторой картинной
плоскости) и распределению ее по оптическому спектру (временное
распределение для пассивных систем обычно играет незначитель-
ную роль). В связи с этим пространственная фильтрация, тем
или иным способом изменяющая распределение лучистости, чтобы
усилить отличие объекта от фона, является важнейшим средством
выделения объекта пеленгации при наличии пространственных
флюктуаций яркости фона. Так же как оптическая фильтрация по
длинам волн излучения, она обусловливает способность систем
управления и самонаведения уверенно обнаруживать и сопровож-
дать определенный источник оптического (инфракрасного или ви-
димого) излучения на предельно больших дистанциях.

С более общей точки зрения пространственную фильтрацию
можно рассматривать как важнейшую подготовительную опе-
рацию максимизации отношения сигнал/помеха при распозна-
вании образов, облегчающую принятие решения о наличии и поло-
жении искомого объекта в поле зрения. Роль теории должна быть
довольно существенной на современной стадии развития систем
пеленгации, когда все большее усложнение их функций вызывает
настоятельную потребность в выработке достаточно общих прин-
ципов оптимального построения и выбора параметров схем прибо-
ров. Очевидно, только сочетая подобный научный подход с обоб-
щением практического опыта создания аппаратуры, можно рассчиты-
вать на закономерное улучшение характеристик пеленгационных
систем.

Возможности выделения объекта пеленгации на мешающем фоне
за счет использования различий в распределении их излучения по
длинам волн, т. е. путем оптической фильтрации, легче поддаются
оценке в силу одномерности задачи, сходной в этом смысле с филь-
трацией электрических сигналов, и поэтому они более изучены
[3, 38, 60, 66 и др.]. Выявить возможности пространственной
фильтрации значительно труднее, так как это связано с особенно-
стями двумерной картины. Первичная обработка информации эле-
ментами оптической системы и фотоприемных устройств, а именно
преобразование поля лучистости пространства предметов в поле
облученности плоскости анализа прибора и перевод пространст-
венного рельефа изображения в электрический сигнал заслуживают,
на наш взгляд, особого внимания.

Менее специфична вторичная обработка информации, осущест-
вляемая в электронном тракте при отображении поля сигнала на ин-
дикаторе или при автоматическом обнаружении пеленгуемого из-
лучателя в поле зрения, определении его координат и измерении
параметров его движения. Она подобна соответствующим опера-
циям дискриминации сигнала, выполняемым радиотехническими
схемами многих устройств управления и связи, включая - радиоло-
кационные.

В свете этого наибольший интерес для нас представляет рас-
смотрение характеристик трансформаций, производимых фокусирую-
щей оптикой и совокупностью сканирующих, модулирующих и
фотоприемных элементов, которые можно объединить под общим
понятием анализатора изображения.

Отдельные вопросы анализа и синтеза (в указанном смысле) уст-
ройств пространственной фильтрации в той или иной степени уже
рассматривались в ряде работ, принадлежащих как иностранным,
так и отечественным авторам. Это статьи Аройана [1], Робинзона
[2], Монтгомери [30], книга Джемисона (с соавторами) [3], учеб-
ник В. И. Алексеева [4], книги Н. С. Шестова [18] и А. Е. Башари-
нова с соавторами [67]. Так, в первой из них дается в основном
качественное конспективное представление о пространственной филь-
трации, способствовавшее, однако, в свое время значительному
усилению интереса к данному направлению исследований. Пример-
но такой же характер носит и вторая статья, содержащая, главным
образом, исходные соображения по математическому описанию
случайного фона. Работа Монтгомери касается вопросов дискрет-
ной двумерной фильтрации с помощью ЭЦВМ. Включенные в кни-
гу [4] материалы работы И. А. Бондарского по пространственной
фильтрации, относящиеся к частотному описанию входных воздейст-
вий и элементов системы, понятиям о расчете помехозащищенности,
дальности действия и оптимальном выборе некоторых параметров
устройств оптической пеленгации, дополняют упомянутые зарубеж-
ные публикации, выгодно отличаясь свойственной учебному посо-
бию методичностью изложения-. Статьи А. Е. Башаринова и
Н. И. Ананова [6/7], а также книга [67] развивают подход к опти-
мальной и подоптимальной пространственной фильтрации с использо-
ванием непрерывных и дискретных выборок входного сигнала. По-
священная пространственной фильтрации глава в монографии [3],
сочетающая качественное и количественное рассмотрение, дает
дальнейшее развитие приложений аппарата двумерных преобразо-
ваний Фурье к получению характеристик простейших растровых
анализаторов. В ней затрагиваются также вопросы определения
характеристик излучения фона и вопросы оптимальной пространст-
венной фильтрации.

Изданная в 1967 г. книга Н. С. Шестова [18] включает в себя ма-
териалы по вопросам обнаружения сигнала на случайном фоне,
в том числе примеры расчета спектров модулированного сигнала и
помехи на выходе сканирующей приемной системы, представляющие,
с нашей точки зрения, определенный интерес. Следует также отме-
тить популярные книги Л. 3. Криксунова и И. Ф. Усольцева [53
и 66], в которых описаны принципы действия оптико-электронных
устройств пеленгации, использующих средства пространственной
фильтрации.

Необходимо отметить, что хотя в упомянутых работах изло-
жены некоторые важные исходные предпосылки и разобран ряд
простейших примеров, тем не менее даже в совокупности они не
дают еще достаточного представления о проблеме пространствен-
ной фильтрации в целом. В них отсутствует, в частности, общая те-
ория подвижных анализаторов изображения (рассмотрение в ос-
новном сводится к случаю равномерного_прямолинейного движения);
оптимальная и подоптимальная фильтрация рассматриваются глав-
ным образом применительно к случаям разделения переменных и без
учета конечной разрешающей способности оптики и фотоприемного
устройства; не проводится анализ размерной селективности и дру-
гих характеристик пространственной фильтрации анализаторов раз-
личных типов; не оцениваются возможности логической размерной
селекции; не вскрывается связь между пространственной и
оптической оптимальной фильтрацией и т. д.

Настоящая работа является, насколько нам известно, первой
специально посвященной данному кругу вопросов монографией,
в которой предпринята попытка систематически, с единых пози-
ций рассмотреть характеристики основных классов систем и подве-
сти необходимую теоретическую базу под разработки соответствую-
щих устройств. В силу новизны проблемы она, конечно, не может
претендовать на полную завершенность и исчерпывающее изложе-
ние. В ней ставилась более скромная задача: дать по возможности
развернутое представление о методике исследования и основных ре-
зультатах теории в доступной для широкого круга читателей
форме, что необходимо для выработки научного понимания сущест-
ва проблемы пространственной фильтрации и критической оценки
возможных технических путей ее решения.

Книга построена следующим образом.

Сначала дается математическое описание характеристик приня-
тых в данной работе моделей пространственного распределения поля
лучистостей объекта и фона. При этом наибольшее внимание уделе-
но статистическим характеристикам случайного фона, поскольку
их получение и использование вызывает наибольшие затруднения.
Затрагивается также вопрос о характеристиках излучения по длинам
волн с учетом их взаимосвязи с пространственным распределением.
Далее излагаются вопросы синтеза оптимальных и подопти-
мальных двумерных фильтров, осуществляющих выделение мало-
размерных объектов на коррелированном фоне с помощью чисто
пространственных операций, вид которых определяется на базе
критериев оптимальности, вытекающих из теории статистических
решений (апостериорного распределения вероятностей обнаружения).

Для выяснения потенциальной помехоустойчивости и общих
путей приближения к ней сознательно используются идеализиро-
ванные структурные схемы, представляющие собой как бы статиче-
ский пространственный эквивалент реальных подвижных анализа-
торов изображения с электрическими фильтрами. Анализируются
возможности наилучшего раздельного решения задач пространст-
венной и оптической фильтрации с учетом взаимосвязи исходных
характеристик. При рассмотрении подоптимальных фильтров, в
отличие от известных работ, принимаются во внимание конечные раз-
меры элементов разрешения оптической системы и фотойриемника,
ограничивающие характеристики пространственной фильтрации.
Помимо линейных непрерывных и дискретных фильтров, упрощен-
ным способом анализируются логические (нелинейные) алгоритмы
размерной селекции.

В гл. 4 излагается общая методика теоретического исследования
характеристик подвижных анализаторов изображения, на основе
которой рассматриваются основные типы анализаторов в последую-
щих главах. Частотный способ описания двумерных процессов,
принятый в качестве основного во всей работе, распространяется
на процесс анализа изображения, протекающий в пространстве
и во времени. Рассмотрение проводится применительно к регуляр-
ному полезному сигналу и случайной помехе от фона. Дается не-
которая классификация анализаторов.

Далее следует рассмотрение конкретных видов подвижных
анализаторов изображения с простейшим законом сканирования —
равномерными прямолинейным движением. Пользуясь методическим
удобством исследования такого типа устройств, на их примере вы-
являются основные особенности пространственной фильтрации, вы-
ясняется роль параметров анализатора и оцениваются предельно
достижимые при оптимальной вторичной обработке сигнала харак-
теристики.

Затем проводится рассмотрение двух классов анализаторов изо-
бражения, получивших наибольшее распространение в оптико-
электронных устройствах пеленгации с непрерывной модуляцией
сигнала: анализаторов с круговым поступательным движением и
вращающихся вокруг собственного центра растров. Определяются
характеристики их размерной селективности, спектры сигнала и
фоновой помехи. Оценивается влияние параметров входных воздей-
ствий и анализаторов на показатели помехозащищенности.

В заключение излагаются обобщающие соображения по мате-
риалам работы.
ГЛАВА 1

ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ ОБЪЕКТА И ФОНА.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

1.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ ОБЪЕКТА.

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ

Пространство предметов, наблюдаемое системой оптической
пеленгации, обладает определенным распределением лучистости
b (х, у, z; у, б, %, /), зависящим от координат излучающей точки
(х, у, г), углов наблюдения по азимуту и возвышению (у и б), дли-
ны волны излучения % и времени /. Это распределение полностью
характеризует пространство как источник излучения. С точки зре-
ния задач оптической пеленгации необходимо отличать полезное
излучение, несущее информацию о наличии, местонахождении и
перемещении искомого объекта, от мешающего излучения, на фоне
которого наблюдается данный объект. Фоном могут являться, в
частности, такие природные образования, как облака, небо, земная
поверхность и т. п.

Пассивные оптические системы пеленгации имеют дело с некоге-
рентным собственным и отраженным излучением. Они не используют
явления поляризации света. Поэтому применительно к ним под
лучистостью источника надо понимать интенсивность излучения
(точнее, мощность или поток) с единицы площади излучающей по-
верхности в телесном угле, равном одному стерадиану, соответству-
ющую единичному интервалу длин волн вблизи длины волны X:

b =----—— (вт*см~2 -стер-1 • ж/от-1).

Объекты пеленгации, так же как и фон, могут обладать ясно вы-
раженной неравномерностью индикатрисы излучения, в связи с чем,
вообще говоря, следует учитывать зависимость лучистости от ортого-
нальных угловых координат у и б линии визирования относительно
нормали к излучающей поверхности в рассматриваемой точке. Одна-
ко для сравнительно узкопольных систем углы у и б обычно столь
мало меняются в пределах поля зрения, что оказывается возможным
учесть их средним значением и не считаться с влиянием их измене-
ния по полю зрения на характеристики пространственного фильт-
ра (ПФ).

Изображение удаленных наблюдаемых предметов формируется,
как правило, в фокальной плоскости прибора. Поэтому вместо трех
координат излучающей точки х, у, z в плоскости изображения
можно рассматривать две ее угловые координаты а и 0 или две
линейные координаты х0 и Уо ее изображения. Те и другие связаны
(достаточно точными при малых углах поля зрения прибора) со-
отношениями (см. гл. 3):

х0« af, у0« 0/,
где f — фокусное расстояние оптической системы прибора.

Зависимость лучистости от длины волны излучения будет учи-
тываться далее особо. Изменение лучистости во времени существен-
но, главным образом, при пеленгации некоторых «мерцающих»
или быстроподвижных объектов. Лучистость же подавляющего
большинства объектов и фона за короткое время наблюдения
меняется столь слабо, что это может не приниматься во внимание
о точки зрения задач данной работы.

Флюктуации во времени излучения объектов и коэффициента
пропускания атмосферы также не играют сколько-нибудь замет-
ной роли в рассматриваемой задаче, так как обычно они имеют ма-
лую амплитуду и низкую частоту по сравнению с аналогичными
параметрами модулированного полезного сигнала.

Суммируя вышесказанное, ограничимся в основном рассмотре-
нием двумерного статичного поля лучистости b (х0, у0)- Часть его,
принадлежащую объекту пеленгации, обозначим Ьс (х0, Уо). Объек-
ты пеленгации могут иметь самое разнообразное распределение
лучистости по площади, что затрудняет выбор единой математиче-
ской модели излучения объекта, удобной для использования анали-
тического метода. Однако рассмотрение этой задачи существенно
упрощается тем, что обнаружение объекта, как правило, происхо-
дит на больших дистанциях. Оптическую систему для повышения
чувствительности и выполнения требований к малогабаритности,
приходится делать достаточно светосильной. Последнее приводит
к тому, что ее аберрации с учетом конечного размера поля зрения
и ширины спектрального диапазона не могут быть сведены к пренеб-
режимо малым величинам. Подобная оптическая система оказыва-
ется неспособной различить детали формы сильно удаленного объек-
та и «видит» его как светящуюся точку. Такое положение можно
назвать «дефицитом разрешающей способности оптики».

При этих условиях основное значение имеют общие размеры
объекта, а детали его формы играют лишь второстепенную роль.
Поэтому здесь позволительны приближенные представления функ-
ции Ьс (х0, у о), аппроксимирующие ее истинный вид с соблюдением
лишь основных эквивалентных по площади размеров, в частности, раз-
меров по двум ортогональным осям хс и ус (для объектов вытянутой
10
формы) или эквивалентного радиуса гс (для объектов примерно квад-
ратной или круглой формы). Подробности формы объекта в этих
условиях несут в себе только избыточную информацию, которая
не может быть использована системой, имеющей ограниченную
полосу пропускания. Это положение, вытекающее, как известно,
из теоремы отсчетов Котельникова—Шеннона [16], вполне распро-
страним© на системы пространственной фильтрации. В случае,
когда эти размеры оказываются по угловой величине много
меньше элемента разрешения оптики, возможно еще более упрощен-
ное представление распределения лучистости объекта по бесконеч-
но малой площади — модель точечного источника излучения.
В этом случае задача выделения объекта на неоднородном фоне при-
обретает характер распознавания образов источников радиации
конечной и бесконечно малой пространственной протяженности.
Однако решение даже такой вырожденной задачи распознавания
образов при наличии случайного возмущающего воздействия (излу-
чения неоднородностей фона) оказывается далеко не простым.

Малоразмерность (по угловой величине) объекта не будет сохра-
няться при достаточном сближении прибора с объектом. Но при
этом, как правило, интенсивность сигнала от объекта настолько пре-
восходит мешающие сигналы, что различение их перестает быть
проблемой. Учитывая сказанное, основное внимание уделим задаче
селекции малоразмерных объектов в условиях недостаточной раз-
решающей способности и будем использовать упрощенное их мате-
матическое описание, вводя типичные модели распределения лучи-
стости объектов в виде пространственных импульсов, описываемых
достаточно простыми аналитическими выражениями, зависящими от
двух переменных.

Прежде всего введем модель «точечного» источника излучения,
необходимую при определении весовых функций оптики и анали-
затора изображения. С этой целью воспользуемся математическим
представлением пространственного импульса, имеющего бесконеч-
но малую площадь основания (стягивающуюся в точку) и бесконеч-
но большую высоту.

Такая модель описывается двумерной б-функцией:

Нг) = /сб(7-70),	(1.1)

ОО При Г = 0,

(1-2)
О при г у= О,

где Jc — интенсивность излучения (интегральная по площади источ-
ника); г0 — радиус-вектор центра идеального изображения точеч-
ного источника в фокальной плоскости оптической системы; г —
текущее значение радиус-вектора.
В соответствии с определением 6-функции векторного аргумента
запишем

(1-3)

где S- — область на плоскости радиус-вектора г, имеющая беско-
нечную протяженность; dSr— элемент этой области.

Рис. 1.1. Модель излучающего объекта с равномерным распределением
лучистости (а) и соответствующий ей двумерный пространственный спектр (б)

Введем теперь модель объекта с равномерным распределением
лучистости

, / -ч I Ьс при 7 Е эс,
Ь\г) =\

( 0 при г

где Эс — область, лежащая внутри (0 контура объекта.

В частности, для объекта круглой формы радиусом’гс (рис. 1.1, а):

Ьс при	г—г0 <гс,

Мг)= _	,	(1-4)

О при |г—/-0|>гс.

Существует еще одна разновидность модели объекта с равно-
мерным распределением лучистости, удобная для рассмотрения ана-
лизаторов изображения типа вращающихся растров с секторно-
кольцевой структурой (см. гл. 4 и 7). Оценка размерной селективно-
сти таких растров существенно облегчается, если взять модель, со-
гласованную по форме с элементом растра. Приспособление модели
к характеристикам исследуемой системы вполне оправдано в усло-
виях дефицита разрешающей способности оптики. В данном случае
12
речь идет об участке кругового кольца с равномерным распределе-
нием лучистости по площади (рис. 1.2, а):

Рс
b {г, <р) = | о

При Г1 sC г г2 и

Ф1=Сф<Ф2

при r<rv r>r2 или Ф<Ф1» ф>ф2-

(1.5)

В ряде случаев ближе соответствует действительности и оказы-
вается более подходящей для аналитических исследований модель
объекта с плавно меняющимся по площади распределением лу-
чистости, описываемым функцией двух переменных, в частности,
такой функцией может быть поверхность, изображающая плот-
ность нормального распределения на плоскости (двумерная гаус-
соида).

Рис. 1.2. Модель излучающего объекта с равномерным распределением лу-
чистости в виде секторального сегмента (а) и графики соответствующих ей
трех первых коэффициентов Фурье bi (г) (б).

Для объекта вытянутой формы при соответствующем положении
начала отсчета и ориентации осей координат (начало координат в
данном случае ради простоты записи помещено в центр объекта, а
оси совпадают с осями фигуры) можно записать:

&(х, z/) = &cexpf-^-^-V	(1.6)

где хс и ус — длины полуосей того из эллипсов равных лучистостей,
на границе которого лучистость падает в е = 2,718 раз.

При равенстве обеих осей эллипса удобнее, воспользовавшись
полярной системой координат,"представить лучистость этой обладаю-
щей центральной симметрией модели в виде функции Гаусса, за-
висящей лишь от радиуса (рис. 1.3):

&(г) = 6сехр( —4-

_______ \ гс

где гс =рГХс + yl, хс = ус = гс/У2.

(1-7)
Хотя сам объект в данном случае имеет теоретически бесконеч-
ную протяженность, интегрируя лучистость по площади модели,
нетрудно убедиться, что более половины (63%) общей интенсивно-
сти излучения приходится на его центральную часть, ограничен-
ную эффективным радиусом гс

</Гс = 2л#с

гс

J гехр
о

-s-| dr—-—-л6сг| = 0,63Jc.
с /	е

Рис. 1.3. Модель излучающего объекта в виде поверхности, описываемой за-
коном Гаусса на плоскости (а) и ее пространственный спектр (б).

При этом общая интенсивность излучения составляет

2л оо

Jc = bA d(f У гехр ( —Д-

0	0	\ ГС

dr = &еЭТГс,

так же как для модели с равномерным распределением лучистости
по кругу радиуса гс (1.4). JB этом смысле величину гс можно также
назвать эквивалентным радиусом гауссоиды, соответствующим ра-
диусу равного ей по объему цилиндра.

То, что небольшая часть энергии излучения рассматриваемой
модели образует как бы расплывшийся по всей плоскости вокруг
ядра ореол, с практической точки зрения не играет особой роли;
удобство же оперирования с такой моделью будет видно из даль-
нейшего.
1.Ь ЧАСТОТНОЕ ОПИСАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛУЧИСТОСТИ
ПО ПЛОЩАДИ ОБЪЕКТА ПЕЛЕНГАЦИИ

Достоинства частотного метода применительно к пространствен-
ным процессам не менее существенны, чем при описании процессов^
протекающих во времени.

Пространственный спектр (ПС) объекта, как известно, может быть
получен из пространственного распределения его лучистости с
помощью двумерного преобразования Фурье:

В(со) = ^ b\r) ехр (— jco г) dST,	(1.8)

s-
г

где со — вектор пространственной «циклической» частоты, декарто-
вы компоненты которого сох, (&у определяют число волн (периодов)^
приходящихся на единицу длины, умноженное на 2л; со г—«формаль-
ное» скалярное произведение.

Векторную запись (1.8) в зависимости от вида функции & (г)
удобнее раскрывать в декартовой или полярной системе координат:

ОО

В (ах, = 5 $ b(x, z/)exp[ — j((axx+&yy)]dxdy;	(1.9)

—ОО

2 л	оо

В(®г, у) = § d<p § b(r, <р)ехр [—jcorrcos(y—q>)]r dr. (1.10)
о о

Здесь <вг = | (в | — модуль вектора пространственной частоты,
а у — аргумент вектора <о (фазовый угол);

1 Г о 2
СОГ = |/ Сдх + СО// ,

y = arctg(co!//cdx).

(1.11)

В случае осевой симметрии модели выражению (1.10) можно
придать вид

ОО	2л

В(<ог, у) = 2л J b(r)rdr — J ехр [ — j<orrcos(y—<р)]dtp. (1.12)
о	2 о

Внутренний интеграл в этом выражении представляет собой бес-
селеву функцию первого рода (с нулевым индексом [8]). С учетом
этого можно получить известное преобразование Ганкеля, явля-
ющееся одномерным эквивалентом двумерного преобразования
Фурье для функций, зависящих только от радиуса:

В (®г) = 2л § b (г) Jo (<ог г) г dr.	(1.13)

о

Аналогичные соотношения (обратные двумерные преобразова-
ния Фурье) позволяют по известному ПС найти соответствующие
пространственные функции:

Ъ	f exp(j®7) dd^.	(1.14)

\2л/ J

^(0

В случае центральной симметрии ПС (когда В(<ог, у) =
= В(<ог)) по аналогии с формулой (1.13) получим

ОО

=7~ f В(сог) J0(®rr)®rd<or,	(1.15)

2л J
О

являющееся обратным преобразованием Ганкеля.

Воспользуемся приведенными выражениями для получения ПС
рассмотренных выше моделей. Применительно к «точечному» источ-
нику с помощью формул (1.1) и (1.9) можно получить выражение

В (<»ж,	= bc exp [j (сож х0 + toy z/0)],	(1.16)

модуль которого является постоянной величиной Ьс (равномерный
спектр амплитуд).

Для круглого объекта равномерной лучистости (1.4) с помощью
формул (1.10) и (1.13) находим

гс

В (сог) = 2л6с § г Jo (сог г) dr.

о

Поскольку интересующие нас функции b (г) удовлетворяют усло-
виям Дирихле, возможно их представление* интегралами Фурье.

С учетом известной формулы приведения бесселевых функций
18]

d [(<or r)k Jft (cor г)] = (<or r)k Jfe_i (®r r) d(wr r),

взяв внешний интеграл в (1.14), получим

В (tor, у) = 2bc art	#	(1. 17)

CDr Гс
на величину,-определяемую радиус-вектором г0, появляется допол-
нительный фазовый множитель, как в формуле (1.16).

Применительно к модели в виде участка кругового кольца (1.5),
используя выражение (1.10), получим

Фа rs

В(шг, y) = bc § d<P § exp [— jcorr cos(y — cp)J rdr,	(1.18)

Ф1 n

которое при данных пределах интегрирования не записывается в
конечном виде. Поэтому в таких случаях целесообразно вместо дву-
мерного преобразования Фурье произвести разложение в ряд Фу-
рье только по фазовому углу ф и таким образом получить достаточ-
но простое описание объекта, обладающее в то же время' достоин-
ствами частотного метода в отношении удобства дальнейших пре-
образований. Можно записать

Ь(г, <р) =

ОО

2 bt (г) exp (j/q>)
/ — —ОО

0 при г<Г1

при < г2,

или г > г2

(1-19)

2л

= f b(r, <р)exp (—-jZ<p)dtp.	(1.20)

2Л J

0

Подставив в эти выражения формулу (1.5), получим



be* •	/ Дф /	’ 1	\

-5sin —-exp ( — ]/<ре) при гх<ггСг2,
Jit	Z

(1-21)

0 при г>г2 или г<гх,

гдеДф=ф2—срх—центральный угол участка кольца; ф0=(ф!4-ф2)/2.

Вид зависимости bt от Дф для первых трех значений индексов
I изображен на рис. 1.2, б.

Перейдем теперь к определению ПС моделей с неравномерным
распределением лучистости по площади. Применим (1.13) к рассмо-
тренной ранее модели объекта в виде центрально-симметричной
гауссоиды (1.7):

ОО

В(сог) = 2л6с	ехр [—J0(corr)rdr. (1.22)

Ъ \ гс/

2 Зак. 1490

17
Подобный интеграл удается достаточно просто представить в
конечном виде [8]:

В (<вг) = Ьс лг1 ехр

..2 ,2
юг гс

4

(1-23)

Вид ПС этой модели изображен на рис. 1.3, б.

Как видно из выражения (1.23), преобразование Ганкеля в дан-
ном случае привело к функции того же вида, только с измененными
значевцями параметров, что является особенностью гауссоиды.
Величину, обратную эффективному радиусу гс, можно в определен-
ном смысле назвать частотой среза ПС (<вг ср = 2/гс). Она ограни-
чивает основной диапазон частот, в пределах которого амплитуда
пространственных гармоник, присущих ПС модели, падает в е раз.
Доля этого интервала частот в общей мощности спектра (интегра-
ле от квадрата амплитуд) составляет около 2/3.

Найдем теперь выражение ПС для более общей модели объекта
вытянутой формы (1.6), которая описывается двумерной «гауссои-
дой», не обладающей свойствами тела вращения.

Применив запись (1.9) к выражению (1.6), получим произведе-
ние двух однотипных интегралов, имеющих вид:

ОО

С	f	X2	\

ехР “TV — К* dx,	(1.24)

J	\	/

которые берутся по формуле [8]:

ОО

(* ехр(—Ax2~l~Cx)dx = j/^— ехр ( — 'j.	(1.25)

* А \ А J

—ОО

Положив А = —, С = —j —, найдем
2х^	2

/	(j)2 х^	\

В (®я, соу) =.2nbc хс ус ехр I--------.	(1.26)

\	"	Z I

В полярной системе координат это выражение примет вид

В (<вг, у) = Ъс яге sin 26с ехр

(1-27)

Fc (у) = 2 (cos2 у cos2 0С + sin2 у sin2 0С);

9С = arctg (#с/хс).

Можно показать, что при повороте объекта на какой-то угол
относительно центра, на такой .же угол и в ту же сторону «повер-
нется» соответствующий ПС [3].
В частном случае равенства обоих ортогональных эффективных
размеров модели хс = ус = гс/У2 (с учетом того, что гс = уХс + yl),
когда эта модель становится центрально-симметричной (1.7), выра-
жение для ее ПС (1.26) принимает вид (1.23).

1.3.	ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ ОБЪЕКТА
ПО ОПТИЧЕСКОМУ СПЕКТРУ

До сих пор мы намеренно отвлекались от того факта, что лучистость
объекта может зависеть от длины волны X излучаемых электромагнитных
колебаний. В действительности такая зависимость всегда имеет место". Элек-
тромагнитный (в нашем случае оптический) спектр излучения тел, как извест-
но, обусловлен их собственным и отраженным излучением.

Собственное излучение, свойственное всем нагретым телам, непосредст-
венно связано с их температурой 7'. Например, излучение абсолютно черного
тела однозначно определяется его температурой в соответствии с законом
Планка:

В(%) = <?!A,-6(exp — l') '.

Отраженное излучение имеет оптический спектр, зависящий как от со-
става облучающего объект потока излучения, так и от поглощающих свойств
объекта.

Не вдаваясь подробно в этот обширный и достаточно хорошо известный
вопрос, отметим только некоторые моменты, необходимые для облегчения
понимания дальнейшего изложения. Информация об оптическом спектре
излучения может быть очень важной для осуществления спектральной селек-
ции. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае существует опре-
деленная связь между пространственным и спектральным распределением
лучистости объекта. В частности, эффективные размеры источника излучения
могут зависеть от длины волны. Как известно, собственное излучение низко-
температурного объекта является длинноволновым, а отраженное, обуслов-
ленное подсветкой высокотемпературным источником (Солнцем), — корот-
коволновым, и если различные части поверхности объекта по-разному уча-
ствуют в формировании этих двух составляющих его радиации, то его эффек-
тивная излучающая площадь будет определенным образом зависеть от выбора
диапазона оптического спектра.

Применительно к введенным нами моделям в этом случае необходимо
считаться с зависимостями гс(Х) или хс(Х) и в то время как решение
задачи оптимальной фильтрации обычно опирается на отсутствие связи по
переменным со и %, в силу чего полагают

В (w, x)=B(w)B(X).

(1.28)

Такому условию удовлетворяет, например, зависимость от длины вол-
ны максимального значения лучистости объекта 6С(А), играющая в выра-
жении ПС объекта роль частотно независимого множителя.

В случае Же, когда, как отмечалось выше, влияние X проявляется на
параметрах, входящих в частотнозависимую часть ПС, происходит наруше-
ние равенства (1.28). При этом, строго говоря, уже нельзя полностью разде-
2*	19
лять задачи пространственной фильтрации _и фильтрации по оптическому
спектру. Возможность учета взаимосвязи со и X будет рассмотрена ниже
(в гл. 2).

В ряде случаев зависимость гс(Х) на небольшом интервале можно в пер-
вом приближении линеаризировать, полагая

г с (Х) = гс + гс (X— Хо),	(1.29)

где rc = const; rc = const, Х,о = const.

1.4.	ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ ТИПИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ФОНА

Характеристики естественных фонов, безусловно, еще более
разнообразны, чем характеристики объектов пеленгации. Ввиду
этого будем в основном считать параметры фонов случайными и
пользоваться их статистическим описанием. Однако для большей кон-
кретизации их характеристик и наглядности физической интерпре-
тации представлений о размерной селективности схем пеленгацион-
ных приборов целесообразно ввести для фона также несколько ти-
пичных моделей определенной формы как с неслучайными, так и со
случайными параметрами. К числу таких моделей прежде всего
можно отнести модели, рассмотренные выше для объекта пеленга-
ции.

При этом исходим из того, что вследствие пространственных
флюктуаций лучистости фон должен содержать неоднородности,
подобные по форме пространственному импульсу объекта, но в
среднем (из-за коррелированное™ лучистости в соседних точках фо-»
на) отличающиеся большими размерами. Использование однотип-
ных моделей фона и объекта позволяет более наглядно выявить раз-
мерную селективность системы в чистом виде, исключив влияние
отличий формы полезного и мешающего импульсов, что представля-
ет определенный методический интерес.

Как известно, задача автоматического распознавания образов
не решена пока еще сколько-нибудь удовлетворительно даже при
камеральной обработке зафиксированных изображений. Тем более
это относится к различению формы «текущего» изображения в авто-
матических оптических системах пеленгации. С учетом отмечавше-
гося выше дефицита разрешающей способности, оптики, возможно-
сти различения формы объектов весьма незначительны, вследствие
чего характеристика размерной селективности является достаточ-
но показательной.

Варьируя величинами гс (или хс и ус), можно оценивать, на-
сколько сильнее система реагирует на малоразмерные источники,
чем на крупноразмерные, и затем определять избирательность ее
при «настройке» на полезное излучение малоразмерного источника.

Однако было бы, конечно, совершенно недостаточно ограничить-
ся только такими моделями фона, поскольку протяженные неодно-
20
родности фона могут иметь и совсем отличную от объекта форму.
Это относится прежде всего к так называемой макроструктуре
фона, обусловленной переходами от одного типа фона к другому.
Такие переходы обычно соответствуют высоким значениям гра-
диентов лучистости, создающим интенсивные помехи. Установ-
лено, что одной из самых критичных фоновых помех является
излучение хорошо освещенной Солнцем, четко очерченной кром-
ки облака. Значительные перепады лучистости могут наблюдаться
на линии горизонта, береговой линии, границах леса и поля и т. п.
Подобные фоновые неоднородности требуют особого внимания при
исследовании помехозащищенности систем оптической пеленгации.
Для описания их излучения может быть использована модель типа
«ступени»:

(bi при

6 (*, У) = ) Д	л

4	7	(Ь2 ПрИ;$Х>0.

В этой модели граница скачкообразного перехода между дву-
мя разными уровнями лучистости считается прямолинейной и рас-
положенной (ради простоты записи) вдоль оси OY.

Произведя двумерное преобразование Фурье, получим выраже-
ние для ее пространственного спектра

В(®я> toy) =	(toy),

j^X

где ЛЬ = Ь2—Ьг.

При этом было использовано определение б-функции по аргумен-
там (оу и х, а также теорема о спектре интеграла (от пространствен-
ного импульса). Параметр этой модели Д& мажет рассматриваться
и как случайная величина, обладающая статистическими характе-
ристиками, в частности, математическим ожиданием Д& и дисперси-
«	2

ей ад6.

Оба рассмотренных здесь типа моделей фона имеют общий важ-
ный недостаток: они отображают единственную неоднородность
фона из всего возможного многообразия. В реальных условиях в
поле зрения прибора могут одновременно попадать несколько фоно-
вых неоднородностей различных размеров. Возникает потребность
в статистической модели более сложного типа, которая смогла бы
отобразить хотя бы самые основные вероятностные свойства фона
как флюктуационного пространственного процесса. Такая модель
может включать в себя элементы обеих вышеописанных моделей.

Основным из указанных свойств является корреляционная связь
величин лучистостей соседних участков фона.

Прежде чем перейти к такой модели, необходимо рассмотреть
статистические характеристики фона, являющиеся исходными дан-
ными для анализа и синтеза помехозащищенных систем оптической
пеленгации.
1.5.	ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ФОНА.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Двумерное поле случайного фона может быть полностью опре-
делено в вероятностном смысле с помощью многомерных законов
распределения лучистостей.

В частности, достаточно богатую информацию для анализа узко-
польных высокопомехозащищенных систем несет в себе 7-мерная
совместная плотность распределения вероятностей величин лучи-
стостей в равноудаленных на размер элемента разрешения оптики
соседних точках W7 (blt ..., b7; t\.r7). Использование 7-мерного

закона распределения позволило бы в принципе оценивать эффек-
тивность нелинейных схем размерной селекции. Однако получение
столь полных характеристик оказывается крайне сложной задачей,
которая в настоящее время еще далека от практического решения
[3]. Кроме того, при наличии столь подробного статистического опи-
сания фона было бы весьма затруднительно использовать его при
инженерных расчетах. Поэтому на практике приходится использо-
вать неполный набор вероятностных характеристик.

До сих пор отсутствуют, к сожалению, достаточно достоверные
данные даже по одномерным законам распределения различных
статистических ансамблей фонов. Очевидно, что одномерной плот-
ности распределения лучистостей фона присуща некоторая асим-
метрия, поскольку отрицательных значений лучистости не сущест-
вует. Несмотря на это, для фонов однородной структуры, по-видимо-
му, можно пользоваться в качестве первого приближения
нормальным законом распределения.

Нормальный А/-мерный дифференциальный закон распределения
лучистостей в соседних точках фона может быть записан в виде

^(&) = (2л)-^/2[Ое1||Ктп||]-‘/2ехр -4- 2 2 Qmnbmbn\-,

( tn— 1 п — 1	)

0	_ М(Ктп)	<L30)

mn Det ||Kmn II ’

где Det||Ктп||—детерминант корреляционной матрицы выборки
значений лучистостей фона в N точках; Ad (Ктп) — адъюнкта
элемента Ктп матрицы; Qmn —обратная корреляционная матрица.

В работе [46] показано, что при неизбежной (в силу ограничен-
ных возможностей получения экспериментальных данных много-
мерной статистики фона) экстраполяции законов распределения
по известной корреляционной функции принятие распределения
гауссовым является наиболее «экономным» (с точки зрения объема
статистических данных). Это соответствует критерию минимума
информации, оправданному при прогнозировании высших харак-
теристик на основе знания лишь низших.
Асимметрию реального закона распределения нулевых значе-
ний в области отрицательных лучистостей можно не учитывать вви-
ду того, что свойственный такой структуре фона разброс лучистостей
около относительно большой величины математического ожидания
сравнительно невелик [34, 46]. Таковы, например, характеристики
сплошной облачности или однородного аэроландшафта (пустыня,
степь, тайга и т. п.). Фоны, наиболее неблагоприятные для систем
оптической пеленгации вследствие разнородности структур (напри-
мер, облачность с разрывами, участок, охватывающий линию гори-
зонта), нельзя удовлетворительно аппроксимировать нормальным
законом, так как они имеют два максимума плотности распределе-
ния, соответствующие математическим ожиданиям лучистостей
каждой из двух компонент макроструктуры фона (иначе говоря,
для них характерна бимодальность распределения). Следует от-
метить, что при использовании нормального закона распределения
обоснована достаточность корреляционной теории для анализа
и синтеза оптимальных линейных пространственных фильтров.
При нормальном законе нелинейные фильтры не могут дать луч-
ший результат, чем линейные оптимальные фильтры [16].

Если закон распределения лучистостей отличается от нормаль-
ного, то абсолютный оптимум в принципе может быть достигнут
с помощью нелинейных фильтров, однако синтез таких фильтров
представляется одной из самых сложных нерешенных задач теории
фильтрации. Бимодальность закона распределения двухкомпонент-
ной макроструктуры фона может быть отражена, например, с по-
мощью наложения двух нормальных законов с различными матема-
тическими ожиданиями Ьг, Ь2 и дисперсиями о|, а|:

W (Ь) = —ехр
/2^

_	1 , а2 Г_ (6-»2)2

2*1 J+ ]/2л а2	Р [

где аг и а2 — величины, зависящие от вероятностей присутствия в
поле зрения системы той и другой компоненты фона.

Если дисперсия одной из них (скажем, второй) достаточно
мала (в частности, соответствует малому разбросу лучистостей
голубого неба), то распределение ее лучистости может быть замене-
но 6-функцией:

При однородной структуре каждой из двух компонент (ими
могут быть облака на голубом небе) закон распределения будет
состоять из двух 6-функций (рис. 1.4):

W(b) = a18(b-b1)+ai8(b-b2).	(1.31)

Такой двухуровневый закон распределения отображает в. основ-
ном макроструктуру любого двухкомпонентного фона. С его помощью

23
легче всего выявить (статистически) степень помехозащищенности
систем пеленгации в наиболее критичных условиях (когда сказы-
вается влияние границ переходов). Этот закон будет далее исполь-
зован при построении так называемой «эвристической» модели фона.

Обратимся теперь к наиболее доступным вероятностным харак-
теристикам поля лучистостей фона — моментам распределения.
Из них самыми существенными (при нормальном законе распределе-
ния они полностью определяют не только одномерный, но даже и

Рис. 1.4. Двухуровневый одномерный закон распределения лучистостей фона
(с двумя 6-функциями, соответствующими яркостям Ьг и Ь2) и совокупность
двух нормальных законов с дисперсиями о? и а2

7-мерный закон распределения) являются моменты первого и вто-
рого порядка, а именно: математическое ожидание M(b) — Ь(г)
и корреляционная функция

7<ь(^72) = 7И{[Нг1)-6(^)] [&&)-&(г2)]}>	(1.32)

значение которой при равных аргументах представляет собой дис-
персию случайной функции

(г) = Кь (г, г).

(1.33)

В общем случае поле лучистостей фона является нестационар-
ным, т. е. его вероятностные характеристики зависят от положения
начала отсчета (что и отразилось в написанных выше выражениях
для Ь, о2 и Кь (гх, г2)). Характеристики фона резко упрощаются,
если фон считать стационарным. В пределах корреляционной тео-
рии можно говорить о стационарности в широком смысле, выра-
жающейся в следующих двух условиях:

Ъ (г) = 6 = const; /Сь(гх, г2) = Кь(Дг),	(1-34)

где Дг = г2—гх.

24
Из последнего условия вытекает дополнительно

Gb (г) =	= const. ,

Фоны неба можно, по-видимому, полагать стационарными в
пределах сравнительно небольших углов поля зрения, удаленных
от направления на Солнце и от линии горизонта. Стационарность
аэроландшафта связана, главным образом, с однородностью его
макроструктуры и с положением Солнца. Вероятно, стационарность
и здесь редко соблюдается на значительных по протяженности
участках.

Получение и использование характеристик фона требует в общем
случае набора статистических сведений по ансамблю реализаций
(или, как иногда выражаются фигурально, «поперек» процесса).
Осреднение по ансамблю подразумевалось нами при нахождении
математического ожидания в выражении (1.32). Такое положение,
однако, вызывает большие сложности в исследованиях. Задача об-
легчается, если, кроме стационарности, есть основания предполагать
еще и эргодичность фона. Эргодичность означает одинаковость (в ве-
роятностном смысле) результатов осреднения как по совокупности
реализаций, так и по одной реализации достаточно большой протяжен-
ности, когда одна такая реализация позволяет получать статистиче-
ские данные «внутри» реализаций или, как говорят, «вдоль» процес-
са. В связи с этим требуется разделение фонов на статистические под-
ансамбли, различающиеся физической природой фона (например,
небо, облака, земля, водная поверхность), пространственной мак-
ро- и микроструктурой, а также метеоусловиями наблюдения и усло-
виями облучения светилами. Попытки получения общих для всего
многообразия фонов вероятностных характеристик не только на-
рушают условия эргодичности, но, кроме того, приводят к значи-
тельной потере информации о важнейших видах фонов (нивелиров-
ке их параметров в процессе осреднения). Излишне мелкое дробле-
ние фонов (узкие подансамбли) приводит к избытку малодостоверной
информации (нехватке статистического материала внутри каждого
подансамбля).

Математически необходимым и достаточным условием эргодич-
ности является затухание до нуля корреляционной функции на
бесконечном интервале. Условия эргодичности соблюдаются, оче-
видно, для ограниченного числа классов фонов [2] (скажем, для ку-
чевых облаков в полдень, сельского аэроландшафта летом, поверх-
ности моря и т. п.). С учетом этих соображений и будем использо-
вать гипотезы стационарности и эргодичности.

В общем случае корреляционная функция фона зависит также
и от угла поворота системы координат. При этом имеет место так
называемая анизотропия фона. В удалении от линии горизонта и на-
правления на Солнце может иметь место изотропность фона, т. е.
одинаковость его статистических свойств по всем направлениям.
2В. Зак. 1490	25
Облака нижнего яруса во многих случаях обладают сильной кор-
реляцией в горизонтальном направлении. Столбообразные облака
верхнего яруса, наоборот, больше коррелированы в вертикальном
направлении. Высококучевые облака обычно почти изотропны на
достаточно малых интервалах.

Изотропность значительно упрощает исследование, позволяя
фактически исключить из рассмотрения одну из переменных. Кор-
реляционная функция изотропного стационарного фона имеет

вид	Кь (Аг) = Кь (Кг? + rf - 2rx r2 cos АТ])>	(1.35)
где	Аг = |Аг| = |г2—гг|,  Ar] = arctg-2S-—T12—-Т11 .  г 2 COS	COS Т)1

Она зависит, таким образом, от одного скалярного аргумента —
расстояния между точками на плоскости.

1.6.	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СПЕКТРЫ ДИСПЕРСИЙ ФОНА.
РАСЧЕТНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Перейдем к статистическому описанию случайных фонов с по-
мощью частотных представлений. Частотный метод обладает извест-
ными достоинствами при стационарных входных воздействиях,
применительно к которым и будем его использовать.

Переход от корреляционной функции стационарного случай-
ного процесса к спектру дисперсий (энергетическому спектру) про-
изводится, как правило, с помощью преобразования Хинчина—
Винера. В векторной записи оно имеет вид:

<3Ь (®) = f Кь (Дг) exp (—jcoAr) dS-.	(1.36)

s-
r

Соответствующее обратное преобразование

Kb (Ar) =-J- f Gb (®) exp (j®A?)	(1.37)

позволяет по известному энергетическому спектру найти корреля-
ционную функцию.

Спектр дисперсий пространственных частот двумерного стацио-
нарного и эргодичного случайного процесса определяется через
26
спектр комплексных амплитуд (1.8) того же процесса следующим
образом:

C/>(^)=slim |в(ю)|2 >	(1.38)

г	г

что следует из эргодического представления корреляционной функ-
ции двумерного поля лучистости

Kb№) = lim -И bfr)b(r + &r)ds-,	(1.39)

6--*оо J
Г r S-
г

обратного преобразования Хинчина—Винера (1.37) и двумерного
преобразования Фурье (1.8).

Пространственный спектр (ПС) облачных образований имеет
спадающий характер (от 40 до 60 дб на декаду пространственных
частот [1]), свойственный совокупности относительно крупнораз-
мерных неоднородностей.

Одной из наиболее подходящих его аппроксимаций является
выражение

Gb (®х> ®у) = 4лхф уф о* [1 + *ф	+ Уф <41 ~3/2	С1-40)

или в полярной системе координат:

Gb (<ог, у) = 2л4 sin 20ф [1 + ®2 Рф (у)] "3/2;	(1.41)

ХФ = ГФ cos ®ф’> Уф = гф$шеф;

Гф (у) = 2 (sin2 у sin2 0ф + cos2 у cos2 0ф);	(142)

где Хф, z/ф — интервалы корреляции фона по соответствующим
осям координат, а гф = V хф + Уф—радиус корреляции.

Различие между значениями параметров хф и Уф (или величина
отклонения угла 0ф от л/4) характеризует степень анизотропии фона
при постоянной полосе пропускания по модулю вектора простран-
ственных частот сог.

При Хф = Уф = Гф/2 (или в полярной системе при 0ф = л/4)
вместо выражения (1.41) для изотропного фона получим [3]:

Gh (<ог) = 2лг| o2b (1 + ®2 4)“3/2.	(1.43)

Экспериментальные данные по определению ПС облачного неба'
в диапазоне длин волн до 2,8 мкм [1] представлены на рис. 1.5.

С ростом сог функция G6(<or) (1.43) асимптотически стремится
к кубической гиперболе со спадом 60 дб на декаду ®г:

Gb(ar)^ 2лгф1 <у2ь<л~3.	(1.44)

2В*	27
Это выражение можно использовать при анализе систем оптиче-
ской пеленгации, обладающих достаточно хорошим подавлением
низких пространственных частот, когда бесконечное значение
функции (1.44) в нуле не играет особой роли (в иных случаях это
может привести к расходящимся интегралам по спектру ®г). Вообще
же законность используемых нами ПС обеспечивается достаточно
быстрым затуханием их корреляционных функций.

Найдем выражение для корреляционной функции изотропного
фона, соответствующее ПС вида (1.43). Воспользуемся для этого
обратным преобразованием Ганкеля типа (1.15), заменяющим обрат-

Рис. 1.5. Пространственный спектр облачного неба:

а —осредненный спектр при сплошной облачности (пунктиром показана аппроксимация
с наклоном 60 дб); б—первичная реализация (облака с разрывами).

ное преобразование Хинчина—Винера (1.37) в случае, когда ПС за-
висит только от модуля пространственной частоты (изотропный фон).
С помощью известного выражения для подобного интеграла [8]:

Lfj0(corAr)(l W4)~3/4<4== ./. JM, (1.45)

rd	V 2 Г(3/2> — /2\гф/

Где (x) — модифицированная функция Ганкеля; Г(х) — гамма-
функция. С учетом формул (6.339.2) и (6.479.3), приведенных в
работе [8], находим
и получаем выражение для искомой корреляционной функции в ко-
нечном виде

Kft(Ar) = 4exp(—Дг/гф).	(1.46)

Утверждения о том, что двумерные стационарные изотропные
случайные процессы не могут иметь экспоненциальную корреляцион-
ную функцию [3], основаны на том, что если одномерный нормальный
случайный процесс имеет экспоненциальную корреляционную функ-
цию, то он является марковским, а двумерный процесс марковским
быть не может. Однако на двумерный процесс нельзя механически
распространять положения, касающиеся одномерных процессов,
и поэтому приведенное заключение не является доказательным, тем
более, что оно не помешало авторам, высказавшим его [3], использо-
вать экспоненциальную корреляционную функцию при рассмотре-
нии конкретных примеров.

Из выражения (1.46) виден, в частности, смысл параметра гф, ко-
торый можно назвать радиусом корреляции.

При величине интервала Дг = гф значение корреляционной
функции составляет 1/е часть от дисперсии Соответственно ве-
личины хф и играют роль интервалов корреляции по осям X и Y.

Рассмотрим еще одну возможную аппроксимацию ПС изотроп-
ного фона [17]:

Gb(®r) = 2n/-$Oi (1+®г2Гф)-1.	(1.47)

Такой спектр имеет менее крутой спад (40 дб на декаду). На вы-
соких частотах функция (1.47) асимптотически стремится к квадра-
тичной гиперболе:

Gb =. 2л(Тб ®“2,	(1.48)

параметры которой не зависят от величины радиуса корреляции.
Спектр (1.47) описывает фон, в котором сильнее, чем при предыдущей
аппроксимации, представлены мелкие неоднородности. Этому спект-
ру соответствует корреляционная функция

КДДг) = <4К(Дг/гф),	(1.49)

выражение для которой можно получить с помощью преобразова-
ния Ганкеля (1.15) и выражения (4.412.2) из справочника [81:

fJD(aO<p+1 а4 хр~ч

----dt = —---------KP-q (ах).

J(/2 + x2)<7+i	2«Г(<7+1) р

Здесь Лр_д(г) — модифицированная функция Ганкеля [в выраже-
нии (1.43) индекс р—q равен нулю]; Г(г) — гамма-функция.

Следует отметить одну существенную особенность послед-
ней аппроксимации: ей соответствует бесконечная дисперсия
lim Ло(2) = 00, как и белому шуму. Величина г>ф при этом играет
2->оо

роль эффективной дисперсии.

Рассмотрим теперь иную модификацию корреляционной функ-
ции, несколько менее соответствующую действительным харак-
теристикам фона, но зато обладающую свойствами, позволяющими
заложить ее характеристики в достаточно удобную для оценки по-
мехозащищенности статистическую модель фона. Из дальнейшего
будет видно, что удобство этой модели [9], которую можно назвать
эвристической, так как она базируется в известной мере на интуи-
тивных соображениях, связано с использованием двухуровневого
закона распределения и достаточно простого правила построения
случайного рисунка. Последнее требует разделения переменных в
выражении корреляционной функции, так называемой «сепарабель-
ности» ортогональных сечений /Сь(х, у).

Этому требованию удовлетворяет схожая с (1.46) экспоненци-
альная функция

Кь (х, у) = ехр — —=

I УI \~|
/J

(1.50)

0 < хф < гф; 0 < уф < гф.

Она может приближенно отобразить анизотропию фона
(Хф=/=уф). При Хф = Уф = Гф/2 она соответствует квазиизотропному
фону

Кь (Аг, 0) = о2 ехр —— (| cos 0 Ц-1 sin 01)];	(1.51)

L ГФ

Ar = ]/x2 + y2; 0 — arctg(y/x),

у которого статистические свойства одинаковы лишь по двум орто-
гональным осям ОХ и ОУ. Выражение (1.50) в отличие от (1.46)
содержит два независимых экспоненциальных множителя. Соответст-
вующий ПС получается с помощью однотипной пары одномерных
преобразований Хинчина—Винера

ОО

/	\	2 Г (	1|х|

0»(®х, &y) = ob J ехр	L-I

--ОО	Ф

'}<£>хХ jdx X

____!_ |У1

/2 Уф

}^vy]dy.

(1-52)

В результате интегрирования получим

Gb (о)х, ©,) = 8оЬф уф (1 + 2<оМ) ~ (1 + 2®* z4) -1. (1.53)
Корреляционная функция квазиизотропного фона (1.51) наи-
более сильно отличается от изотропной (1.46) в бисекторных плос-
костях, в то время как в координатных совпадает с ней. Можно по-
казать [9], что наилучшее (в смысле минимизации среднеквадратич-
ного отклонения) приближение к изотропности путем корректиров-

Рис. 1.6. Корреляционные функции изотропного и «квазиизотропного» фонов:
а —корреляционная функция Кь (Аг) случайного фона (экспоненциального вида) и со-
ответствующий ей «кубично-гиперболический» ПС С?^(юг); б —корреляционная функция
(Аг, 6) 2-уровневой модели случайного фона и соответствующий ей спектр
Gb (юг, У).

Пунктиром показаны «квазиизотропные» аппроксимации.

ки радиуса корреляции в формуле (1.53) получается при значении
Гф = 1,25Гф. Соответственно для ПС имеем выражение:

Gb(o>x, <0у) = 6,25оьГф(1 + 1,56«>2/-ф)_1(1 1,56®^Гф) — 1. (1.54)

На рис. 1.6 изображены корреляционные функции и спектры
изотропного (а) и квазиизотропного (б) фонов.

Рассмотрим еще один вид пространственного спектра дисперсий
фона и соответствующую корреляционную функцию, которые могут
быть отнесены к подансамблям однородных облачных образова-

31
ний. Свойственные им плавные изменения лучистостей находят от-
ражение в гауссоидальной форме функции корреляции, описы-
вающей дифференцируемый пространственный случайный про-
цесс:

Кь(Аг) = Об exp [ —	(1.55)

\ гф/

Ей тоже соответствует гауссоидальный пространственный спектр,
который можно получить, проделав преобразования с помощью
выражений, аналогичных (1.22):

Gb(cor) = лГфОфехр f——V	(1.56)

\	4 /

Величина гф в (1.56) имеет тот же смысл, что и в (1.43). Однако,
если приравнять величины GB(0), то первый будет в два раза больше
второго.

В пространственном спектре (1.56) очень слабо представлены
высокие пространственные частоты, что существенно облегчает по-
давление помехи от подобного фона. Характеристики вида (1.55)
и (1.56) присущи так называемым сингулярным процессам, исполь-
зование которых в чистом виде может привести к эффекту псевдо-
достоверного обнаружения сколь угодно слабого полезного сигнала
[16], если не учесть дополнительно возможность присутствия компо-
ненты белого шума, хотя бы совсем малой интенсивности (см. гл. 2).

Радиус корреляции фонов облачного неба имеет угловую вели-
чину менее 2° [10], по другим данным от 30' до ГЗО'.

1.7.	«ЭВРИСТИЧЕСКАЯ» МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОГО ФОНА

Известно, что одномерная станционарная функция, принимающая с одина-
ковой вероятностью одно из двух неслучайных значений, имеет корреляци-
онную функцию экспоненциального вида [11]. Исходя из этого и обобщая
соответствующие соотношения на двумерный случай, можно построить про-
странственную модель случайного фона в виде «шахматной доски» [34] со
случайными размерами полос, определяемыми генерацией случайных чисел
по определенному вероятностному закону [9] (рис. 1.7).

Пусть случайная функция Ь(х, у) с одинаковой вероятностью (0,5) мо-
жет принимать значения bi и Ь2 (неслучайные величины). Пусть вероятность
скачка от bi к Ь2 и обратно в любом интервале зависит только от протяжен-
ности этого интервала (по каждой из осей координат). Тогда рассматривае-
мая случайная функция является стационарной в узком смысле, поскольку
ее законы распределения не зависят от текущего положения точки, для кото-
рой они определяются, на плоскости ХОУ.

Одномерный дифференциальный закон распределения для этой функции
имеет вид (1.31):

W (Ь) = [6 (Ь -Ьг) + 6 (b- Ь2)]/2.

Двумерный дифференциальный закон распределения определяется ве-
роятностями появления возможных пар значений: bi и b^, bi и Ь2; Ь2 и bi,
32
b2 и b2 в точках, отделенных интервалами Ах и \у. Эти вероятности, в свою
очередь, зависят от вероятностей четного или нечетного числа скачков зна-
чений функции на рассматриваемом интервале

W (Ь', Ь"\ Дх, = ~ { 6 (6' — bl) 6 (&"~61) [рч(Дх)рч(Ду)+рн(Дх)й1(Ду)] +

+ 6 (Ь' — 61) 6 (Ь"—Ь2) 6 (Ь" — Ь2) [рн (Дх) рч (Др) + Рч (Дх) Рн (Др)] +

6 (&' bг) 6 (&" Ь2) [рч (Дх) Рч (Др) Н"Рн (Дх) рн (Др)] +

+ б(Ь'-&2)6(Ь»-&1)[рч(Дх)рн(Др) + рн(Дх)рч(Др)]} .	(1.57>

Ь(х,у)

Рис. 1.7. Двухуровневая («эвристическая») модель случайного фона в виде
«шахматной доски».

При этом вероятности четного и нечетного числа перемен значений оп-
ределяются формулами (Аг = Ах или Az = At/):

ОО	ОО

Рч(Дг)= 2 P(2fe, Дг);рн(Дг)= 2 Р(2Н h Дг)
k=o	k=o

в соответствии с теоремой гипотез.

Подставляя последние формулы в (1.57), найдем математическое ожида-
ние b и корреляционную функцию Къ (Ах, Ау) с помощью известных выра-
жений

bW (b)db= A(6i + 62);
2

(1.58).

К6(Дх,Др)=УУ (6'— 6)(&"— b)W (b',b"-,&x, ^db'db1’.	(1.59).
Пусть число перемен знака ti распределяется на интервале А/ по зако-
ну Пуассона [11]:

Ьп kzn

p(n,kz) =-------exp ( — 6 Az),	(1.60)

nl

где 6 = сс или 6 = (3; 6 — математическое ожидание числа перемен знака, при
ходящихся на единицу длины.

Учтем далее, что [13]:

 । А 2	=— [ехр (| Az | 6)-f-exp (— | Az | 6)];	(1-61)

nl 2

рч (Az) — рн (Az) = exp (— 26 Az).

В результате преобразований получим конечное выражение

Ль(Дх, Д//) =	ехр [-2 (а | Дх | +₽ \&У /)]-	(1-62)

Для квазиизотропного фона с одинаковой средней частотой «скачков» по
•обеим осям (а = р = 6) будем иметь

Кь (Аг, 0) = ——ехр [ — 26 Аг (| sin 0 14-1 cos 0 |)].	(1.63)

4

Сопоставляя эти выражения с (1.50) и (1.5-1), установим, что

2	(&1-&2)2

4 ;

гф= 1/2 6;

(1-64)

Хф —

УФ

2/2р

1

1

/2 a

Соответствующий функции (1.63) спектр определяется выражением типа
(1.53). Попутно заметим, что при законе распределения протяженности про-
странственных импульсов (по одной из осей) вида f(z) = 4z ехр (—2z), отра-
жающем малую вероятность очень коротких и очень длинных импульсов,
можно получить спектр переменной составляющей фона (по соответствующей
компоненте пространственной частоты) вида [1, 35]:

Ob (g>z) = 8

<0^ + 64

Таким образом, убеждаемся, что двухуровневая модель случайного фона
с пуассоновским распределением скачков по обеим осям имеет корреляцион-
ную функцию в виде произведения «сепарабельных» экспонент, сравнитель-
но близкую (при соответствующей корректировке величины радиуса корреля-
ции) к возможным характеристикам реального фона.

Подобная модель воссоздает множественность возмущающих воздейст-
вий в поле обзора системы оптической пеленгации и таким образом дает воз-
можность проведения достаточно простых статистических оценок эффектив-
ности размерной селекции, осуществляемой, в частности, путем логических
нелинейных операций (см. гл. 3).
1.8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФОНА
ПО ОПТИЧЕСКОМУ СПЕКТРУ

Излучение фона (так же как и объекта) является функцией длины волньи
В коротковолнрвой области X = 0,4—3 мкм преобладает отраженное фоном
излучение светил. В более длинноволновой области (X > 4 мкм) преобла-
дает собственное тепловое излучение фона. Наибольшие помехи системам опти-
ческой пеленгации создает дневной фон облачного неба и Земли. Фон является
объемным источником излучения и на его характеристиках сказывается до-
полнительное излучение, рассеивание и поглощение в толще атмосферы меж-
ду облачными образованиями или Землей и прибором.

Поглощение атмосферы носит селективный характер и поэтому ИК при-
боры работают в участках спектра (атмосферных «окнах»), где атмосфера об-
ладает достаточной прозрачностью (X < 2,6 мкм; 2,8—4,2; 4,4—6,5 мкм и др.).

Спектральный состав коротковолновой части излучения дневного фона
обусловлен главным образом солнечной радиацией, которая по составу близ-
ка к излучению абсолютно черного тела с температурой 6000° К. Собственное
излучение облаков в основном соответствует излучению абсолютно черного
тела, имеющего температуру облаков. Спектральная интенсивность такого
излучения описывается законом Планка.

На рис. 1.8 изображена кривая спектральной лучистости кучевого обла-
ка при наклонном визировании [14].

Кривая спектральной лучистости земной поверхности при наклонном
визировании с вершины горы показана на рис. 1.9 [15], температура ланд-
шафта и места расположения прибора составляет 300 и 270° К.

Спектральная интенсивность излучения фона может меняться также в
зависимости от пространственной структуры облачных образований (для об-
лачности с разрывами она несколько иная, чем для сплошной облачности).
С другой стороны, и пространственная микроструктура фона отличается в
разных диапазонах длин волн. Так, в частности, некоторые имеющиеся экспе-
риментальные данные говорят о том, что неоднородности фона резче прояв-
ляются в коротковолновом диапазоне, чем в длинноволновом (радиус корреля-
ции растет с увеличением длины волны). По этим причинам пространственные
и оптические спектры поля лучистости фона в общем случае нельзя считать
независимыми, т. е.

Сь(ю, A,)=#Gb(w)Gb(A,).	(1.65)

Условия «сепарабельности» могут иметь место только приближенно
внутри какого-то сравнительно узкого диапазона длин волн.

К сожалению, получение статистических характеристик фона с хорошим
разрешением одновременно по угловым координатам и по длинам волн весь-
ма затрудняется дефицитом чувствительности радиометрической аппаратуры.
Ввиду этого в ряде случаев допускают использование в качестве спектральных
характеристик фона данных, полученных широкопольными спектрометрами.
Применительно к приборам оптической пеленгации с достаточно эффектив-
ной пространственной фильтрацией, это может оказаться неприемлемым из-за
различия функций (?В(Х) в диапазонах низких (подавляемых в помехозащищен-
ном приборе) и высоких (рабочих) пространственных частот. С этой точки
зрения целесообразно приближать пространственно-частотные характеристи-
ки спектрометрической аппаратуры исследования фонов к аналогичным ха-
рактеристикам систем оптической пеленгации. Из тех же соображений радио-
метрические анализаторы пространственной микроструктуры фона должны
быть близки по спектральной чувствительности к пеленгационным приборам.
Некоторая потеря разрешающей способности измерений по одной из перемен-
ных (со или X) внесет при этом меньшие погрешности, чем смещение диапазона
чувствительности радиометра относительно рабочего диапазона пеленгацион-
ного устройства (по той же переменной). Соответствующие требования к из-
мерительной аппаратуре должны быть увязаны с величинами градиентов
характеристик фона и шириной полосы пропускания оптико-пеленгацион-
ных систем по со и %.

Стремление к использованию в расчетах осредненных статистических
данных по спектрам 6В(Х) для наиболее неблагоприятных фоновых ситуаций
привело к попыткам установить вид спектра некоего средне-наихудшего фона

Рис. 1.8. Спектральная лучистость кучевого облака:

Рис. 1.9. Спектральная лучистость земной поверхности:

Пунктиром показана аппроксимация спектрами абсолютно чёрного тела с температу-
рами 270 и 300° К.

[60]. При аналитических исследованиях можно использовать приведенные
оптические спектры фона в качестве независимого сомножителя, определяю-
щего дисперсию фона (X). Кроме того, в случае необходимости в выражения
для пространственных спектров (§ 1.6) можно внести приближенную линеа-
ризованную зависимость радиуса корреляции от длины волны:

Гф М = Гф + г ф(Х—Хо);	(1.66)

/ф = const; Гф = const.
В связи с задачей оптимальной фильтрации по длинам волн встает во-
прос о соблюдении по этому аргументу тех гипотез о статистических свойствах
фона (в частности, предположений об эргодичности и стационарности функ-
ции 6ф(г, X)), которые были в известной мере оправданы в отношении про-
странственного аргумента г. Определенный ответ на этот вопрос в настоя-
щее время дать затруднительно, ввиду отсутствия необходимых эксперимен-
тальных данных (проводившиеся спектрометрические измерения, по-видимо-
му, не предусматривали получения статистических характеристик).

Однако, даже исходя лишь из общих физических соображений, можно
полагать следующее. Так как спектральные характеристики фона сравнитель-
но единообразны (в пределах соответствующих подансамблей), то соображения
о малом разбросе спектральных характеристик фона дают некоторые основа-
ния предполагать эргодичность 6ф(Х). Значительно меньше оснований, к
сожалению, имеется для принятия гипотезы о стационарности поля лучи-
стости фона по длинам волн, поскольку спектральное распределение поля
лучистости слишком неравномерно. Можно, однако, предполагать, что эта
зависимость носит в основном регулярный характер, и считать Ьф(Х) при-
водящейся к стационарному виду [36]. Эту детерминированную зависимость
можно отразить отдельным сомножителем сштического спектра, относящим-
ся к зависимости дисперсии от длины волны о| (Л), а нормированный по
ней спектр Gf (со, X) считать стационарным:

G^,l)=a|(X)G^,A,).	(1.67)

Тогда в последнем сомножителе сосредоточивается та связь вероятност-
ных пространственных и спектральных характеристик микроструктуры фо-
на, которая в общем случае и делает переменные со и X неразделяющимися
(1.65).
ГЛАВА 2

ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ

2.1.	ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

Первоочередной задачей оптической системы пеленгации явля-
ется обнаружение излучающего объекта. Только после того как
система выделит искомый объект на мешающем фоне и установит
факт его присутствия в поле зрения, она сможет перейти к измере-
нию положения и скорости перемещения объекта.

Обнаружение производится, как правило, в режиме поиска, так
как обычно возможное положение объекта в зоне обзора заранее
неизвестно. Таким образом, задача относится к классу сложного
обнаружения сигнала (со случайными параметрами) [16]. В процес-
се ее решения система должна произвести выбор между двумя ги-
потезами: 1) присутствует только мешающий сигнал, 2) помимо
мешающего имеется еще и полезный сигнал. Выбор второй из ги-
потез влечет за собой прекращение поиска и иногда переход на сле-
жение за объектом. Ложный останов может привести к нежелатель-
ным последствиям (пропуск объекта или захват помехи).

Отсюда вытекает важность оптимизации пространственной филь-
трации объекта на неоднородном фоне. Современная теория стати-
стических решений дает возможность установить единый критерий
оценки вероятностных характеристик обнаружения, наиболее пра-
вильно отвечающий условиям решения данной задачи. Таким кри-
терием является величина функции потерь L. Величина функции
потерь зависит от вероятностей двух видов возможных ошибок си-
стемы обнаружения — вероятности пропуска полезного сигнала
Рпр и ложной тревоги Рлт, а также от коэффициентов А и /2> опре-
деляющих долю ущерба, которую вызывает каждая из этих ошибок:

L = hP^ + f,Pm.	(2.1)

Оптимизация системы по этому критерию, однако, во многих
случаях затрудняется тем, что оказываются неизвестными априор-
ные вероятности присутствия р и отсутствия q полезного сигнала,
от которых зависят вероятности Рпр и Рлт:

^пр^^Рпр Р—	(2«2)
Здесь Р*р и PL — соответственно условные вероятности пропуска
и ложной тревоги.

При таком положении наиболее приемлемым критерием явля-
ется так называемое отношение правдоподобия [16]:

л__ W (u/s)
Wg(u) 9
где W(u/s) — функция правдоподобия — плотность условной ве-
роятности получения реализации и для смеси сигнала s и помехи
g, a Wg(u) — плотность условной вероятности получения той же
реализации для одной лишь помехи.

Отношение правдоподобия уже не зависит от априорных вероят-
ностей. Оно несет в себе всю, содержащуюся в апостериорном рас-
пределении при незнании априорных вероятностей информацию о
наличии полезного сигнала, какую только можно извлечь при об-
наружении объекта. При равных вероятностях присутствия и от-
сутствия сигнала (р = q = 1/2) отношение правдоподобия полно-
стью определяет вероятность наличия полезного сигнала в полу-
ченной в процессе приема реализации выходного сигнала (апосте-
риорную вероятность).

На основании этих данных должно быть принято альтернатив-
ное решение: «есть сигнал» или «нет сигнала».

Простейшее правило принятия такого решения — сравнение ре-
зультатов приема с некоторым заранее рассчитанным результатом,
наилучшим образом разделяющим две возможные гипотезы (поро-
гом решения).

Для получения выражения числителя (2.3)1 через измеряемые
параметры входного сигнала и необходимо уточнить вид смеси по-
лезного сигнала s и помехи g.

Принципиально важной отличительной особенностью задачи
оптической пеленгации является то, что искомый объект наблюда-
ется на фоне, затеняя находящийся за ним участок фона.Обнару-
жить присутствие объекта можно только при условии, что излуче-
ние объекта как-то отличается от излучения затененной им части
фона. Это свидетельствует о неаддитивности полезного сигнала и
помехи, т. е. о невозможности (в общем случае) свести совокупное
их действие к простой сумме [6с(г) + 6ф(г)].

Поле лучистости объекта и фона описывается более сложной
комбинацией:

ь (<) = ^с (г) + Ьф(г) — &ф(г)-Ьо(г),	(2.4).

где 1э0 — единичная функция в пределах области затенения фона
объектом.

1	Для удобства записи в формуле (2.3) и далее величины лучистостей
6, Ьс и Ьф обозначены отдельными буквами с индексами, отвечающими номе-
ру точней. В данном случае эти обозначения и, s и g соответствуют b(r), Ьс(г)
и Ьф (7).
Отметим попутно, что нас сейчас интересуют только те условия,
в которых возможности обнаружения ограничиваются помехой
от фона (при этом собственные шумы приемного устройства много
меньше по величине, чем фоновая помеха, и мы пока исключаем
их из рассмотрения). В таких условиях математическое ожидание
лучистости фона &ф(г) может быть очень велико, и наиболее важное
значение имеет средняя величина контраста Д&0 = Ьо — Ьф в пре-
делах площади объекта.

Ввиду малого -размера объекта на больших дистанциях, как
правило, он занимает незначительную часть поля зрения оптималь-
ного фильтра, размер которого обусловлен как будет видно из
дальнейшего, корреляцией фоца. Поэтому флюктуации сигнала, об-
условленные последним слагаемым в формуле (2.4), обычно малы
по сравнению с его средним значением и по сравнению со случай-
ными отклонениями второго члена в (2.4). В связи с этим можно
пренебречь флюктуациями лучистости фона на затененной объектом
его части, и учет неаддитивности фона приближенно может быть
сведен к использованию в качестве полезного сигнала величины
среднего контраста объекта на фоне. Таким образом, вместо (2.4)
можно записать

6(7)«Д6О(7) + &Ф(7).	(2.5)

В дальнейшем для краткости будем опускать значок Д при обоз-
начении контраста, подразумевая под Ьо всегда только средний
контраст объекта и фона. Среднюю лучистость фона здесь теперь
можно считать равной нулю, так как она уже учтена в первом
члене,. Выражение (2.5) отражает аддитивность видоизмененного
полезного сигнала и помехи. Следует отметить, что если не считать-
ся с искажением формы сигнального импульса, вносимым затенен-
ной частью фона, которое в действительности является весьма мало-
существенным в связи с дефицитом разрешающей способности оптики
системы пеленгации, то учет флюктуаций амплитуды полезного
сигнала из-за затенения фона не изменил бы структуры оптимального
фильтра, а лишь незначительно повлиял бы на вероятность пропуска
сигнала [16].

Точное определение этой величины в большей мере затрудняет-
ся отсутствием достаточно достоверных даннцх о законе распределе-
ния помехи. В самом деле, при условии аддитивности формулу (2.3)
можно переписать в виде

A=^-("~s) .	(2.6)

Wg(u)	v

Для нахождения отношения Л требуется, следовательно, знать
закон распределения лучистостей фона. Как уже отмечалось, вид
закона распределения — степень отличия его ют нормального зако-
на, существенно влияет на постановку задачи оптимизации про-
40
странственного фильтра. При нормальном законе распределения,
как это показано в работе [16] для одномерных процессов, и
может быть распространено и на двумерный случай, линейный опти-
мальный фильтр является наилучшим из всех возможных, включая
любые нелинейные фильтры, в то время как при иных законах
распределения это положение уже может не соблюдаться и нелиней-
ная фильтрация в принципе может дать больший эффект.

Синтез оптимальных нелинейных фильтров невозможен без пред-
варительного решения достаточно сложных задач вариационного
исчисления, далеко выходящих за рамки данной работы. Поэтому
в данной главе сосредоточимся на получении характеристик линей-
ных оптимальных пространственных фильтров (ОПФ). Закон рас-
пределения лучистости фона при этом будем полагать нормальным,
что примерно отвечает действительности в случае однокомпонентно-
го фона, когда условия обнаружения сравнительно благоприятны..

2.2.	ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
НЕПРЕРЫВНОГО ОПТИМАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО ФИЛЬТРА

Получим выражение для отношения правдоподобия (2.6) через измеряе-
мые параметры. Его числитель и знаменатель, вообще говоря, представляют
собой бесконечномерные законы распределения пространственного (двумер-
ного) процесса. Они относятся к непрерывной выборке значений процесса,
взятой в пределах площади Л. Полагая ее прямоугольной, примем а < х < Ь\
с < у < d.

Функция правдоподобия при этом может быть представлена в виде
[28, 67]:

W (u/s) = C ехр [Т (и)],	(2.7)

где С — величина, зависящая от известной формы полезного сигнала, а
Т(и) — функционал ортогонального разложения двумерного процесса, за-
висящий от характеристик регулярной и случайной части входного сигнала.

оо /X \1/2
л оо / zvщ ,п \ ' .

'„".Л 2» ) '

(2.8>

b db d

г ~ — $ $ $ $ 1“ (х> у) — S (х, у)— 'g (х, t/)] [и (х', у') — s (х', у’)—
а с а с

—g (*', у')] Qg (х, X'; у, у') dx dy dx' dy'.	(2.9)

Здесь Qg—обратная функция ковариации поля лучистости фона,

ОО

U(x, y)=g(x, y) + s(x, у)+ 2 “"> П (X) Фп (g) при а < х < &;
т,п=0

с < у < d,

(2.10)

41
Кт, п — собственные значения ортогонального разложения по собственным
функциям Туи (х) и Фп(у); ат, п— коэффициенты разложения, удовлетво-
ряющие условиям

М- { ати, п } =0;	1

М { ат, п ар, q } =^т^п $тп J

{0 при i =/=	1

,	в > — символ Кронекера,

1 при i	J

b d

«т, п = ^ [« (х, у) — s (х, y) — g (х, у)] ¥т (х) Фп (у) dx dy. (2-12)
а с

Функции 4% (х) и Фп (#) — члены ортогонального семейства, являются
решениями интегрального уравнения

Ь d

Ът,п^\к8(х,х'-,у,у')'Ут (х') Фп («/') dx' dy> = Чт (х) Фл (у)
а с

при а < х < Ь, с < у < d;

здесь Kg (х, х'; у, у')—функция пространственной корреляции помехи.

Выражение (2.9) для Т(и) после отбрасывания члена, не несущего ин-
формации о полезном сигнале и служащего лишь для нормировки, и слагае-
мого, определяющегося известной заранее средней энергией полезного сиг-
нала, может быть представлено в виде

bd

Т* [и (х0> «/о)1 = I “	~ S (Х1, У1) —

а с L

— S	j^(x0—хп y0—yijdXidxz-,	(2.13)

при этом

b d

h{xa—xi, ya — yi) = ^Qg(x—x^, y—yi)s(x0—xi, y0—yi)dxdy,
a c

если область интегрирования достаточно велика по сравнению с областью
корреляции.

Выражение (2.13) представляет собой алгоритм оптимальной простран-
ственной фильтрации для случая аддитивной помехи. В него входит искомая
весовая функция оптимального фильтра обнаружения сигнала известной
формы Л(х0—хь уь—г/±), которая, в свою очередь, определяется из интеграль-
ного уравнения [67]:

bd

55^ (х—Xi, у—ух) h (х0—хь i/о—Ух) dxi dyi = s(x0—x, ул—у), (2.14)
а с

где х0 и yQ связаны с положением полезного сигнала относительно начала
координат. Корреляционная функция фона играет в этом уравнении роль
симметричного ядра.

Оптимальная процедура обнаружения соответствует структуре выра-
жения для логарифма отношения правдоподобия (2.9) и включает в себя ли-
42
нейную фильтрацию предварительно центрированного по g + s/2 входного
сигнала.

При этом логарифмирование и центрирование могут быть заменены экви-
валентным изменением порога решения, т. е. той величины Т*(м), при срав-
нении с которой должно быть отдано предпочтение одной из двух гипотез:
присутствует или отсутствует полезный сигнал. Линейный оптимальный
пространственный фильтр (ОПФ), как можно показать на основании преды-
дущих выражений, выполняет две операции. Это, во-первых, помехоподавле-
ние в точке, описываемое весовой функцией:

ftn(x,«/) = [Q^(x^)]1/2,	(2.15)

где Qg(x, у) — обратная функция ковариации стационарного поля лучисто-
сти фона, которая определяется корреляционной функцией фона через инте-
гральное уравнение [67]

bd

^K.g(x,x';x,y‘)Qg(x',x'’-, y',y")dx' dy' =&(х—х"-, у—у").	(2.16)

а с

Если источник полезного излучения может быть принят точечным (опи-
сан 6-функцией), то весовая функция ОПФ оказывается равной

hn(x, y) = Qg(x—х0> у—уо),
при этом

b d

Qg(x',x"-, y’,y") = ^lQg(x, х'; y,y')]l/2 \Qg(x,x"-, у, y")]1/2dxdy.

a c

Второй операцией является накопление сигнала по площади объекта
в сочетании с предварительным квадратичным детектированием. Результи-
рующая весовая функция ОПФ может иметь сложную форму, при которой
отсутствует разделение переменных х и у. Ее определение путем решения инте-
грального уравнения Фредгольма первого рода (2.14) представляет собой
довольно трудную задачу.

Возможность резкого упрощения решения несет в себе переход к беско-
нечным пределам интегрирования в (2.14), что позволяет с помощью двумер-
ных фурье-преобразований перейти в частотную область и превратить (2.14)
в произведенйе

Gb («х, toy) Н (Юх, toy) =В0* (tox, toy) ехр [—j (Ох x0 + toy д/0)],

(здесь мы вернулись к первоначальным обозначениям сигнала и помехи,
связанным с физическими величинами).

Определив отсюда Н(ах, (£>у), легко получить простое выражение про-
странственно-частотной характеристики (ПЧХ) ОПф в виде

Н (tox, toy) = Bq (tox, toy) [G6 (tox, ®i/)]_1 exp[ —j (cOxXo + «!/f/o)],	(2.17)

содержащее в числителе комплексно-сопряженный спектр лучистости объек-
та, а в знаменателе — пространственный спектр дисперсий лучистостей фо-
на. Экспоненциальный множитель отражает фазовый сдвиг, необходимый для
максимизации величины отношения сигнал/помеха в центре объекта.

Условия замены пределов интегрирования в (2.14) на бесконечные

а~— оо, b ~ оо; —оо, d^oo,	(2.18)

к сожалению, не поддаются строгому обоснованию, поэтому приближенное
решение (2.14) с помощью частотных представлений (2.17) является эвристи-
ческим. Основной предпосылкой его законности, по-видимому, следует счи-
тать условие достаточно большой площади поля зрения системы, охватываю-
щей область существенных значений сигнала и заметной корреляции фона.

Кроме того, сопоставление точного и приближенного решения показывает
[17], что последнее верно со сравнительно «легким» ограничением — обра-
щением в нуль полезного сигнала и его производных по нормали к границе
области интегрирования А на граничной кривой этой области. В противном
случае в приближенное решение должны быть добавлены члены, учитываю-
щие поведение функции лучистости объекта на границе этой области.

Вид дополнительных членов получен в работе [17] применительно к ПС
фона типа (1.47). Принимая во внимание малоразмерность объекта в самых
критических условиях пеленгации, можно полагать, что указанное выше
ограничение будет соблюдаться как раз тогда, когда это является наиболее
важным (на больших дистанциях до объекта).

ПЧХ фильтра //(со) определяется через его весовую функцию h(r) с
помощью преобразования Фурье

Я(со)=	h (r)exp( — jcor)dS^	(2.19)

sr

Полагая математическое ожидание лучистости фона g(x, у) — Ьф (Дг)
учтенным в среднем контрасте объекта Ь0(&г), регулярную часть процесса на
выходе ОПф можно записать в виде

Ф(7) = $ b0(p—~r)h(p)dSp.	(2.20)

Корреляционную функцию случайной части процесса на выходе ОПф
в соответствии с ее определением можно получить, дважды производя двумер-
ную свертку корреляционной функции поля лучистости фона с весовой функ-
цией ОПф

Кф(Д7)=	(2.21)

S— S —
Р1 Р2

Применение к этим выражениям двумерных преобразований Фурье
дает

Ф(Й) = ВО(«)Я*(®);	(2-22)

Сф (5) = Gb («) |Н (5) I2.	(2.23)

Используя эти выражения для определения результирующего отношения
сигнал/помеха с учетом (2.17) при х0 = Уо = 0, получим

[Ф(ро)]2 = J_ Г |ДоН I2 d9_	(2.24)

° в	W J Ог>(ю)

Соотношения (2.17), (2.24) могут быть доказаны и путем максимизации
отношения сигнал/помеха с помощью обобщенного неравенства Шварца—
Буняковского [18].

Таким образом, мы получили общие выражения для характеристик
ОПф, рассматриваемого как некое идеальное устройство, наилучшим обра-
зом (с точки зрения статистической теории обнаружения) преобразующее
поле лучистости Ь(г) в поле сигналов Ф(г), по которому решающая схема
производит выбор гипотез.
физическая природа ОПф при такой постановке вопроса, вообще гово-
ря, не предопределена. Подобное преобразование может осуществляться либо
непосредственно в пространственной области (оптическими средствами),
либо путем дальнейших фотоэлектрических трансформаций поля сигналов
(при сохранении того же пространственного эквивалента). Поле сигналов
может, в частности, реализовываться с помощью потенциалоскопических
трубок.

ОПф может быть построен с использованием точечного источника излу-
чения и когерентной обработкой (управления фазой электромагнитных коле-
баний за счет разности хода луча в пластинах переменной толщины), а
также с помощью некогерентной оптики при биполярных сигналах с исполь-
зованием опорного уровня и масштабных коэффициентов [68]. Интересен
также метод биполярных апертурных масок с подсветкой флюоресцирующего
экрана в ИК диапазоне через «маску + » и в УФ диапазоне через «маску—»
[17]. Вследствие того что одна подсветка усиливает, а другая ослабляет све-
чение экрана, маски как бы приобретают противоположные знаки, что поз-
воляет реализовать помехоподавление путем пространственного дифферен-
цирования. Следует отметить, что все эти методы ввиду их сложности скорее
подходят для лабораторных экспериментов, чем для практического приме-
нения в пеленгационных устройствах.

До сих пор не был затронут вопрос о возможном несовпадении центра
объекта с началом координат. Согласно теореме о сдвиге в этом случае ра-
диус-вектору центра объекта р0 будет соответствовать в частотной области
дополнительный фазовый множитель

fip/“)=B0 (“)exP(j“Po)«	(2-25)

Так как объект может занимать произвольное положение в пределах неко-
торой области, то фаза сигнала при обнаружении оказывается неизвестной.
С учетом этого максимизация отношения сигнал/помеха должна произво-
диться для произвольно смещенной точки. Структура фильтра и достижимые
его характеристики (величина q) при этом не меняются, поэтому ОПф можно
считать инвариантным к положению объекта. Однако обеспечение макси-
мального значения q для всех возможных координат объекта требует уста-
новки большого числа параллельно включенных ОПФ, отличающихся толь-
ко фазовыми множителями ПЧХ с относительными сдвигами, обусловленны-
ми величиной поля зрения ОПф. Последняя определяется областью сущест-
венных значений весовой функции фильтра:

А (7) = Ду f Н (й) ехр (jior) d3~.	(2.26)

Если нет необходимости обеспечивать требуемые характеристики по
всему полю обзора, то вместо сплошной двумерной мозаики ОПф можно
использовать один или несколько ОПф, осуществляющих последовательный
просмотр поля обзора. При этом сами собой выполняются условия физичес-
кой осуществимости, которые накладывают такие серьезные ограничения на
оптимальные фильтры временных процессов.

В противоположность высказанным в работе [33] положениям, никаких
специальных мер (вроде введения дополнительных комплексно-сопряжен-
ных полюсов в ПЧХ оптимального пространственного фильтра) для обеспе-
чения физической осуществимости здесь не требуется, так как любое поло-
жение полюсов и нулей ПЧХ не противоречит закону причинности прост-
ранственных процессов, у которых обе полуплоскости совершенно равно-
правны (в отличие от одностороннего влияния «прошлого» на «будущее» для
процессов, протекающих во времени).
Ограниченность поля зрения ОПф (пределами существенно отличаю-
щихся от нуля значений весовой функции) обеспечивает его устойчивость.
В этом отношении пространственные фильтры также сильно отличаются от
обычных электрических.

Анализ характеристик ОПф позволяет оценить предельные (потенциаль-
ные) возможности обнаружения объекта и выявить пути построения реаль-
ных прострадственных фильтров, приближающихся к оптимальным. Благо-
даря этому теория оптимальной фильтрации является естественной базой
для инженерного синтеза помехозащищенных систем оптической пеленгации.

Рассмотрим характеристики ОПф при типичных входных воздействиях
(см. гл. 1). При этом нас прежде всего будут интересовать ПЧХ фильтра (или
его весовая функция) и достижимое значение отношения сигнал/помеха.
Сопоставляя результаты, полученные при разных видах ПС фона, выявим,
сколь критичны характеристики ОПф к изменению аппроксимирующих вы-
ражений спектров и в какой мере влияют на величину q такие параметры
фона, как радиус корреляции и показатель анизотропии.

Учитывая малоразмерность объекта в наиболее важных условиях пелен-
гации ограничимся при его описании лишь одной аппроксимацией его ПС
(1.27) и отразим влияние основных параметров этой достаточно показа-
тельной модели на величину отношения сигнал/помеха на выходе ОПФ.

Сделаем сначала несколько предварительных замечаний об общей струк-
туре ОПф.

В соответствии с выражением (2.17) ОПф можно представить состоящим
из двух основных, последовательно включенных звеньев:

н (to) = Ht (to) Н2 (co);

Hl (co) =	(w);

Hi (co) = 1/Gj (w).

(2.27)

Первое из них играет роль согласованного фильтра, обеспечивая преиму-
щественное пропускание частот, наиболее сильно представленных в спектре
полезного сигнала. Применительно к задаче обнаружения малоразмерных
объектов его роль не слишком велика. В пределе, при переходе к точечным
источникам излучения, описываемым двумерной 6-функцией лучистости,
это звено вообще вырождается в частотнонезависимое:

r1(ai)=h1 j б(р)ехр(—j со р) =д1== const
Р

В случае конечных, но достаточно малых угловых размеров объекта,
согласующий фильтр является весьма широкополосным.

Второе, основное звено ОПФ можно назвать помехоподавляющим. Сте-
пень подавления каждой из пространственных гармоник фона в этом звене
обратно пропорциональна их интенсивности в спектре помехи на входе
(2.27). Благодаря этому помехоподавляющий фильтр производит как бы вы-
равнивание ПС фона — приводит к его белому шуму. Роль этого звена тем
больше, чем уже полоса пространственных частот спектра фона (чем больше
радиус корреляции). При узкополосном (сильнокоррелированном) фоне
возможна весьма высокая степень помехоподавления. Далее проследим это-
на конкретных примерах. Выше, проводя рассуждения в пространственной
области, мы дали обоим этим звеньям трактовку с точки зрения их весовых
функций (последетекторное суммирование и «декорреляция» помехи).

Для полноты картины следует упомянуть еще третье звено ОПФ, кото-
рое, как пояснялось выше, выполняет функции пространственного сдвига»
Его ПЧХ в соответствии с выражением (2.25) имеет вид

Я3(й) = ехр(— jco ро)-
Это звено играет подчиненную роль, поэтому не будем без особой необ-
ходимости включать его в рассмотрение, и характеристики пространственной
фильтрации будем строить, главным образом, для случая точного совмещения
центров фильтра и объекта в плоскости анализа.

2.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНОГО ОПФ
ПРИ КУБИЧНО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕННОМ
СПЕКТРЕ ФОНА

Прежде всего проведем рассмотрение применительно к анизо-
тропному фону с ПС типа кубической гиперболы (1.41), (1.42) [20].

Подставляя выражения. (1.27), (1.41)—(1.42) в (2.17) и в (2.24),.
получаем

т) = v

b0 1 sin 20с

кф |1п20ф

2 2

X [l + ®r4F(v)]3/2exp —

(2.28)

4 а2 *ф

2л	ос

sin 20*	2л	J	J

*	о	о

4/шГ'2

2
(0г

X ехр

со; г;

—— РС(У) <brdo\,

(2.29)

где кф = Гф/г0 — относительный радиус корреляции фона (пояс-
нение остальных обозначений дано в гл. 1).

Непосредственная интерпретация ПЧХ вида (2.28), вследствие
ее относительной сложности, вызывает затруднения, поэтому вер-
немся к ней после некоторых упрощений для частного случая
изотропного фона.

Для получения в конечном виде внутреннего интеграла в вы-
ражении (2.29) введем новую переменную z = св2 Гф Fi'(y) и обоз-
начим для краткости записи

^ = [2A^a(T)]-1, ka(y) = ^.	(2.30)

Теперь внутренний интеграл принимает вид

ОО

__J_ J(1 +г)з/2 ехр (_xz) z< dz	(2.31)

$ Ф о
и может быть взят с помощью выражений ([8], (9.220.2 — 4) и
(9.215.1):

[2г^ф(?)] -1 р! Г ( —гИг ( -4Т1 X

Х1И(< + 1; i+ -^-;x)+(il)-1r(i+-|-)x

_ 5__ .

XX 2 * Л4 (-----1-;----1---i; х) }.	(2.32)

где М (а. р, х)—вырожденная гипергеометрическая функция; Г (v)—
гамма-функция [19].

В данном случае i = 0 и а — р [8]

М (а, а, х) = ех.

Обозначим дополнительно

л/2

р = — I \ka (у)]5 /2 [Рф (У)]-1 е* dy,

Л X

(2.33)

и запишем (2.41) в окончательном виде [20]:

п о ns bo 1 sin^200
а = 0,05 —г —г -----------

°ь Ч sin0<&

(18,8 4Р -R).

(2-34)

Отметим, что энергетические параметры объекта Ь20 и фо-
на Об входят в это выражение только через их отношение. Гео-
метрические параметры объекта гс и фона гф также входят лишь
через относительную величину k$ — r$/rc.

Зависимость величины q от степени вытянутости объекта 9С
и анизотропии фона (0ф = агс1§ г/ф/хф) в общем виде достаточно
сложна, и мы проанализируем ее далее при упрощенных усло-
виях.

Так, в наиболее важном частном случае Аф 1 вследствие
малых размеров объекта по сравнению с радиусом корреляции фо-
на, положивх = 0 в выражении (2.30), получим е* = М (1; 7/2; 0)
и вместо (2.34) запишем приближенное выражение

?~0,94 4/?ф
а2

sin2 20с

81п20ф Ъ

Л/2

= v J 1Мт)15/2 [^(У)]-1 dy.
л X

(2.35)
При Лф>5-Н0 эти выражения обеспечивают вполне приемле-
мую для инженерных расчетов точность (примерно 10%).

Полученные приближенные выражения соответствуют асимпто-
тической формуле ПС фона в виде кубической гиперболы от ®г.
Из формулы (2.35) видно, что в данном случае величина q про-

порциональна относительному радиусу корреляции фона k$.

В случае центрально-симметричного объекта и изотропного
фона:

ес = 0ф=-^-;
4	5ш20ф

РЛч) = Гф(у) = ьа (т)=1;
х=х0 = 1/2/4;

Р = exp (х0); R = М(1; 7/2; х0) (2.36)
и выражение для q (2.29) может
быть записано в конечном виде

<7 = 0,05Ьо<Ъ2 /гф4[18,8Аф е’/1йФ—

-М(1; 7/2; 1/2^)].	(2.37)

Если, кроме того, взять случай

Рис. 2.1. Нормированная прост-
ранственно-частотная характери-
стика ОПФ при различных значе-
ниях относительного радиуса кор-
реляции фона.

относительно сильно коррелиро-
ванного фона (кф >5), то можно
получить крайне простое, но дос-
таточно точное выражение [20]

7 « 0,94 &о о?2 4, (2.38)

которое позволяет самым элементарным образом оценить потен-
циальные возможности пространственной фильтрации при заданных
входных воздействиях.

При этом становится более «прозрачной» и структура ОПФ.
Пренебрегая единицей по сравнению с величиной со, Гф в формуле
(2.28), выявим наличие пространственного дифференциатора тре-
тьего порядка (сог) в помехоподавляющем звене, который противо-
действует низкочастотным компонентам фона с кубично-гипербо-
лическим ПС.

На рис. 2.1 показана нормированная пространственно-частот-
ная характеристика ОПФ для случая центральной симметрии. Высо-
кие частоты ограничиваются согласующим звеном ОПФ с «гауссо-
идальной» ПЧХ. Характеристика фильтра при этом зависит от кф
только через масштабный коэффициент, который не играет принци-
пиальной роли. Это обстоятельство является весьма существенным
в силу того, что величина кф может быть неизвестна заранее, а под-
страивать (фильтр) при изменении параметров входного воздействия
может оказаться затруднительным.

3 Зак. 1490	49
На рис. 2.2 представлены величины отношения %а = да/диз
в зависимости от показателей анизотропии1 фона 0$ и асимметрии
объекта 0. Числитель рассчитан по формулам (2.33)—(2.34), а
знаменатель — по (2.37) при фиксированных значениях Аф. Как
видно из рисунка, отклонение от центральной симметрии характе-
ристик объекта и фона заметно повышает возможности пространст-
венной фильтрации. Еще более резко этот эффект проявляется при
одновременной асимметрии объекта и фона с вытянутостью размеров
(для фона — интервала корреляции) во взаимно перпендикулярных
направлениях. Так, при 0С = 15° и 0ф = 60 — 75° за счет асиммет-
рии величина q повышается в 15—25 раз. Большая величина отно-

Рис. 2.2. Выигрыш в величине q в
случае асимметрии входных воз-
действий.

0	10 20

сительного интервала корреляции хотя бы по одному направлению
позволяет значительно лучше подавить помеху. Расчеты показы-
вают также, что величина выигрыша от асимметрии %а слабо за-
висит от кф.

Таким образом, мы оценили характеристики ОПФ, который наи-
лучшим образом использует отступления от центральной симметрии
характеристик объекта и фона. Однако для реализации такой воз-
можности при построении ОПФ необходимо знать величины показа-
телей асимметрии 0С и 0ф, что может оказаться невыполнимым, как
и перенастройка фильтра при изменении этих параметров. В связи
с этим встает вопрос о том, сколь велики будут потери при фильтра-
ции асимметричных входных воздействий центрально-симметричным
фильтром. Такой фильтр уже не может быть оптимальным в полном
смысле. Его можно сделать только условно оптимальным, а именно:
наилучшим среди всех центрально-симметричных фильтров.

Способ построения характеристик подобного фильтра, основан-
ный на решении вариационной задачи, рассмотрен в работе [321.
Главной его особенностью является предварительное осреднение
Ьс(г) и корреляционной функции анизотропного фона по всем на-
правлениям (приведение к изотропному виду). Не излагая здесь
50
доказательства этого физически довольно очевидного положения,
просто заменим исходные асимметричные характеристики на харак-
теристики соответствующего изотропного фона и центрально-сим-
метричного объекта.

Величину q на выходе такого фильтра можно найти с помощью
обычных соотношений линейной фильтрации

Я =	(0) = J_ f в (о) Н (ю)	(2.39)

ф	э-

(0

Gb(o)|tf©|2d9-.	(2.40)

С учетом высказанных выше соображений примем ПЧХ рассма-
триваемого фильтра соответствующей ОПФ при центрально-симмет-
ричном объекте и изотропном фоне [20].

Положив в (2.28) 0с = 0ф = зт/4, получим

i (1+Ш?4Гехр(-4Д (2-«)
z аь йф	\	4 /

Подставляя в выражение (2.39) тот же ПС объекта (1.27) и
(2.41), имеем

1	62 r2	j

СО

X J (0г (Г + ©? 4)3/2 ехр	[1 + Fc (у)]} d(0r.	(2.42)

о

Подставляя в (2.40) выражения ПС фона (1.41) и (1.42) и ПЧХ
(2.41), получим:

1 а2 2	, г з

=4-isiHSe ‘ [ dy 2 Х,ВИФ ;	(2.43)

4 <зь	* 2л J |_*=о	J

= 1 j	= Х2 = 3;

оо	/	2 2 \

В,= $ »,г,+ ' [1+<МВф(т)]-’/! ехр Ьш,
0	\	2 /

Действуя таким же образом, как при получении выражения
(2.24) для q ОПФ, после ряда преобразований и использования ус-
4*	51
ловия &ф > 1 получаем приближенные выражения [20], погреш-
ность которых при > 5 не превышает нескольких процентов:

<7 —

(2.44)

Я/2

^2= A- J [1 + 44 + Fc(y)] [1+ FM]-6lidY,
Ф o

rt/2

Рис. 2.3. Потери от неучета асимметрии объекта (0С=45) и анизотропии фона
(0ф=45).

При 0С = 0ф = л/4 эти выражения переходят в формулу
(2.38) для q ОПФ. Относя величину q, вычисленную по формуле
(2.44), к аналогичной величине (2.34) ОПФ, наилучшим образом
использующего асимметрию входных воздействий, получим показа-
тель потерь от неучета этого фактора %ас.

Рассчитанные при одних и тех же значениях среднего (по углу)
относительного радиуса корреляции величины %ас даны на
рис. 2.3.

При А0С = 0С — л/4 < 30° потери от того, что не учитыва-
ется различие размеров объекта по ортогональным осям, не слишком
велики. Несколько сильнее сказывается влияние параметра Д0ф =
= 0ф—л/4. Так при 0ф = 15° (отношение , взаимно перпендику-
лярных интервалов корреляции фона составляет около 4) полу-
чается почти трехкратный проигрыш в величине q. Еще большие
потери имеют место при одновременных отклонениях углов 0С и
0ф от 45° в противоположные стороны.

Полученные результаты подтверждают желательность учета явно
выраженной асимметрии характеристик объекта и фона в случаях,
когда это принципиально возможно (0С и 0ф известны и можно вы-
держивать определенную ориентацию пространственного фильтра
по углу поворота в плоскости анализа относительно объекта и фона).
52
2.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПФ ПРИ ДРУГИХ ВИДАХ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО СПЕКТРА ФОНА

Рассмотрим теперь характеристики ОПФ при других возможных видах
аппроксимаций пространственных спектров фона. Обратимся, в частности,
к аппроксимации типа квадратичной гиперболы (1.47). Ввиду определенного
сходства с ранее рассмотренном случаем кубичной гиперболы, ограничимся
сравнительным их анализом при изотропном фоне, чтобы выявить влияние
отличий в показателе степени гиперболической аппроксимации ПС. Объект
при этом возьмем также центрально-симметричным, с пространственным
спектром, описываемым выражением (1.23).

Рис. 2.4. Структуры ОПФ:

а —для квадратично-гиперболического ПС изотропного фона; б—«сепарабельного» (по
двум ортогональным осям) ПС фона того же типа.

Подставляя выражения (1.23) и (1.47) в (2.17), получаем выражение для
ПЧХ такого ОПФ

(2 2 \

—(2.45)

4 /

Из формулы (2.45) следует, что в этом случае помехоподавляющее звено
ОПф состоит из двух параллельно включенных элементов: «усилителя» и
центрально-симметричного пространственного дифференциатора второго по-
рядка, описываемого ПЧХ о)$. Последний играет основную роль в случае
относительно сильно коррелированного фона, когда в (2.24) можно пренебречь
единицей по сравнению с со^Гф. В пространственной области его действие
описывается оператором Лапласа:

d1 2 * 4	d2	1	д [ д \	1 д2

V ~ dxi+	ду*	Р	др (Р др	р« дф'	( >46)

Структура ОПФ для этого случая изображена на рис. 2.4,а.

Подставляя выражения (1.23) и (1.47) в (2.24), получаем выражение
для отношения сигнал/помеха на выходе рассматриваемого ОПф:

1 ? В° я

а =	777—7 юг4?сог =

2л J Gfy (сог)

о

1	(*	/	глг2 \

=------— I (1 + «2 Гф) ехр I — —г-с ) wrd<Br.	(2.47)

4	J	\	2 /
Интеграл в (2.47) может быть записан в конечном виде с помощью вы-
ражений (3.272) из работы [8]:

F е-^‘х2а + Чх=-Дг.	(2.48)

о	р

Положив х = сог, р = г%/2, получим весьма простое конёчное выражение

1 &о

л «2 Ь2 ’

(2.49)

которое при сильно коррелированном фоне (k$ > 1) еще более упро-
щается

<7 —

(2.50)

В последнюю формулу не вошел даже радиус корреляции в отличие еот
простейшей формулы (2.28) для кубично-гиперболического спектра фона.
Из сравнения этих двух формул следует, что понижение на единицу показа-
теля гиперболы (снижение крутизны спада спектра фона с 60 до 40 дб) приво-
дит к уменьшению отношения сигнал/помеха примерно в 2 раз.

Обратимся теперь к аппроксимации ПС в виде произведения «сепарабель-
ных» гипербол второго порядка по двум осям координат (1.53). Подобный
спектр соответствует двухуровневой модели фона с пуассоновским законом
распределения числа изменений значений функции. Разделение переменных
(«сепарабельность»), специфичное для такой аппроксимации ПС, является
некоторым отступлением от действительности ради удобства исследования.
Отступление это не столь велико, чтобы существенно исказить результаты,
получаемые на такой модели, однако его необходимо учитывать при интерпре-
тации последних. Рассмотрим сначала общий асимметричный случай, а потом
для сопоставления с обоими предыдущими аппроксимациями проанализируем
новые соотношения при равных параметрах по обеим осям (квазиизотроп-
ный фон).

Подставляя выражения для ПС объекта (1.26) и фона (1.53) в формулу
для ПЧХ оптимального фильтра (2.17), получаем

Н (®х, (Оу)=Я (<ож) Н (<0у);

(2.51)

Благодаря тому, что не только ПС фона, но и принятый нами ПС объек-
та «сепарабелен», разделение переменных здесь имеет место и в ПЧХ фильтра
(частотные характеристики по, каждой из компонент образуют независимые
сомножители). Помехоподавляющее звено состоит при этом из двух последо-
вательно включенных однотипных цепочек, состоящих из параллельно
включенных «усилителей» и дифференциаторов второго порядка, действующих
по двум ортогональным осям координат. Двумерная обработка поля лучисто-
сти сводится, таким образом, к раздельной обработке двумя одномерными
фильтрами. Структура ОПФ, изображенная на рис. 2.4, б, подсказывает
54
соответствующие способы построения более просто реализуемых фильтров,
приближающихся к оптимальным (подоптимальных)

Подставляя выражения (1.26) и (1.53) в (2.24), записанное в декарто-
вой системе координат, получаем

Я = ЯхЯу*
оо
U
2л J &ь (щх)
— оо

-4= — — f (i+M4) ех₽	(2-52)

2 у 2 Хф J

— —

2л

1

Gb (“»)

~ ~ f <1 + S4) exp-(-<o’^)d(o
2/2 °* УФ

Используя выражения для интегралов этого типа (см. [8], формула
(3.271)):

J exp(-pxi)xeadx=(2^^- |/ -	(2.53)

и учитывая, что х = (й2, p = z$» <4=0, а2=1, получаем выражение для от-
ношения сигнал/помеха данного ОПФ в простейшем виде:

» % (<+4) W+4)
q=-------------------

32	Хе Хф Уй Уф

(2.54)

При сильнокоррелированном фоне (&фх= —— > 1> ^фу=—> И
\ хс	Ус J

можно записать элементарное приближенное выражение

ь2
Л °о
Я—"77 Г &фх &фу	(2.55)

32 <?ь

В полярной системе координат

____л_ 2 sin 2еФ
q~ 32 а2 sin20c ‘

(2.56)

Из последней формулы видно влияние асимметрии объекта и анизотро-
пии фона на эту модель. В данном случае влияние анизотропии фона носит
несколько иной характер по сравнению со случаем кубично-гиперболической
аппроксимации, что связано с особенностями разделения переменных.
В случае центрально-симметричного объекта и квазиизотропного фона,
когда хс = Ус = rQl^2 и Хф = уф = Гф/У2, с учетом корректировки зна-
чений радиуса корреляции в соответствии с выражением (1.54), получим
из (2.46)



<7 = 0,0985

(гс2+1,56г2)2

гсгф

(2.57)

В асимптотических условиях (кф -> оо):

<7~ 0,242—у fe2.
ab

(2.58)

Сопоставляя формулу (2.58) с соответствующей формулой оптимальной
фильтрации кубично-гиперболического изотропного фона (2.38), видим, что
дальнейшее повышение порядка гиперболы (повышение крутизны спада
спектра фона) вызывает увеличение q примерно в Лф/4 раз.

Еще более благоприятные условия для пространственной фильтрации
создаются при «гауссоидальном» виде спектра фона (1.56). При подстановке
выражений для входных воздействий в формулу для определения q на выхо-
де ОПФ, записанную в полярной системе координат, получим выражение

. о п ОО	л

1	Ьо Гс С	“г /о 2	2\ Л

“'ехр -~г~ (2гс~гф) de>r’

2	М L 4 J

(2.59)

содержащее интеграл, расходящийся при реальных значениях параметров
объекта и фона (кф > ]/2). Это явление связано с так называемым парадоксом
сверхобнаружения [16], который может иметь место при недостаточном со-
держании высокочастотных составляющих помехи, свойственном чрезвычай-
но резко падающему «гауссоидальному» ПС фона. Чтобы приблизиться к дей-
ствительным условиям, достаточно дополнить «гауссоиду» (1.56) слабой рав-
номерной компонентой ПС (белым шумом) с интенсивностью Ао-

Выражение для q тогда примет вид

ОО

9 = y6o'-cJexP
о

—1
со, .

2 2

<4 ехР

(2.60)

Интенсивность фоновой помехи на входе ОПФ в этом случае можно опре-
делять величиной (?ь(0) = “Ь Подобный случай рассмотрен в рабо-
тах [7 и 29]. Анализ численных соотношений показал возможность эффек-
тивного подавления такого фона последовательностью двух одномерных
фильтров.

Проделанное нами сопоставление результирующих характеристик ОПФ
при различных видах аппроксимирующих выражений ПС фона приводит к
выводу о существенном влиянии вида спектра фона (при постоянных значе-
ниях основных его параметров — радиуса корреляции и показателя анизо-
тропии) на достижимое значение отношения сигнал/помеха на выходе ОПФ.
Из этого можно заключить, что разные подансамбли фонов способны
56
создавать сильно отличающуюся помеховую обстановку даже при одинако-
вых условиях освещения и наблюдения. Кроме того, следует признать необ-
ходимость повышенной точности радиометрических измерений и обработки
их результатов, чтобы гарантировать однозначность и точность аппроксима-
ций спектров и корреляционных функций фона.

2.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОГО ОПФ

Рассмотрим теперь случай, когда выборка наблюдаемых на входе
системы значений процесса состоит из конечного множества дискрет-
ных отсчетов в фиксированных точках поля лучистости. Этот случай
представляет интерес в связи с тем, что конечная разрешающая спо-
собность любой реальной системы (ограниченная полоса пропуска-
ния частот) в соответствии с теоремой отсчетов Котельникова—
Шеннона оправдывает использование информации, сводящейся
лишь к «опорным» значениям входного воздействия. Интересно за-
метить также, что здесь ввиду конечного числа измерений решение
интегрального уравнения сводится к решению системы алгебраиче-
ских уравнений и становится несравненно проще, допуская нагляд-
ную интерпретацию. Кроме того, оно позволит нам в дальнейшем
легче перейти к использованию конечных разностей в подопти-
мальных фильтрах.

Полагая по-прежнему процесс на входе подчиняющимся нормаль-
ному закону распределения, отметим, что при использовании выбор-
ки, состоящей из N значений, нам понадобится не более чем N-мер-
ный закон распределения функции векторного аргумента rt (i = 1,
2, ..., N).

Плотность вероятности величин u(rf) при отсутствии сигнала и
при центрированной помехе в соответствии с выражением (1.80)
может быть записана как [6]

W (и) = W (g) = (2n)“w/2 [Det IIKN Г„) 11]“'/2 X



X exp —2 2	“ (rn) ’

tn, n=\

(2.61)

где 11 Км(гт, rn) 11 — матрица составляющих тензора коэффициентов
межэлементной корреляции фона. При условии стационарности
поля лучистости фона этот тензор является однородным и симметрич-
ным; Q^(rm, гп) — элементы обратной матрицы.

Аналогичным образом записывается плотность вероятности W(u)
при наличии сигнала $, если только учесть изменение аргумента.
В результате выражение (2.6) для отношения правдоподобия Л,
которое должно вырабатываться на выходе оптимизированного

ЗВ. Зак. 1490	57
(в соответствии со статистической теорией решений) приемного
устройства, приобретает вид [16, 6]:

Г N N

Л = ехр 2 2 Qn (гт, гп) и (rm) s (гп) —

\пг, п=1

—7 2 2	rn) s (rTO) s (rn)|,	(2.62)

z m, n=l	J

причем здесь от входной последовательности зависит только первый
член показателя, который и дает алгоритм дискретного ОПФ:

и = 2 2 Qw (гт, гп) и (rm) s (гп).	(2.63)

т, п—1

Наличие второго слагаемого и экспоненциальное преобразова-
ние в (2.62), имеющее вид монотонно возрастающей функции, доста-
точно учесть при выборе порога решения Л*.

Поскольку отношение правдоподобия Л исчерпывает всю ин-
формацию, содержащуюся в реализации входного сигнала, линей-
ный фильтр, формирующий функцию, связанную с величиной Л
монотонной зависимостью

N N

U=^Qmnumsn,	(2.64)

tn, n~l
является оптимальным фильтром1.
Такой фильтр производит свертку выборки значений лучисто
сти по площади объекта с весовыми коэффициентами hg\

N	N

U=^hmum\ hm=-^Qmnsn\	(2.65)

tn= 1	n= 1

N

Как следует из формул (2.65) с учетом

f 1 при т = п,
тп ~ I о При т П}
весовые коэффициенты hg могут быть найдены и непосредственно
по корреляционной матрице путем решения системы N алгебраиче-
ских уравнений:

N

^Kmnhm = sn-, п=\,	(2.66)

1 В формуле (2.64) и далее будем пользоваться сокращенной записью,
опуская обозначения векторного аргумента.

58
Этот фильтр обеспечивает на выходе величину отношения
сигнал/помеха, равную g = |ji2 * */v2, где

N N	N N	_

Ц = 2 2 Qmn sm Sn-, V='Sl'2lQmnSn gm; VZ=M {v2}. (2.67)
m, n—\	tn, n=l

С учетом формул (2.65)—(2.67) и корреляционной функции
системы случайных величин:

Kmn = M{gmgn}-,	(2.68)

(	\2 / N	V*

Я = ( 2 $n ) I 2 Ктп )
\ п	J \т, п=1	/

N	N N

~ 2 s * * Вm ~ 2 2 Qmn sm sn ~ М"	(2.69)

т=1	т,_п=1

Далее при определении характеристик ОПФ необходимо учесть
специфику двумерных процессов. Примем во внимание, что точки
с т = 1,2, ..., N расположены в общем случае не на одной прямой
линии, а в некоторой области на плоскости координат XOY. Учет
двумерности задачи может быть весьма важен с точки зрения пра-
вильного отражения пространственной структуры фона, в сильной
степени зависящей от статистических связей по обеим координатам
[50]. Игнорирование этой особенности приводит к существенным
отступлениям от оптимальности характеристик.

Воспользуемся кроме того гипотезой о стационарности случай-
ного поля фона (1.34). Тогда основное уравнение дискретного
ОПФ (2.66), определяющее его весовую функцию в виде совокупно-
сти коэффициентов hg, примет вид

2 2КП1Ш—Vl)Av; (|/t—6|)Ay]/i(xz, yh) = s (xy, y6);

1=1 h—l

7=1, 2,..., Г; 6= 1, 2,..., Д; ГА = N. (2.70)

Можно легко убедиться, что из стационарности корреляционной
функции в (2.70) вытекает и стационарность весовой функции
фильтра

h (*i. У1> yj = /г(Дх, Ду),	(2.71)

где Дх = х2— хи ^у = уг—У1.

В (2.71) точки выборки расположены на интервалах, кратных
Дх и Ду, и корреляционная функция зависит только от разности
индексов интервалов по каждой из осей.

В работе [16] получены выражения для весовых коэффициентов
одномерного фильтра при корреляционной функции фона экспонен-
зв*	59
циального вида. При этом установлено, что для оптималь ной обра-
ботки необходимо использовать лишь три соседние точки. На осно-
вании этого получены выражения [6] для матрицы коэффициентов
оптимального двумерного фильтра при «расщеплении» по двум пере-
менным корреляционной функции фона (так называемый «сепара-
бельный» фон) типа (1.50). Дискретный ОПФ такого вида использу-
ет выборку значений лучистостей фона из 9 соседних точек с весо-
выми коэффициентами, зависящими от корреляции по обоим осям.
При стремлении интервалов корреляции к бесконечности весовые
коэффициенты фильтра принимают асимптотические постоянные
значения и соответствующий алгоритм приобретает вид' [2]

U = hg {«(0, 0)—^-[и(—Ax0, О) + и(Дхо, 0) + «(0, —Д#о) +

“Ьм(0, Д//о)]+~[и(—Ах0, —Ду0)-|-и(—Ах0; At/0)-|-
4

+ «(Дх0, — Ai/0) + u(Ax0, А//о)1).

Основными составляющими этого алгоритма являются конечные
разности второго порядка по взаимно перпендикулярным направле-
ниям, обеспечивающие эффективное помехоподавление подобно не-
прерывному пространственному дифференциатору.

При достаточно сильной корреляции фона такой фильтр мало
отличается от оптимального [6]. В более близком к действительности
случае «несепарабельного» фона задача является более сложной.
При изотропном фоне наиболее эффективным должен быть [6] так
называемый алгоритм сравнения со средним:

U~ha и(0, 0)

__1

N— 1

(2.72)

В случае, когда корреляционная функция фона описывается выра-
жением (1.43), при наличии центральной симметрии объекта необ-
ходимо обеспечить максимальную центральную симметрию струк-
туры фильтра. Естественным способом' формирования подобного
алгоритма является использование значений сигналов в ближайших
к центру и равноудаленных от него точках. Именно таким образом
построен 7-элементный фильтр «сравнения со средним» (см. гл. 3),
использующий вторые разности по трем осям, повернутым отно-
сительно друг друга на 120°:

и=лдо«(о, о)-2^4яо, =1-0-	(2'73)

i=l '	'
Оптимальные весовые коэффициенты его каналов могут быть най-
дены решением системы уравнений (2.66). В силу полной симметрии
шести периферийных элементов этого фильтра система семи уравне-
ний вырождается в систему двух уравнений с двумя неизвестными
(йдо = йд и hi = h^, i = 1...6):

/гдОь + бй/Ко^Зо;	2

^дКог + hj (об+ 2/С12+ 2К13+ Кц) = s1;

записанных для условий

К15 = К13; A'oz^Koi; i = 2,..., 6. |	Ь ?

Обозначая дополнительно

so = ^o> $1	^7 = hj/h^

К а = <Уь dKU; cr = e~R/r°;

%ij = bRu/R-, d = (TR/r<t>-

№ц = V(*i — xiY + О/, — Ю)2 = ]//?<+₽/—2Ri Rj cos Д%м;

= arctg------------------

Ri sin Xi — .R/sinXj

и разрешая систему уравнений (2.74) относительно весовых коэф-
фициентов /гд и hi, получаем

h = •	bo l + 2d(l-3^) + 2d/3 + 42 .	
	°b	l + 2d+2d/3 — 5d2	(2.76)
	d —	
hr —	r	
	l+2d+2dyi+d2 ’	

При малоразмерном объекте R > гс и сг 0. При сильно-
коррелированном фоне Гф > R и межэлементные коэффициенты
корреляции приближенно можно представить с помощью трех пер-
вых членов разложения экспоненты в степенной ряд:

/	kR КИ\

Ки«аЦ1-4ЯфЬ„ + ^—I; 4 = v	<2-77>
что обеспечивает 5%-ную точность при kR$<2/3При этом

Ьо 3+Ч(3Ч~3’71)

Ч(2’29-3Ч) ’

r _ ~1+4_feV2

l'~ 2[3+М3Ч~3’71)] ’

(2.78)

Вторая из этих величин (относительный вес периферийных ка-
налов) в предельном случае (при бесконечно большом радиусе кор-

Рис 2.5. Нормированная величина
отношения сигнал/помеха на вы-
ходе дискретного' 7-канального
ОПФ (кривая /) и его «асимптоти-
ческая» модификация (кривая 2).

реляции) имеет асимптотическое
значение:

А/= ПтЛг = —1/6.

На основании выражения (2.69)
(вторая формула) для q дискретно-
го ОПФ можно записать

<7 = М\ + 6с^) =

_ b2 14-6cr4 + 2rf(l — 6c^)+2dy^+d2

°b	l + 2d+2dyS — 5d2

(2.79)

При малоразмерном объекте и
сильнокоррелированном фоне (с
учетом введенных выше упроще-
ний) получаем простейшее выра-
жение

,Л3*Ч(ЗЧ~3,71)-
»» Ч(2^-3Ч)

На рис. 2.5 показана зависимость нормированной по входному
отношению сигнал/помеха (bo/оь) величины q от параметра =
= R/r^, характеризующего отношения значений радиусов располо-
жения точек выборки и корреляции фона. При асимптотических зна-
чениях весовых коэффициентов следует воспользоваться выражением
для q, пригодным и для неоптимального фильтра [(2.69), первая
формула]:

Ь2О б(1-с2)2
7—lOd + ^^+d2

(2.81)
При малоразмерном объекте и сильнокоррелированном фоне,
вводя соответствующие приближения, можно получить

%

(2.82)

Кривая, соответствующая этой формуле асимптотического
фильтра, также нанесена на рис. 2.5. Она проходит немного ниже
первой кривой, показывая, что потери в асимптотическом фильтре
по сравнению с оптимальным при < 0,4 сравнительно неве-
лики. Это позволяет избежать необходимости «перестройки» фильтра
при изменении радиуса корреляции фона.

С помощью выражений для характеристик дискретных ОПФ
можно перейти к соответствующим выражениям для характеристик
непрерывных ОПФ. Для этого достаточно в общих исходных диск-
ретных выражениях перейти к пределу при Дх -> 0 и Дг/ -> 0,
заменив соответствующие суммы на интегралы.

Сопоставляя приближенные выражения для отношений q сиг-
нал/помеха дискретного 7-канального ОПФ (2.82) и непрерывного
ОПФ (2.38) при соблюдении условий малоразмерности объекта
(гс гф» гс Юу легко установить, что их отношение т] =
= 1,4 (rc/£) < 1. Этот факт отражает потери от дискретизации ин-
формации.

2.6. О ВЗАИМОСВЯЗИ ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ С ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИЕЙ ПО ОПТИЧЕСКОМУ

СПЕКТРУ

Все характеристики входных воздействий являются функцией
длины волны к (см. § 1.8). При этом зависимость ПС объекта и фона
от К может проявляться не только как дополнительный сомножитель,
одинаковой для всех пространственных гармоник:

В(ш, Х)=В(ш)В(%),	(2.83)

вь(й, %)=СДю)С*(Х),	(2.84)

но и выражаться более сложным образом, влияя на сам вид ПС или
его параметры. Как это отмечалось выше, такого рода влияние может,
в частности, вызываться изменением относительного содержания
компонент собственного длинноволнового и отраженного коротко-
волнового (подсветка Солнцем) излучения объекта и фона. Посколь-
ку распределение излучения по оптическому (включая УФ, видимую
и ИК области) спектру является столь же важной отличительной
характеристикой полезного и мешающего источников радиации,
как и пространственное распределение, то оно не в меньшей мере
заслуживает наилучшего использования в задаче селекции. Естест-
венна поэтому постановка вопроса об оптимальной фильтрации по
длинам волн.

В силу одномерности соотношений по оптическому спектру, а
также ввиду того, что исходные характеристики здесь представлены
сразу в частотной форме (хотя аргументом служит длина волны, а не
частота соответствующей монохроматической компоненты излучения),
решение задачи оптимальной фильтрации по длинам волн является
более простым. Необходимо, кроме того, отметить меньший разброс
и более четко выраженную закономерность распределения интенсив-
ности фона по длинам волн (по сравнению с пространственной микро-
структурой), что позволяет в ряде случаев рассматривать мешающее
излучение фона как регулярное возмущение.

Задача этой работы состоит в том, чтобы вырабЬтать общий под-
ход к изучению обоих видов фильтрации с выявлением их взаимо-
влияния и совместной их оптимизацией. При этом не имеется в виду
углубление в специфические вопросы спектральной (оптической)
фильтрации, которые являются предметом рассмотрения ряда дру-
гих работ, например [38, 60, 66]. Следует, однако, отметить, что
детерминистский подход к задаче спектральной фильтрации (когда
не только излучение объекта, но и спектр фона принимаются регу-
лярными функциями) при использовании в качестве критерия опти-
мума максимума отношения сигнал/помеха приводит к парадок-
сальному выводу о целесообразности использования фильтра с бес-
конечно узкой полосой пропускания [38]. Исходя из общего направ-
ления данной работы, будем считать оптический спектр объекта де-
терминированным, а оптический спектр фона — случайным. Как
известно, оптическая фильтрация осуществляется за счет правиль-
ного выбора оптических элементов типа фотоприемника и, главным
образом, путем формирования специальных оптических фильтров.

Последним в данном случае методически удобно приписывать
и спектральные характеристики остальных элементов, что позво-
ляет избежать излишней конкретизации способов реализации опти-
мального оптического фильтра (ООФ).

В такой постановке решение задачи оптимальной фильтрации
должно распространяться на случай трех переменных (из которых
первые две могут быть представлены как векторный аргумент со, а
последнюю переменную X, вследствие иной ее природы, мы предпо-
читаем указывать отдельно).

В гл. 1 затрагивался вопрос о соблюдении для характеристик по
длинам волн случайного фона тех гипотез, которые были приняты
по пространственному аргументу. Отмеченная там возможность по-
лагать закон распределения гауссовым позволяет ограничиться
решением задачи линейной оптимальной фильтрации.
Распространяя основные соотношения оптимальной фильтрации
на трехмерный случай, запишем

1Ж«>, *)1=4%4г	(2-85>

Gb (со, л)

q = — [ f	dS- dl.	(2.86)

(2л)3Л Gft(co, А,)	“

СО

В случае разделения переменных в характеристиках входных
воздействий (2.83) и (2.84), трехмерная задача оптимальной филь-
трации распадается на две независимые задачи — оптимальной
пространственной фильтрации и оптимальной фильтрации по оп-
тическому спектру:

|н(®, 1)|=|Я(^ |Я(Х),	(287>

=_J_ [(2.88)
а К (2л)а J Gft(<o) "2л J Gb(K)

S—	L

со

Поскольку пространственная и оптическая фильтрация осу-
ществляются совершенно различными средствами, реализация опти-
мального фильтра при отсутствии разделения переменных, когда
пространственные и спектральные характеристики оказываются
взаимосвязанными, может встретить технически непреодолимые
препятствия. В связи с этим встает вопрос о приведении оптималь-
ного фильтра к «сепарабельньму» виду. Строгое решение этой за-
дачи, т. е. определение характеристик условно-оптимального —
наилучшего из «сепарабельных» фильтров, требует разработки спе-
циальных методов теории аппроксимации функций многих перемен-
ных с помощью функций меньшего числа переменных. Такое реше-
ние встречает значительные математические трудности.

В то же время для практики вполне достаточно приближенного
решения, основанного на здравых интуитивных соображениях.
Это решение должно, очевидно, приводить к двум последователь-
ным операциям (с пространственным аргументом и с длинами волн),
каждая из которых может выполняться самостоятельно (первая,
например, с помощью диафрагм, интегрирования по площади фото-
слоя и обработки электрического сигнала, а вторая — путем избира-
тельного пропускания оптических элементов и интегрирования по
длинам волн с весовыми коэффициентами, определяемыми спек-
тральной чувствительностью фотоприемника). При определении
характеристик каждого из фильтров (ОПФ и ООФ) должно быть,
однако, достаточно хорошо учтено влияние другой переменной.
Будем стремиться последовательно приблизиться к наилучшим
(по величине отношения сигнал/помеха q на выходе) пространствен-
но-частотным характеристикам «сепарабельных» ОПФ и ООФ,
которые обозначим соответственно Н(&) и //(%) (волнистая черта
обозначает осреднение по другой переменной):

( [B(w, X)^(<o)W(X)dS-dX
s-l.

CO

f oft(®, %)|tf(®)|a|tf(A)|2ds-<a ’

(2.89)

Воспользуемся идеей способа упрощенно-структурного представ-
ления функций нескольких переменных, который нашел применение
при синтезе счетно-решающих устройств [37].

Вид выражения (2.89) подсказывает целесообразность использо-
вания метрики среднеквадратичного приближения:

J j [н(й, %) — Н(а)Н(к)]2 dS-dk (2.90)

Решение, соответствующее J — находится из уравнений
Эйлера

—= о, ——— == о
й[Я(®)]	5[Я(Ь)1

методом итераций:

(я(®, X)H(X)dX

Я (а) =1——---------

(к) |2dA

J Я(®, k)H(a)dS-

(2.91)

(2.92)

(2.93)

5<х>

Выражения (2.82)—(2.93) показывают, что наибольший вес при
осреднении придается тем значениям ПЧХ, которые соответствуют
максимуму этой характеристики по другой переменной. В первом
приближении может быть использована поочередная интерполя-
ция по одному из аргументов

(<о) = Я(®, М; ^(1)=^^

Н (coi, %1Х.

(2.94)
или поочередное осреднение

(й) = -j- J н (<в, %) dl;

/Л(*)=-^ J#(<»,%)dS-.

(О S-

(0

(2.95)

•Следующие приближения делаются по формулам (2.92)—(2.93)
с подстановкой под интегралы выражений (2.94) или (2.95). Число

циклов итераций зависит от то-
го, насколько тесна взаимосвязь
переменных со и % в ПЧХ. При
не слишком сильной их зависи-
мости может оказаться практи-

Рис. 2.7. Характеристика пропус-
кания Н (К) оптимального оптиче-
ского фильтра с учетом простран-
ственного спектра (через зависи-
мость радиуса корреляции Гф от
^лины волны X).

Рис. 2.6. Характеристики излучения
удаленного объекта:

BQ (Л) —спектральная характеристика удален-
ного объекта с температурой 600° С (с уче-
том влияния атмосферы); а? (X) — оптиче-

Ф

ский спектр дисперсий «среднего наихудше-
го» фона; HQ (Л)— характеристика пропуска-
ния оптимального оптического фильтра (пунк-
тир) и ее аппроксимация (сплошная линия)

чески приемлемым второе или даже первое приближение (ин-
терполяция или равномерное осреднение). Сходимость процесса
не представляется возможным доказать в общем виде, но она
практически наступает, и достаточно быстро.

В частном случае разделения переменных исходных спектров
(2.83), (2.84) из последних выражений получим формулы (2.87)
и (2.88).

Применительно к кубично-гиперболическому виду спектра изо-
тропного фона (1.43) с учетом зависимости дисперсии и радиуса
корреляции от длины волны 0^(1) и г|(Л) разделение переменных
легко осуществляется при больших величинах радиуса корреляции
благодаря тому, что единица в знаменателе (1.43) играет малую
роль по сравнению со слагаемым со^Гф(Л). При этом ПЧХ для ОПФ
и ООФ имеют вид:

Н (®г) « В (0)г) <»?; Н (X)« В (%) о?2 (Л) гф (%).	(2.96)

Примем, что удаленный объект излучает как черное тело с тем-
пературой 600° С, зависимость дисперсии фона от длины волны
представляет собой кривую «среднего наихудшего» фона [60]
(рис. 2.6) и радиус корреляции линейно зависит от длины волны

=	(2.97)

тогда выигрыш в величине отношения сигнал/помеха на выходе ООФГ
который можно получить благодаря учету изменения пространст-
венной корреляции по длинам волн, определяется соотношением:

*	.	'ф х° ,		1 г*	f Д«(х). ..1  I	Л/ ал  J (X)
	1 -	гф (Хо)	гф (М	
				-п—Л
				L Gb W -

(2.98)

Беря в качестве примера Хо = 4,5 мкм; =0,2 гф(Х0) мм/мкм;
гф(Ч) = 9,2 мм (в плоскости анализа изображения), получим в ре-
зультате вычислений = 1,17. Это свидетельствует о желательности
учета зависимости Гф(^), отражающей связь между пространственной
и спектральной фильтрацией, при построении оптимального филь-
тра по принятым исходным данным. Соответствующие ПЧХ сепара-
бельного и приведенного к сепарабельному виду ООФ изображены
на рис. 2.6 и 2.7. Таким образом, в общем случае при построении
ОПФ следует принимать во внимание изменение пространственной
микроструктуры фона по длинам волн.
ГЛАВА 3

ПОДОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ

3.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

В предыдущей главе при рассмотрении оптимальных простран-
ственных фильтров мы полагали, что падобные устройства могут
идеально выполнять любое требуемое линейное преобразование поля
лучистости в поле сигналов. В самом деле, для выполнения опера-
ций оптимальной пространственной фильтрации необходимо сначала
сформировать изображение пространства предметов в плоскости
анализа. Далее на миниатюрное изображение наблюдаемой пелен-
гационным устройством картины уже можно воздействовать фото-
электронными средствами преобразования информации. Кроме того,
ввиду обычного для пеленгационных систем недостатка чувствитель-
ности (низких уровней полезного сигнала по отношению к собствен-
ным шумам приемника лучистой энергии) при формировании изо-
бражения нельзя пользоваться устройством с близкой к нулю апер-
турой (типа камеры-обскура), а необходимо обеспечить определен-
ную концентрацию энергии путем фокусирования падающего на
вход прибора излучения.

Обе указанные задачи с успехом решает объектив оптической
системы, однако формируемое им в фокальной плоскости изображе-
ние удаленных предметов не является абсолютно точным. Для
максимального использования испускаемой объектом лучистой
энергии при ограниченных габаритах прибора приходится приме-
нять светосильную оптику. Объектив со сравнительно большим
относительным отверстием и не слишком малым размером мгновен-
ного поля зрения (обусловленным заданной зоной поиска и временем
обзора) неизбежно будет обладать значительными геометрическими
аберрациями, зачастую преобладающими над свойственной всем
оптическим системам дифракцией.

Диоптрические системы, содержащие преломляющие линзы и
призмы при работе в широком спектральном диапазоне, особенно в
ИК области, где выбор подходящих оптических материалов весьма
ограничен, будут иметь еще и заметный хроматизм. В результате вно-
симых оптикой искажений точечный источник излучения будет
восприниматься в виде размытого пятна, определяющего разрешаю-
щую способность прибора. Конечный размер элемента разрешения
оптики является важным фактором, существенно ограничивающим
принципиальные возможности пространственной фильтрации, так
как последующая обработка информации фактически уже не способ-
на устранить дефекты оптического изображения. Учет характеристик
оптики является, таким образом, естественным следующим шагом
в изучении предельных возможностей пространственной фильтра-
ции. При этом целесообразно оставаться в рамках рассмотрения
«потенциальной помехоустойчивости» и, не вдаваясь в подробности
описания свойств оптической системы, произвести анализ влияния
главного ее параметра — величины элемента разрешения.

Любое автоматическое (или полуавтоматическое) оптико-элек-
тронное устройство должно содержать еще один важнейший с точки
зрения пространственной фильтрации элемент — приемник лучис-
той энергии. Рабочая площадь чувствительньго слоя тоже имеет
конечные размеры, обычно сопоставимые с размерами пятна рассеива-
ния оптики. Они, как правило, определяют величину поля зрения
прибора. Поэтому фотоприемник, так же как и оптическая система,
ограничивает разрешающую способность прибора и тем самым ухуд-
шает возможности размерной селекции объекта по отношению к не-
однородностям пространственной микроструктуры фона. Таким
образом, учет характеристик приемника лучистой энергий, произ-
водящего интегрирование сигнала по площади чувствительного слоя,
также является насущной задачей.

Немалую роль при постановке задачи анализа характеристик
подоптимальных пространственных фильтров (ППФ) играет, в част-
ности, правильный выбор способа реализации помехоподавляющего
звена, которое, как это следует из проведенного рассмотрения, долж-
но обладать дифференцирующими свойствами. Поясним подробнее
два возможных способа осуществления операций типа пространст-
венного дифференцирования: непрерывный и дискретный

Первый из них требует нахождения текущих значений произ-
водных по различным направлениям поля лучистости, второй — об-
разования разностей лучистостей в соседних точках поля, находя-
щихся на малых, но конечных интервалах друг от друга. Непрерыв-
ное пространственное дифференцирование может быть реализовано
дифференцированием электрического сигнала, снимаемого с фото-
приемника при движении его в плоскости анализа изображения.
Так, упомянутый выше оператор Лапласа V2, описывающий цен-
трально-симметричный дифференциатор второго порядка с ПЧХ
вида

//д(®г) = /1д(0г = Яд(®ж, <оу) = Ад (а>2-J-<»2),	(3.1)

в принципе можно осуществить, перемещая мгновенное поле зре-
ния по окружности малого радиуса /?0, дважды дифференцируя, а
затем демодулируя (осредняя за период То) электрический сигнал
70
фотоприемника. В этом можно убедиться с помощью следующих
соотношений:

ф (/) = /(%, y)=f[x(f), y(t)Y,



=	+	xf,+yt,-,	(3.2)

x (t) = 7?0 cos 2л —; у (Z) = 7?osin2ji — ;
Tq	Tq

To/2	'	2

Итф»^- f	+	(3.3)

Z?o^O 4 J	*0	Jo

— Tq/*

В такой же степени этого можно достичь сканированием по лю-
бой другой стягивающейся в точку траектории, обладающей свой-
ствами изотропности [21]. При стремлении к нулю радиуса сканиро-
вания имеем, таким образом, двойное пространственное диффе-
ренцирование в точке (центре сканирования).

Заметим, что при рассмотрении ППФ нецелесообразно просле-
живать все особенности описания процесса сканирования и обработ-
ки сигнала в виде функции времени. Этому вопросу будет уделено
значительное внимание в следующих главах при анализе реализуе-
мых фильтров. Здесь же ограничимся тем, что введем в рассмотрение
их пространственный эквивалент, существование которого мы про-
демонстрировали для того вида оператора дифференцирующего зве-
на, который, как было показано выше, наиболее подходит для по-
давления фона с ПС вида (1.48). Данный оператор обеспечивает
асимптотическое приближение (при -> оо) к оптимальному
пространственному фильтру для самого неблагоприятного из рас-
смотренных нами видов спектра фона.

Отметим попутно, что на основании современных данных бионики
[22, 56] производимая с помощью лапласиана операция подчерки-
вания контуров пространственных образов происходит в подкор-
ковых мозговых центрах человека и высших животных, позволяя
«автоматически» изымать избыточную информацию и тем самым
облегчать дальнейшую наиболее сложную деятельность зрительно-
мозговых центров по распознаванию образов. Эту же операцию
(V2) предлагается использовать для сокращения объема информа-
ции при передаче изображений по каналам связи с предварительным
цифровым кодированием [23].
Дискретное дифференцирование — образование конечных раз-
ностей — может производиться с помощью многоканальных уст-
ройств, позволяющих раздельно воспринимать облученность со-
седних элементов изображения, усиливать соответствующие сигналы
и затем вычитать (или складывать) их с определенными весами.

Возможность формирования требуемой весовой функции про-
странственного фильтра с помощью многоканального устройства с
балансно-неравновесным включением приемных площадок рассма-
тривалась в работе [31] применительно к приближенной реализа-
ции характеристик одномерного идеального фильтра низких час-
тот и полосового фильтра. Там же затрагивался вопрос о точности
синтеза такого фильтра в зависимости от числа каналов и размеров
чувствительных элементов.

На наш взгляд, построение многоканального устройства имен-
но этого назначения вряд ли оправдано, так как функции фильтра
низких частот (согласующего звена ОПФ) может удовлетворительно
выполнять и одноплощадочный приемник (обеспечивая при этом
еще и двумерность характеристик). Полосовой же фильтр легко реа-
лизовать с помощью наложенного на фотослой растра с использова-
нием резонансного усилителя (хотя применение встречно-включен-
ных соседних площадок и дает некоторые преимущества по чувст-
вительности)< Более оправданным представляется использование
возможностей многоканальной схемы для образования конечных
разностей (выполнения основной операции помехоподавления).

Параллельная многоканальная обработка информации, как
известно, имеет в определенных условиях принципиальное преиму-
щество по сравнению с последовательной ее обработкой в однока-
нальных сканирующих устройствах, заключающейся в улучшении
чувствительности прибора за счет полного использования времени
наблюдения для накопления сигнала. Фокусирующая оптика много-
канального ППФ может при этом быть общей для всех каналов, а
приемник должен представлять собой совокупность отдельных
чувствительных элементов.

В принципе могут использоваться конечные разности различных
порядков, однако на основании полученных выше результатов в
случае, когда ПС фона имеет вид (1.48), следует отдать предпочте-
ние разностям второго порядка (аналогам только что описанного
непрерывного оператора V2)-

При выборе расположения точек выборки в связи с двумерностью
задачи имеется много различных возможностей. При асимметричной
обработке, которая имеет особый смысл в случае сильно выражен-
ной анизотропии фона, может использоваться вторая разность
сигналов из трех соседних точек, лежащих на одной прямой вдоль
направления наибольшей корреляции (например, оси ОХ):

U = hJ-±u(-R0, 0) + «(0, O)—LU(F>O, 0)1.	(3.4)
При стремлении к двухосевой симметрии могут использоваться
две вторые разности по взаимоортогональным направлениям (на-
пример, осям ОХ и ОУ)\

U = h^u{0, 0)-^[u(-tf0, О)+«(/?о, 0) +

+ и(0, -/?О)4-Ы(О, /?0)Й.

(3-5)

Наконец, могут использоваться три вторые разности сигналов
от семи равноудаленных точек, образующих ячейку в виде правиль-
ного шестиугольника (2.73).

Элементарные структуры соответствующих дискретных фильт-
ров изображены на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Структуры 3-, 5- и 7-элементных ППФ с асимптотическими значе-
ниями весовых коэффициентов каналов.

Возможны, конечно, и более сложные структуры, в частности,
состоящие из различных комбинаций трех описанных элементар-
ных структур и заполняющие широкое поле зрения прибора,'которые
больше оправдывают наименование многоканальных ППФ. Однако,
как будет видно из дальнейшего изложения, основные закономер-
ности дискретной пространственной подоптимальной фильтрации
и возможности приближения к характеристикам ОПФ могут быть
выявлены достаточно полно при анализе характеристик 3-, 5- и
7-элементных фильтров.

Значения весовых коэффициентов каналов (3.3)—(3.5) отвечают
условию отсутствия выходного сигнала от равномерного фона. На
вопросе об оптимальном выборе этих величин мы специально оста-
новимся ниже.

Подводя некоторый итог исходным рассуждениям, можно изо-
бразить обобщенную структуру обоих видов ППФ (непрерывного
и дискретного) состоящей из трех основных, последовательно вклю-
ченных звеньев: оптической системы, фотоприемника и пространст-
венного дифференциатора, описываемых соответственно весовыми
функциями_/i0(r), hn(r), Нд(г) или соответствующими ПЧХ: Яо(®),
Относительно выбора характеристик последнего звена мы при-
вели только первоначальные соображения, подробнее об этом будет
идти речь в § 3.3 и 3.4. Выбору же характеристик первых двух
звеньев, особенно оптики, посвящен следующий параграф.

Понимая под ППФ устройство со структурной схемой, показан-
ной на рис. 3.2, помехоподавляющее звено которого имеет характе-
ристики, приближающие его к ОПФ, но более простые в реализации,
запишем пока основные соотношения в общем виде

Величина отношения сигнал/помеха на выходе, определяемая
квадратом пикового значения полезного сигнала, деленным на дис-
персию помехи, может быть найдена с помощью следующих выраже-

Рис. 3.2. Структурная схема ППФ.

ний линейной фильтрации, распространенных на двумерный случай
и составленных применительно к принятой структуре фильтров
(рис. 3.2):

(ро) = A f Во Но (“) нд еХР (—/® Р°)	’

4л/ J
Э__
(Л

~ ( с» (“) IИ 12ЯП(») |! | Й«(«) Р лэ-.

(3.6)

(3.7)

3.2.	ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИЧЕСКОЙ ФОКУСИРУЮЩЕЙ
СИСТЕМЫ И ПРИЕМНИКА ЛУЧИСТОЙ ЭНЕРГИИ

Оптическая система, собирая энергию излучения со всей площади вход-
ного зрачка в пределы площади пятна рассеивания, преобразует поле лучис-
тости пространства предметов в поле облученности пространства изображений.
При этом происходит преобразование координат (рис. 3.3):

x = (f/L) xlt y = (f/L)ylt	(3.8)

где f — фокусное расстояние оптики; L — расстояние до объекта.

Ввиду линейности оптики по отношению к лучистому потоку, ее реакция
на любое входное воздействие (произвольное распределение лучистости в на-
блюдаемой картине) может быть определена с помощью интеграла свертки

e(p) = f ^(po)*o(po,r0)dSro;p0=p—70,	(3.9)

S-
г о

в котором роль весовой функции оптики До(Ро» г) играет распределение об-
лученности в искаженном аберрациями изображении точечного источника
излучения (являющемся реакцией оптической системы на двумерную 6-функ-
цию).

Из-за возможного виньетирования и наличия внеосевых аберраций (кома,
астигматизм) распределение энергии в пятне рассеивания оптики в общем
случае зависит от угла поля зрения, и весовая функция является нестационар-
ной (зависит не только от аргумента г0, отсчитываемого относительно точки
идеального изображения, но и от радиуса-вектора р0, определяющего поло-
жение этой точки в абсолютной системе (рис. 3.4).

Весовая функция должна учитывать также- неравномерность пропуска-
ния оптики по длинам волн т(Л). Для диоптрических систем, кроме того,
следует в принципе принимать во внимание хроматизм — зависимость релье-
фа изображения точечного источника от длины волны излучения /го(Ро» го)-

Рис. 3.3. Преобразование координат оптической
системой ППФ.

Влияние нестационарности, вообще говоря, требует специальной оценки
Для широкопольных светосильных систем ИК диапазона, возможно, следо-
вало бы прибегнуть к ступенчатой аппроксимации весовой функции по р0
осредняя аберрации по-кольцевым зонам поля зрения. Однако стремясь, как
уже говорилось, прежде всего к выяснению влияния главного параметра
оптики — размера элемента разрешения, будем рассматривать оптические
системы, обладающие только апланатизмом (неизменностью аберраций по
полю), и не будем учитывать зависимость виньетирования от угла поля.
Хроматизм оптики вносит дополнительную взаимосвязь пространственной
и спектральной (оптической) фильтрации, однако во многих теплопеленга-
ционных приборах значительную часть оптической силы обеспечивают зер
кальные поверхности, аберрации которых не зависят от длины волны излу
чения. Для концентрации внимания на основном факторе будем полагать
объектив ахроматизированным и спектральное пропускание оптики т(Х) = т0
не зависящим от X (в рабочем диапазоне).

При таких предположениях вместо (3.9) можно записать

е(р)= С b(p—(3.10)
<s-	0

Го

где весовая функция имеет стационарный вид.

Весовая функция характеризует как энергетические свойства оптики
(способность концентрировать лучистый поток — оптическое усиление),
так и ее геометрические сройства (способность видоизменять распределение
энергии в пространстве). Оба свойства проявляются обычно более или менее
независимо, что позволяет (в первом приближении) отразить их отдельными
сомножителями весовой функции:

Ло('-о) = АойоО:о)-	(3.11)

Первый из них (Ло), определяемый по формулам фотометрии [24], не
зависит от координат точки в пределах пятна рассеивания. Второй (Дд (г0)),
наиболее нас интересующий, можно считать нормированным по энергии

Рис. 3.4. Векторная диаграмма, поясняющая правила отсчета при операциях
пространственной свертки, производимых оптической системой и приемником
излучения.

Из энергетических соотношений для конических световых трубок сле-
дует [64]

е0 = Jc JiTosin2 и',	(3.13)

где JG — энергетическая сила излучения источника; и' — задний апертур-
ный угол световой трубки.	_	_

Полагая, что распределение лучистости объекта имеет вид 6(р — р0)
и его индикатриса соответствует диффузно светящемуся плоскому диску, по-
лучим [25]:

»(?)«._] -;.йд_

S-	S—

г	г

где Р — лучистый поток, испускаемый источником в полусферу.

Имея в виду бесконечно удаленный излучатель, лучи от которого схо-
дятся в фокальной плоскости объектива, можно записать

sin2u'=-y- (р + ~т-

4 \	4
Второе слагаемое знаменателя может оказаться существенным, так как
в светосильных системах диаметр входного зрачка сравним с фокусным рас-
стоянием.

На основании предыдущих выражений получим

Нормированное распределение облученности различных оптических
систем в основном зависит от величины относительного отверстия, поля зре-
ния, степени корригирования, спектрального диапазона, формы апертурных
диафрагм, положения плоскости изображения и других факторов.

Возможно и распределение с кратерообразным спадом в центре (в
случае значительного затенения осевой части зрачка контрзеркалом), и за-
метная асимметрия пятна на краю поля (за счет внеосевых аберраций и винье-
тирования), но для большинства систем наиболее характерен довольно сим-
метричный относительно оптической оси спад облученности к краю пятна
рассеивания.	_

Такое распределение А”(г0) в первом приближении можно считать равно-
мерным в пределах пятна (цилиндрический рельеф) или аппроксимировать
гауссоидой вращения с энергетически эквивалентными параметрами. В пер-
вом случае имеем

1

(О = Л'-о

при г < г0,

(3.16)

О при г > rQ.

Во втором случае единое выражение нормированной весовой функции
принимает вид

весьма удобный при аналитических исследованиях.

Аппроксимация может производиться на основании тригонометрическо-
го расчета хода лучей, специально предусматривающего нахождение распре-
деления энергии в пятне рассеивания, или по результатам измерений микро-
рельефа облученности в пределах аберрационного кружка, выполненных,
например, с помощью фотоэлектрического зонда.

При расчетном методе задают достаточно большое количество No парал-
лельных лучей, равномерно распределенных по всей площади входного зрач-
ка, и определяют на выходе число лучей A/V-, приходящееся на каждый
элемент площади пятна рассеивания. Считая далее, что все лучи несут равную
долю энергии, находят весовую функцию оптики по формуле

Ао ('о) = 1 im [AN (70)/No]

N о-*оо

Перейдем теперь к частотному описанию оптической системы. Ее ПЧХ
определяется двумерным пребразованием Фурье от весовой функции, которое
в случае центральной симметрии переходит в преобразование Ганкеля типа
(1.13). Посредством этого преобразования из формул (3.16) можно по аналогии
с (1.17) получить
а из выражения (3.17) по аналогии с (1.23) находим

и" (wr) = exp

гч2 „2

(0г г 0

(3.19)

На рис. 3.5 показаны характеристики, которые отличаются не столь уж
значительно, несмотря на разницу исходных весовых функций. ПЧХ оптики
могут быть получены и непосред-

ственно (в неаппроксимированном
виде) расчетным или эксперимен-
тальным путем [26]. При этом по
ряду причин оказывается удоб-
нее определять так называемую
частотно-контрастную характе-
ристику (ЧКХ) оптической систе-

Рис. 3.6. Нормированная час-
тотно-контрастная характерис-
тика оптической пеленгационной,
системы [4].

Рис. 3.5. Аппроксимация ПЧХ оптической
системы (основной низкочастотной ее части):
/ — при равномерном распределении энергии в
пятне рассеивания (3.18); 2 — при «гауосоидаль-
ном»।распределении (3.19).

мы, представляющую собой передаточное отношение по контрасту для мир
с различным числом штрихов на единицу длины:

тг	_emax emin bmax 4~ bmjn

/?оИ°х» и/—	।	, h •	(o.zU)

emax~remin "max °min

Так как штрихи миры вытянуты по одной из осей (в данном случае по оси
ОУ), то ЧКХ получается фактически одномерной (по оси, ортогональной на-
правлению штрихов, присутствует только нулевая гармоника). Аналогич-
ную характеристику можно получить потом по другой оси, координат, раз-
вернув миру (или оптическую систему) на 90Q. Однако получение двумерной
ЧКХ из двух одномерных, строго говоря, возможно только при условии разде-
ления переменных. Такому условию отвечает, в частности, принятая нами
гауссоидальная аппроксимация весовой функции оптической системы. На
рис. 3.6 изображена типичная ЧКХ объектива оптической пеленгационной
системы. Сравнивая рис. 3.5 и 3.6, можно усмотреть определенное сходст-
во расчетных и экспериментальных характеристик.

Обратимся теперь к другому важнейшему элементу подоптимального про-
странственного фильтра — приемнику лучистой энергии. Будем считать, чт$
фоточувствительный слой (или наложенная на него диафрагма поля зрения)
совмещены с плоскостью изображения. В противном случае может иметь место
дополнительное виньетирование и «перемешивание» лучей, затрудняющие
пространственную фильтрацию. Совмещение не обязательно должно быть не-
78
посредственным; оно может производиться с помощью оптических элементов
(в частности, посредством конденсора).

Приемник лучистой энергии предназначен для преобразования падаю-
щего на него излучения в электрический сигнал. В отличие от описанных
выше преобразований, выполняемых.оптической системой, зависимость выход-
ного сигнала приемника от падающего потока не всегда линейна. Некоторые
виды приемников при наличии значительных уровней освещенности испыты-
вают насыщение и снижают свою чувствительность, что обусловлено в основ-
ном действием постоянной составляющей лучистости фона (внешнего или
внутриприборного), которая может многократно превосходить по интен-
сивности переменную составляющую. Это дает нам право учитывать нелиней-
ность приемника только в коэффициенте его усиления Дп-

Приемник, преобразуя электрический сигнал в переменный поток излу-
чения от объекта, вносит некоторое запаздывание сигнала вследствие инерци-
онности фотоэлектрического эффекта. Учитывать эту временную задержку
удобно при анализе характеристик усилительного тракта. Поэтому здесь
будем считать фотоприемник безынерционным. Ради методических удобств
спектральную характеристику приемника в пределах рабочего диапазона при-
нимаем равномерной. Таким путем легче выявить его важнейшее с точки зре-
ния пространственной фильтрации свойство преобразовывать распределение
энергии по полю зрения. Это свойство, как отмечалось выше, обусловлено
прежде всего конечными размерами чувствительного слоя, что приводит к
эффекту осреднения (интегрирования) по площади поля, непременно со-
путствующему преобразованию облученности изображения в лучистый поток
(до егог перевода в электрический сигнал). При этом могут сказываться также
неизбежные в определенных пределах флюктуации чувствительности по пло-
щади фотослоя, но подобные явления, носящие побочный характер, не будут
приниматься нами в расчет.

Итак, будем считать приемник линейным стационарным преобразова-
телем облученности изображения, действие которого описывается интегра-
лом свертки (см. рис. 3.4):

Ф(₽)=У e(p)ftn0dS_,	(3.21)

р=7?+г.

Роль весовой функции приемника Лп(г) в (3.21) играет реакция фото-
приемника на бесконечно узкий импульс облученности, соответствующая рас-
пределению пропускания и чувствительности по полю зрения. Она, вообще
говоря, может формироваться не только фоточувствительным слоем, но и
диафрагмирующими элементами. В то время как чувствительный слой обыч-
но имеет форму прямоугольной площадки, диафрагма может быть круглой
(вписывающейся по размерам в площадь чувствительного слоя).

Круглая форма диафрагмы облегчает, в частности, согласование с пят-
ном рассеивания центрально-симметричной оптики. Диафрагма может не-
много отстоять от фотослоя, в результате чего поле чувствительности несколь-
ко расширяется, но приобретает более пологий спад.

При равномерной в пределах чувствительной площадки характеристике
имеем

(*,

hn при —хп < х < хп‘, —*/п < У < Уп,
О при —хп > х или х > хп, —Уъ>У или у > г/п.

При круглой диафрагме

hn при 0 < г <
О при г > гп*
Учитывая второстепенную роль формы весовой функции приемника при
условии соблюдения эквивалентных размеров, можно принять методически
удобную аппроксимацию весовой функции приемника в виде двумерной гаус-
соиды:

/ х2 у2 \
hn(x, z/) = /inexp ( ——— —	(3.24)

\	2*п ^Уп/

которая в случае центральной симметрии с учетом га = уг *п+Уп переходит
в выражение типа (3.17).

По аналогии с (1.26) несложно получить ПЧХ приемника, соответствую-
щую выражению (3.24):

Яп («х, toy)-?2лДпхп Уп ехр I — -у— -у- I .	(3.25)

Ею мы и воспользуемся для учета асимметрии фотоприемника.

В случае центральной симметрии получим выражение, соответствующее
(через преобразование Ганкеля) весовой функции типа (3.17):

/

77п(«г) = ^п^пехР I I ’	(3.26)

которое отличается от принятой нами выше расчетной ПЧХ оптической си-
стемы (3.19) отсутствием нормировки по площади необходимой там для
учета сохранения энергии при расплывании пятна рассеивания. Здесь же
полагаем, что расширение приемника не меняет его чувствительности. С точ-
ки зрения оценки величины отношения сигнал/помеха это предположение не
приводит к противоречиям с действительностью, поскольку изменение вольто-
вой чувствительности одинаково сказывается и на числителе, и на знамена-
теле. Однако следует иметь в виду, что при оценках чувствительности по
отношению к собственным шумам приемника потребуются поправки, так
как и вольтовая чувствительность, и интенсивность шумов фотоприемника,
вообще говоря, по-разному зависят от размеров чувствительной площад-
ки [3].

Дополнительно отметим, что ввиду отличий в аргументах функций
£(Ро) в (3.10) и е(р) в (3.21) при переводе интегралов свертки в соответствую-
щие частотные соотношения с помощью двумерных преобразований Фурье для
приемника необходимо использовать комплексно-сопряженную ПЧХ, что
нашло свое отражение в выражении (3.6).

33. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНОГО ППФ
ПРИ КУБИЧНО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕННОМ
СПЕКТРЕ ФОНА

Получим выражения для отношения сигнал/помеха на выходе
одноканального ППФ с непрерывными пространственными диффе-
ренциаторами различных порядков, имеющими ПЧХ вида

Яд (®г) =/гд со*, i = 0, 1, 2, 3,	(3.27)

при кубично-гиперболическом виде выражения, аппроксимирующего
ПС фона (1.41), (1.42). При этом дифференциатор нулевого порядка
80
представляет собой простое усилительное звено и рассматривается
только для сравнения с остальными звеньями, чтобы выявить эф-
фект подавления низкочастотной помехи с помощью производных.
Порядок дифференциаторов последовательно повышается до трех,
поскольку последний из них асимптотически приближается (при
кф -> оо) к помехоподавляющему звену оптимального фильтра
(2.41) при изотропном фоне.

В качестве ПЧХ оптического прибора и фотоприемника будем
использовать принятые выше расчетные выражения типа гауссоид
(3.19) и (3.26). Пространственный спектр объекта примем для общно-
сти асимметричным, описываемым выражением (1.27), а фона —
анизотр опным (1.41).

Подставив эти характеристики в общие выражения для пикового
значения полезного сигнала (3.6) и дисперсии помехи (3.7) на выходе
ППФ, получим [63]:

fo (0) =у Мо ЛП ЛД гс Гп Sin 20с X

2Л	оо	/	2	\

Х-^- С dy ехр —	[гс/%(т) + го + гп]р®п (3.28)

2л J	J	(4	)

о о

где принято ро = 0

Оф = л2 of ho hl йд Гф r„ sin 20ф X

2п оо

X JLfdV f

2л J J
о о

X ехр

dar.

(3.29)

Внутренний интеграл в первом из этих выражений берется с
помощью формул (2.48) или (2.53) (в зависимости от четности или
нечетности показателя степени (2i + 1).

В результате получим цепочку выражений:

f0i = nboh0hBhJ(rc 1 kn sin 20с ch	(3.30)

л/2

2г— С [6о(у)]—1—1/2 dy при i = 0 и i = 2,
«ПС J

о

Л/2

Ул,П J [60(у)]_,~//2 dy при i=l, i = 3,
о

(3.30а)

6о(т)==/7с(У) + ^о + ^; й0 = г0/гс; йп = гп/гс. (3.306)

4 Зак. 1490

81
Для взятия внутреннего интеграла в (3.29) воспользуемся под-
становкой	и выражениями (2.31) и (2.32) при перемене

знака у показателя степени 3/2 бинома с плюса на минус. Минуя
промежуточные выкладки, запишем результирующее «цепочечное»
выражение:

Оф = ^Об/1оЛп/1д/-ф2‘’ k4„Dt-	(3.31)

Рг = -£=НГ{-----i'I N.+

Vn \ 2	) 1

+ 2‘-'/2 r(i—L) 4'-1 (^+^)1/2“'рг;	(3.31а)

«/2

Nt=— Г [Гф(т)]-^->Л1(г+1, i + ^-.xpy;	(3.316)

Л J	\	2 J

О

rt/2

Pt=— f UW-3/2M-|-;	(3.31b)

0

где x = (^o+^n)/2^|^(v), M (a, 0, x) — вырожденные гипер-
геометрические функции.

При этом выходное отношение сигнал/помеха можно предста-
вить в виде [63]:

6о	2j sin2 2ес с2

а2ь sin28$ Di'

(3.32)

В столь общих предположениях эти выражения имеют довольно
труднообозримый вид. Поэтому целесообразно перейти к рассмотре-
нию наиболее важных частных случаев, где возможны существен-
ные упрощения. Прежде всего обратимся к условиям, когда фон
относительно сильнокоррелирован (&ф^§> уk2 + k2a и величина
х 1). В этом случае приемлемую точность дают приближенные
выражения:

а2 «3/2—/

„   ° о z	< (h2 । .2\i—1/2 . .

sin*2ec с2

8ш29ф Di

i = l, 2, 3;

(3.33)

bo sin2 20c co
(S2b sin 29ф No
Pi~-^ j [^(Y)]-3/2dV,
0

Jt/2

f	(3.35)

о

Следует также отметить, что параметры k0 и kn входят в эти вы«
ражения равноправно и совместно в виде величины &э = ]/^о +	,

которую можно назвать относительным эквивалентным радиусом
элемента разрешения.

Необходимость обеспечения высокой пороговой чувствительно-
сти прибора, определяющейся шумами приемника, интенсивность
которых монотонно зависит от площади фотоприемника, вызы-
вает стремление к уменьшению размеров чувствительного слоя
до размеров изображения объекта. При дальнейшем уменьшении
площади приемника потери энергии полезного сигнала уже не бу-
дут компенсироваться снижением уровня шумов. Таким образом,
условие согласования размеров приемника и пятна рассеивания (с
учетом размеров объекта) можно записать в виде

kn = 1 -J- k0, £э= 1 ~Ь 2^о,	(3.36)

при этом

1 + 2^о
2^Гф(?)’

So (Y) = ^c(v)+1 + 2^0.

Если кроме того (как это обычно и происходит) имеет место
дефицит разрешающей способности оптической системы (&э^1), то

ka^k0, k9^k0V2f»kaV2,

k2

М ’ So(y) = Fc(y) + ^	(3.37)

2^ф -г ф (Y)

Перейдем теперь к частному случаю центральной симметрии
входных воздействий (модель лучистости объекта в виде тела, обра-
зованного вращением вокруг визирной линии, при изотропном фоне).
В этом случае 0С = 0Ф = л/4; Fc(y) = Рф(у) = 1, и вспомогатель-
ные параметры принимают простейший вид:

60 (?) = So = 1 + kl, х = £э/2&ф;

4*

(с00	1 > Oil	, Cq2 — 4, Cqq — 6 )/"Jt ).

83
Интегралы Pt и Nt записываются в конечном виде через вырож-
денные (конфлюентные) гипер геометрические функции [8]:

Р=м(——г.Д-/. -Mfi+l; i + —; AV (3.39)
г \ 2	2	2*2 / ’	1	\	2	2£2ф/	'	’

Эти функции табулированы [12], но, к сожалению, недостаточно
полно и подробно.

В случае сильно коррелированного фона при kg можно
приближенно принять, х « 0; Pt Nt « 1 и записать выраже-
ния для отношения сигнал/помеха в существенно упрощенном виде

Ь2

<7о«-гО+*э)“2’	(3.40)

b2 23/2-Z

4t »	k*~'	c*> l’ = 1. 2 И 3.	(3.41)

w b

Здесь видна прямая пропорциональность между значениями
относительного радиуса корреляции и величиной q при использо-
вании дифференциаторов, а также независимость этих величин при
отсутствии дифференциаторов. Если' учитывать также дефицит раз-
решающей способности оптики, то получим элементарные прибли-
женные выражения [631:

п ~ 6о ,-4

Яо — т «э >

Ь2

qi^gi^-2l+2k^k7\	(3.42)

°ь

^ = 0,313, £2 = 0,801, £3 = 0,939.

В частности, для ППФ с двойным дифференциатором (i = 2)
имеем

q «12,8 —	(3.43)

°ь

Из этих выражений следует, что введение дифференциаторов,
особенно второго и третьего порядков, дает значительный эффект
помехоподавления. Видно также весьма сильное влияние размера
эквивалентного элемента разрешения (в равной мере обусловлен-
ного оптикой и приемником); величина q обратно пропорциональна
пятой степени kg. Это свидетельствует о необходимости тщатель-
ного учета этого фактора и воздействия на него, ибо именно он
84
наиболее резко ограничивает возможности пространственной филь-
трации.

Сказанное выше иллюстрируется расчетными графиками, при-
веденными на рис. 3.7. Как видно из рисунка, более или менее
близко к характеристикам ОПФ подходят только ППФ с диффе-
ренциаторами второго порядка при весьма высокой разрешающей
способности. Но в этих условиях приближенные формулы (3.42)
дают заниженные значения величины отношения сигнал/помеха.

При худшей разрешающей способности ППФ значительно усту-
пает ОПФ, особенно при недостаточно высоком порядке диффе-
ренциатора помехоподавляющего звена. Следует, однако, огово-

Рис. 3.7. Зависимости нормирован-
ных отношений сигнал/помеха на
выходе ППФ от относительного экви-
валентного радиуса разрешения (при
условии согласования оптики и
приемника):

/—для ППФ без дифференциатора; 2 —
для ППФ с дифференциатором 2-го поряд-
ка; 3— характеристика, соответствующая
ОПФ.

риться, что повышение разрешающей способности дает выигрыш
[см. (3.33)—(3.39)] до тех пор, пока не будут выполнены условия со-
гласования эквивалентного размера элемента разрешения с разме-
рами объекта (ka = 1). В этом случае оптическая система совмест-
но с приемником образует согласующее звено ОПФ. Дальнейшее
уменьшение элемента разрешения поведет уже к невосполнимым
потерям полезного сигнала. При kg -> 1 выражение (3.41) для
г=3 асимптотически переходит в соответствующее выражение для
ОПФ (2.38).

Однако столь малые размеры пятна и фотослоя обычно недости-
жимы и согласование в ППФ приходится производить не с размерами
объекта, а с размерами его изображения, что при k0 > 1
дает совсем иной эффект (рис. 3.7). Допустим, что объект размером
2 м на дистанции 10 000 м имеет угловую'величину 2-Ю-4 рад,
а угловая величина пятна рассеивания оптического прибора может
составлять 0,3 ми/100 мм = 3-10-3, т. е. k0= 15.

Вернемся теперь к более общему асимметричному случаю, с тем
чтобы проанализировать количественно влияние-вытянутой формы
объекта и неравенства интервалов корреляции фона по различным
направлениям. Используя выражение (3.32) и другие, найдем зави-
симость отношения q от показателей асимметрии объекта 0С и ани-
зотропии фона 0ф для ППФ, подобно тому, как это было сделано
85
для ОПФ. На рис. 3.8 представлены результаты расчетов величины
Хаз ~ 9ан/?из> знаменатель которой характеризует отношение сиг-
нал/помеха на выходе того же ППФ, что и числитель (с теми же зна-
чениями ks и кф), но только для случая центрально-симметричного
объекта и изотропного фона.

Расчеты проводились для лучшего из рассмотренных ППФ, со-
держащего пространственный дифференциатор третьего порядка.
Рост потерь от неучета асимметрии при увеличении разности Д0 =
= 0С — ©ф подтверждает вывод, что для ППФ, так же как и для
ОПФ, желательно учитывать асимметрию входных воздействий,

Рис. 3.8. Потери от неучета анизотропии фона (а) и
асимметрии объекта (б).

когда степень вытянутости эллипсов объекта и интервалов корреля-
ции фона велики, ориентация их в плоскости анализа существен-
но различается, и при условии, что эти параметры заранее опреде-
лены и требуемое угловое положение асимметричного ППФ выдер-
жано с достаточной точностью.

3.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНОГО ППФ ПРИ ДРУГИХ
ВИДАХ ПРОСТРАНСТВЕННОГО СПЕКТРА ФОНА

Не касаясь более слишком благоприятной гауссоидальной ап-
проксимации ПС фона, рассмотрим характеристики ППФ при не-
благоприятном квадратично-гиперболическом виде ПС, отличаю-
щемся пологим спадом, а также при более благоприятном «сепара-
бельном» спектре фона, для которого характерен крутой спад в
биссекторной плоскости. Первый случай рассмотрим для изо-
тропного фона, а второй — используем для оценки возможностей
учета асимметрии входных воздействий при построении непрерыв-
ного ППФ. В обоих случаях проводим рассмотрение применитель-
но к ППФ, содержащему в качестве помехоподавляющего звена
пространственный дифференциатор второго порядка, дающий хоро-
шие результаты, как было показано в предыдущем параграфе, даже
при кубично-гиперболическом пространственном спектре фона.
86
Подставляя характеристики объекта (1.23), оптической системы
(3.19), приемника (3.26) и дифференциатора (3.1) в выражение для
полезного сигнала (3.6) при р0 = 0, получаем

f0^ = ^bohohnhRr2r2\

2	о

X ехр I —(гс 4-Го + ^п)

L 4

dcor.

Воспользовавшись формулой (2.48) для интеграла, получим ко-
нечное выражение

/о (0) = 4л60 h0 hn hR k2 (1 + kl)-2.	(3.44)

Подставляя выражения для пространственного спектра фона
(1.47), (3.1), (3.19), (3.26) в общее выражение для дисперсии помехи
на выходе ППФ (3.7), получаем

ОО

4 _	h2 h2 ol rl 4	(1 + Гф)“' x

о

r.2

Хехр----------(го + гп) dar.

С помощью подстановки г = со2/'ф его можно выразить через
вырожденные гипергеометрические функции М (а, 0, х).

Не приводя достаточно громоздкого конечного точного выраже-
ния, воспользуемся приближенным, пригодным при относительно
сильнокоррелированном фоне

00

2	2 1 2 1 2 i 2	2 4 С 3

О^ф 31	Гп j ехр

О

г.2

+ d<*n

и с помощью той же формулы (2.48) запишем:

Оф »2л2 h20hl hlalkik*.	(3.45)

В этом случае отношение сигнал/помеха определится как

Ь2

64(1 + Л2)"4,	(3.46)

°ь

и в условиях дефицита разрешающей способности оптической
системы (ka > 1)

62
Сравнивая эту формулу с аналогичным выражением для ОПФ
(2.50), видим, что ППФ проигрывает ему в Аэ/16 раз по отношению
сигнал/шум, а это при ka 1 составляет значительную вели-
чину.

Таким образом, и в этом случае разрешающая способность су-
щественно ограничивает возможности пространственной фильтра-
ции, хотя при квадратично-гиперболической аппроксимации ПС
фона она оказывается несколько слабее, чем при рассмотренном
выше ПС, который имел на 20 дб!дек более крутой спад: величина
ka входит в выражение (3.47) для q с показателем степени, равным
четырем вместо пяти в формуле (3.42). При том же порядке диффе-
ренциатора изменение на единицу показателя степени гиперболы,
описывающей пространственный спектр, меняет величину отноше-
ния сигнал/помеха в 1,6 kqjkg раз. Поэтому при сравнительно боль-
шой величине радиуса корреляции фона более благоприятным явля-
ется кубично-гиперболическая аппроксимация спектра фона.

Перейдем теперь к случаю «сепарабельного» ПС фона, имеюще-
го еще более крутой спад в биссекторной плоскости вследствие пере-
множения двух квадратичных гипербол (1.53). Рассмотрим асиммет-
ричный ППФ, имеющий приемник вытянутой формы с ПЧХ (3.25)
и содержащий двойной дифференциатор лишь по оси ОХ.

Подставляя соответствующие характеристики в выражение (3.6),
после некоторых тождественных преобразований получаем

f 0 (0) ₽ ^0 ^0	%с Ус Уп

2

^(Ус + Уо+Уп) <4*

«в2 ехр

(О?

-----(х2 + %2 -|- х2) d(0
2----\ с 1 О П/ х

Используя выражения (2.53) для подобных интегралов, находим
/0 (0) = 2л2&0/г0/1п/1д хс хпуп (%с + Хо+ Хп)-3/2 (t/c + !/о +f/n)~ 1/2-

Из выражения (3.7) после подстановки исходных перечислен-
ных выше характеристик получим

—о* (1 + 2«>2х?)-1 X

ф	О П Д П ф^ф J X \	1 X ф)

X ехр[—со2 (х2+ Х2)] dax $ (1 +2(о2у2)-
— оо

X ехр [-0)2 (^2+
Первый из этих интегралов легко может быть записан прибли-
женно в конечном виде в случае относительно сильно коррелирован-
ного по оси ОХ фона (хф хс) с помощью формулы (2.53). Для
второго интеграла выражение (2.53) может дать значительные ошиб-
ки из-за отсутствия помехоподавляющего множителя по этой оси
координат. Точное конечное выражение для этого интеграла можно
получить с помощью формулы (3.274), приведенной в работе [8]:

F (р2 + х2)-1 exp (—g2x2) dx = — exp (p2g2) [ 1 — Ф (pg-)], (3.48)
0	p

х =	p=l, g = y У2 + у2/уфУ2.

После ряда тождественных преобразований будем иметь

4/2 6о	k&xklx	(	kL	k3U \1-1

Yu o2 (l + 4%)3	\	2k* J['

(3.49)

здесь Ф(г) — функция Лапласа;

.	_]/*о + *п . У У20 + Уп

9Х~-------------------Т-----•

В условиях дефицита разрешающей способности оптики, когда
£эя.»1 и	можно записать простую приближенную фор-

мулу

q ~	1	ехР(~*эУ25^ ,	(3.50)

klx ky 1-Ф(кэТТ2 кфу)’

которая при достаточно сильной корреляции фона не только по
оси ОХ, но и по оси ОУ (k^y > k9y) с учетом е22^1 и Ф(г)^0
принимает элементарный вид

4/2 Ь2

а2

кфх

k3 k2

кэх кэ у

(3.51)

Из последней формулы следует, что при указанных условиях
отношение сигнал/помеха на выходе ППФ пропорционально отно-
сительному интервалу корреляции фона по оси, где действует ПОМеХО-

48. Зак 1490	89
подавляющее звено, и обратно пропорционально пятой (в сумме)
степени относительного интервала разрешения.

Учитывая «сепарабельность» ПС объекта и фона, нетрудно уста-
новить, что при использовании двумерного дифференциатора в
аналогичных условиях мы получили бы выражение

16 &о Ьфх ^фу
Л О? h3 ь3
ь кэхкэу

отличающееся от (3.51) в 2 ]/2л k^y/kay раз.

При условиях, когда k$y kay, это отличие может быть
значительным. По сравнению со схемой, вовсе лишенной дифферен-
циаторов, разница в значении q будет еще более существенной.

3.5.	ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ПОДОПТИМАЛЬНЫХ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИЛЬТРОВ

Рассматривая в предыдущем параграфе ППФ с непрерывным диф-
ференциатором, мы несколько отвлеклись от фактических возмож-
ностей получения пространственных производных «в точке». Если
не иметь в виду специальные лабораторные установки, использую-
щие явления физической оптики (о которых мы уже упоминали в
гл. 2), а говорить об аппаратурных средствах, доступных для опти-
ко-пеленгационных устройств, то окажется, что вместо практиче-
ски невыполнимой операции непрерывного дифференцирования не-
обходимо в том или ином виде применять конечные разности. Это
обусловлено, главным образом, конечными разрешающей способ-
ностью и чувствительностью системы, которые ограничивают воз-
можности восприятия малых приращений сигнала на интервалах,
не превосходящих размеров элемента разрешения. Так, при получе-
нии пространственной производной путем дифференцирования элек-
трического сигнала, снимаемого с фотоприемника во время последо-
вательных проходов развертки через данную точку изображения в
нескольких направлениях (с последующим суммированием локаль-
ных производных), не удается использовать ни стягивающуюся в
точку траекторию (3.3), ни смену направления развертки через
кадр. В первом случае резко падает глубина модуляции полезного
сигнала и недостает пороговой чувствительности прибора (по отно-
шению к собственным шумам фотоприемника), а во втором — нехва-
тает точности совмещения последовательных кадров.

Даже получение одномерной «чистой» производной без некоторого
осреднения ее в пределах элемента разрешения в указанных условиях
технически трудно осуществимо, поскольку для повышения чувст-
вительности (снижения уровня шумов) приходится ограничивать
сверху полосу пропускания усилителя (внося тем самым соответст-
вующее пространственное «смазывание»).
90
Еще более сложно получить производную в точке с помощью
многоканальной схемы, так как расстояния между центрами сосед-
них чувствительных элементов не удается сделать меньше размеров
этих элементов.

Конечные разности в наиболее простом и явном виде приближен-
но отражают факт осреднения пространственных производных по
прилегающему к данной точке участку площади изображения. Их
использование становится особенно естественным, если, опираясь
на теорему отсчетов, разделить поле сигналов на элементы (кванто-
вание по площади). Взвешивая определенным образом сигналы этих
заполняющих все поле зрения элементов, можно создать статиче-
ский пространственный эквивалент любого реального подвижного
анализатора. Мы поясним это точнее после рассмотрения вопросов
развертки изображения в гл. 4.

Как известно, одномерной конечной разностью n-го порядка
называют выражение

Д"и (х) = и (х + пДх) — С1пи [х+ (»— О Д*1 +

-j-C„ и[х + (п—2) Дх] —...

где С£ = п!/&!(п—&)!

Двумерные конечные разности могут быть образованы как сово-
купность двух одномерных разностей по ортогональным осям или
трех разностей, направления которых отличаются на 120°, с после-
дующей их нормировкой Цо максимальному значению весового ко-
эффициента. Именно таким образом получены 5- и 7-элементные
помехоподавляющие алгоритмы (3.5) и (2.72), (2.73) соответственно
из 2- и 3-одномерных разностей второго порядка (3.4).

Выясним теперь, какой порядок конечной разности позволит
лучше приблизиться к характеристикам ОПФ с учетом конечной
разрешающей способности системы. Для этого представим ППФ со-
стоящим из неизменяемой части (оптическая система и фотоприемник)
и изменяемой части — пространственного дифференциатора.
ПЧХ дифференциатора ППФ можно найти из соотношения

тт /~\	^ОПф (®)

Н„ (<о) =--7=^ =г- •

д 7 Яо (со) Яп (со)

Подставляя в числитель формулу (2.17) при хо = уо = О,
чаем

вь (со) Но (со) Нп (со)

Тогда

(3.53)
полу-

(3.54)

Воспользовавшись принятыми выше центрально симметричными
характеристиками пространственных спектров объекта (1.23), фона
(1.47), оптической системы (3.19) и фотоприемника (3.26) в случае
4В*	91
Гф > ra > гс и приближенно представив ех « 1 + х, найдем
низкочастотную часть ПЧХ дифференциатора

/7д (®г)« с (4 + ®2 /"2)( 1 + ®2	4С(!^ г2 Гэ2. (3.55)

Из этой формулы можно сделать вывод о целесообразности исполь-
зования конечных разностей до четвертого порядка вместо второго,
получавшегося выше в аналогичных условиях без учета конечного
размера элемента разрешения.

В гл. 2 был рассмотрен дискретный 7-канальный ОПФ. В работе
[6] применительно к случаю сепарабельного фона типа (1.50) полу-

Рис. 3.9. ППФ с 19 элементами.

чены характеристики 9-канального ОПФ, которые в условиях силь-
нокоррелированного квазиизотропного фона приближаются к своим
асимптотическим значениям (Игл /гг), не зависящим от значений
и кфУ при кфХ, кфУ-+ оо. Там же рассмотрены (при сепарабельном
фоне) 3- и 5-элементные фильтры с алгоритмами типа ф.З) и (3.4) и
показано, что при достаточно сильной корреляции фона эти фильтры
немногим уступают 9-элементному ОПФ. При изотропном фоне
несколько лучший результат дает 7-элементный фильтр с алгорит-
мом (2.72).

В связи с этим ограничимся рассмотрением трех упомянутых
выше дискретных ППФ (3-, 5- и 7-элементного), а также 19-элемент-
ного ППФ (рис. 3.9), формирующего конечные разности четвертого
порядка по трем осям симметрии:

9 9 * * 12 * * *	1 18

7/19 = Дз14 = ио--— ыг + ~ SUi'

У ЛИИ	1О ХЯИИ

4=1	4 = 7

Последний, судя по соотношению (3.55), должен быть максимально

близок к ОПФ, насколько это позволяет его разрешающая способ-

92
ность. Проведем сначала анализ применительно к основной аппрок-
симации ПС фона — кубично-гиперболической (1.41). Характери-
стики оптической системы возьмем такими, как в § 3.2 и 3.3

Теперь расшифруем ПЧХ дискретного дифференциатора Яд(со)
в выражении (3.6), которая определяется весовыми коэффициентами
параллельных каналов.

Запишем общее выражение для величины полезного сигнала на
выходе ьго канала с учетом смещения центра его чувствительного
элемента на величину от начала координат,-Совпадающего с
точкой максимизации отношения сигнал/помеха (р0 = 0):

Hni (®) = нпо (®) ехр (j (dRt),

где На0 (®)—ПЧХ приемника, расположенного в начале отсчета.

fat (0) = -rVf В	Н° И Н'п0	ех₽ (J ® ) аЭй-

(3.56)

Запишем также в общем виде алгоритм взвешивания сигналов
Nq каналов

/2=МД= 2/Лдг.	(3.57)

Сопоставляя выражение (3.56) и (3.57) с (3.6) при симметрич-
ном по двум осям приемнике (когда Jm [/7П0 (со)] = 0), получаем

_ tfo-l	___

77д(®)= 5 hni ехр (j ® Rt).

i — Q

(3.58)

На основании определения дисперсии помехи и выражения (3.57)
можно также записать

Wo-l No~ 1
4=2 2 hthiKu,	(3.59)

i=0 /=0

где Kij — коэффициент корреляции помехи на выходах I- и /-го
каналов. Обобщая соответствующие одномерные выражения
нетрудно убедиться [63], что

J Gb (®) | Но (й) |2 Нп1 (й)	(й) dd-_ (3.60)

Из сравнения выражений (3.59) и (3.60) с (3.7) легко устано-
вить

I (®) I2 = *2 *2 hi hi exP 0	(3-61)

» = 0 / = 0

где \Rij = R}—Ri.
На практике удобнее производить сначала интегрирование по
Пространственной частоте сог, а потом суммирование по каналам с
помощью формул суперпозиции (3.57) и (3.59).

Проведем анализ прежде всего применительно к центрально-сим-
метричному объекту (ПС которого описывается формулой (1.23))
и изотропному фону (ПС его определяется выражением (1.43)).
Влияние асимметрии входных воздействий мы оценим потом отдельно
на примере сепарабельного фона.

Подставляя выражение (1.23) в (3.56) с учетом формул (3.19)
и (3.26), получаем

ОО

fi = — b0hohahRr2crl exp

О

2л

X J ехр[—cos (%* — ?)] dy,
о

=Га+Гп-

Э О П*

(3.62)

Внутренний интеграл с помощью выражения бесселевой функ-
ции [8]

Л

J(z) = —— Сехр(—jz sin-0) d9,
2л J

—Л

где 2 = <ог7?г, 0 = Зл/2 + у — может быть записан в конечном
виде, после чего, используя (4.434.3) из работы [81:

00	Р	/	2 \

np(ax)exp(-p*x*)xp+,dx = —2— ехр —(3.63)

О	(2р2)Р+'	\	4Р2 /

где

Р = О, х = а>г, a = Rt, 02 = -^-(1 + £□),
4

можно получить [63]

fi — 14"с Ьо ho h-a Ид ku Ci (1 -j-	,

(3.64)

где

c. = exp( — rJ]^ r2c + r23).
Подставляя (1.43) в (3. 60) с учетом формул (3.19) и (3.26), бу-
дем иметь

к„ = f 4 hl hi hl„ 4 4 J <or (1 +	4)-“/  к

/	2 \ r

X expl---—гэ I d®r^exp[ —j®rA7?^cos(y—A%i7)]dy, (3.65)

где A/?i7- и Д%17- определяются выражением (2.78).

Используя, как и выше, интегральное представление бесселе-
вой функции I рода с нулевым индексом, получаем [63]:

= ОьЬоЬпЬдоГфГ^ ®г30(®гД/?г7-)(1 + <ОгГф) 3/2х

(3.66)

Характерно, что в результирующие выражения для ft и Кц
не вошли аргументы радиус-векторов центров фотоприемников
Хг- и интервалов между ними Дуг/, что свидетельствует о незави-
симости величины q от углового положения чувствительных элемен-
тов в случае центральной симметрии как входных воздействий, так
и характеристик каналов ППФ.

Более подробный анализ полученных выражений без дополнитель-
ных упрощений затруднен их сложным видом, в связи с чем мы пе-
рейдем к наиболее интересному частному случаю сильнокоррелиро-
ванного фона. При этом Гф у г2с + г2 и появляется возмож-
ность, введя переменную z = и обозначив через х = г2/2гф,
принять в последнем интеграле ехр (—xz2)« 1 и приближенно
представить его в конечном виде с помощью выражений (4.412.2) и
(6.479.3) из [8]:

$ (1+ г2)" 3/2 Jo (X, г) zdz = /г,

(3.67)

где

d — ехр (	; kR ф — kR/k$,

I — индекс нумерации несовпадающих друг с другом значений меж-

центровых расстояний.
Дальнейшее упрощение возможно путем приближенной заме-
ны экспоненты — d двумя первыми членами степенного ряда:
как это уже делалось в предыдущей главе.

Полученные вспомогательные выражения позволяют определить
величину q на выходе рассматриваемых ППФ с помощью формул
суперпозиции сигнала (3.57) и помехи (3.59) [63].

Выражения для полезного сигнала одинаковы для всех трех
фильтров:

fs =nr2cbohohnhRQk2a{\—c2R)(\+kl)-	(3.68)

c2r = exp

Дисперсию помехи на выходе дискретных ППФ' также можно
записать в общем виде

Оф — л ст6h0hnhno гп Fn,, (d),

(3.69)

W„-l JV0— 1

/4(d)= 2 2
z = o j=o

Последняя формула, отражающая эффект помехоподавления,
обусловленный алгоритмом фильтра (в частности, знаками и абсо-
лютной величиной весовых коэффициентов каналов и геометрией рас-
положения чувствительных элементов), для каждого из рассматри-
ваемых фильтров может быть представлена в следующем виде:

F3(d) = ±-(3-4d + d*),

F& (d) =	(5 — 8d + 2dV2 + d2);

F7(d) =_L(7 —10d+2d/r + d2);	(3.70)

6

Fle (d) = Лб2 (213 “ 36°d + 162d2 +

+ 48d/r— 24d3— 48d/r + 6d2/^ + 3d4).

Пользуясь формулами (3.68) и (3.69), можно записать

4n,

(»-4)2

(3.71)

(l + klYFN(d)
При сильнокоррелированном фоне, как указывалось выше,
dx«l — &кфХ и из формул (3.70) находим

Fn0 =

^5» 0,795, Р“ж 0,763, F“9 « 0,722.

Ввиду равенства величин полезного сигнала на выходах всех
фильтров из последних формул следует, что проигрыш в величине
3-элементного ППФ по отношению к 7-элементному составляет при-
мерно 24%, а к 5-элементному всего лишь 4%, 19-элементный
фильтр дает дополнительный выигрыш в отношении сигнал/помеха
5,5% по сравнению с 7-элементным ППФ.

Отметим попутно, что 9-элементный фильтр, рассматривавший-
ся как наилучший [7] при ПС фона с разделяющимся переменным^
имеет расчетное значение F$ « 141 (при изотропном фоне), т. е.
оказывается заметно хуже других.

Возможный выигрыш за счет автоподстройки значений весовых
коэффициентов каналов при изменении радиуса корреляции фона
характеризуется разницей величин q для 7-элементного ОПФ и
соответствующего асимптотического фильтра (оценка этих значений
q приведена в гл. 2). Эта разница при достаточно больших величинах
Гф оказалась незначительной. Учет конечной разрешающей способ-
ности фильтра не меняет этого положения.

Нахождение максимально достижимых значений q требует пред-
варительной оптимизации ППФ по величине радиуса расположения
периферийных чувствительных элементов R. Необходимым усло-
вием экстремума при этом является равенство нулю производной
[63]:

dq/dR = Q.	(3.72)

При выполнении этого условия достигается компромисс между по-
терями полезного сигнала при сближении фотоприемников (1 — с%}
и потерями в помехоподавлений (за счет ослабления корреляции
между каналами) при удалении периферийных чувствительных пло-
щадок от центра.

Представим (при больших значениях k$) величину отношения
сигнал/помеха дискретных ППФ в виде

<3.73>

где а#0—не зависящий от R множитель.

Тогда, подставляя формулу (3.73) в (3.72), получаем

2\ / 2	47?2	1 1 „2 \ п

(1 —Сц) Cr —---------1 + Cr ] — 0.

\	f 4- г	I

\	' с ~' э	/
Нетривиальное решение получается при этом из трансцендент-
ного уравнения

(4&г+1)ехр(—&2)= 1,	(3.74)

где

к = к/У г2с+г23.

Графическое решение этого уравнения дает k = 1,53. При де-
фиците разрешающей способности оптической системы (гэ гс)
и при условии согласования размеров чувствительных площадок
и пятна рассеивания (гп « г0) имеем 7? » 2гп, что соответствует
довольно плотному расположению приемников. При& = kopt « 1,53
из формул (3.68)—(3.72) [63] имеем

<3'75>
аЬ Лэ

9з« 0,598, 95 = 0,751, 9? = 0,785.

Таким образом, влияние радиуса корреляции и размера элемен-
та разрешения здесь проявляется так же, как в аналогичных непре-
рывных ППФ (3.42), но величина q оказывается много меньше.
При одинаковом порядке дифференцирования-ППФ, использующий
производные в точке, имеет значение q примерно в 16 раз больше,
чем 7-элементный, и в 21,5 раза больше, чем З-элемещный, исполь-
зующий конечные разности сигналов от удаленных на указанные
интервалы друг от друга точек фона.

В случае применения дискретного ППФ расширение поля зре-
ния при добавлении периферийных площадок фотоприемника не
только увеличивает помеху на входе, но и снижает качество диффе-
ренцирования из-за дополнительной потери разрешающей способ-
ности (разноса центров чувствительных элементов). Однако по
сравнению с непрерывным ППФ, не имеющим дифференциатора
[(3.42), i = 0], введение дополнительных компенсирующих одно-
родный фон каналов дает определенное преимущество: при k3
выигрыш в величине отношения сигнал/помеха q 3-элементного
фильтра составляет 0,6 k^k3.

Отметим еще, что при неограниченной разрешающей способности
полученные выше для дискретных ППФ выражения (при £э-> оо)
переходят в соответствующие формулы для дискретных ОПФ
[2, 6, 30, 63].

Однако при разрешающей способности, свойственной системам
оптической пеленгации, 7-элементный ППФ еще далек по своим па-
раметрам от соответствующего дискретного ОПФ. Полагая одина-
ковыми кф и /?, из формул (3.75) и (2.82) получаем

т] = 97 (ППФ)/97 (ОПФ) = 0,905/6* •	(3.76)
При kQ 1 значения ц Составляют весьма малую долю от
единицы. Таким образом, роль размера элемента разрешения явля
ется определяющей и для дискретных ППФ.

Отметим еще роль «зазоров» между элементами. При использова-
нии схем с отдельными площадками приемника излучения в каждом
канале зазрры между чувствительными элементами обусловлены
технологией изготовления фотослоев. В дискретном ППФ с подвиж-
ным (колеблющимся) одноплощадным анализатором изображения
и последующей электрической фильтрацией эквивалентные «зазоры»
характеризуют (см. гл. 4) отступления от наиболее рационального
соотношения между размахом колебаний анализатора и номером
рабочей гармоники сигнала (в сторону завышения размаха).

Приближенная формула (3.73) показывает, что наличие зазоров,
приводящее к удалению элементов друг от друга (росту &яф), вы-
зовет увеличение дисперсии помехи, пропорциональное увеличению
межцентровых расстояний элементов 7?. При «зазорах» размером
в один элемент разрешения (что довольно реально для многоканаль-
ных систем) дисперсия помехи на выходе повысится таким образом
примерно в два раза.

Существенное значение имеют также отступления весовых ко-
эффициентов элементов дискретного ППФ от их значений, соот-
ветствующих требуемому порядку конечных разностей. Так, для
случая использования второй разности, как показывают расчеты,
снижение весовых периферийных каналов вдвое повышает диспер-
сию помехи на выходе более чем в три раза.

Выясним теперь, как сказывается анизотропия фона на харак-
теристиках 3- и 5-канальных ППФ в случае более удобного для ис-
следования сепарабельного фона.

Влияние анизотропии на характеристики 7-канального ППФ
вследствие предельно плотного заполнения его поля зрения равно-
отстоящими элементами должно быть ближе к тому, что было вы-
явлено выше для ППФ с непрерывным дифференциатором.

Выражения для дисперсии помехи при сепарабельном фоне
можно получить, подставляя выражения (1.53) в (3.59) и (3.60).
Учитывая разделение переменных, запишем

= Gb (®«) I Но (<ож) I21 Яп (<ож) |2 ехр (—j	Ьхи) d<ax X

— 00
оо

Х“^Г $ Gb(®»)l^o(®»)l2l^n(%)l2exp(—j с^Д ;) (Ц,. (3.77)
— оо

С учетом принятых выражений ПЧХ оптики и приемника
имеем
Кц=-^- S 2^2 аь%ф(1+ 2®*4) 'МЛ*
— оо

/ to2 X2 \

X 2л%п ехр------ехр ( —j(0xAxf>) da>x х

ХТ“'\ 2К2 аьг/ф(1 + 2®2//ф) ' hohahaX

2л J
— оо

(to2 у2 \

----у2-) ехр(—j®yAt/o)d®y.

При общих предположениях эти интегралы не записываются
в конечном виде. В случае же сильнокоррелированного фона можно

.	(	®2хХэ\ 1	(	^уУ2э\ 1

приближенно принять ехр I-----------1, ехр I-----------— 1^1.

Тогда выражение для дисперсии можно записать в виде

Оф » 8л Оь hQ hn	хп уп Fд/0 (dx, dy).	(3.78)

По аналогии с (3.69) будем иметь

лго— i Wo-l -	-

FN,(dx, dy)= 2 2 /1“ й“ dxtjdyiJ, (3.79)

i = 0 / = 0

При этом

F3(dx, ^) = ± (3-4^ + d2),	(3.80)

F3(dx,dy)= -^[l0-8(dx + dy) + d2x+d2y + 4dxdy]. (3.81)
О

В данном случае интересно, кроме того, рассмотреть послед-
ний фильтр в повернутом (относительно осей анизотропии фона)
на 45° положении. Тогда

F5(dx, dy) = (5-8dxdy+ d2+ d2+ d2 d2)/4.	(3.82)

Полагая dx	1 — kx, dy^l — ky (kx = Я/хф, ky = Я/уф),

получим приближенные выражения:

Т'з да kx,

F^(kx + ky + 2kxky)/4-,	(3.83)

Fс	kv Т~ kn — kjn

o vc у vc у
Из этих выражений следует, что при квазиизотропном фоне
(kx = ky) «неповернутый» 5-элементный ППФ имеет примерно
в 1,5 раза меньшую, а «повернутый» (на 45°) в 1,5—1,7
раза большую дисперсию по сравнению с 3-элементным филь-
тром. Таким образом, первоначально принятое нами расположение
четырех периферийных элементов оказалось весьма выгодным в
случае сепарабельного квазиизотропного фона. Столь резкая за-

висимость от углового по-
ложения фильтра дополни-
тельно подтверждает жела-
тельность использования
для улучшения простран-
ственной фильтрации даже
таких отклонений от изо-
ропности, которые имеют
место у квазиизотропного
сепарабельного фона в на-
правлениях, близких к
бисекторным плоскостям.
Если же разница в интерва-
лах корреляции по двум
осям координат составляет
значительную (в относи-
тельных единицах) вели-
чину, то угловое положе-
ние фильтра оказывается
еще сильнее.

На рис. 3.10 показана
зависимость дисперсии по-

Рис. 3.10. Зависимость нормированной дис-
персии на выходах 3- и 5-элементных ППФ
от углового показателя анизотропии фона
6(j)=arctg z/ф/хф при /^$=0,3.

мехи на выходах рассмотренных крестообразного и икс-образ-
ного 5-элементных фильтров от углового показателя анизотропии
фона. Ординаты кривых нормированы по постоянным множите-
лям, при этом Хф = cos 0ф и =Гф sin 0ф. Там же для
сравнения представлена соответствующая зависимость для 3-эле-
ментного ППФ.

При расположении линии центров элементов по оси максималь-
ной корреляции такой фильтр дает довольно хорошие результаты.
Они становятся много хуже, если ориентировать линию центров
элементов по оси, где корреляция существенно слабее. В связи с
явно выраженной асимметрией зависимость помехи на выходе от
показателя анизотропии фона для 3-элементного фильтра имеет не-
сколько иной вид, чем для 5-элементных фильтров (растет с увели-
чением 0ф, а не падает), поскольку в пределах 0 < 0ф < 45° при
данной ориентации фильтра он выгодно использует анизотропию
фона.

Расчеты проводились для случая сильной корреляции фона.
Ввиду неизменности выражений для полезного сигнала, величи-
ны q будут обратно пропорциональны ординатам этих графиков. При
меньших значениях радиуса корреляции необходим более точный
учет разрешающей способности системы. Влияние асимметрии ха-
рактеристик фильтра будет поэтому несколько ослаблено.

3.6.	О РАЗМЕРНОЙ СЕЛЕКТИВНОСТИ ППФ
И ВОЗМОЖНОСТЯХ ЛОГИЧЕСКОЙ СЕЛЕКЦИИ

Как уже отмечалось, важнейшим свойством пространственного
фильтра является его размерная селективность, т. е. способность
по-разному реагировать на источники излучения различных разме-
ров. Относительное ослабление сигнала при увеличении протяжен-
ности пространственного импульса входного воздействия и обуслов-
ливает возможность выделения малоразмерного объекта на фоне,
неоднородности лучистости которого отличаются в среднем более
крупными размерами.

Это свойство пространственного фильтра наиболее наглядно
проявляется при рассмотрении его реакции на однотипные (регуляр-
ные) модели объекта и фона (см. гл. 1) с варьируемой пространствен-
ной протяженностью. Однако такой подход сам по себе еще не поз-
воляет произвести объективную оценку размерной селективности
фильтра по совокупности всех возможных фоновых неоднородно-
стей, поскольку при этом не учитывается разная вероятность нали-
чия в поле лучистости фона неоднородностей тех или иных размеров.

Этот недостаток может быть в известной мере восполнен с помо-
щью-двухуровневой модели случайного фона (рис. 1.7). Воспроиз-
водя в первом приближении корреляционную функцию реального
фона, эта модель позволяет оценить вероятностный «вес» различных
мешающих воздействий в соответствии с законом распределения
интервалов постоянства уровней модели (размеров пространствен-
ных импульсов и «пауз»).

С помощью этой модели удобно также представить (хотя бы при-
ближенным образом) предельные возможности логической размер-
ной селекции, классифицирующей все источники излучения с раз-
мерами, меньшими некоторого выбранного порогового, как иско-
мый объект, и все более крупноразмерные источники как неодно-
родности фона.

При этом мы, идеализируя реальные возможности построения
подобных устройств ради получения характеристик потенциальной
помехозащищенности, будем полагать их способными точно измерять
пространственную протяженность импульсов лучистости по «энер-
гетическому» уровню (размеру равновеликого по объему цилиндра)
независимо от абсолютной величины лучистости в максимуме и дру-
гих параметров импульсов. Практически по ряду причин весьма
сложно обеспечить такое изолированное восприятие схемой одной
лишь протяженности импульсов. Для этого требуется точная фикса-
102
ция фронтов, автоподстройки по уровню, безошибочный отсчет
расстояния между фронтами и многое другое.

Введя единый интегральный показатель размерной селективности,
можно сопоставить эффективность линейной пространственной
фильтрации и нелинейной логической размерной селекции приме-
нительно к бимодальному дифференциальному закону распреде-
ления лучистостей двухуровневого фона, для которого линейный
ОПФ не является абсолютно оптимальным, а логическая селек-
ция «в идеале» позволяет отличить объект от крупных неоднород-
ностей фона независимо от интенсивности их излучения.

Начнем с того, что введем понятие о коэффициенте размерной
селективности

= /о («)//о (5э)>

где /0(s) — сигнал на выходе пространственного фильтра от модели
с «текущей» величиной площади s, a fysd) — сигнал от модели (той
же формы и уровня лучистости) с величиной площади изображе-
ния, соответствующей площади элемента разрешения системы.

Величина kp характеризует, таким образом, степень подавления
в ППФ сигнала от источников определенной конечной протяженно-
сти по сравнению с точечным источником.

Величины площадей в ряде случаев могут быть заменены произ-
ведением ортогональных размеров х и у или шириной z симметрии
ного импульса в произвольном сечении:

ъ =	= Mz) _	/3 84)

fo (Ха> Ут) Го (гэ)

Введем теперь интегральный показатель размерной селектив
ности, который можно определить следующим образом:

Кр = $ k2p(sz)W(Si)ds„	(3.85)

Sz

здесь W(sz) — вероятность появления неоднородности фона с пло-
щадью sz (с размерами х, у по ортогональным осям или с размером z
в произвольном сечении при центрально-симметричной форме
модели).

Величина Кр характеризует среднее эффективное относительное
подавление мешающего сигнала на выходе схемы пространственной
фильтрации (размерной селекции) и в этом смысле близка дисперсии
фоновой помехи, прошедшей пространственную обработку (при
соответствующей нормировке).

Для схемы логической размерной селекции верхний предел ин-
тегрирования в (3.85) фактически определяется функцией kp(z),
которая начиная с некоторого порога селекции z*, скачком прини
мает нулевые значения, в отличие от схемы линейной фильтрации,
которая дает плавное изменение (падение) величины К с ростом г.
Чем меньше величины &р и Кр, тем схема лучше, поскольку у нее
сильнее выражена размерная селективность — слабее проходит
сигнал от протяженных неоднородностей поля лучистости фона.

Перейдем к определению закона распределения протяженностей
пространственных импульсов, полагая, что частота импульсов
различных размеров соответствует закону распределения интерва-
лов постоянства максимальных значений двухуровневой модели слу-
чайного фона. При пуассоновом законе распределения числа пере-
мен значений функции по оси ОХ на интервале от О до X имеем [35]:

№(x)dx = 1 — \W(£)d% adx.

Квадратная скобка определяет вероятность отсутствия перемены
значения на интервале X, а произведение adx — условную вероят-
ность перемены значения функции на приращении интервала dx.
Тогда определив v из решения дифференциального уравнения
г>/(1 — v) ~ adx (dv = W(x)dx), найдем функцию UZ(x) в виде

W (%) = а ехр (—ах),

(3.86)

где а — математическое ожидание числа перемен значений функ-
ции на единицу длины.

Выражение (3.86) определяет плотность вероятности нахожде-
ния ближайшей кромки на расстоянии X от предыдущей и удовлет-

воряет условию нормировки $W(x)dx = 1, обязательному для

плотности вероятности.

Ввиду независимости ортогональных размеров х и у, входящий
в выражение (3.85) закон распределения площадей импульсов про-
тяженностью 2хи и 2#и можно представить в виде произведения

W (s) = W (х) W (у) - 4ар ехр ( —2ахи—2руи).

(3.87)

Форма импульса не имеет решающего значения. Пользуясь этим,
вместо цилиндрического импульса прямоугольного сечения, свой-
ственного принятой «эвристической» модели, будем рассматривать
более удобный гауссоидальный импульс с эквивалентными размера-
ми. Будем также полагать импульс «центрированным» относительно
фильтра (селектора импульсов). Пренебрежем и возможностью попа-
дания в поле зрения одновременно нескольких импульсов модели,
так как из-за узкопольности ППФ это маловероятно. Таким образом,
сама модель фона используется нами только для подсчета доли се-
лектируемых импульсов из общего их количества.

Найдем теперь реакцию линейного ППФ с двойным дифференциа-
тором (3.1) на двумерно-гауссоидальный импульс (1.26). В соответст-
104
вии с выражением (3.30), представленным в декартовой системе
координат:

/о (^и> У и)	^0 ^д У и. У и

2 2

2

d<ay X

со^ехр

2	/ х

d(f>y х

4=^ + ^+^; у1=у2+у2о+у^

Интегралы могут быть записаны в
конечном виде с помощью выраже-
ния (2.48). Приняв условия согласо-
вания х0 = хп = х9/]/ 2 и у0 = уп =
= 1/э/]Л2 и обозначив k3x = xa/xn,
^Эу = уа/У^ получим

Рис. 3.11. Коэффициент раз-
мерной селективности ППФ.

fо (*и> Ун) — л&о	г—------— ------—__ (2 + &эх + ^ЭГ/), (3.88)

V (1 + ^эх)3(1 + ^)3

(*и» У^

$ 4лЬ0 h,Q /гп Лд

В случае симметрии kQX = kQy = k9 и вместо (3.88) можно
записать

k2

kP = A-T72\~2 ’ fo(9) = ^b0h0hBhK.	(3.89)

(* +йэ)

Характеристика размерной селективности ППФ (3.89) в функции
параметра ka — l/ke = ги/гэ изображена на рис. 3.11. Она имеет
сравнительно крутой спад с ростом размера модели излучателя,
обусловленный действием пространственного дифференциатора.

При этом для изотропного фона а = £ = 6 и выражение (3.86)
примет вид

W (хи, уя) = 46* ехр [- 26 (х+у)].	(3.90)
С учетом последних формул можно записать выражение для ин-
тегрального показателя размерной селективности Кр. Ддя общего
асимметричного случая из (3.85) имеем

оо

Кр = $$ kp (хя, уа) W (хи) W (уа) dxa dyn.

—оо

(3.91)

Подставляя в (3.91) выражения (3.87) и (3.88), получаем:

к, - Hi [4Л,Сх+ С,/1, +

+'4bA+2«b,bJ;

х4 ехр (—2ах)
'(х2 + хэ)3

t/4 ехр(—2gy)
(1/2 + 02)3

хаехр(—2«х) ,
(х2 + ^)3 йХ'

Уаехр(—2gy) ,
(</2+г/2)3 У'

с _ С ехр(-2ах) ,
Х ~ J (х2+х2)3 йХ’

ОО

<М2)

Эти интегралы записываются через функции Уиттекера, но ре-
зультирующие выражения оказываются довольно громоздкими и
неудобными для подробного анализа.

Воспользовавшись численным интегрированием, получим зави-
симость /Ср от интервалов корреляции хф и уф (определяющих а и
Р) и размеров элемента разрешения по двум осям хд и уэ. Результаты
соответствующих расчетов представлены на рис. 3.12 и 3.13
в функции отношений p/а и уэ/хэ при постоянных значениях
гэ Хэ + Уэ и S = Уа2 + р2. Как следует из рисунка, асим-
метрия (при фиксированном среднем радиусе) способствует улучше-
нию селекции.

Для анализа влияния радиусов импульса и элемента разрешения
обратимся теперь к случаю центральной симметрии, когда задачу
можно свести к одномерной (с аргументом г).

В этом случае а = р = б/]/2, хэ = уэ = гэ/У2, Ах = Ау = А,
Вх = Ву^В, Сх~Су~С и выражение (3.91) можно переписать
в виде

КР = 262 г* [8Л (л + г2 В) + Гэ (АС + В2)],
где

z4 ехр (— 26z)
(г2 + г*)3

dz;

г2 ехр (—26г)	,

/„2 i „2\3 UZ’

(3.93)

ехр (—26г)
(г2 + ^)3

dz.

Эти интегралы были найдены численно в виде функций Л(6, гэ),
В(8, г9) и С(6, гэ). В результате получаем зависимость, показанную
на рис. 3.14. Как видно из рисунка, интегральный показатель раз-

Рис. 3 12. Зависимость интегрального
показателя размерной селективности
от величины отношения размеров
элемента разрешения.

Рис. 3.13. Зависимость интегрального
показателя от отношения ортогональ-
ных параметров сепарабельного фона
(частот изменения значений лучисто-
сти двухуровневой модели).

мерной селективности рассматриваемого ППФ существенно зависит
от радиуса корреляции фона (определяющего величину 6) и размера
элемента разрешения z9.

Перейдем теперь к оценке характеристик размерной селектив-
ности схемы логической селекции. Напомним, что идея построения
такого рода схем опирается на тот факт, что размер изображения
объекта обычно ограничен малыми величинами. Поэтому все источ-
ники излучения больших размеров можно относить к фону. Данное
исходное положение может, однако, нарушаться при сближении с
объектом, сопровождающемся ростом угловых размеров его изобра-
жения. Естественно, что логическое устройство селекции должно
так или иначе учитывать это обстоятельство.
При работе в наиболее критичных условиях, на максимальном
расстоянии до малоразмерного объекта, подобная схема позволяет
в полной мере использовать указанный логический признак объек-
та. Здесь особую роль играют пороговые размеры селекции хр и ур
(или zp в случае симметрии). Чтобы учесть неизбежные нестабиль-
ности параметров схемы, относительные перемещения объекта и
другие факторы, эти величины надо выбирать с некоторым запасом,
т. е. они должны превышать соответствующие размеры изображения
объекта или в наиболее интересном случае точечного объекта —
размеры элемента разрешения хэ и уэ (или гэ).

Рис. 3.14. Зависимость интегрального пока-
зателя размерной селективности от радиуса
корреляции фона и размера элемента
разрешения гэ.

Так, например, в сканирующих устройствах, осуществляющих
логическую селекцию по длительности импульса, может сказаться
неравномерность поискового движения оптической оси, вибрации,
движение объекта пеленгации, разброс параметров селектора и т. д.
Обычно требуется, чтобы величина zp имела не менее чем 1,5—2,5-
кратный запас по отношению к гэ. При этом зависимость коэффици-
ента размерной селективности от протяженности импульсов мешаю-
щих воздействий записывается двойным аналитическим выражением

{ 1

h — <

р (О

при X хр и
при Х>Хр и

(или г<гр),

У>У9 (или г> гр).

(3.94)

С учетом этого результирующие выражения для интегрального
показателя размерной селективности имеют вид

^Р= И W(X)W (y)dxdy
о о

в случае асимметрии и

/3.95)

(3.96)

в случае центральной симметрии.
Подставляя в формулы (3.95) и (3.96) соответствующие выраже-
ния для законов распределения протяженностей импульсов (3.87)
и (3.90) и приняв пороговые размеры селекции: хр = 2хэ и ур =
= 2уэ (или гр = 2гэ), получаем

Др = [1—ехр(—4ахэ)] [1 — ехр ( — 4рг/э)1	(3.97)

в случае асимметрии и

Др = [1—ехр(—4бгэ)]2	(3.98)

в случае центральной симметрии.

Рис. 3.15. Интегральный показатель
размерной селективности логического
селектора в случае его асимметрии и
анизотропии фона.

Рис. 3.16. Интегральный показатель
размерной селективности логического
селектора в случае его симметрии и
изотропности фона

Если схема размерной селекции используется лишь по одной
координате (например, по оси ОХ), то вместо предыдущих выраже-
ний следует записать

| 1 при

р ( 0 при %>хр,
хр	°°

Др = $ W (х) dx $ W (у) dy = 1 — е-4“*а.
о	о

При этом эффективность селекции существенно ослабляется
(кроме случая анизотропии со значительной вытянутостью неодно-
родностей вдоль оси ОХ). В случае изотропного фона происходит
ухудшение интегрального показателя по квадратичному закону.
Одномерная селекция характерна для схем, оценивающих времен-
ную длительность импульсов сигнала при сканировании по траекто-
рии малой кривизны.

На рис. 3.15 и 3.16 изображены зависимости интегрального по-
казателя размерной селекции от величины отношения fiy3/axQ
при постоянных значениях а и гэ и от произведения 6гэ в случае
центральной симметрии.
Как показывают расчеты, на схему логической селекции асим-
метрия влияет слабее, чем на линейную схему, зато на последней
более резко сказывается изменение параметров 6 и гэ.

Сравнение двух типов схем (рис. 3.13 и 3.16) показывает опре-
деленные потенциальные преимущества логической размерной селек-
ции, которые проявляются особенно заметно при малых значениях
размера элемента разрешения и больших радиусах корреляции
(малых 6). Эти преимущества сказались бы еще более сильно при
уменьшении коэффициента запаса по пороговому размеру селекции
(приближении zp к гэ). Для этого, однако, необходима высокая ста-
бильность параметров объекта и фона, а также схемы селекции или
соответствующая автоподстройка схемы под меняющиеся параметры.

Следует отметить, что полученный результат не зависит от вели-
чины перепада уровней лучистости модели фона. При этом надо
иметь в виду, что схема логической размерной селекции позволяет
в принципе выделять полезный сигнал на двухуровневом крупно-
структурном фоне со сколь угодно большими перепадами лучистос-
тей. При мелкой структуре неоднородностей фона, когда значитель-
ная часть пространственных импульсов оказывается уже порогового
размера селекции, логическая схема оценки протяженности им-
пульса может дать меньший эффект. Так же обстоит дело в случае
многоуровневой модели, в частности при нормальном законе рас-
пределения лучистостей, когда, как отмечалось выше, линейная обра-
ботка является наилучшей из всех возможных, поскольку в такой
модели слабее представлены наиболее неблагоприятные для линей-
ной схемы импульсы большой мощности. Таким, образом, сравни-
тельные достоинства того и другого способа обработки связаны в
известной мере с выбором модели фона и ее параметров, что видно
на примерах двухуровневой модели и фона с гауссовским законом
распределения уровней. Можно полагать, что в действительности
закон распределения естественных фонов облачного неба и
Земли будет промежуточным между этими крайними случаями и
разница в эффективности линейного ППФ и нелинейного селектора
будет менее значительной.
ГЛАВА 4

ТЕОРИЯ ПОДВИЖНЫХ АНАЛИЗАТОРОВ ИЗОБРАЖЕНИЯ

4.1.	ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ПОДВИЖНОГО
АНАЛИЗАТОРА ИЗОБРАЖЕНИЯ

Воздействие интенсивных низкочастотных шумов приемника и
предусилителя, наводок, вибраций, так же как наличие дрейфа нуля
усилителей постоянного тока, вынуждают использовать в оптико-
электронных устройствах пеленгации усиление сигнала на перемен-
ном токе и с этой целью осуществлять модуляцию принимаемого
лучистого потока, оставляя шумы немодулированными.

Ввиду очень высокого уровня постоянной составляющей лучи-
стости фона и ограниченного динамического диапазона приборов, мо-
дуляция потока производится, как правило, не путем обтюрации —
одновременного перекрытия, а затем открывания всего поля зрения,
а путем последовательного просмотра поля зрения — сканирова-
ния. При этом отпадает необходимость в усилении постоянной со-
ставляющей, так как средняя лучистость фона не модулируется. Ска-
нирование может преследовать и другую цель — обеспечить требуе-
мое при заданной точности предварительного наведения прибора
поле захвата при сохранении достаточно узкого мгновенного поля,
определяющего разрешающую способность устройства. Для не очень
широкопольных систем это обычно достигается введением относи-
тельно медленного поискового сканирования. Необходимость же
ухода из области мощных низкочастотных мешающих воздействий
требует использования достаточно быстрого перемещения анализа-
тора изображения (высокочастотной модуляции сигнала). Поэтому
в ряде случаев имеют место оба эти движения, накладывающиеся
одно на другое. Однако они не только осуществляются по-разному
(поисковое движение производится обычно всем прибором или его
основными подвижными частями, а модулирующее — легкими опти-
ческими элементами), но и по-разному связаны с осуществлением
пространственной фильтрации.

Модулирующие элементы, производя развертку изображения и
выделяя с помощью последующей обработки электрического сигнала
полезную информацию, играют основную роль в реализации подав-
ления мешающего сигнала от крупных неоднородностей фона. Имен-
111
но им будет уделено далее основное внимание. Медленное поисковое
движение обычно мало меняет характеристики пространственной
фильтрации, так как соответствующие ему низкие частоты не ис-
пользуются при последующей обработке сигнала. Следует в то же
время отметить, что в очень широкопольных обзорных пеленгацион-
ных устройствах поисковое движение приходится делать уже на-
столько быстрым, что дополнительной модуляции может и не потре-
боваться.

Совокупность элементов, состоящую из приемника лучистой
энергии с диафрагмой поля зрения и модулирующих и развертываю-
щих элементов, производящих основную первичную пространствен-
ную обработку поля облученности в фокальной плоскости прибора
и перевод его в электрический сигнал, объединим под общим поня-
тием подвижного анализатора изображения.

Воспринимая рельеф интенсивности распределения лучистого
потока по площади, анализатор изображения трансформирует его
в одномерный сигнал — функцию времени.

При этом происходит, как выражаются в теории информации, ди-
скретизация сигнала или потеря степени свободы. Данное явление,
связанное с переходом от одной формы представления информации —
параллельной, к другой — последовательной, характерно также
для систем телевидения, фототелеграфии, пассивной радиолокации
и т. п. [39, 43, 49]. Однако анализатор изображения оптико-электрон-
ных пеленгационных систем обладает некоторыми важными допол-
нительными особенностями. Он, в частности, помимо поступатель-
ного движения по двум координатам может иметь вращение вокруг
собственной оси, существенно влияющее на его характеристики про-
странственной фильтрации [44, 45, 47].

Анализаторы изображения с поступательным движением в оп-
тико-пеленгационных приборах, в отличие от телевизионных пере-
дающих трубок, могут иметь сложную многоэлементную структуру
[66]. Наконец, само развертывающее движение как уже говорилось,
может складываться из нескольких отдельных движений, образую-
щих в совокупности довольно сложный закон анализа изображения
(например, по эпициклоидальной траектории или многолепестковым
кривым).

Анализатор изображения можно представить в виде плоской фи-
гуры, имеющей заданное распределение чувствительности по пло-
щади. В системе координат, связанной с центром анализатора, дву-
мерная функция, играющая роль весовой функции анализатора, за-
висит от угла поворота фигуры вокруг собственного центра — |
как от параметра и может быть записана в виде /ц(г).

Весовая функция является реакцией анализатора на простран-
ственный импульс поля облученности, обладающий бесконечно ма-
лой протяженностью. Характеристики любых реальных элементов,
входящих в анализатор изображения и расположенных в разных
плоскостях, могут быть пересчитаны в эквивалентную весовую функ-
112
цию анализатора изображения, совмещенного с фокальной плоско-
стью. В «абсолютной» системе координат эта эквивалентная весо-
вая функция имеет вид h^R, г), где 7? — радиус-вектор центра ана-
лизатора. Пересчет характеристик производится по законам гео-
метрической оптики и в соответствии с известными соотношениями
фотометрии.

Оговоримся дополнительно, что пока мы рассматриваем только
монохроматические характеристики анализатора. Вообще же ана-
лизатор, включая в себя приемник и оптический фильтр, обладаю-
щие селективными свойствами по длинам волн, производит еще и
обработку по оптическому спектру и в результате лишает сигнал
еще одной степени свободы. Как и фотоприемник в рассмотренных
ранее ППФ, анализатор изображения производит операцию про-
странственной свертки поля облученности изображения со своей
весовой функцией, формируя тем самым поле сигналов, в за-
висимости от положения своего центра и угла поворота:

Ф ШЛ) = $ е (г) {R, г) dS-.	(4Д)

Sr

Зависимости величин R и | от времени образуют в совокупно-
сти закон анализа изображения R(t) и £(/). Неизменность одного из
этих двух параметров является признаком принадлежности анали-
затора к одному из двух важнейших классов анализаторов изобра-
жения — с поступательным движением при £(/) = const и с вра-
щением вокруг центра при R(f) = const. Помимо отмеченного кине-
матического признака, анализаторы изображения можно классифи-
цировать по величине поля зрения (по сравнению с размером
элемента разрешения), разделяя их на узкопольные и широкополь-
ные, а также по степени расчлененности мгновенного поля зрения,
различая анализаторы с расчлененным (многоэлементные) и нерас-
члененным полем (одноэлементные).

Кроме того, важными признаками с точки зрения последующей
обработки сигнала при обнаружении и выделении координат объек-
та являются скважность и вид модулируемого параметра сигнала:
амплитуда или фаза при малой скважности (непрерывной модуляции);
амплитуда, длительность или положение импульсов при большой
скважности сигнала (импульсной модуляции). Классификация по
последнему признаку усложняется, во-первых, тем, что при опреде-
лении двух координат объекта могут соответственно модулировать-
ся два параметра сигнала, а, во-вторых, наличием двойного набора
параметров сигнала при использовании двукратной модуляции
(по несущей и по огибающей).

Вторичная обработка сигнала (в электронном тракте) требует
особого рассмотрения вне рамок данной работы. Отметим только,
что хотя окончательные операции по выделению объекта на фоне

5 Зак 1490	ИЗ
производятся над электрическим сигналом, все основные предпо-
сылки для этого создаются анализатором изображения.

Свертка (4.1) с учетом выражений для закона анализа дает зави-
симость сигнала на выходе анализатора от времени

Ф (О[₽(/); 1(01-	(4.2)

С учетом поступательного движения анализатора эту зависи-
мость методически удобно представить с помощью дополнительной
операции свертки поля сигналов, выделяя сканирующие элементы
анализатора в отдельное звено, описываемое пространственно-вре-
менной дискретизирующей функцией 6(1? — !?(/)] [39]:

ф (/) = $ ф [Л, $ (/)] 6 [/?-/? (/)] dSn. (4.3)

При этом сканирующие элементы представляются как бы в виде
безразмерного (бесконечно тонкого) зонда, «ощупывающего» поле
сигналов по некоторой линии движения R(t).

В случае периодического закона анализа R(t + 1Т0) = R(f);
|(/ + /То) — КО из формулы (4.3) следует периодичность сигнала:
ф(1) = ф(/ + 1Т0). Периодичность ф(1) может нарушиться, если рас-
сматривать динамичное поле сигналов ф(К, t), а не статичное
ф(/?). Мы ограничимся рассмотрением неизменного во времени поля
лучистости, что достаточно для получения основных характеристик
пространственной фильтрации. Однако даже при статичной карти-
не в поле зрения из-за неравномерности развертки изображения сиг-
нал </>(/), вообще говоря, не является масштабным преобразованием
«разреза» рельефа изображения по траектории сканирования. Кри-
волинейность пути центра анализатора вносит дополнительное ус-
ложнение в связь пространственного распределения облученности и
формы сигнала—функции времени. Чем сложнее эта связь, тем боль-
ше затруднений вызыв ает демодуляция или детектирование сигна-
ла и определение координат объекта.

В заключение заметим, что пространственное описание анализато-
ра наиболее целесообразно при расчете его характеристик на ЭЦВМ.

4.2.	ЧАСТОТНОЕ ОПИСАНИЕ ПОДВИЖНРГО АНАЛИЗАТОРА
ИЗОБРАЖЕНИЯ

Принимая во внимание известные достоинства частотного ме-
тода, естественно распространить его и на анализатор изображения.

Что касается неподвижного анализатора, то в его частотном опи-
сании нет особой специфики по сравнению с ПЧХ фотоприемника,
полученными в предыдущей главе:

Hi (®) = $ hi (г) exp (—j cor) dS7.	(4.4)

s-
r
Параметр, определяющий угловое положение анализатора, вхо-
дит в его частотную характеристику. Чтобы перейти к подвижному
анализатору, обратимся к выражениям (4.2),1 (4.3). Найдем спектр
Фурье апериодического выходного сигнала

оо

Ф (со) = § ф (t) ехр (—j a>t) dt,

—оо

(4.5)

а в случае периодичности закона развертки — найдем коэффициен-
ты его разложения в ряд Фурье

оо

0(0= 2	•

k — — оо	\ •* О J

V2

=	[ 0(0 ехр f — dt.

Г°-т0/2	T° f

(4-6)

(4.7)

Подставляя в (4.5) и (4.7) выражение (4.3) для ф (t), за-
писанное через «дискретизирующую» функцию, получаем

Ф (со) = J J 0£ (Я) 6 [/?-£ (0] ехр (-j dS$ dt, (4.8)
S- -оо

Фй =

V2

06(О(£)б[я-Я(О]х

~Г0/2

X ехр f — j k — Л dS-R dt.	(4.9)

Представим входящую в эти выражения величину ф(7?)
в частотной области с помощью двумерного обратного преобразо-
вания Фурье и последовательных операций свертки

05 (Я) = — J Ф? (®) ехр (j со 7?) d3~,

(4.Ю)

и

Ф£ (со) = Во (со) Но (со) Hl (со).	(4.11)

Последний множитель в (4.11) является комплексно-сопряжен-
ной ПЧХ неподвижного анализатора (4.4), а Во(со) и Яо(со)- имеют
прежний смысл ПС объекта и ПЧХ оптической системы.

5*	115
Подставляя выражения (4.10), (4.11) в (4.8) и (4.9), меняя поря-
док интегрирования и вводя обобщенную ПЧХ подвижного анали-
затора Н(о>, со) или в случае периодичности закона анализа—совокуп-
ность соответствующих ей коэффициентов передачи дискретных гар-
моник периодического сигнала

Н (со, со) = 2л 7Д(со)б(со—k — V (4.12)
А = —оо	\	Т0 '

Н (со, со) = § Н\ (/> (со) ехр [j со/? (/)—jco/} di,

То/2

запишем (4.8) в виде [40]:

Ф = 7^ f В° Н° Н d9«'	(4-14)

Э—

(О

В случае периодичного (повторяющегося через общий для /?(/) и
£(/) временной интервал То) закона анализа изображения, ком-
плексная амплитуда &-й гармоники выходного сигнала анализатора
определяется выражением

Фь = -А- ( В0(ш)Н0(®)яи®) <&-.	(4.15)

(ZJl) J

э—
со

Поскольку записи (4.14) и (4.15) весьма сходны, будем в дальней-
шем для экономии места использовать лишь ту из них, которая под-
ходит к рассматриваемому случаю.

Вышеприведенные Фурье-преобразования действительно сущест-
вуют, поскольку трансформируемые функции вполне удовлетворяют
условиям Дирихле [61].

При поступательном движении анализатора с учетом |(/) =const,
вводя понятие о ПЧХ закона развертки

оо

D(co, ®) = § ехр [j со/? (/)—j со/] di,

—оо

получим из (4.12)

Н (со, со) = Н* (со) D (со, со).

(4.16)

(4.17)
Последнее выражение наглядно показывает, что в этом случае
подвижный анализатор может быть представлен с помощью двух
последовательно включенных звеньев: неподвижного анализатора
и сканирующего пространственного зонда [с ПЧХ в виде , со)].

В случае периодической развертки соответствующий коэффициент
Фурье определяется выражением

ОО

D (го, го) =2л 2 Dk (®) 6 (®— k —V (4.18)

А=-оо	К	То )

exp [j ©/?(/) — j k— /1 dt,
L	т0 J

полученным из (4.16) при R (/ + ITO) = R(f), где I — целое число.

Запишем теперь выражения пространственно-частотных харак-
теристик нескольких достаточно типичных законов развертки с по-
ступательным перемещением анализатора.

Прежде всего рассмотрим самый простой случай — равномер-
ное и прямолинейное движение, которым в основном обычно и ог-
раничивались в целом ряде работ, касавшихся этого вопроса [3,4,
18] и др. При этом, пользуясь возможностью упрощения выраже-
ний путем переноса и поворота системы координат, будем полагать
движение анализатора происходящим со скоростью v по оси ОХ в
положительном направлении

х5(0=пЛ	(0 = 0.

(4-19)

Здесь (также без потери общности) дополнительно принята нулевой
начальная координата центра анализатора, т. е. 7?(0) = 0.

Подставляя (4.19) в (4.16) и пользуясь известным спектральным
представлением 6-функций, получаем

D (го, го) = 2л6(юх о — го).	(4.20)

Последнее выражение показывает, что в случае прямолинейно-
го и равномерного движения анализатора, ПЧХ закона развертки,
будучи пропорциональна 6-функции, однозначно переводит простран-
ственные частоты по направлению сканирования в соответствующие
временные частоты в масштабе 1/v. Зато другая компонента про-
странственной частоты (в данном случае юу) при этом вовсе не пере-
ходит во временную частоту, т. е. для нее ПЧХ развертки равномер-
на, и каждая гармоника пространственной частоты вносит одинако-
вый вклад в любую гармонику временной частоты на выходе анали-
затора. Результирующее выражение (4.14) при замене переменной
(dxv = co с учетом 6-функции сводится к однократному интегралу
по соу:

30

®w=i f	“«К- <4-21>

ZfJLU J	\ V	J	\ и	]	\ V	/

— 00

При возвратно-поступательном движении анализатора по пря-
мой с постоянной скоростью закон развертки записывается следую-
щим образом:

х(/) =

vt при

—при

( То ,\

о!--—/1 при

у (0=0.

Соответствующая ПЧХ определяется выражением.

го/4

Dk (®ж) = | ехр

-то/4

~T0/i

+ f ехр [—jco^A— +	+

J L	*	\	*o /J

-To/2

которое путем тождественных преобразований можно привести
к конечному виду

Dh Ю =

________2________

<о2 о2— k2 (2я/Т^2

Тр

4

, 2л \ . То (	,2п\ То

С0„1>— k-- S1H ©„О—- COS | <ВЖП — k—— —7-

,	То)	2	То) 2

/ l 2л \	То (	. 2л \ То

(0„Р — k-- COSftbU —2- COS <ВЖО —«-2Г- --

то) х 2	\ х То ) 4

Таким образом, учет обратного хода привел к значительному ус-
ложнению записи и нарушил взаимную однозначность связи про-
странственных и временных частот.
Рассмотрим теперь случай вращательно-поступательного дви-
жения (конического сканирования) анализатора. При этом

/?(/) = 7? = const, %(/) = — /.
Т’о

(4.22)

Подставляя выражения (4.22) с учетом периодичности круговой
2от
развертки в формулу (4.18), вводя переменную % =у —
1 о

Рис. 4.1. Вид частотных коэффициентов кругового сканирования анализато-
ра изображения при различных значениях номера гармоники выходного
сигнала.

используя интегральное представление бесселевой функции перво-
го рода А-го порядка [19]

получим

art)

— л

sin/—&/)] dt,]

(®r, T) = j* exp (— jfcy) Jft (®r R).

(4.23)

(4.24)

Основной сомножитель этой функции Jk (х) изображен на рис. 4.1
при нескольких значениях k. В отличие от прямолинейно-равно-
мерного движения здесь в каждую гармонику выходного сиг-
нала вносит свой вклад целая область пространственных частот.
Вследствие неравномерности движения и криволинейности траек-
тории нарушается простая однозначная связь между пространст-
венным спектром и спектром электрического сигнала. Однако все
же функция Jfe(corj?) имеет резко выраженные максимумы, которые
и определяют основное соответствие частот.

Рассмотрим еще две более сложные разновидности вращательно-
поступательных разверток: спираль и эпициклоиду.
Для первой из них можно записать

R(f) = R

2л , I
sin — t ,

То I

%(t) = n — t.
To

(4-25)

При этом центр анализатора совершает медленные колебания по
радиусу, который с периодом, в п раз меньшим, вращается вокруг
центра развертки. Подставляя (4.25) в (4.18), имеем

’’о/2

ехр р сог R х

“Л,/2

2л , I	/	2л , \	* 2л

sin — t cos у— n— t —k —

To I	\	To J To

t I dt.

Последний интеграл, к сожалению, не выражается в конечном виде.

Эпициклоидальное движение анализатора можно описать выра-
жениями

R (0 = 27? | cos	11 ,

2 То

(4.26)

При этом центр анализатора совершает одновременное движение
по двум окружностям одного и того же радиуса /?, но в противопо-
ложных направлениях и с периодом, отличающимся в п раз (га —
целое число).

ПЧХ этого сложного закона сканирования, полученная в резуль-
тате подстановки (4.26) в (4.18), имеет вид [40]:

го/2

Dk(®r, =	| exp /j (2<or7? х

i O 1	x I

I (n + 1) nt
X COS ——-—

I To

(4.27)

Последнее выражение с помощью тригонометрических преобра-
зований и теоремы свертки в частотной области можно записать че-
рез бесконечную сумму

ОО

Dk(®r, ?) = j*exp (—j&y) 2 Jft-mn(«>r^) J7n(®r^)- (4.28)
in— —OO
Перейдем теперь к анализаторам с вращением вокруг центра.
2л

Полагая вращение равномерным £(/) =—Л можно представить
Го

выражение (4.13) в виде

Л>/2

Я*(®)=7- f

° -V

(4.29)

О

(цля удобства центр вращения помещен в начало координат
/? = 0).

Весовую функцию вращающегося анализатора можно записать
как

x\) = h(r, г) —	.	(4.30)

\	3 то J

Нетрудно показать, что при этом аналогичный поворот в частот-
ной области совершает и ПЧХ анализатора [31:

ЯН0(юг>у) = Я(Х,	(4.31)

\	1 о /

Разложив обобщенную частотную характеристику вращающе-
гося анализатора в ряд Фурье по углу у:

^k(®r. ?)= 2 ^k(®r)exp(j7sy),	(4.32)

k = —оо

ЗТ

= f Hh(a>r, y)exp( — jky)dy (4.33)

2л J

— л

и пользуясь ортогональностью семейства экспоненциальных
функций*

я	< 1

1 р	ч /	• \ j (1 При LI = V,

—	exp(jpy)exp( —jvy)dy=	н	’

2л J	(0 при

— л

получим

tffe (ч. т) = H-k (®г) ехр ( —jky),	(4.34)

Проводя аналогичные преобразования над ПС изображения и
подставляя результаты вместе с (4.34) в формулу (4.15), получаем

оо

Фь = -L f Hh (cor) Eh (cor) cor dar.

2л J

о

(4.35)
С учетом специфики вращающихся анализаторов, представляю-
щих собой, как правило, круглую диафрагму с секторными прозрач-
ными элементами, в ряде случаев оказывается весьма удобным ис-
пользовать частотное представление лишь по углу поворота анали-
затора. Такое «получастотное» представление базируется на следую-
щих основных соотношениях:

Л

= f е(г, Т])ехр(—(4.36)
2л J

— л

л

hk(r) = ~ [ h(r, т])ехр(—jHW	(4.37)

2л J

— л

е(г,т\) = 5 М'ОехрО'Ь]),	(4-38)

k — -00

h(r, т])= 5 hk (г) ехр (jb|).	(4.39)

k — — оо

Подставляя (4.38) и (4.39) в выражение для свертки

Ф(/)= С С e(r, v^hir, 1]—— t\rdrdr\ (4.40)
J J	\	^0 /

0 0

и используя условия ортогональности семейства экспонент с уче-
том (4.30) и (4.7), получаем

Фй = 2л § eh (г) h_k (г) г dr.	(4.41)

о

Выражение (4.41) позволяет особенно просто найти спектр вы-
ходного сигнала, если изображение объекта имеет также секторнс-
радиальную структуру.

Из выражений (4.33), (4.34), (4.37), (4.29)’’-с помощью функции
(4.23) можно получить соотношение, связывающее частотное пред-
ставление вращающихся растров с «получастотным»:

ОО

//ft((or) = 2jtj3* jj hk(r) Jk(ti)rr)rdr,	(4.42)

О

которое дает возможность наиболее удобно находить ПЧХ вращаю-
щихся анализаторов. В качестве примера рассмотрим простейший
122
полудисковый анализатор (см. гл. 7,
которого описывается выражением

, ,	.	[ h„ при г < гт

h (г, n) = I п	т

I 0 при г>гт

рис. 7.1), весовая функция

и

и л < т) < 2л,

где гт — максимальный радиус, ограничивающий поле зрения ана-
лизатора.

Получастотные коэффициенты Фурье этого анализатора в соот-
ветствии с выражением (4.37) имеют вид

, , ч ( hJ\nk

при r<rm,

(4.43)

при г > гт.

Рис. 4 2. Нормированная ПЧХ вращающегося секторного растра при раз-
личных значениях индекса гармоники несущей.

Подставляя формулу (4.43) в (4.42) и используя конечное выра-
жение для интеграла [8] при значении индекса k = 1, соответствую-
щем основной рабочей гармонике сигнала, получаем

(®г) — т hji

Jo (сог гт)
^ггт

Si (сог гт)

 J1 (®r гт)
гт

ЯоКбп)], (4.44)

где S0(z) и Sx(z) — функции Струве соответственно нулевого и пер-
вого порядка [191. Нормированный по nrmhn коэффициент передачи
(4.44) изображен на рис. 4.2. Он имеет явно выраженный максимум
при х » 2,5.

Аналогичные характеристики для многосекторных вращающих-
ся растров (см. гл. 7, рис. 7.1), построенные в другом масштабе для
гармоник несущей частоты при k = п = 3; 6; 9 и 12, изображены
на том же рисунке.

5В*	123
С увеличением разноса частот несущей и огибающей (п) ампли-
туда основного максимума падает, а положение его соответствует
все большим пространственным частотам.

4.3.	ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА АНАЛИЗА
ИЗОБРАЖЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ФОНА

Перейдем к нахождению статистических характеристик выход-
ного сигнала анализатора, совершающего движение по сформиро-
ванному оптической системой в ее фокальной плоскости полю облу-
ченности изображения случайного фона.

Записав интеграл свертки, производимой оптической системой
над полем лучистости фона,

е(р) = 5 b(Po)ho(^)dS7’ Р = Ро + '7	(4-45)

S—
г

и произведя над ним операции, предусмотренные определением
корреляционной функции стационарного поля облученности изоб-
ражения фона

#Лдр) = М [еф(р+др)еф(р)]>	(4-46)

получим выражение для последней

Ке(Ар)=$ $	(4.47)

S- S-
Г1 г2

где Др = р2 — рп Ар0 = Ар — Г! + г2.

Аналогичные соотношения можно записать и для свертки поля
облученности изображения фона, производимой анализатором:

Кф(А/?, А|)= $ $ Ket^h^^h^irJdS^dS^, (4.48)
S- S-

Г1 г2

где	Др = Д^—+ Д£ = £2 —

Соответствующие (4.47) и (4.48) правила отсчета векторных ар-
гументов поясняются рис. 3.4. Теперь можно перейти непосредствен-
но к рассмотрению процесса анализа случайного поля сигналов
^(/?), характеризующегося корреляционной функцией Дф(Д/?,
Д£). С учетом закона развертки R(t) и £(/) эта функция пространст-
венного аргумента может быть представлена как функция времени

Кф(^1, Q =	Ш-Ш]-	(4.49)
Вводя дискретизирующую функцию подвижного анализатора
(4.3), представим последнее выражение в виде свертки корреляцион-
ной функции поля сигналов с парой 6-функций:

Кф (ti, Q = $ $ Кф [	Я1-- в	- I (G) ] X

X 6 [7?2-tf(Q] 6 [₽!-/?&) j dS^dS^. (4.50)

Как видно из последних выражений, даже при соблюдении ста-
ционарности поля сигналов корреляционная функция выходного
сигнала Лф(4, /2) в общем случае нестационарна, поскольку отсутст-
вует пропорциональность между величиной временного интервала
Л/ и соответствующим приращением радиус-вектора А/?. Такого
рода пропорциональность сохраняется^только у некоторых част-
ных видов разверток, отличающихся постоянством скорости движе-
ния по прямой линии или постоянством угловой скорости вращения.
Эти частные случаи представляют собой, однако, достаточно рас-
пространенные и важные для практики виды законов анализа изо-
бражения.

При периодическом движении анализатора корреляционная
функция выходного сигнала имеет периодичность по каждому из
двух аргументов

+ t2 + vT0)	(4.51)

(fx и v — целые числа).

Нестационарная периодическая корреляционная функция мо-
жет быть приведена к стационарному виду с помощью осреднения
по одному из аргументов

т
о

Л-ф(т)=-А-Г	r = t2-t1.	(4.52)

J о J

0

Основанием для такой операции, обычной при рассмотрении про-
хождения модулированного сигнала с шумами через элементы
радиотехнических устройств [41, 42], является то, что «внутрипе-
риодная» нестационарность сигнала не является существенной для
устройств, содержащих достаточно инерционные элементы в после-
дующей части тракта. Наличие звеньев, обладающих постоянными
времени, сравнимыми с величиной периода развертки,' характерно
для систем обнаружения, использующих накопление сигнала. По-
добные звенья в конечном счете сами производят в той или иной сте-
пени осреднение нестационарной корреляционной функции. Учет
этой операции значительно упрощает рассмотрение при пространст-
венном описании и повышает целесообразность применения частот-
ного метода, к которому мы теперь и перейдем. Предварительно от-
метим только, что приведение корреляционной функции к стацио-
нарному виду имеет определенный смысл и в отсутствие периодич-
ности. При этом, однако, необходим дополнительный предельный
переход

Т/2

Кф(т) = Пш2_ f K*(t,x)dt.	(4.53)

7-->оо Т J

—Т/2

Основным соотношением, связывающим частотные и временные
характеристики случайного сигнала, является, как известно, тео-
рема Хинчина—Винера:

00

<3ф(“)= $ Кф(т)ехр( —>т)б/т.	(4.54)

— оо

В случае периодической развертки аналогичное выражение
имеет вид

го/2

= I MT)exP (— ik
То J	к То

(4.55)

0(®) = 2л 2

k — —оо

Общие соотношения типа (4.54)—(4.55) имеют смысл, так как рас-
сматриваемые функции удовлетворяют условиям Дирихле во всех
правильных точках [61].

Подставим в (4.55) выражение (4.53), а в (4.54) выражение (4.52),
используем далее формулу (4.49) или (4.50) и перейдем к ПС слу-
чайного поля сигналов с помощью двумерного обратного соотноше-
ния Хинчина — Винера

ф (ДЯ, Д|) = JL J Оф (со, Д£) ехр (>Д£) d9~,	(4.56)

(О

затем, выразив величину Оф(ю, Д|) через ПС фона, ПЧХ оптики и
неподвижного анализатора с помощью двукратной операции сверт-
ки

Оф(«>, ДО = Оь(ф)|/70((о)|2|Н|(0))|2,

(4.57)
получим в конце концов основные вероятностные соотношения ана-
лиза изображения в частотном описании [40]:

Оф (со) = J 'Gb (>) | Яо/ со) |21 Я (со, со ) I2 dd-. (4.58)

В случае периодического движения анализатора соответственно
имеем

Gft==iJ Сь(«)|Я0(й)|2|Яй(й)|2й!Э-.	(4.59)

В этих выражениях
772	_	_	_

| Я (со, со) |2 = limI С | Яд| (со) |2exp {— j [со ДТ? (/х,/2) —
T->oo 1 J J

—Т/2

со (/2 Ч)]} dt-^dt2i
то/2

|^(®)|2=^г JJ I'M
° -Го/2

X exp (j Г со ДТ? (tlt Q — k	(/2-

I L	•< о

(4.60)

(4-61)

dtx dt^

имеют смысл квадратов модулей ПЧХ подвижного анализатора (4.12)
и (4.13).

Применительно к анализаторам с поступательным движением
(4.60) можно записать

| Я (со, со) р = | Я (со) |2 D (со, со) |2,

(4.62)

Т/2

| D (со, со) |2= lira 4- f f exp {[/co Д 7?(т, t)—сот]} dxdt, x = t2— tx.

T-+<x> T JJ

- T/2

(4.63)

С учетом периодичности

т°/2

|£>л(®) l2= yr JJ ех₽ {/[йдя^,^)—

-TJ2

-k^-^-t^dtrdt,.	(4.64)

о
Для анализаторов с вращением вокруг центра из выражения
(4.61) имеем

Л/2

- V2

X ехр —j&-^-(£2—/х) dt-idt.
L То J

2*

(4.65)

Запишем соответствующие выражения для основных из рас-
смотренных в предыдущем параграфе типов анализаторов.

При равномерно-прямолинейном движении по оси ОХ из (4.63)
и (4.19) имеем

| D (со, со) |2 = 4л2 6 (сож v — со).

(4.66)

Таким образом, для этого простейшего вида развертки выраже-
ние квадрата модуля ее ПЧХ совпало с самой ПЧХ (4.20) (с точ-
ностью до множителя 2л).

Раскрывая выражения (4.58) с учетом соху = со, получаем

оо

<?ф(®)= J

—оо

X |яо^;(0^|2|я^;<0^р(0,,

(4.67)

т. е. решение свелось к однократному интегрированию по со^.

При круговом сканировании на основании выражений (4.64) и
(4.24) получим

|Dft(co) |I 2 = J*(cor7?).	(4.68)

При эпициклоидальной развертке из (4.64) и (4.28) запишем

IDk(<ог,у)|2 = 2	2 j("~1)('”-/)exp[jy(n— 1)(/п — 01 X

т=—оо I——оо

X Sk+mn (cor R) Jm (cor R) Jk-in (®r R) jz (®r R).	(4.69)

Вернемся теперь к анализаторам с вращением вокруг центра.
Из выражений (4.34) и (4.65) с учетом

следует, что

H-k (®r) = H*k (<ог)

|7fft(cor,Y)|2 = |/7ft4)l2.

(4.70)

(4-71)
Таким образом, в этом случае не требуется использовать фазо-
вый множитель обобщенной ПЧХ подвижного анализатора. При
изотропном фоне и центрально-симметричной оптике это обстоя-
тельство существенно упрощает определение спектра дисперсий вы-
ходного сигнала, позволяя ограничиться интегрированием по од-
ной переменной сог:

оо

Gh = ± f Gb (шг) Н2О (®r) I Hk (<ог) |2 <or do,..	(4.72)

2л J

0

Для получения квадрата модуля амплитудного множителя ПЧХ
на основании (4.42) можно записать

I нк (<°r) I2 = Ц hh (rx) hh (r2) /1 r2 Jft (<or /,) Jft	r2) drx dr2.	(4.73)

0

Последние интегралы, хотя, как правило, и не имеют выраже-
ний в конечном виде, но в силу простоты записи hh(r) легко нахо-
дятся численным интегрированием.

В заключение изложим методические соображения о критериях
оценки характеристик пространственной фильтрации подвижных
анализаторов изображения. Если в ОПФ и ППФ обработка сигна-
ла и, в частности фильтрация, сосредоточена в пространственной
области, то при рассмотрении конкретных типов анализаторов изо-
бражения нельзя не учитывать того, что операции помехоподавле-
ния (в частности дифференцирование сигнала) могут осуществлять-
ся вне анализатора, при вторичной обработке сигнала — функции
времени в усилительном тракте. При этом в зависимости от харак-
теристик усилительного тракта будут меняться конечные показате-
ли помехозащищенности, о которых речь шла в гл. 2 (вероятностные
характеристики обнаружения). Такое положение создает извест-
ные трудности оценки характеристик пространственной фильтра-
ции на выходе анализатора изображения, ввиду невозможности ис-
пользования окончательных критериев после одной лишь первич-
ной обработки. Величина отношения сигнал/помеха q = [^(О^тах/о'ф
может оказаться недостаточно показательной, поскольку в процессе
последующей обработки может использоваться лишь часть полез-
ного и мешающего сигналов при разном их .отношении.

Подробное рассмотрение реальных схем электронных, блоков и
особенностей их выполнения не входит в задачи настоящей работы,
чтобы не утерять возможности выявления основных закономернос-
тей. Поэтому будем ориентироваться на оптимальную обработку
сигнала в усилительном тракте. Этим будут созданы наиболее объек-
тивные условия для сравнения различных анализаторов изображе-
ния и обеспечена возможность сопоставления их характеристик с
идентичными характеристиками ОПФ и ППФ. При этом мы факти-
чески будем пользоваться конечным критерием, так как отношение
сигнал/помеха на выходе оптимального линейного электрического
фильтра однозначно определяет вероятностные характеристики об-
наружения.

Оптимальный (по принятым нами критериям) электрический
фильтр (ОЭФ) является линейным при нормальном законе распреде-
ления помехи на выходе анализатора. Если полагать (как это дела-
лось выше) закон распределения на входе нормальным, то благода-
ря линейности операций пространственной свертки оптической си-
стемы и анализатора изображения закон распределения на выходе
также будет нормальным. Таким образом, условия, при которых
линейный ОЭФ является абсолютно оптимальным, здесь соблюде-
ны. Отношение сигнал/помеха на выходе ОЭФ, как известно, опре-
деляется выражением [16]:

<?== f |Ф((0) |2 d(n	(4.74)

J Оф (®)

—оо
или, с учетом периодичности сигнала,

При таком подходе используются те выражения и Gk, мето-
дика получения которых была изложена выше. Суммирование бес-
конечного числа гармоник (или интегрирование по всему диапазону
частот) может, однако, оказаться довольно громоздкой операцией.
Поэтому при сравнении однотипных схем, когда и промежуточные
критерии достаточно показательны, будем пользоваться более про-
стыми соотношениями, суммируя отношение (4.75) в пределах основ-
ного рабочего диапазона частот или (при примерно одинаковой ши-
рине этого диапазона у сравниваемых схем) по величине этого отно-
шения для центральной рабочей гармоники |ФП|2/СЛ. При этом
подразумеваем структурные схемы устройства обнаружения, изо-
браженные на рис. 4.3. В первой схеме (рис. 4.3, а) вторичная обра-
ботка сигнала осуществляется в следующих основных элементах:
усилителе несущей УН, детекторе Д, усилителе огибающей УО,
демодуляторе Дем и фильтре постоянного тока Ф; во второй
(рис. 4.3, б) — в импульсном усилителе У И, амплитудном дискри-
минаторе АД, селекторах С по длительности и периоду импульсов,
а также в накопителе импульсов Нак. При оптимальной вторичной
обработке все эти элементы заменяются ОЭФ.

Определенную роль во вторичной обработке в первых двух ти-
пах схем может играть фотоприемник ФП, обладающий инерцион-
ными свойствами, поэтому он представлен на схеме самостоятельным
элементом, вынесенным из состава анализатора изображения АН.
130
В идеализированной структурной схеме рис. 4.3, в он не выделен в
самостоятельный функциональный элемент для сохранения боль-
шей общности рассмотрения. Во всех схемах для принятия окон-
чательного решения об обнаружении объекта используется реле
захвата РЗ.

Выбор рабочего диапазона частот, строго говоря, требует ис-
пользования частотной характеристики ОЭФ

Оф (со)

с последующим ее упрощением (сведением к центральной гармони-
ке или к нескольким гармоническим компонентам, дающим наиболь-
ший вклад в сумму локальных отношений сигнал/помеха (4.75).

Рис. 4.3. Типичные блок-схемы первичной и вторичной обработки информации!
а — для схем с непрерывной модуляцией сигнала, б—для схем с импульсной модуля-
цией; в—для схем оптимальной вторичной обработки сигнала (ОЭФ)

К этому вопросу можно подойти еще и с другой стороны, если
иметь в виду задачу синтеза помехозащищенных приемных уст-
ройств, состоящих из подвижного анализатора изображения и элект-
рического фильтра. Подобное устройство должно приближаться по
своим характеристикам к дискретному ППФ. Длят этого требуется,
чтобы оно представляло собой динамический эквивалент статичного
ППФ, реализующего конечные разности не ниже второго порядка
по нескольким направлениям.

Вопрос о пространственной эквивалентности приемного устрой-
ства со структурной схемой, показанной на рис. 4.3, в, и дискрет-
ного ППФ сам по себе заслуживает более подробного освещения.
Выше было показано, что однозначная связь между временными
и пространственными частотами имеет место только при равномерно-
прямолинейном движении анализатора и распространяется только
на компоненту пространственной частоты, соответствующую направ
лению сканирования.
Примем во внимание, что

ну (ю)=ивт. (ау&вх (®); Ц.х (®)=sa ф (со),
и на основании (4.21) запиш(ем

^выхИ = |^ С	(4-77)

2tcv J \ v /	\ v /

я; (Но (;«,)«•( f “«<“)

соответствУет ПХЧ эквивале!НТНОГО ППФ Hs(®x,coy), в котором
звено с ПЧХ Яа(сох) должнсР играть роль дифференциатора. В

Рис. 4.4. Пространственные эквивал<£НТЬ1 простейших подвижных анализаторов.

частное™, если частотная ха)РактеРис™ка электрического фильт-
ра имеет вид Hv(a) = Hva\ т/'° эквивалентный пространственный
дифференциатор второго поря#^ка (по оси ОХ) описывается ПЧХ
Н (а } —Ну а>2х о2.

jaxK(9e соответствие имеет с^^ьтсл для систем с большим размахом
сканирования (широкопольных импульсных схем).

В случае неравномерного й1-™ криволинейного движения ана-
лизатора установить эквивалентность существенно труднее. Поме-
хоподанляюш'ее звено здесь мо/жно сформировать, придавая сосед-
ним элементам разную полярно<лтьоза счет использования таких гар-
моник сигнала, пространствен#1™ период которых соответствует
межэлеМентномУ интервалу. Т^к> при равномерном возвратно-по-
ступатеЛЬН0М движении (по оси ОХ) с амплитудой колебании гт =
J г вьщеляя в усилителе первую гармонику с фазировкой, по-
казанной на Рис- 4.4, а, можнсР приближенно реализовать вторую
конечную разность.
Выделяя вторую гармонику с той же фазировкой при вдвое боль-
шем размахе отклонений анализатора (рис. 4.4, б), можно сформи-
ровать алгоритм, близкий к разности 4-го порядка. При гармони-
ческих колебаниях того же размаха из-за неравномерности движения
жвивалентные веса периферийных элементов снизятся и окажутся
ближе к соответствующим ППФ (пунктирные кривые на рис. 4.4).
Весовые коэффициенты элементов в этих примерах мы связывали
с объемом пространственных импульсов, расположенных на месте
данного элемента.

Рис. 4.5. Пространственный эквивалент 7-элементного анализатора с круго-
вой разверткой.

Конечные разности по трем осям, развернутым на 120°, можно
сформировать с помощью изотропных разверток: круговой при
ссмиэлементном анализаторе (рис. 4.5, а) и эпициклоидальной при
одноэлементном анализаторе с использованием в обоих случаях
сигнала несущей.

Эквивалентный пространственный алгоритм, осредненный по
фазовому углу в центральной (рабочей) части поля зрения, полу-
чается здесь близким к конечным разностям 4-го порядка. Ориен-
। провочный его вид нетрудно получить графической суперпозицией
эквивалентных пространственных весовых функций электронного
|ракта (рис. 4.5, б) для отдельных элементов.

Вообще говоря, выбор частотной характеристики ОЭФ должен
производиться с учетом внутренних шумов приемника и предусили-
1сля, имеющих спектр Ош(со).

Ввиду взаимной некоррелированности внутренних шумов и
внешних помех совместный учет этих двух возмущающих воздейст-
вий не вызывает принципиальных затруднений, но существенно ус-
ложняет рассмотрение. Во избежание загромождения рассмотрения
по-прежнему ограничимся случаем превалирования фоновой помехи.
Учет шумов фотоприемника даже при малой их доле в суммарном
мешающем сигнале на входе ОЭФ позволяет избежать чрезмерного
снижения пороговой чувствительности как платы за улучшение по-
мехозащищенности системы, т. е. не позволяет разрешать противо-
речия между этими двумя важнейшими показателями путем силь-
ного «загрубления» прибора. Схемы вторичной обработки сигнала
(рис. 4.4, а, б) при рациональном выборе параметров, как известно
[16], могут сравнительно близко подойти по своим характеристикам
к ОЭФ (особенно схема рис. 4.4, а при непрерывной модуляции).

Изложенный подход к рассмотрению различных схем первичной
обработки информации при оптимальной вторичной обработке яв-
ляется одним из основных способов инженерного синтеза систем,
позволяющим достаточно просто путем раздельной оптимизации
двух разнородных частей устройства (при условии правильного уче*
та их взаимосвязи) приблизиться в реальных схемах к характерис-
тикам ППФ. Оптимизация анализатора изображения при этом про-
изводится в результате сравнительной оценки вариантов схем, со-
поставления с характеристиками ППФ, выбора наиболее целесооб-
разных вариантов схемы и рациональных значений параметров.
ГЛАВА 5

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
АНАЛИЗАТОРОВ ИЗОБРАЖЕНИЯ

С РАВНОМЕРНО-ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ДВИЖЕНИЕМ

5.1. ПОЛЕЗНЫЙ СИГНАЛ НА ВЫХОДЕ ОДНОЭЛЕМЕНТНОГО
АНАЛИЗАТОРА С РАВНОМЕРНО-ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ДВИЖЕНИЕМ

Сканирование с постоянной скоростью по бесконечной прямой,
имеющее, следовательно, неограниченно большой период повто-
рения, строго говоря, не является характерным для обзорно-поиско-
вых устройств пеленгации. Однако, учитывая конкретные соотно-
шения параметров, целый ряд видов оптико-электронных систем
можно приближенно рассмотреть с принятием подобного закона
анализа изображения. К ним относятся широкопольные обзорные
устройства со значительной длительностью кадра, для которых
основной смысл представляет обнаружение на первом цикле раз-
вертки; некоторые устройства с высоким разрешением и большой
скважностью сигнала, содержащие специальные оптико-механиче-
ские узлы развертки, которые позволяют осуществить равномерное
движение без обратного хода (например, с помощью многогранной
зеркальной пирамиды); наконец, внеосевые вращающиеся растры
с достаточно большим радиусом, при котором кривизной траектории
развертки в пределах поля зрения можно пренебречь. Простота
описания такого типа развертки, свойственная ей однозначность
связи пространственных и временных соотношений, позволяют мето-
дически наиболее наглядным образом проанализировать влияние
всех основных факторов на характеристики подвижного простран-
ственного анализатора. Приведенные соображения вполне оправды-
вают первоочередность обращения к этому уже описывавшемуся
в некоторых работах [3, 4 и 18 и других] «базовому» классу ана-
лизаторов.

Следуя методике, принятой нами выше при 'анализе характе-
ристик ОПФ и ППФ, примем ПС объекта, а также ПЧХ оптической
системы и приемника в виде двумерных гауссоид (1.26)1, (3.19)
й (3.25):

1 С учетом фазового множителя, обусловленного смещением объек-
та на величину относительно центра анализатора.
/	W X XC	У с \

Bo(&x,<dy) = 2nboxcycexp I-----------v— exp ( —	y&),

\ " " /

(2 2

9 2

%УО

2

(	2 2	2 2

x0^y0 = ro/V2.

Используя ПЧХ равномерно-прямолинейной развертки (4.20)
и соответствующее ей выражение для спектра сигнала (4.21), с уче-
том «сепарабельности» принятых характеристик, получаем

Ф (со) — й0 hn b0 хе уе хп уп ехр Г	—— (хс -j-~ хо -j- хп) X

v	L 2у2

2

(у2с + У О + г/п) ехр( — ]ti>vy^d(i)y.

(5.1)

Введем обозначения:

^ОХ •^о/'ХС»	Уо1Ус>

^ПХ	^пу Уп/Ус’

X-mJ'^с>	“ У&1Ус>

v = 2xmlTQ,

и запишем интеграл (5.1) в конечном виде с помощью выраже-
ния [8]:

J ехр( — Az2 + Bz)dz =V XexpJT’
—оо

ф (®) - ]/ у b0 h0 hn хе ус knx kny~ ехр (-

Г 2	km \	l + feoz + ^

Уг + koy + kny

(5.2)

Здесь 2хт — размер поля обзора; km — величина его отношения к
размеру объекта вдоль линии сканирования; То — время обзора.
136
Из выражения (5.2) видно, что спектр сигнала падает по
экспоненте с ростом частоты со, причем крутизна спада резко
увеличивается с возрастанием величины У1 + k^x.

При условии центральной симметрии объекта и оптической
системы (хс = ус = гс/1^2; х0 = у0 = г0/У 2) и при согласовании раз-
меров приемника по оси ОХ с размерами пятна рассеивания

(^ox = ^nx = ^x//2)> Обозначая: Ф (со) =/0 Фн (со) и

X hohnborc, из (5.2) будем иметь

фн (ю)=2k	_ х

km 2/2У1 + й2 + ^

X exp

!+ йо + *од

8

(5-3)

В случае малоразмерного (по сравнению с элементом разре-
шения системы) объекта, когда k0 » 1, knx » 1, kny » 1, при условии
полной центральной симметрии схемы и при согласовании разме-
ров приемника и пятна рассеивания не только по направлению
сканирования, но также и по оси OY(knx = кпу = k0 = &э/]/2) по-
лучим из (5.3) приближенное выражение

Фн (со)« а ехр

I ехр (— 2а2 со2);
ka >

(5.4)

где

а = 2о А.

4 km

Полагая величину То, превышающей длительность импульса
настолько, что разница между непрерывным спектром реального
сигнала и дискретным спектром гипотетического сигнала, повто-
ряющегося с периодом То и совпадающего с действительным сигна-
лом в пределах поля обзора, становится малосущественной, можно
рассматривать полученный спектр Ф (со) как огибающую спект-
ральных коэффициентов	Таким образом переходим

к условно повторяющейся развертке, которая отличается от дей-
ствительной только тем, что многократно проходит одно и то же
поле обзора, как бы повторяющееся на ее пути с пространственным
периодом 2хт. Величина kmlkQ при этом играет роль скважности
сигнала.
На рис. 5.1 показан спектр сигнала (5.4) при различных значе-
ниях параметра а. В случае удлиненной по оси OY формы прием-
ника ординаты спектра (5.3) несколько возрастают за счет умень-
шения доли потерь сигнала на краях фотоприемника. Пока мы

рассматриваем
_ Н

ом

0,03

цог

0,01

случай, когда объект сцентрирован с приемником
пр оси OY. При этом, естествен-

О 5	10	15 к

Рис. 5.1. Спектр сигнала на выходе
прямолинейно и равномерно движу-
щегося анализатора.

но, получаем максимальное зна-
чение сигнала.

Рис. 5.2. Коэффициент размерной
селективности анализатора (рис.

5.6, а).

Найдем теперь зависимость амплитуды сигнала от величины
рассогласования объекта и анализатора. Форма импульса опреде-
ляется обратным преобразованием Фурье от его спектра

Ф(0 =

у- J Ф (со) ехр (jco/) d®.

(5-5)

Подставляя в (5.5) спектр (5.4) с учетом нормирующего множи-
теля, с помощью использованного в (5.2) выражения для интегра-
ла, получим простую формулу, описывающую форму импульса

,	fo	/	\	/ I2 \	/Е С\

ехр(------__ ехр —— ,	(5.6)

2/2л \ ks /	\	2а2- J

из которой видно, что зависимость амплитуды импульса от норми-
рованной величины смещения объекта имеет вид гауссоиды с по-
казателем, определяющимся отношением величины рассогласова-
ния к эквивалент нежу размеру элемента разрешения.

При &д = kJ У 2 амплитуда падает почти на порядок, а при
6д = k9 она составляет около 1,5% от максимальной величины
138
(это значение #д практически можно считать краем поля зрения
анализатора).

Построим теперь характеристику размерной селективности рас-
сматриваемого анализатора. Воспользуемся для этого выражением
(5.3), приведя его к центрально-симметричному виду по обеим осям
при £д = 0. Так как [ф (t) ]таж = ф (0), то интегрируя выражение
<D (со) по всем частотам, получим зависимость амплитуды импульса
от \lkg = kB — rBlrg.

—со

da)

fo 1
2У2л l+fe2

(5-7)

На рис. 5.2 изображена эта зависимость, пронормированная по
величине /0/,2‘рЛ2зт, соответствующей амплитуде импульса от точеч-
ного источника. Полученная характеристика отличается от ана-
логичной характеристики ППФ, рассмотренной в гл. 3 (рис. 3.11),
более пологим спадом, что обусловлено отсутствием пространствен-
ного дифференцирования.

5.2.	МЕШАЮЩИЙ СИГНАЛ ОТ ФОНА С РАЗЛИЧНЫМИ ВИДАМИ ПС

Перейдем теперь к рассмотрению вероятностных характеристик
мешающего сигнала от случайного фона на выходе равномерно-
прямолинейно сканирующего анализатора.

Спектр дисперсий на выходе определяется в этом случае выра-
жением (4.67). Подставив в него принятые ПЧХ оптической си-
стемы и приемника и взяв в качестве первого примера кубично-
гиперболический ПС фона (1.40)

„ Ч _	^У*°ь

получим

Оф (со)=4л2 Gb h2 h2 -*п^п Хф z/ф ехр

4(^+^)]х

V2	J

X J[l +4^- + 4^]"3'%*Р [-4(4+4)] <4;	(5.8)

—оо

Для случая центральной симметрии оптики (х0 = у0 = г0/У 2)
и изотропного фона (Хф = с/ф = Гф/}72)) вводя обозначения
139
кь~Уп1Уо’ kd = xjxo, km0 = xm/x0, ^фо = гф/го и полагая сигнал
квазипериодическим» <a = k— , v — m0 х0 будем иметь

То То

Gh = G* ( k — 'j = g0 -5s. kb ka(l + kb)

A Ф \ т /	so fr	<

\ 1 о /	«то	Яф 0

X exp — л2 k2

ь2 J

«mo J о

3/2exp^—dy, (5.9)

где дополнительно обозначено:

So — — ho hn (5b ro> У — ^y rо j/” 1 ~F kb ,

2

(5.10)

Интеграл в формуле (5.9) находится численно. Результаты рас-
четов представлены на рис. 5.3 в виде нормированных по gQ зна-
чений Gk* Как видно из рисунков, спектральная интенсивность
быстро уменьшается с повышением частоты (ростом числа k).
Усиление корреляции фона (рост величины 0) заметно снижает
уровни гармоник спектра. Изменение параметров анализатора,
определяющих размеры поля обзора и мгновенного поля вдоль на-
правления сканирования (по оси OX) km0 и kd, проявляется более
резко, чем «поперечного» параметра kb. Изменение величин kd и
kmo не только сильно влияет на общую интенсивность, но и суще-
ственно сказывается на перераспределении мощности по частотам.
Уменьшение kd и, особенно увеличение kmQ повышают роль высоко-
частотной части спектра, что связано с ростом скважности сигнала.
Этим и обусловлено наличие максимума при kd « 1.

Проанализируем теперь влияние вида ПС дисперсий фона на
величину Gnk\ в частности, используя квадратично-гиперболи-
ческий спектр (1.47), оценим, как сказывается снижение крутизны
спада ПС фона на 20 дб\

п	2шФа*

(ч*) — 1 . 2 2-
1 т0)г Гф

Подставляя это выражение в (4.67) совместно с (3.19), (3.27) и

вводя величину и = со^ г0, аналогично предыдущему случаю полу-
чаем

Ск = go kl kd kl о ехр
«то

я2 ^(1+fe<

2 С>
Воспользуемся теперь выражением (3.466.1) для подобного ин-
теграла, приведенным в работе [8], и представим формулу для G1
в конечном виде

г _ л
Gfe — — go

kb о

^тоН-"2 *2 *фо

Л2

— k*
2

h2

1+л2&24^

4 о

х 1—ф

1+4

1^**0

k2
о

k2

кт о

где Ф (г) —интеграл вероятностей [19].

Рис. 5.3. Нормированная дисперсия k-й гармоники помехи анализатора
(рис. 5.6, а) при изменении относительной ширины площадки анализатора (а);
относительной величины поля обзора (б); для различных гармоник сигнала
(в); при изменении относительной длины площадки анализатора (г) и отно-
сительной величины радиуса корреляции фона (д).
Результаты расчетов величины Gk (5.11) показывают, что
влияние большинства параметров здесь весьма сходно с предыду-
щим примером. Относительная величина радиуса корреляции,
однако, в этом случае почти не сказывается на Gf, что обуслов-
лено отличиями вида ПС (большим содержанием высокочастотных
компонент). По той же причине соответствующие значения спект-
ральных коэффициентов в последнем случае (рис. 5.4) значительно

Рис. 5.4. Дисперсия k-й гармоники помехи
при квадратично-гиперболическом прост-
ранственном спектре фона.

выше, чем при более круто падающем кубично-гиперболическом ПС
фона (рис. 5.3, в). Этот результат дополнительно подчеркивает
критичность вида ПС фона.

Обратимся теперь, как мы уже это делали выше в гл. 2 и 3,
к «сепарабельному» ПС фона (1.53), обладающему в бисекторных
плоскостях еще более крутым спадом, чем кубично-гиперболиче-
ский ПС:



М хфУф

(1 + 2^4) (1+2^4)-

(5.12)

Проанализируем дополнительно влияние анизотропии фона
(^фх ~ -^ф /^*о> ^фУ ~ Уф/^*о)’
142
На основании выражений (4.67), (1.53), (3.19) и (3.25), а также
(3.466.1) из работы [8] можно получить

Gh = 2]/2g0

kb kd кфх

— ехр
km о

ехр |	[1-ф (

k2

1+2Л2 &2—

о

(5.13)

Рис. 5.5. Дисперсия k-и гармоники помехи от фона с ПС, соот-
ветствующим двухуровневой модели:

а —зависимость от относительной величины поля обзора; б—влияние
отношения интервалов корреляции по двум ортогональным осям анизот-
ропного фона.

Численные результаты (рис. 5.5) подтверждают ожидаемое улуч-
шение характеристик по сравнению с рассмотренными ранее спект-
рами (за счет повышения крутизны спада ПС) и сходное влияние
основных параметров. Анизотропия фона k^lk^y =f= 1 (при равных
средних радиусах корреляции) также благоприятно сказывается
на уменьшении величин Gk, если только большие интервалы кор-
реляции соответствуют направлению сканирования, а меньшие —
ортогональному направлению. В противном случае будет иметь
место обратный эффект. Влияние радиуса корреляции здесь прояв-
ляется еще более сильно, чем в случае кубично-гиперболического
ПС.
5.3.	ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСТРОВОГО АНАЛИЗАТОРА

Рассмотрим теперь при том же законе анализа многоэлементный
анализатор, элементы которого, вытянутые перпендикулярно
направлению развертки, чередуясь с промежутками, образуют
своего рода «полосчатый» растр, напоминающий по виду «забор»
(рис. 5.6, б).

Анализатор такого типа может быть выполнен несколькими
способами, например с помощью диафрагмы, имеющей набор па-
раллельных щелей и наложенной на широкий чувствительный

Рис. 5. 6. Анализаторы изображения с равномерным движением по прямой:
а — одноканальный с вытянутой площадкой; б —многоэлементный растровый; в—много-
канальный одностолбцовый.

слой, или с помощью подслойного растра фотоприемника. Как
уже отмечалось, в качестве такого анализатора можно приближен-
но рассматривать также и внеосевой секторный вращающийся
растр, когда его рабочий радиус велик по сравнению с размером
поля зрения. В последнем случае анализатор занимает сразу все
поле зрения.

Для широкопольных систем «забор» может заполнять малую
часть общего поля, давая сигнал в виде радиоимпульса большой
скважности. В работе [3] равномерно сканирующий «полосчатый»
растр сравнивается с растром, имеющим вид «шахматной доски».
С учетом численных коррективов [66] видно, что при изотропном
фоне с кубично-гиперболическим ПС «шахматный» растр обеспечи-
вает в среднем по полю примерно 16%-ный выигрыш в величине
отношения сигнал/помеха. Рассмотрим этот вид анализатора,
главным образом, из методических соображений и сопоставим его
характеристики с одиночным импульсным анализатором (рис.5. 6, а),
которому было посвящено начало данного параграфа, а также
144
с многоэлементным анализатором в виде «столбца» фоточувстви-
тельных площадок, имеющих автономные каналы усиления
(рис. 5, 6, в). При этом удобно принять весовую функцию каждой
полосы многоэлементного анализатора по виду такой же, как одно-
элементного, получая ПЧХ соседних элементов с помощью теоремы
сдвига, а общую пространственно-частотную характеристику всего
анализатора —суперпозицией характеристик элементов [51].

При симметричном относительно начала координат расположе-
нии элементов с периодом 4хп, Н’я пара одноименных элементов,
размещенных по разные стороны от центра анализатора, будет
иметь дополнительный фазовый множитель ПЧХ вида

Фи	= ехр [—jcoK 2хп (2р — 1)] + ехр [j<ox 2хп (2р — 1 )1 =

= 2cos[(ox2xn(2p— 1)].	(5-14)

В соответствии с принципом суперпозиции

т.

Hs(a>x, 6iy) = Н° (ах, ©j,) 2 Фм(®Л	(5.15)

|Л=1

где Н° (® х, 03 у) — ПЧХ элемента при центральном его располо-
жении.

Последовательности фазовых множителей левых и правых эле-
ментов пар образуют геометрические прогрессии с начальными чле-
нами ехр (± j® х 2хп) и знаменателями ехр (± jcox 4хп). Сумма
членов обеих прогрессий, каждую из которых легко найти по извест-
ной формуле, после некоторых преобразований приобретает вид

т

U=1

sin 2m 2хп

sin 2хп

(5.16)

При подстановке в выражение типа (4.21) под воздействием
6-функции ПЧХ развертки, выражение (5.16) выходит из-под интег-
рала и может быть представлено в виде

sin 2 mcoTo -—

___________

sin СОТо -г—

(5-17)

Раскрывая неопределенности вида 0/0 по правилу Лопиталя,
легко получить ак = 2 т.

Дополнительный множитель ak в формулах (5.1)—(5.4) обуслов-
ливает группирование наиболее весомых гармоник сигнала вблизи
несущей частоты &н, что позволяет придать электрическому фильтру
острорезонансные свойства и тем самым осуществить накопление
сигнала.

6 Зак. 1490

145
Зависимость множителя ak от номера гармоники сигнала k
и кратности несущей 2т изображена на рис. 5.7. Она хорошо иллю-
стрирует сказанное выше.

Учитывая в (4.21) выражение (5.17) при условии центральной
симметрии оптики, а также при условии согласования ширины

жителя ПЧХ растрового анализатора от
номера гармоники сигнала.

элемента анализатора и пятна рассеивания (&пх = kox = k9X/ 1/2),
получаем выражение

Ф (®) = f0------Г°......- X-sin(/^(0/Lo/fem k™) X

4km kBX 1 + k?x sin (<o7'0/yr2 km kax)

x exp

<o2Tg(l+4T

^ях

(5.18)

записанное через &их = 1/^эх = хи/хэ ради удобства анализа размер-
ной селективности.

Амплитудное значение сигнала определяется интегрированием
выражения (5.18) по всей шкале частот; этот интеграл в отличие от
(5.7) не выражается в конечном виде. Однако, если принять во вни-
мание, что ПЧХ растрового анализатора имеет два явно выражен-
ных узкополосных пика около нулевой и несущей частоты, причем
первый из них для обеспечения помехозащищенности глубоко по-
146
давляется в усилительном тракте, можно производить приближен-

ную оценку размерной селективности данного вида анализатора,
пользуясь лишь амплитудой второго максимума. Из отношения
Тп = 4хп/о, определяющего период несущей частоты, нетрудно

найти номер ее гармоники ka = kmiy2kgx. Величина ая = а (®н =
= ku после раскрытия неопределенности оказывается равной
То/'

2 т. При этом амплитуда сигнала
несущей частоты на выходе анализа-
тора, получаемая из выражения (5.18)
2л km

с учетом	, может

/2 Wo

быть представлена в виде

До

4&т	1

Фн

ехрГ-^(1 + ^)]

L 4	J

(5.19у

Как видно из этого выражения,

Рис. 5.8. Коэффициент размер-
ной селективности прямолиней-
но движущегося растра.

при заданном размере элемента раз-
решения, амплитуда несущей в дан-
ном случае зависит не только от

размера модели Лих, но и от величи-

ны поля обзора km.

Относя (5.19) к амплитуде сигнала несущей от точечного источ-
ника (&их = 0), получим выражение для коэффициента размерной

селективности

\	4 их



Эта характеристика представлена на рис. 5.8, от аналогичной
кривой одноэлементного анализатора (рис. 5.2) она отличается
более крутым спадом, что обусловлено острой «настройкой» растра
на точечные источники излучения.

Перейдем теперь к рассмотрению воздействия случайного фона
на равномерно и прямолинейно движущийся «полосчатый» растр
применительно к наиболее неблагоприятному ПС фона (1.47).

Квадрат модуля ПЧХ многоэлементного анализатора с учетом
полученных выше выражений имеет вид

I (®ж. ©„) |2 = | Н° (®ж, со,) |2 а1^х).	(5.20)

После подстановки его в (4.67) и введения условий симметрии
и согласования (как при выводе выражения (5.12)) получим

6*	147
GIT

kmo

exp

Y 1 i u “фо
sin 2/n 2a |2 i
sin 2a

a*kda\

—— I exp

V k*

Ьэ

Ob2

12йфо

1Л 4. az kl
/2*ф/ 1+° **’

(5.21)



a ~ Я ---- > ^Ьэ — 1 + k2b , kd^ = V" 1 + ka.

кт о

Величина a^(cox), вошедшая в (5.21) дополнительно по сравне-
нию с (5.12), обусловливает усиленное помехоподавление; однако
помеха на входе тоже растет за счет большей площади мгновенного
поля зрения.

Рис* 5.9. Дисперсия помехи несущей частоты растрового анализатора:
а —при ширине элементов, согласованной с размером пятна рассеивания; б —при несог-
ласованной ширине элементов.

Дискретный спектр G* (5.21), как следует из рис. 5.7, имеет
явно выраженный второй главный максимум около несущей частоты
=	первый главный максимум соответствует по-

стоянному сигналу.

На рис. 5.9 изображена величина G„ нормированной диспер-
сии помехи на несущей частоте (kE — kmo/V2kd9) для растрового
анализатора при квадратично-гиперболическом ПС фона, получен-
ная в зависимости от числа полос растра 2т при различных значе-
ниях относительной ширины полосы kd. Вследствие расширения
поля зрения при возрастании числа элементов растра помеха на
несущей частоте увеличивается. Однако необходимо учитывать,
что при этом одновременно сужается полоса пропускания растра.

При оптимальной вторичной обработке сигнала, если не при-
нимать во внимание шумов фотоприемника, результирующее отно-
шение сигнал/помеха оказывается одинаковым для вариантов ана-
лизаторов, изображенных на рис. 5.6, а, б, поскольку множитель
ак (рис. 5.7), учитывающий наличие растра, одинаково входит и
в числитель и в знаменатель (4.75). Это является следствием равно-
148
мерного прямолинейного движения и разделения переменных, так
как при этих условиях ОЭФ может содержать полностью эквива-
лентное растру звено вторичной обработки сигнала.

5.4.	ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГОКАНАЛЬНОГО «СТОЛБЦОВОГО»
АНАЛИЗАТОРА. СРЕДНЯЯ ПО ПОЛЮ ВЕЛИЧИНА СИГНАЛА

Получим еще характеристики многоэлементного анализатора
в виде «столбца» чувствительных площадок (рис. 5.6, в). Этот анали-
затор в отличие от растрового предусматривает использование
автономных каналов усиления и рассчитан на обеспечение мини-
мальной величины мешающего потока от фона на входе благодаря
согласованию размеров площадки с пятном. Выражения для его
характеристик по каждому из автономных каналов в общем виде
не отличаются от полученных выше для одноэлементного анализа-
тора. Однако представляет интерес сравнить их друг с другом чис-
ленно при одинаковом поле обзора для выявления эффекта от пре-
дельного уменьшения размеров элемента фотоприемника (согласова-
ния их с размерами пятна рассеивания по обеим осям координат)
с учетом случайного положения объекта в поле зрения и возможных
потерь полезного сигнала при нахождении центра объекта в зазорах
между элементами.

Примем размеры поля зрения по углу места 2уп = 2Ь равными
для первого и третьего вида анализаторов 2b = Nc, где N — число
элементов, ас — расстояние между центрами соседних элементов.
Размеры их поля обзора вдоль развертки пусть будут также оди-
наковы и равны 2 хт.

Величина сигнала при различных рассогласованиях по углу
места определяется зависимостью (5.6), в которую в качестве аргу-
мента надо ввести величину у0 ± с/2 ± vc, где v — номер элемента
при отсчете от центра поля зрения.

Средний (по полю зрения) квадрат пикового значения полезного
сигнала находится по формуле

ь

Т = J /1(0)Г(«/д)^д,	(5.22)

— ь

записанной с учетом того, что при принятых условиях максимум
сигнала достигается при t — 0.

Функция W (г/д) в (5.22) представляет собой закон распределения
возможных значений вертикальной координаты центра объекта.
Полагая все положения объекта в пределах поля зрения равнове-
роятными, имеем

^д) =

для |уд|<6,
для |г/д|>6.

(5.23)

6В Зак. 1490

149
Подставляя в (5.22) выражения (5.4), (5.5) и (5.23) в результате
интегрирования с учетом того, что

X

^LJexp(—/2)Л = Ф(х)

— интеграл вероятностей, получим сначала

, ,n, if %*______________________kny______ I 2feA \

/2я °Vi+k^+k^x	ехр\ Ч-^о+^вд/	)

Далее после интегрирования по г/д (5.22) с подстановкой (5.24)
получаем выражение

7 2 = fo________knx — kwj	ф (—. 2fe.n?_ \ f (5.25)

8/л (1+^1 + ^пл) Vl+^o + ^ny	'

которое с учетом согласования knx и k0 в случае малоразмерного
объекта при kny > k0 примет простой вид

f2	f2

72 = -Ц=Ф(2)«—

16/л	’	16/л

(5.26)

Последняя формула определяет как бы эффективную чувстви-
тельность по полю зрения первой разновидности анализатора (одно-
элементного с удлиненной площадкой фотослоя).

Сопоставляя величину квадратного корня выражения (5.26)
с величиной /д (0) из (5.24), видим, что эффективное значение по
полю составляет 2/3 амплитуды (потери на краях около 1/3).

Применительно к «столбцовому» многоэлементному анализатору
(рис. 5.6, в), используя (5.6), аналогичным образом можно полу-
чить (здесь = /,):

Я = _ — Ф f—1 •
16/л с \рэ/

При выборе с = 4уп = 2 У2уд

~ f2	f2

Г=-^=Ф(2Г2)«-4-.
32 /2 л	' 32 /2л

(5-27)

(5.28)

Из сравнения формул (5.6) и (5.28) следует, что в этом случае
эффективное значение по полю составляет примерно 0,53 от ампли-
туды, т. е. на 20% меньше, чем в предыдущем случае. Оно существен-
но зависит от величины зазора между площадками. На рис. 5.10
представлена нормированная по величине /0/2]/2л зависимость
150
Yf* из (5.27) от отношения c/yQ межцентрового расстояния к экви-
валентному размеру элемента разрешения.

Отметим теперь роль сужения мгновенного поля зрения по
вертикали (рис. 5.6) в снижении величины мешающего сигнала от
случайного фона при использовании многоканального анализатора
(см. рис. 5.6, в).

Как следует из 5.3, г, относительная длина чувствительного
слоя kb существенно влияет на уровень помехи. Следовательно,

Рис. 5.10. Потери сигнала, обусловленные зазорами между элементами ана-
лизатора (рис. 5.6, в).

уменьшая размер мгновенного поля зрения одного канала и обеспе-
чивая требуемое общее поле зрения за счет многоканальности, при
достаточно малых величинах зазоров можно получить значительный
выигрыш в величине отношения сигнал/помеха. Необходимо, прав-
да, отметить, что многоканальность приводит к суммированию ве-
роятностей ложных тревог всех каналов на входе общего решающего
устройства, но это менее существенно по сравнению со снижением
интенсивности помехи в каждом из автономных каналов.

Последнее утверждение основывается на известном свойстве
характеристик обнаружения, заключающемся в том, что при реаль-
ных значениях вероятностей ложных тревог, повышение требований
к этой величине (в данном случае для каждого из каналов) не столь
сильно сказывается на величине порога решающей схемы [16].
ГЛАВА 6

ХАРАКТЕРИСТИКИ АНАЛИЗАТОРОВ ИЗОБРАЖЕНИЯ
С КРУГОВОЙ РАЗВЕРТКОЙ

6.1.	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Среди анализаторов изображения с поступательным движением
особого внимания заслуживает класс анализаторов, имеющих
равномерное движение центра по дуге окружности (при отсутствии
поворота всей фигуры, характерного для другого важного класса
анализаторов — вращающихся растров, рассматриваемых в сле-
дующей главе).

Развертки вращательного типа, к которым мы относим помимо
чисто круговых и любые другие, сформированные из комбинаций
круговых (например эпициклоидальную), отличаются наличием
центральной симметрии и удобством осуществления их оптико-
механическим путем (вращением оптических клиньев, наклонных
плоских зеркал и т. п.) [55, 57].

Двумерность траектории движения имеет определенное значение
с точки зрения возможности приближения к характеристикам
ППФ. Замкнутый вид круговой развертки и отсутствие тангенциаль-
ных ускорений облегчают реализацию быстрого периодического
движения (высокочастотной модуляции), что позволяет вынести
рабочий диапазон из сильно засоренной шумами низкочастотной
области. Этими причинами, главным образом, и обусловлено до-
статочно широкое распространение подобных видов разверток.

6.2.	ОДНОЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗАТОР С КРУГОВЫМ СКАНИРОВАНИЕМ.

ПОЛЕЗНЫЙ СИГНАЛ

Рассмотрим сначала простейший анализатор с круговой разверт-
кой [40], состоящий из единственного чувствительного элемента,
ПЧХ которого.описывается выражением (3.25) или (3.26) в частном
случае центральной симметрии (рис. 6.1, а).

Полагая, что движение центра анализатора по окружности
радиусом R происходит с постоянной угловой скоростью (цикличе-
ской частотой ®0 = 2л/Т0) при нулевой начальной фазе, будем
152
иметь выражение вида (4.22), которому соответствует ПЧХ (4.24)
в виде совокупности коэффициентов

Dk (“г. Т) = jk ехр (—j ky) Jft (<or R)

или в декартовой системе координат

(oy) = jfeexp^ —j^arctg^]	+	(6-0

Рис. 6.1. Схемы анализаторов с круговым переносом изображения:
а— одноэлементный с движением по окружности; б — многоэлементный с движением по
окружности; в—одноэлементный с двойным круговым движением (эпициклоидальной
разверткой).

Ограничиваясь случаем центральной симметрии оптики [ПЧХ
(3.19) ] учтем, однако, возможность рассогласования центра объекта
[ПС (1.26) 1 и центра сканирования анализатора (помещенного
в начало координат) на величину радиус-вектора Гд(хд, г/д).

При этом ПС объекта, как было показано выше, приобретает вид

— (®х + ®у)

К, ©j,) = Ьо лтс ехр

ехР[Жхд + <МД|‘

Подставляя последнее выражение вместе с (6.1) и (3.19) в выра-
жения (4.15), (4.17) для спектральных коэффициентов полезного
сигнала на выходе анализатора, записанные в прямоугольной си-
стеме осей, получаем:
Г* l Cd2 x2 \

фл = ikhohnboxcycxriyn J exp I-------j exp (>ххд) dax x

— oo	4

X J exp(—^^jexp(j(09yA) x

X exp ( — j k arctg Jfe [Kci^ + co^T?] dco	(6-2)

\	юх /

2	2,2.2	2	2,2.2

= xc + xo + xn, Уя = Ус^~ Уо + Уп*

Поскольку внутренний интеграл не удается представить в ко-
нечном виде, выражение (6.2) трудно поддается анализу.- В частном
случае центрально-симметричного объекта (хс = ус = rj^2) и
анализатора (хп = уп = rn/]^2), используя на этот раз полярную
систему координат, можно записать [40]

Р	(•	/	(д2 г2 \

= -4 ho hn Ьо Л Гп J ®r ехр I----------------) Jfe (cofe 7?) dar х

о х	J

2л

X J ехр [j®r гд cos (у — Т)д)] ехр (— j ky) dy,
о

Введем у'= л/2 + у—г]д; rl = г? + Го + >п и, воспользовавшись ин-
тегральным представлением бесселевой функции, получим

тг	9 9	£>	Р	/	Г у \

фь=	м—1) ехр(—/^Т]д) I (Orexp I-----------— J х

о

X Jfe (сог 7?) Jfe (юг гд) dar.

(6.3)

Представив несобственный интеграл в конечном виде с по-
мощью выражения (6.632.2) из работы [8] и введя безразмерные
коэффициенты kn = R/rc и &д = гд/гс (помимо kQ, kn и ks), вместо
(6.3) получим

2k2

Фй = (—1) ехр (—jb]A)—\ ехр

4 + ^1

1+*э2

ft ---

V+fc3.

(6-4)

fI>fe = 7o®ft, f0 = ^hohnbor2c,

где Ife (г) —модифицированная функция Бесселя первого рода fe-ro
порядка.

154
Величины kR и входят в (6.4) одинаковым образом и, как
можно показать, находя экстремум ФА приравниванием нулю
частной производной по kR (или &д), максимум этой функции
достигается при k& = kR = V 1 + kl.

Введем дополнительно условие согласования размеров анали
затора и пятна рассеяния kn = kQ = kJ]/2 . При этом

Фн I
k [max

ехр(—2)Ih(2)
(6-5)

1 + *э

и обеспечивается отсутствие
«мертвой зоны» в центральной
части «модуляционной» харак-
теристики Ф£ (kJ).

Подобная зависимость моду-
ля рабочей (первой) гармоники
сигнала от модуля рассогласо-
вания при различных значе-
ниях kR и фиксированном kQ
представлена на рис. 6.2. Из
рисунка следует, что модуля-
ционная характеристика имеет
участок, близкий к линейному
около центра поля. Отступле-
ние от условия kR = ]/' 1 + kl

Рис. 6.2. Амплитуда первой гармо-
ники сигнала одноэлементного анали-
затора в зависимости от рассогла-

снижает значения максимума	сования.

| Ф? | из-за уменьшения интен-

сивности первой гармоники в спектре сигнала. При kR < kQ мак-
симум смещается на меньшие рассогласования, а при kR > kQ на
большие. При £э резко падает крутизна характеристики при
малых рассогласованиях и образуется мертвая зона. Общий размер
поля зрения при kR = kQ составляет примерно 3 kQ.

На рис. 6.3, а изображена зависимость

k2	(

|фТ| = _2-ехр

1+*э	\

2ЛЭ \ J / 2*э \
l+fes2/

(6-6)

полученная из выражения (6.4) при условии k% = kg = k& и при
согласовании размеров элементов разрешения оптики и приемника
(kn = k0 = £э/]/2). Начиная со значений kg > 2,5 4- 3,0, потери
сигнала становятся весьма малы и источник излучения можно рас-
сматривать практически как точечный.
На рис. 6.3, б показана зависимость kp = | Ф” |/| Ф“ |°,
характеризующая размерную селективность данного анализатора
(аргумент 1ги здесь является величиной, обратной kg):

4,65
------ехр
1+^

(6.7)

ъ =
/Vp —

Рис. 6.3. Амплитуда первой гармоники сигнала одноэлементного анализато-
ра в зависимости от относительного размера эквивалентного элемента разре-
шения (а) и зависимость величины размерной селективности от аргумента
6и=1Мэ (0-

Сравнивая эту зависимость с аналогичными характеристиками,
полученными ранее (см. гл. Зи 5), можно отметить большую селек-
тивность ППФ.

/*к"|

1,0

0,5 -

О 1	2	3	4 к

Рис. 6.4. Спектр сигнала од-
ноэлементного анализатора.

На рис. 6.4 представлены величи-
ны модуля нескольких низкочастот-
ных гармоник сигнала в максимуме
модуляционной характеристики при
k#—(нормированные по величине f0).

Амплитуды гармоник быстро пада-
ют с ростом ийдексов k, что оправды-
вает выбор первой гармоники в каче-
стве основной рабочей с точки зрения
получения максимальной чувстви-
тельности. Более строгий выбор ра-
бочего диапазона частот с учетом
помех требует рассмотрения харак-
теристик оптимальной фильтрации
сигнала анализатора изображения в
усилительном тракте.
6.3.	ОДНОЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗАТОР. МЕШАЮЩИЙ СИГНАЛ

Рассмотрим теперь характеристики помехи на выходе того же
одноэлементного анализатора, сканирующего по окружности [401.
Примем, что ПС поля лучистости случайного фона описывается ку-
бично-гиперболической зависимостью (1.40). Подставляя ее вместе

Рис. 6.5. Зависимость дисперсий гармо-
ник помехи при круговом переносе изоб-
ражения от относительной величины ра-
диуса переноса k^.

ди сперсии
при круго-

6.6. Зависимость
гармоники помехи

Рис.
16-й
вом переносе от относительной
ширины анализатора kd.

с использованными выше ПЧХ элементов в выражение (4.59),
с учетом (4.60) получаем

Gh = 4лйо hl о2ь хф уф х„ yl J ехр (—x2) dcox X
— ОО

X J ехр [—®2 z/2] (1 + 2сох х£ + 2со2 г/ф)~3/2 X
---ОО

X + dav.

Интегралы в общем случае находятся численно. Результаты
расчетов величин Gfe, нормированных по величине gQ =
= 2L_hQha<52bri kl (при &э = 5), в зависимости от значений неко-
4

торых параметров приведены на рис. 6.5—6.7. На рис. 6.5 по-
казано влияние размера поля зрения (здесь одновременно меня-
ется длина приемника и радиус переноса = Из рис. 6.6 и
6.7 видно, что влияние величин kd и в данном случае прояв-
ляется не менее резко, чем при прямолинейно равномерном дви-
жении.

Перейдем теперь к частному^ случаю центральной симметрии
анализатора (knx = kny =	2 ) и изотропности фона (^фх =

157
= кфУ = кф/2), когда, используя полярную систему координат
(z = o)rrc), можно свести вычисления к однократному интегриро-
ванию и вместо выражения (6.7) получить G* = Gklg0\

G* = 4^^Jz(1 + 4z2)~3/2 ехр(—Л (kRz)dz, (6.8)
g, = ^hlhVtr'.

Принимая условие согласования размеров элементов разрешения
приемника и оптики (kn = kQ = &э/)^2) и максимизируя сигнал

Рис. 6.7. Зависимость дисперсии гар-
моник помехи при круговом перено-
се изображения от относительного
размера радиуса корреляций &ф.

выбором kx = ]/ 1 + k?3 (или при малоразмерном объекте k% =
= &э), получаем выражение для интенсивности рабочей (в данном
случае первой) гармоники помехи на выходе анализатора, пронор-
мированной по gQ:

00	/	t.2 2 \

= уг(1 + ^фг2)~3/2 ехр ----------(zkQ)dz. (6.9)

о

Круто падающие гиперболический и экспоненциальный множи-
тели в подынтегральном выражении обусловливают хорошую схо-
димость интеграла (практически при вычислениях вполне можно
ограничиться zmax = 3 ~ 5). На рис. 6.8 и 6.9 представлены ре-
зультаты расчетов по выражению (6.9). Из рисунка видно резкое
повышение помехи с ростом kQ. Из рис. 6.9 видно, что наиболее не-
благоприятные значения радиуса корреляции фона соответствуют
&ф ^э- При дальнейшем увеличении радиуса корреляции интен-
сивность помехи падает. Следующие гармоники мешающего сигнала
имеют меньшую величину, поскольку максимумы бесселевой функ-
ции в (6.8) с ростом номера k уменьшаются и сдвигаются вправо
по шкале частот в область меньших значений ПС фона и ПЧХ опти-
ческой системы и приемника.
Представляет интерес получение отношения сигнал/помеха
на выходе данного анализатора при оптимальной последующей
обработке сигнала. При этом используется не только первая гармо-
ника сигнала, но и все остальные — каждая в своей наивыгодней-
шей пропорции (4.76).

Рис. 6 8. Зависимости дисперсии по- Рис. 6.9. Зависимость дисперсии по-
мехи на частоте несущей от относи- мехи на частоте несущей от относи-
тельного размера эквивалентного эле- тельного размера радиуса корреляции
мента разрешения.	фона.

Выполняя расчеты по формулам типа (6.4) и (6.8) с помощью
ЭЦВМ с учетом условий согласования (kn = k0 = kQ/y~2) при
kR = kQ и находя

оо

Q = t)o + 2 2 %. Лй = I |2/Gfe>
k=\

получаем возможность оценить качество простейшего анализатора
с круговым переносом изображения как средства первичной обра-
ботки информации.

Характеристики ОЭФ, вообще говоря, следует выбирать с учетом
внутренних шумов тракта. В противном случае частотная харак-
теристика электрического фильтра может иметь слишком большой
подъем в области высоких частот ввиду резкого падения дисперсий
фоновой помехи по мере увеличения номера гармоники. Это вызы-
вается недостаточно точной аппроксимацией высокочастотной
части ПС фона. Учет случайных флюктуаций электрического сигна-
ла, значительно более равномерно распределенных по спектру,
позволяет сделать частотную характеристику ОЭФ менее критич-
ной к точности аппроксимации «хвоста» ПС и приблизить ее к дей-
ствительной.
При этом достаточно учесть некоррелированные внутренние
шумы в совсем небольшой «дозе» (Gm < Gn) по сравнению с внеш-
ней помехой (.Gf = Gk+G™)- На рис. 6.10 представлены нор-

Рис. 6.10. Характеристики одно-и
семиэлементного анализаторов с
ОЭФ (Нь—коэффициент ЧХ; —
отношение сигнал/помеха на раз-
личных гармониках).

мированные характеристики одно-
и семиэлементного анализаторов
с круговым переносом изображе-
ния при оптимальной последующей
обработке электрического сигна-
ла в тракте. Расчеты произведены
для внутренних шумов на входе
ОЭФ, имеющих равномерный (ус-
ловно распределенный по дискрет-
ным частотам, кратным частоте мо-
дуляции) спектр с интенсивностью
Gf = 0, 1 G? (для одноэлементно-
го анализатора).

Из рис. 6.10 видно, что основ-
ной вклад в этом случае дают гар-
моники, соответствующие частотам
модуляции сигнала. Величина от-
ношения сигнал/помеха (нормиро-
ванная к величине bl/ol) состав-
ляет при этом дн = 0,459. Сопо-
ставление с величиной q на выхо-
де ППФ при том же виде ПС фона,
одинаковых значениях и пара-
метрах анализатора, показывает,
что рассматриваемый анализатор
в сочетании с оптимальным фильт-
ром электрического сигнала замет-
но уступает по характеристикам
ППФ. Его недостатком является

«низкочастотность» спектра полезного сигнала, затрудняющая
защиту от интенсивных составляющих ПС фона, близких к нуле-
вой частоте.

6.4.	МНОГОЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗАТОР С КРУГОВЫМ
СКАНИРОВАНИЕМ. ПОЛЕЗНЫЙ СИГНАЛ [40]

Многоканальный анализатор имеет ПЧХ, образующуюся в ре-
зультате суперпозиции соответствующих характеристик всех N
каналов:

__ N-A	_

я2(®) = 2 Ьгяг(®),
1=о

где — весовой коэффициент Z-го канала усиления.
160
Аналогичная суперпозиция имеет место и для выходных сигна-
лов. Для многоэлементного анализатора, у которого расчленение
поля зрения достигается использованием «дырчатой» диафрагмы,
наложенной на общий фоточувствительный слой, все весовые ко-
эффициенты одинаковы и могут быть приняты равными единице,
так как общий коэффициент усиления уже учтен в величине Яп.

Анализатор такого типа, содержащий N одинаковых элементов,
и будет предметом нашего рассмотрения. Пользуясь теоремой
сдвига в пространственной области, запишем предыдущее выра-
жение в виде

N—1

#2(®г, ?) = #п(®г, ?) 2 exp[jcor₽iCos(y—%г)Ь (6.Ю)
1=0

где	xf—полярные координаты центра i-ro элемента анализа-

тора; Нп((лг, у)—ПЧХ элемента анализатора, центр которого по-
мещен в начало координат. В случае его центральной симметрии
Нп (®г, у) — Нп (®г). Обозначив

N-\

FnIv,., у)= 2 exp[j®rZ?iCos(y—%г)],	(6.11)

i = 0

запишем общие выражения для <Dft (4.15), (4.17) при круговом
переносе изображения для анализатора с N одинаковыми произ-
вольно расположенными элементами:

'k 00	2л

фь == J ЮГ (®г Ю dti>r J Во (юг, у) Но (сог, у) Нп (®г, у) X
о	о

X FN((dr, у)ехр(—j£y)dy.	(6.12)

В случае центральной .симметрии объекта, оптической системы
и элемента анализатора, введя вспомогательные величины

Дг. = У ri +	— cos (%f—т]д) ,

Arji — arctg

/•д sin т]д—sin Xi

Гдс°8Г)д_cos Xi

и опять воспользовавшись интегральным представлением бесселе-
вой функции, получим вместо (6.12) выражение

N— 1	~

фй = (— О* 2 ехр (—jMr]i)J а>г Во (юг) Я0(юг)17п(®г) х
/ = о	0

X Ш 7?) Jft (сог Дгг) d(f>r.	(6.13)
Применительно к принятым нами ПЧХ оптической системы,
анализатора и ПС объекта можно записать

м—1	00	/ со2 2 \

Фй = (— 1)* лЬ0 h0 ha Гс Гп 5 ехр (— j/гДг]Л С юг ехр (------------—) х

/=о	J \	4 /

о

X Jft (<йг7?) Jft(ror Дг;)^.	(6.14)

Аналогично проделанному выше для одноэлементного анализа-
тора интеграл в (6.14) может быть записан в конечном виде

qil2 N—\	f к2 । >,2 \

=	TexpC-jM^exp _h±hAlk ,

l+^3/ = 0	\	1 + fe^ J V + feJ

(6.15)
где kt = brilrc.

Для раскрытия этого выражения надо конкретизировать вид
суммы фазовых множителей, зависящей от расположения элементар-
ных анализаторов.

Сделаем это на примере 7-элементного анализатора
(см. рис. 6.1, б). Для него имеем

7?о = О, Ri = Rh x. = jt(i— 1)/3, i= 1, 2, ..., N— 1.

Основной рабочей гармоникой здесь является гармоника не-
сущей частоты (k — ri), индекс которой определяется числом пери-
ферийных элементов анализатора (n =W — 1 =6). Радиус пере-
носа изображения R выбирается близким к радиусу расположения
центров элементов внешнего кольца: « Rh

При этом максимум модуляционной характеристики | Ф£ | тах
соответствует нулевому рассогласованию:	=0, kt =

Дт)г = %г, а сумму геометрической прогрессии из фазовых множи-
телей можно найти с помощью выражения

I .. 2л \	.

k

1 пРи-^д7 = н>
k

0 при ——- =Н=н--целое число.

(6.16)
При выборе /?/ = 4гп = 7?, rn = r0 =	выражение для

максимума гармоники несущей частоты имеет вид

fife 2	/

|Фби = (-1)й-^-ехр
1+*	V

16fe* \ j ( 16fe2 \

1+^; v+fev

(6.17)

Модуль этой величины изображен на рис. 6.11.

Рис. 6.11. Зависимость модуля амплиту-
ды сигнала несущей 7-элементного ана-
лизатора от относительной величины
элемента разрешения.

Рис. 6.12. Характеристика размер-
ной селективности 7-элементного
анализатора.

Амплитуда несущей сигнала с двойной модуляцией при kd 1
составляет 0,895 от амплитуды сигнала с однократной модуляцией
(вследствие некоторого изменения скважности сигнала). На рис. 6.12
построена характеристика размерной селективности

I Ofi I	31,32	(	16 \	( 16 \

—I—!— =--------ехр----------1е ------- ,

I |feH=0	1 + ^и	\	1 +	\ 1 + ^и/

(6.18)

которая отличается от аналогичной характеристики одноэлемент-
ного анализатора несколько более крутым спадом.

Зависимость амплитуды несущей от рассогласования (модуля-
ционная характеристика) здесь имеет более сложный вид, чем для
одноэлементного анализатора, отличаясь резкими спадами и подъ-
емами (рис. 6.13). Она рассчитывалась на ЭЦВМ с помощью выра-
жений (6.13) и (6.15) при k = п, kR = 2]/2 kQt, kn = kQ/y2.

Значительная неравномерность чувствительности по полю зре-
ния, обусловленная расчленением на отдельные элементы, является
недостатком этого вида анализатора, затрудняющим надежное об-
наружение объекта. Спектральные коэффициенты сигнала (в точке,
соответствующей гд ж гэ), изображены на рис. 6.14. Они рассчи-
163
таны по формуле (6.15) при т]д = 0. В спектре наиболее сильно
представлены первая и вторая гармоники, несущая и ее ближайшие
спутники. Необходимо отметить, что спектр сигнала для данного
типа анализатора существенно меняется по полю зрения, что за-
трудняет оптимальную обработку сигнала в электронном тракте.
Спектр сигнала значительно «обогащается» с увеличением рассогла-

Рис. 6.13. Нормированная величина мо-
дуля амплитуды несущей 7-элементного
анализатора в функции относительной
величины рассогласования.

Рис. 6.14. Спектр сигнала 7-эле-
ментного анализатора.

сования. В реальной системе на него могут заметно влиять различ-
ные трудно учитываемые аналитически конструктивные факторы
{например, неравномерность чувствительности приемника по пло-
щади фотослоя, внеосевые абберации, виньетирование и т. п.).
Поэтому расчетный метод оптимизации параметров подобного ана-
лизатора в среднем по всему полю не всегда рационален и более
предпочтительным может оказаться физическое моделирование.

6.5.	МНОГОЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗАТОР. МЕШАЮЩИЙ СИГНАЛ

Квадрат модуля ПЧХ многоэлементного анализатора, входя-
щий в общее выражение (4.56), для Gk на основании рассмотрения
предыдущего параграфа можно записать как - [401:

оо оо

|н2(®)12= 2 2	(6.19)

оо tg=—00
В случае одинаковых произвольно расположенных элементов
формула (6.19) приводится к виду:

IЯ2 (со) |2 = | Нп (®) |2 S .1 6Z1 6,-2 exp(j coA#Z1Z2), (6.20)

it=—oo г 2=—oo

cos (Ч-Ч) ’

R, sin %, — R; sin %,
Ax- , =arctg—

При круговой развертке, изотропном фоне, центрально-симмет-
ричных оптике и элементе анализатора, когда используется общий
для всех элементов фотоприемник (bt = 1; i = 0, 1....N — 1),

из (4.59) можно получить

ОО

Gk= т~, С Gb (®,) Но (©,) Яп (со,) J* (сог /?) cor dcor х
0

оо	оо 2л

х 5	5 § exp[jcorA/?Z1i2cos(Y—Axi.iJW (6.22)

i j = — оо i2~ — оо 0

С помощью интегрального представления бесселевой функции
можно заменить внутренний интеграл функцией 2л J0(cor /2).
Далее обозначим

оо	оо

/>(со,) = 2	2 J0(co,A/?Z10	(6.23)

Х!±=—ОО Х2 = —ОО

и, используя принятые выше характеристики элементов и ПС
фона при условии согласования (kn — k0), получаем

ОО

0^=4 4$ г(1 + ф2)-3/2Х
о

/ k2 z2 \

X ехр (----a—yi(kRz]F*N(z)dz, z — a>rre (6.24)

Конкретизируя это выражение на примере 7-элементного ана-
лизатора (см. рис. 6.1,6) при выбранных выше соотношениях его
параметров (/?/ = 4гп - 2 ]Л2 гэ и /? = 7?/), запишем (6.23) в виде

К?(г)=1 + б[1 + 4Л0(г^-2/2) +

+ 2Jo (zks • 2 /б-) + Jo (^э • 4 /Л].	(6.25)

На рис. 6.8 приведены результаты расчетов величины G” по
выражениям (6.24) и (6.25). Они показывают, что несмотря на рас-
165
ширение поля зрения по сравнению с одноэлементным анализа-
тором, мешающий сигнал на основной рабочей частоте в данном ана-
лизаторе имеет значительно меньшую мощность. При этом характер
влияния параметров kQ и остается таким же, как для одноэле-
ментного анализатора.

Анализ формул и расчеты показывают, что изменение радиуса
переноса изображения R приводит к сильному изменению G„.
С уменьшением радиуса помеха на несущей частоте резко падает.
Однако одновременно происходит значительное уменьшение по-

Рис. 6.15. Квадрат модуля эквивалентной ПЧХ оптической системы и фото-
приемника (а) и множитель, учитывающий расположение элементов анали-
затора (б).

лезного сигнала Фп и теряется смысл в использовании 6-й гармо-
ники в качестве основной рабочей частоты. Это подтверждает рацио-
нальность выбора R = Rh

Таким образом, расчленение поля зрения на элементы суще-
ственно улучшает пространственную фильтрацию, так как благо-
даря периодичности расположения элементов создается дополни-
тельный высокочастотный «резонансный контур». Этот «контур»
обусловил появление множителя F? (г) в подынтегральном выра-
жении (6.24), вид которого поясняется рис. 6.15, б.

Переход на более высокие рабочие частоты сигнала приводит
к значительному дополнительному подавлению низких простран-
ственных частот из-за снижения амплитуды первого максимума
J6 (х) и сдвига его вправо по шкале частот по сравнению с Ji (%)
(рис. 6.16).

Результирующий квадрат модуля эквивалентной ПЧХ в случае
центральной симметрии может быть записан в виде

оо

I Нр (шг) I2 = Н2 (®r) F2N (Ч) $ I Dk (<or, т) I2 dy,

О

tf2(®r) = tf2(<or)tf2(®r).
Последняя функция показана на рис. 6.15, а (г = сог гэ). Функция
Яр изображена на рис. 6.17. Она показывает, как сдвигается на
более высокие частоты максимум | Яр (сог) |2 и как снижается его
величина у семиэлементного анализатора по сравнению с одно-
элементным. Наибольший выигрыш имеет место при больших зна-
чениях радиуса корреляции фона и при хорошей разрешающей
способности анализатора (см. рис. 6.8 и 6.9).

Таким образом, улучшение пространственной фильтрации, об-
условленное дополнительными возможностями помехоподавления

Рис. 6.16. Квадрат модуля ПЧХ
закона сканирования.

Рис. 6.17. Квадрат модуля результирующей
ПЧХ:

Кривые 1,2,8 относятся соответственно к ва-
риантам а, б, в анализаторов, изображенных на
рис. 6.1.

низкочастотных компонент фона, в данном случае перекрыло воз-
растание мешающего воздействия на входе за счет периферийных
элементов анализатора.

Для более доказательного обоснования выбранных соотношений
параметров анализатора и более полного выявления предельных
характеристик подобных видов анализаторов изображения следо-
вало бы рассмотреть характеристики анализатора при оптимальной
вторичной обработке Информации. Мы не проводим в данном случае
такого рассмотрения ввиду его трудоемкости, связанной с учетом
изменения сигнала по полю зрения при выборе осредненных по
полю зрения характеристик и оценке их эффективности. Дадим
только краткое изложение методики, которая может быть реализо-
вана с использованием достаточно быстродействующей ЭЦВМ.

Частотную характеристику оптимального электрического фильт-
ра (ОЭФ) дискретных гармоник, обеспечивающую наилучшие
в среднем по полю возможности обнаружения объекта, можно опре-
делить с помощью выражения

; У|<М'д>ед)1а

k W+W
При равновероятном в пределах круглого поля зрения (с радиу-
сом ггр) распределении возможных положений центра объекта
имеем

ггр 2п

(|®И^вА)|.2р-^Г [ fl'M'A.	<6-27)

р О О

Среднее по полю зрения значение отношения сигнал/помеха
на выходе фильтра с частотной характеристикой, описываемой выра-
жениями (6.26), (6.27):

ггр 2Л

9ср = -4- f [ Я Од) Гд d^,	(6.28)

rp i

2	5 МдЛ)Ч('аА)

q (/-Д. Од) =	------------------Vkl Vk2, (6.29)

2 Wl2+C“

k =f= —oo

где Vh — коэффициент передачи ОЭФ по k-й гармонике сигнала.

Непрерывное осреднение по углу поворота вектора рассогласо-
вания Од в ряде случаев можно заменить получением среднего по
нескольким значениям Од (в нашем примере двум), соответствую-
щим сечениям симметрии фигуры анализатора.

Приведем теперь результаты рассмотрения 7-элементного анали-
затора с ОЭФ, оптимизированного в точке максимума модуляцион-
ной характеристики. При этом аналогично тому, как это было сде-
лано выше для одноэлементного анализатора, учтем некоррелиро-
ванные с помехой равномерно распределенные по всем гармоникам
внутренние флюктуационные шумы фотоприемника. Интенсивность
последних при расчете принята равной бш = 0,1 G6. Величины

" ’!.= №? (е?=аг+ед,

нормированные по своим наибольшим значениям, представлены на
рис. 6.10. Из рисунка видно, что основную роль играют гармоники,
близкие к частоте несущей. Однако вкдад высших гармоник для
7-элементного анализатора несколько больше, чем для одноэле-
ментного. Обеспечиваемая 7-элементным анализатором величина от-
ношения сигнал/помеха также существенно больше (</н = 1,93
вместо 0,459) одноэлементного, что дополнительно свидетельствует
о высоком качестве этого анализатора как пространственного'
фильтра. По своим характеристикам он приближается к дискрет-
ному 19-элементному ППФ, что обусловлено видом его простран-
ственного эквивалента (см. рис. 4.5).
6.6.	ОДНОЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗАТОР С ЭПИЦИКЛОИДАЛЬНОЙ
РАЗВЕРТКОЙ

Рассмотрим еще один тип анализатора с поступательным движением,
складывающимся из двух круговых движений (медленного переносного и бы-
строго относительного) Будем рассматривать его одноэлементную разновид-
ность (рис. 6.1, в), хотя возможно его использование и в многоканальных
схемах. Нас будет интересовать узкопольный вариант такого анализатора,
в котором при довольно малом радиусе сканирования за счет малой скваж-
ности сигнала сохраняются довольно хорошие энергетические соотношения
и в то же время, вследствие дополнительного быстрого движения и переноса
сигнала в более высокочастотную область, создаются лучшие предпосылки
пространственной фильтрации.

Итак, рассмотрим анализатор изображения, совершающий эпициклои-
дальное движение с кратностью периодов переносного и относительного
движений п, направления движений противоположные, радиусы одинаковы
(рис. 6.1, в). Такой способ осуществления двойной модуляции дает сигнал,
схожий с предыдущей схемой. Закон развертки имеет вид (4.26):

„9DI (п + гЫг/т’о I

7? (/) = 2R cos----------- ,

(n—l)2nt/T0
х(/) = л—------------- ,

ОО

Y) = j*exp( —jfc?) 2
tn= —oo

Подставляя последнее выражение в формулы (4.15)—(4.17) совместно
с принятыми ПЧХ объекта, оптики и анализатора, получаем выражение для
амплитуды 6-й гармоники

оо оо

Фй = j3* 2пЪо h0 hn г3 k* ехр (— j fe0o) 2 § ®₽ ехР
т——оо О

®г 4

х тп (юг Я)	1) т (Qr г д)	(6.30)

Так как кратность частот встречного относительного и переносного дви-
жений равна п, роль несущей частоты играет в данном случае (п — 1)-я гар-
моника сигнала. Расчеты показывают, что для амплитуды сигнала Фп__ i
существенное значение имеет только член суммы с индексом т = —1. Каж-
дый из остальных членов оказывается на несколько порядков меньше. Учи-
тывая, что максимум модуляционной характеристики соответствует нулевому
рассогласованию (гд = 0), принимая во внимание известные соотношения
Jo(O) = 1, J_i(x) = —Ji(x) и вводя безразмерные коэффициенты, получаем

,	, kl ( 2kR \	( 2kR

I ф"-1 к*= Г7^ехР 11	(6’31)

Если в случае 6Э 1 положить 6^	6Э, что дает наибольшее зна-

чение амплитуды несущей, то будем иметь выражение (6.6), полученное
выше как точное для одноэлементного анализатора. Таким образом, введение
дополнительного быстрого кругового переноса практически не изменило ам-
7 Зак. 1490	169
плитуды рабочей гармоники сигнала, а лишь перенесло ее вправо по шкале
частот.

Перейдем к получению выражений для мешающего сигнала этого типа
анализатора. Квадрат модуля ПЧХ развертки определяется из выраже-
ния (4.69) в виде двойной бесконечной суммы.

В случае изотропного фона при центрально-симметричной оптике и ана-
лизаторе можно воспользоваться выражением

оо	2л

Gfe = лЬ J Gb (<°г) н° d&rJ I Dk dy'
Q	0

Учтем при этом, что
2я	,

J ехр [j y(n — 1)(т— /)Ну=
О

2 л

О

при (п—1) (т— /) = О, |
при (п — 1)(т—l)=f=Q- )

При п ¥= 1 внутренний интеграл равен 2л, если только т — I, при всех
прочих сочетаниях индексов он равен нулю. Расчетные оценки говорят о
том, что все члены с номерами, отличными от т = 1, весьма малы. Интере-
суясь прежде всего гармоникой несущей, с учетом сказанного выше»
получим

оо

Gn-1 = f иг Gb (<or) H2 (шг) H2 (<or) J* (шг R) d^.	(6.32)-

0

По сравнению с аналогичным выражением для одноэлементного анали-
затора с простым круговым движением (рис. 6.1, а) в подынтегральном вы-
ражении (6.32) вдвое повысилась степень бесселевой функции, величина мо-
дуля которой не может превышать единицы.

Используя принятые выше характеристики фона, оптической системы и
приемника, вводя условие согласования радиусов гп и го и принимая k# =
= kQi получаем выражение, записанное через безразмерные коэффициенты
[40]:

00	/	k2 z2 \

Gn-1=*Ф*Э	2 (1+ ^ф г2)-3/2 ехр I----9— 1 Jf (йэ г) dz. (6.33)

о	'	'

Выполнение неравенства j] (х) < Jj(x) показывает преимущество эпици-
клоидальной развертки (рис. 6.16). Это подтверждается и расчетами по фор-
муле (6.33), результаты которых представлены на рис. 6.9 при п == 6.
Величина мешающего сигнала 5-й гармоники такого типа анализатора при-
ближается к значениям Gg, полученным для 7-элементного анализатора, что
свидетельствует о довольно хорошем использовании возможностей подавле-
ния низкочастотных помех. Их пространственные эквиваленты (по 6-й гар-
монике) примерно одинаковы (см. рис. 4.5), чем и объясняются полученные
результаты.

Анализатору с эпициклоидальнсй разверткой также в определенной сте-
пени свойственна неравномерность чувствительности по полю зрения.

Дальнейшее повышение кратности частот несущей и огибающей, как
показывает анализ, не дает существенного улучшения характеристик, как
и в многоэлементной схеме при добавлении еще одного или двух «колец» от-
верстий с соответствующим увеличением радиуса переноса. В этом случае
рост помехи на входе, вызываемый расширением поля зрения, уже не в пол-
ной мере компенсируется улучшением пространственной фильтрации
170
ГЛАВА 1

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
АНАЛИЗАТОРОВ ИЗОБРАЖЕНИЯ,
ВРАЩАЮЩИХСЯ ВОКРУГ СОБСТВЕННОГО ЦЕНТРА

7.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Обратимся теперь к другому важному классу анализаторов
изображения — вращающимся анализаторам. Использование вра-
щения вокруг центра фигуры анализатора несет в себе существен-
ные особенности, отличающие, в частности, этот класс анализа-
торов от рассмотренных выше анализаторов с поступательным дви-
жением. Такие анализаторы довольно просто реализуются кинема-
тически. Им свойственен сравнительно бедный и мало меняющийся
по полю зрения спектральный состав сигнала. Как правило, они
выполняются с помощью специальных диафрагм — растров,
устанавливаемых в фокальной плоскости перед фоточувствительным
слоем и вращающихся относительно приемника [66]. Исключением
являются схемы, где предусмотрено вращение самого приемника
со съемом сигнала и подводом питания на вращающийся чувстви-
тельный элемент [52]. В обычных схемах между вращающимся
растром и приемником может быть расположен конденсор.

Простота осуществления, узкополосность и стабильность
спектра полезного сигнала обусловили широкое распространение
подобных схем анализаторов. Определенную роль в этом также
сыграли возможности таких анализаторов обеспечивать эффектив-
ную пространственную фильтрацию путем соблюдения общего и
«местного» баланса пропускающих и непропускающих элементов
растра.

Вращающиеся растры можно подразделить на несколько типов
по различным признакам: узкопольные и широкопольные (по отно-
шению к размеру элемента разрешения), малб- и многоэлементные,
секторные и клетчатые, радиальные и спиральные, центральные и
внеосевые, с амплитудно-фазовой, частотно-фазовой, широтно-им-
пульсной и время-импульсной модуляцией и т. п. Вращающимся
растром в последнее время был посвящен ряд работ в иностранной
печати [44, 45, 47,541. Они не дают, однако, достаточного представ-
ления о характеристиках пространственной фильтрации подобных
схем. Восполнить этот пробел мы и попытаемся в настоящей главе.
7*	171
12. ПОЛЕЗНЫЙ СИГНАЛ В СЕКТОРНЫХ РАСТРАХ

Рассмотрим сначала процесс формирования полезного сигнала
от искомого объекта простейшей разновидностью вращающегося
анализатора — растром с радиальными секторами (рис. 7.1).

Общие соотношения для вращающихся растров уже были даны
в гл. 4, (4.29) — (4.44). Конкретизируем их теперь для данного вида
растров. Основным затруднением аналитического описания процесса
анализа изображения, производимого такими растрами, является
несоответствие формы их элементов форме объекта и пятна рассеи-
вания оптики, препятствующее записи интегралов свертки в ко-

рне. 7.1. Анализаторы изображения в виде вращающихся секторных раст-
ров с различными п.

нечном виде. Во избежание этой трудности, как уже отмечалось
в гл. 1, можно принять изображение объекта согласованным по
форме с элементами растра или наоборот элементы растра описать
сходно с изображением малоразмерного объекта. Ни то, ни другое
существенно не исказит основных закономерностей пространствен-
ной фильтрации, ввиду второстепенной роли подробностей формы
сигнала при сохранении эквивалентности его важнейших парамет-
ров. Мы предпочитаем первый способ, приводящий к более простым
выражениям.

Многосекторные растры (рис. 7.1) могут приближенно соответ-
ствовать растру с частотной модуляцией (ЧМ) [47], секторы ко-
торого имеют меняющуюся определенным образом кривизну для
получения девиации частоты. Подобные растры могут также яв-
ляться частью устройств индикационного типа, где не требуется
выделения Координат. Следует, кроме того, заметить, что основные
помехоподавляющие свойства растра не изменятся значительно и
при многих других видоизменениях рисунка растра, позволяющих
промодулировать фазовый угол местоположения объекта [47] и
в то же время не вносящих существенного разбаланса прозрачности
(отступления от 50%-ного среднего пропускания) по полю зрения
при той же величине площади элементарной ячейки.
Поэтому данный пример допустимо расценивать и в более общем
методическом смысле — как своего рода прототип целого семейства
сходных по характеристикам пространственной фильтрации растров
с разделением поля зрения на элементы лишь по одной координате.

Весовую функцию секторного растра можно записать в виде

О при (2/—1) — <г|<2/ —, г>гт,
п	п

h(r, t|) = l	„	_	(7.1)

hn при (2Z—2) — <Л<(2/—1) —, г<гт.

п	п

Стремясь, как пояснялось выше, для начала всемерно упростить
описание преобразований, производимых растром, воспользуемся
в данном случае моделью изображения объекта типа «секторального»
сегмента (1.5):

е(г>т))=ро при Т)1<П<Л2, r1<r<ri1	(72)

(О при г>г2 или r<ri> Л >42 или Л < Л1-

При малоразмерном объекте подобную конфигурацию прихо-
дится приписывать в основном пятну рассеивания оптики, а с ростом
размеров объекта — самому объекту. При этом мы не прибегаем
к их раздельному описанию во избежание усложнений модели. Та-
кой подход допустим при оценке размерной селективности растра,
поскольку нас не интересует его селективность к форме изображе-
ния. В случае необходимости более точного определения харак-
теристик полезного сигнала от точечного источника излучения это
может быть сделано, например, с помощью дискретного представ-
ления распределения энергии в пятне рассеивания [44].

Воспользуемся наиболее удобным в данном случае для описа-
ния растровых анализаторов «получастотным» методом (гл. 4),
который позволяет определить амплитуду &-й гармоники сигнала
на выходе с помощью выражения (4.41):

оо

Ф& = 2л 5 ek (г) h_k (г) г dr.
о

Найдем входящие в него коэффициенты ек и hk, подставляя (7.1) и
(7.2) в (4.36) и (4.37).

В соответствии с (1.21) имеем

М0 =

sin ^2 ехр(—jb]A), при r1<r<ri
О при г> га или r<rv
Интегрирование в формуле (4.34) дает (при г<гт):

hk(r)= — -Ц-Гехр ( — j — И — 11 х
2л j k L \ n ] J

Xp + ехр^ — j-^-2л)+ ... 4-ехрГ—i~(?n—2)nll. (7.4)

Фигурная скобка содержит сумму геометрической прогрессии
со знаменателем ехр (— 2л) и первым членом, равным единице
С помощью известной формулы можно получить

2-

exp(jfe2it) —1

Подставив эту формулу в выражение (7.4) и раскрыв неопределен-
ность вида 0/0 при kin — целом и нечетном, получим

hk(f) =

nhn	. k

—S-при r<Zrm;-----------целое нечетное,

njfe	п

0 при г > гт или г < гт, —-------четное или дробь.

п

(7.5)

Из формулы (7.5) видно, что отличны от нуля только коэффи-
циенты с индексами, кратными индексу несущей, так как рисунок
диска модулятора повторяется через фазовый угол 2л/п.

Подставляя теперь (7.3) и (7.5) в~(4.41) при г]д = 0, получим
максимальное значение модуля k-й гармоники

|Ofelmax = ^Aj± (r2_r2) sin-^3-1.

I n imax	'	1'	2

(7-6)

Эта элементарная формула наглядно, показывает зависимость
сигнала от параметров объекта Ат) и Аг (г22 — /*21)/2гд и от числа
секторов анализатора п при различных значениях k.

Пронормировав выражение (7.6) по значению | ФА | тах, полу-
ченному при согласовании размеров элемента анализатора и изо-
бражения объекта Ат| = л/n, найдем при k — п показатель размер-
ной селективности



I Imax у ____

|Фп|“ах’ Р

sin-----

2
Таким образом, коэффициент размерной селективности падает
по синусоидальному закону с увеличением угла раствора сектора
объекта. Эта зависимость имеет в данном случае несколько бо-

лее пологий ход, чем для рас-
смотренных ранее схем.

Рассмотрим теперь другую
разновидность секторного вра-
щающегося растра [54, 66]
(рис. 7.2), отличающуюся нали-
чием полупрозрачной полови-
ны. Вследствие разницы в ри-
сунке двух половин такой растр
позволяет выделять фазу рас-
согласования, поэтому он мо-
жет использоваться в системах
углового автосопровождения.
Одинаковость среднего пропус-
кания обеих половин (50%)
исключает модуляцию однород-
ного фона.

Весовая функция этого растра

Рис 7.2. Секторный вращающийся
растр с полупрозрачной половиной.

0 при (2/—1)—<т] <2/—и r>rm,
п	п

h(r,i\) =

hn при

(2/_2)-5-<п<(2/-1)^-и r<rm,

(7.8)

/in

- при

л < т] < 2л и г < rm.

Подставив (7.8) в (4.37) получим выражение

/1 +ехр ( — j —2л) +... + ехр

\	\ п J

. k

— J — л;
п

Г •	7

+ -^ехр(—jbt)[l —ехр (—jfor)]j,

которому после суммирования геометрической прогрессии можно
придать вид

= [1 “ех₽ ^4 4 ’	(7-9)

здесь п—четное число.

Из (7.9) следует, что при четных значениях индекса k все коэф-
фициенты hk, кроме к = п,3п,5 п и далее имеют нулевые зна-
чения. Коэффициент hk, соответствующий несущей частоте k — п,
после раскрытия неопределенности типа 0 . оо оказывается рав-
ным /in/2nj. Коэффициенты с нечетными индексами имеют вид
hn i0 kn
2itk п 2*

Таким образом, гармоника несущей частоты имеет вдвое мень-
шую амплитуду, чем в (7.6), из-за того, что половина периода моду-
ляции не используется.

Подставляя (7.3) и (7.9) в.(4.41) при Цд = 0 получаем

|ф.к.,=	(7.10)

4л	k2	2 n2 I

Рис. 7.3. Дискретные спектры полезного сигнала растра с полупрозрачной
половиной:

а) при п = 8; и б) при п = 12.

На рис. 7.3 представлен дискретный спектр (7.10), пронор-
мированный по величине eohn(rl — г^)/2л при Ат] = л/n. При этом
для несущей и первой пары ее боковых гармоник имеем
выражения

Ф" = -Ц ф^1=—I—Sin2(ra±1)lt/2\	(7.11)

jn	(n±l)2 cos (n± 1) л/2п

которые свидетельствуют о наличии некоторых отступлений от
амплитудной модуляции ввиду неравенства цравых и левых боко-
вых гармоник [47], но при большом числе секторов п эти отступле-
ния незначительны. Глубина модуляции при этом составляет при-
мерно 4и2/л (и ± I)2, т. е. может иметь место перёмодуляция.

Для сравнения размерной селективности данного растра с дру-
гими рассмотренными выше схемами по одной и той же модели по-
лучим еще выражения для полезного сигнала в случае центрально-
симметричного объекта с ПС вида (1.23) и оптики также с гауссои-
дальной характеристикой (3.19). С этой целью придется прибегнуть
к более общей методике.
Раскрывая выражение для Ек (сог) в (4.35), запишем

л

£k(®r) = V" f 50(сог, у)Я0(®г, у)ехр(—yk^dy. (7.12)

—л

С учетом теоремы сдвига, отражающей смещение центра объ-
екта на величину радиус-вектора гд от начала координат Во (сог, у) =
= Во(сог)ехр []'(оггд cos (у — т]д)], используя интегральное представ-
ление бесселевой функции 1-го рода &-го порядка [8], можно
получить выражение

Eh Ч) = Во (®г) Но (шг) Jft (®г гд).	(7.13)

Подставляя далее в (4.42) выражение (7.9) для растра
рис. 7.2 с помощью (7.13) из (4.35), обозначая внутренний интег-
гт

рал (см. рис. 4.2): 77fe(corrm) = $rJfe((orr)dr и подставляя при-
о

нятые выше выражения (1.23) и (3.19), получаем

°°	2

п	«ГС Г*	/ о пч

= 44 hn Г? Г* [1 -(-1)*] — tg— -2- J ехр [-----f (г* + г?)] х

О

X Jft ((Ог Гд) Hk (сог rm) ®r dtor.	(7.14)

Нормированные значения <Dfe при п = 18 для фиксированных
значений гт, г0 и гд, соответствующих максимуму модуляционной
характеристики, представлены на рис. 7.4 в функции от величины
/ги = 1/^э- $та зависимость отражает размерную селективность
секторного анализатора, которая оказывается несколько слабее,
чем у 7-элементного анализатора кругового переноса (рис. 6.1,6),
из-за отсутствия разбиения на элементы в радиальном направлении.
На рис. 7.5 изображена модуляционная характеристика секторного
растра по несущей частоте. Линейная зона формируется благодаря
размерной селективности растра. Сужение секторов к центру диска
при неизменном размере изображения объекта вызывает падение
глубины модуляции. По той же причине в самом центре образуется
мертвая зона (глубина модуляции падает до нуля).

Характеристика размерной селективности и модуляционная
характеристика вращающегося секторного растра, показанного
на рис. 7.1, при равномерном распределении энергии в пятне рас-
сеивания оптики получены в работах [54, 69].

При сложном виде распределения энергии в пятне рассеивания,
плохо поддающемся аппроксимации удобными аналитическими
выражениями, если вдобавок требования к точности построения
177
модуляционных характеристик по точечному источнику сравнитель-
но высоки, можно воспользоваться дискретным представлением изо-
бражения объекта в виде набора 6-функций с одинаковыми весами
{как при получении весовой функции оптики из расчета хода N
лучей, см. гл. 3):

6(П —Лг) —6(г —/•;)•
Г

(7.15)

Рис. 7.4. Характеристика размерной Рис. 7.5. Модуляционная характери-
селективности растра, изображенного стика растра (рис. 7.2) по несущей
на рис. 7.2.	частоте.

Подставляя это выражение в выражение свертки (4.40) и пере-
ходя с помощью формул (4.36)—(4.39) к частотным коэффициентам
по фазовому углу, получаем

N

ФЬ= -^2 Л-И^)ехР(—	(7-16)

<=1

Последняя формула может использоваться и для растров
с искривленными секторами, у которых период следования секторов
меняется в зависимости от фазового угла и радиуса, обеспечивая
частотную модуляцию сигнала [44].

Такая форма записи особенно удобна для расчетов на ЭЦВМ.

7.3.	МЕШАЮЩИЙ СИГНАЛ ОТ СЛУЧАЙНОГО ФОНА НА ВЫХОДЕ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ СЕКТОРНОГО РАСТРА

Ограничиваясь изотропным фоном и центрально-симметричной
оптикой, прибегнем к формуле (4/72):

Gh = ±-\Gb (<or) Н* (®г) | Hk (<or) Р <tor.

2л; J
Получим предварительно выражение обобщенной ПЧХ сектор-
ного растра (рис. 7.1). В соответствии с (4.42) имеем

гт	гт

Нк (®г) = 2jtj36 f	Jft (ci)r r) rdr = 2nhn j3*-1 f Jft (cor) rdr.

J я j k	k	J

о	0

(7.17)

Интеграл в (7.17) не записывается в конечном виде, но легко на-
ходится численно. На рис. 4.2 был изображен вид обобщенной
ПЧХ секторного растра для некоторых значений k.

На рис. 7.6 представлены величины нормированных дисперсий
гармоник помехи, рассчитанных по выражению (4.72) с использова-
нием (7.17), при кубично-гиперболическом ПС фона (1.43). Расчеты
показывают, что зависимость величины помехи на выходе анализа-
тора от размера поля зрения оказывается более резкой, чем на входе,
где лучистый поток в случае равномерного фона пропорционален
площади поля зрения.

Отсюда ясна желательность сужения поля зрения для снижения
уровня мешающего сигнала от случайного фона. Следует также
иметь в виду, что с уменьшением поля зрения появляются возмож-
ности улучшения качества оптической системы, а следовательно,
и более мелкого расчленения растра (при выполнении расчетов это
не учитывалось).

Зависимость мешающего сигнала на несущей частоте от числа
секторов показана на рис. 7.7. Из расчетов следует, что эта зави-
симость проявляется в довольно крутом спаде с ростом числа п.
Спектр помехи от кубично-гиперболического ПС фона (1.43) на вы-
ходе растра (рис. 7.2), рассчитанный с помощью точных выражений
(4.72)—(4.73), (4.42) и (7.9), показан на рис. 7.8. Он имеет локальный
максимум в районе частоты несущей. Величина максимума и кру-
тизна спада существенно зависят от радиуса поля зрения гт и числа
секторов п.

На рис. 7.9 представлена зависимость интенсивности мешающего
сигнала секторного растра на гармонике несущей от величины ра-
диуса корреляции фона, отнесенного к радиусу поля зрения.

Получим теперь приближенное выражение для дисперсии по-
мехи Gft в случае квадратично-гиперболического вида ПС фона.

Как уже отмечалось, определяющая роль оптической системы
в осуществлении пространственной фильтрации проявляется именно
в необходимости согласования элементов растра с ее пятном рассеи-
вания. Учет же самих по себе характеристик оптики не играет ре-
шающей роли. Для облегчения взятия интеграла (4.72) приближен-
ный дополнительный учет этого фактора можно произвести с по-
мощью некоторого увеличения радиуса корреляции фона. Это на-
глядно видно на примере гауссоидального ПС фона, однотипного
с ПЧХ оптики, который можно было бы охарактеризовать «при-
Рис. 7.6. Зависимость дисперсии по-
мехи на несущей от поля зрения
растра и числа секторов п .

Рис. 7.7? Зависимость дисперсии по-
мехи на несущей частоте от числа
секторов растра.

Рис. 7.8. Спектр помехи растра, показанного на рис. 7.2.
веденным» (к изображению фона) радиусом корреляции гф п =
= ]/"гф+2го- Для гиперболического ПС фона это соотношение
можно использовать как приближенное.

Еще одно существенное упрощение, относящееся к выражению
ПС фона, возможно при больших значениях радиуса корреляции,

если в схеме предусматривается
достаточно сильное подавление
низких частот. В растровых ана-
лизаторах такое подавление имеет
место при «резонансной настройке»
анализатора, обусловленной его
периодической структурой. Оно
проявляется в зависимости Hk (сог)
(7.17) при интегрировании бессе-
левой функции. Это упрощение,
уже использовавшееся ранее для
ОПФ и ППФ, заключается в пере-
ходе на «чистые» гиперболы ПС:

Gb (со ) = о2 —— , <$ = 2 или 3.

(7.18)

Рис. 7.9. Дисперсия несущей на
выходе растра в зависимости от
радиуса корреляции фона.

Пользуясь этими упрощениями и изменив порядок интегриро-
вания в выражении для Gk, получим

гт	гт

Gk^4h2 h2 <J2b rl~n j гг dr1 j r2 dr2 X

О	о

оо

X f	(7.19)

J
о

При s = 3 (кубично-гиперболический ПС фона) внутренний
интеграл выражается через гипергеометрические функции, и ана-
литическое выражение Gk принимает довольно громоздкий вид.

Применительно к наиболее неблагоприятному из рассмотрен-
ных нами — квадратично-гиперболическому ПС фона (s = 2) ин-
тегралы в (7.19) могут быть записаны весьма просто в конечном
виде. Воспользуемся с этой целью выражением (4.416) из работы
181:

J	J

о

1 / М*

26 krj

1

2k \ r2 /

при t\ > r2

при r2 Гг.

(7.20)
Разбивая соответственно на две части интервал интегрирования
следующего интеграла и интересуясь прежде всего интенсивностью
гармоники несущей (k = ri), в результате ряда преобразований
получим

Gk

h2 h2 2 4
no nn Gb rm

n (n + 2)

(7.21)

Таким образом, мощность несущей при достаточно большом п
примерно обратно пропорциональна квадрату числа секторов и
прямо пропорциональна четвертой степени радиуса поля зрения,
В принятых условиях она не зависит от радиуса корреляции. Полу-
ченные зависимости несколько отличаются от найденных выше точ-
ным расчетом для ПС (1.43). Поверочные расчеты подтверждают,
что эти отличия обусловлены иным видом спектра фона, а сделан-
ные при выводе (7.21) упрощения привели лишь к незначительным
ошибкам. Отличия в ПС, в первую очередь, сказались на степени
влияния радиуса корреляции. Размеры поля зрения и элемента
растра для ПС фона (1.47) оказываются несколько более критич-
ными.

7.4.	ВРАЩАЮЩИЙСЯ РАСТР С «ШАХМАТНОЙ КЛЕТКОЙ».
ПОЛЕЗНЫЙ СИГНАЛ

При необходимости обеспечить достаточно широкое поле зре-
ния секторный растр приходится делать с сильно вытянутыми
в радиальном направлении элементами. Такой анализатор, есте-
ственно, не может обеспечить хорошей размерной селективности по
определенным образом ориентированным протяженным (вдоль сек-
торов) неоднородностям фона. Отсюда стремление к рисункам растра,
имеющим членение по всем возможным направлениям, чтобы раз-
меры элементов этих растров можно было бы согласовать с разме-
рами пятна рассеивания оптики.

Этим требованиям в значительной мере удовлетворяет вращаю-
щийся растр, у которого помимо секторов предусмотрены еще и
кольца, образующие совместно с секторами чередующиеся как
в тангенциальном, так и в радиальном направлении прозрачные и
непрозрачные элементы, наподобие сходящихся к центру «шахмат-
ных клеток» (рис. 7.10) [44]. Правда, и в таком растре есть направ-
ления, по которым пространственная фильтрация несколько ослаб-
лена (диагонали «шахматной доски»), но решающее значение имеет
реализация возможности согласования элемента анализатора с изо-
бражением малоразмерного объекта по обоим ортогональным на-
правлениям.

Рассмотрим характеристики размерной селективности подоб-
ного растра по секторально-сегментным моделям (7.2).
Из условия отсутствия сигнала от равномерного фона и крупно-
размерных неоднородностей вытекает желательность максималь-
ного выравнивания среднего местного пропускания («локальной
балансировки») растра по всему полю и, следовательно, неравномер-
ной толщины колец. Примем поэтому все кольца равными по пло-
щади, что означает разбивку их радиусов по формуле = гт х

X р,/]/т (где т — число колец, а р — текущий номер кольца, от-
считываемый от центра).

При этом форма элементов бу-
дет несколько меняться от центра
к краю растра, и полного согласо-
вания с размерами круглого пятна
рассеивания по всему полю обес-
печить не удастся. Чтобы это усло-
вие выполнялось наилучшим об-
разом хотя бы в среднем, можно
сделать размеры элемента анали-
затора вдоль и поперек радиуса
одинаковыми на среднем кольце
(Нср = ™/2):

—-----------= Гц — Гц —1,	Рис. 7.10. Секторно-кольцевой

2 п	(«шахматный») вращающийся

__	растр.

что дает п « л ]/ 2т при больших и.

Получастотные коэффициенты разложения весовой функции
р,-го кольца клетчатого растра по фазовому углу равны

hk (.r) = hkVk =

— (—l)u+i

при — нечетном или г rm,
k

А	п

О при —дробном и четном или г^>гт.

(7.22)

Модель изображения объекта с примерно равными размерами
в радиальном и тангенциальном направлениях (чтобы не выделять
без особых оснований какое-то одно направление) поместим для
определенности у края растра. При этом меньший радиус модели
будет равен

'•н = гт(1 — А»))-

(7.23)

Получастотный коэффициент облученности изображения объекта
определяется выражением типа (7.3) в пределах от гн до гт. Под-
ставив (7.23) и (7.3) в (4.41), после некоторых преобразований полу-
чим

Лт) л

Дф =	—*9°.2 (— 1)Ж Г1 + 1 + (~1)+ ~'2f 1 (7 24)

л Дт) л	L 2тДт)(2—Дг]) V '

Д0С 2

где I — целая часть [тЛт] (Дт] — 2) ] — числа колец, занятых
объектом; Д0С = л/п — угловая ширина сектора растра; ДФ —
лучистый поток.

Коэффициент размерной селективности kp определяется из соот-
ношения kp = |Фп|/| Фп|дп=о.

Рис. 7.11, Коэффициент размерной селективности шахматного растра в за-
висимости от угловой ширины объекта.

Результаты расчета этого коэффициента представлены на рис. 7.11.

Характеристика размерной селективности секторно-кольцевого
растра падает круче и имеет больше минимумов, чем аналогичная
характеристика секторного растра (7.7), что достигается дополни-
тельным разделением его на элементы в радиальном направлении.
За счет добавочного множителя sine падает амплитуда вто-
рого максимума. Однако кольца, повышая размерную селектив-
ность растра, могут привести к тому, что при попадании объекта
на стык двух колец полезный сигнал может резко уменьшиться и
даже вовсе пропасть из-за противоположности фаз сигнала несущей
для соседних колец.

Таким образом, модуляционная характеристика имеет провал
между кольцами, что понижает среднее по полю зрения значение
квадрата пикового значения сигнала и уменьшает выигрыш в ве-
184
личине отношения сигнал/помеха по сравнению с аналогичным сек-
торным растром. Этого недостатка лишены спиральные растры,
разделенные на элементы в радиальном направлении путем изгибов
или изломов прозрачных элементов (рис. 7.12 и 7.13). В этом случае
имеется возможность лучшего согласования поперечного размера
элемента растра с размером пятна рассеивания оптики, чем в сек-
торном растре и в то же время отсутствуют провалы в модуляцион-
ной характеристике, свойственные секторно-кольцевому растру.

Рис. 7.12. Вращающийся спиральный
растр.

Рис 7.13. Вращающийся растр со
спиралями, имеющими изломы.

Такие растры слабо модулируют протяженные кромки облаков,
если только форма этих кромок не совпадает с формой спиралей
растра. При сильно изогнутой или изломанной форме спиралей
такое совпадение маловероятно, так же как и совпадение формы
кромки облака с рисунком «шахматного» растра. Подобные спи-
ральные растры могут быть рассчитаны по вышеприведенной общей
методике, однако из-за сложного вида их структуры эти расчеты
более трудоемки.

7.5. МЕШАЮЩИЙ СИГНАЛ НА ВЫХОДЕ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ
«ШАХМАТНОГО» РАСТРА

Перейдем теперь к рассмотрению мешающего сигнала от случай-
ного фона для секторно-кольцевого вращающегося растра. Ввиду
двойного разделения растра на элементы, выражение для ПЧХ
имеет громоздкий вид. Оно получается путем суперпозиции коэф-
фициентов ПЧХ отдельных колец

m

nk(f£>r)=-

Ц=1

(7.25)
Квадрат модуля ПЧХ (7.25), входящий в выражение для Gk,
определяется через двойные суммы

т т

I (<М |2 ~ 2 2 Hknt (<ЯГ) Н(7.26)

Цх=1 Ц2=1

Hky, (®г) — 2nj3A: hk\k

5 ^k^rr)rdr.

(7.27)

Рис. 7.14. Относительная величина
дисперсии помехи на несущей часто-
те в зависимости от числа секторов
растра.

Рис. 7.15. Относительная величина
помехи на несущей в зависимости от
числа колец в растре.



Интеграл в (7.27) не записывается в конечном виде, что суще-
ственно осложняет получение точных результатов, заставляя при-
бегать к трудоемким расчетам на ЭЦВМ. В наиболее интересном
частном случае — обнаружения малоразмерного объекта на сильно-
коррелированном фоне, возможно приближенное решение как и
для секторного растра. Аналитическое выражение удается получить
по крайней мере для случая квадратично- гиперболического ПС
фона.

Подставляя (7.26) и (7.27) в (4.72) и пользуясь выражением
(7.21) для внутреннего интеграла, при соответствующей разбивке
сумм и интервалов последующих двух интегралов, в результате
ряда тождественных преобразований можно получить выражение
для дисперсии помехи

Gk = Ob Гт Р (fn, п, k),

(7.28)


4n2
m2A3(4—fe2)

----m fe	i)m+1 mp x

m	wi

x S (-1Мн-(Н1-1)“1 +2 2	X

Ui=l	Hi=l

X 2 (-lW“+№-(Hl-1)«] 2 (-l)MH, (7.29)
ц,=1	Ц2=Ц1

где

Рис. 7.16. Величина помехи на вы- Рис. 7.17. Размерная селективность
ходе секторного и «шахматного» «шахматного» растра с полупрозрач-
растров.	ной половиной.

Проведенные по этим формулам расчеты проиллюстрированы на
рис. 7.14 и 7.15, из которых видно влияние степени расчленения
растра на секторы (параметр и) и кольца (параметр т) на величину
мешающего сигнала частоты несущей (£ = и). Оба эти параметра
сказываются существенно, снижая уровень помехи по мере умень-
шения размеров элементов анализатора. При этом добавление ко-
лец заметно улучшает пространственную фильтрацию в «клетчатом»
растре по сравнению с секторным.

На рис. 7.16 приведены значения нормированной дисперсии
помехи для растра, показанного на рис. 7.1 и 7.10, при одинаковых
значениях параметров и, гт и гф [для ПС фона, описываемого выра-
жением (1.48) ]. Из рисунка следует, что разделение растра на эле-
менты в радиальном направлении дополнительно понижает уровень
помехи в 1,5—2,7 раза (по мощности) при числе колец от 2 до 8.

В оптико-электронных системах углового сопровождения могут
использоваться вращающиеся «шахматные» растры с полупрозрач-
ной половиной, позволяющие выделять фазу вектора рассогласо-
8*	187
вания объекта по отношению к оптической оси при сохранении
среднего 50%-ного пропускания по площади.

Для сравнения с другими схемами по вышеописанной методике
были рассчитаны на ЭЦВМ характеристики их размерной селектив-
ности по модели рис. 1.3 в максимуме модуляционной характери-
стики (посредине соответствующей кольцевой зоны).

Рис. 7 18 Спектр помехи на выходе вращающегося шахматного растра с
полупрозрачной половиной.

На рис. 7.17 изображена одна из подобных характеристик. Она
имеет более крутой спад, чем у аналогичного секторного растра
(с параметром т = 1).

Спектр случайной помехи на выходе этого растра от фона с ПС
типа (1.48) вычислялся на ЭЦВМ по точным зависимостям (4.62),
(7.26), (7.27), учитывающим отсутствие секторов на полупрозрач-
ной половине диска. Результаты этого расчета при п = 18 (в нор-
мированном виде) представлены на рис. 7.18.

Вид спектра такой же, как и у секторного растра (т = 1). С воз-
растанием числа колец т уровень помехи падает, что подтверждает
сделанные выше выводы о пользе расчленения растра на элементы
в радиальном направлении с точки зрения подавления помехи.
При недостатке чувствительности нельзя, однако, упускать из виду
потери полезного сигнала на границах колец.
В заключение следует отметить, что рассмотренные в этой главе
центральные вращающиеся растры, ввиду наличия мертвой зоны
или малых рассогласованиях, нельзя сделать достаточно узко-
польными и таким путем приблизить их к ППФ. В этом отношении
лучшими свойствами обладают внеосевые (периферийные) вращаю-
щиеся растры [59], но их использование в оптико-электронных
системах пеленгации может затрудняться конструктивными и техно-
логическими причинами.

Исследование характеристик пространственной фильтрации
этих растров может производиться развитыми в работе методами
с дополнительным учетом (в случае необходимости) ограничения
поля зрения размерами и удалением фотоприемника.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем дополнительные обобщающие соображения по проб-
леме пространственной фильтрации. Они касаются совместной трак-
товки результатов, полученных в разных частях работы, поясняют
значение выявленных закономерностей, намечают, по возможности,
пути дальнейшего совершенствования схем обработки сигнала и
некоторые направления новых изысканий. Учитывая в известной
степени итоговый характер этих соображений, сформулируем их
в форме развернутых тезисов.

1.	Рассмотрение общей задачи оптимального выделения мало-
размерного неподвижного излучающего объекта на случайном кор-
релированном фоне, подчиняющемся нормальному закону распре-
деления и удовлетворяющем гипотезам эргодичности и стационар-
ности, показывает, что при определенных условиях решение сво-
дится к раздельному осуществлению пространственной и спектраль-
ной (оптической) фильтрации и результирующее отношение сиг-
нал/помеха является произведением этих величин на выходе соот-
ветствующих линейных оптимальных фильтров (пространственного
ОПФ и оптического).

2.	Структура ОПФ включает в себя звено, согласованное с ха-
рактеристиками полезного сигнала, и помехоподавляющее звено,
выполняющее операции типа пространственного дифференцирова-
ния.

Эффективность ОПФ определяется отношением средней вели-
чины радиуса корреляции фона к среднему радиусу излучающего
объекта. Использование анизотропии фона способствует улучше-
нию характеристик ОПФ. При этом фильтр приобретает асимметрич-
ный вид. Если ориентация осей анизотропии неизвестна, то целе-
сообразно делать фильтр центрально-симметричным.

3.	Оптическая система и фотоприемник, неотъемлемо входящие
в состав приемного устройства системы оптической пеленгации,
существенно ограничивают возможности пространственной фильтра-
ции из-за конечной величины их элементов разрешения. Некоторая
возможность компенсации их действия заключается в повышении
порядка дифференцирования помехоподавляющего звена подопти-
мального пространственного фильтра (ППФ). Быструю оценку пре-
дельных характеристик ППФ можно производить с помощью полу-
ченных в работе простых приближенных формул.

4.	ППФ с дискретным дифференцированием (использованием
конечных разностей) могут рассматриваться как статические экви-
190
валенты реальных устройств, содержащих подвижный анализатор
изображения и электрический фильтр сигнала с фотоприемника.
Наличие внутренних шумов системы вынуждает расширять поле
зрения, вводя для обеспечения полной глубины модуляции скани-
рование с амплитудой, не меньшей размера элемента разрешения,
и сужая полосу усилительного тракта не только со стороны низких,
но и со стороны высоких частот. Это ведет к отступлению от «чистого»
дифференцирования и приближает схему к алгоритму конечных раз-
ностей. Понятие о статическом эквиваленте особенно удобно исполь-
зовать для случая равномерно-прямолинейного движения. В случае
сложного перемещения анализатора нахождение пространствен-
ного эквивалента требует, строго говоря, решения интегральных
уравнений; для качественного сопоставления можно, однако, вос-
пользоваться упрощенным графо-аналитическим методом пред-
ставления весовых функций усилительного тракта.

5.	Общая теория подвижных анализаторов изображения, раз-
витая в работе на базе обобщенного частотного метода, позволяет
получать спектры полезного сигнала и случайной помехи (от не-
однородностей излучения фона) на выходе анализатора при произ-
вольном виде развертки изображения. При последующем выборе
частотной характеристики усилительного тракта, соответствующем
оптимальной электрической фильтрации (ОЭФ), она дает возмож-
ность оценить характеристики пространственной фильтрации любых
реальных приемных устройств систем оптической пеленгации.

6.	Для обеспечения высокой размерной селективности при со-
хранении чувствительности целесообразно согласовывать размер
элементарного анализатора с пятном рассеивания оптики. Экви-
валентный элемент разрешения системы при этом имеет суммарную
(удвоенную) площадь.

7.	Анализаторы с равномерно-прямолинейным движением наи-
более полно отвечают требованиям широкопольных систем. Ввиду
того, что их поле обзора намного превышает оптимальный (с точки
зрения пространственной фильтрации) размер, им необходим весьма
широкополосный усилительный тракт, и как следствие этого их
характеристики сильно уступают характеристикам ППФ. Помехо-
подавление в направлении сканирования здесь может осуществлять-
ся в ОЭФ. В перпендикулярном направлении для этой цели можно
использовать межканальную обработку сигнала, в частности с по-
мощью встречно-включенных фотоприемников.

8.	Анализаторы с вращением радиально-секторного растра во-
круг оптической оси имеют в центре поля зрения мертвую зону, что
не позволяет сделать их достаточно узкопольными и приблизить
к характеристикам ППФ.

Повышение их размерной селективности требует расчленения
растра на элементы вдоль обеих осей координат. Это дает клетча-
тым растрам преимущество по помехоподавлению над секторными,
однако падение глубины модуляции сигнала на границах колец
вынуждает в ряде случаев предпочитать компромиссные (в отно-
шении потерь полезного сигнала и подавления помехи от фона)
виды растров с изогнутыми (или изломанными) вытянутыми эле-
ментами.

9.	К характеристикам ППФ приближаются анализаторы изо-
бражения с размахом сканирования, соответствующим размеру
нескольких элементов разрешения (круговое движение при семи-
элементном анализаторе или эпициклоидальное при одноэлемент-
ном). При этом статический их эквивалент содержит конечные раз-
ности до 4-го порядка по трем осям (под 120°).

Малая скважность сигнала (бедный спектральный состав) и не-
большая площадь фотослоя (особенно при одноэлементном анали-
заторе с эпициклоидальной разверткой) способствуют получению
высокой пороговой чувствительности.

10.	Для обеспечения широкого поля обзора при малом времени
кадра с помощью узкопольных анализаторов необходимо исполь-
зовать многоканальные устройства или вводить поисковое движе-
ние. В последнем случае скорость его должна быть ограничена ве-
личинами на порядок меньшими, чем скорость развертки, во из-
бежание существенных искажений характеристик пространствен-
ной фильтрации.

11.	При реализации ППФ с помощью дифференциального вклю-
чения соседних каналов при отсутствии быстрого поискового дви-
жения наличие внутренних шумов все равно вынуждает вводить
дополнительную модуляцию сигнала. Совокупность двух способов
обработки сигнала должна иметь результирующий эквивалентный
алгоритм^ близкий к ППФ, что в некоторых случаях оказывается
труднодостижимым. Кроме того, характеристики схем с межка-
нальной обработкой сигнала существенно ухудшаются при наличии
зазоров между фоточувствительными площадками, а также вслед-
ствие разброса коэффициентов усиления каналов.

12.	В этом смысле преимуществами обладают многоканальные
схемы с внутриканальной обработкой сигнала, позволяющие пере-
крыть зазоры между элементами фотоприемника путем применения
развертки малого размаха, вносящей одновременно модуляцию
сигнала и позволяющей измерять рассогласование объекта внутри
поля зрения каждого канала независимо от разброса параметров
соседних каналов.

13.	При выборе схем и параметров подвижного анализатора и
электрического фильтра приходится разрешать противоречие между
чувствительностью и помехозащищенностью.

Ввиду значительной разницы характеристик помехи фона и шу-
мов фотоприемника, это противоречие может быть довольно глубо-
ким, особенно в отношении ОЭФ. При оптимизации с учетом только
внешних помех из-за потерь полезного сигнала может значительно
снизиться чувствительность. При оптимизации лишь по внутрен-
ним шумам будет происходить значительное загрубление системы
192
помехой от фона. Оптимизация по совокупности помех и шумов
требует знания их уровней или решения сложных вопросов авто-
подстройки системы под фактическое соотношение того и другого
возмущающего воздействия.

14.	Приближенная оценка эффективности логической размерной
селекции по сравнению с линейным ППФ на двухуровневой модели
фона показала, что использование непосредственного измерения
протяженности пространственных импульсов могло бы существенно
повысить характеристики обнаружения.

Однако практическая реализация подобных схем встречает
трудности, связанные с влиянием амплитуды и других параметров
импульсов и воздействием внутренних шумов. Здесь еще резче
сказывается противоречие между чувствительностью и помехоза-
щищенностью. Логическая размерная селекция может осуще-
ствляться с помощью упомянутых схем с разверткой неболь-
шого размаха при логической схеме обработки электрического
сигнала.

Из дополнительного рассмотрения вытекает постановка неко-
торых вопросов дальнейших исследований в частности:

15.	Заслуживает специального исследования вопрос о влиянии
на характеристики узкопольных и узкополосных схем различных
отклонений от предусмотренной траектории развертки под воздей-
ствием регулярных и случайных возмущающих факторов (движения
объекта, вибраций, колебаний замкнутой системы под влиянием
шумов ит. п.), которые могут лимитировать повышение показателей
этих перспективных схем.

16.	Представляет интерес рассмотрение анализаторов изобра-
жения с гибко управляемым законом движения и даже с движением
по случайному закону с заданными вероятностными характеристи-
ками. Такой закон развертки может формироваться генератором
шумов; параллельно тот же управляющий сигнал может исполь-
зоваться в качествё опорного для схемы дискриминации координат
объекта. Подобное устройство может иметь повышенную защищен-
ность от модулированных помех и, кроме того, обладать достоин-
ствами схем с квазислучайной модуляцией сигнала. Это уже не-
сколько напоминает высокоэффективный механизм движения орга-
нов зрения высших млекопитающих.

17.	В более широком смысле следует рассматривать простран-
ственную фильтрацию при достаточно высокой разрешающей спо-
собности оптики, в частности при сближении с объектом пеленга-
ции. Здесь главными становятся вопросы точности определения
координат объекта. В этой связи большой интерес представляет ме-
тод пространственной корреляции текущего изображения с запом-
ненным, сулящий приближение к оптимальному решению.

Здесь пространственная фильтрация вплотную примыкает к
проблеме автоматического распознавания образов в ее биокибер-
нетическом аспекте.
ЛИТЕРАТУРА

1.	Aroyan G. F. The Technique of Spatial Filtering. IRE, 1959,
v. 47, № 9.

2.	Robinson D. Z. Methods of Background Description and Their
Utility. Proc. IRE, 1959, v. 47, № 9.

3.	Джемисон Дж. Э. и др. Физика и техника инфракрасного
излучения. Пер. с англ. Изд-во «Советское радио», 1965.

4.	АлексеевВ. И. Авиационная инфракрасная техника и светотех-
ника. Изд. ВВИА, 1963.

5.	Б и б е р м а н Л. М. Растры в электрооптических устройствах. Изд-во
«Энергия», 1969.

6.	Б ашаринов А. Е. иАнановН. И. Эффективность дискретных
алгоритмов селекции пространственных сигналов на фоне коррелированных
шумов. «Радиотехника и электроника», 1964, т. IX, №7.

7.	А н а н о в Н. И., К и р д я ш е в К. П. Оптимальная и подоптималь-
ная фильтрация пространственных сигналов при коррелированных шумах
«Радиотехника и электроника», 1964, т. IX, № 7.

8.	РыжикИ. М., Г радштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Гостехиздат, 1951.

9.	Деныциков К. К. Метод имитации ИК фонов облачного неба
для исследования помехозащищенности оптико-электронных САР. «Изве-
стия вузов СССР», Приборостроение, 1969, т. XII, № 10.

10.	К а г г Р. R. Mathematical Study of Background Noise, IRIS, 1957,
26, X.

11.	Л и в ш и ц H. А., П у г а ч e в В. H. Вероятностный анализ си-
стем автоматического управления. Изд-во «Советское радио», 1963.

12.	British Association Report 1926. Committee of prof. Nicolson. Calcu-
lation of Mathematical Tables.

13.	T и x о н о в В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Совет-
ское радио», 1966.

14.	Bell Е. Е., Е i s n е г L., Y о u n g J., О е t j е n R. A., JOSA,
1960, v. 50, р. 1313.

15.	Bell Е.Е., Eisner L.,Y oungJ.,AbolinsA.,Oetj enR.A.
Infrared Techniques and Measurements. ASTIA AD 151221 Reasearch Founda-
tion, Ohio State University, Oct. 1957.

16.	Б а й нште й н Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на
фоне случайных помех. Изд-во «Советское радио», 1957.

17.	Т г a b k а I. В., Retling F. I. Image Processing for Pattern
Recognition. JOSA, 1964, V. 54, № 10, p. 1241—1252.

18.	Шестов H. С. Выделение оптических сигналов на фоне случай-
ных помех. Изд-во «Советское радио», 1967.

19.	Я н к е Е., Э м д е Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Изд-во
«Наука», 1964.

20.	Левшин В. Л. Некоторые соотношения оптимальной простран-
ственной фильтрации. В сб. «Анализ и синтез систем автоматического управле-
ния». Изд-Ёо «Наука», 1968.

21.	К о v a s z п а у L. S. С., J о s е р h Н. М. Image Processing. Proc.
IRE, 1955, v. 43, № 5, p. 560—570.
22.	Глезер Б. Д., Цуккерман И. И. Информация и зрение.
Изд. АН СССР, 1961.

23.	Лебедев Д. С., Лебедев Д. Г. Дискретизация изображений
посредством выделения и квантования контуров. «Известия АН СССР».
Техническая кибернетика, 1965, № 1, стр. 88—91.

24.	Т у д о р о в с к и й А. И. Теория оптических приборов. Изд. АН
СССР, 1948.

25.	Брамсон М. А. Инфракрасное излучение нагретых тел. Изд-во
«Наука», 1964.

26.	«Оценка качества оптического изображения». Сб. статей. Геодези-
ческое изД-во, 1959.

27.	Р а к о в с к и й Ю. Н. Анализ влияния помех фона на пороговую
чувствительность фотоэлектронных импульсных индикаторов. «Оптико-ме-
ханическая промышленность», 1966, № 4.

28.	Wolf I., Thomas I. On recognition of signal patterns in noise.
IRE Conv. Rec., 1961., pt. 4.

29.	К и p д я ш e в К. П. Одномерная и двумерная фильтрация про-
странственных сигналов при коррелированных шумах. «Радиотехника и
электроника», 1967, т. XII, № 6, стр. 108&—1090.

30.	Montgomery W. D., Broom Р. W. Spatial Filtering. JOSA,
1962, v. 52, №11, p. 1259—1275.

31.	S e у r a f i K., D a v i s о n C. A. Spatial Filtering Synthesis Y. R.
Physics, 1964, y. 4, № 4, Dec. p. 263—274.

32.	К и p д я ш e в К. П. О пространственной изотропной фильтрации
коррелированного шумового фона. «Радиотехника и электроника», 1966,
т. XII, №4, стр. 602—607.

33.	Дубиновский А. М. К расчету оптимальных характеристик
пространственных фильтров. «Оптико-механическая промышленность», 1964,
№ 2, стр. 28—32.

34.	Е 1 d е г i n g Н. G. Method for the Complete Description of the Infra-
red Sky Backgrounds. JOSA, 1962, v. 51, № 12.

35.	D i a m a n t i d e s N. D. Quantization, Statistics and Matching of
Maps and Pictures. IEEE Transactions on Aerospace and Navigational Electro-
nics, 1964, ANE-11, №3, sept., p. 180—206.

36.	Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к
задачам управления системами авторегулирования. Гостехиздат, 1957.

37.	П и н с к е р И. Ш. Представление функций многих переменных с
помощью суммирующих, множительных и функциональных устройств. «Тру-
ды семинара по теории машин и приборов при институте Машиноведения
АН СССР», вып. 9. 1956.

38.	Е 1 d е г i n g Н. G. The theory of optimum spectral filtering. Infrared.
Physics, 1964, v. 4, №4, p. 231—237.

39.	И г н а т ь е в И. К. Дискретизация многомерных сообщений. «На-
учные доклады высшей школы». Радиотехника и электроника, 1958, № 1.

40.	Л е в ш и н В. Л. Характеристики пространственной фильтрации
некоторых видов оптико-электронных сканирующих устройств пеленгации.
«Известия АН СССР», Техническая кибернетика, 1967, № 3.

41.	Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.
Изд-во «Советское радио», 1966.

42.	Б у н и м о в и ч В. И. Флюктуационные процессы в радио-
приемных устройствах. Изд-во «Советское радио», 1951.

43.	О р л о в с к и й Е. Л., Халфин А. М. и др. Теоретические осно-
вы электрической передачи изображений. Изд-во «Советское радио», 1962.

44.	М е n g е г s Р. Е., О ' Brien К. В. Analysis of Error Response
of Amplitude Modulated Reticles. JOSA, 1964, v. 54, № 5.

45.	Montgomery W. D. Periodic Reticle for Optical Classification.
JOSA, 1965, v. 55, №9, Sept. p. 1082—1085.
46.	М о n t g о m е г у W. D. The Extension the Probability Distributions
for Detection Spatial. Filters IEEE Trans. Inf. Theory, 1964, v. YT-10, № 1.

47.	Carpenter Rob. Comparison of AM and FM Reticle Systems.
Appl. Opt., 1963, v 2, № 3, p 229—236.

48.	Да ве н порт В В. иРутВ Введение в теорию случайных сиг-
налов и шумов. Изд-во иностранной литературы, 1960.

49	И г н а т ь е в Н. К. Частотный спектр развертки /г-мерных сооб-
щений. «Электросвязь», 1959, № 6.

50.	Цы ба ков Б. С. Линейное кодирование изображений. «Радио-
техника и электроника», 1962, т. XII, № 1, № 3.

51.	G г u b е R. Н. A method for obtaining the transfer functions of space
filters by differential superposition Proc. IRIS, 1961, v. 6, №2, may

52.	Вопросы ракетной техники. 1961, №6, Space Aeronautics, v 34,
1960, № 5, p 195—198.

53	КриксуновЛ. 3, Усольцев И. Ф. Инфракрасные устрой-
ства самонаведения управляемых снарядов. Изд-во «Советское радио», 1963.

54.	G е d a n k A R. Comparison of Infrared Tracking Systems JOSA.
1961, v. 51, № 10, p. 1127.

55.	ЛазаревЛ П Инфракрасные и световые приборы самонаведе-
ния и наведения летательных аппаратов. Изд-во «Машиностроение», 1966.

56.	Линдгрен. Бионика, ч. II. Органы чувств животных и элек-
тронные аналоги. «Электроника», 1962, № 7, стр. 22—27.

57.	К а т ы с Г П. Сканирующие фотоэлектрические устройства поиска
и слежения Изд-во «Наука», 1967.

58.	В u t t w е i 1 е г Т. В. Optimum modulation in Optical Systems.
JOSA, 1961, v. 51, №9 p 1011 — 1015.

59.	Fisher D. W., Heftwich R. T., Yates N. W Surwey of
Infrared Trackers, Appl. Optics., 1966, v. 5, № 4, apr. p. 507—515

60.	P о w e 1 1 R. B. Infrared Tracking Systems, ARS Journ, 1959, v. 29,
№ 12, p 973—980.

61.	Романовский!! И. Ряды Фурье, теория поля, аналитические
и специальные функции, преобразования Лапласа. Физматгиз, 1959.

62.	А н д р е е в В. Д. Прохождение полезного сигнала и сигнала фона
через радиально-щелевые обтюраторы систем индикации светящихся объек-
тов. «Известия АН СССР». Техническая кибернетика, 1963, № 3.

63.	Левшин В. Л. Характеристики подоптимальных пространствен-
ных фильтров В сб. «Анализ и синтез систем автоматического управления».
Изд-во «Наука», 1968.

64.	С л ю с а р е в Г. Г. Геометрическая оптика. Изд. АН СССР, 1946.

65.	Electronics, 1959, № 3.

66.	К р и к с у н о в Л. 3., У с о л ь ц е в И. Ф. Инфракрасные системы
обнаружения, пеленгации и автоматического сопровождения движущихся
объектов Изд-во «Советское радио», 1968.

67.	Б а ш а р и н о в А. Е., Т у ч к о в Л. Т., Поляков В. М.,
А н а н о в Н. И. Измерение радиотепловых и плазменных излучений в СВЧ
диапазоне. Изд-во «Советское радио», 1968.

68	Си t ron a L, Leith Е., PalermoC, Parcello М. Trans.
IRE, 1960, IT-6, № 3, p. 386—389. «Зарубежная радиоэлектроника», 1962,
№ 10, стр. 327.

69.	М с Q u i s t а п R. В. On Radiation Modulation. JOSA, 1959,
v- 49, № 1, p. 70—72.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аберрации оптики 74—78

Аддитивность помехи 39—40

Алгоритмы оптимальных фильтров
42—43, 59—62

Алгоритмы размерной селекции
108—109

Альтернативные гипотезы 38

Анализатор изображения 111 —114

Анизитропия фона 25—27, 30—31,

50, 52, 85—86, 100—101, 107, 109

Апланатизм оптики 75

Белый шум (пространственный) 32, 56

Вероятность апостериорная 39

— априорная 39

—	обнаружения 38

—	пропуска 38

—	ложной тревоги 38

Весовая функция фильтра 42—45,
59

Гипотеза пространственной стацио-
нарности 25

— эргодичности 25

Демодуляция сигнала 130—131

Дельта-функция пространственная
11 — 12

Диафрагма поля зрения 112

Дефицит разрешающей способно-
сти 10, 70, 85, 90

— чувствительности, 72, 83

Дисперсия лучистости фона 24

— на выходе Оптимальных фильтров
44

Дифференцирование пространст-
венное — непрерывное 46, 53—
54, 70—71, 91—92

— — дискретное 60, 72, 73, 91 —
93, 132, 133

Дюамеля интеграл пространствен-
ной свертки 44, 75, 79, ИЗ

Закон Планка 19

— распределения бимодальный 22—
23

Зона стационарности весовой функ
ции оптики 75

Изотропный фон 25—27,	30—31,

50—52, 85—86, 108—109

Инвариантность ОПФ к пространст-
венному сдвигу 45—47

Интегральное уравнение ОПФ 42

Интеграл Фурье 15

Корреляция взаимная каналов ди-
скретного ППФ 93, 95, 99—100

Корреляционная функция фона 24,
26—27, 29—30, 32, 34

— на выходе фильтра 44

Коэффициент размерной селектив-
ности 103, 105, 108—109, 138,
156, 163, 178, 184, 187

— интегральный 103, 106—109

Квазиизотропный фон 30—31, 34,
56, 108—109, 142—143'

Макро и микроструктура поля лу-
чистости фона 21—23

Матрица коэффициентов корреля-
ции фона 22, 43, 57—59, 61

Модель объекта И —14

— фона двухуровневая 23—24, 32—
33, 102—104

Модуляция лучистого потока

— амплитудная 111, 131

— импульсная 131, 135

— частотная 172

Обнаружение сигнала 38

Обработка информации вторичная
129—134, 148, 159—160, 167—168

Оператор Лапласиан 70—71

Оптимальная оптическая фильтра-
ция 63—65, 67—68

— фильтрация электрического сиг-
нала 130—132, 148, 149, 159—160,
167, 168, 191

Отношение правдоподобия 39—41

Периодичность закона анализа 114—
121, 126—129
Плотность вероятности многомер-
ная *22

Преобразование Фурье двумерное
15

—	Ганкеля 15—16

—	Хинчина—Винера 26—27

Порог размерной селекции 108
Поле сигналов 113

Правило решения 39

Радиус корреляции фона 27, 29,

31, 49—50, 141, 158—159, 181
Разложение в ряд Фурье по фазово-
му углу 122, 173—178, 184
Размерная селективность 103—106,
108—109, 138, 156, 163, 178, 184,
197

Размерность элемента разрешения
62—70, 77—80, 85, 87, 89, 108—
109

Реализуемость физическая ОПФ-45

Спектр пространственный диспер-
сий фона 26—32

—	«сепарабельный» 30—31

Трансформация поля лучистости оп-
тической системой 74—78

Трансформация поля облученности*
анализатором изображения 111 —
123.

Узкопольные анализаторы изобра-
жения 132—133, 169—170, 192

Условие согласования размеров эле-
ментов разрешения оптики и фо-
топриемника 72, 83, 137, 146, 150,
155, 163

Флюктуации лучистости фона 22—
25

Флюктуационные шумы фотоприем-
ника 130—131, 159—160, 167—
168

Фотоприемник 70, 72, 79—80, 130—
131

Характеристики размерной селек-
тивности 103, 105—109, 138, 156,
163, 178, 184, 187

—	пространственно-частотные 44—
47, 49—54, 78, 80,91—93, 116—
123, 145, 147, 166—169, 179, 185—
186

Широкополосная оптико-пеленга-
ционная система 135—137, 144—
147, 149—151
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .................................................. 3

Введение ..................................................... 5

Глава 1

ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ ОБЪЕКТА И ФОНА.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

1.1.	Характеристики излучения объекта. Пространственное описание 9

1.2.	Частотное описание распределения лучистости по площади объек-
та пеленгации........................'.........................15

1.3.	Характеристики излучения объекта по оптическому спектру 19

1.4.	Характеристики излучения типичных моделей фона...........20

1.5.	Вероятностное описание случайного фона. Пространственные
соотношения....................................................22

1.6.	Пространственные спектры дисперсий фона. Расчетные статисти-
ческие характеристики......................................... 26

1.7.	«Эвристическая» модель	случайного	фона.......32

1.8.	Статистические характеристики	фона	по оптическому спектру 35

Глава 2

ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ

2.1.	Исходные предпосылки.....................................38

2.2.	Общие выражения характеристик непрерывного оптимального
пространственного фильтра.....................................41

2.3.	Характеристики непрерывного ОПФ при кубично-гиперболическом
пространственном спектре фона.................................47

2.4.	Характеристики ОПФ при других видах пространственного
спектра фона..................................................53

2.5.	Характеристики дискретного ОПФ...........................57

2.6.	О взаимосвязи оптимальной пространственной фильтрации с оп-
тимальной фильтрацией по оптическому	спектру............63

Глава 3

ПОДОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ

3.1.	Постановка задачи и общие соотношения..................69

3.2.	Характеристики оптической фокусирующей системы и приемника
лучистой энергии.............................................74

3.3.	Характеристики непрерывного ППФ при кубично-гиперболиче-
ском пространственном спектре фона.........................'	. 80

3.4.	Характеристики непрерывного ППФ при других видах простран-
ственного спектра -фона......................................86
3.5.	Характеристики дискретных подоптимальных пространственных
фильтров..........................................................90

3.6.	О размерной селективности ППФ и возможностях логической
селекции..........................................................102

Глава 4

ТЕОРИЯ ПОДВИЖНЫХ АНАЛИЗАТОРОВ ИЗОБРАЖЕНИЯ

4.1.	Пространственное описание подвижного анализатора изобра-
жения ...........................................................111

4.2.	Частотное описание подвижного анализатора изображения . .114

4.3.	Вероятностное описание процесса анализа изображения случай-
ного фона........................................................124

Глава 5

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ АНАЛИЗАТОРОВ
ИЗОБРАЖЕНИЯ С РАВНОМЕРНО-ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ДВИЖЕНИЕМ

5.1.	Полезный сигнал на выходе одноэлементного анализатора с равно-

мерно-прямолинейным движением.............................135

5.2.	Мешающий сигнал от фона с различными видами ПС...........139

5.3.	Характеристики растрового анализатора....................144

5.4.	Характеристики многоканального «столбцового» анализатора.

Средняя по полю величина сигнала..........................149

Глава 6

ХАРАКТЕРИСТИКИ АНАЛИЗАТОРОВ ИЗОБРАЖЕНИЯ С КРУГОВОЙ РАЗВЕРТКОЙ

6.1.	Предварительные замечания................................152

6.2.	Одноэлементный анализатор с круговым сканированием. Полез-
ный сигнал...................................................152

6.3.	Одноэлементный	анализатор.	Мешающий	сигнал............157

6.4.	Многоэлементный анализатор с круговым сканированием. Полез-
ный сигнал...................................................160

6.5.	Многоэлементный	анализатор	Мешающий	сигнал..............164

6.6	Одноэлементный анализатор с эпициклоидальной разверткой 169

Глава 7

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ АНАЛИЗАТОРОВ
ИЗОБРАЖЕНИЯ, ВРАЩАЮЩИХСЯ ВОКРУГ СОБСТВЕННОГО ЦЕНТРА

7.1.	Предварительные замечания...„...................171

7.2.	Полезный сигнал в секторных растрах.............172

7.3	Мешающий сигнал от случайного фона на выходе вращающегося
секторного растра ................................. 178

7.4.	Вращающийся растр с «шахматной клеткой». Полезный сигнал 182

7.5.	Мешающий сигнал на выходе вращающегося «шахматного» растра 185

Заключение...........................................190

Литература...........................................194

Предметный указатель...............................  197