/
Текст
Физика
И ТЕХНИКА
ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
INFRARED PHYSICS AND ENGINEERING
JOHN A. JAMIESON Aero jet-General Corporation
RAYMOND H. McFEE Aerojet-General Corporation
GILBERT N. PLASS
Aeronutronic Division Ford Motor Company
ROBERT H. GRUBE Aerojet-General Corporation
ROBERT G. RICHARDS Aerojet-General Corporat ion
McGRAW-HILL BOOK COMPANY, INC.
NEW YORK TORONTO LONDON
ДЖ. э. ДЖЕМИСОН, Р. X. МАК-ФИ, ДЖ. Н. ПЛАСС, Р. Г. ГРУБЕ, Р. ДЖ. РИЧАРДС
ФИЗИКА И ТЕХНИКА ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Н. В. ВАСИЛЬЧЕНКО, Н. Ф. КОЩАВЦЕВА и В. И. ПРОСКУРЯКОВА Под общей редакцией
Н. В. ВАСИЛЬЧЕНКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКОЕ РАДИО»
МОСКВА-1965
УДК 537.312.51
Книга является монографией, в которой обобщены принципиальные достижения в области инфракрасной техники за последние годы. Она выгодно отличается от книг сходного названия глубоким изложением на современном уровне вопросов о шумах приемников излучения, о пространственной фильтрации, о применении теории информации в инфракрасной технике и т. д. Общая направленность книги — оптимизация приема инфракрасных сигналов от удаленных источников.
В книге имеется и справочный материал, особенно полно представленный в главе о прохождении излучения через атмосферу. Кратко описаны лазерные системы.
Книга может быть полезна не только научным работникам и инженерам, но и студентам, специализирующимся по инфракрасной технике.
3—3—11
98—65
ПРЕДИСЛОВИЕ к РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
последние годы на русском языке появилось довольно значительное число переводных и оригинальных книг, посвященных инфракрасной технике. В 1959 г. вышла в русском переводе монография Р. Смита, Ф. Джонса и Р. Чесмера «Обнаружение и измерение инфракрасного излучения». Можно упомянуть также книги П. Круза, Л. Мак Глоулина и Р. Мак Квистана «Основы инфракрасной техники» (1964 г.), Ю. А. Иванова и Б. В. Тяпкина (1963 г.) и Л. 3. Криксу-нова и И. Ф. Усольцева (1963 г.), посвященные применениям инфракрасной техники в военном деле, книгу Г. Л. Хэкфорда «Инфракрасное излучение» (1964 г.) и др.
Предлагаемая книга, написанная коллективом авторов — крупных специалистов в области инфракрасной техники (издана в США в 1963 г.), существенно дополняет приведенный перечень. Основное направление книги — изложение общих принципов проектирования инфракрасных систем обнаружения, главным образом военного назначения. Это изложение в значительной мере опирается на оригинальные работы авторов.
Книга содержит много полезных и достаточно новых данных по источникам и приемникам инфракрасного излучения, оптическим материалам и системам. Большой интерес представляет глава, посвященная прозрачности атмосферы; она написана крупным специалистом в этой области Дж. Плассом. Здесь обстоятельно излагается физика поглощения инфракрасного излучения в атмосфере, последовательно и ясно освещена методика расчетов прозрачности атмосферы, что в сочетании с большим количеством справочного материала позволяет непосредственно использовать приведенные данные в инженерных расчетах.
Вторая половина книги посвящена проблемам обнаружения сигналов в присутствии шумов применительно к задачам инфракрасной техники. Если в радиолокации методы, основанные на применении статистической теории обнаружения сигналов, давно уже обрели права гражданства, то в инфракрасной технике последовательное изложение этих вопросов в систематизированном виде проводится в предлагаемой книге, пожалуй, впервые. Рассматривая особенности работы инфракрасных систем обнаружения на основе
5
вероятностного подхода с использованием теории информации, анализа операций и теории статистических решений, авторы достаточно строго излагают математические аспекты такого подхода и в то же время стремятся в каждом случае доводить изложение до описания конкретных методов инженерных расчетов, приводят большое количество численных примеров. Это облегчает понимание излагаемого материала и его непосредственное практическое использование.
Книга затрагивает большой круг вопросов, относящихся к теории и общим принципам проектирования инфракрасных систем обнаружения; она будет полезна научным работникам, инженерам, а также аспирантам и студентам соответствующих специальностей.
Перевод выполнен Н. В. Васильченко (гл. 1—4, 13 и 14), В. И. Проскуряковым (гл. 5—9) и Н. Ф. Кощавцевым (гл. 10—12 и математические приложения). Испытывая некоторые трудности при переводе второй части книги в связи с тем, что не вполне установилась терминология, отражающая использование вероятностных методов в инфракрасной технике, переводчики стремились везде, где это возможно, пользоваться терминологией, принятой в радиолокационных применениях. В необходимых случаях даны примечания, поясняющие смысл того или иного термина.
Н. В. ВАСИЛЬЧЕНКО
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой книги — дать представление о физических основах и инженерных методах разработки инфракрасных систем. Книга написана для специалистов-инженеров, физиков, математиков; многие ее главы могут быть использованы студентами старших курсов соответствующих специальностей. Книга полезна также широким кругам специалистов-практиков, работающих в области инфракрасной техники, так как в ней достаточно подробно рассматривается современное состояние того или иного вопроса.
Особое внимание в каждой главе обращается на изложение физических основ, безусловно необходимых для грамотного проектирования и использования новых приборов. Сегодня инженер не в меньшей степени, чем физик, не довольствуется уже поверхностным рассмотрением предмета. При рассмотрении каждого вопроса авторы старались затронуть те стороны, которые им казались важнейшими. Конечно, на выбор в какой-то мере влияло направление их собственных работ. Изложение не претендует на энциклопедическую полноту, авторы не ставили целью каталогизировать весь накопленный в данной области материал. В частности, библиография, приводимая в конце каждой главы, отобрана по принципу указания на литературу, содержащую существенную дополнительную информацию по теме, и не является полной.
Книга написана коллективом авторов, и это обеспечивает рассмотрение достаточно разнородных вопросов на высоком уровне, что было бы недоступно одному автору. Чтобы избежать общего недостатка, свойственного коллективным трудам — несогласованности различных частей книги, — авторы работали в тесном контакте.
7
Авторы выражают благодарность всем лицам — столь многочисленным, что их затруднительно даже перечислить, — за помощь в написании книги и предоставление данных.
ДЖ. э. ДЖЕМИСОН ДЖ. н. ПЛАСС Р. ДЖ. РИЧАРДС
Р. X. МАК-ФИ Р. Г. ГРУБЕ
...-.....—--------= Г Л АВА 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Современное значение инфракрасной техники
Г
большое число новых методов и приборов, применяющихся за пределами лабораторий, относится к классу инфракрасных. Термин инфракрасный относится к приборам, реагирующим на энергию электромагнитного излучения в диапазоне длин волн от 0,7 до 1000 мк (1 мк= 10~4 см), которая отражается, поглощается или излучается объектом. Сравнительно быстрое развитие инфракрасной техники и рост интереса к ней связаны с практическим применением ее в военном деле. В качестве примера эффективного использования военной инфракрасной техники можно упомянуть уничтожение нескольких самолетов снарядами «Сайдуиндер», снабженными инфракрасными головками самонаведения (1958 г.).
Методы обнаружения и измерения инфракрасного излучения на протяжении ряда лет использовались только в лабораторной и производственной практике. Однако применение инфракрасных методов в приборах, которые должны работать в разнообразных условиях, практически не встречающихся ни в лаборатории, ни на заводе, привело к появлению инфракрасной техники как отрасли инженерного искусства со своими специфическими особенностями.
Сведения по инфракрасной технике подобно сведениям по радиолокации обычно засекречены, так как связаны с военными применениями. Поэтому многие современные практические применения детально обсуждаться не могут. В отличие от радиолокации, очень быстро развившейся во время второй мировой войны, инфракрасная техника развивалась значительно медленнее. По мере успехов военной техники в областях, где внешние условия более благоприятны для инфракрасных приборов (на больших высотах, в космическом пространстве), инфракрасной технике уделяется все более серьезное внимание.
Специфические возможности инфракрасных приборов и относительная простота их устройства при малом весе и потребляемой мощности приобретают особо важное значение в свете требований к современному оружию.
Многие инфракрасные системы используют собственное излучение военных объектов и являются, таким образом, пассивными средствами их обнаружения и пеленгации. В этом случае для
9
наблюдения цели нет нужды посылать энергию с места наблюдения, как это необходимо делать при радиолокации. Возможности инфракрасной техники существенно расширились в связи с разработкой более чувствительных приемников, разнообразных инфракрасных оптических материалов и большого числа сканирующих систем различной конструкции.
Инфракрасные приборы в основном являются оптическими, так как для того, чтобы направить и сконцентрировать излучение на приемник, используются зеркала и линзы. Высокое угловое разрешение, связанное с относительно короткими длинами волн инфракрасного излучения, позволяет проектировать приборы, обеспечивающие пеленг целей с такой степенью точности, которая недоступна приборам, работающим в микроволновом диапазоне.
Однако инфракрасная техника имеет свои ограничения. Хотя инфракрасное излучение в условиях дымки проходит через атмосферу значительно лучше, чем видимый свет (что связано с большей по сравнению с размером рассеивающих частиц в атмосфере длиной волны), через туман и облака инфракрасное излучение проходит не намного лучше, чем видимое. Атмосферные газы сильно поглощают излучение в некоторых областях длин волн в инфракрасном диапазоне, однако имеются и относительно прозрачные спектральные участки — атмосферные «окна», которые можно использовать для работы на больших дистанциях (см. гл. 3).
Все предметы, имеющие температуру выше абсолютного нуля, излучают энергию, значительная часть которой приходится обычно на инфракрасную область, поэтому на приемник наряду с излучением от цели всегда попадает излучение внутреннего или внешнего фона, которое может создать существенную помеху при обнаружении слабо излучающих или удаленных объектов. В ближней инфракрасной области (X < 3 мк) серьезную проблему при решении важной задачи обнаружения самолета на фоне облаков днем представляет устранение мешающего действия отраженной солнечной радиации. Если не приняты специальные меры для выделения цели на мешающем фоне, работоспособность системы может оказаться существенно ограниченной — система может работать днем и при неблагоприятных метеорологических условиях. Развитие авиационной техники, знаменующееся завоеванием все больших высот, стимулирует усовершенствование инфракрасной аппаратуры, предназначенной для обнаружения и отслеживания целей. Такие инфракрасные устройства уже достаточно совершенны, что позволяет применять их иногда вместо более громоздкого и мощного радиолокационного оборудования. Часто существенным преимуществом инфракрасных устройств является их высокая разрешающая сила, что позволяет получить больше информации о размере и типе цели, чем при радиолокации. Весьма благоприятным для применения инфракрасных приборов является космическое пространство, так как в нем отсутствует ослабляющее излучение среды, что позволяет более свободно выбирать спектральную область работы.
10
1.2. История развития инфракрасной техники
Инфракрасная область спектра была открыта Уильямом Гершелем [1] в 1800 г. На протяжении XIX в. шло исследование этой области спектра. По мере усовершенствования приемников для инфракрасной области все яснее становились представления о протяженности и характере инфракрасного спектра. Подробный исторический обзор дан в книге Смита, Джонса и Чесмера [2].
К 1900 г. был изобретен ряд приборов для обнаружения инфракрасного излучения — термоэлементы, термостолбики, болометры. Оптические системы для инфракрасных приборов делались обычно зеркальными, за исключением приборов для ближней инфракрасной области, где излучение хорошо пропускается стеклом.
По мере накопления сведений об инфракрасном излучении и с появлением приемников для его обнаружения и измерения начинаются попытки практического использования инфракрасного излучения. Вначале инфракрасные приборы использовались только для лабораторных исследований самого излучения. Позже астрономы стали использовать приемники инфракрасного излучения с телескопами для оценки температуры звезд и поверхности планет по их инфракрасному излучению. Существенную пользу принесло использование приемников инфракрасного излучения в исследованиях Солнца.
Мощным орудием химического анализа стала инфракрасная спектроскопия, которая превратилась в самостоятельно развитую отрасль науки, располагающую разнообразными приборами для анализа газов и жидкостей по их инфракрасным спектрам поглощения. Подробный очерк развития приборов для инфракрасного спектрохимического анализа дан Уильямсом [3].
Конструкция инфракрасных спектральных приборов спектрографов, спектрофотометров и монохроматоров является обычно прямым логическим развитием лабораторных установок. Дополнительные конструктивные требования, возникающие при создании приборов на основе лабораторных установок, связаны с необходимостью улучшить герметичность, надежность и прочность конструкции. В последнее время обращается внимание также на удоб< ство эксплуатации и выдачи данных.
В связи с применением инфракрасной техники в военном деле появились дополнительные требования к габаритам, весу, потреблению мощности и способности приборов работать в полевых условиях. Как правило, быстрота действия военных приборов инфракрасной техники должна быть существенно больше, чем лабораторных приборов. Далеко не оптимальные условия, характерные для военной обстановки, ставят новые проблемы обнаружения инфракрасного излучения. Подробный обзор ранних военных разработок дан Арнквистом [4].
До второй мировой войны военному применению инфракрасной техники уделялось мало внимания. С появлением более чувстви-
11
тельных и эффективных приемников инфракрасного излучения в начале войны постепенно стали создаваться и разрабатываться инфракрасные приборы. Одной из наиболее совершенных для того времени систем являлся введенный в эксплуатацию во время войны снайперскоп. В этом приборе использовался электронно-оптический преобразователь с фотокатодом, чувствительным до 1,2 мк, для наблюдения в отраженном свете местности, освещенной инфракрасным излучением прожектора, закрытого фильтром, не пропускающим видимый свет. Снайперскопы с успехом применялись в качестве прицелов для стрельбы из винтовок ночью, а также для ночного вождения транспортных средств при скрытом освещении дороги инфракрасными фарами.
Первое практическое использование фотосопротивлений также относится ко второй мировой войне. Серно-таллиевые фотосопротивления (таллофиды), обладающие высокой чувствительностью до 1,2 мк, применялись в системах сигнализации в видимом свете. Сернисто-свинцовые фотосопротивления были разработаны в 1939— 1945 гг. Гудденом и другими в Германии и независимо от них в США Кэшмэном [5]. Малоинерционные и высокочувствительные в инфракрасной области спектра (до 3 мк) приемники PbS позволили на первых порах построить довольно эффективные для того времени пассивные системы обнаружения военных целей, например самолетов, по их собственному тепловому излучению. Во время второй мировой войны были усовершенствованы также тепловые приемники, в ряде военных приборов применялись термоэлементы и болометры новых типов.
Технология промышленного производства некоторых инфракрасных приборов была достаточно отработана во время войны, но ни один из них не был принят на массовое вооружение армии из-за недостаточного совершенства. Немецкие приборы, выпускавшиеся во время войны, создавались на базе прекрасно развитой в Германии оптической промышленности. Некоторые приборы, работающие в ближней инфракрасной области спектра со стеклянной оптикой и приемниками с внешним фотоэффектом, выпускались серийно. Эти приборы с успехом применялись в полевых условиях, например в качестве артиллерийских прицелов активного типа для стрельбы по танкам [6].
Среди американских приборов были такие устройства, как инфракрасная система наведения бомб с болометром в качестве приемника, ряд приборов связи, сканирующие системы для обнаружения нагретых объектов (танков и кораблей) по их собственному тепловому излучению и прибор для снятия тепловых карт местности. Параметры этой аппаратуры оставляли желать лучшего в основном из-за недостатков комплектующих изделий и приборов.
После второй мировой войны интерес к инфракрасной аппаратуре значительно возрос и увеличились ее возможности. Улучшение характеристик и достижение хорошей технологической воспроизводимости приемников в области 1,5—10 мк позволили конструи-12
ровать пассивные приборы обнаружения на более высоком уровне. Эффективные характеристики таких устройств, как управляемый снаряд «Сайдуиндер», способствовали концентрации внимания на возможном использовании инфракрасной техники в военном деле.
В настоящее время инфракрасная техника применяется в военном деле для создания управляемых снарядов, систем управления огнем и противовоздушной обороны, приборов тепловой разведки и многих других приборов. Обзор современной военной инфракрасной техники дал Класс [7].
Инфракрасная техника применяется и в промышленности. Инфракрасный спектрометр в течение многих лет используется в заводских лабораториях для анализа природы и количества различных органических веществ в жидкостях и газах. В нефтяной промышленности инфракрасные спектрометры в течение многих лет используются как надежное средство для качественного и количественного анализа содержания углеводородов в сложных смесях по их характерным инфракрасным спектрам.
Радиационный пирометр, реагирующий на количество излучения, попадающего на него, используется часто для дистанционного измерения температуры или как существенная часть систем автоматического контроля температуры.
Инфракрасное излучение пламени используется в приборах для автоматического выключения в случае отсутствия пламени промышленных котлов, отапливаемых газом или жидким топливом. Сернисто-свинцовые фотосопротивления в этих приборах воспринимают характерное мерцающее инфракрасное излучение пламени. Промышленностью выпускаются также простые инфракрасные приборы, являющиеся приемным элементом противопожарных систем. Инфракрасный приемник может контролировать какой-либо важный объект, например склад, и сигнализировать о возникновении огня по мерцающему инфракрасному излучению пламени.
Ближняя инфракрасная область используется для фотографий в невидимых лучах. Чувствительность специальных фотографических эмульсий может простираться до 1,3 мк. Если использовать светофильтр с граничной длиной волны 0,7 л/с, можно фотографировать объект при невидимом освещении.
1.3. Физика и техника инфракрасного излучения
Физика инфракрасного излучения включает описание и анализ основных явлений, связанных с излучением, пропусканием, изменением направления распространения и обнаружением инфракрасной энергии. Термодинамика излучения, поглощение и рассеяние излучения при прохождении его через атмосферу и оптические элементы, влияние оптических элементов на инфракрасное излучение и физические явления, связанные с его обнаружением, составляют различные аспекты физики инфракрасного излучения как предмета данной книги. Под техникой инфракрасного излучения (инфракрас
13
ной техникой) мы понимаем разделы инженерной теории и практики, включающие разработку, конструирование и усовершенствование приборов, действие которых связано с обнаружением инфракрасного излучения.
В основе инфракрасной физики и техники лежит математический аппарат. Понимание явлений и процессов, связанных с обнаружением инфракрасного излучения и дальнейшей обработкой полученной информации, требует применения на определенных стадиях проектирования математического анализа. В последующих главах рассмотрены соответствующие математические методы применительно к задачам проектирования инфракрасных систем.
Инфракрасная техника, использовавшая вначале методы прикладной физики для конструирования аппаратуры,. развилась на базе некоторых областей физики и техники в самостоятельную инженерную науку со своими специфическими методами. Интенсивная разработка инфракрасных приемников является предметом исследований в физике твердого тела, так как чувствительными элементами многих важных приемников являются полупроводниковые материалы. Существенную роль в разработке инфракрасного оборудования играет оптика (геометрическая и физическая). Прикладная оптика используется как основа проектирования систем, а также при решении задач, связанных с обеспечением стойкости оптических элементов (линз, зеркал, фильтров) при работе аппаратуры в поле в различных климатических условиях. Электронная часть инфракрасной аппаратуры обычно более простая, чем в радиолокационных устройствах, должна обеспечивать получение информации с приемника в виде, удобном для использования. В инфракрасных системах используются всевозможные электронные устройства с повышенной надежностью, разработанные для применения в военном деле. При конструировании инфракрасной аппаратуры возникает также ряд механических, часто противоречивых требований, особенно в случае систем со сканированием пространства.
Разработчик инфракрасной аппаратуры должен быть достаточно хорошо знаком с упомянутыми отраслями науки и техники, чтобы создать систему с оптимальными характеристиками. Часто к совместной работе привлекаются различные специалисты, однако инженер-разработчик должен быть сведущим во всех отраслях инфракрасной техники.
1.4. Порядок разработки инфракрасной системы
Процесс создания отработанного промышленного образца инфракрасной системы по заданным требованиям в общем схож с разработкой систем других типов. Чтобы яснее представлять роль различных вопросов, обсуждающихся в последующих главах, рассмотрим процесс разработки типичной инфракрасной системы. Технологическая схема рис. 1.1 иллюстрирует процесс разработки от исходных требований путем конструирования и моделирования до
14
конечной стадии — создания промышленного образца системы. Последовательность, изображенная на рис. 1.1, не является обязательной для разработки любой системы. Простые приборы могут разрабатываться и без предварительного макетирования. Системы, представляющие небольшое видоизменение ранее разработанных установок, могут проектироваться, минуя начальные стадии конструирования.
Полевые испытания
Инженер- Мора-
НЫи ^ппик,о макет
Требования^
_ габаритам Размеры
Потребление мощное
J Опыт-
J ный
Проверка\*\°бРазБЦ боздеист ---------
бия внеш них условий
торные испыта-
ний—
Рис. 1.1. Последовательность разработки инфракрасной системы.
Анализ операций — первый шаг разработки, цель его — определить эффективность и соответствие аппаратуры ее назначению. Подобный анализ применяется для определения состава аппаратуры и оценки роли ее характеристик применительно к поставленным требованиям. Ряд характеристик определяется на основе компромисса между требованиями к аппаратуре и возможностями инфракрасной техники. Подробно методы анализа операций рассматриваются в гл. 9.
Стадия предварительной разработки часто отделяется от собственно конструирования и имеет целью установить основное наиболее перспективное направление разработки, допуская известные
15
вариации при определении конкретных характеристик аппаратуры. Решения, учитывающие возможности конструирования и требования к аппаратуре, принимаются при выборе принципиальной схемы инфракрасной системы. Эта работа выполняется обычно специалистом или группой специалистов без детальной разработки конструкции; последним занимается инженер-проектировщик.
Для детальной разработки система подразделяется на части, каждая часть разрабатывается группой соответствующих специалистов, работа в целом координируется ведущим инженером проекта. Инфракрасные системы при разработке подразделяются обычно на несколько частей: оптическую, приемную, электронную и механическую. Каждая группа специалистов детально разрабатывает свою часть.
Когда вырисовывается конструкция системы, строится первый экспериментальный макет. Если разработка новая, система неопробованная, то макет используется для предварительной лабораторной проверки принципов построения системы. Часто такая проверка заставляет изменить принципиальную схему проектируемой аппаратуры.
После определения принципиальных особенностей проектируемой аппаратуры строится второй макет, называемый иногда инженерным. Инженерный макет является уже не только схемным, но и конструктивным прототипом будущей системы и соответствует по весу, форме и размерам требованиям, вытекающим из особенностей применения проектируемой системы. Инженерный макет после лабораторной проверки, в ходе которой определяются его основные характеристики, подвергается обычно предварительным полевым испытаниям. Если аппаратура предназначена для использования на высоте, могут проводиться летные испытания. Инженерный макет испытывается также для определения воздействия на аппаратуру внешних условий: ударной нагрузки, вибраций, температуры, влажности и т. д. Если в результате испытаний выявляются недостатки конструкции, ее изменяют.
После того как инженерный макет успешно прошел испытания, разрабатывается опытный образец. В отдельных случаях, особенно при сложных разработках, приходится проектировать несколько инженерных макетов, прежде чем родится опытный образец. Опытный образец должен обладать оптимальными характеристиками и обеспечивать удобство монтажа и эксплуатации и пройти полную серию испытаний, соответствующих условиям применения аппаратуры.
После разработки удовлетворительного опытного образца проектируется промышленный образец. В зависимости от предполагаемого объема производства применяется определенная технология изготовления и испытаний, обеспечивающая наименьшую стоимость и хорошую воспроизводимость. Если требуется выпуск больших партий, разработка промышленного образца может вестись в несколько стадий.
16
1.5. Разработка системы обнаружения
Процесс разработки инфракрасной системы обнаружения в целом связан с использованием сложного комплекса методов и данных, специфических для этой области техники. Главная задача книги — описать методы анализа и проектирования, а также физические данные, необходимые для разработки систем обнаружения. Рассмотрение инженерной разработки различных конкретных типов инфракрасных систем в задачу книги не входит.
При рассмотрении методов разработки инфракрасной системы военного назначения анализируются условия ее работы, определяющие основные параметры системы (требуемая дальность обнаружения определенной цели, поле зрения, быстрота выдачи информации и форма ее использования, размер и вес системы). Эти параметры тесно связаны с возможностями и характеристиками другого оборудования, используемого вместе с инфракрасным прибором. Например, если инфракрасный прибор может быть смонтирован на платформе, которая грубо наводится на цель радиолокационной установкой, то поле обзора инфракрасного прибора требуется небольшое. Если же инфракрасная система является единственным средством наведения на цель, то она должна состоять из устройства, обеспечивающего широкое поле обзора, и следящей системы для точной выдачи угловых координат.
Выбор системы определяется основными требованиями к ней. Обычно уже при первом рассмотрении условий работы выбор схемы аппаратуры сводится к немногим возможным вариантам. Принципиальная схема оптической системы выбирается на основе рассмотрения приемной и механической частей. Приемная часть разрабатывается с учетом спектрального распределения излучения цели и фона, параметров оптики и требуемой чувствительности системы. Механическая часть проектируется так, чтобы обеспечить, если нужно, сканирование и удовлетворить другим требованиям: герметизации, удобству установки системы и т. д. Особенности электронной части определяются основными требованиями к процессу преобразования сигнала приемника к виду, удобному для использования. Цель окончательной отработки системы — найти оптимальные решения, удовлетворив множеству требований, зачастую противоречивых. При этом приходится использовать аналитические методы намного более сложные, чем методы, применявшиеся в ходе предварительной разработки. Например, для получения сведений о вероятности обнаружения цели в широком угле при заданных внешних условиях при разработке систем обнаружения используется теория вероятностей. Для понимания принципиальных ограничений возможностей обнаружения, связанных с шумами, большое значение имеет теория случайных флюктуаций. Для оптимизации обнаружения цели в присутствии излучения фона применяется математический анализ методов пространственной фильтрации.
2 Зак. 1502
17
Проверка гипотез и теория информации приобретают особую важность при разработке электронных систем, в частности таких, которые работают в условиях, близких к определяемому шумами порогу обнаружения сигнала. Можно надеяться, что использование этих и других аналитических методов при разработке инфракрасных систем обеспечит более ясное понимание и более легкое и правильное определение характеристик системы, чем кустарные методы разработки.
Многие параметры системы при проектировании приходится делать отличными от идеальных. Задача разработчика инфракрасной аппаратуры — проявить максимум умения и изобретательности в использовании данных и методов для создания надежной и хорошо работающей конструкции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Herschel W. Phil. Trans. Roy. Soc. 1800, v. 90, p. 284.
2. S m i t h R. A., F. E. J о n e s, R. P. C h a s m a r. The detection and measurement of infrared radiation. Oxford University Press, New York, 1957. Смит P., Джонс Ф. и Чес мер Р. Обнаружение и измерение инфракрасного излучения. Изд-во иностранной литературы, 1960.
3. W i 1 1 i a m s V. Z. Rev. Sci. Instr., 1948, v. 19, p. 135.
4. Am q u ist W. N. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1420.
5. C a s h m a n R. J. J. Opt. Soc. Am., 1946, v. 36, p. 336.
6. C a n a d a A. H. Infrared, its military and peacetime uses. General Electric Co., 1954.
7. К 1 a s s P. Aviation Week, Mar. 4, 11, 18, 1957.
=ГЛАВА 2
ИСТОЧНИКИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ИНФРАКРАСНАЯ ОБЛАСТЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО СПЕКТРА
предметы непрерывно излучают и поглощают электромагнитную энергию. Это излучение является следствием непрерывного движения элементарных заряженных частиц внутри вещества. Один из основных законов классической электромагнитной теории гласит, что движущаяся с ускорением заряженная частица излучает энергию. Так как тепловое движение электронов и протонов с повышением температуры усиливается, непрерывное излучение должно увеличиваться при повышении температуры. В отличие от непрерывного
Ультрафиолетовое Видимое излучение излучение \ 1
Рентгеновское \ ^фракра с ное излучение
излучение \ \ \ Микроволновый диапазон Гамма-лучи' \ \ \ \ \ Радиоволны
N
-15-14-13-12-11-10-9-8-7 -6 -5-4-3 -2- 1 0 12 3 4 5 6 7 Длины волн, 10ncm
М ~11-10~9 "8-7-6~5-4 -3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Длины волн, 10 ммм
Рис. 2.1. Электромагнитный спектр.
спектра, обусловленного тепловой радиацией, в инфракрасной области имеются также линейчатые источники, излучение которых сконцентрировано на определенных частотах в виде спектральных линий. Линейчатый спектр возникает в молекуле вещества при переходе электрона с одного квантованного энергетического уровня на другой.
Электромагнитные волны излучаются в результате этих процессов на всех длинах волн. Исторически спектр был разделен на различные участки в зависимости от методов получения и обнаружения излучения: радиоволны, микроволновый диапазон, инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое излучение, рентгеновские и гамма-лучи (рис. 2.1). Обычно считают, что инфракрасная область простирается от красной границы видимого спектра (0,72 мк) до 1000 мк — района, где для получения и обнаружения сигналов используются уже методы электроники.
2*
19
Инфракрасную область обычно разделяют на три участка: ближний (от 0,72 до 1,5 ж/с), средний (от 1,5 до 20 мн) и далекий (от 20 до 1000 мк) участки инфракрасного спектра. Эди границы в известной мере произвольны и определяются главным образом различиями в технике обнаружения и измерения излучения в каждом участке.
В ближней инфракрасной области излучение может восприниматься фотоэлементами (с внешним фотоэффектом, фотосопротивлениями и вентильными фотоэлементами) и фотографическими эмульсиями. В средней инфракрасной области используются фотосопротивления и вентильные фотоэлементы, а для более длинных волн — также и тепловые приемники.
Хотя граница спектральной чувствительности новых фотосопротивлений все более сдвигается в длинноволновую область, здесь возникает трудность принципиального характера, заключающаяся в том, что в длинноволновой области требуемые промежутки между энергетическими полосами становятся очень малыми. Поэтому здесь используются главным образом тепловые приемники, которые имеют то преимущество, что вся энергия фотона превращается в тепло, а фотосопротивления используют очень небольшую часть энергии фотонов.
Наиболее употребительная единица для шкалы длин волн инфракрасного спектра — микрон (мк), равный 10~6 м или 10~4 см. Величина, обратная длине волны Л, называется волновым числом v. В инфракрасной области волновые числа у употребляются гораздо чаще, чем частоты v. Соотношение между этими величинами:
v = |=4, (2.D
где v — частота, сек~х;
с—-скорость света;
v — волновое число, см~х.
Всюду, за исключением специально оговоренных случаев, инфракрасные частоты выражаются в этих единицах — обратных сантиметрах.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Фундаментальным понятием при рассмотрении теплового излучения твердых тел является представление об абсолютно черном теле. Абсолютно черным называется тело, поглощающее все падающее на него излучение любых длин волн. На практике весьма близкими к абсолютно черному телу являются полая сфера или конус с отверстием, малым по сравнению с их размерами, однако достаточно большим по сравнению с длиной волны, чтобы избежать дифракции. Любое излучение, попавшее через отверстие в полость, многократно отражается от ее внутренних стенок и практически 20
полностью поглощается, так как лишь ничтожная его часть выходит через малое отверстие.
Кирхгоф в 1860 г. показал, что тела, сильно поглощающие излучение, являются и хорошими излучателями. Коэффициентом излучения 8 какой-либо поверхности называется отношение
где I — полный лучистый поток, излучаемый с единицы площади рассматриваемой поверхности;
1ъ — аналогичная величина для абсолютно черного тела при той же температуре.
Тела, у которых е<4, известны под названием серых тел *.
2.1. Коэффициент излучения
Выражение (2.2) является одной из форм закона Кирхгофа. Это соотношение может быть выведено из рассмотрения обмена энергией между двумя телами в замкнутой полости при постоянной температуре. Поскольку одно из тел не может нагреваться за счет охлаждения другого, каждое тело должно поглощать одинаковое количество излучения от другого тела в единицу времени. Если для простоты предположить, что тела представляют собой сферы, разделенные расстоянием 7?, то энергия, поглощенная вторым телом за счет излучения первого, составит
1151 Гб^Же-’
где — полный поток, излучаемый первым телом с площадью поверхности S в телесном угле 4л; — доля радиации первого
тела, перехватываемая вторым, так как проекция площади сферы составляет одну четверть самой площади и, наконец, лишь часть 8е этой энергии поглощается вторым телом. Для простоты здесь принято, что радиус сфер мал по сравнению с расстоянием между ними.
Если два сферических тела остаются в тепловом равновесии, то энергия, излученная вторым телом и поглощенная первым, должна быть равна энергии, излученной первым телом и поглощенной вторым.
Следовательно,
Л ‘^1 16г:]?2 82 = 16л:/?2 81 (2-3)
или
Л 82~Л 8i-
* Кроме того, коэффициент излучения серых тел должен удовлетворять условию е(Х, Т) = const. Для реальных серых тел это условие выполняется обычно лишь в ограниченном диапазоне длин волн Л и температур Т. (Прим, ред.)
21
Это соотношение можно выразить в форме
й = ц = м
где 1Ь является универсальной константой при данной температуре.
Коэффициент излучения 8 не может быть больше единицы, следовательно, абсолютно черное тело при данной температуре излучает больше энергии, чем любое другое тело. Можно показать, что аналогичное соотношение справедливо для определенной длины
Рис. 2.2. Зависимость спектрального коэффициента излучения различных материалов от длины волны.
волны и спектральный коэффициент излучения определится соотношением
(2.5)
где А — спектральный лучистый поток с единицы площади;
1ь\ — аналогичная величина для абсолютно черного тела.
Спектральный коэффициент излучения является функцией длины волны и температуры. Обычно зависимость от температуры выражена слабее, чем от длины волны. Зависимость коэффи-
циента излучения от длины волны для твердых тел носит сравнительно плавный характер, а для газообразных тел величина 8Х носит характер резких колебаний. Этот вопрос рассматривается на стр. 34.
По коэффициенту излучения веществ в видимой области нельзя судить об их излучении в инфракрасной части спектра. Например, белая краска имеет низкий коэффициент излучения в видимой области, а при длинах волн больше 3 мк — почти эквивалентна чер
ному телу.
Тела, выкрашенные белой краской, остаются сравнительно холодными на солнце не только потому, что хорошо отражают солнечный свет, но и потому, что вновь излучают поглощенную инфракрасную радиацию почти так же хорошо, как абсолютно черное тело. При температурах, близких к комнатной, практически все излучение черных тел находится в области длин волн больше 3 мк, где коэффициент излучения белой краски близок к единице. Алюминиевая пластинка нагревается прямыми солнечными лучами существенно сильнее, так как в районе Ю мк ее коэффициент излучения невелик и она не может интенсивно излучать поглощенную энергию.
22
Интегральные коэффициенты излучения различных веществ при комнатной и более высокой температурах приведены в табл. 2.1. Зависимость спектрального коэффициента излучения от длины волны для некоторых тел показана на рис. 2.2. В инфракрасной области коэффициент излучения большинства тел уменьшается с ростом длины волны.
ТАБЛИЦА 2.1
Интегральные коэффициенты излучения различных веществ
Материал Температура, °К Коэффициент излучения s
Серебро 273 0,02
Алюминий полированный 373 0,05
Медь электролитическая полирован-
ная 353 0,018
Чугун полированный 311 0,21
Вольфрам, нить накала 300 0,032
1300 0,15
1800 0,23
2300 0,28
Медь черненая 300 0,78
Вода 273 0,92
Стекло 293 0,94
Ламповая копоть 273 0,95
Абсолютно черное тело — 1,00
2.2. Закон Планка
Так как плотность излучения реального тела может быть представлена как произведение коэффициента излучения и плотности излучения абсолютно черного тела, точное теоретическое определение последней величины имеет большое значение. Физикам XIX в. не удавалось вывести точный закон излучения черного тела. Эта проблема была решена в 1901 г., когда Планк показал, что тела могут излучать не сколь угодно малые количества энергии, а должны излучать дискретно, квантами величиной hv, где h — постоянная Планка (h = 6,62-10~27 эрг-сек), a v— частота излучения. При рассмотрении излучения абсолютно черного тела применяют обычно действительную частоту v, а не волновые числа v [см. (2.1)].
Закон излучения Планка можно.вывести, рассматривая ряд возможных состояний колебания (мод) электромагнитных волн в замкнутой полости и среднюю энергию этих мод. Из решения уравнений Максвелла, описывающих электромагнитное поле внутри определенной полости, можно найти, что в полости останутся колебания лишь определенных частот. Это явление хорошо известно в микроволновом диапазоне, где обычно в полости или волноводе существует лишь небольшое количество мод. В оптическом диапазоне спектра размер полости обычно столь велик по сравнению
23
с длиной волны, что даже в очень узком интервале частот существует громадное количество мод.
Подсчет числа остающихся мод в полости объемом V прост и приводится во многих учебниках [1]. Результат такого подсчета дает следующее количество мод dn, остающихся в интервале частот от v до v + dv:
dn = dv. (2 * *-6)
Это соотношение справедливо для полости любой формы при условии, что ее линейные размеры велики по сравнению с длиной волны света. В пределе, когда v стремится к нулю, выражение (2.6) перестает быть справедливым.
Вторая часть задачи заключается в определении средней энергии, связанной с каждой модой. Планк рассматривал излучение в полости находящимся в равновесии с излучением множества гармонических осцилляторов. Можно считать, что такими осцилляторами являются атомы, образующие стенки полости, так как излучение внутри полости существует лишь благодаря тому, что оно постоянно поглощается и излучается этими атомами [2]. Установившаяся температура излучения в полости должна соответствовать температуре атомов, образующих стенки полости, поскольку излучение находится в равновесии с излучением этих атомов.
Энергия гармонического осциллятора в п-м квантовом состоянии равна
Ef==nhv, (2.7)
где нулевой уровень энергии соответствует энергии на самом низком уровне. Согласно статистике Больцмана доля общего количества осцилляторов с энергией Еп при абсолютной температуре Т составляет
-EJkT
АТ е п' /п оч
где k — постоянная Больцмана.
Средняя величина Е энергии группы этих осцилляторов при температуре Т равна
2 nh~^~nh~ikT
£ = -----------• (2.9)
v ^—nfo/kT
24
Величину сумм можно непосредственно оценить, если написать эти суммы в следующей форме:
г г- и-!ьт 1 + ^~h~/kT + Зе"2^ + _
Е = hve-hjfkT —!----=----!-----=----!---=
1 +Q~^/kT e-2^/kT + _
__ - 1 ^~h~/kT
= /zve-W^ —e_._ . (2.Ю)
Разделив числитель и знаменатель выражения (2.10) на е~ь//гГ, получим окончательно:
Плотность pv энергии излучения в замкнутой полости можно получить, умножив среднюю энергию (2.11) на число мод (2.6) и разделив ее на объем V:
Р dv = —- dv. (2.12)
с3 ^/kT_x 4 7
Это и есть уравнение излучения Планка, которое дает величину плотности энергии для излучения в замкнутой полости абсолютно черного тела. Результаты расчета по формуле (2.12) хорошо согласуются с экспериментом. Приведенный вывод уравнения Планка является простейшим из многих возможных способов теоретического вывода этого уравнения. Некоторые возражения в этом методе может вызвать использование классической теории для подсчета числа мод колебаний и представлений о квантовых осцилляторах при оценке энергии поля. Более подробное обсуждение этих вопросов дается в статьях по квантовой электродинамике [3].
Плотность энергии излучения в диапазоне длин волн от К до h+dh можно получить из уравнения (2.12) и соотношений
PkdK = — Pvdv; v = y; dv = —eg, так что
Спектральная поверхностная плотность излучения черного тела может быть получена [1] из выражения
<2J4>
Если бы все излучение распространялось в одном направлении, то Л равнялась бы ерх и все излучение в прямоугольном параллеле-
28. Зак. 1502 25
пипеде с площадью основания А и длиной с проходило бы через основание в единицу времени. Поскольку на самом деле излучение распространяется во все стороны, появляется дополнительный коэффициент х/4 [1].
Таким образом, из формул (2.13) и (2.14) следует, что поверхностная плотность спектрального потока, излучаемого абсолютно черным телом в полусферу в диапазоне длин волн от X до % + dK равна
Длина волны, мк
Рис. 2.3. Спектральная плотность излучения абсолютно черного тела в функции длины волны при различных температурах.
Максимумы кривых соединены пунктирной линией.
(2.15)
Это выражение часто записывают в форме
= а, <2-16>
где
с1=2лс2/г=3,74-10~12 вт-см2 = = 3,74-104 вт-мк^-см-2 (2.17)
и
с2 = ^= 1,438 сж°к =
= 1,438-104 Л1К °К. (2.18)
Численные величины q и сг, имеющие в размерности микрон,
удобно использовать, когда длина волны измеряется в микронах. По данному здесь определению I^dK представляет собой поток излучения в полусферу с единицы площади источника и может измеряться в ваттах с квадратного сантиметра.
Зависимость Л от длины волны для черного тела при разных температурах показана на рис. 2.3. В двойном логарифмическом масштабе все кривые имеют одинаковую форму и просто сдвинуты друг относительно друга. Л при любой длине волны всегда тем больше, чем больше температура. Длина волны Хмакс, при которой наблюдается максимум излучения, уменьшается с ростом температуры. Эту длину волны можно вычислить, продифференцировав по К уравнение (2.16) и приравняв производную нулю:
di.
-^ = 0 = dk
1 г г рс2/хмакс Т
Ot-1 _________1_________ц Cl С2 С______________
Л6 сг/^Макс т 1 1 /7 у (_С2/Лмакст i)2
' макс е — 1 Лмакс — I)
(2.19)
26
После упрощений получим
или, положив
0Сг/^макс |
(2.20)
(2.21)
Корни этого трансцендентного уравнения можно найти в численной форме. Значение x—Q не представляет интереса. Другой корень х=4,965. Таким образом,
ЬмаксТ^^. (2.22)
Подставив из (2.18) значение с2, можно получить
?1макс 7^ = 2897 Л1К°К. (2.23)
Выражение (2.23) известно как закон смещения Вина.
Следовательно, при 290° К максимум излучения лежит у 10 мк, а при 2900° К — у 1 мк. Хорошо известное изменение цвета раскаленных предметов в зависимости от температуры объясняется характером кривых излучения черного тела. При комнатной температуре практически все излучение приходится на инфракрасную область. По мере роста температуры начинает появляться видимое излучение. Вначале оно приходится на красный конец видимого спектра, в результате чего объект кажется красным. Когда его температура повышается до величины порядка 6000° К, что соответствует температуре поверхности Солнца, излучение в видимой области распределяется таким образом, что создает впечатление белого цвета. Изменение цвета нагретых объектов используется на практике для измерения температуры печей. Для этого изменяют ток через вольфрамовую нить до тех пор, пока ее цвет не станет таким же, как у материала в печи.
Если рассматривать излучение абсолютно черного тела как функцию частоты, то величина vMaKC, при которой наблтодается максимум излучения, оказывается значительно меньше, чем частота, соответствующая Хмакс. Из уравнений (2.12) и (2.14) можно найти, что
(2.24)
= 2,82.
Взяв отношение (2.24) к (2.22), получим:
^макс ^макс — 0,568 С, (2.25)
где Амакс и vMaKC соответствуют максимальным значениям, полученным из кривых излучения абсолютно черного тела, построенных
2В*
27
соответственно в шкалах длин волн и частот, и не соответствуют одной частоте (для которой Xv = с). То или иное значение берется в зависимости от того, как оценивается излучение — по постоянным интервалам длин волн или по постоянным интервалам частот.
Уравнение (2.16) можно переписать в виде
Л __ Ci 1
(Пу ес2/\т-1
или
6- = Смаке7’)5 еС2/Хмакс Т - 1
'макс (лГ)5 е^'Т-1
(2.26)
(2.27)
ко
0,8
0,6
0,4
0,2
О
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 14 1.6 1,8*10* ЛТ,мк°К
Рис. 2.4. Спектральная плотность излучения абсолютно черного тела в долях от максимальной в функции ZT.
Пунктирной кривой показана доля полной плотности излучения, приходящаяся на участок ниже данной величины \Т.
где /Макс — максимальная величина плотности спектрального потока, наблюдающаяся при значении ХмаксТ, определяемом формулой (2.23).
Из (2.26) следует, что отношение 1\(Т) для двух различных температур равно отношению температур в пятой степени при условии постоянства произведения XT в обоих случаях. Это правило можно применить для частного случая излучения в максимуме кривой черного тела. Отношение/макс для двух разных температур в максимуме равно отношению температур в пятой степени. Например, максимальная плотность излучения /макс при 2000° К в 25 =32 раза больше, чем при 1000° К (см. рис. 2.3).
Единая кривая излучения черного тела в функции XT показана на рис. 2.4. Из уравнения (2.27) следует, что Л//Макс является функцией только XT. На рис. 2.4 по
казана также доля энергии, приходящаяся на область меньше данной величины XT. Нужно отметить, что в коротковолновой от максимума области находится только 25% энергии, в то время как 75% приходится на длинноволновую область.
Полная плотность излучения, т. е. полная мощность, излучаемая в полусферу абсолютно черным телом с единицы площади при температуре Т на всех длинах волн, может быть получена интегрированием уравнения (2.15): оо
' =f (еХ ,,) <2-28>
28
Положим x^-ch/kTK тогда
00
Для нахождения интеграла представим знаменатель подынтегрального выражения в виде
(ДгГ) = (ГТ^) =е-^(1+е-Че-Ч...)= Д е~пх. (2.30) Тогда
2 ре-^. (2.31)
О v ' п=1 О
Интеграл в правой части (2.31) — табличный, он равен
[ x3e-"*dx = ^. (2.32)
О
Из (2.29) — (2.32) следует:
/=12л^-^2 (2.33)
72=1
Можно показать, что величина суммы равна л4/90; можно также просто ограничиться суммированием нескольких членов, поскольку сумма очень быстро сходится; численное значение суммы равно 1,082. Таким образом,
2*5*4
15с2 Л3 •
(2.34)
или
7-оТ4. (2.35)
Соотношение (2.35) — математическое выражение закона Стефана— Больцмана, о — постоянная Стефана — Больцмана, равная
о- = 5,673х Ю“5 зра-слг^-сек-1 °К“~4 =
-5,673 х 10-12 em-c4t“2°K-4. (2.36)
Полная плотность излучения черного тела возрастает пропорционально четвертой степени температуры. Теоретическое вычисление постоянной Стефана — Больцмана через универсальные атомные константы явилось величайшим триумфом планковской теории излучения черного тела.
29
Общее число N фотонов с единицы площади в единицу времени может быть получено делением энергии в каждом спектральном интервале dk на энергию одного фотона (Zzv = hd'k). Таким образом, из (2.15) можно найти
оо
N = 2лс f —(2.37) J (е<л/т _ j) v /
Это уравнение можно решить тем же методом, что и уравнение (2.28)
N = 2 А = 1 ’202 4П23/Г = °’370 (2-38)
с2 п3 ~ п3 с2 h3 k 4 '
п— 1
Таким образом, общее количество фотонов растет пропорционально лишь кубу абсолютной температуры, в то время как энергия пропорциональна четвертой степени температуры.
Формулу для общего числа фотонов можно записать в виде
W = ^, (2.39)
/1^0 где
v0—2,70
Заметим, что v0 примерно равно vMaKC из уравнения (2.24). Таким образом, общее число фотонов очень близко к их количеству, получающемуся от деления полной энергии на энергию фотона с частотой vMaKC.
Часто бывает необходимо определить небольшую разность температур. По изменению плотности излучения черного тела di с температурой можно так или иначе определить разность температур. Эта величина существенно изменяется по спектру. Дифференцируя (2.16) по Т, можно найти:
сг с2 eC1/,'r _ W, с2 1 (2.40)
dT Кв Т2 (еСг/,'т — 1)2 Т КТ i —
Если КТ < с2, то _ Л с2 dT ~ Т КТ КТ « С2 (2-41)
и при КТ с2 dT Т КТ » С2. (2.42)
Когда длина волны существенно меньше или больше Хмакс, формулу (2.16) для спектральной плотности излучения абсолютно 30
черного тела можно значительно упростить. Если XT < с2, то ^с2/кт 1 Единицей в знаменателе можно пренебречь по сравнению со значительно большим экспоненциальным членом, так что
A dX = § e-c«Ar dx, XT « с2. (2.43)
Это уравнение излучения Вина, которое было выведено раньше планковской формулы.
Когда XT > с2, ес^'т можно разложить в ряд. Ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получим:
A dX = L dX, XT » c2. (2.44)
Это уравнение Рэлея — Джинса, получающееся, если в соответствии с классической теорией среднюю энергию для одной моды колебания в полости принять равной kT (точное значение средней
Рис. 2.5. Процентные отклонения результатов, получающихся при использовании законов Вина и Рэлея—Джинса, от закона Планка. Закон Вина выполняется с точностью не хуже 1% в коротковолновой части спектра вплоть до максимума излучения. Закон Рэлея — Джинса становится сравнительно точным лишь при ХГ>7,7Х105 мк°К.
энергии, полученное на основе квантовомеханических представлений, определяется уравнением (2.11); легко видеть, что при XT^cz формула (2.11) и дает E^kT). Закон Рэлея — Джинса показывает, что в области достаточно больших длин волн излучение пропорционально температуре. Изменения величины излучения с температурой в длинноволновой области происходят значительно медленнее, чем в других частях спектра.
Процентные отклонения результатов, получаемых при использовании законов Вина и Рэлея — Джинса от закона Планка, показаны на рис. 2.5. Напомним, что ХмаксТ = 2897 жк°К. Закон Вина справедлив с точностью не хуже 10%, когда ХТк^бООО ;ик°К и с точностью не хуже 1% при ХТ<3000 juk°K- Отклонения от
31
закона Рэлея — Джинса не превышают 10%, когда ХТ>70 ООО мк° К и 1 % — когда ХТ>>770 ООО мк° К. В среднем районе близ максимума кривой излучения черного тела нужно использовать точное уравнение Планка.
При определенной длине волны излучение увеличивается с повышением температуры. Планковские кривые излучения черного тела для различных температур не пересекаются. Полное излучение растет пропорционально Т4. Излучение при какой-либо определенной длине волны может расти быстрее или медленнее, чем полное излучение. Для длин волн много больших, чем Хмакс, излучение растет пропорционально Т. С другой стороны, в максимуме излучение увеличивается пропорционально Т5.
Чтобы вычислить излучение плоской поверхности, нужно знать закон распределения излучения в функции угла 0 между линией наблюдения и нормалью к поверхности. Рассмотрим излучение от поверхности данной площади А. Если поверхность наблюдается под углом 0, то проекция ее на плоскость, перпендикулярную линии наблюдения, равна A cos 0. Если поверхность излучает диффузно, то излучение от данного элемента поверхности также изменяется с направлением пропорционально cosO, т. е. по ламбертовскому закону косинусов.
Лучистый поток dP (в вт), излучаемый элементом поверхности в телесном угле d£l = sinOd0d(p, равен
dP = N dScosOdQ, (2.44а)
где W — лучистость* поверхности, вт/см2 стер. Полный лучистый поток в полусферу в результате интегрирования (2.44а) оказывается равным
dP=^NdS. (2.45)
Так как плотность излучения поверхности I — dPdS, то
I=xN. (2.46)
Это соотношение одинаково справедливо и для полной плотности излучения, и для спектральной плотности излучения при определенной длине волны. Важно лишь, чтобы поверхность излучала по закону Ламберта.
Вещества, диффузно отражающие радиацию, являются и диффузными излучателями. Зеркальные металлические поверхности также могут действовать как диффузные излучатели. Шар, достигший равновесия со стенками печи, выглядит плоским, так как одинаковые по величине проекции поверхностей излучают одинаково. Солнце, в отличие от Луны, выглядит плоским, потому что оно яв
* Лучистость соответствует яркости в системе световых величин, применяемых в видимой области спектра (поток в единичном телесном угле с единицы площади). Поэтому лучистость раньше называли энергетической яркостью. (Прим, ред.)
32
ляется самосветящимся телом, а Луна видна только благодаря отраженному ею излучению. Однако Солнце не подчиняется закону Ламберта точно. Тщательные наблюдения показали, что края солнечного диска темнее, чем центр. Причины этого явления изучаются астрофизиками. Потемнение к краям объясняется тем, что различные слои Солнца, находящиеся на разном расстоянии от центра, имеют разную температуру. Видимый свет, излучаемый центром диска, идет от определенного слоя. Свет же, идущий от края диска, излучается более высоким слоем из-за увеличивающегося на более протяженном пути поглощения в атмосфере Солнца. Этот более высокий слой обладает меньшей температурой и поэтому излучает меньше света, чем равная по площади проекция участка в центре диска.
Аналогичное явление наблюдается в атмосфере Земли.' При наблюдении земного диска со спутников в инфракрасных лучах определенной частоты в участке спектра, где велико атмосферное поглощение, должно обнаруживаться потемнение диска к краям. Излучение краев земного диска идет от более высоких атмосферных слоев, чем в центре диска. Обычно более высокие слои холоднее нижних и излучают слабее. Однако может наблюдаться и обратное явление, если излучение идет от слоев стратосферы, где температура растет с высотой. Это происходит, в частности, близ центров сильных полос поглощения — тогда яркость к краям диска возрастает.
Ниже приводится пример расчета, в котором используются некоторые соотношения, определяющие излучение черного тела. Определим, чему равно полное излучение плоского объекта площадью 3 см2 с коэффициентом излучения 0,2 при 1000° С. Полный поток излучения можно получить, умножив плотность излучения черного тела, определяемую уравнением (2.35), на коэффициент излучения и на площадь:
Р = 5,67 х 10-12 х (1273)4 х 0,2 х 0,3 = 8,93 вт
или сила излучения равна 8,93/л = 2,84 вт/стер.
Чтобы определить, при какой длине волны наблюдается максимум излучения, используем соотношение (2.23)
Ъ _____ 2897 _ п по к
^макс — 1273 —
Почти точно 25% энергии излучается при длинах волн меньше 2,28 мк и соответственно 75% при длинах волн больше 2,28 мк. Если это излучение воспринимается приемником, чувствительным только до % = 2,28 мк, то полезно используется лишь 25% энергии, достигающей приемника.
Для облегчения расчетов применяются различные вспомогательные средства: счетные линейки, номограммы, таблицы.
Составлены различные таблицы, используемые при расчетах характеристик излучения [4—6а]. Когда нужно получить более точный результат, чем дает счетная линейка, пользуются этими
33
таблицами. Соответствующие значения могут быть вычислены также непосредственно из соотношений, приведенных выше. Эти расчеты сравнительно просты, если нужно определить полный поток излучения источника. Однако при расчете энергии излучения в спектральном интервале конечной ширины приходится прибегать к численному интегрированию. Такие расчеты удобнее производить с помощью соответствующих таблиц.
ЛИНЕЙЧАТОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ГАЗОВ
Излучение абсолютно черного тела изменяется плавно с изменением длины волны. Это непрерывное излучение резко отличается от линейчатого излучения газов. Поскольку излучение идет от большого числа линий с небольшой спектральной шириной, оно является очень резко меняющейся функцией длины волны. Только когда число излучающих молекул очень велико или давление очень высоко, крылья множества спектральных линий перекрываются и получается относительно плавный спектр излучения.
Спектры становятся все сложнее с увеличением числа атомов в молекуле. Простейшие спектры имеют отдельные атомы, однако обычно в этих случаях лишь небольшая доля общей энергии излучения лежит в инфракрасной области. Энергетические уровни атома описываются квантовыми числами. Атом с одним электроном, движущимся вокруг ядра с зарядом Z, имеет энергетические уровни
Еп = - Й (2-47)
где е — заряд электрона;
—постоянная Планка, деленная на ZTt
тМ
= ~М + т--приведенная масса;
2л;
tn — масса электрона;
М — масса ядра;
п — главное квантовое число, которое может принимать только целые значения, п — 1, 2, 3, 4...
Атом излучает при переходе электрона с одного энергетического уровня Е± на другой Е-2. Волновое число радиации определяется условием Бора:
V = Е1~- = £*~£2. (2.48)
he 2ithc ' '
Следовательно, v = ----(2.49)
\П2 П\ /
где R — ре4/4лЛ3 с — константа Ридберга;
пъ п2 — главные квантовые числа двух соответствующих состояний.
34
Это сравнительно простое соотношение с большой точностью описывает спектр водорода (Z = 1) и водородоподобных ионов. При исследовании спектра с очень высоким разрешением можно обнаружить, что многие спектральные линии имеют тонкую структуру. Они состоят более чем из одной линии. Это обусловлено взаимодействием магнитных моментов электрона и ядра и другими еще более слабыми эффектами.
2.3. Двухатомные молекулы
Основные свойства инфракрасного спектра двухатомной молекулы могут быть описаны при помощи понятия о возможных колебательных и вращательных состояниях молекулы. Разрешенные энер-
гетические уровни жесткого ротатора согласно квантовой механике [7]:
Е (/) _ , (2.50
где I = 2 mt r<1t — момент инерции моле-t
кулы;
/И/, г/ — масса и расстояние от центра для z-ro атома;
J — вращательное квантовое число, которое может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2,...
Энергетические уровни жесткого ротатора показаны на рис. 2.6 (верхняя часть диаграммы). Стрелки указывают разрешенные переходы между этими уровнями. Наблюдаемый спектр эквидистантных линий дан в нижней части диаграммы. Каждый переход показан точно над соответствующей линией. Расстояния между уровнями
Рис. 2.6. Энергетические уровни жесткого ротатора.
Частота
зависят от масс атомов в молекуле. В частности, они различны для
разных изотопов одной и той же молекулы.
Волновые числа из (2.48) и (2.50) получаются равными
v = BJ' (J' + 1) — BJ" (Г + 1), (2.51)
где В -- Н/4лс1,
J'—квантовое число верхнего состояния;
J"— квантовое число нижнего состояния.
При поглощении или излучении кванта J может измениться только на единицу. Обычно записывают уравнение для поглощения, 35
в этом случае J' = J" + 1 и уравнение (2.51) можно записать в виде
v = 2B(J+l), <7-0, 1,2,..., (2.52)
амплитуда колебании
Рис. 2.7. Энергетические уровни гармонического осциллятора.
Показаны нулевой энергетический уровень (пунктирной линией) и разрешенные переходы.
(2.54)
где для простоты квантовое число нижнего состояния J” обозначено просто через J. Спектр иллюстрируется рис. 2.6. Он состоит из ряда эквидистантных линий. Таков типичный инфракрасный спектр многих молекул.
Атомы двухатомной молекулы могут также колебаться. Так как обычно мала по сравнению с расстоянием между атомами, потенциал гармонического осциллятора является хорошим приближением к форме действительной потенциальной кривой. Энергетические уровни гармонического осциллятора определяются соотношением:
Е (0 =- Лтосц^ + v = °, 1, 2...,
(2.53) где ¥0Сц = (2л)-1 (&/|л)1/2 — классическая частота колебания;
k — силовая постоянная;
|Л — приведенная масса;
v — колебательное квантовое число.
Эти равномерно распределенные энергетические уровни показаны на рис. 2.7. Квантовые числа могут изменяться только на единицу, так что
v =
Таким образом, излучается единственная частота, равная классической частоте колебаний. Двухатомная молекула может одновременно вращаться и колебаться, в этом случае вращательные и колебательные энергии складываются, определяя в совокупности систему разрешенных энергетических уровней.
Это упрощенное представление разрешенных изменений состояния двухатомной молекулы верно лишь приблизительно. Во-первых, потенциальная кривая, соответствующая колебаниям, на самом деле несимметрична. Это становится все более существенным при росте квантового числа и соответственно амплитуды колебания. Благодаря этим ангармоническим колебаниям уравнение (2.53) содержит более высокие степени v + g- и разрешенными оказываются переходы, в которых v изменяется больше чем на единицу. По мере того как изменение колебательного квантового числа при переходе становится больше, интенсивность быстро падает. Переход 36
называется основным, если Ду = 1, обертоном первого порядка (или второй гармоникой), если Ду = 2, обертоном второго порядка, если Ду = 3 ит. д. Волновое число обертона первого порядка приблизительно вдвое больше, чем у основной частоты. Волновое число полосы поглощения ангармонического осциллятора равно
V = (vOC4/c) (v' — х0 и'* + Уо v,z + ...), (2.55)
где х0 и у0 — константы;
у' — колебательное квантовое число верхнего состояния.
Во-вторых, вращательные состояния молекулы не соответствуют точно вращательным состояниям жесткого ротатора. Благодаря центробежной силе момент инерции I увеличивается с ростом вращательного квантового числа из-за увеличения расстояния между атомами. Поэтому необходимо ввести дополнительный член, пропорциональный J2 (J + I)2, в уравнение (2.50).
Наконец, вращательные и колебательные движения молекулы до некоторой степени связаны, благодаря чему расстояние между ядрами изменяется при изменении амплитуды колебаний. Таким образом, величина В в уравнении (2.52), обратно пропорциональная моменту инерции, зависит от колебательного квантового числа и ее следует обозначать символом Bv.
В результате можно весьма точно представить волновые числа спектральных линий уравнениями [7]:
Уд - v0 + 2Ве + (ЗВ^ — В^) J + (Be — Be) J = 0, 1, 2,...,
vp -v0- (Be + Be) J + (Be — Be) 7 = 1,2, 3..., (2.56)
где v0 — волновое число чисто колебательного перехода без учета вращения;
yR, ур — волновые числа для R(&J = + 1) и P(AJ = — 1) ветвей спектра;
J — вращательное квантовое число нижнего состояния.
Если взаимодействия между колебанием и вращением нет, то В^ = Be и спектральные линии образуют две серии эквидистантных линий. Вообще при изменении квантового числа расстояние между линиями меняется медленно. Благодаря наличию в (2.56) квадратичного члена величина расстояния может приблизиться к нулю. Тогда линии образуют кант полосы, так что все спектральные линии расположены ниже определенного предельного волнового числа.
Кроме вращательного и колебательного изменений энергии в молекуле могут происходить изменения взаимного расположения электронов. Обычно это связано с достаточно большими изменениями энергии, так что такие переходы лежат уже за пределами инфракрасной области спектра.
37
2.4. Многоатомные молекулы
Спектры многоатомных молекул гораздо сложнее и зависят от симметрии молекулы. Вращательная энергия линейной молекулы (такой, как СО2) выражается тем же соотношением, что и двухатомной молекулы. Единственное различие состоит в том, что разрешенными являются переходы с AJ ~ 0, что приводит к появлению в спектре Q ветви. Когда все три главных момента инерции различны (например, для Н2О), вращательная структура более сложная и определяется уравнением
v = BJ(J + 1) — CW~, (2.57)
где выступает, как квантовое число, имеющее величину 2J + 1 при данном J. Например, при J = 2 т =—2; —1; 0; +1; +2 и соответствующие значения W- получаются путем решения алгебраических уравнений. Более детальное рассмотрение дано Герцбер-гом [7].
Многоатомная молекула с N ядрами может иметь много различных мод колебаний. В общем случае число степеней свободы для колебаний равно 3N — 6, однако, если молекула линейна, это число равно ЗМ —5. Таким образом, СО2 имеет четыре колебательные степени свободы, а Н2О — три. Согласно классической теории каждая из этих степеней свободы может быть связана с нормальной модой колебаний. Если константы для каждой из этих мод определены, энергия колебания может быть выражена как сумма членов вида (2.53)
E = ^ihvi(vi + Vi = 0, 1, 2,... (2.58)
Таким образом, каждая из основных полос поглощения СО2 в инфракрасной области соответствует определенному изменению одного или нескольких колебательных квантовых чисел вместе с соответствующими вращательными линиями. Детальная структура спектров многоатомных молекул может быть весьма запутанной [7].
2.5. Форма спектральных линий
Действительная форма спектральных линий определяется характером изменения поглощения в функции давления и длины пути. Ширина линии зависит от многих факторов. Однако в большинстве случаев в инфракрасной области решающим является влияние на излучающую молекулу взаимодействия и столкновений с соседними молекулами. Кроме того, на форму линии могут влиять тепловое движение молекул и время жизни возбужденного состояния.
Простейшая модель, описывающая влияние молекулярных столкновений на излучение, может быть получена на основе предположения, что молекула свободно излучает до того момента, пока 38
не столкнется с другой молекулой. Применяя анализ Фурье к ряду таких актов излучения, найдем, что коэффициент поглощения k равен:
k (v) = - ----, (2.59)
где S — полная интенсивность линии;
а — полуширина спектральной линии;
v0 — волновое число для центра линии.
Это вызванное столкновениями, или лоренцевское уширение линии симметрично относительно центра линии и на расстоянии, в несколько раз превышающем полуширину, спад интенсивности обратно пропорционален квадрату частоты. Полуширина а может быть вычислена в соответствии с элементарной кинетической теорией:
(2'60)
где р и Т — общее давление и абсолютная температура, а индекс О определяет соответствующие величины для некоторых стандартных условий. Для атмосферных газов, поглощающих излучение в инфракрасной области спектра, парциальное давление поглощающего газа всегда много меньше общего давления. В этом случае уравнение (2.60) почти точно учитывает изменения давления. Если парциальное давление составляет существенную долю общего давления, величину р в (2.60) следует заменить суммой общего и парциального давления, умноженной на некоторую константу. Константа изменяется в зависимости от типа рассматриваемых молекул и учитывает более сильное взаимодействие между молекулами одинакового вида по сравнению с взаимодействием разных молекул.
Квантовомеханические расчеты, подтверждая, что полуширина пропорциональна давлению, показывают, однако, что температурная зависимость изменяется при различном характере межмолекулярного взаимодействия. В диапазоне температур, наблюдающихся в атмосфере, эти изменения температурной зависимости не играют существенной роли.
Уравнение (2.59) для формы линии было выведено также на основе положений квантовой механики. Результат получился тот же, но оказалось, что центр линии может немного сдвигаться при изменении давления, а форма линии на расстоянии от ее центра, в несколько раз превышающем полуширину, несколько по-иному, чем при классическом рассмотрении, зависит от частоты. Для большинства задач инфракрасной техники эти отличия практически не имеют значения.
В дополнение к лоренцевскому уширению существует собственная ширина линии. Согласно принципу неопределенности произведение неопределенностей при нахождении энергии и средней продолжительности жизни атомного состояния не может быть
39
меньше постоянной Планка, деленной на 4л. Поскольку каждое возбужденное состояние атома имеет конечное время жизни, его энергия в принципе не может быть измерена точно. Следовательно,
измерение на определенной частоте, соответствующей данному пе-
реходу, должно обнаруживать некоторый разброс частот. Собственное уширение линии имеет ту же форму, что и лоренцевское (2.59).
Собственное и лоренцевское уширения складываются и получается
Частота (полуширина ’
Рис. 2.8. Сравнение формы линии, обусловленной уширением за счет столкновений (лорен-цевским уширением) с формой, обусловленной допплеровским уширением. Интенсивность обеих линий одинакова. Лорен-цевская линия имеет большую
полная полуширина, обозначенная в (2.59) через а. В инфракрасной технике в большинстве случаев собственной шириной можно пренебречь по сравнению с лоренцевской, обусловленной столкновениями. Учитывать собственную ширину приходится только при очень малых давлениях.
Последняя причина уширения линий, которая может иметь значение в инфракрасной технике, связана с прямолинейным движением излучающих молекул. В каждый данный момент времени некоторые молекулы приближаются к наблюдателю, а некоторые удаляются. Частота, видимая наблюдателем, меняется в зави-
интенсивность в крыльях, а допплеровская — в центре.
симости от относительного движения молекул за счет эффекта Допплера. Если молекулы находятся в равно-
весии, вероятность нахождения скорости в заданном интервале определяется максвелловским распределением скоростей. Благодаря этому обстоятельству форма линии должна быть [8, 9]:
Zt(v) =
S /1п2\1/2 \ 71 /
(2.61)
где допплеровская полуширина AvD
определяется соотношением
Av
— 1п 2 т
(2.62)
Здесь: k — постоянная Больцмана;
т — масса молекулы;
v0 — волновое число центра линии.
Формы линий, обусловленные допплеровским и лоренцевским уширением, сравниваются на рис. 2.8. Допплеровская линия более узкая и характеризуется экспоненциальным спадом интенсивности в крыльях. Спад интенсивности на краях лоренцевской линии на расстояниях от центра, в несколько раз превышающих полуширину, 40
происходит по закону (v—v0)~2 . Таким образом, когда число молекул достаточно, чтобы поглотить все излучение близ центра линии, поглощение излучения в крыльях происходит за счет лоренцевского уширения и уширение линии, связанное с эффектом Допплера, можно в этом случае не учитывать.
Допплеровское уширение приходится учитывать лишь в верхних слоях стратосферы, где в связи с малым давлением лоренцевская полуширина уменьшается, а относительно высокие температуры увеличивают допплеровскую ширину. Ниже 50 км допплеровское уширение практически не влияет на поглощение [10].
С учетом лоренцевского и допплеровского уширений форма линии описывается соотношением [9, 10]:
k(y) =
(In 2)2 з_ к2
Sa Г е~~*2
J а2 + (со —х)2 — 00
(2.63)
где
и
со = (In 2)2^
Рис. 2.9. Обращение спектральной линии.
Параметр а зависит от отношения лоренцевской ширины к допплеровской. Интеграл в уравнении (2.63) нельзя найти аналитически. Возможны приближенные решения. Пласс и Файвл [10] дали решение с использованием рядов Тейлора. Подробное рассмотрение этой задачи проведено Пеннером [9].
В спектре горячего линейчатого источника излучение в центре линий часто мало или вообще отсутствует и почти все излучение линий сосредоточено в крыльях. Это явление называется обращением линий. Спектральные линии относительно широки благодаря высокой температуре, это следует из (2.62). Обращение линий наблюдается, когда излучение, пс
ти через сравнительно холодные слои того же газа. Более холодный газ поглощает излучение на тех же частотах, на которых оно испускается, однако линии поглощения имеют меньшую ширину. В результате внешний, более холодный газ поглощает только центральную часть линий. Это явление иллюстрируется рис. 2.9:
источник, должно прой-
41
a — показана отдельная спектральная линия, излучаемая нагретым газом. Линия сильно расширена в связи с высокой температурой; б — пропускание излучения более холодными слоями того же вещества, где спектральные линии уже; в — наблюдаемая интенсивность. Спектральные линии многих пламен обращаются подобным образом, так что в центре линии излучение практически отсутствует.
Рис. 2.10. Параметр S/d как функция волнового числа для молекул НС1 и СОг при 300, 600, 1200, 1800 и 2400°К, где S—средняя интенсивность линии, a d— среднее расстояние между линиями [11, 12]. Этот параметр прямо пропорционален коэффициенту излучения на линейном участке, когда величина самого коэффициента излучения мала.
Интенсивность отдельной спектральной линии изменяется также в зависимости от температуры. Это происходит главным образом из-за изменения в зависимости от температуры числа молекул, которые в данное время находятся в определенном возбужденном состоянии. Расчеты распределения интенсивности в полосе и ее изменений с изменением температуры рассмотрены Герцбергом [7]. Контур полос НС1 и СО2 приведен на рис. 2.10. Из рисунка видно, что с повышением температуры колебательно-вращательная полоса НО расширяется, перекрывая все больший диапазон частот [11]. В инфракрасных полосах происходит то же за исключением случая, когда частота с одного из краев ограничена образованием канта полосы. Углекислый газ имеет кант полосы при 2399 см-1, как показано на рис. 2.10. Полоса СО2 с повышением температуры расширяется в сторону волновых чисел, меньших 2399 см-1. Контур полосы СО2, показанный на рис. 2.10, является результатом наложения различных колебательно-вращательных полос [12].
42
Когда горячий источник, например факел ракеты, содержит СО2, он излучает в сравнительно широких спектральных интервалах, складывающихся из тысяч отдельных спектральных линий. Это излучение проходит через атмосферу, содержащую холодный СО2. Атмосферный углекислый газ поглощает значительную долю излучения только в сравнительно узком диапазоне частот близ центра полосы, где наблюдаются очень сильные спектральные линии. Дальше от центра полосы интенсивность линий при высокой температуре велика, а поглощение холодным газом мало. Таким образом, излучение близ краев полосы проходит через атмосферу, поглощаясь сравнительно слабо. Этот эффект не следует смешивать с обращением линий, когда наблюдается только одна спектральная линия и ее исчезновение обусловлено зависимостью допплеровской ширины от температуры. С другой стороны, изменение интенсивности полосы в зависимости от температуры связано с температурным изменением мощности сотен и тысяч отдельных спектральных линий, которые совместно определяют поглощение в полосе в конечном интервале частот. Сумма поглощений этих многих отдельных линий определяет изменения в поглощении полосы. Температурные изменения в поглощении полосы фактически одинаковы независимо от того, лоренцевскую или допплеровскую форму имеют отдельные линии. Изменения в населенности возбужденных состояний являются весьма важным фактором, определяющим изменение поглощения в полосе с температурой.
Излучение пламени обусловлено тепловым возбуждением молекул. Кинетическая энергия молекулярного движения частично расходуется при столкновениях молекул друг с другом. После столкновения некоторые из молекул оказываются в возбужденном состоянии. Молекула может затем отдать эту энергию в виде излучения и возвратиться в нормальное состояние. Кинетическая энергия молекул становится больше с повышением температуры и соответственно увеличивается энергия излучения.
Молекулы могут также возбуждаться электрически. Для получения инфракрасного излучения в газоразрядных лампах используются такие газы, как гелий, ксенон, пары ртути, цезия. Высокое напряжение между двумя электродами в газе заставляет ионизированную молекулу двигаться к положительному электроду. Если средняя длина свободного пробега достаточно велика, молекула получает от электрического поля достаточную энергию, чтобы возбудить или ионизировать другую молекулу, с которой она столкнется. Эта возбужденная молекула в свою очередь излучает часть полученной энергии.
ЛАЗЕРЫ
Свет, излучаемый лампой накаливания или газоразрядной лампой, испускается в результате спонтанных актов излучения отдельных атомов. Связь между процессами испускания излучения
43
отдельными атомами фактически отсутствует. Волны излучения являются результатом наложения отдельных актов излучения. Благодаря случайному характеру процессов испускания энергии волны излучения некогерентны. Таким образом, связь между фазой колебаний в различных точках пространства практически отсутствует.
Лазер является прибором, излучающим когерентно с очень малой спектральной шириной и острой направленностью *. Атомы в нем уже не излучают случайно, фазы излучения согласованы. Имеются два различных механизма излучения энергии возбужденными атомами — спонтанная и стимулированная эмиссия. Если нет внешней радиации, возбужденный атом излучает спонтанно и переходит в нижнее состояние. Средняя продолжительность этого процесса может быть вычислена методами квантовой механики. Если атом облучается соответствующей внешней радиацией, он также излучает фотон и переходит в нижнее состояние. Энергия квантов внешней радиации должна соответствовать величине энергетического скачка рассматриваемого атома. Атом всегда находится в возбужденном состоянии в течение меньшего времени, когда есть внешняя радиация, чем если ее нет.
Число переходов, связанных со стимулированной эмиссией, пропорционально интенсивности внешней радиации.
Существует постоянное соотношение фаз между стимулирующим и стимулированным излучением. Излучение, попадая на возбужденный атом, сообщает ускорение электронам этого атома. Результирующее излучение имеет такую фазу, что эмитируемая волна складывается с падающей. Это подтверждают и квантовомеханические расчеты. Стимулированную эмиссию можно рассматривать как полностью идентичную обычному поглощению, но с обратным знаком. Когда атомов больше на нижнем энергетическом уровне, чем на верхнем, падающее излучение соответствующей энергии поглощается, так как большинство атомов переходит на верхний уровень, поглощая энергию; когда же больше атомов на верхнем уровне, падающее излучение усиливается, так как большинство атомов переходит в нижнее состояние, излучая энергию. Поскольку в состоянии равновесия всегда больше атомов на нижнем энергетическом уровне, необходима подкачка энергии в вещество, чтобы создать необходимые для усиления излучения условия, когда больше атомов находится на верхнем уровне.
* В английской и американской литературе приборы подобного типа называются мазерами (maser), лазерами (laser), иразерами (iraser), по первым буквам определения microwave (light, infrared) amplification of stimulated emission of radiation — микроволновый (световой, инфракрасный) усилитель стимулированной эмиссии излучения. Следуя установившейся в русской литературе терминологии, мы называем приборы, излучающие в оптическом диапазоне спектра — безразлично в видимом или инфракрасном его участке, — лазерами. Другое часто употребляемое название — оптические квантовые генераторы. {Прим, ред.)
44
Волну следует поместить в резонатор, чтобы обеспечить достаточное время для ее образования. Для лазеров простейшим резонатором является система из двух параллельных зеркал, в пространстве между которыми находятся излучающие атомы. Волна излучения формируется в направлении оси зеркал, усиливаясь за счет многократных отражений. В других направлениях излучение быстро уходит из системы, не успевая усилиться. Выход усиленного излучения из системы можно обеспечить, сделав одно из зеркал полупрозрачным.
Первые работоспособные лазеры были построены на рубине [13] с добавкой в АЬОз ионов Сг3+. При возбуждении импульсной лампой кристалл рубина поглощает так много энергии, что больше половины ионов Сг3+ оказываются в возбужденном состоянии. Энергия поглощается в широких полосах в зеленом и фиолетовом свете. Возбужденные ионы возвращаются в нормальное состояние двумя ступенями. Сначала они отдают некоторое количество энергии решетке кристалла и попадают на метастабильный уровень. Затем через несколько миллисекунд они излучают фотоны с длиной волны 6943А и возвращаются в нормальное состояние. В лазере первые несколько фотонов, излучаемых на этой длине волны, стимулируют ускоренное излучение другими возбужденными атомами. В направлении оси зеркал на этой длине волны образуется мощный когерентный луч.
Другой возможный способ получить эффект лазерного усиления заключается в использовании газовой смеси неона и гелия. В газовом разряде число атомов на различных энергетических уровнях может значительно отклоняться от числа, соответствующего равновесному состоянию. При небольшом поступлении энергии в неонгелиевую смесь многие атомы гелия переводятся на метастабильные энергетические уровни. Находясь на этих уровнях, они сталкиваются с атомами неона и обмениваются энергией. Возбужденные неоновые атомы возвращаются затем в нормальное состояние, создавая лазерный эффект. Прибор подобного типа был построен Джа-ваном и др. [14].
Предложено много других принципиальных схем построения лазеров. При этом могут быть использованы различные комбинации атомов как в газообразном веществе, так и в твердых телах. Со временем будут созданы самые различные лазеры, излучающие в разных участках спектра и имеющие различную спектральную ширину и мощность. В настоящее время преимуществами газовых лазеров являются непрерывность действия, возможность осуществления амплитудной модуляции, лучшая стабильность частоты излучения, простота и удобство приема и обработки сигнала. Преимущества лазеров на твердом теле — большие выходные мощности, сравнительная простота и надежность устройства, малая стоимость.
Луч лазера очень мощный, почти параллельный, когерентный, он имеет очень малую спектральную ширину. Импульсные рубиновые лазеры имеют мощность в импульсе до 103 вт и выше в интервале 45
0,05А при 6943А. Угловая ширина пучка меньше полуградуса. Для сравнения укажем, что поверхность Солнца того же размера излучает в том же телесном угле только 2 X 10~7 etn. Другие линейчатые источники света нам хорошо известны. Если атомы и электроны находятся в равновесии, то излучение не может превышать излучение абсолютно черного тела в данном частотном интервале. Электронная температура в газовом разряде может достигать 20 000° К- Эффективная «температура» рубинового лазера составляет 1012 °к.
Луч лазера можно сфокусировать с помощью линзы в очень небольшое пятно. От рубинового лазера можно таким способом получить облученность порядка 108 вт!см\ что достаточно для испарения самых тугоплавких материалов. Значительно более узкие и в пространстве и по спектру пучки можно получить от газовых лазеров. Луч неонгелиевого лазера имеет спектральную ширину менее 0,01 А при длине волны около 10 000А. Пятно от такого лазера, сфокусированное на Луну, имеет менее 2 км в диаметре.
Можно указать целый ряд возможных применений лазеров в различных областях. Поскольку они дают луч в видимом или инфракрасном свете, можно промодулировать этот луч, заставив его нести информацию. Такой луч может нести очень большое количество информации, так как оно прямо пропорционально полосе в герцах. Сфокусированное пятно лазера можно использовать для сварки и обработки тугоплавких материалов. Интересным применением лазеров может оказаться также управление химическими реакциями. При поглощении инфракрасного излучения в молекуле могут возникнуть определенные колебания. Эта молекула может в результате оказаться более активной для определенной химической реакции, что даст возможность остроселективного контроля химических реакций.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
В — постоянная, равная hl4ncl\ с — скорость света;
clf — константы в законе Планка для излучения черного тела;
Еп — энергия уровня с квантовым числом и;
е — заряд электрона;
h — постоянная Планка;
h — постоянная Планка, деленная на 2л;
/ — момент инерции молекулы;
/ — полный поток, излучаемый с единицы площади поверхности (плотность излучения);
1Ь — полный поток, излучаемый с единицы площади абсолютно черного тела;
— спектральный поток, излучаемый с единицы площади в единичном интервале длин волн;
1уЬ — спектральный поток, излучаемый черным телом с единицы площади в единичном интервале длин волн;
J — вращательное квантовое число;
46
k — постоянная Больцмана;
k(y) — коэффициент поглощения;
М — масса ядра;
т — масса электрона;
N — число осцилляторов, находящихся в данном энергетическом состоянии;
N — число фотонов, излучаемых с единицы площади в единицу времени;
N — лучистость (энергетическая яркость) поверхности;
п — число мод колебаний в полости;
п — главное квантовое число;
Р — лучистый поток;
р — давление;
R — константа Ридберга;
S — площадь поверхности;
S — интенсивность отдельной спектральной линии;
Т — абсолютная температура;
V — объем;
v — колебательное квантовое число;
Z — заряд ядра;
а — половина ширины лоренцевской спектральной линии на уровне 50% от максимума;
е — коэффициент излучения;
ех — спектральный коэффициент излучения;
О — угол;
X — длина волны;
\макс — длина волны, соответствующая максимуму излучения абсолютно черного тела;
и — приведенная масса;
ч — волновое число;
\ — частота;
Чмакс — частота, соответствующая максимуму излучения абсолютно черного тела;
ч0 — частота, соответствующая средней энергии фотонов, излучаемых черным телом;
Чкц — классическая частота колебаний осциллятора;
— половина ширины (допплеровской) спектральной линии на уровне 50% от максимума;
— объемная плотность энергии излучения при волновом числе v;
а — постоянная Стефана — Больцмана;
Q — телесный угол.
ЛИТЕРАТУРА
1. R i с h t m у е г F. К., Е. Н. Kennard. Introduction to modern physics. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1947.
2. P 1 a s s G. N. Blackbody radiation in the theory of action at a distance, thesis. Princeton University, Princeton, N. J., 1946.
3. F e r m i E. Revs. Modern Phys., 1932, v. 4, p. 87.
4. F u 1 k M. M., M. M. R e у n о 1 d, R. M. Burley. American institute of physics handbook, p. 6-64 to 6-67, McGraw-Hill Book Company. Inc. New York, 1957.
5. F о u 1 e F. E. International critical tables, v. V, p. 238—242. McGraw-Hill Book Company, Inc. New York, 1961.
6. List R. J. Smithsonian meteorological tables. 6th ed., p. 411—413. Smithsonian Institution, Washington, 1951. Pivovonsky M. M., R. Nagel. Tables of blackbody radiation functions. The Macmillan Company, New York, 1961.
47
Брамсон М. А. Справочные таблицы по инфракрасному излучению нагретых тел. Изд-во «Наука», 1964.
Апанасевич П. А., Айзенштадт Б. С. Таблицы распределения энергии и фотонов в спектре равновесного излучения. Изд-во АН БССР, Минск, 1961.
7. Herzberg G. Molecular spectra and molecular structure. I Spectra of Diatomic Molecules, II, Infrared and Raman Spectra of Polyatomic Molecules, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J. 1950, 1945. Герцберг Г. Спектры и строение двухатомных молекул. Изд-во иностранной литературы. 1949. Колебательные и вращательные спектры многоатомных молекул. Изд-во иностранной литературы, 1949.
8. W h i t е Н. Е. Introduction to atomic spectra. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1934.
9. P e n n e r S. S. Quantitative molecular spectroscopy and gas emissivities Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading, Mass., 1959.
Пеннер С. Количественная молекулярная спектроскопия и излучательная способность газов. Изд-во иностранной литературы, 1963.
10. Р 1 a s s G. N., D. I. F i v е 1. Astrophys. J., 1953, v. 117, p. 225.
11. P 1 a s s G. N. J. Opt. Soc. Am., 1960, v. 50, p. 1279.
12. P 1 a s s G. N. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, p. 821.
13. M a i m a n T. H. Phys. Rev. Letters, 1960, v. 4, p. 564.
14. Javan A., W. R. В e n n e t t, D. R. H e r r i о t. Phys. Rev. Letters, 1961, v. 6,'p. 106.
--- = ГЛАВА 3
ПРОХОЖДЕНИЕ ИНФРАКРАСНОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ АТМОСФЕРУ
При прохождении через атмосферу инфракрасные лучи ослабляются рядом компонентов, входящих в состав атмосферы. Поглощение обусловлено главным образом присутствием в атмосфере молекул воды (Н2О), углекислого газа (СО2) и озона (О3). На больших трассах может проявляться влияние таких компонентов, содержащихся в атмосфере в незначительном количестве, как метан (СН4), закись азота (N2O) и окись углерода (СО). На протяженных трассах заметное поглощение может быть вызвано также изотопическими модификациями Н2О и СО2, такими, как HDO (символ D обозначает дейтерий). Три главных газа, составляющих атмосферу, —азот (N2), кислород (О2) и аргон (Аг),—дают лишь очень слабые полосы поглощения в инфракрасной области спектра. В большинстве практических случаев их можно считать полностью прозрачными в инфракрасной области. Излучение, проходящее через атмосферу, ослабляется также за счет рассеяния. Молекулы газа, твердые частицы и капли жидкости в атмосфере рассеивают инфракрасное излучение.
Доля инфракрасной энергии, прошедшей через слой атмосферы между двумя фиксированными точками, изменяется во времени в зависимости от метеорологических условий. Количество водяного пара на трассе изменяется в широких пределах, то же можно сказать и об озоне. Углекислый газ более равномерно распределен в атмосфере, однако нужно учитывать изменения его количества на трассах различной протяженности. Для точных расчетов пропускания инфракрасного излучения необходимо иметь подробные сведения о метеорологических условиях. Хотя такими подробными сведениями располагают редко, все же обычно удается оценить пределы, в которых могут изменяться количества представляющих интерес газов, для рассматриваемого частного случая. Соответствующие диапазоны изменения параметров, характеризующих прозрачность атмосферы для инфракрасного излучения, можно тогда рассчитать методами, рассматриваемыми в этой главе.
3 Зак. 1502
49
ВЛИЯНИЕ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ
Давление и температура, так же как и количество поглощающих газов в атмосфере, влияют на поглощение в инфракрасных полосах, Этот вопрос уже рассматривался в гл. 2. Изменение среднего давления с изменением высоты показано на рис. 3.1 для стандартной атмосферы ARDC 1959 г. [1].
Поскольку в полулогарифмическом масштабе эта зависимость выглядит почти как прямая линия, изменение давления р с измене-
нием высоты можно аппроксимировать формулой
р = pQe~ (z- z0)/h^ (3.1)
Логарифм давления, мЬар
Рис. 3.1. Изменения среднего давления с высотой для модели атмосферы ARDC.
где z — высота;
р0 — давление на высоте г0;
h — шкала высот, т. е. эквивалентная высота однородной изотермической атмосферы.
Изменение давления с изменением высоты в изотермической атмосфере с постоянным химическим составом и при постоянном ускорении силы тяжести точно описывается формулой (3.1). На самом
деле температура меняется с высотой, величина ускорения силы
тяжести медленно уменьшается и сам состав атмосферы на очень больших высотах становится иным. Все эти факторы приводят к изменению шкалы высот, поскольку она пропорциональна абсолютной температуре, отнесенной к среднему молекулярному весу и ускорению силы тяжести. До высоты 100 км эквивалентная высота изменяется в пределах от 6 до 8,5 км. Соответствующие значения даны в табл. 3.1. Поэтому формула (3.1) более точна для тонких атмосферных слоев с соответствующим значением /г, чем для толстых слоев.
ТАБЛИЦА 3.1
Шкала высот
Высота, км Шкала высот, км Высота, км Шкала высот, км
0 8,5 40 7,8
5 7,8 45 8,1
10 6,8 50 8,1
15 6,2 60 7,6
20 6,3 70 6,5
25 6,6 80 6,2
30 | 6,8 90 6,5
35 1 1 7,2 100 7,3
Температура на определенной высоте в одно и то же время может быть весьма различной на разных широтах. На одной и той же ши-50
роте возможны также значительные колебания температуры во времени. Приближенные пределы этих изменений показаны на рис. 3.2. Сплошная кривая соответствует стандартной атмосфере ICAO и ARDC. Другие кривые показывают изменения, соответствующие резко отличающимся условиям — арктической зиме и тропикам. Наблюдаемые температуры большей частью уклады
ваются в пределы, ограниченные этими кривыми.
Для расчета пропускания инфракрасного излучения необходимы сведения о составе атмосферы. Из трех главных компонентов ат-
мосферы углекислый газ является единственным газом, приблизительно равномерно распределенным в атмосфере. Содержание его в атмосфере по данным на 1963 г. составляет в среднем 0,033% по объему. Среднее долголетнее процентное содержание углекислого газа в атмосфере практически постоянно и не зависит от высоты. Однако имеются существенные отклонения от этого среднего.
За последние 50 лет, количество углекислого газа в атмосфере увеличилось примерно на 15%. Это медленное увеличение является, по-видимому, след
Тем пера тура°К
Рис. 3.2. Изменения температуры с изменением высоты для моделей атмосферы 1САО и ARDC в условиях Арктики (для января)и для влажных тропических условий:
---- стандартная атмосфера ICAO и модель ARDC\ ----— арктическая зима;
— . — . — тропики.
ствием сжигания огромного количества угля и нефти в двадцатом веке. Содержание углекислоты в определенном месте может испытывать и сравнительно быстрые колебания во времени, в результате чего наблюдаются отклонения от среднего до 50%. Эти колебания обусловлены многими причинами.
В массе воздуха, находившейся несколько дней над океаном, содержание
углекислого газа может уменьшиться или увеличиться в зависимости от температуры морской воды и содержания в ней углеродистых соединений. Массы воздуха над лесами теряют в дневное время углекислоту, которая используется листвой в процессе фотосинтеза. Атмосфера над большими городами часто харак-
теризуется повышенным содержанием углекислого газа за счет выделения его автомобильными моторами и различными индустриальными предприятиями. Несмотря на указанные колебания, в большинстве расчетов можно принимать среднюю величину содержания углекислого газа в атмосфере, т. е. 0,033% по объему. Нет оснований предполагать, что эта величина сколько-нибудь существенно изменяется с высотой. По-видимому, углекислый газ равномерно распределен в атмосфере вплоть до высот, на которых про
исходит его диссоциация.
3*
51
7000-------------------
100 -
Stf ю -
Q 5. 1
и п. । । j. | | I I -1-J
-ЬО -20 0 20 ЬО 60
Температура^ °C
Рис. 3. 3. Масса водяных паров в насыщенном воздухе в функции температуры.
Количество водяных паров в атмосфере изменяется в широких пределах. Это количество тесно связано с температурой атмосферы. Максимальное количество паров Н2О, которое может содержаться в данном объеме воздуха, быстро возрастает с повышением температуры (рис. 3.3). Самая высокая зарегистрированная у поверхности температура + 55° С. При этой температуре воздух может содержать до 100 г/м3 влаги. Однако воздух при этой температуре ненасыщен. Наибольшее измеренное количество водяных паров около 30 г/м3, В этом случае процентное содержание водяных паров в атмосфере по весу 3%. Атмосфера полностью насыщается таким количеством водяных паров при температуре около 30°С. Эта температура является точкой росы для воздуха с максимальной влажностью. Другое крайнее значение температуры (—90° С) зарегистрировано в стратосфере. Количество водяных паров в воздухе при этой температуре пренебрежимо мало. Например, при —50° С в насыщенном воздухе (стопроцентная влажность) может содержаться всего 0,04 г/м3 водяных паров.
Количество водяных паров часто определяют отношением массы водяных паров, содержащихся в единице объема, к массе сухого воздуха, находящегося в том же объеме. По результатам типичных промеров это отношение уменьшается от 10 г/кг у поверхности Земли до 0,01 г/кг в нижней стратосфере. Точно определить количество водяных паров на какой-либо реальной трассе в данный момент времени почти никогда не удается из-за большого числа различных колебаний распределения водяных паров в атмосфере. Исследованию среднего количества водяных паров в атмосфере посвящено множество работ. В работе Гутника [1] исследовалось среднегодовое содержание водяных паров в атмосфере на высотах до 30 км на средних широтах.
Содержание озона в атмосфере также меняется. Обычно в инфракрасной технике это обстоятельство имеет значение лишь для трасс, проходящих через стратосферу. Озон образуется в верхней атмосфере при фотохимической диссоциации молекул кислорода. Атомы кислорода рекомбинируют с молекулами кислорода, образуя озон. Озон образуется, по-видимому, также и у земной поверхности за счет фотохимического восстановления органических остатков. На небольших высотах содержание озона составляет обычно 10~8. Эта величина плавно растет с увеличением высоты и может составлять 10~5 на высоте 30/см. Количество озона выражают обычно в сантиметрах О3 на километр. Это соответствует толщине слоя озона при нормальных температуре и давлении, которые можно получить из всего озона, содержащегося в вертикальном столбе высотой 1 км на соответствующей высоте. Максимальное
52
содержание озона наблюдается в диапазоне высот 10—30 км и может составлять 10~2 см О3 на километр. Высота, на которой расположен слой озона, изменяется в зависимости от времени года. Наблюдается также ярко выраженная широтная зависимость. Пространственное и временное распределение озона в атмосфере, а также теоретические вопросы образования озона рассмотрены Крэйгом [2].
Инфракрасные полосы поглощения газов, содержащихся в атмосфере в небольшом количестве, приобретают значение только на трассах значительной протяженности. Содержание в атмосфере метана около 1,4 X 10-6, закиси азота — 5 X 10~7. Имеющиеся сведения позволяют считать, что эти газы распределены в атмосфере равномерно.
Задача расчета количества поглощающего газа на наклонных трассах изучалась Альтшулером [2]. Он дал формулы и удобные графики для расчета эквивалентной длины трассы на уровне моря, соответствующей рассматриваемой наклонной трассе для определенного поглощающего газа, равномерно распределенного в атмосфере. Он привел также кривую для определения эквивалентного содержания Н2О на наклонной трассе, основанного на предположении об определенном характере изменения содержания Н2О с изменением высоты.
ПОГЛОЩЕНИЕ АТМОСФЕРНЫМИ ГАЗАМИ
Спектр поглощения трехатомных молекул, таких, как Н2О, СО2 и О3, состоит из большого числа спектральных линий, которые образуют полосы. Поглощение излучения данной молекулой происходит в строго определенных интервалах частот, где локализованы полосы. Однако некоторые из этих молекул имеют слабые спектральные линии почти во всех участках инфракрасного спектра. Поглощение в этих многочисленных слабых линиях может проявляться на протяженных трассах в участках спектра, отличных от обычных полос, и составлять существенную долю общего поглощения.
Поглощение в полосах Н2О, СО2 и О3, наблюдающееся при использовании спектрометра с низким разрешением, показано на рис. 3.4. Основные полосы поглощения Н2О имеют центры при 1,38; 1,87; 2,7; 3,2 и 6,2 мк, СО2 — при 2,7; 4,3 и 15 мк и О3 — при 4,8; 9,6 и 14,2 мк.
При расчете поглощения инфракрасного пучка в данном числе молекул необходимо учитывать ряд различных факторов. Поглощение зависит от числа спектральных линий в полосе и их относительного расположения, от числа спектральных линий заданной интенсивности, от полуширины и формы линий, особенно от формы крыльев линий. Поглощение зависит от давления и температуры, поскольку как интенсивность, так и полуширина линий изменяются в зависимости от этих параметров. Из-за сложности учета этих многочисленных факторов для получения величины поглощения
53
с достаточной точностью приходится применять электронно-вычислительную технику, хотя для многих практических применений можно использовать различные приближенные методы. Некоторые
Рис. 3.4. Спектральное пропускание озона, углекислого газа и водяных паров. Для сравнения показан солнечный спектр, наблюдаемый с земной поверхности.
из этих методов рассматриваются в данной главе. В дополнение приводятся точные таблицы поглощения для широкого диапазона трасс различной протяженности.
3.1. Поглощение отдельной спектральной линией
Рассмотрим сначала поглощение излучения отдельной спектральной линией. Определим поглощение А как отношение поглощенного лучистого потока к падающему. Тогда поглощение всей полосы есть сумма поглощений отдельных линий, если крылья отдельных линий не перекрывают друг друга. Это справедливо при сравнительно низких давлениях и на коротких трассах.
Если пучок излучения с волновым числом v проходит через бесконечно тонкий слой поглощающей среды, то изменение спектральной плотности излучения dlv определяется соотношением
dh = kv Ibv du — kv Ц du, (3.2)
где kv — коэффициент поглощения при волновом числе v;
1ь. — спектральная плотность излучения абсолютно черного тела при температуре среды;
и — масса поглощающего газа на единицу площади, которую можно получить, умножив плотность газа р на длину пути /.
Первый член правой части уравнения [3.2] дает излучение среды, которое прибавляется к интенсивности основного пучка, а второй — учитывает ослабление пучка за счет поглощения в слое.
54
При однородных вдоль трассы условиях это выражение можно непосредственно интегрировать. В результате получим
А- Дое"*’" -/„,(!
где Ло — интенсивность пучка с волновым числом v при и == О (длина трассы равна нулю).
Интенсивность пучка с увеличением длины трассы уменьшается по экспоненте. В то же время добавка от излучения черного тела все время возрастает, стремясь в пределе к интенсивности излучения черного тела при температуре среды. Это иллюстрируется рис. 3.5.
В двух показанных на рисунке случаях начальная интенсивность равна соответственно утроенной величине и одной трети интенсивности черного тела при температуре среды. В обоих случаях по мере увеличения пройденного пути интенсивность приближается к соответствующей величине для черного тела. После прохождения достаточно толстого слоя среды интенсивность излучения всегда достигает интенсивности излучения черного тела при температуре среды.
Согласно закону Бэра интенсивность
Рис. 3.5. Изменение интенсивности пучка излучения данной частоты при прохождении через среду.
излучения с ростом коли-
чества поглощающего вещества уменьшается экспоненциально. Этот закон всегда справедлив для однородной среды и монохроматического пучка такой частоты, что интенсивность источника достаточно велика по сравнению с собственным излучением среды, и последним можно пренебречь. К сожалению, поглощение монохроматического пучка обычно не представляет интереса для задач инфракрасной техники. Практически важным случаем является поглощение в конечном интервале частот Av, в котором может содержаться несколько сотен или даже тысяч спектральных линий.
Коэффициент поглощения является очень быстро меняющейся функцией частоты с максимумом в центре каждой спектральной линии. Для широкого диапазона давлений и количеств поглощающего газа коэффициент поглощения между линиями близок к нулю. Поглощение А (в долях единицы) в конечном интервале волновых чисел определяется равенством
(l~e~A’")dv. (3.3)
В связи с быстрым изменением kv, в функции v поглощение в зависимости от количества поглощающего вещества часто меняется не по экспоненциальному закону, а по другому.
При рассмотрении атмосферного поглощения большей частью нужно считаться с лоренцевским уширением линий [формула (2.59)].
55
Изменения полуширины а в зависимости от давления и температуры даются формулой (2.60). Если в интервале Av находится N непере-крывающихся спектральных линий, поглощение в соответствии с (2.59) и (3.3) равно
А = J- f (1 - ехр (- Sa%, 81Й dv, (3.4)
I МО'—''0/)2 + а21 V ' 7
где v0/ — волновое число /-й спектральной линии;
Av/ — интервал с центром, соответствующим центру линии, за пределами которого интенсивностью линии можно пренебречь; и интенсивность и полуширина всех линий приняты одинаковыми.
Различные интервалы волновых чисел можно рассматривать независимо, поскольку предполагается, что линии не перекрываются.
Интеграл (3.4) можно переписать в виде
Л = а^ J (1-e-^/d+^Odv', (3.5)
—00
где
v'=^' (3.7)
и пределы интегрирования распространены на бесконечность, поскольку поглощение вне интервала отсутствует.
Имеются два часто используемых предельных случая. Когда х мал, поглощение растет линейно с увеличением количества поглощающего газа. При большом х поглощение возрастает пропорционально Соответственно говорят о линейном и характеризующемся законом квадратного корня диапазонах изменения поглощения. Если х достаточно мал, то первые два члена разложения экспоненты из (3.5) дают
А = 4ах (Af/Av) j* (1 + v'*)-1 dv' = 4ax (N/Av) arc tg v' | —
6 '' = о
= 2nNax/Av = NSu/Av, x<^0,2. (3.8)
Было показано [3], что это соотношение обеспечивает десятипроцентную точность, когда х<0,2. Таким образом, когда х мал, поглощение растет линейно с увеличением количества поглощающего газа и не зависит от давления. В этом случае поглощение мало даже в центре линии. Каждая линия поглощает столько излучения, сколько может в зависимости от своей интенсивности и количества поглощающего газа. Из-за малой величины коэффициента поглощения на всех частотах молекула близ конца трассы не экранируется 56
молекулами, находящимися в начале трассы. Поэтому поглощение растет линейно с увеличением числа поглощающих молекул.
Результат получается совсем иным, когда х много больше единицы. В этом случае единицей в знаменателе показателя экспоненты в (3.5) можно пренебречь по сравнению с у'2. Это является математически оправданным, потому что экспонента много меньше единицы, если одновременно х^>1, a v' — порядка единицы или меньше. Пренебрежение единицей делает и без того малое значение экспоненты еще меньшим, но в этом случае точное значение экспоненциального члена несущественно. С другой стороны, когда v'^>l, единицей всегда можно пренебречь по сравнению с у'2. Таким образом, из (3.5) следует:
Л = 2a(W/Av) J(1 — e-2*A'2)dv', х»1. (3.9)
О
£
Вводя новую переменную z = (2х)2 /у', получим
1 оо
А = 2a (A/Av) (2х)г J (1 — е~22) (dz/z2). (3.10)
о
Этот интеграл можно вычислить непосредственным интегрированием по частям:
1 оо
А = 4a (JV/Av) (2х)г J e~z2dz. (3.11)
о
1 L
Поскольку интеграл в этом уравнении равен я2, окончательный результат получается в виде
L 1
А = (N/Av)2a(2nx)2 = (N/Av) 2 (Sau)2, х>1,63. (3.12)
Показано [3,4], что это соотношение выполняется с точностью 10%, когда х>1,63. Поскольку полуширина а пропорциональна давлению [формула (2.60)], поглощение возрастает пропорционально корню квадратному из давления и количества поглощающего газа.
В этом случае поглощение практически полное в интервале протяженностью в несколько а по обе стороны от центра линии. Когда число молекул увеличивается, поглощение близ центра линии больше не растет, поскольку излучение уже полностью поглотилось в этом районе. Остаточное поглощение может наблюдаться только в крыльях линий. Таким образом, каждая новая молекула в конце трассы уже не поглощает столько излучения, сколько она могла бы поглотить при облучении непрерывным по спектру неослабленным селективно пучком источника. Излучение, падающее
ЗВ. Зак. 1502 57
на молекулу, находящуюся в конце трассы, ослаблено как раз на тех частотах, на которых молекула хорошо поглощает.
Поглощение с увеличением числа молекул растет по закону квадратного корня, так как излучение поглощается в крыльях спектральной линии. По аналогичным причинам поглощение теперь зависит от давления. По мере увеличения давления спектральная линия становится шире. Поглощение отдельной молекулы на определенной частоте близ центра линии уменьшается, потому что общее поглощение распределяется на большую полосу частот.
Таким образом, каждая молекула оказывается в состоянии поглотить большую долю падающей на нее энергии излучения, поскольку она уже не экранируется столь эффективно молекулами, встретившимися на пути излучения раньше. Поглощение с увеличением давления растет по закону квадратного корня при постоянном числе поглощающих молекул до тех пор, пока в центре линии излучение поглощается полностью. Когда этих условий уже нет, рост поглощения замедляется и поглощение стремится к предельному значению, не зависящему от давления и определяемому только числом молекул.
Интеграл в (3.5) может быть вычислен точно с помощью функций Бесселя [5]. В результате получим:
А = (Af/Av) 2лах е~х [10 (х) + Л (х)], (3.13)
где х определяется соотношением (3.6);
/0 и Л — бесселевы функции аргумента х.
Уравнения (3.8) и (3.12) можно получить из (3.13), используя обычный метод раскрытия бесселевых функций при малых и больших значениях аргумента.
Поглощение излучения отдельной спектральной линией лоренцевской формы показано на рис. 3.6 и 3.7 в функции количества поглощающего вещества и давления. Как следует из кривых, которые подтверждаются и экспериментально, поглощение зависит от массы поглощающего газа на единицу площади и сильнее, чем от давления. Физические причины такого характера зависимостей уже рассматривались. На рис. 3.6 видны области, где поглощение зависит от и линейно или по закону квадратного корня. Наклон кривых в двойном логарифмическом масштабе дает численное значение показателя степени, при котором кривая в данной точке описывается аналитически наилучшим образом. При данной величине р поглощение сначала возрастает пропорционально и, а при дальнейшем увеличении и — пропорционально У и. Из рис. 3.7 видно, что при данном и поглощение никогда не увеличивается быстрее, чем пропорционально Ур. Для данной величины и имеется максимум поглощения при высоких давлениях. При уменьшении давления поглощение в конечном счете начинает уменьшаться пропорционально У р.
58
Для протяженных трасс в стратосфере допплеровская полуширина может оказаться больше лоренцевской. В этом случае форма линии определяется уравнением (2.61). Если подставить (2.61)
Рис. 3.6. Поглощение • излучения отдельной спектральной линией лоренцевской формы в зависимости от массы поглощающего газа на единицу площади для различных давлений, выраженных в единицах стандартного давления pQ.
Рис. 3.7. Поглощение излучения отдельной спектральной линией лоренцевской формы в зависимости от давления р для различных масс поглощающего газа на единицу площади, выраженных в единицах стандартной массы и0.
в (3.3), то оказывается, что получившийся интеграл нельзя решить аналитически. Однако для очень малых или очень больших х результат можно найти тем же методом, что и для лоренцевской формы линии.
Установлено [6], что
A = NSu/kv. (3.14)
зв* 59
Результат получился такой же, что и для линии, имеющей ло-ренцевскую форму [см. (3.8)]. Когда поглощение мало на всех частотах, форма линии не играет роли, так как каждая молекула поглощает на определенной частоте полную порцию излучения.
С другой стороны, поглощение при xD 1 определяется уравнением
(3.15)
(3.16)
где
kvD— допплеровская полуширина [см. (2.62)].
Таким образом, поглощение на протяженных трассах с ростом числа поглощающих молекул увеличивается очень медленно. Физически этот факт объясняется тем, что крылья допплеровской линии
Рис. 3.8. Поглощение излучения отдельной спектральной линией допплеровской формы в зависимости от массы поглощающего газа на единицу площади для различных температур, выраженных в единицах стандартной температуры TQ.
спадают по экспоненте. Когда протяженность трассы достаточно велика, чтобы близ центра линии поглотилась большая часть излучения, при увеличении количества поглощающего газа в крыльях линии не может быть значительного добавочного поглощения. Для протяженных трасс допплеровская линия качественно поглощает так, как будто внутри полосы 2Avd поглощается все излучение, а вне этого интервала поглощения нет. При постоянном xd на протяженных трассах поглощение является линейной функцией Ау^. Как следует из (2.62), Ауд пропорциональна УТ. Поглощение в функции длины трассы для трех разных температур показано на рис. 3.8. Из рисунка видно, что вначале поглощение растет пропорциональ-60
но и. Однако при больших и рост поглощения становится очень медленным.
Когда нужно учитывать и допплеровское, и лоренцевское уширение, форма линии описывается уравнением (2.63). Здесь также можно получить соответствующее выражение для поглощения [6]. Однако для протяженных трасс допплеровским уширением часто можно пренебречь, даже если оно много больше лоренцевского [6]. Причина этого в том, что на протяженной трассе учитывать приходится главным образом поглощение в далеких крыльях линии. Поскольку крылья допплеровской линии спадают по экспоненте, а крылья лоренцевской линии — обратно пропорционально квадрату частоты, поглощение даже более узкой лоренцевской линии в далеких крыльях может существенно превышать поглощение в крыльях допплеровской линии.
3.2. Поглощение в полосе
Данные соотношения справедливы для поглощения полосы, состоящей из спектральных линий, только в том случае, когда линии практически не перекрываются. Обычно это наблюдается только тогда, когда и давление и длина трассы невелики. Во многих представляющих практический интерес случаях спектральные линии перекрываются. Поглощение в этих случаях всегда меньше, чем от того же числа неперекрывающихся линий. Когда линии перекрываются, каждая линия уже не в состоянии поглотить такую долю энергии, которую она поглощает в изолированном виде.
Поглощение в полосе зависит от расстояния между отдельными линиями и их интенсивности. Когда линии расположены на равных расстояниях друг от друга, поглощение больше, чем в случае случайного распределения линий. В последнем случае две спектральные линии могут оказаться расположенными почти на одной частоте и суммарное поглощение получается существенно меньшим, чем сумма поглощений в отдельных линиях. Из-за очень быстрых изменений коэффициента поглощения с частотой уравнение (3.3) трудно интегрировать в пределах полосы даже при использовании большой электронной счетной машины. К счастью, это обычно и не требуется, поскольку существуют различные модели, описывающие поглощение в реальной полосе с достаточной точностью. Этих моделей четыре: (1) модель Эльзассера [7]; (2) статистическая модель [8, 9]; (3) случайное наложение нескольких полос Эльзассера [3, 10] и (4) квазислучайная модель [23].
Модель Эльзассера применима, когда линии распределены в полосе равномерно и имеют одинаковую интенсивность. Этот случай иллюстрируется верхней диаграммой рис. 3.9. С довольно хорошей точностью такой моделью может быть представлена часть спектра СО2. Однако в действительности между сильными эквидистантными линиями в этом спектре всегда имеются слабые линии. Поэтому модель Эльзассера не описывает достаточно точно поглощение в по-
61
лосе СО2 на протяженных трассах, так как эти слабые линии на большой длине пути луча поглощают значительную долю излучения.
Статистическая модель применима, когда линии в полосе распределены случайно. Интенсивность спектральных линий может меняться любым образом, лишь бы это изменение можно было представить некоторой функцией распределения. Ряд спектральных линий, соответствующих множеству различных квантовых переходов, перекрывает друг друга во многих реальных полосах. Хотя серия спектральных линий, обусловленных изменением одного
Частота
Рис. 3.9. Коэффициент поглощения в функции частоты для модели Эльзассера (регулярное расположение спектральных линий), статистической модели (случайное расположение спектральных линий) и модели Эльзассера со случайным наложением групп линий (случайное наложение ряда полос Эльзассера).
квантового числа, обычно образует правильную прогрессию, расстояния между линиями могут оказаться распределенными по случайному закону, когда с полдюжины или даже больше различных серий накладываются друг на друга. Расположение спектральных линий в статистической модели показано в средней части рис. 3.9. С помощью статистической модели может быть описано поглощение Н2О при умеренных давлении и длине трассы.
Во многих случаях более точное описание поглощения в полосе дает модель (3) Эльзассера, предполагающая случайное распределение групп линий. На нижней диаграмме рис. 3.9 показано случайное наложение друг на друга трех различных полос Эльзассера, каждая из которых характеризуется своими интенсивностью и расстоянием между отдельными линиями. Эта модель может включать столько отдельных полос Эльзассера, сколько требуется. Таким образом, можно включить в рассмотрение все те слабые линии, которые являются существенными для данных условий: длины трассы и давления. Спектральные линии реальных полос очень 62
часто, действительно, состоят из ряда таких наложенных друг на друга серий, связанных с различными группами квантовых переходов и различными изотопами рассматриваемой молекулы.
Квазислучайная модель особенно пригодна в тех случаях, когда требуется точно рассчитать поглощение на трассах, длина которых изменяется в широком диапазоне. Спектральные линии в реальной полосе располагаются на самом деле на так регулярно, как в модели Эльзассера, но и не таким случайным образом, как в статистической модели; в действительном расположении линий все же наблюдается известный порядок. При использовании квазислучайной модели поглощение рассчитывается сначала в интервале частот, много меньшем представляющего интерес интервала. Это позволяет учесть действие сильных линий в узких интервалах близ их действительного положения и избежать неправильного введения в расчет влияния отсутствующих в действительности перекрытий линий. Поглощение в этих узких интервалах вычисляется по уравнению для поглощения отдельной линией в конечном диапазоне частот. Это уравнение является обобщением соотношения (3.13), которое применяется в бесконечно большом интервале.
Поглощение каждой из N спектральных линий, находящихся в рассматриваемом интервале, вычисляется отдельно, и результаты оцениваются в предположении случайного распределения линий в небольшом интервале. При расчете учитывается поглощение в крыльях линий, находящихся в соседних интервалах. Результаты усредняются по крайней мере для двух различных разбиений рассматриваемого частотного диапазона на интервалы. Наконец, результаты расчета поглощения для всех маленьких интервалов, заполняющих рассматриваемый диапазон, усредняются для получения окончательного значения поглощения. Расчет, особенно в случае большого числа отдельных спектральных линий, производится часто с помощью электронной вычислительной машины. Квазислучайная модель дает наиболее точные, по сравнению с другими тремя моделями, результаты для широкого диапазона изменения количества поглощающего газа и длины трассы, поскольку точно учитываются многочисленные слабые линии и относительное расположение всех линий.
Точное выражение для поглощения в полосе Эльзассера имеет вид [7]
л=1 —-L J e-^sh3/<ch^-cosz>dz, (3.17)
где
<ЗЛ8>
d — среднее расстояние между линиями; х — определяется формулой (3.6).
63
Интеграл (3.17) не берется, однако удовлетворительные выражения для поглощения в определенных пределах найти можно.
Когда поглощение мало на всех частотах полосы, в том числе и близ центров поглощающих линий, тогда оно является функцией одной переменной рх = Su/d. Кривая поглощения в этом предельном случае называется приближением для случая слабых линий. Линии могут даже перекрываться, пока поглощение в центрах линий мало. В этом случае для полосы Эльзассера было найдено [4, 12], что
Л=1 — е-3*. (3.19)
Результат, получаемый из (3.19) с точностью до 10%, такой же, как из точного выражения (3.17), если одновременно х < 0,2 и Р <0,1 или р > 1 при любом х.
Соотношение (3.19) имеет ту же форму, что и закон Бэра. Таким образом, если поглощение невелико даже близ центров самых сильных линий, то поглощение в сложной полосе происходит по простому экспоненциальному закону. Это может наблюдаться или на очень коротких трассах, или при достаточно больших давлениях. В любом случае положение линий в полосе не влияет на результат, так как действие отдельных линий в этих условиях аддитивно. То же выражение (3.19) справедливо для каждой из четырех описанных моделей, когда справедливо приближение для случая слабых линий.
Другое часто используемое приближение для случая сильных линий справедливо, когда центры сильных линий полностью непрозрачны. Это наблюдается или на трассах большой длины, или при малых давлениях. Коль скоро центры линий непрозрачны, это приближение верно, независимо от того, перекрываются спектральные линии или нет. Поглощение в этом случае является функцией одной переменной р2х= 2naSu/d2,
Для модели Эльзассера приближение для случая сильных линий получается из (3.17) в виде
л-’|(г?гП’ (3'20>
где
Z ф (z) = ^у/2 j е~22 dz. о
Это выражение часто используется для расчета поглощения СО2. Оно может дать хорошие результаты, когда переменные изменяются в умеренных пределах, в противном случае следует использовать модель случайно распределенных полос Эльзассера или квазислу-чайную модель, чтобы учесть влияние ряда слабых линий. Уравнение (3.20) дает с точностью до 10% тот же результат [4], что и точ-64
Л=1—[1 — (
ное соотношение (3.17), когда х 1,63. При большом 0 уравнение (3.20) дает хорошую точность и для меньших х. Например, при 0 = 10 уравнение (3.20) обеспечивает 10?о-ную точность для х > 0,24.
Для статистической модели приближение для случая сильных линий имеет вид [4]
232х\1 /2 ПАТ к / / J
ИЛИ
А = 1 — е-(2₽2^)|/2, когда W » 10. (3.21)
Здесь для определения величины х используется соответствующим образом найденное среднее значение интенсивности линии S.
Другой способ — вычисление выражения в квадратных скобках (3.21) отдельно для каждой из N спектральных линий и перемножение результатов.
Для модели со случайным расположением полос Эльзассера приближение для случая сильных линий имеет вид [3, 4]
1-П{1-ф[(|₽/*/)' ]}• (3.22)
i= 1
где произведение берется по числу М наложенных друг на друга полос Эльзассера. Для г-й полосы полуширина равна расстояние между линиями интенсивность линий так что
__ 2zaz _ S[ и
1 di И 2т:я/
Для квазислучайной модели приближение для случая сильных линий получается в форме [3, 23]
д==1-П{е-г‘?-л1/2гг.[1-ф(г/.)]}1 (3.23)
/=1
где
2 _ 8a? Xi zi — D2 •
q>(z) определяется, как в (3.20);
N — число спектральных линий в интервале D.
Это выражение дает поглощение в спектральных линиях, центры которых лежат в пределах заданных узких спектральных интервалов. При перемножении соответствующих пропусканий следует дополнительно учесть поглощение в крыльях линий соседних интервалов. Уравнения (3.21) — (3.23) справедливы примерно для тех же значений х и 0, что и (3.20). Более подробные сведения о пределах
65
применимости этих соотношений и выражения, которые следует использовать в промежуточных областях, можно найти в литературе [3, 4, 23].
Несколько типичных кривых поглощения для модели Эльзассера и статистической модели показаны на рис. 3.10 и 3.11. Поглощение здесь отложено в функции р2х = 2naSu/d2 (т. е. величины, пропорциональной ри) в двойном логарифмическом масштабе.
Рис. 3.10. Поглощение для полосы Эльзассера в функции параметра ri2x~~=2iwSu/d2, пропорционального произведению давления р и массы поглощающего газа на единицу площади и. Видны области, где выполняются линейный закон и закон корня квадратного для отдельной спектральной линии в соответствии с уравнениями (3.8) и (3.12). Поглощение для значений р—0,01; 0,1; 1; 10, где $—2Ka/d,
полоса Эльзассера; ------------х----линейная аппроксимация; ----------- аппроксимация по закону квадрат-
ного корня.
Для лучшего понимания хода этих кривых рассмотрим одну из кривых для р =0,1, когда давление остается постоянным и справедливо использование статистической модели (см. рис. 3.11). При постоянном давлении по мере медленного увеличения количества поглощающего газа и от очень малых значений поглощение вначале увеличивается линейно. В двойном логарифмическом масштабе наклон кривой равен единице. При р =0,1 центры полос поглощения еще до сколько-нибудь заметного перекрытия линий начинают поглощать излучение полностью. Линейное приближение (3.19) справедливо для я <0,2. При больших значениях и наклон уменьшается и становится в некоторой области близким к . Здесь поглощение пропорционально У и. Приближение для случая сильных линий [уравнение (3.21)] становится справедливым при х^> 1,63. В рассматриваемом случае поглощение в соответствии с (3.21) пропорционально ]/и, пока х < 6,3. При больших х ста-66
новится существенным перекрытие спектральных линий. Уравнение (3.21) все еще справедливо, однако поглощение растет медленнее, чем по У и. Когда поглощение становится полным, наклон кривой уменьшается до нуля.
Кривая поглощения при постоянном и для р* =0,1 также показана на рис. 3.11. При увеличении давления поглощение растет пропорционально Ур. В центрах спектральных линий при низких дав-
Рис. 3.11. Поглощение в функции параметра р2х, пропорционального ри для статистической модели. Приведены кривые поглощения при постоянном давлении (3=0,1) и постоянном количестве поглощающего газа (рх=0,1).
Показаны также приближенные теоретические зависимости — линейная и закон квадратного корня.
------поглощение при постоянном давлении, 3 = 0,1; ------поглощение для постоянного количества поглощающего газа, 3*=0,1; ----х----линейная
аппроксимация; ------- аппроксимация по закону
квадратного корня.
лениях излучение поглощается полностью, так как полуширина линий мала. В рассматриваемом частном случае при Ра; =0,1 поглощение растет пропорционально У р, пока р < 0,0613. При более высоких давлениях поглощение быстро приближается к своему максимальному значению, которое в этом случае немного меньше, чем 0,1. При этих давлениях спектральные линии достаточно расширены, так что каждая спектральная линия дает почти полный вклад в поглощение. При дальнейшем увеличении давления поглощение уже больше не возрастает.
Результаты расчета поглощения с помощью трех различных моделей сравниваются на рис. 3.12. Для данного числа поглощающих атомов наибольшая величина поглощения получается при использовании модели Эльзассера, так как перекрытие линий минимально при их равномерном распределении. Кривые для модели, использующей случайное распределение нескольких полос Эльзассера,
67
занимают промежуточное положение между аналогичными кривыми для моделей Эльзассера и статистической. Поглощение, рассчитанное по квазислучайной модели, может оказаться по любую сторону от
Рис. 3.12. Поглощение в функции fix= Su/d при 8=2ка/б/==О,1 для .модели Эльзассера, статистической модели и случайное наложение W полос Эльзассера для /V = 2 и N = 5. Для простоты принято, что все спектральные линии имеют одинаковую интенсивность.
------- модель Эльзассера, -- случайное наложение двух полос Эльзассера, N=2; ----х-----слу-
чайное наложение пяти полос Эльзассера, N = 5;
------ статистическая модель.
этих кривых в зависимости от особенностей расположения линий в полосе и важности поглощения в крыльях.
С рассмотренным вопросом более детально можно ознакомиться в литературе [3—12, 23].
3.3. Поглощение в парах воды и углекислом газе
Три нормальные моды колебаний паров воды и углекислого газа показаны на рис. 3.13. С каждой нормальной модой колебания связана инфракрасная полоса поглощения. Частоты спектральных линий в этих полосах определяются уравнением (2.56).
Молекула воды образует равнобедренный треугольник. Угол при вершине тупой и равен 104°, 5. Основные колебания vr и v3 дают две полосы близ 2,7 мк, в то время как полоса при 6,3 мк обязана своим происхождением основной частоте v2. Другие более слабые полосы поглощения водяных паров получаются от различных комбинаций этих нормальных мод.
Молекула углекислого газа имеет линейную форму. Из трех нормальных мод, которые показаны на рис. 3.13, основная частота не дает полос в инфракрасной области спектра, так как при этих колебаниях электрический дипольный момент молекулы остается неизменным. Появление сильной полосы поглощения при 15 мк является результатом колебаний v2, частота v3 дает полосу при 4,3 мк.
68
Проводилось большое количество экспериментальных спектроскопических исследований с высоким разрешением, чтобы разрешить как можно больше спектральных линий для выяснения структуры и схемы энергетических уровней молекулы. Значения спектроскопических констант, необходимые для расчета поглощения в различных участках инфракрасного спектра, можно взять по результатам этих экспе- Ъ vz риментов. Однако пропускание излучения о» о «о j—t—y о—ю-о-в этих участках непосредственно не измерялось. Непосредственные измерения
производились при низком разрешении, достаточном для задач инфракрасной техники.
Исследования паров воды, углекислого газа и озона с невысоким спектральным
Ъ vi Ъ алл
разрешением проводились Саммерфилдом [13], Чэпмэном и Говардом [14], Клодом [15], Говардом, Берчем и Уилльямсом [16], Доу [17], Уолшоу [18], Палмером [19] и
Рис. 3.13. Нормальные моды колебаний молекул СО2 (вверху) и Н2О (внизу).
Говардом, Берчем, Уилльямсом и др.
[20—22]. Последние измерения содержат детальные исследования
многих важных инфракрасных полос, влияющих на пропускание излучения атмосферой, в частности, полос углекислого газа при 2,7; 4,3 и 15 мк и полос водяного пара при 1,87; 2,7 и 6,3 мк.
Рис. 3.14. Полное поглощение в полосе 4,3 мк СО2 в функции эквивалентного давления Ре=Рм2 + ГЗ Рсо2- ЦИФРЫ на кривых дают количество поглощающего газа и в атм'см (по данным Говарда, Берча, Уилльямса [16] и Берча, Кривняка и Уилльямса [21]).
Ряд типичных кривых поглощения для углекислого газа, полученных Берчем, Кривняком и Уилльямсом [21], показан на рис. 3.14. Полное поглощение для полосы углекислого газа при
69
4,3 мк отложено в функции эквивалентного давления рЕ для различных постоянных значений количеств и углекислого газа. Обычно для углекислого газа и измеряют в атмосантиметрах. Если весь газ, находящийся в столбе постоянного сечения, привести к атмосферному давлению, толщина газа в столбе будет равна числу атмосантиметров (атм-см). В работе Берча, Кривняка и Уилльямса температура тоже приводилась к стандартному значению (0°С). Во многих статьях эта температурная поправка не делается. Для угле-
Рис. 3.15. Поглощение в полосе 1,87 мк Н2О в функции волнового числа (по данным Берча, Франса и Уилльямса [22]).
кислого газа эквивалентное давление определяется соотношением
+ 1 Рсо2> (3.24)
где pN и рсо — парциальные давления азота и углекислого газа.
Силы взаимодействия между двумя молекулами углекислого газа больше, чем между молекулами углекислого газа и азота. Поэтому столкновения одинаковых молекул являются более важной причиной уширения ли ний, и им придан больший вес в уравнении (3.24). Численный коэффициент опреде
лен экспериментально.
Экспериментальные кривые поглощения, изображенные на рис. 3.14, по форме хорошо согласуются с теоретическими кривыми, показанными на рис. 3.11. Главное отличие между экспериментальными и теоретическими кривыми обнаруживается в наклоне кривых (в двойном логарифмическом масштабе) при малых значениях Теоретически этот наклон для двух простейших моделей (Эльзассера и статистической) должен быть близок к 0,5, а из эксперимента получаются величины не больше 0,4. Возможное объяснение этого расхождения — необходимость учитывать множество слабых линий при определении поглощения в области очень низких давлений. Это еще одно подтверждение необходимости использовать для
точного расчета поглощения в полосах при изменении давления и длины трассы в широких пределах случайное распределение многих полос Эльзассера или квазислучайную модель — модели, в которых учитываются все имеющиеся в реальной полосе слабые линии.
Экспериментальные кривые поглощения для полос водяного пара 1,87; 2,7 и 6,3 мк [22] и углекислого газа 2,7 и 4,3 мк [21] показаны на рис. 3.15—3.24. На рис. 3.15 — 3.19 поглощение для каждой из этих полос дано в функции частоты для определенных зна-
70
чений давления и длины трассы. Значительно большее количество подобных кривых поглощения приведено в работе Берча, Уилльямса и др. [20—22]. Поглощение на данной частоте всегда увеличивается с увеличением количества и поглощающего газа при по-
JOQQ ' 3200 3400 3600 3800 4000 4200
Волновые числа, см'
Рис. 3.16. Поглощение в полосе 2,7 мк Н2О в функции волнового числа (по данным Берча, Франса и Уилльямса [22]).
стоянном давлении р; оно увеличивается также с ростом р при постоянном и. Таким образом, кривые, для которых один из двух параметров р или и изменяется при постоянном значении другого,
Рис. 3.17. Поглощение в полосе 3,6 мк Н2О в функции волнового числа (по данным Берча, Франса и Уилльямса [22]).
никогда не пересекаются. Однако, как видно из рис. 3.19, легко можно отыскать пару пересекающихся кривых, когда изменяются одновременно и и и р. Поглощение в этом частном случае в районе
71
центра полосы больше для кривой с и = 0,0234 атм-см, в то время как близ края полосы оно больше для кривой с и = 0,344 атм-см. Аналогичные измерения поглощения проводились Берчем и Уилль-
о
20
40
60
80
100
МО 3500 3600 3700 3800
Волновь/е числа, см'1
Рис. 3.18. Поглощение в полосе 2,7 мк СО2 в функции волнового числа (по данным Берча, Кривняка и Уилльямса [21]).
точно надежно. Однако нужно отметить, что из-за небольшой
систематической ошибки эксперимента экспериментальная кривая может заметно сдвинуться относительно кривой на графике. Эти
кривые можно сравнить с
теоретическими зависимостями, приведенными на рис. 3.10.
Экспериментальные кривые поглощения для полосы озона при 9,6 мк приведены на рис. 3.25— 3.27. На этих графиках трех типов показаны результаты измерений Уолшоу [18]. На рис. 3.25 поглощение отложено в функции ри, как и на предыдущих графиках для угле
кислого газа.
На рис. 3.26 поглощение отложено в функции и. Согласно уравнению (3.19),
ямсом и для второстепенных компонентов атмосферы, таких, как СО, N2O, и СН4 [20].
Из измерений поглощения в функции частоты можно рассчитать полное поглощение в полосе, вычислив интеграл в уравнении (3.3). Некоторые результаты, полученные таким методом Берчем, Уилльямсом и др. [20—22], показаны в виде зависимости поглощения от ри на рис. 3.20—3.24. В боль
шинстве случаев предельная кривая поглощения для приближения сильных линий определяется доста-
Рис. 3.19. Поглощение в полосе 4,3 мк СО2 в функции волнового числа (по данным Берча, Кривняка и Уилльямса [21]).
когда справедливо приближение для случая слабых линий, поглощение является функцией одной переменной и. Верхняя кривая на рис. 3.26 является теоретически рассчитанным приближе-
72
нием для этого случая. Экспериментальные кривые существенно отличаются от этой предельной кривой, когда поглощение уже не является малым близ центра сильных линий.
Еще один способ представления данных о поглощении показан на рис. 3.27. На этом рисунке А/p отложено в функции и/p. Пока
Рис. 3.20. Полное поглощение в полосе 1,87 мк Н2О в функции ирЕ (по данным Берча, Франса и Уилльямса [22]).
спектральные линии практически не перекрываются, поглощение является, как это следует и из (3.13), функцией только этих переменных. Верхняя кривая — результат теоретического расчета, проведенного в предположении, что линии не перекрываются. Теоретическая кривая вначале имеет наклон, равный единице, который
юоо
-----IliniuJ----1 1 и ни!---1 1 и ни!--L_i и 1 j nL_ 0,1--1----------10----------100--------1000
ир£; осажденное количество, см; давление, мм рт, ст
Рис. 3.21. Полное поглощение в полосе 2,7 мк Н2О в функции up Е (по данным Берча, Франса и Уилльямса [22]).
изменяется до 1/2 при увеличении up. Появление заметных отклонений экспериментальной кривой от предельной свидетельствует о том, что спектральные линии начинают перекрываться.
Таблицы поглощения излучения водяными парами и углекислым газом были рассчитаны Уиаттом, Сталлом и Плассом [24]. При расчете использовались современные электронные вычислительные машины. Учитывались все известные физические данные о моле-
73
кулярных спектрах, если только это не создавало непреодолимых трудностей при расчете. В частности, принимались во внимание все спектральные линии, интенсивность которых была не менее 10~8 от самой сильной линии. При расчете учитывались все изотопы, имеющие спектральные линии с интенсивностью в указанных пределах.
Рис. 3.22. Полное поглощение в полосе 6,3 мк Н2О в функции ирЕ (по данным Берча, Франса и Уилльямса [22]).
После вычисления интенсивности и частоты отдельных спектральных линий поглощение определялось на основе использования квазислучайной модели. Поглощение рассчитывалось сначала для интервалов величиной 2,5 см-1, чтобы локализовать линии в этом
Рис. 3.23. Полное поглощение в полосе 2,7 мк СО2 в функции ирЕ (поданным Берча, Кривняка и Уилльямса [22]).
небольшом промежутке, и только затем усреднялось в интервалах 20, 50 и 100 см—1. Спектральные линии в данном интервале частот разбивались на группы, линии в различных группах отличались по интенсивности на порядок. Вычислялась средняя интенсивность линий в каждой группе. Эти данные использовались в уравнении, подобном (3.23), но справедливом для всех значений переменных. 74
Учитывалось влияние крыльев линий, находящихся в соседних интервалах. В некоторых спектральных интервалах это давало существенное увеличение поглощения. Таким образом, приходилось учитывать влияние множества слабых линий, которые ответ-
Рис. 3.24. Полное поглощение в полосе 4,3 мк СО2 в функции up Е (по данным Берча, Кривняка и Уилльямса [21]).
ственны за значительную долю поглощения на протяженных трассах. Важность этих слабых линий видна также из формы кривых поглощения Берча, Уилльямса и др. [20—22].
д
100
Ю
1,0
0.1
0,1 1,0 10 100 1000 10000
ри
Рис. 3.25. Поглощение в функции ри для 9,6 мк полосы озона по измерениям Уолшоу [18]. А обозначает площадь полосы в волновых числах, р— давление, мм рт. ст. и и—количество озона в сантиметрах для нормальной атмосферы. Верхняя кривая соответствует теоретически вычисленному приближению для случая сильных линий.
75
Результаты этих расчетов поглощения, усредненные по интервалам 50 см~[ при давлении 1 атм и 300° К приведены в табл. 3.2 и 3.3. Поглощение для других значений Давления и температуры и для меньших частотных интервалов можно получить из таблиц, приведенных в работе [24].
А
0,001 0,01 0,1 1,0 ю
и
Рис. 3.26. Поглощение в функции и для 9,6 мк полосы озона по измерениям Уолшоу [18]. А обозначает ширину полосы в волновых числах, р —давление мм рт. ст., и—количество озона в сантиметрах для нормальной атмосферы. Верхняя кривая соответствует теоретически вычисленному приближению для случая слабых линий.
В частных предельных случаях можно получить значения поглощения и при других давлениях, выразив поглощение как функцию соответствующего параметра. Если справедливо приближение для случая слабых линий, то, как это следует из (3.19), поглощение вообще не зависит от давления.
Когда можно использовать приближение для сильных линий, поглощение является функцией только параметра ри (пропорционального р2х). Это верно независимо от того, каким образом расположены спектральные линии в полосе. Для трех рассмотренных моделей полос эта зависимость от ри выражается математически уравнениями (3.20), (3.22) и (3.23). Если р0— атмосферное давление, то поглощение при давлении р можно получить, взяв поглощение при р0 с соответствующей поправкой* для и* = ир/р0.
76
Таким образом,
А(ри)—А (рои*),
(3.25)
если справедливо приближение для случая сильных линий. Например, если р =0,1 атм, то поглощение будет такое же, как при давлении 1 апгм, но с количеством поглощающего газа и в десять раз меньшим, чем в действительности.
Рис. 3.27. А/p в функции и/p для полосы озона при 9,6 мк по измерениям Уолшоу [18]. А—ширина линии в волновых числах, р—давление, мм рт. ст., и—количество озона в сантиметрах для нормальной атмосферы. Верхняя кривая соответствует теоретически вычисленному приближению для случая неперекрывающихся линий.
Если можно считать, что линии не перекрываются, то удобным параметром для нахождения поглощения при других давлениях является отношение и/p. Как следует из (3.13), в этом случае
А (и, p)=pf (у),
(3.26)
где / — функция, определяемая уравнением (3.13).
77
Пропускание Н2О при давлении 1 атм и 300 °К
ТАБЛИЦА 3.2
Волновое число, см~1 Количество осажденной воды, см
50,00 20,00 10,00 5,000 2,000 1,000 0,500 0, 200 0, 100 0,050 0,020 0,010 0,005 0,002 0,001
1 050,0 0,314 0,613 0,785 0,896 0,967 0,986 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 100,0 0,214 0,508 0,696 0,831 0,930 0,966 0,983 0,993 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
1 150,0 0,101 0,342 0,543 0,712 0,860 0,923 0,958 0,980 0,989 0,994 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000
1 200,0 0,024 0,157 0,330 0,515 0,720 0,825 0,894 0,947 0,970 0,984 0,993 0,997 0,998 0,999 1,000
1 250,0 0,003 0,048 0,142 0,285 0,501 0,646 0,762 0,866 0,916 0,950 0,977 0,988 0,994 0,997 0,999
1 300,0 0,000 0,005 0,033 0,105 0,264 0,411 0,553 0,713 0,804 0,873 0,935 0,963 0,980 0,992 0,996
1 350,0 0,000 0,000 0,000 0,004 0,038 0,109 0,222 0,406 0,544 0,664 0,789 0,860 0,912 0,957 0,977
1 400,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,028 0,118 0,240 0,387 0,575 0,693 0,788 0,879 0,926
1 450,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,010 0,069 0,164 0,289 0,465 0,586 0,691 0,802 0,866
1 500,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,009 0,038 0,104 0,250 0,388 0,527 0,692 0,792
1 550,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,030 0,097 0,247 0,382 0,514 0,670 0,767
1 600,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,006 0,039 0,153 0,280 0,423 0,603 0,716 0,803 0,883 0,922
1 650,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,006 0,034 0,104 0,257 0,392 0,522 0,670 0,763
1 700,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,008 0,037 0,103 0,245 0,374 0,502 0,655 0,753
1 750,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,041 0,117 0,230 0,407 0,538 0,654 0,778 0,850
1 800,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,009 0,057 0,137 0,253 0,434 0,571 0,690 0,803 0,881
1 850,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,006 0,033 0,129 0,244 0,380 0,558 0,674 0,769 0,861 0,909
1 900,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,030 0,105 0,276 0,428 0,571 0,724 0,809 0,871 0,927 0,954
1 950,0 0,000 0,000 0,000 0,003 0,041 0,131 0,267 0,462 0,593 0,702 0,810 0,869 0,913 0,953 0,972
2 000,0 0,000 0,000 0,001 0,018 0,109 0,233 0,376 0,553 0,666 0,758 0,850 0,899 0,935 0,966 0,980
2 050,0 0,000 0,002 0,020 0,085 0,253 0,407 0,548 0,698 0,784 0,851 0,914 0,946 0,967 0,985 0,992
2 100,0 0,000 0,009 0,054 0,158 0,364 0,524 0,661 0,796 0,867 0,917 0,958 0,975 0,986 0,994 0,997
2150,0 0,005 0,050 0,140 0,276 0,478 0,616 0,730 0,841 0,900 0,939 0,971 0,984 0,991 0,996 0,998
2 200,0 0,043 0,200 0,371 0,538 0,719 0,815 0,881 0,938 0,964 0,981 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000
2 250,0 0,104 0,336 0,535 0,700 0,846 0,909 0,948 0,976 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000
2 300,0 0,199 0,498 0,693 0,832 0,931 0,964 0,982 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1 ,000 1,000 1,000
2 350,0 0,264 . 0,572 0,751 0,872 0,949 0,972 0,984 0,993 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
2 400,0 0,355 0,673 0,832 0,928 0,977 0,989 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 450,0 0,361 0,666 0,822 0,914 0,963 0,979 0,988 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1 ,000 1,000
2 500,0 0,424 0,730 0,875 0,954 0,987 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 550,0 0,399 0,711 0,859 0,945 0,983 0,993 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 600,0 0,347 0,656 0,818 0,918 0,971 0,986 0,993 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 650,0 0,289 0,582 0,752 0,867 0,944 0,971 0,986 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
2 700,0 0,164 0,393 0,569 0,715 0,849 0,912 0,952 0,980 0,990 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
2 750,0 0,203 0,487 0,676 0,807 0,909 0,950 0,973 0,989 0,994 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
2 800,0 0,137 0,374 0,560 0,714 0,857 0,921 0,959 0,983 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1 ,000
2 850,0 0,092 0,325 0,534 0,707 0,862 0,925 0,961 0,985 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1 ,000
2 900,0 0,030 0,170 0,348 0,530 0,719 0,815 0,882 0,939 0,965 0,981 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000
2 950,0 0,004 0,053 0,158 0,309 0,518 0,649 0,751 0,847 0,897 0,934 0,966 0,981 0,990 0,996 0,998
3000,0 0,003 0,050 0,153 0,296 0,492 0,621 0,725 0,825 0,879 0,919 0,957 0,975 0,986 0,994 0,997
3 050,0 0,000 0,005 0,039 0,124 0,293 0,429 0,554 0,695 0,780 0,848 0,914 0,949 0,971 0,988 0,994
3 100,0 0,000 0,001 0,009 0,039 0,121 0,213 0,328 0,498 0,623 0,734 0,849 0,910 0,950 0,978 0,989
3 150,0 0,000 0,017 0,077 0,188 0,368 0,503 0,623 0,753 0,829 0,886 0,938 0,963 0,980 0,991 0,995
3 200,0 0,000 0,001 0,010 0,049 0,160 0,279 0,409 0,576 0,685 0,773 0,864 0,914 0,950 0,977 0,988
3 250,0 0,000 0,000 0,005 0,038 0,159 0,295 0,440 0,611 0,718 0,804 0,887 0,931 0,961 0,983 0,991
3 300,0 0,000 0,000 0,001 0,011 0,081 0,191 0,330 0,517 0,644 0,751 0,859 0,915 0,953 0,979 0,989
3 350,0 0,000 0,000 0,001 0,013 0,090 0,212 0,366 0,561 0,682 0,777 0,868 0,915 0,948 0,975 0,987
3 400,0 0,000 0,000 0,000 0,004 0,050 0,150 0,299 0,511 0,6461 1 0,751 0,849 0,900 0,936 0,968 0,982
3 450,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,008 0,045 0,132 0,312 0,465 0,606 0,754 0,834 0,892 0,941 0,966
3 500,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,030 0,134 0,265 0,416 0,606 0,726 0,821 0,905 0,944
3 550,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,047 0,128 0,250 0,440 0,577 0,695 0,818 0,886
3 600,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,009 0,048 0,137 0,310 0,455 0,590 0,736 0,821
3 650,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,007 0,043 0,128 0,303 0,449 0,583 0,728 0,812
3 700,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,012 0,051 0,172 0,304 0,449 0,629 0,744
3 750,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,013 0,046 0,124 0,205 0,298 0,426 0,522
Продолжение
Волновое число, см~1 Количество осажденной воды, см
50,00 20,00 10,00 1 | 5,000 2,000 1,000 0,500 0,200 0.100 0,050 0,020 0,010 0,005 0,002 ’ 0,001
3 800,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,020 0,085 0,207 0,413 0,561 0,684 0,802 0,865
3 850,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,011 0,053 0,176 0,308 0,451 0,623 0,728
3 900,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,021 0,066 0,150 0,315 0,456 0,588 0,732 0,815
3 950,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,009 0,042 0,147 0,265 0,395 0,564 0,675 0,767 0,859 0,907
4 000,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,043 0,119 0,232 0,412 0,546 0,664 0,788 0,857 0,908 0,952 0,972
4 050,0 0,000 0,002 0,023 0,103 0,304 0,478 0,630 0,785 0,866 0,920 0,961 0,979 0,989 0,995 0,998
4 100,0 0,000 0,032 0,161 0,382 0,667 0,813 0,904 0,966 0,986 0,993 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
4 150,0 0,005 0,116 0,340 0,589 0,821 0,911 0,963 0,991 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 200,0 0,019 0,208 0,463 0,688 0,874 0,941 0,977 0,995 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 250,0 0,045 0,296 0,553 0,754 0,903 0,959 0,986 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 300,0 0,082 0,377 0,623 0,800 0,924 0,969 0,990 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 350,0 0,123 0,444 0,677 0,835 0,938 0,976 0,992 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 400,0 0,145 0,464 0,684 0,835 0,937 0,975 0,990 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 450,0 0,126 0,408 0,615 0,769 0,890 0,941 0,969 0,987 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000
4 500,0 0,072 0,282 0,475 0,639 0,794 0,869 0,917 0,959 0,977 0,988 0,995 0,997 0,999 1,000 1,000
4 550,0 0,044 0,205 0,381 0,547 0,722 0,813 0,875 0,931 0,958 0,976 0,989 0,995 0,997 0,999 0,999
4 600,0 0,073 0,270 0,448 0,597 0,745 0,821 0,877 0,931 0,958 0,976 0,990 0,999 0,997 0,999 0,999
4 650,0 0,062 0,206 0,337 0,458 0,606 0,702 0,786 0,874 0,922 0,956 0,980 0,990 0,995 0,998 0,999
4 700,0 0,125 0,356 0,534 0,668 0,790 0,851 0,897 0,941 0,964 0,980 0,991 0,996 0,998 0,999 1,000
4 750,0 0,088 0,283 0,453 0,593 0,731 0,804 0,860 0,917 0,948 0,969 0,986 0,993 0,996 0,999 0,999
4 800,0 0,075 0,262 0,433 0,584 0,738 0,817 0,876 0,929 0,955 0,973 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999
4 850,0 0,064 0,236 0,398 0,552 0,706 0,789 0,853 0,914 0,946 0,968 0,985 0,992 0,996 0,998 0,999
4 900,0 0,062 0,239 0,413 0,580 0,746 0,829 0,887 0,936 0,959 0,975 0,988 0,994 0,997 0,999 0,999
4 950,0 0,039 0,189 0,358 0,527 0,707 0,803 0,871 0,931 0,959 0,977 0,990 0,995 0,997 0,999 0,999
5 000,0 0,016 0,113 0,253 0,422 0,624 0,739 0,825 0,902 0,941 0,967 0,985 0,992 0,996 0,998 0,999
Зак. 1502
5 050,0 0,003 0,042 0,129 0,267 0,478 0,621 0,735 0,843 0,900 0,941 0,973 0,986 0,993 0,997 0,998
5100,0 0,000 0,004 0,027 0,094 0,256 0,408 0,555 0,714 0,805 0,872 0,934 0,962 0,980 0,992 0,996
5150,0 0,000 0,000 0,000 0,004 0,042 0,123 0,250 0,448 0,591 0,711 0,829 0,891 0,933 0,968 0,983
5 200,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,007 0,038 0,114 0,277 0,422 0,562 0,715 0,803 0,867 0,926 0,956
5 250,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,015 0,069 0,218 0,365 0,512 0,677 0,771 0,842 0,907 0,941
5 300,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,016 0,063 0,151 0,325 0,474 0,613 0,760 0,839 0,894 0,941 0,964
5 350,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,017 0,076 0,150 0,243 0,383 0,491 0,597 0,724 0,804
5 400,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,007 0,036 0,111 0,277 0,422 0,559 0,709 0,795 0,858 0,915 0,944
5 450,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,012 0,051 0,126 0,278 0,414 0,549 0,698 0,784 0,848 0,909 0,941
5 500,0 0,000 0,000 0,000 0,005 0,053 0,141 0,264 0,446 0,574 0,683 0,793 0,855 0,902 0,946 0,968
5 550,0 0,000 0,002 0,016 0,060 0,184 0,315 0,453 0,618 0,719 0,799 0,880 0,924 0,955 0,980 0,989
5 600,0 0,001 0,020 0,081 0,188 0,370 0,511 0,639 0,774 0,851 0,909 0,957 0,977 0,988 0,995 0,998
5 650,0 0,044 0,164 0,299 0,450 0,638 0,757 0,846 0,925 0,959 0,978 0,991 0,996 0,998 0,999 1,000
5 700,0 0,119 0,346 0,536 0,695 0,839 0,907 0,948 0,977 0,988 0,994 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000
5 750,0 0,212 0,455 0,626 0,757 0,873 0,926 0,959 0,982 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
5 800,0 0,299 0,557 0,720 0,830 0,921 0,957 0,978 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
5 850,0 0,464 0,718 0,849 0,923 0,971 0,986 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 900,0 0,501 0,738 0,857 0,927 0,971 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 950,0 0,487 0,709 0,822 0,896 0,952 0,975 0,987 0,995 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
6 000,0 0,358 0,588 0,725 0,822 0,905 0,945 0,969 0,987 0,993 0,996 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000
6 050,0 0,358 0,588 0,723 0,818 0,898 0,937 0,962 0,983 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
6100,0 0,360 0,570 0,692 0,781 0,868 0,915 0,949 0,977 0,988 0,994 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000
6150,0 0,365 0,557 0,674 0,765 0,859 0,909 0,945 0,975 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000
6 200,0 0,355 0,571 0,701 0,798 0,890 0,934 0,962 0,983 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
6 250,0 0,231 0,447 0,594 0,710 0,827 0,890 0,934 0,970 0,984 0,992 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000
6 300,0 0,191 0,409 0,577 0,716 0,849 0,911 0,950 0,978 0,988 0,994 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000
6 350,0 0,085 0,234 0,384 0,542 0,728 0,832 0,903 0,957 0,977 0,988 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000
6 400,0 0,068 0,205 0,355 0,522 0,722 0,832 0,904 0,957 0,978 0,989 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000
6 450,0 0,089 0,221 0,354 0,500 0,686 0,800 0,883 0,947 0,972 0,986 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000
6 500,0 0,065 0,214 0,373 0,542 0,737 0,843 0,912 0,962 0,980 0,990 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000
Продолжение
Волновое число, см~~ 1 Количество осажденной воды, см
50,00 20,00 10,00 5,000 2,000 1 ,000 0,500 0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,005 0,002 0,001
6 550,0 0,066 0,213 0,364 0,522 0,705 0,812 0,889 0,950 0,974 0,986 0,994 0,997 0,999 1,000 1,000
6 600,0 0,086 0,251 0,406 0,559 0,729 0,825 0,894 0,950 0,973 0,986 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000
6 650,0 0,083 0,253 0,414 0,570 0,737 0,828 0,892 0,946 0,970 0,984 0,993 0,997 0,998 0,999 1,000
6 700,0 0,013 0,074 0,173 0,309 0,504 0,641 0,756 0,868 0,923 0,958 0,982 0,991 0,995 0,998 0,999
6 750,0 0,007 0,054 0,138 0,262 0,454 0,593 0,711 0,828 0,890 0,934 0,969 0,984 0,991 0,997 0,998
6 800,0 0,002 0,032 0,095 0,195 0,366 0,505 0,633 0,772 0,850 0,906 0,954 0,975 0,987 0,994 0,997
6 850,0 0,003 0,038 0,107 0,210 0,374 0,501 0,618 0,748 0,824 0,883 0,936 0,962 0,979 0,991 0,995
6 900,0 0,000 0,003 0,022 0,076 0,213 0,347 0,485 0,650 0,753 0,835 0,912 0,949 0,972 0,988 0,994
6 950,0 0,000 0,011 0,049 0,135 0,308 0,453 0,588 0,736 0,820 0,883 0,940 0,966 0,982 0,992 0,996
7 000,0 0,000 0,004 0,022 0,067 0,179 0,301 0,440 0,620 0,736 0,828 0,913 0,951 0,974 0,989 0,994
7 050,0 0,000 0,000 0,001 0,011 0,068 0,164 0,296 0,490 0,629 0,747 0,861 0,919 0,955 0,981 0,990
7 100,0 0,000 0,000 0,001 0,007 0,055 0,137 0,254 0,436 0,574 0,695 0,820 0,887 0,933 0,969 0,984
7 150,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,014 0,061 0,152 0,326 0,472 0,608 0,757 0,841 0,902 0,953 0,975
7 200,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,007 0,031 0,087 0,219 0,353 0,497 0,674 0,784 0,866 0,936 0,965
7 250,0 0,000 0,000 0,000 0,002 0,024 0,072 0,143 0,260 0,357 0,464 0,610 0,712 0,800 0,888 0,933
7 300,0 0,000 0,000 0,000 0,007 0,055 0,139 0,259 0,444 0,580 0,697 0,815 0,879 0,924 0,963 0,980
7 350,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,028 0,092 0,246 0,392 0,537 0,705 0,804 0,877 0,940 0,967
7 400,0 0,000 0,000 0,000 0,001 0,021 0,073 0,167 0,340 0,483 0,619 0,770 0,856 0,916 0,962 0,980
7 450,0 0,000 0,000 0,001 0,008 0,057 0,145 0,271 0,464 0,605 0,726 0,847 0,909 0,950 0,978 0,989
7 500,0 0,000 0,003 0,022 0,073 0,193 0,307 0,431 0,593 0,702 0,792 0,881 0,928 0,959 0,982 0,991
7 550,0 0,000 0,008 0,042 0,123 0,293 0,434 0,564 0,705 0,788 0,852 0,912 0,943 0,965 0,984 0,991
7 600,0 0,000 0,005 0,037 0,127 0,315 0,466 0,599 0,736 0,813 0,870 0,922 : 0,950 0,970 0,986 0,993
7 650,0 0,002 0,026 0,088 0,193 0,373 0,514 0,638 0,765 0,835 0,888 0,938 : 0,963 0,979 0,991 0,995
7 700,0 0,044 0,165 0,299 0,438 0,605 0,708 0,792 0,875 0,921 0,953 > 0,979 । 0,989 । 0,994 0,997 0,999
7 750,0 0,242 0,445 0,588 0,707 0,823 0,886 0,931 0,967 0,983 i 0,991 0,996 • 0,998 i 0,999 । 1,000 I 1,000
*** 7 800,0 0,554 0,752 0,849 0,910 0,957 0,977 0,988 0,995 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 850,0 0,758 0,892 0,937 0,962 0,981 0,989 0,994 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 900,0 0,777 0,896 0,939 0,963 0,981 0,990 0,994 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 950,0 0,865 0,944 0,968 0,982 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 000,0 0,836 0,925 0,958 0,977 0,989 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 050,0 0,700 0,826 0,887 0,930 0,966 0,981 0,990 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 100,0 0,585 0,739 0,822 0,884 0,939 0,965 0,981 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
8 150,0 0,542 0,701 0,792 0,861 0,923 0,954 0,974 0,989 0,994 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
8 200,0 0,331 0,498 0,617 0,723 0,837 0,901 0,944 0,975 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000
8 250,0 0,239 0,427 0,564 0,683 0,805 0,872 0,920 0,962 0,979 0,989 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000
8 300,0 0,166 0,346 0,488 0,618 0,757 0,836 0,894 0,945 0,969 0,984 0,993 0,997 0,998 0,999 1,000
8 350,0 0,163 0,320 0,446 0,565 0,700 0,784 0,851 0,915 0,948 0,970 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999
8 400,0 0,097 0,262 0,408 0,546 0,697 0,785 0,854 0,918 0,951 0,972 0,988 0,994 0,997 0,999 0,999
8 450,0 0,166 0,351 0,493 0,618 0,747 0,820 0,876 0,931 0,959 0,978 0,990 0,995 0,998 0,999 0,999
8 500,0 0,157 0,327 0,461 0,586 0.726 0,809 0,874 0,933 0,962 0,980 0,991 0,996 0,998 0,999 1,000
8 550,0 0,227 0,394 0,520 0,636 0,767 0,846 0,906 0,956 0,976 0,988 0,995 0,998 0,999 0,999 1,000
8 600,0 0,207 0,389 0,526 0,649 0,781 0,858 0,914 0,960 0,979 0,989 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000
8 650,0 0,073 0,215 0,361 0,515 0,694 0,798 0,874 0,938 0,966 0,982 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000
8 700,0 0,030 0,130 0,258 0,408 0,601 0,722 0,815 0,898 0,939 0,965 0,985 0,992 0,996 0,998 0,999
8 750,0 0,057 0,198 0,346 0,499 0,676 0,779 0,854 0,918 0,949 0,970 0,987 0,993 0,996 0,999 0,999
8 800,0 0,003 0,027 0,080 0,172 0,334 0,467 0,595 0,738 0,823 0,887 0,944 0,969 0,984 0,993 0,997
8 850,0 0,051 0,180 0,317 0,464 0,639 0,747 0,830 0,906 0,943 0,967 0,985 0,992 0,996 0,998 0,999
8 900,0 0,016 0,096 0,212 0,358 0,554 0,679 0,779 0,873 0,920 0,953 0,978 0,989 0,994 0,998 0,999
8 950,0 0,025 0,111 0,225 0,364 0,550 0,676 0,779 0,880 0,930 0,962 0,983 0,991 0,996 0,998 0,999
9 000,0 0,100 0,242 0,376 0,513 0,679 0,784 0,865 0,936 0,965 0,982 0,993 0,996 0,998 0,999 1,000
9 050,0 0,176 0,357 0,503 0,638 0,783 0,863 0,919 0,963 0,981 0,990 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000
9 100,0 0,312 0,504 0,633 0,738 0,843 0,899 0,939 0,971 0,984 0,992 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000
9150,0 0,390 0,586 0,706 0,798 0,881 0,922 0,951 0,976 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000
9 200,0 0,488 0,668 0,771 0,845 0,911 0,943 0,965 0,984 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
9 250,0 0,547 0,712 0,802 0,866 0,923 0,952 0,972 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000
00 co
00
Продолжение
Волновое число, см~1 Количество осажденной воды, см
50,00 • 20,00 10,00 5,000 2,000 1,000 0,500 0,200 0, 100 0,050 0,020 0,010 0,005 0,002 0,001
9 300,0 0,718 0,828 0,886 0,926 0,961 0,978 0,988 0,995 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
9 350,0 0,811 0,888 0,927 0,954 0,977 0,988 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 400,0 0,916 0,955 0,974 0,985 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 450,0 0,944 0,975 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 500,0 0,938 0,972 0,986 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 550,0 0,909 0,956 0,977 0,988 0,995 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 600,0 0,832 0,908 0,945 0,969 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 650,0 0,766 0,866 0,918 0,953 0,979 0,989 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 700,0 0,613 0,756 0,839 0,900 0,951 0,973 0,986 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
9 750,0 0,579 0,730 0,816 0,880 0,936 0,963 0,980 0,991 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000
9 800,0 0,600 0,751 0,836 0,897 0,949 0,972 0,985 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
9 850,0 0,445 0,594 0,690 0,771 0,857 0,907 0,944 0,974 0,986 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000
9 900,0 0,514 0,676 0,769 0,840 0,908 0,943 0,968 0,986 0,993 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
9 950,0 0,562 0,726 0,814 0,876 0,932 0,959 0,977 0,990 0,995 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000
Пропускание СО2 при давлении 1 атм и 300 ° К
ТАБЛИЦА 3.3
Волновое число, см~~х Количество СО2, атм-см
10 000 5 000 2 000 1 000 500 200 100 50,0 20,0 10,0 5,00 2,00 1,00 0,5 0,2
550,0 0,139 0,285 0,510 0,669 0,796 0,906 0,951 0,975 0,990 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
600,0 0,000 0,000 0,004 0,020 0,060 0,161 0,275 0,405 0,575 0,688 0,784 0,881 0,931 0,962 0,984
650,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,007 0,033 0,080 0,162 0,329 0,475 0,607 0,744
700,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,023 0,061 0,138 0,220 0,328 0,506 0,641 0,755 0,862
750,0 0,001 0,007 0,043 0,100 0,181 0,324 0,454 0,586 0,736 0,821 0,884 0,940 0,966 0,982 0,992
800,0 0,160 0,323 0,554 0,704 0,821 0,919 0,957 0,979 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
850,0 0,178 0,344 0,559 0,688 0,785 0,878 0,928 0,960 0,983 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000
900,0 0,535 0,677 0,813 0,879 0,925 0,964 0,981 0,990 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
950,0 0,597 0,727 0,847 0,909 0,949 0,978 0,989 0,994 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
1 000,0 0,753 0,840 0,916 0,952 0,974 0,989 0,994 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 050,0 0,322 0,480 0,666 0,774 0,856 0,928 0,960 0,979 0,991 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
1 100,0 0,606 0,697 0,805 0,869 0,917 0,959 0,977 0,988 0,995 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000
1 150,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 200,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 250,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 300,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 350,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 400,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 450,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 500,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 550,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 600,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 650,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 700,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Продолжение
05 Волновое число, см~1 Количество СО2, атм-см
10 000 5 000 2 000 1 000 500 200 100 50,0 20,0 10,0 5,00 2,00 1,00 0,5 0,2
1 750,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 800,0 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 850,0 0,975 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 900,0 0,602 0,739 0,862 0,919 0,955 0,981 0,990 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 950,0 0,498 0,628 0,766 0,804 0,897 0,949 0,972 0,985 0,994 0,997 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000
2 000,0 0,685 0,820 0,926 0,971 0,987 0,995 6,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 050,0 0,139 0,263 0,466 0,611 0,731 0,836 0,893 0,934 0,968 0,983 0,991 0,996 0,998 0,999 1,000
2 100,0 0,026 0,100 0,283 0,447 0,598 0,757 0,840 0,899 0,951 0,974 0,986 0,994 0,997 0,999 0,999
2150,0 0,036 0,168 0,465 0,674 0,820 0,926 0,969 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
2 200,0 0,004 0,041 0,209 0,400 0,591 0,787 0,884 0,944 0,984 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000
2 250,0 0,000 0,000 0,000 0,002 0,011 0,052 0,110 0,191 0,337 0,477 0,619 0,771 0,851 0,908 0,956
2 300,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,007 0,030 0,079 0,181 0,278 0,388 0,549
2 350,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,031 0,134
2 400,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,006 0,063 0,167 0,303 0,477 0,580 0,660 0,739 0,790 0,834 0,886
2 450,0 0,000 0,000 0,014 0,084 0,244 0,532 0,720 0,847 0,939 0,973 0,993 0,999 1,000 1,000 1,000
2 500,0 0,004 0,045 0,250 0,484 0,691 0,863 0,931 0,970 0,996 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 550,0 0,107 0,310 0,617 0,785 0,887 0,957 0,984 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 600,0 0,383 0,615 0,824 0,910 0,957 0,990 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 650,0 0,649 0,806 0,920 0,963 0,988 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 700,0 0,852 0,925 0,976 0,994 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 750,0 0,924 0,965 0,994 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 800,0 0,962 0,989 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 850,0 0,986 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 900,0 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 950,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3 000,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3 050,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3 100,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3150,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3 200,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3 250,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3 300,0 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3 350,0 0,926 0,960 0,983 0,991 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3 400,0 0,696 0,821 0,918 0,957 0,978 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3 450,0 0,273 0,423 0,619 0,742 0,838 0,922 0,958 0,978 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
3 500,0 0,002 0,016 0,090 0,209 0,374 0,603 0,743 0,842 0,924 0,959 0,978 0,991 0,995 0,998 0,999
3 550,0 0,000 0,000 0,002 0,010 0,037 0,122 0,235 0,385 0,595 0,732 0,835 0,921 0,958 0,978 0,991
3 600,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,023 0,104 0,222 0,378 0,597 0,734 0,836 0,921
3 650,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,031 0,004 0,202 0,392 0,540 0,669 0,800 0,871 0,921 0,962
3 700,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,009 0,035 0,131 0,259 0,414 0,610 0,729 0,820 0,904
3750,0 0,004 0,030 0,116 0,196 0,269 0,349 0,399 0,446 0,510 0,566 0,634 0,740 0,817 0,881 0,939
3 800,0 0,154 0,333 0,588 0,739 0,846 0,932 0,966 0,983 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
3 850,0 0,458 0,613 0,777 0,862 0,918 0,961 0,979 0,989 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
3 900,0 0,892 0,944 0,980 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
3 950,0 0,989 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 000,0 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 050,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 100,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 150,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 200,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 250,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 300,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 350,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 400,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 450,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
00
Продолжение
Количество СО2, атм*см
число, см~^ 10 000 5 000 2 000 1 000 500 200 100 50,0 20,0 10,0 5,00 2,00 1,00 0,5 0,2
4 500,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 550,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 600,0 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,100 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 650,0 0,990 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 700,0 0,877 0,930 0,969 0,984 0,992 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 750,0 0,521 0,672 0,827 0,903 0,948 0,978 0,989 0,994 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4 800,0 0,133 0,271 0,489 0,644 0,770 0,884 0,935 0,965 0,985 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000
4 850,0 0,011 0,048 0,154 0,277 0,427 0,628 0,752 0,844 0,924 0,959 0,978 0,991 0,995 0,998 0,999
4 900,0 0,155 0,299 0,521 0,674 0,792 0,894 0,939 0,967 0,986 0,993 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000
4 950,0 0,015 0,050 0,147 0,265 0,411 0,605 0,727 0,819 0,903 0,943 0,968 0,987 0,993 0,997 0,999
5 000,0 0,121 0,179 0,265 0,352 0,462 0,619 0,726 0,813 0,896 0,937 0,966 0,985 0,993 0,996 0,999
5 050,0 0,393 0,550 0,723 0,816 0,881 0,936 0,962 0,977 0,990 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
5100,0 0,020 0,077 0,233 0,388 0,541 0,709 0,806 0,880 0,943 0,969 0,984 0,993 0,997 0,998 0,999
5 150,0 0,521 0,619 0,745 0,829 0,895 0,950 0,973 0,986 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000
5 200,0 0,984 0,992 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 250,0 0,987 0,994 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 300,0 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 350,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 400,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 450,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 500,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,0С(’
5 550,0 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 600,0 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 650,0 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
5 700,0 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
4В. Зак. 1502
5 750,0 5 800,0 5 850,0 5 900,0 5 950,0 1 000 1 000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 000 1 000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 000 1 000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1 /000
0,998 0,999 L000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
6 000,0 6 050,0 6 100,0 6 150,0 6 200,0 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,949 0,972 0,988 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,932 0,962 0,984 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,950 0,974 0,989 0,995 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
О', 640 о; 771 0,884 0,934 0,964 0,985 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
6 250,0 6 300,0 6 350,0 6 400,0 6 450,0 0,727 0 815 0,897 0,939 0,966 0,985 0,993 0,996 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,919 0,949 0,974 0,985 0,992 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,474 0,630 0,792 0,875 0,930 0,970 0,984 0,992 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
0,964 0,980 0,991 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,977 0,988 0,995 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
6 500,0 6 550,0 6 600,0 6 650,0 6 700,0 0,866 0,922 0,986 0,966 0,982 0,991 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,974 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1 ^000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,996 0^998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
6 750,0 6 800,0 6 850,0 6 900,0 6 950,0 0,949 0,973 0,988 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,944 0,969 0,987 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,983 0,701 0*991 0,808 0,996 0,903 0,998 0,944 0,999 0,970 1,000 0,988 1,000 0,994 1,000 0,997 1,000 0,999 1,000 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,264 0*401 0,611 0,748 0,848 0,928 0,961 0,980 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
7 000,0 7 050,0 7100,0 7 150,0 7 200,0 0,709 0,999 1,000 0,998 0,995 0,757 0,999 1,000 0,999 0,997 0,822 1,000 1,000 1,000 0,999 0,869 1,000 1,000 1,000 0,999 0,911 1,000 1,000 1,000 1,000 0,953 1,000 1,000 1,000 1,000 0,973 1,000 1,000 1,000 1,000 0,986 1,000 1,000 1,000 1,000 0,994 1,000 1,000 1,000 1,000 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Продолжение
Волновое число, см~1 Количество СО2, атм см
10 000 5 000 2 000 1 000 500 200 100 50,0 20,0 10,0 5,00 2,00 1,00 0,5 0,2
7 250,0 0,975 0,987 0,995 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 300,0 0,942 0,969 0,987 0,994 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 350,0 0,966 0,983 0,993 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 400,0 0,876 0,931 0,970 0,985 0,992 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 450,0 0,515 0,679 0,833 0,904 0,948 0,978 0,989 0,994 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 500,0 0,819 0,879 0,936 0,963 0,980 X), 992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 550,0 0,674 0,783 0,885 0,934 0,963 0,984 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 600,0 0,317 0,462 0,656 0,777 0,864 0,936 0,966 0,982 0,993 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000
7 650,0 0,926 0,954 0,977 0,987 0,993 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 700,0 0,757 0,851 0,929 0,961 0,980 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 750,0 0,599 0,730 0,854 0,914 0,952 0,979 0,989 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 800,0 0,974 0,986 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 850,0 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 900,0 0,971 0,984 0,993 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
7 950,0 0,964 0,980 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 000,0 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 u 1,000
8 050,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1 .000 1,000 1,000 1,000
8 100,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 150,0 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 200,0 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 250,0 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 300,0 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 350,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 400,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 450,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8500,0 1 ;000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 550,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 600,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 650,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 700,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 750,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 800,0 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 850,0 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 900,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
8 950,0 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 000,0 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 050,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9100,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 150,0 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 200,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 250,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 300,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 350,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 400,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 450,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 500,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 550,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 600,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 650,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9700,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 750,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 800,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1 ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 850,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 900,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,00Q 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
9 950,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Тогда
А (и, р) = f р0 f If) = А (и\ р0), (3.27)
Ро \ Ро / Ро
где
и+ = f и. (3.28)
Например, если р =0,1 атм, фактическое поглощение состав-ляет одну десятую (р/р0) поглощения при 1 атм для длины пути, в десять раз большей действительной.
Практически одно из трех приближений почти всегда справедливо. Тогда можно получить поглощение при других давлениях, пользуясь изложенными здесь способами: нужно лишь знать, какое приближение является оправданным в рассматриваемом случае. Более точные значения поглощения при других давлениях содержатся в полных таблицах, составленных Уиаттом, Сталлом и Плас-сом [24].
ПОГЛОЩЕНИЕ НА НАКЛОННЫХ ТРАССАХ
Как температура, так и давление вдоль большинства атмосферных трасс не остаются постоянными. Интенсивность спектральных линий зависит от температуры. Однако в первом приближении температурными изменениями интенсивности можно пренебречь в связи с ограниченным диапазоном колебаний температуры в атмосфере. Полуширина спектральных линий зависит и от температуры, и от давления [см. (2.60)]. Однако температурной зависимостью и здесь в первом приближении можно пренебречь, так как полуширина к тому же пропорциональна только УТ. С другой стороны, изменение давления, которое может вдоль трассы колебаться на несколько порядков, нужно обязательно учитывать при оценке полуширины линии.
Масса поглощающего газа на единицу площади вдоль трассы равна
U = fadl, (3.29)
о
где ри — плотность поглощающего газа;
I — длина, измеренная по направлению луча.
Спектральная плотность излучения прошедшего путь /, из основного уравнения (3.2) равна
Д (и) = Дог, (0, и) + kv (и') lb? (и') (и, и') du', (3.30)
о
где и — масса поглощающего газа на единицу площади, а функция пропускания определяется соотношением
и'
— f (и”) du”
х,,(и,и')=е и . (3.31)
92
В том, что равенство (3.30) является решением уравнения (3.2), можно легко убедиться, продифференцировав (3.30) по и. Когда и давление, и температура постоянны вдоль трассы, (3.30) приводится к виду (3.2).
При решении многих задач, требующих определения пропускания атмосферой инфракрасного излучения искусственных источников, собственное излучение атмосферы дает лишь небольшую добавку к принимаемому сигналу. В этом случае вторым членом в (3.30) можно пренебречь по сравнению с первым, так что
Д(а) = ДотДО, и). (3.32)
Поглощение А в конечном интервале волновых чисел Av определяется соотношением
(U X
— | kv («') du' ] 1-е о /dv, (3.33)
Av
где и — масса газа на единицу площади для всей длины трассы.
Плотность излучения, проинтегрированная по интервалу волновых чисел Av, равна
I (и) J /v(w)dv = AoJ (0, и) dv = L,0 [ 1 — A (г/)] Av, (3.34)
Av Av
где До вынесено за знак интеграла, потому что предполагается, что в интервале Av оно меняется медленно и может быть использовано среднее значение До.
Таким образом, зная интегральное поглощение А на наклонной трассе, можно сразу получить величину прошедшего через атмосферу сигнала.
Когда спектральные линии имеют лоренцевскую форму, поглощение в N спектральных линиях, как это следует из (2.59), (3.31) и (3.33), равно
(3.35)
где Sp az и voz— интенсивность, полуширина и волновое число для центра i-й линии.
Решение уравнения (3.35) в некоторых важных для практики пределах получить легко. Сначала рассмотрим приближение для случая слабых линий, когда предполагается, что поглощение мало на всех частотах, в том числе и в центре линий. В этом случае экспо-
93
ненту в (3.35) можно заменить первыми двумя членами разложения в ряд Тэйлора, что дает
(3.36)
Здесь произведена перемена порядка интегрирования, а пределы интегрирования распространены на весь спектр, поскольку предполагается, что за пределами интервала Av поглощение, обусловленное линиями, находящимися в интервале, отсутствует.
Интеграл по волновым числам может быть записан в виде
00
С dx
~ J х2+а1
—оо
2 а/
arc tg — а/
а/
(3.37)
где x — v— vOi и пределы интегрирования распространены до —оо. Тогда
N и
A = -^^S{(U’)du'. <3’38)
О
Это окончательный результат для случая неперекрывающихся слабых линий. Интенсивность линий зависит от температуры; таким образом, в общем случае она изменяется вдоль трассы и должна рассматриваться как функция и.
Поглощение на однородной трассе с количеством поглощающего газа uh и рядом линий, имеющих интенсивности Sih, соответствующие определенной температуре на однородной трассе, в условиях, когда справедливо приближение для слабых линий, равно
N
Сравнение результатов, получающихся на однородной трассе и в реальной атмосфере, показывает, что поглощение одинаково, когда
W W и
(3-39) i=l z=l о
Таким образом, в случае справедливости приближения для слабых линий поглощение на атмосферной трассе может быть получено, если рассчитать сначала эквивалентное количество поглощающего газа uh по формуле (3.39). Поглощение на наклонной трассе будет тогда таким же, как на однородной с количеством поглощающего газа uh.
94
Если температурными изменениями S можно пренебречь, то поглощение на атмосферной трассе из (3.38) равно
Это выражение такое же, как и для поглощения на однородной трассе с одинаковым количеством поглощающего газа. Изменение полуширины линий с изменением давления не влияет на поглощение, пока справедливо приближение для случая слабых линий.
В большинстве случаев, представляющих практический интерес, длина трассы в атмосфере достаточно велика и справедливо приближение для случая сильных линий. Это значит, что излучение близ центра сильных линий в интервале, в несколько раз превышающем полуширину линии, поглощается полностью. В этом случае для приведения результатов, полученных на однородной трассе, к данным для реальной атмосферной трассы можно проделать весьма общую и простую операцию. Если справедливо приближение
о О 2
для сильных линии, величиной а/ в знаменателе показателя экспоненты в (3.35) можно пренебречь по сравнению с (v — vo/)2 по причинам, изложенным при рассмотрении уравнения (3.9). Тогда из (3.35) следует, что поглощение равно
(3.41)
где
// (v, v0/) - W(vlvw)2 •
В действительности это выражение для поглощения справедливо для гораздо более общих условий, чем предполагалось при выводе. Оно справедливо для зависящей от давления формы линий, предложенной Линдхольмом и Бенедиктом. Имеются основания предполагать, что такая форма линий пригодна для описания далеких крыльев линий СО2. Сравним поглощение на атмосферной трассе, описываемое уравнением (3.41), с поглощением на однородной трассе с количеством uh поглощающего газа на единицу площади. Пусть температура и давление на однородной трассе таковы, что интенсивность и полуширина линий равна Sih и Поглощение на однородной трассе, когда справедливо приближение для сильных линий, определяется выражением
2 vOi) uh
i=\
dv.
(3.42)
95
Сравнение уравнений (3.41) и (3.42) показывает, что они дают одинаковую величину поглощения, когда
N N и
S Sih aih fl (v, v0/) «Л= 2 fi (v, v0/.) У St (и) a I (и) du. (3.43) Z=1 i=\ 0
Может показаться, что величина uh, вычисленная из (3.43), сильно зависит от частоты. Однако в большинстве случаев, представляющих практический интерес, это не так. Для иллюстрации этого утверждения вычислим величину г/Лдля двух различных групп условий.
1. Предположим, что все спектральные линии в частотном интервале Av имеют одинаковую интенсивность, так что5/(Т) = S(T). Зависимость полуширины а/ от давления и температуры дается уравнением (2.60). Из этого уравнения и уравнения (3.43) следует:
1 м
ShPhT-2Uh= $SpT-^du'. (3.44)
о
Если это уравнение удовлетворяется, то величины поглощения вдоль наклонной и однородной трасс одинаковы. Это верно для любых изменений давления и температуры вдоль наклонной трассы и для любых изменений расстояния между смежными линиями. Чтобы выполнялось это уравнение, должно быть справедливо приближение для случая сильных линий и спектральные линии должны иметь одинаковую интенсивность.
2. Предположим, что температурные изменения всех спектральных линий внутри частотного интервала Av могут быть описаны одной функцией температуры: Si =SihS(T), где s(T) — функция, которая может быть вычислена из теории молекулярных спектров. Хотя s(T) на самом деле является разной функцией температуры для каждой спектральной линии, можно говорить о средней функции изменения интенсивности линии от температуры, если температурные изменения вдоль реальной трассы не слишком велики или если спектральные линии в рассматриваемом интервале возникают в результате похожих переходов. Тогда из (3.43) следует:
1 и 1
s(T)pT~2du'.
о
(3.45)
Если к тому же температурные изменения вдоль реальной трассы пренебрежимо малы и эта температура такая же, что и на однородной трассе, то s(T) = 1 и уравнение (3.45) упрощается:
и
Ph = J pdu. о
(3.46)
96
Это важный и часто используемый результат, применяющийся при расчете поглощения на атмосферных наклонных трассах, когда справедливо приближение для сильных линий. Суть его в том, что поглощение на атмосферной и однородной трассах одинаково, когда произведение uhph удовлетворяет уравнению (3.46). Таким образом, результаты лабораторных измерений или теоретических расчетов для однородных трасс можно использовать для определения поглощения на наклонных трассах. При выводе уравнения (3.46) предполагалось, что справедливо приближение для случая сильных линий, линии имеют соответствующую форму и температура вдоль атмосферной трассы постоянна и равна температуре на однородной трассе. Результат справедлив для любой комбинации интенсивности и расположения линий и их полуширины и не зависит от того, перекрываются спектральные линии или нет.
Другая более простая форма уравнения (3.46) может быть получена, когда поглощающий газ вдоль трассы распределен в атмосфере равномерно. Для вычисления интеграла в этом случае обычно заменяют интегрирование по и интегрированием по р. Из барометрической формулы, устанавливающей связь между давлением в бесконечно малом участке столба атмосферы в вертикальном направлении z и весом столба, следует, что
gpdz = — dp, (3.47)
где g—ускорение силы тяжести;
р — полная плотность атмосферы на высоте z.
Определим теперь с как концентрацию поглощающего газа:
Ра = СР’
где ра — плотность поглощающего газа.
Так как масса поглощающего газа и на единицу площади измеряется вдоль наклонной трассы, имеющей угол 0 с вертикалью,
du = padzsecti (3.48)
или
du = — (-0 dp sec 6. (3.49)
Уравнения (3.47) — (3.49) справедливы в общем виде для любого распределения поглощающего газа в атмосфере. Если предположить, что температура Т, концентрация с и ускорение силы тяжести g постоянны вдоль трассы, из (3.49) следует, что величина и вдоль трассы, проходящей между точками с давлением pQ и р19. равна
u = cg~l (Pi —Ро) sec 9.
(3.50)
97
Далее из (3.46), (3.49) и (3.50) следует:
Pi
phu = Cg-1 sec 6 f p dp= -b eg-1 sec 0 (pf — Po) = 4- (Pit- Po) u
(3.51)
И
Ph = -^(Po+Pi)- <3-52)
Этот важный результат показывает, что поглощение вдоль атмосферной трассы такое же, как на однородной трассе, с той же величиной и и давлением, равным среднему давлению на двух концах трассы. Это справедливо, когда концентрация поглощающего газа и температура постоянны вдоль трассы и применимо приближение для случая сильных линий. Как уже указывалось в гл. 2, в атмосфере равномерно распределен, в частности, углекислый газ.
Из (3.46) следует, что uhph для наклонной трассы получается суммированием произведений соответствующего давления на du для каждого бесконечно тонкого слоя газа вдоль трассы. Таким образом, для такого газа, как водяные пары, которые сконцентрированы близ земной поверхности, поглощение определяется главным образом ближайшей к земной поверхности частью трассы. Верхние части трассы на поглощение влияют мало. Изменениями силы тяжести с изменением высоты обычно можно пренебречь. Часто можно представить изменение концентрации газа (например, паров воды) с ростом высоты степенной зависимостью
с = й(^у, (3.53)
где с0 — величина с (в долях единицы) при давлении р0;
I — некоторая постоянная.
В этом случае из (3.46) и (3.53) можно найти uhph:
<3-54>
Распределение водяных паров в нижних слоях атмосферы при нормальных условиях удовлетворительно аппроксимируется такой зависимостью при Z = 3. В других случаях могут использоваться иные значения /.
Взяв экспериментально полученные или рассчитанные теоретически табличные значения поглощения для однородных трасс и использовав уравнения (3.46), (3.52) или (3.54), можно получить поглощение на наклонной трассе. Эти весьма общие правила, позволяющие связать поглощение на однородной и наклонной трассах, можно применять независимо от того, как изменяются интенсивность, полуширина и взаимное расположение линий в полосе, на-98
сколько перекрываются линии и какова форма линий, если доминирующим фактором, вызывающим уширение крыльев линий, является давление. Единственные допущения, которые были сделаны при выводе, — справедливость приближения для случая сильных линий и возможность пренебрежения температурными изменениями. Эти результаты для наклонных трасс впервые были получены Плассом [11] и применены им для расчета прохождения инфракрасного излучения через атмосферу непосредственно из лабораторных данных [25].
В случае, когда можно считать, что линии не перекрываются, поглощающий газ равномерно распределен в атмосфере и температурная зависимость отсутствует, для поглощения на наклонной трассе может быть получено точное выражение. Поглощение на наклонной трассе, составляющей угол 0 с вертикалью, можно, используя уравнение (3.35), вычислить по формуле [26]
где
г » +
2 ^04 аа)
___ Sc0 ps sec 6 Su
~ 2k g CLS ~~ 2k (ai — a0) •
(3.55)
(3.56)
(3.57)
Здесь a0 и — полуширина спектральных линий в начале и в конце наклонной трассы;
и — масса поглощающего газа на единицу площади вдоль трассы;
с0 — концентрация (в долях единицы) равномерно распределенного в атмосфере поглощающего газа;
(z) — функция Лежандра порядка у;
у — безразмерная константа, аналогичная параметру x = Su/2ita Сравнение (3.6)] для однородной трассы.
Когда у — целое число, функции в (3.55) являются полиномами Лежандра. Поглощение в этом случае может быть выражено формулами, содержащими определенные многочлены. Например, при у = 1 поглощение равно
(3.58)
Даже когда необходимо учитывать перекрытие линий, можно получить точное выражение для поглощения, если по-прежнему поглощающий газ равномерно распределен в атмосфере, а влияние
99
температуры пренебрежимо мало. Для модели Эльзассера производная от поглощения равна [26]
дл (а0; 04) = _ 2ку sh? р /ch % ch — 1 \
da0 d sh^i I’”1 \ sh^sh^ /’ V
где Po и Pi — значения P, определяемые уравнением (3.18) в начале и в конце трассы.
Когда у имеет целое значение, поглощение может быть всегда записано как многочлен, содержащий определенные функции от [26]. Например, при у = 1
Л(а0, ax) = cMs\~Ch3°- <3-60>
Уравнения (3.55) — (3.60) справедливы, только когда поглощающий газ распределен в атмосфере равномерно. Большей частью они применяются для углекислого газа. Их можно использовать также для оценки поглощения парами воды и озоном на сравнительно коротких трассах.
При использовании статистической модели
A = l-e~As‘, (3.61)
где Asi — поглощение отдельной изолированной спектральной линии, определяемое уравнением (3.55). Когда в интервале наблюдается ряд спектральных линий, следует вначале произвести усреднение в соответствии с распределением интенсивностей.
На протяженных наклонных трассах следует учитывать изменение концентрации водяных паров. В этом случае удается получить быстро сходящиеся выражения для поглощения в большинстве представляющих практический интерес случаев, когда перекрытие линий незначительно. Поглощение возрастает линейно с увеличением параметра у, определяемого уравнением (3.57), когда у < 1, и изменяется по закону У у, когда у» 1. Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе Пласса и Файвла [24а].
Для поглощения на наклонных трассах можно вывести весьма важное приближенное соотношение, справедливое в широком диапазоне изменения давления и длины трассы. Это можно сделать, комбинируя методы, используемые для связи поглощения на однородной и наклонной трассах в случаях слабых и сильных линий. Когда справедливо приближение для случая слабых линий, величина uh определяется из уравнения (3.39), дающего соответствующую длину пути луча для однородной трассы. В случае же сильных линий произведение phuh определяется из уравнений (3.44), (3.45) или (3.46).
Любая пара этих уравнений может удовлетворяться одновременно, поскольку uh определяется уравнением для случая слабых линий, а уравнение для случая сильных линий можно тогда разрешить относительно ph. Эти результаты можно подставить в одно из выведенных для однородной трассы уравнений или применить для 100
использования таблицы, составленной по экспериментальным или расчетным данным для однородной трассы. Поглощение на наклонной трассе, вычисленное таким образом, обязательно согласуется с точным результатом как для слабых, так и для сильных линий. В промежуточном диапазоне, когда оба приближения и для сильных, и для слабых линий дают ошибку, результаты, полученные таким способом, позволяют произвести плавную интерполяцию между кривыми поглощения для сильных и слабых линий. Величины, полученные таким интерполяционным методом, очень близки к действительным значениям поглощения на наклонной трассе.
В качестве примера применения этого метода может служить использование совместно уравнений (3.39) и (3.45), в результате чего получаются следующие соотношения:
w и
2 \Stdu'
«Л = ------ (3-62)
$lh
Z=1
И
W и
Tlh/2 2 \SiPT-^2du'
Рп = —-------------------• (3-63)
2 Isidu' i=\ О
Если эти значения подставить в какое-либо выражение для поглощения на однородной трассе, то получившееся соотношение будет справедливо для наклонной трассы как в случае сильных линий, так и в случае слабых.
Более полное рассмотрение использования выражений для случаев сильных и слабых линий и их совместного применения с различными соотношениями для поглощения на однородной трассе проведено в работе [27] Плассом. Этот метод является обобщением интерполяционного способа, разработанного Куртисом [28] и Год-соном [28а].
РАССЕЯНИЕ ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Пучок инфракрасного излучения рассеивается молекулами газа, дымкой и капельками воды, находящимися в туманах и облаках. Обычно рассеяние в инфракрасной области спектра меньше, чем в видимой. Однако когда потери, вызванные рассеянием в видимой области спектра, велики, и в инфракрасной области они также значительны.
101
Ослабление пучка за счет рассеяния и поглощения измеряется коэффициентом ослабления, определяемым соотношением
/ = /ое-^, (3.64)
где I — длина трассы;
/0 — сила излучения источника (не прошедшего через атмосферу).
Экспоненциальный закон для поглощения справедлив только для монохроматического излучения, так как коэффициент поглощений быстро меняется в зависимости от длины волны (см. § 3.2). Для рассеяния этот закон применять можно, так как коэффициент рассеяния в общем случае меняется по спектру медленно. Таким образом, если главную часть потерь составляет рассеяние, то экспоненциальный закон ослабления излучения соблюдается с удовлетворительной точностью и в конечном интервале частот. Когда же потери при прохождении излучения через атмосферу происходят главным образом за счет поглощения, уравнение (3.64) не выполняется даже приближенно. Тем не менее это уравнение используется для представления данных экспериментальных измерений в значениях коэффициента ослабления, и эта величина имеет определенный смысл, если указано, в каких пределах и при каких условиях она получена.
Когда диаметр рассеивающих частиц меньше длины волны падающего излучения, происходит релеевское рассеяние. Интенсивность рассеянного излучения изменяется обратно пропорционально четвертой степени длины волны. Оно существенно только в ближней инфракрасной области и быстро уменьшается в более длинноволновой части спектра. Голубой цвет неба объясняется большим количеством рассеянного света в голубом конце видимого спектра. Захо< дящее солнце кажется красным, потому что голубые лучи сильно рассеиваются, проходя длинный путь в атмосфере. Релеевское рассеяние может происходить на молекулах, частицах пыли, размер которых меньше длины волны излучения, и на неоднородностях самой атмосферы.
В теории рассеяния Ми описывается рассеяние на частицах, оптические свойства которых известны. Частицы могут поглощать часть излучения, правда, в этом случае теория Ми становится значительно сложнее. Функция рассеяния выражается в форме бесконечного ряда, который можно вычислить на электронной машине. Рассчитаны и опубликованы таблицы функций рассеяния для частиц с различными оптическими параметрами, не поглощающих излучения. Для поглощающих частиц опубликовано лишь небольшое количество разрозненных данных. В кривых рассеяния, построенных в функции длины волны, наблюдаются часто многочисленные небольшие максимумы и минимумы. Однако в целом спектральная зависимость интенсивности излучения, рассеянного на частицах, сравнимых с длиной волны, весьма невелика по сравне* нию с законом для меньших частиц.
102
Обычно считают, что дымка состоит из частиц размером до нескольких микрон. Это частицы пыли и солей, а также мельчайшие органические остатки растений, зачастую окруженные капельками воды. Эти частицы часто заносятся ветром на большие высоты. Пропускание излучения дымкой и туманом исследовалось Гебби и др. [29], Гиббонсом [30] и Арнольфом и др. [31]. Они установили, что коэффициент ослабления, как он определен в (3.64), уменьшается по спектру приблизительно по закону V0’7. Эта величина примерно согласуется с результатами расчетов, проведенных с использованием: теории рассеяния Ми. В большинстве случаев поглощение близ 10 мк в дымке очень мало. Обычно в условиях дымки пропускание-инфракрасного излучения намного лучше, чем видимого.
Йетс [32] попытался обобщить известные ему данные по поглощению и рассеянию. Он приводит значения пропускания атмосферы для трасс протяженностью до 18 км в различных условиях атмосферной дымки. Эльдер и Стронг [33] делят спектр на восемь частотных диапазонов. Каждый из этих диапазонов простирается от максимума одной сильной полосы поглощения до максимума следующей. Для каждого из диапазонов ими даны эмпирические уравнения, описывающие поглощение излучения в этом диапазоне. Кратко рассмотрена также роль дымки и тумана.
Туман состоит из водяных капелек размером от нескольких микрон до нескольких сотен микрон. В ближней инфракрасной области рассеяние в тумане практически не зависит от длины волны. При плохой видимости переход от видимого к инфракрасному диапазону спектра почти не дает выигрыша в пропускании излучения. При длинах волн, больших нескольких микрон, при оценке ослабления излучения в тумане кроме рассеяния нужно учитывать и поглощение. Если такой учет производится, то результаты, получаемые в соответствии с теорией Ми, довольно хорошо согласуются с экспериментом. Часто в области близ 10 мк излучение в тумане проходит несколько лучше, чем в других спектральных областях, ‘однако и здесь улучшение по сравнению с видимой областью в тех же условиях сравнительно невелико.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — поглощение (в долях единицы);
с — концентрация поглощающего газа (в долях единицы);
d — среднее расстояние между спектральными линиями в полосе; g — ускорение силы тяжести;
h — шкала высот;
I — плотность излучения;
— спектральная плотность излучения;
1Ь — спектральная плотность излучения абсолютно черного тела; /о(х), /1(х) — Бесселевы функции х нулевого и первого порядка;
k — коэффициент ослабления (экстинкции);
— спектральный коэффициент поглощения для волнового числа
I — константа, определяемая уравнением (3.53);
N — число спектральных линий в частотном интервале;
103
P^z) — функция Лежандра порядка 7;
р — давление;
рЕ — эквивалентное давление;
ph — давление для однородной трассы;
Ро, Pi — давление в начале и в конце наклонной трассы;
ps — стандартное эталонное давление;
S — интенсивность отдельной спектральной линии;
и — масса поглощающего газа на единицу площади;
uh — масса поглощающего газа на единицу площади для однородной трассы;
х — переменная, определяемая уравнением (3.6);
xD — величина, определяемая уравнением (3.16);
z — высота;
z — величина, определяемая уравнением (3.56);
о. — половина лоренцевской ширины спектральной линии, расширенной за счет столкновений на уровне 50% от максимума;
(3 — величина, определяемая уравнением (3.18);
7 — величина, определяемая уравнением (3.57);
6 — угол между направлением наклонной трассы и вертикалью; v — волновое число;
— волновое число для центра i-й спектральной линии;
Дч — спектральный интервал в волновых числах;
Д\^ — половина допплеровской ширины спектральной линии на уровне 50% от максимума;
о — плотность атмосферы;
уа — плотность поглощающего газа;
tv — спектральная функция пропускания;
ср — интеграл функции ошибок (интеграл вероятности).
Л ИТЕРАТУРА
1. М i n z е г R. А., К. W. Champion, Н. Pond. The 1959 ARDC model atmosphere. Air Force Surveys in Geophys. 115, ARCRC, 1959.
G u t n i c k M. Aids for computing stratospheric moisture. CRD Research Notes 50, AFCRL 203. Air Force Cambridge Research Laboratories. Bedford Mass, January 1961.
2. Craig R. A. The observations and photochemistry of atmospheric ozone and their meteorological significance. Meteorol. Monographs, 1950, v. 1(2).
Altshuler T. L. Infrared transmission and background radiation by clear atmospheres. Document 61SD199, General Electric Missile and Space Vehicle Departament, Valley Forge. Pa., December 1961.
3. P 1 a s s G. N. J. Opt. Soc. Am., 1958, v. 48, p. 690.
4. Plass G. N. J. Opt. Soc. Am., 1960, v. 50, p. 868.
5. LandenbergR.. F. Reiche Ann. Physik, 1913, v. 42, p. 181.
6. P 1 a s s G. N., D. I. F i v e 1. Astrophys. J., 1953, v. 117, p. 225.
7. E Isasser W. M. Phys. Rev., 1938, v. 54, p. 126.
8. M а у e г H. Methods of opacity calculations. Los Alamos LA-647, Oct. 31, 1947.
9. G о о d у R. M. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc., 1952, v. 78, p. 165.
10. Кар lan L. D. Proc. Toronto Meteorol. Conf., 1953, p. 43—48, 1954.
11. P 1 a s s G. N. J. Opt. Soc. Am., 1952, v. 42, p. 677.
12. E 1 s a s s e г AV. M., M. F. Culbertson. Atmospheric radiation tables. Meteorol. Monographs, 1960, v. 4, p. 23.
13. S u m m e r f i e 1 d M. Pressure dependence of the absorption in the 9.6-micron band of ozone, unpublished thesis. California Institute of Techo-logy. Pasadena, Calif, 1941.
104
14. Chap man R. M., J. N. Howard. J. Opt. Soc. Am., 1952, v. 42, p. 423, 856.
15. С 1 о u d W. H. The 15-micron band of CO-2 broadened by nitrogen and helium. Johns Hopkins Univ., Progr. Rept. Contract N-onr 248—01, 1952.
16. H о w a r d J. N., D. E. В u r c h, D. Williams. Geophys. Research Paper 40, GRD, Air Force Cambridge Research Center, 1955; J. Opt. Soc. Am., 1956, v. 46, p. 186, 237, 242, 334, 452.
17. Daw H. A. Transmission of radiation through water vapor subject to Pressure broadening in the region 4.2 microns to 23 microns, Univ., Utah. Tech. Rept. 10, Contract AF 19 (122)—392, 1956.
18. W a 1 s h a w C. D. Quart J. Roy. Meteorol. Soc. 1957, v. 83, p. 315.
19. P a 1 m e г С. H. J. Opt. Soc. Am. 1960, v. 50, p. 1232.
20. В u r c h D. E., D. Williams. Appl. Optics, 1962, v. 1, p. 473, 587.
21. В u r c h D. E., D. A. G г у v n a k, D. Williams. Appl. Optics,
1962, v. 1, p. 759.
22. В u r c h D. E., W. L. F r a n c e, D. Williams. Appl. Optics (in press).
23. S t u*l 1 V. R., P. J. W у a t t, G. N. P 1 a s s. J. Opt. Soc. Am., 1962, v. 52, p. 1209.
24. W у a t t P. J., V. R. S t u 1 I, G. N. P 1 a s s. The infrared absorption of water vapor and carbon dioxide. Rept. 1717 and 1718, Aeronutronic Division, Ford Motor Company, Newport Beach, Calif., 1962; Appl. Optics (in press).
24a. P 1 a s s G. N., D. I. F i v e 1. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc., 1955, v. 81, p. 48.
25. P 1 a s s G. N. Quart. J. Roy. Meteorol, Soc., 1956, v. 82, p. 30, 310.
26. P 1 a s s G. N., D. I. F i v e 1. J. Meteorol. 1955, v. 12, p. 191.
27. P 1 a s s G. N. Appl. Optics (in press).
28. C u r t i s A. R. Quart J. Roy. Meteorol. Soc., 1952, v. 78, p. 638.
28a. G о d s о n W. L. J. Meteorol., 1955, v. 12, p. 272.
29. G e b b i e H. A., W. R. H a r d i n g С. H i 1 s u m A. W. Pry c e , V. Roberts. Proc. Royal Soc. (London), 1951, v. A206, p. 87.
30. G i b b о n s M. G. J. Opt. Soc. Am., 1958, v. 48, p. 172.
31. ArnulfA., J. Bricard, E. Cure, С. V eret.J.Opt. Soc. Am., 1957, v. 47, p. 491.
32. Yates H. NRL Rept. 3858, September, 1951.
33. E 1 d e r T., J. S t г о n g. J. Franklin Inst., 1953, v. 255, p. 189.
------- "" ~ =Г Л АВ А 4
ФОНЫ И ЦЕЛИ
Инфракрасная система должна воспринимать излучение от цели, отличая ее от всех других источников инфракрасного излучения, находящихся в поле зрения прибора. Излучение фона существует всегда, потому что все предметы при температуре выше абсолютного нуля излучают инфракрасную энергию.
Фон неба обусловлен излучением молекул в атмосфере и рассеянием солнечного света на молекулах, твердых частицах и водяных каплях, находящихся в атмосфере. Рассеянное излучение Солнца особенно сказывается при облачном небе. Излучение звезд и зари дает переменную составляющую, добавляющуюся к фону неба. Земной ландшафт и поверхность моря излучают различное количество энергии в инфракрасной области спектра в зависимости от коэффициента излучения поверхности и ее температуры.
Инфракрасные цели делятся на воздушные, наземные и морские. Двигатели самолетов и ракет излучают сравнительно большое количество инфракрасной энергии от частей обшивки, которая нагревается до высокой температуры. Двигатели реактивных самолетов и ракет имеют также струю отходящих газов, значительная доля энергии излучения которых приходится на инфракрасную область спектра. Различные предметы на земле могут отличаться по температуре и коэффициенту излучения. Например, заводы могут быть на несколько градусов теплее, чем фон, и инфракрасные приемники могут отличить их от окружающего фона. Аналогично корабли и подводные лодки могут отличаться по температуре от окружающей воды или могут оставлять след, наличие которого удается обнаружить по его излучению.
ФОНЫ
Поток направленного вниз излучения при наблюдении ясного неба имеет два основных источника: 1) излучение различных молекул в атмосфере; 2) рассеянное излучение Солнца.
Собственное излучение атмосферы идет главным образом от молекул водяного пара, углекислого газа и озона. Поскольку температура атмосферы находится обычно в пределах от 200 до 300° К, 106
максимум излучения в соответствии с законом Планка для излучения черного тела лежит близ 10 мк и имеет величину около Зх10~3 вт-см-2'Мк-[ или 10~3 вт-см~2 • мк~[ -стер~х. При 4 мк лучистость (яркость) черного тела равна примерно вт-см-2-мк-1 х Уистер-1. Эту величину можно рассматривать как ориентировочный верхний предел возможной яркости атмосферы на этой длине волны.
Солнце излучает примерно как абсолютно черное тело с температурой 6000° К. Ориентировочный верхний предел яркости неба, обусловленной рассеянным солнечным светом, можно получить, предполагая, что все излучение Солнца равномерно рассеивается по направлению к Земле, так что кажется, будто небо имеет одинаковую яркость. При таком предположении можно найти, что яркость неба составляет примерно 10~5 от яркости Солнца. Так, при этих усло-виях максимальная яркость неба наблюдается при 0,5 мк и составляет около Зх10~2 вт-см~2 -мк~~х -стер~х. При 4 мк величина яркости (лучистости) неба, полученная из кривой для черного тела при температуре Солнца, равна примерно 10-4 вт-см-2-мк~{-стер~х. Это та же величина, что была получена для собственного излучения неба при той же длине волны. В действительности обе величины завышены. Типичная яркость неба от рассеянного излучения составляет одну десятую от указанной выше величины, поскольку не все солнечное излучение рассеивается по направлению к Земле. С другой стороны, коэффициент излучения равен единице лишь близ центров сильных полос атмосферного поглощения. При других длинах волн коэффициент излучения меньше, что также уменьшает величину собственной яркости неба, грубая оценка верхнего предела которой дана выше.
Экспериментально было установлено, что почти в любых условиях яркости, обусловленные собственным молекулярным излучением и рассеянным светом Солнца, равны в диапазоне 3—4 мк. В области более коротких длин волн рассеянное излучение доминирует, так что собственное излучение ночью очень невелико, а днем им можно вообще пренебречь. С другой стороны, для большинства практических задач рассеянным излучением Солнца можно пренебречь при длинах волн больше 4 мк, поскольку собственное молекулярное излучение в этой области много больше. Этот факт был установлен Беллом, Этьеном, Эйспером, Янгом и Эболинсом [1—31 в серии статей, где рассматриваются результаты измерений характеристик фонов, проведенных авторами, и физические причины излучения неба и земной поверхности.
Характер излучения компонентов атмосферы можно понять, изучая спектральный коэффициент излучения различных веществ. Излучение атмосферы почти полностью обусловлено излучением молекул углекислого газа, водяного пара и озона (см. гл. 2 и 3). В соответствии с законом Кирхгофа [уравнение (2.2) 1 полосы поглощения этих газов соответствуют спектральным участкам, где они хорошо излучают. При температурах, наблюдающихся в атмосфере, максимум излучения черного тела лежит в районе 10 мк
107
и почти вся энергия излучения заключена между 4 и 30 мк. Именно в этом диапазоне и приходится считаться с излучением атмосферы. Излучают также различные частицы, в том числе водяные капельки, находящиеся в атмосфере.
4.1. Яркость ясного неба в области длин волн более 3 мк
Рис. 4.1. Спектральная яркость ясного ночного неба по измерениям в Эльк Парк (Колорадо) на высоте 3300 м над уровнем моря при окружающей температуре 8° С. Углы возвышения для различных кривых по порядку: 0; 1,8; 3,6; 7,2; 14,5; 30 и 90° [2].
рис. 4.1. При угле 0° яркость почти тела при окружающей температуре.
Остановимся сначала на спектральной яркости ясного неба рассматриваемого с Земли или с некоторой точки, находящейся в верхнем слое атмосферы. Спектральная яркость — это произведение коэффициента излучения и спектральной яркости черного тела. Поскольку последняя величина сильно зависит от температуры, следует ожидать, что спектральная яркость ясного неба будет функцией температуры воздуха. Спектральная яркость ясного неба изменяется также в зависимости от угла (от горизонта) и содержания в атмосфере паров воды и озона. Эта зависимость была исследована экспериментально Беллом и др. [2]. Результаты измерений [2] приведены на рис. 4.1— 4.3.
Спектральная яркость ясного неба при различных углах возвышения над горизонтом по измерениям в Колорадо на высоте 3300 м показана на такая же, как у черного 1ри 8 и 13 мк наблюдают
ся небольшие провалы, так как здесь имеются лишь слабые линии поглощения. Из-за кривизны земной поверхности при угле наблюдения 0° масса воздуха вдоль линии наблюдения конечна. На этой высоте воздушная масса недостаточна для того, чтобы дать значение коэффициента излучения, равное единице. При увеличении угла возвышения яркость для данной длины волны уменьшается. Близ центров полос водяного пара при 6,3 мк и углекислого газа при 15 мк коэффициент излучения близок к единице даже в зените. С другой стороны, при 8 и 13 мк и углах, близких к зениту, коэффициент излучения очень мал. На рис. 4.1 ясно видно излучение полосы озона при 9,6 мк.
108
На рис. 4.2 показана спектральная яркость ясного неба по измерениям во Флориде на уровне моря. При сравнении графиков
рис. 4.1 и 4.2 бросаются в глаза некоторые отличия. При углах, близких к горизонту, коэффициент излучения на всех длинах волн по измерениям во Флориде близок к единице. Это отличие кривых рис. 4.2 от кривых рис. 4.1 связано с более влажной, чем в Колорадо, атмосферой и большей воздушной массой при наблюдении с поверхности на уровне моря по сравнению с наблюдениями с высоты 3300 м. Соответствующее увеличение количества водяных паров и углекислого газа достаточно, чтобы коэффициент излучения увеличился до единицы. Даже в зените этот коэффициент почти равен единице в спектральной области до 7 мк и свыше 15 мк в связи с большей ниях во Флориде. В области 8-
Рис. 4.3. Спектральная яркость ясного неба в зените по измерениям на вершине Пайкс-Пик, Колорадо (4230 м над уровнем моря, окружающая температура 2,5° С) и в Колорадо Спрингс (1800 м над уровнем моря, окружающая температура 27,5° С). Пунктирными кривыми показана спектральная яркость черного тела при соответствующих температурах [2].
Рис. 4.2. Спектральная яркость ясного ночного неба по измерениям в Кокоа Бич (Флорида) на уровне моря при окружающей температуре 27° С. Углы возвышения для различных кривых по порядку: 0; 1,8; 3,6;
7,2; 14,5; 30 и 90° [2].
воздушной массой при наблюде--13 мк на всех углах возвышения коэффициент излучения больше, чем на кривых рис. 4.1. Интересно сравнить с этими результатами данные аналогичных измерений, проведенных в Огайо Слоаном, Шоу и Уилльямсом [4 ].
Окружающая температура сильно влияет на величину спектральной яркости. Это можно видеть, сравнивая рис. 4.1 и 4.2. Измерения были проведены при 8 и 27° С. На рис. 4.3 сравнивается спектральная яркость неба в зените, измеренная в двух пунктах штата Колорадо при окружающей температуре 2,5 и 27,5° С. Пунктирными кривыми показана спектральная яркость абсолютно черного тела при соответствующих значениях окружающей температуры. Близ центров полос поглощения яркость неба практически стано-
109
350 *300 ^250 V 200
^100 t so t о
5 6 1 8 9 ю 11 12 1314 Л,мк
Рис. 4.4. Спектральная яркость ясного неба по измерениям на мысе Барроу (Аляска) 12 февраля 1960 г. при угле возвышения 25° и окружающей температуре
—34°С [5].
вится равной яркости черного тела. Так как в этих спектральных участках атмосфера почти непрозрачна, излучение идет от слоев атмосферы, ближайших к наблюдателю; ясно, что эти слои имеют примерно температуру окружающей среды. Яркость спадает по мере удаления от центров полос потому, что уменьшается коэффициент излучения и излучение идет от более далеких и более холодных слоев атмосферы.
Измерения яркости полярного неба при угле возвышения 25° проводились Маркрэем [5] на мысе Барроу (Аляска), где окружающая температура была — 34° С. Результаты приведены на рис. 4.4. Ход яркости вплоть до 8 мк качественно схож с показанным на рис. 4.1. Однако излучение озона при 9,6 мк выражено в полученных на Аляске данных очень резко; оно соответствует излучению черного тела при температуре слоя озона —40° С. В районе 10—12 мк заметного излучения не обнаружено. Затем коэффициент излучения увеличивается вплоть до 14 мк, правда не достигая единицы. Очень малое содержание водяных паров в арктическом воздухе при этих температурах и очень низкая температура самой атмосферы могут дать качественное объяснение этих особенностей. Излучение озона наблюдалось также ясной холодной ночью в Колумбусе (штат Огайо) [6].
В области длин волн больше 4 мк вариации яркости явного неба при различных азимутальных углах невелики. Максимальные отличия порядка 15% наблюдаются только при малых углах возвышения [2].
4.2. Яркость облачного неба в области длин волн более 3 мк
Облака изменяют яркость неба как за счет рассеяния солнечного излучения, так и в связи с появлением в атмосфере новых источников излучения. Результаты измерения яркости темных кучевых облаков снизу, проведенные Беллом и др. [2], показаны на рис. 4.5. Пунктирные кривые соответствуют излучению черного тела при окружающей температуре +10° С и температуре облаков —10° С. В районах сильных полос при би 15 мк наблюдаемое излучение идет от нижних слоев атмосферы и соответствует излучению черного тела при 10° С. В районе окна от 8 до 13 мк яркость ближе к яркости черного тела при —10° С. Это излучение идет от облаков и очень мало меняется, проходя через атмосферу.
Высокие перистые облака немного увеличивают излучение в районе 8—13 мк. Перистые облака уменьшают также видимое наблю-110
дателем излучение озона, потому что они поглощают это излучение, идущее от слоев, расположенных значительно выше облаков.
Рис. 4.5. Спектральная яркость темных кучевых облаков снизу по измерениям с вершины горы Пайкс-Пик при угле возвышения 14,5°. Пунктирными кривыми показана спектральная яркость при температуре на вершине 10°С и при измеренной температуре облаков—10°С [2].
4.3. Рассеянное излучение
200
150
100
50
350
300
* 250
5
0 12 3 4
Л, м к
Рис. 4.6. Спектральная яркость ясного полуденного неба по измерениям в Колорадо Спрингс. Углы возвышения начиная с верхней кривой; 0; 7,2 и 30°. В области Х<2 мк значения яркости на кривых, взятые по шкале ординат, следует умножить на 10 [2].
Измерения [2] яркости неба в диапазоне 1—5 мк подтверждают теоретический вывод, что яркость дневного неба должна проходить через минимум в районе 3—4 мк. В области длин волн более 4 мк яркость неба обусловлена собственным излучением молекул атмосферы и облаков. В коротковолновой области доминирует излучение Солнца, рассеянное частицами, находящимися в атмосфере. Результаты некоторых измерений, проведенных Беллом и др. [2], показаны на рис. 4.6. Здесь представлена спектральная яркость ясного неба около полудня при различных углах возвышения по измерениям в Колорадо.
Минимумы кривых рис. 4.6 близ 0,94; 1,1; 1,4; 1,9 и 2,7 мк обусловлены полосами поглощения водяного пара. Рассеянное излучение Солнца, прежде чем оно достигнет Земли, сильно поглощается на этих длинах волн, а собственное излучение, соответствующее излучению черного тела при обычных температурах атмосферы, здесь очень мало. Однако между этими полосами поглощения атмосфера относительно прозрачна. Рассеянное излучение при углах воз-
вышения, близких к 0°, больше, чем при 30°, потому что в первом случае масса атмосферы, на которой рассеивается солнечное излучение по пути к наблюдателю, больше.
111
В действительности солнечное излучение рассеивается несимметрично: рассеяние вперед больше, чем в стороны. Если просканировать небо в окнах прозрачности в области спектра от 1 до 3 мк, то максимальная яркость получается там, где находится Солнце. Яркость быстро уменьшается с увеличением угла между направлением на Солнце и линией наблюдения, потому что число фотонов, рассеянных в направлениях, отличных от направления вперед, быстро уменьшается с ростом угла. Яркость снова возрастает близ горизонта в связи с увеличением воздушной массы, рассеивающей излучение. У самого горизонта яркость может снова уменьшиться из-за поглощения на очень протяженном пути через атмосферу.
Яркость в различных точках неба можно приближенно представить как результат наложения двух картин распределения, обладающих центральной симметрией. Первая, обусловленная собственным излучением молекул атмосферы, симметрична относительно зенита и имеет максимумы в зените и у горизонта. Вторая центрирована относительно положения Солнца и характеризуется быстрым уменьшением яркости с ростом угла между линией наблюдения и направлением на Солнце. Яркость этой второй картины пренебрежимо мала в области длин волн больше 4 мк и, конечно, равна нулю ночью.
4.4. Сплошная облачность
Попадая на водяные капли, инфракрасное излучение отражается, преломляется и поглощается. Коэффициент поглощения довольно высок. Так, сравнительно небольшая часть излучения, отраженная и преломленная одной каплей, быстро поглощается после многократных встреч с другими каплями. В результате этих процессов облака хорошо поглощают и излучают в инфракрасной области спектра. В видимой области водяные капли сильно поглощают любое излучение, так что облака являются хорошими диффузными отражателями.
Измерения [2] яркости неба, затянутого сплошными низкими облаками, показывают, что такое небо излучает почти как абсолютно черное тело, имеющее температуру, равную окружающей с точностью до нескольких градусов. Другие измерения [7] яркости равномерно затянутого облаками неба (с высотой облачности 150 и 200 м над землей) также хорошо согласуются с излучением черного тела при температуре облаков, однако имеется полосатая структура в области 5—8 мк. По-видимому, это наблюдается потому, что атмосфера у Земли имеет несколько иную температуру, чем облака.
Яркость отдельных облаков в области % > 3 мк уже рассматривалась выше. При X < 3 мк яркость определяется рассеянным светом Солнца, который может сильно изменяться, проходя через облака. Спектральная яркость неба при переменной и сплошной облачности измерялась Эйзелем [8]. Измерения для четырех раз-
112
личных дней, когда облачность менялась от небольшой с голубыми просветами до сплошной, дали минимум яркости близ 3 мк. В статье приведены как средние, так и максимальные и минимальные полученные отсчеты. Разброс между наибольшими и наименьшими-значениями при Z < 3 мк оказался значительно больше, чем при А > 3 мк.
При А > 3 мк отличия крайних значений от средних [8] лежали обычно в пределах 50% как для переменной, так и для сплошной облачности. Эти сравнительно небольшие вариации вызваны, по-видимому, различной эффективной температурой облаков, находящихся на различных высотах. Значительно большие вариации наблюдались в области А < 3 мк, особенно при наличии переменной несплошной облачности. Например, в области X = 2 мк средняя яркость составляла 55 мквт- см~2 • стер-1-мг1. Максимальные и минимальные значения в дни с переменной облачностью отличались больше чем на два порядка и составлял и 300 и 0,8 мквт-см~2 • стер-1 х X мк.-1. В дни со сплошной облачностью диапазон различий составлял всего один порядок. Большие колебания в дни с переменной облачностью объясняются характером влияния облаков на солнечный свет. Рассеяние света водяными каплями по направлению луча гораздо сильнее, чем в стороны. Поэтому легкое облако близ Солнца много светлее, чем в другой части неба. Тяжелые же облака пропускают по направлению луча лишь небольшую часть излучения и рассеивают проходящий свет практически диффузно.
4.5. Яркость при наблюдении со спутников
Был запущен ряд спутников, с которых измерялось инфракрасное излучение земной поверхности и атмосферы. Это излучение зависит от температуры и природы земной поверхности и атмосферы, наличия облаков, распределения поглощающих молекул в атмосфере и от того, есть или нет рассеянное излучение от Солнца. Излучение на определенных длинах волн при наблюдении со спутников подвержено значительным колебаниям, связанным с изменением перечисленных факторов.
Многие образования на земной поверхности в спектральном диапазоне, в котором находится большая часть излучения при температурах, характерных для земных условий, имеют коэффициент излучения, близкий к единице. В сравнительно прозрачных спектральных участках атмосферы (от 8 до 9 мк\ от 10 до 12 мк) в ясную погоду это излучение практически без изменений уходит в космос. Основные различия в величине этого излучения наблюдаются от экватора к полюсам и обусловлены изменениями температуры земной поверхности. Схематически ход спектральной яркости освещенной Солнцем стороны Земли, которая может наблюдаться из-за пределов земной атмосферы со спутников, показан на рис. 4.7. В атмосферных окнах яркость соответствует излучению черного тела при температуре земной поверхности, а в полосах поглощения—
5 Зак. 1502 1
излучению черного тела при температурах стратосферы. В области л < 3 ж излучается отраженный солнечный свет.
В спектральных районах сильного поглощения излучение земной поверхности поглощается, не выходя в космос. Излучение, достигающее спутников, идет от поглощающих молекул в атмосфере. Чем больше коэффициент поглощения, тем от более высоких слоев атмосферы выходит в космос это излучение. Так как температура обычно понижается с уве-
личением высоты (пока не достигнуты очень большие высоты), в космос в этих спектральных областях выходит меньшее, чем показано на рис. 4.7, излучение. Заметное уменьшение наблюдается в районах полос поглощения СО2, Н2О и Оз (рис. 4.7). Поскольку водяные пары сконцентрированы ь основном близ земной поверх-
1 2 4 6 8 10 12 М 16 18 20
Л, мн
Рис. 4.7. Схематический спектральный ход яркости освещенной Солнцем стороны Земли, наблюдаемой со спутников. Пунк-
тирными кривыми показана яркость черного тела при температуре 300 и 200°К, что приблизительно соответствует температурам земной поверхности и стратосферы. При X < 3 мк яркость Земли, наблюдаемая со спутников, выше яркости черного тела из-за рассеянного света Солнца. При Х>3 мк наблюдаемая яркость приближается к кривой черного тела при 300° К в атмосферных окнах и к кривой при 200°К в районах сильного поглощения.
ности и имеют относительно более высокую температуру, влияние полос Н2О на излучение, выходящее в космос, меньше, чем полос СО2 и Оз. Излучение в полосах поглощения зависит как от температуры излучающих слоев, так и от изменений в распреде-
лении излучающих молекул (что особенно относится к Н2О и Оз). Каплан [9] предложил использовать результаты радиационных измерений со спутников одновременно на нескольких длинах
волн для расчетов зависимости температуры от высоты, а также распределения водяных паров по высоте.
При Х< 3 ж наблюдаемое излучение зависит от количества рассеянного солнечного света, на который в свою очередь оказывает влияние природа земной поверхности. Очевидно, некоторые земные образования отражают солнечный свет лучше, а некоторые хуже. Нужно считаться с вероятным наличием зеркальной составляющей при отражении от поверхности океанов, занимающей большую площадь Земли. Количество рассеянного света сильно зависит также от распределения и типа облаков и наличия дымки.
В области за четырьмя микронами рассеянный солнечный свет становится пренебрежимо малым по сравнению с собственным излучением атмосферы. При наличии толстых облаков излучение за пределы атмосферы идет уже не от земной поверхности, а от верх-
114
Излучение, идущее д космос сданной высоты, относительные единицы
Рис. 4.8. Излучение^оп-ределенной частоты"(не в центре линии), выходящее в космос с разных высот при данном числе молекул. Параметр у, определяемый уравнением (3.57), принят равным единице.
ней границы облаков. Поверхность облаков излучает, как черное тело при температуре облаков. Это излучение от облаков селективно ослабляется молекулами верхней атмосферы подобно тому, как и излучение земной поверхности при прохождении через атмосферу.
Близ центров сильных спектральных линий излучение, наблюдаемое со спутников, может идти от самых верхних атмосферных слоев. Величина излучения определенной частоты (вне центров спектральных линий), выходящего в космос, при данном числе молекул и данной высоте по результатам теоретических расчетов Стронга и Пласса [10] показана на рис. 4.8.
При выбранных для данного графика частоте излучения и интенсивности линии наибольшее количество излучения идет в космос с высот порядка 20 км. Излучение с меньших высот уменьшается при росте атмосферного поглощения. В этом частном примере очень небольшая часть излучения самой земной поверхности может выйти в космос из-за сильного атмосферного поглощения. Количество излучения уменьшается на высотах менее 20 км при дан-
ном числе молекул в этом частном случае в связи с лоренцевской формой линий [уравнение (2.59)] и зависимостью полуширины линий от давления [уравнение (2.60)]. При уменьшении давления полуширина линий уменьшается, и коэффициент поглощения на определенной частоте вне центров линий также должен уменьшиться при достаточно малом давлении. Действи-
тельно, молекулы уже не могут излучать на рассматриваемой частоте — все излучение наблюдается в непосредственной близости от центров линий. Таким образом, на больших высотах излучение на рассматриваемой частоте должно уменьшаться. Максимальное излучение может соответствовать различной высоте в зависимости от интенсивности линий и выбранной частоты.
Рассмотренный случай (рис. 4.8) относится к одиночной спектральной линии. Аналогичная, но более сложная картина получается в случае полосы. Близ центров сильных поглощающих
полос почти все выходящее в космос излучение идет от верхних слоев атмосферы, расположенных выше обычной границы облаков и вершин гор. При наблюдении со спутников излучение с Земли в этих спектральных участках представляется полностью однородным. Горизонт виден как ровная линия, поскольку облака и горы не видны. На частотах более далеких от центров полос излучение, наблюдаемое со спутников, идет от нижних слоев атмосферы и от земной
5*
115
поверхности. Это излучение меняется в зависимости от облачности, природы земной поверхности, температуры и концентрации поглощающего газа.
4.6. Фон от небесных тел
Сведения о фоне, создаваемом Солнцем, Луной, планетами и звездами, важны для многих практических случаев. Действительно, Солнце является самым ярким объектом на небе. Влияние солнечного света во многих своих проявлениях уже рассматривалось выше. Прямой солнечный свет столь силен, что длительное его воздействие повреждает некоторые приемники (такие, как PbS).
В астрономии для сравнения визуальной освещенности от небесных тел пользуются обычно звездной величиной т, определяемой соотношением
m = —2,51og10
(4-1)
где I — эффективная облученность, вт/см2\
10 — некоторая стандартная облученность.
В зависимости от типа приемника, воспринимающего излучение, применяются различные величины (визуальная, фотографическая, болометрическая и т. п.). Для визуальной величины /0 —3,1Х X 10~13 вт-см~2. Заметим, что разница в пять звездных величин соответствует различию в облученности в 100 раз. Более яркая звез-
ТАБ Л ИЦА 4.1
Визуальные звездные величины различных небесных тел
Солнце................ —26,8*
Луна.................. — 12,6*
Венера ............... — 4,4*
Марс.................. — 2,8*
Юпитер................ — 2,5*
Меркурий.............. — 1,9*
Сатурн................ — 0,4*
Сириус (а Большого Пса) — 1,58
Канопус (а Циля) ... — 0,86
Ригель (а Центавра) . . 4- 0,05
Вега (а Лиры)......... 4-0,14
Капелла (а Возничего) . — 0,21
Бетельгейзе (7 Ориона) н- 0,92
Мира (о Кита) ........ — 3,80
да имеет меньшую величину. Звездная величина может быть положительной или отрицательной. Объект с отрицательной величиной ярче объекта с положительной величиной. Визуальные величины различных небесных тел приведены в табл. 4.1.
Температура поверхности различных звезд колеблется в широких пределах; голубые звезды имеют более высокую температуру, а красные—более низкую. Так, если красная и голубая звез-
ды имеют одинаковую ви-
♦ При максимальной яркости. ЗуаЛЬНуЮ ВСЛИЧИНу, ТО В
инфракрасной области красная звезда излучает больше энергии. Кривые их относительной спектральной интенсивности должны пересекаться где-то в видимой области, коль скоро они имеют одинаковую визуальную величину, и в инфракрасной области кривая красной звезды идет выше (в ультрафиолетовой — наоборот).
116
Расчеты интенсивности излучения звезд в инфракрасной области спектра были произведены Лармором [11]. Исходными данными при расчете являлись температура поверхности или тип звезды и ее визуальная величина. Поскольку ни одна звезда не является идеальным черным телом, подобная экстрополяция данных визуальных измерений заведомо содержит некоторую ошибку. Расчеты показали, что при данной величине красные звезды излучают в инфракрасной области значительно больше энергии, чем голубые. Сильное инфракрасное излучение могут давать и звезды, не обнаруживаемые в видимой области спектра из-за слабой их интенсивности в этой области.
Лармор приводит таблицы небесных тел применительно к обнаружению их сернисто-свинцовыми фотосопротивлениями и болометрами. Он принял, что минимальная обнаруживаемая эффективная облученность составляет 10~12 вт-смг2. Любой их этих приемников легко обнаруживает все указанные в табл. 4.1 планеты при их максимальной яркости, не говоря уже о Солнце и Луне.
Из звезд, указанных в табл. 4.1, согласно данным Лармора [11], болометром можно обнаружить любую, а фотосопротивлением PbS— все звезды, кроме Капеллы и Веги. Поверхностная температура Сириуса и Веги порядка 11 200° К, и спектры их излучения очень похожи. Разные условия обнаружения этих двух звезд объясняются различным количеством света, доходящим до Земли от этих двух звезд, удаленных от нее на различные расстояния, и несколько большим диаметром Веги. Бетельгейзе сравнительно холодная (2800° К) звезда по сравнению с Вегой (11 200°К). Поэтому, несмотря на большую визуальную величину Веги (+0,14), облученность в инфракрасной области на Земле от Бетельгейзе (+ 0,92) значительно выше. Согласно теоретическим расчетам [11] при пороговой облученности 10~12 вт-см—2 Бетельгейзе можно обнаружить фотосопротивлением PbS, а Вегу нельзя. Мира имеет визуальную величину + 3,80, а температура ее поверхности 2390° К. Поэтому, хотя и имеется значительное число звезд с визуальной величиной, большей, чем у Миры, последняя входит в шестерку самых ярких звезд (в области+т 1 до 3 мк). Недавние наблюдения [12] показали, что применительно к спектральной чувствительности фотосопротивления PbS Бетельгейзе более чем в пять раз ярче, чем это следует из расчетов Лармора, и в этом спектральном диапазоне является самой яркой из известных звезд.
4.7. Яркость наземных фонов
Лучистая энергия, излучаемая земной поверхностью и воспринимаемая удаленным от нее на некоторое расстояние приемником, определяется коэффициентами излучения и отражения, а также температурой поверхности и теми изменениями, которые вносит слой атмосферы, находящийся между излучающей поверхностью и приемником. Принципиальные закономерности здесь остаются
117
такими же, как и для небесных фонов. Одной из наиболее подроб-ных работ, в которых проводились полевые измерения спектральной яркости наземных и морских фонов, являются исследования Белла, Эйснера, Янга, Эболинса и Этьена [3]. Данный параграф
написан в основном по результатам их работы.
Альбедо большинства наземных образований в инфракрасной области низко. Покрытая травой Земля отражает примерно 15%
падающего излучения
Рис. 4.9. Спектральная яркость земной поверхности, наблюдаемой со значительного расстояния с вершины горы [3]. Пунктирными кривыми показана яркость черного тела при 300 и 270° К, что соответствует температуре удаленного ландшафта и температуре на вершине горы.
Излучение земной поверхности представляет, таким образом, сумму этой отраженной радиации неба и 85% излучения, испускаемого черным телом при температуре земной поверхности. Если наблюдаемая поверхность находится на значительном удалении, то излучение в полосах поглощения искажается атмосферой. При % < 4 мк большая часть излучения обусловлена отражаемым диффузно рассеянным светом Солнца. Это излучение
сильно меняется в
зависимости от положения Солнца,
облачности
и природы земной поверхности. Ночью этого излучения нет.
Рассмотрим сначала излучение в области X > 4 мк. Измерения яркости в непосредственной близости от поверхности (от нескольких метров до сотни метров) показывают, что спектральная кривая излучения точно соответствует кривой излучения черного тела при соответствующей температуре поверхности. Небольшие отклонения могут наблюдаться лишь близ центров сильных полос поглощения атмосферы. Наличие атмосферы может изменить форму кривой, поскольку атмосфера обычно имеет иную температуру, чем земная поверхность. Например, вечером Земля остывает быстрее, чем воздух. В этом случае собственное излучение атмосферы в области полос 6,3 мк (Н2О) и 15 мк (СО2) дает добавочную составляющую к излучению Земли. Обратная картина наблюдается утром.
Излучение удаленной от наблюдателя земной поверхности искажается атмосферой значительно сильнее. Кривая спектральной яркости центральной части города Колорадо-Спрингс по измерениям [3] с вершины горы Пайкс-пик, представленная на рис. 4.9, уже не может быть совмещена с какой-либо одной кривой излучения черного тела. Двумя пунктирными кривыми на рисунке пока-
*) В небольшом участке инфракрасного спектра, непосредственно примыкающем к видимой области (0,7—1 мк), альбедо травяного покрова выше (70—80%) (Прим. ред.).
118
зано излучение черного тела при температуре в городе и более низкой температуре на вершине горы. Полученная экспериментальная кривая совпадает с нижней кривой для черного тела в полосах поглощения, где атмосфера практически не пропускает излучения удаленной части города, и приближается к верхней кривой в атмосферном окне в районе 10 мк. Суточный ход яркости различных земных образований следует изменениям температуры излучателя. В районе 10 мк излучение быстро падает после захода Солнца и продолжает значительно медленнее уменьшаться ночью. Оно быстро увеличивается через несколько часов после восхода и достигает максимума вскоре после полудня.
В области л < 4 мк днем доминирует рассеянное излучение Солнца. Яркость в этой области может достигать весьма больших величин, превышающих в некоторых случаях максимальное излучение черного тела при 10 мк в двадцать пять раз. Излучение сильно меняется в зависимости от положения Солнца и природы земной поверхности. В районе 1—3 мк яркость является быстро меняющейся функцией длины волны в соответствии с имеющимися здесь полосами атмосферного поглощения и участками пропускания рассеянного излучения. Солнечный свет, идущий первоначально по определенному направлению, идет затем по направлению наблюдения за счет рассеяния как земной поверхностью, так и атмосферой.
В области Z < 3 мк суточные изменения выражены очень резко. После того как стемнеет, излучение от удаленной земной поверхности уже не наблюдается. Излучение быстро увеличивается с рассветом и достигает максимума, когда направление солнечных лучей ближе всего к направлению наблюдения. После захода Солнца излучение вновь быстро падает. Между 3—4 мк наблюдаются одновременно собственное и рассеянное излучение, причем доля их в общем количестве излучения зависит от условий наблюдения. Ночью это излучение соответствует собственному излучению Земли, оно возрастает с восходом Солнца за счет рассеянного солнечного излучения. При Z > 4 км суточный ход собственного излучения Земли соответствует температурным изменениям.
Заметны яркостные различия деревьев, камней, травы, городского пейзажа и т. п., вызванные разницей как в коэффициенте излучения, так и в температуре. Яркость земной поверхности на освещенных Солнцем участках выше, чем в тени облаков, из-за более высокой температуры освещенных участков и большего количества света, рассеиваемого по направлению к наблюдателю.
В спектральных участках сильного атмосферного поглощения при измерении яркости в направлении на несколько градусов выше или ниже горизонта различия невелики. В области % > 4 мк в районах, где поглощение не очень сильно, яркость Земли в направлении на несколько градусов ниже горизонта обычно больше, чем яркость неба в направлении на несколько градусов выше горизонта. При X < 3 мк яркости неба и Земли близ горизонта очень близки.
119
4.8. Яркость моря
Вода, покрывающая большую часть поверхности нашей планеты, по своим оптическим свойствам резко отличается от образований, характерных для наземного ландшафта. Поверхность воды является хорошим отражателем и плохим излучателем. Поверхность моря, когда нет волн, может отражать солнечный свет зеркально. В действительности различные элементы поверхности моря имеют различную ориентацию из-за волн. В видимой области отраженный свет образует блики, которые могут занимать значительную часть поверхности моря. Блики образуются в моменты, когда элемент поверхности приобретает такую ориентацию, что отражает свет зеркально по направлению к наблюдателю. Картина бликов зависит от высоты и наклона волн. Данные об отражении света от спокойной воды очень трудно использовать для получения представления о яркости покрытой волнами морской поверхности.
Те же особенности проявляются и при рассеянии инфракрасного излучения морской поверхностью. Морская поверхность становится хорошим излучателем только тогда, когда появляются буруны. Пена бурунов излучает, как черное тело [3].
ЦЕЛИ
Цель может быть обнаружена инфракрасной аппаратурой, если ее излучение отличается от излучения фона в пределах поля зрения. Сравнительно легко обнаруживаются интенсивные источники на небольшом расстоянии (реактивные двигатели и факелы ракет). Значительно труднее обнаружить такие источники, которые излучают почти как фон (например, танк или человек на наземном фоне).
4.9. Наземные цели
Различия в излучении различных наземных объектов вызваны разницей в коэффициенте излучения и температуре. Можно обнаружить разницу в температуре различных объектов, эквивалентную 0,1—0,2°Сдля черного тела, так что для обнаружения цели можно использовать очень незначительные температурные отличия.
Некоторые цели приобретают температуру большую, чем у фона, за счет внутренних процессов в самой цели. Например, автомобиль или танк остаются теплее окружающего фона еще в течение нескольких часов после выключения двигателя. Причина постоянной, обычно более высокой, чем окружающая, температуры, свойственной людям, носит биологический характер. Заводы, и особенно электростанции, часто излучают заметную энергию и легко обнаруживаются в инфракрасной области спектра.
Объекты, не имеющие «внутреннего» тепла, могут также иногда обнаруживаться по разнице в температуре с окружающим фоном. Днем различные объекты нагреваются Солнцем неодинаково, если они поглощают разное количество энергии; соответственно и излу-120
чают они в инфракрасной области спектра по-разному. Поскольку коэффициенты излучения в видимой и инфракрасной областях спектра могут быть различными, необходимо для оценки температуры, до которой нагреваются различные объекты, рассматривать обе величины. Скорость охлаждения после захода Солнца зависит от коэффициента излучения рассматриваемого объекта в инфракрасной области. Например, бетонированные дороги охлаждаются много медленнее, чем почва, и хорошо просматриваются с самолета ночью с помощью инфракрасной аппаратуры.
Различный нагрев объектов особенно ощущается солнечным днем, эти различия остаются и после захода Солнца. При сплошной облачности эти различия значительно меньше. В дождь или снег различий в нагреве разных объектов от внешних источников практически нет. В этих условиях земная поверхность поглощает лишь небольшое количество энергии в видимой области спектра, а вода от дождя или снега уравнивает температуры.
4.10. Воздушные цели
Воздушные цели (самолеты, ракеты) могут обнаруживаться по излучению горячей обшивки, нагретых частей мотора и струи отходящих газов двигателя. При обнаружении самолетов обычно более важно излучение обшивки, чем струи газов, исключение составляют те частоты, на которых коэффициент излучения раскаленных газов в струе велик. Достаточно общее рассмотрение особенностей излучения различных частей самолетов провести трудно. Это излучение определяется коэффициентом излучения и яркостью черного тела при соответствующей температуре. Температура различных частей самолета существенно отличается по величине. На первый взгляд неожиданным следствием этого является такой характер излучения цели, когда части с большим коэффициентом излучения излучают энергии меньше, чем части с малым коэффициентом излучения, потому что последние в рабочем режиме приобретают более высокую температуру.
Части, расположенные близ двигателя, нагреваются от него и являются сильными источниками излучения. Излучение в переднюю полусферу увеличивается за счет нагрева выступающих частей и устройств, забирающих воздух. Излучение в заднюю полусферу идет в основном от выхлопных труб, так как камера сгорания излучает непосредственно назад через отверстия этих труб. Однако в районе 4,3 мк излучение струи отходящих газов сильнее, чем излучение самих отверстий, благодаря большей площади струи и излучению нагретых молекул СО2 в струе. На сверхзвуковых скоростях обшивка самолета может нагреваться так сильно, что ее излучение становится доминирующим.
Нагретые молекулы в факеле ракет и реактивных самолетов излучают много энергии. Наибольшее излучение при используемом в настоящее время горючем органического происхождения дают 5В. Зак. 1502 121
молекулы Н2О и СО2, образующиеся в процессе сгорания. Эти молекулы излучают в полосах от 2 до 3 мк, а СО2 — в полосе 4—5,5 мк. Коэффициенты излучения нагретых молекул Н2О и СО2 можно вычислить из основных молекулярных констант [13, 14]. Излучение наблюдается на частотах, несколько отличных от частот излучения при комнатной температуре, поскольку при нагреве происходят переходы с более высоких уровней [см. гл. 2]. Поэтому излучение нагретых молекул Н2О и СО2 лучше проходит через атмосферу, так как это излучение уже не совпадает точно с полосами сильного поглощения более холодных молекул в атмосфере.
Заметное излучение идет также от твердых частиц, находящихся в факеле ракет. Большей частью наиболее сильным источником такого рода являются частицы угля. Излучение от маленьких частиц угля вычислено теоретически в работе [15] в функции числа, распределения по размерам и температуры частиц.
Спектральная яркость твердых частиц меняется в зависимости от длины волны. Яркость уменьшается относительно кривой черного тела с ростом длины волны. Например, для типичного распределения угольных частиц по размеру в пламени и числе частиц 1011 на квадратный сантиметр коэффициент излучения от единицы в видимой области уменьшается до 0,1 к 8 мк [15]. Кривая излучения твердых частиц имеет максимум, который сдвинут в сторону коротких длин волн относительно максимума излучения черного тела в связи с упомянутым изменением коэффициента излучения по спектру.
Л ИТЕРАТУРА
1. О е t j i е n R. A., E. E. В e 1 1, J. Y о u n g, L. Eisner. J. Opt. Soc. Am., 1960, v. 50, p. 1308.
2. Bell E. E., L. E i s ner, J. Y о u n g, R. A. Oe t j e n. J. Opt. Soc. Am., 1960, v. 50, p. 1313.
3, В e 1 1 E. E., L. E isner, J. Y о u n g, A. Abolins, R. A. Oet-j e n. Infrared Techniques and measurements. ASTIA AD 151221, Research Foundation, Ohio State University, October 1957. *
4. Sloan R., J. H. S h a w, D. W i 1 1 i a m s. J. Opt. Soc. Am., 1955, v. 45, p. 455.
5. M u г с г a у W. B. J. Geophys., 1961, v. 66, p. 987.
6. ShawJ.H.,D.E. Burch, R. W. Sloan, D. Williams. Mem. soc. roy. sci. Liege, 1956, v. 18, p. 42.
7. S 1 о a n R., J. FI. S h a w, D. Williams. J. Opt. Soc. Am., 1955, v. 45, p. 455.
8. E i se 1 e R. E. Infrared background investigation. Final Report, Contract AF 19(604), 3473, Thompson-Ramo-Wooldridge Inc., Canoga Park, Calif., 1960.
9. К a p 1 a n L. D. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, p. 1004.
10. S t г о n g JG. N. Plass. Astrophys. J., 1950, v. 112, p. 365.
11. LarmoreL. Infrared radiation from celestial bodies. RM-793-1, Rand Corp., Santa Monica, Calif., 1952.
12. H a 1 1 F. F. Jr. Measurements of stellar and planetary magnitudes in the lead sulphide spectral Region. ITT Laboratories, San Fernando, Calif, 1961.
13. P 1 a s s G. N. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, p. 821.
14. S t u 1 1 V. R., G. N. P 1 a s s. J. Opt. Soc. Am., 1960, v. 50, p. 1279.
15. S t u 1 1 V. R., G. N. P 1 a s s. J. Opt. Soc. Am., 1960, v. 50, p. 121.
122
ГЛАВА 5
ПРИЕМНИКИ ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Приемник излучения является наиболее важной частью инфракрасной системы. Он представляет собой как бы сердце инфракрасного устройства. Все остальные элементы конструируются с учетом параметров приемника. Однако характеристики приемника могут по желанию изменяться в некоторых пределах. Возможен, например, сдвиг спектральной характеристики; форма и размер чувствительной поверхности также могут изменяться в значительных пределах. Имеется некоторая свобода выбора электрических характеристик, таких, как импеданс (внутреннее сопротивление) и постоянная времени. Благодаря этому облегчается выбор других параметров системы, таких, как диаметр оптики, скорость обзора и т. д.
За последние годы создано значительное количество разнообразных приемников инфракрасного излучения, которые существенно отличаются от приемников для других областей спектра. В книге Р. А. Смита и др. [1] дан исторический обзор разработок приемников излучения, которым при необходимости читатель может воспользоваться. В этой главе делается попытка осветить современное состояние вопроса и дать представление о различных типах приемников, а также описан механизм работы приемников излучения, их характеристики, возможности и недостатки. В заключение приводится краткое описание вспомогательных устройств — холодильников, обеспечивающих работу приемников при низких температурах.
МЕХАНИЗМЫ РАБОТЫ ПРИЕМНИКОВ ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Известны многие физические явления, которые могут использоваться для обнаружения и измерения падающего на приемник излучения. Эти явления делятся на два класса:
1) тепловые эффекты, возникающие в результате нагревания приемника поглощенным излучением;
2) фотонные эффекты, обусловленные непосредственным воздействием фотонов инфракрасного излучения на энергетическое состояние атомов приемника.
5В* 123
Далее будут рассмотрены лишь те явления, которые, как следует из лабораторных результатов, достаточно эффективны, чтобы иметь практическое значение.
5.1. Тепловые приемники
Для приемников этого типа характерно изменение температуры в такой степени, чтобы можно было заметить величину приходящего излучения. Это означает, в частности, требование минимального теплового контакта приемника с окружающими деталями, за исключением процесса поглощения измеряемого излучения. Теплоемкость приемника должна быть достаточно малой для того, чтобы температурное равновесие наступало возможно быстрее.
Температура теплового приемника изменяется при его работе под воздействием различных источников тепла, и в том числе под воздействием излучения от представляющего интерес источника. Для любого момента времени тепловой баланс приемника может быть выражен следующей формулой:
W(^Wr+Wop+Ws-W'r-Wc, (5.1)
где Wr— тепловой поток от окружающих деталей, вт\
Wop— приток тепла, связанный с условиями работы приемника (за счет тока питания, за счет охлаждения при эффекте Пельтье и т. д.), вт\
Ws — приток тепла в результате излучения наблюдаемого источника, вт\
Wr— отвод тепла в результате излучения приемника, вт\
Wc — тепло, отдаваемое за счет непосредственного контакта приемника с конструктивными элементами и окружающей средой, вт.
Вообще говоря, все эти составляющие, за исключением нагрева излучением наблюдаемого источника, желательно поддерживать постоянными, так чтобы температура приемника изменялась только за счет изменения полезного потока. Тогда равенство (5.1) запишется в следующем виде:
ЩО = ^о + №Д/)Г (5-2)
где W’o^const.
На практике это условие полностью не выполняется и, как будет показано ниже, необходимо принимать специальные меры для компенсации флюктуаций IF0.
Изменение температуры Д7\ приемника при падении на него потока AU7 определяется зависимостью
(5.3)
124
где G — теплопроводность от приемника к окружающей его среде, вт1°К. Предполагая, что справедливо равенство (5.2), имеем
где J — — приращение теплового потока за счет лучистого
потока от наблюдаемого источника.
Тогда постоянная времени приемника определится равенством
<5-5>
Она равна времени, необходимому для достижения приемником температуры (Т—То) ^1—, где TQ — установившаяся под действием лучистого потока температура, а С — теплоемкость приемника, выраженная в дж/°С. Теплоемкость С определяется количеством тепла AQ, необходимым для увеличения температуры приемника на величину АТ, т. е.
с = 4?- (5-6)
Таким образом, приемник излучения может быть представлен тепловой цепью, аналогичной электрической цепи и состоящей из тепловой проводимости, соединенной последовательно с теплоемкостью. В случае переменного потока излучения изменение температуры может быть представлено соотношением
ATf(co)=ZJ(co), (5.7)
где Z = 1/(G+/g)C) — тепловой импеданс приемника;
со — угловая частота изменения лучистого потока.
Для достижения наибольшей чувствительности поглощательная способность приемника также должна быть возможно большей. Чувствительная поверхность некоторых приемников сама равномерно поглощает излучение в заданной спектральной области. Другие приемники должны покрываться поглощающим материалом, находящимся в тепловом контакте с чувствительным элементом. Такое покрытие не должно заметно влиять на тепловые характеристики приемника.
Рабочие характеристики тепловых приемников зависят от упомянутых тепловых величин. Эти величины, как будет показано далее, влияют на механизм процессов в приемнике. Для получения приемника, пригодного для практических целей, необходимо превратить небольшое изменение его температуры под действием излучения в информацию, удобную для использования. Наиболее удобным носителем информации является электрический сигнал. Однако для специальных целей иногда более удобными оказываются оптические или механические выходные устройства.
125
Приемники, использующие явление возникновения термо-э. д. с. Термоэлементы были первыми приемниками ИК излучения [2]. Эти устройства в принципе не отличаются от обычных термопар, применяемых для измерения температуры, однако выполняются более миниатюрными и легкими, способными заметно изменять свою температуру под действием измеряемого лучистого потока (рис. 5.1, а). Чувствительная часть термоэлемента является горячим спаем, на котором создается э. д. с. относительно холодного спая, стабилизи
Рис. 5.1. Термоэлемент: а —схема; б —эквивалентная схема.
рованного по температуре. Зависимость термо-э. д. с. ес от приращения температуры АТ определяется соотношением
ес=Р(Т)\Т, (5.8)
где Р(Т) — чувствительность термоэлемента при температуре Т, зависящая от применяемых материалов спая. У сурьмяно-висмуто-вого спая чувствительность равна 10"~4e/° С. Спаи из полупроводников обладают в несколько раз большей чувствительностью, чем спаи металлов.
При подключении термоэлемента на комплексную нагрузку ZL, через него течет ток, охлаждающий спай в соответствии с эффектом Пельтье. Это приводит к снижению чувствительности термоэлемента пропорционально току. Термоток, возникающий под действием излучения, определяется зависимостью
lc ~ R +ZL + Z ’ (5'9)
с
где Rc — активное сопротивление термоэлемента;
Zd— его динамический импеданс;
Zd — учитывает влияние эффекта Пельтье и выражается формулой
Zd = P*ZT. (5.10)
126
Из равенств (5.7) и (5.8) выражение для термо-э. д. с. приобретает вид
е0 -PZJ((o). (5.11)
Объединяя выражения (5.9), (5.10) и (5.11), получаем
f _ PZJH /512х
г° RC + ZC + P2ZT'
Джонс [3] показал, что поведение термоэлемента при малых сигналах может быть описано эквивалентной схемой, показанной на рис. 5.1, б. Действие лучистого потока мощностью J в этой схеме
Рис. 5.2. Принципиальная схема включения болометра.
равноценно генератору тока.
Основными шумами, ограничивающими чувствительность термоэлемента, являются: тепловой шум Джонсона — Найквиста, связанный с сопротивлением спая, температурный шум вследствие флюктуаций температуры приемника и фотонный шум поглощения и излучения лучистого потока.
Болометры. Действие этих приемников основано на изменении сопротивления при нагревании лучистым потоком. Поэтому болометр и включается в схему, чувствительную к изменению сопротивления. Поскольку усиление сигнала производится усилителем тока или напряжения, через болометр необходимо
пропускать ток, изменение которого соответствовало бы изменению сопротивления и, следовательно, лучистого потока. Соответствующая схема показана на рис. 5.2.
Болометры изготовляются из материалов с большим температурным коэффициентом сопротивления. К таким материалам относятся например, платина и никель в виде тонких, но прочных полосок, а также полупроводниковые материалы в виде пленок.
Очевидно, что при малых токах питания напряжение сигнала прямо пропорционально току. Однако при чрезмерном увеличении тока питания происходит нагревание болометра джоулевым теплом [WOp в^формуле (5.1)], что неблагоприятно сказывается на динамической характеристике приемника. Более детально это явление рассмотрено Смитом, Джонсом и Чесмером [1] и Джонсом [4].
Конструктивное выполнение болометров согласовывается с их назначением. Для получения наибольшей чувствительности всемерно уменьшают теплопроводность контактов и потери на лучеиспускание при сохранении достаточной механической прочности. Как видно из формулы (5.4), прирост температуры обратно пропорционален G при данной мощности излучения. Однако из формулы (5.5) следует, что уменьшение величины G приводит к увеличению постоянной времени приемника. Таким образом, для увеличения
127
быстродействия приемника нужно уменьшать соотношение C/G путем изменения теплоемкости С или теплопроводности или того и другого вместе. Малое значение С получают путем изготовления болометра в виде очень небольшой, легкой и прочной конструкции с достаточным температурным коэффициентом расширения.
Теплопроводность болометра можно увеличить, поместив его в баллон с соответствующим газом или используя теплопроводящую, но электрически изолированную подложку. Отвод тепла с помощью газа сопровождается конвективным тепловым шумом. Массивные подложки имеют преимущества в механической прочности, но их теплопроводность зависит от частоты. Между металлическими
болометрами и полупроводниковыми болометрами (термисторами) имеется существенная разница в температурном коэффициенте сопротивления а. Эта величина положительна у металлов и отрицательна у полупроводников, поэтому динамические характеристики болометров различны.
Джонс [4] показал, что для болометров с одной постоянной времени могут быть составлены
а) 6)
Рис. 5.3. Эквивалентные схемы болометров:
а) а положительно; б) а отрицательно.
эквивалентные схемы, справедливые как для положительного, так и для отрицательного температурного коэффициента (рис. 5.3), в схеме а источник сигнала представлен генератором тока с бесконечным импедансом, а в схеме b — генератором напряжения с нулевым импедансом. Выходная мощность Wop в обоих случаях равна /27?с, где I — ток питания болометра.
Величина э. д. с. на выходе обоих схем может быть представлена
уравнением
7 1/2 HI
[(G- aU7op)2 + <o2CV]1/2 '
(5.13)
У хорошо сконструированного болометра основным шумом является шум Джонсона. Однако, поскольку для работы болометра требуется довольно большой ток питания, этот ток вызывает добавочный (токовый) шум на контактах болометра или в нем самом. Этот шум обратно пропорционален частоте.
Пневматический приемник. Обнаружение лучистого потока можно производить, оценивая степень расширения газа, нагреваемого при поглощении этого потока. Такие приемники, называемые пневматическими, имеют ряд достоинств. Порог чувствительности правильно сконструированного пневматического приемника определяется случайными флюктуациями температуры газа. Поглощение лучистого потока может происходить как в самом газе, так и на 128
мембране, находящейся в тепловом контакте с окружающим ее газом. Поскольку в последнем случае исключаются противоречивые требования, присущие термопарам и болометрам, поглощающая мембрана может быть сделана в виде проводящей пленки, поверхностное сопротивление (импеданс) которой примерно согласуется с импедансом среды [5]. В этом случае поглощение мембраны по
стоянно по всему инфракрасному спектру вплоть до радиочастот.
Голей проанализировал работу пневматических приемников и показал, что в упрощенном виде такой приемник может быть
представлен эквивалентной схемой, показанной на рис. 5.4, где
р — давление газа в приемнике;
V — объем газа в приемнике;
Rr —тепловое сопротивление, обусловленное лучи-
Рис. 5.4. Эквивалентная схема пнев-
матического приемника.
стым потоком от источ-
ника;
Cv — теплоемкость газа в приемнике при постоянном давлении;
С,— эффективная емкость мембраны, приведенная к емкости газа;
Rt — пневматическое сопротивление утечке газа из приемника;
Rc — сопротивление тепловому потоку от газа в окружающее пространство.
Сдвиг границы пропускания. Пропускание лучистого потока полупроводниками в основном характеризуется сильным поглощением его в коротковолновой части и хорошей прозрачностью в длинноволновой. Участок между этими областями называется границей пропускания и характеризуется у полупроводников крутым спадом спектральной кривой пропускания. Положение этого участка на спектре в сильной степени зависит у некоторых материалов от температуры. Измеряя пропускание тонкого слоя материала на этом участке, можно заметить изменение пропускания при изменении температуры слоя. При достаточном уменьшении потерь тепла слоем можно заметить сдвиг границы пропускания при поглощении слоем лучистого потока [7].
Обнаружение излучения по степени испарения пленки (эвапо-рография). Если тонкую мембрану поместить в атмосферу пара такой жидкости, испарение которой происходит при температуре; близкой к окружающей, слой жидкости сконденсируется на мембране в виде тонкой пленки. Если затем температура мембраны слегка возрастет за счет поглощения лучистого потока, пленка начнет испаряться. Уменьшение толщины пленки может служить мерой поглощенной энергии лучистого потока [8]. Изменение толщины пленки можно наблюдать с помощью поляризованного света. Аналогичное устройство может быть использовано для измерения поглощения энергии лучистого потока по увеличению толщины
129
пленки при конденсации, причем скорость конденсации пропорциональна росту температуры.
Использование теплового расширения. Большинство металлов расширяются при увеличении температуры. Используя механические и оптические средства усиления, можно получить достаточную чувствительность устройств, основанных на принципе расширения материала при увеличении его температуры под действием лучистого потока.
Термоэлектронная эмиссия. Соединения, дающие термоэлектронную эмиссию, такие, как оксидные катоды, обнаруживают зависимость эмиссии от температуры. Поэтому электронный поток с эмиттера может служить мерой изменения температуры под действием лучистого потока.
Другие явления, которые можно использовать для обнаружения излучения. Существуют разнообразные явления, связанные с изменением параметров вещества от температуры. Главным критерием пригодности явления для обнаружения излучения является величина относительного изменения параметра от температуры при действии лучистого потока, по сравнению с другими источниками возмущений, случайными или систематическими. Кроме описанных явлений, внимания заслуживают такие, как изменение поверхностного натяжения, люминесценции и показателя преломления. При дальнейших исследованиях не исключена возможность обнаружения новых свойств, полезных для обнаружения излучения.
5.2. Фотоэлектрические приемники
Инфракрасное излучение можно обнаруживать не только по изменению температуры приемника, а используя другие явления. К ним относится непосредственное воздействие мощности излучения на энергетическое состояние вещества. Результатом взаимодействия может быть либо изменение электрических характеристик вещества, либо изменение его оптических свойств. Поскольку электрические параметры удобнее в практическом применении, наибольшее признание получила именно эта сторона взаимодействия излучения с веществом. Однако для сравнения интересно отметить все виды такого взаимодействия.
Фотоэлектрические приемники, в отличие от тепловых, не обладают одинаковой чувствительностью к излучению с разными длинами волн. Поскольку характер взаимодействия вещества приемника с излучением зависит от вида вещества, характеристики спектральной чувствительности различных приемников отличаются друг от друга.
Для оценки воздействия фотонов излучения на вещество удобно ввести понятие квантового выхода тц. Эта величина равна отношению числа единичных актов на выходе приемника в единицу времени к числу^ фото нов, падающих на приемник за тот же период. 130
Вид этих актов зависит от типа приемника. Например, для фотоэлектрического приемника — это образование носителей тока (электронов или дырок). Эффективный квантовый выход зависит от таких факторов, как потери на отражение и пропускание в чувствительном слое и доля эффективно поглощенных квантов в этом слое.
Квантовый выход можно выразить следующим образом:
1Ъ = По(1 —R —т), (5.14)
где т]0 — квантовый выход для поглощенного излучения *);
7? — коэффициент, учитывающий потери на отражение;
Т — коэффициент, учитывающий потери на пропускание.
Фотосопротивления. Наиболее важная группа фотоэлектрических приемников излучения представлена полупроводниками. Этот широкий класс твердых составов активно исследуется физиками ввиду сложности свойств и процессов, присущих полупроводникам. Явления, связанные с изменением свойств полупроводников под воздействием оптического излучения, объединяются широким термином фотопроводимость.
Для подробного ознакомления с теорией фотопроводимости читатель может обратиться, например, к сборнику докладов на конференции по фотопроводимости в Атлантик-сити в ноябре 1954 г., изданному в 1955 г. под названием «Конференция по фотопроводимости» [9].
Поскольку в этом разделе книги ставится
основные сведения о приемниках излучения, детальное рассмотрение физических процессов в полупроводниках не проводится. Однако основные свойства целесообразно описать.
Полупроводником считается кристаллическое вещество, в котором энергетическому состоянию электронов присущи так называемые полосы запрещенных уровней. Вследствие относительной близости атомов твердого вещества происходит перекрытие их энергетических уровней. Это иллюстрируется рис. 5.5, где потенциальная энергия разрешенных уровней изображена в зависимости от координаты, проходящей через ядра соседних атомов. Более глубокие энергетические уровни электронов атома меньше подвержены влиянию окружающих атомов. Однако при увеличении потенциальной энергии становится заметнее взаимное влияние соседних атомов, происходит расширение и смешение энергетических уровней до такой степени, что наступает полное их перекрытие в области внешних, т. е. валентных электронов. Однако поле от
X
Рис. 5.5. Энергетические зоны в идеальном полупроводнике.
цель дать читателю
*) То есть отношение числа актов на выходе к числу поглощенных квантов.
131
дельных атомов таково, что электроны остаются при своих атомах. При введении дополнительной энергии электроны могут освобождаться от атомов и двигаться по кристаллу под действием приложенного электромагнитного поля. Характерное свойство полупроводников состоит в том, что требуется определенное минимальное количество энергии для перевода электронов из валентной зоны в зону проводимости. На рис. 5.5 эта энергия обозначена величиной Eg.
Основное различие между полупроводниками и диэлектриками состоит в ширине запрещенной зоны. Твердые кристаллические вещества относятся к диэлектрикам, если ширина запрещенной зоны
Рис. 5.6. Упрощенная схема расположения энергетических уровней в кристаллическом полупроводнике: а —чистый полупроводник; б —примесный полупроводник.
б)
более 2 эв. Поскольку поведение вещества определяется состоянием верхних энергетических зон, при описании полупроводников исключают из схемы нижние энергетические уровни. На рис. 5.6, а показана упрощенная схема энергетического состояния твердого тела.
Полупроводники, в свою очередь, делятся на собственно полупроводники (чистые) и примесные полупроводники. Чистые полупроводники, схематически показанные на рис. 5.6, а, имеют две энергетические зоны — валентную и зону проводимости без каких-либо энергетических уровней между ними. Возбуждение электронов в этом случае возможно только таким количеством энергии, которое способно перевести их через запрещенную зону в зону проводимости. В том случае, когда полупроводник не является чистым совершенным кристаллом, а имеет примеси, дефекты и сдвиги кристаллической решетки, могут возникнуть дополнительные уровни внутри запрещенной зоны (рис. 5.6, б). Когда примесные уровни находятся вблизи зоны проводимости, полупроводник называется полупроводником n-типа. Полупроводник, у которого примесные уровни находятся вблизи валентной зоны, называется полупроводником p-типа. Возможно и более сложное распределение уровней при соответственно более сложном механизме работы полупроводника.
132
Электропроводность полупроводника объясняется двумя причинами. Во-первых, за счет потока электронов в зоне проводимости и, во-вторых, за счет образования дырок в валентной зоне при возбуждении электронов. Перемещение дырок может рассматриваться как поток положительных частиц в направлении, противоположном потоку электронов.
Фотопроводимость в полупроводнике имеет место в том случае, когда энергия поглощаемых фотонов превышает величину Е?. При этом электроны валентной зоны возбуждаются до перехода в зону проводимости, оставляя дырки в валентной зоне (рис. 5.6, а). Под действием приложенного электрического поля электроны и дырки текут в противоположных направлениях, образуя электрический ток. Поэтому они называются носителями тока. Мгновенное значение проводимости полупроводника дается зависимостью
(/) = е [р,е п (/)+|лАр (/)], (5.15)
где в — заряд электрона;
ph— подвижность электронов и дырок соответственно;
п (/)— плотность электронов проводимости;
р (/) — плотность дырок в валентной зоне.
В идеально чистом полупроводнике число электронов, уходящих в зону проводимости, равно числу дырок, остающихся в валентной зоне, т. е.
«(0=р(0 = «о (О-
При температурах, превышающих абсолютный нуль, некоторое количество электронов может быть переведено в зону проводимости за счет тепловой энергии. В чистом полупроводнике, находящемся при температуре Т, среднее число носителей, возбужденных тепло-вой энергией, пропорционально expfg^-j, где k — постоянная Больцмана. Следовательно, при температурах, сравнимых со значением , проводимость существует без дополнительного возбуждения фотонами.
После возбуждения электронно-дырочных пар тепловой или лучистой энергией происходит их восстановление (рекомбинация) в течение времени т, называемого временем жизни носителей тока. Изменение концентрации носителей тока под действием фотонов приводит к возрастанию проводимости, которая при малом количестве фотонов пропорциональна потоку Fs (числу фотонов в секунду). Если поток изменяется со временем, скорость изменения тц выражается равенством
# = (5.16)
133
При синусоидальном изменении потока Fs(t) с частотой со решение уравнения (5.16) имеет вид
Ins (®)|= 1^1 ПЛ
1
(5-17)
В этом случае постоянная времени слоя равна времени жизни носителей тока т. Относительное изменение проводимости при синусоидальном изменении потока равно
— = =-----Fs^z . (5.18)
а М1+Ю2] 1
Легко видеть, что относительное изменение проводимости прямо пропорционально квантовому выходу r)s, времени жизни носителей токат и обратно пропорционально концентрации носителей п0.
Спектральная чувствительность, т. е. чувствительность к монохроматическому потоку с длиной волны X или частотой v, у чистого полупроводника определяется шириной запрещенной зоны Eg. Если энергия фотонов Es больше величины Eg, фотоны поглощаются и вызывают ток с квантовым выходом т)0, близким к единице. Фотоны с энергией, меньшей Eg, не будут образовывать носителей тока. Поскольку
Es — hv=-^
длинноволновая граница проводимости определится зависимостью
4 = ^-. (5.19)
cg
где h — постоянная Планка;
с — скорость света.
Подставляя эти значения в равенство (5.19), получим
X. = 1,24 4-, (5.20)
Lg
где Кс выражено в микронах и Eg — в электронвольтах.
Анализ спектральных характеристик чистых полупроводников с собственной фотопроводимостью показывает, что они не имеют четкой длинноволновой границы, а приближаются к ней асимптотически, проходя через максимум. Кроме того, возможны колебания чувствительности в зависимости от длин волн, меньших порога чувствительности.
Длинноволновая граница чувствительности перемещается в зависимости от температуры вследствие изменения ширины запрещенной зоны чистого полупроводника. Причины такого сдвига сложны по природе и различны у различных полупроводников. Остается фактом; что при одинаковом изменении температуры у одних полупроводников граница чувствительности сдвигается в длинноволновую область, а у других — в коротковолновую.
134
Детальный анализ процессов в чистых полупроводниках вскрывает много сложных проблем, неочевидных из приведенной простой теории. К таким вопросам относятся следствия колебаний кристаллической решетки и взаимодействие между электронами и дырками. С более строгой теорией полупроводников читатель может ознакомиться в [9].
Кристаллические вещества, относящиеся к примесным полупроводникам, могут содержать энергетические уровни в пределах запрещенной полосы (рис. 5.6, б). Как правило, примесные уровни расположены настолько редко, что проводимости в этой зоне нет. Следовательно, электроны на этих энергетических уровнях остаются на своих местах. Однако при возбуждении электроны могут быть переведены с этих уровней в зону проводимости, а также из валентной зоны — на примесные уровни с соответственным увеличением проводимости. При температурах, больших абсолютного нуля, электроны могут переходить под действием тепловой энергии с примесных уровней в зону проводимости и из валентной зоны в примесную. Итак, в зависимости от положения примесных уровней относительно валентной зоны и зоны проводимости полупроводник может иметь либо избыток электронов в зоне проводимости, либо избыток дырок в валентной зоне. Первый случай относится к полупроводнику n-типа, второй — к полупроводнику р-типа.
В примесных полупроводниках длинноволновая граница превосходит порог, определяемый величиной £ , так как в возбуждении могут принимать участие фотоны с энергией, большей или равной энергии, отделяющей примесные уровни от зоны проводимости и валентной зоны. В случае полупроводника /?-типа (рис. 5.6, б) пороговая энергия равна Ел, т. е. разности энергий между примесными уровнями и нижней границей зоны проводимости, а в случае полупроводника р-типа — энергии Ер, т. е. разности энергий между примесными уровнями и верхней границей валентной зоны. Поэтому полупроводники с относительно широкой запрещенной зоной, такие, как германий и кремний, обнаруживают чувствительность к длинноволновому излучению благодаря введению примесей в кристаллическую решетку.
Поскольку только электроны или только дырки в примесных уровнях не могут образовывать тока, при возбуждении пары электрон—дырка образуется лишь один носитель тока. Время жизни этих носителей определяется скоростью их рекомбинации с электронами или дырками примесных уровней. В некоторых случаях времена жизни могут быть сравнительно большими и поэтому обусловливают большую чувствительность, но вместе с тем и большую инерционность [формула (5.18)].
В примесных полупроводниках поглощение потока излучения в области длинноволнового порога чувствительности чистого полупроводника зависит от концентрации примесей. В случае примеси золота в германии максимальное количество примеси ограничивается величиной 2-Ю16 атомов на 1 см3. Коэффициент поглощения а
135
вблизи границы чувствительности чистого полупроводника составляет примерно 0,14 и поэтому для достаточного поглощения
потока требуется оптическая длина пути в несколько миллиметров. Чистый полупроводник, наоборот, обнаруживает высокий коэффициент поглощения в сторону коротких волн от границы чувст-
вительности (а^\О4 слг4), и поэтому на расстоянии 1 мк от поверхности происходит почти полное поглощение излучения [10]. Это означает, что чистый полупроводник может быть изготовлен в виде
пленки или кристаллической пластинки толщиной всего в несколько микрон, а примесный полупроводник должен иметь в тех же условиях толщину от 1 до 10 мм в зависимости от концентрации примеси.
Когда концентрация ограничена, ионизация их энергией может серьезно
Р-тип
П-ГГШП
Ферми
х --
Рис. 5.7. Схема энергетических уровней р-п перехода, на котором возникает фото-э. д. с.
примесеи тепловой
истощить
уровни при температурах, соответствующих условию kT^ Еп или Ер. Охлаждение полупроводника до температур ниже 100° К уменьшает тепловую ионизацию и увеличивает эф-
фективность фотонов за счет увеличения относительной чувствительности к излучению. При этом, однако, увеличивается про-
должительность жизни носителей и, следовательно, постоянная
времени приемника.
Приемники, дающие фото-э. д. с. (фотовольтаические). При электрическом контакте двух полупроводников из одного материала, но разных типов получается энергетическая схема, показанная на рис. 5.7. Уровни энергии полупроводника p-типа располагаются выше соответствующих уровней полупроводника n-типа вследствие влияния пространственного заряда в переходном слое. Поэтому при образовании под действием фотонов электронно-дырочных пар в этой зоне носители тока разделяются местным электрическим полем перехода. В результате образуется э. д. с. перехода, которая может создать ток при замыкании перехода на внешнюю цепь.
Характеристика спектральной чувствительности такого приемника определяется величиной энергии запрещенной зоны Eg, т. е. так же, как у чистого полупроводника.
Фотогальваномагнитные приемники. Обнаружить электроннодырочные пары, возбужденные фотонами, можно с помощью магнитного поля, приложенного к полупроводнику. В случае чистого полупроводника носители тока образуются на поверхности кристалла. Под действием магнитного поля электроны и дырки движутся в противоположных направлениях к контактным электродам, находящимся на концах кристалла, на которых и создается разность потенциалов (рис. 5.8).
Фотосопротивления в виде микрокристаллических пленок. Некоторые полупроводники (PbS, PbSe, PbTe, T12S3), обладающие силь-
136
но выраженными свойствами фотопроводимости, изготовляются в виде микрокристаллических слоев или пленок. По характеристикам этих слоев можно сделать заключение о том, что фотопроводи
мость в них возникает при образовании носителей тока по схеме
чистого полупроводника. В частности, длинноволновая граница чувствительности определяется величиной запрещенной зоны. Пленочный полупроводник отличается от монокристаллического большей чувствитель-
ностью и соответственно большей постоян- в
ной времени. Сопротивление пленки почти на порядок больше сопротивления моно-кристалла. Считается, что такое различие в сопротивлениях обязано потенциальным барьерам между кристаллами, образую-щим ловушки носителей тока и увеличи-
вающим время их жизни. Природа между- Рис. 5.8. Фотогальвано-кристаллических барьеров является пред- магнитный приемник, метом противоречивых теорий [11, 12].
По теории Слэтера барьеры представляют собой области р-типа между областями n-типа, что приводит к образованию в кристалле цепи с р-п переходом. Излучение снижает потенциал барьера и способствует протеканию тока. По мнению Петритца, барьеры состоят из поверхностных энергетических уровней, которые образуют потенциальные барьеры на стыке кристаллов. Фотоны увеличивают число носителей тока, но не влияют заметно на величину барьеров.
Время жизни носителей увеличивается за счет захвата носителей, тока поверхностными потенциалами. Различия в характеристиках фотосопротивлений из тонких пленок настолько велики, что одной схемы недостаточно для объяснения всех свойств таких приемников.
Фотоэмиссия (внешний фотоэффект). Электроны некоторых полупроводниковых материалов способны возбуждаться инфракрасным излучением до уровней энергий, достаточных для выхода за пределы полупроводника. Освобожденные электроны
могут быть собраны на внешнем электроде (аноде). На поверхности полупроводника существует потенциальный барьер, который возбужденные электроны должны преодолеть (рис. 5.9). Поэтому для получения чувствительности в видимой области вплоть до красной границы минимальная требуемая энергия возбуждения Eg + Еа должна быть меньше, чем
1,24 .
Q-y- = 1,77 эв.
Валентная зона
Зона проводимости
Поверхность
Рис. 5.9. -Схема приемника с внешним фотозффектом.
137
Потенциальный барьер материала, предназначенного для фотоэмиссии, должен быть небольшим. Квантовый выход фотокатодов обычно значительно ниже, чем у фотосопротивлений. Поскольку характеристики поверхности материала существенно влияют на эмиссионные свойства, эмиссия полупроводников представляет очень сложную картину. Следует отметить также возможность фотоэмиссии с примесных /ровней [13].
Фотографические слои. С помощью фотографических слоев может обнаруживаться излучение вплоть до близкой инфракрасной области. Способ сенсибилизации фотослоя к инфракрасному излучению тот же, что применяется для обработки галоидного серебра при сенсибилизации его к красной части видимого спектра. К колоидаль-ной суспензии галоидного серебра добавляются специальные красители для обеспечения чувствительности к длинноволновому излучению. Фотографирование — накопительный процесс. Действие излучения накапливается в эмульсии. Поэтому фотослой является индикатором энергии излучения, а не мощности.
Люминесцентные приемники (фосфоры). Некоторые кристаллические вещества, особенно полупроводниковые, обнаруживают способность накапливать энергию, которая затем освобождается в виде излучения. Этот класс материалов известен под названием фосфоров, а само явление называется фосфоресценцией (вид люминесценции). В некоторых образцах время между возбуждением и излучением достигает нескольких часов и более. Ряд веществ обнаруживает способность освобождать энергию в виде излучения под действием фотонов инфракрасного спектра. Для этого фосфор (люминофор) сначала «заряжают» излучением повышенной энергии — ультрафиолетом или гамма-излучением. Принцип обнаружения инфракрасного излучения фосфорами описан Урбахом [141.
Приемники индуцированного излучения. Принцип обнаружения излучения в узких спектральных полосах с помощью оптических лазеров предложен [Павловым и Таунсом [15]. Эти устройства, описанные в гл. 2, могут использоваться как усилители излучения перед обычным приемником, чувствительным в данном спектральном участке. Очевидно, что вследствие чрезвычайно узкой спектральной полосы лазера эффективный прием может быть произведен только от источника, также работающего в узком спектральном диапазоне. Для приема широкополосных излучений, например, от черного тела этот метод непригоден.
Счетчики квантов. Квантовый счетчик, предложенный Бломбер-геном [16], отличается от лазера тем, что светочувствительная среда действует не как усилитель света, а как преобразователь частоты. Инфракрасное излучение обнаруживается путем возбуждения электронов и перевода их с метастабильных уровней на уровни больших энергий, откуда они опускаются на низшие уровни и излучают фотоны видимого света.Свет воспринимается чувствительным приемником, например фотоумножителем. Чувствительность к инфракрас-138
ному излучению ограничена узостью спектральной полосы, так как в процессе излучения используется небольшой диапазон энергетических уровней.
ОПИСАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИЕМНИКОВ ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Для правильного использования приемника в инфракрасной системе он должен быть снабжен описанием его характеристик. Это описание должно быть настолько полным, чтобы можно было предсказать возможности системы с учетом основных ее параметров. Недостаточно указать величину чувствительности и на .этом ограничиться. Взаимосвязь различных параметров приемника и их зависимость от окружающих условий требуют гораздо более подробного описания характеристик приемника.
Для сравнения различных приемников или их одноименных параметров необходима единая методика их оценки. Только таким путем можно отдать предпочтение одному приемнику перед другим. Кроме того, для оценки потенциальных возможностей приемников представляет интерес сравнение реальных образцов с их идеальными физическими моделями. Необходимо заметить, что так называемые общие характеристики приемников должны рассматриваться в связи с индивидуальными характеристиками приемников данного назначения. Как будет показано ниже, при установлении общих характеристик необходимы определенные допущения особенно для экстремальных параметров. Поэтому при расчете индивидуальных характеристик одного приемника по индивидуальным характеристикам другого с помощью общих характеристик возможны ошибки. Эти обстоятельства станут понятнее по мере дальнейшего изложения существа вопроса.
При рассмотрении конкретных приемников важно также отличать работу самого приемника от работы его со вспомогательным оборудованием. Это кажется очевидным, однако во многих случаях отличия оказываются настолько критичными, что требуются немалые усилия для установления точных условий работы.
5.3. Условия работы
Перед описанием характеристик приемников необходимо оговорить условия работы, при которых производится оценка. Это обстоятельство очень важно, так как многие характеристики быстро меняются с изменением условий.
Рабочая температура. При оценке приемника должна быть указана рабочая температура особенно для полупроводников, обладающих сильной зависимостью сопротивления и чувствительности от температуры.
Питание приемника. Большинство приемников нуждаются в питании того или иного вида. Питанием болометров и фотосопротив-
139
лений служит постоянный ток, протекающий через приемник. Для работы фотогальваномагнитных приемников необходимо создать магнитное поле.
Фотографические эмульсии подвергаются предварительной или последующей дополнительной засветке, чтобы даже малые количества измеряемого излучения приходились на линейную часть характеристической кривой потемнения эмульсии. Характеристики питания фотосопротивлений и болометров или воздействий типа дополнительной засветки фотоэмульсии должны быть указаны, так как от них зависят рабочие параметры приемников.
Полоса пропускания. Этот параметр схемы приемника с усилителем должен быть указан возможно точнее ввиду того, что от полосы зависит пропускаемая мощность широкополосных источников электрической энергии, например мощность шума. Если уровень шума и коэффициент усиления неравномерны в полосе, то ширина полосы может быть выражена эффективным значением АДфф в следующем виде:
А/эфф — /2 /1> (5.21)
где
fo____
J № (D G* (/) df
f. — f 0_________________.
1 '° (№G2)MaKC
J W) G2 (/) df
2 ~ (A^G2)MaKC
A/2 (/) — мощность шума при частоте /;
G (f) — коэффициент усиления при частоте /;
(А/2 б2)Макс — максимальное значение величины [А/2 (/) G2 (/)];
/о — частота, при которой величина [Л/2 (/) G2 (/)] достигает максимума.
Если мощность шума в полосе изменяется медленно, а сама полоса достаточно узка, частоты Д и /2 можно определять на
Q
уровне половинной мощности, т. е. при G —
Источник излучения. Ввиду того что многие приемники селективны, необходимо указывать спектр излучения источника, по которому работает приемник. В общем случае спектральная характеристика источника должна быть задана с точностью, соответствующей спектральной разрешающей силе приемника. В отдельных случаях, например когда измеряется излучение от монохроматора или от 140
черного тела, достаточно указать одно число, обозначающее длину волны или температуру источника. Необходимо иметь в виду возможность искажения спектра атмосферой или оптическими деталями на пути луча.
Если излучение модулировано, необходимо указывать полосу частот модуляции. При узкой полосе усилителя достаточно указать •амплитуду и частоту лишь основной гармоники.
Специфические условия работы. Если приемник используется в условиях, отличных от типовых, необходимо указывать эти отличия. Примером может служить негерметический приемник в виде пленки, работа которой зависит от влажности. В этом случае должна быть указана относительная влажность, при которой будет работать приемник излучения.
5.4. Характеристики приемников
Здесь рассматриваются характеристики таких приемников, которые существуют в настоящее время, как разработанные образцы. Таким образом, речь идет о характеристиках, которые можно непосредственно измерить, а не о предельных идеальных параметрах.
Общие характеристики. Некоторые характеристики, важные для работы приемников в различных внешних условиях, не влияют непосредственно на способность приемников обнаруживать то или иное излучение. Рассмотрим отдельно эти общие характеристики.
Геометрические характеристики. Площадь приемника, чувствительная к излучению, называется чувствительной поверхностью. У фотосопротивлений чувствительная поверхность находится между электродами и определяется их конфигурацией. Точное определение размеров чувствительной поверхности затруднено неравномерностью распределения чувствительности по поверхности. Поэтому удобно ввести понятие эффективной поверхности, чувствительность по которой распределена равномерно и в целом равна чувствительности реального приемника. Такое определение пригодно не только для оценки приемников с неравномерной чувствительностью по поверхности, но и для приемников, чувствительных по объему.
Электрические характеристики. Для приемников, дающих электрические величины на выходе, необходимо установить единую методику оценки этих величин в определенном частотном диапазоне. Некоторые приемники, например болометры и фотосопротивления при низких частотах могут быть описаны как простые переменные сопротивления. Другие приемники при работе в области больших частот могут быть изображены в виде сложной эквивалентной схемы, иногда включающей нелинейные элементы (§ 5.1). Электрические характеристики приемника при модулированном излучении могут значительно отличаться от характеристик при немодулированном излучении. Поэтому желательно знать
141
значения параметров эквивалентной схемы приемника в реальных условиях работы.
Многие приемники, особенно фотосопротивления, изготовляются в виде тонкой пленки. Поскольку междуэлектродные размеры пленки значительно превосходят ее толщину, она рассматривается как поверхность, а не как объем. Поэтому удобно ввести понятие поверхностного удельного сопротивления вместо объемного. Единицей поверхностного удельного сопротивления является ом, хотя на практике привилась единица в виде «ома на квадрат». Легко видеть, что сопротивление между противоположными сторонами квадратной поверхности не зависит от ее величины. Удельное поверхностное сопротивление равно измеренному межэлектродному сопротивлению, деленному на число последовательно соединенных квадратных поверхностей между электродами.
Оптические свойства. Приемник является последним элементом оптической системы. Поэтому нужно знать оптические свойства его чувствительного слоя: коэффициенты преломления, отражения и пропускания.
Механические свойства приемника сильно влияют на возможности его применения. Если приемник хрупок и не выдерживает ударных нагрузок, его во многих случаях использовать нельзя. Иногда приемник прочен и статически устойчив, но вибрирует при резонансных частотах и поэтому также не всегда пригоден. Даже при отсутствии резонанса при вибрациях на выходе приемника появляется шумовое напряжение, обусловленное так называемым микрофонным эффектом. Такой добавочный шум может серьезно ограничить возможности устройства, рассчитанного на предельную чувствительность.
Температурные свойства. Поскольку многие инфракрасные устройства должны работать или находиться при температурах, отличных от комнатной, необходимо знать способность приемника выдерживать предельные окружающие температуры. Обычно диапазон температур, которые приемник может выдержать в невключенном состоянии, больше диапазона рабочих температур приемника.
Временные свойства (старение). Большое значение для практического применения приемника имеет зависимость его характеристик от времени. Эти зависимости являются предметом особого внимания при массовом производстве приемников. Здесь имеются в виду промежутки времени порядка недель и месяцев, в течение которых происходят процессы, известные под названием старения. Характеристики многих приемников, особенно тонкопленочных фотосопротивлений, ухудшаются со временем и чаще всего вскоре после изготовления. К счастью, изменением технологии удается в значительной мере избавиться от этого недостатка. Внезапные изменения характеристик могут произойти при нарушении конструкции приемника.
142
Характеристики чувствительности. При описании характеристик, относящихся к преобразованию излучения, необходимо избегать неопределенных терминов. Термин чувствительность, например, часто употребляется для определения способности приемника обнаруживать малые потоки излучения. В то же время, как подчеркивает Джонс [3], термин чувствительность в общем смысле означает реакцию устройства на единицу входного сигнала (без указания уровня шума). Чувствительность стрелочного прибора, например, равна отклонению стрелки на единицу тока, текущего через прибор. Чтобы избежать двусмысленности при описании характеристик приемника, следует избегать термина «чувствительность», а обязательно указывать, какая именно чувствительность имеется в виду*).
Интегральная чувствительность (responsivity). Интегральная чувствительность R приемника равна отношению выходного сигнала S к падающему потоку излучения. При монохроматичном потоке чувствительность называется спектральной.
Характер выходного сигнала определяется видом приемника. У приемников «электрического» типа выходной сигнал выражается в вольтах или амперах. Для приемников непрерывного действия падающее излучение выражается количеством энергии, попадающей на приемник в единицу времени, т. е. в ваттах. Для приемников, реагирующих на сравнительно небольшое число фотонов, падающий поток может быть выражен числом фотонов в секунду. Для приемников с накоплением входной поток выражается в единицах энергии, обычно в джоулях. Интегрирующие фотонные счетчики градуируются на число фотонов в качестве величины излучения. Выходной величиной могут быть ток или напряжение для электрических приемников, оптическая плотность для оптических приемников, число импульсов для счетчиков фотонов.
Выражение для чувствительности имеет вид
= (5.23)
где IF(X) — величина потока, выраженная в джоулях, ваттах, фотонах или фотонах в секунду.
Уровень шума. Сигнал на выходе приемника в отсутствие полезного сигнала называется шумом. Подробное обсуждение источников и характеристик шума дано в гл. 10. С целью феноменологического описания приемника будем рассматривать его как «чер-
*) Автор предлагает вообще исключить из обихода термин чувствительность (sensitivity) ввиду его неопределенности, а употреблять более определенные и относящиеся к различным характеристикам чувствительности термины — responsivity, detectivity и т. д. Это верное в целом замечание к русской терминологии неприменимо, так как в русской литературе термин чувствительность сопровождается обычно поясняющими словами: интегральная, пороговая, вольтовая, спектральная и т. д., имеющими вполне определенный смысл. Говорить о чувствительности приемника без этих поясняющих слов не следует и по-русски. (Прим, перев.)
143
ныи ящик» с выходным шумом в широком спектре частот, не коррелированным с входным сигналом или с другими источниками шума. Уровень шума N тогда определится как выходная величина при отсутствии полезной входной величины. Уровень шума выражается в тех же величинах, что и полезный выходной сигнал: среднеквадратичных значениях напряжения, или тока, или оптической плотности. При указании величины шума необходимо указывать положение и величину полосы пропускания, поскольку влияние шума сказывается на всех частотах.
Отношение сигна л/ш у м. Сравнение сигнала с уровнем шума удобно производить непосредственно по отношению ве-личин сигнала и шума . Это число показывает долю шума в сигнале, кроме того, по нему можно вычислить величину приходящего потока (при известном уровне шума). Величина вычисляется по независимо измеренным выходной величине сигнала и уровню шума. Электрические выходные величины непрерывного вида выражаются эффективными значениями. Периодические или одиночные импульсы могут оцениваться по максимальному значению. Некогерентный шум выражается эффективным значением.
Пороговая чувствительность. Для сравнения образцов приемников по отношению при данном потоке излучения введена величина пороговой чувствительности D (detectivity) [17], численно равная отношению сигнал/шум на единицу падающего потока. Поэтому для безынерционного электрического приемника излучения пороговая чувствительность определится выражением
D (Z, А/, Л J dX - - д7- Ad} - - (5.24)
Размерность чувствительности равна обратной размерности мощности.
Пороговый поток. (Мощность излучения, эквивалентная мощности шум а+)). Существует еще способ оценки пороговой чувствительности по эквивалентной мощности шума Р11ор.
Этот параметр стал использоваться раньше, чем величина пороговой чувствительности, и выражается он величиной мощности излучения, которая вызывает на выходе приемника эффективное значение сигнала, равное по величине эффективному значению шума. Следовательно, размерность эквивалентной мощности шума
*) В литературе на английском языке обозначается обычно NEP (по первым буквам определения noise-equivalent power). (Прим, ред.)
144
Рпор и падающего потока одинаковы. По определению, Рпор — величина обратная D:
Рпор (х, f, v, w <5-25)
Пороговая чувствительность по энергии (energy detectivity). На практике часто излучение передается в виде импульсов. Поскольку импульс занимает широкий спектр частот, затруднительно выразить пороговую чувствительность обычным способом. Представляется целесообразным относить пиковое значение сигнала на выходе к энергии сигнала. Если затем сравнить эту величину с уровнем шума, то получим величину пороговой чувствительности по энергии
5
А = ^ (5.26)
где Sp — пиковое значение напряжения на выходе, в\
Е — энергия входного импульса, дж.
Соотношение между величиной А и полосой пропускания усилителя достаточно сложно и зависит от формы импульса и спектра шума. Оптимизация величины А может быть произведена путем подбора частотной характеристики коэффициента усиления.
Спектральная чувствительность. Сигнал на выходе приемников зависит от длины волны приходящего излучения. Поэтому инфракрасные приемники должны характеризоваться и такой зависимостью; она известна обычно под названием спектральной чувствительности и может выражаться в различных формах. Когда эта зависимость представлена в функции длины волны, выходная величина на интервале между А и % + dk имеет размерность, например, —— . Пороговая чувствительность или эквивалентная г г вт-мк J
мощность шума также может быть представлена в виде спектральной характеристики. Для сравнения с обычной спектральной характеристикой спектральная эквивалентная мощность шума иногда изображается на графике с масштабом по оси абсцисс 1п^-.
Частотная зависимость. Зависимость величины сигнала на выходе приемника от частоты модуляции падающего потока называется частотной характеристикой. Ее необходимо отличать от частотной зависимости пороговой чувствительности, связанной с влиянием шума.
Полоса пропускания приемника. Частотные характеристики приемника могут быть определены в общей форме эффективной полосой пропускания. Джонс [17] предложил оценивать ширину полосы пропускания двояко: для частотной характеристики без учета спектра шумов (Af)r, и для частотной зависи-6 Зак. 1502 145
мости пороговой чувствительности (т. е. с учетом спектра шумов) (А/)/-
(Д/)г=П5(/)Р-^, (5.27)
q ^макс
где SMaKC — максимум частотной характеристики.
Аналогично,
(АЛ. = [(5.28) q ^макс
где Дмакс — максимальное значение пороговой чувствительности в функции частоты.
Постоянные времени. Постоянная времени связана с полосой пропускания приемника. Из частотной характеристики чувствительности (без учета спектра шумов) постоянная времени тг равна
тЛ (5.29)
Из частотной зависимости пороговой чувствительности может быть аналогичным образом определена постоянная времени xd с учетом спектра шумов:
Xd =
Необходимо отметить, что в случаях, когда частотная стика приемника . описывается формулой
S ~ [1+ (2^)2]'/2’
постоянная времени определяется формулой (5.29).
На практике эффективная постоянная времени тг
под влиянием частотной характеристики коэффициента усиления, а на постоянную времени xd параметры цепи не влияют.
(5.30)
характер!!-
(5.31)
изменяется
5.5. Способы сравнения приемников
Джонс [3, 17] обратил внимание на необходимость единого подхода к сравнению приемников с различными параметрами и предложил метод такого сравнения. Этот метод позволяет сравнить характеристики однотипных приемников (в частности, приемников с чувствительной поверхностью в виде тонких слоев), отличающихся величиной чувствительности и размерами поверхности и испытанных в различных условиях.
146
Свой метод Джонс основывает на зависимости сигнала и шума от площади приемника и полосы пропускания. Он показал 13], что в предположении равноценности участия всех участков площади приемников в создании сигнала и шума чувствительность однотипных приемников с разной площадью обратно пропорциональна корню квадратному из площади чувствительной поверхности. Этот основной вывод сделан следующим путем.
Будем рассматривать приемник, состоящим из многих однородных квадратных элементов площади а, электрически соединенных в виде набора из т х п элементов (рис. 5.10, а). Сопротивление
Рис. 5.10. Схема слоя фотосопротивления.
каждого элемента Re. При облучении элемента потоком We на его выходе образуется сигнал Se (в вольтах). Величина собственного шума каждого элемента в вольтах равна Ne. Шум каждого элемента не коррелирован с шумом соседних. Эквивалентная схема приемника показана на рис. 5.10, б.
Напряжение на группе т параллельных элементов в точке/ равно
= т = S£. (5.32)
Общее напряженке всего приемника
Sd = nSr = nSe. (5.33)
Напряжение шума в точке /
AV- = (5.34)
\т I т
Уровень шума всего приемника Nd является векторной суммой шумов п строк:
N(i= VnN, = | n-NL. (5.35)
6
147
Поток, падающий на приемник:
W = mn\Ve. (5.36)
Пороговая чувствительность в этих условиях определяется равенством
D =. = _____'1^е___.. . = (5.37)
NdW Л- I п \'eWe^ пт i Ad
mnWe Л е I — е е f I — \ т та
где De — пороговая чувствительность элемента;
Ad — площадь чувствительной поверхности всего приемника.
Интересно отметить, что форма чувствительной поверхности, т. е. отношение длины к ширине, не влияет на величину D при изменении последней с размером приемника; играет роль только общая площадь.
Когда уровень шума не меняется по спектру, мощность шума пропорциональна полосе пропускания Af.
Это условие выполняется обычно с хорошим приближением при узких полосах пропускания. Тогда пороговая чувствительность в зависимости от полосы определится выражением
(5.38)
Нормированная пороговая чувствительность D* (specific detectivity). Джонс [17] предложил использовать понятие нормированной пороговой чувствительности D* для определения пороговой чувствительности приемника:
D* =ШУ2(Л/)1/2. (5.39)
Таким образом, D* представляет пороговую чувствительность приемника площадью 1 см2, измеренную при полосе пропускания 1 гц. Если размерность пороговой чувствительности вт~х, то раз-
мерностьD * вт~х -см-гц2 . Эта величина особенно удобна для сравнения различных приемников по их основному показателю — по порогу. Она также применяется для оценки приемника одним числом, по которому можно вычислить пороговые чувствительности приемников различных размеров, работающих в различных условиях. Однако необходимо учитывать, что допущения, на которых основано определение величины D*, не позволяет с достаточной точностью вычислить характеристики (параметры) какого-либо приемника по значению!)* приемника другого типа. Даже для приемников одного типа, но разной площади, значения D* могут оказаться разными вследствие неоднородности чувствительности по поверхности, краевых эффектов, внутренних отражений и т. д.
Значение D* должно сопровождаться ссылками на условия измерения. Обычно нормированная пороговая чувствительность обозначается так: £)* (X, /, 7Д. При заданных условиях буквы 148
в скобках заменяются числами. Таким образом, D* (X, 100 гц, 300° К) означает, что нормированная пороговая чувствительность измерена при частоте модуляции 100 гц, температуре приемника 300° К и дана в функции длины волны.
Эквивалентная мощность шума по Джонсу. Джонс в 1953 г. предложил [3] параметр, сходный с эквивалентной мощностью шума, для оценки фотосопротивлений. Дополнительно к зависимости пороговой чувствительности от площади он ввел зависимость мощности шума от частоты, предположив, что мощность шума пропорциональна 2/;.
Поскольку приемники того времени обладали значительным шумом (гл. 10), эта зависимость часто оправдывалась. Границы полосы пропускания выбирались так, что
f 2 fl
= е= 2,718; 1п(^ = 1.
Тогда мощность излучения, эквивалентная мощности шума, выражается зависимостью
J = Рп f'/2 ДГ1/г А71 /2 = f1 /2 [вт • см~1 ].
(5.40)
Нормированная энергетическая пороговая чувствительность А*.
Для оценки сигналов с приемника под действием импульсов излучения используется величина А*, определяемая тождеством
А* А-Д/
1/2
* дж
(5.41)
Поскольку полоса пропускания сложным образом влияет на величину А, приведение (нормализация) ее к единице полосы не сделано, в отличие от D*.
Полосу пропускания для А* следует, таким образом, указывать дополнительно так же, как для А.
5.6. Предельные условия обнаружения
Полезно выяснить ограничения при обнаружении слабых сигналов, накладываемые внешними условиями. Теоретически пороговая чувствительность приемника может быть доведена до уровня, который определяется внешними источниками шума; дальнейшее улучшение характеристик приемника в этих условиях не имеет смысла. Не считая такие источники шума, как микрофонный эффект, главным источником шума является излучение предметов, окружающих приемник. Флюктуации числа фотонов излучения окружающего фона и цели превращаются в шум, величина которого зависит от спектральных характеристик приемника и упомянутых источников.
149
Длинноболнодан граница А с, мк
Рис. 5.11. Зависимость £)*вир от длинноволновой границы чувствительности приемника различных температурах
Часть шума обусловлена излучением приемника. Природа таких источников шума рассмотрена в гл. 10. Воспользуемся результатами этого анализа.
Поскольку фон большей частью излучает, как серое тело, поток фотонов от него зависит от температуры и излучательной способности. Окружив приемник охлаждаемым кожухом с окном для обзора, можно снизить уровень шума. Уменьшить шум можно также охлаждением оптического фильтра перед приемником. Если применяется охлаждаемый приемник, то шумом его излучения ' можно пренебречь.
По предложению Берштейна и Пикуса [18] условия работы, при которых пороговая чувствительность приемника определяется флюктуациями фотонов фона, обозначаются индексом BLIP (background limited infrared photoconductor). Нормированная пороговая чувствительность приемника Dblip , работающего при этих условиях, определяется как D* приемника с квантовым выходом, равным единице во всей спектральной области его чувствительности, и шумом, определяемым только флюктуациями потока, падающего на приемник от фона.
Поскольку поток фотонов к приемнику зависит от излучения фона, являющегося обычно серым излучателем, значение ЙВыр опре-телеспым углом поля зрения, в ко-
при фона.
фона,
деляется температурой
тором излучение фона попадает на приемник («углом на фон»), и длинноволновой границей чувствительности приемника.
Рассмотрим пример. Пусть приемник с размером чувствительной поверхности 1 т2 охлаждается до 77° К или ниже и имеет угол зрения на фон 2л стер, а фон представляет собой излучатель с температурой Тв и коэффициентом излучения, равным единице. Квантовый выход приемника равен единице по всему спектру до длинноволновой границы кс. Приемник имеет пороговую чувствительность Овыр , пока излучение цели, которую нужно обнаружить, имеет также длину волны \с. Зависимость Овыр (\) = = /(Хс) для этого случая представлена для различных температур фона на рис. 5.11. Если угол зрения 0, под которым виден фон, менее 2л и ограничен диафрагмой, излучением которой можно пре-150
небречь, величина Dblip (\?) увеличится в соответствии с формулой
Овыр 6) = Dblip 2л) cosec L-l (5.42)
Если длина волны обнаруживаемого излучения меньше, чем лс, Йыр уменьшится прямо пропорционально отношению —. Если коэффициент излучения фона меньше единицы, Dblip изменится
обратно пропорционально корню квадратному из этого коэффи-циента.
Нормированная пороговая £ чувствительность для случая обнаружения излучателя в виде черного тела может быть опре-делена из рис. 5.12, где пред-ставлено отношение
Dblip (^>
^ВЫР 2’)
/ г 5 0000К
Длинноволновая граница Лс, мк
Рис. 5.12. Зависимость отношения D*Blip для излучения абсолютно черного тела к Z)*BLIP для моно" хроматического излучения от длинноволновой границы чувствительности приемника.
в функции длины волны Хс для абсолютно черного тела с различными температурами.
Петритц [10] заметил, что для фотосопротивлений шум, возникающий за счет флюктуа-
ций фотонов, сопровождается коррелированным шумом за счет флюктуаций рекомбинаций носителей тока. Следовательно, максимально возможное значение D* для фотосопротивлений в ]/2 раз меньше соответствующих значений Dblip, определяемых из рис. 5.11, 5.12.
Нормированная пороговая чувствительность D**blip* Джонс [19] предложил выражение для пороговой чувствительности приемника с углом зрения на фон 2 л стер. Эта величина имеет смысл
только для случаев, когда чувствительность ограничивается флюктуациями фотонов фона. Величина Dblip по определению является нормированной пороговой чувствительностью приемника, эквивалентного приемнику с чувствительной поверхностью 1 см2 при полосе пропускания 1 гц с углом зрения на фон 2 л стер. Dblip вычисляется по измеренному значению D с помощью следующей формулы:
Dbl.p Af1/2 sin °-,
(5.43)
где 0 — плоский угол зрения на фон.
Определения параметров приемников даны в табл. 5.1.
151
Параметры приемников
ТАБЛИЦА 5.1
Наименование параметра | Выражение | Размерность
Значение выходной величины S в, а
Интегральная чувствительность Шум Отношение сигнала к шуму $ л; S А в а вт\вт в, а
Пороговая чувствитель- п р s _1. сек
ность Мощность излучения, эквивалентная шуму (пороговый поток) . . . и~ X ~ XW Рп = ^=Г в,п ’ фотон фотон вт’ сек
Пороговая чувствительность по энергии . . EN дж~~[
Полоса пропускания, определенная по интегральной чувствительности ОО Др = [ [5(D12S2 f J макс 0 гц
Полоса пропускания, определенная по пороговой чувствительности оо C df Л f 1 / Л Л 2 - '
D (т. е. с учетом спектра шумов) . . . Постоянная времени без учета спектра шумов к Id = 1 (А /) П2 J макс 0 1 гц
4 A fr сек
Постоянная времени с учетом спектра шумов Нормированная пороговая чувствительность 1
4Xfd D* = DA}/' сек вт~1 •см-гц1^
Чувствительность по Джонсу J — D* вт см
Нормированная пороговая чувствительность по энергии Максимальная пороговая чувствительность . . Нормированная пороговая чувствительность * * ^BLIP Пороговая квантовая эффективность Пороговый коэффициент шума л:: = д л У2 ^BLIP = когДа ШУМ опреде- ляется только флюктуациями фотонов ^BLIP “ A f S^n 2 см дж вт~х • см-гц/‘ em~i • см'гц1^
Р = L = ^BLIP D Qd d'2 —
152
Пороговая квантовая эффективность и коэффициент шума. Для сравнения по эффективности приемника при обнаружении пороговых сигналов с идеальным приемником, ограниченным только внешним фотонным шумом, Джонс [17] предложил величину, названную им пороговой квантовой эффективностью. Эта величина выражается квадратом отношения нормированных пороговых чувствительно-стей, т. е.
П*2
QD^ —. (5.44)
UBLIP
Максимально возможное значение Qd равно единице.
Петритц [10] предложил обратную величину Dblip /D*2, выражающую коэффициент шума аналогично коэффициенту шума в радиоприеме. Эта величина может быть названа пороговым коэффициентом шума Fd-
ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОЧИХ ОБРАЗЦОВ ПРИЕМНИКОВ
Из множества различных приемников инфракрасного излучения, описанных в § 5.1, лишь немногие могут быть отнесены к рабочим образцам, пригодным к использованию в конкретных системах. Некоторые из них обладают пороговыми характеристиками, близкими к теоретическим.
Разработки приемников развиваются столь быстро, что рискованно пытаться установить точную дату опубликования тех или иных данных. Для этого нужно весьма тщательное изучение литературы, поэтому читателю предлагается ознакомиться с новейшими каталогами фирм в данной области.
Рабочие образцы приемников могут быть разделены на две группы. Те образцы, которые доведены до стадии промышленного производства, удобно назвать промышленными образцами. К другой группе относятся опытные образцы. Такое деление несколько условно, поскольку опытные образцы вскоре могут стать серийными. Однако это дает возможность конструктору ориентироваться в выборе наиболее подходящего приемника.
Здесь рассматриваются лишь американские промышленные образцы приемников. Хотя известны неплохие инфракрасные приемники, выпускаемые в ФРГ, авторы не располагают сведениями, достаточными для сравнения их с соответствующими американскими образцами. Распространенными в Европе инфракрасными приемниками являются сернисто-свинцовые (полученные испарением), селе-нисто-свинцовые, теллуристо-свинцовые (охлаждаемые жидким воздухом), сурьмянисто-индиевые фотосопротивления.
5.7. Промышленные образцы приемников
В настоящее время можно назвать восемь типов инфракрасных приемников, чувствительных к излучению с длинами волн более 2 мк, выпускаемых хотя бы в небольших количествах. Приемники, чувствительные в близкой инфракрасной области, такие, как фотогра-6В. Зак. 1502 153
фические материалы, фотоумножители с кислородно-цезиевыми катодами, селенисто-кадмиевые, чистые германиевые и кремниевые приемники, обычно не применяются для пассивного обнаружения и поэтому здесь не описаны. К этим восьми приемникам относятся: три из группы свинца PbS, PbSe и РЬТе, сурьмянистый индий, легированный германий, болометры, термоэлементы и приемник Голея.
Сернистый свинец (PbS). Этот приемник, ставший универсальным, является наиболее употребительным. Он первым стал производиться в массовом масштабе.
Приемник из сернистого свинца представляет собой микрокристаллический слой соединения PbS толщиной от нескольких десятых микрона до 2 мк, нанесенный на плоскую подложку из стекла или кварца. В состав слоя входит свинец, сера и кислород в сочетании, необходимом для придания слою требуемых характеристик чувствительности. Важную роль в слое играет кислород. Его назначение состоит в создании стехиометрического равновесия между свинцом и серой в кристалле, что необходимо для получения наибольшей чувствительности.
Сернисто-свинцовые фотосопротивления изготовляются двумя различными способами: напылением при низком давлении кислорода и химическим осаждением из раствора*). Методосаждения из раствора является более ранним и впервые разработан в Германии во время второй мировой войны.
Вскоре Кэшмэном [22] в США был разработан способ сублимации (обычно называемый методом испарения) в результате развития его работ с приемниками из сернистого таллия. Муллардом в Англии [23] и Жаном Тюрком во Франции также изготовлялись приемники методом испарения. Независимо от Кэшмэна метод осаждения разработан фирмами Eastman Kodac и Electronics Corp. (США). Оба предприятия применили метод осаждения из раствора с введением кислорода в ванну. Аналогичные в принципе методы различаются по технологии, и приемники получаются с несколько различными характеристиками. Сернистый свинец очень податливый материал. Варьируя такие параметры слоя, как размеры кристаллов, их строение, степень окисления поверхности, толщину слоя и вид подложки, можно в широких пределах изменять характеристики слоя.
Наиболее важным свойством сернисто-свинцового приемника является его высокая чувствительность при комнатной температуре. Благодаря этому качеству приемник может применяться в малогабаритных системах.
По методу осаждения могут быть получены большие чувствительные поверхности с достаточной равномерностью чувствительности по площади. Это дает возможность расчленить приемник на несколько элементов различной конфигурации. Форму и размеры элементов легко образовать соответствующим напылением металлических
*) Первый метод кратко называют физическим, второй — химическим. (Прим, ред.)
154
Рис. 5.13. Конструкция сер-нисто-свинцового фотосопротивления:
1 — окно (квару); 2 — выводы;
3 — слой золота, нанесенный испарением; 4 — слой PbS?
5 — подложка (квару).
электродов на поверхность слоя. Для сохранения равномерной чувствительности по поверхности элемента сложной конфигурации нужно выполнять требование равномерной плотности тока в чувствительном слое. Если слой обладает равномерным поверхностным сопротивлением, равномерная плотность тока достигается на прямоугольных элементах с одинаковыми электродами.
Конструктивная схема одноэлементного приемника показана на рис. 5.13. Несколько примеров многоэлементных приемников приведено на рис. 5.14.
Для повышения пороговой чувствительности некоторые специальные виды сернисто-свинцовых сопротивлений требуют охлаждения. С этой целью чувствительный слой помещается в сосуд Дюара с окном перед фотоэлементом. В качестве окна используется кварц или сапфир. Иногда оказывается целесообразным в качестве окна использовать последнюю линзу оптической системы (см. гл. 6).
Как и в случае более сложных приемников, при изготовлении фотосопротивлений из PbS для лучшей их работоспособности необ
— слои золота, нанесенный испарением
сернистый свинец
Рис. 5.14. Многоэлементные сернисто-свинцо-вые фотосопротивления.
ходимо, чтобы слой содержал возможно больше чувствительного материала и меньше неактивных, и в особенности шумящих, примесей. Для PbS это означает возможность разнообразных сочетаний
6В* 155
параметров. Характеристики так называемых оптимальных приемников совпадают достаточно хорошо у разных образцов. Значительное несоответствие данных о приемниках PbS затрудняет их сравнение. Однако, если отнести большой разброс характеристик за счет несовершенства изготовления приемников, можно применять простые соотношения для определения рабочих пределов характеристик
приемников этого класса.
Поверхностное сопротивление приемников из PbS при 300° К в темноте составляет от 0,1 до 50 Мом. Практически используются
приемники с поверхностным сопротивлением от 0,5 до 1,5 Мом.
Поскольку слой из PbS является фотосопротивлением, необходимо подавать к нему напряжение и последовательно включать нагрузку для получения напряжения сигнала. Оптимальное значение питающего напряжения зависит от назначения устройства. Когда шум сравнительно мал, сигнал на выходе прямо пропорционален приложенному напряжению. Ограничение ставится джоулевым теплом, влияющим на сопротивление приемника. Выходной сигнал достигает максимального значения, когда эти два фактора, действующие в противоположных направлениях, — увеличение тока с ростом напряжения питания и уменьшение
/ 2 5 10 20 50 100 200 500 1000
Напряжение питания, 8
Рис. 5.15. Зависимости S,-N и SjN от напряжения питания типового приемника PbS. Площадь приемника 1 см2, сопротивление приемника 2 Мом, полоса усиления 1 гц, температура слоя 300°К (S и N в децибелах относительно 1 мкв; S/N в децибелах):
тока, связанное с увеличением сопротивления от нагрева, уравновешиваются (рис. 5.15).
Максимальная пороговая чувствительность достигается при меньшем напряжении вследствие возрастания шума за пределами линейных соотношений. Для неохлажденного PbS это напряжение равно примерно половине напряжения, необходимого для получения максимального сигнала. Как показано на рис. 5.15, кривая S/N имеет широкий максимум вследствие одинакового роста сигнала и шума при увеличении напряжения питания. Нагрев приемника зависит от его площади. Для приемников, у которых толщина слоя мала, по сравнению с его поверхностью, допустимая мощность рассеяния примерно пропорциональна размеру поверхности. Однако для приемников с небольшой, по сравнению с толщиной, поверхностью допустимая мощность рассеяния постоянна и не зависит от размера поверхности. При тщательном отборе неохлаждаемых фотосопротивлений PbS с максимальной при данной постоянной времени
156
вольтовой чувствительностью оказывается, что при низких частотах модуляции чувствительность обратно пропорциональна постоянной времени. Это соотношение соответствует работе генератора на накопительную нагрузку, характеризуемую определенной постоянной времени. Частотные характеристики нескольких приемников
с различными постоянными времени показаны на рис. 5.16.
Интересно отметить, что при больших частотах кривые сближаются. Сигнал с хорошего приемника, обладающего большой постоянной времени, оказывается на больших частотах таким же, как у малоинерционного приемника при одинаковых размерах и условиях работы. Джеффриз [24] обнаружил, что некоторые неохлаждаемые приемники PbSс малой постоянной времени (менее 60 мксек) на больших частотах дают
Ю 100 1000 10 000
Частота модуляции, гц
Рис. 5.16. Частотные характеристики приемников PbS с различными значениями тг.
больший сигнал, чем приемники со средней постоянной времени,
по-видимому, вследствие различной технологии изготовления. Шум неохлаждаемых приемников PbS обычно состоит из шума,
изменяющегося по закону т. е. избыточного шума, генерационнорекомбинационного шума и джонсонова шума. Спектры этих шумов
различны, как показано на рис. 5.17. Пороговая чувствительность неохлаждаемых приемников ограничивается в области рабочих частот гене-рационно- рекомбинационным шумом. При комнатной температуре генерационно-рекомбинационный процесс происходит главным образом вследствие возбуждения фотонов при колебаниях кристаллической решетки. Частотная характеристика возбуждения фотонов в приемном элементе такая же, как и для реакции на фотоны падаю-
Рис. 5.17. Спектры шумов типичных приемников PbS. Сопротивление слоя 2 Мом, полоса усилителя 1 гц, температура слоя 300°К (сигнал в децибелах относительно 1 мкв):
/ — результирующий спектр; 2 — генерационно-рекомбинационный шум; 3 — шум по закону 1/f; 4 — шум Джонсона.
щего излучения.
Спектральные характеристики неохлаждаемых образцов приемников PbS могут значительно отличаться друг от друга. Длинноволновая граница (длина волны при чувствительности 30% от максимума) может находиться в пределах от 2,5 до 3 мк в зависимости от структуры слоя. Толстые слои обладают постоянным квантовым выходом за пределами длинноволновой границы. В этой
157
области выходной сигнал на единицу мощности примерно пропорционален частоте излучения.
Тонкие слои (менее 0,5 мк) более чувствительны к коротковолновому излучению вследствие пропускания слоем длинноволнового излучения. Такие слои имеют поэтому более четкую длинноволновую границу. На рис. 5.18 показаны
Рис. 5.18. Спектральная нормированная пороговая чувствительность D*(l) типовых приемников PbS при температуре слоя 295° К-
ваются при уменьшении
спектральные характеристики приемников, причем необходимо отметить, что возможны и промежуточные варианты. На графиках показаны получающиеся в рабочих образцах значения величин пороговой чувствительности. Параметры отдельных образцов оказываются лучше более чем в два раза. Однако рассчитывать реальную систему на использование таких уникальных образцов, естественно, нельзя.
Охлаждаемые приемники PbS. Различия в характеристиках приемников, подобные тем, что возникают при разных технологических процессах, становятся более заметными при низких температурах.
Сопротивление и постоянная времени приемников значительно увеличи-температуры с 300 до 77° К. Однако
удается сделать так, что параметры приемников, неоптимальные при
комнатной температуре, становятся приемлемыми при охлаждении сухим льдом (195° К) и жидким’азотом (77° К).
При снижении температуры слоя спектральная чувствительность продвигается в длинноволновую область. Если при 300° К длинноволновая граница находится в области 2,5 и 3,0 мк, то при 195° К она сдвигается к 3,0 и 3,5 мк, а при 77° К — к 3,4 и 4,0 мк.
Кривые спектральной пороговой чувствительности при разной температуре представлены на рис. 5.19.
Селенистый свинец (PbSe). Фотосо-
Длина 8олны,мк
Рис. 5.19. Спектральная нормированная пороговая чувствительность D*Q) типовых сернисто-свинцовых фотосопротивлений:
противления этого типа еще в большей степени, чем сернисто-свинцовые, обна-
а — поле зрения на фон 180°, охлаждение до 190°К; б—поле зрения на фон 180°, охлажде-
руживают разброс механических и ние д0 фонКз:во% "да» к?ения на электрических характеристик. Приемник
изготовляется в виде слоя толщиной в несколько микрон, либо пу-
тем испарения в разреженной атмосфере с присутствием кислорода, либо химическим осаждением. Второй способ в принципе подобен
158
способу осаждения PbS, хотя несколько отличается в деталях. Кислород необходим для повышения чувствительности, хотя его участие в реакции слабее, чем при образовании PbS.
Механизм работы слоев из PbSe достаточно подробно рассмотрен Хэмфри и Петритцем [20]. По-видимому, эти процессы схожи для всей свинцовой группы приемников (PbS; PbSe; PbTe).
Спектральные характеристики приемников из PbSe при различной температуре слоев представлены на рис. 5.20. Спектральная
пороговая чувствительность увеличивается новолновую область с уменьшением температуры, как это вообще имеет место у фотосопротивлений.
Приемник из PbSe подобно PbS обладает максимальной чувствительностью при температуре жидкого азота, но при комнатной температуре, или при температуре сухого льда его характеристики значительно ухудшаются.
Одна из фирм-изготовителей считает, что специальные «высокотемпературные» типы фотосопротивлений при температуре 195° К все же имеют в два раза
и продвигается в длин-
Рис. 5.20. Спектральная нормированная пороговая чувствительность селени-сто-свинцовых приемников: а —поле зрения на фон 180°, охлаждение до 77° К; б — поле зрения на фон 180°, охлаждение до 195°К; в-—поле зрения на фон 360°, охлаждение до 295°К.
меныпую чувствительность, чем соответствующие приемники при температуре 77° К. Сопротивление таких «теплых» приемников при 77° К сильно увеличивается, и поэтому величину D*, которая, естественно, должна тоже увеличиться, измерить при 77° К не удается.
Тэлли с сотрудниками описал приемники PbSe чувствительность которых
ограничена генерационно-рекомбинационным шумом за счет излучения окружающего фона [25]. Уменьшение поля зрения на фон
приводит к значительному увеличению значения D* этих прием-
ников.
Дальнейшее увеличение пороговой чувствительности на длинах волн короче длинноволновой границы можно достигнуть, если закрыть входное отверстие приемника фильтром, поддерживаемым при низкой температуре. Таким фильтром для PbSe является тонкая кварцевая пластинка. При этом исключается генерационно-рекомбинационный шум, который бы мог возникнуть от излучения с длинами волн более 4,5 мк. Кроме того, излучение фильтра на приемник мало вследствие низкой температуры фильтра.
Селенистый свинец обладает значительно меньшей постоянной времени, чем PbS. При комнатной температуре постоянная времени у PbSe находится в пределах от 1 до 5 мксек. При температуре 195° К постоянная времени может возрасти до 10—30 мксек. Приемники, охлаждаемые жидким азотом, имеют постоянную времени от 20 до
159
100 мксек. Для приемников PbSe характерны явления ползучести характеристик и старения. Быстрые изменения могут происходить после охлаждения приемника вследствие внутренней конденсации остаточных паров воды или кислорода в слое. Адсорбция газов при большой поверхности микрокристаллической пленки может вызвать значительные изменения характеристик. Когда поверхность возвращается к окружающей температуре, газы выходят, и цикл может повториться.
Старение или медленный монотонный дрейф характеристик происходит в течение нескольких месяцев после изготовления приемника. Время дрейфа или старения зависит от технологии изготовления и не поддается предсказанию для данной партии приемников. Световая характеристика, сопротивление, шум и постоянная времени могут изменяться в ту или другую сторону. Обычно световая характеристика и шум изменяются в одной пропорции, так что пороговая чувствительность может изменяться в меньшей степени, чем световая характеристика.
Другим серьезным аномальным явлением, присущим PbSe, является эффект засветки (flash effect). Если охлажденный приемник осветить видимым светом, его сопротивление, чувствительность и пороговая чувствительность к инфракрасному излучению заметно снижаются. Снижение сохраняется после устранения света до тех пор, пока слой остается нагретым. Спектральная характеристика этого эффекта для PbSe снята Мэртцем и Эром [26].
Иммерсионный селенистый свинец можно получить химическим осаждением пленки на титанат стронция. Таким путем достигается значительное оптическое усиление (гл. 6).
Теллуристый свинец (РЬТе). Это третий представитель группы свинца [21]. Приемник изготовляется в виде микрокристаллической пленки испарением в вакууме. Процесс химического осаждения слоев из РЬТе разработать не удалось, в основном вследствие химической нестабильности теллур-органических соединений, аналогичных тем, что используются для химического осаждения PbS и PbSe.
Для получения оптимальных характеристик приемника РЬТе необходимо его слегка окислять в процессе производства.
Без охлаждения до температур порядка 80° К РЬТе не дает достаточной пороговой чувствительности. При 300° К чувствительность столь мала, что не представляет интереса. Спектральная характеристика, показанная на рис. 5.21, имеет более коротковолновую границу (5,4 мк), чем у PbSe (6,3 мк).
Серьезные ограничения применению приемников из РЬТе ставит сравнительно высокое сопротивление. Поверхностное сопротивление порядка 100—200 Мом является обычным для этих слоев.
Квадратные чувствительные площадки РЬТе с размерами сторон от 0,25 до 5 м помещаются в сосуд Дюара с сапфировым окном.
Вредное действие засветки, обнаруженное у приемников PbSe, наблюдается также у слоев РЬТе [26]. Инерционность слоев РЬТе 160
[21] описывается двумя постоянными времени, а при длинах волн короче 1,5 мк наблюдается третья, большая постоянная времени.
Сурьмянистый индий (InSb). Биметаллический сплав индия и сурьмы образует полупроводник с шириной запрещенной полосы 0,19 эв при 300° К. Длинноволновая граница при комнатной температуре находится при 6,5 мк. При понижении температуры эта граница сдвигается в коротковолновую область, т. е. в направлении, противоположном тому, которое наблюдается у группы свинца.
Известны три типа приемников инфракрасного излучения из сурьмянистого индия. Во всех трех типах в качестве чувствительной
поверхности применяется монокристалл InSb. Тонкая пластина кристалла может работать как фотосопротивление, т. е. при наличии питающего напряжения. Кристалл InSb может работать также в режиме фото-э. д. с. при наличии р-п перехода в кристалле. Высокая подвижность носителей позволяет использовать InSb в фотогальваномагнитном режиме (§ 5.1).
В США в наибольшей степени освоены приемники InSb, дающие фото-э. д. с. (фотовольтаические). Первые в США работы по приемникам InSb были выполнены в Чикаго под руководством Райка. Чувствительный элемент изготовлялся
12 3 4 5 6 7 Длина волны, мк
Рис. 5.21. Спектральная нормированная пороговая чувствительность теллуристого свинца.
в виде частицы кристал-
ла путем среза поперек р-п перехода, образованного в процессе роста кристалла из расплава с добавлением примесей [29]. Чувстви-
тельная зона приемника такого типа имела вид линии в зоне р-п перехода. Переход р-п эффективен только при температурах, достаточно низких для того, чтобы не все примесные уровни находились в состоянии тепловой ионизации. Практически это означает необходимость охлаждения до 77° К.
Более удобный вариант приемника InSb был разработан фирмами Texas Instr. Inc. [28] и Philco Radio Corp. [30]. В этих приемниках р-п переход создавался диффузией полупрозрачного слоя легированного материала в поверхностный слой другого материала. Слой получается достаточно проводящим и может служить в качестве одного из электродов. Чувствительная зона при этом получается в виде поверхности под верхним слоем. Такая форма чувствительной зоны более соответствует оптической системе. Пороговая чувствительность может быть увеличена до уровня, ограниченного флюктуациями фотонов, окружающего излучения (до уровня BLIP). Приведены также измерения зависимости пороговой чувствительности от угла зрения на фон при комнатной температуре. На рис. 5.22 показаны такие кривые спектральной чувствительности приемников из InSb с диффузионным переходом в режиме фото-э. д. с. при температуре 77° К.
161
Для того чтобы полнее реализовать возможности приемника из InSb в режиме фото-э. д. с. по пороговой чувствительности, необ-
ходимо точнее согласовать выход приемника со входом предусилителя. Поскольку импеданс многих приемников при 77° К составляет примерно 100 ом, необходим согласующий трансформатор между приемником и ламповым предусилителем. Прайт и Петритц [32]
описали полупроводниковый предусилитель, специально сконструированный для работы с при
Рис. 5.22., Спектральная нормированная пороговая чувствительность сурьмянистого индия:
а —идеальный приемник (фотовольтаический); Хс=5,6 мк, поле зрения на фон 9=180°; б — фотовольтаический приемник (охлаждение до 77°К, 0=180°); в —фотосопротивление (охлаждение до 77° К, 0=180°); г — фотосопротивление (охлаждение до 195°К, 0=180°); д — фотогальва-номагнитный (температура 295° К.
0=360°).
вительности при 77° К требуется эффективные фотосопротивления
емником в режиме фото-э. д. с. При облучении охлаждаемого приемника окружающим фоном происходит нежелательное возрастание тока через переход. Прайт и Петритц показали, что включение напряжения в обратном направлении подавляет возрастание тока от фона и приводит к уменьшению шума на выходе приемника. Остаточный шум в этих условиях обнаруживает в районе 100 гц зависи-
1
МОСТЬ -р
Как фотосопротивление, приемник из InSb обладает приемлемой чувствительностью даже при комнатной температуре. Оставшиеся примесные уровни ионизируются при более высоких температурах, так что чистота материала не является критичной для неохлаждаемых приемников. Однако для получения высокой пороговой чувст-весьма чистый материал. Более из InSb изготовляются в виде
очень тонких (менее 10 мк) пластинок, монтируемых на металлической подложке. Высокочувствительные приемники этого типа успешно разработаны как в Англии, так и в США.
Кривые спектральной пороговой чувствительности фотосопротивлений из InSb показаны на рис. 5.22. Влияние на спектральную
пороговую чувствительность таких приемников угла, в котором на них воздействует фон, отражено на рис. 5.23 (по данным Брэтта и др. [44]).
Благодаря высокой подвижности носителей в InSb для обнаружения инфракрасного излучения можно использовать фотогальвано-магнитный эффект. Интересная особенность приемников этого типа состоит в том, что они работоспособны при комнатной температуре.
162
Кристаллы размером примерно 1 мм2 располагаются между полюсами небольшого постоянного магнита диаметром около 2,5 см\ напряжение питания не требуется. Выходной ток образуется в результате разделения постоянным магнитным полем носителей, образованных фотонами. Эффективная постоянная времени приемника не превышает 1 мксек. Поскольку уровень шума определяется джонсоновым шумом элемента, пороговая чувствительность при комнатной температуре значительно ниже теоретического предела. Типичные кривые спектральной пороговой чувствительности приведены на рис. 5.22.
Из-за активности слоя InSb в маг
нитном поле необходимо принимать меры по магнитной экранировке.
Германий (Ge). Монокристалл германия относится к числу наиболее современных примесных фотосопротивлений. Фотопроводимость чистого германия при 300° К имеет длинноволновую границу при 1,5 мк, что соответствует ширине запрещенной зоны 0,81 эв. Добавление в кристалл примесей определенного типа создает примесные
Длина волны,мк
Рис. 5.23. Влияние на
уровни либо вблизи валентной зоны, сурьмянисто-индиевого при-либо вблизи зоны проводимости. Воз- 4 емника угла зрения на фон. буждение электронов из примесных
уровней в зону проводимости или дырок путем возбуждения электронов из валентной зоны в примесные уровни обусловливает явление фотопроводимости. Из большого числа примесей, которые
могут образовать уровни в запрещенном энергетическом зазоре, лишь некоторые могут дать практически пригодный приемник. Поскольку эти уровни истощаются за счет тепловой ионизации, необходимо понижать температуру примесного германия до 77° К или ниже в соответствии с энергией ионизации примеси. Подбором типа примеси с подходящей энергией ионизации можно получить требуемое значение длинноволновой границы.
Германий p-типа. легированный золотом (Ge: Ап). Примесь золота в'германии образует уровни на 0,14 эв выше валентной полосы. Кристалл обладает проводимостью p-типа. Длинноволновая
граница, соответствующая энергии ионизации примеси золота, находится при 9 мк. Приемники такого типа создаются в виде монокристаллов германия, легированного золотом, помещаемых в сосуд Дюара.
Вследствие ограниченной растворимости золота в германии поглощение излучения в полосе от 2 до 9 мк сравнительно мало. Поэтому необходимо делать приемник в виде стержня длиной несколько миллиметров и размещать его в зеркальной полости, чтобы увеличить поглощательную способность кристалла. На рис. 5.24 показана типовая схема установки кристалла. Приемник обычно закрывается окном из кремния с покрытием из MgO или SiO. Кривые спектраль-
163
ной пороговой чувствительности приведены на рис. 5.25. Постоянная времени приемника равна примерно 0,1 мксек [33].
Германий /z-типа, легированный золотом (Ge : Au, Sb.) В присутствии примеси золота и примеси n-типа, например сурьмы, приемник имеет длинноволновую границу примерно в области 5 мк и большую чувствительность в области от 2 до 4 мк [34]. Примесные уровни ft-типа создают равное количество однократно ионизованных золотых центров. При избытке примеси ft-типа образуются дважды ионизованные центры золота, приобретающие свойства /г-типа.
Рис. 5.24. Конструкция приемника из легированного германия:
/ — емкость для жидкого азота; 2 — вакуум; 3 — чувствительный элемент; 4 — фланец; 5 —диафрагма диаметром 2,25 мм\ 6 — оккъ.
Рис. 5.25. D*(l) приемников из легированного германия:
a) Ge:Au, Sb (n-тип), охлаждение до 77°К, 0=180°;
б) Ge:Au (p-тип), охлаждение до 60° К, 9=180°; в) Ge:Cu, охлаждение до 5°К, охлаждаемый фильтр из BaF?; г) Ge:Cu, охлаждение до 5°К, 0=60°; д) Ge : Au (p-тип), охлаждение до 77° К, 0=60°; е) Ge:Cd, охлаждение до 20°К, 0=60°; ж) Ge:Zn, охлаждение до 5°К, 9=60°.
Фотопроводимость возникает за счет дважды ионизованных примесей золота. Поскольку рекомбинация электронов происходит на однократно ионизированных ионах золота, постоянная времени получается значительно больше, чем у приемника ft-типа. На практике легирование примесями ft-типа дозируется так, чтобы получить постоянную времени порядка 30 мксек для длин волн более 2,3 мк [35]. Кривые спектральной пороговой чувствительности приемника типа Ge : Au, Sb показаны на рис. 5.25. Поскольку длинноволновая граница находится примерно около 5 мк, в качестве окна используется сапфир.
Болометры. Когда требуется воспринимать излучение в широком спектре или с длинами волн более 7 мк приемником с температурой 300° К, обычно применяются приемники теплового типа. Наиболее подходящими из них, с точки зрения использования в инфракрасных устройствах, являются термисторные болометры. Первоначально разработанные лабораториями Bell Teleph. [36] тер-164
мисторные болометры с тех пор совершенствуются и выпускаются фирмами Barnes и Servo Corp. Обзор характеристик термисторных болометров фирмы Barnes дан Де Ваардом и Вормсером [37].
Чувствительная часть болометра состоит из пластинки, полученной спеканием смеси окислов марганца, никеля и кобальта. Материал является полупроводником с отрицательным температурным коэффициентом сопротивления, равным примерно 4% на градус. Поверх-
ность элемента чернится для получения равномерного поглощения в широкой спектральной области. Сопротивление элемента слегка изменяется при нагревании вследствие поглощения лучистого потока. Обычно соединяются последо-
вательно два элемента, один из которых экранируется от полезного излучения и служит температурным компенсатором и нагрузкой для другого элемента.
Термисторный болометр удобно устанавливать на массивную подложку для уменьшения постоянной времени (§ 5.1). Подбором характеристик элемента и подложки можно
Частота модуляции, гц
получить постоянную времени в пре- рис. 5.26. Частотные характе-делах от 1 до 15 мксек. С уменьше- ристики термисторных боло-нием постоянной времени падает метров.
также чувствительность. На рис. 5.26
показаны частотные характеристики группы приемников с сапфировой подложкой. Поскольку уровень шума определяется джонсо-
новым шумом сопротивления элемента, частотная зависимость пороговой чувствительности такая же, как для интегральной чувствительности. Значения нормированной пороговой чувствительности определяются соотношением
D* = 8-108 тУ2.
(5.45)
Сапфир оказался теплоемким материалом, пригодным для подбора в широких пределах соотношения между интегральной чувствительностью и постоянной времени.
Стандартные термисторные болометры оборудуются окнами из хлористого серебра со специальным покрытием или из KRS-5. Эти окна пропускают в областях от 2 до 15 мк и от 0,6 до 35 мк соответственно.
Болометры обладают сравнительно большим сопротивлением (от 1 до 5 Мом) и работают при напряжении питания до 500 в. Болометр обычно подключается к предусилителю на вакуумных лампах. Шум на выходе при оптимальных условиях работы состоит из токового шума и шума Джонсона. В целом уровень шума в 1,5 раза больше шума Джонсона.
165
Чувствительная поверхность может иметь размеры от 0,1 до 10 мм. Заготовки для приемников обычно квадратные с размерами от 0,5 до 2 мм.
Приемники могут быть сделаны иммерсионными путем скрепления их тонкой пленкой с германием. Полусферическая линза из германия с иммерсионным болометром в центре дает в четыре раза большую чувствительность по сравнению с неиммерсионным приемником и светосильным объективом (гл. 6).
Болометры в виде металлических пленок уже много лет применяются в качестве приемников в инфракрасных спектрометрах. Фирма Baird-Atomic выпускает для спектрометров платиновые болометры. Эти приемники выпускаются по методу, разработанному Лангтоном [38], — прокаткой проволоки Волластона (платиновая проволока, покрытая серебром) с последующим травлением серебра. Так, получаются полоски тоньше I мк с сопротивлением около 40 ом. Полоска чернится золотом, монтируется в натянутом состоянии и помещается в эвакуированную полость с окном из хлористого серебра. Постоянная времени болометра составляет примерно 16 мксек. Болометры этого типа имеют чувствительную поверхность размерами 7 X 0,3 мм.
Типичное значение пороговой чувствительности при частоте модуляции 10 гц и полосе пропускания 1 гц составляет 109 в/П"1. Соответственно
D* =-- 1,5• 108 вт~х • см*гцх12.
Уровень шума приемника определяется шумом Джонсона сопротивления полоски.
Термоэлементы. Эти приемники используются почти исключительно в спектрометрических измерениях. Несмотря на большие размеры и инерционность, их удобно применять в спектрометрах благодаря стабильности и одинаковой по спектру чувствительности. Характеристики и конструктивные особенности термоэлементов подробно рассмотрены Смитом, Джонсом и Чесмером [1 ]. Серийные термоэлементы производятся двумя различными способами. Конструкция Шварца представляет собой массивные стержни из разнородных термоэлектрических сплавов с клинообразными наконечниками, между которыми натянута тонкая полоска черненой золотой фольги. Благодаря небольшой теплоемкости С золотой фольги и большой теплопроводности G массивных стержней постоянная времени оказывается небольшой [формула (5.5)].
Термопары этого типа выпускаются фирмами Hilger в Англии и фирмами Perkin-Elmer и Charles М. Reeder в США. Термоэлементы Perkin-Elmer имеют чувствительную поверхность размерами 2x0,2 мм и сопротивлением 10 ом. Чувствительность при частоте модуляции 13гг{ равна 2 в/вт. Уровень шума близок к шуму Джонсона на сопротивлении и составляет на 1 гц полосы 44-6-10-10 & (среднеквадратичное значение). Пороговая чувствительность при модуляции 13 гц составляет 3-?5-109 вт~' на 1 гц полосы пропуска-166
ния. Нормированная пороговая чувствительность О*, вычисленная по приведенным данным, не будет иметь смысла, поскольку поверхность приемника не соответствует эффективной чувствительной поверхности в том смысле, как она понимается при определении О*.
Термоэлемент конструкции Хорнига состоит из черненой золотой полоски фольги с небольшой теплоемкостью, присоединенной к коротким тонким термоэлектрическим проводам. Эта конструкция также рассчитана на малую инерционность при высокой чувствительности. Термопара обычно помещается в эвакуированную полость. Приемники Хорнига серийно выпускаются фирмами FarrandOpt. Comp.»
Рис. 5. 27. Схема приемника Голея:
/ — источник света; 2 —решетка; 3 — гибкое зеркало; 4—капилляр; 5 — окно; 6 — мембрана; 7 —изображение решетки; 8 — фотоэлемент.
Beckman Instr, и Charles М. Reeder для инфракрасных спектрометров. Спектральная характеристика термоэлемента определяется поглощательной способностью черненого золота и характеристиками пропускания окна. Термоэлемент фирмы Farrand состоит из приемника размером 0,75 х 0,75 мм с сопротивлением от 6 до 10 ом. Чувствительность при частоте модуляции 10 гц равна 1,54-2,5 в/вт. Уровень шума (шум Джонсона) равен 5-10“10 в (среднеквадратичных) на 1 гц полосы. Пороговая чувствительность при частоте модуляции 10 гц равна 34-5-10“9 вт~х на 1 гц полосы. ОпределятьD* для этих термоэлементов также не имеет смысла по отмеченным выше причинам.
Приемник Голея. Это пневматический приемник, у которого чувствительным к излучению элементом является небольшое количество газа. Приемник Голея схематически показан на рис. 5.27. Полость приемника закрыта полупрозрачной проводящей пленкой с сопротивлением, подобранным под импеданс полости. Такой приемник обладает равномерным поглощением в инфракрасном и радиодиапазонах. Излучение, падающее на приемник через окно, нагревает газ в полости. Полость закрыта, за исключением небольшого отверстия для медленного выравнивания давления при изменениях окружающего давления и температуры. По другую сторону полости находится гибкая мембрана, покрытая с внешней стороны отражаю-
167
щей пленкой. При расширении газа эта мембрана прогибается. Весьма чувствительная регистрация деформации мембраны производится с помощью светооптического устройства, в котором мембрана играет роль одного из оптических элементов. Вольфрамовая лампа накаливания с помощью двухлинзового конденсора освещает решетку, имеющую 8 линий на 1 мм. Когда мембрана плоская, менисковая линза, установленная перед ней, проектирует изображение сетки обратно на сетку без увеличения. Все устройство настраивается так, что темные полосы изображения решетки перекрывают светлые промежутки самой решетки. Поэтому свет обратно через конденсор не проходит. Искривление мембраны при поглощении газом излучения изменяет увеличение так, что изображение решетки не совпадает с решеткой и свет проходит через конденсор, попадает на плоскость зеркала и отражается на какой-нибудь фотоэлемент.
Диаметр приемника Голея равен примерно 2,5—3 мм, хотя он может быть и других размеров. Постоянную времени можно получить в пределах от 2 до 30 мсек при номинальном значении 15 мсек.
При работе с самописцем, имеющем постоянную времени 1,6 сек, получена пороговая чувствительность 1,7-1010 ew1. Полагая, что пороговая чувствительность, как обычно, обратно пропорциональна корню квадратному из площади (что может быть и не очень верно при большом диапазоне размеров чувствительных поверхностей), D* для приемника Голея примерно равна 2-Ю9 вт~х. см.гц1^-. Хотя приемник Голея является высокочувствительным и стабильным, он подвержен микрофонному эффекту и не рассчитан на быстрый перепад внешнего давления. Это ограничивает возможность его применения в полевых (бортовых) инфракрасных системах.
5.8. Разрабатываемые приемники
Среди множества различных чувствительных к инфракрасному излучению материалов, которые обнаруживаются в поисковых работах, выявляются приемники для решения перспективных задач, отличающихся от задач, решаемых серийными приемниками. За исключением термоэлементов, все наиболее перспективные новые приемники разрабатываются на основе монокристаллов полупроводников. Исключительные трудности качественного контроля изготовления фотосопротивлений в виде микрокристаллических пленок сдерживают дальнейшее развитие этого важнейшего направления разработки инфракрасных приемников.
Легированный германий. С развитием техники введения дозируемых количеств примесных атомов в кристаллическую решетку, кристаллы германия стали широко применяться в качестве приемников излучения в средней и далекой инфракрасной области спектра. Было установлено [40], что, если уменьшить температурную ионизацию примесей в кристалле германия путем ослабления колебаний кристаллической решетки охлаждением, можно получить явление фотопроводимости за счет возбуждения примесей фотонами. Весьма 168
7
Z
Рис. 5.28. Двойной сосуд Дьюара с жидким гелием для приемника из германия p-типа, легированного цинком:
1 —жидкий азот; 2 — жидкий гелий; 3 — вывод; 4 — окно;
5 — чувствительный 'элемент.
высокая эффективность примесной проводимости недавно получена на германии, легированном цинком, медью или кадмием.
Германий, легированный цинком [40, 41], дает полупроводник p-типа. Для возбуждения дырок из валентной зоны в зону примесного цинка требуется энергия 0,03 эв, что соответствует длинноволновой границе 40 мк. Однако необходимо охлаждать кристалл до температуры жидкого гелия (4,2° К), чтобы получить фотопроводимость. Этот приемник позднее был разработан как лабораторный образец Джекобсом в фирме Perkin-Elmer. Шенкер [42] описал характеристики приемников этого типа фирмы Perkin-Elmer и лаборатории Naval Research. Спектральная их характеристика показана на рис. 5.25. Установка приемника в сосуде Дюара для работы при температуре жидкого гелия показана на рис. 5.28.
Приемник с длинноволновой границей 28 мк получается при легировании германия медью. Эта примесь с энергией ионизации 0,04 эв вводится путем высокотемпературной диффузии меди в кристалл через его поверхность. Технические образцы приемников изготовлены Тэлли и др. [43] и Левинштейном и др. [44]. Установлено, что максимальная пороговая чувствительность получается при температуре, значительно большей температуры жидкого гелия. Оптимальная температура равна 17,5° К и получается испарением жидкого водорода. Максимум спектральной пороговой чувствительности находится при 24 мк и равен 4-Ю10 вт~х-см-гц'1* при
поле зрения на фон в 60° и температуре приемника 4,2° К. Пороговая чувствительность для длин волн менее 12 мк может быть повышена почти в 2 раза путем применения окна из охлаждаемого флюорида бария (см. рис. 5.25).
Кадмий как примесь в германии дает примесные центры с энергией ионизации около 0,05 эв. Кристаллы Ge: Cd имеют поэтому длинноволновую границу, чуть сдвинутую в коротковолновую область по сравнению Хгр для германия, легированного медью (рис. 5.25). Рабочая температура приемника Ge : Cd на несколько градусов выше температуры жидкого водорода [45].
Легированные кремний-германиевые сплавы. Нортон с сотрудниками исследовал германиево-кремниевые сплавы с целью изготовления уникальных инфракрасных приемников [46]. Один из таких сплавов, легированный цинком или сурьмой, показал очень хорошие свойства при температуре 48° К. Спектральная характеристика 169
простирается за 11 мк. Пороговая чувствительность в максимуме при 11 мк равна
D*(ll мк, 900) = 10Ю em-i . см-гцУ2.
Пороговая чувствительность несколько больше при 4° К, чем при 48° К. На рис. 5.29 показаны кривые спектральной пороговой чувствительности, измеренные Шенкером [42].
Мышьяковистый индий (InAs). Монокристалл арсенида индия
как приемник может быть использован в режимах: фотосопротивления, фотогальваномагнитном и фото-э. д. с. (фотовольтаическом).
Гильсум [47] обследовал приемник в режимах фотосопротивления и фотогальваномагнитном при комнатной температуре. Бинарный сплав при этой температуре имеет ширину запрещенной зоны 0,33 эв, что соответствует длинноволновой границе 3,8 мк. Вследствие трудности получения кристаллов высокой чистоты фотовольтаические приемники, изготовленные Шоле [48] в виде диффузного соедине-
io10?
W*
Ю9
Ge
Si'• Zn П (50 ° К)
Ge-11,67О
Si'-АиП
(50°К), t
। i_____I---1---u
2 4 6 8 10 1Z 74 Длина волны, мк <
Рис. 5.29. D*(X) легированных кремний-германиевых сплавов.
объясняется тем, что для
ния, получаются лучшего качества, чем фотосопротивления и приемники фотогальваномагнитного типа. Это получения приемников с диффузным
переходом допустимо использование основного кристаллического материала со сравнительно большим содержанием донорных примесей. Приемники InAs фотовольтаического типа являются точной аналогией приемников InSb такого же типа с той разницей, что р-п переход в InAs работает при комнатной температуре, а в InSb — вблизи температур жидкого азота.
Приемники из InAs фотовольтаического типа фирмы Philco [48] выпускаются с размерами чувствительной поверхности 1,5х Х1,5 мм и имеют пороговый поток (NEP), равный Р(500° К; 750; 1; 0,15x0,15) = 4-10~10вт. Это число соответствует нормированной пороговой чувствительности
D* (500° К; 750) = 4-108 вт~х • сж-г^1/2.
Динамический импеданс приемника равен примерно 50 ом при постоянной времени менее 2 мксек. Пороговая чувствительность максимальна при 200° К (в 3,5 раза больше, чем при комнатной температуре). Приемник можно сделать иммерсионным путем склеивания его подходящим изолирующим материалом с кремниевой линзой. Кривые спектральной чувствительности показаны на рис. 5.30.
Теллур. Чистый теллур представляет собой кристалл гексого-нальной структуры. Его можно раскалывать на элементы, пригодные для изготовления инфракрасных приемников. Запрещенная полоса теллура равна 0,33 эв при температуре 77° К, что соответ-
170
ствует фотопроводимости до 3,8 мк при этой температуре. Баттер и Мак-Глоулин [49] изготовляли фотосопротивления из кристаллического теллура размерами до 16 мм2. Наилучшие результаты получаются при температуре 77° К. При этом пороговая чувствительность к излучению черного тела
D* (500° К; 900) = 4• 109 вт~1 • см-гц'/2, а спектральная пороговая чувствительность в максимуме О* (3,6 мк; 900) = 6,4-1010 впг~[ -см-гц^2.
Постоянная времени приемника при температуре 77° К равна примерно 60 мксек. Сопротивление типичных приемников равно 2 ком. Спектральная чувствительность чистого теллура показана на рис. 5.30.
Болометр-угольное сопротивление.
Это один из наиболее интересных тепловых приемников для лабораторных измерений. Угольная смесь, применяемая для изготовления серийных сопротивлений, обладает очень большим температурным коэффициентом сопротивления в области температур жидкого гелия (менее 4° К). Бойль и Роджерс [50] сконструировали приемник, установив брусочек, вырезанный из угольного сопротивления номиналом 56 ом, на медную подложку, покрытую тонким слоем элек-
троизоляции. Этот узел помещается в холодильник с жидким гелием и с окном, пропускающим излучение в нужном спектральном диапазоне. Бойль и Роджерс применяли кварцевое и парафиновое окна для работы в области до 40 мк. Чувствительная поверхность брусочка равна 0,2 см2 при его толщине 0,05 см. Наивыгоднейшая рабочая температура находится около 2° К, что ниже лямбда-точки гелия и получается испарением жидкого гелия.
Основной компонент шума — токовый шум, который значительно выше джонсонова, температурного и фотонного шумов. Постоянная времени приемника 10 мсек; сопротивление 0,12 Мом. Болометр обладает большой вольтовой чувствительностью (1,4-104 в/вт). Пороговый поток, измеренный при полосе 4/3 гц, равен 6-10-12 вт, что соответствует пороговой чувствительности
£>* у гц^ = 4,3- Ю10 вт~] -см-гц'/2.
Аналогичный болометр был изготовлен Гинзбергом и Тинхэмом [5], которые утверждают, что их болометр в 40 раз чувствительнее двух различных приемников Голея, применявшихся в той же лаборатории.
£
5
Те (77 поле зрения18(Г>
InAs (23О°К)
InAs(Z35°K)
7/79’---‘----1----1---1----
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Длина волны, мк
Рис. 5.30. D*(X) монокристаллов, чувствительных в ближней инфракрасной области.
171
Инфракрасный видикон. Наибольшим достижением в области инфракрасных преобразователей изображения явились разработки видикона Мортоном и Форгом с сотрудниками в лабораториях RCA [52]. Чувствительной частью видикона является слой фотосопротивления из сернистого свинца и окиси свинца, нанесенный на подложку, прозрачную для инфракрасного излучения. Параметры чувствительного слоя позволяют использовать видикон в телевизионной системе. Сканирование по поверхности слоя осуществляется пучком медленных электронов (рис. 5.31). Местное уменьшение
Рис. 5.31. Инфракрасный видикон:
/—сапфир; 2 — прозрачный проводник; 3 — фотосопротивление; 4 — пучок электронов; 5—электронный умножитель; 6 — электронная пушка; 7— фокусирующая катушка; 8 — отклоняющая катушка; 9 — катушка для подфокусировки.
сопротивления слоя под действием излучения приводит к поглоще
нию электронов сканирующего луча, которые в противном случае отражаются, попадая в умножитель на другом конце трубки. Вели
Длина волны, мк
Рис. 5.32. Спектральная чувствительность инфракрасного видикона.
чина элемента анализируемого изображения на чувствительном слое определяется сечением электронного пучка в плоскости слоя.
Спектральная чувствительность инфракрасного видикона доходит до 2 мк с максимумом в видимой области (рис. 5.32). Чувствительность видикона, как передающей трубки, позволяет получать изображения объектов с температурой поверхности от 150° С и выше за счет их собствен
ного излучения. Трубки делаются диаметром 25 мм без умножителя (стандартный размер видикона) и размером 50 мм в диаметре (стандартный размер ортикона) с умножителем. Инфракрасный видикон может работать со стандартным телевизионным оборудованием.
Одним из ограничений в применении подобных трубок (важным при обнаружении точечных целей в большом поле обзора) я-вляется постоянный шум, который всегда присутствует на выходе таких
172
приемников. Шум этого типа проявляется в виде ложных паразитных сигналов и пятен, связанных с дефектами чувствительного слоя.
Если выходной видеосигнал используется непосредственно для наблюдения сигнала от цели по амплитуде, превышающей порог, постоянный уровень шума может на один или два порядка снизить величину пороговой чувствительности по сравнению с чувствительностью чувствительного слоя трубки.
Когда видикон используется для обнаружения двумерных деталей инфракрасного изображения, систематические фоновые помехи удается исключить при визуальном анализе.
Эвапорограф. Черни [8] сконструировал прибор, дающий инфракрасное изображение, на основе использования зависимости скорости испарения масляной пленки от температуры.
Промышленная разработка прибора произведена фирмой Baird-Atomic [53]. Это устройство называется эвапорографом. Прибор является аналогом фотографического приемника в том смысле, что лучистая мощность интегрируется по времени экспозиции; иными словами, он является приемником энергии.
Эвапорограф состоит из вакуумной камеры, с одной стороны которой находится тонкая мембрана, покрытая с внешней стороны золотой чернью. Источник масляных паров расположен внутри камеры и состоит он из масляного испарителя, температура которого поддерживается электронагревателем. Окно камеры находится с противоположной стороны мембраны, так что мембрану можно наблюдать визуально.
При работе температура камеры подбирается так, чтобы тонкая пленка масла, образовавшаяся на поверхности мембраны, находилась в равновесии с парами масла в камере.
Тепловое изображение проектируется на черненую сторону мембраны через окно из каменной соли, вызывая испарение масляной пленки со скоростью, пропорциональной росту локальной температуры под действием инфракрасного излучения. Изменение толщины пленки вследствие испарения наблюдается как изменение видимых интерференционных цветов в отраженном от мембраны свете. После некоторой выдержки пленки под действием инфракрасного излучения, изображение на ней фотографируется. Затем мембрана очищается от масла действием сильного равномерного излучения и тем самым подготовляется к новому циклу.
Для наблюдения черного тела с температурой на Г выше окружающего фона требуется экспозиция в 6 сек. Разрешающая способность находится в пределах от 10 до 14 линий на 1 мм при разности температур 10°. Цвета изображения можно связать с температурой объекта.
Приемники других типов. Кроме уже освоенных и разрабатываемых вновь приемников, рассмотренных выше, существует много других приемников, чувствительных к инфракрасному излучению. Большей частью это кристаллы различных полупроводниковых материалов, недостаточно чувствительные и слишком инерционные. Воз-
173
можно также создание большого количества двойных и тройных сплавов с фотопроводимостью в чистом материале, а также в материале с различными примесями.
Тепловые приемники не обнаруживают таких перспективных свойств вследствие ограниченной пороговой чувствительности и значительной инерционности по сравнению с полупроводниками.
Сложные приемники с электронным сканированием, хотя их изготовление и связано со значительными технологическими трудностями, могут оказаться более перспективными при дальнейшем техническом усовершенствовании.
Характеристики некоторых доступных для практического использования приемников даны в табл. 5.2.
холодильники для ПРИЕМНИКОВ
С появлением приемников для средней и длинноволновой областей инфракрасного спектра потребовались средства их охлаждения во время работы.
Проблема охлаждения уже давно решена в лабораториях путем размещения чувствительного элемента в тепловом контакте с внутренней полостью сосуда Дюара с окном на внешней стенке. Во внутренний сосуд наливается охлаждающая жидкость, восполняемая по мере необходимости, для поддержания температуры элемента на заданном уровне. Таким способом легко поддерживается установленная температура точки кипения сжиженных газов, таких, как азот (77° К), кислород (83° К), водород (20° К), гелий (4° К). Твердая углекислота СО2 при испарении дает температуру 195° К. Тепловой контакт между твердой углекислотой и стенками приемника иногда обеспечивается с помощью смеси сухого льда с легко кипящей (имеющей низкую температуру замерзания) жидкостью, например ацетоном.
В полевых условиях, на борту, когда требуются небольшие размеры приемника, сосуд Дюара с жидкостью неудобен. Поддерживать температуру охлаждения в течение длительного времени таким способом нельзя.
Для непрерывного поддержания приемника в охлажденном состоянии выпускаются различные холодильники на температуры от 233 до 50° К. Каждый метод охлаждения имеет достоинства и недостатки.
5.9. Термоэлектрический холодильник
Пониженную температуру можно получить с помощью эффекта Пельтье, пропуская постоянный ток через биметаллический спай. Обзор задач, связанных с созданием такого холодильника для приемника инфракрасного излучения, дан Гриром [54]. Наилучший результат получается на термоэлектрических полупроводниковых материалах п- и p-типа, таких, как теллурид висмута. Будучи соединен с оправой приемника, одноступенчатый термоэлек-174
трический холодильник понижает температуру почти на 50° при температуре горячего спая 293 0 К- Более сложный холодильник, состоящий из двух каскадов, обеспечивает температуру до 79° К при температуре горячего спая 298 0 К-
Потребляемая электрическая мощность холодильников характеризуется большим (30—50 а) точно регулируемым током при низком напряжении (менее 1 в). Такие, не всегда удобные параметры питания, не позволяют использовать холодильник в полевых условиях.
5.10. Испарительные холодильники
В тех случаях, когда жидкий азот может подводиться к приемнику из удаленной емкости, применяется метод охлаждения испарением (до температуры 77 ° К). Метод основывается на явлении, которое имеет место при прохождении небольших количеств^жидкого
Рис. 5.33. Схема холодильника с передачей хладагента:
1—электропяевмореле; 2— нетеплоизолированная трубка; 3 — заправочный фланец; 4 — подогреватель; 5 —сосуд Дюара с азотом, 6 — регулирующий клапан; 7 —дренаж; 8 — изоляция приемника; 9 — приемник; 10 — выключатель.
азота через теплую трубку. Испарение некоторого количества жидкости, проходящей через трубку, дает газовую оболочку, которая изолирует капельки жидкости от стенки, что обеспечивает достаточную подачу жидкости с малыми потерями на испарение. Установка состоит из сосуда Дюара с»жидким азотом, в котором находится небольшой подогреватель. Мощность нагревателя устанавливается такой, чтобы создать достаточное давление для подачи
175
небольшого количества жидкого азота по гибкой неизолированной трубке к приемнику. Жидкий азот испаряется и поддерживает температуру приемника при 77° К без накопления в приемнике в жидком состоянии. Одна из моделей такого холодильника, выпускаемого исследовательским центром Santa Barbara, весит около 3 кг и вмещает 1,5 л жидкого азота. Температура 77° К устанавливается за 7 сек с момента заливки и выдерживается в течение более 6 час. На рис. 5.33 показана схема испарительного холодильника.
5.11. Холодильник Джоуля — Томсона
Эффект Джоуля — Томсона уже много лет применяется для сжижения кислорода и азота. Явление состоит в понижении температуры газа за счет быстрого адиабатического расширения при быстром понижении давления. Обычно создается регенеративный цикл, при котором частично охлажденный газ охлаждает новые порции газа и т. д., пока не наступит сжижение.
Диаметр 5т8мм
Часть, длиной 50мм, заходящая 6 корпус
Полная длина примерно 62 мм
Рис. 5.34. Миниатюрный холодильник Джоуля—Томсона.
Паркинсон сконструировал миниатюрный холодильник, использующий эффект Джоуля — Томсона и дающий необходимое количество жидкости для охлаждения инфракрасного приемника. К холодильнику подается под давлением воздух, кислород или азот; после расширения газ покидает приемник.
Разработано несколько таких холодильников, рассчитанных на различные газы и температуры. На рис. 5.34 показана схема азотного холодильника для получения температуры 77° К- Углекислота (194 °К), фреон-13 (192° К) и водород (20° К) также могут быть использованы в этой конструкции. Водородный холодильник обычно снабжается азотным холодильником для предварительного охлаждения азота до экономичного уровня.
Когда допустим дополнительный вес в расчете на длительную непрерывную работу, расширитель Джоуля — Томсона может быть снабжен емкостью для сбора газа и использования его в замкнутом цикле. Система с замкнутым циклом удобна тем, что не нуждается во внешнем источнике газа. Однако требования к небольшому компрессору высокого давления настолько жестки, что удовлетворительная система замкнутого цикла еще не создана.
176
Холодильник на жидком азоте с незамкнутым циклом с инфракрасным приемником в качестве нагрузки потребляет три литра в минуту при давлении от 6 до 18 кг!см2. Рабочая температура достигается за 1 мин.
Необходимо принимать все меры, чтобы исключить проникновение в систему газов с высокой температурой замерзания, таких, как Н2О и СО2. а также частиц пыли — в газообразный азот, поступающий на охладитель. В противном случае система быстро засорится или замерзнет. Необходимо устанавливать соответствующие фильтры, а также фильтры для Н2О и СО2 в коммуникациях холодильника. В одной из конструкций фирмы Philco фильтры с отверстиями в 5 мк устанавливаются в системе питания охладителя.
5.12. Компрессорный холодильник
Небольшой холодильник для инфракрасных приемников был создан на принципе охлаждения газа, работающего в поршневом компрессоре [55]. Такой холодильник с гелием в замкнутом цикле снижает температуру до 60° К- Схема холодильника та же, что и в криостате Коллинса, применяемого обычно для получения температуры жидкого гелия (4° К).
10 П
Рис. 5.35. Схема компрессорного холодильника: /—выходной клапан; 2 — выход к компрессору; 3 — камера расширения; 4 — регенератор; 5 —поршень; 6 — двигатель; — редуктор: 8 — ход поршня; 9 — чувствительный элемент инфракрасного приемника; 10 — выходной клапан: //—выход к компрессору.
Схема компрессорного холодильника показана на рис. 5.35. Впускной и выпускной клапаны находятся при комнатной температуре. В положении поршня, показанном на рис. 5.35, впускной клапан открыт и при этом создается давление в регенераторе. Клапан остается открытым при переходе поршня в левое крайнее положение. Затем впускной клапан закрывается, выпускной открывается, а поршень переходит в правое крайнее положение. При каждом цикле входящий газ проходит через регенератор и охлаждается за счет газа, охлажденного в предыдущем цикле. Для достижения температуры 60° К требуется от двух до трех минут.
7 Зак. 1502 177
Характеристики инфракрасных приемников
ТАБЛИЦА 5.2
Приемник Размер чув-ствительной поверхности, см Темновое сопротивление R, ом ^макс’ мк мк 6лмакс» 900), вт~1 X Хсм • гц /2 D* (500ок, 900 гц), вт~\ X Хсм-гц /2 ~г , сек
PbS 295 К 0,001-8 106 2,5 2,8 1-1011 7-Ю8 2-104
195 ° К 0,001- 0,5 3-106 2,7 3,3 3-10U 7-Ю9 2-10“4
77 °К 0,001-0,5 107 3,2 3,7 1,2-1011 5-Ю9 3-10~3
PbSe 295 °К 0,001-2 5-Ю6 3,9 4,6 3,5-109 3-108 5- 10“6
195 °К 0,001-0,5 7,5-Ю7 4,7 5,6 6- 109 1-109 I -1() ~4
77 °К 0,001-0,5 7-Ю6 5,2 6,3 1,5-101° 3-109 4-10“ 5
РЬТе 77 JK 0,025—0,5 1 • 108 4,1 5,4 7,0-109 1-Ю9 2- Ю“5
InSb 295 °К 0,05 -0,5 10 6,3 7,6 3,0-108 1-Ю8 <2-10“ 7
195 °К 0,05 -0,2 100 5,1 6,4 2,0-109 5-108 <2-10“7
77 СК 0,03 —0,5 200—20 000 5,0 5,6 5,0-1010 9-Ю9 <2-10“7
Ge: Au 77 К 0,05 —0,5 5-Ю5 5,3 8,3 1-1019 •3,5-101° 5-10“8
60 °к 0,05 —0,5 5-Ю5 5,3 8,0 3-101° 1-101° 5-10“8
Ge: Au, Sb 77 °К 0,05 -0,5 5-Ю6 2,0 3,0 2-10U 3-101° 1-10“4
Ge: Cd 20 °К 0,05 —0,5 — 16 23 4-101° 1,5-101° <10“б
Продолжение
Приемник Размер чувствительной поверхности, см Т емновое сопротивление R, ом '''макс1 Л1к хс , мк Рмакс* 900), вт~ 1 х X см • гц1 /2 D* (500 °К, 900 гц), вт 1 X X см•гц 1 г 'г , сек
Ge: Си 5°К 0,05-0,5 106 24 29 5-1010 1,6-101° <1СГб
Ge: Zn 5 °К 0,05-0,5 106 36 40 2-Ю10 5-109 <10~8
Ge — 4,4% Si: Znll 50°K . . . . 0,05—0,5 10» 10,6 13,8 10Ю 4,5-109 <1СГ6
Ge —11,6% Si: Aul 50 °K ... 0,05—0,5 10” 5,5 10,3 8-Ю9 3-109 <1(Ге
Te 77 °K 0,05-0,5 2-Ю3 3,6 3,75 6,4-Ю10 4-109 6-ю~5
In As 295 °K 0,05- 0,25 50 3,5 3,8 7-109 4-Ю8 <2-10~6
InAs 230°K 0,05- 0,25 1,5-101 3,2 3,55 101° 6-108 <2-10—G
Термистор 295°K* 0,01-0,5 2-Ю6 Равномерно Равномерно 8-109 8-109 2-10—4
Приемник Голея 295 °K 0,2 — » » 2-Ю9 (10 гц) 2-109 (10 гц) 1.5-10-2
Термоэлемент 295 °К 0,01-0,3 10 » » 2-108 2-Ю8 1,5- 1СГ2
Угольный болометр 2 °К .... 0,1 —2 105 » » 4,3-ЮЮ (13 гц) 4,3-101° (13 гц) Ю~2
Об особенностях измерения чувствительности таких приемников см. в тексте.
179
Компрессорный холодильник выгоднее холодильника Джоуля— Томсона тем, что требуемое давление газа должно быть только 20 кг!см\ он нечувствителен к присутствию паров воды или масла и может давать более низкую температуру (50 ° вместо 77° К) при одной ступени; замкнутый цикл обеспечивается более легким компрессором (2 кг вместо 6). К недостаткам следует отнести больший размер корпуса приемника и наличие вблизи него движущихся частей, которые могут дать микрофонный шум и электромагнитные наводки.
Уровень температуры может устанавливаться регулировкой темпа охлаждения путем подбора давления на входе или скорости поршня при условии, что имеется тепловая нагрузка в зоне приемника.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
— площадь чувствительной поверхности приемника;
а — коэффициент поглощения;
С — теплоемкость элемента;
Ci — эффективная пневматическая емкость мембраны;
Cv — теплоемкость постоянного объема газа в приемном элементе; D — пороговая чувствительность приемника;
De — пороговая чувствительность элемента приемника;
D* — нормированная пороговая чувствительность;
^ВЫР — максимальная нормированная пороговая чувствительность (для идеальной системы, когда шум определяется только флюктуациями фотонов фона);
DBLip — нормированная пороговая чувствительность, определяемая формулой (5.43);
Е — полная энергия импульса;
Eg — ширина запрещенной полосы;
Еп — энергия, соответствующая промежутку между примесным уровнем и нижней границей зоны проводимости;
Ер — энергия, соответствующая промежутку между верхней границей валентной зоны и примесным уровнем;
ес — э. д. с. термоэлемента;
е0 — э. д. с. на выходе болометра;
FD — пороговый коэффициент шума;
Fs — поток фотонов;
/о — частота, при которой A2(/)G2(f) достигает максимума;
fi — нижняя частотная граница полосы пропускания;
fz — верхняя частотная граница полосы пропускания;
Afd — полоса пропускания, определенная по пороговой чувствительности D (т. е. с учетом спектра шумов);
Meff — эффективная полоса пропускания;
Д/г — полоса пропускания, определенная по интегральной чувствительности (т. е. без учета спектра шумов);
G(f)— коэффициент усиления усилителя на частоте /;
G — теплопроводность от элемента в окружающее пространство;
h — постоянная Планка;
/ — ток питания болометра;
ic — ток болометра, обусловленный излучением;
J — изменение теплового потока за счет нагрева измеряемым лучистым потоком;
180
J — мощность, эквивалентная шуму Джонсона;
k — постоянная Больцмана;
N — среднеквадратичное значение шума;
Nе — шум чувствительного элемента приемника;
N2(f) — плотность мощности шума на частоте f\
n(t) — плотность электронов проводимости;
м0 — равновесное количество носителей;
ns — изменение концентрации носителей;
Р(Т) — термо-э. д. с. на градус;
Рп — мощность излучения, эквивалентная мощности шума;
Р — давление газа в полости приемника;
p(t) — плотность дырок;
Qd — пороговая квантовая эффективность;
AQ — приращение тепла, необходимое для повышения температуры элемента на Д7;
R — коэффициент отражения;
Р — интегральная чувствительность приемника;
Рс — сопротивление термоэлемента постоянному току;
Рс — тепловое сопротивление потоку тепла от газа в окружающее пространство;
Ре — сопротивление элемента приемника;
Pl — сопротивление утечке газа из емкости в окружающее пространство;
Pv — тепловое сопротивление, связанное с передачей лучистой энергии от источника;
S — величина сигнала на выходе приемника;
Se — величина сигнала на выходе элемента приемника;
Sp — максимальное значение выходного сигнала при подаче на приемник импульса излучения;
Т — абсолютная температура;
Т — коэффициент пропускания;
Тв — температура окружающего пространства (фона);
То — установившаяся температура при облучении;
Ts — температура источника;
Д7С — изменение температуры элемента;
V — объем газа в приемнике;
— величина падающего потока;
U?(/) — тепловой поток,попадающий на чувствительный элемент теплового приемника;
Wс — тепловой поток за счет теплопередачи с элемента в окружающее пространство;
W е — облученность элемента;
Wор — тепловой поток, связанный с режимом питания приемника;
Wг — тепловой поток (на элемент от окружающего пространства);
W г — тепловой поток от элемента в окружающее простр анство;
— тепловой поток, образовавшийся за счет нагрева излучения наблюдаемого источника;
ДМ? — приращение теплового потока;
Z — тепловой импеданс элемента;
Zd — динамический электрический импеданс термоэлеме нта;
ZL — электрический импеданс нагрузки;
7. — температурный коэффициент сопротивления;
Д — пороговая чувствительность по энергии;
Д* — нормированная пороговая чувствительность по энергии;
е — заряд электрона;
т(0 — квантовый выход, отнесенный к числу поглощенных квантов;
— действительный (эффективный) квантовый выход;
0 — плоский угол зрения на фон;
181
X — длина волны излучения;
Хс—длинноволновая граница фотосопротивления;
Р — микрон;
— подвижность электронов;
Р/1 — подвижность дырок;
— частота;
— длинноволновая граница фотопроводимости;
<з(/) — мгновенное значение проводимости кристалла;
т — время жизни носителя;
т6/ — постоянная времени, определенная по пороговой чувствительности D (т. е. с учетом спектра шумов);
т0 — тепловая постоянная времени;
тг — постоянная времени, определенная по интегральной чувствительности (т. е. без учета спектра шумов;
to — угловая частота изменения лучистого потока.
Л ИТЕРАТУРА
1. Smith R. А., Т. Е. Jones. R. Р. Chasmar. The Detection and Measurement of Infrared Radiation. Oxford University Press, Fair Lawn., N. Y., 1957.
Смит P., Д ж о н с Ф. и Ч e с м e p P. Обнаружение и измерение инфракрасного излучения. Изд-во иностранной литературы, 1960.
2. М е 1 1 о n i М. Pogg. Ann., 1833, v. 28, р. 371; 1835, v. 35, р. 112, 277, 385; Ann. chim. phys., (2) 1835. v. 60, p. 418.
3. J о n e s R. C. Advances in Electronics, v. 5, p. 1—96, L. Morton (ed), Academic Press Inc., New York, 1953.
4. J о n e s R. C. General Theory of Bolometer Performance. J. Opt. Soc. Am., 1953, v. 43, p. 1.
5. G о 1 а у M. J. E. A pneumatic infrared detector. Rev. Sci. Instr., v. 18, p. 357.
6. G о 1 а у M. J. E. Theoretical considerations in heat and infrared detection with particular reference to the pneumatic detector. Rev. Sci. Instr., 1947, v. 18, p. 347.
7. H i 1 s u m C. The absorption edge of amorphous selenium and its change with temperature. Proc. Roy. Soc. (London), 1956, v. B69, p. 506.
8. C z e r n у M. Z. Physik., 1929, v. 53, p. 53.
9. В r e c k e n r i d g e R. G., B. R. R u s s e 1, E. E. Hahn (eds.) Photoconductivity Conference. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1956.
10. Petri tz R. L. Fundamentals of infrared detectors. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1458.
11. S 1 a t e г J. C. Barrier theorv of photoconductivity of PbS. Phvs. Rev., 1956, v. 103, p. 1631.
12. P e t r i t z R. L. Theory of photoconductivity in semiconductor films. Phys. Rev., 1956, v. 104, p. 1508.
13. M о r t о n G. A. Infrared photoemission. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1467.
14. Urbach F., D. Pearlman, H. H e m m e n d i n g e r. On infrared Sensitive Phosphors. J. Opt. Soc. Am., 1946, v. 36, p. 372.
15. S c h a w 1 a w A. L., С. H. T о w n e s. Phys. Rev., 1958. v. 112, p. 1940.
16. В 1 о e m b e r g e n N. Phys. Rev. Letters, 1959, v. 2, p. 84.
17. Jones, R. Clark. Phenomenological description of the Response and detecting ability of radiation detectors. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1495.
18. В u г s t e i n E., G. S. P i c u s. Backgroung limited infrared detection, paper presented at IRIS Meeting, Feb. 3, 1958.
19. Jones R., Clark. Proc. IRIS, 1960, v. 5(4), August, p. 35.
20. H u m p h г e у J. N., R. L. Petritz. Photoconductivity of lead selenide. Phys. Rev., 1957, v. 105. p. 1736.
182
21 Cash man R. J. Film-type infrared photoconductors. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1471.
22. CashmanR. J. Development of sensitive lead sulfide photoconductive cells for detection of intermediate infrared radiation. OSRD Rept. 5998, ATI25740, Oct. 31, 1945.
23. S о s n о w s к i L., J. S t a r 1 i e w i c z, O. Simpson. Lead sulfide photoconductive cells. Nature, 1947, v. 159, p. 818.
24. J e f f r i e s D. Proc. IRIS, 1958, v. 3(1), March, p. 49.
25. Ta 1 ley R. M., T. H. J о h n s о n, D. E. Bode. Radiation-limited detectivity in lead selenide detectors. Proc. IRIS, 1959, v. 4(4), October, p. 256.
26. Martz D. E., V. A. E r e a u x. Proc. IRIS, 1960, v. 5(3), July, p. 135.
27. Bode D., H. Levinstein. Phys. Rev. 1959, v. 96, p. 259.
28. M i t c h e 1 1 G. F., A. E. Go 1 d b e r g, S. W. Rur nick. Phys. Rev., 1955, v. 97, p. 239.
29. R i e к e F. F., L. H. D e v a u x, A. J. T u z z о 1 i n o. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1475.
30. L a s s e r M. E., P. C h о 1 e t, E. C. W u r s t. J. Opt. Soc. Am., 1958, v. 48, p. 468.
31. Avery D. G., D. W.Goodwin, A. E. Rennie. J. Sci. Instr., 1957, v. 34, p. 394.
32. P r u e t t G. R., R. L. P e t r i t z. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1524.
33. H a n s e n J. R., T. P. V о g 1, M. G a r b u n y. Proc. IRIS, 1958,
v. 3(1), March, p. 44.
34. L e v i n s t e i n H. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1478.
35. L a s s e r M. E., P. C h о 1 e t. J. Opt. Soc. Am., 1958, v. 48, p. 468.
36. В r a t t a i n W. H., J. A. Becker. J. Opt. Soc. Am., 1946, v. 46, p.
354.
37. D e W a a r d R., E. M. W о r m s e r. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1508.
38. L a n g t о n W. A. J. Opt. Soc. Am., 1946, v. 36, p. 355.
39. H о r n i g D. I., B. J. O’ Keefe. Rev. Sci. Instr., 1947, v. 18, p. 474.
40. В u r s t e i n E. J., W. D a v i d s о n, E. E. В e 1 1, W. J. Turner,
H. G. Lipson. Phys. Rev., 1954, v. 93, p. 65.
41. В u r s t e i n E., G. S. P i c u s, S. Jacobs. Paper presented at the Fifth International Commission for Optical Meeting, Stockholm, August, 1959
42. ShenkerH. Proc. IRIS, 1960, v. 5(4), August, p. 179.
43. T a 1 1 e у R. M., D. E. Bod e, W. H. К о n к e 1. Proc. IRIS, 1960, v. 5(1), January, p. 503. D. E. В о d e , W. H. К о n к e 1, R. M. T al-1 e y, Proc. IRIS, 1960, v. 5(4), August,p. 207.
44. Bratt P., W. Ziegler, H. Levinstein, A. MacRae, J. P e h e k. Proc. IRIS, 1960, v. 5(1), January, p. 115.
45. В r a t t P., W. Engeler, H. L e v i n s t e i n, J. P e h e к, C. Stannard. Proc. IRIS, 1960, v. 5(4), August, p. 15.
46. M о r t о n G. A., M. L. S c h u 1 t z, W. E. Harty. RCA Rev., 1959, v. 20, p. 599.
47. H i 1 s u m C. Proc. Phys. Soc. (London), 1957, v. B70, p. 1011.
48. C h о 1 e t P. H. Proc. IRIS, 1960, v. 5(4), August, p. 161.
49. В u t t e r C. D., L. D. M c G 1 a u c h 1 i n. Proc. IRIS, 1960, v. 5(3),
July, p. 103.
50. В о у 1 e W. S., K- F. R о d g e r s. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, p. 66.
51. Ginsberg D. M., M. T i n к h a m. Phys. Rev., 1960, v. 118, p. 990.
52. M о r t о n G. A., S. V. F о r g u e. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1607.
53. We i h e W. K. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1593. P. J. О v e r b о etal.
Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1629.
54. G r i e r M. B. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1515.
55. G i f f о r d W. E., H. E. D e a b 1 e r. Proc. IRIS, 1960, v. 5 № 1,
January, p. 461.
---- - =~ ГЛАВА 6
ОПТИКА ИНФРАКРАСНЫХ СИСТЕМ
Оптика для инфракрасных лучей в принципе и во многих деталях подобна оптике для видимой области. Хотя волны инфракрасного диапазона значительно длиннее видимых волн, они все же значительно меньше габаритных размеров оптических систем. Поэтому многие методы конструирования и технологии изготовления оптики для видимого диапазона непосредственно применимы в инфракрасной технике. Разработчику оптики инфракрасных систем полезно познакомиться с содержанием книг по этим вопросам [1—3]. Терминология, используемая в этой книге, в основном совпадает с терминологией для видимой оптики, везде, где это необходимо, сделаны специальные оговорки. Главные отличия оптики инфракрасного спектра от оптики видимого спектра состоят в следующем.
Во-первых, многие материалы, прозрачные в видимой части спектра, не прозрачны для инфракрасного излучения. В свою очередь, существуют материалы, которые прозрачны в различных областях инфракрасного спектра, но не прозрачны для видимого излучения.
Второе отличие связано с величинами длин волн излучения. Дифракционные ограничения качества изображения зависят от длины волны излучения. Как будет видно в дальнейшем, это обстоятельство обусловливает как преимущества, так и недостатки использования инфракрасного диапазона спектра по сравнению с видимым.
Построение двумерных изображений в инфракрасных лучах может быть произведено (как и в видимой области) с помощью отражательных элементов, преломляющих элементов или их комбинации. За исключением случая инфракрасной фотографии, изображение принимается обычно одним или несколькими фотоэлектрическими приемниками. Параметры изображения должны быть согласованы с параметрами приемников и модуляторов, если таковые применяются. В задачи разработчика оптической системы входит выбор устройств, формирующих изображения, которые обладали бы заданными свойствами при умеренных размерах и стоимости, а также хорошо согласовывались бы с другими компонентами системы.
184
Для получения изображения, а также для некоторых других целей (например, для изменения направления инфракрасных лучей) могут применяться пропускающие и отражающие элементы так же, как в видимой области. Линзы и призмы, сделанные из материалов с приемлемым пропусканием и показателями преломления, строят изображение по тем же основным оптическим законам, которые действуют в видимом спектре.
В преломляющих элементах благодаря простоте их изготовления широко применяются сферические и плоские поверхности. Дефекты изображения, образованного элементами со сферическими поверхностями, легче скорректировать дополнительными сферическими элементами, чем с помощью специальных сферических поверхностей. Вследствие значительных потерь на пропускание и отражение сложные системы из многих линз редко используются в инфракрасных устройствах. Материалы с хорошим пропусканием и механическими свойствами, пригодные для склеивания линз инфракрасной оптики, практически отсутствуют. Поэтому сложные системы делаются обычно из разделенных элементов.
Просветляющие покрытия для линз играют важную роль, пос-скольку многие прозрачные в инфракрасной области материалы обладают высоким показателем преломления и поэтому отражают значительную часть падающего на них потока. Такие покрытия удается изготовить лишь для сравнительно узких спектральных полос, хотя материал линзы может пропускать в широком участке спектра.
6.1. Формулы линзы
Геометрические соотношения между параметрами линзы и па-
раметрами изображения для инфракрасной области такие же, как и для видимой области. Для определения габаритных параметров оптики применимы формулы теории аберраций первого порядка.
Эти формулы выведены для параксиальных лучей, т. е. лучей, проходящих вблизи оптической оси (оси симметрии оптической системы). Излучение, падающее на плоскую границу раздела оптических сред (рис. 6.1), в которых скорость распространения излучения равна соответственно vr и изменит направление (преломится) в соответствие с формулой
— sin i vi
с .
— sin г,
Рис. 6.1. Преломление
(6.1) на плоской границе раз-
дела сред.
где с — скорость света в пустоте;
i — угол падения, измеряемый от нормали к поверхности;
г — угол преломления.
7В. Зак. 1502 185
Отношение называется показателем преломления п. Таким образом, (6.1) можно записать в виде:
sin i = п2 sin г, (6.2)
где nY и п2 — показатели преломления двух оптических сред.
Это соотношение детально рассмотрено в гл. 7, где показана зависимость пг и п2 от электрических характеристик среды.
Рис. 6.2. Преломление на сферической поверхности.
Рис. 6.3. Образование изображения тонкой линзой.
Преломление на одной сферической поверхности, разделяющей две оптические среды с показателями преломления nY и п2, выражается зависимостью
til /^2 __ ^2 —
7 f Z ~ 1
(6.3)
где s — расстояние по оси в среде 1 между объектом и вершиной поверхности;
s' — расстояние по оси в среде 2 между изображением и вершиной поверхности;
R — радиус поверхности (рис. 6.2).
Когда объект удаляется в бесконечность, s = оо, a s' выражается формулой
s'
R-
п2 —
(6Л)
где f называется фокусным расстоянием.
Тонкая линза, сделанная из какого-либо оптического материала, с двумя близко расположенными сферическими поверхностями, дает в воздухе изображение с параметрами, определяемыми формулой
r + r = <6-5>
где s и s' — расстояния до объекта и до изображения, измеряемые от центра линзы;
п — показатель преломления материала линзы;
7?i и R2 — радиусы кривизн поверхностей линзы (рис. 6.3);
f — фокусное расстояние линзы, определяемое таким же путем, как для одной сферической поверхности.
Необходимо отметить, что для определенности радиусы кривизны считаются положительными, если центр лежит справа от поверх
186
ности, и отрицательными, когда центр лежит слева. Расстояние до объекта также считается положительным влево от линзы, а расстояние до изображения — положительным вправо от линзы. Положительное фокусное расстояние указывает на действительное изображение (которое может быть образовано на поверхности). Отрицательное фокусное расстояние означает мнимое изображение (которое не может быть образовано на поверхности, но из которого, как это кажется наблюдателю, расходятся лучи).
Расстояния до объекта и изображения, создаваемого устройством, для которого несправедлива формула тонкой линзы, могут быть
определены видоизмененным соотношением (6.5) при условии, что величины s, s' и f, отсчитываются несколько по-иному. В этом случае расстояния измеряются между объектом (или изображением) и точками на оптической оси, называемыми главными точками. Положение этих точек определяется пересечением главных плоскостей с оптической осью. Главные плос-
Гдавные плоскости Н Н'
Рис. 6.4. Образование изображения толстой линзой.
кости, в свою очередь, яв-
ляются геометрическим местом пересечения параксиальных лучей, идущих из бесконечности, с соответствующими лучами, сходящимися к фокусу (рис. 6.4). Две главные плоскости определяются лучами, идущими из бесконечности с двух сторон оптической системы. Система всегда имеет две фокальные точки, которые вместе с главными точками определяют характеристики изображения первого порядка. Другой формой уравнения линзы является формула Ньютона, используемая для оптических систем, у которых пространство объектов и пространство изображения в оптическом смысле одинаковы:
хх' - /2, (6.6)
где х — расстояние между объектом и первой фокальной точкой; х' — расстояние между изображением и второй фокальной точкой.
Размер изображения, образованного системой, и размер объекта связаны соотношением
где у — линейный размер объекта;
у'—линейный размер изображения;
т — линейное увеличение.
Положительное значение т означает, что изображение прямое по отношению к объекту, а отрицательное значение означает, что 7В* 187
изображение перевернуто. Более общее соотношение между размерами объекта и изображения справедливо для всех лучей системы, создающей изображение с пренебрежимо малыми сферической аберрацией и комой, имеет вид
пу sin 0 = п' у' sin О', (6.8)
где п и п' — показатели преломления в пространствах объекта и
изображения;
0 и 0'—углы падения лучей относительно оптической оси в пространстве объектов и изображений соответст
Вгпорая узловая точка
Первая узловая точка
Рис» 6.5. Узловые точки в толстой линзе.
венно.
Уравнение (6.8) известно под названием условия синусов. Это уравнение переходит в уравнение (6.7) при стремлении 0 и 0' к нулю.
Для любой системы, создающей изображение в однородной среде, существуют некоторые лучи (называемые главными лучами), которые, пройдя систему, выходят параллельно падающим лучам. Продолжение падающих лучей пересекает оптическую ось в первой узловой точке. Направления выходящих лучей, продолженных до пересечения с оптической осью системы, пересекают ось во второй узловой точке (рис. 6.5). В рассматриваемом случае, когда объект и
изображение находятся в одинаковой среде, узловые точки совпадают с главными точками системы. Угол между лучом, идущим от объекта в первую узловую точку, и оптической осью равен углу с оптической осью луча, выходящего из второй узловой точки в пространство изображений.
6.2. Диафрагмы
Величина потока излучения, проходящего через оптическую систему, и угол поля зрения определяются диафрагмами, расположенными по ходу лучей. Диафрагмы, которые ограничивают общую величину потока, проходящего через оптическую систему, называются апертурными диафрагмами. Диафрагмы, которые ограничивают поле зрения, называются полевыми или диафрагмами поля зрения.
Апертурные диафрагмы могут быть расположены в любом месте на пути лучей, но чаще всего они располагаются вблизи входа в оптическую систему. Полевые диафрагмы также могут находиться в любом месте оптической системы, но обычно располагаются в плоскости изображения.
188
На рис. 6.6 показано расположение диафрагм. Из всех углов, под которыми расходятся лучи от объекта, проведенные к границам различных диафрагм, наименьший угол получается для мнимого изображения диафрагмы А в плоскости Е. Лучи, идущие ко всем другим диафрагмам, в том числе и к диафрагме L на входе системы, расходятся под большими углами. Таким образом, наибольший угол расхождения лучей от объекта, которые смогут пройти через систему, определяется диафрагмой Л, являющейся поэтому в данном случае апертурной диафрагмой. Изображение апертурной диафрагмы в пространстве объектов называется входным зрачком оптической системы. Изображение этой же диафрагмы в простран-
Рис. 6.6. Диафрагмы в оптической системе.
стве изображений называется выходным зрачком системы. Положение и размеры изображений диафрагмы могут быть определены по формулам линзы (6.5) и (6.6) и в соответствии с формулой увеличения (6.7). Теория аберраций первого порядка достаточно точна для анализа размеров и положений диафрагм.
В инфракрасных системах, создающих изображения, ’полевая диафрагма обычно располагается в плоскости изображения, оптические детали и остальные диафрагмы делаются достаточно большими. Когда полевая диафрагма находится в плоскости изображения, ее изображение находится в плоскости объекта. Это изображение называется входным окном. Выходное окно — это изображение полевой диафрагмы в пространстве изображений и в данном случае (рис. 6.6) оно совпадает с самой полевой диафрагмой.
Удобной величиной определения угла зрения а, как показано на рис. 6.6 для случая расположения полевой диафрагмы в плоскости изображения, является половина угла, стягиваемого входным окном и с вершиной в первой узловой точке. Этот угол равен половине угла, стягиваемого полевой диафрагмой при вершине во второй узловой точке, если объекты и изображение находятся в одинаковой среде. Поэтому
tg а = tg а' = у- (6.9)
189
Для объекта на бесконечности
tga = —-у-. (6.10)
Часто в оптической системе устанавливаются дополнительные диафрагмы, которые не играют роли апертурных или полевых, а служат для ослабления отраженного и рассеянного излучения в оптической системе. Такие диафрагмы, иногда называемые заграждающими, имеют большое значение для ИК систем, особенно если вблизи поля зрения находится Солнце.
6.3. Облученность изображения
Плотность лучистого потока, так же как и весь поток, создающий изображение, зависит от нескольких параметров оптической си-
Рис. 6.7. Облученность изображения протяженного объекта.
кольцевую поверхность радиуса р в плоскости входного зрачка равен
стемы. Необходимо знать эти соотношения, чтобы правильно выбрать параметры.
Рассмотрим оптическую систему, представленную входным зрачком Е и выходным зрачком X, как показано на рис. 6.7. На оптической оси в точке О расположен протяженный объект, излучающий по закону Ламберта. Безаберрационная оптическая система создает изображение в точке О'. Поток излучения с единицы поверхности объекта, падающий на ширины dp, расположенную
dF = (2npdp cos ф),
где В — лучистость (энергетическая яркость) объекта;
Ф — угол между оптической осью и направлением от объекта на элемент кольцевой зоны;
г — расстояние от объекта до элемента кольцевой зоны;
S
г -- -—;
cos -
р = stgcp;
dp -• s sec2 фdф;
s — расстояние от объекта до центра входного зрачка. 190
Объединяя эти выражения, получаем
dF = ) cos4 (s2 sec2 = s*n cos Ф^Ф-
Полный поток, падающий на входной зрачок, получится интегрированием этого выражения по всему зрачку, на который опирается телесный угол 0 с вершиной на объекте
F = J 2лВ sin ф cos фб/ф = пВ sin2 0. (6.11)
о
Полный поток, создающий изображение элемента площади объекта, равен потоку F, умноженному на коэффициент пропускания Т оптической системы:
F' - FT. (6.12)
По условию синусов (6.8) соотношение между площадью изображения а и выходным углом 0' имеет вид
а' _ у'2 __ n2 sin2 0
а у2 п'2 sin2 О'*
По определению а = 1 и
Облученность Е' в плоскости изображения равна поверхностной плотности лучистого потока
£' = лВТ(^ sin9')2. (6.13)
Это соотношение весьма важно, оно показывает, чем определяется облученность изображения. В уравнении (6.13) нет других параметров системы, кроме выходного угла и коэффициента пропускания. Иными словами, независимо от размеров оптической системы, облученность изображения определяется только этими двумя параметрами и лучистостью объекта В.
Когда объект находится на бесконечности, sinO^tgO и
F«.-rBtg2 6 = nB(|j2 (6.14)
где Ае — площадь входного зрачка.
191
Из закона синусов (6.7) и уравнения (6.8), когда объект и изображения находятся в одной среде,
Если sоо, то s' -> /, и
У_ sin 0 _ у_ sin 0' s'
s
. л, sin 9
Sin 0 -у—.
s
Подставляя в формулу (6.13), получаем
Е = -^г-гй—.
Считая углы малыми, имеем
sin 6 —
S
Таким образом,
Е'
(6.15)
относительное отверстие оптической системы.
1 2ре Dt где n = т = 7 Величина Af, таким образом, удобна для вычисления облученности изображения от удаленного объекта. Необходимо, однако, иметь в виду, что это справедливо лишь для таких расстояний, когда входные углы малы и плоскость изображения совпадает с фокальной плоскостью.
Более общее понятие — относительная апертура (RA) определяется из уравнения (6.13).
RA = — sin в для и' = и. п 2/V
(6.16)
Это определение является более удобным, чем относительное отверстие, так как позволяет вести расчет для пространства изображения с показателем преломления большем, чем у воздуха (иммерсионный объектив). Относительная апертура для неиммерсионных систем, как видно из формулы (6.16), не может быть больше 1 не может быть менее 0,5).
В случае удаленного точечного объекта изображение его получается в виде пятна с размерами, зависящими от качества системы. Скорректированный объектив умеренных размеров дает достаточно малое пятно, которое полностью укладывается на чувствительную поверхность приемника. Поэтому интересно знать соотно-192
шение между потоком, падающим на приемник, и параметрами оптики. По закону обратных квадратов облученность (плотность потока) на входном зрачке оптической системы от источника, удаленного на расстояние $, равна
Е-'-г, (6-17)
где I — сила излучения объекта, -.
Поток, попадающий в оптическую систему, равен
F = EAe='-£. (6.18)
Поток, создающий изображение,
F'^-FT^1^. (6.19)
Здесь важно отметить, что поток F' для изображения, меньшего по размеру, чем чувствительная поверхность приемника, пропорционален площади входного зрачка и не зависит от фокусного расстояния или относительного отверстия системы.
6.4. Коэффициент усиления оптической системы
Рис. 6.8. К выводу коэффициента усиления (протяженный объект).
Иногда бывает нужно оценить оптическую систему как устройство, концентрирующее поток на небольшой приемник, одним числом— коэффициентом усиления G. Это число обычно определяется отношением потока, падающего на приемник, установленный в фокальной плоскости, к потоку, который упал бы на приемник в отсутствие оптической системы.
В случае протяженного объекта (рис. 6.8) весь объект облучает приемник без оптики, а при наличии оптики в облучении приемника участвует только часть объекта, определяемая полем зрения. Рассмотрим круглый, излучающий по закону Ламберта, объект, угло
вой размер которого относительно приемника 2(3, превышает поле зрения системы. Облученность приемника
Е = лВ sin2 р.
Согласно равенству (6.13), облученность приемника от того же объекта при наличии оптической системы
Е' = лВТ sin2 6'.
193
(6.20)
Коэффициент усиления в этом случае равен
~ _ Е' __ 'г sir|2 0 “ Т 1
Легко видеть, что при объектах большой протяженности, коэффициент усиления может стать меньше единицы и применение оптической системы в этом случае будет нецелесообразно, так как приведет лишь к дополнительным потерям. Когда объект мал и весь поток, собираемый поверхность
оптической системой, попадает на чувствительную приемника (рис. 6.9), коэффициент усиления определяется как отношение облученности на
IT А приемнике к облученности на вход-
Ad
ном зрачке где Ad — площадь чувствительной поверхности приемника:
_ ITAg S2 гр Ае = ~^TdT “ ATd
Отсюда видно, что с уменьшением площади
Gp будет возрастать. Нижний предел Ad определяется величиной наименьшего кружка рассеяния оптической системы. § 6.7, минимальный размер этого кружка
Рис. 6.9. К выводу коэффициента усиления (небольшой объект).
(6.21)
Как будет показано в
при некоторой длине волны X определяется дифракцией лучей на апертурной диафрагме. Размер дифракционного кружка рассеяния равен
d = 2,44ХЛЛ
(6.22)
Согласовывая размер приемника с диаметром дифракционного кружка рассеяния, получаем из равенства (6.21)
с,-гЬУ“гй)’ <6'23>
Интересно отметить, что при данной длине волны коэффициент усиления возрастает с ростом диаметра входного зрачка и относительного отверстия.
При неизменном фокусном расстоянии коэффициент усиления возрастает пропорционально четвертой степени диаметра. Приняв в качестве предельных значений N = (неиммерсионная оптика), Т = 1, получим, что, например, для А = 2 • 10 4 см и D = 10 см максимальный коэффициент усиления, ограниченный дифракцией, будет равен 1,7 • 109.
ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Оптическую систему можно считать устройством, которое связывает пространство объектов с пространством изображений. Энергия входит в это устройство через входной зрачок и выходит через 194
выходной. Может показаться, что на выходе создается точная копия объекта. Однако такого соответствия между пространством объектов и пространством изображений нет. Излучение, исходящее из точки объекта, распределяется в некотором конечном объеме пространства изображения, и, наоборот, энергия приходит в точку пространства изображений от некоторого конечного объема пространства объектов. К выводу о таком рассеянии энергии приводит как физическое, так и геометрическое рассмотрение волн излуче-ния и механизма их преобразования оптической системой.
Уравнение, описывающее (геометрическое) распределение энергии в изображении точечного источника, может быть составлено по известной конфигурации фронта волны на входном зрачке. Это уравнение удобно свести к двумерному путем выбора плоскостей — в пространстве объектов (например, в бесконечности) и в пространстве изображений (плоскости изображения) — в месте, где получается хорошее изображение. Желательно составить это уравнение в общей форме, чтобы установить причину аберраций и их зависимость от оптических параметров. На практике для конкретной системы может оказаться более удобным и продуктивным в деталях проследить пути отдельных лучей через элементы линз или зеркал с помощью законов преломления и отражения излучения (§ 6.2). Точное вычисление путей лучей часто производится на вычислительных машинах.
Дополнительно к предположению, что форма фронта волны, выходящей из выходного зрачка, известна, необходимо допустить, что конструкция системы обеспечивает круговую симметрию фронта с незначительным отклонением от сферичности. Такое допущение оправдано, так как при разработке конструкции стремятся обычно выполнить условие симметричности. Если фронт волны на выходном зрачке имеет форму сферы, все лучи, нормальные к поверхности фронта, встретятся в центре сферы и образуют точечное изображение (по геометрическим понятиям). Абсолютно точно это условие на практике не выполняется. Даже у хорошо скорректированных оптических систем лучи собираются в некотором объеме и образуют в плоскости изображения пятно рассеяния.
6.5. Аберрации
Аберрации оптической системы могут быть описаны с помощью общего уравнения *>. На рис. 6.10 показаны прямоугольные координаты с началом в центре образцовой сферы и с осью г, направленной по главному лучу от точечной цели. Уравнение для фронта волны (образцовая сфера) на выходном зрачке может быть записано следующим образом:
х2 + у2 + г2 R2
*) Метод Эдварда Л. О’Нейла.
195
Действительная поверхность фронта может слегка отклоняться от образцовой:
х2 + у2 + г2 - (7? 4- б)2 - R2 + 26/?,
£«1, (6.24)
где 6 = 6 (х, у, z) означает отклонение в функции параметра Л, т. е. меру отклонения главного луча от оси (см. рис. 6.10). Удобно выразить 6 в полярных координатах 6 = 6 (р, ср, Л), где, как обычно» х = р cos ф, у =- р sin ф.
Для оптической системы с круговой симметрией можно разложить 6 по трем параметрам Л2, р2 и /zp cos ф:
6 (р, ф, /г) = aQ + b0 h2 + &i р2 + b2 h? cos ф + с0 р4 + + с2 hp3 cos ф + с3 h2 р2 cos2 ф + <4 h2 р2 + с5 h3 р cos ф + ... (6.25)
Этот ряд должен сходиться, если он соответствует физической картине. Члены более высокого порядка обычно не играют роли в большинстве оптических систем. Это разложение 6 наглядно показывает происхождение аберраций.
Входной зрачок
Рис. 6.10. К выводу уравнения аберраций.
Рассмотрим пересечение лучей, нормальных к поверхности фронта волны, с плоскостью изображения (z = 0). Уравнение луча, нормального к поверхности фронта волны S дается градиентом S в векторной форме
Vs — 1 дх 1 !ду k dz 2[х~ Rfaj 1 + ^2^y-Rd^j + 2zk. (6.26)
196
Этот луч может быть так же описан, как вектор Р, проведенный из точки (х, у, г) на поверхности фронта в точку (х0, у0, О) на плоскости изображения:
р = (х — x0)i + (у — y0)j + zk. (6.27)
Вектора (6.26) и (6.27) отличаются только по модулю и поэтому
X — Х„ _ у — у„ _ |
до до Хо = R ч- , у0 = R 7Г ° дх 7 и ду (6.28)
или в полярных координатах ~ /до дЪ sin <А x0 = 7?^pcos(p ? у (6.28а)
~ (до . . до cos ср\ Уо = R sin ф + з 11. 1 др т др р )
Аналогично для ПЛОСКОСТИ Z — zly отличной от xl = Rdi + zi(x~Rd£}’ ПЛОСКОСТИ 2=0,
до , z-i ( гл до\ (6.29)
ИЛИ приближенно v~ /г-д-512 X1 ~ ” дх + R ’ ~ ду + R ’ (6.29а)
для г ^R и < 1.
Эти выражения удобны для вывода следующих уравнений аберраций.
Дифференцируя (6.25), получаем
= 2Ь1 р cos ф + b2 h + 4 Ci р3 cos ф + с2 h?2 (2 + cos 2ф) 4~
+ 2 (с3 + с4) h2 р cos ф + с5 h3 + ...,
= 2b± р sin ф + 4 q р3 sin ф + с2 hp2 sin 2ф+2с4 h2 р sin ф + ... (6.30)
Рассмотрим подробно члены этих уравнений.
Хроматические аберрации. Аберрации первого порядка (члены с р и h в первой степени с коэффициентами Ь) соответствуют просто сдвигу фокуса, что приводит к хроматическим аберрациям, если поверхность фронта волны, выходящей из системы, изменяется
197
в функции длины волны. Рассматривая только члены с коэффициентами Ьг и выражая х0 и у() в полярных координатах, получаем
z0 = О, (6.31)
2 2 2
где Го — xq + уо-
Этот небольшой кружок рассеяния может быть вновь сфокусирован в точку смещением фокальной плоскости в новое положение, определяемое уравнением (6.29):
*1 = У1 = О,
<6-32>
В системе, где 6 не является функцией длины волны, эти аберрации представляют продольную ошибку фокусировки и могут быть сведены к нулю соответствующим подбором положения фокальной плоскости.
В линзовых системах коэффициент не обязательно одинаков для всех длин волн. Подбором положения плоскости можно уменьшить кружок рассеяния, но остаточная хроматическая аберрация сохранится. Эта аберрация обычно называется хроматизмом, положения фокусов или продольной хроматической аберрацией.
Второй член первого порядка дает ошибку
% = b2h>
уо = О. (6.33)
Этот член также не дает аберрации, а просто приводит к поперечному сдвигу фокуса, если Ь2 не зависит от длины волны. Когда Ь2 зависит от длины волны, возникает поперечная хроматическая аберрация, поскольку лучи с разными длинами волн фокусируются не в одну точку на оси х.
Следует отметить, что продольные и поперечные хроматические аберрации не являются независимыми. Если выбрать положение фокальной плоскости так, чтобы свести к минимуму продольную хроматическую аберрацию, то увеличится поперечная хроматическая аберрация. Аналогичная взаимозависимость наблюдается также у аберраций третьего порядка. Хотя различные аберрации системы, описываемые уравнением (6.30), можно рассматривать отдельно и затем сравнивать друг с другом, но при проектировании системы в целом необходимо учитывать связь между ними.
Теперь рассмотрим аберрации третьего порядка.
198
Сферическая аберрация. Ошибки х0 и у0 с коэффициентом могут быть объединены и записаны в полярной системе координат
^=4С1Рз.
(6.34)
Это выражение определяет сферическую аберрацию системы.
Из уравнения (6.30) следует, что на оси (h = 0) могут быть только
аберрации третьего порядка. Используя уравнение (6.29), можно видеть, что лучи будут пересекать ось z при
(6-35)
Лучи каждой зоны выходного зрачка (р = const) будут пересе-
кать ось в различных точках (рис. 6.11). Лучи внешней зоны (р = рт)
пересекают ось z в точке zm и образуют фокус краевой зоны. Лучи
центральной зоны (при р = 0) пересекают ось при z = 0 и образуют параксиальный фокус. Расстояние между точками пересечения краевых (zm) и параксиальных (z = 0) лучей называется продольной сферической аберрацией. Здесь также можно выбрать какое-то промежуточное положение фокальной плоскости (плоскости изображения), обеспечивающее наименьшую аберрацию. Из уравнений (6.29а) и (6.35) следует, что
Рис. 6.12. Сферическая аберра-
%- = 4fi р3
ция между параксиальными и (6.36) краевыми зонами.
Эта зависимость построена графически на рис. 6.12 для различных положений плоскости zlt между фокусами параксиальных и краевых лучей.
199
Кома. Следующая аберрация третьего порядка называется комой и определяется членами уравнений (6.30) с коэффициентами с2:
~ = с2/гр2 (2 + cos 2<р), i\
= c2h р2 sin 2ф.
(6.37)
После перестановки, возведения в квадрат и сложения эта система принимает вид
(х0 — 2 с2 7?Ар2) + Уо = (с2 7?Лр2)2,
(6.38)
это уравнение круга с радиусом c2Rhp2 и координатами центра
х = 2с2 R/гр2; у = 0.
Данная кольцевая зона выходного зрачка образует круглое изображение. Все вместе зоны выходного зрачка дают изображение, показанное на рис. 6.13 и подобное по форме комете. Размеры и конфигурация пятна рассеяния комы заметно изменяются при перефокусировке.
Астигматизм и кривизна изображения. Астигматизм (члены с коэффициентами с3) и кривизна изображения
(члены с коэффициентами с4) могут быть рассмотрены совместно, поскольку в уравнении (6.30) они объединены:
= 2 (с3 + с4) h2 р cos ф; ~ = 2с4 h2 р sin ф. (6.39)
Возведение в квадрат и сложение дает уравнение эллипса 2 2
, уо 2
12(с24-с3) W]2 "И (2с3 Rh?)* Р или в общей форме
£ + 2 (с2 + с3) Rli212 1^4-2с3/?Л2
(6.40)
Отметим, что можно найти две поверхности изображения, на каждой из которых эллипс вырождается в линию. Эти линии взаимно перпендикулярны (рис. 6.14). Такие две поверхности называются тангенциальной zt и сагиттальной zs'.
Z/ = -2(c2 + c3) R*h,
(6-41)
zs = ~2c3 R*h.
200
Между zt и образуется круглое изображение, называемое кружком наименьшего рассеяния. Расстояние между сагиттальной и тангенциальной плоскостями, а также размер изображения линий в каждом положении служит мерой астигматизма оптической системы.
Рис. 6.14. Кривизна поля и астигматизм.
Рис. 6.15. Бочкообразная и подушкообразная дисторсия изображения прямоугольной сетки.
Дисторсия. Последняя аберрация третьего порядка называется дисторсией'.
У о =- о. (6.42)
Независимость от параметра р указывает на то, что вся энергия из выходного зрачка собирается в одну точку. Однако положение этой точки по полю меняется, в результате чего искажается масштаб вдоль оси х. Величина искажения пропорциональна кубу угла зрения. В зависимости от знака коэффициента ch образуется подушкообразная или бочкообразная дисторсия, как показано на рис. 6.15. С этими аберрациями приходится считаться только в приборах, предназначенных для точных измерений отклонений по полю зрения.
6.6. Приближенное уравнение в общей форме
Уравнение (6.30) можно написать для случая ф = 0:
х0 == Лр + Bh + Ср3 + Dp2 h + Eph2 + Fh? +
Уо = 0, (6.43)
где цовые коэффициенты Л, В, С, D, Е, F могут быть определены из уравнения (6.30).
Члены этого упрощенного уравнения соответствуют рассмотренным выше аберрациям:
Ар — поперечной хроматической,
Bh—продольной хроматической,
Ср3 — сферической,
201
D$2h — коме,
E^h? — астигматизму и кривизне поля,
Fh? — дисторсии.
Роль различных параметров при определении качества “оптической системы очевидна. Оптик-конструктор стремится уменьшить коэффициенты точным выбором общей схемы оптической системы, формы оптических поверхностей и показателей преломления элементов системы. При этом часто требуется разумный компромисс. Влияние параметров h и р на величины аберрационных ошибок носит общий характер для любых систем. Параметр h является мерой поля зрения оптической системы и при данном фокусном расстоянии может быть выражен в угловых единицах. Размер выходного зрачка определяется максимальной величиной р. Он связан с размерами оптической системы и может служить мерой относительного отверстия.
Хроматическая аберрация (член первого порядка) линейно зависит от поля зрения и относительной апертуры. Постоянная А в приведенном уравнении может принимать значение от 0,001 до 0,05, когда диаметр изображения с центром на оси равен выходному диаметру. Поскольку хроматическая аберрация зависит от изменения показателя преломления с длиной волны, эффективная полоса системы должна быть ограничена, особенно для тех диапазонов длин волн, где показатель преломления изменяется быстро. В противном случае этот член быстро становится доминирующим для большинства инфракрасных оптических материалов с большим показателем преломления.
Сферическая аберрация — единственная аберрация третьего порядка, не зависящая от поля зрения. Однако она очень сильно зависит от относительного отверстия и при большой светосиле часто является главным фактором, определяющим размер кружка рассеяния.
Для сферического зеркала диаметр кружка рассеяния изображения точки на оси выражается удобной приближенной формулой [41:
(7,8- IO-3) [рад]
или
1600 . ,г. .
-дТГ (с^]- (6.44)
Ошибка такого приближения не превосходит 3% даже для очень светосильного зеркала с N = 1 (относительное отверстие 1 :1). Для линзы as есть функция показателя преломления п и двух радиусов кривизны Rx и R2 поверхностей линзы. Оптимальное соотношение
Rz _ 2п2‘п
Ri 2 пг — п — 4
202
дает минимальный размер кружка рассеяния, обусловленного сферической аберрацией. Этот размер обычно больше, чем в случае сферического зеркала. Хроматическая и сферическая аберрации могут быть уменьшены изготовлением линзовых дуплетов в виде комбинации двух линз из материалов с различными показателями преломления. Кома появляется при отклонении от оси и увеличивается прямо пропорционально отклонению по полю зрения. Кома увеличивается пропорционально квадрату диаметра или относительного отверстия линзы. «Эффективный размер» пятна в случае комы для сферического зеркала с диафрагмой на изображении равен аг = Тб^’ (6'46)
где ас — выражается в тех же единицах, что и h (линейных или угловых). Кома параболического зеркала примерно такая же, что и по (6.46) и не зависит от положения диафрагмы. Кома сферического зеркала может быть сведена к нулю, если расположить входной зрачок в центре кривизны. Можно также сделать линзу, свободную от комы, соблюдая соотношение
Rz _ п2
Rt ~ (п2-п-1)’
Оптикам приходится принимать компромиссные решения при попытке выполнить условия (6.45) и (6.47).
Для наклонных пучков, составляющих большой угол с оптической осью, в аберрациях изображения преобладает астигматизм. Астигматизм и кривизна поля возрастают пропорционально квадрату угла поля зрения. Диаметр кружка наименьшего рассеяния, лежащего между сагиттальной и тангенциальной плоскостями, для линзы или зеркала равен [4]
= (6.48)
где аа и h выражены в радианах. Смещением входного зрачка в центр кривизны сферического зеркала или в фокус параболического зеркала астигматизм может быть сведен к нулю.
Дисторсия изображения становится заметной у широкоугольных систем и зависит от куба смещения по полю зрения.
Требования к светосильной широкоугольной инфракрасной системе с хорошим качеством изображения по полю зрения приводят к противоречиям, что видно из приведенных выше уравнений. Способы, с помощью которых разрешаются эти проблемы в современных конструкциях, описаны в конце следующего параграфа.
6.7. Дифракционный предел
Возможно ли исключить все аберрации системы? Да, для простого параболического зеркала, проектирующего изображение объекта, удаленного на бесконечность, аберрации практически от
203
сутствуют. Останется только сферическая аберрация, но и она может быть сведена к нулю подбором профиля зеркала.
Существуют различные профили, которые почти свободны от аберраций при малых углах зрения. Во всех этих случаях геометрический ход лучей таков, что они должны были бы собираться в точку. Однако при наблюдении изображения поток не собирается в точку, а распределяется на некотором участке, образуя дифракционную картину. Дифракция объясняется волновой природой света и происходит за счет физических причин, искажающих фронт волны.
Во всех оптических системах ширина пучка ограничена диафрагмами; на этих диафрагмах и происходит дифракция. Искажения, обусловленные дифракцией, приобретают практическое значение лишь в том случае, когда аберрации системы существенно уменьшены за счет рациональной ее конструкции. Дифракционные ограничения ставят принципиальный предел минимального кружка рассеяния и максимальной разрешающей силы и в конечном счете ими определяется наилучшее качество изображения, которое в принципе может обеспечить данная система.
При известных амплитуде и фазе волны на выходном зрачке можно вычислить распределение энергии в изображении точки. Здесь не ставится цель дать полное описание волновых явлений и сформулировать проблемы дифракции, как это сделано в классических трудах по теоретической оптике [5]. Мы сразу сформулируем утверждение, что распределение амплитуд дифракционного изображения точки может быть представлено как двумерное преобразование Фурье функции распределения амплитуд на выходном зрачке. Это утверждение справедливо, если излучение монохроматично, а размеры выходного зрачка велики по сравнению с длиной волны, но малы по сравнению с расстоянием от диафрагмы по фокальной плоскости
Н (*о*> Уо) = J j h у) e~z <«*о+^уо) dudv, (6.49) —00
где и и v — пространственные частоты, определенные на выходном зрачке
2к
U ~XKf>’
В полярных координатах
т
н (Ро; ф) = j J h (г; 0) о о
e-»rp„ cos (0 - ?) fdrdfi,
(6.49а)
204
где
х0 = pocosq),
Уо = posinqp, и = г cos 0, v = г sin 0.
При установлении пределов мы считаем, что фронт волны ограничен круглой диафрагмой с диаметром D. Предположим также, что облученность h (г, 0) в плоскости апертурной диафрагмы равна постоянной А по всей диафрагме.
Функция Бесселя Jo (г) определяется выражением
J° dy,
о а (г)] = г-Поэтому
Я (ро) = 2лЛ С rJ0 (rp0) dr = ~2~ \ d [(гр0) Л (гр0) 1 = о' Ро о
= л4 А Г271 {Гт ро)1. (6.50)
гпг ро J
При некогерентном облучении нормированный энергетический спектр или распределение энергии в изображении дается возведением в квадрат сомножителя в квадратных скобках
^^1 (Г7П Ро) 2 ___ гт ро
поскольку _ 2л: Гт ~ X/? и
|//о|2 = [
Эта задача о распределении энергии в изображении, создаваемом идеальной оптической системой при прохождении плоских волн через круглую диафрагму, решена Эри в 1835 г. Дифракционная картина состоит из центральной части, называемой диском Эри, окруженной концентрическими кольцами убывающей яркости.
205
Размеры диска Эри можно найти, решая уравнение (6.51). Первый нуль | Но |2 соответствует аргументу 3,832. Это дает радиус диска Эри
p0 = l,22MV. (6.52)
В диске сосредоточено 83,8% энергии приходящего излучения.
Разрешающая способность телескопа, т. е. минимальный угол у0 между двумя точечными объектами, наблюдаемыми раздельно
Энергия в
относительных единицах
Рис. 6.16. Распределение энергии в дифракционном изображении точки. ------ распределение в монохроматическом потоке для средней длины волны диапазона; ------ распределение для всего диапазона; —••—кривая закона
нормального распределения.
в плоскости изображения, согласно Рэлею равна половине диаметра центрального диска (в угловых величинах)
То = 1,22^. (6.53)
Доля энергии, приходящаяся на кольцевую зону радиуса [определяется интегрированием выражения (6.51)1, равна
(>)] (6'54)
Распределение энергии в дифракционной картине, рассмотренной выше, рассчитано для монохроматического потока определенной длины волны. Инфракрасная аппаратура часто предназначается для широкой полосы частот — широкой по сравнению с видимым 206
спекуром. Здесь встает вопрос о распределении энергии в пределах круга заданного радиуса, образованного излучением с различными длинами волн.
Задача решается суммированием или интегрированием членов формул (6.51), (6.54) по полосе частот (длин волн) при фиксированном значении р0. Эти вычисления выполнены для отношения граничных длин волн диапазона, равного 3,12; т. е. результат будет справедлив для полос от 1,8 до 5,625 мк, от 8 до 25 мк и т. д.
Соответствующий график показан сплошной кривой на рис. 6.16. Там же изображен график монохроматической дифракции для средней длины волны диапазона. Третья, штрих-пунктирная кривая изображает нормальное распределение, причем масштаб выбран так, что значение За приходится на первый нуль монохроматической дифракции. Легко видеть, что дифракционные кольца, заметные при монохроматической дифракции, сглаживаются, когда интегрирование производится по полосе частот. Полагая этот случай типичным, можно считать приемлемой оценку дифракционной картины в полосе по дифракции на средней длине волны. Возможно, что лучшее приближение дает нормальный закон.
В приведенном примере принято равномерное распределение мощности по длинам волн. На практике спектральные характеристики цели, оптических фильтров и приемника играют роль коэффициентов веса в процессе суммирования.
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ
Оптические схемы, используемые в инфракрасной технике, подобны оптическим схемам визуальных устройств, таких, как фотоаппарат или телескоп. В этих приборах совокупность линз или зеркал, создающих изображение на чувствительной поверхности, называется объективом. Если телескоп предназначен для визуального наблюдения, он снабжается дополнительным устройством — окуляром. Окуляр обычно состоит из двух компонентов — коллектива и глазной линзы. Коллектив служит для направления потока от изображения к глазной линзе. Глазная линза совместно с хрусталиком человеческого глаза фокусирует изображение объекта на сетчатку. Инфракрасные оптические системы состоят обычно из таких же компонентов, с тем отличием, что отсутствует глазная линза.
Основной частью инфракрасной оптической системы является объектив. Для отдельных задач применяются также коллективы. Ниже будут рассмотрены различные схемы объективов, разработанные для видимой области, и особенно те, которые могут применяться в инфракрасной области спектра. Оптика объективов бывает трех видов: линзовая, зеркальная и зеркально-линзовая. В таком порядке соответствующие схемы изображены на рис. 6.17, 6.19, 6.20.
207
6.8. Линзовая оптика
Простая линза« Простейшим устройством, создающим изображение, является положительная линза. Такая простая линза была использована в качестве объектива первого телескопа, построенного Галилеем, а позднее применялась в телескопе Кеплера. Простая
ж)
Рис. 6.17. Линзовая оптика:
линза обладает всеми аберрациями, особенно хроматической и сферической. Она применяется в инфракрасных устройствах, когда не требуется хорошего качества изображения.
Инфракрасный вариант простой линзы — сплошной сферический сингулет, который называется также «глазным яблоком». Если показатель преломления материала линзы равен примерно 2, входящие параллельные лучи будут фокусироваться на противоположной стороне сферы, где может быть установлен приемник. Если на такую линзу падает очень широкий пучок, то часть лучей попадает в область полного отражения. В результате обра-
а — простая линза; б —глазное яблоко; в — ахроматический дублет; г — триплет; д — система Петцваля; е—-Цейсс Биотар; ж — линза Френеля.
зуется естественная подвижная апертурная диафрагма всегда концентричная глав-
ному лучу при любом угле падения пучка (рис. 6.17,6). Это значит, что хорошее качество изображения сохранится при значительных углах зрения. Так же, как и простая линза, сферический сингулет обладает сильной хроматической и сферической аберрациями. Кроме того, невоз-
можно хорошо защитить такую конструкцию диафрагмами от рассеянного излучения при большом поле зрения.
Ахроматический дублет. В 1733 году Холл обнаружил, что хроматическую аберрацию можно уменьшить, применяя комбинацию из двух линз с различными показателями преломления. Например, ахроматический дублет для видимой области может быть сделан из положительной линзы (из крона) и отрицательной линзы (из флинта). Дублет не дает дисперсии в узком участке видимой области и обладает свойствами положительной линзы. СферическиеТаберра-ции дублета снижаются подбором радиусов кривизны передней и задней поверхности каждого элемента. Сравнение сферической абер-
208
рации по зонам у скорректированного дублета и двояковыпуклой простой линзы показано на рис. 6.18. Если одну поверхность тщательно отполировать, изменяя кривизну и профиль, сферическая аберрация будет снижена еще больше. Линзы дублета склеиваются вместе, если коэффициенты расширения стекол примерно одинаковы. Вследствие того, что выбор материалов для инфракрасной области спектра ограничен, в современных приборах чаще применяются разделенные дублеты. Их недостаток — потери на двух
дополнительных отражающих поверхностях, однако возможность
независимого перемещения линз обеспечивает лучшие условия для
исправления аберраций. Пример ахроматического дублета для инфракрасного излучения описан Трейтингом [7]. Конструкция состоит из кремниевой и германиевой линз с показателями преломления соответственно 3,458 и 4,116 при X = 2 мк. Хорошая коррекция получается в области от 2,2 до 2,6 мк при расстоянии между f
линзами равном
Рис. 6.18. Зональная сферическая аберрация: /—простая двояковыпуклая линза; 2 — ахроматический дублет; 3 — асферический 24-дюймовый рефрактор Лоуэлловской обсерватории.
Триплет® Применение трех компонентов обеспечивает большую возможность исправления аберраций, особенно кривизны поля и астигматизма при больших углах зрения (до 15 4- 20°). Триплет Кука состоит из комбинации разделенных линз
(положительная — отрицательная — положительная) с диафрагмами между линзами. Эта схема может быть успешно применена в инфракрасном устройстве с умеренным относительным отверстием. Схема требует большого внимания при сборке и юстировке. Поверхности могут быть просветлены для уменьшения потерь на отражение путем нанесения покрытия толщиной в четверть
длины волны. Объектив Цейсс Тессар является модификацией этой схемы, в которой последний элемент сделан из двух линз (положительной и отрицательной).
Многоэлементные системы® Схема Петцваля состоит из двух положительных ахроматических дублетов. Если второй дублет — отрицательный ахромат, то получается длиннофокусная система. Астрономический фотоаппарат Росса состоит из четырех разделенных компонент. Входная апертурная диафрагма устанавливается перед линзами. Схема пригодна для некоторых применений в инф
ракрасной технике.
Известны более сложные схемы. Например, объектив Цейсс Биотар рассчитан на хорошее качество изображения по всему тридцатиградусному полю при относительном отверстии от 1 : 1,4 до 1 : 2,5. Многолинзовые системы создаются с целью дальнейшего уменьшения основных аберраций по всему полю зрения. Такие мно-
гоэлементные системы не представляют значительного интереса
8 Зак.' 1502
209
для инфракрасной аппаратуры, вследствие больших потерь на поглощение и отражение. Кроме того, когда в качестве материалов линз используется кремний, германий и другие инфракрасные материалы, наблюдается значительное рассеяние.
Линза Френеляв Линза Френеля (рис. 6.17, ж) составлена из концентрических зон, каждая из которых имеет профиль, рассчитанный на концентрацию потока в одну точку. Линза практически свободна от сферических аберраций при правильном конструировании. Однако линзы Френеля нельзя изготовлять на обычном оборудовании. По этой причине линзы почти не изготавливаются из инфракрасных оптических материалов. Отражательный аналог линзы Френеля также не популярен в инфракрасной технике.
6.9. Отражательная оптика
К преимуществам отражательных систем (рис. 6.19), т.е. систем, состоящих из зеркал вместо линз, относится компактность конструкции и отсутствие хроматических аберраций. Последнее обстоя
тельство представляет инте-
рес по следующим причинам. Для длинноволновой области список подходящих пропускающих излучение материалов ограничен. Это ограничение снимается при использовании отражательной оптики, которая работает при всех длинах волн. Изображение, создаваемое изготовленной системой, часто желательно проверить визуально. Возможность такой непосредственной визуальной проверки также относится к числу преимуществ зеркальных систем. Действительно, в зеркальной системе изображение получается в одной плоскости для всех длин волн, в отличие от линзовой
Рис. 6.19. Зеркальная оптика:
а — простое зеркало; б — схема Гершеля; в—схема Ньютона; г —схема Грегори; д — схема Кассегрена.
системы, в которой плоскость изображения в инфракрасных лучах не совпадает с плоскостью видимого изображения.
К недостаткам большинства отражательных систем относится экранировка потока вторичным зеркалом, что приводит к снижению общего коэффициента пропускания. Потери при прохождении излучения в зеркальных системах могут быть и больше, и меньше, чем в линзовых. Алюминий при хорошем качестве покрытия обладает коэффициентом отражения более 90%« Поверхность может быть
210
защищена дополнительным покрытием, например тонкой пленкой SiO или кварца, получаемой обычно испарением в вакууме. Ввиду того, что зеркала в инфракрасной аппаратуре отражают длинноволновые излучения, требования к чистоте поверхности могут быть несколько снижены по сравнению с зеркалами для видимой части спектра. Конструкция оправ и держателей для отражательных систем с непрямым ходом лучей обычно более сложна, чем для линзовых систем, однако сами по себе зеркала дешевле линз.
Одиночное зеркалов Простое вогнутое сферическое зеркало об’ ладает свойством собирать приходящий параллельный пучок лучей. Такое зеркало является аналогом простой линзы и действует почти также, но не имеет хроматической аберрации. Если поверхность сделать слегка параболичной, сферическая аберрация исчезнет и в осевой зоне можно будет получить хорошее изображение, однако для внеосевых пучков увеличится кома. Точная параболическая поверхность обычно изготовляется вручную и для размеров более 30 см в диаметре зеркало становится дорогостоящим, поскольку большое зеркало трудно обрабатывать. Величина требуемой коррекции, т. е. изменения сферического профиля в сторону параболического тем больше, чем больше относительное отверстие. Для малых относительных отверстий, начиная от 1 : 12 и меньше, требуемая коррекция столь незначительна, что ее уже нет смысла делать. Простые сферические зеркала часто применяют в инфракрасной аппаратуре с небольшим полем зрения. Блок приемника располагается обычно близ фокуса зеркала и экранирует определенную часть падающего на зеркало потока. Если это нежелательно, может быть применена схема Гершеля.
Схема Гершеля.^ В схеме Гершеля глаз или приемник располагается в стороне от входящих в телескоп лучей. Это достигается наклоном зеркала относительно входящего пучка, что и дает вынос изображения. Зеркало является эксцентричной частью параболоида. Такое зеркало обрабатывать в два раза труднее, чем обычное зеркало такого же диаметра. В самом деле, метод изготовления состоит в вырезании внецентренной части параболического зеркала вдвое большего диаметра. Аберрации прямо пропорциональны размеру диаметра исходного зеркала. Недостатки системы превалируют над незначительными преимуществами, обусловленными отсутствием экранировки и поэтому схема используется очень редко.
Системы с изломом хода лучей. Лучи от простого зеркала часто приходится отклонять для выноса фокальной плоскости в более удобное место. Один из методов состоит в повороте сходящихся лучей в сторону на 45° с помощью призмы или плоского зеркала. Такая схема впервые использовалась в отражательном телескопе, построенном Ньютоном примерно в 1672 г. и с тех пор стала популярной в астрономических приборах. При поле зрения в Г экранировка вторым зеркалом не превосходит 10%« В инфракрасных приборах чаще используется концентрический контротражатель. В такой кон-
8* 211
струкции фокальная плоскость выносится в подходящее положение на оси первичного зеркала. Для визуального телескопа это положение выбирается позади первичного зеркала, а в инфракрасной системе может быть выбрано в любом месте. Системы с концентрическим изломом делятся на два класса: системы Кассегрена и системы Грегори, и отличаются они положением вторичного зеркала до или после первого фокуса. Система Грегори обычно имеет вогнутый контротражатель, а система Кассегрена — выпуклый. Исторически объектив Грегори был построен раньше. Он длиннее, чем объектив Кассегрена, и поэтому используется реже. Применяют систему Грегори в настоящее время в основном астрономы-любители, которые считают, что вогнутое зеркало легче изготовить, чем выпуклое.
Система Кассегрена^ Схема Кассегрена или ее модификации наиболее широко используются в современных инфракрасных системах. Схема Кассегрена обеспечивает компактную конструкцию объектива. Повернутые вторичным зеркалом лучи направляются в отверстие основного зеркала и таким образом фокальная плоскость оказывается там, где удобно расположить модулятор, линзу-коллектив и блок приемника. Отверстие в первичном зеркале обеспечивает удобную настройку. Экранировка входного потока достигает 25%. Если оба зеркала сферические, то объектив Кассегрена обладает всеми аберрациями третьего порядка. Искажения могут быть уменьшены путем применения асферических^поверхностей. Например, в варианте Риччи — Кретьена установлены слегка сплюснутое сфероидальное первичное зеркало и эллиптическое выпуклое зеркало, дающее изображение со сравнительно малой комой. Схема Долл — Киркхэма представляет комбинацию эллипсоидального первичного зеркала со сферическим вторичным. В другом варианте для уменьшения сферических аберраций параболическое первичное зеркало сочетается с гиперболоидальным вторичным. Изображение может быть улучшено корректировкой вторичного зеркала, которое легче обрабатывать, чем первичное, вследствие меньших размеров. Качество изображения может быть улучшено также введением преломляющих элементов в основную схему. Система Кассегрена с выпуклым вторичным зеркалом является основной частью длиннофокусных телефотообъективов.
Второй (отрицательный) элемент телеобъектива уменьшает угол схождения луча, отраженного от первого положительного элемента. В результате эффективное фокусное расстояние получается значительно больше, чем геометрическое расстояние между первичным зеркалом и фокальной плоскостью. В простой конструкции можно получить превышение эффективного фокусного расстояния над геометрическим в два-три раза. Один из выпускаемых промышленностью телескопических объективов [8] астрономического качества с эффективным фокусным расстоянием 210 см размещается в корпусе длиной 18 см благодаря применению схемы с многократным отражением. Изменение эффективного фокусного расстояния, и соответственно кратности увеличения, достигается изменением расстояния 212
между зеркалами. При этом изменяется положение фокальной плоскости. В объективе Зумар использован этот принцип перестройки, но при неизменном положении фокальной плоскости.
6.10. Зеркально-линзовые системы
Зеркально-линзовые системы, объединяющие преимущества линз и зеркал, в истории оптики появились сравнительно недавно. Особенно это относится к группе концентрических зеркально-линзовых систем с большой светосилой
Рис. 6.20. Зеркально-линзовые системы: а — зеркало Манжена; б —схема Шмидта, в —иммерсионная схема Шмидта; а —схема Шмидта; д — схема Максутова; а —концентричная схема Бауэра; ж —«супер-шмидт».
и широким полем зрения. Схемы различных систем приведены на рис. 6.20.
Зеркало Манженай Зеркало Манжена — это единый сплошной рефрактор-рефлектор, представляющий собой полированный с двух сторон мениск с зеркальной тыльной поверхностью. Его можно рассматривать как двойную линзу с зеркалом посередине. Преломляющая среда отклоняет лучи до и после падения их на зеркальную поверхность. Выбором радиусов кривизны передней и тыльной поверхностей сферическая аберрация и кома могут быть для небольшого угла поля зрения уменьшены, хотя хроматическая аберрация частично остается. Зеркало Манжена иногда используется в схеме Кассегрена. Зеркало дает хорошие результаты в
качестве вторичного. Дополнительная стоимость полировки двух сферических поверхностей часто бывает оправдана при создании инфракрасной системы.
Система Шмидта« Система, изобретенная Бернардом Шмидтом, хорошо известна всем астрономам. Она очень удобна для составления карты неба, выполняемого на обсерваториях Маунт Вильсон и Паломар. Схема Шмидта состоит из сферического зеркала в комбинации с асферической линзой или корректирующей пластинкой, устанавливаемой в центре кривизны зеркала. Сферическое зеркало с апертурной диафрагмой в центре кривизны обладает основными свойствами всех концентрических систем. При таком расположении апертурной диафрагмы центральный или главный луч пучка должен
213
проходить через центр кривизны зеркала. Входной пучок при этом падает на часть зеркала, концентричную главному лучу, и фокусируется приблизительно посередине между центром кривизны и зеркалом. Поскольку поверхность зеркала сферическая, пучок, входящий в систему под любым углом, пойдет тем же путем. Создавая изображение на оси при любых углах падения, система практически свободна от аберраций, связанных с наклонными пучками, т. е. комы, астигматизма и дисторсии.
Корректирующая пластина в системе Шмидта ставится для устранения главной аберрации — сферической — без существенного увеличения других аберраций. Для этого хорошо подходит пластина с асферической поверхностью, слегка утолщенная в центре и по краям. Отклонение от равномерной толщины небольшое, но требует высокой точности и мастерства в производстве. Изображение при хорошей «пластине получается удовлетворительным в пределах поля зрения до 25° при достаточно больших относительных отверстиях порядка 1:1. Корректирующая пластина в некоторой мере вносит кому и хроматическую аберрацию. Кроме того, возникают сферические аберрации за пределами спектрального участка, для которого рассчитан профиль пластины. Рассмотренная схема дает фокальную «плоскость» в виде сферической поверхности. Поэтому поверхность приемника нужно искривлять или, при необходимости, вводить вблизи фокальной поверхности дополнительный элемент, спрямляющий поверхность изображения (§ 6.12).
Иммерсионный (т. е. из сплошного материала) объектив Шмидта удобен при большом относительном отверстии. При этом пространство между корректирующей поверхностью и фокальной плоскостью заполнено оптическим материалом. Возможность получения большого относительного отверстия объясняется тем, что эффективное фокусное расстояние иммерсионной системы, по сравнению с неиммерсионной, обратно пропорционально показателю преломления материала. Это выгодно при создании устройства, критичного к относительному отверстию, как показано в гл. 14. Выгода, получаемая от большого относительного отверстия, может быть утрачена из-за поглощения в материале. Необходимо также отметить, что для полной иммерсии приемник должен находиться в том же материале или в материале с таким же высоким показателем преломления. Система Шмидта с поворотом лучей объединяет достоинства широкоугольной системы (Шмидта) с компактностью схемы Кассегрена. При этом возможны различные варианты конфигураций элементов и их взаимного расположения. Если первичное и вторичное зеркала имеют сферическую поверхность, система может дать очень хорошее качество изображения. Если вторичное зеркало скорректировано и установлено соответствующим образом, можно получить хорошее качество изображения в плоской фокальной поверхности. В лучших схемах фокальная плоскость получается впереди первичного зеркала, однако система Шмидта — Кассегрена может быть создана с плоскостью изображения и позади первичного зеркала.
214
Система Максутова.: Системы Максутова и Бауэрса относятся к наиболее новым схемам оптики с широким полем зрения. В этих системах асферическая корректирующая пластина заменена отрицательной менисковой линзой со сферическими поверхностями. Большой разницы между системами Максутова и Бауэрса нет. Эти системы были разработаны независимо в начале сороковых годов и оба исследователя основывались на конструкции, содержащей сферическую линзу для коррекции. Вследствие широкого применения именно максутовского варианта эта схема в общем известна под названием системы Максутова. В специальных устройствах, где все сферические поверхности имеют общий центр, схема обычно называется концентрической системой Бауэрса.
Отрицательная корректирующая линза Максутова предназначена для устранения сферической аберрации первичного зеркала. При правильно подобранных радиусах и толщине линзы она вносит незначительную хроматическую аберрацию. Конструкция может быть сделана более компактной, чем система Шмидта. Трудность изготовления менисковых линз большой кривизны может быть уменьшена путем формовки материала перед шлифовкой и полировкой.
Концентрическая система Бауэрса. Во многих оптических конструкциях трудно обеспечить хорошее качество изображения в широком угле поля зрения, качество к краю поля зрения ухудшается. Система Бауэрса с апертурной диафрагмой в центре кривизны дает хорошее качество изображения по всему полю зрения. Это свойство концентричности, отмеченное выше, обусловлено тем, что все поверхности — передняя и задняя поверхности корректирующей линзы и отражающая поверхность первичного зеркала — концентричны и поэтому входной пучок лучей, падающий под любым углом, пересекает сферический сегмент каждого элемента, концентричный главному лучу, проходящему через центр кривизны. Геометрия изображения одинакова в широком угле зрения. Это утверждение необходимо уточнить в связи с тем, что диаметр входного пучка уменьшается пропорционально косинусу угла наклона пучка к оси. Это приводит к уменьшению облученности с увеличением угла. В этой схеме изображение не вполне свободно от сферической аберрации. Дополнительная корректирующая пластина улучшает качество изображения. Для многих инфракрасных устройств качество изображения не так важно, как, например, для фотографии. Свойство системы Бауэрса — давать одинаковое изображение по всему полю зрения — особенно ценно для таких инфракрасных систем, работоспособность которых не должна зависеть от положения цели в поле зрения.
Системы Максутова и Бауэрса дают искривленную поверхность изображения — недостаток в инфракрасных устройствах не столь существенный, как в фотокамерах, поскольку форму приемника можно сделать совпадающей с искривленной поверхностью изображения. Ход лучей может быть так же изломан, как в системе Кассегрена.
215
Для очень широкоугольных систем конструкция получается громоздкой. Однако, если требуется большое поле зрения только в одном направлении, конструкция может быть достаточно компактной.
Известно много других конструкций, которые являются комбинациями или усовершенствованиями описанных схем. Они обычно называются по имени изобретателя, например системы Габора, Беккера и др. Примером системы, изготовленной для фотографирования метеоров, является так называемый «супер Шмидт», объединяющий свойства системы Бауэрса и склеенного ахроматического дублета в качестве корректирующей пластинки в центре кривизны. Сочетание большого относительного отверстия и четкого изображения в поле зрения 55° обусловило сложность конструкции. Во многих случаях в инфракрасной технике такого совершенства оптики не требуется.
6.11. Коллективы
Выше уже упоминалось о том, что коллектив является частью окуляра телескопа. Теперь рассмотрим роль этой линзы в инфракрасных устройствах.
Поток излучения, сфокусированный системой и закодированный (промодулированный) каким-либо способом, должен быть направлен затем на приемник. В простейшем случае приемник может быть расположен в фокальной плоскости. Известно, однако, что пороговая
чувствительность приемников многих типов возрастает при умень-
шении их размеров. С другой стороны, размеры приемника определяются размером изображения. Для уменьшения размеров изо-бр ажени я оптическими
средствами служит линза-коллектив.
Рис. 6.21. Схемы расположения объектива Коллектив< Линза-КОЛ-и коллектива. лектив проектирует вход-
ной зрачок в некоторую зону за фокальной плоскостью (рис. 6.21). Практически ее действие подобно действию всего окуляра в телескопической си-
стеме, но все такие устройства известны под названием коллективов. Качество изображения, даваемое коллективной линзой, большого значения не имеет. Она должна только собрать поток со всего поля зрения в возможно меньшую область. Упрощенное рассмотрение хода лучей, показанного на рис. 6.21, позволит пояснить это свойство. При расположении приемника в фокальной плоскости его диаметр для обеспечения поля зрения а должен быть равен:
Df= s'2 tg^-De Ne а для а<1. (6.55)
216
Коэффициент усиления (6.21)
Gp^T(Nea)\
Правильно подобранная коллективная линза проектирует отверстие объектива в плоскость Dd. Если приемник расположен в этой плоскости, из уравнений (6.5) и (6.55) следует:
1 _ J £ s" — ff s' ‘
Решая эти уравнения совместно, получаем
2 De N f a
X~Nfa
для a« 1,
Dd^DeNfa для Nfa^ 1, (6.56)
Gp^T(^a)2.
Отсюда видно, что коллектив позволяет уменьшить диаметр приемника примерно во столько раз, во сколько относительное отверстие коллектива больше относительного отверстия объектива. При определении коэффициента усиления нужно Ne заменить на Nf. Относительное отверстие оптической системы в целом определяется светосилой коллектива. Теоретический предел относительного отверстия неиммерсионной системы коллективная линза — приемник равен 1. Если нанести поверхность приемника на материал с большим показателем преломления, светосила может быть увеличена.
Вторым достоинством использования системы коллектив — приемник является усреднение потока по поверхности приемника (чувствительность приемника в разных точках поверхности обычно неодинакова). Колллективная линза более равномерно распределяет поток по поверхности приемника, усредняя неравномерность чувствительности.
Коллективы могут состоять из одного, двух или трех компонентов (рис. 6.22). Кривизна поверхности некоторых компонентов светосильных коллективов может быть очень большой, но сами компоненты невелики и поэтому обходятся недорого.
Потери на поглощение и отражение в коллективе часто превышают 50%«Этот недостаток нужно сопоставлять с выгодой, получаемой от применения приемника малых размеров. Если объектив имеет большую светосилу, применение коллектива может оказаться неоправданным. Критической величиной является светосила объектива, равная 1. Оптик должен внимательно изучить преимущества 8В. Зак.1502 217
применения светосильного объектива с коллективом. Система с ме-
нее светосильным объективом нуждается в меньшей коррекции для получения заданного качества изображения. Линейный размер изображения у длиннофокусной системы больше, поэтому ускорения механических модуляторов будут меньше и т. д. Недостаток длиннофокусной системы — ее большие габариты. Применение телеобъектива позволяет уменьшить размеры при большом фокусном расстоянии.
Оптический конусу Коллектив в форме конуса имеет то же назначение, что и коллективная линза. Входящий поток многократно отражается и концентрируется на площади небольшого размера.
Приемник
Существуют критические углы
Фокальная
в)
Рис. 6.22. Схемы коллективов:
а —обращенный дуплет; б—трехкомпонентный коллектив; в —коллектив в виде оптического конуса.
конуса, при которых конус становится светопроводом, а не просто прозрачной средой. Оптический конус обычно применяется для передачи некруглых, например, прямоугольных изображений. Пропускание конуса невелико
и, когда это имеет значение, предпочтение отдается линзе. Линзовые или конические коллективы с большой светосилой широко используются в инфракрасных устройствах, так как дают возможность применять приемники небольших размеров или получать большой коэффициент усиления с равномерным распределением потока по
поверхности приемника.
6.12. Вспомогательная оптика
Обтекатель^ Оптическая деталь, располагаемая перед объективом и служащая для его защиты, называется обтекателем. Конические обтекатели применяются для передних поверхностей объективов, находящихся в воздушном потоке (на самолетах и ракетах). Обтекатель должен быть изготовлен из прочного материала. Большинство прозрачных в инфракрасной области оптических материалов непригодно для изготовления обтекателей вследствие их мягкости или хрупкости. Наиболее подходящими материалами являются кремний или кварц.
Обтекатель обычно имеет плоскую или сферическую форму. Плоский обтекатель не искажает изображения. Сферическая форма обтекателя учитывается при расчете оптической системы с целью улучшить качество изображения. Профили, отличные от сферическо-218
го, нежелательны, хотя оживальная или коническая формы часто обладают наилучшими аэродинамическими характеристиками.
В последнее время появились обтекатели для совмещенных инфракрасно-радиолокационных систем. Они должны быть прочны и прозрачны для инфракрасного излучения и радиоволн.
Линза для спрямления поверхности изображения, Эта линза устанавливается вблизи фокальной плоскости. Когда линза устанав-ливается очень близко от фокальной плоскости, она оказывает наименьшее влияние на изображение и просто исправляет в нужном направлении форму фокальной поверхности.
Сканирующие зеркала, Плоское зеркало отклоняет поток излучения в соответствии с законом о равенстве угла падения углу отражения. Если зеркало вращается, вращается и отраженный луч, но со скоростью, вдвое большей. Подвижное зеркало в оптической системе отклоняет поле зрения прибора и заставляет его перемещаться — сканировать некоторую часть пространства. Изобретено большое количество систем сканирования для получения поля обзора, большего, чем поле зрения системы.
Сканирующее зеркало (или зеркала) часто устанавливается перед объективом в параллельном ходе лучей. Сканирующие зеркала иногда располагаются также в сходящемся пучке позади объектива. Имеется существенное различие между этими видами сканирования. При сканировании в параллельном пучке требования к полю зрения системы не зависят от поля обзора. Когда сканирующее зеркало находится в сходящемся пучке, оптическая система должна быть скорректирована для всего поля обзора. Законы движения зеркал, установленных в параллельном и сходящемся пучках, также должны быть различными для получения одинаковых разверток.
Призмы, Простая призма или клин из стекла отклоняет поток на величину, зависящую от угла при вершине призмы, угла падения и показателя преломления материала в соответствии с законом синусов [уравнение (6.2)]. Вследствие зависимости показателя преломления от длины волны происходит дисперсия потока излучения. Угол дисперсии между двумя «цветами» приблизительно равен разности показателей преломления для этих двух длин волн, умноженной на угол призмы (при малых углах призмы). В инфракрасных спектрометрах устанавливается одна или несколько призм для разделения потоков с различными длинами волн. Такая хроматическая дисперсия, однако, нежелательна, если призма используется в качестве устройства для отклонений линии визирования оптической системы. Иногда удается исключить дисперсию с помощью второй призмы. Такая комбинация получается в некотором диапазоне длин волн ахроматичной.
С помощью призм можно реализовать интересные сканирующие движения. При вращении одной призмы перед объективом получается коническое (нутационное) сканирование. Наклонная плоскопараллельная пластинка в сходящемся пучке дает тот же результат. Коническое сканирование получается также при эксцентричном вра-
8В* 219
щении зеркала в системе со вторичным зеркалом. Вообще говоря, можно сделать зеркальный аналог призмы. С помощью двух вращающихся навстречу друг другу призм можно получить эллиптическое сканирование и различные виды спирального сканирования. Призма Дове поворачивает поле зрения в одном направлении. Следовательно, при вращении призмы будет вращаться мгновенное поле зрения прибора. Все упомянутые сочетания зеркал и призм, а также некоторые другие комбинации применяются в инфракрасных системах.
Делители.^ Делители применяются при необходимости разделить поток на две части. Полупрозрачное зеркало частично отражает поток, а частично пропускает его в прямом направлении. Такое зеркало неселективно. Дихроичное зеркало разделяет поток в спектральном смысле — пропуская, например, излучение в одной спектральной области и отражая в другой. Второй метод разделения потока применяется в том случае, когда нужно сравнить чувствительность устройства в двух спектральных диапазонах. Когда делитель располагается в сходящемся пучке, происходит сдвиг фокальной плоскости.
Линзы Рэлея и светопроводы. Линзы Рэлея служат для перефокусировки изображения в новую, более удобную плоскость. Конструкция таких линз подобна конструкции объективов. Вследствие сложности и потерь на поглощение линзы Рэлея избегают применять.
Светопроводы также служат для переноса изображения, но без перефокусировки. Оптический конус является вариантом светопровода. В инфракрасной технике светопроводы из волоконной оптики находят такое же применение, как в приборах видимого спектра. Например, если поле зрения имеет форму щели, волоконная оптика может передать его к круглой линзе или квадратному приемнику. Волоконная оптика при хорошем изготовлении обладает хорошим пропусканием, поскольку внутри волокон происходит полное внутреннее отражение, а потери на торцах при наличии просветляющих покрытий могут быть незначительными.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Аа — площадь чувствительной поверхности приемника;
Ае — площадь входного зрачка;
В — лучистость (яркость) объекта;
с — скорость света в пустоте;
D — диаметр диафрагмы, ограничивающей фронт волны;
Dd — диаметр приемника, расположенного в плоскости изображения коллектива;
De — диаметр входного зрачка или объектива;
D-f — диаметр коллектива или приемника, расположенного в фокальной плоскости объектива;
d — диаметр кружка рассеяния;
Е — облученность на входном зрачке;
Е' — облученность изображения;
F — поток, попадающий во входной зрачок;
F' — поток, создающий изображение;
220
f — фокусное расстояние;
f/ — фокусное расстояние коллектива;
G — коэффициент усиления оптики;
Ga — коэффициент усиления оптики для протяженных объектов;
Gp — коэффициент усиления оптики для точечных объектов; //(ро,?); //(x0,z/0) — функция распределения облученности в дифракционном изображении точки;
| Но |2 — нормированное распределение энергии в дифракционном изображении;
h — величина искажения фронта волны относительно идеальной сферы;
h(u, v) — распределение амплитуды по входному зрачку;
i — угол падения;
i, j, k — единичные векторы координат х, у, 2;
I — сила излучения объекта;
</о; Ji—функции Бесселя;
т — увеличение;
N — отношение фокуса к диаметру апертурной диафрагмы для оптической системы;
Ne — то же для объектива;
N/— то же для коллектива;
п, nlt п2, п' — показатели преломления;
Р — вектор луча, нормального поверхности фронта волны;
R — радиус идеального сферического фронта волны;
R, Ri, R2 — радиусы кривизны преломляющих поверхностей;
RA — относительная апертура оптической системы;
г — расстояние от объекта до кольцевой зоны;
г — угол преломления;
гт — пространственная частота, соответствующая величине рт;
S — поверхность фронта волны;
vS — градиент S;
s — расстояние до объекта;
s' — расстояние до изображения;
s"—расстояние от изображения до коллектива;
Т — коэффициент пропускания оптической системы;
и, v,r — пространственно-частотные координаты на выходном зрачке;
v — фазовая скорость излучения в оптической среде;
х — расстояние между объектом и первой фокальной точкой;
х' — расстояние между изображением и второй фокальной точкой;
х, у, z — координаты поверхности фронта волны на выходном зрачке;
х0, #о> zo — координаты точек в плоскости изображения z = 0;
xi> У1у zi — координаты точек в плоскости изображения z = Zf, у — поперечный размер объекта;
у'— поперечный размер изображения;
zm — координаты пересечения на оси лучей, исходящих из края выходного зрачка;
zs — сагиттальная плоскость;
zt — тангенциальная плоскость; а — половина угла поля зрения;
аа — угловой диаметр кружка наименьшего рассеяния для
* астигматичного изображения;
ас — эффективный угловой диаметр пятна рассеяния за счет комы;
— угловой диаметр кружка рассеяния за счет сферической аберрации;
(В — половина угла, опирающегося на объект, с вершиной в центре входного зрачка;
221
& — отклонение реального фронта волны от идеальной сферы;
О — апертурный угол на входе;
6' — апертурный угол на выходе;
6 — половина угла, опирающегося на входной зрачок с вершиной на источнике;
X — длина волны излучения;
р — радиус элементарной кольцевой зоны входного зрачка;
р — полярная координата точки фронта волны на выходном зрачке;
— радиус краевой зоны фронта волны на выходном зрачке;
ре — радиус входного зрачка;
у — угол с вершиной на объекте, опирающийся на кольцевую зону зрачка;
ср — угловая координата точки поверхности фронта волны на выходном зрачке.
Л ИТЕРАТУРА
1. Н а г d у А. С., F. Н. Perrin. The Principles of Optics, McGra w Hill Book Company, Inc., New York, 1932.
2. J e n k i n s F. A., H. E. White. Fundamentals of Optics, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1957.
3. Jflcobs D. H. Fundamentals of Optical Engineering, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1943.
4. S с о t t R. M. Optics for Infrared Systems. Proc. IRE, 1959, v. 47, p. 1530.
5. Born M., E. Wolf. Principles of Optics. Pergamon Press, London, 1959.
6. M i c z a i k a G. R., W. M. Sinton. Tools of the Astronomer, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1961.
7. T r e u t i n g R. G. An achromatic doublet of silicon and germanium. J. Opt. Soc. Am., 1951, v. 41, № 7, p. 454.
8. Questar Corp., New Hope, Pa.
9. McFee R. H. Electrical and Optical Techniques in the Operation of Infrared Detectors. Optica Acta 1960, v. 7, № 1, p. 35.
= ГЛАВА 7
ИНФРАКРАСНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
ПРОХОЖДЕНИЕ ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ОПТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ
э
Электромагнитная природа инфракрасного излучения и способы его генерации рассмотрены в гл. 2; прохождение сквозь газы — в гл. 3; фотоэлектрические и тепловые взаимодействия с твердыми материалами описаны в гл. 5. Предыдущая глава посвящена использованию оптики в инфракрасных системах. В этой главе дается краткий обзор физических процессов в оптических материалах, описание свойств наиболее часто используемых стекол и кристаллов, а также оценка инфракрасных фильтров.
7.1. Распространение инфракрасного излучения в твердых веществах
Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в гомогенной изотропной среде с относительной диэлектрической постоянной е, магнитной проницаемостью р и проводимостью о приводят к волновому уравнению*’
,-;2 р________________________
с2 еос2 ~
(7.1)
где Е — мгновенная амплитуда вектора электрического поля, а р0 и е0 — магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная вакуума.
Аналогичное уравнение может быть написано для вектора магнитного поля Н.
Решения этих уравнений для одной компоненты каждого вектора могут быть получены в следующем виде (для плоской волны):
{ . ср 'IJ_j
^[ре + ^> 2|
(7.2)
♦) Эти формулы написаны в рационализированной системе единиц Хэ-висайда — Лоренца. Подробный анализ уравнения (7.1) дается во многих работах по электромагнитной теории или оптике (см. [1—4]).
223
или иначе
Ех (z, t) = ЕОх exp (— /со/) exp exp (7.3)
где
n + ik = [р (е + Д)]2. (7.4)
Величина Еох в правой части уравнения (7.3) означает комплексную амплитуду компоненты поля х в момент времени t = 0 в точке z = 0. Следующие два члена означают фазу в момент времени t на расстоянии г, показывая, что плоская волна перемещается со скоростью с— в направлении z. Процесс легче понять, объединив по-
затели следующим образом: Тогда в момент времени
0 и при z = — — выражение в скобках равно 1. Та же величина получается при z = Ои t = 1. Это значит, что волна проходит за единицу времени расстояние Последний член в правой части уравнения (7.3) описывает ослабление волны при распространении. Предположим, что волна имеет только компонент х(Еу = Ez = 0); тогда ее мощность
| Ех |2=£Х= Е20хехр
что указывает на уменьшение мощности в е раз по сравнению с начальной величиной Е%х на расстоянии
/1 \ с Z - = нт-.
J
Величина, обратная этому расстоянию, часто называется коэффициентом поглощения или ослабления (экстинкции) среды
rz 4nk rv
/( = —- = — (7.5)
Величины п и k определяют свойства оптической среды. Предположим, что плоская волна, описываемая уравнением (7.3), падает на границу раздела двух сред с различными значениями п и k (рис. 7.1). Здесь она разделяется на плоскую отраженную волну в первой среде и плоскую преломленную волну во второй среде (более подробно это явление будет рассмотрено в § 7.3). Поскольку скорость преломленной волны отличается от скорости падающей волны, направление фронта волны в среде изменится в соответствии с формулой
sinOi = щ = «2 = (7.6)
Sin 03 V2 Zlj 12 ' ’
224
где углы 0Х и 03 задаются, например рис. 7.1, а рх и v2 — скорости распространения волн в двух средах. Эта зависимость известна под названием закона преломления. Углы 0Х и 03 легко находятся опытным путем, так что величина и12, называемая показателем преломления на границе сред 1 и 2, определяется непосредственно. Величины их и п2 являются показателями преломления на границе раздела вакуума со средой 1 или 2. Они связаны с электрическими параметрами среды 8, а и |х уравнением (7.4). Величину п + jk рассматри-
Среда 2 с показателем преломления n2 I
зрмзль к зраноце раздела»
Направление волны после преломления
Граница раздела
Фронт падающей волны
при t --t2
Фронт волны
падающей при l~ti
ди Че
Фронт волны после преломления при t = tf
Фронт волны после преломления при t = t2
ё^С
Направление падающей волны
Рис.
Среда 1 с показателем преломления п,
7.1. Поворот фронта волны в результате преломления при переходе в более плотную оптическую среду:
С в треугольнике АОС ------= ОС sin в треугольнике ВСо ---------=
П1 п
. л п,2 sin 0.
=ОС sin 9 3; поэтому — = -—. пх sin 9,
вают часто как комплексный показатель преломления материала, обладающего комплексной диэлектрической постоянной 8 + -Д-. Эти величины существенно зависят от угловой частоты со.
Возведение в квадрат уравнения (7.4) дает равенство
н(8 + т£;) = «1 2-^ +W. (7.7)
которое может быть решено относительно п и k приравниванием действительных и мнимых частей
2n2 = JX8
2&2 — р,8
£-1
2
1 _ (1 _1________н
х I Ч 2299/
\ о/ р/ Eq /
(7-8)
225
Если среда является хорошим диэлектриком и не ферромагнитна, то и 0; |Л » 1 и тогда
k^O. (7.9)
Для оптических материалов, которые будут описаны ниже, эти» допущения вполне приемлемы для определенного диапазона частот.
Некоторые из применяемых материалов имеют кристаллическое строение с весьма своеобразной ориентацией атомов. В кристаллах р, е и o' могут быть функциями направления распространения волн относительно осей кристаллов.
7.2. Поглощение, поляризация и дисперсия
Оптическую среду можно рассматривать как динамическую систему, молекулы которой испытывают резонансные колебания на определенных частотах. Эта система приводится в состояние вынужденных колебаний падающим излучением в зависимости от частоты и мощности излучения. В частности, излучение в видимом и инфракрасном диапазонах спектра производит смещение электронов материала из состояния равновесия. Колебания электронов усиливают флюктуации дипольного момента материала, что приводит к изменению электрического поля среды. Результирующее электрическое поле уменьшается по амплитуде и смещается по фазе относительно приложенного поля, возникающего при прохождении излучения через среду, аналогично тому, как это происходит с электрическим сигналом при прохождении его через линию передачи или фильтр с распределенными или сосредоточенными постоянными.
В квантовомеханических расчетах взаимодействие излучения с молекулами характеризуется поляризуемостью молекул, зависящей от частоты. Эта величина состоит из суммы членов такого же вида, какими описывается полное сопротивление настроенного Электр ического контур а:
« = —V (7-10)
I (<°о/ —-Мо/)
где а — поляризуемость молекул;
at — поляризуемость на угловой частоте соо/;
g0l — коэффициент рассеяния, описывающий переход кинетической энергии в тепло при колебании молекулы.
Каждый член соответствует изменению электрического состояния молекулы при поглощении (или испускании) излучения. Изменение энергии молекулы может происходить только дискретно. Допустимый скачок энергии, происходящий при поглощении или излучении на частоте, определяется равенством
Eqi — hvQi ~
где h — постоянная Планка, равная 6,62хЮ~34 вт-сек,2.
226
Возбуждение электронов соответствует высокочастотным членам в ультрафиолетовой, видимой, а также близкой и средней инфракрасной областях спектра. Возбуждение колебаний внутри молекул или между атомами, образующими кристаллическую решетку, соответствует поглощению излучения в более длинноволновой области.
Поляризуемость Р или дипольный момент на единицу объема среды находится суммированием поляризуемости молекул.
Плотность потока электрического смещения D является суммой поляризуемости и приложенного электрического поля £, умноженного на диэлектрическую постоянную вакуума е0
П = Р + ё0Е. (7.11)
Диэлектрическая постоянная среды равна что может быть записано в виде относительной диэлектрической постоянной, умноженной на диэлектрическую постоянную вакуума. Для большинства оптических материалов магнитная проницаемость близка к единице, так что комплексная диэлектрическая постоянная равна квадрату комплексного показателя преломления [формула (7.7)]. Поэтому
(n + jk)^^ = 1 + Р- = 1 + (7.12)
£0 -С '“О £о
где N— число молекул в среде и
а — поляризуемость молекул среды.
Для кристаллических материалов а анизотропно и зависит от ориентации электрического поля относительно осей кристалла. Во всех случаях а является функцией разностных частот материала.
Комплексная диэлектрическая постоянная, описанная выше, является логарифмической характеристикой фазового сдвига и ослабления в среде, так же как 6 = А + IB есть комплексный коэффициент затухания в электрическом фильтре. Подобно пассивному фильтру, оптическая среда обычно не является источником излучения (хотя энергия временно может накапливаться в ней) и это накладывает ограничение на а. Оно выражается в том, что k имеет положительное значение и, следовательно, излучение ослабляется при прохождении сквозь среду*). Суть соотношений в том, что действительная часть диэлектрической постоянной при частоте v пропорциональна интегралу от угла наклона мнимой части в функции частоты в прилегающем к v районе частот. Наклон в области частот, более близких к частоте, для которой вычисляется значение и, взвешивается с большей ценой. Эти соотношения в полной мере использовались, например, Моссом [6] при выявлении температурной
*) Эти ограничения для аналогичного случая электронного фильтра подробно рассмотрены Боде [5, гл. 14]. Он приводит формулы, связывающие фазу и ослабление в фильтрах, которым в оптике соответствуют выражения
2 nk и п* 2 — k2.
227
зависимости показателя преломления теллуристого свинца и кремния. Они обеспечили удобную методику одновременного измерения показателей поглощения и преломления. Данные, полученные Эвери [7] для соединений группы свинца, приведены на рис. 7.2. Эти кривые поясняют зависимость между мнимой частью 2nk диэлектрической постоянной и локальным интегралом от производной действительной части п2 — k2.
Длина волны , мк а)
Длина волны, мк е)
Рис. 7.2. Действительные и мнимые части диэлектрических постоянных хальконидов свинца [7].
Подставив значение а из формулы (7.10) в формулу (7.12), раскрыв квадрат в левой части и решив уравнение относительно п и k, получим
, ,, V
у ggfco
(7.13)
(7.14)
Для реальных материалов в этих выражениях содержится несколько членов подобного рода.
Два важных случая показаны на рис. 7.3. Графики построены в зависимости от длины волны, а не от частоты, для удобства сравнения с обычным представлением поглощения и дисперсии в оптических материалах. На рис. 7.3, а показаны зависимости для гипотетического материала с сильным поглощением в коротковолновой части (на больших частотах) и хорошим пропусканием в длинноволновой части спектра.
В промежуточном случае частоты излучения оказываются меньше резонансных частот материала [(d<jd0 в формуле (7.13)]. Увели-228
чение длины волны, т. е. уход частоты (о от частоты со0 приводит а2
к уменьшению пдо 1 + г~2. Такая зависимость называется НОрМаЛЬ-^О
ной дисперсией. Большинство оптических материалов имеет полосы поглощения в ультрафиолетовой, видимой или близкой инфракрасной частях спектра и используется при значительно больших длинах волн. Такие материалы обнаруживают типичное уменьшение показателя преломления с увеличением длины волны. На рис. 7.3, б показано поведение дисперсии вблизи полосы поглощения материа
а)
Рис. 7.3. Ход показателя преломления в двух гипотетических материалах:
а —мнимая и действительная части показателя преломления k и и; б —то же для другого материала.
ла. С увеличением длины волны показатель преломления сначала падает на границе полосы, а затем увеличивается и достигает максимума за этой полосой. Увеличение показателя преломления п с увеличением длины волны % называется аномальной дисперсией.
7.3. Отражение и преломление на границе сред
На рис. 7.4 изображена граница раздела между двумя оптическими материалами. Плоская световая волна падает на границу раздела, идя из материала I. Угол между нормалью к фронту волны и нормалью к границе раздела называется углом падения 0Х и определяет положение плоскости, которая называется плоскостью падения. Падающая волна разделяется на преломленную во втором материале и отраженную в первом. Нормаль к фронту отраженной волны лежит в плоскости падения и образует угол отражения 62 с нормалью к поверхности раздела. Нормаль к фронту преломленной волны находится в той же плоскости и образует угол преломления 0з.
Все три упомянутые части волны могут быть представлены уравнениями типа (7.2) или (7.3). Рассматривая граничные условия (вариации всех трех волн на границе должны быть одинаковы, а тангенциальные компоненты Е и Н непрерывны на границе), можно найти, что угол падения равен углу отражения
Oi = e2, (7.15)
229
а угол преломления определяется законом синусов
(их + jk) sin 6Х = (n2 + jk) sin 63. (7.16)
Компоненты Е1п и Н1п векторов Е нН, перпендикулярные к плоскости падения, раскладываются на отраженные и преломленные компоненты независимо от параллельных компонентов Е1р и Н1р.
Рис. 7.4. Схема преломления и отражения.
Отраженные и преломленные компоненты связаны с компонентами первичной волны формулами Френеля:
р _ Р-i (пг 4~ У^з) cos 91 — Р-2 (п1 + У^1) cos Оз р 2р~~ Pl(n2 + jk2) COS 0! + |Л2 («1 + iki) COS 03 ’
р _ Р2 (П1 + jkl) COS 0! — р-! (П2 + jk2) COS 03 р
2л [Л2 (Я1 + /^1) C0S 01 + Iх (п2 +/^з) COS 03 1л’
р __________р2 (ni 4~ /^i) (cos Оз + cos Qi)___р
Зр~~ Р1 («3 + У^з) COS 0! + fig (Ztj + jki) COS 03 C1P’
p _ ________Рз (ni ~h jki) (cos 02 -|~ cos 01)_p
3"~~ [Л2 (П1+№) COS 0! + [1! (я2 + /Й2) COS 03 С1л'
Если оба материала прозрачны в некоторой области так что то равенство (7.16) принимает вид
njsinOi = п2 sin63
и если, кроме того, »р2 равенства (7.17) упрощаются:
р ____________________________ig (01 Оз) р
2р~ tg(0! +03)1Z”
р ____sin (Од 03) р
2п~ sin (0! + 0з) 1л’
F ____ 2 310 03 003 0! р
Зр — sin (01 + 03) cos (0! — 03) lpi
Р __ 2 sin 03 cos 61 р
Зп ~ sin (0! + 03) 22
(7-17)
частот.
(7.18)
1 (неферромагнитные материалы),
(7.19)
230
Из соотношения (7.18) видно, что если sin63<^, то sin 0g. ймеет действительное значение и все коэффициенты уравнений (7.19) также действительны. Поэтому компоненты преломленной волны находятся в фазе с компонентами падающей волны, но фаза отраженной волны меняется на обратную, если 03>0Р
Энергия лучистого потока, проходящего через единицу площади в единицу времени, дается скалярным произведением нормали к поверхности с вектором Пойнтинга S. Этот вектор направлен нормально' к фронту волны и имеет величину
/ \ £
/ 8£о + ---- |2
|S| = с|£| [//1 = сI-----|£|2.
11 Illi \ m /
В случае о 0 и р,р0 1 формула приобретает вид | S | = спЕ2.
Коэффициенты отражения R и пропускания Т на границе раздела сред определяют обычно при падении излучения по нормали к границе раздела. Для неферромагнитной среды эти величины находятся из уравнений (7.19)
n = tg2(Qi-Оз) , sin2(6Х — 03)
Л tg2(Oi + Оз) ' sin2 (0Х —- 03)’
гр _ n2 cos Оз 4 sin2 03 cos20x (1 + cos2 0Х — 03) « nnv
“ nx cos 0х sin2 (0х + 03) cos2 (0х — Оз) ' ( • л
В частном случае нормального падения
#п=4П17П2Т ’ т* = (7-21)
п ^1+^2 (П1 + пг)2 V 7
Величиной Rn определяются френелевские потери на отражение,, в этом случае пх для вакуума или для воздуха близок к единице и равенство (7.21) переписывается в виде
/112 = —.
12 пх
где
В частном случае, когда 0Х + 03 = tg(0x + 03)->оо и коэффициент отражения для неферромагнитной среды согласно уравнению (7.20) становится равным нулю. Поэтому свет, отраженный под этим углом Брюстера поляризован так, что вектор электрического поля перпендикулярен плоскости падения. Это явление используется для изготовления поляризаторов. Например, пластина гер
231
мания, для которого угол Брюстера равен 76°, дает поляризацию от 91 др 99% (Мейер и Гунтхэнд [8], а также Эдвардс и Брюмер [91).
Если показатель преломления во второй среде меньше, чем в пер-„ nisin(k .
вой, тогда для углов падения —>1 согласно закону синусов [уравнение (7.18)] угол 93 должен быть комплексным. В этих условиях происходит полное внутреннее отражение. Коэффициент пропускания становится равным нулю, а коэффициент отражения — единице. Лучистая энергия не проходит во вторую среду, хотя флюктуирующая энергия с нулевым средним по времени значением проникает на небольшое расстояние.
Если плоская волна падает на проводящую среду из диэлектрической среды, амплитуда преломленной волны уменьшается. Плоскости постоянных амплитуд параллельны границе раздела (поскольку ослабление после прохождения определенного расстояния в среде одинаково). Волновые фронты постоянных фаз преломляются, причем так, что показатель преломления зависит от угла падения. В материалах с большой проводимостью распространение происходит почти нормально к поверхности
£
sin ф = С2^1 4 )2 sin 0п (7.22)
V ^2 а2 / '
где ф— угол преломления для плоскостей постоянной фазы, а коэффициент ослабления амплитуды за счет «скин-эффекта»
£
6 = (—— )2. (7.23)
С другой стороны, для малой проводимости 1
sin 62« п (1 + sin Oj. (7.24)
Коэффициент отражения для проводящей поверхности выражен Страттоном [3] в виде
“1 = “On Р1)1/2, (а2 + /₽2)2 = е2 Щ + /®<т2 р2.
В частном случае для воздуха с яг 1
_ (д2 — cos Qi)2 4-
" (a2 + cos6i)2 +Р2'
/? -= 7^ («2 —sin 61 tgej2 + pf р п («2 + Sin ех tgOi)2 + р2
(7.25)
(7.26)
232
для нормальной и параллельных компонентов относительно плоскости падения. Отражательная способность и поляризация среды зависит от угла падения. Проводимость на оптических частотах может сильно отличаться от проводимости для низких частот или микроволн радиодиапазона. Коэффициенты отражения металлов для излучения с длинами волн, превышающими 10 мк, обычно близки к единице и не зависят от угла падения. В близкой и средней части инфракрасного спектра некоторые металлы обнаруживают гораздо меньшую отражательную способность.
7.4. Просветляющие покрытия
Выше было отмечено, что оптический материал с показателем , , /п—1\»
преломления п имеет коэффициент отражения в воздухе I—Л’
для нормально падающей неполяризованной волны.
Такие потери на отражение нежелательны особенно в случаях применения материалов с большими показателями преломления, например, германия и кремния, которые пригодны для изготовления
Рис. 7.5. Отражение и преломление в тонком диэлектрическом покрытии.
линз. Потери могут быть уменьшены путем покрытия поверхностей линз или окон слоем другого оптического материала с меньшим показателем преломления и толщиной в четверть длины волны.
На рис. 7.5 показано прохождение излучения из материала 1 в материал 3 через слой материала 2. Предполагается, что все три материала неферромагнитны и пропускают излучение без потерь. При первичном падении излучения на материал 2 часть потока отражается, а остальная проходит в материал. Прошедшая часть попадает на границу раздела сред 2 и 3, где снова частично проходит и частично отражается на границу раздела сред 1 и 2. Полный поток, отраженный от первой поверхности среды 2, определяется суммой членов, амплитуды которых представляют геометрическую прогрес
233
сию со знаменателем г21 ггз ехр/0, где г21 — коэффициент отражения на переходе из среды 2 в среду 1, и г23 — коэффициент отражения на переходе между средами 2 и 3.
Величина 0 есть разность фаз между лучом, прямо проходящим сквозь покрытие, и лучом, дважды отраженным внутри покрытия. Разность фаз может быть вычислена по- чертежу на рис. 7.6. Луч 1, изображенный сплошной линией, складывается с лучом 2 (пунктирная линия) и выходит из слоя в точке D. Линия АВ представляет
Рис. 7.6. Разность фаз между интерферирующими лучами в тонком диэлектрическом слое.
фронт волны (линия равных фаз). Оба луча проходят путь CD, но луч 1 проходит также путь ВЕС в среде 2, а луч 2— путь АС в среде 1. Поэтому разность фаз равна
₽ = kS"2я ~2d Г 2п °*sin ei = Aq COS U2 Ao
4п d Г п2
Хо QOS 02
/ sin 02 \ \ cos 02 /
-- П! sin 0!
4к dn2
1 — sin2 02 COS02
4к dn2
Xocos02 ’
Амплитуда излучения, прошедшего сквозь слой 2, представляется аналогичной суммой членов. При вычислении суммы ряда (в предположении достаточной протяженности поверхности, чтобы число членов было велико) амплитуды возводятся в квадрат и умножаются на косинус угла к нормали. Тогда результирующие коэффициенты отражения и пропускания определяются выражениями
= г12^г2з + 2г12 >~23COSP
1 ^г12 r23 + 2r12 r23 C0s ₽ ’ _________«3_COS0^2^23___________ n1cos01(l -ф- г^2 2r|2 r23 cos р)
(7.27)
(7.28)
234
Оба выражения являются периодическими функциями 0. Если и2 больше, чем п3, тогда 7? максимален при cos0=-—1. Это случай максимально отражающего покрытия. Однако если п2 меньше, чем я3, и cos 6=— 1, т. е. nd =• -л т\ ; т= 1,3,5,...
3 г 4 cos е2
П _ / Г12 — Г23 \2
V г12 Г23/
В частном случае, когда 61=62=63 = у, т. е. при нормальном падении
«1 "з-«2,
Л1 пз + п2
Обычно не удается выбрать п2 как среднее геометрическое между пг и и3, но существенное снижение отражения все же достижимо. Например, Дженнис [10] применил покрытие из фтористого магния и фтористого лития для уменьшения отражения от некоторых материалов, как указано в табл. 7.1. Вследствие того, что покрытие имеет толщину его эффективность постепенно уменьшается с отклонением длин волн от % (рис. 7.18).
ТАБЛИЦА 7.1
Примеры просветляющих покрытий
Образец Толщина, мм Пропускание без покрытия при Пропускание с покрытием
2 мк 3,6 мк MgF8 при 2 мк LiF при 2 мк L1F при 3,6 мк
Плавленый кварц 5 0,935 0,97 0,97 —
Тяжелый флинт . 1,5 0,855 — 0,955 — —
MgO 3 0,86 0,85 0,945 — 0,94
AI2O3 1,5 0,88 — 0,985 — —
А12О3 3 — 0,875 — — 0,97
Тернер [67] описал применение многослойных покрытий для уменьшения потерь на отражение в широком диапазоне длин волн.
ОПТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ И ИХ СВОЙСТВА
Обзор свойств доступных оптических материалов дан Гостери [11], а также Вульфом и Беллардом [12] и Беллардом, Маккарти и Вульфом [13]. Оптические материалы описаны, кроме того, Смитом, Джонсом и Чесмером [14], а оптические свойства полупроводников рассмотрены Моссом [15]. Кроме новейших обзоров имеется обширная литература, особенно по материалам, используемым в спектроскопии. Многочисленные ссылки на эту литературу содержатся в упомянутых работах [11—15].
235
В этой главе мы не пытались дать систематическую библиографию, относящуюся к столь обширной области.
На рис. 7.7 в периодической таблице отмечены кружками наиболее употребительные элементы для оптических материалов. Линии объединяют элементы со сходными свойствами и показывают образование соединений важнейших классов.
Элементы, принимающие участие в образовании соединений, располагаются обычно по краям периодической таблицы. В этой главе
Гриппы
1 г 3 4 11 1Z 13 74 15 16 17
Гълоидные соединения легких металлов
Инертные
газы Не
Не
ГалоиЗы/ I©, у
Легкие \ыетал\
I р -----------------% илькинииь!---------•----
Fr Ra ।1 A Cm Bk Cf £s Fm Md No
------'I Актиниды Редкоземельное элементы
Рис. 7.7. Расположение в периодической таблице элементов, составляющих оптические материалы (некоторые наиболее важные группы соединений отмечены соединительными линиями, контурами и стрелками).
наиболее важные материалы, используемые в качестве преломляющих сред и зеркальных покрытий, разделены на восемь групп: 1. Стекла.
2. Титанаты и окислы.
3. Полупроводники.
4. Халькониды свинца и элементов 12-й группы.
5. Интерметаллические соединения между элементами 13-й и 15-й групп.
6. Галогены.
7. Прочие материалы.
8. Зеркальные покрытия.
Краткое описание свойств этих материалов будет дано по отмеченным группам. Например, свойства инфракрасных стекол описаны в § 7.5 и представлены табл. 7.2. Данные основаны на таблице, составленной Гостери [11]. В первой колонке указаны области пропускания для практических толщин материала от нескольких миллиметров и более. Следующие три колонки заполнены данными о пропускании в процентах при просветляющих покрытиях для 2,2; 4,3 и 10 мк. Эти участки выбраны как типичные соответственно для случаев использования сернисто-свинцовых фотосопротивлений, 236
измерений излучения углекислого газа в струе реактивного двигателя и оценки излучения черного тела при 300° К в максимуме.
Для непросветленных материалов, особенно для тех, которые имеют большой показатель преломления, пропускание будет существенно меньше за счет потерь на френелевское отражение.
Для некоторых материалов в тексте даны графики пропускания или графики коэффициента поглощения а, определенного для толщины t материала по формуле
/=/0 ехр (— а/), (7.29)
ЛДОС.
Деформирующая сила
Рис. 7.8. График упругости оптического материала.
где /0— поток, попадающий в оптический материал;
/ — поток, выходящий из материала толщиной Л
В следующих трех столбцах таблицы приведены показатели преломления каждого материала для 2,2; 4,3 и 10 показатель преломления определен как отношение скорости света в вакууме и скорости света в материале. Ввиду необходимости очень точного указания величины показателя преломления для окон и линз, эти значения табулируются с точностью до нескольких десятичных знаков, причем в близких волновых интервалах. В тексте дано несколько таких таблиц для практически важных материалов.
Если материал кристаллический, его свойства могут меняться в зависимости от направления луча относительно осей кристаллов.
Механические свойства материалов в таблице охарактеризованы модулем упругости. Типичная зависимость деформации от нагрузки показана на рис. 7.8. По оси абсцисс отложена нагрузка на единицу поверхности, по оси ординат — относительная деформация, т. е. изменение размера, деленное на первоначальный размер. Обычно существует зона упругости, в которой с увеличением нагрузки от нуля деформация зависит от нагрузки линейно и образец может принять первоначальный размер при снятии нагрузки. При больших нагрузках происходит неупругая деформация, и затем образец разрушается. Упругая деформация характеризуется модулем упругости, т. е. отношением усилия к деформации при растяжении или сжатии. Кроме того, иногда для оценки упругих свойств применяются другие формы модуля упругости — модуль объемного сжатия, т. е. отношение сжимающей силы к уменьшению объема, и модуль сдви-
га — отношение сдвигающего усилия на единицу поверхности, параллельной усилию, к деформации сдвига в радианах. Модуль упругости для хромомарганцевой стали составляет 20,7-1010 —2 g> н 1Л1Л Н /ньютонХ
а серебра 6,7 • 1010 -х (---г ).
г г м2 метр2 )
Твердость оптических материалов измеряется числом Кнупа. Для этого алмаз пирамидальной формы вдавливается в материал под известной нагрузкой. На поверхности образца образуется вмя-
237
Инфракрас
Материал 1 Спектральная область Пропускание, % Показатель преломления
2,2 мк 4,3 мк 10 мк 2,2 mi [4,3 <ик| 10 мк
Оптические стекла Стекла с большим содержанием кварца, плавленый кварц: 0,3-2,7 96—98 — — 1,48— 1,70 — —
96% кварца 0,3-3,5 90-95 10-15 — 1,43 — —
Корнинг 7905 3,5 94 — — 1,44 — —
GE типа 101 0,21— 3,5*) 99 4 — 1,43 — —
GE типа 102, 104 .... 0,20— 3,5*) 97 4 — 1,43 — —
GE типов 103, 105, 106 . 0,22— 3,5 98 4 — 1,43 — —
Инфрасил Улучшенные стекла: 0,2— 4,5 96 40 — 1,43 1,37 —
Корнинг 0160 3,0 90 20 — 1,54 — —
Корнинг 9752 5,2 84 75 — 1,75 1,71 —
NBSA 2059 2,8 96—98 — — 1,85 — —
NBSF 158 4,5 96-98 — — 1,80 — —
nbsc 601 . 2,8 96-98 — — 1,77 — —
Селенистый мышьяк**) . . . 1,0— 19,0 96 96 96 2,49 2,48 2,48
Трехсернистый мышьяк . . . Алюминат кальция и сходные материалы: 0,6-12,0 96 96 — 2,4 2,4 2,4
RIR-2 4,5 98 72 — 1,75 — —
RIR-10, 11, 12 5,0 98 78 — 1,62 —. —
RIR-20 5,5 98 80 — 1,82 1,79 —
*) Поглощение при 2,7.
**) См. табл. 7, 12.
238
ные стекла
ТАБЛИЦА 7.2
Модуль упругости, 10е кг/см2 Твердость по Кнупу Плотность, г/см3 Растворимость, г на 100 г воды Точка размягчения, ° С Коэффициент теплового расширения ю—6 ]/°С Теплопроводность 10—^кал/секХ Хсм- град
0,45— 0,65 300— 600 2,3— 4,6 Нерастворим 1 400 4—10 1,4-1,8
0,62 461 2,18 То же 1 500 0,8 2,82
0,62 477 2,18 » 1 500 0,8 3,3
0,7 470 2,2 » 1 670 0,55 3,3
0,7 470 2,2 » 1 670 0,55 3,3
0,7 470 2,2 » 1 670 0,55 3,3
0,7 470 2,2 » 1 700 0,55 3,3
0,6 460 3,05 » 610 9,7 —
0,55 473 4,51 » 785 8,66 —
0,45 — 6,01 » 425 9,6 (100—350 °C) —
1,0 — 4,62 » 836 8,4 (100-700 °C) —
— — 5,44 » 420 9,2 (100—350 °C) —
— — — » 70 32 0,33
0,15 109 3,2 5,2х10~5 196 26 0,42
0,65 576 4,57 800 8,4
1,0 594 3,07 — 900 8,1 —
0,7— 0,9 542 5,18 — 760 9,6 —
239
тина в виде параллелограмма по периметру, причем одна диагональ в семь раз больше другой. По измеренной большей диагонали измеряется площадь давления. Твердость определяется отношением нагрузки к площади давления. Малое число указывает на мягкость материала, например 6 для бромистого натрия. Большое число указывает на твердость, например 1370 для сапфира. Проверка на твердость по Викерсу и Бринеллю производится аналогичным образом. Испытание по Мо состоит в царапании одним материалом другого. Эго качество важно при оценке материалов для обтекателей и окон, а также при оценке их способности к обработке и полировке. »
Плотность материала выражается в граммах на кубический сантиметр, а растворимость — в граммах на 100 г воды. Точки размягчения или плавления выражаются в градусах Цельсия.
Поскольку оптические детали устанавливаются в металлических оправах, а многоэлементные сборки подвергаются действию температур в широком диапазоне, важной характеристикой является коэффициент теплового расширения, определяемый по формуле
= /ДТ, (7.30)
где L — начальная длина;
ДЬ и ДТ — изменения длины и температуры;
у зависит от температуры, а также может зависеть от направления теплового градиента относительно кристаллических осей.
Когда температурный градиент по материалу установился, поток до Гкал1 гт тепла через него будет проходить со скоростью Для
умеренных температурных градиентов ДТ теплопроводность стт для длины L и площади А определяется по формуле
AQ _ А°т&Т
AZ L • ('•
7.5. Инфракрасные стекла
Под стеклами в этой главе понимаются любые аморфные оптические материалы.
Оксидные стекла, используемые в оптике в видимом диапазоне, при умеренных толщинах пропускают до 80% и более падающего потока в области до 2,7 мк. Затем в области 2,8 мк наступает сильное поглощение водой, что приводит к уменьшению пропускания в широкой полосе вплоть до 3,5 мк.
В области 4 мк пропускание улучшается и затем снова резко падает к 4,5 мк (см. измерения Клика и др. [22] для 13 оптических стекол). Очень тонкие образцы наподобие покровных стекол могут пропускать и длинноволновое излучение.
240
В полосах поглощения воды при нагреве материала возникает нежелательное собственное излучение, например в обтекателе, особенно если приемник чувствителен в области от 2,5 до 3,5 мк.
Из-за отмеченных недостатков, а также ввиду высокой стоимости кристаллических материалов и возможности получения их только ограниченных размеров (в основном потому, что их приходится выращивать в специальных печах), для инфракрасной техники'специально разрабатываются различные стекла и стеклоподобные материалы.
R1R-1D
I
юо^-
го
о,
80
60
4Z7
0,4 0,5 0,6 0,71 2 3 4 5 6 Длина волны, мк
толщиной I Омм
---нербраоотанныи образец, ---обе стороны покрыты четвертьволновым слоем для
Х~4,5 мк ---после пребывания в условиях 35% влажности в течение 744 часов при температуре
RIR-1Z
100
& 80
£
Iй го
Длина волны, мк
Рис. 7.9. Пропускание стекол из алюмината кальция [26].
К ним относятся: плавленый кварц, стекла с высоким содержанием силикатов, бариево-титанатные стекла, легированный мышьяком селен, алюминат кальция, трехсернистый мышьяк, титанаты стронция и бария, окись магния и некоторые специальные стекла из двуокиси германия, теллуристого свинца, двуокиси теллура, двуокиси алюминия, сульфида германия и магния и трехселенистого мышьяка.
Сведения о наиболее употребимых из этих материалов включены в табл. 7.2. На рис. 7.9 приведены кривые пропускания двух стекол из алюмината кальция. Некоторые типичные материалы подробнее рассматриваются ниже.
Плавленый кварц. Этот материал называют также кварцевым стеклом. Он содержит от 99,97 до 99,98% SiO2 с А12О3 и другими окис-лами [181 в качестве главных примесей. Материал химически и термически стабилен, может обрабатываться и полироваться с помощью обычных технических средств; он очень часто применяется в сочета-
9 Зак. 1502 241
нии с приемниками из сернистого свинца. Показатели преломления в области от 0,7 до 3,5 мк даны в табл. 7.3. Пропускание хорошее в области чувствительности сернистого свинца и уменьшается к 4,5 мк. Выпускаемый промышленностью плавленый кварц обладает сильным поглощением в полосе воды 2,75 мк, однако специальные образцы вакуумно-компрессионного плавленого кварца (см., например, [76]) почти не имеют такого провала в пропускании. Механическая прочность, твердость и плотность не сильно отличаются от аналогичных свойств оптических стекол. Точка плавления высокая. Коэффициент теплового расширения в 30 раз меньше, чем у меди, и в 10 раз меньше, чем у вольфрама [18]. Вследствие столь малого коэффициента расширения кварц очень стоек против тепловых нагрузок. Из кварца могут быть получены достаточно большие образцы при умеренной стоимости.
ТАБЛИЦА 7.3
Показатели преломления плавленого кварца
Длина волны, мк Показатель преломления 1 Длина [ВОЛНЫ, мк Показатель преломления Длина волны, мк Показатель преломления
0,70 1,455347 1,70 1,442250 2,70 1,425995
0,80 1,455371 1,80 1,440954 2,80 1,423891
0,90 1,451808 1,90 1,439597 2,90 1,421684
1,00 1,450473 2,00 1,438174 3,00 1,41937
1,10 1,449261 1 2,10 1,436680 3,10 1,41694
1,20 1,448110 I 2,20 1,435111 3,20 1,31440
1,30 1,446980 2,30 1,433462 3,30 1,41173
1,40 1,445845 I 2,40 1,431730 3,40 1,40601
1,50 1,444687 2,50 1,429911 3,50 —
1,60 1,443492 2,60 1,428001 — —
Разработаны также некоторые стекла с высоким содержанием кварца. Здесь можно отметить стекло Корнинг Викор Бранд 7905 с содержанием 96% кварца. Это материал с хорошим пропусканием в области чувствительности сернисто-свинцового фотосопротивления и даже для больших длин волн, поскольку собственное излучение нагретого стекла не представляет серьезной проблемы. Корнинг 185SJ представляет собой свинцово-силикатное стекло, которое имеет широкий провал в пропускании в области 3 мк. Затем пропускание восстанавливается и наблюдается до5л/к. Этот материал вытесняется стеклом Корнинг Код 9752, в котором провал при 3 мк существенно меньше.
Трехсернистый мышьяк. Длинноволновое пропускание силикатных стекол ограничивается колебательным поглощением связей в материале [20]. Частоты колебаний серных связей ниже, чем у окислов. Некоторые вещества образуют сульфидные стекла, но большей частью они нестойки против воды или кристаллизуются. Однако трехсернистый мышьяк является стабильным, нетоксичным, 242
некорродирующим гомогенным стеклом, в четыре раза менее растворимым в воде при 20° С, чем хлористое серебро. Показатель преломления приведен в табл. 7.4. Материал допускает просветление окисью кремния для пропускания до 8,5 мк, а в тонких образцах — до 12 мк. Стекло часто используется для линз и окон в средней части инфракрасного спектра. Кривая пропускания обнаруживает слабые полосы поглощения при 2,94; 4,04 и 6,3 мк.
ТАБЛИЦА 7.4
Показатели преломления трехсернисто! о мышьяка (JOSA, 1958, v. 48, р.633)
Длина волны, мк Показатель преломления Длина волны, мк Показатель преломления
0,64387 2,59762 3,4188 2,41374
1,01398 2,47568 5,138 2,40671
1,395055 2,44379 6,238 2,40221
1,52952 2,43803 8,662 2,39035
1,81308 2,42999 9,724 2,38342
1,9701 2,42682 11,035 2,37365
Стекло имеет чистый красный цвет. Оно тяжелое и мягкое, имеет большой коэффициент расширения, слегка размягчается вблизи 200° С и плавится между 200 и 300° С. Вследствие большого коэффициента теплового расширения стекло нельзя соединять с кварцем или пирексом. Однако, ввиду того, что коэффициент расширения стекла по величине близок к коэффициенту теплового расширения алюминия, этот металл является весьма подходящим для изготовления оправ оптических деталей из трехсернистого мышьяка.
Обработка материала ведется в следующей последовательности: обдирка карборундовым песком на стальной плате, чистовая обработка окисью алюминия и полировка влажной пудрой на смоле. Ввиду мягкости материала оптические элементы делаются со скошенными краями [20]. Вакуумные изделия с таким материалом могут герметизироваться эпоксидной смолой [21 ]. Можно получить образцы значительных размеров с умеренной стоимостью. Свойства материала колеблются от образца к образцу.
Аморфный селен и селен, легированный мышьяком. Аморфный селен представляет собой мягкий материал с большим показателем преломления (2,5 при 1 мк) и пропусканием от 1 до 20 мк. Его главным недостатком является размягчение при 35° С. Поэтому в аморфный селен часто добавляют 8% мышьяка, что повышает точку размягчения до 70° С. Такой материал пропускает до 25 мк, хотя и имеет глубокий провал в пропускании при 12,7 мк. Показатель преломления уменьшается от 2,5774 при 1,014 мк до 2,4803 при 5,00 мк и 2,4743 при 14,00 мк [22].
Материалу может быть придана форма обтекателей, окон или линз; он может полироваться, несмотря на низкую температуру раз-9* 243
мягчения. Он нерастворим в воде, но поддается действию ароматических и хлорных растворителей.
Алюминат кальция. Этот материал хорошо пропускает в области от 1 до 5—6 мк. Показатель преломления материалов трех типов приведен в табл. 7.5, а кривые пропускания—на рис. 7.9. Показатель преломления составляет около 1,66, дисперсия небольшая. Алюминат кальция допускает просветление фтористым магнием, реальные образцы имеют пропускание до 98% в области от 2 до 5 мк. В области 3 мк имеется полоса поглощения. Этот провал уменьшают путем шлифования стекла пудрой и нагрева в сухом воздухе. Когда стекло плавится в вакууме, оно «кипит», как сироп, и после остывания не дает поглощения в области 3 мк.
таблица 7.5
Показатели преломления алюмината кальция
Длина волны, мк RIR-10 RIR-11 RIR-12
0,4861 1,66057 1,67887 1,66647
0,5461 1,65385 1,67109 1,65919
0,5893 1,65022 1,66699 1,65532
0,6563 1,64588 1,66239 1,65085
1,0140 1,6352 1,6506 1,6397
1,1287 1,6334 1,6486 1,6378
1,3620 1,6304 1,6455 1,6346
1,5295 1,6285 1,6435 1,6328
1,6606 1,6271 1,6420 1,6313
1,8131 1,6255 1,6404 1,6297
1,9701 1,6238 1,6386 1,6280
2,1526 1,6216 1,6364 1,6259
2,3254 1,6196 1,6344 1,6239
2,4374 1,6182 1,6329 1,6224
2,577 — 1.6310 1,6206
По механическим и тепловым свойствам эти стекла сравнимы с обычными оптическими стеклами. Под действием дистиллированной воды или теплой, влажной атмосферы они разрушаются. Однако стекло можно защитить покрытием из фтористого магния или соответствующей химической обработкой. В одном из сообщений [26] указывается, что изменения от средней величины пропускания образца толщиной 6,8 мм лежат в пределах от + 2 до — 16% в диапазоне температур от 200 до 500° С соответственно при 2 и 5 мк.
Из алюмината кальция могут быть изготовлены образцы размером до 200 мм [3]. Этот материал нельзя повторно нагревать и формовать; он должен отливаться из расплава.
Фирма Бош и Ломб разработала два других стекла под названием RIR-2 и RIR-20, которые пропускают в том же спектральном диапазоне, что и алюминат кальция. Эти материалы почти не поддаются действию воды и могут повторно нагреваться и плавиться, 244
как обычные стекла. В отличие от стекол из алюмината кальция их можно получить размером и более 200 мм [3]. Показатель преломления у них больше, чем у алюмината кальция и составляет 1,76988 при 1,0140 мк и 1,74582 при 2,577 мк для RIR-2, а для RIR-20 1,84044 и 1,81732 при тех же длинах волн.
7.6. Окислы и титанаты
Группа окислов и титанатов, возглавляемая сапфиром и титана-
том стронция, представляет монокристаллические материалы с пропусканием до 5—7 мки со свойствами, которые допускают примене-
ние материалов в качестве обтекателей или коллективных линз (см. табл. 7.7).
Сравнительные данные о пропускании приведены на рис. 7.10. Сведения о титанате стронция взяты у Левина [27]; о двуокиси титана — у фирмы Titanium Pigment [29]; об окиси магния и сапфире у фирмы Linde [30, 31].
Сапфир. Сапфир представляет собой монокристалл окиси алюминия.
ЮО
80
60 ЦО го
о
Sr Ti03 2, Омм (просветленный образец,)
2 Ц 6 8 10 1'2 Ш
Длина волны, мк
Рис. 7.10. Пропускание титаната стронция, титаната бария, двуокиси титана, сапфира периклеса.
Рубин и изумруд — то же самое с добавкой небольшого количества примесей. Применяемый в качестве инфракрасного оптического материала сапфир представляет собой бесцветный анизотропный гексогональный кристалл. Он выращивается путем пропускания тонкой алюминиевой оксиленной пудры через водородо-кислородное пламя в керамической печи [30]. Пудра плавится и оседает на зародышевый кристалл. Управляя потоком пудры, можно получить кристаллы различной формы — в виде обтекателей, окон, колпаков и т. д. Этот процесс впервые разработан во Франции в 1909 г. А. Вернью.
Кристалл прозрачен в области от 0,17 до 6,0 мк при толщине 2 мм [31]. Кривая пропускания приведена на рис. 7.10. Показатель преломления изменяется от 1,7555 при 1,01398 мк до 1,5864 при 5,577 мк (табл. 7.6).
Сапфир имеет большую твердость, высокую точку плавления; механически прочен, химически инертен. Он используется в основном для окон и стекол вследствие высокой стойкости к абразивному действию и коррозии, а также ввиду небольшого изменения в пропускании до температур 600° С. Кривая излучательной способности при 500° С приведена на рис. 7.11. Обрабатывается материал
алмазом.
245
ТАБЛИЦА 7.G
Показатели преломления сапфира (обыкновенный луч) при 24° С (JOSA, 1958, v. 48, р.72)
Длина волны, мк Показатель преломления Длина волны, мк Показатель преломления Длина волны, I мк Показатель преломления
0,706519 1,7630 1,81307 1,7414 3,4188 1,6982
0,85212 1,7588 1,9701 ' 1,7383 3,5078 1,6950
0,89440 1,7579 2,1526 1,7344 3,70 1,6875
1,01398 1,7555 2,24929 1,7323 4,258 1,6637
1,12866 1,7534 2,32542 1,7306 4,954 1,6266
1,36728 1,7494 2,4374 1,7278 5,1456 1,6151
1,39506 1,7489 3,2432 1,7044 5,349 1,6020
1,52952 1,7466 2,2666 1,7036 5,419 1,5973
1,6932 1,7437 3,303 1,7023 5,577 1,5864
1,70913 1,7439 3,3293 1,7015
Интересно отметить, что сапфир обладает лучшей теплопровод-
ностью, чем медь, при температуре жидкого азота и хорошо пропускает микроволновое излучение [311.
Титанат стронция, титанат бария и рутил. Титанаты стронция и
бария скорее изотропные (кубические) кристаллы, а не стекла.
Титанат стронция хорошо пропускает от 0,4 до 5—6 мк и до 7,5 мк
Длина волны, мн
Периклес толщиной Змм
Кремний толщиной 3,2 мм
Сапфир
толщиной 3,Zmm
i3'15
Рис. 7.11. Спектральная излучательная способность сапфира, периклеса и кремния при 500е С (за 1,0 принят котффициент излучения ламповой копоти, нанесенной на алюминиевый диск) [31].
в тонких образцах. Он имеет показатель преломления 2,23 при 2,2 мк и обычно используется для оптической иммерсии приемников из сернистого или селенистого свинца (гл. 5). Материал получается плавлением в пламени при пониженном давлении. В результате получается темный кристалл — полупроводник n-типа. Если материал достаточно чист, он может быть оксидирован для осветления до бледно-желтого цвета.
В таком состоянии — это
изолятор [27]. Титанат стронция допускает осторожное распиливание, обработку карбидом кремния и полировку окисью алюминия на свинце или воске. Можно получить образцы диаметром 25 мм и длиной 50 мм [27].
Титанат бария — голубоватый или желтоватый кристалл с пропусканием до 6,5 мк, а при небольших толщинах —до 12 мк. Показатель преломления равен примерно 2,49. Коэффициент теплового
246
расширения составляет 6,2-10~6 на ГС в направлении, параллельном оси си 15,7-10~6 на Г перпендикулярно оси с при комнатной температуре.
Рутил или двуокись титана представляет собой тетрагональный кристалл, пропускающий в области от 0,43 до 6,2 мк. Диэлектрическая постоянная изменяется от 2,483 при 1,0140 мк до 2,200 при 5,5 мк. Кристалл тверд, нерастворим, имеет высокую температуру плавления. Коэффициент расширения 9,19-10~6 на ГС параллельно оси с и 7,14 10~~G — перпендикулярно оси с. Кривые пропускания трех упомянутых титанатов представлены на рис. 7.10.
Окись магния. Материал известен также под названием магнетит, периклес или бета-магнезия. Он может быть использован как
Рис. 7.13. Показатель преломления и коэффициент поглощения одноокиси кремния [34].
Рис. 7.12. Пропускание синтетических шпинеля и сапфира [30].
монокристалл или сплав. Материал хорошо пропускает до 8—9жки имеет показатель преломления, уменьшающийся от 1,72259 при 1,0139 мк до 1,62404 при 5,35 мк. Он нерастворим в воде, но растворим в кислотах. Достоинством его является небольшое, всего на несколько процентов, изменение пропускания при температуре 450° С. Интегральный коэффициент излучения при 400° С равен 0,6, а при 600° С — только 0,51 [331. Плайлер и Болл [651 изучали возможность использования тонких пленок этого материала в качестве фильтров.
Шпинель. Смесь окиси магния с сапфиром в соотношении 1 : 3,5 обычно называется шпинелем, MgO 3,5 А12О3. Он обладает хорошим пропусканием от длин волн, короче 1 мк, до 5—6 мк, но имеет полосу поглощения вблизи 3 мк (рис. 7.12). Показатель преломления в видимой части спектра равен 1,73.Твердость по Кнупу 1170, а температура плавления находится, как у сапфира, в области от 2030 до 2060° С.
Одноокись кремния. Одноокись кремния часто используется как компонент интерференционных фильтров, для просветления линз и для защиты алюминированных зеркал. Свойства тонких пленок из одноокиси кремния и влияние на них скорости нанесения и окисления изучены Хассом и Зальцбергом [341. Кривые показателя преломления и коэффициента поглощения приведены на рис. 7.13.
247
Окисные и титанатные
Материал Длинноволновая граница (мк) при обычной толщине Пропускание в % при просветлении Показатель преломления (обыкновенный луч) Модуль упругости 10е кг{см2
2,2 мк 4,3 мк сч сч а? со
Сапфир А12О3 5,5 94 94 1,73 1,68 3—3,5
Титанат стронция 5,0 98 98 2,23 2,19 —
Титанат бария 6,9 96 96 2,4 2,4 0,3
Рутил TiO2 6,0 96 96 — 2,45 —
Периклес MgO 6,8 89 94 1,71 1,66 2,5
Шпинель MgO3,5Al2O3 . . 6,0 80 70 1,72 1,68 —
Рис. 7.14. Отражение алюминиевых зеркал, покрытых слоями различной толщины [34]: ---------- зеркало без покрытия; ---------- зеркало с покрытием.
Видна область сильного поглощения в пределах 8—12 мк и соответствующий аномальный ход показателя преломления, уменьшающегося от 1,5 до 0,85, затем возрастающего до 2,8 и вновь уменьшающегося до 2,1. В области от 1 до 8 мк поглощение мало, а показатель преломления монотонно падает от 1,8 до 1,5.
Оптические характеристики пленок сильно зависят от времени и особенно от полноты окисления до SiO2 при нанесении и последующей выдержке на воздухе. При увеличенном окислении граница пропускания (которая для SiO2 находится в ближнем ультрафиолете и видимой области) сдвигается в коротковолновую область. Поглощение в видимой и близкой ультрафиолетовой областях уменьшается и показатель преломления снижается.
Хасс и Зальцберг заметили, что при отражении излучения от алюминиевой пленки, покрытой SiO, тангенциальная составляющая электрического поля вблизи металла должна быть мала. Поэтому
поглощение в очень тонких пленках SiO должно быть также мало на всех длинах волн. С увеличением толщины пленок их поглощательная способность быстро растет. Это явление характеризуется кривыми отражениями, показанными на рис. 7.14, для покрытий разной толщины.
Окислы редких земель. Окисли различных редкоземельных элементов исследованы Хассом и др. [35]. Коэффициенты поглощения и преломления измерены в области от 0,2 до 2,0 мк с целью удостове-
248
ТАБЛИЦА 7.7
оптические материалы
Твердость по Кнупу Плотность, г/см3 Растворимость, г на 100 г Точка плавления, °C Тепловое расширение Теплопроводность
. к , о ф о ® У О И л ящ й Ч h о сЗ С К СЧО и 5° • 5 к 5 <v о <и £• у с 2 я« а'Ч н о <и >> с £ Е « о Ф • • £2 £ К О Ч о 5Й 'Ч л о сз о <и Q.S Я* S сз й 5 U Е ЧИО перпендикулярно оптической оси
1525—2000 3,98 9,8х10~5 2030 6,7 5,0 60 55
620 5,13 Нерастворим 2080 9,4 9,4 — —
— 5,9 — 1600 6,2 15,7 3,2 3,2
880 4,26 Нерастворим 1825 9 7 28 21
690 3,59 1,2х10~5 2800 13 13 81 81
1170 3,61 Нерастворим 2030-2060 5,9 5,9 33 33
риться в пригодности таких материалов для просветляющих покрытий.
Окислы лантана La2O3 и празеодима Рг6О1Х имеют показатель преломления от 1,8 до 2,0 в области от 0,4 до 2,0 мк при значительном поглощении за пределами 0,4 мк. Окисел неодима Nd2O3 имеет показатель преломления около 2 в области от 0,6 до 2 мк и поглощает излучение в области длин волн короче 0,5 мк. Окислы иттрия Y2O3, самария Sm2O3 и гадолиния Gd2O3 обладают худшими характеристиками.
7.7. Полупроводники
Элементы кремний и германий из группы 14 периодической таблицы относятся к хорошим оптическим материалам для инфракрасной техники. Углерод из той же группы используется в модификации алмаза для окон длинноволновых тепловых приемников. Было предложение использовать его в качестве оптических пластинок, но вскоре обнаружилась трудность полировки до требуемого качества. Селен и теллур из группы 16 используются менее часто. Элементы бор, серое олово, сурьма, висмут и иод из соседних групп обладают пропусканием, но используются очень мало. Плайлер и Болл [65] упоминают о сурьмянистом теллуре и висмуте как тонких пленочных фильтрах для области от 2 до 6 мк.
Алмазы относятся к типам I и II в зависимости от наличия или отсутствия сильной полосы поглощения в области от 7 до 11 мк. Алмаз типа I обладает также поглощением в области от 19 до 22,6 мк. Кривые пропускания [37] алмазов двух типов показаны на рис. 7.15.
Показатели преломления кремния и германия даны в табл,. 7.8 и 7.9. Кривые пропускания кремния, германия, аморфного селена, алмаза типа II и теллура показаны на рис. 7.16 и 7.17.
9В. Зак. 1502 249
ТАБЛИЦА 7.8
Показатели преломления монокристалла германия при 27° С
(JOSA, 1957, V. 47, р. 244)
Длина волны, мк. Показатель преломления Длина волны, мк Показатель преломления
2,0581 4,1016 4,866 4,0170
2,1526 4,0917 6,238 4,0092
2,3126 4,0788 8,66 4,0036
2,4374 4,0706 9,72 4,0026
2,577 4,0610 11,04 4,0020
2,7144 4,0554 12,20 4,0018
2,998 4,0453 13,02 4,0016
3,3033 4,0370 14,21 4,0015
3,4188 4,0336 15,08 4,0014
4,258 4,0217 16,00 4,0012
ТАБЛИЦА 7.9
Показатели преломления кремния (JOSA, 1957, V. 47, р. 244)
Длина волны, мк Показатель преломления Длина волны, мк Показатель преломления Длина волны, мк Показатель преломления
1,3570 3,4957 2,4373 3,4408 5,50 3,4213
1,3673 3,4962 2,7144 3,4358 6,00 3,4202
1,3951 3,4929 3,00 3,4320 6,50 3,4195
1,5295 3,4795 3,3033 3,4297 7,00 3,4189
1,6606 3,4696 3,4188 3,4286 7,50 3,4186
1,7092 3,4664 3,50 3,4284 8,00 3,4184
1,8131 3,4608 4,00 3,4255 8,50 3,4182
1,9701 3,4537 4,258 3,4242 10,00 3,4179
2,1526 3,4476 4,50 3,4236 10,50 3,4178
2,3254 3,4430 5,00 3,4223 11,04 3,4176
Свойства элементов группы 14 таблицы меняются в зависимости от уровня расположения в таблице. Алмаз типа II является полупроводником с запрещенной зоной около 6 эв, соответствующей пропусканию излучения с длинами волн более 0,2 мк. Запрещенная зона кремния и германия составляет соответственно 1,1 и 0,66 эв при комнатной температуре так, что они пропускают, начиная с 1,1 и 1,8 мк. Кремний очень хорошо пропускает до 6 мк, а в целом — до 15 мк с провалом около 9 мк. Германий хорошо пропускает до 15 мк. Свойство этих материалов — отфильтровывать максимум солнечного излучения — часто оказывается полезным. Германиевые и кремниевые линзы в оптических системах работают как фильтры, отсекающие солнечное излучение, и таким образом уменьшают влияние фона.
250
Границы пропускания кремния и германия при низких температурах слегка сдвигаются в область коротких волн — до 1,05 мк. у кремния и до 1,73 мк у германия.
Длина волны, мн
Рис. 7.15. Поглощение в алмазах типов I и II [37].
следующим образом:
Показатель
2,38 у алмаза; 3,42—3,5 — у кремния и 4,0—4,1 у германия. Зависимости показателей преломления от длины волны для германия и кремния приведены в табл. 7.8 и 7.9. Данные взяты у Зальц-берга и Вилла [391. Большие показатели преломления и малые дисперсии делают эти материалы весьма пригодными для изготовления линз. Темпе-
ратурный коэффициент показателя преломления германия между 2 и 2,4 мк находится в пределах от 5,037 до 5,919-10~9 (Рэнк и др.
[46]). Оба материала допускают просветляющее покрытие из окиси кремния для длин волн, меньших 5 мк*) и из цинк-сульфида при больших длинах волн [44] (рис. 7.18). После сильного поглощения при 30 мк, германий обнаруживает заметное пропускание до 55 мк [38].
Германий и кремний инертны и нерастворимы; Кремний тверже германия
и плавится при 1420° С (германий — при 958° С), однако и тот и другой по свойствам далеки от алмаза. Пропускание обоих материалов существенно снижается при температурах, больших 200° С.
преломления увеличивается
Рис. 7.16. Пропускание аморфного селена
[47].
100
80
§ 60
ЬО
20
Аморфит селен толщиной J, Ьмм
/ _______------ч .
~уАлмаз mung П\ f
кремнии толщиной ел мм' > Теллур Е^с. толщинойД85мм\
П\ 1 1 L-Z1 1 ! (—4 1 1 1 П . 1 1 1 1 1—L-
и0 Z Ь 6 8 10 12 14 16 18
Длина волны, мк
Рис. 7.17. Пропускание некоторых проводниковых материалов.
полу-
*) Двуокись церия также может применяться для просветления, но она обнаруживает поглощение при 3 мк.
9В*
251
Кремний имеет очень малый коэффициент теплового расширения, что обеспечивает сохранность материала при резких перепадах температур. Несколько фирм могут поставлять кремниевые слитки размером до 150 мм в диаметре. Обтекатели или окна больших размеров могут изготовляться путем сваривания или склеивания из отдельных частей.
Селен существует в двух кристаллических состояниях и в аморфном виде. Чаще всего в оптике используется аморфный селен. Аморфный селен пропускает излучение в области длин волн от 0,6 до 25 мк
Длина волны, мн а) 6) в)
Рис. 7.18. Просзетляющие покрытия на образцах кремния и германия:
а — пропускание кремниевой пластинки толщиной 1,5 мм с просветляющим покрытием SiO и без него ^ni =— при 1,7 jw/cj; б —пропускание германиевой пластинки толщиной 1 мм с просветляющим покрытием ZnS и без него (п/ =-£- при 9,8 мк^ ; в — пропускание кремниевой пластинки толщиной 1,5 мм с просветляющим покрытием ZnS и без него ( nt при 9,8 мк j [44J.
с полосами поглощения при 13,5 и 20,5 мк. При 2,0 мк он имеет показатель преломления в пределах от 2,45 до 2,5 при комнатной температуре. Селен размягчается при 35° С, хотя существует разновидность селена, быстро замороженного из расплава, которая не размягчается при 50° С (Гебби и Кэннон [471. Селен имеет большой коэффициент теплового расширения. Гебби и Кэннон описали линзу с относительным отверстием 1:1, с фокусным расстоянием 1 см, которая обеспечивает разрешающую способность 20 линий на миллиметр при 0,8 мк. Комплексный показатель преломления тонких пленок исследовался Келером и др. [45] в интервале от 0,4 до 2,5 мк.
Теллур формируется в виде анизотропного кристалла с пропусканием от 3,5 до 8 мк и показателем преломления от 4,97 до 4,85 для волн с вектором Е, перпендикулярным оси с и от 6,34 до 6,20 для волн с вектором Е, параллельным оси с (Хартиг и Лоферски [48]).
Полупроводниковые материалы описаны лМоссом [15]. Наиболее важные из них табулированы Балэрдом и др. [131. Кремний и германий описаны Бурштейном и др. [411, а также Зальцбергом и Вилла [421. Другие ссылки можно найти в упомянутых работах.
252
7.8. Халькониды
Свинец из группы 14, а также элементы цинк, кадмий и ртуть из группы 12 периодической таблицы образуют с элементами группы 16 — кислородом, серой, селеном и теллуром — кристаллы, известные под названием хальконидов. Эти материалы играют важную роль при изготовлении приемников (см. гл. 5). Такие материалы,
Длина волны) мк
Рис. 7.19. Оптические свойства сульфида кадмия [50].
как сульфид цинка, используются в качестве просветляющих покрытий для германия и кремния в области от 8 до 14 мк (Кокс и Хасс [441). Соли свинца используются как фильтры.
Окись цинка имеет запрещенную зону порядка 3,3 эв и обладает слабо выраженным двойным лучепреломлением с показателями 2,01 и 2,03. Сульфиды цинка и кадмия представляют собой мягкие кристаллы с пропусканием от 0,6 до 14 мк. Их показатели преломления измерены Кларком и др. [49] в области от 0,4 до 1,4 мк и составляют от 2,5 до 2,29 для сульфида цинка и от 2,6 до 2,32 для сульфида кадмия при 0,55 и 1,4 мк соответственно. Фрэнсис и Карлсон [50] приводят данные о поведении сульфида кадмия при больших длинах волн. Кривые пропускания монокристаллов и плавленых материалов, а также их показатели преломления показаны на рис. 7.19. Другие свойства представлены в табл. 7.10. Холл и Фергюсон [51]
ТАБЛИЦА 7.10
Свойства сульфида кадмия (JOSA, 1960, v. 50, № 2)
Параллельно оси с Перпендикулярно оси с
Твердость по Кнупу Твердость по Викерсу .... Коэффициент теплового расширения в пределах от 50 до 500° С Температура плавления . . . Сублимация Растворимость (может растворяться в кислотах, слабо растворим в аммиаке и уг-леводородах) 121 102 3,5-10—61/° С 1500° С при 100 атм 980° С при 1 атм 0,00013 г на 100 г воды при 18° С 73 48 5,0-10“61/° С 1500° С при 100 атм 980° С при 1 атм 0,00013 г на 100 г воды при 18° С
253
установили, что показатель преломления пленки сульфида цинка изменяется от 2,34 при 0,6 мк до 2,15 при 14 мк. Теллуриды цинка и кадмия имеют границы пропускания при 0,59 и 0,84 мк с показателем преломления около 3. Эти материалы описаны Моссом [15].
Халькониды свинца — полупроводники с большим показателем преломления. Эвери [7] установил следующие значения показателя преломления при 3 мк для отколотых образцов с различными концентрациями примесей — 4,1 для PbS; 4,59 для PbSe и 5,35 для РЬТе. Он также установил, что эти значения изменяются для полированных поверхностей. Халькониды свинца примечательны тем, что граница пропускания у них при охлаждении сдвигается в сторону больших длин волн, а показатель преломления при этом уменьшается. Мосс [15] показал, что эти свойства взаимозависимы и поэтому о характере одних можно судить на основании других. Сернистый свинец пропускает в области от 3 до 7 мк, селенистый свинец — в области от 5 до 7 мк, а теллуристый свинец — в области от 4 до 7 мк. Кривые действительных и мнимых частей диэлектрических постоянных этих материалов приведены на рис. 7.2.
7.9. Интерметаллические соединения
Некоторые свойства девяти соединений алюминия, галлия и индия из группы 13 с фосфором, мышьяком и сурьмой из группы 15 периодической таблицы указаны в табл. 7.11. Эти данные взяты у Велкера, Вайса, Бэлларда и др. [13], Кеннелла и Сэкера [53], а также у Мосса [15].
ТАБЛИЦА 7.11
Свойства интерметаллических соединений
Материал Граница пропускания Показатель преломления Температура плавления, °C Коэффициент расширения Ю—61/О с Подвижность при 300° к
коротковолновая, мк ДЛИННО- 1 волновая, 1 мк 4 мк 10 мк электронов дырок
Алюминий: фосфористый . . . . мышьяковистый . . 0,4 0,59 — — — 1 600
сурьмянистый . . . 0,78 — 3,0 — 1 050 — 400 200
Галлий: фосфористый . . . . 0,6 4,5 3,0 1 340 5,3
мышьяковистый . . 1,0 И 3,34 3,13 1 240 5,7 4 600 300
сурьмянистый . . . 2,0 2,5 — — 720 6,9 4 000 800
Индий: фосфористый . . . . 1,0 14 3,1 3,0 1 070 4,5 .3 400 650
мышьяковистый . . 3,8 7 3,7 3,7 936 5,3 28 000 200
сурьмянистый . . . 7,0 16 — 4,0 523 5,5 70 000 800
254
Мышьяковистый алюминий, арсенид галлия и фосфористый индий представляют перспективные материалы для солнечных батарей. Сурьмянистый индий и мышьяковистый индий используются в качестве приемников инфракрасного излучения (гл. 5). Эта труппа соединений обладает пропусканием от 0,4 до 7,0 мк. Коротковолно-
вая граница пропускания сдвигается в длинноволновую сторону с увеличением атомных весов компонентов соединения. В частности соединения из смеси мышьяковистого и фосфористого индия или галлия могут быть использованы в качестве фильтров. Коротковолновая граница
Рис. 7.20. Пропускание сурьмянистого индия в зависимости от длины волны при нескольких температурах [52].
пропускания может регулироваться в пределах от 0,55 до 7,0 мк дозировкой (Уэлкер и Вайс [52]).
У всех этих материалов ширина запрещенной зоны в области
комнатных температур уменьшается с увеличением температуры. Кривые пропускания сурьмянистого индия при нескольких температурах показаны на рис. 7.20. К наиболее примечательным свойствам
мышьяковистого и сурьмянистого индия относится высокая подвижность электронов.
7.10. Галлоидные соединения
В табл., 7.12 приведены свойства галогенов и родственных им материалов. Таблица составлена по данным Гостери [11], Меллера [55], Харшоу [56], Кодак [57], Смита и др. [14]. У этих авторов имеются многочисленные ссылки на оригинальные источники. Из таблицы видно, что галлоиды легких металлов и хлористое серебро образуют ряд материалов, обладающих пропусканием в области от 6 до 50 мк и очень хорошим пропусканием при практических толщинах без просветляющих покрытий. Галлоиды легких металлов имеют показатель преломления между 1,75 и 1,1, что сравнимо с показателем обычных стекол.
Все эти галлоиды образуют кристаллы кубической структуры. Длинноволновая граница пропускания имеет тенденцию к дальнейшему сдвигу при переходе от фторидов к хлоридам и от бромидов к иодидам, а внутри каждой группы — с увеличением веса иона металла. Материалы значительно мягче обычных стекол. Принципиальным недостатком материалов является высокая растворимость. Они используются большей частью в качестве призм и окон для длинноволновой и средневолновой инфракрасной спектроскопии.
255
Свойства галогенов и
Материал Интервал длин волн мк Коэффициент поглощения, см~х Пропускание без покрытия. % Показатель преломления Модуль упру-гости с 10е кг/см2
4 мк 10 мк « 4 мк 1 0 мь
Фториды:
лития 0,11-6 о,1 •—• 94 1,35 ; 1,1 0,6-0,7
натрия 0,19—12 1 — — 1,31 1,23
кальция 0,13—9 — — 94 1,41 — 0,7—1,0
бария 0,14— — 13,5 — — 84 1,45 , 1,41 0,5
Хлориды:
натрия 0,2-15 с 0,1 94 1,52 1,49 0,38
калия 0,4—21 с с 92 1,47 1,45 0,28
серебра —25 — — 80 2,00 1,98 0,19
Бромиды:
калия 0,21—27 с с 92 1,54 1,53 0,27
цезия 0,20—40 — — 82 1,67 1,66 0,15
Йодиды:
калия 0,25-31 — — 85 1,63 1,62 0,30
цезия 0,24—50 — — 88 1,75 1,74 0,15
KRS-6 0,21-27 — — 72 2,19 2,17 0,20
KRS-5 0,5—40 — — 68 2,38 2,37 0,15
Иртран-1 1-8 — — 92 1,35 — 1,0
Иртран-2 2—14 — — 72 2,25 2,20 0,9
Иртран-3 0,2-10 — — 90 1,41 — 1,4
Иртран-4 0,5—20 1 — 68 2,5^ 2,4^ —
а В направлении < 110>.
& В направлении < 100>.
с Mer.ee чем 0,01.
d По расчету (не измерялось).
256
ТАБЛИЦА 7.12
родственных соединений
Твердость по Кнупу Плотность, г /см3 при 300° к Растворимость, г на 100а воды при 300° К Температура плавления, i22 Коэффициент расширения 10~6/°С Теплопроводность, 10 з кал (сек -см- град)~ Максимальные размеры
диаметр, см высота, см
ПО 2,6 0,27 870 37 27 20 12
— 2,8 4,22 980 36 — 15 12
158 3,2 0,0017 1 360 24 23 18 12
82 4,8 0,17 1 280 — 28 15 12
( 15,2е 1 18,2* 2,2 35,7 801 44 15 30 . 25
7,2й 2,0 35,4 776 36 16 30 25
1 9,3* 1 9,5 5,6 1,5х 10“4 458 30 2,8 7,5 14
1 5,9е 1 7,0* 2,8 53,5 730 43 11,5 25 20
19,5 4,4 124,5 636 48 2,3 25 12
3,1 127,5 723 43 — 20 12
— 4.5 44 621 50 2,7 25 12
40,2 7,2 0,32 423 50 1,7 — —
J 30“ 1 38,5* 7,4 0,05 415 58 1,3 25 20
576 3,2 нераств. 1 396 8 7,5 410 180
354 4,1 » — 6,6 — 410 90
200 3,2 0,0015 1 360 24 11 310 90
250 5,4 нераств. 1 500 6—7 — 62 15«
257
Дополнительно можно упомянуть фтористый свинец, хлористый таллий и бромистый таллий, которые пропускают соответственно до 17; 34 и 36 мк и иногда применяются. Фтористый магний чаще используется для просветления, он пропускает в области от 0,11 до 7,5 мк и дает слабое двойное лучепреломление с показателями 1,38 и 1,39 при 0,7 мк. Фтористый кадмий образуется в виде кубических кристаллов, пропускающих от 0,25 до 11 мк. Он менее растворим, чем хлористый натрий. Показатель преломления фтористого кадмия равен примерно 1,58 в видимом спектре.
KRS-5 и KRS-6 — кристаллы иодистобромистого и хлористо-бромистого таллия (KRS-5 и KRS-6 были разработаны в Германии во время второй мировой войны и тогда же получили свои условные наименования.) KRS-5, например, является весьма хорошим материалом для спектроскопии в области до 40 мк. Показатель преломления этого материала приведен в табл. 7.13, составленной по данным
T АБЛ ИЦ А 7.13
Показатели преломления KRS-5 (45,7% бромистого таллия, 54,3% йодистого таллия) (JOSA, 1956, V.46, р. 956)
Длина волны, м к. Показатель преломления, °C
19 25 31
0,576960 2,62911 2,62758 2,62605
0,69075 2,53619 2,53470 2,53321
1,01398 2,44566 2,44416 —
1,52952 2,40808 2,40658 2,40515
1,9701 2,39698 2,39553 2,39410
1,3253 2,39220 2,39076 2,38937
3,4188 2,38528 2,38386 2,38250
4,258 2,38287 2,38142 —
6,238 2,37821 2,37680 2,37536
9,724 2,37269 2,37132 2,36986
11,035 2,36995 2,36857 2,36714
14,29 2,36149 2,36023 —
14,98 2,35958 2,35824 —
15,48 2,35810 2,35667 2,35534
17,40 2,35159 2,35022 —
18,16 2,34885 2,34755 2,34624
20,57 2,33942 2,33816 —
21,79 2,33414 2,33290 2,33162
22,76 2,32970 2,32851 —
23,82 2,32476 2,32338 2,32214
25,16 2,31808 2,31696 —
25,97 2,31357 2,31260 —
26,63 2,31018 2,30902 2,30773
29,81 2,29099 2,28988 2,28869
31,70 2,27840 2,27730 2,27611
33,00 2,26927 2,26821 2,26712
34,48 2,25838 2,25740 —
37,56 2,23343 2,23243 —
39,38 2,21708 2,21621 2,21508
258
Родни и Мэлитсона 159J. Материал почти нерастворим в воде, имеет умеренный показатель преломления (примерно 2,38) и несколько труден в обработке. Свойства материала можно в некоторых пределах варьировать дозировкой бромистого таллия и йодистого таллия.
Иртран-1 и Иртран-2— названия материалов, выпускаемых фирмой Истмэн Кодак. Иртран-1 в основном состоит из фтористого магния, а Иртран-2 — из сульфида цинка. Оба материала практически нерастворимы и стойки к воздействию резких климатических условий. Иртран-1 предназначается в основном для систем, работающих в области от 3 до 5 мк (окно атмосферного пропускания). Показатель преломления 1,35, точка плавления 1396° С. Иртран-2 пропускает в области от 1 до 14 мк, имеет больший показатель преломления (2,2 при 10 мк). Материал рассчитан на работу в окне атмосферного пропускания от 8 до 13 мк. Однако он применим и в более коротковолновой области. Благодаря умеренному показателю преломления материал пригоден для изготовления линз; он не хрупкий и полируется без особого труда. Некоторые свойства других материалов — Иртрана-3 и Иртрана-4, находившихся во время написания книги в процессе разработки, также перечислены в табл. 7.12.
Фториды редких земель. Фториды лантана LaF3, неодима NdF3 и церия CeF3 обследованы Хассом и др. [35] с целью выяснить пригодность их для просветления. Найдено, что показатели преломления находятся в пределах от 1,57 до 1,62 в области спектра от 0,6 до 2,0 мк.
7.11. Прочие материалы
Известен ряд других материалов, пригодных для инфракрасной оптики. Например, в качестве окон или фильтров могут работать тонкие пластмассовые пластинки. На рис. 7.21 показаны кривые пропускания оргстекла (плексигласа) в толщинах 0,25; 0,5; и 1,5 мм. Видно, что оргстекло в тонком слое хорошо пропускает более чем до 5 мк. К другим практически применяемым пластмассам относятся: материал Kel-F, целлофан (рис. 7.23) и полистирол. Эти материалы не допускают полировки для получения оптических поверхностей и поэтому не используются в системах с высокой разрешающей способностью. Полосы поглощения у пластмасс обусловлены колебаниями определенных химических связей [60]. Эти материалы настолько хорошо известны и стабильны, что полистирол, например, применяют для калибровки спектрометров [61].
Некоторые газы и жидкости также используются в качестве фильтров и поглощающих сред перед селективными приемниками. Дисперсия восьми органических жидкостей измерена до 20 мк Кага-рисом [62].
259
100
Рис. 7.21. Пропускание оргстекла (плексигласа).
7.12. Металлические зеркальные покрытия
Во многих инфракрасных системах для фокусировки излучения устанавливаются зеркала. Эти зеркала обычно изготовляются из стекла пирекс и покрываются зеркальными пленками серебра,
Длина волны, мн
Рис. 7.22. Отражение от нанесенных испарением металлических пленок: а —пленка серебра после воздействия воз* духа; б —пленка алюминия после воздействия воздуха [63].
магнием и алюминием, а чаще просто алюминием. На металлические пленки наносятся защитные покрытия из одноокиси кремния толщиной, кратной четверти длины волны. Пленка SiO образует прочный слой, который можно мыть растворителями. Слой не должен быть слишком толстым и ослабляющим отраженный поток (рис. 7.14).
В § 7.3 упоминалось, что большинство полированных металлических поверхностей отражает в широком спектре при различных углах падения. В коротковолновой части видимого диапазона и ультрафиолете отражение уменьшается за счет полощения электронами.
Гейтс и др. [631 описали измерения отражения пленок серебра и алюминия, нанесенных
260
испарением, в области от видимого спектра до 13 ж/с и при углах падения от 20 до 60°. Их результаты представлены на рис. 7.22.
В справочнике [64] даны таблицы нормального отражения от полированных поверхностей различных металлов. Некоторые цифры из этого справочника воспроизведены в табл. 7.14.
ТАБЛИЦА 7.14
Коэффициенты отражения полированных металлов
Длина волны, мк Серебро, химически осажденное Смесь магния с алюминием Алюминий
0,50 90,0 83,3
0,60 92,7 83.0 —
0,70 95,4 83,3 —
0,80 96,8 84,3 —
1,00 97,0 84,1 71,0
1,50 97,6 — —
2,00 97,8 86,7 82,0
3,00 98,1 87,4 —
4,00 98,5 88,7 92,0
7,00 — — 96,0
9,00 98,7 90,6 —
10,00 — — 98,0
12,00 — — 98,0
Отражение зеркал с металлическими покрытиями может быть существенно увеличено путем нанесения слоев диэлектрического материала. Принципы использования этого явления описаны в § 7.4. На поверхность поочередно наносятся слои с большим и малым показателями преломления толщиной, кратной четверти длины волны излучения, подлежащего отражению. Отражение при таких четвертьволновых слоях проанализировано в § 7.14. Оно может быть очень большим. Отражение уменьшается по спектру в обе стороны от выбранной длины волны, для которой слои взяты четвертьволновыми. Однако полоса спектра отраженного излучения может быть расширена нанесением слоев различной толщины. Подобная технология описана Тернером [67]. Он наносил слои в соотношении по толщине 1:2: 3:...\V для N слоев.
ИНФРАКРАСНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Оптический фильтр представляет собой устройство, пропускающее излучение в заданном интервале спектра. Фильтры используются в инфракрасных системах для выделения цели на некотором фоне путем пропускания излучения от цели и отражения или поглощения излучения фона. Они применяются при измерениях излу-
261
Длина волны, мк
Рис. 7.23. Пропускание целлофана без покрытия и с покрытием [65].
чения в данном спектральном диапазоне. В комбинации с призмами и решетками они позволяют исключить нежелательные составляющие спектра излучения.
Фильтры обычно делятся на коротковолновые, пропускающие излучение с длинами волн короче граничной; длинноволновые, пропускающие излучение с длинами волн больше граничной, и полосовые пропускающие в области между двумя границами. Полосовые фильтры с очень узкой полосой пропускания называются узкополосными. Фильтр наиболее полно характеризуется кривой пропускания в зависимости от длины волны.
Однако нередко дается лишь максимальное значение пропускания, соответствующее длине волны и полуширине полосы пропускания. Полуширина полосы определяется как разность длин волн, при которых пропускание составляет половину от максимума.
Естественные материалы, пропускающие в определенных диапазонах спектра, также используются как фильтры. Например, германиевые и кремниевые линзы часто выбираются по той причине, что отражают и поглощают коротковолновое солнечное излучение до 1,1 и 1,8 мк соответственно. Сурьмянистый
индий и халькониды свинца, а также многие другие материалы, описанные выше, применяются для отфильтровывания других длин волн. Плайлер и Болл исследовали следующие фильтры: из фтористой сурьмы или из фтористого лития с пропусканием 40% при 1,75 мк и 35% при 4—5 мк\ из натрия и хлористого теллура с пропусканием 60—70% при 2,7 мк\ из фтористого кальция и фтористого висмута с хорошим пропусканием от 3 до 6 мк\ из окиси магния и фтористого кальция с пропусканием 75—90% при 6 мк. Ими также получена кривая пропускания целлофана без покрытия и с покрытием слоем MgO (рис. 7.23). Золотая чернь также может служить длинноволновым фильтром при соответствующей оксидировке во время напыления.
Стронг описал способ использования шероховатых металлических пластинок, рассеивающих коротковолновое и отражающих длинноволновое излучение.
В близкой инфракрасной части спектра применяются окрашенные пластмассовые пластинки, известные в технике видимых излучений.
Специальные виды фильтров основаны на явлениях физической оптики таких, как поляризация; рассеяние на малых частицах с показателем преломления, сравнимым с показателем преломления жидкости, в которых эти частицы взвешены; почти полное внутреннее 262
отражение и т. д. Эти фильтры достаточно полно описаны Смитом, Джонсом и Чесмером [141.
Весьма распространенным в современных устройствах типом фильтров являются многослойные фильтры, состоящие из ряда диэлектрических слоев с разными показателями преломления, наносимых поочередно. Эти многослойные интерференционные фильтры созданы на основе развития принципов просветления, изложенных в § 7.4. Излучение, отраженное от границы слоев, интерферируя, усиливается для той длины волны, для которой требуется высокое отражение, и гасится в области других длин волн. Такие фильтры могут быть сделаны с четкими границами пропускания в заданных полосах. Основные положения теории интерференционных фильтров изложены в следующем параграфе.
7.13. Интерференционные фильтры
Рис. 7.24. Принципиальная схема интерференционного фильтра.
В § 7.4 было показано, что слой диэлектрического материала, нанесенный на полированную поверхность оптической детали, может изменить потери на отражение. Если величина показателя преломления покрытия находится между величинами показателей преломления окружающей среды и покрываемого материала, отражение уменьшается. Коэффициент отражения зависит от длины волны. Потери на отражение минимальны для тех длин волн, для которых оптическая толщина покрытия равна (2n + 1) р где п = 0, 1, 2...
Такая частотная зависимость пропускания диэлектрических пленок позволяет изготовлять фильтры с пропусканием в различных и широких областях спектра. По принципу действия такой фильтр можно рассматривать как эталон Фабри — Перо, изображенный схематически на рис. 7.24. Это устройство состоит из диэлектрического слоя,
толщине целому числу полуволн того излучения, которое должно быть пропущено. Такой слой покрывается с обеих сторон полупрозрачными отражающими слоями из серебра или алюминия. Пропускание может быть вычислено на основании соотношений, рассмотренных в § 7.4, по формуле
Л2 W Лз(Х)
кратного по оптической
7 —_______________________________________________________________________
{1—[/?is W Я23 (Л) 11/2}3Ч-4 [Z?12 (X) /?23 (/.)] ‘/2 sin2 МХ) + МХ)-^
2
(7.32)
где Т12 и Т23 — зависящие от длины волны коэффициенты пропускания двух металлических покрытий;
263
#i2 и #2з ~~ коэффициенты отражения покрытий;
Ф12 и Фгз — изменения фазы при отражении от двух покрытий и
Р — оптическая толщина фильтра, выраженная в длинах волн
P = i^cos02, (7.33)
Ло
где n2, d, 02— показатель преломления, толщина и угол преломления в слое;
Хо — длина волны излучения в вакууме.
Если два металлических покрытия идентичны, формула (7.32) преобразуется к следующему виду:
Т 2 (X)
Т (X) =-------------------------------г- , (7.34)
[Тс (А) + Ас (Л)]2 + (X) sin2 (у - f )
где индекс с относится к каждому слою и поглощение, описываемое первым членом знаменателя уравнения (7.32), может быть вычислено непосредственно. Эти фильтры описаны Тернером [68], а их анализ выполнен Полстером [69]. Равенство (7.34) показывает, что максимум пропускания этих фильтров получается при условии равенства нулю члена с sin2, т. е.
лп2
= тст <7'35>
Точки при половинном пропускании с каждой стороны каждого максимума определяются из условия
(7f+4)2=4^sin2 (Ф-А). (7.36)
Положив
ф_| = /пл + др, (7.37)
где Ар — малый угол, получим из (7.36)
др = Тс+^с '
2 V R
Из равенства (7.33) следует, что
АХ —|^Ар — +
r 4 (тя-<?)/><.
Поэтому полуширина полосы равна
ДА,. = + (7.38)
У 2 (mit — <р) v Rc
264
Равенства (7.35) и (7.38) показывают, что для хорошего пропускания в максимуме и получения узкой полосы пропускания, отражающие слои должны обладать небольшим поглощением, но высокой отражательной способностью.
Между прочим, интересно отметить, что выражение (7.38) может быть записано иначе:
АХ, ------Х (7> + Лс)-. (7.39)
у 8тсп2 d у/ Rc cos 02
Это равенство, а также выражение (7.33) показывают, что если такой фильтр сконструирован для нормального падения параллельного пучка, но используется неправильно в наклонном пучке, то полоса пропускания будет шире и сдвинется в сторону коротких волн-
7.14. Интерференционные фильтры только из диэлектрических слоев
Необходимость в прозрачных отражающих покрытиях поверхностей слоя полуволновой толщины, входящего в первые интерференционные фильтры, привела к изысканию других методов построения фильтров без металлических покрытий.
Интересным альтернативным решением было использование явления нарушения закона полного внутреннего отражения, описанное Тернером [68]. Однако такие фильтры пропускают излучение в зависимости от его поляризации и не дают достаточного пропускания неполяризованного излучения.
Следующим шагом было использование слоев диэлектрического материала с высоким и низким показателями преломления, наносимых поочередно, чтобы обойтись без металлических отражающих покрытий. По толщине эти слои делаются кратными нечетному числу четвертей волны. Логическим развитием этой идеи была разработка фильтров с количеством слоев, достаточным для получения требуемого отражения без помощи металлических покрытий [6.9]. Этот способ и используется в настоящее время для получения инфракрасных интерференционных фильтров.
Набор только из нескольких четвертьволновых слоев подходящих материалов с высоким показателем преломления может дать хорошее отражение. Как показано Борном и Вольфом [4], применившими матричный анализ Абеля, отражение набора из N + 1 слоев с показателем преломления п2 и разделенных слоями с показателем и3, а также заключенных между толстыми слоями материала с по-казателяем пь с одной стороны, и п4 <— с другой, выражается зависимостью
265
Например, если первая среда — воздух с показателем = 1; вторая среда — германий с показателем п2 = 4,03; третья — окись кремния с п3= 1,32 и четвертая — кварц с я4= 1,43, то коэффициенты отражения для одного, трех
ТАБЛИЦА 7.15
Отражение четвертьволновых слоев АН-1 слоев германия, разделенных 2V слоями SiO на кварцевой под* ложке в воздухе
Номера слоев 2W+1
Отражение
1 0,701
3 0,962
5 0,998
и пяти слоев получаются такие, как указано в табл. 7.15.
На рис. 7.25 показана схема фильтра такого типа. Он состоит из полуволновых слоев, наподобие эталона Фабри — Перо, разделенных четвертьволновыми слоями с большим и малым показателями преломления поочередно. Четвертьволновые слои образуют почти полностью отражающие покрытия для полуволновых прослоек. Использование нескольких прослоек обостряет спектральную кривую пропускания. Нередко такой фильтр состоит из 20 или 30 слоев.
Смит [70] исследовал фильтры с одной и двумя полуволновыми прослойками и построил кривые для нескольких практических случаев. Его метод анализа состоит в выборе некоторого слоя фильтра
и рассмотрении всех слоев с одной стороны как систем с зависящими от частоты отражением, пропусканием и поглощением; аналогичная система рассматривается с другой стороны слоя. Выбранный слой подвергается анализу по методу, изложенному в предыдущем параграфе. При благоприятных условиях величина и фаза отражения от диэлектрических слоев мало
Рис. 7.25. Многослойный интерференционный фильтр с рядом четвертьволновых диэлектрических отражающих слоев.
изменяются в пределах глав-
ной полосы пропускания фильтра. Использование нескольких прослоек аналогично включению нескольких фильтров в электронной цепи. Когда имеется небольшое число четвертьволновых слоев между каждой парой прослоек, они связаны сравнительно сильно, поэтому появляются два максимума в кривой спектрального пропускания. Меньшая связь при большем числе слоев сглаживает эти пики в один широкий максимум.
Одна из проблем изготовления интерференционных фильтров состоит в том, что из-за малой толщины слоев толщину их удается измерить с точностью только до нескольких процентов. Иногда необходимо поставить фильтр под углом к лучу, и очень часто желательно поставить фильтр в сходящемся пучке. Лучи, падающие на фильтр под углом, проходят иначе, чем нормальные лучи, что видно из ра
266
венств (7.33) и (7.39). Эти особенности изучались Лисбергером [71 и 72] методом, аналогичным тому, с помощью которого получено уравнение (7.32) для серии слоев с добавлением одного слоя.
Интересное исследование по получению оптимальных многослойных фильтров выполнено Баумайстером [73]. Исходной предпосылкой является предположение, что найден фильтр с приблизительно нужной спектральной характеристикой. Однако эта характеристика в некоторой области отклоняется от идеальной. Затем выбираются значения некоторых длин волн в этой области. Для каждой длины волны вычисляется частная производная от полного отражения по толщине слоя. Эти частные производные образуют матрицу коэффициентов в системе приведенных однородных линейных уравнений. Толщина слоев вычисляется с помощью электронной вычислительной машины методом последовательных приближений. Баумайстер указывает, что для успешного применения метода частные производные (отражения по толщине) должны существовать и быть достаточно большими; члены второго порядка — пренебрежимо малыми; и что решение должно существовать. Эти условия приводят к интересным выводам. Например, попытка увеличить (или уменьшить) отражение в одинаковом отношении по обе стороны от максимума отражения четвертьволнового слоя терпит неудачу.
В некоторых интерференционных фильтрах обнаруживаются нежелательные области пропускания по обе стороны от выбранной полосы. На коротковолновой стороне фильтр пропускает за счет прослоек, относительно более толстых в этой части. Например, если з
все прослойки имеют оптическую толщину X, фильтр будет пропускать излучение также тех длин волн, для которых эти прослойки равны четырем или пяти полуволнам по оптической толщине. В длинноволновой стороне фильтр пропускает при условии, когда четвертьволновые слои, суммируясь, работают как полуволновые. Эти явления можно ослабить, используя несколько прослоек разной толщины; путем комбинации фильтров (т. е. комбинацией полосового фильтра с длинноволновым или с соответствующей подложкой), а также путем комбинации интерференционного фильтра с обычными фильтрами, например, из естественного материала.
На рис. 7.26—7.28 показано спектральное пропускание трех серийных инфракрасных интерференционных фильтров. На рис. 7.26 показана кривая полосового фильтра с главным максимумом при 1,89 мк. Пропускание в максимуме составляет 83%, а полуширина на уровне 41,5% равна 6,8% от длины волны в максимуме. Область, в которой пропускание не превосходит 1%, простирается от 1,34 до 3,42 мк. За пределами этой области имеются зоны пропускания, упомянутые выше.
Вторая кривая на рис. 7.26 представляет пропускание фильтра, который может быть установлен при необходимости для защиты от коротковолнового излучения, пропускаемого полосовым фильтром с максимумом при 2,5 мк. Длинноволновый фильтр начинает про
267
пускать с 1,85 мк с крутизной, которая определяется пропусканием 5% на границе и 80% на длине волны, превышающей граничную на 9%.
На рис. 7.27 показана кривая длинноволнового интерференционного фильтра с границей при 8 мк и полоса пропускания, соот-
Рис. 7.26. Кривые пропускания многослойных интерференционных фильтров для ближней инфракрасной области спектра:
а —полосовой фильгр, полуширина полосы —0,68 Хо; б —фильтр с коротковолновой границей, крутизна границы —0,09 Xf.
ветствующая окну пропускания атмосферы от 8 до 14 мк. Эта полоса получена путем комбинации интерференционного фильтра с фтористым барием или фильтром Иртран-2.
Рис. 7.27. Пропускание интерференционного фильтра в комбинации с другими фильтрами: / — один фильтр; 2 — фильтр в сочетании с фильтром Иртран-2 толщиной 0,75; 3 — фильтр в сочетании с фтористым барием толщиной 2 мм.
80
70
К 60 ? 50 | 40 § 30
го w о
Длина волны, мк
Рис. 7.28. Пропускание узкополосного интерференционного фильтра.
На рис. 7.28 показана кривая пропускания фильтра с весьма узкой полосой, в которой достигнут высокий коэффициент пропускания.
268
7.15. Материалы для интерференционных фильтров
Интерференционные фильтры изготовляются путем поочередного испарения слоев с высоким и низким показателем преломления на подходящую подложку в вакууме при давлении 10 5 — 10~8 мм рт. ст. Подложка, естественно, должна пропускать излучение в заданной области спектра. Подложка иногда может быть использована для ограничения пропускания излучения в нежелательных частях спектра. В близкой инфракрасной области для подложек пригодны предметные стекла, употребляемые для микроскопов. В средней части спектра применяются подложки из плавленого кварца, алюмината кальция, периклеса, фтористого лития, фтористого бария, фтористого кальция и сапфира. Для длинноволновой части спектра используются трехсернистый мышьяк, кремний и германий, однако следует учитывать сглаживание максимума пропускания за счет большего показателя преломления этих материалов.
При выборе материалов для слоев фильтров следует принимать во внимание следующее: область пропускания материала, его склонность к связи с остаточными газами или небольшими количествами примесей от испарителя, механическую прочность наносимых пленок, трудность испарения и склонность к расширению или сморщиванию. Авторы обязаны Н. Гопкнисону за помещенное ниже рассмотрение некоторых распространенных материалов. Детальное описание методики нанесения слоев дано Хэвенсом [74] и Холлэндом [75], там же можно найти подробные ссылки на литературу по этому вопросу.
К материалам с высокими показателями преломления относятся теллурид свинца (6), германий и кремний (около 4). Из них наиболее часто используется германий. В тонких слоях он хорошо пропускает в области от 1,35 до 15 мк (хотя толстые образцы сильно поглощают в области длин волн короче 1,8 мк). Слои германия, полученные испарением, образуют прочное, хорошо удерживающееся покрытие. Теллурид свинца имеет полосу пропускания от 3,5 до 4 мк. Благодаря высокому показателю преломления этот материал дает возможность получить хорошее отражение при помощи небольшого количества слоев. Кремний испаряется с трудом и реагирует с большинством материалов испарителей, а также образует одноокись с остаточным кислородом, если не достигнут необходимый вакуум. При нанесении кремния он испаряется обычно с помощью высокочастотного индукционного нагрева.
К материалам с меньшими показателями преломления относятся стибнит (трехсернистая сурьма) (2,7); цинксульфид (2,25); окись кремния и натрий-алюминиевый флуорит (1,32). Стибнит пригоден для области от 0,8 до 10 мк. Он склонен к усадке после нанесения, что может быть полезным для ослабления напряжений в многослойных фильтрах. Однако он дает очень мягкие, легко стираемые слои. Одноокись кремния дает инертные, прочные, кислотоупорные слои
269
и наиболее часто используется как материал с малым показателем преломления для фильтров в близкой и средней части инфракрасного спектра. Цинк-сульфид применяется в более длинноволновой части спектра, доходящей до 15 мк. Натрий-алюминиевый флюорит в некоторой мере подвержен действию воды, однако является хорошим материалом в сочетании с германием.
ференционных фильтров испарением:
1 — держатель и подогреватель подложки; 2 — контрольная мишень; 3 — маска; 4 — колпак; 5—экран; 6 — ионизационный вакуумметр; 7 —испарители на подвижном основании; 8 — приемник светового потока, отраженного от контрольной мишени; 9 — источник излучения для освещения контрольной мишени с модулятором; 10—электроды, между которыми возникает тлеющий разряд.
Фтористый магний обычно применяют для просветления линз в видимой части спектра. Он может быть использован в интерференционных фильтрах до 2,5 мк, но имеет склонность к растрескиванию при толщинах в несколько четвертей длины волны. Некоторые редкоземельные окислы и фториды, особенно фтористый неодим (п = 1,6), дают прочные и вполне приемлемые покрытия.
Схема аппаратуры для нанесения покрытий испарением показана на рис. 7.29. Подложка, на которую должен быть нанесен фильтр, помещается в держатель, снабженный нагревателем и масками. Эти детали совместно с испарителем диэлектрического материала помещаются под вакуумный колпак. Затем давление под колпаком понижается с помощью диффузионного насоса до необходимого уровня, при котором не только средний свободный пробег молекул становится значительно больше, чем расстояние от испарителя до 270
подложки, но также скорость нанесения материала превышает плотность бомбардировки поверхности подложки газовыми примесями. Величина давления зависит от материала. Она находится в пределах от 10-5 до 10~8 мм рт. ст.
Подложка нагревается до температуры, зависящей от природы испаряемого материала, и очищается тлеющим разрядом. После этого устанавливается нужный вакуум. Затем испаритель, прикрытый экраном, прогревается для обезгаживания. В центральное положение под колпаком устанавливается испаритель с тем материалом, который должен быть нанесен в первую очередь. Экран удаляется и напыление начинается. Во время напыления подложка движется для достижения равномерности нанесения испаряемого материала. Толщина покрытия контролируется с помощью вспомогательной контрольной мишени, установленной в таком месте, чтобы скорость нанесения на нее была выше, чем на фильтр. Эта мишень облучается через систему линз и призм модулированным монохроматическим излучением. Отраженное излучение направляется на приемник. Следя за изменением отражения от контрольной мишени, устанавливают момент, когда нужно окончить нанесение покрытия на основной фильтр. Например, если нужно нанести четвертьволновый слой материала с большим показателем преломления и скорость испарения на вспомогательную мишень в 2,5 раза больше, чем на основной фильтр, то отражение от нее будет спадать и возрастать в соответствии с возрастающей толщиной слоя до 2,5 р пока основной слой не увеличится до р После нанесения одного слоя испаритель отодвигается и на его место устанавливается испаритель с другим материалом. Контрольная мишень поворачивается чистой частью подложки (напротив отверстия в экране), чтобы можно было произвести контроль напыления второго слоя.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь оптического элемента;
А — действительная часть коэффициента ослабления в электрическом фильтре (0 = А + /В);
А — коэффициент поглощения оптического элемента;
ai — составляющая поляризуемости молекулы а при круговой частоте w0/;
В — мнимая часть коэффициента ослабления электрического фильтра (0 = А + /В);
с — скорость света;
D — плотность потока электрического смещения;
d — толщина диэлектрического слоя;
Е — мгновенная амплитуда вектора напряженности электрического поля плоской электромагнитной волны;
Ех — компонента вектора Е в направлении х;
Еок — значение Ех при z = 0 и t = 0 (для плоской волны, распространяющейся в направлении г);
£oZ — энергия фотона на частоте voZ;
271
Ei, E2; Ез — векторы электрического поля в падающей, преломленной и отраженной частях плоской волны на границе двух сред;
Eln; Eip — компоненты вектора Ег (нормальная и параллельная плоскости падения);
g — постоянная рассеяния, описывающая потери при колебании молекул;
Н — мгновенная амплитуда вектора магнитного поля плоской волны;
h — постоянная Планка, h = 6,6252 • 10~~34 вт-сек? ;
/ — облученность поверхности;
/0 — значение / при z — 0;
j — мнимая единица —1;
К — коэффициент поглощения оптической среды;
k — мнимая часть комплексного показателя преломления оптической среды;
L — длина оптического элемента;
т — порядок эталона (число полуволн или четвертей волны в оптической толщине);
N — число слоев в четвертьволновой отражающей прослойке интерференционного фильтра;
N — число молекул в оптической среде;
п — действительная часть комплексного показателя преломления оптической среды;
/?i; п2 — показатели преломления среды (/ или 2) относительно вакуума;
п12 — показатель преломления среды 2 относительно среды Л _ ni
Р — поляризуемость оптической среды;
Q — тепловая энергия;
Л — коэффициент отражения оптической среды (отношение отраженного потока к падающему);
Т?12 — коэффициент отражения на границе раздела 1 и 2 сред;
г12 — коэффициент отражения на границе раздела 1 и 2 среды (отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде падающей волны);
S — вектор Пойнтинга (величина мощности излучения, пересекающего единицу поверхности, нормальной к направлению распространения плоской волны);
Т — абсолютная температура;
Т — коэффициент пропускания оптического элемента (отношение прошедшего лучистого потока к падающему):
7\2 — коэффициент пропускания границы раздела 1 и 2 среды;
/12 — коэффициент пропускания границы раздела 1 и 2 среды (отношение амплитуды прошедшей волны к амплитуде падающей волны);
t — толщина оптического элемента;
^1Л’2 — скорости распространения электромагнитных волн в 1 и 2 средах (рис. 7.1);
х, у, z — прямоугольные координаты;
ъ — поляризуемость молекул оптической среды;
В — оптическая длина пути в диэлектрической пленке;
7 — коэффициент теплового расширения;
В — глубина скин-эффекта (в среде с потерями);
s — относительная диэлектрическая постоянная оптической среды;
г0 — диэлектрическая постоянная вакуума;
272
6 — комплексный коэффициент ослабления электрического фильт ра 0 = А + /В;
01; 0г; 0з — углы падения, отражения и преломления на границе раздела оптических сред (рис. 7.1 и 7.4);
, с -
А — длина волны -— излучения при частоте у в среде с пока-зателем преломления п;
Хо — длина волны в вакууме;
р — относительная магнитная проницаемость оптической среды;
р.о — магнитная проницаемость вакуума;
v — частота электромагнитной волны;
7: — отношение длины окружности к диаметру;
а — электропроводность оптической среды;
ат — теплопроводность оптической среды;
<р12 — сдвиг фазы при отражении на границе раздела 1 и 2 среды;
ф — угол преломления для плоскостей постоянной фазы в оптической среде с потерями;
со — круговая частота 2лу плоской волны.
Л ИТЕРАТУРА
1. R а ш о S., J. R. W h i n n e r y. Fields and Waves in Modern Radio, 2d ed., Lohn Wiley & Sons, Inc., New York, 1953.
2. Marriott H., A. L. Cullen. The Rationalization of electrical theory and units. Proc. IEE, 1950, v. 97, September, p. 245.
3. Stratton J. A. Electromagnetic Theory. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York7 1941.
Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма. Изд-во иностранной литературы, 1948.
4. Born М., Е. Wolf. Principles of Optics, Pergamon Press, New York, 1959.
5. В о d e H. W. Network Analysis and Feedback Amplifier Design. D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J., 1945.
6. M о s s T. S. Inter-relations between optical constants for lead telluride and silicon. Proc. Phys. Soc. (London), 1953, v. B66, February, p. 141.
7. A v e г у D. G. Optical constants of PbS, PbSe and PbTe in the 0.5 to 3 p. Region. Proc. Phys. Soc. (London), 1953, v. B66, February, p. 134.
8. Meier R., H. H. G u n t h a n d. Germanium polarizers for the I — R. J. Opt. Soc. Am. ,1959, v. 49, November, p. 122.
9. E d w a r d s D. F., M. J. В r u e m m e r. Polarization of infrared Radiation by ref ection from <rmanium surfaces. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, № 9, p. 861.
10. JennessJ. R Reflection reducing coatings of MgF2 and LiF in the near infrared. J. Opt. Soc. Am., 1956, v. 46, p. 3.
11. HoestereyH. F. Infrared transmitting materials. Electronics, 1959, January.
12. W о 1 f e W. L., S. S. Ballard. Optical materials, films and filters for Infrared Instrumentation. Proc. Inst. IRE, 1959, v. 47, № 9, p. 9.
13. Ballard S. S., К. A. M с C a r t h y, W. L. Wolfe. Optical materials for infrared instrumentation. University of Michigan, Willow Run Laboratories, Ann Arbor, Mich., 1959.
14. S m i t h R. A., F. E. J о n e s, R. P. C h a s m a r. The detection and measurement of infrared radiation. Oxford University Press, Fair Lawn, N. Y., 1957.
СмитР., Джонс Ф. и ЧесмерР. Обнаружение и измерение инфракрасного излучения. Изд-во иностранной литературы, 1960.
15. М о s s Т. S. Optical properties of semiconductors. Butterworth & Co. (Publishers), Ltd, London, 1959.
10 Зак. 1502
273
Мосс Т. Оптические свойства полупроводников. Изд-во иностранной литературы, 1961.
16. Properties of infrared transmitting glasses, Data Sheet 1, Hayward Scientific Glass Corporation, Whittier Calif.
17. R о d n e у W. S., R. J. Spindler. Index of refraction of fused quartz glass for ultraviolet, visible and IR wavelengths. J. Opt. Soc. Am., 1954, v. 44. № 9, p. 677.
18. Clear Fused Quartz, Catalog Q8 and Rept. S-122, General Electric, Lamp. Glass Departament, Willoughby, Ohio.
19. Bull. CIR-1, CIRS-1, CIR-2, CIR-3, Corning Glass Works, Optical Sales Departament, Corning N. Y.
20. FrerichsR. New optical Glasses with good transparency in the infrared. J. Opt. Soc. Am., 1953, v. 43, № 12, p. 1153.
21 . General Electric Experimental 600 Glass, General Electric Company Data Sheet, Lamp Glass Departament, Quartz, Sales Office, Willoughby, Ohio, June 23, 1959.
22. С 1 e e k G. W., J. J. V i 1 1 a, С. H. H a h n e r. Refractive indices and transmittance of several optical glasses in the infrared. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, № 11, p. 1090.
23. Data Sheet, American Company, Southbridge, Mass.
24. Servofrax, Data Sheet, Servo Corporation, New Hyde Park, N. Y.
25. Data Sheet, Eastman Kodak, Military and Special Product Sales, Rochester, N. Y.
26. Calcium Aluminate Infrared Transmitting Glasses, Progr, Rept. 1, Bausch and Lomb Optical Co., Rochester, N. Y. April 17, 1958.
27. L e v i n S. B., N. J. F i e 1 d, F. M. Plock. Some optical properties of strontium titanate crystal. J. Opt. Soc., Am., 1955, v. 45, № 9.
28. H i 1 s u m C. Infrared transmission of barium titanate. J. Opt. Soc. Am., 1955, v. 45, № 9.
29. Data Sheet, Titanium Pigment Corporation, New York.
30. К e b 1 e r R. W. Optical Properties of synthetic sapphire. Linde Company, East Chicago, Ind.
31. О 1 t R. D. Synthetic sapphire. An infrared optical material, Linde Ind. Crystals Bull., March, 1958.
32. M a 1 i t s о n I. H., F. V. Murphy, W. S. Rodney. Refractive index of synthetic sapphire. J. Opt. Soc. Am., 1958, v. 48, № 1, p. 72.
33. Data Sheet. Norton Refractories Division, Worcester, Mass, Jan. 3, 1958.
34. Hass G., C. D. Sa Izberg. Optical properties of silicon monoxide in the wavelenght region 0.24 to 14.0 p-. J. Opt. Soc. Am., 1954, v. 44, № 3, p. 181.
35. H a s s G., J. B. R a m s e y, R. Thun. Optical properties of variois evaporated rare earth oxides and fluorides. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, № 2, p. 116.
36. W i 1 k s E. M. J. Opt. Soc. Am., 1953, v. 43, № 2, p. 84.
37. Wi 1 1 ar dso n R. K., G. C. Danielson. Optical properties of counting diamonds. J. Opt., Soc. Am., 1952, v. 42, № 1.
38. M i 1 1 s I. M., B. Crawford. Transmission of germanium in the far infrared. J. Opt. Soc. Am., 1955, v. 45, № 6.
39. S a 1 z b e r g C. D., J. J. V i 1 1 a. J. Opt. Soc. Am., 1957, v. 47, p. 244.
40. S a 1 z b e r g C. D., J. J. V i 1 1 a. J. Opt. Soc. Am., 1958, v. 48, p. 579.
41. В u r s t e i n E., G. P i c u s, N. S с 1 a r. Optical and photoconductive
properties of silicon and germanium, Photoconductivity Conference, R. G. Breckenridge, B. R. Russell, E. E. Hahn (eds), John Wiley & Sons, Inc., New York, 1956.
42. S a 1 z b e r g C. D., J. J. Villa. Infrared refractive indexes of Silicon, germanium and modes selenium glass. J. Opt. Soc. Am., 1957, v. 47, p. 3.
43. H a 1 1 J. F. Optical properties of a highly boron-doped silicon surface. J. Opt. Soc. Am., 1960, v. 50, July, p. 7.
44. С о x J. T., G. Hass. Antireflection coatings for germanium and silicon in the infrared. J. Opt. Soc. Am., 1958, v. 48, № 10, p. 677.
274
45. К о e h 1 e r W. F., Е. К. О d е п с г a n t z, W. С. White. Optical constants of evaporated selenium films by successive approximations. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, № 2, p. 109.
46. R a nk D. H., H. E. Bennett, D. C. Cronemeyert. The in* dex of refraction of germanium measured by an interference method. J. Opt. Soc. Am., 1954, v. 44, № 1, p. 13.
47. G e b b i e H. A., C. G. Cannon. Properties of amorphous selenium and its use as an optical materical. J. Opt. Soc. Am., 1952, v. 43, № 4, p. 277.
48. H a r t i g P. A., J. J. L о f e r s к i. Infrared index of refraction of tellurium crystals. J. Opt. Soc. Am., 1954, v. 44, № 1, p. 17.
49. C z у a к S. J., W. M. В a ker, R.C. C r a n e, J. B. Howe. Refractive indices of single synthetic zinc sulfide and cadmium crystals. J. Opt. Soc. Am., 1957, v. 47, № 3, p. 240.
50. F r a n c i s А. В., A. I. Carlson. Cadmium sulfide infrared optical material. J. Opt. Soc. Am., 1960, v. 50, № 2.
51. H a 1 1 J. F., W. F. C. Ferguson. Optical properties of cadmium sulfide and zinc sulfide from 0.6 to 14 p,. J. Opt. Soc. Am., 1955, v. 45, № 9, p. 714.
52. Welker H., H. Weiss. Group Ш-Group V Compounds, in F. Seitz and D. Turnbull (eds.). Solid State Physics, v. 3, p. 1, Academic Press, Inc., New York, 1956.
53. C u n n e 1 1 F. A., E. W. S a к e r. Properties of the III-V Compound Semiconductors in A. F. Gibson (ed). Progress in Semiconductors, v. 2, p. 37, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1957.
54. E d w a r d s D. F., G. S. H a у n e. Optical Properties of gallium antimonide. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, № 4, p. 414.
55. Windows of Barium Fluoride, Technical information Data Sheet, Adolf Meller Company, Providence, R. I.
56. Synthetic Optical Crystals, rev. ed., Harshaw Chemical Company, Cleveland, Ohio, 1955.
57. Irtran-1 and Irtran-2, Data Sheet, Kodak Infrared Optical Material, Special Products Sales Apparatus and Optical Division, Eastman, Kodak Company, Rochester, N. Y., March, 1961.
58. Tech. Bull. 157., Isomet Corporation, Palisades Park, N. Y., April, 1957.
59. Rodney W. S., L. H. M a 1 i t s о n. Refraction and dispersion of thallium bromide Iodide. J. Opt. Soc. Am., 1956, v. 46, № 11, p. 956.
60. Bellamy L. J. The Infrared Spectra of Complex Molecules, 2d ed. John. Wiley & Sons, Inc., New York, 1958.
Беллами Л. Инфракрасные спектры сложных молекул. Изд-во иностранной литературы, 1963.
61. Р 1 у 1 е г Е. К., A. D a n t i, L. R. Blaine, E. D. Tidwell. Vibration rotation Structure in Absorption Bands for the Calibration of Spectrometers from 2—16 p.. Nat. Bur. Standards (U. S.) Monograph 16, June, 1960.
62. Kagar ise R. E. Infrared dispersion of some organic liquids. J. Opt. Soc. Am., 1960, v. 50, № 1, p. 36.
63. G a t e s G. M., С. C. S h a w, D. Beaumont. Infrared reflectance of evaporated metal films. J. Opt. Soc. Am., 1958, v. 48, № 2, p. 88.
64. Handbook of Chemistry and Physics. Chemical Rubber Publishing Co., Cleveland, Ohio, 1960.
65. P 1 у 1 e r E. K-, J. J• В a 1 1. Filters for the infrared region. J. Opt. Soc. Am., 1952, v. 42, № 4, p. 266.
66. H a r r is L. The Transmittance and Refiectance of Gold Black Deposits in the 15—100 p Region. J. Opt. Soc. Am., 1961, v. 51, № 1, p. 80.
67. T u r n e r A. F. Some current developments in multilayer optical films. J. Phys, radium, 1960, v. 11, July, p. 444.
68. Turner A. F. Design principles for interference film combinations. Invited Paper 51, Optical Society of America, New York Meeting. Mar. 25—27, 1954.
10*
275
69. Р о 1 s t e r H. D. A. Symmetrical all-dielectric interference filter. J. Opt. Soc. Am., 1952, v. 42, № 1, p. 21.
70. S m i t h S. D. Design of multilayer filters by considering two effective interfaces. J. Opt. Soc. Am., 1958, v. 48, № 1.
71. Lissberger P. H. Properties of all-dielectric interference filters, I. A. new method of calculation. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, № 2.
72. L i s s b e r g e r P. H. Properties of all-dielectric interference Filters, II. Filters in parallel beams of light incident obliquely and in convergent beams. J. Opt. Soc. Am., 1959, v. 49, № 2.
73. В a u m e i s t e r P. Design of multilayer filters by successive apporoxi-mations. J. Opt. Soc. Am., 1958, v. 48, № 2, p. 955.
74. H e a v e n s O. S. Optical Properties of Thin Solid Films. Butterworth Scientific Publications, London, 1955.
75. Holland L. Vacuum Deposition of Thin Films. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1960.
Холлэнд Л. Нанесение тонких пленок в вакууме. Госэнергоиздат, 1963.
76. Optical Quartz Glass Grades Suprasil and Infrasil, Data Sheet, Englehard Industries, Inc., Hillside, N. J.
...... = ГЛАВА 8
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Последующие главы, с 9 по 13, посвящены исследованию операций применительно к анализу инфракрасных систем, случайным флюктуациям и, в частности, электронным шумам, электронике слабых сигналов, пространственной фильтрации, применяемой для выделения цели на некотором фоне, а также использованию теории информации и проверки гипотез при разработке системы в целом.
Несмотря на очевидное различие этих вопросов, они имеют общую основу — теорию вероятностей. Задача этой главы — дать представление об основах теории вероятностей, необходимой для понимания последующих глав. Обзор этой теории будет дан в виде кратких выводов и формулировок. Для читателей, пожелающих ознакомиться более глубоко с отдельными вопросами, даются ссылки на литературу.
ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
8.1. Определения и аксиомы
Теория вероятностей изучает закономерности в реальных случайных явлениях, рассматривая различные события. Вопрос ставится следующим образом. Какова вероятность Р/ появления события Событием Ei может быть появление герба у бросаемой монеты, числа 13 у вращающегося колеса рулетки или обнаружение определенной цели, расположенной на расстоянии Р, инфракрасной поисковой системой.
Определение вероятности, используемое для описания появления события, несколько парадоксально. Вероятность появления события определяется как предел частоты появления события при числе испытаний, стремящемся к бесконечности. В то же время почти все события, представляющие интерес в вероятностном смысле, рассматриваются до того, как они реально происходят и ни для одного из этих событий нельзя произвести заранее бесконечное число испытаний.
Другим, несколько отличным определением вероятности появления события является определение этой вероятности как отношения ожидаемого числа равновероятных исходов испытаний, когда со-
277
бытие появляется, к числу исходов, когда событие или появляется или не появляется. Это определение, хотя и правильное технически, может ввести в заблуждение. После бросания монеты может появиться одна из двух сторон, причем одна сторона точно является гербом. Поэтому отмеченное определение может привести к выводу о том, что вероятность появления герба равна 1/2. Подобный вывод в случае бросания монеты редко приводит к недоразумениям. Однако для рулетки, имеющей 36 номеров, нуль и дубль-нуль, появление которых равновероятно, может быть сделан вывод, что вероятность появления числа 13 равна 1/38. Такое оптимистичное предположение, верное при бесконечном числе испытаний, зачастую приводит на практике к проигрышу, так как число запусков рулетки, хотя и велико, но не бесконечно.
Аксиомы, на которых базируется теория вероятности, просты и очевидны. Вероятность появления события должна обозначаться положительным числом, большим или равным 0, но не большим 1. В N испытаниях (значение величины N особой роли не играет) событие Ei может произойти от 0 до N раз. Если гц — число испытаний, когда наблюдалось событие, то О С < 1. Если в результате каждого из N испытаний может произойти точно k событий Ei(i =1,2, ...,&), то сумма вероятностей появления каждого события Ei равна 1:
v (М ~ ( V ?!±\ — HL = 1 ZAn N
i = 1 X I — 1 /
Таким образом, когда имеется конечное число событий, которые могут произойти при испытании, очевидно, что одно из них произойдет обязательно.
Если говорится, что два события, Ei и Е/, независимы, то это означает, что вероятность появления Ej не зависит от того, наблюдалось или нет событие Ei в предыдущем испытании (или наоборот).
Примером может служить появление герба или цифры при метании монеты. Эти события при нормальных условиях метания могут считаться независимыми для двух бросаний.
Вероятность того, что оба события, Ez и Еу, могут произойти в двух испытаниях, может быть найдена из определения вероятности. Если производится большое число N испытаний и событие Et происходит nL раз, а событие Еу— пу раз, число парных событий Ei и Ej равно nt тц, а общее число пар — Af(Af—1).
Вероятность того, что события Еу и Ei произойдут в двух следующих одно за другим испытаниях, равна
1- 1- ntnJ о о
lim -rz-rj-.—- = lim 7-----ту = PiP;.
jv.ooAU/V-I) ^оодф-1) 1 1
Таким образом, вероятность появления двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий. Вообще ве-278
роятность появления k независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
k
p=plp2...pk= Пр,.
Вероятность того, что в двух испытаниях произойдет либо событие Е/, либо событие Еу, также выводится из определения вероятности. Число появления события Ez в N испытаниях равно а число событий Еу равно rij. Общее число испытаний, когда наблюдается либо Ez, либо Еу-, равно
nL (N — 1)-|-иу (N — 1) — nt rij.
Величину nzny- необходимо вычитать, так как случаи парных событий EL и Еу. входят в первый и второй члены. Общее число парных событий также равно — 1), и вероятность события Ez или Еу равна
W (Л' — 1)
nz(/V-l)4-ny^-l)-nzny lim
W <-00
=pl+p)-plpj.
Резюмируя изложенное, можно составить следующие правила для k возможных событий Ez (i = 1,2, ..., й), которые могут произойти в каждом из N испытаний, причем событие Ez наблюдается п1 раз:
1. Вероятность Pt события Ei равна
= i=l, 2, ...,*. (8.1)
2V оо Vv /
2. Сумма всех вероятностей
3. В двух независимых испытаниях вероятность появления событий Ez и Еу равна PtPf.
P(Et и £у)=Р,Ру. (8.3)
4. Вероятность появления в двух независимых испытаниях либо Ер либо Еу равна
Р(£, или £у)=Р,+Р/-Р,Ру. (8.4)
Если события Ez и Еу статистически зависимы, то вероятность их совместного появления в двух испытаниях равна
Р(£/£у) = Р(£/)Р(£у|£/), 85
Р(£,.£у) = Р(£,)Р (£,!£,),
279
что выражается правилом: «Вероятность события ELEj равна вероятности события умноженной на условную вероятность Еу (при условии, что произошло собы-
тие £,)».
Зависимость или независимость события иллюстрируется рис. 8.1, а и б.
На рис. 8.1,а заштрихованные площади представляют вероятности событий А и В, причем вероятности Р(В) = = Р(А) — Условные вероятности Р(А\В) и Р(В\А) также равны 1/2, таким образом, события А и В являются
а) 6)
Рис. 8.1. Схема, иллюстрирующая зависимость событий:
а —события А и В независи-
мы; б —события А и В зави симы.
независимыми. Из рис. 8.1,6, однако.
видно, что в этом случае условная вероятность Р(А\В) значительно больше вероятности Р(Л). Следовательно, эти события зависимы.
8.2. Законы распределения вероятности
Иногда удобно представлять случайное событие, наблюдаемое в результате эксперимента, в виде точек в пространстве выборок. Тогда более сложные события могут быть изображены в виде груп-
пы точек. Например, для опыта, состоящего из трехкратного бросания монеты, возможные события приведены в табл. 8.1, где Н обоз-
начает цифру, а Т — герб. Пространство выборок для этого эксперимента будет содержать 8 точек — по одной на каждое возможное событие, а сложное событие «выпало больше цифр, чем гербов» будет представлено группой из четырех точек, соответствующих этому условию, — 1, 2, 3 и 5.
Такое пространство выборок может быть дискретным, содержащим конечное число точек, как в случае приведенного примера, или
ТАБЛИЦА 8.1
Возможные события при трехкратном бросании монеты
№ события
R
В
Яз
1
2
3
4
5
6
7
8
Обозначение
Н Т н т н т н т
73
12
146
9
8
69 О
503
непрерывным, содержащим бесконечное множество точек, как, например, при экспериментальном обследовании протяженности облаков на фотоснимках неба.
При бросании монеты предполагается равная вероятность выпадения герба или цифры. Тогда каждое из рассмотренных выше восьми возможных событий равновероятно. Каждой точке соответствует вероятность 0,125. В общем случае при хорошо поставленном
280
эксперименте возможно оценить вероятность каждого события в пространстве выборок. Подобная задача называется нахождением функции распределения случайной величины по выборке. Вероятность сложного события может быть найдена путем сложения вероятностей отдельных событий, составляющих сложное. Например, вероятность преимущественного выпадения цифры равна 0,125 + + 0,125 + 0,125 + 0,125 - 0,5.
Результат испытания часто описывается значением числа, приписываемого каждой точке пространства выборок. Такие числа называются случайными (переменными) величинами. Эти величины являются функцией, определенной в пространстве выборок эксперимента.
Три последние колонки табл. 8.1 дают пример случайных величин, характеризующих опыты по бросанию монеты. Значение Fi представляет случайную величину, которая равна 1 для каждого ряда событий, в котором цифра появляется чаще герба и равна нулю во всех других случаях; Rz представляет случайную величину, вычисленную путем умножения на +1 для каждой цифры и на — 1 для каждого герба; Rs — произвольное обозначение каждого события некоторым числом.
Если пространство выборок какого-либо эксперимента непрерывно, то и случайные величины, описывающие возможные исходы эксперимента, могут быть также непрерывными.
Как случайные величины, так и функция распределения обычно связаны с пространством выборок. В этом случае можно говорить о вероятности, с которой случайная величина принимает определенное значение, Если случайная величина X непрерывна, вероятность значения х, представляющего результат, обычно равна нулю *1.
В этом случае имеет смысл рассматривать вероятность того, что значение X лежит в некоторой области, определенной относительно х. Важным для практики является случай, когда эта область определяется как область значений X, меньших или равных х.
Функция
F(x)=P(X<x) (8.6)
называется функцией распределения X.
Функция распределения обладает свойствами, вытекающими из определения вероятности. Поскольку Р(Х = xi) не может быть отрицательной и поскольку F(x) является суммой (для дискретных величин) или интегралом непрерывной функции Р(Х = хх) для xi х> то F(x) увеличивается с ростом х и всегда находится на отрезке от 0 до 1:
F(-oo)=0, F(4-oo)=l, 0<F(x)< 1,
F (*i) < F (x2) при Xi < x2. (8.7)
*) Случайные величины здесь будут обозначаться большими буквами, а частные значения этой величины — малыми, например X = х.
10В Зак. 1502
281
Можно показать, что функция F(x) всюду непрерывна вправо, почти всюду дифференцируема и если и имеет разрывы, то число их счетно. В общем случае можно считать, что функция Г(х) состоит из двух частей. Одна часть непрерывная, представляющая распределение отличных от нуля вероятностей во всей непрерывной области значений случайной величины. Наряду с этим имеются дискретные значения (скачки) вероятностей, соответствующих отдельным значениям переменных. Для одних дискретных значений переменных величин функция F(x) имеет ступенчатый вид.
Производная от функции распределения Г(х)
= М
называется функцией плотности вероятности случайной величины X.
Из определения F (х) и р(х) следует, что вероятность нахождения X в области х1<^Х<х2 определяется соотношением
х2
Р (*i < X < хг) (*2) — F (*1) = J Р W dx. (8.9) Xt
В частном случае, когда интервал (хь х2) мал, р (х) можно считать постоянной:
р (Xj <^Х < ^i+rfXi) = p (Xj) dx (8.10)
Иногда необходимо найти полную вероятность, относящуюся ко всем значениям X. Для наглядности можно представить себе, что, например, 1 кг песка рассыпан в линию, точки которой представляют значения X. В этом случае часть песка слева от некоторой точки линии представляет значение функции распределения в этой точке, а плотность песка на малом отрезке — плотность вероятности.
Функция плотности вероятности р(х) наиболее часто используется при вычислении средних значений случайных величин. Средняя величина, являющаяся одним из наиболее важных понятий, используемых в этой книге, называется математическим ожиданием. Если Л(х) — функция случайной величины X, принимающая значение Л(х), когда X = х, то
(Л(х)) = J h(x)p(x)dx (8.11)
—ОО
дает математическое ожидание й(х).
Это означает, что значения й(х) функции умножаются на веса, определяемые вероятностью p(x)dx того, что величина X окажется в интервале (х,х + dx), и складываются.
282
Если X имеет дискретную часть функции распределения, то используется интеграл Стилтьеса:
оо
{h (х)) — } /z(x)dF(x).
—00
(8.12)
£ s
а
о
п
-0,1
5 10 15 20 25
Угловой размер, мрад
0,2^ I
1,0
Распределение вероятности
Плотность вероятности
0,5
Рис.
О 5 Ю 15 го 25 Угловой размер, мраа
5)
8.2. Функция плотности вероятности.
Это означает, что обычное интегрирование производится до тех пор, пока не встретится такое значение %, при котором Р(Х = Xi) имеет конечную величину. В этой дискретной точке пространства выборок значение h(xi) умножается на вероятность в точке xi и складывается с интегралом. Говорить о р(х) в таких точках и применять для них равенство (8.11) не имеет смысла.
Для иллюстрации понятий функций распределения и плотности вероятности рассмотрим случай, когда инфракрасное поисковое устройство узким полем зрения просматривает земную поверхность. При этом мгновенное значение электронного сигнала на выходе приемника соответствует мгновенному значению лучистого потока от просматриваемой части поверхности на входе оптического устройства. Обнаруживаемые объекты могут быть представлены в виде импульсов различной величи
ны и продолжительности (более подробно об этом сказано в гл. 12).
В поле зрения сканирующего устройства будут попадать излучающие объекты с различными угловыми размерами — практически от минимально разрешаемых углов до углов, превышающих поле зрения.
Если такие объекты представляют интерес для разведки, сигналы от них могут быть записаны и изучены. Эти объекты можно сгруппировать по размерам и сигналы от них представить графически, как показано на рис. 8.2. Изменение лучистого потока соответствует границе раздела объектов. Диапазон изменения размеров объектов разбивается на интервалы.
Из рассмотрения одного цикла обзора определяется общее количество объектов и число объектов, приходящееся на каждый интервал. Гистограмма, подобная показанной на рис. 8.2, а, изображает распределение объектов по размерам графически.
По такой гистограмме может быть оценено истинное статистическое распределение объектов по размерам, показанное на рис. 8.2, б. На рис. 8.2, б кривая, обозначенная как «плотность вероят-
10В*
283
Кости», представляет функцию р(х) случайной величины X, выражающей угловые размеры объектов при обзоре. Кривая «распределение вероятности» представляет собой интеграл от р(х), т. е. функцию F(x) для X.
Стрелка ВВ при значении 5 мрад относится к кривой плотности вероятности. Она означает, что около 20% объектов имеют угловые размеры 5 мрад. Скачок на гистограмме в этой точке подчеркивает группу однородных объектов (так может быть, например, при наличии улиц в поле обзора).
Функция распределения имеет скачок АА в точке 5 мрад, означающий влияние ВВ на интеграл. Необходимо отметить, что функция распределения равна нулю при X < 0, поскольку объекты с отрицательными размерами не существуют. F(x) = 1 при х = = 25 мрад, так как объекты больших размеров не рассматриваются.
В этом примере диапазон изменения р(х) и F(x) определен размерами объектов от 0 до 25 мрад.
оо
Величина {h (х)) = J h (х) dF (х) была определена как мате-—оо
матическое ожидание h (х). Среднее из многих значений h (х) стремится к математическому ожиданию
i = 1
Другой важной статистической величиной является дисперсия’
<[А’(х)—<А (х)>]2> = [h (х)] = (х)>—<Л (х))2. (8.13)
Эта величина или корень квадратный из нее, называемый среднеквадратичным отклонением, является мерой ожидаемого разброса экспериментальных данных относительно </г(х)>. Если а2 или о велики, значит велик разброс данных относительно среднего значения; малое значение о указывает на более сжатую функцию распределения. В теории шумов о называется среднеквадратичным значением (шума) (гл. 10)
Более строгое определение дисперсии дается неравенством Чебышева
(8.14)
Вероятность того, что абсолютное значение разности между Л(х) и его математическим ожиданием не меньше k, не превышает отношение дисперсии h(x) к k2.
*) В литературе на английском языке сокращенно обозначается rms— root mean square. (Прим, ped.)
284
Функция плотности вероятности случайной величины У, зависящей от другой случайной величины X, может быть найдена обычным методом замены переменных:
У—У(х),
Х=Х(х).
Тогда
PY(y)dy=px{x(y)}^\dy. (8.15)‘)
Например, если F=sinX у=sin х, х = агс sin у.
Предположим, что рх (х) = ~ при 0<л: < 2л, тогда
Ру (У) = (1 — у»)1/2
Если провести проверку, учитывая, что % = arcsiny, у = sin х; (dy \
H-j=^cosx, то получим
/ч 1 I I 1
рх X = ------------туу COS X == у •
Х 7 2тс (1 — sin2 х)1/2 2к
8.3. Характеристические функции
Рассмотрим теперь случайную величину Z, которая является суммой двух других случайных величин X и Y:
Z = X+Y. (8.16)
Плотность вероятности для Z зависит от плотности вероятностей для X и Y. Чтобы показать, как выглядит такая зависимость, запишем
X=-~-Z — Y и
X—Z — у.
Вероятность того, что Z будет находиться в области (г, z 4-4-dz), равна
Pz (г) dz = P (z<Z < z-]-dz)--P(z — у < X <z — y4-dz); поскольку в данный момент Z имеет фиксированное значение z, необходимо рассмотреть зависимость Z только от у:
,pz(z)dz = J ру (у) Р (z — y<X<z — y+dz)dy. (8.17) — 00
*) Более строгое рассмотрение этой задачи см., например, в книге Арлея и Буха [1].
285
Но интервал dz слишком мал, чтобы X могло заметно меняться на нем, и
оо
Pz(z)dz=dz j pY(y) px(z — y) dy, — oo
так что плотность вероятности для Z может быть выражена симметричными формулами
сю оо
Pz(z) = J Pv(y)Px(z — y)dy = J px(x)py(z—x);dx. (8.18) — ОО — оо
Эти интегралы (8.18) называются интегралами свертки. Они являются характерными для решений линейных уравнений [уравнение (8.16) относится к весьма простым линейным уравнениям], в которых выход типа Z находится как взвешенная сумма входных величин X и У.
Мы снова обратимся к этим интегралам в гл. 10 и 12, где придется иметь дело с линейными электрическими и оптическими цепями, которые состоят из элементарных электрических или оптических звеньев, статистически взвешенных по их временной или позиционной роли.
Поскольку решение интеграла (8.18) затруднительно (если только упомянутые входные величины не очень просты), применяется преобразование, которое позволяет производить интегрирование в три этапа. Преобразование осуществляется с помощью интеграла Фурье, который в теории вероятностей называется характеристической функцией случайной величины*):
Kz ($) = J pz (г) exp (/2лг$) dz. (8.19)
—оо
Обратное преобразование может быть записано в виде
pz(z) = J Kz(s)exp(—j2nzs) ds. (8.20)
— ОО
Преобразование (8.19) обладает такими свойствами, что позволяет, используя введенные обозначения вспомогательных функций, свести выражение (8.18) к соотношению (см. приложение Л)
Kz(s) = Ky(s)Kx(s). (8.21)
*) Условия в математической статистике в некотором смысле противоположны условиям в теории цепей, где вспомогательная функция находится из первичной (натуральной) с помощью выражения (8.20), а преобразование выполняется по формуле (8.19). Так получилось, очевидно, потому, что функция плотности вероятности почти всегда интегрируема, в то время как в выражении для электрических сигналов необходим экспоненциальный множитель с отрицательным показателем, чтобы интегралы сходились.
286
Таким образом, порядок вычисления плотности вероятности функции Z, которая является суммой X и Y с плотностями вероятностей рх (%) и ру (у), следующий:
1. Преобразовать с помощью равенства (8.19) рх (х) и pY(y) к их характеристическим функциям Кх (s) и Ky(s). Подобное интегрирование обычно не очень сложно, кроме того, имеются соответствующие таблицы [19, 20].
2. Перемножить характеристические функции.
3. Выполнить обратное преобразование по уравнению (8.20). Этот этап часто представляет затруднения, но и здесь могут помочь таблицы или методы разложения на дроби, или использование теоремы Коши [2].
Подробный пример рассмотрен в гл. 12.
Иногда нет необходимости выполнять обратное преобразование. Изучение самой характеристической функции может дать информацию, ради которой решается задача. Это можно увидеть, разложив характеристическую функцию в ряд Тейлора:
00
Kz(s)= J р (z) exp (/2nsz) dz.
—00
На основании формулы (8.9)
Kz (s) = (exp (/2nsz)) = l + (/2nsz)+((/2nsz)2) + ... =
oo
= 2(/2л5)'4-<г‘> (8-22)
z=o
Величины (z), (z2), ... обычно называются моментами функции плотности вероятности относительно начала координат. Они обозначаются знаком ту
Ш1 = (z),
т2 = (z2),
m3 = (г»),
Легко видеть, что mi есть математическое ожидание z, а т2— —т\ — дисперсия z. Первые несколько моментов обычно содержат наиболее интересную информацию о функции плотности вероятности.
8.4. Биномиальное распределение и его аппроксимации
Весьма распространенным и важным типом статистических экспериментов являются такие, результатом которых могут быть только два состояния. Например, упала монета гербом или цифрой, содержит часть пространства цель или нет и т. д. Пространство вы
287
борок одиночного эксперимента содержит только две точки. Если при этом случайной величине при определенном исходе опыта придать значение 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью q = 1 — р при противоположном исходе, то эксперимент называется испытанием Бернулли [31.
Последовательность N независимых испытаний Бернулли может быть описана пространством выборок из 2yv точек. Если это пространство образовано сложением предыдущих полей выборок, а новая случайная величина определяется как сумма элементарных случайных величин для каждого испытания:
z=x1jrx2jr ,„+XN,
то Z может принимать значения от 0 до А.
Вероятность того, что точно т первых случайных величин Xt равна 1, а остальные — 0, составляет pmqN~m. А поскольку существует вариантов выбора т объектов из N и все
они равновероятны, то вероятность появления точно т единиц равна
т=0, I, N. (8.23)
Рассмотренная функция называется биномиальным распределе” нием. Математическое ожидание для нее имеет вид
(Z) - pN, (8.24)
а дисперсия
<[Z— <Z>]2 > — pqN. (8.25)
Выражение (8.23) удобно для малых значений N, но, когда W становится большим, вычисления по формуле (8.23) очень утомительны, и для того, чтобы определить, находится ли Z в заданном диапазоне, желательно аппроксимировать (8.23) непрерывной функцией.
Найдены две такие аппроксимации.
Распределение Пуассона. Когда N -> оо и р 0^ таким образом, что pN остается конечной величиной,
р (т) (Np)ne~NP А- = лте~х -Л-. (8.26)
Эта функция называется функцией плотности вероятности Пуассона или просто распределением Пуассона. Она используется для анализа числа отказов оборудования или его деталей в зависимости от срока службы, для подсчета числа появлений целей в поле обзора, определения мгновенного значения числа электронов, испускаемых с катода, и т. д.
Предположим, например, что ракеты класса «воздух — земля», атакующие завод, распределены равномерно по всем направлениям и высотам в заданном секторе.
288
Вероятность появления ракеты в небольшой части поля зрения инфракрасной системы обнаружения мала и пропорциональна телесному углу dco, т. е. равна add). Для малых телесных углов вероятность появления более чем одной ракеты ничтожна, и ею можно пренебречь, поэтому вероятность непоявления равна 1 — add), где а — средняя плотность ракет на единицу телесного угла.
Для увеличения поля зрения со до величины со + dd) можно написать
Р (п; co + dco)—Р (п — 1; d))add)-\-P (п\ со) (1 — add)), (8.27) где Р(п\ со) означает вероятность того, что п целей находятся в телесном угле со. Равенство (8.27) может быть переписано в виде-
P(ra; ю+.^~Р(я: ,Ji) = а [Р (п — 1; со) — Р (n; ®)J.
Левая часть этого уравнения может рассматриваться как производная от P(n',d)) по со. Это дифференциально-разностное уравнение может быть решено итерационным методом для малых значений п:
d Р (0;со) п/л. \
---= ~аР (0 со), aw х 7
Р (0; со) = аое~аш,
^1^ = а[Р(0; <о)-Р(1;<о)].
Используя интегрирующий множитель е~ах, получаем
Р (1; со) j* aaQeax e~axdx- аоаа)е~аш b
и далее
Р(п; со) = (асо)" е~ аш , (8.26а)
что является вероятностью появления п ракет с угловой плотностью а в телесном угле со.
Нормальное распределение. Другой и более важной аппроксимацией выражения (8.23) является нормальное распределение, когда N, число испытаний, очень велико и т, число возможных исходов испытаний, также велико, точнее,
N ОО, т ОО, (т~\р,)2Я 0, (8.28)
№(w)3/2
тогда
Р (ZxNpq)1'2 еХР [ ^NPqP} ] • (8’29)
289
Это выражение обычно записывается так:
Р ("0 = еХР Г- 1 • (8-3°)
Зависимость (8.30) называется нормальной функцией распределения плотности вероятности или, короче, нормальным или гауссовым законом распределения.
Эта функция играет большую роль в теории вероятностей, и можно показать, что (за исключением особых случаев и в предположении, что нет особых группировок случайных величин) большинство случайных величин, возникающих в результате воздействия суммы большого числа N случайных причин, распределены в соответствии с интегралом (8.30), даже если распределения составляющих случайных величин отличаются друг от друга. Вывод этой центральной предельной теоремы здесь опускается, так как он дается почти в каждой книге по теории вероятностей, например у Феллера [3], который подробно обсуждает теорему существования и ошибки применения формулы (8.29) как аппроксимации равенства (8.26).
Составлены и опубликованы таблицы (например, [5, 6]) этой функции.
В качестве примера применения нормального закона рассмотрим проблему применения иммерсионных приемников инфракрасного излучения, соединяемых для увеличения чувствительности с подходящими оптическими материалами (см. гл. 5).
Предположим, что при производстве приемников излучения определенного типа и размеров нормированная пороговая чувствительность D * нормально распределена около значения 2-Ю11 вт~х-см-гц'В со среднеквадратичным отклонением 0,5х X 1011 вт—{ -см-гц1^ что в результате иммерсии (гл. 6) чувствительность повышается в два раза.
Всего для системы определенного типа нужно изготовить 100 приемных блоков, включая запасные.
Неиммерсионный приемник стоит 50 долл., иммерсионный — 500 при прочих равных условиях (доставка и пр.). Для обеспечения требуемых характеристик системы пороговая чувствительность приемника должна быть не хуже чем 2,65-1011 вт—х-см-гц'!*. Нужно ли покупать большое число обычных приемников и выбирать из них лучшие или выгоднее покупать иммерсионные приемники?
На рис. 8.3 показана плотность распределения чувствительно-стей D * для приемников упомянутых типов. Кривая с максимумом в точке А представляет обычные приемники, кривая с максимумом в точке В — иммерсионные приемники. По таблицам нормального распределения находим, что вероятность появления приемников с чувствительностью выше требуемой равна 0,097. Поэтому обычных приемников нужно купить = 1030, и они будут стоить 51 500 долл.
290
По тем же таблицам далее находим, что вероятность появления иммерсионного приемника с чувствительностью меньше чем 2,65-1011 составляет 0,0035, т. е. 35 на 10 000. Следовательно, выгоднее купить 100 иммерсионных приемников общей стоимостью 50 000 долл.
Продолжая сравнивать кривые, можно видеть, что около 70% иммерсионных приемников имеют чувствительность на 30—70% выше требуемой, а обычные приемники едва соответствуют требованиям. Это еще раз указывает на то, что иммерсионные приемники выгоднее.
Неиммерсионные Требуемая чуВстВи-приемники / тельность Иммерсионные приемники
Неиммерсионные Иммерсионные
12 3 4 5 6 7
Нормированная чувствительность D \ 1011 см гц Уг/Вггг1
Рис. 8.4. Другое соотношение распределений нормированной чувствительности Р* приемников.
^0,3
нормированная
4 чувствительность D* 10”CM'Z^-Brrr1
Рис. 8.3. Распределения нормированной чувствительности D* приемников.
6
Предположим далее, что при производстве среднее значение чувствительности не изменилось, а среднеквадратичное отклонение увеличилось до 1-Ю11 см-гц'/*-вт-х (рис. 8.4). Цена обычных приемников при этом составит 20 000 долл., а иммерсионных — 55 000 долл., причем их преимущества по чувствительности станут менее заметными. В этом случае может оказаться целесообразным приобретение 1000 обычных приемников (если стоимость каждого приемника не сильно влияет на стоимость всей системы), чтобы обеспечить запас чувствительности 20% и упростить и удешевить другие части устройства, например его оптическую систему.
Такие примеры убеждают в том, что легче выполнить ряд простых приближенных вычислений, используя выражение (8.30) для непрерывного распределения, а не равенство (8.26) для дискретного распределения.
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
До сих пор описывались соотношения для случайных величин, получаемых в результате отдельных экспериментов. В этой «статической» части теории вероятностей группа точек в пространстве
291
выборок выступает как возможный результат случайного эксперимента.
Функция распределения, определенная в этих точках, дает значение вероятности того, что в результате испытания произойдет событие из определенной подгруппы событий.
Для удобства описания экспериментальных результатов характер поведения случайных величин в пространстве выборок определяется значениями вероятности получить каждый определенный исход эксперимента.
Часто представляет интерес рассмотреть последовательность таких случайных экспериментов. Например, случайного вида шум приемника излучения может быть измерен в разные промежутки времени. Каждый эксперимент является испытанием, и последовательность наблюдаемых значений является последовательностью случайных величин.
Излучательная способность небольших участков пламени ракетного двигателя может быть измерена в различных зонах пламени» на различных длинах волн, в различное время. Каждая серия таких экспериментов дает группу случайных величин. Это примеры случайных или стохастических процессов, которые могут быть определены следующим образом. Стохастический процесс представляет собой конечное или бесконечное множество случайных величин» которые могут быть описаны распределением вероятностей.
Например, результат каждого измерения коэффициента излучения пламени ракеты можно рассматривать как состояние случайной величины, описывающей этот коэффициент в определенной области пламени, при определенной длине волны и в определенный момент после пуска.
Для описания экспериментов, характеризующих изменения свойств пламени во времени, пространстве и различных участках спектра, необходимо рассмотреть целый ряд случайных процессов. Эти случайные процессы, представленные последовательностями случайных величин (которые можно рассматривать как результаты отдельных экспериментов), вкупе дают представление о пламени ракеты определенного типа. Интуитивно кажется правильным оценить результат единым видом распределения. С другой стороны» вряд ли будет правильным обобщать таким образом группы случайных величин, описывающих, например, излучение горелки Бунзена в некотором направлении и при определенной длине волны и излучение реактивного двигателя, работающего в других условиях.
Вероятностное распределение случайной величины X было определено выражением
F(x) =Р(Х<х).
Вероятностное распределение для случайного процесса Хъ Х2» ..., Xz... будет иметь вид
f (Хр х2, ..., х, ...)-Р(Х1<х1, Х2<х2, ..., Xz<xP ...), (8.31)
292
и плотность вероятности может быть определена как производная л-го порядка:
дп
р (xv х2, .... хр ...) = дХ1 дх2.дх1-:- F (xv х2, ...). (8.32)
Каждая случайная величина случайного процесса имеет пространство выборок, а весь процесс может быть описан многомерным пространством выборок высшего порядка, содержащим все составляющие. Какая-либо реализация процесса описывается определенной функцией в этом пространстве.
8.5. Классификация случайных процессов
В приведенных в предыдущем параграфе примерах эксперименты проводятся через определенные интервалы изменения других переменных процесса. Так, измерение шума производится через последовательные промежутки времени, измерение излучения — через определенные промежутки во времени, пространстве и на шкале длин волн и т. д. Эти другие переменные называются параметрами процесса. Существует много методов классификации случайных процессов, но в общем можно сказать, что все они основываются или на природе случайной величины, или на природе параметров, или, наконец, на характере связи между случайной величиной и параметрами.
Сначала нужно оценить возможные границы (состояния) компонентов случайной величины [7]. Например, такая случайная величина, как число целей в поле зрения системы обнаружения, может принимать только конечное число значений (в предположении, что число целей конечно). Наоборот, при описании с помощью случайного процесса границ облаков в некотором участке неба случайные величины могут быть записаны при неограниченно большом числе состояний облаков. В упоминавшихся примерах измерения шума и излучательной способности имеется непрерывное множество состояний. Возможны и смешанные случаи. Например, прямоугольный сигнал постоянной величины смешивается со случайным шумовым сигналом, имеющим непрерывное распределение. При этом случайная величина может принимать непрерывное множество значений, но вблизи двух амплитуд сигнала вероятность принимает большее значение, чем при других амплитудах.
Характер изменения случайной величины в ходе процесса может послужить основой для классификации. Если изменения состояния могут произойти лишь при определенных наперед известных значениях параметра, то процесс называется дискретным. Если изменение состояния может происходить в любой момент времени, процесс обладает непрерывным параметром (непрерывный процесс).
Если изменения состояния происходят скачком при случайных или периодических значениях параметра, то говорят, что процесс имеет прерывные случайные величины.
293
Некоторые процессы, такие, как упомянутое измерение излучательной способности, зависят от нескольких параметров и называются многомерными. Существуют процессы с несколькими случайными величинами (например, значения скоростей в турбулентном потоке), связанными с одним или несколькими параметрами. Такие процессы называются векторными.
• Часто используется классификация процессов по закону распределения случайных величин. Например, броуновское движение и электронный шум подчинены закону Гаусса, так как обладают нормальным распределением. Времена отказов компонентов систем выражаются распределением Пуассона.
Некоторые случайные процессы почти не зависят от начального значения параметра. Например, при включении фотосопротивления под напряжение наблюдается переходный процесс. После некоторого времени прогрева, наблюдая шум, уже нельзя сказать, когда было включено напряжение. Измерения в разные промежутки времени дадут одинаковые результаты при условии, что эти промежутки выбраны не в области переходных процессов, относящихся к включению или старению фотосопротивления. Процесс, статистические характеристики которого не зависят от параметра, называется стационарным в строгом смысле. Существуют процессы, у которых не зависят от параметра первый и второй моменты, т. е. среднее значение и автокорреляционная функция (эта величина будет рассмотрена ниже). Такие процессы называются стационарными с точностью до второго порядка или стационарными в узком смысле слова. Если статистические характеристики процессов зависят от параметра (например, флюктуации излучения неба зависят от угла возвышения [9, 10]), то процесс называется эволюционным.
В статистической механике применяются два метода оценки стохастических процессов. Предположим, что необходимо определить среднюю скорость молекул в некотором объеме. Измеряя скорость одной молекулы s(/) достаточно долго, среднюю скорость можно выразить так:
т
= (8.33)
о
Однако можно поставить эксперимент так, чтобы измерять мгновенные дискретные значения скоростей S/, тогда математическое ожидание выразится соотношением
(s> = 4- 2 <8-34>
/=1
Если эти две оценки дают одинаковый результат, процесс называется эргодическим [7, 11]. На практике большинство стационарных процессов являются одновременно и эргодическими, но можно найти примеры, когда это не так [10].
294
Рассмотрим, например, смешанную партию приемников излучения, половина которых имеет вдвое больший уровень шума, чем другая половина. Измерение и расчет среднеквадратичного значения шума по формуле (8.33) может дать результат на у больше или меньше величины, найденной по формуле (8.34), хотя шум может считаться стационарным процессом.
ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
Описанный в § 8.4 пример применения иммерсионных приемников отражает целый класс проблем, часто встречающихся при конструировании инфракрасных систем.
При решении этих проблем необходимо сделать альтернативный выбор (в рассмотренном выше примере — между обычными и иммерсионными приемниками), причем результат частично зависит от самого выбора, а частично — от случайной величины, точное значение которой наперед не известно (в нашем примере — от пороговых чувствительностей D * приемников в полученной партии).
На практике распределение характеристик приемников как основание для принятия решения находится экспериментально.
В приведенном в § 8.4 примере предполагалось, что распределение уже известно из предыдущих опытов.
8.6. Проблемы принятия решения
Проблемы этого типа известны как проблемы нахождения статистически оправданных решений или оценок. Они разработаны Вальдом [12]; удобные методы расчета даны Черновым и Мозесом [13 ]г а вопросы, связанные с принятием решения самим устройством о наличии сигнала или ложной тревоги от влияния шума, рассмотрены несколькими авторами [14—17]. Эта задача обнаружения сигнала в шуме рассматривается в гл. 13.
Выбор того или иного образа действий следует рассматривать-в терминологии обсуждаемой проблемы как решение. Интуитивно ясно, что для принятия наилучшего решения необходимо учесть преимущества правильного выбора по сравнению с проигрышем от неправильных решений и ошибок в оценке вероятностного распределения. Теория, разработанная Вальдом [12], указывает пути применения наилучших способов принятия решения и оценки.
Рассмотрим примеры. На производстве систем наведения получена партия из 1000 малошумящих полупроводниковых триодов для использования в предусилителях. Известно, что коэффициент шума триодов в партии распределен по нормальному закону со среднеквадратичным отклонением 2 дб, но среднее значение зависит от неконтролируемой технологической особенности производства. По условию, в первом каскаде предусилителя можно использовать триоды с коэффициентом шума не хуже 6 дб. Если они хуже, их
295
можно ставить в последующие каскады, где они израсходуются частично и где можно применять триоды худшего качества, которые вдвое дешевле.
Приемка должна обследовать несколько образцов, оценить среднее значение коэффициента шума и принять решение одобрить партию, забраковать ее или предложить половину требуемой цены.
Другой пример: руководителю исследовательского предприятия предстоит решить, как целесообразнее использовать способности двух ученых предприятия. В простейшей ситуации он может поручить им разработку отдельных идей, в результате чего будут опубликованы статьи и сделаны доклады на ученом совете, или поручить одному или обоим разработать программу исследований по темам, которые смогут заинтересовать правительство. С одной стороны, руководителю важно поднимать престиж и развивать возможности предприятия с учетом далекой перспективы, с другой — не потратить больше средств, чем это допустимо текущим состоянием предприятия.
Руководитель должен оценить потенциальную эффективность статей по отдельным проблемам и их роль для перспектив развития предприятия, не забывая о личных интересах ученых. С другой •стороны, он должен оценить возможность и выгоду финансирования исследований по военной правительственной программе и научную ценность таких исследований, особенно если предприятие конкурирует с другими.
Эта проблема относится к промежуточному случаю среди проблем, где цена выбора не имеет денежного выражения. В экстремальном случае, с одной стороны, может выступать цена, а с другой,— жизнь. Для таких проблем характерны трудности сопоставления противоречивых величин. Они будут рассмотрены далее в § 8.7.
При формулировке проблемы необходимо четко ответить на пять вопросов:
1. Каковы возможные альтернативные решения?
2. Какой случайный процесс, определяющий решение, лежит в основе явления?
3. Можно ли определить закон распределения и эффективность его для решения?
4. Каковы будут потери при неправильном решении и выгода при правильном?
5. Какова стоимость эксперимента для определения точного закона распределения?
Для иллюстрации попытаемся ответить на эти вопросы в случае трех уже рассмотренных примеров.
В примере с приемниками из сернистого свинца проблема состояла в выборе между приобретением простых или иммерсионных приемников. Переменной величиной случайного процесса являлись независимые случайные значения D * для каждого приемника, причем дискретным параметром был номер приемника (заметим, что здесь имеет место только один процесс; иммерсия дает вполне опре-296
деленный эффект удвоения D *). Распределение считается нормальным с одним из двух известных значений, но с неизвестным среднеквадратичным отклонением (Вальд относит его к однопараметрическому классу). Выгоды и потери легко измеряются ценой приемников. Стоимость может быть оценена суммой, в которую входит цена приемников, приобретенных для опыта, цена рабочего времени лаборантов, амортизация оборудования и т. д. Несколько забегая вперед, заметим сразу, что в рассматриваемом случае можно составить функцию решения для минимизации общей стоимости (оставляя в стороне такие вопросы, как повреждения при упаковке,, надежность в климатических условиях и многие другие).
Оценка объема экспериментов, необходимых для определения среднеквадратичного отклонения для величины D * с заданной точностью, является обычной статистической задачей.
Стоимость этих экспериментов должна быть добавлена к ожидаемой стоимости приемников, усредненной по области возможных среднеквадратичных отклонений. Значения среднеквадратичных отклонений, использованные в § 8.4, считались точно известными,, чтобы придать решениям большую определенность. На практике также желательно обеспечить возможно большую определенность решений, для чего необходимо как можно точнее определить экспериментально величину среднеквадратичного отклонения, и стоимость этого экспериментального определения может оказать значительное влияние на решение.
В примере с малошумящими полупроводниковыми триодами возможными решениями являлись: покупка партии, если окажется, что достаточное число триодов обладает шумом ниже 6 дб; отказ от партии, если уровень шума велик, и предложение половинной цены, если качество умеренное. Случайный процесс представлял набор независимых случайных величин коэффициента шума триодов. Распределение в этом случае нормальное, с неизвестным средним значением. Потери и выгода могут быть выражены суммой денег, определяемой прибылью от укомплектованных предусилителей. Стоимость измерений в этом случае, по-видимому, мала, так как образцы доступны и цена определяется рабочим временем и амортизацией сравнительно простого оборудования.
Значительно труднее случай с исследовательским предприятием.. Решения ясны: один или оба сотрудника должны составлять отчет или программу. По существу здесь два случайных процесса. Это указывает на то, что здесь две проблемы. Одна из них имеет ряд. случайных величин, оцениваемых уровнем престижа и способностью решать новые проблемы, что может быть видно из отчета. Распределение вероятностей таких случайных величин часто совершенно неизвестно; оно может зависеть от выбора темы, всех аспектов творческого процесса, включая вероятность успешного решения вопроса и удачи в отыскании интересного и полезного результата (заметим, что термин «интересный» обычно хорошо коррелируется с термином «неожиданный»); от вероятности того, что статья будет
297
принята и напечатана и т. д. Другой случайный процесс имеет подобные случайные величины, измеряемые уровнем престижа, накоплением научных данных и финансированием.
На распределение этих значений влияют почти те же обстоятельства, что рассмотрены выше, но, кроме того, в этом случае играют роль еще условия конкуренции, зависящие от возможностей конкурирующих организаций.
Проблема осложняется тем, что случайные величины, соответствующие последовательным испытаниям в аналогичных экспериментах, не являются независимыми. Ряд интересных отчетов будет влиять как на вероятность успеха в новых начинаниях, так и на рост престижа, а также повысит вероятность принятия программы исследований правительственным ведомством и т. д. Распределение вероятностей можно оценить лишь весьма неопределенно, да и то на основании прошлого экспериментирования. Трудность определения связи выгоды и потерь с правильным или неправильным решением обусловлена в основном трудностью измерения подобных величин. Этот вопрос рассмотрен в § 8.7. Стоимость эксперимента частично определяется стоимостью рабочего времени научных работников и оборудования, что легко оценить, и частично способностью к конкуренции, что оценить трудно.
Ряд других примеров более полно будет рассмотрен в гл. 13.
8.7. Функции выгоды
Уже было отмечено, что трудности принятия правильного решения возрастают, когда два альтернативных решения могут быть оценены лишь различными трудносопоставимыми категориями. Например, одно решение может привести к росту престижа, другое — к финансовой выгоде, одно — к перерасходу средств на систему, другое — к потере экипажа.
В этом параграфе будет показано, что эти трудности сопоставления можно в какой-то мере преодолеть и все же оценить при определенных допущениях преимущества того или иного решения.
Рассмотрим положение руководителя предприятия в третьем примере. Перед ним стоят возможные варианты, например: написание каждым сотрудником отчета, имеющего важное значение для дальнейшей деятельности; написание одним сотрудником более скромного отчета, а другим — предложения, которое может обеспечить небольшой контракт; написание обоими сотрудниками полноценной программы, которой будет отдано предпочтение перед предложением конкурирующей организации, а также другие варианты.
Предположим, что руководитель самостоятельно и твердо ведет дело. Тогда для него представляется возможным решать (иногда со значительными внутренними колебаниями), отдать ли предпочтение отчету или программе, и наметить очередность их выполнения. Предположим также, что руководитель в состоянии установить 298
различие между хорошей и плохой программой, которые можно было бы объективно оценить относительно некоторого среднего значения. Например, руководитель чувствует, что статья ученого, способности которого выполнить данную работу он оценивает цифрой 0,8 (и который только с вероятностью 0,2 может не справиться с задачей и не написать статьи), будет иметь тот же эффект, что и разработка программы, обеспечивающей скромный контракт. В этом случае небольшое изменение оценки вероятности успешного окончания работы и написания статьи, например 0,85— успех и 0,15 — неудача, уже заставит его склониться в пользу статьи.
При этих предположениях оказывается возможным придать интуитивным соображениям руководителя численные значения в виде функции выгоды [13, 18], которая обладает тремя свойствами. Функция выгоды определяется для каждого возможного события. Если возможность Ег предпочтительнее другой возможности Е29 тогда i/(£x) — выгода, соответствующая первой возможности, больше выгоды от второй возможности и(Е2). Если Е представляет смешанную возможность того, что Ег происходит с вероятностью р, а Еъ — с вероятностью 1 — р, тогда
и (Е)=ри (£0+(1 — р) и (£2). (8.35)
Равенство (8.35) является важным исходным соотношением для построения функций выгоды. В качестве примера рассмотрим функцию выгоды для описанного выше случая, когда руководитель предприятия решает, над чем работать сотрудникам: над статьями или над программой. С точки зрения руководителя, хорошим результатом является публикация серьезной статьи. Оценим этот факт произвольной величиной, например цифрой 100. Результатом неудачной попытки сотрудника решить техническую проблему при затрате некоторого количества труда будем считать очень слабый отчет. Оценим этот результат величиной (—10). Выбор этих двух величин совершенно произволен и просто задает шкалу относительных значений. Не будет никакой разницы, если шкалу задать величинами от —106 до +Ю6 или от 0 до 1.
Как уже указывалось, при вероятностях получить удачный или неудачный результат, равных соответственно 0,8 и 0,2, решение поручить ученому написание статьи примерно эквивалентно по предполагаемой выгоде получению удовлетворительной программы, обеспечивающей небольшой контракт.
На основании равенства (8.35) значение выгоды при указанных условиях будет равно
и (£3) = 0,8х 100+0,2Х(— 10)=78.
Предположим, что руководитель предприятия после размышления решил, что интересное, но не давшее контракта предложение
299
равноценно сумме удачных и неудачных отчетов с соотношением 0,5 к 0,5; тогда выгода от такой возможности составит 45. Ряд приемов, подобных описанному, позволяет создать функцию выгоды для проблемы решения. Представляется целесообразным оценивать решение на основе уменьшения и увеличения выгоды.
Решение, которое максимизирует ожидаемую выгоду, будет, по-видимому, иметь оптимальное значение, с точки зрения конкретного предпринимателя, чья оценка ситуации (в известной мере субъективная) отражается функцией выгоды.
Функции выгоды для двух других приведенных примеров находятся более легко, поскольку исходные величины имеют денежное выражение.
В некоторых задачах целесообразно оценивать качество решения только по ущербу и прибыли в искомой выгоде. Однако существуют и другие задачи, в которых часто происходят потери выгоды, какие бы меры ни принимались. В этих случаях статистики вычитают минимальную потерю выгоды из всех других значений для получения функции потерь, которая таким образом выражает избыточные потери выгоды над минимальной потерей.
8.8. Критерий решения
Процесс отыскания статистического решения включает следующие этапы: выполнение эксперимента для получения данных о неизвестном распределении вероятностей и использование их, привлечение априорных сведений о распределении, оценку выигрыша и потерь при правильном и неправильном решениях — в интересах выбора наименее тяжелого из нежелательных действий.
Во многих случаях решения подобного типа находятся по определенной установившейся методике. Сюда относится, например, решение задач при разработке оборудования автоматической сигнализации, качественного контроля, отбраковки и т. д. В других случаях решение может быть применено только один раз, но в любом случае статистики составляют методику отыскания решения заранее, чтобы иметь побольше времени для обдумывания методики в целом и избавиться от вредного влияния частных особенностей конкретных данных.
Методика решения содержит инструкцию для проведения эксперимента, заготовки таблиц для записи результатов и описание способа нахождения решения для конкретных условий. Инструкция по проведению эксперимента называется планом получения выборок, а указания по нахождению решения на основании экспериментальных данных называются критериями решения.
Здесь будут рассмотрены Два таких критерия. В каждый критерий входит величина, называемая правдоподобием того, что какое-то состояние достоверно. Правдоподобие P(Xi\Yj)—это вероятность получения ряда значений Xi при наличии состояний Y/ (это состоя-300
ние описывается несколькими параметрами распределения. В данном случае Y/ представляет значения этих параметров).
Для пояснения методики рассмотрим упрощенный вариант приемки полупроводниковых триодов. Эти приемы затем будут применены для решения более интересных задач.
Во-первых, упрощая задачу, предположим, что возможны только два решения: приемка партии триодов или отказ от нее и будем считать, что среднее значение коэффициента шума должно быть равно или 5, или 6 дб со среднеквадратичным отклонением 2 дб в каждом случае. Неизвестно лишь, какая из этих функций распределения имеет место. Предположим, что из партии взято 16 триодов и для них измерен коэффициент шума. Если окажется, что среднее значение коэффициента шума равно 5 дб, партия будет принята, если 6 дб — партия будет забракована.
Известно, что выборочное среднее значение распределено примерно по нормальному закону с тем же средним и среднеквадратичным отклонением, что и у полного распределения:
^выборочного среднего
Далее, если выборочное среднее относится к одной из шести возможных групп, приведенных в табл. 8.2, то вероятность попадания его в определенную группу при каждом испытании выборочной партии может быть определена из таблиц нормального распределения. Рассмотрим, например, случай, когда выборочное среднее равно 4 дб.
2
= — = 0,5 дб. /Тб
абольшой партии
N
ТАБЛИЦА 8.2
Плотность вероятности и коэффициент правдоподобия для нескольких средних значений выборок
Действительное среднее, дб Среднее значение выборки
4,0 4,5 5,0 5,5 6.0 6,5 7,0
5 0,05 0,24 0,40 0,24 0,05 0,004 0,0001
6 0,0001 0,004 0,05 0,24 0,40 0,24 0,05
Коэффициент 500 60 8,0 1,0 1 1 1
правдоподобия 8 60 500
Плотность вероятности на уровне 4 дб для функции распределения со средним значением 5 дб составляет 0,05, а для функции со средним значением &^дб — всего 0,0001. Коэффициент правдоподобия при этом равен 500, т. е. при появлении выборки со средним значением 4 дб 500 шансов против одного, что для партии в целом среднее значение коэффициента шума составляет 5, а не 6 дб. При
301
этом не делается никаких утверждений относительно вероятности или правдоподобия действительных средних значений 5 или 6 дб.
Интуитивно ясно, что если коэффициент правдоподобия велик, то приемщик должен принять партию. Таким образом, первый критерий, который предлагается для принятия решений такого типа, называется коэффициентом правдоподобия. Можно сформулировать следующее правило: необходимо провести выборочную проверку, подсчитать коэффициент правдоподобия для этой выборки распределения и принять положительное решение, если коэффициент правдоподобия больше некоторого значения.
Чтобы оценить это пороговое значение, рассмотрим функцию выгоды для данного случая. Предположим, что цена полупроводникового предусилителя складывается из следующих величин (в долларах).
Затраты труда на производство............20,00
Полупроводниковые триоды
I каскад...........................5,00
II каскад...........................2,50
Другие детали ............................5,00
Прочие расходы ...........................2,00
34,50
Прибыль..........................3,50
Всего...........................38,00
Всего нужно сделать 1000 предусилителей. Если средняя величина коэффициента шума партии равна 5 дб, то число непригодных для первого каскада (коэффициент шума больше 6 дб) триодов будет равно 308. Эти триоды могут быть использованы во втором каскаде с убытком 2,5 долл. Всего будет выпущено 1000—308= 692 предусилителя. Потеря прибыли составит 308 X 3,50. Однако в создании прибыли участвуют другие факторы, поэтому в функции выгоды лишь часть прибыли приходится на триоды. Следовательно, если партия обладает средним значением коэффициента шума 5 дб и если она принята, убыток составит 985 долл, по сравнению с партией полностью пригодных приборов.
С другой стороны, если партия забракована при среднем значении коэффициента шума 5 дб, потеря прибыли составит 3500 долл. Если предположить, что 10% рабочего времени потрачено непроизводительно, то 1/б от 2000 или 400 долл, будет также потеряно и общая потеря выгоды составит ^Ц^ + 400= 1100 долл.
На основании таких рассуждений составлена табл. 8.3 значений функции выгоды.
Вторая половина таблицы содержит значения функции потерь, полученные вычитанием минимальной потери выгоды для каждого действительного состояния.
Функция потерь выражает убыток, нанесенный принятием неправильного решения при наличии возможности принять правильное решение.
302
ТАБЛИЦА 8.3
Функции выгоды и потерь
Действитель- Потеря выгоды П отери
ное среднее значение шума, дб принято отвергнуто принято отвергнуто
5 985 1 100 0 115
6 1 600 1 100 500 0
Из табл. 8.3, например, видно, что если действительное среднее значение коэффициента шума равно 5 дб, но партия отвергнута по величине выборочного среднего, то потери выгоды составят 1100 долл. Однако потеря выгоды составит 985 долл, и в том случае, если принято правильное решение о принятии партии. Чистая потеря (т. е. потеря, связанная только с неудачным решением) составит здесь 115 долл.
Как показано в табл. 8.4, при заданных коэффициенте правдоподобия и функции потерь ожидаемые потери выгоды и чистые потери могут быть определены для ряда различных выбранных пороговых значений коэффициента правдоподобия. Ожидаемые потери называются риском. Например, если задан критерий «принять партию, когда среднее значение коэффициента шума для выборки меньше 5,5 дб», и если среднее значение коэффициента шума партии в действительности 5 дб, тогда в соответствии с табл. 8.4 имеется 84% шансов на принятие, в то время как при действительном среднем уровне 6 дб эта цифра снижается до 16%. Тогда риски потерь будут соответственно равны
0,16 X 115 = 20,
0,16 X 500 = 80.
ТАБЛИЦА 8.4
Значение риска для нескольких пороговых уровней коэффициента правдоподобия
Порог решения (коэффициент правдоподобия) Области допустимых значений (выборочное среднее) Действительное среднее значение Вероятность Риск потерь выгоды Риск чистых потерь
принять отвергнуть
Отсутствует 5 0 1 1 100 115
6 0 1 1 100 0
500 <4,0 5 0,023 0,977 1 090 110
6 0 1,0 1 100 0
60 <4,5 5 0,159 0,841 1 080 95
6 0,001 0,999 1 100 0
303
Продолжение
Порог решения (коэффициент правдоподобия) Области допустимых значений (выборочное среднее) Действительное среднее значение Вероятность Риск потерь выгоды Риск чистых потерь
принять отвергнуть
8 <5,0 5 0,500 0,500 1 041 60
6 0,023 0,977 1 ПО 10
1 <5,5 5 0,841 0,159 1 005 20
6 0,159 0,841 1 180 80
£ 8 <6,0 5 0,977 0,023 985 0
6 0,500 0,500 1 350 250
1 60 <6,5 5 0,999 0,001 985 0
6 0,841 0,159 1 520 420
1 500 <7,0 5 1,0 0 985 0
6 0,977 0,023 1 590 490
0 Все 5 1,0 0 985 0
6 1,0 0 1 600 500
Эти результаты графически представлены также на рис. 8.5. На графике 8,5, а по осям отложены вероятности принятия ошибочных решений, т. е. отказа от партии, хотя она должна быть принята,
i о
§1 ’’° ¥ к
^5
500
60
1
£0,2
§
££ *0,4
1 Пороговый
8 коэффициент \ правдоподобия
600 500 400
300 200
60 500 1QQ
О 0,2 0,4 0,6 г 0,8 1,0 О Вероятность ошибочного непринятия партии, когда она должна быть принята
О
s' 1
50й
30
^8 60 500
юогоо
Рис. 8.5. Рабочие характеристики приемки полупроводниковых приборов.
и принятия, когда она должна быть отвергнута. Точки кривой представляют вероятности ошибок этих двух типов. Числа на кривой указывают пороговые коэффициенты правдоподобия, характе
304
ризуя тем самым «порог решения». Этот график называется рабочей характеристикой. Рабочая характеристика является обычным средством количественного описания той меры, в которой использование завышенных пороговых значений коэффициента правдоподобия приводит к увеличению вероятности ошибочно отвергнуть партию, в то время как ее следовало бы принять.
Когда такие графики применяются для решения задачи обнаружения сигналов в шуме, они называются рабочими характеристиками приемной системы. В этом случае оси обозначаются по-другому. Ось, которая обозначала вероятность неправильного отказа, проводится вертикально и обозначает теперь вероятность принятия правильного решения. Другая ось обозначается по-прежнему и располагается горизонтально. Таким образом, значения по осям называются «вероятностью правильного обнаружения» и «вероятностью ложной тревоги», как принято в военной терминологии.
На рис. 8.5, б представлен тот же график в измененном масштабе по осям координат так, чтобы риск был одинаковым с использованием приведенных выше данных.
Теперь нужно установить, какой из критериев является наиболее подходящим. Критериев можно предложить несколько, но здесь будет рассмотрено только три из них.
1. Минимизация максимальных потерь выгоды.
2. Минимизация ожидаемых потерь.
3. ^Минимизация максимальных чистых потерь.
Из табл. 8.4 можно видеть, что минимизация максимальных потерь выгоды требует не принимать вообще ни одной партии, поскольку максимальный убыток составляет 1100 долл, независимо от того, составляет ли истинное среднее значение коэффициента шума партии 5 или 6 дб.
Для всех других критериев принятия максимальная потеря больше, чем 1100 долл, (округление несколько сглаживает этот факт). Если условием принятия считать число 5,5 дб, тогда ожидаемая потеря в 1180 долл, соответствует действительному уровню коэффициента шума 6 дб. Этот результат несколько противоречит интуитивным соображениям, но он следует из теории игр (обсуждаемой в следующей главе), с точки зрения которой считается, что поставщик триодов ведет игру с потребителем и проигрыш последнего является выигрышем для первого. Поэтому, чтобы не дать поставщику выиграть (т. е. сбыть партию приборов с уровнем коэффициента шума 6 дб), стратегия потребителя должна состоять в том, чтобы стараться не принять любую конкретную партию. Это не реально, однако минимизация максимальной потери выгоды не должна казаться вообще бессмысленной — она просто неуместна в рассматриваемом случае.
Рассмотрим третий критерий: минимизацию максимальных чис-1 тых потерь. Этот критерий уже не основан на предположении о том, что поставщик пытается победить в игре, манипулируя средним значением шума, и дает возможность, хотя и не в совершен
11 Зак. 1502 305
стве, осуществить процесс решения самостоятельно, не касаясь вопросов производства. Условием принятия партии по среднему значению выборки является, как .видно из табл. 8.4, требование, чтобы это среднее значение коэффициента шума было меньше величины, лежащей между 5,0 и 5,5 дб.
Точное значение находится из соотношения
/<-б
оо р 0,5 /2
115 f ~Le~dt=-5W f
J /2л J /2л
К—5 -оо
0,5
(8.36)
Необходимое для приемки пороговое значение К получается равным 5,2 дб. Таким образом, с точки зрения минимизации максимальной потери можно принять все изделия, которые имеют среднее значение коэффициента шума выборки менее 5,2 дб.
Второй из упомянутых критериев нуждается в дополнительных допущениях. Если критерий минимизации ожидаемых потерь может быть найден, он должен основываться на вероятностях того, что изделия действительно обладают средним значением коэффициента шума 5 или 6 дб. В экстремальном случае, когда Р (5 дб) = 1, потребитель может минимизировать ожидаемые потери, приняв все изделия. Если Р (6 дб) = 1, тогда полный отказ от изделий минимизирует общую потерю. Для облегчения сравнения предположим, что вероятности равны, т. е.
Р(5 дб)=Р(6дб)=у.
Тогда ожидаемые потери определятся соотношением
5-6
ОО {2 0,5 ^2
2Л=1600 f -L=e~Td/+ 1100 f —Le~Td/+
J /2л J /2л
К-6 -сю
0.5
Л-6 ОО ^2 0,5 ^2
+985 С —!=е“^+1100 J -Le“d/. (8.
К—5 -со
0,5
Это равенство может быть переписано следующим образом:
К-5 00 /2 0,5 /2
2L=500 J -J=e“d/+115 J ~^=e~df+1100+985. (8.38) К-6 У —оо у 71
0.5
306
В этом соотношении поте-
ТАБЛИЦА 1.5
ри выражены в виде суммы неизбежных потерь (1100 и 985) и чистых потерь (500 и 115), взятых из табл. 8.3
Сводка пороговых значений коэффициента шума триодов (средних для выборки) при использова« нии различных критериев минимизации потерь
и зависящих от критерия принятия К- Минимальное значение L вычисляется приравниванием нулю производной от L по К и решением относительно К. В результате таких вычислений К =5,13 дб. Для трех выбранных критериев получаются следующие результаты (табл. 8.5).
Сравнение критериев принятия наглядно демонстрирует следующие положения. Во-первых, основным в решении проблемы с помощью теории статистических решений является оценка всех
Критерий
Пороговая величина коэффициента шума К (при среднем значении выборки, не превышающем
К, партия должна быть принята)
1. Минимизация максимальных потерь выгоды ...............
2. Минимизация ожидаемых потерь . . . .
3. Минимизация максимальных чистых потерь ...............
отсутствие шума
5,13*
5,2
решений С ТОЧКИ зрения ПО- * в предположении равных вероятностей терь (выигрышей) заинтере- для 5 и 6 дб'_________. сованной (решающей) сторо-
ны. Во-вторых, необходимо тщательное обследование (возможно,
даже с выполнением эксперимента) данных с целью получить доступную информацию о законе распределения или причинах, определяющих процесс. Выбор критерия решения должен строго соответствовать такой априорной информации.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — угловая плотность атакующих ракет;
«о — постоянная интегрирования в примере с ракетами;
D* — пороговая чувствительность приемника (см. гл. 5);
Ei — событие;
F(x) — функция распределения Г(х) = Р(Х<х);
Н — факт выпадения цифры при бросании монеты;
Л(/), /?(х) — функции плотности вероятности случайных величин хи/;
Л(/) — среднее (по времени) значение h(t)\
<h(x)> — математическое ожидание;
i — индекс при суммировании;
/ — мнимая единица;
К— значение коэффициента правдоподобия, необходимое для приемки;
Kz(s) — характеристическая функция плотности вероятности Z;
k — индекс при суммировании;
L — коэффициент правдоподобия;
т — индекс при суммировании;
nti — /-й момент распределения;
11*
307
N — ряд сумм;
N — число испытаний в эксперименте со случайными величинами; п — число целей в примере с обнаружением ракет;
П/ — число случаев, когда наблюдается событие
Р — сложная вероятность, например Р = р±р2',
Р(А\В) — условная вероятность события А при условии события В;
Pi — вероятность события Ер,
р(х) — функция плотности вероятности X при х;
px(z—у) — функция плотности вероятности X при z — у\
р, q — дополнительные дискретные вероятности при испытаниях Бернулли;
s — переменная преобразования в характеристической функции; s(t) — скорость молекулы газа;
s(/) — усредненное по времени значение s(/);
Т — факт выпадения (появления) герба при бросании монеты;
t — время;
и(Е) — значение функции выгоды события Е\
X, У, Z — прописные буквы для обозначения случайных величин;
x,y,z — строчные буквы для определения значений случайных величин; а2{Л(х)} — дисперсия Л(х);
а — среднеквадратичное отклонение;
о — поле обзора в примере с обнаружением ракет.
Л ИТЕРАТУРА
1 .Arley N., К. R. Buch. Probability and statistics, chap. 4. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1950.
Арлей H. и Бух К. P. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Изд-во иностранной литературы, 1951.
2. С h и г с h 1 i 1 1 В. V. Complex variables and applications, chap. 7,
1 st. ed., McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1948.
3. F e 1 1 e r W. An introduction to probability theory and its Application, 2 d ed, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1957.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. «Мир» 1964.
4. R i с е S. О. Mathematical analysis of random noise. Dover Publications, Inc., New York, 1954.
Райс С. Теория флюктуационных шумов. В сб. «Теория передачи электрических сигналов при наличии помех». Изд-во * иностранной литературы, 1953.
5. National Bureau of Standards. Tables of probability functions, vol. 2, New York, 1942.
6. National Bureau of Standards Applied Mathematical Series. Tables of the Binomial Probability Distribution, vol. 6, 1950.
7. Blanc-Lapierre A.,R. Forte t. Theorie des fonctions aleatoires, chap. 4. Masson et Cie, Paris, 1953.
8. В a r t 1 e t t M. S. Stochastic Processes. Cambridge University Press, New York, 1955.
Бартлетт M. С. Введение в теорию случайных процессов. Изд-во иностранной литературы, 1961.
9. Chandrasekhar S. Stochastic in physics and astronomy. Revs. Modern Phys., 1943, v. 15, p. 1.
Чандрасекар С. Стохастические процессы в физике и астрономии. Изд-во иностранной литературы, 1947.
10. J a m i е s о n J. A. Inference of two-dimensional Wiener spectra from one-dimensional measurements. Infrared Phys., 1961, v. 1, №2.
11. Khinch in A. I. Statistical mechanics. Dover Publications, Inc., New York, 1949.
308
Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. Гостехиздат, 1943.
12. W а 1 d A. Statistical decision functions. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1955.
13. Chernoff H., L. E. M о s e s. Elementary decision theory. John Wiley & Sons., Inc., New York, 1959.
14. W о о d w a r d P. M. Probability and information theory with applications to Radar. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1955. Вудворд Ф. M. Теория вероятностей и теория информации с применениями в радиолокации. Изд-во «Советское радио», 1955.
15. Peterson W. W., Т. G. В i г d s а 1 1 , W. С. F о х. The Theory of signal detectability. IRE Trans, on Inform. Theory, 1954, v. PGIT-4, September.
Петерсон У., Бердзолл T. и Фокс У. Теория обнаружения сигналов. В сборнике «Прием импульсных сигналов в присутствии шумов». Госэнергоиздат, 1960.
16. М i d d 1 е t о n D., D. Van Meter. Detection and Extraction of signals in noise from the point of view of statistical decision theory, J. SIAM, 1955, v. 3, № 4, 1956, v. 4, №2.
Миддлтон Д. и Ван Митер Д. Обнаружение и воспроизведение сигналов, принятых на фоне шумов с точки зрения статистических решений. В сборнике «Прием импульсных сигналов в присутствии шумов». Госэнергоиздат, 1960.
17. D a v е п р о г t W. В. and М. L. Root. Introduction to random signals and noise. McGraw-Hill Book Company, Inc. New York, 1958. Давенпорт В. и Рут В. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. Изд-во иностранной литературы, 1960.
18. Van Neumann J., О. Morgenstern. Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1947.
19. C a m p b e 1 1 G. A., R . M. Foster. Fourier integrals for practical applications. Bell System Tech. Monograph B-584, 1931.
20. Gardner M. F., J. L. Barnes. Transients in linear systems, vol. 1. John Wiley & Sons., Inc., New York, 1942.
- — - .-.= ГЛАВА 9
АНАЛИЗ ОПЕРАЦИЙ
9.1. Анализ операций, исследование операций, анализ систем
конструктор инфракрасной системы должен иметь конкретное задание на проектирование, где должны быть указаны такие параметры, как чувствительность, величина поля зрения, способ использования выходной величины, допустимый вес и т. д. Этим требованиям можно удовлетворить не только путем тщательного подбора компонентов и учетом окружающих условий, при которых работает система, но также путем анализа функционирования ее в заданной тактической ситуации. Здесь приходится отвечать на вопрос о том, как влияют чувствительность, поле зрения, способ индикации и вес на эффективность системы в целом. Подобные проблемы исследуются методами и средствами анализа операций. В инженерной деятельности, и особенно в области военных исследований и разработок, часто путают понятия — анализ операций и анализ систем. Поскольку эта книга предназначена для инженеров-конструкторов инфракрасных систем, то нет необходимости давать здесь общее определение этих терминов. Вместо этого для удобства изложения в данной и последующей главах термины, их содержание и взаимосвязь будут определены применительно к инфракрасной технике.
Анализ операций — это определение взаимозависимости параметров конструкции системы и способности системы выполнять поставленную задачу в заданных условиях.
Анализ систем — это установление взаимосвязи между различными компонентами и параметрами системы и изучение параметрической модели системы.
Эти определения станут более понятными при рассмотрении диаграммы последовательности конструирования, представленной на рис. 9.1.
Конструирование системы начинается с выработки требований к ней (позиция 1 схемы на рис. 9.1). Эти требования вырабатываются заказчиком.-От степени определенности этих требований зависит объем и характер задач анализа операций. Например, если требования сформулированы так: «создать радиометр с пороговой облученностью 2- 10~и вгп/см2 в области от 1,8 до 2,7 мк с полем зрения 5°», объем задач анализа операций будет более ограниченным, чем в случае требования «создать самолетный бортовой радиометр для 310
изучения статистических характеристик инфракрасного излучения облаков».
Второй шаг при конструировании инфракрасной системы (позиция 2 схемы) представляет собственно анализ операций. Для начала эскизного проектирования радиометра, характеристики которого заданы подробно, как в первом примере, не требуется дальнейшего рассмотрения требований к радиометру. Однако прежде чем приступать к эскизному проектированию радиометра, для которого определено лишь общее назначение (второй пример), требуется провести довольно подробный анализ операций. В самом деле, нужно
Г” Требования _____
I к системе Г
L_____________О
Г Лабораторные "I
I и полевые |-। испытания
Рис. 9.1. Диаграмма последовательности конструирования.
выбрать спектральные области работы, предварительно оценить временные и пространственные частотные характеристики облаков различных типов и, наконец, выбрать метод регистрации и обработки результатов. Эти вопросы во всяком случае должны быть обсуждены до начала эскизного проектирования. Организация и планирование анализа операций описываются в конце этой главы.
Позиция 3 схемы рис. 9.1 представляет эскизное проектирование. Вклад новейшей технологии в конструирование представлен позицией 4. За эскизным проектированием следует анализ системы, представленный позицией 5. На этом этапе вырабатывается общая схема системы, формулируются общие принципы конструирования, производится исследование характеристик конструкции, комплектуются вспомогательные узлы. Данные анализа системы используются, если это нужно, для пересмотра результатов анализа операций 2 и при этом оцениваются также возможности применения альтернативных конструкций системы. На этой стадии эскизное проектирование может быть закончено или повторено по циклу 3—5—2. После изготовления 7 система направляется на лабораторные и полевые испытания. Данные испытаний используются для
311
исследования операций (позиция 6 схемы), на основе этого исследования вырабатываются рекомендации по совершенствованию системы. Данные исследования операций 6 используются также при анализе операций связанных систем. Столь подробное рассмотрение достаточно очевидных и в значительной мере само собой разумеющихся этапов конструирования проведено здесь, чтобы пояснить содержание терминов, относящихся к анализу и исследованию операций и систем.
9.2. Сущность анализа операций
величины поля зрения
I
Курс перехватчика
Рис. 9.2. Схемы поиска и обнаружения при перехвате.
В двух последующих параграфах этой главы сначала излагаются некоторые общие математические методы анализа операций в инфракрасной технике, затем описано планирование анализа операций. Для иллюстрации и пояснения сущности анализа операций в инфракрасной технике ниже дается типичный хотя и весьма упрощенный пример анализа.
Пр имер. Предположим, что заданы тактико-технические требования на инфракрасный пеленгатор системы прицеливания истребителя-перехватчика. Допустим, что вес определен и система должна работать по самолету-цели. Если далее предположить, что время кадра (время, необходимое для просмотра поля обзора) неизменно, задача сводится к выбору приемника, и чувствительности. Здесь конструктор встретится с двумя проблемами: он должен решить, во-первых, какова должна быть математическая модель атаки перехватчика и, во-вторых, каково требуемое соотношение между чувствительностью и полем зрения. Вторая проблема решается при эскизном проектировании 3 или анализе системы 5, при этом определяются целесообразные величины поля зрения и чувствительности. Графическое изображение атаки показано на рис. 9.2.
Целью создания математической или графической модели встреч перехватчика с бомбардировщиком является получение гибкой схемы для оценки эффективности инфракрасного пеленгатора. Насколько возрастут возможности перехватчика с увеличением поля обзора пеленгатора? С увеличением чувствительности? Детали воздушной обстановки, которые не имеют отношения к конструированию системы, не должны усложнять модель. Одновременно с разработкой модели необходимо выбрать способ оценки, определенную меру эффективности системы. Эта мера затем поможет количест
венно выразить способность системы выполнить задачу. В данном примере за меру эффективности принята вероятность того, что перехватчик обнаружит бомбардировщик и определит затем направление пуска снарядов. Это называется вероятностью обнаружения и успешной атаки.
Предположим (см. рис. 9.2), что перехватчик наводится в область встречи наземным пунктом наведения. Перехватчик освобождается от наземного контроля до обнаружения цели и продолжает выдерживать направление до тех пор, пока цель не будет обнаружена пеленгатором. После обнаружения цели перехватчик выполняет маневр на атаку. Поскольку наведение перехватчика в зону поиска производится с ошибкой, нет гарантии, что бомбарди-312
ровщик будет обнаружен с достаточным запасом времени для исправления курса. Анализирующий операцию должен установить соотношение между чувствительностью и полем обзора, с одной стороны, и вероятностью обнаружения и исправления курса, с другой. Метод анализа такой задачи называется анализом границ. На рис. 9.3 показаны две такие границы.
Для дальнейшего обсуждения модели необходимо сделать еще несколько допущений. Во-первых, примем, что атака производится в одной плоскости (не обязательно горизонтальной). Границы, находятся в этой плоскости. Граница маневра является геометрическим местом точек на возможных курсах перехватчика, за пределами которых невозможен маневр на атаку.
Граница поля зрения указывает (для каждого курса перехватчика) точку, в которой бомбардировщик перестает быть в поле обзора пеленгатора независимо от дальности обнаружения. Для успешной атаки цели она должна быть обнаружена до того, как перехватчик перейдет границы маневра или поля обзора. Другое допущение состоит в том, что обнаружение происходит только до некоторой предельной дальности, которая обозначена на рис. 9.3 как «дальность обнаружения».
Для большей точности нужно было бы вычислить интегральную вероятность того, что обнаружение происходит до того, как будет достигнут барьер перехватчика. При таком упрощении вероятность того, что перехватчик обнаружит цель за время, достаточное для подготовки к атаке, равна вероятности того, что назем-
ный пункт выведет перехватчик в коридор шириной D, показанный на рис. 9.3. Величина D, называемая шириной коридора, может быть использована как вспомогательная мера эффективности, легко преобразуемая в вероятность обнаружения и успешной атаки с помощью распределения ошибок наведения.
указанные на
рис.
Цель
ближняя граница маневра
। Ширина Д । | коридора у |
/
/Гоаницы по углу обзора
Дальность о 5нару-\ жения
I
Курс перехватчика
Рис. 9.3. Зона возможных атак.
Рис. 9.4. Зависимость ширины коридора D от угла обзора 0 для трех направлений атаки:
а—под углом 45°; б —лобовая; в —в хвост; R—дальность обнаружения.
Теперь представляется возможным сопоставить величину угла обзора О (симметричного оси перехватчика) и дальности обнаружения R (для обнаружения, например, цели с задней полусферы) с вспомогательной мерой эффективности — шириной коридора D. Для такого сопоставления можно построить серию кривых, показывающих также влияние курсового угла (см. рис. 9.3). Эти кривые представлены на рис. 9,4 а, б, в. Из кривых видно, что с увеличением дальности обнаружения увеличивается также мера эффективности — ширина коридора. Подбирая размеры системы, ее вес и время
11В. Зак. 1502 313
кадра, можно достичь такого соотношения чувствительности и поля обзора, которое дает наибольшую ширину коридора.
На стадии эскизного проектирования (рис. 9.1) необходимо определить соотношения между полем обзора и чувствительностью. Эти соотношения подробно рассмотрены в гл. 13. Для рассматриваемого примера соотношение представлено кривой на рис. 9.5. Кривая не учитывает величину угла обзора в вертикальной плоскости. Сравнение кривых рис. 9.4, а, б, в и рис. 9.5 показывает, что лишь определенные точки на кривой рис. 9.5 совпадают с точками кривых рис. 9.4. На рис. 9.6 приведена пунктирная кривая, образованная такими'совпадающими точками для кривых рис. 9.4, а и 9.5.
Рис. 9.5. Взаимозависимость угла обзора О и дальности обнаружения R.
Рис. 9.6. Выбор оптимального соотношения между углом обзора и дальностью действия.
Из кривой следует, что близкими к оптимальным являются угол обзора около 45° и дальность обнаружения /?2- Увеличение чувствительности для получения дальности или увеличение угла не оправдано. Аналогичные кривые, характеризующие связь дальности обнаружения и поля обзора, могут быть получены и для других значений 0.
Только что рассмотренный упрощенный пример иллюстрирует схему конструирования, представленную на рис. 9.1. Требования к пеленгатору с указанием веса, объема, назначения и т. д. используются в качестве исходных данных для анализа операции. В ходе анализа составляется модель операции, выбирается мера эффективности системы (в данном случае — ширина коридора) и устанавливается связь ее с параметрами системы. Затем при конструировании необходимо увязать эти-параметры между собой. Эта задача выполняется на стадиях эскизного проектирования и анализа системы с помощью данных об излучении цели, ослаблении его атмосферой и т. д., получаемых в результате специальных исследований (позиция 4 схемы рис. 9.1). Полученная зависимость (поле обзора от дальности обнаружения) используется для отыскания оптимальных конструктивных решений. Наконец, система разрабатывается, изготовляется, проверяется, направляется на испытания. Результаты испытаний изучаются методами исследования операций. Затем материалы могут быть использованы для анализа операций при моделировании и усовершенствовании данной системы или анализа новых систем. Дальнейшее обсуждение планирования анализа операций дано в § 9.3.
314
Объем и содержание анализа операций. Круг задач, встречающихся при проектировании инфракрасных систем в части анализа операций, изменяется в широких пределах в зависимости от поставленных требований. Проектирование радиометра для исследования характеристик фона, например, связано с небольшим по объему анализом операций. Назначение радиометра определено ясно, так же, как и состав аппаратуры, и, что более важно, функционирование устройства рассчитано на естественное (природное) излучение, а не на противника, который будет оказывать противодействие.
Несравненно больший объем анализа операций потребуется, по-видимому, при определении эффективности инфракрасной системы прицеливания, предназначенной для самолета-перехватчика морской обороны. В анализе этой категории недостаточно определить лишь оптимальную конструкцию инфракрасной системы. Потребуется ответить на более важный и общий вопрос— какова роль введения инфракрасной системы прицеливания во всей системе морской обороны. Инфракрасная система должна выдержать конкуренцию при сравнении по эффективности со всеми другими системами. Нужно определить, целесообразно ли флоту тратить средства на разработку новой инфракрасной системы или просто закупить увеличенное количество известных средств обороны. При анализе операций неизбежно придется рассмотреть такие вопросы, как состав флота, его задачи, тактико-технические характеристики самолетных средств противника, используемых при нападении на флот.
В нашу эпоху доставки термоядерного оружия ракетами при разработке инфракрасных систем обнаружения запусков таких ракет исследователь операции должен не упустить из виду целый ряд вопросов, не относящихся непосредственно к инфракрасной системе. Например, инфракрасная система обнаружения запуска ракет, устанавливаемая на спутнике, должна обладать заданным радиусом действия. Соотношение между чувствительностью системы, которая находится в руках конструктора, и реальной дальностью действия определяется разнообразными явными и неявными предельными уровнями ошибок, которые часто окончательно выявляются лишь после выпуска системы в результате опыта ее использования. Эти предельные уровни должны быть определены на основе баланса ошибок двух типов, присущих подобным системам: решение об опасности, когда фактически ее нет (ложная тревога), и решение, что опасности нет, когда она в действительности существует (пропуск).
Потери, связанные с каждой из этих ошибок, играют важную роль в определении допустимого порогового уровня ошибок. Решение выбрать тот или иной пороговый уровень и соответственно определение требуемой чувствительности должно быть увязано с вероятностями ошибок этих двух типов и потерями, к которым могут привести ошибки. Поэтому весьма желательно при анализе операций тщательно учитывать эти проблемы.
НВ*
315
Хотя часто представляется возможным провести анализ операций для условий, в которых инфракрасная система встретится с инертным противником, возможны случаи, когда необходимо учитывать думающего противника, который меняет свою технику и тактику с расчетом на новейшую технику противника. Поэтому перед конструированием следует провести еще анализ контрсистем.
МЕТОДЫ АНАЛИЗА ОПЕРАЦИЙ
В этом разделе обсуждаются некоторые наиболее часто используемые методы анализа операций. В конце главы будет рассмотрено планирование анализа операций.
9.3. Статистический вывод
Методы и средства статистического анализа могут быть разделены на два класса, называемые описательной статистикой и статистикой выводов. Различие между этими видами анализа состоит в подходе к результатам эксперимента.
Для описательной статистики получение данных является окончательным результатом. Целью обследования является «измерение» выборочной партии, оценка ее параметров — средней величины, дисперсии и т. д., а также построение кривой распределения. Иначе говоря, предметом описательной статистики является составление статистических характеристик. Для статистики выводов такие характеристики не представляют самостоятельного интереса. Они нужны лишь для суждения о характере партии, к которой относятся эти данные, и для предсказания возможных состояний.
Характерным случаем, когда пригодны методы описательной статистики, является, например, набор данных о содержании паров воды и пропускании атмосферы на различных высотах, в разное время года в разных местах. Целью анализа является суммирование как можно большего количества результатов отдельных измерений, чтобы представить результаты на языке статистики. Описательная статистика по мере необходимости используется при эскизном проектировании и анализе операций. Более часто, однако, она служит для выводов из полученных данных и для оценки тем или иным способом работоспособности системы.
Предположим, например, что необходимо знать характеристики облачного фона, чтобы снабдить инфракрасную систему пространственным фильтром. Необходимые величины измеряются радиометром и анализируются. Облака, по которым проводились измерения, уходят и, следовательно, показания радиометра не представляют самостоятельного интереса. Проектируемая система никогда не встретится с облаками данного конкретного типа. Польза данных, полученных при конкретных измерениях, определяется тем, в какой мере они могут быть использованы для статистической характеристики картины облаков. Один из способов использования этих 316
данных — проверка гипотез, рассматривался ранее в гл. 8. Принимаются гипотезы относительно основного множества, к которому относится выборка, и затем вычисляется относительное правдоподобие того, что выборка дает правильный результат. Проверка гипотез будет рассмотрена здесь с несколько иной точки зрения, отличной от материала гл. 8. Однако сначала необходимо рассмотреть другой инструмент получения статистического вывода — метод доверительных интервалов.
Доверительные интервалы. После получения статистических данных для выборки задача состоит в оценке некоторых параметров (например, среднего значения и дисперсии) большой партии (генеральной совокупности). Доверительный интервал определяет успех, с которым эта оценка может быть сделана.
Доверительный интервал — это пара чисел (основанных на данных выборки), которые с заданной вероятностью ограничивают параметр совокупности, из которой взята выборка. Пример определения доверительного интервала звучит так: «Вероятность перекрытия действительной величины излучения цели интервалом от 3 до 5 квт/стер равна 0,95». Необходимо отметить ошибочность иной формулировки «вероятность того, что истинное значение излучения цели находится в интервале от 3 до 5 квт/стер равна 0,95», так как понятие вероятности относится к интервалу, а не к истинному значению излучения, которое хотя и не известно, но является фиксированной постоянной величиной. Одной из простейших форм доверительного интервала является оценка средней величины для нормального распределения при известном среднеквадратичном отклонении.
Пусть имеется число элементов выборки п и среднее выборки (X). Задача состоит в определении доверительного интервала для среднего значения совокупности, например, |Л при известном стандартном отклонении о. Известно, что
р(р_ 1,96-^= < (X) < р. + 1,96—) = 0,95. (9.1)
Это означает вероятность 0,95 того, что среднее значение выборки находится между значениями ±1,96-^=-. Соотношение может ]/и быть алгебраически изменено:
Р((Х> — 1,96^=-<р<(Х) + 1,96^ = 0,95
с соответствующей формулировкой доверительного интервала —
«вероятность того, что интервал
(Х)± 1,96 перекрывает р, рав-
на 0,95».
Доверительный интервал обычно двусторонний и симметричный (т. е. ±1,96 , а не от—1,9—± до 2—что не сим-
\ У п У П у П
317
метрично^, хотя это ограничение не обязательно. Например, в случае /-распределения, у которого случайные величины распределены нормально, но неизвестно среднее значение и среднеквадратичное отклонение, формула
Р
(9-2)
определяет величину tP, где tP есть отклонение /-распределения, завышенное с вероятностью 1 — Р, a s — среднеквадратичное отклонение для выборки. Детальное рассмотрение /-распределения можно найти в работе [1]. Равенство (9.2) можно переписать следующим образом:
Р
s
(9-3)
Тогда доверительный интервал является вероятностью Р того,
что интервал от (X)—00 перекрывает действительное |/ п
среднее значение р, совокупности. Интервал в этом случае называется односторонним доверительным интервалом. Доверительный интервал для распределений другого вида может быть найден таким же способом. Проиллюстрируем методику для квадратичного распределения на численном примере. Допустим, что измерения излучения произведены на пяти двигателях ракет одного типа и запускавшихся при одинаковых условиях. Будем считать, что сила излучения от двигателя к двигателю распределена по нормальному закону. Определим величину доверительного интервала для среднеквадратичного отклонения истинного распределения при известном среднеквадратичном отклонении выборки. Предположим, что имеется следующая выборка:
Ракета
Сила излучения по результатам измерения, вт/стер
В этом примере
(X) = i2x = 4000’
1
2
3
4
5
2
5 000
2 500
7 000
3 000
2 500
20 000
*2 = 4ГХ*2 —(S*)2 4-1 =3,875.10% 4 о
$= 1 960 —. стер
^2
Но имеет %2-распределение с четырьмя степенями свободы.
Если желательно найти верхний 95%-ный доверительный предел о2, то
Хо,о5) = О,95,
(9.4)
1
318
но Хо,о5 = 0,177 при четырех степенях свободы и
Р(ТЦТТ>°2) = 0-95’
Р (2,38s > о)=0,95,
Р<4660 — > o') = 0,95. (9.5)
у стер )
Таким образом, величина 4660 вт/стер перекроет действительное значение а с вероятностью 95%.
Сила статистической проверки гипотез. В гл. 8 было показано, что при проверке гипотез возможны ошибки двух видов. Гипотеза может быть отвергнута, когда она верна (ошибка I рода) или она может быть принята, будучи неверной (ошибка II рода). При вычислении ошибки II рода должны быть сформулированы одна или несколько альтернативных гипотез. Сила статистической проверки определяется как вероятность избежать ошибку II рода (т. е. единица минус вероятность ошибки II рода) при определенной альтернативной гипотезе. Например, из нормальной совокупности со среднеквадратичным отклонением о взята выборка и желательно проверить гипотезу, что среднее совокупности есть при альтернативной гипотезе, что это среднее есть т1 + Д. Правило решения таково, что гипотеза принимается, если среднее выборки X<zK и вероятность ошибки I рода есть а. Уравнение для определения /С
ОО (-^—ТП|)2Л
/ г-
а = \ е dx, (9.6)
Л
где а есть вероятность того, что при истинном среднем сово-купности, равном как утверждает гипотеза, (X) станет больше К (в результате чего гипотеза будет отвергнута), причем среднеквадратичное отклонение (Х)для п членов выборки а __
равно у-. Сила этой проверки (является ли при аль-
тернативе Wj+A равна
оо _ (*—”4—Д)2
С —
1-р= -И-е « dx, (9.7)
где 1—0 есть вероятность того, что (X) < К (гипотеза принята), когда истинное значение среднего есть mi + А. Величина 0 есть вероятность ошибки II рода. На рис. 9.7 сила проверки (является ли (Х)<СХ) показана в функции альтернативной гипотезы относительно среднего. Можно видеть, что по мере увеличения расстояния между основным гипотетическим значением среднего /пх и альтернативной
319
гипотезой т сила проверки увеличивается до 1, а вероятность ошибки II рода уменьшается. Функция, подобная показанной на рис. 9.7, может быть весьма полезной при определении размера выборки, необходимой для обеспечения достаточно малых значений вероятностей ошибок I и II рода. Предположим в предыдущем примере, что сила проверки должна быть равна 0,95 для альтернативной гипотезы, состоящей в том, что среднее совокупности равно + А. Число 1,645 есть нормальное отклонение, наблюдаемое с вероят-
«CL 1,0
t 0,5-
I /
0 т1 гщ + Ь Действительное среднее значение большой партии, т
Рис. 9.8. Рабочая характеристика (ОС) и потери принятия в зависимости отпроцента брака.
Рис. 9.7. Функция силы статистических проверок гипотезы.
ностью 0,05, тогда можно вычислить требуемое соотношение между А, Д’ и п, считая а = (J = 0,05. Из уравнений (9.6) и (9.7) имеем
= 1,645, К— , (9.8)
п
(т1+Ь — К)/(<у/У'п) = 1,645, К—т1—^= — 1,645(ст/ /п). (9.9)
Вычитая (9.9) из (9.8), получим
Д = 3,29-^г или п = 3,29 4-= 10,82^-.
У п Д Д2
Это означает, что если разница между гипотетическим средним и альтернативой т1 + А равна величине среднеквадратичного отклонения, то для обеспечения вероятности ошибок I и II рода на уровне 5% (для ошибки каждого рода) достаточна выборка из 11 измерений. Невозможно одновременно уменьшать вероятность ошибок I и II рода, с одной стороны, и размер выборки п, с другой. Если одна величина увеличивается, другая должна уменьшаться.
Другой способ определения функции силы проверки основывается на рабочих характеристиках (см. гл. 8), которые строятся как функция р (а не 1 — р) в зависимости от альтернативной гипотезы. Эта кривая удобна при определении общей стоимости партии, которая складывается из стоимости пробной партии (пропорциональной п) при принятии некондиционных изделий и стоимости отказа от хороших изделий. Анализ поясняется рис. 9.8. Если некоторый 320
процент брака возможен в равной мере, общая ожидаемая стоимость принятия равна произведению двух кривых, проинтегрированному от 0 до 100%. Убыток при отказе и стоимость пробной партии также необходимо рассмотреть, при этом оптимальное число п определяется из условия минимизации общей стоимости.
9.4. Надежность
Надежность системы или ее элемента может быть определена как вероятность нормальной их работы в течение определенного времени в заданных условиях. В простейшем случае спайки контактов требование к работоспособности может состоять в том, чтобы сопротивление оставалось менее 1 ом. Это означает, что спайка не должна разъединиться в течение обусловленного срока службы. Из приведенного определения ясно, что надежность — это не просто качество системы или ее элемента, но параметр, зависящий от времени работы и окружающих условий. Рассмотрим, например, сопротивление на номинальное напряжение 200 в, используемое в двух различных системах.
Система I — напряжение на сопротивлении 200 в и сопротивление должно работать удовлетворительно в течение периода времени 7\ = 5 мин.
Система II — напряжение на сопротивлении 100 вп требуемое время удовлетворительной работы Т2 = 2,5 мин. Для многих деталей, включая сопротивления, характерно уменьшение вероятности отказа при условии работы с нагрузками, меньшими максимальных. Работа элемента в облегченном режиме является одним из средств-повышения надежности. Обращаясь к приведенному примеру, предположим, что сопротивление с одинаковой вероятностью может перегореть в любой интервал времени и что интенсивность отказов равна 10 отказов в час, когда сопротивления находятся под номинальным напряжением 200 в. Необходимо учесть, что распределение отказов подчиняется закону Пуассона, упоминавшемуся в гл. 8. Предположим далее, что такое же сопротивление, работающее в облегченном режиме (при 100 в, система II), имеет интенсивность отказов X = 6. Легко показать, что надежность R может быть вычислена для сопротивления каждой системы следующим образом:
Система I:
60 = 0,43.
Система II:
_______________6 у о 5 ^2 = е“х^=е 60 ’ =0,78.
Следовательно, одинаковые сопротивления имеют надежность 0,43 при работе в условиях системы I и надежность 0,78 — в системе II. В приведенном примере безоговорочно принято, что обе системы находятся в одинаковых условиях, таких, как вибрации,
321
температура, ударные нагрузки и влажность. Если такие условия будут отличаться, то интенсивность отказов и Х2 будет разной не только за счет разных напряжений. Сказанное поясняет, насколько много проблем встречается при определении надежности.
Сведения об интенсивности отказов электронного оборудования составляются для различных окружающих условий, но иногда бывают и неизвестны. Для электронных и механических компонентов инфракрасных систем можно указать три типа отказов, обладаю-
щих разным распределением: начальные отказы, отказы в результате износа и случайные отказы. Начальные отказы появляются вскоре-после начала работы элемента. Отказы от
Наработка
Рис. 9.9. Кривая частоты отказов по нормальному закону.
износа появляются после некоторого периода эксплуатации и являются следствием истирания, усталости, химических изменений и других явлений. Для отказа от износа характерно постепенное ухудшение характеристик, приводящее к полному отказу. Случайные отказы характеризуются равной вероятностью появления в любой интервал времени, т. е. система также может отказать в первые пять минут работы,
как и в течение пяти минут после тысячи часов эксплуатации.
Статистика начальных отказов очень
проста. Она определяется вероятностью для элемента пережить период начальных отказов, и, таким образом, равна 1 — /?1. Начальные отказы таких изделий, как электронные лампы, иногда исключаются путем предварительной
эксплуатации до установки в аппаратуру или, как иногда говорят, путем отжига. Процесс отжига хотя и позволяет исключить начальные отказы, не влияет на случайные отказы (они не зависят от времени), но повышает вероятность отказов от износа. Следовательно, сравнительную оценку вероятности трех типов отказов целесообразно давать до отжига. Далее будут рассмотрены отказы от износа и случайные отказы.
Эксплуатационные отказы. Вероятность того, что отказ от износа произойдет в интервал времени t + dt после начала работы, обычно представляется нормальным распределением или логарифмом нормального распределения. Если среднее время до отказа представлено величиной Tw и среднеквадратичное отклонение времени отказа тогда плотность распределения времен отказов определяется формулой
(Z~^w)2
/w(0d/= 20- dt- (9.10)
\ У 2лада )
Соответствующая кривая представлена на рис. 9.9. Хотя во многих случаях распределение эксплуатационных отказов подчиняет
322
ся нормальному закону, возможны отклонения от него. К тому же нелогично аппроксимировать нормальным законом кривую распределения в пределах от — оо до + оо, предполагая определенную вероятность отрицательного времени. Если —<3, часто можно улучшить представление распределения отказов, используя логарифм нормального распределения. В таком распределении вместо случайной величины нормально распределен ее логарифм. Если считать, что ТоДл/ распределено нормально, плотность вероятности отказов выразится формулой
m2
К t \2
2 I П Т I
fwdt=---^-e 2о- w' dt, (9.11)
где I изменяется от 0 до оо
Ожидаемое значение t в формуле (9.11) находится из соотношения
(§(t)=Twe2Tw , (9.12)
а среднеквадратичное отклонение — по формуле
Интересно отметить, что, если Tw aw, то ожидаемое значение и среднеквадратичное отклонение времен отказов приобретают значения
Таким образом, если среднее время Tw эксплуатационных отказов более чем в три раза превышает стандартное отклонение считая от момента времени t — 0, для описания статистики отказов может быть применен нормальный или логарифмически-нормаль-ный закон. На рис. 9.10, а, б, в показано, насколько близко совпадают нормальное и логарифмически-нормальное распределения при достаточно большом значении отношения
Распределение отказов от износа для элементов электронного оборудования должно вычисляться эмпирически по наблюдению времени отказов нескольких деталей, обследуемых в заданных условиях. Полученные результаты аппроксимируются подходящим рас-
323
пределением и используются для разумного предсказания степени успешной работы детали в системе. После получения кривой плотности распределения производится дальнейший анализ,эксплуатационных отказов в зависимости от условий работы. Например, пред-
----нормальное распределение ----Ln нормального распределения
Наработка Наработка
Рис. 9.10. Сравнение нормального и логарифмиче-ски-нормального распределения для нескольких значений Tw и aw.
положим, что условия, в которых будет работать элемент, известны, но полное время действия системы неизвестно. Если затем предпо-
Рис. 9.И. Соотношение частоты отказов и продолжительности работы.
ложить, что время наработки нормально распределено около среднего времени Тт со среднеквадратичным отклонением ситуацию можно изобразить с помощью кривых рис. 9.11. Можно видеть, что для произвольного времени t элемент будет работать удовлетворительно при условии, что продолжительность работы не превышает времени отказа.
Если время наработки (рис. 9.11)
представлено площадью В, а время отказа площадью А, то элемент выйдет из строя в назначенное время. Математически надежность R элемента есть
произведение вероятности отказа в определенное время tf на вероятность того, что время действия tm не превысит значение tf.
оо _ if t j _ ? m
R= f I —7=e dtmdtf (9-I4>
_Лада/2я J00a^/2’t f
Уравнение может быть решено графически, на вычислительной машине или с помощью приближенного выражения для больших X [2]:
ОО
[ е~хг dX & е~х‘ • (9-15)
X
324
На рис. 9.12 представлено графическое решение уравнения (9.14). Пунктирная кривая означает произведение двух сплошных кривых, как требует уравнение, а надежность 7? представлена заштрихованной площадью. Если время действия известно и постоянно, но ускорение меняется от цикла к циклу, надежность может быть охарактеризована кривыми, подобными изображенным на рис. 9.13.
Случайные (внезапные) отказы. Наиболее опасным видом отказов современных устройств является внезапный отказ. Принимаются серьезные меры к тому, чтобы предотвратить эксплуатацион-
ные отказы элементов, подверженных этому явлению под действием окружающих условий во время заданного цикла действий. Исклю-
Вероятность того, что продолжительность цикла работы станет меньше t
Наработка
Рис. 9.12. Графическое определение надежности.
Частота возникновения
Ускорение
Рис. 9.13. Влияние перегрузок на надежность.
чение или уменьшение эксплуатационных отказов уменьшает также внезапные отказы — главную причину ненадежности. Внезапные отказы можно оценивать или величиной интенсивности отказов, или наработкой, иногда называемой средним временем безотказной работы Т%:
Будем считать при дальнейшем рассмотрении, что плотность вероятности отказов от износа задана. Для внезапных отказов плотность вероятности можно вычислить. Вероятность внезапного отказа элемента в интервал времени t + dt есть произведение вероятности того, что элемент прослужит срок t, на условную вероятность того, что, прослужив время t, он откажет в последующее время dt. Вторая вероятность (отказа во время dt после наработки t) равна
(9.16)
1 R
для малого интервала dt.
Первая вероятность (что элемент прослужит время /) есть
t j_
(1 — hdtyt = (1 — . (9.17)
\ 1 RJ
325
Плотность вероятности внезапных отказов
FRbt= 1
5/ X’sT" 77; л
(9.18)
что в пределе дает
1 - — FRdt=^e TRdt. (9.19)
1 R
Плотность вероятности изображена на рис. 9.14, где видно отличие распределения внезапных отказов от распределения эксплуатационных отказов.
Наработка
Рис. 9.14. Экспоненциальная кривая отказов.
Внезапные отказы Зксплуатац. отказы
Результи-' рующая\ крибая
Наработка
Рис. 9.15. Совместное действие случайных отказов и эксплуатационных отказов.
Необходимо отметить, что общая плотность вероятности отказов не может быть получена простым сложением. Общая вероятность отказа для интервала t + dt есть вероятность того, что ни внезапный отказ, ни отказ от износа не произошли за время t, умноженная на вероятность случайного отказа или отказа от износа за последующее время dt. Математически распределение частоты отказов по-обеим причинам выражается формулой
(9.20)
Результат графически изображен на рис. 9.15.
Теперь можно вычислить надежность системы из многих элементов, подверженных внезапным отказам. Предположим, что имеется П/ элементов типа / и что имеется т типов элементов. Допустим, что для каждого элемента типа / интенсивность отказов равна X и что надежная работа системы зависит от каждого элемента. Распределение общей интенсивности отказов есть вероятность не произойти 326
ни одному отказу за время t, умноженная на вероятность того, что какой-либо элемент откажет за время t + dt-.
fRdt = (e-x*/)">(e-M)n!... ... +nmKmdt), (9.21)
fRdt=e~ ?ni ‘ (2 rij 1,-) dt (9.22)
или, полагая
ПуХ?=Л,
fRdt=z~M\dt. (9.23)
Для вычисления вероятности внезапных отказов нужно сложить интенсивности отказов элементов. Надежность системы за время t
Распространенной единицей измерения является бит. Бит — процент отказов на Если все компоненты системы находятся в темы вычисляется сложением бит каждого компонента по формуле общее число битх 10~® X
интенсивности отказов миллион часов работы, работе, надежность сис-
Звено 1
Звено 2
Звено 3
где t измеряется в часах.
Если, например, требуется обеспечить надежность 0,9 на 1000 час, допустимое общее число бит равно:
общее число бит х Ю-8 х X 103 = 0,1,
общее число бит = 10 000. Если для каждого элемента интенсивность отказов равна 10 бит, то система не должна состоять более чем из 1000 эле
Рис. 9.16. Пример резервирования: а —последовательное соединение; б —добавление резервного звена.
ментов.
Одним из средств повышения надежности является резервирование, т. е. параллельное соединение элементов на случай замены вышедших из строя. Для примера рассмотрим три одинаковых элемента, соединенных последовательно. При отказе одного элемента система выходит из строя. Если интенсивность отказов каждого элемента равна %, то надежность системы равна е~зх/. Предположим теперь, как показано на рис. 9.16, что в резерв придан четвертый элемент. Теперь достаточно, чтобы работал только второй или только четвертый элемент, чтобы система не вышла из строя. Выражение для надежности содержит теперь член, представляющий пуассонову вероятность того, что произошел один или ни одного отказа:
е_х/+тге~х/=е_х/(1+^-
(9.24)
327
Таким образом, общая надежность равна при последовательном соединении е~зх/, при резервировании е~х/(1+Х/)е_2Х/=е~зх*(1+Л/).
Преимущество резервирования выражено членом 1 + М. Большинство систем состоит из ряда параллельных и последовательных соединений элементов и нуждается в детальном анализе.
9.5. Вероятность поражения
В гл. 8 при рассмотрении теории вероятностей обсуждены три вида распределений — биномиальное, пуассоново и нормальное. Эти распределения представляют основной интерес и применяются при разработке инфракрасных систем различных типов. В этом параграфе будет дополнительно рассмотрено несколько распределений, имеющих особый интерес для анализа операций, связанных с вероятностью поражения. Описываемые здесь методы применимы, например, для анализа эффективности снарядов с инфракрасными головками самонаведения.
Круговое нормальное распределение, иногда называемое распределением Рэлея, имеет равные среднеквадратичные отклонения при среднем значении, равном нулю. Двумерное нормальное распределение
/ 1 42 (**+y,)
f (х; у) dxdy = (—— | е 2а‘ dxdy (9.25) \а у 2тс/
может быть преобразовано в круговое нормальное распределение приведением к полярным координатам (г, 9) и интегрированием по 6 от 0 до 2л. Круговое нормальное распределение имеет вид
р (г) dr — е 2a‘ dr.
(9.26)
При этом функция распределения имеет удобное выражение
г -At
P(R) = J p(r)dr = 1 — e 2°J. (9.27)
о
Определяя круг равных вероятностей как круг такого радиуса Ro,5> для которого Р(7?)=О,5, получим
R2 ^0,5
0,5 = 1 — е- '257 , (9.28)
7?0,5=ст/21п2= 1,177ст. (9-29)
328
Если использовать вместо о круг равных вероятностей как параметр, характеризующий рассеяние, то существует следующее интересное выражение для P(R):
IV_
P(R) — 1 — 0,5 Л°’5. (9.30)
Это соотношение часто используется при анализе вероятностей поражения ракетами. Если считать, что цель круглая и величины промахов ракет имеют круговое нормальное распределение, тогда применимо равенство (9.30) и можно убедиться в том, что если радиус цели R равен R0.5, вероятность поражения равна 1/2. Если R = =27?о,5, вероятность поражения будет 15/16. Если средние значения двух нормальных распределений, образующих круговое нормальное распределение, оба отличны от нуля, имеет место смещение. Если ось X направлена так, что на ней находится общее среднее а, вероятность поражения круглого диска радиуса R равна
Я2 (х-а)«+у«
Pft=JJ-2^e 2°’ dxdy
(9.31)
и может быть вычислена с помощью функций Бесселя.
Во многих практических случаях удобен более короткий путь решения, с помощью так называемой диффузной цели Неймана. Для цели в виде сплошного диска вероятность поражения может быть записана в следующем виде:
р _ р>если х2+У2 Р2> к (0, если х2+у2 > R2.
С другой стороны, для диффузной цели известно
Хг+уг
P(kD) = е «2
Интересно отметить, что
оо оо
J J Pkdxdy=aR2 = J [P(kD)dxdy,
—оо —ОО
(9.32)
(9.33)
(9.34)
где /?2 — площадь поражения в обоих методах. Диффузная цель часто физически более реальна, чем диск. Самолет, например, с его многочисленными и разбросанными уязвимыми местами (баки, силовые установки и т. д.) больше соответствует диффузной цели. Преимущество введения диффузной цели можно усмотреть, заменив такой целью диск в равенстве (9.31).
329
Для диффузной цели
Р<О) =
2па2 6
(х-о)2+у2 х2у2 R‘ dxdy,
2а2
p(D) __ R2
Гк /?2^2а2
а2 е «2+2а2
(9.35)
(9.36)
Уравнение (9.36) дает вероятность поражения в компактной, удобной для применения форме.
Одним из применений метода является оценка действия инфракрасных координаторов ракет, когда способ наведения (например, чистая погоня) за счет ограничения возможных перегрузок ракет на конечном этапе приведет к неслучайному смещению, сохраняющемуся от пуска к пуску. Из равенства (9.36) видно, что даже при среднеквадратичном отклонении о, доведенном до нуля, вероятность —О2
поражения определяется величиной е R*. Отличие от нуля величины а и ее возрастание увеличивают вероятность поражения (принцип тот же, что при стрельбе из ружья). Плохо нацеленная винтовка никогда не поразит цель, но плохо нацеленное ружье, заряженное дробью, иногда может поразить. Оптимальное значение о выражается формулой
о2 = 4 (a?-R2).
Теория игр. Во многих случаях конструкция инфракрасной системы предназначается для использования без противодействия. Система конструируется после того, как заданы условия работы. Однако существуют такие области применения, в которых инфракрасная система может оказать влияние на стратегию противника в такой мере, что условия работы существенно изменяются и система оказывается не приспособленной к ним. Эго можно пояснить на примере.
Предположим, что требуется сконструировать инфракрасное устройство для прицельной системы дальнего перехвата. Пусть целью является высотно-скоростной бомбардировщик.На большой скорости имеет место значительное излучение цели и поэтому чувствительность инфракрасного устройства не так важна, как поле зрения. Если противнику известно, что на перехватчике установлена инфракрасная система, повышающая его эффективность, бомбардировщик может пойти на малой высоте, несмотря на худшие условия обнаружения с него наземных целей и больший расход горючего, чем на большей высоте. В этих условиях инфракрасная система может оказаться полностью или почти не нужной. При этом хотя и можно заставить противника увеличить расход средств для достижения той же эффективности, однако для противника остается возможность выигрыша, если рассмотреть игровую ситуацию один на один. Задачи такого типа рассматриваются в теории игр.
330
Теория игр развита Нейманом [3] и в современной интерпретации — Мак-Кинси [4]. Теория игр при создании инфракрасных систем используется нечасто. Когда она применяется, анализ проводится в расчете на двух игроков и методика такого анализа хорошо известна. Имеется два отправных положения в постановке игровой задачи. Первое заключается в составлении платежной матрицы. Каждая строка матрицы соответствует стратегии игрока Л. Колонки соответствуют стратегии игрока В или противника. Элементы Ptj матрицы обозначают величину платежа игрока В игроку Л, если Л выбрал стратегию/, а игрок В — стратегию /. На приводимой таблице показан вариант игры с участием, с одной стороны, инфракрасного устройства, а с другой—цели, по которой она работает,— бомбардировщика. Предположим, что платеж производится в некоторых произвольных единицах, например «игрок» В платит «игроку» Л за нанесенные последним повреждения. Если игрок Л разработал и применил только высотный пеленгатор, игрок В должен платить десять единиц при полете на большой высоте, но только единицу при полете на малой высоте и т. д.
Следующее положение теории игр состоит в принципе минимакса, предполагающего, что каждый игрок рассчитывает на минимиза-
цию его максимальных потерь.
Если игрок минимизирует свои максимальные потери, он знает, что больше не потеряет. Если при этом противник применит не минимаксную стратегию, то первый игрок потеряет меньше (выиграет больше). Посмотрим на приведенный пример с точки зрения игрока Л. Если игрок Л выбирает стратегию 1 (первая строка), в худшем случае он получает одну единицу. Если выбирает стратегию 2— в худшем случае он получает 4 единицы, следовательно, его минимаксная стратегия — вто-
В выполняет полет на большой высоте В выполняет полет на малой высоте
А разрабатывает высотный ИК пеленгатор . .
А разрабатывает высотный пеленгатор, применяемый и на малых высотах . . . .
рая. Теперь посмотрим с точки зрения игрока В. Он будет
платить в худших случаях 10 или 4 единицы, в зависимости от выбора первой или второй стратегии. По-видимому, он выберет вторую стратегию и игра определится. Стратег Л будет создавать инфракрасный пеленгатор, пригодный для малых высот, а стратег В будет летать на малой высоте и платить 4 единицы. Как говорят, игра имеет седловую точку, когда минимаксный элемент игрока Л совпадает с минимаксным элементом игрока В.
Когда седловой точки нет, стратегии должны рассматриваться с позиции теории вероятностей. Читатель может ознакомиться с анализами таких и подобных игр в работе [4].
331
9.6. Графический анализ
В предыдущих параграфах описаны аналитические методы решения часто возникающих задач. Кроме них имеются математические и статистические способы, иногда весьма отвлеченные, которые могут служить анализу операций. Однако необходимо учитывать, что операционный «орешек» не всегда может быть расколот аналитическим «молотком», иначе говоря средства и время, затраченные на анализ операций, должны оправдываться качеством допущений и окончательным результатом. Часто для получения хороших результатов и обоснованных требований к инфракрасной системе могут привлекаться простые средства.
• Одним из наиболее часто применяемых способов являются графические методы. Пример использования графиков для анализа операций приведен в начале главы. Была создана модель тактической обстановки с указанием границ, определяющих требования к инфракрасному прицельному устройству. Графические построения позволили оценить ширину коридора и тем самым — оптимальные параметры системы. Наиболее наглядно графический метод может быть пояснен на примере.
Пример. Требуется создать инфракрасную систему для обнаружения со спутника запусков баллистических ракет. Конфигурация- системы будет зависеть от многих факторов, но наиболее важными являются два следующих: 1. Сколько должно быть спутников?
2. Какова взаимосвязь между числом применяемых спутников с дальностью обнаружения?
Ответы на эти вопросы зависят от большого числа условий, включая вопрос о точности вывода и удержания спутника на орбите. Решение этой проблемы является типичным
примером использования графических средств для составления технических требований.
Допустим, что к системе предъявлены следующие требования:
1) устройства обнаружения спутника должны просматривать все возможные пуски до горизонта;
2) сообщения о запуске ракет должны немедленно передаваться на наземные станции, которые могут находить-
(мнбича
Рис. 9.17. Карта с прямоугольной координатной сеткой.
ся за горизонтом;
3) орбиты спутников должны быть круговыми и должны находиться в плоскости полюсов для уменьшения орбитальной прецессии.
За основу графических построений для этого примера примем карту в виде прямоугольной координатной сетки (рис. 9.17). Достоинства такой карты состоят в том, что орбиты спутников изображаются прямыми линиями; скорости прохождения широт постоянны вследствие движения спутников по кругу; скорости по долготе также постоянны вследствие равномерного вращения Земли. Результирующая траектория спутника на поверхности Земли изображается прямой линией, направление которой зависит от высоты
332
спутника. На рис. 9.18 показаны, например, орбиты спутников с 24-час периодом обращения (высоты —30 000 км) и 90-лшн периодом обращения (высота '—400 км).
Другим достоинством прямоугольной карты для разведывательных спутников с круговыми полярными орбитами является возможность при про-
извольно выбранном времени поместить спутник в любую точку карты. На рис. 9.19 показан пример использования карты. Зададим положение разведываемой стартовой площадки и наземной станции контроля. Заштрихованные (в одну сторону) площади обозначают соответственно зоны возможного обнаружения и передачи сообщения. Перекрывающиеся площади соот-
ветствуют зонам, в которых Л тт
спутник должен обнаруживать Рис. 9.18. Наземные проекции траектории пуск ракеты и тут же переда- спутников с полярными орбитами.
вать сообщение на наземную
станцию. Если спутник запущен в случайную точку орбиты или сместился
случайным образом, находясь на орбите, вероятность обнаружения цели (одним спутником, находящимся в зоне обнаружения и передачи сообщения)
Станция приема сообщений
180 120°Н \60°W 0*
Место запуска ракеты 60°Е / 120°Е 180'
ЕТуЪ зоны сообщений зоны обнаружения
Рис. 9.19. Зона наблюдения и передачи сообщения для орбитальных систем.
равна отношению перекрывающихся площадей ко всей площади карты. Если это отношение равно fx, тогда вероятность того, что хотя бы один спутник из п находится в зоне обнаружения, равна
= 1 — (1 —/!)«. (9.37)
Это вероятность того, что не все спутники находятся вне зоны обнаружения и передачи сообщений. В завершение анализа нужно сопоставить вес системы с дальностью обнаружения (при постоянной вероятности ложной тревоги); высоту орбиты нужно сопоставить с числом спутников, необходимых для некоторого уровня перекрытия f. Стоимость систем обнаружения, запуска и обслуживания нужно сопоставить с числом спутников в системе разведки. На рис. 9.20 показана методика такого сопоставления. С ро
333
стом числа спутников растет их стоимость и стоимость систем обеспечения. Когда число спутников мало, увеличение веса системы обнаружения для большей дальности и с большей высоты приведет к более дорогим ракетам. Существует некоторый оптимум, который указывает не только число спутников, но также и их рабочие высоты, а следовательно, и дальности обнаружения при соответствующем весе инфракрасной системы.
Таким образом, инфракрасную систему обнаружения можно считать частично оптимизированной.
Число
Рис. 9.20. Зависимость потребного числа спутников от дальности действия и стоимости.
Для анализа операции возможны и другие графические методы. Графические методы экономят время, однако нужно иметь в виду относительную неточность их по сравнению с аналитическим рассмотрением.
ПЛАНИРОВАНИЕ АНАЛИЗА ОПЕРАЦИЙ
9.7. Формулировка задачи
Для анализа операций, как и для всякого исследования, прежде всего нужно сформулировать задачу. Хотя это положение тривиально, вряд ли нужно доказывать, что многие исследования обрекаются на провал именно при постановке задачи. Изящный математический анализ, изощренная оптимизация и безукоризненное оформление результатов — все это оказывается напрасным, если решается неверно поставленная задача. В инфракрасной технике, как и в других инженерных и научных областях, существует много очевидных признаков неверной постановки задач. Примером могут служить многократные попытки создать радиометр для получения статистических характеристик облачного фона. Целью таких измерений является получение и оценка’ спектра Винера для фона. Спектр Винера (детально обсуждаемый в гл. 11) является двумерным спектром мощности излучения фона в функции волнового числа пространственной частоты. Он используется для создания оптимальной конструкции растра и для оценки числа ложных тревог от фона. Все это, ко
334
нечно, связано со значительными трудностями. Необходимы следующие три условия для того, чтобы спектр Винера был правильно получен и применен для решения упомянутых задач. Распределение излучения облаков должно быть нормальным, эргодическим и стационарным. После того, как радиометр сконструирован, выбрана методика измерений и обработки результатов (по соображениям достижения наибольшей точности), могут оказаться недостаточно обоснованными упомянутые свойства фона (особенно в части нормального распределения) и нельзя будет с уверенностью считать, насколько полезен полученный спектр Винера. Чтобы избежать этого, необходимо формулировать задачу, понимая влияние условий и допущений на результаты измерений, а не просто старить отвлеченное требование «оценить спектр Винера».
Чрезмерно сложные и дорогие инфракрасные системы (когда это не вызвано необходимостью) получаются в результате неправильно поставленных требований. Необходимо отметить, что нечеткие формулировки потенциально наиболее опасны, так как не поддаются своевременному выявлению. Если требования к системе изложены четко в письменном виде, удобном для просмотра, можно избежать лишних расходов, лишней траты времени, качество системы будет лучше.
Редко удается начать с формулировки задачи, выполнить анализ операций, сконструировать систему и оставить формулировку задачи без изменения. По мере выполнения проекта, на каждом этапе возможны коррективы и получается так, что формулировка задачи завершается одновременно с окончанием анализа или эскизного проектирования. Это замечание сделано с целью подчеркнуть важность четкой документальной постановки задачи, чтобы облегчить изменения, если они окажутся необходимыми или желательными. Необходимо не поддаться искушению исследовать доступные вопросы и игнорировать трудные. Часто проблемы, трудно поддающиеся анализу, наиболее важны и поэтому заслуживают особого внимания.
Можно предложить три основных правила, которыми инженеры, выполняющие анализ операций и проектирование, могут пользоваться для оценки правильности постановки задачи.
Согласно первому правилу нужно установить предполагаемые функции инфракрасной системы. Каков объем операций? Будет ли система использоваться как измерительный прибор для накопления данных, как самостоятельное средство в боевой задаче или как часть комплекса взаимосвязанных систем? Предположим, например, что требуется создать инфракрасное прицельное устройство для перехватчика и задача сформулирована так, что должна быть выбрана конструкция, обеспечивающая высокую вероятность обнаружения и атаки конкретной цели.
Если на истребителе применяется радиолокатор и требования не настолько доработаны, чтобы охватить совместную работу радио- и инфракрасной систем, анализ операций может оказаться бес
335
полезным. Если, например, анализ операций проводится только для инфракрасной системы и конструкция оптимизируется с помощью анализа границ, описанного ранее, устройство окажется плохим. Инфракрасная система может дополнить радиолокатор в условиях противодействия, и это будет ценнее, чем самостоятельное обнаружение цели. Поэтому вопрос о функциях системы должен быть решен на стадии составления требований, так как его трудно пересматривать на стадии проектирования. Тщетно, например, создавать прицельную инфракрасную систему для действия по конкретной цели и выявить в конце проектирования, что простейшее противодействие или тактический прием сводят ее действие на нет. Система должна проектироваться для борьбы с противником, а не ради удовлетворения требованиям.
Второе правило контроля требований заключается в том, чтобы из постановки задачи была видна возможность ее решения. Требования, записанные в общей форме, многим кажутся достаточными, но все же оказываются предметом спора. Инженер-проектировщик, принявший требования, не должен удивляться, если результат анализа операций окажется неудовлетворительным. Поэтому требования должны показывать, в какой степени возможности будущей системы смогут быть оценены в результате проведения анализа.
Третьим пунктом проверки требований является вопрос, насколько полно можно решить задачу конструирования. Позволит ли ответ на поставленную задачу принять решение о системе? Или он просто предложит новые проблемы? Часто при конструировании инфракрасной системы анализ операций используется не только как основа для решения, но как руководство к использованию системы или как средство сравнения с другими системами аналогичного назначения. Все это нужно учитывать при постановке задачи.
В заключение следует сказать, что постановка задачи не должна запутывать анализ операций. Нужно помнить о трех обстоятельствах при составлении требований:
1) круг поднимаемых вопросов должен быть достаточно широким, чтобы охватить взаимодействие важнейших систем;
2) задача должна быть поставлена четко и ясно, чтобы обеспечить взаимопонимание специалистов по анализу, проектировщиков и всех, кто имеет отношение к проекту;
3) требования должны открывать простор для решения задачи конструирования, а полученные по ним результаты — использоваться для описания работы системы или как основа для сравнения с конкурирующей альтернативой.
9.8. Мера эффективности
После разработки и согласования требований необходимо определить одну или несколько мер эффективности системы.
Мера эффективности — это величина, численно выражающая ожидаемую полезность системы в выполнении поставленной задачи
336
и соответствующая общему целевому назначению системы. В рассматривавшемся выше примере с инфракрасной системой истребителя-перехватчика мерой эффективности являлась вероятнось того, что истребитель обнаружит цель и выберет правильный курс атаки только по данным инфракрасной системы. Постановка задачи, если ее изложить яснее и в законченном виде, требует установления более полных мер эффективности. Меры эффективности должны быть выбраны так, чтобы оценить все наиболее важные элементы системы. В типичной схеме конструирования инфракрасного пеленгатора нужно иметь возможность в численном-виде представить выгоду увеличения чувствительности, времени кадра, поля зрения и надежности или выгоду уменьшения времени кадра и веса. Иногда, если можно применить единую меру эффективности (например, в виде общей стоимости системы для конкретной задачи), система может быть оптимизирована по этому параметру. Более часто встречаются противоречивые меры эффективности, которые нельзя количественно объединить одной величиной, и конструктивное решение должно достигаться на основе компромисса. Во всяком случае, важно знать, как влияют изменения параметров на способность системы выполнять заданные функции.
Как и следует ожидать, возможен длинный список мер эффективности для инфракрасных систем. К некоторым из них относятся:
— дальность обнаружения,
— вероятность обнаружения,
— объем информации,
— вес системы при конкретном назначении,
— вероятность противостоять контрмерам (помехам),
— разрешающая способность,
— точность,
— число систем для перекрытия разведываемой поверхности. Основой этих и других мер эффективности является стоимость получения каждой меры.
9.9. Моделирование
После формулировки задачи и выбора мер эффективности следующим шагом является создание модели системы. В такую модель включаются все элементы, соответствующие реальному устройству и существенно влияющие на конструкцию инфракрасной системы и ее работу, а также исключаются несущественные связи. Комплекс элементов (структурная схема) перестраивается так, чтобы максимально облегчить решение на модели. Модель может быть действующей конструкцией, а также математической или стохастической схемой* Если модель действующая, производится качественный ее анализ. Наиболее часто создается математическая модель, в которой все действия описываются системой уравнений и граничными условиями. Выходные данные получаются при соответствующих входных параметрах. Стохастическая модель привлекается в том случае,
12 Зак. 1502 337
когда исходные уравнения учитывают случайный характер входных величин. При таком моделировании инфракрасных систем составляют систему уравнений, охватывающих взаимозависимость параметров. Для этого необходимо тесное взаимодействие исследователей операций с конструкторами инфракрасных систем. Анализируя составленную систему уравнений, в которых обычно определяющую роль играют стоимость или вес, стремятся определить оптимальные параметры системы, которые в принципе не могут быть превзойдены при заданных требованиях.
9.10. Анализ доброкачественности выводов
После моделирования перед тем, как определить окончательно детальный состав аппаратуры, следует провести весьма важный, но часто недооцениваемый анализ «чувствительности» выводов к принятым допущениям. При этом оценивается возможный диапазон изменения принятых допущений и проверяется, как эти изменения в возможных диапазонах влияют на принятые конструктивные решения. Если решение не меняется, можно сказать, что оно нечувствительно к допущениям. Если решение меняется существенно, может оказаться необходимым пересмотр ошибочных допущений и выполнение дополнительного анализа, чтобы сузить область неопределенности параметров.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
D — ширина коридора при наведении перехватчика;
$(t) — ожидаемое значение /;
/х — вероятность перекрытия цели одним спутником;
fn — вероятность перекрытия хотя бы одним из спутников; fw(t) — плотность распределения эксплуатационных отказов во времени;
К — номер решения;
mx; m1+A — гипотетические средние для совокупности;
п — число элементов выборки;
п — число спутников;
Р — вероятность;
7?; 7?х; Р2\ 7?з ;Т?4 — дальности обнаружения;
7?; 7?х; Т?2 — надежности;
7?; г — расстояние по радиусу;
7?0 5 — радиус круга равных вероятностей;
s — среднеквадратичное отклонение выборки;
Тх; Т2 — требуемое время наработки;
Tw — среднее время эксплуатационных отказов;
tp — отклонение в ^-распределении, ожидаемое с вероятностью 1 — Р\
W — вес пеленгатора;
<Х> — математическое ожидание выборки;
а — вероятность ошибки I рода;
₽ — вероятность ошибки II рода;
0 — угол поля зрения;
6 — направление радиуса вектора;
Хх, ^2 — интенсивность отказов;
338
Л — интенсивность отказов системы;
fi — среднее генеральной совокупности (серии);
а — среднеквадратичное отклонение серии;
aw — среднеквадратичное отклонение времени отказов;
Хо 05 — отклонение в -/^-распределении, ожидаемое с вероятностью 0,95;
<р — курсовой угол цели для перехватчика (ср — 0 соответствует атаке в лоб).
Л ИТЕРАТУРА
1. Н а 1 d A. Statistical theory with engineering applications. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1952.
2. F e 1 1 e r W. An introduction to probability theory and its applications. 2-d ed., v. 1. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1957.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. «Мир», 1964.
3. Von Neumann J., О. Morgenstern. Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1947.
4. McKinsey J. С. C. Introduction to the theory of games. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1952.
Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. Физматгиз, 1960.
Общие руководства
Churchman С. W., Р. L. А с к о f f, Е. L. А г п о f f. An introduction to operations research. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1957.
Morse P. M., G . E. Kimball. Methods of operations research. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1952.
M о p з Ф. M. и К и м б e л л Д. К- Методы исследования операций. Изд-во «Советское радио», 1956.
Вентцель Е. С. Введение в исследование операций. Изд-во «Советское радио», 1964.
12*
-—ГЛАВА 10
СЛУЧАЙНЫЕ ФЛЮКТУАЦИИ
СТАТИСТИКА ШУМОВ
10.1. Природа и значение шума
г
^лово шум в повседневном употреблении может быть определено как нежелательный мешающий звук. Использование этого слова в электронике, вероятно, началось с момента появления радиосвязи, когда в наушниках начали прослушиваться треск внешних помех и свист вследствие случайных токов в приемнике. Для усиления приемником слабого сигнала, принятого антенной от удаленного передатчика, до величины, необходимой для прослушивания, приходится полностью вводить регулятор усиления. При этом шумы усиливаются так же, как слабый сигнал. Если сигнал будет очень слабым, то его невозможно будет прослушать через шум.
Эта глава посвящена шумам, ограничивающим основные характеристики инфракрасных систем путем искажения информации, которую системы должны представлять оператору или передавать к следящей системе. Выходной сигнал обычно не воспринимается на слух, поэтому в тех случаях, когда приходится сталкиваться с шумом, он рассматривается не в форме случайных звуковых волн, а в форме случайных токов, напряжений или механических движений, существующих внутри системы. Соображения по анализу шумов описаны более подробно в гл. 13, но для предварительного знакомства с этим вопросом ниже будут приведены некоторые примеры, связанные с учетом шумов.
При разработке аппаратуры обычно требуется рассчитать величину шумов, которая будет маскировать небольшие сигналы так, что оператор не сможет различить их на экране осциллографа, или величину шумов, которая будет искажать характеристики системы наведения так сильно, что вероятность промаха превзойдет допустимые пределы. Определенная величина шумов в установках связи будет приводить к тому, что переданная речь станет неразборчивой. Системы обнаружения обычно выдают сигнал о наличии цели по результатам измерения пикового напряжения. Если при этом будут наблюдаться большие шумы, то сигнал о наличии цели часто будет ошибочным. Предел разрешения дальномера тоже зависит от величины имеющихся шумов и т. п. Полное решение этих проблем обычно не ограничивается расчетом отношения сигнал/шум, но этот расчет почти всегда требуется как промежуточный шаг.
340
Другой подход к оценке шумов осуществляется через его связь с ошибками измерений. Если производится ряд измерений некоторой величины, то каждый отсчет будет отличаться на некоторую величину от средней величины, полученной по результатам всех отсчетов. Обычно эти погрешности рассматриваются как следствие ряда не поддающихся точному контролю условий проведения эксперимента, которые воздействуют случайно и почти полностью определяют точность отдельных результатов. При этом предполагается, что погрешность каждого измерения не зависит от погрешностей других*) и при этом одинаково часто встречаются погрешности, уве-личивающие и уменьшающие отдельные отсчеты. В связи с этим ясно, что погрешность измерений можно уменьшить, повторяя измерения несколько раз и усредняя результаты или, если отсчеты постепенно изменяются, то путем вычерчивания наилучшего спрямляющего графика, проходящего через экспериментальные точки.
В этой главе будет показано, как эти соображения используются для исследования сигнала инфракрасных систем при наличии шумов. Ниже будут рассмотрены случайность, степень независимости и средние числовые характеристики напряжения шумов и будет показано, что их влияние может быть уменьшено путем увеличения времени усреднения напряжения до такой продолжительности, которая возможна, исходя из требований к системе. Эту главу начнем с определения характеристик шумов, которые необходимы для их описания; затем будет приведено описание физической природы различных видов шумов и в конце главы будет рассмотрено несколько инфракрасных приемников и усилительных устройств, чтобы проиллюстрировать использование общей теории и сравнить результаты расчетов с данными опытов. Изложение основывается на положениях теории вероятностей, рассмотренных в гл. 8, и послужит введением к рассмотрению случайных процессов, происходящих в электронных схемах инфракрасных систем (гл. 11) и в системах в целом (гл. 13).
10.2. Характеристики случайных шумов
Шум, о котором идет речь в этой главе, будет выражаться в виде случайного напряжения или тока в электрических цепях или в виде случайных сил или скоростей в механических системах. В большинстве случаев для определенности будет рассматриваться напряжение шумов даже в тех случаях, где на равных основаниях может быть использован ток. Случайное напряжение будет описываться или аппроксимироваться для математического анализа случайной функцией времени. Эта функция будет изменяться во времени в том смысле, что ее величина от момента к моменту может
*) Возможны, конечно, и систематические погрешности, которые увеличивают или уменьшают отсчеты, но они всегда изменяют величину в одну сторону.
341
быть различна; но она будет оставаться неизменной во времени в том смысле, что ее статистические характеристики будут оставаться постоянными. Согласно определениям, рассмотренным в гл. 8, шум будет одномерным непрерывным стохастическим процессом (с одной случайной переменной) в функции времени как его непрерывного параметра. Эта модель очень удобна для аналитического описания и обычно является хорошей аппроксимацией истинных физических состояний в течение разумного периода наблюдения, хотя она, конечно, не может предсказать, как протекал случайный процесс в прошлом у конкретной вакуумной лампы, полупроводникового прибора или инфракрасного приемника или будут ли сохраняться те же характеристики в будущем.
Шумовой процесс может также считаться членом эргодического ансамбля, хотя это удобное математическое предположение может часто не оправдываться на практике. Например, процесс может быть моделью шума, генерируемого установкой с несколькими приемниками одного и того же типа, устанавливаемыми в систему. Практически невероятно, чтобы шумы, генерируемые различными приемниками, имели бы совершенно одинаковый спектр амплитуд или мощностей. Однако предположение, что статистическое среднее, полученное по выходным сигналам нескольких приемников в одно и то же время, равно тому же среднему, полученному по выходному сигналу одного и того же приемника, но в разные моменты времени, является удобным и обычно не будет приводить к существенным ошибкам.
Амплитуда напряжения шумов для любого момента времени будет случайной величиной, которая может быть предсказана или рассчитана только статистически. В гл. 8 такая случайная величина описана амплитудной функцией плотности вероятности р(ц)*}, которая определяется как
p(v)dv = вероятности того, что напряжение v'(0 в момент t имеет величину
vv' v + dv. (Ю.1)
При исследовании физических причин возникновения шумового напряжения в последующих параграфах этой главы будет показано, что все они возникают вследствие суперпозиции множества незначительных событий**), нормально распределенных по времени наблюдения. Все эти причины-события имеют величину одного и того же порядка. Это необходимое условие требуется для того, чтобы соблюдалась центральная предельная теорема, описанная в гл. 8. Резуль
*) Эту функцию называют также плотностью распределения или дифференциальным законом распределения случайной величины v. (Прим. ред).
**) Существуют и другие явления, вызывающие шумы, например прерывистое разрушение и восстановление определенного сорта электролитических конденсаторов. Шумы этого вида упоминаются в § 10.14.
342
тирующая амплитудная функция плотности вероятностей является кривой Гаусса
р(^у = (тЫехр (10-2)
Обычно имеется бесконечно много событий, ведущих как к отрицательному бесконечно малому приращению шумов, так и к положительному, так что средняя величина приращения при этом будет равна нулю. Стандартное отклонение обычно называется в литературе по шумам среднеквадратичным отклонением
а = (у2)1/2. (Ю.З)
Уравнение (10.2) не ограничивает максимальную или минимальную величину v. Поэтому величина v может быть взята любой произвольно большой величины. Выражение «пиковый шум», которое иногда употребляется в описании характеристик систем, не имеет точного смысла. Однако величина p(v)dv очень быстро уменьшается с увеличением отношения поэтому большие отклонения величины напряжения шумов появляются очень редко. В большинстве справочников или книг с математическими таблицами (см., например, [1]) приведены таблицы значений функции
/IX / /2 \
ф(0 = (—к=)ехР( —-у-| (Ю.4)
и ее интеграл от 0 до х. Функция <р(/) очевидно соответствует функции р(и), у которой v/a заменено переменной t. Эти таблицы показывают, что вероятность того, что случайный отсчет отклоняется от среднего больше, чем на Зо, составляет всего лишь (1,000—0,9975)100 = = 0,25%. Необходимо произвести 1/(1—0,9996)^25 000 наблюдений, чтобы появился один отсчет, отклоняющийся больше чем на 3,5 о от среднего. Из изложенного очевидно, что не очень правильно говорить о «пиковом шуме», а можно лишь утверждать, что вероятность появления напряжения шумов с отклонением от среднего, превосходящим среднеквадратичное отклонение в три или четыре раза, очень мала.
10.3. Ширина полосы и спектральная плотность шумов
Многие электрические и механические цепи линейны в том смысле, как это описано в приложении А. Анализ таких цепей очень удобно производить с помощью преобразования Фурье или Лапласа. Техника выполнения преобразований детально рассмотрена во многих учебниках (см., например, [2]), а их приложение к теории шумов можно найти в работах [6, 7, 8]. Некоторые вопросы применения этого метода описываются в гл. 11. Для изложения вопросов, составляющих содержание настоящей главы, необходимо рассмотреть и использовать некоторые результаты теории.
343
Если напряжение шумов v(Z), представляет квадратично интегрируемую функцию в интервале —
т
J vz(t)dt = К<<х>, (10.5)
-т
тогда напряжение
у(/) = Р(/) — Г</<Г (Ю.6)
( 0 в остальных точках
имеет преобразование Фурье
т
У (/) — J v (/) ехр (— /2л//) dt,
Y (ш) = J у (/) ехр (— /«>/) dt. (10.7)
Величина у(/) или и(/) измеряется в вольтах (амперах или динах), а величина У(/)— в вольтсекундах или в вольтах на герц. Интеграл функции и2(/) пропорционален энергии, которая выделяется в цепи за время 2Т (равен энергии, которая выделяется в цепи с сопротивлением 1 ом за время 2Т). То же можно сказать и об интеграле от IW:
оо оо
J|y(/)|2d/= \Y(u)\zdf. (А.И)
—ОО —оо
Можно также показать, что интеграл от | Y (<в) |2 в небольшом интервале частот служит мерой энергии этих частотных составляющих в этом интервале. Если разделить | Y (<в) |2 на 2Т, то получим скорость изменения энергии, т. е. мощность. Более точно
fo+Af/2
ТП^НтгЛ/ J <\Y(u)\2>df (10.8)
Af-°O fo-Af/2
является функцией со0 и называется спектром плотности мощности*) v(t). Она измеряется в квадратных вольтах на герц и служит мерой плотности мощности в небольшой области частот около со0. Интеграл от №(со0) в рассматриваемой полосе частот пропорционален мощности в этой полосе. В частности, если №((о0) почти постоянная величина в полосе частот А/, то мощность на этих частотах пропорциональна №(со0)А/, а среднеквадратичное значение равно
(A/))V2 = (о)0) А/} 1 /2 =const y\f. (10.9)
*) Название «спектр плотности мощности» менее пригодно, если исходной величиной является не напряжение или ток, а, например, число фотонов. В таких случаях используется термин «спектр Винера».
344
Если напряжение шумов воздействует на цепь, передаточная функция которой (отношение выходного напряжения ко входному на чатоте со) равна
то спектр плотности мощности V2 (ш) равен
(Ю.Ю)
В частности, если цепь имеет экспоненциальную передаточную функцию, т. е. при входном импульсном сигнале выходной затухает по экспоненте, причем за время, равное постоянной времени цепи т, он уменьшается в е раз от своей исходной величины, то
А И = ’
Если (со) постоянна, то эта функция станет
Полученная функция имеет максимум при со = 0 и уменьшается до половины максимальной величины при со = 1/т или / = 1/2лт. Рассмотренные соотношения иллюстрируют общее правило, которое гласит, что эффективная ширина полосы частот низкочастотного фильтра является величиной, примерно обратной постоянной времени цепи или, иначе, времени наблюдения:
А 1
А/«2^- (Ю.П)
Из уравнения (10.9) видно, что для постоянного спектра плотности мощности среднеквадратичное напряжение шумов пропорционально корню квадратному из ширины полосы частот А/, а согласно уравнению (10.11) среднеквадратичное отклонение обратно пропорционально корню квадратному из времени наблюдения. Это аналогично уменьшению случайной экспериментальной ошибки при усреднении отсчетов. Оба факта являются частными случаями общего статистического закона (Арлей и Бух [3]), из которого следует, что среднеквадратичное отклонение ряда v независимых наблюдений одной и той же случайной величины меньше в Vv раз, чем среднеквадратичное отклонение одного наблюдения. В следующем параграфе будет показано, что требование постоянства №(со0) эквивалентно независимости наблюдений.
12В Зак. 1502
345
Сужение полосы частот с помощью фильтра, имеющего полосу пропускания А/, и усреднение за период А/ = ^глА/ совершенно эквивалентны, и то и другое может привести к уменьшению амплитуды шумов. Более подробно это явление будет рассмотрено в гл. 13.
10.4. Корреляция
В предыдущем параграфе было упомянуто о том, что большие амплитуды шумов встречаются очень редко. Важно при оценке влияния шума на характеристики системы знать, с какой частотой следуют большие амплитуды одна за другой. Многие проблемы такого рода не могут быть решены [4], однако ценным методом выяснения таких вопросов можно считать рассмотрение двумерной функции плотности вероятности (гл. 8) для двух величин амплитуд шума, встречающихся в два различных момента времени:
Р 1^1 (^i)> v2 dv2 есть совместная вероятность того, что в момент времени tr случайная величина v\ (/) лежит в промежутке (vi, vi+dv), а случайная величина в момент времени t2— в промежутке (v2, v2+dv).
Можно показать [5], что эта функция плотности вероятностей приближенно описывается двумерным законом распределения Гаусса при условии, что p(v) имеет гауссово распределение, т. е.
P(V1' = 2.(аМ-к2^),/2 Х
/ 1 у? — У1У27?12— 02^1^21 + ^2 а2 \
X exp — v —-— ------------- ,
\ а1 а2 — ^12 ^21 /
где
al = <yb> =
О2=ЛУ2>, #21 = (^2^1)-
Если, как мы предполагали в § 10.2, процесс стационарен, то
of = al = <y2 и Я12=Я21=Я(/2 — Л) = К(з), (10.12)
V2 а2 — 2Vi V2 R + 02 а2 а4 —
(10.13)
Совместная плотность вероятностей амплитуд для двух моментов времени дается уравнением (10.13) в функции среднеквадратичного отклонения о и величины R(t2 — которая обычно называется автокорреляционной функцией [6]. Можно показать [7], что совместная плотность вероятностей трех или более амплитуд может 346
быть также выражена в функции а и R, что является интересным и важным фактом при анализе стационарных гауссовых шумов.
Уравнение (10.13) может быть записано в другой форме, как
О (Vi, V,) — -------Г77 х
/V 27 2ка2(1 — р2)1/2
/ Р? и2 \
| 1 ~4-~2vlV2P+-i |
X exp у —----j——2------— ) , (10.14)
где
Р И2 — к) -------2--------^2-(ф----• (Ю. 10)
Во-первых, рассмотрим свойства величины р, называемой коэффициентом автокорреляции шума, для того чтобы понять его смысл. Величина p(s) является мерой статистической связи + + s) с Vi(ti). Если s = 0, то выражение (10.15) станет равным p(s) = 1, указывая на абсолютную связь v2 с В предельном случае они могут быть просто одинаковы (равны между собой). Для всех других sp(s)Cl. (Это свойство доказывается во многих учебниках, см., например, [4, 6, 71.) Это происходит из-за усреднения, которое приводит к тому, что особенно большие величины и v2/o будут учтены соответственно с малыми весами. Второй факт также согласуется с интуитивным представлением о корреляции, согласно которому корреляция напряжений в разные моменты времени будет обычно меньше единицы.
Кроме этого, из симметрии выражения функции коэффициента корреляции ясно, что
p(S) = p(-S). (10.16)
Корреляция двух случайных значений не зависит (для стационарных шумов) от произвольного выбора порядка их следования. Хорошо известно также, что если два напряжения имеют среднюю величину, равную нулю, и связаны между собой случайным образом, то их коэффициент автокорреляции будет уменьшаться с увеличением s, но обратное утверждение не совсем верно. Два напряжения могут иметь коэффициент корреляции, близкий к нулю, как раз из-за их специфической связи.
Рассмотрим «несколько примеров, которые помогут уяснить вышеизложенное. Сначала положим, что v(t) постоянно и равно и0-Тогда p(s) = 1 для всех величин s, так как известно, что v(f) = const и одно измерение этой величины определяет ее значение в любой момент времени.
В качестве второго примера предположим, что v(t) = A sin со/, тогда легко установить, что p(s) = cos cos. Этот пример показывает, что автокорреляционный коэффициент периодичной функции также периодичен. Заметим, что p(s) равно единице при s = 0, а также
12В* 347
при cos — 2пп, где п — любое целое число. Совершенно ясно, что , ч (2n+D« а
,p(s) равно нулю при cos = —. Здесь встречается случаи, когда коэффициент автокорреляции равен нулю, даже несмотря на то, что v2(Z + s) полностью определяется через fi(0- Это получается потому, что
1) тс"
2 о)
Р
Л2 / ТС Г \
= ( sin2 <4 cos у + sin cos <в/ sin у у .
Первый член в среднем равен нулю. Усреднение второго члена по всем значениям величин и v2 при фиксированном значении s равносильно усреднению по со/ от — л до л с коэффициентом
Рис. 10.1. Первый тип случайной прямоугольной волны напряжения Райса (а); второй тип случайной прямоугольной волны Райса (б); автокорреляционная функция для случая а (в); автокорреляционная функция для случая б (г).
1 ж
2^. Эта функция нечетна и ее интеграл равен нулю.
В этих двух примерах рассмотрены временные функции; два других примера даются Райсом [9]. В первом примере рассматриваются случайные импульсы напряжения прямоугольной формы с амплитудой ± 1 в; положительные и отрицательные половины периода независимы и имеют случайную длину, распределенную экспоненциально со средней величиной ц. Автокорреляционный коэффициент для этого случая
p(s) = ехр ( — |1|s|).
Эти случайные импульсы напряжения прямоугольной формы представлены на рис. 10.1.
Второй тип случайного напряжения прямоугольной формы имеет постоянную величину полупериода Г; величина напряжения в каждом интервале Т не зависит от величины напряжения всех других интервалов и также равна ± 1 в. Это напряжение прямоугольной формы тоже показано на рис. 10.1. Оно имеет коэффициент автокорреляции
р (s) •-
1-^L; |s|<7\
0 в остальных точках.
Этот пример показывает весьма искусственную функцию, в которой корреляция существует (хотя постепенно и уменьшается) на конеч-
348
Рис. 10.2. Двумерная функция плотности распределения вероятностей Гаусса р (^/^1, У2/а2, р) 2ла2.
ном отрезке равном половине периода. Две точки, разделенные большим интервалом, чем этот, имеют по предположению независимые амплитуды и поэтому их средняя величина равна нулю
<»i (0 v2 (/+$))=0.
Корреляция от s = 0 к s = Т уменьшается, потому что вероятность изменения уровня для случайно расположенной величины s возрастает.
Два последних примера более типичны для шумов, чем первые два.
В дальнейшем интересно исследовать влияние p(s) на двумерную функцию плотности вероятности p(ylt v2) в уравнении (10.14). Эта зависимость представлена на рис. 10.2 для пяти пар значений vjo, v2/u и изменения коэффициента автокорреляции р от 0 до 1. Самая верхняя кривая получается при
-^=^- = 0. а а
Видно, что увеличение корреляции между V! и v2 увеличивает плотность вероятности для равенства обеих величин нулю. Кривая резко возрастает при р = 1. Вторая кривая соответствует ^/о 0 и
v2/o — 1. Эта кривая всегда идет ниже первой, поскольку вероятность того, что отклонение от среднего нулевого значения одной из величин v равно а, при некотором определенном значении коэффициента корреляции р меньше, чем вероятность нулевых отклонений для обоих напряжений. С увеличением р эта кривая вначале мало изменяется, затем после р = 0,5
быстро убывает, так как невероятно, что сильно коррелированные напряжения гауссова шума будут принимать значения, отличающиеся на величину среднеквадратичного отклонения. Третья кривая для vju = v2/u = 1 проходит значительно ниже, чем первые две, так как теперь оба напряжения отличаются от нулевой величины. Она идет вверх в области высоких коэффициентов корреляции, потому что величины отклонений равны друг другу. Нижние две кривые соответствуют vjo = 0, v2/o = 3 и vje = 1, v2/g' = 3. Одно из напряжений первой кривой ближе к среднему значению, чем для второй кривой, поэтому при малых коэффициентах корреляции первая кривая идет выше. Однако при увеличении р она спадает быстрее, потому что значения и v2 для нее отличаются сильнее, чем для второй, и при больших коэффициентах корреляции вероятность случая, которому соответствует вторая кривая, выше.
349
10.5. Спектральная плотность и корреляция
В § 10.4 были рассмотрены функции плотности совместных вероятностей для пар (и большего числа) последовательных амплитуд шума. Из приведенного рассмотрения видно, что подобные функции плотности совместных вероятностей описывают вероятность появления определенных отклонений случайной величины в функции времени. Они позволяют оценить по вероятности появления одной какой-либо амплитуды вероятность появления следующей и, следовательно, дают представление о скорости флюктуаций шумов. Кроме того, было установлено, что особенности поведения функции плотности совместных вероятностей определяются коэффициентом автокорреляции или его более сложной формой — автокорреляционной функцией.
В § 10.3 упоминалось, что для рассмотрения напряжения шумов применяется анализ Фурье, и было дано определение спектра плотности мощности шума, который описывает количественное распределение мощности шума по частотам.
Таким образом, частоту можно использовать просто как переменную для описания скорости, с которой изменяются временные функции. Очевидно, должна быть связь между спектром плотности мощности шумового процесса и его автокорреляционной функцией. Действительно, можно показать (см., например, [4, 6, 7, 8], а также приложение А), что эти две характеристики связаны преобразова нием Фурье:
оо
7?(т)= J И7 (/) ехр (/2л/т) df, (10.17)
—ОО
W (/) = J R (т) ехр (— /2л/т) dr. (10.18)
—ОО
Уравнения (10.17) и (10.18) являются одними из наиболее важных соотношений, характеризующих шум. Во многих случаях легче понять физику корреляции, чем произвести непосредственно частотный анализ. В других случаях легче рассмотреть форму спектра мощности, даже если конечной целью является установление корреляционных связей.
Метод использования спектра мощности связан с теми преимуществами, которые выявляются при применении преобразования Фурье этого спектра для анализа линейных систем. Сначала производят преобразование импульсной характеристики цепи, а затем вычисляют спектр мощности выходного сигнала умножением спектра мощности входного сигнала на квадрат этого преобразования. Очень часто для получения выходной функции корреляции нет необходимости применять обратное преобразование к найденному выходному спектру сигнала; необходимую информацию может обеспечить простое исследование или интегрирование части выходного спектра.
350
Эта относительно простая операция заменяет сложные интегралы свертки, которые необходимо вычислять, если весь анализ выполняется посредством использования автокоррреляционной функции.
Важным частным случаем использования упомянутого соотношения между автокорреляционной функцией и спектром плотности мощности является случай отсутствия корреляции (за исключением, конечно, двух отсчетов, взятых в одно и то же время):
7?(s) = K2S(s), W(f) = K2,
где К2 является постоянной, измеряемой в единицах напряжения в квадрате, т. е. спектр плотности мощности некоррелированного шума постоянный на всех частотах. (На практике должен быть коэффициент, уменьшающий W(f) на очень высоких частотах так, чтобы выполнялось условие
оо
J W(f)df = (v*(t))<oo.
—оо
Таким коэффициентом является —hf/kt— 1 ’ » обусловленный теми же причинами, которые дают аналогичный коэффициент в спектре излучения абсолютно черного тела, рассмотренного в гл. 2. Эти причины будут более четко установлены в § 10.9.)
Соотношение между спектром плотности мощности и автокорреляционной функцией имеет также большое теоретическое значение при анализе экспериментов по определению автокорреляционной функции или спектра мощности [9]. Можно показать, что определение спектра, данное выше, не всегда пригодно для измерения спектральной плотности мощности. Предел Т->оо дает возможность произвести оценку №(со0), которая приближается к точному среднему значению, но дисперсия при этом может быть бесконечной. Но все же использование уравнения (10.18) всегда дает удовлетворительный результат. Нужно отметить, что в литературе по этому вопросу приводятся различные формы спектра плотности мощности и его связь с автокорреляционной функцией. Некоторые авторы предпочитают не употреблять понятия мощности при отрицательных частотах, которые включает выражение:
Мощность = J W (2л f) df.
—оо
Следовательно, они определяют спектр плотности мощности по выражению
Мощность = J S (f) df. о
Это приводит к асимметрии в соотношении между спектром плотности мощности и автокорреляционной функцией. Авторы предпо-
351
ТАБЛИЦА 10.1
Двусторонняя плотность мощности* Односторонняя плотность мощности Ряд Фурье
У(о = Г(0’ (0, в остальных точках х(0= (о<0, о<<<г [0, в остальных точках ( V (t)t 0 < t < T z(t)^ = ] (0, в остальных точках
У (f) = j у(/)е-/2к// dt — ОО оо X (/) = j X (/) е-/2к^ dt, f>0 0 Z« = 4-J ^()^~!2ПП‘/Т 0
У (0 (=) J Y (/) el2nf‘ df — ОО оо X (t) (=) j X (/) e,2"ft df, t > 0 — oo z(0(=) 2 zn^nt'T n== — oo
~7^S 2Т Д/ Х д/-о ±Ж/2Д/ Х\ f |П/)|М/ X±f-t/2Af 7 ,>0 T->oo X 2 / Qn = (Z„ Z^
Продолжение
Двусторонняя плотность мощности Односторонняя плотность мощнности Ряд Фурье
Я (s) = lim X Т-оо т ~Т ' ф (s) = lim X Г—»oo т х / 4- f ‘(MW*} X 1 j / 0 T C(S) = ^~ f z(t)z(t+s)dt') X 1 / 0
00 W (/) = j R (s) е-/2^$ ds — 00 oo 5 (/) = 4 J tp (s) cos 2rcfs ds, f > 0 0 oo T 2 <2„ = Х J ?A^nts,Tds n= — (X) 0
00 fl(s) = J U7 (/) ei2*ts df — 00 00 ф (s) = J S (/) cos 2itfs df 0 C(s)= 2 <Znz"n)e-f2^T П- — 00
00 <У2(0> = J —oo 00 <*2(0> = ^S(f)df 0 <г2(0>= S {ZnZ*n} П— — О0
00 on oo * Форма, используемая в этой книге. ♦♦ Предполагается что z (0 не имеет постоянной составляющей (средняя величина равна нулю).
лагают, что интегрирование по отрицательным величинам f в обратном преобразовании Фурье не устранимо, даже если его устранить из спектра мощности.
Для удобства сравнения различные, употреблявшиеся в литературе ранее и применяемые теперь формы записи спектров приведены в табл. 10.1. Кроме выражений, приведенных в таблице, возможны и другие выражения, но они обычно отличаются незначительно, например, использованием б/(о/2л вместо df. Все эти формы представления точны и выбор какого-либо одного выражения—дело вкуса.
ФИЗИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ ШУМОВ
При изучении давления в газах, температуры твердых тел и других аналогичных проблем становится ясно, что наблюдаемое поведение этих сложных систем может быть объяснено как результат совместного действия множества мелких причин. Например, давление, производимое газом на стенки сосуда, в котором он заключен, следует рассматривать как среднее суммарное воздействие множества молекул газа, ударяющихся о стенку. Любое подобное явление, которое является суммарным эффектом множества небольших воздействий, будет подвержено флюктуациям, потому что фактическое число всех составляющих флюктуирует около средней величины от одного момента к другому. В последующих параграфах будет рассмотрено генерирование и прохождение электрического тока, обусловленного движением многих носителей, каждый из которых несет небольшой электрический заряд. Эти токи будут флюктуировать именно потому, что они обусловлены большим, но не совсем постоянным числом носителей. Очень удобно сгруппировать отдельные флюктуационные эффекты в три класса. В § 10.6, 10.7 и 10.8 будут рассматриваться флюктуации систем, находящихся в статическом термодинамическом равновесии. Примерами могут служить флюктуации скорости электронов в сопротивлениях, которые вызывают тепловые шумы (Найквиста) и флюктуации в угловом положении зеркала гальванометра из-за флюктуаций числа ударяющихся о него молекул газа.
В частности, в§ 10.8 описаны основные результаты, полученные Колленом и Белтоном [10] и применимые к любым линейным рассеивающим системам, находящимся в равновесии. В § 10.9 и 10.12 будут описаны системы, находящиеся в динамическом равновесии, такие, как вакуумные лампы или полупроводниковые приборы, через которые протекает ток, и фотоприемники — счетчики квантов, облучаемые пучком фотонов. Общая теория, применяемая здесь, является статистической теорией флюктуаций плотности, основные положения которой изложены в § 10.10.
В § 10.15 дается представление о шумовых явлениях, которые возникают из-за дефектов в микроструктуре твердых тел, таких, как поверхностные утечки мимо переходов в полупроводниковых приборах.
354
10.6. Броуновское движение
Предположим, что зеркало гальванометра подвешено в закрытом сосуде с газом. Никакие электрические импульсы на гальванометр не воздействуют. В положении равновесия зеркало находится под воздействием сил упругости. Для того чтобы оно отклонилось на угол 0, требуется начальный момент G0. Любая термодинамическая система поддерживается в положении равновесия при температуре Т, если она изолируется от внешних воздействий.
Ниже показано, что зеркало будет совершать маленькие (нерегулярные) случайные движения под воздействием ударов молекул газа. Термодинамические системы в состоянии равновесия подробно рассматриваются в книгах по статистической механике (см., например, [11]). Известно, что энергия kT (где k — постоянная Больцмана) соответствует любой степени свободы системы, которая может иметь потенциальную и кинетическую энергию. Энергия запасается попеременно в двух формах, преобразующихся друг в друга со скоростью, ограничиваемой затуханием, вносимым трением или электрическим сопротивлением. Средняя энергия любой формы равна kTI2. Например, если среднеквадратичное отклонение зеркала гальванометра равно (О2), тогда средняя величина потенциальной энергии равна
4-g<02)=^,
так что
<е2)=^. (ю.19)
Уравнение (10.19) показывает, что амплитуда перемещения зависит только от жесткости пружины и не зависит от затухания F или инерции J гальванометра. Уравнение движения устройства может быть записано в виде
J0+Fe+G0=A(O, (10.20)
где h(f) является случайной силой, обусловленной молекулярной бомбардировкой. Произведя преобразование Фурье обеих сторон уравнения, получим
0(2л/) [—(2л/)2 7+/2л//’+С]=Я(2л/). (10.21)
Если спектры плотности мощности сил и отклонений обозначить через Гл(<») и We(w), то связь между ними можно записать в виде
Г0 (ш) = /r W2hr{*l_ . (10.22)
х 7 (G — (О2/)2 + (О2г2 4 7
Каждый удар молекулы газа о зеркало изменяет момент в очень короткий промежуток времени. Преобразование воздействия h(t) каждого удара постоянно до очень высоких частот (приложение А).
355
Таким образом, — постоянная величина №0 на всех частотах, которые еще регистрируются зеркалом:
IV7 /. Л _ О
М/0 (ад) — _ ад2^2 + ад2/?2.
Интеграл этого спектра мощности равен (02)
ОО
/02\ — (________________df=-^-,
\ ' J (G — ш2/)2-^2?2 и' 2GF
—ОО
но (Q^ — kT/G, так что спектр мощности равен
Wo = 2kTF. (10.23)
Таким образом, из уравнения (10.22) спектр мощности отклонения дается в зависимости от известных постоянных гальванометра, температуры и постоянной Больцмана в виде
1^е (<») == (G _ _|^ ш2р2 • (10-24)
Соответствующий односторонний спектр может быть получен из уравнения (10.24) путем удвоения величины выражения (10.24).
10.7. Шумы Найквиста
Если сопротивление находится в тепловом равновесии при тем-
пературе Т, то на его зажимах появляется случайное напряжение шумов. Это явление называется шумами Найквиста, шумами Джонсона или тепловыми шумами. Оно может быть проанализировано
Рис. 10.3. Схема для вывода величины шумов Найквиста.
гии, соответствующие найдены, так как в
совершенно так же, как броуновское движение зеркала гальванометра [12].
Рассмотрим цепь, показанную на рис. 10.3. Сопротивление подсоединяется параллельно колебательному контуру. Эта схема имеет две степени свободы, из которых одна соответствует потенциальной энергии, запасенной электрическим полем в конденсаторе, а вторая — кинетической энергии, связанной с магнитным полем, которое возникает вследствие протекания тока через индуктивность. Величины энер-этим степеням свободы, могут быть легко качестве граничных условий к уравнению
движения можно взять произвольный заряд конденсатора и произ-
356
вольный ток через индуктивность. Из закона сохранения энергии
4-c<v«(o> = 4z-<z2<o>=4/fe7’’ <10-25)
(^(0) = -^, (10.26)
(i2(/))=^, (10.27)
где v(t) — напряжение на резонансном контуре,
a i(t) — ток, текущий через индуктивность L.
Возмущающая сила, возникающая в сопротивлении, представлена как напряжение генератора vr(t), подсоединенного последовательно с сопротивлением. Уравнение, описывающее поведение цепи, может быть записано в преобразованном виде
/(<о)(— ^LCR+j^L+R)=Vr^). . (10.28)
Уравнение (10.28) имеет такой же вид, как и уравнение (10.21). Электронные флюктуации в сопротивлении R наблюдаются в виде очень коротких импульсов (сравнимых с постоянной времени цепи). Таким образом, спектр плотности мощности vr(t) равен постоянной величине №0, а решение уравнения такое же, как и в § 10.6:
/;2\ _ _ _^о_
v 2 “ L " 2RL
и так как
Л Л _ ________о_________
wi^)~ (R~^LCR)2 + ^L2 ’ то спектр тока через индуктивность равен
= (R — uflLCR)2 + о?/.2 ’ (10.29)
Однако в этом случае 1FO представляет спектр шума сопротивления
Гг(ш)=Г0=2ОТ.
Это выражение обычно очень широко используется.
В своей наиболее общей форме уравнение (10.30) может быть интерпретировано в том смысле, что средний квадрат напряжения в интервале Д/ между частотами — /2 и — fi и fi и А на сопротивлении равен
у2 (Д/) = 2kTR {(/2 - А) + [- f х --(- f2)]} = 4kTR\f
(10.30)
ТАБЛИЦА 10.2
Величина шума Найквиста сопротивления в 1 Мом в полосе 100 гц
Температура, °К Действующее значение шума, мкв
293 1,27
195 1,07
77 0,57
4,2 0,15
357
и, следовательно, среднеквадратичное напряжение в этой полосе частот, которое может быть зарегистрировано на его зажимах, если они не шунтируются каким-либо сопротивлением, равно
[(о2(А/))]1/2=[4^7’/?(/)А/]>/2. (10.31)
Сопротивление 7? записано в виде функции частоты; f считается достаточно узкой по сравнению с любым частотным интервалом, в котором R заметно изменяется. Очень полезно помнить некоторые типичные значения этой величины при расчете параметров усилительных элементов или других низкошумящих цепей. Выражение для эквивалентного генератора случайного тока может быть получено аналогично уравнению (10.31)
[(»г(Д/) >]1/2 = . (10.32)
Все задачи расчета шумов в сопротивлениях в области средних частот можно рассматривать, включая в схему последовательно с сопротивлением генератор напряжения с параметрами, определяемыми уравнением (10.31), и решая уравнения, получившиеся в цепи. Естественно, что генератор тока, определяемый уравнением. (10.32), следует включать параллельно. Можно легко показать,, что эти эквивалентные цепи дают одни и те же количественные результаты, если сопротивление 2 Мом считается состоящим из двух сопротивлений по 1 Мом, соединенных последовательно.
Необходимо отметить, что при очень высоких частотах энергия ^kT, связываемая с каждой степенью свободы системы, приближается к значению hfl(eWkT—1), при этом среднеквадратичное напряжение шумов в области частот между и f2 равно
(У2 (А/)) = 4 f R(f) df. (10.33)
Л
В работе Пирса [12] показано, что если зажимы электрической антенны подсоединяются к сопротивлению и вместе с ним располагаются в замкнутом объеме при температуре Т, то мощность, поступающая к антенне вследствие шумов Найквиста в сопротивлении и излучаемая в замкнутый объем, точно равна излучению абсолютно черного тела, получаемого антенной. Это не так уж удивительно, так как первоначальный метод Найквиста для расчета величины шумов посредством подсоединения сопротивления к идеальной линии передачи очень похож на модель абсолютно черного тела Планка, в которой рассматривается набор связанных гармонических осцилляторов. Это обстоятельство наводит на мысль, что шумы Найквиста могут рассматриваться как проявление излучения абсолютно черного тела.
358
Интересно подчеркнуть сходство уравнений (10.23) и (10.30) и особенно отметить, что заряд электрона и масса молекулы газа не участвуют в уравнениях, определяющих шум. Эти наблюдения показывают, что те же шумы могут быть генерированы непрерывной жидкой средой.
10.8. Температурный (тепловой) шум
Метод, который был применен к анализу броуновского движения и шума Найквиста, может быть обобщен. Коллен и Велтон [101 проанализировали флюктуации диссипативных термодинамических систем с точки зрения квантовой механики. (Диссипативная система в противоположность консервативной способна поглощать энергию, когда она возбуждается периодической силой.) Они нашли, что дифференциальное уравнение движения, возникающего под воздействием обобщенной силы v(t) = V0sincoZ, может быть записано в виде
У(ш) = Z(o)Q((o), (10.34)
где q(f) — реакция системы в обобщенных координатах, a Z(co) — обобщенный комплексный импеданс.
Если система находится в тепловом равновесии, то будут происходить спонтанные флюктуации q(f). Эти флюктуации будут иметь величину
_ <V2> |2|2 ’
т. е. они будут обусловлены обобщенной силой со средним; квадратом величины
ОО
/?()) -df, (10.35)
где R(f)—действительная часть Z(f).
Если температура Т достаточно высока, так что kT hf,. тогда уравнение (10.35) сводится в виду
(о2) = 2kT J R (f) df, (10.36)
—оо
которое использовалось в предыдущих параграфах. Однако при низких температурах или высоких частотах необходимо использовать общую формулу (10.35). Так как 7?((о) должно уменьшаться с увеличением частоты или по крайней мере оставаться постоянной, то эта формула показывает, что спектр мощности обобщенной силы становится очень маленьким при очень больших величинах /. Таким образом, даже если бы системы можно было построить с бесконечно
359-
большой шириной полосы частот, дисперсия флюктуаций их шумов оставалась бы ограниченной. Белого шума со спектром, постоянным на всех частотах, в принципе не существует.
Джонс [13] использовал уравнение (10.35) для анализа небольших температурных флюктуаций, которые являются очень важным источником шума для приемников теплового излучения (гл. 5). Он рассмотрел случай (имеющий место при использовании теплового приемника), когда тело с теплоемкостью С соединяется (в тепловом смысле) проводимостью К с очень большой системой с теплоемкостью
С, » С.
Большая система находится при температуре Т; небольшая система находится при чуть большей температуре Т + 0. Поскольку температура маленькой системы немного превышает Т, то некоторое небольшое количество тепла протекает через /С к большему телу. Теплоемкость Си большего тела предполагается настолько большой, что незначительное количество тепла, которое поступает к нему от малого тела, повышает его температуру на пренебрежимо малую величину. Таким образом, вся система является диссипативной, потому что теплообмен прекращается, когда температура достигает величины Т. Рассмотрим 0 как обобщенную силу, a dS!dt, где S — энтропия (S = dQ/T), как реакцию, соответствующую Q в обозначениях Коллена и Белтона. Система линейна, так как энергия увеличивается по закону
dE = QdS.
Дифференциальное уравнение системы
TI = Т №\ = Ю+с№\, (10.37)
\ Ц, ь J \ *** /
где через I обозначено dS/dt.
Произведя преобразование Фурье, получим
и, следовательно, импеданс равен
у / \ _ О (со) _ Т ______ ТК i^CT па.
L ~ Т(^ ~ К + № ~ К2 + 0)2 С2 № + с2 •
Подставляя действительную часть этого импеданса в уравнение (10.36), получим
W " 2кТ J = • <10-39)
—-ОО
Спектр плотности мощности флюктуации температуры 6 в области средних частот:
= (Ю-40)
360
и спектр шума I=dS/dt:
Wj=2Kk.
Так как мощность дается выражением Р = Т (dS/df) = TI, то ее спектр шума равен
Wp=2KkT*. (10.41)
Ряд подобных результатов может быть получен для высокочастотного участка спектра подстановкой из уравнения (10.38) в уравнение (10.35) вместо уравнения (10.36).
10.9. Дробовой шум
Три предыдущих параграфа были посвящены термодинамическим системам, которые генерируют случайный шум в тех случаях, когда они находятся в условиях теплового равновесия просто потому, что они диссипативные. Следующие четыре параграфа будут посвящены описанию систем, которые находятся в некоторой форме динамического равновесия и генерируют случайный шум. Одной из первых таких систем, которая считается классической, является диод, в котором отсутствует пространственный заряд. Этот вопрос подробно рассмотрен Райсом [8], в специфических деталях для вакуумных диодов — Давенпортом и Рутом [61, а в полупроводниковых диодах — Ван дер Зилом [17] (необходимо отметить, что рассмотренные приборы могут содержать другие источники шумов).
Электроны в катоде вакуумного диода в процессе теплового движения перемещаются с места на место случайным образом. Некоторые из электронов, которые имеют энергию, превосходящую энергию связи с поверхностью материала, испускаются в пространство около катода. Затем они ускоряются в вакуумном пространстве между катодом и анодом электрическим полем, созданным разностью потенциалов, приложенной между электродами прибора. Для увеличения числа электронов, имеющих энергию, достаточную для того, чтобы вырваться из катода, катод нагревают электрическим током до температуры выше, чем окружающая. Освобожденные электроны уносят энергию с катода и, кроме этого, энергия теряется за счет излучения, теплопроводности подводящих ножек и других причин. Следовательно, тепло к катоду должно непрерывно подводиться. Система не находится в тепловом равновесии, потому что к катоду подводится тепловая энергия, а к системе анод — катод— электрическая, создающая поле между электродами. Здесь будет рассмотрен случай, в котором все испускаемые электроны достигают анода. Этот и другие случаи более подробно рассмотрены в работе [6].
В полупроводниковом диоде [15, 16] используется кристалл, в который с двух противоположных концов вводятся присадки’для того, чтобы создать р-п переход (гл. 5). При динамическом равновесии в районе перехода существует пространственный заряд. Элек
361
троны диффундируют из n-примесной области, где они имеют повышенную концентрацию, к р-примесной области в большем количестве, чем в обратном направлении. В результате возникает электрическое поле, которое создает силы, стремящиеся возвратить электроны назад. Равновесие наступает тогда, когда диффузионный поток, возникающий благодаря разности концентрации электронов, сбалансирован током, обусловленным полем. Аналогичное равновесие существует и для дырок. Если приложить внешнее напряжение, то на переходе создается новое поле. Электроны и дырки диффундируют до тех пор, пока не установится новое динамическое равновесие. Через переход текут четыре вида тока: ток, создаваемый дырками, и ток, создаваемый электронами, текущими в каждом направлении. Для простоты обычно рассматривается только один ток, величина которого равна сумме всех четырех токов.
В обоих приборах уменьшение напряжения в прямом направлении приводит к уменьшению тока вследствие нарушения динамического равновесия и баланс потоков восстанавливается путем случайных изменений. В первом случае процесс представляет испускание и поглощение электронов катодом. Во втором случае процесс определяется диффузией через область пространственного заряда вблизи перехода.
При дальнейшем рассмотрении будет предполагаться, что число носителей, испускаемых или диффундирующих в любом интервале времени (t—D, t + D), случайно и независимо от числа носителей в любом другом временном интервале, который не перекрывается с первым. Предполагается также, что среднее число носителей равно 2mD, которое является очень большой величиной
2mD>> 1. (10.42)
Эти условия точно такие же, какие были приняты в гл. 8, где было показано, что вероятность наблюдения точно К событий в интервале длиной 2D равна
= (2mD)K ехр (-2m D). (8,26)
Каждая заряженная частица, ускоряясь во время пролета в вакууме или диффундируя через переход, вызывает некоторый импульс тока во внешней цепи *>. Далее предполагается, что все эти воздействия просто складываются:
k
— (10.43)
k=Q
*) Отметим, что в случае полупроводникового прибора электроны, которые диффундируют из n-области в p-область, по преимуществу выходят во внешнюю цепь с соответствующего зажима прибора, а большинство электронов, которые приходят из p-области в n-область, рекомбинирует с дырками. Электрон покидает затем n-зажим, образуя новую дырку [16]. Однако это не влияет на низкочастотный спектр шума.
362
где h(t — tk) является воздействием носителя заряда, эмитированного из катода или диффундировавшего через переход во время tk. Предполагается также, что шумовой процесс эргодичен и что время наблюдения 2D очень велико по сравнению с длительностью воздействия любого единичного носителя h(t).
Спектр мощности дробового шума достаточно просто находится из автокорреляционной функции. Сначала найдем автокорреляционную функцию, используя введенные выше предположения об эмиссионных или диффузионных процессах, а затем, применяя преобразование Фурье, найдем спектр плотности мощности (приложение А). Сперва предположим, что в интервале (—D, D) эмитируется точно К электронов. Пронумеруем эти электроны от 1 до К в любом произвольном порядке (не обязательно в том порядке, в котором они испускаются катодом или диффундируют через р-п переход во времени). Электрон с номером k с одинаковой вероятностью может вылететь из катода в любом интервале продолжительностью Д/ внутри интервала (—D,D). Вероятность излучения электрона в конкретном интервале (tk, tk + Л/) равна
p(tk) At=At/2D,
а совместная вероятность излучения А-го электрона в интервале tk, tk-\-At и 1-го электрона в интервале /х-|- А/, учитывая независимость этих событий, равна
р(^,/1)Д/ = (^)2 (10.44)
и так далее.
Автокорреляционная функция для этих случайных процессов определяется соотношением
и, используя уравнение (10.43) для i(t), получим
D D D
J d/1 J dt2... J dix X - D — D — D
6=1 <7=1 4
= (l0'45) — D —D —D k= 1 q=\
Двойная сумма в уравнении (10.45) имеет № членов. Из них точно К соответствует перемножению величин h, возникающих вследствие двух разнесенных во времени наблюдений воздействия одного и того же электрона, т. е. tk — tq. Оставшиеся К2 — К членов относятся к произведениям, обусловленным различными электронами tk=/=tq,
363
D
J h(t-tk)h(t-tk+r)^ +
-D dd
+ (№-K) \h(t-tk)d^ [ h(t-tq + x)^ . (10.46) ~D -D
Из первого члена уравнения (10.46) видно, что все вклады, вносимые парами наблюдений одного и того же электрона, одинаковы.
Двойная сумма состоит из К
Ток h
-D
h(t-tk) время t—* в
-D
t,
время t — D
идентичных членов и может быть записана как /<-кратное повторение одного общего члена. Вторая часть уравнения (10.46) состоит из двух независимых выражений, которые можно интегрировать раздельно. Так как hit) является импульсом тока, возникающим вследствие про-
Рис. 10.4. Вклад в автокорреляционную функцию дробовых шумов для двух посылок одного и того же импульса тока. Необходимо отметить, что интеграл произве" дения от —оо до -}-оо такой же самый, как и интеграл от —D до если только tk не
слишком близко к ±D.
лета электрона от одного электрода прибора к другому, то величина интеграла должна равняться е (заряду электрона), а вся вторая часть уравнения равна суммарному пе-
реносимому заряду ОО
2?^(т) = Х J h(a)h(a+r)d£ + f?^-e*. (10.47)
— 00
h(t-tjr) h(t-tk)4
Изменение переменной от tk до а = tk — tn расширение пределов интегрирования по а от —t —D, —t +D до — оо , оо, очевидно, приведет к незначительной ошибке, ’если воздействие электрона h(t) происходит в течение времени более короткого, чем 2D. Это обстоятельство проиллюстрировано рис. 10.4.
Теперь можно опустить предположение о том, что существует точно К электронов в промежутке времени 2D и усреднить уравнение (10.47) по всем возможным величинам /С,
00 К' 00
D / \ V K(2/n D)K t-2mD , .da ,
^o(T)= \ —i--------fl----- j h(a)h(a + x)^ +
K=0 —oo
, VI (№-X)(2mD)K e-2m£>/e \2 _ ф 2j XI \2D) ~
Л=0
сю
= m J h(a) h (а+т) da+m2 e2. (10.48)
—OO
364
Полученное уравнение (10.43), очевидно, является представлением автокорреляционной функции импульса тока, обусловленного электроном, умноженной на среднее число электронов в секунду, плюс величина т2е2, представляющая среднюю мощность. Осуществляя преобразование Фурье этого выражения, получим лг-кратную величину спектральной плотности мощности импульса, вызываемого электроном, и плюс дельта-функцию в начале отсчета, которая не является частью спектра шумов,
W (f) = tn J dr J h(a) h(a-{-r)e~ion da+m2 e26 (f). (10.49)
—oo *—oo
Диапазон изменения а, в котором h(a) не равно нулю (время перехода электрона или дырки от катода к аноду или через переход), обычно мал по сравнению с представляющей интерес обратной величиной частот, поэтому h(a) существует в очень небольшом интервале, и подынтегральное выражение первого члена существует лишь для небольших величин а и т:
W(f)»m / h2 (a) da=me2—e (i). (10.50)
— s
Интересно отметить, что в отличие от уравнения (10.30) уравнение (10.50) включает величину заряда электрона, показывая, что в этом случае шум возникает вследствие того, что ток является потоком дискретных частиц. Единицы, в которых измеряются полученные в уравнении (10.50) величины, — амперы в квадрате на герц. Интеграл в уравнении (10.50) по полосе частот от —/2 Д° —fi и от /1 ДО h имеет соответственно размерность среднего квадрата тока.
10.10. Флюктуации в потоке фотонов
В следующем параграфе будет показано, что флюктуации числа носителей заряда в фотоприемнике являются важным источником шума. Шум возникает частично из-за флюктуаций в скорости генерации носителей тока и частично из-за флюктуации в скорости рекомбинации. Этот шум аналогичен по многим свойствам дробовому шуму. В этом параграфе будет предварительно рассмотрена величина флюктуаций в потоке фотонов.
Рассмотрим схему, приведенную на рис. 10.5. На приемник с чувствительной площадкой А попадают фотоны из двух областей окружающего его пространства. Одна область состоит из охлаждаемой подложки и диафрагмы-экрана; другая область — более нагретые объекты, окружающие приемник, излучение от которых попадает на чувствительную площадку через окно и отверстие в диафрагме. Для типичных рабочих условий приемника температуру окружающего пространства можно считать равной 300 °К. Обычно излучением диафрагмы-экрана можно пренебречь. Плотность фотонов
365
частоты v в излучении, находящемся в равновесии при температуре Т, можно получить из уравнения (2.12):
q, dv = -L Mv = .8-^-----г dv± . (Ю.51)
Из этого числа фотонов лишь Ч4 проходит через поверхность единичного объема в любом направлении. Для случая, показанного на рис. 10.5, число фотонов, испускаемых приемником, пренебрежимо мало. Следовательно, плотность фотонов в-пучке равна
2к\2
7
Рис. 10.5. Устройство для ограничения потока излучения фона падающего на охлаждаемый приемник: /—охлаждаемая диафрагма; 2—вакуум; 3—приемник; 4—холодная подложка; 5—электрический вывод; 6 — окно; 7 —отражающее покрытие; 8 — электрический
q dv V
Т”
гз
—-----. (10.52)
eAv IkT _ j V '
Число фотонов, которые попадают в короткий интервал времени Д/ на элементарную площадку ДЛ, будет заключено в сфере радиуса сДЛ Эти фотоны, приходящие из телесного
угла Ай, расположенного вокруг направления, составляющего угол 0 с нормалью к элементу поверхности АЛ, сосредоточены в коническом объеме
вывод; 9 — криостат.
ссозбАЛАй А/.
Таким образом, общее число квантов равно
N (v) = —-— cos 0 АЛ AQ А/.
v ел^г-1
Для того чтобы найти число фотонов, падающих на всю чувствительную площадку приемника, необходимо проинтегрировать полученное выражение по всем элементарным площадкам АЛ и телесным углам Ай, относящимся к данному приемнику. Эта алгебраическая операция очень утомительна для вычислителя, так как пределы Ай резко зависят от АЛ. Однако есть два интересных частных случая, которые решаются достаточно легко. Когда 0 изменяется от 0 до +л/2 (т. е. экран отсутствует),
2л2(т)2
^(') = 7^ГЛД/- (10‘53)
366
Если приемник очень мал и удален от отверстия в экране, так что все элементы приемника работают аналогично элементу, расположенному в его центре, и если отверстие в экране круглое, а его диаметр составляет угол 2а по отношению к приемнику, то
/ v \2
Л2 (- )
N (v) = (1 — cos 2а) А АЛ (10.54)
В общем можно сказать, что
2к fjL?
N = 1’QA (,0'55)
где Q — геометрический коэффициент, учитывающий соответствующие размеры, форму и расположение приемника и отверстия в диафрагме.
Уравнение (10.55) дает среднее число фотонов за время А/ от окружающей среды, обладающей свойствами черного тела при температуре Т. Излучение, падающее на приемник, может быть и не черным, в этом случае необходимо учесть соответствующие изменения в распределении энергии излучения по спектру
N (v) = 2' . (10.56)
v ’ ^IkT —1 v ’
Обычно интересно оценить флюктуации скорости падающего числа фотонов М = около среднего значения, определяемого уравнением (10.56). Для абсолютно черного тела эти флюктуации даются соотношениями
<[M(;,/)AvA/-(M(v))AvA<2) = ,
Коэффициент 1/(1 —е“Л^г) в уравнении (10.57) получается из квантовой теории излучения. Согласно этой теории фотоны одной и той же частоты v лишены индивидуальности. Флюктуации таких частиц описываются статистикой Бозе — Эйнштейна, а не статистикой Пуассона. В гл. 8 было показано, что среднеквадратичное отклонение случайной переменной величины, подчиняющейся статистике Пуассона, равно корню квадратному из его математического ожидания. В учебниках по квантовой механике [23] доказывается, что для случайных величин, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна, среднеквадратичное отклонение равно корню квадрат
367
ному из математического ожидания, умноженному на коэффициент 1/1—Q-WT. Как будет показано ниже, для фотонов коротких длин волн (высокой частоты) или в случае, когда температура Т достаточно низка, "это различие исчезает. Если подставить уравнение (10.55) и М = N/At в уравнение (10.56), то
([A/I4(v,/) Av]2) — . 2tc(^)/2q'4AvД-. (10.58)
L v - / j (еь/Ат_ i)(i_e-ft^r) М v ’
В большинстве случаев это выражение можно упростить.
В табл. 10.3 приведены величины hvjkT для различных температур и длин волн, представляющих интерес. Часть таблицы выше жирной линии hv/kT^> 4,615 = In 101 дает возможность с ошибкой меньше 1% представить уравнение (10.58) в виде
<[AM(v, /)Ау]2) = 2л^/с)2<2Ле-л7/*г^. (10.59)
Величина h^/kT для различных i ТАБЛИ1 гемператур и длин i ДА 10.3 волн
Длина волны, мк Жидкий Не 4°К Жидкий n2 77°К Твердая углекислота со2 195°К Комнатная температура зоо°к Вольфрам 2880°К Солнце 5800° К
0,5 7 200 374 148 96,2 10 5,96
1,0 3 600 187 74 48,1 5 2,48
5,0 720 37,4 14,8 9,62 1 0,60
10,0 360 18,7 7,4 4,81 0,5 0,25
50,0 72 3,74 1,48 0,96 0,1 0,06
100 36 1,87 0,74 0,48 0,05 0,025
Только часть падающих на приемник фотонов будет эффективно поглощена и приведет к ионизации атомов. Часть из них будет отражена, часть пройдет через приемник, а некоторые из фотонов отдадут свою энергию непосредственно кристаллической решетке, нагревая кристалл. Таким образом, дисперсия скорости ионизации N(t) в приемнике
<[АЛ/ G, /) Av]2)=na ^c?QA^~h'‘,kT , (10.60)
где т]а—квантовый выход (гл. 5). Например, для приемника, который имеет вид прямоугольной пластины толщиной d в направлении падения фотонов и полный коэффициент отражения R
„ (1 — 7?) (1 — е~а <*>
1— Re~a^d
368
где a(v) — коэффициент ионизационного поглощения для материала приемника, так что спектр Винера (спектральная плотность мощности) флюктуаций числа ионизаций в секунду в приемнике в полосе частот А/ = 1/Д/, обусловленных падающим потоком фотонов в узкой полосе шириной Av на частоте v, равен
/ - \2
QA^e-^bvkf, (10.61)
10.11. Фотонный генерационно-рекомбинационный шум
В § 10.10 была произведена оценка спектра плотности мощности флюктуаций в пучке фотонов, падающих на приемник излучения. Эти флюктуации падающего потока около средней величины вызывают шумовые флюктуации на выходе приемника. Детали этих процессов несколько отличаются для тепловых приемников, фотовольтаических приемников, приемников с собственной и примесной фотопроводимостями (§ 5.1 и 5.2).
В фотовольтаических приемниках имеется определенная средняя скорость возбуждения (фотоионизации), зависящая от спектрального состава падающего излучения, его мощности и квантового выхода приемника. Среднеквадратичная величина флюктуаций этой скорости подробно оценена в § 10.10. Для области высоких частот среднеквадратичное отклонение приблизительно пропорционально квадратному корню из математического ожидания. Носители зарядов, образовавшиеся в результате фотоионизации, собираются на р-п переходе полупроводниковых приборов (например, в фотовольтаических приемниках на основе кремния или антимонида индия) или испускаются катодом и собираются электродами, находящимися под положительным потенциалом (в фотоэлементах с внешним фотоэффектом и фотоумножителях). Процесс сбора носителей тока в этих приборах может приводить к значительным флюктуациям.
В полупроводниковых приборах часть носителей заряда может рекомбинировать, не достигая перехода, часть может проникать через переход и возвращаться назад. Эти части могут флюктуировать. В фотоумножителях умножение благодаря вторичной эмиссии на динодах флюктуирует во времени. В полупроводниковых приемниках падающие фотоны, производя фотоионизацию, образуют носители зарядов, которые увеличивают проводимость прибора и в конце концов рекомбинируют. Процесс рекомбинации также неизбежно подвержен флюктуациям, которые имеют такой же спектр частот, как и флюктуации процесса ионизации. Таким образом, идеальное фотосопротивление (гл. 5) имеет в два раза большую мощность шумов (или в J/2 раз большее среднеквадратичное напряжение шумов), чем идеальный фотовольтаический приемник. В реальных фотовольтаических приемниках это различие обычно
13 Зак. 1502 369
сглаживается случайными флюктуациями, возникающими при сборе носителей.
В чистых полупроводниках, обладающих собственной проводимостью, в процессе фотоионизации создаются пары электронов и дырок. Подвижности и времена жизни двух видов носителей заряда могут быть различными, зависящими от материала. Шум зависит от флюктуаций генерации и рекомбинации носителей обоих видов. В примесных полупроводниках, в которых существенное влияние на проводимость оказывает лишь один уровень энергии, обусловленной наличием атомов примеси, шумы будут возникать благодаря флюктуации числа возбужденных дырок, если уровень энергии расположен близко к валентной зоне, или числа возбужденных электронов, если уровень энергии расположен ближе к зоне проводимости.
Охлаждение приемника приведет в основном к двум явлениям. Во-первых, уменьшится число актов тепловой ионизации, так что флюктуации возбужденных электронов и дырок будут зависеть главным образом от величины потока излучения сигнала и фона, а не от тепловых колебаний решетки. Во-вторых, уменьшится излучение приемника, обусловленное рекомбинацией носителей, возбужденных тепловой энергией. Приемник, охлажденный до достаточно низкой температуры, будет иметь примерно вчетверо меньшую мощность шумов, чем приемник, находящийся при температуре окружающего его фона, так как на него будет попадать излучение фона только из передней полусферы и он будет меньше излучать обратно.
Ниже эти особенности генерационно-рекомбинационных шумов будут подробно рассмотрены для сильно охлаждаемого примесного фотосопротивления. В § 10.14 этот анализ будет распространен на фотосопротивления с собственной проводимостью, температура которых достаточно высока, чтобы колебания решетки были способны генерировать некоторое количество носителей, и другие общие случаи. В фотовольтаических приемниках шумы в области низких частот можно приблизительно представить формулой дробовых шумов
Ги(/)А/=2е(/)А/ (10.50)
в полосе частот шириной А/ в области положительных частот и шириной А/ в области отрицательных частот. Для фотосопротивлений аналогичная аппроксимация имеет вид
Во всех этих случаях рассматривается полный средний ток. Формулы, учитывающие основные свойства материалов, будут более подробно характеризовать механизмы возникновения этого типа шумов, в частности при низкотемпературных фонах и более высоких электрических частотах.
370
Ток через фотосопротивление определяется выражением
Мл П (О + Р (О 1(/) = е-------------
где е — заряд электрона или дырки;
п (/) — число электронов в приемнике;
р(/) — число дырок.
Коэффициент pnV/Л представляет величину подвижности электронов, умноженную на градиент напряжения, и, следовательно, дает величину их скорости. Расстояние между электродами фотосопротивления Л, разделенное на эту скорость, дает время пролета. Аналогичный член с характеризует скорость перемещения положительных носителей — дырок.
Величина
а(0 = £77 [Ил«(О + НрР(01 (10.62)
обычно определяется как проводимость материала. —площадь, перпендикулярная направлению тока. Произведение LAr может быть представлено как объем В приемника. Генерационно-рекомбинационные шумы возникают вследствие флюктуаций n(t) и p(f) около их средних значений.
В фотосопротивлениях, к которым приложено напряжение питания v0, наблюдаются небольшие флюктуации напряжения, пропорциональные флюктуациям проводимости около средней величины о0:
При этом автокорреляционная функция флюктуаций напряжения равна
Rvv (S) = <Л' (0 V (t + s)) = I [p^ (n (/) n (t + S)) +
p(^+*)R(p(0n(t: s))i+
Hp(p(0 p(t+s)) J .
Произведя преобразование Фурье автокорреляционной функции, можно найти спектральную плотность шумов, характеризующую флюктуации v(t):
= (£7/ ^Х(М 2^pWnp(f)-\ P>/P(/)]. (10.63)
Таким образом, в общем, спектральная плотность шумов зависит от спектральных плотностей шумов, обусловленных дырками и электронами, и спектра взаимодействия этих шумов.
13* 371
Обозначим скорость генерации электронов через g(ri)\ скорость рекомбинации с дырками или ионами через г(п), а флюктуирующие возмущения этих скоростей через /(/)• Тогда
=g(n) — r(n)+f (/). (10.64)
В общем случае скорости генерации и рекомбинации обусловлены ионизацией фотонами и фононами (квантованные колебания кристаллической решетки; см. Петритц [20]. В этом параграфе будут рассмотрены процессы, которые связаны только с поглощением или излучением фотонов. Этот специальный случай применим к фотосопротивлениям, которые охлаждаются так, что их темновое сопротивление значительно выше, чем их среднее сопротивление при освещении [26]. Ограничим и этот случай рассмотрением лишь двух уровней энергии. Предположим, что фотосопротивление содержит п2 электронов на одном энергетическом уровне проводимости и пг на более низком примесном уровне. Разность энергии уровней будет равна /zv, которая соответствует самой низкой частоте Vi или самой большой длине волны на которой фотосопротивление еще реагирует на излучение цели или фона.
Теория излучения Эйнштейна описывает скорости генерации и рекомбинации для этого случая тремя коэффициентами (называемыми обычно эйнштейновскими). Величина Л21 описывает спонтанную рекомбинацию электрона, находящегося на уровне проводимости с ионом, сопровождающуюся испусканием фотона. Величины В12 и В21 описывают возбуждение электронов с уровня примеси на уровень проводимости вследствие поглощения фотонов и стимулированной эмиссии фотонов вследствие рекомбинации электронов при стимулировании этого акта падающим излучением, соответственно (эти явления описаны в гл. 2 в связи с рассмотрением лазеров). Уравнение (10.64) может быть переписано с использованием рассмотренных коэффициентов в виде
J = пг JB12 - п2 (JB21+A21), (10.65)
где J — падающий поток фотонов, определяемый уравнением (10.56).
Так как рассматриваются лишь небольшие флюктуации около среднего уровня, то в дальнейшем полезно разложить скорости генерации и рекомбинации в ряд Тейлора около средних величин gQ и г0 при п2 = п20, и отбросить члены высших порядков. Положим
Д/г2 = /г2 —/г20, AJ-J — Jo.
Тогда
g(n2) = g0 + ^\ AJ + ..„
]'Z20 ft20
= Д«2 + ^| Д'+-
1^20 1^20
372
Физический смысл этих разложений можно понять, используя для нахождения производных уравнение (10.65):
S (^2)“ ^10 J0 ^12 4" 0^7 (^1 J^12) Д^2 "Г ^10 В12 (10.66)
r(n2) — п2о (Jо В21+Л21) + (п2 JВ21) Ап2 +
+ А1 + П20 ^П2 + П20 B2i AJ +••• (10.67)
При вычитании этих выражений для того, чтобы получить уравнение для флюктуаций малых сигналов, следует отметить, что равновесные скорости генерации и рекомбинации должны быть равны по определению r0 = gQ. Следовательно, первые два члена исчезают. Подставляя оставшуюся часть уравнений (10.66) и (10.67) в уравнение (10.64), получим
+ По А^+Д^р. (10.68)
Первый член описывает уменьшение возмущения в функции его времени жизни т:
4=(к - i <" JB‘* -JB» -<10-69>
Второй член уравнения (10.68) описывает воздействие потока фотонов на процессы ионизации и стимулированного излучения, определяя величину квантового выхода т]0:
Ло—(^10^12 ^20^21) (10.70)
и последний член уравнения (10.68) описывает флюктуации спонтанной рекомбинации
^Bsp—A21,
Уравнение (10.68) имеет формальное решение вида
t
J ea/--F(a)da, (10.71)
— oo
где F (а) должно представлять величину т]о (t)+&Fsp (t), которая является возмущающей силой. Положим теперь b = t—а, тогда
Ди2 (/) = j e~b^x F (t — b) db о
и автокорреляционная функция Д/г2 дается выражением
(Ди2 (/) Дп2 (t + $)) = J e~b/xdb j* е~с/т (F (t — b)F (t+s — c)) de.
о b
373
Если флюктуации приложенной силы имеют период значительно меньше постоянной времени т (очень быстрые по сравнению с временем жизни т) и если они являются стационарными, можно записать
{F (t — b) F (t-.s — c)) = (Л)д(с —s—6).
В этом случае интегралы могут быть вычислены и дадут (Ди2(/)Дп2(/ + 5)) = (Е2)1е-^.
В частности, при смещении, равном нулю,
<д«22 (/)) = (Я) 1
Подставляя эти соотношения в предыдущее уравнение, получим (Дп2 (/) Дя2 (t + s)) — (Дм2 (t)) e~s/T.
Произведя преобразования Фурье для нахождения спектра Винера, получим
Г„л (/)= 2 (Дп2)^^,. (10.72)
С другой стороны, учитывая, что F (/) по определению равно т]0 AJ (/) + \Fsp (t), непосредственно производя преобразование Фурье и используя выражение для комплексного импеданса
-> как ПРИ Расчете спектров броуновского движения и шумов Найквиста:
-2
г,,„(/)- irvw(/) + (10.73)
где и являются спектральными плотностями флю-
ктуаций, вызываемых фотонами, и флюктуаций, обусловленных спонтанными рекомбинационными процессами. Обе эти плотности постоянны для всех частот, представляющих практический интерес, так как флюктуации в основном очень быстрые. Однако спектральная плотность и(/) определяется коэффициентом т2/( 1 + со2т2), который учитывает влияние среднего рекомбинационного времени жизни. Этот коэффициент характеризует спектры генерационно-рекомбинационных шумов и поскольку чувствительность приемника можно также найти из уравнения (10.64), подставив в качестве /(/) изменение полезного сигнала во времени, то в формуле чувствительности приемника его постоянная времени учитывается корнем квадратным из того же коэффициента (см. гл. 5). Таким образом, отношение среднеквадратичных напряжений сигнала и генерационно-рекомбинационных шумов постоянно при всех частотах. Однако выходной сигнал приемника чувствительность которого ограничи-374
вается шумами этого типа, может оказаться и в области таких частот, на которых становится важным другой тип шумов.
Уравнение (10.71) может быть представлено в более точной форме, если раскрыть величины W^j (/) и WFF(f). В уравнениях (10.65) и (10.70) две величины nxJB12t и n^JB^, описывающие генерацию под воздействием фотонов и рекомбинацию вследствие стимулированной эмиссии, полностью коррелированы [18, 22], таким образом:
(Л =
где точно представляется выражением (10.61), которое было рассчитано в последнем параграфе. Иными словами, поскольку генерация и рекомбинация полностью коррелированы, то можно рассматривать единый ток, обусловленный чистой генерацией, и ненужно учитывать, что в действительности этот ток является разностью двух составляющих.
Средняя скорость генерации при динамическом равновесии равна средней скорости рекомбинации. В предыдущем параграфе было показано, что дисперсия потока фотонов в пучке пропорциональна средней величине потока. Можно также показать [18, 22], что дисперсия скорости рекомбинации пропорциональна средней скорости рекомбинации, действительно:
(10-74>
|ср. с уравнением (10.57)] и так как
So ~ ^10 JО ^12 — Г0 — ^20 J0 ^21 Т ^20 ^21»
ТО
^10 О ^12 ^20 J0 В%1 ~ Т]о “ ^20 ^21 > (10.75)
^(Л-По^ЛЛ-
Подставляя этот результат в уравнение (10.73), находим, что для фотосопротивления генерационно-рекомбинационные шумы, по крайней мере, в два раза больше флюктуаций в исходном пучке фотонов. (Если в создании шумов участвуют также фононы, то шумы будут еще больше.) Таким образом, порог, определяемый фотонными шумами, для идеальных фотосопротивлений в два раза больше, чем для идеальных фотоэлементов с внешним фотоэффектом:
_2
wnn (/) = 2По Wjj (/) -^2-^. (10.76)
375
Комбинируя уравнения (10.76), (10.63) и (10.61) для полупроводникового приемника с большим количеством примесей с p(t) = О и незначительным влиянием фононов, можно получить
\со / \ В '
т2 2 MkT _
X ТТГ- 2 2 - 7-^---------(10.77)
1 + (О2 т2 1 с I (Jv*/kT _ 1)2 '
где
записан как полный квантовый выход для фотонов, падающих на прямоугольную чувствительную площадку приемника или т] = т]от]я в более общем случае. Из уравнения (10.77) с учетом (10.72) можно получить
/—\2 ^~/kT
(An2) = 2 L ---------------- Av, (10.78)
\C ) ^/kT_xy
что согласуется с уравнением (10.60), за исключением приближения ^!kT 1 (справедливо при низких температурах или высоких v) для дисперсии скорости ионизации (АЛ/2), так как дисперсия числа носителей равна
(Ап2) = (АЛ/2 А/2) = т2(АЛ/2),
где (Ап2) рассматривается как дисперсия, усредненная по времени т. Тогда уравнение (10.77) может быть переписано в виде
Здесь 1/о0 В = Л!2/Л4, где R—сопротивление приемника, а (п2)« ~ п0— среднее число носителей в приемнике. Ток (/), усредненный по т (так как Ап было усреднено по т), равен ероуоД2-Следовательно,
Но средний ток, умноженный на время усреднения и разделенный на число носителей, как раз равен заряду одного носителя
В этой формуле генерационно-рекомбинационный шум представлен в виде удвоенного дробового шума среднего тока. Коэффициент 2 возникает вследствие того, что шум обусловлен обоими процессами — генерацией и рекомбинацией.
376
10.12. Генерационно-рекомбинационный шум
Выше было получено выражение для спектра плотности мощности шумов в примесном полупроводнике, в котором все энергетические переходы связаны с поглощением или испусканием фотонов. Предполагалось, что непосредственные переходы между валентной зоной и зоной проводимости не происходят. Всю проводимость определяет только один тип носителей тока, а флюктуации числа возбужденных носителей определяют шумы. В этом параграфе мы попытаемся подытожить исследования некоторых авторов [18, 20, 22], рассматривавших более общие случаи.
Уравнение (10.72) для фотопроводника p-типа может быть представлено в другой форме:
И
(Др2) = р0 = £0Т = [Т]0 Wjj (/)],
так что
WppW==T^’ <10-79)
где речь идет теперь о примесном полупроводнике, в котором носителями являются дырки, генерируемые фотонами со средней скоростью gQ. Уравнение (10.79) носит вполне общий характер и отражает тот факт, что в состоянии равновесия скорости генерации любого сорта носителей независимо от механизма их возникновения должны быть сбалансированы, а каждый переход можно рассматривать как независимое событие. (Более строгое рассмотрение дано Ван дер Зилом [18].)
Подставляя уравнение (10.79) в уравнение (10.63) с Wnp=0 = = Wnn, получаем
^(/) = (v)2^T+tb-- (10-80)
Введем новое допущение, что число атомов акцепторной примеси в приемнике ограничено величиной Na- Тогда скорость генерации пропорциональна числу неионизованных атомов
g(p) = y(Na~ р),
а скорость рекомбинации пропорциональна произведению числа свободных носителей и равного ему числа ионизованных атомов примеси
Г (р) = тр2.
В частности, средние скорости равны
go = 7 (Na — ро) = тро. (10.81)
377
13В Зак. 1502
Постоянная времени здесь также определяется выражением, аналогичным (10.69):
т “ *111^1 (10'82)
Мр.
Комбинируя уравнения (10.81) с уравнением (10.82) и исключая у, получаем
(10-83) а Ро
Так как средняя проводимость для материала р-типа
<*о = ФР Ро, уравнения (10.83) и (10.80) можно объединить, обозначив через X степень ионизации в состоянии равновесия p0/Nа,
2
^т = 5(й)т+^?- <10-84>
Уравнение (10.84) дает более общее, чем (10.80), выражение спектральной плотности мощности для слабо легированного полупроводникового приемника или для приемника, в котором наблюдается определенная степень насыщения. Другим важным случаем является чистый полупроводник, излучательные переходы в котором мы уже рассматривали выше, предполагая, что каждый переход дает электрон и дырку или объединяет пару.
Уравнение (10.79) справедливо для каждого типа носителей заряда отдельно и поэтому флюктуации дырок и электронов полностью когерентны: Дп(/) = Др(/). Уравнение (10.63) приобретает таким образом вид
W7 /А 2 (Ртг + ^р)2 2go Z1AQ,.
(/) = 7-----i—(10.85)
(Нп по + Ир Ро)2 1 + W2 т2 4 7
где для нахождения
(То = е (ип «о + Ир Ро) использовано уравнение (10.62) и для полупроводника с неограниченным числом атомов, которые могут быть ионизованы,
g («) = ё (р) = «
и
г (п) = г (р) = рп2 = рр2.
Так как каждая свободная дырка может рекомбинировать с любым свободным электроном, то вероятность рекомбинации возра-378
стает пропорционально квадрату числа свободных носителей. В условиях равновесия
go = а = г0 = р«о = РРо = Р«о Ро> __ 1
х~ т + л>) ’
так что g0 т = so По + Ро
и окончательно
W (f\ = г?» 2<6 + п° ро т (10 86)
VII (I) уо Ро)2 по + р0 1 + Т2 ’ • '
где b — р-п/р^, является отношением подвижностей. Если полупроводник совершенно чистый, п0 = р0> т0
= <10-87>
Интересно сравнить уравнение (10.87) и (10.84) для случая, когда степень ионизации % очень мала. В этом случае уравнения становятся полностью идентичными, так как в любом случае существуют только флюктуации одного типа носителей, извлекаемых из бесконечного резервуара. Более сложным является случай, когда фотопроводимость в полупроводнике не носит определенного характера собственной или примесной, а переходы осуществляются различными путями за счет рекомбинационных центров или захвата носителей (Петритц [20], гл. 5). Спектр шумов в этом случае более сложный и часто характеризуется несколькими постоянными времени (см. [22] и приведенные там ссылки на литературу).
До настоящего момента рассматривались лишь процессы, обусловленные поглощением или излучением фотонов. Однако большинство полупроводников при комнатной температуре обладает шумами, возникающими при генерации и рекомбинации за счет обмена энергией с решеткой полупроводника, состоящей из атомов или молекул. В этом случае говорят, что процессы генерации и рекомбинации связаны с поглощением или излучением фоно-нов. Фонон — это квантованное колебание решетки. Дополнительные процессы генерации и рекомбинации добавляют новые шумы. Трактовка этих процессов с помощью метода, используемого для описания генерационно-рекомбинационных шумов, генерируемых фотонами, может быть получена [22] из уравнения, аналогичного уравнению (10.68):
^ = _^2_^2+t]0j + T) + (Ю.88)
13B*
379
в котором индексы г и с обозначают процессы взаимодействия с излучением и кристаллом, соответственно. Эта трактовка при водит к замене т и g через соотношения
7 = . g(n) = gr (п) + gc (п).
Вместо уравнения (10.79) получается другое, например
WPP^ = ~Tr++J^z2 (10.89)
Это и подобные выражения для Wnn(f) и Wnp(f) могут быть подставлены в уравнение (10.63), как и прежде. Эти выражения, однако, используются не часто. Большинство авторов довольствуется утверждением, что пределы чувствительности приемников устанавливаются фотонными генерационно-рекомбинационными шумами и что шумы решетки могут лишь ухудшить дело. Петритц выдвинул концепцию «отделение электронной системы приемника от решетки», чтобы получить приемники без охлаждения, пороговая чувствительность которых ограничивается фотонными шумами (Петритц [20] гл. 5.).
10.13. Другие источники шумов
Предшествующие параграфы этой главы были посвящены случайным флюктуациям, возникающим из-за малых нарушений состояния термодинамического равновесия и в динамическом равновесии. При разработке систем встречается множество других источников шумов. В отличие от рассмотренных ранее типов источников шумов эти другие источники в значительной степени могут быть устранены тщательным выполнением конструкции и отработкой отдельных элементов аппаратуры. Эти источники шумов обычно характеризуются спектром плотности, который уменьшается с ростом частоты.
Микрофонный эффект. Очень часто встречаются шумы, обусловленные механическими вибрациями. Небольшие движения проводников и других элементов изменяют случайные емкости и индуктивности, а напряжения наводятся внешними полями. Всеобщее стремление к малогабаритным, жестким электронным конструкциям и к герметизации уменьшило важность этих эффектов. Интересный случай этого типа шумов встречается в экранированных и изолированных соединительных кабелях. Изгибание кабеля изменяет емкость между внутренним проводником и внешним экраном и трением может наводить электростатический заряд на диэлектрической изоляции. Эти флюктуации приводят к увеличению шумов, особенно в высокоомных соединениях приемников с предусилителями. В настоящее время имеются кабели особой конструкции, специально разработанные для уменьшения этих эффектов. Поверх-380
ность изоляции в этих кабелях покрывается высокоомным проводящим слоем, который поддерживает емкость почти постоянной и рассеивает электростатические заряды [28].
Шумы, обусловленные охлаждением. Определенный вид шумов часто возникает в охлаждаемых приемниках излучения вследствие кипения охлаждающей жидкости на задней поверхности нагретой стенки, на которой монтируется приемник в сосуде Дьюара. Для уменьшения этих шумов на дно сосуда Дьюара часто помещают маленький диск промокательной бумаги.
Шумы изображения. Нерегулярности структуры экранов электронно-оптических преобразователей и других приборов, создающих изображение, зернистость этих экранов, дают особую форму шумов в изображении аналогично шумам в изображении на фотопленке, обусловленную зернистостью пленки.
Шумы, возникающие вследствие пробоев. Когда к полупроводниковому прибору прикладываются большие разности потенциалов, они могут приводить к сильным шумовым выбросам, которые называются шумами Ценера, или шумами пробоя.
Емкостные шумы. В первых каскадах предусилителей с низким уровнем шумов не рекомендуется ставить электролитические конденсаторы, так как случайные пробои и восстановление тонкой диэлектрической изоляции вызывают импульсы шумов.
Мерцание (шумы фликер-эффекта) в лампах. Плотность спектра шумов вакуумных ламп часто выше уровня дробовых шумов в области низких частот. Этот эффект обычно оказывается значительно сильнее в лампах с оксидным катодом, чем в лампах, в которых используется катод просто из вольфрама. Низкочастотный шум возрастает прямо пропорционально квадрату катодного тока и обратно пропорционально частоте примерно в первой степени. Шумы этого рода возникают, по-видимому, вследствие перемещения на катоде пятен, соответствующих участкам, где существует наиболее сильная эмиссия. Согласно Ван дер Зилу[17] именно из-за фликер-эффекта в лампах в предусилителях на низких звуковых частотах лучше использовать полупроводниковые триоды при условии, что сопротивление источника не очень высокое.
Токовый шум. Многие полупроводники, через которые протекает постоянный ток, обладают дополнительным видом шумов, которые называются токовыми шумами, избыточными шумами, контактными шумами или шумами типа 1//. Этот шум характерен тем, что его спектр плотности мощности (односторонний) пропорционален f~a, где а близко к единице в большом диапазоне частот. Этот спектр отличается тем, что при а = 1 интеграл от нуля до бесконечности не сходится. Следовательно, точная зависимость \!f должна иметь неограниченную среднеквадратичную величину флюктуаций.
Этот шум наблюдается в большом числе приборов. Специально проведенные исследования этого эффекта на угольных сопротивлениях, полупроводниковых диодах, транзисторах, приемниках излучения и просто кусках полупроводникового материала описы
381
ваются Макреем [30], Смитом и др. [29] и Белсом [32], а также Ван дер Зилом [18] и Ван-Флитом [22].
Было установлено, что при малых токах спектр шумов зависит от квадрата среднего тока в приборе. В частности на шум не влияет температура. Токовый шум сильно зависит от обработки поверхности материала и окружающих условий, особенно влажности. Шум увеличивается при увеличении числа дефектов в кристалле. В различных работах приведены различные величины показателя степени а, но многие из упомянутых выше авторов указывают, что величина а близка к единице в области частот уже от 10~3 гц и вплоть до 1 Мгц.
Мощность шумов в некоторых приборах зависит от техники, используемой для получения токовых контактов, однако шум той же спектральной зависимости при рабочих токах наблюдается при использовании элементов, с которых снимается напряжение, достаточно удаленных от токовых контактов так, что носители, генерированные вблизи токовых контактов, успевают рекомбинировать, не достигая элемента, с которого снимается напряжение.
В некоторых приборах изменения в утечке через переходы вследствие недостаточной чистоты поверхностей могут привести к шуму, обратно пропорциональному частоте.
Рассмотренный механизм шумов не достаточно общий, чтобы объяснить все случаи.
Для объяснения шума этого вида было предложено несколько теорий, однадо ни одна из них не объясняет отсутствие температурной зависимости и ни один физический механизм не дает точную зависимость 1/f на всех частотах. Авторы большинства последних работ [30, 32] предполагают, что шум может быть обусловлен захватом носителей на особые энергетические уровни, наблюдающиеся в атомах близ поверхности материала. Эти уровни энергии связаны с нарушениями регулярной кристаллической структуры материала. Диапазон Твремен жизни, присущих различным уровням, весьма широк. Спектры, связанные с этими временами жизни, могут, складываясь, давать спектр с приблизительно обратно пропорциональной зависимостью от частоты.
ИЗМЕРЕНИЯ ШУМОВ
Последние три параграфа этой главы будут посвящены измерениям шумов. После краткого описания техники измерения шумов будет рассмотрен типичный спектр плотности мощности шума не-охлаждаемого сернисто-свинцового фотосопротивления и охлаждаемого фотовольтаического приемника из антимонида индия. Спектр шумов предусилителя будет рассмотрен в гл. 11.
10.14. Аппаратура для измерения шумов
Типичная электрическая схема для измерения спектра плотности мощности шумов приемников показана на рис. 10.6. В основ-
382
ном схема состоит из низкошумящего предусилителя с высоким входным сопротивлением (который может подсоединяться к приемнику через трансформатор с несколькими отводами с определенным числом витков) и анализатора спектра частот. Анализатор спектра частот является прибором, который может настраиваться для измерения напряжения в узкой полосе частот, центрированной при некоторой частоте, изменяемой в определенном диапазоне. Обычно такой прибор состоит из смесителя, в котором входной сигнал гетеродинируется с сигналом от подстраиваемого генератора. Узкая полоса частот в суммарном или раз-
ностном спектре затем выделяется с помощью фиксированного узкополосного фильтра с точно известной полосой частот. Выходное напряжение фильтра выпрямляется линейным выпрямителем и подается на измеритель постоянного тока, отградуированный в среднеквадратичных величинах синусоидального тока. Измерения могут быть осуществлены на любой частоте в рабочем диапазоне
Рис. 10.6. Цепь для измерения шумов: / — стандартное проволочное сопротивление; 2 — генератор и градуированный потенциометр; 3 — осциллограф; 4— точный измеритель среднеквадратичной величины напряжения; 5— анализатор спектра частот; £ —предусилитель с высоким входным сопротивлением;
7 —экранированный трансформатор, прибора посредством настрой-
ки генератора так, чтобы сумма выделяемой частоты и частоты генератора равнялась бы резонансной частоте фильтра.
Для точной оценки напряжения шумов по прибору необходимо произвести проверку градуировки. Если известно, что прибор работает в линейном режиме и что шум является гауссовым, тогда зарегистрированную величину напряжения шумов необходимо умножить на коэффициент 1,128. Этот коэффициент можно вывести следующим образом. Предположим, что отсчет Р по прибору пропорционален линейно выпрямленному и отфильтрованному напряжению, усредненному за время, равное постоянной времени прибора. Для синусоидального входного напряжения с пиковой величиной v
it/2
п р . , 1 , 2kv
г = — I v sin со/асо/ = —.
7U J К
о
Градуировочная постоянная k выбрана так, чтобы Р было равно среднеквадратичной величине t>//2 для этого случая:
k = -4=.
2/2
383
Когда на вход подается напряжение шумов со среднеквадратичной величиной отсчет будет равен *>
2kv± = / /к \ = 0 887
1 /2- 2 ) 1
Эквивалентная ширина полосы частот шумов фильтра анализатора формы сигналов может быть определена с помощью звукового генератора, лампового вольтметра и электронного счетчика частоты. Напряжение от генератора подается на вход анализатора спектра частот на частоте, приблизительно равной частоте, установленной на анализаторе, скажем, 2000 гц. Напряжение подгоняется до удобной величины с помощью лампового вольтметра. Точная частота определяется по счетчику, который подсчитывает число циклов в точно определенный период времени, значительно больший, чем период сигнала. Отсчет по прибору анализатора наносится на график в координатах отсчет — частота. Затем генератор расстраивается относительно установленной частоты анализатора и настраивается вновь приблизительно на ту же частоту.
Обычно масштаб градуировки и точность регулировки таковы, что новая установка будет отличаться от старой на 1—2 гц. Точное значение частоты отсчитывается по счетчику. Входное напряжение устанавливается той же величины, как и в первом опыте, и отсчет анализатора вновь наносится на график. Повторив этот процесс несколько раз, можно получить характеристику прибора. Затем относительные величины, представленные на графике, возводятся в квадрат и по полученным данным вычерчивается кривая. Путем графического интегрирования находится площадь под кривой, полученной по отсчетам, возведенным в квадрат. Эта площадь делится на максимальный отсчет. Отношение дает эквивалентную полосу пропускания шума.
Часто целесообразно увеличить постоянную времени регистрирующего стрелочного прибора анализатора путем подсоединения одной или нескольких больших емкостей параллельно выходным зажимам прибора. Можно просто модифицировать прибор, выведя пару зажимов для этих целей [31].
Предусилитель должен иметь высокое входное сопротивление на тех частотах, на которых будут производиться измерения. Промышленные ламповые предусилители иногда имеют большое входное сопротивление по постоянному току, параллельно которому подсоединяется шунтирующая емкость, которая может иметь заметное влияние на частотах в несколько сотен герц. Для повышения напряжения шумов приемника до величины, большей напряжения шумов предусилителя, используется трансформатор. При этом будет увеличиваться также эквивалентная величина последовательного импеданса такой схемы. Если увеличенный импеданс станет сравнимым с реактивным сопротивлением шунтирующей емкости
*) См. [8], уравнение (4. 2-3).
384
усилителя на частоте измерений, то среднеквадратичное напряжение шумов будет уменьшаться пропорционально квадратному корню из абсолютной величины отношения, в котором делятся напряжения делителем, образованным входным импедансом усилителя и суммой этого импеданса и эквивалентного последовательного импеданса трансформатора и приемника.
Обычно рекомендуется проверять этот эффект, подсоединяя проволочное сопротивление, сравнимое по величине с импедансом приемника в цепи, и проводя измерения спектра шумов. При этом будет обнаружено, что на некоторой частоте спектр начнет уменьшаться. Если измерения будут проводиться на этой частоте, то должно использоваться самое меньшее отношение витков обмоток трансформатора. Коэффициент усиления комбинации трансформатор — предусилитель может быть установлен путем подачи сигнала от звукового генератора, включенного последовательно с проволочным сопротивлением примерно такой же величины, как и сопротивление измеряемого приемника. (Предполагается, что выходной импеданс генератора значительно меньше. Если импеданс приемника меньше 10 ком, то целесообразно проверить эти условия.) Напряжение генератора измеряется с помощью анализатора спектра частот (если его входной импеданс значительно больше, чем величина проволочного сопротивления), с помощью того же прибора измеряется и выходное напряжение предусилителя. Отношение напряжений дает коэффициент усиления. После осуществления этого измерения величина определяемого спектра мощности проволочного сопротивления может быть разделена на квадрат усиления по напряжению и сравнена с \f4kTRAf, где А/ — эквивалентная ширина полосы шумов анализатора; R — величина сопротивления.
При измерении спектра мощности при низких уровнях напряжения и высоких импедансах, особо большое внимание следует обращать на исключение посторонних напряжений, возникающих в цепи вследствие наводок от мощных силовых линий и других источников. Приемник и трансформатор должны хорошо экранироваться. Для этих целей полезно использовать железную трубу с внутренним диаметром около 100 мм и толщиной стенки около 25 мм и обеспечить хорошее заземление. Напряжение на катод и анод предварительного усилителя нужно подавать от батареи. Все соседнее электрическое оборудование, не используемое в данном опыте, необходимо отключить. Чтобы подсоединить все оборудование к общей заземленной точке, используется мощная земляная шина. Для контроля повторяющихся выходных сигналов с предусилителя используется осциллограф с синхронизацией от сети. Для непосредственного измерения среднеквадратичного напряжения шумов через анализатор или другой фильтр может быть использован промышленный вольтметр с хорошей квадратичной характеристикой или тепловой прибор. Для того чтобы избежать завала больших пиковых напряжений шумов, необходимо, чтобы линейный диапазон усилителей и правильная квадратичная зависимость чув
385
ствительности измерительных приборов позволяли бы пропускать без искажений величины напряжений, превосходящие в пять или шесть раз величину среднеквадратичного напряжения.
10.15. Шум фотовольтаического приемника из антимонида индия
На рис. 10.7 показаны два спектра шумов (кривые А и В) двух фотовольтаических приемников из антимонида индия (фирма-изготовитель Philco Corp.). Оба приемника имели площадки 2,03 X 2,03 мм2 и были помещены в сосуды Дьюара, снабженные охлаждаемыми диафрагмами. Диафрагмы ограничивали поле зрения углом 60°. Приемники работали без напряжения питания, динамический импеданс, определенный, как та величина нагрузочного сопротивления, которое уменьшает выходное напряжение в
1
Ч)
T^L
3 Ж—-X "W-
Дробовые шумы предусилителя
ю
’ Z?Z77
4/ 1
Частота, кги,
Рис. 10.7. Спектр плотности мощности два раза по сравнению с шумов двух фотовольтаических приемников напряжением, получаемым из антимонида индия. При разомкнутой цепи,
на низких частотах, равнялся около 1 ком для приемника Л и 1,1 ком для приемника В. Приемники охлаждались посредством наполнения каждого сосуда Дьюара жидким азотом.
Измерения производились при помощи трансформатора UTC-A27, с коэффициентом преобразования полного импеданса от 125 ом до 10 ком, предусилителя на вакуумных лампах Tektronix 122А с входным импедансом 10 Мом, шунтированным емкостью величиной 60 пф, часть которой была обусловлена усилителем, а часть вносилась кабелем и трансформатором. Коэффициент усиления предусилителя по напряжению на рабочих частотах был равен 1000. Выходное напряжение предусилителя отсчитывалось на анализаторе спектра частот (Hewlett-Packard 302А).
Спектр шумов замкнутого накоротко усилителя и сопротивления в 1 ком, включенного вместо приемника, показан на рис. 10.7 в виде кривой С.
Как указывалось в (10.10), дисперсия числа фотонов, поглощаемых приемником от фона при температуре Т, равна
(An2) = у2е-л’/*г dv,
386
где v0 — наименьшая частота, к которой чувствителен приемник, а т]а— квантовый выход, предполагаемый постоянным при всех частотах выше v. Произведя интегрирование, получаем
j 72 е-щьт d- = e-h-t/kT + 2 + 21,
A Vn Л «
и подставляя численную величину ~ = 9,1, соответствующую границе чувствительности при 5,3 мк, получаем величину 2,82 х X Ю36 сек~3. Затем, взяв Q = (1 —cos30°)/2 = 1/4 и предположив, что квантовый выход дается формулой
(1 —/?)(! —e~arf) а 1 — Яе-ай ’
при полном поглощении е~о</~0 и коэффициенте отражения А?, равном (п— 1)2/(п + I)2, где п — коэффициент преломления п«4 для антимонида индия (гл. 7), получим т]а = 0,64. Окончательно взяв А/= 1/2лД/ и используя 6,2 гц для измеренной ширины полосы частот анализатора, вычислим
2к (Ц (2,ОЗ)210~2 (0,64) (6,2)
(Ап2) = —V г---------------(2,82- 10зв) =
(гг) (З-ю10 *)2
= 5,07 • 1015 (квант/сек)2.
Если каждый поглощенный фотон приводит к возникновению одного носителя заряда, то средний квадрат тока (Ап2)е2 потечет через динамическое сопротивление Rd приемника, создавая на разомкнутых зажимах цепи среднее квадратичное напряжение
U = >/2 eRD = (5,07-1015)1/21,6-10~19-103 =
= 1Д4.10-8 * в.
Это напряжение усиливается трансформатором и предусилителем и регистрируется измерительным прибором анализатора спектра частот, отградуированного так, что он дает отсчет на 13% меньше по причинам, изложенным в § 10.4:
v0 = гтг Ю-8-1гос | ’ Ю3 = 280 мкв. 1,1 о \ 1 zo j
В действительности квантовый выход приемника, вероятно,
ниже, чем величина 64%, используемая в расчете, а предполагаемое
постоянство чувствительности к числу фотонов до 5,3 мксек также
является приближением. Соответствие расчетов с шумами, измерен-
ными на низких частотах, чисто случайное.
387
Явное уменьшение величины спектра шумов выше 400 гц происходит благодаря влиянию шунтирующей емкости, включенной параллельно входному импедансу предусилителя. На частоте 1000 гц реактивное сопротивление емкости 60 пф равно примерно 2,65 Мом. Электрическая цепь, которая использовалась при измерении, показана в верхнем правом углу рисунка. Измеренное напряжение по сравнению с напряжением на открытых зажимах электрической цепи меньше в К раз. Коэффициент Д' дается приближенным выражением
ГЛ - ?2 W, (T*Rd\2V/2’ 1Л Rl К \ XL ) J
где T — число витков трансформатора, a Xl —реактивное сопротивление входной емкости предусилителя. На частоте 1 кгц этот коэффициент равен около 0,9.
На более высоких частотах влияние емкости приемника должно быть заметным, а на очень высоких частотах, достигающих величины, обратной постоянной времени приемника, напряжение шумов должно быть в действительности разделено между реактивными сопротивлениями двух емкостей.
Кривая С на рис. 10.7 имеет незначительный подъем на низких частотах, который, возможно, возникает вследствие эффекта мерцания катода первой лампы предусилителя.
10.16. Шумы неохлаждаемого сернисто-свинцового фотосопротивления
На рис. 10.8 показана частотная характеристика сернисто-свинцового фотосопротивления, полученная в лаборатории автора (Джемисон). Приемник монтировался на оптической скамье на расстоянии 75 см от абсолютно черного тела. Излучение прерывалось на семи частотах различными прерывателями, приводимыми в движение двигателями. Приемник включался в схему, показанную в верхнем правом углу рисунка. Выходное круглое отверстие абсолютно черного тела имело диаметр ~ 0,6 мм. Температура абсолютно черного тела равнялась 600° С. Отсчеты по выходному прибору анализатора делились на коэффициент усиления цепи, который был измерен при подсоединении звукового генератора (выходное сопротивление в 600 ом включалось последовательно с сопротивлением 1 Мом) вместо приемника. Отсчеты контролировались путем установки на абсолютно черное тело диафрагм с отверстиями диаметром ~ 0,3 и 1,2 мм. Измеренная чувствительность показывает, что приемник имел постоянную времени около 505 мксек.
Для одного и того же приемника при различной величине напряжения питания были измерены три спектра плотности мощно-388
сти шумов. Чтобы избежать посторонних засветок, приемник при этих измерениях закрывали специальным экраном. Эти спектры показаны на рис. 10.9. Для кривой, отмеченной «нулевое питание»,
батарея питания отключалась, а соответствующий (верхний) конец нагрузки замыкался на землю. При этом условии измеренный спектр шумов приблизительно постоянный и согласуется с величиной шума Найквиста (§ 10.7) для сопротивления в 1 Мом, соединенного параллельно с сопротивлением 1,1 Мом.
Кривые, отмеченные «ток питания 22 и 8 мка», были получены при использовании батареи 45 в и
Рис. 10.8. Частотная характеристика приемника из сульфида свинца.
более низкого напряжения. Эти спектры постоянны для частот, меньших 100 гц. Между 100 гц и 3 кгц спектр уменьшается так же, как величина чувствительности, которая определяется коэф-фициентом L ^2^1 , где т = 505 мксек. На частотах выше
Частота, кги.
Рис. 10.9. Спектры плотности мощности шумов неохлаждаемого приемника PbS.
3 кгц оба спектра, полученные с различной величиной тока питания, асимптотически приближаются к величине шумов Найквиста. Такая зависимость этого спектра шумов подобна зависимости генерационно-рекомбинационных шумов, которую можно вычислить из уравнения (10.77). Если использовать приближение, что генера-
389
ционно-рекомбинационные шумы на низких частотах имеют примерно двойную мощность дробовых шумов, то
(i2) = 4e(i) Д/,
/ RnRr \2
(10.50)
где Rd — сопротивление приемника, которое равно около 1,1 Мом;
Rl — сопротивление нагрузки, которое равно 1 Мом, оба подсоединены параллельно 10-мегомному входному сопротивлению усилителя:
(и2) = 4-1,6-10~19-22-10~6-1/4-1012-6,2,
<у2>1/2 = 4,7-Ю-6 в,
что находится в хорошем соответствии с низкочастотными шумами, наблюдаемыми при токе питания в 22 мка. Спектр шумов для меньшего тока питания уменьшается приблизительно в соотношении ]/'8722.
ТАБЛИЦА 10.4
Суммарный спектр плотности мощности шума *)
К "с" £ Механизм Условия Формула спектральной плотности
1 Броуновское движение Тепловое равновесие при 7ю К, сопротивление трения F (/) Af=2kTF 0)Д/(10.23)
2 Шумы Найквиста Тепловое равновесие при Т° К, электриче- W„v(f)bf = 2kTR(f)bf w mAf Af <10-30>
ское сопротивление R(f) ™ и (/) А/ — £ 0 А/
3 Тепловые шумы Уменьшаются с температурой Т° К, коэффициент теплопроводности к Ww(f)bf = 2kKT^f (10.41)
4 Общий равновесный шум Тепловое равновесие при Т° К, обобщенное рассеяние R (/), обобщенная сила v (/) Wvv (f)Af=2£ E (f,T)=hf/(ehf/kT--1) (,0 35)
5 Дробовые шумы Динамическое равновесие в электронном пучке Wu (f) Д/ = e (i) Af (10.50)
*) Все эти спектры получены в двусторонней форме. Если используются лишь-положительные частоты, выражения должны быть умножены на 2.
390
Продолжение
I №п/п.| Механизм Условия Формула спектральной плотности
6 7 8 9 10 11 Фотонные шумы Коротковолновые фотонные шумы Фотонные шумы испускания Генерационно-рекомбинационные шумы, примесный материал Генерационнорекомбинационные шумы, примесный материал Генерационнорекомбинационные шумы, чистый материал Динамическое равновесие в фотонном пучке Для приемников, которые имеют постоянную чувствительность при частотах, более высоких, чем \0, и нечувствительны при всех частотах менее, чем v0 и для которых ехр (У)5> 1 Испускание электронов, генерированных фотонами. Электроны находятся в динамическом равновесии Генерация носителей фотонами в полупроводнике с примесной фотопроводимостью Генерация носителей (посредством фотонов) в примесном полупроводниковом материале со средней частичной ионизацией к Генерация носителей (фотонами) в чистом полупроводниковом материале b = Mn/M.p Для абсолютно чистого фотопроводника с Ро =^о X XX * » X "7^ 5 * X X s ~ х s ч 7=7 > х х L Р2* Тз ° I 5^ to -1 «Sr У ^*1 *'""ъ . х** ”" **. 1 7 ° ч Лх и =s + II < | + -l’’® Ж?1 + Чч , 1 * , к>11 tf to -ч, П - 1 ar II I)) 77 « - js-IS * “? - S’ i • a » OND OK> a I Й s > “ = ? “ 2 i г / • J? _|_ £ -i £ д» '" [>! <3- ю — Р» £JS №<ОТ1Яг ~ 5 t — । 1 ~ > ** 1 1- H о о О О X W 1 X 00 00 <z 00 x *Ч X у X w X ф A x
391
Продолжение
с Е g Механизм Условия Формула спектральной плотности
12 Генерационно-рекомбинационные шумы, примесный материал, учитываются колебания решетки Генерация носителей в примесном полупроводнике фотонами и фононами 2d2 (Г)Щ = —Lx р 1 — л ffor + Еос 2Af х 2 — Л 1 + to2-2 т
ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь (например, приемника);
А — максимальная величина (амплитуда) синусоиды A sin о>/;
4(a)) — передаточная функция линейного элемента;
A2i — коэффициент Эйнштейна, описывающий скорость излучения фотонов при спонтанной рекомбинации;
а — время;
В — объем приемника;
_В12, B2i — коэффициенты Эйнштейна, описывающие скорости генерации и рекомбинации носителей заряда при поглощении и стимулированном излучении фотонов;
b — время;
b — отношение подвижностей электронов к подвижности дырок;
С — электрическая емкость;
С — теплоемкость;
с — скорость света с — 2,99793 • 1010 см/сек\
с — время-;
D — продолжительность;
d — толщина приемника;
Е — энергия общей линейной системы;
е — основание натуральных логарифмов, е = 2,71828;
е — заряд электрона е = 1,60206 • 10~19 кулон;
F — момент успокоения гальванометра;
F(t) — сила, стремящаяся изменить плотность свободных зарядов в полупроводнике;
Fsp(t) — флюктуирующая сила, вызывающая возмущение плотности электронов и дырок;
f — частота;
/(/) — флюктуации скорости генерации и рекомбинации;
G — упругость пружины гальванометра;
g(t) — скорость генерации носителей заряда в полупроводнике;
7/(/)*) — преобразование Фурье;
h — постоянная Планка h = 6,62517 • 10~34 вт • сек;
h(t)— импульс тока, обусловленный дробовыми шумами генерации носителей заряда;
h(t) — случайная сила, возникающая вследствие молекулярной бомбардировки;
I — дифференциал энтропии dS/dt;
*) В этой главе преобразования Фурье представляются прописными буквами, обратные преобразования — соответствующими строчными буквами.
392
i(t) — ток в функции времени;
J — момент инерции движения гальванометра;
J — поток фотонов, попадающих на приемник;
/ — Мнимая единица —1;
К — коэффициент теплопроводности;
К — число электронов за время 2Т;
К — коэффициент ослабления из-за паразитной емкости;
К — постоянная;
, _9о вт сек
k — постоянная Больцмана k — 1,38044 • 10 град *
L — индуктивность;
М — скорость потока фотонов в пучке излучения;
т — средняя скорость
N — число фотонов в элементарном объеме пучка излучения;
п — индекс суммирования;
n(t) — число электронов в приемнике в момент времени t\
р — автокорреляционный коэффициент 7?/а2;
p(t) — число дырок в приемнике;
p(v) — функция плотности вероятностей при значении v напряжения у'(0;
Q — геометрический коэффициент, учитывающий размер, форму и расположение охлаждаемых и неохлаждаемых частей поля зрения приемника;
Qn — средняя площадь Zn\
q(t) — обобщенная система координат;
Яч — плотность фотонов в пучке излучения;
R — сопротивление;
R — коэффициент отражения оптической поверхности;
R(s) — автокорреляционная функция v(f) и v(t — s);
r(t) — скорость рекомбинации для носителей зарядов в полупроводнике;
S — энтропия линейной системы;
S(t) — односторонний спектр мощности х(/);
S — время;
Т — период;
Т — абсолютная температура;
t — время;
t — вспомогательная переменная в <p(f);
V(w) — преобразование y(i)\
v(t) — величина напряжения
v'(t) — напряжение в функции времени;
W — любой спектр плотности мощности шума;
№(«) — спектр плотности мощности y(t)\
ю — круговая частота;
Л(/) — преобразование Фурье х(0;
x(t) — напряжение в функции времени;
У(/) — преобразование Фурье #(/);
y(t)— напряжение в функции времени, равное v(t) в интервале (—Т, Т) и нулю в остальных точках интервала;
Z(w) — импеданс;
Zn — коэффициент Фурье z(fp, z(t) — напряжение в функции времени;
а — постоянная скорости генерации в чистом полупроводнике;
a(v) — коэффициент ионизационного поглощения материала приемника;
р — коэффициент скорости рекомбинации;
b — дельта-функция Дирака;
е(\) — излучательная способность;
393
Xs) — автокорреляционная функция z(Z);
т] — квантовый выход;
в(<°) — преобразование Фурье 9(/)’>
9 — угол между нормалью к поверхности приемника и заданным направлением;
9 — отклонение гальванометра;
9(/) — температура в функции времени;
л — длина волны;
А — часть примесных атомов, ионизованных в примесном фотопроводнике;
р. — средняя величина;
— подвижность электронов;
Рр — подвижность дырок;
v — частота излучения;
Pv — плотность энергии в пучке излучения;
а — среднеквадратичное отклонение;
с(/) — проводимость;
т — постоянная времени;
т — вспомогательная переменная в автокорреляционной функции Л(г);
<с(/) — гауссова функция плотности вероятностей;
Xs) — автокорреляционная функция х (/);
Q — телесный угол.
Л ИТЕРАТУРА
1. Handbook of Chemistry and Physics, Chemical Rubber Publishing Co., Cleveland. Ohio.
2. Gardner M. F., J. L. Barnes. Transients in Linear Systems, v. 1. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1952.
3. A r 1 e у N., K. R. Buch. Probability and statistics, chap. 6. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1956.
Арлей H. и Бух К. P. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Изд-во иностранной литературы, 1951.
4. В е n d a t J. Principles and applications of random noise theory.
John Wiley & Sons, Inc., New York, 1958.
Бенд ат Дж. Основы теории случайных шумов и ее применения. Изд-во «Наука», 1965 г.
5. С г a m е г Н. Mathematical methods of statistics. Princeton University Press. Princeton, N. J., 1946.
Крамер Г. Математические методы статистики. Изд-во иностранной литературы, 1949.
6. Davenport W. В., W. L. Root. Introduction to random signals and noise. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1958.
Давенпорт В. и Рут В. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. Изд-во иностранной литературы, 1960.
7. L a n i n g J. Н., R. Н. В a t t i n. Random Processes in automatic control. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1956.
Лэнинг Дж. X. . и Бэттин Р. Т. Случайные процессы в задачах автоматического управления. Изд-во иностранной литературы, 1958.
8. R i с е S. О. Mathematical analysis of random noise, Nelson Wax (ed.), Noise and Stochastic Processes, Dover Publications, Inc., New York, 1954.
9. Blackman R. B., J. W. T u k e y. The Measurement of power spectra from the point of view of communications engineering. Dover Publications, Inc., New York, 1959.
394
10. С а 1 1 е n Н. В., Т. A. Welton. Irreversibility and generalized noise. Phys. Rev., 1951, v. 83, № 1, p. 34.
11. Lindsay R. B. Introduction to physical statistics. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1948.
12. P ierce J. R. Physical sources of noise. Proc. IRE, May, 1956.
13. Jones R. C. Performance of detectors for visible and infrared radiation, in L. Manton (ed). Advances in Electronics, v. 5, Acadamic Precc, Inc., New York, 1953.
14. P a г к e r P. Electronics, Edward Arnold (Publishers) ltd., London, 1950.
15. M i d d 1 e b г о о к R. D. An Introduction to transistor electronics. John Wiley & Sons., Inc., New York, 1957.
Миддлбрук P. Д. Введение в теорию транзисторов. Атомиздат, 1960.
16. S h о с к 1 е у W. Electrons and holes in semiconductors. D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J., 1950.
17. V a n d e r Z i e 1 A. Noise in junctions. Proc. IRE, 1958, v. 46, № 6, p. 1019.
18. V a n d e г Z i e 1 A. Fluctuation phenomena in semiconductors. Academic Press, Inc., New York, 1959.
Ван дер Зил. Флюктуационные явления в полупроводниках. Изд-во иностранной литературы, 1961.
19. М о s s Т. S. The Ultimate limits of sensitivity of lead sulfide and telluride photo-conductive detectors. J. Opt. Soc. Am., 1950, v. 40, №9, p. 9.
20. P e t r i t z R. Fundamentals of intrared detectors. Proc. IRE, 1959, v. 47, № 9, p. 1460.
21. P 1 a t t J. R. Wavelength dependence of radiation limits on sensitivity of infrared detectors. J. Opt. Soc. Am., 1956, v. 46, №8, p. 609.
22. V а и V 1 i e t К- M. Noise in semiconductors and photoconductors. Proc. IRE, 1958, v. 46, №6, p. 1004.
23. F о w 1 e r R. H. Statistical Mechanics, 2d. ed., Cambridge University Press., New York, 1936.
24. J о n e s R. C. Quantum efficiency of photoconductors, IRIS, 1957, v. 2, № 1, June, p. 13.
25. Chandrasekhar S. Stochastic Problems in physics and astronomy, in Nelson Wax (ed)., Noise and stochastic Processes, Dover Publications, Inc., New York, 1954.
26. В u r s t e in E., S. F. Jacobs, G. S. P i c u s. Zinc doped germanium as a far-infrared detector, private communication.
27. W i s e m a n R. S., M. W. Klein. Photoemissive image-forming systems. Proc. IRE, 1959, v. 47, №9. (September, 1959).
28. Microdot, Inc., South Pasadena, Calif.
29. S m i t h R. A., F. E. Jones, R. P. C h a s m a r. The detection and measurement of infrared radiation. Oxford University Press, Fair Lawn, N. J., 1957.
Смит P., Джон Ф., Чес мер P. Обнаружение и измерение инфракрасного излучения. Изд-во иностранной литературы, 1959.
30. MacRae A. 1/f noise, арр. 2 to Germanium and Indium antimonide detectors. Finad Report, Contract AF 33 (616) — 3859, Syracuse University February, 1960.
31. Edwards B. N. Private communication. Aeronutronic division of Ford Motor Company, Newport Beach, Calif, August, 1961.
32. Bell D. A. Electrical noise, D. Van N о s t r a n d, Inc., Princeton, N. J., 1960.
— ... =ГЛ АВ А 11
ЭЛЕКТРОНИКА СЛАБЫХ СИГНАЛОВ
^та глава посвящена проектированию электронных схем инфракрасных систем в той их части, где первостепенное значение имеет отношение сигнала к шуму. Для многих систем можно выделить в процессе обработки полученной информации стадию, когда необходимо решить, какие же характеристики имеет полученный сигнал. На этой стадии часть полученной информации часто можно отбросить, чтобы упростить дальнейшие операции. Например, в поисковых системах, задача которых решить, имеется или нет цель в поле зрения, этот процесс может происходить следующим образом.
Изменения лучистого потока на входе оптической системы преобразуются в изменения электрических величин в приемнике излучения. Электрический сигнал и шум, получаемые в приемнике, усиливаются и проходят через фильтр в предусилителе. Далее сигнал и шум поступают на диод со смещением, который пропускает ток, только если общее напряжение, приложенное к его электродам, больше, чем напряжение смещения. Лишь в том случае, когда этот «пороговый» диод пропустит импульс тока, последний после повторного усиления подводится к индикаторному устройству — звонку тревоги, логической схеме и т. п. Этот импульс тока и свидетельствует о наличии сигнала.
Выбор порогового уровня смещения на диоде подробно рассмотрен в гл. 13. В двух словах можно сказать, что этот уровень должен быть достаточно низок, чтобы пропустить характерные сигналы, и достаточно высок, чтобы задержать большую часть шумов. Эти противоречивые требования могут быть хорошо выполнены лишь при сравнительно высоком отношении напряжения сигнала к напряжению шумов. Поэтому одно из основных требований к схеме, предшествующей пороговому элементу, заключается в обеспечении максимально возможного значения отношения сигнала к шуму, максимизации этой величины.
Пути создания таких схем и рассматриваются в этой главе. Схема, следующая за пороговым диодом, должна действовать так, как будто полученный ею с диода импульс тока есть сам сигнал. Поскольку шумы здесь уже несущественны, необходимо просто применять хорошие логические схемы, хорошие индикаторные устрой
396
ства и т. д. Рассмотрение такого рода устройств выходит за рамки этой книги.
В других системах разграничение функций схемы может быть выражено и менее четко, чем в приведенном примере. к
В этой главе схемы, воздействующие на отношение сигнала к шуму, подразделяются на линейные и нелинейные. В линейных схемах сигнал и шум (или два сигнала) могут анализироваться раздельно и складываться на выходе, как указано в приложении А. Это условие называют часто принципом суперпозиции. Линейными схемами являются цепь приемника, предусилители, большое число электронных фильтров и усилителей. Эти схемы описываются на базе рассмотренных в гл. 10 источников шума и общего подхода к анализу линейных схем, данного в приложении А.
Нелинейными схемами являются такие, к которым нельзя применить принцип суперпозиции. Это различные схемы для выделения информации из модулированных сигналов, такие, как выпрямители для амплитудной модуляции, дискриминаторы для частотной, фазовой и импульсной модуляции и некоторые виды схем для автоматического контроля усиления и частоты.
ЛИНЕЙНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
11.1. Коэффициент шума
На выходе приемников инфракрасного излучения, преобразующих изменения падающего лучистого потока в колебания электрического напряжения (или тока), всегда в той или иной мере присутствуют шумовые флюктуации. Часть этих шумов, например фотонный шум (§ 10.10), принимается вместе с сигналом. Часть возникает в самом приемнике в результате действия целого ряда различных механизмов, описанных в гл. 10.
Приемник присоединен к другим цепям — питания, связи и ко входу предусилителя. Эти цепи увеличивают шум. Первый каскад предусилителя обычно служит для увеличения амплитуд сигнала и шума до такой величины, чтобы шумы последующей схемы давали лишь очень малую добавку к общим шумам. Поэтому первый каскад предусилителя особенно важен для чувствительности всей системы.
Качество схемы в смысле добавления ее шумов к сигналу измеряют обычно величиной, называемой коэффициентом шума схемы [1, 2]. Эта величина принята в радио и радиолокации. Тепловой (найквистовский) шум (§ 10.7), определяемый внутренним сопротивлением источника, рассматривается как минимальный предельный уровень шумов, который принципиально нельзя снизить. Количество шума, добавляемого схемой, измеряют по отношению к одному тепловому шуму.
Коэффициент шума определяется как отношение сигнала к мощности шумов на выходе схемы, деленное на ту же величину на входе. Имеется два различных способа нахождения коэффициента
397
шума, применяемых в зависимости от прочих условий. Если ss и s0 — среднеквадратичные значения напряжения сигнала на входных и выходных зажимах, a ns и па — соответствующие напряжения шумов (рис. 11.1), то
4
р _ входной сигнал/мощность шумов ___ns (jj
выходной сигнал/мощность шумов ~ s2 ’
«о
Умножив и разделив на отношение сопротивлений 4RQ/4RS> это выражение можно переписать в виде
S" 2 4RS по 4R.
О
4/Го
где Ро ~ мощность шумов на выходе nl/4RQ\ Ps — мощность шумов на входе nl/4Rs\ G — коэффициент усиления по мощности (so/47?o) (sf/47?s).
Если входной шум — только тепловой (найквистовский), то
F___
kT\ Gbf
(П-2)
Эквивалентный генератор источника
Эквивалентный выходной генератор
Рис. 11.1. К выводу коэффициента линейной схемы.
шума
Здесь 7\ — абсолютная температура сопротивления источника. Ширина полосы А/ является эквивалентной шириной прямоугольной полосы, иными словами, полосой усилителя с коэффициентом усилителя G на всех частотах, дающего ту же выходную мощность, что и рассматриваемый усилитель, подсоединенный к источнику с постоянным спектром шумов. Определенный таким образом коэффициент шума
называют иногда средним коэффициентом шума усилителя. Текущее значение коэффициента шума усилителя F(f) определяется так же, как указано выше, только для полосы 1 гц на частоте /. В этом случае мощность шумов на выходе измеряется в нормированной полосе частот и G определяется как усиление на частоте f.
Можно легко показать, что коэффициент шума каскада линейных цепей с коэффициентами шума Fu F2, F3, ... и коэффициентами усиления Gb G2, G3, ... по определению равен
+ + + - <IL3>
398
Из (11.3) ясно видно, что, если схема представляет собой ряд последовательных каскадов предусилителя и если требуется, чтобы влияние второго каскада на отношение сигнала к шуму было пренебрежимо малым, усиление по мощности первого каскада должно быть высоким. Это, конечно, не значит, что усиление первого каскада только по напряжению или по току обязательно должно быть большим. Коэффициент шума является функцией сопротивления источника. Это всегда величина, большая 1, чаще всего коэффициент шума выражают в децибелах.
В случае, когда источником шума является приемник инфракрасного излучения, обычно нецелесообразно отсчитывать F относительно минимального, не поддающегося уменьшению уровня теплового шума.
Например, при рассмотрении приемника, чувствительность которого ограничивается флюктуациями излучения фона (гл. 5), в качестве базы для отсчета берется фотонный шум фона. Прютт и Петритц [3] определяют относительно этого уровня коэффициент шума и приемника и предусилителя. Однако в дальнейшем изложении мы будем в соответствии с установившейся практикой понимать под коэффициентом шума величину, отсчитываемую от уровня тепловых шумов, и делать специальные оговорки, когда принят другой начальный уровень отсчета.
11.2. Схема питания приемника
Многие приемники инфракрасного излучения являются фотосопротивлениями (гл. 5), т. е. изменения лучистого потока, падающего на приемник, приводят к соответствующим изменениям его сопротивления. Чтобы оценить эти изменения, нужно подключить к приемнику соответствующие напряжение и нагрузку. Обычно используемый способ подключения и эквивалентная ему схема показаны на рис. 11.2
Приемник представляют как три параллельно соединенные проводимости: Gd — «темновая» проводимость, Gb — проводимость, добавляющаяся при освещении равномерным фоном, и Ag-(Z) — изменение проводимости, вызванное попаданием на приемник сигнала лучистой мощности АР(/) ватт. Для малых сигналов Ag(/) = — pAP(f), где р — постоянная.
Приемник соединен последовательно с нагрузочным сопротивлением Rl. Ток питания приемника обеспечивается источником напряжения Е через ряд цепочек 7?iCi, R2C2 и 7?зСз, которые развязывают цепь приемника от возможной обратной связи с другими электронными цепями через источник питания и от шумов или пульсаций источника питания.
Проводимость Ag(/) в рабочих условиях системы по величине
399
обычно на несколько порядков меньше, чем 6^. Поэтому сопротивление приемника можно выразить в виде
d__1 ___________}__________
А “ G “ Г рДР(0 1
<G* + G41+^Tcfr
и, обозначая
р = 1
Gd + Gb>
R(t)^Ra-RlpAPR). (11.4)
Соответствующая эквивалентная схема дана на рис. 11.2, б. Источник питания и разделительные цепочки представлены на этой
Е»
г MAP(t)
т У, V
RL iF
a)
Q^a2kT/feAt y04/(G^Gb) \r(fRR}pAP(t)
4KTRLAf
L Gl_________RbRLpAP(t) RL
-Eorl/ro \\Ks'i^l/g0 i+RdRo нйкв s hrl/r0 _t_
.________________,T RLEopAP(t)
V d^jRo)2 ф
* 0)
Рис. 11.2. Схемы включения и эквивалентные схемы фотосопротивлений:
а — действительная схема; б —первая эквивалентная схема; в —окончательная эквивалентная схема.
схеме батареей Ео. Типичные значения для сернисто-свинцового фотосопротивления могут быть:
Ео = 25 в,
Ro — 500 ком,
Rl = 500 ком,
Rl рАР (t)=r (Z) = 10 ом (максимальное значение).
400
Вторая эквивалентная схема на рис. 11.2, в получена из первой при помощи теоремы Тевенина [8]. Эффективное сопротивление с хорошим приближением равно
(Н.5)
Эффективное напряжение равно
rl+r0-r2 p№(t)'
Принимая Р&Р (0 < получим
откуда
RL
Ro,
(П-6)
(П-7)
Желательно, чтобы сопротивление было проволочным. Сопротивление нагрузки должно давать только тепловой шум AkT&fRt, поэтому его и следует выбирать проволочным. (Проволочные сопротивления такого номинала не очень распространены. Эту трудность часто преодолевают, применяя трансформатор, см. ниже.) Считается, что приемник дает шум 4a2kTAf, где а2 — коэффициент, учитывающий, во сколько раз шум приемника превосходит тепловой шум. Этот коэффициент обычно изменяется с частотой (гл. 10). Таким образом, эквивалентный генератор шумов дает
4kT(a^Rn+RL) _2г
/е2\ = V «О' д/
(,+т)2 \ АО/
Действительный коэффициент усиления схемы равен
D
Коэффициент усиления = —,
(П-8)
(П-9)
14 Зак. 1502
401
и коэффициент шума, отнесенный к шумам приемника, может быть в соответствии с уравнением (11.1) определен как
F (относительно a4kTR0 Af) = выходной шУм/Уси^ние = 4 и 7/ входной шум
Rl Rl
4kTbf(a*R0 + RL) R”-------4-Ц--------
=______________________R*______*2________= 1 _L Rl т]т
4kTbf(a*Rn) 1 1 ~^r;-
4tf0
Можно также определить истинное значение коэффициента шума относительно тепловых шумов приемника (см. табл. 11.1). Коэффициент шума всей схемы вычислен с использованием формулы (11.3). Эта величина коэффициента шума больше, чем в (11.10), в а2 раз, потому что она отнесена к тепловому шуму на 7?0. Эта операция не имеет большого смысла, потому что для приемников излучения тепловой шум не является основным.
ТАБЛИЦА 11.1
Коэффициент шума приемника и схемы питания приемника
Приемник Схема питания Вместе
Коэффициент шума а2 ’+-4- АО Ro
Rl Rl
Коэффициент усиления 1 Ro Ro
+ О (-> + Jo >з O
Соотношение (11.10) показывает один из недостатков понятия коэффициент шума. Коэффициент шума стремится к своему минимальному (лучшему) значению, когда Rl стремится к нулю. Это происходит потому, что меньшее сопротивление нагрузки дает меньший шум. К сожалению, усиление, а следовательно, и выходной сигнал схемы также уменьшается с уменьшением Rl, в связи с чем шум предусилителя становится доминирующим. Этот факт будет учтен в следующих параграфах, где коэффициенты шума схемы питания и предусилителя будут рассматриваться совместно. Однако рассмотрение соотношения (11.10) наводит на мысль об усовершенствовании схемы подключения приемника. Если 7? l не является омическим сопротивлением, оно сможет обеспечить удовлетворительное усиление по мощности, не увеличивая шума.
402
Это достигается при использовании трансформаторной схемы,-как показано на рис. 11.3, а.
На рис. 11.3, б показана эквивалентная схема подключения приемника через трансформаторный вход. Как и раньше, приемник
представлен постоянным сопротивлением Л?о, соединенным последовательно с переменной частью г(/) и генератором шума. Рассеяние на трансформаторе и связанные с ним шумы представлены величиной RT и соответственно {е2п} = = 4kTRT&f' Величина Rt и напряжение шума на Rt обычно малы по сравнению с соответствующими значениями для приемника.
Эквивалентная схема Нортона [29] имеет проводимость
Л
Рис. 11.3. Эквивалентные схемы включения приемников на трансформаторный вход:
а —схема включения на трансформаторный вход; б —первая эквивалентная схема; в —окончательная эквивалентная схема.
62
GP R0^-RT-r(t)>
(Н-U)
где b — число витков трансформатора на стороне, подключенной к приемнику, деленное на число витков на выходе.
Ток короткого замыкания на выходных зажимах трансформатора равен
ЬЕ0 R2 рЬР (/) (Яо + Яг)2
(П.12)
а ток шума при коротком замыкании
(А +Т-%)Р ~ aSRo- (11ЛЗ)
Интересно отметить, что в этом случае возможен механизм возникновения шума, коррелированного с сигналом, если r(t) становится сравнимым с Rt+Ro- Величина этого коррелированного шума с хорошим приближением равна, скажем, для /(/)< <(Ят+Яо)/5
(inc) мала по сравнению с (in) из (11.13).
14*
403
Легко найти усиление и коэффициент шума для этой связи: Усиление =-----------------------ъ— ,
(Н.14)
(11.15)
У7 (относительно 4&Та2/?Д/) = 1 + -утг •
Мы рассмотрим далее кроме коэффициента шума другие свойства этой схемы, которые позволяют рекомендовать ее применение, но сначала сравним формулу (11.14) с (11.19) и формулу (11.10) с (11.15). Заметим, что для получения высокого коэффициента усиления, Rl в формуле (11.14) должно быть сравнимо с /?0, однако выполнение этого требования приводит к увеличению коэффициента шума [формула (11.10)]. В то же время и коэффициент усиления и коэффициент шума трансформаторного входа улучшаются при уменьшении отношения Rt/Rq-
Напомним, что истинное значение коэффициента шума (относительно тепловых шумов)
Rt f = “’ + TS-
Использование трансформатора для присоединения приемника к предусилителю весьма желательно, однако возникают трудности в создании самого трансформатора. Экранировка от магнитных полей представляет в этом случае значительно большие трудности, чем при использовании 7?С-связи. Это весьма существенный недостаток, который может сделать невозможным использование трансформаторной связи в условиях переменного магнитного поля или при вибрации трансформатора в постоянном поле. Современные трансформаторы наматываются на маленькие тороидальные сердечники из материала с очень высокой магнитной проницаемостью и заключаются в экранирующий кожух из аналогичного материала. И сердечник, и обмотка должны обладать стабильными механическими вами, чтобы исключить появление шумов при вибрациях, говоря, входной трансформатор инфракрасной аппаратуры должен разрабатываться и изготавливаться специально.
свойст-Короче обычно
11.3. Полупроводниковые предусилители
Теория шумов в полупроводниковых триодах детально описана Ван дер Зилом [4], там же приведена обширная библиография. Вкратце можно сказать, что примерно между 1 кгц и частотой fa спада характеристики триода шумы полупроводниковых триодов обусловлены дробовыми шумами и шумами Найквиста. На более низких частотах появляются добавочные шумы, а на более высоких — становятся важными эффекты, связанные с временем накопления заряда.
404
Ван дер Зил описывает дробовой шум с помощью эквивалентной схемы рис. 11.4, а. Элементарный импульс дробового шума возникает, когда в рассматриваемую область вводится носитель тока. При этом электроны в атомах, находящихся в этой области, несколько смещаются и возникает заряд противоположного знака для сохранения нейтральности. Это происходит за очень короткое время диэлектрической релаксации кристалла. Два внесенных носителя диффундируют затем сквозь рассматриваемую область в течение более
Рис. 11.4. Эквивалентные схемы шумов полупроводникового триода:
а —эквивалентная схема; б —схема Тевенина.
продолжительного времени, пока не рекомбинируют или не перейдут в другую область. Изменения зарядов во внешней цепи наблюдаются только в момент инжекции или перехода. Импульсы шума очень короткие, так что этот шум имеет постоянный спектр плотности мощности в интервале частот, используемых в предусилителе.
Прибор, включенный последовательно с эмиттером триода, регистрирует ток Д, который в действительности складывается из тока Ie + lee в прямом направлении и тока 1ее в обратном. Каждый из этих токов вносит свой вклад в среднеквадратичный ток дробового шума 2е/Д/(§ 10.9). Эти токи представлены на рис. 11.4, а генератором Д. Дробовой шум на коллекторе представлен аналогичным генератором тока ii.
Между этими двумя генераторами существует корреляция
(i‘ i2)=2ea (Ie+Iee)hf.
Омическое сопротивление материала базы триода добавляет тепловой шум (Обычно сопротивление гь эквивалентной схемы частично омическое, а частично представляет обратную
405
связь. Шум (е2пь) меньше, чем тепловой шум в омическом сопротивлении гь. Будем приписывать его сопротивлению rbb).
Для рассмотрения коэффициента шума принято преобразовывать эту эквивалентную схему в схему Тевенина (см. рис. 11.4, б). Генераторы епЬ и е„е преобразуются легко. Выражение для генератора епс получается в виде
<4с> = <(«1 —“Ч) (и — = (О’?) —2а (h z2) +
+а2 г2 --2е1сг2 А/ - 4m2 (Л+1ее) г2 А/ +
+2а2<? (1е+1ее) г2 AM-2a2eV* А/= 2еа (1 — а)7, г2с А/, (11.16)
и корреляция определяется соотношением
(е*пе епс} = (i* re rc (i1 — aj2)>=2earerc Iee &f. (11.17)
Корреляция слаба по сравнению с приведенной выше, если 1ее мало по сравнению с 1е. Эта схема Тевенина имеет то преимущество, что в ней шумы генераторов почти некоррелированы. Для рассмотрения коэффициента шума полупроводникового предусилителя эквивалентная схема Тевенина включается в цепь каскада (рис. 11.5).
Рис. 11.5. Эквивалентная схема шумов каскада предусилителя с общим эмиттером: а — предусилительный каскад с общим эмиттером;
б —эквивалентная схема.
Схема включения с общим эмиттером выбрана потому, что коэффициент шума всех схем включения почти одинаков, а выбранная схема обеспечивает максимальное усиление по мощности, так что шумы следующего каскада уже не играют существенной роли. Для краткости будем далее писать ее, еь, ес вместо епе, епь, епс- Предполагается, что соединенные параллельно 7? j и R 2 имеют сопротивление, значительно большее, чем Rs.
Записав уравнение контура для схемы рис. 11.5,6 и учитывая, что ie = i2 — ilt получим
«1 — «2 re = es + eb~ ee,
ii (— re)+h (re+rc+RL) = ee+ec+(i2 — г\) rm
406
и, решая систему относительно i2,
; + ^ — ?е) (rm — re) — (ee + ec) (Rs + rb + re)
2 -re(rm-r,)-(re+rc + /?L-rm)(/?5 + rft + re) ’ 1 7
Так как фазы генераторов шумов не согласованы, если не считать очень слабой корреляции между ее и ес, их мощности должны складываться. Таким образом, выражение для среднеквадратичного значения /2 можно найти, рассматривая отдельно действие каждого генератора и просто устанавливая другие нулевые уровни в формуле (11.18):
(ег)> = (е2)
010 = ^)^^.
где через D обозначен знаменатель уравнения (11.18).
Используя другое возможное определение коэффициента шума как отношение сигнала к шуму, обусловленного только шумами приемника, деленного на действительное отношение сигнала к шуму, можно рассматривать как выходной шум, связанный только с одним источником:
р _ 1 । Ы , (ее) ( 1 . । {ес) /
<*?> V гт~ге ) + (е2) \ гт-ге )
Подставляя значения для генераторов шума на рис. 11.4, б в это выражение, получим
1 bb I е ^ее + Ц Ъ (1 । re + ГЬ + ЯЛ2 Rs' МТ Rs Гт-ге ]
е 7^(1—а) 2 (re + rb + Rs\t
Г МТ Rs rm-re ;•
(11.19)
Типичные величины параметров малошумящих полупроводниковых приборов приведены в табл. 11.2, а конкретная схема малошумящего полупроводникового предусилителя приведена на рис. 11.6.
407
ТАБЛИЦА 11.2
Типичные значения параметров малошумящих усилительных полупроводниковых триодов
Параметр Германиевые триоды Кремниевые триоды
гь 1 ,1 КОМ 7 КОМ
гьь 100 ОМ 700 ОМ
ге 24—40 ом 100—300 ом
Гс 2—3 Мом 30—50 Мом
3 = а/(1 — я) 50-100 100—150
/*) J е 0,1—0,5 ма 10—100 мка
1 ее 1—5 мка 0,01 мка
у?**) 1—5 дб 1-5 дб
я? 1 ком 2—10 ком
*) Для лучшего значения коэффициента шума в диапазоне 500 гц— 1 Мгц.
**) Диапазон изменения коэффициента шума, имеющего место от 500 гц до 1 Мгц.
Подстановка величин из табл. 11.2 в уравнение (11.19) пока-
зывает, что в нормальных условиях второй член много меньше,
чем все остальные. При гт = Ге « Гт И 0 =
= с хорошим приближением *)
Р=[+¥ + ^Т * х
х Ie(re^r^Rs}2 (11.20)
*) Другая возможная формула, предпочитаемая некоторыми авторами, может быть получена, если заменить e!elkT на \/ге.
Действительно из уравнения для эмиттера
Ie = Iee(tn'lkT -1)
и
1 dle_______е(1е-\~1ее) ~ е!е
dv = kT ~ kT‘
$>
^200 -
I-
80
100 гц 400гц 1кгц2кгц
Частота
Рис. 11.6. Схема (а) и характеристики (б) малошумящего полупроводникового предусилителя с большим входным сопротивлением на кремниевых триодах.
5)
408
Подстановка величин из табл. 11.2 в уравнение (11.20) дает значение коэффициента шума порядка 1 дб. Величины такого порядка получаются на практике для хороших триодов, работающих при низких токах эмиттера при оптимальном сопротивлении источника
в частотном интервале, приходящемся на середину звукового диапазона. При частотах, меньших чем 500—1000 гц, триоды имеют тен-
денцию к генерации дополнительного шума, который снижает ко
эффициент шума и увеличивает оптимальное сопротивление источ-
ника. При частотах от 100 кгц до 1 Мгц усиление полупроводникового триода падает и появляются добавочные шумы. Выбор лучшего эмиттерного тока производится на основе компромисса между очень низкими значениями, минимизирующими дробовой шум, и более высокими значениями, которые обеспечивают лучшую стабильность питания и более высокое значение 0. Зависимость коэффициента шума от сопротивления источника для типичного кремниевого диода показана на рис. 11.7.
Уравнение (11.20) показывает, что коэффициент шума является функцией сопротивления источника Rs и тока эмиттера 1е. Второй член становится очень большим (что плохо), когда /?5->0, а третий член становится очень большим, когда /^Т?5/Р“>оо. Поэтому имеется по
Сопротивление источника Rs, ком
Рис. 11.7. Зависимость коэффициента шума кремниевого п-p-n триода типа 2N 929 в широкой полосе от сопротивления источника (измерено при Vce = 5 в, полоса частот примерно от 10 гц до 10 кгц).
крайней мере один локальный минимум
для лучшего значения Rs. Приравнивая производную от F по
Rs нулю, можно найти оптимальное сопротивление источника:
Rsm
(11.21)
Если 1ее < 1е и гт = агс > ге, что обычно имеет место, то
7?2 '— (г I г I2 4- Ге 4- ^kT^rbb \re 4- Гb) 4- а (1 _ а) 4- е1е •
Для германиевого триода в типичной рабочей точке, где 1е = = 0,5 ма, оптимальное сопротивление источника равно примерно 1 ком. Для кремниевых триодов типичные значения порядка 10 ком. На рис. 11.8. показано изменение коэффициента шума в зависимости от сопротивления источника в различных рабочих точках для типичного германиевого триода. При присоединении инфракрасного приемника к полупроводниковому предусилителю необходимо рассмотреть кажущееся сопротивление приемника.
Уравнение (11.20) показывает, что коэффициент шума будет ниже ( что хорошо) для триодов с малым омическим сопротивлением
14В. Зак. 1502 409
базы, низким сопротивлением эмиттера и высоким усилением по току при малых токах эмиттера. Практически в районе дробового шума зависимость от тока эмиттера слаба, потому что 0 имеет тенденцию спадать пропорционально уменьшению 1е. Коэффициент шума полупроводниковых триодов обычно сильно зависит от частоты при частотах ниже 1 кгц. Это происходит из-за добавочного шума (см. § 10.13). При использовании полупроводниковых триодов особенно важно, чтобы окружающая атмосфера не была очень влажной. Нужно также иметь в виду, что шумы уменьшаются при работе с малыми величинами тока эмиттера и при малой разности напря-
Эквивалентное входное напряжение шумов типичного германиевого триода
1000
S3 I Б
100
10
Коэффициент шума Коэффициент \ типичного триода шума типично-X го германиевого /
\7 триода '
X. Эквивалентное вход-X \ ное напряжение / Х^ X. шумов must X. X. личного X/ X. X. X. триода^ \\
ip-Р, 15м а
I
ip-Зма
Юом ЮОом 1ком Юком ЮОком 1Мом Сопротивление источника
Рис. 11.8. Коэффициент шума и напряжение шума в функции сопротивления источника.
жений между базой и коллектором. Выбор оптимального режима обычно производится для данного триода в данной полосе не на основе теоретического анализа, а экспериментально.
Типичный хороший режим работы для германиевого триода, работающего в диапазоне 800—5000 гц от источника с сопротивлением несколько килоом: 0,3 ма и Vee ~ 1,25 в. Рекомендация
Фолкерса и Педерсона [5] работать при очень низких разностях напряжения коллектор — эмиттер, по-видимому, не дает сколько-нибудь заметных преимуществ при использовании новейших триодов.
Таким образом, для каждого данного полупроводникового триода в конкретных условиях работы может быть указано определенное минимальное значение коэффициента шума Fm и оптимальное сопротивление источникаRsm. Интересно далее рассмотреть более сложные схемы, в которых могут применяться полупроводниковые триоды.
Миддлбрук [6] проанализировал схему, показанную на рис. 11.9. Источник с импедансом Zs = 7?s + jXs подает напряжение шума ens и сигнала es в предусилитель. Сопротивление /?1 представляет сопротивление базы триода, а его тепловой шум пред-410
ставлен соответствующим генератором напряжения. Имеется также нешунтированное сопротивление эмиттера /?2, которое добавляет шум. Первый каскад усили-
теля присоединен к последующей схеме, вырабатывающей окончательное выходное напряжение Е. Определенные доли этого напряжения Ua, Ub и Uc подаются обратно и используются для создания смещения базы и эмиттера.
Оказалось, что схема рис. 11.9 характеризуется несколько другими значе-
ниями минимального коэф-
фициента шума F{m и оптимального сопротивления источника Rsm- Эти величины определяются соотношениями
Эти соотношения показывают, что Fm> Fm, a Rsm может быть
и больше и меньше, чем Rsm. Очень
*7 =
1MQM
~ 100 ком 30ком
4 ЮкОМ
"Зком
^1ком
10ом 100Ом 1ком Юком
Внешнее сопротивление эмиттера R, 1 ппп__________________*
1кОМ /
' Зком /Юком ' 30 ком
/100 ком ^1М0М
Один полупроводниковый триод
Юом ЮОом 1ком Юком Внешнее сопротивление эмиттера R?
Рис. 11.9. Эквивалентная схема шумов полупроводникового каскада со схемой питания и обратной связью.
важно, что в формулы (11.22) и (11.23) не входят на-
пряжения Uл, Uв и Uc, обеспечивающие обратную связь. Таким образом, обратная связь в первом каскаде предусилителя, влияющая на усиление и входной импеданс, не влияет на коэффициент шума.
На рис. 11.10 и 11.11 приведены графики зави-
Рис. 11.10. Оптимальные коэффициент шума и сопротивление источника при различных значениях сопротивления 7?! и внешнего сопротивления эмиттера Т?2 для полупроводникового триода с Fm = 2 дб =
— 1,581 и T?5zn=l ком.
14В*
411
10
л
* 0,1 -
-] и,= 1М0М
^'100 ком 30 ком
— Юком .— Зком
— 1ком
0,01
£ 100 г ю -
Юом ЮОом 1ком Юком Внешнее сопротивление эмиттера R? "лл / 1ком
Эком
Юком 'ЗОкам ЗООком ЗМом
' сг~ 7 . .----
Юом ЮОом 1ком Юком внешнее сопротивление эмиттера Rz
симости RsmIRsm и Fm от R2 при различных значениях /?!, для триодов с коэффициентом шума Fm= 1,581 (2дб) и оптимальными сопротивлениями источника 1 и 10 ком соответственно. Эти примеры соответствуют типичным хорошим германиевым и кремниевым триодам.
Рис. 11.11. Оптимальные коэффициент шума и сопротивление источника при различных значениях сопротивления и внешнего сопротивления эмиттера Т?2 Для полупроводникового триода с Fm = 2 дб = = 1,581 и Т?5/л=10 ком.
11.4. Ламповые предусилители
а)
Типичная схема лампового /?С-предусилителя показана на рис. 11.12, а, а на рис. 11.12, б — эквивалентная схема шумов. Источник с сопротивлением Rs, дающий напряжения сигнала es, подсоединен к лампе с крутизной характеристики gm через переходную емкость С, схема содержит сопротивление утечки сетки /?1, нагрузочное сопротивление Rl, эквивалентную входную емкость Ci и катодную цепь смещения R^, С к.
В эквивалентной схеме предполагается, что влияние элементов С, Ri, R^ и С к на отношение сигнала к шуму пренебрежимо мало. Основными источниками шумов являются тепловые шумы в сопротивлении источника Rs и утечке сетки и дробовой шум анодного тока лампы. В дополнение к этому лампа
может давать ряд других шумов, которые зависят от деталей ее конструкции. Большое количество экспериментальных и теоретических работ по изучению шумов ламп описано Ван дер Зилом [7] и Беллом [8]. Здесь мы просто подытожим некоторые из наиболее важных результатов. Источники шумов ламп столь многочислены и шумы столь сильно меняются от ламгцд к лампе, что практически
(гОкТ£Тй/)'Л=(27Г/Со)^Л/)^ 0)
Рис. 11.12. Схема лампового усилителя с общим катодом (а) и эквивалентная схема шумов (б).
412
конструирование ламповых усилителей проводится обычно на основе эксперимента, а теоретические соображения являются лишь общим руководством к действию.
В эквивалентной схеме рис. 11.12, б тепловой шум сопротивления источника и утечки сетки изображается генератором тока:
<z2(Af)> = 4 kTGbf, включенным параллельно с соответствующей проводимостью G в цепи сетки.
Дробовой шум триода представлен, как это обычно принято, шумом эквивалентного сопротивления, включенного последовательно с сеткой. Для триодов, в которых анодный ток лимитируется температурой катода, среднеквадратичное значение тока дробового шума равно
<^(Д/)) = 2г/рДЛ
где 1р — анодный ток.
Наличие генератора напряжения в цепи сетки
(у2(Д/))=4/гП?экв А/
приводит к росту среднеквадратичного значения тока
О'экв (А/)) = 4^7*/?экв gm Af, и, следовательно, дробовой шум может быть представлен посредством эквивалентного сопротивления шумов
eln
gm
В реальных усилительных лампах gm имеет тенденцию расти с увеличением анодного тока, а анодный ток в рабочем режиме ограничивается влиянием потенциала анода на пространственный заряд электронов, находящихся в состоянии динамического равновесия между анодом и сеткой. Пространственный заряд стремится выравнять флюктуации тока [1,7,27], уменьшая эквивалентное сопротивление шумов. Типичные значения эквивалентного сопротивления для малошумящих триодов, работающих в области звуковых частот, лежат в пределах
До (11.25)
gm gm
Высокие значения gm присущи лампам с большим усилением (рис. 11.13).
В многосеточных лампах, таких, как пентоды и тетроды, экранная сетка забирает часть катодного тока. Соотношение между током экранной сетки и анодным током флюктуирует, потому что захват отдельных электронов электронной сеткой носит статистический характер. Это явление называется шумом распределения. Его можно
413
представить, выражая анодный ток в зависимости от тока экранной сетки
1Р = (1Р+Ц)-Ц (11.26)
и учитывая, что оба тока подвержены дробовому эффекту. Эквивалентный генератор тока анода даег среднеквадратичное значение 2е1
(г’экв (А/)> = , -7Рг- (пост. 1 4-пост. Is) &f. (11.27)
1Р "Г 1 S
На практике пентоды могут шуметь в два-пять раз сильнее, чем те же лампы при триодном включении.
Лампы дают также добавочный шум, называемый индуцированным шумом сетки, который связан с флюктуациями заряда, индуцированного на сетке при прохождении электронов. На низких частотах этот шум мал, потому что индуцированные импульсы образуются попарно при приближении и удалении электронов и имеют среднее значение, равное нулю. Этот шум увеличивается с возрастанием частоты. Шум может быть представлен генератором тока
Рис. 11.13. Изменения экви-
валентного сопротивления шумов 7?экв в зависимости от анодного тока для триода 12 АХ7,
(^(Д/)) = 1,43Сг^ТсДЛ (И.28)
где GgK — часть проводимости сетка — катод, обусловленная прохождением электронов (т. е. та часть, которая остается после исключения проводимости за счет анодной обратной связи, индуктивности катодного ввода и т. д.); Тс — температура катода, которая в типичных случаях равна примерно 1000° К.
Величину 1,43Тс иногда выражают как пятикратную комнатную температуру (в°К). Электронную проводимость GgK можно выразить через «холодную» емкость Со между сеткой и катодом, для.того чтобы получить эмпирическую формулу для индуцированного шума сетки
/2Мт_ (2^2С0 bT дг
ж —----------kTc
(11.29)
В такой форме отчетливо видна зависимость дисперсии тока от квадрата частоты. Зависимость от выбора рабочей точки представлена приблизительно величиной gm. Поскольку Со обычно порядка десятка пикофарад, этот шум на звуковых частотах, применяемых в предусилителях инфракрасной аппаратуры, мал. (Интересно отметить, что входная емкость лампы часто оказывает заметное влияние на усиление по напряжению и на средних частотах. Шунтирующая емкость Ci порядка 50 пф (величина, типичная для малошумящих ламп, работающих в усилителях с общим катодом) имеет при
414
1 кгц емкостное сопротивление около 3 Мом. Это сопротивление может заметно шунтировать сигнал от приемника с высоким внутренним сопротивлением.)
Даже после тщательной откачки, прогрева и несмотря на наличие геттера внутри лампы остаются молекулы газа. Электроны ионизуют эти молекулы в результате соударений с ними. Образующиеся положительные ионы или собираются управляющей сеткой или уменьшают пространственный заряд. В обоих случаях это приведет к небольшому дополнительному увеличению шума управляющей сетки. Эта добавка к шуму на эквивалентной схеме учитывается проводимостью Gpz; для хороших малошумящих триодов эта величина порядка 0,2—0,02 мкмо; если лампа работает с антидинатрон-ной сеткой, этот добавочный шум отсутствует.
На низких частотах лампа дает шумы за счет фликкер-эффекта, описанные в гл. 10. Эти шумы обусловлены флюктуациями, присущими механизму эмиссии электронов с катода, и, в частности, явлениями на границе между собственно катодом и его оксидным покрытием.
Шумы, вызванные фликкер-эффектом (мерцанием), растут пропорционально квадрату катодного тока и обратно пропорционально частоте. На частоте 1 гц они могут быть в 10—100 раз больше, чем на частоте 10 кгц. Формулы, описывающие фликкер-эффект, не объясняют всех экспериментальных фактов и содержат константы, которые приходится определять прямыми измерениями, так что для оценки влияния шумов этого рода эти формулы оказываются мало пригодными.
Анализ коэффициента шума лампового предусилителя можно провести по эквивалентной схеме способами, аналогичными применявшимся для полупроводниковых предусилителей в предыдущем параграфе. Точность этого анализа будет, естественно, зависеть от точности, с которой оценены величины, определяющие различные шумы. Коэффициент шума в схеме с общим катодом при частотах выше 1 кгц равен
Z7 - 1 + G1 QsGpi + ((A+Gt+Gs)2. (11.30)
Соотношение (11.30) показывает, что нет необходимости согласовывать Gi с Gs, но Gx следует делать как можно меньше. Если Gi, GPi и GT много меньше, чем Gs, то
F^1+R3KBGS, (11.31)
р
f=l+-^-B. (11.32)
Формула (11.32) приблизительно верна и для других возможных схем применения ламп. Благодаря своей простой форме формула (11.32) часто используется для описания шумов в лампе с помощью эквивалентного, дающего тепловой шум, сопротивления, даже на частотах, где спектр шумов не постоянен.
415
IMqm
Юком
* 12АХ7 *12AXI o12AX7 о 5751 *5751 *12 АН 7
Rs=0
Rs = 0
Rs-0 1р~0,5ма
Rs--0
Rs~O
Ry — 0 Ip - 0J5 м a £р-95в
1ком
Рис. 11.14. Эквивалентное сопротивление шумов триода 12 АХ7 (Tele-funken).
Югц
ЮОгц 1нгц Частота
Юкгц
Некоторые экспериментальные данные, полученные коллективом авторов [9], для триодов 12АХ7, 5751 и 7044 и пентода 6СВ6 приведены на рис. 11.14 и 11.15. Эти данные отражают только анодные шумы, поскольку сетка с катодом соединены накоротко. Величина этих шумов характеризуется эквивалентным сопротивлением/?г,
1М0М
|S
§ S
«ъ 100ком
is Юком
+ 6СВ5 Rs-0 RH = (ком \(проВолочное) \несогласован-*4. ное
*6СВ6 Rs=0
RH -1 ком (проволочное) согласованное
$ £ .
$ 1ком
10гц ЮОгц 1кгц Юкгц
Рис. 11.15. Эквивалентное сопротивление шумов пентода 6СВ6.
в кл ючен ным поел едова -тельно с сеткой. Тепловые шумы на этом сопротивлении соответствуют шумам, наблюдавшимся экспериментально.
В отличие от полупроводниковых триодов лампы имеют сетки, которые могут деформироваться при вибрациях. Коэффициент усиления лампы сильно зависит от особенностей меха-
нической конструкции, определяющих межэлектродную емкость. Таким образом, при вибрациях в лампах возникают микрофонные шумы. При конструировании ламп прилагается много усилий, чтобы свести эти микрофонные эффекты к минимуму [10,26].
Результаты испытаний на вибрацию часто выражают среднеквадратичной величиной выходного напряжения при непрерывной вибрации с определенными стандартными ускорениями, частотой, условиями питания лампы и анодной нагрузкой.
11.5. Коэффициент шума ламп и полупроводниковых триодов
Коэффициент шума, усиление и оптимальное сопротивление источника для различных ламповых и полупроводниковых схем сведены в табл. 11.3 и 11.4. Сравнительные зависимости коэффициента шума
416
417
ТАБЛИЦА И.З
Коэффициент шума для различных схем включения электронной лампы
Схема включения Входная проводимость Выходная проводимость Оптимальная проводимость источника Усиление Коэффициент шума
Общий ка- Г61 + Gpt + 5GT gm Gs rp +5A.
^+6Х L ^экв -(G1 + Ox)2 !+ Gs + Gs +
ТОД 4 2 |y^4-Gx[2 RL+rP /?ЭКВ|У5+6Х|2
+ Gs
Приближенное выражение gm Yl V I P Г(?1 -J- P- gm Gs gm Gs rP i + ~^7 ^5^
Общая сетка Ys + Gx+ . D L хэкв {gm + Gs+ Oi+G^) ‘ Gs ] GS ' ^KB^I^ + Gxl2
L gm + + (Gx + Gx)2] 42 x ' 1 (65+61+ 6X) P + 1
Приближенное выражение rp + 6s(p+1)2
1+ Us
[•(GH-G^. + SG^IZgfel8 1 (x2(G1 + GpZ + 5Gz) X z 1 pZg — 1 Gi + Gpi 1 1 tLL. 1
Общий анод ь p + 4?* 1 YL- + 7~ + {gm + Gz) + y^+Gx {gm + 6X)2 Gs 1 ‘' Gs 5GX /gm — Gs X2 Gs \gm + G, I + , *экв4^ + 6х|2 |gm + 6x|2G,
gm + <\+YL ' 1 Zgk I2 *' + p2 {^экв+Rpi+Rk) + + 1 Zgk + Rk |а],/ж {gm+Gx)\Y^
Приближенное gm P-gm 1+^B
выражение (P + О Gs
418
ТАБЛИЦА 11.4
Коэффициент шума для различных схем включения полупроводникового триода
Схема включения Входной импеданс Выходной импеданс Квадрат оптимального сопротивления источника
rb + re (rc + #l) А гт — ге\ 2 (гт — ге)г + (е^} (rm-]-rby+(el') (re+rb)*
Общий эмиттер - - 1 г 1 1 1 — К — 1
Ге rm+re\\^re+rb+R^ (е2е) + ^)
7(^ + гг>(1 — а)] Ге г2 2kT$rbb
Приближенное 1 (re+rb)* + -rf— +
выражение 1 а 6 1 g
Общая база _ , r rc — rm + #L re\rb . . п Гс + ГЬ 4* R L . А rm + rb \ 2 (e2e)(rm + г*)2 +(el')(re—rm)2+(e2) (re+rb)2
Гс + /Ч а + + А <^ + <e2)
Приближенное ^ + ^(1 “ а) Гс (re + rb)*+tf + ^^
выражение C / g 9
Общий коллек- . rc Ае 4~ -^l) Ь гс—<m + ''e + ^z_ re + (rZ> + X 2 (A)2 + <ee2) (rc + rby + (e2) (rft)2
v rc — rm <eP+<e2>
тор X rc + r*+^
Приближенное выражение 7 [А +^(l — + Rs Te + rbU-^ + -^ г2 I fg j_ 2^ f/>/>
6'r 1—a e (1—a)/e
Продолжений
Схема включения
Усиление
Коэффициент шума
Общий эмиттер
Приближенное выражение
«3 /?£
—;--------о--------г
Л , \
Гс \ Rs + re + rb)
1
а)+ /> + /•*(! -О]2
/ re + ГЬ + ЯЛ2 'С /re+ri + Rs\2
+ +<es> \ гт—Ге / + <ф \ Гт — Ге /
1 , Гьь |. 57 {e(re + rb + RS)2 l+ Rs + ?RS
Общая база
Приближенное выражение
Общий коллектор
Приближенное выражение
'>['> +'И1 — а) + ^]а
Г----R'Rl к ! х
U+M1-») +-f-
1
= «г
ге~^~гьО—“)+^l+
, < ge> <efe> ( re + rb + RA2 <ег> (re + rb + Rs\2 ' \ «s > \?p\ rm + rb / < e^> \ Gn + 'T, )
+ Rs)2
!+ Я,+ fj Rs
<ef> <^> ( rb+RsX frb + Rs ?
1+<ф+<фГ+ Гс ‘, + <es2>\ J Гьь a2
t = ; ₽ = jji^y ; < el> =4kTrbb Д /; < e’> = 2e (/e + 2Iee) r%Sf; < e^> = 2e a (1 — a) Ie Д /; 57 при комнат-
о ной температуре.
и эквивалентного напряжения входного шума от сопротивления источника даны на рис. 11.18.
11.6. Выбор предусилителя
После рассмотрения характеристик шума, схем включения и лампового или полупроводникового усилителя следующий шаг заключается в выборе определенного типа приемника. Три важных случая рассмотрены в табл. 11.5.
ТАБЛИЦА U.S
Выбор предусилителя
Приемник Термисторный болометр Сернисто-свин-цовое фотосопротивление Фотовольтаический антимонид индия
Типичное внутреннее сопротивление ...... 2 Мом 0,5 Мом 2 ком
Типичная рабочая частота 80 гц 1 кгц 1 кгц
Коэффициент шума приемника . 1.2=0,8 дб 10=10 дб 3=4,8 дб
Коэффициент шума схемы подключения приемника, непосредственное подключение 2,0=3 дб 2,0=3 дб 1,0=0 дб
Коэффициент шума схемы подключения приемника, трансформаторный вход 1,0=0 дб 1,0=0 дб 1,0=0 дб
Коэффициент шума лампы-триода, непосредственное подключение: F2 Р13 • • 1,33=1,2 дб 2,66=4,2 дб 1,09=0,3 дб 2,18=3,4 дб 2,57=4,1 дб 5,14=7,1 дб
Триод или пентод, общий анод, трансформаторный вход: f2 F13 1,002=0,01 дб 1,004=0,02 дб 1,002=0,01 дб 1,004=0,02 дб 1,002=0,01 дб 1,004=0,02 дб
Полупроводниковый триод, непосредственное подключение: F2 F13 100=20 дб 200=23 дб 25=14 дб 50=17 дб 1,6=2 дб 1,6=2 дб
Полупроводниковый триод, трансформаторный вход: f2 F13 2,5=4,0 дб 2,6=4,1 дб 1,6=2 дб 1,6=2 дб 1,6=2 дб 1,6=2 дб
Коэффициент шума полупроводникового триода с трансформаторным входом по отношению к шуму приемника F13 . . . 2,3=3,6 дб 1,06=0,25 дб 1,2=0,8 дб
4 20
В первом случае приемником является полупроводниковый болометр (термистор) (§5.3). Эти приемники имеют высокое внутреннее сопротивление порядка 2,5 Мом для приемника с квадратной чувствительной площадкой. Два термистора используются вместе. Один из них не облучается и служит для компенсации температурных колебаний. Соединяются два приемника параллельно. Сопротивление может быть подобрано в зависимости от конкретных условий применения путем использования прямоугольных чувствительных площадок с соответствующим соотношением сторон. Величина внутреннего сопротивления обычно лежит в пределах от 125 ком до 12,5 Мом в зависимости от того, с длинной или с короткой стороны чувствительной полосы сделаны выводы. Напряжение шумов болометра примерно в 1,2 раза (0,8 дб) превышает напряжение тепловых шумов. Постоянная времени этих приемников велика, как что обычно они работают на частотах меньше 100 гц, типичная рабочая частота 80 гц.
Предусилитель болометра предпочтительнее делать на электронных лампах. Если болометр используется в лабораторных условиях, выбор предусилителя такого типа не создает затруднений в работе. Из кривых рис. 11.14 и 11.15 ясно, что триод 12АХ7 на частоте 80 гц будет иметь эквивалентное сопротивление шумов между примерно 2,5 и 60 ком. Упрощенная формула
F=1 + 4g-B
показывает, что для внутреннего сопротивления источника порядка 1 Мом значение коэффициента шума будет от 1,0025 до 1,06. Усиление по мощности для триода на этих частотах будет порядка 104 как для усилителей с общим анодом, так и для усилителей с общим катодом, так что влияние шума второго каскада пренебрежимо мало. Можно использовать любую схему включения лампы, хотя схема с общей сеткой наименее желательна.
В качестве примера рассмотрим предусилитель на лампе 12АХ7. Первая половина этого двойного триода соединена по схеме с общим катодом, вторая работает как усилитель с общим анодом, чтобы получить низкое выходное сопротивление. Если в первом каскаде /^=0,5 ма, 7?д=100 ком, 7?Экв=20 ком, Gpi = =0,02 мкмо, GT=0,01 мкмо, G^=0,5-10~6 (из-за утечки сетки), |ы = 100 и £т=1,25-10~3 мо, что соответствует весьма умеренной оценке,
'ТО
F 1-L^1 i 1 /i i
Лз= 1 +-----— + —Gr~+~G7Gr'
где Fr и Gi — коэффициент шума и усиление схемы включения приемника:
421
р
Л = 1+ = 2, G, =
Rl
-^R- = °’5’
Ro
F2 и G2 — коэффициент шума и усиление первой половины триода.
Из табл. 11.3
56 R I Fs
Т I di\D J о
’gT’1 g
= 1,33.
Читатели, знакомые с конструированием малошумящих предусилителей на радиочастотах, заметят, что Gx, которая пропорциональна квадрату частоты, в этом случае не важна.
Sm Gs rp Rl
(Gs + ^№ + rp)
3,5-104,
F3— коэффициент шума второго каскада усиления с учетом сопротивления утечки сетки, равного 1 Мом,
р __ 1 6g Gpi i 56т /ёт ^s\ i ^экв | |2
3“ Ф Gs^ Gs ^-0;\§гп + 0х/ + (^ + GT)2GS ’
Ys = Yl + ~ = 2,25 -10-5 mo, rp
Fs=\,№,
общий коэффициент шума будет равен
F13= 1 + 1 +0,66 + Ю“5=2,66 (или 4,25 дб)
и доминирующее влияние на него будет оказывать шум схемы включения приемника в первом каскаде.
Первая половина триода 12АХ7 имеет входную емкость около 1,6 пф. Эффективная емкость, получающаяся на входе благодаря эффекту Миллера [29], будет поэтому приблизительно равна усилению по напряжению первого каскада, умноженному на 1,6 пф. Эта емкость примерно равна 120 пф, что при частоте 80 гц дает реактивное сопротивление около 16 Мом. Поэтому им можно пренебречь по сравнению с сопротивлением утечки сетки 2 Мом.
На частотах, в 10 раз больших, эта емкость начнет ослаблять сигнал. Появляющаяся на аноде часть шумов лампы, включающая дробовые и большинство добавочных шумов, будет ослабляться меньше, так что коэффициент шума, так же как и коэффициент усиления, будет уменьшаться. Этот эффект в формулах табл. 11.3, определяющих коэффициент шума, учитывается введением шунтирующей емкости в эффективную проводимость источника Ys. Если в схеме с общим катодом входная емкость играет существенную’ 422
роль целесообразно применить схему с общим анодом, при этом усиление по напряжению будет 1, а усиление по току велико и, следовательно, коэффициент усиления по мощности окажется достаточно большим, чтобы шумы второго каскада были несущественны. Несколько худшее решение получается при использовании в качестве первого каскада пентода, который имеет меньшую входную емкость, но большее 7?Экв.
В некоторых случаях соображения экономии мощности, вибрационные, весовые и габаритные ограничения делают целесообразным использование полупроводниковых предусилителей. Даже если бы болометр мог работать на частоте 1000 гц, непосредственное подключение его к германиевому триоду при нормальном токе смещения дало бы значение коэффициента шума порядка 100, а к кремниевому триоду — от 5 до 10. При частоте 80 гц результаты будут еще хуже. Существование добавочных шумов (в практических схемах) приводит к тому, что коэффициент шума при сопротивлении 1 Мом не увеличивается в столь значительной степени, как при более низком внутреннем сопротивлении источника, но результат получается все же достаточно плохой.
Одно из возможных решений заключается в использовании прямоугольного термистора с большим отношением сторон и выводами с более широкой стороны для уменьшения внутреннего сопротивления. Этот метод может потребовать значительного изменения конструкции оптической системы, которая должна обеспечить облучение приемника такой формы. Если особенности применения позволяют использовать трансформаторный вход, то весьма целесообразно использование хорошего трансформатора, специально рассчитанного на 80 гц. Дополнительный шум полупроводникового триода можно в принципе рассматривать как добавку к шумам генератора тока шумов коллектора. Таким образом, оптимальное сопротивление источника будет несколько уменьшено по сравнению со случаем более высоких частот. Точный оптимум может быть найден экспериментально. Оптимальным следует считать трансформатор с коэффициентом трансформации 30 : 1. Первичная обмотка трансформатора будет иметь омическое сопротивление около 1 ком, так что ее влияние как на коэффициент шума, так и на коэффициент усиления по мощности мало; величина этих параметров определяется самим триодом. Компенсационный элемент термистора может и не понадобиться, если изменения окружающей температуры происходят медленно по сравнению с нижним пределом частот сигналов, представляющих интерес.
Для получения максимально возможного усиления по мощности триод следует использовать в схеме с общим эмиттером. Если для перехода ко второму каскаду используется 7?С-связь, то сопротивление нагрузки первого каскада должно быть как можно большим и стабильность смещения как можно лучше, потому что коэффициент усиления первого каскада пропорционален R2L, в то время как ко
423-
эффициент шума второго каскада приблизительно пропорционален лишь первой степени Rl-
Например, значения коэффициента шума кремниевого триода TI929, показанные на рис. 11.7, измерялись в полосе частот с резонансной частотой 80 гц. Если температурный режим работы в данном конкретном случае позволяет использовать токи эмиттера порядка 100 мка, то при внутреннем сопротивлении источника « 2 ком можно получить коэффициент шума порядка 4 дб*\
В уравнении
г Р __ 1 1^1 1 I ^2 1 I ^3 1 /11 о\
/13-1 + —j— + —g^ + ^gTgJ (lh3)
и Gx— коэффициент шума и коэффициент усиления трансформатора связи, который имеет сопротивление ком:
Fx'= 1 +4Г= 1,002 «1,
АО
/г, G2 — коэффициент шума и коэффициент усиления первого полупроводникового каскада:
/•2«2,5,
(j2- --- ------—------------------------------ .
гс (1 + + U ~ “) + + г» (1 ~“)]а
При токе эмиттера 100 мка и напряжении коллектор — эмиттер 5 в, а, — 0,98, р « 53, ге« 150 ом, rb«7000 ом, гсш33 Мом для /?л=50 ком и 2 ком, получаем G2=150. Fs — коэффициент шума второго каскада, идущего от нагрузки примерно 50 ком:
Л, «10.
Таким образом, общий коэффициент шума
Лз = 1 + 0,002 + 1,5 + « 2,56,
т. е. сравним с коэффициентом шума схемы непосредственного подключения триода. Если триод может работать при токе эмиттера 30 мка, то F13 уменьшится до 1,68, что лучше, чем для схемы непосредственного подключения.
*) Или лучшие значения при более высоком сопротивлении, если можно использовать меньшие токи.
424
Далее в табл. 11.5 рассмотрены предусилители для сернисто-свинцовых фотосопротивлений, и фотовольтаических приемников InSb. Сернисто-свинцовые фотосопротивления менее инерционны, чем болометры, и могут работать (§5.7) на частотах от200 до 2000гц, что позволяет снизить избыточные шумы. Внутреннее сопротивление приемников PbS того же порядка, что и у болометров, но обычно немного ниже, что приводит к некоторому росту коэффициента шума схемы непосредственного включения электронной лампы и уменьшает коэффициент шума при непосредственном подключении к полупроводниковому триоду. Интересной особенностью сернисто-свин-цовых фотосопротивлений в этой схеме является их уровень шума, который зависит от напряжения, поданного на приемник, но может в десятки и сотни раз превышать тепловой шум. Соответственно коэффициент шума предусилителя по отношению к шумам приемника оказывается для фотосопротивлений PbS сильно заниженным.
Антимонид индия — приемник с более низким внутренним сопротивлением, поэтому его удобно применять с полупроводниковыми предусилителями. Постоянная времени этого приемника мала и InSb может работать на частотах до сотен килогерц. В табл. 11.5 рассмотрен приемник InSb фотовольтаического типа, который может быть непосредственно подключен к предусилителю как генератор тока. Можно использовать большое сопротивление смещения» поскольку его шумы шунтируются самим приемником, так что
Л=1 + А-«1,
Rl
Так как внутреннее сопротивление приемника всегда хорошо согласовано с сопротивлением полупроводникового триода, трансформаторный вход в этом случае не дает заметных преимуществ.
11.7. Конструкция предусилителей
После аналитического расчета схемы включения приемника и предусилителя необходимо тщательно разобрать их конструкцию, чтобы достигнуть расчетных характеристик. При этом, как и при конструировании любой электронной схемы, разрабатываются отдельные блоки, решаются вопросы экранировки, обеспечивается отсутствие замыканий на землю, температурная стабильность и т. д., а кроме того, рассматриваются специфические вопросы, связанные с очень низкими уровнями мощности сигналов, свойственными предусилителям инфракрасной аппаратуы.
Первый шаг — выбор отдельных элементов схемы. Если решено применить электронные лампы, то прежде всего нужно посмотреть,
425
обеспечивают ли они устойчивость аппаратуры против микрофонного эффекта. Многие инфракрасные системы подвергаются в процессе работы весьма существенным вибрациям. Во многих случаях это особенно относится к предусилителю, поскольку часто он должен перемещаться вместе с приемником излучения, обеспечивая в той или иной форме механическое сканирование поля обзора. К счастью, миниатюрные лампы, применяемые большей частью в предусилителях в связи с требованиями малогабаритности, обладают прочной конструкцией и туго натянутыми сваренными точечной сваркой хорошо укрепленными сетками. Они сравнительно устойчивы против микрофонного эффекта на представляющих интерес звуковых частотах. Хорошие результаты дают такие лампы, как 6ВУ4, 6021, 6247 и особенно 6533.
Полупроводниковые триоды в принципе устойчивы против микрофонного эффекта. Кроме уже упоминавшихся типов обычно применяются кремниевые триоды 2N 929 и 930 (Texas Instruments) и германиевый триод 2N535B (Philco). Германиевые триоды обладают обычно меньшими шумами, чем кремниевые, но зато их труднее стабилизировать при температурных изменениях. Наименьший коэффициент шума германиевых триодов получается при работе с источником, внутреннее сопротивление которого около 1 ком. Для кремниевых триодов оптимальное сопротивление источника 5—10 ком. Сопротивления в первых двух каскадах должно быть малошумящего типа, чтобы исключить добавочные токовые шумы, связанные с угольными сопротивлениями. Конденсаторы должны выбираться стабильные, без микрофонного эффекта. Электролитические конденсаторы с их склонностью к пробоям крайне нежелательны.
Если нужно применять трансформаторы, их следует тщательно экранировать от рассеянных магнитных полей. Трансформаторы наматываются обычно на тороидальные сердечники с высокой магнитной проницаемостью, чтобы свести к минимуму индуктивность рассеяния. Для достижения максимально возможной механической прочности обмотки пропитываются в вакууме компаундом. Конструкция трансформатора должна соответствовать полосе частот предусилителя. Чтобы избежать применения трансформатора из-за больших трудностей его использования в условиях значительных вибраций, предпочитают специально изготовить приемник с нужным внутренним сопротивлением, выбрав соответствующее соотношение сторон с выводами с определенной стороны или нанося на поверхность приемника несколько тонких электродов в форме сетки. Для обеспечения оптимального внутреннего сопротивления источника и хорошего значения коэффициента шума иногда можно использовать кремниевые триоды при очень низких токах эмиттера. Возможность использования этого метода зависит от окружающей температуры и поддержания усиления на надлежащем уровне при низких токах.
Особенно важным является выбор соединительного кабеля. Простой экранированный кабель под воздействием вибрации и перегибов изменяет свою емкость, кроме того, на поверхности изоляции 426
в результате трения с центральной жилой или экранирующей оплеткой могут индуцироваться заряды. Если приемник соединен с предусилителем кабелем, вдоль изоляции кабеля может возникнуть разность потенциалов. Следовательно, изменения в емкости приводят к росту токов, текущих через нагрузку и проявляющихся как нежелательные напряжения. Одной из фирм [28] удалось уменьшить эти эффекты, изготовив кабели с проводящим покрытием на изолирующем слое, примыкающем как к экранирующей оплетке, так, насколько это возможно, и к центральной проводящей жиле. Эти покрытия рассеивают индуцированные трением заряды и способствуют поддержанию постоянной емкости.
Третьим важным вопросом является разработка самой конструкции. Предусилитель располагают обычно в непосредственной близости к приемнику, чтобы устранить наводки на кабели. Это часто приводит к тому, что предусилитель оказывается близко к электродвигателю, обеспечивающему сканирование, и к другим источникам полей рассеяния. Поскольку входное сопротивление может быть высоким, последнее обстоятельство требует очень тщательной экранировки и, несмотря на сравнительно низкие рабочие частоты, очень компактной конструкции схемы.
Экранировка от магнитных полей представляет зачастую весьма сложную проблему. Даже электростатическая экранировка самого приемника — уже нелегкая задача. Иногда на выходе приемника ставят катодный повторитель, чтобы уменьшить зарядный ток паразитной емкости приемника. В случае охлаждаемых приемников шумы могут возникать также в результате быстрых температурных флюктуаций, микрофонного эффекта за счет вибраций криостата и приемника, за счет кипения криогенной жидкости и вибрации выводов приемника, приводящей к изменению емкости между выводами и близко расположенными элементами конструкции.
Эти трудности заставляют предъявлять повышенные требования к механическим характеристикам по сравнению с обычными требованиями к конструированию электронных блоков.
Кроме тщательной отработки усилительной схемы необходимо предусмотреть развязывающие и сглаживающие фильтры в схеме питания, особенно приемника и первых каскадов. Часть или все полосовые фильтры часто вводятся в предусилитель, чтобы уже на низких уровнях напряжения устранить пульсации источника питания, сигналы на частоте сканирования и нестационарные процессы, связанные с неравномерностью фонов, прежде чем какие-либо нелинейности схемы увеличат шумы, обусловленные взаимодействием сигналов и шумов.
В системах, работающих на очень низких частотах, следует обращать внимание на термо-э. д. с., возникающие при изменениях температуры на стыках разнородных металлов.
427
11.8. Электронная фильтрация
В предыдущих параграфах этой главы рассматривалось конструирование частей электронной схемы, производящих первичную обработку сигналов, причем основное требование к этим первым частям схемы — свести к минимуму добавляемый ими шум на выходе системы. При этом предполагалось, что шумы ограничены определенной полосой электрических частот. Таким образом, считалось, что все частотные компоненты сигнала, который нужно принять, лежат в этой ограниченной полосе частот. Шумы в этой полосе, конечно, смешиваются с сигналом, но на всех других частотах они при разумной схеме могут быть устранены без заметного ухудшения условий приема полезных сигналов. Несколько следующих параграфов посвящены более детальному рассмотрению способов выбора нужной полосы частот и формы частотной характеристики аппаратуры в этой полосе.
Рассмотрим два различных типа систем. Назначение систем первого типа — обнаружить наличие некоторого события в поле зрения, например появление случайного самолета, могущего столкнуться с рейсовым, возникновение лесного пожара или присутствие водяных паров в исследуемом газе при спектральном анализе. Эти системы должны выдавать альтернативные решения —присутствует или нет событие, на основе оценки величины сигнала. Системы второго типа должны не только установить наличие сигнала, нои определить его форму. Примерами систем такого типа являются сканирующие камеры, аппаратура для снятия тепловых карт, сканирующие спектрометры.
Системы первого типа обычно могут в процессе работы сильно искажать сигнал. Их единственной целью является принять правильное решение (о наличии или отсутствии сигнала), используя максимум априорной информации о характере ожидаемого сигнала. Электронная схема таких систем должна быть рассчитана так, чтобы максимизировать отношение сигнала к шуму. Можно показать (гл. 13), что фильтр, максимизирующий вероятность правильного решения, будет обеспечивать и максимум отношения сигнала к шуму. Расчет фильтров для этих систем рассмотрен в § 11.9 и 11.10.
Системы второго типа должны воспроизводить сигнал как можно более точно с минимальным ухудшением за счет систематических искажений и шумов. Такое назначение систем определяет основные требования к особенности фильтрации, которые и изложены в § 11.11 и 11.12.
11.9. Фильтры для обнаружения сигналов
В системе, которая должна обнаружить событие, назначение фильтра состоит в максимизации отношения сигнала к шуму, причем искажение формы сигнала не играет роли (§ 13.1). В этом параграфе будет рассмотрен теоретически оптимальный фильтр для до-428
стижения указанной цели. Сначала найдем развернутую формулу, определяющую отношение сигнала к шуму на выходе любого произвольного фильтра, а затем выберем фильтр, максимизирующий это отношение.
Рассмотрим линейный не изменяющийся во времени фильтр, напряжение на выходе которого, вызванное входным импульсом единичной интенсивности 6(/) описывается функцией а(/).
Преобразование Фурье функции a(t) называется передаточной функцией фильтра:
A(f) = j (11.33)
— оо
Однако если речь идет о фильтре, который может быть реально построен, то реакция на выходе фильтра на входной импульс б (/), наблюдающийся в момент t=Q, сможет возникнуть, только когда время станет />0. Следовательно, при /<0, а(^) = 0 и
A(f) = J o(/)e-W'dL о
Далее, если на вход фильтра подано напряжение х(/), то на выходе получится (приложение А)
t
y(t) = J a(k)x(t — k)dk (11.34)
О
с преобразованием Y (f)=X (/) A (f) так, что, используя обратное преобразование,
оо
f X(f)A(f)e^f‘df. (11.35)
— оо
Эту формулу в принципе всегда можно использовать для нахождения сигнала на выходе фильтра с известными параметрами, на вход которого подан известный сигнал. Некоторые характерные примеры сбудут рассмотрены в следующем параграфе.
Шум на выходе фильтра может быть задан его спектральной плотностью мощности (в предположении, что средний уровень равен нулю и функция распределения плотности вероятностей — гауссовская). Если спектральная плотность мощности шума на входе равна | Afx(/)|2, т0 в соответствии с рассмотренным в приложении А специальным случаем выходной спектр определится как
1^у(/)|2=|^(/)|2|Л(/)|2
и дисперсия (квадрат среднеквадратичного значения) шума на выходе будет равна
(п2(/))= J \Nx(f)\2\A(f)\2df. (11.36)
— оо
429
Таким образом, квадрат отношения напряжений сигнала к шуму на выходе фильтра определится как | у (/) |2 *>, деленное на
1У (О I2
f X (/) А (/) e'^df
—оо_______________
7 IЛМП I21 л (/) |М/
— ОО
(11.37)
Выражение (11.37) и является точной формулой для отношения сигнала к шуму. Для проведения расчетов необходимо знать точную форму сигнала х(/) или его преобразования Х(/), спектральную плотность мощности шума на входе | Af(/) |2 и точную форму функции a(t) или ее преобразования — передаточной функции фильтра Л(/). Функцию A(f) можно представить себе так же, как отношение сигнала на выходе фильтра к сигналу на его входе на различных частотах:
л xf (f) ’
так что если для некоторого входного процесса X'(f), который не становится слишком малым в диапазоне частот, представляющих интерес, известно то A(f) можно найти делением. Удобно использовать импульсный входной сигнал, потому что в этом случае Х'(/) = 1.
Максимизация отношения сигнала к шуму. Следующей задачей является выбор такого значения функции A(f), чтобы отношение сигнала к шуму было максимальным. Это будет сделано в два этапа.
Рис. 11.16. Согласованный фильтр, максимизирующий отношение сигнала к шуму для сигнала с преобразованием X (f) и спектра шумов \ N I2.
Сначала будем считать фильтр состоящим из каскада трех фильтров. [11] (рис. 11.16). Передаточная функция первого фильтра такова, что спектр плотности мощности шума на его выходе постоянен в
*) Абсолютное значение берется потому, что обычно неважно положительным или отрицательным является импульс, который нужно обнаружить.. 430
диапазоне частот*’ от Д до /2, в котором значения [Л^л(/)|2 заметно отличаются от нуля:
Д/-2
IA(Z)|2 = T^W’ 1^(/)12>о,
(11.38)
где Af0— константа, соответствующая значению | Л\(/)| на частоте f0.
Квадраты напряжений сигнала и шума на выходе этого фильтра равны
(И-39)
|ЛШ!2=Л^ ™ = 4 (11-40)
Второй и третий фильтры вместе должны теперь максимизировать отношение
I У (0 I2 (ЛуЮ)
— оо
j |л2(() л3(012Л'^/
— со
(П-41)
Здесь мы используем неравенство Шварца [12], согласно которому, если p(z) и q (г) есть такие две комплексные функции действительного переменного z, что существуют все интегралы, написанные ниже в (11.42), то
ь
$ p(z)q(z)dz
а
2 b b
< J|p(z) \2dz §\q(z)\2dz. а а
(11.42)
Равенство получается, когда
Р q (z) = | р (z) 11 q (z) |=c (z) \p (z) |2 = , (11.43)
I ? (г) I I P (г) |
где c (z) =
Это неравенство представляет одну из форм теоремы векторного анализа, согласно которой скалярное произведение двух векторов не может быть больше, чем произведение их величин . Смысл соотношений (11.42) и (11.43) становится очевидным, если рассматривать p(z) и q(z) как векторы с очень большим числом компонентов, соответствующих их описанию в некотором пространстве выборок (§13.10), например их описанию с помощью коэффициентов Фурье.
*) Могут быть случаи, когда спектр плотности мощности шума образует несколько раздельных полос. Тогда нужно рассмотреть несколько частотных диапазонов: f1</</:2, f3<f<fi и т. д.
431
Используя (11.42) и (11.43), можно заменить в числителе формулы (11.41)
А (/) Л (/) = <?(*)•
Тогда квадрат отношения сигнала к шуму в соответствии с (11.42) будет равен
Т I Xi (f) I2 df Т | А2 (f) |2 | А3 (f) I2 df
I У (0I8 _Joo__________________-оо_______________________
(пу(/)) N% J I а2 (/) I21 A3 (/) I2 df
OO
C 1*1 (D IM
J N2°
— OO
и в соответствии с (11.39)
IУ (О I2 . 7 I X (f) I2
(11.44)
В соответствии с уравнением (11.43) максимум наблюдается для фильтра, для которого
В этом случае величина С (/) = | Л2 (/) А3 (/) | / [ (/) | связана
с коэффициентом усиления фильтра по напряжению и с уровнем входного напряжения (но не с фазовыми их характеристиками). Коэффициент усиления | Л2 (/) А3 (/) | является одной из характеристик фильтра, которую нужно выбрать. Выберем С (f) так, чтобы она была постоянной и равнялась Со. Тогда
А2 (/) Лз (f) = Со Xj (/) е~/2^ = Со No
Наконец, A2(f) выберем так, чтобы она была величиной, обратной А(/):
1А(/)|2 =
IAMDI2
Л'о
по всему интервалу частот, тогда
Л (f)=C0Xg (11.45)
Заметим, что наш выбор C(f) требует, чтобы |Л2(/) Л3(/)|=С0 |Х,(/) |. Рассматривая рис. 11.16, можно видеть, что Лх(/) и Л2(/) взаимно сокращаются. Остается только блок, определяющий Л3(/), который и представляет требуемый фильтр.
432
Для интерпретации уравнения (11.45) представим на минуту, что | Nx(f) |2 равно в рассматриваемой полосе частот постоянной величине No. Тогда обратное преобразование от A3(f) [которое, как легко видеть, равно в этом случае обратному преобразованию от A(f), т. е. а(/)] равно
ОО
а (/0) = С0 J X* (/) e^df, — ОО
а(/)=х(/0 —/), (11.46)
где to — время с момента подачи сигнала на вход фильтра до момента измерения отношения сигнала к шуму. Для импульсного сигнала t0 следует выбирать равным продолжительности сигнала, чтобы использовать его целиком. Тогда подставляя (11.46) в (11.34), получим на выходе наилучшего фильтра
/о
у (t0)—§ х (k) х (t0 —k) dk. (11.47)
О
Можно видеть, что выражение (11.47) соответствует автокорреляционной функции сигнала. Если | Л/х(/)|2 не является постоянной, то уравнение (11.47) уточняется с помощью весовых частотных компонентов сигнала. Тем частотам, для которых отношение энергии сигнала к энергии шума наибольшее, придается больший вес.
Если |Л^(/)|2 постоянно, то уравнение (11.44) может быть интерпретировано в том смысле, что максимальное отношение сигнала к шуму, которое удается достигнуть с помощью линейного фильтра, работающего при заданных спектрах сигнала и шума, равно части энергии сигнала, заключающейся в интервале времени от 0 до t0, деленной на мощность шума в единичном интервале полосы пропускания. Если [Л^х(/)|2 непостоянно, следует использовать среднюю мощность шумов на единицу полосы пропускания.
Резюмируя, можно сказать, что мы нашли оптимальный линейный не меняющийся во времени фильтр для максимизации отношения сигнала к шуму при данном определенном сигнале и данном спектре плотности мощности шума. Если спектр шума постоянный, то таким фильтром является фильтр, импульсная характеристика которого представляет собой изображение сигнала во времени, так что фильтрация эквивалентна нахождению корреляции с ожидаемым сигналом. Максимальное отношение сигнала к шуму равно максимальной величине автокорреляционной функции сигнала ( его энергии), деленной на шум в единичной полосе пропускания. Если шум не белый, то передаточная функция фильтра преобразуется для частот с более высокими начальными отношениями сигнала к шуму. В частном случае, когда шум в диапазоне частот сигнала имеет спектр
15 Зак. 1502
433
то получается, что наилучший фильтр имеет характеристику в виде ступенчатой функции, представляющей временное изображение сигнала [13].
Фильтры вида, определяемого уравнениями (11.45) и (11.46), на практике точно воспроизвести трудно, а если это и удается сделать, то они получаются слишком сложными. Обычно применяют фильтры, лишь приближенно соответствующие им. Приближенная форма соответствует форме, определяемой уравнением (11.44). Такой фильтр рассмотрен в следующем параграфе.
11.10. Простой фильтр
Фильтр, часто используемый для обеспечения полосы пропуска-
ния инфракрасной системы, представляет собой параллельный настроенный контур, показанный на рис. 11.17. Сигнал, воспринима
емый многими поисковыми системами, хорошо аппроксимируется
серией синусоидальных импульсов, показанной на рисунке. Чтобы не усложнять чрезмерно разработку, фильтр настраивают на частоту этих синусоидальных импульсов, a Q берут примерно равным 1/7", где Т — продолжительность серии. В этом параграфе и будут рассмотрены свойства такого фильтра.
Легко показать, что передаточная функция фильтра будет
(11.48)
где введены следующие обозначения:
«2 ____!__
/о ~ u2LC ’
Рис. 11.17. Простой полосовой фильтр, последовательность импуль- q________ Ri R% ___ Rz^fo C
сов и свертка. (Ri +Rs) L R1 + R2 ’
Другая возможная форма, более резонансной частоты и затухания:
ясно показывающая роль
__________Я_________ (я ~2^) +fo(1 “4Q2
(11.48а)
2^7?! с
434
Сравнивая (11.48) с таблицами [14] преобразований Лапласа или Фурье, найдем
2л/0 t (1
(11.49)
где
<р = arctg
/ 1 \ 1/2
V “ 4Q2 )
Заметим, что уравнение (11.49) изображает серию синусоидальных импульсов, похожую на сигнал. Различие, кроме коэффициента, определяющего амплитуду, заключается в том, что вместо постоянной в конечном промежутке времени Т амплитуды, резко спадающей до нуля за пределами этого промежутка, характеристика фильтра экспоненциально затухает с постоянной времени Q/nf0. Кроме того, характеристика фильтра имеет фазовый сдвиг arctg[—(4Q2—1)’М, который заключен между л и л/2 и приближается к л/2, когда Q увеличивается.
Сигнал можно обычно рассматривать как разность двух бесконечно длинных серий синусоидальных импульсов, одна из которых начинается через промежуток времени Т после другой:
0 /<0,
х (/) = х sin 2л/\ t 0 < t Т = пТ1г
xsin2n/x/ — xsin2n/i(/ — Т) Т <1. Тогда на выходе фильтра, используя симметричную уравнения (11.34), получим t
у (/) = I ___хе ^"k/2Q 1 sin (2л/х &+ф) х (t — k) dk,
С fl — 4Q2 )
(11.50)
форму
(11.51)
где предполагается, что фильтр настроен на частоту flt а фазовый сдвиг обозначен через <р. Преобразование может быть записано и в другой форме:
Х(/) =
fi
2-(f2,~f2) к(1-е~^Г)
0
т,
(11.52)
t OQ.
Тогда напряжение на выходе фильтра можно найти, перемножая (11.52) и (11.48) и производя обратное преобразование [14]. Чтобы облегчить сравнение с согласованным фильтром, произведем свертку, используя (11.51).
15*
435
На рис. 11.17 показаны сигнал x(f), характеристика фильтра a(t) и изображение сигнала x(t— k). Для нахождения этого изображения сначала изменяется на противоположное направление оси абсцисс, так что сигнал изображается, как х(—k), а затем сигнал сдвигается на расстояние t вправо. Первый член в подынтегральном выражении уравнения (11.51) представляет собой произведение a(t) на x(t — k). Чтобы найти y(f) для области от t = 0 до t = Т, нужно последовательно сдвигать изображение сигнала в соответствующие положения, образовывать в каждом положении произведения и интегрировать. Каждое положение изображения дает одну точку на окончательной кривой формы сигнала.
В первом положении t немного больше нуля. Это значит, что изображение сигнала на линии 4 рис. 11.17 почти все время будет сдвигаться влево относительно точки k = 0. Умножение и интегрирование даст величину, отличную от нуля только на небольшой части первой четверти цикла a(t) с небольшой крайней правой частью полуцикла изображения сигнала. Обе эти величины положительны, так что y(t) начинается положительной четвертью цикла. Последовательные точки y(t) получаются путем последовательных сдвигов изображения сигнала вправо.
В интервале от t = 0 до t — Т амплитуда на выходе увеличивается по закону 1 — exp(2jtf0//2Q). Эта функция все время растет с уменьшающейся скоростью, потому что в каждом полуЦикле a(t) немного меньше, чем в предыдущем.
При t = Т используется весь сигнал. После t = Т изображение сигнала сдвигается все дальше и дальше вправо, встречая меньшие амплитуды импульсной характеристики. Выходная величина y(t) теперь затухает по экспоненте exp(2jtf0//2Q).
Максимальная величина напряжения на выходе наблюдается при Т = пТг —qp, где сер—фазовый угол импульсной характеристики контура. При больших значениях Q сер ж от/2.
Выходное напряжение в окрестностях максимума определяется соотношением
= (IL53) где
Ks = D {е—'72~"е<7'рс [— q coscp (1 — с) + 2 sin <р (1 — с)] +
+ [q cos <р (1 +с) — 2 sin ф (14-с)] +
+ cos <р (1 - с) (е-?2от ew-1
п W Я2 + 4 ’
q =-------—775. (11.56)
(4Q2 -11/2
(11.54)
(11.55)
436
Максимальные значения Ks в функции Q для различной продолжительности п серии импульсов показаны на рис. 11.18. На рис. 11.18 показано также преобразование сигнала простым фильтром. Рас-
смотрим теперь преобразование шума. Среднеквадратичное напряжение шума на выходе, обусловленное спектром плотности мощности шума |Л/’л:(/)|2, на входе равно
ОО
<«у(0)= J |AUf)IW)|Mf. — оо
В случае, когда | Nx (f) |2 постоянно в полосе частот, в которой А (/) заметно больше нуля, положим, что
JV?
I (f) I2 = • (Коэффи-
циент 1/2 введен потому, что N2 часто определяют в пределах от 0 до оо вместо того, чтобы определять N2 от —оо до оо. Взяв N2/2, мы подчеркиваем, что спектр «односторонний».)
7 2 3 5 Ю 20 30 50 100
Добротность настроенного контура О
Рис. 11.18. Коэффициент максимальной амплитуды сигнала Ks и характеристика отношения сигнала к шуму для настроенного контура с добротностью Q, служащего фильтром для последовательности из п синусоидальных импульсов.
Используя уравнение (11.48), получим
ОО
<»?(*)) = 4Ц(^У-----------------------// (п-в?)
V \ / о / /
— оо
Интеграл в (11.57) легко вычислить (например, методом вычетов):
(11.58)
В этом отношении
Wi — спектральная плотность мощности шума (односторонняя), в2/гц',
f0/Q — ширина полосы пропускания настроенного контура по половинной мощности (односторонняя);
Rfi/iRi+Rt) — делитель напряжения на сопротивлениях;
л/2 — множитель, корректирующий ширину полосы по половинной мощности на эквивалентную прямоугольную полосу.
437
Тогда, комбинируя (11.58) и (11.56), получим для отношения напряжений сигнала к шуму на выходе
Т?2 X
\ 1/2 Г
_У___________
2x1/2 у)
R2
R1 + %2
= 2^. /Vi
Точный согласованный фильтр для этого сигнала будет отличаться от простого фильтра тем, что его импульсная характеристика не затухает по экспоненте. Импульсная характеристика идеального фильтра будет иметь постоянные максимальные амплитуды в интервале времени, равном продолжительности сигнала, и затем резко обрываться. Это основное его преимущество по сравнению с простым фильтром.
Из уравнения (11.44), подставляя Nx(f)2 = 2V?/2 и учитывая, что
оо т
— оо о
получим для согласованного фильтра
т
2__ ( х2 sin2 у dy
_______ х2Г л/2____~ n2{
“2“
У___
2.1/2
о
так что максимум отношения
У
сигнала к шуму для него равен
_ хУт
Сравнивая (11.59) и (11.60) и подставляя fQT=n
Отношение напряжения сигнала к шуму: настроенный контур __
Отношение напряжения сигнала к шуму: согласованный фильтр
/2Q\i/2_
(11.60)
Для различных случаев лучшее значение этого отношения можно оценить из рис. 11.18. Например, для серии из 5 циклов хорошим значением Q будет Q 11,5. Для такого значения Q коэффициент Kd~ 0,9 и, таким образом, этот очень простой фильтр обеспечивает до 90% оптимального отношения сигнала к шуму, получающегося с идеальным фильтром.
11.11. Фильтрация при воспроизведении
В предыдущих двух параграфах излагались основные соображения по разработке фильтров главным образом для поисковых систем. Некоторые другие системы, в частности следящие системы, 438
системы самонаведения и сканирующие камеры, разрабатываются для других целей и получают начальную информацию другого типа. Назовем здесь такие системы системами воспроизведения.
Рассмотрим снаряд с головкой самонаведения, преследующий движущуюся цель. Цель обнаружена до пуска снаряда. Таким образом, в отличие от поисковой системы головка самонаведения «знает» заранее положение цели. Однако дальнейший курс цели заранее не известен. Цель маневрирует, и сам снаряд может полететь по неправильной траектории из-за турбулентности атмосферы, колебаний режима силовой установки или по другим причинам. Назначение головки самонаведения — направлять полет снаряда точно вслед цели, и соответственно назначение получающей информацию инфракрасной системы — измерять направление от снаряда на цель в функции времени.
Если цель присутствует и обнаруживается, то она даст определенный сигнал. Форма сигнала может быть известна заранее, хотя об амплитуде и фазе сигнала сказать этого нельзя. Фильтры для таких систем рассчитываются на обнаружение сигналов с формой определенного ограниченного вида, соответствующего ожидаемому сигналу. В следящей системе основным управляющим сигналом является относительная угловая траектория цели. Система строит некоторую электрическую аналогию этой траектории, которая искажается из-за наличия шумов. Форма электрического сигнала не может быть известна заранее. Однако обычно известно, что цель может маневрировать только с ограниченным в определенных пределах ускорением, что движение снаряда лимитируется возможностями силовой установки и моментом инерции снаряда и что предельные скорости движения наблюдаются крайне редко и т. д. Таким образом, вариации относительной траектории могут быть ограничены и наблюдаться только в определенной полосе частот. При этих частотах наблюдается также и мешающий шум, больший или меньший по отношению к сигналу; шум наблюдается и при других частотах. Задача электрической обработки — устранить, насколько это только возможно, шум и оценить истинный сигнал. В общем случае это достигается за счет пропускания той области частот, где сигнал наибольший, а шум наименьший. Нужно отметить, что если зависимость сигнала и шума от частоты одинакова, то фильтрация не может дать улучшения.
Другой пример простой системы — сканирующая камера. Этот прибор должен дать распределение лучистости картины от точки к точке в инфракрасном свете. Камера в отличие от поисковой системы проектируется так, чтобы получить, насколько это возможно, неискаженную картину хорошего качества. Разработчик такой системы обычно знает заранее лишь статистические характеристики распределения яркости (функции лучистости) картин, которые должна снимать камера, и статистические характеристики мешающих шумов. Разработчику известно также расстояние до картины (по крайней мере приблизительно) и скорость сканирования, так что,
439
имея сведения о флюктуациях лучистости, он может оценить спектр плотности мощности сигнала.
Сигнал и шумы на входе системы часто независимы и поэтому не коррелированы. Однако процесс получения электрического сигнала обычно нелинеен, и эти нелинейности приводят к тому, что шум и сигнал поступают на выходной фильтр до некоторой степени скоррелированными. Например, в системе сопровождения для прерывания приходящего излучения может использоваться растр. Этот растр кодирует направление на цель в электрические сигналы приемника. Кодирование может заключаться в наложении амплитудной и фазовой или одновременно частотной и фазовой модуляции на несущую частоту (гл. 14). После усиления и фильтрации закодированная информация выделяется детектированием, обычно нелинейным. В конце этой главы будет показано, что в выходном спектре плотности мощности в результате такой обработки содержится спектр плотности мощности сигнала, спектр плотности мощности шума и смешанные спектры, обусловленные корреляцией сигнала и шума.
Теория фильтрации в применении к некоторым проблемам, возникающим при проектировании систем воспроизведения, была разработана Винером [15] и независимо от него Колмогоровым. Эта теория в значительной мере является математической. Более легкое изложение этого вопроса дано Боде и Шэнноном [16], очень ясное и в известной мере развитое дальше представление можно найти у Лэнинга и Бэттина [17]. В последней работе приведен список литературы по этому вопросу. Здесь мы кратко остановимся на постановке задачи и выводах из этих работ и дадим пример применения теории к одной из инфракрасных систем.
Винер предполагает, что рассматриваемые сигналы и шумы представляют собой реализации стационарных случайных процессов, автокорреляционные функции и функции взаимной корреляции которых известны. Предположение о стационарности часто является оправданным применительно к инфракрасным системам, однако встречаются случаи, в частности, при рассмотрении задач сопровождения, когда статистические характеристики сигналов и шумов изменяются с расстоянием и, следовательно, во времени. Этот случай рассмотрен в применении к радиолокации Бутоном [18] и Шинб-ротом [19]. Наиболее критическим режимом является случай большого расстояния, когда отношение сигнала к шуму самое низкое.
Винер предположил далее, что фильтр должен линейно преобразовывать сигнал. Желаемый выходной сигнал в случае отсутствия шума должен быть
t
y^t)= J b0(t-x)S(x)dr, (11.61) — oo
где. линейная операция b0(t) может быть операцией, учитывающей предполагаемое изменение величины сигнала £(/) в будущем на основе тенденции, выявившейся в его предшествующем поведении, 440
оценивая это изменение за некоторое промежуточное время или величину сигнала в момент времени t или какой-либо другой операцией.
В реальном случае на вход фильтра подается не один сигнал, а сигнал s(t) вместе с шумом n(t):
и фильтр с откликом на импульс b(f) [b0(t) уже не является в этом случае наилучшим] даст на выходе функцию y(f), отличную от уо(0:
t
y(t)-= J b (t~t) x(t) dx. (11.62)
— oo
Различие между y(f) и y0(t) назовем ошибкой e(/): t
e(f)=^ J {b0(t — t)s(t) — b(t—t) [s(t)+h(t)]} dt. (11.63) — oo
Решая, какой из возможных фильтров является наилучшим, следует выбрать тот, который обеспечивает наименьшую среднеквадратичную ошибку с дополнительным условием, что фильтр должен быть физически осуществимым. Необходимым условием этого будет
6 (0=0, /<0. (11.64)
Иными словами, отклик фильтра на импульс не может начаться раньше, чем импульс подан на его вход.
Для других частных случаев могут быть в принципе другие критерии оптимизации, лучшие, чем обеспечение минимума (е2(0). Например, может оказаться предпочтительным минимизировать абсолютную величину ошибки или поставить условие, чтобы все ошибки были меньше определенной величины, чтобы уменьшить вероятность больших ошибок. Эти другие критерии гораздо труднее анализировать математически, чем требование наименьшей среднеквадратичной ошибки, в основном потому, что квадрат функции имеет производную в нуле, в то время как абсолютные величины и другие функции с разрывами не имеют производной в точках разрыва. Поэтому их минимумы искать затруднительно.
Однако Шерман [20] показал, что для аддитивного гауссового шума с нулевым средним значением применение многих разумных критериев приводит точно к такому же фильтру, что и при минимизации среднеквадратичной ошибки.
Выбор линейного не изменяющегося во времени фильтра, подразумевающийся в соотношении (11.62), может быть в некоторых случаях не обязателен. Однако можно показать, что для аддитивного гауссового шума с нулевым средним значением наилучший линейный фильтр не хуже любого нелинейного фильтра. Изменяющиеся во времени фильтры обычно приходится применять для нестационарных шумов.
15В. Зак. 1502
441
Результат анализа показывает, что наилучший фильтр будет удовлетворять условию*)
r И + (/о>) п 1
и ; ' wss^) + wsn^) +Wns^) + Wlln^) > 11 ’ 7
где (со) — спектр плотности мощности того класса сигна-
лов, для которого рассчитан фильтр;
Wns (со), Wsn (со) — смешанные спектральные плотности шума с сигналом и сигнала с шумом, определяемые как преобразование Фурье взаимной средней корреляции сигнала с шумом;
Wnn (ш) — спектр плотности мощности шума.
Однако фильтр, определяемый уравнением (11.65), обычно физически осуществить нельзя в том смысле, что не выполняется условие (11.64). Когда построить фильтр, соответствующий основной формуле, нельзя, следует проектировать такой реализуемый фильтр, импульсная характеристика которого совпадает с обратным преобразованием Фурье уравнения (11.65) для времени t > 0. Порядок расчета следующий:
1. Найти В(/со) из уравнения (11.65).
2. Образовать формирующий фильтр, такой, чтобы на его выходе при белом входном шуме получался спектр сигнала и шума:
| Y (]<*) |2=const (со)+^я (ш)+№я, (<o)+№„„ (о))] (H-66)
и для которого существует реализуемый обратный фильтр Y (/со)-1.
3. Записать s вместо (/(d) и взять произведение
B1(s) = B(s)y(s), (11.67)
а затем разложить произведение
ВМ- О й)
I
4. Отбросить все члены разложения, в которых отрицательно. Оставшаяся часть разложения обозначается B2(s).
5. Взять частное
ад®) = > (Ц.69)
которое и будет искомым реализуемым оптимальным фильтром.
11.12. Фильтр для сканирующей камеры
Как пример использования метода Винера рассмотрим камеру, сконструированную для получения изображения облаков в области спектральной чувствительности сернисто-свинцового фотосопро
*) Подробное рассмотрение и вывод можно найти у Лэнинга и Бэттина (17] (гл. 5, 7 и 8).
442
тивления со сканированием по спирали. Спектр плотности мощности сигнала является одномерным спектром Винера (гл. 12) облаков для заданной области оптического спектра и для данного типа сканирующей развертки. Используя как пример нормализованную модель, предложенную Арояном [21 ], и принимая скорость сканирования равной [/2 рад!сек, получим спектр плотности мощности в виде*)
«'..(»)=4^^- (И.70)
Допустим также, что шум не коррелирован с сигналом, постоянен в полосе частот, представляющих интерес, и имеет единичную спектральную плотность
№„„(«>)= 1-
Тогда в соответствии с уравнением (11.65) основной фильтр будет иметь вид
4р + ^
W+16/ _ 4 (0)2 + 4)
n — / О)2 + 4 \ 0)4 + 4о)2 + 32 ’
4 ( д । 1 д ) ~4~ 1
\ О)4 + IOJ 1
и квадрат передаточной функции формирующего фильтра будет равен
IV М 12 __ 4(-s2 + 4) , 1 _ s4 —4s2 + 32
lr Wl - s4+ 16 +1 ~ s* + 16 ‘
Возьмем корень квадратный так, чтобы все полюса и нули имели отрицательные действительные части (коэффициенты затухания), тогда и фильтр, и его обратное преобразование будут реализуемы:
у / х ($+ 1,955 + / 1,353) (s + 1,955 — / 1,353)
(«+1+ /)(« +1—/)
У 1 =: _____(S + ^ + /) (S + 1 ~~ /)___
w (s + 1,955 + / 1,353) (s + 1,955 — / 1,353) ’
Произведение в соответствии с (11.67)
В1(5) = В(5)У(5) =
= 4(— s2 + 4)
(s — 1,955 — / 1,355) (s — 1,955 + / 1,355) (s + 1 — /) (s + 1 + /) ’
Разложение будет иметь вид
в, (s] =______-__________I_______________|_
s— 1,955 —/ 1,355 ' s— 1,955 + Z 1,355
+ -Л. + ._,s s+1-/ s+ 1 + / •
*) Переменная приведена к единице в максимуме.
15 В*
443
/.2
Спектр шума wnn
Спектр сигнала
к
—0,4
0,2
квадратичная характеристика фильтра
£ \о,8
0 2 0 6 8 10
Приведенная угловая частота и
Н=,15„91
0,027 ufl 4- 2,22
<о4 + 3,91 <о2 + 32 •
L=-1
6=15,9
0=1/169,7
-O.wT-
6=0, 4 = 1/170
-0,144
/?=/
Рис. 11.19. Пример разработки реализуемого фильтра Винера.
Так как первые два члена приводят к неосуществимым контурам, они отбрасываются, и остаются только два последних. Умножая выражение для Bt(s) на обратное преобразование формирующего фильтра в соответствии с (11.69), произведя сокращение и оценивая R и S, получаем
« /•-.X + 0,144 (/4-1,46
3 \!ш) _ 3 9! (/(0) _ 5>67 •
(И-71)
Квадрат этой передаточной функции равен
I Вз (/“
(11.72)
Эта величина, умноженная на 32/2,22 (так что ее значение при со = 0 становится равным 1), нанесена на графике рис. 11.19. На том же графике нанесены для сравнения спектры плотности мощности исходного сигнала и шума.
Можно видеть, что форма заключительной передаточной функции зависит от относительных величин входных спектров плотности мощности сигнала и шума. Это одно из важных свойств преобразований по методу Винера. Обычно предпочитают оптимизировать фильтр для низких значений отношения сигнала к шуму, считая, что это наиболее критическая область. При проектировании камеры отношение сигнала к шуму может быть выше уровня, использованного здесь, и форма фильтра будет ближе к форме спектра сигнала.
Чтобы посмотреть, как можно построить такой фильтр в действительности, разделим уравнение (11.71) на 0,144 и разделим числитель и знаменатель на /со — 11:
В3 (/©) = — 0,144
1 + /<О + 15,91 +
169,7
/“>+И
В такой форме передаточную функцию можно представить себе как делитель напряжения, состоящий из активного сопротивления, равного единице, соединенный последовательно с комплексным импедансом:
Z = /<а + 15,91
169,7
/о> + 11 •
444
Первые два члена в Z можно представить как единичную индуктивность, включенную последовательно с активным сопротивлением величиной 15,91. Дробь представляет емкость величиной 1/169,7, включенную, параллельно с активным сопротивлением 169/11. Этот контур показан на рис. 11.19, а слева дана другая форма той же цепи, где в соответствии с проведенной выше интерпретацией Z представлено состоящим из двух частей.
Множитель 0,144 дает коэффициент усиления, несущественный для фильтрующих свойств контура. Его можно представить как включенный наоборот усилитель или идеальный трансформатор. Численные величины составляющих контура будут зависеть от масштаба преобразования со = mlmQ, зависящего от скорости сканирования.
НЕЛИНЕЙНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
В процессе обработки информации, получаемой многими инфракрасными системами, на определенных этапах приходящий сигнал модулируется несущей частотой, а затем после усиления и фильтрации вновь демодулируется. Целесообразность такого способа обработки обусловлена многими причинами, рассмотренными в гл. 13. Здесь мы рассмотрим процесс демодуляции (детектирования). Этот процесс обычно связан с применением нелинейных устройств*). Если использовалась амплитудная модуляция, то для демодуляции и выделения полезного сигнала применяется устройство из выпрямителя и низкочастотного фильтра. Если модуляция была частотной, то для устранения амплитудной модуляции применяются ограничители и затем частотный дискриминатор, который дает на выходе мгновенное напряжение, пропорциональное входному мгновенному значению частоты?
Говорят, что устройство для демодуляции нелинейно, если неприменим принцип суперпозиции, т. е. если какое-то устройство при подаче на вход x(f) выдает на выходе у(/), а при подаче х'(0 выдает у'(0> то ПРИ подаче на вход линейной комбинации x(t) и х'(0 на выходе может получиться, а может и не получиться линейная комбинация. Линейное устройство при подаче на вход ax(f) + bx'(t) дает на выходе ay\t) + by'(t\ а нелинейный прибор — другое выходное значение
g[ax(f) + bx' (/)].
Нелинейные устройства встречаются и в других частях систем. В системе, которая должна измерять излучение в широком диапазоне интенсивностей, вполне могут быть использованы логарифмический усилитель или усилитель с автоматической регулировкой усиления, чтобы обеспечить определенное требуемое нелинейное
*) Исключением является синхронное детектирование. Однако этот довольно специфический процесс может быть использован, только когда все, кроме амплитуды сигнала, известно заранее и скорость передачи информации относительно низка.
445
соотношение между входными и выходными величинами. С другой стороны, и система, разработанная как линейная, становится нелинейной, если входные величины становятся слишком большими.
При проектировании систем возникают вопросы преобразования сигналов и шумов в нелинейных устройствах. Например, если в поисковой системе сканирование по полю обеспечивается электродвигателем, то его скорость может изменяться из-за колебаний напряжения питания. Из-за этих колебаний изменяется частота несущей. Тогда полоса пропускания фильтра, установленного перед детектором, должна быть расширена, чтобы избежать потерь сигнала. Это расширение вызовет некоторые добавочные шумы. Полоса может быть вновь сужена после детектирования, чтобы остались только те частоты, на которых величина сигнала значительна. Разработчик может задаться вопросом, происходит ли потеря чувствительности по сравнению со случаем, когда скорость электродвигателя поддерживается строго постоянной, и достаточно ли велика эта потеря, чтобы оправдать точный контроль скорости электродвигателя.
Чтобы ответить на такой вопрос, нужно знать, как влияет детектор на спектры сигнала и шума.
Анализировать прохождение сигнала и шума через линейные схемы проще, чем через нелинейные, потому что линейность — дополнительное условие, ограничивающее возможности схемы. Действительно, полной общей теории нелинейных устройств не существует и нет оснований полагать, что она когда-нибудь появится.
В общем виде характеристика нелинейного устройства может быть выражена рядом
y(t)=aQ+a1x(t)+a2x2(t) + ... (11.73)
Поскольку в это выражение входит член по крайней мере второго порядка, дополнительная смесь сигнала и шума становится необратимо смешанной, даже если исходные сигнал и шум идут на разных частотах.
В линейных системах можно было рассматривать влияние устройства на сигнал и шум отдельно и затем производить сложение на выходе, находя полную выходную характеристику. Для нелинейных систем на выходе будет член, обусловленный одним сигналом, член, обусловленный одним шумом, и член, обусловленный взаимодействием между сигналом и шумом:
у (0 = g[s(0 + «(01 =
= а0 + [s(0 + п (0] + а2 [s (0 + п (012 + ...
= а0 + [ах s (0 + а2 s2 (0 + •••! + l«i«(0 +
+ а2п2(/) + ...] + [2a2s(0«(0 + -1 =
= «о+>4ДО + У»п(О + У»я(О- <1L74)
446
Если исходные сигнал и шум находятся в узкой полосе частот вблизи /ь то
х (/) = В (t) cos 2л/! t — ГА111
(e^ t е-7“19,
2
где B(t)— функция времени, меняющаяся медленно по сравнению с cos 2л/i /.
Тогда член, получающийся в результате разложения в ряд n-го члена разложения у(/), равен
ап Вп (0 (cos 2n/i t)n = aj-^- (е^ш>' —
__ flQj (n—2) COi t _|_ ... _|_ e-/ (M—2) t _ Q-jni»! —
= [cos ncot t — cos (n — 2) cot t 4- (11.75)
В общем случае, разлагая несколько членов, подобных и-му, можно найти, что на выходе будет ряд компонентов, подобных Вп(/), группирующихся на частотах около гармоники /Р
При линейном анализе выходной шум (один) имеет гауссово распределение плотности вероятностей, подобное распределению входного, и относительные уровни сигнала и шума на выходе отличаются только на коэффициент пропорциональности от соответствующих уровней на входе. В нелинейных устройствах выходной шум может иметь распределение плотности вероятностей, сильно отличающихся от распределения на входе. Например, диод, который проводит, только когда на вход подано положительное напряжение, изменит функцию распределения, обратив в нуль все плотности вероятностей, связанные с отрицательными уровнями напряжения на входе. Может измениться и общий характер выходной функции за счет изменения относительных величин сигнала и шума, имевших место на входе. Например, в устройстве, осуществляющем дискриминацию при частотной модуляции, более слабые входные компоненты будут подавлены, а более сильные — сравнительно усилены.
Несмотря на эти трудности и осложнения, ряд практических задач удается решить. Используемые при этом методы описаны Райсом [24], Давенпортом и Рутом [1], Бендатом [22] и Миддлтоном [23]. В перечисленных работах приводится также библиография по рассматриваемому вопросу.
Рассмотрим теперь выпрямляющее действие квадратичного диода, так как такой прибор применяется достаточно часто. Это будет полезно для понимания принципа действия и некоторых других устройств, имеющих важное значение для инфракрасных систем.
11.13. Квадратичный диод
Особенно важным нелинейным устройством является квадратичный выпрямитель с характеристикой
y(f) =a*x*(t). (11.76)
447
Такая характеристика является хорошей аппроксимацией характеристики диодов, применяемых в амплитудных демодуляторах инфракрасных систем. (Амплитудный демодулятор или второй детектор состоит из выпрямителя с включенным после него низкочастотным фильтром, который выделяет огибающую, производя усреднение за промежутки времени, большие по сравнению с периодом несущей, но короткие по сравнению с периодом огибающей.)
Предположим, что на вход одного из этих устройств подана сумма сигнала и шума
х (t) = P(t) cos (2л/0 ^+6)+п (0, (11 .77)
где Р (t) — модулирующая функция, которая изменяется медленно по сравнению с колебанием несущей частоты cos2л/Qt. В частности, предположим, что
P(^) = &(l+Mcosp/).
Проанализируем работу этого устройства, используя то обстоятельство, что преобразование произведения двух функций представляет собой свертку их преобразований (приложение А):
оо оо
f р (t) q (0 dt = j Р (г) Q(f — г) dr. — ОО —00
Сигнал на выходе устройства равен
y(0 = a2[n(/)+s(/)]2,
а автокорреляционная функция в предположении, что и n(t), и Р (/) стационарны:
Ryy СО = (yftW+'O) =
= (a4[n2 (t)+2n (t)s(t)+s2(t)]x
х In2 (1+т)+2п (t+т) s (/4-t)4-s2 (Z+t)]).
Это произведение представляет собой сумму девяти членов. Один член зависит только от шума
Рлп(г) = а^^(1)п2(1 + т)). (11.78)
Другой член зависит только от сигнала
^(T) = ^(s40s2(/+T)). (11.79)
Оставшиеся семь членов являются усреднением произведений сигнала и шума. Каждый содержит четыре множителя. Если огибающая сигнала и шум независимы, то множители, зависящие от сигнала и шума, могут усредняться отдельно. Три члена представляют собой комбинацию или одного множителя, определяемого шумом, 448
или наоборот. Если сигнал и шум имеют среднюю величину, равную нулю, то при усреднении эти члены исчезают и остаются три члена:
/?5Я(т) = a4 [(n2(/)) (S2 (/ + *)) +
+ 4 (п (0 п (t + Т)) <8 (/) 8 (t + т)> +
+ (82(0) (П8(Л-Т))].
Обозначая дисперсию сигнала of и его автокорреляционную функцию Rs, а дисперсию и автокорреляционную функцию шума Оп и Rn, получаем
Rsn (*) = а4 № + 4/?„ (т) Rs (т)] =
= а4 [2а2 а2 + 4Rn (т) Rp (т) cos соо т], (11.80)
где R„ (т) — автокорреляционная функция огибающей сигнала и ®о = 2л/0.
Возвращаясь к члену, зависящему только от сигнала [формула (11.79)], можно видеть, что эту функцию можно найти непосредственно, если модулирующая функция P(t) не зависит от фазы несущей частоты 0в (11.77) и последняя распределена равномерно. Усредняя
(cos2 (<в01 + 6) cos2 [ю0 (i + т) + 0]> = /-j {1 + cos 2 (®0 / + 0) +
+ cos 2 [соо (/ + т) + 0]} + у [cos 2соо t-j-cos (4®0 T-f-2ci)0 т+40)]\
по 0 от 0 до 2л, получаем в результате l/4-f-l/8cos2®0T, так что уравнение (11.79) приобретает вид
Rss (т) = (т) <р2 (OP2 4- Т)) [1 +
(11.81)
Усредняющий коэффициент в (11.81) имеет природу автокорреляционной функции квадрата модулирующей функции. Однако в конечном счете нас интересуют спектры мощности, а не автокорреляционные функции, и в этом случае спектр мощности можно найти
из соотношения
Р2 (t) = b2 (1 + М cos pt)2 =
= b2 j 1 + -p- 2Л4 cos pt -f- cos 2pt j.
Спектр мощности этой величины (с учетом того, что действующее значение синусоиды равно 1/)/2 максимального и что половина мощности идет на положительных, а половина на отрицательных частотах) равен
Wp'(f)= &4(i +^уб(/) + &4М2б(±Р + /) +
+ (&4^-)б(±2р + /). (11.82)
449
Рассматривая автокорреляционную функцию [уравнение (11.81)1 и учитывая, что преобразование произведения равно свертке преобразований сомножителей, можно видеть, что полный спектр сигнала будет сверткой соотношения (11.82) с преобразованием выражения т(1 + Т cos2®0^,
т. е. будет равен
WSS (/) = т) К1 + 6 +M2?>(f±p) + 6 (f ± 2р) +
+ 4(1 +тУб(^±2^ + (т)6^±^±2^ +
+ (^)б(/±2р±2/0)]. (11.83)
Далее, рассматривая член, зависящий только от шума в (11.78) Rnn (т) = а* (п2 (/) п2 (/ + т)),
можно произвести усреднение, используя характеристические функции (§ 8.3):
Rnn (si, s2) = (exp [jn (t) Si + jn (t + t) s2]), (11.84)
Rnn (sj, s2) = exp |—g- [o2 Sj -|- 2Rn (t) Si S2 о $г]|. (11.85)
Дифференцируя Rnn в (11.84) дважды, чтобы исключить влияние знака по sx и $2, а4
ds] ds] (Rnn) = (п2 (f) п2 (t + т) exp [jn (t) sx + jn (t + t) s2l)
и подставляя sx = s2 = 0, получаем
(Rnn) lS1=Ss=0 = (n2 (t) n2 (t + T)),
что и является искомой формулой усреднения. Производя дифференцирование уравнения (11.85), получим девять членов, из которых шесть содержат в качестве множителей Si или s2- Оставшиеся три суть
- f д 2 (Rnn) = (№ + R2 + О4) Кпп + 6 членов.
OS । О&2
Следовательно, полагая s1 = s2=0, получаем
/?пп (т) = а4 о4 + 2а4 7?п (т). (11.86)
450
Вклад в спектр мощности в результате преобразования Rnn (т) составляет
ОО
Wnn(f) = aiu^(f)+2ai J R„ (т) е~'~2ф dr, — ОО
но преобразование произведения равно свертке преобразований сомножителей и
CD
№„„(/) = а4*4 б (f)+2а4 f Wn(r)Wn(j-r)dr, (11.87)
—OO
где а2 * и Wn — дисперсия и спектр мощности шума на входе. Преобразование Функции COSWoT
________|2 частота
^2 JD
Ъ Ь2М2 Спектральной , а ЧЛ- плотность
I 4 модуляции
2 2 т г 2 Первая
11142/ свертка
'Jo
Ьгм\
УлЛ {. Ьгмг
-fo'Pl -fo+P
Л1
-fo
Jo-pl^o+P
f0 Спектральная
N 2 плотность
у0 Произведение ч спектральной плотное-\ ти сигнала и шума на х\ выходе /-х
Частотам
Рис. 11.20. Члены на выходе квадратичного выпрямителя, обусловленные взаимодействием сигнала и шума.
Наконец, рассмотрим смешанный член (11.80), который имеет спектральную плотность оо
rs„ (f) = 2a4 Os о£ 6 (/) + 4a4 J /?„(т)/?р(т) cos ®втdr. (11.88)
—OO
Очевидно, второй член представляет собой двойную свертку спектральной плотности шума на входе с преобразованием зависимости COSC00T.
Это довольно сложное выражение неожиданно легко преобразуется в случае, который мы выбрали. Ступени этого преобразования иллюстрирует рис. 11.20. Верхний рисунок показывает преобразование выражения cos соот. На втором рисунке дана спектральная плотность мощности модулирующей функции с глубиной модуляции М амплитуды несущей Ь. Третий рисунок представляет свертку
451
первых двух, что приводит к известному спектру плотности мощности амплитудно-модулированной несущей.
На четвертом рисунке показан спектр плотности мощности шума на входе. Предполагается, что шум прошел через фильтр, настроенный на частоту /о с полосой Д/. Частотная характеристика фильтра принята гауссовой, форма характеристики близка к форме, обеспечиваемой настроенным LC-контуром, который легко рассчитать. На последнем рисунке показана свертка третьего и четвертого; получаются полосы шума, тесно группирующиеся около нуля, и вторые гармоники входной несущей.
Используя этот самый спектр шума для нахождения в явной форме члена, обусловленного одним шумом, положим
W (f\— fcxnf (f — fo}2] I ехрГ tf + OT (1189)
Wn W ~ 2 /2^ Д/ ( P [ 2 GV)2 J + P L 2 GV)2 Jr (
так что среднеквадратичный входной шум будет
00
= f Wn(f)df — No.
—00
Тогда спектр на выходе согласно (11.87) окажется равным
оо
Wnn(f) = a4N^(f) + 2a4 J Wn(r)W (f-г) dr. (11.90)
— 00
Интеграл свертки в уравнении (11.90) содержит четыре члена похожей формы с полными квадратами в показателях экспонент. Типичное решение будет иметь вид
л л 00 2а4 N* С ------о_ I ех 4 (2т:) Д/2 J — 00 =-----2_ехр
4тсД/2
(£^lexp
2bf2
4Д/2
oo
— OO
2Д/2
4Д/2
(2A>-f)al
(2/p—f)~|
= ?F^exp
(11.91)
4Д/2
Комбинируя все четыре члена, получим ^) = ?^)+к^х ( а Г (f + 2fo)2l Г 0-2М2
I ехР 4Д^2 ехР — 4ДР2
X l^e-r/4ДГ2 +---L—---------1 +-----1----------1у . (1! 92)
Спектр состоит, таким образом, из члена, представляющего постоянную составляющую, и трех полос шума, группирующихся 452
близ нуля, и вторых гармоник от частоты в центре исходных полос. Полосы по-прежнему гауссовой формы, однако они в два раза шире полос на входе.
Складывая три спектра, определяемые уравнениями (11.83), (11.87) и (11.88), получаем
Wyy (f) = Wss (/) + №я| (/) + Wnn (f).
В частности, если шум или сигнал отсутствуют (равны нулю), два члена исчезают и остается только чистый сигнал или только чистый шум. Если после квадратичного устройства стоит фильтр низких частот, то получается детектор с квадратичной характеристикой и в результате остаются только составляющие сигнала и шума, группирующиеся близ нулевой частоты. Эта полоса сама может быть подвергнута дальнейшей фильтрации.
11.14. Значения отношения сигнала к шуму
Квадратичный детектор, являясь одним из важнейших нелинейных устройств, — одновременно один из простейших с точки зрения анализа его работы приборов. Однако анализ этого прибора все же является довольно сложным. Другие устройства рассматриваются обычно с помощью метода характеристических функций, описанного Райсом [24] и Давенпортом и Рутом [1]. В этом параграфе будут даны некоторые полезные результаты анализа работы квадратичного детектора и частотного детектора*\ которые являются устройствами, часто используемыми в инфракрасных системах. Для каждого случая даны кривые отношения сигнала к шуму на выходе в зависимости от отношения сигнала к шуму на входе при использовании определенных входных и выходных фильтров. (Под прямоугольным фильтром понимается фильтр, который идеально пропускает во всей полосе частот и не пропускает ничего за пределами этой полосы.)
Рассмотрим сначала анализ работы квадратичного детектора. Как и раньше, будем предполагать случай, когда напряжение входного сигнала равно
х (/) = b (1 + М cos pt) cos соо t (типичный сигнал от следящей системы с амплитудной модуляцией), а шум — аддитивный гауссов с нулевым средним уровнем и постоянным спектром плотности мощности Nq!2B в полосе шириной В гц около частот /0 и —/0 гц (В 2р).
Детектор представляет квадратичное устройство с характеристикой у = а2х2, с включенным после него фильтром, с прямо
*) В этом параграфе термин детектор относится к нелинейному устройству, после которого стоит сравнительно узкополосный фильтр. Детекторы используются для выделения модулирующего сигнала и устранения несущей частоты.
453
угольной полосой пропускания шириной С гц, с центрами при ±ргц (С<р).
В соответствии с уравнением (11.83) среднеквадратичное напряжение сигнала на выходе равно
1/2 _ 2М а4 Л42 _ 64 а4 ЛР ... QQ.
К SS — 7---------о • (11. УО/
Спектр шума на выходе определяется уравнением (11.90):
ОО
Wnn (0 = а4 d (f) + 2aj J Wn (г) Wn (f - г) dr.
— ОО
В этом случае второй член равен
и через выходной фильтр проходит
14=(^к(В-р). (11.94)
Спектр, обусловленный сигналом и шумом, в соответствии с уравнением (11.88) равен
Wsn(f) = 2a4*[\ +^^а(/) +
+ 4а4 J /?п(т)7?р(т)созсо0те~/2;1^с1т. (11.95)
— ОО
Предполагаем, что ширина полосы выходного фильтра равна С гц и центр полосы лежит при р гц, причем С<^р, так что импульс при нулевой частоте устраняется, а >2р4~тг- Свертка, которую представляет второй член уравнения (11.95), показана графически на рис. 11.21.
На верхнем рисунке показан спектр сигнала, представляющий свертку преобразования функции Rp (т) и cos соот. На втором рисунке изображен принятый спектр шума на входе. На следующих трех рисунках показан вклад в спектр шума на выходе от различных сверток. На нижнем рисунке дан окончательный результат, на который наложена принятая характеристика выходного фильтра с шириной полосы С. Среднеквадратичное напряжение на выходе равно
ys„ = a42A/2C (2 + ^2). (11.96)
454
Комбинируя уравнения (11.93), (11.94) и (11.96), можно получить отношение квадратов напряжений сигнала к шуму
V2
v SS
V2 4- V2 упп Ь к sn
/ Ь \2
ц (2+M2)
(11.97)
Обозначим через &/рЛ2 М0=рх отношение среднеквадратичного напряжения несущей к среднеквадратичному напряжению шума
£
ЬгМг 4 Ъгм ♦ I ♦
ыг fy-P fofo+P шима "л..___
гв
___ лЧг fo
Спектр сигнала
-То Ы£ Л Спектр ^-fQ свертка спект-' ра шума с сигналом г-— jyujfo_____________tl::
Обертка спектра (8-ZpJ
Ьгмт$ ЬгМгы$
шима с сигналом npa±(fo+p)
Обертка спектра шума с сигналом npu±(f0-p}
-р р Частота
Рис. 11.21. Низкочастотные компоненты, обусловленные произведением сигнала и шума квадратичного выпрямителя.
на выходе. Тогда отношение сигнала к шуму ру на выходе будет равно
Эта величина показана на графике рис. 11.22 для нескольких значений коэффициента глубины модуляции М и у = — от-
ношения ширины полос перед и после детектирования.
Кривые на рис. 11.23 показывают влияние на отношение сигнала к шуму так называемого «линейного» детектора, представляющего собой диод с характеристикой
V (/\ _ { СХ /11 QQ\
455
Отношение напряжения сигнала к шуму 8 квадрате на выходе Шодю(р}/#),дв
/5Г
Рис. 11.22. Отношение сигнала к шуму на выходе квадратичного детектора для синусоидальной амплитудной модуляции несущей при различных коэффициентах модуляции (отношение амплитуды модулирующей функции к амплитуде несущей) с прямоугольными, гауссовыми и настроенными на одну частоту фильтрами перед детектором, где у = = В/2С (отношение ширины полосы на входе к ширине полосы на выходе) [23].
5/f 1015/ Отношение f / напряжения / сигнала к шу-
/ му 8 квадрате
/ на входе
/ lOiogudPi)
высокое Q контура
10
И-1,0 М=0,6 M=OtZ
Отношение напряжения сигнала к шуму в квадрате на выходе
Ю1одю (ру^^дв
15 -
5
О
-5
-15 -10
Отношение напряжения сигнала к шуми в квадрате на входе lOiogtoffii)
Высокое Q контура Гауссов Прямоугольный
Рис. 11.23. Отношение сигнала к шуму на выходе линейного детектора для синусоидальной амплитудной модуляции несущей при различных коэффициентах модуляции М с прямоугольными, гауссовыми и настроенными на одну частоту фильтрами (Т = В/2С) [23].
и
в
включенный за узкополосным фильтром. Часто принимают, что реальные диоды имеют примерно квадратичную характеристику при малых значениях сигналов теристику для больших амплитуд. Сравнение двух семейств кривых показывает, что оба типа диодов при очень низких уровнях действуют одинаково, а при более высоких уровнях отношение сигнала к шуму на выходе в случае использования детектора на линейном диоде лучше [23], чем в случае квад-р этичного детектор а /1 +М2/2 раз.
На рис. 11.24 показаны сравнительные характеристики детектора для частотной модуляции, действующего по закону
y(/) = dco.(/), (Ц.99)
где со, (/) — мгновенное значение частоты на входе, определяемое как мгновенное значение производной по времени от фазы входного сигнала. Эквивалентное определение со / (/)— среднее число нулей на волне входного сигнала в единицу времени, усредненное времени, сравнению с периодом несущей, но малому по сравнению с величиной, обратной ширине полосы входного фильтра.
Предполагается, что на вход частотного дискриминатора подается сигнал
шумов на входе и «линейную» харак-
Рис. 11.24. Отношение сигнала к шуму на выходе узкополосного детектора для частотной модуляции с колебаниями выходной А/
частоты fi = -у=-, где А/ — ширина полосы на входе. Амплитудное ограничение действует на уровне г0 (< и2 >) ^2, где (< и2 >)^2 — среднеквадратичное значение шума.
по промежутку большому по
x(t) — b COS <п0 + у cos 2лр/ ,
складывающийся с шумом от гауссова фильтра с шириной полосы А/ гц с центрами ±/0, так что спектр плотности мощности получается равным
<« = 2-тШ" Н Ь т] +ехр [tst]} (| 1 |00)
457
Предполагается также, что в дискриминатор входит ограничитель, устраняющий амплитудную модуляцию входного сигнала, так что выходной сигнал зависит только от частотной модуляции. Ограничитель имеет характеристику
У1 (0 =
йх0 hx(t)
*1 (0 > *0-
—Хо < Х1 (0<*О>
Xi (t)<—x0.
(11.101)
§ Ю * к 0,1 ч
* § 0,01
09001
0,0001 а
0,00001
0,1 1 10 100
(Напряжение несущей^ ( напряжение шумод)"
на Sxo3e
Рис. 11.25. «Успокоение» шума при частотной демодуляции. Немодулированная несущая детектируется прямоугольными входным и выходными фильтрами с соотношением величин ширины полосы у и идеальным частотным детектором.
На каждой кривой указана величина отношения го = xo/No, ограничивающая уровень среднеквадратичного значения шума на входе. Принято, что колебания частоты на входе составляют 70% от ширины полосы
(11.102)
В дополнение на рис. 11.25 даны кривые шума на выходе идеального частотного дискриминатора, на вход которого подана немодулированная несущая для различных значений отношения сигнала к шуму на входе [25].
Можно видеть, что кривые на рис. 11.22—11.24 имеют одинаковую форму. При малых отношениях сигнала к шуму нелинейное устройство генерирует шум, главными составляющими которого являются обусловленные одним шумом члены, и отношение сигнала к шуму на выходе пропорционально квадрату этого отношения на входе. При больших значениях отношения сигнала к шуму члены, обусловленные взаимодействием сигнала и шума, превалируют над членами, обусловленными одним
шумом, и отношение сигнала к шуму на выходе ру становится пропорциональным значениям рж на входе. Между этими крайними случаями существует более или менее ярко выраженная переходная область. Подавление шумов при сильных сигналах часто называют успокоением, (quieting).
Для случая частотной модуляции этот эффект представлен на рис. 11.25.
Преимущество частотной модуляции перед амплитудной в случае широкого радиовещания связано с тем, что дополнительные шумы от систем зажигания автомобилей, силовых линий, атмосферных
458
помех и т. д. обычно в большей степени вызывают амплитудную модуляцию, а не частотную. В системах с частотной модуляцией эти амплитудные помехи могут быть очень сильно снижены с помощью амплитудного ограничения. Использование этого обстоятельства при проектировании инфракрасных систем будет иметь смысл лишь в тех случаях, когда системы должны работать в условиях аналогичных амплитудных помех. Это может быть, например, влияние локальных флюктуаций показателя преломления в слое атмосферы, расположенном между системой и целью, что приводит к мерцанию.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
A(f) — преобразование Фурье функции a(t)\ а — коэффициент, показывающий, во сколько раз напряжение шума приемника больше напряжения теплового (найквистового) шума;
а — постоянная;
а — коэффициент в характеристике квадратичного детектора;
а(0 — импульсная характеристика фильтра;
а0, Ль 02 — коэффициенты разложения функции g(x) в ряд Тэйлора;
В — ширина полосы до детектирования;
— преобразование Фурье функции b(t);
B(t) — модуляционная функция;
b — коэффициент трансформации трансформатора;
b — постоянная;
b — напряжение несущей амплитудно-модулированного сигнала;
&о(О — линейная операция с сигналом;
С — ширина полосы после детектирования;
С — емкость;
C(f) — коэффициент усиления фильтра по напряжению;
C(z) — комплексная функция z;
с — время (переменная величина) в единицах ср
(/= — сТ), (§ 11.10);
с — коэффициент в характеристике линейного детектора; D — детерминант системы уравнений (§ 11.3);
D = 2Qq2/(q2 -L 4) — коэффициент в уравнении (11.55);
d — коэффициент в характеристике частотного детектора;
Е — постоянное напряжение;
е — заряд электрона (е = 1,60206 • 10“19 к);
e(t) — ошибка на выходе фильтра из-за шума;
еп — напряжение шума;
епЬ, еь — напряжение шума базы полупроводникового триода;
епе, ее — напряжение шума эмиттера полупроводникового триода;
епс, ес — напряжение шума коллектора полупроводникового триода;
es(t) — напряжение сигнала;
F — коэффициент шума линейной схемы;
Fm — наилучший коэффициент шума полупроводникового триода при сопротивлении источника Rsrn', F'm — величина Fm с учетом схемы питания;
459
f — частота;
f0 — частота, на которую настроен контур;
/i — частота последовательности синусоидальных импульсов; G — усиление по мощности;
G — проводимость;
Gb — проводимости приемника, определяемые его температурой (темновая проводимость) и излучением фона;
Ggk — проводимость сетка — катод электронной лампы;
Gpi — проводимость, представляющая шум сеточного тока в электронной лампе;
Gs — проводимость источника;
Gz — проводимость, представляющая шум от появления пространственного заряда на сетке электронной лампы при прохождении электронов;
g(t) — проводимость приемника излучения, обусловленная сигналом;
g[x(/)] — нелинейная функция напряжения x(f);
gm — крутизна характеристики электронной лампы;
1е — постоянный ток эмиттера полупроводникового триода;
1ее — ток утечки эмиттера;
/р — постоянный анодный ток лампы;
Is — постоянный ток на экранную сетку лампы;
i(t) — мгновенное значение тока;
ig — эквивалентный генератор тока, представляющий шум сетки лампы;
in — ток шума;
ip — мгновенное значение анодного тока лампы;
/ — мнимая единица j = У— Г,
Ка — максимальное отношение напряжения сигнала к шуму для определенных сигнала и спектра шума, деленное на отношение напряжения сигнала к шуму для фильтра, согласованного с сигналом и шумом;
Кпп — характеристическая функция распределения плотности вероятностей шума;
Л5(с) — коэффициент максимальной амплитуды сигнала;
__9о вгП'Сек, k — постоянная Больцмана, равная 1,38044 • 10 ~град * k — время (вспомогательное обозначение);
М — коэффициент модуляции (глубина модуляции амплитуд-но-модулированного сигнала);
т — пространственная частота;
No — постоянная;
I NX(f) |2, I Ny (f) |2 — спектры плотности мощности шума nx(t) и ny(f); — постоянный спектр плотности мощности шума;
и — число периодов в синусоидально-модулированном импульсе сигнала;
и — показатель степени в разложении в ряд;
п0 — среднеквадратичное напряжение шума на выходе схемы;
ns — среднеквадратичное напряжение шума на входе схемы; п(0 — мгновенное значение напряжения шума;
п,г(0 — напряжение шума в х(/);
nv(0 — напряжение шума в y(t)\
P(t) — лучистый поток сигнала;
P(t) — модулирующая функция;
460
Ро ~ мощность шумов на выходе схемы на согласованной нагрузке;
Ps — мощность шумов от источника на согласованной нагрузке;
р — коэффициент пропорциональности между проводимостью фотосопротивления g(t) и сигналом излучения ЛО;
р — частота модуляции;
p(z) — комплексная функция z;
Q — добротность настроенного контура;
q =J/(4Q2 — 1) /2— параметр в уравнении (11.55);
q(z) — комплексная функция z;
R — сопротивление;
7?экв — эквивалентное сопротивление шумов лампы;
— сопротивление нагрузки;
7?0 — сопротивление приемника в отсутствие сигнала;
7?0 — выходное сопротивление;
Ps — сопротивление источника;
Rsm — сопротивление источника, при котором полупроводниковый диод имеет наилучшее значение коэффициента шума;
Rsm — величина Rsm с учетом схемы питания;
R vv(t) — автокорреляционная функция y(t)\
г — частота (временное обозначение);
r(t) — сопротивление приемника излучения, обусловленное сигналом;
гь — эквивалентное сопротивление базы полупроводникового триода;
rbb — эквивалентное сопротивление шумов базы полупроводникового триода;
ге — эквивалентные сопротивления коллектора и эмиттера полупроводникового триода;
гр — эквивалентное анодное сопротивление электронной лампы;
s — переменная в преобразовании Лапласа;
s(/) — мгновенное значение напряжения сигнала;
s5, s0 — сигналы на входе и выходе фильтра;
Т — абсолютная температура;
Тс — температура катода электронной лампы;
Ti — период импульсного синусоидального сигнала (см. рис. 11.17);
t — время;
U — доля напряжения, идущая на обратную связь;
Vce — постоянное напряжение между коллектором , и эмиттером в полупроводниковом триоде;
v(t) — мгновенное значение напряжения;
W — спектр плотности мощности;
Wnn, — спектры мощности определенного класса сигналов, шу-
Ж5/7, Wns ма и взаимные спектры сигналов и шумов;
X(f) — преобразование Фурье-функции х(/);
X'(f) — функция X(f) в частном случае;
— реактивное сопротивление источника;
х — максимальное значение пакета синусоидальных импульсов;
x(t) — входное напряжение фильтра;
Y(f) — преобразование Фурье-функции y(t)\
У '(f) — функция Y(f) в частном случае;
Yl — полная проводимость нагрузки;
461
— полная проводимость источника;
у — максимальное значение характеристики фильтра у(/); y(t) — напряжение на выходе фильтра;
Zs — импеданс источника;
z — частное значение комплексного импеданса;
z — действительная переменная;
а — коэффициент усиления коллекторного тока полупроводникового триода;
Р = а(1 — а) — усиление по току в прямом направлении для полупроводникового триода;
7 = 2В/С — отношение величин ширины полос пропускания до и после детектирования;
о(/)—дельта-функция Дирака;
О — фазовый угол;
к — отношение длины окружности к диаметру (л = = 3,14159);
рх — отношение напряжения несущей к среднеквадратичному напряжению шума на входе детектора;
Ру — отношение напряжения сигнала к шуму на выходе детектора;
а1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 — дисперсия;
т — время (временное обозначение);
<? — фазовый угол импульсной характеристики настроенного-контура;
ш = 2л f — угловая частота.
Л ИТЕРАТУРА
1. Davenport W. В., М. L. Root. Introduction to random signals-and noise, mcQraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1958.
Давенпорт В. и Рут В. Введение в теорию случайных сигналов, и шумов. Изд-во иностранной литературы, 1960.
2. V а 1 1 е у G. С., Н. W а 1 1 m a n. Vacuum tube amplifiers. Massachusetts Institute of Technology Radiation Laboratory Series, vol. 18, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1948.
3. Pruett G. R., R. L. Petritz. Detectivity and preamplifier considerations for indium antimonide photovoltaic detectors. Proc. IRE, 1959, v. 47, v. 9, p. 1524.
4. Van der Ziel A. Noise in Junction transistors. Proc. IRE, 1958, v. 44, №6, p. 1013.
5. V о 1 k e r s W. K., N. E. Pederson. The Hushed transistor amplifier. Tele-Tech. & Electronic Inds., Part I, 1955, v. 14, December, p. 82, Part II. 1956, v. 15, Janyary, p. 70: Part III, 1956, v. 15, February, p. 72.
6. Middlebrook R. D. Optimum noise performance of transistor input circuits. Semiconductor Products, 1958, v. 1, Julu—August, p. 4.
7. Van der Ziel A. Noise. Prentice-Hall. Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1954.
Ван дер Зил. Флюктуации в радиотехнике и физике. Госэнерго-издат, 1958.
8. Т е г m a n F. Е. Radio engineering, 3d ed., secs. 5—14 and 12—2. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1947.
9. J о у c e J. H. Vacuum tube preamplifier noise and frequency response. Tech. Mem. 527:60—8—559, Aerojet-General Corporation, Azusa, Calif.
10. R о s e G. M. Nuvistor — New Look in Tube Design. Publ. ST-1654, Electron Tube Division, RCA, Harrison, N. J., and data sheets on Nuvistor tubes 7586, 7587, and 7895.
462
11. Z a d e h L. A., J. R. R agazzini. Optimum filters for the detection and extraction of signals in noise. Proc. IRE, 1952, v. 40, October, p. 1223.
12. Margena u H., G. M. Murphy. Mathematics of physics and chemistry, sec. 3. 14. D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J., 1943.
13. Jamieson J. A. Separation of sinusoidal pulse trains from 1/| f | noise. Tech. Mem., Aerojet-General Corporation, Azusa, Calif., December, 1957.
14. Gardner M. F., J. L. Barnes. Transients in linear systems, vol. 1. John Wiley & Sons., Inc., New York, 1942.
15. W i e n e r N. The Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series with engineering applications, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1949.
16. В о d e H. W., С. E. Shannon. A simplified derivation of linear least squares smoothing and prediction theory, Proc. IRE, 1950, v. 38, April, p. 417.
17. L a n i n g J. H., R. H. В a t t i n. Random processes in automatic control, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1956.
Лэнинг X. и Бэттин P. T. Случайные процессы в задачах автоматического управления. Изд-во иностранной литературы, 1958.
18. В о о t о n R. С. An optimization theory for time varying linear systems-with nonstationary statistical inputs. Meteor Rept, 72, MIT Dynamic Analysis and Control Laboratory, July, 1951.
19. S h i n b г о t M. A. Generalization of a Method for the solution of the integral equation arising in optimization of time-varying linear systems, with non-stationary inputs. IRE Trans, on Inform. Theory, 1957, v. IT-3, December, p. 220.
20. S h e r m a n S. Non-mean-square error criteria. IRE Trans. Theory, 1958, v. IT-4, September.
21. Aroyan G. F. The technique of spatial filtering. Proc. IRE, 1959,. v. 47, № 9, p. 1564.
22. В e n d a t J. S. Principles and applications of random noise theory chaps 8 and 10. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1958.
Б e н д а т Дж. Основы теории случайных шумов и ее применения. Изд-во «Наука», 1965.
23. Middleton D. An Introduction to Statistical Communication Theory, MsGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1960.
Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Изд-во «Советское радио», 1961.
24. R i с е S. О. Mathematical analysis of random noise, in N. Wax (ed.). Noise and Stochastic Processes, sec. 4. 8, Dover, New York, 1954.
25. Stumpers F. L. H. M. Theory of frequency-modulation noise. Proc. IRE, 1948, v. 36, №9, p. 1081.
26. Introducing the Microtron — A new concept in electronic vacuum tubedesign, Leigh Electronic Developments Limited, Havant, England, and data sheets on microtrons F3A1, F3A2, F3A3.
27. В e 1 1 D. A. Electrical Noise. D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J., 1960.
28. Microdot, Inc., South Pasadena, Calif.
29. J o.y с e M. V., К. K. Clarke. Transistor circuit analysis, addison —-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Mass., 1961.
= г л АВ А 12
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
В электронике фильтром считается любое устройство, которое пропускает переменные электрические токи в некоторых полосах частот намного лучше, чем на всех остальных частотах. В более общем смысле это устройства информационных систем, которые из совокупности полезной и мешающей информации выделяют полезную, причем мешающую информацию обычно рассматривают как шум.
Сущность пространственной фильтрации в инфракрасной технике заключается в распространении принципа электронного фильтра, преобразующего информацию одного временного измерения, на пространственный фильтр, преобразующий информацию двух пространственных измерений. Пространственную фильтрацию можно определить как процесс использования световой диафрагмы специальной формы или апертуры в оптической системе с определенными аберрационными характеристиками для пропускания лучистого потока преимущественно от источников излучения определенной формы или угловых размеров.
Основная цель применения инфракрасной системы заключается в том, чтобы получить некоторую информацию об окружающем нас мире путем использования инфракрасного излучения, генерируемого окружающими предметами. Полезная информация обычно достаточно характерна, но разнообразные окружающие нас предметы почти всегда создают дополнительную вредную для конкретной системы информацию. Рассмотрим, например, поисковую систему, предназначенную для обнаружения ракет по инфракрасному излучению их нагретых частей. Если система и цель находятся далеко в космосе и в пространстве между ними нет никаких других источников, излучающих в области чувствительности системы, то принцип действия системы может быть основан просто на просмотре пространства в поисках излучения. Из самого факта обнаружения системой некоторого излучения можно в этом случае непосредственно сделать вывод о наличии цели (при этом предполагается, что сама система не излучает). Однако этот простой случай в пределах нашей галактики может встретиться крайне редко, поскольку кроме цели существуют мощные источники излучения — Солнце и другие небесные тела. Поэтому система должна по крайней мере отличать излу-464
чение этих мощных источников от излучения цели. Правда, при решении этой задачи в принципе особых трудностей не возникает, так как положение Солнца и звезд на небосклоне и характеристики их излучения хорошо известны и могут быть предсказаны заранее. Нужно лишь ввести в систему (или программу ее работы) информацию об известных излучателях, чтобы система могла сравнивать с нею получаемую информацию и реагировать лишь на излучающие объекты, не предусмотренные во введенной программе. (Осуществление такой программы на практике сопряжено со значительными трудностями).
В непосредственной близости от поверхности Земли появляются новые трудности. Излучение облаков, топографических деталей рельефа земной поверхности, неоднородности излучения самой атмосферы, отраженное или рассеянное излучение разнообразных источников обладают той существенной особенностью, что созданное ими поле излучения не может быть описано в приемлемой форме. Причины, обусловливающие появление такого поля излучения, очень сложны и их очень много. Кроме того, эти причины очень нестабильны, их изменения настолько часты, что совершенно немыслимо заранее достаточно надежно предсказать характер поля излучения по данным любых конкретных измерений. Невозможность такого предсказания имеет два существенных следствия: во-первых, модель, рассматриваемого поля излучения должна представляться некоторой случайной функцией лучистости, подчиняющейся некоторым статистическим законам; во-вторых, любая модель не может полностью представить реальный случайный процесс, а поэтому исследование конкретных систем по таким моделям может привести к ошибочным заключениям.
Для дальнейшего рассмотрения такой ситуации сравним три случая. Первый случай — в поле обзора системы присутствует одна цель. Цель имеет известную форму, но она находится на таком расстоянии, что ее размеры не различаются оптической системой (гл. 6), а поэтому она может считаться точечным излучателем. При сканировании поля обзора системы по какому-нибудь закону возникает электрический сигнал известной формы. Этот сигнал после соответствующего преобразования электрическими цепями дает информацию оператору или логической схеме, или исполнительному механизму системы, что произошло некоторое событие в определенном участке поля обзора.
Второй случай — вместо цели присутствует некоторый источник излучения. Таким источником излучения может быть, например, облако, отражающее излучение Солнца. Для любой системы такой источник излучения является источником неизвестной заранее формы и интенсивности. При сканировании такого источника излучения возникает электрический сигнал случайной формы, который может иметь, однако, некоторые общие черты с сигналом от пели. Форма излучающей поверхности облака и распределение лучистости по поверхности настолько случайны, что практически невозможно за-
16 Зак. 1502 465
ранее точно определить различие между сигналом от цели и от облака. В общем возможно качественное предсказание различия, основанное на том, что в пространстве предметов облака обычно гораздо больше цели. Таким образом, хотя в данном случае оператор не может оценить наличие цели по результирующему напряжению, он может отличить первый случай от второго, сравнивая низкочастотную и высокочастотную составляющие обоих сигналов или их интенсивность на двух различных длинах волн. При этом он может использовать тот факт, что излучение облака, отражающего солнечный свет, может быть более мощным в одной спектральной области, а излучение цели — в другой.
Третий способ (чаще всего встречающийся на практике) — когда в поле обзора системы присутствует и цель и облако (или какие-нибудь горы и т. д.) одновременно. Основная задача этой главы и заключается в том, чтобы проанализировать методы проверки, которые приведут к выявлению различия между вторым и третьим случаями, опираясь на различие угловых размеров и форм цели и источника мешающего излучения. Эти методы должны позволить сделать обоснованный выбор оптимальной формы диафрагмы поля зрения, способа обработки сигнала электрическими цепями, а также в какой-то мере и типа сканирующей системы. Рассматриваемая проблема осложняется еще и тем, что общий поток мешающего излучения фона обычно гораздо больше, чем поток излучения цели.
12.1. Использование растров
Большинство инфракрасных систем предназначено для обнаружения ярких точечных целей на фоне облаков или земных ландшафтов меньшей яркости. Эта задача решается использованием небольшого мгновенного поля зрения для обеспечения достаточно высокого углового разрешения системы. С помощью такого мгновенного поля зрения производится сканирование по определенному заданному закону общего поля обзора, в котором может находиться цель. Если цель попадает в поле зрения, то на выходе системы наблюдается значительный сигнал. Если же в поле зрения попадает часть облака, сигнал на выходе системы будет меньше (аналогичным образом может рассматриваться обнаружение темной цели на более ярком фоне).
Однако иногда скорость сканирования, требуемая для просмотра общего поля обзора за требуемый промежуток времени, настолько велика, что приемник не успевает реагировать на излучение от цели из-за малости промежутка времени, в течение которого он облучается излучением от цели, или скорость сканирования может быть очень высокой для отдельных элементов механической части развертывающей системы.
В этом случае мгновенное поле зрения может быть сделано большим, чем оптическое разрешение системы. Если мгновенное поле зрения составляет телесный угол, больший чем телесный угол цели, то, даже если лучистость цели выше, чем лучистость фона, сигнал 466
на выходе системы от цели может быть значительно меньше сигнала от фона. Большое мгновенное поле зрения все-таки часто используется для облегчения решения задач, связанных с механической конструкцией, и согласования скорости развертки с постоянной времени приемника. При этом были найдены способы уменьшения влияния протяженных деталей фона на работу системы. На рис. 12.1 показан способ уменьшения влияния протяженных образований фона. На рисунке представлена апертура*), которая может использоваться в качестве диафрагмы поля зрения в инфракрасных системах. Ширина чередующихся прозрачных и непрозрачных наклонных полос выбирается соответствующей размеру изображения цели, лежащей за пределами разрешения системы. Если система с такой диафрагмой сканирует участок поля обзора, в котором находится цель, то при отсутствии фонового излучения лучистый поток, попадающий на приемник от цели, будет периодически изменяться, причем максимальная величина потока будет равна общему потоку от цели, собираемому оптикой системы. При сканировании протяженного фонового образова-
ния поток, попадающий на приемник, тоже будет содержать
7,7.
Лучистый поток в приняты* еди-| ница*
бремя
Сигнал от изображения целщпересе-каемого растром В горизонтальном направлении
Лучистый поток 6 приняты* о единица* Время —►
Тот же растр с фоном Сигнал от тона в виде облака
Растр с наклонными прозрачными полосами (о- изображение
(о - изображение цели) ,
7/7.
Рис. 12.1. Воздействие растра на сигналы от цели и фона.
периодически изменяющуюся составляющую, которая накладывается на линейно возрастающую величину потока. Максимальная величина потока на приемнике будет в том случае, когда диафрагма полностью перекроется рассматриваемым фоновым образованием. Эта величина может значительно превосходить максимальную величину потока, попадающего на приемник от цели. Приемник превращает лучистый поток в напряжение соответствующей величины в функции времени; сигнал от фонового образования на выходе приемника будет представлять линейно возрастающую ступенчатую функцию времени, спектр которой преимущественно сосредоточен в области низких частот. Для ослабления сигнала от протяженных фоновых образований в системе используются электронные фильтры, подавляющие низкочастотные составляющие. Сигнал от цели преимущественно содержит высокочастотные составляющие, усиливаемые электрическими цепями такого устройства. На выходе электронного устройства используется логическая схема, производящая сравнение типовой величины сигнала от цели с типовой величиной сигнала от фонового образования. Высокочастот-
*) Дальше под апертурой понимается диафрагма поля зрения или растр. (Прим, пер.)
16*
467
ная составляющая сигнала от фонового образования возникает только вследствие того, что край облака модулируется диафрагмой. Величина перепадов сигнала от фонового образования будет приблизительно пропорциональна произведению площади прозрачной полосы диафрагмы на величину лучистости фона. Эта величина будет меньше, чем общая величина сигнала от фонового образования, которая пропорциональна произведению общей площади всех прозрачных полос на среднюю лучистость фона, но, конечно, больше, чем сигнал от фона в случае, когда размер диафрагмы точно равен размеру изображения цели. На пиковую величину сигнала от цели диафрагма подобного вида на влияет.
Диафрагма рассмотренного типа обычно называется растром. Из данного объяснения принципа действия растра ясно, что аппаратура с растром менее подвержена фоновым помехам, чем аппаратура с таким же мгновенным полем зрения без растра. Однако по сравнению с обзором поля зрения бегущим пятном использование растра обеспечивает меньшую помехозащищенность. Следует отметить, что, хотя на рис. 12.1 показаны раздельно два случая (первый—присутствует одна цель при неизлучающем фоне; второй — присутствует один фон), на практике чаще всего встречается случай, когда присутствует и цель и излучающий фон. Это вносит существенные затруднения в решение задачи обнаружения цели.
Использование растра, аналогичного рассмотренному на рис. 12.1 и линзы-коллектива, позволяет перекрывать большое поле обзора с одним приемником. Коллектив (гл. 6) дает возможность использовать малосветосильную оптическую систему с хорошим разрешением до диафрагмы поля зрения и светосильную оптическую систему с чувствительным приемником малых размеров после растра. Помимо этого, коллектив уменьшает влияние неодинаковой чувствительности приемника по поверхности. В некоторых инфракрасных системах эти оптические элементы не используются, а используется лишь один приемник, расположенный в фокальной плоскости оптики системы. При этом величина мгновенного поля зрения определяется самим приемником. В некоторых частных случаях это может даже привести к увеличению чувствительности (гл. би 14). Приемник, расположенный в фокальной плоскости, изготовляется в виде отдельных полосок, квадратиков и т. д. В этом случае сам приемник служит пространственным фильтром, аналогичным растру. Пространственно-частотная характеристика системы является функцией оптического разрешения, формы диафрагмы и метода сканирования. В дальнейшем нет нужды уточнять, играет ли роль диафрагмы растр или сам приемник, расположенный в фокальной плоскости, имеющий вид растра (специльная мозаика).
12.2. Выбор пространственно-частотной системы координат
В типичных инфракрасных устройствах энергия излучения собирается оптической частью системы в фокусе в виде изображения 468
в инфракрасных лучах различных яркостных неоднородностей пространства предметов, попадающих в поле зрения. Это изображение модулируется специальной маской или растром, представляющей собой диафрагму, разделенную на относительно прозрачные и непрозрачные части. Энергия, прошедшая через растр, собирается коллективом, который равномерно распределяет ее по поверхности приемника излучения. Приемник излучения преобразует попадающую на него лучистую энергию в электрическое напряжение, мгновенное значение которого пропорционально потоку, проинтегрированному по всем прозрачным частям растра.
Поверхность Поверхность предметов изображений
Приемник излучения
Рис. 12.2. Пространственно-частотные координаты.
Растр и оптическое изображение перемещаются относительно друг друга, поэтому поток, попадающий на приемник, модулируется во времени. Электрический сигнал, изменяющийся пропорционально общей величине потока, фильтруется для того, чтобы удалить составляющие сигнала, которые не содержат полезной информации, и подается на индикаторное устройство, исполнительный механизм следящей системы или автоматический сигнализатор тревоги и т. д. в зависимости от назначения устройства.
Растр часто выполняет три функции. Он преобразует изменения потока по различным участкам изображения в пространстве в функцию времени. При этом сигнал от цели малых размеров выделяется из сигнала от протяженных образований фона более четко, чем в идентичной системе без растра. Растр также формирует вид сигнала от цели, который впоследствии может выделяться из фоновых помех практически так же, как выделяются сигналы электронными фильтрами из шумов приемника. Наконец, растр вносит в сигнал от цели (как функцию времени) неявно выраженную (определенным образом закодированную) информацию о положении цели в поле обзора.
Для того чтобы проанализировать эти процессы обработки поступающей энергии излучения количественно, требуется точное описание ряда сложных зависимостей. Система координат, необходимая для этого описания, показана на рис. 12.2. Обычно рассматриваются три поверхности, часто просто плоскости. На каждой по
469
верхности используется своя система координат для описания результатов преобразований. Первая поверхность называется поверхностью предметов. Пара координат полностью описывает положение точки в двумерном изображении пространства относительно двух выбранных осей. Например, осевой луч, входящий в оптическую систему, которая направлена точно на север и горизонтально, будет пересекать поверхность предметов в некоторой точке. Эта точка может быть выбрана за начало отсчета для пары прямоугольных осей координат и %2, с помощью которых можно полностью описать положение других точек поверхности, используя в качестве координат азимутальный угол (хц) и угол возвышения (хг/). Положение любой точки, через которую проходит луч, будет полностью определено парой чисел, являющихся ее координатами (хи-; х2,). Аналогично можно рассмотреть полярные координаты с осями хз и х4 с началом координат в той же точке. В этом случае положение других точек поверхности определяется полностью отрезком хз, соответствующим кратчайшему расстоянию от начала системы координат до данной точки, и углом х4 между направлением данного отрезка и линией начала отсчета. Выбор прямоугольной или полярной системы координат ( или некоторой другой) определяется в каждом конкретном случае удобством описания и геометрическими особенностями рассматриваемой проблемы.
Второй поверхностью является поверхность изображений оптической части системы. Она описывается с помощью системы координат у*), определяемой аналогично системе координат поверхности предметов. Если поверхность предметов фиксируется в пространстве, то поверхность изображений располагается в определенном месте оптической части системы. Для нас это не так существенно, так как впоследствии мы не будем интересоваться вопросами преобразования этих поверхностей. Неоднородности инфракрасных фоновых образований описываются функцией лучистости г(х). В пространстве изображений неоднородности излучения фоновых образований описываются аналогичной функцией /(у). Функция /(у) переменных уъ у2 была бы совершенно идентична функции г(х) переменных хх, %2, если бы отсутствовали разнообразные искажения оптической части системы (аберрации и некоторые менее существенные сдвиги и повороты). В дальнейшем будет предполагаться, что оптическая часть системы создает конечное изображение точечного источника, находящегося на большом расстоянии, но не искажает изображение объектов внешнего пространства. Обычно считается, что масштаб в пространстве изображений во всех точках остается неизменным.
Третья поверхность называется поверхностью апертуры или диафрагмы. Положение точек на этой поверхности описывается третьей парой координат z. На этой поверхности расположены маска или растр, которые используются для кодирования информации, со
*) х, у векторы у = (i/j, у2) и т. д.
470
держащейся в изображении. Пропускание такой маски описывается передаточной функцией апертуры (апертурной функцией) a(z). В тех точках маски, где a(z) = 1, пропускание излучения полное, а в тех точках, где a(z) = 0, поток излучения не пропускается. В действительности растр инфракрасной системы располагается в плоскости изображения оптической части системы. Однако для описания процессов преобразования удобно рассматривать апертурную функцию (растр) в одной системе координат (zlf z2), а функцию изображения — в другой (ylf у2). Поверхности изображений и апертуры, таким образом, можно представить в виде двух листов бумаги, расположенных один на другом, практически без всяких пространственных сдвигов, но рассматриваемых отдельно один от другого. Движение одной системы координат относительно другой можно использовать для описания движения растра по отношению к изображению.
Следовательно, описание процесса пространственной фильтрации можно представить в следующем виде: любые пространственные образования на поверхности предметов представляются в виде функции лучистости г(х). Это распределение лучистости преобразуется в изображение z(y) на поверхности изображений. Передаточная функция апертуры a(z) учитывает ограничения, накладываемые растром на пропускаемый лучистый поток Ду). Этот поток интегрируется по области z приемником излучения, который преобразует его в напряжение v. Если растр перемещается, то координаты z могут быть выражены в функции координат у и времени /, и в этом случае выходное напряжение будет функцией времени.
12.3. Аберрации, линейность и суперпозиция
Оптическая часть системы преобразует распределение лучистости в пространстве предметов в распределение облученности в пространстве изображений: применяя введенную в предыдущем параграфе терминологию, можно сказать, что оптическая часть системы преобразует функцию лучистости в функцию изображения. Эта часть системы может производить вращение отдельных составляющих распределения и обычно изменяет линейный масштаб. Эти искажения для рассматриваемых вопросов имеют, однако, меньшее значение, чем размытие деталей функции лучистости в изображении за счет дифракционных ограничений. Оптическая часть системы имеет апертуру конечных размеров. Поэтому она будет деформировать волновые фронты, испускаемые каждой точкой излучающей поверхности. Отдельные точки излучающей поверхности будут иметь конечные размеры в изображении. Это явление называется дифракцией (гл. 6). Размер дифракционного кружка рассеяния зависит от размера апертуры и длины волны излучения. Дифракционный кружок рассеяния не может быть уменьшен для конкретной оптической системы.
471
Оптическая часть системы, используемая в реальных приборах, кроме того, имеет целый ряд существенных дефектов (см. гл. 6), которые увеличивают кружок рассеяния в изображении. Вследствие дифракции, расфокусировки и аберраций величина функции изображения /(у) в точке у зависит не только от величины функции лучистости (в пространстве предметов) г(х') в точке х', сопряженной с точкой у, но и от величины функции г(х) в точках, окружающих точку х'. В общем величина функции изображения /(у), соответствующая значениям функции лучистости г(х'), уменьшается при увеличении сдвига |х'—х|. При этом величина /(у) является некоторой средневзвешенной величиной г(х) по некоторой области, характерной для конкретной оптической части системы.
При рассмотрении этих эффектов мы будем предполагать, что система линейна. Это означает, что функция /(у) (в пространстве изображений), вызванная воздействием на систему функции лучистости (в пространстве предметов) аг^х) + &гг(х), равна ш\(у) + + Му)-
Здесь а и b — постоянные, /Ду) — реакция системы на функцию гДх),/2(у)—на г2(х). Обычно также предполагают, что влияние распределения лучистости г(х) на реакцию системы одинаково в любой точке изображения. Предположим также, что изменение масштаба, поворот и размытие изображения одинаково во всех точках изображения и при любом положении оптической части системы.
Размытие изображения за счет дифракции, расфокусировки и аберраций можно проанализировать для линейной системы путем использования аппаратной функции*) s(x), которая является функцией распределения облученности в изображении идеального точечного излучателя [идеальный точечный излучатель описывается двумерной дельта-функцией Дирака (см. приложение А)] на поверхности предметов. Изображение функции лучистости г(х) может быть найдено с помощью интеграла свертки r(x) с s(x):
г’(у) = f <(х) s (х + у) dx. (12.1)
Как показано в приложении А, уравнение (12.1) легко решить, если произвести двумерное преобразование Фурье обеих частей уравнения. Такое преобразование называется преобразованием Винера. Таким образом, используя обозначения, принятые в приложении, получим
/ (m) - R (т) S (т) (12.2)
и
i’(у) = J /(m)exp(j2ttm-y)dm. (12.3)
оо
*) Функция s(x) в теории регулирования и теории электрических цепей называется переходной импульсной функцией, весовой функцией, в оптике — аппаратной функцией, «функцией рассеяния» (spread function). (Прим, пер.)
472
В том случае, если оптическая система не является апланатом (гл. 6), поверхности предметов и изображений должны быть разделены на пару соответствующих областей, в которых используются раздельные функции рассеяния.
Процесс получения значений функции распределения облученности в отдельных точках изображения как процесс линейной средневзвешенной суперпозиции воздействия значений лучистости в соответствующих точках пространства предметов очень похож на процесс получения выходного напряжения по известному входному напряжению в электрических цепях методом суперпозиции с учетом влияния значений напряжения в предшествующие промежутки времени. Действительно, между обоими процессами существует весьма тесная аналогия. Эта аналогия была впервые использована Элиасом, Греем, Робинсоном [1] и Джонсом [2] как метод анализа и синтеза растров и других устройств, воздействующих на входную функцию лучистости. Аналогия между упомянутыми процессами рассматривается в приложении А.
12.4. Функция апертуры
Метод анализа с помощью двумерного преобразования, рассматриваемого в приложении А, используется и для анализа растров. Рассмотрим функцию распределения облученности в изображении Z(y), определенную на поверхности изображения системы, и предположим, что функция апертуры, определяемая на поверхности апертуры растра, есть а(г). Определенная величина потока попадает на поверхность изображений, создавая функцию изображения /(у) через те части плоскости апертуры, в которых функция а(г) больше 0. Прошедший поток собирается коллективом, который формирует изображение входного зрачка системы на приемнике излучения. Приемник излучения интегрирует собранный коллективом поток и вырабатывает напряжение, пропорциональное общей величине потока.
Если теперь апертуру (растр) сместить на величину — р, так что функция апертуры станет a(z -Гр), то новая величина прошедшего потока и соответствующее ему напряжение на выходе приемника станут другими. Таким образом, при движении функции апертуры по функции изображения будет создаваться пространственная двумерная функция лучистого потока:
f(p) = fi(y)«(y+p)dy. (12.4)
В данном случае начало координат z при р — 0 совпадает с началом координат у. Поверхность изображений и поверхность апертуры можно представить в виде двух листов бумаги, лежащих один за другим, причем на каждом из них выбрана точка, служащая началом системы координат. Более точное приближение учитывает начальный сдвиг ро одного начала координат относительно другого, например, с помощью условия a(z) = а(у + р + ро).
16В. Зак. 1502
473
Двойной интеграл в уравнении (12.4) имеет вид интеграла свертки, представленного в уравнении (А.6). Произведя преобразования, можно также свести его к умножению с обратным преобразованием
/ (Р) (=) J* /(ш) Л (т)ехр(/2лт-р) dm. (12.5)
Для того чтобы проиллюстрировать этот процесс, приведем пример. Помимо некоторых формальных операций, необходимых для обеспечения ясности изложения, в примере рассматриваются некоторые полезные математические приемы, которые повсеместно используются в математическом описании пространственной фильтрации. Рассмотренный пример, в котором функция изображения имеет определенный, а не случайный характер, оказывается весьма полезным и в более общих задачах, когда функция изображения является случайной. Из-за сложности математических приемов решение даже сравнительно простых примеров требует своего рода небольшого искусства.
Пример. Дана функция изображения
i (у) = exp - 1М±1М (9.37)
Эту функцию можно рассматривать как некоторую аппаратную функцию, появившуюся в результате преобразования системой функции лучистости в пространстве объектов. Изображение фильтруется диафрагмой поля зрения (растром):
(1 \2nk < Zi < 6 (2п + 1) k\ л = 0,1; |г2|<В,
& (^) - | л
(О в остальных точках.
При этом функция изображения имеет вид пика в начале системы координат с резким спадом. Один квадрант показан на рис. 12.3*). Апертурная функция описывает растр с параллельными прямоугольными полосами (типа «частокола)».
Задача заключается в том, чтобы найти функцию, описывающую пространственное распределение потока (функцию потока), путем использования преобразования. Преобразование /(у) легко находится согласно уравнению (А.7).
4£2
/(т)_[[1+(2лт1й)2][1 + (2л/и2й)2] • <12’6>
Для нахождения преобразования функции a(z) полезно рассмотреть более простое выражение
[1 Ы«34.
( 0 в остальных точках.
Оно приводит к
ч sin6K/nx^ sin 2^2 #
Л<(т)=ШВ 6wwJ (12.7)
*) Пустотелая конструкция, показанная на рисунке, дана для иллюстрации рассматриваемой функции изображения. Она использована для моделирования ее трехмерной формы. Действительная фигура, конечно, должна быть сплошной.
474
Тогда, используя свойство линейности преобразования [уравнение (А.18)] и теорему смещения [уравнение (А.26)], можно найти
a (z) = ах (?х — 3k, z2) + ах (zx — 15 k, z2),
A (m) = A' (m) e“/6я'"**'+ A' (m) e~i3° тт'к . (12.8)
Комбинируя уравнения (12.6)t (12.7) и (12.8), получим преобразование функции потока
sin 6п/их k sin 2пт2 В cos 12п/их k exp (—/18к/цх k)
F (m) = 96A3 В 6rmik 2~m2 В X [1 + (2^ A)2 [1 4- (2r.m2k)2] '
Первые два шага решения — преобразование и умножение — выполнены. Для многих практических задач обычно нет необходимости в выполнении самого трудного третьего шага — обратного преобразования, но в этом примере для полноты картины приведено окончательное решение.
Рис. 12.3. Экспоненциальная функция изображения.
После использования уравнения (А.7) получилось, что преобразование состоит из сомножителей, причем переменные т1 и т2 входят в разные сомножители. Следовательно, двойной интеграл разделяется. Рассмотрим сначала сомножитель с переменной т2.
С 'sin 2пт2 В f(p2)^)ikB\^ 2™2В
ехр (/2лтп2 р2) 14-(2лт2А)2
Произведя подстановку 2г.т2 = хи представляя синус в виде экспонент, получим
4k Г ехр [/х (Brhpa)] dx 4k Г exp [/х (р2 — В)] dx
МР2Н-) 2/ J x[l+(Ax)2] 2n 2/J x[l+(Px)2] 2л’
16B*
475
1 Эти интегралы вычисляются с помощью метода вычетов (интегральная формула Коши). Контур интегрирования включает действительную ось и проходит выше нее, если экспонента под интегралом положительная, и ниже, если она отрицательная. Таким образом, подынтегральное выражение становится очень малым, так как мнимая часть х очень велика. Вычисление интеграла сводится к трем случаям, рассмотренным в табл. 12.1. В каждом случае отмечены полюса при х = 0 и ±j/k. Радиус большой полуокружности всегда предполагается очень большим, а радиус маленькой полуокружности — очень малым. Для обеспечения правильного направления интегрирования вдоль действительной оси знак интеграла в трех случаях изменяется. Внимательное исследование трех результатов интегрирования (четвертая колонка табл. 12.1) показывает, что первые два совпадают при р2 = В, а первый и третий — при р2 = —В, так что изменение результата в зависимости от р2 происходит непрерывно.
ТАБЛИЦА 12.1
Вторая часть с переменной т1 преобразуется аналогично и после подстановки принимает вид оо
С 24£2 sin k cos 12^/72! k ехр (— j k) exp (/ 2^/7?! px) dtr^ _
J (6^ k) [ 1 (2^ £)2] “
— 00 00 2k f eWi __ (Pl —6A) e7x (Di—12A;) _ e/A (Pi—18A;)
2k] J x (1 + jkx) (1 — jkx) dx'
— oo
Вычисление второй части производится при использовании тех же контуров интегрирования, что и в предыдущем случае. Только в этом случае получается четыре составляющих и пять пределов изменения р± (табл. 12.2).
Полное решение задачи в любых заданных пределах изменения р находится в виде произведения решений (для р2) из табл. 12.1 и для р из 476
ТАБЛИЦА 12.2
табл. 12.2. Например, в диапазоне 6 k < рх < 12 k\ В > | р2 | решение имеет вид Л / —Р1 + 3&Х , п / Pi—15 6 \ "
4&2 exp I-----------I sh 3 + exp I---------j sh3 X
Вид получившейся функции потока показан на рис. 12.4.
Рис. 12.4. Модель функции потока, рассмотренной в примере.
477
12.5. Движение растра
В предыдущих параграфах описаны две операции, производимые оптической сканирующей системой. Структурные неоднородности лучистости в пространстве предметов вследствие аберраций оптической части системы сглаживаются, преобразуясь в соответствующие неоднородности облученности в пространстве изображений. Функция распределения потока используется для того, чтобы описать интегрирование всего потока, прошедшего через маску, расположенную в плоскости изображения. Прошедший поток является функцией положения маски. Функция, описывающая изображение, находится посредством свертки аппаратной функции с функцией лучистости пространства предметов. Функция распределения потока находится посредством свертки функции, описывающей маску (апертурной функции), с функцией, описывающей изображение. Функция распределения потока имеет определенный вид для каждого возможного положения маски или растра, так как последний перемещается по функции, описывающей изображение.
На практике, однако, растр перемещается согласно некоторой заданной траектории (обычно не очень сложной). Он или вращается перед плоскостью изображения, или перемещается в поперечном направлении с одной стороны на другую, или совершает нутации по кругу или движется каким-либо другим определенным образом. При любом из этих движений получающийся результат описывается ограниченным подмножеством величин функции распределения потока. Движение обычно совершается с постоянной скоростью (хотя иногда медленное сканирующее движение заканчивается быстрым возвратом назад в исходное положение). Так как при этом на приемник излучения последовательно проектируются отдельные участки пространства предметов с различной величиной лучистости, на выходе приемника возникает напряжение различной величины. В данном параграфе будет показано, как определить этот выходной электрический сигнал в функции времени и как найти ее преобразование Фурье как функцию частоты. Во-первых, предполагается, что сигнал на выходе приемника появляется вследствие интегрирования функции распределения потока по полной поверхности изображения (через апертурную функцию). Следовательно, предполагается, что любой небольшой элемент общего поля зрения оптической части системы вносит в выходной сигнал величину, пропорциональную его лучистости и площади с учетом апертурной функции, независимо от его положения в общем поле зрения. Предполагается также, что приемник работает в линейном диапазоне чувствительности, так что мгновенное выходное напряжение равно
V (/)=7?оЛр(О1. (12.9)
где v(t) — выходное напряжение в момент времени t;
Ro — чувствительность приемника в вольтах на ватт;
f[p(/)]— функция распределения потока, соответствующая величине р в момент t.
478
Используя уравнение (12.4), получим
ОО
u(t)=Ro J i (у) а [у+р (/)]dy. (12.10)
— ОО
Уравнение (12.10) может быть выражено через преобразование Винера в виде
а(/)=7?о J /(т)Л(т)ехр [/2лпгр(0^т]. (12.11)
— QO
Часто при выполнении таких расчетов можно выбирать координаты так, чтобы
p(0 = [Pi(0.P2(01=(P^0), (12.12)
т. е. чтобы движение вдоль одной координатной оси происходило с постоянной скоростью р. В этом случае уравнение (12.11) будет иметь вид
ОО 00
v(t)=R0 j dmr § / (mlt т2) A (mlt т2) exp (f 2лт! pt) dm2. (12.13) — OO — oo
Сравнивая представление v (/) через его преобразование Фурье V (f) (f — частота в гц) с выражением (12.13)
v(t) = J V (f) exp (j 2л ft) df (12.14)
— 00
и полагая m!p=f, dm^df/p и
ОО
V(f)=(Ro/p) J I (f/p, m2)A(f/p, m2)dm2, (12.15)
— oo
увидим, что уравнения (12.13) и (12.14) аналогичны.
Далее можно показать, что преобразование выходного напряжения в этой удобной системе координат идентично двумерному преобразованию функции, описывающей распределение потока, проинтегрированной в направлении, перпендикулярном направлению сканирования и с волновыми числами, рассматриваемыми в направлении сканирования, масштабированными скоростью сканирования.
Пример, рассмотренный в § 12.4, может быть обобщен, если предположить, что апертурная функция перемещается с постоянной скоростью s рад/сек вдоль оси zr. Тогда выходное напряжение как функция времени может быть получена из решений, представленных в таблице умножением на величину интегральной чувствительности и подстановкой рг = 0 и рг = st, при условии, что начало отсчета времени t выбрано в тот момент, когда начало системы коор
479
динат апертурной функции проходит через начало системы координат функции изображения.
Преобразование этого напряжения в область временных частот может быть получено из уравнения (12.15) в виде
у = 96*ЗВ7?о
sin cosехр'18 S S S
~ 1 /
S ’ \ S / I
оо
С sin (2тлп2 В)
J 2пт2 В
— оо
1 + (2^2 A)2 dm*
12.6. Получение передаточных функций растров методом суперпозиции
Апертурные функции, использующиеся для пространственной
фильтрации, состоят обычно из очень простых повторяющихся элементов. Типичными примерами получения таких функций могут
служить растры с параллельными полосами («частокол») и растр в шахматную клетку, показанный на рис. 12.5. При нахождении пе-
редаточной функции таких растров используются свойства линейности и смещения преобразования Фурье, описанные в приложении А Процесс заключается в том, что по
найденному преобразованию отдельного элемента растра с помощью принципа суперпозиции можно легко получить передаточную функцию всего растра. Этот процесс описан и проиллюстрирован Грубе [23].
Для примера рассмотрим использо-
Рис. 12.5. Растр в шахмат- вание принципа суперпозиции для рас-ную клетку. чета растра в шахматную клетку
(рис. 12.5). Растр состоит из прямоугольных клеток длиной а и шириной р. Общая ширина растра 2/<р, а длина 2Аа, т. е. имеется ровно К циклов в направлении Z2
и N—в направлении zx. Растр вдоль нижней кромки в направлении
zr можно рассматривать состоящим из ряда равноотстоящих друг от друга в пространстве прямоугольных импульсов. Преобразование отдельного импульса имеет вид
а/2
A',,(mx) = j е“"/27:т1г» dzx = a
—а/2
sin т^т1а птх а
(12.16)
которое мы назовем импульсной функцией. Эти импульсы повторяются в пространстве с периодом 2а. Используя правило смещения 480
уравнений (А.26) и (А.27) и правила линейности уравнений (А. 18) и (А. 19), преобразуем весь ряд
А"(т1)=а sin^mi а (е-12т.т1(2а)_^е-}21чп1 ... <2ЛГи>).
Члены в круглых скобках составляют геометрическую прогрессию, сумма которой равна
ехР1^;2М.а(2^ + 1)|(""п2"^;). (12.17)
Экспоненциальный член представляет фазу решетки, возникающую вследствие смещения начала координат к середине первого квадрата ряда. Если удобно расположить начало координат в середине ряда, то этот член может быть опущен. Выражение в круглых скобках называется функцией периодичности.
Двумерную передаточную функцию первого ряда растра в шахматную клетку можно получить по одномерной умножением ее на импульсную функцию, выраженную через m2 и длину клетки 0. Второй ряд смещен по отношению к первому в горизонтальном направлении на одну клетку. Поэтому необходимо его передаточную функцию умножить на фазовый коэффициент ехр (—j2am1a). Кроме этого, второй ряд смещен по отношению к первому в вертикальном направлении на величину 0, поэтому его передаточная функция должна быть умножена на фазовый коэффициент ехр (—/2л/П20). Последовательно применяя свойства смещения и линейности и используя уравнения (12.16) и (12.17), получим передаточную функцию первых двух рядов растра
А (тг, т2)=сф sin^ rsin271/Va v r nm1 а nm2 P sin 2Ttmi cl
X (l_]_e-/2K(mia-|-m23))t (12.18}
Последний член этой [функции может быть записан в виде
(14-е~^2к(т»а+т2р))=е"~/7: 2 cos л (mx а+т2 Р).
Последний шаг заключается в том, чтобы показать, что первые два ряда повторяются К раз с периодом 2(3. Применение функции периодичности в вертикальном направлении приводит к нахождению полной передаточной функции (фазовым коэффициентом, который характеризует лишь пространственный сдвиг, обычно пренебрегают)
А(ти тг)=2^^^. ™2”m'Na. х
х r Tctrti cl пт2 р sin а
sin2Km2O , .
X —- -а Г • cos л (mi а+т2 Р)-
sin 2пт2 Р \ 1 । 2 г/
481
Выражение получается значительно компактнее, если заменить в знаменателе два множителя с синусом двойного аргумента их разложением, например,
sin 2nm1a = 2sinnm1acos
-и произвести сокращение
л / ч олт if q Sin 2тс/П1 /Va
A(m) = 2NW
с двумя множителями в числителе:
5!п2кт2КР cos тс (mtg -|- m2p) /19 in\
2wn2K(3 cos rcffl! a cos тип2р ' ' ' '
Г-------ZNj/
В пределе, когда mx = 0 и та = 0, величина Л(т) становится травной площади прозрачной части растра 2УДа0, которая, очевидно, соответствует реакции системы на однородный входной сигнал.
Метод суперпозиции в дифференциальной форме может быть применен к растрам с наклонными и криволинейными полосами. Предположим, что растр представляет собой ряд наклонных полос (рис. 12.6). Конфигурацию этого растра можно рассматривать как набор рядов прямоугольных элементов длиной у и бесконечно малой шириной Д?2. Каждый ряд
смещается на величину Дгх по отношению к ряду, расположенному выше. Преобразования первого ряда прямоугольников имеет вид
z ч__ sin27tm12V7 sirur/nj-j- 51'птс/п2Дг2
81п2лт17 тст2
Фазовая функция для следующих один за другим рядов может •быть представлена в виде
г/Дг,—1
2 ехр [— ]2лп(т1Аг1 — т2Дг2)]=е- f п=0
Рис. 12.6. Растр с наклонными полосами.
(12.20)
sin(r^/Az1) sin ф
где
<р=л (тх Дгх — т2 Дг2).
Полная передаточная функция растра может быть получена путем предельного перехода в этих двух выражениях при Azx->0 и Дз2-*0 таким образом, что
Azj г
Дг2 “ Н ’ sin 2я/п1 Му sin к (Г/пг — Ят2) cos пт.! 7 2мП1 Nf п (Trnj — Нт2)
Этот метод может быть также применен к растру с круговой симметрией посредством построения секторов в полярных координатах.
482
(12.21)
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Выше упоминалось, что характеристики мешающего излучения фона совершенно невозможно точно описать математическими зависимостями. Поэтому выделение полезной информации о цели из совокупности мешающего излучения и излучения от цели связано с серьезными трудностями. Обычно для описания структуры мешающего излучения используются характеристики случайных функций. Структура мешающего излучения считается до некоторой степени аналогичной структуре шумов в электрических цепях, которые чаще всего описываются амплитудной функцией плотности вероятностей или спектральной плотностью мощности*). Видоизменение статистических характеристик из-за аберрации в оптической части системы можно рассчитать по общим зависимостям, рассмотренным выше. Если известны статистические характеристики функции распределения потока излучения, параметры сканирования, а также характеристики приемника и последующих процессов преобразования информации электрическими цепями системы, то можно найти статистические характеристики, описывающие случайную функцию напряжения на выходе системы.
Существует большое количество статистических характеристик случайных функций. Необходимо выбрать такую совокупность характеристик, которая достаточно точно представляла бы конкретную ситуацию и являлась бы достаточно простой для математической обработки. Совокупность характеристик должна в конечном счете основываться на измерениях исходной случайной функции. Необходимые измерения не должны быть сложными.
Наиболее полной статистической характеристикой множества случайных исходных функций могла бы быть многомерная функция плотности вероятностей, определенная на всем пространстве предметов и по всем возможным величинам лучистости. Эта характеристика слишком сложна для практического использования. Поэтому ее необходимо аппроксимировать более простыми способами описания случайных функций с помощью таких параметров, которые могут быть установлены из конкретных измерений и которые содержат достаточно информации для оптимизации и анализа системы.
Описание случайных процессов значительно упрощается, если предположить, что они стационарны. Стохастический процесс**) считается стационарным, если его двумерная функция плотности
*) Очень хорошо рассмотрены характеристики случайных шумов и дана большая библиография по этому вопросу в книге Давенпорта и Рута [13].
**) Стохастический процесс определяется как однопараметрическое множество случайных величин. Например, лучистость совокупности точек, описываемая некоторой исходной случайной функцией, является для какой-то одной точки случайной величиной. Множество таких случайных величин для всех точек, общее число которых определяется разрешающей способностью системы, будет представлять собой стохастический процесс, рассматриваемый в этой главе. Более детальное объяснение основных положений приведено в гл. 8 (см. также [8 и 9]).
483
вероятностей зависит только от интервалов (/2 — 4) или (х/ — х/) и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t или х. Пространственные случайные функции считаются изотропными, если их многомерные функции плотности вероятностей зависят лишь от длины пространственных интервалов. Стационарность означает, что отсутствует определенное начало координат,, к которому необходимо было бы привязывать статистические характеристики и начало системы координат функций, характеризующих процесс. Сдвиг начала координат не изменяет формы функции плотности вероятностей. Изотропность означает, что отсутствует какое-
Рис. 12.7 Исходная поверхность предметов и поверхность предметов системы, сокращенная в ракурсе.
либо привилегированное направление, которое необходимо выбрать за направление отсчета координат ( более выгодное, чем любое другое). Вращение координат не будет изменять формы функции плотности вероятностей изотропного процесса.
На первый взгляд ни одно из рассмотренных свойств не подходит к фоновым процессам. Облака или разнообразные предметы ландшафта, расположенные ближе к горизонту, кажутся более тонкими и длинными. Очевидно, величины лучистости коррелированы на большей длине в азимутальном направлении, чем в направлении угла места. С другой стороны, аналогичные образования фонов в надире или зените (по отношению к положению наблюдателя) не обнаруживают заметной разницы в корреляции при различных направлениях.
Эти рассуждения поясняются рис. 12.7, на котором изображена эффективная фоновая поверхность как сегмент большой сферы, им может казаться Земля при наблюдении с небольшой высоты. На рисунке показана также полусферическая поверхность предметов, центрированная относительно инфракрасной системы. Кажущуюся анизотропию и нестационарность фоновых процессов на поверхности предметов системы, по всей видимости, нет никаких оснований переносить непосредственно на земную поверхность, если не рассматриваются очень большие пространства, когда в поле зрения попадают одновременно полярные и тропические области [12].
484
Иногда делаются более грубые упрощения, например, предполагается приблизительная изотропия в пространстве предметов системы, хотя такое предположение на практике не подтверждается. Переконструирование аппаратуры, учитывающее анизотропию, может существенно улучшить ее характеристики.
Известно, что многомерная функция плотности вероятностей стохастического процесса может быть полностью описана через ее моменты. Рассмотрим, например, плоскость изображения оптической части системы с конечными аберрациями. Из-за аберраций функция, описывающая изображение, может быть полностью представлена через ее значения, расположенные по вершинам сетки с конечными интервалами. В конкретном случае такими значениями функции можно считать величину лучистости, находящуюся в точках пересечения линий сетки. По этому множеству величин и известным аберрационным характеристикам оптической части системы может быть полностью определена функция распределения облученности в изображении. Для случайной исходной функции эти значения функции, описывающей изображение, являются случайными величинами. Обозначим случайную величину лучистости в точке хг через Rlf в точке Х2 —через и т. д. Нет необходимости обозначать хх, хг, хз в любой конкретной последовательности (порядке) при условии, что они представляют некоторое полное конечное множество. Тогда многомерная плотность вероятностей величины лучистости, где лежит в диапазоне от г\ до + drlf R2 — в диапазоне от г 2 до г2 + + dr2 и т. д. равна
p(rlt г2.Г„) =
=f(cioo ... о’ с2оо ... о’ •••> Сою ... о1 •••> С1 ю ... о’ •••)> (12.22) где момент cik . s определяется из соотношения оо оо оо
ctk...s = \drx\dr2-^(r\r2-rn)P{rvrr->rn)drn^ (12.23) bo о
a f является некоторой функцией, которая не может быть элементарной или даже непрерывной. Сумма индексов i+k+ ... + s называется порядком момента cik s.
Полная функция плотности вероятностей настолько усложняет описание фоновой статистики, что для измерения и анализа часто производят упрощение, заключающееся в пренебрежении всеми моментами случайного процесса более высокого порядка, чем второй. В этом случае при статистическом анализе используются лишь средняя величина лучистости, ее дисперсия и автокорреляционная •функция первого порядка или спектральная плотность мощности. Иначе говоря, учитывается корреляция между значениями лучистости в каждой паре точек фонового пространства, но при этом не учитывается, что корреляцию лучистости уже трех точек нельзя выразить через корреляцию пар. Влияние, оказываемое моментами
485
более высокого порядка, чем второй, будет рассмотрено в§ 12.14. Интересно отметить, что, если даже случайный процесс может быть описан очень хорошо несколькими статистическими моментами, процесс не может считаться марковским, потому что процессы Маркова любого порядка не существуют в двух или более измерениях [10]. Это будет рассмотрено в § 12.15.
Квадратичное содержание функции инвариантно при преобразовании Винера (приложение А). Благодаря этому свойству анализ пространственной фильтрации путем использования автокорреляционной функции первого порядка и спектра Винера может быть упрощен в результате использования этих преобразований аналогично использованию спектра плотности мощности при анализе электронных шумов. Этот аспект задачи будет развит в § 12.7—12.12. Распределение лучистости как случайный процесс будет в дальнейшем характеризоваться пятью моментами: с10(х), с01(х), сго(х), сог(х) и си(х).
Наиболее важным является смешанный момент первого порядка, или автокорреляционная функция:
ОО 00
Сц(х)= J dri(Xj) J dr2 (х2) Г! г2 р (г„ г2). (12.24)
— ОО —00
Если случайный процесс предполагать однородным (стационарным по всей поверхности х), то рассматриваемые моменты не зависят от х. Если к тому же предполагать процесс изотропным, то Go= соь £20 = Со2 и Сц(х) = с[(*н 4-Х12),/гЬ В § 12.10 будет показано, что разумно считать процесс изотропным, если он относится к таким реальным поверхностям, как поверхность Земли, но при этом необходимо учесть, что большинство систем будут «видеть» процесс искаженным из-за систематических сокращений в ракурсе.
В последующем анализе будет предполагаться, что существует однородность, но не изотропность. Мы будем использовать формулу центрального момента (гл. 8) Сц(х) в виде
Ун (х)=((п — Сю) (Г2 — Coi))- (12.25)
Кроме этого, обычно предполагается, что случайный процесс распределения лучистости эргодичен (гл. 8). Свойство эргодичности предполагает, что автокорреляционная функция может быть получена и в результате усреднения по пространству реализации конкретной функции лучистости, и как среднее из множества реализаций аналогичных функций лучистости при фиксированном местоположении. Следует считать, что эти предположения могут быть верны, по-видимому, для ограниченного количества классов фонов (кучевые облака при полуденном солнце, естественные участки сельской местности летом, морская поверхность под углом 60° к Солнцу в области 4,0—4,6 мк и т. д.).
В заключение кратко изложим рассмотренные методы статистического описания функций распределения лучистости фонов* 486
которые должны носить характерные черты, до некоторой степени общие для всех конкретных реализаций. Изучение методов статистического описания было начато с рассмотрения многомерной функции плотности вероятностей для всех разрешаемых системой точек. Отказавшись от этого описания как от чрезвычайно сложного, мы приняли решение ограничиться моделью описания, в которой использовалась функция плотности вероятностей, выраженная через первый и второй моменты. При этом предполагалось, что случайный процесс лучистости однороден (и изотропен на эффективной поверх-ности фона). Это описание приводит к двумерной автокорреляционной функции как важной параметрической функции, характеризующей процесс при этих допущениях.
12.7. Оптическая автокорреляция
Подробно изучить вид и внутреннюю структуру двумерных автокорреляционных функций можно с помощью использования очень простого оптического устройства. Принцип работы устройства показан на рис. 12.8. Два диапозитива с изображениями на них одной и той же двумерной функции в различных масштабах используются для исследования корреляции (функции могут быть конкрет-
Рис. 12.8. Оптическая автокорреляция.
ными стохастическими процессами или детерминированными функциями). Энергетическая величина функции в каждой точке пространства предметов представляется на диапозитивах через плотность почернения или прозрачность в соответствующих точках.
Изображение функции в большем масштабе освещается диффузным источником света. Некоторая часть света проходит через больший диапозитив к меньшему, расположенному ниже, параллельно большему, на определенном расстоянии от него. Фотографическая пластинка или бумага располагается параллельно двум диапозитивам на таком расстоянии от меньшего, чтобы отношение высоты к высоте h% равнялось отношению масштабов изображения функции на двух диапозитивах. Для получения двумерной авто
487
корреляционной функции фотопластинка или фотобумага экспонируется необходимое время под диапозитивами и после этого проявляется и закрепляется.
Для того чтобы яснее представить принцип действия этого прибора, рассмотрим элементарную площадку </хх около точки хх. Точка хх находится на плоскости 1, показанной в сечении. Лучистый поток, проходящий через dxx, в элементарном телесном угле dw под углом 0 к нормали равен
dPi = Тх (xO Gcos Odw dx^ =Hcos QT1 (X1) dX1>
где T1(x1) — средняя прозрачность dxx;
G — облученность при 9 = 0,
0<1.
Часть этого потока, проходящая через вторую элементарную площадку dx2, расположенную около х2 в плоскости 2 равна dP2=HT1 (XJ Т2 (х2) dXi
при условии, что dx2 стягивает телесный угол dw при хх. Затем dP2 падает на плоскость 3 около точки х. Это и есть частичный вклад в общую облученность плоскости, которая равна
j T1(x1)T2(x2)dx1. — Хх
Если линейные масштабы двух диапозитивов выбраны пропорционально высотам над плоскостью 3, а их центры в точках хх = 0 и х2=0 соответственно расположены точно над точкой х=--0, то
Х2 — X = (хх — х) и
Л(х2)=Л (£/1).
Из этих соотношений получаем
Т, Ы = [х, + (1 - «]} = Л [х, + (1 - Q .
В частности, если /i!=2/i2, то
2 (-^г) ~ (Х1 х) >
так что облученность плоскости 3 равна
Р(х)=Я J T1(xx)7’i(xi-x)dxx.
— Х1
Эта величина пропорциональна автокорреляционной функции T^xJ, оцениваемой по части функции, заданной на конечном участке Хх.
488
В качестве примера на рис. 12.9—12.11 приведено несколько результатов измерений, полученных с помощью этого прибора. На рис. 12.9, а показаны две пересекающиеся прорези в виде креста. Автокорреляционная функция этой фигуры, полученная аналити-
Рис. 12.9. Двумерная функция автокорреляции креста в масштабе 10:1:
а —крест; б—фотографическая автокорреляция; в —контурный график в логарифмическом масштабе (log2).
*9
-*Г* ♦ • • ' ..... ♦ • ♦
If™#; .-в
в" Ш в Л
4 Л
• • ♦ ♦
* • • • ♦
Рис. 12.10. Часть двумерной автокорреляционной функции растра в шахматную клетку.
чески, вычерчена на рис. 12.9, в (масштаб в произвольных единицах) а результат, полученный с помощью оптического автокоррелятора, показан на рис. 12.9, б. Этот частный позволяет получить изображение автокорреляционной функции, которое может быть проверено аналитически. Этот пример показывает также недостатки описанного метода, которые сводятся в основном к затруднению в получении количественных соотношений из-за ограниченной контрастности и широты фотографического материала.
На рис. 12.10 представлена автокорреляционная функция прямоугольного образца в шахматную клетку. Из этого примера следует, что автокорреляционная функция периодической структуры сама периодическая. Автокорреляционная функция в этом примере выявляет периодичность исходной структуры с поворотом на 45° по отношению к краю образца, что является наиболее характерной особенностью, которая будет рассмотрена в § 12.11. Необходимо от
метить, что эта автокорреляционная функция имеет один и тот же вид по всему полю изображения, но при этом интенсивность ослаб-489
пример показывает, что метод
I ' * J
ляется по направлению к краям. Это одна из основных характеристик автокорреляционной функции образцов конечных размеров. Если конечный образец является частью бесконечной структуры,
как в случае, когда производили измерения статистических процессов для получения автокорреляционной функции, то полученная
автокорреляционная функция не является частью автокорреляционной функции бесконечного
процесса, а лишь ослабленной функцией рассматриваемой части процесса,
Рис. 12.11. Двумерная автокорреляционная функция, полученная с фотографии облаков.
причем ослабление различных участков функции неодинаково. Устранить эти искажения очень трудно, что и является одной из причин использования для описания сложных процессов не автокорреляционной функции, а преобразования Винера.
На рис. 12.11 показана автокорреляционная функция, полученная с фотографии части облачного неба в ближней инфракрасной области спектра. Этот рисунок
подчеркивает другой недостаток, который нужно устранить при оценке величины автокорреляционной функции процесса. Очень
резко выраженное расслоение элементов автокорреляционной функции почти полностью обусловлено конечным размером кадра; этого расслоения не должно быть в автокорреляционной функции процесса, определенного на бесконечности.
12.8. Спектр Винера случайного процесса, описывающего изображение
Другим способом описания случайного процесса, характеризующего изображение, является описание процесса с помощью его среднеквадратичного спектра амплитуд. Эта статистическая характеристика эквивалентна автокорреляционной функции и дает другую меру связи между ожидаемыми флюктуациями процесса. Среднеквадратичный спектр амплитуд часто называется спектром Винера*). Он является двумерной аналогией спектральной плотности мощности шумов, используемой для описания одномерного процесса при чисто электронных флюктуациях. Для анализа характеристик систем спектр Винера, являющийся преобразованием Фурье автокорреля
*) В советской литературе обычно его называют спектром Хинчина —• Винера. (Прим, пер.)
490
ционной функции, часто использовать легче, чем саму автокорреляционную функцию, по тем же причинам, по которым преобразования Фурье функции изображения и апертурной функции упрощают математические операции (операция интегральной свертки функций заменяется более простой операцией перемножения их преобразований Фурье).
В этом параграфе будет дано определение спектра Винера и показана его связь с автокорреляционной функцией и спектральной плотностью мощности шумов на выходных зажимах приемника, обусловленных неоднородностью структуры фонов.
Спектр Винера определяется следующим образом.
Допустим,что ^(у) — реализация процесса изображения, определенного в области В, a Q(m) — преобразование q(y) в этой области:
(12.26) (0 в остальных точках,
в2
<2 (m) = J dyx J </(у)ехр(— j2nm-y)dy2. (12.27) — Bi —в2
Напомним, что квадрат преобразования Винера обладает свойствами инвариантности (приложение А):
j I <7 (У) I2 dy = J | Q (m) |2 dm.
В oo
Сущность этой теоремы заключается в том, что интеграл квадрата пространственной функции по области ее определения равен интегралу квадрата модуля спектра амплитуд по всей области пространственных частот, т. е. интеграл от квадрата обратного преобразования равен интегралу от квадрата функции прямого преобразования. Теперь вычислим интеграл
W (т, В, Дт) = С 4й‘Пй dm'.
v ’ J 4Bj Вг
т—Дт/2
(12.28)
Этот интеграл представляет собой среднеквадратичную величину q (у) в полосе пространственных частот шириной Дт при величине т, усредненной по зоне | у | < В. Предел этой величины
W (т) = lim Нт
Дт-0 В-*ОО
W' (т, В, Дт)~
Дат?! Дт2
(12.29)
является спектром Винера. Это определение не дает возможности измерения №(т), так как на практике В не может быть очень большим. Автокорреляционный анализ, рассмотренный ниже, дает ответ на этот вопрос.
491
Автокорреляционная функция определяется выражением
Я (|) = j dz’j j [г! (У1) — с10] [z2 (у2) — с01] р (z'j, z2) di.2, (12.30) О о
которое является средним по ансамблю от произведения двух величин и 12 в двух разных точках ух и уг в пространстве, где определен процесс /(у). Для эргодического процесса автокорреляционная функция может быть представлена в виде
Jim 5^y2 fz7(y)z?*(y + l)dy, (12.31)
В
где звездочкой обозначена комплексно сопряженная величина с ?(У + !)• Как и в случае определения спектра в уравнении (12.29), такое выражение имеет тот же недостаток из-за необходимости определения функции изображения по очень большой области пространства, которая на практике должна быть конечной.
Уравнение (12.27) дает обратное преобразование q(y). Подставляя его в уравнение (12.31), получим
R (|) (=) Игл ,-дЦ- f q (у) dy f Q* (m) dm. (12.32)
В этом выражении можно поменять порядок интегрирования, учитывая, что q (у) является квадратично интегрируемой функцией по области В:
R (|) (=) lim удЦ- ( Q* (m) е*™* dm f q (у) dy. (12.33)
Второй интеграл в уравнении (12.33) можно представить из уравнения (12.27), так что
R (|) (=) Пт J Q (т) Q* (т) е'2™’ dm =
= j W (т) dm. (12.34)
Уравнение (12.34) представляет известную теорему Винера — Хин-чина, которая устанавливает, что автокорреляционная функция /?(£) является преобразованием Фурье функции, которую мы определили как среднеквадратичный спектр амплитуд случайного процесса изображения. Так как взаимосвязь между парой преобразований Фурье однозначна, то эти две характеристики являются эквивалентными в описании случайного процесса. Второй возможный способ определения автокорреляционной функции как средней по ансамблю устанавливает связь с экспериментальным методом определения этих функций при условии, что процесс можно считать эргодическим.
492
Ниже будет показана очень важная связь между двумерным спектром Винера и одномерным спектром шума на зажимах приемника.
Если мы предположим, как и в § 12.5, что движение растра (апертуры) относительно пространства изображений можно выразить через
[р = к/, где к — вектор скорости, то
v (t) = RQ q (kt), (12.35)
где Ro — вольтовая чувствительность, связывающая общий мгновенный поток с напряжением (в вольтах) на выходе приемника. Теперь выберем систему координат р так, чтобы
к = (^,0), (12.36)
т. е. чтобы движение осуществлялось вдоль одной оси. Тогда о(0=#о<7(&>1 Л O) = lim7?o(? (/?!, р2). [(12.37)
Pl~*kt
Теперь, рассматривая приемник с точки зрения конструктора электронных схем, можно установить, что он дает напряжение v(t). которое имеет автокорреляционную функцию 7?(т) и спектр мощности W(f)
т
W(f) = lim f е/2^ R (т) dr. (12.38)
Т -> °° __у
Но автокорреляционную функцию можно записать через напряжение
R (т) = lim (20") J v v* V + dt'
Подставляя в это выражение значение v(t) из уравнения (12.37), получаем
R2
R(r) = Vm ~ J qikrt, р2) q* [^(/ + т), р2 + |2] d t). (12.39) р2->0 —Bi ч-о
Заменяя далее q* величиной Q* [р — |] (его обратным преобразованием) в уравнении (12.39) и подставляя уравнение (12.39) в уравнение (12.38) с последующим изменением порядка интегрирования, как и раньше, получим
т
№(f)=lim fe^lim R20dr fW(m) e'^dm, (12.40)
T-»OO J J
~T 5,-0 00
где W (m)—спектр Винера процесса <y(p).
493
Меняя порядок интегрирования в уравнении (12.40) и подставляя пределы интегрирования по | согласно соотношению kr t 4- 0, получаем
т
W (/) = Ro С W (m) dm lim f е'2* <f~m' k^'-dx. (12.41)
J T->oo J
оо —Т
Второй интеграл с такими пределами представляет хорошо известную дельта-функцию Дирака
Ro^W(m)b(f — m1k1)dm. (12.42)
В уравнении (12.42) произведем подстановку m1k1 = x‘, m1=x/k1; dm-i = dx/ki,
W(f)=^ f dm2 C W (^,m2\b(f — x)dx^
J J \#1 J
—oo —00
p2 00 . ,
- к $ v(k (12-43)
—oo x
Это окончательное выражение показывает, что спектр напряжения на зажимах приемника при движении вдоль одной оси в пространстве изображений с постоянной скоростью является спектром Винера фонового процесса, представленного в виде интеграла по волновым числам, соответствующим направлению, перпендикулярному направлению движения.
12.9. Аналог преобразования Винера
В § 6.7 была описана дифракция на малой диафрагме поля зрения, которая ослабляет некоторые части фронта волны. Было показано, что если дифрагма с прозрачностью a(z) облучается излучением длиной волны X, то с учетом дифракции облученность / (w) поверхности, расположенной на большом расстоянии позади (z), с хорошим приближением равна
/(w) = j a(z)e /2"w dz, (12.44)
^поверх
где d—радиус падающего фронта приходящей волны.
Уравнение (12.44) показывает, что если w/hd представить как пространственную частоту пг, то фраунгоферова дифракция может быть использована как аналог метода получения двумерного преобразования Винера.
Устройство, которое можно использовать для этого, схематично показано на рис. 12.12. Свет газоразрядной лампы отфильтровы-494
вается, чтобы выделить одну линию. Некоторая часть отфильтрованного света проходит через диафрагму, расположенную в фокальной плоскости коллиматорной линзы. Если размер диафрагмы гораздо меньше фокуса этой линзы, то можно получить параллельный пучок почти монохроматического света. Установленный в этом пучке прозрачный диапозитив, на котором изображена функция, обратная a(z), вызовет дифракцию. Свет собирает вторая коллиматорная линза и фокусирует его на фотопластинке.
Если вторая линза «сфокусирована на бесконечность», то она даст на фотопластинке, расположенной на соответствующем расстоянии, дифракционную картину. При соответствующей экспозиции и по-
Небольтая Линзы колли-
Газораз- Диапозитив и
рядная с обратной Фотограсричес-
лампа функцией a(z) кая пластина,
на которой получается I(w)
Рис. 12.12. Оптическое преобразование Винера посредством использования фраунгоферовой дифракции.
еле проявления и закрепления можно получить на фотопластинке изображение преобразования Л(т) в масштабе, зависящем от длины волны света X и фокуса второй коллиматорной линзы. Метод ограничивается шириной исследуемой спектральной линии, угловым полем первой линзы, дифрагмой, размером фотографической пластинки и степенью приближения, с которой, можно считать, что имеет место фраунгоферова дифракция, а не френелевская. Динамический диапазон и линейность аналогичного преобразования ограничивается характеристиками фотографической пластины.
В принципе этот метод может быть использован для нахождения спектра Винера случайных процессов лучистости двумя путями (эта идея была сообщена автору доктором Р. Д. Роуклиффом). Сначала нужно получить фотографическое изображение реализаций исследуемой функции или путем сканирования представляющих интерес участков фона, или путем использования'передающей трубки и кинескопа. Автокорреляционные функции по этим фотографиям могут быть получены методом, описанным в § 12.7. Преобразование автокорреляционной функции путем использования фраунгоферовой дифракции должно давать спектр Винера для процесса, усредненного по пространству.
С другой стороны, методом, рассмотренным на рис. 12.12, может быть также получено непосредственно преобразование Винера каждой реализации процесса. Если заменить фотопластинку рядом приемников, то можно проинтегрировать это преобразование в выбран
495
ном диапазоне пространственных частот. Ряд реализаций случайной функции обычно преобразуется последовательно, а выходное напряжение приемников после сложения и усреднения цепью с квадратичной характеристикой представляет части спектра Винера, усредненного по фоновому ансамблю.
Приближенную оценку преобразования Винера можно также получить вторым методом, используя фотографические диапозитивы вместо приемников. Но при этом логарифмическая чувствительность фотографической пластинки может привести к большим трудностям при сложении и усреднении.
12.10. Сокращение в ракурсе и высота
Инфракрасные системы, установленные на баллонах, самолетах или спутниках, могут осуществлять обзор Земли или слоя облаков над земной поверхностью. При визировании по направлению к горизонту вид пространства предметов будет искажаться, причем на данной дальности размеры в направлении к горизонту будут казаться короче, чем такие же размеры, параллельные горизонту. Кроме того, конкретный вектор пространства предметов будет стягивать угол системы, обратно пропорциональный отношению наклонной дальности к вектору. Оба эти эффекта допускают точный расчет с помощью геометрии.
Рассмотрим фоновый ансамбль в виде небольшого участка облачного неба. Предположим, что можно было бы видеть этот участок из центра Земли. По-видимому, целесообразно предположить, что корреляция случайного процесса лучистости статистически одинакова во всех направлениях. Конечно, такое предположение не будет справедливо, если члены ансамбля выбраны из одного конкретного места. Отсутствие изотропии в этом случае может быть связано с преимущественным направлением ветров в данном месте, особенностями береговой линии и другими местными факторами, влияющими на характер облачности. Однако при проектировании большинства инфракрасных систем неизвестны заранее такие подробности о месте их применения, которые позволили бы разумно учесть анизотропию в картине фона*). По этой причине, а также чтобы не осложнять чрезмерно проектирование системы, предположение об изотропности фоновой обстановки представляется оправданным.
Предполагая фоны изотропными в системе координат с началом, расположенным в центре Земли (рис. 12.7), и учитывая сокращение размеров в ракурсе, автор показал в работе [10], что видимый спектр Винера на поверхности предметов системы определяется выражением
г/т!\2 //тг2\2Т1/2
Wxx (X, m) = Ц 1 7 ; 2/ J —, (12.45)
__________ е\е2
*) В частных случаях, когда проектируется система очень узкого назначения, не исключена возможность учета анизотропии.
496
где Wxx— спектр Винера при наблюдении под углом х в координатах пространства предметов системы;
Wee — спектр Винера изотропного фона в системе координат е с началом в центре Земли.
Величины в\ и е2 являются частными производными е± и е2 по Xj и х2 соответственно. В работе [10] даны выражения для et, е2, е2 для случая, когда участок фона невелик и сферическая поверхность Земли может считаться плоской.
Детальный анализ этой модели показывает, что спектр Винера в направлении, близком к надиру или зениту системы, представляется существенно изотропным
= (12.46)
где 7? — радиус поверхности фона;
h — наименьшее расстояние до системы.
Уравнение (12.46) показывает, что, как и следовало ожидать, масштаб пространственных частот просто сокращается обратно пропорционально расстоянию.
По мере того, как х приближается к горизонту, видимые контуры спектра Винера все более приобретают форму эллипса с эксцентриситетом ei(x)/e2(x). Такой подход устраняет трудности, связанные с обратно пропорциональной зависимостью от пространственной частоты получаемых при измерении спектров Винера. Ординаты этих спектров не становятся сколь угодно большими при очень низких пространственных частотах, так как наиболее низкие частоты, которые могут встречаться, имеют в пространстве предметов системы период 2л радиан.
12.11. Пространственно-частотный анализ
Спектры Винера могут быть определены на любой координатной поверхности, рассмотренной в § 12.2, для описания излучения, проходящего через систему (или на некоторой промежуточной поверхности). Для конкретного фонового процесса различие в спектрах будет показывать степень его изменения от поверхности к поверхности, а окончательный спектр на той поверхности, распределение потока на которой определяет электрический спектр шумов согласно уравнению (12.43), будет значительно отличаться от спектра в пространстве предметов. Аберрации оптической системы будут сглаживать исходную функцию лучистости, размывая детали и устраняя тем самым компоненты с высокой пространственной частотой. Роль апертурной функции обычно заключается в том, чтобы выделить небольшую полосу волновых чисел в области наиболее высоких частот, которые еще не искажаются аберрациями. При этом удаленная цель — почти точечный источник — будет иметь значительную долю энергии в области высоких волновых чисел вследствие ее мало
17 Зак. 1502 497
го размера. Спектр же изображения фона содержит значительно меньшую часть общей энергии в области этих волновых чисел, так как многие фоновые образования, которым спектр фона обязан своим происхождением, значительно больше цели по размерам.
Вычисление некоторого неизвестного спектра по полученному можно произвести из выражений сверток, связывающих функции распределения лучистости, функции изображения и функции потока, и применения преобразований Винера, для того чтобы упростить выражения сверток. Пусть, например,
/ (Р) = J i (У) а (у + р) dy,
В
где f (р) — функция распределения потока случайного процесса, возникающая из i (у) — случайной функции изображения в результате свертки с апертурной функцией a(z).
Это соотношение может быть также записано путем замены переменных г = у + р, dr =-- dy в виде
/(Р) = f /(г —p)a(r)dr. в+р
Автокорреляционная функция f(p) равна
Rff (n) = J dfi J fl (р) Гг (р + n) Р (А. /2) df2 и может быть записана для краткости в виде
Rff (n) = <А (р) f2 (Р + п)) = ( J А (г — Р) а (г) dr х х в+р
X j /2(5 —р —i])a(s)ds \ (12.47)
В+р+1
или, меняя порядок интегрирования и усредняя, можно записать
J а (г) dr J a(s) (t'i(r —p)i2(s —р —i]))ds =
B+p В+р+ч
= J a(r)dr J a(s) Ru (ц 4- s + r) ds, (12.48) B+p B+p-I-t;
где Ra — автокорреляционная функция случайного процесса, описывающего изображение.
Уравнение (12.47), очевидно, является двойным интегралом свертки а(у) с автокорреляционной функцией г(у). Применяя преобразование Винера к обеим частям и переходя к пределу, получим в левой части равенства
lim f 7?//(п)ехр(—/2лт-п) dn, (12.49)
в-а>в^
498
а используя обратную взаимосвязь, определяемую уравнени-ем (12.34), получим спектр Винера ^/z(m) функции распределения потока. Спектр Винера функции распределения потока справа имеет вид
lim J а (г) dr J a (s) ds J Ra (i) + s — r) e~i2nmri dr).
B-*cOb+p B-J-p-j-*) В—V)
Производя подстановку т) + s — г = t, di) = dt, t) = t 4- r — s и раскрывая экспоненту, получим
J а (г) e~72*mr dr J a (s) e~;’2;tms ds J Ra (/) e~;2zmt dt,
OO OO 00
Это выражение может быть записано в виде
Л(т)Л*(т)Г//(т). (12.50)
Таким образом, комбинируя левую и правую части из (12.49) и (12.50), получим выражение
rz/(m) = f Л(т) |2№zz(m), (12.51)
которое означает, что спектр функции распределения потока является спектром функции изображения, умноженным на квадрат абсолютной величины преобразования Винера апертурной функции**.
Ниже будет продемонстрировано применение этого важного выражения на примере, в котором производится сравнение двух апертурных функций для того, чтобы определить, какая из них обеспечивает лучшее отношение выходного напряжения сигнала с заранее заданными характеристиками к мешающему напряжению шума, возникающего вследствие воздействия на приемник излучения фона.
Пример. Предположим, что нужно сравнить характеристики апертурной функции, играющей роль пространственного фильтра, показанной на рис. 12.13 в верхнем углу с левой стороны (квадратная диафрагма с параллельными полосами) и показанной на рис. 12.14 (квадратная диафрагма в шахматную клетку). Эти растры используются для получения информации о целях, представляющихся в пространстве изображений круглым диском с постоянной лучистостью,
'Т ('> 0) = ( о ° С Г Г°’ (12.52)
( 0 в остальных точках.
Спектр Винера фонового процесса в пространстве изображений задан выражением
Wo
W и (т) — / 2 I 2 । (12.53)
(ат\ +mz2 + q)Z
где а — неизвестный параметр, лежащий в пределах (0,1);
g — неизвестный параметр порядка 3/2.
Первый шаг заключается в получении передаточных функций двух рассматриваемых диафрагм — растров.
*) Преобразование Винера апертурной функции называется передаточ-
ной функцией. (Прим, пер.)
17* 499
Применяя метод, использованный в§ 12.6, находим для растра с параллельными полосами передаточную функцию
sin Ttm-L 3 sin 2л/772 W ехр [— /тс (т1 $-^т2 Л^)] Ар/(т)=Ы^ rm^ р 2~m2Nd cos к m2d
(12.54)
Один квадрант модуля этой функции вычерчен на рис. 12.13. Возникновение двух членов типа sinx/x обусловлено прямоугольной рамкой растра. Каждый член является преобразованием прямоугольного импульса. Косинусный
Рис. 12.13« Размеры растра с параллельными полосами (а), а д+ 1 d ~п’ 2 ~N'
преобразование растра с параллельными полосами (б):
I R (mi, т2) I I sin к 3 sin 2^ т2 Nd 1 I
I N 3 d j J к 3 2k m2 Nd cos n tn2 d |
член, который имеет частоту пульсации в N раз меньше, чем огибающая sinx/x в этом направлении, возникает из-за узких полос шириной d. Экспоненциальный член представляет фазовый сдвиг или коэффициент запаздывания, появляющийся вследствие того, что начало отсчета координат выбрано не в центре растра.
500
Из схематического чертежа видно, что эта передаточная функция очень чувствительна к равномерной функции распределения лучистости по всей плоскости изображения (из-за максимума передаточной функции в начале координат) и что край фонового образования или цель, большая часть энергии излучения .которых приходится на область волновых чисел =0, т2 — l/2d, будет незначительно ослабляться растром. Чтобы иметь такое
а)
Рис. 12.14. Размеры растрав шахматную клетку (а): п + 1 А £ £ и- А
N — 2 > b > п- d , к - 2 ’
преобразование растра в шахматную клетку (б):
I R (mt, т2) |_ | sin 2я тх Kb sin 2к т2 Nd cos и (т^Ьm2d) | W 0 d | I Kb 2iz m2 Nd cos n mtb cos nm2d |
распределение энергии, край должен быть прямым и протяженным в направлении у± с резким переходом в направлении у2. Таким образом, преобразование этой апертурной функции достаточно хорошо показывает очень сильную чувствительность растра с параллельными полосами к длинным прямым краям, параллельным полосам растра.
Аналогичное рассуждение показывает, что передаточная функция растра в шахматную клетку имеет вид
„ / Ч /sin2wn2M\/sin2wjiK6\ cos к (mt b-^m2d)
Acb(m)=2NKdb{ 2r.m2Nd )[ 2^ Kb ) cos tMi b cosnm2 d ‘
501
Один квадрант модуля этой функции вычерчен на рис. 12.14. Четыре квадранта в этом случае являются симметричными из-за симметрии самой апертуры. Действительно, все октанты аналогичны, если я = р, как можно увидеть из свойства (А.32), преобразования Винера (приложение А) и круговой симметрии этого растра.
Производя анализ, аналогичный анализу растра с параллельными полосами, можно видеть, что положение основных максимумов этой передаточной функции показывает, что она очень чувствительна к однородной функции лучистости и к краям, ориентированным под ±45 и ±135° к оси у пространства изображений. Чувствительность к краям, ориентированным под 0 или 90° к оси у, равна нулю. Ясно, что эти три свойства должны быть присущи такому растру.
Взяв соответствующие предельные значения в уравнениях (12.54) и (12.55), получим максимальное значение передаточной функции этих двух растров:
I Apf (0,0) / = d площадь прозрачной части,
I &сь (0,0) = 2NKdb — приблизительно площадь прозрачной части,
I APf (°-±
2N$d
4NKdb
-2
Далее рассмотрим форму основных максимумов передаточной функции растра. При вычислении относительной реакции растра на фоновый процесс с данным спектром Винера предполагается, что отношение их реакций приблизительно такое же, как отношение реакций только в пределах одного основного максимума. Энергия, проходящая в пределах максимума в начале координат, будет выделяться электронным фильтром. Если форма основных максимумов похожа, то достаточно сравнить высоты максимумов и величины спектра Винера в области максимумов.
Интеграл квадрата модуля передаточной функции растра с параллельными полосами по области вокруг двух его основных максимумов равен
1/3
Pp/=(WM)2 J
— 1/3
sin 7zm1 I2 ^i/₽ I
dm! X
(W±1)/2AT/Z
I sin 2tu/7z2 Nd I2
I 2nm2Nd I
(AT— \)/2Nd
1
cos тгт2 d
2
dm2.
(12.56)
Для растра в шахматную клетку интеграл квадрата модуля функции преобразования по аналогичной области вокруг любого из его четырех основных максимумов равен
(^4-1)/2КЬ
Pcb = (2NKdb^ J
(k- \)/2Kb
sin 2~m1 Kb 2^mi Kb
2
dmt X
(tf+l)/2jVd
f j sin2rm2Nd |2 I cost: (/??!&+ ffl2d) I dm
J 2nm2Nd | | cos-fflx & cos т:т2 d | 2’
{N—i)/2Nd
502
Полагая в этом выражении пг1 = +е, где получаем
1/2 къ (ЛЧ-1)/2М/
Pcb = (2NkdB~)2 f I sin2rKfee I2 x С I sin 2itm, ЛМ i2
’ J | *K+2r.Kbt. I J | 2wn2/Vd
— 1/2 Kb (N—l)/2Nd
1112! , cos лВе sin ~m2 d |2
X -------т cos d Ф------------:--г----- dm<>.
| cos -m2 d | j 21 sin nbt j 2
Заметив, что в области, которая нас интересует, nm2d ж л/2, так что cos тлп2 d < 1, sin т.т2 d ж 1, а кЬг < л/2 и sin nbz кЬг
1/2 КЬ
~ /4NKdb\% Р I 51п2л/С6е |2
Pcb ~ ~) J j 2кКЬг I
— 1/2 /<Ь
(N+l)/2Nd
X
(N—l)/2Nd
sin 2л/п2 Nd 2кт2 Nd cos л/п2 Nd
2
dm2
(12.57)
Но сравнивая размеры схематических изображений двух передаточных функций, можно увидеть, что 2%Ь = £ и при этом уравнения (12.56) и (12.57) имеют одинаковую форму. Тогда для растров с одинаковыми размерами кадра и стороной квадрата шахматной клетки, равной ширине полосы растра типа «частокол», справедливо соотношение
Pcb—
(12.58)
Таким образом, используя уравнение (12.58) и выражение для №ц(т), данное уравнением (12.53), получим следующее отношение реакций двух рассматриваемых растров на среднеквадратичную величину фона:
Bpf 2№„(о,
2d Г 2d
2 4d2 + q
л2 a 1
Й2 ^4cP ^q
S
где принято b = d. Тогда, если q <Z. \/4d2,
2
Bcb
Bpf
(12.59)
Подведем итог. Приняв, что растры с параллельными полосами и в шахматную клетку имеют одинаковый размер элементов (что при правильном проектировании соответствует одинаковому по аберрациям качеству оптики систем с растрами обоих типов), что клетки растра в шахматную клетку — квадратные и что в результате пространственной и электронной фильтрации (задерживающей всю энергию, проходящую через максимум в точках /п=0) коэффициент передачи энергии равен коэффициенту передачи в основных максимумах передаточной функции, мы показали, что формы максимумов передаточных функций обоих растров одинаковы, а отношение реакций систем с растрами обоих типов на среднеквадратичную величину фона определяется уравнением (12.59).
Величины Bpf и ВсЪ могут быть переведены с помощью уравнения (12.43) и с учетом чувствительности приемника излучения в среднеквадратичные величины напряжения на выходных зажимах приемника.
503
Поскольку нас интересует отношение этих величин на выходе, то,^ если скорость сканирования одинакова, такой перевод не обязателен. Действительно, в этом случае отношение среднеквадратичных напряжений, возникающих вследствие воздействия на приемник излучения фона, будет таким же, как ВсЬ1Вр/.
Дальнейшее рассмотрение посвящено вычислению отношения реакции растров на цель. Из схем рис. 12.15 ясно, что если диаметр изображения цели, рассматриваемой в данном Изображение примере, меньше, чем ширина
полос, то напряжение на выходе приемника вследствие движения цели по растру с параллельными полосами будет представлять прямоугольный амплитудно-промодули-рованный импульс с длительностью, равной времени прохождения цели через растр, и полной величиной амплитуды, пропорциональной энергии в изображении цели.
Из схемы рис. 12.15, б видно, что аналогичный импульсный сигнал от растра в шахматную клетку имеет максимальную амплитуду, мень-
Рис. 12.15. Пропускание сигнала от цели растрами с параллельными полосами и в шахматную клетку:
а—растр с параллельными полюсами; б —растр в шахматную клетку.
шую или равную амплитуде сигнала в случае растра с параллельными полосами. Пусть расстояние от центра изображения до ближайшего края ряда квадратов, расположенных над изображением цели на растре в шахматную клетку, равно х, тогда
?cb _ 2
Tpf -кго
— 2
ro arccos(^)- (т)(го- *2)'/2
Вычерчивая квадрат этой функции от х = 0 до г0, интегрируя и вычисляя среднеквадратичную величину относительно х (в предположении однородного распределения), можно легко показать, что
Т. сЬ эф = 0,625.
TPf
Таким образом, мера относительной эффективности двух растров равна
Эффективность растра в шахматную клетку
Эффективность растра с параллельными полосами
//W\1/2 /
\BpfJ
= 0,44л (а+l)^/2.
Эта мера является, по существу, средним отношением пиковой (максимальной) величины сигнала к среднеквадратичному значению фоновых шумов. Оно зависит от параметров а и g, которые характеризуют степень анизотропии пространственно частотного спектра фонов и скорость его уменьшения с увеличением пространственной частоты.
Предполагая, например, величину g = 3/2 и а = 1, которые показывают, что спектр фонов уменьшается пропорционально кубу волновых чисел и яв-504
ляется изотропным, найдем, что отношение эффективностей равно 0,8. Таким образом, в этом случае растр в шахматную клетку обеспечит на 20% меньшее отношение сигнала к шуму фона, чем растр типа «частокол» той же площади и с такими же размерами элементов.
Если а —> 0 (случай крайней эллиптичности, когда края, перпендикулярные к направлению сканирования, встречаются гораздо реже, чем параллельные), то отношение эффективностей равно 1,4 независимо от g.
12.12. Оптимальная пространственная фильтрация
Расчет, описанный в общих чертах в предыдущем параграфе, дает метод анализа конкретных пространственно-частотных устройств по их относительной эффективности при заданных функции лучистости цели и спектре Винера фона. Попытаемся рассмотреть дальнейшее применение теории. Может ли теория дать метод, обеспечивающий не только сравнительную, но и абсолютную оценку эффективности? Существует ли метод синтеза, пригодный для конструирования пространственных фильтров для конкретных целей, и в особенности для конструирования фильтров, которые являются оптимальными в смысле максимизации степени эффективности, определенной в § 12.11?
Проблема получения абсолютной оценки выглядит следующим образом. Функция лучистости, описывающая цель, и спектр Винера фона, определенные в пространстве предметов, считаются заданными. Предполагается, что спектр Винера измерен для ансамбля фонов, имеющих статистические характеристики, подобные рассматриваемому фону, а диапазон изменений средних величин достаточно мал, так что усреднение имеет смысл. Передаточная функция оптики и апертурная функция предполагаются известными. Необходимо определить отношение максимальной величины сигнала к среднеквадратичному значению фоновых шумов на выходе приемника излучения, чувствительность которого известна в функции электрической частоты.
Сначала производятся преобразования исходной функции, описывающей цель, и спектра Винера, описывающего фон, к виду, который они имеют в плоскости приемника. Для этого используются уравнения (А. 16) и (12.51). Затем, используя методы, описанные в § 12.5, и умножая полученные величины на чувствительность приемника, как функцию частоты, находят возникающее в результате воздействия на систему излучения цели напряжение на выходе приемника в функции времени. Максимальная величина этой реакции дает максимум выходного сигнала. Используя уравнение (12.43) с той же характеристикой чувствительности, можно также найти спектральную плотность мощности шума на выходе приемника. Интегрируя этот спектр и извлекая корень квадратный, получим среднеквадратичную величину шумов от фона. Если требуется определить результирующее напряжение на выходе электронного фильтра, следующего за приемником, необходимо умножить его передаточную 17В. Зак. 1502 505
функцию на частотную характеристику чувствительности приемника.
На практике метод основных максимумов, использованных в § 12.11, часто употребляется для упрощения расчетов и получения результата достаточной точности. Символически функцию распределения потока от цели находят в виде
Qt (щ) = От (ш) Аг (т) Л2 (т), (12.60)
где От (т) — функция лучистости цели в пространстве предметов; WFB (m) - W0B (m) | A, (m) |21 Л2 (m) ]2,
Vr (f) = J°Qr fa dm2. (12.61)
—00
Предполагая движение параллельным оси ylt получаем
(/)= WpB dnh>
1 v (0 |макс 00 j VT(f)e^f‘df — 00 макс
оо 1 1/2 J OO
(12.62)
Оставляя в стороне проблему разработки устройств пространственной фильтрации с конкретными характеристиками, обратимся к вопросу о выборе Лг(т), обеспечивающем максимум отношения типового сигнала к среднеквадратичной величине шума. Уэсли [141 применил для этого соображения, использующиеся при проектировании электронных фильтров для систем обнаружения (гл. 11).
Максимизация уравнения (12.62) путем использования неравенства Шварца приведет к выражению
. ог('-.
A J L, ----'----- ----- . (12.63)
' Яо (/) Л (^, m2)| F0B /п2)|
Это выражение дает вид передаточной функции A{f/p,m2), которая будет максимизировать отношение пикового сигнала от цели к среднеквадратичной величине фоновых шумов при условии, что последние достаточно точно описаны их спектром Винера.
Отношение пиковой величины сигнала к среднеквадратичной
величине шумов равно
I v |макс __
(12.64)
506
Проведенное рассмотрение пространственно-частотных фильтров аналогично анализу согласованных фильтров (Давэнпорт и Рут [13]), хорошо известных в теории электронных шумов.
Полученные результаты очень похожи на результаты аналогичных расчетов, получаемых в случае одномерных электронных шумов (Заде и Рагазини [15]). Коэффициент ехр (—/2л//о) в выражении для Лг(/7р, m2) означает запаздывание передаточной функции апертуры, которое необходимо для реализуемости фильтра. Запаздывание будет продолжаться в течение одного периода сигнала, указывая на то, что максимальная величина сигнала не может возникнуть раньше, чем вся цель не будет перекрыта апертурой. Это следствие строгой упорядоченности возникновения во времени последовательности событий. Такой коэффициент запаздывания не может быть связан с переменными m2 и у2 из-за совершенной случайности углового размера.
В дальнейшем будет показано, что, как и в случае электроники, максимально достижимая величина отношения сигнал/шум зависит только от интеграла отношения величины квадрата сигнала и величины квадрата шума в пространстве предметов.
В гл. 13 будет доказано, что использование растра с последующей пороговой схемой, которая пропускает только сигналы больше определенной величины, соответствует применению критерия правдоподобия с некоторой определенной степенью уверенности [20].
Практические расчеты часто приводят к тому, что для реализации Аъ^/р, m2) необходимо, чтобы апертурная функция непрерывно изменялась или была отрицательной. Эти ограничения несущественны. Положительная и отрицательная прозрачности могут быть легко имитированы при использовании многоплощадных приемников излучения, соединенных электрически в противофазе.
12.13. Измерение спектров Винера
Измерение спектров плотности мощности проанализировано и описано очень полно Блэкмэном и Туки [19]. В их монографии очень подробно рассмотрена подготовка и проведение измерений одномерных процессов, методы расчета разрешения и степень статистических флюктуаций, которую можно ожидать в результатах.
Рассматривая подготовку измерений двумерных случайных процессов, нужно ввести несколько дополнительных соображений. Они касаются разделения данных по двум измерениям и конечности размеров реализаций.
На рис. 12.16 показан спектр Винера, который нужно измерить, и проекции на него апертурных функций двух радиометров. Апертурные функции радиометров показаны слева. В первом случае апертурной функцией является маленький квадрат. Ее преобразование простирается в пространственно-частотных координатах примерно на величину, обратную стороне квадрата в обоих измерениях (приложение А). Когда маленький квадратик перемещается со скоро-
17В*
507
стью р вдоль оси х по реализации процесса, ось т1 становится осью f/p. Анализатор формы сигналов или электронный фильтр с регулируемой частотой пропускания зафиксирует на зажимах приемника величину, пропорциональную интегралу от спектра Винера заштрихованных полосок. Из полученного результата невозможно точно оценить, какая часть его соответствует частотам близ оси и какая— краям полосы.
Прообраза^ вание an ер- L
турной функции
Поверхность преобразования
Апертурная Функция в ви- х де квадрата | 1
Полоса частот элект-
Поверхностъ изображения
Апертур-*’ на я функция в висе паза
Поверхность изображения
Преобразование апертурной. функции
тот элект-
ронного уст-
ройства
Поверхность
преобразования
Рис. 12.16. Измерение спектров Винера.
Во втором случае апертурной функцией является длинная тонкая полоска, преобразование которой лежит почти полностью вблизи /П1. Анализатор формы сигналов при этом зафиксирует величину интеграла от спектра Винера по небольшим заштрихованным прямоугольникам. В этом случае разрешение лучше, чем в предыдущем случае. Длинная щель фактически усредняет флюктуации по своему большему измерению. Для того чтобы получить полный спектр Винера, необходимо перемещать щель по реализации.
Уэсли [18] предложил некоторую модификацию этого процесса: щель наклоняется по отношению к направлению ее перемещения для того, чтобы получить данные о пространственных частотах вблизи диагоналей к осям тг и тг. Этот метод удобен, если возможности изменения направления сканирования ограничены. Уитни 508
предложил аппаратуру, в которой растр применяется для выделения одной узкой полосы пространственных частот. Положение полосы в спектре изменяется путем использования объектива с переменным фокусным расстоянием для того, чтобы изменять угловую ширину полос растра.
Так как пространство предметов не больше, чем сфера, то размер строки при сканировании ограничен. Блэкмэн и Туки рассмотрели возможность расширения пределов сканирования, комбинируя несколько реализаций для уменьшения статистических флюктуаций.
ОГРАНИЧЕНИЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СПЕКТРОВ ВИНЕРА
В предыдущих параграфах было рассмотрено использование автокорреляционной функции и спектра Винера для описания фоновых стохастических процессов. Из проведенного анализа видно, что можно рассчитать среднеквадратичную величину шумов в системе, обусловленных фоном, выбрать математически форму пространственного фильтра (растра), являющегося диафрагмой поля зрения, который будет максимизировать отношение пикового сигнала к среднеквадратичной величине шумов. В некоторых типах систем среднеквадратичная величина шума и отношение сигнала к шуму могут являться достаточным критерием для создания конкретной конструкции. Например, в следящих системах (гл. 14) среднеквадратичная величина рассогласования часто пропорциональна среднеквадратичной величине шума. Следящая система смотрит на цель в течение времени, значительно большего, чем величина, обратная полосе частот системы. Прирост информации может определяться многими почти независимыми мгновенными значениями (гл. 13), и если одно или два из этих значений окажутся исключительно большими, то информация все равно будет определяться большинством близких к среднему значений, а не этими выбросами.
Однако системы поиска, напротив, обычно могут совершать всего несколько просмотров цели, и за это время они должны решить, объявлять тревогу или нет. Такого рода решение часто основывается на величине отфильтрованного напряжения, полученного с выхода приемника. Один или два особенно больших шумовых выброса напряжения могут быть вполне достаточными, чтобы вызвать ложную тревогу. Вероятность появления этих резких выбросов характеризуется хвостами вероятностных кривых распределения шума. В § 12.14 будет показано, что эти хвосты не могут быть точно описаны моментами низших порядков функции плотности вероятностей, если существуют независимые моменты высших порядков.
Для описания случайных процессов с квадратичным распределением, таким, как распределение Гаусса (гл. 8), достаточно моментов второго порядка и в принципе можно показать, что независимые моменты более высокого порядка для процессов с таким распределением отсутствуют. Моменты более высокого порядка су-
509
ществуют, но они являются функциями средней величины и авто-корреляционной функции.
Таким образом, если фоновый шум имеет квадратичную функцию плотности вероятностей, то спектр Винера должен быть достаточно полным описанием фонового процесса. Однако это не совсем точно. Любая квадратичная функция должна принимать положительные значения для некоторых отрицательных величин своего аргумента. Лучистость, конечно, не может быть отрицательной величиной. Таким образом, функция плотности вероятностей случайного процесса лучистости должна быть равной нулю при всех отрицательных величинах ее аргумента.
Для дальнейшего рассмотрения такого положения интересно сравнить источник фоновых и электронных шумов. Электронные шумы возникают вследствие суперпозиции множества незначительных причин, обусловливающих конкретный процесс. Типичным примером может служить дробовой шум, возникающий вследствие небольших флюктуаций плотности пучка электронов в вакуумной лампе (гл. 10). За период времени, обычно представляющий интерес при рассмотрении работы электронных приборов, множество электронов приходят к аноду лампы. Каждый электрон вызывает импульс тока во внешней цепи. Каждый отдельный импульс по величине сравним с другими. Наблюдаемый шум является суперпозицией всех этих импульсов. В данном случае центральная предельная теорема статистики применима, и, следовательно, шум является нормально распределенным. Фазовые соотношения не играют никакой роли, и все моменты двумерной функции плотности вероятностей по всем разрешенным во времени точкам могут быть выведены из второго момента функции (первый момент равен нулю). Поэтому, никакой дополнительной информации об этих шумах из дальнейших измерений получить невозможно.
При флюктуациях яркости фона в инфракрасной области спектра, возникающих при наблюдении облаков, в мгновенное поле зрения системы может попасть лишь неколько деталей облака. Центральная предельная теорема в этом случае уже не применима; моменты высоких порядков двумерной функции плотности вероятностей не определяются однозначно через второй момент, а фазовые соотношения играют важную роль. Моменты более высоких порядков и статистика фазовых соотношений могут быть, вероятно, измерены и использованы для лучшего описания характера фоновых шумов, чем это можно было бы сделать, используя лишь один второй момент.
Здравый смысл и некоторые опыты [4, 21 ] показывают, что многие фоновые ситуации могут быть описаны через спектр плотности мощности с более чем одним основным максимумом. Например, частично затянутое облаками небо может быть представлено в виде модели двойного распределения, в котором один максимум описывает с высокой вероятностью диапазон изменения лучистости, определяемый излучением, отраженным и рассеянным облаками, а 510
J Q) * —
г>М к 0, еслиг<М
Рис. 12.17. Идеализированный пример выделения сигнала из шумов:
а —пример записи импульсов сигнала и шума; б —сигнал на выходе идеального дифференцирующего устройства; в —сигнал на выходе порогового устройства, следующего за дифференцирующим устройством.
другой максимум — более низкий диапазон изменения лучистости, характеризующий пространство между облаками. Такая функция распределения плотности вероятности практически не может быть представлена единственной кривой Гаусса.
Вполне возможно, что надлежащий выбор апертурной функции и последующая нелинейная электронная обработка напряжения, полученного на выходе приемника, могут привести к существенным преимуществам перед схемами с линейным преобразованием, которые оптимизируют лишь энергетические соотношения. Для того чтобы подтвердить эту идею, иногда рассматривается пример (немного искусственный), показанный на рис. 12.17.
На рисунке показана цель в форме прямоугольного импульса среди случайных выбросов шума. Пропуская этот процесс через идеальное дифференци
рующее устройство и амплитудный дискриминатор, можно получить любое произвольное улучшение отношения сигнала к шуму.
12.14. Усечение моментов высших порядков функции распределения вероятностей
Ранее было отмечено, что использование спектра Винера или эквивалентной ему корреляционной функции нулевого порядка для того, чтобы оценить различие фонов, равнозначно игнорированию моментов функции распределения вероятностей фоновых процессов более высокого порядка, чем второй. Кроме того, также отмечалось, что моменты низших порядков недостаточно полно описывают хвосты функции плотности вероятностей. Таким образом решить такие задачи, как расчет вероятности ложной тревоги по данному спектру Винера фонового процесса, нельзя. Обычно при рассмотрении случайных процессов может возникнуть следующий вопрос: помогут ли измерения автокорреляционных функций третьего, четвертого и так далее до некоторого конечного порядка при расчете очень редких событий в ограниченном множестве измерений, и если да, то как они должны использоваться.
Рассмотрим характеристическую функцию (гл. 8) %(s) функции плотности вероятностей р(г)
X(s) = j Р (г) е~,г™г dr.
О
511
Разлагаем экспоненциальный член в ряд
Х(5) = 2(-2л/У^-л>
п,
где сп — момент n-го порядка процесса.
Этот ряд будет сходиться при условии, что сп не будет возрастать слишком быстро с ростом п.
Например, Клавир [29] показывает, что ряд будет сходящимся, если р(г) равно нулю вне области 0 г <; R.
Следовательно, может показаться, что можно использовать измерения моментов более высоких порядков в ряде для характеристической функции и вычислить плотность вероятности, производя обратные преобразования. Однако этот метод неверен. Обратное преобразование n-й величины является n-й производной дельта-функции Дирака при г = О,
Оценка [р (г)] = б" (г) сп.
п п'
Эта функция имеет те же моменты, что и требуемая функция плотности вероятностей, но является чистой аппроксимацией. Она даже не имеет вида функции плотности вероятностей, так как не является положительно определимой. Клавир отмечает, что этот недостаток можно устранить разложением производной дельта-функции в ряд Тейлора, введя дополнительное условие, чтобы коэффициенты этого ряда были положительными. Однако он не рекомендует этот метод, как дающий какие-либо существенные преимущества по сравнению с методом прямой оценки функции плотности вероятностей.
12.15. Немарковская природа случайных двумерных процессов
Случайным процессом Маркова [9] называется такой процесс, в котором функция плотности вероятностей для любых его случайных величин полностью определена, если известны соседние случайные величины. Если п и t\ — две случайные величины процесса, то функция плотности вероятностей для га
Р (г2) = Р(/'г//'1) Р (ri). (12.65)
Этот процесс является более сложным типом случайного процесса, чем точечный процесс, в котором каждая случайная величина независима от других, но гораздо менее сложным, чем общий процесс, все случайные величины которого связаны между собой по-разному.
Одномерные процессы Маркова описывают такие явления, как электронную фильтрацию случайных шумов и диффузию. Величины фильтруемых шумов в данный, момент времени зависят от величины в предшествующий момент, так как фильтр имеет конечную постоянную времени, которая сглаживает очень быстрые 512
изменения. Процессы диффузии — случайные, одномерные процессы, даже если они могут протекать в двух или трех измерениях, так как диффузия берет начало внутри небольшой области первоначальной концентрации и ход ее может описываться по радиусам, проведенным из этой области.
На первый взгляд кажется, что фоновые шумы являются аналогичным явлением и можно полагать, что они могут быть описаны аналогичной моделью только в двух измерениях. Этот вопрос анализируется в работе [12]. Как и в § 12.10, в этой работе предполагается, что фоновый шум в пространстве предметов системы нестационарен и анизотропен, как следствие систематического искажения стационарного и изотропного процесса, описывающего фон в основной плоскости объекта, такой, как земная поверхность. Эта поверхность имеет координаты е = elf £2. (Обозначение хе = хех, £2 используется для указания местоположения точки хе с координатами' хех и хе2.) Была сделана попытка создать дискретную математиче-ческую модель процесса на этой поверхности, характеризуемую вектором дискретной плотности вероятности А] (хе) и матрицей дискретных условных плотностей вероятностей Вг} (2в|хе). опре-
деляют вероятность того, что в точке 2е случайная величина из конечного множества возможных значений принимает Ле значение, если в точке хе её значение /-е.
На (2е | хе) налагаются четыре условия;
1. Так как его элементы 6//(2е, хе) являются вероятностями, они должны быть действительными и положительными и У Ьц = 1.
2. Так как процесс стационарен, то В^ (2е | хе) = В// (2е+0е I хе+ое) для любого ое.
3. Так как предполагается, что процесс является процессом Маркова первого порядка, в котором вероятность того, что величина в точке зе имеет Ле значение, определяется точным /*-м или &-м значением величин в точках хе или 2е, и процесс должен иметь некоторую величину в точке 2е, то
В[ j (зе I 1®) “ ^ik (з* I 2®) (2C I 1^).
k
4. Так как процесс предполагается изотропным, то
Bij (2е 11е) ~ Вц (зе 11е) >
если соответствующие расстояния по дугам (Зе — хе) и (2е — хе) на поверхности предметов равны друг другу.
Можно показать, что эта модель неосуществима, исследуя условные вероятности вдоль сторон криволинейных треугольников на поверхности предметов. Условие 3 по существу представляет автокорреляционную функцию, которая является экспоненциальной в разложении по отдельным случайным переменным. Тогда требование, чтобы условная вероятность от одной вершины треугольника к другой была одинаковой независимо от
513
того, как она рассчитывается — непосредственно путем прохода вдоль одной стороны или путем прохода через другие вершины, приводит к логическому противоречию.
В работе [12] приведено доказательство того, что процесс Маркова любого порядка, изотропен он или анизотропен, не может существовать более чем в одном измерении. Таким образом, фоновый процесс является или немарковским по природе или одномерным в том же смысле, в каком считается одномерным диффузионный процесс. Эта вторая возможность включает предположение о существовании некоторой особой начальной точки (независимой от любого наблюдателя), из которой подобно тому, как это происходит при диффузии, «начинается» процесс. Никаких логических оснований постулировать существование такой специфической точки, по-видимому, нет. Настоящие двумерные стационарные изотропные фоновые случайные процессы могут существовать и могут иметь функции плотности вероятностей любого порядка, но они не могут иметь экспоненциальную автокорреляционную функцию и не могут быть марковскими процессами.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
А (ш)*)—преобразование Винера a(z);
dAi, ...,dA± — площади элементов ..., Е4 диапозитива на рис. 12.8; Aj — исходный вектор плотности вероятности для дискретного процесса Маркова;
а — постоянная;
а — неизвестный параметр в спектре Винера фонового процесса;
a (z) — апертурная функция в плоскости апертуры;
В — высота растра в примере § 12.4;
В = ВХ, В2— область в плоскости изображений;
Всь, Bpf — среднеквадратичная величина шумов от фона, которая отфильтрована растрами в шахматную клетку и с параллельными полосами;
Вij — матрица условных плотностей вероятности для дискретного процесса Маркова;
b — постоянная;
b — размер растра в шахматную клетку (рис. 12.14);
q^...s — момент случайного процесса, определенный уравнением (12.23);
си (х) — автокорреляционная функция случайного процесса, определенная уравнением (12.24);
€10, с2о, со2— средние величины и дисперсии анизотропного случайного процесса;
D—длительность реализации функции напряжения;
£>i ... — элементарные площади в автокорреляционной функции
(рис. 12.8);
d — размер растра с параллельными полосами (рис. 12.13); d — размер растра в шахматную клетку (рис. 12.14);
Ех, ..., Е4 — элементарные площади диапозитива (рис. 12.8);
e = ei, е2— координаты базисной поверхности предметов (рис. 12.7);
Iе = 1^1» 1^2 — конкретные точки на поверхности;
е'ъ е'ъ— частные производные de-ddx^ de2/dx2;
♦) В книге преобразования Винера обозначены прописными буквами, а их обратные преобразования — соответствующими строчными буквами.
514
F (Xj) — величина функции лучистости в точке хх на рис. 12.8;
f — частота;
f (с) — функция плотности вероятностей в зависимости от моментов процесса;
f (р) — функция потока на поверхности потока (рис. 12.2);
G — облученность в оптической автокорреляции (рис. 12.8);
g — неизвестный параметр в спектре Винера фонового процесса;
Н—высота растра с наклонными полосами (рис. 12.6);
h — высота системы выше или ниже эффективной плоскости фона;
^2 — размеры диапозитива (рис. 12.8);
I (т) — преобразование Винера i (у);
/, #,..., s— порядковые обозначения моментов случайных процессов; i (у) —функция изображения на поверхности изображений;
(г, 0) — функция изображения цели;
j — мнимая единица У—Ь
К— число периодов в направлении z2 растра на рис. 12.5;
k — размер изображения в примере § 12.4;
k = klt k2 — вектор скорости растра;
Z, h — размеры диапозитива на рис. 12.8;
М — порог обнаружения на рис. 12.17;
m = mlt tn2— пространственная частота;
ш«у—скалярное произведение т2у2\
N— число периодов в ^-направлении растра на рис. 12.5;
п — индекс суммирования;
ОТ (ш) — преобразование функции лучистости в плоскости предметов;
Рру, Рсь— интеграл по площади функции преобразования растра с параллельными полосами и в шахматную клетку около основных максимумов;
dP13 — лучистый поток, проходящий через элемент 1 и 3 диапозитивов на рис. 12.8;
р = (рх, р2) — система координат в плоскости потока (рис. 12.2);
р (г) — функция плотности вероятности;
Q (ш) — преобразование Винера q (у);
R — граничная величина распределения лучистости;
Р — радиус фоновой эффективной поверхности сферы;
Р (ш) — преобразование Винера г (х);
Р (6) — автокорреляционная функция;
Р (т) — автокорреляционная функция случайного напряжения;
Ru (у) Rff (13) — автокорреляционные функции случайных процессов изображения, потока, и. т. д.;
Ро — чувствительность (см. § 5.2) приемника излучения;
7?!, ^2 — текущие значения лучистости в точках хх, х2;
г — радиальная координата;
г (х) — функция лучистости в пространстве предметов;
г0 — радиус кружка рассеяния;
S (ш) — преобразование Винера s (у);
s — постоянная угловая скорость апертуры вдоль оси zr\
s — вспомогательная переменная;
s — переменная преобразования в характеристической функции;
5 (У) — функция рассеяния на поверхности изображений;
Тр/, Тсь — сигнал от цели, выделяемый растрами с параллельными полосами и в шахматную клетку;
7\, ..., Т4 — прозрачность элементов ..., Е4;
t — время;
t — вспомогательная переменная;
V (f) — преобразование Фурье v (/);
515
v (t) — временная функция напряжения;
W (m)— спектр Винера случайного процесса [W (/) спектр мощности v(/)];
Wn (m), Wff (m)—спектр Винера случайных процессов изображения и потока;
х— расстояние от центра изображения к краю ряда прямоугольников растра в шахматную клетку;
х = (хь х2) — декартовы координаты системы на плоскости предметов (рис. 12.2);
х = (х3, х4) — система полярных координат на плоскости предметов;
х0 — конкретная точка на поверхности предметов;
хп х2 — размеры диапозитива (рис. 12.8);
у = (уь у2)—система координат плоскости изображений (рис. 12.2);
а — длина прямоугольника растра в шахматную клетку (рис. 12.5);
а — размер растра с параллельными полосами (рис. 12.13);
а — размер растра в шахматную клетку (рис. 12.14);
р — ширина прямоугольника растра в шахматную клетку (рис. 12.5);
Р — размер растра с параллельными полосами (рис. 12.13);
р — размер растра в шахматную клетку (рис. 12.14);
Г — наклон полос растра (рис. 12.6);
у — длина прямоугольного сегмента растра с наклонными полосами (рис. 12.6);
Yu (х) — форма центрального момента автокорреляционной функции случайного процесса [уравнение (12.25)];
о— дельта-функция Дирака;
е — вспомогательная переменная;
к? = (v]1, yj2) — переменный сдвиг в автокорреляционной функции R (>?);
0 — угловая полярная координата;
X—длина волны излучения;
? = (?!, £2) — переменный сдвиг в автокорреляционной функции R (£);
т — переменный сдвиг в автокорреляционной функции R (т);
X (s)— характеристическая функция распределения плотности в ер о ятносте й р (г).
Л ИТЕРАТУРА
1. Е 1 i a s Р., D. S. Grey, D. Z. Robinson. Fourier treatment of optical processes. J. Opt. Soc. Am., 1952, v. 42, № 2, February, p. 127.
2. J о n e s R. C. Sky noise, its nature and Analysis, Research Mem, 480, Polaroid Corporation, September, 1953.
3. A г о у a n G. F. The technique of spatial filtering. Proc. IRE, 1959, v. 47, №9, September, p. 1561.
4. R о b i n s о n D. Z.: Methods of Background Description and Their Utility. Proc. IRE, 1959, v. 47, №9, September, p. 1554.
5. S c h a d e О. H. A method of measuring the optical sine wave spatial spectrum of television image display devices. J. Soc. Motion Picture Television Engrs., 1958, v. 67, №9, September, p. 561.
6. M e r t z P., F. Gray. A theory of scanning and its relation to the characteristics of the transmitted signal in telephotography and television. Bell System Tech. J., 1934, v. 13, № 3, July, p. 464.
7. C h u r c h i 1 1 R. V. Complex variables and applications. 1st ed., McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1948.
8. W a 1 d A. Statistical decision functions. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1950.
9. Feller W. An introduction to probability theory and its applications, 2d ed., John Wiley and Sons, Inc., New York, 1957.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. «Мир», 1964.
516
10. J a mi eson J. A. Stochastic Processes in Infrared Reconnaissance and Background Discrimination, Proc. IRIS, 1959, v. 4, № 4, November, p. 281.
11. Aims, Conclusions, and Recommendations on Background Information, Report of the Working Group on Infrared Backgrounds, IRIA, University of Michigan, Ann Arbor, Mich., May, 1956.
12. J a m i e s о n J. A. Inference of two-dimensional Wiener spectra from one-dimensional measurements. Infrared Phys, 1961, v. 1, №2, July, p. 137.
13. D a v e и p о r t W. B., W. L. Root. Introduction to random signals and noise. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1958. Давенпорт В. иРут В. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. Изд-во иностранной литературы, 1960.
14. W е s s е 1 у Н. W. Optimum linear spatio temporal filters. Proc. IRIS, 1958, v. 3, № 4, June, p. 135.
15. Z a d e h L. A., J. R. R a g a z z i n i. Optimum filters for the detection and extraction of signals in noise. Proc. IRE, 1952, v. 40, № 10, October, p. 1223.
16. J о n e s R. S. New method of describing and measuring the granularity of photographic materials. J. Opt. Soc. Am., 1955, v. 45, p. 799.
17. Infrared Sky Background Investigation, Final Report Contract AF 33(600) 30489, Thompson Ramo — Wooldridge Inc., Los. Angeles, Calif., November, 1956, and (same title) August, 1957.
18. W e s s e 1 у H. W. How to make Wiener spectra measurements. Laboratories for Applied Sciences, University of Chicago, 111, March, 1960.
19. В 1 а с к m a n R. B., J. W. T u к e y. The Measurement of Power Spectra. Dover Publications, Inc., New York, 1959.
20. M i d d 1 e t о n D., D. Van Meter. Detection and extraction of signals in noise from the point of view statistical decision theory. J. Soc. Ind. AppL Math., 1955, pt. I, v. 3, December, p. 192; 1956, Pt. II, v. 4, June, p. 86.
21. Infrared sky background investigation, Thompson Ramo — Wooldrige Inc., Los. Angeles, Calif., Final Report, Contract AF 19 (604) — 3473, June, 1959 (Report AFCRC — TR — 60 — 258, May, 1960).
22. Free L. J. Background noise measurements at the sea horizon J. Opt. Soc., Am., 1959, v. 49, № 10, October, p. 1007.
23. Grube R. H. A method for obtaining the transfer functions of space filters by differential superposition, Proc. IRIS, 1961, v. 6, №2, May.
24. O’N e i 1 1 E. L. Transfer function for an annular aperture. J. Opt. Soc. Am., 1956, v. 46, № 4, April, p. 285.
25. Schade О. H. Fourier treatment of optical processes. J. Opt. Soc. Am., 1953, v. 43, № 8, August, p. 704.
26. Schade О. H. Image gradation graininess and sharpness in TV and motion picture systems, Part IVA and B, Image Analysis in Photographic and TV sistems. J. Soc. Motion Picture Television Engrs., 1955, v. 64, November, p. 593.
27. Perrin F. H. Methods of appraising photographic systems. J. Soc. Motion Picture Television Engrs., 1960, Pt. I, v. 69, March, p. 151; 1960, Pt. II, April, p. 239.
28. Air to Ground Measurements of the IR Radiation of Various Backgroungs. Final Report, Contract AF 33(616) — 3378, University of Chicago Midway Laboratories Report, February, 1957.
29. Clavier P. A. Construction of probability densities from their moments, Private communication, August, 1961.
30. Eisele R. E. Radiation measurements with the R. W. radiometergradient meter, in GRD Research Note 46, AF Cambridge Research Laboratories, Bedford, Mass., November, 1960.
31. Sky noise optimum shape of the scanning aperture. Rept. 572, Polaroid Corporation, January, 1955.
32. Detection of target against the sky background. Rept 535, Polaroid Corporation, Cambridge, Mass., April, 1954.
517
-..................... = ГЛ АВ А 13
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
АНАЛИЗ СИСТЕМ
** некоторых из предыдущих глав рассматривались вопросы детального конструирования отдельных частей инфракрасных систем анализа условий их работы и свойств целей, которые они должны обнаруживать. Данная глава, гл. 9 и 14 посвящены общему анализу систем и дают представление о характере их действия, не касаясь конструктивного оформления отдельных частей. Без анализа системы в целом ее оптическая система, например, может быть при конструировании сделана излишне высокого качества и обеспечивать такую разрешающую силу, которая все равно не будет использована из-за слиш ком узкой электрической полосы и большой скорости сканирования. Часто бывает нужно сделать выбор между медленным сканированием, обеспечивающим одно единственное изображение цели хорошего качества, и быстрым, дающим менее качественное, но зато многократное изображение цели и т. д.
Удобным средством для решения задач общего анализа систем являются связанные между собой методы теории статистических решений и теории информации. Со статистической точки зрения система рассматривается как средство для получения данных об условиях, существующих в пространстве объектов. Эти данные используются для получения представления о пространстве объектов для принятия решения или для количественной оценки определенных параметров объекта. Теория статистических решений трактует оценку параметра как особый вид решения — нужно решить лежит ли параметр (такой, как, например, пеленг на звезду или навигационный огонь) в определенном интервале, или за пределами этого интервала.
В первой части главы дано несколько расширенное понятие теории решений, приведенных в гл. 8, и показано их использование для постановки различных идеализированных задач поиска. Рассмотрено также использование реальных устройств для приближенного осуществления рекомендаций, полученных из идеализированной теории. Приводятся данные для расчета отношения сигнала к шуму, требуемого для принятия решения на определенном доверительном уровне. Во второй части главы излагаются разделы теории информации, имеющие отношение к накоплению 518
данных, а в третьей части главы показано, как эти теоретические положения применить к оценке пределов, в которых заключены параметры системы в целом и некоторых ее частей, таких, как приемники и пространственные фильтры.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СИСТЕМ
Одним из главных подходов к конструированию систем является использование методов статистической проверки гипотез. При этом работа, например, поисковой системы рассматривается как эксперимент. Система осуществляет сканирование и получает ряд определенных данных, представляемых временной функцией напряжения y(f) в интервале времени (0,Т) на выходе приемника. Получаемые данные могут содержать только шум, если цели в поле зрения нет, или они могут представлять сигнал и шум при наличии цели. В любом случае y(f) есть частный результат, выбранный из множества возможных случайных результатов, дающих шум, а может быть, случайно и сигнал. Задача схемы, обрабатывающей информацию, — исследовать частный результат y(f) и решить, только ли это шум или шум вместе с сигналом.
Задачи, которые ставит перед собой теория статистических решений, уже были в общих чертах изложены в гл. 8. Напомним, что* следует выдвинуть гипотезу (в данном случае гипотезу о присутствии определенного сигнала) и проверить ее, рассматривая возможные альтернативы. Вообще говоря, часто еще до исследования данных можно оценить вероятность присутствия сигнала, составив предварительное мнение, предусматривающее несколько различных вариантов. При этом сами данные используются для уточнения предварительного мнения и выбора одного наиболее обоснованного варианта. Однако во многих практически важных случаях имеется очень мало оснований для предварительной оценки результата. Джейнс [1] дал строгое обоснование метода, основанного на теореме Байеса и использующего, когда это возможно, априорные вероятности или исключающего их (априорные вероятности при этом автоматически сокращаются), если для предварительной оценки нет достаточных оснований.
Для иллюстрации метода рассмотрим случай, когда выходной сигнал приемника У(/), являющийся случайным процессом, может содержать один из нескольких возможных сигналов %,(/), включая х0, соответствующий сигналу, равному нулю. Предположим, что процесс является простой суммой сигнала и шума:
Y(t)=X(t)+N(t),
а не произведением или еще более сложной функцией. Тогда вероятность того, что какая-либо реализация ^процесса Y(t) содержит сигнал и шум будет:
S S Р (xi) Р (Ук | nj)
P^>N\ук) = ------- (13.1)
519
и отношение вероятностей того, что yk состоит из сигнала и шума или из одного шума, составит
р <«!>>) 2 У (*•> ? 1,П I
/
Исключив Р(х,.) из этого выражения, получим
ЪР (Ук\*ь nj)
1 — L____________
^P(Vk\ nj}
(13.2)
(13.3)
Последнее выражение называется коэффициентом правдоподобия. Это отношение вероятности, что наблюдаемая реализация обусловлена сигналом и шумом, к вероятности, что она вызвана одним шумом. Казалось бы можно принять гипотезу, что сигнал присутствует, если это отношение велико, и отсутствует, если оно мало.
Однако выбор критерия для решения, например принятие гипотезы о наличии сигнала при значении L (13.3), больше, чем, скажем, 10, может привести к ошибочным выводам. В любом случае существует определенная вероятность отсутствия сигнала при большом значении L и, наоборот, шум может так накладываться на сигнал что несмотря на наличие сигнала получается малое значение L. Ошибки в оценке наличия сигнала называются соответственно ложной тревогой и пропуском. \
При установлении критерия решения вероятности ошибок используются для выбора критического порогового уровня. Это осуществляется различными способами. Например, Нейман и Пирсон [2] полагают, что в некоторых случаях целесообразно устанавливать критерий, не исключающий возможность ложной тревоги и искать решения, сводящие к минимуму вероятность пропуска. Другие исследователи предлагают искать минимум взвешенных сумм вероятностей ложной тревоги и пропуска. Однако, как показано, например, Петерсоном и др. [3], многие из этих критериев сводятся к форме коэффициента правдоподобия.
В частности анализ емкости канала Шеннона, описанный в последней части этой главы, основан на предположении, что приемник будет выбирать из полученных сообщений такое, которое соответствует максимуму апостериорной вероятности, вычисленной по формуле, подобной (13.2).
13.1. Корреляция, синхронное детектирование, согласованные фильтры
Если доминирующим шумом, ограничивающим чувствительность системы, является аддитивный гауссов шум со спектром плотности мощности W(f),’то применение критерия коэффициента правдоподобия приводит в этом частном случае к некоторым важным результатам.
520
Сначала положим, что сигнал и шум проходят через электронный фильтр с передаточной функцией G(f) такого вида, что
<3(0 =
'1/Г(/) F(f)>a, f<B, О
О f > В.
На выходе этого фильтра будут новый сигнал и новый шум с плоской спектральной характеристикой везде, где частоты входного спектра были существенно ниже В.
Участок новых сигнала и шума продолжительностью Т секунд и новую реализацию можно восстановить (см. § 13.7) по 2ВТ равноотстоящим мгновенным значениям ее амплитуд:
Х1 Xi2> •••> Xim’
У,=У,1, yjz, У/т>
пи=У) — xi
= Уjl ХИ> УJ2 xi2’ •••> У]т Xlnv
Поскольку шум гауссов и имеет постоянный спектр плотности мощности в области частот, меньших В, его мгновенные значения имеют независимое случайное гауссово распределение с постоянной дисперсией (п2 *). Тогда
/ 1 \т/2 / 1 \
ех₽ -2^1^ ’ <13-4>
\ k— 1 /
и так как та часть у, которая не есть сигнал, должна быть
шумом,
/ I \tnJ2 / 1 \
p(y)\xi’nj)=(2^b) ехР -2ТЛ 2 (yjk-xitf • (13.5)
Разделив (13.5) на (13.4) и раскрывая экспоненту в (13.5), получим для коэффициента правдоподобия
(т \ / т \
2 <п2> 2 Xik I ехР I 2 <п2> 2 xik I •
k=\ J \ k—\ J
В этом случае критерий того, что присутствует Z-й сигнал, если коэффициент правдоподобия больше некоторой константы Л, эквивалентен критерию
или после логарифмирования tn tn 2
2 <л2>1п л+2 т--
£=1 £=1
(13.6)
521
Поскольку функции
sin 2кВТ
L Jl\ f~~2BTJ
Sk (0 =
k \
2ВТ)
t т
ортогональны с нормирующим множителем 1/2В и исходная функция у(/) составлена из
m yj(t) = S Ул МО» k— 1
то можно показать, что критерий (13.6) "эквивалентен критерию
т т ' 2(П
A-J у/ОМО^Х"2) 1ПЛ + А \^-dt о о
или
у, (t) xt (0 dt > 2В (n2) In А + dt, (13.7) о о
который устанавливает, что если коэффициент правдоподобия для сигнала xt(t) будет больше, чем А, то взаимная корреляция принимаемой информации y(t) с сигналом xz(/) должна быть больше, чем среднеквадратичная мощность шума 2В(п2), умноженная на In Л и сложенная со среднеквадратичной энергией сигнала.
Таким образом, при проверке гипотезы по коэффициенту правдоподобия рекомендуется найти взаимную корреляцию с ожидаемым сигналом и принять гипотезу, если результат достаточно велик. В частности, если сигнал имеет простую периодическую форму в течение длительного времени, процесс нахождения взаимной корреляции часто называют синхронным детектированием. Если сигнал имеет форму импульса, то проверить гипотезу можно аналогичным путем, построив фильтр, реакция которого на импульс
r(0=xz(—О-
Тогда при введении в фильтр реализации исследуемого процесса на выходе получится свертка
t
j" У] (т) xL (т — t) dx. (13.8)
t'-T
Выходное значение в момент окончания сигнала следует сравнить с критическим уровнем. Критический уровень выбирается пропорциональным правой части неравенства (13.7), деленной на коэффициент усиления усилителя. Выход приемника подключается к такой 522
анализирующей цепочке и гипотеза принимается, если критический уровень оказывается превышенным.
Фильтр вида, использующегося в (13.8), называется согласованным фильтром [4 ]. Он имеет ту же форму, что и фильтр для максимизации отношения сигнала к шуму в поисковых системах, описанных в гл. 11.
Если условие ( 13.7) исследуется подробно путем введения исследуемого процесса и реплики ожидаемого сигнала в умножитель и интегратор, то говорят, что система осуществляет взаимную корреляцию (такую систему называют обычно корреляционным детектором).
13.2. Рабочие характеристики приемной системы
Для выбора величин коэффициента правдоподобия, при которых следует решить, что сигнал присутствует, и соответствующего смещения на пороговом диоде или другом приборе в схеме, управляющей решением, необходимо пойти на компромисс, рассмотрев вероятность обнаружения и возможность ложной тревоги. Если пороговый уровень А коэффициента правдоподобия выбран очень высоким, то ложные срабатывания будут редки, но часто будут наблюдаться и пропуски сигналов, потому что или полезный сигнал окажется в противофазе с шумом, или величина сигнала сама по себе будет слишком мала. В другом крайнем случае, когда пороговый уровень равен нулю, ни один сигнал не будет пропущен, но и в отсутствие сигнала будут наблюдаться ложные тревоги. Между этими крайними случаями лежит непрерывный ряд возможных компромиссов.
Эти компромиссы для данной конструкции системы принято описывать кривой, называемой рабочей характеристикой приемной системы. Эта характеристика является графиком вероятности правильного обнаружения в функции вероятности ложной тревоги.
Типичные свойства этих кривых поясним на двух упрощенных примерах. Рассмотрим инфракрасную поисковую систему, сконструированную для обнаружения точечной удаленной цели таким образом, что цель посылает сигнал известной (синусоидальной) формы. Примером такой конструкции может с известным приближением служить устройство, схематически изображенное на рис. 13.1. В этом простом устройстве зеркало, принимающее излучение от удаленной «точечной» цели, дает изображение цели в виде равномерно освещенного кружка в своей фокальной плоскости. В фокальной плоскости расположены два включенных навстречу друг другу приемника, чувствительные поверхности которых имеют форму узких полосок. Изображение цели при сканировании, проходя через эти приемники, дает примерно синусоидальный импульс напряжения, который прежде чем попасть на анализирующий пороговый контур усиливается и проходит через фильтр. Приемники вырабатывают также шум, который мы полагаем гауссовым со средним зна-
523
чением, равным нулю, и дисперсией (п2), прибавляющийся к сигналу:
у (t) = M sin (ш0 ^+<р)+п(О <р < 1 < ф+2л,
р (п) dn = -----/2гс<П2>
(13.9)
(13.10)
и2 \ 1 2<пЪ J dn'
Положим, что сигнал и шум проходят через согласованный с этим сигналом фильтр и затем мгновенное значение процесса измеряется некоторым способом в момент времени, когда сигнал
Согла сованный
Установка порогового уровня
РЛТ вероятность ложной тревоги Р(у>Ь\п)
Рис. 13.1. Рабочие характеристики приемной системы с согласованным фильтром. (Ключ замыкается в момент окончания сигнала.)
полностью скоррелирован. Отношение р среднеквадратичного значения сигнала к среднеквадратичному значению шума дается соотношением
р = -7- . . (13.11)
Г /2 <n2> V ’
Для построения рабочей характеристики нужны интегральные вероятности того, что одна какая-то амплитуда шума превосходит порог
(13Л2)
и интегральная вероятность того, что хотя бы одна амплитуда сигнала и шума превосходит тот же порог. Обе функции
нее значение в предположении, фильтра — единица и характеристика импульса
плотности вероятности в этом простом случае гауссовы. При наличии одного шума среднее значение равно нулю, когда же присутствует сигнал, сред-что коэффициент усиления sinayo/, равно
[л = 2 J М sin2ay01 dt = Мп. (13.13)
о
Получившаяся рабочая характеристика показана на рис. 13.1.
Некогерентное детектирование (детектирование по огибающей). В реальных условиях применения систем обычно невозможно найти эталонный малошумящий сигнал, сфазированный с искомым сигналом, для определения взаимной корреляции. Точно согласован-524
ный фильтр обычно очень сложен (если его вообще можно осуществить), а исследование в нужный момент зачастую провести невозможно. Поэтому большинство инфракрасных систем фильтруют приходящий сигнал и шум и пропускают их затем через диод и фильтр
низких частот для получения огибающей и подавления несущей, фаза которой неизвестна. Затем огибающая подается на схему определения порога в виде диода Ценера или диода со смещением. Эта схема проводит ток только тогда, когда входное напряжение превышает некоторый выбранный пороговый критический уровень. Рабочая характеристика и блок-схема для этого случая показаны на рис. 13.2.
Если сигнал, как и прежде, представляет собой импульсы синусоидальной формы с амплитудой М, но состоит из нескольких циклов, а шум — аддитивный гауссов с нулевым средним уровнем и некоррелированный с сигна-
Рлт вероятность латной тревоги Р(у>Ь\п)
Рис. 13.2. Рабочие характеристики приемной системы для некогерентного детектирования квадратичным диодом.
лом, то функция плотности вероятности для огибающей шума на выходе полосового фильтра (полосу которого можно считать малой по сравнению с частотой центра полосы) представляет собой рэлеевскую функцию плотности вероятностей:
р (r I«)dr ~ ехр 27W)dr’ (13Л4>
и огибающая суммы сигнала и шума согласно Райсу [5] равна
р (г |s + п) dr = ехр (- /0 (^7) dr. (13.15)
Если эта сумма сигнала и шума подана на квадратичный детектор, действующий по закону
z=a2 v2, то выходная функция плотности вероятности равна p(y| s+«) = ехр( — у — Х)/О(2 ]/xy)dy, (13.16) 525
где введены обозначения
а2 г2
У 2а2 <п2> z _ а2М2 Х “ 2а2 <п2>
Нужно отметить, что х является квадратом среднеквадратичного значения отношения сигнала к шуму перед детектором. Теперь, если выход квадратичного детектора подключен к схеме с пороговым уровнем с, где
А2 _ истинное пороговое напряжение _ с
~~ ' 2 <п2> “ 2 <п2> ’
то вероятность ложной тревоги Рлт будет равна интегралу от (13.16) в пределах от b до оо, причем х=-0 означает отсутствие сигнала:
Рлт = J ехр (—у) dy=exp (—&), (13.18)
ь
и вероятность обнаружения сигнала:
PD = J ехр( — у — x)IQ (2 Yxy)dy. (13.19) ь
Маркум [6] дает кривые интеграла (13.19) для различных значений b и х как параметров. Для использования этих кривых нужно представить абсциссу v как корень квадратный из нормализованного порога после детектора, а параметр q как квадрат среднеквадратичного значения отношения сигнала к шуму перед детектированием
(13.17)
q = х.
Тогда искомая вероятность может быть найдена как 1 — Р по шкале на оси ординат. Используем для этого рабочие характеристики,показанные на рис. 13.2. На каждой кривой указано соответствующее значение отношения сигнала к шуму перед детектированием:
Все кривые рабочих характеристик, как уже отмечалось, проходят через точки 0,0 и 1,1 и имеют выпуклую форму. Можно показать, что за исключением случаев р = 0 и р = оо наклон кривых в точках, соответствующих определенной отсчитываемой по оси абсцисс вероятности ложной тревоги, равен величине коэффициента правдоподобия при данной вероятности ложной тревоги [3]. Поскольку 526
эта величина всегда положительна и уменьшается по направлению* к точке 1,1 (которая достигается при b = 0), характеристические кривые резко возрастают вначале и от бесконечно большого наклона в точке 0,0 замедляют рост, выходя на горизонтальный участок в точке 1,1.
При увеличении р кривые все больше становятся похожими на перевернутую букву L. Одно из возможных объяснений такого хода кривых — рассматривать шум постоянным при возрастающем сигнале. Тогда положение вертикальных линий &, отмечающих порог на оси ложной тревоги, остается неизменным, а вероятность того, что все больший и больший сигнал превысит фиксированный пороговый уровень независимо от фазы шума становится все больше. При бесконечно большом отношении сигнала к шуму сигнал превысит любой пороговый уровень и характеристическая кривая, поднимаясь вертикально от точки 0,0 к точке 0,1, идет затем горизонтально к точке 1,1.
Какую часть рабочей характеристики использовать при конструировании системы, зависит от допустимых значений ложной тревоги и шумов, которые в свою очередь зависят от назначения системы. Предположим, что сканирующее устройство, установленное на корабле, должно обнаружить маяк для проведения корабля мимо рифа. Пусть, например, выходной сигнал подается на экран осциллографа и наблюдается оператором. Очень важно обнаружить маяк как можно раньше, так что «пропуск» крайне нежелателен. С другой стороны, оператор может легко отличить и оставить без внимания ряд неповторяющихся импульсов «ложной тревоги» на экране осциллографа. В этом случае представляет интерес верхняя правая часть рабочей характеристики при низком уровне порога и именно она должна быть детально определена.
С другой стороны, если автоматическая система предупреждения, сконструированная для обнаружения приближающегося межконтинентального баллистического снаряда, даст ложную тревогу, последствия могут быть гибельными из-за решительности действий и малого времени для проверки. В таких случаях следует подробно рассматривать левую часть кривой, соответствующую очень низким вероятностям ложной тревоги и сравнительно высоким уровням порога обнаружения.
Такое рассмотрение проводится обычно с использованием понятий выгоды (см. гл. 8). Применение этих понятий при исследовании операций описано в гл. 9. В этой главе мы предполагаем, что критерий вероятностей обнаружения полезного сигнала и ложной тревоги уже выбран на основе этих методов и задачей конструирования является воплощение решения в конкретных устройствах.
13.3. Решение при высоких пороговых уровнях
При проектировании поисковых систем, когда опасность получить ложную тревогу существует в течение длительного времени,
527
представляет интерес левая часть рабочей характеристики. Кривые, дающие в деталях эту часть характеристики, рассчитаны Маркумом [6]; таблицы критических пороговых уровней даны Пейчерсом [8]; случай флюктуирующих целей рассмотрен Сверлингом [9]. Девять кривых Маркума воспроизведены на рис. 13.4.
Эти кривые рассчитаны для радиолокационных систем; соответствующие расчеты для инфракрасных систем несколько отличаются от радиолокационных расчетов. Сделаем сначала некоторые замечания относительно терминологии.
Процесс поиска в радиолокации можно представить себе следующим образом: приемник выключается, срабатывает передатчик, после чего приемник включается и ожидает отраженный от цели сигнал через определенное время, затем процесс повторяется при повороте антенны на небольшой угол. Скорость посылки импульсов передатчиком составляет часто сотни герц. Первый параметр Маркума т] характеризует время приема и равен отношению времени приема к продолжительности импульсов. В инфракрасных поисковых устройствах пассивная телескопическая система систематически сканирует (полное) поле обзора за время кадра Т. Поле зрения (мгновенное) проходит каждую точку в течение времени то. Отношение Т/хо является для инфракрасной системы аналогом т].
Благодаря высокой скорости повторения радиолокационная установка может интегрировать много отраженных сигналов от одной цели за один кадр. Инфракрасные системы — пассивные и обычно сканируют пространство сравнительно медленно из-за ограничений, связанных с инерционностью приемников или допустимой скоростью движения оптико-механической системы сканирования. Типичная продолжительность кадра для инфракрасной системы порядка секунд. За время одного кадра обычно получается только один импульс от данной цели. (Один импульс может включать несколько периодов модуляции, но они не независимы, потому что полоса пропускания имеет порядок обратной величины то.) Интегрировать несколько импульсов, разделенных секундами, трудно. Поэтому число N импульсов, интегрируемых перед проверкой гипотезы для инфракрасных систем, равно обычно единице. Следовательно, число групп импульсов, интегрируемых за время ложной тревоги тлт, равно тлт fr/N для радиолокационной установки, а в случае инфракрасной системы тлт/Т, где fr — частота повторения импульсов при радиолокации. Комбинация этих двух выражений дает параметр п', представляющий полное число возможных случаев ложной тревоги за время тлт. В случае инфракрасной системы
__ n — 2L________Тдт Л — Тлт
N 1 Т Ч т0
(13.20)
Аналогичным образом параметр у', дающий число возможных случаев обнаружения за время обнаружения xd, в радиолокации 528
определяется соотношением у' = xdfrjN, а в случае инфракрасной системы
1 Т
N
(13.21)
и поэтому при первой возможности инфракрасная поисковая система должна обнаружить цель с высокой степенью вероятности, т. е. часто у' = у = 1.
Рис. 13.3. Пороговые уровни, требуемые для определенного времени ложной тревоги.
Рис. 13.4. Отношения сигнала к шуму, требуемые для заданных частоты ложных тревог и вероятности обнаружения.
Наконец мы видели (гл. 3), что изменения прозрачности атмосферы являются важным и трудно учитываемым фактором, влияющим на работу инфракрасных систем, а для работы радиолокационных устройств прозрачность атмосферы обычно значения не имеет. Поэтому отношение дальности R к дальности /?о, при которой отношение сигнала к шуму равно единице, является хорошей мерой величины отношения сигнала к шуму в радиолокации, а в инфракрасной технике этот критерий следует заменить на
1 __ 7? _ / (напряжение шума)2 V/4 __
X1/4 7?о \ (напряжение сигнала)2 J
__ / напряжение шума V/2 напряжение сигнала у \ • /
Эти изменения должны быть учтены при пользовании графиками рис. 13.3 и 13.4.
Графики рис. 13.4 построены в предположении, что полоса пропускания примерно равна 1/т0. Кривые построены, как отношение
18 Зак. 1502
529
тлт/т0 в функции максимального значения отношения сигнала к шуму перед детектированием с вероятностью обнаружения в качестве параметра, а не в обычной форме рабочих характеристик. Такая форма построения кривых, как на рис. 13.4, оказывается удобнее для разработчиков аппаратуры, которые должны решить, каким должно быть отношение сигнала к шуму. Максимальное значение отношения сигнала к шуму, определяемое как
Г2Р = /2 ^)2 =
максимальное напряжение сигнала среднеквадратичное напряжение шума
(13.23)
лучше характеризует величину импульсных сигналов, чем отношение среднеквадратичных значений сигнала и шума.
На рис. 13.3 даны две кривые для пороговых уровней, требуемых для достижения заданной вероятности ложной тревоги. Пологая кривая представляет собой график уровня напряжения Ь2 — =с/2</п2/>, требуемого после квадратичного диода. Более крутая кривая показывает эквивалентный нормализованный пороговый уровень, соответствующий входу детектора. Это напряжение равно квадратному корню из действительно требуемого (с/2(п2))2 = Ь. Вторая кривая может быть использована для сравнения с кривыми отношения сигнала к шуму и простирается на графике в более широком диапазоне, чем кривая самого порога. Таблицы Пейчерса [8 ] дают
*=2^>-=*2-
Для пояснения смысла этих кривых и способа их использования рассмотрим следующий пример.
Поисковая система имеет скорость сканирования 10 рад /сек и мгновенное поле зрения 12 • 10~3 рад. Среднеквадратичное напряжение шума на выходе полосового фильтра, ^установленного перед квадратичным диодом детектора, равно 0,5 в. Полоса после детектора такая же, как и у фильтра. Детектор состоит из диода Ценера, включенного последовательно с активным сопротивлением, как пороговым ограничителем. Найдем напряжение на диоде Ценера и значение отношения сигнала к шуму, обеспечивающее тлт = 20 мину и вероятность обнаружения 0,9
ТЛТ 20-60
^ = ^Ff=106-
12 ю
Взяв на рис. 13.3 по оси ординат 6, найдем по более крутой кривой соответствующее значение на оси абсцисс: b — 3,7. Таким образом,
-62 =-3’72’
530
и порог на диоде Ценера должен быть 2хЗ,72х0,52=6,9 в. По кривой для Р = 0,9 на рис. 13.4 находим требуемое отношение:
Максимальное значение сигнала ^55 Среднеквадратичное значение шума ’
13.4. Эксперименты с критическими пороговыми уровнями
В предыдущих параграфах были приведены кривые, определяющие вероятность обнаружения и ложной тревоги при определенных пороговых уровнях. Построение этих кривых основывалось на использовании интегральных распределений вероятности для шума и суммы сигнала определенной формы и шума и на предположении,
что величины шума в моменты времени, разделенные интервалом А/, независимы, если А/ж 1/А/, где А/— полоса пропускания системы после детектирования. Точное
значение частоты появления ложных тревог зависит от формы полосы пропускания. Если эта форма не идеально квадратичная, возникает некоторая неопределенность в определении А/. Райс [5 ] рекомендует для А/ выражение
А/= $f2W(f)df .0
(13.24)
где W(f) — спектр плотности мощности шума (в одну сторону) и далее дает формулу для ожидаемого числа пересечений порогового уровня в секунду.
Рис. 13.5. Значения частоты ложных тревог при выборе нескольких различных пороговых уровней (результаты skc-
Ожидаемое число пересечений =
= А/е~\ (13.25)
Из-за того, что интеграл в числителе (13.24) часто не сходится и из-за других трудностей в теории, важно
перимента показаны точками, результаты расчета—кривыми).
сравнить теорию с экспериментом. Результаты некоторых экспериментов, проведенных Грубе [10], сравниваются на рис. 13.5 с приведенными выше теоретическими кривыми для Ь.
Нужно подчеркнуть, что аналогичная, однако еще более сложная
задача нахождения распределения вероятности временных интервалов между соседними пересечениями оси также представляет значительный теоретический и экспериментальный интерес [5,11]. Эти
18*
531
данные используются иногда при проектировании инфракрасных систем, которые должны осуществить несколько индикаций цели, чтобы убедиться, что она не ложная. Однако, к сожалению, большие трудности при проектировании таких систем возникают из-за наличия шумов фона, относительно которых нет никакой уверенности, что они гауссовы. Данные о пересечениях порогового уровня для гауссова шума могут в этом случае найти лишь ограниченное применение.
13.5. Неизвестные параметры сигнала
В § 13.1 и при рассмотрении первой рабочей характеристики в § 13.2 предполагалось, что характеристики ожидаемого сигнала полностью известны. Если сигнал присутствует, то предполагается., что точно известны его амплитуда, форма и время появления. Конечно, в реальных случаях разработки и использования систем такие сведения о сигнале почти никогда не бывают известны.
Если форма сигнала зачастую определяется видом растра или геометрией площадки приемника, расположенной в фокальной плоскости, как в поисковых системах, и в этом случае может быть предугадана заранее, то этого нельзя сказать об амплитуде сигнала и о моменте его появления; эта существеннейшая часть информации о сигнале становится обычно известной лишь после его приема.
В таких случаях при проектировании систем используется скорее уравнение (13.2), а не (13.3) и P(xi) следует в этом случае понимать, как вероятности того, что неизвестные параметры принимают определенную величину. Например, если аг и а2 — два неизвестных параметра из ряда дискретных величин, то
P(X,N\y) = ^Р^х‘’п^Р^Р^ P(N\y) ~ %Р(У\ tlj)
i
Обычно ряд возможных значений параметра — непрерывный, так что сумму нужно заменить интегралом. Плотности вероятности P(g,ki) обычно оценить трудно: интегрирование производится очень трудоемкими численными методами. Эти вычисления имеют смысл для определения возможных пределов характеристик системы, если необходимо знать, насколько система далека от оптимума. Рекомендации для проектирования, следующие из (13.26), довольно сложны, часто требуется целый набор различных согласованных фильтров, для каждого случая свой.
На практике распространены два частных случая. Если фаза модуляции (время появления) сигнала неизвестна и не может быть оценена хотя бы приблизительно, что эквивалентно равной вероятности наблюдать сигнал в любой момент какого-то интервала времени, например за время кадра, то из уравнения (13.26) можно определить для известной формы сигнала вид согласованного фильтра, который должен следовать за диодом, подключенным на выходе в те
532
чение всего времени. Этот случай рассмотрен в § 13.2. Сравнивая рис. 13.1 и 13.2, можно видеть, что отсутствие информации о времени появления сигнала ухудшает характеристики системы. Действительно, если рабочий пороговый уровень накладывается только в один определенный момент времени, когда сигнал максимален (если он присутствует), то меньше шансов получить ложную тревогу, чем если пороговый уровень действует в течение продолжительного времени. Поэтому для получения заданной вероятности ложной тревоги при неизвестной фазе сигнала приходится применять более высокие пороговые уровни и соответственно для обеспечения заданной вероятности обнаружения требуется большее значение сигнала при определенном фиксированном шуме.
Второй часто встречающийся на практике случай — когда неизвестна амплитуда сигнала. Частотная характеристика согласованного фильтра зависит от коэффициента преобразования сигнала и от спектра плотности мощности шума. Таким образом, форма полосы пропускания фильтра и особенно его ширина зависят от амплитуды сигнала. Если величина амплитуды неизвестна, обычно рассчитывают фильтр для низкого уровня сигнала, поскольку при большом отношении сигнала к шуму задача обнаружения сигнала не столь сложна, как при малом и отличие фильтра от нужной формы при большом сигнале менее опасно, чем при малом.
Мы говорили об установлении порогового уровня сигнала относительно среднеквадратичного уровня шума. Часто встречаются случаи, когда уровень шума меняется, например, в условиях обнаружения цели на некотором фоне (гл. 12). Дугунди и Аскерлинд [12] рассмотрели систему, в которой пороговый уровень автоматически регулируется, так что вероятность ложной тревоги остается постоянной. Они считают, что такая система лучше, чем система с фиксированным пороговым уровнем по крайней мере в том случае, когда фон гауссов.
13.6. Форма сигнала
Анализ систем, проведенный в предыдущих параграфах, был направлен на отыскание определенных статистических характеристик в предположении, что форма сигнала известна. Интересно, однако, задать и следующий вопрос: можно ли выбрать такую форму сигнала, которая с учетом специфических задач создания фильтра обеспечивала бы оптимальные характеристики системы в целом? Этот вопрос представляет тем больший интерес, что форму сигнала можно в известных пределах легко менять, выбирая соответствующий растр.
Для ответа на этот вопрос укажем вначале, что в пассивных инфракрасных системах сигнал обычно ограничен по амплитуде до некоторого пикового значения и до некоторой величины — по продолжительности. Самое лучшее, что можно сделать — выбрать полностью прозрачный растр (отверстие) или использовать неэкрани-руемый приемник в фокальной плоскости, а требование проска
533
нировать некоторое полное поле обзора за определенное время кадра обычно ограничивает время, в течение которого на приемник воздействует одна точка пространства (то). При этом максимальное значение и продолжительность сигнала не сокращаются искусственно й сохраняются постоянными.
Далее мы видим, что характеристики системы всегда лучше при высоком отношении сигнала к шуму, а из уравнения (11.44) следует, что максимальное отношение сигнала к шуму на выходе согласованного фильтра равно корню квадратному из квадрата сигнала, поделенного на спектральную плотность шума и проинтегрированного по спектру
(11.44)
Таким образом, для белого шума наилучшим сигналом будет тот, который имеет при данной амплитуде и продолжительности максимально возможное квадратичное содержание. Однако многие инфракрасные приемники и полупроводниковые триоды, используемые в предусилителях, дают спектры шума, возрастающие к низким частотам. Ток смещения, текущий через некоторые фотосопротивления, дает большую постоянную составляющую напряжения, не несущую никакой информации и ее лучше исключить, чтобы наилучшим образом использовать динамический диапазон схемы. При построении предусилителей постоянного тока или для очень низких частот возникает ряд практических трудностей, связанных с дрейфом и сложностью согласования импедансов. Вследствие этого обычно требуется ввести в импульс сигнала переменную несущую определенной частоты путем использования растра или электрически, с помощью детектора с переменным смещением. (Применение растра менее выгодно в У2 раз, потому что половина энергии, попадающей на приемник за время то, теряется.)
Из проведенного рассмотрения следует, что сигнал должен состоять из ряда попеременно отрицательных и положительных прямоугольных импульсов с как можно большим пиковым значением. Однако обычно необходимо, чтобы система обеспечивала наилучшую возможную селекцию цели на некотором фоне*). В пассивных системах это достигается за счет как можно более высокой разрешающей силы оптики, чтобы максимально уменьшить величину участка фона, воздействующего на приемник в данный момент (гл. 12), и введением перед приемником растра или диафрагмы, примерно согласованных по размеру с кружком рассеяния от точечного источника.
*) Другими словами, система должна работать на возможно более высокой пространственной частоте (гл. 12), потому что спектры фонов уменьшаются с ростом пространственного волнового числа. В активных системах, где излучение идет от искусственного источника (например, маяка), требуется расфокусировать систему, чтобы сузить полосу пропускания пространственных частот.
534
Точная форма получаемых при этом импульсов сигнала зависит от типа оптической системы и углового расстояния цели от оптической оси. Вообще говоря, отдельные импульсы имеют закругленную форму и довольно хорошо аппроксимируются синусоидальной зависимостью. Наилучшим для обнаружения сигналом является ряд синусоидальных импульсов с максимально возможной амплитудой и наибольшей допустимой продолжительностью на возможно более высокой несущей частоте. Каждое из этих требований ограничивается
Число полупериодов j г
Форма о_________Л ...
сигнала -/ v
Автокорреляционная функ- j
ция на выходе 2 f\ согласованного о у/ \г О фильтра -1 v -/
Элементарные j импульсы q -равной про- ~1 долмительности
Автокорреля- j
ционная функ-t Д ;
ция на выходе О согласован- ~1 -%
кого фильтра
7
Рис. 13.6. Некоторые формы сигналов для точных систем, обеспечивающих однозначность.
необходимостью обеспечить в нужных пределах значения других параметров системы, таких, как максимальная апертура, время кадра, оптические аберрации.
Выходной сигнал с согласованного фильтра приблизительно дает автокорреляционную функцию входного сигнала (точно, если шум белый). Для ряда синусоидальных импульсов форма этой функции — треугольная огибающая, содержащая несколько периодов несущей. Из-за того, что шум может уменьшить амплитуду одной полуволны очень большого сигнала и увеличить амплитуду другой, может возникнуть неопределенность в определении направления на цель. Для систем, предназначенных для отыскания направления на цель с высокой точностью, это может оказаться существенным. Имеется ряд таких корректирующих ошибку кодов, которые обеспечивают прием сигналов с несимметричной автокорреляционной функцией (один пик много больше другого) так, что эта неопределенность не возникает [13,14]. Некоторые примеры формы сигналов и соответствующие автокорреляционные функции показаны на рис. 13.6. Получаемые с помощью различных растров эти коды, за
535
исключением случая одного периода, имеют то неприятное свойство, что наибольшие пики меньше, чем самый большой пик в автокорреляционной функции простого переменного процесса. Таким образом, за устранение неопределенности приходится расплачиваться уменьшением отношения сигнала к шуму. Если форма импульсов обеспечивается электрически включенными навстречу друг другу приемниками, то отмеченный недостаток уже не имеет места, однако согласованный фильтр получается обычно более сложным.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
Теория информации — это математический аппарат, который был разработан Хартли [15] и Шенноном [16] первоначально для описания передачи сообщений в телефонных линиях, радиосвязи и т. п.
Рис. 13.7. Математическая схема информационного канала связи.
Впоследствии эта теория нашла широкое применение в физике, а также в самых различных, зачастую далеких от физики областях — биологии, психологии и т. д. [17]. Подробная библиография по теории информации и связанным с ней разделам теории шумов и теории статистических решений дана Стамперсом [18]. Дальнейшее развитие теории информации содержится в трудах Хинчина [19] и Файнштейна [20].
Теория описывает систему связи (рис. 13.7), состоящую из источника информации, заставляющего передатчик посылать сообщения по каналу связи к приемнику, сообщения поступают затем в получатель информации, заполняя его память сведениями об источнике информации. Сообщения могут искажаться или не искажаться шумами в канале связи. В круг задач теории информации входят измерение информации и оценка скорости, с которой может быть передана информация по каналу связи.
Прикладные задачи, решаемые теорией, не всегда прямо связаны со связью. Например, характеристики инфракрасного следящего устройства можно анализировать^ рассматривая положение и движение цели в пространстве объектов как источник информации. Источник излучения цели служит при этом передатчиком, пространство между целью и следящей системой, оптика и приемник системы и схема обработки информации — каналом связи. Получателем ин-536
формации может быть, например, снаряд, если следящее устройство предназначено для его наведения на цель, или штурман, если устройство решает навигационные задачи. Детальное рассмотрение подобной системы проведено в конце этой главы.
13.7. Источники информации и энтропия
Представим себе источник информации как некоторую систему, которая в результате случайного процесса может принимать одно из ряда возможных состояний а,, называемых буквами с соответствующими вероятностями pi. Для начала допустим, что источник изменяет свое состояние дискретно, т. е. может принимать конечное число состояний, причем одно заменяется другим сразу в определенные моменты времени, разделенные некоторыми промежутками. Информация, полученная о состоянии системы, измеряется вероятностью этого состояния. Мера должна обладать определенными свойствами, чтобы быть мерой в физическом смысле слова. Эта мера по смыслу должна быть такой, чтобы полученная информация была тем больше, чем меньше вероятность состояния. Например, если некто сообщает другу, что он сфотографировал красный закат, то информации в таком утверждении меньше, чем если сообщается, что закат был зеленым. В частности, если известно, что источник может принимать только одно возможное состояние, например генерировать прямоугольные импульсы определенной амплитуды и фазы, информация о состоянии такого источника будет равна нулю.
Во-вторых, эта мера должна обладать свойством аддитивности, т. е. информация, содержащаяся в сообщениях о двух независимых состояниях источника, должна равняться сумме информаций, заключенных в каждом сообщении.
Мера информации, удовлетворяющая этим условиям, была предложена Хартли [15]: сообщение о том, что источник находится в состоянии а/, содержит информацию, равную
/(az) = — logP/. (13.27)
Файнштейн показал, что такой выбор меры информации—единственно оправданный, а константа (основание логарифма) определяет единицу измерения количества информации. Обычно в качестве основания логарифма берут 2. Тогда единица измерения, называемая двоичной единицей (информации)*)
1 = — log2(l/2), соответствует количеству информации в сообщении о том, что система находится в одном из двух единственно возможных равновероятных состояний**).
*) Соответствующий английский термин bit от binary digit — двоичный знак применяется и в русской литературе. (Прим, ред.)
**) Например, единица информации содержится в ответе на вопрос, как выпала случайно брошенная монета — гербом или цифрой.
18В Зак. 1502
537
Теория информации рассматривает обычно сообщения, являющиеся последовательностью букв, таких, как
X/ Х[ [—я], X/f[ — (и — 1)], • • •, X/ [— 1 ], X/9, X/ j, ..., Xim
где х£о означает букву образовавшуюся в момент времени О, х/i — букву в момент времени 1 и т. д.
Определенная последовательность xz имеет соответствующую вероятность pix^x^ не обязательно независимы), и сообщение о том, что имеет место определенная реализация, содержит количество информации /(х|2п+1), определяемое уравнением (13.27).
Однако средняя информация, содержащаяся в системе, — более употребительная характеристика, чем информация об отдельном состоянии.
Величина
Нт(Х) = (Цх]т)} = т=2п+\ (13.28)
=—
L
есть средняя информация сообщения из 2«+1 букв, а величина
Я(Х)=Пш[Ят(Х)/т] (13.29)
т-*оо
называется энтропией источника информации и является мерой средней информации на букву.
Величина (13.29) является усреднением по последовательностям и по буквам в последовательности, когда число их становится очень большим. Можно показать, что этот предел существует (Хинчин [19], Файнштейн [20]) и что для источника, изменение состояния которого является эргодическим процессом (гл. 8), величина (1//n) log2p(x) действительно стремится к Н при т-»оо за исключением случая, когда число сообщений очень мало.
Энтропия является мерой неопределенности, характеризующей систему. Энтропия достигает максимума, когда все состояния системы равновероятны.
13.8. Канал информации, скорость передачи сообщений и емкость канала
До сих пор мы рассматривали первое звено схемы рис. 13.7 — источник информации. Отложим на некоторое время описание передатчика и приемника и рассмотрим канал передачи информации.
Физический канал состоит из среды, через которую осуществляется связь. Типичным примером канала’ связи может служить путь от радиопередатчика через атмосферу и ионосферу к радиоприемнику. Обычно канал вносит шумы, поэтому принятый сигнал оказывается до некоторой степени искаженным, иногда настолько, что бывает трудно сказать, какой сигнал был передан.
538
В общей схеме канал представлен как совокупность случайного входного процесса, выходного процесса и функции плотности условной вероятности. Входной процесс имеет определенный ряд возможных состояний, называемых буквами, совокупность этих состояний образует входной алфавит. Случайный выходной процесс имеет другой алфавит со своими буквами. Сообщение состоит из последовательности букв. Следующие одна за другой буквы часто до некоторой степени коррелированы между собой. Типичное входное сообщение имеет вид(
Xl = Xu, xi2, ....
где каждый символ хц может быть какой-либо буквой ak входного алфавита А. Типичное выходное сообщение:
Уг=Уп, Угг,-,
где каждый символ уц может быть какой-либо буквой bk выходного алфавита В. Вероятность того, что выходное сообщение у, будет результатом входного сообщения х,- определяется функцией плотности условной вероятности р(«//|х,) или р(у\х), представляющей функцию плотности полной вероятности. В более общем случае, если S — ряд выходных последовательностей (например, ряд последовательностей, вызванных небольшими нарушениями входного сигнала за счет шума), то p(S|x) будет функцией плотности условной вероятности для S при данном х.
Условная вероятность ряда выходных сообщений будет, по-видимому, зависеть от бесконечной входной последовательности
Х/=Х/ (—оо)> •••> Xl (— ]), Xiq, Хц , ..., Х/оо, однако обычно на наблюдаемую последовательность влияет только конечное число т букв хц, имевших место перед наблюдением. В этом случае канал называется каналом с конечной памятью без упреждения.
Если имеется источник L41( р(х)], вводящий информацию в канал [Л2, р(х\у), В], и если алфавит источника такой же, как входной алфавит канала, то получаются другие функции плотности вероятности для входного и выходного процессов, которые могут быть записаны, как
р(х, у)=р(х)р(у|х), (13.30)
Р(У)=2Р(Х> У)> (13.31)
X
P(XI},) = W' (13.32)
Эти функции плотности вероятности и входной и выходной алфавиты определяют три случайных процесса, связанных с каналом. Каждый случайный процесс^имеет ряд возможных состояний, функцию плотности вероятности и согласно определениям, введенным в предыдущем параграфе, свою энтропию.
18В* 539
На входе процесс представляет собой [Д, р(х)] и Н (X) = ,. Н. (X)
= lim—— измеряет неопределенность входного процесса.
ОО П
На выходе процесс [В, р(у)] и энтропия выходного процесса равна
Н (Y) = Пт -Я"(У) . п->оо п
Для входа и выхода вместе процесс представляет собой [С, р (х,у)], где любое входное сообщение х может ассоциироваться с любым выходным сообщением у, образуя пару (х, у), являющуюся одной из возможных пар (а, Ь) в некотором новом алфавите С. Этот составной процесс имеет неопределенность, измеряемую энтропией
Н (X, У) = lim Г). п->оо п
Эта энтропия в некоторой степени связана с двумя предыдущими, потому что
Нп(Х, Y) = y)logp(x, у) =
X у
— y)[logp(x) + logp(y|x)] =
х у
=—2 р w log р w ~ 2р log р =Нп W+Нп (И*)-
X у
Симметрично:
ЯЛ(Х,У)=Я„(У)+Я„(У|Х).
Беря пределы во втором из этих выражений и производя небольшую перестановку, получаем
Я(Х|У) = Я(Х,У)—Я(У). (13.33)
Величина Я(Х| У) называется остаточной энтропией или неопределенностью. Она измеряет среднюю неопределенность на последовательность у на приемнике относительно того, какое сообщение было послано передатчиком. Энтропия Я(Х) измеряет неопределенность относительно того, какое сообщение было послано до приема. Следовательно, среднее уменьшение неопределенности, происходящее благодаря приему сообщения и шума, равно
/?(Х,У)-Я(Х) —Я(Х|У),
что можно записать в более симметричной форме как
R (X, У)=Я (Х)+Н (У) — Н (X, У). (13.34)
Эта величина называется скоростью передачи информации на символ от источника [Дь р(х)] через канал [Л2, р(х\у), В]. Она 540
зависит от характеристик как источника, так и канала. При изменении функции плотности вероятности величина R также изменяется. Максимум R по всем возможным эргодичным источникам называется емкостью канала. Емкость зависит только от свойств канала [А2> р(у\х), В]. Понятие емкости канала — центральная идея теории информации. Значение этого понятия мы поясним в следующем параграфе, а оценку величины емкости — на частных примерах в последующих параграфах.
13.9. Кодирование
В предыдущем параграфе мы рассмотрели передачу через канал последовательностей х из п букв входного алфавита. Канал смешивает сообщения х с шумом, в результате чего по принятой последовательности у нельзя с полной определенностью судить, какое из возможных х было передано. Один из довольно плодотворных путей оценки этой ситуации заключается в рассмотрении каждого символа последовательности х, как координаты в n-мерном пространстве, называемом пространством сигналов,
Xi^^XiQ, Хд, Х/2, •••
Символ хц может быть какой-либо из букв ak входного алфавита. Представим себе, что одна из координатных осей в пространстве сигналов соответствует хц и на ней точками отмечены все возможные буквы. Аналогичным образом размеченные оси для каждого-из символов дают систему координат всего пространства. Тогда любая конкретная реализация Xi может быть представлена в п-тиерном пространстве точкой с координатами, соответствующими всем буквам, наблюдающимся в реализации.
Теперь если на выходе канала построить аналогичное пространство сигналов для последовательностей у, то точка yi будет соответствовать неискаженному при передаче сообщению xi на входе. Около этой точки будет ряд других соседних точек, представляющих последовательности, в которых некоторые буквы отличаются от букв в yi. Влияние шума можно рассматривать, распространяя вероятность получить определенный у из одной точки уь на диффузное облако соседних точек.
В несколько более неопределенном смысле целесообразно представлять расстояние в пространстве принятых сигналов как количественную меру искажений, вносимых шумами, предполагая, что принятые сигналы, соответствующие данному х/, обычно в большей или меньшей степени концентрируются около точки yi, так что по мере увеличения расстояния от yt количество их уменьшается. При удлинении последовательности, т. е. увеличении п, увеличивается количество измерений в многомерном пространстве сигналов, и скопления близ yi, становясь плотнее сами по себе, расходятся дальше друг от друга.
541
Файнштейн в статье [211 выдвигает похожую идею, обосновывая ее строгим способом. Рассматривая стационарный канал с конечной памятью без упреждения и емкостью С, он доказывает, что для е > О и достаточно большого п существует N, удовлетворяющих условию
log2JV>n(C — е), (13.35)
различимых последовательностей х, которые обладают тем свойством, что принятые последовательности у{, соответствующие xi с вероятностью большей, чем 1 — е, распадаются на определенные ряды V, каждый из которых совместно с любым другим не образует последовательности г/,-.
Пользуясь понятием о пространстве сигналов, можно представить себе это таким образом, что одна из этих N различимых последовательностей Xi почти с полной определенностью приводит к yt в определенной области V, и различные области не перекрываются. Теперь представим, что каждая из этих последовательностей х/ приписывается определенному сообщению, которое может быть предназначено для передачи по каналу. Когда нужно послать какое-нибудь сообщение, может быть передано соответствующее Xi. Принято будет сообщение у. Получатель информации увидит, в какой район V попала последовательность, и определит, какое сообщение х было послано. Вероятность ошибки при этом равна е.
Число таких различимых последовательностей определяется условием (13.35) и можно видеть, что число это возрастает с увеличением длины последовательности п, так что при соответствующем увеличении п допустимая вероятность ошибки е и число сообщений при данных определенных требованиях к качеству связи могут быть увеличены. Однако, для того чтобы решить, какое сообщение было послано, необходимо принять все символы п и увеличение п замедляет передачу.
До сих пор предполагалось, что источник информации, работающий на канал, имеет такой же алфавит, что и входной алфавит канала. В общем случае это условие не является обязательным. Сообщение может представлять, например, печатный текст, который нужно передать по кабелю посредством меняющегося электрического тока. В этом случае передатчик, показанный в виде второго блока на рис. 13. 7, производит «перевод» с языка источника на входной язык канала. Этот процесс называется кодированием-, при разумном способе кодирования можно лучшим образом использовать канал.
Рассмотрим передачу английского текста короткими (точка) и длинными (тире) импульсами тока (азбука телеграфного канала). Простейший путь кодирования 26 букв английского алфавита и 10 цифр двумя символами (точкой и тире) следует из условия, что каждое сообщение должно иметь одинаковую длину, т. е. каждая буква и цифра должна кодироваться одинаковым числом импульсов, и тогда для обозначения каждой буквы и цифры требуется шесть 542
символов кода (при соответствующем обозначении промежутков)*). Однако Морзе принял более разумную и удачную схему, кодируя буквы последовательностями разной длины. Он учел частоту появления различных букв в тексте и наиболее короткий код приписал чаще всего встречающимся буквам. При передаче, например, 108 импульсов при использовании первого простейшего способа кодирования всегда будет передано 18 букв. При передаче же английского текста азбукой Морзе могут встретиться такие фразы, когда тем же количеством импульсов удастся передать до 50 букв. Это, конечно, наиболее благоприятный случай, однако в среднем азбука Морзе всегда обеспечивает передачу текста более короткой последовательностью импульсов, чем рассмотренный выше простейший код.
Это преимущество азбуки Морзе перед простейшими кодами было достигнуто за счет использования сведений об относительной вероятности появления отдельных букв. Однако можно также рассматривать буквы попарно или даже тройками и т. д. В английском языке такие сочетания, как ch, sh, рг встречаются очень часто, а такие сочетания как pb, zz, tg довольно редки. При разработке кодов для передачи заранее заданных последовательностей букв можно достигнуть даже большей экономии. Этот вывод заставляет нас еще раз вспомнить идеи Файнштейна и подчеркивает важность способа кодирования в теории информации.
Предположим, что имеется источник информации [Лх, р(х)] и канал [Л2, р (у | х) 1 с различными алфавитами А! и Аг. Необходимо как-то оценить эти алфавиты перед тем, как присоединять источник к каналу. Это делается выбором последовательностей Wi из п букв, которые может давать источник. Если Лх состоит из at букв, то имеется а" таких последовательностей. Затем выбирается а" последовательностей X;, составленных из символов алфавита Л2. Каждая последовательность w перед передачей по каналу обозначается соответствующей последовательностью х. Таким образом, ряд последовательностей X является функцией ряда последовательностей W'.
X=X(W). (13.36)
Разумное обозначение последовательностей с учетом вероятностей p(w) и р(у | х) позволяет увеличить среднюю скорость передачи информации по каналу с заданной надежностью в пределах емкости канала.
Известная теорема Шеннона была сформулирована им следующим образом: если канал [Аг, р(у\х), В] имеет конечную память т и емкость С, а источник [Лх, p(w) ] имеет энтропию Н < С и если е больше нуля, то для достаточно большого п выход источника можно закодировать в символах входного алфавита канала таким образом, что каждая последовательность wi из п букв алфавита Лх будет изображаться последовательностью Xt из п + т букв алфавита Л2,
*) Число 6 необходимо и достаточно для кодирования двумя символами 36 букв и цифр, так как 25<36<26. (Прим, ред.)
543
причем если передается X/, то последовательность wi может быть принята без ошибок приемником с вероятностью большей чем 1 — 8.
При доказательстве этой теоремы используется, в частности, принцип Файнштейна, согласно которому при увеличении последовательностей источника величина (Vn) log2 р(х) стремится к Н для некоторых последовательностей в то время, как совместная вероятность всех других последовательностей становится очень малой. Этот принцип позволяет исключить многие теоретически возможные последовательности, например, для английского текста последовательности, состоящие главным образом из сочетаний букв xs, ys, zs. Число остающихся последовательностей меньше, чем 2пН, так как для равных вероятностей Н достигает максимума. Эти остающиеся последовательности и кодируются в различимые последовательности, описанные Файнштейном. Число различимых последовательностей больше чем так что если Н < С, то для каждой
могущей практически встретиться сообщаемой последовательности можно выделить одну различимую последовательность и останется по меньшей мере одна лишняя для обозначения последовательностей, встречающихся с исчезающе малой вероятностью.
13.10. Непрерывные источники и каналы
Мы ограничивались до сих пор рассмотрением дискретных источников информации и каналов. Однако понятия емкости канала и энтропии могут быть распространены на источники и каналы, случайные процессы в которых характеризуются непрерывно меняющимися параметрами и непрерывной последовательностью изменяющихся случайных состояний. Как раз этот случай важен при анализе инфракрасных систем, где переменными величинами являются лучистый поток, напряжение и ток, как функции пространственных координат, длины волны, частоты и времени.
Рассмотрим канал информации, состоящий из приемника инфракрасного излучения и электронного усилителя. Информация на выходе этого канала закодирована в виде напряжения (или тока), являющегося функцией времени. На первый взгляд может показаться, что если напряжение может в любой отрезок времени принимать значение, заключенное в некоторых фиксированных пределах, то оно может передавать информацию с неограниченной скоростью. Однако практически это не так. Любой физический приемник имеет верхний предел скорости, с которой он может следовать в своей реакции изменениям облученности, и реальный усилитель шунтируется некоторой емкостью, что на достаточно высоких частотах ограничивает диапазон его работы. Таким образом всегда существует некоторая частота, выше которой канал работать не может. Обозначим эту предельную частоту f2.
Положим, что выходное напряжение усилителя записывается в течение времени Т и пусть среднее значение напряжения за это 544
время равно нулю. Тогда записанная функция может быть представлена рядом Фурье:
ОО ~ v _ ..
/>\ / \ Vi • /2яяг , 1 iZnntX а(0(=)2< °«s,n — )]+&«cos(—)• п= 1 ' ' ' '
Поскольку канал не проводит на частотах, превышающих /2> коэффициенты для n>f2T будут равны нулю и ряд можно записать в виде
^(0=2 a"sin n=l
/2т:п1\ , , (2nnt \ кт £
(j^j + ^cosj-yJ, N = f2T.
Эти формулы означают, что напряжение v(f) можно представить суммой 2N членов (которые определяются из v(t) обычным способом) в том смысле, что при желании для представления v(f) достаточно этих 2Af членов.
Использование коэффициентов ряда Фурье не является единственным возможным способом представления v(t). Например, величина v(t) в определенное время 4 в интервале (0,7) вместе с первыми 2N — 1 производными от v(t) для момента образуют коэффициенты разложения в ряд Тэйлора, из которого определенным способом можно вновь получить v(f). Шеннон приводит другой пример, когда
значения vm функции v(f), взятые в ряде последовательных
при разбивке диапазона (О, Т) на интервалы / = —, позво-2/'2
представить v(f) в виде
точек
ляют
2N— 1
m=0
sin [it (2/a T — m)] к (2f2 T — m)
(13.37)
[Действительно, когда изменения v(f) ограничены диапазоном частот (0,f2), но сама функция v(f) не ограничена во времени, v(f) может быть представлена дискретным рядом значений амплитуд, разделенных промежутками времени 1/2f2 для всего временного диапазона изменения v(t). Если, наоборот, во времени v(f) ограничена интервалом (0,7), а частотных ограничений нет, то преобразование Фурье функции v(f), которое является однозначным, может быть восстановлено по значениям, взятым по частотным интервалам А/ = = —]
2rj.
Практический способ представления сообщения не относится к определению содержания информации. Ряд экспериментально полученных данных содержит одинаковое количество информации, независимо от того, выражены ли эти данные в виде ряда точек, выданных регистрирующим прибором, ряда цифр, записанных экспериментатором в блокноте, или в виде перфокарт для ввода в счетную машину и т. д. Важно лишь иметь возможность переводить ин-
545
формацию с одного способа представления на другой и обратно. Представление данных различными способами при выполнении этого условия называется обратимым кодированием.
Так, коэффициенты рядов Фурье или Тейлора, а также периодические значения амплитуд являются примерами ортогонального обратимого кодирования v(f), содержащего всю информацию о v(f).
Коэффициенты Фурье и периодические значения амплитуд — ортогональные преобразования функции. Поэтому интеграл от квадрата представляемой формы волны равен сумме квадратов каждого ряда членов. Используя представление о пространстве сигналов, описанном в § 13.9, можно сказать, что коэффициенты образуют ряд взаимно перпендикулярных координатных осей. Различные группы осей образуют ту или другую плоскость реализаций. Среднеквадратичный интеграл или нормализованная энергия формы волны выражается квадратом вектора, проведенного из начала координат в точку, изображающую сигнал.
Если представляемое напряжение есть напряжение шума со спектром плотности мощности, постоянным в полосе F и равным нулю везде вне этой полосы, тогда это напряжение будет иметь автокорреляционную функцию (гл. 10):
КТ sin р-кт ’ F
которая имеет первый нуль при т= \/F и быстро затем уменьшается. Следовательно, последовательные значения шума почти некорре-лированы в этом случае и, если шум гауссов, они в первом приближении и независимы. Некоторые другие использующиеся способы представления функций описаны, например, Егерманом и Фогелем [22] и Бондом и Каном [23]. Таким образом, емкость реального канала не безгранична вследствие конечной скорости флюктуаций на выходе канала. Выше рассматривалось несколько конкретных способов сведения непрерывных параметров к дискретным без потери информации. Мы будем теперь иметь дело с рядом отдельных величин для каждой реализации. По существу число возможных состояний случайной переменной величины будет ограничено из-за наличия шумов. (Грубо говоря, можно различить лишь уровни, отстоящие друг от друга больше чем на среднеквадратичную величину о флюктуаций шума.) Ниже мы увидим, как можно оценить это ограничение количественно.
Энтропия непрерывного процесса (такого, как ряд мгновенных значений функции и(^)) определяется формулой
оо
Н = — J р (у) log р (v) dv, (13.38)
где p(v) — функция плотности вероятности для v. 546
В соображениях, следующих из этого определения, есть известная тонкость. Например, (13.38) нельзя получить как предел выражения (13.29), положив
p(v.)=p(v) Ду
и устремив Ду к нулю. Эти соображения подробно описаны Файн-штейном [20] и Хинчиным [19].
На практике напряжение v(t) может быть или шумом или суммой сигнала и шума (или, реже, какой-либой сложной комбинацией сигнала и шума). Шум не ограничен по амплитудному значению, однако обычно он имеет неизменную среднюю мощность. Сигнал в пассивных системах обычно положителен и имеет фиксированный уровень максимальной амплитуды. В активных системах сигнал подобно шуму имеет фиксированную мощность. Интересно задать вопрос, какая функция плотности вероятности будет максимизировать выражение (13.38) при наличии указанных ограничений. Это обычная задача вариационного исчисления. В случае фиксированной средней мощности требуется максимизировать
ОО оо оо
— J р (v) logp(v) dv -фа J p(v)dv+fi J vzp(v)dv, —oo —oo —oo
так как J p (v) dv= 1 и J v2 p (v) dv представляет среднюю мощность (v2). Эта операция приводит к равенству
1 / г»2 \
р (v) = г-_ . ехр (— 9 2-). (13.39)
/2гс<у2> 2 <и2> у v 7
Нужно сказать, что функция плотности вероятности, дающая максимум энтропии для случайной переменной величины с фиксированным средним уровнем, является гауссовой и представляет функцию плотности вероятности, которая имеет место для шума. Грубо говоря, это означает, что гауссова функция плотности вероятности упорядочена в столь малой степени, насколько это только возможно при заданной средней мощности. В случае положительной фиксированной максимальной амплитуды (сигнала с произвольно малым шумом) требуется максимизировать
Vo v9
— J p(v) logp(z7) dv-}-a J p(v) dv, о 0
что приводит к
/Ф) = ^ 0<ц<цо. [(13.40)
Функция плотности вероятности, дающая максимум энтропии, когда амплитуда лежит в пределах от нуля до v0, имеет постоянную плотность в указанном интервале, что очевидно представляет собой обобщение предыдущего результата, когда энтропия оказывалась максимальной при Р(а,) = UN для всех t.
547
В случае фиксированной средней мощности максимальная энтропия
(v) = log2/2n(n2)e (13.41)
и в случае фиксированной максимальной амплитуды —
#2(0 = I°g2^o- (13.42)
Формулы (13.41) и (13.42) показывают, что существует определенная верхняя граница энтропии, связанная с каждым мгновенным значением v(t). Действительно, если промежутки между возможными уровнями v(t) становятся все меньше и меньше, то то же происходит и с вероятностями, связанными с каждым уровнем.
13.1 L Энтропия источников оптической информации
Пространство объектов или пространство изображений оптической системы можно рассматривать как источник информации для канала связи. В этом случае лучистость или облученность в функции пространственных координат, времени и длины волны следует рассматривать как реализацию случайного процесса с двумя или тремя пространственными координатами, одной временной координатой и одной координатой для длины волны. Алфавит такого источника состоит из всех возможных последовательностей лучистости в четырех или пяти измерениях. Изменение лучистости па всем координатам непрерывно, но разрешение, которое способна обеспечить реальная система, ограничено для всех координат,, подобно тому, как было показано в предыдущем параграфе для времени.
Рассмотрим сначала идеализированный пример — монохроматическую лучистость в какой-то одной точке пространства. Эта величина в общем случае будет испытывать некоторые модуляционные изменения во времени. (Под модуляционными изменениями мы подразумеваем сравнительно медленные изменения во времени с периодом, много большим, чем период колебаний монохроматического света). Способность системы разрешать эти флюктуации будет ограничена полосой пропускания системы, обусловленной постоянной времени системы, а также временными характеристиками электронной и механической частей системы. Как уже указывалось ранее, этот непрерывно изменяющийся параметр может быть заменен рядом мгновенных его значений с помощью разложения Фурье, Тэйлора, интерполяционной формулы Лапласа—Шеннона и т. д.
Теперь рассмотрим случай изменения лучистости в пространстве. Поскольку большинство инфракрасных систем обладает лишь весьма ограниченной глубиной резкости,, часто достаточно рассматривать только два (пространственных) измерения. Введение третьего означало бы введение в рассмотрение механизма разрешения по расстоянию.
548
В двух угловых координатах разрешение системы ограничено мгновенным полем зрения и оптической разрешающей силой, складывающейся из дифракции, аберраций, расфокусировки и т. д. Если система осуществляет сканирование по этим двум координатам, то изменения исследуемой величины в пространстве будут представлены на выходе системы, как изменения во времени. Если скорость сканирования слишком велика или слишком мала, то частоты некоторых временных изменений могут оказаться за пределами полосы пропускания системы. Наблюдающиеся ограничения в разрешающей силе могут рассматриваться до известной степени, как часть временной модуляции источника. Влияние чисто оптического разрешения рассматривалось в гл. 12. При этом уже подчеркивалось, что функция лучистости в двух угловых пространственных координатах zx и z2, среднеквадратичная величина которой интегрируема, может быть представлена в области Z1( Z2 коэффициентами двумерного ряда Фурье
г (21,4) = 2 2 с^хр / ^^)ехР ’ <13-43)
т1т2 ' 7
где коэффициент Ст1 определяется как обычно формулой
Zi z2
Ст1 = J dxr J r(z!,z2)exp^—j21znh-Z1.^ dx2, (13.44)
-zt -z2
a Cm2— аналогичной симметричной формулой c Z2 и m2, Ст1 и Ст2 — комплексные числа.
В гл. 12 было показано,что облученность точки в плоскости изображения является функцией лучистости точек в конечном участке плоскости объекта из-за наличия аберраций и некоторой расфокусировки оптической системы. Далее приемники или растры и коллективные линзы, в свою очередь, интегрируют облученность по участкам плоскости изображения. Это приводит к тому, что функция облученности в плоскости изображения воспринимается приемником с разрешением, которое может быть точно описано с помощью функции потока (падающего на приемник), как свертки функции в плоскости объекта с учетом аппаратной и апертурной функции. При применении преобразования Фурье к пространственной частоте эта свертка приводится к произведению преобразования функции лучистости и преобразования аппаратной и апертурной функции. Если область конечна, преобразование приводится к ряду (13.43). Произведение преобразований аппаратной и апертурной функций эквивалентно низкочастотному или полосовому пространственному фильтру в двух пространственных частотах и т2. Эффективная полоса пропускания такого пространственного фильтра рассматривалась в гл. 12. При этом мы просто считали, что в действительности пространственные частоты выше некоторых частот т12 и т22 не
549
пропускаются, что является количественным выражением невозможности разрешить пространственные детали, меньшие некоторого предела. Таким образом, величины Ст, и Стг для значений тх и т2, больших, чем т12 и т22, малы. Для представления функции потока требуется только число N' этих коэффициентов, где
ЛГ=4(ш12 m22)(Ai Л2), если пространственный фильтр является низкочастотным фильтром или
=(/п12 — mu)’(m22 — m2i) Лх Л2,
если пространственный фильтр является полосовым фильтром с границами при тп и т21.
Каждый коэффициент имеет действительную и мнимую части (за исключением нулевого коэффициента, выражающего среднюю величину лучистости, относительно которой предполагается, что она не несет информации). Таким образом функция лучистости объекта может быть восстановлена по N членам, где
Л/ = (Ш12 ^lj.1.) (^22 ^21) ^2* (13.45)
Необходимо также упомянуть, что если поле зрения ЛгЛ2 системы велико, то аберрации оптики и соответственно аппаратная функция могут изменяться по полю.
В этом случае поле зрения обычно подразделяют на несколько апланатических участков (гл. 6). Информация, содержащаяся в каждом участке, рассматривается отдельно и результаты складываются.
Информация о распределении лучистости по длинам волн оптического спектра зависит от способности системы различать излучение по спектральному составу и степени поляризации. Например, емкость канала приемника зависит (как будет показано ниже) только от его чувствительности и спектра его шумов и не зависит от ширины интервала длин волн его работы. Это связано с тем, что отклик приемника при увеличении воспринимаемого лучистого потока на определенную величину на каждой из двух длин волн такой же, как и при двукратном увеличении потока на одной длине волны. Однако такие приборы, как дифракционные спектрометры-с несколькими приемниками или с устройством, предусматривающим перемещение приемников или фотопластинок в положения, соответствующие нескольким длинам волн, способны различать излучение по длинам волн. Для таких систем необходима градуировка по длинам волн для определения содержания информации приёмника. На определенных этапах эта градуировка зависит от механизма разрешения по длинам волн и в общем плане их охарактеризовать трудно.
550
13.12. Емкость непрерывного канала
В § 13.8 емкость дискретного канала была определена, как максимальная скорость передачи информации по каналу. Скорость должна быть максимизирована по всем возможным распределениям вероятности последовательностей источника. В § 13.10 и 13.11 было показано, что непрерывные на первый взгляд источники могут быть представлены, как дискретные, без потери информации. В этом параграфе рассмотренные ранее результаты будут объединены, чтобы получить формулы для емкости некоторых каналов применительно к разработке инфракрасных систем.
Напомним, что скорость передачи по дискретному каналу
R(X, Y)=H(Y) — H(Y\X). (13.46)
(Эта форма из трех возможных наиболее подходящая для наших задач.)
Если шум канала [благодаря наличию которого функция плотности условной вероятности р(у\х) отлична от р(у) = р(х)] не зависит от сигнала и складывается с ним, т. е.
у—х+п,
то р(х,п)=р(х) р(п),
р(У1\Х1)=р(п1=у1 — х1). (13.47)
Иначе говоря, вероятность наблюдения на выходе определенного уг в результате поступления на вход определенного xt есть вероятность того, что шум и обусловливает как раз такое различие.
Гауссов сигнал, складывающийся с независимым гауссовым шумом. Член H(Y\X) в уравнении (13.34) описывает потерю информации из-за шума. В § 13.10 было показано, что для данной дисперсии (средней мощности) непрерывная функция плотности вероятности с наибольшей энтропией является гауссовой. Таким образом, наихудший вид шума для данной мощности — гауссов шум. В гл. 10 было также показано, что по причинам, описываемым центральной предельной теоремой статистики, гауссов шум является весьма распространённым типом шума. Электронный шум в приемниках, сопротивлениях, лампах и полупроводниковых устройствах большей частью представляет собой шум именно такого типа. Следовательно, очень важно рассмотреть свойства канала, характеризующегося гауссовыми шумами.
Для максимизации скорости передачи при данной H(Y | X) необходимо максимизировать H(Y). Если мощность сигнала (х2) имеет фиксированную величину, как это обычно бывает в активных системах, то дисперсия у также будет фиксированной. Для аддитивных независимых сигнала и шума
(У2) = <х2) + (п2). (13.48)
551
Таким образом, оптимальной функцией плотности вероятности для у будет гауссова функция. Это будет в том случае, если функция плотности вероятности сигнала р(х) гауссова, так как линейная комбинация гауссовых случайных функций также гауссова.
Если ширина полосы пропускания канала равна F, то форма сигнала может быть представлена рядом мгновенных значений, взятых через 1/F сек, и если функция плотности вероятности этих значений гауссова и спектр плотности мощности ансамбля постоянен по полосе, то мгновенные значения будут независимы. Энтропия последовательности мгновенных значений будет в этом случае равна сумме их одинаковых энтропий. Используя это обстоятельство и соотношения (13.41) и (13.34), можно найти максимальную скорость как
С=7?макс (X, У)=Еlog2(/2л (у2; е — log2 /2л (п2) е).
Производя подстановку из (13.48) и выражая разность логарифмов, как логарифм отношения, значение емкости можно записать так:
C = Flog2(----------1 =Flog2H + ^\- (13.49)
Эта формула представляет собой известную формулу Шеннона для емкости канала. Важно отметить, что эту формулу можно применять тогда, когда и шум и сигнал гауссовы и когда среднеквадратичное значение сигнала фиксировано. Если отношение сигнала к шуму <х2> /(п2) является функцией частоты или времени, то емкость канала следует вычислять как интеграл, например
ОО
С = Jlog2 [1 (13.50)
о
Сигнал, ограниченный по пиковому значению. В пассивных инфракрасных системах сигнал обычно ограничен не по мощности, а по пиковому значению. Нагретый источник, расположенный на определенном расстоянии, создает в плоскости входного зрачка системы определенную облученность. На выходе приемника получается напряжение или ток, пропорциональные облученности (гл. 5). Амплитуда сигнала изменяется в результате сканирования или модуляции растром (гл. 14), но максимум того, что можно получить, определяется всем падающим потоком, и сигнал не может превысить эту величину.
В § 13.10 было показано, что равномерное распределение имеет максимум энтропии для всех ограниченных по пиковому значению распределений. Отсюда не следует, что энтропия суммы равномерно распределенных ограниченных по пиковому значению случайных функций и гауссовой случайной функции будет максимальной в числе всех сумм, ограниченных по пиковой величине и гауссовых случайных функций.
552
На рис. 13.8 показаны плотности вероятности для сумм равномерных распределений, представляющих сигнал, и гауссовых распределений, представляющих шум. Кривые даны для симметричных равномерных распределений в различных интервалах (—s0, s0) таких, какие, например, могут быть получены от блоков, содер-
Рис. 13.8. Функция плотности вероятности суммы и равномерно распределенной в пределах (s0, — s0) случайной функции и гауссовой случайной функции (0, о).
жащих несколько приемников с положительным смещением и несколько — с отрицательным (гл. 14). Шум имеет нулевой средний уровень и среднеквадратичное отклонение о.
На рис. 13.9 показаны аналогичные кривые для функций плотности вероятности сигналов с бинарным распределением, т. е.
Рис. 13.9. Функция плотности вероятности суммы бинарно распределенной случайной функции (± s0) и гауссовой случайной функции (0, а).
единственными в равной мере вероятными значениями ± s0, соответствующими положительному и отрицательному смещению. В обеих кривых сумма у нормализована делением на среднеквадратичную величину шума.
На рис. 13.10 показаны графики емкости канала и скорости передачи для этих случаев. Самая верхняя кривая соответствует емкости для случая, когда сигнал характеризуется гауссовым распределением со среднеквадратичными флюктуациями So/З. -Нижние
553
кривые даютскорость для равномерного распределения и двух случаев бинарного распределения соответственно. Кривая А дает скорость для бинарного (двоичного) кодирования при ± s0. Этот случай соот
ветствует растру с непрозрачными или прозрачными сегментами в фокальной плоскости приемной системы. Кривая В соответствует двоич-
Рис. 13.10. Емкость канала
для гауссового, равномерного и бинарного распределения сигнала:
/ — емкость в случае гауссового распределения сигнала (о, s0// 3) (т. е. то же среднеквадратичное отклонение, что и при равномерном распределении); 2 — емкость, если сигнал ограничен по максимуму до ± s0 и равномерно распределен;
3 — емкость, если сигнал равновероятен при ± s0 (бинарное распределение) .
ному кодированию при ± sQ/y3, дающему такое же среднеквадратичное отклонение, что и случай равномерного распределения. Из графиков видно, что если возможно гауссово кодирование, то оно дает наибольшую скорость при всех значениях отношения сигнала к шуму. Двоичное кодирование с равными максимумами выгоднее, чем равномерное распределение при малых значениях отношения сигнала к шуму, однако когда сигналы становятся достаточно большими, так что плотности суммы сигнала и шума для двух уровней практически не перекрываются, скорость приближается к максимуму F двоичных знаков в секунду. Равномерное распределение догоняет двугорбое двоичное распре
деление, когда отношение максимального значения сигнала к среднеквадратичному значению шума достигает примерно 3 и потом продолжает возрастать при использовании уровней с большим разрешением.
Скорость двоичного кодирования с равными дисперсиями примерно такая же, как и для равномерного кодирования при малых значениях отноше
ния сигнала к шуму, но когда отношение сигнала к шуму превышает примерно 5,5, скорость стремится к тому же пределу, что и
в случае двоичного кодирования с равными пиками.
Все четыре скорости характеризуются при высоких отношениях сигнала к шуму более медленным ростом, чем при низких. Одним из путей использования преимущества высокого отношения сигнала к шуму в достаточно гибких системах является увеличение скорости сканирования и ширины полосы, когда это отношение достигает 4 : 1 или 6:1.
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
В изложенной части этой главы был дан краткий обзор основ теории информации применительно к прикладным задачам анализа 554
инфракрасных систем. В последующих трех параграфах будет показано на некоторых примерах, как с помощью этой теории можно по-новому подойти к решению трех различных задач анализа систем.
13.13. Емкость канала инфракрасного приемника
Одним из интересных критериев оценки сравнительных достоинств нескольких приемников, работающих в одном и том же спектральном интервале, но обладающих различными характеристиками, является их относительная способность переводить информацию, принятую как изменения лучистого потока, на язык другого кода, обычно — в изменения электрического напряжения или тока. В этом случае можно предложить в качестве критерия качества приемников скорость передачи информации на 1 вт среднеквадратичной мощности. Последующее рассмотрение основывается на работах Петритца [24] и Джонса [25].
Допустим, что в результате некоторого стохастического процесса генерируются сообщения, закодированные в виде изменений лучистого потока Р(/), падающего на приемник. Предполагается, что изменения потока приведены к нулевому среднеквадратичному уровню Q и обладают спектром Винера W0(f)*K Сообщения могут содержать сведения просто о пространственном распределении лучистости, полученные в результате сканирования приемником определенной картины, или включать данные и о спектральном составе потока излучения в случае использования призменных спектрометров, интерферометров и т. п. Сам же приемник воспринимает изменения лучистого потока и дает на выходе соответствующие изменения напряжения, к которым прибавляются флюктуации напряжения, вызванные шумом.
Рассмотрим теперь в соответствии со схемой рис. 13.7 информационный канал, входной алфавит которого состоит из последовательностей мгновенных значений лучистого потока, а выходной — из последовательностей мгновенных значений напряжения. Номинально каждый член в последовательности напряжений пропорционален соответствующему члену в последовательности мгновенных значений потока. Каждой последовательности значений потока на входе соответствует последовательность значений напряжения на выходе. Однако к этой последовательности прибавляются последовательности, вызванные шумами приемника. Поэтому полный выходной алфавит может быть больше, чем входной алфавит и в любом случае будет существовать некоторая функция плотности условной вероятности, определяющая вероятность того, что входная последова
*) В этом случае спектр Винера представляет собой одномерное преобразование Фурье автокорреляционной функции процесса Р(/),
и70(/)=“/?(т)е-/2^ dz (13.51)
О
(см. гл. 12).
555
тельность будет преобразована в определенную последовательность на выходе.
Для определения размера выходного алфавита и емкости канала приемник характеризуется величиной его чувствительности /?(/) (гл. 5), измеряемой в вольтах на ватт при частоте f и спектральной плотностью мощности шума №\(/), измеряемой в среднеквадратичных вольтах на единицу полосы пропускания при частоте /. Говоря о нормированной пороговой чувствительности приемника D* (см гл. 5), обычно принято объединять все эти факторы:
W) P*(f) /И59)
Предполагая, что меняющийся поток на входе имеет постоянный среднеквадратичный уровень Q2:
т
о
(13.53)
и что изменения потока могут быть закодированы как последовательности независимых и в совокупности гауссовых случайных функций, можно, подставляя из (13.49) значение отношения сигнала к шуму, получить следующее выражение для емкости канала:
00
С = Jlog2[l + 7?2 (13.54)
О
Полагая, что площадь равна 1 с;и2 получаем
00
C = Jlog2[l+Z)*2(/)r0(f)]d/.
О
Петритц ввел новую величину /0, которую он называет коэффициентом информационной эффективности приемника. Эта величина /0 = С/Q измеряется в двоичных единицах информации на ватт среднеквадратичной мощности излучения на 1 см2 площади приемника:
Максимальное значение коэффициента информационной эффективности при условии Q2=const можно найти, максимизируя интеграл
оо
[ {log2 [ 1-\-D*2 (f) (/)] - № Wo (/)} df,
о
556
содержащий неопределенный множитель №. Дифференцирование подынтегрального выражения по №0 (/) приводит к форме спектра Винера:
^о(/) = ^2 £)*2 ф (13.56)
и после подстановки в (13.55) максимальный коэффициент информационной эффективности можно найти как
if[K-2-D*-2(/)]^)1/2*
(13.57)
Интегралы в уравнении (13.57) нужно брать в интервале частот, для которых чтобы в соответствии с (13.56) значения
W0(f) были только положительными, поскольку WQ(f) является заведомо неотрицательной величиной.
Постоянная нормированная пороговая чувствительность. В частности, когда D* (/) постоянна во всей представляющей интерес полосе частот, то
Q = (/<-2 — £>*-2)1/2/71/2,
Г)*2
= Q2J.2 (13.58)
F
, F . /, . Q2D*2\
log2p )•
Внимательное рассмотрение соотношений (13.58) показывает, что, как уже упоминалось в § 13.12, по мере увеличения отношения сигнала к шуму в области высоких значений этого отношения возрастание емкости канала становится все более и более медленным, потому что шумовые дорожки на различных уровнях сигнала перекрываются все в меньшей степени. В уравнении (13.58) емкость канала отнесена к среднеквадратичной мощности флюктуаций. Поэтому эта величина при постоянном F и изменяющемся Q проходит через максимум. Максимум наблюдается при отношении среднеквадратичных величин сигнала и шума, равном QD*/\/F= 2:
Io макс -•* -О* Р ^~2" l°g2
или удельный (на единицу полосы пропускания) коэффициент информационной эффективности
/; = (41о^5)£)* = 1>16£>*- <13-59)
Уравнение (13.59) показывает, что приемник единичной площади, работающий в единичной полосе пропускания в области,
557
где его нормированная пороговая чувствительность постоянна, имеет максимальную информационную емкость, приблизительно равную его нормированной пороговой чувствительности.
Джонс рассматривает два других случая, которые встречаются на практике.
Белый шум и чувствительность приемника характеризуются одной постоянной времени. В реальных условиях работы некоторых приемников спектральная плотность мощности шумов постоянна:
^(0 = ^
и чувствительность приемника описывается одной постоянной времени т
К1 + (2к/т)2 ’
В этом случае квадрат нормированной пороговой чувствительности принимает вид
где
л*2 (f\ — (°)
47 1 + (2к/т)2 ’
Тогда, подставляя Z)*2 в уравнение (13.57) и умножая числитель и знаменатель на 2лт, получаем
I D*2 (0) 1
?2 \К2 11 + (2тф)2]]
И + (2кт
* D*2 (0)
I =
1/2 ’
где интегралы следует брать в пределах от нуля до
2л/т —
1.
В результате
— (Г£>*2(0)
У 6 log2 (0) (I —^-'-1
2тст
' 1/2 Г£)*2(0)
— arctg --------
D*2 (0) №
НЗ/4
1
11/2
№ “1
. (13.60)
Численный анализ показывает, что выражение (13.60) дости гает максимума при
Д*2(0)
' 12,6
558
Используя (13.56), можно убедиться, что изменения лучистого потока на входе можно закодировать так, что они будут иметь спектр Винера
иМ/) = 11,6DT/(y)2 > (13.61)
и в этом случае достигается максимальное значение I*
I* = M9g*(°) • (13.62)
Шум обратно пропорционален частоте и чувствительность приемника характеризуется одной постоянной времени. Шум некоторых приемников при работе на низких частотах приблизительно обратно пропорционален частоте (гл. 5)
• ^1(/) = ^.
Для приемника, характеризующегося таким спектром шума и одной постоянной времени,
£)*2 /А __ (Q)f и V,- 1 + (2к/т)2
и анализ, аналогичный проведенному выше, показывает, что в этом случае К следует выбирать весьма малым и что максимум коэффициента информационной эффективности будет равен
I* = 2,02В* (°) . (13.63)
Заключение. Коэффициент информационной эффективности приемника, определенный как отношение его емкости (при рассмотрении приемника, как канала информации) к среднеквадратичному значению переменной составляющей падающего на приемник потока, пропорционален нормированной пороговой чувствительности приемника в трех частных случаях. Для приемника с единичной площадью:
Г = 1,167)*, когда D* = const,
1 19D* (0)
Г = ——_2 - , когда шум белый и приемник имеет одну по-]/2кт СТ0ЯННуЮ времени,
2 02£)*(0)
Г •-= ' ’ когда спектР шума обратно пропорционален
71 v частоте и приемник имеет одну постоянную времени.
13.14. Теория информации и точность работы следящей системы
На рис. 13.11 представлена блок-схема следящей системы с точки зрения теории информации. Источником сообщений является цель, которая перемещаясь в поле зрения, занимает ряд последователь-
559
них положений, изменяя также свою скорость. Источники инфракрасного излучения, расположенные на цели, кодируют эти сообщения в виде последовательности радиационных контрастов, определенным образом изменяющихся во времени и в пространстве. С точки зрения задач следящей системы каждое различимое распределение лучистости в пространстве, подобное изображенному на рис. 13.11, а, можно рассматривать, как слово, буквы которого определяют элементарные участки поля зрения. Последовательность таких слов во времени и составляет сообщение.
Источник излучения
. Оподление Jатмосферой “ мерцания, искажения
Разрешение оптики, ослабление, искажения
Кодирование Преобразовав в форме P(t) путем сканирования
ние приемником и элект- роннойсхемой
P(t)d V(t)
Пербаяоценка рассогласо- ванияпо координатам
Положение
и скорость цели
Алфавит источника информации: слова как радиационные характеристики цели
Г16 >__
ниже
Функц ич плотности Веро* ^ности для слов
ris
0.0. О 1 О. О
Случайная лучистость Фоно
входной алфавит-лучистость цели-слово
Шумы электронной схемы
Канал
Функция плотности вероятности: вероятность оценки координат хп, x2j дает картину лучистости с порядковым номером к
вторая оценка рассогласо-
вания ао координатам^
Выходной алфавит: оц енка рассогласово -ния по двум координатам
Рис. 13.11. Схема следящей системы с точки зрения теории информации.
Атмосфера ослабляет излучение, идущее от цели к системе, креме того за счет мерцаний и рефракции могут возникнуть дополнительная модуляция излучения от цели и исказиться сведения о положении цели.Радиационный фон дает случайную добавку к каждой букве, так что значение ее становится уже не столь ясным в совокупности с остальными. Это одна из форм шума.
Оптика следящей системы дает изображение цели и фона, характеризующееся конечным разрешением, «отфильтровыванием» некоторых деталей, ослаблением величин всех букв, а зачастую и некоторыми искажениями.
Разработчик, следящей системы должен предусмотреть систему сканирования или модуляции для преобразования каждого слова источника информации в различные последовательности изменения во времени лучистого потока, падающего на приемник. Приемник и электронная схема преобразуют эти последовательности изменения потока в последовательности напряжения, причем для каждого слова, характеризующего различимое положение цели, получается определенная последовательность напряжений. Различия между словами, характеризующими различные положения цели, до 560
некоторой степени сглаживаются за счет наложения при перевода слов от фона. Эта неопределенность усугубляется шумами приемнике и электронной схемы.
Обычно одна следящая система не в состоянии измерить расстояние до цели и положение цели определяется только двумя координатами. Двумерным является и выходной сигнал рассогласования. Угол рассогласования между осью оптической системы и направлением на цель, получающийся в результате расшифровки информации о положении цели, закодированной в результате сканирования или модуляции растром, выражается двумя координатами в декартовой или полярной системе координат.
В зависимости от формы и характера движения модулятора может использоваться частотная модуляция; отклонение частоты при этом определяет радиус, а фаза — угол в полярных координатах. Для определения горизонтальной и вертикальной координаты (в декартовой системе координат) может использоваться коэффициент скважности импульсов и большое число других способов кодирования (гл. 14).
Рассмотрим конструкцию следящей системы, в которой используется амплитудная модуляция.
Следящая система с амплитудной модуляцией. Схема амплитудной модуляции показана на рис. 13.12. Растр, представляющий собой непрозрачный диск с секторным прозрачным вырезом угловым размером Р, вращается позади изображения поля зрения, которое
Непрозрачная часть растра
Растр
Изображение цели
ГР Координаты
О 'Hanpat 'ление
Я
/ Оценка 'рассогласований
цели Цель на оси
рассогласование
Рис. 13.12. Простая следящая система с растром, осуществляющим амплитудную модуляцию и соответствующие формы сигналов.
дает линза объектива. Изображение цели получается в форме освещенного диска, часто изображение специально расфокусировано так, чтобы получить определенный размер этого диска. Если изображение цели находится в центре поля зрения, то при любом положении растра через него проходит р/2л часть потока от цели и поток, попадающий на приемник, оказывается немодулированным.
Если изображение цели несколько смещено относительно центра растра, то появится переменная составляющая потока от цели на приемнике, амплитуда которой пропорциональна радиальному рас-
19 Зак. 1502 561
согласованию, а величина углового рассогласования определяется фазой модулированного сигнала.
Если изображение цели смещается так далеко, что даже краем не попадает в центр растра, на приемник периодически поступают отдельные закругленные импульсы. Момент наблюдения импульсов определяет угловое положение цели. После того, как ширина выреза растра становится больше изображения цели, единственной информацией о радиальном положении цели является то, что радиус превышает определенную величину.
Это, как мы увидим ниже, не очень удачная конструкция следящей системы, однако на ее примере удобно рассмотреть общие принципы анализа таких систем.
Рассматривая характеристики этой следящей системы, заметим прежде всего, что если скорость вращения растра и ширина полосы электронного тракта постоянны, то измерения рассогласования по< радиусу и по углу взаимно независимы при работе системы (правда, они связаны из-за наличия шумов системы). Примем, что истинные значения рассогласований взаимно независимы и к тому же вероятность нахождения цели внутри участка бу близ определенного диаметра у внутри поля зрения не зависит от у и функция распределения плотности вероятности нахождения цели на диаметре является гауссовой
= (13.64}
P(p)dP= vv=exP( —(13.65} р(р, y)dpdy=p(p)p(y)d?dy. (13.66)
Благодаря независимости величин рассогласования по двум координатам информация о них обладает свойством аддитивности и их можно рассматривать раздельно.
Скорость передачи информации по каналу уменьшается неизвестным заранее образом за счет шумов, вносимых приемниками и электронной схемой, за счет случайных колебаний лучистости фона, ослабления, мерцания и искажений сигнала, вносимых атмосферой и за счет некоторых несовершенств системы, связанных с аберрациями оптики или вибрацией при сканировании. Вполне оправдано предположение, что шум электронной схемы является аддитивным гауссовым шумом (гл. 10). Шумы фона, по-видимому, также можно считать аддитивными, однако они могут иметь более сложную функцию плотности (гл. 12). Влияние атмосферы вносит свой вклад более сложным способом и функции плотности вероятности этой компоненты являются совершенно неопределенными (гл. 3). Здесь мы примем, что преобладающим является влияние аддитивных гауссовых шумов со среднеквадратичной величиной и.
Радиальное рассогласование. Начнем с рассмотрения передачи информации о радиальном рассогласовании. Если цель находится 562
на краю поля зрения системы, так что она наблюдается при одном положении растра, то на выходе усилителя появится пик напряжения, определяемый произведением силы излучения инфракрасного источника цели на коэффициент пропускания атмосферы и оптики, чувствительность приемника и коэффициент усиления усилителя, деленным на квадрат расстояния (гл. 14). Пусть этот пик напряжения равен у0. Если расфокусировка такова, что диаметр изображения цели равен ширине щели растра на расстоянии р0 от центра, то при меньших радиусах пиковое напряжение хорошо аппроксимируется формулой
р
Ро
Тогда функция плотности вероятности в области v, меньших v0, будет из (13.65)
1 / 7)2 \
p(v)dv = ~7==• ехр ( — 272-) dv | v | < о0 > (13.67)
у 2rcs \ J
где
s = ^. (13.68)
Ро
Допустим, что s < vo (т. е. цель очень редко выходит за пределы поля зрения). Если импульс сигнала в первом приближении считать прямоугольным, так что напряжение сигнала равно или v0, или нулю, то, определяя у как сумму сигнала и шума, можно считать, что при наличии сигнала у будет иметь примерно гауссово распределение с дисперсией s2 + (и2).
Следующий подлежащий рассмотрению фактор — периодичность появления цели, которая зависит от ее скорости. Если цель присутствует в поле зрения и все время находится на расстоянии ро от центра, то излучение от цели будет проходить через растр один раз за каждый оборот в течение времени
- + ₽ . д^-Ч^74
где Т — период вращения растра.
Положим теперь, что цель в момент t имеет скорость т(/) р рад!сек в направлении (р, ф от оптической оси следящей системы (рис. 13.13). Тогда окружная скорость
m (t) cos ср sin d r
mc= ——------------ [рад/сек] (13.69)
P
и радиальная скорость
= от(/)со^со^ [рад/сек]. (13.70)
p
*a — размер изображения цели (см. рис. 13.12).
19*
563
т
2к ’
Из-за наличия окружной скорости время, в течение которого излучение от цели проходит через растр, уменьшается, так что
А/
j m (/) dt о
Д/ = - + р — cos?sin р Р
Если Д/ мало и т(/) примерно постоянна в течение этого промежутка времени, то можно найти периодичность из соотношения
- о— Т + Рр • I • (13-71)
Т 2~р 4- Tm cos sin ф 4 7
Мы видели также по ходу дела, что если радиальная скорость, определяемая уравнением (13.70), такова, что m^t примерно сравнима с а/p, то определяемое системой положение цели в радиальном направлении будет средним положением.
Следящая система
Рис. 13.13. Геометрическая схема слежения.
Напомним, что для рассматриваемой схемы действия системы статистику сигналов и шумов можно с известным приближением считать гауссовой. Среднеквадратичное значение сигнала остается постоянным в течение времени, которое сравнимо с продолжительностью отдельного маневра цели, и сигнал и шум взаимно независимы. Используя соотношение (13.50), можно определить емкость канала для информации о положении цели на диаметре поля зрения в случае наличия сигнала, как
оо
fc2 *1 l°g2 [ 1 + <n2(f)> J G
и если спектр шума примерно постоянен в полосе частот Д/, перекрывающей соответствующую область чувствительности, то
(S 2 \
1 ~г двоичных знаков!сек,
s определяется уравнением (13.68). Однако сигнал появляется только с некоторой периодичностью, определяемой соотношением 564
(13.71). Максимальная информация, которая может быть в среднем передана за N оборотов растра, будет равна
I==NAt Af log2 ( 1 + -~z I двоичных знаков,
и, следовательно, максимальная скорость передачи информации, усредненная за время NT, при условии постоянства скорости цели будет
С(р, NT) = + , log2(1 + -2V (13.72)
7 2тср + Tm cos у sin Ф n2j ' 7
Условие постоянства скорости цели может быть соблюдено, если выбрать величину NT, как минимальное время, в течение которого цель может совершить маневр, заметный при наблюдении поданной линии зрения (гл. 9).
Информация, полученная со средней скоростью, определяемой соотношением (13.72), будет использоваться в двух последних блоках схемы, представленной на рис. 13.11, для уточнения оценки положения цели, т. е. следящая система будет использовать информацию о нескольких последних последовательных положениях цели для определения ее скорости и выдачи команд для перемещения собственной оси системы в направлении ожидаемого нового положения в соответствии с плотностью вероятности Pi(r). Последующая информация будет подтверждать или уточнять эту оценку (и будет использоваться в дальнейшем), давая новое значение рг(г). Информация, используемая в процессе такого регулирования, равна
н = — J [р2 (г) log2 р2 (г) — р! (г) log2 Pi (г)] dr (13.73)
—оо
и, конечно, информация, используемая в (13.73), должна быть в среднем меньше или равна максимальной средней скорости приобретения информации, определяемой уравнением (13.72):
оо
— J [р2 (г) log2 р2 (г) — Pi (г) 1 og2 Pi (r)]dr <
(а 4- Pp) Af . /. (13.74)
''' 2пр + Г/п cos sin ф ‘ n2 у ' \ • 1
Например, если неопределенность в оценке (р2 (г) и Pi (г) носит гауссов характер со средними значениями (гх) и (г2) и дисперсиями (г|) и (rf), то из (13.41) и (13.74) следует:
, (« + ₽р)Д( h I
1°§2 у ^f2^27tp-|-7’mcos<psin4 °^2 V + «2 )
ИЛИ
(г1) . S2 \(“+Зр)ДЛ>'Р-|-(Тт/?) cos 'f sin ф]->
ttiWM <13-75>
565
Как указывалось в § 13.13, отношение сигнала к шуму s2/n2 обычно обратно пропорционально ширине полосы пропускания, оптимальный выбор полосы пропускания должен обеспечить величину отношения сигнала к шуму порядка 2, что при прочих равных условиях даст наилучшую оценку положения цели.
Если с другой стороны предварительная оценка положения цели отсутствует и можно сказать лишь, что цель находится в поле зрения, то р1(г) = 2-го- Если конечная оценка имеет гауссово распределение вероятности, то с учетом уравнений (13.41), (13.42) и (13.74).
г0 1/^ё/ S2 \[(«+3p) М Up+ (Тт/2) cos ? sin
(7|) Т к п2 / * (13.76)
Используя (13.75) и (13.76), можно оценить правильность предварительного определения t\. Предположим, что ошибка предварительной оценки имеет гауссов характер со среднеквадратичным отклонением, составляющим одну треть от радиуса поля зрения. Подстановка показывает, что при одинаково эффективном использовании полученной информации в обоих случаях среднеквадратичное отклонение от истинного значения гъ составит при наличии предварительной оценки примерно половину среднеквадратичного отклонения, получающегося при отсутствии предварительной оценки.
Отношение сигнала к шуму входит в оба уравнения и можно видеть, что уменьшение среднеквадратичной ошибки благодаря получению информации, как и следует ожидать, примерно пропорционально отношению напряжения сигнала к напряжению шума в области больших значений этого отношения (возрастающего по степенной зависимости от скорости в направлении линии зрения).
Экспоненциальный член в (13.76) учитывает влияние расфокусировки, скорости перемещения цели и, частично, ширины полосы. Можно видеть, что увеличение любым способом времени воздействия излучения цели на приемник увеличивает экспоненциальный член и улучшает тем самым характеристики системы. Конечно этот член имеет смысл лишь в том диапазоне параметров, в котором работает следящая система. Например, такие значения т, как
mcoscpsinip =-----у ,
делают этот член бесконечным, что, по-видимому, хорошо. В действительности это условие соответствует непрерывному вращению растра в случае точной локации цели в щели растра, изображение цели при этом вращается вокруг оси следящей системы. Для этого требуется специальная конструкция. В случае простой системы, рассматриваемой здесь, не будет наблюдаться никакой модуляции.
Принципиальным недостатком рассматриваемой конструкции является малое время воздействия излучения цели на приемник. Усовершенствование возможно за счет увеличения площади участков растра, пропускающих сигнал.
566
Информация об угловом положении цели. Скорость передачи информации о рассогласовании по углу проанализировать в принципе несложно. Взяв сначала выражение для плотности вероятности сигнала:
p(v)dv = ^, (13.64)
запишем соответствующее кодирование сигнала в виде
v(t) = у(р)/^ + -2
заметив при этом, что при постоянной скорости вращения t пропорционально у:
= т + 7о
Т к ’
Таким образом, функция плотности вероятности сигнала с фазой t равна
P(t)dt=^ (13.77)
Влияние шума на фазу довольно сложно. Сигнал и шум складываются как векторы. Фаза результирующей для какого-либо данного случая зависит как от отношения напряжений сигнала и шума, так и от фазы шума относительно фазы сигнала. Мы рассмотрим упрощенный случай, когда фаза результирующей определяется как сумма фаз сигнала и шума. Фазы шума предполагаются равномерно распределенными:
(13.78)
так что наблюдаемая фаза ф равна ф — £ + А Тогда соответствующие плотности вероятности при передаче равны
Р (ф 10 dtp = (ф — о dtp = Y
t—7<Ф<^+7
и, производя свертку (13.77) с (13.78), получаем
р (фМф = (г)21 т~ф|с?ф 0<:1ф1<:7’-
Скорость передачи информации на букву равна с учетом (13.34)
R'(t, ф) = Я(ф) — Я(ф|0-
Используя уравнение (13.42) для второго члена и (13.38) — для первого, получаем
R' (t> Ф) = — log2|- + log2 е + log2 = log2 е.
567
Если система имеет ширину полосы пропускания А/, то окружная скорость равна
7?"(/, <p)=Aftog2e. (13.79)
Эта скорость не равна емкости канала, так как она не максимизирована по всем возможным функциям плотности вероятности источника.
Как и в случае передачи информации о радиальном положении цели, уравнение (13.79) следует существенным образом скорректировать, если цель имеет заметную скорость, введя коэффициент, учитывающий периодичность;
R(t, <р) = log2e. (13.80)
Подробно эти расчеты рассматривать не будем
13.15. Спектральная информация
В качестве третьего примера использования теории информации рассмотрим кодирование информации о спектральных характеристиках работы системы. В принципе это задача кодирования в частотах и максимальная емкость канала лимитируется временем наблюдения и возможной шириной полосы, определяемыми диапазоном спектральной чувствительности приемника, областью длин волн, в которой пропускает излучение оптика, пропусканием атмосферы и спектральными характеристиками излучения источника. Однако практически информационная емкость меньше своего принципиального предела, поскольку к ограничениям, имеющим место для идеального случая, добавляются ограничения, связанные с техническими возможностями создания реальной системы.
Во-первых, используемое излучение обычно некогерентно и в отличие от радиодиапазона генерируется большим количеством осцилляторов с несогласованными фазами (см. гл. 2). Из-за этого мгновенное значение скорости для заданной ширины полосы сокращается вдвое. Например, при использовании разложения Фурье для представления изменений проходящего потока в случае радиоволн нужно 2ВТ координат (§ 13.10), где В—ширина полосы и Т —время, в течение которого посылается сигнал. Половина этого количества представляет собой коэффициенты при синусах и половина — коэффициенты при косинусах. Или, записывая ряд как
^(0 = 2 Сяехр/(^+ф„), (13.81)
п=0 4 7
можно сказать, что половина дает амплитудные коэффициенты Сп и половина—фазовые коэффициенты фя. В случае инфракрасного излучения эти фазовые коэффициенты определить нельзя. Если ис-568
пользуется когерентный источник, например лазер, его информационная скорость может быть поэтому увеличена вдвое по сравнению со скоростью для некогерентного источника.
Далее рассмотрим влияние дискретной природы излучения. В гл. 2 указывалось, что дискретная природа электромагнитного излучения описывается формулой Планка:
E^hv (13.82)
и соотношением неопределенностей
Д/Д£>^, (13.83)
где Е — энергия фотона;
v — частота;
h — постоянная Планка.
Мы не будем детально обсуждать следующие из этих формул выводы для теории информации, потому что, хотя они и представляют интерес сами по себе, при разработке систем они обычно не играют существенной роли. Ограничения, вытекающие из этих формул, были подробно проанализированы Габором [26], [27], Бриллэном [17] и Стерном [28]. Влияние принципа неопределенности (13.38) фактически исключается соответствующим выбором интервала между последовательными мгновенными значениями, которые берутся для представления формы волны. Влияние соотношения Планка проявляется в том, что оно определяет верхнюю границу числа различимых энергетических уровней Еп = Сп/2, которые могут использоваться, если излучение фиксированной длины волны наблюдается в течение очень длительного времени. Габор сомневается, что этот предел удастся когда-либо достигнуть.
Стерн показал, что максимальная энтропия для фотонного канала с постоянной средней мощностью носит экспоненциальный характер, и применил распределение Пуассона как аппроксимацию экспоненциального распределения. (Нужно отметить, что квантовая теория информации не настолько элементарна, чтобы просто считать, что количество информации равно одному двоичному знаку на фотон, потому что, например, кодирование может производиться для времени прилета фотонов.)
При разработке систем порядки величин обычно таковы, что квантовые эффекты не играют роли. Рассмотрим, например, типичную поисковую систему, работающую от источника с температурой 2000° К и площадью 10 м2 на расстоянии 106 м. Предположим, что время воздействия излучения цели на приемник равно 1 мсек и площадь входного зрачка системы 0,1 м2. Источник при этих условиях будет излучать около 1021 • 105 фотон/сек, а облученность в пло-102« , скости входного зрачка приемника составит примерно Ф°~ тон/м~2.сект1. За постоянную времени системы на приемник попадет 1014 • 10"1 • 10“3 = 1010 фотонов.
19В Зак. 1502
569
В качестве другого примера рассмотрим спектрорадиометр, который может наблюдать источник в течение 1 мксек (очень высокая скорость). Принцип неопределенности дает следующий предел разрешения:
Л8
2тссД/
(13.84)
Если средняя длина волны находится в ближней инфракрасной области в районе 1 мк, то это предельное разрешение составит 5-10“~10 мк. Однако предельная разрешающая сила реальных приборов практически ограничивается шириной цели, дисперсией призмы и т. д. и будет намного хуже, чем этот принципиальный предел — обычно порядка 0,1—0,01 мк.
Рассмотрим интерферометр и спектрометр, измеряющие спектральную силу излучения источника. Спектрометр разлагает излучение источника в спектр по пространственной координате и затем по этому спектру проходит щель. Излучение в узком интервале частот при каждой регистрации будет давать импульс. Число таких импульсов за один полный период регистрации будет примерно равно длине спектра, деленной на ширину щели при условии, что электронная схема имеет достаточно широкую полосу, так что постоянная времени по порядку величины равна времени прохождения полной ширины щели. Для более точного описания картины необходимо учесть форму щели, коэффициент дисперсии призмы или решетки в функции длины волны и вид электронной схемы. Очевидно, подход к этой проблеме может быть таким же, как и при анализе емкости канала приемника с тем отличием, что показания спектрометра зависят не только от спектральной характеристики источника, но и’от спектральной чувствительности приемника, так что отношение сигнала к шуму является функцией фазы регистрации.
В интерферометре все длины волн наблюдаются все время. Разрешающая сила ДХ/Х—порядка числа длин волн, которые проходит подвижной элемент интерферометра. В этом случае каждый спектральный канал используется в течение всего периода сканирования спектра, а от полосы модуляции используется лишь часть, в то время как в спектрометре каждый канал использует всю полосу, но в течение лишь части периода. Подробно этот случай рассмотрен Феллгеттом [29].
Интересный взгляд на передачу спектральной информации выдвинут Карташевым [30], который предложил использовать оптические системы таким образом, чтобы получить разрешающую силу, превосходящую дифракционный предел за счет добавочных спектральных степеней свободы. Карташев предложил освещать объект излучением, разложенным диспергирующей системой в спектр. Если изображение рассматривается через аналогичную диспергирующую систему, то в каждом цвете детали объекта видны с разрешением, равным или_худшим, чем дифракционный предел разрешения при 570
данной длине волны. Поскольку изображения в разных цветах могут наблюдаться отдельно и могут соответствовать полосам более узким, чем диаметр дифракционного кружка, емкость канала в пространственном измерении увеличивается за счет использования дополнительных степеней свободы от спектрального измерения.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — постоянное значение коэффициента правдоподобия;
А — площадь приемника;
Ai, А2 — входные алфавиты канала передачи информации;
а — предельное значение спектральной плотности мощности;
01, а2 — два неизвестных параметра сигнала;
aib a2i — величины ох и а2 при z-м мгновенном значении;
о/— /-я буква алфавита А;
В — верхний частотный предел формы сигнала;
Bi, В2 — выходные алфавиты канала передачи информации;
b — пороговое число, соответствующее входу квадратичного детектора;
bj — j-я буква алфавита В;
С — комбинированный алфавит пар букв (о,-, bj) на входе и выходе канала передачи информации;
С — емкость канала передачи информации;
Cmi, Ст2 — коэффициенты двумерного разложения Фурье для функции лучистости г (zx, ?2);
с — пороговое напряжение на выходе квадратичного устройства; D*—нормированная пороговая чувствительность приемника;
Е — энергия фотона;
е — основание натуральных логарифмов (е = 2,7183);
F — ширина полосы;
F — фокусное расстояние следящей системы;
f — электрическая частота;
fr—частота повторения радиолокационных импульсов;
f2 — предельная высокая частота, пропускаемая непрерывным каналом;
А/ — частотный интервал между мгновенными значениями в преобразовании Фурье для выходного напряжения v (/);
А/ — ширина полосы следящей системы;
G (f) — передаточная функция фильтра (отношение выходного преобразования напряжения к входному преобразованию);
Нт (А) — среднее количество информации в последовательностях из т букв процесса X;
Н (X)*—энтропия процесса X;
И (X, Y)—энтропия связанного процесса (X, У);
Н (X I У) — неопределенность X при данном У;
h—постоянная Планка;
I (ai) — информация, полученная в результате появления буквы а/, /0 — бесселева функция первого рода с мнимым аргументом; /0 — коэффициент информационной эффективности приемника;
10 — максимальное значение /0;
* Отметим, что в книге, как правило, случайные функции или процессы обозначаются прописными буквами, а величины или мгновенные значения функций — соответствующими строчными буквами. Так функция плотности вероятности для реализаций х процесса X обозначается р(х), однако энтропия, которая описывает процесс в целом и является фактически усреднением по всем реализациям, обозначается Я(Х).
19В—2 Зак. 1502
571
h h k, I — индексы, обозначающие порядковый номер суммируемых членов;
/ — мнимая единица;
К — неопределенный множитель (Лагранжа);
L — коэффициент правдоподобия для сигнала и шума [уравнение (13.3)];
М—максимальная амплитуда синусоидального сигнала;
т — число реализаций, описывающих Y (/) [или X (/), или N (t)];
т — порядковый номер мгновенного значения v (t)\
т (t) — мгновенное значение скорости отслеживаемой цели;
mi, т2 — пространственные частоты;
N— число импульсов, интегрируемых перед тем, как решить, присутствует ли сигнал;
N — число различимых последовательностей сообщений;
N — половина числа мгновенных значений v (/) за период Т;
W — число оборотов растра следящей системы;
N (t)—случайный процесс изменения напряжения шума;
и — большое число;
nj (О — реализация процесса N (/);
<и2>—дисперсия процесса N (t)\
п' — число благоприятных случаев для возникновения ложной тревоги за время тлт;
Р ( ) — вероятность события;
Р (t) —мгновенное значение лучистого потока, попадающего на приемник;
р ( )— плотность вероятности;
р (х | у) — плотность вероятности х при данном у;
pi — вероятность i-й буквы at\
Q—среднеквадратичное значение процесса, описывающего изменение лучистого потока;
Q — отношение средней частоты к ширине полосы;
q—отношение мощности сигнала к мощности шума;
Р—расстояние до цели;
7? (f) — чувствительность приемника;
Р (т) — автокорреляционная функция;
Р (X | У)—скорость передачи информации на символ;
—расстояние, для которого отношение сигнала к шуму равно единице;
г — огибающая функции сигнал плюс шум;
г — радиальное рассогласование между осью следящей системы и целью;
г (/)—характеристика фильтра для одиночного импульса;
г z2)— лучистость в пространстве объектов (zlt z2)\
S — совокупность выходных последовательностей;
(0 — ^*е значение функции, дающей дискретное представление непрерывной величины через равные интервалы во времени (§13.1).
s — нормализованное среднеквадратичное отклонение напряжения s = и0 а/ро;
s0 — полуширина равномерного распределения или величина бинарного распределения;
Т — продолжительность реализации У (/);
Т — вероятность пропуска сигнала;
Т — время кадра инфракрасной поисковой системы;
Т — продолжительность (сообщения, реализации Р (t) и т. д.);
Т — период вращения растра следящей системы;
t — время;
М — продолжительность воздействия излучения целина приемник в следящей системе;
V — совокупность последовательностей на выходе канала связи;
v—напряжение на входе квадратичного прибора;
572
v — квадратный корень из порога на выходе квадратичного при^ бора;
v (/) — напряжение на выходе канала связи;
W (f) — спектральная плотность мощности шума (односторонняя);
W (,) — спектр Винера;
Wi — определенный спектр Винера;
wki — буква с порядковым номером I в wk\
— круговая частота 2к/0 синусоидального сигнала;
wk — k-я последовательность сообщений источника сообщений;
X (/) — случайный процесс, дающий напряжение сигнала;
х — отношение мощности сигнала к мощности шума Л12/2 <п2>;
xi (0 — реализация процесса X (/);
Xjj — величина /-го мгновенного значения х/,
У (/)— случайный процесс, дающий значения сигнала и шума;
Ул (0 — £-я реализация случайной функции У(/);
Zj, Z2 — протяженность пространства объектов zlt z2;
z2 — декартовы координаты в пространстве объектов;
z — напряжение на выходе квадратичного прибора;
zk — расшифрованная последовательность принятых сообщений;
а — коэффициент усиления квадратичного прибора;
а — неопределенный множитель (Лагранжа);
а — угловой диаметр изображения цели в следящей системе;
р — неопределенный множитель (Лагранжа);
р — угол секторного выреза растра следящей системы;
Y'—число возможных обнаружений за время
Y — угловая (полярная) координата цели, по которой работает следящая система;
е — малое число;
yj — число благоприятных случаев для обнаружения сигнала при радиолокации;
0 — угловое рассогласование между осью следящей системы и целью;
К — длина волны;
К — пороговое напряжение (Пейчерс [8], X — 62);
АХ/Х — разрешающая сила интерферометра или спектрометра;
р, — средняя величина в случае гауссового распределения;
у — частота фотона;
тс — отношение длины окружности к диаметру круга (3.142);
р — отношение сигнала к шуму (их среднеквадратичных значений);
р — радиус (полярная координата) цели, по которой работает следящая система;
р0 — максимальное значение р на краю поля зрения;
а — стандартное отклонение;
т — время [вспомогательное обозначение, формула (13.8)];
т — сдвиг фаз в автокорреляционной функции;
т—постоянная времени приемника;
— время обнаружения;
тлт — время ложной тревоги;
т0 — время воздействия излучения источника на приемник;
— направление скорости цели, по которой работает следящая система;
ср — фаза синусоидального сигнала;
срл — фаза коэффициентов Фурье;
ф—направление скорости цели, по которой работает следящая система;
6 — фаза напряжения шума.
Л ИТЕРАТУРА
1. J а у п es Е. Т., Probability theory in science and engineering. Colloq. Lecture Pure Appl. Sci., 4, Socony Mobil Oil Co., February, 1958.
19B—2*
573
2. N ey man J., E. S. P e a r s о n. On the problems of the most efficient test of statistical hypotheses. Phil. Trans. Roy. Soc., London, 1933, v.'231A, p. 289.
3. Peterson W. W., T. G. Birdsall, W. C. Fox. The theory of signal detectability, IRE Trans, 1954, v. PGIT-4, September, p. 171. Петерсон У., БердсоллТ. иФокс У. Теория обнаружения сигналов. В сборнике «Прием импульсных сигналов в присутствии шумов». Госэнергоиздат, 1960.
4. Woo d war d P. M. Probability and information theory with application to radar. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1955. Вудворд Ф. M. Теория вероятностей и теория информации с применениями в радиолокации. Изд-во «Советское радио», 1955.
5. R i с е S. О. Mathematical analysis of random noise, in Nelson Wax (ed.), Noise and stochastic processes, Dover Publications, Inc., New York, 1954.
Райс С. Теория флюктуационных шумов. В сборнике «Теория передачи электрических сигналов при наличии помех». Изд-во иностранной литературы, 1953.
6. Marcum J. I. A statistical theory of target detection by pulsed radar. RAND Research Mem. Math. Appendix RM-753, July 1, 1948.
7. Middleton D., D. Van Meter. Detection and extraction of signals in noise from the point of view of statistical decision theory. J. SIAM, 1955, v. 3, № 2, December; 1956, v. 4, № 2, June.
Миддлтон Д. и Ван Митер Д. Обнаружение и воспроизведение сигналов, принятых на фоне шумов с точки зрения теории статистических решений. В сборнике «Прием импульсных сигналов в присутствии шумов». Госэнергоиздат, 1960.
8. Pachares J. A table of bias levels useful in radar detection problems. IRE Trans, 1958, v. IT-4, № 1, March, p. 38.
9. S we r 1 i n g P. RAND Mem, RM-1217, RAND Corporation, Santa Monica, Calif, March, 1954.
10. G r u b e R. Experiments on theshold crossings by noise, unpublished.
11. В 1 о t e k j a e r K. An experimental investigation of some properties of bandpass limited gaussian noise. IRE Trans, 1958, v. IT-4, № 3, September, p. 100.
12. D u g u n d j i J., E. A c k e r 1 i n d. Automatic bias control for a threshold detector. IRE Trans., 1957, v. IT-3, № 1, March, p. 65,
13. S h e r m a n H. Some optimal Signals for Time Measurement. IRE Trans., 1956, v. IT-2, № 1, March, p. 24.
14. В a r k e r R. H. Group synchronization of binary systems, in «Communication theory». Academic Press Inc., New York, 1953.
15. H a r t 1 e у R. V. L . The transmission of information. Bell System. Tech. J., 1928, v. 7, p. 535.
Хартли P. Передача информации. В сборнике «Теория информации и ее приложения». Физматгиз, 1957.
16. S h а и и о и С. Е. A mathematical theory of communication. Bell System Tech. J. , 1947, v. 27, p. 379, 623.
Шэннон К. Статистическая теория передачи сигналов. В сборнике «Теория передачи электрических сигналов при наличии помех». Изд-во иностранной литературы, 1953.
17. Brillouin L. Science and Information Theory. Academic Press Inc., New York, 1956.
Бриллюэн Л. Наука и теория информации. Физматгиз, 1960.
18. S t u m р е г s F. L. Н. М. A bibliography on information theory. IRE Trans., 1953, v. IT-2, № 3,November; 1955, v. IT-1, № 2, September, p. 31; 1957, v. IT-3, № 2, June, p. 150; 1960, v. IT-6, № 1, March, p. 25.
19. К h i n c h i п A. I. Mathematical foundations of information theory, transl. R. A. Silverman and M. D. Friedman, Dover publications, Inc., New York, 1957.
574
X и н ч и н А. я. Об основных теоремах теории информации. УМН, т. II, вып. 1, 1956.
20. F е i п s t е i п A. Foundations of Information Theory. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1958.
Файнштейн А. Основы теории информации. Изд-во иностранной литературы, 1960.
21. Feinstein A. A new basic theorem of information Theory. IRE Trans., 1954 Symposium, 1954, v. PGIT-4, September.
22. J a g e r m a n D. L., L. J. Fogel. IRE Trans., 1956, v. IT,2, № 4, December.
23. Bond F. E., C. R. Cahn. On sampling the zeros of bandwidth limited signals. IRE Trans, 1958, v. IT-4, №3, September, p. 110.
24. P e t r i t z R. L. Information theory of the performance of radiation detectors. Proc. IRIS, 1957, v. 2, № 1, June, p. 18.
25. J о n e s R. C. Information capacity of radiation detectors. Proc. IRIS, 1957, v. 2, № 2, December, p. 82.
26. G a b о r D. Communication theory and physics. Phil. Mag., 1950, v. 41, №7, p. 1161.
27. G a b о r D. Light and information, in Z. Kopal (ed.), «Astronomical Optics», Proceedings of the University of Manchester Symposium, 1955, Interscience Publishers, Inc., New York, 1956.
28. S t e r n T. E. Some quantum effects in information channels. IRE Trans, 1960, v. IT-6, September, p. 425.
29. F e 1 1 g e t t P. A propos de la theorie de spectrometre interferential multiplex. J. phys. radium, 1958, v. 19, March, p. 187.
30. Kartashev A. I. Optical systems with enhanced resolving Power. Optics and Spectroscopy, 1960, v. 9, № 3, September, p. 394.
Карташов А. И. Оптические системы с повышенной разрешающей способностью. «Оптика и спектроскопия», 1960, т. 9, № 3, стр. 394.
-- =ГЛАВА 14
ИНФРАКРАСНЫЕ СИСТЕМЫ
КЛАССИФИКАЦИЯ
ПОд инфракрасной системой понимается весь комплекс аппаратуры, разработанной для обнаружения и обработки сигнала информации от источников инфракрасной энергии. В этом определении термин источник инфракрасной энергии употребляется в самом широком смысле и речь может идти: 1) о собственно тепловом излучении источника, 2) о случае, когда объект излучает меньше, чем фон, и может быть обнаружен на этом фоне за счет наличия отрицательного контраста в инфракрасной области спектра, 3) об источнике отраженного излучения, например, естественного солнечного или излучения искусственной подсветки, создаваемой инфракрасным маяком, прожектором и т. п. Для достижения конечной цели система обнаружения должна решать такие задачи, как сбор радиометрических данных, установление наличия и положения цели и выдача управляющего сигнала для системы слежения.!_В этом смысле инфракрасная система обнаружения является лишь частью общей следящей системы. Основное назначение собственно инфракрасной системы — обеспечить входные данные для системы в целом, а также и обработать информацию, приведя ее к виду, удобному для принятия решения.
Детальную классификацию инфракрасных систем дать трудно из-за очень большого многообразия возможных конструкций и принципиальных схемных решений построения аппаратуры. Однако определенная классификация все же возможна. В самом широком смысле системы можно подразделить на активные и пассивные. Активные системы требуют искусственной инфракрасной подсветки целей, что сближает их по принципу действия с радиолокационными установками, в то время как пассивные системы действуют как чисто приемные системы и работают от излучения самих целей. Благодаря преимуществам пассивных систем большая группа современных военных инфракрасных приборов относится к аппаратуре именно пассивного типа. Возможна и дальнейшая классификация.
576
14.1. Классификация по назначению
Инфракрасные системы по их назначению могут быть разбиты на следующие категории:
1) радиометры,
2) поисковые системы,
3) следящие системы,
4) системы, дающие изображение,
5) системы связи,
6) дальномеры.
Эта классификация, широко применяемая к полевым приборам, конечно, связана по своей природе с требованиями к аппаратуре, вытекающими из ее назначения. Дальше в этой главе будет показано, что такая классификация оправдана и принципиальными различиями основных соотношений, которые должны использоваться при разработке инфракрасных систем.
1. В класс радиометров включаются все системы обнаружения, разработанные для приема энергии от практически неподвижных объектов с целью ее измерения с учетом спектральных характеристик, например спектрометры.
2. Поисковые системы включают аппаратуру для обнаружения и определения положения неподвижных или медленно перемещающихся в пределах поля зрения целей. Аппаратура может быть самая различная — от элементарного прибора обнаружения, дающего звуковой сигнал, когда обнаруживается нагретый источник, до сложнейшей сканирующей системы мозаичного типа, предназначенной для обнаружения самолетов или снарядов противника и слежения за ними.
3. Назначение следящей системы — точно отслеживать движущуюся цель. Различие между поисковой и следящей системами выражено не резко. Поисковая система часто используется и для слежения в ограниченных пределах, и, наоборот, следящая система .может иногда осуществлять в некоторой ограниченной мере поиск. Однако, исключая случай смешанных поисково-следящих систем, поисковая система имеет обычно определенные конструктивные отличия от системы следящей. Отличия связаны здесь с динамикой цели, достигаемой точностью и формой выходных данных. Следящая система может рассматриваться как специализированный вид поисковой аппаратуры.
4. Системы, дающие изображение, включают разнообразную аппаратуру типа камеры. Термин дающие изображение может до некоторой степени ввести в заблуждение, поскольку большинство инфракрасных систем включают оптическую систему, дающую изображение. Однако основное назначение радиометрических, поисковых или следящих систем не связано с получением картины просматриваемого пространства. Часто на приемник поступает весь поток, приходящий от полного поля зрения независимо от разрешающей силы оптического устройства. Дающая же изображение система
577
предназначена для получения картины «один к одному», так как она видна в инфракрасных лучах на фотопленке или на телевизионном экране в результате механической или электронной развертки.
5. Системы связи предназначены для передачи информации. Это обычно активные системы, работающие в инфракрасных лучах в пределах прямой видимости.
6. Дальномеры представляют собой системы обнаружения, измеряющие расстояние до цели или ее скорость. Дальномерные системы могут быть и активного типа подобно радиолокационной аппаратуре и пассивного типа, использующие, например, оптическую триангуляцию, как в визуальном дальномере.
Смешанные системы соединяют в себе два или больше типов приведенной классификации, например, поисково-следящие устройства, следящие радиометры, поисково-следящие радиометры и т. д. Смешанные системы могут быть комбинацией двух независимых систем, смонтированных на общем основании, или двумя различными системами с одной общей оптикой, или, наконец, представлять собой единую систему, способную работать в двух или более модификациях. Часто такая сложная единая система обладает несколько худшими характеристиками в одной из своих модификаций, чем простая система единого назначения, потому что требования, вытекающие из различного назначения системы, оказываются иногда противоречивыми.
14.2. Классификация по .типу сканирования
Применяется также классификация инфракрасных систем по способу сканирования (рис. 14.1). При этом различают четыре ос
Мозаики
□ □□
□ □□
□ □□ 5
6 7 8 9
Развертки
□ 2
1 2
новных типа сканирующих систем:
1) простая система,
2) развертка,
3) растр,
4) мозаика.
Простой системой называется система, использующая один неподвижный приемник. Например, термопара с гальванометром, используемая для измерения температуры, является
Рис. 14.1. Классификация систем сканирования: /—одиночный чувствительный элемент; 2 — линия; 3 — квадрат; 4 — круг; 5 — прерывистая; 6 — линия; 7 — растр; 8 — спираль; <?—«гусеница»; 10 — «частокол»; //—«спицы»; 12 —«шахматная доска»; 13 — спираль.
578
простой системой. Приведенная выше классификация может быть сведена и к трем типам сканирования, если рассматривать простую систему как предельный частный случай мозаичной системы. Развивая эту классификацию, можно назвать четыре комбинированные системы: развертка — растр, развертка — мозаика, растр — мозаика и развертка — растр — мозаика. Этими названиями описываются метод, которым просматривается поле зрения, и способ кодирования. Ясно, что под разверткой, например, понимается систематическое сканирование поля зрения, которое может осуществляться по схемам, применяемым в радиолокации и телевидении. При использовании системы с растром поле зрения для получения нужной информации расчленяется на определенные участки с помощью кодирующего устройства (растра), расположенного в фокальной плоскости. К мозаике относятся такие системы, как чувствительная к инфракрасному излучению фотопленка, поверхность которой представляет собой зернистую мозаику, или мозаичные системы с конечным числом отдельных чувствительных элементов. В простых мозаичных системах информация получается без сканирующего перемещения.
14.3. Классификация по способу модуляции
Третий вид классификации — по способу модуляции. Эта классификация, так же как и классификация систем по назначению, связана со специфическими для каждого класса соотношениями, характеризующими действие систем. По способу модуляции инфра
красную аппаратуру подразделяют на системы
— с амплитудной модуляцией,
— с угловой модуляцией (фазовой и частотной),
— с импульсной модуляцией.
Угловая модуляция включает как фазовую, так и частотную модуляцию. Импульсная модуляция, в свою очередь, подразделяется на фазово-импульсную,
широтно-импульсную, импуль-
сно-частотную, импульсно-ам- Рис* 14-2* CJ6pHyaKту^енияКарТЗ систем плитудную, импульсно-кодо- ° нару“-
вую [1].
Интересно построить трехмерную морфологическую карту, наглядно иллюстрирующую три упомянутых способа классификации: по назначению, способу сканирования и типу модуляции (рис. 14.2). На рис. 14.2 рассматриваются только простые несмешанные системы. Эта карта, как и вообще сама классификация, оказывается полезной при эскизной проработке приемной системы и позволяет легче
579
оценить преимущества и недостатки отдельных способов модуляции и сканирования. Классификация помогает также охватить возможные схемные решения, не рассматривая их подробно, и оценить наиболее перспективные области будущих применений.
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
Наиболее существенными вопросами, возникающими при оценке инфракрасной системы, являются следующие: что она сможет обнаружить, на какой дальности сможет она обнаружить цель? Ответы на эти вопросы позволят, естественно, оценить характеристики рассматриваемой системы по сравнению с другими и выявить целесообразность ее использования для определенных практических целей. Для постановки этих вопросов и формулировки ответов на них в наиболее строгом виде необходимо четко определить, что понимается под обнаружением и при каких условиях работает система. В дополнение к обычным определениям длин волн, частот и т. д., которые уже встречались при рассмотрении характеристик приемников (гл. 5), необходимо рассмотреть условия работы систем.
В этом параграфе мы установим ряд характеристик, описывающих способность систем обнаруживать цель. Условимся о следующих принципах обозначения величин в этом параграфе: 1) полные или проинтегрированные по всей полосе пропускания величины будем обозначать отдельными буквами. Например, интегральную лучистость или яркость объекта — буквой В (в ваттах на квадратный сантиметр и на стерадиан), интегральную облученность или поверхностную плотность потока — буквой Е (в ваттах на квадратный сантиметр); 2) функции будем обозначать с указанием аргумента, например, спектральный лучистый поток — 1У(Х) (в ваттах на микрон); 3) величину функции в определенной точке будем обозначать буквой с индексом. Например, силу излучения монохроматического источника с длиной волны X — символом А (в ваттах на стерадиан).
14.4. Системы, ограниченные шумами приемника
В системе обнаружения требуется преобразовать информацион-но-модулированное излучение к форме, удобной для использования. Большинство приемников преобразуют падающее на них излучение в электрическое напряжение, пропорциональное лучистому потоку. Коэффициент пропорциональности между приходящим сигналом — спектральным потоком IF(%) и результирующим сигналом — напряжением V(f) называется спектральной чувствительностью приемника R(K, f) [см. уравнение (5.23)]. Так как и поток источника, и чувствительность являются функциями длины волны оптического 580
спектра Л, выходное напряжение определяется интегралом из произведения 1Г(%) на 7?(Z, f):
V(f) = ] R(K,f)W(K)dK, (14.1)
О
где W — интегральный лучистый поток на приемнике в ваттах — зависит от спектрального потока в ваттах на микрон:
W=]w(K)dK. (14.2)
О
Мощность приходящего сигнала (лучистый поток) почти всегда модулирована за счет сканирования или с помощью модулирующего диска или растра определенной конфигурации, поэтому в характеристике чувствительности приемника должна учитываться зависимость ее от частоты. Зависимость R\(f) в общем случае не связана со спектральной зависимостью Rf0 (X), и поэтому эти зависимости можно разделить:
п /е\
= (14.3)
Обработка закодированного (промодулированного) в форме функции времени сигнала производится средствами электроники. Обозначая преобразование Фурье от сигнала W как функции времени через X(f), а преобразование электрических характеристик (например, с помощью полосового фильтра) — через F(f), получим результирующую форму сигнала на выходе, применяя интеграл Фурье, приведенный в уравнении (11.35) (если обеспечивается линейность процесса):
где
ОО
О
(14.4)
(14.5)
Можно считать, что функция y(t) описывает форму результирующего сигнала на выходе, получающуюся в результате преобразования сигнала на входе за счет определенных характеристик фильтра и чувствительности приемника.
s Во многих случаях желательно выражать напряжение сигнала или в среднеквадратичных или в амплитудных (пиковых) значениях v(t). Среднеквадратичное или^пиковое значения v{f) соответствуют среднеквадратичному или пиковому значениям у(/),так как остальные члены не зависят от времени. Мы будем употреблять символ vs для
581
обозначения и среднеквадратичной, и максимальной (пиковой) величины v(t), а символ ky — для обозначения соответствующих величин y(f):
00
= М Rf.(MW(K)dK.
О
(14.6)
Для определения напряжения шума необходимо сначала рассмотреть, какой тип шума ограничивает возможности системы. В этом параграфе мы рассмотрим систему, в которой доминирующим является шум приемника. Используя понятия о спектре мощности шума |Лг(/){2 и преобразовании его электронным фильтром F(f), среднеквадратичное напряжение шума можно определить как [см. (11.36)1:
п
I W) \2\P(f) \2df
\/2
(14.7)
Результирующее отношение сигнала к шуму, объединяя (14.6) и (14.7), можно получить в виде
Vs_
Vn
ky I о ___
1/2
оо
— оо
(14-8)
Выражение (14.8) применимо к любой приемной системе, однако более удобной для использования формой являются соотношения для пороговой чувствительности D или нормированной пороговой чувствительности/)* (определениеэтих величин см. в гл. 5). Из уравнений (5.24) и (5.39) следует
D* (%, f) = D (X, /) [Ad(А /)] [Ad (А/)]1/2, (14.9)
где Ad — площадь приемника и Af — эффективная полоса пропускания электрической схемы, используемой при измерении пороговой чувствительности D. Полоса, выбираемая при испытании приемников, обычно узкая [см. уравнения (5.21) и (5.22)1 и ширина ее может быть взята в расчет по «половинной мощности». Шум при экспериментальном определении D* также проходит через тот же узкий фильтр и поэтому, учитывая (14.7) и (14.9), получаем
J (/) I2 I F (/) |2 df
R>i(b) = Rf.(M
Г Ad T/2
Для -^«1.
582
При экспериментальной оценке D* характеристика фильтра F (/) считается равной единице во всей полосе пропускания с центром /0. Комбинируя (14.8) и (14.10), получаем
(14.11)
Роль члена |Л^0|, входящего в интеграл для вычисления шума, состоит в устранении зависимости от абсолютных величин |Л/(/)|. Проиллюстрируем это двумя примерами. Во-первых, рассмотрим спектр белого шума. Так как величина шума | /V (/) |2 в этом случае на любой частоте такая же, как шум | |2 на
частоте /0, применяемой при испытаниях, то величина отношения IN ,о |2 равна единице. Во-вторых, рассмотрим спектр шума с характеристикой 1/f. Допустим, что частота, на которой проводятся испытания, равна, например, 100 гц. Тогда |2V (f) |2 будет равно \K/f\, a l^/J2—Л7100. Таким образом, отношение I N можно заменить выражением | 100//1. Нужно отметить,
что частотная характеристика чувствительности приемника (/)/Rx, f0, входящая в соотношение для у(/), также нормализована относительно частоты /0 и может быть заменена отношением £>* (/)/ D*t
Формулы (14.8) и (14.11), определяющие отношения сигнала к шуму, используются для расчета характеристик системы. Их можно использовать так же, как основные уравнения для вывода дополнительных соотношений для различных параметров.
Эквивалентная полоса шумов. Интеграл в знаменателе (14.11) можно 'раскрыть, используя понятие об идеализированной прямоугольной полосе эквивалентного шума (А/)п с центром при частоте [с. Процесс определения эквивалентной полосы шумов рассмотрен в приложении В:
- оо Т1/2
Г I N (f) 12 М * ,_____
Ьг = -Z Ffc (14.12)
J I /0 I /о c
_ — oo J
Для упрощения обозначений будем писать kn вместо ^NfjNf^ Величину Ffc можно полагать равной единице, пока она согласуется с величиной, использовавшейся для определения у(/) и ky [уравнение (14.5)]. Комбинируя (14.11) и (14.12), можем те-пёрь получить:
ky knJ D^W (К) dl vs _______0________
“ \Ad
583
Пороговая чувствительность системы.. Пороговую чувствительность системы обнаружения можно определить как
Vs
Dchct = — -----. (14.14)
J V (X)dX о
В этом определении лучистый поток относится к входному зрачку системы, т. е. это поток, попадающий на входной зрачок системы (в отличие от W(K) — потока, попадающего на приемник). Отношение этих величин (1Г(%) и П^'(%)] равно коэффициенту пропускания &(%), учитывающему потери при прохождении излучения от входного зрачка системы к приемнику:
№(%)> kt(k)W'(k). (14.15)
Обычно коэффициент пропускания учитывает потери на поглощение и отражение, ослабление оптическими фильтрами, экранирование потока вспомогательными зеркалами и т. д.
Из уравнений (14.13), (14.14) и (14.15) следует
ky kn f (X) W' (X) kt (X) d\
Dc^=---------5—^----------------(14.16)
1^(A/)„11/2 J о
Другой часто встречающейся в литературе формой уравнения является выражение для эквивалентной шуму облученности*). Это величина, обратная пороговой чувствительности, умноженной на площадь входного зрачка Ло:
[Ad (W/2 J W'(K) d\
Дпор = (Джст А) - ’ = ------------2-----------• (14.17)
ky kn Ао J D*t (X) w' (k)kt (X) dX
0
Если источник монохроматичный или если спектральная полоса пропускания достаточно узка, так что Z)f0(X), №'(Х) и kt(h) могуч считаться постоянными в пределах всей полосы, то формулу (14.17) можно упростить:
р IA(W/2
ky kn ktt x До
*) Эквивалентная шуму облученность обычно обозначается в английской литературе по первым буквам определения NEFD (noise equivalent flux density). Она соответствует, как указано ниже, пороговой облученности при отношении сигнала к шуму, равном единице. В дальнейшем мы будем для краткости называть ее просто пороговой облученностью и обозначать £пор- (Прим, ред.)
584
Эквивалентная шуму облученность характеризует способность системы обнаруживать определенную облученность от цели, создаваемую последней на входном зрачке системы и обеспечивающую на выходе электронной схемы отношение сигнала к шуму, равное единице. Это верно в обычных случаях, когда облученность на зрачке системы обнаружения равномерна. Использование монохроматической пороговой облученности обеспечивает независимость этой характеристики от спектральных свойств источника. Однако справедливость сделанных при выводе (14.18) допущений необходимо тщательно проверять в каждом конкретном случае. Как видно из формулы (14.17), применимой к случаю широкой (в спектральном смысле) полосы, характеристики чувствительности приемника должны быть взяты с учетом спектральной кривой коэффициента пропускания kt (X) и спектральных характеристик излучения цели.
Пороговая облученность системы может быть вычислена по формуле (14.17) или измерена, если создать в плоскости входного зрачка системы известную облученность и разделить ее на полученное отношение сигнала к шуму. Дальше подобные измерения будут рассмотрены подробно и будет показано, как на их основе получить соотношения для дальности действия системы по точечному источнику.
Точечный источник. Для экспериментального определения пороговой облученности точечный источник помещают на расстоянии R от приемной системы. Измеряется сила излучения источника 7(A). Измеряется также величина спектрального пропускания атмосферы ka(k, R) на пути от цели до системы обнаружения. Облученность от цели Е'(К) в плоскости входного зрачка системы будет равна
= = (14.19)
f £'(X)dX f I(K)ka(k,R)d\
£ПОр = ° • (14.20)
Это соотношение может быть использовано для расчета дальности действия системы по известной цели. Однако, поскольку R) является функцией и расстояния, и длины волны, очевидно, что в общем виде уравнение для дальности нельзя записать разрешенным относительно R. Если сделать допущение, что R) не зависит от дальности в диапазоне расстояний, представляющих интерес, то из (14.17), (14.19) и (14.20) или из (14.13), (14.15) и (14.19) следует
R =
ky kn Ав f D* (>) / (X) ka (X) kt (X) dX о
1/2
(14.21)
585
В идеализированном случае предельную дальность Ro можно определить как максимальное расстояние, на котором цель будет воздействовать на систему так, что отношение сигнала к шуму будет равно единице [2]. Так, для монохроматического излучения цели
(ky kit х x) Др x /x
Величина отношения сигнала к шуму, требуемая для какого-либо конкретного применения системы, может быть определена методами, изложенными в гл. 13. Для сканирующих поисковых систем
Пикобое значение отношения
сигнала н щупу
Дальность Rq
Рис. 14.3. Вероятность обнаружения в зависимости от отношения сигнала к шуму и дальности.
отношение максимального сигнала к среднеквадратичному значению шума может быть выражено как функция вероятности обнаружения, степени опасности ложной тревоги и полосы шумов. Для следящей аппаратуры отношение сигнала к шуму является функцией сигнала рассогласования, соответствующего данной скорости слежения и полосе шумов. Для непрерывно модулируемой (амплитудной, частотной или фазовой модуляций) информации употребляется обычно отношение среднеквадратичных значений сигнала и шума. Для этих систем типичны значения vs/vn от 1 до 2, в то время как для поисковых систем величины v* **) /vn лежат обычно в пределах 5—8. На рис. 14.3 показана зависимость вероятности обнаружения от отношения сигнала к шуму для ряда поисковых систем, работающих в узкой полосе гауссовых шумов. На рисунке показана также дальность действия, соответствующая данной вероятности обнаружения для двух значений произведения ширины полосы на время ложной тревоги ТЛТ&? при допущении, что ka(k, R) постоянно.
*) Среднеквадратичное значение сигнала.
**) Пиковое значение сигнала.
586
Понятия допустимой частоты ложных тревог и минимальной требуемой вероятности обнаружения уже характеризуют в некоторой степени условия работы системы, и если эти величины заданы, то можно ответить на основные поставленные в начале параграфа вопросы (что и на какой дальности обнаружит система), умножая предельную дальность 7?о на требуемое для обеспечения заданных условий значение отношения сигнала к шуму. В результате получится максимальная дальность обнаружения рассматриваемой цели.
Из-за зависимости R от состояния атмосферы часто для системы обнаружения определяют при данных условиях не R, а минимально обнаруживаемую величину облученности на входном зрачке системы. Эта величина получается умножением пороговой облученности на требуемое для работы системы в заданных условиях отношение сигнала к шуму.
Минимальную облученность для инфракрасной системы можно получить по формуле (14.18), используя средние в спектральной полосе пропускания значения величин параметров, зависящих от длины волны. При этом пренебрежение зависимостью от длины волны спектральных характеристик цели, точно учитываемых в формуле (14.17), будет, вообще говоря, приводить к ошибкам, что подтверждается и прямыми экспериментальными измерениями на реальных целях. Однако это упрощение позволяет определить характеристику работы системы по идеализированной (с постоянным в пределах спектральной полосы пропускания распределением мощности излучения по спектру) цели.
Протяженный источник. При выводе формулы для определения дальности, проведеннОхМ выше, предполагалось, что цель является практически точечным источником. Строго говоря, точечными следует считать такие источники, угловые размеры которых лежат за пределами оптического разрешения (например, звезды). Однако для инфракрасной системы практически точечными является такой источник, изображение которого полностью укладывается в чувствительный элемент приемника. Математическим критерием справедливости этого условия является обратная пропорциональность отношения сигнала к шуму величине R2.
Изображение протяженного источника, напротив, больше, чём размер чувствительной поверхности приемника. В этом случае нужно рассматривать уже не силу излучения источника /(X), а его лучистость Полный лучистый поток, попадающий во входной зрачок системы обнаружения от равномерно излучающего протяженного источника, равен, как показано в гл. 6:
W' (X) - В (X) ka (X, /?) Ао л sin2 р
«В(Х)^(Х,/?)Лоб для Р«1, (14.23)
где Р — половинный (плоский) угол поля зрения,
0 — полный телесный угол поля зрения единичного элемента приемника.
587
(14.24)
(14.25)
Отсюда из (14.14), (14.17) и (14.23) следует
оо / V» X (г
Епор = (j;) О рп (%, 7?) В (%) dK, о
ky kn Ло 6 У kt (Z) ka R) D*f (?) В (л) Л Vs _ ________О_______________________
Md(W/2
Сравнивая (14.21) и (14.25), можно видеть, что, в то время как для точечного источника отношение сигнала к шуму зависит от расстояния, на котором расположена цель, это отношение для протяженного источника от расстояния до цели не зависит, если не считать ослабления и рассеяния излучения атмосферой, которые учитываются коэффициентом ka(R,K). В последнем случае имеет значение только полный угол поля зрения. Тот факт, что лучистость объекта не зависит от расстояния (если не учитывать потерь в атмосфере) не покажется неожиданным тем, кто сталкивался с измерением яркости для определения экспозиции при фотографировании.
Рассмотрение протяженных источников, излучающих в пределах поля зрения неравномерно, или случая работы систем по источникам, которые при наблюдении с близких расстояний должны считаться протяженными, а с далеких — точечными, может быть проведено также на основе приведенных выше формул. Понятие о протяженных источниках важно для определения характеристик систем, возможности которых ограничиваются шумами фона.
14.5. Системы с характеристиками, ограничиваемыми шумами фона
Шум модуляции фона. В предыдущем параграфе рассматривались системы, характеристики которых ограничиваются внутренними шумами приемника. Возможности некоторых систем ограничиваются шумами приходящего излучения. Типичный случай, характеризующийся наличием шумов фона, — обнаружение цели на освещенных солнцем облачном небе или земной поверхности. В процессе кодирования для получения информации о цели излучение от фона может модулироваться так же, как и от цели. Когда эти нежелательные сигналы или шумы существенно больше, чем шумы от других источников (например, чем внутренние шумы приемника), говорят, что возможности системы ограничиваются шумами фона. Эти шумы следует отличать от фотонных шумов фона, рассматриваемых ниже в этом же параграфе.
Шумы, возникающие при сканировании фона, будут зависеть от спектрального и пространственного распределений излучения объектов фона, а также от метода сканирования и способа обработки информации. Для описания шумов фона создано несколько моделей.
588
Один из методов использует двумерную автокорреляционную функцию или ее Фурье-преобразование, называемое спектром Винера. С помощью этого метода описываются пространственные вариации лучистости фона с той степенью точности, с какой физическая картина соответствует принятой математической модели. Другой метод заключается в нахождении определенными способами распределения шумов фона по амплитудам. Предельная по амплитуде величина шумов фона устанавливается на основе ожидаемой частоты наблюдения.
Методы описания шумов фона и ограничивающая роль этих шумов при работе систем обнаружения рассматривались в гл. 12. В конечном счете количественное влияние этой ограничивающей роли сильно зависит от применяемой пространственной, электронной, спектральной фильтрации и других используемых линейных и нелинейных методов фильтрации независимо от того, какая математическая модель выбрана для описания шумов фона. Если учесть все процессы, можно установить величину предельного уровня, определяемого фоном. Мы обозначим эту величину В„(Х), понимая под ней уровень лучистости шумов фона, как он воспринимается на входном зрачке системы; размерность этой величины такая же, как у основной радиационной характеристики протяженных объектов —лучистости. Выбор именно этой величины оправдан тем, что при рассмотрении фонов мы имеем дело с протяженными источниками в пределах поля зрения; размеры этих источников зачастую неизвестны*). Величина Вп(Л) может означать среднеквадратичное значение переменной составляющей промодулированной лучистости фона или соответствовать амплитуде лучистости ложной цели. Критерий выбора зависит от типа рассматриваемой системы и влияния модулированного шума фона на характеристики системы. Теперь можно получить соотношения, определяющие свойства системы, считая, что напряжение шума будет сказываться таким же образом, как напряжение сигнала [формула (14.1)], т. е.
vn = У R (X) kt (X) W’n (X) dX, (14.26)
О
где
W^K) = Bn(X)A0Q (14.27)
и
ky f 7? (X) kt (X) W (X) d\
=------5------------------. (14.28)
ЛоО J R(k)kt(k)Bn(k)dk 0
*) Исключением является звездное небо, этот вид фона необходимо рассмотреть отдельно.
589s
Поскольку 7?(Х) стоит и в числителе, и в знаменателе, ее можно заменить нормированной пороговой чувствительностью D*. Действуя, так же как в предыдущем выводе, получим для пороговой облученности выражение
oj Az(X)£)*Zo(X)B;(k)d).J W’(\)d'K
Епор = -----------------------5----------, (14.29)
ky J kt (X) D* (X) w (X) d\ 0
(14.30)
и дальность действия системы по цели, являющейся точечным
источником, будет равна
ky\ kt(k)ka(K) D* (k)I(k)dl о
epz(X) о* (X) в'п (X)rfX
b
1/2
(14.31)
(So)x =
kg, X Л
<<x
(14.32)
Важно отметить, что ни пороговая облученность, ни дальность действия не зависят от размера входного зрачка системы. Увеличение последнего в рассматриваемом случае не улучшает характеристик системы. Однако важная роль поля зрения 0 очевидна. Ясно также, что обработка информации в системе как за счет пространственной фильтрации, таки в электронной схеме имеет большое значение для установления величин ky и В„(Х) в приведенных выше соотношениях и оказывает тем самым влияние на чувствительность системы.
Фотонный шум фона. Статистические флюктуации прихода фотонов излучения фона вызывают модуляцию потока на приемнике. Выходной сигнал, обусловленный этими случайными флюктуациями, часто называют фотонным шумом излучения или просто фотонным шумом. Этот источник шума является, однако, одним из многих источников (колебания решетки, джонсоновский, токовый шумы и т. д.), вносящих свой вклад в шумы приемника. Он представляет тем не менее особый интерес, потому что это шум от фона, т. е. от причины, внешней по отношению к приемнику. Верхний предел шумов приемника и, следовательно, максимальная чувствительность приемника определяются в рассматриваемом случае именно этими флюктуациями.
Фотонный шум приемника может быть вычислен при известных внешних условиях с помощью статистики Бозе — Эйнштейна и за-590
кона Планка (гл. 5 и 11). Если эта составляющая шума является доминирующей, то именно она будет определять пороговую чувствительность приемника. Эти условия характерны для охлаждаемых приемников, работающих в условиях, когда фон имеет окружающую температуру. В этом случае, поскольку пороговая чувствительность является функцией характеристик фона, видимого в поле зрения приемника, нормированная пороговая чувствительность, обозначаемая D*blip или просто £>** (см. гл. 5), определяется соотношением [3]
(14.33) где со — эффективно взвешенный телесный угол поля зрения чувствительного элемента.
Эффективный угол вычисляется с учетом того, как площадь приемника проектируется на окружающий фон. В симметричном случае, когда излучение от фона поступает на приемник в конусе с половинным углом при вершине Р, эффективный телесный угол со равен ttsin р в соответствии с (5.43). -
Важным здесь является то, что уменьшение телесного угла, в котором виден фон, сопровождается уменьшением фотонного шума. Излучение от окружающих приемник частей аппаратуры может быть уменьшено охлаждением зеркал, диафрагм, корпуса и т. п. Если характеристика фона и непосредственного окружения приемника для системы обнаружения установлены, то величина нормированной пороговой чувствительности D* определяется формулой (14.33) и соотношения, выведенные для определения чувствительности систем, ограниченных шумами приемника, можно применить для систем, ограниченных шумами фона. Соответственно можно вывести ряд соотношений, включающих введенную выше величину 2)**, например, из (14.17)
г- л оо
<t) 1 / 2 /•
— AdW)n \w'(k)dk
£no₽ =---------£---------5-----------(14.34)
ky kn Ao J D*f* (X) kt (X) W (X) d\
0
14.6. Системы, возможности которых ограничены шумами электронной схемы
Мы рассмотрели два типа шумов, ограничивающих характеристики инфракрасных систем — шумы приемника и шумы фона. Кроме этих источников шумов имеются еще шумы, генерируемые в электронно-усилительном тракте и схеме обработки. Полупроводниковые устройства, трансформаторы, дроссели и т. д. дают на предварительных стадиях усиления электронный шум, который может оказаться доминирующим в инфракрасной системе. В гл. 11 описаны
591
шумы, возникающие в процессе обработки малых сигналов от приемника. Кроме того, могут оказаться существенными шумы, возникающие при передаче больших сигналов с выхода системы, например телеметрический шум в системах обнаружения, работающих на спутниках. Оба источника могут оказывать влияние на характеристики систем.
Для вывода соотношений, определяющих чувствительность для случаев, когда преобладает этот тип шумов, введем определение vn для шумов электронной схемы аналогично такой же величине в (14.7) для шумов приемника. Ряд соотношений может быть тогда выведен похожим способом. Поскольку,однако, в практических случаях желательно определять параметры шумов электронных схем по отношению к известным или измеряемым параметрам шумов приемника, применяется различный подход.
Рассмотрим два или больше независимых источников шумов с гауссовым распределением вероятности и с нулевым средним уровнем. Если Gi — среднеквадратичное отклонение для каждого распределения, то для результирующего шума
Gt = О1 + сг| -Н (Гл, (14.35)
где of — дисперсия (величина мощности шума) результирующего шума, получающегося в результате сложения действия нескольких источников шумов. Таким образом, в этом случае дисперсии можно складывать линейно. Определим поэтому член g как отношение среднеквадратичного напряжения шума электронной схемы к среднеквадратичному напряжению шума приемника в рассматриваемой полосе пропускания. Результирующее среднеквадратичное напряжение шума равно
v'n = vn(l+g^/2 = ^. (14.36)
Отношение между напряжением v'n и напряжением шума приемника vn выражено коэффициентом kg = (1 + £2)~1/г. Нужно иметь в виду, что kg 1 и поэтому может пониматься, как коэффициент шума системы, характеризующей, насколько шум электронных схем'ниже, чем шум приемника. Если g > 1, то возможности системы ограничиваются шумами электронных схем, если, наоборот, g < 1, то возможности системы ограничиваются шумами приемника. Нужно отметить, что коэффициент kg, зависящий от отношения g шума электронных схем к шуму приемника, является функцией размера приемника, его чувствительности и т. д. в такой же мере, как характеристик шума компонентов электронной схемы.
Теперь ясно, что в предыдущие соотношения для характеристик системы необходимо лишь ввести kg для учета шума электроники. Ту же операцию можно использовать для учета совместного влияния шумов приемника и фона. Однако при этом необходимо соблюдать известную осторожность. Дополнительно учитываемый шум не 592
должен получаться в результате того же процесса, как, например, упоминавшийся выше шум при передаче. Шум также может не быть гауссовым, и в этом случае одной величины о недостаточно для описания его влияния на характеристики системы.
СООТНОШЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
По назначению системы обнаружения были разбиты на шесть групп: радиометры, поисковые, следящие и дающие изображение системы, системы связи и дальномеры ( § 14.1). В процессе разработки систем для удовлетворения требований, вытекающих из их назначения, приходится учитывать различные параметры для каждой из шести групп систем приведенной классификации. Соответствующие формулы для расчета этих параметров могут быть выведены непосредственно из приведенных выше соотношений.
14.7. Радиометры
Простейший прибор типа радиометра включает оптическое устройство (например, систему линз), модулирующее устройство (прерыватель потока), приемник, источник сравнения и соответствующую электронную схему для усиления сигнала и подачи его на отсчетный прибор, осциллограф и т. п. В,радиометрах приемник расположен или в фокальной плоскости объектива, или в плоскости^ выходного зрачка коллектива. Как было показано в гл. 6, раз7 мер приемника геометрически связан с размером и относительным отверстием объектива и с полем зрения. Если применяется коллектив, на размер приемника влияет относительное отверстие коллектива, а не объектива. Это соотношение может быть записано на основании (6.55) и (6.56) в виде
Ad=^A0N^ для 0«1, (14.37)
где 6 — полный телесный угол поля зрения в стерадианах (при вершине конуса), а коэффициент kd вводится для учета некоторого рассогласования между размерами приемника и входного зрачка. Например, если при круглом входном зрачке используется приемник, чувствительная поверхность которого имеет квадратную форму, то kd будет равен л/4. Через \/N обозначено относительное отверстие объектива или коллектива в зависимости от типа используемой оптической системы. Если приемник иммерсионный, необходимо вместо относительного отверстия употреблять более общее понятие относительной апертуры.
Теперь можно, комбинируя (14.37) с любыми основными соотношениями, получить формулы для радиометрических систем. Ниже
593
для простоты приводятся такие формулы в монохроматическом свете и для круглого входного зрачка с диаметром Do:
Р _ Л/[6 (АЛл] 1/2 порХ KxDiDo
(14.38)
для точечного источника
^2 /х
Vs =___________________
v'n [0(Д/)„]1/2 ’
(14.39)
для протяженного источника
vs КгВхР*Р0[Ъ]'/2
v'n NW)1'2
где
(14.40)
K^kaKp
Выход
Рис. 14.4. Радиометр:
/ — линза объектива; 2—электронный усилитель; <?-—спектральный фильтр; 4 — приемник; 5 — калиброванный опорный источник; 6 — модулятор.
Как может показаться из приведенных формул, если бы удалось сделать Л/ сколь угодно малым, то можно было бы получить бесконечно большую пороговую чувствительность. Практически, однако, существует по меньшей мере два обстоятельства, ограничивающих возможности уменьшения Л/. Во-первых, необходимость создания фильтра очень высокого качества, работающего на точно контролируемой частоте. Во-вторых, необходимость проведения радиометрических измерений в течение ограниченного промежутка времени, что связано с необходимостью или детального изучения отдельных участков цели, или получения информации об изменении радиационных характеристик цели во времени. Полоса пропускания должна быть достаточно широкой, чтобы пропустить этот изменяющийся во времени сигнал.
Пр и м е р. Рассмотрим простой радиометр, показанный на рис. 14.4. Предположим, что этот радиометр будет использоваться для измерения яркости фона неба в инфракрасной области со спек-
тральным разрешением 0,1 мк и угловым разрешением или полем зрения в один квадратный градус. В качестве приемника используется термистор с пороговой чувствительностью D* 109, применение приемника именно этого типа связано с равномерной его чувствительностью в широкой облает»
594
спектра. В области длин волн, исследуемой в рассматриваемом примере, минимальное ожидаемое значение лучистости будет 10~5em см~2 стер~~х мк~{„ Таким образом, дано:
D* = 109 вт~~1см-сек~1/2, 0 = 3,05* 10“4 стер , АХ =0,1 мк,
В[ = ka — вт.см~2 • стер~х -мк~1.
Предположим, что применяется линзовое оптическое устройство с диаметром 10 см и относительным отверстием 1:1 и коэффициент пропускания оптического устройства и узкополосного светофильтра, выделяющего спектральный участок с Да = 0,1 мк, составляет 40%. Полоса пропускания усилителя 1 гц. Входной сигнал модулируется с частотой более низкой, чем верхний предел частотной характеристики приемника, причем прямоугольные импульсы измеряемого излучения сменяются прямоугольными же импульсами от источника сравнения. Среднеквадратичное значение основной гармоники сигнала прямоугольной формы составляет 2/к от полного размаха модуляции. Поэтому при расчете эффективного среднеквадратичного отношения сигнала к шуму вводится коэффициент ky = 2/к. Предположим, что остальные
коэффициенты (kn, kg и kd) равны единице, и, подставив величины в формулы (14.38) и (14.40), получаем
£пор = 1,2-10”11 вт/см2,
Vs (среднеквадр.)/ул = 25 при минимальной лучистости.
Этот короткий пример иллюстрирует способ расчета характеристик радиометров и не дает представления об оптимальной конструкции. Например, при выборе приемника с большей пороговой чувствительностью можно получить те же характеристики с оптикой меньшего размера. Если прибор используется в широкой области спектра, включая длинноволновую, то более подходящей будет отражательное, а не линзовое оптическое устройство. Возможны и другие улучшения конструкции, например использование коллектива, усовершенствование узла модулятор — источник сравнения и т. д.
14.8. Поисковая система
Действие одиночного приемного элемента сканирующей поисковой системы во многих отношениях эквивалентно работе радиометра, различие заключается в том, что время воздействия излучения цели на чувствительный элемент может быть малым и может поэтому сильно влиять на выбор полосы пропускания. Другое отличие — амплитуда сигнала может быть искажена (занижена) — ведь назначение системы — только обнаружить цель, а не измерить ее излучение, как в случае радиометра.
Схематически сканирующая поисковая система показана на рис. 14.5. Этот прибор должен систематически сканировать поле в пределах телесного угла = стерадиан, исподьзуя п приемников. Каждый приемник имеет мгновенное поле зрения 0х0у = 0ху. Общее поле просматривается за время кадра Т.
595
Просматривается прямоугольное поле, разделенное на п участков. Диаметр изображения цели равен б. Угловая скорость цели
в направлении, параллельном
Рис. 14.5. Поисковая система.
Многоэлементный растр.
направлению сканирования, равна vx. Результирующая скорость цели за счет сканирования и собственной ее скорости равна
У = —(14.41) k$ /2 Оу Т
Коэффициент ks учитывает излишнее сканирование (по краям), время обратного хода и т. д. Если сканирование производится точно по прямоугольнику и отдельные строки проходятся без перекрытия, то коэффициент ks равен единице. Время td нахождения каждой точки изображения на приемнике равно
± _ 6х 4~ в_ (6х -\-Ъ) ks
d ~~ vx ~ Qvy ± v х ks пву Т '
(14.42)
Если размер изображения б мал по сравнению с мгновенным полем зрения и собственная скорость цели мала по сравнению со скоростью сканирования, то
ks ®ху td~
(14.43)
Для
ху ^ху,
Vx<^ ksnf)vT ’
Уравнение (14.43) описывает рассмотренный выше случай сканирования по типу телевизионного растра, но можно показать, что аналогичное соотношение может применяться для описания и многих других форм развертки.
Время td является важным параметром, так как им определяется выбор оптимальной полосы пропускания. Выбор полосы пропускания зависит также от типа кодирования формы импульса, используемого в конструкции поисковой системы. Для любого данного способа кодирования полоса пропускания в общем обратно пропорциональна времени td:
(14.44)
596
Используя (14.18), (14.43) и (14.44), можно записать основную формулу для расчета пороговой облученности от точечного монохроматического источника для поисковой системы в виде
м /&xvJ/2
£порХ = /<3 о; d0 (14-45)
и формулу для дальности действия по монохроматически излучающей цели в предположении, что пропускание атмосферы (ka) не зависит от дальности, в виде
К^1Р{ Dq / пТ у/2 v'n N \ &ху j vs где
tf3 = (6s key^K„ K^kaKs.
Нужно отметить, что, в то время как для радиометра основным параметром, определяющим его характеристики, является мгновенное поле зрения, для поисковой системы важнейшими параметрами являются полное поле обзора и время кадра.
Пр и м е р. Приведем пример расчета поисковой системы. Система должна отыскать точечную цель с температурой 600° С в общем поле зрения 10°Х Х10°, просматриваемом за 2 сек. Положение цели должно быть определено с точностью 0,1°Х0,1°, вероятность обнаружения с первого сканирования должна быть не ниже 95%, а средняя частота ложных тревог должна быть не более одной за 10 час. Система должна работать и при дневном свете и в темноте, пороговая облученность на зрачке системы составляет 10~12 вт/см2.
Порядок расчета следующий. Прежде всего отметим, что, несмотря на то, что некоторые параметры заданы и сформулированы основные требования к системе, остается известная свобода в выборе приемника, спектрального диапазона работы, числа каналов, величины мгновенного поля зрения и т. д. Требование, чтобы система работала и днем, означает, что необходимо обратить особое внимание на шумы фона. Формулы (14.26)—(14.28) показывают, что для подавления фона желательно выбрать величину мгновенного поля зрения поменьше, может быть даже меньше чем 0,1° — точность, с которой нужно определить положение цели. Предположим, что при работе в диапазоне 4,0—4,5 мк, использовании соответствующего растра для пространственной фильтрации и мгновенном поле, не превышающем 0,1°Х0,1°, шумы фона не будут ограничивать возможности системы. В качестве приемника можно выбрать охлаждаемое фотосопротивление PbSe с пороговой чувствительностью в указанном спектральном диапазоне D* ~ 1*1010. Этот диапазон хорош и для обнаружения излучения заданной температуры (600° С). Теперь остается выбрать метод сканирования и тип оптики. Для определения примерных размеров устройства запишем принятые в этом примере величины:
^ = 0,7, &/ = 0,4, &5 = 0,8, ke = kn = kg = kd = N=n= 1, 7 = 2 сек,
= 0,0305 стер,
D* = 1 • 1010 см-вт~ 1 -сек~ ^2 , £nop = 10-12 вт/см*.
20 Зак. 1502
597
По формуле (14.45) с учетом минимального требуемого отношения амплитуды сигнала к среднеквадратичному значению шума 7 (эта оценка получена по графику рис. 14.3 для вероятности обнаружения 95%; подробно способ получения таких оценок рассматривался в гл. 13) получим
Dq = 440 см.
Эта первая прикидка дала явно чрезмерно большую величину входного зрачка. Применяя мозаику из 100 приемников, можно уменьшить Do примерно в 10 раз, такая величина (порядка 40—45 см) является уже приемлемой.
Следующий этап разработки — детальное конструирование оптической, электронной и механической части системы с целью удовлетворить поставленным требованиям. После этого необходимо окончательно определить точное значение получившихся параметров системы по основным формулам § 14.4 и 14.5.
14.9. Следящие системы
Инфракрасная следящая система сначала наводится на цель и затем должна следить за ней, указывая положение цели. Следящая аппаратура в общем случае включает управляющую систему для перемещения оптической оси системы и соответственно поля зрения вслед за движением цели. Перемещение цели относительно оптической оси может быть весьма значительным, и поэтому следящая система должна иметь достаточно широкую полосу пропускания для восприятия быстро меняющихся во времени сигналов о положении цели. Часто бывает трудно определить эквивалентную полосу пропускания шумов для следящей системы, потому что в схеме может быть много фильтров, эта полоса может зависеть также и от чувствительности системы управления. Большей частью именно полоса системы управления или ее постоянная времени т ограничивают максимально возможные скорость и ускорение слежения. Поэтому эквивалентную полосу пропускания шумов системы нужно выражать как функцию постоянной времени управляющей системы:
(\f)n = (kvr)-'. (14.47)
Обратная пропорциональность коэффициенту kv принята здесь для простоты. Используя (14.38) и (14.47), получаем
£"1 = Г5Т©'" (14-48’
где
Формула (14.48) показывает, что пороговая облученность может быть уменьшена за счет уменьшения поля зрения 0 следящей системы. Нижний предел 0 определяется такими’факторами, как характер движения цели, скорость сканирования, дополнительные требования к просматриванию поля, нелинейность оптико-механической системы, качество оптики. Выбор оптимальных значений бит требует детального анализа конкретной рассматриваемой следящей
598
системы. Необходимо получить большую чувствительность для работы на далеких расстояниях и лучшие динамические характеристики для работы на близких расстояниях, варьируя поле зрения и полосу пропускания.
Пример. В качестве примера следящей системы рассмотрим подробнее систему, схема которой приводилась в качестве иллюстрации в гл. 13. Возможная оптическая схема такой системы показана на рис. 14.6. Для фокусировки приходящего излучения используется кассегреновская оптика (см. § 6.8). Расположенная в фокальной плоскости щель определяет размер мгновенного поля зрения. К этой диафрагме поля зрения примыкает светопровод из волоконной оптики, сечение светопровода у диафрагмы соответст-
Рис. 14.6. Пример следящей системы: а —общий вид системы; б—плоскость изображения.
/ — шарнир (поворот вокруг оси У); 2 —шарнир (поворот вокруг оси X); 3 —сканирующая щель; 4 — опорный сигнал; 5 — изображение цели: 6 — полное поле зрения; 7 — вращающийся светопровод из волоконной оптики; S —вспомогательное зеркало; 9 — основное зеркало; 10 — приемник.
вует ей по форме, а у коллективной линзы приемника имеет круглое сечение. Диафрагма поля зрения и светопровод вращаются, а основное зеркало и приемник неподвижны.
Из рисунка видно, что если диафрагма вращается вокруг средней точки края щели, то, сравнивая момент получения импульса от цели с моментом наблюдения импульса от опорного генератора, можно определить полярный угол а цели (см. рис. 14,6, б). Полученный сигнал рассогласования можно использовать для поворота всей системы, укрепленной на основании с помощью шарнирного соединения, на угол а. Этот поворот, осуществляемый сервомотором, позволяет удерживать изображение цели в определенном положении по координате а.
Кроме сигнала рассогласования по углу а необходимо получить информацию о радиальном рассогласовании. Продолжительность импульса от цели обратно пропорциональна радиусу. Эту продолжительность можно измерить средствами электроники и использовать для получения сигнала управления, пропорционального изменению радиуса. Для выполнения последнего условия можно применить щель специальной формы, однако в этом примере мы рассматриваем простую прямоугольную щель.
Пусть требования к следящей системе следующие. Система должна отслеживать цель при относительной скорости 0,2 рад/сек на расстояниях до 15 км. Система должна находить и удерживать цель в полном поле зрения диаметром 2°. Характеристики цели и фона, приемник и спектральную об:
20* 599
ласть работы примем такими же, как в рассмотренном выше (§ 14.8) примере с поисковой системой.
Для обеспечения поля в 2° длина щели в плоскости изображения должна быть равна 1°. Минимальная ширина определяется качеством изображения, которое дает оптическая система. Положим, что используемая оптическая система дает кружок рассеяния (внутри которого заключено 85% падающего потока) размером 3' на оси и 6' на расстоянии 1° от оси. В соответствии с формулой (14.48) для получения лучших характеристик мгновенное поле зрения О нужно сделать поменьше. Поэтому ширину щели целесообразно сделать равной 6'.
Установим теперь скорость сканирования и ширину полосы пропускания на основе требований к скорости слежения. При скорости 0,2 рад!сек щель может пройти от центра к краю поля зрения за 87,3 мсек. При вращении диафрагмы с частотой 50 гц скорость поступления информации будет 1 двоичная единица за 20 мсек. Время воздействия излучения цели на приемник (/j) будет изменяться от непрерывного воздействия, когда цель в центре поля зрения, до ~0,64 мсек, когда цель на краю (размер изображения учтен). Нужно взять полосу l//j, т. е. 1570 гц, чтобы удовлетворительно пропустить сигнал. Но поскольку частота повторения импульсов 50 гц, то практически полоса пропускания управляющей системы должна быть даже уже и удовлетворять требованию обеспечения слежения при скорости 0,2 рад!сек. Расхождение между действительной шириной полосы пропускания и полосой, которая определяется принципиальным пределом, поставленным системой управления, находит отражение в очень низком значении коэффициента kv в уравнении (14.47) и показывает, что можно найти лучшее конструктивное решение. Отсюда следует также, что при дальнейшей обработке сигнала имеет смысл уменьшить эффективную полосу пропускания шумов. Применим формулы (14.47) и (14.48), подставив в соответствии с изложенным выше следующие значения параметров:
/<1 = 0,1; 7V = O,6; /)0=10сж;
D* = Ь1010 см‘вт~ 1 -сек~
0= 1°Х 0,1° = 3,05-10~5 стер,
(Af)n = 1570 гц, и получим
£пор = 1,3-10- 11 вт/см2.
Полученный результат можно затем сравнить с облученностью от представляющей интерес цели, удаленной на дистанцию 15 км, и определить, достаточно ли полученное значение отношения сигнала к шуму для уверенного слежения.
14.10. Системы, дающие изображение
Система, дающая изображение, отличается от поисковой системы тем, что она должна сохранять информацию от всего рассматриваемого поля зрения. Интерес тут представляют уже не отдельные нагретые точечные источники, а вся картина поля зрения в соответствующем участке спектра. Обычно применяется три типа систем, дающих изображение: 1) пленки или мозаичные системы; 2) системы с электронным сканированием, как в видиконах и ортиконах, используемых при передаче телевизионного изображения; 3) системы с механической разверткой. В третьем типе систем приемник или приемники систематически сканируют общее поле зрения с по-600
мощью движущихся зеркала, призмы и т. п. Максимальная разрешающая сила всех трех систем будет зависеть от эквивалентного размера элемента чувствительной поверхности приемника, определяющего малый элемент поля зрения 0. Время кадра или продолжительность экспозиции всех трех систем связаны с характером просмотра картины, представляющей интерес.
Системы с механическим сканированием (типа 3) похожи на поисковые системы, и для расчета пороговой облученности можно применять формулу (14.45). Однако возможность обнаружить определенное излучение оценивается при этом несколько по-иному. Информация об отдельном элементе картины может поступать как за счет собственного излучения, так и за счет отраженного излучения внешних источников, например Солнца. Информация, проходя через слой атмосферы, определенным образом видоизменяется. Картина, видимая наблюдателем, характеризуется определенными изменениями лучистости от точки к точке. Введем понятие о разности лучистости ДВ(Х) как о представляющемся наблюдателю различии между лучистостями соседних элементов изображения или цели и прилегающего элемента фона.
Величина ДВ(Х) является функцией коэффициента излучения, температуры, коэффициента отражения и освещенности рассматриваемых точек от внешнего источника. В ряде случаев ДВ можно определить точно и рассчитать интересующие нас параметры. Например, если предположить, что вся энергия от рассматриваемой картины идет за счет собственного излучения при постоянном коэффициенте излучения, то соотношение, определяющее температурную чувствительность системы, можно вывести применяя закон Стефана — Больцмана. Облученность в плоскости входного зрачка системы на элемент поля зрения составляет тогда в общем виде
оо
Е' = 0R)dk. (14-49)
О
Из (14.20), (14.38) и (14.49) следует, что для определенного спектрального участка
и для системы с механической растровой разверткой из (14.45)
KtD*Deb\nT/ Vn-
Для мозаичных систем или систем с электронной разверткой (Д/)„ в формуле (14.50) следует заменить величиной, обратной времени экспозиции или времени накопления.
Поскольку целью системы, дающей изображение, является передача информации, полоса пропускания должна быть такая
601
же, как емкость С информационного канала системы (см. гл. 13). Видимая разность лучистости цели, эквивалентная шумам ДВПор, может быть определена из соотношения (14.50), если принять vs/vn 1:
<14-52»
Д 2 и /
Понятие эквивалентной шумам температурной разности цели также встречается в литературе [4], и выражение для этой величины может быть получено из (14.52) и закона Стефана — Больцмана, как уже упоминалось выше.
Теперь ясна разница между чувствительностью и разрешающей способностью систем, дающих изображение. Качество получаемой картины зависит от максимальной скорости передачи информации, определяемой емкостью канала С, от размера величины приемника 0 и от разрешающей способности оптического устройства как функции относительного отверстия MN, При малом относительном отверстии (светосиле) система дает изображение хорошего качества и большую глубину резкости (см. гл. 6). Требование высокой пороговой чувствительности D*, как видно из приведенных выше соотношений, находится в противоречии с требованиями обеспечения хорошего качества изображения.
Это не единственный характерный пример, описывающий класс систем, дающих изображение. Если изображение получается на инфракрасной фотопленке, ряд характеристик может быть выражен в форме, обычно применяемой в этой (фотографической) области. Если для получения изображения применяется телевизионная трубка, используются параметры, характерные для области телевизионных применений. В случае механической растровой развертки рассмотрение будет аналогично разобранному выше примеру с поисковой системой. Во всех случаях чувствительность системы может быть поставлена в зависимость от облученности от цели, определяемой формулой (14.49).
14.11. Система связи
Активная система связи должна состоять из инфракрасного передатчика и приемника. Передатчик в общем случае представляет собой проекционную систему, похожую на прожектор или маяк. Эта система состоит из источника и линзы или зеркала, формирующих параллельный пучок. Если излучение источника подчиняется закону Ламберта, а линзовая система — апланат, то облученность (освещенность) в точке на оси, удаленной на некоторое расстояние, определяется как произведение лучистости (яркости) источника на телесный угол, под которым видна линза из рассматриваемой точки.
602
Таким образом, облученность Е'(к) на входном зрачке приемной системы равна
Е' (^)
В2
(14.53)
где В (X) — лучистость (яркость) нити источника;
Аь — площадь линзы (зеркала) прожектора;
&*(%)—коэффициент потерь, учитывающий потери в оптической системе прожектора, отклонения от ламбертовского распределения и т. д.
Нужно отметить, что облученность в точке на оси зависит только от яркости источника, а не от его размеров. Из формулы (14.53) видно, что для расчета облученности на оси применим закон обратных квадратов расстояний.
Информация передается за счет кодирующей модуляции луча. Это можно осуществить с помощью электрической модуляции источника или вводя механическую модуляцию с помощью заслонки или зеркала. Первый метод часто используется, когда источником излучения является неоновая газоразрядная лампа и другие подобные источники. При использовании ламп накаливания или угольной дуги для получения удовлетворительной модуляции на высоких частотах обычно применяется механическая модуляция. Коэффициентом модуляции km называется относительная величина энергии (в процентах от полной энергии), модулируемая в линии связи.
Простейшей формой приемной системы является одиночный приемник, установленный на пути луча. Для этого случая выражение отношения сигнала к шуму для монохроматического источника можно получить из формул (14.53) и (14.13)
vs B-tAb Р*(Ад)1/2
vn R2 (Д/)’/2
где
Кб ky kn kg kfr ka km.
Поскольку в этом случае площадь приемника Ad и является площадью Ао приемного устройства в целом, необходимо применять приемники с большими размерами чувствительной поверхности. Однако лучшие характеристики можно получить с небольшим приемником, расположенным в фокусе собирающей оптики. В этом случае формула (14.54) преобразуется к виду
Vs _ Ah В* 0 >
Я2(АО[0(Д/)я]1/2’ Ri где
= 2 Кб-
603
Дополнительное требование, заключающееся в том, чтобы поле зрения приемной системы было больше, чем угол излучения прожектора, является обычным для систем связи, когда прожектор кажется пятном сравнительно небольшого размера в пределах полного поля зрения. Из формулы следует, что для достижения большей чувствительности нужно уменьшать поле зрения приемной системы и увеличивать световой диаметр прожектора. Однако если 0 становится меньше, чем Л&/7?2, прожектор будет восприниматься как протяженный источник и формулу (14.55) применять уже нельзя. Теоретически максимальное отношение сигнала к шуму получается при 0 = Ab/R2 (при условии, что диаметр прожектора не лежит за пределами разрешающей способности оптики приемной системы). Практически же поле зрения приемной системы должно быть значительно больше, чемЛ&/7?2, чтобы обеспечить согласование направления приемной системы на прожектор.
До сих пор предполагалось, что оси приемной системы и прожектора точно согласованы. Для случая небольшого рассогласования этих осей существенным становится размер источника излучения в прожекторе. Прожектор с источником конечных размеров будет концентрировать излучение в расходящийся с расстоянием пучок. Распределение энергии в пучке приблизительно равномерно близ оси и падает к краям. Протяженность равномерной «полки» в кривой светораспределения зависит от углового размера источника, рассматриваемого через оптическую систему прожектора. Телесный угол источника равен проекции площади источника на плоскость, перпендикулярную оптической оси, поделенной на квадрат фокусного расстояния прожектора. При увеличении угла за счет увеличения размера источника или использования оптического устройства с большей светосилой соответственно увеличивается допустимое рассогласование. Таким образом, увеличение допуска на рассогласование определяется как полем зрения приемной системы, так и углом расхождения прожекторного луча.
Мощность, подводимая к источнику излучения, расходуется на нагрев за счет теплопроводности и конвекции и на излучение. Используемый прожектором лучистый поток — это та часть потока, которая падает на линзу или зеркало. Вообще говоря, более светосильные (короткофокусные) системы характеризуются большими коэффициентами использования потока. Для повышения к. п. д. самого источника стремятся уменьшить потери на нагрев и как можно большую долю подводимой мощности превратить в излучение»
Пример. Линия связи проложена между двумя отдаленными от культурных центров лесничествами, расположенными на удалении 50 км друг от друга в пределах прямой видимости и на значительной высоте (в горах). Специфичность таких условий (в частности, наличие прямой видимости и незначительное ослабление излучения атмосферой в высокогорных условиях) определяет целесообразность использования оптической линии связи.
Затруднения в связи могут быть вызваны эффектом атмосферного мерцания, особенно если линия проходит вблизи земной поверхности. Например, если луч проходит на высоте 1—1,5 м от земной поверхности, колебания сиг
604
нала, принимаемого на расстоянии всего 500 м, могут в жаркий день доходить за счет мерцаний до 80%. В нашем примере мы предположим, что основную часть пути луч проходит высоко над землей и если принять высокое значение отношения сигнала к шуму (100), то атмосферными помехами можно пренебречь. Передача будет вестись с помощью азбуки Морзе на несущей частоте 1000 гц. Модуляция осуществляется с помощью вращающегося зеркала, периодически отклоняющего луч (рис. 14.7). Полоса пропускания фильтра приемной системы 50 гц.
Максимум излучения вольфрамовой лампы при 2850° К лежит в районе 1 мк. Однако для уменьшения влияния фона используют обычно область л > 1 мк. Сернисто-свинцовое фотосопротивление в сочетании с кремниевым фильтром (см. гл. 7) имеет рабочий спектральный участок от 1,1 до 2,6 мк.
Рис. 14.7. Инфракрасная система связи: а —передатчик; б—приемник.
1 — основное зеркало прожектора; 2—собирающее зеркало; 3 — модулятор; 4 —приемник; 5—ключ; 6 — усилитель; 7 —прерыватель; 8 — источник; 9— телефон.
Проинтегрированное по спектру произведение спектральной яркости абсолютно черного тела при 2850° К на коэффициент излучения вольфрамовой лампы и спектральную чувствительность приемника, приведенную к D* для 2 мк, определяет принимаемую энергию в этой полосе. Спектральная сила излучения (для абсолютно черного тела, излучающего в одну сторону при 2850° К) составляет — 76 вт • см~~2 • стер~х • мк~х на длине волны 1, 1 мк, спадая до 17 вт-см~~2-стер~х-мк~х по мере приближения к длине волны 2,6 мк. Коэффициент излучения лампы меняется в этом же спектральном диапазоне примерно от 0,37 до 0,22 [5]. D* для фотосопротивления PbS составляет 0,78 • 1011 при 1,1 мк\ 1-Ю11 при 2 мк и быстро спадает в области X > 2,5 мк. После интегрирования для этого источника в диапазоне 1,1—2,6 мк полу-
чается лучистость ~ 16 вт-см~2 -стер величины:
Передатчик
Вольфрамовая лампа 2850°К, Коэффициент излучения от 0,37 до 0,22,
В = 16 вт- см~2-стер~1, kQ =0,7, km~ 0,9, ^ = 0,35, R — 50 км,
vs
Рабочее отношение — vn
1. Таким образом, имеем следующие
Приемная система £>*^=1.10“ 1 }см-вт~ 1 -сек~1/2, /V =0,65, fc = Ю00 гц, = 50 гц,
О = 10“4 стер, ky = 0,7 (макс), ^=1, £/ = 0,7, ^ = 0,78, £g = 0,9, макс = 100 --------.
среднекв.
20В—2 Зак. 1502
605
Решая уравнение (14.55) относительно диаметра прожектора и входного диаметра приемной системы Do, получаем
Dl Do = 1360 см3.
Одно из решений для этого соотношения
Db = 13 см,
Do — 8 см .
Поскольку установка стационарная, можно было бы обсудить возможность использования поля, меньшего чем 10“"4 стер. Однако меньшее поле требовало бы очень точной первоначальной наводки и жестких допусков на рассогласование при работе, которые трудно выдержать, например, в условиях сильного ветра.
14.12. Дальномеры
Расстояние может измеряться как активными, так и пассивными инфракрасными системами. Активный метод может быть, например, основан на посылке импульсов в направлении на цель подобно тому, как это делается при радиолокации. Пассивные методы в принципе подобны используемым в оптических дальномерах и основаны на триангуляции относительно какой-либо базы.
Активные методы измерения расстояния. Активная система, описанная Найтом [6], в качестве основного элемента содержит очень мощный импульсный источник инфракрасного излучения, направленный на цель. Промежуток времени между посылкой импульса и получением его отражения от цели является мерой расстояния до цели.
До последнего времени активным методам измерения расстояния с помощью инфракрасного излучения серьезного внимания не уделялось. Сравнительно невысокая интенсивность инфракрасных источников и невозможность повысить их яркость в прожекторных системах из-за температурных ограничений являлись причиной малой дальности действия инфракрасных дальномерных систем. Однако изобретение и успешная разработка лазеров в оптическом и, в частности, в инфракрасном диапазоне (см. § 2.4), излучающих узкий когерентный луч, создали предпосылки для проектирования дальномерных установок беспрецедентной эффективности. Тем не менее при дальнейшем рассмотрении мы ограничимся случаями, когда пучок концентрируется обычной оптической системой.
Когда импульс достигает цели, он отражается от нее, причем характер отражения зависит от физических свойств цели. Лучистость Вт(к) цели будет связана с ее облученностью Ет(к) соотношением
ВГ(Х) = йг(Х)Вг(Х). (14.56)
Множитель kr учитывает коэффициент отражения г и пространственное распределение отраженного лучистого потока. Если цель отра-606
жает излучение диффузно (в соответствии с законом Ламберта), то kr —
7Z
Если цель площадью Ат освещается прожектором, то облучен-ность в плоскости входного зрачка приемной системы, которая создается отраженным от цели излучением, равна [из формул (14.19), (14.53) и (14.56)]
kmkb{l)k2aa,R)kr(L)BQ.)AT Ль
(Ч — £4
(14.57)
Если возможности системы ограничиваются шумами приемника, что характерно, например, для ночных условий, то для монохроматического источника
D4 — Ab / Vn \
~ N [0 (A F) п]1/2 \vs/ где
7Q = k/п kr kb ka
Днем характеристики импульсных дальномеров часто ограничиваются шумами фона. Если выражать шумы фона, как в (14.26), то для таких систем
где
= ky km kb kr ka •
Так же, как в системах связи, молчаливо предполагается, что поле зрения больше, чем угловой размер цели, и что цель полностью освещается прожектором. Если освещенная цель воспринимается приемником как протяженный источник, т. е. угловой размер цели больше поля зрения, то в приведенных выше формулах следует заменить Ат на 07?2.
Дальномер может быть существенно улучшен, если воздействовать на отражательные характеристики цели. В этом случае для повышения отраженного сигнала на цели устанавливаются плоское зеркало или уголковый отражатель (триппель-призма). Если можно применить большое зеркало высокого качества, то дальномер становится эквивалентен системе связи, работающей на дистанции 27?, и для расчета его характеристик можно использовать формулы, приводившиеся выше для систем связи.
Ослабление излучения атмосферой на небольших высотах для активных дальномерных систем еще более неприятно, чем для систем связи, поскольку в первом случае дистанция удваивается. Ослабление за счет поглощения и рассеяния приблизительно следует экспоненциальному закону (см. § 3.4).
20В—2* 607
Если потери в атмосфере имеют большое значение, как, например, при работе на небольших высотах, то уравнение (14.59) можно записать в форме
где
#х &ь &т вв'п№е2с* ’
= kb
(14.60)
а с — коэффициент ослабления, определяемый формулой (3.16).
Нужно отметить, что шум фона, выраженный в единицах лучистости ВП) считается таким, как он воспринимается приемником, и
Рис. 14.8. Пассивное измерение расстояния методом триангуляции.
включает поэтому атмосферное ослабление как функцию расстояния для определенного источника, например отраженного солнечного света.
Пассивные методы измерения расстояния. В пассивных инфракрасных дальномерах уже не возникает проблем, связанных с необходимостью освещать цель прожектором и с повышенными потерями при
двукратном прохождении измеряемого расстояния излучением; остаются лишь проблемы, связанные с точностью измерений. В активных системах можно достигнуть высокой точности измерения расстояний, измеряя время с точностью до долей микросекунды. Инфракрасное излучение распространяется со скоростью света (300 м/мксек). Измерение времени с точностью до 1/100 мксек методами современной электроники позволяет оценивать расстояние 300-0,01, 1 г гт « к
с точностью-----------, т. е. до 1,5 м. Для пассивной системы, рабо
тающей на представляющих интерес дистанциях, такая точность является недостижимо высокой.
Амплитуда электрического сигнала, полученного в результате приема излучения от источника, является функцией расстояния до источника, однако оценка расстояния до цели или ее скорости по этой амплитуде со сколько-нибудь приемлемой точностью невозможна (исключая очень специфические случаи, когда возможно осуществить точный контроль интенсивности излучения источника и свойств ослабляющей излучение среды). Поэтому в большинстве пассивных систем для измерения расстояния используется та или иная база, расположенная вдоль оптической оси или перпендикулярно ей, базой может служить также и размер самой цели. Простая пассивная схема измерения расстояния изображена на рис. 14.8. Для построе
608
ния треугольника используются две системы обнаружения, как при обычной топографической триангуляции. Расстояние, определяемое системой 1, равно
/sin «2 (14б1)
1 Sin(a1+a2)
где Ь — известное расстояние (база) между системами; ах и а2— измеренные углы.
Формулы,определяющие чувствительность каждого приемника, аналогичны формулам для радиометра. Наибольший интерес в этой схеме представляет достижимая точность. Для иллюстрации рассмотрим частный случай. Положим
Ri — R% ь
тогда
ИЛИ
= (14.62)
Ошибка Аф складывается из ошибок в определении ах и аг. Вообще говоря, каждая приемная система может измерять угол, на который повернута ее оптическая ось, с определенной степенью точности, определяемой оптическими и механическими качествами системы и допустимой точностью отсчета угла. Из формулы (14.62) видно, что определяемая неточностью в измерении Аф абсолютная ошибка в расстоянии пропорциональна квадрату расстояния, а относительная ошибка АТ?//? пропорциональна R. Таким образом, точность дальномера быстро ухудшается с ростом расстояния.
Рассмотренные выше недостатки инфракрасных дальномеров как активных, так и пассивных показывают, что для измерения расстояний инфракрасные системы применять менее выгодно, чем радиолокационные установки. Однако нужно сказать, что на коротких расстояниях или в специфических условиях, например при измерении расстояния до Луны и планет, когда сам размер небесного тела может служить базой, более приемлемыми могут оказаться пассивные оптические методы.
Пр и м е р. Определим характеристики пассивной дальномерной системы, используемой на космическом корабле, идущем к Луне. Необходимо измерить угол, под которым видна Луна, что при известном радиусе Луны позволит определить и расстояние до нее (рис. 14.9). Одна система обнаружения, отслеживающая освещенный Солнцем край Луны [7], даст достаточную информацию для определения угла ср. Излучение освещенной Солнцем Луны как в видимой, так и в инфракрасной области спектра велико, и получение достаточной чувствительности не составляет проблемы. Основная проблема — измерить угол ср с наибольшей точностью, и наша главная задача — показать, как зависит точность измерения расстояния от расстояния между приемником и Луной.
609
Нужно рассмотреть три источника ошибок: 1) ошибки в измерении и отсчете угла ср; 2) ошибки от неровностей поверхности Луны и отклонения ее формы от сферической; 3) ошибки в определении радиуса Луны, который служит базой. Влияние второго
источника ошибок может быть до некоторой степени уменьшено, если использовать сканирование и усреднить тем самым ошибки, вызванные неровностью поверхности*). Ошибки, вызванные третьей причиной, малы и ими можно просто пренебречь, при желании их можно включить в ошибки 2-го
Рис. 14.9. Измерение расстояния до Луны. типа, так как математически эти источники ошибок влияют
на точность одинаково.
Примем типичные величины для указанных ошибок. За величину ошибки принято среднеквадратичное отклонение а:
1) Дер = 10~ 4 рад (—20")— ошибка, обусловленная неточностью измере
ния и отсчета <р;
(Аг)
2) --—=0,001 (0,1%)—ошиб-г т
ка, вызванная отклонениями от сферичной формы и поверхностными неровностями.
Геометрические соотношения
Rc = Гт (cosec <Р),
Rs — Re r tn\
Расстояние до поверхности Луны Rs,km
Рис. 14.10. Ошибки в измерении расстояния на примере определения расстояния до Луны.
= ~ (±г)т, ' т
Д/?г=[(Д/?1)2 -Н(Л/?2)2]1/2,
где Rc—расстояние от космического корабля до центра Луны;
Rs — расстояние от космического корабля до среднего уровня поверхности Луны;
гт — радиус Луны 1738 км;
&RT—суммарная ошибка от A/?i и ДТ?2-
Как видно из результирующего графика (рис. 14.10), система обеспечивает точность (по а) лучше, чем 0,33% в диапазоне 800—48 000 км. На больших дистанциях точность снижается из-за ошибок в определении угла [см. формулу (14.62)]. На малых дистанциях процентная точность также становится хуже из-за упоминавшегося выше влияния неровности поверхности. Абсолют -
*) Усреднение производится для среднего диаметра Луны и не учитывает высоту пиков и кратеров непосредственно под кораблем. Поэтому на очень близких к Луне расстояниях такое усреднение вряд ли имеет смысл.
610
ная ошибка Rt, как и следовало ожидать, все время падает с уменьшением расстояния. Хотя такая система вряд ли сможет обеспечить посадку, она, по-видимому, может быть использована для вывода корабля на орбиту вокруг Луны.
СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ СИСТЕМ ОБНАРУЖЕНИЯ
Характеристики системы ограничиваются шумами приемника
Отношение сигнал/шум
ky f D*f 0 (Х) W <Х) dX
О 0
2V (/) 2
—| F (f) \2dF
Vn.
-11/2-
Nf,
Сигнал/шум (идеализированная полоса шумов)
ky k" Г (х)w (х) dX
_ О____________________
[Аа(Д/)„]1/2
Пороговая облученность, эквивалентная шуму (NEFD)
f Е' (X) dX Е — & ^пор -
(14.13)
£1 ип
(14.20)
(14.11)
(14.17)
(14.18)
[Aa0V)„],/2 J W'(K)dk p —________________£_________
^nop— oo
(ky *„)Aof DjjW'WMW o
Для монохроматического источника (NEFD),.
p , _ [Ad(Af)n]1/2 nOP (ky kn kt) Ao nJ ’
Дальность для точечного источника (в предположении, что ЛО(Х.) не зависит от расстояния)
(ky kn) A^k^k^D^CK) I (X) d x
lAd (Д/)„]1/2 Г»
источник
/? =
Протяженный
1/2
(14.21)
ky km Ао о I D, (X) В (X) ka (R,).) kt (X) d\ _________о___________________________
lAdW)n]i/2
(14.25)
611
Характеристики системы ограничиваются шумами фона
Сигнал/шум
Vn
ky J D*f. WW'(X)fez(X)dx —-----------------------•
А»о J с; (Х)в'„(Х) ^(Х)л о
Пороговая облученность, эквивалентная шуму (NEFD)
(14.28)
0 j D;o(X)B;(X)^(X)dXf W'(\)dk
p _____ 0 °
23 nop — •
ky j' D^(X) W"(X)^(X)dX b
£nopx (NEFD)\ для монохроматического источника
EnopX — Z • “У
Дальность для точечной цели [&а(Х) не зависит яния]
(14.29)
(14.30)
от
рассто-
Я =
ky С D;o (k) / (X) kt (X) ka (X) dX 'о
оо
of z?;o(X) в;(Х)^(Х)л b
-11/2
(14.32)
Характеристики системы ограничиваются фотонными шумами фона
Пороговая облученность, эквивалентная шуму (NEFD)
[№ Ad(bf)n]''2 J Г'(Х) Л
£ — _____________________2___________
23 пор — оо
(ky k„)A0 ] D* (X) w (X) kt (X) dX 0
(14.34)
Характеристики системы ограничиваются шумами электронной схемы
Сигнал/шум
-^ = (1+£2)-1/2-^ = ^. (14.36)
Vn vn s vn
612
Радиометр
Пороговая облученность, эквивалентная шуму (NEFD)k
Р АДР (Ш1/2 "°Р>“ K.D*D. (14.38)
Точечный источник
vs К 2 Dq
(14.39)
Vn WV[6(-W/2
Протяженный источник
vs A(0)1/2
v'n~ R Ш)п/2 (14.40)
Поисковая система
Пороговая облученность, эквивалентная шуму (NEFD)
БпорХ“КзА* АЛлТ) ’ (14.45)
Дальность
/ RD*. Do \ / ПТ\ / v' \1 1/2
7?- \ N /\Qxy/\vs). (14.46)
Следящая система
Пороговая облученность, эквивалентная шуму (NEFD)
N у 6X1/2 порХ - D* D0\z J
(14.48)
Система, дающая изображение
Лучистость (яркость), эквивалентная шуму (NER)
А-ВпорХ —
Кг-D* АЛ И
(14.52)
Система связи
Сигнал/шум (без собирающей оптики) vs _KtBxAbD*x / Ad у/2 v'n R2 \Щ)п)
Сигнал/шум (с собирающей оптикой) vs ______________ R-i В\ Аь D. Do Ab
~ R*N[t> (A/)»]1/2 ’ " '
(14.54)
(14.55)
613
Дальномерные системы
Активная система, ограниченная шумами приемника
Р4 _ Ль D* Dq ( vn \ “ ,V [0(A/)„],/2 \VJ’
Активная система, ограниченная шумами фона
ezn \vs.l v ’
Точность пассивной системы
А* = _*-Д<р. (14.62)
Коэффициенты пропорциональности
Кх = (л/4) ky kn kt kg(kd)W,
К4=^Кз.
Ко=(^)1/2/<1.
/С6 = ky kn kg kfr ka km,
/<7 = (л/4) kt (kdy^KQf
K^kmkrkbk2aK^
Kq — ky km kb kj. ka,
K10 == ky km kb kr.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Aj> —апертура прожектора, определяющая угловое расхождение посылаемого пучка излучения;
Ad — площадь приемника;
Ао— площадь входного отверстия собирающего оптического устройства;
Ат — площадь освещенного участка цели;
В (X)—спектральная лучистость или яркость протяженного источника;
В (Л), Вх — яркость источника, используемого в прожекторной системе;
АВ (X), (ДВ)Х — видимая разность лучистости (яркости) между элементами изображения, создаваемого системой;
ДВпор — видимая разность яркости между целью и элементом фона, эквивалентная шуму;
614
Вп (X) — яркостный уровень шума фона для рассмотренной в тексте системы обнаружения (отнесен к плоскости входного зрачка приемной системы);
Вт (X) — лучистость (яркость) освещенной цели;
b — расстояние (база) между двумя приемными системами;
С — емкость канала передачи информации;
с— коэффициент ослабления на единицу расстояния;
D* (X, /), (Л), — нормированная пороговая чувствительность;
D(X, /о) — пороговая чувствительность приемника;
Df) — световой диаметр прожектора;
Do— диаметр входного зрачка приемной системы;
DCHrT— пороговая чувствительность системы;
D**— нормированная пороговая чувствительность, ограниченная фотонными шумами фона;
F (/) — передаточная функция электронного фильтра;
Ff — величина F (/) при fc;
'с
f — частота;
fc — средняя частота (при частотной модуляции);
/0—стандартная частота модуляции, на которой испытываются приемники;
Д/—полоса пропускания;
(Д/)л — идеализированная полоса эквивалентных шумов;
g— отношение среднеквадратичных значений шумов электронной схемы и приемника;
Ег (X) — освещенность цели;
E',E'(F) — облученность в плоскости входного зрачка приемной системы;
Епор— пороговая облученность системы, эквивалентная шуму в полосе пропускания системы; Епорх — пороговая облученность системы, эквивалентная шуму для монохроматического источника с длиной волны X.
/(X), / — сила излучения точечного источника;
ka (X, /?), &а(Х), ka — спектральное пропускание атмосферы на трассе между целью и системой обнаружения;
kb — к. п. д. оптической системы;
k^— коэффициент, учитывающий рассогласование выходного зрачка, оптической системы и чувствительной поверхности приемника;
ke — коэффициент, пропорциональности, связывающий ширину полосы эквивалентных шумов со временем воздействия излучения цели на приемник;
ka—коэффициент шума системы, равный (1+^г1/2;
km — коэффициент модуляции в системе связи;
kn — отношение среднеквадратичного значения шума приемника на стандартной частоте, на которой испытывается приемник к той же величине на рабочей частоте при полосе 1 гц
k п
__/ о
Nf
'с
615
kr — коэффициент, учитывающий отражательные свойства освещаемой цели;
ks — к. п. д. сканирования;
kt G-) — коэффициент пропускания оптического устройства;
kv — коэффициент пропорциональности, связывающий эквивалентную полосу шумов системы и постоянную времени сервомотора следящей системы;
ky — коэффициент кодирования, относящийся к среднеквадратичной или пиковой величине;
1/W— относительное отверстие системы;
I N(f) |2 — спектр мощности шумов приемника;
2 — мощность шума приемника на рабочей центральной частоте в полосе пропускания шириной 1 гц\
| М е |2 — мощность шума приемника на стандартной 0 частоте, на которой проводятся испытания приемника в полосе пропускания 1 гц\
п — число независимых каналов приемника;
R, Rlt Т?2 — расстояние от цели до системы обнаружения;
Rc— расстояние до центра Луны;
Rs— расстояние до поверхности Луны;
/?о — идеализированное предельное расстояние от цели до системы обнаружения при отношении сигнала к шуму, равном 1;
AR, ARi, ДТ?2 — ошибки в измерении расстояния;
ARr — суммарная ошибка;
R(K,f), Rf (X), Rx(f), R\ f0 — чувствительность приемника;
г — коэффициент отражения цели;
гт — радиус Луны;
Т — полное время кадра при просмотре поля обзора ,
Тлт— среднее время между ложными тревогами;
/j — время воздействия излучения точечного источника на приемник;
v(t) — напряжение сигнала в функции времени;
vn — среднеквадратичное напряжение шума;
v'n— полное напряжение шумов системы, включая шумы приемника и электронной схемы;
vs — напряжение сигнала (среднеквадратичное или пиковое — оговаривается в тексте);
vx — угловая скорость цели относительно системы в направлении сканирования;
W — лучистый поток, падающий на приемник;
U7(X) —спектральный поток излучения, падающий на приемник;
№'(Х) — спектральный поток излучения, падающий на входной зрачок системы;
W — спектральный поток излучения, обусловленный шумами (флюктуациями) фона, который попадает в один приемный канал (определен в плоскости входного зрачка);
X (f) — преобразование Фурье временной функции сигнала;
у (/) —форма выходного сигнала кодирующего процесса;
616
я — угловая полярная координата цели по отношению к опорной оси следящей системы;
я1> а2 — углы при основании треугольника при определении расстояния триангуляционным методом;
В — половина угла при вершине конуса, определяющего круглое поле зрения;
5 — диаметр изображения;
О, бху—телесный угол поля зрения приемника;
0_г> бу — плоские углы, определяющие мгновенное поле зрения в направлении сканирования и перпендикулярно к этому направлению соответственно;
X — длина волны;
ЛХ — спектральная полоса пропускания;
а/, а — среднеквадратичное отклонение для нормального (гауссова) закона распределения;
$2 — дисперсия нормального (гауссова) закона распределения;
т — временная характеристика управляющего мотора следящей системы;
<р— угол при вершине треугольника при определении расстояния триангуляционным методом;
Д<р — ошибка в измерении ср;
— плоские углы, определяющие полное поле обзора в направлении сканирования и перпендикулярно к этому направлению соответственно;
QХу — полный телесный угол поля обзора;
со — эффективно взвешенный телесный угол, вносящий свой вклад в фотонный шум приемника;
л ИТ ЕРАТУРА
1. Reference Data for Radio Engineers, 4th ed., p. 527—548, 1019, International Telephone Telegraph Corp., 1957.
2. G e n о u d R. H. Infrared search-system range performance. Proc. IRE, 1959, №9, p. 1581.
3. J о n e s R. C. Proposal of the detectivity D** for detectors limited by radiation noise. Proc. IRIS, 1960, v. 5, № 4, August, p. 35.
4. W e i h e W. K. Classification and analysis of image-forming systems. Proc. IRE, 1959, № 9, p. 1593.
5. F о r s у t h e W. E., E. Q. Adams. Radiating characterictics of tungsten and tungsten lamps. J. Opt. Soc. Am., 1945, v. 35, № 2, p. 108.
6. К n i g h t К. V. Active ranging. Proc. IRE, 1959, № 9, p. 1490.
7. Gr u b e R. H. Terminal guidence for lunar and planetary probes. Proc. Nat. Specialists Meeting Guidance Aerospace Vehicles, May 25—27, 1960, p. 178.
= ПРИЛОЖЕНИЕ А
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВИНЕРА
Цель этого приложения заключается в том, чтобы рассмотреть и распространить на случай двух (и более) измерений теорию преобразования Фурье, которая обычно применяется для анализа электрических цепей. Здесь рассмотрено доказательство некоторых теорем, использовавшихся в гл. 10, 11 и 13. Определение преобразования Фурье в двух измерениях является основой для вопросов теории пространственной фильтрации, рассмотренной в гл. 12.
Спектры дисперсии одномерных электронных шумов называются спектрами плотности мощности. Они измеряются в в2/гц или аЧгц. Это название не подходит, когда случайной величиной является лучистость (яркость), которая уже сама имеет размерность плотности мощности по пространству. Джонс [9] часто защищал использование термина «спектр Винера» для спектров дисперсии случайных величин лучистости.
В нашей книге мы, следуя этой идее, распространили термин «преобразование Винера» на двумерные преобразования функций лучистости, функции изображения и апертурной функции.
А.1. Свертка
Теория передачи по линейным электрическим цепям начинается с определения весовой функции, или импульсной переходной функции [1, 2]. Эта функция является зависимостью от времени сигнала на выходе, представляющего реакцию на единичный импульс, поданный на вход цепи в момент времени t — 0. Входные сигналы любой формы аппроксимируются последовательностью импульсов, энергия которых численно равна величине площади под графиком входной функции. Согласно принципу суперпозиции, который применим к линейным цепям, выходной сигнал слагается из последовательности весовых функций, которые умножены на величину сигнала, вызвавшего их. Число единичных импульсов, аппроксимирующих входную функцию, увеличивается до тех пор, пока в пределе аппроксимированная входная функция не достигает своей нормальной величины, при этом выходной сигнал получается в виде свертки весовой функции с входной функцией. Рассмотрим двумерные и 618
с большим, чем два, числом измерений преобразования аналогичным способом.
Во-первых, определим функции в двумерном пространстве х = хь Х2 (например, хг и Х2 могут быть декартовыми координатами на некоторой поверхности в пространстве предметов оптической системы)
Н (х — х0) = Г! (хг — х10, х2 — х20),
Г1 (х — х0) = -2^1*1 — *ю1 < h, |х2 — х20|</г, (А 0 в остальных точках.
Отметим, что
х0) dx2 = 1,
(А.2)
причем это свойство остается верным в пределе, когда h становится очень маленьким. В этом случае гх(х—х0) является двумерным аналогом импульсной функции, используемой в анализе электрических фильтров. Она будет называться функцией интенсивности.
Пусть гх(х) на входе во входном пространстве пространственно-частотного устройства дает в результате функцию (у) на выходе в выходном пространстве. Предполагается, что устройство линейно в том смысле, что реакция на сумму двух входных сигналов равна сумме реакций на каждый входной сигнал в отдельности. При входном сигнале, равном г2 (х) = аг3(х) + &г4(х), на выходе получим
i2 (у) = ai3 (у) + bit (у)
для всех величин а и Ь, включая и нуль.
Это свойство линейности может быть использовано для нахождения выходной реакции на сумму функций интенсивности.
Чтобы найти выходную функцию, соответствующую более общей входной функции гр(х), предполагается сначала, что входная функция может быть аппроксимирована суммой функций интенсивности,, представляющих ступенчатую функцию на входе
к s
Гр (х) — 2 2 rp (&Дхх, $Дх2) Дхх Дх2 fi X k=— к s=—s
X (%i — &Дх1? х2 — sAx2). (А.З)
Результирующая выходная функция аппроксимируется выражением
к s
(У) ~ 2 2 гр (&Дхх, sAx2) Дух Ду2 х k=-^s = -S
Xi^yi — kAyi, y2 — sAy2), (А.4)
619
где Дух является приращением у19 соответствующим приращению Дхх величины
Теперь рассмотрим пределы, когда приращения х и у станут очень маленькими, а число приращений очень велико.
Для сокращения записи обозначим Дух -» 0 и Ду2-*0 посредством Ду -> 0 и
п = Пь п2 = Wi, *Ду2;
Н = fflf Н2 = К&Уи 5Ду2;
К S
ip (у) « lim 2 гр дУ«х (У ~ П)> (А-5)
В пределе это выражение станет двойным интегралом
/Л н2
ip(y)= <*T]i f Г„(т. Пг) «1 (Ух П1- У2 — П2)^2 =
-Hi -н2
= J гр (я) ix (у — х]) di). (А.6)
н
Выражение (А.6) является двумерным интегралом свертки, аналогичным одномерному интегралу свертки, получаемому в теории электрических цепей. Однако в случае электрических цепей интеграл свертки берется в пределах от —оо до /. Такой интервал интегрирования означает, что любой входной сигнал, приложенный к цепи, вызывает соответствующую реакцию, будущие входные сигналы не могут оказать влияния на цепь до тех пор, пока они не будут приложены к ней. В уравнении (А.6), в котором независимыми переменными могут быть, например, углы в пространстве вместо времени, отсутствуют какие-либо ограничения, по которым бы излучающая *гочка справа от оптической оси в пространстве предметов не должна участвовать в создании функции изображения так же, как и излучающая точка слева. Для оптических систем пределы рассматриваемого интеграла не могут стать бесконечными, потому что пространство изображений не может быть больше сферы. Математическая модель является в этом отношении оправданной, так как разрешение оптической системы не сохраняется одинаковым при больших углах от оси. Таким образом, предположение линейности будет сохраняться только в пределах ограниченной области угловых размеров.
А.2. Преобразование Винера
Из теории электрических цепей известно, что использование свертки для нахождения выходного сигнала очень громоздко и трудоемко, исключение составляют некоторые частные случаи. Значительно упрощают вычисление интегральные преобразования Фурье и Хевисайда [4], которые распространены и на случай нескольких измерений [5]. Как будет показано в следующем пара-620
графе, эти преобразования обладают свойством, которое позволяет свести свертку к трем операциям: преобразованию функций, подлежащих свертке, умножению преобразований и обратному преобразованию. Третья операция является наиболее трудной. Первые две во многих случаях относительно простые. Впрочем, часто нет необходимости выполнять третью операцию. Достаточная информация при решении многих инженерных задач может быть получена уже из исследования произведения преобразований. Для многих случаев прямые и обратные преобразования рассматриваемой функции могут быть найдены в специальных таблицах [6]. В связи с этим анализ преобразований гораздо проще, чем решение интеграла свертки.
Форма двумерного преобразования Фурье, которая будет использована ниже, имеет вид
ОО 00
A(tn1,tn2) = J dx! Ja(xx, х2)ехр[—j2a(tn1x1-}-m2x2)]dx2, (А.7) —00 —00
00 00
а(хх, х2) (=) j dm.! j A(mx, т2)ехр[/2л (mxxx+m2x2)J dm2. (А.8) —OO —00
Функция A(m) будет называться преобразованием Винера, а функция а(х) — обратным преобразованием (Винера) функции Д(т). Прописные буквы используются для обозначения преобразованных функций, строчные — для обратного преобразования. Знак (=) означает, что обратное преобразование существует везде, кроме точек, где а(х) имеет разрывы.
Переменные /пх и та измеряются в единицах, обратных единицам измерения хх и хг. В случае электрических цепей преобразование является одномерным, хх измеряется в секундах, а т1 — в герцах. В случае пространственной фильтрации хх и Хг могут быть выражены в радианах или в метрах в пространстве предметов; при этом тх и т.2 измеряются в периодах на радиан или в периодах на метр*).
Преобразования применимы для функций а(х), которые являются квадрат чно интегрируемыми [7], т. е. интеграл
J |a(x)|2dx (А.9)
—00
существует и имеет конечную величину. Во всех случаях можно использовать функцию а(х), определенную в конечной области х пространства. Предполагается, что а(х) равна нулю везде вне
*) Используется также измерение в числе волн на радиан. Однако авторы считают, что существует более наглядная связь между выражением числа периодов на радиан с числом периодов в секунду, чем с числом радиан в секунду.
621
этой области для того, чтобы преобразование J а (х) a (x+£)dx было положительно определено. Можно показать [5], что
J | а (х) I2 dx = j dm j J a (p) e'2’tm»’dp|2 (A. 10)
по области oo по области
или, так как а(х) равно нулю везде вне области точного определения
[ | а (х) |2 dx — J |А (m) |2 dm. ОО ОО
(А. И)
Уравнение (А. 11) показывает, что интеграл квадрата а(х) по •ее области определения равен интегралу от квадрата модуля преобразования этой функции по всему пространству. В случае электрических шумов а(х) является напряжением или током, и, следовательно, любая часть уравнения дает энергию, заключенную в а(х). В случае пространственной фильтрации а(х) будет функцией лучистости или облученности в пространстве изображения. В системе приемник излучения будет превращать эту облученность линейно в напряжение или ток, при этом наличие питания будет давать постоянную составляющую напряжения или тока' (гл. 5). Математически эти преобразования могут быть представлены умножением а(х) на чувствительность приемника. Одно из измерений описывает ширину приемника, а второе — длину пути, просканированного в пространстве приемником. Если эта длина пути пропорциональна времени, то уравнение (А. 11) также представляет в этом случае энергию. В более общем случае уравнение представляет величину, называемую квадратичным содержанием а(х) [8].
Пример. В качестве примера рассмотрим функцию а(х) = (1 1*11 </г> | 0 в остальных точках.
Квадратичное содержание этой функции
J I а (х) [2 d х = 4Л2. оо
(А. 12)
(А.13)
ЕслиЛ2<оо, преобразование должно существовать. Применяя уравнение (А.7), находим
л sin 2тг/П1 /г sin27vn2^
A (m) = 4h 2к/П1 h 2кт2 h *
(А. 14)
Таким образом,
J 4тс2 пг
оо
622
Полученный результат согласуется с (А. 13). Этот пример иллюстрирует инвариантность квадратичного содержания при преобразовании. При вычислении обратного преобразования прямой метод подстановки в уравнении (А.8) может быть упрощен
оо оо
f ^(m)e/2’tmxdm=-^_ f ZHZe’ dy f dz.
J V ’ irSh* J у J z
OO —OO —OO
Из-за симметрии рассчитаем лишь один коэффициент
оо в
f siML lim ( f Z21Z cos dy +
J У B-»oo\ J У h
— OO — В
В
+, j
— в
Второй интеграл берется в симметричных пределах и имеет нечетную подынтегральную функцию. Следовательно, он равен нулю. Первый интеграл— хорошо известный табличный определенный интеграл
sin у ~У~
Х1У . cos —dy =
О, если j > 1, у, если ^-=±1,
тс, если
Таким образом, обратное преобразование равно
0, если 1 1 h !> или 1 Xi 1 1h 1 > 1,
1, если |т ) < 1 и |т| < 1,
f A (т) е/2ктх dm = J 1 2 ’ если 1*1. h < 1 и х2 h ~ ± 1 или
ОО 2 если *1 I h 1 = ± 1 и 1 h | ’ < 1,
4 ’ если *i h " = ± 1 и
Внутри или вне квадрата с границами | | = h и | х21 = h обратное пре-
образование соответствует а(х), но на границах квадрата и особенно в углах, где а (х) имеет разрывы, этого соответствия нет. Таким образом, этот пример иллюстрирует необходимость круглых скобок для знака равенства в уравнении (А .8). Можно видеть, что область несоответствия содержит бесконечное число точек, но не является площадью.
623
А.З. Свойства преобразования Винера
Описанные свойства преобразования Винера используются в различных разделах гл. 10 и 12.
Самым существенным аргументом в пользу применения преобразования Винера при анализе электронной и пространственной фильтрации является то, что это преобразование сводит уравнения свертки [подобные (А.6)] к умножению преобразований, полученных с помощью (А.7). Наиболее простой способ убедиться в этом — произвести непосредственную проверку.
Если
ip (У) = j гр (ч) и. (У — ч) <4 (А-6)
и
то взяв преобразование обеих сторон *>, получим
Тр (ш) = J e-'^dy J гр (ч) t’i (у — ч) dn •
2Н [н
Делая подстановку
у —4=z, y = z + 4> dz = dy и представляя экспоненциальный коэффициент в виде произведения, получим
Тр(т)= f e-^mz z (z) dz j (ч) е-/2’'га>1 с?ч- (А. 15) 2H--Q Н
Но так как
г\ (z) = 0 для | Zy | > 2Н или | z21 > 277;
гр (1) = 0 Для 1411 > Н или | ч21 > Н,
уравнение (А. 15) может быть записано как
1р (m) = J (z) e-/27imz dz J rp (ч) e~/2’in”i d-r), (А. 16)
ОО оо
1р (гл) = Л (m) Rp (т).
Уравнение (А. 16) представляет желаемый результат, так как преобразование /р(т) функции ip(y), которая была сверткой ’i(y) с гр(у), равно произведению преобразований двух функций, подвергающихся свертке. Взяв обратное преобразование, получим
ip (У) (=) J e/25imy dm Г j 4 (г) J гр (фе-2™ i d4]. (А. 17)
*) Обратим внимание на пределы интегрирования. Если каждая составляющая гр равна нулю при | у | > Н и каждая составляющая ir равна нулю при | у | > 6, тогда 4р(у) равна нулю при | у | > Я + £. Здесь предположено, что Н = 8.
624
Уравнение (А. 17) устанавливает, что решение уравнения свертки (А.6) может быть найдено путем перемножения преобразований 4(у) и гр (у) и нахождением обратного преобразования их произведения. Круглые скобки около знака равенства указывают, что полученное соотношение не определенно в точках разрыва непрерывности.
Винер [7] произвел строгое доказательство, следующее из инвариантности квадратичного содержания преобразования.
Рассмотрим несколько других свойств преобразований, полезных для упрощения действий над ними. Преобразование линейно, потому что интегрирование линейно.
Если
ia (у) = рМу) + (у). (А. 18)
ТО
Ia (m) = j [pib (у) + qic (у)] eri2*my dy = (m)-f-?/c (m), (A. 19)
OO
где p и q — постоянные независимые от у.
Преобразование произведения двух функций’является сверткой в пространстве преобразований.
Если
ia (У) = (У) ic (У). (А.20)
ТО
АЛт) = j 4(нШт —(А-21) оо
Обе эти операции и предварительная операция (свертка в у пространстве) объединяются, т. е. для системы линейных операций
If (х) ~ J (§) (х §)
id (У) = J ib (Y) 1с (У — Y) ^Y> (Аф22)
= Jr(g)ra(z-g)C
Преобразование эквивалентного представления равно
If (m) = /?(т) 1а (т) 1С (т) 1е (т). (А.23)
Это свойство вытекает из последовательного применения (А. 16).
Растяжение преобразования в m пространстве будет приводить к пропорциональному сжатию его. обратного преобразования в х пространстве. Значит, функция, которая существует в большой области физического пространства будет иметь относительно узкую функцию преобразования, и, наоборот, функция, которая существует в небольшой области, а за ее пределами очень мала (равна нулю),
625
будет иметь относительно широкую функцию преобразования. Например, рассмотрим функцию
г (х) = р ехр
2а2
(А.24)
которая имеет преобразование
/?(т) = ]/лстрехр
/П]
1/2л2а2
(А.25)
Функция г(х) имеет форму кривой Гаусса с шириной, измеряемой среднеквадратичным отклонением а. Ее преобразование /?(т) имеет ту же форму, но с шириной, измеряемой 1/лст. Когда а увеличивается, уширяется и г (х), а функция /?(т) будет постепенно сужаться.
Максимальная величина г(х) постоянна при постоянной величине р. При увеличении ст квадратичное содержание г(х) увеличивается пропорционально увеличению ст2. Квадратичное содержание /?(т) равно квадратичному содержанию г (х), но/? (ш) сужается с увеличением ст. Следовательно, R (т) должно увеличиваться в максимуме. Из уравнения (А.25) хорошо виден этот эффект увеличения максимума, так как с ростом ст величина /?(т) превращается в высокий тонкий пик. В пределе, когда ст делается очень большим, г(х) стремится к постоянной величине во всем х-простран-стве, а /?(ш) превращается в функцию интенсивности в m пространстве. Наоборот, когда ст станет очень малым, /?(т) стремится к маленькой постоянной величине, а г (х) — к функции интенсивности в х-пространстве.
Преобразование функции, смещенной в х-пространстве, равносильно умножению первоначальной функции преобразования на фазовый коэффициент.
Если
«a(x) = tft(x + §), (А.26)
тогда
4 (m) = J ib (х+£) e~/2:tm,xdx. ОО
Делая подстановку, получаем
z = х + dz = dx, x = z —
Ia (m) = J h (z) exp [—/2л (m z—m-£)] dz=Ib (m) exp (/2лт£). (A.27) OO
Поворот функции в х-пространстве приводит к аналогичному повороту функции преобразования в гп пространстве. Чтобы 626
показать это свойство, удобно записать формулу преобразования в полярной системе координат *>.
В уравнении (А.7) положим
/711= р COS ф, Xi=rcos0,
т2 = рзтф, x2 = rsin0, (А.28)
тогда
А (р, ф) = J г dr J а (г, 0) ехр [— /2лргcos (0 — ф)] d0. (А.29) е о
Теперь, если
а (г, 0) = b (г, 0 + а). (А.30)
Делай подстановку
0 4-а = у, df) = dy, 0 = у— а, получаем выражение
оо 2тс-|-а
А (р, ф) = J г dr J b (г, у) ехр [— /2лр rcos (у — а — ф)] dy, (A.30a) 0 а
НО
2Н-а
J Ь е~7’2кР ''COSft-a-?) dy __ а
2тс 2я-|-а
= J подынтегральное выраженние + J подынтегральное 0 2тс
a
выражение — J подынтегральное выражение, (А.31) о
а так как b (г, у) определена на непрерывной поверхности, то она должна обладать свойством b (г, у) = b (г, у + 2л) и, конечно, это верно также для cos (у — a — ф); таким образом, два последних интеграла с правой стороны уравнения (А.31) должны быть равны, и поэтому исключаются, остается только интеграл от 0 до 2л. Подставляя этот результат в (А.ЗОа), получим
оо 2^
А (Р> ф) = J rdr j b (г, у) ехр {— /2лргсоз [у — (ф+a)]} dy. о о
*) Координаты р, ср, г и 0 используются для иллюстрации излагаемого правила вместо более логичных /л3, т^, у3, для того, чтобы сделать подстановку более наглядной.
627
Это выражение можно записать в виде
Л (р, <р) = В (р, ф + а). (А.32)
Уравнения (А.29) и (А.32) показывают, что вращение начальной функции на величину а приводит к вращению его преобразования на такой же угол. Интересный и полезный случай использования рассмотренного правила встречается, когда функция лучистости не изменяется при вращении ее через некоторый угол или углы. При этом преобразование также не изменяется. Таким образом, вращательная симметрия переносится в пространство преобразования.
Полезное свойство преобразования Винера при исследовании его краевых свойств*) заключается в том, что интеграл по одной переменной в одном пространстве приводит к такому же интегралу в другом пространстве, но с подстановкой соответствующей переменной, равной везде нулю в другом пространстве. Например, если
/ (m) = j i (у) ехр (— /2лт • у) dy,
СО
А А
lim I I {т) dm± = lim I dmr i (у) exp [— /2шп-у) dy. (A.33) Л^оо_л Л-»-оо_л
Изменение порядка взятия предела в (А.33) возможно, так как i (у) должно быть квадратично интегрируемо
А А
lim J / (m) dm^ = J i (у) e~/2zm^2dy lim J X
Л->-оо_л co Л-оо _ГЛ
oo oo
Хе-/2пт1У1_ J dyt § i (y) S (2лу],) cfy2,
—oo —oo
где 6 (2лух) представляет дельта-функцию Дирака
ОО оо
j /(m)dm1=^ i(0, у2)ехр(—j2nm2y2) dy2. (A.34)
—CO —00
Свойства преобразования Винера, рассмотренные в этом приложении, сведены в табл. А.1. Список содержит свойства, чаще всего встречающиеся в анализе электронных и пространственных фильтров. Другие интересные свойства могут быть найдены в монографиях по математике, отмеченные в списке литературы [5, 1].
*) Вследствие таких краевых свойств этих двумерных функций свойства одномерных функций получаются из двумерных путем интегрирования по одной переменной.
628
Таблица A.l
Свойства преобразования Винера
Свойство Физическое пространство Уравнение, в котором используется данное свойство Пространство преобразования Уравнение, в котором используется данное свойство
Определение i (У) (=) f / (т) ехр (/2лт-у) dm ОО У i (у) ехр (— /2лт- у) dy = I (tn) (А.8) (А.7)
Полярная система координат оо 2 г. i(r, 6)(=) j f^Pp(P. ?) ехр [/2Ttfrcos (0 — <f)] 0 0 oo 2к j rdr j i (r, 6) exp [ —/2тсрг cos (6 — ?)] dft = / (p, cp) 0 0 (А.29)
Свертка У г (4) i (у — 4) (А. 6) /?(m)Z(m) (А. 16)
Умножение Линейность Г (y) i (y) P<« (У) + qib (y) (А.20) (А. 18) У /? (р) / (m — р) </р ОО р/a (ш) + у/b (т) (А.21) (А. 19)
Взаимно-обратное растяжение Сдвиг 1 (y/k) i (У + a) (А.24) (А. 26) /(тк) /(т) е;2кт'а (А.25) (А. 27)
Вращение i (r, 6 + a) (А. 30) / (р, <р —«) (А. 32)
Интегрирование j(0, y2) У ‘ (y) dy! —OO (А. 34) ОО j / (т) dni! I (0, т2) (А. 34)
Инвариантность У li (У) I2 dy OO (А.11) J\I (т) |2dm (А.И)
ОБОЗНАЧЕНИЯ
А (т)*) — преобразование Винера а (х);
а — вектор смещения в у-пространстве;
а, b — постоянные;
а (х) — обратное преобразование А (т);
*) В приложении и гл. 12 прописные буквы относятся к обозначению преобразований в пространственно-частотной области; символы тих обозначают векторы. В гл. 12 эти векторы двумерные. В этом приложении тих описывают пространство с произвольным числом измерений.
21 Зак. 1502
629
В (m)— функция в m-пространстве, которая дает А (т), когда поворачивается на угол а;
h — высота в х-пространстве;
/ (т) — преобразование Винера i (у);
i (у) — выходное значение функции в у-пространстве;
/— мнимая единица у/" — 1;
К—максимальная величина к;
k — индекс суммирования;
kY, k2— постоянные в примере;
т = /л1,/п2— пространственная частота, составляющие которой пгг и получаются при преобразовании функций х = хр х2 и у = У1 У*,
р — вспомогательная переменная;
pi q — постоянные;
R (m) — преобразование Винера г(х);
г—радиальная координата в системе г, 0;
г (х) — входная функция в х-пространстве;
Г1 (х)—функция интенсивности (двумерная дельта-функция Дирака);
S— максимальная величина s;
s — индекс суммирования;
t — время;
w — векторные координаты с составляющими ш2, описывающими выходное пространство;
х — векторные координаты с составляющими хь х2, описывающими входное пространство;
у — векторные координаты с составляющими уь у2, описывающими выходное пространство;
z —векторные координаты с составляющими z2, описывающими выходное пространство;
а, у—вспомогательные переменные в г-, 9-пространстве;
о (у) — дельта-функция Дирака;
t— вспомогательная переменная в г-пространстве;
Н — максимальная величина ^-Н = Hlt Н2\
Ч — вспомогательная переменная в у-пространстве; ч=^1,
9 — угловая координата в системе г, 9;
Р- — вспомогательная переменная в т-пространстве;
6 — вспомогательная переменная в х-пространстве;
те — отношение длины окружности к диаметру круга;
р, ср — полярная система координат в пространстве преобразований; а — стандартное отклонение.
ЛИТЕРАТУРА
1. G а г d п е г М. F., J . L. Barnes. Transients in linear systems, 1st ed., v. 1, Ch. VIII, sec. 2. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1942.
2. L a n i n g J. H., R. H. В a t t i n. Random processes in Automatic Control. Ch. 5, sec. 5.2, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1956. Лэн и н г Дж.Х. и Бэттин Р. Т. Случайные процессы в задачах автоматического управления. Изд-во иностранной литературы, 1958.
3. F г a n k 1 i n Р. An introduction to Fourier methods and the Laplace Transformation. Dover Publications, Inc., New York.
4. T r a n t e r C. J. Integral transforms in mathematical physics. 2d ed., Methuen and Co., ltd., London, 1956.
5. W i e n e r N. L. The Fourier integral and certain of its applications. Dover publications, Inc., New York, 1933.
Винер H. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. Физматгиз, 1963.
630
6. Tables of integral transforms, compiled by Bateman Project Staff, California Institute of technology. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1954.
7. Wiener N. L. Generalized harmonic analysis. Acta Math., 1930, v. 55, p. 117—258.
8. G о 1 d m a n S. Information Theory. Ch. 2, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs., N. I., 1953.
Голдман С. Теория информации. Изд-во иностранной литературы, 1957.
9. J о n е s R. С. Sky Noise, its nature and analysis. Research Mem. 480, Polaroid Corp.
21*
..ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ПОЛОСА ПРОПУСКАНИЯ
Процесс нахождения эквивалентной ширины полосы пропускания шумов рассматривается для фильтра, работающего с белым спектром шумов
/ /V (/) \2
\ Nf0 )
Так как большинство реализуемых линейных фильтров может быть описано с помощью понятий об их полосах и нулях, интегрировать уравнение (14.12) можно, применяя теорию вычетов [1]. Все полюса и нули встречаются в виде сопряженных пар, поэтому |F(/)|2 можно в общем случае выразить в такой форме, что все полюсы будут находиться на мнимой оси и
I Р |2 + №1) (f №1) ••• (/Н" lafn) (f /г i\
Тогда можно показать, что для упомянутого случая
2 (Д/)п = j | F (/) |2 df = 2л/ 2 вычетов
и
т
Ж = 4 У , n > m + 1, (Б.2)
<=> П
k=\ k р i
при условии, что знаменатель не обращается в нуль и функция такова, что верна теорема о том, что многочлен в знаменателе на два порядка выше, чем в числителе. В качестве примера рассмотрим простой резонансный АС-фильтр, описанный в гл. 11, передаточная функция которого может быть записана в виде
IF (f) 12 = *1 I
1 "
(Б.З)
632
где
2у = (Z1 —/2);
— 0;
“i = у + Ту2 — fc; a2 = у — Vу2 — fc ; C = 4y2.
Можно показать, что величины и /г являются верхней и нижней границами пропускания фильтра (по половинной мощности). Имеются сопряженные полосы при и /аг и сдвоенные или сопряженные нули в нуле.
Из (Б.2) следует, что
4лт_2 Г — (gQ2 — (аг)
2 _ai(a2 — ai) a2(ai—“г)
= (А — АО-
(Б.4)
Таким образом, ширина эквивалентной полосы пропускания шумов для простого LC-фильтра вл/г раз больше, чем ширина по половинной мощности. В табл. Б.1 приведены дополнительно данные для нескольких простых фильтров.
Таблица Б.1
Фильтр Функция
Низких частот 72 IW-
Полосовой Р2/2 1 F (/) I2 = ^2 _|_ 72) (^2 _|_ _й2)
LC полосовой 4т2 f2 Щ/)1 _(f2-/2)2 + 4f/2
Резонансный низких частот f2 1 F (f) I2 = (/2-f2)24f/2
Эквивалентная полоса пропускания
(АПп =
7Z
Af)n = 72 4- р2
(Af)n = *7 =
=^(h-/2)
633
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ay — нули линейного электронного фильтра;
С — постоянная;
F (/)—характеристика электронного фильтра;
(Д/)я — ширина эквивалентной полосы шумов;
f — частота;
[с — центральная частота;
flt f2 — верхняя и нижняя границы пропускания фильтра по половинной мощности;
— полоса линейного фильтра;
р— параметр характеристики фильтра;
у — параметр характеристики фильтра.
Л ИТЕРАТУРА
Churchill R. V. Introduction to Complex Variables and Applications. Me Graw-Hill Book Company, Inc., New York, 1948.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аберрации 195
— при пространственной фильтрации 471
— хроматические 197
Аберрация сферическая 199
Абсолютно черное тело 20, 367
Алфавит 539
Альбедо 118
Алюминат кальция 244
Апертура относительная 192
Астигматизм 200
Атмосфера, поглощение инфракрасного излучения 53
— , состав 51
— стандартная 50
Ахроматический дублет 208
Бит (единица измерения информации) 537
— (при оценке надежности) 327
Болометры 127, 164, 171
Бромистый калий 256
— таллий 258
— цезий 256
Броуновское движение 355
---, спектр мощности 356
Буква 537, 539
Валентная зона 132
Вероятность априорная 519
— ложной тревоги и пропуска 315, 524
— поражения 328
— события 277
— условная 280
Видикон 172
Винера преобразование 471, 618
— спектр 490, 507, 509
Волновые числа 20
Вращательное квантовое число 35
Время жизни носителей тока 133
Входной зрачок оптической системы 191
Германий, оптические свойства 250
Главные плоскости 187
Делители излучения 220
Диафрагма апертурная 189
— полевая 189
Дисперсия (оптического материала) 226
Дисперсия (случайной величины) 284
Дисторсия 201
Дифракционный предел разрешения
оптической системы 203
Диэлектрическая постоянная 227
Доверительный интервал 317
Емкость канала информации 541,
552, 553, 602
— триода входная 422
Закон Вина 31
— Кирхгофа 21, 107
— Планка 23
— Рэлея — Джинса 31
— смещения Вина 27
— Стефана — Больцмана 29, 601
Законы распределения вероятностей
280
Зеркало Манжена 219
— сканирующее 219
Зеркальные покрытия 260
---алюминиевые 261
— — серебряные 261
Зона проводимости 132
Излучение молекул атмосферы 106—
115
Иммерсионная оптика 217
Иммерсионный приемник 166
Интенсивность отказов 325
Информации источник 536
— канал 538
— получатель 537
— скорость передачи 540
— теория 536
Информация непрерывная 544
— спектральная 568
Инфракрасная область спектра 19
Инфрасил 238
635
Йодистый калий 256
— цезий 256
Иртран 256
Квадратичное содержание 622
Квадратичный диод 447
Квантовая эффективность приемника
153
Квантовый выход 130—131
Кодирование 542
Колебательное квантовое число 36
Коллектив 216, 468
Кома 200
Корреляция 346—349, 520
Коэффициент автокорреляционный шума 347
— излучения 21
— отражения 231, 234
— поглощения 55, 224, 237
— правдоподобия 300, 520
— пропускания 231, 234
— — интерференционного фильтра 263
— усиления оптической системы 193
— шума 397, 402, 417—419
— — приемника 153
Коэффициенты излучения Эйнштейна 382
Кремний, оптические характеристики 250
Кривизна поля 200
Круг равных вероятностей 328
Лазеры 43
Линейчатое излучение газов 34
Линза простая 208
— Рэлея 220
— толстая 187
— тонкая 186
— Френеля 210
Математическое ожидание 282
Мера эффективности 313, 336
Мерцание 381
Микрофонный эффект 380
Модель Эльзассера 62
Моменты функции плотности вероятности 287
Мышьяковистый алюминий 254
— галлий 254
— индий 254
Надежность 321
Обращение спектральных линий 41
Обтекатель 218
Оптическая система Гершеля 211
— — зеркально-линзовая 213
— — Кассегрена 212
636
— — линзовая 208
— — Максутова 215
— — отражательная 210
— — Петцваля 209
— — Шмидта 213
Оптические стекла 238
Относительное отверстие 192, 217, 593, 604
Отношение сигнала к шуму 396, 430, 453, 530
Передаточная функция настроенного контура 434
— — электронного фильтра 345,429
Периклес 247, 248
Плавленый кварц 238, 241
Поглощение излучения в оптическом материале 226—229
— — в полосе 61
--- на наклонной трассе 85
--- отдельной спектральной линией 54
— — озоном 75—77
— — парами воды и углекислым газом 68—92
Подвижность электронов и дырок в полупроводнике 133
Показатель преломления 186, 225
Покрытия просветляющие 185, 233
Полоса пропускания низкочастотного фильтра 345
— — приемника 140
— — шумов 385, 632
Полуширина спектральной линии 39
— фильтра 264
Поляризация 226
Поляризуемость молекул 226
Постоянная Больцмана 24
— Планка 23
— Ридберга 34
— Стефана — Больцмана 29
Предусилители, выбор 420
— , конструкция 425
— ламповые 412
— полупроводниковые 404
Приемники излучения (см. также фотосопротивления) 123—180
— — Голея 167
---из антимонида индия (InSb)
— 161,386
— — из арсенида индия (InAs) 170
— — тепловые 124
— — фотоэлектрические 130
---, характеристики (таблица) 179
Призмы 219
Проверка гипотез 519
Пространство выборок 281
— изображений 194
— объектов 194
— сигналов 541
Радиометр 576, 577, 593
Распределение биномиальное 287
— нормальное (Гаусса) 289
— нормальное логарифмическое 323
— Пуассона 288
Рассеяние в атмосфере 102
Растр 466, 499
Риск 303
Рутил 248
Сапфир 245, 246
Свертка 435, 450, 618
Свертки интегралы 286, 351, 472, 620
Селен аморфный 243, 252
— легированный мышьяком 243
Селенистый мышьяк 238
Серое тело 21
Сигнал рассогласования 599
Синхронное детектирование 522
Следящая система 562, 577, 598
Случайная величина 281
Случайный процесс 291, 483
— — эргодичный и стационарный 294, 486
Спектральная плотность мощности 344, 351
— — — броуновского движения 356
— — — генерационно-рекомбинационного шума 374, 390
— — — шума приемника InSb 386,
------------- PbS 388
Среднеквадратичное отклонение 284
Статистические решения 295, 519
Стильтьеса интеграл 283
Сурьмянистый алюминий 254
— галлий 254
— индий 254
Теллур 252
Термоэлектронная эмиссия 130
Термоэлементы 126, 166
Трехсернистый мышьяк 238, 242
Трехсернистая сурьма 269
Угол Брюстера 231
Узловые точки 188
Уширение спектральных линий допплеровское 40
— — — лоренцевское 39
— — — собственное 39
Фильтр для воспроизведения 438
— для обнаружения сигналов 428
— для сканирующей камеры 442
— полосовой 434
— пространственный 464
— согласованный 520, 523
— электронный 428
Фильтры интерференционные 263— 271
Фоны морские 120
— наземные 117
— облачного неба 110—113, 465
— от небесных тел 116
— при наблюдении со спутников 113
Фосфористый алюминий 254
— галлий 254
— индий 254
Фосфоры 138
Фотографические слои 138
Фотосопротивления 131, 179
— из легированного германия 163^ 168
— InSb 162
— PbS 154
— PbSe 158
— PbTe 160
— Те 170
Фотоэлектронная эмиссия 137
Фтористый барий 256
— кальций 256
— литий 256
— натрий 256
Функции выгоды 299
— характеристические 285, 511
Функция автокорреляции 346, 363,.
373, 433, 589
— — дробового шума 363
— — оптическая 487
— — периодической функции 347
— — фона 486, 492
Функция апертурная 473
— аппаратная (рассеяния) 472
— модулирующая 448
— — плотности вероятности 282„ 342
— потерь 302, 303
Фурье интеграл 286
— преобразование 350
Хлористый калий 256
— натрий 256
— серебро 256
Холодильник Джоуля — Томсона 176
— компрессорный 176
— термоэлектрический 177
Цели 120
— воздушные 121
— диффузионные Неймана 329
— наземные 120
Чувствительность приемников интегральная 143
637
----нормированная по Джонсу 149
— — нормированная пороговая D* 148
---- пороговая D 144
----— Dblip 151, 588
Шеннона теорема 543
Шкала высот 50
Шпинель 247, 248
Шум 390
— дробовой 361
— генерационно-рекомбинационный 369—380
— Найквиста 356
— температурный 359
— токовый 381
— фотонный 365
Эвапорограф 129, 173
Энтропия 538
Эри диск 205
ОГЛАВЛЕН И Е
Стр.
Предисловие к русскому изданию.................... 5
Предисловие ...................................... 7
Глава 1. введение ................................ 9
1.1 Современное значение инфракрасной техники (9);
1.2. История развития инфракрасной техники (11); 1.3 Физика и техника инфракрасного излучения (13); 1.4. Порядок разработки инфракрасной системы (14); 1.5. Разработка системы обнаружения (17); Литература (18).
Глава 2. источники и характеристики инфракрасного излучения. 19 Инфракрасная область электромагнитного спектра (19); Тепловое излучение твердых тел (20); 2.1. Коэффициент излучения (21); 2.2 Закон Планка (23); Линейчатое излучение газов (34);
2.3. Двухатомные молекулы (35); 2.4. Многоатомные молекулы (38);
2.5. Форма спектральных линий (38); ЛазГеры (43); Обозначения (46); Литература (47);
Глава 3. прохождение инфракрасного излучения через атмосферу ........................................................49
Влияние метеорологических факторов (50); Поглощение атмосферными газами (53); 3.1 Поглощение отдельной спектральной линией (54); 3.2. Поглощение в полосе (61); 3.3 Поглощение в парах воды и углекислом газе (68); Поглощение на наклонных трассах (92); Рассеяние инфракрасного излучения (101); Обозначения (103); Литература (104);
Глава 4. фоны и цели ...................'...................106
Фоны (106); 4.1 Яркость ясного неба в области длин волн более 3 мк (108); 4.2 Яркость облачного неба в области длин волн более 3 мк (НО); 4.3. Рассеянное излучение (111); 4.4. Сплошная облачность (112); 4.5. Яркость при наблюдении со спутников (113);
4.6. Фон от небесных тел (116); 4.7. Яркость наземных фонов (117);
4.8. Яркость моря (120); Цели (120); 4.9. Наземные цели (120); 4.10. Воздушные цели (121); Литература (122);
Главе 5. приемники инфракрасного излучения..................123
Механизмы работы приемников инфракрасного излучения (123);
5.1 Тепловые приемники (124); 5.2. Фотоэлектрические приемники (130); Описание характеристик приемников инфракрасного излучения (139); 5.3. Условия работы (139); 5.4. Характеристики приемников (141); 5.5. Способы сравнения приемников (146); 5.6. Предельные
639
Стр.
условия обнаружения (149); Характеристики рабочих образцов приемников (153); 5.7. Промышленные образцы приемников (153); 5.8. Разрабатываемые приемники (168); Холодильники для приемников (174); 5.9. Термоэлектрический холодильник (174); 5.10. Испарительные холодильники (175); 5.11. Холодильник Джоуля—Томсона (176); 5.12. Компрессорный холодильник (177); Обозначения (180); Литература (182);
Г лава 6. оптика инфракрасных систем.........................184
6.1. Формулы линзы (185); 6.2. Диафрагмы (188); 6.3. Облученность изображения (190); 6.4. Коэффициент усиления оптической системы (193); Построение изображения (194); 6.5. Аберрации (195); 6.6. Приближенное уравнение в общей форме (201); 6.7. Дифракционный предел (203); Оптические схемы (207); 6.8. Линзовая оптика (208);
6.9. Отражательная оптика (210); 6.10 Зеркально-линзовые системы (213); 6.11. Коллективы (216); 6.12. Вспомогательная оптика (218) Обозначения (220); Литература (222);
Главл 7. ИНФРАКРАСНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ..................223
Прохождение инфракрасного излучения в оптической среде (223);
7.1. Распространение инфракрасного излучения в твердых веществах (223); 7.2. Поглощение, поляризация и дисперсия (226); 7.3. Отражение и преломление на границе сред (229); 7.4. Просветляющие покрытия (233); Оптические материалы и их свойства (235); 7.5 Инфракрасные стекла (240); 7.6. Окислы и титанаты (245); 7.7. Полупроводники (249); 7.8. Халькониды (253); 7.9 Интерметаллические соединения (254); 7.10. Галлоидные соединения (255); 7.11. Прочие материалы (259); 7.12. Металлические зеркальные покрытия (260); Инфракрасные фильтры (261); 7.13. Интерференционные фильтры (263); 7.14. Интерференционные фильтры только из диэлектрических слоев (265); 7.15. Материалы для интерференционных фильтров (269); Обозначения (271); Литература (273);
Г лава 8. прикладная теория вероятностей ....................277
Вероятность события (277); 8.1. Определения и аксиомы (277); 8.2. Законы распределения вероятности (280); 8.3. Характеристические функции (285); 8.4. Биномиальное распределение и его аппроксимации (287); Случайные процессы (291); 8.5. Классификация случайных процессов (293); Теория статистических решений (295); 8.6.Проблемы принятия решения (295); 8.7. Функции выгоды (298); 8.8. Критерий решения (300); Обозначения (307); Литература (308);
Глава 9. анализ операций ....................................310
9.1. Анализ операций, исследование операций, анализ систем (310);
9.2. Сущность анализа операций (312); Методы анализа операций (316); 9.3. Статистический вывод (316); 9.4. Надежность (321); 9.5. Вероятность поражения (328); 9.6. Графический анализ (332); Планирование анализа операций (334); 9.7. Формулировка задачи (334);
9.8. Мера эффективности (336); 9.9. Моделирование (337); 9.10. Анализ доброкачественности выводов (338); Обозначения (338); Литература (339);
Глава 10. случайные флюктуации...............................340
Статистика шумов (340); 10.1. Природа и значение шума (340); 10.2.
Характеристики случайных шумов (341); 10.3. Ширина полосы и спектральная плотность шумов (343); 10.4. Корреляция (346); 10.5.
640
Стр.
Спектральная плотность и корреляция (350); Физические источники шумов (354); 10.6. Броуновское движение (355); 10.7. Шумы Найквиста (356); 10.8. Температурный (тепловой) шум (359); 10.9 Дробовой шум (361); 10.10. Флюктуации в потоке фотонов(365); 10.11. Фотонный генерационн-рекомбинационный шум (369); 10.12. Генерационно-рекомбинационный шум (377); 10.13. Другие источники шумов (380); Измерения шумов (382); 10.14. Аппаратура для измерения шумов (382); 10.15. Шум фотовольтаического приемника из антимонида индия (386); 10.16. Шумы неохлаждаемого сернисто-свинцового фотосопротивления (388); Обозначения (392); Литература (394);
Глава 11. электроника слабых сигналов........................396
Линейная обработка сигналов (397); 11.1. Коэффициент шума (397);
11.2. Схема питания приемника (399); 11.3. Полупроводниковые предусилители (404); 11.4. Ламповые предусилители (412); 11.5. Коэффициент шума ламп и полупроводниковых триодов (416); 11.6. Выбор предусилителя (420); 11.7. Конструкция предусилителей 425); 11.8. Электронная фильтрация (428); 11.9. Фильтры для обнаружения сигналов (428); 11.10. Простой фильтр (434); 11.11. Фильтрация при воспроизведении (438); 11.12. Фильтр для сканирующей камеры (442); Нелинейная обработка сигнала (445); 11.13. Квадратичный диод (447); 11.14. Значения отношения сигнала к шуму (453); Обозначения (459); Литература (462);
Г лава 12. пространственная фильтрация ......................464
12.1. Использование растров (466); 12.2. Выбор пространственночастотной системы координат (468); 12.3. Аберрации, линейность и суперпозиция (471); 12.4. Функция апертуры (473); 12.5. Движение растра (478); 12.6. Получение передаточных функций растров методом суперпозиции (480); Статистическое описание случайных функций (483); 12.7. Оптическая автокорреляция (487); 12.8. Спектр Винера случайного процесса, описывающего изображение(490); 12.9. Аналог преобразования Винера (494); 12.10. Сокращение в ракурсе и высота (496); 12.11. Пространственно-частотный анализ (497); 12.12. Оптимальная пространственная фильтрация (505); 12.13. Измерение спектров Винера (507); Ограничения при использовании спектров Винера(509); 12.14. Усечение моментов высших порядков функции распределения вероятностей (511); 12.15. Немарковская природа случайных двумерных процессов (512); Обозначения (514); Литература (516);
Глава 13. проверка гипотез и теория информации ..............518
Анализ систем (518); Проверка гипотез и конструирование систем (519);13 1. Корреляция, синхронное детектирование, согласованные фильтры (520); 13.2. Рабочие характеристики приемной системы (523); 13.3. Решение при высоких пороговых уровнях (527); 13.4. Эксперименты с критическими пороговыми уровнями (531); 13.5. Неизвестные параметры сигнала (532); 13.6. Форма сигналов (533);
Основные понятия теории информации (536); 13.7. Источники информации и энтропия (537); 13.8. Канал информации, скорость передачи сообщений и емкость канала (538); 13.9. Кодирование (541); 13.10. Непрерывные источники и каналы (544); 13.11. Энтропия источников оптической информации (548); 13.12. Емкость непрерывного канала (551); Применения теории информации (554); 13.13. Емкость канала инфраккрасного приемника (555); 13.14. Теория информации и точность работы следящей системы.(559); 13.15. Спектральная информация (568); Обозначения (571); Литература (573);
641
Стр.
Главв 14. ИНФРАКРАСНЫЕ СИСТЕМЫ .............................576
Классификация (576); 14.1. Классификация по назначению (577);
14.2. Классификация по типу сканирования (578); 14.3. Классификация по способу модуляции (579); Общие соотношения, определяющие характеристики систем (580); 14.4. Системы, ограниченные шумами приемника (580); 14.5. Системы с характеристиками, ограничиваемыми шумами фона (588); 14.6. Системы, возможности которых ограничены шумами электронной схемы (591); .Соотношения, описывающие характеристики систем (593); 14.7. Радиометры (593);
14.8. Поисковая система (595); 14.9. Следящие системы (598); 14.10. Системы, дающие изображение (600); 14.11. Система связи (602);
14.12. Дальномеры 606; Сводка формул для систем обнаружения (611); Характеристики системы ограничиваются шумами приемника (611); Характеристики системы ограничиваются шумами фона (612); Характеристики системы ограничиваются фотонными шумами фона (612); Характеристики системы ограничиваются шумами электронной схемы (612); Радиометр (613); Поисковая система (613); Следящая система (613)ГСистема, дающая изображение (613); Система связи (613); Дальномерные системы (614); Коэффициенты пропорциональности (614); Обозначения (614); Литература (617);
ПРИЛОЖЕНИЕ А ...............................................618
Преобразование Винера (618); А.1. Свертка (618); А.2. Преобразование Винера (620); А.З. Свойства преобразования Винера (624); Обозначения (629); Литература (630);
ПРИЛОЖЕНИЕ Б................................................632
Эквивалентная полоса пропускания (632); Обозначения (634); Л и-тература (634):
ДЖ. Э. ДЖЕМИСОН
ФИЗИКА И ТЕХНИКА ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Редакторы И. М. Волкова, Н. Я • Гутчина, Т, М. Любимова Художественный редактор В. Т. Сидоренко Технический редактор 3. И. Яковлева Обложка художника В. В. Ашмарова
Сдано в набор 21/V 1965 г. Подписано к печ. 23/Х 1965 г. Формат 60X90J/ie Объем 40,25 п.л. Уч.-изд. л. 41,256 Т— 13557 Заказ 1502 Тираж 5350 экз.
Цена в пер. № 5 — 3 р. 04 к.
Московская типография № 4 Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по печати Большая Переяславская, 46
НОВЫЕ КНИГИ издательства «Советское радио» вышли из печати и поступили в продажу
Бернашевский Г. А., Богданов Е. В., Кислов В. Я., Ч е р н о в 3. С. Плазменные и электронные усилители и генераторы СВЧ. 1965 г., 96 стр., цена 25 коп.
Бруевич А. Н., Ефтянов С. И. Аппроксимация нелинейных характеристик и спектры при гармоническом воздействии. 1965 г., 344 стр., цена 94 коп.
Васильев В. Ы, Слободенюк Г. И., Трофимов В. И., X о т у н ц е в Ю. Л. Регенеративные полупроводниковые параметрические усилители. 1965 г., 448 стр., цена 1 р. 29 коп.
Вопросы теории и применения математического моделирования. Сборник статей под ред. Витенберга И. М. и др. 1965 г., 648 стр., цена 1 р. 62 коп.
Казаковцев В. С. Инструмент управления. 1965 г., 94 стр., цена 16 коп.
Дальнее тропосферное распространение ультракоротких радиоволн. Под ред. Введенского Б. А. и др. 1965 г., 416 стр., цена 1 р. 20 коп.
Нейман М. С. Курс радиопередающих устройств. 1965 г., 594 стр., цена 1 р. 42 коп.
Указанные книги можно приобрести в магазинах Книготорга и потребкооперации, а также заказать по адресу: Москва, К-50, ул. Медведева, 1. Магазин № 8, «Техническая книга», отдел «Книга — почтой».
Цена 3 р. 04 к,