В.Я. Дерр
Теория функций
действительной
переменной
Лекции и упражнения
Рекомендовано НМС по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по группе математических и механических направлений и специальностей
Москва «Высшая школа» 2008


УДК 517.2 ББК 22.161.5 Д36
Рецензенты:
чл.-кор. РАН, д-р физ.-мат. наук, проф. А.Г. Ченцов (УО РАН, Институт математики и механики); зав. кафедрой математической физики д-р физ.-мат. наук, проф. В.И. Сумин (ННГУ им. Н.И. Лобачевского); д-р физ.-мат. наук, проф. В.И. Ухоботов (Челябинский государственный университет)
Дерр В.Я.
Д36 Теория функций действительной переменной. Лекции и упражнения: Учеб. пособие/В.Я. Дерр. — М.: Высш. шк., 2008. — 384 с.: ил. ISBN 978-5-06-005080-6
В книге изложен теоретический материал с подробными доказательствами, даны упражнения и задачи по следующим разделам теории функций действительной переменной: функции ограниченной вариации и интеграл Римана—Стилтьеса; теория меры и интеграл Лебега; абсолютно непрерывные функции; интеграл Лебега-Стилтьеса. К большинству упражнений и задач приведены решения. Для нерешенных задач даны указания и ответы.
Для студентов университетов, обучающихся по математическим специальностям.
УДК 517.2 ББК 22.161.5
Учебное издание Дерр Василий Яковлевич
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
ЛЕКЦИИ И УПРАЖНЕНИЯ
Книга издана в авторской редакции Корректор Г.Н. Петрова
Изд. № РЕНТ-472. . в печать 26.02.08. Формат 60х881/16. Бум. офсетная.
Гарнитура «Таймс». Печать офсетная. Объем 23,52 уел. печ. л., 24,26 уел. кр.-отт.
Тираж 2000 экз. Заказ № 2800.
ОАО «Издательство «Высшая школа», 127994, Москва', Неглинная ул., 29/14, стр. 1.
Тел.: (495) 694-04-56. http://www.vshkola.ru. E-mail: info_vshkola@mail.ru
Отдел реализации: (495) 694-07-69, 694-31-47, факс: (495) 694-34-86.
E-mail: sales_vshkola@mail.ru
Отпечатано в ОАО «Ивановская областная типография».
153008, г. Иваново, ул.. Типографская, 6.
E-mail: 091-018@rambler.ru
ISBN 978-5-06-005080-6 © ОАО «Издательство «Высшая школа», 2008
Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запрещается.


Предисловие
Настоящее пособие содержит материал части курса «Функциональный анализ», который автор в течение ряда лет читает студентам математического факультета университета. На изучение этой части, посвященной некоторым вопросам теории функций действительной переменной, таким, как функции ограниченной вариации, абсолютно непрерывные функции, теория меры и интеграл Лебега, интегралы Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса и др., отводится примерно две трети семестра. Материал довольно большой по объему, а аудиторного времени в учебных планах отведено недостаточно. В учебных планах нового поколения предусматрено увеличение числа часов на самостоятельную работу. В этих условиях возрастает роль учебных пособий, которые помогли бы студенту самостоятельно разобраться в некоторых разделах курса. Именно такой характер носит предлагаемое пособие. Здесь подробно изложен весь теоретический материал, приведены доказательства основных утверждений, некоторые утверждения предложено доказать студентам в качестве упражнений, приведено достаточно упражнений технического характера, а также более сложные «штучные» задачи. Во второй части пособия приведены решения большинства задач, некоторые задачи снабжены лишь указаниями или ответами. Таким образом, настоящее пособие может служить одновременно учебником, задачником и «решебником». Ряд более сложных и трудоемких задач предназначен для курсовых и выпускных квалификационных работ (напр.,
3.15, 	13.36, 13.39-13.43, 14.8). Их решений в пособии нет, но студент может найти эти решения в доступной ему учебной или научной литературе.
Часть задач взята из известных задачников [1, 2, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15] и учебников [8, 10, 12, 18]; приведено большое число новых задач, а решения известных задач большей частью отличаются от приведенных в процитированных «решебниках».
Предполагается, что приступая к изучению функционального анализа, студенты усвоили теорию множеств (в рамках курса дискретной математики), линейную алгебру и математический анализ. Поэтому в пособии почти нет задач из указанных курсов.
Настоящее учебное пособие представляет собой расширенное переиздание трех брошюр [3-5], изданных небольшим тиражом (100 - 150 экз.), дополненное тремя параграфами и целым рядом новых задач.
Когда эта книга уже была написана, автор узнал о «решебнике» [16], содержащем решения некоторых из приведенных здесь задач.


Глава I. Интеграл Римана—Стилтьеса § 1. Монотонные функции
1.1. 	Здесь речь пойдет о функциях / : J —» R, определенных в каждой точке промежутка J С R вещественной оси и принимающих вещественные значения. Вспомним известные из курса математического анализа определения.
Функция /(•) называется возрастающей (убывающей;) на промежутке J, если для любых t,s € J, t < s
№ < f(s) (/(*) > /(*)). (i.i)
Таким образом, мы будем понимать возрастание (убывание) в нестрогом смысле. Если в неравенствах (1.1) для всех указанных t и 5 будут выполняться строгие неравенства, то /(•) будет называться строго возрастающей (строго убывающей).
Функция /(•) называется монотонной (строго монотонной) на промежутке J, если она на этом промежутке является возрастающей или убывающей (строго возрастающей или строго убывающей).
Вспомним также некоторые свойства монотонных функций. Монотонная функция в каждой внутренней точке промежутка J имеет конечные односторонние пределы
/(*0+) = , Km /(t), f(t0-) = lim /(*);
t—►iot'J *—►£()—
это значит, что монотонная функция может иметь только разрывы первого рода.
Обозначим 0to(/) (^(/)> at0(f)) скачок (правый скачок, левый
скачок) функции /(•) в точке to :
Vto (/) = /(*0+) - СГ+ (/) = /(<о+) - f(t0),
°Г0(/) = /(to) -
Очевидно,
<7*0 (Я = <7?о(Л + at~0(f)- 4


Если *£(/) =0 К (/) = 0), то /(•) непрерывна справа (слева) в точке to- Так как /(•) монотонная, то всегда либо
поэтому если ato(f) = 0, то /(•) непрерывна в точке £о- Если J=[a, ft], то в точке а (ft) можно говорить только о <т+ (/) и о непрерыв¬
ности справа (слева).
Если /(•) — убывающая функция, то g(t) = —f(t) — возрастающая. Поэтому ниже основной упор делается на изучение возрастающих функций.
1.2. 	Начнем со следующих вспомогательных утверждений.
Лемма 1.1. Пусть J = [a, ft], /(•) — возрастающая функция, , ..., tn — различные внутренние точки из J. Тогда
Упражнение 1.1. Докажите лемму 1.1.
Лемма 1.2. Пусть J — [a, ft], /(•) — возрастающая функция. Для любого е > 0 существует лишь конечное число точек разрыва функции /(•), в которых скачок превышает е.
(Другими словами, для любого е > О множество T£(f) =
= {t G J : at(f) > е} — конечное.)
Доказательство. Возьмем произвольно п точек ti, ..., tn из T£(f). Тогда согласно лемме 1.1
f(tо-) ^ f(to) ^ /(*о+), либо f(t0-) > f(to) ^ /(*о+),
п
(1.2)
П
пе < < f(b) ~ /(«)•
Отсюда
„„ т - /(о)
п <
£
А это и означает то, что нужно доказать.
5


Теорема 1.1. Пусть J = [а, Ь\. Множество T(f) точек разрыва возрастающей функции /(•) не более чем счетно. Если {tk}kLi С T(f) — множество внутренних точек разрыва, то
оо
ctf (/)+^2 atk (/)+<?ь (/) < f(b) - /(«)• с1-3)
k=1
Доказательство. Первое утверждение следует из леммы 1.2 и представления
оо
Т(Я = U гУж (Л-
п—1
Из леммы 1.1 следует ограниченность последовательности частичных сумм ряда (с положительными членами) из (1.3). Поэтому, устремляя п в (1.2) к +оо, получаем (1.3).
Если J = (а, Ь) (в частности, может быть а = — оо или (и) b = +оо) и Т(/) = {tk}^Li> то неравенство (1.3) примет вид
оо
at* (/) ^sup - М *=1 t€J t€J
Тот факт, что множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно, может создать впечатление, что такие функции «устроены» очень просто. Между тем счетное множество может иметь достаточно сложную структуру.
Рассмотрим в связи с этим пример. Пусть Q = {ri, Г2, ...} — множество рациональных чисел. Для каждого t € R полагаем
/(')= £ Р (1-5)
к: rk<t
(здесь суммирование распространяется на те /с, для которых
оо
rk < t). Очевидно, infR /(£) = 0, supR/(t) = £ = 1-
fc=i
Покажем, что
1) /(•) строго возрастает на всем М;
2) /(•) имеет разрыв справа в каждой рациональной точке rn € Q, причем 0-+ (/) = у2п;
3) /(•) непрерывна слева всюду на R;
б


4) 	/(•) непрерывна в иррациональных точках.
Действительно, пусть 12 > t\. Найдется рациональное число г^0 : h < Гк0 < t2 так, что
+ Е ^>EF + i = /(,i)+i'
rfc<t 2 Tk<tl ti^rk<t2 rk<ti
f(t2) ~ f(ti) > > 0. (1.6)
Таким образом, утверждение 1) доказано.
Пусть rn G Q произвольно. Для t > гп как и выше получим f(t) > f(rn) + У2п. Отсюда при t —» гп + 0 имеем сг+Д/) = = /(гп+) — /(гп) ^ Угп. Этим доказана разрывность /(•) в каждой рациональной точке справа и оценка снизу для скачка.
Так как сумма скачков по всем точкам разрыва /(•) больше либо
оо оо оо
равна X) ark(f), а X) °Vfc(/) ^ 23 агк(Л> то в силу неравенства (1.6) fc=l fc=l к= 1
имеем
оо _■ оо оо
1 = И 2^ ^ ^ Е *»■*(/) < 1.
fc=l fc=l fc=l
Отсюда следует, что суммы всех участвующих здесь рядов в точно- сти равны 1, СГ+ (/) = ark(f) = V2fc, сг~ (/) = 0 и at(f) = 0 для любой иррациональной точки. Таким образом, все сформулированные утверждения для функции /(•), определенной равенством (1.5), доказаны.
По типу (1.5) может быть построена строго возрастающая функция, разрывная во всех точках наперед заданного счетного множества {*1, f2, •••} С J.
1.3. 	Пусть J = [а, Ь], /(•) — возрастающая функция,
Т(/) = {tfc} — множество ее точек разрыва. Определим функцию /<*(•) следующим образом. Положим fd(a) = 0, а для t > а
fd(t) = (/) + (/) + (/)• (1-7)
tk<t
Из определения (1.7) сразу видим, что /<*(•) изменяется скачком при переходе через точки разрыва /(•).
Покажем, что /<*(•) — возрастающая функция.
7


Действительно, пусть s > t.
fd(s) - fd(t) = (Л ~at (/) =
t<tk<s
t<tk<s
что и означает возрастание /<*(•)•
Далее, пусть
m = m-fd(ty
(1.9)
Покажем, что /с(-) — возрастающая непрерывная функция.
Пусть t £ J произвольно и s > t. Из (1.8) и неравенства (1.3), примененного к отрезку [£, s], получаем
откуда fc(t) = f(t) - fd(t) < f(s) - fd(s) = /c(s), т. e. /с(«) действи-
(все слагаемые неотрицательны, поэтому одно слагаемое меньше суммы). Устремив здесь и в (1.10) 5 —>t + 0, получаем, что
откуда /с(М-) = f(t+) - fd(t+) = f(t) - /d(£) = /с(£), т. e. /с(-) непре¬
рывна в точке t справа. Взяв s < t, поменяв в вышеприведенных выкладках местами s и t и устремив затем s —> t — 0, получим непрерывность /с(.) в точке t слева.
Попутно установлено (см., например, (1.11)), что скачки /<*(•) и /(•) совпадают.
Определение (1.9) можно переписать так:
fd(s) - ш ^ № - /(*),
(1.10)
/(*+) - т = fd(t+) - т,
ал!)
fit) = fc{t)+fd{t).
Таким образом, доказано следующее утверждение.


Теорема 1.2. Возрастающая функция может быть представлена в виде суммы возрастающей непрерывной функции /с(.) (непрерывной части /(•)) и возрастающей функции скачков fd(’) (дискретной части /(•))• При этом значение /(•) в точке а «наследуется» ее непрерывной частью: fc(a) = f(a).
Упражнение 1.2. Переформулируйте теоремы 1.1 и 1.2 для убывающей функции.
Заметим, что в рассмотренном в п. 1.2 примере /<*(£) = f(t),
Рис. 1.1
Рассмотрим еще один пример. Пусть f(t) = t2[t}. J = [—2, 2]. Будет удобнее, если мы (учитывая определение целой части [t] числа t) перепишем такое задание функции в виде
т =
-2t2 ~t2, О,
*2,
8,
-2 < t < -1; -1 < t < 0;
0 sj t < 1;
1 ^ t < 2; t = 2.


fd{') находим из определения (1.7): на полуинтервале [—2, —1) нет точек разрыва /(•), поэтому fd{t) = 0 для t Е [—2, —1);
для t € [-1, 1) fd(t) = /(-1+) - /(—1—) = 1; ДЛЯ t € [1, 2)
fd(t) = /(-1+) - /(—1—) + /(1+) - /(1—) = 2; наконец, при t = 2 fd(t) = <t_i (/) + (7i (/) + a2(f) = 6.
/с(-) находим из определения (1.9): /с(£) = /(£) — fd(t). В итоге
/с(*) =
-2t2, -t2 - 1, -1, t2 - 2,
-2 * < -1; -1 ^ t < 0;
0 < t < 1;
1 ^ t < 2.
Графики функций /(t), /d(i) и fc(t) приведены на рис. 1.1.
Упражнения и задачи
1.3. Пусть д : [а, 6] —> М, / : [д(а), <?(Ь)] —> М; д() — возрастающая, а /(•) — монотонная функции. Докажите, что f(g(t)) — монотонная функция.
1.4. Приведите пример функций из упражнения 1.1 таких, что д(-) имеет разрыв в точке to € (a, b), a /(<?(•)) непрерывна в этой точке.
1.5. Пусть / : [а, Ъ\ -+ R, fm(t) = inf f(s), fM{t) = sup f(s).
s€[a,t] s€[a,t]
Докажите, что:
1) fm(') — убывающая, а /м(-) ~ возрастающая функции;
2) /т(*) и /м(*) непрерывны в точках непрерывности /(•);
3) fm(t) = f(t), когда /(•) — убывающая функция,
/м(£) = /(£)> когда /(•) — возрастающая функция.
1.6. Пусть f(t) — t при — 1 < t < 0, f(t) = t2 -f 2 при 0 < t < 1, /(—1) = —2, /(0) = 1, /(1) = 4. Представьте /(•) в виде суммы непрерывной и ступенчатой возрастающих функций.
1.7. Представьте функцию f(t) — t2 4-1 (—1 ^ t < 0), /(0) = 0, /(t) = — t2 — 1 (0 < t ^ 1) в виде суммы непрерывной убывающей функции и ступенчатой убывающей функции.
10


1.8. Пусть Act - счетное множество. Приведите пример возрастающей (убывающей) функции, множеством точек разрыва которой служит А.
1.9. Найдите непрерывную часть /с(-) и функцию скачков /<*(•) у функции, рассмотренной в п. 1.2?
1.10. Пусть / : [a, b] —> М — возрастающая функция, значения которой заполняют отрезок [/(a), f(b)]. Докажите, что /(•) непрерывна на [а, b].
Множество А называется плотным в множестве В (А, J5cRn), если В С с\ А (с\ А означает замыкание множества А). Если В замкнуто {А С В), то говорят, что А всюду плотно в В, в этом случае В = cl А.
1.11. Пусть /(•) — возрастающая функция, принимающая все значения из некоторого всюду плотного в [/(а), /(&)] множества. Докажите, что тогда /(•) непрерывна на [а, Ь].
1.12. Пусть на множестве А С [а, Ь] задана ограниченная функция /(•) такая, что f(t\) ^ f(t2) для t\ < t2, £1, £2 £ ^4- Требуется продолжить ее на весь отрезок [а, 6] так, чтобы получилась возрастающая функция.
1.13. Докажите, что непустое открытое ограниченное множество из М есть не более чем счетное объединение открытых интервалов.
Замкнутое множество называется совершенным, если все его точки являются предельными. Совершенное множество, таким образом, не имеет изолированных точек.
Множество А С М называется нигде не плотным, если любой интервал (а, Ь) содержит такой интервал (а, /3), что ЛП(а, (3) = 0.
1.14. Докажите, что непустое замкнутое ограниченное множество из R есть либо отрезок, либо получается из отрезка удалением конечной или счетной системы непересекающихся открытых интервалов.
1.15. Докажите, что совершенное ограниченное множество есть либо отрезок, либо получается из отрезка удалением конечной или счетной системы непересекающихся открытых интервалов, не имеющих общих концов и не имеющих общих концов с исходным отрезком.
1.16. Разделим отрезок J = [0, 1] на три равные части точками У3
11


и 2/3 и удалим из него средний интервал Gi = (У3, 2/3). Каждый из оставшихся отрезков [О, У3] и [2/3, 1] разделим на три равные части точками У9 и % (первый) и 7/9 и % (второй) и удалим средние интервалы, т. е. множество G2 = (У9, %) U (7/9, %). На третьем шаге мы удалим средние части (интервалы) четырех оставшихся отрезков, т. е. множество G3 = (V27. %?) U (У27. %т) и (19/27> 2%7) и (25/27, 26/27). Этот процесс продолжим неограниченно: на к-м шаге мы удаляем 2fc_1 ин- тервалов, средние части отрезков, оставшихся от предыдущих шагов, т. е. множество Gk = (%к, %к) U ... U (зк~%к, 3*-1/3*) (см. рис. 1.2).
| « > < > < > ( ) < > <
О 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1
Рис. 1.2
оо
В итоге окажется удаленным открытое множество Go = U
к=1
Множества Go и 1C = J \ Go называются канторовыми множествами. Интервалы, составляющие G&, называются смежными интервалами к-то ранга (их всего 2к~1). Концы смежных интервалов называются точками первого рода. Остальные точки К называются точками второго рода. Очевидно, что 0 и 1 точки второго рода.
Докажите, что:
а) /С — совершенное нигде не плотное множество;
б) К имеет мощность континуум;
в) Go всюду плотно в J.
1.17. Пусть Ak С [0, 1) (Bk С [0, 1)) — множество точек, десятичное представление которых не содержит цифры к (невозможно без цифры к) (к = 0, 1, 2, ..., 9).
Опишите строение множеств Ak и Внайдите их мощность; является ли какое-либо из них совершенным? нигде не плотным?
1.18. Пусть А С [0, 1] — множество чисел, в десятичном представлении которых цифра 2 появляется раньше цифры 3. Опишите строение множества А; укажите его мощность.
1.19. Опишите строение и мощность множества А точек отрезка [0, 1], в двоичном представлении которых на четных местах стоят единицы; является ли множество А совершенным? нигде не плотным?
12


1.20. Определим функцию в : [0, 1] —► [0, 1] следующим образом.
Рис. 1.3
Полагаем 0(t) = 1/2 ПРИ t G Gi, 0(t) = У4 при t € (х/9, %), 9(t) = 3/4 при t € (У9, %) и, вообще, 0(£) = Щ^г- на г-м при счете слева направо смежном интервале к-го ранга, i = 1, 2, ..., 2к~1. Этим 0(*) определена на множестве Go (см. рис. 1.3). Полагаем также 0(0) = 0, 0(t) = sup в(т) для остальных точек /С. Очевидно, что 0(1) = 1.
T<t, т€С?о
Теперь в(-) определена на всем [0, 1]. Докажите, что:
а) 0( ) — возрастающая функция;
б) в(-) непрерывна на [0, 1] (см. рис. 1.3).
1.21. Убедитесь, что
*(|) = !*(*), *(| + |) = 5 +!'<*>•
1
1.22. Вычислите / 6(t)dt.
о
§ 2. Функции ограниченной вариации
2.1. 	Пусть J = [а, Ь] и / : J —► R. Рассмотрим разбиение т = {£*:}£=о отрезка [а, 6], а = to < ^1 < ... < tn = Ъ. Составим
13


сумму абсолютных величин приращений /(•), соответствующую этому разбиению
п
Vt = VrU) = vT{f\ [а, 6]) = 53 l/(*fc) - д*к-i)l О 0).
к=1
Возможны два случая: 1) совокупность сумм {vT(f)}T, отвечающая всевозможным разбиениям, ограничена сверху, т. е. существует константа с такая, что vT(f) ^ с для всех т; в этом случае мы скажем, что функция /(•) имеет на [а, 6] конечную вариацию (конечное изменение) и назовем полной вариацией функции /(•) на отрезке [а, Ъ] величину
ь
У if) =sup VT(f)
Т
(точная верхняя грань здесь берется по всем разбиениям г); говорят также: /(•) есть функция ограниченной вариации;
2) 	совокупность сумм {vT(f)}T не является ограниченной, то есть для любого с > 0 найдется разбиение г такое, что vr(f) > с; тогда мы
скажем, что /(•) не является функцией ограниченной вариации, или
■ • 6 ;Г - ■ полная вариация /(•) бесконечна, V(/) = +оо.
. • -л ' . > : ' t-v. а
Пусть разбиения г' и г различаются лишь одной точкой так, что г' = г U {t} и t G (tk0-1, tkо)- Тогда по свойству абсолютной величины числа
1/С**о) - /(**0-l)l = l(/(tfco) - №) + (/(?) - /(<feo-l))l <
^\f(tko)-m\ + \m-ntko^)\-,
число слева входит в сумму vT, оба слагаемых справа входят в сумму vTt. Остальные слагаемые обеих сумм одинаковы, поэтому vT < vT>.
Итак, добавление новых точек к некоторому разбиению может лишь
ь
увеличить сумму. Так как vT{f) < V(/) Для любого разбиения, то ска-
а
занное означает, что мы можем считать, что в произвольное разбиение входят любые интересующие нас точки.
Рассмотрим в качестве иллюстрации пример. Пусть f(t) = 1 при t = ±2, f(t) = 1 — t2 при \t\ < 2, и г — произвольное разбиение
14


отрезка (—2, 2]. Не ограничивая общности, можно считать, что О G т и пусть tm = 0.
Vt = |/(<l) - /(*о)| + \f(t2) - f(tl)\ + ... + |f(tm) - f(tm-i)\ +
+ |/(Wl) - f(tm) I + • • • + \f(tn-i) - /(t„_2) | + | f(tn) - f(tn-1)| = = |(i-t?)-i| + |(i -t22)-(i-t2)\ + ...+ |i- (i-&-i)l+
+ Ki - t2m+l) -1| +... + |(i - t2n_о - (i - tl_2)| + |i - (i - tl_i)|.
Так как t\ < для к = 2, ..., m (при t < 0 функция s — t2 — убывающая) и t\> t\_x для к = m + 1, n — 1 (при t > 0 эта функция возрастающая), то
vT = t\ + it2 -12) + (t2-t2) + ... + (t2m_2 -&_,) + + t2m+1+
+ (*m+2 “ ^rn+l) + • • • + (<n-l _ ^_2) + *n-l = + 2^_x.
Так как при приближении ii к —2 и tn-i к2 vT будет увеличиваться, то
\/(/) = supi;T = sup(2tj + 2t2_x) = 2 • (-2)2 + 2 • 22 = 16.
Рис. 2.1
15


Приведем теперь пример (непрерывной) функции, имеющей бесконечную полную вариацию.
Пусть f(t) = 0 при t = О, /(£) = t • cos ^ при 0 < t < 1. Рассмотрим разбиение тп отрезка [0, 1] точками
О < — <
vT„(f) = +
1 7Г
— COS ; О
2 п 2 -1-
2 п 2п — 1
1
2п
+
- COS 2
2п — 1
7Г
COS
7Г I  1 COS г
2-i 3 2•А
+
2 * 3
Так как cosnk = (—l)fc, cos - = 0, то
1 1
< - < - 3 2
< 1.
7Г
1
- — cos 2 п
7Г
2 • 1
Z 2п—1
2 • — Z 2n
7Г
• cos —
1
- - cos 2
7Г
2 • -
Z 2
Ill 1
^ = тг: + —+ ^—~ +
1 1 1 1 _ 1 1
2п ' 2п ' 2п — 2 ' 2тг —2+“' + 4 + 4 + 2 + 2 ~ +2+"' + п'
Так как частичная сумма гармонического ряда стремится к -f оо при
п —► оо, то для любого с > 0 найдется п такое, что vTn (/) > с. Таким 1
образом, \/(Л — +оо. о
2.2. 	Теорема 2.1. Монотонные функции имеют конечную ь
вариацию, причем V(/) = 1/(&) — /(а)1*
а
Доказательство. Пусть /(•) возрастает на [а, 6] и г — произвольное разбиение. Так как /(£&) ^ f(tk-1), то
п п
«г(Л = £ !/(**) - = 5Z(/(*fc) - №-i)) = /(6) - /(а).
fc=l
Итак, здесь суммы vT(f) даже не зависят от разбиения, поэтому
ш = т -/(«).
а
Упражнение 2.1. Видоизмените рассуждения для убывающей функции.
Теорема 2.2. Если/(•) удовлетворяет условию Липши-
ь
ца, то она имеет конечную вариацию, причем V(/) ^ L(6 — а),
а
где L — константа Липшица функции /(•).
16


Доказательство. Условие Липшица означает, что для любых t и s из [а, Ь] | f(t) — /(s)| ^ L\t — s|. Для произвольного разбиения т имеем
п
М/) = £ !/(**) - /(tfc-l)l <
к=1
п п
^ £ L(tk - tk-1) = L £(<fc - tk-i) = L(b - a),
к—1 k=l
откуда и следует утверждение теоремы.
Следствие 2.1. Если функция /(•) имеет в каждой точке [а, Ь] производную и эта производная ограничена, то /(•) — функция ограниченной вариации.
Доказательство. Пусть |/;(£)| ^ Mi. По формуле конечных приращений Лагранжа (£ — точка между t и s)
т - т\ = |/ш - *)i = \т\ • i* - «к т - »\,
т- е* /(*) удовлетворяет условию Липшица с постоянной Mi.
Теорема 2.3. Функция ограниченной вариации ограничена.
Доказательство. Заметим сначала, что для любых двух точек t и s из [а, 6] имеет место неравенство
I/w-/wkV(/). (2.1)
а
Действительно, пусть а < t < s ^ 6и разбиение т состоит из точек а, £, 5, b (при t = а или s = b точек всего 2 или 3).
ъ
мл = i/w - /Mi +\т - т\ +1т - т\ < ум,
а
откуда и следует (2.1). Пусть t € [а, Ь] — произвольно. Из (2.1) имеем
ь
|/(«)|-|/(a)|<|/(t)-/(e)|< \/(/)’
а
так что |/(*)| < |/(о)| + V(/)-
а
17


Теорема 2.4. Пусть /(•) и д(-) — функции ограниченной вариации на [а, Ь]. Тогда имеют конечную вариацию и функции:
1) 	af(t) + (3g(t) (а, /3 е R),
3) 	f(t)/g(t) при дополнительном предположении, что g(t)^c>0.
Упражнение 2.2. Докажите теорему 2.4
Заметим, что условие g{t) ^ с > 0 не может быть заменено условием g{t) > 0. Пусть, например, g(t) = 1 — {£} на [0, 1], где {t} — дробная
1
часть числа t. Очевидно, g(t) > 0 и (покажите это!) У(д) = 2- Однако
о
функция не является ограниченной и, значит, по теореме 2.3 не может быть функцией ограниченной вариации (см. рис. 2.2).
Рис. 2.2
Обозначим множество функций, имеющих конечную вариацию на [а, Ъ} через ВУ[ащ- Тогда утверждение 1) теоремы 2.4 означает, что ВУ[а^ь] — линейное (векторное) пространство, а утверждения 1) и 2) — что ВУ^ь] — алгебра (выполнение соответствующих аксиом следует из того, что операции над функциями определяются поточечно).
2.3. 	Теорема 2.5. Пусть с Е (а, Ь). Тогда
BV[a, 6] = ВVja> с] П ВVjc, Ь], (2.2)
и, если / Е BV[a? Ь], ТПО
Ь с Ь
\д/)=V(/)+V(/)- (2-3)
а а с
18


Доказательство. Пусть /(•) Е jE?Vja>&], т' = {£fc}fcLo ~ разбиение отрезка [а, с], г" = {sk}k=о — разбиение отрезка [с, 6]. Тогда г = r'Ur" — разбиение отрезка [а, Ь], содержащее точку с = tm = 5о, и
771 71
МЛ + «т"(Л=£ l/(*fc) - /(*fc-i)l+£ I/O5*) - /(sfe-i)l =
k=1 г=1
= «т (Л<\/(Я-
a
Так как слагаемые в левой части неотрицательны, то
6 ь
Vr'if) <:\/(f) И VT"(f) ^ \J{f), а а
т. е. /(•) € #V[a, с] nBV|Ci4. Это значит, что левая часть в (2.2) входит в правую часть. Кроме того, переходя в неравенстве
6
vT’{f)+VT"(f) «s \/(/)
а
к точной верхней грани по всем разбиениям т' отрезка [а, с] и по всем разбиениям т" отрезка [с, Ь], получаем неравенство
\ДЯ + \/(Я<\/(Я- (2.4)
аса
Пусть теперь /(•) Е BVjajC] П BV[с>ц и т — произвольное разбиение отрезка [а, 6]. Как уже отмечалось, предположение, что с Е т, не ограничивает общности. Пусть г = {^}^=0 и с = tp. Обозначим т' = {tfc}fc=0 и г" = {£fc}£=p; т'? и г" — разбиения соответственно отрезков [а, с] и [с, 6]. Тогда
тг р
»т(/) = £I№) - | = £ !/(**) - /(ffc-i)l+
fc=l fc=l
+ £ !/(**) - /(**:-i)i = м/)+*v'(/) < V(/) + \Дя-
fc=p+l a с
19


Неравенство vT(f) < V(/)+V(/) означает, что /(•) € BV[a^] и, значит,
а с
правая часть в (2.2) входит в левую, а перейдя в этом неравенстве к точной верхней грани, получим неравенство, противоположное (2.4). Следовательно, выполняются равенства (2.2) и (2.3).
Следствие 2.2. Если /(•) кусочно монотонна на [а, Ь] (т. е. если [а, 6] может быть разбит точками с*;, а<с\ <.. .<Ср<Ь на отрезки [с^_i, с*;], k = 1, ..., p-f 1, со = а, Cp+i = 6, на каждом из которых /(•) монотонна), то /(•) € При этом
Доказательство. Так как /(•) на [cfc_i, с*;] монотонна, то по теореме 2.1 / £ #VjCfc_ljCfcj. Индукцией равенство (2.3) может быть распространено на любое конечное число слагаемых.
Пример 2.1. Найдите полную вариацию функции /(£) = sin t на отрезке [0, 2п] (см. рис. 2.3).
Здесь ci = % (sin£ возрастает на [0, ж/2}), с2 = (sin t убывает на [%» 3/27г] и возрастает на [3/27г, 27т])
6 р+1 Cfc
V(/) = £ V (/)•
a k—1 Cfc_ 1
27г % 27г
^ (sin) = \/(sin) + (sin) + \J (sin) = 1 + 2 + 1= 4.
О 0 %
si nt
l1
t
Рис. 2.3
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы получить критерий функции ограниченной вариации.
20


Теорема 2.6. Для того чтобы функция f : [а, Ь] —► R имела конечную вариацию, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде разности двух возрастающих функций.
Доказательство. Достаточность. Пусть f(t) = — /2/i(*)
и /2О — возрастающие функции. По теореме 2.1 /*(•) € BVja>bj
(г = 1, 2), а в силу утверждения 1) теоремы 2.4 и /i(*)—/гО) £
Необходимость. Каждой /(•) € BVja,6] поставим в соответствие функции fn(-) и /хД-) следующим образом:
t
fir (о) = 0, fn(t) = \/(f) ДЛЯ t > а, (2.5)
а
/л*)=л(<) - т- (2.6)
Покажем, что обе эти функции — возрастающие.
Пусть а ^ t < s ^ Ь. Применим равенство (2.3) теоремы 2.5 к
отрезку [a, s], взяв в качестве с точку t. Тогда
ли - т = V(/) - V(/) = W)+W) - V(/) =
a a a t a
= \/(f)> 0; (2.7)
t
далее, с помощью (2.7) и (2.1) видим, что
ш - /„(о = (/jr(s) - /(*)) - (/»(«) - т) = = (/.(^) - /*(*)) - aw - /(*)) (2=7) W) - (/(*) - я*» ^ °-
t
Таким образом, /*■(•) и /i/(-) действительно возрастающие функции. Из определения (2.6) имеем
т = т-т, (2.8)
что и требовалось доказать.
Замечание 2.1. Можно добиться, чтобы в представлении функции ограниченной вариации в виде разности возрастающих функций обе эти функции были строго возрастающие.
21


Действительно, пусть д : [а, 6] —► R — произвольная строго возрастающая функция. Согласно (2.8)
/(<) = U(t) - М*) = (Л(*) + 9(t)) - (М*) + 9(t));
функции в круглых скобках — строго возрастающие.
Можно также добиться, чтобы в этом представлении обе функции были неотрицательными.
Следствие 2.3. Функция ограниченной вариации может иметь не более чем счетное множество точек разрыва.
Доказательство. Пусть f(t) = fi(t) - f2(t), где /<(•) (г = 1, 2) — возрастающие функции. Тогда Т(/) С T(/i)UT(/2) и утверждение следствия 2.3 вытекает из теоремы 1.1.
Следствие 2.4. Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы непрерывной функции ограниченной вариации и функции скачков, которая также является функцией ограниченной вариации.
Доказательство. Представим f(t) по формуле (2.8) и применим теорему 1.2 к /*(•) и /„(•) :
/тг(£) = Uc(t) + U{t) = Uc(t) + Ud(t), (2.9)
где /7ГС(-) (fuc(')) — непрерывная часть, а /*<*(•) (/*<*(■)) — дискретная часть /тг(*) (/Л*))* Вычитая из первого равенства в (2.9) второе, получим
/тг(£) — = ~ Uc(t)) + ~ fvdit))'
Это значит, что f(t) = fc(t) + fd(t), где в силу теоремы 2.6 /с(*) — непрерывная функция ограниченной вариации, а /<*(•) — функция скачков, имеющая конечную вариацию.
Заметим, что /<*(•) и /с(«) могут быть найдены непосредственно по формулам (1.6) и (1.8).
22


Следствие 2.5. Функция ограниченной вариации интегрируема по Риману.
Доказательство следует из того, что возрастающие функции интегрируемы по Риману.
2.4. 	Теорема 2.7. Пусть /(•) Е ВУ[а^ь], /(•) непрерывна справа (слева) в точке to € [a, b) (to Е (а, b]). Тогда /*-(•) также непрерывна справа (слева) в этой точке.
Доказательство. Пусть /(•) непрерывна справа в точке to Е [а, Ь) и б > 0 — произвольно. Рассмотрим разбиение т = {£&}£=0 отрезка [to, Ь} такое, что
Ei/(*o-/(tfc-i)i>V(/)-|.
fc = l to
(Выполнение первого неравенства следует из свойства супремума; если при этом второе неравенство не выполнено, то добавим новую точку t\ так, чтобы выполнялось второе неравенство, первое при этом останется справедливым.) Из этих неравенств
Ь п п
У(Л < Е I/&) - +\ <е + Е 1/(**) - /(**-01 <
to k=1 k=2
^£ + У(Л=> У(Л~У(Л <£=>У(Л <£=^
t\ to 11 t0
^ fn(tl) ~ /л-(^о) < £•
Этим непрерывность fn(•) справа в точке £о £ [а, 6) доказана. В случае непрерывности слева рассматриваем отрезок [a, to]. Остальные рассуждения аналогичны.
Следствие 2.6. Непрерывная функция ограниченной вариации может быть представлена в виде разности возрастающих непрерывных функций.
23


Доказательство. Пусть /(•) € BV[a^ /(•) непрерывна на [а, 6]. По теореме /тг(*) также непрерывна на [а, 6], значит, непрерывна и fu{t) = fn(t) - f(t).
Определение полной вариации может быть распространено и на промежутки [а, +оо), (—оо, 6], (—оо, -foo) :
+00 ь ъ ь
V (/) = V(/)> V (/) = aii^oo V(/).
а а —с» а
+оо а -foo Ь
V(/) = V(/) +=
— 00 —00 а ь—+схз а
Пример 2.2. Найдите полную вариацию функции
/(£) = arctg £ на R.
Здесь /(•) строго возрастает на всей числовой оси, поэтому
+ос Ь
\J (arctg t) = lim \J (arctg t) =
—00 b—+00 a
= lim (arctg6 — arctga) = ~ ^ = 7Г.
b—► -f 00
Упражнения и задачи
2.3. 	Найдите полную вариацию функции /(•) на отрезке [а, Ь], пользуясь лишь ее определением:
а) f(t) = 2*, a = 0, 6 = 100;
б) /(*) = y/t, а = 0, Ъ = 1;
в) f(t) = t2, a = —2, 6 = 2;
г) /(0 = ^ — signt при \t\ < 1, f(t) = 1 при \t\ = 1, a = -1, 6=1;
Д) f(t) = cost, a = 0, 6 = 27t;
е) /(£) = I sin£|, a = 0, 6 = 2ir\
ж) f(t) = sign sin t, a = 0, 6 = 67т;
з) f(t) = {£}, a = —1, 6 = 2, ({£} = t — [t] — дробная часть £);
и) /М = (-1)WW. a = -2, Ь = 2.
24


6
2.4. Докажите, что V(/) = 0 в том и только том случае, когда
а
f(t) = const.
2.5. Докажите, что функции / : [0, 1] —* М имеют бесконечную полную вариацию:
а) f(t) = Vt при 0 < t < 1, /(0) = 0;
б) f(t) = smn/t при 0<*<1, /(0) = 0;
в) /(£) = tsign(sin7r/t) ПРИ 0 < t < 1, /(0) = 0.
2.6. При каких значениях с полная вариация функции f(t) = t — signt при 0 < \t\ ^ 1, /(0) = с на [—1, 1] минимальна?
2.7. Докажите, что если /(•) — функция ограниченной вариации, то |/(*)| — также функция ограниченной вариации, причем ъ ь
V(|/|) ^ V(/)- Верно ли обратное утверждение?
а а
2.8. Пусть /(•) — непрерывна на [а, Ь]. Докажите, что /(•) тогда
и только тогда есть функция ограниченной вариации, когда такой
ь ь
является функция |/(*)|> причем V(l/I) = V(/)*
а а
2.9. Выразите полную вариацию функции F(t) = к- f(t) +m через полную вариацию функции /(•).
2.10. Пусть /(•) имеет конечную вариацию на [а, 6], ip(-) — строго возрастающая непрерывная на [а, (3] функция, <р(а) = а, (р(/3) = Ь.
Тогда F(t) = f(<p(t)) — функция ограниченной вариации на отрез-
/3 ь
ке [а, /?], причем V(^) = V(/)- Докажите.
а а
2.11. Пусть /(•) и р(-) — функции ограниченной вариации. Докажите, что тогда и h(t) = max{/(£), g(t)}, t € [а, Ь], и
m(t) = min{/(£), #(£)}, t £ [a, 6] — функции ограниченной вариации.
2.12. Докажите, что функция Дирихле (D(t) = 1 при t £ Q, D(t) = 0 при t е Ш \ Q) имеет бесконечную полную вариацию на любом отрезке [а, Ь] С М. Докажите, что такова же и функция /(£) = 1 при te Q, /(£) = -1 при t$. Q.
2.13. Пусть А С [а, Ь], &4 — граница множества А. Докажите, что характеристическая функция Ха{’) множества А (ха(Ъ) = 1 при t Е А, хл(0 = 0 при t £ А) имеет конечную вариацию в том и только том случае, когда дА — конечное множество.
25


2.14. Пусть /(•)-— ступенчатая функция, непрерывная слева при t > а, Т(/) = {ci, ..., сп} С [а, 6] — множество ее точек разрыва,
п
hk = /(<*+) - /(с*). Покажите, что /(*) = £ hk • рСк(t), где pc(t) = О
fc=i
при t ^ с, Рс(^) = 1 при t > с; найдите полную вариацию /(•) на отрезке [а, Ь].
2.15. Пусть T(f) = {ci, С2, ...} С [а, 6] — счетное множество точек разрыва ступенчатой функции /(•) (см. предыдущую задачу), непре-
оо
рывной слева, hk = /(с*+) — /(с&) и ряд ^ hk абсолютно сходится.
ь= 1
оо
Покажите, что /(£) = hkpck(t), причем ряд сходится абсолютно и к=1
равномерно на [а, 6]; найдите полную вариацию /(•) на отрезке [а, Ь].
2.16. Пусть /(•) — функция ограниченной вариации. Покажите, что тогда и ее непрерывная (/с(*)) и дискретная (/d(*)) части имеют конечную вариацию, причем
ь ь ь
\Д/) = \Л/«) + \Лл)-
а а а
2.17. Докажите, не пользуясь теоремой 2.2 и ее следствием, что если функция /(•) имеет всюду на [а, 6] производную, которая ограничена, то /(•) — функция ограниченной вариации.
2.18. Докажите, что функция f(t) = £a+1 cos ^ при t > 0, /(0) = 0, а > 0 имеет конечную вариацию на [0, 1].
2.19. Докажите, что функция /(£) = ta sin ^ при t > 0, /(0) = 0, а > 0 имеет бесконечную полную вариацию на [0, 1].
2.20. Докажите, что функция f(t) = t2 sin2 у при 0 < t < 1, /(0) =0 имеет конечную вариацию.
2.21. Покажите, используя предыдущие задачи, что суперпозиция функций ограниченной вариации может не быть функцией ограниченной вариации.
2.22. С помощью следствия теоремы 2.5 найдите полную вариацию функции f(t) на отрезке [а, 6]:
а) /(£) = cos2 t, а = 0, b = 47т;
б) /М = (-1)МИ>а = -2.ь = 4;
в) f(t) = t2(t2 — 1 )(t2 — 4), а = —2, 6=2.
26


оо
2.23. Найдите \/ (/) для a) f(t) = 2arctg31; б) f(t) = е”М;
— оо
в) 	f(t) = jjft.
2.24. Представьте функцию f(t) = cos21 на [0, 2-к] в виде разности возрастающих функций.
2.25. Представьте функцию f(t) = {£} на [—2, 2]:
а) в виде разности возрастающих функций;
б) в виде суммы непрерывной функции и функции скачков.
2.26. Представьте функцию f(t) = {£} на [—2, 2] в виде разности строго возрастающих функций.
2.27. Представьте функцию f(t) = t3 — \t\ на [—2, 2] в виде разности возрастающих функций.
2.28. Представьте функцию f(t) = t2 sign sin 27г£ на отрезке [—1, 1]:
а) в виде разности двух возрастающих функций;
б) в виде суммы непрерывной функции и функции скачков.
2.29. Представьте функцию f(t) = {t}(t — 1) на [—2, 2]:
а) в виде разности возрастающих функций;
б) в виде суммы непрерывной функции и функции скачков.
2.30. Докажите, что если /(•) — функция ограниченной вариации
t
на [а, 6], то и функция F(t) = f f(s)ds при t > a, F(a) = 0 имеет
конечную полную вариацию. а
2.31. Докажите следующий критерий функции ограниченной вариации. Для того чтобы /(•) была функцией ограниченной вариации на [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы существовала такая возрастающая функция F(-), что для любых t, s G [а, Ь], s > t выполняется неравенство |/(s) — f(t)\ ^ F(s) — F(t).
2.32. Докажите, что если функция /(•) имеет конечную вариацию
на [а, Ь\ и непрерывна в точке b (в точке а), ь t / ь ь \
то V(/) — lim V(/) ( V(/) ^ V(/) )• Эти пределы бесконечны
а t—*b—0 а \а t-*a+0 t J
в том и только в том случае, если вариация /(•) бесконечна.
2.33. Пусть д(0) = 0, 2(2^7) = 0, з(^) = 1> зО) линейна на
каждом из отрезков [^2^ГТ’ 3^] и [зк> 2п-1 ], п = 1, 2, ... Конечна ли полная вариация д(-) на [0, 1]?
27


2.34. Пусть д(0) = 0, ^(^ггг) = °> ff(&) = ЪИ' 5(0 линейна на
каждом из отрезков ’ 2п] и [зк> 2n-i'] > л = 1, 2, ... Конечна ли полная вариация д(•) на [0, 1]?
2.35. Пусть д(0) = 0, д(фг) = 0, g(t) = ~ в середине интер-
вала (^тгп-, д(-) линейна на отрезках [jvnr, 5^] и [г^> ^]-
Конечна ли полная вариация д(-) на [0, 1]?
2.36. Пусть числовая последовательность {tn}^=i такова, что t\ = 1, tn+1 < tn, л = 1, 2, ..., tn ► -h0; <?(0) = 0, g(tn) = 0,
^ g^ ЛИнейна на каждом из отрезков |tn+i, tn"t~*n+1 j
и in+1 Какой должна быть последовательность {tn}^Li,
чтобы полная вариация #(•) была конечной?
2.37. Найдите полную вариацию функции g(t) = 2 ^ пРи 2п+1 < t ^ ^г, п = 0, 1, 2, ..., д(0) = 0, на [0, 1].
2.38. Покажите, что функция g(t) = (п + 1)^ — при ^ п = 1, 2, ..., #(0) = 0, имеет бесконечную полную вариацию на [0, 1].
2.39. Пусть числовая последовательность {£n}£Li такая, как в задаче 2.36. g(t) = in-tn+i ~ tn+1) при *п+* < г ^ *п’
п— 1,2,..., д(0) = 0. Какому условию должна удовлетворять последовательность {*n}£°=i, чтобы д(-) имела конечную вариацию на [0, 1]?
2.40. Исследуйте сходимость рада:
оо / 1ЧП+1 00 , 00 /п+1 Л3
а) Е ; б) Е -Г1 (а > о); в) Е ( V втл/t) ;
„=1 V(sin) n=l„V(sinyt) "=1 " 7
а
тгтг
-1 ОО V(tsin *)
1 *
00/71 \ — 1 oov^rs
г) 	Е (Vsint2) ; д) Е
71=1 4 0 7 71=1
Ь 71
2.41. Покажите, что \J{f) = supr urk(f) (wrk{f) — колеба-
a k=1
ние /(•) на отрезке [£fc+i, tfc] разбиения г).
2.42. Пусть /(•) — функция ограниченной вариации на [0, 1]. По
1 71 / \
формуле прямоугольников / f(t)dt « ^ S /(п)* Оцените погреш-
о fc=i 4 '
28


ность этого приближенного равенства: покажите, что
Q к=1 О
Пусть D(t) = max \tk — £fc-i| — диаметр разбиения т =
Ь
2.43. Покажите, что для непрерывной функции V(/)= ^m vr(f)-
а £>(т)-+О Ь п
2.44. Если /(•) непрерывна на [а, 6], то V(/) = ^m X) ^rfc(/)•
а 0fc==1
Докажите.
2.45. Пусть /(•) непрерывна на [а, 6], производная /'(•) существует всюду, за исключением, быть может, точек некоторого конечного
множества, /'(•) интегрируема по Риману в собственном смысле. То-
ь ъ
гда /(•) имеет конечную вариацию, причем \j(f) = f \ff(t)\dt.
а а
2.46. Пусть <£>(•) интегрируема по Риману в собственном смысле, t ъ ъ
f(t) = f (p(s)ds, t € [a, 6]. Докажите, что тогда V(/) = f Д°”
a a a
кажите, что это же верно, если <^(*) абсолютно интегрируема на [а, Ъ]
в несобственном смысле.
2.47. Пусть /(•) непрерывно дифференцируема на [а, 6]. Докажите, что тогда
|V(/) = i/'wi-
а
2.48. Пусть g(t) = 1 - \t\ для |£| < 1, g(t) = g(t - 2) для t > 1,
t
g(t) = g(t + 2) для t < —1, G(t) = 1 + J g(s)ds. Найдите полную
о
вариацию G(-) на отрезке [—n, п] (п Е N).
2.49. Найдите полную вариацию функции f(t) = t 4- CQ^.7rt + 2 на отрезке [0,2n] (n € N).
2.50. Найдите полную вариацию функции f(t) = | 4- -™-7rt — 5 на отрезке [—n,n] (n € N).
2.51. Функция /(£) = ta sin ^ при 0 < t ^ 1, /(0) = 0, (3 > 0 имеет конечную вариацию в том и только том случае, когда а > /?.
29


2.52. Пусть последовательность {/п(*)}л^=1 Функций ограниченной вариации равномерно на [а, b} сходится к функции /(•). Будет ли обязательно /(•) функцией ограниченной вариации? Сконструируйте пример на основе функции рассмотренной выше в п. 2.1.
2.53. Пусть последовательность {fn(')}%Li функций ограниченной вариации равномерно на [а, 6] сходится к функции ограниченной
ъ ь
вариации /(•). Всегда ли имеет место сходимость \J(fn) V(/)? ^ас"
смотрите следующий пример: fn(t)
1
21
т
2п
при t €
fn(t) = fn(t - 2^т) При t €
2.54. Докажите следующую теорему Жордана. Для того чтобы непрерывная кривая х = cp(t), у = ^(t), z = а ^ t ^ (3 (кривая Жордана) была спрямляемой, необходимо и достаточно, чтобы функции <р(*), 'ф(-) и х(') имели конечную вариацию на [а, /3].
2.55. Докажите, что кривая х = /(£), f(t) = t2 sin1^ при £ ф О, /(0) = 0 спрямляема на [0, 1].
2.56. Докажите, что кривая х = /(£), /(£) = ^sin1/^ при t ф 0, /(0) = 0 не спрямляема.
2.57. Докажите, что если /(•) имеет всюду на [а, 6] производную, которая ограничена, то график функции х = /(£) представляет собой спрямляемую кривую.
2.58. Докажите, что если функции </?(•), ^(-), х(') имеют в каждой точке отрезка [а, (3] производные, которые ограничены, то кривая Жордана х — </?(£), 2/ = z a ^ /3, спрямляема.
§ 3. Интеграл Римана—Стилтьеса
3.1. 	Пусть /, д : [а, 6] —► М. Рассмотрим разбиение т = {^}^=0 отрезка [a, b], а = to < ti < ... < tn = b; пусть D(r) = max (tк - tk-i) —
диаметр разбиения. В каждом из отрезков [;tk-i, tk\ выберем по точке £к и составим сумму
71
= &т(/, з) = 53 f(Zk)(g(tk) - 9(tk-i))- (3.1)
fc=i
30


Эта сумма называется интегральной суммой Стилтьеса; по виду она напоминает интегральную сумму Римана: вместо At к == tk — tk-i здесь присутствуют разности Ад к = g(tk)~g(tk- 1); при g(t) = t сумма Стилтьеса превращается в сумму Римана.
Скажем, что сумма вт(/> 9) имеет предел при D(r) —> 0, если существует такое число J, что для любого £ > 0 найдется такое число 5 > 0, что для всех разбиений т, диаметр которых D(r) < <5, выполняется неравенство |6Т(/, д) — J\ <е, каков бы ни был выбор точек Обозначения этого предела обычное:
J = Jim 9)- (3-2)
£>(т)-> О
Легко убедиться в том, что предел (3.2) обладает всеми свойствами предела числовой последовательности. В частности, принцип сходимости Больцано-Коши для него формулируется в следующем виде.
Для существования предела (3.2) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлось такое S > 0, что для любых разбиений т', г" из неравенств D(r') < <5, D(r") < 6 следует неравенство |0Т/ — ©г"| < £.
Если указанный предел существует, то говорят, что функция /(•) интегрируема по функции #(•) в смысле Стилтьеса; предел этот называется интегралом Стилтьеса (более точно: интегралом Римана - Стилтьеса) функции /(•) по функции #(•) по отрезку [а, Ь]. Таким образом,
ь ь ъ
(S) J f(t)dg(t) = (RS)-J f(t) dg(t) = J f(t)dg{t) =
a a a
= D^Lc6Al’s)-
При этом /(•) называют интегрируемой, a g(-) — интегрирующей функциями.
ъ ь
Очевидно, при g(t) = t, (5)/ f(t) dg(t) = (1Z) f f(t) dt, так что
a a
интеграл Стилтьеса есть обобщение интеграла Римана.#
ъ
Заметим также, что при g(t) = с = const (S) f f(t) dg{t) = 0 (все
а
31


суммы (3.1) при любом разбиении равны 0), а при f(t) = /С = const ь
(S) f f(t) dg(t) = JC(g(b) - g(a)), так как при любом разбиении т
6т(/, 9) = -9(tk-i)) = IC^2(9(tk) -g(tk-i)) =
k=1 fc=l
= £(5(*n) - 5(*o)) = Цд(Ъ) - 9(a)).
Предостерегаем читателя от восприятия символа dg(t) как дифференциала: g(t), вообще говоря, не предполагается дифференцируемой; подынтегральное выражение f(t)dg(t) по виду лишь повторяет вид слагаемого в сумме (3.1): /(£*;) Адк-
В дальнейшем опускаем знак (S) перед знаком интеграла. Непосредственно из определения (3.2), линейности сумм (3.1) и предела (3.2) следует линейность интеграла Стилтьеса относительно интегрируемой и интегрирующей функций:
ь ь
J+ 0F(t)) d(ptg(t) + SG(t)) = cry J f(t) dg(t)+
a a
b b b
+aS J f(t)dG(t) + (3j J F(t)dg(t) + (36 J F(t)dG(t)
a a a
(a, /J, 7, 6 — вещественные числа).
3.2. 	Аддитивность интеграла Стилтьеса как функции отрезка имеет место в следующей форме.
ь
Теорема 3.1. Если существует интеграл f /(£)dp(t),
a
с
то при любом с £ (а, Ь) существуют интегралы f f(t) dg(t) и
а
Ь
J /№ dg(t) и справедливо равенство
с
Ъ с b
J f(t) dg(t) = J f(t) dg(t)+J f(t) dg{t). (3.3)
a a c
32


Доказательство. Пусть интеграл f f(t)dg(t) существует, е > 0 —
а
произвольно, а 8 > 0 такое, какое следует из принципа сходимо-
ь
сти вследствие существования интеграла f f{t)dg(t). Пусть, далее,
а
т{, т" — разбиения отрезка [а, с], а Т2 — разбиение отрезка [с, 6] такие, что D(r[) < J, D(t") < 5, D(t2) < S. Тогда т' = т[ U 72, г" = т" U 72 — такие разбиения отрезка [а, 6], что -D(t') < J, D{rn) < 6. Поэтому в силу принципа сходимости |©г/ — &г"\ < е. Если мы при этом в суммах 6Т/ и 6Т// в слагаемых, приходящихся на отрезок [с, 6] будем выбирать одинаковые то 6Г/ — ©г// = ©т/ — ©г''. Поэтому
|вт£-6тГ| = |6г.-©т//|<е,
что в силу принципа сходимости означает существование интеграла / f(t)dg(t).
а
Ь
Аналогично доказывается и существование интеграла / f(t) dg(t).
с
Для доказательства равенства (3.3) достаточно включить точку с во все разбиения, разбить сумму (3.1) на две суммы, относящиеся соответственно к отрезкам [а, с] и [с, Ь], и перейти к пределу при D(r) —► 0; существование двух пределов в правой части было выше доказано.
Замечание. Утверждение, обратное теореме 3.1, во-
с
обще говоря, неверно: из существования интегралов f f(t) dg(t) и
а
Ъ Ь
f f(t)dg(t) еще не следует существование интеграла f f(t)dg(t).
с а
Рассмотрим в связи с этим пример. Пусть функции /, д : [—1, 1] —► R определены следующим образом:
f 0 при - 1 ^ t < 0, 10 при - 1 < t < 0,
/(*) = < 9(t) = <
^ 1 при О < * < 1; I 1 при 0 < t ^ 1.
о 1
Интегралы f f(t) dg(t) и J f(t) dg(t) существуют и равны 0, так как -1 о
суммы ©т/ = ©тп = 0 (г', г" — произвольные разбиения соответ- 3-2800 33


ственно отрезков [—1, 0] и [0, 1]). Пусть т — произвольное разбиение отрезка [—1, 1], не содержащее 0. Пусть 0 € (£fc0-ь £fc0)* Тогда
©т(/, 0) = f(ba)(g(tko) - g(tko-i)) = /(&*)•
Отсюда видим, что /(£*„) = 0, если £ко < 0, и /(&0) = 1, если £fco > 0.
ь
Это означает, что предел вт(/, д) (т. е. интеграл f f(t)dg(t)) не су- ществует. а
Это обстоятельство связано с существованием общей точки разрыва у функций /(•) и д(-).
Теорема 3.2. Существование одного из интегралов ь ь
f f{t)dg{t) или f ff(t)df(t) влечет существование другого и равен-
а а
ство
Ь Ь
Jf(t) dg(t) +Jg(t) df(t) = f(b)g(b) - f(a)g(a) = f(t)g(t) | ^ (3.4)
a a
(формула интегрирования no частям).
ь
Доказательство. Пусть существует интеграл f g(t)df(t). Рассмот-
а
рим произвольное разбиение т отрезка [а, 6] и произвольный набор € [tk-ъ tk\. Таким образом, имеем
я = £о ^ £i ^ t± ^ ^2 ^ ^ ^ tn — b.
Положим £о = £n+i = Ь.
п
©т(/, g) = £/(&)($(*k) -g(tk-i)) = к=1
= f(€i)9(ti) + /(^2)5^2) + • • • + f(€n)g(tn)—
— (/(£iM*o) + f(&)g(h) + • • • + f(€n)g(tn-1));
прибавим к правой части
f(€o)g(to) - f(Zn+i)g(tn) + f(b)g{b) - f(a)g(a) = 0.
34


Тогда
вг(/, д) = ~(g(to)(№) - №)) + s(ii)(/«2) - /(6)) + • • •
• • • + s(tn)(f(€n+i) - f(€n))) + f(t)g(t)|o =
= f) + f(t)g(t)|a>
где r' = — разбиение отрезка [a, 6]. Тот факт, что некоторые
из «соседних» могут равняться друг другу, никакой роли не играет,
так как соответствующие слагаемые в вышеприведенной сумме будут равны 0. Итак, получено равенство
©т(/, д) = -&т'(д, /) + f(t)9(t)\a-
Так как предел сумм 6Г(#, /) по предположению существует, то существует и предел 6г/(/, д) (соотношение D(r) —> 0 эквивалентно соотношению D(r') —> 0). Отсюда и получаем равенство (3.4).
3.3. 	Приведем критерий существования интеграла Стилтьеса, аналогичный критерию существования интеграла Римана.
Здесь мы будем предполагать, что д(-) — возрастающая функция. Пусть т = {tk}k=o~ разбиение отрезка [а, Ь], Agk = g(tk)-g(tk-i) ^ 0. Введем и здесь знакомые читателю нижнюю (sr) и верхнюю (5Т) суммы Дарбу:
п п
sT = 5Г(/, д) = ^ ^Apfc, <ST = 5Т(/, <j) = ^ ^
fc=i fc=i
где
mk = inf /(*), = sup /(*).
[tfc-i, tfc]
Очевидно, что 1) sT ^ 6r ^ SV; 2) sr = inf©r, SV = sup6T, где
** a
точные грани берутся при фиксированном разбиении по всевозможным выборам точек Кроме того, 3) при добавлении к разбиению новых точек нижняя сумма может только увеличиться, а верхняя сумма — только уменьшиться; 4) каждая нижняя сумма не превосходит
35


каждую верхнюю сумму, хотя бы и отвечающую другому разбиению: если т' и т" — два произвольных разбиения, то 5Г/ ^ ST>•.
Докажем свойство 3) для нижних сумм; для верхних сумм доказательство аналогично. Достаточно проследить за изменением нижней суммы при добавлении к разбиению одной точки. Пусть г — произвольное разбиение, t r,t G (tk0-1, £fc0)> T' = Тогда слагаемому
mк0 Адк0 в сумме sr/ соответствуют два слагаемых:
m'ko(9(i) - g(tko-i)) + mk0(g(tk0) - 9{t)),
где т^о и т'ьо — точные нижние грани /(•) на отрезках [tk0-1, t\ и [t, tk0] соответственно. Так как, очевидно, т’ко ^ т^0, га^ ^ гпк0 (при сужении множества точная нижняя грань может только увеличиться), то
m'ko(g(i) - 9(tk0-i)) + m'k0{g{tko) - g(t)) ^ mko(g{tko) - g{tko-1)).
Так как остальные слагаемые при переходе от разбиения т к разбиению т' не изменятся, то этим утверждение 3) доказано.
Пусть т' и т" — два произвольных разбиения, г = т' U г". Применяя последовательно свойства 3), 1) и снова 3), учитывая, что т мельче, чем т' и т", получаем
^ S'j- ^ *^7" ^ ,
что доказывает свойство 4).
Так как множество {sT}T нижних сумм ограничено сверху (например, любой верхней суммой), то существует число J* = supsr; при
г
этом sT < J* ^ ST' для любых гиг'. Множество {Sr}T верхних сумм ограничено снизу числом J*, поэтому существует J* = inf ST, причем
г
sr < J* < J* < 5Г/ (3.5)
для любых гиг'. Числа J* и J* называются соответственно нижним и верхним интегралами Стилтьеса.
Теорема 3.3. Пусть д(-) — возрастающая функция.
ь
Для того чтобы существовал интеграл f f(t) dg(t), необходимо и до-
а
статочно, чтобы lim (ST — sT) = 0.
D(r)—► О
36


Доказательство. Достаточность. Пусть lim (ST — sT) = 0 и
D(t)~* О
е > 0 произвольно. Тогда найдется такое S > 0, что при D(r) < S ST — sT < £, а из (3.5) следует, что J* — J* ^ ST — sT < £. Ввиду произвольности £ это означает, что J* — J* = 0. Обозначим J = J* = J*.
Тогда 5Т ^ J ^ 5Г. Отсюда и из свойства 1) сумм Дарбу получаем,
ъ
что |6r - J\ < £, т. е. J и есть интеграл / f(t) dg(t).
а
Ь
Необходимость. Пусть интеграл f f(t) dg(t) существует
а
и £ > 0 произвольно. По определению интеграла найдется такое 6 > 0, что если D(t) < 6, то |6Т—J\ < е/3, или иначе, J—% < вт < J+%. Отсюда и из свойства 2) сумм Дарбу получаем, что
J — % ^ 5Т ^ ST < J + %, т. е. ST — sT < 2/3е < е. Это и означает, что lim (ST — sT) = 0.
D(r)—>0
Теорема доказана.
Теорема 3.3 допускает две эквивалентные переформулировки. Обозначим u>Tk(f) = Мк — гпк — колебание функции /(•) на отрез-
п
ке [tk-ъ tk]. Тогда ST - sT = £ <*>Tk(f) &9k-
k=l
Теорема 3.3'. Пусть д(-) — возрастающая функция. Для ъ
того чтобы интеграл f f(t) dg(t) существовал, необходимо и доста-
а
точно, чтобы
ть
J1?1 nYlu-rk(f) A9k = о.
Теорема 3.3". Пусть g(-) — возрастающая функция. Для
ъ
того чтобы интеграл Стилтьеса f f(t) dg(t) существовал, необходи-
а
мо и достаточно, чтобы нижний J* и верхний J* интегралы Стилтьеса совпадали.
3.4. 	Приведем ряд достаточных условий существования интеграла Стилтьеса.
Теорема 3.4. Если /(•) непрерывна, а #(•) — функция огра-
ъ
ниченной вариации на [а, 6], то интеграл f f(t)dg(t) существует.
а
37


Доказательство. Пусть сначала д(-) — возрастающая функция. Тогда можно считать, что д(Ь)>д(а), ибо если д(Ь)=д(а), то g(t)=g(a)1 и интеграл существует (и равен 0, см. п. 3.1). Возьмем произвольное е > 0. По теореме Кантора /(•) равномерно непрерывна на [а, Ь]. Это значит, что найдется такое 6 > 0, что если D(r) < 6, то ujTk(f) < < e/(g(b) — д(а))- Следовательно,
п п
£^WA»<W6):^e)) =
Ъ
По теореме 3.3' интеграл f f(t) dg(t) существует.
а
В общем случае по теореме 2.6 g(t) = gi(t) — g2(t), где g\(t)
и 92 (t) — возрастающие функции. По доказанному, существуют ин- 6 ъ
тегралы / f(t)dgi(t) и / f(t)dg2(t), а значит, существует и равен их
а а
Ь
разности интеграл / f(t)dg(t).
а
Теорема доказана.
Пусть X и У — два класса функций / : [а, Ъ] —> R. Скажем, что (Л', У) — пара классов существования интеграла Стилтьеса, если любая /(•) € X интегрируема по любой д(-) G У.
В этих терминах теорема 3.4 означает, что (С^ц, BV[а>ц) — пара классов существования интеграла Стилтьеса, а учитывая теорему 3.2, можно утверждать, что такой же является и пара (В'V[0i6], С^ь]).
Можно показать (см. ниже упражнение 3.9), что
(С7[а>ц, BV[ayb]) — точная пара классов в том смысле, что если /(•) интегрируема по любой д(-) е J3Vja>b], то /(•) непрерывна, а если интеграл Стилтьеса существует для любой /(•) G С^ь], то д(-) £ BV[а>ц. Иначе говоря, если мы хотим расширить один из классов точной пары, то надо сузить другой.
Теорема 3.5. Если /(•) интегрируема по Риману в собственном смысле, а д(’) удовлетворяет условию Липшица, то инте- ъ
грал J f(t) dg(t) существует.
а
38


Доказательство. Пусть для любых t, s G [а, b] имеет место неравенство (L > 0)
\9(t) - 9(s)\ L\t - s\. (3.6)
Пусть сначала <?(•) — возрастающая функция, а т — произвольное разбиение [а, 6]. Тогда Адк = g{tk) - g{tk-1) ^ LAtk и
П П
53UTk(f)&9k < L^WrkiftAtk -> 0 (D(t) -> 0)
к=1 k=l
согласно критерию интегрируемости /(•) по Риману. Значит, и
£ ujTk(f)Ayk -> 0 (£>(т) -> 0).
fc=1
ь
По теореме 3.3' интеграл f f(t) dg(t) существует.
а
В общем случае полагаем
3(£) = Lt - (Lt - g{t)) = gi(t) - g2{t).
gi(t) = Lt возрастает (это линейная функция с положительным угловым коэффициентом) и удовлетворяет условию Липшица с константой L (с равенством в (3.6)).
Покажем, что и g2(t) = Lt — g{t) тоже возрастает и удовлетворяет условию Липшица с константой 2L.
Пусть s > t, g2(s) - g2(t) = Ls - g(s) - Lt + g(t) = L(s - t) - —(g(s) — g(t)) ^ 0 в силу (3.6). Отсюда же
\92(s) - g2{t)\ ^ L\s - t\ + |g(s) - g(t)\ ^ 2L\s - t\.
ь
По доказанному выше существуют интегралы f f(t)dgi(t) и
а
Ь
f f(t)dg2(t). Поэтому существует и равен их разности интеграл
а
lmdg(t).
а
Если обозначить через И[а,Ь] класс функций, интегрируемых по Риману в собственном смысле, а через Lipja ц класс функций, удовлетворяющих условию Липшица, то теоремы 3.5 и 3.2 говорят, что
39


(71[а>ь], LiP[a,b]) И (Lip[a,6], Ща,ъ]) ~ паРы классов существования интеграла Стилтьеса.
Как показывает нижеследующая теорема, пара классов 0^[а, 6] 1 Lip[а> bj) не является точной.
Теорема 3.6. Если /(•) интегрируема по Риману в собственном смысле, а д(-) представима в виде
t
g(t)=c+ J <p(s)ds, (3.7)
a
где (p(-) абсолютно интегрируема на [a, 6], хотя бы и в несобствен-
ь
ном смысле, то интеграл f f{t) dg(t) существует, и имеет место
равенство а
ь ъ
(S) J fit) dg(t) = (К) J f(t)<p(t) dt. (3.8)
a a
Доказательство. Доказательство разобьем на несколько этапов.
1. Пусть сначала <^( ) абсолютно интегрируема в собственном смысле. Тогда <^(*) ограничена на [а, 6], т. е. существует константа К такая, что \y>(s)\ ^ /С для всех s Е [а, Ь]. Для любых t, s £ [a, Ь]
s s
|5(«)-3(*)1 = I J<p(y)dv\^ J \ip(y)\dv < £|s-t|,
t t
значит, в этом случае g(-) удовлетворяет условию Липшица и суще- ь
ствование интеграла f f(t) dg(t) следует из предыдущей теоремы.
а
2. Пусть cp(t) ^ 0 и интегрируема лишь в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особенности у <р('). Пусть интегрируема в собственном смысле на любом отрезке [а, ft], ft < b и cp(t) —► +оо
ь
при t —> 6 — 0, / <£>(£) dt < -foo.
а
Возьмем произвольное £ > 0 и подберем по нему такое £ > 0, что


где Q = sup f(t) — inf f(t) — колебание /(•) на всем [a, b];
[a, b] [«.4
|П| < -hoo, так как /(•) ограничена в силу ее интегрируемости по Риману в собственном смысле. Рассмотрим такое разбиение т отрезка [а, 6], что D(t) < % для этого разбиения представим сумму
к=1
в виде двух слагаемых; сумма ^ соответствует отрезкам [tk-i, tfc], целиком лежащим в [a, ft—%], ~ остальным (тем, которые попали
в промежуток [Ь — 6, Ь]). Для последних
tfc
wTk(f)Agk ^ ПАдк = Q, J <p(v)dv,
tk-1
поэтому в силу (3.9)
ъ
4>{y)dv<^. (ЗЛО)
Ь-6
На отрезке [а, 6 — %] <^(-) интегрируема в собственном смыс¬
ле, поэтому найдется такое 6\, 0 < Si ^ что если D(r) < 6\, то < %• Это вместе в (ЗЛО) означает, что
п
Y^vTk(f)Agk < е.
к=1
ъ
По теореме 3.3' интеграл J f(t) dg(t) существует.
а
3. 	В общем случае полагаем
v4t) ± ш+ш > о, v-(() i > о,
t t
9i(t) = c + J tp+(s)ds, g2(t) = J (p~(s)ds.
a a
41


Тогда ip(t) = g(t) = g\(t) — g2(t). По доказанному выше
6 ь
существуют интегралы / f(t)dgi(t) и f f(t)dg2(t), а значит, и инте-
а а
Ь
грал / f(t)dg(t), равный их разности.
а
4. 	Докажем теперь равенство (3.8). Заметим, что интеграл в правой части (3.8) при условиях теоремы существует. Обозначим его через J. Пусть сначала p(t) ^ 0; это значит, что д(-) возрастает. Так как уже доказано, что интеграл в левой части (3.8) существует, то по теореме 3.3' для произвольного е > 0 найдется такое 8 > 0, что для всех разбиений г, для которых D(r) < <5, выполняется равенство
п
^2wTk(f)Agk < е.
к=1
Пусть г — такое разбиение. Последовательно получаем, что |бт(/, д) - J\ = I £/(&)(</(<*) -g(tk-i)) - / /(sMs)efsl =
fe=i {
n n
= |£/(&) / <p(s)ds-'*r j f(s)<p(s) ds =
I 1 J I 1 J
TL TV
= | iz f (/(&)-/(s)Ms)ds|<]C [ \fitk) ~ f(s)\v(s)dsi
k=\L fe=v-,
tk
n 5 n
53^Tfc(/) / <p{s)ds = ^2ujTk(f)Agk < e.
k~ i ^ fc=l
(Мы внесли постоянную для отрезка [tk-1, tk] величину /(£&) под знак интеграла, записали разность интегралов как интеграл от разности и использовали неравенство |/(£&) — f(s)\ ^ Urk(f) для 5 € [tk-1, tk]-) Таким образом, мы получили, что lim &T(f? d) — J- & так как по
D(t)—>0
b
определению lim бг(/, у) = / f{t)dg(t), то этим равенство (3.8)
£>(т)—о а
для <£>(£) ^ 0 доказано.
42


В общем случае снова вводим <£“(•)> £i(') и Я2{') (как выше в
п. 3 доказательства). Получив равенства (3.8) для <£>+(*)> <7i(*) и </?’"(•)> У2(-)? вычитаем из первого второе. В итоге придем к равенству (3.8).
Следствие. Пусть /(•) интегрируема по Риману в собственном смысле, д(-) непрерывна, имеет производную #'(•) во всех точках, за исключением, быть может, некоторого конечного множества точек, причем д'(-) абсолютно интегрируема (хотя бы и в
ь
несобственном смысле). Тогда интеграл J f(t)dg(t) существует и
а
Ь Ь
(S) J fit) dg(t) = (К) j fit)g'it) dt. (3.11)
a a
Утверждение следствия вытекает из представления
t
g(t) = gia) + J g'(s) ds.
a
3.5. 	Следующим образом определим единичную функцию рс(-)- Полагаем pc(t) = 0 для t < с, pc(t) = 1 для t > с, ра{р) = О, рь(Ь) = 1, а для а < с < b рс(с) не определяем вовсе, считая только, что 0 ^ Рс{с) ^ 1; как мы увидим ниже, эти значения никакой роли не играют. Заметим, что \Jba(pc) = 1*
Предполагая /(•) непрерывной на [а, 6], найдем интеграл
ь
ff(t)dpc(t), существование которого следует из ограниченности вари-
а
ации Рс(-).
1. Пусть а < с < Ь. Так как уже установлено, что интеграл существует, то можно разбиения т выбрать так, чтобы они не содержали точку с, пусть с € (tkо-i, tkо). Тогда в силу непрерывности /(•)
®т(/, Рс) = /(60(1 - 0) - /(с) (ОД - 0).
2. Если с = а, то
6г(/, Ра) = /(6)( 1 - Ре (а)) = /(6) /(а) (jD(t) 0).
43


3. 	Аналогично, при с = b
вт(/, рь) = шыъ) - о) = т) п - п т.
_ D(r)->0
Таким образом, во всех случаях ь
I f(t)dPc{t) = f{c). (3.12)
а
С помощью рс(-) можно иначе записать функцию скачков gd{’), которую мы ранее определили равенством (1.6). Положив g(t) = д(а) для t < a, g(t) = g(b) для t > 6, мы можем говорить о скачках д(-) в точках а и 6, как и во всех внутренних точках. Согласно (1.6)
9d(t) = (9)•
tk<t
А с точностью до значений ^d(-) во внутренних (из (а, Ь)) точках разрыва, которые, как мы видели выше, на интеграл не влияют, можно представить функцию скачков в виде
9d{t) = ^2 otk{g)ptk{t) (3.13)
tk€Tg
(напомним, что Т(д) = {tk}k — множество точек разрыва <7(-))-
Из этого представления легко увидеть (см. выше упражнение 2.13), что если значения д(-) в точках разрыва tk расположены между g{tk~) и g{tk+), то
ъ
Уы= Е \"М\- (з.14)
« tkeT(g)
А вместе со следствием теоремы 3.6 представления (1.3) и (3.13) дают возможность сформулировать следующее утверждение, позволяющее в ряде случаев вычислять интеграл Стилтьеса.
Пусть /(•) непрерывна на [а, 6], д(-) имеет не более чем конечное число точек разрыва, Т(д) = {£i, ..., tn}; во всех точках [а, Ь], кроме, может быть, точек некоторого конечного множества, существует производная д'(-), которая абсолютно интегрируема по Риману, хотя бы и в несобственном смысле. Тогда ь ъ п
(S) [ f(t) d9{t) = (ft) [ f(t)g'(t) dt + ^2 f(tk) ■ <rtk Ы- (3.15)
e a *==1
44


Действительно, определим gd(t) по формуле (3.13), т. е.
п
9d{t) = £ atk(g)ptk(t), gc(t) = g(t) - gd(t); gc(-), очевидно, непрерыв-
fc=i
на. Кроме того, д'с(•) существует во всех точках, в которых существует д'(-) и g'c(t) = gf(t) в этих точках (так как в этих точках gfd(t) = 0). Следовательно, #с( ) удовлетворяет условиям следствия теоремы 3.6 и ь ь
j f(t)9c(t)dt = J f(t)9'{t)dt.
a a
Отсюда, в силу представления g(t) = gc(t) 4- gd(t)? равенства (3.12) и линейности интеграла получаем
ь ь ь
J f(t) dg{t) - J f(t) d(gc(t) + gd(t)) = J f(t) dgc(t)+
a a a
b b b n
+ J f(t)dgd(t) = J f(t)g'c(t)dt + J f(t) dJ2crtk(g)ptk(t) =
a a a fc=1
b n 6
= [ f(t)9'(t)dt + ^2<7tk(9) j f (t) dptk(t) =
« fe=l a
= / f(t)g'(t)dt + Y^^tk(g)f(tk)-
i *=1
2
Пример. Вычислить интеграл f t2 d{t} ({£} —дробная часть
-2
числа t).
Так как (см. рис. 3.1) gf(t) = {£}' = 1 при t ф —2, —1, 0, 1, 2 (в перечисленных точках {£}' не существует), Т(д) = {—1, 0, 1, 2}, то согласно формуле (3.15)
2 2
Jt2d{t} = Jt2 ■ l-dt + {-l)2 • (-1) + о2 • (-1) +12 • (-1)+
-2 -2
• o2 / i\ _ -^312 16 2
+2 ■(_ '"! Ц" T" !'
45


Рис. 3.1
Интегралы Стилтьеса по бесконечным промежуткам определяются обычным путем:
+оо
У f(t)dg(t) = j f(t)dg(ty,
a a
b b
J f(t) dg(t) = e_Umo J f(t)dg(t);
— oo a
+00 6
f f(t)dg(t) = ^lirn^ f f(t)dg(t).
b—»+oo
Упражнения и задачи
3.1. Найдите нижний и верхний интегралы Стилтьеса функции /(•) по функции р(-), если:
а) /№ = -1 ПРИ * € [-1> °]» /М = 1 ПРИ t € (0, 1], g(t) = 0
при t G [-1, 0], g(t) = 1 при t G (0, 1];
б) f(t) = 1 при t G [0, 1] П Q, f{t) = 0 при t G [0, 1] \ Q, а д(-) —
возрастающая функция такая, что #(1) > д(0);
в) f(t) = t, g(t) = t2, t G [0, 1].
1 7Г
3.2. Вычислите интеграл f sin tdg(t), если:
a) 	g(t) = t2; 6) = {*}; в) g(t) = [i];
r) g(t) = t при t € [0, 72), g{t) = t-% при t € (%, n), g(t) = 2 при t = */2 и t = 7Г.
46


b
3.3. Вычислите интеграл f f(t)dg(t), если:
a
а) f(t) = t + 2, g{t) = e* sign sin £, a = — 7Г, 6 = 7r;
б) /(£) = £2, £(£) = n при t G [n — 1, n), n ^ 1, a = 0, 6 > 0;
B) f(t) = £2, p(£) = (—l)n при t G [n, n + 1), n ^ 0, a = 0, 6 > 0;
r) /(£) = t2 + 1, <?(£) = £2 sign(sin27r£), a = —1, 6=1;
д) f(t) = sint, #(£) = {t}cost, a = 0, 6 = 7г;
е) /(£) = t2, g(t) = {£} sign cos £, a = 0, 6 = 7r;
ж) f(t) = t, <?(£) = [£]£ sign sin £, a = —2, 6 = 2;
з) /(£) = £2, #(£) = t2(sign(t 4-1) + signt + sign(t — 1)), a = -2, 6 = 2;
и) f(t) = sin£, g(t) = {7rt}, a = 0, 6 = 1;
к) f(t) = £3, #(*) = (3 - 2\t\){t}, a = -2, 6 = 2;
л) /(£) = [sin7r£], p(£) = | cos 7rt|, a = —2, 6 = 2.
n
3.4. Вычислите интеграл f {t}dG(t), где G(-) — из задачи 2.48.
—n
3.5. Вычислите интегралы:
+°° +oo -foo
^■) f (о < a < 1); 6) f 2~ЫЩ\ в) / e_td{t};
a 0 0
+OC . . +oo
r) f f(t-fT) (Г(^) = f e~3st~lds — гамма-функция Эйлера);
l о
+oo +00 +oo ОО . _Л
д) 	/ е) / и / t2dF(t), где F(t) = £ pk(t)^f,
1 о 0 к—0
функция распределения Пуассона.
3.6. f(t) = tcosTfi при 0 < t < 1, /(0) = 0, g{t)=t2 sin^ при
1
0 < t < 1, <7(0) = 0; докажите, что интеграл f f(t) dg(t) существует.
о
3.7. Если в точке с G (а, 6) одна из функций /(•) или д(-) непрерывна, а другая в окрестности этой точки ограничена, то из суще-
с 6
ствования интегралов f f(t)dg(t) и f f(t)dg(t) следует существование
а с
Ь
интеграла / f(t)dg{t). Докажите.
а
3.8. Докажите, что если /(•) и д(-) имеют общую точку разрыва,
ь
то интеграл f f(t) dg(t) не существует.
а
3.9. Докажите, что (C[ai(,j, BVj0i(,]) — «точная» пара классов
47


существования интеграла Стилтьеса в том смысле, что ни один из них не может быть расширен без сужения другого.
3.10. 	Пусть /(•) непрерывна на [а, 6], д(-) — возрастающая на [а, Ь], (р(-) — непрерывная строго возрастающая на [а, /?] функция, <р(а) = а, <р(/3) = Ъ. Докажите, что тогда
11 1 st) J tdQ(t); 6) J t2 d0(t); в) J t3 d6(t),
a a
3.11. Вычислите интегралы:
l l
а)
о о о
где 0(t) — канторова лестница (см. упражнение 1.20).
3.12. Докажите, что если h € C[a, b] или h G BV[a,b], а /,<? G CBV[a, 6], to
ь b b
J h{t)d{g{t)f{t)) = J h(t)g(t) df(t) + J h(t)f(t)dg(t). (3.16)
a a a
3.13. Докажите, что если две из функций /(•),^(*),Л(*) — непрерывные функции ограниченной вариации, а третья непрерывна или является функцией ограниченной вариации, то выполнено (3.16).
3.14. Пусть выполнено одно из условий 1) / G BV[a, Ь], #, h G C[a, 6] или
2) 	/ G C[a, 6], д G C.BV'fa, 6], h G 5V[a, 6]. Докажите, что тогда
6 / t \ ь
J h(t)d | J 9(s) df(s) j = J h(t)g(t)df(t). (3.17)
a \a / a
b
3.15. Докажите теорему В. Кондураря: интеграл f f(t) dg(t) суще-
a
ствует, если /(•) и д(-) удовлетворяют условиям
I f(t) - f(s)I ^ £|* - s\a, |я(г) - g(s)\ < K\t -
причем a + /3 > 1 (t, s € [a, 6]) (cm. [11, c.261]).
48


§ 4. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
4.1. Теорема 4.1 (Теорема о среднем). Пусть /(•) —
ограниченная функция, т ^ f(t) ^ М, д(-) — возрастающая функ-
ъ
ция и интеграл J f(t)dg(t) существует. Тогда существует такое
а
jx G [m, М], что
ь
J fit) dg{t) = ц(д(Ь) - gia)). (4.1)
a
Если при этом /(•) непрерывна, то найдется такое £ G [а, Ь], что ъ
J fit) dg{t) = fiOigib) - gia)). (4.2)
а
Доказательство. Если д{Ь) = д(а), то g(t) = const, интеграл равен нулю и в (4.1) можно взять любое fi. Пусть д(Ь) > д{а) и г — произвольное разбиение отрезка [а, 6]. Легко видеть, что
mig{b) - gia)) < 6Х(/, д) < M(g(b) - gia)).
Так как по условию интеграл существует, то, переходя здесь к пределу при D(t) —► 0, получаем
ь
migib) - д(а)) ^ J fit)dg(t) «S М{д{Ъ) - д(а))
/ fit) dgit)
т ^ М.
д(Ь) - д(а)
I /(*) dg(t)
Положив здесь /х = ад(ь)-д(а)ш 1 получаем утверждение (4.1).
49


Пусть /(•) непрерывна, т = inf /(£), М = sup/(£). По теоре-
[«»Ч [а, 6]
ме о промежуточном значении непрерывной функции найдется такое £ Е [а, Ь], что /(£) = /х, что означает справедливость равенства (4.2).
Теорема 4.2 (Теорема об оценке).
Пусть /(•) € С[а,ь], #(•) G BVja>6]. Гогйа
I/ f(t)dg(t) ^ f \f(t)\dgn(t) ^ Mf - \/(д), (4.3)
|- а •'а а
где gn(t) = У*а(д) (см. § 2), Mf = max|/(t)|-
[а, 6]
Доказательство. По теореме 3.4 оба интеграла из (4.3) существуют. Для произвольного разбиения т имеем
|©т(/, з)1 =
к=1
к=1
< Ё 1/(&)1 • V о?) = Ё\ш\мк) - 9n(tk-1)) <
fc=i tfc-i fc=i
n 6
^ Mf Е<*<‘*>_ ^(^-i)) = a*> • V^)-
fc=l a
Перейдя в неравенстве
6
1©т(/, l©r(l/U,)K M/V(fl)
a
к пределу при £)(т) —► 0, получаем (4.3).
Следствие 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 4-2 и разбиение т таково, что ujTk(f) < 7 для всех к = 1, ..., п. Тогда
ь ь
|©Т(/, 9)- [ f(t)dg(t)I < 7 - V(ff)- (4-4)
a
50


Доказательство.
/> ^ А
f(t)dg(t)\=Ylf(^)Agk-Y^ / f{t)dg(t)
|fc=i fc=i/_1
71 71
Ё / f(t))dg(t) j|/(&) ~ f(t)\dgn(t)i
k=h-i k=lL
n * £ n b
^ ^ ^rfe(/) I dg^{i) < 7^ ^9тт{^к) ~~ 9тг{^к—l)) = lf\/{9)
k=1 . fc=l a
4.2. 	Теорема 4.3. Пусть /n(-) G n = 1, 2, ..
/п(£) —> /(£) (n —» оо) равномерно на [a, 6], #(•) G i?Vj0j5]. Тогда
b b
ton J fn(t)dg(t) = J f(t) dg(t). (4.5)
a a
Доказательство. В силу известной теоремы анализа /(•) G С[а? ь}-> поэтому интеграл в правой части (4.5) существует. Равномерная сходимость последовательности {/n(*)}£L 1 означает, что для произвольного е > 0 найдется такое N G N, что для всех п > N и для всех t G [a, 6]
\fn(t) - f(t)\ < ГХ~Т-
Veto)
Поэтому по теореме 4.2 при п> N
ь ь ь
J fn(t) dg(t) — J f (t) dg(t) = J- f(t))dg(t)
\J (9)
Ш “
a
что эквивалентно предельному соотношению (4.5).
51


Теорема 4.4 (Теорема Хелли). Пусть /(•) G ffn(') € BV[a>b), п = 1, 2, , Va(^n) < AC, n = 1, 2, ..., и gn(t) -»• $(t)
при каждом t G [a, 6]. Тогда
b
n1™, J f(t)d9n(t) = j f(t)dg(t). (4.6)
a a
Доказательство. Сначала докажем, что предельная функция #(•) также имеет конечную вариацию, причем \]Ъа(д) ^ /С.
Пусть т — произвольное разбиение [а, Ь], г = ПРИ каждом
п = 1, 2, ... справедливы оценки
т b
Vr(9n) = ^2 19n{tk) ~ Sn(tfc-i)| < \/(9п) < AC.
fc=l a
Итак, для произвольного разбиения г имеем оценки
771
53ift*(ffc)-a»(fk-i)i
fc=i
откуда в силу поточечной сходимости последовательности {<7п(-)}£?=1 при п —> оо получаем
т
Л -0(tfc-i)l < AC.
fc=l
Значит, g(-) € BV[a,6]) и \/„Ы < AC.
Пусть e> 0 произвольно. Из равномерной непрерывности /(•) на [а, Ь] следует существование такого 6 > 0, что если
D(t) < S, то uTk(f) < %к. Зафиксируем такое разбиение т. Согласно следствию теоремы 4.2
ь ъ
М/> 9) - J f(t) dg(t)I С ^ • \/(д) ^ |,
a a
/ 6
kr(/, 9п) - J f(t) dgn(t)I < ^ • \/(5„) < |.
a a
52


В силу поточечной сходимости последовательности {<?п(-)}т£=1 lim сгт(/, дп) = о>(/, д),
п—>ос
поэтому найдется такое N € N, что при п > N кт(/, 9) - °т(/, 9п)\ < %
Значит, при п > N
ь ъ ь
J fit) dgn(t) - J fit) dg{t) < J f(t) dgn(t) - aT(f, gn)
+
+ М/, 9n) - M/> 5)1 +
О
ov(/, 9) ~ J fit) dg{t)
see
""з + з + з-^
Таким образом, верно предельное соотношение (4.6).
Теорема Хелли позволяет получить более общую по сравнению с (3.15) формулу для вычисления интеграла Стилтьеса в случае, когда множество Т(д) точек разрыва интегрирующей функции д(-) счетное, Т(9) = {*i, h, • • •}•
Пусть /(•) Е C[atb], 9(*) ^ BV[atb], 9'(') существует всюду, за исключением, быть может, точек некоторого счетного множества, д'(-) интегрируема по Риману. Тогда
ъ 6 оо
(S') [ fit) dg(t) = iU) ( fit)g'{t) dt + ^2 /(*fc W* (ff)- (4-7)
fc—1
a a K~l
Ввиду (3.14) достаточно доказать, что
bf 00
/ f{t)dgd{t) = ^2fitk)<Ttkig).
J fc=l
Положим gdn(t) = ^2 atk(9)ptk(t). Тогда (см. упражнение 2.15)
k=l
Vtodn) = E Kfo)i < Ё к to)i = V(s)(= *).


т. е. имеем даже равномерную сходимость последовательности {ffdn(-)}2°= 1 К gd(-).
По теореме Хелли, учитывая (3.14),
ь ъ п
/ f(t)dgd(t)= lim [ f(t)dgdn(t)= lim Y]<Ttk(g)f{tk) =
/ n-+oo / n—>oo » ■*
^ fc—1
a a
oo fc=1
Я p и M e p. A = {1, у2, y3, ...} = Т(з), tfc = У*, /с = 1, 2, ,
Рис. 4.1
oo 2
3(0 = E?f = E jePyAt)- Вычислим ftdg(t). Здесь оу (g) = У2*
tfc<t fe=l о
(ср. пример, приведенный в § 1)
О k=1 k=1
oo . oo
где S(t) = Ер S"(*) = E *fc_1 = 137- Значит, S{t) = -ln(l - t),
k=1 fc—1
ftdg(t) = S( У2) = ln2.
0
Упражнения и задачи
4.1. 	Докажите, что если в дополнение к условиям п. 4.1 #(•) — строго возрастающая функция, то существует £ : а < £ < b такое, что ь
J f(t) dg(t) = f{0(9(b) - 9(a)).


4.2. Функция д(-) — возрастающая на отрезке [0, п] и
7Г
/ sin^dy(t) = <j(7r) — #(0). Докажите, что о
g(t) = д(0) при t G [0, 72), g(t) = ^(тг) при t G (72, тг].
4.3. Функция ^(*) возрастающая на отрезке [0, 2] и для любой
2
непрерывной на [0, 2] функции /(•) f f{t)dg(t) = /(1). Докажите,
о
что #(£) = jFC + pi (t), где К — произвольная константа.
4.4. Докажите вторую теорему о среднем для интеграла Римана: если /(•) интегрируема по Риману в собственном смысле, а д(-) монотонна на [а, 6], то найдется такое £ G [а, Ь], что
ь £ ь
/ f(t)g(t)dt = д(а) j f(t)dt + g(b) J f(t)dt;
a a £
если #(•) строго монотонна, то £ G (а, 6).
4.5. Пусть /(•) — функция ограниченной вариации. Докажите, что:
I 2?г
а) / f(t)cosntdt < ± Vo*(Я;
1 О
2^ I
б) / /(t) sin nidi < I Vo ’(/);
О 1
2тг
в) если /(27г) = /(0), то / f(t)smntdt < £ Vo^C/)-
о
Покажите, что эти оценки точны: приведите пример функции, для которой выполняется равенство.
4.6. Исследуйте на непрерывность на отрезке [—2,2] функции
а) /sd{s}; б) f s(s2 — l)(s2 — 4) d{s}.
-2 -2
4.7. Пусть /(•) непрерывна на [а, Ь], a #(•) — функция ограниченной вариации. Докажите, что функция
г
G(t) = J f(s) dg(s)
а) 	имеет конечную полную вариацию;
55


б) 	непрерывна в точках непрерывности функции д(-). Найдите скачки G(-) в точках разрыва.
2
4.8. Вычислите f12 dg(t), где g(t) = Е ^ при *€ (°> 21’ ^(о) = о-
о k>yt
4.9. Пусть /(•) непрерывна, а д(-) строго возрастает. Докажите, что тогда
Ъ 9(b)
(S) J f(t)dg(t) = (П) J /(з-1(«))^.
а д(а)
где д~х(-) — функция, обратная функции д(•).
4.10. Докажите следующее усиление теоремы 4.3 (ослабление условий теоремы при сохранении утверждения означает ее усиление). Пусть последовательность непрерывных функций {/n(*)}£Li ПРИ каждом t € [а, Ь] сходится к непрерывной функции /(•) и существует такая константа М, что \fn(t)\ ^ М при всех t £ [а, Ь] и д(-) — функция ограниченной вариации. Тогда
о о
nlim J fn(t)dg(t) = J f(t)dg(t).
1 1
4.11. Вычислите интегралы а) / ег d,0{t)\ б) / sin7rtdO(t).
о о
4.12. С помощью теорем 4.3 и 4.4 и упражнения 4.10 сформулируйте теорему о предельном переходе вида
о о
Jto J fn(t) dgn(t) = J f(t) dg(t).
Докажите эту теорему.
4.13. 	Пусть выполнено одно из условий
1)/ € BV[a, Ь},д€ BV[c,d\, Л(-, а) € С[а, Ь], h(t, •) е С[с, d\
(s € [с,d\,t G [a,b]) или
2)/ € C[a, b],g € C\c, d],h{; s) G BV[a, 6], h(t, •) € BV[c, d\
56


(s £ [c,d],£ G [a,&]), и существует такое M > 0, что |h(£,s)| ^ М (t G [а,6], 5 G [с,б?]). Тогда
6 / d \ d / ь
J | J h(t,s)dg(s) j df(t) = J ( J h(t,s)df(t) j %(s). (4.8)
Индивидуальное домашнее задание
Ниже к означает номер группы в потоке, к = 1, 2, ЛГ — номер студента в списке группы; т принимает одно из значений, 1,2 или 3, m = N( mod 3).
Г =
A/4N + 1)
a = (_l)N+fc(A.r)(-l)^T^
<?(•) — 2Т-периодическая функция, д(х+2Т) = <7(ж), у(х) = a-f 6|х — Т|;
<?(*) = T+fe+m + / g(f)dt' f(x)=bx+{^^T^}> F(x) = f(x)' sign COS 0 k J
1. Найдите полную вариацию функции #(•) на отрезке [0, 2Т] по определению.
2. Найдите полную вариацию функций /(•) и /(•) • #(•) на отрезке [О, 2Г].
3. Найдите полную вариацию функции (?(•) на отрезке [—пТ, пТ] (n € N).
4. Представьте функцию F(-) на [О, 2Т] в виде суммы непрерывной функции и функции скачков; постройте графики F(-) и ее непрерывной и дискретной части.
5. 	Представьте функцию д(-) на [0, 2Т] в виде разности возрастающих функций.
57


6. Вычислите интегралы
пТ пТ 2Т
а) / /(х) dG{x)\ б) / g(x)df(x) (п £ N); в) / g(x)dF(x).
-пТ -пТ О
7. Исследуйте на непрерывность на отрезке [0, (га 4- 1 )Т] функцию
X
Н(х) = / h(t)(t — кТ)2 dF(t), где /i(-) непрерывна на [0, (m-f 1)Т] о
и /i(t) > 0 (t е [0, (т + 1)Т]).
2Т
8. Докажите, что #(•) G ^В^[0, 2Т] и оцените \/(Н) сверху.
о
оо
9. Вычислите интегралы а) /(m -f l)“fcxd{(3 — fc)a;};
о
оо
б) /(т 4- fc)_x d[a;]. о
§ 5. Правильные функции и интеграл Римана—Стилтьеса
5.1. 	Пусть R[a, Ь] означает множество функций / : [a, b] —> R, имеющих конечные односторонние пределы /(<И-)? f(b—), /(t+), f(t—) в каждой точке t G (a,&). Функции из R[a, Ь] будем называть правильными (так мы переводим английский термин regulated, см. [8]). В литературе на русском языке можно также встретить термин прерывистые функции, который кажется неудачным, так как не отражает существа дела, тем более что класс R[a, Ъ] содержит непрерывные функции, С[а, Ь] С R[a,fc]; в силу теоремы 2.6 BV[a, b] С R[a, 6].
Функция из упражнения 2.38 представляет пример разрывной функции, имеющей бесконечную полную вариацию, но являющуюся правильной.
Теорема 5.1. Правильные функции ограничены.
Упражнение 5.1. Докажите теорему 5.1.
58


Лемма 5.1. Пусть f € R[a, Ь], с £ (a, b] (с € [a,6)). Тогда . lim f(t±) = f{c+) ( lim f(t±) = f(c-) \ .
t-*c+0 \t—>c—0 J
Упражнение 5.2. Докажите лемму 5.1.
Теорема 5.2. Множество T(f) точек разрыва правильной функции /(•) не более чем счетно.
Упражнение 5.3. Докажите, теорему 5.2.
Упражнение 5.4• Докажите, что правильные функции интегрируемы по Риману.
Обозначим f(t) = таx{f(t+), /(£-)}, f(t) = min{/(£+), /(*-)}.
TeopeMai 5.3. Пусть f E R[a, Ь]. Найдутся такие точки t*,t* € [a,6], что
sup /(£) = f(u) inf /(*) = /(<*)•
t€[o,b]
Упражнение 5.5. Докажите теорему 5.3.
Напомним, что функция / : [a, b] —> R называется ступенчатой, если /(£) = Ck Для £ € (tk-i,tk) (к = 1,2,...,tn, n G N фиксировано; a = to < t\ < ...tn = b). Ступенчатая функция, очевидно, является правильной.
Теорема 5.4. Для того чтобы f : [a, 6] —> R бшм правильнойI, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность ступенчатых функций, равномерно сходящаяся к /(•)•
Упражнение 5.6. Докажите теорему 5.4.
Лемма 5.2. Пусть / Е R[a,b],ft = sup /(£) — inf /(£),
t€[a,b] *€[a,b]
(/(•) — непрерывная возрастающая функция, отличная от тождественной константы. Для любого е > 0 существует такой конеч-
п
ный набор G = (J (afc,6fc) попарно не пересекающихся интервалов и
/с—1
такое S > 0, что


для любого разбиения т = {tj}1JL1 отрезка [а,Ь], содержащего точки ак и 6fc, (к = 1,2, ...,п), диаметр которого d(r) < 8, для всех j G J(r) С {l,2,...,n}, J(t) соответствует отрезкам [tj-utj] С F= [a,b\\G.
Доказательство. Если Т(/) конечно, то утверждение леммы тривиально. Пусть Т(/) = {ck}kLi> Не ограничивая общности, можно считать, что а и Ъ — точки непрерывности /(•). Согласно доказательству теоремы 5.2 найдется такое натуральное п, что при к > п
<“>
В силу равномерной непрерывности д(-) в окрестности точки Ck для к = 1,2, ...,п найдутся такое 8 > 0 и такие интервалы (а^,Ь^), содержащие с*;, что имеет место импликация
(Ьк - ак < 6) => (д(Ьк) ~ д(ак) < 2^+1) •
Складывая эти неравенства, получаем
к=1 к=1
п
Полагаем G = U (ak,bk),F = [а, 6] \ G.
к=1
Предположим, что утверждение 2) в (5.1) не имеет места, и пусть 8п —► +0. Тогда для п = 1,2,..., разбиений т^, содержащих точки ак и bfc (А; = 1,2, ...,n),d(r^) < Jn, найдутся такие jn G J(r^), что
"r(-)i„(/)^ 2{д(Ь)-д(а)У (5'3)
Согласно теореме 5.3, примененной к отрезку с номером jn, найдутся такие Гп и t*n из [tjn-i,tjn], что wTwjn(f) = п). В силу
замкнутости и ограниченности F найдется такая подпоследовательность что t*ni —>t* G F (г—>оо). Не ограничивая общности,
можно считать, что t* > а и t*ni —* £*—0. Так как \t*ni —t*ni | < Sni —> 0, то и £*ni —> (г —> оо). Перейдя, если это потребуется, еще раз к
60


подпоследовательности, можно добиться выполнения одного из соотношений
t*m —► £* — 0 или £*ni —► t* + 0 (г —» оо).
В первом случае из леммы 5.2 имеем
Д**п‘+) - /(**-), /(**"*) — /(**-), (5.4)
/(«»<+) /(**—), f(t*ni~) (г-» оо).
Это означает, что (/) —» 0 (г —► оо), что противоречит нера¬
венству (5.3).
Во втором случае соотношение (5.4) сохраняется и, кроме того,
/(*ТЧ+) —> /(**+)» /(^Пг~) “> /(^*+) (* “> °°).
Отсюда следует, что неравенства (5.2) и (5.3) противоречат друг другу. Полученные противоречия доказывают утверждение 2) в (5.1).
Теорема 5.5. Если / Е R[a,Ь], д Е CBV[a,b\
(д € R[a,6], / Е CBV^a, Ь]), то интеграл Римана-Стилтьеса
ь
f f(t)dg(t) существует.
а
Доказательство. Пусть сначала д(-) — возрастающая непрерывная функция, отличная от тождественной константы, и е > 0 произвольно. Сосласно лемме 5.2 существуют определяемые этим е набор
п
G = (J (ak,bk) и 5, обладающие свойствами (5.1). Пусть г = {tj}^L1 — к=1
разбиение отрезка [а, Ь], содержащее точки а к и (/с = 1,2, ...,п), и d(r) < /(г) = {l,2,...,n} \ J(r). Разобьем сумму
771
©т (/, s) = 5Z ШГЗ (/) >
j=l
где Agj = g(^) - 5(^-1), на две части:
©т(/,з)= wrj(/)A5j + ujTj(f)Agj.
j€l(r) j€J(r)
61


Из утверждения 1) леммы 5.2 следует, что первое слагаемое в этой
сумме меньше §, а из утверждения 2) — второе меньше |. Следова-
ь
тельно, ©т(Л^) < £• По теореме 3.3 интеграл f f{t)dg(t) существует.
а
В общем случае представим д(-) в виде разности двух возрастающих непрерывных функций: g(t) = gi(t) — g2(t). По доказанному су- 6
ществуют интегралы f f(t)dgi(t),i = 1,2. Следовательно, существует
а
Ь
и равный их разности интеграл f f(t)dg(t).
а
Если д G R[a, 6], / G CBV[a, 6], то существование этого интеграла следует из уже доказанного и теоремы 3.1.
Доказательство теоремы 5.4 опирается на громоздкую лемму 5.2. В §14 мы приведем другое доказательство этой теоремы (см. упражнение 14.15).
Упражнения и задачи
ь
5.7. Пусть / G R[a, 6],F(t) = f f(s)ds. Докажите, что тогда
а
F±(t) = + Л) - F(t)) = f(t±).
5.8. Пусть / € R[a,b]. Докажите, что тогда ь
J(f(t + К) - f(t)) dt = (f(b±) - f(a±))h + o(h) при h —> ±0.
a
5.9. Пусть g G R[a, 6] и RS-интегрируема no / G B7[a, 6] на [a, 6], с G [a, 6]. Докажите, что тогда
c+h,
j 9(t) df(t) = g(c±)(f(c±) - /(c)) + 7(ft),
С
где 7(/i) —> 0 при h —> ±0
62


5.10. Пусть / : [а, 6] —► R — правильная функция, [с, d] С [а, 6]; покажите, что образ /([с, d]) относительно компактен, но может быть незамкнутым.
5.11. Покажите, что суперпозиция двух правильных функций может не быть правильной функцией.
5.12. Докажите: если д € R[a,6], / € CBV[a, Ь], то
t
F(t) = f g(s) df(s) — непрерывная функция ограниченной вариации;
а
если / € R[a, Ь], # € CBV[a,b], то F(-) — правильная функция.
5.13. Докажите, что если две из функций /(•),#(•), /&(•) — непрерывные функции ограниченной вариации, а третья — правильная, то выполнено равенство
ь ъ ь
J h{t)dg{t) fit) = J h(t)g(t)df(t) + J h(t)f(t)dg(t). (5.5)
a a a
5.14. Пусть выполнено одно из условий
1) / € CBV[a, 6], g,h G R[a, b] или 2) / € R[a, b],
g,h £ CBV[a, 6]. Докажите, что тогда
6 / * \ 6
J h(t) d (J 0(s)cf/(s)j = J h(t)g(t)df(t). (5.6)
a \a / a
6
5.15. Докажите, что если интеграл f g(t) df(t) существует для лю-
a
бой функции д G R[a, 6], то / G CBV[a,b].
5.16. Пусть д,дп G R[a,6] (п G N), / G Cf?V[a,6]. Тогда если р„(Н-) -*• g(t+) (п —> oo,t G [a, b)), gn(t~) -» ff(t-) (n -»■ oo, t € (a,Ь]) и |<7n(i)| ^ M при некотором M > 0 (t € [a,£>],n G N), то имеет место предельное соотношение
lim [ gn(t)df{t)= f g(t)df(t); (5.7)
"-*00 Ja Ja
5.17. 	Пусть 5 G R[e,6], / G CBVto.b], С CBV[a,b], и
имеет место сходимость fn(t) —> /(£) (t G [a,6],n —> oo), причем
63


V(/n) < M, где М > 0, не зависит от п. Тогда
lim [ g(t) dfn(t) = f g(t)df(t). n-,°° 7a Уa
5.18. 	Пусть выполнено одно из условий
1)/ G CW[a,b],0 g CBV[c,d\,h(-,s) G R[a,b],ft(V) G R[c,d]
(s G [c,d],£ G [a, 6]) или
2)f G R[a,b],g G R[c,d],h(-,s) G CBV[a,b],h(t,-) G CBV[c,d}
(s G [c,d],t G [a,6]), и существует такое M > О, что |/i(£,s)\ ^ М (£ G [a,6], 5 G [с, d]). Тогда
ь / d \ d/ь \
JIJ s) ^(s) j d/(*) = II h(t,s)df(t) \ dg(s). (5.8)


Глава II. Построение теории меры по Лебегу § 6. Системы множеств
6.1. 	Кольцо множеств. Пусть Т — некоторое «исходное» множество, природа элементов которого совершенно не важна. Множество всех подмножеств множества Т обозначим 'Р(Т). Системами множеств будем называть подмножества V(T), т. е. элементами системы являются подмножества Т. Например, если 0 — система множеств, 6 С Р(Т), то A £ 6 означает А С Т. Простейшими примерами систем являются само V(T) и {0} (0 — пустое множество).
Как обычно определяем на 'Р(ТГ) операции: объединение (U), пересечение (П), разность (\), дополнение (А = Т \ Л), симметрическую разность Д, А АВ = (А \ В) 1) (В \ А); очевидно, В А А = ААВ.
Упражнение 6.1. Покажите, что симметрическая разность Д обладает свойствами
а) ААВ = (АиВ)\{АПВ);
б) ААА = 0;
в) AA0 = А;
г) ААВ = 0 => В = А;
д) если А С В, то ААВ = В\ А;
е) если А П В — 0, то ААВ = A U В;
ж) 	АА{ВАС) = (ААВ)АС (= ААВАС);
з) А П (ВАС) = (АП В)А{А П С);
и) ААААВ = Б;
к) AU В = (ААВ)А(А П Б);
5-2800 65


л) А\В = АА(АПВ); м) ЛАТ = А; н) ААВ = ААВ; 0) (Ai \ А2)А(Вг \ В2) С (AiABi) U (А2АВ2); п) (А\ U А2)A(Bi U В2) с (AiABi) U (А2АВ2)\ р) если А\ П А2 — 0, то для любых 2?i, В2 С Т П В2 С (Л1ДБ1) U (А2АВ2);
с) для любых А, В, Ci,..., Сп С Т
(ААВ с (AACi) U (CiАС2) U ... U (Cn-iACn) U (СпАВ).
Упражнение 6.2. Докажите, что:
а) ( U Ak)A( {j Вк) с \J (АкАВк);
к=1 fc=l к=1
б) ( Г) Ак)А( Г) Bfc) С и (АкАВк).
к=1 fc=l fc=l
Система множеств 1Z С 7^(Т) называется кольцом (кольцом множеств), если она замкнута относительно пересечения и симметрической разности, т. е. если имеют место свойства:
1) A,Bell=>AnBelZ',
2) А,В £П=> ААВ еП.
Упражнение 6.3. Докажите, что кольцо — аддитивная группа относительно операции А (используйте упражнение 6.1 б, в, г, ж).
Упражнение 6.4• Докажите, что кольцо множеств есть кольцо в алгебраическом смысле (используйте упражнения 6.3 и 6.1 з).
Непосредственно из аксиом 1) и 2) кольца получаем следующие простейшие свойства:
66


1) кольцо замкнуто относительно операции объединения множеств: А, В € 71 => AU В € 71 (упражнение 6.1 к);
2) кольцо замкнуто относительно операции разности множеств: А, В €И=> А\В e1Z (упражнение 6.1 л);
3) кольцо замкнуто относительно конечного числа операций объединения, пересечения, разности и симметрической разности (докажите индукцией по числу множеств);
4) кольцо содержит пустое множество: 0 Е 7£; действительно, для любого А € 7£ 0 = А \ А, и утверждение следует из утверждения 2).
Множество Е £71 называется единицей кольца 71, если для любого A Gil ЕГ)А = А; очевидно, Е = (J А.
Аеп
Кольцо, содержащее единицу, называется алгеброй. Простейшие примеры колец
1. Для любого множества Т V(T) есть, очевидно, кольцо с единицей Т. Следовательно, V(T) — алгебра.
2. 71 = {0, А}, где А С Т произвольно. Очевидно, что 7Z — алгебра, само А является ее единицей.
3. Пусть Т — произвольное бесконечное множество. 7Z — система всех его конечных подмножеств. 71 есть, очевидно, кольцо, но не алгебра, так как объединение всех конечных подмножеств есть само Т — бесконечное множество.
4. Т = Мп (n ^ 1), 71 — система всех ограниченных подмножеств; 71 — кольцо, но не алгебра.
Заметим, что если Т — конечное множество, то кольца 71 С V(T) являются алгебрами (так как содержат объединения всех своих элементов) .
Остановимся на двух важных свойствах колец.
Теорема 6.1. Пересечение любого числа колец — кольцо.
67


Упражнение 6.5. Докажите теорему 6.1.
Теорема 6.2. Для любой системы 6 С Р(Т) существует единственное минимальное кольцо, содержащее & (минимальность понимается в теоретико-множественном смысле: оно содержится во всех кольцах, содержащих 6).
Доказательство. Кольца, содержащие систему G, существуют: одним из них является само Р(Т). Рассмотрим пересечение всех таких колец. В силу теоремы 6.1 — это кольцо; оно содержит 6, так как все элементы пересечения его содержат; это кольцо минимально в силу свойства пересечения принадлежать всем пересекаемым множествам.
Кольцо, о котором идет речь в теореме 6.2, называется кольцом, порожденным системой в или минимальным кольцом над системой 6, и обозначается 7£(6).
6.2. 	Полукольцо множеств.
Система множеств Н С V(T) называется полукольцом, если она обладает свойствами:
1) 0 еН;
2) А,В £Н=> Ап В £Н;
3) если А\,А € Н, А\ С А, то существуют такие
А2,...,АР € Н, р > 2, Ак П Aj = 0 при к ф j,
v
k,j = 1,... ,р, что A — (J Ак, (А допускает конечное разложе-
к=1
ние по некоторой системе «элементов» из Л, одним из которых является заданный «элемент» А\).
Примеры полуколец
1. 	Всякое кольцо есть полукольцо (но не наоборот). Выполнение аксиом полукольца для кольца следует из аксиом кольца и установленных выше простейших свойств кольца; в частности, для проверки аксиомы 3) достаточно взять п = 2, А2 = А \ А\.
68


2. 	Пусть Т = 7£, Н = {[а,Ь) : а ^ 6, а, 6 G 7£} (условимся, что [а,а) = 0). Выполнение аксиом 1) и 2) очевидно (см. рис. 6.1). Покажем выполнение аксиомы 3). Пусть а < 6, А\ = [с, d) С А = = [а, 6) и а ^ с ^ d ^ 6. Тогда Л = <Ai U А2 U Лз, где Л.2 = [а, с),
4> = [d,6).
3. Т = R; система в = {[а, 6] : а ^ 6, а, 6, G R} полукольцом не является, так как не выполняется аксиома 3): отрезок нельзя представить в виде конечного объединения отрезков (если А\ ф А).
4. Т = R, Н — система всех конечных промежутков (отрезков,
интервалов, полуинтервалов) есть полукольцо.
Упражнение 6.6. Пусть Т = Rn.
А. Н — совокупность полуоткрытых параллелепипедов,
Н = {П = [ai,bi) х ... х [an,bn) : ак,Ък G R,ak ^ bk}. Пока¬
жите, что H — полукольцо.
Б. Н — совокупность всех параллелепипедов, образованных декартовым произведением отрезков, интервалов, полуинтервалов. Покажите, что 7i — полукольцо.
Установим теперь два важных свойства полукольца.
Теорема 6.3. Пусть Н — полукольцо, А, А\,..., Ап Е Tt Ak С А, АкП Aj = 0 при к ф j. Тогда существует конечное р ^ 1 и такие ..., Вр G Н, что
Доказательство. Настоящее утверждение есть обобщение аксиомы
3) 	определения полукольца: при п = 1 получаем именно эту аксиому.
Рис. 6.1
п
V
(6.1)
69


Таким образом, (6.1) говорит о возможности представления А в виде конечного объединения «элементов» полукольца, часть из которых (Ак) уже заданы.
Доказательство проведем индукцией по п.
При п = 1 утверждение 1 верно в силу аксиомы 3).
Пусть это утверждение, т. е. представление (6.1) уже доказано для некоторого п и Ап+1 С А, Ап+1 £ W, А-п-\-1 ^ А-к — 0 (к — 1,2,..., 77.).
Р
Тогда из (6.1) следует, что An+i С (J Bj (см. рис. 6.2).
j=1
Вг
Д
(Вп
В21
^п+1
ад
Рис. 6.2
Полагаем Bki=An+i П В* € W, fc = 1,2,... ,р. Тогда
р
Вк1 ^ ^п+1 И -An+i = Вк1‘ к=1
По аксиоме 3) найдутся такие Вк2, • • • ,Вк,рк £ W, что
Рк
В к — (J Bkj.
э=1
Таким образом,
n р П Р Рк
^ = ((jAfc)U((JSfc) = ((jAfc)U([J (J*M =
fc=l fc = l fc=l fc=lj = l
n P P Pk n+1 P Pfc
= (UA*)u(UB«)u(U UB^) = (U^)u(U U^)-
fc=l fc=l fc=lj=2 fc=l fc=lj=2
Второе «слагаемое» представляет собой конечное объединение элементов полукольца W. Следовательно, представление (6.1) справедливо для п -f 1. По индукции оно верно для любого п.
70


Теорема 6.4. Пусть Н — полукольцо. Для любого конечного набора А\,..., Ап Е Н существует конечное число таких непересекающихся элементов кольца ..., Вр £ Н, что каждое Ак представляется в виде объединения некоторого числа Bj : Ak =
= (J Bj, Tk С {1,2,... ,p}, k = 1,2,..., п. (Утверждается, таким об¬
разом, существование некоей «универсальной» системы элементов из Н, из которых можно составить любое Ak G TL из заданного набора.)
Упражнение 6.7. Докажите теорему 6.4.
Если © — произвольная система множеств, то достаточно трудно описать строение 1Z(G). Иное дело, если в — полукольцо множеств.
Теорема 6.5 (о строении кольца, порожденного полукольцом). Пусть Н — полукольцо. Тогда И(Н) представляет собой всевозможные конечные объединения элементов Н :
Доказательство. Обозначим систему множеств в правой части £. Надо доказать следующие факты:
1 )Н С £; 2)£ — кольцо; 3)£ — минимальное кольцо, содержа¬
щее Н.
1. Пусть А £ Н. Тогда А = А — искомое представление А в виде конечного объединения элементов полукольца. Значит, Н С £.
2. Покажем, что £ — кольцо. Пусть А, В G £. Это значит, что
где Ak,Bj GH, к = l,...,n, j = l,2,...,m.
Положим Ckj = АкГ\ Bj. Так как полукольцо содержит пересечения своих элементов, то Ckj € Н. По свойству пересечения Ckj С Ак, Ckj С Bj. Согласно теореме 6.3 найдется конечное число таких Dki € Н и EjV е Н, что
i€ rfc
n
т
A=[jAk, B=\jBj,
3 = 1


причем Dki и EjV не пересекаются между собой и с Ckj. Следовательно, из (4) и (5) имеем
л=у |y^ju(u^)>
Отсюда видим, что AnB = \J[jCkj, ААВ
к j
т. е. А П В и ААВ представлены в виде конечного объединения элементов Н, т. е. А П В, ААВ Е £. Значит, £ — кольцо.
3. 	Пусть £' — другое кольцо, содержащее TL.
Тогда £', содержащее конечные объединения всех своих элементов, содержит и конечные объединения элементов W, т. е. £' содержит £. Это и означает, что £ — минимальное кольцо, содержащее Н.
Теорема доказана.
Замечание. Можно считать, что множества Ак в представлении
п
А = (J Ак попарно не пересекаются.
/с—1
6.3. сг-алгебра. Борелевские множества.
Кольцо множеств 1Z С 'Р(Т) называется сг-кольцом, если оно содержит все счетные объединения своих элементов: из Ап Е Л,
оо
п = 1,2,..., следует |J Ап Е 7£.
71=1
Конечное кольцо (т. е. содержащее конечное число элементов) является a-кольцом (так как в любом счетном объединении своих элементов имеется лишь конечное число «слагаемых», отличных от 0). сг-кольцо с единицей называется сг-алгеброй.
Простейший пример сг-алгебры — 'Р(Т).
Конечное кольцо всегда сг-алгебра.
Не ограничивая общности, можно считать, что единицей сг-ал- гебры является само множество Т. Действительно, если Е — единица
72
s-u(yc‘i)u(uE>-)-
= (шд“)и (иуЕ-) •


сг-алгебры 21 С V(T) и Е ф Т, то элементы из Т\Е не могут «участвовать» в сг-алгебре 21, поэтому можно считать Е исходным множеством, т. е. 21 С V(E).
Заметим, что сг-алгебра вместе с каждым своим элементом содержит и его дополнение: если А Е 21, то А = Т \ А Е 21.
Для сг-кольца, не являющегося сг-алгеброй, этот факт может не иметь места.
Теорема 6.6. а-алгебра замкнута относительно счетного числа пересечений: если 21 С V(E) — а-алгебра и Ап Е 21,
оо
п — 1,2,..., то р| Ап Е 21.
П— 1
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что
Т — единица сг-алгебры 21 С V(T). Пусть Ап Е 21, п = 1,2, Тогда
и Ап Е 21. Согласно законам двойственности (законам де Моргана)
оо оо оо оо
П К = и Д., так как An Е 21, |J An Е 21, то и (J Лп Е 21.
п = 1 П=1 П=1 П=1
Теорема 6.7. Длл любой системы множеств © С Р(Т) существует единственная минимальная а-алгебра, содержащая эту систему. Она называется а-алгеброй, порожденной системой 0, или а-алгеброй над © и обозначается 21(0).
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 6.2.
Борелевские множества. Пусть Т = Mn (п ^ 1). Вспомним некоторые сведения из курса математического анализа.
Открытым в Ш71 называется множество, содержащее каждую свою точку вместе с некоторым шаром с центром в этой точке. Замкнутым в Мп называется множество, содержащее все свои предельные точки; дополнение открытого (замкнутого) множества замкнуто (открыто); счетное объединение и конечное пересечение открытых множеств — открытое множество; конечное объединение и счетное пересечение замкнутых множеств — замкнутое множество. Счетное пересечение открытых множеств может не быть открытым, счетное объединение замкнутых множеств может не быть замкнутым. Это подтверждается
оо оо
примером уже при п - 1 [0,2) = f| (-1, 2) = |J [0, 2 - ±].
k=1 р=1
73


Пусть в — система всех открытых множеств в Мп. Согласно теореме 6.7 существует единственная минимальная <т-алгебра 21(6) над 0 (т. е. содержащая все открытые множества).
а-алгебра 21(0) называется борелевской; будем обозначать ее 03; 05=21(0).
Элементы 05 называются а) борелевскими множествами, или
б) 	измеримыми по Борелю множествами, или в) В-измеримыми множествами.
Таким образом, борелевскими являются все открытые множества и все замкнутые (как дополнения открытых).
Пусть Ап — открытые, а Вп — замкнутые множества
оо
(п = 1,2,...). Множество А = f| 4, т. е. множество, представимое
П=1
в виде счетного пересечения открытых множеств, называется множе-
оо
ством типа Gs', множество В = (J Вп, т. е. множество, представимое
п— 1
в виде счетного объединения замкнутых множеств, называется множеством типа Fa.
Пусть п = 1, Q — множество рациональных чисел. Это счетное
оо
множество: Q = {п, г2,...} = IJ {гп}. Так как всякое одноэлементное
п= 1
множество замкнуто, то Q есть множество типа Множество иррациональных чисел можно представить в виде
оо
R\Q = П ((“ сю, rn) U (гп, Ч-оо)) так, что это множество типа Gs-
71=1
Как счетное пересечение (объединение) борелевских множеств, множества типа Gs (Fa) являются борелевскими множествами.
Далее, счетное объединение (пересечение) множеств типа Gs (Fa) называется множеством типа Gsa (Fas)- Продолжая эти построения, приходим к множествам типа GsaS,Fas*, Gsas*, Fas<j8, • • •
Буква G (F) в этих построениях означает, что за основу берутся открытые (замкнутые) множества; S (а) указывает на пересечение (объединение). При этом S и а обязательно чередуются, ибо, например, подряд два знака а все равно указывали бы на счетное объединение.
Итак, множества типа Gs, Fa,Gs<r, Fas, • • •, Gsa...s, FaS..., • • • ~ боре- левские множества. Можно показать и обратное: любое борелевское
74


множество есть множество одного из указанных типов.
Не следует думать, однако, что все подмножества Мп — борелев- ские. Отметим без доказательства, что сг-алгебра 93 имеет мощность континуума, в то время как P(Rn) имеет мощность гиперконтинуума.
Упражнения и задачи
6.8. Определите операции U, П, \ через:
а) операции Д, П;
б) операции Д, U;
в) операции \, Д.
6.9. Докажите, что нельзя определить:
а) \ через Пии;
б) U через П и \.
6.10. Пусть Т = {а, 6, с}. Выпишите все кольца из Р(Т). Является ли кольцом система в = {0, {а}, {6}}? Полукольцом? Приведите примеры полуколец, не являющихся кольцами. Найдите Щ{0, {а}, {6}}).
6.11. Докажите, что полукольцо может не содержать объединение своих элементов.
6.12. Пусть Т — произвольное множество. Докажите, что © С'Р(Т) тогда и только тогда является кольцом, когда © — полукольцо, содержащее объединение своих элементов: если A, 5G©, то и A\J В €
6.13. Алгебра содержит дополнения своих элементов. Докажите.
6.14. Пусть А С Т, © = {Л}. Найдите 7£(б).
6.15. Пусть © = {0, {а}, {а, &}}. Найдите ?£(©).
6.16. Пусть Т = R, © — совокупность конечных объединений непересекающихся полуинтервалов [а, Ь). Докажите: © — кольцо, но не сг-кольцо.
6.17. Пусть Т = [0, 1] П Q (Q — множество рациональных чисел), © состоит из множеств вида (а, Ь) DQ, [а, b] DQ, [а, 6) flQ, (а, b] HQ, где 0 ^ а ^ b ^ 1. Докажите, что © — полукольцо. Содержит ли © единицу?
75


6.18. Докажите, что 21 С V(T) тогда и только тогда является алгеброй, когда 1) 21 содержит объединение своих элементов и 2) 21 содержит дополнение своих элементов:
А,Б<Е21=>АиБе21, А е 21 => А(= т \ А) е 21.
6.19. Докажите, что получится эквивалентное определение кольца, если заменить замкнутость относительно операций Ли П замкнутостью относительно операций: a) U и \; б) 11и Д; в) \ иД.
6.20. Докажите, что если система © С V(T) замкнута относительно операций: a) U и П или б) П и \, то © не обязательно кольцо.
6.21. Пусть А, В, С, D С Т. Докажите, что:
а) А х (В U С) = {А х В) U (А х С);
б) (В U С) х А = (В х A) U (В х С);
в) А х (В П С) = (А х В) П (А х С);
г) (ВпС)хА = (БхА)П(Бх С);
д) (А х Б) П (С х 2?) = {А П С) х (В П 13);
е) справедливо включение
(А х В) I) (С х D) с (Аи С) х (BUD).
6.22. Докажите, что если AnC = BnD = 0, то
(А х В) U (А х D) U (С х В) U (С х D) = (A U С) х (В U D).
6.23. Докажите, что прямое произведение полуколец есть полукольцо.
6.24. Докажите, что прямое произведение колец может не быть кольцом.
Характеристической функцией множества А С Т называется функция Хл : Т -» {0, 1}:
{1, если t £ А,
nnv ,
О, если t £ Т \ А.
6.25. Запишите соотношения:
а) А = 0; б) А С Б; в) А = В с помощью характеристических функций.
76


6.26. Представьте характеристические функции множеств:
а) 	А; б)АГ)В; в) AU В; г) А \ В; д) ААВ
с помощью характеристических функций множеств А и В.
Пусть — произвольная последовательность подмножеств
из Т. Верхним пределом этой последовательности называется множество
оо оо
limAn= р| (J Ак.
тг=1к=п
Нижним пределом последовательности {Ап}^=1 называется множество
оо оо
limAn= [J Р| Ак.
71=1 к = п
Если Нпь4п = НтАп, то это число называется пределом последовательности множеств и обозначается lim Ап.
6.27. Пусть Ап = А при п нечетном, Ап = В при п четном (т. е. речь идет о последовательности А, В, А, В, А, В,...). Докажите, что НтДп = А П В, 1шъ4п = A U В.
6.28. Докажите, что если Ап П Ак = 0 при пфк, то
lim А„ = ИтЛп = 0.
6.29. Если Ап С An+1, п — 1,2,... (возрастающая последовательность множеств), или Ап D Ап+1, п = 1,2,... (убывающая последовательность множеств), то
\imAn = lim Ап.
Докажите.
6.30. Докажите, что для любой последовательности множеств
оо оо
Р| Ап С lim А, С limA„ с [J Ап.
71=1 71=1
Приведите пример такой последовательности множеств, для которой все включения строгие.
6.31. Пусть А = limАп, В = ИтАп. Докажите, что тогда
А = lim Ап, В = lim Ап.
77


Пусть Т и § — два множества. Будем рассматривать отображения / : Т —► S, определенные на всем Т. Для А С Т
/(А) = {у е S : у = /(ж), х € А}; f(A) называется образом множества А. /(Т) С S называется также образом отображения /. Для В С /(Т) обозначим f~l(B) = {х £ Т : /(я) £ Б}; f~l(B) называется прообразом множества В. Отображение / : Т —> § называется сюръективным (отображением на), если /(Т) = §, т. е. если для любого у £ § найдется такой х € Т, что у = /(я.) Отображение / : Т —> § называется инъективным, если из х\ ф х2 следует f(x 1) ф /(я2*) Отображение, одновременно являющееся инъективным и сюръективным, называется биективным (взаимно однозначным).
Ниже / : Т —► §.
6.32. Докажите, что для любого АсТАс /_1(/(Л)), а если /(•) инъективно, то А = /-1(/(А)).
6.33. Докажите, что для любых В С /(Т) и /(•)
6.34. 	Докажите, что для любого набора множеств А\, А2,... (конечного или счетного) (Ак С Т)
6.35. Докажите, что всегда
а если /(•) инъективно, то
6.36. 	Докажите, что если /(•) инъективно, то
/ШтАь) = lim/(A). /(Iinu4fc) = lim f(Ak).
6.37. 	Докажите, что f(T)\f(A) С /(Т\Л), а если /(•) инъективно, то f{T)\f(A) = f(T\A).
78


6.38. Докажите, что для любого А С ДТ)
f-1(f(T)\A) = r1(f(T))\r1(A).
6.39. Пусть Ак С /(Т), к = 1,2,... Докажите, что тогда
к
к
/ 1(ИтЛ/-) = lim/ / 1 ШтАь) = Ша/
6.40. 	Докажите, что
X\i^An № = Итхл„ (*), ХИт л „ (*) = Итхл n (t).
6.41. 	Докажите, что lim Ап существует тогда и только тогда, когда существует lim хлп (t).
6.42. 	Пусть / : Т —> S, 6 С Р(/(Т)), : В £ ©}.
Докажите, что если:
а) 6 — кольцо, то /-1(0) С Р(Т) — кольцо;
б) 6 — сг-алгебра, то и /_1(6) — сг-алгебра.
6.43. 	Пусть А С Т. Опишите наименьшую ст-алгебру, содержащую А\ опишите наименьшую сг-алгебру с единицей В D А, содержащую
6.44. Укажите пример кольца, замкнутого относительно счетных пересечений, но не являющегося сг-кольцом (т. е. незамкнутого относительно счетных объединений).
6.45. Пусть 1Z С 'Р(Т) — кольцо и А £ 1Z. Обозначим
1Za = { : = А П В, В £ 1Z}. Докажите, что IZa — алгебра, а если
1Z — <7-кольцо, то IZa — (7-алгебра.
6.46. Пусть Т — бесконечное множество, © — система всех не более чем счетных подмножеств Т. Докажите, что 6 — сг-кольцо. При каких Т 6 — сг-алгебра?
6.47. Пусть Т — несчетное множество, 6 С V(T) состоит из таких множеств, которые либо сами несчетны, либо их дополнения несчетны. Докажите, что 6 — сг-алгебра.
6.48. Пусть Т = [0, 1], 6 = 'P(TnQ). Докажите, что 0 — сг-кольцо. Является ли в сг-алгеброй?
А {В СТ).
79


6.49. Докажите, что а-алгебра либо конечна, либо несчетна.
6.50. Докажите, что открытое множество в Мп есть множество типа Fa.
6.51. Докажите, что замкнутое множество в Rn есть множество типа Gs-
6.52. Докажите, что дополнение множества типа Gs (Fa) есть множество типа Fa (Gs)-
6.53. Докажите, что полуинтервал [а, Ь) есть:
а) 	множество типа Gs \ б) множество типа F
6.54. Докажите, что множество рациональных Q чисел есть множество типа Ffj.
6.55. Докажите, что множество иррациональных чисел есть множество типа Gs •
6.56. Докажите, что множество точек разрыва функции f(x) = tgx при X ф \ 4- 7ГП, п £ Z, f(x) = 0 при X = § + 7Гп есть множество типа Fa.
6.57. Пусть F С Мш замкнуто, {/n(-)}^= i — последовательность непрерывных на F функций. Докажите, что множество точек сходимости этой последовательности является множеством типа Fas•
6.58. Докажите, что множества:
борелевские.
6.59. Пусть А — множество чисел отрезка [0, 1], десятичная запись которых невозможна без цифры 5. Найдите мощность этого множества. Докажите, что А — борелевское множество (см. упр. 1.17).
6.60. Пусть В — множество чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых отсутствует цифра 5. Найдите мощность этого множества. Докажите, что В — борелевское множество (см. упр. 1.17).
6.61. Пусть А — множество чисел отрезка [0, 1], в десятичной за¬
оо
б) В = (J (Inn, In(п 4-1)) \ Z;
п=1
оо
В )С= U (п-^г, п+^г);
71=1
ОО
г) 	D = (J [п3 - б"”, п3 + 5~п] П (R \ О)
80


писи которых цифра 2 предшествует цифре 3. Найдите мощность множества А. Докажите, что оно борелевское (см. упр. 1.18).
6.62. На первом шаге удалим из середины отрезка [0, 1] интервал длины ^; на втором шаге удалим из середин оставшихся отрезков интервалы длиной ^ от их длин и т.д., вообще, на к-м шаге удалим из середин оставшихся 2к~г отрезков интервалы длиной ^ от их длин (п = 2,3,4,...; к = 1,2,...). После счетного множества шагов останется множество /Сп. (Очевидно, /Сз есть канторово множество.) Докажите, что /Сп при п = 2,3,4,...— совершенное нигде не плотное множество.
§ 7. Мера. Измеримые множества
7.1. 	Мера на полукольце. Продолжение на кольцо над полукольцом.
Функция множества т : V(T) —> М называется мерой, если она обладает свойствами:
1) т определена на некотором полукольце
2) т(А) ^ 0 для любого A GH;
3) если АП В = 0, А,В еН, Аи В е Н, то
т(А U В) = т(А) 4- т(В) (аддитивность).
Отсюда сразу следует, что т(0) = 0.
В самом деле, 0 = 0 U 0, поэтому т(0) = ш(0) + ш(0), откуда т(0) = 0.
Индукцией свойство 3) распространяется на любое конечное число
п
множеств: если Ai П Ак = 0 при i ф k, Ai Е 7i (J Ап € H, то
к=1
т( \J Ап) = Е т(Ап)- к—1 к—1
Теорема 7.1. Пусть т — мера на полукольце Н, А\, А2, •.., Ап, А £ Н, Ak С A, Ai П Ak = 0 при i ф к. Тогда Y, т{Ак) < т(А).
fc=i
81


Доказательство. В силу теоремы 6.3 найдутся такие
Ап+1,..., Ар в Н, Аг П Ак = 0 при i ф &,г, к — 1,2,... ,р, v
что А = IJ Отсюда согласно аддитивности га к=1
р п
m(^) = У1т(Ак) > '^2m(Ak)-
к—1 к=1
Следствие. Если А\ С A, Ai,A£H, то т(А\) ^т(А) (свойство монотонности меры).
Теорема 7.2. Пусть га — леера на полукольце Н,
п
Л С (J Ак, А, Аи ■.., Ап € W. 7Ъг<?а
fe=i
71
т(А) <
fc=l
Упражнение 7.1. Докажите теорему 7.2.
Пусть Н С Н — два полукольца, мера га определена на Н, а мера га на W, причем для А е TL т(А) = т(А). Тогда га называется продолжением га с W на Н.
Теорема 7.3. Пусть И С 'Р(Т) — полукольцо, .мера га определена на TL. Существует единственное продолжение га меры га сН на П(Н).
Доказательство. По теореме 6.5 о строении кольца 11(H) для каждого А 6 7£(W) существуют такие попарно непересекающиеся
БЬ...,БП G W, что
>1 = [J В*. (7.1)
к = 1
П
Положим т(А)= ^ т(Вк)- Если А Е W, то n = 1, В\ = А и
к=1
т(А) = т(А), так, что га есть продолжение га с Н на 7£(Н). Продолжение га, очевидно, аддитивно и неотрицательно.
82


Покажем, что га не зависит от способа представления А в виде конечного числа попарно непересекающихся элементов полуколь-
v
ца. Пусть наряду с (7.1) имеет место представление А = \J Cj, где
з=1
Cj £ Н и попарно не пересекаются. Пусть Dkj = В к П Cj (е Н). Тогда Вк = (J Dkj, Cj = (J Dkj и Е гп(Вк) = Е Е m(Dkj) =
j=1 к=1 к=1 к=1 j=l
= Е Е rn{Dkj) = Е
J = l fc=l j=l
Осталось доказать единственность продолжения га.
Пусть наряду с га имеется другое аддитивное продолжение га. То-
гг п
гда т(А) = ^ т(Вк) = ^ т(Вк) = т(А). Теорема доказана.
fc=l к=1
Мера т называется счетно-аддитивной (сг-аддитивной), если
оо оо
для А = (J Ак, П = 0 при к ф j, га(Л) = т(Ак)- fe=i fc=i
Теорема 7.4. Вели .мера га а-аддитивна на полукольце И, то и ее продолжение га а-аддитивна на 71(H).
оо
Доказательство. Пусть А = (J Ak,A,Ak € 7£(W) и Ak попарно не
к=1
пересекаются.
По теореме о строении 1Z(H) существуют такие попарно не пересекающиеся В\,..., Вр е Н и Cin, • • •, Српп £ W (n = 1,2,...),
Р Рп
ЧТО А = U Bi, An = U Cjn (п = 1,2,...).
г=1 j = l
Обозначим Ajn = Bi П Cjn (£ TL). Тогда Bi = |J (J
n j
Cjn = На полукольце W га сг-аддитивна, поэтому
г
гп(Вг) = ZZm(Dijn), m(Cjn) = В итоге получаем
МА) = = ЕЕ Em(Ajn) = EEEm(Ajn) =
г i п j п j i
= YlYlm(Cjn) — Sr^'(^n) (из трех сумм две конечные, причем пре-
П j 71
делы суммирования по г не зависят от п, поэтому сделанная перестановка порядка суммирования допустима).
Теорема 7.5. Пусть мера га определена на кольце и а-аддитивна. Тогда
83


оо
1) если и Ап С А, АпГ\Ак = 0 при кфп,
п=1
оо
то TO(Ai) ^ т(А);
71=1
оо оо
2) если А С IJ Ап, то т(А) ^ m(^fc)-
71=1 71=1
Упражнение 7.2. Докажите теорему 7.5.
7.2. 	Продолжение сг-аддитивной меры по Лебегу.
Если на исходном полукольце Н мера га аддитивна, но не а- аддитивна, то ее продолжением на И(Л) согласно теореме 7.3 исчерпываются возможности ее дальнейшего продолжения. Поэтому будем считать в дальнейшем, что мера га на полукольце Н С V(T) (а значит, и ее продолжение га на кольцо Hiji)) сг-аддитивна.
Определим на V(T) функцию со значениями на R+ (М+ — множество неотрицательных вещественных чисел, пополненное символом -foo), /л* '. V(T) —► JR.-*”,
И*(А) = . inf (А С Т),
Bk . k «
где инфинум берется по всем покрытиям множества А конечными или счетными объединениями Bk G Н.
Функция множества fi* называется верхней мерой. Таким образом, конечной или бесконечной верхней мерой обладает любое подмножество из Т.
Теорема 7.6 (о полуаддитивности верхней меры).
Пусть {Ап} — конечная, или счетная, система множеств из V(T) и Ad (J Ап. Тогда
п
/ЛЛ) < 1>*(А0-
п
Свойство верхней меры, выражаемое этой теоремой, называется ее полуаддитивностью.
84


Доказательство. Если ряд в правой части расходится, то утверждение теоремы очевидно. Поэтому будем считать все ц*(Ап) конечными и ряд сходящимся.
По свойству точной нижней грани для любого е > 0 найдется такое покрытие каждого Ап элементами Впк Е Н, что
Ап С |^J-Snfc, ^ ^т(Впк) < fi (Ал) 4- —-. к к
Так как А С IJU^nfc, то {Впк}п,к ~ покрытие А элементами полукольца; поэтому
^ '5У^2,т(Впк) < У^М*(Ап) +£.
п к п
Ввиду произвольности е > 0 это означает требуемое.
Дадим сейчас основное определение.
Множество А Е 'Р(Т) называется измеримым, если для любого £ > 0 найдется такое В Е 11(H), что
fi*(AAB)<£.
Очевидно, множества из Н и 71(H) измеримы и для них ц*(А) = т(А) и Ц*(В) = т(В) соответственно.
Обозначим систему всех измеримых множеств через Шт = Ш. Таким образом, Н С 11(H) С Ш.
Упражнение 7.3. Докажите, что для любых C,D Е 7^(Т), fi*(С) < -boo, fji*(D) < -boo
\f{C)-iS{D)\<v?(CAD). (7.2)
Так как исходная мера га на Н, а значит, и ее продолжение га на 11(H) принимают конечные значения, то из неравенства (7.2) следует, что для измеримых множеств /г* (А) < 4-оо.
Очевидно также, что если ц*(А) = 0, то А измеримо, так как в качестве В Е 11(H) можно взять В = 0.
Теорема 7.7. 9Я — кольцо, а если исходное полукольцо обладает единицей, то Ш — алгебра.
85


Доказательство. Пусть А\ и А2 измеримы, т. е. Ai,A2 G Ши е > О произвольно. По определению измеримости найдутся такие Bi,B2 еЩН), что
м*(AiABi) <| (* = 1,2).
Из включения (А\ \ А2)А(В\ \ В2) С (Ai АВг) \J(A2AB2) (см. упражнение 6.10) и теоремы 7.6 имеем
11*№ \ А2)А(В1 \ В2)) ^ »*(АгАВг) + ц'(А2АВ2) < £•
так как В\ \ В2 G 71(H), то по определению измеримости Ai\ А2 G Ш. Далее, так как, очевидно, А\ П А2 = А\ \ (А\ \ А2), то и А\ П А2 G ЗЛ; в силу упражнения 6.1 п)
/x*((Ai U А2)А(В\ U В2)) ^ ц* (А\АВ\) + ц* (А2АВ2) < £,
а так как В\ U В2 G 7£(W), то Ai U А2 G 9JI, т. е. содержит и объединения своих элементов.
Наконец, из упражнения 6.1 а)
А1ДА2 = (А\ \ А2) U (А2 \ А\) G ЭЯ.
Этим доказано, что ЭЯ — кольцо.
Если Н содержит единицу, то она будет и единицей в ЭЯ, т. е. ЭЯ будет алгеброй.
Теорема 7.8. Верхняя мера аддитивна на ЭЯ.
Доказательство. Пусть А = А\ U А2, А\ П А2 = 0. Из полуадди- тивности верхней меры (теоремы 7.6) следует
/х*(А) ^ fi*(Ai) + ц*(А2). (7.3)
Надо доказать противоположное неравенство.
Для произвольного е > 0 найдем такие В\,В2 G 71(H), что V*(AiABi) <£ (i=l,2).
Положим В = В\ U В2 (g 71(H)).
86


Упражнение 7.4- Докажите равенство
т(В) = rh(Bi) + т(В2) - m(Bi П В2). (7.4)
Из упражнения 6.1 р) и теоремы 7.6
ш(В1 П В2) < fi*(AxABx) + /л*(.А2АВ2) < 2е, (7.5)
а из упражнения 7.3 — е < jJ>*(Ai) — rh(Bi) < е (г = 1,2), поэтому
m(Bi) > »*(Аг) -е (г = 1,2). (7.6)
Таким образом, из (7.4) — (7.6)
m(B)>fi*(A1) + »*(A2)-4e. (7.7)
Оценим т(В) сверху.
Так как, очевидно
В С A U (ААВ) и ААВ с (A\ABi) U (А2АВ2) (упражнение 6.1 п)), то
т(В) ^ ijl*(A) + ii*(AAB) < /л* (А) + 2е.
Отсюда, учитывая (7.7), получаем
11*(А) > т(В) -2е> ц*(А{) + ц*(А2) - 6е, что ввиду произвольности е > 0 означает
^(А)^^(Аг) + ^(А2); (7.8)
это вместе с (7.3) дает нам равенство
fi*(A) = fi*(A1) + ^(A2), завершающее доказательство теоремы.
Доказанная теорема означает, что на Ш верхняя мера есть мера! Обозначим эту меру через /л. Таким образом, для измеримых множеств, т. е. для АеШ ц(Ау=(1*(А), /л есть продолжение тсНна Ш1.
Мера /2 называется продолжением меры т по Лебегу.
Приведем еще ряд утверждений о свойствах этого продолжения.
87


Теорема 7.9. Мера \х а-аддитивна (напомним: мы предположили исходную меру т а- аддитивной).
оо
Доказательство. Пусть А = (J Ап, Ап р| Ак = 0 при п ф /с,
71=1
А, Ап € Ш, п = 1,2,--* . По теореме 7.6
оо оо
/х(Л) = IX*(А) ^ ^ /и* (АО = X! МАО- (7-9)
72=1 71=1
В предыдущей теореме мы доказали неравенство (7.8) для двух слагаемых. Индукцией по числу слагаемых оно легко доказывается для любого конечного числа N слагаемых:
ЛГ N
/ф4) = Х>(Л„).
71=1 71=1
ОО
Так как частичные суммы ряда Y1 мС^п) с неотрицательными
71=1
членами ограничены (числом ц(А)), то ряд сходится, и в пределе при ЛГ —► оо получаем
оо
ц(А) ^ 'У ^ /i(An),
71 = 1
что вместе с (7.9) означает требуемое.
Теорема 7.10. Ш — а-кольцо, а если исходное полукольцо Н содержит единицу, то Ш — а-алгебра.
оо
Доказательство. Пусть Ап Е Ш, п = 1,2, ...,А= (J Ап. Надо
71=1
доказать, что A Е Ш.
Не ограничивая общности, можно считать, что Ап попарно не пересекаются. Для любого натурального N
М М
MU а.) = 5>м„)«м*(л)
71=1 71=1
(неравенство следует из полуаддитивности /i*, т. е. из теоремы 7.6,
N оо
так как U Ап С U Ап = А). Из этого неравенства следует, что ряд
71=1 72 = 1
88


оо
^2 ^(Ап) сходится. Следовательно,
П = 1
оо
(Ve >0) (We N), Е l*(An) <
п==Л/"+1
м
Положим С= \J Ап (е Ш).
п=1
Найдется такое В Е 1Z(H), что ц*(САВ) < §.
Из упражнения 6.1 с) (С С А)
ААВ с (САВ)и(А\С),
откуда
f(AAB) < ц*(САВ) + \ С) < | + | = е.
Это означает, что А € Ш.
В заключительной части этого п° установим некоторые свойства, которыми могут обладать и меры, не обязательно являющиеся лебеговыми продолжениями некоторой исходной меры, первоначально заданной на некотором полукольце.
Пусть мера v определена на некотором а-кольце 1Z (элементы которого называются измеримыми множествами). Мера v называется полной, если из А € 11, А\ С A, v(A)= 0 следует А\ Е 1Z, v(Ai) = 0 (т. е. если всякое подмножество измеримого множества меры нуль измеримо и имеет меру нуль).
Теорема 7.11. Лебегово продолжение ц меры га, первоначально заданной на полукольце И, есть полная мера.
Доказательство. Пусть А Е Ш, /л(А) = 0 и А\ С А. В силу полу- аддитивности верхней меры (теорема б.б)
0<^(А!)</х*(А)=/х(Л) = 0.
Отсюда ijl*(Ai) = 0. Значит, А\ Е 9Я и /jl(Ai) = 0.
Теорема 7.12. Пусть v — а-аддитивная мера, определенная на некотором a-кольце 1Z. Тогда она непрерывна в следующем смысле:
89


оо
1) если А\ Э А2 D • • • D Ап D • • • , А = р| Ап (Ап, А € Я), то
71=1
^(Л) = lim i/(An); (7-10)
71—+00
ОО
^ если А\ С ^2 С • • • С 4П С • • • , А = U Лп (Ап € 7£), то
71=1
имеет место предельное соотношение (7.10).
Замечание. Свойство меры, выражаемой утверждением 1) (2)), называется полунепрерывностью сверху (снизу). Непрерывная мера, таким образом, полунепрерывна сверху и снизу.
Доказательство. Пусть сначала А = 0. Тогда
оо
~ (J (Ап \ An+i),
71 = 1
причем множества An \ Ап+\ G TZ и попарно не пересекаются. Так
оо
как все частичные суммы ряда ^ ^(^ti \ Ai+i) с неотрицательными
71=1
членами ограничены сверху числом v(A\), то этот ряд сходится; так как остаток сходящегося ряда стремится к нулю, то
оо
v(An) = ^ v(Ak \ Ak+i) —> 0.
к=п
Пусть теперь А ф 0. Введем множества А'п = Ап\ А (€ 1Z),
оо
^ = П Ап = 0-
71=1
По уже доказанному lim v(A' ) = 0, следовательно,
71—►ОО
lim г/(Лп) = v(A).
71—►ОО
Упражнение 7.5. Докажите утверждение 2). Следующая теорема в некотором смысле обратна теореме 7.12.
Теорема 7.13. Если мера v определена на некотором кольце 1Z, аддитивна и непрерывна (см. формулировку теоремы 7.12), то она и а-аддитивна.
Упражнение 7.6. Докажите теорему 7.13.
90


Упражнение 7.7. Если мера v определена на некотором полукольце W, полунепрерывна на нем снизу (сверху), и последовательность {-Вп}^=1 С Н такова, что Вп попарно не пересекаются,
оо
В = U Вк G п И
fc=l
п оо
Ап = У Вк G п (Сп = IJ Вк£П), п = 1,2,...,
к=1 fc=n+l
ТО
оо
КВ) = 5>(£*),
к=1
т. е. I/ а-аддитивна на W. Докажите.
7.3. 	Мера Лебега в W1.
Пусть сначала n = 1 и Т = 1. В качестве исходного полукольца Н возьмем систему всех конечных промежутков:
Н — {3а,Ь • а ^ 6, (2, 6 G М},
где За,ь означает один из промежутков [а, 6], [а, Ь), (а, 6], (а, 6) (см. пример 4 из § 6).
На полукольце Н определим трй)ь)=6-а (мера промежутка — его длина); неотрицательность и аддитивность т очевидны. Чтобы доказать ее сг-аддитивность в силу упражнения 7.7, достаточно доказать ее полунепрерывность сверху или снизу. Ограничимся рассмотрением сужающейся последовательности промежутков одного типа. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Пусть — возрастающая числовая последовательность,
— убывающая числовая последовательность, ап —► а, Ьп —> b (п —> оо), а ^ Ь. Тогда
оо
[<2l, Ь\] D [<221 ^2] Z) • . • D [ttn, 6n] D . . • , |^| [&n> ^n] ~ [&> &]?
n=l
m([an, &n]) = bn-an-+b-a = m[a, 6].
Отсюда следует непрерывность, а значит, и сг-аддитивность га на исходном полукольце W.
91


Продолжение т по схеме Лебега, описанной в п.7.2, называется мерой Лебега на вещественной прямой и обозначается mes. Полагаем также £=Ш1т; £ — <г-кольцо измеримых по Лебегу множеств.
Заметим, что при таком подходе измеримыми могут быть только ограниченные множества. Для неограниченных множеств можно поступить следующим образом.
Пусть А С Т = R. Рассмотрим последовательность множеств Ап = А П [—п, п]. Если ограниченные множества Ап при всех п измеримы (т. е. Ап € £), то получаем числовую последовательность {mes(An)}~=1.
Скажем, что А измеримо по Лебегу, если существует (конечный или бесконечный) предел этой числовой последовательности, который и назовем мерой множества А : mes А= lim mes Ап.
п—юо
К такому же результату мы придем и в случае, если с самого начала присоединим к Н и бесконечные промежутки, в частности само Т = М. Тогда R будет единицей полукольца W, га(R) = +оо, и в итоге мы получим а-алгебру измеримых по Лебегу множеств с единицей. При этом некоторые измеримые множества будут иметь бесконечную меру. (Правда, для такого рассмотрения надо видоизменить доказательства некоторых теорем в п. 7.2, но мы на этом останавливаться не будем.)
В дальнейшем будем говорить о а-алгебре £ С V(M) измеримых по Лебегу множеств.
Отметим ряд свойств измеримых по Лебегу множеств и меры mes (в дальнейшем пишем mes Л вместо mes (Л)).
1. Одноэлементные множества измеримы и их мера равна нулю: А = {гг} = [х, х], mes Л = х — х = 0.
2. Конечные и счетные множества измеримы и их мера равна нулю:
оо оо
А = {х 1, Х2,...}= U Ы, mesА = mes{x„} = 0.
71=1 71=1
3. Открытые множества измеримы по Лебегу и, если
оо
G = U (ani Ьп), где интервалы (ап, Ъп) попарно не пересекаются, то
71 = 1
ОО
mesG = J2(bn- ап)-
71=1
92


4. Замкнутые множества измеримы по Лебегу (как дополнения открытых множеств.)
5. Множества типа Gs, Fa, Gs<j, Fas, GsaS, • • • измеримы по
Лебегу (так как сг-алгебра £ содержит счетные объединения и пересечения своих элементов); следовательно, борелевские множества измеримы по Лебегу, т. е. 95 С £.
6. Канторово совершенное множество /С (см. упражнение 6.62) измеримо по Лебегу (оно замкнуто), и его мера равна нулю: mes/С = 0 :
mes[0, 1]\/С = ^Н-2- — -h4* Н b 2П * — Н = 1,
следовательно, mes /С = 1 — 1 = 0.
7. Мощность сг-алгебры £ есть гиперконтинуум 2е (в то время как мощность сг-алгебры 93 всего лишь континуум с; отсюда следует существование измеримых по Лебегу, но не измеримых по Борелю множеств).
Действительно, |/С| = с, а в силу полноты меры mes (теорема 7.11) каждое подмножество /С измеримо, следовательно, V(K) C£(C'P(R)). Так как \Р{К)\ = 2е и [Р(Щ = 2е, то и |£| = 2е.
Следующее свойство удобнее сформулировать в виде теоремы.
Теорема 7.14. Для того чтобы множество А было измеримо по Лебегу (т. е. для того, чтобы А Е £), необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовали такие замкнутое множество F и открытое множество G, что
F С А С G и mesG\F < е.
Доказательство. Достаточность. Заметим, что G\F открытое множество. Пусть mes G\F < е. В силу измеримости G найдется такое Вс Е 71(H), что /jl*(GABg) = mes GABg < s. Из упражнения 6.1 с) имеем
AABg С (AAF) U (FAG) U (GABg),
откуда
/х*(.AABg) ^ Ц*(А \F) + mes(G \F) + mes(GABa) <
93


< 2 mes(G \ F) 4- mes(GABa) < 3e.
Это по определению означает измеримость A.
Необходимость. Пусть А £ £ и е > 0. По свойству точной нижней грани найдется такое конечное, или счетное, объединение промежутков 3 = LJ3c*n,/3n> что А С 3, mes 3\ Л < Если все промежутки
п
из 3 — открытые интервалы, то 3 открыто и можно положить G = 3. В противном случае от отрезков [ап, /Зп] (полуинтервалов [ап, /?п) или (ап, /?п]) перейдем к более широким интервалам (ап — f3n + 2^+v)
((а„ - 2&р, 0п) или (а„, /?„ + 2&г))> гДе Р ~ достаточно большое натуральное число. В качестве G возьмем объединение полученных интервалов.
Тогда А С 3 С G и mes(G \ 3) < 2n+p-i < 4 и> значит>
п
mesG \ А < §.
Применим доказанное к дополнению A Е £. Найдется такое открытое множество G\, А С. G\, mes(Gi \ А) < §; множество F = Gi замкнуто, F С А и mes(A \ F) < |. Окончательно имеем
F С А С G, mesG\F < е.
Замечание. При доказательстве достаточности мы не использовали специфику меры Лебега на К, поэтому это доказательство остается в силе для любой меры, полученной продолжением по схеме Лебега некоторой меры, заданной первоначально на некотором полукольце Н С Р(Т), где Т — произвольное множество.
Перейдем теперь к определению меры Лебега в Мп при п > 1. В качестве исходного полукольца возьмем систему всех параллелепипедов, о которых говорится в упражнении 6.6 Б. На этом полукольце определим меру
тп() = (&х - ai)(b2 - а2)... (Ьп - ап),
т. е. мера параллелепипеда есть его объем. Очевидна неотрицательность и аддитивность этой меры, а сг-аддитивность в силу теоремы 7.13 следует из ее непрерывности, которая доказывается так же, как и для случая п = 1.
94


Продолжение этой меры по схеме Лебега называется мерой Лебега в Rn и обозначается mesn. Систему всех измеримых по Лебегу множеств обозначаем £п.
Мера Лебега в Rn обладает свойствами 1 — 5, 7, для нее справедлива теорема 7.14.
7.4. 	Мера Лебега-Стилтьеса на R.
Пусть Т = R или TcR, Т :Т —» R — возрастающая функция (напомним, что возрастание понимается в нестрогом смысле). В качестве Н снова, как и при определении меры Лебега, возьмем систему всех конечных промежутков (это полукольцо).
Меру на Н определим следующим образом (а ^ Ь) :
mjr[a, Ъ) = P(b-) — F(a—), тр(а, b] = F(b+) — Т(а+),
mjr[a, b] = F(b+) — Т(а—), b) = F{b—) — Т(а+).
Неотрицательность т? следует из возрастания Что касает¬
ся аддитивности, то пусть, например, [а, 6] = [а, с) U [с, 6]. Согласно определению
т?[а, ) = Т(-) — Т{а—), mjr[c, b) = Т(Ь+) — Р(с—).
Сложив эти равенства, получим
771^[а, Ь) = mjr[a, с) 4- т?\с, Ъ].
Остальные случаи доказываются аналогично.
Покажем, что mjr непрерывна (в том смысле, о котором говорится в теореме 7.12). Согласно теореме 7.13 это будет означать, что т? сг-аддитивна.
Ограничимся рассмотрением одного случая.
Пусть А = [а, Ъ] (а < Ь), Ап = [ап, Ьп], Ап+1 С Ап
оо
(n = 1,2,...), ап —> а + О, 6П —► b — 0 (п —> оо). Тогда А = Q Лп и
71=1
mjr(An) = Т(Ъп+) - ?(ап-) —> ,F(b+) - ^(а-) = т?(А).
Итак, tojt сг-аддитивна на И.
95


Продолжение т? по схеме Лебега на а-кольцо Ш1т:г=£5^г называется мерой Лебега-Стилтьеса, порожденной возрастающей функцией и обозначается /хjr.
Очевидно, если T(t) = £, то получим меру Лебега.
Заметим, что теперь мера одноэлементного множества необязательно равна нулю:
fijr{а} = rrij:{a] — тр[а, а] = Т(а+) — Т(а—),
т. е. мера одноэлементного множества равна скачку функции Т(-) и равна нулю в том и только в том случае, если Т(-) непрерывна в точке а.
Для неограниченных множеств поступим так же, как и при определении меры Лебега, т. е. рассмотрим последовательность ограниченных множеств Ап = [—гг, гг] П А, где А С Т — неограниченное множество. Если Ап £ при гг = 1,2,... (говорим: Ап /х-измеримы), то (конечный или бесконечный) предел числовой последовательности {/л^{Ап)}^=1 называется мерой Лебега-Стилтьеса множества А :
fijr(A) = lim 1лг(Ап).
п—►оо
И снова: тот же результат получим, если с самого начала добавим к Л бесконечные промежутки, превратив Л в полукольцо с единицей. В итоге £Sy будет сг-алгеброй, что мы и будем предполагать в дальнейшем.
Уже отмечалось, что при !F(t) = t fir (А) = mes Л.
Рассмотрим еще два примера.
Г 0, t < с;
1. т = Pc(t) = {
yij t > с.
(Как видно из определения меры Лебега-Стилтьеса, значения в точках разрыва никак не участвуют, поэтому их можно не определять.)
Теперь тРс{с} = рс(с+) ~ Рс(с—■) — 1* Если промежуток содержит точку с, то его мера равна 1, в противном случае — 0. Относительно
96


этой меры измеримы все подмножества из R, £SPc = P(R),
10, если сё А,
Мрс(^) = \
I 1, если с £ А.
\хРс называется мерой Дирака, сосредоточенной в точке с, и обозначается Sc.
2. 	f'(t) = [t] (целая часть числа t). Эта функция порождает меру vz = которая называется считающей. Эта мера «сосредоточена» на множестве Z целых чисел (позднее мы уточним смысл термина «сосредоточена»).
Здесь также £5[.] = P(R), т. е. измеримы все подмножества R : iъ(А) — число целых чисел, принадлежащих А.
7.5. 	Измеримое пространство.
Пусть Т — метрическое пространство, 21 — некоторая сг-алгебра его подмножеств с единицей Т, /х — сг-адцитивная мера, определенная на 21. Про множества, принадлежащие 21, говорим, что они //-измеримы или просто — измеримы, если ясно, о какой мере идет речь. Подмножества Т, не входящие в 21, называются неизмеримыми.
Скажем, что мера \х конечна, если /л(Т) < +оо; скажем, что мера 1л а-конечна, если /х(Т) = +оо, но имеет место представление
оо
т = U Tn’ TfcnTj = 0 при к ф j, ц(Тп)<+оо (71 = 1,2,...).
П=1
В дальнейшем будем предполагать, что /х конечна или сг-конечна.
Кроме того, считаем, что мера /л полна (см. теорему 7.11) и обладает свойством, о котором говорится в теореме 7.14, а именно: для того чтобы А € 21, необходимо и достаточно, чтобы для любого, е > 0 нашлись такие открытое множество G и замкнутое множество F (Т — метрическое пространство!), что
F С А С G, fi(G \F) <е.
Тройка (Т, 21, fi) называется измеримым пространством.
7-2800 97


В дальнейшем нам часто придется иметь дело с такой ситуацией. Надо будет говорить о подмножествах из Т как о самостоятельных пространствах.
Пусть U С Т, U Е Я. Полагаем
Яи ^{А: А = ип£, ВеЩ;
очевидно, Ящ — а-алгебра (см. упражнение 6.45). Пусть /хщ означает сужение /х на Яи- Тогда о тройке (U, Яи, Ми) говорим — измеримое подпространство исходного измеримого пространства. Однако желая избежать усложнения обозначений, сохраняем в дальнейшем обозначение /х для любого сужения.
В заключение введем еще одно полезное определение.
Множество А € Я называется носителем меры /х (пишем А = supp fi), если для любого В Е Я /х(Б) = /х(А П В).
Ясно, что носитель определяется с точностью до множества, мера которого равна нулю.
Например, для меры Лебега supp mes = R, для меры Дирака 6С supp 6с = {с}, для считающей меры supply = Z.
Если А = supp /х, то скажем, что мера /х сосредоточена на А.
Упражнения и задачи
7.8. Т = {1, 2, 3, 4}, © = {0, {2}, {3}, {1, 4}}. Докажите, что
© — полукольцо. Пусть т : © —> R+ = [0, +оо), т(0) = О,
т{2} = т{3} = 1, т{ 1, 4} = 3. Докажите, что т — мера на в. Найдите продолжение этой меры. Измеримы ли множества {1} и {1, 2, 3}?
7.9. Т = {а, 6, с, d}, © = {0, {6}, {d}, {а, с}, {а, с, d}}.
Докажите, что © — полукольцо. Пусть т : © —> R+,
т(0) = 0, m{b} = 1, m{d} = 2, m{a, с} = 3, m{a, с, d} = 5.
Докажите, что т — мера на ©. Найдите продолжение этой меры.
Измеримы ли множества {6, с} и {6, с, d}?
7.10. Пусть Т = [0, 1] П Q, © состоит из множеств А вида
(а, 6) П Q, [а, Ь] П Q, [а, 6) П Q, (а, 6] П Q. Докажите:
98


а) 	6 — полукольцо; б) га : 6 —► R+, га(-А) = b — а — мера; в) га(-) не является счетно аддитивной.
7.11. Пусть 6 = {(а, Ь] : а ^ 0, а ^ b < +оо},
JO, а > О,
га(а, Ь] = < Докажите, что га — мера, но не а-аддитивная.
1 1, а = 0.
7.12. Пусть Т = [0, 1) х [0, 1], 6 — совокупность прямоугольников вида Раь = {(ж, у) : а ^ х < Ь, 0 ^ у ^ I}. Докажите:
6 — полукольцо. Пусть т(Раь) = Ъ — а. Докажите, что га — мера. Опишите лебегово продолжение меры га. Измеримо ли множество А = {(х, у) : 0 ^ х < 1, у = |}? Найдите /л*(А).
7.13. Пусть Т = [0, 1], / : Т R, f(t) ^ 0, 6 - со¬
вокупность конечных подмножеств Т. Докажите, что 6 — кольцо.
п
Для А е 6, Л = {£i, ^2? • • • Лп} полагаем fi(A) = f(tk). Докажи-
те, что /х сг-аддитивна. Является ли /х сг-конечной?
7.14. Пусть Т С Rn — ограниченное множество, Ак С Т,
ОО
Afc С А = |J Ак, /л* — верхняя мера Лебега. Докажите,
к=1
что lim v*(Ak) = Ц*(А).
к —► оо
7.15. Пусть Т С Rn, га(Т) < -foo, Ак+i С Ак,
оо
А = pi Afc, /х* — верхняя мера Лебега. Докажите, что
к=1
lim ц*(Ак) /х*(Л).
к—юо
7.16. Найдите лебегову меру канторова множества (см. 1.16).
7.17. Найдите лебегову меру множеств из задачи 6.58.
7.18. Найдите лебегову меру множеств из задач 6.59 - 6.62.
7.19. Приведите примеры последовательностей {An}^Li борелев- ских множеств, обладающих свойствами:
оо
а) mes Ап = 1, U =
71=1
/ ОО
б) mes Ап = -foo, R D Ап D Ап+1 при п ^ 1, mes I f] Ап
\n=1
( oo
в) mesAn = -foo, Rd An D An+1 при n ^ 1, mes I p| Лп
\71= 1
OO
r) mes An — +00, f) An = N;
71=1
99


оо
д) mes Ап = ^ при n ^ 1, р| Ап = F, где Р — множество простых
71=1
чисел;
е) mes Ап = +оо, Ап С R, Ап П А, = 0 при п ф j, n,j = 1,2,...;
ж) mes An = -foo, R2 D An D An+1 при n ^ 1, mes ^ f| = 0;
oo
з) mes An = 1, |J An = R2.
71=1
7.20. Пусть AcR - ограниченное измеримое по Лебегу множество, mes Л = р (> 0). Докажите, что для любого q G (0, р) существует такое измеримое подмножество В С. А, что mes В — q.
7.21. Та же задача, если А — неограниченное множество.
7.22. Пусть А С R — измеримое по Лебегу множество, mes Л = р (> 0.) Докажите, что для любого q G (0, р) существует такое совершенное множество В С А, что mes В = q.
7.23. Докажите, что всякое измеримое по Лебегу множество А С R положительной меры имеет мощность континуума.
7.24. Может ли непустое открытое множество иметь лебегову меру нуль?
7.25. Может ли множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку, иметь лебегову меру нуль?
7.26. Можно ли построить на [а, 6] замкнутое множество меры b — а, отличное от [а, 6]?
оо
7.27. Может ли пересечение f] Ап множеств А\ э А2 D ...,
71=1
mes Ап = -foo иметь:
а) бесконечную меру;
б) конечную положительную меру;
в) нулевую меру?
оо
7.28. Может ли объединение (J Ап множеств А\ С А2 С ...,
71=1
mes Ап < + оо иметь: а) конечную меру; б) бесконечную меру?
7.29. Может ли неограниченное множество из R иметь конечную положительную лебегову меру?
7.30. Пусть А\ и А2 такие измеримые по Лебегу подмножества из [0, 1], что mes А\ + mes А2 > 1. Докажите, что mes(Ai П А2) > 0.
7.31. Пусть на [0, 1] заданы такие измеримые по Лебегу множества
100


n n
A\,... An, что mes A*. > n — 1. Докажите, что mes( П лк) > 0.
fc=i fc=l
7.32. Постройте на [0, 1] совершенное нигде не плотное множество
лебеговой меры а, 0 < а < 1. Можно ли построить нигде не плотное
множество меры 1?
7.33. Постройте открытое всюду плотное множество на [0, 1], дополнение которого до [0, 1] имеет положительную меру.
7.34. Постройте на [0, 1] счетное объединение нигде не плотных множеств (так называемое множество первой категории) меры 1.
7.35. Как устроено и какова лебегова мера множества тех точек отрезка, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь фигурируют все цифры от 1 до 9.
7.36. Около каждой точки канторова множества описан интервал длины ОД с центром в этой точке. Найдите меру объединения этих интервалов.
7.37. Пусть А — множество тех точек отрезка [0, 1], в двоичном разложении которых на всех четных местах стоят нули. Докажите: А нигде не плотно и имеет лебегову меру нуль.
7.38. Докажите: чтобы множество А С R было измеримо по Лебегу, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие множества В типа Fa и С типа Gs, что В с А с С и mes С \ В = 0.
7.39. Пусть множество А измеримо по Лебегу. Тогда существует такое множество В С А типа Fa (множество С Э А типа Gs), что mes В = mes A (mes С = mes А).
7.40. Пусть /2 — продолжение по схеме Лебега некоторой счетноаддитивной меры, первоначально заданной на полукольце 6, А — /х-измеримое множество. Докажите, что существует такое множество В D А, что
оо
В = р) Вп, B1DB2D ... ЭВпЭ ...,
п—1
оо
вп = IJ впк, Вт С Вп2 С ... С Впк С ...,
к=1
где Впк G П(&), причем ц(В) = ц(А).
101


7.41. Разделим квадрат [О, 1] х [О, 1] прямыми х = #=§, у = |, у = | на 9 равных квадратов и удалим средний открытый квадрат {(х, у) : |<х<|,|<у<|}. На втором шаге каждый из оставшихся квадратов разделим на 9 равных квадратиков и удалим все центральные открытые квадратики. Этот процесс продолжим неограниченно. Оставшееся множество S называется ковром Серпинского. Докажите: S совершенно, нигде не плотно и имеет лебегову меру нуль.
7.42. Докажите, что всякое непустое замкнутое множество из R лебеговой меры нуль нигде не плотно.
7.43. Приведите пример множества А С [0, 1] лебеговой меры нуль, замыкание которого имело бы положительную меру.
7.44. Приведите пример нигде не плотного множества А С [0, 1] лебеговой меры нуль, замыкание которого имело бы положительную меру.
7.45. Найдите лебегову меру множеств:
7.46. 	Пусть А С Т С Rn — произвольное ограниченное множество.
Докажите, что }л*(А) = inf mes G, где точная нижняя грань берется
G
по всем открытым множествам, содержащим А.
Пусть Т — ограниченное множество в Rn, Н С V(T) — полукольцо, Тс Н.
где супремум берется по всем объединениям |J Cj попарно не пересе¬
кающихся элементов из Н, содержащихся в А.
7.47. Докажите, что для произвольного множества А С Т
а) {(х, у) : х2 < у < 4};
б) {(ж, у) : \х\ + |у| < 1};
в) {(х, у): 0 < [у - х2] < к, к = 1,2,3,4, у ^ 4};
г) {(х> У) '■ [1*1 + Ml ^к,к= 1,2,3,4}.
Нижней мерой множества А С Т назовем число
з
з
ц»{А) < ц*(А).
7.48. Покажите, что ц*(А) = т(А) — ц*(Т\ А).
102


7.49. Докажите, что множество А С Т измеримо тогда и только тогда, когда /и*(А) = /л*(А).
оо оо
7.50. Если U Ak С А, то /х*(А) ^ /х*(Ль)- Докажите.
к=1 к=1
7.51. Для произвольного ограниченного множества А С Мп
(i*{A) = sup mes(F), где точная верхняя грань берется по всем за- F
мкнутым множествам, содержащимся в А. Докажите.
7.52. Постройте пример неизмеримого по Лебегу множества.
7.53. Постройте пример измеримого по Лебегу, но не измеримого по Борелю множества.
7.54. Пусть 0 < р < 1. Для А С N полагаем /х(Л) = р( 1 — р)к~г-
к€А
Докажите, что ц — сг-аддитивная мера, определенная на сг-алгебре 'P(N). Чему равна /i(N)?
7.55. Пусть Т = {ti, ^2, - - -} — счетное множество, ап > 0,
оо
п = 1,2,..., и ряд ^2 ап сходится. Для А С Т полагаем
П=1
v(A) = X а«-
tneA
Докажите, что /х — сг-аддитивная мера, определенная на сг-алгебре V(T). Чему равна /х(Т)?
7.56. Определите такую сг-аддитивную меру //, сосредоточенную на Q, чтобы было //{г} > 0 для любого г е Q, и /x(Q) = 1.
7.57. Пусть ц — считающая мера, сосредоточенная а) на N; б) на Z. Найдите меру множества решений системы
{sins7rt = 0;
\t\ < 2тг.
7.58. T{t) = —1 при t < 0, T(t) = [£] при 0 < t ^ 5, T(t) = 5 при t > 5, fi? — мера Лебега-Стилтьеса на М, порожденная функцией Т{'). Найдите ) где а) А = R; б) Л = N;
в) А = {t : | arctgС f}; г) А = {t : | arctg < §};
д) А = {t: f < arctg t < f}. Найти supp/i^r.
7.59. Пусть f(t) = et при t ^ 2, /(£) = e2 при £ > 2,
= [/(*)]• Найдите a) /x^(-oo, 0); 6) /i^{0, 1, 2};
103


в) 	/МО, 2); г) мИ1п2, 1пЗ); д)/и*г[1п2, 1пЗ]; е) ц?(К).
Найдите supp/x^.
7.60. Т = [0, 1], F(t) = £2. Приведите пример множества А, для которого /j>f(A) — 0. Найдите /х^(/С), /x^(Go), где /С и Go — канторовы множества.
7.61. Т = [0, 1]. Мера Лебега-Стилтьеса це порождена канторовой лестницей #(•) (см. § 1). Найдите /х#(/С), /Xfl(Go), supp/i#.
§ 8. Измеримые функции
8.1. 	Измеримые функции.
Пусть (Т, 21, /х) — измеримое пространство.
Здесь будут рассматриваться только функции вида / : Т —> R (вещественно-значные функции), поскольку решение исследуемых задач для функций вида / : Т —> С или / : Т —► Rn сводятся к решению задач для указанных функций.
Скажем, что функция /(•) ц-эквивалентна (просто: эквивалентна) функции д(•) (пишем f(t) ft g(t)), если
n{teT: f(t) Ф g(t)} = 0.
Если свойство S выполняется для всех точек Т, кроме точек некоторого множества А € 21, мера которого ц(А) = 0, то говорим: S имеет место ц-почти всюду (просто: почти всюду); кратко пишем: /х—п. в. (просто: п. в.)
Например, f(t) ft g(t) означает f(t) = g(t) /х-п. в.
Функция / : Т —> М называется fi-измеримой (просто: измеримой, когда ясно, о какой мере идет речь), если для любого с € R множество
Ac(f)={t е Т : f(t) < с}
fi-измеримо, т. е. Ac(f) Е 21 (прообраз полуоси (—оо, с) — /i-измеримое множество).
Отметим ряд простых свойств измеримых функций.
104


1. На множестве нулевой меры любая функция измерима: если /х(Т) = 0, то {£ £ Т : f(t) < с} С Т, следовательно, {t G т : /(«) < с} € 21 в силу полноты меры /х.
2. Если f(t) /i-измерима на Т и Э£ С Т, X £ 21, то сужение /(•) на //-измеримо:
{teX: f(t) <c} = {te Т : /(£) < с} П X £ 21.
3. Если Т = (jTfc и /(•) /i-измерима на всех Tfc, то /(•)
к
/х-измерима на Т, так как
{« G Т : /(f) < с} = (J{* G Tfc : f(t) < с} G 21
fc
(сг-алгебра содержит счетные объединения своих элементов).
4. Если /(•) — /i-измерима и #(£) ~ /(0, то и #(*) /^-измерима. Действительно, пусть А = {f £ Т : /(£) ^ #№}>
В = А; д(-) /i-измерима на В, так как на В g(t) = /(£), #(•) /х-измерима на А, так как /х(А) = 0. Остается сослаться на свойства 1 и 3.
5. Если /(•) тождественно равна константе, то /(•)
/х-измерима: пусть /(£) = а для всех t £ Т; тогда Ac(t) = Т, если с > а, Лс(£) = 0, если с ^ а; в обоих случаях Лс(£) £ 21.
Функция / : Т —► R называется простой, если она принимает не
более чем счетное множество значений на измеримых множествах,
т. е. если Т = (JT*, 2<?e Т* попарно не пересекаются, ix /(£) = k при к
t £ Tfc, все fc различны.
6. Простая функция измерима.
(Ссылаемся сначала на свойство 5, затем на свойство 3.)
Наряду с множеством Ac(f) рассмотрим следующие множества (которые называются множествами Лебега функции /(•))•
BcU) = {t £ Т : /(*) ^ с}, Сс(/) = {* £ Т : f(t) > с},
ВД) = {« € Т : /(f) ^ с}, ВД) = {* £ Т : f(t) = с}.
7. Если /(•) измерима, то все ее множества Лебега измеримы. Если
измеримо любое из множеств Лебега Ac(f), Bc(f), Сс(/),
£><=(/) (но не ВД)), то /(•) измерима.
105


Упражнение 8.1. Докажите свойство 7.
Упражнение 8.2. Приведите пример неизмеримой функции, для которой множество Ec(f) измеримо.
8. Для того чтобы /(•) была измерима, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого борелевского множества был измерим.
Так как полуось (—оо, с) есть борелевское множество, то достаточность в доказательстве не нуждается.
Упражнение 8.3. Докажите необходимость в 8.
9. Если /(•) и д(') измеримы, то
A={t е Т : f(t) > g(t)} € 21 (т. е. А измеримо). Это следует из представления
оо
А = U : 9w <rfe}п : > rfcJ) (е
к=1
где гк — рациональные числа, занумерованные в каком-либо порядке, 0= {П,Г2,...}.
10. Множество X С Т и его характеристическая функция Xx(t) (Xx(t) = 1 Для t £ X, Xx(t) = О Для t G X) одновременно измеримы или нет.
Пусть /(£) = xx(t), Mf) = {teT: f(t) < с}.
Пусть X G 21. Тогда Ac(f) = 0, если с < 0, Ac(f) = X, если О < с ^ 1, Ac(f) = Т, если с > 1. Во всех случаях Ac(f) Е 21, что и означает измеримость Хзе(-).
Пусть Хзе(') измерима. Тогда X = {£ Е Т : Хзе(£) — 1} измеримо в силу свойства 7.
Таким образом, каждый пример неизмеримого множества дает нам пример неизмеримой функции.
Рассмотрим операции с измеримыми функциями.
Теорема 8.1. Пусть /(•) измерима. Тогда:
а) функция f(t) + а, где a Е R, измерима;
б) функция к • /(£), где fc € R, измерима;
106


в) 	функции \f(t)\, f2(t), j^y ("если f(t)^0) измеримы.
Доказательство, а) Обозначим g(t) = f(t) -f а; тогда АСЫ = Ac-a(f) G Я.
б) при к = 0 утверждение следует из свойства 5; при к > 0 Ac(f) = Ac(f) g Я; при Л < 0 Ac(kf) = С^(/) £ Я (см. свойство 7);
в) M\f\) = i* : ~с < /W < с) ПРИ с > °> ^с(|/|) = ^
при с < 0; в обоих случаях Ac(\f\) G Я.
А(/2) = A^{f) при с > 0, Ac(f2) = 0 при с ^ 0; в обоих случаях Ac(f2) е Я.
Ас(у) = Ах(/) при с > 0, -Ас(у) = C'i(/) при с < 0 (см. свойство 7), Ао(у) = Ло(/); во всех случаях Ac(j) € Я.
Теорема 8.2. Пусть /(•) и д(-) измеримы. Тогда
<*>) f{t) ± g(t)i б) fit) • git)] в) при #(£) ф 0 измеримы.
Доказательство, а) Ас(/ — g) = {t : fit) < с -f git)} G Я согласно свойству 9 и теореме 8.1 (утверждение a)); f{t)+g(t) = fit) — (—1) •#(£); вычитаемое измеримо по теореме 6.1 (утверждение б)); остальное следует из уже доказанного утверждения а);
б) fit) • git) = \{if it) + git))2 - f2it) - g2it)), сумма измерима, квадраты измеримы, разности измеримы, следовательно, произведение измеримо;
в) f/g = f ' д (см* Горему 8.1).
Упражнение 8.4• Пусть Т С Rn и / : Т —> М непрерывная функция. Докажите ее измеримость.
Упражнение 8.5. Пусть Т С R — промежуток. Докажите измеримость монотонной функции.
8.2. 	Последовательности измеримых функций.
Теорема 8.3 (об измеримости предельной функции). Пусть Д : Т—» R, А; = 1,2,...— измеримые функции и
fk{t)-+Jr(t) (fc—► оо) при ecextGT. Тогда Ti-) — измеримая функция.
107


Доказательство. Пусть с € R произвольно. Обозначим
Ат = {* : fk(t) < с - Уто}, к,т = 1,2,...,
ОО
Вт = П Р'т = lj 2. • • •, D={t: F{t) < с}.
к=р
А^ Е 21 по определению измеримости функции, В^ £ 21, так как 21 — сг-алгебра. Надо доказать, что D £ 21.
Покажем, что Z> = (J (J это и будет означать, что D £ 21.
Р 7П
Пусть to £ значит, ^(^о) < с и найдется такое натуральное т,
что T(to)<c— в силу сходимости Д(£о)“*^(£о) (&—>оо) найдется
такое ро £ N, что для всех к ^ ро Д(^о) < с — Это означает, что t0 £ при всех fc ^ р0, т. е. t0 £ или t0 £ (JU^m- Этим
р т
доказано включение D С (JU Ща-
р т
Докажем обратное включение. Пусть t £ (JU -®т» найдутся такие
р т
натуральные р0, тпо, что £ £ В£°0, т. е. t £ А^
при А; ^ ро- Значит, выполняется неравенство Д(£) < с — ^ при всех к ^ ро> Отсюда следует, что для предельной функции выполняются неравенства
T(t)^c~—, F(t)<c,
то
т. е. t £ £), UU-®m С Вместе с доказанным ранее это означает
р т
справедливость теоремы.
Теорема 8.4. Для того чтобы / : Т —> R была измерима, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность простых измеримых функций {/fc(*)}fcL ц равномерно сходящаяся к /(•) на Т.
Доказательство. Достаточность условий настоящей теоремы следует из теоремы 8.1, так как равномерная сходимость влечет поточечную сходимость.
108


Необходимость. Пусть /(•) измерима. Рассмотрим последовательность
„ , ч 171 777, . ш + 1
Jk{t) = для таких £, что — ^ /(£) < —-—
(га = ±1, ±2,..., к = 1,2,...);
{£ € Т : ^ ^ /(£) < € 21 при всех га и А; как разность двух
множеств Лебега функции /(•). При каждом к Д(-) принимает не более чем счетное множество значений, т. е. Д(-) — простая функция. Из определения следует, что
(teT),
что и означает равномерную на Т сходимость последовательности
Ш-)}&1к /(•)•
Скажем, что последовательность {Д(*)}£=1 сходится к F{-) \х-п. в. (пишем Д(£) —► ^(t) fi-n. в., при к —► оо), если
/i{£ € Т : Д(£) /> «Т7^)} = 0.
Например, последовательность Д(£) = tk, t € [0, 1] = Т сходится почти всюду (относительно меры Лебега) к функции f(t) = 0 (/fcW 0 п. в.), так как
mes{f Е [0, 1] : tk -А 0} = mes{l} = 0.
Теорема 8.5. Если последовательность измеримых функций сходится к Т(-) ц-п. вто !F{-) измерима.
Доказательство. Пусть
А = {t € Т : fk(t) -h Ht)Y
?{•) измерима на А, так как ц(А) = 0 (см. свойство 1 п. 8.1); измерима на А по теореме 8.3; в силу утверждения 3 из п. 8.1 !F(-) измерима на Т. Теорема доказана.
109


Скажем, что последовательность измеримых функций сходится по мере fi к Т(-) (пишем: fk(t) T(t) (к —> оо) или
F(t) = ц— lim fk(t)), если для любого е > О
к—уоо
lim fj,{t е Т : | fk(t) - F(t)| ^ е} = 0, (8.1)
к—* оо
или подробнее
(Ve > 0) (\/8 > 0) (ЗЛГеN) (Vfc > М) (jjl{t: \fk(t) - T(t)\ > е\< 8).
Чтобы поближе познакомиться с новым видом сходимости, рассмотрим примеры.
Пример 8.1. Пусть Т == [0, 1], /i = mes, fk(t) = 0 для t 6 (i, l], fk(t) = к для t € [0, £]; здесь F(t) = 0 и
для любого e > 0
{* : Ifk(t) - f(t)\ >£} = {t: fk{t) ^s} = {t: fk(t) = k}= [0, i];
так как mes [0, ^ —► 0 (к —> oo), to fk(t) 0.
Отметим, что здесь и fk(t) —► 0 п. в., так как {£ : fk(t) 7А 0} = {0}, и mes{0} = 0.
Пример 8.2. Пусть Т = [0, +00), fi = mes, fk(t) = X[fc,fc+i]№> т. e. fk(t) = 1 при t € [к, к -f 1], fk(t) = 0 при t ф [к, к + 1]. Здесь fk(t) —* 0 при всех t Е [0, -foo), так как для любого такого t при всех fc>[£] + 1, fk(t) = 0 (см. рис. 8.1).
№
[tj t [t]-f 1 *fc fc+i t
Рис. 8.1
Однако для любого е (0 < е < 1)
{* : I fk(t) ~ 0|> е} = {t: Д(£) ^ е} = {t: fk(t) = 1} = [fc, fc + 1],
и так как mes[fc, к -f 1] = 1, то здесь нет сходимости по мере.
110


Пример 8.3. Пусть Т = [О, 1), ц = mes,
г = 1,2,..., к; к = 1,2,...
Запишем семейство {ipik} в виде треугольной таблицы
Ч> и </?12 </>22 <^13 <^23 </>33
и занумеруем «сверху вниз» и «слева направо»: fi(t) = ipn(t), /2W = <£12(t), /з(£) = ... В итоге получим последовательность
{/m(-)}m=1 измеримых функций, которая по мере Лебега сходится к нулю (0 < е < 1) :
mes{t: \fm(t) - 0| > е} = mes{t: fm(t) ^ е} = mes{t: fm(t) = 1} =
гг — 1 i v 1 л ,
= mes [——, -j = — 0 (m —► oo /с —> oo).
К К К
Интересно отметить, что последовательность {/m(*)}m=i не сходится ни в одной точке.
Действительно, для любого t G [0, 1) и любого N G N найдется такое т> N, что fm(t) = 1.
Теорема 8.6 (Лебега о сходимости по мере). Пусть /х(Т) < +оо и — последовательность измеримых функций.
Тогда если fk(t) —> !F(t) /i-п. в., то и fk(t) Д !F(t) (к —► оо).
Доказательство. По теореме 8.5 для любого £>0
Обозначим
оо
оо
Пм{е) = (J Ак(е) (е 21), Q(e) = f| Пм{е) (е 21);
Я=1
111


имеем убывающую последовательность измеримых множеств Ях(е) =>Я2(£) D ... D 0(e).
По теореме 7.12
(8.2)
(8.3)
Пусть to € Q(^); предположим,что to ^ W. Это значит,
что означает to ^ при всех к ^ Л/*, т. е. to а значит,
Полученное противоречие доказывает включение (8.3), из которого согласно (8.2) следует
т. е. имеет место сходимость по мере.
Замечание 8.1. Пример 8.2 показывает, что требование конечности меры не может быть снято. В этом примере Ak(s) = = [fc, к + 1], TZj^(e) = [jV, +оо), Qm(s) = 0, следовательно, mesTZjyfe) —> 0 (N —> оо), но mes Ак{е) — 1. Замечание 8.2. Пример 8.3 показывает, что утверждение теоремы Лебега нельзя обратить: если последовательность сходится по мере, то она не обязательно сходится п. в.
Сходимость по мере не определяет предельную функцию однозначно, а только с точностью до эквивалентной; имеет место следующая теорема.
fk(to) Hto) {к-* оо), т. е.
(ЭЛ/- е N) (Vfc ^ М) \fk(to)-F(to)\<e,
to £ Q(s)-
lim ц(Км(е)) = 0.
J\—*00
(8.4)
Отсюда, в силу конечности меры /х, получаем
lim ц(Ак(е)) = О,
112


Теорема 8.7 (о неединственности предела по мере).
Пусть {fk{m)}kLi — последовательность измеримых функций.
1. Если fk(t) A T(t) и F(t) rt G(t), то fk(t) A G(t).
2. Если fk(t) A T(t) и fk(t) A G(t), то T(t) & G(t).
Упражнение 8.6. Докажите теорему 8.7.
Чтобы восстановить единственность предела, надо отождествить эквивалентные функции, т. е. рассматривать не отдельные функции, а классы эквивалентных функций. К этому вопросу мы вернемся при изучении интеграла Лебега.
Частичным обращением теоремы Лебега является следующая теорема Ф. Рисса.
Теорема 8.8. Пусть последовательность измеримых функций {/т(‘)}тп=1 сходится по мере ц к функции F(-). Тогда существует подпоследовательность {/Шк этой последовательности, сходящаяся к F(-) /х-n. в.
Доказательство. Пусть {£k}kLi — последовательность положи-
оо
тельных чисел, вк —> 0 (к —> оо) и ряд $к (&к > 0) сходится. Из
к=1
определения сходимости по мере вытекает, что существуют числа mi : fi{t :
m2 > mi : n{t: \fm2(t) - T{t)\ ^ e2} < S2,
тк > тк-1 : fi{t: |fmk(t) - P(t)\ ^ £k} < 6k,
mi < m2 < ... < mk < ..., mk —► oo (k —*■ oo).
Покажем, что подпоследовательность {/mfc(')}fcLi — требуемая.
113


Обозначим
А{ек) = {t: \fmk(t)-Ht)\ > (€ 21),
OO oo
Клг= (J (G a)> Q = П n« (€ ^
fc=A^ ЛЛ=1
По построению ii(A(ek)) < Sk (к = 1,2,...).
По теореме 7.12
/х(<2) = lim ii(Kjsr)\
fv—►ОО
далее
оо оо
м(^лг) < ^2 ^(Л(£к)) < ^2 Ьк -> о (7V -» оо) fe=AT fe=//
как остаток сходящегося ряда. Следовательно, n(Q) = 0 и осталось доказать, что для t е Q имеет место сходимость fmk{t) * (к ► оо).
Пусть t ф Q, значит, t £ 7Zj^0 при каком-нибудь Л/*о € N, то есть t ф А(ек) для всех к ^ Л/о- А это означает, что
Ifmk(t) ~ * 0).
Итак, на Q fmk(t) ~* F(t) (к —> оо), и = 0. Следовательно,
fmk(t) -> T(t) /х-п.в.
Упражнение 8.7. В примере 8.3 выделите из последовательности {/m(*)}m=1 подпоследовательность, сходящуюся п. в.
Теорема 8.9 (Д. Ф. Егоров). Пусть последователь- ность {/т(’)}m=i измеримых функций сходится ц-п. в. к Т(-). Тогда для любого S > 0 найдется такое Т$ С Т, Е 21, что
1) fi(Ts) < S;
2) на Т \ Тs сходимость fm(t) —► ^*(t) равномерная. Доказательство. Для произвольного е > 0, как обычно, полагаем
оо
Ат(е) = {t ■■ | fm(t) - T(t)I ^ гг}, Км(е) = (J Am(e).
m=M
114


При доказательстве теоремы 8.6 было доказано соотношение (8.4):
lim ц(11м) = 0.
М—юо
Пусть снова {£k}kLi ~ последовательность положительных чисел,
оо
€к —> 0 (к —> оо), и ряд (5к > 0) сходится. Найдется такая
к=1
последовательность {т&}, что
(£&)) к ~ 1, 2,... 5
оо
найдется такое ко, что ^Г, 5к < 5.
к=ко
Полагаем
оо
^6— Ишк(^к)-
к—ко
Тогда
оо оо
^ к(£к)) <
к—ко к—ко
и осталось доказать, что на Т \ сходимость fm(t) —> ^(t)
(m —> оо) равномерная.
Пусть £ > 0 произвольно; найдется такое го, что
6iQ < е, rriio ^ rriko• Возьмем произвольное £ £ Т \ Т$, т. е. t ф Т^. Это значит, что t £ 7lmk(ek) при к io,t Am(£io) при всех т ^ mio, т. е.
|/m(t)<г»о <е- А это и означает, что
иаТХТ^.
В заключение этого параграфа приведем без доказательства следующую теорему Н.Н. Лузина.
Теорема 8.10. Пусть f : Т —> R fi-измеримая ц-п» в. конечная функция. Для любого 6 > 0 найдется такая непрерывная функция g : Т —► R, что
(J.{t: f{t) ф $(<)} < <5.
115


Свойство, выражаемое этой теоремой, называется С-свойством ^-измеримой функции.
Упражнения и задачи
8.8. Пусть Т = R; докажите, исходя из определения, что следующие функции:
а) измеримы по Борелю; б) измеримы по Лебегу.
1) f(t) = (п € N);
2) f(t) = sin t;
3) /(£) = arctgt;
4) /(f) = £>(t) (£>(i) — функция Дирихле, D(t) = *q(t));
5) f(t)=tgt при t Ф \ + 7m, n6Z, f(t)=0 при t = j + 7гп, neZ;
б) m = х/й-
8.9. T = R2. Докажите, исходя из определения, что следующие функции измеримы относительно меры Лебега:
1) f(xi, х2) = х? +х|;
2) /(х 1, х2) = sin7r(xi - х2).
8.10. Докажите, что относительно считающей меры, сосредоточенной на Z, измерима любая функция / : R —» R.
8.11. / : [0, 1] —» R, /(£) == max{rii, г = 1,2,...}, п* — цифры десятичной записи числа t. Докажите, что /(•) измерима относительно меры Лебега.
8.12. Убедитесь, что функция Дирихле D(-) может быть определена как повторный предел последовательности непрерывных функций и, следовательно, измерима по Борелю.
8.13. Если / : [а, 6] —► R измерима по Лебегу на любом (а, /3) С [а, Ь], то она измерима по Лебегу на всем отрезке.
8.14. / : [a, b] —> R имеет производную во всех точках (а, Ь). Докажите, что /'(•) измерима по Лебегу на [а, 6].
8.15. Докажите, что две непрерывные на промежутке / С R функции эквивалентны тогда и только тогда, когда они совпадают.
8.16. Представьте функции a) f(t) = t3; б) f(t) = arctgt в виде равномерного предела простых функций.
116


В упражнениях 8.17 — 8.19 А С [О, 1] — неизмеримое по Лебегу множество.
8.17. Пусть D(-) — функция Дирихле. Измерима ли по Лебегу функция f(t) = D(t) • хл(0?
8.18. Пусть / : [0, 1] —► R,
С
_ t2 при t £ КГ) А, /(*) = <
*3 при t £ К П А.
Измерима ли /(•) по Лебегу? (К — канторово множество.)
8.19. 	Измерима ли по Лебегу функция / : [0, 1] —► R,
С
т_ ? пр«,€4;
t3 при t £ А?
8.20. Приведите пример измеримой по Лебегу, но не измеримой по Борелю функции.
8.21. Функция /2( ) измерима по Лебегу на R. Следует ли отсюда измеримость /(•)?
8.22. Пусть / : [а, Ь] х [а, Ь] —► R измерима по Лебегу на [а, Ь] х [а, Ь]. Следует ли отсюда, что для любого t\ Е [а, Ь] функция /(£i, •) измерима на [а, Ь\?
8.23. Пусть / : [а, 6] х [а, Ь] —► R непрерывна на [а, Ъ] по каждой переменной в отдельности при фиксированной второй переменной («раздельно непрерывна»). Следует ли отсюда, что /(•, •) измерима на [в, Ь] х [о, 6]?
8.24. Измеримы ли по Лебегу функции / : R —* R:
ОО , ОО . Т .
а) т = еМ; б) /(*) = £ в) f(t) = £ ^
П=1
оо оо . .
г) /(<) = д) /(') = 1+'АЦ,р ■
«)/<0-£й£; »)/(«) =ЁЙ!
п=1 п=2
8.25. Измеримы ли по Лебегу функции / : R2
a) /(*i, *г) = sign sin 7г(<1 + t2);


в) /(*1, f2) = cossh([fx] + [f2]);
г) f(h, t2) = £ е-»<1+"[*?+*»])?
n—1
8.26. Пусть /, g : R —* R. Если /(•) и #(•) измеримы по Борелю, то функция !F(t) = f(g(t)) измерима по Борелю. Докажите.
8.27. Если /(•) измерима по Борелю, а д(-) измерима по Лебегу, то функция !F(t) = f(g(t)) измерима по Лебегу. Докажите.
8.28. Покажите, что если /(•) и д(-) измеримы по Лебегу, то функция ^(t) = f(g(t)) может не быть измеримой по Лебегу.
В задачах 8.29 — 8.33 (Т, 21, /х) — произвольное измеримое пространство, / : Т —> R.
8.29. Докажите, что /(•) измерима тогда и только тогда, когда измеримы функции
/+(«) = |(1/с*)1+т)ш = \(\т\- /(<))•
8.30. fk : Т —* R — /х-измеримы (А; = 1,2,...,п). Докажите, что /х—измеримы функции:
а) /(f) = max{/i(f),..., /„(f)};
б) = min{/i(t),..., /„(f)};
в) га(£) = <^(/i(£)> • • • ^ fn(t)), где <£ : Rn —> R — непрерывная функция.
8.31. Пусть fn : T —> R, n = 1,2,... /х-измеримы,
Л = {t : 3 lim /n(£) G R}.
n—♦ oo
Докажите, что множество Л /х-измеримо.
8.32. /п : Т —> R — /х-измеримы (п = 1,2,...),
01 (t) = sup fn(t), (0 = inf/nW, 0з (О = lim/n(f),
nGN п—юо
oo
54(f) = lim /n(f); 35(f) = E /nW для тех f € T, для которых ряд
П ►OO 71=1
сходится, 05 (t) = -foo для тех t G T, для которых ряд расходится.
Докажите, что 0fc(-) /х-измеримы (fc = l,2,...,5).
8.33. При обозначениях задачи 8.32 fn(t) = 0 /х-п. в.. Докажите, что <?fc(f) ~ О (А: = 1,2,..., 5).
В задачах 8.34 — 8.37 речь идет о мере Лебега.
8.34. /п : R —► R (nGN). Найдите такую непрерывную на R функцию Т(-), что fn(t) —> F(t) п. в.:
118


a) fn(t) = cos" t; 6) fn(t) = t2sin” t2; в) fn(t) = r) fn(t) = 2S+sin*v Д) fn(t) = cos” \ при t ф 0, /„(0) = 0;
e) fn(t) - e-n|‘2-11; ж) fn(t) = e-nsm2n t при t ф 0, /„(0) = 0;
з) fn(t) = (f arctg t)2n + sin2" t.
8.35. fn : R2 —> R (n E N). Найдите одну из функций
Т : R2 —> R такую, что fn(t\,t2) —► ^*(^1^2) п. в.:
a) fn(h,t2) = cosn(^ + ф; б) fn(ti,t2) = e_n(ti+t2); в) fn(h,t2) = a/M + 1*21"; г) fn{h,t2) = nln (l + ) ;
Д) /n(ti,t2) = e) = е»*пЖ‘‘+',пП**.
8.36. Покажите, что последовательность {/n(*)}n^i не сходится равномерно на Т :
а)/п(*)=т^г, Т=[0,1]; б)/„(t) = т^т, Т = R; в) fn(t) = tn-t2n, Т = [0, 1]; г) /„(t) = en(t_2), t G [0, 2];
Д) fn(t)=tn-tn\ Т=[0,1].
Сходятся ли указанные последовательности всюду или п. в.? Укажите множество Егорова.
8.37. Сходится ли последовательность {/п(•)}»£= 1 по меРе на Т :
а)/n(<)=n2'X[o,i]W, Т=[0, 1];
б) /„(*) = П2 • X[n,n+I](t), т = [0, +оо);
в) /„(*) = 2 - п2 • X(„2,„=+i)(i). Т=[0, +оо);
г)/п(*) = ^-Х[п,„+1](*), Т = М;
Д) /п(*) = Sin t • X[lnn, ln(n+l)] (*)i ^
е)/„(*)=(sinf)2”, T = R;n
ж) /„(<) = xa„(*), где = (J (k, k+ ■£;), T = R;
fc=i
з) fn(t) = n при \t\ < i, fn(t) = £ при |i| ^ i, T = R;
и) /n(f) = n при \t\ < fn(t) = |t| при |i| > T = [-1, 1];
K) /n(*) = 1 — |*| при |*| ^ ^r, fn(t) = -2n2 при |t| <
T=[-1,1].
Выясните, сходятся ли указанные последовательности всюду или п. в. Выясните, какие из перечисленных последовательностей сходятся равномерно.
В упражнениях 8.38 — 8.43 (Т, 21, /и) — произвольное измеримое пространство, /п, / : Т —> R (п Е N). Докажите следующие утверждения.
119


8.38. Если /„(f) А /(f), то и |/„(f)| |/(*)|- Верно ли обратное
утверждение?
8.39. Если /„(f) Л /(f), то cos/„(f) A cos/(f).
8.40. Если /„(f) /(f) и {/„(-)}£Li ограничена, то
/«(f) /2№- Верно ли обратное утверждение?
8.41. Если /„(f) /(f) и : R —> R удовлетворяет условию Липшица, то ¥>(/„(f)) ¥>(/(*)).
8.42. Если /„(f) Д /(f), £„(f) A j(f), то
а) /„(f) ± gn{t) Л /(f) ± ^(f);
б) /„(f) • 3«« * /(f) • s(f);
в) если 3(f) Ф 0 М-п. в. на Т, то и f'{t)/3n(t) ■*> f{%{ty
8.43. Если последовательность {/n(*)}nS=i сходится равномерно на Т, то она сходится и по мере /л.
В задачах 8.44 — 8.46 ji — считающая мера, supp/i = Z.
8.44. Докажите, что сходимость по мере /х эквивалентна равномерной на Z сходимости.
8.45. Докажите, что последовательность /п(£) = ^sin
/i-п. в. сходится к f(t) = 1 (сравните с предельной функцией из задачи 8.37 е).
8.46. Покажите, что f(t) = sin nt ~ 0 на R.


Глава III. Интеграл Лебега
§ 9. Интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции
9.1. 	Интеграл Римана.
Вспомним из курса математического анализа определение интеграла Римана от ограниченной функции / : [а, Ь] —> R.
Рассмотрим произвольное разбиение т = отрезка [а, Ь) :
а = to < • • • < = b; D(r) = max (ti — ti-i) — диаметр разбиения.
Выберем произвольно точки & £ [U-i, £»] (г = 1, 2,..., п) и составим интегральную сумму Римана (Д£» — U — U-1)
п
<м/) =
*=i
Если существует предел этой суммы при D[r) —> 0, не зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точек £*, то он и называется интегралом Римана функции /(•) по отрезку [а, Ъ] :
ь
(Я) f f(t)dt= lim 6Т(/).
У d(r)—О
а
Независимость предела от выбора точек £* - очень жесткое требо- вание от функции /(•): надо, чтобы для близких на оси абсцисс точек t значения функции не слишком различались. Это определение явно ориентировано на непрерывные или «не очень разрывные» функции. Точный критерий интегрируемости функции по Риману (интегрируемости R) дает следующая теорема, доказательство которой приводится в курсе математического анализа.
Теорема (Лебега). Для того чтобы ограниченная функция / : [a, b] —> R была интегрируема R, необходимо и достаточно, чтобы множество T(f) ее точек разрыва имело лебегову меру нуль.
121


Так, например, функция Дирихле D : [О, 1] —> {О, 1}, D(t) = 1 при t G [О, 1] П Q, D(t) = О при t G [О, 1] П (М \ Q), не интегрируема, так как множество ее точек разрыва T(D) = [0, 1] имеет положительную лебегову меру: mesT(D) = 1.
9.2. 	Определение интеграла Лебега.
В отличие от процесса интегрирования по Риману процесс интегрирования по Лебегу объединяет точки £ G Т не по принципу их близости, а по принципу близости значений функции /(£).
Пусть Т С Mn, (Т, 21, /х) — измеримое пространство,
/х(Т) < Н-оо и / : Т —> R — измеримая ограниченная функция. Ограниченность означает существование таких чисел А и В, что
А < f(t) < Б, £ G Т. (9.1)
Разобьем отрезок [.А, Б] на m частей
А = Уо <У1 < ■■■ <Ут = В, Т={ук}™=0,
и обозначим
efe = {t е Т : Ук-1 < ДО < У*.}, к — 1,2,...,т.
Например, для функции Дирихле А < О, В > 1.
Пусть А = Уо < 0 < 2/1, ут-1 < 1 < ут = в. Тогда ег = (K\Q)n[0, 1], ет = Q П [0, 1], а остальные ек = 0.
Множества ек обладают свойствами:
а) ек измеримы как разности множеств Лебега функции /(•) :
efc = {t: /(f) < 2/fc} \ {f: /(f) < 2/fc-i};
б) попарно не пересекаются;
m rn
в) T = U ек, /i(T) = £ fi(ek).
к=1 fc=l
Пусть d(r) = max (у*. — yk-i) — диаметр разбиения. Определим
1^-к^.т
нижнюю и верхнюю суммы Лебега:
771 771
= У ^ Ук — \Ц'{^к)') *$т = ^ ^ Ukf^i^k)'
к—1 /с=1
122


Очевидно,
m
О < 5Т - sT = £(yfc - yk-i)n(eh) < d(r) ■ fi(T). (9.2)
k=1
Отметим также:
а) при добавлении к разбиению т новых точек нижняя сумма может разве лишь увеличиться, а верхняя сумма может разве лишь уменьшиться;
б) всякая нижняя сумма не превосходит всякую верхнюю сумму (хотя бы эти суммы отвечали различным разбиениям).
Чтобы доказать утверждение а), достаточно установить этот факт, добавив к т одну точку: т' = т U {у}. Пусть Ук0-1 <У< Ук0• От полуинтервала [ук0-1, ук0) мы перешли к двум полуинтервалам [ук0-ь у) и [17» 2/*о)- Обозначим
е'ко = {t е Т : yfeo_ 1 sj /(t) < 17}, e'fc'0 = {t € T : у sj /(t) < yfco}.
Тогда efco = e'feo U e"Q, e'fe() П e"o = 0.
Посмотрим, как изменится при этом нижняя сумма. Вместо слагаемого s*;0_i/i(efc) в нижней сумме, отвечающей разбиению т', появятся два слагаемых: Sk0-i • м(е^о) + 5 • /х(е^'о). Остальные слагаемые не изменятся. Так как у > ук0-1, то
Уко-1^(еко) + УИ(еко) > уко-\ц(е'ко) + уко-цл{еко) =
= yko-i(n(eko) + nie'Q) = у ко-1 • иЫ,
что и требовалось установить. Для верхней суммы рассуждения аналогичны.
Докажем утверждение б). Пусть т\ и т2 — два произвольных разбиения. Образуем из них новое разбиение г = т\ U т2. Так как разбиение т, вообще говоря, мельче разбиений т\ и т2, (т. е. d(r) < dfc), г = 1,2) то согласно утверждению a) sTl ^ sT < ST ^ ST2, что и требовалось доказать.
123


Таким образом, множество всех нижних сумм ограничено сверху (например, любой верхней суммой), поэтому существует supsr=J*; при этом sTl ^ J* ^ ST2.
т
Аналогично, множество верхних сумм ограничено снизу (числом /*), поэтому существует inf 5Т=/*, причем
г
5Т1 < J, ^ Г ^ 5Г2.
Для произвольного разбиения т в силу (9.2), таким образом,
Г -h^ST-sT^ d(r) • /х(Т).
Так как правую часть можно сделать сколь угодно малой за счет произвольной малости d{r), то
/*-/.= О, /* = /*.
Общее значение чисел sup sT = inf ST называется интегралом Jle-
т т
бега функции f(t) по множеству Т по мере /х, и обозначается
L - J f(t)/j,{dt) =L-j f (t)dfi = J f(t)dfi.
T T T
Здесь мы будем пользоваться вторым или третьим обозначением. Интеграл по мере Лебега будет обозначаться просто L — f f(t)dt или,
т
если ясно, что речь идет об интеграле Лебега, / f(t)dt.
т
Заметим, что мы не только дали определение интеграла Лебега, но и показали, что для любой ограниченной измеримой функции / : Т —> R он существует; будем также говорить, что ограниченная измеримая функция интегрируема L. Отметим также, что нет необходимости вводить отдельно кратные, криволинейные или поверхностные интегралы Лебега, так как мы разом определили интеграл по любому множеству Т С Rn.
Рассмотрим пример. Пусть Т = [0, 1], /х = mes, f(t) = D(t). Выше было отмечено, что £>(•) не интегрируема R. Так как £)(•) ограничена и измерима (как характеристическая функция измеримого множества QD [0, 1]), то она интегрируемая L. Найдем ее интеграл по Т = [0, 1].
124


Выше было показано, что для любого разбиения ег = (R \ Q) П [0, 1], ет = Q П [0, 1], остальные ек = 0. Поэтому
sT = у0 • mesei + ym-i • mesem = у0 = А < О,
Sr = yi- mesei + уш • mesem = yi > 0.
Так как А и s\ могут быть сделаны сколь угодно близкими к 0, то
J D(t)dt = sup sr = inf Sr = 0.
[о, i]
Отметим, что введенный выше интеграл не зависит от выбора А и В : при сужении промежутка [.А, В] (в рамках неравенства (9.1)) можно добиться, что е\ и ет не изменятся, а при расширении этого промежутка к {ек} могут добавиться лишь пустые множества.
В заключение отметим, что из (9.2) и неравенств sT
т
следует, что
I f(t)dii = lim sT = lim ST. (9.3)
J P d(r)-0 d(r)-> о
т
9.3. 	Свойства интеграла Лебега.
1. 	Теорема об оценке. Если m ^ /(£) ^ М (t £ Т), то
га • /i(T) ^ J f(t)dpL ^ М • /х(Т). (9.4)
т
Доказательство. Обозначим А=т — ^, В = М 4- ^, где р £ N — произвольно. Из неравенств (9.1) следует, что для всех к ук £ т удовлетворяют неравенствам
А < ук < В;
умножив все части этих неравенств на /i(e^) и сложив их, получим
гп
А ■ ц(Т) ^ ^2 Укй(ек) (= ST) < В ■ д(Т),
fc=i
а, устремив d(r) —> 0, в силу (9.3) будем иметь
А-ц(Т) < J f(t)dt ^ В ■ ц(Т).
т
Ввиду произвольности р это означает требуемое.
125


2. Интеграл по множеству меры нуль равен нулю:
ц(Т) = о => J f(t)dn = О.
т
Это немедленно вытекает из (9.4).
3. Если f(t) = С — const (t G Т), то f f(t)dji = С • fi(Т).
т
Это следует из (9.4), так как здесь М = т = С.
4. Если f(t) ^ О (t G Т), то f ^ 0.
т
Это также следует из (9.4) при т — 0.
5. Теорема о счетной аддитивности интеграла Лебега. Если T = (JTfc, Tk П Tj — 0 при к ф j, G 21, то
к
J = J f(t)dn (9.5)
T к Tfc
(объединение здесь может быть конечным или счетным).
Сначала докажем (9.5) для двух слагаемых.
Пусть Т = Ti U Т2, Ti П = 0, Tfc G 21, к = 1,2. Обозначим
е\ = {t € Tj : Uk—i ^ f(t) < Ук}, г = 1,2. Очевидно, е\ П е\ = 0,
вк = е\ U е| (е/ь, ук определены в п. 8.2)
m m m
St = Ук ■ /*(е*0 = ^Ук- M4) + XI Ук '
fc=l fc=l fc = l
Устремив d(r) —> 0, в итоге получим требуемое:
t2
Индукцией распространим наше утверждение на конечное число Я
слагаемых: если Т = (J Tfc, то fc=l
Я
J f(t)dn = J f(t)dt.
k-ljk
126


оо
Пусть теперь Т = |J Tfc, Tfc П Тj = 0 при к ф j, Tfc € 21. Для к=1
любого Л/* G N представим
(М \ оо
(J Tfc J U 7£дЛ где 7^ = (J Т*;.
fc=l / к=Я+1
Тогда, согласно доказанному,
J f(t)dfi= J f(t)dn+ J f{t)dn = ^2 J f(t)dn+ J f(t)dn. (9.6)
T ЛГ Uj^f fc=1Tfc Пм
{J Tfc fc = 1
Теперь достаточно доказать, что последнее слагаемое стремится к ну-
оо
лю при Л/* —> оо. Для этого заметим, что ряд //(Tfc) сходится как
к=1
числовой ряд с неотрицательными членами, частичные суммы которого ограничены числом /х(Т). Поэтому
оо
М^-Л/0 = 0 (Л/- —> оо)
fc=JV"+1
как остаток сходящегося ряда. В силу (9.4) f f(t)dfi —► 0. Это вместе
пм
с (9.6) доказывает счетную аддитивность интеграла.
6. 	ifo/m /(•) — jjL-простая ограниченная функция, т. е.
f(t) = ck при t G Tfc, ck < с, Т = lJTb П Tj- = 0
k
при k ф j, Tfc G 21, mo
[ f(t)dfj, = ^2ckiJ,(Tk).
J и
Ряд ckfi(Tfc) сходится, так как последовательность {cfc})^
k=l
ограничена. Применяя последовательно свойства 5 и 3, получаем [ f{t)d(i = '^2 f f{t)dn = Y2ck^{ Tfc).
^ le ^ lc
T Tfc
7. 	Если f(t) ~ g(t), mo J f(t)d/j. = f g(t)dfi.
т т
127


Обозначим А = {t : f(t) ф g(t)}; ц{А) = 0. Последовательно применяем свойства 5 и 1:
Jg(t)dfi = J g{t)dfi + J g{t)dn =
Т A T\A
= 0 + J f(t)dfi = J f{t)dn + J f(t)dn = J f (t)dfi.
Т\Л A T\A T
Доказанное свойство означает, что интеграл Лебега не различает эквивалентные функции. Это естественно, так как для восстановления единственности предела по мере нам пришлось отождествить эквивалентные функции, т. е. вместо рассмотрения отдельных измеримых функций работать с классами эквивалентных функций. Свойство 7 означает также, что мы, в сущности, интегрируем сразу целый класс эквивалентных функций.
Свойства 7 и 4 допускают обращение в следующей форме.
8. 	Если f(t) ^ 0 и f f(t)dfi = 0, то f(t) & 0.
т
д
Действительно, предположим противное: f(t) ф 0; так как
о°
{t: f(t)>0}=\J{t: №>-},
k=1
то найдется такое ко, что fi{t : fit) > ^}=ol > 0. По теореме об оценке (см. левую часть (9.4))
J f(t)dfi ^ > 0,
{*/(*)>£}
а в силу свойства 4
J f(t)dn ^ 0.
П{*: /(*»£>
Складывая два последних неравенства, устанавливаем, что
f f(t)dfj, > 0, что противоречит условию, т
128


9. Пусть /(•) и Т(-) [X-измеримы и ограничены. Тогда
J(/(*) + F{t))dn = J f(t)dn + J f(t)d(i.
т т т
10. f cf(t)dn = с f f(t)dfi (с G R). т т
Упражнение 9.1. Докажите свойства 9 и 10.
и- /(/(*) - F(t)№ = I f(t)dn - f F(t)dfi
T T T
(сразу получается из 9 и 10).
12. 	Если f(t) ^ t), то J f(t)dfi ^ / T(t)dfi.
T T
Для доказательства достаточно применить свойства 4 и 11.
13.
/ f(t)dn
Т
^ J\f(t)\dn.
Т
Для доказательства надо применить свойство 12 к очевидному неравенству
-\т\ ^ т < \т\.
9.4. 	Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
Из курса математического анализа известна следующая теорема о предельном переходе под знаком интеграла Римана: если последовательность {/m(')}m=1 интегрируемых R функций равномерно на [а, Ь] сходится к то Т(-) интегрируема R и имеет место предельное соотношение
ь ь ( ь \
Jinio J fm(t)dt = J F(t)dt I = fm(t)dt j . (9.7)
a a \ a /
От интеграла Лебега естественно ожидать более «либеральных» по сравнению с равномерной сходимостью условий предельного перехода вида (9.7).
Теорема 9.1 (Лебега). Пусть последовательность {/m(-)}m=1 p-измеримых ограниченных функций сходится по мере ц к F(-) и существует такая постоянная /С ^ 0, что
^ /С fi-n. в. на Т. (9.8)
9-2800 1 29


Тогда
fm(t)d(i = J f(t)dn. (9.9)
T T
Доказательство. Из сходимости fm(t) !F(t) и оценки (9.8) непосредственно не следует ограниченность предельной функции, так как fm(-) может ни в одной точке не сходиться к Т{-) (см. пример 3.3 из § 3). Поэтому надо воспользоваться теоремой Рисса, согласно которой найдется подпоследовательность
ifmk(-)}Ь=1 С {/m(')}m=l> /mfc(*) -> f(t) (к -» оо) Ц-П.В. на Т.
Так как в силу (9.8) |/т*(*)| ^ то, переходя в этом неравенстве
к пределу при тех £, при которых имеет место сходимость, получим, что
|^(£)| ^ /С /х-п. в.
Для произвольного а > 0 обозначим
Ат(а) = {t: | fm(t) - F(t)| ^ a},
Bm(a) = {t: | fm{t) - F{t)\ < a}.
Очевидно, что Лт(а)ПБт(а) = 0, Am(a)UBm(a) = T, а сходимость по мере означает, что
/л(Ат(а)) —> 0 при га —► оо. (9.10)
Пусть е > 0 произвольно. Для всех т — 1,2,... и любого а > 0
Лт =
[ fm(t)dn~ f F{t)dn
=
J J
T т
j
т
^J\fm(t)-F(t)\d»= J \fm(t)-f(t)\dn+ J \Ut)-m\d^
т Am(a) Bm(a)
^ 2К ■ ц{Ат{а)) + a • ц(Вт{а)) ^ 2Кц(Ат{а)) + а ■ Т).
Мы воспользовались свойствами 11 и 1 и неравенством
Ifm(t) - т\ < \fm(t)\ + \т\ < 2К.
130


Зафиксируем теперь с*о < 5Дт) • ® силу (9.10) найдется такое натуральное Л/\ что при всех т > Af /х(Ат(ао)) < Тогда для таких
га выполняется неравенство
Am<2^‘^+2^T)-/X(T)=£’ что и означает справедливость предельного соотношения (9.9).
Заметим, что равномерная ограниченность (9.8) последовательности {/m(*)}m=1 существенна. Рассмотрим снова пример 3.1 из § 3.
Пусть Т = [0, 1], /х = mes, fm{t) = т при t е [0, ^], fm(t) = 0 при t Е (^, 1]. /m(t) —► ^(t) = 0 п.в., а значит, и по
мере. Однако
/
fm(t)dt = га • mes[0, —] 4- 0 • mes(—, 1] = га • — = 1, га т т
т
тогда как f F{t)dt — 0. т
9.5. 	Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Теорема 9.2. Если существует интеграл Римана ь
R—f f(t)dt, то существует и интеграл Лебега L— f f(t)dt, причем а [а> ь]
интегралы равны.
ь
Доказательство. Пусть I=R— f f(t)dt существует. Тогда /(•) огра-
а
ничена на [а, Ъ]. Разобьем отрезок [а, Ь] на п равных частей точками tk = cl 4- и рассмотрим соответствующие этому разбиению сум¬
мы Дарбу, верхнюю Sn и нижнюю sn :
Зп = Т,Мпк.Ь-—sn = '^2mnk--— fc=i n fe=i n
где
Мпк = sup /(t), mnfe = inf f(t).
131


Как известно,
I— lim Sn — lim sn. (9-11)
71—► OO 71—► OO
Построим последовательности {fn(-)}%L 1 и {/n(*)}m=i следующим образом:
fn(t) = Mnk, fn(t) = rnnk для i G [t/fe_i, tfc), k = 1,2,... ,n,
a /„(6) и /„(6) выберем произвольно. Тогда очевидно,
7„(*)>7„+i(t) >/(*). Ш ^ fn±i(t) ^ f(t)
при £ G [а, 6). Следовательно, существуют
/(f) = lim /„(<) ^ /(f), /(f) = lim /„(f) «5^ /(f) (f G [a, 6)),
71—>00 — 71—>00
так что
fn(t) -*■ /(f), /n(t) -> 7(f) п. в. на [a, b],
причем
/„(f) >m= inf /(f), 7n(f) < SUP /(*)■
t6[a,6] t€(a,6]
Функции /„(f) и /„(f) — простые, поэтому
/71 J Л
Jn(t)dt = J2Mnk-^ =Sn, L- I fn(t)dt = sn. (9.12)
[a, b] k==1 [a, 6]
Так как
0 ^ 7nW “ Лг(^) ^ M + m,
то к интегралу L — / (/n(£) — fn{t)) dt можно применить теорему о
[a, 6]
предельном переходе, поэтому
l- J (in(t)-fn(t))dt^L- j сm-m)dt.
[а, Ь] [а, Ь]
В силу (9.11) и единственности предела числовой последовательности
/ (/(*)-/(f)) * = о,
[о,Ь]
132


а в силу свойства 8 f(t) — f(t) ~ 0.
Так как /(*) ^ f(t) ^ /(£), то f(t) ~ /(*) ~ /(*), т. е. /(•) — измеримая функция.
Из (9.11), (9.12) и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла получаем
L- J f(t)dt = I,
[а,Ь]
что и требовалось.
Упражнения и задачи
9.2. Вычислите интеграл / t ■ Xr\q{t)dt, исходя из его определе-
[0,1]
ния.
9.3. Вычислите интегралы:
а) / Xr\q(*)*; б) / sign cos 7rtdt;
[0,20] [-3,3]
в) 	f sign cos fdt; г) f J [t + s]dtds;
(0,1] [0,2]2
Д) //(~l)^2+s2^d«s, A = {(£, s) : t2 -f s2 < 5};
A
e) 	If VIs ~ t2]dtds, A = {(£, s) : t2 < 5 ^ 4}.
A
oo , \
9.4. Пусть A = [0, 1] \ IJ (^, 2tv-'i ) * Вычислите f 3t2dt с точно-
n=lV ' A
стью до 0,01.
{sin7rt для t G [0, ^) \ /С,
COS 7Tt для t G [5, 1] \ /С,
t2 для t G /С (^— канторово множество).
l
Вычислите f f(t)dt. о
't2
t G M \ Q,
t > 3
9.6. /(f) = <
f3
t G R\Q,
£ < з
1010
t G Q.
133


1
Вычислите интеграл f f(t)dt. В каком смысле его следует трактовать? о
9.7. Интегрируема ли функция f(t) = (t2 — 1 )D(t) (t G [0, 1]) no
l
Риману? Найдите f f(t)dt (D(t) — функция Дирихле, см. п. 9.1. о
9.8. Интегрируема ли функция f(t) = sinnt • Xr\qW на [0> по
7Г
Риману? Найдите / f(t)dt.
о
9.9. Интегрируема ли функция
/м=;‘2’ <£
—t2, t G М \ Q (t G [0, 1])
1
по Риману? Найдите f f(t)dt.
о
9.10. f(t) = тах{пг, г = 1,2,...}, где щ — г-й знак в десятичном
разложении числа t G [0, 1]. Найдите интегралы
а) 	/ f(t)dt; б) / f(t)dt.
/с [0,1]
9.11. Множество А С [0, 1] неизмеримо по Лебегу,
— /^2’ ^ ^ ^ ^
t G [0, 1] \ (/С П А).
1
Найдите f f(t)dt. о
Isinf, cos£GQ,
9.12. /(£) = ^
1 sin21, cos£gM\Q.
Вычислите f f(t)dt.
[o,f]
9.13. f(t) = 1 при t G /С, /(£) = 2 при t G [0, 1] \/C. Интегрируема
l
ли /(•) по Риману? Найдите / f(t)dt.
о
9.14. /(£) = 0 в точках канторова множества, f(t) = 1 в серединах смежных интегралов (ап, 6П), /(•) линейна на отрезках [ап, ап^*п]
и [Qn2^n, Ьп] • Интегрируема ли /(•) по Риману? Найдите интеграл
/ f(t)dt. о
134


9.15. В серединах смежных интервалов ранга п /(£) = 2 п,
f(t) = 0 при t € /С, /(•) линейна на отрезках [ап, j и , Ьп] .
1
Найдите / f(t)dt. о
9.16. /(£) = 0 при £ Е /С, /(£) постоянна на смежных интервалах,
1
причем значение ее равно длине интервала. Найдите f f(t)dt.
о
9.17. Графиком функции /(•) на смежных интервалах являются верхние полуокружности, опирающиеся на эти интервалы как на диаметры, f(t) = 0 при t € К,. Докажите, что /(•) интегрируема по Риману и найдите ее интеграл Римана по отрезку [0, 1].
9.18. На [0, 1] построено совершенное нигде не плотное множество А меры У2, смежные интервалы перенумерованы в порядке убывания их длин: (с*1, /?i), (с*2, &), (<*з, /(£) = 0 при t € A, f(t) = 1 в
Ос
715
Qn ~t~ 0п
серединах смежных интервалов, /(•) линейна на отрезках
и j^an+ftw- ? /Зп] . Интегрируема ли /(•) по Риману? по Лебегу? Найдите 1
интеграл / f(t)dt, если он существует.
0
9.19. Удалим из середины отрезка [0,1] интервал длиной % (О < е < 1), из середин двух оставшихся отрезков удалим интервалы длиной по %, из середин четырех оставшихся отрезков удалим интервалы длиной по %2 и т*Д ) продолжим этот процесс неограниченно; оставшееся нигде не плотное множество обозначим А. На каждом удаленном интервале положим f(t) равной длине удаленного интервала,
а на А полагаем f(t) = е. Интегрируема ли /(•) по Риману? Найдите
1
интеграл / f(t)dt. В каком смысле его следует понимать? о
9.20. Интегрируема ли
t,
при t €
>C\Q;
II
при t е
([0, 1] \ /С) \ Q;
при t €
[0, 1] HQ
1
по Риману? Найдите f f(t)dt.
о
135


9.21. 	Интегрируема ли по Риману функция
т
t2, t€ (R\Q)n[0, i); In t, t e (E \ Q) П [|, 1];
0, t e Q?
i
Найдите f f(t)dt. о
9.22. f(t) = sint • Xr\q- Найдите f f(t)dt. Интегрируема ли /(•)
[0,7Г]
по Риману?
9.23. Найдите интегралы
а) 	f Q(t)dt; б) / 02{t)dt\ в) / 63(t)dt; ООО
где #(•) — канторова лестница.
9.24. Д(-) в точке t равна к-му знаку в двоичном разложении числа t Е [0, 1]. Найдите интегралы
а) 	/ fk{t)dt; б) / f%(t)dt; в) / /*(*) • fk(t)dt при г ф к.
ООО
9.25. Если на к-и месте двоичного разложения числа t Е [0, 1] стоит 1, то полагаем <£>*;(£) = 1, в противном случае ipk(t) = — 1- Найдите
1
J <Pi(t) ■ <Pk(t)dt.
О
9.26. Найдите интеграл / f(t)dt, если
(0,1]
а) /(*) = (-!)” при teJn = (з^рг, ^г] П = 0,1,2,...;
б) /(f) = а" (0 < а < 1) при t G Тп, п = 0,1,2,...
9.27. Докажите неравенство
2е < J et2+x*™{t)dt < 2е2.
[-1.1]
9.28. Оцените интеграл
II
А
136


где А = {(t, s) : 1 ^ t2 + s2 < 4}.
9.29. Найдите интегралы
а) / (i+m+Tv б) / e~tdv>
[0,6] (0,6)
где v — считающая мера, сосредоточенная на Z.
9.30. Вычислите f sign cos 7гtdfi?, где fijr — мера Лебега-
10,2]
Стилтьеса, порожденная функцией F(-): F{t)= —2 при t ^ 0, F(t)= — 1 при 0 < £ ^ У2, .F(£) = 0 при У2 < t < 3/2, = 2 при £ > 3/2.
9.31. Найдите пределы:
а) lim f e~nt2dt;
n_KX)[o,i]
б) lim / (*n + 2~nt)dt]
n^°°[o,i]
в) lim f exp(—n sin t)dt;
n—► OO ^
r) lim ff sin2n(£ -f s)dtds, A = {(£, 5) : t2 + s2 < 27r};
n—oo A
д) lim / e~sinn idt;
П—>00 r„ ,
[O.irJ
7Г
е) lim f exp(—n sin t)dt;
П—► OO Q
ж) lim f exp(—n(f(t) — \)2)dt. n^°°[o,i]
9.32. Найдите пределы:
1) lim f e~nt2 dfi\
n^°°[o,i]
2) lim f (tn + 2~nt)dfjL]
n^°°[o,i]
з) lim Г exp(—nsint)d/i;
П^°°[0,7Г]
4) lim f exp(—nsin2j)d/i;
n_*°O(0,i]
5) lim f exp(— cos2n t)dfi;
П^°°[0,7Г]
6) lim Г exp(—n{t2 — 1 )2)dfi, n^°°[-2,2]
если a) fi — мера Лебега-Стилтьеса, порожденная возрастающей функцией Т('); б) /л — считающая мера, сосредоточенная на множестве целых чисел.
137


9.33. Найдите предел lim / exp(~n(t2 — 1 )2)d/x^r, где n^°°[-2,2]
О при t ^ — 1;
P(t) = ^ 3 при — 1 < t < 1;
^7 при t ^ 1.
9.34. Пусть {£n}£Li С (0, 1] — заданная числовая последовательность,
^(о) = о, т = £^, = L
tn<t
Найдите / tdfjLjr] рассмотрите случаи:
[0,1]
a)tn=an (0 < а < 1); б) tn =
9.35. Пусть
f ф = J *[o,J]№ ПРИ нечетном п,
1 X(i,i](0 при четном п, t £ [0, 1].
Найдите
/ lim fn(t)dt, lim j fn(t)dt,
J n—>00 П—+ОС J
[o, 1] [o, 1]
f lim fn(t)dt, lim f fn(t)dt.
J n-ЮС П—КЭО J
[0,1] [0,1]
9.36. Пусть T С M, mesT < +oo, f,g : T —> M, /(•) и #(•), измеримы и ограничены на Т. Будет ли интегрируемой по Лебегу функция / (</(•))? А если /(•) непрерывна?
В задачах 9.37 — 9.44 (Т, 21, /х) — /х-измеримое пространство,
/х(Т) < -foo; /(•), /ш(-) : Т —> R (m = 1,2,...) — измеримые функции.
9.37. Найдите предел lim f sin2m f(t)dfj,.
m—►оо ^
9.38. fmit) —> /(f) /х-п.в. Докажите, что
lim / sin/m(£)d/x = / sin f(t)dfi.
m—*oo J J
т—юо
T T
138


9.39. 	fm(t) —> f(t) /х-п. в., (p : R —► M непрерывная ограниченная функция. Докажите, что
lim
771
т
9.40. fm(t) A /(£). Докажите, что
lim /(14- cos fm(t))dijL = / (1 + cos /(£))d/i.
7П-ХХ) У У
т т
9.41. /ш(£) /(£), ^ : М —> М удовлетворяет условию Липшица на Е. Докажите, что
lim f tp(fm(t))dn= f <p(f(t))dn.
m-юс J J
T T
9.42. Пусть p > 0 и lim f jfm(t) — T{t)\pdfi = 0. Докажите, что
771—►OO rjp
тогда fm{t) Tit). Верно ли обратное утверждение? При каком дополнительном ограничении на последовательность {/m(*)}m=i верно обратное утверждение?
9.43. Докажите, что fm(t) A f(t) тогда и только тогда, когда
lim / т—fv-7~ /(^ = 0.
m~*0G J l + \fm(t) ~ f(t)\
т
9.44. Пусть fm(’) ограничены и неотрицательны и lim f fm{t)dfji = 0. Следует ли отсюда, что fm(t) —> 0 /i-п. в.?
ТП—>00 fji
§ 10. Интеграл Лебега в общем случае
10.1. 	Интеграл от неотрицательной функции.
Пусть (Т, 21, /i) — измеримое пространство, /i(T) < Н-оо, / : Т—>М — измеримая неотрицательная функция (быть может и неограниченная). Определим срезку функции /(•) числом ЛГ £ N следующим равенством
^Л/", если f(t) > ЛЛ 139


Срезка обладает следующими свойствами.
1. 	При каждом N € N [f(t)]/f ~ измеримая ограниченная функция и, значит, существует интеграл
/
2. Последовательность ~ возрастающая.
3. Если при некотором to fm(t о) —► -Т^о), иго и
[fm{to)W ~> №)W-
Упражнение 10.1. Докажите свойства срезки 1-3.
Из свойств 1 и 2 следует, что числовая последовательность
{f\mwd»}~=1- (юл)
т
возрастающая и, следовательно, могут представиться два случая:
1) 	существует предел последовательности (10.1) при N —► оо; тогда функция /(•) называется суммируемой по Лебегу и
2) 	J{f(t)]j^d/ji —> -foo; тогда функция /(•) называется несуммируе-
т
мой и полагается
L - J f(t)dfj. — -foo.
т
Неотрицательная ограниченная измеримая функция суммируема, так как, начиная с некоторого номера [/(0W — /(£)> поэтому
У [f(t)Wdn -» J f(t)dfi.
Упражнение 10.2. Докажите, что свойства 2, 4, 6 — 13 из п. 9.3 имеются и у введенного интеграла.
Отметим также свойства:
140


1) если /(•) суммируема на Т и То С Т, То £ 21, то /(•) суммируема на То;
2) если f{t) ^ T(t) /х-п. в. на Т и !F(-) суммируема, то и /(•) суммируема и
т т
Упражнение 10.3. Докажите свойства 1 и 2.
Теорема 10.1 (Фату). Если последовательность {/m(*)}m=i измеримых неотрицательных функций сходится на Т по мере ji к функции F(-), то
J< sup{ J fm(t)dfj,}. (10.2)
т т
Доказательство. По теореме Рисса существует подпоследовательность
{/mfc(-)}j£=l с {/m(-)}m=l, fmk(t) ^ ^(t) ПРИ к ОО /Х-П. В.
В силу свойства 3 срезки при каждом N £ N
[fmk(t)W -* [РЩм (к -► оо) Ц-П. в.,
а значит, и по мере /х.
По теореме Лебега из п. 9.4
J[F(t))udn = Jirn^ J [fmk(t)]xdfi. (10.3)
т т
Далее,
J [fmk(t)]jsrdl^^ J fmk(t)dfJ,^sup{J fmk(t)dn}^snp{J fm(t)dfj}.
т т T T
Сначала переходим в последнем неравенстве к пределу согласно (10.3) при к —> оо, затем, устремив N —> оо, получим (10.2).
141


Следствие (теоремы Фату). Если существует предел 1= lim f , то
[ T(t)dijL < lim [ fm{t)dfi.
J m—*oo J
Доказательство. Если I = -foo, то утверждение в доказательстве не нуждается. Пусть I < +оо. Тогда для любого £ > 0 найдется такое
натуральное то, что при всех т > то f fm(t)dij, < I 4- е. Применим
т
теорему Фату к последовательности {/m(*)}m=m0+i- В итоге получим, что
J T(t)dn ^ 14- £,
т
что, ввиду произвольности е, означает требуемое.
Теорема 10.2 (Леви). Пусть последовательность измеримых функций { /т (')} т=1 такова, что
О ^ fi(t) ^ f2(t) ^ ... и fm(t) -> F(t) fi-П.в.
Тогда
[ T(t)d/jL = lim [ fm(t)d/i. (10.4)
J т—кх> J
T T
Доказательство. Последовательность
{/ /mW^}m=i возрастает и ограничена числом f T(t)dц. Следова-
т т
тельно,
lim j f(t)d/j> ^ j T(t)dji.
т—+оо J J
т т
А из следствия теоремы Фату имеем противоположное неравенство. Значит, верно равенство (10.4).
Следствие (теоремы Леви). Пусть Uk(') измеримы,
оо
Uk(t) ^ 0 fi-П.в., ряд Uk(t) сходится \i-n.e., тогда
k=i
оо оо
/ ( Е Uk(t))dfi = £ fuk(t)dfi.
Т к=1 к=1 Т
142


Для доказательства заметим, что последовательность частичных сумм указанного ряда удовлетворяет условиям теоремы Леви
<Х)
{Н*) = £ «*(<))•
к=1
Теорема 10.3 (о счетной аддитивности интеграла Лебега от неотрицательной измеримой функции). Пусть
оо
Т = (J Tfc, Tfc flTj = 0 при к ф j, Tfc € Я, /(•) измерима и неотри-
к=1
цательна. Тогда
J f(t)dfi = Е/
Т fc=lx fc
Доказательство. Полагаем
икФ = /при *е Tfe’
|^о при t е т \ Tfc.
Тогда
ы,и = 1ти пр"*€Ть
1^0 при t ЕТ \ Tfc;
Wfc(-) измеримы, неотрицательны и
оо
Л 0 =
fc=l
Из следствия теоремы Леви получаем
J f(t)dn = ^2 J uk(t)dfi. (10.5)
fc 1 rjp
Так как
J [uk(t)]//diJ, = J [Uk{t)]udn = j[f(t)}xdn,
T Tfc Tfc
то при .A/" —► oo получаем, что
J uk(t)dn = J f{t)dn,
T Tfc
и справедливость доказываемой теоремы следует из (10.5).
143


10.2. 	Интеграл Лебега от произвольной измеримой функции.
Пусть теперь /(•) — измеримая функция, которая принимает значения любого знака. Полагаем
f+(t) = если ^0> / (t) ~ если < 0>
|^0, если f(t) <0, 1 0, если f(t) ^ 0.
Легко видеть, что /+(£) ^ 0, /-(£) ^ 0,
Ы.| = м, ш. шм
и, следовательно,
/(*) = /+(*)-/-(*)> I/WI = /+№ + /-№• (Ю.6)
хотя бы одна из функций /+(•) шш /-(•) суммируема, то
полагаем
L - ( f(t)dfi= lb - [ U(t)dA - I L - [ f-(t)dfi ) . (10.7)
T V T / V T /
Если эта разность конечна, то /(•) называется суммируемой на Т по мере (i функцией.
Из определения (10.7) видим: для того чтобы /(•) была суммируемой, необходимо и достаточно, чтобы обе функции /+(•) и /-(•) были суммируемы.
Отсюда и из (10.6) имеем: функция /(•) суммируема тогда и только тогда, когда суммируема функция |/(*)|; nvu этом
JI f(t)\d(J, = J f+(t)dfi + J f-{t)dn,
Таким образом, при интегрировании по Лебегу /(•) и |/(*)| либо обе суммируемы, либо обе несуммируемы. Такой факт не имеет места при интегрировании по Риману.
144


Рассмотрим пример.
1 +оо
dx <1Z —
о
1
о
в то время как интеграл
о
расходится.
10.3. 	Свойства интеграла Лебега.
1. 	Если /(•) суммируема на Т, то она суммируема на любом его измеримом подмножестве То С Т.
Доказательство. Пусть /о(-) сужение /(•) на То, а на T\Tq полагаем
Отсюда следует, что /о+(*) и /о-(*) суммируемы на То, значит, на То суммируема и /(•) = /о(-)-
2. 	Интеграл по множеству меры нуль равен нулю. Действительно, /+(•) и /_(•) неотрицательны, поэтому согласно ранее доказанному
fo(t) = 0. Тогда
т
т
а в силу определения (10.7) и f f(t)dfi = 0.
т
3.Пусть f(t) rt g(t). Из суммируемости одной функции следует суммируемость другой и равенство
т
т
145


4. Пусть /(•) измерима, д(-) суммируема на Т и
\f(t)\ < g(t) [i-n. в. на Т. Тогда и /(•) суммируема.
5. Пусть /(•) суммируема, с Е R. Тогда с/(-) суммируема и
J cf(t)d/j, = с J f(t)dn.
Т Т
6. Пусть /(•) суммируема, а д(-) измерима и ограничена на Т. Тогда функция /(•) • #(•) суммируема на Т.
Упражнение 10.4- Докажите свойства 3 — 6.
т
7. (Конечная аддитивность интеграла). Пусть Т = (J Tfc,
fc=i
П Tj = 0 при к ф j, Tfc G 21. Тогда есх/ш /(•) суммируема на всех
Tfc, то она суммируема и на Т и
J f(t)dfj, = ^ J f{t)dn. (10.8)
T
Доказательство. Так как /+(•) и /_(•) неотрицательны, то
j f+(t)dn = ^2 J f+(t)dn, J f-(t)d/i = Yh J
T fc=1Tfc т fc=1Tfc
Вычтя из первого равенства второе, получим суммируемость /(•) на Т и равенство (10.8).
Следующий пример показывает, что без дополнительных предположений в общем случае счетная аддитивность интеграла Лебега не имеет места.
Пусть Т = (0, 1], ji — mes,
f(t) = ik’ если 2Щ+17 <*< i
\~к, если ^ < t < 2Щ+1), к= 1,2,...,
11 00 т = (».ч = ить
к—1
f г/ \ 1 1 f ^ ^ \ / I \ / "f* 1 1 \
J /т=Ь (- - у - *тг) - »•
Tfc
146


/|'<‘>1Л = *• (I- ftt> = kh’
Tk
~ oo - oo ^
J \m\dt = x j \m\dt = £— = +00.
(0,1] fe=1Tfc fc==1
Следовательно, /(•) несуммируема на T, хотя и суммируема на Т&.
8. 	(Счетная аддитивность интеграла). 1) Если /(•) суммиру-
оо
ел*а па Т = (J Т*, Tfc П Т., = 0 при к ф j, € 21, то
к=1
J f(t)d/j, = ^2 J /№Ф; (10-9)
Т fc=1Tfc
2) 	если /(•) суммируема на всех Тк и ряд
£ / 1/(0Им (10.10)
fc=1Tfc
сходится, то /(•) суммируема на Т и верно равенство (10.9).
Доказательство. 1. Так как /+(•), /_(•) неотрицательны, то в силу теоремы о счетной аддитивности интеграла от неотрицательной функции имеем
J f+{t)dfi = ^2 J f+(t)d(j,, J f-(t)dfi = ±f
T k=lj к x fc==1Tfc
Вычитая из первого равенства второе, получаем (10.9).
2. 	Сходимость ряда (10.10) и неотрицательность |/(*)| означает суммируемость |/(*)| и равенство
[\f(t)\dn = jr, j\f(tk)\dn,
J I 1 J
к-Цк
а значит, и суммируемость /(•). Это, согласно доказанному выше, означает справедливость равенства (10.9).
147


9. 	Если /(•) и д(-) суммируемы на Т, то и /(•) 4- д(-) суммируема на Т и
J (/(*) + 9(t))dfi = J f(t)dn + J g{t)dfi.
т т т
Упражнение 10.5. Докажите свойство 9.
10.4. 	Абсолютная непрерывность интеграла Лебега
Теорема 10.4 (об абсолютной непрерыности интеграла Лебега). Пусть /(•) суммируема на Т. Для любого е > 0 найдется такое S > 0, что для любого измеримого множества Д С Т, мера которого /х(А) < 5, выполняется неравенство
| J f(t)d(J,\ < е.
Л
Доказательство. Так как /(•) суммируема на Т, то и |/(*)| суммируема на Т, поэтому найдется такое натуральное число Л/*о, что
J\f(t)\dn - J [l/WOjv/M <
т т
Для такого Л/о (Д С Т — измеримое множество)
J (I/WI - 0/(*)1]лго)^ = f I лоим~У [1/(<)1]^0Ф<
л л л
< J (l/WI - [I/WOaJ^ = J\f{t)W - J [1Л01]^/м <
т т т
следовательно,
УIf{t)w < |+у р/ФОлг/м- (io-n)
л л
Полагаем 6 = и пусть /х(Д) < S. Применив к интегралу в правой части (10.11) теорему об оценке (п. 9.3), получим
/л 1/(1)№<|+лг„.^ = £,
148


или
I J f(t)dnI < J \f(t)\dfj, < e,
Л Л
что и требовалось доказать.
Свойство интеграла Лебега, выражаемое этой теоремой, называется абсолютной непрерывностью этого интеграла.
10.5. 	Предельная теорема в общем случае Теорема 10.5 (теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла). Пусть последовательность измеримых функций {/m(*)}m=i по мере ц сходится к функции Т(-) и существует такая суммируемая на Т функция Ф{-), что
|/m(i)| < Ф(*) ц-п.в., т = 1,2,... (10.12)
(Ф(-) называется суммируемой мажорантой). Тогда
lim [ = f T(t)dfi.
7П-+00 j j
T T
Доказательство. По теореме Рисса существует подпоследователь-
НОСТЬ {fmk(-)}T=l С {/"*(•)}“= 1> /"»*(*)
fjL-П. В.
Перейдя в неравенстве \fmk(t)\ ^ Ф(£) к пределу при к —> оо, получим, что
|.F(£)| < Ф(£) /х-п.в., (10.14)
так, что и Т(') — суммируемая функция (свойство 4 из п. 10.3).
Как и ранее, для произвольного а > 0 введем множества
Ат(а) = {t: |fm(t) - T(t)| ^ a}, Bm(a) = {t: \fm(t) - F(t)\ < a},
(10.13)
Am(a) D Bm(a) = 0, Am(a) U Bm(a) = T. По условию теоремы


Оценим модуль разности
hm=\ J fm(t)dfj,~ J F{t)dij\ = | J (fm{t) - T(t))dn | <
<J\fm(t)-^(t)\dfj,= j \fm(t)-Jr(t)\dfi+ J |fm(t)-F(t)\dn^
T Am(a) Bm{a)
<2 J $(t)dn + a ■ ц(Вт(а)) < 2 J + c* •/x(T)
Am(<x) Am(a)
(мы воспользовались неравенствами (10.12), (10.14) и неравенством fj.(Bm(a)) < ц{Т)).
Пусть е > 0 произвольно. Зафиксируем а < 2^(т) • теоРеме об абсолютной непрерывности интеграла найдется такое <5, что если /х(Д) < S, то
/
Л
В силу сходимости числовой последовательности (10.15) при выбранном а найдется такое натуральное то, что для всех m > mo /j>(Am(a)) < S. Значит,
/
0{t)dn <
Ат (о)
Таким образом, для всех т > то
Нт < 2 ‘ 4 + 2^(Т) 'М(Т) = е'
А это означает справедливость предельного соотношения (10.13).
Замечание. Предельное соотношение (10.13) имеет место и в случае, если /т(£) —► F(t) (т —> оо) равномерно на Т. В этом случае априори не требуется постулировать существование суммируемой мажоранты. Этот факт следует непосредственно из доказательства теоремы 10.5, так как начиная с некоторого номера Ат(а) = 0, и значит, начиная с этого номера
| J \fm(t)~ Н*)№\ =0.
^т(а)
150


Заметим также, что сходимость по мере ц может быть заменена на сходимость /х-п. в.
10.6. 	Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры.
Пусть в измеримом пространстве (Т, 51, /х) мера /х ст-конечна, т. е.
оо
/х(Т) = +оо, но Т = (J Tfc, Tfc С Tfc+1, где //(Tfc) < +оо. Всякую такую
к=1
последовательность {Tfc}^L1 назовем исчерпывающей.
Пусть сначала /(£) ^ О на Т. Если для любой исчерпывающей последовательности {Tfc}^! числовая последовательность
{ / сходится, то /(•) называется суммируемой на Т по мере
Tfc /X и
J f(t)dfji = lim J (10.16)
T Tfc
в противном случае /(•) называется несуммируемой и полагается
J / {t)d(i = +оо.
т
Очевидно, что предел (10.16) не зависит от выбора исчерпывающей последовательности.
В п. 10.1 на конечность меры Т опиралось лишь доказательство теоремы Фату (при доказательстве предельного соотношения (10.3)). Эта теорема остается верной в следующей редакции.
Если последовательность {/m(*)}m=i измеримых неотрицательных функций ц-п. в. на Т сходится к функции Т(-), то
JF(t)dn < sup{ J fm(t)dfi}.
т т
Доказательство. Для любого натурального к в силу ранее доказанного
f T{t)dfi < sup{ f fm(t)d^} ^ sup{ [ fm(t)dn}.
J m J rn J
Tfc Tfc T
Предельный переход при к —> оо влечет справедливость доказываемого.
151


В доказательствах следствия теоремы Фату, теоремы Леви и ее следствия, теоремы о счетной аддитивности не использована конечность fi{Т), и поэтому эти утверждения остаются в силе и для интеграла по множеству бесконечной меры.
Во всех определениях и утверждениях пп. 10.2 — 10.4 (кроме теоремы 10.5 о предельном переходе под знаком интеграла) не фигурировала конечность меры, поэтому они остаются в силе. Таким образом, получаем интеграл Лебега в общем случае, без требования неотрицательности /(•).
Теорема 10.5 верна в следующей редакции.
Пусть fn(t) —> F{t) /jl-п. в. на Т и существует суммируемая мажоранта Ф(-) : \fn{t)\ ^ Ф(£) /х-n. в. на Т. Тогда
lim [ fm(t)dfx = f F{t)dn. (10.17)
771 — 00 j j
T T
(Причина, по которой сходимость по мере ц заменена на сходимость /л-п. в., заключается в том, что для сг-конечной меры сходимость /i-п. в. является менее обременительным (и как правило, легче проверяемым) условием.)
Замечание. Существование суммируемой мажоранты не может быть заменено здесь ограниченностью последовательности {/m(')}m=1- Рассмотрим в связи с этим пример. Пусть
Т=[0, +оо), ц = mes, fm(t) = X[m,m+i)(t); fm{t) ^ f(t) = 0
всюду на T, 0 ^ fm{t) ^ 1> m = 1,2,..., однако f fm(t)dfjL = 1 при
T
всех m € N, тогда как f f(t)dfi = 0.
т
Упражнение 10.6. Докажите сформулированное утверждение (аналог теоремы 10.5).
10.7. 	Другой подход к определению интеграла Лебега.
Ограничимся случаем /i(T) < -foo. Пусть /(•) — простая функция, т. е. Т = UTfc, Ifc € 21 Tfc OJj = 0 при к ф j и f(t) = ск при t е Т*.
к
152


Назовем простую функцию /(•) суммируемой на Т по мере (i, если
ряд ^Cfc/i(TTfc) абсолютно сходится. к
Для суммируемой простой функции /(•) полагаем [ f(t)dti=^2ckn(Jk).
J 1с
т
Упражнение 10.7. Докажите, что ограниченная простая функция суммируема.
Упражнение 10.8. Докажите, что если /(•) и д(-) — суммируемые простые функции и с € R, то с/(*) и /(•) -f #(•) суммируемы и
J cf(t)dn = c J f{t)dn, J (f(t)+g(t))dn = J f(t)dn + J g(t)dn.
т T T T T
Упражнение 10.9. Если /(•) — ограниченная простая функция, то
[ f(t)dfi < [\f(t)\dn ^ д(Т) -sup|/(f)|.
J , J t€T
TIT
Докажите произвольную измеримую функцию /(•) назовем суммируемой на Т по мере ц, если существует последовательность простых суммируемых функций {/т(*)}т=ъ равномерно сходящаяся к /(•)•
Упражнение 10.10. Докажите, что предел
lim
771—► ОО
т
J fm(t)dn (10.18)
существует и не зависит от выбора последовательности простых суммируемых функций, равномерно сходящейся к /(•).
Предел (10.18) называется интегралом Лебега функции /(•) по множеству Т по мере ц :
[ f(t)dn= lim f fm(t)dn. J m—*oo J


Упражнение 10.11. Докажите, что это определение эквивалентно определению интеграла Лебега, приведенному в пп. 9.2, 10.1, 10.2.
Упражнения и задачи
10.12. Найдите интегралы Лебега как пределы последовательностей интегралов от срезок:
а) / б) / в) /-^т; г) / уи-2)*; д)
(0,1] (0,1] 1 1 V' -1 11
е) / f(t)dt, где f(t) = ^ при t £ (R \ Q) П (0, 1], f{t) =
f 6 Qn [0, 1]; ж) / з) /
(o,i) (o,i) V"1
10.13. /(£) = t2 для точек канторова множества /С, и
a) 	f(t) = п; б) f{t) - п2; в) f(t) = (|)п; г) f(t) = (-l)nn
1
на смежных интервалах ранга п, п= 1,2, Найдите / f(t)dt.
о
10.14. /(£) = 0 при t € R \ Q, /(f) = g при t — р Е Z,
1
g € N, р и q взаимно простые числа. Найдите f f(t)dt.
о
10.15. а) /(4) = У”! б) /(*) = (-1)n« Для t е (^i, £], п = 1,2,... Суммируема ли /(•) на (0, 1] по мере Лебега?
10.16. Пусть g(t) = t при t е M\Q, g(t) = —t при t € Q. Вычислите l
интеграл / f(g(t))dt, где /(•) — функция из задачи 10.14. о
10.17. Приведите пример функции, суммируемой по Лебегу на [О, 1], но не ограниченной ни на каком отрезке [а, /3] С [0, 1].
10.18. Докажите, что если /(£) суммируема на [0, а] по мере Лебега, то f(kt) суммируема на [0, |] (к > 0).
10.19. Для того чтобы измеримая неотрицательная функция /(•) была /х-суммируемой, необходимо, чтобы
lim N • /х{£ : f(t) > Af} = 0.
М—юс
Докажите.
154


10.20. Докажите, что функция j cos j не суммируема на (0, 1) ни при каком к > 0.
10.21. Пусть (Т, 21, /х) — измеримое пространство /х(Т) < +оо, / : Т —> Е суммируема на Т, а > 0, А(а) = {t е Т : \f(t)\ ^ а). Докажите неравенство Чебышева
10.22. Докажите, что функция f(t) = exp (|) не суммируема по мере Лебега на (0, 1).
10.23. При каких значениях а и /3 f(t) = ta • sinf^ суммируема по мере Лебега на (0, 1)?
10.24. При каких значениях а и (3 f(t) = ^(ta -sint^) суммируема по мере Лебега на (0, 1)?
10.25. Суммируемы ли по мере Лебега на (0, 1) функции
а) ft(tcos^ 6)i(t2sinF)?
10.26. Суммируемы ли на [0, 1] по мере Лебега функции
а)/(*)=/*’ t€lC’ 6)/(t)= /‘Sin‘’ *е/С’
у | sin t € [0, 1] \ /С; |icosi> * S Go?
10.27. f(t) = при t € £ , k = 1,2,...; при каких
значениях a /(•) суммируема на T = (0, 1] по мере Лебега?
10.28. Найдите / где F{t) = 0 (t < —1 ),F(t) — 1
R
(-l<t< 1), F{t) = b (t > 1).
'[t], 0<<<100,
10.29. Вычислите f etdfj,jr, где !F(t) = < 0, —oo < t ^ 0,
100, t > 100.
V 7
10.30. Пусть /х — считающая мера, сосредоточенная на Z. Докажите, что /(•) суммируема на М по мере /х тогда и только тогда, когда ряд /(&) абсолютно сходится, причем для любого 4сМ
[ f(t)dfi = f(k)-
A к€2ПА
155


10.31. 	Суммируема ли функция
т =
при t G . при t G 1
а) на R по мере Лебега;
б) на (—оо, 0] по мере Лебега;
в) на R по считающей мере, сосредоточенной на Z;
г) на R по считающей мере, сосредоточенной на N?
10.32. Вычислите интегралы:
а) 	/ ехр(—б) / [t+1fft+2]; в) / 0;
(0,+оо) (0, +оо) [0, +оо)
г) 	I г(1+Тр где № ~ считающая мера, supp/i = Z, Г(-) — гамма- 10,+00)
оо
функция Эйлера: Г(£) = / е-ж • xt-1dx;
Д)/г^; е) / гЙу,где^) = М.
К [1,+оо)
оо
10.33. А — и (
п + ^г] • При каких значениях а
п=1
f(t) = Ха{Ь) суммируема на К по мере Лебега?
10.34. Суммируемы ли функции:
о°
а) /(*) = Е ^^”X[fc,fc+i)W;
к=1
б) /(*)= £^x(fc,fc+i)(*);
к=1
00 / -nfc
в) /(*) = Е Цг-Х[^,(^+1)2)(0;
fc=i
оо
г) /(0 — Е cos А: • Vk+T)W на [■*■’ +°°) по мере Лебега?
10.35. Суммируема ли /(•) на Т = 1J (/с, /с + 1) по мере Лебега,
к£ z
если:
а) /(0 = при t G (к, к 4- 1), к ф 0, f(t) = 0 при t G (0, 1);
б) /(£) = ^ при t G (к, к 4-1), к G Z?
10.36. Пусть Tfc = (2fc, 2fc+1], /(t) = при t G T2n,
/(t) = ^ при t G T2n+i, n = 0,1,2,.... Суммируема ли /(•)
oo
на T = Q Tfc? к—0
156


10.37. Существует ли интеграл L — J f{t)dfi, если:
т
а) /w = ti?i> т = +о°)’ ^= mes;
б) /(*) == (t2+2)(t2+3) > Т = R, /х = mes;
в) £ = (х, у), f{t) = §^j£, Т = [1, +оо) х [1, +оо), /х = mes2;
г) t = (х, у), f(t) = sin(x2 + у2), Т = Е2, ц = mes2;
Д) t = (я, у), /(*) = (1+|х|р)1(1-Ц;/|ч) ’ Т = ^ = meS2!
е) t = (х, у), /(f) = е~ху cosxcosy, Т = [0,+оо) х [0, +оо),
/х = mes2;
ж) £ = (х, г/, г), /(f) = {xi+yi+zb)P, Т = {* : х2 + у2 + z2 ^ 1},
/х = mes3;
з)t=(x,y,z), f(t) = ехр(-(х2 + г/2 + z2)), Т = М3, /х = mes3?
10.38. Докажите следующий вариант теоремы Леви (случай cr-конечной меры не исключается). Пусть {/m(*)}m=i — такая возрастающая последовательность /х-п.в. неотрицательных функций, суммируемых на Т, что существует такое К ^ 0, что
J fm(t)dfi < К.
т
Тогда /х-п.в. на Т существует конечный предел
/(*) = lim /TO(t);
rn—>оо
функция /(•) суммируема на Т и
lim [ fm(t)dfi = f f(t)dfi.
J J
T T
10.39. Пусть ^fc(-) суммируемы на T, /i-п.в. неотрицательны и схо-
оо оо
дится числовой ряд f Uk(t)d/u. Тогда ряд ]Г) uk(t) /х-п.в. сходится fc=lT fc=i
к суммируемой функции и
Лоо оо ^
>^Ufc(i)d/x = / uk{t)dn-
т (С=1 fe=l J
Докажите.
157


10.40. Пусть /(•) суммируема на R по мере Лебега, а > 0. Докажите, что
fint) л , ч
> 0 п.в. (п —► оо).
па v '
В задачах 10.41 — 10.45 (Т, 21, /i) — произвольное измеримое пространство.
10.41. /(•) суммируема на Т по мере /х. Что можно сказать о суммируемости функций а) |/(f)|; б) (fit)) 2; »)W
10.42. Пусть /х(Т) < +оо, / : Т —*R неотрицательна и /i-измерима. Докажите, что /(•) /i-суммируема на Т тогда и только тогда, когда сходится ряд
оо
fc • /i{f £ Т : к ^ /(f) < fc + 1}.
к=1
10.43. Пусть /i(T) <-foo, / : Т —> R неотрицательна и /i-измерима на Т. Докажите: для того чтобы /(•) была /i-суммируема на Т, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
оо
€ Т: f(t) > к}.
к=1
10.44. Пусть /i(T)<4-oo, / : Т —> R /i-суммируема на Т. Докажите, что
[ f(t)dfjL = lim V] — • /i {f € T : - ^ /(f) < —— } .
J m—> oo ' ml П П J
Y k— — oo 4 '
10.45. Пусть /i(T) < +oo, / : T —> R. Положим /m(f) = /(f), если |/(f)| < m, /ш(0 = если /(f) > m, /(f) = —m, если
/(f) < — m, m = 1,2, Докажите, что /(•) суммируема на Т тогда
и только тогда, когда существует предел lim / l/mWI^M» ПРИ этом
TU т * ОО fjp
J f(t)dt = Jam^ f
T T
10.46. 	Приведите пример функции /(•), для которой
158


а) оба интеграла
J f+(t)dn и J f-{t)dfi (*)
т т
не существуют;
б) один из интегралов (*) существует, а другой — нет.
10.47. Пусть /, д : R —► R, причем /(•) непрерывна на М, а д(•) суммируема по мере Лебега на R. Будет ли суммируемой на М функция /(<?(£))? Если #(•) суммируема на измеримом множестве Т С М конечной меры, будет ли суммируемой на Т функция f(g(t))?
10.48. Пусть f(t) ^ 0 и существует несобственный интеграл Ри-
ь ь
мана второго рода TZ — f f(t)dt = lim f f(t)dt. Докажите, что /(•)
a 'Y“*+°a+7
суммируема на [a, 6] по мере Лебега и
ь ь
L- j f(t)dt = П - J f(t)dt.
а а
Верно ли это утверждение для любой (знакопеременной) функции /(•)?
10.49. Пусть для /(•) существует несобственный интеграл Римана первого рода на [a, -foo), который сходится абсолютно. Докажите, что в этом случае /(•) будет суммируема на [a, -foo) по мере Лебега и
ъ
L — [ f(t)dt = lim 71 — f f{t)dt.
J Ь—+oo J
[a, +oo) a
10.50. Приведите пример непрерывной на М функции, несуммиру- емой по Лебегу на R, для которой существует несобственный интеграл Римана по R.
10.51. Допускает ли последовательность fn(t) = 2nte~nt2 суммируемую мажоранту на [0, 1]? на [0, +оо)?
10.52. Найдите пределы:
,)^J^dt;
f п(е~" -Vtw}
159
П—>0° [0, +оо)


в) 	lim Г nsin — (1 -f t4) 1dt;
n-"°°R П
r) lim ff e_(rc2+2/2) cos(xyt) • XR\q(x)dxdy.
R2
10.53. Докажите, что функция
9{x) = hгг*
О
непрерывна на (—1, 1).
10.54. Пусть / : R —> R измерима по Лебегу и ограничена на R. Докажите, что функция
»<*> = /
R
непрерывно дифференцируема на R и найдите
В задачах 10.55 — 10.59 (Т, 21, /х) — произвольное измеримое пространство, функции /т, /, д : Т —> R — /х-измеримы.
10.55. Пусть fm(t) —► /(f) /х-п.в. на Т при га —► оо и существует
такое С > 0, что |/т(£)| ^ С /х-п.в. на Т, га = 1,2,..., #(•) /х—сумми¬
руема на Т. Докажите, что
lim [ fm{t)g{t)dn = f f(t)g(t)dfj,. m—ooy J
T T
10.56. Пусть {fm (*)}m=i ~ возрастающая последовательность неотрицательных функций, /m(f) —► f(t) /х-п.в. Функция д(-) такова, что f(t) • g{t) /х-суммируема на Т. Докажите, что
lim [ fm{t)g(t)dfx = [ f(t)g(t)dfjL.
m—юо J J
T T
10.57. Пусть /(•) и fm(-) (га ^ 1) неотрицательны и суммирумы на Т, /m(f) —> f(t) /х-п.в. на Т при га —► оо и lim / /m(£)d/x = f f{t)djj,.
TYl—^OO rjp rjp
Докажите, что
lim f \fm{t) - f(t)\dn = 0.
m—*oo у
T
160


Докажите, что сходимость /х-п.в. можно заменить на сходимость по мере /х.
10.58. Пусть /х(Т) < +оо и {/m(*)}m=i ~ последовательность неотрицательных функций, сходящаяся /х-п.в. к нулю
при т —► оо. Верно ли, что тогда и / fm{t)d(i —►О (га —> оо)?
т
оо
10.59. Пусть Т = (J Tfc G 21, к = 1,2,... и /,
fc=i
/т : Т —► R, rn = 1,2,... таковы, что
а) lim / |/TO(t) - ДОИМ = 0, к = 1,2,...;
Т71—>00,j,fc
ОО
б) lim £ / (/m(<) - = 0.
тп—юо fc=1Tfc
Следует ли из а, что lim / |/m(£) - /WM/х =
tTl—* ОО rji
Следует ли из б, что lim f /m(f)d/x = f f(t)dfi?
771—► ОО rj« «j*
§11. Произведение мер. Теорема Фубини
11.1. 	Пусть Тх и Т2 — метрические пространства, (Ti,2li,/xi) и (Тг,212,/Х2) — измеримые пространства. Напомним: мы предполагаем, что меры Hi (i = 1,2) счетно-аддитивны, <т-конечны и полны. Рассмотрим метрическое пространство Т = Ti х Т2. Прямое произведение в = 2ti х 2I2 сг-алгебр 2ti и 212 хотя и состоит из элементов Т, но сг-алгеброй, и даже кольцом, вообще говоря, не является (см. упражнение 6.24) .
Упражнение 11.1. Покажите, что © является полукольцом.
Определим на полукольце 6 меру га следующим образом. Для А — А\ х А2 G 6 полагаем т(А) = /xi(Ai) • fi2{A2)
Упражнение 11.2. Докажите, что га — мера на &. Упражнение 11.3. Докажите, что мера га счетноаддитивна на ©.
Продолжение меры га по схеме Лебега (см. п. 7.2) на некоторую ст-алгебру 01 называется прямым произведением мер /х* и обозначается = /XI <8> /Х2- Очевидно, мера v счетно-аддитивна, полна и <т-конечна. 11-2800 161


Аналогично определяется прямое произведение п мер /ii 0 /z2 0 0... 0 1лп. В частности, если /zj. = /х2 = ••• = /in = //, то
пишем fin. Например, п-мерная мера Лебега mesn есть n-я степень линейной меры Лебега mes.
11.2. 	Пусть А С Т — произвольное 1/-измеримое множество. Введем в рассмотрение множества
Л* = {а : (М)€А}(с Т2) (tGТа), 4s = {f : (*,в)еЛ}(С ТО (seT2), pri1 А = {£: существует такое s, что (£, s) € А} = А*,
S
prj2A = {5 : существует такое £, что (£, 5) € А} =
t
Множества At, As называются сечениями множества А. Отметим следующие очевидные свойства сечений (для краткости будем говорить только о сечениях At):
1) если А С В (с Т), то At С Bt(C Т2);
2) если A = \JCk (Ск С Т), то At = \JCkt (Ckt С Т2);
к к
3) если А = П Ск (Ск С Т), то At = f| ckt {Сы С T2);
к к
4) если С = А \ В, то Ct = At \ Bt \
5) если А — открытое (замкнутое) множество в Т, то At — открытое (замкнутое) множество в Т2;
6) если А — множество типа Gs (Fa) в Т, то At — множество типа G6 (Fa) в Т2.
Обозначим (fA{t) = /x2(At), ^a(s) = /jLi(As). Так как, очевидно, yA(t) = 0, если t ргтгА, Фа($) = 0, если t ф prj2A, то интегралы от этих функций по ргтгА и prj2 А соответственно можно записывать, как интегралы по и Т2.
Теорема 11.1. Пусть А С Т — произвольное и-измеримое множество. Тогда
1) множества At (Л5) /х2 — (/1\)-измеримы fi\ — (/x2)-n.e. в
Ti (Т2);
2) функция ip (ф) (i\ — (/12)-измерима ц\ — (/i2)-n.e. в Ti (Т2);
3) 	и(А) = J<pA(t)dfi,i = JipA(s)dn2- (11-1)
Ti т2
162


Доказательство. Ограничимся доказательством утверждений, касающихся At и
Если А G в, т. е. А — D\ х Z)2, Di G 21г, то все утверждения теоремы, включая равенство (11.1), верны, так как для таких множеств At = D2, <PA(t) = /^(Дг), если t € <^л(£) = 0, если t £ D\,
т. е., и(А) = га(А) = /i2(^2)Mi(^i)- Так как кольцо 72.(6) представляет собой совокупность конечных объединений непересекающихся элементов полукольца в (см. теорему 5.5), то все утверждения теоремы, включая равенство (11.1), переносятся на множества A G 72.(6).
Согласно упражнению 7.40 для любого ^-измеримого множества А найдется содержащее его множество В вида
оо
В = р) Вп, Bi э в2 D ... DBnD
П=1
где
оо
Bn = (J Bfik, Вп 1 С Вп2 С ... С Впк С ...,Впк G 72.(6),
k=i
причем
i/(B) = i/(A). (11.2)
Так как в силу непрерывности меры /i2 и ее монотонности (см. теорему 7.12)
<PBnl(t) ^ <PBn2(t) ^ ... ^ <PBnk(t) < • , V?Bnfc W -> ^вп(f) (Л -> oo),
><PB2(t) > ... ^ ^вя(<) ^ <PBn(t) -> (n->oo, f GTi),
то с помощью теоремы Леви (см. §10) устаналиваем что все утверждения теоремы, включая равенство (11.1), переносятся с множеств Впк G 72(6) на множества Вп и В.
Пусть i/(A) = 0. Тогда и v(B) = 0 и </?в(£) = №(Bt) = 0; так как
At С Ви то (pA(t) = /х2(Л) = 0 и
J ipA(t)dii2 = 0 = v(A).
Ti
Таким образом, если v(A) = 0, то теорема верна. В общем случае
представим А = В \ С, где в силу равенства (11.2) ^(С) = 0. Так как
163


по доказанному теорема верна для множеств В и С, то она верна и для множества А.
Теорема доказана.
Рассмотрим частный случай, когда Т2 = М, Ц2 — mes, М — /21-измеримое множество, / : Ti —► R — неотрицательная /ii-суммируемая функция,
А = {(t, s) : t € М, 0 ^ s < /(t)}.
Тогда, очевидно, mes (At) = /(f), если t € М, mes (At) = 0, если t £ М и поэтому
К-А) = J f(t)dn 1. (11.3)
м
11.3. 	Теорема 11.2 (Теорема Фубини). Пусть А € 91, f : А—> М — v-суммируема на А. Тогда
(11.4)
Доказательство. Пусть меры /ii и /х2 (а значит, и мера и) конечны. Докажем только левое равенство, так как правое доказывается точно так же. Пусть сначала f(t, s) ^ О,
U = Т х R (= Ti х Т2 х М), А = 1/0 mes,
W = {(f, s,u) : £ е prTlA,s е At, 0 < и < /(f, 5)}
Тогда в силу (11.3)
A(W) = J f(t,s)du. (11.5)
А
С другой стороны, по лемме
\(W) = J t(Wt)dn 1,. (11.6)
Ti
164


где £ = /i2 О mes, Wt = {(s,u) : (t,s,u) e W}. Сославшись снова на лемму, получаем:
что и требовалось.
Общий случай сводится к уже доказанному при помощи разложения / = /+ — где /+ и /_ определяются как обычно
В случае a-конечных мер /хх и /х2 представим Т* в виде счетного объединения исчерпывающих множеств (см. § 9, п. 5); в итоге получим утверждение теоремы с помощью предельного перехода.
11.4. Пусть А £ УХ, v(A) = 0. Докажите, что тогда /x2(At) = 0 /ii-п.в. В частности, если А С К2 — множество, плоская мера Лебега которого равна нулю, то mes (At) = 0 для почти всех t.
11.5. Пусть А С [0,1]2 — измеримое относительно меры Лебега множество; пусть при всех t € [0,1] mes At = 1. Найдите mes (А) .
11.6. Пусть А С Т = Ti х Т2 — zz-измеримое множество и для всех teT 1 /x2(At) = /х2( Т2). Докажите, что тогда v(A) — /xi(Ti) • /i2(T2).
11.7. Пусть Вi С [0,1] — неизмеримое относительно меры Лебега множество, В2 С [0,1] — счетное множество, В = В\ хВ2. Измеримо ли множество В?
11.8. Докажите, что из существования повторных интегралов
(11.7)
А,
Соотношения (11.5), (11.6), (11.7) вместе дают нам
(см. § 9, п. 2).
Упражнения и задачи
/ [f 2|dMiH J I J f(t, s) dy.i I d/j.2 (11.8)
165


не следуют, вообще говоря, ни равенства (11.4), ни суммируемости /(•,•) на А.
11.9. 	Докажите, что если существует хотя бы один из интегралов
II \f(t,s)\d(i2 j dfii или II \f(t,s)\dm J dfj.2, (11-9)
ргтх A \At / pnr2 A \AS /
to /(*,*) суммируема на А и справедливы равенства (11.4).
11.10. Докажите, что если / : П = [a, b) х [c,d] —► R суммируема по Лебегу на П, то справедливы равенства
ь / d \ d / ь \
f(t, s) ds J dt = II f(t, s) dt j ds.
П a \c / с \a /
11.11. Пусть A = {(t,s) : t e [a,b],gi(t) ^ s ^ g2(t)}, где
gi : [a, 6] —> R измеримы на [a, 6] относительно меры Лебега
и 9i(t) ^ 92{t) почти всюду на [а,6]); пусть f : А R суммируема на А по Лебегу. Докажите, что тогда
6 / 92(t) \
//* , 5) dtds = / / /(£, 5) ds J dt.
A a \pl(t)
11.12. Пусть функции fi : Ai —> R суммируемы по мере fii на Ai (i = 1,2). Докажите, что тогда функция g(t, s) = fi(t)f2(s) суммируема на А = А\ х А2 по мере v и
/ fi(t)f2(s)dv = j /1 (t) dfii J f2(s)dfi2-
А Аг Аг
11.13. Пусть
2" при ^ t < 2^гт; < s < 2^)
—2n+1 при 2^ТГ ^r<s< 2^T>n = 1.2,-
О в стальных случаях.
Выполняется ли здесь равенство (11.4)?
11.14. 	Пусть А С R2, / : А —► R. Выясните, справедливо ли для следующих функций утверждение теоремы Фубини (11.4).
166


1) /(£, s) = 0, если t2 + s2 = 0, f{t,s) = (щруг, если t2 + s2 > О,
А = [0Д]2;
^ при О < t < s < 1,
2) /(£, 5) = < при О < 5 < t < 1, Л = [О, I]2;
О в остальных точках,
3) /(£> 5) = 7 А — [1? +оо)2;
4) /(£, s) = e“*s cos t cos 5, A = [0, -foo)2;
5 )/(M) =
1, если £>0, 5 > 0, 0 ^ — 5^1,
-1, если t>0, s>0, 0<s — £<1, A = M2; 0, в остальных точках.
Докажите, что в указанных примерах существуют оба повторных интеграла.
11.15. Пусть А = [0,1]2, В\ С [0,1] — неизмеримое относительно меры Лебега множество, В2 С [0,1] — счетное множество, В — В\ хВ2, /(f, s) — Хв{Ь, s) — характеристическая функция множества В. Покажите, что для / на А справедливо утверждение теоремы Фубини (равенство (11.4)).
11.16. Пусть А £ 91, /ш : А —► М (га £ N) удовлетворяют условиям теоремы Фубини, причем
< /г(м) < ... ^ fm(t,s) < ...
Докажите: если /т(£, s) —> /(£, 5) 1/-п.в., то и / удовлетворяет условиям теоремы Фубини.
11.17. 	Пусть А £ 91, fm : А —> R (т £ N), /i(M) < /2(^,5) ^ ^ ••• < /т(М) ^ ..., fm(t,s) f(t,s) 1/-П.В., причем существуют конечные пределы
Тогда / удовлетворяет на А условиям теоремы Фубини. Докажите.
167


11.18. 	Пусть A G 91, fm : А —> М, fm(t,s) ^ 0 (£ € А, тп € N), причем выполнены неравенства
ТП
XI /*(*>s) ^ «) (rn G N);
fc=l
пусть, кроме того, функции д и /т (т Е N) удовлетворяют условиям
оо
теоремы Фубини. Тогда и функция f(t, 5) = /т(*>s) Удовлетворя¬
ть
ет условиям теоремы Фубини. Докажите.


Глава IV. Интеграл Лебега—Стилтьеса
§ 12. Дифференцируемость функции ограниченной вариации
12.1. 	Вспомним определение верхнего и нижнего пределов функции / : [а, 6] —► К в точке to € (а, Ь). Верхним (нижним) пределом называется (число или один из символов -foo или — оо)
lim f(t)= lim sup f(t)
t—to "*"0 [t0—<5, t0+<5]
Г lim f(t)= lim inf f(t)\ .
\t—>t0 <5—>+0 [t0—<5, to+<5] /
Конечные или бесконечные, эти пределы существуют для любой функции в любой точке to £ (а, Ь). При этом
lim/(t) ^ lim/(£). (12.1)
t—►to
Аналогично определяются односторонние верхний и нижний пределы. Так, например,
/W=lun sup f(t) (toG[a, г»)),
t—►to+O <*-►+() to+<5]
lim f(t)= .lim inf f(t) (t0 € (a, b]).
t—►to—0 Я-++0 [t0-<5, t0]
Правым верхним (нижним) производным числом функции / : [а, Ь] —► R в точке to € [а, 6) называется
At(to)= К
/ V + £ _ to
\ t-+to+ t — to J
Аналогично (как левые односторонние верхний и нижний пределы) определяются левые верхнее и нижнее производные числа Aj (to) и
169


\J(to) (to G (a, b]). Таким образом, всякая функция / : [a, b] —► M обладает в каждой точке [а, Ь] четырьмя производными числами. Их называют производными числами Дини. При этом, если (to) = Х^(to) (лу (<о) = Ay (to)) , то /(•) имеет в точке to правую (левую) производную. Если в некоторой точке совпадают все 4 производных числа, то функция имеет в этой точке (обыкновенную) производную, равную общему значению ее производных чисел.
Непосредственно из определения производных чисел Дини вытекает следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 12.1. Если /(•) — возрастающая (убывающая) на [а, Ь] функция, то
AJ(t)>0, Aj(t)^0, A+(t)>0, A+(t)^0
(A7(t)<0, Aj(t)^0, A+(i)^0, Aj(i)<o)
(t E [a, b]). (Напомним, что возрастание и убывание понимается в нестрогом смысле.)
12.2. 	Пусть д : [а, 6] —— непрерывная функция. Точка to € (a, 6) называется невидимой справа (слева) для функции <?(•), если существует такое ^ £ (to, b] (£ € [a, to)), что
<7(*о) < 5(0- (12-2)
На рис. 12.1 множество точек невидимых справа (слева) выделено жирно. Обозначим G+(g) (G~(g)) — множество точек невидимых справа (слева) для д(•). Тогда (см. рис. 12.1)
G+(g) = (ai, A) U (a2, $2) (<3-Ы = (71, <^i) U (72, U (73, <5з)) •
Лемма 12.2 (Ф. Рисса). Для любой непрерывной функции д(-) множество точек, невидимых справа (слева) открыто, т. е.
G+(g) = {J(ak,/3k) (G-(») = U(7i,^));
k j
здесь (J означает конечное, или счетное, объединение. При этом для к
всех к
д{ак) < д(0к) (12-3)
170


( для всех j
9(lj) > 9(Sj)). (12.4)
Доказательство. Так как g(•) непрерывна, то из выполнения строгого неравенства (12.2) следует, что при достаточно малом 6 > О выполнены и неравенства g(t) < g(£) для t G (to — 6, to + S). Это и означает открытость множества G+(g) (G~(g)). Что касается неравенств (12.3) ((12.4)) для внутренних по отношению к [а, Ь] точек, там выполняется равенство, а если при некотором к = а (при некотором j Sj = 6), то в (12.3) (в(12.4)) может иметь место либо равенство, либо строгое неравенство.
12.3. 	Пусть / : [a, b] G R. Обозначим A(f) = {t: Л^(t) = +00}.
Лемма 12.3. Пусть /(•) — возрастающая непрерывная функция. Тогда mes A(f) = 0.
Доказательство. Пусть to £ A(f), to ф b и пусть С — произвольно большое число. Из определения A(f) следует, что найдется такое £ G (t0, Ц, что
/(£)-/№ _ г «-< >с- Перепишем это неравенство последовательно так:
№ - т > си -1), но -С£> f(to) - ct0.
171


Рассмотрим непрерывную функцию g(t) = f(t) — Ct. Последнее
неравенство означает, что to есть для этой функции точка, невидимая
справа. Таким образом, A(f) С G+(g) — (J(ab Pk), причем для всех к
к
д(<*к) < дфк), или f(ak) - Сак < /(/?*) - С/Зк, или
f(Pk) ~ f(ak) > С{0к - ак). (12.5)
В силу возрастания /(•) и неравенства (12.5)
mesG+G/) = £(& - ак) < ^ £(/(&) - /(а*)) <
к к
Так как С — произвольно велико, то это означает, что A(f) покрыто открытым множеством сколь угодно малой меры, т. е. mes A(f) = 0. Обозначим
B(/) = {t:A7(t)<A+(*)}.
Если t £ B(f), то найдутся такие рациональные числа р и q, р < q, что
Aj(t) <p<q<Aj(t).
А если /(•) — возрастающая функция, то в силу леммы 12.1 р > 0. Обозначим
Cp(f) = {t: AJ(t) < р}, Dq(f) = {t: Л +(t) > q),
Bpq(f)=Cp{f)f]Dq(f).
Таким образом, для возрастающей функции
B(f)= U Вря(Л- (12.6)
p,qeQ
o<p<q
Лемма 12.4. Пусть /(•) — непрерывная возрастающая функция и (а, (3) С [а, Ь]. Тогда
mes Bpq Р)(а, /3) < ^(/3 - а).
172


Доказательство. Как и в доказательстве предыдущей леммы, основным инструментом послужит лемма Рисса.
Пусть t G Ср П(а> &)• Это значит, что A J(t) < р, поэтому най-
/*(£) _ f(t)
дется такое £ Е (а, £), что —-—-— < р; так как £ — t < 0, то
/(О - f(t) > P(f - <). или /(£) - р£ > /(t) - pt.
Последнее неравенство означает, что t — точка, невидимая слева для непрерывной функции
g(t) = f(t) -pt, te G~(g) = U(7j, £,),
j
т. e. Cp p|(a, /3) С G~(g). При этом для всех j выполняются неравенства
9(Ъ)> 9(6j), )~Р1з> f(Si) ~ P5i.
или
/№) - fbj) < P(si ~ ъ)- (12-7)
Пусть теперь t € Dq П(7л <Ь)? гДе 3 ~ произвольный индекс в представлении G“(p). Для таких t (t) > q и, следовательно, найдется
такое £ Е (£, Jj), что
Это неравенство можно снова переписать в виде
ДО -я£> fit) - Qt,
т. е. t — точка, невидимая справа для непрерывной функции
g(t) = f(t) -qt, t€ G+ (5) = |J(7fcj, Skj),
к
т. e.
ЗД)П(7.*Л) с G+fo),
причем
9bkj) < 3(4,), filkj) - qikj < /(4j) - qSkj, откуда для всех к и j
~ filfkj) ^ Qi^kj — Jkj)• (12.8)
173


Таким образом, доказано, что
Ви(/)П(а, Р) С UUb. М-
(12.9)
к j
Далее,
(12 8)
mesUU <
к j к j
1 1 (12 7)
^ q Е Е (/(^)-/Ы)) <-Е W) - /(^-)) ^
j
Утверждение леммы следует теперь из включения (12.9).
Лемма 12.5. Пусть /(•) — непрерывная возрастающая функция. Тогда mes B(f) = 0.
Доказательство. В силу представления (12.6) достаточно показать, что mes Bpq(f) = 0 для любых р, q £ Q, таких, что 0 < р < q.
Зафиксировав такие р и д, обозначим m=mesBpg(/). Задавшись произвольным е > 0, покроем Bpq(f) открытым множеством
G = U(afc> Pk) так, чтобы выполнялось неравенство mesG < т 4- е.
Обозначим Ек = Bpq(f)f>\(ak, /3fc). Тогда Ек не пересекаются и Bpq(f) = (JЕк- Имеем в силу леммы 12.4
то из последнего неравенства следует, что т = 0. Это в силу представления (12.6) и означает справедливость доказываемой леммы.
к
к
к * к
Р
^ 0; так как 0 < - < 1, Я
12.4. 	Леммы 12.3 и 12.5 позволяют доказать следующую фундаментальную теорему, принадлежащую А. Лебегу.
174


Теорема 12.1. Функция / : [а, Ь] —► R ограниченной вариации почти всюду на [а, Ь] имеет конечную производную.
Доказательство. 1. Пусть сначала /(•) — непрерывная возрастающая функция. Введем для нее множества A(f) и B(f) как выше в п. 12.3.
Согласно леммам 12.3 и 12.5 mes A(f) = mes B(f) = 0. Поэтому mes H = b — а, где H = [a, 6] \ (A (J £). Для t € H
\J(t) ^ A^(t), A^(f) < -foo. (12.10)
Рассмотрим функцию f*(t) = —/(—£). Это непрерывная на
[—6, —a] возрастающая функция.
Действительно, непрерывность ее следует из непрерывности /(•), а если t\, t2 £ [—6, —a], £2 > *i, то —< —ti, —ti, —€ [a, 6] и
r (*2) - f*(t 1) = -/(-t2) - (-/(-tx)) > 0.
Согласно доказанному выше, для t G H
> A+.(-t) (12.11)
и, кроме того,
Л+ (-t) = Aj(t), = A +(t). (12.12)
Таким образом, имеем следующую цепочку неравенств и равенств (t € Я) :
A+(t) (12<0) Aj(t) (<1) Aj(t) (12=2) Л+(-t) (12^U) A7.(-t) (12=2)
(над каждым переходом указана ссылка на соответствующий номер равенства или неравенства).
Из приведенной цепочки получается, что для t G Н
XJ(t) = Aj(t) = AJ(i) = Af(t) < +00,
т. е. /(•) имеет в точке t конечную производную.
175


Итак, для непрерывной возрастающей функции теорема доказана.
2. 	Пусть /(•)“” произвольная возрастающая функция. Согласно теореме 1.2 ее можно представить в виде суммы
/(*) = fc(t) + fd(t)
непрерывной возрастающей функции /с(*) и возрастающей функции скачков /d(*). Выше, в первой части было доказано, что /с(-) почти всюду на [а, Ъ] имеет конечную производную. Что касается функции /<*(•)> то ее производная равна нулю всюду, за исключением точек разрыва /(•), которых может быть лишь счетное множество, т. е. множество лебеговой меры нуль. Следовательно, /(•) почти всюду имеет конечную производную.
3. 	Пусть теперь /(•) — произвольная функция ограниченной вариации. По теореме 2.6 ее можно представить в виде разности двух возрастающих функций /i(-) и /2О,
т = h(t) - f2(t),
каждая из которых имеет конечную производную на множестве меры Ь — а. Следовательно, их разность имеет конечную производную на пересечении этих множеств, т. е. на множестве меры Ь — а.
Теорема доказана.
Следствие. Неопределенный интеграл Лебега
t
Ф (t)=C + У /(т)сЬ-,
а
суммируемой функции /(•), почти всюду имеет конечную производную (С — произвольная константа).
Доказательство. Положим, как мы это уже делали ранее,
/+<«, - о о), /.(,). IZffibMo 0),
тогда f(t) = f+(t) - f-(t).
176


Пусть
t t
Fi(t) = C+J f+(r)dr, F3(t) = j /_(r)dr;
Fi(-) и F2(-) — возрастающие функции и
Следовательно, Ф( ) — функция ограниченной вариации, и утверждение следствия вытекает из утверждения теоремы.
12.5. 	Как известно из курса математического анализа, производная интеграла Римана по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции. Близким к этому свойству обладает и неопределенный интеграл Лебега.
Теорема 12.2. Если f : [a, b] —* R — суммируемая функция, то почти всюду в [а, Ь] имеет место равенство
j f(r)dr\ = f(t).
Доказательство. Обозначим
t
т = J f(r)dr, в = {t: т < фш-
а
Если £ Е 23, то найдутся такие рациональные р и </, р < q, что f(t)<p<q<&(t).
Пусть Bpq = {t: f(t) < р} П{* : &'(t) > q}. Тогда
В — (J Врг
(12.13)
p,qr€ Q Р<Я
Зададимся произвольным е > 0. По теореме об абсолютной непрерывности интеграла Лебега найдется такое 6 > 0, что
J f{r)di
< £
(12.14)
177


для всякого измеримого по Лебегу множества е, мера которого mes е < 8.
Отсюда также следует, что
\Ф(Ь2)-Ф{Ь)\ =
ti
Jf{r)di
<£,
если \t2 — t\\ < S (£1, £2 £ [л, Ь]), т. е. Ф(-) — непрерывная на [а, Ь] функция.
При фиксированных рациональных р и g, р < q покроем множество Вря открытым множеством G = |J(ab fo) так, чтобы
к
mes G < mes Bpq + J. (12.15)
Пусть t G i?p9. Тогда t попадает в один из интервалов (a*;, &&). В этом интервале найдется такое £ > £, что
e-t
Переписав это неравенство в виде
#(0 - 9$ > #(<) - gt,
получим, что £ есть точка, невидимая справа, для непрерывной функции g(t)=$(t) — qt, т. е. Врд С G+ С G, G+ = G+(y) =
= U(aj> Pj)- При этом в силу леммы 12.2 для всех j g(aj) ^ g(Pj), j
ft
откуда 0(/3j) - Ф{рч) > q(/3j - aj), или / /(r)dr ^ g(/3,- - a,).
OCj
Сложив эти неравенства по всем j, придем к неравенству
J f (r)dr ^ q mes G+. (12.16)
G+
Так как G+ С G, то в силу (12.15)
mesG+ < mes Bpq + S, mes(G+\jBPg) < J.
178


По теореме об оценке интеграла, учитывая (12.14), получаем оценку сверху для этого же интеграла:
J f{r)dr = J f{r)dr + J f(r)dr < p ■ mes Bpq + e <
G+ Bpq G+\Bpg
(p ■ mes G+ + e, если p > 0, ' , ,,
^p-mesG++ \p\S + e.
p • (mes G+ — 6) + £, если p < 0
Вместе с (12.16) это дает нам оценку mesG+ ^
q-p
Так как при фиксированных р и q правая часть может быть сделана сколь угодно малой, то mesG+ имеет сколь угодно малую меру, т. е. mes Врд = 0. В силу (12.13) mes В = 0.
Таким образом, доказано, что почти всюду в [a, b] /(£) ^ Ф;(£). Так
t
как f (—f(r))dr = —Ф(£), то, применив доказанное к —f(t), получаем,
а
что почти всюду —f{t) ^ —Ф'(£), f(t) ^ Значит, почти всюду
Ф'(£) = f(t), что и требовалось.
12.6. 	Теорема 12.3. Если /(•) — возрастающая функция, то ее производная /'(•) суммируема и
ь
J f\r)dT < т - На). (12.17)
а
Доказательство. Продолжим /(•) вправо от точки Ь, полагая /(£) = /(&) Для t > Ь. По теореме 12.1 /'(•) почти всюду существует и конечна, причем f'(t) ^ 0 почти для всех t € [а, b]. Таким образом, почти для всех t


По теореме Фату
J f'(T)dT < sup jy^n (f(r + ^) - /От)) dr| = sup jn ^ f(r + i)dr - J /(r)drj 1 <
1
b+-
n
< sup < n J
* IU
J f(r)dT - J f(r)dT
\
/ J
в первом интеграле (который в силу возрастания /(•) можно трактовать как интеграл Римана) сделана замена переменной т Н— = £, во
ть
втором переобозначена переменная интегрирования.
Далее имеем
о
f f'{r)dT < sup J п
( 1
ь+- п
п
1
а+
П
\
J /(т)dr — J f(r)di
/
sup jn (f(b + ^ - f{a) - ^ | = f(b) - f(a)
(увеличено уменьшаемое, уменьшено вычитаемое и учтено, что /(6+1) =/(b)).
Теорема доказана.
Замечание. Хотя неравенство (12.17) и «режет глаз» (так как мы привыкли здесь видеть равенство), в общем случае неравенство в (12.17) нельзя заменить на равенство. Рассмотрим в связи с этим пример.
Пусть /(£) = 6(t) — канторова «лестница». 0(-) — непрерывная возрастающая функция, 0'(t) = 0 для t € [а, Ь]\/С, где /С — канторово
180


множество, т. е. 9'(t) = 0 почти всюду на [0, 1]. Поэтому
1
о = J в'(т)с1т < 0(1) - 0(0) = 1
О
В следующем параграфе будет рассмотрен класс функций, для которых в (12.17) выполняется равенство.
Упражнения и задачи
12.1. Пусть а < /?, 7 < S — произвольные вещественные числа. Найдите производные числа Дини функции
at sin2 i 4- fit cos2 i при t < 0,
0 при t = 0,
71 sin2 ^ 4- St cos2 j при t > 0,
в точке t = 0.
12.2. Найдите производные числа Дини перечисленных ниже функций в точке t = 0 :
а) f(t) = t sin i при t ф 0, /(0) = 0;
б) f(t) = cos ^ при t ф 0, /(0) = 0;
в) f(t) = t2 sin ^ при t ф 0, /(0) = 0; r) f(t) = t sin ^ при t ф 0, /(0) = 0;
д) 	f(t) = ta cos ^ при t ф 0, /(0) = 0.
12.3. Пусть D(t) — функция Дирихле, т. e. D(t) = 1 при t — рациональном, D(t) = 0 при t — иррациональном. Найдите ее производные
числа Дини в рациональных и иррациональных точках.
181


12.4. Пусть R(t) — функция Римана, т. е. R(t) = - в рациональных
Я
Р
точках, выражающихся несократимой дробью - и R(t) = 0 в ирраци-
Q
ональных точках. Найдите ее производные числа в рациональных и иррациональных точках.
12.5. Докажите следующее обращение леммы 12.1: если в каждой точке [а, Ь] все производные числа функции / : [a, b] —> М неотрицательны, то /(•) — возрастающая функция.
12.6. Пусть А С [а, b] имеет лебегову меру 0, mes А = 0. Докажите, что существует неотрицательная возрастающая функция, все производные числа которой на множестве А равны -foo.
12.7. Докажите: если почти в каждой точке производные числа функции неотрицательны и ни в одной точке [а, Ъ] ни одно из производных чисел не обращается в— оо, то /(•) — возрастающая функция.
12.8. Докажите, что если множество производных чисел функции /(•) : [а, Ь] —► М ограничено, то /(•) удовлетворяет на [а, Ъ] условию Липшица.
§ 13. Абсолютно непрерывные функции
13.1. 	Функция / : [а, Ь] —► R называется абсолютно непрерывной на [а, 6], если для любого е > 0 найдется такое S > 0, что для любой конечной системы попарно не пересекающихся интервалов
п
U (°k> М С [а, Ь],
fc=i
имеет место импликация
п п
5>fe - ак) < 6 => Y, I№) - /Ы1 < е. (13.1)
к= 1 fc=l
Упражнение 13.1. Покажите, что в этом определении конечную систему интервалов можно заменить счетной.
Упражнение 13.2. Покажите, что абсолютно непрерывная функция непрерывна.
182


Теорема 13.1. Пусть /(•) и д(-) абсолютно непрерывны на [а, 6], or, /3 eR. Тогда
а) функция F(t) = af(t) -f /3g(t) абсолютно непрерывна;
б) функция G(t) = f(t) • g(t) абсолютно непрерывна;
в) функция H(t) = f(t)/g(t) абсолютно непрерывна, если g(t) ф 0 для всех t Е [а, Ь].
Упражнение 13.3. Докажите утверждения а) и б) теоремы 13.1. (См. доказательство аналогичных утверждений для функций ограниченной вариации в § 2)
Доказательство утверждения в). Так как д(-) не обращается в нуль на [а, 6], то можно считать, что g(t) > 0 на [а, Ь]. Из непрерывности д(-) следует существование такого числа а > 0, что g(t) ^ а для всех t € [а, Ь). (Если бы а = 0, то по теореме Вейерштрасса нашлась бы такая точка to, что g(to) = о = 0, что противоречило бы неравенству g(to) > 0.)
Пусть е > 0 произвольно, a S > 0 таково, что имеет место импликация (13.1), где £ заменено на е • а2. Тогда
k=l
У _i 1— = У"
^ 9(h) д(ак) ^
\д(Ьк) - д(ак)\ к=1 9(h)-д(ак)
€
'£\9(Ък)-9(ак)\<£-£-=е.
а ti
Значит, функция —\-г абсолютно непрерывна. В силу утверждения 9(')
б) 	абсолютно непрерывна и функция
Обозначим множество всех абсолютно непрерывных на [а, 6] функций АС[а,ь]- Теорема означает, что АС[а,ъ] ~ линейное (векторное) пространство и коммутативная ассоциативная алгебра с делением.
183


Так как сложение, умножение и деление функций определяется поточечно, т. е. сводится к сложению, умножению и делению вещественных чисел, то выполнение аксиом линейного пространства и алгебры следует из свойств этих операций для вещественных чисел.
13.2. 	Теорема 13.2. Если функция /(•) удовлетворяет на [а, Ъ] условию Липшица, то она абсолютно непрерывна на [а, Ь].
Упражнение 13.4• Докажите теорему 13.2.
Следствие 13.1. Если /(•) имеет ограниченную производную, то она абсолютно непрерывна.
Упражнение 13.5. Докажите следствие 13.1.
Теорема 13.3. Абсолютно непрерывная на [а, Ь] функция имеет конечную вариацию на [а, Ь] (коротко: ^^[а,Ь] ^ BV[a,b]).
Доказательство. Пусть /О^Ж^а.ь]- Найдем и зафиксируем £>0 из определения абсолютной непрерывности, соответствующее е = 1. Тогда для любой конечной системы попарно непересекающихся ин-
п
тервалов (J (а*> &к)
к=1
п п
-ak)<S^Yl I ~ Яа*) I < L (13-2)
k=1 fc=l
Пусть r = {£fc}fcL0 — такое разбиение отрезка [a, 6], что £)(т) < 6, т. е. |£fc — £fc_i| <5, fc = 1,2,ш. Зафиксируем такое га; заметим, что m определяется значением е = 1.
В силу (13.2) для любого разбиения тк = {tkj}^Lo отрезка [tk-1, £*]
Рк
VTk(f) = ~ /(^fc,J-l)l < 1
(обозначение vTk(f) см. в §2). Следовательно, для произвольного разбиения т' отрезка [а, Ъ] (не ограничивая общности, можно считать, что г С г', см. §2)
п
fe=l
184


Это означает, что /(•) Е BV[a^] и V(/) ^ т*
а
Следствие 13.2. Абсолютно непрерывная функция почти всюду имеет конечную производную; эта производная суммируема по Лебегу.
Доказательство. Пусть /(•) Е АС[а,ц- По теореме 13.3 /(•) Е ВУ^ь]- По теореме 12.1 она почти всюду на [а, Ь] имеет конечную производную. По теореме 2,6 /(•) представляется в виде разности двух возрастающих функций, каждая из которых по теореме 12.2 суммируема. Следовательно, суммируема и /(•).
В связи со сказанным выше полезно представлять себе следующую диаграмму (см. рис. 13.1).
Рис. 13.1
Здесь обозначено:
U = Ща1ь] — множество всех функций / : [а, 6] —► R; L = £[а,ь] — множество суммируемых по Лебегу на [а, 6] функций; М = М[а>ц — множество ограниченных измеримых по Лебегу функций; i?=R[a> ц — множество интегрируемых по Риману в собственном смысле функций; Lip = Lip[a ц — множество функций, удовлетворяющих условию Липшица; Сп = щ — множество п раз непрерывно дифференцируе-
185


мых функций (nGN); С°° — — множество бесконечно диффе¬
ренцируемых функций; BV = ВVja> ц, С = С[а, ц, АС = АС[а, 6] •
13.3. 	Теорема 13.4. Абсолютно непрерывную функцию можно представить в виде разности двух возрастающих абсолютно непрерывных функций.
Доказательство. Пусть /(•) абсолютно непрерывна на [а, Ь]. Тогда f{-)€BV[a>b]f)C[a,b] и согласно следствию 2.6
/(*) = /*(*) - U(t),
где /*•(■) и /„(•) — возрастающие непрерывные функции,
Лг(о) = о, ш = V(/)
a
для t > а. Следовательно, осталось доказать, что функция /тг( ) абсолютно непрерывна на [а, Ь].
Пусть е > 0 произвольно, а 6 > 0 таково, что имеет место импликация (13.1), с заменой е на е/2. Тогда в силу возрастания /тг( )
(bk) - U(ak)) = = £SUPwn(/)>
k=l k=l ak k=l Tk
где rfc = {tkj}”Lfco “ разбиение отрезка [a/ь, 6fc], A: = 1,2, • • • , n.
Так как.
n m & n
^ 1 ^ y(^fcj — ^fcj-l) = ^ ](^fe — Ctfc) < fc=l j = l fc=l
TO
fc=i
и, значит,


Следовательно,
^2(fAh) - иы)) < е,
к=1
т. е. /*(•) € АС^Ь]. Так как
то и
т = ш - т,
/^(*) € АС[а%ъу
Теорема доказана.
Теорема 13.5. Неопределенный интеграл Лебега суммируемой функции есть абсолютно непрерывная функция.
Доказательство. Пусть /(•) — суммируема по Лебегу,
ъ
= J /(т)dr
И € > 0 произвольно.
По теореме об абсолютной непрерывности интеграла Лебега найдется такое 5 > 0, что
J I/Ml*" < е,
е
если только mes е < 6.
Возьмем произвольную конечную систему попарно непересекаю-
71 71
щихся интервалов G = |J (аЬ bfc) С [а, Ь] такую, что Фк ~ ак) < &• Для нее
к=1
k=i
'£\Ф(Ьк)-Ф(ак)\ = '£
Ьк
Jf(r)di
71 Ьк
< Ё / i/(r)idr=f i/(r)idr < £>
Л=1л, p
так как mesG = ^2(bk — o>k) < Следовательно, Ф(-) € АС[ауъ\-
к=1
187


13.4. 	Здесь мы докажем, наконец, что абсолютно непрерывные функции и представляют собой тот класс функций, для которых в (12.17) имеет место равенство. Вначале докажем следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 13.1. Пусть /(•) — возрастающая непрерывная функция и А = {t : f'(t) = 0}, f(A) = {s : s = /(£), t G А}. Тогда mes f(A) = 0.
Доказательство. Пусть to G А. Тогда для любого e > 0 найдется такое £> to, что
т-т
с - to ’
или /(£) - /(«о) < е(£ - to), или - /(£) > et0 - f(t0). Значит, t0 — точка, невидимая справа для непрерывной функции
g{t) =et- f{t).
Следовательно,
А с G+ = А),
к
причем по лемме 12.2 д(ак) ^ 9(Рк), или
f(f3k)-f(ak)^e((3k-ak) (13.3)
Так как возрастающая функция /(•) переводит интервал (ак, (Зк) в промежуток с началом в точке f(ctk) и концом в точке f(/3k) (которые могут и совпадать в случае нестрогого возрастания /(•)), то множество /(С?+) покрывает множество f(A) : f(A) С /(G+). Имеем
mes/(G+) = ^(/(/3fc) - f(ak)) < e - ak) < e(6 - a).
к к
Таким образом, множество f(A) покрыто множеством сколь угодно малой меры, следовательно, mes f(A) = 0.
Лемма 13.2. Пусть /(•) — возрастающая абсолютно непрерывная функция и f'(t) = 0 почти всюду в [а, Ь]. Тогда f(t) = const.
188


Доказательство. Так как /(•) возрастает, то /([а, Ь]) = [/(а), /(*>)].
Пусть снова
A = {t:f'(t)= 0}, В = [о, 6] \ А.
По условию mes В = 0, а по лемме 13.1 mes f(A) = 0.
Возьмем произвольное е > 0 и найдем 8 > 0, которое существует
согласно определению абсолютной непрерывности. Покроем В таким
открытым множеством G = U(c*b Рк), что mesG < 6.
к
Так как f(B) С f(G) и mesG = 5ZX/3* - ак)> то
к
^(/(Рк) - /(<*k)) = mes/(G) < £.
к
Итак, f(B) покрыто множеством f(G) сколь угодно малой меры, следовательно,
mes f(B) = 0.
Так как
f(hb}) = {f(a)J(b)] = f(A)[jf(B),
ТО
f(b)-f(a)= 0, а так как /(•) — возрастающая, то
/(£) = const.
Из доказанной леммы, между прочим, следует, что канторова «лестница» в(•) не является абсолютно непрерывной.
В самом деле, она возрастает, непрерывна ее производная 9'(t) = 0 почти всюду, однако она не является тождественной константой.
В силу нижеследующей теоремы это объясняет тот факт, что для 0( ) в 12.17 имеет место строгое неравенство.
189


Теорема 13.6 (Лебега). Пусть /(•) абсолютно непрерывна на [а, 6]. Тогда /'(•) суммируема на [а, Ь] и для любого t £ [а, 6]
г
J f'(r)dT = f(t) - /(а). (13.4)
а
Доказательство. Согласно следствию 13.2, /'(•) существует и почти всюду конечна.
Пусть сначала /(•) — возрастающая абсолютно непрерывная функция. По теореме 12.2, примененной к отрезку [а, £] для любого t€ [а, Ъ] :
t
J /'(r)dr< f{t) - f(a). (13.5)
a
Рассмотрим функцию
t
$(t) = f(t) - J f'(T)dr.
a
В силу теоремы 13.5 Ф( ) абсолютно непрерывна.
Пусть s > t. Тогда, применяя (13.5) на отрезке [£, s], получим
s t
0(s) - Ф(Ь) = f(s) - J f(r)dT - f(t) + J f(r)dT =
a a
s
= f(s) - f(t) - J f'(r)dT ^ 0,
t
т. e. Ф(-) — возрастающая функция.
Далее, по теореме 12.2
ф>(ь) = fit) -f(t) = о
почти всюду на [а, Ь]. Следовательно, по лемме 13.2
Ф(£) = С = const,
190


т. е.
t
f(t) - J f(T)dT = С;
a
полагая здесь t = а, получим, что
с = f(a),
откуда и следует утверждение теоремы.
В общем случае представляем /(•) в виде разности двух возрастающих абсолютно непрерывных функций (см. теорему 13.4), записываем равенство (13.4) для каждой из них. Вычитая из одного из двух полученных равенств другое, приходим к (13.4).
Теорема доказана.
Следствие 13.3. Абсолютно непрерывные функции и только они восстанавливаются с точностью до константы по своей производной по формуле
t
f(t) = f(a) + J f'(r)dT. (13.6)
a
Доказательство. Если /(•) абсолютно непрерывна на [a, 6], то (13.6) есть по-другому записанное равенство (13.4). С другой стороны, если д(‘) суммируема на [а, Ь], то функция
t
f(t) = С + J g(r)dT
а
абсолютно непрерывна по теореме 13.5.
Отсюда С — f(a) и /'(£) = g(t) почти всюду на [а, Ъ] и справедливо равенство (13.6).
13.5. 	Пусть / : [а, 6] —► Е — непрерывная функция ограниченной вариации, не являющаяся абсолютно непрерывной (см. рис. 13.1):
Я) £ (c[a,b)f)BV[a'b])\AC[a,b).
191


По теореме 12.1 /'(•) существует и почти всюду конечна, по теореме 12.2 /'(•) суммируема (/(•) может быть представлена в виде разности двух возрастающих функций, производная каждой из которых суммируема).
Обозначим
t
J f'(T)dT, h(t) = f(t) - g(t);
a
g(-) абсолютно непрерывна, a /i( ) — непрерывная функция ограниченной вариации, не являющаяся абсолютно непрерывной. д(•) 6 АС[аг 6], h(-) £ (С[а, ь] f| BVj0) 6]) \ АС[а> ь], причем
h\t) = f(t) - f(t) = О
почти всюду.
Непрерывная функция ограниченной вариации, отличная от тождественной константы, производная которой почти всюду равна нулю, называется сингулярной.
Таким образом, h(-) — сингулярная функция и
f(t) = 9(t) + h(t). (13.7)
Заметим также, что если /(•) — возрастающая функция, то и ее абсолютно непрерывная составляющая <?(•) и сингулярная составляющая h(-) обе являются возрастающими.
Действительно, для #(•) это видно из ее представления в виде интеграла; пусть s > t, тогда
s
h(s) - h(t) = f(s) - f(t) - J f'(r)dT ^ 0
t
в силу (13.4).
Пусть /(•) — произвольная функция ограниченной вариации. Ранее в §2 было показано, что /(•) может быть представлена в виде
fit) = fc(t) + fd(t),
192


где /с(-) — непрерывная функция ограниченной вариации, а
fd{•) — функция скачков, также являющаяся функцией ограниченной вариации. При этом если /(•) ~ возрастающая функция, то и обе ее составляющие /с(-) и fd(-) являются возрастающими. Выше (см. (13.6)) мы показали, что
fc(t) = fac(t) + fsc(t),
где fac(') — абсолютно непрерывная, a /sc(*) — сингулярная непрерывная функции.
Таким образом, окончательно получаем представление Лебега функции ограниченной вариации
f(t) = fac(t) + fsc(t) + fd(t) (13.8)
в виде суммы трех составляющих: абсолютно непрерывной /ас(’)? син- гулярной непрерывной /зс(*) и дискретной (которую можно назвать также дискретной сингулярной) /<*(•)• При этом (см. § 2) значение /(•) в точке а «наследуется» ее абсолютно непрерывной составляющей:
fdip) = О,
следовательно,
/с (а) = /(а); /вс(а) = О,
значит,
/вс(«) = /с(о) = /(а).
Это обстоятельство делает представление (13.8) единственным.
Упражнения и задачи
13.6. Докажите, исходя из определения, что функции:
а) /(£) = at + Ъ]
б) f(t) = a cos at+ b sin fit;
в) f(t) =1 t I
(a, 6, a, fi — заданные числа) абсолютно непрерывны на всем Е.
13.7. Докажите, исходя из определения, что следующие функции абсолютно непрерывны на множестве [0, +оо) :
13-2800 193


а)/W = e_Qt (a > 0);
б) f(t) = ln(t + 1);
B) f(t) = Vt + a (a > 0); r) /№ = arctg at (a > 0).
13.8. Докажите, исходя из определения, что фунции: a )f(t) = t™-
б )т = е«<;
в) /№ — t\t\ (га € N, а > 0 — заданные числа) абсолютно непрерывны на любом отрезке [а, Ь] С R.
13.9. Докажите, что функция /(£) = 0 при t = 0, f(t) = tasin^- абсолютно непрерывна на [0, 1], если а — /3 ^ 1.
13.10. Является ли функция f(t) = 0 при t = 0, f(t) = ta sin^- абсолютно непрерывной на [0, 1]?
13.11. Пусть 0(0) = 0, д( 2^гт) = 0, д(^) = 1, д{-) линейна
на каждом из отрезков [2п1+1, ^], п = 1,2,... Является ли д(-)
абсолютно непрерывной?
13.12. Докажите, что если /(•) абсолютно непрерывна на промежутке J, то и | /(•) | абсолютно непрерывна на этом промежутке. Верна ли обратная импликация?
13.13. Докажите, что если функция /(•) непрерывна, а | /(•) | абсолютно непрерывна, то и /(•) абсолютно непрерывна.
13.14. Покажите, что если в определении абсолютной непрерывно-
п
сти (см. (13.1)) заменить сумму J2 I /(^fc) — f(ak) | суммой
к=1
п
I £ (№) - /Ы) I, то получится определение абсолютной непре- 1
рывности эквивалентное первоначальному.
13.15. Покажите, что если функция /(•) абсолютно непрерывна, то для любого е > 0 найдется такое S > 0, что для любой конечной, или счетной, системы попарно непересекающихся интервалов {(ttfc, Ьк)}, сумма длин которых меньше S, выполняется неравенство
< £, где шк(/) = Мк - тк — колебание /(•) на (ак, 6fc);
к
Мк = sup f(t), тк = inf f(t).
t€(afc, Ьк) t€{ak,bk)
13.16. Пусть функции /„(•)> 71 = 1,2,... абсолютно непрерывны
194


на [а, ft] и ряд ^ /n(t) сходится в каждой точке отрезка [а, ft]. Тогда
71— 1
сумма ряда /(•) абсолютно непрерывна на [а, Ь]. Докажите.
13.17. Пусть / : [а, ft] -> [А, В], /([а, 6]) = [Л, В], F : [Л, Б] -> М. Тогда, если /(•) абсолютно непрерывна на [а, ft], a F(-) удовлетворяет на [А, В] условию Липшица, то суперпозиция F(f(•)) абсолютно непрерывна на [а, 6]. Докажите.
13.18. Пусть / : [а, 6] -> [А, В], /([а, 6]) = [А, В], F : [А, В] -> R и /(•) — строго возрастающая. Тогда, если функции /(•) и F(-) абсолютно непрерывны на [а, ft] и [.А, В] соответственно, то суперпозиция F(/(•)) абсолютно непрерывна на [а, ft]. Докажите.
13.19. Докажите, что в предыдущей задаче строгое возрастание /(•) может быть заменено на нестрогое.
13.20. Докажите, если /(•) абсолютно непрерывна на [a, ft], то
ь ъ
V(/) = [ I /'(*) Idt-
а п
а
13.21. Пусть /(•) — функция ограниченной вариации на [a, ft]. Докажите, что тогда
6 6 6 6
\Дл = V(/-)++\Дл) (13J)
a a a a
(см. представление Лебега (13.8) функии ограниченной вариации).
13.22. Пусть /п(*)> п = 1,2,... — функции ограниченной вариации
6
на [a, ft] и lim V(/n ~ /) — О- Докажите, что если
п-*оо а
1) функции /п('), п = 1,2,... являются функциями скачков, то и /(•) — функция скачков;
2) функции /п(-), п = 1,2,... абсолютно непрерывны, то и /(•) абсолютно непрерывна;
3) функции /п(-), гс = 1,2,... сингулярны, то и /(•) сингулярна.
13.23. Пусть д(-) — абсолютно непрерывна на [a, ft], a /(•) удовлетворяет одному из нижеследующих условий:
1) /(•) непрерывна на [a, ft];
2) /(•) — функция ограниченной вариации на [a, ft].
195


Докажите, что тогда
ь ь
(RS) - J т dg(t) = {L)-J т g'(t) dt. (13.10)
а
а
13.24. 	Докажите, что если /(•) непрерывна, а д(-) абсолютно
непрерывна на [а, 6], то функция G(t) = f f(s) dg(s) абсолютно непре¬
рывна на [а, Ь].
13.25. 	Пусть в(-) — канторова «лестница». Является ли функция /(£) = t0(t) абсолютно непрерывной на [0, 1]? Выделите ее абсолютно непрерывную часть. Тот же вопрос и то же задание для функций
13.26. 	Пусть /(•) — абсолютно непрерывная возрастающая на [а, Ъ] функция и множество А С [а, Ь] измеримо относительно меры Лебега. Докажите, что тогда и образ f(A) этого множества есть измеримое относительно меры Лебега множество, причем
13.27. Пусть /(•) — возрастающая абсолютно непрерывная на [а, Ь] функция и множество А С [а, Ь] имеет лебегову меру нуль. Докажите, что тогда и mes f(A) = 0.
13.28. Пусть функция / : [а, Ъ\ —► Е непрерывна и множество А С [а, Ъ] замкнуто. Тогда и множество f(A) замкнуто.
13.29. Пусть функция / : [а, 6] —> Е непрерывна и множество А С [а, Ъ] типа Fa. Тогда и множество f(A) типа Fa.
Пусть Л/"[а, 6] обозначает множество функций f : [а, b] —> Е, отображающих любое множество А С [а, 6] лебеговой меры нуль в множество f(A) лебеговой меры нуль.
13.30. Пусть функция / : [а, 6] —> Е непрерывна. Докажите, что образ f(A) любого измеримого относительно меры Лебега множества А С [а, Ь] есть измеримое относительно меры Лебега множество тогда и только тогда, когда /(•) G N.
13.31. Докажите, что АС [а, Ь] С М[а, b].
t
а
f(t) = t29(t) и f(t) = t (0(t)f .
(13.11)
A
196


13.32. Пусть /(•) — абсолютно непрерывная на [а, Ь] функция и множество А С [а, Ь] измеримо относительно меры Лебега. Докажите, что тогда и образ f(A) этого множества есть измеримое множество (сравн. с № 13.26).
13.33. Докажите, что функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке тогда и только тогда, когда она представляется в виде неопределенного интеграла от ограниченной измеримой функции.
13.34. Приведите пример функции /(•), имеющей в каждой точке отрезка [а, Ь) конечную производную /'(•), которая не интегрируема на [а, Ъ] по Риману.
13.35. Приведите пример функции /(•), имеющей в каждой точке отрезка [а, Ь] конечную производную /'(•), которая не суммируема на [а, Ъ] по Лебегу.
13.36. Пусть /(•) имеет в каждой точке отрезка [а, Ь] конечную производную. Докажите, что /(•) € ЛГ.
13.37. Пусть /(•) — непрерывная строго возрастающая на [а, Ь] функция и А = {t : /'(£) = +оо}. Докажите, что /(•) абсолютно непрерывна на [а, Ь] тогда и только тогда, когда mes f(A) = 0.
13.38. Пусть /(•) — непрерывная строго возрастающая на [а, Ъ] функция и А ={£:/'(£) = 0}. Докажите, что обратная функция /-1( ) абсолютно непрерывна на [а, Ь] в том и только том случае, когда mes А = 0.
13.39. Докажите, что CBV[a, b] f)Af[a, b] = АС [а, 6].
13.40. Пусть / : [а, Ь] —» [А, В\, F : [.А, В] -> Е, /(•) и F(-) абсолютно непрерывны. Докажите, что тогда суперпозиция F(/(*)) абсолютно непрерывна в том и только том случае, когда она имеет конечную вариацию.
13.41. Пусть функция /(•) измерима на [а, 6]. Докажите, что для любых положительных чисел е и 8 найдется такая абсолютно непрерывная функция <7(-), что mes{t :| f(t) — g(t) е} <8.
13.42. Пусть / : [a, b] —> R и для всякого е > 0 найдется такое 8 > 0, что для произвольного набора отрезков [а&, bk] С [а, Ь], /с = = 1,2, ...,п (возможно и пересекающихся) верна импликация (13.1). Тогда /(•) удовлетворяет на [а, 6] условию Липшица. Докажите.
197


13.43. 	Пусть / : [а, b] —► R и для произвольного набора отрезков
оо
[at, bk] С [а, 6], к = 1,2, такого, что (6fc - ак) < оо ряд
fc=i
ОО
2 (/(&fc — f(ak))) сходится. Докажите, тогда /(•) удовлетворяет на fc=i
[а, Ъ] условию Липшица.
§ 14. Интеграл Лебега-Стилтьеса
14.1. 	Мера Лебега-Стилтьеса. Пусть (Т, 21,//) — измеримое пространство. Напомним, что мера fi сосредоточена на множестве А Е 21 (А — носитель меры, А = supp/z), если для любого В £ 21 /х(В) = //(АПВ); если А = supp/i, то /i(T\A) = 0. Например, считающая мера fi сосредоточена на множестве целых чисел Z, supp ц = Z.
Пусть fi и I/ — две меры, определенные на сигма-алгебре 21. Скажем, что мера /х абсолютно непрерывна относительно меры г/, если имеет место импликация
и{В) = 0 => /х(В) = 0 (В £21).
Мера /х называется сингулярной относительно меры I/, если она сосредоточена на множестве, г/-мера которого равна нулю: i/(supp /х) = 0. Например, считающая мера сингулярна относительно меры Лебега.
Вспомним определение меры Лебега-Стилтьеса. Пусть Т: R —► R — возрастающая функция, в — полукольцо всех промежутков из R. Определяем на G функцию га :
га[а, 6] = ^(Ь-Ь) — ^(а—),га[а, Ь) = ^(Ь—) — Т{а—),
га(а, 6] = ^(Ь-Ь) — ^(а-Ь), га(а, 6) = Т(Ь—) — Т(а+)*
Ранее было показано, что на 0 га — счетно аддитивная мера. По схеме Лебега га продолжается на некоторую а-алгебру Шjr. Это продолжение (i? и есть мера Лебега-Стилтьеса, порожденная функцией ?(•). Например, считающая мера, сосредоточенная на множестве целых чисел, порождается функцией ^(t) = [£], мера Лебега — функцией T(t) = t.
198


Рассмотрим сначала частные случаи.
1. Пусть Т(-) — возрастающая функция скачков. Пусть
Т(Т) = U{^} — множество ее точек разрыва. Это не более чем счет- к
ное множество. Всякая такая функция с точностью до значений в точках разрыва (которые не участвуют в определении меры) может быть записана в виде
= Е ГДе ~ F(tk+) ~ F(tk~) (14.1)
tk<t
— скачок функции Т в точке tk.
Здесь мера fij: сосредоточена на T(!F)', относительно этой меры измеримо любое подмножество А С Ш : Цг{А) =
tk£A
в частности, /j,({tk}) — я^С?7); если В С М \ Т(Т), то /лр{В) = О, supp [Af = T(F).
2. Рассмотрим случай непрерывной возрастающей функции. Теорема 14.1. Пусть Т(-) — возрастающая непрерывная функция и множество А С М измеримо относительно меры Лебега. Тогда если А измеримо относительно /1?, то
Цр(А) = mes^*(A). (14.2)
Доказательство. Сначала докажем равенство (14.2) для ограниченного множества, А С [а, 6].
Пусть А — открытое ограниченное множество, т. е. представляет собой не более, чем счетное объединение непересекающихся открытых
интервалов, А = U(afc>&fc) и> значит, hf(A) = - Р{ак))- В си-
к к
лу возрастания Т(-) F{A) представляет собой объединение промежутков Та^ (а — начало, /? — конец промежутка), которые пересекаются между собой лишь тогда, когда некоторые из них вырождаются
в точку: Т(А) = Следовательно,
к
mesТ (А) = - ^(а*)) = l*r(A).
к
Если А — замкнутое ограниченное множество, то оно может быть
представлено в виде А = [a, Ъ] \ U(a*;, fyt), где интервалы (а&, bk) С [а, Ь]
к
199


не пересекаются. Следовательно,
fijr(A) = b] - /jLjr(\J(ak,bk)) =
к
= mes^([a, 6]) - mes^r(|^J(afc, Ь*)) = mes.F(j4).
к
Пусть теперь А — произвольное ограниченное измеримое относительно меры Лебега и меры fijr множество и е — произвольно. Тогда найдутся такие замкнутое F и открытое G множества, что
F С А с G, nr(G \ F) < е. (14.3)
Так как возрастает (напомним: хотя бы и в нестрогом смысле), то T(F) С Р(А) С .F(G), а в силу монотонности меры
Pr(F) ^ рг(А) ^ Hr(G), (14-4)
mes ^(F) ^ mes^*(A) ^ mes^(G). (14.5)
Так как крайние правые и крайние левые части неравенств (14.4) и (14.5) соответственно равны и разность между крайними членами неравенства (14.4) согласно (14.3) сколь угодно мала, то из (14.4) и (14.5) следует выполнение (14.2).
Наконец, рассмотрим случай, когда А — неограниченное множество, удовлетворяющее условиям теоремы. Полагаем Ап = (—n, n)f]A, п = 1,2,.... Так как Ап ограничены, то по доказанному iip(An) = mes^An). Так как Ап С Ап+\, п = 1,2,..., то отсюда в силу непрерывности мер Лебега и /ijr получаем утверждение (14.2) и в этом случае.
Теорема доказана.
3. 	Пусть Т(') — абсолютно непрерывная возрастающая функция, отличная от константы. Тогда
fjLjr[a, 6]=/z^[a, 6)=/x^(a, b]=jz^r(a, b)=F(b)-Jr(a) = / ^(rjdr.
Ja
Справедливо и более общее утверждение.
200


Теорема 14.2. Если А С R измеримо по Лебегу, то А измеримо и относительно меры fi?, причем
ИАА) = J F'{t)<1t. (14.6)
А
Доказательство. Из доказательства теоремы 14.1 следует, что если
А — открытое ограниченное множество, А = \J(dk,bk), то
к
mesF(A) = ^2 (Т(Ьк) - Р(ак)) = Е / P(T)dT = [ ?'{т)<1т,
к к •'“* ^
и (14.6) верно в силу (14.2). Аналогично рассуждаем и в случае, когда А — замкнутое ограниченное множество.
Пусть А — произвольное ограниченное измеримое по Лебегу множество. Зададимся произвольным £ > 0 и найдем такое 6 > 0, что для любого измеримого множества е, мера которого mes е < S, выполняется неравенство / Тг(т)(1т < £ (см. теорему об абсолютной непрерывно-
е
сти интеграла Лебега; в силу возрастания ^(-) Tf{t) ^ 0). Найдутся такие замкнутое F и открытое G множества, что
FcAcG, mes (G \F)<6. (14.7)
Как уже отмечалось,
Hr(G) = j F{r)dT, »r(F) = J F'(T)dT.
G F
Множество G\F открыто, поэтому
Hr(G\F)= J F’(T)dT<e,
G\F
так как mes(G \F) < 6. Отсюда и из включений (14.7) следует, что А — /z^r-измеримо.
Из неравенства Т\t) ^ 0 и этих включений следует
J T\r)dr ^ JT'(r)dr < J f{T)dT, nr(F) < fir(A) < ^(G).
FAG
201


Так как крайние части этих неравенств соответственно равны, и разность между ними меньше е, то верно (14.6).
В случае неограниченного множества А рассуждаем как при доказательстве теоремы 14.1.
Теорема доказана.
Следствие 14.1. Мера /jljt абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.
4. 	Пусть возрастающая непрерывная сингулярная функция.
Это значит, что t) = 0 п. в. Пусть А = {t : F'(t) — 0}р|[а> Ч и В = [а, Ь] \ А. Как только что отмечалось, mes А = b — a, mes В — 0.
Теорема 14.3. Пусть — возрастающая непрерывная сингулярная функция и множество А С R измеримо относительно меры fijr. Тогда
иАА) = иАв) =Ь — а.
Доказательство. Первое равенство следует из теоремы 14.1 и леммы 13.1, второе — непосредственно из теоремы 14.1.
Следствие 14.2. Мера /jlj? сингулярна относительно меры Лебега.
Действительно, мера сосредоточена на множестве В,
supp/ijr = В, лебегова мера которого равна нулю.
Рассмотрим пример. Пусть #(•) — канторова лестница (см. 1.20). Мера Лебега-Стилтьеса //#, порожденная канторовой лестницей, сосредоточена на канторовом множестве /С :
mes /С = 0, fj,o(JC) = 1, /хя(С?о) = 0, mesGo = 1.
Замечание. Априорное требование //^-измеримости множества А в теоремах 14.1 и 14.3 не является излишним.
Упражнение Ц-1- Докажите утверждение замечания.
202


5. Рассмотрим общий случай. Пусть ^г(*) — произвольная возрастающая функция. В § 13 (см. (13.8)) было установлено разложение функции ограниченной вариации (в данном случае возрастающей функции) по Лебегу:
•F(t) = ^ac(t)+-F«c(*)+.Fsd(*)> facia) = f (а), ^зс(а) = 0, Т8(1(а) = О,
(14.8)
которое приводит к следующему разложению меры по Лебегу:
= Mac “Ь Msc Н“ Msd*
Меры цзс и ц8(1 сингулярны, а мера fiac абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.
14.2. 	Интеграл Лебега—Стилтьеса.
Интегралом Лебега-Стилтьеса (Ь5-интегралом) функии /(•) по [а, Ь] по возрастающей функции Т(-) называется интеграл Лебега функции /(•) по мере Лебега-Стилтьеса, порожденной функцией !F{t) :
ь
(LS) - J f(r)df = (L) - J f(r)d^. (14.10)
a [a, b]
Чтобы получить возможность вычислять LS-интеграл, рассмотрим
сначала частные случаи.
1. 	Пусть Т(-) — возрастающая функция скачков, и Т = |J{^fc} ~
к
множество ее точек разрыва. Как уже отмечалось, такая функция с точностью до значений в точках разрыва может быть представлена в виде (14.1). (Всюду ниже значки LS и L перед интегралами опускаются, так как из контекста ясно, о каком интеграле идет речь.) Согласно определению (14.10),
ь
J f(t)df(t) = J f{t)d+ J f(t)d»r =
a T [a,b]\T
tker к
(Второе слагаемое равно нулю, так как /i^([a, b] \ Т) = 0.)
203


Таким образом,
ь
(f{r)dT{r) = Y2 mwtk (л- (i4.li)
к
а К
2. 	Пусть Т(') — возрастающая абсолютно непрерывная функция, /(•) — ограниченная измеримая по Лебегу функция. Покажем, что в этом случае
ъ ъ
J firfdFir) = J /(г) • F'(T)dT. (14.12)
а а
Пусть А < f(t) < В, тп = {ykn}k=о ~ последовательность разбиений отрезка [А, В], таких что А = у0п < yin < ••• < упп = Б,
d(rn) = max {укп — Ук-1,п) — диаметр разбиения,
&кп — • Ук—1,п ^ /(0 ^ Укп}-
Рассмотрим последовательность простых (ступенчатых) функций fn(t) = Укп при t Е efcn, п = 1,2,.... Из приведенных определений следует
I /(*) - fn(t) К Укп ~ Ук-1,п ^ d(rn) -> 0, значит, fn{t) -> /(£)
(14.13)
равномерно на [а, 6]. Кроме того, выполняется неравенство
| fitfFit)' max{| A I, I В \}F'(t). (14.14)
Согласно определению (14.10) и теореме 14.2
/ /(r)dF(r) = / f(r)d/jLjr= lim 5Tn = lim Vi/b^(efcn) =
7 J <*(*») — 0 n-oof-f
a [a, 4 fc=1
TL л TI a
= lim У^укп / F'{r)dT= lim У] / /„(т).Г'(т)^т =
П—УСЮ *—' / n—►oo z' /
fc=1 eii! bie;
cfcn
6 6 = lim [ fnij)3~,{t)dr = [ f(r)Tf(r)dr.
n—ocj 7
204


(Предельный переход под знаком интеграла возможен в силу теоремы Лебега и (14.13), (14.14).)
3. Если !F{') — возрастающая непрерывная сингулярная функция, а /(•) — Б-измерима и ограничена, то существование (Ь5)-интеграла следует из определения (14.10) и в общем случае дальше формулы (14.10) продвижения нет. Однако в некоторых случаях (например, если /(•) — функция ограниченной вариации) (Ь5)-интеграл может быть вычислен как интеграл Римана-Стилтьеса.
4. Пусть теперь — произвольная возрастающая функция, а /(•) Б-измерима и ограничена. Представив Т(') по формуле (14.8) с помощью (14.9), (14.11) и (14.12), приходим к следующей формуле для вычисления LS-интеграла:
ь ь
J /(t)dF(t) = £/(t*K cm J f(t)T'(t)dt+ J md^sc. (14.15)
a k a [a,b]
5. Пусть, наконец, Т(-) — произвольная функция ограниченной вариации, а /(•) — Б—измерима и ограничена. Тогда Т(-) может быть представлена в виде разности двух возрастающих функций:
F(t) = Fi(t)- F2(t). (14.16)
В связи с этим представлением можно положить:
ь ь ь
J f(T)df(r) = J /(T)dFi(r) - J f{r)dT2{T). (14.17)
a a a
Упражнение Ц-2. Покажите, что интеграл, определяемый равенством (14.17), не зависит от того, каким образом Т(-) представлена в виде (14.16).
6. 	Завершим параграф определением несобственных интегралов Лебега-Стилтьеса.
+оо b
J f{j)dT{T) = ь Шп^ J /(t)<£F(t);


b b
[ f(r)dT(r) = lim [ /(r)dF(r);
J a-+ — oo J
— oo a
-foo с -foo
J /(r)dF(r) = J /(r)ctF(r) + J /(r)<iF(r),
— OO —OO С
где с £ R произвольно.
Упражнения и задачи
14.3. Пусть .F(t) = 0 при t < 0, .F(t) = g(t) при t ^ 0, где
a) $(t) = [Vt]; б) ^(i) = i/Й; в) g(t) = у/Щ\ г) g(t) = у/Щ.
Найдите suppfijr, ц?[0,п], цг(а,Ь], цг[а, Ь], Ь)
(О < а < 6), цр{п} (п € N).
14.4. Пусть
a) F(t) = t2[t], t £ [-2, 2]; б) F(t) = t0(t), t € [0, 1];
в) T(t) = t20(t), t e [0, l];r) T(t) = t62(t), t e [0, 1];
д) T(t) = 6(t) f 0(s) ds, t <E [0, 1]. о
Представьте меру цjr в виде суммы абсолютно непрерывной и сингулярной относительно меры Лебега мер.
14.5. Вычислите интегралы:
а) /{t}d(2|i|-3)[i];
-2
2
б) / {t}t2 design sin nt);
-2
7Г
в) f sign cos\td sign (t - \)\ о
1
r) J t2 sign sin 27rt d(t sign sin irt);
-l
7Г
д) /signcos ^tdsignt(t — 2); о
2
е) /{£} costd[t — 1/2]; о
206


ж) f{2t}d{4t};
О
n
з) /М dg(t), где п е N, и о
1) 	<,(*) = [ч/f]; 2) g(t) = л/Щ\ 3)g(t) = VWb 4) g(t) = $/Щ.
14.6. Найдите пределы:
1
а) lim Г(tn 4- 2~nt) dFtt), где Т(-) — возрастающая функция;
П—ЮО Q
2 2
б) lim fexp ( — n((t — 1 )(t — 2)(£ — 3)) ) d!F(t), где ?{•) — возрас-
Т1—>00 q
тающая функция.
14.7. Вычислите интегралы:
+оо
а)/2-Wd[*];
О
+оо
б) f 2~ W d sign sin nt; о
+oo
в) / sign sin irt d2 ~ W;
0
+oo
г) / M3-* d[t];
0
+00
Д) / Ш M*), где 1) g(t) = [Vi]; 2) g(t) = у/Щ.
1
14.8. Пусть g(-) — возрастающая функция, a /(•) интегрируема по д(') в смысле Римана-Стилтьеса. Докажите, что тогда она интегрируема по д(•) и в смысле Лебега-Стилтьеса, и
ь ь
(LS) j f(t) dg(t) = (RS) j f(t) dg(t). (14.18)
а а
14.9. Вычислите интегралы:
а) /{*-£}<*{*};
-2
2
б) / sign cos 7rtd[sin7rt];
-2
2
в) f t sign sin ntd[t]{t};
-2
207


2
г) 	/ isign(t-!)«*[*]{<}.
-2
В каком смысле их следует трактовать?
14.10. 	Пусть Т(-) — возрастающая функция. Докажите, что для существования интеграла
необходимо и достаточно выполнения условий:
1) /(•) ограничена на дополнениях к конечному числу промежутков, на которых д(-) постоянна; если Т(-) строго возрастает, то /(•) ограничена на [а, Ь];
2) /i^(T(/)) = О (Т(/) — множество точек разрыва функции /(•))•
Это утверждение представляет собой аналог теоремы Лебега.
14.11. Докажите, что если одна из функций /(•) или Т(') интегрируема по Риману, а другая абсолютно непрерывна, то интеграл
(14.19) 	существует.
14.12. Докажите, что если интеграл (14.19) существует для любой интегрируемой по Риману функции /(•), то Т(') абсолютно непрерывна на [а, Ь].
14.13. Докажите, что если интеграл (14.19) существует для любой абсолютно непрерывной функции Т(-), то /(•) интегрируема по Риману.
14.14. Пусть 7Z[a, b\ означает класс функций, интегрируемых по Риману (в собственном смысле), а АС [а, 6] — класс абсолютно непрерывных на [а, Ь\ функций. Докажите, что (7£[а, Ь], АС[а, 6]) — точная пара классов существования интеграла (14.19) (в том смысле, что ни один из этих классов нельзя расширить без сужения другого (см. § 3)).
§15. Знакопеременные меры (заряды)
Ь
(14.19)
а
15.1. 	Пусть (Т, 21, fi) — измеримое пространство с сг-адцитивной конечной, или сг-конечной мерой, / : Т —> М —//-суммируемая функция.
208


Определим функцию множества Ф : 51 —> R равенством
Ф(А) = JF(t)dfi (А е 21).
(15.1)
Л
Из счетной аддитивности интеграла Лебега следует, что функция множества (15.1) счетно аддитивна. В связи с этим введем следующее определение.
Счетно аддитивная функция множества, заданная на сг-алгебре 51, называется знакопеременной мерой, или зарядом. Например, функция множества (15.1) представляет собой заряд. Физический пример: электрический заряд, сосредоточенный на некоторой поверхности Т. Мера /х представляет собой неотрицательный заряд.
Пусть Ф : 51 —► R— заряд. Множество А Е 51 называется положительным (отрицательным, нулевым) относительно заряда Ф, если для любого В € 51 Ф(Вр|^4) ^ 0 (^ 0, = 0). Например, относительно
меры любое измеримое множество положительное или нулевое.
Теорема 15.1. Пусть Ф : 51 —> R — заряд; существуют измеримые множества А+ и А~ такие, что А+ положительно, А~ отрицательно относительно заряда Ф и
Упражнение 15.1. Докажите теорему 15.1.
Представление (15.2) называется разложением Хана множества Т относительно заряда Ф.
Для любого A G 51 полагаем
Ф+ и Ф“ — неотрицательные а-аддитивные фунции множества, т. е. меры. Они называются соответственно верхней и нижней вариациями заряда Ф. Так как А = Af]T = (Ар| А+) У(АП^“), то получаем Ф(А) = Ф(Ар|А+)-Ф(Ар)А~) = Ф+(А) —Ф“(А) —разложение меры по Жордану: Ф = Ф+ — Ф_. Мера |Ф| = Ф+ + Ф“ называется полной вариацией заряда Ф.
(15.2)
Ф+(А) = Ф(Лр|Л+), ф-(Л) = -Ф(Лр|А-),
209


На заряды переносятся понятия, которые введены в п. 1 § 14 для мер: носитель заряда, абсолютно непрерывный относительно меры /i заряд, сингулярный относительно меры /i заряд.
Упражнение 15.2. Покажите, что если заряд абсолютно непрерывен относительно меры //, то и его верхняя, нижняя и полная вариации абсолютно непрерывны относительно этой меры.
Лемма 15.1. Пусть Ф — мера, абсолютно непрерывная относительно меры /г, Ф ф 0. Найдутся е > 0 и измеримое множество В положительной меры (ц(В) > 0), что В положительно относительно заряда А = Ф — efi (т. е. Ф(Лр)Б) ^ £/х(Ар|В) для любого измеримого множества А).
Упражнение 15.3. Докажите лемму.
Из представления (15.1) непосредственно видим, что заряд, определяемый этим представлением, абсолютно непрерывен относительно меры /i (интеграл по множеству меры 0 равен 0). Нижеследующая теорема Радона - Никодима утверждает, что все абсолютно непрерывные относительно меры /I заряды имеют такой вид.
Теорема 15.2. Пусть Ф — абсолютно непрерывный относительно меры /л заряд на 21. Существует \х-суммируемая функция f : Т —► R такая, что имеет место представление (15.1).
Доказательство. В силу упражнения 15.2 можно, не ограничивая общности, считать, что Ф — мера. Пусть К означает множество неотрицательных /i-суммируемых функций / : Т —► R, удовлетворяющих неравенству
А
Обозначим М = sup f f(t) dfi. По свойству супремума существует по- /€КТ
следовательность {/n}^Li С К такая, что lim f fn(t)d/ji = М. По
Ti >00 ijp
этой последовательности построим последовательность
(15.3)
G = {5„}“i, 9n(t) = max{fi(t),f2(t),..,fn(t)}. 210


Последовательность G возрастающая, причем для любого A £ 51 мож-
п
но указать такие Ак £ 51, А = U что 0n(O = Для t € Ак-
к=1
Так как
f gn(t) <1ц = '^Г f fk{t) $(4fc) = Ф(А),
a k=lAk fe=1
to G С К. Положим f(t) = sup/n(t) = lim gn(t); очевидно,
n n—>oo
/ £ IK, lim f gn(t) dfji = М. Отсюда по теореме Леви
J f(t) d\i = lim J gn(t) dji = M.
Рассмотрим заряд A : 51 —> E, A(A) = Ф(а) — f f{t)dfi\ так как
A
\(A) ^ 0 для любого A £ 51, то A — мера. Предположим, что А ф 0. По лемме найдется е > 0 и В £ 51, //(Б) > 0, что А(£ f] А) ^ ^ А) для любого А £ 51. Обозначим h(t) =f(t) + ехв(1) (^0)-
Тогда
J h(t) dfj, = J f (t) d/j, + e J xe(t)dn = J f(t) dfi + £fi(B Q A) ^
AAA A
< Jf(t)d» + \(Af)B) = Jf(t)d» + $(Af)B)- J f(t)dn =
A A Aft В
= f f(t)dti + <l>(Af)B) ^Ф{А\В) + Ф(А(~}В) = Ф(А).
A\B
Следовательно, h £ IK. С другой стороны,
J h(t) d/i = J f(t) d^ -f ец(В) > M, т. e. h ф IK.
T T
Полученное противоречие доказывает, что А = 0, т. е. имеет место представление (15.1).
Упражнение 15.4• Докажите единственность представления (15.1).
211


Функция /(•) в представлении (15.1) называется производной за- ряда Ф по мере ц: f(t) =
Упражнения и задачи
15.5. Пусть Т = [0, 27г], (л = mes, Ф(А) = f sintdt для любого
А
измеримого относительно меры Лебега множества А. Найдите разложение Хана относительно заряда Ф; найдите разложение Жордана заряда Ф; найдите полную вариацию заряда Ф; докажите, что заряд Ф абсолютно непрерывен относительно меры Лебега; найдите производную заряда Ф по мере Лебега.
15.6. Пусть F(') — абсолютно непрерывная на [а, 6] функция,
Ф (А) = f F'(t)dt для любого измеримого относительно меры Лебега л
множества А С [а, Ь]. Найдите разложения Хана и Жордана. Найдите полную вариацию заряда Ф. Докажите, что заряд абсолютно непрерывен относительно меры Лебега. Найдите производную этого заряда по мере Лебега.
15.7. Пусть F(-) — абсолютно непрерывная на [0,1] функция,
G(t) = Fn(t) V0F)) > Ф(^) = /0{t)dfj,G, где О(-) — канторова
лестница. Является ли заряд Ф абсолютно непрерывным относительно меры Лебега? относительно меры /lq?
15.8. Является ли заряд Ф(Л) = J tdfie для любого измеримого
А
относительно меры Лебега множества А С [0,1] абсолютно непрерывным относительно меры /лд? Относительно меры Лебега?
15.9. Пусть F(-) — функция ограниченной вариации на [а, Ь]. Покажите, что она порождает некоторый заряд. Найдите разложение Жордана этого заряда. Представьте этот заряд в виде суммы абсолютно непрерывного, сингулярного непрерывного и дискретного сингулярного относительно меры Лебега зарядов.
15.10. Пусть f(t) = —1 в точках канторова множества /С,
f(t) = 1 в точках множества [0,1] \ /С, Ф(^4) = / f(t) d^o для любого
А
измеримого относительно меры Лебега множества А С [0,1]. Найди-
212


те разложения Хана и Жордана. Является ли этот заряд абсолютно непрерывным относительно меры //#? Относительно меры Лебега? Сингулярным относительно этих мер?
Ответы. Указания. Решения
§ 1.
1.1. 	Не ограничивая общности, можно считать, что tk упорядочены по величине: t\ < t2 < ... < tn (см. рис. 16.1). Положим to = a, tn+1 = 6 и выберем произвольно Sk так, чтобы tk < Sk < tk+1, к = 0, 1, ..., n.
А
►
1-i
г*
h
• 1 •
5п
а
\
к ;
к Ч
к
) t
у
Рис. 16.1
Тогда, очевидно, в силу возрастания /(•) выполняются неравенства
/(<*+) - /(«*) < /(*о) - /И;
/(**+) - < f(sk) ~ /(sfc-i), к = 1, 2, ..., n;
f(b) - f(b—) < f{b) - f(sn).
Сложив все эти неравенства, получим оценку (1.2).
1.3. Пусть д(-) — возрастающая функция, t2 > t\\ если /(•) — возрастающая функция, то g(t2) ^ g(ti), f(g(t2)) ^ f(g(h)), т. е. /(#(*)) ~ возрастающая функция; если /(•) — убывающая функция, то из g{t2) ^ g(ti) следует f(g(t2)) < f(g(ti)), т. е. /(#(•)) — также убывающая функция.
1.4. Пусть [а, Ъ] = [0, 2], g(t) = t при 0< £ < 1,
g(t) = 1 + t при 1 < t ^ 2; здесь #(0) = 0, д(2) = 3. Таким образом,
213


/(•) должна быть определена на отрезке [0, 3]. Так как #(1—) = 1, д( 1+) = 2, то д(-) имеет в точке 1 разрыв типа скачка. Полагаем /(£) = t при 0 ^ t ^ 1, f(t) = 1 при 1 < t < 2, f(t) =t — 1 при 2 < £ ^ 3. Очевидно, /(•) непрерывна на [0, 3]. При 0 ^ t ^ 1 g(t) = £, следовательно, f(g(t)) = g(t) = t; при 1 < t ^ 2 #(£) = 1 + £, значит, = 9{t) — 1 = 14-t — 1 = t- Таким образом, f{g(t)) = t для £ € [0, 2], т. е. является непрерывной (см. рис. 16.2).
Рис. 16.2
Какой должна быть функция /(•) на «скачках» функции д(-)? Убедитесь, что если /(•) строго монотонна, то в условиях задачи /(#(•)) будет иметь разрыв типа скачка в точке to = 1.
1.5. 	1) Пусть fm(t) = inf f(r) и t2 > h (£i, E [a, b]). Так как
те [a, t]
[a, £i] С [a, £2] и точная нижняя грань на более широком множестве может быть только меньше или равной точной нижней грани на более узком множестве, то
/т(*2) = inf /(г) < inf /(г) = /(*i),
re[a,t2] T€[a,t i]
т. e. /m(-) — убывающая функция. Аналогично доказывается, что /м(*) — возрастающая функция.
2) 	Пусть /(•) непрерывна в точке to € [a, 6]. Докажем непрерывность /т(-) в этой точке справа. Ее непрерывность слева доказывается точно так же.
Пусть h > 0. Обозначим через с^0(/) колебание функции /(•) на отрезке [£0, t0 + Л], т. е. uj(f) = sup /(г) - inf /(г).
[£cb£o+h] [*о>*о+М
214


Заметим, что
Г lnLl № ^ г1п/1 ЯГ) " W‘o(/)- (Л)
[a,to+/i] [a, to]
Действительно, очевидно, что
г lnL, № = min{rin/, /(r)> r. inf /W}; (£)
[a,t0+/i] [a, to] [to,£o+h]
а) если наименьшим является первое число в фигурных скобках (В), то (так как u>to(f) ^ 0)
г lnLi ^ = tin/i ^ rin/, ~
[a,to+h\ [a, to] [a,t0]
т. е. неравенство (А) в этом случае доказано;
б) пусть наименьшим является второе число в фигурных скобках (В), т. е.
inf /(г) = inf /(т) = inf /(г) 4- ( inf /(т)- [a,t0+h] [to,t0+fr] (a> *о] [to,*o+4
- inf /(г)) > inf f(r) + ( inf /(r) - sup /(r)) =
[a, to] [a, t0] [to,to+h] [a, t0]
[a, t0]
Таким образом, неравенство (А) доказано. Оно на самом деле имеет вид
fm{to + h) ^ fm(to) — ^to(/)j
откуда с учетом убывания /т(*) получаем
|/т(£о + h) — fm(tо)| ^ ^t0(/)-
Ввиду непрерывности /(•) в точке to u>t0(f) —► 0 при h —> +0. Отсюда и следует непрерывность /т(-) в точке to справа.
Аналогично доказывается непрерывность /м(*) в точках непрерывности /(•).
3) 	Это утверждение следует непосредственно из определения, так как, например, для убывающей функции
fm(t) = inf /(г) = f{t).
[a,t]
215


Аналогично рассуждение проходит и для возрастающей функции.
1.6. 	Согласно определению (1.6) /<*(—1) = 0;
для -1 < t < 0 fd(t) = /(-1+) - /(-1) 4- f(t) - f(t - 0) = (-1) - -(-2) 4-0=1; fd(0) = /(-1+) - Д-1) + /(0+) - /(0—) = 1 + 1 = 2;
для 0 < t < 1 fd(t) = /(-1+) - /(-1) 4- /(04-) - /(0-) 4- f(t) - -f(t-0) = 14-2+0 = 3; fd(l) = /(-l+)-/(-l)+/(0+)-/(0-)+/(l)- -/(1-0) = 1+2+1 = 4. fc(t) = f{t)-fd(t); fc(t) = t-l для -1 ^ < 0, fc(t) — t2 — 1 для 0 < t ^ l (см. рис. 16.3).
At)
3
2
1
Рис. 16.3
1.7. /d(£) = 0 при -1 < t < 0, fd(0) = -1, fd(t) = -2 при 0 < t ^ 1; /c(£) = £2 + 1 при — 1 ^ t < 0, /c(t) = 1 — t2 при 0 < t < 1;
A*) = /cW + /dW-
1.8. Пусть A = {ti, t2, ...} — данное счетное множество. Положив
/(0 — S Уг*’ получим требуемую функцию (см. пример, рассмот- tk<t
ренный в п. 1.2).
1.9. fd(t) = f(t), fc(t) = 0.
1.10. Предположим, что /(•) имеет на [а, 6] точку разрыва to- Так как /(•) возрастающая функция, то to может быть только точкой разрыва типа скачка. Это означает, что, по крайней мере, один из промежутков (f(to~), /(^о)) или (/(to), /(£о+)) не содержит значений функции /(•) (см. рис. 16.4). Но это противоречит тому, что
216


значения /(•) заполняют весь промежуток [/(а), /(6)]. Следовательно, /(•) непрерывна на [а, 6].
Рис. 16.4
1.11. Предположение о наличии точки разрыва приводит, как и в предыдущей задаче, к тому, что хотя бы в одном из промежутков (/(£о-)> f(tо)) или (/(to), /(£о+)) нет значений функции, а значит, и точек плотного в [/(а), /(6)] множества, что противоречит условию.
1.12. Пусть а = inf А. Полагаем /(£) = /(t) для t € A, f(t) =
= inf /(г) для а ^ t ^ а, /(t) = sup/(г) для t > а. Этим /(•)
r<t
определена на всем [а, Ь], возрастает (хотя бы и в нестрогом смысле) и на А совпадает с /(•).
1.13. Пусть G — непустое открытое ограниченное множество, to Е G — произвольная его точка. Рассмотрим множество F = [£(Ь +оо) П G, где G = R \ G — дополнение G. Так как дополнение открытого множества замкнуто, то F как пересечение замкнутых множеств — замкнутое множество. Из ограниченности G следует, что F непусто. Очевидно также, что F ограничено снизу (например, числом to). Пусть (3 = inf F; в силу замкнутости F /3 € F, (3 ^ to- Так как to Е G (и значит, to ^ G), то to ф /?, т. е. to < /3 и (3 G (так как /3 € F С G).
Предположим, что найдется s G [to, /?), s & G. Тогда s € F и s < (3, что противоречит определению (3. Значит, [to, (3) С G.
217


Точно так же докажем существование числа а < to, а G, (a, to] С G. Таким образом, каждая точка множества G содержится в некотором интервале, концы которого не входят в G. Это означает, что G представляет собой открытый интервал или объединение непересекающихся открытых интервалов. При этом интервалов, составляющих G, может быть лишь конечное, или счетное, множество.
Действительно, в каждом из составляющих интервалов возьмем по рациональной точке. Этим совокупность составляющих G интервалов будет поставлена в соответствие с частью множества Q рациональных чисел, откуда и следует сказанное.
1.14. 	Пусть F — непустое ограниченное замкнутое множество. Из ограниченности следует, что найдется отрезок [a, b) D F, а = inf F, b = sup F. Если F Ф [а, 6], то G = [а, b] \ F — непустое открытое ограниченное множество. В решении задачи 1.13 было показано, что
G = U(аь Рк), где интервалы (а^, (3k) не пересекаются и их конечное, к
или счетное, множество. Значит,
F=[a,b}\G=[a,b]\{J(ak,(3k),
что и требовалось доказать.
1.15. Пусть С — ограниченное совершенное множество. Так как С замкнуто, то оно имеет вид
С = [а, Ь] или С = [а, 6] \ Рк)
к
(см. решение задачи 1.13). Если бы какие-либо 2 интервала имели общий конец, или концом одного или двух интервалов были бы точки а или 6, то все указанные точки были бы изолированными. Но это противоречит совершенности С.
оо
1.16. а) Так как К = [0, 1]\ |J G&, причем интервалы, составля-
к=1
ющие Gfc, не имеют общих концов, то в силу утверждения задачи 1.13 /С совершенно.
Пусть (а, (3) С [0, 1] — произвольный интервал. Найдется такое N, что Уд* < /3 - а при к > N (N = [log3 ); так что ПРИ
218


таких к в (а, /3) найдется удаляемый интервал, т. е. интервал, не принадлежащий /С. Таким образом, /С нигде не плотно.
6) 	Каждая точка t интервала (0, 1) может быть представлена в
виде
ai 02 аз
3 З2 З3 ’
где ^ принимают одно из значений 0,1,2. Это представление принято записывать в виде бесконечной троичной дроби t = О, O1O2O3 ...
Например,
\ = l + l + h + --- = 0’ш-"’
i = i + H + 7§9 + -" = 0’ 020202---’
3 2 2 2
4 = 3 "** 27 243 "*”••• = °> 20202
При этом концы удаляемых интервалов представляют собой троично рациональные числа. Они допускают два представления в виде троичной дроби:
i = 0,1000... = 0,0222...;
0
1 = 0,2000... = 0,1222...; i = 0,0100... =0,00222... \ =0,02000... = 0,001222...; 1 = 0,2100... = 0,20222...; ^ = 0,022000... =0,21222...
У
У точек интервала (0, У3) oi = 0; у точек интервала (У3, %) а\ = 1, у точек интервала (2/3, 1) а\ = 2.
На первом шаге процесса построения множества /С, когда удаляется интервал (У3, 2/3), из (0, 1) удаляются числа, в троичном представлении которых на первом месте 1, на втором шаге при удалении интервалов (У9, %) и (т/9, %) из (0, 1) удаляются числа, в троичном представлении которых 02 = 1; вообще на к-м шаге, когда удаляются 2к~1 интервалов длины У3*. из (0, 1), удаляются числа, у кото-
219


рых = 1. Таким образом, множество Go состоит из чисел, в троичном представлении которых обязательно имеются единицы, а /С состоит из чисел, имеющих троичное представление, не содержащее 1, при этом 0 = 0, 00..., 1 = 0, 2222... (очевидно, 0 Е /С и 1 € /С).
Заметим теперь, что каждая точка интервала (0, 1) может быть также представлена в виде двоичной дроби:
* = у + ^! + ^! + -- - = о, м2б3 • • •,
где bi принимают значение 0 или 1 (при этом 1 = 0, 111...).
Пусть (р : /С —> [0, 1] определяется следующим образом: для t = 0, а\а2а^ ... € /С (а» = 0 или а* = 2) полагаем
(p(t) = 0, &1&2Ь3 • • • G [°> Ч
(bi = 0 или bi = 1), где bi = 0, если а* = 0, 6* = 1, если а* = 2. Очевидно, <^(-) — взаимно однозначно отображает /С на [0, 1] и, следовательно, К имеет мощность континуум.
в) 	Так как каждая точка /С является предельной для Go, то clGo = [0, 1], т. е. Go плотно в [0, 1].
1.17. 	В целях упрощения записи опишем строение множеств А2 и В2. Для остальных к все рассуждения аналогичны.
Полагаем В2\ = (0,2; 0,3). У чисел этого промежутка первая
цифра 2, а числа из [0, 1] \ В2\ имеют десятичное представление с
9
первой цифрой, отличной от 2. Далее, В22 = |J (0, jr'2; 0, j3). У чисел
3=0
3*2
этого множества вторая цифра 2, а числа из [0, 1] \ (В2\ IJ -^22) имеют десятичное представление с первыми двумя цифрами, отличными 9
от 2. Вообще, B2i = (J • • * U • • • J<-i2; 0, ji... j<_i3). У чисел
31- О Ji-l=1 3 1*2 Ji_ 1*2
этого множества i-я цифра 2, а числа множества [0; 1] \ ( |J B2i) име-
S‘=1 '
ют десятичное представление с первыми г цифрами, отличными от 2. Очевидно,
оо
в2 = U и а2 = [0, 1] \ В2.
г=1
220


Так как мощность каждого из составляющих интервалов В2 есть континуум, то В2 имеет мощность континуум.
Множество Л-2 также имеет мощность континуум. Чтобы доказать это, определим отображение ср : А2 —3► [0, 1] следующим образом. Каждому t Е А2 (напомним: десятичное представление t не содержит цифры 2) поставим в соответствие девятиричную дробь cp(t) € [0, 1], в которой все цифры 9 десятичного представления t заменены цифрой 2. Очевидно, (р взаимно однозначно отображает А2 на [0, 1], откуда и следует высказанное выше утверждение о мощности А2. Очевидно, А2 совершенно и нигде не плотно.
1.18. Мощность А континуум.
00 U U
А = [J ( ji= о jk-1=0 (0, ji... jfc_i2; 0, j\... jfc_i3)J.
к=1 z=l,...,fc—1
1.19. Пусть A\ — множество точек t отрезка [0, 1], в разложении которых в двоичную дробь t = 0, 616263... 62 = 1. Очевидно,
А\ = (У4, У2) U (3/4, 1); А2 — множество точек отрезка [0, 1], для ко¬
торых 62 = 64 = 1. Чтобы получить А2 С Ai, делим оба интервала, составляющие на 4 части и выбираем вторую и четвертую части. Таким образом,
Вообще, если Ак — множество точек из [0, 1], для которых
62 = 64 = ... = Ъ2к = 1,
то Ак получается из А2к~i следующим образом. Каждый интервал из Ак-1 делится на 4 интервала, при этом второй и четвертый включаются в Ак. Таким образом, получаем А\ D А2 D ... D Ак Э ... и
оо
А = П Ак.
к=1
1.20. 	Возрастание 0(*) (нестрогое!) следует из того факта, что при расширении множества супремум может только увеличиться (см. задачу 1.11). По поводу непрерывности #(•) см. задачи 1.9 и 1.10 1.22. ±.
221


§ 2.
2.2. 	Пусть г — произвольное разбиение отрезка [а, 6];
71
vT(af + 0g) = |(a/(tfc)+/3p(tfc))-(a/(tfc_i)+/?5(tfc_i))| =
fc=l
П
= Щ la(/(^) ~ /(ffc-i)) + /%(**) “ 0(*k-i))| <
fc=l
< |a| • «Т(Л + m • M<?) < |a| • V(/) + |0| • \J{g).
a a
Отсюда следует: af + (Зд имеет конечную вариацию и имеет место полезная оценка
ъ 6 6
\J(af + (3g) < |a| • \/(/) + |/3| • \/(з).
а а а
Из теоремы 2.3 следует, что существуют константы М/ и Мд такие, что \f(t)\ < М/ и |#(£)| ^ Мд для всех t Е [a, Ь].
Уг(/ • р) = X! _ /(^fc-i) • 5(<*-i)l =
fc=l
П
= Ц КД^М^) _ /(<fc)p(*fc-i))+
fc=i
+(f(tk)9(tk-x) - /(*fc-i)p(*fc-i))| <
П П
< 511/(^)И5(^) - 20fc-i)l + l^(^fc-i)l ' I/(**) “ /(^fc-i)l <
k=1 fc=l
6 6
< M/Vt(5) + M9t;T(/) < Mf \J(g) + Mg \/(f).
a a
Отсюда следует, что произведение /(•) • #(•) имеет конечную вариацию и имеет место оценка
6 6 6
а а а
222


Докажем, что — функция ограниченной вариации.
£
к=1
g(tk) g(tk-1)
Iflfa) -g(*fc-i)| ^ g(tk)-g(tk-1)
= £
< oMtf) < 2 V(З)-
вариации дроби
Л*2
следует из представления
Конечность
sW = № ' Ш и yTBeP»WeHIia 2)-
2.3. 	а) 2100 - 1; б) 1; в) 8.
Решение. Пусть т = {tfc}£=0 — произвольное разбиение отрезка [—2, 2], to = —2, tn — 2. Не ограничивая общности (см. п. 2.1), можно считать, что О Е т; пусть tm = 0. Тогда
Vrif) = IА - (—2)2| + \4 - tl\ +... +14_! - tl_21 +10 - &_il+
+ l^m+l ~ 0| + Кт+2 _ ^т+11 + • • • + |*n-l - *п-г| + I22 _ *n-ll-
Так как /(£) = t2 убывает при /, < 0 и возрастает при t > 0,
ТО Wr(/) =)4 - t\ + {t\ - t\) + ■ ■ ■ + (*то_2 - tm-1) + tm-1 + *m+l +
+(*m+2 _ ^m+l) + • • • + (tn-1 — tn-2) + (4 - <n-l) = 8.
2
Следовательно, V(/) = supvT(f) = 8.
-2 r
г)6. Решение. f(t) = 1 при t = — 1 и при t= 1, /(0) = 0, /(t) = t + 1 при — 1 < t < 0, f(t) = t — 1 при 0 < t < 1. Пусть т = {tfc}£=i — произвольное разбиение отрезка [—1, 1], to = — 1, tn — 1, o € r, tm = 0 (см. рис. 6.1); vT(f)= \f(tk) - f(tk-1)| =
— |(^l 4- 1) — 1| + 1(^2 + 1) — (ti + 1)| + . . . + I (tm—1 4- 1) ~ “(tm-2 4- 1)1 4- |0 — (tm-1 + 1)1 + |(tm+i — 1) — 0| 4- |(tm+2 “ 1) “
— (tm—1 — 1)| H- ... 4- |(tn_i — 1) — (tn_2 — 1)| 4- 11 — (tn_i)| =
— —tl 4- (t2 — ti) 4- • • . 4- (tm-1 — tm_2) + (14- tm-1) + (1 — tm+1) +
+ (^ra+2 ^m+l) + • • • + (tn_i tn_ 2) + (2 tn_i) = 4 2tn_i + 2tm_i
1
-2tm+i; V(/) = sup (/) = sup(4 - 2tn_i + 2tm_i - 2tm+i) =
— lr r
= Пш (4 2tn_i + 2tm_i 2tm+i) — 6.
_1
223


Рис. 16.5
д) 	4; е) 12; ж) 6; з) 6.
2.5. а) Пусть т = {tk}k=o ~ произвольное разбиение отрез- ка [0, l],to = 0, tn = l;vT(f) = |i _о| + |i - i| + ... + |£ - ^ =
= и + {и ~ к) + ■'' + (*^Т _ £) = п ~ 1 +0° ПРИ *1 - +0-
б) и в) см. пример в п. 2.1.
1
2.6. Как и в задаче 2.3, находим, что и(с) = V (/) = 2с + 2
-1
при с > 1, i/(c) = 4 при — 1 ^ с ^ 1, и(с) = 2 — 2с при с < —1. Таким образом, вариация минимальна при — 1 = /(0+) ^ с ^ /(0—) = 1.
2.7. Пусть /(•) — функция ограниченной вариации на [а, 6]; из свойства \\t\ — |s|| ^ |t — абсолютной величины числа следует, что для любого разбиения т
mi/d = £ И*)1 - №-i)i| < Е И**) - л**-о| =
fc=i fc=i
«г(л < V(/).
Таким образом, |/(*)| имеет ограниченную вариацию на [а, Ь] и
V(l/I) < V(/)-
а а
Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места. Рассмотрим пример. Пусть /(£) = 1 в рациональных точках отрезка [0, 1], f(t) = —1 в иррациональных его точках. Здесь \f(t)\ = 1
224


1 1
для всех t G [О, 1] и, значит, V(l/I) = О- Однако \J(f) = +оо. Действи-
о о
тельно, возьмем такое разбиение т = {tk}k™0, что to = 0, £2™, =
^2к—1 {к = 1, ..., т) — иррациональные, a t2k {к = 1, ..., т — 1) —
рациональные числа. Тогда
2т
vr(f) = ^2 ~ f(tk~i)l = 4га —► +oo при га —> оо.
к=1
2.8. 	Однако если /(•) непрерывна, то верно и обратное утвер- ь ь
ждение, причем V(l/I) = V(/)- В силу предыдущей задачи осталось
а а
доказать именно обратное утверждение и противоположное доказанному в 2.7 неравенство.
Итак, пусть |/(-)| имеет конечную вариацию на [а, 6], а т —
п
произвольное разбиение этого отрезка. vT(f) = J2\f(tk) — f(tk-1)|-
к=1
Разобьем все слагаемые этой суммы на две группы. К первой группе отнесем слагаемые, для которых /(tfc) • f{tk-i) ^ 0. Для слагаемых этой группы
|/(ifc)-/(tfc-i)| = ||/(ifc)|-№-i)||. (1)
Ко второй группе отнесем слагаемые, для которых /(£fc) • f(tk-1) < 0. Для каждого из этих слагаемых в силу непрерывности /(•) существует, по крайней мере, одна точка t'k £ (tfc-i, tfc), в которой /(£*.) = 0. Для слагаемых этой группы
|/(«fc) - /(*fc-i)| < |/(*fc)| + |/(*fc-i)| =
= ||/(Ы1-1/Ю|| + ||/Ю1-1/(^-1)||.
Обозначим разбиение, полученное добавлением к т всех точек t'k, соответствующих слагаемым второй группы, через т'. Тогда согласно соотношениям (1) и (2)
М/) = £ +£ ^М1/1Х Vci/d-
а
15-2800 225


Отсюда следует, что /(•) имеет конечную вариацию на [а, Ь] и ь ъ
V(/) ^ VG/D- Вместе с доказанным в задаче 2.7 это означает тре-
а а
буемое.
2.9. \/(F) = \k\-W).
а а
2.10. Пусть а = {vk}k=0 — произвольное разбиение отрезка [а, (3\. Положим tk = <p(vk) (к = 0, 1, ..., п). В силу строгого возрастания ip(-) т = {tk}k=о — разбиение отрезка [а, Ь].
^(F)=^lF(i/fe)_ - f(<p(vk~i))\=
к—1 fc=l
= il|/(*k) -/(<fc-l)|=l;r(/) ^
fc=l a
Это значит, что F(-) имеет конечную вариацию на [а, /?], причем
V(^) < V(/).
а а
Пусть теперь т = {£fc}fc=0 — произвольное разбиение отрезка [а, 6]. Непрерывность и строгое возрастание функции </?(•) означают, что существует обратная функция которая является непре¬
рывной и строго возрастающей на отрезке [а, Ь]. Пусть Vk —
Тогда а = {i/k}k=i — разбиение отрезка [а, (3\ и tk = Поэтому
vr(/) = ]T|/(tfc) - /(ifc-i)|= X^l/M^fc)) - /М^-1))| =
fc=l /с = 1
=Eim) -%-i)i=^(f) < V(F)’
fc=l а
b /3
т. e. V(/) ^ ^(-^1) • Вместе с ранее доказанным противополо^кным
а а
£ 6
неравенством это означает, что \/(F) = V(/)*
а а
2.11. Указание. Для каждого слагаемого рассмотрите случаи:
1) f(tk)>g(tk), f(tk-i)>g(tk-i);
2) f(tk)<g(tk), f(tk-i)<g(tk-i);
3) f(tk)>g(tk), f(tk-i)<g(tk~i);
4) f(tk)<g(tk), f(tk-i)>g(tk-i)-
226


2.12. См. контрпример из задачи 2.7.
2.13. Пусть дА содержит га точек. Пусть т — произвольное разбиение отрезка [а, 6]. Все слагаемые суммы ут(ха) —
п
= Е IXA(tk) ~ XA(tk-1)| либо равны 0 (когда точки tk-i и tk либо к=1
обе принадлежат А, либо обе принадлежат [а, Ь] \ А), либо равны 1 (когда одна из точек tk-1 или tk принадлежит А, а другая принадлежит [а, Ь] \ А). Поэтому vt(xa) ^ га, что означает ограниченность вариации ха(*)•
Пусть теперь дА — бесконечное множество. Выберем разбиение г = {tk}k=о так, чтобы в нем чередовались точки, принадлежащие А, и точки, не принадлежащие А. Так как в любой окрестности граничной точки есть точки обоих типов, то такое разбиение существует для любого сколь угодно большого п. Для такого разбиения
п
Vt{Xa) = £ \XA{tk) - XA(tk-1)| = П. к=1
b
Следовательно, \J(xa) = +оо.
а
п
2.14. Представление f(t) = hkpCk(t) следует из представле-
к=1
ния функции скачков функции ограниченной вариации, аналогичного
ь
представлению (1.6). Найдем V(/)- Пусть т = {£fc}£=1 — произвольное
а
разбиение отрезка [а, 6]. Если при некоторых к
о <С tk—1 < tk ^ Q0+l
(можно считать, что с* упорадочены по величине в порядке возрастания), то |f(tk) - f(tk-1)| = 0, а если tk-1 < cio < £*, то |/(^fc) ~ /(^fc-i)| = \hk\- Поэтому при достаточно большом га > п
vAf) = Е т. е. \/(Л = Е IM-
fc=l а к=1
со
2.15. Ряд hkPck{t) мажорируется сходящимся числовым ря-
к=1
оо
дом ^2 \hk\-, следовательно, он сходится абсолютно и равномерно. к=1
п оо
Пусть /n(t) = X) hkpCk(t)- Тогда /n(f)H/(*) = Е hkpCk{t) (п ->• оо).
fe=i fc=i
227


Для произвольного разбиения т = {tk}™^
т т
VT{fn)= “/n(<fc-l)HHl^fe) ~ №к-1)\=ьЛЛ-
к=1 к=1
п
Но согласно задаче 2.14 vr(fn) = Z) следовательно,
к=1
Ь ос
W) = £ 1Ы
а к=1
2.16. 	Об ограниченности вариации составляюпщх /с(-) и /<*(•) говорится в следствии 4 теоремы 2.6. Докажем формулу для вариаций.
Рассмотрим сначала случай, когда /(•) имеет единственную точку разрыва с; пусть h > 0. Для определенности записи будем считать, что с £ (а, 6). По теореме 2.5
b c—h c+h b
V(/)= V(/) + V(/)+ V(/)- (16-1)
a a c—h c+h
Так как /(•) непрерывна на [а, с) и (с, Ь], то полная вариация /(•) на [а, с — h) и [с + ft, 6] совпадает с полной вариацией /с(*) на этих отрезках. По этой причине первое и третье слагаемое в (16.1) при
с b
ft —► 0+ стремятся соответственно к \/(/) и V(/c)- Очевидно, также, что непрерывность на указанных промежутках влечет равенство
c+fo 6
lim У (/) = |/(с+) - /(с)| + |/(о) - /(с—)| = \/(/d)-
ti ►U~r
c—h а
Требуемое равенство получится теперь из (16.1) при ft —► ОН-.
Пусть Т(/) — конечное множество. Разобьем отрезок [а, 6] на части так, чтобы на каждом частичном отрезке была одна точка разрыва. Применяя теорему 2.5 и уже доказанное, снова получим равенство, которое нужно доказать.
Пусть, наконец, T(f) = {с*;}^. Нетрудно убедиться
(см. 2.15), что
оо
fd(t) = о* (/)&*№>
к—1
228


где pCk(t) = 0 при t < cfc, рСк(ск) = f(ck), pCk(t) = 1 при t > ck. Положим
n
/drift) ~ 'У ] ^kjf^Pck ft)? /nft) = /eft) “I" /drift)*
Тогда fc=1
oo
f(t)~ fn(t) = fd(t)- fdn(t)= <Tk(f)pCk(t),
fc=n+l
6 oo
V(/ - /») = £ (l/(c*+) - Яс*)1 + l/(<*) - /(<*-)!) -> 0
a fc=n+l
при ti —> oo (как остаток сходящегося ряда). Отсюда
<\J(f - fn) ^>0 (п-юо).
6 b
Таким образом, V(/n) > V(/)* Кроме того,
V(/*o = £(!/(<*+) - /(<*)! +1/(^) - /(<*-)!)
fc=i
- £(i/(cfe+) - /(c*)i +i^c*) - /(<*-)!) = Vto) (n -> °°)-
fc—1 a
Так как /dn(-) имеет конечное число точек разрыва, то ь ь ь
\/(fn) = V(/c) + W*»)'
а а а
Отсюда доказываемое равенство получается при п —► оо.
2.18. Указание. Покажите, что /(•) имеет ограниченную на [0,1] производную.
2.19. Указание. Возьмите следующее разбиение отрезка [0,1] :
Л / 2 \V« /1\У« / 2 \V« / 1 \У«
(гп+т) <U) <(2^Т) <fc) <"
.3
(см. пример в п. 2.1).
/2\Va
-Чз) <ь
229


2.20. Указание. Покажите, что /(•) имеет ограниченную на отрезке [0, 1] производную.
2.21. Пусть f{t) = y/t\ д(0) = 0, g(t) = t2 sin2 % (0 < t ^ 1). Тогда /(•) имеет конечную вариацию (как возрастающая функция), а д(-) — в силу задачи 2.20. Однако /(#(•)) имеет бесконечную вариацию в силу задачи 2.19.
2.22. а) 8; б) 20; в) . Решение. В силу четности /(•)
Рис. 16.6
2 2
V(/) = 2 V(/)* Полагаем t = y/s. Согласно задаче 2.8
-2 О
V(/) = V(F), где ^(5) = /(л/^); значит, о о
V(/) = 2V(F) = 4(F(A)-F(B)}
-2 0
16\/1зз
27
где А = 5-уТз — точка максимума функции
F(s) = s(s — l)(s — 4) на [0, 4), а В = 54>/i3 — точка минимума этой функции (см. рис. 16.6).
2.23. а) 27г; б) 2; в) 2 (см. пример в конце § 2).
2.24. f(t) = U(t) - fu(t), где
fn(t) = <
1 — cos2 £, 0 ^ t < %,
1 4- cos2 t, y2 ^ < 7Г,
3 — cos2 £, 7Г ^ t < 37r/2,
3 4- cos2 £, 37r/2 ^ ^ 27t;
230


fu(t) =
1 — 2 cos21, 0 ^ t < */2,
1, %^t< 7Г,
3 — 2 COS2 t, 7Г ^ t < 372,
3, 372 ^ t < 2тг.
2.25. a) /(t) = (t + 2) - ([t] + 2); 6) f(t) = t + (-[*]).
2.26. f(t) = 21- '([t] +1).
2.27. f{t) = U(t)-fl/(t), где fn(t) = -\1?\ + t+l0 для
/jr(t) = tz - t + 10 + 4/3v^ для 2/^ < t < 2; /„(£) = 10 для -2 < t < 0; /„(i) = — 2£3+2£+10для0 < t < V>/S; /„(*) = Ю+4/3уз, Для < t s$ 1.
2.28. a) /(*) = /T(t) - fv(t), где
Ш =
0,
t=-l,
2—t2,
-l<t<-V2>
2,
* = - V2.
%-t2,
-y2 < t < 0,
72+^2,
0 < t < y2,
3,
t = %
13/4 + *2-
у2 < t < 1,
5,
t = l,
И fv(t) = u(t) - f(t);
6) f{t) = fc(t) + fd(t) (см. рис. 16.7), где
fc(t) =
t2- 1, -1 < t < -y2,
-У2<*<0, t2 - y2, 0 < y2,


fd(t)
0,
t = -l,
1,
—1 < t < — У2,
3/4,
t = -%
%
—V2 < * ^ V21
%
II
to
0,
y2 < t < i,
1,
t = 1.
Рис. 16.7
2.29. а) Здесь f(t)
2-t-t2,
5 -t2,
6 t — t2,
(t + 2)(t-l) = t2 + t-2, -2<*<-l, (t + l)(t-l) =t2-1, —1 < t < 0,
/*(*) =
t(t - 1) = t2 - t,
(t~ I)2,
0,
-2^t< -1, -1 < t < 0,
o < t < y2,
13/2 +12 — t, y2 ^ t < l,
t2 - 2t + 15/2, 1 < t < 2,
17/2 + t2^
U(t) = f*(t) - /(*);
6) 	fit) = fc(t) + fd(t),
t = 2,
0<t<l, l^t<2, t = 2.
232


т =
fd(t)
t2 + t- 2, -2<*<-l,
t2 - 3, -1 < t < 0,
t2-t- 3, 0 < t < 1,
{(t-1)2-3, l<is$2;
Г0, —2 ^ t < —1,
2, -1 sj t < 0,
3, 0 ^ t < 2,
2, t = 2.
2.30. 	Заменой переменных s — a = s', t — a = а' можно свести ситуацию к случаю а = 0. Поэтому мы не уменьшим общности, если уже
t
с самого начала будем считать, что а = 0, F(0) = 0, F(t) = \ f f(s)ds
о
при t > 0.
Пусть сначала /(•) — возрастающая функция. Покажем, что тогда и F(-) — возрастающая функция (по крайней мере, при t> 0). Пусть s > t > 0,
3 ъ
F(s) - F(t) = ^ J /(r) dT~\J f(T)dT =
0 0 s t s
hi* j f(T)dT~$ / /(r)dT) = \ J (/(r) - ^r))dr
(здесь мы во втором интеграле сделали замену переменной s = |т). Так как т ^ 0, то т ^ -т* поэтому F(s) — F(t) ^ 0, т. е. F(-) действительно возрастает при t > 0; при t = 0 может оказаться, что F(s) < 0 = F(0). Однако это не повлияет на ограниченность вариации F(-).
Общий случай сведется к рассмотренному, если мы представим f(t) = fi(t) — f2(t), где /*(•) — возрастающие функции. Тогда
t
F(t) = Fi(t) - F2(t), где jFi(0) = 0, Fi(t) = j f fi(s)ds. Согласно до-
o
казанному F^(-) — возрастающие функции при t > 0. По теореме 2.6 F(-) имеет конечную вариацию.
233


2.31. Указание. При доказательстве необходимости убедитесь, что функция F(t) = /тг(£) удовлетворяет требуемым условиям.
2.32. Указание. Воспользуйтесь свойствами функции
m = wf)-
а
2.33. Вариация д(-) бесконечна:
1 1
\Дя > V (я =2п - +°°-
о
2.34. 	Так как д(-) непрерывна на [а, 6] (непрерывность ее в точке 0 следует из того, что lim^ g(t) = 0 = д(0)), то можно воспользоваться задачей 2.32
1 71 2fc + l
\J(g) = lim \/ (g) = lim £ \/ (/) = lim £ 2 • -!j- = +00.
V 71—>00 V 71—+OO Z' V 71—>00 ZJ 2ft
0 o-^TT огЧ- fc=1
2n-f 1 2fc — 1
2.35. В силу 2.32
V^) = n1i“ V(5) = niun £ V (5) =
0 y2n fc=i v2fc+1
71 - CX) -
= lim V 2 • -г = V -т-r = 2.
n-.oo^ 2fc ' 2fc_1
fc=i fc=i
OO 1 OO
2.36. Ряд ^2 tn должен сходиться; \J(g) = 2 £n (см. рис. 16.8).
71 — 1 0 71 = 1
2.37. Согласно задаче 2.32 (непрерывность д(-) в нуле очевидна)
* * 111 \/(g) = lim \/(д) = lim (1 + 2 • - + 2 • - + ... + 2 • —)
v п—юс v ti—юо 2 4 z
О 1/
/2П
ОО
= l + £2_(fc_1) =3.
k=1
2.38. 	См. рис. 16.9. lim #(£)= lim д(^) = lim (n+l)(^ - —j-г) =
£—>0+ 71—►ос 71 п—*оо п n_t_i
= lim — =0, следовательно, lim g(£) = 0 = у(0), т. е. д(-) непрерывна
71—ЮО П t—>0 +
234


Рис. 16.8
в нуле. Согласно задаче 2.32
11 111 V (д) — lim V (у) ~ *im (1 + 2- ^ + 2- - + ...+2--)
v п—► ос v n—>00 z о 71
О У„
=i“ (1+2Ё^) = +о°-
fc=l
Рис. 16.9
2.39. Ряд tn должен сходиться; \J(g) = 1 4- X) *п-
71=1 0 71=1
‘Л’ ОО / <\п + 1
2.40. a)V(sin) = 2; V(sin) = 2n! £ 2п сходится условно
о о п—1
235


(по признаку Лейбница); б) \J (sinyt) = 2; \/(sinJ/t) =
XU
%
= | sin х/а| + V (sin ’/t) = | sin Vt | + 2n; общий член ряда an = 0(х/п2) У™
при n —> ос, следовательно, ряд сходится; в) а„ = О (-$-), ряд схо-
4 71 2 7
71 7П—1 х/(^+1)7Г
дится; r)V(sin£2) > V (sintf2) = 2га, где т — наиболь-
0 fc=0 у/~ктг
шее целое такое, что у/пт < п, или т < ^г, га = pjjp’J; таким
образом, ап = О(^) при п —> оо, ряд сходится; д) согласно оценке, полученной при доказательстве теоремы 2.4 (второе утвержде-
Ь Ь Ь 7Г71 7Г71
ние, \/(/ ' 5) ^ Mj\J(g) + Мд \J(f)), имеем \ftsia2t ^ 1 • VW+
а а а О О
4-7ГП V(sin21) = 1 • 7гп 4- 7гп • 2n = 7г(2п2 4- n); an ^ bn = =
0
oo
= 0(^y) при n —> 00; так как ряд ^ bn сходится, то по теореме срав-
fc=i
нения по величине сходится и исследуемый ряд.
2.41. 	Для произвольного разбиения г = {tk}k=o отрезка [а, Ь]
71 71
обозначим fiT(/) = £ Штк(/У, очевидно, vT(/) = X) 1/(Ы ~
fc=i fc=i
-f(tk-1)| < Z) Urk(f) = Slr(f). Отсюда V(/) < supfiT(/).
fc=l а т
Из свойств точных граней следует, что для любого е > 0 и любого к
(1 ^ к ^ п) существуют такие точки и щ, принадлежащие отрез-
ку (Ak) = [<k-i, tfc], ЧТО /(&) > sup f(t) - f(m) < inf f(t) +
(Д*)
значит, Пт(/) =
= Ё ((S“P Л‘) - <£[, '<*>) « £ (яы - /Oft) + ^) =
к=1 ^к) ' fc=1
71 Ь
= |/(£fc) - /(^fc)| 4- £ < *v(/) “I" e ^ V(/) e’
fc=i
где разбиение г' получается добавлением к разбиению т всех точек
ь
и щ (к = 1, ..., п). В силу произвольности £ имеем ftT(f) ^ V(/)> от”
236


b
куда sup Пт(/) ^ V(/)- Вместе с ранее доказанным противоположным
т а
неравенством это означает требуемое.
^ к к
2.42. |//(t)<ft-±£/(£) = ± J j dt =
' 0 fc=l fc—lfc-i k=l k-i
n n
Jl k
= |E/(/«-/фИ^Ё /|/(*)-/ф|*<
k—lk-1 fc-1
n n
<X>/-“=hE"‘<sVw
fc=l fcli fc=l a
n
(был применен результат задачи 2.41).
2.43. Так как при добавлении к разбиению т = {£fc}£=0 одной точки сумма vT(f) может лишь увеличиться и
|/(tfc) - /(tfc_i)| < |/(«fc) - /(t)| + |/(t) - /(tfc_i)| < 2wTfc(/),
то при добавлении к разбиению одной точки vT(f) может лишь увеличиться не более чем на удвоенное колебание функции на отрезке, к которому добавлена точка.
Пусть € > 0 произвольно. Возьмем разбиение т* = {^}fcLi та“
кое, чтобы сумма v* = vT* (/) удовлетворяла неравенству ь
v* > У(f) — е = А. Так как /(•) также и равномерно непрерыв-
а
на на [а, Ь], то найдется такое S > 0, что если \tr — t"\ < <5, то
\f{t') — Пусть т — произвольное разбиение, диаметр
которого D(t) < 6 и v = vT(f). Тогда итк <
Рассмотрим разбиение то = г U т*, = vTQ(f)- Так как мы
этим добавили к г не более чем га точек, то — у < 2 • -4— * га =
= у*~*. Отсюда следует, что v > vq — V*~A ^ v* — V*~A = > A
ь ь b
(= V(/) — £)• Таким образом, при D(r) < S V(/) —£< v ^ V(/)> а это
a a a
и требовалось доказать.
2.44. При решении задачи 2.41 было показано, что для произвольного £
Vr{f) < Пт (/) < VT'(f) + £,
237


где разбиение т' было получено добавлением к г не более чем 2п точек. Из утверждения задачи 2.43 следует и наше утверждение.
2.45. Рассмотрим разбиение т = {£fc}£=1, содержащее все точки, в которых не существует производная, так что /(•) дифференцируема на всех интервалах (tk-1, tk). Это позволяет применить на каждом из этих интервалов формулу конечных приращений Лагранжа. Поэтому
Mf) = £ Ш - /(**-1)1 = £
к=1 к=1
где £ (tk-ь tk) (к = 1, ..., п). Последняя сумма представляет собой сумму Римана для функции \ ff(t)\ на отрезке [а, 6], отвечающую разбиению т. Из утверждения задачи 2.43 получаем
ь ь
=Dfe%M/) = 0Е I//(?fc)|(*fc - tk-1) = / |/'(*)|А-
“ T ^ fe=l a
t
2.46. Из представления /(£) = f (p(s) ds следует, что /(•) непре-
a
рывна на [a, 6]. Ограничимся случаем, когда </?(•) имеет не более конечного числа точек разрыва (общий случай будет рассмотрен позднее). В указанном случае можно применить результат предыдущей задачи.
Так как f(t) = <p(t), то \J(f) = f |/'(s)| ds = f |y?(s)| ds.
a a a
Пусть (p(-) абсолютно интегрируема на [a, b] в несобственном
смысле. Можно считать, что </?(•) имеет одну особенность. Пусть это
ь-s b-S
будет точка 6. По доказанному для любого S > О V (/) = / Ш\<ь-
а а
b-S ъ
Так как /(•) непрерывна, то согласно 2.32 lim \J (/) = V(/)> а так
<*^+° a a
b-S
как lim f \tp(s)\ds, то этим утверждение доказано.
<5_>+° а
2.47. Указание. Примените к /(•) результат задачи 2.45.
2.48. п.
2.49. 2п. Так как /'(£) = 1 — sinnt ^ 0, то /(•) возрастает,
2 п
поэтому V(/) = /(2n) - ДО) = 2п. о
238


2.50. 	2n(| 4- ^—). Согласно упражнению 2.43
n n 71
\J{f) = J \f(t)\dt= j +COS nt\dt =
~n —TI —n
2/3 1 \
= 2n j J (1/2 + cos Trt) dt—J (1/2 + cos 7rt) i
+V}-
) dt
0 2/3 /
2.51. Пусть a > /?; при £ > 0
/'(£) = a£a_1 sin ^ 4- ta cos p- ( - j;
|/'(t)| ^ ata~~l 4* pta~P~l.
Отсюда видим, что /(•) имеет всюду, кроме, может быть, точки 0, производную, абсолютно интегрируемую по Риману на [0, 1] (в несобственном смысле).
При а ^ /3, рассуждая как в задаче 2.19, показываем, что вариация /(•) бесконечна.
2.52. Ответ: необязательно. Пусть
f(t) = [° ПРИ t = °’
I t cos ^ при 0 < t < 1.
1
В п. 2.1 было показано, что V(/) = 4-°°- Полагаем
о
при О
1
2п+1
При каждом п /„(•) — функция ограниченной вариации,
V(/n)= V (/„)<2п + 1.
IAW-/WI- /(4) "Р"
1° при <*<1;
|/n(t) — /(t)| ^ 2п+Т > ® ПРИ п —> оо. Таким образом,
/„(£) /(f), а предельная функция имеет бесконечную вариацию.
239


2.53. 	Не всегда (см. рис. 16.10). Так, для рассматриваемой по- 2
следовательности V(/n) — 2 при каждом п. о
1 2 таx/„(t) = °- Т- е- /п№ =* f(t) = 0, \/(/) = 0.
Рис. 16.10
на рис. 16.10 жирно выделен график функции /з(£)-
2.54. 	Доказательство необходимости.
Пусть г = {tk}k=o ~ произвольное разбиение отрезка [а, /3], Рт — длина ломаной, вписанной в кривую, соответствующей разбиению т. Так как кривая спрямляема, то
Рт= Е\/(¥?(*/fe)-V5(i/*:-l))2+(V'(^fc)-'0K-l))2 + (x('/fc)-X(l/fe-l))2 <
fe=l
^ £, где £ — длина кривой. Очевидно, \<p(vk) ~ ^(^fc-i)| ^
^\/(v’(*/fc)-¥,('/fc-i))2 + (V'K)-V’(^-i))2 + (xK)-X(i/fe-i))2, откуда
п
М<р) = И1'*) - v’K-i)! ^ Рт < е,
к=1
240


Р
т. е. </?(•) имеет конечную вариацию на [а, /?] и V(^) ^ ^ Аналогично
а
доказываем конечность вариации 'ф(-) и х(*)*
Доказательство достаточности. Вначале докажем, что для любого t = (£1, ..., £m) справедливо неравенство
\
к=1 fc=l
Так как, очевидно,
г
fc=i fc=i j=i fc=1
mm
(£w) = ££n-i*;I>X>i2
то верно неравенство (*).
Пусть <£(•), ^(*): х(‘) — функции ограниченной вариации. Для произвольного разбиения т в силу (*)
рт=Ё \/ (v(t'fc)-vK-i))2+(V'K)-V’K-i))2+(xK)-xK-i))
fc=l n
< Е (|¥>Ю-<рК-1)|+|^Ю-^(^-1)|+|х(^)-хК-1)|)
fc=1
/3 /3 0
= vT(ip) + uT(V0 + ит(х) < \J{(p) + \/(i>) + V(x).
2€
Так как Рт, очевидно, возрастает при измельчении дробления, то полученное неравенство означает, что Рт имеет конечный предел
КШ + Ш + Ш-
а а а
2.55. Указание. Покажите, что /(•) — функция ограниченной вариации (например, с помощью 2.51), и воспользуйтесь теоремой Жордана 2.54 (ip(t) = £, ip(t) = /(£)).
2.56. Функция /(•) имеет бесконечную вариацию (см. 2.51).
2.57. См. 2.17 и 2.54
2.58. См. 2.17 и 2.53
241


§ 3.
3.1. а) Для любого разбиения г sr = -1, ST = 1. Действительно, пусть tm ^ 0 < tm+1- Тогда все слагаемые до номера т и после номера rn 4- 1 и в sT и ST равны нулю, так как Ад к =0, а слагаемое с номером т 4-1 равно —1 и 1 соответственно.
п п
б) При любом разбиении sT = Y1 0 • Ддь, ST = ^ 1 ■ Адк =
к=1 к=1
= д(1) — #(0). Следовательно, J* = 0, «7* = <7(1) — д(0).
в) Л = Г = %.
3.2. а)27г; б) 2 — sin 1 — sin 2 — sin3; B)sinl 4- sin 2 -f sin3;
7Г
r) f sin tdt 4- sin Y2(“l) + sin7r(2 — %) = 1.
0
0 7Г
3.3. a) J' (t 4" 2)(—e*) dt -1- J*(£ 4* 2)e^ dt 4" (—7Г 4* 2)(—6 ^ — 0)4"
+(0 + 2)(1 - (-1)) + (7Г + 2)(0 - e") = 2(1 - сЬтг);
[61 гь]
6) £ k2 = M([b]+1)(3[6]+1). B)2 52(_i)fcfc2 = (-1)М[Ь]([Ь] + 1);
k=1 k=l
~ V2 0 V2
r) / (^2 + l)2td£ 4- / (£2 4- 1)(—2t)dt 4- f (t2 4- l)2£ctt 4-
-1 -y2 0
+ f(t2 + l)(-2t)dt + ((-l)2 + 1)(1 - 0) + ((-y2)2 + l)(-% - y4) +
+((У2)2 + i)(-y4 - y4) + (I2 +1)(0 - (-1)) = 29/i6;
Д)"2Л + 372 - 3 - y34sin4 - У4 sin 6; e) 12 - 13/247r3 + "72i ж)2! 3)41; и) 7г(1 — cos 1) — sin l/lr — sin 2/\ — sin 3Д.; к) 0; л) 0. Указание: примените формулу интегрирования по частям.
3.4. f.
3.5. а) Согласно п. 3.5 / = lim f = lim ( f %+
a b-++oo a b—+oo V a
{6} v +00 00 9 +00 00
+ ££(-!))= / = 6) / 2-*d[t]= E2-fc = i;
fc=l a fc=l 0 fc=l
+00
B) fzf; г) e-2 (учесть, что Г(п4-1) = n!); д)1п2—У2;е) J tdF(t) = А,
о
+оо
/ £2 dF(f) = Л2 4- Л. о
3.6. Указание: покажите, что /(•) непрерывна на [0, 1], а #(•) имеет на этом отрезке конечную полную вариацию.
242


3.7. Пусть т = {tk}£=о ~ произвольное разбиение [а, 6]. Если с € г (с = £т), то, обозначив т' = {£fc}b=o> г" = {*fc}fc=m> получим, что 6Т(/, #) = 6т/(/, #) + бг//(/, #). Отсюда, при £>(т) -> 0 следует существование предела
ь
DfrHO 6Т^’ ^ ^ ^
а
и равенство (3.12).
Пусть теперь с ^ т; обозначим т° = г U {с}. Согласно ска- ъ
занному выше &T°(f, <?) —» / /dg (D(r) —> 0). Пусть с Е (£&-ь tk).
а
Вместо слагаемого /(£&) (<?(£&) — p(£fc_i)) из вт в вто войдет сумма
f(?kK9(tk) - 9(t)) + f(€k){g(c) - g{tk-1)) (<fc-i < < с <
^ ^ . ^fc)* Так как существование предела суммы 6то
при D(r) —> 0 уже доказано, то можно выбирать = ££ = с, поэтому
|бго -6Т| = |/(6)-/(с)I • Ig(tk) - g(tk-i)\.
Здесь один из сомножителей может быть сделан сколь угодно малым в силу непрерывности, а другой при этом остается ограниченным. Поэтому разность |бго — 6Т| может быть сделана сколько угодно малой при достаточно малом D(r). Отсюда следует существование предела (*) и в этом случае.
3.8. Пусть сначала а < с < b и д(с+) ф д(с—). Будем рассматривать только разбиения г, не содержащие точку с. Для таких разбиений будем рассматривать две суммы 6Т/ и вт", в одной из которых возьмем = с (tk-1 < с < ^), а в другой > с или < с, в зависимости от того, разрывна ли /(•) в точке с справа или слева. Как и в предыдущей задаче, получим
|бт< - &т"| = |/(&) -/(с)| • |p(«fc) -s(*fc-l)|. (*)
Так как при D(r) —► 0 правая часть может быть сделана сколько угодно близкой к числам
|/(с+) -Дс)| • |$(с+) -з(с-)|или|/(с-) — /(с)| • \д(с+) - д(с-)\,
243


по крайней мере одно из которых строго положительно, то интеграл ь
f f dg существовать не может.
а
Если д(с—) = д(с+) Ф д(с), либо с = а и д(а+) ф д{а), либо с = Ь и д(Ъ—) ф д(Ъ), то, напротив, будем включать точку с во все разбиения (с = tk), и снова выбирать по-разному в суммах &г> и бг". В итоге
опять получим равенство (*), откуда будет следовать невозможность
ь
существования интеграла j f dg.
а
3.9. 	Класс интегрируемых функций нельзя расширить без
сужения класса интегрирующих функций. Если /(•) имеет в точке с
разрыв, то она заведомо не интегрируема по функции ограниченной
вариации рс(•) (см. задачу 3.8).
Класс интегрирующих функций нельзя расширить без сужения
ъ
класса интегрируемых функций. Пусть У(д) = -foo. Найдется такая
а
точка с € [а, 6], в любой окрестности которой полная вариация д(-) будет бесконечной. Не ограничивая общности, можно считать, что с = Ь. Тогда можно построить такую последовательность {tn}5?Lo>
оо
t = to < ti < ... < tn < b, tn -» b, чтобы J2 |g(tfc) - g(*fc-i)| = +00.
fc=i
Существует также такая числовая последовательность j что
Ск —► 0, Ск > 0 (к = О, 1, 2, ...), но
ОО
^2ck\g(tk) -0(t*-i)| = +°°
к=1
/п
^2 19(tk) — 9(tk-i)l так как известно, что к=1
оо п оо
ряд an/sn (Sn - Z) ак) расходится вместе с рядом J2 чп ).
71= 1 к= 1 П=1
Следующим образом определим непрерывную функцию /(•) : f{tk) = ск ■ sign(g(tk) - g(tk-1)) к = 0,1,2,..., f(b) = О, f(t) = /(tfc_i) + - tk_i) (tfc_i < t < tk), k = 1, 2, ....
Тогда для r„ = {tfc}fe=0
П
®rn(/, g) = '52f(tk)(g(tk) - g(tk-i)) =
fc=i
244


n
= $>|,(*) -g(tk-1)| -> -foo
k=i
ь
при n —> oo, так, что интеграл f f dg не существует.
a
3.10. Пусть F(s) = /(</?(s)), G(s) = g(<p(s)). F(-) непрерывна на [a, /?] как суперпозиция непрерывных функций, а G( ) — функция ограниченной вариации в силу задачи 2.10. В этих обозначениях равенство, которое нужно доказать, примет вид
6 /з
j f(t)dg(t) = jF(s)dG(s). (*)
a a
Пусть т = {£fc}fe=1 — разбиение отрезка [a, b], £* G [tfc-i, i*], Sfc = tp~l(tk), цк = (р(£кУ, тогда т' = {sfc}£=0 — разбиение отрезка [а, 0\ (см. решение задачи 2.10). Очевидно, D(t) —> 0 в том и только в том случае, когда D(t') —> 0.
©т(/, д) = '^2f(^k)(g(tk)-g(tk-1)) =
к—1
п
= £/Ммк))(5(¥>К)) - g(<p(vk-i))) =
к=1 п
= J2F(»k)(G(sk) - G(sk-i)) = &T’(F, G).
k = 1
Отсюда при -D(r) —> 0 получаем равенство (*).
3.11. а) Из 1.22 имеем
<)=>. *(H>=Н"'*)-
Поэтому, применяя 3.10 и учитывая, что 6{t) = У2 = const при
245


t € [Уз, %], получаем
%
J = J td6(t) = J td6(t) + J td9(t) + J tdO(t);
0 0 Уз %
% l l
Ji = j td9{t)= J |d0(|) = iy = ij;
0 0 0 %
J2 = J t d$(t) = 0;
Уз
% 0 1 1
= i/(2 + S)^ + ^W)=] + i/s<»W = i + ^
0 0
таким образом, J = l/6J + У3 -f l/6J = У3J + У3, откуда J = У2; б)3/8; в)5/16.
3.12. 	Так как /i(-) (соответственно (hg)(-) и (ft/)(-)) либо непрерывна, либо имеет конечную вариацию, а (gf)(•) (соответственно /(•) и <?(*)) — непрерывная функция ограниченной вариации, то по теореме 3.4 все три интеграла в (3.16) существуют. По этой причине мы можем выбирать разбиение т = {£&}£=0 отрезка [а, 6] и точки £* наиболее удобным для нас способом.
В силу равномерной непрерывности функции /(•) для любого е > 0 найдется такое <5 > 0, что если диаметр разбиения D(t) < 5, то колебание u>Tk{f) < —%—> гДе Мъ, — sup \h(t)\. Положим во всех
Mh\J(g) te[a,b]
а
трех суммах ниже £* = t^. Пусть D(t) < S. Тогда
Лт = 16T(h,gf) - &T(hg,f) - &T(hf,g)\ =
П
к—1
246


(/(**>) - f(tk-i)) - ^2Ktk)f(tk)(g(tk) - g(tk-1))
к—1 k=1
n
= ^2h{tk)(f(tk) - f(tk-i))(9(tk)-g(tk-i))
k=1
< Mh£wTfc(/)|5(tfc) -3(tfe_i)| ^ Mh -b \J(g) = e.
fc=1 Mh\J(g) “
a
Это означает, что
lim Ar =
d(r)->0
ooo
J h(t) dg(t)f(t) — J h(t)g(t)df(t) — J h(t)f(t) dg(t)
-o,
т. e. верно равенство (3.16).
3.13. 	Случай, когда /г(-) непрерывна или имеет конечную вариацию, рассмотрен в предыдущем упражнении. Пусть теперь д(-) является непрерывной функцией или функцией ограниченной вариации, a f,h £ CBV[a, Ь]. И в этом случае в каждой из пар функций (h,gf), (hg, /), (/1/, д) одна является непрерывной, а другая — функция ограниченной вариации, следовательно, по теореме 3.4 все три интеграла в (3.16) существуют. В обозначениях предыдущего упражнения снова имеем
п
< £ \h(tk)\\f(tk) - f(tk-i)\\g(tk) - g(tk-1)| < e, (16.2)
fc=i
что эквивалентно справедливости равенства (3.16). Наконец, пусть /(•) является непрерывной функцией или функцией ограниченной вариации, а д, h £ CBV[a, 6]; если / £ С[а, 6], то наши рассуждения останутся прежними; если же / £ BV[a,b\, то воспользуемся равномерной непрерывностью функции д(-) и, выбрав разбиение отрезка [а, Ь] с достаточно малым диаметром, добьемся того, чтобы для колебания итк(д) выполнялось неравенство штк{д) < \—• Таким об-
мкЩ/)
разом, снова будет выполняться неравенство (16.2), что эквивалентно требуемому равенству (3.16).
247


t
3.14. 	Пусть / G BV[a,b], g,h £ С[а,Ь], F(£) = f g(s)df(s). Co-
a
гласно упражнению 4.7а (см. ниже) F Е BV[a,b], и по теореме 3.4 интегралы в (3.17) существуют. Пусть е > 0 произвольно мало. Тогда по теореме 3.3' найдется такое 5\ > 0, что для всех разбиений т, диаметр которых d(r) < <Si, выполняется неравенство
71
(/*(**) - U(tk-0) < щ-, (16.3)
где /тг(£) = VK/) — возрастающая функция, Mh см. упражнение 3.12. Для таких разбиений
71
|вт(Л, F) - 6T(hg, /)| = | 4Zk)(F(tk) - F(tk_!))-
к=1
_5Zft(?fe)p(Cfc)(/(*fc) - /(tfc-i))i < / |м&ж*)-
*;=i fc=i
71
-M£fcM£fc)|d/*№ ^ Mh^2ujTk{g)(fn(tk)) - /„(**_1) <
fc=l
Далее, из определения RS-интеграла следует, что найдется такое ^2, ЧТО еСЛИ £(т) < (^2, то
\ j\dF-GT(h,F)\<£-,\j\gdf-&T{hg,f)\<e-. (16.4)
Пусть D(t) <min{Ji, £2}* Тогда выполняются неравенства (16.4) и неравенство
\eT{h,F)-eT{hg,f)\<£-.
Следовательно,
гЬ
IJ h(t)d(J g(s)df(s)J - J h(t)g(t) df(t)\ <
< I f\(t)dF(t) - &T(h,F) \ + I&T(h,F) - eT(hg,f)\ +
J a
+ | eT(hg,f) - J h(t)g(t) df(t)\ <§ + § + §= e-
248


Так как е произвольно мало, то этим равенство (3.17) доказано. Пусть теперь выполнены условия 2). Все интегралы в (3.17) существуют и в этом случае. Применим к внутреннему интегралу в левой части (3.17) теорему 3.1. Тогда
£ h(t) d (jT д(а) df(s)) = d (<7/1* - J* f(s) dg(s)j =
= J h(t) dg(t)f(t) — J d(J f(s)dg(s)Sj.
Применив к первому слагаемому в правой части последнего равенства результат упражнения 3.12, а ко второму — уже доказанную часть, получим равенство (3.17) и в этом случае.
§4.
4.1. 	Если f(t) = const, то утверждение очевидно. Пусть
/(£) ф const и д(-) строго возрастает на [а, Ь], и а и (3
(а < a < (3 < Ь) таковы, что га' = inf f(t) > га, М' = sup f(t) < М.
[<*./4 [а,/3]
Тогда
га(з(/?) - 3(a)) < ™>'{д(0) - 5(a)) < / /(*) dg(t) <
a
< М'(д((3) - g(a)) < М(д((3) - g(a)),
* ™(9(a) ~ 5(а)) < J f(t)d9(t) «S M(g(a) - g(a)),
a
™(9(b) ~ 9(й) < / f(t) dg(t) < Af($(6) - g(J3)).
0
Сложив неравенства, получаем
ь
m(g(b) - g(a)) < J f(t) dg(t) < M(g(b) - g(a)),
I f(t) dg(t)
T. e. fl = ag(b)—g(a) ^ ^)’ слеД°вательно? a < £ < b.
7Г
4.2. 	Так как g(7r) — g(0) = f rf^(£), то получаем, что
о
7Г
/(1 — sin*) cf#(£) = 0. Пусть и и v (0 < и < */2 < v < тг) произвольные, о
249


Из аддитивности интеграла Стилтьеса следует
и V 7Г
J (1 — sin*) dg(t) 4- J (I — sin*) dg(t) + J (I — sin*) dg(t) = 0.
0 и v
Так как g(-) возрастает и 1 — sin* ^ 0, то все три слагаемых в этом равенстве неотрицательны и, значит, равны нулю; в частности,
U 7Г
J(1 — sin *) dg(t) =0, J'(1 — sin *) dg(t) = 0.
0 v
В силу теоремы 4.1
д(и) - 5(0) = 0, д(тг) - д(у) = 0,
откуда ввиду произвольности и иу получаем требуемое утверждение.
4.3. Рассуждения аналогичны рассуждениям, проведенным в предыдущей задаче.
t
4.4. Обозначим Ф(*) = f f(s)ds; Ф(-) непрерывна на [а, 6],
а
ф(а) = 0, Ф'(*) = /(*). Пусть сначала #(•) возрастает. Применим теоремы 3.2 и 4.1:
ь ь
J dt = J git) d<b(t) = 0(*)Ф(*)|о-
a a
b
- J Ф(*) dg(t) = д(Ь)Ф(Ь) - Ф(0(»(b) - ff(a)),
a
где £ G [a, Ь], а если #(•) строго возрастает, то согласно задаче 4.1 С е (а, 6).
6 Ъ £
J f(t)git)dt = g(b) Jf(t)dt-Jf(t)dt(g{b) - д(а)) =
а а а
Ь £
= g(b) Jf(t) dt + д(а) jf(t) dt.
a
250


Если д(-) — убывающая функция, то проведем все рассуждения для функции -д(-).
4.5. 	а) Применим теоремы 3.2 и 4.2 и неравенство | sinnt| ^ 1:
2тг
2тг
1/т
cos nt dt
= — dsinnt = — |/(£)sinn£
о
1 2"
- J sin nt df (t)
2-7Г
0
при f(t) = const получим равенство 0 = 0; б) и в) рассуждения аналогичны.
4.6. 	а) Непосредственно вычисляя интеграл, получаем
'£-2, -2<*<-1, £-1, —1 < t С 1,
V — 2, 1^4 <2,
G(i) = J sd{s}
-2, t = 2.
G(-) имеет в точках to = —1? 2 разрывы, причем
G(_l+)_ С(_1_) = -| - ( - |) = 1,
G( 1+) - G(l-) = -1, G(2) - G(2 - 0) = -2.
t
6) G(£) = f s(s2 — 1 )(s2 — 4) d{s} непрерывна на [—2, 2].
-2
4.7. 	а) Для произвольного разбиения г = {tk}k=o отрезка [а, Ь]
tk
«T(G) = ^|G(tfc)-G(ifc_1)|=X;| [ f(s)dg(s)\
к=i fc=i t/_t
n tk b
V(0)= Mf\J{9), где М/ = max|/(t)|.
fc=l tfc-i a J
Отсюда следует, что G(-) имеет конечную полную вариацию, причем
a a
251


б), в) Пусть сначала д(-) — возрастающая функция и h > 0. По теореме 4.1
t-\-h t
G{t + h) - Git) = J f(s) dg(s) - j f(s) dg(s) =
a a
t-\-h
= J f(s)dg(s) = f(£)(g{t + h)-g(t)).
t
Отсюда при h —> 0-f в силу непрерывности /(•)
G(t+)-G(t) = f(t)(g(t+)-g{t)). (Л)
Аналогично, при h < 0 и h —► 0
G(t)-G(t-) = f(t){g(t)-g(t-)). (В)
Сложив (А) и (В),
G(t+) - G(t~) = f(t)(g(t+) - g(t-)). (С)
В общем случае представим g(t) = дп (t)—gv(t) и, получив равенства (Л), (Б), (С) для дж(') и <7i/(-), вычтем из первых вторые, получим равенства (А), (В), (С) в общем случае. Из этих равенств видим, что G(-) непрерывна в точках непрерывности д(-).
2 оо
4.8. 	(См. пример в конце параграфа.) f t2dg(t) = ^ кТ^ =
о к=1
= 5(У2), где 5(t) = £ £■ S'W = £ ^ ± i =
к—1 к=1 к= 1
= — 1п(1 — *), отсюда tSf(t) = — 1п(1 — £), 5(0) = 0.
S'(«) = S(t) = - j
ds =
s
t
= — J ln(l — 5) d In s = — ^ ln(l — 5) • In 5 + J ^US ds'j.
Так как lim ln(l — 5) In s = 0 (это можно установить с помощью
s—►+()
252


правила Лопиталя), то
t
S(t) = — ln(l — t) In t + [ jnS - ds =
J 1 “ 5
1 — 5 = T
ds = —dr
= — ln(l — t) ln£ + J
l-t
ln(l — s)
ds.
Отсюда
5(t) = - ln(l - t) In t -f 5(1) - 5(1 - t),
а при t = V2 S(V2) = V2( - (In1/,)2 + 5(1)) = У2('а/в - In2 2) = = -7i2-y2ln22.
4.9. 	Так как #(•) строго возрастает, то существует обратная функция д~1 : [#(а), р(6)] —> [а, 6], эта функция возрастает (в нестрогом смысле, если д(-) не является непрерывной); если д(-) непрерывна в точке £', то <7-1(*) непрерывна в точке s' = g(t')m,
ft,g-\s)
4-i к t, g~\s)
Рис. 16.11
если д(-) имеет в точке t" разрыв, т. е. отрезок [g(tn—), g(tn+)\ не вырождается в точку, то g~l(s) = t" для всех 5 £ [#(£"—), #(£"+)]; таким образом, <7-1(*) непрерывна на [д(а), д(Ь)]. Следовательно, функция F(s) = f(g~x(s)) тоже непрерывна на этом отрезке. Это обеспечивает существование интеграла в правой части доказываемого равенства. (Существование интеграла в левой части было установлено ранее.)
253


Если rt — разбиение отрезка [а, Ь], а та — соответствующее ему разбиение отрезка [#(а), д(Ь)], то из D(rt) —> 0, вообще говоря, не следует, что D(ts) —> 0 (см. рис. 16.11); этим ситуация отличается от рассмотренной в задаче 3.9. Поэтому рассмотрим произвольное разбиение ts = {sfc}*!=() отРезка [#(а)> 9(b)] и положим tk = <7-1(sfc); при этом некоторые из tk могут совпадать (см. рис. 16.12); будем удалять «лишние» элементы из {g~1(sk)}k=o^ чт°бы оставшиеся точки образовали разбиение отрезка [а, 6], которое мы обозначим т*;
Рис. 16.12
теперь имеет место импликация D(rs) —► 0 => jD(t*) —* 0. Апри¬
орно установленное существование интегралов в обеих частях доказываемого равенства позволяет наиболее удобным образом выбирать точки £&•
п
©г,(/, 9) = f{tk){g{tk) - g{tk-0) =
к=1
п
= £/(fl_1(Sfc))(efc - Sfc-l) = 6Т.(Л-
к=1
(Мы сохранили «старую» запись суммы ©Tt, так как для совпадающих tk соответствующие слагаемые равны нулю; <E>Ts(F) — сумма Римана для F(-).) Устремив теперь D(rs) —> 0 в соотношении ©Tfc(/7 #) = &rs(F), получим требуемое равенство.
254


4.10. Указание: воспользуйтесь равенством задачи 4.9.
1
4.11. а) Пусть J(a) = f eat dO(t), где a G [0, 1]. Заметим, что в
о
силу теоремы 4.3 J(a) непрерывно зависит от параметра а на [0, 1]. Рассуждаем как при решении задачи 3.11.
Уз 1
J(a) = J eat d6(t) 4- J eat d9{t);
0 %
% i i
J,= J eat dS(t) = jet Щ %) = \ j ^ d9{u) = ±J( |);
о о 0
1 1
J2 = J eat d9(t) = J e“<%+%> d0(| + 5) =
% 0
1
2/ f au .,1 1Л/ \\ 1 2/ n -w / a N
= e'»“ J d(- + -%)) = 2 3
0
Таким образом, J(a) = У2(1 + e^a)J(a/z) = e% cha/3 J(a/3); итерируя эту формулу n раз, получаем
J(a) = е%+%+-+%» • cha/3 • ch% .. .cha/3„ J(73„).
1
Так как при a —> 0 в силу теоремы 4.3 J(a) —» f dQ(t) = 1, то
о
при п —> оо получаем, что
^ a 0° ОО
J(a) = ^ П ch |г = е§ П ch (*)
71=1 71=1
Сходимость бесконечного произведения следует из сходимости ряда
оо
53 In ch a/3n, которая, в свою очередь, имеет место в силу соотношения
71=1
Incha/3n = 0(%п) при n —> оо.
оо
Окончательный ответ: <7(1) = у/ё П ch Уз-
71=1
б) Заметим сначала, что все рассуждения предыдущей задачи проходят и для круга комплексной плоскости \а\ ^ С, где С > 0 —
255


произвольная константа. Поэтому из (*)
1 1
J sin 7Ttd${t) = (e*U - e~Vit) ~ J(~ni^) =
о 0
- oo OO oo
= 2i (e¥ Пch ¥ ~ e~* П ch(-^)) = Пcos fr •
n=1 n=1 n=1
4.13. 	Пусть выполнены условия 1). Обозначим
Hg(t) = f h(t, s) dg(s), Hf(s) = [6 A(t, s) d/(i).
Jc Ja
Согласно упражнению 4.8 Hg G БУ[а,6],#/ G ВУ[с,d], следовательно, все интегралы, участвующие в (4.8), существуют.
Пусть тп = {tkn}™^о “ такая последовательность разбиений отрезка [а, 6], что D(rn) —> 0 при п —► оо. Рассмотрим суммы Стилтьеса для интеграла из левой части (4.8), соответствующие этим разбиени¬
ям:
&Тп(Нд, /) — Hg (£fcn) (/fan) /(t(fc-l)n)) —
к=1
mn pd pd
= £ / M6n,«)<ifl(s)(/(4n)-/(((ic-!)«))=/ &rn{h{-,s),f)dg(s). k=l •/c 1/0
Так как при n —> 00 бГп(ft(-, 5), /) —► h(t,s)df(t) (при 5 G [c,d]) и ь
|0Tn(/i(-, 5),/)| < MV(/), то согласно упражнению 4.10
d
&rn(HgJ) - jHf(s)dg(s)
при n —* oo. Этим равенство (4.8) доказано.
С помощью теоремы 3.1 случай, когда выполняются условия 2), сводится к уже доказанному.
§ 5.
5.1. 	Пусть / G R[a, 6]. Предположим, что /(•) неограничена. Тогда найдется такая последовательность {tn}^=i С [а, Ь], что /(£п) ^ п,
256


и такая ее подпоследовательность {tnk}kLi, что tUk —> t* + 0 или tnk —► t* — 0 (t* G [а, 6]). Отсюда следует, что f(t*+) = оо или = оо. Это противоречие с определением правильной функции доказывает ограниченность /(•).
5.2. Докажем, например, что lim f(t+) = /(с—). Функция
£—>с—
f(i) = /(£+) непрерывна справа и отличается от /(•) лишь в точках разрыва. Если с — точка непрерывности /(•) (а значит, и /(•))> то /(с—) = /(с) = /(с) = /(с—), т. е. утверждение верно. Пусть с — точка разрыва /(•) и /(•). Найдется последовательность точек
непрерывности /(•) такая, что > с — 0:
(Ve > 0)(3W)(Vfc > АО => (|/(с-) - /(tfc)| < е).
Но f(tk) = f(tk), поэтому |/(с—) - /(tfc)| < е и, значит,
|/(с-) = lim /(tfc) = /(с-).
АС—ЮО
Остальные утверждения доказываются аналогично.
5.3. Обозначим через Те(/) множество точек разрыва /(•) на [а, Ь], в которых |о*(/)| ^ £. Предположим, что T\(f) — бесконечное множество и t* - его предельная точка. Пусть для определенности £* > а. Не ограничивая общности, можно считать, что существует возрастающая последовательность {tk}kLi точек разрыва из T\(f), tk —> t* — 0 при к —► оо. Переходя в неравенстве I f(tk+) — f (j'k—) I ^ n к пРеДелУ ПРИ ^ ^ oo, получим неверное неравенство 0 ^ Следовательно, Ti (/) — конечное множество. Дока-
оо
зываемое утверждение следует из представления Т(/) = И Т± (/).
1 п П—\
5.4. Следует из утверждения предыдущего упражнения и теоремы Лебега.
5.5. Доказательство в основном следует доказательству теоремы Вейерштрасса. Предположим, например, что sup f(t) > f(t) для
<€[а,Ь]
всех t € [а, 6]. Рассмотрим функцию g(t) = 1/ ( sup f(t) — f(t) J. Co-
\t€[a,b] J
гласно нашему предположению знаменатель не обращается в нуль, g(t) > 0, д G R[a, Ь]; по теореме 1 существует такая константа К > 0, что для всех t G [a, b] g(t) ^ К. Отсюда следует, что для всех t G [a, 6] 17-2800 257


выполняется неравенство f(t) ^ sup f(t) — 1/К. Но это неравен-
t€[a,b]
ство противоречит определению супремума. Значит, найдется точка t* € [а, Ь], удовлетворяющая условию теоремы. Аналогично доказывается и существование точки £*.
5.6. 	Необходимость. Пусть / : [a, b] —> R — правильная функция. Для любого п € N существует лишь конечное множество Т\ (/)
п
точек разрыва, в которых абсолютная величина скачка больше или равна ^ (см. доказательство теоремы 5.2). Покроем каждую точку множества ХЧ (/) открытым интервалом с центром в этой точке так,
п
чтобы суммарная длина этих интервалов была сколь угодно мала (во всяком случае, чтобы каждый такой интервал содержал только одну точку из множества Ti (/)). Обозначим объединение полученных
п
интервалов через G.
Каждую точку множества [a,b] \ Ti (/) покроем открытым ин-
п
тервалом таким образом, чтобы
1/(0-Ж') I < ^ (16.5)
для любых двух точек этого интервала'. Заметим, что ни один из интервалов не содержит ни одной точки из T\(f). В сочетании с
п
интервалами из объединения G получаем покрытие отрезка [а, 6]. По лемме Бореля - Лебега извлекаем из этого покрытия конечное подпокрытие, которое содержит все интервалы из объединения G. После удаления последних останется конечное покрытие {(tk-i, tk)}kz=zl множества [a, &]\Tl (/) , обладающее свойством (16.5); можно считать при этом, что интервалы занумерованы в порядке возрастания.
Для концов интервалов (*/-_!,£&), совпадающих с точками t е Тх(/), полагаем fn(t) = f(t). Пусть (tk-utk) П (**,**+1) ф 0.
п
Тогда берем в качестве ск произвольную точку из (tk-i,tk) П (tk,tk+1) и полагаем на полуинтервале (tk-i,ck\ ([с^,£fc+i)), если tk-i (tk+1) конец интервала первого типа, /п (t) равным любому значению функции /(•) на этом полуинтервале. Если £fc_i,£fc+i ^ ТЧ(/), то снова полагаем на (cfc_i,cfc] ((с^,Cfc+i]) fn(t) равным любому значению функции /(*) на этом полуинтервале. В итоге получаем, что /п(£) — ступенчатая функция и в силу (16.5) |fn(t) — /(01 < п ~* 0 ПРИ п °°, т* е-
fn(t) =4 f(t).
258


Достаточность. Пусть fn(•), п = 1,2,... — ступенчатые функции и fn(t) f(t) при п —> оо. Для произвольного е > 0 найдется номер п такой, что для всех t G [а, Ь] будет выполняться неравенство
I fn(t) - /(01 < §•
Пусть to G (а, Ь]. Найдется с < to такое, что для любых точек t',t" G (с, to)
1/(0 - Ж')1 ^ 1/(0 - Ш\ + |ш - fn(t")| + |/п(0 - < е.
В силу принципа сходимости Коши существует /(£о~)• Аналогично доказывается существование предела справа для любого t\ G [а, Ь). Следовательно, /(•) — правильная функция.
5.7. Пусть h > 0. По теореме о среднем для интеграла Римана
t+h
AF(t, h) = F(t + h) - F{t) = J f(s) ds = n(t ■ h),
t
где inf f(s) < jii(t) ^ sup f(s). Отсюда inf f(s) ^ j-AF(t,h) <
[t,t+h] [t,t+h] [t,t+h]
^ sup /(5), и при h —* +0 получаем требуемое. При h < 0 рассужде-
[t
ния аналогичны
5.8. Пусть h > 0. Полагаем f(t) = f(b) при t > Ъ. В силу предыдущего упражнения
Ь b+h Ь b+h CL+h
J f(t, h) dt = J f(t) dt - J f(t) dt = J f(t) dt- J f(t) dt =
cl a+h a b cl
= (/(£+) — f(a+))h + o(h) при h —> +0. При h < 0, рассуждая аналогично, получаем утверждение с нижними знаками.
5.9. Пусть h > 0. По теореме 4.1
c+h
J g{t) df(t) = n(f{c + h) - /(с)), (*)
С
где inf g(t) ^ /j, ^ sup g(t). Отсюда следует, что при h —> 4-0
[с,C+h] [с,c+h]
/л —► д(с+) и, значит, fx = д(с+) -I- a(h), где a(h) —► 0 при h —> 4-0; аналогично /(c+/i) = /(с4-) + /?(Л,), где (3(h) 0 при h —► +0. Подставляя
259


эти равенства в (*), получаем требуемое при 7(h) = ot(h)(f(c+)—f(c))+ +0{h)g(<+) + a(h)/3(h).
При h < 0 аналогичные рассуждения дают нам утверждение упражнения с нижними знаками.
5.10. Относительная компактность /([с, d]) следует из теоремы 5.1 и теоремы Больцано - Вейерштрасса. Незамкнутость образа /([с, d]) видна уже из примера: пусть /(0) = — 1, /(1) = 2, f(t) = t для t G (0,1); здесь /([0,1]) = {—1}U(0,1)и{2} — незамкнутое множество.
5.11. Пусть /(£) = t cos ^ при t ф 0, /(0) = 0, g(t) = sign t. Функция /(•) непрерывна на [—1,1], и следовательно, правильна на этом отрезке; функция д(-) также правильна на этом отрезке. Однако функция F(t) = g(f(t)) = sign f(t) не является правильной на этом отрезке, так как не существуют пределы F(0-f), F(0—).
5.12. В первом случае непрерывность F(-) следует из утверждения упражнения 5.9, ограниченность вариации доказывается точно так же, как в упражнении 4.7. Во втором случае утверждение следует из теоремы 3.1.
5.13. Если h G R[а, Ь], р, / G CBV[a, Ь], то во всех трех интегралах в (5.5) интегрируемая функция является правильной, а интегрирующая — непрерывной функцией ограниченной вариации, поэтому по теореме 5.4 все три интеграла в (5.5) существуют. При этом полностью проходят рассуждения доказательства упражнения 3.12; в итоге в обозначениях доказательства этого упражнения мы снова получаем оценку
п
дт < £ IM*k)ll/(*fc) - f(tk-i)\\g(tk) - < е,
к=1
из которой и следует равенство (5.5).
Пусть теперь / G R[а, 6], д, h G CBV[a.b\. В этом случае у первых двух интегралов в (5.5) интегрируемая функция принадлежит CBV[a,b\, а интегрирующая — R[a, Ь], а в третьем интеграле — наоборот. По теореме 5.4 все три интеграла опять существуют. Однако теперь рассуждения вышеупомянутого доказательства не проходят.
260


По теореме 3.2 справедливы равенства ь ь
Jh(t)dg{t)f(t) = h(t)g(t)f(t)\ba - Jg(t)f(t)dh(t),
a
b
J h(t)g(t) df(t) = h(t)g(t)f{t)\ba - J f(t)dh(t)g(t).
a a
Вычтем из первого равенства второе; вычтем из обеих частей полу-
ь
ченного равенства интеграл J h(t)f(t) dg(t) (который в силу теоре-
а
мы 5.4 существует, так как интегрирующая функция правильная, а интегрируемая — непрерывная функция ограниченной вариации); в итоге придем к равенству
ь ь ъ
J h(t) dg(t)f{t) - J h(t)g(t) df(t) - J h(t)f(t) dg(t) =
a a a
b b b
= ~ J 9(t)f(t) dh(t) + J f(t) dh(t)g(t) — J h(t)f(t)dg(t),
a a a
правая часть которого обращается в нуль в силу уже доказанной части равенства (5.5).
Случай Д, / G CBV[a, 6], д Е R[a, b] рассматривается аналогично.
5.14. 	Пусть д Е R[a,b], / Е CBV[a,b\. Согласно упражнению
t
5.9 	F(t) = f g(s) df(s) — непрерывная функция ограниченной вариа-
а
ции. По теореме 5.4 это означает, что все интегралы в равенстве (5.6) существуют. Дальнейшее доказательство в случае выполнения условий 1) буквально повторяет все рассуждения доказательства утверждения упражнения 3.14.
Пусть выполнены условия 2). В этом случае функции F( ) и /(•) — правильные, h(-) и h(-)g(•) непрерывные функции ограниченной вариации, поэтому по теореме 5.4 снова получаем существование интегралов в равенстве (5.6). Дальше снова рассуждаем, как при доказательстве в упражнении 3.14.
261


5.15. 	Если /(•) разрывна в некоторой точке to £ [а, 6], то согласно упражнению 3.8 функция g(t) = pt0(t) не интегрируема по /(•). Если допустить, что полная вариация /(•) бесконечна, то, рассуждая, как при доказательстве утверждения упражнения 3.9, получим, что интеграл бесконечен вопреки условию.
§ 6.
6.1. и) следует из б) и в); к) следует из е); л) следует из д); м) следует из л); н) так как очевидно А \ В = В \ А, то
ААВ = (А\В)и(В\А) = (В\А)и(А\В) = ВАА = ААВ; о) пусть х принадлежит левой части включения и х £ (А\ \ А2), но х (В\ \ В2)\ тогда х £ А\, х £ А2 и либо х JE?i, либо
х G В\ П В2\ в первом случае х G А\ \ Bi, а значит, х G AiABi,
во втором х G В2 \ А2, а значит, ж G А2АВ2; в обоих случаях ж принадлежит правой части доказываемого включения; аналогично рассуждаем и в случае, если х G (Bi \ В2), но х £ (А\ \ А2)\ п) пусть, например, х G А\ \J А2, по х £ В\ U В2\ тогда либо х G А\ \ В\, либо х G А2 \ В2; в обоих случаях х принадлежит правой части доказываемого включения; р) пусть х G В\ Г\В2\ если х G Ai, то х ф А2, и, следовательно, ж G В2\А2, х G А2АВ2, т. е. а; принадлежит правой части включения; аналогично рассуждаем и в случае гг G А2 и х ф Ai U А2; с) достаточно доказать включение для п — 1; пусть х G ААВ и, например, х £ А, х £ В; тогда если х £ Ci, то х £ А\С\, а если х £ С\, то х £ С\ \ В; в обоих случаях х принадлежит правой части включения.
6.2. а) пусть х принадлежит левой части; тогда либо х £ Ak при каком-нибудь к (1 ^ к ^ п) и х ф Bk, либо, наоборот, х £ Bk
при каком-нибудь к (1 ^ к ^ п) и х £ Ak, т. е. либо х £ Ak\Bk,
либо х £ Bk \ Ak, т. е. х £ AkABk при каком-нибудь к; следовательно, х принадлежит правой части включения; б) пусть х принадлежит
п п
левой части и, например, х £ р) Ak, но х £ р| Bk\ тогда х £ Ak при
к= 1 к—1
всех к = 1,2,..., п и х £ Bk0 при каком-нибудь ко (1 ^ ко ^ п),
т. е. х £ Ak0 \ Bk0, х £ AkABk, т. е. х принадлежит правой части
включения.
262


6.3. По определению кольцо замкнуто относительно операции Л; в силу 6.1 ж) операция Д ассоциативна, в силу 6.1 в) 0 — нейтральный элемент, в силу 6.1 б) каждый элемент противоположен сам себе. Следовательно, кольцо множеств — аддитивная группа.
6.4. Согласно упражнению 6.3 кольцо — аддитивная группа. Так как операция П ассоциативна, то кольцо — полугруппа относительно операции П 6.1 з) означает дистрибутивность Д относительно П. Таким образом, кольцо в смысле вышеприведенного определения является кольцом в алгебраическом смысле относительно операций Д (сложение) и П (умножение).
6.5. Пусть 1Z = р| Т£7, где Г — некоторое множество индексов
7€Г
и 7Z7 (7 Е Г) — кольца. Пусть А, В Е 7£; тогда по опредеделению пересечения множеств А, В Е Т£7 при всех 7 Е Г; так как Т£7 — кольца, то ААВ, АП В Е (7 Е Г); следовательно, ААВ, А П В Е 1Z т. е. 7Z — кольцо.
6.6 А. Проверим выполнение аксиом полукольца.
п
П [аь ьк) = 0, если при некотором к ак = Ьк- Покажем, что пе-
к=1
ресечение параллелепипедов либо пусто, либо является параллеле-
пипедом. Действительно, пусть Pi = П [4 - К ) (г = 1,2). Если
к= 1
при каком-нибудь к0 (U to ^ п) [а^, Ь^) П [а{;2\ Ь{^) = 0, то ?i П Р2 = 0- Пусть [а^, Ь^) П [а£2), 6^2)) ф 0
при к = 1,2, ...,тг. Тогда [а(^\ Ъ^) П [<а.£2), bfy) = [ак, Ьк), где ак = тах{а[.1\ а^}, bk = min{^1), Ь^}, и, значит, Р\ П Р2 =
= ni^.^cpw.
к=1
Проверим выполнение аксиомы 3 полукольца. Пусть теперь
Р^ = П Ьк) и Pf Yl Ь^) С Р(п\ Покажем, что Р^ мож- к=1 к=1
но представить в виде объединения Зп параллелепипедов указанного
вида, одним из которых является Р^.
При n = 1 это следует из примера 6.2. Пусть это утвержде-
Зп
ние верно при некотором гг, т. е. Р^ = |J р(п>г), где р(п’г) =
i=1
= П [cj^j *4^)» пРичем это либо ак, либо либо b£\ a d^ соот- j=i
263


ветственно либо а^\ либо Ь^\ либо Ьк при некотором к (1 ^ к ^ п); пусть при этом Р^ = Р(п'г“> и
71 -f-1
Р<п+1> = Ьк) = Р<"> х [an+i, Ьп+1),
k=1
р(п+1) = р(п)х[аш1)Ьа|1)ср(п)
Так как (см. пример 6.2) [ап+ъ bn+i) =
[an+i, а%1г) U [а^1; Ь^) U [Ь^, Ьп+1), то Р(п+1)
= (Д (^(п'г) х К+ьа^))) U (Д^М^х-О)) U
U (Д (Р(ПЛ Х 16»+1>Ь»+10) ’Р'П+1) = Х [а”+1’ 6”+l)- Тшаш
образом, p(n+x) представлен в виде объединения 3 • 3n = 3n+1 параллелепипедов, причем p^n+1) с p(n+1). По индукции аксиома 3 полукольца выполняется для всех п (см. рис. 6.13).
h
*2
°2
ь(2)
2
Оо(2)
“2
а2
(
*1 1
(1) / г1 о
,(,) *
h Ъ
Рис. 16.13
6.6Б. Доказывается аналогично.
6.7. 	При п = 1 утверждение теоремы верно, так как можно положить В\ — А\ (р = 1). Допустим, что теорема верна для некоторого п и {Bj}p-=l <zH — требуемая система для системы {Ак}к=1, т. е.
Лк= (J Bj, А: = 1,2,...,гг. (1)
j€ Г к
264


Пусть — заданная система множеств из TL.
Полагаем Bji = Ап+\ (Л Bj (€ Ti) (j = 1,2,... ,р). Так как
Bji С Ап.|_ь то по теореме 6.3 найдутся такие Вр+\,... , В9 € W, не
пересекающиеся между собой и с Bj при j = 1,2,...,р, что
Лп+1 = ( U % ] и ( у Вп ) ; (2)
\j = 1 J \j=p+l J
в силу аксиомы 3 полукольца найдутся такие Bj2,---,Bj,rnj € Н,
rrij
не пересекающиеся между собой и с Bj i, что Bj = |J Bji
i=1
(j = 1,2,... ,p). Отсюда и из (1) получаем
rrij
Ак = (J |^J Bji, к = 1,2,..., п.
j=rfc г=1
Таким образом, система множеств
1 О ^ ГОЛ?
=р+1
{Bji}, i = 1,2,... ,m; j = 1,2,... ,р,
в силу (2) и (3) — требуемая для системы {^4 &}£=}•
По индукции теорема верна для любого п.
6.8 a). A U В = (ААВ)А(А П В); А\В = АА(А П В).
6.8 б). А П В = (A U В)А{ААВ); А \ В = (A U В) ДВ.
6.8 в). Л U В = (Л \ В)ДВ; А П В = А \ (Л \ В).
6.9 а). С помощью операций U и П из А и В можно получить лишь А, В, A U В, А П В; эти множества все отличаются от А \ В, например при А = В ф 0.
6.9 б). Из >1 и В с помощью операций П и \ могут получиться лишь подмножества А или В. Но A U В не всегда является подмножеством А или В.
6.10. {0}, {0, {а}}, {0, {6}}, {0, {с}}, {0, {а, 6}},
{0, {6, с}}, {0, {а, с}}, {0, {а, 6, с}}, {0, {а}, {6}, {а, Ь}},
{0, {6}, {с}, {Ь, с}}, {0, {а}, {с}, {а, с}}, {0, {а}, {Ь}, {с}, {а, 6},
{&, с}, {а, с}, {а, 6, с}}. 0 кольцом не является, так как не содержит {а}Д{6} = {а, 6}. Аксиомы полукольца для 0 выполняются. Примерами полуколец, не являющихся кольцами, кроме © являются, напри-
265


мер, системы {0, {а}, {6}, {с}}, {0, {а}, {6}, {с},
{а, Ь}, {6, с}, {а, с}}. 11(G) = {0, {а}, {6}, {а, Ь}}.
6.11. В задаче 6.10 © не содержит {а, £>}.
6.12. Если 0 — кольцо, то, как было показано ранее, 6 и полукольцо, причем А, В Е 0 => A U В Е 0 (см. простейшие свойства кольца). Пусть © — полукольцо, содержащее объединение своих элементов. По аксиоме 2 полукольца 0 содержит пересечение своих элементов. Осталось доказать, что 0 содержит симметрические разности своих элементов. Пусть А, В Е 0. Так как АпВе&иАпВ С А, то по аксиоме 3 полукольца найдутся такие Ci,..., Ср Е 0, не пересекающиеся между собой и с А П В, что
р
А = (А п В) U С, где С = (J Ск.
к = 1
По условию С Е 0; но А \ В = С, значит, А \ В £ (5. Точно так же показываем, что В \ А Е 0 и, значит, АЛ В Е 0.
6.13. Пусть Е — единица алгебры 21. Так как алгебра является кольцом, то она содержит разности своих элементов (см. простейшие свойства кольца); значит, 21 содержит и разности Е\А (А Е 21), т. е. дополнения.
6.14. ще) = {0, л}.
6.15. ЩВ) = {0, {а}, {Ь}, {а, 6}}.
6.16. Так как очевидно пересечение и симметрическая разность конечного объединения непересекающихся полуинтервалов снова есть конечное объединение непересекающихся полуинтервалов, то 0 —
оо
кольцо. Так как Ак = [/с, к + ^) Е 0, но [j Ак =
к=1
оо
= (J[/c,/c + ^)^0, то0не является сг-кольцом. к=1
6.17. Единицей является Т.
6.18. Если 21 — алгебра, то условия 1) и 2) выполняются (см. простейшие свойства колец и упражнение 6.12). Пусть выполняются условия 1) и 2) и А, В Е 21. Тогда и А, В, A\JB Е 21. Но АпВ — Аи В, значит, и А П В Е 21, т. е. 21 содержит пересечения своих элементов. Далее, А \ В = АП В G 21, £?\А = БпАе21и, значит, АДВ Е 21,
266


т. е. 21 — кольцо. Пусть Е = (J А. Очевидно, что Е — единица, а так _ лея
как Е = 0 € 21, то 21 — алгебра.
6.20 а). Пусть Л, В С Т, А П В ф 0; тогда система
6 = {А, В, АП В, A U В} замкнута относительно операций П и U, но кольцом не является, так как не содержит 0 (см. простейшие свойства кольца).
6.20 б). Пусть А, В С Т, А П В = 0; тогда система
{0, А, В} замкнута относительно операций П и \, но не является кольцом, так как не содержит A U В.
6.21. а) Пусть (х, у) £ А х (В U С); тогда х £ А и у € В или у £ С. Это означает, что (х, у) £ А х В или (я, у) Е А х С, т. е. (ж, 2/) Е (А х В) U (А х С), этим доказано, что
Ах (В U С) С (Ах В) U (Ах С). (*)
Пусть теперь (х, у) £ (А х В) U (А х С); значит, (х, у) £ Ах В
или (х, у) £ Ах С. Отсюда следует, что х £ А, а у £ В или у £ С, т. е.
у £ В U С. Следовательно, (х, у) £ Ах (В U С), т. е.
(А х В) U (А х С) С А х (В U С).
Это вместе с (*) означает справедливость утверждаемого равенства.
Равенства б) — д) доказываются совершенно аналогично.
Точно так же доказывается включение
(А х В) U (С х D) с (A U С) х (В U D). (**)
Однако обратного включения может и не быть. Пусть, напри¬
мер, Т = R, А = [1, 3], В = [1, 4], С = [2, 4], D = [2, 5]. Тогда A{JC = [1, 4], BUD = [1, 5]. Точка (1, 5) принадлежит правой части включения (**), но не принадлежит левой (см. рис. 16.14).
6.22. Пусть (х, у) принадлежит левой части; пусть, например, (х, у) £ А х D. Это значит, что х Е А, у £ D, т. е. х Е A U С
и у £ В U D, т. е. (х, у) принадлежит правой части. Точно так же
доказывается обратное включение.
6.23. Пусть ©i С V(Ti) (здесь и ниже г = 1,2) — полукольца и 6 = 6i х 62; 6 состоит из множеств, представимых в виде
267


У
(>4UC)x(BUD)
А С
ч 1 1 1
1 2 J 4 х
Рис. 16.14
А = А\ х А2, где Ai € ©г* Очевидно, 0 = 0xA2 = ^iX0 при любых A* G ©г- Если А, В £ ©, т. е. А = Ai х А2,
В = В1 х Б2, Ai, Bi € ©i, то из 6.19 д) следует, что
АП Б = (Ai х А2) П (В\ х В2) = (Ai П В\) х (А2 П В2) Е ©,
так как А* П-В* € ©i. Осталось доказать выполнение аксиомы 3 полукольца для ©.
Пусть A*, A е © и А* С А; тогда А* = (AJ, А£), А = (Ai, А2) и А* С Ai. По аксиоме 3 для ©i существуют такие е ©г (j = 2,... ,Pi), что
Аг=[) A*J (А*п = Л*),
3 = 1
причем А*^ П A*fc = 0 при j Ф к (j, fc = 1,... ,pi). Следовательно,
Pi Р2
Л = Л1 х Л2 = (J Л^ х (J Л2*. (*)
j = l fc=l
Так как A^j х А^к G © и А^- х А2Д. CZ Ai х А2 (j = 1,...
268


к = 1,... ,р2), то из (*) получаем
Pi Р2
л = U U (Ah х Аы) -
j=lfc=l
требуемое представление А. Таким образом, аксиома 3 полукольца для & выполняется, в — полукольцо.
6.24. Пусть Т = {а, Ь}; тогда Р(Т) — кольцо, а Р(Т) X *>(Т) = {0, {а} х {а}, {а} х {Ь}, {а} х {а, 6}, {6} х {а}, {6} х {6}, {6} х {а, 6}, {а, Ь} х {а}, {а, 6} х {6}, {а, 6} х {а, 6}} кольцом не является, так как содержа {а} х {а} и {Ь} х {6}, не содержит их объединения {а} х {а} U {6} х {6} ф {а, 6} х {а, 6} (см. 6.19 е).
6.25. a) X0(t) = 0; б) ха&) < Хв(*); в) ха(*) = *в(£).
6.26. а) Ха(*) = 1 “ Хл(0; б) XAnB(t) = XA(t) • Хвф; ес- ли t е А П В, то t £ А и t G В; следовательно, ха(£) = Хв(1) = 1 и Ха($) ' Хв{£) = 1; если t £ А П В, то t £ А или t £ В; в обоих случаях, по крайней мере, один из сомножителей, а значит и произведение, равно нулю; в) Хлив(*) = хл(*) + хв(*) ~ Ха(*) • Хв(*);
г) Хл\в(0 = XaW(1 - Хв(*));
д) Хллв(О = XA(t) + хв W - 2ха(0 * Хв(*) = (хл М - Хв(*))2 •
оо оо оо
6.27. f] Ак = АП В, значит, и limAn = |J р| = А П В;
к=1 п=1к=п
оо оо оо
(J Afc = A U В при любом п, значит, НтЛп = П U Ак = A U В.
k=n n=1fc=l
6.28. Очевидно.
6.29. Пусть, например, {Ап}™^ — возрастающая. Тогда
оо оо
f] Ак = Ап и ИтДп = (J Ап. Так как Aj С Лп при всех j = 1,2,..., п,
/с=п П=1
оо оо оо
то (J Ак = (J Ак и, значит, limAn = \J Ак- Для убывающей после¬
довательности рассуждения аналогичны-1
оо оо оо
6.30. х G П Ап => х е IJ f] Ак = limА„: х G \imA„ =>
71=1 п= 1 к=п
оо оо оо оо
=> хG П Afc при каком-нибудь по ^ xG |J Ак => х£ п и
k=no k=no п=по к=п
оо оо оо
= П U Ак = Ипь4п; так как последовательность { (J Ак) убываю-
п=1fc=n fc=n
оо оо оо
щая; х G ИтАп =Ф х G (J для любого n х G (J Ак = IJ Ап.
k=n к=1 п=1
269


Полагаем А\ = (—1, 0), A2j = [0, 2], A2j+i = [1, 3],
оо
j = 1,2, Тогда f] Ап = 0, limAj = [1,2], limAn =
71=1
OO
= [о, з], и Л» = (-1, 3].
7г=1
6.31. Следует из законов двойственности (де Моргана).
6.32. х G А =>■ f(x) G f{A) =>■ a; G /_1(/(Л)) => А С f~1(f(A)) (по определению ); пусть /(•) - инъективно
и х G f~1(f(A)) => f(x) G f(A); так как /(•) инъективно, то это означает, что х G А.
6.33. у & В =>■ Зх G Т, f{x) — У ==^ х G f~1(B) =>• =► У = /(*) е у g /(/-^В)) ==► Зх g /-J(y),
f(x) = y=^yeB.
6.34. у G / (LMk ) Зх G U^fe : У = f(x) х € ^к0
\к / к
при каком-нибудь fc0 2/ = f(x) G Л^ко) =>■ у G U/(^k);
к
у G f(Ak0) при каком-нибудь /с0 => Зх G Afco : у - f(x) =>
х € U^fe => У = Л®) € / (и*) •
к \ к J
6.35. у G ==» Зх G : У = f(x) =*•
х € Ак (Ук) => /(х) G /(Afc) (Vfc) =*• у = /(х) G П/Ик);
к
пусть /(•) инъективно И у G f| Л^к) => У € Л^к) (Vfc) =>
к
=> Зх! Е Afc (Vfc) : у = /(х) (в силу инъективности ) =>
=> х G П^к У = f(x) G / fn^k) • к \к /
6.36. Из упражнений 6.31 и 6.32 получаем / (limAfc) =
/ оо оо \«Q1°C /оо \ о „п оо оо
= / ( и П ^к) = и / П Ак) 6^2 и П f(Ak) = Ш(Ак);
\тг=1 /с=тг / 71=1 \к=п / тг=1 А:=71
аналогично доказывается и второе равенство.
6.37. у G /(Т) \ /(А) => у G /(Т), но у ф f(A) =►
=>■ Зх G Т, х £ А: у = /(х) =>• х G T\i => у = /(х) G /(Т \ А)\
пусть /(•) инъективно; тогда если включение А С Т строгое, то и включение f(A) С /(Т) строгое;
у G /(Т\ А) =Ф Зх G Т\ Л : у = /(х) =>■ х G ТГ,
х i А =► /(х) G /(Т), Лх) £ /И) =► 3/ = /(*) е /(Т) \ f(A). 270


Как показывает нижеследующий пример, инъективность отображения /(•) существенна. Пусть Т = R, А = R+, f(x) = ж2; тогда f(T) = f(A)=A, f(T \А) = (0, Н-оо), /(Т) \ f(A) = 0.
6.38. х 6 /-1(/(Т) \ А) (= {х € Т : /(х) € /(Т) \ Л}) =►
=» /(х) € /(Т) \ А =► /(х) G /(Т), Дх) ф А ^
=> х € /—1(/(Т)), х £ /_1(А) => х е /_1(/(т)) \ обратное
включение доказывается аналогично.
6.39. Первые два равенства доказываются так же, как 6.35. Вторые два равенства доказываются на основе первых двух как 6.33.
6.40. Докажем первое равенство; второе доказывается анало-
оо оо оо
гично. Пусть t Е ПшАп, t Е П \J Аэто значит, что t е \J Ак для
п=1к=п к=п
всех п; таким образом, найдется такая последовательность натуральных чисел {rim}m=1> пт “> +00, ЧТО t Е АПт И
XAnm(t) = 1; следовательно, Итхдп(*) = 1 (так как lim^n(£) ^ 1).
ОО ОО ОО
Если t £ Ипь4п, t £ р| (J Ак, то £ ^ (J Ak при некотором по; это
п—1 fc=n к—по
значит, что t £ Ak при всех к^по, т. е. XAk(t) = 0 при всех к ^ по; следовательно, limХап(0 = Хап (0 = 0.
6.41. Множества совпадают в том и только в том случае, когда совпадают их характеристические функции (6.256). Пусть существует НтЛп, т. е. limAn = ИтАп. Из 6.30 видим, что тогда limxAn(£) = Ишхлп, т. е. существует Ншхлп- Обращая эти рассуждения, получаем, что из существования предела Нтхлп следует существование предела lim Ап.
6.42. а) Пусть А, В Е /-1(©); это значит, что найдутся такие Л, jВ, что А = /-1(А), В = f~1(B). Так как в — кольцо, то А П В, ААВ Е ©. Согласно упражнению 6.39 А П В = = f~x(A) П f~x(B) = f~l(A П В) Е /-1(6); аналогично ААВ Е /-1(б); б) точно так же с помощью упражнения 6.39 показываем, что /_1(©) — (j-кольцо, если только © — a-кольцо; Пусть © — сг-алгебра, Е — ее единица, тогда f~1(E) — единица /_1(©) : для любого А Е /-1(©), А = Г1(Л),Аее, f~1(E)nA = f~1(E)C\f~1(A) = = Г1{ЕПА) = Г1(А) = А.
6.43. {0, Л}; {0, А, Б, В \ А}.
271


6.44. Пусть Т = R, в — совокупность конечных объединений промежутков, т. е. множеств вида [а, 6], [а, 6), (а, 6], (а, 6). Очевидно, © — кольцо. Счетное пересечение элементов в снова будет не более чем конечным объединением промежутков, т. е. будет принадлежать ©. Счетное же объединение элементов © может оказаться счетным объединением промежутков, т. е. оно может не принадлежать 6.
6.45. Легко видеть (убедитесь в этом!), что На ~ кольцо (сг-кольцо), если только 1Z — кольцо (сг-кольцо). Единицей На, очевидно, служит множество А.
6.46. © — сг-алгебра, если Т — счетное множество.
6.47. Пусть А, В € 6. Тогда, очевидно, либо АГ)В (ААВ), либо А П В (ААВ) несчетны, т. е. © — кольцо, а так как Т Е ©, то © —
оо
алгебра. Если {Ak}kL1 С ©, то либо А = |J Ак, либо А — несчетны,
k=1
т. е. A Е ©. Значит, © — сг-алгебра.
6.48. Следует из 6.42. © — сг-алгебра с единицей Т П Q.
6.49. Пусть Т — бесконечное множество и 21 С V(T) — бесконечная сг-алгебра с единицей Т. Предположим, что 21 = {Bi,B2, • • •} — счетное множество. Для t Е Т полагаем
A(t)= р| Bj.
По свойству сг-алгебры A(t) Е 21, т. е. A(t) = BjQ при некотором jo. Покажем, что для t ф s либо A(t) = A(s), либо A(t) П A(s) = 0. В самом деле, если s G A(t), то по строению A(t) и A(s) A(t) = A(s); если же 5 ф A(t,) то A(t)C\A(s) = 0, ибо если найдетсяр G A(£)nA(s), то согласно сказанному А(р) = A(t) и A(s), т. е. A(t) = A(s), что противоречит тому, что s £ A(t). Таким образом, Т распадается на непересекающиеся множества
т= (J А
7€Г
(Г — некоторое множество индексов); каждое А7 есть некоторое A(t), Ay Е 21 (7 € Г), причем каждое Bj либо совпадает с одним из Л7, либо представляет собой некоторое объединение Л7; другими словами, каждому подмножеству Г соответствует некоторый элемент
272


Bj сг-алгебры 21 и наоборот. Если бы Г было конечным множеством, то это означало бы, что и 21 — конечное множество. Следовательно, Г — бесконечное множество, и мощность 21 не меньше мощности Р(Г), т. е. 21 несчетно. Это противоречие с предположением о его счетности означает, что 21 — несчетное множество.
6.50. Пусть B(t, г) (B[t, г]) — открытый (замкнутый) шар в Мп радиусом г с центром в точке t £ Rn. Как известно, открытое множество G СМП представляет собой не более чем счетное объединение открытых шаров,
G = (j£(tn, гп).
П
ОО
Очевидно, B(tn, г„) = |J B[tn, гп - екп) (0 < екп < гп, екп -> 0 при
к=1
к —► оо). Поэтому
оо
G = (J (J B[tn, гп - £кп],
п к=1
т. е. G представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств, т. е. является множеством типа Fa.
6.51. Пусть F С Мп — замкнутое множество; тогда G = Rп \ F — открытое множество. Согласно упражнению 6.50
оо
G = U Вт, где Вт — замкнутые множества. Следовательно,
771=1
(ОО \ ОО
U Вт \ = f|(Rп\Вту,
771 = 1 / 771=1
так как Rn \ Вш — открытые множества, то F — множество типа Gs.
6.52. Докажите как 6.51.
ОО оо
6.53. [а, Ь)= Г)(а-±,Ъ)= (J [а, Ъ - £], где р € N, р >
71= 1 П=р
ОС
6.54. Q = (J {г*п}, где гп — рациональные числа, занумерован-
71 = 1
ные в каком-либо порядке.
6.55. Следует из 6.52 и 6.54.
6.56. Так же как 6.54.
273


6.57. 	Пусть А — множество точек сходимости последовательности:
А = {t е F : Bat, fn(t) —► at при п оо}.
В силу принципа сходимости Коши для t Е А
(W е N) (HAfeN) {Чп,т>Я) \fn(t) - fm(t)\ < (*)
Введем множества
А пт = {t £ F : |/п(0 ~ /т(*)| ^ “}•
Тогда, очевидно,
оо оо оо со
п и п
iy=l Af=l n=J\f m=N
(квантору V в (*) соответствует пересечение множеств, квантору 3 — объединение).
Пусть t* — предельная точка множества А^т и
{*f }£l С Ahrv г1 -*■ ** (1 -*■ °°)- ТаК КаК l/n(*t) - fm(tl)\ ^ ТО В Силу непрерывности /„(•) и /т(-) |/„(**) - fm(t*)\ ^ Значит, множе-
ства А^ш замкнуты. Так как любое пересечение замкнутых множеств замкнуто, то множества
оо оо
Bfr = П П
п=М т=М оо
замкнуты. Поэтому С1' = (J В]^ — множества типа Fa,
ЛЛ=1
оо
ai = П С1" — типа Fa<5.
i/=i
6.59. 	Из двух десятичных представлений десятично рациональных чисел будем выбирать представление, содержащее конечное число девяток: пишем 0,500 ... а не 0,499 Рассмотрим полуинтервал
А\ = [0,5; 0,6); у чисел из А\ первая цифра в десятичном представлении 5; далее рассмотрим объединение девяти полуинтервалов
А2 = [0,005; 0, Об) U ... U [0,45; 0,46) U [0,65; 0,66) U ... U [0,95; 0,96);
274


у чисел этого множества первая цифра отлична от 5, вторая цифра 5; вообще пусть Ak (к = 2,3,...) представляет собой объединение всех полуинтервалов вида [0, а\... 0, а\... а^_хб) (таких по¬
луинтервалов, очевидно, 9fc_1), где a.j (j = 1,..., к — 1) — цифры, отличные от 5; у чисел из Ak первые к — 1 цифр отличны от 5, а к-я
оо
цифра — 5. Очевидно, А — \J Ak- Согласно 6.53 полуинтервал есть
1
борелевское множество, следовательно, А как счетное объединение борелевских множеств есть борелевское множество. Каждый из полуинтервалов имеет мощность континуума, поэтому А имеет мощность континуума.
6.60. Очевидно, В = А = [0, 1] \ А, где А из 6.59. Поэтому В — борелевское множество, так как всякая сг-алгебра содержит дополнения своих элементов (см. 6.13). Покажем, что В имеет мощность континуума. Для этого запишем числа отрезка [0, 1] в девятиричной системе счисления. Каждому числу из [0, 1], записанному в этой системе счисления, поставим в соответствие число из В таким образом: заменим в первом цифру 5 на цифру 9; обратно, каждому числу из В поставим в соответствие девятиричное число из [0, 1] так: цифру 9 числа из В заменим цифрой 5. Очевидно, такое соответствие между числами из В и отрезком [0, 1] взаимно однозначно. Следовательно, множество В имеет мощность континуума.
6.61. Рассуждаем как в задаче 6.59. Пусть А\ = [0,2; 0,3); у чисел из А\ первая цифра 2; далее
А2 = [0,002; 0,03) U [0,12; 0,13) U [0,42; 0,43) U ... U [0,92; 0,93);
А2 объединяют в себя 8 полуинтервалов; у чисел из А2 первая цифра отлична от 2 и 3, вторая цифра 2; вообще Ak (к = 2,3,...) представляет собой объединение 8fc_1 полуинтервалов вида [0,c*i ...afc_i2; 0,ах ...afc_i3), где aj (j = 1,..., к-1) — цифры,
оо
отличные от 2 и 3, а к-я цифра — 2. Очевидно, A — (J Ak- Дальней-
к=1
шие рассуждения как в 6.59.
6.62. Доказывается как в 1.16.
275


§ 7.
7.1. По теореме 6.4 существуют такие попарно не пересекающиеся В\,..., Вр е Н, что
A=\Jbu Ак = (J Bi (Г* с {1,...,р}, fc = 0,1,... ,п).
г€Го
п
Так как А С (J то каждый индекс из Го принадлежит какому- fc=i
либо Tfc. Следовательно, каждое слагаемое суммы
^2 т(В{) = т(А) хотя бы один раз входит в сумму
г€Г0 п
^2 X) m(Bi) = т(Ак)- Отсюда и следует доказываемое неравенство. fc=иегк
п
7.2. По теореме 7.1 при любом п ^2 т(Ак) ^ ш(Л). Отсюда
fc=i
оо
следует сходимость ряда ^2 т(Ак) и требуемое неравенство 1.
к=1
Для доказательства второго утверждения полагаем
п—1
Вп = (АпЛ„)\ (J Ак;
к=1
очевидно, Вп принадлежат кольцу, попарно не пересекаются,
оо
Ап С Вп и А = |J Вп. Отсюда в силу сг-аддитивности т и ее мо-
п=1
нотонности (следствие теоремы 7.1) получаем
оо оо
т(А) = ^т(Б„) < ^т(Ап),
П=1 П=1
что и требовалось доказать.
7.3. Очевидно, С С D U (CAD), D С С U (CAD); в силу полуаддитивности верхней меры (теорема 7.1)
/х*(С) < //*(£>) + Д*(СД£>), /i*(L>) < /х*(С) + /х*(СД£>),
т. е. справедливо неравенство (7.3).
7.4. Представим Б = Bi U В2 и i?2 в виде объединения непересекающихся элементов кольца 7Z(H) :
В = В\ U (В2 \ В\), В2 = (В\ П В2) U (В2 \ В\);
276


значит,
т(В) = т(В\) + т(В2 \ By), т(В2) = m(Bi П В2) U т(В2 \ В\)\
если вычтем из первого равенства второе, то получим равенство (7.4).
7.5. 	Пусть Bi = Вп = Ап+1 \ Ап, п = 2,3,...; тогда Вп попарно не пересекаются и
п оо
Ап = и с ^ = U ^к'
к=1 к=1
Отсюда
п
v(An) = '^2,v(Bk) ^ /х(Л).
fc=l
оо
Это значит, что ряд v(Bk) сходится и в силу сг-аддитивности fc=i
оо
v v(A) = ^2 v(Bk). Таким образом, к=1
lim v(An) = ^(А),
п—*оо
что и требовалось доказать.
7.6. 	Пусть для любой монотонно возрастающей последовательности множеств С 1Z
lim v(An) = v\ \ J Ап I ,
n—>oo \ I
\n=1
и последовательность множеств {Bn С 1Z такова, что Вп попарно
оо п
не пересекаются, В = (J В к € Полагаем Лп = (J В&(е7£). Очевидно,
fc=i fc=i
— монотонно возрастающая последовательность множеств,
оо оо оо оо
и Ап = и U вк = и вк = В, поэтому lim и(Ап) = v(B). Но
п=1 п=1 к=п к=1 п_,°°
П
в силу конечной аддитивности v v(An) = ^ v(Bk), так что в итоге
/ оо \ oofe=1
i/(B) = i/MjBfc = 5>(Bfc),
\k=l / к=1
т. е. I/ сг-аддитивна.
277


Пусть теперь для любой монотонно убывающей последовательности множеств {Сп}^=1 С 71
lim v{Cn) = v ( П С'п ) ,
п_>°° \п=1 /
и последовательность {Вп} такая же, как и выше. Полагаем
ос оо
Сп = У Вк- Так как Сп = В \ АП1 то Сп £ далее, f] Сп = 0,
fc=71+1 П=1
следовательно, lim ^(Сп) = 0 или lim v(An) = iЛ В). Поэтому снова
п—►ОО П—+00
получаем
(ОО \ оо
[J Bfc =£>(в*).
к=1 / fc=l
7.7. Доказывается как 7.6.
7.8. См. упражнения 6.1 и 6.5. Мера га продолжается до меры
га на
ЩП) ={0,{2},{3},{1, 4},{2, 3},{1, 2, 4},{1, 3, 4},{1, 2, 3, 4}}. га 0 1 1 3 2 4 4 5
Неизмеримость множеств, не входящих в 7Z(Tl), доказывается по определению. Покажем, например, что множество А = {1} неизмеримо.
/х*(АЛ0) = га({1, 4}) = 3; /х*(АД{2}) = м*({1, 2}) = 4;
аналогично,
М*(ЛД{1,4})=М*({4}) = 3,
М*(^А{3}) = ц*{АА{1, 2, 4}) = ц*(АА{ 1, 3, 4}) = 4,
М*(ЛЛ{2, 3}) = м*(АА{1, 2, 3, 4}) = 5.
Таким образом, при е < 3 неравенство /х*(ААВ) < е невозможно для любого В £ 7£(Н). Значит, А = {1} — неизмеримо. Точно так же доказывается неизмеримость остальных множеств, не входящих в
ЩН).
7.9. Аналогично 7.8.
7.10. б) Неотрицательность очевидна, аддитивность проверяется непосредственно; в) пусть Т = {г 1,7*2,...}; мера одноточечного
278


оо
множества {rn} равна 0, мера Т равна 1; между тем Т = (J {гп}, т. е.
п—1
оо
1 = т(Т) Ф J2 т({гп}) = о.
71=1
7.11. Очевидно, в — полукольцо (см. примеры полуколец в § б). т неотрицательна, если (а, Ь] = (а, с] U (с, 6], то т(с, Ь] = 0, т(а, с] =0, если а > 0, и т(а, с] = 1, если а = 0. Отсюда получаем аддитивность га, т. е. т — мера.
Пусть ап > 0, dn —► +0 монотонно и 6>ai. Тогда {(an, С
С 6 — монотонно возрастающая последовательность, (0, 6] =
оо
= и (“п. Ь] и
п=1
1 = га(0, 6] Ф lim m(an, 6] = 0.
п—»оо
Это означает, что га не является полунепрерывной снизу (см. теорему 7.13) и, следовательно, не является сг-аддитивной.
7.12. Очевидно, в — полукольцо множеств из Т с единицей Т (см. примеры полуколец из § неотрицательность и аддитивность ш на 6 также очевидны. 7£(б) = {(В,С) : В G 21,С = [0, 1]}, где 21 — алгебра конечных объединений полуинтервалов [а, Ь) из
п
[0, 1); если В = (J [ап, Ьп) ([ап, 6П) попарно не пересекаются), то
к=1
71
га(£?) = (&n — an). Следовательно, лебегово продолжение меры т
к=1
определено на сг-алгебре
ЯЯ={(В, С): В€£,С=[0, 1]},
где £ — (j-алгебра измеримых по Лебегу множеств из [0, 1), при этом fi(B, С) = mes В.
Так как А £ ЯЛ, то А неизмеримо. А так как единственным элементом из 6, содержащим А, является Т, то ц*(А) = га(Т) = 1 (см. рис. 16.15).
7.13. Очевидно, 6 — кольцо (см. примеры колец в § ^., но не алгебра. Неотрицательность и аддитивность ц также очевидны. Пусть {Ak}kLi С в, причем Ак попарно не пересекаются. Чтобы
оо
А = U Afc G 6, необходимо и достаточно, чтобы лишь конечное чис- к=1
279


Рис. 16.15
тп
л о Ак были непустыми; значит, в действительности А = (J Ак при
к=1
некотором т. Отсюда
тп оо
ли) = хул*) = 5>(4о,
к=1 fc=l
т. е. /i — <т-аддитивна.
Пусть /(£) > 0 на множестве С С Т. Если С не более чем счет-
оо
ное, С = (Ci,С2,.. .)> причем ряд ^ /(С&) сходится, то /i — конечна;
к=1
если этот ряд расходится, то ц — а-конечна. Если С имеет мощность континуума, то /i не является сг-конечной, так как С, а значит и Т нельзя представить в виде счетного объединения счетных множеств.
7.14. Указание. Пользуясь полуаддитивностыо верхней меры (теорема 7.1), покажите, что последовательность {/1*(ЛП)}^=1 — возрастающая, ограниченная сверху; покажите, что lim fA*(An) =
п—юс
= sup ц*(Ап) = ц*{А).
П
7.15. Указание. Рассуждения аналогичны 7.14. Здесь {ц*(Ап)}™^ — убывающая, ограниченная снизу последовательность и lim ii*(An) = inf fi*(An) =
n—юс n
00
7.16. mesG0 = £ mesG*: = l-5+2-1/9+4-1/27+.. .+2fc_1-1/3fc+.. .=
= £ Уз • (2/з)*“Х = Дг = 1.
к=1 73
Значит, mes /С = mes[0, 1] — mes Go = 1 — 1 = 0.
280


7.17. a) mes Л = 1; б) mes В = +оо; в) mes С = 2;
г) 	mes D = ^.
7.18. 6.59. mes Л = 1; 6.60. mesJB = 0; 6.61. mes А =
6.62. mes /Сп = 0. Удаляемое открытое множество Gno имеет пред-
оо
ставление Gno = (J Gnfc, где Gnk (к = 1,2,...) — открытое мно-
к=1
жество, удаляемое на fc-м шаге; mesGni = мера оставшегося после первого шага множества mes([0, 1] \ Gni) = 1 — ^ = 1?^-; следовательно, mesGn2 = (l — после второго шага оста-
лось mes[0, 1] \ (Gni U G„2) = 1 - £ - ^ = {п~Р ; mesG„3 = = {п~Р ; продолжая рассуждать так и далее, индукцией по к убе-
-I \fc — 1
димся в том, что mesGnfc = *—^—, к — 1,2, Таким образом,
(п — 1)к ^ 1 (п— 1\к
mes Gno = > Е> - • = 1.
f—' пК f—' п \ п J
к=1 fc=l 4 7
Следовательно, mes/Cn = mes([0, 1] \ Gno) = 0.
7.19. a) An = [n,n + 1); б) An = [n, -foo); в) Ап = [0, 1] U
оо
U[n, +оо); г) Ап = (J (к ~ к + ^); д) пусть Р = {Pi, Р2, • • •};
к=1
ОО
тогда = U (Рк - А+1, Рк + п.21+1) удовлетворяет условиям:
fc=i
ОО ОО
П Ап = р И mes = 2 X) n.2l+i = п’ е) ПУСТЬ Gn _ откры-
П=1 fc=l
тое множество, удаляемое на гг-м шаге при построении канторова множества /С (см. упр. 6.62), Gn -h /С = {ж : х = у + к, у G Gn},
оо
к G N — сдвиг Gn на /с единиц вправо; тогда An = (J (Gn+/C) — требу-
к=1
емое множество; ж) Ап = [гг, +оо) х [га, +оо) (см. б);
з) 	пусть Bmk = [m, га + 1) х [A;, fc-f 1), m, /с G Z; занумеруем Bmk в последовательность с одним номером; каждое Вшь получит свой номер гг; полагаем Ап = Вшк.
7.20. Пусть Ас [а, 6]; рассмотрим функцию /(£) =mes([a, t]DA). Очевидно, /(a) = 0, f(b) = р. Для ft > 0 и произвольного t G [a, 6)
/(£ H- ft) — /(£) = mes((t, £ 4- ft] П A) ^ mes(£, t + ft] = ft;
отсюда видим, что /(•) непрерывна справа на [а, 6); аналогично доказывается ее непрерывность слева на (а, 6]. Таким образом, /(•)
281


непрерывна на [а, Ь] и, следователно, принимает все значения между 0 и р. Значит, найдется такое £ € (а, 6), что /(£) = <?. Множество Р = [а, £] П Л — требуемое.
7.21. Полагаем Ап = А П [—га, п]; тогда Ап С -An+i, га = 1,2,...,
оо
А = (J Ап. По теореме 7.12 р = mes Л = lim mesAn. Так как чис-
п=1 п-*°°
ловая последовательность {mes Ап}^=1 — возрастающая, то найдется такой номер га, что р > r= mes Ат > q. Ат — ограниченное множество, поэтому согласно доказанному в упражнении 7.20 найдется такое измеримое (ограниченное!) множество В С Ат, что mes В = q.
7.22. Пусть qf € (g, р). По доказанному в упражнениях 7.20, 7.21 найдется такое ограниченное множество В С А, что mes Б = q'. Пусть В С [а, Ь]. По теореме 7.14 для любого е > 0 найдется такое замкнутое множество F, что mes F > qf — е и, значит, mes F > q. По доказанному в упражнении 7.20 найдется такое £, что mes[a, £\nF = q. Удалив, если это потребуется, из замкнутого множества С = [a, £] HF изолированные точки (которых может быть не более чем счетное множество), получим совершенное множество меры q, лежащее в исходном множестве А.
7.23. Пусть mes А = р > 0. Согласно упражнению 7.22 найдется совершенное множество С С А меры | > 0, которое, очевидно, не пусто. Множество С имеет мощность континуума, следовательно, и А имеет такую же мощность.
7.24. Нет. Непустое открытое множество содержит хотя бы один интервал, мера которого положительна.
7.25. Нет. Если множество содержит внутреннюю точку, то оно содержит и некоторый интервал, содержащий эту точку; мера этого интервала положительна.
7.26. Нет. Пусть F С [а, Ь] — замкнутое множество, не совпадающее с [а, 6]. Тогда G = [a, b\ \ F — непустое открытое множество, причем mes G > 0. Следовательно, mes F < b — а.
7.27. а) да; Ап = (—оо, 0) U [га, +оо); б) да; см. упражнение 7.19 в; в) да; см упражнение 7.19 б.
282


оо
7.28. а) да; Ап = [0, ^], |J Ап = [0, 1); б) да; Ап = (0, гг],
П= 1
ОО
U Ап — (Oj +оо).
п=1
7.29. Да; см. упражнение 7.17, множество С из 6.58.
7.30. См. ниже 7.31.
7.31. Согласно теореме де Моргана,
п п п п
mes р| Ак = mes [J Ак ^ mes Ак = Еа - mes =
к=1 к=1 fc=l к=1
п
= п — mes Л/с < гг — (п — 1) = 1; к=1
с л едовате льно,
п ~~п
mes pj = 1 — mes p| > 1 — 1 = 0. i fc=i
oo
7.32. Пусть 0 ^ a < 1. Рассмотрим сходящийся ряд ^ 7*.,
fc=i
где 7fc = Сумма ряда равна 1 — а. Построим совершенное нигде не плотное множество по типу канторова множества (см. 1.16, 6.62) следующим образом: на первом шаге удалим из середины отрезка [0, 1] интервал длиной 71; на втором шаге удалим из середин двух оставшихся отрезков по интервалу длиной продолжая этот процесс неограниченно, удаляем на к-м шаге из середин оставшихся от предыдущего шага 2к~1 отрезков по интервалу длиной 2*г=т5 общая длина удаляемых на к-м шаге интервалов равна 7/-. Таким образом, из отрезка [0, 1] окажется удаленным открытое множество G, мера кото-
оо
рого равна ^ 7^ = 1 — а. Оставшееся совершенное нигде не плотное к=1
множество будет иметь меру 1 — (1 — а) — а.
Совершенное нигде не плотное множество меры 1 построить нельзя (см. 7.25).
7.33. Построенное в предыдущем упражнении множество G — требуемое.
7.34. Пусть возрастающая последовательность положительных чисел {oinj^Li такова, что ап —> 1 — 0. Как в упражнении 7.32, для
283


каждого га построим открытое множество Gn и совершенное нигде не плотное множество Кп так, что
mes/Сп = an, mes Gn = 1 — ап —> 0 (га —► оо).
оо
Так как mes Р) Gk ^ mesG — ап (га = 1,2,...), mesGn —» О
l
oo oo
(га —► oo), to mes Q Gk = 0. Множество A = |J /Сп — требуемое:
fc=l n=l
oo oo
так как mes Л = mes (J /Cn = mes p| Gn = 0, to mesA = 1.
n=l n=l
7.35. Как в упражнении 6.58, построим множества Ai чисел, десятичная запись которых невозможна без цифры i :
оо
А% — Aik,
fc=1
где — множество чисел, у которых на k-м месте стоит цифра г,
Aik = (J [0,ii... ... jfc_i(z-f 1))
j„=i
(при г = 9 запись несколько видоизменяется). Как и в упражнении 7.17, покажем, что mes А* = 1 (г = 1,2,..., 9); если Bi — Ai— множество чисел, десятичная запись которых не содержит цифры г, то mes Bi = 0 (г = 1,2,...).
9
Очевидно, искомое множество А = р| Ai.
г=1
~~9 9 9
mes А = mes Pj Ai — mes Bi ^ ^ mes Bi = 0, mes A = 0.
г=1 i=1 i=l
Следовательно, mes A = 1.
7.36. Объединение этих интервалов есть множество А = _ ( L I _l ±Л| \(1 - -L i_Li\ii/2_l Z _i 1_Л («Г» 1- 1 + -U
~V 20 ’ 9 20 / \ 9 20 ’ 3 20 / V 3 20’ 9^207^49 20’Х^20У
(см. рис. 16.16).
mesA = 4(i + ^) = §§.
7.37. Пусть А2ш — множество чисел из [0, 1], в двоичном представлении которых на 2-м, 4-м,... 2т-м месте стоят нули. Так,


-1/20 1/9+1/20 2/9
( 1 1 1 ' ) (
0 1/27 2/27 1/9 2/9-1/20
2/9-1/20 1/34-1/20 2/3
( 1 1 • 1 ) ( *
2/9 7/27 8/27 1/3 2/3-1/20
2/3-1/20 7/94-1/20 8/9
( 1 1 1 ^^ i
2/3 19/27 20/27 7/9 8/9-1/20
8/9-1/20 14-1/20
( 1 1 1 1 h
8/9 25/27 26/2 1
Рис. 16.16
и вообще
fc=l ' 771=1
где — четные числа, меньшие 22m; по построению
Мгп с А2(тп- 1); следовательно,
mes А = lim mes А2Ш = lim 2 2m • 2m = 0.
771—►OO
Пусть (a, /J) — произвольный интервал; так как длины интервалов, составляющих А^т, равны 2-2т —> 0, то найдутся такие т и fc, что множество (а, /?) \ [^£г, содержит непустой интервал, не
содержащий точек множества А.
7.38. 	По теореме 7.14 для измеримости множества А необходимо и достаточно, чтобы для каждого п нашлись такие замкнутое Fn и открытое Gn множества, что Fn С А С Gn, mesGn \Fn < При этом очевидно можно выбрать Fn и Gn так, чтобы Fn С Fn+1, Gn+i С Gn, т. е. Gn+i \ Fn+1 С Gn\Fn. Полагаем
оо оо
В = (J Fn, C=f]Gn;
п=1 тг=1
тогда В (С) есть множество типа Fa (Gs),
(оо ос \ оо
П Gn \ U Fn I = mes Pi (Gn \ Fn) =
71=1 71=1 / 71=1
285


= lim mes(Gn \ Fn) ^ lim — = 0.
71—>-00 П—► OO Ti
7.39. Множества В и С из предыдущего упражнения удовлетворяют условиям, так как mes (А\В) = 0, mes (С \ А) = 0, и значит, mes В = mes А = mes С.
7.40. Из //-измеримости А следует, что для любого п Е N найдется такое множество Сп = {JDni э А, Dni Е 6, что
м(Сп) < мИ) + -• (16-6)
П
п
Пусть Вп = р| С&; тогда выполняется первая цепочка включений, к=1
причем в силу свойств полуколец jBn = IJE’nj, где Enj Е 6. Пусть,
з
к оо
далее, i?nfc = (J Enj, jB — р| Вп\ теперь, очевидно, выполняется
J=1 П=1
и вторая цепочка включений, а из непрерывности меры /х и (16.6) следует, что ц(В) = /х(А).
7.41. 	Очевидно, 5 = /С х /С, где К, — канторово множество отрезка [0, 1]. Отсюда следует, что 5 замкнуто, не содержит изолированных точек, т. е. совершенно; очевидно также, что 5 нигде не плотно вследствие наличия этого свойства у /С. Найдем меру множества Т \ 5, где Т = [0, 1] х [0, 1]:
~ 8*-1 _ 1 у, /8\ fc_1
^ г2к ~ 9 ^ V9 /
к=1 к=1 4 7
* -1.
%
Значит, mes 5 = 0.
7.42. 	Пусть А — непустое замкнутое множество меры нуль и (а, (3) — произвольный интервал. Так как /3 — а > 0, то не может быть (а, (3) С А. Следовательно, найдется xq Е С=(а, /3)\А; так как С открытое множество, то найдется такое € > 0, что (хо — е, х$ + е) С С. Итак, произвольный интервал (а, /?) содержит интервал, свободный от точек множества А, т. е. А нигде не плотно.
286


7.43. Например, А = Q П [О, 1] — множество рациональных точек отрезка [0, 1]; замыкание А есть отрезок [0, 1].
7.44. Построим на [0, 1] совершенное, нигде не плотное множество В лебеговой меры \ (см. 7.32). Пусть А — множество концов удаляемых интервалов. Тогда А нигде не плотно (как часть нигде не плотного множества), имеет меру нуль (как счетное множество); замыкание А есть jВ, mes В — \ > 0.
7.45. а) —б) 2; в) mesAi = 4\/3 — §л/2,
mes= §\/2 — |, mesЛ3 = |, mesА4 = 0, где Ак =
= {{xi У) : [У — х<2\ ^ к, у ^ 4}; г) mesAi = 6, mesA2 = 10, mes As = 14, mes Л4 = 18, где Ak = {(x, у) : [|x| 4- \y\] ^ k}.
7.46. По определению ц*(А) = inf J] mes где точная ниж-
к
няя грань берется по всем объединениям (J В к элементов исходного
к
полукольца параллелепипедов, содержащим А. По свойству точной
нижней грани для любого е > 0 найдется такое объединение (J Вк,
к
ЧТО
mes Bk > /л* {А) - г.
к
Заменим В к открытыми параллелепипедами В к с теми же гранями:
п п п
если Вк = П [«<*> Ы ИЛИ Вк = П [агк, Ык), ТО Вк = П (агк, hк)',
г=1 г=1 i—1
при этом mes В к = mes Вк- Но В к — открытое множество, значит, и
G = \JBk — открытое множество. Итак, существует такое открытое к
множество G, что
mesG > /л* (А) - е.
Значит, /i*(A) = Jnf^mesG, что и требовалось доказать.
7.47. Сравнивая определение верхней и нижней мер и учитывая, что \JCj С А С IJ В к, получаем, что
j к
sup m(Cj) < inf т(Вк),
У сзСА V
а это и требовалось доказать.
287


7.48. В определениях верхней и нижней меры можно, не ограничивая общности, считать, что входящие туда объединения конечны. Тогда, учитывая теорему 6.5 о строении кольца над полукольцом, можно эти определения переписать в виде
/х*(Л) = inf m(B), ВеЩН); д*(А) = sup га(С), С еЩН).
АСВ СсА
Тогда (учитывая, что в данном случае 7Z(7~() алгебра)
га(Т) — fx*(A) = га(Т) — sup га (С) = _inf_ra(T \ С) = ц*(Т \ А),
СсА Асе
откуда
M*(A) = ra(T)-/i*(T\A).
7.49. 1. Пусть множество А измеримо. Это означает, что для любого е > 0 существует такое В Е 7£(Н), что /х* (ААВ) < е. Отсюда, согласно упр. 7.3,
11л*(А) - т(В) | < /х* (ААВ) < б, \ц*(Т \А)~ га(Т \В) \<е
(см. упражнение 6.1 н, (Т \ А) Д(Т \ В) = ААВ). Таким образом,
-е < /а* {А) - т(В) <£, -е< jx*(Т \ А) - га(Т \ В) < е.
Складывая эти неравенства, получаем
—2е < fx*(A) + fi*(T\ А) — т(Т) < 2е,
что ввиду произвольности е означает, что
1х*(А) + /х*(Т \А) - т(Т) = ti*{А) - ^(А) = 0, fx*(A) = fx*(A).
2. Пусть fx*(A) = /х*(А) или, что то же,
М*(А)+М*(Т\А) = т(Т). (*)
Для произвольного £ > 0 согласно замечанию, сделанному выше, найдутся такие С Е И(Н) и D е 7£(7Y), что
т(С)<ц*(А) + А с С; m(D) < м*(Т\ А) + |, Т\Ас£.
288


Складывая оба неравенства и учитывая (*), получаем т(С) -I- m(D) < га(Т) + е.
Далее, так как С U (D \ С) = Т и С П (D \ С) = 0, то ш(С) 4- m(D) = т(Т);
таким образом, m(D) — m(D \ С) < е, m(D \ (D \ С)) =
= rh(D П С) < е. Так как А\С = 0, С \ А С С П D, то окончательно получаем ji*(AAC) < £, т. е. А измеримо.
7.50. Доказывается как теорема 7.6.
7.51. Доказывается как упражнение 7.46.
7.52. Покажем, что каждое измеримое множество, содержащее невырождающийся в точку отрезок, содержит неизмеримое (относительно меры Лебега) подмножество.
Не ограничивая общности, можно считать, что М = [—^,5] — упомянутый отрезок. Определим на М отношение эквивалентности: скажем х ~ у, если х — у — рациональное число. Это отношение разбивает М на попарно непересекающиеся классы. Из каждого класса выберем по одному числу. Пусть А — множество выбранных элементов. Покажем, что А неизмеримо.
а=ц»{А), 0=ц*(А), QD [-1, 1] = {0 = г0, гь г2,...}.
очевидно, fi*(Ak) = /3, ц*(Ак) = а, к = 0,1,2,
Предположим, что Ак П Aj Ф 0 при к ф j\ пусть z G Ак П Aj\ это значит, что z — хк + гк и z = Xj + rj, где хк, Xj — представители различных классов Ак и Aj соответственно; но хк — Xj = гj — rk G Q, значит, хк и Xj принадлежат одному классу. Это противоречие означает, что Ак C\Aj=0 при к ф j.
Покажем, что
Пусть
Обозначим
Ак = А + гк = {у : у = х + гк, х € А};
19-2800
289


Пусть х G М; тогда х попадает в один из классов эквивалентности; пусть у — представитель этого класса в А, значит, х — у G Q П [— 1, 1], т. е. х-у = гко при некотором ко; следовательно,
оо
х G Ако, т. е. х G (J Ак- Левое включение, таким образом, доказано. к=О
Так как Ак С [— §, |] (к = 0,1,2,...), то верно и правое включение. В силу теоремы 7.6 (о полуаддитивности верхней меры)
оо
1 = mes М = м*(М) < ^ ц\Ак) = /3 + /3 + ...,
к=0
т. е. /? > 0, а в силу 7.50 (т. е. полуаддитивности нижней меры)
3 3 3 3 °°л
3 = mes[—-] = ^ ^ = « + <* + •••,
к=1
т. е. а = 0. Итак, /л*(А) > /х*(А), т. е. А неизмеримо (см. упр. 7.49).
Можно показать, что любое измеримое множество положительной лебеговой меры (даже если оно не содержит никакого отрезка) содержит неизмеримое подмножество.
7.53. Пусть /С — канторово совершенное множество отрезка [0, 1,), 9(') — канторова лестница (см. 1.19), f(t) = 6(t) 4-1. Тогда /(•) — непрерывная строго возрастающая функция.
Так как в(-) переводит /С в отрезок [0, 1], то /(•) переводит К в отрезок [0, 2].
Пусть А — неизмеримое относительно лебеговой меры подмножество отрезка [0, 2] (см. 7.52), а В С К — его прообраз, f(B) = А. Тогда В как подмножество лебеговой меры нуль измеримо по Лебегу (имеет меру нуль), однако В неизмеримо по Борелю.
Действительно, предположим, что В измеримо по Борелю; так как /(•) биективно отображает /С на [0, 2], то она переводит Р-измери- мые множества в В-измеримые (см. 6.34, 6.35). Следовательно, f(B) = А измеримо по Борелю, а значит, и по Лебегу, что противоречит определению множества А. Итак, В — требуемое множество.
оо
7.54. л(М) = £ р(1 -pf-1 = 1.
к=1 оо
7.55. м(Т) = Е
71 = 1
290


7.56. 	Этим условиям удовлетворяет мера Лебега-Стилтьеса, порожденная возрастающей функцией
эта функция непрерывна слева на R, имеет разрыв справа в каждой
поэтому цн(А) = 6, fJ>z(A) = 13.
7.58. а) 6; б) 5; в) А = {t : | arctg t\ < ?} =
= [-1. 1]; = 2; г) A = {t : | arctg £| < §} = [—\/3, л/3];
ц?(А) = 2; д) A = {t : f < arctg* < f} = (1, л/3);
lijr(A) = 0; supp^ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
7.59. a) 0; 6) 1; в) 6; г) 0; д) 2; e) 7;
supp/х^ = {0, In2, ln3, In4, In5, In7}.
7.60. цг(К) = 0, iit{Gq) = 1. Пусть (aki, bki)
(к = 1,2,...; i = 1,2,... 2fc_1) — смежные интервалы к-го ранга (интервалы, удаляемые на fc-м шаге), занумерованные (по второму индексу) в порядке возрастания. Тогда
Ьы — а>н = рг (г = 1,2,..., 2fc *). Так как концы смежных интервалов
Tk<t
рациональной точке; ее правый скачок а+(гк) = -^ (см. пример в § 1),
к=1
7.57. 	Множество решений системы
А = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},
„ г) к— 1 „ о к — 1
ОО I ОО 2
V?(Go) = (bli - aki) = (bki ~ aki)(hi + aki);
k=1 i=1
k=1 i=1
расположены на (0, 1) симметрично относительно точки aki — 1 — bk,2k-l-i4 то aki 4- bk^2k~1-i = 1- ПОЭТОМУ
291


оо 2к 1
7.61. 	цв{Ц = 1, (Go) = 0, suppц$ = К. G0= \J (J (aki, bki)
к=1 г=1
(см. 7.60); тв(аы, &ы) = 0(Ъы) - 0(аы) = 0; поэтому ho(Gq) = 0, а значит, /i^(/C) = 1.
§ 8.
8.1. Пусть функция /(•) — измерима, т. е. по определению, для любого с € R множество Ac(f) измеримо, Ac(f) Е 21; тогда очевидно
оо
ВД) = П Лс+х (/) (€ 21), Сс(/) = ВД) (€ 21),
П=1
Dc(f) = Mfj (€21), Ee(f) = Bc(f)\Ac(f) (€21).
Обратно, если измеримо одно из множеств Bc(f), Cc{f), Dc{f), то измеримо и множество Ac(f) :
оо оо
для = и вс-± (Л, ад) = и с~л/), мп = ад),
П=1 П=1
т. е. /(•) — измерима.
8.2. Пусть А С [0, 1] — неизмеримое относительно меры Лебега mes множество (см. упражнение 7.52). Определим функцию / : R —► R следующим образом: /(£) = t при t Е А, /(£) = —t при t £ А. Тогда множество
Mf) = {* : f(t) < 0} = ([0, 1] \ A) U (1, +оо)
неизмеримо (иначе было бы измеримым множество
[0, +оо) \ ([0, 1] \ A) U (1, +оо) = А).
Следовательно, функция /(•) неизмерима. В то же время множество Ec(f) в зависимости от с либо пустое, либо одноточечное, либо двухточечное, т. е. является измеримым по Лебегу (см. рис. 16.17).
8.3. Пусть / : Т —* R — измеримая функция. Это значит, что измеримы множества Ас(/), Bc(f), Сс(/), Dc(f), являющиеся прообразами множеств (—оо, с), (—оо, с], (с, -foo), [с, -foo) соответственно. Измеримое множество Ap(f)\Ba(f) (а < (3) является прообразом
292


Рис. 16.17
интервала (а, /3). Пусть G = |J(afc> Рк) — открытое множество. Его
к
прообраз (упражнение 6.39)
r1(G) = U(A0k(f)\BakV))€*.
к
Итак, прообраз любого открытого множества измерим. Замкнутое множество F С М может быть представлено в виде F = М \ G, где G — открытое множество. Прообраз F
r4F) = r1m\r1(G)eа
(см. упражнение 6.38). Так как прообраз конечного или счетного объединения (пересечения) множеств есть конечное или счетное объединение (пересечение) их прообразов (см. упражнение 6.39), то являются измеримыми прообразы множеств типа
Gs? Fу, F7р, Gpap, F7ра,...,
т. е. прообразы всех борелевских множеств.
8.4. 	Пусть ТсМпи/:Т->М непрерывна на Т. Пусть t* — предельная точка множества Bc(f) = {t : f(t) ^ с}. Существует последовательность {£m}m=i С &c(f)i tm —> t* (т —* оо). Так как /(tm) ^ с, т = 1,2,..., то в силу непрерывности /(•) /(£*) ^ с, т. е.
293


t* G Bc(f). Следовательно, Bc(f) — замкнутое, а потому и измеримое множество.
По-другому: докажите, что для непрерывной функции /(•) множество Ac(f) = {£ : f(t) < с} — открытое.
8.5. Пусть, например, Т = (а, b) и /(•) — возрастающая функция; тогда Ac(f) есть промежуток с началом в точке а, а потому Ac(f) ~ измеримо; для убывающей функции Ac(f) есть промежуток с концом Ь.
8.6. 1. Обозначим
Ак(е) = {t: |fk(t) - T(t)| ^ e}, Bk(e) = {t: \fk(t) - G(t)\ > e},
B = {t: m Ф G(i)}.
По условию fj,(Ak(e)) —> 0 (к —> oo), ц(В) = 0, поэтому из включения
Вк(е) с ВиАк(е)
следует, что ц(Вк(е)) —+ 0, т. е. fk(t) G(t) (к —> оо). Осталось доказать это включение.
Предположим, что t не принадлежит правой части; тогда t ф В и t ф Ак(е), т. е. F{t) = G(t) и \fk(t) — Т(Ь)\ < е. Значит, Ifk{t) - G(t)| < £, Т. е. t <£ Вк(е).
2. 	Дополнительно к обозначениям п.1 обозначим
C{e) = {t:\F(t)-G{t) \>е} (€21).
Тогда
сИс^(£)иВ1(£),
откуда и следует утверждение. Докажем это включение.
Предположим, что t ф (§) и t £ Вк (|) . Это означает выполнение неравенств
\fk(t)-f(t)\<£-, \fk(t)-G(t)\<£-,
поэтому
\т - G(t)| < |F(t) - fk(t)| + | fk{t) - G(t)| < e, t. e. t £ C(s).
294


8.7. Подпоследовательность <рц, cpi2, <£13 > • • • > <Piь • • • (см. пример 8.3) сходится к 0 всюду, кроме точки t = 0.
8.8. Пусть, как и ранее, Ac(f) = {£ : /(£) < с};
1) при четном гг Ac(f) = 0, если с ^ 0, Ac(f) = (—ci, ci); при нечетном гг Ac(f) = (—оо, ci); во всех случаях Ac(f) — открытое, а значит, борелевское множество;
2) при с < -1 Ac(f) = 0, при -1 < с ^ 1 Ас(/) =
= (J (27ггг 4- arcsinc, (2гг 4- 1)тт — arcsinc), при с > 1 Т = R; во всех
nGZ
случаях Ac(f) — открытое, а значит, борелевское множество;
3) при с < Ac(f) = 0, при < с < \ Ac(f) =
= (—оо, tgc), при с ^ ^ Ac(f) = Т = R; во всех случаях Ac(f) —
открытое, а значит, борелевское множество;
4) при с ^ 0 Ac(f) = 0, при 0 < с < 1 Ac(f) = R \ R, при с > 1 Ac(f) — R; во всех случаях Ac(f) — борелевское множество;
5) при с ^ 0 Ac(f) = (J (п(п — ^), arctg с + тгп) — открытое
n=Z
множество; при с > 0 Ac(f) = У [7г(гг— ^), arctgc4-7rn), — множество
nGZ
типа G^ (см. § 6); в обоих случаях Ac(f) — борелевское множество;
6) при с ^ 0 Ac(f) = 0, при с > 0 Ac(f) = (—с2, с2); так как борелевские множества измеримы и по Лебегу, то этим доказана и измеримость всех перечисленных функций по Лебегу.
8.9. 1) При с < 0 Ac(f) = 0, при с > 0 Ac(f) есть открытый круг радиуса у/с;
2) 	(см. 8.8а)) при с ^ —1 Ac(f) = 0, при — 1 < с < 1 Ac(f) = U -Рп» гДе Рп — открытая полоса
nGZ
{(xi, х2) : 27гп 4- arcsinc < Xi — £2 < (2гг 4- l)7r — arcsinc};
при >1 Ac(f) = T = R2; во всех случаях имеем Б-измеримые множества.
8.10. Так как относительно такой меры измеримы все подмножества R (см. упражнение 6.55), то и множество Ac(f) измеримо для любой функции F : R —> R.
8.11. f(t) эквивалента функции, тождественно равной 9 (см. упражнение 7.17).
295


8.12. D(t) = lim lim (cos(ra!7rt))2n .
m—► oo n—*oo
8.13. По условию /(•) измерима на (а, 6); по свойству 1 /(•) измерима на множестве {а, 6}, так как mes{a, 6} = 0; по свойству 3 /(•) измерима на [а, 6].
8.14. Положим f(t) = f(b) при t>b и gn(t)-n (g(t+ ±) - f(t)); дп(•)? очевидно, измеримы по Лебегу (га = 1,2,...) и /'(£) = lim <7П(£)
71—>ОС
(t G [а, 6)). По теореме 8.1 предельная функция /'(•) измерима по Лебегу на [а, Ь). В силу свойства 1 /(•) измерима на [а, 6].
8.15. Пусть /(•) и #(•) непрерывны на I и /(t) ~ <?(t). Предположим, что f(to) Ф g{to) для некоторого to G /. Если to ~~ внутренняя точка /, то найдется такое h > 0, что f(t) ф g(t) на (to — \, £о 4- f); если to — граничная точка промежутка /, то /(to) 7^ <?(^о) на (to, to 4- /1) или to — h, to; таким образом,
mes{t : /(t) ф g(t)} ^ /1 > 0, что противоречит эквивалентности /(•) и #(•). Значит,
f(t) = g(t) (tel).
Обратно, если /(•) и #(•) совпадают на /, то они, очевидно, эквивалентны.
8.16. Примените формулы из доказательства теоремы 8.4.
8.17. Да, так как f(t) ~ 0 на R.
8.18. Да, так как /(t) ~ t3 на [0, 1].
8.19. Нет. При 0 < с < 1 Ас(/) есть либо [0, у/с) П А, либо [0, Щ П А; оба эти множества неизмеримы.
8.20. В упражнении 7.53 было построено множество, измеримое по Лебегу, но не измеримое по Борелю. Характеристическая функция этого множества согласно свойству 10 п. 8.1 — требуемая функция.
8.21. Нет, не следует. Пусть А С [0, 1] — неизмеримое по Лебегу множество, /(t) = —1 при t G A, /(t) = 1 при t G R \ А; /(•) неизмерима по Лебегу, так как при с G (—1, 1] АС(/) = А — неизмеримое множество. Однако, /2(t) = 1 — измеримая функция.
8.22. Нет, не следует. Пусть [а, Ь] = [0, 1], А С [0, 1] — неизмеримое множество, М = {(t 1, 0): t\ G [0, 1]}U{(0, t2): t2 G А} С [0, l]2.
296


М — измеримое множество лебеговой меры нуль (как объединение одномерных множеств). Следовательно, / : [О, I]2 —> R, f(t) = хм № (t = (£ь t2)) — измеримая функция (свойство 10 п. 1° настоящего параграфа). Однако функция /(0, •) неизмерима, так как при 0 < с ^ 1 множество
{t2 : /(0, t2) < с} = [0, 1 ]\А
неизмеримо по Лебегу.
8.23. Да, измерима. Пусть /(*,*) — сужение /(•, •) на (а, Ь) х (а, 6), ACitl и — множества Лебега функций одной переменной /(£i, •) и /(•, ^) соответственно. AC)tl и .ACj*2 — открытые множества в (а, 6). Открытыми в (а, 6) х (а, 6) будут также множества
(J ACiti (г = 1, 2). Следовательно, открытым будет и множество
U£(a, 6)
Ас(/) = {(ii, t2) : f(tt, t2) < с} = |J Асм= U
ti£(a,b) t2€(a,b)
Это значит, что /(•,•) измерима на (а, b) х (а, Ь). А так как плоская мера Лебега границы квадрата [а, Ь] х [а, 6] равна нулю, то в силу свойств 1 и 3 /(*,*) измерима на всем квадрате [а, Ь] х [а, Ь].
8.24. Все функции измеримы; а) /(•) принимает счетное множество значений на измеримых множествах, т. е. является простой, а значит, измеримой согласно свойству 6; б) функция 9n(t) = со^^1) при каждом п Е ЛГ непрерывна, а значит, измерима;
М
функция 9n(t) измерима как конечная сумма измеримых
71=1
функций, следовательно, по теореме 8.3 предельная функция f(t) измерима (ряд сходится даже равномерно); аналогичные рассуждения проводим и в остальных случаях.
8.25. Все функции измеримы. Рассуждения аналогичны приведенным выше.
8.26. Так как /(•) измерима по Борелю, то согласно 8.3 для любого с Е R /-1(—оо,с) — борелевское множество; так как д(-) измеримо по Борелю, то прообраз борелевского множества /-1(—оо,с), то есть множество g~l(f~l(—oo,c)) есть борелевское множество. Следовательно, Т(-) = f(g(•)) — функция, измеримая по Борелю.
297


8.27. Так же, как в 8.26, убеждаемся, что /-1(—оо,с) — бо- релевское множество. А так как д(-) измерима по Лебегу, то в силу 8.8 прообраз борелевского множества /-1(—оо, с), т. е. множество ^""1(/”1(“_00»с)) есть множество, измеримое по Лебегу. Это значит, что функция Т(-) = /(#(•)) измерима по Лебегу.
8.28. Пусть О(-) — канторова лестница, (p(t) = t + 6(t) — непрерывная строго возрастающая функция, причем <р(1С) = [0, 2] (/С — канторово совершенное множество меры 0); функция (р~1(•) также непрерывная строго возрастающая, т. е. измеримая и по Борелю, и по Лебегу. Пусть, далее, А С [0, 2] — неизмеримое по Лебегу множество, В = (р~г(А) (см. упражнение 7.53); В измеримо по Лебегу, mes В = 0, но В не измеримо по Борелю. Следовательно, функция f(t) = Хв(1) измерима по Лебегу, но неизмерима по Борелю (см. свойство 10). Полагаем g(t) = (p~1(t))
Если t G А, то <p~x(t) G В, и значит, !F(t) = 1; если t £ A, to ф В, и значит, T(t) = 0. Таким образом, суперпозиция
F(t) = XB(v~\t)) = XA(t)
неизмерима по Лебегу (свойство 10), что и требовалось.
Обратим еще раз внимание на тот факт, что «внутренняя» функция суперпозиции даже непрерывна и строго возрастает.
8.29. Сошлитесь на теоремы 8.1 и 8.2.
8.30. В обозначениях п. 8.1 (множества Лебега):
а) AcU) = n Mfk) е а;
к=1
б) Ac(f) = и Mfk) € а;
к=1
в) см. 8.26.
8.31. В силу принципа сходимости Коши для всех t G А (VI/€N) (HATeN) (Vn,m^ Af) (\fn(t) - fm(t)\ < i).
Так как функция |fn(t) — fm(t)\ при всех n,m G N /х-измеримы, то множество
Ап,т = {* : I fn(t) ~ fm(t) | < i} € 21,
298


а так как 21 — сг-алгебра, то и
оо оо оо
-4=П и п л
1у=1 n=J\f n=Af m=J\f
(см. упражнение 6.57).
8.32. Для /i-измеримости #*(•) надо доказать, что Ac(gi) G 21, i = 1,2,..., 5. Так же, как в 8.30, для любого с G М
ОО ОО
Ac{gi) = Р) Ac{fn) £ Ас(д2) — У Ac(fn) G 21;
П=1 71 — 1
пусть А С Т — множество тех £, при которых ряд сходится; в силу 8.31 А — /i-измеримое множество. По теореме 8.3 д$(') /i-измерима на А; так как Сс(д) = {£ G Т\ А : <7б(£) > с} = Т\ А, то ^б(-) /i-измерима на Т \ Л; по свойству 3 <75(•) /i-измерима на Т.
8.33. Обозначим E0(f) = {£ : /(£) = 0}, H0(f) = Т \ E(f). По
условию n(H(fn)) =0, гг = 1,2, Пусть t G #(pi), т- е- 01 № Ф 0; тогда хотя бы при одном п G N fn(t) ф 0, т. е.
оо оо
t € и #(/„); итак, Н(дг) С (J H(fn)\ это значит, что
71=1 71=1
fiH(gi) = 0, что и нужно было доказать. Аналогично показываем,
оо
что H(9i) С и Я(/п), т. е. /*(#(<*)).
71=1
8.34. Пусть W = {t: fn(t) тогда:
а) F(t) = 0, W = и {™};
nGZ
00
б) ^(t) = o, w= и {vT+™};
в) ^(t) = 0, W = 0~i
г) JF(*) = 0, w = U {f +™};
nGZ
д)^) = 0, w = и Ш;
nGZ,n^0
е).F(t)=0, W={-1, 1};
ж)ло = 1. ^ = (°>uGj {^O1
з)^(t)=0, W= (J {2l2n+l) \ ;
nGZ
Во всех случаях mes W = 0.
299


оо
8.35. В обозначаниях 8.34: а) ^(ti,^) = 0, W = \J Сп, где
п=0
Сп — окружность радиуса ^|Tim с центром в точке (0,0);
б)^ь^2) = 0, W = {( 0,0)};
в) F(ti,t2) = max{|ti|,\t2\}, W = 0;
г) T(ti,t2) = \ti\ -f \t2\, W = 0;
д) ^(ti, £2) = 0, Ж — окружность радиуса 1 с центром в начале координат (0,0);
е) T(ti,t2) = 1, W — (J U {(f + 7ГП’ i + пк)} ; во всех слу-
fcezn€z
чаях mes W = 0.
8.36. а) при п —> оо fn(t) —* 0 п. в. (кроме точки t = 1), а sup|/n(£)| = 1 0, следовательно, /п(-) не сходится равномерно на
Т=[0, 1];
б) fn(t) 0 (п -> оо, £ 6 К), a sup|/„(*)| = /п (±) = 1 /> 0,
т
следовательно, /п(-) не сходится равномерно на Т = R;
в) fn(t) о (п -> оо, £ € [0, 1]), a sup|/„(t)| = j /* 0,
т
следовательно, /п(*) не сходится равномерно на Т = [0, 1];
г)прип—>оо /n(t)->0n.B. (кроме точки £ = 2), a sup |/n(t)| = 1,
т
следовательно, /п(*) не сходится равномерно на Т = [0, 2];
д) о (n->oo, t € [0, 1]), asup|/n(f)| = (i)7nrT •2^i-+l,
Т
поэтому /п(-) не сходится равномерно на Т = [0, 1]
( /1\ n2-i п 1 nlnn \
lim — =1, так как lim —z --In — = — lim ——г = 01.
п—юо \п J п—>оо п — 1 п П—>ос П — 1 /
Множество Егорова ^ = Т\Т$ (на котором сходимость равномерная):
а) Es = [0, 1 - §]; sup\f„(t)\ = . -> 0 (п -► оо);
б) Es = К\ (-|, |); при п > |
sup\fn(t)\ = g°$si -> 0 (п -> оо);
Еб
в) Es = [0, 1 - §]; при п > logi^.
sup \fn(t)\ = (1 - |)" (l - (1 - f)") -*■ 0 (n -> oo);
Es ' '
300


г) Es = [0, 2 - f ]; sup |/„(t)| = e ”2* —> 0 (n -> oo);
ES
д) Es = [0, 1 - §];
sup |/„(t)| = (1 - I)" ^1 - (1 - §)" 0 (n -► oo).
8.37. 	Пусть e < 1, An(e) = {t : | fn(t) - F(t)\ ^ e}, где F(-) — предельная функция:
а) при га —* oo fn(t) —> 0 п. в. (кроме точки t = 0), значит, F(t) ~ 0; так как Ап(е) = [0, £], mes Ап(е) = то /„(t) 0
(га —> оо);
б) при га —> оо fn(t) —* 0 всюду на Т (для любого t при всех га > [£] 4-1 fn(t) = 0), значит, !F(t) ~ 0; Ап(е) = [га, га4-1], mes Ап = 1, следовательно, /п(*) не сходится по мере на Т;
в) при га —> оо fn(t) —5► 2 всюду на Т (см. б)), значит, F(t) ~ 2; так Ап{е) = [гг2, гг2 + £), mesAn(e) = £ -> О, то /n(t) 2;
г) при га —> оо fn(t) —* 0 всюду на Т (см. б)), значит, ^(t) ~ 0;
так как sup \fn(t)\ < ^ —► 0, то при достаточно больших га Ап(б:) = 0, т
следовательно, fn(f) -^S 0 (га —> оо);
д) при га —> оо fn(t) 0 всюду на Т (см. б) , значит, t) ~ 0; так как Ап(е) С [In га, 1п(га + 1)], a mes[lnra, ln(ra + 1)] =
= 1п(га 4-1) — In га = 1п(1 + ^) —> 0, то и mes Ап(е) —> 0; следовательно, fn(t)™S 0 (га —> оо);
е) при га —► оо /п(£) —» 0 п. в. на Т (кроме точек
t = 2к + 1, к € Z), значит, ^(t) ~ 0; An(e) = {t : (sin :у)2п ^ £}
= {* : |sinf | ^ £2n} = (J
kez
_j_ 2 arcsine“f 1) 2 arcsin e
длина каждого из отрезков равна 2 — ^ arcsin е ^ , следовательно, при каждом га mes Ап(е) = -foo, т. е. /п(*) не сходится по мере;
ж) 	при П-+00 fn(t)^XA(t) всюду на Т (а= (J (к, к + ^)) ,
ОО
значит, ,Г(*)~хл(*); An{e) = {t: \fn(t)-F(t)| = 1}= IJ (к, к + ^),
к=п+1
оо
mes Ап(е) = £ ^ ^ -> 0; т. е. /„(*) хл(*) (« -> оо);
fc=n+l
з) 	при п —> оо /„(/,) —> 0 п. в. на Т (кроме точки t = 0),
301


значит, F{t) ~ 0; Ап{е) = (-£, ±) U {* : £ ^ e} = (-£, ±) U U(—oo, — ne) U (ne, +00), mes An(e) = +00 n = 1,2,; следовательно* /п(-) не сходится по мере на Т;
и) 	при п —» оо fn(t) —> |£| п. в. на Т (кроме точки t = 0), значит, F(t) ~ |t|; Ап(е) = (-£, £), mesAn = \ -+ 0, поэтому /nW-S|i| (гг —+ оо);
к) при п —> оо /п(£) —> 1 — |£| п. в. на Т (кроме точки t = 0), значит, F(t) ~ 1 - |*|; Ап(е) = (-4^, Ду), mes Ап = ^ -+ 0, поэтому /„(*) 1 - |*| (п -> оо).
Равномерно сходится только последовательность в г).
8.38. Так как ||/п(*)| - |.F(*)|| < |/п(*) - ^(*)|, то
{t ■■ \\fn(t)\ ~ №11 > £} с {* : \fn(t)-f(t)\ > £};
поэтому из сходимости fn(t) A J-(t) следует сходимость \fn(t)\ \F{t)\ (п °°)- Обратное утверждение не верно. Пусть
Т = [0, 1], /л = mes, А с [0, 1] — неизмеримое подмножество, fn(t) = 1 при t е A, fn(t) = -1 при t ф А, п= 1,2,..., T(t) ~ 1; тогда \fn(t)\ —*s (п “* °°)> но /п(-) не сходится по мере к ^(t).
8.39. Из неравенства
|cos fn(t) - cos f(t)\
2sin\m-f.rn.sin+/(*).!
< 2.МЫЙ!.
следует, что
{* : | cos/„(*) cos f (t)| ^ e} С {* : |/n(*) - /(*)| ^ e},
поэтому из сходимости /п(*) —> f(t) следует сходимость
cos/„(*) A cos/(*) (n —> оо).
8.40. 	Пусть |/п(*) | ^ К /i-п.в. По теореме Рисса существует подпоследовательность {/nfe (•)}&! i > сходящаяся к /(£) /i-п. в. Перейдя в неравенстве \fnk(t)\ ^ К к пределу при к —> оо (для тех t, для которых имеет место сходимость), получим, что и \f(t)\ ^ if /i-п.в. Для всех £, кроме может быть некоторого множества меры 0, имеем
302


неравенство
I fn(t) - f(t) i = i (/»№ - imm+/(*)) i < 2к\ш - m\.
Это означает, что
{t: | fn{t) - f(t)| ^ С {t: \fn(t) - f(t)\ > e},
n — 1,2,...; следовательно из сходимости fn(t) f(t) следует сходимость /2(*) Л /2(t).
8.41. Пусть L — константа Липшица функции <^(-). Из неравенства
мт)-мт^цш-т\
следует включение
{t: И/»(*)) - ?(/(*))! | fn(t) - f(t)\ > e},
из которого следует доказываемое утверждение.
8.42. Обозначим A(e,fn) = {t : | fn{t) — f(t)\ ^ е}. По условию для любого € > 0 ц(А(е,/п)) —> 0, ц(А(£,дп)) —> 0 (га —► оо). В случае а) из неравенства
К/п(*) ± 5п(*)) - (f(t) ± g(t))\ ^ |fn(t) - f(t)| + |gn(t) - 5(t)|
следует включение
А(б<, fn i 9n) С A(—, /n) U (A(—, yn)) j
откуда для любого е > 0 получаем /i(-A(e, /п ± дп)) —► 0 (п —> оо), т. е. /п(£) ±gn(t) /(t) dh у(0-
В случаях б) и в) рассуждаем аналогично.
8.43. Пусть fn(t) =3 f(t) (га —> оо). Это означает
(Ve > 0) (3Af€N) (Vra > ЛГ) (Vt G T) |/n(t)-/(t)|<£.
Таким образом, для га > N An(e) = {t : |/n(0 - /(0 > e|} = 0, т. e. //(An(£)) = 0 при n > ЛГ. Это и означает сходимость по мере
т - т.
303


8.44. Из 8.43 следует, что равномерная сходимость последовательности на Z влечет сходимость по мере /х.
Пусть
fn(t) A f(t) на Z (п -> оо). (*)
Предположим, что равномерной сходимости нет. Это значит, что найдутся такие £о > 0 и последовательности {tk)kLi С N, пк-> оо и С Z, что |fnk(tk) - f{tk)| ^ е0.
Таким образом, tk £ А(ео, /nfc); так как /x{£fc} = 1, то ц(А(ео, fnk)) ^1? /с = 1,2,..., что противоречит сходимости (*). Значит, fn(t) =3 f(t) на Z (га —> оо).
8.45. Для всех t £ Z ^sin = i (n = 1,2,...);
для t £ R \ Z ^sin -P**1)^ —> 0 (ra —> oo). Значит,
{£ : fn{P) ~h 1} = R \ Z. Так как /x(R \ Z) = 0, to fn(t) —> 1 /х-п. в.
8.46. /x{sin7r£ ^ 0} = /x(R \ Z) = 0.
§ 9.
9.1. 	Доказательство свойства 9. Для функций /(•) и Т(-) можно взять общие границы А и В : А < f(t) < В, А < T(t) < В. Пусть г = {Ук}кLo — разбиение отрезка [.А, В],
= {t • Hi— 1 ^ /(0 ^ 2/г}? Ei — {t Уi—\ ^ ^ 2/г}? = П
отметим, что
Tifc n TiZ = (е< П J5fc) П (е, П Et) = (е* П е,) П (Ек П Е{) = 0, если г ф j или А; ф /, и
UUT** = UUe«n^= (О) п (и^)=тпт=т-
г к г к V г / \ к /
В силу свойства 5
J (fit) + ?{t))dn = (/(«) + (*)
т * i Tik
304


На Тik выполняются неравенства
Vi-I + Ук-1 < fit) + F{t) <Vi + Ук, а по теореме об оценке (свойство 1)
(Vi-i + J/fc-i)/i(Tjfc) < J(f(t) + ^ (yi + 3/fc)ju(Tifc).
Tifc
Сложим все эти неравенства и учтем равенство (*). В итоге получим
i к Y i к
или, после очевидных преобразований,
sT(/) + 3Т(Г) < У(/(*) + < 5Т(/) + 5Т(Я-
т
Устремим диаметр разбиения d(r) —> 0. Согласно (4.3) крайняя левая
и крайняя правая части этого неравенства стремятся к f F(t)d/i +
т
4- / T(t)dji, что и доказывает свойство 9.
т
Доказательство свойства 10. При с = 0 оно очевидно. Пусть с > 0. Тогда на е* выполняются неравенства q/i-i ^ с/№ <
(г = 1,2,..., т). По свойству 1
q/i_iM(ei) < J cf (t)dfj, < cyi/j,(ei), i = 1,2,..., то.
ei
Сложив все эти неравенства и перейдя затем к пределу при d(r) —► 0, как и выше при доказательстве свойства 9, получим требуемое неравенство.
Если с < 0, то— с>0и согласно уже доказанному,
0 = J(с - c)f(t)dfj, = J cf(t)d(i+J{—c)f(t)d^i — J cf(t)dn~c J f(t)d/j,,
T T T T T
откуда снова получаем требуемое.
305


9.2. 	Пусть А < О, В > 1, т = {yfc}£Lo ~ такое разбиение отрезка [.А, В], что г/i ^ 0, ут-1 ^ 1. Тогда е\ = [0, l]flQ (mesei = 0), efc = [Ук-и Ук) П (М \ Q) (mes= Ук ~ Ук-1), к = - 1,
em — [ут—1 ? 1] П (^ \ Q) (mes ет = 1 Ут—i) •
Нижняя сумма Лебега
771— 1 771—1 ТП—1
5г(/) = ^ ^ Ук—1 (.Ук ~~ Ук-1) 4* 2/?n-l(l — 2/771—1) = ^ ] Ук-\Ук ~ У ^ Ук•
к= 1 /с=2 fc=l
Пусть г' — равномерное разбиение [.А, В], при котором ук = ^.
Тогда
1 • 2+2 • 34".. .-f“(?Ti—1)771 12-Ь22-|-.. .4(rai—l)2
SUP ST ^ 57-' — Q Q =
T TTl 771
(771 — l)m(77l 4-1) (?7l — l)77l(277l — 1) 771—1
37712 6Т712 2771
(здесь мы воспользовались равенствами
fc(A; 4-1) — n(n + 1)(n + 2) ^ jfc2 = n(n + l)(2n + 1)
/с=1 ^ fc=i ®
которые легко доказываются методом математической индукции). Из полученного выше неравенства следует, что supsr(/) ^ \. Точно так же показываем, что inf ST(f) ^ Отсюда
1
/
tXR\Q(t)dt =
[0,1]
9.3. 	а) 20; б) 0; f (t) = sign cos nt — простая функция, принимающая значения -1, 0, 1; пусть Ак = {t : f(t) = к}, к = —1,0,1; тогда
А_1
-3, ] и
mes A-i = 3;
3 1\ /1 3\ (Ь ‘
2'~2)U{r 2/ U \2’
Г 5 3 1 1 3 51 .
>1о = Г5’-5'^'5’2'5/'
^=(-§■ -§)и (-!■ 0и (§• I) -
J signcos7rid* = (—1) •3 + 0- 0+1-3 = 0;
1-3,3]
306


в) 	~ — 7г; как и в б, решая уравнение cos f = 0 и неравенства cos f > О и cos j < 0, получаем, что
д.,-ил
2 п
U
. . ч 4п + 3 ’ 4n -f 1 .
\п=1 4 J
^ ( 1 2 2 I \
mes Ао = 0, mes Лх = > I 4- — =
“ \2п 4п + 1 4п 4- 3 2п 4- 2 J
71=1 4 '
71 = 1 Х 7 71=1 4 '
/ signcos1Л = 1 ■ (* -2 £ (toTT “ toTs)) +
(0,1] 4 n_ 7
+<_1) (2S (з^Т - teTa)+ 0 = -S-‘t(5TT-3ST5)-5-«D-‘>-Sq
71=1 4 ' 71 = 2
г) 	6; подынтегральная функция простая, принимает значения 0, 1, 2, 3, 4; Ак = {t = (х, у) : k^x+y<k+ 1}, А: = 0,1,2,3; А4 = {t : х 4- у = 4} = {(2,2)}; mes^o = mes^3 = = mes Ai = mes А2 = §, mes A4 = 0;
J J [x + y]dxdy = 0- | + l- ^ + 2- |+ 3- |+ 4- 0 = 6;
[0,2]2
307
2n + 1 17
б--'


Sk
о
д) 	7г; е) |(4\/3 — Зл/2 4- 4); подынтегральная функция простая, принимает значения о, 1, v/2, V3, 2; площадь Sk параболического сегмента {t = (х, у) : к ^ у — х2 < 4} равна
2 J (4 — (х2 -1- к)) dx = ^(4 — А:)л/4 - /с, А: = 0,1,2,3;
о
= it: к ^ У ~ х2 < к + 1} А; = 0,1,2,3, Л2 = {(0,4)};
32 4
mes = Sk - Sk+i; mes Л0 = —— 4\/3, mes.^-(Зч/З - 2>/2),
О О
4 _ 4
mesA^ =-(2V2-1), mesA^^-.
Интеграл равен
О • mes Ао 4-1 • mes А\ -h V2 • mes А^ 4- л/З • mes 4- 4 • mes А2 =
= |(4л/Э-Зл/2 + 4).
О
9.4. 0,10; очевидно, Л = {0} U {1} U ^ (J ,
где Ап = ^2n+i, ^ , так как mes{0} U {1} = 0, а интеграл Лебега по отрезку Ап можно трактовать как интеграл Римана, то
J 3t2dt = ^ J 3t2dt =
А П=1Ап
П—1 4 ' х 7
Так как ^ < 0,01, то с точностью до 0,01
/зАй = Ьй + й = 0'10'
А
(sin7rt для t G f0, i),
интеграл Лебега
cos 7vt для t G [|, 1]; вычисляем как интеграл Римана.
308


9.6. 	-щ; /(•) разрывна в каждой точке отрезка [0, 1], поэтому интеграл надо понимать только в смысле Лебега;
Интеграл Лебега от д(-) уже можно понимать в смысле Римана.
9.7. 0; /(•) разрывна во всех точках полуинтервала [0, 1), мера которого равна 1, следовательно, /(•) не интегрируема по Риману; f(t) ~ 0, поэтому интеграл равен 0.
9.8. 0; по Риману /(•) не интегрируема, так как она разрывна во всех точках интервала (0, 7г).
9.9. — по Риману /(•) не интегрируема, так как она разрывна во всех точках интервала (0, 1].
9.10. а) 0; б) 9; f(t) ~ 9 (см. упражнение 8.11).
9.11. \; mes К П А = 0, поэтому f(t) ~ t
9.12. cos t может принимать рациональные значения только в точках вида t = 7гг, где г € Q. Таких точек не более чем счетное множество; следовательно, f(t) ~ sin21.
9.13. 2. Покажем, что /(•) имеет разрыв второго рода во всех точках канторова множества /С. Пусть t £ 1C; рассмотрим две числовые последовательности {^}^=1 С /С и {t*n}^Li С G = [0, 1] \ /С, сходящиеся к t. Первая существует, так как t — предельная точка множества /С, вторая существует, так как G всюду плотно в [0, 1]. Имеем /(0 = 1. /(**») = 2, п = 1,2, Таким образом /(•) имеет в точке t два различных частичных предела и, значит, не имеет предела в этой точке. Во всех точках множества G /(•), очевидно, непрерывна.
Так как mes/С = 0, то /(•) интегрируема по Риману. Однако интеграл Римана не рассчитан на множества типа канторова. Поэтому
для t € [0, |), для t € [|, 1].
1
1
П-
J f(t)dt = L - J f(t)dt = L - J f(t)dt 4- L - J f(t)dt
0
0
/С
G
= 0 -f L — I f(t)dt = 2 • mes G = 2.
G
309


9.14. 	Как в предыдущей задаче, показываем, что в каждой точке канторова множества /(•) имеет различные частичные пределы и, следовательно, не имеет предела (можно, в частности, взять t*n = (ап + Ъп)/2). В каждой точке множества Go = [0, 1] \ /С /(•) непрерывна. Так как мера множества точек разрыва равна нулю, то /(•) интегрируема по Риману. Как и выше,
7г- j f(t)dt = L - j f(t)dt + L- J f(t)dt = jr J f(t)dt =
n IT n n—1/_ L \
(an,bn)
\(bn -««)•! = r mesG0 = i
n=l 2
(интеграл no (an, bn) представляет собой площадь треугольника с основанием (Ьп — ап) и высотой 1).
9.15. |. В данном случае /(•) непрерывна во всех точках отрезка [0, 1], так как lim f(t) = 0 во всех точках канторова множества.
t + Tl
Как и в предыдущей задаче,
\ оо ^ оо .
/ f{t)dt = ^2 f®dt = Ш о ' 2~к ' mesGk =
о fe=1Gfc k=1
00 1 °° i I 1
= У' 2~к~1 ■ 2к~1 ■ 3~к = - V 3“fc = Ц- = -
Й 41Ч 8
(Gfc — объединение смежных интервалов ранга fc, mesGfc = 2fc_1 *3-fc, см. упражнение 7.16).
9.16. Рассматриваем /(•) как простую функцию
1
/
1
= ly,/2Y 1 | 1
2^W 2 !-§ 7'
9.17. 	-jj2- Здесь /(•) непрерывна (см. 9.15), поэтому интегрируема по Риману. Интеграл по смежному интервалу Ък) равен
310


площади полукруга диаметром т. е. . Таким образом,
Jtm- f 5 •>*-(»-*)*
Q К=1 fc=l 4 /
9.18. /(•) разрывна во всех точках множества А (это показывается как в 9.13); так как mes А = \ > 0, /(•) не интегрируема
по Риману. Так как /(•) измерима (на А как постоянная, на А как кусочно-линейная непрерывная) и ограничена, то она интегрируема по Лебегу
Г °°^ 1 1
j f(t)dt = ^2 - ■ (Рп - ап) • 1 = mes Л = -
О ^=1
(см. 9.14).
9.19. е (1 — |е:). Найдем меру удаленного множества
оо л
—г £ _ £ £ — 1 £ V—^ 1
mes А=- + 2- -+ 4- — + ... + 2
к= 1
mes А = 1 — е,
/(•) разрывна в каждой точке множества А и, так как mes А = = 1 — £ > 0, то /(•) не интегрируема по Риману.
J f(t)dt = J f(t)dt + J f(t)dt = е(1 - e) + £ 2fe~1 • =
П A ~~T fc=l
°° 1 C
k=1
9.20. /(•) не интегрируема по Риману.
i
9.21. /(•) не интегрируема по Риману. f f(t)dt = 11пЗ —
о
9.22. 1; /(•) не интегрируема по Риману.
311


1 ОО / . ч
9.23. а) f 0(t)dt= f f(t)dt= E + ^ + ... + ^2^) * ;F=
0 G0 fc=i 4 '
l+3+...4-2fc — 1 V'' ^ (l+2fc — l)*2fc_ 1 1 ^ / 2\k 1 /
= E f t/ = E ^ = I E (5) = 3 (CM* определе-
fc=i fc=i fc=i
ние канторовой лестницы в § 1; мы также воспользовались формулой
суммы 2к~х членов арифметической прогрессии);
б) 0,3; воспользуйтесь формулой Е (2& “ I)2 = n^4n3 "*■, кото-
к=1
рая легко доказывается методом математической индукции;
в) 0,2; докажите методом математической индукции формулу
Е к(2к — I)3 = n2(2n2 — 1).
к=1
9.24. Согласно определению fi(t) = 1 при t Е [5, 1),
fi(t) = 0 в остальных точках отрезка [0, 1] (в точке t — 1 можем произвольно положить /i(l) = 0 или /i(l) = 1; это не повлияет на величину интеграла, так как mes{l} = 0); /2^) = 1 при t ^ [J, LJ [^, 1) , /г(£) = 0 в остальных точках и, вообще Д(£) = 1 при teAk, fk(t) = 0 при t£ Ак (fk(t) = XAk(t)), где
2 [2m-1 2то\ _9*-i 1 _ 1.
“» пь ) » mes Ак — 2 • ^ — ,
2. j Г 2т — 1 2га \
^ = U )
m — 1 L '
т=1
1 1
а) 	/ fk(t)dt = mesб) //£(i)d* = 5, так как f%(t) =
0 о
1
в) 	//fcW • /i(0d* = I при * Ф так как /к(*) • fi(t) = XAknAi(t), a 0
mes^fc П Ai =
9.25. 	0 при i фк, 1 при г — к.
Очевидно, (fk{t) = 1 при t € Ак, <pk(t) = — 1 при t £ Ак (см. 9.24). Отсюда следует, что <р*(£) = 2Д(£) - 1, где Д(-) определены в 9.24
1 1 J<pi(t) ■ tpk{t)dt = - 1)(2fk(t) - 1 )dt =
f f ( 4 • j — 4 • A 4- 1 = 0 при i ф k,
= 4 / fi(t)fk(t)dt-4 / /fc(t)d*+l=<
У У |4.i-4.i + l = l при г = &.
312


оо оо
9.26. а) / f(t)dt = £ (-l)”mesTn= £ = ±;
(0,1] 71=1 n=0
б) 2^-
9.27. /(£) ~ е* +1; примените теорему об оценке.
9.28. 37ге ^ I ^ ^е4; примените теорему об оценке.
9.29. a) g±i;
г du, _ J_ 1 I _1_ 1 , I 1 1 — 1 _ 1 _ M±i.
J (t+l)(t+2) — 1-2 ' 1 + 2-3 ' 1 + • • ' + ([b+l])([f>]+2) 1 [b]+2 [6]+2’
[o,6]
,ч е1ь1+1-1 / (e—1)eEbJ+1 '
9.30. 1. Cm. 9.36. Здесь At = [0, \) U (§, 2] , A_i = (|, f),
A> = {i §}•
Mjr(Ai)=^(I-)-^(0-)+^(2+)-^(f+)=0-(-l)+2-2 = l; M^-i) = ,F(§-) - Л5+) = 0 — 0 = 0;
MA>) = !) = 2 - 0 + 0 - (-1) = 3;
/ sign cos Trtd/jL^p = 1 • 1 + 0 • 3 + (—1) *0 = 1.
[0,2]
9.31. a) 0; e_n*2 ^ 1 t G [0, 1], и e~nt2 —> 0 п.в. (кроме точки t = 0); так как мера отрезка [0, 1] конечна, то по теореме Лебега e-nt2 q и можно применить теорему 9.1 о предельном переходе под знаком интеграла, согласно которой
lim [ е n*2dt = [ 0dt = 0; оо у J
[ОД] [0,1]
б) 	0; в) 0; г) 0; д) 7г; {£ : e_smTl£ /> 1} = {f} , следовательно,
e-smnt ^ п в ^ а значит? и по мере; кроме того, е~5гпП* ^ 1; поэтому по теореме Лебега
lim [ е s,inntdt = [ 1 dt = 7г;
n—оо у J
[0, 7г] [0, 7г]
е) 	0; здесь не выполняется условие равномерной ограниченности последовательности у/пехр(—nsint), поэтому непосредственно применить теорему 9.1 о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
313


нельзя; пусть | < а < 1; разобьем интеграл на такие 3 интеграла:
при 0 < t < j выполняется неравенство sin t > (см. рис. 16.18),
Рис. 16.18
значит, — nsint < e~nsint < е~^\ поэтому
у/п J e~nsintdt< \/п J e~^dt=-^j=(^ 1 — е~*п ^ > 0 (п—> оо),
0 0
т. е. первый интеграл стремится к нулю; точно так же поступаем и с третьим интегралом (с использованием неравенства sin t > 2 — см. рис. 16.18); теперь покажем, что на отрезке [^-, 7г — ^-] подынтегральная функция равномерно сходится к нулю (заметим, что интеграл по этому промежутку можно рассматривать как интеграл Римана) ;
maxу/пе~пsint = yftie-nsin ^ < ^е~п'^ —у/пе~п1а —>0 (п ->оо),
т. е. на [^-, 7г — y/ne~nsmt—10 (n-^оо); таким образом, и второй
интеграл стремится к нулю при п —► оо.
314


ж) 	mes{* : f{t) = 1}; здесь
W = {t: exp(-n(/(i) - 1)) 0} = {t: f(t) = 1}, поэтому
lim j exp(—n(f(t) — 1 )2)dt =
[0,1]
= lim I f 1 dfi + f exp(— n(f(t) — 1 )2)dt J \w [0,1] /
mes W + 0.
9.32. 	Обозначим через /п(-) подынтегральную последовательность, /(•) ее предельную функцию. Пусть
Wi = {t: fn(t) -h f(t)}
в задаче с номером г (г = 1,2,3,4,5,6). Тогда
Wi = {0}, fit) = 0, на Wi fn(t) = 1;
Ж2 = {0, 1}, f(t) = 0, на W2 fn(t) = 1; w3 = {о, 7Г}, fit) = 0, на W3 fn(t) = 1;
w4 = U • /(*) = °» на ^4 Ш = 1;
п=1 ^ '
Щ = {0, 7г}, fit) = 1, на W5 fnit) = е-1;
We = {-1, 1}. /(*) = 0, на We fn(t) = 1.
Имеем в общем случае (все последовательности равномерно ограничены)
lim / fn(t)dfi= lim [ fn(t)dfi+ [ fn(t)dfi
П—► OO / n—>00 I I /
T \JVi T\ Wi /
= fnit) ■ mes Wi + J f(t)dn
J\Wi
(fn(t) от п на самом деле не зависит, см. выше). Ответы в случае а:
315


1) Л0+) - ^(о—);
2) Л0+) - JT(O-) + Ли-) - *■(!-);
3) ^(0+) - 0-) + .F(jr+) - ^(тг-);
CX)
4) nE(^(^+)-^(^-));
5) | И0+) - Л0-) + H*+) - J=-(?r-)) + JF(tt-) - ^(0+);
6) Л-1+) - H-1-) + Л1+) - ^(i-)-
Ответы в случае б:
1) 1; 2) 2; 3) 1; 4) 0; 5) i; 6) 2.
9.33. 	7. W = {t : /n(i) /> 0} = {-1, 1}; Ha W fn(t) = 1; поэтому (exp(—n(t2 — l)2) ^ 1)
lim
n—+oo
[-2,2]
J exp(—n(t2 — 1 )2)dfj,fr = 1 • [ijrW =
= JF(-1+) - Л-1-) + Л1+) - Я1-) = 7.
OO
tn
9.34. / td\ij: = 0 + f tdflj: — E 2^1
fO ll 00 n=l
1,1 U {tn}
n—1
OO
a) 2^; 6)E^=ln2.
71 = 1
9.35. Так как lim /n(t) = 1, lim fn(t) =0, f fn(t)dt =
n—+ OO П—+ОО |Q Jj
при n нечетном, J fn(t)dt — | при n четном, то [0,1]
f )mfn(t)dt = 0, lim f fn(t)dt =
J П-.00 J о
[0,1] [0,1]
J limfn(t)dt = 1, Jiirn^ J fn(t)dt =
[o, i] [o, i]
9.36. Вообще говоря, нет, так как функция /(<?(•)) может оказаться неизмеримой (см. упражнение 8.28). Если /(•) непрерывна, то суперпозиция /(#(•)) измерима (см. упражнение 8.27) и ограничена и, следовательно, интегрируема L.
9.37. fi{t : f(t) = f + 7Г77,}.
316
00|н-*


9.38. В силу непрерывности синуса sin fm(t) —> sinf(t) (m —> oo) при тех £, при которых fm(t) —> /(£), т. e. /i-п.в. Так как |sin/m(t)| ^ 1 при всех £ Е Т, то утверждение следует из теоремы 9.1 о предельном переходе под знаком интеграла.
9.39. Доказывается точно так же, как и 9.38. Равномерная ограниченность последовательности следует из ограниченнности </?(•).
9.40. Из упражнения 7.41 следует, что
1 + cos fm(t) Л 1 -f cos f(t) (га —► оо);
равномерная ограниченность последовательности {1 + cos/m(*)}^=1 очевидна. Остается сослаться на теорему 9.1.
9.41. Из упражнения 7.43 следует, что <^(/m(£)) A 4>{f(t)) (га —► оо). Остальное — как в 9.38 - 9.40.
9.42. Как обычно, обозначим для произвольного е > 0
Ат{е) = {t: I fm(t) - T(t)I ^ e}.
Тогда
J \fm(t) - F(t)\pdn^ J \fm(t) - F(t)\pdn ^ £p ■ ц(Ат(е)),
T Am(e)
т. e.
lim ц(Ат(е)) = 0, fm(t) A F(t) (m -> oo).
m—KX)
Обратное утверждение неверно. См. по этому поводу замечание к теореме 9.1 и пример 1 из § 8 Для справедливости обратного утверждения надо дополнительно потребовать, чтобы последовательность {/m(*)}m=1 была равномерно ограничена.
9.43. Пусть fm(t) A f(t) (га —► оо). Тогда из упражнения 7.43 получаем, что
1+\ш-т\
а так как
I.ш-т\
1 + 1 /п.(*)-/(*)Р ’
317


то можно снова применить теорему 9.1 о предельном переходе под знаком интеграла, согласно которой
lim
т—>оо
Т
Обратно, пусть имеет место предельное соотношение (*) и Ат(е) такое, как в 9.42. Тогда, учитывая строгое возрастание функции получаем
f \fn(t)-f(t)\ J ^ f Ifn(t)-f(t)\ JiiN £ _,л . ..
т Am(e)
откуда следует, что lim ц(Ат(е)) = 0, т. е. fm(t) A f(t) (т —> оо).
771—УОО
9.44. 	Нет, не следует. Пример 3, рассмотренный в § 8, показывает, что lim f fm(t)dt = 0, однако /т(*) не сходится ни в одной
точке.
т—*°° [0, 1]
§ 10.
10.1. 	1. Так как < N (t G Т), то [/(OW ограничена;
пусть с G R, тогда при с ^ J\f
Лс([/М = {* : [f(t)W < с} = {t: f(t) < с} = Ac(f) е 21;
при с > N ^c([/W) = Т € 21; следовательно, функция [/(-)W изме- рима.
2. Если f(t) < TV", то [/(t)W+i = [/WW = /(*)> если ^ < < /№ < Л/’+ 1, то [/(i)W = А/- < /(4) = [/(4)].v+i, если /(4) > Л/Ч 1, то [/(*)]ж < Л/" + 1 = [/(£)]лЧ1 • Следовательно, последовательность срезок возрастающая.
3. Если f(t0) > Af, то при достаточно больших т fm(to) > Af, и значит,
[/m(*o)W = [•^Г(*0)]ЛГ =
если T(to) < Af, то при достаточно больших т /т(4о) < Л/-, то есть
[fm(to)W = /тп(4о) -» Ht0) ~ [f{to)]M\
318


пусть, наконец, ^(to) = Л/*; тогда для любого е > 0 найдется такое то, что при всех т > то fm(tо) > N — е; при таких т
Я - е < [fm(to)W ^ N = Hto) = [^*(*o)W»
и значит, при т > то
[F{to)]лг - [fm(to)W < £•
Таким образом, всегда [fm(to)W —* (т оо)*
10.2. 	Свойство 2. Пусть mesT = 0. Для любого N
j[f(t))tfdii = 0 (свойство 2 из п. 9.3), следовательно, f f{t)dfi =
= Jim /[/(*)кФ = о.
N-^oorp
Свойство 4 очевидно.
Свойство 12. Пусть f(t) ^ T(t). Тогда, очевидно, и [/(0W ^ TOW ^ ^0- ® силу свойства 12 из п. 9.3
При N —> оо получаем отсюда требуемое неравенство.
Свойство 6. Пусть /(•) — неотрицательная суммируемая простая функция, т. е.
< -Ьоо. (*)
T T
Здесь = Ck при t G для тех А;, для которых
Ск ^ -Л/*, [f(t)]/s = J\f при t € Tk для тех для которых Ck > ЛЛ Обозначим
Из (*) имеем
АлГ = U = (J
к\Ск>М к-.Ск^М
^lim | J Mdfx + J f{t)dfi J < -boo,
vW Bm /
319


или
I cfcMTfc) +Яц{Ам) I < +oo. (**)
^°° \к:ск^ЛГ J
Из этого неравенства следует, что ряд
оо
^cfc/i(Tfc) (***)
fc=i
сходится, а последовательность Afограничена при Af —> оо; так как очевидно
оо
lim У2 cfcM(Tfc) = У]с*м(Т*),
Л/—»оо zz' k'.Ck^Sf к=1
то второе слагаемое в (**) стремится к нулю. Таким образом,
/оо
= ^Cfc)u(Tfc), (****)
т fc=i
что и требовалось доказать.
Из приведенных рассуждений видим, что если неотрицательная функция суммируема, то сходится ряд (* * *) и верно равенство (* * **). Верно также и обратное утверждение: если сходится
ряд (***), то неотрицательная простая функция суммируема и верно равенство (****).
Действительно, при введенных выше обозначениях
J f(t)dn = J [f(t)]j^dfj, = ^lirn^ I J Afd/j, + J f(t)dp, j =
T T VW /
= i?J £ скц(Тк)+Afn(Ax) J =^cfc/i(Tfc),
_>°° \к:ск^АГ J k=\
так как Af ц(Ам) < ск^{^к) —> 0 как остаток сходящегося ряда.
к: Ск>N
Свойство 7. Пусть f(t) ~ g(t). Для всех Af S N
См = {t: [f(t)]rt ф foWM с {t : f(t) ф g(t)},
320


поэтому для всех N £ N /i(CV) = 0 и
J [f(t)Wd(j, = J [g(t)]/sdfj,,
Т Т
откуда при N —> оо и следует требуемое равенство интегралов.
Свойство 8. В силу неотрицательности /(•) и [/(*)W из равенства f f(t)dfji = 0 следует равенство J[f(t)]//dfi = 0 для любого т т
N £ N (напомним, что последовательность {/[/(OW^aOj^i — воз-
т
растающая). По доказанному в п. 9.3 (свойство 8) [f(t)]j\f & 0 для любого М Е N, а это и означает, что /(£) ~ 0.
Свойство 9. Обозначим g(t)=f(t) -f F(t). Покажем сначала, что из суммируемости суммы р(-) следует суммируемость слагаемых Д.)и^(-). ДляЛГеМ
[/WW +TOW <$(*)•
Применим свойство 9 из 9.3 к ограниченным измеримым функциям [/(*)W и [-^(OW и свойство 12 (см. выше):
J[f(t)Wdfj, + J[T{t)}udn < J g(t)dfi.
T T Т
Отсюда при А/" —► оо
J f(t)dfi + J F(t)dn<; J g(t)d/j,. (*)
T т т
Теперь докажем, что из суммируемости слагаемых следует суммируемость суммы д(-) и противоположное (*) неравенство. Имеет место неравенство
HOW ^ [/WW + (**)
Действительно, пусть to £ Т; если f(t0) ^ ЛГ и ^(to) ^ Л/*, то
ЬК*o)W < 9(tо) = f(t0) = f(t0) 4- Т^о) = [/(*o)W 4- [F(to)]jsn если
одно из чисел f(to) или Т^о) больше Л/", то и g(to) > N и, значит, [g(t0)U = ЛГ ^ [/(*o)W 4- №)W- Таким образом, неравенство (**) 21-2800 321


доказано. Из него следует, что если суммируемы /(•) и Т{-), то суммируема и #(•), а при N —> оо получаем неравенство противоположное (*); в итоге имеет место равенство
J (/№ + F{t))dn = J f(t)dn + J F(t)diJ,.
T T Т
Свойство 10. При с = 0 свойство очевидно. Пусть с > 0. До¬
кажем, что
J cf(t)dn = cj f(t)dn. (*)
Т Т
Методом математической индукции свойство 9 распространяется на любое конечное число слагаемых. Следовательно, равенство (*) справедливо для с = р € N.
Пусть с = где q € N. Тогда по уже доказанному
J f(t)d/J. = J q ■ ^f(t)dfj, = q J ^f(t)d/i.
T T T
Отсюда получаем (*) для указанных с.
Любое рациональное г > 0 можно представить в виде г = £, где р, q € N. Значит,
J rf(t)dn = j ^ f(t)dfi = р J ^ f{t)dn = ^ J f(t)d/j, = r J f(t)dn,
T T T T T
т. e. (*) справедливо для рациональных чисел.
Пусть, наконец, с £ R, с > 0, и пусть последовательность рациональных чисел {rm}^=1 ({^m}m=i) “ возрастающая и гт —> с-
(убывающая и 7£т —> с+). Тогда для любого га € N
Гт/(4) < Сf{t) Т1т f(t) Ц £ T).
Применяя свойство 12 и уже доказанную часть свойства 10, получаем (га G N)
J f(t)dn < J cf{t)dp. ^ 7lm J f(t)dn,
Т Т Т
откуда при га —> оо получаем (*) для случая с > 0.
322


Если измеримая функция /(£) ^ О (t £ Т), то —/(0 ^ 0 и можно положить
J - J{-f(t))dn.
т т
Следовательно, (f(t) ^ 0) для с < 0 (—с > 0) по этому определению У cf(t)dn = - J(—cf(t))dn = -(-с) J f(t)dfi = с j f(t)dn,
Т Т Т Т
что завершает доказательство свойства 10.
Свойство 11 сразу получается из свойств 9 и 10 (при с = —1).
Свойство 13 получается интегрированием двойного неравен¬
ства — |/(t)l ^ /(0 ^ 1/(01 в силу свойств 12 и 10.
10.3. 1) Так как f(t) ^ 0, то
J [f(t)Wdfi < J[f(t)\tfdfi < J f(t)dfi;
To T T
f Г
поэтому последовательность < f [f(t)]j^dfi > сходится
lT° J M=l
при N оо, что и означает суммируемость /(*) на То;
2) 	из неравенства f(t) ^ F(t) следует неравенство
[/(0W < [-^(OW, и значит,
J[f(t)Wdfj, < J < J F{t)dn-,
T T T
как и в 10.1, отсюда следует суммируемость /(•).
10.4. 3. Так как, очевидно,
A± = {t: f±(t) ф g±(t)} С {t: f(t) ф s(*)},to ц{А±) = 0,
т. е. Ш rtj
0±(О> f f±(t)dfJi' = f 9±(t)dfi; отсюда и из определе- т т
ния (10.7) следует требуемое равенство.
4. 	Из неравенства |/(01 ^ 9(0 и второго из равенств (10.6) следует справедливость неравенств |/±(01 ^ 0(05 следовательно, /±(*) суммируемы, а значит, суммируема и функция |/(*)|.
323


5. 	При с = 0 утверждение очевидно. При с > 0 (cf(t))± =
= cf±(t); ввиду неотрицательности функций с/±(•)
При с < 0 (cf(t))± = с • /qr(t); дальнейшие рассуждения такие же,
как и в случае с > 0.
6. 	Пусть \g(t)\ ^ К п.в. на Т. Тогда \f(t) • g(t)\ ^ K\f(t)\ п.в. на Т. Суммируемость произведения /(•) • д(-) следует из суммируемости |/(-)| и свойств 5 и 4.
10.5. 	Пусть h(t) = f(t) + g(t). Суммируемость h(-) следует из неравенства \h(t)\ ^ \f(t)\ + \g(t)\ и суммируемости неотрицательных функций |/(*)| и |#(*)|- Докажем равенство. Для этого обозначим
Ti = {t: f(t) ^ 0, g(t) > 0}, Т2 = {t: f(t) ^ 0, g(t) < 0, h(t) ^ 0}, T3 = {t: f(t) ^ 0, g(t) < 0, h(t) < 0}, T4 = {t: f(t) < 0, g(t) < 0},
при к = 1 верно ввиду неотрицательности /(•) и д(-) на Ti и свойства 2. В силу свойств 2, 4, 5 и представлений
h(t) = f(t) - (~g(t)) (t € T2), (~h(t)) = - f(t) (t € T3),
(-h{t)) = (-f(t)) + (-m) (*€ T4), h(t)=g(t)-(-f(t)) (i€ T5),
J (cf(t))±dfi = c J f±(t)dn,
T
T
откуда
J cf(t)dfj, = J (cf(t))+dfj.~ J (cf(t))_dn = c J f+{t)d(i-с J f-(t)dfi
T
T
T
T
T
т5 = {* : /(*)<o, g(t)>0, h(t)>0}, Тб = {*: f(t)<0, g(t)^0, /i(t)<0}.
Равенство
т
324


(~h(t)) = (-/(«)) - g(t) (t e T6)
равенство (*) верно и при остальных к. Справедливость доказываемого равенства следует теперь из свойства 7.
10.6. 	Как и ранее, установим суммируемость Т(-) и /т(*) (т = 1,2,...) и неравенство \F(t)\ < Ф(£) /i-п.в. на Т. Пусть {Tfc}^ — произвольная исчерпывающая последовательность и е > 0 произвольно; зафиксируем такое ко, что
€
<з
J Ф(Ь)с1/1 j = J Ф(£)(111 — J Ф{1)<1ц
T\Tfc \ Т Tfc0
(из определения интеграла по множеству а-конечной меры следует, что такое ко найдется).
Тогда
JF(t)dfi- j ^ J \F(t)\dn^ J Ф(*)<|.
т Tfe0 T\Tfc0 T\Tfc0
Так как при любом к € N по теореме Лебега 10.5
lim [ fm{t)dix = [ T(t)dn, m-+ooj J
Tfc Tfc
то найдется такое mo, что при всех т > то
J fm(t)dfj, - j F(t)dn
I'fco Tfc0
€
<з-
Далее, при m > то
T Tk0 T\T*0
Таким образом, при m > то
T\Tt0
f fm(t)dfj,- f T(t)dfj,
V/
[ fmit)dfl- f fm(t)dn
U j
J J
т т
т T*o
325


+
J fm(t)dfjL - J Titfdn 4- J T(t)dii — JF(t)dfi
< e.
Этим равенство (10.17) доказано.
10.7. Ряд X}/x(Tfc) как ряд с неотрицательными членами, все
к
частичные суммы которого ограничены числом /л(Т) < 4оо, сходится.
Ввиду ограниченности последовательности {ск} абсолютно сходится
ряд ]T]cfc/i(Tfc). Следовательно, ограниченная простая функция сум- к
мируема в смысле настоящего п.
10.8. Так как ряд • Cfcju(Tfc) при любом с Е М абсолютно
к
сходится вместе с рядом ^Cfc//(Tfc), то суммируемость функции с/(-)
к
и первое равенство очевидны.
Пусть /(•) такова, как в определении, g(t) = dk при t Е Хк, 3£fc Е 21, Т = \JXk, %к П Xj = 0 при к ф j. По-
к
ложим h(t) = f(t) 4- g{t), Ykj = Tk П Xj (E 21); Ykj попарно не
пересекаются, T = \J\JYkj, ц(Тк) = = Ем(^),
к j j к
h(t) = Cfc 4- dj при t E Ykj, так что h(-) — простая функция. Суммируемость h(-) и второе равенство следуют из следующей цепочки равенств:
££(<*+di)^Ykj) = YlckYl ^{Ykj) + £<*#£ v(Ykj) =
к j к j j к
— cfc/^(Tfc) 4 djfl(Xj).
к j
10.9. Следует из неравенств
У2 Cfe/x(Tfc) < У2 Ым(Т/с) < sup |cfc| V /i(Tfc) = /х(Т) • sup \f(t)\. к к к к t6T
10.10. 	Пусть {/m(*)}m=i “ последовательность простых суммируемых функций, равномерно на Т сходящихся к измеримой функции /(•). В силу 10.7 и 10.9 имеем
< М(Т) sup |/m(t) - /p(t)| -» 0 (ш -» оо). t€T
326


Поэтому в силу принципа сходимости Коши сущестует предел (10.18).
Пусть fm(t)=tf(t) и gm(t)=tf(t) (то—> оо); предположим, что
I/= lim / fm(t)dfi ф Iд= lim / gm(t)dfi.
m—юо J m—+oo J
T T
Образуем новую последовательность {/Ьп(*)}т=1> «смешав» последовательности {/m(*)}m=1 и {9т(')}т=1 :
h'2m—l (*) ^ h,2m(*) = 077i(*)? ТП = 1, 2, ... .
Тогда =3 f{t) > со), но последовательность интегралов < / hm(-)d/j, > , имея два различных частичных предела, не
Ь J ш== 1
имеет предела. Значит, // = /р, т. е. предел (18) не зависит от выбора последовательности простых суммируемых функций, равномерно сходящейся к измеримой функции /(•).
10.11. 	1. Докажем сначала эквивалентность двух определений для измеримых ограниченных функций. Существование интеграла в смысле п. 9.2 следует из самого определения. Существование интеграла от простых функций в смысле п. 10.7 и равенство интегралов следуют из определения п. 10.7 и свойства 6 п. 9.3. Для произвольной измеримой ограниченной функции /(•) воспользуемся теоремой 8.4. Согласно этой теореме существует последовательность простых функций, равномерно сходящаяся к /(•). Из доказательства упомянутой теоремы видно, что эта последовательность является ограниченной; это обеспечивает существование интеграла от /(•) в смысле определения п. 10.7. Равенство интегралов следует из теоремы 10.6 о предельном переходе под знаком интеграла (напомним: равномерная сходимость влечет сходимость по мере, см. 8.43).
2. 	Пусть /(•) — неотрицательная измеримая функция и существует ее интеграл в смысле определения п. 10.1. Согласно 10.3 (свойство 6) существует интеграл от простой функции в смысле определения п. 10.7, причем оба интеграла равны. Существование интеграла в смысле п. 10.7 в общем случае и равенство интегралов опять следуют из теоремы 8.4 и теоремы 10.4 (о предельном переходе под знаком интеграла; см. также замечание к теореме 10.4).
327


Обратно, пусть существует интеграл от /(•) в смысле определения п. 10.7. Это значит, что fm(t) f(t) при га —> оо, где /т(-) — простые суммируемые в смысле п. 10.7 функции. Так как, очевидно,
\[fm(t)W ~ [ДОМ Ifm{t) ~ f(t)I,
то при га —► oo ]jsf —► равномерно относительно t £ T и
ЛГ £ N.
При каждом m £ N {[fm(t)W}jsr=i ~ последовательность измеримых ограниченных (каждый член последовательности ограничен числом ЛГ) функций; значит, [fm(t)]/sf интегрируемы в смысле определения п. 9.2; к этой последовательности можно применить теорему Лебега 9.1 (о предельном переходе под знаком интеграла), согласно которой при каждом т £ N
^lim^ J [fm(t))/^dfjL = J (*)
т т
Имеем цепочку равенств
Jim [ [WWdn =
JV-юо Jj
= lim / lim [fm(t)]j^dfi = lim lim / [fm{t)]tfdn =
Jv —► oo Jj m—*oo J\—>-oo m—► oo
= lim lim [ [fm{t)\j^d^ = lim f fm(t)dfj,= [ f{t)dfi.
771—► OO yv—►ОО 771—► OO
(Предельный переход (1) оправдан равномерной сходимостью последовательности {[fm(t)W}m=1 относительно t € Т, перемена порядка предельных переходов (2) оправдана равномерной сходимостью этой последовательности относительно ЛГ £N.) Из этой цепочки равенств следуют суммируемость /(•) в смысле п. 10.1 и равенство интегралов.
3. 	Пусть /(•) — произвольная измеримая функция, суммируемая в смысле определения п. 10.2. Это значит, что неотрицательные функции /+(•) и /-(•) суммируемы в смысле п. 10.1. По доказанному выше эти функции суммируемы в смысле п. 10.7 и равны соответствующие интегралы.
328


Пусть, наконец, /(•) суммируема в смысле определения п. 10.7, т. е. существует последовательность {/m(*)}m=i простых суммируемых функций, равномерно сходящаяся к /(•). Тогда И \fm(t)\ =4 1/(01 И fm±(t) =3 f±(t) (га -> оо, fm± определены как в п. 10.2). Значит, /±( ) суммируемы в смысле определения п. 10.7, а по доказанному выше они суммируемы в смысле определения п. 10.1. Это, в свою очередь, означает суммируемость /(•) в смысле определения п. 10.2.
Совпадение интегралов в смысле обоих определений очевидно.
[V при t € (0,
при * е Ьд’ Ч’ (0.4
интегралов в смысл<
- и- ■ к
10.12. а) 2; „ . Г, S ** =
= lim / [-4-1 dt = lim I f Afdt+ f Ц* JV'-,oo(0,i] \ o Jy
= Ло + 2 “ = 2;
в) 	§; r) 6; д) 2; e) 2; f(t) ~ ж) +oo; з) тг.
10.13. a) 3; f f(t)dt = / f(t)dt+ f f(t)dt = 0+ lim f [f{t)]//dt, о к G0 ■^~>00Go
Г JV
TV, t € Go \ u G„, где G0 = [0, 1] \ K, mW=\ »=i
n, t e Gn, n = 1,2,...,//,
Gn — объединение смежных интервалов ранга n,
mesGn = 2n_1 • ^ (см. упражнение 7.16). Таким образом,


так как lim Af - = 0, то
Af—юо
1 ~ п-1
п 71—1
О
оо
где S(x) = ^2 пх71 *; f S(t)dt = хп = следовательно,
п—1 0 n=1
ад = (*)' = Tiip- S<D = 9;
б) 	15; рассуждая как в а, получим
/я^Ч|»’(Г=ИСМ’
где
<т(х) = ^ п2жп_1;
П=1
^ оо ОС
/ a(t)dt = £ nx" = а; £ пхп~1 = xS(x) = — ^ (см. а));
{ п=1 га=1 С1-®)
. . 1 + ® /2\ 1 + |
^> = 0^)3' 43) = (Tr|f = 45i
в) 4; рассуждая как в а:
л оо / j \ Т1 ■* -* ОО ✓ q \ ть
ffm-Z(|) •*-■£-Mi) =4i
q П= 1 4 7 71 — 1 4 '
г) -0,12; J f(t)dt = f f+(t)dt - J f-(t)dt
- i (|Р*Н1Г1 - S(»-D(l)2fc-2) - i G3j* - F$*) - = -0,12.
10.14. 0 (/(t) ~ 0 на [0, 1]).
10.15. а) да; рассуждая как в 10.13 а;
/ ЛОЛ = lim £ (i-rfl)) =
), 1] Л/—>ОС у 71=1 ' ' П=ЛГ2 + 1 У
(0,1]
/ ЛГ2 \ оо
= lim I Г 1 -1- I -
Л/*—юо
Ц >/Я(п+1) + ) - Ц ^(п+1) < +00;
1 = 1 J 71= 1
330


б) нет; /(•) суммируема, если суммируемы обе функции
1 ] "
f+(t) = 2k, t€
t €
2к + 1 ’ 2к 1 1
/_(*) = 2к-1,
2к' 2/с — 1
, к — 1,2,...,
ОО ОО
имеем / /+(t)A = £ 2FFT = +°°> / /-(*)= Ё h = +°°-
(О, 1] к=1 (0, 1] fc=l
10.16. 0; если t G R \ Q, то f(g(t)) = /(£) = 0; следовательно, /($(*)) ~0.
10.17. Условию задачи удовлетворяет функция из 10.14.
10.18. 1. Пусть сначала /(•) — ограниченная функция. Найдутся такие числа А и В, что Л < /(£) < Б, пусть г = {yj}^L0 — разбиение отрезка [.А, J3], = {£ : 2/j_i < f(t) < yj}, ej попар-
m
но не пересекаются, (J ej = [0, a], e^ = {£ : y^-i ^ f(kt) < yj}, i=i
m
ij попарно не пересекаются, (J ij — [0, |]; очевидно, mese^ =
j=i
= ^ mes ; пусть Sr и ST - верхние суммы Лебега, отвечающие разбиению г, функциям /(£) и f(kt) на отрезках [0, а] и [0, |] соответственно; тогда
т т
ST = yj mes ?/j • /с mes ёj = kST.
j-i j=i
Переход к пределу при стремлении диаметра разбиения к нулю доказывает существование нужного интеграла и равенство
af
J f(t)dt — к J f(kt)dt. (*)
о о
2. 	Пусть /(•) — неограниченная неотрицательная функция; при каждом ЛГ е N для срезок [f(t)]jv и [f(kt)]j^ согласно (*)
о
331


откуда при Af —► оо получаем то, что нужно.
3. 	Для произвольной измеримой функции имеем равенства
а ъ а ТЕ
J f+(t)dt = k J f+(kt)dt, J f-(t)dt = к J f-(kt)dt;
0 0 0 0
вычитая из первого равенства второе, получаем существование интеграла от f(kt) на [0, §] и равенство (*) в общем случае.
10.19. 	Обозначим А// = {t : f(t) > Af}, Bjs/ = {t : f(t) < ^ Af}; пусть /(•) /х-суммируема на Т. Тогда по определению
т W
f(t)dn + Af ■ ц(Ам) . (*)
Рассмотрим последовательность
= / (= /(*)) при *е
1 0 при t £ A/v;
очевидно, {«?гл/'(*)}^/=1 ~ возрастающая последовательность неотрицательных функций, причем —► /(£) (Л/- —► оо) всюду на Т. По
теореме Леви
J f(t)dn = J Ftf(t)dfi - ^lim^ J f(t)dn.
T T Bjs/
Отсюда и из (*) следует, что lim Af • //(A/vf) = 0.
N—>oc
10.20. 	Так как функция f(t) = | cos * имеет одну особенность: она неограничена при t —> 0, то согласно упр. 10.18 достаточно рассмотреть какое-либо одно значение к; для сокращения записи возьмем
к = 7Г.
Для доказательства несуммируемости /(£) = | cos f докажем несуммируемость его неотрицательной части.
/+(*) =
Ч°08? при t € и (га> а&т) >
J П=1 4 '
(VI г-
00 Г
0 при tG (J
п=0 *-
332
4п+3 ’ 4п+1


Срезка [/+(£)]jyf функции /+(•) натуральным числом ЛГ имеет вид
ium=lff при,(Ё^'
IЛГ при t е А//,
где Ам — множество решений неравенства \ cos f > ЛЛ Обозначим В — множество решений неравенства cos f > СТдг — множество решений неравенства ^ > ЛГ. Для t € Сл/*П В имеем | cos j > j ’ ^ > ЛГ, значит, Cjsf П В С Адг. Очевидно Б =
ОО / \ ОО / \
= U (в^+т* б^т) > = (о, 577), с^пв= U (d+т» е^т) •
п=0 4 ' п=Я 4 7
Для суммируемости [f+(t)]tf необходимо, чтобы lim f Afdt = 0 (см. 10.19).
Покажем, что этот факт не имеет места.
[ Mdt = Л/" • mes Afj ^ Л/" • mes CV П В = TV f ^ ^ ^ ;
J *—!, \6n-l 6п+1/
л.. n=Jv
Значит,
6п — 1 6п + 1 36п2 — 1 6п2 бп(п -I-1)
/* KTJ4- ^ ^ ^ ^ 1 / Г\
I ЛГ dt > — / —- — — — • -г? — ~ 7^ 0.
J 6 ^п(п+1) с КГ С /
А„ п=М
10.21. 	/ |/(t)|d/j ^ ^ / adfj, = а■ fj,(A(a)); значит,
Т А(а) А(а)
10.22. Здесь A// = {t: exp (|) >ЛГ} = (0, , limAf-mes А// =
= lim = +00, поэтому в силу 10.19 exp (|) не суммируема на (0, 1) по мере Лебега.
10.23. При /3>0 а>—1 —/?; при/?<0 а>— 1; при/?>0 f(t) = = ^sint^ = t^+P^jjr-; так как ^ 1, то /(•) суммируема вместе
с £а+/3, т. е. при а+/3>— 1; при /3^0 |ta sin <£a и /(•) суммируема вместе с £а, т. е. при а > —1.
333


10.24. /3^0, а + /?>0.
10.25. а) нет; t cos |) = cos j-f | sin |; первое слагаемое представляет собой суммируемую функцию (она измерима и ограничена), второе слагаемое несуммируемо в силу 10.23. (см. также 10.8).
б) 	нет; рассуждения аналогичны.
10.27. 	а > —1; /(•) — простая функция; в силу п. 10.7 и упражнения 10.10 она суммируема, если абсолютно сходится ряд
т. е. если а + 2 > 1, а > — 1.
10.28. /(—1) 4- 2/(1); мера fi? сосредоточена на {—1, 1},
/аИ-!} = = 2*
10.29. 6^ее_~1^; сосредоточена на множестве {1, 2,..., 100},
10.30. Оба утверждения следуют из п. 10.5, п. 10.7 и равенств
10.26. 	а) Нет; f(t) ~ \ sin б) нет; f(t) ~ | cos
А
[ f(t)diJ, = \ [ + [ I f{t)dМ = £ /(*).
*/ \ JАПZ I UdAr\T.
(,/
V\z
где
[—n, n]\Z
A\Z
так как yu([—гг, n] \ Z) = ц(А \ Z) = 0. 334


10.31. а) Нет; f(t) ~ е*; б) да; f(t) ~ ег, / = 1;
(-оо,0)
в) нет; f f(t)dfi = f etdfx + f e^dfi = ^ e_/c = +°°5
R R\Z Z fc<EZ
oo
г) да; /(f) ~ e_t; f e^dfi = j е~Чц = £ e~fe =
R N fc=l
10.32. a) ^y; б) мера здесь сосредоточена на N;
(О, +оо) lt+1"t+2) _ N [t+1I'*+21 “ ™[l,inN 1‘+1П*+21 _П^£2 fc(fc+1) ~~
ОО
= k(ic+i) = I’ в) е’ г) е’ меРа сосредоточена на множестве fc=2 1 ;
{О, 1, 2,...}; рассуждая как в б с учетом того, что на указанном множестве T(t + 1) = t\ получаем f r(t+i) ~ I = е»
[О,+оо) {0,1,2,...}
оо оо
д) 1 + 2 £ iq^r; е) £ = 1.
fc=1 П=1
ОО
10.33. а > 1; / XA{t)dt = mes А = £
R п=1
10.34. а) Нет; при t € [к, к + 1) f(t) = ,
Л: = 1,2,...; /(•)“ простая функция; для суммируемости /(•) необ-
^ / j\fc
ходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд 2J ^ , в то
fc=i
время как он сходится лишь неабсолютно; оо .
б) нет; ряд ^ сходится лишь неабсолютно (по признаку
fc=i
Дирихле);
в) нет; ряд сходится лишь неабсолютно;
fc=1
г) нет; mes[\/fc - у/кТТ] = >/fc+T - у/к = -д=-^=; ряд
оо ,
COS /с
k=1 4- \/fc
сходится лишь неабсолютно.
10.35. а) Нет; ряд Y1 ^~к~ сходится лишь неабсолютно;
ке z кф О
б) нет; ряд ^ расходится; к£ Z
10.36. Нет.
10.37. а) Да; в качестве исчерпывающей последовательности
335


можно взять Тп = (2, гг]; / ^ = lim / ^ =
ТЛ—► ОО гтр
+ = т^;
б) да ■, J f(t)dt = ж
R 4 '
12 2 I
не суммируема; возьмем в качестве исчерпывающей последовательности последовательность секторов (см. рис. 16.19)
Тп = {(я, у) ■ х > 1, у ^ 1, х2 + у2 < п2}.
Рис. 16.19
Учитывая симметрию функции
х ~\~у
и Тп относительно пря¬
мой у = х и переходя к полярным координатам, получаем
II
Т„
\х2 - у21 X2 + у2
dxdy -
4 П
2 J dip J (cos2 <р — sin2 v)pdp =
T T 1
= I p2 |n ! cos 2ipd(p = I ( n2 «— ) cos 2ipdip =
J COS V? J \ COS /
т (x-1- (I-2;•rata:)+ i1 - тугг) ^ +0°
при n —> oo;
336


г) 	нет; пусть Тп — круг радиусом 1 с центром в начале координат; переходя к полярным координатам, получаем
27Г
JJ sin(a;2 4- y2)dxdy = J d<p J sinp2pdp = n • cos n,
т. e. ff sin(x2 4- y2)dxdy не имеет предела при п —> оо; тп
д) при р > 1, q > 1 — да, при остальных р и q — нет;
е) нет;
ж) при р > | — да, при р < | — нет;
+о° 2
з) да; интеграл равен 2ж f e~r r2dr.
о
10.38. Обозначим W = {t Е Т : fm(t) —> +оо}, =
оо оо
= {t € Т : /т(0 > р}. Тогда W = П |J W&- Из неравенства
р—1 тп=1
Чебышева (см. 10.21) следует, что /z(VF£) ^ —; так как последовательность {И^}^=1 возрастающая, то /х ( |J W^\ < а так как
\т=1 /
00 ^
W С (J ТО А*(^0 ^ „ 5 ввиду произвольности р £ N это означает,
771=1 Р
что fi(W) = 0. Так как последовательность {/m(-)}m=i возрастающая, то на Т \ W она сходится к некоторой /(•), принимающей конечные значения. Остальное следует из теоремы Леви (см. п. 10.1).
771
10.39. Получается из 10.38 при /т(£) = ^2
к=1
10.40. Из 10.18 следует, что функция f(nt) суммируема на любом [—“>“] (m € N), а значит, суммируема на М и
J f(t)dt = п J f(nt)dt.
оо
/ \f(nt)\dt
оо
Рассмотрим ряд £ 5—^ = £ * wt+a S этот ряд сходится.
71—1 71 = 1
Из 10.39 следует, что п.в. сходится ряд
\№\ ^ 1/И)1
Ei/wi =
77,0! +1 ZL/
71 =
337
п“'Г1 • na
71=1 71=1


В силу необходимого условия сходимости f№) п
► 0 п.в. (п —> оо).
па v '
10.41. а) |/(*)| суммируема; б) (f(t))2 может и не быть суммируемой: f(t) = ^ суммируема на Т = (0, 1], а (f(t))2 = | несуммиру- ема на Т; в) ущ может не быть суммируемой: f(t) = t суммируема на Т = (0, 1], а ущ = j несуммируема.
10.42. Обозначим = {t £ Т : к ^ f(t) < к 4-1} £ 21. По теореме об оценке (см. п. 9.3 свойство 1) выполняются неравенства
fc-M(Tfc) ^ Jf(t)diJ, < (к + l)At(Tfc), к = 0,1,2,.... (*)
Пусть /(•) суммируема на Т. Предположим, что вопреки утверждению, ряд
оо
^2кц(Тк) (**)-
fc=0
расходится. Тогда
Г Г г (*)
/ [fWW > / [f(t)Wdn = Е / > Е кц(Тк) -» оо
т Я-1 fe=°Tfc fc=°
U Tk
fc=0
(ЛГ —► оо), что противоречит суммируемости /(•). Значит, ряд (**) сходится.
Пусть ряд (**) сходится.
J[f(t)Wdfi= J [f(t)]/sdfi+ J [f(t)}tfdn =
т Л/’-1 ™
и т* U Tfc
fc=0 к=ЛГ
Af-l ~ oo ^ J\f-l oo
= E / ^ E ^ < E + E <
k=0jk k=M k=0 k=M
oo
< ^2 k/J.(Tk) + mCO < +oo;
fc=0
338


следовательно, существует предел возрастающей последовательности
N ОО
J[f(t)]AfdijL > , т. е. /(•) суммируема на Т.
Т J ЛЛ=1
10.43. Обозначим £к = {t е Т : f{t) ^ к} € 21. Тогда
оо
£п = U гДе определены в 10.42. Так как Т& не пересекаются,
к=п
ТО
оо оо оо оо
/*(*„) = $>№), £>(*„) = £ 5>(т*>-
к=п 71=1 71=1 к — п
Переменив в последнем ряде порядок суммирования, получим
оо оо к оо
£ М(£п) = £ /x(Tfc) £(1) = £ MTfc).
71=1 fc=l 71=1 fc = l
Сходимость же последнего ряда эквивалентна суммируемости /(•).
10.44. Обозначим Tfcm = {t € Т : £ < /(f) < <Е 21,
к Е Z, т Е N и положим
= — t € Tfcm, fcez, то = 1,2,.... rn
{/т(*)}т=1 “ последовательность простых /i-измеримых функций. Так как
l/m(t) - /WI < ^ (* G Т),
то /т(-) суммируемы и /т(£) =3 /(£) (га —► оо). Поэтому, согласно п. 10.7 и упражнению 10.10
[f(t)dn= lim [fm(t)dfi= lim £—•/*(Tfcm),
J 771—►OO J 771—^00 Z' ГП
rjp
что и требовалось.
10.45. Очевидно, /TO(f) -> /(f) всюду на Т и |/m(f)| = [|/(*)|]т- Из суммируемости /(•) (а значит, и |/(-)|) следует существование ука- занного предела:
lim [\fm(t)\dfi= lim f[\f(t)\]mdfi = f \f{t)\dfi.
771—>00 J 771—>OC J J
T T T
Из этого же равенства следует, что существование этого предела влечет суммируемость |/(-)| (а значит, и /(•))• А так как, очевидно,
339


\fm(t)\ ^ |то по теореме Лебега
J fm(t)d(jL = j f(t)dfx.
T T
10.46. Пусть T = [0, 1], * fi = mes, К — канторово совершенное множество.
а) /(*) = ^ ПРИ t € tC, f(t) = (—1)п • 2П для £, принадлежащих смежному интервалу ранга п, п = 1,2,... (см. для сравнения 10.13);
б) /(*) = 0 ПРИ t е 1C, f(t) = (—1)п • 2(-1)Пп для t, принадлежащих смежному интервалу ранга п, п— 1,2,
10.47. /(#(•)) может быть несуммируемой на R; пусть /(*) = л/Й» = I+t^’ /(’) непрерывна на R, д(-) — суммируема на
а /($(*)) = несуммируема на R; на множестве конечной меры
ответ такой же; пусть Т = (0, 1], f(t) = t2, g(£) = /(•) непрерывна
на £, д(-) суммируема на Т, a f(g(t)) = у несуммируема на Т.
ь ь
10.48. Так как 7Z—f f(t)dt= lim f f(t)dt, то для любого е > О
а ^“^“Юа+7
найдется такое 8 > 0, что если 7 < 6, то (/(£) ^ 0)
1Z - f /(*)dA - ilZ- f /(t)dA < e. (*)
а / \ a+7 /
По теореме 9.2 при любом 7 > 0 /(•) измерима и ограничена на
[а + 7, Ь] и
*-/ f(t)dt = L - J f(t)dt.
а+7 а+7
Отсюда и из (*) следует, что при 7 <6 выполняется неравенство
п- [ /(i)dA - (l- [ f(t)dt I < e;
a /V a+7
это означает
о о
lim L - J f(t)dt = П - J f(t)dt. (**)
a+7
340


Остается доказать лишь, что /(•) суммируема по мере Лебега на (а, Ь], так как после этого равенство
ь / \
lim L — [ f(t)dt = L — f f(t)dt = lim f [f(t)\//dt 7—0 J J Af—юс J
a+7 (a, 6] у (a, b] У
а значит, и наше утверждение будет следовать из теоремы 9.1 об абсолютной непрерывности интеграла Лебега и равенства (**).
Так как при всех t € (a, fe]
f(t) = lim /(*)-X[J.,b](0.
n—>oc .
to /(•) измерима на (a, b] относительно меры Лебега по теореме 8.1. Пусть е > 0 произвольно; найдется такое 7, что
а+7 TZ- J f(t)dt < е.
а
Предположим, что /(•) несуммируема на (а, Ь], т. е.
^lim^ f [f(t)]tfdt = +00.
°°(a,b]
Так как по теореме Лебега
jjim, (l- J = (b- J f(t)dt \ <+00,
\ a+7 / \ a+7 /
TO
a+7
lim [ [f(t)\udt = -foo. Af-^oo J
Пусть Af > т. e. -fa < 7; тогда
a+7 a+^T a+7
L - J [= L— J im^dt + L- J [f(t)Wdt;
“+£ 341


а+ЯГ а+7
так как L — f [f(t)]Mdt ^ 1, то lim L — f [f(t)]f/dt = -boo.
Л/"—>oo i
a+W
С другой стороны,
a+7 \ / a+7 \ / a+7 \
L- J [.f(t)Wdt = \ft- I [f(t))Mdt I [f(t)Wdt\<£.
a+jr J \ a+jr J \ a J
Это противоречие доказывает суммируемость /(•) относительно меры Лебега на [а, 6], т. е. согласно сказанному выше доказывает наше утверждение.
Если /(•) знакопеременна, то утверждение остается в силе, ь
лишь если интеграл Л — f f(t)dt сходится абсолютно. Доказывает-
а
ся это так же, как и выше. При неабсолютной же сходимости этого интеграла утверждение перестает быть верным. См. по этому поводу пример в п. 10.2.
10.49. 	Пусть сначала f(t) ^ 0. Так как при любом 6 /(•) интегрируема Л на [а, Ь] в собственном смысле, то она ограничена и измерима относительно меры Лебега по теореме 9.2, причем
6 6 L- j f(t)dt = ft - J f(t)dt. (*)
a a
Для всех t G [a, -foo)
f(t) = lim f(t) -X[a,n]W,
n—XX) 1 1
поэтому по теореме 8.1 /(•) измерима на [a, +oo). В силу неотрицательности /(•) в качестве исчерпывающей последовательности можно взять последовательность {[а, Тогда по определению
( 7 \ ( 7 \
L — / f(t)dt = lim ( L — f(t)dt I lim llZ— f(t)dt J =
= 6jj“1oo I ft- Jf(t)dt\ = {ft~ J >
342


т. е. /(•) суммируема по мере Лебега на [а, +оо) и
-foo -foo
L - J f{t)dt = П - J (**)
Пусть /(•) — произвольная функция, для которой интеграл
+оо
1Z — f f(t)dt сходится абсолютно. Полагаем
а
/(*) = /+(*)-/_(<).
Так как обе функции в правой части неотрицательные и сходятся
■foo
интегралы 71— f f±{t)dt, то по доказанному
L- J U(t)dt \ = (к- J f+(t)dt\ ,
+00 \ / -foo
Вычтем из первого равенства второе; в итоге получим суммируемость /(•) по мере Лебега на [а, +оо) и равенство (**) в общем случае.
-foo
Заметим, что если интеграл 1Z — J f(t)dt сходится лишь неаб-
а
солютно, то утверждение перестает быть верным (см. упр. 10.46). Это объясняется тем, что, по крайней мере, один из интегралов
-foo -foo
1Z— f f+(t)dt или 7Z — f f-(t)dt будет расходиться.
a a
10.50. Функция f(t) = при t ф 0, /(0) = 1, непрерывна на R, интегрируема по Риману в несобственном смысле: в курсе математического анализа показывается, что 7Z — f f(t)dt = п (интеграл
R
сходится условно), но не суммируема по Лебегу, L — f |^р| dt = +00
R
(см. пример в п. 10.2).
10.51. Нет. fn(t) —► f(t) = 0 при всех t G I; если бы существовала суммируемая мажоранта, то был бы возможен предельный
343


переход под знаком интеграла; на самом же деле
1
lim [ fn(t)dt = lim [ 2nte~nt dt = lim (1 — e~n) = 1,
n—XX) J n—XX) J n—► oo
[0,1] о
в то время как f f(t)dt = 0.
[o, i]
(Нетрудно, впрочем, убедиться и непосредственно, что sup fn(t) = sup fn(t) = у/2пе~ъ —> +00.)
te[ 0,1] *€[0,+oo)
10.52. 	a) 0; fn{t) = 0 п.в. на R (кроме точек множества
U (f + 7ГП}> лебегова мера которого равна 0);
n€ Z
l/nWI ^ всюду на R; так как / = 7Г, то Ф(£) = является
R
суммируемой мажорантой; по теореме Лебега
[ sinnt lim / TZT2dt = °’
п—юо J 1 -f- t R
б) — f; /п(0 —*- всюду на [0, -foo); суммируемая мажоран¬
та Ф(£) = ——
1+t*
l+F’
iviivi.ripjсгаал ivicum.wpcinха. ) — 1
г) 7г; достаточно показать, что для любой последовательности tn —► 0 предел равен 7г;
в) 0; /п(0 —5► x+F всюду; суммируемая мажоранта Ф(£) =
/(х, у, £n) ~ е (х2+3/2) cos(xytn) —► е (x2+J/2) (n —> 00)
для всех (я, у) € R2; суммируемая мажоранта — сама предельная функция;
27Г +оо
JJ е~(х +2/ ^dxdy = J dip J е~р pdp = 7Г.
R2 00
10.53. 	Пусть \h\ < 1;
1
p(x + ft)-g{x) = J( 1х + 11--Л-у( =
0
344


I
■/
H“ x + Л) ~h я)
dt;
так как
то
д[х + К) - д(х) = I hi ■■;—■■*■ + а(Л) J dt,
J \{П + х) )
где «(Л) —*■ 0 при h —► 0; поэтому можно считать, что a:(/i) | < 1; а так как
1
h
,(v^ + х) 1
+ a(h)
< Ф(«) -
{П+хУ
+ 1
и Ф(-) суммируема по t на (0, 1) при любом х € (—1, 1) (убедитесь в этом!), то по теореме Лебега
Ит(з(х + h) - д(х)) = 0,
п,—* О
что и означает непрерывность д(-) в любой точке интервала (—1, 1).
10.54. 	Заметим, что в силу ограниченности /(•) подынтегральная функця суммируема на М. Разностное отношение
д(х 4- К) — д(х) f cos((x + h)t2) — cosxt2
h
I
-I
h(l+t6)
R
2 sin ■ sin [xt2 +
/i(l +16)
f(t)dt
f(t)dt.
Так как
sin Щ- tz
— —, sin (xt2 + ht2) —> sin xt2 (h —* 0),
345


то подынтегральная функция стремится к суммируемой функции — /(£); суммируемой мажорантой является функция
• /(£). По теореме Лебега
// ч д(х + h) — д(х) ft2 sin xt2 л/ ч ,
* « = Й = - J ТТ?г/«)<*
R
непрерывность р'(-) устанавливаем как в 10.54.
10.55. Суммируемой мажорантой является функция C\g(t)\.
10.56. {/m(0l#(0l}m=i — возрастающая последовательность неотрицательных функций, причем /т(01#(01 —* /(01#(01 А^-п.в. По теореме Леви
тИШ) J
т т
По теореме Лебега (f(t)\g(t)\ — суммируемая мажоранта для последовательности {/ш(*Ж*)}т=i)
lim [ fm(t)g(t)dn = [ f(t)g(t)dn.
m—oo J 7
T T
10.57. Обозначим /(/(£) — /тй)Ф=Лт> по условию am —► 0
T
(m —► oo); иначе говоря,
J(/(*) - fm(t))+dfj, - - fm{t))-dfi = am
T T
или
J l/(<) - /rn WMm = 2 J(f{t) - fm(t))+dn + am.
T T
К интегралу в правой части можно применить теорему Лебега (в качестве суммируемой мажоранты выступает функция 2/(£))• Таким образом,
lim [ |/(t) - fm(t)\dfi = lim [ 2 [(f(t) - fm(t))+d/j, + am =0. rn—► oo у m—> oo \ J I
T \ T /
346


10.58. Нет, неверно. См. пример в п. 10.2.
10.59. а) Нет, не следует; пусть ц = mes, Т = (0, 1],
Тк =
1 1
Kk + V к fm(t) = о при t е
,/с = 1,2,..., fm(t) = га при t е (О,
1
га
-,1
га
, га = 1,2,...; fm(t) -> /(t) = 0 всюду
на Т; f fm{t)dt = 0 при га > к + 1, поэтому Tfc
lim / |/m(0 - /(*)|А = lim [ fm(t)dt = О,
m—»oo J m—+ oo J
Tfc Tfc
HO
lim [ - f(t)\dt = lim f fm(t)dt = 1.
m—>00 J m—+ 00 J
T T
б) нет, не следует; пусть /х, Т и — те же, что в п. а,
/m(t) = у + X(_LT>i]W. ш = 1,2,; fm(t) -> f(t) =j (m —> 00)
всюду на Т,
Tfc
следовательно,
J(fm{t) ~ f(t))dt = j 1
rfc l га (га
(m + 1)
при к Ф m, при к = m;
00 f 1
lim У] / (/m(t) - /(<))<& = lim ———— = 0,
m—>oo J ТП-+00 ra(ra + 1)
fc=1Tfe
в то время как функция /(•) несуммируема на Т.
§ 11.
11.1. 	Убедимся в выполнении аксиом полукольца. Очевидно, 0 х 0 G 6. Пусть А, В € 6; это значит, что А = А\ х Л2, 5 = В\ х Б2, где Ai,Bi G вг (г = 1,2). В силу упражнения 5.21 г
х а2 pi В2 с 6,
так как А* р) Bi £ 21* (г = 1,2) .
347


Пусть А, В ее, В с А; А = А\ х А2, В = В\ х В2- Так как
р
2li (г = 1,2) — полукольца, то А* = Q В^\ где
i-i
В\х) = Bi, В?\..., В[р) G Я*, причем в\Л f)B?]' = 0 при? ф к
(Р) (Р) , .V ,,V
(г = 1,2). Таким образом, А = Ai х А2 = |J IJ B\J) х В\ . В этом
j=ifc=i
представлении х В^ = В, а остальные члены принадлежат 6.
11.2. Неотрицательность m очевидна. Докажем аддитивность га. Пусть А = B\JC (А, В, С € 6, Bf]C = Щ. Это значит, что А = Ai х А2, В = Bi х В2, С = Ci х С2, где А{, В{, Ci e&i(i = 1,2). В силу упражнения 5.22
А = Аг х А2 = (Вг L)C0 х (B2{JC2) =
= (Вг х В2) (J(5i х С2) (J(C1 х В2) |J(C1 х С2).
Поэтому в силу аддитивности мер
т(А) = /x1(A1)/i2(A2) = (m(Bi) + Hi(Ci))(ii2(B2) + ц2(С2)) = = Pi(Bi)n2(B2) + ^i(Bi)fi2(C2) + ni(Ci)fi2(B2) + fJ>i{Ci) (12(02) =
= m(Bi x B2) + m(B\ x C2) + m(C\ x B2) + m(Ci x C2), что означает аддитивность га.
оо
11.3. Пусть А = (J А(п\ где
71=1
А = Ai х А2, А(п) = А[п) х А(2п), Ai,Aln) € 21* (г = 1,2,п € N). Полагаем
jr , .4 _ Г М2(^2П))> если 1 е ^1П)- \ О, если £ ^
В силу счетной аддитивности меры fi2
00 00
М2(а2) = 5>2(4П)) = £ /п(«).
71—1 тг=1
348


\4
и так как
Применим следствие теоремы Леви (см. §9):
£ J fn{t)dfii = Jfj,2(A2)dfii = 11\{Ах)ц2(А2) = т(А),
п=1* А1
J fn{t)dn 1 = Aii(4n))M2(4n)) = rn(A{n)),
Ai
ОО
то ^2 гп(А^) = тп(А).
п=1
11.4. Непосредственно следует из теоремы 1.
11.5. 1. См. следующее упражнение.
11.6. В обозначениях п. 2 (рл{t) = №(At) — М2ОГ2); по теореме 1
НА) = J <PA(t) dfj, 1 = /х2(Т2) • W(T0.
Ti
11.7. Да, так как В С М х #2? a mes (R х В2) = 0.
11.8. Рассмотрим примеры.
1. 	Пусть fii и \х2 — меры Лебега на прямой, А = [— 1,1]2, /(М) = • Тогда
1 1 J f(t, s) dt = 0 (s Ф 0), J f(t, s)ds = 0(t^ 0)
-1
(как интегралы от нечетных функций по симметричному промежутку). Поэтому
/ f(t, s) ds = /(t, s) dt = 0,
l l
тогда как интеграл f f f(t, s) dtds не существует:
-l -l
li li
-1-1 oo
349


2 I I
. f . . f dr f dr
= 4 / sin (/9 cos (pd(p I — — 2 / — = -foo.
о о 0
Здесь хотя и равны повторные интегралы, но функция / несуммиру-
ема на А.
2.Пусть /jLi и Ц2 — меры Лебега на прямой, А = [О, I]2,
\ f Onpn£ = s = 0,
/(*.«) = 1 t2-s2
[ в остальных точках.
Здесь при t-ф 0 /(i, .s) = -§~s ■ Поэтому
/(/№5)*)Й“/Ыь0 idt = Iwri = T
о \о / о о
тогда как, рассуждая точно так же, получаем, что f I f /(£, s) dt) ds =
о Vo /
= — В этом примере повторные интегралы не равны и, следовательно, функция не суммируема на А.
11.9. 	Пусть, например, существует интеграл
prTl
По теореме Фубини
j WfU^)\)N dv = J lj[\f(t,s)\]Ndto) (16.7)
A prTl A \At /
Возрастающая последовательность срезок iz-почти всюду сходится к функции |/(£,s)\. По теореме Леви (см. § 10) из неравенства (16.7) следует, что функция |/(£, s)\ суммируема на А. Но функция f(t,s) суммируема на А вместе с последней и, следовательно, для нее справедливо утверждение теоремы Фубини.
11.10. Это частный случай теоремы Фубини.
11.11. Это частный случай теоремы Фубини. Здесь At =
= [$1(^52 (<)]•'
350


11.12. В доказательстве нуждается только г/-суммируемость функции f(t,s) = fi(t)/2(5) на А, так как само равенство будет выполняться в силу (11.4).
Пусть сначала f(t,s) ^ 0. По теореме Фубини для любого N G N выполняется равенство
J [/(*. «)] N dv = J lj [/(*>«)] ЛГ J dfl 1. (*)
А Аг \а2 )
Последовательности {[f(t, в)]^}?/=1 и {/ [/(^ s)]N с1ц2}м=1 — воз-
А2
растающие (при и-почти всех (*,5) и /xi-почти всех t соответственно). Поэтому к трем интегралам в (*) можно применить теорему Леви (см. §10), в итоге получим равенство
I f(t, s), dv = J fi(t)dfj,i J f2(s)d/j,2,
A A\ A2
из которого следует 1/-суммируемость /.
В общем случае легко убедиться в том, что выполняются равенства
(/l(*)/2(s))+ = I/2WI/2+OO - /l-(t)f2+(s) + f1-(t)f2-(s),
(МШ*))- = |/l|/2+ - h + (t)f2+(s) + fl + (t)f2-(s), из которых следует, что функции (fi(t)f2(s))+ и /2(5))-, а вместе с ними и функция /(£, s) ^-суммируемы на А.
11.13. Для 5 G [ rm , 2^т) / /(*> s)dt = 2П • - 2n+1 • = о,
о
следовательно, J I f f(t,s)dt1 ds = 0; для t G [^,1) f f(t,s)ds = 0 Vo / 0
= 2*^ = 1, для t G [^r, 2Тггт) f f(t, 5) ds = -2n+1 • + 2n • = -1;
0
таким образом, f f f /(£, 5) ds j dt = 2 • ^ -f (—1)^ = 1 — 7=172 =
0 Vo / n=2
Повторные интегралы существуют, но не равны.
11.14. 1) нет, см. выше 11.8, пример 2;
1 5 1
2) 	нет, так как f f(t, s) dt = f js dt — J ^ dt = 1, и значит,
0 Os
351


1 /1 \ 1
I ( f f{t,s)dt 1 ds = 1, тогда как f f(t,s)ds = —1 и, следовательно, о Vo / о
f I f ds J dt = —1; 3) нет, так как (см. 11.8, пример 2)
о Vo /
+оо /+оо \ +оо /+оо \
/ ( / /(*>s)dtj ds = f, a, f (f f(t,s)dH ds = -f;
+00 /+00 \ +00 +00
4) 	здесь f I f e~ts cos tcos sdt J ds= f ^r^rds = ^ f \c?*iS ds = о V о Jos -oo s
+oo /+oo \
= Re ^me~l = 0; аналогично, f I f e~ts cos t cos sds ] dt = 0; хотя
о V о /
повторные интегралы здесь существуют и совпадают, тем не менее интеграл
-foo -foo
J = f f e~ts cos t cos s dtds не существует, о о
В самом деле, предположим, что интеграл J существует; тогда, как легко убедиться, существуют и интегралы
-foo -foo -foo Ч-oo
// е ts cos 2t dtds, a e ts cos 2s dtds,
-foo -foo
0 0 0 0
-foo -foo
' cos 21 cos 2 5 dtds.
о 0
Между тем,
-foo -foo -foo +00
J J e tSI cos ^ cos 5I dtds ^ J J e ts cos2 t cos2 sdtds =
0 0 0 0
+00 +oo +oo +oo
= J J e~ts(l + cos 2t)(l + cos 2s) dtds = ^ J J e~ts dtds+ 0 0 0 0
f+oo +oo +oo +oo
II e ts cos 21 dtds + II e ts cos 2s dtds-h
o
+oo +oo
II
,0 0 0 0
+oo +oo
+ J J e ts cos 21 cos 2s dtds ) = +oo, о о
352


так как, очевидно, J f e~ts dtds = -foo. Следовательно, интеграл J i i
не существует; 5) здесь |/(£, s)\ = 1 на множестве
вне этого множества так как mes2 В = +оо, то f |/(£, s) \ dtds = +оо;
как легко убедиться, оба повторных интеграла существуют и равны 0.
11.15. Так как интегрирование по множеству А сводится к интегрированию по множеству В, плоская мера Лебега которого равна 0 (см. 11.6), то все три интеграла в (11.4) равны нулю.
11.16. Не ограничивая общности, можно считать, что fm(t,s) > 0 (т € N) (ибо в противном случае можно перейти к последовательности {/m(t, s)—/i(£, s)}). При каждом т £ N равенства (11.4) справедливы. Так как последовательности
возрастающие, то к ним можно применить теорему Леви (см. § 10), откуда получим равенство (11.4) для предельной функции.
11.17. 	Как и в предыдущем упражнении, считаем, что /т(£, s)>0(me N). Из теоремы Леви получаем существование интеграла
/ I / f(t,s)dfi2 I dfii. Для завершения доказательства остается со- Ti \At J
слаться на 11.9.
11.18. 	Функции h(t,s) = fk(t,s) в силу неравенства
к=1
s) ^ s) суммируемы на А. Остается применить к этим функциям утверждение 11.16.
В = {(*, s): -1 < t - s < 1}, |/(М)| = 0
— ОО
га
§ 12.
12.1. 	Ау (0) = 7, Л^(0) = 6, Aj(0) = a, Aj(0) — /3. Например,


12.2. а) А+(0) = AJ(O) = -1; Л+(0) = Aj(0) = 1;
б) А+(0) = AJ(0) = -оо; Л+(0) = Aj(0) = +оо;
в) А+(0) = XJ (0) = Л+(0) = Л7(0) = /'(0) = 0;
г) А+(0) = AJ(0) = -1; Л+(0) = Л7(0) = 1;
д) если а>1, /?<0, то А7(0)=Л^(0) = +оо;
А7(0) = Л7(0) = -оо; если а > 1, 0 > 0, то Л^(0) = Aj(0) = +оо;
Ау (0) = А^ (0) = —оо; если а = 1, /3 < 0, то
Ау (0) = XJ (0) = (0) = AJ (0) = /'(0) = 1; если а = 1, (3 = 0, то
А^ (0) = А7(0) = Лу (0) = A7(0) = /'(0) = cosl; если а > 1, то А/(0) = А7(0) = Л+(0) = Л7(0) = /'(0) = 0.
12.3. Пусть t0 € Q; Л£(40) = tjim= Aj(t0) =
= limW = -оо; X-D(to) = limW = 0; ЛБ(*о) =
t—►to t—*to
= = +0°- Для *o € R \ Q A£(<0) = = +oo
Aj(*o) = = 0; ЛБ(*о) = lim = 0; Ap(t0) =
t-+to I—>I(JT
= lim = —oo.
i=T0 t_t°
12.4. Для иррациональных точек ситуация и ответы такие же, как в упр. 12.3. В рациональных точках to
Aj(t0) = А д(*0) = +оо; Ад (t0) = Ад(*0) = -оо.
12.5. Пусть сначала все производные числа функции /(•) строго положительны во всех точках [а, Ь].
Предположим противное: найдутся такие t^\
что /(4X)) < я41}- Еслиf(*1 2*2 ) > f(t{2}), то полагаем = ** ^*2 , 4^ = 4^>
/.\ ^ г/,(1)ч ,(2) ,(1)
в противном случае, т. е. если j —2~) ^ j(t2 ), полагаем t\ = t\ ,
(2) _
2 2
гг +(1) Лп) -(1) ,(п) Лк) ^ Лк)
Пусть уже построены такие t\ , и t\ , ...,£2 » n < ^2 »
что /(4fe)) < f(t[k)), к = 1,2,п. Если /(*1 --t*2 .*) > /(41)), то
положим ^ —2~, t2 — ^2 » в противном случае положим
,(п+1) _ ,(1) ,(п+1) _
&1 — , С2 — 2
2
В итоге получаем последовательность вложенных отрезков
354


r,(n) ,(п)л ti1 ^
[t\ , ц J? длины которых a ? стремятся к нулю, причем
л4п)) < л4п)), п = 1,2,... о
По лемме о вложенных промежутках существует единственная точка t* £ [tjn\ 4n)], t* = lim 1= lim
n—► oo n—+ oo
В силу (*) для всех п £ N по крайней мере одна из разностей /(4П))-/(Г) или — отрицательна. Положим hn = —t*,
если /(4n)) — /(£*) < 0, и hn = t* — если /(£*) — f{t^) < 0. Тогда № < 0 для всех п Е N и, значит, существует производное
число функции /(•) в точке £*, которое неположительно. Это противоречие с условием означает, что /(•) — возрастающая функция.
Пусть теперь производные числа функции /(•) неотрицательны во всех точках. Для произвольного е > 0 рассмотрим функцию f£(t) = f{t) • Все производные числа этой функции во всех точ¬
ках строго положительны. По доказанному для любых t\,t2, t2> t\ fe{h) ^ fe{h)- Ввиду произвольности e > 0 это означает, что f{t2) ^ f{t 1), т. е. /(•) также возрастающая функция.
12.6. 	Для любого п € N покроем А таким открытым множеством Gn D А, что mesGn < ^г, и рассмотрим функцию gn(t) = = mes (Gn |J[a, £]). Эта функция обладает свойствами:
1) 9n(t) > 0 (t е [a, b]); 2) </„(•) возрастает; 3) gn(t) < 4)
дп(-) непрерывна на [а, Ь].
Свойства 1) — 2) имеют место в силу неотрицательности и монотонности меры, свойство 3) верно по построению.
Остановимся на доказательстве свойства 4). Пусть h > 0.
9n(t + h)~ gn(t) = mes (Gn (J[a, t + ft]) - mes (Gn (J[a, t]) =
= mes Gn t + ft] < ft,
откуда следует непрерывность справа. Непрерывность слева доказывается аналогично.
оо
Полагаем <т(£) = 9n(t)\ в силу свойства 3) ряд сходится рав-
п=1
номерно. Следовательно, а(-) — неотрицательная непрерывная возрастающая функция.
355


Пусть to Е А; при фиксированном п Е N и достаточно малом h > О [to, to + h] С Gn. Значит,
аналогичное равенство получится и при h<0. Таким образом, <7' (t) = 1 при всех t Е А.
Для любого натурального N и любого t Е А имеем
что ввиду произвольности N доказывает наше утверждение.
12.7. 	Обозначим через А множество точек отрезка [а, 6], в которых хотя бы одно производное число отрицательно. По условию mes А = 0. Согласно предыдущему упражнению существует такая неотрицательная непрерывная возрастающая функция сг( ), что в точках множества A cr'(t) = +00
Рассмотрим функцию f€(t) = /(£) 4- ercr(t), где е > 0, и покажем, что все производные числа функции Д() неотрицательны во всех точках отрезка [а, Ь].
Так как сг(-) возрастает, то
Отсюда следует, что в точках множества [а, Ь] \ А все производные числа функции /е(*) неотрицательны. Если t Е А, то f'£(t) = 4-00. Таким образом все производные числа функции Д( ) неотрицательны во всех точках.
В силу упр. 12.5 функция Д(-) возрастает, т. е. для любых ^2 > ti f£(t2) ^ Так как е произвольно мало, то и
/(£2) ^ /(*1), т. е. и /(•) возрастает.
12.8. 	Пусть М (га) — точная верхняя (нижняя) грань множества всех производных чисел во всех точках из [а, 6] и L = max{|ra|, \М\}. Тогда sup -М- ^ L. Отсюда следует, что
t,«€[a,6] ' '
t^s
/(•) удовлетворяет на [а, Ь] условию Липшица с константой L.
9n{tо Н~ Л-) — 9ni^o) 4" h,
9n(tо 4" ti) 9n(t0) 1
h “
fe(t 4-/1) -Ш ^ f{t + h)-f(t) 1 г
356


§ 13.
13.1. 	Пусть /(•) абсолютно непрерывна в смысле определения п. 13.1 и 8 соответствует | в импликации (13.1); пусть далее {{ak, bfc)}j&i — счетная система попарно непересекающихся интерва-
оо
лов такая, что ^2(bk — ак) < 8. Тогда для любого п € N
к=1
п
i SW - f{ak) |< е
к=1 к=1
В6*- а к) < 6, и значит, I f(h) - f(ak) |<
ОО
Ввиду произвольности п это означает, что ^ | /(£>&) — /(а&) | < е.
к=1
Пусть для любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что для любой счетной системы попарно непресекающихся интервалов имеет место импликация
оо оо
£(6fc-afc)<^£|/(bfc)-/(afc)|<e. (*)
fc=l к=1
Пусть {(а*;, Ьк)}^=1 — такая счетная система попарно непересекающихся интервалов, что для любого п е N выполняется неравенство
п оо
(Ьк — ак) < Тогда выполняется неравенство fik — ak) ^ § < 8, к=1 к=1
а в силу импликации (*) и неравенство
71 ОО
£ I №) - f(ak) |< £ I №) - /Ы |< е.
к=1 к=1
Это означает, что /(•) абсолютно непрерывна в смысле п. 13.1.
13.2. Если в определении абсолютной непрерывности взять n = 1, то получится определение равномерной непрерывности.
13.3. а) Пусть /(•) и д(-) абсолютно непрерывны, е > 0 произвольно и 8 > 0 таково, что
11 Л« - /(«*) к Т^ТТШ' £19(W “ р(<“) 1< ППТШ1
к=1 1 1 1^1 fc—1 I • 1^1
п
если £ (bfc - ак) < S. к=1
357


Пусть последнее неравенство выполнено. Тогда
n п
£ | F(bk) - F(ak) |= £ | af(bk) + pg(bk) - af(ak) - 0g(ak) |<
k=1 k=1
n n
£ I /(*>*) - /Ю I + I P I £ I 9{h) - д(ак) \<
k=1 fc=l
| a | e | /3 | e _
< | a | + | /3 | + \a\ + \0\ ~ £’
что означает абсолютную непрерывность функции F(-);
б) 	пусть /(•) и д(') абсолютно непрерывны, е > 0 произвольно и S > 0 таково, что
£' - '<“*> К £ I Л) - <*<*> К MTbv
п
если £ (Ьк -ак)<5 (Мh означает шах | h(t) |).
к=1 t€[a,6]
Пусть последнее неравенство выполнено. Тогда
£ | G(bk) - G(ak) |= £ | /(6fc)<?(bfc) - /(afc)p(afc) |=
k=1 fc=l
n
= £ I f(bk)9(h) - f{ak)g{bk) + f(ak)g(bk) - f(ak)g(ak) |< fc=i
n n
< £ 13(frfc) II /(*>*) - f(ak) I + £ I /Ю II g(bk) - g{ak) |<
k=1 k—1
^ ^Mf+Mg +MfMf+ Mg = £'
Этим доказана абсолютная непрерывность функции G(-).
13.4. 	Пусть /(•) удовлетворяет на [а, 6] условию Липшица с кон-
п
станотой L, е > О произвольно, S = jr и (&& — а&) < S. Тогда
к=1
71 п
£ I /(bib) - /К) |< L £(bfc - ак) <Lj = £.
к=1 fc=l
358


13.5. Пусть | f'(t) М. Применим формулу конечных приращений Лагранжа (£, s € [а, Ь]):
I f(t) ~ f(s) 1=1 /'(£)(< - a) М | f - a | (£ € (i, в) или £ € (s, t)),
т. e. условие Липшица выполняется с константой L = М.
13.6. а) «5 = if,;
б) S = |аа|+|6/3|!
В) 6 = Е.
13.7. a) 6 = е; б) £ | ln(l + h) - ln(l + ак) |= £ In =
к=1 к=1
Ф(1+^><£^<1>-‘‘><'
при S = €]
в) S = 2Еу/а\
г) пусть а > 0;
| arctg abk — arctg аак |= arctg <
k=1 к=1 + ак к
п п
< £ arctg а(Ьк - ак) < а £(6* - ак) < £,
k=l к=1
п
если £ (bfc - ак) < S = f. к=1
13.8. а) £ | Vg-0% |= jt,(bk-ak) | +V£-2ak+...+a%~1 |<
к=1 к=1
п п
< m(max{| а |, | b |})т-1 ]Г) (&£ _ ак) < е, если £ - ак) < 5 =
к=1 к= 1
£
т(тах{|а|,|6|})т-1 ’
в б) и в) рассуждения аналогичны.
13.9. Покажите, что /(•) имеет ограниченную производную и
сошлитесь на следствие теоремы 13.3.
1
13.10. Нет, так как V(/) = +°° (см* 2.17 и теорему 13.3).
0
1
13.11. Нет, так как V(/) = +°° (см- 2.31 и теорему 13.3).
о
359


13.12. Пусть е > 0 произвольно и 8 > 0 такое, как в определе-
п
нии абсолютной непрерывности функции /(•). Пусть ^2(Ьк — ак) < S.
к=1
По свойству абсолютной величины числа имеем
£ II №) | - | /ы ||< £ I f(bk) - f(ak) \< е, fc=l к=1
т. е. функция | /(•) | абсолютно непрерывна. Обратная импликация неверна (см. по этому поводу контрпример из упражнения 2.7).
13.13. Рассуждения близки к рассуждениям в задаче 2.8.
13.14. Достаточно доказать, что если для любого € > 0 найдется такое 6 > 0, что для любой конечной системы попарно непересекающихся интервалов (ак, Ьк) имеет место импликация
(£(bfc - ак) < 6) =► ( I £(/(6fc) - /(о*)) |< е), (*)
к=1 к=1
то /(•) абсолютно непрерывна.Пусть эта импликация имеет место. Разобьем сумму в (*) на две. К первой отнесем слагаемые, для которых f(bk) — f(dk) ^ 0, во вторую — остальные. Тогда для обеих сумм
£ I №) - /Ы |=| £(/(&*) - /Ы) |< е.
п
Отсюда следует, что \ f(bk) — f(ak) |< 2е, т. е. /(•) абсолютно
к—1
непрерывна.
13.15. На [ак, bk] найдутся такие точки ак,рк, что f(ak) = тк,
f(i3k) = Мк. Так как (Зк ~ оск < Ьк - ак, то J2(0k ~ otk) < S, поэтому
к
J2(Mk - тк) < е. к
13.16. Не ограничивая общности, можно считать, что /п(а) = О
оо
(n G N). Из теоремы Леви (см. § 10) и сходимости ряда ^ fn(t) =
П=1
оо t оо
= ^2 I fn(s)ds следует, что п.в. на [а, Ь] сходится ряд ^ f„(t) и
n=1 а п=1
его сумма д(-) — суммируемая на [а, 6] функция. Из цитированной
t
выше теоремы Леви получаем, что f(t) = f g(s) ds, т. e. /(•) абсолютно
a
непрерывна на [а, Ь].
360


13.17. Пусть F( ) удовлетворяет на, [А, В] условию Липшица с константой L, /(•) абсолютно непрерывна на [а, Ь] и е > 0 произвольно. Выберем 8 > 0 из определения абсолютной непрерывности так, чтобы для любой системы попарно непересекающихся интервалов
bfc}£=1, сумма длин которых меньше 8, выполнялось неравенство
Ё I f(bk) - f{ak) |< f • Тогда к=1
£ I F(f(bk)) - F(f(ak)) |< l£ | /(bfe) - Да/fe) |< l|- = е,
fc=l к=1
т. е. F(f(-)) абсолютно непрерывна на [Л, В].
13.18. Пусть € > 0 произвольно. Найдем такое 8 > 0 из определения абсолютной непрерывности функции, чтобы для любой системы попарно непересекающихся интервалов {(Л^, Вк)}^=1 имела место импликация
(£(В* - Ак) < <5) =► (£ I F(Bk) - F(Ak) |< е);
fc=l к=1
для этого 8 найдем такое 7 > 0, чтобы для любой системы попарно непересекающихся интервалов {(ак, 6^)}^==1 имела место импликация
( £>* -ак)< 7) =► (Е I №) - f(ak) |< д).
к=1 fc=l
Пусть система попарно непересекающихся интервалов {(а^, Ьк)}^=1
п
такова, что — а*:) < 7. В силу строгого возрастания /(•) интер-
fc=1
валы (f(ak), f{bk)) также попарно не пересекаются; так как сумма
п
их длин меньше 5, то | F(f(bk)) — F(f(ak)) |< £, что означает
/с=1
абсолютную непрерывность суперпозиции F(/(-)).
13.19. Пусть функция /(•) возрастает нестрого. Тогда вместо некоторых из интервалов (f(ak), f(bk)) (или даже всех) мы можем получить промежутки вида [/(а/ь), /(Ь*)], [/(afc), /(Ы)> (/(«л)» ЯМ] (в случае промежутка первого вида f(ak) = f(bk), т. е. промежуток вырождается в точку). Заменив эти промежутки на открытые интервалы (f(ak), f(bk)) (в случае промежутка первого типа просто опустим его), мы получим систему непересекающихся интервалов с той
361


n
же суммой длин, так что из неравенства (ftfc — а>к) <7 снова будет
к=1
п
следовать неравенство J] | F(f(bk)) — F(f(a,k)) |< е. к=1
13.20. 	Пусть т = {tk}k+i ~ произвольное разбиение отрезка [а, 6]. Тогда
tfc
мл = £ I №) - т-о и £ I / т dt к
к-i fe=i tkj_t
п tk Ь
<£ / \m\dt = hm\dt,
b b
откуда следует, что V(/) ^ / I f'(t) I dt. Осталось доказать противоположное неравенство. а
Обозначим А_|_ = {t : /'(£) ^ 0}, А- = {t : f'(t < 0)}. Эти множества не пересекаются и ь
j I fit) | dt= J f(t)dt+ J(-f(t))dt. (1)
a A-
Пусть e > 0 произвольно, a 6 > 0 выберем из определения абсолютной
непрерывности интеграла Лебега от функции | /'(•) | . Найдутся такие замкнутые множества F+ С А+ и F_ С А-, что mes A±\F± < S. Тогда из (1) следует ь
J | f(t) | dt < J f(t)dt+ J(-f(t))dt + 2s. (2)
a F+ F_
Далее, найдутся такие открытые множества G+ и G_, что
F+ С G+, F_ с G-, G+ Р|G- = 0, G± С (а, Ь), mesG± \F±<6,
поэтому из (2) следует ь
J | f(t) | dt< J f(t) dt+ j (-f(t)) dt + 4s. (3)
cl G+ G—
362


Не ограничивая общности, можно считать, что G± представляют собой конечные объединения попарно непересекающихся интервалов, ибо в противном случае эти множества можно с точностью до множеств лебеговой меры, меньшей приблизить такими конечными объ-
771 Р
единениями. Пусть G+ = (J (ак, Ък), G_ = (J (ак, (Зк). Тогда
к=1 к=1
Ьк
/гп р т
/'(*) dt = Y, /'(*) dt = £(/(bfc) - /(a*));
G+ k=1l *=i
0k
/рут
f{t)dt = £/ f(t)dt = £(-/(A) - (-/(«*))).
G_ fc=1
Отсюда и из (3) получаем неравенство
Ър т р
/ | /'(£) | dt < £ I /(bfc) - /Ю I + Е I /Ш - /Ю I +4e,
Ja k=l k=1
6 6
откуда ввиду произвольности e получаем, что f | f'(t) \ dt ^ V(/)-
а а
13.21. В силу упражнения 2.16 осталось доказать, что для
непрерывной функции ограниченной вариации из представления
f(t) = fac{t) 4- f8c{t) следует равенство
ь ь ь
\f(f) = \/(fac) + \J(fsc).
а а а
Для произвольного разбиения т отрезка [а, Ь] имеем
ъ ъ
VtU) = VT(fac + /sc) < VT(fac) + VT(fsc) < \J(fac) + \J(fsc),
b b b
откуда следует, что V(/) < У if ас) + V(/«c)-
а а а
Докажем противоположное неравенство. Для произвольного е > 0 выберем 6 > 0, как в предыдущем упражнении, и построим
363


т р
множества G+ = tj (а&, bk) и G_ = (J (а*, /3&) так же, как там.
к=1 fc=l
Множество В = [a, b] \ (G+|JG_) имеет лебегову меру меньше 46. Включим точки afc,6fc,afc,/?fc в произвольное разбиение т = {tfc}£=0 промежутка [а, Ь]. Тогда на всех промежутках [tk-1, tfc], входящих в [а^, 6^] или [afc, /?fc], выполняется неравенство /'(t) ^ 0 или /'(£) < О соответственно. Для такого разбиения
п
vr(fac) "I" vr(fsc) = ^ ^ |/ac(^fc) — facij'k—1)| “I" | fscij'k) ~ fsc(tk-1)| == k=l
n ^k
= £i f mdsi+mtj-fitk-j- f ns)ds\. fc=i tL tL
Разобьем нашу сумму на две. К первой отнесем слагаемые, для которых [tk-1, tk] лежат в [aj, bj] или [aj, (3j], во вторую — остальные слагаемые.
tk
Если на [£fc_i, tk] f'{t) ^ 0, то f f'(s)ds ^ 0, и
tfc-1
tk
f (tk) — f(tk-1) — f f'(s) ds ^ 0 по теореме 12.3. В этом случае
*fc-i
tk tk
I J /'(«) dsl + l/(*k) - /(*fc-l) - J f(s) «И = l/(*fc) - /(<k-l)l-
tfc-1 tfc-1
Такое же равенство выполняется и в случае, когда на [tfc_i, tfc] выполняется неравенство /'(t) < 0.
Для слагаемых, не вошедших в первую сумму, выполняется неравенство
tk tk
J f'(s)ds\ + \f(tk) - f(tk-i) ~ J f(s)ds\ s?
'к-1 tk- 1
^ I f(tk) ~ f(tk-1)| +2 J\f(s)\ds.
в
364


В итоге
Vr(fac) + ^rC/sc) ^ vr(/) "f" 2 J |/ (5)| ds < VT(f) -|- 8£.
В
Ввиду произвольности e получаем требуемое неравенство ъ ъ ъ
а а а
13.22. 	Не ограничивая общности, можно считать, что /(а) = /п(а) = 0 (п = 1,2,..). Так как, очевидно, /п(-) - /(•) € BV[a, Ь], /п(-) € W[a, Ь\ (п = 1,2,..) и f(t) = fn(t) - (/n(t) - /(*)), то и /(•) € BV[a, Ь].
Представим /(•) по Лебегу:
f{t) = fac{t) Н" fsc{t) “Ь fd{t)-
Согласно предыдущему упражнению
6 6 6 6
\/(fn-f) = \/((fn-fd) + ((-fac) + (-fsc))) = \J(fn-f<l) + \/(fac + fac). а а а а
Так как эта сумма стремится к 0 при п —» оо, а второе слагаемое от п не зависит, то оно равно нулю и fac(t) + fsc(t) = const = 0. Это означает, что f(t) = fd(t).
В случаях 2) и 3) рассуждаем аналогично.
Пусть Н[а, Ь] означает линейное пространство функций скачков, SC[a, 6] — множество сингулярных непрерывных функций, дополненное функцией, тождественно равной нулю. Тогда утверждения этого упражнения означают замкнутость АС [а, 6], SC[a, Ь], Н[а, Ъ] в BV[a, Ь].
Таким образом, представление Лебега (13.8) может быть записано в форме
BV[a, Ь] = АС[а, Ъ] + 5С[а, Ь] + Я [а, Ь]
(представление пространства BV[a, 6] в виде прямой суммы трех подпространств) .
365


13.23. 	Пусть т = о ~ произвольное разбиение отрезка
[а, 6], Шк = Uk(f) ~ колебание функции /(•) на отрезке [tk-ъ tk], ®r(fi9) ~ сумма Стилтьеса на отрезке [а, Ь\. Так как /(•) ограничена на [а, Ь] в обоих случаях, то /(•) • д'(-) — суммируема, следовательно, интеграл в правой части существует. То же можно сказать и об интеграле в левой части в силу теоремы 3.4. Имеем
Пусть е — произвольно.
В случае 1) в силу теоремы Кантора диаметр разбиения D(r) можно сделать столь малым, что Uk < £, к = 1, • • • , п; в случае 2) по теореме об абсолютной непрерывности интеграла Лебега можно сделать D(r) столь малым, чтобы было
ь
а
tk
tk-1
Тогда в первом случае
а во втором (см. упражнение 2.41)


В обоих случаях, таким образом, ь
Щ [/(т)д'(т)<1т = lim eT(f,g).
J D(t )—>0
a
b
А так как (RS) / /(т)йд(т) также равен этому пределу, то в силу един-
а
ственности предела получаем равенство (13.8).
13.24. 	Вместе с функцией д(-) абсолютно непрерывна и функ-
t
ция gn(t) = У(д) (t > а; дп(а) = 0). Пусть е > 0 произвольно, а 8 > 0
а
таково, что для любой системы попарно непересекающихся интервалов (а^, Ък) имеет место импликация
9"К (J^k ) p7r(^fc)) <
fc=l k=1
(£(fcfc-afc)<<5) => (^(9ЛЪк)-дЛак))<щ),
где Мf =тах | f(t) | . Тогда для этой системы интервалов
t € [а 5 Ь]
n n afc
£ | G(bk) - G(ak) |= J2 I f f(s)dg(s) - f f(s)dg(s) \= fc=i k=i i {
6b
П p П
= £ I / /(*) dg(s) l< Mf (д*(Ък) - дж(ак)) <Мг4т~=е
к=1 fe=l
Mf
ак п А
(была использована теорема 4.2 об оценке для Д5-интеграла).
13.25. 	Нет. Абсолютно непрерывная составляющая
t
fac(t) = f 6(s)ds, сингулярная составляющая о
t
s{t) = fsc(t) = te(t) - J 0(s) ds; s'(£) = 0 п. в. на [0, 1], 5(0) = 0, о
l
5(1) = 1 — / 0(s) ds = ^ (см. упражнение 9.23). о
t
Нет. Абсолютно непрерывная часть {t26(t))ac = 2 J s6(s)ds, син-
o
t
гулярная составляющая s(t) = t20(t) — 2/ s#(s) ds;
о
l l
s'(t) — 0 п.в. на [0, 1], s(0) = 0, s(l) = 1-2fs9(s)ds >1-2/0(s) = 0.
о о
367


Нет. Абсолютно непрерывная составляющая ((t(0(t))2)ac =
t t
— /(0(s))2^s, сингулярная составляющая s(t) = t(6(t))2 - f(0(s))2ds; о о
1
s'(t) = 0 п. в. на [0, 1], 5(0) = 0, 5(1) = 1 — /(6(s))2 ds = 1 — 0,3 = 0,7
о
(см. упражнение 9.23).
13.26. 	Пусть /(•) — возрастающая функция и А — открытое
множество, A = \J(akl Ък). Тогда f(A) = {j3f(ak)j(bk), где 3f{ak)j{bk) ~ к к
промежуток с началом в точке f(ak) и концом в точке f(bk). Таким
образом, f(A) измеримо и
Ък
mes f(A) = £(/(6fe) - /Ю) = £ f f(t) dt = f f(t) dt. (*)
* k I A
Если А замкнутое множество, то, рассмотрев открытое множество [а, Ь] \ А, снова придем к тому, что выполняется (*).
Пусть А — произвольное измеримое множество, е > 0 произвольно, a S > 0 выберем так, чтобы для любого измеримого множества
В, мера которого меньше 6, выполнялось неравенство / f'(t) dt < е.
в
Найдутся такие замкнутое множество F и открытое множество G, что
Fc AcG, mes(G\F)<S. В силу возрастания /(•) /(F)с/(А)С/(G).
Так как G\F открытое множество, то mes/(G\F) = f ff(t) dt < е,
G\F
согласно нашему выбору числа 6. Это означает, что множество f(A) измеримо. Из приведенных выше включений следуют неравенства
mes
f(F)^mesf(A) < mes/(G), J f'(t)dt^ J f(t)dt ^ J f(t)dt.
Так как разность между крайними членами этих неравенств меньше £, то для А справедливо равенство (*).
13.27. Следует из равенства (*) в 13.26.
13.28. Пусть у — предельная точка множества f(A). Это означает, что существует такая последовательность {з/п} С f{A), что у = lim уп. По определению образа f(A) найдутся такие хп, что
71—ЮО
/(з;„) = уп- Выделим из последовательности {.тп} (она ограничена!)
368


сходящуюся подпоследовательность {яп*}ь=1> хПк —> х (к —* оо). Так как А замкнуто, то х е А, и значит, f(x) Е f(A). В силу непрерывности /(•) f(xUk) -> /(х) = у. Следовательно, у Е f(A), т. е. /(А) замкнуто.
сю
13.29. По определению А = U где Ак — замкнутые мно-
к=1
оо
жества. В силу упражнения 6.34 f(A) = (J f(Ak). Согласно преды-
fc=1
дущему упражнению /(А^) замкнуты, значит, f(A) типа Fa.
13.30. Пусть /(•) е Af и А С [а, Ь\ — измеримое множество. Согласно упражнению 6.38 А = В (J С, где mes В = 0, а С — множество типа Согласно упражнению 6.34 /(А) = /(#) (JC, т. е. /(А) измеримо.
Пусть /(•) отображает любое измеримое множество из [а, 6] в измеримое множество. Предположим противное: /(•) ^ -ЛЛ Это означает, что найдется такое множество D С [а, Ь], что mesD = 0, f(D) измеримо, но mes/(D) > 0. Следовательно, D содержит неизмеримое подмножество Е (см. упражнение 7.50). Пусть Н — прообраз множества Е. Так как Н С D, то Н измеримо, a f(H) = Е — нет; это противоречит предположению. Значит, /(•) Е Af.
13.31. Пусть /(•) абсолютно непрерывна и mes А = 0. Не ограничивая общности, можно считать, что А С (а, 6). Для произвольного е > 0 найдем такое 6 > 0, что для любой системы попарно непересекающихся интервалов, сумма длин которых меньше выполняется неравенство (см. 13.15):
£(Mfe - TOfc) < £. (*)
к
Покроем А таким открытым множеством G = U(afc> &к), что
к
mes G<5. Можно также считать, что Gc(a, b). Так как — ак)<$,
к
то выполняется неравенство (*). В силу упражнения 6.34 получаем
f(A) с /(G) = (J/((afc, Ьк)) с (J/(К, Ък]) = IJK, Мк],
к к к
369


а полуаддитивность верхней меры (теорема 7.6) дает нам IX* (А) < £(Mfe - тк) < е.
к
Ввиду произвольности е, это означает, что mes f(A) = 0. Отсюда следует, что /(•) G ЛГ.
13.32. Утверждение следует из 13.30, 13.31.
t
13.33. Пусть f(t) = f(a) + f g(s) ds, где g(-) измерима и \g(t)\
а
для всех t G [а, Ь]. Тогда
т-т i=
ь
/9(т)
dr
^ K(t — s),
для любых t, s (z [a, ft], т. е. /(•) удовлетворяет условию Липшица с константой К.
Пусть функция /(•) удовлетворяет условию Липшица с константой L. Тогда она абсолютно непрерывна и поэтому может быть представлена в виде интеграла от своей (суммируемой!) производной:
t
f(t) = f(a)4-/ f'(s) ds. Пусть 5 G [a, b] — произвольная точка. Из усло-
a
вия Липшица следует, что для любого t G [a, 6], t ф s, выполняется неравенство ^ ^ L. Это означает, что множество всех про¬
изводных чисел во всех точках ограничено по абсолютной величине числом L, т. е. | /'(£) L п.в. Переопределив, если это потребуется, значения /'(•) в точках, где она не существует (таких точек может быть только множество меры нуль), получим требуемое.
13.34. 	Пусть F С [0, 1] — совершенное нигде не плотное множе-
оо
ство положительной меры (см. упражнение 7.33), F= [0,1]\ |J (an, 6n),
71= 1
где интервалы попарно не пересекаются и не имеют общих концов. Для t G F положим f(t) = 0; для t G (an, bn) положим
f(t) = (t- an)2(t - bnf sin * n= 1,2,...
( 7i an)[t dn)\t bn)
Покажем, что в каждой точке t € [0, 1] существует fit).
370


Пусть to G F; если t G F, to = 0; пусть t G [0, 1] \ F,
t > to; найдется такое n, что t G (an, 6n); так как to < an < t, to t — an < t — to, поэтому
f{t\ {{t°] < (t - an)(b - a)2 <(t- to)(b - a)2.
t — to
Следовательно, правая производная в точке to равна нулю. Точно так же показывается, что и левая производная в точке to равна нулю. Таким образом, /'(•) существует в точках множества F и равна там нулю.
Пусть t G [0, 1] \ F, тогда t G (an, bn) при каком-нибудь п и
Итак, /'(•) существует всюду на [0,1], она ограничена (| /'(£) |< 3); при стремлении t —» ап /'(£) не имеет предела, поэтому /'(•) разрывна во всех точках множества F. Так как mesF > 0, то /'(•) не интегрируема на по Риману.
13.35. 	Рассмотрим на отрезке [0, 1] функцию f(t) = t2 cos ^ при t > 0, /(0) = 0. Очевидно, что /'(•) существует всюду и конечна. Пусть 0 < а < /3 ^ 1; на [а, /3\ /'(•) ограничена, следовательно,
/'(£) = 2(t - an)(t - bn)(2t - ап - Ъп) sin
1
(bn an)(t dn)(t Ьл)
21 (in bfi
bn ~ an
1
a
Возьмем
Pn
Тогда f f'(t)dt = Отсюда следует
О Л
т. e. /'(•) несуммируема на [0, 1].
J I /'(*) \ dt> J | /'(*) | ^ = +oo,
П 1 n = l
371


13.37. 	Если /(•) абсолютно непрерывна, то из 13.26 следует, что
mes f(A) = 0, так как по теореме Лебега 12.1 mes А = 0.
Пусть е > 0. Покроем множество f(A) открытым множеством
G1 так, чтобы mesGi < §. Обозначим Go = /-1(Gi) = U(aj>kj)> =
j
= 2 mes Go- Тогда в силу строгого возрастания /(•)
Gi={J (/К),/(6°)).
j
Пусть F = [a, b] \ Go; F — замкнутое множество.
Покажем, что для любого s £ F
sup
teF,t^s
т-т
= L(s) < L < +oo. (*)
Предположим, что L = +oo. Тогда найдется такая последовательность {tn}^= i> что | --3--1 —5► +oo. Но это означает, что либо
/'(s) не существует, либо f'(s) = +оо, т. е. 5 € А, что противоречит условию. Следовательно, верно (*). Из (*) следует, что для любых s,teF
\f(t)-f(s)\^L\t-s\. (**)
Пусть {(, bk)}k=i — произвольная конечная система непересекающихся интервалов, такая что
£(bfc -ак) <6 = min{y, ^-}.
к=1
п
Пусть G = (J (afc, 6/е) (mesG < J); Представим G в виде объ- к=1
единения двух непересекающихся множеств: G = (F f]G) U(^o П&)• Тогда (см. упражнение 6.34) /(G) = f(Ff)G)\Jf(Gof>\G), и значит, с учетом (**)
п
£(/(&fc) ~ f(ak)) = mes /(G) = mes /(F Q G) 4- mes f(G0 Q G) <
fc=i
£ £
^ L • mes G + mes /(Go) <£•-— + -=£,
2L 2
т. e. /(•) абсолютно непрерывна.
372


13.38. 	Примените утверждение предыдущей задачи к обратной функции.
§ 14.
14.1. См. решение задачи 8.28.
14.2. Пусть T(t) = Т\(£) — T2{t) = Т\(t) — ^(t) — два различных представления Т(-) в виде разности двух возрастающих функций. Тогда Т\ {t) = T2(t) + Т\(t) - Т2(t) и
ь ь ь
J f(t) d!Fi(t) — j f(t)d?2(t) = J +
a a a
6 6 6 - J f(t) (UF2(t) = J f(t) dTx (t) - J f(t) df2(t).
a a a
14.3. a) supp/xjr = {1,22,32,...}; n] = [y/n\\ цг(а, b] =
= [>/б] - [-у/а]; цг[а, 6] = [\/6] - [-^/a], если a £ sup fi?; цуг[а, 6] = = [ч/б] — [>/a — 1], если a e supp/j^; ц?(а, b) = [\/&] — [\/a], если b £ suppfiyr(a, b) = [Vb— 1], если b € supp^; = 0, если
п-ф к? (к € N); iif{n} = 1, если п = к2;
б) supp иг = N; цг[0, п] = ц?(а, Ь] = у/Щ - y^aj;
цуг[а, 6] = -/Й “ Ш если а $■ N; мИа> Ч = у/Щ ~ \/1а _ Ч»
если а € N; ц?(а, Ь) = \/Щ — \/М> если Ь ф N; Ь) —
= л/[Ь - 1] - \/{а}, если b € N; ц^{п} = л/п;
в) supp^[0, п] = {1,л/2,л/3,..}; n] = i/M; Ч = = Ч = VW}-\/Kl> если а £ supp/ijr; /х^[а, 6] = = \/Щ- \/[(а - I)2], если а € supp \i?\ ц^(а, b) = у/Щ-\Да?\, если b $ supp Hf, цг(а, b)= \/[(Ь - I)2] - VFJ, если Ъ € supp ц?; /х^{п} = = п — у/п2 — 1;
г) suppцр = {1, s/2, v^,-}; цу[0, n] = v^n3; /x^(a, b] = = УР»5] - v/ia3!; мИа> 4 = VWi- yi®5!- если a t supp Hr; Цг[а, 6] = = У[Р1 - \/[(a - l)3], если a € supp/ijr; /x^(a, b) = {/[б3]” - {/[a5}, если b £ supp/ijr; fj,jr(a, b) = ^[(6 — l)3] — \/[a3], если b £ suppfijr; fi?{n} = n — v^n3 — 1.
373


14.4. а) Абсолютно непрерывная часть fiac порождается абсолютно непрерывной функцией Fac(t) = -2t2 для t G [-2, -1), facit) = ~t2 - 1 ДЛЯ t G [-1, 0), Tacit) = “1 ДЛЯ t G [0, 1), Fac{t) = = t2 — 2 для t G [1, 2]. Сингулярная (дискретная) часть fisd порождается функцией скачков J^sdit) = 0 для t G [—2, 1), Tsd(t) = 1 для t£[-1, 1), Jrsd(t) = 2 для £G [1, 2), J*sd(2)=6, supp/isd = {-l, 1, 2}.
б),в),г См. упражнение 13.25.
д) 	Находим: ^(0) = 0, JT(-) непрерывна на [0, 1], F'(t) = 02(t)
t
п.в. Следовательно, Tac{t) = f62(s)ds, Tsc{t) = T{t) — Fac{t) =
о
t t
= 6(t) f 6(s)ds — f 62(s)ds; Fsc{*) непрерывна, f'3C(t) = 0 п.в., о 0
^*sc(0) = 0, Fsci 1) = 1 — 0,3 = 0,7 (см. упражнение 9.23 б)), т. e. Tsc Ф 0; fiac порождается FaC{'), Use — Fsci')-
14.5. а) Здесь T(t) = 4£4-6, t G [—2, —1), T(t) = 2£ + 3,
t G [-1, 0), F(t) = 0, t G [0, 1), .F(t) = 2t - 3, t G [1, 2)^(2) = 2; непрерывная сингулярная часть отсутствует; Т(Т) = {—1, 0, 1, 2}, значения /(•) в точках разрыва равны 0, скачки сг_х (^г) = —1,
= -3,<Т!(Я = -1, а2(Я = 1; T’(t) = 4, t G [-2, -1),
Я(*) = 2, f G (-1, 0) U(l, 2), F{t) = 0, t G (0, 1).
2 -1
Таким образом, f {£} d{2 | t | —3)[t\ — f (t 4- 2) • Adt +
-2 -2
о 2
+ f (t + 1) -2dt + f (t — 1) • 2dt+0 • (—1) 4- 0 • (—3) + 0 • (—1) + 0-1 = 4.
-l l
6) — в) здесь T(-) — ступенчатая функция с одной точкой
разрыва t = ^ G [0, 7г], а± = 2, поэтому
/ sign cos f£dsign(t - i)(f + |) = sign cos f • 2 = 2; г) -±; д) -2; e)
о
| (cos \ + cos I); ж) -1;
3) 1) £ к2 = TO(TO+^(2ro+1) для m2 < n < (m + l)2;
k=1
2) x: - л/fc^T); 3) it[Vk}(Vk-y/k=iy,
1 fc=l
4) £[^](^-^^T).
fc=l
14.6. а) При t G (0, 1) tn + 2~n* —» 0, при t € {0, 1}
374


tn -b 2 nt —► 1 (n —> oo), |tn + 2 nt| < 2 (£ G [0, 1]). Поэтому
l
lim / (*n + 2"nt) dT{t) = lim / (tn + 2“nt)(i/if+
Ti—>00 / n—>oo /
0
(0,1)
+ lim [ (tn + 2-nt)dnr=n:F{0, l}=F(0+)-F(0-)+F(l+)-F(l-)-, n-*o° 7
{0,1}
oo
14.7. 	a) / 2-M d[«] = ^ 2“fc -1 = 1;
0
fc=l
oo
oo
б) 1-2Е(-Г2-‘ = |;в) 0; г) £ fc3~fc= f;
14.8. Доказательство идейно близко к доказательству теоремы 9.2.
14.9. а) 0; интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса;
б) 4; интеграл следует трактовать в смысле Лебега-Стилтьеса, так как обе функции имеют общие точки разрыва;
в) 1; в смысле Лебега-Стилтьеса;
г) -1,5; в смысле Римана-Стилтьеса.
14.10. Достаточность. Пусть сначала /(•) ограничена на [а, 6] и $!(/) — колебание /(•) на всем [а, Ь]. Пусть е > 0 произвольно. Покроем Т(/) таким открытым множеством G = |J(а&, Ьк), что Ht{G) < 2й(У) • Множество F = [а, 6]\G замкнуто и /(•) непрерывна, а значит, и равномерно непрерывна на F. Поэтому найдется такое 6 > О, что для любого to G F колебание u(f) на множестве [£о — ^о 4- 6] П F удовлетворяет неравенству u(f) <
Рассмотрим произвольное разбиение т = {tk}k=o отРезка [а, ft], диаметр которого d(r) < 6. Пусть — промежутки [tk-1, tk]
этого разбиения, которые содержат хотя бы одну точку множества F, a (р 4 g = п) — остальные промежутки разбиения т;
промежутки второго типа содержатся в G.
Так как множество точек разрыва Т(-) не более чем счетно, то можно, не ограничивая общности, считать, что все tk — точки непре-
375


n # n
рывности Т(-). Сумму S = uk{f)&Tk = J2 ^k(f)^(Jk) разобьем
k= 1 fc=l
на две:
i=l j=l
(Lj[{f) {ujj(f)) — колебания функции на промежутках первого (второго) типа). По построению
s < тЬ)f- На)) £ + т g < £'
По теореме 3.3 интеграл (14.19) существует.
Пусть /(•) неограничена на [а, Ь], но ограничена на промежутках J\,..., ym> = [а^, 6fc], /с = 1,га, дополнительных к конечному объединению промежутков, на которых Т(-) постоянна. По доказан-
Ьк
ному выше интегралы (RS) / /(t) dF(£) существуют, а интегралы по
а>к
промежуткам, на которых !F(-) постоянна, равны нулю независимо от значений на них функции Т(-). Следовательно, и в этом случае
т Ьк
интеграл (14.19) существует и равен (RS) f f{t)d!F{t).
к=1 ак
Необходимость. Пусть интеграл (14.19) существует. Тогда по теореме 3.3 для любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что для любого разбиения т = {tk}k=zl отрезка [а, Ь], диаметр которого d{r) < 8, выполняется неравенство
п
5>*(/)Д^к<е. (*)
к=1
Пусть т — любое из таких разбиений. Предположим, что /(•) не является ограниченной в окрестности точки tf € [tk0- ь £fc0]- То-
гда существует такая последовательность —> t', что f(tk) —> оо. Это
означает, что uko(f) = +оо и, значит, АТко = 0, т. е. ввиду произвольности разбиения постоянна на некотором отрезке. Таким образом, если /(•) неограничена на [а, Ь], то существует конечная система промежутков ..., *7m, на которых Т(-) постоянна, а на дополнительных к этой системе промежутках /(•) ограничена. Следовательно, условие 1) теоремы выполнено.
376


Так как интеграл (14.19) существует, то (см. упражнение 6.8)
г(ЯПТ(/) = 0.
Пусть j € N произвольно, Tj(f) = {t; \crt(f)\ > у}. Для произвольного е > 0 найдем такое 5 > 0, чтобы для любого разбиения т, диаметр которого d(r) < S, выполнялось неравенство вида (*), где правая часть £ заменена на 4.. Пусть т — одно из таких разбиений и J7i,..., Jp — промежутки этого разбиения, содержащие точки множества Tj(f) в качестве своих внутренних точек. Может статься, что некоторые из точек разбиения т, например тоже принадле¬
жат Tj(f). Тогда, как было отмечено выше, /х^{^1, •••,^} = 0? так как tki являются точками непрерывности F(-). Из (*) получаем
т > y^^fc(/)A^fc > =
3 к=1 3 i=i
1 р 1 ( р \
= - = -VT I IJ intJi J .
3 i=l J \г=1 /
Таким образом, множество Aj = Tj(f) \ покрыто
p
открытым множеством Gj = (J intJi, fijr(Gj) < £. Следовательно,
i=1 oo
fjLjr(Aj) = 0. Так как T(f) = (J !}(/), to nrT(f) = 0.
i=i
14.11. Пусть /(•) интегрируема по ^(-) по Риману. Тогда mes T(f) = 0, а значит, ввиду абсолютной непрерывности Т{-) и
МП/)) = о.
14.12. Так же, как в упражнениях 3.8, 3.9, доказывается, что Т(') — непрерывная функция ограниченной вариации на [а, Ь].
Пусть сначала возрастает и интеграл (14.19) существует для любой интегрируемой по Риману функции /(•). Предположим, что Т(') не является абсолютно непрерывной на [а, Ь]. Тогда найдется такое £о > 0, что для любого S > 0 существует такая конечная система
п
непересекающихся интервалов {(ак, &&)}£=!, что ^2 (bk — ак) < 6, но
к=1
п п
X) (^(Ьк)-^(ак)) > £о- Рассмотрим функцию f(t) = X) °к Pck(t), где
fc=i fc=i
рс — единичная функция (см. п. 3.5), ск = 9±, а <тк > 1. Тогда /(•)
377


интегрируема по Риману и в силу теоремы 3.3 для Eq найдется такое
п
S > 0, что если (Ьк — о>к) < 8, то для любого разбиения г = {tj}!^=1,
к=1
содержащего точки а^, Ьк (к = 1,..,п), диаметр которого меньше 5, выполняются неравества
т п
SO >
j=i fc=i
Полученное противоречие означает, что Т(-) абсолютно непрерывна.
Общий случай с помощью теорем 2.6 и 13.4 сводится к уже доказанному.
14.13. Так как /(•) интегрируема по любой абсолютно непрерывной функции, то она интегртруема и по абсолютно непрерывной функции !F(t) = £, т. е. /(•) интегрируема по Риману.
14.14. Следует из 14.11 и 14.12.
§ 15.
15.1. 	Пусть / = inf<$(.A), где инфинум берется по всем отрицательным множествам А. По свойству точной нижней грани найдется последовательность измеримых отрицательных множеств {Ап}^
оо
таких, что lim Ф(Ап). Полагаем А~ = |J Ап, А+ = Т \ А~. По по-
п->°° п=1
строению А~ — отрицательное множество и Ф(^4"~) = а. Покажем, что и А~ — требуемые множества.
Предположим, что множество не является положительным. Пусть Со С А+ {Со € 21) таково, что Ф(Со) < 0. Если бы множество Со было отрицательным, то А~ = А~ р| Со было бы отрицательным множеством, для которого Ф(А~) < а, что противоречит определению а. Значит, существуют С\ С Со и число к\ > 0 такие, что Ф(Сх) ^ С\ ф Со. Повторяя эти рассуждения для Со \ С\,
найдем С2 С Со \ С\ и к2 > 0 такие, что Ф(С2) ^ так мы получим последовательность {С*} £5^, для которой Ф(Ci) ^ Положим
оо
Ао = Со \ IJ Ci\ так как Ф(Со) < 0, а Ф(Ci) > 0, то Ао — отрица-
г=1
тельное множество. Добавив его снова к А~, получим отрицательное множество А', для которого Ф(А') < а. Это противоречие убеждает нас в том, что — положительное множество.
378


Существование разложения Хана (15.2) доказано. Это разложение имеет место с точностью до нулевых множеств.
В самом деле, пусть имеется два разложения
т = лгил+ = л2-ил+ и
Тогда
Ф(Вр|ЛГ) = Ф(Вр|Л2). Ф(ВГ|Л+) = Ф(ВГК). (*}
Докажем первое из этих соотношений. Имеем
В р)ИГ \ Л2-) с В р| ЛГ и В р|(Ai \A^)cBf]A^,
следовательно, с одной стороны,
Ф(В \ Аз )) ^ 0, с другой - Ф(В P)(Af \ А1)) ^ 0.
Это значит, что Ф\ А^)) = 0. Точно так же докажем, что Ф(БП(А^" \ А]")) = 0. Это означает справедливость первого из соотношений (*). Второе доказывается аналогично. Из соотношений (*) следует единственность разложения Хана (15.2) с точностью до нулевых множеств.
15.2. Пусть заряд Ф абсолютно непрерывен относительно меры /i и fi(A) = 0 (А е 21). Тогда /х(Ар|А+) = 0, так как Af]A+ С А. Поэтому Ф+(А) = Ф(Ар)А+) = 0, т. е. Ф+ абсолютно непрерывна относительно меры /i. Аналогично доказывается абсолютная непрерывность мер Ф- и |Ф|.
15.3. Пусть Т = А~ (J А+ разложение Хана относительно заря-
оо оо
да А„ = Ф - Пусть А0 = f| А~, В0 — U Тогда АП(Л0) < 0,
71=1 71=1
Ф(Ло) ^ ^/jl(Ao) при всех nGN. Это значит, что Ф(Ао) = 0, т. е. Ф(#о) > 0; в силу абсолютной непрерывности Ф относительно /i. Поэтому найдется такое п, что /л(А+) > О. Остается положить е = $,В = А+.
15.4. Предположим, что существуют такие //-суммируемые функции Д и /2, что
Ф(А) = J h(t) ф = j h(t) dM (A e 21).
A A
379


Отсюда f (fi(t) — /2W) d/л — 0. Обозначим
A
An = {t: f2{t) - h(t) > -}, Bn = {t : h(t) - f2{t) > -}.
n n
Тогда
J(f2(t) - /1 (t)) dn > ^ii(An), n(An) < n J(f2{t) - flit)) dfj, = 0.
An An
Значит, ц(Ап) = 0; аналогично показывается, что /л(Вп) = 0. Так как
с = {t: т ф ту = (U j U (U Б
\п=1 ) \п=1
то niC) = 0, т. е. fi{t) ~ f2(t).
15.5. Разложение Хана: А+ = [0,7г],Л_ = (я*, 27т] с точностью
до нулевого множества {0,7г, 2п} (лебеговой меры нуль); Ф+(А) =
= /(sin t)+ dt, Ф~(А) = f (sin t)_ dt, |Ф|(А) = f | sin t\dt (положи- A A A
тельная и отрицательная части функции определены в п. 2 §10); из
представления заряда и свойства интеграла Лебега видим, что если
/л(А) = 0, то Ф(А) = 0, т. е. заряд Ф абсолютно непрерывен; по теореме
Радона-Никодима = sin t.
15.6. Разложение Хана: А+ = {t € [a, b] : F'(t) ^ 0}, А~ = = {t € [а, 6] : F'(t) < 0} (с точностью до нулевого множества: множества точек, в которых производная либо не существует, либо равна нулю);
Ф+(А) = JiF'{t))+dt, Ф~(А) = J(F\t))-dt, |Ф|(А) = J \F'it)\dt.
AAA
Абсолютная непрерывность следует из теоремы Радона-Никодима; оттуда же следует, что = F'it).
15.7. По теореме Радона-Никодима заряд абсолютно непрерывен относительно меры Лебега, так как
ФiA) = [ eit)G'it) dt, = вЦ)СЦ), G'it) = Щ*)1;
J a mes
A
380


заряд также абсолютно непрерывен и относительно меры цс и & = *(*)•
15.8. По теореме Радона-Никодима заряд абсолютно непрерывен относительно меры цо и = t\ относительно меры Лебега заряд абсолютно непрерывным не является, так как
Ф (А) = / t dfjbe = J t dfie -f J t due = J t dfio
А АПК A\K АПК
(второй интеграл в сумме равен нулю, так как мера fie сосредоточена на канторовом множестве /С); хотя mes (Л П /С) = 0 для любого измеримого относительно меры Лебега множества А С [а,Ь], интеграл
f tdfiQ может быть отличным от нуля (например, при А = /С).
АПК
15.9. Пусть F Е BV[a, Ь]. По теореме 2.6 F(-) может быть представлена в виде разности двух возрастающих функций:
F(t)=FK(t)-F„(t), где Ш = V(F), Fu{t) = Fn(t) - F(t); Fn и Fv
a
порождают меры Лебега-Стилтьеса, которые мы для простоты обозначим соответственно и fiv.
Пусть /(•) — неотрицательная непрерывная на [а, Ь] функция. Для любого измеримого по Лебегу множества А С [а, 6] полагаем
Ф(Л) = J /(<) ф* - J f(t) dnv. (*)
А А
Равенство (*) определяет заряд (в силу счетной аддитивности интеграла Лебега). Разложение Жордана имеет вид
Ф+(Л) = J f{t)d^, Ф-(А) = J f(t)dtiv.
А А
Разложим меры и (xv по Лебегу согласно п. 1 § 14 (см. (14.9)) на абсолютно непрерывную, сингулярную непрерывную и сингулярную дискретную относительно меры Лебега составляющие:
/Л-7Г — А^7Гас “1“ /^7Г ас “Ь — Мь'ас №vsc №vsd\
381


тогда абсолютно непрерывная относительно меры Лебега составляющая заряда (*) имеет вид:
Таким образом, Ф = Фас 4- Ф5С 4- Фsc*.
15.10. 	Разложение Хана: А~ = JC,A+ = [0,1] \ /С; разложение
Жордана: Ф+ = Ф(АпА+) = f dfie = fJ>e(AnA+) =0, Ф+ = 0 (так
АПА+
как supp цв = /С); Ф~(А) = -Ф(АпА~) = f dfio = це{А), Ф“ = цв-
АПК,
Заряд абсолютно непрерывен относительно меры \х$ и сингулярен относительно меры Лебега, так как он сосредоточен на множестве /С, лебегова мера которого равна 0.
А
А
сингулярная непрерывная составляющая —
А
А
сингулярная дискретная составляющая —
А
А


Список литературы
1. Абросимов А. В., Калягин В. А, Рябинип А. А, Филиппов В. Н. Упражнения по функциональному анализу. - Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1992. - 76 с.
2. Городецкий В. В., Нагнибида Н. И, Настасиев П. Л. Методы решения задач по функциональному анализу. - Киев: Высш. шк., 1990. - 479 с.
3. Дерр В. Я. Интеграл Римана-Стилтьеса. - Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 2002. - 120 с.
4. Дерр В. Я. Теория меры и интеграл Лебега. - Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 2004. - 201 с.
5. Дерр В. Я. Интеграл Лебега-Стилтьеса. - Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 2005. - 75 с.
6. Дороговцев А. Я. Математический анализ: сборник задач. - Киев: Высш. шк., 1987. - 407 с.
7. Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. - Киев: Высш. шк., 1989. - 151 с.
8. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. - М.: Мир, 1964. - 430 с.
9. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. - М.: Наука, 1979. - 381 с.
10. Колмогоров А. М., Фомин О. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. - 544 с.
11. Леонтьева Т. А., Панферов В. С, Серов В. С. Задачи по теории функций действительного переменного. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. - 207 с.
12. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Лань, 1997. - 552 с.
13. Очан Ю. С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. - М.: Просвещение, 1965. - 231 с.
14. Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу. - М.: Просвещение, 1981. - 272 с.
15. Теляковский С. А. Сборник задач по теории функций действительного переменного. - М.: Наука, 1980. - 181 с.
16. Ульянов П. Л., Бахвалов А. Н., Дьяченко М. ИКазарян К. С., Сифу- энтес 77. Действительный анализ в задачах. - М.: Физматлит, 2005. - 416 с.
17. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Лань, 1996. Т. 3. - 656 с.
18. Hildebrant Т.Н. Introduction to the Theory ^of Integration. -
New York-London, 1963. - 385 p.
383


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Интеграл Римана—Стилтьеса 4
§ 1. Монотонные функции 4
§ 2. Функции ограниченной вариации 13
§ 3. Интеграл Римана-Стилтьеса 30
§ 4. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса 49
§ 5. Правильные функции и интеграл Римана-Стилтьеса 58
Глава II. Построение теории меры по Лебегу 65
§ 6. Системы множеств 65
§ 7. Мера. Измеримые множества 81
§ 8. Измеримые функции 104
Глава III. Интеграл Лебега 121
§ 9. Интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции 121
§ 10. Интеграл Лебега в общем случае 139
§11. Произведение мер. Теорема Фубини 161
Глава IV. Интеграл Лебега-Стилтьеса 169
§ 12. Дифференцируемость функции ограниченной вариации ... 169
§ 13. Абсолютно непрерывные функции 182
§ 14. Интеграл Лебега-Стилтьеса 198
§15. Знакопеременные меры (заряды) 208
Ответы. Указания. Решения 213
Список литературы 383