по
■ 3
АЛ
1 А I
КЛАССЫ

П. А. ЛАРИЧЕВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
по
АЛГЕБРЕ
ДЛЯ 6—8 КЛАССОВ
Утверждён
Министерством просвещения РСФСР
издание й-#
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
МОСКВА 19 ГО

ГЛ ABA I
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.
< § 1. Употребление букв для обозначения чисел.
Составление формул решения задач.
>■' Записать решение следующих задач в виде формулы,
а затем по формуле вычислить результат.
/., 1. Прямоугольный участок земли длиной 40 м и щи-
риор 30 Л1 огорожен изгородью. Найти длину изгороди
|черт. 1).
2. Сколько листов сухой^ штукатурки нужно для
обиэки потолка в двух комнатах размером (8 X 6) кв. м
И (5X3) кв. му если площадь
одного, листа- штукатурки За ж?
3. Пароход шёл 10 час. по
течению реки. Сколько времени ему
потребуется на обратный путь, если
известно, что скорость течения реки
равна 3 км в час, а скорость
парохода в стоячей воде 15 км в час?
4. Семья состоит из пяти чело- Черт. 1.
век. Сколько печёного хлеба
потребляет эта семья в год (365 дней), если в'среднем один
человек в день потребляет 0,4 кг печёного хлеба?
5. Ковш, которым шагающий экскаватор вынимает
грунт, вмещает 25 куб. м. Сколько потребуется
железнодорожных платформ грузоподъёмностью в 20 т для
вывоза грунта, вынутого экскаваторам^ в течение 8 часов,
если в один час дн вынимает 40 полных ковшей грунта,
а 1 куб. м гранта весит 1,5 т.
г 6. Поезд проходит в час 40 км. Сколько километров
он пройдёт: за 2 часа? за 5 часов? за 2,5 часа? за 4,5
часа? за t часов?
!•
з

7. Для охлаждения доменной печи через её стенки
ежеминутно пропускается 26 кубометров воды. Сколько
кубометров воды проходит через стенки доменной печи:
за одни сутки? за пять суток? за т суток?
8. Комбайн добывает в час 140 т соли. Сколько тонн
соли будет добыто комбайном: за 4 часа? за смену (7 час)?
за а часов?
9. В одной тетради 12 листов бумаги. Сколько листов
бумаги в 5 тетрадях? в 8 тетрадях? в а тетрадях?
10. Население города 36 000 человек. Найти
численность населения этого города через год, если ежегодный
прирост населения в городе равен: 2%; 4%; 5%;
6%; р%.
11. 1) Пароход прошёл за 4 часа 80 км. Найти
среднюю скорость парохода в час
2) Составить формулу для вычисления скорости
парохода в час, если известно, что за t часов он прошёл
s километров.
3) Вычислить по этой формуле скорость парохода в
час, если: / = 2, s = 36; / = 3, s = 45.
12. При выпечке хлеба из пшеничной муки
получается припёк, составляющий -^ веса взятой муки. Сколько
получится печёного хлеба из а килограммов пшеничной
муки?
Вычислить при а = 4; а = 6; а = 8.
13. Отец на 30 лет старше сына. Сколько лет отцу,
если сыну р лет?
Вычислить при р = 2; р=10; р = 12;р=15.
14. В кассе железной дороги продано а билетов по
3 руб. и 6 билетов по 5 руб. Сколько получено денег
за все билеты?
Вычислить при а =100, 6 = 250; а =150, 6 = 400.
15. В школе было а учеников, вновь было принято
6 учеников. Сколько учеников стало в школе?
Вычислить, если: 1) я = 900, 6 = 80; 2) а=1025*
6 = 142; 3) а=1135, 6 = 96.
16. Ученик'сшил себе две тетради; для первой он
употребил т листов бумаги, для второй п листов.
Сколько всего листов бумаги употребил он на обе тетради?
Вычислить, если: 1)т = 5, л = 4; 2) т = 3,5, п = 2,5;
3) т = 6у, л = 5у.
4

17. В магазин привезли а мешков муки по 50 кг в
каждом. Сколько килограммов муки привезли в магазин?
18. Бригада трактористов вспахала за 1 день 25 га.
Сколько гектаров вспашет бригада за а дней?
§ 2. Алгебраические выражения. Буквенная запись
законов арифметических действий.
19.* Длина прямоугольной комнаты а метров, ширина
Ь метров. Определить площадь комнаты.
Вычислить, если: 1)а = 5,6, 6 = 4.5; 2) а = 7,8, 6 = 5,5;
8) а = 8|, 6 = б|.
20: Для отопления дома был сделан запас угля э
4 тонн; из этого запаса израсходовали с тонн. Сколько
#онн угля осталось?
1) Вычислить, если d™20, с=15.
2) Может ли Зисло с быть больше d? равно d?
'21Г В одном мешке т килограммов муки, в другом
на п килограммов меньше. Сколько килограммов муки
ко втором мешке?
1) Вычислить ответ, если т = 50, п = 12.
2) Почему число п не может быть больше числа trii
22*. Вычислить периметр прямоугольника по формуле:
р = 2(а + ^)» гАе Р — периметр прямоугольника, а
—длина прямоугольника, Ь — его ширина, используя данные
следующей таблицы:
а
метров
Ь
метров
в
4
25
18
248
152
*
5,4
3,6
23. Записать сумму чисел: ;^
1) 5 и а; 2) т и п\ 3) а,Ти с.
24. Записать разность чисел:
1) х и у; 2) р и q\ 3) k и /.
25. Записать произведение чисел:
1) а и х\ 2)3 и у\ 3) х, у и г.
26. Записать частное от деления числа а на число с.
27. Записать сумму числа Ь и частного отделения
числа а на число с. .
5

28. Записать разность между числом т и
произведением чисел а и Ь.
29. Найти х, если а + х=25.
30. Найти х, если х — с=6.
31. Разность двух чисел равна г, вычитаемое равное.
Выразить формулой неизвестное уменьшаемое, обозначив
его буквой х.
Как найти неизвестное уменьшаемое до данному
вычитаемому и разности? Привести примеры.
32. Произведение двух чисел равно 24, один из
сомножителей равен k. Найти другой сомножитель,
обозначив его буквой х.
Как найти неизвестный сомножитель по данному
произведению и другому сомножителю? Привести примеры.
33. Делитель равен а, частное
равно 3. Найти делимое, если
деление произведено нацело.
Как найти неизвестное делимое
по данному частному и делителю?
Привести примеры.
34. Делимое равно а, частное
равно q. Найти делитель, если деле-
Черт. 2. • fine произведено нацело.
Как найти неизвестный делитель
по данному частному и делимому? Привести примеры.
35. Записать в виде формул. следующие законы
действий:
1) Сумма двух слагаемых а и b не изменится от
перестановки слагаемых.
2) Произведение двух сомножителей т и п не
изменится от перестановки сомножителей.
3) Сумма нескольких слагаемых не изменится, если
какие-нибудь ив них замшить их суммой.
36. Написать следующую формулу:
Площадь треугольника (5) (черт. 2) равна половине
произведения основания (а) на высоту (А).
37. Написать формулу для вычислення^объёма
комнаты (V)f длина которой а метров, ширина b метров и
высота с метров.
38. Колхоз в первый день засеял -j посевной-
площади. Сколько гектаров было засеяно в первый день, если
вся посевная площадь равна а гектарам?
УК
6

39. Найти сумму всех сторон (периметр)! 1)
равностороннего треугольника (черт. 3) со Стороной а; 2) ква-
|$>ата (черт. 4) со стороной а.
Вычислить при а = 5; ав=*1,2{ а=1-^.
д
с
•За
-2-г-
•4а-
Черт 3.
Черт 4.
40. Цена 1 кг товара 2 руб. Записать формулой
стоимость х килограммов товара, обозначив эту стоимость
буквой у. Заполнить следующую таблицу:
л:—число
килограммов товара
г у — стоимость -
[ товара в рублях
1
2
0,5
0,25
0,1'
0,2
-0£
0£
2
2,5
3
-3,5
4t. Поезд проходит в час v километров. Сколько ки-
з
лометров он- пройдёт: зк 3 часа? за -^ часа? за 2,5 часа?
sa 1,5 часа? за 0,6 часа?
42, 1) Сколько Mjmyr в t часах?
2) Сколько сантиметров в п метрах?
3) Сколько единиц в числе, состоящем из а
десятков? из т сотен?
§ 3. Порядок действий и употребление скобок.
43. (Устно.) Указать порядок действий в следующих
выражениях и прочитать их:
1) ab — c\
a) (a + b)c — d\
2) (т — п):р\
4)a + 6.(*-d);

5) (а + Ь):(а-Ь);
7) a-b(c + d);
9) а:с(а— b)\
6) (a + 6)(c-d);
8) (х-уу-г + х;
Ю) m:(p-q) + n.
Записать при помощи букв, знаков действий и скобок
следующие алгебраические выражения:
44. 1) Произведение суммы чисел а и b на число <?,
2) Произведение суммы чисел с и d на разность этик
же чисел.
3) Частное от деления суммы чисел х и у на
разность этих же чисел.
4) Удвоенное произведение чисел а и Ъ.
5) Удвоенную сумму чисел тип.
45. 1) Утроенную разность чисел р и q.
2) Частное от деления числа а на удвоенную сумму
чисел b и с.
3) Частное от деления числа т на учетверённую
разность чисел k и /.
4) Утроенное частное от деления разности чисел а и
6 на число с.
5) Произведение удвоенной суммы чисел а и b на
разность этих же чисел.
46. 1) Найти общую площадь трёх спортивных
площадок (черт. 5), из которых каждая имеет форму
прямоугольника со сторонами т
метров и п метров.
2) В комнате 4 одинаковых
окна размером (а • Ь) кв. м.
Найти площадь всех окон комнаты.
3) Комната имеет следую*
щие размеры: длина с метров,
ширина d метров, высота
h метров. Определить объём
6 таких комнат.
Вычислить ответ, если с = 5,
d = 4, Л = 2,5.
47. На странице книги т строк, в каждой строку
п букв. Сколько букв во всей книге, если она имеет 100
страниц?
48. Даны три числа: 25, 15 и 8; записать в виде
числовой формулы и вычислить: 1) произведение суммы
первых двух чисел на третье число; 2) произведение
разности крайних чисел на второе число; 3) частное от де-
тп
тп
тп
т
3 тп
Черт. 5.
8

ления суммы первых чисел на их разность; 4) сумму
различных произведений этих чисел, взятых цр два.
49. Даны три числа: a, b и с. HanacafL: 1) утроенное
первое число; 2) удвоенное произведение первого числа
на второе;' 3) удвоенное произведение второго числа на
третье; 4) утроенное произведение крайних чисел; 5)
частное от деления удвоенного первого числа на
произведение остальных двух.
50. Написать общую формулу: 1) чётного числа;
2) числа, кратного 5; 3) нечётного числа; 4) числа,
кратного 7; б) числа, кратного 2 и 3. ;
51. Напишите формулами: 1) сумму двух'
последовательных чётных чисел; 2) сумму двух последовательных
нечётных чисел.
62. Записать число, имеющее: 1) т десятков и п
единиц; 2) р сотен и q единиц; 3) а сотен, Ь десятков и
с единиц.
53. (Устно.) Найти периметр прямоугольника со
сторонами а и Ь.
Вычислить, если: 1) а «=1,2, 6 = 1,5; 2) а = 2,8,
§ 4. Числовые значения алгебраического
выражения. Составление таблиц.
54. (Устно.) В саду имеется т рядов деревьев по п
деревьев в каждом ряду. Определить число деревьев в
саду, обозначив это число буквой Р.
Вычислить Р, если: 1)т = 8, л = 6; 2) т= 10, п= 12;
3) т=14, л = 9.
55. (Устно.) Кинозал разделяется проходом на 2
части, причём в каждой части имеется г рядов стульев по
s стульев в каждом ряду. Определить общее число
стульев в кинозале, обозначив это число буквой N.
Найти N при следующих значениях г и s:
г
S
N
20
9
25
15
15
10
16
8
9

56. Для приближённого подсчета объёма стога сена
(см. рисунок) пользуются следующей формулой:^ V= %r%
где V — объём стога в кубических метрах;
/ — длина окружности основания стога в метрах;
п — длина «перекидки», т. е. длина линии ABC
в метраж.
Вычислить объём стога, если:
1) /=12 ж, л=15 м; 2) /=12 ж, л=18 л*.
57. Известно, что вес
Р тела в граммах, объём
его V в кубических санти-
метрах и удельный вес
d —z связаны формулой:
1) Найти удельный вес
железа, если 30 см9 его
весят 234 Г.
2) Найти вес куска меди объёмом в 50 еж3, если
р
удельный вес меди 8,9 —*.
см
58. По мнению врачей, число часов h ежедневного
сна человека в возрасте до 18 лет определяется по
следующей формуле:
где t — возраст в годах.
Пользуясь этой формулой, составить таблицу
продолжительности ежедневного сна в зависимости от возраста:
1 '
h
1
2
4
6
7
8
9
10
12
13-
14
15
16 1
59. Живой вес коровы (см. рисунок) определяется
(приближённо) по формуле:
Р =
50»
10

где Р — вес коровы в килограммах,
/ — длина спины коровы от холки до хвоста в
сантиметрах,
ft —обхват около лопаток в сантиметрах.
Найти живой вес корову, если /=112 см,
k =170 см.
60. Составить формулу для решения задачи и
подобрать числовые данные:
На машину погрузили а мешков пшеницы весом Ь
килограммов каждый и с мешков
овса бесом d килограммов
каждый.
Найти вес всего груза.
61. Из 1 куб. м
древесины можно получить 165 кг
искусственного волокна.
Сколько кубических метров
древесины надо взять, чтобы
получить а килограммов
искусственного волокна?
1) Составить формулу для решения задачи,
обозначив число кубических метров древесины через х.
2) Вычислить значение х при а=660 кг.
62. Решение задачи о движении велосипедиста
записано следующей
формулой:
х = 2а + 36.
Составить условие
.задачи и вычислить ответ,
давая а и b числовые зна-
Черт. 6. чения\
- 63. Написать формулы
для нахождения
периметра и площади заштрихованной фигуры, изображённой
на чертеже 6.
64. Требуется .окрасить стену дома длиной / метров и
высотой А метров, имеющую 4 окна по т метров ширины
и п метров высоты.
_ 1) Составить формулу для определения S числа
квадратных метров площади стены, котирую надо
окрасить.
И

2) Вычислить S по данным в таблице значениям /, Л,
пит, если т, п, I и А — числа приближённые.
/
h
п
т
S
12
3
2
1,5
18
3,5
1,5
1,5
15
3
2
1
10
2,5
1,5
1 ]
Вычислить числовые значения алгебраических
выражений:
65: 1) (х+1)(х + 2)(х + 3) при х = 2, jc = 3;
2) 2(* + 3)(x — 4) при х = 4;
оч а — 4 , 2 Q
3> 2(а-3)+Т ПРИ а = 6:
4) ^Ет^ ПРИ «*** 6,23; 6 «* 4,2; с *w 0,91 ;rf л* 0,7;
5) 3(т+^Нт-я) _0>7 при т = 25: п==1Д
66". 1) аЬ — Ъас-\-2Ьс при а«=«3,0; 6>=»6,2; с = 2,4;
2) (-4- + А):с + 2а6 при а = б,8; 6 = 2,4; т = 2;
п = 3; с = 0,7. Результат округлить с точностью
до 0,1;
3)f£i$-nPH*^4,23; «/я«2,1;
4) 3^~^ - 1 при* =8,31; у =2,29; р = 2,01;
<7 = 2;
5) ^^±4 при 6 = |; с = б; <7 = т; «—S"-
Задачи и упражнения для повторения.
67. Даны два числа а и Ь. Написать:
1) произведение суммы этих чисел на их разность;

2) частное от Деления разности §ТИ* ПШП fia их
произведение;
3) полусумму этих чисел;
4) утроенкое произведение этих чисел;
5) утроенное произведение разности этих чисел на их
сумму;
6) частное „от деления удвоенной суммы этих чисел
иа утроенную разность этих чисел.
68. Записать в виде алгебраического выражения:
1) сумму трёх последовательных натуральных чисел,
меньшее из которых равно й;
2) произведение трёх последовательных натуральных
чисел, большее из которых равно т;
3) сумму трёх последовательных чётных натуральных
чисел, меньшее из которых равно 2а;
4) произведение трёх последовательных нечётных
натуральных чисел, меньшее из которых равно 2£-f-l.
69. Длина пришкольного участка земли, имеющего
форму прямоугольника, равна а метрам, ширина на
Ь метров меньше длины. Написать формулу площади S
этого участка в гектарах.
70. Из двух пунктов А и В вышли одновременно друр
другу навстречу два автомобиля: один со скоростью vt км
в час, другой со скоростью и9 км в час. Автомобили
встретились через 3 часа после отправления.
Найти расстояние между пунктами А и В.
71. Найти числовые значения алгебраических
выражении:
1Ч 2аЬ(Ъ + с) 1 , 1
1) ЬКЛ при а = с = т; Ь = т;
2) ftL, +?при *=т; / = 0,1.

ГЛАВА И
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. УРАВНЕНИЯ.
§ 5. Положительные и отрицательные числа.
Сравнение чвсод знаки неравенства.
л
72,j (Устно.) * Пользуясь положительными и
отрицательными [числами, записать следующие показания
термометра: 16° выше куля; 10р ниже нуля; 5° тепла; 20°
холода.
" 7а. (Устно.) Как записать, пользуясь
положительными и отрицательными числами* положение: 1) истока
Волги, расположенного да 228 м выше уровня океана;
2) озера Селигер, расположенного на 220 мг выше уровня
океана; 3) Каегшйского моря, лежащего на 28 м ниже
уровня океана?
74. Артель ло плану должна давать ежемесячно 800 т
продукции. Записать,, пользуясь положительными и-
отрицательными чшздааш, на сколько тонн артель
перевыполнила (недовыполнила) ежемесячный план, если она
дала в январе 900 т продукции, в феврале 750 т, в
марте 860 т.
75. (Устно.) 1) Если повышение уровня реки на 10 см
запишем -f-10* см, то как записать понижение уровня
реки на 15 см?
2) Если доход в 500 руб. записать + 500 руб., то как
записать расход в 100 руб.?
3) Если прибыль в 30 руб. записать +30 руб., то как
записать убыток в 20 руб.?
Что будет обозначать в данном случае, прибыль в
0 руб.?
76. В одном городе в течение года прибавилось т
тысяч жителей, а выбыло из него п тысяч жителей.
Записать прирост населения города за год. Объяснить смысл
ответа при: 1) т = 26, л = 4; 2) т = 3, я = 4. '
14

77. В школу за год поступило k учеников, а выбыло
из неё / учеников. На сколько телрвек изменилось число
учащихся школы за год? Объяснить смысл ответа при:
1) £ = 40, / = 32; 2)£ = 5'6, / = 60; 3)*=38, / = 38.
78. Мне сейчас а лет. Через сколько лет мне будет
15 лет? Записать решение формулой и объяснить ответ
при значении а=12, а=15.
79. (Устно.) Если число (— 5)выр&жает величину
проигрыша, то какую величину будет выражать число (+ 7)?
80. 1) Написать числа, соответствующие следующим
точкам числовой оси: Л, В; С, Af, N (черт. 7).
В М N С А
I I I I ' I | I м | Г | I'll I ^
-5 -4 -3 .-2 -1 V 1 2 3 4 3 6
Черт. 7.
2) Отметить на числовой оси числа: (+3); (— 2);
(—0,5); (+4,5); 0. Записать их абсолютную величину.
81. Написать числа, противоположные каждому из
следующих чисел, и отметит*) их «а числовой оси: .
-7; +5; -1; -3,5;
+ 0,6; 2; 0; -0,4.
Объяснить, как расположены на числовой оси два
взаимно противоположных числа.
82. Написать числа: 1) обратные следующим числам:
2; 1; 0,6; -5;
24-; J,4; ЗА -4;
2) противоположные числам:
; i 2
*> 3, 5, v,*.
83. Записать с помощью знаков неравенства, которое
из двух чисел больше другого: 1) — 100 или 0ДН;2)— 24
или 25; 3) — -|- «ли —у; 4) —0,125 или —0,1253;
Б) _| или-|; *)-§ «ли —1; 7) -^ или -^.
15

84. (Устно.) Назвать:
1) наибольшее из чисел:
-4; -1; -2,5; -0,01; -з|;-15;
2) наименьшее из чисел:
— 5; —1; 0; 1; -0,001; —8; — 12у.
85. 1) Расположить в порядке возрастания
следующие числа:
-1,4; 2; -3^-1; -|; 0,25; -10; 5,2.
2) Расположить в порядке убывания следующие числа
-4; 1 у5 0,5; —1-|-; 0,03; -1; 1; 0; —103; 54.
86. (Устно.) 1) Назвать несколько чисел, меньших:
-20; -0,3; -|.
2) Назвать несколько отрицательных чисел, больших:
-5; -0,25; -if.
87. Отметить на числовой оси и записать все целые
числа:
1) большие (—8), но меньшие (—2);
2) меньшие 0, но большие (—%)\
3) большие (— 3), но меньшие 3.
88. 1) Указать на числовой оси числа, абсолютная
величина которых 2.
2) Где на числовой оси расположены числа х, для
которых:
1*1<1; 1*1<б; 1*1>з?
3) Может ли выражение 1+|а| принимать значения,
меньшие нуля?
89. 1) Известно, что \т\ = \п\. Можно ли утверждать,
что т = л?
2) Известно, что |т|>|л|. Можно ли утверждать,
что т^>п? Привести числовые примеры.
3) Известно, что т <[ п. Можно ли утверждать, что
1т1<СИ1? Привести числовые примеры.

§ в. Сложение рациональных чисел.
90. (Устно.) Вертолёт поднялся сначала на а метров,
а потом ещё на Ъ метров. Определить, на какой высоте
находится вертолёт.
Определить выёоту подъёма вертолёта, если
а=2000; 6 = 1500.
91. Рассмотреть чертёж 8. Составить задачи, для
решения которых требуется:
1) сложить два положительных числа;
2) сложить два отрицательных числа;
3) к положительному числу прибавить отрицательное;
4) к отрицательному числу прибавить положительное
число.
\(-зН-?Н-8)\
~*)
Ш+ШШ.
>(+~s)
ч—н
-9 -8
-6 -5 -4 чЭ -2 -1 О +1 *! +3 ■+4 +5 *6 *7 +в *9
(-7)+(+*Н-3)\ \(+7)+(-4Ш\
*(+*)
X
*(-*)
-9 -в -7 -6 Ъ -«
-» 0 *1 *г *3 +4 '5 *6 *7 *в *Р
Черт. 8.
92. Построить на числовой оси сумму чисел:
D (+3) + (+2); 2) (-4) + (-1); 3) (+6)+ (-5);
4) (+3) + (-7); 5) (-6) + (+3); 6) (-2,5) + (+2,5).
93. Выполнить сложение:
1)(+2) + (+3);
3)(+15) + (-7);
5)(+3|)+(-lf);
2) (-4)+ (-5);
4) (-10) + (+6);
6) (-8,5) + (-0,7);
7> (- 8 т)+(+ 3 т) '• 8> <+ °-75>+<- °-35)-
17

94. Найти сумму х-\-у> подставляя вместо х и у
следующие их числовые значения:
1 №
X
У
1
8
— 5
2
— 11
4
3
— 4
— 5
4
— 3
3
5
— 0,8
-1,4
6
4
-4
7
— 5,12
е,4
8 1
-1.2
1,2
Пример решения № 1. (-(-8)Н-(—j&)*c=-f-3.
95. Проверить гтгравильиость равенства а-^Ь=6-\-а
при следующих числовых значениях букв:
1) а = 7, « = — 4; 2) а = — 5, *=3;
3) а = —8, 6 = —6; 4) а = 1, 6=U
Сформулировать закон сложения, выражающийся
равенством
90. Проверить правильность равенства. а + b 4--с =
= (a-f-&)-f-c при следующих числовых значениях букв:
1) а = 3, & = —5, с= —4;
2) а = — 2,5, 6 = 0, с = 1,3;
3) а = 4,5, *=-3^,*=1;
4) а = —2,43, b = — t>24, с = — 0,56.
Сформулировать закон сложения, выражающийся
равенством
a-\-b-\-c = (a-\-b)-\^c.
97. Вычислить кратчайшим путём следующие суммы,
применяя переместительный и сочетательный законы:
1) (-12) + (+11) + (-8) + (+ЗЭ);
2) (+45) + (-9) + (-91) + (+&)v
3) (- 5,4) + (+ 0,2) + (- 0,6)4- (+0,08); .
4) (-f 0,65) + (- 1,9) + (- 0,1) + (- 0,65);
5) (-2т)+{+т)+(-°'5>+(+4);

/ 6) (+ 0,25) + (-т) + (- 3т) + (- 5l)s
-7) (_0Л) + (+81) + (+и4) + (+4§4);-
8) (+5,2) + (-0,6) +(+|) + (-3,2).
98. (Устно.) 1) Может ли а+6 быть меньше а?
Привести числовые примеры.
2) При каком условий а-\-Ь = а? Привести числовые
примеры.
99. (Устна) В одном классе а учащихся,, в другом
классе b учащихся. Сколько учащихся в обоих классах
вместе?
1) Написать ответ на вопрос задачи в общем виде.
2) Подставить в полученное выражение несколько
допустимых значений букв а и Ь.
3) Могут ли буквы а и Ь принимать отрицательные'
вначения? нулевые значения?
4) Придумать примеры таких величин, которые не
могут принимать отрицательное числовое значение.
100. Найти числовое значение выражения х+# + г
при 1) хя^2,3; уъ — 4,52; гъ — 1,17;
.2)х^6,,4; у^— 1,923; zл*3>61;
3) хя^б,63; у^Ъ\ г^—ЗД
101. Вычислить х=а + 6-+с, подставляя следующие
значения букв:
1 №
1 а
Ь
с
1
— 6
— 8-
— 2
2
— 4
9
— 7
3
— 48
— 22
36
•
4
56,8
— 35,7
232'
5
12
25
4
15
7
~3§
6
— 2356
i 5894
— 1937
7
0,12
— 0;54
25
102. Разность между приходом и расходом-
называется сальдо. Используя дашые таблицы, записать с по-,
мощью положительных и отрицательных чисел и нуля
1»

сальдо за каждый месяц. Вычислить сальдо за пять
указанных в таблице месяцев.
Месяцы
[ Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Приход
3152
4333
2542
2145
5839
Расход
2773
6337
2461
2235
6839
Сальдо
103. 1) К сумме чисел (— 8-jj и (— 2-g-j прибавить
1 2
число, противоположное 1 у.
2) К числу, противоположному (—2-у), прибавить
сумму чисел (—5,4) и (+8,2).
3) К сумме чисел (+1,25) и (— 1 -А прибавить
число, обратное 1 у.
104. Вычислить:
\) \a-\-b-\-c\ при а = 5; 6=5—1; с = — 8;
2) 1*1 + 1уЖ*1 при х= —2; y = Z\ г = -6.
105. (Устно.) Вычислить:
1) Абсолютную величину суммы чисел 9 и (—4).
2) Сумму абсолютных величин этих же чисел.
3) Которая из полученных сумм меньше?
§ 7. Вычитание рациональных чисел.
106. В комнате температура /°, а на улице в это же
время /*. На сколько градусов температура в комнате
выше, чем температура на улице?
Вычислить, если: 1) /°=17°, £ = 10°;
2) /°=15°, /, = — 20°;
3) /°=16°, ^=0°.
107. Найти х, если:
1) * — (_7) = 5; 3) 0,4 —(—*) = 0,6.
2) (-5) + х = -5;
20

108. Составить задачи, для решения которых надо:
1) из положительного числа вычесть положительное
число:
(+7)-(+4) = (+3);
2) из положительного числа вычесть отрицательное
число:
(+3)-(-5) = (+8);
3) из отрицаггельного числа вычесть, положительное
число:
(-3)-(+5) = (-8);
4) из отрицательного числа вычесть отрицательное
число:
(-7)-(-4) = (-3).
109. Выполнить -вычитание:
1) (+5)-(+3); 2) (+7)-(-4); 3) (_6)-(+4);
4) (-2)-(-3); 5) (-4,2) -(+3,5);
бн+5)-(Ч);7)(-2т)-(-4>
8> (+б|)-(+Ю); 9) (-1,24)-(-6,73).
ПО. Записать и вычислить;
1) разность числа (+8) и числа (—3);
2) разность числа (—11) и числа(+5-^-);
3)" разность числа (+10,2) и числа (+17,3).
111. Выполнить вычитание:
П (+15)-(-4)-(+2); 2) (_б)-(+6)-(-7);
3) (-1)-(+1,2) -(+3,5);
<> (+^ЬК)-Ю-
112. Найти разность х — у при следующих числовых
значениях х и у:
1 №
X
У
1
7
— 3
2
-8
— 5
3
3
4
5
6
4
3,9
U
5
0
-3,2%
6
— 3,18
3,18
21

113. (Устно.) 1) Если а я Ь-^ любые натуральные
числа, то можно ли утверждать, что их сумма fl-f ft и
произведение аЪ будут тоже натуральными числами?
Привести примеры.
2) Какие из четырёх арифметических действий не
всегда выполнимы в области натуральных чисел?
3) Если а и Ь — любые натуральные числа, то какие
новые числа необходимо ввести, чтобы деление а на &
было всегда выполнимо? Привести примеры.
4) Какие числа необходимо добавить к
положительным числам (целым и дробным), чтобы действие
вычитания {а — Ь) было выполнимо при любых
положительных числах а и ft?
Рассмотреть случаи: a^>b\ а = Ь; а<^Ь.
114. 1) Представить в виде суммы чисел следующие
выражения:.
15 — 7; а — 5; т — п\
4,6 — 8,3 — 2; х — у — г\ Л—а — Ь —с.
2) Представить в виде разности чисел следующие
выражения:
7 + 3; а + 4; а + 6; т-\-п.
115. Как изменится разность двух чисел, если:
1) к уменьшаемому прибавить (— 1&Х?
2) от уменьшаемого отнять (— 8)?
3) к вычитаемому лрибавить (— 3)?
4) от вычитаемого отнять (—10)?
б) к уменьшаемому лрибавить (—12), а от
вычитаемого отнять (—3)?
116. а) Вычислить х*в*р — q-\-r при следующих
числовых значениях букв:
№
р
я
г
1
— 6
4
— 1
2
1
- 1
0
3
— 5
Ъ
10
4
1
8
т
5
Б |
-0,1
.-3'2
. -5,4
22

б) Вычислить x=p — {q-\-r) и х^р—д — г, ис-
кюльауя числовые значения букв, данные ъ предыдущем
[упражнении.
117. Выполнить действия:
1) (-4) + (-8)-(-3) + (+6)-(+1.0){
! ^i-(-4)+(-l)-(-i)-(+4)t
Г $) б-[(-3) + (-7)]-[(-1)-(-б)-(-8)]{
4) 10-{12-[(-9) + (-1)]};
5) (-4)-(-2)-{(-5)-[(-7) + (-8)-(-8)] ;
6) (- 5,2) + (- 3,8) - {(- 1,2) - [(- 0,5) - (- 0,7)]}.
118. Вычислить:
1) |я| —|6| + |с| при а = — 8; Ь = — 5; с=1;
2) |jc—-#+z| при х = 3; у== — 2; z = —6;
3) \g, — b\ — \c-\-d\ при а = —5; 6 = 4; с=1;
d = —3;.
4) 1Ц£1 - l£^£J при а= - 2; * = - 6.
119. Вычислить о точностью до 0,01:
а — Ъ — с при а = — 2,54; 6 == — 0,683; 4 = —1,078.
120. 1) Найти абсолютную величину разности чисел
(-8,7) и (-5,4).
2) Найти разность абсолютных величин чисел (—8,7)
и (—6,4).
Упражнения для повторения.
121. Отметить на числовой оси и записать:
1) Всё целые числа, которые больше (—4), но
меньше 3.
2) Число, противоположное числу (—2,5).
3) Самое большое целое отрицательное число.
4) Числа, удовлетворяющие условию |а|-=5>
122. 1) Расположить и записать в порядке убывания
следующие числа, используя знак неравенства:
-1,4; -10,3; 0; 1,3; -1,5; -2-1| 4; »,5.
2) Написать отрицательное число, меньшее (—3,4).
23

123. Выполнить действия:
1) (+ 7) + (- 8) - (- 12) - (- 7) + (+12) - (- 8).
2) Вычислить результат с точностью до 0,1:
(-15,6) + (-11,46) -(-8,14) -(-8,44) + (-10,3).
3) Вычислить: | — б| + | — 2| —14| —17|.
Найти абсолютную величину результата действий:
(_15) + (_4)-(2)-(-7),
124. Найти числовое значение алгебраического
выражения:
а — 6 + с — d при а = —9$ 6 = 5; с = —3; d = —1.
§ 8. Умножение рациональных чисел.
125. Турист идёт по шоссе со скоростью v км в час.
В настоящий момент он находится в пункте А.
Определить, где будет находиться турист .относительно пункта
А через t часов, считая данный участок шоссе
прямолинейным.
1) Составить формулу решения задачи и вычислить
ответ, если:
1) v = 3t t = 2\ 2) v = — 3, t = 2\
3) v = 3, / = — 2; 4) v — — 3, / = —2.
2) Составить условие задачи при заданных значениях
Ь и t и отметить на числовой оси ответы на вопрос задачи.
126. Запас угля на складе ежедневно изменяется на
т тонн* На сколько тонн изменится запас угля через п
дней?
Составить формулу решения задачи и объяснить
смысл задачи и ответа при следующих числовых
значениях букв тип:
1) т = 2, л = 6; 2) т = —3, п = Ъ\
3) т = — 4, п = 3\ 4) т = — 2, п = 6.
127. Температура воздуха изменяется каждый час на
t градусов. В настоящий момент термометр показывает
нуль градусов. Какова будет температура воздуха через
а часов?
24

Объяснить смысл задачи и ответа при следующих
числовых значениях букв а и t:
1) /=2, а=3; 2) *«= — 2, а = 4;
3) / = 3, а= —2; 4) *= — 2, а= —3.
128. (Устно.) Выполнить действия:
1) (+5).(-8);
3) (+4)-(+7);
5) <-8).(-4);
7) <-20).(-4)j
11) (+1,5).(-0,6);
129. (Устно.) Выполнить действия:
1) (+20).(+1); 2) (-5)-(+1);
2) (-З)-(-б);
4) (_8).(+9);
6) (-12).(+!■);
8) {-*)•(+ 2):
10) (-0,4). (+2);
12) (-2,5). (-1,2).
4) (_б).(-1);
7) (+4)-0;
10) 0-(—2);
13) (-1)-0;
5) (+1) •(+!);
8) (-7)-0;
11) 0-(-100);
14) (+1000)-0.
3) (+4)-(-l)t
6) (_!).(_ 1),
9) (-i).O;
12) 0-(+1);
130. (Устно.) Вычислить х=аЬ при следующих
числовых значениях а и Ь:
1 №
а
Ь
1
10
—8
2
—11
—5
3
—6
2
3
4
—3
1
3
5
3
2
2
3
6
—1
0,1
7
0,01
—0,1
131. Вычислить следующие произведения кратчай*
шим путём, применяя переместительный и сочетательный
законы:
2). (-4,5)-(-5);
1) (_4).(+38).(-25); 2) (-
3) (+1,25).(-41).(-8);
25

4) (-8,24).(-10).(-0,1)5 5> (—|}*(—^4>.(-f-§-);
6) (4- 16). (-18). (+0,25);
7) (_ 6). (+25). (-0,04);
8) (-7,3). (-0,125). (-8).
132. Выполнить действия:
1) (_5).(_4) + (+3).(-2);
2)(+12).(-|)-(-15).(-ll-){
3) (—§-)•(—16) + (+0,5).(—5)-(—4);
4)(-D-(-5i).(+^).
133. Выполнить действия:
1) Г(+Ю)-(-3)].(-6); '
2) [(-3).(-4)-(+5)].[(-8)-(+a).(-6)].
134. Найти числовые значения выражения 2а — 36
при следующих значениях букв:
1 №
а
Ь
1 '
5
—3
2
—6
—4
3
-0,5
0,1
4
3
4
—1
5
—12,08
23,07 '
135. Найти числовые значения следующих
алгебраических выражений:
1) 5 (а — 6) при а=— 4, Ь = —2;
2) (— 3)(а + *) 1>ри а = 8,' х=— 10; ,
3) (х + у)(х — У) при х = — 3, # = — 5;
4) (—4)(р + (7):Ь5((7 —р) при р = 6, ? = —1.
136. Проверить правильность следующих равенств,
выражающих распределительный закон умножения,
давая а, Ь и с произвольные числовые значения:
1) (a-{~b)c = ac-\-bc\ »
2) (a + b + c)d = ad + bd + cd.
2&

137. Найти числовые значения следующих выражений:
1) 3|а| + 5|&| при а = — 2\ &=*=— 1;
2) \'2х — 3у\ при х = 0,5; у = — 0,7;
3) 4|а|4-8 — а при а = —2;
4) '— 3 | л: | + 2х — 1 при jc= —б.
138. Дано: — 3(а — &)>0. Что больше: а или *?
Привести числовые примеры.
139. (Устно.) Какой будет знак произведения пяти
множителей, из которых три — отрицательные чиояа?
§ 9. Деление рациональных чисел.
140. (Устно.) Выполнить деление:
1)(+40):(-8); 2)(-24):( '
3) (+16): (+2);
5) (~6):(+|-);
9) (,-0,4): (-2)1
И) Of (-!•);
141. (Устно.) Вычислить х
ловых значениях букв а и 6:
6);
4) (-36): (-12);
6) (+5):(—J-);
8)<+ 16): (-7);
10) 0:(+5);
12) (+2):(-!).
при следующих чис-
№
а
6
1
10
1
2
.8
—1
3
1
—1
4
3
5
—1
5
—1
—5
6
—L
1
5
• 7
—2
2
3
8
15,42
-0,1
9
is,»
-100
142. Сформулировать свойства деления, которые
выражаются написанными ниже равенствами. Проверить
йравильность их, давая любые положительные или
отрицательные числовые значения буквам а, Ь, с и т:
1) (а-Ь • с): т = (а: т) • b• сз=*а*(Ь :т)-с= '
=?а-Ь-(с:т)\
т

2) a:(b-c)=a:b:c; 3) (a + b):c = (a:c) + (b:c);'
4) a: b = am: bm; 5)o:& = -:-;
'mm1
6) a;(b:c) = (a: b)-c=(a• c):b.
143. (Устно.) Выполнить действия:
1) (-8):(-3) + (+5); 2) (-8): [(_3) + (+5)];
3)[(-4) + (-22l-)]:(-2)5
4> M)+H#(-2>;
5) (— 12): (— 3) -h (— 15): (+ 5);
6) (— 12): [(— 3) + (— 15): (+ 5)];
7) (_l2):[(-3) + (-15)]:(+5).
144. Найти числовые значения выражений:
J) [(6 + 3): (a -2)]- (-4) при a=-5, 6 = 6;
2) m — [(m — n):(— 2)]-(— 5) при m = —4, n = —6;
3) (_i).[p_(_5).(-<7)J + (p + (7).(-2)
при р = — 3, <7==7;
'4) [x:(^-l)].(-4)-[^ + (-3)];(-l)
при х= — 5, #= — 2.
145. Вычислить:
i) [2,4-(о,з-з,21).2+о(44:(-2)]4;
2) 3:(-J)-(-i:2) + 5.[0,4-|:(-2)] +
H-C—2):(—1).
146. Выполнить действия над приближёнными числами:
— 4,25: (—0,85) ^-0,5
(_ 5,56 + 4,06):(—3) *
147. Найти х, если:
')[(-з|).'(-|)] —7.2:(-1|);
2) х: [(-61): (- 2)] = (- 3.18): 5,3.

§ 10. Возведение чисел в натуральную степень.
Порядок выполнения действий.
№ 148—154 устно.
148. Вычислить площадь (S) квадрата со стороной:
1) 5 см; 2) 10 см; 3) ^ м; 4) 3|- м;
5) 0,3 м; 6) 2,5 м; 7) а м (черт. 9); 8) пм.
149. Вычислить:
V, 15»; 2) 20'; 3) 100»; 4) (I)"j 5) (|)';
10)(2^;11)(3^;12)(1^13)(21у;
14>(з«#15>(4)\
150. Вычислить аа, если:
1) а = 0,5; 2) а=0,2; 3) а=1,5; 4) а = 0,05;
5) а=1,1; 6) а = 2,4;- 7) а = 0.001; 8) а = 0,003.
а
Черт. 9.
А
>
L
7\
7а
а
Черт. 10.
151. Вычислить у = х* при данных ниже значениях х.
Решение записать в тетради, как указано в следующей
таблице:
X
у = х2
9
81
1
3
4
—1
—2
—3
—4
1
2
1
2
1
3
г1*
-41
152. Вычислить объём (V) куба, ребро которого равно:
1) 2 еж; 2) 4 ел*; 3) 10 еж; 4) 30 см\ 5) J- м\
6) 0,4 ж; 7) а см (черт. 10).
29

Вычислять:
153. 1) l3; 2) 3s; 3) 6s; 4) 78; 5>9"; 6) (J-)*;
7)(0,1)8; 8) (l)\
154. 1) (-3)'; 2) (-2)3; 3) (-3)*; 4) (-5)*}
5, (■)'., 6) (_>)';.„ (-!)'., 8) (_>)«;
9) (-l)'i l»> (-!)*•. ID (l r)1! 12) (-0,3)'.
155. Записать с показателями степеней простые
множители следующих чисел: 128; 1728; 1000.
156. Записать в виде степени числа 10 следующие
числа: 100; 100Q; 10 000; 1000000; 1000000000.
157. Пользуясь степенью числа 10, записать
сокращённо следующие числа: 4000; 90 000; 800 000; 5 000 000;
2 000 000 000; 45Q000 000 000.
158. Скорость света равна 300000 км в сек. Запишите
это число, пользуясь степенью числа 10.
159. Расстояние от Земли до Солнца составляет
150 000 000 км. Запищите это число, пользуясь степенью
числа 10.
l.eOjL Одна из быстродействующих, счётных машин,
созданных в СССР, выполняет в 1 сек. 800Q
арифметических действий. Выразить с "помощью степени числа 10
числр арифметических действий, которые. выполнит эта
счётцая машина за 1 час.
16\, Фонтанирующая скважина даёт ежесуточно
1 OQOQpO куб. м газа. (3 помощью степени числа 10
запишите сокращённо Количество кубометров газа, которое
даёт скважина за 10 суток.
* 1в2# Записать в виде степени числа 10 число
миллиметров в 1 км; число квадратных дециметров в 1 кв. км.
1Щ Указать порядок действий в следующих
выражениях:
1) 2х*\ За3; 5ma; — 6у*\
2) 0,2л*; —\т*\ 56с2; -0,3cd3;
3) /i*+l; 2а* — 3; За* +1; 6^ + 6;
30

4) (а + Ь)*:, {a-b)\ 3(a* + 6*); -b(>-6*);
5) c:(a-\rbf\ 5-(a + 6)3 —3; a+(6+^):m;
a — (b-\-c):n.
164. Указать порядок действий в следующих
выражениях и прочитать их:
1) (c+d)s; 2)c' + d*; 3) (c-df;
4) с4 - ds; 5), (а -f &) с; 6) (a - 6) с;
7) (a + 6) (ft -6); 8) J±|; 9) 2х#;
10) m3 + n3; П) mB —n3;( 12) (m + n)3;
13) (m —n)3; 14) 3a&; 15) a3 + 2ab;
16) 2(aJ — &»); 17) 2a3 —269; 18) 2 (я —£)9;
19) 3(0*+b»); 20) 3(я + 6)3.
165. Вычислить г/=2*'3 при следующих значениях *:
X
N; = 2a:s
1
1
2
1
4
0
~ 1
3
2
5
-0,1
—0,2
'-л
1,5
—2,3
166. (Устно.) Упростить следующие выражения
введением показателей степеней:
1) 5-5; 2) 5-5-5; 3) 5-5-5-5; 4) *ж; S) Joari
6) Щ/; 7) тшт; 8) аааа; 9) aaaaa; 10) aa&bb;
11) 3-3-aaa; 12) 5-5-5-bb; 13) 3x*$0; 14) aa+bbbb;
15) ppp + pp\ 16) axxx + bbyyyyy;
17) a-a-a-... -a (л раз).
167. (Устно.) Вычислить:
1) 2- (-3)'; 2) -5• (-2)3; 3) - (- 4)3;
4) - (+ 2f; 5) - (-0,4)*; 6) - (-0,2)»;
7) -j-(-4)\ 8) -|-(+3)'; 9) +(—5Г-(—J);
31

168. Найти^исловые значения следующих выражений:
1) 2а; 2аа (черт. 11); 2л3 (черт. 12) при а=2; х=0,3;
2) 5 + 4х +3*» + 2*3 при х= —3, х=?0,1;
а
о'
а
а2
/Г-7Г'
Л-
/
|Л--
1*
У X
7^
Л
2аг **'
Черт
. 11.
Черт. 12.
оч 1 + а + а3 1
4) 2а3 + 3а'2 — 5а + 6 при а = 2, а = — Ь
6,3;
0,2; 6^0,9.
5) ^ при а
6) 2I-fl при а
169. Записать с помощью букв, знаков действий и
скобок следующие алгебраические выражения:
1) Квадрат суммы чисел а и 6.
2) Квадрат разности чисел х и у.
3) Сумму квадратов
чисел а и Ь. ,
4) Разность квадратов
чисел а и Ь.
5) Куб суммы чисел
а и Ь.
6) Сумму кубов чисел
а и Ь.
7) Куб разности чисел
тип.
8) Разность кубов
чисел тип,
9) Частное от деления суммы кубов чисел а и b на
разность кубов этих же чисел.
10) Квадрат полусуммы чисел р и (/.
11) Квадрат полуразиости чисел а и Ь.
Черт. 13.
32

12) Частнбе от деления квадрата суммы чисел х и у
на сумму квадратов этих же чисел.
13) Частное от деления суммы кубов двух чисел на
куб разности этих же чисел.
14) Произведение куба разности двух чисел на квадрат
суммы этих же чисел.
170. Написать
формулы для нахождения
периметра и площади
1
к
.1
-< X
ш
~-У—ч
^1
т
у/Ууум
шШ
к
н
jf
1 1
Р
<
^777777777777?
тж.
с
wh
, >
Черт. 14.
Черт. 15.
каждой из заштрихованных фигур, изображённых на
чертежах 13, 14, 15.
Найти числовые значения следующих выражений;
171. 1) За* —263 при а = —1, Ь = — 2;
1
2) 5т3л3 -{- 4 (т — п) при т = — ^, п:
3) х3 + 2^+г/2 при■*= —5; у = — 4;
4) а2_3а + 6 при а = —J-.
172. Ц За&3 — 2а*Ь при а = —4, 6 = 3;
2)гР9-о?' ПРИ Р = 1> Я = — Ь
1;
3)
2л:* — 5у»
1
173.
Г=*" при x = -j9 y=-j.
1) 3(tf —6*) —4(а + 6) при а = -0,5, 6 = 0,1;
2) 2(с — d)3~3(c+d)(c-d)npMc = 2^,d=-li;
3)6(/ + a)»-(f + tt)» + 3(/ + a) при * = —1.2..
w = 2,5;
4)
2Л2 — 4Л — 1
2 п.
А:2 + k + 1
А. Ларичев
при k = -
33

Задачи и упражнения для новтареимя.
174. Найти числовые значения следующих выражений:
1) 2а3 — За3— 1 при а= — 2;
2) а (2а — Ь)* — За {а — 2Ь)* при а = 2; Ь = — |;
оч Зя3 — 2а£ — АР 2 , ,1
3) 2а*&-\ ПРИ а = ~Г' fr=12'
4) * + £Г*~Г при jc^-0,75.
175. (Устно.) 1) При каких значениях х выражение
(—-2*)* будет положительным числом? числом
отрицательным? равн© нулю?
Привести числовые примеры.
2) При ,каких значениях х выражение 2 будет
положительным числом? - числом отрицательным?. равно
нулю? Привести числовые примеры.
3) При каких значениях х выражение ^ будет
положительным числом? числом отрицательным? не
имеет смысла? Привести числовые примеры.
176. (Устн©.) 1) При каких значениях а справедлива
запись: . % "
а<^2а\ а = 2а\ а^>2а?
Привести числовые примеры.
2) При каком Значении х выражение
(х + 2)* равно О?
3) Каково наименьшее возможное. значение
выражения 1 -f-a.2?
4) Может ли выражение , , 2 быть больше еди-
ниды? Объясните п&чему. Привести примеры.
177. Даны числа тип. Составить удвоенное
произведение суммы квадратов этих чисел на квадрат их
разности и найти числовое значение полученного
выражения при т = -:1 2 и п = 0,8 с точностью до 0,1.
34

178. Записать решение следующей задачи 'в виде
формулы:
На прямоугольном участке земли длиной а метров и
шириной 6 метров сделали 3 одинаковые квадратные
площадки со стороной, равной с метрам. Найти площадь
оставшейся после этого части участка. Вычислить
результат с точностью до 1 кв. ж, если а = 30,6 м\ 6 = 21,4 м\
с = 8,5 м.
§11. Равенство и неравенство.
Тождество и уравнение.
179. Прочитать следующие записи:
1) 3 + 2 = 5; 2) 5>4; 3) 10<12; 4)|<1;
5) 1>1; 6) 4=1; 7) 0,64 <1; 8) 0,0825 <0,1;
9) 5<7<9; 10) 2<2,4<3.
180. (Устно.) Какой знак, равенства или неравенства,
делжен стоять между числами:
1) 5 и 3; 2) 0,3 и 0,6; 3) -J- и 0,4; 4) -§■ и -|;
5) у и 0,125; 6) 0,1 и 0,0936; 7) 0,02 и 0,00894;
8) 3,25 и 3~; 9) 1,1 и 1,11; 10) 0,5 и 1,5.
181. Записать в виде неравенства, что больше:
а-\-2 или а + 3; 6 + 1 или 6—1.
182. Проверить равенство: а +-5 = 5 + а, давая
произвольные^ значения букве а. Как называется это
равенство?
183. 1) Дано равенство: а + 3 = 8. Показать, что это
равенство верно только при а = 5.
2) Найти, при каком значении а верно равенство:
Ю — а = 7.
184. Проверить: 1) будет jhi число 2 корнем
уравнения Зх+1 = 7;
2) число 8 корнем уравнения 20 — 2х = 4;
3) число 7 корнем уравнения х — 1 = 20 — 2х\
4) число 4 корнем уравнения Зх — 2 = х + 6.
\2\ 35

185. (Устно.) Определить, какие из следующих
равенств — тождества:
1) з + а = а + 3; 2) ху = ух\ 3) fc-f3 = 5;
4) 3(а + 6) = 3а + 36; 5) 4а = 20; 6) 3 = -£;
7) 2х = х + х; 8) l-fm = 9.
186. Решить уравнения (№ 1—6 устно):
1) * + 7=10; 2) J/+ 15 = 21; 3) z + 2,5 = 4;
4) х — 3=12; 5) х —-1 = 5; 6) х— 1,3 = 3,2;
7) 9-х = 5; 8) 2~ — х=1,3; 9) 2-| —x=li.
187. Решить задачи при помощи составления
уравнения:
1) К числу а прибавили 20 и получили 35. Найти
число а.
2) От числа Ь отняли 12 и получили 18. Найти
число Ь.
3) К 20 прибавили неизвестное число т и получили
54. Чему равно число т?
4) Какое число надо отнять от 30у, чтобы
получить 16,5?
б) Какое число надо увеличить на 12-^, чтобы
получить 22?
188. (Устно.) 1) если а и Ь — любые натуральные
числа, то можно ли утверждать, что решение (корень)
уравнения х — а = Ь будет всегда натуральным числом?
Привести примеры.
2) Если а и b — любые натуральные числа, то какие
из следующих уравнений не всегда будут иметь решения
в области натуральных чисел:
x:a = b\ ax = b\ x-\-a = b\ x — a = bl
3) Какие числа необходимо ввести, чтобы уравнение
ах=Ь имело решение при любых натуральных числах
а и 6?
4) Какие числа необходимо ввести, чтобы уравнение
х-{-а=Ь имело решение при любых положительных
значениях а и Ь?
36

5) Можно ли утверждать, что над любыми
рациональными числами а и b всегда выполнимо каждое из
четырёх арифметических действий?
Решить при помощи составления уравнений
следующие задачи:'
189. Какое число надо прибавить:
V
1) к 10, чтобы получить 3?
2) к 15, чтобы получить (— 3)?
3) к 42,3, чтобы получить 28,8?
4) к ( — 7,4), чтобы получить 7,4?
190. 1) Какое число надо отнять от числа б, чтобы
в результате получить 100?
2) К числу а прибавили 2 и получили в сумме (— 5),
Найти число а.
3) Я задумал число, прибавил к нему 10 и получил
( — 17). Какое число я задумал?
4) Я задумал число, прибавил к нему (— 8) и
получил 15. Какое число я задумал?
191. Стар инн а я задача. Летело стадо гусей,
навстречу им летит один гусь и говорит: „Здравствуйте,
сто гусей!" —„Нас не сто гусей,—отвечает ему вожак
стада,—если бы нас было столько, сколько теперь, да
ещё столько, да полстолька, да четверть столька, да ещё
ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей".
Сколько было в стаде гусей?
192. При выпечке ржаного хлеба получается припёк,
обставляющий 0,3 веса взятой муки. Сколько муки
нужно взять, чтобы получить 26 кг печёного ржаного
хлеба?
193. Длина прямоугольника вдвое больше его ши^
рины. Периметр прямоугольника равен 144 см, Найти
Длину и ширину прямоугольника.
194. Периметр равнобедренного треугольника равен
28 см. Основание его на 2 см меньше боковой стороны.
Найти стороны треугольника.
195. Я задумал число. Если это число увеличить
втрое и к полученному произведению прибавить 17, то
получится 62. Найти задуманное число.
196. На одной чашке весов лежат три равных по весу
куска мыла и гиря в 100 г,- а на другой чашке их
уравновешивает гиря в 1 кг. Сколько весит каждый кусок мыла?
37

197. Вер третьего советского искусственного спутника
Земли составлял 1327 кг, при этом вес аппаратуры
тяжелее веса корпуса на 609 кг.
Сколько весила аппаратура спутника?
198. Общая протяжённость газопроводов Ставрополь —
Москва, Дашава — Минск — Ленинград и Берёзово —
Свердловск 3900 км. '
х Найти протяжённость каждого газопровода, если пер-
вый из них длиннее третьего на 100 км, а второй
длиннее первого также на 100 км.
199. 1) Одно число в 4 раза больше другого. Найти
эти числа, если их разность равна 15.
2) Разность двух чисел равна 8, а сумма этих
чисел 42. Найти эти числа.
200. Кофе при жарении теряет 12% своего веса.
Сколько килограммов- свежего кофе надо взять, чтобы
получить 4,4 кг жареного?
201. Яблоки при сушке тер-яют 84% своего веса.
Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить
16 кг сушёных?
202. Юннаты вырастили 900 саженцев клёна, дуба и.
липы. Саженцев клёна было выращено в 2 раза больше,
чем дуба, а саженцев липы в 3 раза больше, чем клёна.
Сколько было выращено отдельно саженцев клёна, дуба
и липы?
203. Длина прямоугольника 40 м, а ширина 30 м.
Найти сторону квадрата, периметр которого равен
периметру прямоугольника.
Решить следующие уравнения:
204. 1)* + 5= — 2; 2) 7 + х = 3; 3) ( — 8) + х = 5;
4) (_l)-fx=-3; 5) (_6) + * = 0; '
6) |*| + 1=4; 7) |*+1| = 4.
205. 1) * + ( — 2)=— 5; 2) ( + 5)— а= — 12;
3) т —( —8)=13; 4) /i_(+ l|)= -4 1;
5) ( —6) + 9=—1; 6) <*_(-8) = 0;
7) (-15,4)+V=0; 8) 0-»=-0,5;
9) (— 1) + 2 = 0,32; 10) и —( —1) = 0,135.
38

Ц)з|-
13) 0,1 ■
*5 Х
— 0,01лг =
-2^--
П2'
-и
207. Решить уравнения:
206. Решить уравнения:
1) Зх-2 = — 17; 2) 4а + 3 = - 13;
3) 34 — 3*=— 20; 4) у + 3 = — 7;
5) |-2= -5; 6) 5-^=-3;
7) 4+^=-8; 8) 0,6*-4=-2>,
9) 0,12 + 0,8*=-0,08; 10) 1 -^* — 5-J= -6 1;
12) 0,4* — 12,03 = 0,13;
14) 0,02х—1,008=0,002.
4) 5л: —7= —0^ + 3,4; 5) 0,12 — 2,5x= —0,8;
6) 4,8*-0,5 = 4,2-(-3,5);
7)l|~fo-4:(-3|);
8) 20^ + 0,4.(-б!) = 4| :(-!);
x 9) |2x + 3| = 5; 10) |2x| + 3 = 5.
Задачи 208 — 209 решить при помощи составления
уравнений.
208. Бригада лесорубов заготовила за три дня 184
кубометра дров, причём в первый день бригада
перевыполнила дневной план на 14 кубометров; во второй день
бригада заготовила на 2 кубометра меньше планового
задания, а на третий день она перевыполнила план на
16 кубометров. Сколько кубо$*етров дров бригада
должна была заготовлять ежедневно по плану?
209. 1) Из двух смежных углов один в 5 раз больше
другого. Найти величину каждого угла.
2) Из двух смежных углов один на 30° больше дру
гого. Найти величину каждого угла.
210. Составить и решить задачу, в которой требуется
найти два числа:
1) по их сумме и разности;
2) по их сумме и отношению.
39

211. В равнобедренном треугольнике боковая сторона
вдвое больше основания треугольника. Найти стороны
треугольника, зная, что его -периметр равен 75 см.
212. Угол при вершине равнобедренного треугольника
на 15° больше угла при его основании. Найти углы этого
треугольника, зная, что их сумма равна 180°.
213. Составить задачу, решение которой привело бы
к составлению следующего уравнения:
х + 2х=30.
214. Среднее арифметическое трёх чисел равно 8,6.
Одно из чисел равно 9,1, второе равно 8,3.
Найти третье число.
§ 12. Таблицы и графики.
215. На чертеже 16 изображён график изменения
температуры воздуха в течение сутрк.
i) Определить по данному графику: наиболее низкую
температуру воздуха за сутки; наиболее высокую темпе-
о
j
I
■Г
I
1
6°
л?.
г>°
с
0°
*>ei
V
~б°-
-<л
1
7Л°
^Сг
1
2
V
N
4
\
6
J
V
•
в
л
0 1
2 1
Ч 16 18 2\2
'У"1*
2 2
сах
Черт. 16.
ратуру за сутки; время суток, в течение которого
температура воздуха была выше 0°; ниже 0°.
2) Составить по графику таблицу изменения
температуры воздуха в течение суток (через 2 часа).
40

216» Ежедневные наблюдения за температурой
воздуха в течение недели ноября дали следующую таблицу
средних показаний термометра по Цельсию:
Дата
Температура
1
+ У
2
+ 5!
3
+ 6в
4
+ ?
5
0е
6
— з°
7
— 6°
г
1) Изобразить ход изменения температуры по
данным таблицы в виде графика.
2) Определить по графику наибольшую и
наименьшую температуру воздуха за первую неделю ноября.
217. Уровень воды в реке с 1 по 15 мая изменялся
по сравнению с ординаром (средним уровнем воды)
следующим образом:
Дата
1
2
3
4
5
Уровень
воды в
сантиметрах
10
12
15
18
22
Дата
6
7
8
9
10
Уровень .
воды в
сантиметрах
20
17
14
10
5
Дата ,
11
12
13
14
15
Уровень
воды в
сантиметрах
0
— 3
— 3
— 5
— 8 |
1) Вычертить график изменения уровня воды в реке
за указанное время.
2) Отметить на графике наибольший и наименьший
уровень воды за это время.
218. Вес ребёнка от рождения до 10 лет изменяется
в среднем следующим образом:
Возраст
в годах
Вес в
килограммах
0
3,3
1
9,2
2
11,9*
3
12,7
4
14,3
5
15,4
6 j
16,8
7
18,4
8
20,5
9
[22,5
10
24,6
1) Выразить эти изменения веса в виде графика,
вычертив его на миллиметровой или клетчатой бумаге.
41

2) Определить по графику вес ребенка в возрасте
3,5 года.
3) Определить по графику возраст ребёнка,
имеющего вес 18 кг.
219. Трактор при вспашке проходит в среднем 3,5 км
в час.
1) Составить формулу изменения пути s,.
пройденного трактором за t часов работы. Заполнить таблицу:
Время t в часах
Путь s в километрах
1
3,5
2
3
4
5
б
7
8
2) Построить график изменения пути трактора в
зависимости от времени работы.
3) Найти по графику путь трактора за 4-j часа; за
7 час. 20 мин.
4) Найти по графику
время, за которое трактор
пройдёт 12 км, 16 км.
220. На чертеже 17
изображён график пути 5,
пройденного туристом при
равномерном движении в
зависимости от изменения времени
движения t. Найти по
графику путь s, пройденный за
2 часа; 2 у часа; 3 часа; Зу
I
S
15
14
13
12
11
10
9
в
7
б
5
4
3
2
1
t I I I I I I I
I /I I I Тч I
2 3 4 5 6 7 f
Время S часах
Черт. 17.
часа; 4 часа; 4 у часа.
Задачи и упражнения
для повторения.
221. Решить уравнения:
1) 15 — i* = 24;
2) 36 —0,8f/ = —4.
42

222. Вычислить корень следующих уравнений с
точностью до 0,1:
1) 13х —2,6= —8,5; 2) 6,4 +1,3* = 2,7.
223. Решить задачу при помощи
составления уравнения:
Три колхоза засеяли пшеницей
1680 га. Сколько гектаров засеял
каждый колхоз, если известно, что
второй колхоз засеял вдвое больше
первого, а третий —на 120 га
меньше второго?
224. Объём бочки (черт. 18)
вычисляется по формуле:
у=«(*>£1)\
где V — объём бочки, тс я« 3,14, Черт. 18.
D — диаметр бочки в самом
широком месте, d —диаметр каждого из днищ бочки, h —
высота бочки.
Найти объём бочки, если £я^9 дм\ d^6 дм; йя^П дм.

ГЛАВА И!
Действия над целыми
алгебраическими выражениями.
§ 13. Одночлены и многочлены.
Приведение подобных членов.
225. Назвать коэффициенты следующих выражений:
л 2,лг х х а _ - 2а 5х
9а; -^Ь\ 0,5г, у; т; -§-; т\ /; у; -g-
Следующие многочлены представить в виде
алгебраической суммы одночленов, например:
За — 2b = ( + 3a) + ( — 2b).
226. 1) 2а — ЗЬ; 2) c — d\
3) — 3m* — 2m — U 4) — a* — 2ab — b\
227. l)^pg + ^p^-g\ 2) 0,4x3+2|x3--x--l;
3) Ъап — 2bM — с2*; 4) -у + 0,\2yk - 2y\y\
228. Вычислить следующие выражения, если а = 2:
1) 2а; 2) За*; 3) 5а8; 4) if-; 5) -^-; 6) 0,5а3.
229. Найти числовое значение многочленов:
1). 2a* + 3ab + b* при а = ~, £ = у;
2) 2а4 — а& + 2£* при а = —1; £ = — у.
230. Решить задачу;
На стройке работают два башенных крана. Первый
кран в каждый час подаёт а кирпичей, второй — b кир-
44

пичей. За сколько часов оба крана, работая вместе,
могут подать каменщикам с кирпичей?
231. Решить уравнения:
1) х + 2,4 = 5,2; 2) 1 А-*=-*-;
' 3) 0,6х=1,2; 4) 4:х = А.
232. Следующий многочлен представить в виде
суммы одночленов:
2а» + 4а9 + 5а —3.
233. Написать многочлен, в который входили бы
следующие четыре одночлена:
Ьл ', — ОХ ', X', — 1.
В следующих многочленах выполнить приведение
подобных членов.
234. (Устно.) 1) 5а — 2а; 2) 8х — 10х;
3) —8m —5m; 4) — 2<7 + 2<?.
235. (Устно.)
1) l5ab-\-4ab — ЮаЬ; 2) — бху — ху + 8ху;
3) — 4т3 + 1 О/л3 — 8/л3; 4). — 25ft* — 326* + 486*.
236. 1) 2d»-l.Ada-3-l<*8; 2) 5^*-1 у 9*+ 6 у ^*;
3)Aa»_ja._|aS; 4)|*Ч-|.ж>-^
237. 1) 0,8с1 — 1,2с8 — 0,1 с»; 2) 1,5лв — 0,9лв + 2/г6;
3) За1*1 — 2а3^ + 4а3*'; 4) 4xty — 7xty + 5хУ
238. 1)-11*« + 4дс —*» —4r, 2)—a —5 —2a-f3;
3) 2уг — 3# + Чу — jf; 4) — m» — л* -{- 2m' — л*.
239. IJ^-I^ + I^ + Ij,;
2) 0,3с8 —0,1с9 —0,5с3;
3) ЬаЪ — Аа*Ь* — 8abi + За* — aft' — 4dW;
4) 23a»ftc -f 1 Oaftc9 — 15a*bc — aftc* -f- 2a'*c + abc*.
240. 1) — lAau8 + 2a8ft —4Aa»ft —aft8 —Аа^_азй.
2) — 9,387m — 3,89л + 8,197m — 1,11л — 0,002m.
45

Решить уравнения:
241. I) 5* + Зх — 10 = 14; 2) 8/л + т + 4 = 49;
- 3) 7а + 2а + 4 = 40;- 4) Зр + р —7 = 5.
242. 1) 9ft —4ft —3 = 17; 2) 10а — За + 5 = 12;
3) 5d + 7d — 8 = 4; 4) 15у — 9у — 2 = 10.
243. 1) х-\-2х-\-Зх = 24; 2) 4d + 5d — d = 72;
3) 3ft + 4A + 2ft = 54; 4) 8а —4 —5а = 5.
244. 1) 8а— Ю-1-С + 2 — 4а=17;
2) 5* + 7 —8x + 6*=13;
3) 42+12 — 72 + 7=1;
4) — 3 —5* + 20 + 2x=5.
245. 1) —3 + 9|/+ 13 ^5у=22;
2) — х + 6 — 2* — 8х+18=13;
3) — 2х —5 + 12х — 3 — 4 = 8;
4) — 5z — l+2z — 3 = 2.
§ 14. Сложение одночленов.
Выполнить сложение одночленов:
246. (Устно.) 1) 2х + ( + 3«/); 2) 10а + (—2а);
3) 4* + ( + 6а); 4) т + (—2/п).
247. (Устно.) 1) (— 3d) + (— 2d); 2) (—5т) + ( + 5т);
3) (—2k) + (—£); 4) 5с + (— 15с).
248. (Устно.) 1) 4а3 + (+ За5); 2) 1 Оаб + (— аЬ);
3) (_6^) + (-8xi/); 4) (_7^) + (-5А«).
249. (Устно.) 1) ±* + (+|*); 2) (-.§.,) + (—|.,);
3) (_|^) + (_^^); 4) (-0,8а)+ ( + а);
5) (_0,3*3) + ( + 2**).
250. 1) 5а* + (— 2а2) + (— 4а');
2) (_ 8ху) + (+ Мху) + (- 3*0).
251. 1) 3a2ft + ( —aaft) + ( + 2aaft) + ( —6aaft);
2) (- If) + (- 4y) + (- {/*) + (+ by) + (- 8t/!).

252.
+ (-тА) + (-т4
253. 1) ( + Зр9) + (-4,2р^)+(+0,Зр2)+(+2(/) +
+ (-5р?) + (-30;
2) (_0f3o6)+(-0,2aa)+t+U4ft)+(-5fle)+(-2,3flft).
.254*. 1) 5a» + (-2a»)4-(-8a*+4 + (+6a«) + (-a"+1);
2) ( _ 9**+1) + (— 4xk) + (+12xk") + (+5**) + (+ x*+1).
Решить задачи, составив уравнения:
255. Один из смежных углов в 8 раз больше другого.
Найти величину каждого угла в градусах.
256. Сумма трёх последовательных целых чисел
равна 18. Найти -эти числа.
257. Для приготовления замазки для деревьев берут
известь, ржаную муку и масляный лак в отношении 3:2:2.
Сколько каждого материала надо взять в отдельности
для получения 2,8 кг замазки?
258. Для приготовления бронзы берётся 17 частей
меди, 2 части цинка и одна часть олова. Сколько надо
взять каждого металла в отдельности для получения
200 кг бронзы?
259. Стороны треугольника относятся как 5:4:3;
периметр треугольника равен 48 см. Найти стороны.
260. Боковая сторона равнобедренного треугольника
вдвое болыЛе его основания. Периметр треугольника
равен 45 см. Найти стороны треугольника.
261. Два прямоугольника имеют равные основания.
Высота первого прямоугольника равна 15 еж, а высота
второго 8 см. Найти основания прямоугольников, если
площадь первого на 35 см* больше площади второго
прямоугольника.
262. На пришкольном учебно-опытном участке 400
плодовых деревьев (груш, яблонь, слив). Из них груш
♦Задачи, отмеченные звёздочкой, могут быть предназначены
для индивидуальных заданий и для внеклассных занятий учащихся.
47

в 3 раза больше, чем слив, а яблонь столько, сколько
груш и слив вместе. Сколько на участке груш, слив и
яблонь отдельно?
263. Составить задачи, которые решались бы при
помощи следующих уравнений:
1) х + 3х = 20; 2) 2х + 5* = 35;
3) 4x-x=15; 4) x + 2x + 3*=24.
§ 15. Сложение многочленов.
264. 1) Проверить справедливость равенства
a-\-(b-\-c) = a-\~b-\-c
при любых значениях а, Ъ и с.
2) Сформулировать правило о прибавлении к числу
суммы двух чисел.
265. Вычислить наиболее простым способом сумму
следующих слагаемых:
1) 278 +(345 +122); 2) 214+ (568+ 386);
3) 206+ (153+194); 4) 0,04+ (53,25+1,96).
266. Найти сумму алгебраических выражений:
■ 1) 5а и За+ 7; 2) 8х и 1 — 5х;
3) — Ьр и — р — q\ 4) — а и а — 1;
5) 2т — Зп и — т — п\
6) 1,5а9 + 2ft* и 2а2 — Ь\
Выполнить сложение:
267. 1) 8а + (3& + 5а); 2) (4х + 2) + (— х — 1);
3)(т* + т) + (2Т-*)'' 4> 0,4</ +(1,2^-0,1).
268. 1) (15а+ 26) +(4а — 36);
2) (4а*Ь — За6*) + ( — а*6 + 2а&*);
3) (x' + 4x —5) + (хв —Зх + 2);
4) (а9 — 2а6 + б3) + (а3 + 2а6 + Ь*).
269. 1) (х* + 2ху + */*) + (2ху - х* - у');
2) (5т3 — 5т + 3) + (— 4т* — 5/ц — 3);

3) (V - 4y - 1) + (- 1 + Ч - 2*»);
4) (1 Оа — 66 + 5с — 4rf) + (9а — 26 — 4с + 2d).
270. 1) (5х3 — ax + a3)+(3x3 + 2ax — За3) +
+ (— 4ах + 2а3 — л;3);
2) (2а4 + 5а36 —За363 —а&3) +
+ (За* — 8а*Ь + 2а363 — баб3);
3) (8ап — 26"» + с) + (- 4ап — ЬЬт — с);
4) (3*n+1 +1Ох" — 7х) + (л; — 9jc"+1 — 1 Ох").
Выполнить сложение многочленов, подписывая
подобные члены под подобными: *
27L 1) 5а4 + 3а»6 — 2а363 — АаЬ\
За4 —8а36 + 9а3&» + а68
и — 6а4 + а3& + 5а363 + 9а&3;.
2) 2л4 + Бах9 — 10аV — За3* + 7а4; /
Эх4 — 12ах* + 1 ЬаЧ* — 4а3х — а4
и х4 — 4ад:3 — 2aV — 6а8х + За*.
272. 1) —5-х3 + 14*0 + 4^;
2) 5^-a3 + 2-i-a36 + 3-i-a&3 — 8-§-&3
и 13а36 —1^-а&3 —3-|а3 + 63.
273. 1) 0,8х4 — 1,2х3г/ + 0,8л:У + 5,7ху*—0,9у*
и — ОЛ^ + г.Зх^ + О.г*4 — 0,12xV — 4,2л:*/9;
2) 1,2а3 — 0,01 а3 + 1,24а + 0,35;
— 2,34а + 1,03а3 —0,35 +1,01а3
и 0,15а3 — 2,5а + 1,23 — 3,5а3.
Решить задачи:
274. Одна сторона треугольника равна а + 6, вторая
сторона на а,— 5 больше первой, а третья сторона равна
26 + 5. Найти периметр треугольника.
275. Одна сторона прямоугольника равна 3m + 2n, а
другая сторона больше её на т—п. Определить
периметр прямоугольника.
49

276. На чертеже 19 изображено поперечное сечение
(профиль) равнобокого углового железа. Определить
площадь этого сечения по размерам, обозначенным на чертеже.
277. Участок земли имеет форму квадрата и разбит на
части так, как указано на чертеже 20. Найти площадь
каждой части и площадь всего квадрата
по размерам, данным на чертеже.
278. Найти площадь квадрата
ABDC и его частей по размерам,
данным на чертеже 21.
. 279> Каждое целое
многозначное число может быть
представлено в виде многочлена,
расположенного по убывающим степеням
числа 10.
Например:
Г"
©
т
0
■^t—
*
|35
.0—
--J ♦
Черт. 19.
473 = 4-102-+-7-10 + 3.
Представить в виде многочленов, расположенных по
убывающим степеням числа 10, следующие числа: 5372;
48 936; 392 745.
280. 1) Доказать, что сумма двух нечётных чисел есть
число чётное.
2) Доказать, что сумма чётного и нечётного чисел
есть число нечётное.
281. Доказать, что сумма скорости парохода по
течению реки и скорости его против течения реки равна
удвоенной скорости
парохода в стоячей воде.
Привести числовые
примеры.
Р*-— а—*-
+Ь-~
:—■__«
1
\
■о
В
U—а—*.
~Ь-
с—*-
CD
I
I
1
D
Черт. 20.
Черт. 21.
50

282. 1) Доказать, что сумма любых трех
последовательных целых чисел делится на 3.
2) Доказать, что сумма любых пяти
последовательных целых чисел делится на 5.
3) Доказать, что сумма любых двух
последовательных целых чисел не делится на 2.
283*. 1) Доказать, что разность двузначного .числа и
числа, написанного теми же цифрами, но в обратном
порядку, делится на 9.
2) Доказать, что су ума двузначного числа и числа,
написанного теми же цифрами, но в обратном порядке,
делится на 11.
Решить уравнения:
284. 1) (3x + 8)-H2jt — 5) =13;
2) (2у + 13) + (17 — 5у) = 240;
3) (5*3-Зх3 + 4* + 6)-|-
+ (З*1 — 5л3 — х — 17) = 67;
4) 2* + (4'-т') = 57-
£85. 1) (25x-5) + (0,2x-2,7*) + 0,5* = 6,5;
2) (2 + 5,7р).-|- (18,2 - 0,855/?) -f 3,45р = 36,79;
3) (l 4- — 0,5/) + (0,4^ — 1Д2) = 0,4.
286. Решить уравнения относительно х:
1) (Зх-46) + (76 + 2х) = 13&;
2) (13*+10*) +(—8* — 9£) = Ш;
3) (Ъх — 7а) + (— 2х + а) = 3а;
4)-(2х —4m) + ('4x + 5/n) = 19/n.
Следующие задачи решить двумя способами:
1) алгебраическим — при помощи составления
уравнений,
2) арифметическим способом.
287. На 210 руб. купили ткани по 8 руб. за 1 м и
по 6 руб. за 1 м> причём первой ткани купили втрое
больше, чем второй. Сколько метров купили той и
другой ткани?
288. В треугольнике ABC сторона А В на 1 см больше
стороны АС, а сторона ВС на 1 см больше стороны АВ.
51

Периметр треугольника равен 15 см. Определить длину
каждой стороны.
289. В трёх поселках 4500 жителей. Во втором
посёлке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем
на 500 жителей меньше, чем во втором. Сколько
жителей в каждом посёлке?
290. Вес поезда, состоящего из паровоза, тендера и
28 вагонов, равен 608 т. Тендер весит вдвое меньше
паровоза и на 11,5 т больше вагона. Найти вес паровоза,
тендера и вагона.
291. Составить задачи, решение которых привело бы
к следующим уравнениям:
1) *+(*-3)-Мх + 5) = 27;
2) х-\-2х + {х — 3) = 21;
3) х + 3х + (3* — 5) = 16;
4) х + (х-2) + (2х — 3)=35.
292. Сколько древесины заготовляется на земном
шаре, если известно, что 0,33 заготовляемой древесины
, 2
идет на строительные нужды, на топливо идет в 1 у
раза больше, а остальные 144 миллиона тонн
используются на другие нужды.
293. Три бригады работали на лесозаготовках. В
первой бригаде было 0,36 числа всех рабочих, число
рабочих второй бригады было на 72 больше, чем в первой,
а остальные 124 рабочих были в третьей бригаде.
Сколько всего рабочих было в трёх бригадах вместе?
Задачи и упражнения для повторения.
294. Найти сумму многочленов:
За4 — 5a*b + a*b* — 2ab*
и
6а*6* — ай3 + 2а3& — За4-
295. Найти числовое значение трёхчлена у = х* — 2х—3
при следующих значениях х:
X
| <у = л:2—-2* — 3
— 3
— 2
— Г
0
1
2
3
52

296. Решить уравнение, вычислив неизвестное с
точностью до 0,01:
(4,12* — 1,05) + (9,32 — 2,75л:) = 6,13. .
297. Решить задачу при помощи уравнения:
Спортплощадка прямоугольной формы, длина
которой на 15 м больше её ширины, огорожена изгородью.
Найти площадь спортплощадки, зная, что длина
изгороди рацна 210 м.
298. Построить график изменения пути, пройденного
электропоездом за время от 1 до 10 минут при средней
скорости 1,5 км в минуту.
§ 16. Вычитание одночленов и многочленов.
Выполнить вычитание: "~
299. (Устно.) 1) 5а — (+2а); 2) 4х — (— 7х);
3) 9т — (— 8т); 4) — 10* — (+ 2*);
5) — Ы — (— 9d);
6) 15л:3 — (+10**); 7) — 12а3 — (— 9аЗ);
8) 464-(+364); 9) — с4 —(-Зс4).
300. 1) Зху — (+Юху); 2) Ьх*у — (— 2xiy)
3) — 12аЬс — (— abc); 4) 4а6 — (+ 4ab).
301. 1) |р-(-р); 2)4а-(-1<7);
3)11*-(-|*); *)-тУ-{-Ц.
302. 1) 0,8а* - (+ 1,2а9); 2) 3,6x3 - (- 5л:3);
3) — 0,2та/1 — (— 1,2ф*п);
4) 5,3а36гс— Ц-Х-±а*Ь*с\.
303. 1) — 5а" — (+3а«); 2) — 8xn*i — (—2xn*1).
3) _9а8п+1 —(—Зам+1);
4) -±-Ь™-(—± У*»}.-
53

304. Выполнить вычитание наиболее простым способом:
1) 374 —179 = 374 —(174 + 5) =
= 374—174—5=195;
2) 536—139; 3) 817 — 518; 4) 673 — 285.
305. Проверить справедливость равенства
a — (& -f с) = а — Ь — с
при следующих значениях букв а, & и с:
■ а
Ь
с
10
4
2
8
7
—3
3
4
1
2
5
8
0,8
1,3
2,5
Выполнить вычитание и, где можно, сделать
приведение подобных членов:
306. 1) За —(а+ 26); 2) 5х — (3x + 2y);
3) Ay — (5 -j-у); 4) (2m — Ъп) — (5m -f 6«);
5) (6а* — 5а) — (а5-}-7а).
307. 1) (12c+16d) — (6с— ld)\
2) (Ш* — 2х9) — (** — х*)-;
3) (За86 — №*).— (За3Ь + 665); .
4) (4х*у + &*0*) - (Зх*у — Ъху\
308. 1) (13л: — 1 \у + Юг) — Г— 15* + I0t/ — I5z);
2) (7m9 —4mn —na) —(2ma —mn + 2n2); '
3) (14a6 — Z7bc — 2cd) — (166c +4led);
4) (11 abc — 16&cd — 24cde) — (— 9abc -f fad)-
309. 1) {Lx + ^y-\z)-{-lx-\y + \z);
2) (1а6 + |бс-|-ас)-
54

310. 1) (±xy-lab-^(fib*-l) —
2) (А^-за+т^-2^3-1)"
-(Зх'^-4 + i-^—|-^-2x^).
311. 1) (О.баб — 0,56c + cd) — (—0,5a6 + 2,56c — cd);
2) (0,5a6c -f 0,36cd — 1,5acd) -r (— 1,5a6c +
-f-0,66cd —2acd).
312.' (\~а\— -|a6 + 2yac — 3,256c) —
— (o,08a* + 0,135a6 — ac-\-l^bc).
313. (0,8a362c — 0, I5a463c' + 1 .ба'б'с3) —
— (3,2a369c + 2,la46V2 — 0,02aW).
314. (1,4** + 2,24л# — 1,5«/*) —
315. (Зая+3 — 9a"+* + 5an+1 — 2a") —
— (— a" + Юа"43 — 5an+1 — 7ая+3).
§ 17. Раскрытие скобок и заключение в скобки.
Раскрыть скобки и упростить:
316. 1) (4аа — 2а6 — 6*) — (— а* + &« — 2а6) + (3а3 —
-аб + 62);
2) (—ае-Н*9 —*+1) + (2х»— 3+jta — бд;) —
— (5л:3 —8л:3 —Зл:—1).
317. 1) 3* — [5л: — (2л:— 1)];
2) 9а3 + [7а« — 2а — (а4 — За)].
318. 1) (5а9 —36s) + [—(а* —2а6 —6а) + (5а8— -
— 2а6 —36»)];
2) За-{2с-[ба — (с— 6)-f с+(а + 86 — be)]}.
55

319. 1) (Зт + 5л) — {9т — [6т + 2л — (12л — 10m)] —
— m —(7m —4л)};
2) 15a2 — {— 4a3 + [5a — 8a* — (2a'2 — a) +
+ 9a*] —3a}.
320. 1) 5a+{3&+[6c -2a — (a — c)]} — [9a — (76-fc)J;
2) (4х-2у-г)~-{5х-[8у-2г-(х + у)]-
-х-(3у-10г)\.
321. Многочлен 5a* -— 2a — 3a6 -[- ^9 представить в виде
суммы двух слагаемых, из которых одно 5а9 — 2а.
322. В выражении 2х3 -f- Ьх*у — 4ху* — г/3 заключить
крайние члены в скобки со знаком плюс (-(-) перед
ними, а средние члены заключить в скобки со знаком
минус (—) перед ними.
323. Не изменяя величины многочлена 2а8 — ШЬ-\-
-f-Заб2 — б3, заключить его в скобки, поставив перед
скобками знак минус.
324. 1) Трёхчлен 2а —6 + 4 представить в виде
разности двух выражений с уменьшаемым 2а.
2) Трёхчлен Ъхч — Зх — 5 представить в виде разности
двух выражений с уменьшаемым 5х2.
325. В следующих примерах изменить перед скобками
знак на противоположный, не изменяя 'величины
выражений:
1) a_(26_3a); 2) х+(1— **);
3) т*+1-(т-п); 4) х — у — (у — х).
326. Дано: т = 2а9 — 36* + с*\ п = & — &* + с* и
р = 5а2 — 2Ь* — Зс\
Определить: 1) /п + я + р; 2) /л — п-\-р\ 3) т — п — р\
4) —т — п — р.
327. Определить значение выражения:
P-[Q-2P-(P-Q)]
при P = a9 + 2a6 + 62 и Q*=a*— 2ab— b\
328. Даны многочлены:
Л =*= 5а4 — 8а3& + 2а*6* — 4а68 — б4;
fi=a4 + За36 — 5aW — баб3 - 2Ь4;
С == — 4а4 + 5а3& — 7а*Ь* + 1 0а&3 — 5Ь\
56

Подставив вместо А, В,- С их значения, определить
многочлены:
1) А + В — С; 2) Л—В + С; 3) — Л + В + С.
329. Вычислить:
Sabc — {2а*6 — [Забс — (4я&* — аЩ]}
при а = — 2, Ь = —1 и с = 3.
330. Вычислить:
Зх*у — {хуг — (2xyz — х*г) — Axh ~f-
^ +[Sx*y—(4xyz-5x*z — 3xyz)]}
при х=— 1, у=2 и г = —3.
331. Вычислить:
обе — {За*& — [АаЬс + <2а&* — ЪаЩ)
при а =— у; & = — у и с = — 4.
332. Доказать справедливость следующих
предложений:
1) Сумма суммы двух чисел а и Ъ и их разности
равна удвоенному первому числу. Проверить при
а=15, 6 = 8; я=1~, Ь = 2^.
2) Разность между "суммой двух чисел а и 6 и их
разностью равна удвоенному второму числу. Проверить
ПРИ.
а = 2,4, 6=1,6; а=1у. & = 1"5-
333. 1) Найти сумму трёх последовательных
натуральных чисел, из которых наименьшее равно 2п.
2) Из четырёх последовательных натуральных чисел
наименьшее равно 2/г+1. Записать эти числа и найти
разность между суммой дцух „средних и суммой двух
крайних чисел.
334. 1) Изменится ли числовое значение многочлена
1 -)- Зх3 + б*4 при замене (+*) на (—х), т. е. при
изменении знака х на противоположный? Проверить при
Х==2, #= — Z\ X = — о, Х^=Оф
57

2) Показать, что многочлен, содержащий только
чётные степени одной и той же буквы, не изменяет. своей
величины при изменении знака этой буквы на
противоположный.
335. Периметр треугольника равен 5а. Одна из
сторон равна а+ 6, вторая стэрона меньше её на 2а.
Определить третью сторону треугольника.
336. Периметр четырёхугольника равен Ьа-\-Ь. Одна
сторона равна 6, вторая больше первой на Ъ — а, третья
меньше второй на За. Определить четвёртую сторону
четырёхугольника.
3^7. Из следующих выражений, в которых а^О и
Ь Ф 6, выписать отдельно те выражения, которые при
любых значениях входящих в них букв будут принимать:
только положительные значения; только отрицательные
значения; могут иметь и положительные, и
отрицательные значения:
1) а' + &2; 2) a* —ft*;. 3) -а* —6а;
4) {a-bf\ 5) а*+1; 6) а3+1;
7) -а*—1; 8) 2а* + 6*; 9) а* + 62+1;
10) а3-1; 11) а* + а*; 12) 2а* + За4+1.
" Решить уравнения:
338. 1) (5я' + 3) — (2х — 4) = (х — 2) — (х + 3);
2) (4-2уУ-(5-Зу) = (0-1)-(у-8);
3) 8х —(2.* —9) = 4* —(8 + 4*);
4) (Зх+1) + (5* + 8) — -(* —4) = 48.
339. 1) 55 = 20 + (х —11); 2) Зх — {2х — 5)==15;
3) 20 = 26 — (х - 4); 4) 55 = 70 - (х - 5).
340. 1) (4х —4) —(3* —3)=1;
2) (х-1) + (х-2)-(*-3) = -4;
3)(^.+ |)_(_2,-1)-(4,-1) = }.,
4) (^ж-4) + (}ж + 0,б)-(й*-0.з)=-5.8.
341. 1) (0,4л: — 2) — (1,5x4-1) —(— 4* —0,8) = 3,6;
2) (l -J-2-I*)"+(- 1,6*-1)-
_(_ 2,5-0,3*) = 5,4;
58

3) |2^-1|)-(з1-1х) + (-х-1)^8|;
4) (0J5x-4) + (2»3x-0i25)-(2-i-x)==3l12.
Следующие уравнения ранить относительно буквы х:
342. 1) (5л: — За) — (2х + 5а) = 4а;
2) (х + 5Ь) — (36 - 2х)= 176;
3) 4х — (Зт — х) + (8х — 5m) = 5m;
4) (* + а)-Нх + 2а) — (х — За) = 8а.
343. 1) x* — (x + t) — (x* — 2x — 30 = 0;
2) (б* — 4т) — (2х2 + х) + (2** — m) = 0.
344. 1) (5х34-2х — £) — (3k — 2x + 5x*) = 0;
2) (х — а — 6)4-(2х + 3а + 6) =
= (2а — 6) — (2а — 56).
Следующие задачи решить при помощи составления
уравнений:
345. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
Первый угол на 30° больше второго, а третий угол на
20° меньше первого. Найти углы треугольника.
346. В равнобедренном треугольнике боковая сторона
на 8 см больше основания. Периметр треугольника
равен 31 см. Найти длину основания.
347. Периметр равнобедренного треугольника равен
48 см\ основание на Зсм больше боковой стороны. Найти
стороны треугольника.
348. Участок земли, имеющий форму прямоугольника,
длина которого в 3 раза больше его ширины, огорожен
изгородью. Найти площадь этого участка, зная, что
длина изгороди равна 128 м.
349. Периметр треугольника равен 35 см. Одна из
сторон в 4 раза больше второй стороны и на 1 см больше
третьей стороны треугольника. Найти стороны
треугольника.
350. В треугольнике ABC угол В в 3 раза меньше угла А
и на 20° больше угла С. Вычислить углы треугольника.
351. Новое здание Московского университета в 3 раза
выше самого высокого здания в Кремле — колокольни
Ивана Великого. Найти высоту каждого из этих зданий,
зная, что колокольня Ивана Великого на 160 м ниже
здания университета.
59

352. На школьном учебно-опытном участке юннаты
вырастили саженцы фруктовых деревьев. 25% этих
саженцев школа передала колхозу, у саженцев получил
детский дом, а оставшиеся 2§0 саженцев школа
использовала для школьного сада. Сколько саженцев было
выращено на школьном участке?
353. Сумма двух чисел равна 74, а разность их
равна 24. Найти эти числа.
354. 1) Сумма двух чисел равна 60, а их частное
равно 3. Найти эти числа.
2) Разность двух чисел равна 72, а их частное
равно 4. Найти эти числа.
355. 1) Сумма двух чисел равна 45, а отношение их
равно отношению 7:8. Найти эти числа.
2) Разность двух чисел равна 24, а отношение их
равно 7:5. Найти эти числа.
356. Колхоз засеял яровой пшеницей 900 га, причём
целинных земель под этой культурой было засеяно в два
раза больше, чем залежных, и в три раза меньше, чём
старых земель. Сколько гектаров новых земель (целинных
и залежных) было засеяно в колхозе яровой пшеницей?
357. Три пионерских отряда посадили на школьном
учебно-опытном участке 65 деревьев. Второй отряд
посадил на 10 деревьев больше, чем третий отряд, и вдвое
больше, чем первый отряд. Сколько деревьев посадил
каждый отряд отдельно?
358. Грузовой двухосный автомобиль весит вдвое
больше, чем легковой автомобиль, и на 6,40 т меньше,
чем гусеничный трактор. Найти вес каждой машины,
зная, что их общий^ вес равен 13,15 т.
359. На заводе в трёх цехах работают 1200 человек.
В первом цехе вдвое больше рабочих, чем во втором,
а в третьем на 400 рабочих больше, чем в первом цехе.
Сколько рабочих в каждом цехе?
360. Скорость движения парохода по течению реки
18 км в час, а против течения 14 км в час. Найти
скорость течения реки и скорость парохода в стоячей воде.
Задачи и упражнения для повторения.
361. Раскрыть скобки и упростить:
2,&fy - [- 19№у + (- 5,4xjf + 3,2*V) -
— 2Jxtp — х*у] — х*у.
60

362. Многочлен a-\-b — c — d представить в виде
разнести, в которой а-\-Ь является уменьшаемым.
363. Дан многочлен: х-\-у — г. Найти его значение
при лг=3а'-64 + 5с4; у = а*-2Ь* + с*;
z==8aJ-f 46* —с9.
364. Доказать, что сумма любых семи
последовательных натуральных чисел делится на 7 без остатка.
365. Решить уравнение:
(-2,6*/+l,2) + r-3,4j/-(8</ + 6)-2,3] = -4,3.
§ 18. Умножение одночленов. Возведение одночленов
во вторую и третью степени.
366. Проверить справедливость равенств:
1) abc=acb = bca = cab = bac = cba
при а=2, Ь = — 3, с = — 1; а = — 0,2, Ь = — 4, с = 5;
2) abc=(ab)c = a(bc)
при а = 3, Ь = — 4, с = — 1; а = 0,5, 6 = 2, с= — 6.
367. (Устно.) Вычислить наиболее простым способом:
1) 4-67-(—25); 2) (—8)-19-125;
3)4-2-(-28). 125; 4) (-^) • (- 80)-19;
5) (- 0,25) • (- 0,46) • (- 4); 6) (- 1,25) • (- 1,34) • 8.
Выполнить действия:
368. (Устно.) 1) а-(+2); 2) (—Ь)-5; 3) (— с)-J;
4) *-(-0,5); 5) (-/и). (-2,4); 6) (-2)■ п;
7) (+4).(-?); 8) (-9).(-А); 9) (_li-).(-&).
369. (Устно.) 1) (+ а) ■ (+ Ь); 2) (- с) • (- d);
3) (+m)-(-n); 4) (-*).(+*/);
5) (~р)-(-<7); .6) (-«)•(+/)•
370. (Устно.) 1) (-а).(—&)•(+ с);
2) (+*)•(-У)-(-г);
3) (+Р) •(-?)• (+ г); 4) (- 6) • (+ с) • (- d);
5) (_m).(_„).(_p); б) (_^.(+/n).(_J_„).
61

371. 1) (+ Щ ■ (— Зс); , 2) (- 4а) • (- 5лг);
. 3) <-f в*п) • (-у я); 4) (—6р) • (- 4*);
5) (+4«)'(+46)' 6> (-0,3*)-(-5*/);
7) (+&)•(-О,Id); 8)(- 1,5г) • (- 0,25);
9) (+ 2,5ft)• К 0,40; Ю) (-За) • (+26).(-с);
11) (+4*)-.(-5у).(+2г);
12) (_2p).(-4<7).(-m)-(+3n).
372. 1) (+а»)-(+а); 2) (-^-(-я3);
3) (-m).(+m8); 4) (+р').(_р*);
5) (+ *т) • (+ *"): 6) (+ */°) • (- (/»); 7) а™ ■ в»;
8) ^«-с»-1; 9) я*™.**"; 10) а^-а*".
373. 1) 2ж».3*»; 2) 4а8-2а; 3) Ът-Ът*;
4) (_ бр*) • (- 2р*); 5) (+ 6с9) • (- Зс);
6) i-M).{-2d*); 7) (_*•). (-.3/);
8) (_56*).(+46*); 9) (-6а4).(-1*2);
10) (- За")'- (—4а"+3): 10 (+ 4*2n+1)• (- 4 *"-1)•
374. 1) (+ Зой) • (- 2а96); 2) (- &у). (ЗД;
3) (+4.^)-(-4^); 4) (-«•««)•(+4«,п).
5) (- О.бхУ) • (+ 0,5гУ); Ъ) {+ 2,4ft%*)- (-0,5ft3).
375. 1) (—8a3fc2c)-(—2a&V);
2) (-ll*y2).(_l4^23);
3)(+lla^c3d).(-4^4
4) (—2,5т3п2р)-(—3,4mVpaa).
376. 1) (+ За") • (- 4a); 2) (- 5xm+1) • (— 2**);
3) (+4m*rt)-(— бт*"1^1).
377*. 1) (— 0,4ал6т)- (— 0,8ал+,й*т);
2)(-4x*-y)-(+4V+1);
3) (— ва^+У) • (— 4 а3~т*"-у).

378.1) (a4)»; 2) (-3*)*; 3> &a*f;
4) (-3*/4)»; 5) (-4c)3; 6) (i-a4)'.
379. 1) (-l|?»)S; 2) (2-i-aft4)';
3) (— 1-,2с*^)«; 4)' (4дс")*; 5). (За"Ьт)3.
380. 1) (— 2а4)2 • ( — За); 2) (— 7т)4 • (2т)3;
3) фх°)*-(2ху)\ 4) ( — 2а*)*-(За4)3.
381. 1) (3*У")4-( — 2*»(Л3;
2) [-(-а)Т; З)-(-З^)4.
§ 19. Умножение многочлена на одночлен.
382. 1) (Устно). Выполнить действия двумя способами
(23+12)-5.
2) Найти площадь S прямоугольника ABCD,
изображенного на чертеже 22. Результат записать двумя
способами.
В
а
i
•'
— а £
Е <
-1 Л —
г%
!
*
D
Черт. 22.
383. Проверить справедливость равенства (а-\-Ь)с =
= ас-\-Ьс при следующих значениях a, b и с:
№
а
£
с
1
15
— 12
5
2
-0,5
0,3
10
3
'1
-4
-4
4-
—8-
1
4
— 6
5
• 1,5 |
■ 2*
5
63

384. Пояснить правило умножения многозначного
числа на однозначное на следующих примерах-
1) 134 • 2 = (100 + 30 Н- 4) • 2 = 100 • 2 + 30 • 2 + 4 • 2 =
= 200 + 60 + 8 = 268;
2) 2134-5; 3) 5789-7.
Выполнить умножение:
385. (Устно.)
1) (а + 3)-4; 2) (с + 8)-3; 3) (6 + d)-2;
4) (10 + m)-4; 5)(x-l)-4; 6)(2*/-5)-7;
7) (Зр + 2а) -6; 8) (— 2т + Зп) • 10.
386. 1) (а-\-Ь)-т; 2) (а — Ь)-п;
3) (Зс — 2d)-x\ 4) ( — 5x + 4#)-2z.
387. 1) 5а (6а+ 36); 2) 36 ( — 2а — 46);
3) — 6* (5*/ — 2х)\ 4) 8k(k + l).
388. 1) (2а — 56 + 6ф( — 3); 2) (За* —4а-^8)-2;
3) (4х* + 7х*-Х).(-5); 4) (т-п+р).(-1).
389. 1) (2дг2 — 5д: + 3)-( — 4х); 2) (л:5 — * + 1).( —2х);
3) ( — 4а9 —6а —8) • (— \а
4) ( — 3/na + 9m— 12).(— y/n)i
390. 1) (2л:2^-5;и/ + #9)-2х7/;
2) (— 6а* — 7а6 — 6») • (— Заб);
3) (5т9 +1 Отп — 4nJ) • (— у тп
.«,(■
l|pJ-TW + ^)-(-2pa).
391. 1) (2л;3 — Зх' + Здс— 1)-4*У;
2) (8а8 — 4а*62 — Заб4 + 563) • (— 2аг6);
3) (— 2а3л: + 5aV — 5ал:3 + Зл4) • (— Зал:2);
4) (4ху*г — 7х*уг* + 3x*yz) ■ (— Ьхуг).
392. 1) (1— 0,3а + 0,15а2)-4а;
2) (2,25х* - 1 ,Ъху + 2,5г/*) • (- 2,4;ц0;
3) 1-g-aft. (4й'6-1 Ta6'J--S"63)-
64

393*. 1) (am-\-2a*)-an; 2) (3x,+1 — 2xn) ■ 5x;
3)8p^.(l^-4p);
4) — 6mxnx• (— -i- m*-* — у n«-*\.
Выполнить действия и упростить:
394. 1) а(а + 6) — 6(а — 6); 2) 3(x + y) + 5(* — г/);
3) 2 (а — 36)+ 3 (а—26); 4) 7 (2т—Зл)+3(/п+л).
395. 1) 6 (Зр + 4?) - 8 (5р - (?) + (р - а);
2) 2(* + у) + 4(*-у)-(* + у)-(х-70).
396. 1) — 3(а — 6) — 2 (а + 6) — (За — 26) + 5 (а —26);
2) 4(х —y + zj — 2(х + # — г).— 3( — х — у —г).
397. 1) 2d* — а (2а — 56) — 6 (2а — 6);
2) 6mJ — 5/n( — т + 2/г) + 4/п(— 3m — 2 y/iV
398. 1) 5(2,4 — 0,9х + 0,16л:2) — 4(— 1 + 1,5лг-4-0,2а-2);
2) (|а_|6).ба_(1а+|6).,26.
399. 1) 10х(5х^ — 7у) — 6х(5у-{-'7х^ — Зху;
2) 4а (56 — 2а) — 4 (7а* — Заб) — 2а (За — 36).
400. 1) \,4х(0,5х-тг0,Зу)—5(0,4у*—4хуЦ:0,2у(8у—5хУ,
2) (1,5а2 — 2,15) • 0,6а — (3,2а — 1,8) • 0,5а'3 —
— 1,8 (2,6а2 — 1,8а + 3,2);
3) 4х — 2(х — 3\ — 3[х — 3(4 — 2*)+ 8];
4) Зл: — 2 {1 — 3(2* — 3 — а)—5[а-(3х—2а)— 4]}.
Решить уравнения:
401. 1) 8(* + 3) = 48; 2) 5(х — 1) = 30;
3) (г + 2)-4 = 60; 4) (2х— 1)-9 = 36.
402. 1) 3(у — 5) + 8=17; 2) 5(л; — 2) — 9 = 11;
3) 6(х — 3) + 2(х + 2)=10;
4) 5(х — 1) — 4(х — 3) = — 20.
403. 1) 3(2* — 1) — 5(х — 3) + 6(3х — 4) = 83;
2) 4(х + 2) — 7 (2л: — 1) + 9(Зд: — 4) = 30.
П. А. Ларичев — 1407 С5

404. 1) 8(7-4#)-7(4i/+l) + 5(8<,-l) = 19;
2) 3(2х+1) —5(12х —7) + 7(6х—1) = 23.
405. 1) 0,2x4-0,5* +5(5* — 1)— 2,7л: = 6,5;
2) 0,3(0,4х —l,2) + 0,36x = 3,4.
406. 1) 0,6(х —0,6) + 0,8(х — 0,4) =-1;
2) 1,3 (х — 0,7) — 0,12 (х+ 10) — 5х = — 9,75.
Решить задачи при помощи составления уравнений:
4Q7. Учащиеся одной школы собрали 13 руб. и
купили 55 билетов в театр и кино. Сколько было куплено
билетов отдельно в театр и кино, если билет в театр
стоил 35 коп., а билет в кино стоил 10 коп.?
408. На 1 руб. 65 коп. куплено 70 карандашей двух
сортов. Карандаш 1-го сорта стоит 3 коп., а каранДаш
2-го сорта 2 коп. Сколько карандашей каждого сорта
было куплено?
409. В зрительном зале 20 больших и малых
электрических люстр. Горение одной большой люстры обходится
в течение вечера в 13 коп., а горение одной малой
з
люстры в 9-£- коп. Сколько было отдельно больших и
малых люстр, если освещение зала в течение вечера
стоит 2 руб. 21 коп.?
410. Длина прямоугольника вдвое больше его
ширины. Когда ширину прямоугольника увеличили на 3 м,
то площадь его увеличилась на 24 кв. м. Определить
первоначальную длину и ширину прямоугольника.
Задачи и упражнения для повторения.
411. Доказать следующее тождество:
3(fl_6)_2(a + 6)r-(4fl — 56)+ 4 (a — 2b) = a — 8ft.
412. Решить уравнение, вычислив значение
неизвестного с точностью до 0,1:
0,3(2* —5) —0,5(1—Зх) + (0,8х —0,7) = 7,1.
413. Решить задачу при помощи составления
уравнения:
В начале года в колхозе было 800 коров и свиней
вместе. К концу года число коров увеличилось в 1 у раза,
66

а число свиней увеличилось вдвое, а потому общее
поголовье скота достигло 1350 голов. Найти, сколько коров
и свиней отдельно было в колхозе в начале года и
сколько стало в конце года.
§ 20. Умножение многочлена" на многочлен,
414. 1) Проверить справедливость равенства
(а г\-Ь)(т-\~п) = ат-\- Ьт -{-ап-\- Ьп
при следующих значениях a, by m и п:
№
а
Ь
т
п
1
5
2
3
6
2
10
— 6-
20
— 4
3
100
24
8
— 5
4
200
— 8
3
7
5
3
4
1
2
4
2
6
1
3
1
4
8
6
.7*
0,5
0,3
5
8
2) Пояснить правило умножения многозначного
числа на многозначное ,на примере: 234-26.
В
QA
А
U— о *■
-—-Ь -
5
♦
с
*
D
■\в
о
1
о
♦
д
-—/>-,
*mv
С
~~
■* Р—И
»
Черт. 23,
Черт. 24с
415. 1) Пояснить, пользуясь чертежом 23, что
площадь S прямоугольника ABCD может быть выражена
двояко:
S = (a-\-b)(m-{-n) или S = am-f-6m-{-ал-f-6л, s
67

откуда следует, что
(а + Ь) (т + п) = am -f- bm -{- an -f- bn.
2), Прямоугольник ABCD (черт. 24) разбит прямыми,
параллельными его сторонам, на 6 малых
прямоугольников. Записать, чему равна:
а) площадь каждого малого прямоугольника;
б) сумма площадей всех шести прямоугольников;
в) площадь прямоугольника ABCD.
Сравнить между собой записи двух последних ответов
Выполнить умножение:
416. 1) (а + 6)(с — d); 2) (а — Ь)(с — d);
3) (p + q)(P + &, 4) (а + 6)(а + 2);
5) (* + 2) (ж + 3); 6) (a+l)(a-2).
417. Указать порядок действий и выполнить их:
1) (6а + 3)-(2а — 5); 2) 6а + 3• 2а — 5;
3) (6а + 3)-2а —5; 4) 6а + 3-(2а —5).
418. 1) (2х+1)(л: + 4); 2) (2а + 3) (5а — 4);
3) (3« - 2) (2т - 1); 4) (5р - За) (4р - а);
5) (2а+ 36) (2а — 56); 6) (За+ 26) (а —6).
419. 1) (56 — 4с) (36 — 2с); 2) (6 —Зс)(86 + 5с);
3) (6а2+ 56*) (2а2 — 46*);
4) (_7*2-8*/2)(-*2 + 3*/2).
420. 1) (4г2 — 1) (г2 + 5); 2) (8а2 — Заб) (За2 — аб);
3) (5а62 + 403) (Заб3 — 4а2);.
4) (7*У —асу) (- 2*У +'5;п/3).
421. 1) (лг2 + 2*г/ — 5у») (2ж* — Зг/);
2) (а2 — 5а6 + 362) (а2 — 2а6).
422. 1) (а2 + аб + б2) (а—6); 2) (а2—а6 + 6-)(а + 6).
423. 1) (а2 + 3а6 —62)(2а —6);
2) (д;2 + 3д: + 2)(х — 5);
3) (а3 — а2 + а — 1)(а + 1).
424. 1) (*3 + *V+ **/* +г/3) (*-*,);
2) (а3 — а26 + аб2 — б3) (а + 6).
68

425. 1) (cs -J 1а*Ь - 5й6« - 36я) (5а — 46);
2) (х3 -f Wy - Zxtf + if) (2x-f3y).
426. 1) (a4 + 5a3 + 4a« — 3a + l)(a* + 2a + l);
2) (2x4 — З^ + г*2 — 5x+l)(x' — 2л; — 1).
427-»)(т*+т*+т*)(т*-тУ-т*)-. *
2>(тв-Т* + Тс)(т*-Тл-Тс)'
428. 1) (l-j-0,6m-f0,12n4)(m—0,5/ia);
2) (1_0,3р + 0,02р3)(1—0,4р);
3) (1,44р« + 0,6р<? + 0,25я9) (1,2р - 0,5а),
429. 1) (2a4 — 5a36 — 3a»6' + aft3 — 464) (a5 + 2a6 + 6*);
2) (Эх4 — 6xty + 4*y — 9xt/3 — t/4) (x9 — 2x«/ + г/'2).
430. Доказать, что
(x -f а) (х + Ь) = х> + (а + 6) х + а&-
431. Умножить:
1) (х + 3)(х + 5); 2) (m-2)(m-3);
3)(л + 9)(л-2); 4) (х-12)(х+1).
Упростить выражения и вычислить результат:
432. 1) (а — 4)(а — 2) — (а — 1)(а — 3) при а=1 -|-;
2) (т — 5)(т — 1) — (т + 2)(т— 3) при т = — 2-J;
3) (х —2)(х — 3)-|-(х + 6)(х — 5) — 2(л:2 — 7х+13)
при х=5,6.
433. 1) (*4-1)(х + 2) + (х + 3)<х + 4) при х = —0,4;
2) (а — 1) (а — 2) + (о — 3) (а — 4) при а = 0,2.
434. 1) (а _ 2) (а+ 3) +(а+ 2) (а — 3) при а = 0,6;
, «2) (х—1)(х + 2) + (*+1)(* —2) при х = 2-^-.
Выполнить умножение, предварительно расположив
многочлены по степеням одной из букв, приняв её за '
главную:
435. 1) (469 + 2а4 — 4а6)(За6+2а*— 363);.
2) (5ху - Зх3 + 2у*) (- 4yJ + ху +J6x9).
69

43C 1) (7^гЗаГ-Зо)( —2а-|--5 —а*)!
2) (5ab* — 3as + 2а*Ь) { — аЬ + 2аг- W).
4^7. 1) (3m1-Ил* — 2mn){ — mn — rt»-f 5ma);
' 2) (2aJ — 56* — 3a6)(a69 + 3a3 — 2a4&).
438. 1) (5m8 —3m3 + 4/ft —1)(3 —2m* —6/n);
2) ('— 2 + 4*3 — 5x — 3*'2) ( — 1 + 6*4- *).
Выполнить действия, если x = a-\-b; y = a — b:
'439. 1) 5* -\-3y, 2) 4x — 2y; 3) 2x—xy.
440. 1) 5y-\-3xy; 2) — 3* —2**/; 3) 2x—x(y — l).
441. 1) 3y(2-x)-5x(l-y);
2) 2x(x-y)—3y(x + y).
Выполнить действия:
442. 1) (* — a)(x — b)(x — c)\
2) (*3 + *-f 1)(*2 — *+l)(** — 1).
443. 1) ( — a + b + c)(a — b + c)(a + b—c);
2) (a3 + a26 + a6' + 63)(a — 6).
444. 1) (a4 + a36 -f as6* + a&3 + ft4) (a — &);
2) (a4 — a?b + aW — «63 + 64) (a + 6).
Решить уравнения:
445. 1) (3* — l)(2* + 7) — (*+l)(6* — 5) = 16;'-
2) 3*3 —(3* + 2)(*—i) = 8.
446. 1) (3* —2) (2* +3) —(6** —85) = 99;
2) (3y+l)(4f/-5)-(6#-ll)(2y-7) = 24;
3) <*+l)(*-j-2)-(*-3)(* + 4) = 6.
447. 1) (2* —3)(3*—1) —(6* + 2)(* —5) = 25;
2) 3(*+1)(* + 2) —(3* —4)(* + 2) = 36;
3) 2(3*—1)(2* + 5) —6(2* —1)(* + 2) = 48.
448. 1) 3( — 4*Н-1)(* — 1)-[ 2(6* — 4)(* + 3)=50;
2) 5(2* + 3)(* + 2) —2(5* —4)(*—1) = 32.

449*. Умножить двузначное число 10а+ 6 на
двузначное число 10c + d и сформулировать правило
упрощённого умножения двузначных чисел.
Пример. -56-47 = (5-10 + 6)-(4-10-f-7) =
р=5-4-100 + 6-4-10+ 7-5-10 + 6-7 = 2632. Короче:
1) 6-7 = 42; 2 пишем, 4 десятка замечаем;
2) 6-4 + 7-5 + 4 = 63; 3 десяткаv пишем, 6 сотен
замечаем;
3) 5-4 + 6 = 26; 26 сотен пишем.
Умножить упрощённым способом:
1) 24-38; 2) 86-92;
3) 47-62; 4) 74-56.
Решить уравнения: -
450. 1) 7(2х — 5) — [5(7х — 2) — 2 (5х — 7)] = — 72;
2) (2х —25) — Зх + [8х + 5(6 —х)] = 7.
451. 1) 3(2* —5) —2-[(Зх+4) —(4х —5)J +
+ [2(х— 1) — 3(2* — 3)] = 2;
2) 10*— {6* — 2[3х — 4 (1 — *)] — (9*+ 8)} = 27.
452. 1) 2* + 2{— [— * — 3(х — 3)1} = 2; ,
2) ix~-l-T(l-x)=lh
Решить задачи при помощи составления уравнений:
453. Дан квадрат. Если одну его сторону уменьшить
на 1,2 ж, а другую на 1,5 ж, то площадь полученного
прямоугольника будет на 14,4 кв. ж меньше площади
данного квадрата. Определить сторону квадрата.
454. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 еж,
а ширину его увеличить на 7 см, то получится квадрат,
площадь которого будет на 100 кв. см больше площади
прямоугольника. Определить сторону квадрата.
455. Произведение двух последовательных целых
чисел на 38 меньше произведения следующих двух
последовательных целых чисел. Определить эти числа.
456. Длина прямоугольника вдвое больше его
ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 5 ж,
а длину на-4 м, то площадь его увеличится на 111 /се. ж.
Найти длину и ширину прямоугольника.
X
71

457. Длина прямоугольника в 3 раза больше его
ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 4 ж,
а длину его уменьшить на 5 м, то площадь
прямоугольника, увеличится на 15 кв. м. Найти размеры
прямоугольника.
Задачи и упражнения для повторения.
458. Доказать тождество:
2 (За — 4Ь) — 5[(2а + Ь) — (а — 26)} — [3(а —6) —'
— 6 (2а —6)]= 10а— 266.
459. Решить уравнение:
(3* — {) (2х — 3) — (6xv— 5) (х — 2) + 4 = 0.
460. Решить задачу при помощи составления:
уравнения:
Школе для разбивки сада предлагается
прямоугольный участок земли определённо^ площади. Длина
изгороди, которой будет обнесён сад, окажется несколько
меньшей, если прямоугольный участок заменить
квадратным с такой же площадью, для чего придётся длину
участка уменьшить на 24 ж, а ширину его увеличить на
20 м. Найти длину стороны квадратного участка и
вычислить, на сколько, окажется длина изгороди
квадратного участка, меньше, чем длина изгороди
прямоугольного участка.
Выполнить действия:
461. 1) (2x-f3)(5x — 1) — (Ах — 6)(1— 3*);
2) (а2 + 2а— 1)(а3 — За9 + в — 1).
462. 1) (2л:4 — Зх2 + х — 2)(3х2 — х+1);
2) (<•« — 2с + 2) (с* + 2с — 2) (с* - 1).
463. Школьная спортплощадка прямоугольной формы
имеет длину 41,5 м, ширину 27,5 м. Окаймляющая
спортплощадку дорожка имеет внешний периметр 154 м.
Найти ширину дорожки, если она одинакова для всей
спортплощадки.
72

§ 21. Возведение одночленов в натуральную степень.
Умножение по формулам.
Возвысить одночлены в степень (№. 464, 465 устно):
464.
465.
466.
467.
468.
469.
470.
471.
472.
473.
474.
1) (та)4; 2) (—2*3)9; 3) (—4а2)3.
1) (-3*/4)'; 2) (i-69)9; 3) (-0,Зх3А
1) (а&'с3)*; 2) 5(х*уУ; 3) (— 2а*6с)3.
1) -3(а63с8)9; 2) 3(—а63с4)3; 3) (— 2у*у)
l)_(_ljaW)'; 2)-(-|*у)3.
1) _f_i^.a8ft6c3\3. 2) (—2,5mV)2.
1) 5(— а*ЬЧУ; 2) — 3(2а3й3)2.
1) 2(—Зх'У)3; 2) — у(—5aW)3.
1) (а*)3; 2^ (х™)»; 3) (с*у.
1) (а"-1)3; 2) (—at")3; 3) (— xnf.
Равны ли числа:
1) — х» и (—л:)3; 2) — х3 и (— х)3;
3) —(2а)4 и (—2а)4; 4) —(2а)8 и (—2а)3?
475. При помощи данного чертежа пояснить
геометрический смысл формулы (a-j-6) («— 6) = а9 — б3, если
a vl b выражают длины отрезков и а^>Ь (черт. 25).
Выполнить действия -(№ 476—485 устно):
476.
1) (т-\-п)(т — п);
2) (р-<7)(р + а).
1) (c + a)(d-c);
2) (a-c)(c + a).
1) (a + 3)(a-3);
2) (d + 5)(d —5).
1) (*+l)(x-l);
2) (l + a)(l-a).
480. 1) (2a+ 6) (2a —б)*
2) (a+ 36) (a — 36).
477.
478.
479.
{
•CJ
СЭ
t
1
-—r- a -
b1
U
a-b
(ерт.
- £7—*.
25.
♦
•о
СЭ
t
73

481. 1) (5* — y)$x-\-y); 2) (2m-3n)(3n + '2m).
482. 1) (2/1 + 3) (2a — 3); 2) (3p —1) (3p+1).
483. 1) (5x + 3y) (5x - 3y); 2) (2d-T) (2d + y).
484. D^x-lyj^x+ly).
485. 1) (a9 + 69) (a* — 6s); 2) (c3 + d3) (c3 — d3)..
486. Выполнить вычисления, используя формулу
(а + Ь)(а — 6)=аа — Ь\
Например:
21 • 19 = (20 + 1) (20— 1) = 202— 1 =400 — 1 =399.
1) 31-29; 2) 61-59; 3) 72--68;
4)199-201; 5)2,1-1,9; 6)4,01-3,99;
7) 15,2-14,8; 8) 19,9-20,1; . 9) 35* — 25*;
Ю) 55а-45*;- 11) (4)*-(l |)';
12) 0,8* — 0,3*.
Выполнить действия:
487. 1) (2*0 —1)(2x0+.Г); 2) (1 + 3а6)(1 — За*).
488. 1) (5а1 —36) (5а9+ 36); 2) (4т9 + 6«) (4т4 — 6л).
489. 1) (ап + 6я)(а'' — Ьп); 2) (х*~у)(х* + у).
490. 1) (2^-4i/)(2Tx+4«/);
49L 1) (0,2/ — 0,5и)(0,2/ + 0,5и);
- 2) (0,1т3 —0,3л) (0,1т3+ 0,3о).
492. 1) (i;2cd + 2,3x)(l,2cd — 2,3x);V
2) (о,Зт+^-л)Ц-я — 0,3m).
493. .Доказать тождества:
1) (l+a)(l_a)(l+a9) = l-a«;
2) 5a* — 3(a+l)(a — l) = 2a9 + 3;
3) 7 (о9 — 2) — 4(л + 3)(л — 3) = Зл» + 22.
74

Решить уравнения:
494. 1) х(*+2) — (х + 3)(* — 3)= 13;
2) 4*(*—1) — (2х + 5)(2х-5) = 1.
495. 1) 3* —5(*+1)(х—1) + 5(х+.2)(х —2) = 6;
2) 3 (2*+ 1) (2х — 1) — 4 (Зх — 2) (Зх + 2) +
+ 6х(4х+1) = 31.
496. При помощи данных чертежей пояснить
геометрический смысл формул: 1) (а + &)* = а2 + 2а& + 6*
(черт.-26); 2) (а — Ь)* = а* — 2аЬ + Ь* (черт. 27), если а
и Ь выражают длины отрезков и а^>Ь.
Черт. 26. Черт. 27.
Выполнить действия с помощью формул
сокращённого умножения (№ 497—503 устно):
497.
498.
499.
500.
501.
502.
503.
504.
505.
506.
1) (rn + nf;
1) (2 +а)8;
1) (* + 3)«;
1) (х- I)9;
1) (Ьх-2у)*\
1) (с*-1)9;
1) (г3 — ы3)9;
«) (-•№
» (I-*)'!
1) (з-|а—1
2) (/>-*)';
2) (3-6)9;
2) (а-4)9;
2) (За —б)'3;
2) (6а — 46)*;
2) (а9+1)9;
2) (т*-\-п*)*-,
2) (»+±)'<
2» (1 + 1)':
3) (с —d)3.
3) (* + б)«.
3) (*+1)9.
3) (& + /)"•
3) (а9 —б)9.
3) (*3 + </9)9.
3) (2m3 + 3n)9.
3) (-!)'■
3) (2ym + l-g-n)*'
|/)2; 2) (0,56-0,4с)9.
75

507. 1) (0,2**— 5у)*; 2) (0,3а9 + 46)*;
3) 1,3/п3 + 2,5т4)9; 4) (2,4р3 — 1,5<79)9.
5tf8. 1) (|а9-0,563)4; ч 2)(l4c9 + 0,6d4)9;
3) (ат —а)2; 4) (х' + л:)9; 5) (ап+1+ап)\
509. 1) (4а96 + 5а369)9; 2) (7х*у*-\-Зх*у)2;
3> (4а86-та364)2» 4)(ii*y+4*y)\
510. 1) (A mW—|«/»)'; 2) (j *у_2-1л,)9;
3) (*-aW-l\a*b'J; 4) (l |рУ+1 |рУ)\
511. 1) (1,2**0 — 0,5*У)4; 2) (l^aW-\-0AaWj;
3)i-2)5m-2n3 —0,2m3n-3)3; 4) (—1,ЗрУ+ 0,5рУ9.
512*. 1) {am + bnf\ 2) (2x™ —3y")*;
3) ап+1 + ^й9 ; 4) (бл-з-гу"-1)2.
1 ,.,\»
2
513. 1) ^а'-'б'.+ а*")'; 2) (-|л-т'"2 —|-*Jm-
3) (|-а9я+169 + |-а',-16зу
4) (|.^-y_|.^y
,6 л » 5
514. Доказать справедливость следующих равенств:
1) (а — Ь)г = (Ь — а)9; 2) (— а — б)9 = (а + Ь)\
515. Какое выражение надо прибавить к (а — б)9,
чтобы получить (а-\-ЬУ?
516. Следующие трехчлены представить в виде
квадрата двучлена:
1)х9 + 2*+1;- 2) 4а9 + 4а& + 62; ,
3) /л9 —6/шг + 9п9; 4) 25x9 + 20хг/+ 4*Д
517. Дополнить следующие выражения до полного
квадрата двучлена:
1) т9 — 2тп + ?; 2) 4а9 + 12а& +?;
3) 25x9 + ?-f 49&Y 4) 1— 2е + ?; 5) 1+? + 25&9.
76

518. Выделить квадрат двучлена в следующих
трёхчленах:
1) а4 + 6а +13;
3) х9 + 8х + 21;
2) *9 — Юх + 27;
4) дг4 — 2х + 3.
519. Применить формулу (а ± б)9 = а2 ± 2а6 + б9 в
следующих вычислениях:
1) 31s; 2) 51'; 3) 399; 4) ЮЗ9; 5) 99';' 6) 45*;
7) 789; 8) 999*; 9) 1001е; 10) 98*; 11) 1059; 12) 5,1*.
Выполнить действия:
520. 1
521. 1
522. 1
2
3
523. 1
524. 1
525. 1
2
1
526.
527.
528.
529.
(х + У?-{*-У)\ 2) (* + 4)9 + 4(х+1)9;
3(2-г/)9+ 4 (г/-5)*;
5 (3 — 5а)9 — 5 (За — 7) (За + 7).
(m + l)9 + 3(m — l)9 — 5(m + l)(m — l);
(а-1)9-4(а+1)9-6(а+1)(а-1);
_(3 + х)9 + 5(1-*)9-3(1-*)(1+*).
— (2 —а)9 —8(1—а)9 + 5(1+а)(1—а);
4 (т + Зл)9 + 3 (4т — л)* — 2 (т + п) (т — п);
— (2c+5d)(2c—5d) — 6 (2d — 5с)9+ 3 (5с + 2d)9,
[(3* +*)'-(* +30)4-2ад
[(m9 + 2m)9 + (2m9 — m)9] • 5m9.
(2+a) (2 -a) (4 -a9);
(* + y)(x-y)(x9 + r/9).
(* + 3)(x-3)(*-3)(x + 3); '
(a + 2)9(a —2)9.
(a + & + c)(a + 6-c);
(* — i/ + z)(*.— г/ — г),
(а — 6 — с) (а + 6 — с);
(а + b + с) (а — b — с).
(a + 6 + c + d)(a + 6-c — d);
(а — 6 + с + d) (а — 6 — с — d).
(х + 2у + 3г)(х-2г/ + 3г);
(а + 26 + 4с) (а —26 —4с).
77

530*. 1) Доказать, что разность квадратов двух
последовательных целых чисел есть число нечётное.
2) .Доказать, что если к произведению двух
последовательных целых, чисел4 прибавить большее из них, то
получится квадрат большего числа.
Решить уравнения:
531. 1) х* — (х — 2)3=16; 2) 3{x—l)* — Sx(x — 5) = 2l.
532. 1) (Зх-г-5)(3х — 5) — (Зх— 1)*=10;
2) 2(2*+1)4 —8(х+1)(*—1) = 34.
Выполнить действия:
533. 1) (m + nf; 2) (c-d)3; 3) (p + q)K
534. 1) (р - qf; 2) (2 + а)3; 3) (3 - bf.
535. 1) (лг — 2)3; 2) (x — 3)3; 3) (a + 26)3.
536. I) (c — 3d)3; 2) (2a —36)3; 3) (4m+-^-n
537. 1} (|*-3<y)3; 2) (j a + lfe)'; 3) <a' + 6V-
538. 1) (x* — уУ; 2) (2m* — 3n4)3; 3) (2mn* — 0,3£)!
539. 1) (2a3 — Wf\ 2) (4л3 + 5#3)3;
3) (Ют* —6m3)3; 4) (7p3 + 9p4)3.
3) (0,5* + 0,\yf; 4) (0,2m —0,In)3.
540
3
3) (2a — Sabf; 4) (3a3 —2a)3.
541. 1) (0,2a + 0,56)?; 2) 10*3 + -^3
542. 1) (2a + ±abJ; 2) (0,3as + 0,5a)3;
3)(o,1jc* — у*3)3; 4) (1,5m3 + 0,3m4)3.
543. 1) (0,20* -0,3//3)3;
2) (Xя — l)3; 3) (am + 2)3;
4) (а'Ч-а"'-1)3; 5) (л:™ — *")3.
544. Доказать, что
1) a3 -j- 3a6 (a -f b) -f- 6s = (a + ft)3; ~
2) а3 — ЗаЬ(а — Ь) — Ы> = (а — Ь)\
78

Упростить выражения и вычислить результат:
545. m{m + nf — n(m — nf-f-2п(ms-j-n»)
при m = 2y, n = y.
546. 2т (tn-\-n){m — n)-\~n(m — nf — 2/nn (2m — 3/г) —
— ni(2n — m) — m8 при иг = 5,3> n = 0,3.
Выполнить действия:
547. 1) (a+1) (a* — a+1); 2) (x —2)(ж3 + 2л; + 4).
548. 1) (2a+ 3) (4a2-6a+ 9);
2) (l+m2)(l—m* + m4).
549. 1) (3a — 4)(9a*+12a+16);
2)("+t)("-,-t"+t)-
550. 1) (j*_ |у)(|д* + ^+j/);
2) (|a-2&)(|a' + a& + 4&*).
Упростить выражения и вычислить результат:
551. 1) 2г> + 9 — (х+1)(** — х+1) при х=\\
2) a(a+2)(a— 2) — (a — 3)(a3+3a+9) при а=\.
552. 1)' 3(т — l)* + (m + 2)(m9 — 2т + 4) — (т + 1)3
1
при т = — -g-;
2) (a-1)8 — 4a(a+l)(a — 1) +
+ 3(a — l)(a* + a+l) при a = —2.
Решить уравнения:
553. 1) (х + 2)(х2 — 2х+4) — х(х — 3)(х + 3) = 26;
2)6(дс+1)»+2(ж — l)(x3 + x+l) — 2(х+1)3=32.
554. 1) 5х(х — 3)* — 5(х — 1)3+15(х + 2)(л; — 2) = 5;
2) (х + 2)3-л:(Зл:+Г)* +
+ (2лг+1)(4ха — 2х+1) = 42.
555*. Формула (1 ± а) (1 ±: 6) «^ 1 ± (а + &) даёт
возможность вычислить приближённо произведение двух
чисел, у которых а и Ь малы в сравнении с единицей.
79

Пользуясь этой формулой, вычислить приближённое
произведение следующих чисел и найти абсолютную ошибку
произведения:
1) 1,004-1,002; 2)1,003-1,001; 3)1,003-1,002;
4) 1,004-1,005; 5) 0,997-0,998; 6) 1,003-0,998.
■•
556. Формула (1 ;±я)ая^ 1 ±2а даёт возможность
вычислить приближённо квадрат числа lit а, где а мало
в сравнении с единицей. Пользуясь этой формулой,
вычислить приближённо квадраты следующих чисел и
найти абсолютную ошибку полученного квадрата числа:
1) (1,002)*; 2) (1,003)2; 3) (0,999)*; 4) (0,-998)*.
557*. Формула (1 ± а)3 ?& 1 ± За даёт возможность
вычислить приближённо куб числа \±ау где а мало в
сравнении с единицей.
Пользуясь этой формулой, вычислить приближённо
кубы следующих чисел и найти абсолютную ошибку
полученного куба числа:
1) (1,02)3; 2) (1,01)3; 3) (1,002)3;
4) (0,99)3; 5) (0,98)3; 6) (0,999)3.
Задачи и упражнения для повторения.
Выполнить действия и упростить:
558. 1) (х*-\-2)2 — (х — 2)(Х'+2)(х* + 4)\
2) (а°- - З)3 - (а - 2) (а* + 4) (а + 2);
3) (2а —36)3 —(а + 26)3.
559. 1) (5а* + 36)3 —(2а3 —З&У;
2) (2а — З)3 — 4а (2а + 3) (2а — 3) + (3 — 2а)9.
560. Решить уравнения:
1) (* + 5)2 — (х— 1)* = 48.
, 2) 3(х + 2)* + (2*— 1)* — 7(х + 3)(х — 3) = 28.
Доказать тождества:
561. (4х+13)(х3+1) — (Ах — 3)(х + 2)* = 25.
562. 2(m — nf — 2(т + л)2 — 4(т + м)(т — п) =
= An* — 4т* — 8тп.
80

563. Решить задачу при помощи составления
уравнения:
С участка площадью в 52 -^ га колхоз собрал
картофеля на 14 тонн больше, чем с участка площадью в 56 га.
Определить урожайность с одного гектара на каждом
участке отдельно, зная, что с одного гектара на первом
участке собирали картофеля в среднем нач 2 тонны
больше, чем с одного гектара на втором.
564. Вычислить, применяя формулы умножения:
1) (10,02)2; 2) 6,67* — 2,33*; 3) 9,.982.
§ 22. Деление одночленов.
565. Проверить правильность равенств:
(ab) :c = (a:c)-b = a-(b: с)\
а : (be) = (а: b)< c = a:b:c
при следующих значениях букв а, Ьу с:
а
Ь
с
12
8
4
12
— 8
4
— 12
— 8
4
— 12
8
4
566. (Устно.) Выполнить деление следующих чисел
наиболее простым способом. Например:
1) 1400: 25 = (100-14): 25 = (100:25)-14 = 56;
"2)2600:25; 3)7000:125; 4)1200:75; 5)800:16;
6) 700:25; 7) 1500 :75; 8) 5000 :125.
Выполнить деление (№ 567—576 устно):
567. 1) 10а:5; 2) —8х:2; 3) 6р:( — 3);
4) ( — 12т): ( — 4).
568. 1) 26 :|; 2) 5с:(-!).
569. 1)(_бу):(—!);2)(-12г):-|-.
81

570. 1) 5a: a; 2) 8q:q; 3)4m:( —m); 4) (—6*) :(-*).
57T. 1) 10г:5г; 2) (— 6y):2y;
.3) (— 20/): (— 4*); 4) 9и: <— Зк).
572. 1) 8ab:4b; 2) l-5mn:(— 5n);
3) (- 6xy): (- 4x); 4) (- 1 Opq): 6q.
573. 1) %abc: (— 3c); " 2) (— 24xyz): (- 8y);
3) (— \2pqr): 6p; 4) 66cd': 36c.
574. 1) \5ab : (—5ab); 2) (—4xyz): (—4xz);
3) (— \2tnn): 4mn\ 4) 6xy: (— Зху).
575. 1) a": a3; 2) л?: x'3; 3) m7: m4;
4) c6:^; 5) m*:m\ 6) p8:p4.
576. 1) y>: (- y); 2) -z>: г»; 3) d10: (- d*);
4) n10:/i9; 5) 68:68; 6) a4^—a4). ^
577. 1) am:aa; 2)xm:xm; 3) —bm:bm; 4) ax~x:a.
578. 1) am":am; 2) cin+1: cn+';
3) x"+I: *"-»; 4) г/*™: #,+9.
579. 1) 8a26:2a6; 2) — 9a6s:3a6;
3) 1 6*У: 4x*y; 4) 20m4nB: 5mW.
580. 1) 4dib'!c: (— 5a6c); 2) — 6a36*c: (— 2а*Ьс).
581. 1). (-|а5#):(-{а^);'
2) f— A aB&3c) : 1 i a263c.
582. 1) OAxY^ii— 0;5xVz2);
2) (— 1,2a»63c4): (— О.За'бс4).
583. 1) 0,5am6nc3: (— \ cPbc); 2) 1,&хт+1уп-1:Зл",-1{Л3.
з -у
584*. 1) 0,124*" У1"1: (— О.бх'-у-3);.
2) 1,8a**&"*V" : О^а"*^'^.
В следующих' упражнениях записать частное двух
гебраических выражений в виде дроби:
585. 1) а: Ь; 2) а: 5; 3)8:с; 4) 2т :3л.
586. 1) — 7d;(—2с); 2)5аа6:4р<?; 3) \5х*у*: 4aW.

587. Найти числовые значения следующих выражений:
n2fl, m а%Ь -
1) зь> }
c3d ' ' Acd
при а = — 1, Ь = — 2, с = —3, d=4.
5я^# 4ч (Зсе/)2
§ 23. Деление многочленов.
588. Проверить справедливость равенства
(a-\-b): m = a:m-\-b: m
при следующих значениях а, 6, т:
о
Ь .
т
36
24
4
36
— 24
4
36
24
— 4
36
— 24
— 4
Выполнить деление наиболее простым способом,
применяя правило деления суммы чисел на данное число
(№ 589, 590 устно).
589. 1) 648:12; 2) 4896:24; 3) 984:24; 4) 525:25.
590. 1) 8у:2; 2) 12^:4;~3) 4,16:4; 4) 15,25:5.
Выполнить деление (№ 591, 592 устно):
591. 1) (6а+18&):3; 2) (10* — 2Ъу): 5.
592. 1) (36m + 48n):(—12); 2) (21£ — 14/): (— 7).
593. 1) (ЗаЬ + Аас): а; 2) (15лг^— 1 Охг): 5х.
594. 1) (8аа — 4а) :4а; 2) (16m3« + 24m3na) : 8man.
595. 1) {АсЧ— 12c4d3):(— 4сЧ);
2) (9^-15гУ):(-3^!).
596. 1) (10m3n5 + 20/nV):5mV;
2) (18pV — 27pV):9pV
'597. 1) (4а — 8ft + 6c):2; 2) (6х-|-9#— 12г): (— 3).
83

598. 1)
2)
599; 1)
2)
600. 1)
2)
601. 1)
2)
602. 1)
2)
603. 1)
2)
604. 1)
2)
605. 1)
2)
606. 1)
2)
Решить
607. 1)
2)
608. 1).
2)
609. 1)
2)
610. 1)
— W* + 5* — 20x):5xi
12m4 —8m3 —4m3) :4m4.
36--15ай3+18аа69):36;
— 4л;3 -f- 12*y — 16jcV) : (— 4л;3).
18а4*3 + 24а3*4 + 6аV): 6аV;
15а3*» — 10aV — 25аV): 5а3*3.
2х9-4х+1):-Ь
-а3 + 3а9-4а):(—у).
4m3 -f- 6т* — т): (— -j/nj;
— 2л4 — Зл34-п2):у"'3-
— 1 6at/3 + 4хУ - 12x*y): -i xy;
6aV — 9a3*4 + 15а4л:3): -| o¥.
2m3 — 5m* — 3m — 1):0,1;
р4 + 4рз_6р3_8р):(_0)2р).
0,01a4 — 0,02a3 -f 0,04a3 4- 0,002a): 0,01a;
0,05д:8—0,08a;1—0,09a;3 + 0,01a;9) : (— 0,01a;3).
(— 4msn3 — i- m№ 4--| m3n6) : -| m3n3;
4
a'V 4~ -g- a3*4 — уд аде8 J : -g- ax*.
уравнения:
10л:2:5л: = 8;
15#3:3*/3 = 10.
20a;3 :4a;2—14 4-a; = 4;
8л:—12a;4: 6^4-15 = 45.
(15a-3— 10a;):5a;=19;
(6a-3 — За-3) : Зж* — (4a-3 4- 8x) vA'x = 5.
2л: = 4а4-86; 2) Зл:4-2а = 8а —9&.
84

611. В следующих примерах записать частное двух
алгебраических выражений в виде дроби:
1) (а -\-Ь): с; 2) (2х — Зу):п;
3) (х + у):а; 4) (2т — Щ : Ъа\
612. Выразить частное двух алгебраических,
выражений в виде суммы целого и дробного выражений.
Например: (1 Оа3 + 3): 5а2 = 2а + ^.
1) (5лгг + 3): 5дг; 2) (За+1):а;
3) (6т5 — 4т) :3т; 4) (15*3— 10x2-f-3) :5л:3.
Выполнить действия:
613. 1) (10а—5): 5-6 (а—1); 2) (2л:—1)-2—(9л:—6): 3.
614. 1) (15л:—10) :5—(8х+12): 4;
" 2) (бл- + 3): 3 — (20лг - 30): 10.
615. 1) (а— 1)-a — {2al-f-4а) :2а;
2) х(х-3)-(6х* — 12х'1):6х.
616. 1) (а9 — 2а6) • 9а* — (9а&3 — 12а*64): За&;
2) (9а263 — 12а464): За-6 — (2 + За*й) -б».
617. 1) (тг — тп)\т — (пг — тп):п — (т — п\\
2) 8 (| л:—1)+(— 15л:3 + 5л:): (- 5х) + (— Злг+2);
618. 1)_4(1л--|) + (16л-ч-8л-) : (-4х) - (л: +2);
2) — 2(3^а — а2) + 5(1+а — 2а2) —
— (9а3 — 12а'2 — За): (— За).
619. 1) 4 (4? - 4/ + 1) (о,5/ +1) + (2*6-/5): (-1 /3);
2) [| (а-36) (а-!-36)-1 (2а-1,56) (За+6&)]: \Ь.
620*. 1) [б(а + 26'2) (а — 262)— -J (5а—462) (а+12,562)+
+ 4а(уа-1,2й1)]:(-0,3а);
2) [2 (х*-2у) (2л-2 + У)- -J (5** - 2,5у) (л:2 + Ы Л~
+ 8х*у]:(-±ху).
85

621. 1) (— 18,18ая64 + 36а*&3 — а*Ь*):(— 18aW);
2) 2,7xm+,yn+l :9Хт-*уп-\
Доказать тождества:
622*. {Зх3 (а9 + Ь*) — За863 -{- 3 [х3 -f (а + 6) х +
+ а&] •[*(* — а) — 6 (лг — а)]}:2х3=1-^-Л
,623*. {[ах — 2(а + 2)].[а(х — 1) + 2] +
+ 2 (— а3 + 4) + За2*] .: (— 2ах) = 1 —у а**
Задачи и упражнения для повторения.
Выполнить деление и результат проверить умножением:
624. (6а*йв — За3й4 — 15а463 + \2aW): ЗаЮК
625. (2,8а863 — 0,12а464 — а36»): (— 0,4а363).
626. Доказать тождество:
lj а — 1) • 8 + (— 15а3 + 5а): (—5а) + (— За + 2) = 6fl~7-
627. Найти числовое значение следующего выражения:
(16х2— 8х):{— Ах) — (х + 2) —4(-уХ — ■§-) ПРИ * = |"'
628. Решить уравнения:
1) 6х-Н4х3— 12ха):2х*=10;
2) 6х — (14х2 — 21х3):7х2+15 = 14.
Решить задачи при помощи составления уравнений:
629. Для постройки школы по плану было намечено
выделить квадратный участок земли. При утверждении
плана было решено увеличить площадь участка на
2600 кв. м, для чего одну сторону квадратного участка
увеличили на 10 м, а другую —на 20 м. Определить
размеры прямоугольного участка.
630. Длина стадиона, имеющего форму
прямоугольника, больше ширины его на 30 м. Для расширения
стадиона и длину и ширину его увеличили на 10 м каждую,
отчего площадь стадиона увеличилась на 1600 м\
Найти длину и ширину расширенного стадиона.

ГЛАВА IV
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
КУРСА VI КЛАССА.
631. (Устно.) Известно, что а — натуральное число.
Какое число в назуральном ряду: 1) следует за числом
2а 4-1? 2) предшествует числу 2а — 3?
Привести числовые примеры.
632. (Устнб.) Известно, что а — целое число. Можно
ли утверждать, что:
1) а — число положительное?
2) а + 2— число чётное?
3) а 2 —число целое?
4) 2а -f-1 —число нечётное?
5) За — число, кратное 3?
6) За>а?
7) 2а—1<2а?
Привести к ответам числовые примеры.
Написать следующие формулы:-
633. 1) Площадь треугольника (S) равна половине
произведения основания (а) на высоту (й).
2) Площадь круга (S) равна произведению числа тс.
на квадрат радиуса (г), где тс «^3,14.
634. 1) Объём куба (V) равен кубу его ребра (а).
2) Квадрат гипотенузы (с) прямоугольного
треугольника равен сумме квадратов его катетов (а и Ь).
635. Вес трубы вычисляется по формуле:
где Р — вес трубы в килограммах,
87

D и d — внешний и внутренний диаметры трубы в
дециметрах,.
/ — длина трубы в дециметрах,
Я — удельный вес материала,
те — постоянная "величина, равная приближённо 3,14.
Вычислить вес стальной трубы с точностью до
килограмма, если Df&IO cm; d?^8 см\ /^5,8 м\ q^7,9 кГ/дм*.
636. Найти числовое значение с точностью до 0,01
выражения
2,5^-3^ при* = -1;*=1,2.
637. Найти абсолютную величину числового значения
алгебраического выражения
$а2х —1,8* 3 1
_____ ПрИ а = -т; * = --J.
Отметить на числовой оси и записать все целые
числа, удовлетворяющие неравенствам:
638. 1) _5<х<2;
2) — б<*<—1,
639. 1) |х|.<4;
2) |*|+.1<6.
640. Дано: А = (а — Ь) — (с — d).
Определить Л, если а = 4х1— 5л: — 2;
Ь = — х1 — 2>х — 1; с=2х* + х — 6;
d = 4** + 5*+l.
Вычислить значение А при х = — 2 двумя способами:
1) путём подстановки значений а> Ь, с, d и
упрощения выражения Л;
2) путём предварительного вычисления числовых
значений а, Ь, с, d и подстановки этих значений в
выражение Л.
641. Показать, что при любом значении а сумма
произведений (2а — 3)(7 — а) и (2а — 9) (а — 4) равна 15.
642. Показать, что при любом значении х
произведение (2х—3) (х-\-4) меньше произведения (— x-\-l --j(4*— 1)
1Л5 \
на Ю-g-.
88

Выполнить действия:
643. (- б + 2/) + (1 «а - 9/): (- 9/) —. 20 (-J- / - О.в).
644. (2а — 6): (— 1) — 5(3 — а2) + (а4 — 2а2): (— 0,2а2).
645. Упростить выражение: х (2х* — Зх) — {х — 2)3— 8.
Выполнить действия, применяя формулы умножения:
646. 1) (1|л._^(1^Л«+|);
2) (•§-*■*-1-^)Я.
647. 1) 2 А а669 — ( 862 - 1 4" а**)2;
2) (0,3*ty+ 2^3)'2 - (0,3jc'V- 2у3) (0,3^ + 2^.
648. Возвести в куб сумму у числа а и удвоенного
числа Ь,
649. Возвести в куб разность между удвоенным
числом а и утроенным числом с.
650. Упростить:
1) (2а — Зоб)4 — (За — 2а6)2;
2) (2а — З)3 — (2 - За)3 - 35а3 + 90а3.
651. 1) 5х(х-у) — 2{у-хУ\ 1
2) (а-3 + 2f — (х — 2) (х + 2) (*» + 4).
652. 1) 5(а —2)(а + 2)—^-(8а —6)a+17;
2) (а-1)(оЧ-1)(а+1)-(а4-1)'-
653. 1) (а«-1-1)4-(а— 1)(а'3+1) — а2;
2) (а* — З)3 — (а — 2) (а9 + 4) (а + 2).
654. 1) (а3 — З)3 — (а3 + 3) (а4 — За* + 9);
2) (*» — 1) (а:4 + д;9 -f 1) — (*2 — I)3.
Решить уравнения, используя правила действий над
одночленами и многочленами:
655. 1) (6х —5)(* —2) —(3*—1)(2х —3) = 4;
2) (у + 2)(4у-5)-2(5у-1)(у+1) +
+ (Зу-7)(2у+1) = 1.

656. 1) (l+3*)(l—3z)—3(z—2)(* + 3)-f 12г3-5*=2?;
2) 3(x+2)(* — 2) — (x— l)8+'*(* —3)*=1.
Найти неизвестные из следующих уравнений с
точностью до 0,1:
657. 1) 3(х —7)(х+1) + (2 —3*)*= —42;
2) (2у-1)(2у+1)-(2у-З)2 + 12^ = 43.
658. 1) (/ — 4)(/ + 4) + (* — 1)(/-}-2) —2(/ — З)9 —0;
2) 2(z+4)(«-3)-(i-3)(z + 3)-(z + 4)* +
+ 45 = -55.
Решить уравнения и проверить ответ:
659. 1)'|х-]-1|=-5; .2) |дт— 11 = 3.
660. 1) |2*| + 3 = 7; 2) |3*| —1 = 11.
Решить задачи при помощи составления уравнений:
6&L В колхозе было собрано 5780 т^ яровой пшеницы
с общей площади 2300 га, причём на целинных и
залежных землях собрали по 30 ц с гектара, а на
остальной площади по 22 ц. Сколько гектаров целинных и
залежных земель было освоено?
' * 662. Два велосипедиста отправляются одновременно
из пунктов А и В навстречу друг другу и через два часа
встречаются. Расстояние от А до В равно 42 км.
Определить скорость движения в час каждого из них, если
известно, что первый велосипедист проезжал в час на
3 км больше второго.
663. Длина прямоугольника вдвое больше его
ширины. Если каждую из сторон прямоугольника
увеличить на 1 м, то площадь его увеличится на 16 кв. м.
Найти стороны прямоугольника.
664. Три бригады трактористов вспахали вместе 720 га.
Первая бригада вспахала на 60 га больше, чем вторая,
и на 60 га меньше, чем третья бригада. Сколько
гектаров вспахала каждая бригада отдельно?
665. Реактивный самолёт за у часа пролетел на 200 км
больше, чем моторный самолёт пролетел за 1 час. Найти
скорость каждого самолёта, если скорость реактивного
самолёта в 3 раза больше скорости моторного.
666. (Старинная китайская задача.) В клетке
находятся кролики и фазаны; у всех у них вместе 100 ног
и 36 голов. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?
90

667. В начале года в колхозе было 890 овец и свиней
вместе.' К концу года количество овец увеличилось
в 1,8 раза, а количество свиней, увеличилось в 2Tjpa3a;
всего овец и свиней к концу года стало 1770 голов.
Сколько овец и сколько свиней (отдельно) было в
колхозе к концу года?
668. Доярка от двух коров надоила за год 8100 кг.
молока. На следующий год удой от первой коровы увели-,
чился на 15%, а удой от второй коройы увеличился
на 10%» а потому доярка за год надоила от обеих коров
9100 кг молока..
Найти: 1) сколько молока надоила доярка от
каждой коровы отдельно за первый и второй год;
2) увеличение удоя молока от каждой коровы за год.
669. По плану тракторная бригада должна была
вспахать целину за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно
на 5 га больше, чем полагалось по плану, и потому
закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров целины
было вспахано и сколько гектаров бригада вспахивала
ежедневно?
670. Чтобы в установленный срок выполнить план,
бригада коммунистического труда должна была
ежедневно изготовлять по 48 деталей. Бригада изготовляла/
ежедневно по 56 деталей и потому закончила план на
2 дня раньше срока. Сколько деталей изготовила
бригада и в какой срок?
671. 1) Изменение температуры больного за 10 дней
выражается следующей таблицей:
Дата измерения
температуры
Температура в
градусах С
Декабрь
1
37,4
2
.38
3
39,5
4
40
5
40,4
Ъ
40
7
39
8
38,2
9
38
10
37
Вычертить график изменения температуры больного,
приняв за начало отсчёта температуру 37°.
Определить по графику самую высокую и самую
низкую температуру больного за 10 дней.
91

2) Вычертить график изменения атмосферного
давления в зависимости от изменения высоты (по данным
следующей таблицы):
Высота в метрах
100
1074
2 270
4 345
7 550
10 820
12 900
Давление в миллиметрах
754
670
579
447
293
184
133
Определить по графику давление на высоте 600 м;
1500 м\ 3000 ж; 4000 м\ 6500 м\ 9500 м.
672. 1) На чертеже 28
Г
6°
4°-
2°.
0
10°
-гФ
irf
trt
~H{J-
-50°-
Ч
п
^
\
\
1
V
\г
"N
V
\
\
4
\
V
\
5
V
\
_
6
7
t
] Г
| J
Черт. 2».
построен график
изменения температуры
окружающего воздуха в
зависимости от
изменения высоты подъёма
аэростата от поверхности
земли, причём на
горизонтальной оси указана
высота подъёма в
километрах, а на
вертикальной — температура
воздуха в градусах С.
Определить по
графику:
температуру
воздуха на высоте 4 км; 6 км\
8 км\ на поверхности
земли;
на какой высоте
температура воздуха
была равна 4°; —16°;
— 48е; 0°; —30°?
2) В следующей
таблице указано в
миллиметрах среднее количество осадков, выпадающих в
Москве по месяцам года:
92

Месяцы года
Количество осадков
в миллиметрах
Г
37
II
27
III
31
IV
35
V
46
VI
67
VII
84
VIII
72
IX
60
X
52
XI
41
XII
39 |
Начертить график выпадения осадков в Москве по
месяцам года.
Определить по графику месяц, в котором выпадает
наибольшее количество осадков, наименьшее количество
осадков.
673. Составить таблицу изменения температуры
воздуха с 12 час. до 24 час. 25-го марта по следующему
графику (черт. 29):
Черт. 29.
~674. Известно, что 16 кг сухих стеблей льна дают
1,4 кг льняного волокна.
1) Построить график выхода льняного волокна.
2) Определить по графику, сколько килограммов,
волокна получится из 6 кг, из 10 кг,'из 24 кг, из 12,5 кг
сухих стеблей.
3) Сколько надо взять килограммов сухих стеблей льна,
чтобы'получить 5 кг? 8 кг? 10 кг? 12 кг? 16 кг льна?
675. Удельный вес железа равен 7,8 —s. 1) Написать
формулу для определения зависимости между у — весом
93

железа (в граммах) и х — объёмом железа (в кубических
сантиметрах).
2) Составить таблицу и вычислить у— вес железа в
граммах при объёме железа х> равном 2 см9; 3 см9; 5 см9;
6 смъ.
3) Вычертить график изменения веса железа в
зависимости от его объёма.
4) Определить по графику у— вес железа.в граммах
при х, равном 4 см9; 5,5 см9; 9 см9.
5) Определить в кубических сантиметрах объём
железа х, есл» вес его у равен 8 Г; 10 Г; 12 Г; 14 Г.
676. На чертеже 30 дан график температуры больного
со 2 по 18 октября. Составить по графику таблицу
изменения температуры больного за указанное время.
ш
%
%
%
11Л
м
ШШ7Ш
м.
ж
ш
Ш
3&
\\н\\т
3?
3(Я
351
Черт. 30.
677. Рост сосны от 30 до 100 лет изменяется в среднем
следующим образом:
Возраст
в годах
Высота
в метрах
30
9,2
40
12,1
50
14,9
60
17,0
70
19,2
80
21,3
90
22,7
100
24,1
Построить график роста сосны.
94

Можно ли сказать, что высота сосны изменяется прямо
пропорционально её возрасту?
Определить по графику (приближённо) * высоту сосны
N в возрасте 35 лет, 72 лет, 87 лет. '
Определить по графику возраст сосны (приближённо),
высота которой 10 л*, 16 ж, 20 м.
678. Найти числовое значение выражения
2|а| + 5|6| + 1- при а = — 3, 6 = -2.
679. Найти целые значения дс, удовлетворяющие
неравенству — 4<^х<^2, и указать найденные значения х
на числовой оси.
680. Известно, что — 5 (а — 6)>0; определить, что
больше: а или 6; ответ объяснить.
/ 681. В каком случае: 1) а + 6<а? 2) а+.6 = 0?
'682. (Устно.) Вычислить: (^-1)4.(-1)7.(—1)8.
683. Решить уравнение: | л: [ + 3 = 5.
684. Выполнить действия, а затем найти числовое
значение получившегося выражения при а = — -^-г
(2а- 1) (2а + 1) - [1 (4а- 3)]' + (2а- 13) (а - 1).
685. Найти х с точностью до 0,1 из уравнения:
(3* — 7)4 — (2*—1) (*+1) + 2<* + 3)(* —3) = 0.
686. Решить задачу при помощи составления уравнения:
Расстояние в 32 км велосипедист проехдл за 2 часа
24 мин. Первые 2 часа он ехал со скоростью, на 2 км
в час меньшей, чем скорость, с которой он двигался
оставшееся время. Найти первоначальную скорость
велосипедиста.
687. Выполнить действия и упростить:
2а (36 —-4с) — [2с (2а — 36) — 36 (5а — 4с)].
688. Решить уравнение:
(* + 3)а — (х — 2)а = 95. .
95

689. Найти числовое значение выражения
. 2аЬ — сх л «. о 1 1
з««с + у* ПРИ а = 2' fe = -2, с = т> * = -1.
690. Решить задачу при помощи составления уравнения:
Разность квадратов двух последовательных целых
положительных чисел равна 11. Найти эти числа.
691. Выполнить действия и упростить:
(1_а)(1+а«) + (1+а)(1+а«)_2(1+а)(а-1).
692. Решить уравнение:
(х + 5)* — (х — 1)* = 48.
693. Найти числовые значения выражения
Зтп — сх
2т2с -j- n3x
при т = — 2, л = 3, с=1, я = — 4.
694. Решить задачу при помощи составления уравнения:
Разность квадратов двух последовательных чётных
положительных чисел равна 28. Найти эти числа.
695. Выполнить действия и упростить:
3(аа+1)* + 2(а—1)(а*+1) —5(а —1)*."
696. Решить уравнение:
&+1)4-(*-4)» = 5.
687. Выполнить действия и упростить:
2 У ~\ 2,
698. Найти числовое значение выражения
ЪагЬ — Зсх
2ас2 + Ъ-х
при а = — 2, & =—1, с = у, А; = у
699. Решить задачу при помощи составления
уравнения:
Каждую сторону квадрата увеличили на 3 см, а
потому площадь его увеличилась на 39 см*. Определить
сторону получившегося квадрата.
700. Выполнить действия и упростить:
(4л: + 13) (х1 -f 1) — (4* — 3) (х + 2)1.
96

701. Решить уравнение:
(х + 4)'2 — (х + 8) (х — 8) = 96.
702. Найти числовое значение выражения
a-V> при a = Tf Ь = -т.
703. Решить задачу при помощи составления
уравнения. Отрезок в 20 см разделён на два отрезка и на
каждом из них построен квадрат. Найти длины этих
отрезков, если известно, что разность площадей квадратов
равна 40 еж2.
704. Выполнить действия и упростить:
(а-\-с)-(а — с) — b (2а — Ь) — (а — Ъ-\-с) (а — b — с).
705. Решить уравнение:
3(*4-2)9-Н2*— I)3 — 7 (л; + 3) (а: — 3) = 28.
706. Найти числовое значение выражения
2тк2 — Зт'я+1 nnT;r m \ 2
ш_п^ при m = -Tf n = T.
707. Решить задачу при помощи составления уравнения:
Разность квадратов двух последовательных нечётных
положительных чисел равна 32. Найти Эти числа.
708. Выполнить действия и упростить:
2(m-n)9-2(m + nf — 4(m + п) (m — n).
709. Решить уравнения:
1) 5(* + 3)* —5(* —4)(* + 8)+12=-87.
2) (х — 2)3 — (х* — 1) (* — 4) + 2** =7.
710. Найти числовое значение выражения
ЗаЧ-\-2аЬ*—\ п_ж п 2,1
g—ъ при а = -т, 6 = т.
711. Доказать, что разность квадратов двух
последовательных нечётных положительных чисел равна
удвоенной сумме этих чисел.
П. А. Ларичев — 1407

ГЛАВА V
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ
НЕИЗВЕСТНЫМ.
§ 24. Решение уравнений первой степени
с одним неизвестным с числовыми коэффициентами.
712. При разгоне тепловоз отошёл от станции на 2 км,
а затем стал двигаться равномерно, проходя 0,8 км в мин.
1) Определить, на каком расстоянии от станции будет
находиться тепловоз через х минут после начала
равномерного движения.
2) Составить следующую таблицу изменения
расстояния тепловоза от станции в зависимости от изменения
времени движения:
Время движе-
'ния в минутах
Расстояние
1 2 +0,8л: в
километрах
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3) Через сколько минут тепловоз будет находиться на
расстоянии 26 км от станции?
713. 1) Подставить в двучлен 2х -f- 4 данные в таблице
значения х, вычислить соответствующие значения двучлена
и результаты внести в таблицу:
X
2д: + 4
— 4
— 2
— 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
101
2) Найти, при каком значении х числовое значение
двучлена 2*4-4 равно 0; 6; —2;,4.
98

714. Найти значение х> при котором двучлен Ъх — 1
принимает числовое значение, равное 14; 9; 0.
715. 1) Найти числовое значение каждого из
двучленов: 2х-(-1 их — 5, заполняя, следующую таблицу:
X
I 2х+\
х — 5
— 4
— 3
— 2
— 1
0
1
-
2
3
4
5
"2) Найти, при каком значении х двучлены 2х~{-\ и
х — 5 имеют одно и то же числовое значение.
3) При каком значении х двучлены Зх— 5 и 2х-\-4
имеют одно и то же числовое значение?
716. Решить следующие уравнения с одним
неизвестным, подбирая числовые значения неизвестного:
1) Зх —6 = 0; 2) 4х+1=9;
3) х(х — 2) = 0. Сколько решений имеет это
уравнение?
4) х*-\-1 = №. Сколько корней имеет данное
уравнение?
717. (Устно.) Показать, что следующие уравнения не
имеют решений, и объяснить почему: ,
1) х + з = х; 2) х— 1=х+1; 3) 2х = 2 (*+1);
4) х2-}-4 = 0; -5) х»+1=0.
718. Показать, что любое число является ковдем
каждого из следующих уравнений:
l)-2(x-f-l) = 2*4-2; 2) Зх — 4 = 4(х — 1) — х;
- 3) 2(х + 7) —19 = 2х —5; 4) х9 — 9 = (х + 3) (х —3).
719. Написать три каких-либо тождества л проверить
их подстановкой любых числовых значений входящих в
них букв.
720. Определить, какие из следующих уравнений не
имеют решения и какие уравнения имеют бескрнечное
множество решений:
1) 2х+1=2х + 3;^ 2) Ъх — 15 — Зх — 6 = 2х — 25;
3) Ax — 3 — 3x — 4 = x — 7; 4) 5(х — 2) = 5х — 10.
721. Объяснить, почему значение х9 равное 2, не
может быть корнем уравнения: 5= __2.«
4*
99

722. Составить уравнение первой степени с одним
неизвестным, корнем которого было бы число:
4; -3; -Ь-0,2.
723. Определить, равносильны ли два уравнения:
1) 5л+1=2 и 10x-f 2 = 4;
2) 2л: — 1=4 и x-f 5 = 7;
~3) 5x-f-4 = 9 и 2лг — 1 = 1;
4) *+1=5 и 4л: —3 = 2;
5) 5* + 3=18 и -^±i = 6;
6) л+1=4 ii*+i = i..
724. Решить следующие уравнения, предварительно
упрощая их путём прибавления к обеим частям
уравнения одного и того же числа:
1) 2х — 5 = х + 4; 2) л^1=7 —Зх;
3) 11 + Зл: = 5х — 1; 4) 0,5х — 2=1,4 — 1,5*.
725. Придумать и решить уравнения, для упрощения
которого надо прибавить к обеим его частям одно и то
же число.
Решить уравнения:
726. 1) 8х — 3 = 5х + 6; 2) 2х — 19 = 7jk + 31;
3) Юл —3 = л:+ 3; 4) Ъу — 9 = 7// — 13.
727. 1) 20 — 2г = г— 1; 2) \\у — А—Ъу-\-Ъ;
3) 5 — 6г = 9г — 5; 4) 19 — х = 100 — Юл.
728. 1) х — 7 + 8л = 9л — 3 — Ах;
2) 11 л: + 42 — 2лт = 100 — 9л: — 22;
3) Зл — 20 + 6л — 2 = 8*:— 10 + 2л;
4) 10* + 7 + 13x = * + 5 + 24*.
729. 1) 2л:— jx=l\x — \—.-§-* +2;
2) л + 1|д; + 9 = 4л + 4 + |ж-1ул:+1;
3) 2~x — 3jX-\-l=x — 5^x-\-3-^x;
4) 1-5-*-2Т*-2 = -2Т*-Т—Г
100

730. 1) 3 + 2,25*+ 2,6 = 2*-f-5-f-0,4л:;
2) 0,75* —2*=9 +0,6* —0,5*;
3) 5,76 + 4,8* —0,05*=6,99* —1,995*+ 5,13;
4) 5* + 3,48 —2,35* = 5,381—2,9*+ 10,42.
.731. 1)|*| + 1=5; 2)2'|*|-.1 = |х| + 7;
3) 7 + 3|*| = 22 — 2|*|;
4) б|*| — 6 = — 3|*| + 26. ч
Решить уравнения, в которых неизвестное обозначено
одной из букв: *, у, г, и, t.
732. 1) 15(* + 2) = 6(2* + 7); 2) 5(* + 3) = 8(10 —*);
3) 8<9 + 2*) = 5 (2 — 3*); 4) 5 (2* — 9) = 3 (9 — 2*).
733. 1) 10*/ + 2(7#-2) = 5(4*/ + 3) + Зг/;
2) 26 — 4*= 12* — 7(* + 4);
3) 8(32-2) —13г = 5(12 —Зг) + 7г;
4) Ау-гфй-у) = Ъу-7(П-у).
734. 1) 13^ —8(3/ —2) = —7/ —5(12 —30;
2) 7(2«— 1) — 6(11-ы) = 3(« + 4);
3) 2(2/ + 3) = 8(1 — t)— 5(f — 2);
4) 17(2 —3u) —5 (и+ 12) = 8(1—7м).
735. 1) (* — 3) (* + 4) — 2 (3* — 2) = (* — Af;
2) (* + 5) (* + 2) — 3 (4* — 3) = (* — 5)'2;
3) 12 — 2 (* — 1У = 4 (* — 2) — (* — 3) (2* — 5);
* 4) (3*— I)5 — 5(2*+1)*+ '
+ (6* - 3) (2* + 1) = (* — I)9.
736. 1) 5(*— 1)а — 2(* + 3)3 = 3(* + 2)3 — 7(6* — 1);
2) 2*а + (* + 5)9 — 2 (* + 7)2 = 2 (3* — 72,5) + (* — б)3;
3) 3(*+l)s + (* —4)3=101+(* —З)3;
4) (*+1)3 —(* —l)3 = 6(*s + *+l).
737. В следующих примерах найти корни уравнений
с точностью до 0,01:
1) 4* + 4 = *+11; 2) 11(* — 1) = 4(* + 2);
3) 22* + 5(3 —*) = 4(1—*) —7(2 —*);
4) 5—6(2*—3) + 9(4—*) = 3(5*—2)—8(*—1).
101

Решить уравнения:
738.-1)^- + -^= 19; 2)~-^=1;
•'3>-т+т—т=13; 4)£т2-=4-
топ i\5a- — 4 16*+1 оч5 —z 18 — 5z
739. 1)_^_ = _^_; 2)-з~ = —j^-;
оу 1— 9у 19 + Зу ,,41 + 33 17 + ^
**' 5 ~~ 8 ' 4' 21 — 14
Задачи и упражнения для повторения.
740. При каком значении х двучлен. Зх-\-4 принимает
значение, равное 10?
741. Найти значение х, при котором двучлены 5х — 1
и х-\-\ имеют одинаковое значение.
742. Проверить, является ли число —5 корнем
уравнения 4л;-|-7 = Зл:+ 2.
743. Составить уравнение, корнем которого было бы
число 3.
744. Составить уравнение, которое совсем не имеет
корней.
745. Составить уравнение, которое имеет бесконечное
множество корней.
746. Составить уравнение, равносильное уравнению
2х + 3 = 9.
747. Являются ли равносильными уравнения: Ъх — 3 = 7
и 5х-7 = 3? •
748. Решить уравнение:
9(х — 5)+ 4 (6 — x) = 4-f 3(x + 20)— 2х.
749. Найти корень следующего уравнения с точностью
до 0,1:
5(х— 1) — 3(х — 2) = 5 — (х-3).
§ 25. Решение'задач при помощи составления
уравнений.
750. В трёх классах всего 119 учащихся. В первом
классе учащихся больше, чем во втором классе, на 4
человека и меньше, чем в третьем классе, на 3 человека.
Сколько учащихся было в каждом классе?
Указание. Обозначить число учащихся в первом
классе через х.
IQ2

751. Электропоезд имеет в своём составе цистерны,
платформы и товарные вагоны. Цистерн было на 4
меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем товарных
вагонов. Сколько было в составе поезда отдельно цистерн,
платформ и товарных вагонов, если общее число их
равно 60?
752. Тендер пассажирского паровоза весит в
гружёном состоянии 122,8 т. Воды он вмещает на 33 т
больше, чем топлива, а вес самого тендера без груза на
.35,8 т больше, чем вес топлива. Определить отдельно
вес воды, топлива и самого тендера без груза."
753. На пришкольном учебно-опытном участке было
собрано 1800 кг овощей, причём картофеля собрали
в 5 раз больше, чем свёклы, а капусты на 120 кг
больше, чем свёклы. Сколько килограммов овощей каждой
культуры было собрано?
754. Пионеры собрали 65 кг металлического лома:
меди, цинка и алюминия. Меди и алюминия вместе было
собрано на 1 кг больше, чем цинка, а одной меди было
на 15 кг больше, чем алюминия. Сколько килограммов
каждого металла было, собрано?
755. Участок площадью в 864 га разделён на 3 поля
так, что третье поле имеет площадь, равную сумме
площадей первых двух полей. Определить площадь каждого
поля, если известно, что площадь второго поля
относится к площади первого, как 11 :5.
' 756. В треугольнике ABC угол А равен сумме углов В
и С. Определить каждый угол треугольника, зная, что
£В: ZC = 4:5.
757. Общая площадь всех участков, засеянных
кукурузой, равна 120 га. На первом участке с 1 га собирали
по 89 т зелёной массы кукурузы, на втором участке по
95 т. Найти площадь каждого участка, если с первого
участка собрано зелёной массы кукурузы на 1480 т
больше, чем со второго.
758. В одном элеваторе было зерна в 2 раза больше,
чем в Другом. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна,
а во второй элеватор привезли 350 т, после чего в обоих
элеваторах зерна стало поровну. Сколько тонн зерна
было лервоначально в каждое элеваторе?
103

759. На одном складе имеется угля в 2 раза больше,
чем на другом. Если на первый склад привезти ещё
80 т угля, а на второй склад 145 т, то на обоих
складах будет угля поровну. Сколько тонн угля было на
каждом складе первоначально?
760. В одном баке было бензина вдвое больше, чем
в другом. Если перелить из первого бака во второй 25 л
бензина, то в каждом баке будет бензина поровну.
Сколько литров бензина было в каждом баке первоначально?
761. В одном мешке* было 60 кг сахару, а в другом
80 кг. Из второго мешка взяяи сахару в 3 раза больше,
чем из первого, и тогда в первом осталось вдвое больше
сахару, чем во втором мешке. Сколько килограммов
сахару взяли из каждого мешка?
V762. На одном складе 185 т угля, на другом 237 т.
Первый склад стал отпускать ежедневно по 15 т угля,
а второй по 18 т. Через сколько дней на втором складе
будет угля в полтора раза больше, чем на первом?
763. В одном овощехранилище 21 т картофеля,
а в Другом 18 пи В первое овощехранилище подвозили
ежедневно по 9 т картофеля, а во второе по 12 т.
Через сколько дней в первом овощехранилище картофеля
будет в 1,2 раза меньше, чем во втором?
764. В колхозе отвели два смежных участка для
посадки овощей, причём первый участок был в 4 раза
больше второго. Если, отделить от первого участка 10 га
и присоединить их ко второму, то второй участок Оудет
составлять у оставшейся площади первого участка.
Определить площадь каждого участка.
765. В двух сараях сложено сено, причём в первом
сарае сена в 3 раза больше, чем во втором. После того
как из первого сарая взяли 20 т сена, а во второй сарай
добавили 20 т сена, оказалось, что во втором сарае
5
число тонн сена равно у числа тонн сена, оставшегося
в первом сарае. Сколько тонн сена было первоначально
в каждом сарае?
766. В колхозе имеются две силосные ямы. В первой
яме заложили 55 т силоса, во второй 63 т. После того
как из второй ямы взяли силоса вдвое больше, чем из
первой, в ней осталось на 5 т силоса меньше, чем в
первой яме. Сколько тонн силоса взяли из каждой ямы?
104

767. Гусеничный трактор, развивая .тяговое усилие
в 1600 кГ, тянет агрегат, составленный из двух
культиваторов и 8 борон «Зигзаг». Найти тяговое
сопротивление культиватора и бороны, если культиватор имеет
тяговое сопротивление в 4 раза большее, чем борона
«Зигзаг».
768. Для рытья котлована были поставлены два
экскаватора. Первый экскаватор, вынимая в час на 40 куб. м
земли больше, чем второй, работал 16 час, а второй
24 часа, причём оба экскаватора вынули за это время
8640 куб. м земли. Сколько кубических метров земли
вынимал в час каждый экскаватор отдельно?
769. На участке пути от А до В легковой автомобиль
«Волга» двигался со средней скоростью, в 4 раза
большей средней скорости двигавшегося на этом участке
автобуса. На участке пути от В до С каждая из машин
увеличила скорость движения на 40 о в час, достигнув
своей наибольшей скорости, при которой автомобиль
«Волга» движется в два раза быстрее автобуса. Найти
наибольшую скорость каждой из машин.
770. Зрительный, зал освещается 100 электрическими
лампочками. Горение одной большой лампочки
обходится в течение недели в 15 коп., а малой лампочки в
10 коп. Сколько было больших лампочек и сколько
малых, если общая стоимость освещения зала в течение
недели равна 13 руб. 50 коп.?
771. На школьной математической олимпиаде было
предложено для решения 10 задач. За каждую
правильно решённую задачу засчитывалось по 5 очков, а за
нерешённую задачу списывалось 3 очка. Сколько задач
было правильно решено учащимся, который при
окончательном подсчёте получил 34 очка?^ 10 очков? 2 очка?
772. За семичасовой рабочий день токарь должен был
по норме обточить некоторое количество деталей.
Применив новый резец, токарь стал в каждый час
обтачивать на 4 детали больше, чем полагалось в 1 чае по
норме, а потому за 6 час. работы выполнил 1,2 дневной
нормы. Сколько деталей в час стал обтачивать токарь,у
применяя новый резец?
,773. На двух смежных станциях вместе было 135
вагонов. После того как с первой станции на вторую
перешёл состав в 45 вагонов, а со второй станции,на
первую перешёл состав в 36 вагонов, на первой-станции
105

стало вагонов в 1 ~- раза больше, чем на второй.
Сколько вагонов было на каждой станции первоначально?
774. Общая длина четырёх эскалаторов Горьковского
радиуса Московского метрополитена равна 280 м.
Меньший из этих эскалаторов на 24 м короче самого
большого; длина второго по величине эскалатора составляет
6 * 9 .
у длины самого большого и -g- длины третьего
эскалатора. Найти длину каждого эскалатора.
775. Для оклейки двух комнат куплены обои. На
склейку первой комнаты пошло на 2 куска больше
половины всех купленных обоев, а на оклейку второй
2 '
пошло -о- количества обоев, израсходованных на оклейку
первой комнаты. Сколько кусков обоёв было куплено,
если после оклейки обеих комнат кусок обоев остался
неизрасходованным?
776. Число десятков двузначного числа втрое больше
числа единиц. Если цифры этого числа переставить, то
получится число, меньшее искомого на 36 единиц. Найти
число.
777. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если
к этому числу прибавить 63, то получится число,
обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном
порядке. Найти чисую.
778. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если
цифры этого числа переставить, то получится число,
большее искомого на 18. Найти число.
, 779. Сумма двух чисел равна 2490. Найти числа,
если 6,5 % одного из них равны 8,5 % Другого.
780. Чтобы вспахать поле в установленный планом
срок, совхоз должен был вспахивать ежедневно по 56 га.
Перевыполняя план, совхоз вспахивал ежедневно по 64 га,
а поэтому -за два дня до срока ему осталось вспахать
только 40 га. Сколько гектаров земли должен был
вспахать совхоз по плану?
781, Заказ по выпуску машин завод должен был
выполнить по плану за 15 дней. Но уже за два дня до
срока завод не только выполнил план, но и выпустил
сверх плана ещё 6 машин, так как ежедневно выпускал
по две машины сверх плана. Сколько машин должен
был выпустить завод по плану?
100

782» Артель рыбаков должна была ежедневно вылав^
ливать по 60 ц рыбы. Перевыполняя план, .артель
вылавливала ежедневно по 5 ц сверх плана, а потому не
только выполнила план на 3 дня раньше срока, но и
дала ещё 120 ц рыбы сверх плана. Сколько центнеров
рыбы должна была дать артель по плану?
783. Чтобы окончить вспашку целинных и залежных
земель в срок, трактористы ежедневно должны были
вспахивать по плану 150 га. Перевыполняя план,
трактористы вспахивали ежедневно по 200 га и окончили
вспашку за 2 дня до срока. Сколько гектаров земли
вспахали трактористы и за сколько дней?
784. Посев должен быть выполнен по плану за 14 дней.
Колхоз увеличил норму посева на 20 га в день и
закончил посев за 10 дней. Сколько гектаров засевал колхоз
ежедневно и сколько всего гектаров земли было засеяно?
785. Связной из пункта А должен был доставить
донесение в пункт В. Весь путь туда и обратно он проехал
за 14 у часа, причём от А до В он проезжал по 30 км
в час, а обратно от В до Л — по 28 км в час.
Определить расстояние от Л до В.
Указания. 1) Обозначить искомое расстояние
через х километров. 2) Записать условие задачи в виде
следующей таблицы:
Движение
! Из Л в Я
Из В в А
Скорость в
км в час
Время в
часах
Путь в
километрах
X
X |
3) Составить по условию задачи уравнение и решить
его.
4) Проверить правильность ответа по условию задачи.
5) Записать ответ на вопрос задачи^
Решить следующие задачи по образцу, данному в
предыдущей задаче:
786. В 8 час. утра из колхоза в город отправился
велосипедист. Пробыв в городе 4-^ часа, велосипедист
107

отправился обратно и в 15 час. того же дня возвратился
в колхоз. Найти расстояние от колхоза до города, если
в город велосипедист ехал со скоростью 12 км в час, а
обратно — со скоростью 10 км в час.
787. В 4 часа 30 мин. из города А в город В вылетел
вертолёт со скоростью 250 км в час. Сделав в городе В
посадку на 30 мин., вертолёт возвратился обратно в
город Л в 11 час. 45 мин., пролетая 200 км в час. Найти
расстояние от города-Л до города В.
788. Для решения задачи на движение двух
автомобилей было составлено следующее уравнение:
5х = (х— 10)6.
Составить условие задачи и решить уравнение.
789. Составить условие задачи о движении двух
велосипедистов, которая решалась бы при помощи
следующего уравнения:
790. В следующей задаче подобрать недостающие
данные и решить её при помощи составления уравнения:
Из колхоза в город отправился велосипедист,
который двигался со средней скоростью ... /еж в час.
Пробыв в городе .. . часов, велосипедист на обратном пути
двигался со скоростью, равной ... км в час. Найти
расстояние от колхоза до города, если известно, что
велосипедист употребил на поездку вместе с остановкой в
городе всего ... часов.
Указание. Данные надо подбирать так, чтобы они
соответствовали действительности; допустимо округлять
числовые значения величин.
791. Подобрать данные к следующей задаче:
От пионерского лагеря до города путь идёт сначала
под гору, а затем горизонтально. Пионер проехал на
велосипеде путь под гору со скоростью ... км в час, а
горизонтальную часть пути, которая была длиннее дороги
под гору на .. /кму пионер проехал со скоростью ... км
в час. Найти расстояние от лагеря до города, если
известно, что весь путь пионер проехал за ... часа.
Решить составленную задачу при помощи
составления уравнения.
108

792. Из пункта А связной доставил донесение в
пункт В за 35 мин,- На обратном пути он увеличил ско;
рость на 0,6 км в час и затратил на дорогу 30 миЪ.
Определить расстояние между А и В и скорость, с которой
ехал связной туда и обратно.
793. Поезд проходит расстояние от города А до
города В за 10 час. 40 мин. Если бы скорость поезда
была на 10 км в час меньше, то он прибыл бы в В на
2 часа 8 мин. позже. Определить расстояние между
городами и скорость поезда.
794. Теплоход прошёл расстояние между двумя
пристанями по течению реки за 4 часа, а против течения —
за 5 час. Определить расстояние между пристанями,
если скорость течения реки равна 2 км в час.
795. Вертолёт пролетел расстояние между *Ж£*Я
городами при попутном ветре за 5 час. 30 ^Д, а при
встречном ветре — за 6 час. Определить ра^сЬяние
между городами и собственную скорость вертолёта, если
скорость ветра была равна 10 км в час.
796. Группа пионеров отправляется на лодке от
пристани вниз по течению реки с условием вернуться
обратно через 4 часа. Скорость течения реки 2 км в час;
скорость, сообщаемая лодке гребцами, 8 км в час. На
какое наибольшее расстояние пионеры могут отплыть
от пристани, если, перед тем как возвращаться обратно,
они пробудут на берегу 2 часа?
797. Ежедневно в 12 час. дня от np#%epi А к
пристани В отправляется по реке пасса>^»<Л^|р'катер. Весь
путь от А до В катер проходит безАта^^ки со
скоростью 12 км в час. Затратив на стоя1^. у^щстани В
2,5 часа, к^тер отправляется обратно и, проМя ь, Щрутъ без
остановки со скоростью 15 кмв час, прибыЩвг «Здистани
Л в 19 час. того же дня. Найти расстоянй^фт^||&о В.
798. Кусок железа ..и кусок меди весят в^^Р-О Г,
причём объём куска меди вдвое больше оЩта*куска
железа. Найти объём каждого куска, если удельный вес
Г Г
железа 7,8—g, а удельный вес меди 8,9—5.
СМ СМ ,- ^-
799. Кусок железа и кусок меди весят вместе 37? Г,
причём объём куска железа на 5 смъ больше объёма
куска меди. Найти объём каждого куска, если удельный
р г
вес железа 7,8 -—, а удельный вес меди 8,9—?»
109

800. На одном и том же расстоянии ведущее колесо
тепловоза делает 240 оборотов, а колесо вагона,
окружность ^которого на 3,2 м меньше "окружности колеса
тепловоза, делает 560 оборотов. Найти длину окружности
каждого из этих колёс.
Задачи и упражнения-для повторения.
801. Решить следующие уравнения (с проверкой):
1) х(х + 3)(х — 3) — (х+2)3 —6 = (3*— I)9 —15а:3;
2) (х — 0,4)2 — (х + 0,4) (х —0,4) = 0,1.
802. Доказать тождество:
5(1— xf — 3(1— Х)(1+х) — (г + х)* = 7х* — 16х —7.
803. Найти числовое значение следующего
выражения при х = 2,5; у = 0,5:
х(х + у? - У (х- у)" +. 2у (х' + у*).
804. Отношение двух чисел равно у. Если умень-
% шить большее из этих чисел на 2000, а меньшее на 1000,
,то отношение первой разности ко второй будет равно
-г. Найти эти числа. •
4
805. Число рабочих первого цеха завода откосится
ч к числу рабочих второго цеха, как 3:2. Если из первого
деха перевести во второй 18 рабочих, то тогда отношение
числа рабочих первого цеха к числу рабочих второго
цеха будет равно отношению 5:4. Найти число рабочих
каждого цеха.
806. В равнобедренном' треугольнике основание со-
з
ставляет -j- боковой стороны. Найти стороны
треугольника, если периметр его равен 22 см.
807. Сумма двух чисел равна 83,4, а разность их 15,8.
Найти эти числа.
808. Придумать задачу, в которой требуется найти
дв^ числа по их сумме и разности.
809. Сумма двух чисел равна 18,7, а отношение их
равно отношению 5:6. Найти эти числа.
810. Придумать задачу, в которой требуется найти
два числа по их сумме и отношению.
110

811. В колхозе было засеяно 960 га земли, причём
пшеницей засеяно в 2 раза больше земли, чем
кукурузой и рожью вместе. Сколько гектаров земли было
засеяно • отдельно пшеницей, рожью и кукурузой, если
рожью засеяно на 120 га больше, чем кукурузой?
812. Отношение длины газопровода
Саратов-—Москва к длине канала имени Москвы равно отношению
25:4. Найти длину каждого сооружения, если
газопровод длиннее канала на 672 км.
813. Скрепер за смену (7 час.) перемещает на 1200
кубометров земли больше, чем бульдозер, а экскаватор в
7 раз больше, чем скрепер. Сколько кубометров земли
перемещают за смену скрепер, бульдозер и экскаватор
отдельно, если вместе они перемещают 13 200
кубометров?

Г Л А В А VI
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
НА МНОЖИТЕЛИ.
§ 26. Вынесение общих множителей за скобки.
814. Решить следующий пример и ответить на вопросы:
1) как найти общий наименьший знаменатель
данных дробей?
2) что значит разложить число на простые множители?
815. Решить следующий пример двумя.способами:
1) не выполняя предварительно преобразований;
2) вынести предварительно общий множитель за скобку:
236-35 + 164.35.
Какой из этих способов проще?
816. Выполнить действия устно:
1) 596.23 + 404-23; 2) 4,85-2,5 + 1,15.2,5;
3)24|.ll-4|.l|;
4) 5,4.2,123 —0,1235,4.
817. (Устно.) 1) Вычислить кратчайшим путем:
23,4-8 + 46,6.8; 17,9- 15 + 25.Ы5;
21 -3,8 + 63.3,8+17.3,8;
34.1,78 + 25.1,78 + 4Ы,78.
2) Составить несколько примеров на вычисление с
использованием приёма вынесения за скобки общего
множителя.
112

Разложить на множители:
818. 1
4
819. 1
4
820. 1
4
821. 1
3
5
822. 1
4
823. 1
3
824. 1
3
5
825. 1
3
i
826*.
827.
2х-\-2у;
I0p — 5q;
ах — ау;
аЬ + Ь;
6а + 12;
10 + 56;
lab + 7'ас;
4ах-\-8а;
2) За + 36;
5) 12c + 8d;
2) тп-\-п;
5) тх — т;
2) Ах — 8;
5) 3 —Зс;
2) Ътп — 5т;
4) баб —36с;
3) 5т — Ъп\
6) 15А —9/.
3) cd — bc;
6) — 2а — 5а6.
3) 5 —15у;
6) 2 + 6d.
— 1Ъах — 20ау; 6) — 2тл — 4п.
а3 — ab\
Зл:9 — 6х3;
9т4 — 6т3;
6г4 — 12гв;
х*у-ху\
cV — ах3;
9а3 — 6а96;
За9х + 6а**;
9а4—12а36;
18а63 —964;
.1 а^ + а"1*1;
4) 5xm+a+10x';
7) 4хп+' + 20лл;
Найти числовое
2) л? + л:3; 3) «л —я»;
5) с8 + с3; 6) j/3-^.
2) 15а3 + 5а9;
4) 7г/в + 2Ь/3;
6) 10а* + 30а\
2) а36' + а»63;
4) ба'дг+^аг1;
6) 4хУ — 8*У;
2) 5д:£/9 — 10*ty»;
4) 8mV+10mn9;
,6) ЗхУ+15*у.
2) ж"»» — д:т; 3) #т+1-
»; 5) а3" - ам; 6) anbtn + в»**:
8) 15л**+3 —гбх"*.
У,
значение следующих
выражении, разложив их предварительно на множители:
1) a'+15a
при a = 85; ,
при а=15; 6 = 11;
при дсяаЗ,2; у?ы0,6',
при Xf^0,5.
828. Доказать, что если a — целое число, то а' — а
делится на 2 без остатка.
Привести числовые примеры и сформулировать
данное свойство чисел.
2) 2а6 — 2а
3) 5xty— Юху1
4) ЗОл:' - 20х3
113

829. Доказать, что если к целому числу прибавить
его квадрат, то полученная сумма будет чётным, числом.
Привести числовые примеры.
830; Составить и записать:
1) Три алгебраических выражения, каждое из
которых можно разложить на множители путём вынесения
общего множителя за скобку.
2) Три алгебраических выражения, не имеющие
общего множителя.
Разложить многочлены на множители путём
вынесения за скобку общего множителя:
831. 1) ах + Ьх + сх; 2) 5л9 — 1 Оху + 5г/9;
3) а3 — 2а*-а; ч 4) т4 + Зот» — от»;
5) Ъх — 1 Ъху -\- 1 Оах; 6) ЪаЬ -\- 9ас — 12ad.
832.
1) 15xV2+10*9i/ — 20*У; 2) 4ах — 8ах*+12ах*;
3) ЗаЬ3+'6аЬ*—ШЬ; 4) 40т*п — 25тл»-)-ЗОтл.
833.
1) _4д:Зу_|_6;су_8ду. 2) — Зт*п* — 6т3л3 ^ Эт^4;
3)-10а463- 15а465 + 20а364; 4) - 8*У — 12$У — 16*у.
834. 1) а<дг + |/) + 6(х + у); 2) *(а + 3)-2/(а + 3);
3) гф — 4) + Ъ(х — 4); 4) т(а+1) — п(а+1)
835.
1) 3a(a — b)-\-2b(a-rb); 2) 5х(а + &) — 4#(а + 6);
3) 6т(р-3) + 5п(/>-3); 4) 7q(p-q)-2p(p-д).
836.
1) дс (а — Ь) -\- у (Ь — а); 2) а(т — п) — Ь(п — т.);
3) p(x-y)-q(y-x); 4) 2т(ж —3) —5л(3-*).
837.
1) а*(х — 1) — Ь(1—х); 2) т'(а —2) + п(2 —а);
-3) 2х(а — Ь) — Зуф — а); 4) 5(х — 3) — а(3 — *)•
838. 1) х(х — 4)— 3(4 — х); 2) а(6 —5) + 2(5-6);
3)р(р-1)-4(1-р); 4)-6(*-2) + *(2-*).
114

839.
840.
841.
842.
843.
1)
3)
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)
2а (х — у} — (у — х);
Зх(* —1) —(1—х);
2) (p-q) + 2a(q-p);
4) 2k (a — b) — (b — a).
3a(x— 1) — 2b (x— l)+c(x— 1);
x (p — a) — у (p — a) — z (p — a);
p (a* + 6*) + q (a« + 6*) - г (a2 + 6*);
a.(m* -f- 1) — b (m! + 1) — с (m'! + 1).
з (*+</)+ (* + </)';
5(a —6) + 2(a —й)а;
4(ж + #)(*--у) + (* + у);
2 (a — Ь)* — (а + Ь)(а — Ь).
х (р — а) +у (а — р) — z (р — а);
т(п — 2) + />(п — 2) + (2 — я);
2а (х -f-# — z) — 36 (* -(- у — г) — 5с (х -f-t/ — z).
(а + 6)3-а(а + 6)а;
(а-б)3+ 6 (а-6)*;
844. Решить следующие уравнения посредством
разложения на множители левой части уравнения и
проверить найденные корни подстановкой;
1) я3 — 4х=0;
3) 5х5 + х=0;
5) 7*3 + 2* = 0;
2) Зх2 — лг==0;
4) х4 + 8х = 0;
6) |*2-3jt = 0.
845*. Следующие уравнения привести к виду
ах*-\-Ьх = 0 и решить их посредством разложения на
множители левой части уравнения:
1) 4**+16* = *-+12x;
2) х -f- 40 + (х — 3)» = (2х + 7)*;
3) 3* - 10 = (х + 2) (2х — 5);
4) (*-3) (* +5)+ (*-2)>-1) = (*-!)(*+13). .
115

Найти числовые значения выражений,
предварительно разложив их на множители:
846. 1) 32а*х — 2Ъах "при а = 0,4, х=15;
2) х(а + 3)
у(а + 3) при а = 4, * = т,у = 1
4 •* 2
847. 1) 5х(т — 2) — 4х(т — 2) при х =0,4, т = 5,75;
2) 4а9 (х + 7) — За* (х + 7) при а = —0,2, х = 8,
848. 1) Составить выражение для вычисления полной
поверхности S призмы по размерам, указанным на
чертеже, изображающем развёртку этой призмы (черт. 31).
u+-q-+i 2) Разложить полученное
выражение на множители.
Черт. 31.
-н a U-A-J a U-£-
Черт. 32.
849. При составлении сметы расходов по окраске,
побелке или оклейке обоями стен помещения необходимо
знать площадь стен. Приближённо площадь стен
комнаты определяется по формуле:
S = 2 (а -[- Ь) Л, где S — площадь стен комнаты, а .—-
длина комнаты, Ь — ширина её, Л —высота комнаты.
1) Вывести указанную формулу, используя чертёж 32,
изображающий развёртку стен комнаты.
2) Определить по формуле площадь стен класса.
3) Составить смету расходов по побелке стен класса,
собрав сведения о стоимости материала и работы по
побелке I кв. м.
Упражнения для повторения.
850. Разложить на множители:
1) За2 — 6а; 2) Ъс + 1 Ос*; 3) х* + х1 — х\
116

4) 10a364 — 25a*b* - 15a66; 5) a (x — 1) — 5 (x — 1);
6) 3x(a + 2) + (a + 2).
851/Найти числовое значение выражения, округляя
ответ с точностью до 0,1:
30x4f/+10xty3 — 25*Y при х = 0,5, // = 0,2.
852. Вычислить кратчайшим путём:
5,83-19+ 5,83-54+ 5,83-27.
853Г Решить уравнение:
1 + Зх = 4х + [2х — (х — 3) ].
§ 27. Разложение многочленов на множители
способом группировки.
В каждом из следующих примеров заключить в
скобки два последних члена и затем вынести общий
множитель за скобку:
854. 1) 2а{х-\-у) + х + у\ 2) 36 (m + n) + m + n;
- 3) 4х(а —6) + а —6; 4) k(p — q)-\-p — q.
855. 1) Ьа{х-\-у) — х — у\ 2) Ах(т — п) — т-\-п\
3) 3b(ar+b)-a-b; 4) 2у(х — у)—х + у.
Разложить на множители:
856. 1) а(т + л) + 6т + 6я; 2) х(а + 6) + аг/ + 6*/;
3) а(х — у)-\-Ьх — Ьу\ 4) ас + 6с + а (а + 6);
5) а (а: — с) + 6с — их; 6) m(p-\-q) — pn — qn.
857. 1) ах + ау + 6х + 6г/; 2) ax — ay-\-bx — by,
3) а2 + а6 + ас + 6с; 4) х'3 + х# + а* + ш/.
858. 1) ас + 6с + а + 6; 2) ат-\-ап-\-т-\-п\
3) ху-\-хг-\-у-\-г\ 4) За — 36 + ах — Ьх.
859. 1) г< + Зх2 + Зх + 9; 2) х*^-ху — 2х + 2у;
3) m* + тл — Ът — 5л; 4) а2 — аб — За + 36.
860.
1) Юау—5Ьу-\-2ах — Ъх\ 2) 66^/— 156* — \ay-\- Wax;
3) 5а2 — Бах — 7а + 7х; - 4) 4х2 — 4хг — 3x + 3z.
117

861.
1) Зах —46# —4а# + 36х; 3) \0а1-\-2\ху— 14ах-- 15ш/;
2) 5ах — 66х — bay \- 6Ьу\ 4) ЗОах — 346х — 15а + 176.
862. Приписать к каждому из следующих выражений
такой член, чтобы полученный многочлен можно было
разложить на множители способом группировки:
1) ab-\-ac-{-bx .... 2) ат-\-ап — Ьт ...
3) ах-f-х — ay ... 4) а2 — ab-\-ac ...
863. Придумать два примера на разложение
многочленов на множители* способом группировки.
864. Найти двумя способами числовое значение
следующих выражений: 1) предварительно разложив их на
множители; 2) не разлагая на множители. Выяснить,
какой способ проще.
1) 5а2 — Ъах — 1а-\-7х при а = 4; х = — 3;
2) т* — тп — Зт + Зл при. т = 0,5; л = 0,25;
3) a*-\-ab — 5а — 56 при а = 6,6; 6 = 0,4;
4) Зал:—АЬу-\-Аау — 36х при а = ^\ ^ = "з"> х = 3;-
*/ = -4.
Разложить на множители:
865.
1) Зх2 — Зху + Зу* — Ъху\ 2) 12а9 — баб + 362 — баб;
3) х + х2 —х3 —х4; 4) х3 + х2*/ — х1г — xyz.
866. 1) ах* — Ьх* — Ьх + ах — а + 6;
2) ах* -f- 6х2 — 6х — ах + а + &;
3) ах3 + &** + ах — сх* + 6х — сх\
4) ах* + ^*2 — 6х — ах + сх2 — сх.
867. 1) 5ах2 —Юах —6х + 26 —х-|г2;
2) т2х4 — mnx3 -f- 2mx2 — 2nx — n + /их;
3) x#z + xV + 3*y + 3xVz — xy — z\
4) 12а*62 — 6a6c + 3ac2 — 6a*6c — c + 2a6.
868* Доказать тождество:
x* — xy-\-2x — 2y=(x — y)lx + 2).
118

Указания. Использовать два способа
доказательства: -
1) разложить на множители левую часть равенства;
2) выполнить умножение двучленов в правой части
равенства.
869. Решить следующий пример двумя способами:
1) не делая предварительно преобразований;
2) преобразовать данное выражение в произведение
способом группировки и вычислить ответ в уме:
139 15 + 18-139+ 15-261 + 18261.
Упражнения для повторения.
870. Разложить на множители многочлены:
1) ах + а + Зх + 3; 2) а3 — 5а* — 2а+ 10;
3) ах — Ьх — а + 6; 4) 7л:3 — х%у — 7х* + х3у.
871. Найти числовое значение выражения:
а3 — аЬ — 2а+2& при а = 0,35; 6 = 0,15.
872. Решить уравнение:
(1 + 3х) (1 — Зх) — 5х+ 12^ = 27 + 3 (х — 2) (* + 3).
§ 28. Разложение на множители по формулам
умножения.
№ 873—875 устно.
873. В формуле (а + Ь) (а — Ь) = а* — 6* поставить
правую часть равенства вместо левой, а левую часть —
вместо правой и прочитать получившуюся формулу.
874. Разложить на множители:
1)'Х* — у*; 2) т« — л*;
3) аа-4; 4) р*-9.
875. Придумать 4 примера на разложение на
множители по формуле разности квадратов двух чисел.
876. Следующий пример решить двумя способами:
1) не выполняя преобразований;
2) разложив предварительно на множители
76а —24*.
Какой способ рациональнее?
119

877. Вычислить устно, используя разложение на
множители по формуле разности квадратов чисел:
1) 85*-15s; 2) 175а—253; 3) 388*—312*;
4)(5|)9-(21)4; 5)5,6*-4,4*.
878. Придумать 4 примера на вычисление с
использованием формулы разности квадратов чисел.
Разложить на множители (№ 879—881 устно):
879.
880.
881.
882.
883.
884.
885.
1) 25 — х*;
4) 1—/и2;
1) 36<7* —25;
3) \а*-Ь*\
1) а*6* —4;
3) 16-т*л*;
1) aV —-i-6';
3) 9 ** ' •
°' 4 л 100 '
1) 4р4 —9;
3) р* — а*Ь*\
1) 81а»6« —1;
3) 100а4 — 8166
1) а4 — б4; 2)
2)
5)
2)
4)
>
JC4
с* —36; 3) а*— 1;
4х* —9; 6) т* —4п*.
1— 81**;
1 « 1 ,
2) *У-9;
4) 49 —pV.
о\ 4 » 16 „
2> ТХ -25 ^;
4) 1—0,01а*.
2) 1-*У;
4) 1664 —9Л
2) х*у* — г\
4) ав — 4.
— 16; 3) с4—1; 4) 1-
Черт. 33.
886. Радиус внешнего круга
кольца равен /?, а радиус внутреннего
круга г.
1) Вывести формулу площади S
кольца, зная, что площадь круга
равна тс/?*2, где тс ^ 3,14 (черт. 33).
2) Разложить получившееся
выражение площади кольца на множители.
3) Вычислить площадь кольца при
#^2,5 м, гя*Л,5 м\
/?я^4,25 м, г ъ 1,25 л;
#=15,25 еж, г = 5,25 см.
120

887. На чертеже 34
изображён план
земельного участка, часть
которого занята
постройкой.
1) Составить
формулу для вычисления
площади S
незастроенной части участка по
размерам, указанным
на плане.
2) Вычислить
значение S при а = 45,5 ле;
6=14,5 м.
Разложить на множители:
1 1 А
!-/>.., II
L
и
сэ
'
L а Л
Черт. 34.
888. 1
3
5;
889. 1
3
890. 1
3
891. 1
892. 1
3
893. 1
3
894. 1
3
895. 1
(т+/1)*_р*;
(За + 46)9 —9с9;
(2m-^l)9 — lOOn*;
(5р + 3?)9-25;
(Зр9-4я9)9-1;
(х* + у*)*-4хУ;
(а + 3)9—0,25;
р9-(<7-г)9;
Ш-(х-уУ;
1-(* + #;
1— (2а — 36)5;
25т9 — (т + п)9;
aW— (с9 — d)9;
|*9-(а-&)9;
2).(л: + 3у)9-23;
4) (а — 3*)*— 16с9;
6) (х-у?-х*у*.
2) (2а + 36)9 —с4;
4) (с9 — 6)»— 1.
2) (а9 + 69)9 — 1;
4) (т — и)9 — 25тV.
.2) (c_2)9-i-c9;
4) (6 — с)9 — 0.0469.
2) с9— (26 + с)*;
4) 49с9 —(а —б)9.
2) 9а9 —(69 + с2)9;
4) 4 —(Зо + 26)9.
2) 100 — (3x + 7t/)9;
4)х*у* — (х~-у)\
2) 9а964 —(с —d)9;
4) ^ У3-(*-</)*.
121

896. 1) (14-*)«-(р + г)«; 2) (т34-л3)3-(р3 + 1)»;
3) (4 + 7а)« — (8Ь — 9с)Р; 4) (m + л)3 — (4 — 5p)V
897*. 1) Доказать, что если а —целое число, то
(2а -(-I)'3—1 делится на 8 без остатка.
2) Привести 3 числовых примера, поясняющих данное
свойство целых чисел, и сформулировать это свойство.
898. 1) Доказать, что разность квадратов двух
последовательных чётных чисел делится на 4 без остатка.
2) Привести 3 числовых примера, поясняющих
данное свойство чётных чисел.
899. 1) Доказать, что если а —целое число, то а3 —а
делится на б без остатка.
2) Привести примеры и сформулировать данное свойство.
900. Зная, что с3 — а, где а — целое число, делится
на 6, доказать, что следующие выражения делятся на 6:
а3 + 5а; а3+11а; а3— 19а.
Указание, a3 -f- 5а = а9 — а + 6а=(а3 — а) -}- ба.
Разложить на множители:
901. 1) (2х+3)а — (*_ 1)*; 2) (За — 2ft)» —(а + 6)«;
3) (5р + За)4 — 4я*; 4) (2т - л)3 — (т + л)3.
902. 1) 9(т + л)3 — (т — л)*; 2) 4 (а — б)3 — (а + Ь)*;
3) 16(а + 6)3 — 9 (* + »)*;'4) 9(а — Ь)* — 4(х—у)\
903. 1) 25а9 — (а + &)*; 2) 4х* — (Зж — 2t/)3;
3) (р-2Яу-4(р-^дУ; 4) t<, _|_ &)» - 9 (6 - с)*.
904. 1) 4 (а +' б)'2 — 9 (а — 6)J; 2) 16 (х—yf—25 (* -f у)*;'
3) 49 (2т — Зл)3 — 9(т + я)'3;
4) 4(3р + 5а)3-16(2р-а)3.
905. 1) (*3+#9)3 — 2лгу(х3+^);
2) (p-4f + 2pq{p-q)\
3) (а+6)8 — а9 (а+ 6);
4) .4а* (а + 6) — (а-f б)3.
906. Решить следующие уравнения путём разложения
левой части уравнения на множители:
1) х* — 36 = 0; 2) ж1 — 9 = 0; 3) лг3—^ = 0;
4) ха — 0,09 = 0; 5) х3 — 1,44 = 0.
122

907. Следующие уравнения привести к виду х9— 69 = 0
и решить их путём разложения левой части на
множители: /
8) 2л;9 = 50;
6) 4л:9 — 25 ==0.
1) *9 = 25; 2) х9=-^;
4)'3*» —27 = 0; 5)9л;9=16;
Разложить на множители:
; ^ 908. 1) ^т*-±п*; 2) (х + у)*- {х-у)\
909. 1) а9 — 9(6 — с)9; 2)1— (x — yf:
\ 910. Вычислить: 1) 56* — 443; -2) 879*— 1219;
3) 76,89-23,22; 4) (7-f-)'- (г|)\
i
Разложить на множители, используя формулы
умножения:
(а±6)9=а9±2а6 + 69;
(а rfc б)3 = а3 ± За96 -f Заб9 ± б3.
911. 1
3
912. 1
3
913. 1
4
914. 1
3
5
915. 1
3
916. 1
о
4
917. 1
2.
2) а9 —2а6 + 69;
4) а9 — 6а + 9j.
2) 2etf+d*-H»;
а9 +2а6 +б9;
а9 +6а + 9;
m9 -f- n9 — 2лт;
-2ра + а9 + р9.
х9 + 2лг+ 1; 2) х9 — 2х+1; 3) 4а9 + 4а+1;
9т9—6т-И; 5) —а9—2а—1; 6) —6а —а9 —9.
2) л:1 — 26л"9 + 69;
4) 9p4 + 6p9gH-g9;
6) — 9c9+12cd9 — 4d4.
2) 25л-1—Юл-у + У4;
4) 36р*+12рУ + а4.
а3 + 3а96 + 3а69+63; 2) л:1 — Зл:9!/ -J- Злу9 — ^;
т3 + 6т9п + 12т/г9 + 8п3;
а3 —6а96+12а69 —863.
125т3 + 75т9 + 15т+1;
64 — 96а-f 48а9 — 8а3;
123
a4 + 2a*6-f б9;
25т4—10т9п + п9;
— х*1 — 2пх* — п9;
4а4 — 4а96*+64; '
9т4 + 6т9п9 + п4;

3) a3 + 18a8 + 108a +216;
4) g a V +1 aW q_ a6V + ^ ce
Разложить на множители:
918. 1) p3 + g3;
3) a3 + 8;
5) a3+l;
919. 1) m3 — 27;
3) 1-a3;
920. 1) 1—8a3;
3) 8a3 + 63;
2) p3-a3;
4) a3+ 27;
6) X3 — 8.
2)p3-l; .
4) 1+c3.
2) 27 —8a3;
4) 27x* — 8y\
Найти числовые значения выражений, предварительно
разложив их на множители:
921. а'2 — б8 при: 1) а = 78, 6 = 22; 2) а=178, 6 = 78;
3) « = 3,5, 6 = —3,5; 4) а=15-|-, 6 —4-J-..
922. 2х8 — 2г/8 при: 1) х = 55, г/ = 45; 2) х = 89, у = 11;
3) лг= 132, </ = 32; 4) x = 86, г/ = 36.
923. х* — 2ху + у* при х = 65, #=15.
924. 5а2— 10а6 + 568 при а=124, 6 = 24.
925. ^-а' + аб + уб9 при а = 64, 6 = 36.
926. ах*-\-2axy-\-ау* при а = 4, х = 71, # = 29.
§ 29. Применение различных способов
разложения на множители.
Разложить на множители:
927. 1) 7т8 —7; 2) хг — х;
3) 5а3 — 5а; 4) а36 — аб3;
5) 5/п3 —5mn3; 6) 5а8 — 2(к8;
7) 7хУ — 63x8z8; 8). рУ —ру.
124

928. 1) 2л* + Аху + 2г/2; 2) 5fl» 4- 1 Оаб + 562;
3) 3m3 —6m + 3; • 4) 6р2 —12р + 6;
5) Зхг/2 + 6л-# + Зл:; 6) 2а —4а6 + 2а&9;
7) 12^</ + 24л;4г/+12д;3//; 8) 9а*69 —18а363 + 9а2&4.
929. 1) (а9 + 1)2 — 4а»; 2) (л:9 -f 4#)9 — 16;
3) 36а9 —(а9+ 9)9; 4) 81 — (л;9 + 6л:)9;
5) а9 —2а& + 69 —с2; 6) т2 + 2тп + п2 — р2.
930. 1) 9(5п — 4р)2 — 64л*; 2) 100л;9 — 4 (7л: — 2у)9;
3) 81а» — 16 (2а — 36)*; 4) (а + Zbf — 9 (b — с)2;
5) 9 (2а—л;)1—4 (За—л:)2; 6) (4а + 36)9—16 (а—Ь)\
931. 1) а-2 + 2лч/ + //9-1; 2) р2-2ра + а2-4;
, 3) 9 — jcj + 2x# — у3; 4) 4 —а2 —2а& —б2;
5) 1— т* + 2тп — п9; 6) 1— р9 — 2ра — а2;
7) 4а2—20а6+2562—36; 8) 16т2—8mn-fn2—49;
9) 25л:9—4а9+12а&—962; 10) 9л:2 — 4#9 + 4уг — г2;
932. 1) а' — 6е — а + 6; 2) л:2 — у%-\-х+у;
3) т? — тгп — /п/г2 + п3; 4) х?-\-х*у — ху% — г/3;
5) а14-2аЬ4-Ь* — ас — Ьс;
6) дсг — уг — *2-f 2дсу — у2;
7) т2 +«2тгг + п2 — р9 + 2ра — а9;
8) ai-\-2ab-\-bi — ci — 2cd — di.
933. 1) х5 — л? + л:9 — 1; 2) т« + т3 —т2—1;
3) а3 —8 + 6а9—12а; 4) p3 + 8-f 6р9 + 12р;
5) а4 + а3 + а+1; 6) л^ + л? — х— 1;
7) 0? + а9& — аб9 — б3; 8) х3 — х*у — ху* + У3.
934. 1) m4-V; 2) ав —б6;
3) xi — х* + х — 1; 4) V — а4 + 2а3 + 2а2;
5) (а + б)3 — (а — ЬУ; 6) (а + 6)* — (а — Ь)К
9
935. 1) ав —а3 + а2—1; 2) л:4—.л;3 —л:+1;
3) а8 +а9 — а— 1; 4) с3—Н— с* + <*; ,
5) с»— с4 — с+1; 6) 2д4 + 2Хг2а8 —2°;
7) *» — х* — 2л3 + 2*2 + Ь-1.
125

936, 1) Доказать, что если к произведению двух
последовательных натуральных чисел прибавить большее
из них, то получится квадрат большего числа.
2) Доказать, что произведение трех последовательных
натуральных чисел*, увеличенное на среднее из них, даёт
куб среднего числа.
937*. Разложить на множители следующие
квадратные трёхчлены двумя способами: 1) способом выделения
из трёхчлена полного квадрата двучлена, например:
х* + 6* + 8 = д^ + 6х + 9 —9 + 8 = (х + 3)« — 1 =
= (х + 3+1)(х + 3-1) = (х + 4)(х + 2).
2) Путём замены среднего члена равной ему суммой
двух членов, например:
х* + 6х + 8 = х* + 2х+4х + 8 =
= *(х + 2) + 4(х + 2) = (х + 2)(х + 4).
1) *3 — 5* +6;
3) а9 — 7ай+1269;
5) х9 — х — 12;
2) *а + 6х+8;
4) а9 — 7аЬ + 10Ь*;
6) *' + *—12;
7) а9 — ЗаЬ — 1 Об1; 8) а9 -f lab — 1569;
9) 2а*+10а+12; 10) 2х*+Ш-{-24;
11) 2m9 — 6m + 4; 12) Зр9 + 27р + 54.
§ 30. Деление многочленов с использованием
формул умножения.
Выполнить деление, пользуясь' формулами умножения:
938. (Устно.) 1) (с9 —d9):(c + d);
2) (с9 — d9): (с - d); ~ 3) (т9 — /г9): (т + л);
4) (*9 - 9): (3 + *); 5) (а9 - 4): (а - 2);
6) (т9 - 1): (1 + т); 7) (А9 - 4): (2 - k).
939. 1) (25-а9): (5 +а); " 2) (36 - р9): (6 - р);
3) (1 - 4л:9) : (1 — 2*); 4) (1 — 9с9): фс+1); .
5) (16 — mW):(mn-\-4); 6) (49 - *У): (л# + 7).
126

940.
I) (i6aa — 96*): (4a+ 36); 2) (100m9 —64/i9): (10m —8n);
3) (49jcj — 811/'): (9</ + 7x); 4) (100m4— 64ne):(8n3 — 1Om9);
5) (121c9 —169d9):(13d + Hc).
941.
942.
о (i*-
2> (»**-
3) (g*.
0 (в*-
(Устно.)
->H±-
-МП»
25 Л./5
-64П):1Т"
44№d
+4»)-.
—s-*);
i+jffl)i
-м-
1) (a* + 2aft Ц- 6»): (a + 6); 2) (x9 - 2xy + y*) :(x-y);
3) (a4+2aa6,+6»): (a* -f ft9); 4) (m4—2m9n*+n*): (m9—n9).
943. 1) (9** + 30* + 25): (Зд: + 5);
2) (a' + 2a+l):(a+l);
3) (л-2 — 4ж + 4)7(дг — 2);
4) (9 — 12х + 4л;9):(3 — 2x).
944. (Устно.) 1) (a3 + 3as6 + 3a6s + 63):(a + 6);
2) (x3 — 3*fy + 3xif — t?): (x —«/);
3) (m3 -f- 3m9n + 3mn9 + n3): (m9 + 2mn + n9);
4) (p3 - 3p9a + 3pa* - g3): (p* - 2pq + a3).
945. (Устно.)
1) (a3 + 63):(a + 6); 2) (m3+ 1): (m + 1);
3) (a3-ft3):(a-b); 4) (x3- 1): (x- 1);
5) (x« + 8):(x + 2); 6) (n3-27): (n-3);
7) (8a« -. 1): (2a - 1); 8) (27 + 8^): (3 +' 2y);
9) (а* + Ь*):'(а*-\-Ь*); 10) (m9 — n3): (m* — n).
946. 1) (Устно.) (Jr'-t/3);^-^+ </*);
2) (Устно.) {тг-\-п*):{т* — тп + п*)\
3) (8a3 —27): (4a9 + 6a+ 9);
4) (a3+l):(a9-a+l);
5>(t*-0:(t*+t*+i).
127

947. Выполнить действия:
П а*-Ь\ **-4л:~(.4,
4 a + b ' L) jc*—4 '
*' 2а —2b' 4' З + Зх + Зх2'
Задачи и упражнения для повторения.
948. Разложить на множители:
1) (За^-2Ь)* — (За-56)2;
2) Л'3 + 3х2 —4х—12;.
3) а* — 2ах + £ — Ъ\
4) 8^ + 36х3 + 54х + 27;
5) 0,125а3 —8.
949. Доказать, что разность квадратов двух
последовательных ' чётных натуральных чисел равна удвоенной
сумме этих чисел.
950. Решить задачу при помощи составления
уравнения.
Из квадратного листа жести сделана коробка, для
чего по углам листа вырезаны квадраты со стороной в
6 см и получившиеся края загнуты. Найти размеры
листа и объём коробки, если площадь дна коробки
оказалась на 336 кв. см меньше площади листа. Сделать из
бумаги развёртку этой коробки и путём измерений
проверить решение задачи.

ГЛАВА VII
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ.
§ 31. Основные понятия об алгебраических
дробях.
Составить формулы решения следующих задач, а
затем определить числовое значение ответа при данных
значениях букв:
951. Одна машинистка может переписать рукопись в
а часов, другая в Ь часов. Какую часть рукописи
перепишет каждая машинистка в час? Какую часть рукописи
перепишут обе машинистки вместе в час? Через v сколько
часов они вместе перепишут всю рукопись?
Вычислить при: 1) а = 4, 6 = 6; 2) а = 2у, 6 = 1—.
952. Бассейн наполняется одной трубой в t\ часов,
другой в U часов. Во сколько времени наполнится
бассейн, если открыть одновременно обе трубы?
Вычислить при:
1) *1 = 8, ^=12;
2) <1 = 3|, /2 = 3;
3) *! = 0,5, /9 = 0,25.
953. Переднее колесо трактора имеет окружность в
а метров, окружность заднего колеса на b метров больше.
Сколько оборотов сделает каждое колесо на расстоянии
s метров? На сколько оборотов переднее колесо сделает
при этом больше заднего?
Вычислить при а =1,5; 6 = 0,5; s«=»450.
954. В городе а жителей, и население его ежегодно
увеличивается на /7%. Определить, сколько жителей будет
в городе через год.
5 П. А. Ларичев
129

Вычислить при:
1) а=15000, р = 5;
2) а=70000, р = 3,4;
3) а =1000 000, р — 8,5.
955. Конвейер имеет длину рабочей части / метров.
С какой скоростью движется лента конвейера, если
предмет, помещённый на одном конце конвейера, достигает
его противоположного конца за / минут?
Вычислить при:
1) / = 32,4, /=3;
2) / = 24,5; /==5.
956. Записать в виде дроби частное от деления
алгебраических выражений:
1) я: 6; 2)5: л:; 3) а: Ь\
4) {а + Ь):4; 5) 9:(m — л);
6H* + *):(*-y); 7)rf:(a-*); .
8) Sx: (2x + 5j/); 9) (4m — 3/t): (m 4- я);
10) (jc2 — 2х+1):(5ж* — 6х— 2).
957. (Устно.) Какое значение имеют следующие дроби:
1) —, если а 9^0; 2) ^, если 6^0;
3) F=^' е(^ли X9^?
958. При каких значениях т обращаются в нуль
следующие дроби:
\\ ш~2 о\ 0* + 5 о\ *я—3 -v т(т — 10)
*' 3 ; Z> m ; 6) т~+Т; *> m+15 ;
■-V (m + 2)(*-3). fi. (т+1)(;я-4)?
959. При каких значениях х следующие дроби не
имеют смысла:
. б) gj; в) j5^; 7^ j—j 8) ^^;
1» xyj> {х—\){х — 2){
9) *•*—Р 10) <х— IWa: — 2>?
130

960. 1) Найти и внести в таблицу числовые значения
дроби #==-^0- при данных в таблице значениях х:
X
х—\
0
1
2
3
1
4
5
6
^
—\
—2
—3
—4
2) Пояснить, при каком значении х дробь
л: —1
не
х + \
имеет смысла.
961. В каких из следующих выражений изменится
знак, если изменить знак х на противоположный:
_2,
х*
1
2_
х'+к **+!.
4 + лг
га?
962. Не изменяя величины дроби, преобразовать её
так, чтобы числитель и знаменатель дроби не содержали
знака минус:
п ■ — 2а оч 8с3 о\ — 3/я
О zr^u\ 2) —тхтг; 3)
4)
—ьь
— х
;5)
— 15ЛГ1
Злг2^ .
-10*'
6)
4/г
— 4д6
7crf *
963. /Не изменяя величины дроби, преобразовать её
так, чтобы перед дробью стоял знак минус:
1 —х Лч m 0\fl — b
i)
4)
а
X— 5
2)
5)
m
I — л'
& — ЛГ»
3)
6)
964. В день самоходная сенокосилка может скосить
m гектаров травы, а конная — п гектаров. Сколько дней
потребуется для того, чтобы 1 самоходная и 3 конные
сенокосилки, работая одновременно, скосили траву на
площади в s гектаров?
Вычислить при т = 60, п = 5, s = 300.
965. Сколько нужно грузовых^машин для перевозки
п мешков картофеля по р килограммов в каждом, если
на йаждую машину грузить по t тонн?
Вычислить при л ==90, р = 50, / = 1,5.
131

966. Из двух,., городов, расстояние между которыми s
километров, вышли одновременно навстречу друг другу
два поезда. Скорость одного поезда v км в час, а
скорость второго на b км в час больше скорости первого.
Через сколько часов поезда встретятся?
Вычислить при и = 30, 6 = 10, 5 = 350.
967. Для вспашки поля в t дней требуются т
тракторов. Сколько таких же тракторов потребуется, чтобы
вспахать это поле на d дней скорее?
Вычислить при £=10, m = 6, d = 4.
968. Колхоз заготовил сено на t дней при
ежедневном расходе в т килограммов. На сколько дней хватит
этого запаса сена, если ежедневный расход уменьшить
на п килограммов?
-Вычислить при /=120, т = 500, л = 20.
969. Куплено на s рублей т килограммов муки;
ежедневно расходуют из этого запаса муки на п рублей.
Сколько килограммов муки останется через t дней?
§ 32. Сокращение дробей1.
Сократить дроби:
• 1>\V Ш> 210» 1215» 3990» *> 206' 61 ас*
бху -v 10тл# а. Sax ш 7v 2а2 \ Q, 24m8
4^"8F» °> Tw D' T6ST» 1) ШГ> Ь)
Sx > u; \5mp* u; 16ey' ч Sab > u; 16от8я *
971 П< о^6*'*"- ^^V- 4^ 15PV.
-v ЗОаб4 R. 12л^уг ?v 4аб64
D'45a365> bM8*V*; ' 8a768 * -
o79 n 3g(*+;y)' . оч \0аЧ(х-уУ . q4 7*'V(fl + ft) .
3(fl-6)(a-c)2. -v a (6 + 0. fix 8g(fl + fr)
^ 6(д_ 6)(a — c) » u;a(6 + c)> u'4e(e + &)"
973. Пояснить справедливость равенств:
n a —2__2 —a a —2 2 — a.
j^ 6 — 4 4 — 6 4—6~ 6—4'
1 В упражнениях на дроби всюду подразумевается, что буквам
даются такие значения, которые не обращают знаменатель в нуль.
132

o\ « g „ «
'.(*—*)■(.* — *) ""(Д —JC)(ft —AT) (Я — *)(* — Ь)
a
(x-a){b-x) '
Сократить дроби:
974. 1) £=-*; 2) ££=4; 3) ff(f~y\i
' b — a' ' b(a — x) ' ' 15a(y— л:)' -
4v Зт(л:—1) # j-ч 8fl2^8(jc —5) fi. 14jcy6(2g — 3b)
q)9m2(\—xy DM2<tf4(5 —*)' °' 21*»y (3b — 2a)9
Q75 n5fl —5ft. o\ 3* + ЗУ. ox 4m--4tt. .* 6/> + fy
y/°- ''"W"' ^ —6л^~' J' 8a + 8ft ' ^ 12*+12y# '
976. 1) 2^; 2) *-^; 3) -* ; 4) -*L_.
' ac-\-bc* 'ax — bxy ' a2-\-ab* ' x — xy
^\ PQ3 fi\ ac — ^ 7ч k2-\-k ^v a2 -f- 3ab
°) p2q—pq2i b) c2 + cd> l) kx — ky" • ' a2b-\-3ab%%
2ac — Abe
Q77 П x' — Zxy. o\ 3x2 + 4xy . «v
* ч xy — 2y2' *> 9а:8зг —16y» ' °} 5a*c — 20ab2c '
.v x2 — 2xy m сч л:3 — 2x2
' 2y2 — xy ' ' 2xzy2 — xAy *
Q7R П a* — b\ o\ л:2 —4л:+ 4 .
?78' ^"S+F» 2> *2-4 '
. °' 5a~=2b' ^з + Злг + Зл:2-
979. 1) 4=^; 2) ^Ц; 3) *^=£;
' x2—у*' 'я2— 1' ' ялг— bx*
A\ 3fl2~3. c\ Д3 — 2fl2
4' 5a —5 ; &' a2 —4 *
980 nitf!. g^ *—*'. q\ (£jzil!.
yW- ^e«— p ^л;»— p ^ e« —ft»V
(jr-f^y)2' ' 1— a ' "' (n — trit
Qftl П (НЫ12. 9\ fl2-! . Q\ 3^2-3л:^. ~ 20a*-45ft*
^ol- 4- a2__{ , ^ (a—1)2> °> 3(лг—.у)3 » *' (2a + 3ft)2
982. 1) *'+_У. ; 2) ^Ь1;
о ' Зоа —бд^ + З^2 4. 5т8 + 10т/г + 5/г8
' 6л2 —6ft2 ; ' 15m2—15/г2
Q8S П fl8 + ^8. 9ч P*~Q\ оч 2*'-2y». д 3m2 — 3/t».
uo°- l J a2 — b2 ' L) p2 — q*' °; 5.v2 — 5y2 » ^; 6m8 + 6л8 *
133

««
984. 1) ife£; -Я) 4^4; 3) 5^;
7 jc2 -j-У' ^' a2 — л;2 ' 'a4 — £4 '
И*1-*!- 5\'£L±ftfcl!. в) 16-8fl + fl2
985 n5*Sifc5S!L. pi fl4~*4 ■ q\ 2fl+4.
*'" 2л4--2&4 ; 0j *•■—1 ' D' 6m« + 6/i3 *
'/ л:8—у» ' °' ла —&2*
Qftfi n А-*+ду —far — fry.. o\ <*c^-bc-\-ad — bd
7 ел: — ду.— for + &y' ec + be-\-ad-\-bd '
o; ax + ay + bx + by* }< a + b + c '
a* + b*^c*-\-2ab. x*-x*-X + \.
°/# l) a* — *2 + c2 + 2«<! '- ' ^4 —2^ + 1 '
ov 1— Зу + Зу2— У . 4v x* — ax + bx — ab
' z— zy + x — xy * • ' x*-\-bx*-\-ax-^-ab*
Oft* 1 \ Д2 — b* оч 5л» + я2£ + 5ab2 + b*
fl. + l . (т + п)*
0) 6а2 4-12^ + 6 ' *' 2л12я + тл2 + т8 *
с, 3*2.y — xy2 fi. • a*fr-fafra
°J Зл-8 — Зл^* — л^у+У*' 7 д8 + £8+Зл& (<* + &) '
QRQ* п£1±Ё£+1. очуД2 + За + 2. o4£lzzZ£±J2.
ш>* • 1;a;2 + 4jc + 4' Z; ei + 6e + 5' *' дга —блг + 9'
4v лг2 + 2л:+1 -. 2ab — a2 — b2 + с* fiv a' —g^ + дУ
*' лг24-8дг + 7 » DV + ca — *а + 2ас ; Ь' &8 + а8 '
990. Найти числовое значение выражения ^^^\ ^
при д: = 2,6; #=1,5 двумя способами:
1) подставить в данное выражение х=2>6; #=1,5 и
выполнить требуемые действия;
2) предварительно сократить данную дробь, а затем
подставить числовые значения букв.
991. Упростить дроби и найти числовые значения
выражений:
1)^72", еслиа = 1,4, а=2,5;
134

2)
a*x — ax*
a — x
, если a=3,5, x=l,12;
3)
4)
3a* — ab
9a* — bab + b* '
ac + 2c
если а = — 8, fr=-g-;
3 . 2
/a = T, 6 = -T;
— a —2' если a = 3> c —— T»
a8 —4
о 1 1
a = -2T,c=-T#
992. Доказать справедливость следующих тождеств;
993. I
994. 1
4
995. 1
3
996. 1
;3
997. 1
3
998. 1
3
999. 1
3
1090. 1
з:
ас •+• bx -f ax -\- be [ лг-fg .
ay + 2bx -f 2ax + by 2x+y>
x — xy-\-z — zy x + z
1 — Зу + Зу* —у — (1 —.у)3»
3a3 + o^ —6a^ —2^8 _ 1
9fl5 __ аЬк __ l8fl*^ + 2^5 — 3aa — &» •
Решить уравнения, принимая за неизвестное букву х:
5х = а;2) Зх=126; 3) 4х=3с\ 4) 2x = 3d.
ах = Ь\ 2) сх = 2а\ 3) 4тх = 6п;
8аЬх = 2а*Ь.
Зх=а-\-Ь)
Зх-\-Ь = 2а;
ах — Ь-\-с\
2тх-\-а = Ь;
5л:—10а =156;
ax-\-db = ac\
a*x — ab = a\
4тп — 2пх = &п\
(а + Ь)х=с\
Ъх — сх—и\
ах — 2х=а* — 4\
2) 2х — т = п\
4) 5х — Зс=4Ь.
2) ax — p = q\
4) Зля — 56 = 2а.
2)'4т— 2х=Ьп\
4) pq + px^p.
2) т—т4х=тл;
4) 8а*6 + 12алг=4а*.
2) (т — /t)x=p + g;
4) jf — алг=а.
2) тх — ш:=5т — 5л;
6х —а6х=6Ъ —аб*; 4) ах — Ьх=т? — Ь*.
135

1001, 1) <Рх^Ь*х=;а\-]-2аЬ -{-&-,
2) 3m*-f3n*=6m4 —6л*;
3) ax + *=a8-f-2d + l;
4) т?х + 2mrix + n*x == 3m« — Зла.
§ 33. Понятие об отрицательном показателе степени.
Следующие дроби представить в виде целых
выражений путём введения отрицательных показателей степеней:
1002. 1) ^; 2) 1; 3) j^ 4) ^.
,003.. 1)|; 2)1; 3)1; 4)^.
1004, Следующие десятичные дроби представить в
виде степени 10, вводя отрицательные показатели.
1) 0,01; 2) 0,001; 3) 0,0001;- 4) 0,000001.
1005, Вычислить:
1) ЗЛ 2) б"3; 3) 2Л 4) (-i
5) 10"1; 6) 10"3; 7) ЮЛ 8) ЮЛ
1006. Записать следующие десятичные дроби в виде
степени 10 с отрицательным показателем:
1) 0,04; 2) 0,012; 3) 0,000006; 4) 0,00000015.
1007, Записать в виде десятичных дробей следующие
числа;
1)3-ЮЛ 2) 17-ЮЛ 3)4-ЮЛ 4) 28-ЮЛ
1008, 1) Найти, какую часть составляет 1 мм от 1 км,
и выразить её в виде степени числа 10 с отрицательным
показателем.
2) Найти, какую часть составляет 1 г от 1 ц, и
записать её в виде степени числа 10 с отрицательным
показателем.
1009. 1) Диаметр молекулы воды равен 0,000000028 см.
Записать это число в виде степени числа 10.
2) Толщина плёнки мыльного пузыря приблизительно
равна 0,00000006 см. Записать это число в виде степени
числа 10.
136

1010. Кусочек золота раскатали в листок толщиной
0,00001 см, Записать это число в виде степени с
основанием 10.
1011. Капля масла может разлиться на воде слоем
толщиной 0,0000001 см. Записать это число в виде
степени с основанием 10.
Упражнения для повторения.
1012. (Устно.) 1) При каких значениях а следующие
дроби обращаются в нуль:
1)2-5. 2) (Д-1Н—3)?
2) При каких значениях х следующие дроби не имеют
смысла:
*) 2 = *' 2) (л: — 2)(* + 3) ?
Г()13. Длина железного стержня при нагревании на 1°
увеличивается на 0,000012 первоначальной длины.
Записать этот коэффициент линейного расширения железа
в виде степени 10 с отрицательным показателем.
1014. Записать в виде десятичной дроби следующие
числа:
1) 7-10"8; 2) 15.10-V
1015. Сократить дроби:
п 6а2Ь2 — За*Ь 9. 2ху* + 4лг^2 + 2ху
l) \2a2b2 — Sa*b ' Z) f + Зуа + Зу + 1 '
1016. Найти числовое значение дроби (с точностью
до 0,1):
а2 + Ь2__с2 + 2аЬ при а = 6,4, 6 = — 1,5,
а2 — Ь2 — 2Ьс — са 0 л
с = 3,4.
Сократить дроби:
- . Ю.7. I, ^i^; 2, *±^;
оч m2 — 6w+ 9 л\ аЬ2—Ш*
6) т*—Ы ; *' (4a-\-b)2 '
1018 П *'.У + 2*У+яу» .оч 2fl + * .
IUIO# *' у5 —л:2 зг»2 — 12а2 '
*' > + 262с + ^2.; q) 2т*п + 2п* m
137

fWfc Haftra числовое значение выражения,
предварительна упростив его:
т3 + в'— рг+2та при Й1я« — 12,4г««*15,6,
§ 34. Сложение и вычитание дробей.
1020. (Устно.) 1)| + 1; 2) |—|; 3).| + -|..;
«>*-* *>fi-fe «т+т*
- 1021. 1) £^* + t. 2) T*+ .f.
av w — n" i « + Л *ч 5*4-1 л:
cvC-l-3 a+\. f.. 3?—2q p—q.
°> 4 4 » °' m Я '
7ч х—1 , .r-f-2 л; —3 g,. 2лг+1 , Злг-fl х—2
1022 П а + 6 I а~Ь ■ . m -у+4 .. /-f-3.
оч 1-я» _ 1-Зи, 4v 3a-|-l 2а + 3
> p — q p — q' ' х+у х+у '
1023.1)—. + :-^-; 2)^- —-j-^-;
7 л:—1 ' 1—л:' ' в — * Ь—а'
3\ V | - " . 4)-^~ —-В£-
°> 2p — q^q — 2p' ч'а — 2 2 — а'
Ю24. 1)J±}+^|; '2)^+^-^+25.
д — 5 | а-|~5
р — q q— р' ^7 а — 3*3 — а*
ox tn-\-n m — nt дч а — 5 , аЦ-5
Ю25 П а — b • 2) c + d -4- c~d •
iii^o. WX2_! i-_.**» ^/С2_6я -Г^_С2 ,
qv g Ь | С .v ЛГ+1 *+2 Л'—1
•*-*-У у — х*х—у* ' а — Ь Ь—а а — У
138

W-Vj+h 8>5-a: 8>f+|; «T-f..
«T+f. «f-T' »>*+*••
8\i**_ll£. q\ j£4-^_l1£. 1л\ ?£_3e , £_.
°> 120 90 ' ^ 3 ^ 10^15' w; 15. 20^12*
11 \ 4£ _ 2л- , 8л: \o\— 3m | m
1 '25~35 ~Г2Т' ^21 ^~2Т~т~42-
1027 .IV- — -- 2V- —£• 31^.4-—- 4V———
1028- Di + jii 2)^-^;
6) 5b Ab> 4> 6л: -30**
*°29- »).c+h;2)r--|; *>£+£; *)&-*•
тол 1 \ Зл:— 2 | 5л: — 3 оч 2a — 3 , 5аЦ-3
103Q. l> —д—Н j-; 2) — h-T1-;
pv 2m + 5 Ш-1, , 4p + 3q 2p—g
°' 6 8 • *' 10 15 *
.лп. i\ 4a — 5£ 3a — 2b m /я— Зл 2m —n
Ю31. 1)-^ J3-;i 2)—^ g—{
av47*+2y | Здг—у .. 26» — За' 5а2 — 4'
3, 2РЧ-&УЛ; о*+ 56*. ^ &' + &*» i &— Sac
' bx ax ' ' ac ""• &c
1034. 1) Ц--; 2)54-2-%;
' x% x ' ' л2 a8 '
nv 1 , 2 . 4. 3 4_
6) Writ ~* m*nA ' ' a*b* aW'
1035. 1) 2J —jp; 2) rj + rg-fi—fpp*
q\ 3 , 6* 7 Ич 5a 7» д lie ч
4a* ^ 2a&8 6a«* • ^ 6fr*t 12«с» ~ Ш^ •
Ш

ihqa л\2а — ЗЬ 4а —5Ь оч 5я8 — ЗЬ , 6а — 2Ь*
. -v ^g2 + 3g^-$ , 4а—1 4v bx* — 2x—\ _3^ — 2
1037. l)i^ + ^_5-^-L;
, оч 2a + 3ft g —26 , а — Ьл
2 3 ~ 4
гЗУ 3(y —
4 6
8) x-rdy 3(у — 2х)л
— ab
Ю38. 1) 5(2a —fr) 3(a —46) ■ 7(a-6).
- оч (*+J')2 I (Х-УУ х*-у\
*> 6 T—[2 4 '
m li^lf Заг — 2frc 3e , 5a — b 46 — a,
' 4c бес 6+2* 86 '
4- 3c —26 , a — Ab , 5a —с 2c — 36 3
' 86c "i" 12a6 "+" бес 36c 4a'
Ю39. l)m+l;2)^-p;3)^-*;4)a + ^
1040. \)™>=*-ab; 2) a-±-±;
o\r 1 1 >i\ л — 1 i- e — 2
3)5-у-Г- 4>a—r+"T--
1041. 1) 3x-+-^-£=-3; 2)^-?^^ + x;
оч 2л: — by 3x— v а л a — b 2a 4-b
3)—5-^—y--^; 4) 2a r f-.
1042. l)^-m + n; 2)a-&-^;
/>
4)p + <7 5
Решить уравнения:
1043. l)^±-7_3 =
— Я Р+3
блг—З.
8 '
9v£=4_Q 2x — 41
Z' 5 —У ~9 *
140

8> 10-.**-* ~**#L.
1044. \) ±=Ь + Z=1=X-=1 + :
3 ♦
z> ~~2 г
8 — x
3 6
i x — 2
4)
2
7-t-9.y
= 0;
= 36;
■1 + ^ = 7х.
,045. 1) l-2-^-5^^; 2)^+l2-
6 — 4 ' "' 4
Х+П Здг-7 _ 9. ., , 9 1 _4£+3
2 —
3 »
2 —3a:
Ю46. i)5£^+2j^lL=4; 2)5^_y==1.
3)
- = 3; 4)'
1047. l)4-^_i=l^
3x — 4
= 5;
2)
9л: —5 3 + 2* 8л: — 2 _
2;
оч 5л: —1 , 4л: —3 3 —2л: 0
J) —-п— Н 9 о-=Ь»
4v 8л: + 7 , 3 —2л: _ 5л: — 2
4' 6 ' 2 2 =
:32.
12
1048. 1) х-
л- —1 2л:—5
3
* + 8
2).2х +
Злг—1
5
5л: —2
= 7;
= 2.
1049. 1) x+i^fl— Щ^ —
= 5
л: + 6
2л: —5 . х-\-2 5 — 2л: 6 — 7л:
6 ' 4
л: —4 , Зл: —2
2>
-ч4лс ,« , Зле—17 *-{-5
4)я- —17Н 2 =-Т^-
3
2лг+1
■7;
■*;
141

men i\ Здг —2 x ,tf—£ 5x—9
1050. l) -^ -a =-T g-;
оч5дс+1 . a*—1 ftc+i 1 —лг
^—6~~t—r~^~^~~—s-
.4 2x—10 1C Злг —40 57 — *
4) _g 15 = —Г 5—
1051 П ■ *(•*-•») — 3(*-H) ?P*-S).
1051. 1) —- _ g. n ,
9v 2 (л: —4) , 3x4-13 3(2*—3) -
/; з h—g — 5- '•
Q4 ,.1 2(* + 3) 3x 2(x — 7)
й> l*2 5 = 2 ~3 '
1052. l)^(Z+i) + l.(z + 2) = 3-J-(Z + 3);
2) x-l(2x-.W=l{l-2x) + l^±
tf\«» .■*■/ — 34i
чХ 9л: —0,7 2 _7л:— 1,1 5(0,4 — 2л:),
6> A ~ 7 ~ 3 ~ 6 '
.. 2(2-Зл-) , 9 ,,0,02-2* _-
4) ТОТ 2'Ь— 0,02 7j&-
Ю53. !) 2(5лг —2) 17 = 4(23-2л) 8(И* + 1)
* У оv У у
20л: —(10 —3*)_26* —51 2(1—Зл:)
г' Х 156 / — 52 13
о\ 8 (л:+10) 94L_7a: 2(lU-5)
*} 15 ^2~ 10 5 •
1054. 1||у_|(12у-18)+^(4у-8) =
2)|</-2)-^<»-6)==;^2-.^(*-4);
«v 1,8 —8л: 1,3 — Зл: 5л: —0,4
6) .1,2 2 — 0,3. ;
4v 3(1,2-л:) _5,+7л: _ , 9л:+ 0,2 4(13л: —0,6)
q) 10 ""l — * "I W 5
142

1055*. l)x
t За: х
4 3 =
4 —3a:
= 2;
2)x + 2
л:
3) *--
2л:-
5
7a:-
* — 3
15
3 + *
5
6 —л:
4
2
l+x
■ 1=2 3 "
(■-4*H
4) 1
3
Выполнить действия:
з
= 2 '
2*-
2
10 — 7x
1056.
1057.
I
1058.
1059.
1060.
1061.
1062.
1)
3)
1)
3)
1)
3)
1)
3)
1)
3)
1)
3)
1)
3)
x+y
6
a—1
7x
5#
x>
2_.
2)±
4)
5дг
2(дг—1) i л:—1
2a2 , 5а*
a + 2
*> 4(a + 2)
4)
3
4x
a+ 2
3x
3<e + l)~4(a+l)> ':5(* — 3) 2(jc —3) V
1
1
1
я—У
1
s 1
2a — b
5
2a+ b
3
a
a _
д:+.у
1
За:—.у
- 4
/> — ? "
a:+^
m
x—у i
n
a
m — /Г
3
j —3
5
a + 3>
3
2a: — 2 ~4a: —4»
a 2a
3a + 3* &i-f66'
2m , Sn
2)
4)
2)
4>*-*
4)
2)
4)
,;2)
1
x—у '
'Злг+зг '
2
/> + <?
x
"a + b*
a.
y — a y + a*
p—q^p + q'
7 3
5a + 5
3a:
Ifoj -f 10 >
a:
4ж + 4у &* + 8y#
7a: 2a:
5/71 + Si» » 5л — 5*» ' а* + 3у &r—3y»
bb 2a ,x 3» . 2n
ax-{-ay bx-f-£y % ' an -f ea ** -f- &m *
143

1063. I)
3)
1064. 1)
3)
1065. 1)
3)
1066. 1)
2)
1067. I)
2)
1068. 1)
3)
4)
1069. 1)
2)
3)
4)
1070. 1)
2)
3)
-4)
la
ba
x* — $~x — 3
m m
' ^л+г^дг—2 дг» —4'
лг + 3
m
1
1
2m — 2b
2* — 2y
-4'
m — n _j_/п8 + я*. 2\ •y8+^2 _ *+.У .
wa — /г2' ' л:8— у 2* —2.y*
7a —1 , 5-За. ч
2а2 + 6а
х2 — х 2л* —2' С) а
7 3 12
5а + ЪЬ а8 —68#
д + fr а , Р
а — Ъ
5
2х
х-4 Jc+I л:8 — 4;4^2л:8 + 6л: л:8 —9
-Зл:8 .„
Л
1
8я2 — 18&2 "1" 2а8 + За* 4а£ — ЬЬ*»
2 , к + 3 3/г -h 1
/г + 2
3
л2 —4
, fl + 1 ,
a + 2~t'a2 — 9"
гг2 —4/г -f 4
а—1
(в + 3)(в + 2)'
л; —2 . х—\
л: —3
3
с2 —9^72л: + 6
/я —2
2т + 6
1
*—1
2)
5 —а
6
ая_8а + 16 "5а — 20*
2х + 2 Зл;2 + 6л; + 3'
4 | 3/и— я
Зш — 3/г "+" 2/л2 — 4/л/г + 2/г3 '
5 , 2 л—1
2/г + З
4
9 — 4/г2'
Зш —5
2/г —3
1 в
3/я — 2 2 + 3/л 4 — 9w2 '
1+д \^-2а а(\—а)л
а — 'З 3 + а 9 —а2'
(л: — 1)л: х — 3 ■ х — 2
л:8 —25 х + 5 ""5 — л: '
2 . 5 За
3 4 , 2лг
лг + 2
1
х — 2
3
**-|-4jt + 4 *
— 3
"2р + 6 2ра— 12р+ 18 *
4 /я — /г
т — 2п 4/г* — mf'
144

,07Ь *) х — 2а + лг + 2а +4а>лг —jc8 ;
9v 4лг — 3 , 4 + 5л: 3 + *—10лга
^ 3 —2л: 3 + 2л: 4л:* —9 '
оч 4да — За+ 5 1—2а . 6
w ee_! — at + a + i-Ti—a*
A\ 2g —1 _ __2a 1
' 2a 2a — 1 . 2a —4a8'
1072 П 1 i Зл*
lu/iS- *'6л: —4.у 6ЛГ + 4.У 4y* — 9л:2'
9v Злт + 2 6 Зл: —2
z> tf — 2x + \ л:8 —1 л:а + 2л:+1 ;
°) as + 2ab + b2 a2—_2ab + b2^raa — b2'
.4 1 Sab b — a
4> T=b~a* — b* a* + ab + b* •
1073- !) 6a* + 12a + 6 — 3a2 — 3 + 6a2 — 12a + 6 ;
2) —1 L_ + \ .
*/ 2 + 4m + 2w8 1 — от*^2 — 4от + 2от2 »
qv я . от от2 + /г2 #
' от8 — тп*тп-\-п2 от8 — от/г2 *
4ч о , 4aaft — ab2 . b2
V а — К 08 —а8 +вЧвН^
1074. Доказать тождество:
2 а-^-2 2 4 __ 1
За + 6 2ая + 4а За2+12а+12 За (а + 2)2 — 6а'
1075. Выполнить действия и затем найти числовое
значение результата при #= — 2,5:
, 1 , 1 ,_* ** + 4
х — 2 "Г-лг + 2 Т4-л:2 2л:8 —8л:* .
Выполнить действия:
1076* П ——i ! \ •
lv/° • 1) (а — Ъ)(Ь — ъ) (Ь — с)(а — с) (с — а)ф—аУ
2) (а — х)(с-—х]
3)
(а — лт)(с — л:) (а — л:) (с — а) ' (а — с) (л: — с)'
1 , 1 ■ 1
4)
а (а — Ь) (а — с) ~ b (b — а) (b — с) ^ с (с — а) (с—Ь)'
a . 2£ , с _
(а —2*)(а —с) + (2£ —с)(2& —а) + (с —а)(с—2£)*
145

Решить уравнения относительно буквы х:
1077. 1) ах-\-Ь==с; 2) тх — п = р\
3) а — Ьх = с\ 4) ах — 6 = 0.
1078. 1) f -f* = *; 2)а-£ = с;
1Q79. 1) а(х + &) = с; 2) т(х — п)=а;
3) а(6 —л:) = с; 4) т(1+л:) = п.
1080. 1) (a + b)x = b+с; 2) (а — Ь)х=п\
3) тх + лх = р; 4) ал: — 6л:=с;
5) а# — с = 6л:-4-ас-
1081. Площадь S, прямоугольника определяется по
формуле: S = ab, где а — основание прямоугольника,
6 —его высота. Выразить' а через остальные величины.
1082. Путь s, пройденный телом при равномерном
движении, определяется по формуле: s=vt, где v —
скорость тела, t — время движения. Выразить отдельно v
и t через остальные величины. *
. 1083. Длина окружности С выражается формулой:
С = 2тс/?, где R — радиус окружности, a *^3,14.
Выразить R через С. . - .
1084. Площадь треугольника вычисляется по формуле:
S = у, где S — площадь треугольника, b — основание
треугольника, h — высота треугольника, опущенная на-
основание Ь. Определить из этой формулы высоту
треугольника.
1085. Если обозначить основания трапеции буквами а
и by a высоту трапеции буквой ft, то площадь S трапеции
будет равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
1) Написать формулу площади трапеции.
2) Определить из этой формулы высоту трапеции и
каждое из оснований.
1086. В формуле v=j буква v обозначает скорость
тела, s—путь, пройденный телом при равномерном
движении, в километрах, / — время движения тела в часах.
1) Как изменится vt если s увеличить втрое, a t
оставить без изменения?
146

2) Как изменится v, если t увеличить вдвое, a s
оставить без изменения?
3) Выразить отдельно s и t через остальные
величины.
Составить формулы решения следующих задач и найти
числовое значение ответа при данных значениях букв.
1087. Завод должен выполнить по плану т деталей
в п дней. Перевыполняя план, завод сделал на k деталей
больше, закончив работу на t дней раньше срока; На
сколько деталей в день завод выпускал больше, чем
предполагалось по плану?
Вычислить при /п=1000, л=25, А = 200, /=5.
1088. Расстояние между двумя городами s
километров. На сколько скорее поезда пройдёт автомобиль это
. расстояние, если скорость поезда v км в час, а скорость
автомобиля больше скорости поезда на- т км в час?
Вычислить при s=600, 0=40, m = 20.
1089. Завой' должен выпустить в определённый срок
а станков и потому наметил изготовлять по Ь станков
в день. Однако рабочие, перевыполняя план,
изготовляли ежедневно на т станков больше, чем было намечено.
На сколько дней раньше срока завод выполнил заказ?
'Вычислить при а =100, 6 = 4, т=Л.
1090. Заготовлено т тонн угля на t дней.
1) .На сколько дней больше хватит этого запаса, если
ежедневно расходовать на k тонн меньше?
Вычислить при т=12, /=100, й = 0,02.
.2) На сколько тонн, надо _ уменьшить ежедневный
расход угля* чтобы этого запаса хватило на d дней больше,
/чем предполагалось?
Вычислить при т=12, /=100, d = 20.
1091. Для отопления здания сделал запас угля в
т тонн. Из этого запаса израсходовали п тонн. По скольку
килограммов в среднем следует расходовать ежедневно,
чтрбы оставшегося угля хватило на t дней?
Вычислить при т = 15, я = 3, / = 60.
1092. Сколько времени потребуется пароходу для того,
чтобы пройти по реке от города А до города В и
возвратиться обратно, если известно» что в стоячей воде
пароход проходит v км в час, скорость течения рещ
равна т км в час, а расстояние от А до В равно s
километрам?
Вычислить при v = 16, m = 2, s = 252.
147

1093. Составить задачи, которые решались бы по
следующим формулам:
1) * = £±»; 2) Жв*±-; 3) х=<*±£;
Решить задачи при помощи составления уравнений:
1094. Смешивают 6 кг воды при температуре 20° и
4 кг воды при 100°. Найти температуру смеси.
1095. К 80 г 15-процентного раствора соли
прибавлено 20 г воды. Определить, концентрацию
получившегося раствора.
1096. Сколько граммов воды надо добавить к 100 г
30-процентной соляной кислоты, чтобы получить
10-процентную кислоту?
1097. С одного гектара собирают 30 m сахарной
свёклы, содержащей 14 % сахару. Сколько гектаров
земли надо засеять сахарной свёклой, чтобы получить
100 m сахару?
1098. Сколько килограммов воды надо выпарить из
100 кг массы, содержащей 90 % воды, чтобы получить
массу с содержанием 80 % воды?
§ 35. Умножение и деление дробей.
Выполнить указанные действия:
" 1099. 1)1|4; 2) J4; 3)f.J; 4)J:i.
11ПП l\^i ?.. « 8c .6c_2, оч-*! У. дчМ 10£у#
llw>- 4 166*3' Z> 5uF'7d' °V*" '4лу* 21as6'
5) 3m • £; 6) 5а: !£; 7) !|Z: W; 8) £, • 2Ы.
1101. 1) i-:6; 2)c:b 3) l-; y; 4) 2-i-.
1102. 1) ДО • (-£); 2) ltatf:(~ w)'
q, 18a862 ,6a63 .v 25л:V3 / 21a6 \
"*' 5cd *5csd4' **' 14e*-*\;. lOxyj-
148

МОЧ \\ ^У. ??-? 4ftg qv 2ax . Збл: t 9ftaz
^"^ !' 5a& ' 4y~z " Заху* Z' ~jT "' ~aj : 8a3jcy ;
o. [Wed lcd\ 28a* л\^Щ_ Забс .9a8ft8c8
d' \ 9fl5 : 12a3J " 362 '» 4' 2a2b2 ' 8л:У * 2&рху *
„04. 1)^.£? 2)2ф?.^;
оч х*-^у* ,*+.У . ,ч *2 + *У.-*У+У
0) блгу • 3;су » *' л: * у *
1104 П <*2*-46° *!* оч 4р2-9а2.2ар + 3аа
11U5- l> заЬ2 #а8-2аА' 2) "TV Wq—;
m л:2— ху х2у + ^У2 л\ с + ^. c2-\-cd
6) х2 + ху ху ; 4' 7=d'2c2-^2d2 '
110fi i\ Д2 —^2 Д4 оч a2 — 25 .a2 + 5a
1IUD- U fl2 #(a + ^2; *) a2 — 3a ' a2 — 9 >
ox л:2 —4у2 л—,y 4. 3m2 — Зя2 # 6m —6я
' x2 — xy ' x2 + 2л:у ' ' m2 -\-mp ' m + /? '
1107 П g2 —^ 3a+ 36 оч 5 — 5g . 10— 10a2
||ил ^ (a + 6)2 *4a —4ft; Z' (1 + a)2 : 3 + За ;
„4 (a + b)2 З(а-Ь)*ш 4ч (л:+;у)2 .Г ху+у2Л
°) (a — b)2'4(a + by>*'xy — y2-l (x—y)2]'
1108 i\ 5m —5/г 8m + 8/г 0, 2a+ 26.6a + 6ft
* ^ 4т + 4/г* 15m—15/г; /' 3a — 3b *5a — 5b'
3)
4)
ax -{-ay 2x + 2y
л:2 — 2*y + У ал:2 + 2a;ty + ay2 »
am2 — a/г2 # от2 — 2атя + а/г2
т2 + 2тп + п2 ' Зт + Зп
110Q n 2fl3 —2г>3 6а2 —662 оч лг' + лу . х2 — ху .
||иу- U За + 36 V — 2ab + b2 > ^ 5л:2 — 5у*'3х* + 3у"
оч а4 —л:4 .а2 + лг2> д. 5л:2— Юлу х4— 16у4
' d3 — л:3* а2 — л:2' ' л:2 + 4у2 ' 15 (jc — 2у)2 *
1П0* п За2 + Заб + 362 2а2 — 2ft8
• ч 4а+ 46 ' 9а3 — 963 ;
^ 5л:е^10;су + 5.у2 . 8л: — 8у
' 2л:2 — 2лу + 2у2 Г 10л:8+10уз;
fl2 — 5а + 6 а2 + За
* 6) а2 + 7а+ 12 ' а2 — 4а + 4 ;
л;2 + 2л: — 3 в л:2 + 7л:+ 12
'.л:8 + 3лг—ЮЧг2 —9л: + 14#
1111. Исключить целую часть:
П Х + Ь: оч!+Д2 + Д. оч 2 + a + a2. 3 + л: + лг2
^ л;+3; ♦ ^ 1+а » 0^ 1 + а2 ' 4' 3 + л;а *
149

При упрощении следующих дробей использовать
умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то
же число или выражение:
,Ш2. !)-£,-; 2)f-|; 3)^; 4)^.
1—- -4-- ^--4-1 —
8 2^3 у^\ аЬ
J , .1_ а . Ь_ \ 1_ а_&_
ШЗ. 1) ^_^; 2) ^—jj 3) J—Т; 4) ~а*'
х у b а х2 2х* х
1 , 1 * х х-\- 1
Ш4. 1) \~Х 1+Х; 2)Х~1 хХ_{---
1 — х l-f-дс х-\-\ х
а + Ь х—у . х-\-у
1115*. 1) Н -^—; 2) 1
1 х + 2- 1 а+\
2 +
3)1+ Ц—; 4) £
1
1 '
л: 1 —х
,,,в- "тда; «-^i2-.
/я 0 Зл л: 3
0ч л m .ч 4 4*
3)^—ж—; 4)
т , Зи_ » ' ^ *Lj_L
§ 36. Возведение дроби в натуральную степень.
Возвести в степень следующие дроби:
■ П7. .)(')'; 2) (!)'; 3,(^4,(1)'.
ISO

§ 37. Решение уравнений с буквенными
коэффициентами.
1121. Следующие уравнения решить относительно
буквы jc
1) Зх + а=5х — Ь; 2) 2х + & = 5* — За + 46;
3) 2с4-5*=7д: — 2Ь; 4) Зж + 4а=4дс + 56;
5) ах-{-,Ь = е— 2ах\ 6) аде —а' = 6х —б2;
7) ах — Ъ — а=х — а; 8) а — сх = Ьх—х;
9) 5д; + 2а = Зх + 2; 10) 7х — 6а = За + 15 + х;
11) 3 — 2а + 5х = 4а^9— х;
. 12) Юх —36 + 4 = 6 —2-[-8х.
1122. 1) 5(х —а)==3(х + 6); 2) 6(a — x) = 7.(6 — x);
3) (m + l)x = n — x; 4) (n—l)x = 2(/i-[-x).
1123. 1) (a + x)6 — a = (6 + l)x + a6;
2) 2m—(т + п)х=(т —л)х;
3) c(d + x)==a6 — (x — c)d\
4) ex — 6(c— x) = a(6— x) — b (a — x).
1124. 1) a — (a + b)x = {b — a) ^—(c-^ bx);
2) 2(3x — 5a) + 9(2a — 76) + 3(5a — 2x) = 0;
3) Il(a + 36) —2(5a —5x) —4(3a-f 8x) = 0;
~ 4) 7(2x —a) —3(4x —a)—&(3x4-2a) + a = 0.
Решить уравнения, в которых неизвестное обозначено
одной из следующих букв.- х, у, г, и и t.
1125. l)|,+J = fr; 2)z-a = \-
3) £-*=«; 4)<+f = l.
U51

.1126. 1) f+f=m;
2) Z-t'
l;
3) £-*=4-«s
1127. 1)
a b
x — m x-
4K+S-4+*
3)
n
г — a
m '
z—b
2)
o + >y
*=*=»_„. 4)«-Ц*.
= П
П28. 1) £±£-
л: — m
Я _t — q
■ 3)
1129. 1)
m
x — m
P
-P-
P
x — n
■£;2)
q" '
a + t
b + t
■^)4-i-9!
X—tl
ИЗО. 1)
3)
n-\-m n — m
a-\-bz c-\-dz
a + b ITfc
У 3
2)
4)
С
2x — m
2x + n.
n + m m — n '
m-\-nx p + qx
m — n p — q '
a—b a + b~
X + П ! X — П
_ 4by
1 л: — n , 2x
m + n ' /rt — л /п + /г m* — n2
1
я + &
1131. 1)
лг + я
2ял:
дс — b | 2л:
&—a
ov ДС 2&ЛГ
Z) F=a~b2 — a2'
a — x , Злг
-&21
5a
3)
4)
a + b'
3a2 —ab-
-4b*
b — a ' a + b a*
3ax+\2ab + 5b2 _2x-
9aa — b2 . ~ 3a+ b ~~ b — 3a •
*2 — b2
-3b
3x — 4d
П32* lb2fl + * = a+Sx
IIQ^- 4 4a2 —№ 4a2 + Gab
2) a-2x
2x—a
Gab —9b2'
bx + a 2a + 3x
3)
4)
\0ab + 25b2
b + x
4a2—\0ab~25ba — W
, 2x x — b . x + b
a2 + 2ab + b2
x + a | x — a
!I^~bi~T+bz
a ~ a2 — V
x + b | 2(x — b)
a+b* a—b
I x — bm
1Г+Ь\~а~-^Ь:>
152-

lax
§ 38. Упражнения на все действия с дробями.
Выполнить действия:
1133.
»Йт + «)=(|-й|)-.
L) \2т—\ 2m + lJ: 10m —5 ;
оч (a + l i 6 а + 3\ 4а8--4
*' \2а — 2~t~2aa — 2 — 2a + 2J Г~>
Доказать тождества:
11 г! П /4c2 + 21 fi\ 2cn + Sn — Ас — 6_2с + 3
"*■• ^\2 —2с "~Dj: 2 —2с ~ /г —2*'
оч 2ab + 4b — За — 6 /462 + 21 fi\ _ g-f-2
Z' 2 —2ft2 4 2 + 26 °У — (26 — 3) (1—ft)*
Выполнить действия:
»35- »fcrb-4i+*T3Hf-*+t)i
9\ /За . 2а \ 6а2 + 10а
z> \l_3a"T"3a+'lJ:l—6а + 9а2;
а \ x2-f 2ax + a2
' \х — а х-\-а) ' 2а
2)('+т+$)('-1);^Ц-.
3^ 1(а + Ь)* + (a —ft)2J : L^R"^ а=ЬГ
4) f * а \ /лг + Д * —а\
' \*— а й + а/.' \ а х ]'
Доказать тождества:
""•"(7-i)'(7+i-s)!(1+*)-i^-.
оч /2а+1 2а-1\.Г. .Л 1,1 \1_2(2а-1)
Z> \2а—1~2в + 1уЧ • I1 а "Г 4a*JJ _ a (2e + l)*
153

Выполнить действия:
о\ ( 2а \ 2а | &* \.-g —4.
1^ + (а — 1)а л8—1 а — 1J 1 — а'
-e\l\ в а8]'
2
1140. 1
2
1141. 1
2
1142. 1
2
1143. 1
- 2
2а»
Ь* — аЬ* + а'Ь-
L£
\я + я а8 + я8 + 2ая ,
f 2д, . 2 , 4о \ / 2а , 2_ _ 4а \
\e + l"T"e~l"T'e1--lJ\e + l"t"e —1 ' а8 — 1Г
г1 | 1 ,v д н 1 iy|.**+A
U2 ' у ' х+у \х^у)\' *3v2 '
/_i_ 1 Sb - 2 \ A4g'. + y. | Л
\2я —*~Г> —4а8 — 2я + b) # \4*2 — ^"Г /'
(m + 1
/ 2a6
\4я2 —<
1— m
m
» m2 V
/n —lj;
3b —2a
M1
2a —3fr
"2a-f-3ft
:)•
(^l4 + 2=^ + p + 2):(P 2+ P + 2 );
1
•a + \
\ — aJ'a2 — 2a + V
1144. Доказать тождество и проверить его при
р = —1, q = -2:
Ц 2
(^
2?
V-/»' Р + 2<?
Выполнить действия и проверить правильность
результатов путем подстановки в полученные тождества
любых значений букв:
-„«.D^-l^-i^S+l),
1 ЗЬ2 Ь
2)
a8 — ab a* — ab* а9 + а2Ъ + аР
)»+.-&)•
154

1146
. 1)(
2a
2e + Ъ 4es + \ab + b*): \4aa — У "Г JZT^Jт
Доказать тождества и проверить их путём
подстановки любых числовых значений букв:
1147.
п Г *' °*Ь (а ,- Ь ЛГ Ь а
Ч |у __ &* д*ц_^ ' \аЪ + Ь**а* + аЬ)\ 'а — Ь~а + Ь>
2) [а
Aab
1148. 1)
2)
'F+b'
Ус1
р + ?'
\а*~с*)' a2b* ]: я'У
о* — *9
1149. 1)
at
&а — a*b* *
2х
х+у
2) [ (т + я)8 ' \Ш + ^) +
, 1 / 1 , _1_\] # w— п . тп
i Ш2_|_2тя +
Выполнить действия:
"^^Ып-утт+г^тт)^
2а—1
«+1
2)
8 + а' .4 —2а + а!
-У
?a + a»7 . жу+'УХ'
|,оь Ч {■^ZTT— x* + x+l )V~T-~x х' + х,
• 2)(д
Аху
+*);U
2а-3> Л
*-У>)'
х+у ' ^/Ч-г+.У J> —*
£'\a»—oV^-a + bJ'W + eb *» + «*/•
155

П53' *> («* + «* —^Ты}:[^Гы»-^7+ар
2)(
1 , 1
c* + 2cd + d2 ' с2 — d2
1 \ d2 + 4cd — с8
1154.
с2 — 2c£f + tf2) : с2 — о"2 '
п / 2лг2 + 3л: Зх + 2 . 4х—\\ 2л:+ 3.
*'Д4лг2 + 12л: + 9 2л: + 3 i 2л: + 3J ' 2л: — 3;
0v/3fl + 2 18g8 — a — 9 , За —2\ а» + 10а+25
Z)\3a2 + \ 9л4—1 >~ За8 — \): 9а4—1 '
2) 1*-У * ).( У2 с| J_\
11 *fi 1 \ 4a~~2b [ Sab _L2а — Ь Ъа + Ь\
11 Dt *' За& Ч12^2 — З^2 '"2а + ^ — 6а — ЗЬ]*
9\ ХУ • Г *2 _ 2-ху2 1l_
z;*+:»4(*2
*"2 ~У) (•* +.У) л:4 — 2л:2У +у*
I (^-^)2(^+^).
11*7* 1 И2 +b* (Qa + b Ъа* + Ь* + а*Ь + ЪаЬ2 . д + *\
!li>/ * 1) аЪ \а2 — Ь2%% 2ab2 — 2a*b *а* + Р)>
2) f * х2+У | У \.х*-2ху+у*
\ХУ~{~У2 х* — ХУ2 ' х2 — ху)' х9-^у3
1158*# I 7л:3 + х*У + 1*У2 +У* " *2 — У2 ~^~ х2 + У2) " ^~~^*
/ 5 1 20— 10а \ 25
[а2 — 2а — ах + 2х 8 — 8а + 2а2' л: —2 J :л'3—8;
9, За 1_ х — а \ л:8 —27
^ 9 — Зл: — За"+ ах а2 — 9 : За2Ч-9а/ ' За *
1159. 1)
§ 39. Уравнения, содержащие неизвестное
в знаменателе дроби.
1160. (Устно.) Указать, в чем заключается ошибка
в решении следующего уравнения, которая при решении
указанным ниже способом привела к нелепому результату.
Дано уравнение: блг— 15 = 10* — 25.
В. каждой части уравнение выносим общие
множители за скобку, получим: 3(2*— 5) = 5(2х— 5).
156

Делим обе части уравнения на одно и то же
выражение: 2х — 5. Получим: 3 = 5!
Почему нельзя было разделить обе части уравнения
лга 2л: —5?
1161. Показать, что в следующих примерах
приведение уравнений к целому виду вводит посторонние корни:
1162. Показать, что в следующих'примерах
приведение уравнений к целому виду не нарушает
равносильности уравнений:
п 0 х— 3 Зл:— 1 0, 8л:—5 - Злг-{-7
l) Z лг + 3-Злг+1; Z) 2лг + 5"^° Злг + 2-
' Решить уравнения и проверить, удовлетворяют ли
найденные значения неизвестного данным уравнениям:
1163.1)^,=^; 2)
■ П64- 1)|^т=2-^|; 2)
о\ о ^и 2ц —9 в дч ^и, — « *л_-—о ,
°/ ^~ГЯ»_9 9/1 — Я'» ^/ Я»-_9 9%-_.Ч 1(
3
.У —
2 —
Зл--
X —
9х-
2~
1
1
-5
-Г'
-7
2
"3f-3:
2—5
Z—3*
2л:-
X —
4л--
»
-5
■2
-5
1165. 1)
2)
3)
Зи — 2 2w — 5' ; Зл:—2 2л: — 3"
8 2 + *_ 5 5 л
St — S t—\ 2 — 2* 18'
14 2-\-z_ 3 5
32 — 12 z— 4~~8 — Ъ ~"6"
УЛ-Ь Ч__2у—3.
Зу—6 2 — 2у-
А\ Ю 7ц + 2_0 , Зи—1
^ 3 . 6и + 18 —Z' 4и + 12-
2)
3)
4)
12 1 — Зл: . 1+3*.
1 —9л:2 — 1 +3л: ' Зл: — 1'
;8 —3 . *+1_ 4
\—t*\t — \~ \+V
У2 + П_У — 2 -5
у_1 ~у+1 1_у
157

1167. 1)
£+2 = -* + 4-
z —2 z2-?4~2l^z>
9\ R I W 2JT—1 3jC — 1
Ч °"Г.ЗрГГТв— лг + 4 ~ 7=^*
оч 12*«+30л: —21_3лг —7 . 6л:+5
*' 16л:2 — 9 — 3 —4лг~«~4л:г|-3;
*' 1 — 6^ 6^ + 1 36*2 — Г
l168- !) /fcr4-.W + /9*--J-n* =
(2л:+ 5)2 I (2л:+1)* — (2* + 5) (2*+l)'2
9ч _3___2 5
1— г%~ (1+*)2 (I— z)2'
3) _J 3 - 4 ■
°' (3 — 2*)* . 9 — 4л:2 — (3 + 2л:)2'
4)_ ? = _!_ *_
*' (1—3*)(3*+11) (Зл:— I)2 (Злг+11)*-
Решить буквенные уравнений, в которых неизвестное
обозначено буквой х. Найденные корни проверить1:
1,69. 1)Л_ 1=1_9; 2)^-^ = Ц±2—2-,
' х х ' ■' л 2х 2а х •
3) аз_^4- — = — — — 4-6а-
' х ~ ах Ьх х ' '
, ч а — Ьт с — Ьп ,
4)
тх
1170. l)^_c==d-a-^;.2)^ + T=-l;
л: ' £
а _ J
1 — л: „ £ ' у ^; я — л: £ — л: *
3)^=^; . 4)^ = ^
i*^* i\ х а-\-Ь х — a m x-A-a r л: л: — а
'4Х — а х-\-а * ' л:— я л: — Ь
1 При решении уравнений с буквенными коэффициентами aceyia-
тэдц>но постепенно приучать учащихся определять: 1) при каких
значениях букв,язходящих в уравнение, и при каких соотношениях
меж£у ними уравнение не теряет числового смысла; 2) при каких j
значениях букв, входящих в выражение неизвестного, и при каких
соотношениях между ними значение неизвестного не теряет
числового смысла; 3) при каких значениях неизвестного уравнение не
теряет числового смысла.
158

П72. 1) *±*-f £±i = 2; 2)
' л: —я ' х — т ' '.
оч 5 —а 5-[-0 п .v а —2л: о —л: ~
*' АЬ — х 4b + x~U; V 6л: — £ Зл: —&—U*
1174 П £+? _?_—А1—i. о\ ^._А — A'_(bl£.
дх * 1 , т-\-п 1 | /и —я
' т-\-п* х т — п ' х '
П75*. l)^±-6 + c^+£==fl + c;.2)^^ = i- + -^-,
7 х — т ' л: — л ' • ' сх с ' с + л;'
оч л; —2а" о 2л:2 —13а2
4)
л: + 3д — " л:2 —9а2
л:* v а
За+л: л:— За 9а8—л:2
1176*. 1)^« =,_» + 2«*
26 + ал* 2в —Л* « 2-fafcc»
2) ' « 2
£с — £дг- ас —ах ft2 — Ъх ab~-ax*
о\ а 6 а — Ьщ дч а . с а-\-с
' x-j-a x-\-b x — by 'с— л: 'а — х Ь — х'
. . П77* 1) аХ+Ь ах — Ь^а *.
' тх — т пх — п т л '
рч tn Ъ* те — Ь%%
' т — х (т — х) с с '
лч X . £ ■ АО* — 6С
0) b(a — x)l~d(x — a)~~ 3abd ; ^
дч а | g — b a-\-b Ь
' ас^Тс~^"Ш~~~2Ьс ах+Ьхл .
Следующие уравнения решить относительно той
буквы, которая указывается в качестве неизвестного:
1178. 1) S=abt решить относительно а;
2) Q=y, решить относительно 6;
150

3) V = -$QH9 решить относительно Q;
4) S= 2 ' Решить относительно Л, a, b.
1179. 1) a =Vi ~~~t v°, решить относительно t, vlt v0\
2) -et = 7—l-j-, решить относительно F, flt /3;
3) /? = г'Га , решить относительно гь r9.
1180. 1) узт|== —, решить относительно a, 6, с;
2)^^ = ^^, решить относительно a, b, L
§ 40. Задачи на составление уравнений.
1181. Числитель дроби на два меньше знаменателя.
Если числитель дроби уменьшить в 3 раза, а к
знаменателю прибавить 3, то получится -g-. Найти дробь.
1182. Знаменатель дроби на 4 больше её числителя.
Если- увеличить её числитель и знаменатель на 1, то
дробь обратится в у. Найти дробь.
1183.. Знаменатель дроби на 4 больше её числителя.
Если к числителю этой дроби прибавить 11, а от
знаменателя отнять 1, то получится дробь, обратная данной,,
Найти дробь.
1184. Знаменатель дроби на 5 болыце её числителя.
Если к числителю этой дроби прибавить 14, а. от
знаменателя отнять 1, то получится дробь, обратная данной.
Найти дробь.
1185. Одно из неизвестных чисел на 12 больше
другого. Если меньшее число разделить на 7, а большее
разделить на 5, то первое частное будет на 4 меньше
второго частного. Найти числа.
1186. Два положительных числа относятся, как 3:2.
Если меньшее из них разделить на 4, а большее
разделить на 9, то первое частное будет на 4 больше второго
частного. Найти числа.
160 __ /

1187. Расстояние между городами А и В по шоссе
равно 50 км. Из города А в город В отправился
велосипедист, а через 1 час 30 мин. вслед за ним отправился
мотоциклист, который обогнал велосипедиста и прибыл в
город В на 1 час раньше его. Найти скорость каждого,
зная, что мотоциклист двигался со скоростью в 2,5 раза
большей, чем велосипедист.
1188. Из пункта А в пункт В, расстояние между
которыми равно 160 км, отправился автобус, а через два
часа вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость
которого относилась к скорости автобуса, как 3:1.
Найти скорость автобуса и автомобиля, зная, что
автомобиль прибыл в пункт В на 40 мин. раньше автобуса.
1189. Два поезда отправляются из одного и того же
города друг за другом. Первый поезд проходит в час
36 км, а второй 48 км. Через сколько часов после своего
выхода второй поезд догонит первый, если известно, что
первый поезд был отправлен на 2 часа раньше второго?
1190. Путь от города А до города В по морю на
10 км короче, чем путь по шоссе. Пароход проходит путь
от А до В за 3 часа 20 мин., а автомобиль — за 2 часа.
Сколько километров в час проходит пароход, если его
скорость на 17 км в час меньше скорости автомобиля?
1191. Расстояние между двумя станциями электропоезд
проходит за 1 час 30 мин. Если скорость его увеличить
на 10 а в час, то это же расстояние поезд пройдёт за
1 час'20 мин. Определить расстояние между станциями.
1192. Расстояние от города А до города В автобус
проходит по расписанию со средней скоростью 40 км в
час. Однажды вследствие ремонта шоссе автобус прошёл
первую половину пути с опозданием на 20 мин. Чтобы
прийти в В по расписанию, автобус оставшуюся часть пути
шёл со скоростью 45 км в час. Найти расстояние от А до В.
1193. С двух аэродромов, расстояние между
которыми равно 950 км, вылетели одновременно навстречу
друг другу двухмоторный и реактивный самолёты. Через
полчаса расстояние между этими самолётами до встречи
было равно 150 км. Найти скорость каждого самолёта,
если скорость реактивного самолёта в 3 раза больше
скорости двухмоторного.
1194. Подъёмная скорость лифта в московских
высотных зданиях в два раза больше скорости лифта
в обычных зданиях, а потому подъём на высоту 20-го
6 П. А. Ларичев — 1407
161

этажа, равную 81 м, требует времени лишь на 5 сек.
больше, чем подъём на высоту 8-го этажа обычного*
здания, равную 33 м. Найти скорость каждого лифта.
1195. Переднее колесо повозки на некотором
расстоянии сделало на 15 оборотов более заднего.
Окружность переднего колеса равна 2,5 м, а заднего 4 м.
Сколько оборотов сделало каждое колесо и какое
расстояние проехала повозка?
1196. Два шкива соединены бесконечным ремнём.
Окружность первого шкива равна 60 см, а второго 35 см*
Сколько оборотов в минуту сделает второй шкив, если
первый делает 84 оборота в минуту?
1197. Диаметр шкива электромотора, делающего 960
оборотов в минуту, равен 150 мм. На сколько надо
уменьшить диаметр шкива, чтобы при увеличении числа
оборотов электромотора до 1200 в минуту скорость
движения приводного ремня осталась прежней?
1198. Заказ по выпуску машин завод должен был
выполнить за 15 дней. Но уже за два дня до. срока завод
не только выполнил план, но выпустил сверх плана ещё
6 машин, так как ежедневно выпускал по две машины
сверх плана. Сколько машин должен был выпустить
завод по плану?
1199. Бригада коммунистического труда должна была
выполнить заказ за 10 дней. Ежедневно перевыполняя
норму на. 27 деталей* бригада за 7 дней работы не только
выполнила задание, но ещё изготовила сверх нормы
54 детали. Сколько деталей в день изготовляла бригада?
1200.' За семичасовой рабочий день токарь должен был
по норме обточить некоторое количество деталей. Примет
нив новый резец, токарь стал в каждый час изготавливать
на 5 деталей больше, чем полагалось по норме, а потому
за 6 час. работы он выполнил три нормы. Сколько
деталей в час стал обтачивать токарь, применял новый резец?
12.01. Вес научных приборов в первых трёх советских
космических ракетах составил 1186>3 /сг, причём приборы
первой ракеты весили на 28,7 кг меньше, чем приборы
второй ракеты, а отношение веса приборов второй ракеты
К весу приборов третьей ракеты равно 26:29.
Определить вес научных приборов второй космической ракетьь
1202. Общая площадь двух участков, засеянных
кукурузой, равна 120 га. На первом участке с одного
гектара собирали по 89 т зелёной массы кукурузы, на
162

в?ором участке—по 95 т. Найти площадь каждога
участка, если с первого собрано кукурузы на 1480 т
больше, чем со второго.
-1203. Два экскаватора вырыли котлован для
колхозной электростанции в 24 дня. Первый экскаватор один
мог бы выполнить эту работу в 1 у раза скорее, чем
один второй. Во сколько дней каждый из этих
экскаваторов мог бы выполнить эту работу?
~ 1204. Группа школьников отправляется от пристани
на моторной лодке против течения реки с условием
возвратиться обратно через 5 час. после выезда.
Скорость моторной, лодки в стоячей воде 12,5 км в час,
скорость течения .реки-2,5 км в час. На какое наибольшее
'расстояние школьники могут отплыть от пристани, если,
перед тем как возвращаться обратно, они пробудут на
берегу 3 часа?
Г205. Чтобы переписать рукопись в 71 страницу, две
машинистки работали вместе 4 часа и, кроме того,
вторая машинистка работала одна ещё 2-^ часа. Если бы
з
обе машинистки работали вместе 4-^- часа, то, чтобы
закончить работу, второй машинистке пришлось бы
одной работать ещё 45 мин. Сколько страниц в час
переписывает каждая машинистка отдельно?
1206. Чтобы изготовить 290 деталей, двое рабочих
работали вместе 4 часа и, кроме того, первый рабочий
работал, ещё 'Зу часа. Есл» бы вместе они работали
5 час, то оставшуюся часть работы закончил бы один
второй рабочий за 2 часа 30 мин. Сколько деталей в час
изготовлял каждый рабочий отдельно?
1207. На рычаг первого рода, находящийся в
равновесии, действуют силы в 8 кГ и 10 кГ. Расстояние между
точками приложений сил равно 90 см. Найти длину плеч
рычага.
1208. Два мальчика весом 30 кГ и 50 кГ встали на
юнцах досвд, перекинутой через бревно. В каком месте
доска должна иметь опору, чтобы мальчики были в рав*
новесии, если длина доски равна 4 м>
1209. К рычагу первого рода привешены два груза:
один — на расстоянии 30 см от точки опоры, другой —
6*
163

на расстоянии 50 см от неё. Сколько весит каждый груз,
если давление на точку опоры равно 40 кП
1210. 1) Смешивают 2 кг горячей яоды и 3 кг воды
при температуре 10°. Температура смеси оказалась
равной 40°. Найти температуру взятой для смеси горячей
воды.
2) Сколько следует взять кипящей воды (100°) и воды
комнатной температуры (16°), чтобы получить 100 л
воды температуры в 58°?
12П. 1) Сплав из золота и серебра весом 1,06 кГ
при погружении в воду «теряет» 70 Г. Сколько в этом
сплаве золота и серебра, если извесгно, что золото «теряет»
в воде ух своего веса, а серебро «теряет» 0,1 своего веса?
2) Сплав, состоящий из олова и свинца, весит 166 Г.
Сколько в нём содержится олова и сколько свинца, если
Г Г
удельный вес олова 7,3—д, удельный вес свинца 11,3—,
см см
а удельный вес сплава 8,3 —$?
1212. Ледяная глыба плавает в морской воде, причём
объём её надводной части равен 2000 мъ. Как
приблизительно велик объём всей глыбы, если удельный вес мор-
г г
ской воды равен 1,03 —ъ, а удельный вес льда 0,9 —8?
СМ САС
1213. Два экскаватора вырыли котлован для
колхозной электростанции за 12 дней. Первый экскаватор один
мог бы выполнить эту работу в 1 у раза скорее, чем
один второй. За сколько дней каждый из экскаваторов
мог бы выполнить один всю эту работу?
1214. Для откачивания воды из шахты поставлены
три насоса. Первый насос, действуя один, может
выкачать воду за 12 час, второй — за 15 час. и третий —
за 20 час. Первые три часа действовали первый и третий
насосы, а затем к ним был присоединён и второй насос.
Сколько всего времени потребовалось для откачивания
воды из шахты?
1215*. Пассажир, ехавший в поезде со скоростью
40 км в час, заметил, что встречный поезд прошёл мимо
него за 3 сек. Определить скорость встречного поезда,
если известно, что длина его 75 ж.
1216*. Колонна демонстрантов движется по улице со
скоростью 3 км в час. Велосипедист, двигаясь навстречу
164

колонне со скоростью 15 км в час, употребил 2 мин. для
того, чтобы проехать от начала до конца колонны.
Определить длину колонны демонстрантов. *
1217. В городе в настоящее время 48 400 жителей.
Известно, что население этого города увеличивалось
ежегодно на 10%. Сколько жителей было в городе два
года назад?
1218. Бригада косцов в первый день скосила
половину луга и ещё 2 га, а во второй день 25% оставшейся
части луга и последние 6 га. Найти площадь луга.
1219. В первую поездку автомобиль израсходовал 25%
бензина, имевшегося в баке, затем во вторую поездку —
120% остатка. После этого в баке осталось бензина на
12 л больше, чем было израсходовано в оба раза'.
Сколько литров бензина было первоначально в баке?
1220. Книга в переплёте стоит 2 руб. 40 коп.,
причём стоимость переплёта составляет 20% стоимости
книги без переплёта. Найти стоимость книги без
переплёта.
1221. -Население города к концу года было равно
78 000 человек. Определить число жителей города в
начале года, если ' известно, что прирост населения
составил за это время 4%.
1222. Два завода должны были выпустить по плану
360 станков в месяц. Первый завод выполнил план на
112%, а второй на 110%, и поэтому оба завуода
выпустили за месяц 400 станков. Сколько станков сверх
плана выпустил каждый завод отдельно?
1223. Автомобиль прошёл расстояние от города до
деревни со скоростью 60 км в час. Возвращаясь обратно,
он 75% расстояния прошёл с прежней скоростью, а
остальной путь со скоростью 40 км в час, а потому и
затратил на обратный путь на 10 мин. больше, чем на
путь от города до деревни. Найти расстояние от города
до деревни.
1224. Экскурсанты взяли на 3 часа лодку и
отправились по течению реки. На сколько километров они
могут отплыть от пристани, чтобы успеть через 3 часа
возвратиться обратно, если известно, что скорость лодки
в стоячей воде 7,5 км в час, а скорость течения реки
2,5 км в час?
1225. На сколько километров можно отплыть от
пристани против течения реки на лодке, скорость которой
165

в стоячей воде равна % км в час, чтобы успеть вер5
нуться обратно через 4 часа, если скорость течения реки
2 км в час?
* Составление уравнений с буквенными коэффициентами.
Решить в общем виде задачи на составление
уравнений с буквенными коэффициентами и вычислить по
найденной формуле числовое значение неизвестного, давая
буквам числовые значения, допустимые по условию и
смыслу задачи.
1226. На т рублей куплено d килограммов кофе двух
сортов по а рублей и по b рублей за килограмм.
Сколько килограммов кофе каждого сорта куплено?
1227. В двух элеваторах ссыпано р тонн зерна. Из
первого элеватора ежедневно берут по а тонн зерна, из
второго — по Ь тонн. Через / дней в обоцх элеваторах
осталось зерна поровну. Сколько тонн зерна было
ссыпано отдельнс? в каждый элеватор?
1228. Окружность переднего колеса трактора k метров,
окружность заднего / метров. На каком расстоянии
переднее колесо сделает на п оборотов больше, чем заднее?
1229. Двое рабочих, работая вместе, могут
выполнить заказ в / дней. Первый рабочий может сделать эту
работу в а дней. Во сколько дней мог бы выполнить
заказ второй рабочий, работая один?
1230. Для выполнения плана тракторист должен
ежедневно пахать по а гектаров. Перевыполняя норму на Ь
гектаров в день, тракторист закончил работу на t дней
раньше срока и успел вспахать за это время т гектаров
сверх плана. Сколько гектаров пашни должен был
вспахать тракторист по плану?
1231. С аэродрома одновременно вылетели в город А
по одному и тому же направлению два самолёта.
Первый самолёт летел со скоростью v км в час, а скорость
второго самолёта была на d км в час меньше.
Определить расстояние от аэродрома до города Л, если
известно, что второй самолёт прибыл туда на / часов позже,
чем первый.
1232. Два поезда вышли одновременно навстречу друг
другу со станций А и В. Первый поезд проходил в часа
километров, а второй V\ километров. Через t часов,
но ещё до их встречи расстояние между поездами было
№

равно^ s километрам. Определить длину железной
дороги межДу станциями А и В.
1233. Из города А со скоростью и км в час выехал
велосипедист. Через / часов вслед за ним из этого города
отправился мотоциклист со скоростью vt км в час. Через
сколько часов после своего выхода и на каком расстоянии
от города А мотоциклист догонит велосипедиста (vx > у)?
Старинные задачи и задачи-шутки.
1234. Пифагор на вопрос о числе учеников,
посещающих его школу, ответил, по преданию, так: «Половина
учеников изучает математику, четверть — музыку, седьмая
часть пребывает в молчании и, кроме того, есть ещё
три женщины». Сколько было учеников у Пифагора?
1235. Надпись на камне над могилой Диофанта
(греческий математик, III в. н. э.): «Здесь погребён
Диофант, и камень могильный расскажет, сколь долог был
век его жизни. Часть шестую её составляло прекрасное
детство, двенадцатой части равна его светлая юность.
Ещё часть седьмая прошла — браком себя сочетал.
Пять лет прошло — и послал Гименей ему сына, коему
' рок половину лишь жизни прекрасной дал по сравненью
с отцом. И в печали глубокой старец кончину
воспринял, четыре лишь года с тех пор прожив, как сына ли-?
шился. Скажи мне, скольких лет жизни достигнув,
смерть воспринял Диофант?»
Задача Бхаскары (индусский математик XII в.):
1236. «Есть кадамба цветок; на один лепесток
пчёлок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в
цвету симендга, и на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи, на кутай этих
пчёл посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, всё
летала то взад, то вперёд, и везде ароматом цветов
^наслаждалась. Назови теперь мне,-подсчитавши в уме,
сколько пчёлок всего здесь собралось?»
Задача из сАрифметики> Магницкого (1703 г.):
1237. «Послан человек с Москвы на Вологду, и
велено ему в хождении своём совершати на всякий день
по 40 вёрст, потом другий человек в другим (на сле-
167

дующий) день послан в след его, и велено ему идти на
день 45 вёрст, и ведательно есть, в коликий день постиг-
йет (догонит) второй первого?»
Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.):
1238. «Капитан на вопрос, сколько имеет в команде
2
своей людей, ответствовал, что -g- его команды в кара-
2 1
уле, у в работе, -^ в лазарете да 27 человек налицо;
спрашивается число людей его команды».
1239. «Собака усмотрела в 150 саженях зайца,
который перебегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в
5 минут 1300 сажен. Спрашивается, в какое время со-
бака догонит зайца».
1240; По преданию, чешская народоправительница
Любуша решила выйти замуж за того из женихов,
который решит следующую задачу: «Сколько слив было в
корзине, из которой она дала цервому жениху половину
всех имевшихся в ней слив и ещё одну, второму —
половину остатка и ещё одну, третьему — половину нового
остатка и ещё 3 сливы, после чего в корзине ничего не
осталось?»
1241. Бутылка с пробкой стоит 11 коп. Бутылка
стоит на 10 коп. дороже, чем пробка. Сколько стоит
бутылка и сколько стоит пробка?
1242. Собака гонится за лошадью. Собака делает
6 скачков, когда лошадь делает только 5, и в 4 скачка
собака пробегает то же расстояние, какое лошадь
пробегает в 7 скачков. Лошадь успела проскакать 5,5 км,
когда ей вдогонку побежала собака. Какое расстояние
успеет ещё пробежать лошадь, пока её догонит собака?
1243. Разносчик продал первому покупателю
половину имевшихся у него апельсинов и ещё пол-апельсина,
второму покупателю — половину оставшихся апельсинов
и ещё пол-апельсина; таким же образом продал он
апельсины и остальным покупателям. Когда подошёл седьмой
покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось.
Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял
каадый из покупателей?
1244. .Задумайте какое-ниОудь число, умножьте .его
на 2, прибавьте к произведению 30, полученное число
168

разделите на 2, от результата отнимите задуманное число,
и тогда в ответе получится 15. Объясните, почему при
любом задуманном числе ответ будет всегда равен 15.
Задачи и упражнения для повторения.
1245. Выполнить действия:
1246. Решить уравнение:
*- 1 _L о L х
18 10+3 — D20*
1247. Найти числовое значение выражения,
предварительно упростив его:
—±__|_при а = 6^, 6 =-1,375.
Зв-1-J.
1248. Пр*и каком значении буквы а дробь . 2 5 . .
обращается в нуль?
1249. Определить х из уравнения:
а-\-Ь . х . , Ь(Ь — х)
Решить задачи:
1250. На постройке плотины для водохранилища
работали два экскаватора и выполнили намеченную по
плану работу в 40 дней. Первый экскаватор мог бы один
выполнить эту работу в 2 -j раза скорее, чем один
второй. За сколько дней каждый экскаватор один мог,бы
выполнить эту работу?
1251. В 9 часов утра из пионерского лагеря вышла
на экскурсию группа пионеров. За первый час пути
пионеры прошли 4 км9 затем на подъёме они в течение часа
прошли 3 км, после чего был объявлен на 30 минут
привал. Проходя дальше по 4 км в час, пионеры дошли да
конечного пункта через два часа после привала.
1) Построить график движения пионеров.
169

2) Определить по графику, на каком расстоянии от
лагеря пионеры были в 12 часов дня; остановились на
привал; сколько километров прошли пионеры до
конечного пункта.
3) В какое время дня пионеры находились от лагеря
на расстоянии 9 км?
1252. Выполнить действия:
Пд + Ь)* + 2Ь* 1 , a + lL ] M_J_\
L a3 — b* а — Ь~1а2 + аЬ + Ь*\'\Ь а)'
1253. При каком значении буквы а дробь а ~*~ а7г.
4а —li-
не имеет смысла?
1254. Найти числовое значение выражения,
предварительно упростив- его:
Ь* — Ь
(i + ab)*-(a + b)*
1255. Решить уравнение;
3 , 15
при &= — 56, 6=12Д.
Ах — 20 ' 50 —2л;2 ~ Ьх + 30'
1256. Определить п из уравнения:
1 . д + Ь 1 , а — b
д + £~1 п а—Ь^ п '
1257. Решить задачу:
Из Москвы в Ташкент вылетел двухмоторный самолёт.
Через два часа в том же направлении вылетел из Москвы
реактивный самолёт* который догнал двухмоторный
самолёт на расстоянии 1200 км от Москвы. Найти ско-§
рость каждого из этих самолётов, если двухмоторный*
самолёт пролетает в час расстояние в 2J5 раза меньшее,
чем реактивный самолёт.

ГЛАВА VIII
КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.
§ 41. Оси координат. Абсцисса и ордината
точки на плоскости.
1258. Построить прямоугольную систему координат
и отметить точки, имеющие следующие координаты:
1) х = 5, у = 3;
3) х = — 3, у = — 4;
2) * = -4, у = 6;
4) лг = 5, у = — 2.
1259. Построить точки, имеющие следующие
координаты:
1) х<=8^9у=-.6±
3) дг = —2,8, j/ = —3,2
5)Л(-34;Б^
1260. 1) По данным
координатам. построить
точки и указать, юрки
каких условиях точки
расположены на оси Х-ов или
на оси У-юв:
1) jc=4, ^ = 0;
2) х = -2,.у = 0\ х
3) х=0, у = 3;
4) * = 0, y = — A\
5) jt = 0, ys=0.
2) Определить и
записать координаты каждой
точки, обозначенной -на
чертеже 35.
2) х = — 6,5, j> = 4,5;
4) л; =7,3, .У = 8,4;
6) В(-6,8; —1,4).
Г.
г II 1
1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 /7 1 1 1 1 1
/i 3 Л 1
1 1 1 1 1*1 1 II Г г 1 Г 1 Т 1 1 1 II 1
Т 2| с' • Г/bf Г
II II 1 \А Н Г№;1 1 1 1 \М\ 1 !
г> И 1 И 1 и
1 1 1 1 1 1 Т 1 1- 1 1 1 1 1 1 с 1 1 1 1 1
N № \\\\\\\\\\
М N гА И ft М \Щ \з\ N
и!
I I lo' I I I I I I I I I I I I I I I I
\\\Н h I I I I I/1 I I I I I
М// , п
■ Пм п 1 ■ m
Hi
y)
Черт. 35.
171

1261. Построить отрезок прямой, соединяющий две
точки с координатами:
1) Л (5; 4) и В(-3;-2); 2) С( — 4; 2) и D(5;—3).
1262. 1) Построить треугольник по координатам его
вершин Л, В и С:
Л (4; 5); В (8; 2); С (-6; 3).
2) Построить четырёхугольник по координатам его
вершин Л, В, С и D:
Л(-3; 8); В(10; 6); С(5; -5); D(-7; -4). -
1263. 1) Дана точка Л (4; 6). Построить точку В,
симметричную точке Л относительно оси абсцисс ОХ, и
кайти координаты этой точки.
2) Построить ещё несколько точек, расположенных
симметрично относительно оси абсцисс.
3) Показать, что если точки А и В симметричны
относительно оси абсцисс, то их абсциссы равны, а
ординаты отличаются только знаками.
1264. 1} Построить точку Л (4; 6) и точку В,
симметричную точке Л относительно оси ординат. Чем
отличаются абсциссы и ординаты этих точек?
2) Построить несколько пар точек, симметричных
относительно оси ординат OY, найти их координаты и
показать, что если точки Л и В симметричны
относительно оси ординат, то их ординаты равны, а абсциссы
отличаются только знаками.
1265. 1) Построить точку Л (3; 7) и точку В,
симметричную точке Л относительно начала координат. Чем
отличаются абсциссы и ординаты этих точек?
2) Построить несколько пар точек, симметричных
относительно начала координат, и показать, что
координаты каждой пары таких точек отличаются только знаками.
1266. На плоскости расположены точки:
Л(1; 3); В(2; 5); С(1; -3); D(-2; -5); £(-1; 3).
Определить, какие пары этих точек симметричны
относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала
координат.
1267. 1) Построить четырёхугольник по следующим
координатам его вершин:
Л(0; 0); 5(1; 3); С (8; 5); D(9; 1).
Указание. Взять за единицу масштаба 1 см.
172

2) Из вершины А провести диагональ
четырёхугольника и путём непосредственного измерения основания и
высот полученных треугольников (с точностью до 0,1* см)
вычислить их площадь и площадь ' всего
четырёхугольника.
3) Провести из вершины В вторую диагональ и
вторично найти площадь четырёхугольника, выполнив
соответствующие измерения и вычисления.
4) Вычислить среднее арифметическое двух
полученных результатов и округлить ответ до двух значащих
цифр.
5) Найти абсолютную и относительную погрешности
полученного ответа, зная, что площадь данного
четырёхугольника равна 28 см2.
1268. Результаты измерений температуры воздуха в
течение суток записаны в следующей таблице:
1 Время суток в
| часах
Температура в С°
0
+ 2
2
0
4
— 3
6
— 5
8
0
10
4
12
6
14
9
16
6
18
3
20
1
22
0
24
— 2|
1) По данным таблицы построить график изменения
температуры воздуха в течение суток.
2) По графику определить температуру воздуха:
в 3 часа; в 9 час; в 13 час; в 21 час.
3) Найти по графику, в какое время температура
воздуха была равна: —1°; —4°; +2°; +5°.
4) Установить по графику, в какой промежуток
времени температура поднималась, опускалась.
5) Найти по графику, когда в течение суток
температура была самой высокой, самой низкой.
1269. При свободном падении тела скорость в любой
момент времени определяется формулой v — gt, где v —
скорость в метрах в секунду, #я^9,81 ^, / — время в
секундах.
Построить график изменения скорости падающего
тела в зависимости от времени падения.
173

1270. Из наблюдений над изменением температуры
воды с возрастанием глубины в экваториальной части
Тихего океана получены следующие данные:
Глубина в метрах
Температура в С°
б
28,0
540
7,5
720
6,2
900
5,0
1080
4.2
1260
3,5
i
1440
3
Глубина в метрах
Температура в С°
1620
2,5
1800
2,2
1980
2,0
2160
1,9
2380
1,8
2520
1,7
2700
1,6
1) Построить график изменения температуры воды
с изменением глубины.
2) Определить, на какой глубине температура воды
понижается наиболее быстро; наиболее медленно.
1271. При начале нагревания вода в кипятильнике
имела температуру .8°. При нагревании температура
воды повышалась в каждую минуту на 2°.
1) Написать формулу, выражающую изменение
температуры у воды в зависимости от времени t её нагревания.
2) Составить таблицу значений у за время от Л
минуты до 10 минут.
3) Построить график изменения температуры воды
в зависимости от изменения времени нагревания.
4) Найти по графику с точностью до 1: температуру
воды через 14 минут после нагревания; через сколько
минут после начала нагревания температура воды
достигнет 20°? 35°? Проверить вычислением по формуле.
§ 42. Прямая пропорциональная зависимость
у = ах и её график.
1272. Один килограмм товара стоит 2 руб.
1) Составить формулу, выражающую зависимость
между у — стоимостью товара, ценой 1 кг товара и
количеством х купленного товара.
2) Вычертить график полученной формулы..
3) Определить по графику стоимость: 2 кг 500 г;
4 кг 250 г; 3 кг 750 г товара.
174

4) Определить по графику количество товара,
которое можно купить на 7 руб.; 11 руб,; 9 руб,
5) Как изменяется стоимость товара в зависимости
от изменения количества товара?
1273. Тело движется равномерно со скоростью 4 км в час.
1) Написать формулу, выражающую путь s этого
тела за t часов.
2) Составить таблицу значений s при t, равном
0; 1; 2; 3; 4.
3) По данным таблицы построить график изменения
пути данного тела в зависимости от изменения времени
движения.
4) Найти по графику путь, пройденный телом за
I час 30 мин.; за 3,5 часа.
5) Найти по графику, за какое время тело пройдёт
10 км; 6 км,
6) Доказать, что отношение ординаты любой точки
полученного графика к её абсциссе равно 4.
7) Доказать, что если точка не лежит на данном
графике, то отношение её ординаты к соответствующей
абсциссе не равно 4.
8) Как называется зависимость между s и /?
9) Что является графиком прямой пропорциональной
зависимое™?
1274. 1) Зная, что величина у изменяется прямо
пропорционально величине дс, заполнить следующую таблицу:
X
У
8
4
в
4
2 ;
1
1
2
0
—1
—2
—4
—6
—8
2) Написать формулу, выражающую зависимость у
от х.
3) Построить график данной зависимости.
1275. В бак вливается через края вода. Число литров
вливающейся воды каждую минуту записывалось.
Получилась следующая запись:
• Время
в минутах
Количество
воды
в литрах
0
0
1
3
2
6
-t-
3
9
4
12
5
15
6
18
7
21
8
24 ;
9
* 27 ,
175

1) Найти: отношение количества литров воды,
вливающейся в бак за 6 мин., к количеству литров воды,
вливающейся в бак за 4 мин.; отношение числа минут
действия крана в первом случае к числу минут действия
крана вр втором случае и сравнить эти отношения.
2) Проверить, справедливо ли утверждение,
что,,отношение любых двух значений v равно отношению
соответствующих значений /.
130
ъ1го
1
£ 110
э
1 '
groo
СО
5 90
80
7П
"
f 2 3 4 5 t
Время б минутах
Черт. 36.
123456769 10
Возраст в годах
Черт. 37.
3) Определить отношение любого значения v к
соответствующему значению /.
4) Выразить формулой зависимость v от /.
5) Вычертить в тетради график изменения v —
количества литров воды в баке в зависимости от / — времени
действия крана (черт. 36).
6) Вычислить количество литров воды в баке через
с I 1 1
5-^ мин.; через 1-^ мин.
7) Привести примеры прямо пропорциональных
величин.
1276. Рост ребёнка до 10 лет изменяется в среднем
следующим образом:
176

Возраст
в годах
Рост
в сантиметрах
t
1
1
70
2
80
3
88
4
95
5
100
6
107
7
ИЗ
8
119
9
127
10
129
1) Показать, что отношение любых двух значений /
не равно отношению соответствующих значений /.
2) Показать, что отношение любого значения / к
соответствующему значению / не равно одному и тому же
числу.
3) Почему нельзя утверждать, что рост ребёнка
прямо пропорционален его возрасту?
4) Вычертить график изменения роста ребёнка в
зависимости от изменения возраста (черт. 37).
5) Какую линию представляет4 собой начерченный
график? Чем отличается этот график от графика
прямой пропорциональности?
1277. В сосуде имеется вода при температуре 0°. При
подогревании воды температура её стала изменяться в
зависимости от продолжительности нагревания
следующим образом:
Время
в минутах
Температура
в градусах
X
У
0
0
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
7
14
8
16
9
18
10
20
1) Найти отношение любых двух значений х и
сравнить это отношение с отношением соответствующих
значений у.
2) Составить по данным в таблице значениям х и у
несколько пропорций.
3) Написать формулу, выражающую у в
зависимости от х.
4) Вычислить температуру воды в сосуде при х=\Ъ
(при условии равномерного подогревания).
5) По данным таблицы вычертить график изменения
температуры воды в сосуде.
1278. Самоходный комбайн при средней рабочей
скорости убирает в час 2 га пшеницы.
1) Найти площадь S, убираемую комбайном за t часов.
177

2) Вычислить S при следующих значениях /:
t часов
S гектаров
1
2
1
2
4
2
4
3
*ч
з1
4
4
5
6
7
8
3) Вычертить график изменения S в зависимости от
изменения t. • ^
1279. Известно, что величина у изменяется прямо
пропорционально величине х, причём коэффициент
пропорциональности равен 4.
1) Написать формулу, выражающую у через х.
2) Заполнить пустые места в следующей таблице:
X
У
2
5
7
,
1
2
*
0,25 |
3) Построить график изменения у в зависимости от
изменения х.
1280. Зная, что величина у изменяется прямо
пропорционально величине х, заполнить пустые места в
следующей таблице:
X
3
4
5
7
У
12
X
2
1
6
' 5
У
12
X
1
3
4
1
У
21
20
X
8
10
5
У
4
7
X
4
10
20
1
У
6
24
1281, Известно, что величина у прямо пропорциональна
величине х и коэффициент пропорциональности равен 2.
1) Написать формулу, выражающую зависимость у от*.
2) Заполнить следующую таблицу:
X
У
0
1,
2
3
4
5
6
— 1
— 2
— 3
— 4
3) Построить график данной зависимости.
178

1282. Построить (на
одном чертеже) графики:
у=Ъх\ у = — 3х.
Указать различие в
расположении полученных
графиков относительно
осей координат (черт. 38).
1283, 1) При одних и
тех же осях координат и
в одном и том же
масштабе построить графики
следующих уравнений:
1 1
У=-^х\ у = —-^х\
у—2х\ у = — 2х.
2) Выяснить изменение
положения прямой
относительно осей координат
при изменении
коэффициента перед х.
Построить графики, выражающие прямую
пропорциональность следующими уравнениями:
1 ... пч ... л. . с 1
1284. 1) у = 4х; 2) */ = ух; 3) у = х\ 4) у
5) »=4*; *
6) У = ^х\
7) у = 0,6х;
8)*,= 1,5х. '
Показать на чертеже 39
:2^х;
графики 1, 3, 5.
1285. 1) у =
*г
2) у = — -тх;
х\
}_
2
3) у = — 2х\
Показать на чертеже 39
графики 1, 2, 4.
Kffi
rvJ Г\1 \г
4^2U4**[c3
г ГСИг
1/1 Аз
вЭГ4 з\ 4 Г
та
ч1
Черт. 39.
179

1286. Длина окружности С вычисляется по формуле
С = к<1, где d — диаметр окружности, а тс —
постоянная величина, равная приближённо 3,142 (с точностью
до 0,001).
1) Как будет изменяться длина окружности, если её
диаметр увеличить в 10; 100; 1000 раз? уменьшить в 10;
100; 1000 раз?
2) Определить длину окружности, диаметр которой
выражен следующими числами:
15; 24; 0,8; 0,12; 2,6; 230; 530; 780;
1. I. 5_. 91. я!
2 > 4' 8 ' 4 ' 4 '
1287. 1) Совершая туристский поход, отряд пионеров
вышел из города в деревню со скоростью 3 км в час.
Через час из этого города по той же дороге вышел отряд
комсомольцев со скоростью 4,5 км в час. Построить
график движения обоих, отрядов. Найти по графику, на
каком расстоянии от города второй отряд догонит первый.
2) Из двух городов Л и В, расстояние между
которыми равно 160 км, одновременно вышли навстречу
друг другу два поезда. Псезд, вышедший из Л,
проходил 48 км в час, а^псезд, вышедший из В, — 32 км в час.
Построить график движения обоих поездов. Определить
по графику, через сколько времени после выхода поезда
встретятся и на каком расстоянии от Л.
1288. При учёте работы трактористов все тракторные
работы переводятся в количество гектаров так
называемой «условной пахоты».
1) Составить формулу для перевода в условную
пахоту работы по подъёму зяби, зная, что за выполнение
этой работы на площади в 1 га начисляется 1,4 га
условной пахоты.
Указание. Обозначить через х число гектаров зяби,
через у — число гектаров условной пахоты.
2) Построить график перевода работы тракториста
по подъёму зяби в условную пахоту.
3) Определить по графику, сколько гектаров условной
пахоты начисляется за подъём 8 га зяби; 11 га; 15 га.
4) Определить по графику, сколько гектаров зяби
надо вспахать, чтобы выполнись дневную норму работы,
равную 4,5 га условной пахоты. * '
180

1289. При учёте работы тракториста за месяц были
получены следующие данные.
Наименование
выполненных работ
Сенокошение
Узкорядный сев
Уборка комбайном
Подъём зяби
Объём
работы
в гектарах
97
76
94
38
Норма
перевода в
условную пахоту
0,3
0,6
0,5
1,4
Объём
условной
пахоты
1) Построить при одних и тех же осях координат и
в одинаковом масштабе (1 см соответствует 10 га)
графики перевода тракторных работ в условную пахоту.
2) Определить по графикам объём каждого вида
работ в гектарах условной пахоты с точностью до 1 га,
заполняя соответствующие места в таблице.
3) Зйая, что тракторист по плану должен был
выработать за месяц 150 га условной пахоты, определить по
полученным результатам выполнение плана в процентах
(с точностью до 1%).
1290. Задача о нахождении р% от данного числа а
решается по формуле Ь = -^-, где а — данное число, р —
число процентов, Ь — искомое число.
На чертеже 40 построены графики (номограмма) для
нахождения р% от данного числа.
о ю го зо ьо so во ю во зо юо а
Черт. 40.
181

1) При помощи данных графиков заполнить
следующую таблицу, проверяя ответы вычислением:
/>%
а
Ь
15
40
35
60'
45
25
55
90
65
70
Ч15
120
45
260
35
175
55
130
2) Построить на одном и том же чертеже графики
для нахождения р% от числа а, давая р значения: 5; 10;
20; 30.
/3) Составить несколько задач на нахождение р% от
данного^числа и решить их при помощи графиков:
§ 43. Линейная зависимость у = ах-\-Ъ
и её грлфик.
1291. В 8 час. температура воздуха была 6 градусов
тепла. До 16 час. температура повышалась равномерно
на 0,5 градуса за каждый час.
1) Написать формулу, выражающую изменение
температуры воздуха (у) в зависимости от изменения
времени (х).
2) Построить график изменения температуры у в
зависимости от изменения времени х.
3) Найти по графику температуру воздуха в 10 час;
в 12, час; в 13 час 30 мин.
4) Можно ли утверждать, что температура воздуха
изменяется прямо пропорционально изменению времени?
5) Как называется зависимость, выраженная
уравнением
у = 0,5*+ 6?
1292. Поезд вышел со станции 1и, пройдя при
разгоне 2 км, стал двигаться равномерно со скоростью
40 км в час
1) Найти, на каком расстоянии s от станции А будет
находиться поезд через / часов равномерного движения.
182

2) Вычислить значения s при следующих
значениях /:
t часов
Р s километров
0,1
;
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
'■ '
0,8
0,9
! 1'
3) Начертить график «изменения расстояния s в
зависимости от изменения времени /' равномерного
движения поезда.
Указан и е. На горизонтальной оси откладываются
значения % на вертикальной оси — значения s (черт. 41).
4) В чём
заключается сходство и различие s
полученного графика с
графиком прямой
пропорциональной
зависимости?
5) Проверить
вычислением и по графику,
что значения s
изменяются
непропорционально изменениям значе--
ннй t.
6) Как называется
зависимость вида:
s = 40f+2?
. 1293. В баке 6 л
керосину, и каждую ми?
нуту в него вливают
через кран по 4,5 л.
1) Записать
зависимость между у — числом
литров керосина в баке
и временем х, в течение
которого открыт кран.
2) Вычертить график изменения у, давая х значения
от 1 до 10,
3)' Найти по графику, сколько будет керосина в баке
через 12 мин.? через 15 мин.?
44i
АП\-
4{jr-
чйи
Ч2\-
**■ Г
6 2В\-
• Г
5 Г
S 2AV-
*
* Г
^ ^и\
-о Г"
Б 16\-
^ Г
^ г
/2н
6\-
*С
г
|
J, /
И
у
А
*rf
Of-
I
1,
'А
\/
V
и
У
1 -|-
Г7ТТ
/
г
III
III
1 II
bJ
1. J
—w
О 0.2 0.4 0,0 OpB 1
Время б часах
Черт. 41.
U !><
183

4) Через сколько минут в баке будет 40 л керосину
(найти с точностью до 1 мин.)?
5) Через сколько минут бак будет наполнен, если он
вмещает 100 л керосину? Округлить ответ с точностью
до 1 минуты.
1294. Уровень еоды в реке при начале наблюдений
был на 12 см ниже обычного уровня, а затем в течение
8 дней ежедневно повышался на 3 еж.
1) Вычертить график изменения у — уровня воды в
реке, давая х значения, равные: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
2) Написать формулу, выражающую изменение
уровня воды (у) в зависимости от времени (х).
3) Найти по графику, через сколько дней после
начала наблюдений уровень воды достиг обычного уровня.
1295. Свеча длиной в 20 см уменьшается за каждый
час горения на 2 см.
1) Какой длины будет свеча через х часов горения?
2) Вычертить график изменения длины свечи, давая х
значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3) Определить по графику, через сколько часов
сгорит вся свеча.
1296. На одном и том же чертеже построить графики
зависимостей: у = 2х и у = 2л:-|-3, заполнив
предварительно следующую таблицу:
х
| у = 2х
3> = 2лг + 3
— 4
— 3
— 2
— 1
0
1
2
3
4
1) Чем отличается положение полученных прямых
относительно осей координат?
2) Показать, что прямые у = 2х и у = 2х-\-3
параллельны друг другу.
3) Найти длину отрезка, отсекаемого на оси 0Y прямой
у = 2х + 3.
1297. 1) На одном и том же чертеже построить
графики:
*/ = 3x + 2 и у= — Зх + 2.
184

2) Установить, в чём заключается сходство и
различие полученных графиков.
3) Показать, что с увеличением х величина у — Ъх-\- 2
равномерно возрастает, а величина у=—Зд:-|- 2
равномерно убывает.
1298. 1) На одном и том же чертеже построить
графики следующих зависимостей:
У= — "2* — 4*> У = ^х — 4;
у= — -2"* + 4; # = Tx-f4.
Найти координаты точек, в которых каждый график
пересекает ось 0Y и ось ОХ.
2) Найти «наклон» каждой прямой (угловой
коэффициент).
3) Вычислить значение х, при котором
соответствующее значение у равно 3 (для каждого уравнения), и
проверить результат по графику.
1299. Даны две зависимости: yt = Зх — 2 и у* = 2х -f- 3.
Найти, при каком значении х> уи у% имеют одно и
то же числовое значение. Решить графически и
проверить вычислением.
§ 44. Обратная пропорциональная зависимость
у = — и её график.
X
1300. Площадь прямоугольника равна 12 слс3; длина
его а сантиметров.
1) Найти ширину прямоугольника, обозначив её
буквой Ь.
12
2) Вычислить ширину Ь = — при следующих
значениях а:
Длина в
сантиметрах
Ширина в
сантиметрах
а
Ь
1
2
3
4
5
6
8
12
185

о
о.
О)
I
а;
о
§ 5!
О»
3) Используя таблицу значений а и ft, доказать, что
при данной площади ширина прямоугольника обратно
пропорциональна его
А длине.
У51 i » i « i » i i i i i » i i i 4) Построить график
(черт. 42) изменения
ширины
прямоугольника в зависимости от
изменения его длины.
5) Найти по графику
значение Ь при а,
равном: 1,5; 2,4; 9.
6) Найти по
графику значение а при 6,
равном: 10; 5; 8.
7) На том же чер-
I 1 1 1 1 1 I,'-11 1 1 1 1 I
ПРИ
МЫ
11
1\ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 \1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 X1 1 [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
\1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
|\|
ТгЦ J
I 1 1 1 1 1 1 Тгт-4.1
5. Ю
Дайна б сантиметрах
Черт. 42.
t5 - теже, где вычерчен
график Ь = —, построить
прямоугольники, у
которых а равно: 1, 2, 3,
4, 6, и доказать, что площадь каждого прямоугольника
равна 12 см1,
1301. Сколько килограммов {у) товара можно
купить на 48 руб., если цена 1 кг товара равна х
рублям?
1) Составить таблицу значений у в зависимости от х
и вычертить график изменения у:
Цена 1 кг товара
в рублях
Количество товара
в килограммах
X
У
2
3
4
5
6
8
10
12
16
18
20
24
2) Определить по графику значения у при
следующих значениях х: 5, 9, 15.
3) Определить по графику значения х при
следующих значениях у: 6, 8, 12, 16, 20.
* 6'
1302. Построить график функции # =—» давая х
следующие значения:
186

\x-
г
-12
— 10
— 8
— 6
— 4
— 2
— 1
1
2
1
2
1
2
4
6
8
10
12
1) Как расположен график относительно осей
координат (черт. 43)?
-12
-1
0
-1
}
-<
?
-4
***
■ч
\
1А
IO
9
■
>
Г
\
^
1
1
N
\
UP
1
1
Li
ия
р/и
ч
*
ч
4
^«
У
(
1
\
1
3
1б
1
2
Черт. 43.
2) Найти по графику значения у при х, равном: — 3;
3- -1±. ll. ll. _1±
о, ! 2» ,2». 5' 5 •
3) Найти по графику значения х при у, равном:
1- —1" —• ——
4) Как называется зависимость между у и х>
выражаемая уравнением у=—?
5) Что является графиком обратной
пропорциональной зависимости?
1303. Известно, _что величина у обратно
пропорциональна величине х, причём коэффициент
пропорциональности равен 16. . " -
187

1) Написать уравнение, выражающее зависимость у
от х.
2) Заполнить следующую таблицу:
X
У
1
16
2
4
8
12
16
— 1
— 2
— 4
— 8
— 12
— 16
3) Построить график данной зависимости.
1304. 1) Зная, что величина у изменяется обратно
пропорционально величине х> заполнить следующую таблицу:
- х
У
1
4
2
4
8
— 1
— 2
— 4
— 8
— 12
2) Написать уравнение, выражающее зависимость у
от х.
3) Построить график данной зависимости.
1305. Построить на одном чертеже графики
зависимостей:
1)*=4; 2> *=-'!'
Как расположен относительно осей координат график
каждой из данных зависимостей?
1306. (Устно.) В следующих примерах указать
величины прямо пропорциональные и величины обратно
пропорциональные:
1) Длина окружности и длина её диаметра.
2) Количество рабочих и время выполнения данной
работы.
3) Время и скорость равномерного движения при
постоянном пути.
4) Стоимость товара и его количество при
постоянной цене товара.
5) Цена 1 кг товара и количество товара при
постоянной стоимости товара.
В следующих задачах записать зависимость между
данными и искомыми величинами в виде пропорции и
затем опред&шть неизвестный член её.
188

1307. 1) Поезд, двигаясь равномерно, прошёл s
километров за t часов. За сколько часов он пройдёт d километров?
2) Куплено а килограммов товара на Ь рублей.
Сколько килограммов этого же товара можно купить на
с рублей?
3) Для колхозного стада, состоящего из п голов скота,
заготовлено кормов на t дней. На сколько дней хватит
этого запаса при сохранении прежней нормы, если число
голов скота будет равно Ь?
1308. Для отопления дома заготовлено топлива на /
недель при средней норме расхода k тонн в неделю. На
сколько недель хватит этого топлива, если расходовать
/ тонн в неделю?
1309. Если т тракторов могут вспахать колхозное
поле за а дней, то сколько потребуется тракторов той
же производительности, чтобы вспахать колхозное поле
за b дней?
№ 1310—1314 устно.
о/,
1310. В формуле а> = — величины b и с положительны.
Как изменится а, если: 1) b увеличить в два раза?
2) с уменьшить в 5 раз? 3) b уменьшить в 3 раза?
4) с увеличить в 4 раза? 5) Ь увеличить в 2 раза, а с
уменьшить в 3 раза? 6) b уменьшить в 5 раз, а с
увеличить в 3 раза?
etc
1311. В формуле №=-£ величины a, b и с
положительны.
Как изменится N, если: 1) а увеличить в 3 раза?
2) b увеличить в 5 раз? 3) а увеличить в 2 раза, а с
увеличить в 3 раза?-4) а уменьшить в 2 раза, а с увеличить
в 2 раза? 5) а уменьшить в 3 раза, a b увеличить
в 3 раза?
1312. В формуле М = ^- величины a, b и с
положительны.
Как изменится Му если: 1) а увеличить в 3 раза?
2) b увеличить в 2 раза? 3) с уменьшить в 5 раз? 4) а
увеличить в 2 раза, a b уменьшить в 2 раза? 5) b
увеличить в 3 раза, а с увеличить в 2 раза? 6) а увеличить
в 2 раза, b уменьшить в 3 раза, с уменьшить в 4 раза?
7) а увеличить в 2 раза, b увеличить в 3 раза и с
увеличить в 4 раза? 8) а уменьшить в 4 раза, b уменьшить
в 2 раза и с уменьшить в 6 раз?
189

1313. В формуле k = — величины тип
положительны.
1) Как вадо изменить т, чтобы k увеличилось в 3 раза,
а п осталось без изменения?
2) Как надо изменить п, чтобы k увеличилось в 2 раза,
а т осталось без изменения?
3) Как изменится т, если k оставить без изменения,
а п увеличить в 4 раза?
4) Как изменится п, если k увеличить в 6 раз, am
уменьшить в 3 раза?
Ш4. 1) Из1 т килограммов свежих фруктов
получено d килограммов- сушёных. Сколько будет получено
сушёных фруктов из п килограммов свежих?
2) Площадь S треугольника вычисляется по формуле
S = у, где Ь — основание треугольника, h — его высота,
опущенная на основание 6.
. Как изменится S, если b увеличить в 4 раза, a h
уменьшить в 2 ра&а?
Как изменится А, если S оставить без изменения, а Ь
уменьшить в 5 раз?
% Упражнения для повторения.
1315. Построить график зависимости у от х:
у + 2х=1.
1316. В следующей таблице "приводятся данные,
показывающие изменение температуры кипения воды (в
градусах) в зависимости от изменения давления (в атмосферах):
Давление
в атмосферах
Температура
кипения (С°)
1
100
2
120,6
3
133,9
4
144
5
152,2
6
159,2
7
165,3
8
170,8
9
175,8
10
.. 183,3
1) Построить график изменения температуры кипения
воды в зависимости от изменения давления, округляя
числовые значения температуры с точностью до 1.
2) На оси абсцисс отметить числовые значения
давления в масштабе; 1 см соответствует 1 атмосфере.
3) На оси ординят отметить числовые значения
температуры в масштабе: 1 см соответствует 10°.
190

"Цемент
4) Можно ли утверждать, что температура кипения воды
изменяется прямо пропорционально изменению давления?
1317. На чертеже 44 -
построены графики для
определения веса
строительных материалов:
цемента, гравия и бетона—
в зависимости от их
объёма и удельного веса.
1) Обозначая вес
материала в тоннах через
Р, объём — в
кубических метрах через V,
составить формулы для
вычисления веса
цемента, гравия и бетона,
определяя их удельный
вес по графику.
2) Определить по
графику, сколько
кубометров каждого >в
указанных строительных
материалов можно
погрузить на самосвал
грузоподъёмностью В 2,5/72.
Результат округлить до
0,1 кубометра.
3) Сколько тонн весят
и бетона (отдельно)?
1318. Известно, что величины
циональны
Черт. 44.
4,5 кубометра цемента, гравия
х и у обратно пропор-
1) Заполнить пустые места в следующей таблице:
1 х
У
4
2 *
6
1
/
3
2) Составить формулу, выражающую зависимость
величины у от величины х.
3) Построить график изменения у в зависимости от
изменения х.
Ж

4) (Устно.) Привести примеры обратно
пропорциональных величин.
1319. Начальная длина пружины равна 6 см. Опытным
путём установлено, что под действием растягивающей силы
длина пружины увеличивается на 0,5 см при увеличении
нагрузки на 1 кг в пределах от 0,5 кг до 8 кг.
1) Составить формулу, выражающую изменение длины
пружины (в сантиметрах) в зависимости от изменения
нагрузки (в килограммах).
2) Построить график изменения длины пружины в
зависимости от изменения нагрузки.
3) Определить по графику длину , пружины при
нагрузке в 7 кг, в 8 кг, в 2,5 кг. При какой нагрузке длина
пружины будет равна 8 см? 9 см?
1320. На чертеже 45 изображён график, выражающий
изменение пути s (в метрах) движущегося тела в
зависимости от изменения времени t (в секундах).
Найти по графику скорость движения. Составить
формулу, выражающую изменение пути в зависимости от
времени движения /.
•1^1
Г
г
5,
-3
-г
-1
с
\
)
1
г
1
4
'Время 'в секундах I
i I i i II I l II
(
/
5 *
Черт. 45.
1321. 1) Построить график зависимости у от х:
2* + 3*/=±=12.
пересечения
2) Найти по графику координаты точек
полученного графика с осями координат.
3) Определить по графику, при каких значениях
У=0, у>0; */<0.
192

ГЛАВА IX
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.
§ 45. Уравнение с двумя .неизвестными.
1322. Решить задачу:
Отцу и сыну вместе 45 лет. 1) Сколько лет каждому
из них? 2) Найти несколько решений этой задачи,
соответствующих её смыслу. 3) Можно ли в этой задаче на
поставленный вопрос дать определённый ответ? 4) Почему
эта задача называется неопределённой?
1323. Сумма двух чисел равна 10. 1) Найти эти числа.
2) Сколько решений имеет эта задача? 3) Можно ли
сказать, что любые два числа будут решением этой задачи?
1324. 1) Придумай задачу, для решения которой надо
составить одно уравнение первой степени с двумя
неизвестными. 2) Дать несколько ответов на вопрос задачи.
1325. Найти путём подбора несколько решений для
каждого из следующих уравнений:
1) х+*/ = 9; 2) х — у = 4; 3) у = 2х\ 4) х=у+1.
1326. Дано уравнение: Зх — 2у = 16.
Из следующих пар^ чисел выписать те, которые
являются решением данного уравнения:
1) х = 6; y=U 2) х = 2; У= — 5;
3) х = 4; у = — 2; 4)х=1; у = 6;
5)'х=-2;' у=4; 6)f* = -4; y = —14;
7) х = 0; У= — 8; 8) х = 5; у = 0.
1327. Из следующих уравнений выписать те, которые
имеют решение, х== 2; у=\:
'\)Ьх — Ъу = 7\ 2)Зх + 4*/=10; 3)х + 2у = 6; .
4)—Ьх — у = —\\\ Ь)7х — Ьу = 2\ 6)—3x+6t/ = 0.
7 П. А. Ларичев
193

1328. Дано уравнение: х-{-у = 2.
1) Составить таблицу значений х и у,
удовлетворяющих этому уравнению.
,2). Принимая каждую пару найденных значений х и(/
за координаты точки, построить в прямоугольной системе
Чёрт. 46.
координат соответствующие точки и показать, что все они
расположены на одной и той же прямой (черт. 46).
3) Взять на полученной прямой любую точку и
определить её координаты. Подстановкой найденных чисел —
координат точки —в уравнение х-\-у = 2 проверить,
правильно ли определены координаты этой точки.
4) Давая х произвольные значения, найти по графику
соответствующие значения у\ убедиться подстановкой
в данное уравнение, что эти значения х и у служат
решением уравнения.
5) Найти по графику зна4ение х при следующих
значениях у: 3,5; —2; —1,5.
1329. Выполнить задания предыдущей задачи для
следующих уравнений:
1) y = x+U 2} х — у = 2; 3) р = 2*-1;
4) у = -±х + 2; 5) 1/== —х + 3; 6) Зх + у = 2.
1330. Каждое из следующих уравнений с двумя
неизвестными вначале привести к нормальному виду, а затем
194

выразить одно из неизвестных через другое и найти
несколько решений каждого из уравнений:
1) 5х-8у = 4х-9у-{-3; 2) ^_^ = £zzi,
■ 3) (х_у)5+1 = 4(*+у)+3;. 4) £ + £ = !-.
Сколько решений имеет одно уравнение 1-й степени
с двумя неизвестными?
§ 46. Системы уравнений с двумя неизвестными.
1331. 1) Сумма двух чисел равна 5, а разность этих
же чисел равна 1. Найти эти числа.
2) Обозначив одно неизвестное число через х, а другое
через у, составить два уравнения 1 -й степени с двумя не-
изЬестными — систему двух уравнений 1-й степени с двумя
неизвестными.
3) Для каждого из уравнений составить таблицу
значений х и у. По найденным значениям х и у вычертить
на одном чертеже два графика (черт. 47).
Черт. 47,

4) Найти по графикам координаты точки пересечения
полученных прямых и проверить подстановкой в данные
уравнения найденных значений х и у, что они
удовлетворяют обоим уравнениям. '
1332. Решить графически следующие системы урав- *
нений:
п (* + У = 6; 2) (х + у = 7\ (х + у = 4;
\х — у = 2; \х — у=3; \у=3х.
Следующие системы уравнений решить способом
подстановки:
""•«U-ii-ir *> U'l-Jj: ,
1335.
1336.
n / х — 3у=12; 9, / x + 5y = 7;
4 \2x + 4f/ = 90; A) \3x — 2y = 4.
n / x-\-2y—\\; 9, (3x — y = 5;
l) \5x — 3r/ = 3; • ^ \5x + 2# = 23.
1337 n /2л:+ «/ = 8; 9, (7x-{-9y = 8;
■'' l) \3x + 4y = 7; Z) \9x—3t/ = 69.
ma n /2x + 5y==15; ™ f2x + 3i/ = — 4;
1339.
n /Здс-2«/=11; „, /5x-f6y
u \4* — Ъу = 3\ l) \7x-f-18.
13;
7x+lfy = —1.
Следующие системы уравнений решить способом
алгебраического сложения:
196

1344. 1)
(7*-3y=15;
\5x + 6> = 27;
1345. 1)
Г28х-
35^ + 3=0;
\12x+15i/ + 25=0;
2, /12*+16^+1=0;
*} \ 3*+ 4^ + 2 = 0.
2, (Tx — 3# + 1=0;
z> Ux-5y+l7
1346.
n fl5* + 23t/-
^ \ 3*+ 4y-
10=0;
2=0;
2)
(25x — 4y-
\3lx — 5f/+16 = 0.
0.
1=0;
1347. При помощи алгебраического и графического
решений показать, что следующие системы уравнений
имею/г только одно решение:
ov (2*+#=5;
d) I f/=3x;
с, (2x=l—#;
5) t у=х-Ь;
« f2jc —*/= 2;
4>t2*+i/=l0;
6)fx+2^=l;
7 l* — У = 4.
1348. При помощи алгебраического и графического
решений показать, что следующие системы уравнений
имеют бесконечное множество решений:
1) \2х+2//=4;
(х + */ = 3;
2^22'
3)
2> \3*-3*/=15;
= 5;
4)
X
Т
"о — "о" 10»
3^
2
5> {#=£ «>
4 —lf
*^>=з.
1349. Найти два числа, сумма которых равна 10, а сумма
удвоенных этих чисел равна 20. Сколько решений имеет
задача?
1350. Длина и ширина прямоугольника составляют
вместе 12,5 м> а периметр равен 25 ж. Найти длину и
ширину прямоугольника.
1351. Составить несколько систем двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными, имеющих бесконечное
множество решений.
197

1352. При помощи графического и алгебраического
решений показать, что следующие системы уравнений не
имеют решений:
»> U±
х-\-у = 5;
5-2*/;
f
1353. (Устно.) Существуют ли два таких числа, сумма
которых одновременно равнялась бы и 3 и 5?
1354. Составить несколько систем двух уравнений
с двумя неизвестными, не имеющих решений.
1355. Дана система уравнений:
с х+у=7;
\ах-{-2у=с.
Подобрать такие значения для а и с, чтобы система
уравнений: 1) имела одно решение; 2) имела бесконечное
множество решений; 3) не имела решений.
1356. (Устно.) Дано уравнение: Зх+'5у=1.
Составить новое уравнение так, чтобы оно вместе с
данным образовало бы систему:
1) имеющую бесконечное множество решений;
2) не имеющую решений.
Решить системы уравнений относительно букв, которые
входят в уравнения системы:
13*7 П /3(*--l) = 4i/+l; о) /*(* + 2) = 1-50;
Ы57в 1) \5{у-1) = х+1; l) \3(у + 2) = 3-2*.
1358 П /2(c + d)-3(c-d) = 4;_
1358. 1) |4(c + d)-7(c-d) = 2;
9v Г 5(3*.+ у)— 8 (х-6*/) = 200;
Z) \20(2х — 3у)—\3(х — у) = 520. '
Р _ JL 1. (!!L I — 9-
— х» \ л ~Г л — ^»
,359-1>^,23, . 2)
Т + Т = 8>
т , п
т in о
198

1)
1)
1362. 1)
2)
2)
2)
3 4 — 2
1363. 1) J Зз>-2 -1'
\x(2y-5)-2y(x + 3) = 2x^-l;
2) b+2 —°'
1364. 1)
2).
1365. 1)
2)
1366. 1)
2)
•3 (2x — 5) —. 4 (3y + 4) = 5.
x+l y-\-2_2(x-y) .
3
лг —3
4
Д--3.
5
■2y — x;
<3x — 2y | 5лг —3.y
""б г з —
2л; —Зу | 4х — 3у_
+
* + 1;
2х— у + 3 _^ х — 2у-\-3 _ .
Злг —4y-f3 | 4лг —2у
■ Зу_
2х-
з
.У + 5.
= 4;
4 — ~~ 3
10 (л-— у)— 4(1— *)__
У-
|'1—0,3(1, —г)^^-1;
|^_3_4£+9__
I 4 ~ 20 1>0'
г4(О,1*+1) + 5=1,10;

1367.
D Пх + ЗЦу + 5)
I (*x
(x+l)(y + S);
3) (5*/+ 7) = 2 (5*-6) (*/+!);
1368
2) /(* + 5)(y-2) = (* + 2)(^-l);
*:# = 3:4;
1369.
1):
2> /(* + 4)
3)
:(y + 2) = l:2;
:(y+l) = 2:l;
:(y-l) = S:U
0,2лг + 0,1,у 4x—y Злг + 0,5у
2 10 — 30
Злг + 2у— 1 о 0,8л: — 5y
■1"_^-в.
л:+15—^ + 2*
л:~3 у — 4
л: у— 1"
:—.У.
1370. 1)
2)
3
Злг + 4 .
4 "Г
3(*-.у)
4
Злг— 1
1,6
41
8л: Зу—10
:15 5, ;
5л: у—17
8 — 6
+ 0,25 =
у + 9_
12 '
5л: ЗУ+ 19,
■2*.
Решить системы уравнений относительно х и у,
используя в тех случаях, где это целесообразно, введение
вспомогательных неизвестных:

и
18
1379*
1381*Л
2х — Зу ' Злг—2у
27 2
= 13;
1380*.
[Зх^-2у 2лг-3у
1 . , J,
х-у + 2
1
1.
__4 1_
)л:4-2у х — 2у
20
= 1;
х + 2у • *_ 2^
= 1.
1 —л:—.у"
= 0,1;
1
х—у+ 2 ~-х+у — 1
= 0,3.
Упражнения для повторения.
1382. Решить способом подстановки следующую
систему уравнений:
у + 3 , 2-х _3_
6 ~ 8 ~ 2
1383. Решить способом сложения следующую
систему уравнений:
JJif-0,8 (1* + 2,5) = 2-Ь
6-^^-4=2(1+х).
1384. Решить графически следующую систему
уравнений:
\2х + ^ = 7.
1385. Придумать систему двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными:
1) имеющую бесконечное множество решений;
2) не имеющую решений.
§ 47. Задачи на составление систем уравнений
первой степени
1386. Из города в колхоз выехала машина «Волга».
Обратно она возвращалась по другой дороге, которая
была на 5 км короче первой. Всего в оба конца машина
проехала 35 км. Сколько километров составляет дйина
каждой дороги?
201

J 387. Ученик за 3 общие тетради и 2 карандаша
уплатил 66 коп. Другой ученик за такие же 2 общие
тетради и 4 карандаша уплатил 52 коп. Сколько стоила
Общая тетрадь й сколько стоил карандаш?
1388. 10 кг торфа и 5 кг сухих дров дают при
сжигании 65 000 больших калорий; 25 кг торфам 3 кг сухих
дров дают 134 000 больших калорий. Определить,
сколько больших калорий даёт отдельно 1 кг торфа и 1
«^сухих дров. *
1389. 5 кг антрацита и 4 кг кокса дают при сжигании
68400 больших калорий; 10 кг антрацита и 15 кг кокса
дают 186 500 больших калорий. Сколько больших
калорий даёт отдельно 1 кг антрацита и 1 кг кокса?
1390. На прокормление 8 лошадей и 15 коров
отпускали ежедневно 162 кг сена. Сколько сена ежедневно
выдавали каждой лошади и каждой корове, если
известно, что 5 лошадей получали сена на 3 кг больше, чем
7 коров?
1391. Два мастера получили за работу 117 руб.
Первый работал 15 дней, а второй 14 дней. Сколько получал
в день каждый из них, если известно, что^ первый мастер
за 4 дня получил на 11 руб. больше, чем второй за 3 дня?
1392. Состав пассажирского поезда, состоящего из
паровоза и 15 вагонов, весит 370,5 т, причём вес
паровоза на 13,3 т больше веса 4 вагонов. Найти вес одного
вагона и вес паровоза.
1393. На платформу были погружены дубовые и
сосновые шпалы, всего 300 шпал. Известно, что все
дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые.
Определить, сколько было дубовых и сосновых шпал
отдельно, если каждая дубовая шпала весила 46 кг, а
каждая сосновая 28 кг.
1394. Для отправки груза было подано несколько
вагонов. Если грузить по 15,5 т в вагон, то 4 m груза
останутся непогруженными; если же грузить по 16,5 т
в вагон, fo для полной загрузки вагонов не хватит 8 т
груза, 'сколько было подано вагонов и сколько тонн
было гВ|за?
1395^ ^Несколько человек отправляются на экскурсию.
Если при этом каждый внесёт на расходы по 12 руб.
50 коп., то для оплаты расходов не хватит 100 руб.; если
же каждый внесёт по 16 руб., то останется излишек
12 руб. Сколько человек участвует в экскурсии?
202

1396. В школьном зале поставлены скамейки. Если на
каждую скамью посадить по 5 учеников, то не хватит
8 скамеек; если же на каждую скамью посадить по 6
учеников, то две скамьи останутся свободными. Сколько
скамеек было поставлено в зале и сколько было учеников?
1397. Турист должен приехать из города А в город В
в назначенный срок. Если он будет ехать по 35 км в час,
то 4>н опоздает на 2 часа; если же он будет ехать по
50 ос в час, то он приедет на час раньше срока.
Определить расстояние между городами Л и В и сколько-
часов турист должен был затратить на путь из города А
в город В.
1398. Пошивочная мастерская имела сукно двух
сортов, по 6 руб. и по 5 руб. за метр, всего на сумму
1600 руб. Для пошивки пальто мастерская употребила
25% запаса сукна первого сорта и 20% запаса сукна
второго сорта, всего на сумму 350 руб. Сколько Метров
сукна каждого сорта имела мастерская?
1399. Для прокормления 10 лошадей и 14 коров
отпускалось ежедневно 180 кг сена. После увеличения
нормы выдачи сена для лошадей на 25%» а для коров
на 33-«-% стали отпускать 232 кг сена в день. Сколько
килограммов сена отпускали первоначально в день
одной лошади и одной корове?
1400. Колхоз собирал с двух участков 500 т
пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий
урожай на первом участке увеличился на 30%, а на втором
участке на 20%, а потому колхоз собрал с~этих
участков 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собрал колхоз
с каждого участка после проведения агротехнических
мероприятий?
1401. Две бригады лесорубов заготовили в январе
900 куб. м древесины. В феврале первая бригада
заготовила на 15%, а вторая бригада на 12% больше, чем
в январе, а потому обе бригады вместе заготовили за это
время 1020 куб. м древесины. Сколько кубич^ких
метров древесины заготовила каждая бригада в феврале?
1402. Пароход прошёл 100 км по теченрЬ! реки и
64 км прдтив течения, употребив на это 9 час.1 Й другой
раз за это время он прошёл 80 км против течения и
80 км по течению реки. Определить скорость паррхода
в стоячей воде и скорость течения реки.
203

1403. Моторная лодка употребила 2 часа 30 мин.,
чтобы пройти 12 км по течению реки и возвратиться
обратно. В другой раз та же моторная лодка за 1 час
20 мин. прошла 4 км по течению реки ц 8 км против
течения. Определить скорость моторной лодки в стоячей
воде и скорость течения реки.
1404. Велосипедист прибыл из пункта А в пункт В
в назначенное время, двигаясь с определённой скоростью.
Если бы он увеличил эту скорость на 3 км в час, то
прибыл бы на место на час раньше срока, а если бы он
проезжал в час на 2 км меньше, чем в действительности, то
он опоздал бы на час. Определить расстояние между
пунктами Л и В, скорость велосипедиста и время его движения.
1405. Почтовый поезд, скорость, которого на 15 км
в час больше скорости товарного поезда, употребляет на
прохождение расстояния между городами Л и В на 9 час.
меньше товарного поезда, а скорый поезд, скорость
которого на 10 км в час больше скорости почтового поезда,
тратит на путь между городами А и В на 3 часа меньше
почтового. Определить расстояние между городами А
и В и скорость каждого поезда.
1406. От пионерского лагеря до города путь идёт
сначала под гору, а затем горизонтально. Пионер проехал
на велосипеде путь под гору со скоростью 12 км в час,
а горизонтальную часть пути — со скоростью 10 км в час
и прибыл в город через -j часа после выезда» из лагеря.
Обратно он проехал горизонтальную часть пути со
скоростью 6 км в час, а на подъёме шёл пешком со
скоростью 3 км в час и прибыл в лагерь через 1 час 50
минут после выезда из города. Сколько километров от
лагеря до города?
1407. Для перевозки груза в течение определённого
срока было выделено несколько грузовых машин
одинаковой мощности. Если бы машин было на 2 меньше, то
для пере^рзки груза потребовалось бы на 2 часа больше
срока; ес^д же машин было бы на 4 больше, то времени
для п'еревдзки потребовалось бы на 2 часа меньше срока.
Скольк<}а^шин было выделено и сколько времени по-/
требовалось для перевозки груза?
1408. Для прокормления лошадей был сделан запас
сена на некоторое время. Если бы лошадей было на 2
меньше, то этого запаса сена хватило бы на 10 дней
204

больше, а если бы лошадей было на 2 больше, то запаса
сена хватило бы на 6 дней меньше намеченного срока.
Сколько было лошадей и на сколько дней был сделан
запас сена?
1409. Если на странице книги уменьшить число строк
на 4, а число букв в строке на 5, то число букв на всей
странице уменьшится на 360. Если же на странице
увеличить число строк на 3, а число букв в строке на 2,
то на странице поместится на 228 букв больше, чем
раньше. Определить число строк на странице и число
букв в строке книги.
1410. Два трактора различной мощности при
совместной работе вспахали за 15 часов -«- всего поля. Если
бы первый трактор работал один 12 час, а затем второй
трактор один — 20 час, то они вспахали бы 20% всего
поля. За сколько времени может вспахать всё поле
каждый /трактор отдельно?
1411. Две бригады колхозников должны были
закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной
работы первая бригада получила другое задание, а
потому вторая закончила оставшуюся часть работы за
7 дней. За сколько дней могла бы убрать урожай
каждая бригада, работая отдельно.
1412. Два мастера, работая вместе, могут окончить
некоторую работу за 12 дней. Если же первый мастер
будет работать 2 дня, а второй 3 дня, то они
выполнят только 20% всей работы. За сколько дней может
выполнить всю работу каждый мастер, работая отдельно?
1413. При совместном действии двух труб бак
наполняется за 1 час 20 мин. Если же первую трубу открыть
на 10 мин., а вторую на 12 мин., то наполнится только
2
yg бака. За сколько часов может наполнить бак
каждая труба отдельно?
1414. Одна самоходная косилка и 3 коннйе скосили
за рабочий день 72 га травы, а две самоходньй^косилки
и одна конная скосили за рабочий день при тё^Р&е
производительности 124 га травы. Найти прсй^вбдитель-
носхь. каждой сенокосилки за рабочий день. ::)Г
; 1415. Латунь состоит из сплава меди и цинка. Кусок
латуни весом в 124 Г при погружении в воду «потерял»
15 Г. Сколько в нём содержится меди и цинка отдельно,
205

если известно, что 89 Г меди «теряют» в воде 10 Г, а 7 Г
цинка «теряют» 1 Г?
1416. Имеются два слитка, из которых первый
содержит 270 Г золота и 30 Г меди, а второй имеет 400 Г
золота и 100 Г меди. Сколько, над© взять <зт каждого из
этих слитков,- чтобы получит 40дГ сплава* 825-й пробы?
1417. Два сплава золота и мед*г, один из которых
950-й пробы, а другой- 800^й пробы, сплавляют с двумя
граммами- чистого золота и получают новый; сплав весом
в 25 Г 906-й пробы. Вычислить вес первых двух сплавов.
1418. Для технических целей смешали 5- л спирта
первого сорта и 7 л спирта второго сорта? и получили
спирт крепостью в 65°. Если взять 20 л спирта первого
сорта и 4 л второго сорта, то смесь выйдет крепостью
в 70°. Определить крепость спирта каждого сорта.
1419. В двух сосудах находится вода при различных,
температурах'. Если из первого сосуда взять 240 а, а из
второго 260 а воды, то температура смеси* окажется
равной 52°. Есл» же взята из первого сосуда 180 г воды,
а из второго 120 а, то температура полученной смеси
будет 46°. Определить температуру, воды в каждом из
сосудов.
1420. Если длину прямоугольника* увеличить на 6 м,
а ширину * уменьшить на 3 щ то площадь
прямоугольника не изменится. Не измелится.'площадь данного
прямоугольника в том случае, если первоначальную длину
его уменьшить на 3 м, а ширину увеличить на 2,4 м.
Определить длину и ширину данного прямоугольника.
1421. Если ширину прямоугольника уменьшить на 2 см,
а длину его увеличить на 5 см, то площадь полученного
прямоугольника будет на 20 кв. см больше площади
данного прямоугольника. Если же каждую* сторону
данного прямоугольника увеличить на 3 см, то площадь
первоначального прямоугольника увеличится на 90 кв. см.
Определить стороны прямоугольника.
1422. ;Даны два прямоугольника; основание одного
равно $Jm> основание другого. 4 см, сумма их площадей
равна .0 кв. см. Если, не изменяя высоты каждого
прямоугольника, увеличить основание первого вдвое, а
основание второго на 1 сму то сумма площадей полученных
прямоугольников будет на 33 кв. см больше суммы
площадей данных прямоугольников. Определить высоту
каждого' прямоугольника.
206.

1423. Площадь прямоугольного треугольника равна
половине ароизведения его катетов. Если один из катетов
данного прямоугольного треугольника увелинить на 2 см,
а другой катет на 3 см, то Л1лощадь^полу«енного
треугольника Йудет на 50 кв. см 'больше пяощада данного
треугольника; «ели эке каждый катет данного
треугольника уменьшить на 2 см, т© площадь его уменьшится на
32 кв. см. Определить катеты данного, -преугельника.
1424. Периметр прямругодышка равен 60 см, а
разность неравных «сторон его -равна 20 см. Найти стороны
прямоугольника.
1425. -Жаибольшее расстояние между точками двух
концентрических окружностей равно 18 £М, наименьшее
расстояние равно 10 см. Найти радиусы этих
окружностей.
1426. В треугольнике один из углов равен 40°, а
разность двух других углов равна 18°. Найти величину
каждого угла треугольника.
1427. Два туриста идут друг другу навстречу из
городов А и В, расстояние между которыми равно 30 км.
Если первый выйдет двумя часами раньше второго, то
они' встретятся через 2,5 часа после выхода второго
туриста. Если же второй выйдет на 2 часа раньше, чем
первый, то встреча произойдёт через 3 часа после
выхода первого туриста. Сколько километров в час
проходит каждый турист?
1428. Из двух городов, расстояние между, которыми
равно 650 км, отправляются одновременно навстречу друг
другу два поезда. Через 10 час. после отправления
поезда встречаются. Если же первый поезд отправится на
4 часа 20 мин. раньше второго, то встреча произойдёт
через 8 час. после отправления второго поезда. Сколько
километров' в час проходит каждый поезд?
1429. По окружности, длина которой равна 100 м,
движутся два тела. Они встречаются через каждые 20 сек.,
двигаясь по одному и тому же направлению, и через
каждые 4 сек., двигаясь в дротивоположных
направлениях. Определить скорость каждого тела в секунду.
1430. По окружности, длина которой 999 ^движутся
два тела по одному и тому же направлению и
встречаются/через каждые 37 мин. Определить скорость
каждого тела, если известно, что скорость первого в 4 раза
больше скорости второго.
207

1431*. Велосипедист движется по пути АВ, состоящему
из ровной (горизонтальной) части пути, подъёмов и
спусков. По ровной местности скорость его равна 12 км
в час, на подъёмах 8 км в час, а на спусках 15 /сл^в час.
На дорогу из Л в В велосипедист тратит 5 час, а на
дорогу из В в Л 4 часа 39 мин. Зная, что ровная часть
пути имеет длину 28 км, узнать общую длину подъёмов
и спусков в направлении от А к В.
1432. Со 100 га, засаженных картофелем по новому,
квадратно-гнездовому способу, и с 60 га, засаженных по
старому, рядовому способу, колхов собрал всего 21 600 ц
картофеля. Какова была урожайность картофеля с I га
при новом способе посадки и какова при старом, если
с каждых 7 га, засаженных новым способом, колхоз
собрал на 136 ц больше, чем с каждых 13 га,
засаженных старым способом?
1433. 5% одного числа и 4% другого составляют 46,
а 4% первого числа и 5% второго составляют 44. Найти
эти числа.
1434. Сумма двух чирл равна 30> а разность их
квадратов 120. Найти эти 4цсла.
1435*. Всадник и пешеход отправляются из одного и
того же пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в В на
50 мин. раньше пешехода, возвращается тотчас же
обратно в Л и встречается с пешеходом на расстоянии
2 км от В. На весь путь от Л до В и обратно всадник
затратил 1 час 40 мин. Узнать расстояние от Л до В
и скорость всадника и пешехода.
1436*. (Историческая задача.) Пловец плывёт вверх
против течения Невы. Возле Республиканского моста он
потерял пустую флягу. Проплыв ещё 20 мин. против
течения он заметил свою потерю и вернулся догнать флягу;
догнал он её возле моста Лейтенанта Шмидта.
Определить скорость течения Невы, если расстояние между
мостами равно 2 км. .
1437*. (Задача Л. Н. Толстого.) Вышла в поле артель
косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых
один был вдвое больше другого. Полдня вся артель
косила большой луг, а на вторую половину дня артель
разделилась пополам, и одна половина осталась
докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг.
К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался
участок, который был скошен на другой день одним
208

косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в
артелц?
1438. Путь от колхоза до города идёт сначала
горизонтально а затем в гору. Колхозник проехал на
велосипеде горизонтальную часть пути со скоростью 10 км
в час, а путь в гору шёл пешком со скоростью 3 км в
Час и прибыл в город через 1 час 40 мин. после выезда
из колхозд.
Обратно он проехал путь под гору со скоростью 15 км
э час, а горизонтальную часть пути — со скоростью
12 км в час и прибыл в колхоз через 58 мин. после
выезда из города.
Сколько километров от колхоза до города?

ГЛАВА X
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
КУРСА VH КЛАССА.
УпрЬстить:
2 / a* a2 — b2 ' b2 \ а + Ь
1439. - —
a \a2 + ab ab ab + b2) а2 + ab + b2
1440 (3~а - 6fl \(\ 2 3^
1 * \9-}-я2 а* — 3а2 + 9а — 21}\1 а а2]'
,442 (—I—J 3±- 2 \.^2 + »г | i\
'™'' \2a — b^bs — 4а2 2а-\-Ь] ' \4а* — Ьг^ 1)'
1443 ^ ^ ' 2/" ■ ff» + re \ от2 — 2/л/г -)- я'
\m-\-n ' от» —n» •rt2 + mn + n2/ 8m —4л
1444. Определить числовое значение выражения:
■(-ЬЬ*!):^-!)1»..-".*—I.
1445. Выполнить действия: у
I7*2 + *2 i Л (и & W <** — *>*
1446. Решить уравнение относительно и:
2п2 — 4апи — 2а2 а2 + и а2 — и
и2 — п* я2 —а. л2 + а'
1447. Доказать тождество:
\27/я
/ 1 _, _П / п2 — Зтп | 1 \ _ Л + Зт
3 "~Г" л8 ДЗюл-- п2 — 9т2 *1)— Ътп\ *
2 1С

1448. Найти числовое'значение выражения:
1
1-
I
а-\-х
—j— при а = 2,1, х= — 0,1.
я — х
1449. Доказать тождество:
I а а-\-2п\ f а - , 8п8 \ а
1450. Решить уравнение относительно z:
Д2_2г а2-\-2г_2(а* — 1),
2г+1 \—2z~4z* — \ '
1451. Решить уравнение относительно d: '
b — cd b + cd_ 4b2
b-\-C c — b~b2 — c2t
1452. Решить уравнение относительно х:
mx nx ,
an = f- am.
n m '
1453. Решить уравнение относительно /:
a + * , b-\-t
a b
1454. Определить числовое значение выражения:
, " Зт2 {а2 — т) 2 ,
1 •" —, л о | при а=-5-; т=— 1.
ш1 — 4т2-\-а г 3 '
Решить задачи:
1455. Два поезда идут навстречу друг другу с двух
станций, расстояние между которыми 300 км. Первый
поезд вышел раньше второго на 1 -у часа и идёт со
скоростью 50 км в час, второй: поезд идёт со скоростью 40 км
в час. Сколько времени будет идти второй поезд до
встречи с первым?
1456. Чтобы окончить вспашку целинные и- залежных
земель в срок, трактористы ежедневно должны были
вспахивать по плану 150 га. Перевыполняя план,
трактористы вспахивали ежедневно 200 га и окончили
вспашку за два дня до срока.1 Сколько гектаров новых замель
было вспахано и за сколько дней?
211

1457. Ведущее колесо паровоза имеет в окружности
5,6 Mt а окружность колеса вагона равна 2,4 м. На
расстоянии от пункта А до пункта В колесо вагона сделало
на 320 оборотов больше колеса паровоза. Найти
расстояние от пункта А до пункта В.
1458. Из двух пунктов, расстояние между которыми
равно 9 км, одновременно выезжают два велосипедиста.
Если они будут ехать навстречу друг другу, то встреча
произойдёт через 20 мин. после выезда; если же они
будут ехать в одном направлении, то задний догонит
переднего через три часа. С какой скоростью едет каждый
из этих велосипедистов?
1459. На уборке улицы сначала работала 15 мин. одна
машина, а затем к ней присоединилась вторая машина,
после чего обе машины закончили уборку улицы за 18 мин.
Если бы вторая машина приступила к работе через
30 мин. после начала работы первой машины, то обе
машины закончили бы уборку улицы через 12 мин.
совместной работы. За какой срок каждая машина,
работая одна, могла бы убрать улицу?
1460. Два велосипедиста выехали друг другу навстречу
из двух посёлков, расстояние между которыми 38 км.
Они встретились после того, как первый пробыл в пути
полтора часа, а второй два часа. В другой раз они
выехали с теми же скоростями навстречу друг другу
одновременно и через 1 час ЛЬ мин. расстояние между ними
было 10,5 км. Найти скорость каждого велосипедиста.
1461. Две швейные мастерские изготовили в январе
720 костюмов. В феврале первая мастерская изготовила
таких же костюмов на 15%, а вторая на 12% больше,
чем в январе, а поэтому обе мастерские вместе
изготовили за это вр©мя 819 костюмов. Сколько костюмов
изготовила каждая мастерская в феврале?
1462/От пионерского лагеря до города путь «идёт
сначала под гору, а затем горизонтально. Пионер
проехал на велосипеде путь под гору со скоростью 12 км в
час, а горизонтальный путь — со скоростью 9 км в час
и прибыл в город через 55 мин. после выезда из лагеря.
Обратно он проехал горизонтальный путь со скоростью
8 км в час, а на подъёме шёл со скоростью 4 км в час
и прибыл в лагерь через 1 у часа после выезда из
города. Сколько километров хот лагеря до города?
212

1463. Двухмоторный самолёт и самолёт с реактивным
двигателем отправляются одновременно навстречу друг
другу, первый из пуцкта Л, второй из пункта В. Через
15 мин. после их отправления самолёты встречаются в
пункте М, отстоящем от Л на -у расстояния АВ. Зная,
что скорость реактивного самолёта на 800 км в час больше
скорбсти двухмоторного, найти скорость каждого из них.
1464. 1) Зная, что величина у прямо
пропорциональна величине дс, заполнить следующую таблицу:
X
У
10
5
14
18
6
4
2
1
2) Написать формулу, выражающую у через х, и на-
чертить график данной функции.
1465. Построить график: у=—3х.
1466. Количество бензина, равномерно поступающего
в пустой бак, выражается следующей таблицей:
Время
наполнения в
минутах
Количество
бензина в
литрах
t
V
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
б
12
7
14
8
Л 6
9
18
1) Показать, что отношение любых двух значений t
равно отношению соответствующих значений v.
2) Найти отношение любого значения v к
соответствующему значению t.
3) Выразить формулой зависимость v от /.
4) Построить график поступления бензина в бак.
5) Доказать, что отношение ординаты любой точки
полученного графика к её абсциссе равно 2.
6) Доказать, что если точка не лежит на данном
графике, то отношение её ординаты к соответствующей
абсциссе не равно 2.
7) Как называется зависимость между v и ft
213

1467. Известно; что 8 кг сухих стеблей льна дают
0,7 кг льняного волокна. Построить график выхода
льняного волокна.
1) Определить по графику с" точностью до 0,1 кг,
сколько килограммов волокна получится из 5 кг сухих
стеблей; из 14 кг.
2) Сколько килограммов сухих стеблей надо взять,
Зтобы получить 8 кг льняного волокна? 10 /сг?
v 3) Проверить ответы путём вычисления по формуле.
1468. Построить графики: у = 8 — 2х и Зх — 2у = — 2,
и найти координаты точки их пересечения.
1469. Построить графики:
1)»=-2*+1;
2) */=-1* + 3.
Най;ги координаты пересечения этих графиков с
осями координат.
1470. Построить графики: у = 2х и у = -^ х + 3 и
найти координаты точки их пересечения.
1471. Найти координаты точки пересечения графиков:
2у = х и 2у.— 4 = — х.
Решить системы уравнений:
' х+\ у + 2_2(х-у) .
1472.
4
у-3
= 2у-
1473.
1474.
7х-г- Зу 5х гт^у х -\-у
3 2
= 5(9 + 1).
1 4 4 2(3 — 2л:)'
Злг + 5у а
— А
*у+1_
0,80—1,8.
2(у —4)_ ^ 10
1475. Решить графически системы уравнений:
1) (х — 2у=Ъ;- 2) f х + 2у = 5.
1 2у = Ь
2) iX + 2y = 5,
, [х-у = 2.

ГЛАВА XI
СЧЕТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА.
§ 48. Основная шкала счётной
(логарифмической) линейки.
1476. При помощи циркуля и линейки выполнить
сложение отрезков АВ и CD (черт. 48).
1477. 1) На
миллиметровой или клетчатой бумаге ^' --^н£
начертить чертёж по образ- £►— ; {д
цу и размерам, данным на
чертеже 49. церт 48.
,2) Вырезать полоску
бумаги, а затем разрезать её по линии MN так, чтобы
получились две одинаковые шкалы С и D.
3) Используя правило сложения двух отрезков,
найти при помощи полученных шкал С и D сумму 2 —|— 3.
Г 0 1 к> 34 5 6 7 6 9 10
С i i i i i i i i i I ) .
М-— - : /V.
* Dx . . . , , , , . L—
012 3^56 789Ю
Черт. 49.
1478. При помощи шкал С и D сложить следующие
числа:
3 + 4; 5 + 3; 2 + 7; 3 + 7;
1479. 1) При помощи циркуля и-линейки вычесть из
отрезка А В отрезок CD (черт. 48).
2) Используя правило вычитания отрезков,
выполнить при помощи шкал С и D (черт. 49) вычитание
чисел в следующих примерах:
6-2; 7-4; 5 — 3; 8 —2.
215

1480*. 1) Вычислить степени с основанием, равным 2,
по формуле у = 2*, заполняя следующую таблицу:
X
у = 2*
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2) При помощи этой таблицы найти произведение
следующих чисел, применяя правило умножения
степеней с равными основаниями (ат • а!1 = ат+п).
Например: 8-32 = 23-Зь = 28 = 256;
16-32; 8-128; 4-256; 64-8.
3) Применяя правило деления степеней с равными
основаниями (ат: ап = ат~п), найти по таблице:
512:64; 1024:32; 512:128.
1481*. Используя таблицу значений у = 2Х,
начертить на миллиметровой или клетчатой бумаге «двойную
шкалу» следующим образом:
1) Значение х от 0 до 10 откладывать на прямой MN
в масштабе: единица соответствует 10 мм, не делая
цифровых обозначений.
М—i—i—i—i—"—"—'—■—■—'—■—N
1 2 4 в 16 32 64 128 256 512 1024
Черт. 50.
2) Значения у, соответствующие данным значениям
х, обозначить на этой шкале числовыми метками.
3) Сравнить полученную двойную шкалу с
чертежом 50.
1482*. 1) Начертить и вырезать две одинаковые
двойные шкалы у = 2Х, используя указания, данные в
задаче 1481.
2) Применяя изготовленные шкалы как счётную
линейку, решить следующие примеры:
128-4; 8-32; 16-64; 1024:128; 512:16; 256:32.
1483*. 1) Сделать счётную линейку для умножения и
деления чисел вида y = 3xt используя указания, данные
в задачах 1480—1482.
• 216

2) При помощи линейки решить следующие примеры:
243-27; 2187-9; 27-729; 19683:2187; 6561:729;
59049:81.
3) В чём заключается недостаток рассмотренных
счётных линеек? Можно ли при помощи этих линеек
найти произведение 15-7? Почему?
§ 49. Умножение и деление ^исел при помощи
счётной линейки.
1484. Отметить визиром бегунка на основной шкале
следующие чцсла:
1) 123; 15,3; 0,186; 1,34; 1,08; 104; 175; 0,0135; 0,00159;
2) 254; 2,76; 3,28; 0,294; 0,362; 3,08;
3) 465; 0,655; 8,35; 53,5; 0,735; 0,0945; 8,05; 5,05;
0,905; 0,0915; 0,00995. ___
1485. 1) На чертеже 51 изображены отрезки длиной
по 1 см. Определить на глаз, сколько десятых долей
сантиметра заключено между началом и вертикальной
чертой каждого отрезка. Проверить результаты отсчёта
измерением. «*
,—I—, t («н >Н 1 i Н ' I '
i h Н 1 i Н '1 '
Черт. 51.
2) Начертить отрезок прямой длиной в 10 еж, отметив
на нём точки от 0 до \10 через каждый сантиметр.
На полученном отрезке отметить на глаз точки,
соответствующие следующим числам, проверяя правильность
результата измерением:
2,5; 6,5; 0,5; 1,25; 8,75; 0,3; 2,3; 7,8; 9,3; 5,2; 8,2;
3,7; 4,7; 0,2; 1,4; 5,6; 3,1; 8,1; 4,1; 7,9; 9,9; 1,9; 1,1.
- 1486. Отметить визиром бегунка на основной шкале
линейки следующие числа:
2,31; 0,351; 26,1; 3,71; 3,01; 0,201; 4,53; 0,683; .74,6;
5,08; 0,401; 84,9; 0,958; 0,0819; 0,0903.
217

1487. 1) Следующие числа отметить на основной
шкале левым концом движка:
1,36; 2,74; 35,8; 495; 0,531; 0,0153; 83,5; 23,7; 9,03; 0,0353.
2) Следующие числа отметить на основной шкале
правым концом движка, округляя предварительно
каждое число до 3-х значащих цифр:
0,5781; 42,36; 0,001991; 89,567; 0,02516; 15,478; 683,75;
9,8363; 10,101.
1488. Поставить единицу шкалы С движка против
метки 2 шкалы D корпуса, а затем навести визир
бегунка на метку 3 шкалы С и прочитать на шкале D
метку под визиром бегунка.
При помощи счётной линейки выполнить следующие
действия, определяя положения запятой в результате
путём «прикидки» и проверяя каждый раз правильность
результата непосредственным выполнением действия:
1489. 1) 2,3-4; 2,5-3; 1,6-6; 1,8-1,5; 3,6-1,5; 1,6-4,5;
1,8-3,5, 2,4-2,5;
2)4,8:2; 6,4:4; 9,6:8; 7,2:12; 6,3:3,5; 8,1:4,5;
9,6:6; 8,4:6.
1490. В следующих примерах множимое отмечать
правым концом движка (меткой 10):
1) 2,5-4,8; 3,8-3,5; 6,2-5,1; 2,5-6,4;
2) 8,5-7; 1,9-8,8; 1,6-9,5; 2,3-7,8.
1491. Выполнить деление, отмечая частное правым
концом движка (меткой 10):
1) 2,4:3; 1,2:2; 4,8:0,6; 3,2:0,8; 1,5:0,3;
2) 2,4:0,6; "4:0,8; 12,4:0,4.
1492. Выполнить умножение чисел при помощи
счётной линейки, проверяя результат, по данным ответам:
п/п
1
1 2
L з
4
5
Пример
0,015-3,5
2,96 - 7,5
6,98 • 3,05
0,433 • 1-9,8
1,54-3,26
Ответ
0,Т)525 •
22,2
21,3
8,57
5,02
п/п
6
7
8
9
10
Пример
2,18-4,65
0,095-17,8
6,55 • 2,42
0,546-91,8
0,016-0,173
Ответ
10,1
1,69
15,9
50,1
0,00277
218

1493. При помощи счётной линейки выполнить
деление чисел, проверяя результат по данным ответам:
п/п
1
2
4
5
Пример
72,36 : 2,56
635:72
0,541 : 0,0238
54,2:6,92
0,197:143
Ответ
28,3
8,82
22,7
7,83
0,00138
п/п
6
Т
8
9
10
Пример
77,3:0,546
0,439:264
0,321 :0,0125'
0,004:0,0637
0,0921:0,176
Ответ
142 -
0,00166
25,7
0,0628 1
0,523
1494. При помощи линейки. выполнить умножение
следующих чисел, проверяя результат по данным ответам:
1 •№ .
п/п
1 1
2
3
4
5
6
Пример
25;6 • 4,9
14,3 -43,5
1,21-3,75
0,С41 • 0,00561
54,2 • 0,43
0,23-0,017
Ответ
125,4
622
4,54
0,000230
23,3
0,00391
п/п
7
8
9
10
11
12
Пример
3,54-87
0,37 - 0,82
621-5,71
0,0175-0,41
12,71-8,92
21,76-29,75
Ответ
308
0,303
3550
0,00718
113,4
647
1495. При помощи счётной линейки выполнить деление
следующих чисел, проверяя результат по данным ответам:
1 '№
п/п
1 1
2
3
4
5
6
Пример ,
438: 192
64,2 : 135
741:5,48
35,5:43,1
6,81 :7,95
546:8,43
Ответ
- 2,28
0,476
135
0,824
0,857
64,8
№
п/п
7
8
9
10
11
♦12
Пример
736:881
0,321 :0,546
7,01:6,17
. 51,1 :43,2
1,17:8,45
6,32:1,84
Ответ
0,835
0,588
1,136
1,183
0,1385 !
3,43
1496*. При помощи линейки найти длину окружности
(С = ъс1) по данному диаметру d, пользуясь особой меткой
для тс и проверяя ответы по математическим таблицам:
d
С== *d
1,53
4,81
25,4
-
3,48
0,254
16,7
8,36
54,8
0,635
74,5
219

1497. При помощи счётной линейки вычислить
произведение следующих чисел, не читая промежуточных
результатов. Результат проверить по данным ответам:
п/п
1
2
3
Пример
0,124-1,07.73,5
4,3-73,5-0,124
2,65- 1,32-0,75
Ответ
9,75
39,2
2,62
п/п
" 4
5
6
Пример
2,94 - 3,66 - 0,65
6,66 • 5,55.0,223
7,78-14,5-0,00191
Ответ
6,99
8,24 i
0,215
Задачи 1498— 1500 решитьдгри помощи счётной линейки.
1498. Вычислить вес сосновой доски длиной 4,75 ж,
толщиной 6,5 см, шириной 45 см, зная, что удельный
вес CQCHbi 0,56-^.
1499. Сколько нужно асфальта на покрытие двора,
имеющего прямоугольную форму, слоем (толщиной) в
4,8 см, если длина двора 137 ж, а ширина 48 м? Удель-
р
ный вес асфальта 1,10—»•
^ ' см3
1500. С одного гектара собрали 30 т сахарной
свёклы, содержащей 14% сахару. Сколько гектаров земли
надо засеять свёклой, чтобы получить 100 т сахару?
1501. При помощи счётной линейки выполнить
следующие действия, не читая промежуточных результатов.
Результат проверить по данным ответам:
1 №
п/п
1
2
3
Примеры
0,214-17,5
0,019
1,05-42,4
157
0,0743 - 4,36
0,00045 • 23,8
Ответы
198
0,284
30,2
п/п
4
5
6
Примеры
108 - 0,208
3080
5,05 - 0,00836
194
54,2 - 0,42
0,0154
Ответы
0,00729
0,000218
1480
Указание. Выгоднее выполнять сначала деление,
а затем умножение.
1502. Следующие пропорции решить с помощью
счётной линейки:
0,0406 _ 0,000542 л
п0,15_3 0. 0,56_2,0
l) T— 8; *] 1,5 — аг;
3)
1890
220

V 4,15 — 18,9' D) 4,2 — 5,4'
D' 0,032 — 0,7 ; ' 3,4 15,2 "
1503. Вычислить объём цилиндра
std2
(черт. 52) по формуле V=-j--H,
где V—объём цилиндра, Я —высота
nd*
цилиндра, —: площадь основания
цилиндра.
Заполнить таблицу
вести с точностью до 1):
(вычисления
Черт. 52.
d в сантиметрах
И в сантиметрах
V в кубических
сантиметрах
8
12
17
25
42
56
88
" 112
Упражнения для повторения.
1504. Найти при помощи счётной линейки
произведение следующих чисел: , ч
1) 6,45-3,27; 2) 0,017-0,235;
3) 0,348-5,62; 4) 1,04-0,834.
1505. Выполнить при помощи счётной линейки
деление следующих чисел:
1) 64,7:5,27; 2) 0,184 : 0,012;
3) 0,438:137; 4) 0,0853:0,174.
1506. Выполнить действия при помощи счётной линейки:
1)
0,38-1,46
2)
1,27-0,378
0,24 ' *' 2,596
Задачи № 1507, 1508 решить при помощи счётной
линейки.
1507. 1) Найти длину окружности, диаметр которой
равен 15,4 см.
2) Найти диаметр окружности, длина которой
равна 32,6 см. 4
1508. Найти объём комнаты, длина которой 6,4 лс,
ширина 4,5 м, а высота 3,2 м.

' ГЛАВА XII
ВОЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ В КВАДРАТ
И ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ НИХ КВАДРАТНОГО КОРНЯ.
§ 50. Возведение чисел в квадрат.
1509. (Устно.) Найти площадь квадрата, сторона
которого равна 6 см; 15 м\ 200 м.
1510. (Устно*) Вычислить:
1) I22; (—18)*; 222; 422;
» (I)'". (-$: (4)"i (-4)*=
.3) (0,1)'; (-0,3)*; (0,5)*; (-1,2)»;
4) (- 1,5}*; - (- 0,2)»; (- 4,5)*; - (- 0,02)*;
5) (3-2)*; (2-4)»;. (3-6)*; 6) (2»)«; (3*)»; (5а)г-
1511. Применяя формулы (a-f-6)3 = a*-f 2ab-\~b\
(a — bf = di — 2ab-\-bi и а1 — 6* = (а+6)(а — Ь).
вычислить:
1) 31*; 51»; 81';
2) 19*; 29*; 98*;
3) 47* - 2.3»; 84* - 46*; (б-g-)' - (l -J-)".
1512. 1) Доказать тождество:
(1Ьа-}-5)*=100а(а+1) + 25.
2) Проверить справедливость этого тождества при
а = 4.
3) Сформулировать правило устного возведения в
квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5.
4) Вычислить устно: 45*; 35*; 55*; 65*; 75'; 85% 95*.
1513. 1) Доказать тождество:

2) Проверить справедливость этого тождества при
а = 2; а=3; а = 4.
/ 3) Сформулировать правило устного бозведения в
квадрат смешанных чисел данного вида.
4) Вычислить устно квадраты следующих чисел,
применяя данную формулу: N
(4)'-. (4)"> (4)W К)'; (sol)'-
1514. 1) Построить график у=х*, заполнив
следующую таблицу (черт. 53):
X
|у = *8
—3,5
— 3
-^-2,5
- -
-2
-1,5
—1
—0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
2) Найти по графику ("приближённо) значения у при
*=2,2; *=*1,8; л: = —2,3; л: = —1,7.
Хг
У
\
\
\
\
1
j.9
п
и
7
/
6
е
О
/,
3
ъ
£
1
^
У
J
/
= А
\
/
/
■г
1
/
/
Г
/
/
/
(
П
/
/
/
/
-
*
л
Черт. 53.
3) Какая особенность в расположении точек
параболы, соответствующих следующим значениям х:
1 и — 1; 2 и —2; 3 и -,-&?
223

1515. Площадь квадрата вычисляется по формуле
S = a*> где S — площадь и а — сторона квадрата.
1) Пользуясь .этой формулой, вычислить S при
следующих значениях а:
а — длина в
сантиметрах
\S — площадь в
квадратных
сантиметрах
0,5
1
1,3
1,3
1,8
2
2,6
8
2) Вычертить график изменения площади квадрата
в зависимости от изменения длины его стороны.
3) Определить по графику (приближённо) площадь
квадрата, если его сторона а равна: 0,8 см; 1,2 см;
2,3 см; 2,8 см.
4) (Устно.) Как изменится площадь квадрата, если
его сторону: увеличить в 3 раза? в 1у раза?
уменьшить в 2 раза? в 5 раз?
1516*. Составить следующую таблицу квадратов
натуральных чисел от 1 до 59, выполняя вычисления
последовательно по формуле
(а+1)2 = а* + 2а+1=а' + [а + (а+1)]:
о
10
20
50
0
0
100
400
1
1
121
441
2
4
144
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9
81
1517*. При помощи таблицы квадратов двузначных
чисел возвести в квадрат следующие числа, используя
правила возведения в квадрат произведения и дроби:
1) 150*; 250*; 1600*; 24002;
2) 0,12*; 1,3»; 2,6*;. 0,34*.
Указание. 170* = (17-10)* = 17*-100 = 28900;
1,4*= 14* :10*= 196:100=1,96.
224

1518. Пользуясь таблицей квадратов чисел*, найти
квадраты следующих чисел с точностью до 4 значащих цифр:
' 1) 2,3*; 3,8*; 4,8*; 4,6*; 5,1*; 6,7*;
2) 7,9*; 8,1*; 9,9*; 5,8*; 6,2*; 5,2*;
3) 1,53*; 2,13*; 6,48*; 8,31*; 9,05*; 9,89*;
4) 1,03*; 5,07*; 1,11*; 1,01*; 8,04*; 9,08*.
1519. Следующие числа возвести в квадрат по
четырёхзначной таблице квадратов чисел, от 1 до 9,9, зная,
что при увеличении (уменьшении) числа в 10, 100 и т. д.
раз квадрат этого числа увеличивается (уменьшается)
в 100, 10 000 и т. д. раз.
Например: 46* = 4,6*. 10* = 21,16-100 = 2116;
0,637* = 6,37*: 10*^40,58:100 = 0,4058;
1) 28*; 34*; 47*; 54*; 61*; 18*; 89*; 96*;
2) 154*; 236*; 381*; 405*; 516*; 893*; 932*; 984*;
3) 41,6*; 53,8*; 10,4*; 60,8*; 71,6'; 80,1*; 92,3*;
4) 0,238*; 0,351*; 0,059*; 0,072*; 0,496*; 0,837*.
1520. Найти по таблице квадраты следующих
четырёхзначных чисел, используя для интерполирования
имеющиеся в таблице столбцы «поправок»:
1) 2,564*; 4,872*; 6,895*; 8,348*; 9,157*;
2) 68,53*; 84,52*; 348,3*; 0,8342*; 0,1547*;
3) 0,7394*; 1834*; 0,02352*; 35,34*; 0,07356*.
1521. Найти по таблице квадраты следующих чисел,
предварительно округляя их до четырёх значащих цифр:
1) 2,5814*; 7,3128*; 1,2347*;
2) 52,132*; 46,838*; 5,1382*;
3) 132,58*; 284,84*; 384,53*.
4) Найти относительную погрешность
приближённого вычисления 15,341* по четырёхзначной таблице
квадратов чисел.
1 В. М. Брадис, Четырёхзначные математические таблицы,
Учпедгиз, 1961 г. и более поздние издания.
15 П. А. Ларичев
225

1522. Найти при помощи счётной линейки квадраты
следующих чисел и сравнить ответы с квадратами этих
чисел, найденными по таблице:
о
а
а*
по линейке
а*
по таблице
2,4
5,760
7,6
'57,76
8,4
70,56
9,8
96,04
1,46
2,132
1,85
3,423
2,63
6,917
4,26
18,15
2)
й
а*
1 по
линейке
■ а2 по

таблице
£,38
28,94
5,74
32,95
6,07
36,84
6,81
46,38
7,04
49,56
8,35
N
69,72
9,25
85,56
9,68
93,70
9,85 1
97,02
1523. Зная, что при перенесении запятой в числе а
на одно место запятая в числе а2 переносится на два
места, найти при помощи счётной линейки квадраты
следующих чисел, проверяя ответы по таблице квадратов:
1) 26а; 45а; 64*; 882;
2) 42,5*; 56,82; 20,4?; 76,22;
3) 143*; 275*; 3082; 5942; 6052; 8032; 9652;
4) 0,185*; 0,2462; 0,0752; 0,6362; 0,7542; 0,985*.
Записц расположить по образцу, данному в № 1522.
1524. Найти при помощи счётной линейки квадраты
следующих чисел, предварительно округлив их до трех
значащих цифр.
Записи расположить по следующему образцу:
а
а2
по линейке
а*
по таблице
разница
2,346
5,50
5,504
0,004
3,748
8,563
24,81
12,56
0,2484
245,7
226

1525. Найти при помощи счётной линейки квадраты
следующих чисел. Результаты проверить по данным
ответам:
N2
п/п
1
2
з
4
5 •
б
Пример
43,12
2,9б8
13,5а
15,35*
4,352
0,222я
Ответ
I860
8,76
182
236
18,9
0,0493
п/п
7
8
9
10
11
12
Пример
0,0308е
57,42
417*
0,0841 *
1,09*
0,066*
Ответ
0,00094
3290
1740Q0
0,00707
1,19
0,00436
Упражнения и задачи для повторения.
1526. Вычислить, используя формулы умножения:
99*; 102*; 67*-332; (в 1)' — (з 1)'.
1527. Пользуясь таблицей квадратов чисел,
вычислить с точностью до четырёх значащих цифр:
1) 8,43*; 9,05*; 173*; 42,8*;
2) 1,236*; 17,84*; 289,6*; 0,5964*;
3) 5,7416*, 17,892*; 274,83*; 15,372*.
1528. Пользуясь четырёхзначными математическими
таблицами, выполнить следующие действия, соблюдая
правила вычисления приближённых чисел:
_12,72-34,6
Х~ 2,532 *
Проверить ответ путём «прикидки» в уме.
1529. Вычислить при помощи таблиц объём
цилиндрической бочки, у. которой внутренний диаметр дна ра-
Tzd2
вен 0,6 ж, а высота бочки 1,4 м, по формуле V = -^-Hf
где V— объём бочки, тс я^ 3,14, d — диаметр дна, Н —
высота бочки.
1530. Найти при помощи счётной линейки квадраты
следующих чисел и сравнить ответы с квадратами этих
чисел, найденными^ по таблицам:
. 1) 8,4*; 1,57я; 9,34*; 42,6*; 148*; 0,176*; 0,042*; 0,874*;
2) 3,581*; 15,78*; 276,4*; 0,4532*.
8» 227

1531. При помощи счётной линейки найти числовое
значение следующего выражения:
1,82*. 4,58
х~ 5,71 *
Проверить ответ путём вычисления данного
выражения при помощи таблиц.
1532. Куча щебня имеет форму конуса, у которого
диаметр основания равен 2,5 м, а высота 1,7 м. Найти
объём этой кучи, зная, что объём конуса вычисляется
по формуле V = у^псРН, где V— объём конуса, d —
диаметр основания конуса, Я —высота конуса, те я^ 3,14.
§ 51. Квадратный корень и его арифметическое
значение.
1533. (Устно.) Площадь квадрата равна 64 см*.
Найти длину стороны квадрата.
1534. (Устно.) Вычислить:
1) /~9; /16; /25; /49; /144;
г; vT. Yj_ •. УЪ УЪ
3) /0,16; /0,09; /0,01; /0,36;
4) уъ vw; i/T|; уц.
1535. Решить следующие уравнения двумя способами:
путём извлечения корня, путём разложения на множители:
1) х* = 4; 2)х*=1; 3) ** = -i;
4) х* = ^у 5)х* = 0,81; 6) х* = 0,01.
1536. Указать, какие из следующих уравнений не
имеют решений:
1) ** + 4 = 0; 2) ** —1=0; 3) л:* = -9;
4) д:а + ~ = 0; 5) ха-}-0,04 = 0; 6) а:3 —0,01 =0.
228

1537. (Устно.) Указать, какие из следующих
выражений не имеют смысла:
1) 1Л=Пб; 2) 1/25; 3) j^-g ; 4) УШ\
5) V~T; 6) }Г=4; 7) УШ\ 8) К^ОЛб.
1538. При каких значениях буквы х следующие
выражения не имеют смысла:
1) УТ=2\ 2) УТ=Л\ 3) V^+T; 4) V^+S?
1539. (Устно.) Вычислить:
1) Т/4 + У*9; 2) K36-J/I6;
3) 1^0,49+ У*0,01; 4) 5-^64.
1540. Начертить квадрат, площадь которого равна
20 еж'2. Путём подбора найти сторону этого квадрата с
точностью до 0,1 см.
1541. Проверить справедливость следующих неравенств:
1) 6<V"45_<7; 2) 1,Т</3<1,8;
3) 2,2<У5<2,3;. 4) 1,4<К2<1,5.
1542. 1) Пользуясь таблицей квадратов чисел,
проверить следующие не- D l с
равенства:
1,41 <V2< 1,42;
1,414<>л2< 1,415. к
2) Придумать по
два примера неравенств,
сходных с
предыдущими.
1543. На числовой д
оси отложен отрезок г 2 3 *
ABt равный трём едини- Черт. 54.
цам длины, и на этом
отрезке построен квадрат A BCD. Внутри этого квадрата
построен квадрат KLMN (черт. 54).
1) Доказать, что площадь квадрата KLMN равна
пяти квадратным единицам.
2) Отложить на числовой прямой АВ от точки А
отрезок, равный KL.
3) Вычислить приближённые значения длины
отрезка KL с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 по недо-
229
«.
Ну^
м

статку и по избытку и записать с помощью неравенств,
что эта длина заключена между соответствующими
приближениями 2<~K5<3 и т. д.
1544. 1) Найти с точностью до 0,1 значейия у=±УЛ
при следующих значениях х:
X
y = ±V*~
0
0,5
0,8
1
1,5
1,69
2
2,25
2,89
3
4
б
6
2) Приняв значения х и у за координаты точек в
прямоугольной системе координат, построить эти точки и
соединить их плавной кривой так, как это показано на
чертеже 55.
у 3) Найти по вычерченному
графику значения у,
соответствующих следующим значениям х:
х=0,2; х=1,2; * = 2,5;
х=3,2; х = 3,6.
4) Какие значения может
принимать х?
5) Какие значения может
принимать у?
6) Как изменится значение у,
если значение х увеличить в 4
раза? в 9 раз? в 100 раз?
7) Как изменится значение у,
если значение х уменьшить в 25
раз? в 100 раз?
1 Г 1 1
* к
1———г
11 J^\
1 L^i
nY
N '
—«1 TsJ 1
1—1 ^^J
~°
РГШ
Нти
2 \ 3 \ш4
Jyi-jirr J
rlps'U
f Г 1 1
v.
Черт. 55.
1545. Извлечь квадратный корень из произведения:
3) УшГТ;
6) 1/144-100-4;
1) У4-9; 2) У25-64;
4) У"8ЬЗб"; 5) 1/16-25-9;
7) У 0,25- 81; 8) Vo.36-16-0,01; 9) У"0,49 • 81 • 0,04.
1546. Извлечь квадратный корень из следующих чисел;
использовав правило извлечения корня из произведения:
1) 1/3600; 2) УвТоб; 3) /490000; 4) У 640000.
230

25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
725904;
488601;
501 264;
700 569;
632 025;
613 089;
22 562 500;
5 616 900;
3 587 236;
2105 401;
3 426 201;
2934 369.
1547. Извлечь квадратный корень из чисел,
представляющих собой точный квадрат:
1) 841; 13) 14 400;
2) 784; 14) 28900;
3) 1225; 15) 54 756;
4) 1849; 16) 17 424;
5) 7 921; 17) 56169;
6) 5 329; 18) 42 849;
7) 4624; 19) 94 864;
8) 2401; 20) 64 009;
9) 3136; 21) 831744;
10) 7 225; 22) 687 241;
11) 57 600; 23) 259081;
12) 32400; 24) 879 844;
1548. Извлечь корень из следующих дробей:
1) У'§, 2) у& 3) v^;4) УоШь.
1549. Извлечь корень из чисел:
1) |/з1; 2) ]Л|; 3) У'Ш; 4) УХ25.
1550. Извлечь корень из степени:
1) №; 2) К26; 3) Кб5; 4) Уб15.
1551. Выполнить действия, считая, что буквы поД
радикалами принимают положительные значения:
Т
4'
1) У~Щ 2) }Л^У; 3)
4) 1Л),16аУ; 5) /2,56*У;
7) VlAiaWV; 8) j/1
V-
9aW
25x*y2
6) у
49a2b*
9)
8Uy »
§ 52. Вынесение множителя из-под знака квадратного
корня и внесение его под знак корня.
1552. Используя вынесение множителя из-под знака
корня, определить, какое из чисел больше:
1) 2У5 или JA5; 2) /вили 3J/J2;
3) 5^7 или /63; 4) 7^2 или /72.
231

1553. Использовать вынесение множителя из-под знака
корня для доказательства следующих тождеств:
1) 3/2 + 2-/18 = 2;
2) /45 — 1— 3/5 =—1;
3) 4/3 + 5-/48 = 5;
4) /500 + 3 — 10/5 = 3.
Вынести множители из-под знака квадратного корня:
1554. 1) /98; /54; /12; /27; /280";
2) /Ш; /450; /432; /675;
3) 3/8; 5/18; 4/75; 6/24;
4) 1 /200; -|-/бб; 0,2/300; 0,5/50.
1555. 1) /5s; /9а; VW\ /5а1;
^ Г 4' 5 С 4*У; 3 Г 16д;у''
3) 4ах у -щг> 5Г у т*> й У ~^~»
4) /2(а + 6)8; 3/(]Г^Р; /18 (а ~6)».
Используя вынесение множителя из-под знака квад-
ратного корня, выполнить действия и упростить:
1556. 1) 6/2 + 5/18; 2) 5/12 — 2/27.
1557. 1) 2/48 + /27 + /I2;
2) 3/20 + 5/45 — 2/80.
1558. 1) 1 /27 + 4/75 —/12;
2) 0,5/50 + 0,8/72 — 0,2/32.
1559. 1) 5/а— 3/4а + 2/9а; где а>0;
2) /F+i-/36F — ^/9i, где *>0.
156U. 1) (2/18+ 3/8) +(3/32 —/50);
2) (3/20 —/45+ 3/18) +(VY2 —/80).
232

1561. 1) (0,51^24 —31^40) —(1/150+1^54 —1Л 000);
2) (32 + 1^2-41^)-(11/2-1/48).
1562. 1) (0,51/98+4КЩ-(11/М+11/72-1/'200);
2) (| 1/60 -1/64 + 0,2^24) +
+ (1/15 — 1/6.-1^600).
1563. Не извлекая квадратного корня, определить,
которое из чисел больше:
1) 21/3 или 31/2; 2) 31/5 или 41^3;
3) 51/7 или 7^5; 4) 21^5 или 4^2.
1564. Вычислить J 2 КЗ с точностью до 0,1 двумя
способами: 1) найти Уз с точностью до 0,1 и результат
умножить на 12; 2) внести под знак корня множитель 12
и из полученного произведения извлечь квадратный
корень с точностью до 0,1.
Какой результат точнее и почему?
Внести множители под знак квадратного корня:
1565. 1) 3^2; 2) 21/5; 3) 41^3; 4) 31/7.
1566. 1) yl/8; 2) |КГ8; 3) 51/оД; 4) 3 ]/!.
1567. 1) aj/^l; 2) 4x]/^l; 3) aj/1; 4) ^]/"|. „
1568. 1) (а + 6)]/"3^; 2) (1-а)]/"-^;
°/ х + у У 2 ■ ' *' л + * Г a* — 2ab + b*'
Упражнения для повторения.
1569. Назвать те выражения, которые не имеют смысла:
1) 1/4; 2) 1/=Т; 3) К=0Ж; 4) l/O^T.
1570. При каких значениях буквы а следующие
выражения не имеют смысла:
1) j/a; 2) 1/а=0А 3) К^+Т; 4) 1^П+2?
233

1671: Проверить неравенства:
1) 2,4<Т/б<2)5; 2) 2,64<К7<2,65.
1572. Вынести множители из-под, знака квадратного
корд я:
1) УШР; 2) ЬхУШ?;
1573. Внести множители под знак квадратного корня:
1)2 ]/~J>, 2) JVT8;
«ч 2а^'-| /"ЗлГ, дч g^-1 i/" 3a2 + 3a
^ Т" V Ub\ q) а+\ V д2 — 2а + ] т
1574. Построить график:
Выполнить указанные действия:
1575. QVM-VT + ±VU)-(VW-^
1576. ^1/У2-/2Тб+Кй)-(^^
§ 53. Извлечение квадратного корня из чисел
при помощи таблиц.
1577. При помощи таблиц1 найти арифметическое
значение квадратного корня из чисел с точностью до
четырёх значащих цифр:
1) У^/Ъ^Щ ]A2; 1^83; l/90;_
2) Vlt5; V3,8; /4,^^15,2^/85,2^
3) У 1,36; 1^54; l/"5,31; /6,93; 1/9,85/
1578. Зная, что при; перенесении запятой в числе а
на 2, 4, 6, ... мест запятая в числе Va переносится в ту
1 В. М. Брадис, Четырёхзначные математические таблицы,
Учпедгиз, 1961 г. и более поздние издания.
234

же сторону на 1, 2, 3, ... места, найти по таблице
арифметическое значение следующих квадратных корней с
точностью до четырёх значащих цифр.
Примерная запись:
УШ = У 1,54-10*^ 1,241 • 10= 12,41;
УТ6Д25 =У 12,5: 10* л* 3,536: 10 = 0,3536.
1) /Ш; /235; /432; /876; /576; /729; УШ;
2) /о^2; УЪЩ; Ум-, У;оТ5; /оТ; /оТ; Ум?
3) /0,184; /0,236; /0,352; /0,836; /0^Ш;
4) УоЩ; УЩ)5; /ЩЭ.
1579. Найти по таблице следующие квадратные корни,
используя имеющиеся в таблице столбцы «поправок»:
1) /137б9; V57J6; /72794; У95$5;
2) /3582; /567Т; /6396; /8435;
3) /0,5118; /0,6576; /0,7492; /0,8256;,
4) /123~4; /287Д; /ЩТ; /508Д.
1580. Найти по таблице следующие квадратные корни,
предварительно округляя данные числа до четырёх
значащих цифр:
1) /ЗД237; /577452; /8/9267; /Щ52~;
2) /Щ32; /Щ5Т; /537835; /40/009; /ИЩИ:
3) /18372; /25986; /То~356; /84^97;
• 4) /256/74; /348717; /534/75; /942707;
5) /158392: /292,836; /1,34523; /0,749615.
1581. Найти по таблице приближённые значения
квадратных корней из следующих чисел, предварительно
обращая обыкновенные дроби в десятичные и округляя
полученные числа до четырёх значащих цифр:
2) Y^u- V23h Y4-. Yi2w- V™%-
235

1582. Найти площадь прямоугольника, длина которого
равна /12 см, а ширина /3 см.
1583. Используя правила извлечения корня из
произведения и частного, выполнить следующие действия и
вычислить результаты по таблицам.
1) У2-УЪ\_ 2) /5:/20;
3) У б-У12; 4) УЗ-У 8.
1584. Выполнить указанные действия:
1) (У 12 - /3) •/3; 2) (У\Ъ + /16) . /5;
3) (/5 + 2). (/5-2); 4) (УЗ + /2) • (УЗ -У2).
1585. 1) Площадь одного квадрата равна 72 см*, а
площадь другого квадрата равна 2 еж3. Во сколько раз
сторона первого квадрата больше стороны второго
квадрата? _
2) Во сколько раз /45 больше /5?
1586. Выполнить деление:
1) 101/2:5; 2) /15: У5; 3) /Ш :/20;
4)/б0:/15; 5) 16,16/20:4/5; 6)2/30:/Ш".
Выполнить указанные действия:
1587. 1) (у/6 — 3/3 + 5/2— /8). 2/6;
2) (/12 —i/75 + 1/3)./3;
3) (2/3 —3/2-1/б)./2;
4) (1/32—J-/3 + 4/I5).2/3.
1588. 1) (4/Г2 + 1/Т8-/з):/3;
2) (/0^+21^3-1/2) :1/бД;
4) (| КЗ+К2+/3 !):(-/!).
236

1589. l)(|l/55-2/|-/±).l/S5;
1590. 1) (К3 + 2К2).(]/"3—/б);
2) (3 1/6-2/7 +1).(К7-1/"5);
3) (2a + Vb)-@a — 2Vb);
4) (ya — 2Vx).(a — Vx).
§ 54. Извлечение квадратного корня из чисел
при помощи счётной линейки.
1591. Найти при помощи счётной линейки
квадратные корни из следующих чисел и сравнить ответы с
результатами, найденными по таблице квадратных корней:
а
Ya по
линейке
У а по
таблице
1,5
1,225
2
1,414
4,7
2,168
7,4
2,720
10
3,162
15,2
3,899
26,5
5,148
47,5
6,892
68
8,246
83
9,110
97
9,849
1592. Зная, что при перенесении запятой в Числе а
на 2, 4, 6, ... мест запятая в числе У а переносится в
ту же сторону на 1, 2, 3, ... места, найти следующие
квадратные корни при помощи счётной линейки,
проверяя ответы по таблице квадратных корней:
1) УТЗб; 1/248; /640; ]/836; /954;
2) V0A8\ V0fi\ VOAl /ОДбЗ; УоЩ; /0ДО2.
237

1593. Найти при помощи счётной линейки следующие
квадратные корни, предварительно округлив их до трёх
значащих цифр. Ответы проверить по таблицам
квадратных корней.
1) УЖ48; 1/7235; /3674; /6396;
2) 1/0,4236; /(М5784; /7506; /9048;
3) VT5M; V252J; /бЖЗ; /830J;
4) /6\5472; /26\158; /47Д74; /236J3;
5) /Т7274; /23152"; /ШзГ; /95386;
6) /Т23756;/0,194782; /2,46 732; /532 826.
1594. Найти при помощи счётной линейки следующие
квадратные корни, проверяя результат по данным ответам:
п/п
1
i 2
3
4
5
Пример
/742
уощ
yvm
утщ
УЩХ
Ответ
27,3
0,653
41,7
13,3
2,08
п/п
6
7
8
9 ^
10
Пример
.ущ
У 0,6327
|Л),03554
У 0,00141
/0,00342
Ответ
6,6
0,795
0,189
0,0376
0,0585
1595. При помощи счётной линейки найти
квадратные корни из чисел, данных в задачах № 1577—1580, и
использовать для проверки ответы, полученные ранее по
таблице квадратных корней.
Задачи № 1596—1599 решить при помощи счётной
линейки.
1596. Площадь круга вычисляется по формуле Q = тс/?9,
где Q —площадь круга, R — радиус круга, тс ^ 3,14.
Найти радиус круга, если его площадь равна: 1) 5 л*3;
2) 12 см*; 3) 2,5 дм\
1597. Вычислить с точностью до 1 сек. время паде-
ния тела с высоты 300 м, пользуясь формулой S = y,
JLM
где S — высота падения тела в метрах, £^9,8^ —
ускорение силы тяжести, t — время падения в секундах.
238.

1598. Дальность горизонта на море определяется по
формуле d = 4,lV*h, где d — дальность горизонта в
километрах, h — высота глаза наблюдателя над
уровнем моря в метрах.
Вычислить с точностью до 1 км дальность горизонта,
если: 1) Л=15 м; 2) Л = 250 лс.
1599. Маятник длиной в / сантиметров делает одно
качание в t секунд', где ^ = 7rl/g^; тея«3,14. Найти
длину / так называемого секундного маятника, т. е. найти /
при /=1. Вычислить с точностью до 0,1 см.
Задачи и упражнения для повторения.
1600. При помощи счётной линейки извлечь
квадратный корень из чисел:
1) V24~32\ 1/4043; K0J234; /90^22;
2) КШТ; 1/"0Д338; ^7979; у 343Д
1601. Пользуясь четырёхзначными математическими
таблицами, выполнить следующие действия, соблюдая
правила приближённых вычислений:
. _21,522>|/Щб
_ 43,782.-|/72^Т'
Проверить ответ путём «прикидки» в уме.
1602. При помощи счётной линейки найти числовое
значение следующего выражения:
За2 У а
1,342
при а = 2,18.
Проверить ответ путём вычисления значения х по
математическим таблицам.
* 1603. Цилиндрическая силосная башня высотой в 9 м
вмещает 120 т силоса. Найти внутренний диаметр баш-
nd2
ни d по формуле V = -£-h, где V — вместимость башни,
d — диаметр основания, h — высота, тс ^ 3,14, зная, что
1 куб. м силоса весит 7 ц.

v ГЛАВА XIII
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.
§ 55. Неполные квадратные уравнения.
1604. Школьная физкультурная площадка имела
квадратную форму. Решено было, не изменяя площади
этой площадки, придать ей прямоугольную форму. Для
этого увеличили длину площадки вдвое, а ширину
уменьшили на 8 ж. Найти первоначальную длину и
ширину физкультурной площадки.
1605. Найти число, квадрат которого равен
удвоенному этому числу. Сколько решений имеет эта задача?
1606. (Устно.) Решить неполные квадратные уравнения;
** = 81; х* = 0Д6;. *■ = ■{-; ** = 6^;
х*—10 = 39; х* + 5 = 30; 2х9 = 32; 5х* = 20;
xa + Y* = 0; ха — 0,4х=0.
1607. Следующие уравнения решить при помощи
таблиц квадратных корней:
1) х2 = 5041; 2) х' = 9604; 3) ха = 0,4624;
4) |- х* = 3380; 5) 0,09а:2 — 0,6084=0.
*» 1608. Вычислить приближённые значения корней
следующих уравнений (с точностью до 0,01):
1) х*— ,2 = 0; 2) а:2 —52 = 0;
3) 2х* = 42; 4) у— 0,5 = 0.
240

1609. Решить следующие уравнения, определив
допустимые значения букв:
1) aV -6« = 0; 2) aV — 1 =0;
3) ах* — - = 0; 4) ах* — - = 0.
— 1610. Решить графически уравнения:
1) а* = 9; 2) а* =16;
3) а3 —а = 0; 4) х* + 3х = 0.
Решить уравнения:
1611. 1) 4х, + 6х=9х4 — 15л:; 2) 1 Зх -f 7х3 = 5х9 + 8*;
3) 12х9 —5х=9х9 + 7х; 4) 8,5х—Зх*=3,5х-(-2х\
- 1612. 1) х(х— 15) = 3(108 — 5*).;
2) 47— х(Зх + 4) = 2(17 — 2х) — 62;
3) (а-7)(х + 3) + (х-1)(х + 5)=-102;
4) 10 (я-2)+ 19 = (5а-— 1)(1+5х).
1613. 1) (Зх — 8)а — (4а — 6)* + (5х — 2) (5а+ 2) = 96;
2) (2а — 7)9 + (Зх — 5)а — (4а — 9)(4х + 9) =
= 2(64 —29 а).
1614.
1615.
п 5лг8+9
„, 8л:»—3
Vzb-i
3> J^l-I
4л:*-9 Q.
5~—^»
, 9л:'-5_9.
* _92.
""л:— 1— Z3'
л: — 3 .1
л: + 3 —°*3
Q\ ол 11 | /4—ZA ■* !•*
*> 8 1 Г2~~— 1U;
4v 13л:2 —4 20—Зл:2 ,5
4' 12 18 — **9
2) л^р4 + лт=^4 = 5"9''
. 4v 5л: + 7 2л: + 21 R 2
; 4' л: —2 л: + 2 — ** 3
§ 56. Полные квадратные уравнения.
1616. Огородный участок, имеющий форму
прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше
другой,» требуется обнести изгородью. Определить длину
изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 ж*.
И П. А. Ларнчещ
241

Уравнения № 1617—1619 решить путём выделения
полного квадрата двучлена:
1617. 1) х*-\-8х — 33 = 0; 2) ж'+ 12* — 64 = 0;
3) *4 — 8х = 20; 4) х* — 4х = 45.
1618. 1) х'+12* = — 35; 2) **+ 14л: + 24 = 0;
3) х% — Пх + 30 = 0; 4) х*— 11х = 60.
1619. 1) лг2-|-л; — 30 = 0; 2) х3 — х- 12=0;
3) *2 — * — 20 = 0; 4) л;* —.7*4-12 = 0.
1620. 1) При каких значениях х трёхчлен
у = х* + 7х+10
а) обращается в нуль? б) принимает значение, равное 4?
в) может ли данный трёхчлен иметь значение, равное
(-5)?
2) При каких значениях х трёхчлен у = х*-\-7х-\-& и
двучлен у = х-\-1 принимают равные значения и какие
именно?
Решить уравнения:
1621. 1) х2 — ^х — 26 = 0; 2) ха — Ц-x-f 4-^ = 0;
3) *' + 2-^jH71=0; 4) ^ + 3^jc + 2 = 0;
5) х9*— 2,4л:— 13 = 0; 6) х* — 5,6л: + 6,4 = 0.
1622. 1) Зл:2 — Ъх — 2 = 0; 2) 2л:2 — 7х + 6 = 0;
3) 4х* + х —3 = 0; 4) 5х* — 8л: + 3 = 0.
1623. 1) Юл:3 —Зл: —J=0; 2) Зл;2 + 2л: — 8 = 0;
3) Зл:2+11л: + 6 = 0; 4) 4л:2 — 17л:— 15 = 0.
Решить задачи:
1624. Высота прямоугольника составляет 75% его
основания. Найти периметр этого прямоугольника, зная,
что площадь прямоугольника равна 48 ж2.
1625. От нити, равной периметру некоторого
квадрата, отрезано с одного конца 36 см. Укороченная таким
образом нить представляет периметр другого квадрата,
площадь которого в2у раза меньше площади первого.
Определить первоначальную длину нити.
242

1626. От листа жести, имеющего форму квадрата,
Отрезали полосу шириной в 3 см, после чего площадь
оставшейся части листа стала равна 10 см\ Определить
первоначальные размеры листа жести.
1627. При розыгрыше первенства по футболу было
сыграно 55 матчей, причём каждая команда играла с
каждой из остальных команд по одному разу. Сколько
команд участвовало в розыгрыше?
1628. Если каждый участник шахматного турнира
сыграет по одной партии с каждым из остальных
участников, то всего будет сыграно 231 партия. Сколько
участников турнира?
1629. Учащиеся выпускного класса обмениваются
своими фотографическими карточками. Сколько было
учащихся, если для обмена потребовалось 870
фотографических карточек?
Решить уравнения1:
1630. 1) {Ъх — 1)(* + 2) = 20;
2) (х — 4)(4х — 3) + 3 = 0;
3) (х — 3)2 + (x+4)3 — (х — 5)*=17х + 24;
4) (я + б^-Н* — 2)* + (*—7)(х + 7)=11х+30.
,, 2х — 5 '__ Ъх— 3 _ .. 5 — х 15 — Ах
' х— 1 — ЗТТ5' ' 2х~^Л ~ Зл:-j- 1 '
1632. 1) £_**=* + *;
<у\ х (х — 7) 1 Пл: х — 4
3)
5(лг—1) _х . 6
4 — 6 + х
4) 1— 21+65* +8х+11=0
1633. i)^+i)l + i-(3"71)8="(Y3^
Qv 5jc — а:» (5лг— 11)* л (7— л:)»
1 Параллельно с решением упражнений на квадратные
уравнения весьма целесообразно решать и соответствующие задачи на
составление квадратных уравнений из § 59.
243

3)
4)
1634. 1)
2)
3)
1633. 1)
3)
4)
1636. 1)
2)
3)
4)
1637*. 1)
2)
3)
4)
1638. J)
2)
3)
4)
(x— 12)»
x(x — 9)
—и—
.(*-Ц)«
6 9
6л. | (3 + 5*)» _8-2*
5;
Зх-
2
(*-3)'.
5
(* + 3)'
(х + 3)(* + 7)
(х+Щх-1).
5лг—1
4 8
Злг—1 2 , ,
г 7 I (^-6)' — (* + 4)' (* + 2)(л + 6)
*—7н—з "5 ;—з
= 3*+8; 2)5Л + 6 = -2^-;
■ДС(1 —Л") fi.
5х— 1
1+*
= 6;
45
39
4 —
4х'— 1
л:—1
■2л:—1 2А-+Г
2 (*■+*)
л;+1— лг+1
14 , 4-х 7
лг+11
jt2 — 9~i
7 |
лг+1 1
л:+ 0,5
9л: + 3
13 —л:
3 + jc
1
2 —л:
1
АГ + 2
3
3 + л: лг + З 3—лг*
дг + 4 За:» — 38 в
2а: — 2 — а:8 —1 »
лг + 2 8аг' + 3
— За:—1 9а:» — 1 •
, б _ 3 2 .
1 х* — 9 дг + 3 3 —л:'
, 1 6 — х
1—Х — 2 За:» — 12»
1 1 1
лг + 4~а: + 3 лг+1*
4 1 2
2 а:—1 а: —4 а: — 3
8 5 8 —а:
1
~1Г—а: З^а:
аг+ 1 5а:—1 8-
х — 4 — 3 —а:
3 —2а: 3
АГ + 2'
JL+1.
АГ+1 '
-а: а: — 5
4а: 2а: —4 За:» — 6а: а: —2'
20-f-х 9а:» + а:+2 _5 —За: f0 —4а:
2а: —2 6а:» —6 х+\ За: + 3
244

1639.
1640.
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)
1641*. 1)
2)
3)
4)
1642. 1)
2)
3)
4)
1643*. 1)
2)
3)
4)
30
л:8—1
2
х' — х +
13
а:8 + 1
лг + 36
JC* — 1
1
4л: + 8~~
2
а:» —4
1
13
а:8 + лт+]
1
1 ЛГ-+- 1
Пх +10
5а:" — 5л:-f
л: + 6 х
7+18л:
1 — л:8 —1 '
. 2л:— 1
I х*+\*
5
5— л:+Р
1 — лг+ 16
х-^\ л:8 + л:+1 #
20лг+1
= 4л:8 —16
1 1
л:8 —2л: '
7^-5л:
д*-_4л: + 4 •
х-* _0.
л:8 + 2л:-~и'
4 _л:2 + 10л:
л:8 — хш-\-х — 1 х + 1'
4л:8 + 21
х* + ** + х+1*
5.8 :
л:* —1
20
л:8 —4
1
1 л:2 —Зл: + 2 л:8 + Зл: + 2
il
1
л: + 2 1^лг + 20 x + 4~x + S>
1,1 1,1
х — 6*х — 4"
1 1
"л: + 2
1
"л: — 7'
1:
л: —8 л: —2 л:—И х—10'
л:—9~лг —7 л:+18~л:—10*
1
1
1
6л: + б ~ Зл: + 6 — х + 3'
л:2 —4 х — 2~2л: + 2»
лг+11 х— 1_2(л:+7)
-4;
х2_\ х+\~ х+1
4(Зл:+1) _3л: —2 2л: + 3
(л:—1)(л: + 3) — дг—1 л: + 3 "
У 2 z* + 4VZZ — 2 У2 = 0;
22+2(]/"3 + 1)г4-2К"3 = 0;
хУ~Ь 2х
2х — j/~5 л:]/3 —3'
2л: _ х У~3
ху~ъ — ъ х—2у~г '
245

1644. Вычислить
приближённые значения корней
следующих уравнений (с
точностью до 0,01):
1) 2**+15*+ 5 = 0;
2) 3*а+14* + 4 = 0;
3) 5x* + 24* + 9 = 0;
4) 7х9 — 27*+ 12 = 0;
5) 4xJ + 3* —2 = 0;
6) 6*"— Юх — 1=0.
1645. Решить графически следующие уравнения:
1) ж8 — х — 2 = 0 (черт. 56); 2) х1 — 2х — 3 = 0{
3)2*'-3*-4 = 0; ч 4)^Ет=ёт»--
§ 57. Сумма и произведение корней
квадратного уравнения (теорема Виета).
№ 1646—1649 устно.
1646. Найти сумму и произведение корней каждого
из следующих уравнений:
1) ** — 6х + 8 = 0;
3) Ъх*-\-2х — 3 = 0;
2) х2 — 5* +6 = 0;
4) 3**-7х+2 = 0.
Составить квадратные уравнения по данным корням их:
1647. 1) 2 и 3; 2) 6 и — 2; 3) —5 и —3; 4) 1 и —2.
1648. 1)
1649.
1650.
2" И "Г
3)2| и 1.L
1) -1 и -1;
3)0 и —1;
2) 0,4 и —0,2;
л\ 3 5
4>—5 и "Г-
2) 5 и 0;
4) 5 и —5.
1)КЗи"К5; 2)— К2и— V 3;
3) 2 У~3 и 3 У~3; 4) —2 и У~5.
246

1651. При каком значении k уравнение:
1) лга-|-£*+15_0 будет иметь корень, равный 5?
2) x%-\-kx — 2A = Q » » » » —3?
3) Ь9 — 15л: — 7 = 0 » » » » 7?
4) kx*-\-\2x — 3 = 0 » » » » у?
1652. Не решая данного уравнения, составить
квадратное уравнение, корни которого были бы в два раза
больше корней уравнения л:9 — 5*+ 6 = 0.
1653. Известно, что Х\ и #ъ — корни уравнения
х*-\-рх —|— ^7 = 0; Составить новое квадратное уравнение,
корни которого были бы равны корням данного
уравнения, умноженным на k.
1654. Не решая данного уравнения, составить
квадратное уравнение, корни которого были бы на два
больше корней уравнения л:9— 5л: -{-6 = 0.
1655.. Не решая данного уравнения, составить
квадратное уравнение, корни которого были бы" на 5 больше
корней уравнения а:9 -|- 6л: -(- 8 = 0.
1656. Не решая данного уравнения; составить
квадратное уравнение, корни которого были бы на 4-
больше корней уравнения л:2 -}- рл: -(- ^ = 0.
Разложить на множители следующие трёхчлены:
1657. 1) л:3 — 4л: + 3; 2) х*— 10л: + 9;
3) х2 —2л: —35; 4) л:* — Ах — 60.
1658. 1) л:* + 7л:+10; 2) *? + 25х+114;
3) а9 — 17а + 72; 4) а9 — 29а -f 198.
1659. 1) ttf — m — 56; 2) rtP — m — 12;
3) Зл:9 — 7л: — 40; 4) 5л:* + 17*— 126.
1660. 1) 2а9 —5а+ 2; 2) За9 —2а—1;
3) 5m9-f m —4; 4) 2m9 — m — 3.
1661. Сократить дроби:
Ч а* + Ъа— 105 ' *> х* + Злг + 2>
^ 2а* + Ъа — 90 д. 6а* — la — 3
*' За» — 36а + 105; 4' 2а* — а — 3 '
247

Не решая следующих уравнений, определить, какие
из них имеют два различных корня, два равных корня
или не имеют корней (действительных):
. 1662. 1) хг — 4л: + 4 = 0; 2) xi — 4л: + 3 = 0;
3) л:3 + 7л: + 15 = 0; 4) х* — 2х + 5 = 0.
1663. 1) я1—10*+ 25 = 0; 2) л;'3 + 16л; + 48 = 0;
3) л:3— 14л: + 49 = 0; 4) **-fx— 1 =0.
1664. 1) х4— Ах — 8 = 0; 2) 4л:3 + 6л: + 9 = 0;
3) 7л:3 — х— 1=0; 4) 2х3 — Зд; + 1 = 0.
1665. 1) 12* — 4=л:3; 2) 4л:3 + 5=10х;
3) 4л:3 + 9л:=— 2; 4) 2х3+Зл: --= 2.
Не решая следующих уравнений, определить знаки
корней:
, 1666. 1) х3 — 6х + 5 = 0; 2) х* + 4х — 5 = 0;
3) х3 + 20л: +19 = 0; 4) x3 + 2x+l =0.
1667. 1) х' + 9х —22 = 0; 2) х1 —20х—300=0;
3) 2х3 + 5х= —2; 4) Зх3 + 8х=4.
1668. 1) 4х3 + 5 = 1 Ох; 2) 8л:1 — 1 = 2л:;
3) 2х3 + 3*=2; 4) 4х3 + 9х + 2 = 0.
1669. При каком значении буквы с' следующее
уравнение будет иметь равные корни:
4х3—12х + с = 0?
§ 58. Системы двух уравнений с двумя неизвестными,
из которых одно второй степени, а другое первой.
1670. 1) Решить систему уравнений:
( х*-у = 8,
\ х-у = 2.
2) Построить графики уравнений данной системы и
найти координаты точек пересечения этих графиков
(черт. 57).
248

"Г,
Черт. 57.
3) Сколько решений имеет данная система уравнений?
1671. Решая алгебраически и графически систему
уравнений \ х*_у = ^
Ь + 6=1,
убедиться, что эта система не имеет решения (черт. 58).
1672. Решая алгебраически и графически систему
уравнений j ху=12,
\ Зх+4^=24,
показать, что она имеет одно решение (черт. 59).
249

Решить системы уравнений:
1673. 1)
I ж9 + ^=10,
Ь+3 = 4;
1674. 1) ( 2xi — у = 2,
\ х — у=1;
1675. 1) (х* + у* = 8,
I х — у = 4;
1676. 1) ( хг'-\-ху = 2,
\ у—Ъх = Т,
2) I ху=\Ъ,
2) ( х*-у = 14,
\у-х = -2.
{
2>{
2) Г х*-ху-
\ х — у=7.
2х-гу = 7.
*' + */> = 40,
х + у = 8.
х*-ху-у°<=19,
( х* + у*-6у=0,2) (
\ у + 2х = 0; \
х*-ху + у* = 63,
х — у= — 3.
_L_l-L——
\ x У 5
( х — у = 4.
х ' у
х + у=12;
1)(у-1)=2, 2) [ (*-2)(у+1) = 1,
f (л:-1)(^-1)=2(2) ((х-2)(у-
\ х-\-у=Ъ\ \ х — у = 3.
= 1,2)
4
х—1
3
5
'y + i
2
1681. 1)
1682. 1)
1683. 1)
х + 3 — у>
J_±£±£L_q
1+У+У* — '
х+у=6;
лг + 5
4
jy-3
1
= 2,
л;—2
-6 '
2)
(*-2)(0-3)=1, 2)
х — 2
у-3
= 1;
^MLy+J_ _з_
у' + х+1~ 2 *
л: — у= 1.
У+3 1
(3*-.y)(3y-*)—2
лс—3>^_ 2
3*-2 ■ j>_0 2)
;y-f 5 "г a:~z'
х —f/ = 4;
' 2дг —5 ■ 2у —3
х — 2 ~т" j,— х :
[Злг — 4у=1.
■■2,

1684. 1) Г^-.3^ + х*-.х+# + 9 = 0,
U-x = 2;
{ x — 2y = S.
1685. 1) (7x* — 3y* + 5xy—2x-27 = 0,
\ x + y = b\
2) | 2jta-5;a/ + £*-t-10jt-f 12^=100,
\ 2x — 3*/=l.
1686. Решить графически следующие системы
уравнений:
l 5дс — у = 6\ \ х-)-у = — 1.
§ 50. Решение задач, приводящих к квадратным
уравнениям.
1687. С аэродрома вылетают одновременно в пункт,
отстоящий от него на 1600 км, два самолёта. Скорость
одного из них на 80 км в час больше скорости другого, а
потому он прилетает к месту назначения на час раньше.
Найти скорость каждого самолёта.
1688. "Два автомобиля выезжают одновременно из
одного города в другой. Скорость первого на 10 км в
час [больше скорости второго, и поэтому первый
автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго.
Определить скорость того и другого автомобилей, если
известно, что расстояние между городами 560 км.
1689. В зрительном зале клуба было 320 мест. После
того как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и
добавили ещё один ряд, в зрительном зале стало 420
мест. Сколько стало рядов в зрительном зале клуба?
1690. Теплоход прошёл по течению реки 48 км и
столько же против течения и употребил на весь путь
5 час. Определить скорость теплохода в стоячей воде,
если Считать скорость течения реки 4 км в час.
1691. Расстояние между двумя пристанями по реке
равно 80 км. Пароход проходит этот путь туда и обратно
за 8 час. 20 мин. Определить скорость парохода в стоячей
воде, считая скорость течения реки равной 4 км в час.
251

1692. Лодка против течения прошла 22,5 км и по
течению 28,5 км, затратив на весь путь 8 час. Скорость
течения реки 2,5 км в час. Определить скорость
движения лодки в стоячей воде.
1693. Из пункта А отправили по течению реки плот.
Через 5 час. 20 мин. вслед за плотом из того же пункта
вышла моторная лодка, которая догнала плот, пройдя
20 км. Сколько километров в час проходил плот, если
моторная лодка шла быстрее его на 12 км в час?
1694. Электропоезд был задержан в пути на 4 мин. и
ликвидировал опоздание на перегоне в 20 км, пройдя
его со скоростью на 10 км в час большей той, которая
полагалась по расписанию. Определить скорость поезда
на этом перегоне по расписанию.
1695. На середине пути между станциями А и В поезд
был задержан на 10 мин. Чтобы прийти в В по
расписанию, машинисту пришлось первоначальную скорость
поезда увеличить на 12 км в час. Найти первоначальную
скорость поезда,, если известно, что расстояние между
станциями равно 120 /еж.
1696. Тепловоз, пройдя первый перегон в 24 км, был
задержан на некоторое время, а потому следующий перегон
проходил со скоростью, большей прежней на 4 км в час.
Несмотря на то что второй перегон был длиннее
первого на 14 км, тепловоз прошёл его за время только
на 10 мин. большее, чем потребовалось на прохождение
первого перегона. Определить первоначальную скорость
тепловоза.
1697. Электровоз должен был пройти 840 км. В
середине пути он был задержан на 20 мин., и поэтому,
чтобы прибыть вовремя,- он должен был увеличить
скорость на 6 км в час. Сколько времени электровоз
затратил на весь путь?
1698. Расстояние по реке от одной пристани до другой,
равное 30 км, моторная лодка проходит туда и обратно
за 6 час, затрачивая из этого времени 40 мин. на
остановки в пути. Найти собственную скорость моторной
лодки (то есть скорость её в стоячей воде), если
скорость течения реки равна 3 км в час.
1699. Две бригады комсомольцев, работая совместно,
закончили посадку деревьев на учебно-опытном участке
за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на выполнение
этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из
252

бригад могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней
скорее другой? ' "'.
1700. Водонапорный бак наполняется двумя трубами
за 2 часа 55 мин. Первая труба может наполнить его на
2 часа скорее, чем вторая. За сколько времени каждая
труба, действуя отдельно, может наполнить бак?
1701. Спортивная площадка прямоугольной формы
имеет площадь, равную 720 кв. м. Если длину площадки
увеличить на 6 м, а ширину уменьшить на 4 м, то
получится прямоугольник, равновеликий первому. Найти
длину и ширину спортивной площадки.
1702. Две молотилки обмолачивают собранную
пшеницу за 4 дня. Если бы одна из них обмолотила
половину всей пшеницы, а затем вторая остальную часть, то
вся работа была бы окончена за 9 дней. За сколько дней
каждая молотилка в отдельности могла бы обмолотить
всю пшеницу?
1703. Двое рабочих, выполняя определённое задание
вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если
сначала будет работать только один из них, а когда он
выполнит половину всей работы, его сменит второй
рабочий, то всё задание будет закончено за 25 дней. За
сколько дней каждый рабочий в отдельности может
выполнить всё задание?
1704. Два сварщика, из которых второй начинает
работу 1-у днями позже первого, могут выполнить
работу за 7 дней. За сколько дней каждый из них отдельно
мог бы выполнить эту работу, если известно, что второй
сварщик может выполнить эту работу на 3 дня скорее,
чем первый?
1705. Из Москвы в Нью-Йорк по одному и тому же
маршруту вылетели одновременно американский
реактивный самолёт и самолёт «ТУ-104А». Самолёт «ТУ-104А»
делал в час на 100 км больше, чем американский самолёт,
и прибыл в Нью-Йорк на 1 час раньше американского
самолёта. Определить скорости самолётов, если
расстояние от Москвы до Нью-Йорка приблизительно равно
9000 км.
1706. Для перевозки 15 т овощей было затребовано
несколько грузовиков определённой грузоподъёмности.
За неимением свободных грузовиков этой
грузоподъёмности гараж выслал грузовики с грузоподъёмностью на
253

полтонны меньше и дал таких грузовиков на один
больше. Сколько тонн овощей взял каждый из высланных
грузовиков?
1707. Колхоз должен был засеять 200 га к
определённому сроку, но он засевал ежедневно на 5 га больше,
чем намечалось по плану, и поэтому закончил сев на
2 дня раньше срока. За сколько дней был закончен сев?
1708. Бригада лесорубов должна была по плану
заготовить в несколько дней 216 м3 дров. Первые 3 дня
бригада выполняла ежедневно установленную планом
норму, а затем каждый день заготовляла по 8 ж3 сверх
плана, поэтому уже за день до срока было заготовлено
232 мъ дров. Сколько дров в день должна была'
заготовлять бригада по плану?
1709. Два автомобиля вышли одновременно из
городов А и В навстречу друг другу. Через час автомобили
встретились и, не останавливаясь, продолжали путь с той
же скоростью. Первый прибыл в В на 27-мин. позже*
чем второй прибыл в город Л. Определить скорость
каждого автомобиля, хесли известно, что расстояние между
городами '90 км. /
1710. Два велосипедиста выезжают одновременно
навстречу друг другу из пунктов А и Ву расстояние между
которыми 28 км, и через час встречаются. Не
останавливаясь, они продолжают путь с той же скоростью, и
первый прибывает в пункт В на 35 мин. скорее, чем второй
в пункт Л. Определить скорость каждого велосипедиста.
1711. Из двух пунктов Л и В, расстояние между
которыми 24 КМу отправлены в одно и то же время два
автомобиля навстречу друг другу. После их встречи
автомобиль, вышедший из Л, приходит в В через 16 мин.,
а другой автомобиль приходит в Л через 4 мин.
Определить скорость каждого автомобиля.
1712. С двух аэродромов вылетают одновременно на,-
встречу друг другу вертолёт и учебный самолёт. К
моменту встречи вертолёт прошёл на 100 км меньше
самолёта. Остальной путь самолёт покрывает за 1 час. 20 мин.,
а вертолет — за 3 часа. Найти расстояние между
аэродромами и скорость самолёта и вертолёта.
1713. Цена ткани была снижена на столько
процентов, сколько рублей стоил метр ткани до снижения цен.
На сколько процентов была снижена цена на ткань, если
метр этой ткани стали продавать по 16 руб.?
254

1714. После двух последовательных „снижений цен на
одно и то же число процентов цена фотоаппарата
снизилась с 30 руб. до 19 руб. 20 коп. На сколько
процентов снижалась цена фотоаппарата каждый раз?
1715. Население города (приближённо) за два года
увеличилось с 20000 до 22 050 человек. Найти средний
ежегодный процент роста населения этого города.
1716. За 4 дня совместной работы двух тракторов
2
различной мощности было вспахано у колхозного поля.
За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым
трактором отдельно, если первым трактором можнб
вспахать всё поле на 5 дней скорее, чем вторым трактором?
. 1717. Периметр прямоугольника равен 28 см, а
сумма площадей квадратов, построенных на смейсных
сторонах прямоугольника, равна 116 см*. Найти стороны
прямоугольника.
1718. Периметр прямоугольника равен\46 см, а
диагональ его равна 17 см. Найти стороны
прямоугольника. 4Mb
1719. Прямоугольный участок земли площадью в
2400 ж2 обнесён изгородью, длина которой равна 200 м.
Найти длину и ширину этого участка.
1720. Площадь прямоугольного треугольника равна
180 см2. Найти катеты этого треугольника, если один
больше другого на 31 см.
1721. Периметр прямоугольного треугольника равен
48 см, а его площадь 96 слс9. Найти стороны
треугольника.
1722. Среднее арифметическое двух чисел равно 20,
а среднее геометрическое 12. Найти эти числа.
1723. Среднее арифметическое двух чисел 17,, а
среднее геометрическое 15. Найти эти числа.
1724. Радиус одного круга на 1. дм больше другого.
Сумма площадей этих кругов приближённо равна 78,5 дле2.
Найти радиусы кругов.
1725. Высота цилиндра на 2 см больше радиуса его
основания. Найти высоту цилиндра, если его пойерхность
приближённо равна 704 слс9. Ответ дать с точностью
до 1 мм.
1726. Учёт урржая двух соревнующихся колхозных
бригад показал, что на участке первой бригады было
собрано 200 ц пшеницы, а на участке второй бригады,
255

имеющем площадь на 2 га больше, собрано 300 ц
пшеницы при урожае на-5 ц с гектара больше, чем на
первом участке. Найти площадь каждого участка земли и
количество собранной пшеницы с 1 га того и другого
участка.
1727. Дорога между пунктами Л и В состоит из
подъёма и спуска. Велосипедист, двигаясь на спуске со
скоростью, на 6 км в час большей, чем на подъёме,
затрачивает на путь от Л до В 2 часа 40 мин., а на обратный
путь от В до Л — на 20 мин. меньше. Найти скорость
велосипедиста на подъёме и на спуске и длину подъёма
в направлении от Л к В, если ^длина всей дороги
равна 36 км.
1728. Для состязания велосипедистов установлена
дистанция в 6 км. Велосипедист Л обогнал велосипедиста
В, придя к финишу на 2 мин. раньше В. Если-бы Л
уменьшил скорость на 0,1 км в мин., а В на столько же
увеличил свою скорость, то В пришёл бы к финишу на
2 мин. раньше Л. Найти скорость в час каждого
велосипедиста. 0Ф-
1729. С первого участка земли собрали 4,8 т
картофеля; со второго участка, площадь которого на 0,03 га
меньше первого, собрали 2 т картофеля, причем с 1 л«а
этого участка собрали на 2 кг меньше, чем с 1 м*
первого участка. Найти площадь каждого участка и сколько
картофеля собрали с 1 мч того и другого участка.
1730. Деревянная балка весит 90 кГ, а железная балка,
длина которой на 2 м больше деревянной, весит 160 кГ>
причем вес одного погонного метра железной балки на
5 кГ. больше веса погонного метра деревянной балки.
Найти вес одного погонного метра и длину каждой балки.
1731. Равнодействующая двух сил, направленных под
прямым углом, равна 89 кГ. Если каждую из этих сил
уменьшить на 3 /сГ, то равнодействующая уменьшится
на 4 кГ. Найти величину составляющих сил.
1732. Равнодействующая двух сил, направленных под
прямым углома равна 25 кГ. Если меньшую силу
увеличить на 8 кГ, а большую уменьшить на 4 кГ, то
равнодействующая останется без изменения. Найти величину
составляющих сил.
1733. Из двух жидкостей, удельные веса которых со-
г г
ответственно равны 1,2—g и 1>6—^ составлена смесь
256

весом 60 Г. Сколько граммов взято каждой жидкости ft
каков удельный вес смеси, если 8 смг её весят столько
же, сколько весит всё количество менее тяжёлой из
смешанных жидкостей?
1734*. Если двузначное число разделить на сумму его
цифр, то получатся в частном бив остатке 2. Если же
это число разделить на произведение его цифр, то
получится в частном 5 и в остатке 2. Найти это число.
1735. Тело.движется равномерно ускоренно (без
начальной скорости) и, пройдя путь 360 м, приобретает
скорость, равную 12- ж в сек. Сколько времени и с каким
ускорением двигалось тело?
1736. Электропоезд вышел со станции и, двигаясь
равноускоренно, на расстоянии в 2,1 км развил скорость
в 54 км в час. Найти ускорение электропоезда и время .
разгона.
1737. Тело, имеющее начальную скорость, получает
ускорение в 25^3". В конце своего пути длиной в 570 м
тело имело скорость 17 м в сек. Найти начальную
скорость тела и узнать, сколько времени оно двигалось
ускоренно.
1738*. По круговой дорожке длиной 2 км движутся
по одному направлению два ч конькобежца, которые
сходятся через каждые 20 мин. Найти часовую скорость
каждого конькобежца, если первый из них пробегает
окружность на 1 мин. скорее второго. ■•<
1739. Смешав 8 Г жидкости .с 6 Г жидкости меньшей
р
плотности, получили смесь с удельным весом 0,7^.
Найти удельйый вес каждой жидкости, если удельный
вес одной из них на 0,2—ъ больше удельного веса
см
другой.
1740. Из двух кусков металла один весит 178 Л а
/*
другой 219 Г, причём удельный вес первого на 1*6 ^
больше удельного веса второго. Найти объём каждого
куска, если объём первого куска на 10 см? меньше
объёма второго куска?
1741. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили
200 г воды, после чего его концентрация уменьшилась
на. 10%' Сколько воды содержал раствор и какова бьуга
его концентрация?
*/а9 П. А. Ларичев
"257

1742. Звук от падения камня на дно шахты долетел
до наблюдателя через 4 сек. после начала падения.
Определить глубину шахты, принимай скорость звука
равйой 330 м в сек., а путь s свободно падающего тела
равным *=%-, где ё^Ю^-.
1743. Через сколько секунд тело, брошенное
вертикально вверх со скоростью 60 м в сек., достигнет высоты
100 лс? (Ускорение свободного падения считать
приближённо равным 10 ^-. j \
1744. Поезд шёл со скоростью 36 км в час, затем на
перегоне, равном 1,5 км, поезд шёл равноускоренно с
ускорением 0,1 —т. Найти время, в течение которого
поезд прошёл перегон.
1745. Одна из двух сил, приложенных под прямым
углом, на 4 кГ больше другой, а равнодействующая их
на 8 кГ меньше, чем сумма этих сил. Найти величину
составляющих сил.
1746. Каждой из двух масс воды, отличающихся
друг от друга на 2 кг, сообщили одинаковое количество
тепла, равное 96 ккал, причём оказалось, что большая
масса воды нагрелась на 4° меньше, чем меньшая.
Определить каждую из двух масс воды. v
1747. Одинаковое количество Фепла, равное 60 ккал,
сообщено каждой из двух масс воды, отличающихся
друг от друга на 3 кг, Причём оказалось, что большая
масса воды нагрелась на 1° меньше, чем меньшая.
Найти, на сколько градусов нагрелась при* этом меньшая
масса воды.
1748. Из двух кусков металла первый весит 880 Г, а
второй 858 Г, причём объём первого куска на 10 смв
меньше объёма второго.
Найти удельный вес каждого металла, eqm удельный
вес первого на 1 —9 больше удельного веса второго.
Упражнения и задачи для повторения.
.Решить следующие неполные квадратные уравнения
двумя способами; разложением на множители левой ча-
258 "

сти уравнения, у которого правая часть равна нулю, и
путём извлечения квадратного корня.
17СП Х'-~5 15 -Х% ^-4
1750. —^ g— = ^"3—•
1751. Решить неполное квадратное уравнение:
** — х , За:2 —2а: За:
1752. Решить квадратное уравнение путём выделения
полного квадрата двучлена:
**4-6х + 5 = 0.^
Решить квадратные уравнения:
1753.^ + ^ = ^-
У — у ^1— у9 у+у*
1754 3 2 — 3 !
I,JI' 4а:8 —1- 8а:8 — 8а:2 + 2х ~4а:8— х '
1
4а:2 — 2а: *
Решить задачи:
17Б5. Через несколько точек, расположенных на
плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной
прямой, проведены все прямые, соединяющие эти точки
попарно. Определить, сколько было точек, если число
проведённых прямых оказалось равным 45.
1766. В выпуклом многоугольнике проведены
всевозможные диагонали; оказалось, что их всего 14. Сколько,
сторон у этого многоугольника?
1757. Какой многоугольник имеет число диагоналей
на 12 больше числа его сторон?
1758. В середине прямоугольной площадки со
сторонами 12 м и 10 м требуется разбить прямоугольную
клумбу площадью в 8^ так, чтобы её края были на
одинаковом расстоянии от краёв площадки. На каком
расстоянии от краёв площадки должны быть
расположены края клумбы?
1759. В крышке ящика, имеющей форму
прямоугольника длиной 30 см и шириной 20 см, требуется вырезать
прямоугольное отверстие площадью в 200 см* так, чтобы
V.9*
259 .

края его были~везде на одинаковом расстоянии от краёв
крышки. На каком расстоянии от края крышки должен
быть расположен край отверстия?
1760. Клумба, имеющая форму прямоугольника со
сторонами 2 м и 4 м, окружена дорожкой, имеющей
везде одинаковую ширину. Определить ширину этой
дорожки, если её площадь в 9 раз больше площади клумбы.
1761. Из листа жести, имеющего форму
прямоугольника, приготовлена открытая сверху коробка таким
образом, что по углам её вырезано по квадрату со
стороной в 5 см и получившиеся края загнуты. Какого
размера был лист-жести, если длина его вдвое больше
ширины и, если объём коробки оказался равным 1500 сж8Я
1762. Для посева , нового сорта кукурузы колхоз
выделил два опытных участка земли.- На первом участке,
площадь которого была на 2 га меньше площади второго
участка,- кукуруза была посеяна квадратно-гнездовым
способом. При уборке урожая с каждого из этих
участков было собрано по 180 т кукурузы. Сколько тонн
кукурузы было собрано с одного гектара на каждом
участке, если урожай кукурузы на первом участке был на
3 т с гектара больше, чем на втором?
1763. Для уборки - урожая в определённый планом
срок колхоз выделил две бригады. Первая бригада, ра-,
ботавшая на участке в 400 га, окончила уборку урожая
на 2 дня раньше срока, а вторая бригада на участке в
900 га проработала на два дня дольше срока. Если бы
первая бригада работала столько дней, сколько вторая, а
вторая — столько дней, сколько пер'вая, то каждая
бригада убрала бы поровну. Найти срок уборки урожая по
плану и производительность труда каждой бригады в день.
1764. С аэродрома одновременно вылетают два
учебных самолёта: один — по направлению на юг со
скоростью 192 км в час, а другой-—по направлению на
восток со скоростью 256 км в час. На каком расстоянии
друг от друга будут находиться самолёты через 3 часа?
1765. Иа порта одновременно вышли два парохода:
один — на север, а другой — на восток. Через 2 часа
-расстояние между ними оказалось равным 60 км. Найти
скорость каждого парохода, зная, что скорость одного
из них на 6 о в час больше скорости другого.

ГЛАВА XIV
ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.
§ 60. Линейная функция у = ах-\-Ь.
1766. Турист находится на расстоянии 6 о от города
и движется от него по шоссе со скоростью 4 км' в час.
1) На каком расстоянии по шоссе будет турист от
города через 2 часа? через 4 часа? через 5 часов? через
t часов? ~
2) Обозначив расстояние пешехода от города через d,
выразить формулой зависимость этого расстояния от
времени движения пешехода.
3) Построить график этой зависимости.
1767. На складе было 200 т угля. Ежедневно на
склад привозили по 40 т.
1) Выразить формулой зависимость количества угля
на складе (А!) от времени (t).
2) Начертить график этой зависимости.
1768. Количество теплоты Q (в больших калориях),
необходимое для нагревания двух литров воды от Ш
градусов до t градусов, определяется по формуле
Q = 2(t — 10).
1) Составить таблицу изменения Q при изменении /
от 10 до 80 градусов.
2) Построить график функции Q при изменении ар-,
гумента от 10 до 80 градусов.
3) Определить по графику значения функции Q при
U равном 25°, 35°, 45°.
4) Как называется зависимость, выражаемая
уравнением:
Q = 2(f —10)?
1769. В 8 час. утра из города в деревню вышел по
шоссе турист, В первый час он прошёл 5 км, затем на
9 П. А. Ларичев ]
261

подъеме он в течение часа прошёл только 3 км, после
чего 30 мин. отдыхал. Проходя дальше в среднем 4 км
в час, турист пришёл в деревню в 12 час. дня.
1) Составить taблицy изменения пути туриста р за-
вйсимоепг'от изменения времени и по данньш таблицы
построить соответствующий график.
2) Определить по графику, на каком расстоянии по
шоссе от города турист был в 9 час; в 10 час. 30 мин.;
в 11 час. На каком расстоянии от города и в какое
время дня он ©становился для отдыха? На каком
расстоянии от города находилась деревня?
3) В какое время дня турист находился от города
на расстоянии 6 км? 10 км? 2 км? 14 км?
1770. На чертеже 60 изображён график движения двух
поездов, вышедших навстречу друг другу из пун ктов Я" * #,
Определить по графику:
км
2UU-
lou-
iUU~
<77 -
Д
В
-
1
А
/
/
f
\
\
•
/
г
/
V
>
Л
г
\
/
ч
/
\
J
г
\
*
\
?
V
'
V
>
\
»
^
V
1
\
\
%
. >
Ч
^
10
1Z
13 часов
Черт. 60.
1) В котором часу вышел каждый поезд?
2) Сколько времени находился в пути Каждый из них?
3) Сколько времени каждый поезд затратил на
движение и на: остановку?
4) Когда и на каком расстоянии от пункта А они
встретились?
5) Найти среднюю скорость движения каждого
поезда в час.
6) Дать описание движения каждого поезда.
262

7) Составить по графику таблицу изменения пути
каждого поезда в зависимости от изменения времени.
1771. В 6 час. утра из города А в пункт В,
отстоящий от А на 24 кму выходят экскурсанты, проходя
4 км в час и делая остановки для отдыха по 30 мин.
через каждые два часа. В 10 час. утра из города А
вслед за экскурсантами выехал велосипедист, который
двигался без остановки со средней скоростью 12 км в час,
1) Построить на одном и том же чертеже графики
движения экскурсантов и велосипедиста.
2) Определить по графикам: на каком расстоянии от
Лив какое время дня велосипедист догонит
экскурсантов? На каком расстоянии от А будут в полдень вело*
сйпедист и экскурсанты? В какое время дня экскурсан*
ты и велосипедист достигнут В?
Черт. 61.
1772. На чертеже 61 изображён график движения
пригородных электропоездов двухколейной железной
дороги от 8 час. до 9 час.
9* 263

1} Дать по графику описание движения каждого
электропоезда, указав время прибытия и отправления
поездов со станций А, В, С, N, D, E, F, К, а также скорость
движения поездов меЖду станциями.
2) Составить по графику расписание движения
поездов. ч
1773. 1) Выразить формулой зависимость величины у
от величины ху рассматривая следующую таблицу их
числовых значений:
X
У
2
6
—\
3
9
4
12
5
15
6
18
V
2) Построить график зависимости у от х.
3) Чему равен тангенс угла наклона этого графика
к оси ОХ?
1774. 1) По таблице числовых "значений у и х
написать формулу, выражающую у как функцию от х:
X
У
4
— 2
6
— 3
-10
5
— 12
6
2) Построить график данной функции.
1775. 1) Построить прямую, проходящую через
начало координат и точку М (2; 4).
2) Написать уравнение этой прямой.
3) Чему равен тангенс угла наклона этой прямой
к оси ОХ?
1776. Прямая проходит через начало координат и
имеет угловой коэффициент, равный 4.
1) Написать уравнения этой прямой и начертить её.
2) Лежит ли точка М (2; 5) на данной прямой?
3) Доказать, что угол наклона этой прямой к оси
ОХ больше 45°.
1777. 1) Построить графики функций:
0 = 2х + 3 и у = — 2* + 3.
264

2) Установить, в чём заключается сходство и
различие полученйых графиков.
3) Показать, что функция у = 2х-\-3 возрастающая,
а функция #= —2х + 3 убывающая.
1778. 1) Построить при одних и тех же осях
координат и в одном и том же масштабе графики следующих
уравнений:
1) х-у = 0\ 2) х + {/ = 0;
3) Ъх — 2у=0; 4)3х — у=*1. -
2) Найти для каждого графика точки пересечения
с осями координат.
Построить следующие графики:
1779. 1) у = 2; 2) у = -2; 3) х = 4; 4) t/ = 4.
Рассмотреть, как расположена каждая прямая
относительно осей координат.
1780. 1) х=0; 2) у=0.
1781. 1) Известно, что при х=4 линейная функция
у = Зх-\-Ь принимает значение, равное 11. Найти Ь.
2) Известно, что график функции у = ах-\-Ь
проходит через точку М (4; 13). Найти а.
г*/ I
Черт. 62.
1782. На чертеже 62 построены в прямоугольной
системе координат 4 прямые линии. Написать уравнение
вида у = ах-\-Ъ каждой из прямых.
265

1783. Найти абсциссы точек пересечения с осью ОХ
графиков функций:
1)'у=2* —6; 2) у = 3х + 3;
3) у = 2х— 1; 4) у = 2х — 3.
1784. (Устно.) Найти ординаты точек пересечения
с осью OY графиков функций:
1) у=х — Ь\ 2) у = 2х + 3;
3) у=^-4х + 7; 4) </=-0,5х-2,5.
1785. График функции у = 2х-\-Ь пересекает ось
ординат в точке (0; 5). Найти значение Ь и построить
график функции.
1786. График функции y = kx-\-b проходит через
точку М (2; 3) и через точку N (— 5; —- 4) Найти значения
k и Ь и построить график функции.
1787. При определении опытным путём скорости звука
v м в сек. в сухом воздухе при различных температурах
получена следующая таблица:
t в градусах
v м в сек.
— 30
313
— 16
323
— 8
327
— 4
N
330
0
332
4
334
8
337
12
339
20
344
30
349
1) Начертить график зависимости v от t.
2) Заменить этот график приближённо прямой линией.
3) Составить приближённую формулу линейной
зависимости v от t, найдя угловой коэффициент и
начальную ординату по измерению на чертеже (по масштабу).
Упражнения и задачи для повторения.
1788. Известно, что величина а изменяется прямо
пропорционально- изменению величины 6, причём
коэффициент пропорциональности равен 3.
1) Написать формулу, выражающую а в зависимости
от 6.
2) Построить график изменения величины а в
зависимости от изменения величины 6.
1789. Известно, что величина у изменяется обратно
пропорционально величине х.
1) Зная, что коэффициент пропорциональности равен
12, написать формулу ^выражающую у в зависимости от х.
2) Построить график данной функции.
2€б

1790. Известно, что изменение величины у в
зависимости от изменения величины х выражается уравнением
у=2х+1.
1) Как называется в данном случае функция у>
2) Какая линия является графиком функции у=2х-{* 1?
3) Какой геометрический смысл имеют
коэффициенты 2 и 1?
4) Найти координаты точек- пересечения данного
графика # с осями координат.
5)* Построить график функции.
6) Привести примеры величин, зависимость между
которыми выражается уравнением у=ах-\-Ь.
1791. При температуре 0? длина / полосы железа
равна 5 м. Представить графически, как изменяется длина
этой полосы при нагревании её от 20° до 50°, зная, что
коэффициент линейного расширения железа равен
0,000012.
§ 61. Функция у=*=ах* и её график.
1792. Предельная безопасная нагрузка для железной
цепи (т. е. нагрузка, при которой цепь не порвётся)
вычисляется по формуле Р= 1,14da, где Р — груз в тоннах,
d—- диаметр поперечного сечения каждого кольца в цепи
в сантиметрах. Определить предельную нагрузку для
цепи, если d=l,2 cm; d = 2,7 см.
1793. Автомобиль движется равномерно ускоренно с
ускорением а = 0,8~..
1) Найти путь автомобиля за / секунд, пользуясь фор:
at*
мулои s = y> где s — путь в метрах, а — ускорение в
—5 и t — время в секундах. Заполнить таблицу
значений s в зависимости от следующих значений t:
Время t в
секундах
Путь s в
1 метрах
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
i
2) Доказать, что отношение любых двух значений s
равно квадрату отношения соответствующих значений /.
3) Начертить график изменения пути s в
зависимости от изменения времени движения /.
267

4) Определить по графику путь автомобиля за
2,5 сек; 5,5 сек.
5) Определить по графику время, в течение которого
автомобиль прошёл путь в 8 м\ 12 м.
1794. (Устно.) Привести примеры величин, зависимость
между которыми выражалась бы функцией вида у=ах*.
1795. Дана функция: #=х*.
1) Вычислить значения упри следующих значениях х:
X '
' У
— 4
— 3
— 2
— 1
0
1
2
3
► 1
4
2) Какие значения может принимать х?
-3)-Какие значения может принимать у?
4) Как изменяется функция у, если: а) аргумент х
изменяется от — оо до 0? б) аргумент х изменяется от О
до +оо?
5) При каком значении х функция у принимает
наименьшее значение? Принимает ли данная функция
наибольшее значение при каком-либо значении х?
6) Начертить график изменения функции у в
зависимости от изменения аргумента х.
7) Найти по графику значение у при х, равном 0,5;
3,5; —2,5. Проверить найденные значения у вычислением.
8) Как расположена парабола у — х;* относительно
осей координат?
1796. Даны функции: у = х*; у = 2х*\ у = 0,5х*.
1) Вычислить значения у для каждой из данных
функций, заполнив следующую таблицу:
^ч. X
У ^\
у = хш
у = 2х*
у = 0,5л:1
— 3
-2,5
— 2
-1,5
— 1
— 0,5
0
0,5
1
1,5
2
» •
2,5
3
268

2) Начертить при 'одних ^и тех же осях координат и
в одном и том же масштабе график ^каждой функции
(черт. 63).
3) Сравнить значение у каждой из данных функций
при одном и том же значении х и установить,* как
изменяется форма параболы
у=ах* при изменении
коэффициента а.
4) Как изменяется
каждая из данных функций при
изменении аргумента х от
— со до 0 и от 0 до -f- оо?
5) При каком зкачении х
каждая из данных функций
имеет наименьшее значение
и какое именно?
1797. Используя
указания и вопросы предыдущей
задачи, исследовать
изменение каждой из следующих
функций:
1) у=-х\ 2) у=-2х\
3) у=— 0,5х*.
1798. Как изменяется
положение параболы у = ах*
относительно осей координат
коэффициента а?
Yk
III 11 III 1 1
1 11 b
1М1 1 Г
L
111
Ml l \\ \n
ill
\ \W I
\\ 11
1 11 \r
Mil
\ «1 h
nl
1 II 1 11 I /
Vm
\\\\\'
\Ш
11111 \\\^
X,-6 -* -г с
J J 1 II. Wwd
J 'Pi Л
И V" И I ■ —1
IV
el ||l / ||l
'1 1 1 /1 lv-x2
J / /. 1 \ \
/
\ \\\\\
\ // /
\ \\n /
1
и I I 'II 1
lAM^y^0'5*2
\n\ 111
MAM 1
if/ 1111
I#r 1 1 1 1 1 1
гГ ? * б *X
Черт. 63.
в зависимости от знака
§ 62. Функция у = ах*-\-Ь и её график.
1799: С вертолёта, находящегося в покое на высоте
180 м, падает на землю вертикально вниз вымпел.
Определить, на какой высоте Л находился вымпел в
различные моменты времени от начала падения, зная, что h
вычисляется по формуле
Й=180-С
где, h — искомая высота в метрах, g— ускорение силы
fяжecти, равное приближённо 10-
ния в секундах.
м
сек*
t — время паде-
269

I) Составить таблицу значений h при следующих
значениях /:
t
h
0
1
2
3
Ч
4
5
6
2) Построить график изменения Н в зависимости от
изменения /.
3) Установить по графику, в какой момент вымпел
упадёт йа землю.
4) Установить область определения функции h и
область её изменения.
5) Найти по графику, через сколько секунд от начала
падения вымпел ^удет находиться на высоте 120 м.
1800. 1) Построить при одних и тех же осях
координат и в одном и том же масштабе графики функций:
у=х\ у = х*-\-2 и у = х* — 2.
2) Сравнить значение у каждой из данных функций
при. одном и том же значении х и выяснить, чем
отличается расположение относительно осей координат
графиков функций
у = х* + 2 и у = х> — 2
от графика функции у = х* (черт. 64).
3) Установить, при каком значении х каждая из
данных функций имеет наименьшее значение.
4) Установить область определения каждой из
данных функций.
5) Как изменяется каждая из данных функций, если
аргумент х изменяется от — оо до 0? аргумент х
изменяется от 0 да -f- оо?
1801. Даны функции: у= — х*\ у=—х*-\-2 и
у= — х* — 2. Построить при одних и тех же осях
координат и в одном и том же масштабе графики данных -
.функций и исследовать изменение функций/ используя
указания и вопросы предыдущей задачи (черт. 65).
1802. Парабола у = х* перемещена в направлении
оси ординат на 4 единицы, вниз.
270

1) Написать уравнение полученной параболы и
построить её.
2) Найти точки пересечения параболы с осью ОХ.
1803. 1) Как надо сместить параболу у=х*9 чтобы
новое уравнение параболы было:
у=х*+1; y=x*-U у=-х* + 5; у=-х*-1.
2) В каждом случае начертить (при одних и тех же
осях координат и в одном и том же масштабе) схемати-
Черт. 64.
Y
1 \ll\l 1 I [ 1
1 \ \ \ \о
\\\\
' Ш \ 1 Л
1 м\ \ 1
\\\ 17
1 V \
Ml \\ /?
Ill
\1\ 1\ 1 *
1 1 \ \|
1 111 /
1 л \ \\ \
1 \ m V \ t
г \\ W
11 114
\ \ •
\ \| L
\ NJ
111 IIS-
х-?\ ? \"г К! Р
Mill \\ -г
\ I'
i I I I I I mL_
f I I I I I I T*
11111 ну****2
г I I I I l/i I I
I I I I I III. J '2
I ri
|l| l
I/I/1
I Г I 1 1/ 9 1 1 1 9
IiWT* 2
1 1 1 1 /// III
1 1 1 1 /1 /1/
I/1/ /1
/ /7
1/1 //III
\ V \f\l\
\A ]f\l\
U*TI If
1 1 l/l / 1 1 1 1
/ m
и /
К /J 1 И ш
Г tA ? p f *
У 1 M '
и
L/
ческий график функции и определить те значения х, при
которых функция имеет наименьшее или наибольшее
значение.
§ 63. Функция у = ах*-{-1>х-\-с и её график.
1804. С высоты 5 м выпущена из лука вертикально
вверх стрелаГ с начальной скоростью 50 Hi в сек,
1) Составить" таблицу изменения высоты полёта
стрелы в зависимости от изменения времени от начала её
движения До падения на землю, пользуясь формулой
271

где И — высота стрелы в метрах,
сек*
■ускоре-
#=5-1-50*--^-,
t — время движения * в секундах, g*« 10
ние силы тяжести.
2) Построить график изменения высоты стрелы,
откладывая по горизонтальной оси значения t, а по
вертикальной оси значения Н (черт. 66),
t£0\ I
tto\ 1
юо\-
* col 1
1 tt
5
*> fD\ I
5 fU\
^ 60 1
§ ft
*? 4Y)
5
§ хд| L
* Ftf
90 Г
й-
Pfll /1
tt
tfttt
V 1
0
4
1 1
и
/
У
/
м
/
у
/
Л
1 1
\' *
у
/
л
п
>
1/
/
/
/1
3
к
1
1 1-
4
РГЧ*
1
5
si
N
\
РЧ
\
- N
1 11X11
N
Л
\\\\
\\\
\
\
i i i i *i i
6 7 8
J
[\ I 1 II
V 1 1 1
V
\
\
1 \ 1 1 1
М\
\
\
1 1 х 1 1
9 to it
время б секундах.
Черт. 66.
3) Найти по графику и проверить вычислением:
а) Через сколько секунд от начала движения стрела
упадёт на землю?
б) Через сколько секунд стрела достигнет
наибольшей ЕЫСОТЫ?
в) На сколько метров от земли поднялась стрела
в наивысшей точке подъёма?
1805. 1) При одних и тех же осях и в одном и том
же масштабе построить графики функций (черт. 67):
у = \х* у = \{х-2? и у = \{х + 2)\
272

составив следующую таблицу частных значений функции:
1 X
1 .
у = ^(х-2)'
у = 1(х + 2у
— 4
— 3 | —2 | —1
1 ■
0|
1 | 2
3
4 1
2) Найти на графиках (черт. 67) точку каждой из
кривых, имеющую ординату, равную 8, и убедиться, что
соответствующая
абсцисса точки графика
r/=-i-(jc — 2)2 будет на 2
больше, а абсцисса
точки графика у =у (х-\-2)*
на 2 меньше абсциссы
точки графика у = ^х^.
Проверить это
свойство данных кривых
графически и
вычислением для любых точек
с равными ординатами.
3) Выяснить
различие в расположении
графиков данных
функций относительно осей
координат.
4) Найти координа- х
ты вершины каждой па- '"
раболы и выяснить,
каким перемещением
параболы y=-jx* получена парабола у = ^(х— 2)2
и парабола y = -^{x-\-2f. '
5) Определить по графикам, при каких значениях х
каждая из функций убывает; возрастает; принимает
наибольшее значение.
273

tSOe. Даны функции:
а) у = -±х*; б) 0 = -!(х_2)«; в) у = -^(х + 2)\
Построить графики этих функций и исследовать их,
используя указание и вопросы предыдущей задачи.
1807. Дана функция:
у = (х-4)*.
Не вычерчивая графика этой функции, описать:
1) вид и положение кривой относительно осей коор-.
динат;
2) будет ли функция иметь наибольшее или
наименьшее значение, какое именно и при каком значении х\
3) при каких значениях х функция у убывает;
возрастает; обращается в нуль;
4) в какой точке пересечёт данная кривая ось OY\
% 5) ответить rfa вопросы 1—4 при следующих данных:
а) у = -(х + 5)\
б) у = 2(х-т
в) у = -3(х-6)\
1808. Дана функция:
у = х% — 4* + 4.
1) Представить правую часть уравнения в виде
квадрата двучлена.
2) Доказать, что при любых значениях х функция у
не имеет отрицательных значений.
3) Выяснить, при каких значениях х функция у
убывает; возрастает; имеет наименьшее или наибольшее
значение; обращается в нуль.
4) Построить график данной функции, определив
предварительно ^вычислением координаты нескольких
точек (например, точку наименьшего или наибольшего
значения функции, точки пересечения графика с осями
координат и т. д.)
Пользуясь указаниями предыдущей задачи,
исследовать квадратные трёхчлены и построить их графики:
1809. 1)-у=*' + 2х+-1; 2) у=х*-х + \-
1810. 1) у = — х* + 6х — 9; 2) у = — х1 — 8х— 16.
274

1811. 1) При каком условии квадратный трёхчлен
у = х2-{-рх-\-'(] представляет цолный квадрат двучлена?
2) Как расположена в этом случае парабола
относительно осей координат?
3) При каком условии квадратный трёхчлен имеет
наибольшее или наименьшее значение?.
4) Как вычислить координаты вершины параболы по
коэффициентам трёхчлена?
1812. Дан квадратный трёхчлен:
у = 2х<1 — 4х + 2.
1) Разложить правую часть уравнения на'
множители и выяснить, при'каких значениях х функция у имеет
наименьшее значение; убывает; возрастает.
2) На однбм и том же чертеже построить графики
функций:
у = 2х* и у = 2х* — 4х + 2.
3) Выяснить по графикам сходство и различие
полученных кривых.
4) Найти координаты вершин парабол и сравнить
расположение кривых относительно осей координат.
1813. Пользуясь указаниями предыдущей задачи,
исследовать квадратные трёхчлены:
1) у = — Зх* — 6х — 3;
2) у = -^х*^2х-2.
1814. 1) При каком условии квадратный трёхчлен
g = ax2j^-bx-\-c представляет полный ^квадрат двучлена?
2) Как вычисляются при этом условии координаты
вершины параболы по коэффициентам трёхчлена?
1815. Дана парабола: у=к2.
Написать уравнение каждой из парабол, полученных
путём следующих перемещений данной параболы:
1) парабола перенесена на 5 единиц вверх;
2) парабола перенесена на 4 единицы вниз;
3) парабола перенесена вправо на 3 единицы;
4) парабола перенесена на 6 единиц влево;
б) направление ветвей параболы изменено на
противоположное, и парабола перенесена на 7 единиц влево;
6) дать для каждого случая график, начерченный от
руки (без точного построения).
275

1816. Зависимость между х и у выражается уравнением
У—** + Р*+<7-
Найти значение коэффициентов р и q> если известно, что:
1) функция у обращается в нуль лишь при х = — 2;
2) функция у имеет наименьшее значение, равное 3,
при х = 0;
3) график функции касается оси ОХ в точке (—6; 0);
4) по составленным уравнениям начертить график
каждой из функций на одном и том же чертеже.
1817. 1) На одном и том же1 чертеже построить
графики функций:
у=(Х-2)* и г/ = (х-2)*-9,
заполнив предварительно следующую таблицу:
X
у = (х-2)*
у = (х — 2)2 — 9
—3
— 2
— 1
0
.1
2
3
4
'
5
б
2) Сравнить графики функций у=(% — 2)1 и
У = (х — 2)2 —9 и положение парабол относительно
осей координат (черт. 68).
3) Найти по графику значения х, при которых
функция у=(х — 2)а — 9 обращается в нуль, и проверить
результат путём решения соответствующего уравнения.
. 4) Выяснить, при каких значениях х функция
у = (х — 2)а — 9 убывает; имеет -наименьшее значение;
возрастает.
5) Проверить по графику и вычислением, что
функция у = (х — 2)* — 9 имеет:
а) положительные значения при х<^—1 и при х^>5;
6) отрицательные значения при —l<x<]{v
б) Найти координаты вершины параболы
у = {х-2)*-Ъ.
1818. 1) Квадратный трёхчлен у = х* — 6х-[-4при
вести к виду у=(х— 3)* — 5.
2) Вычислить значения дс, при которых функция у
обращается в нуль. 4
276

3) По уравнению
г/ = (л: — З)9 — 5 найти
координаты вершины
параболы.
4) Определить
значения х, при которых
функция: а) у>0;
б) У<^®\ в) убывает;
г) возрастает; д) имеет
наименьшее значение.
5) На основании
полученных результатов
начертить
схематический (от руки) график
функции у=(х—3)а—5.
1819. 1) В
квадратном трёхчлене у = х2-{-
-f- Ax -\- 5 выделить
полный квадрат.
2) Найти
наименьшее значение функции
и координаты вершины
параболы.
3) Доказать, что
функция y — {x-\-2f-\-
+1 не имеет корней 1
(действительных).
4) Выяснить путём исследования выражения
(A:-f-2)a-f-1, что при любых значениях х функция */>0.
5) Построить график функции, вычислив координаты
следующих точек:
Черт. 68.
X
У
— 6
— б
— 4
— 3
— 2
— 1
0
1
2
3
4
^
6) Исследовать квадратный трёхчлен у = —х*-\-6х—12,
используя указания 1) —5). ^vc ;
1820. 1) Написать уравнение" каждой из парабол,
полученных путём следующих перемещений данной
параболы: а) парабола у = х* перенесена на 4 единицы вправо
и на 3 единицы вниз; б) парабола у = —гх1 перенесена на
277

5 единиц айево и на 2 единицы вверх; в) парабола у = х*
перенесена на 6 единиц влево и на 5 единиц вниз.
2) В каждом случае:
а) построить график функции;
б) найти те значения х, при которых функция у
обращается в нуль;
в) найти те значения л;, при которых функция у
имеет наибольшее или наименьшее значение.
1821. Квадратный трёхчлен имеет вид:
У=** + РХ + Ч-
1) При каком условии трёхчлен имеет: а) два
различных корня? б) два одинаковых корня? в) не имеет
корней (действительных)?
2) При каком значении х трёхчлен имеет
наименьшее значение?
Как находятся координаты вершины параболы по
коэффициентам р и qi
1822. Квадратный трёхчлен имеет вид:ч
y = & + px + q.
1) Найти значения р и q:
а) если функция у обращается в нуль при х} = 2 й
при дс3 = — 3;
б) если наименьшее значение функции равно (—2) и
функция имеет это значение при х = 5\
в) если график функции пересекает ось х в точках
(-4; 0) и (-1; 0).
2) В каждом случае начертить (на одном чертеже)
график функции и определить, при каких значениях х:
а) функция #>0; б) # = 0; в) */<0.
1823. 1) Квадратный трёхчлен у = 2х*-\-Ах— 6
привести к виду:
y = 2(*-f 1)«-8.
2) Вычислить знаадния х, при которых функция у
обращается в нуЛЯИ^^»
3) БыяснитяИ^НИ|^сследования выражения
у=2(*+1)*-8, ч^Ц^К
а) принимает при х==^Чп1аименьшее значение,
равное (—8);
278

6)\npu #<^ — 3 и при х^> 1 функция y^>0;
в) при — 3<Х1 функция у<0.
4) На основании полученных результатов построить
график изменения функции у в зависимости от
изменения х, найдя частные значения х и у по таблице:
X
ву = 2лга + 4лг— 6
д>=2лгв
— 4
— 3
— 2
— 1
0
1
2
3
*
4
Н
б) На том же чертеже и в том
строить график функции у=2х* (черт.
6) Составить полученные графики
и выяснить положение
парабол относительно осей
координат.
7) Найти
координаты вершины параболы
у = 2л;3 -J- 4х — 6 и
выразить их через
коэффициенты трёхчлена.
1824. 1) Используя
указания предыдущей
задачи, исследовать трёхчлен
у= — 2х* — 4л: + 6.
2) Выяснить, что
данный трёхчлен:
а) обращается в нуль
при л:! = — 3 и х2=1;
б) имеет наибольшее
значение у=8 при х——1;
в) у<^0 при *<-—3 и
г)#>0при — 3<><1.
3) Построить графи
трёхчлена.
1825. Г) Доказать,
у = 2х* — 4л;-f-6 не имеет
же масштабе по-
69).
и tfx уравнения
*-х
квадратный трехчлен
корней (действительных).
279

2) Привести данный трёхчлен к виду у=2(х—1)* + 4
и доказать, <гго при любых (действительных)
значениях х функция у^>0.
3) Доказать, что при х=Л трёхчлен имеет
наименьшее значение, и вычислить это значение.
4) Выяснить, что при изменении х от —оо до 1
функция у убывает от -f-°° до 4, а при изменении х от 1 до
+оо функция у возрастает от 4 до -j-oo. Начертить
схематически график данной функции.
1826. Дан квадратный трёхчлен у=—2**4-4* —6.
1) Доказать, что этот трёхчлен не имеет корней
(действительных).
2) Доказать, что при любых значениях хфункция у <^0.
3) Найти, при каком значении х трёхчлен имеет
наибольшее значение и какое именно.
4) Определить, как изменяется функция у при
изменении X ОТ — ОО ДО 4~°°-
5) Построить график этой функции.
1827. Проверить, что координаты вершины параболы
у,=—2х*-\-\х— 6 определяются по формулам:
Ь Ьа — 4ас
Х— — Та> у — 4S-•
где a, b и с—коэффициенты трёхчлена.
1828*. 1) Периметр прямоугольника равен 16 см.
Таких прямоугольников может быть бесконечное
множество; найти тот из них, площадь которого
наибольшая.
2)' Из всех прямоугольных треугольников, сумма
катетов которых равна 12 см, найти треугольник,
имеющий наибольшую площадь.
1829*. Для каждого из следующих квадратных
трёхчленов определить: '
а) при каких значениях аргумента трёхчлен
обращается в нуль; принимает положительные или
отрицательные значения;
6) при каком значении аргумента трёхчлен имеет
наименьшее или наибольшее значение и какое именно;
в) построить графйк|щёхчлена:
1) /(х) = х*-4х-НЗГЩ £(р) = -Зр* + 4р - 5;
3) /(*) = —*в + 7*—12; 4) /(п) = т-4па+12/1-9;
5) /(r) = 3r*-5r + 2.
280

Г830. Решить графически следующие уравнения:
1) х2 —7x^-12 = 0; 2) х* + х — 6 = 0;
3) x* + 3x-f-2 = 0; 4) ** — Зх — 4 = 0.
1831*. Арка моста имеет форму дуги параболы, вершина
которой находится в середине этой дуги (черт. 70). Арка
имеет 5 вертикальных стоек, поставленных через
равноотстоящие точки хорды, стягивающей арку. Найти длины
этих стоек, если хорда равна 2d, а высота арки равна Л.
Решить задачу при 2d = 108 м; А=13,5 м.
1832*. Решить неравенства при помощи построения
графика:
1) х* — 2лг-15<0; 2) х* — 7х+12>0;
3) ** + 3* —4О>0; 4) ** — 4х + 3<0.
§ 64. Возведение чисел в куб.
График функции у = хъ.
1833. Найти объём куба, ребро которого равно 4 см;
12 см; 25 мм.
1834. (Устно.) Вычислить:
1) 83; 73; (-5)3; (-6)3; 153; 303; (-1)3;
«(1М-тЫ-тШ>(-'т),-.-Н1Г.
3) (0,2)9; (-0.4)3; (0,7)3; (-0,11)3; (1,2)3;
4) -(-0,5)'; -(2,4)3; -(-6.3)3;
б) 9»+(-2)3-(-1)8; (_4)'-(-3)3-(-2)«.
1835. Вычислить:
1) б*3 —4*3+.5 при *= — 1;
2) 2хг + Ъхг—\ при х = — 2;
3) 8 — (— х3) — 5х* при х = -3
281

183&* 1) Построить на миллиметровой бумаге графин
зависимости у=хд (черт. 71), заполнив следующую
таблицу (значения у округлять с точностью до 0,1), в
масштабе: единице соответствует 1 см:
X
у-=.хь
—2
—8
. -1,5
—1
—0,5
0
0,5
1
1,5
2
*г
2) Найти по графику с точностью до 0,1:
-L,83; -0,73; 0,8'; 1,3"; -1.63; 1,4»; —1,9».
3) Какая особенность в расположении точек
кубической параболы,
соответствующих следующим
значениям х:
а) 1 и —1; б) 2 и —2?
1837. Пользуясь
таблицей кубов чисел1, найти
кубы следующих чисел с
точностью до четырёх
значащих цифр:
1) 1,8»; 2,3'; 4,83; .6,1»;
7.93; 8,53;9,63; 1.043; 1,633;
2.053; 2,143;
2) 2.623; 3.863; 5,793;
7,088; 8,11»; 9-.893;
3) 1.2433; Г.584»; 1.0653;
2.0073; 2,106".
6
.4
■*
?
1
/
/
/
/
Y
' в:
(4
л
Г
*>
-А
-6
J
о
j
I
ы
/
/
/
/
i
>
fJ
<
б
Зная, что при перене-
Черт. 71. сении запятой в числе N
на одно место запятая в
числе ЛГ3 переносится на три места, найти по таблице
кубы следующих чисел:
Например: 1) 353 = 3,58-1000^42,88-1000 = 42880;
2) 0,463 = 4,6»: 1000^97,34:1000 = 0,09734.
1 В. М. Б рад и с, Четырёхзначные математические таблицы
Учпедгиз, 1961.
282

1838. 1) 18"; 27»; 38»; 43е; 56е; 78s; 92s; "
' 2) 1623; 2743; 3923; 4563; 838s; 905s.
1839. 1) 0,24s; 0,36s; 0,64s; 0,72s; 12,8s; 14,1s; 20,7s;
58,2s; 74,6s; 81,7s;
2) 0,151s; 0,204s; 0,293s; 0,549s; 0,734s.
1840. Найти по таблице кубы следующих чисел,
используя для интерполирования столбцы «поправок»:,
J) 3,5423; 4,1633; 5,2383; 7,1593;
2) 1,14323; 2,03453; 2,10783; 2,14373;
3) 15,2448; 20,8363; 32,643; 163,253;532,18; 785,83; 896,73.
1841. Найти по таблице кубы следующих чисел,
предварительно округляя их до четырёх значащих цифр:
1) 1, 732433; 2,073183; 4,15723; 6,04733; 7,52353; 9,00?73;
2) 18,Б4323; 212,3488; 37,1548; ^Овв8; 175,384»;
2134,573; 546,263; 43,1928j 0,689473.
1842. Найти при помощи счётной линейки кубы
данных чисел и сравнить ответы ,с кубами этих чисел,
найденными по таблице:
1 а
д8 по
линейке
а* по
таблице
6
216-
7
343
8
512
9
729
1,2
1,728
1,5
3,375
1,8
5,832
2,1
9,261
2,5
15,62
"2,8
21,95
а
аь по
линейке
г а* по
таблице
3,5
42,88
*■
4,3
»
79,51
4,5
91,13
5,2
140,6.
6,5
274,6
7,3
389,0
8,5
614,1
9,6
S84,7
Зная, что при перенесении запятой в числе М на
одно место запятая в числе Nd переносится на три места,
283

найти при помощи счётной линейки кубы следующих
чисел, проверяя ответы по таблице кубов:
1843. 1) 19»; 283; 343; 533; 763; 1543; 246';
2) 0,38s; 0,54»; 0.613; 0,73s.
1844. 1) 15,4е; 20.83; 43.53; 54,6s 76,2s;
2) 0,141s; 0,208s; 0,536s; 0,898s.
> 1845. Найти при помощи счётной линейки кубы
следующих чисел, предварительно округляя их до трёх
значащих цифр и проверяя ответы по таблице:
1) 2.5363; 5,184s; 7,2362s; 8,1536s;
2) 24,78s; 35,18s; 56,132s; 438,16s;
3) 0,2934s; 0,5276s; 0,06734s.
1846. Найти при помощи счётной линейки кубы
следующих чисел, проверяя результаты по данным таблицы:
а
а*
1.47
3,18
2,62
18,0
5,88
203
9,24
790
4,35
82,3
8,95
717
79,4
501000
0,54
0,157
0,213
0,00966
14,32
2940
0,494
0,120
0,0184
0,00000623
§ 65. Извлечение из чисел кубического корня.
График функции у = -\Гх.
1847. Объём куба равен 125 куб. см. Найти длину
его ребра.
1848. Требуется изготовить куб объёмом в 100 смл.
Найти с точностью до 0,1 см длину ребра куба.
1849. Вычислить:
1) -^27; ^64; ^2Тб; -^343; ^512; ^729;
2) УоЩ\ ^0^27; V6Д25; Voj^\
б\ ,3/~8~ -,3/64~ ,3/Т25" 3/723" J/ZT
3> У 27^ У тв; утт> У Бн5 У Зт-
1850. Проверить справедливость следующих неравенств:
1) l,2<fT<l,3; 2) 1,7<у/У<1,8;
3) 2,8 <CV24 < 2,9; 4) 3,4 < >^40 <3,5.
284

1851* Найти следующие кубические корни с
точностью до 0,1:
1) /Г5; 2) уТ^; 3) >Т; 4) ^2j.
8/-— Ч
1852. 1) Найти с точностью до 0,1 у = ух при
следующих значениях х: /
X
y=V*
—8
—7
—6
—5
—4
—3
—2
—1
0
1
2
3
4
5
6
7.
8
2) Принимая значения х и у за координаты точек в
прямоугольной системе координат, построить эти точки
и соединить их плавной кривой так, как показало на
чертеже 72.
Y\
3) Найти по полученному графику следующие
кубические корни с точностью до 0,1:
^=7^5; ^ir^jr=2^; j/T$\ /2Д;
* у'ТЗ; у^5,2; f 6,7; ^"7,3.
1853. Найти следующие кубические корни, пользуясь
таблицей кубов чисел1:
а
| V*
2,182
1,297
4,725
-—1—
8,921
13,48
\
67,92
154,9
817,4
958,6
1 В. М. Б р а д и с, Четырёхзначные математические таблицы,
Таблица V, Кубы, Учпедгиз, 1961.
285

1854. - Найти по таблице кубов кубические корни из
следующих чисел:
а
Va
6,0
12
44
23,8
267
1,52
28,4
82,3 J
1855. Зная, что при перенесении запятой в числе а
на 3, 6, 9,... мест запятая в числе" у^а переносится в
ту же сторону на 1, 2, 3,... места, найти до таблице
кубов следующие кубические корни:
>^0Л25; ^р24; у^929; f6^2; /6^8;
^2574; ^8156; f 0^872; /0^674; V0^396-
1856. Найти по таблице кубов кубические корни из
следующих чисел, предварительно округляя их до
четырёх значащих цифр:
1505873; /"42354; ^0,72356;
f 2378,6; /452 836; ^1536158.
1857. Найти при помощи счётной * линейки кубические
корни из числа а, где l^a^lOOO, и результаты
сравнить с ответами, найденными по таблице:
а
по линейке
по таблице
2
1,26
1,260
5
1,710
10
2,154
17
2,571
24
2,884
75
4,217
134
5,117
558
8,233
809
9,318
965
9,882
1858. Найти при помощи счётной линейки следующие
кубические корня, проверяя ответы по таблице кубов
чисел: *
1) yHJ^ /U82; У4£\ ¥Ш\ У$£\
2) у^ЩЬ] V24Д; ^57,5; f 75,7; f 94,5,
286

1859. Найти при помощи счётной линейки следующие
кубические корни, предварительно округляя данные числа
до трёх значащих цифр:
К4Л83; {/"16,76; J/43,26; УШ8- V'6,8467;
^74^42; T^lT0576; V\&Ш>\ УШвЗ.
Зная, что при перенесении запятой в числе а на три
места запятая в числе У а переносится в ту же
сторону народно место, найти при помощи счётной линейки
следующие кубические корни, проверяя ответы по
таблице кубов чисел:
1860. 1) У\Ш\ УШ&\ К24500; >/462000;
2) ]/0Л46; УоЩ\ {/0^72; >/0J53.
1861. 1) КШ64; >/"Ш75; V 0,00378; j/0,00645j
2) ^2438; ^84856; У\ 521 136; V 5073 153;
3) ^0^276; j/0,15831; ^О,06454; ^2354~2.
1862. При помощи счётной линейки найти кубические
корни из чисел, данных в задачах № 1853—1856,
и использовать для проверки результатов ответы,
полуденные ранее по таблице кубов чисел.
1863. Найти при помощи счётной линейки кубические
корни, проверяя результаты по данным» ответам:
№
1
2
3
4
5
Пример
г/"0Л05
{/3S0
f/0,262
Ответ
0,472
17
0,26
7,05
0,640
т
6
7
8
9
10
Пример
>/"0,000184
г/0,12
у0,0000098
Ответ
2,70^
0,056 .
0,494
0,0214
4,36 ,
287

1864. Выполнить при помощи счётной линейки
следующие действия, проверяя результаты по данным ответам:
№
1
2
3
4
Пример
4,56-/18,9
0,00735 • 8,07
6,08 • V 0,0495
15,8 • 0,00834
1950.0,00509.^6^4
4,07 • 70
50,8 • 0,0375 • УЩ
1860-0,00356.4,03
Ответ
334
16,9
0,0864
0,122
§ 66. Решение задач с геометрическим
и физическим содержанием. Графическое
решение уравнений.
1865. Смежные стороны прямоугольника приближённо
равны 12,0 м и 7,2 м. Найти сторону равновеликого
ему квадрата.
1866. Расстояние, на котором видно море с
возвышения на берегу, определяется по формуле d*=^ 0,41 Vh, где
d — расстояние в километрах, Л — высота места в метрах.
Найти предельную видимость, если: 1) Ля«20 м\
2) А ^140 м.
1867. Объём куба v я^ 4780 см*. Определить его ребро.
1868. Нужно сделать из жести бак кубической
формы, который бы вмещал приблизительно 500 л воды.
Найти с точностью до 0,1 ребро куба.
1869. Площадь круга вычисляется по формуле S = -^-,
где S — площадь круга, я — постоянная величина,
равная приближённо 3,14, d — длина диаметра круга.
1) Составить при помощи счётной линейки таблицу
значений S, давая d значения, равные в сантиметрах: 0;
0,5; 0,8; 1; 1,5; 1,8; 2; 2,5; 3; 3,5.
2) Построить график функции S.
3) Найти по графику площадь круга, диаметр
которого равен 1,2 см; 2,3 см.
288

1870. Стальная болванка имеет цилиндрическую форму,
причём диаметр основания равен высоте болванки. Объём
такой болванки можно подсчитать по формуле V = -j-,
где V — объём болванки, d — диаметр основания.
1) Найти вес болванки, если d=l,4 ж, я «^3,14.
Удельный вес стали равен 7,9 —».
см
2) Какова высота болванки, если объём её
приближённо равен 1,04 мъ? ч
1871. Вычислить при помощи счётной линейки радиус
4
шара, объём которого равен 254 смъ, по формуле V = ^ те/?3,
где I/ —объём шара, R — радиус rnaipa, гс^3,14.
1872. Построить график функции:
у = х2 — 2# — 3.
1) Определить, при каких значениях х функция у
обращается в нуль.
2) При каком значении х функций имеет
наименьшее значение?
3) При каких значениях х функция принимает
отрицательные значения, положительные значения; функция
убывает, возрастает?
1873. Дано уравнение параболы: у = 3х2.
Написать^ уравнение каждой из парабол, полученных
путём следующих перемещений данной параболы:
1) вершина параболы у = 3х2 перемещена по оси
ординат на 4 единицы вниз;
2) вершина параболы перенесена на 5 единиц вправо;
3) вершина параболы у = 3х2 перенесена на 4 еди->
ницы влево и на 2 единицы вниз.
Решить графически уравнения:
1874. 1) х* = 2х\ 2) х* — х — 6 = 0;
* 3) х* = 2х+3.
1875. 1) х<* + 2х — 8 = 0; 2) 2х2+1=2 — х\
3) 5 — х=х* — 7.
1876. 1) *з + *=1; 2) х3 = (х-2)2; '
3) &— Зх-2 = 0; 4) х3 = х1-\-4.
289

1877. Решить^ графически системы уравнений:
1)(^ = 3' 2)(Хув*9
^ 1 2лг—г/ = —3; Мл-^б.
1878. От участка земли, имеющего форму
треугольника ABC (черт. 73), площадью в т гектаров требуется
отделить меткой BD
треугольный участок A&D площадью
в п гектаров. Найти-
расстояние AD, если длина AC = d.
Составить и решить
задачу, давая буквам m, n и
d числовые значения.
1879. Давление ветра для
Черт. 73. плоских стен приближённо-
вычисляется по формуле
кГ
р = 0,1 у2, где р — давление ветра в -у, v — скорость
м
ветра в метрах в секунду.
1) Построить график изменения давления на стену
в зависимости от изменения скорости ветра..
2) Найти по графику давление в&гра на стену при
и, равном: 2; 3; 5; 8; 12.
3) Определить по графику, при какой скорости ветра
давление на стену будет равно 4 -у, 6 -j, 10 -у.
Л* М> Л1
1880. Поле имеет форму прямоугольника ABCD
(черт. 74), ширина которого равна а метрам; от этого
поля требуется отделить участок земли площадью в
т гектаров так, чтобы межа проходила через точку £,
лежащую на стороне AD на расстоянии d метров от
точки А.
Найти положение F второй точки искомой межи, рас-
1,» >^ ad Лч ^ad
смотрев случаи: 1) т>у, 2) т<^^.
Составить и решить соответствующие задачи, давая
буквам a, d и т числовые значения.
А П i
29Q

1881. Земельный участок ABCD (черт. 75) имеет форму
прямоугольной трапеции, у которой основание АВ = а,
основание CDc=6, высота трапеции
О Q AD = h. Этот участок требуется раз-
Черт. 74.
Черт. 75.
делить на две равновеликие части так, чтобы межа MN
проходила параллельно высоте трапеции.
1) Найти расстояние AN.
2) Составить задачу, давая буквам а, b, h числовые
значения.
1882. Конец длинного железного стержня нагрет до
температуры 1000°. Тогда температура в любой точке
i , 1000
стержня определяется по формуле /=. , а^ где х-—
расстояние рассматриваемой точки стержня в
дециметрах от нагретого конца стержня.
1) Построить график температуры в каждой точке
стержня.
2) Определить по графику: какая температура стержня
будет на расстоянии 2,5 дм от его нагретого конца?
3) На каком расстоянии от нагретого конца
температура будет равна 30°?
4) Считая, что голыми руками можно держаться за
стержень при его температуре в 40°, найти по графику
расстояние этого места стержня от его нагретого конца.
1883. Станкостроительный завод должен по плану
выпустить за год 1500 станков. При проверке
выполнения плана за первое полугодие были получены
следующие данные по Ьыпуску станков:
291

Месяцы
Число
станков
Январь
124
Февраль
120
Март
125
Апрель
132
Май
140
Июнь
144
1) Определить выполнение плана за каждый месяц
в процентах по отношению к годовому плану.
2) Построить график выполнения плана по месяцам
в процентах к годовому
плану.
3) Найти в\процентах
отклонение от плана
выпуска станков за каждый
месяц.
4) Определить в
процентах выполнение плана
-^за 1-е полугодие.
1884. Для
приближённого подсчёта объёма сена в скирде пользуются
следующей формулой: V-= (0,52/ — 0,45а) ab, где У— объём сена
в кубических метрах, / — длина «перекидки», т. е. длина
линии BCD в метрах, а —ширина скирды (BD) в
метрах, Ь — длина скирды (АВ) в метрах.
Пользуясь этой формулой, подсчитать вес сена в скирде,
если а = 4 ж; 6 = 8 ж; /= 10 ж; вес 1 ж3 сена равен 70 кг.
1885. Найти при помощи счётной линейки объём сарая
(черт. 76) с двускатной крышей, если длина сарая 12,5 ж,
ширина 7,6 ж, высота
стен 3,5 ж и высота
конька крыши (от
поверхности земли) 7,3 ж.
1886. При расчёте
болтовых соединений
диаметры железных
болтов выбирают в
зависимости от нагрузки,
на которую эти болты
рассчитаны, причём
диаметры болтов
определяются по формуле
d » 0,045 VQ + 0,5, где
pax
Черт.
d — диаметр болта в сантимет-
Q — предельная нагрузка в килограммах. -
1) Построить график зависимости d от Q.
292

2) Найти по графику диаметр .болтов при нагрузке
в 60 кг\ 180 кг. .. ' '
3) Какую предельную нагрузку можно допустить при
болтовом соединении, если взять болт диаметром 1,5 см?
2 см? .
1887. На чертеже 77 указаны в
сантиметрах размеры верхушки каменного
столба в горизонтальной и
фронтальной проекциях. Найти вес этой
верхушки, зная, что 1 ж8 материала весит 2,4 т.
1888. Пролёт треугольной
стропильной фермы (черт. 78) AB = d, а уклон
CD 1 . ^
2jg = g-. Определить длину раскоса
DN, если известно, что DN = NB.
Составить задачу и решить её,
давая d числовое значение.
1889. Тело брошено вертикально
вверх с высоты 25 м с начальной
скоростью 4мв секунду. Зная, что
движение данного тела определяется урав- Черт. 77.
нением А=25-f-4/~ ^gt*, где t —
время движения в секундах, g^9,8 ^г — ускорение
силы тяжести, h — высота тела в метрах,
1) построить график изменения высоты тела в
зависимости от изменения времени движения;
2) найти по графику, в какой момент времени тело
достигнет наибольшей высоты и какой именно;
Черт. 78.
Черт. 79.
3) через сколько секунд от начала движения тело
упадёт на землю?
1890. Из куска жести, имеющего форму
прямоугольного треугольника (черт. 79) с катетами ВС = аи AC=h,
требуется вырезать квадрат, одна из вершин которого
293

совпадает с точкой С, а другая лежит на гипотенузе АВ.
Найти сторону искомого квадрата.
Составить задачу, давая числовые значения катетам
треугольника.
1891. Лабораторным путём определена следующая
таблица изменения растворимости т соли хлористого
калия (КС1) в зависимости от изменения температуры t°:
1 t в
градусах
т в
граммах
0
28,2
10
31,3
*20
34,4
30
37,3
40
40,3
50
43,1
60
45,6
70
48,3
80
51,0
90
53,4
100
56,2
1) Построить в прямоугольной системе координат
точки, соответствующие данным таблицы.
2) Начертить прямую, которая проходила бы через
возможно большее число найденных точек.
3) Написать уравнение полученной прямой,
выражающее приближённо изменение растворимости хлористого
калия в зависимости от изменения температуры от 0°
до 100°.
4) Проверить вычислением, что полученное
уравнение растворимости соли хлористого калия даёт
возможность приближённо определить растворимость этой "соли
при температуре' от 0° до 100° со средним отклонением
в ±0,3 г от_ значений, данных в таблице.
1892. С высоты 100 м горизонтально брошен камень
с начальной скоростью 10 м веек. Траектория движения
камня выражается в зависимости от времени движения t
в секундах следующим образом:
(*=10(,
где х и у — координаты точек траектории движения.
1) Заполнить таблицу изменения х и у в
зависимости от изменения времени движения:
t
X
У
0
0
100 '
1
- ю
95,1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
294

2) По найденным координатам точек построить
траекторию движения камня.
3) Определить по найденной траектории движения
время падения камня на землю; на каком расстоянии от
начальной точки движения камень упадёт на землю; на
какой высоте будет камень через 2,5 сек. движения;
через сколько секунд после начала движения камень будет
на высоте 70 ж.
4) Построить график изменения высоты движения
камня в зависимости от изменения времени движения и
сопоставить этот график с траекторией движения.
1893. Ц, химической лаборатории опытным путём
определена следующая таблица изменения растворимости
т медного купороса (CuS04) в зависимости от
изменения температуры / от 0° до 100°;
t в градусах
т в* граммах]
0
14,8
20
20,9
25
22,8
40
29,0
60
39,1
80
53,6
100
73,6
1) Построить в прямоугольной системе координат
точки, соответствующие данным таблицы.
2) Начертить плавную кривую, которая проходила
бы через возможно большее число найденных точек.
3) Принимая приближённо полученную кривую за
параболу, написать уравнение этой параболы вида
т = at* -J- bt -\-jc, вычисляя коэффициенты а, Ь и с по
координатам трёх точек, через которые прошла
полученная кривая.
4). Проверить вычислением, что полученное
уравнение даёт возможность вычислить растворимость т
медного купороса при температурит 0° до 100° со средним
отклонением в ±0,7 г от значений, данных в таблице.

ГЛА.ВА XV
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
КУРСА V—VIII КЛАССОВ.
§ 671 Повторение арифметики.
Решить следующие задачи:
1894. Площадь, занимаемая всеми странами мира,
равна -приближённо 135 млн, кв. км, а на долю СССР
приходится 16,6% е§. Определить площадь, занимаемую
CCGP.
1895. Царь-колокол, находящийся в Московском
Кремле, весит 200 т. В своём составе он содержит
84,51% меди, 13,21% олова. Сколько меди и сколько
олова содержит в своём составе царь-колокол?
1896. Цветы ромашки при сушке теряют 84% своего
веса. Сколько килограммов цветов ромашки надо .
собрать школьникам, чтобы сдать - в аптеку 36 кг сухих
цветов?
1897. Рабочий изготовил в течение месяца 996
деталей и, таким образом, выполнил план на 124,5%.
Сколько деталей должен был изготовлять рабочий по плану?.
1898. Сберегательная касса платит вкладчикам 2%
годовых. Сколько денег получит вкладчик через год,
если вклад его составлял ^253 руб.?
1899. Вес отливки одной детали составляет 187,6 кв,
а вес обработанной детали —174 кг. Сколько процентов
от веса отливки составляют стружки металла?
Выполнить указанные действия над приближёнными
числами:
1900. 1) 4,85 + 3,2 + 0,78 + 0,0026;
2) 0,37 + 2,264 + 0,0305 + 12,00072;
3) 4,73 — 2,84; 4) 7,49-1,923;
б) 40,12 — 7,2456; 6) 61,4 — 9,745. .
296

1901. 1) 47,63-0,285; 4) 4,3:1,7;
2) 48,9-56,6; 5) 2,35:0,72;
3) 0,435-2,73; 6) 3,8:2,63.
Решить задачи:
1902. Вычислить вес деревянного куба, если ребро
его равно 12,0 см и вес 1 куб. см дерева равен 0,63 Г.
1903. Вычислить объём комнаты, если длина её
ая«12,3 Mf ширина 6я«8,3 м и высота ся^4,3 м.
Выполнить действия
Т~г128"иА" — 32
1904. 1) 2,25:1,5 + 3:14 + ш'615-|>:4';
0\ (ч± л!\ рое 4,25:0,85 + 0,5.
Z) \°45 45;'ZZ'° (5,56— 4,06):3'
0Л2|>+4):27'7 + 5Т-3'85-14|)
6) = = г-- = -!
12 ii
4) 12°
(1,75:4-1,75:11):^
._(31:3+ 86,45:24,7). 2,4
(•т:10т- тЬ05
3,7. (з4— 0,9^ —0,2
1905. 1) V / ;
134,209:13,03-(l^-|-i|): 1 ^
16^-14^:133
2) (22,385:3,7 —2,9-1 gjtSjg-l—63i882:5,46
(173-;192-+1А)-3 + 4,
^ ~23 '
1 ^ — 3,06: (55,65:5,3 — 4,5)
,ч 25,839:4,05 , Л-0 КА ос - А1 3\ 25
4) —^ f \- 78,54:25,5 — o,l:og -gg.
8* 5!: 104' V 3SJ 68
So 7
10 ПГ А. Ларичев ' 297

§ 68. Повторение алгебры.
Выполнить указанные действия:
1906. (Устно.) 1) 1/25.64-49; 2) Т^Йо1;
3) У?*?; 4) V4rt№y.
1907. 1)/78 +а/Эа —^-/о*;
2) 2 V'32 — i-/,Г8 — g-/50 - 0,5 VT+3 FT;
3) j-/l26-t J-l/5"—2/57 —J-VT;
4) Ъ.УШф- У /75? + ~/317;
5) 4a /o6V — 3c VVFc — a&c /ae;
6) 3/mW — mns/mn +-i-V'mW.
1908. 1) (/48:/6~—/T4:/7"+2/6":/3~)4/2l
2Г[(7/3-4/2+/5)+(5/2-б/3-/б)]-1/б1.
3) (/б"+/Й)(/Г + /Г);
4) i/T5 - /Г) (/5" - /Г);
1909. 1) (2УТ — /T — |/T+/l8)'.2/2~j
2) (З1 /200 - j /18 + g- /50): /8~;
3) (g- /T5 - /27 + i- VT -1 /F): 3 /3";
4) (2 /T - 0,6 - \ /6TT) :J- /OTI;

1910. Решить уравнения:
1} (2*-5)»-Н* + 4)»=«;
2) (х-а)(х-Ь) + х-Ь + (х+а)(х-Ь)=0;
3) (Зх — 5)(2х — 5) = (дг+3)(ж — 1);
1911. Найти с точностью до 0,01 корни уравнений!
1) Зж4+11лг+4 = 0;
2) 32ж9 — 25* + 4=0;
3) 15*»-{-15х— 1=0;
4)^+^ — 245=0.
1912. Построить графики следующих функций:
1) *,=-*'-1;
2) у=х* — 3;
3) у=(ж-^1)* 4-0,5;
4) j,=-(*4-2)'4-4.
1913. Решить графически уравнения:
1) **—1=0;
2)V —*=0;
3) 2xi— 1=х;
4) 2**—* —6=0.
Х914. Составить квадратное уравнение, имеющее корни:
1\ 3 "' 1
1) Xt — — у*» *»— — 2"?
2) х,=0;_ *,= — 0,6j_
3) х,=К5 4-1; *=/5 -1;
4) *, = — l; Xi — — ^.
1915. Корни ' квадратных уравнений ~ даны
приближённо:
1) *i^0,23; 2) * я» 0.61;
*1Я«0,5; хг?&0,72.
Составить квадратные уравнения. Решить полученные
уравнения и сравнить найденные корни с данными.
W 290

1916. Разложить на множители:
1) 8** —30*+ 27; 2) — Зх9 — 5х + 8;
3) 3** + 7х + 2 ^ 4) 0,9х2—jc + 0,1;
5) _** + 4*+45; 6) -20** + 7х + 6.
1917. Сократить дроби:
п За2 — На — 5 . ^ х' + х — 2
l) 2a*— 13a+15; Z)3x* + 4x — 4*
1918. 1) Найти свободный член уравнения
х* — Зх + <7 = 0,
если корни .его *i и х2 удовлетворяют уравнению
3*! — 2лг9=14.
( 2) В уравнении *
x* + 6x + m = 0
найти т, если корни этого уравнения хх и лг9
удовлетворяют уравнению 2х1 + л;2 = — 8.
1919. Составить квадратное уравнение, корни
которого были бы обратны корням уравнения
ха — 7х+10 = 0.
1920. Составить квадратное уравнение, корнями
которого были бь;:
1) -т- и —; 2) а и -
1921 *. В уравнении 5лга — ^л: +-1 = 0 определить k,
зная, что разность корней4 уравнения' равна единице.
1922. Не решая уравнения х2— 6х + 8 = 0, найти
сумму квадратов и сумму кубов его корней.
1923. Найти с точностью до 0,1 корни уравнений:
п 24 | 32 _9- 2V 2х 1 - - —6
Ч х+4*х— 4~ L> Z/ ^-ITI-a: х* + х+\~ v#
1924. Решить уравнения:
чН)Н)+К)ИН'-т)НК
9) — I —= S~x 4-1-
*> 3 — х^х,— 4 лг + 2 ^^
Я\ ^ + 2 | 8л:2-4-3 л:+ 0,5 "
Зл:—1 ~1 — 9а:2 — 9а: + 3
300

,925- Од^гё—г-ГзГ— з"»
оч 1 ■ 1 \0х
1> т
1 + 2»: ~ ха — 4 ~~ 8 —4jc ♦
эд^+гЬ—4-.-«-'"'*«•
Решить задачи:
1926. Теплоход «Ракета» на подводных крыльях имеет
скорость, на 50 км в час большую, чем скорость
парохода, и поэтому путь в 210 км «Ракета» прошла на 7,5
часа скорее, чем пароход. Найти скорость «Ракеты». .
1927. Для отправки 300 пионеров в лагерь было
заказано несколько автобусов, но так как к йазначенному
сроку два автобуса не явилось, то в каждый автобус
посадили на 5 пионеров больше, чем предполагали.
Сколько автобусов было заказано?
1928. По окружности длиной в 360 м движутся два
тела. Одно из них делает в секунду на 4 м больше
другого и поэтому проходит всю окружность на 1 секунду
скорее. Сколько метров проходит каждое тело в секунду?
1929. Скорость пассажирского электропоезда на
40 км в час больше скоррсти товарного, поэтому перегон
длиной в 270 км пассажирский электропоезд сделал на
2 часа 24 мин. быстрее товарного. Найти скорости обоих
поездов.
1930. Расстояние между двумя городами по реке
90 км. Пароход совершает этот путь в оба конца за
7 час. 30 мин. Определить скбрость парохода в стоячей
воде, если скорость течения реки 5 юн в час.
1931. Пассажирский поезд был задержан у семафора
на 16 мин. и нагнал опоздание на перегоне £ 80 км,
идя со скоростью, на 10 км в час большей, чем
полагалось по расписанию. Какова была скорость поезда по
расписанию?
1932. Два подъёмных крана, работая вместе,
разгрузили баржу за 6 часов. Во сколько времени может
разгрузить баржу каждый кран, работая отдельно, если один
из них может разгрузить её на 5 час. скорее, чем другой?ч
1933. Двум рабочим было поручено изготовить по 400
одинаковых деталей. Один из них изготовлял на 5 дета-
301

лей в час больше, чем другой. Сколько часов работал
каждый, если^ на вар работу было затрачено 36 час?
1934. При совместной работе двух тракторов
различной мощности целинное поле было вспахано за 8 дней.
Если бы половину поля вспахал лишь ддин первый
трактор, а другую половину вспахал один второй, то вся
работа была бы закончена за Л8 дней. За сколько дней
каждый трактор отдельно может вспахать всё поле?
__ 1935. Моторная лодка проплыла вниз по реке 28,5 км,
а затем вверх по реке 22,5 км. Вся поездка
продолжалась 8 час, причём остановок не было. Найти скорбеть
течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна
7 км в час. ,
1936. Из двух пунктов, расстояние между которыми
420 км, идут навстречу друг другу два электропоезда.
Они могут встретиться на середине пути, если
электропоезд, вышедший из А, выйдет на у часа раньше
электропоезда, вышедшего из Б. Если же они выйдут одно*
временно, то расстояние между электропоездами , через
три часа составит -^ расстояния от А до Б. За сколько
часов каждый электропоезд проходит весь путь от А
до />?
1937. В колхозе на одном участке земли был посажен
картофель квадратно-гнездовым способом, а на другом
участке, большем первого на 45 га, картофель был
посажен обычным рядовым способом.
При уборке урожая оказалось, что с каждого
участка было собрано по 680 т картофеля. Урожайность
картофеля на меньшем участке была на 9 т с 1 га больше,
чем урожайность с 1 га на втором участке. Сколько тонн
картофеля было собрано с 1 га на каждом участке?
1938. Сумма квадратов двух чисел равна 41, а
разность этих чисел равна 1. Шйти эти числа.
1939. Один катет прямоугольного треугольника на
7 см больше другого. Найти катеты, если гипотенуза
равна 13 см.
1940. Сумма двух чисел равна 6, а неполный квадрат
их суммы равен 31, Найти эти числа.
1941. Длина и ширина прямоугольного участка поля
вместе составляют 70 м, площадь участка равна 10 о.
Определить длину и щирину участка.
302

1942. Решить графически и . алгебраически систему
уравнений: ix_'y=±29
\ху=3.
1943. Решить систему уравнений;
|х + # = 6,
■1*0 = 8.
1944. Один метр равен 3,3 фута. Обозначив какую-
либо длину, измеренную в метрах, через у, а эту.же
длину, измеренную в футах, через х% напишем
зависимость между этими величинами так: у=^>
1) Построить график этой'функции. .
2)-С помощью этого графика определить,' скольким
футам равны 3 м, 5 м% 6,5 м.
1945. Один гектар равен 0,9 десятинц.
Написать формулу зависимости между гектарами и
десятинами, обозначая какую-нибудь площадь,
измеренную э гектарах, через у, а ту же площадь, измеренную
в десятинах,ччерез х.
Построить график этой зависимости.
1946. На одном и том же чертеже и в одинаковом
масштабе построить графики следующих функций:
1) y=Yx; 2) ^=ТА; + 3»
3) у=»1х-3; 4) у*ш—\х.-
Найти, в каких точках каждый график пересекает
ось координат.
1947. Вычертить график функции у= — 5*+ 2 и
определить, проходит ли этот график через каждую. из
Следующих точек с координатами:
*=3, у= —12; х=4, у=6; х=0, у=2;х=1, у=—3.
1948. Вычертить графики функций у = — 4х-\-7 и
^=з=6х—23 и показать, что эти графики должны пройти
через одну и ту же точку с координатами дс=3, у = — 5-.
1949. Построить графики у=-^х и у=~ — * + 3 д
найти координаты точки их пересечения.
1950. С помощью счётной линейки найти УТЗ и ^47
е точностью до 0,01.
Сравнить результаты.

ОТВЕТЫ1
Глава I. Алгебраические выражения.'
1. л: = 40-2 + 30-2= 140 (м). • 2./21 лист. 3. 15 час. 4. 730 кг.
б. 600 платформ. 10. f 86 000 + Зб ^ 'р \ человек. 14. (За + Щ руб.;
1550 руб.; 2450 руб. 15. (а + b) учеников; 1) 980 учеников. 17. 50а кг.
27. Ь+ — • 28. /я — аЬ. 30. с + 6. 31. х-= а + г. 33. За. 34. — .
85. 1) а + £«=£ + а; 2) тп=*пт; 3) а + £ + с = а +(£ + (?)=:
= (а + Ь) + с = (а + с) + £. 37. V= abc (куб. м.). 39. За; Ла.
о
41. 3v км; -^v км; 2,5z> /си; 1,5а км; 0,6tr /ел. 42. 1) 60* мин.;
2) 100л см; 3) 10а; 100 т. 44. 2) (c + tf)(c — tf); 3) £±£; 4) 2а£;
5)2(т + Я, 45.2) ^; 3) ф^, I Щи.
5) 2(а + ^)(а — Ь). 46. 1) 3/ял л*, м; 2) 4а& кв. лг; 3) 6с dh;
300 .лгу& м. 47. 100 шп. 49. 1) За; 2) 2аЬ; 4) Зас; 5) у .
50. 1) 2л, где п — целое число; 2) 5л, где л— целое число;
3)2/i+l или 2л—1, где л— целое число; 5) 6л, где л— целое
число. 51. 1) 2л + (2л+ 2); 2) (2л + 1) + (2л + 3). 52. 1) \0т 4- п\
2) 100р + а; 3) ЮОа + Ю^ + с. 54. Р = тл. 55. N=2rs.
59. «»381- кг. 61. 1) ^ = ^|f » 2* 4 *^' Ж* М# ^ 5==/Л~"4шп-
65. 1) 60; 120; 2) 0; 3) 'l; 4) ^30; 5) 1,58. 66. 2) 38,6; 4) 2; 5) 4.
67'2> TS 3)^ 6)|^|f.68.2)^(m-l)(m--2);
3) 2а + (2а + 2) + (2а + 4); 4) (2k+\) (2k + 3) (2k + 5). 69.5 =
Глава II. Рациональные числа. Уравнения.
5 5
78. 15 —а; через 3 года. 83. 3) —-g-< — — ; 4) — 0,125 >—0,1253;
6) -4>~Т 5 6) -^Т^-Т • 93- 2) ~9; 4) ~4; 6) ~9>2{
1 Ответы к уравнениям с буквенными коэффициентами даны
при тех допустимых значениях букв, при которых уравнение имеет
единственное решение.
304

8) 0,4. 97. 1) 30; 3) —5,72; 5) —1; 7) 24,3. 10Э. 1) ^^-3,4; 2)^8,1;
3)^6. 101. 1) —16; 2) —2;3)— 34; 4) 44,3; 5) jj; 6) 1601;
7) —0,54. 103. 1)
■1з1; 2)5,55; 3)1
104.
1) 4; 2) И.
2
107. i) _2; 2) 0; 3) 0,2. 109. 2) И; 4) 1; 6) 5 у 8) — 3—; 9) 4,49.
111. 1) 17; 2) —5; 3) —5,7; 4) 11 116. a) 1) — 11; 2) 2; 3) 0;
4)-l 1; 5) -2Д 6) 1) -9; 2) 2; 3)-20; 4) 1; 5) 8,5.
117. 1) —13; 2)—-1; 3)4; 4)—12; 5)1; 6) —7,6. 118. 1)4;
2) 1; 3) 7; 4) 2. 119. ^ — 0,78. 120. 1) 3,3; 2) 3,3. 123. 3) —3; 4) 14.
124. —16. 131. 3) 40y; 5) 1,2; 6)—72; 7) 6, 132. 1) 14; 2) —27;
3) 16; 4) 1. 133. 1) —78; 2) 28. 134. 1) 19; 2) 0; 3) —1,3; 4) 1,5;
5) —93,37. 135. 1) —10; 2) 6; 3) —16; 4) —55. 137. 1) 11; 2* 3,1;
3) 18; 4) —26. 143. 1) 7-1 2) —4; 3) 2; 4) — 1 5) 1; 6) 2;
7)1. 144. 1) 5-1 2) -9; 3) 30; 4) 1 145. 1) 20; 2) 1. .
146. **9. 147. 1)—1; 2) —2. 158. 3-10* км/сек. 159. 15-107 км.
162. 10е; 108. 166. 13) ЗлгУ; 14) a* + bA; 15) р*+рш; 16) ах* + Ь2уъ;
17) a". 16a 3). 1 -|-; 4) 24; 9; 5) ^ 3,8; 6) «*-L 169. 2) (jc-y)2; 3) a*+b*;
4) ei-.ft.; 6) a8 + *8; 7)(m-n)8; 9) £±J}; 11) {^1J\
12> £q^ 13> ^T^ 14> (о-ЬУ(а^Ь)>. П1. 1) 19; 2)1;
8) 81; 4) 7l 172. 1) —204; 2) 32-1; 3) II. 173. 1) 2,32; 2) 20;
3) 13,195; 4) 3Ji. 174. 2) 136 I~; 3) 2 y, 4) ^0,25. 177. 30,6.
186. 8) 0,95; 9) 1 ^. 187. 2) 30; 4) 131; 6) 91 190. 2) —7;
4) 23. 191. 36 гусей. 193. 48 см; 24 см. 194. 10 еж; 10 см; 8 см.
196. 300 г. 197. 968 кг. 198. 1300 км; 1400 /еж; 1200 км., 200. 5 д:г.
201. 100 кг. 202. 200; 100; 600. 203. 35 м. 204. 1) —7; 2) —4;
3) 13; 4) —2; 5) 6; 6) 3; —3; 7) 3; —5. 205. 1) —3; 2) 17; 3) 5;
4) — 3,1; 5) 5; 6) —8; 7) 15,4; 8) 0,5; 9) 1,32; 10) —0,865.
206. 1) —5; 2)—4; 3) 18; 4) —50; 5) —12; 6) 1 1 7) —1 1;
* 1Q
8)2; 9)—0,25; 10)—0,9; И) 1^; 12) 30,4; 13) 110; 14) 50,5.
9 9 1 94
207. 1)— -g-; 2) 2-J-; 3)-l-i-;4) 1,92; 5) 0.36&; 6) -2-g;
7>Т: *>-ш- 9)1i~4;
10) "1; —1. 208. 52 кубометра.
305

209. 1) 150е; 30е; 2) 105е; 75е. 211. 30 см; 30 см; 15 см. 212. 70е;
55е; 55'. 214. 8,4. 221. 1) —27; 2) 50. 222. 1) — 0,5; 2) -2,1.
U23L 360 га; 720 га; 600 га. 224. ^600 куб. дм.
Глава III. Действия над целыми алгебраическими
выражениями.
228. 2) 12; 4) "lO-g-; 6) 4. 229. 2) 2. 230. а-~, 231. 3) 2; 4) 6.
237. 1) —0,5с»; 2) 2,6лв; 3) 5аW; 4) 2х2у. 23а 1) 10дга; 2) — За — 2;
3)У— у; 4) т8 — 2п*. 239. 1) лг"; 2)— 0,2с8 — 0,1 с9; -3) 8а* —
—Sa*b* — 9aba; 4) 10а8£с+10а£с8. 240. 1) —2 А а*1 + а8£ — 5а2*;
2)— 1,192/я —5/1. 241. 1) 3; 2) 5; 3) 4; 4) 3. 242. 1) 4; 2) 1; 3) 1; 4) 2.
243. 1) 4; 2) 9; 3) 6; 4) 3. 244. 1) 5; 2) 2; 3) 6; 4) 4. 245. 1) 3; 2) 1;
3) 2; 4)— 2. 250. 1) —а»; 2) — ху. 251. 1) — 2а2Ь; 2) — 16у84-.У-
252. 1>—\аЪ— ^а'Ь; 2) ^х>у — ^хуК 253. 1) — 2/*/ — 3,9/>8-а;
2) — 2,6а£ — 5,2а8 + 1,4£. 254. 1) 9а« —9ал+1; 2)Ах*+14-х*.
255. 160°; 20°. 256. 5; 6; 7. 257. 1,2 кг; 0,8 кг; 0,8 кг. 259 20 см;
16 еж; 12 еж. 260. 9 см; 18 еж и 18 см. 261.5 см. 262. 150; 50; 200.
267. 1) \За + ЗЬ; 2)Заг+1; 3) — ^-дг + З-i; 4) 1,6у —0,1.
26а 1) 19л — Ь; 2) ЗаЧ — аЬ*; 3) 2лга4-лг — 3; 4) 2л*+2Л
269. 1) 4лу; 2) /л8 —10/я; 3) —2; 4) 19а — Ы + с — 2d. 270. 1) 7л:8—
— Зал:; 2) 5а4 — За8* — a'b* — lab%; 3) 4ал — 1Ьт; 4) — 6лЯ+* —6л:.
271. 1) 2а* — 4а8* + 12а8*8 + 6а*8; 2) 12л:4 — 11ал:8 + За8л:8 — \3а*х+
+ 9а4. 272. 1) 2 ^ *> + 1 ^ лу - 2у8; 2)1^в«+15 -^ *** +
+ 2-1-а*2 —7-|- *». 273. 1) хА-{-\,\х*у-{-0,Шшу*+ \£ху*—у*;
2) 2,38а8 — 2,5а8 — 3,6а+1,23. 274. За + 4*. 275. 14/я + бя.
276. 2а* — *8. 277. а8; а*; *8; аЪ; а8 + 2а* + *8. 27а а8+*8 + с84-
4-2а* + 2ас + 2*с; а8; а*; ас; а*; *8; be; ас; be; с8 и т. д. 284. 1) 2;
2) —70; 3) 26; 4) 28. 285. 1)0,5; 2) 2; 3) —3,2. 286. 1) 2Ь; 2} 4ft;
3) За; 4) Зт. 287. 21 ж; 7 ж. 28а 4 см; 5 еж; 6 еж. 289. 1000; 2000;
1500. 290. 60 т; 36 т; 18,5 т. 292. 1200 млн.. т. 293. 700 рабочих.
294. — За8* + 7а8*8 — 3a*«. 296. —1,56. 297. 2700 кв. ж. 300. 2) 1х*у,
4) 0. 301. 3) 2 j^x; 4) — yjy. , 303, 2) — 6л:л+1; 4)—-I*™*.
306. 1) 2а — 2Ь; 2) 2л: —2у; 4)_3/я — 9л; 5) 5а8-^12а. 307. 1) 6с +
+ 23d; 2) Юл:8—л:8; 3) —19*8; 4) х'у + \3ху*. 308. 1) 28л: —21> +
+ 25z; 4) 20а*с —Шса* —24са>. 309. 1) 1 ~л:+1 i-^—^'г,
2) а*- 1 Ьс-^ ас. 310. 1) ^х*у>- | ab-\ | «V- |;
2),-2i^|^2j^-2yy-| 311. 1) l,la*-3*c+2ca-;
306

2) 2abc — 0i3bcd + 0fiaid. 312. 1,67a2 —0,51 a£-f-3 » чс—
— bbc. 3ia — 2,4a8£2c — 2,25aWc24-l,62a5frV3. 314. 12,15л:-+
+ 2,865лгу. 315. — 7a«+e — 2ал+2+Юа"*1 — a* 316. 1) Ъа* — аЬ — Р\
2) — 11лг8 + 13лгя —4лг—1. 317. 1) — 1; 2) 15а2-)-а. 318. 1) 9а2^-5&2;
2) 10а 4- 9* — 2с — be. 319. 1) 18/я — 9л; 2) 20а2 —За. 320. I) —7а+
+ 10* + 8с; 2)— ^+8^—132. 325. 2) Х — (х* — \). 326. I) 8а2 —
— 6£2 — с2; 2) ба2 —4£2 —Зс2; 4) — 8а2 + 6£2 + с2. 327. 2а2 + \2ab +
+ 6£2. 328. 1) 10а4— 10а*Ь4-4а*Ь* — 20а^8 + 2^; 2) — 6а»& +
+ 12а*8 —4£; 3) — 8а4 + 16а*& — 14а2£2 + 8а&8 — W. 329. 60.
330. 18. 381."" —6-д-. 333. 1) 6/t + 3. 335. 5а — Ж 336. 10а —4^.
338. 1) —4; 2) 8; 3)— 2-|; 4) 5. 339. 1) 46; 2) 10; 3) 10; 4) 20.
34а 1) 2; 2)-4; 3)- 1; 4) 6 J. 341. 1) 2; 2)- ^; 3) 7 *-;
4) 2 А. 342. 1) 4а; 2) 5*; 3) m\J) 2а. 343. 1) —2*; 2) т. 344. 1) Л;
2) 4*"^2fl. 345. 76в40'; 46*40'; 5640'. 346. 5 см. 347. 15 см; 18 си;
15 см. 34а 768 л*, м. 349. 16 ел; 4 см; 15 с*. 35а 40°; 120е; 20°.
351. 80 м\ 240 м. 352. 600. 35а 49 и 25. 354. 1) 45; 15; 2) 24; 96.
355. 1) 21; 24; 2) 84; 60. 356. 300 га. 357. 15; 30; 20. 358. 2,7 т;
1,35 /я; 9,1 /я. 359. 320 рабочих; 160 рабочих; 720 рабочих.
360. 2 км в час; 16 км в час 361. 0,9jc2^+8,ljcy2. 36a — 4а2—7*"+7Л
365. — 0,2. 371. 2} 20адг; 4) 4ра; 6) \J5xy, 8) 0,375г; 10) 6а£с;
11) — 40jcv^; \2) — 24mnpq. 372. 6)— у»+2; 7) ап+9; 8) с2Л; 9) л:8™'8;
10) а**+1. 373. 1) б*5; 2) 8а*. 3) 15/я8; 4) \2р*; 5) — 18с8; 6) 16а*4; 7) З*8;
8) —20&4; 9) За8; 10) 2а2л+8; 11) —Злг8л. 374. 1) — 6а8*2; 2) —16лНУ;
3) —i-c№ 4) — A me/i';5) —0,ЗлгУ; 6) —1,2**К 375. 1) 16а4*4с4;
2) 2*y*4; 3) —j аьРсЧ; 4) 8,5m8/i8pV. 376. 1) — 12ал+';
2) Юаг^'; 3) — 24т*+1я*+8.' 377. 1) 0,32а2л+1*8т; 2) — у лг*у*+8;
3) 4а8л:2яу*+8. 378. 1) ав; 2) 9л*2; 3) 16т»; 4) 9У; 5)—64с8; 6) i- а*.
37а 1) 2-1 а* 2) 6 i- а8*4; 3) 1,44Л*в; 4) 16лг2«; 5) 27а*пЬят.
380. 1) —12а*; 2) 392/я8; 3) ЮОлг^+У; 4) 108а2*+8, 381. 1) — 72лг6лубт
2) а4; 3) — 9а2К 386. 1) ат + Ьщ 3) Зек — 2алг. 387; 1) ЗОа^+^а*;
3)— 30лу+12лЛ. 388. 1)—ва+1б^—18с; 3) — 20*8 — 35**4-5*.
389. 1) — 8;с* + 2ак*—12лг; 3) 2а8+За8 + 4а. 390. 1) 4л*у — 10с*У+
+ 2лгу"; 3) — 2 ^ т*п—5m8n8 -f 2тпь. 391. 1) 8л:V — 12х*? +
+ 12л:8У — 4лг8У; 3) ба4^ —15а8л^ + 15а2лг» —9аис8. 392. 1) 4а —
— 1,2а8+0,6а8; 3) а8*8—2а8*8 —1-1 аМ. 39а 1) а^^га"*2;
2) 15**+*— 10**"; 3) V*—*Pq\ 4) 2ntV*+3m*/i4. 394. 1) a8 + *8;
307

2) Ъх — 2у; 3) 5д — 12ft; 4) 17m—18л. 395. 1) — 21/>+31а;
2) 4лт + 4у. 396. 1) — За — lb; 2) 5лг — Зу + 9г. 397. 1) 3aft + ft2;
2) —т2 — 20тп. 398. 1) 16— 10,5л:; 2) За2— 8aft — ЛЬ2.
399. 1) 8л:8— ЮЗлу; 2) 38aft — 42а3. 400. 1) 0,7а:2 +18,58a:v —0,4у2;
2) — 0,7а3 + 1,95а —3,78а8—5,76; 3) — 19лг+18; 4) — 15* +
+ 24а — 60. 401. 1) 3; 3) 13; 4) 2у. 402. 1) 8; 3) 3; 4) ^-27.
403. 1) 5; 2) 3. 404. 1) 11; 2) -J. 405. 1) 1; 2) 7 1. 406. 1) 1-Ь
2) 2. 407. 30 билетов; 25 билетов. 408. 25 карандашей; 45
карандашей. 409. 8 люстр; 12 люстр. 410. 8 м; 4 ж. 412. 3,4. 413. Вначале
года: 500 коров; 300 свиней; в конце года: 750 коров; 600 свиней.
416. 4) а* + аЬ + 2а + 2Ь; 6) а2 — а --2. 417. 3) 12а2 + 6а— 5;
4) 12а —15. 418. 2) Юа2 + 7а — 12; 4) 20р2 — 1 Ipq + За*;
5) 4а2 — 4aft — 15ft2; 6) За2 — aft — 2ft2. 419.1) 15ft2 — 22ftс + 8c2;
3) 12a4— 14a*ft2 — 20ft4. 420. 1) 4z4+19*2 — 5; 3) 15a2ft3 +
+ 12afte — 20a8ft2 — 16a2ft3; 4) — 14*6y4 + 35л^уб + 2x*f — 5лг2у.
421. 1) 2^ + 4^—ЮлгУ —Зл:2^ —6л:у2+15у: 2) ar—7a8ft +
+ 13a2ft2 —6aft3. 422. 1) a3 —ft3; 2) a8 + ft3. 423, 3) a4—1.
424. 1) л:4— У; 2) a4 —ft4. 425. 1) 5a4 + 6a3ft —33a2ft2 + 5aft8+12ft4.
426. 1) a6 + 7a5 + 15a4 + 10a3 — a2 — a+1. 427. 1) \Х* — ^ХУ —
-^4xz~iy2^kyz"jQz2' 428e 1} "*+0,6m'-0,18m/i2-
— 0,5/г2 — 0,06/г4. 429. 1) 2ae —a5ft —lla4ft2 —10a3ft8—5a2ft4 —
— 7aft6 — 4fte; 2) 3x9 —\2хъу + 19jc4y — 23лг3.у3 + 2UV — 1хуъ —y\
431. 2) m2 — 5m + 6; 3) n2 + ln —18; 4) ** —Ha:—12.
432. 1) 1 у; 2) 24; 3) 6. 433. 1) 10,32; 2) 12,08. 434. 1) —11,28;
2) 8 -i-. 435. 1) 4a4 — 2a8ft -- 4a2ft2 — 6a2ft8 + 12aft8 + 12aft4 — 12ft5.
436. 2) _6a5 + 7a4ft + 20a3ft2 —13a2ft8 —20aft4. 437. 1) 15m4 —
— 13т3л+19т2я2 — 2/тт8 — 4/t4. 438. 1)!б/я5 + 8/я4 — 47m8 — 7m2 +
+ 18m — 3. 439. 1) 8a + 2ft; 3) 2a + 2ft — a8 + ft8. 440. 2) 2ft2 —
—3ft —2a2 —3a. 441. 1) 2a2 + a— 2ft2 — lift. 442. 1) x* -ax2— bx2 —
— сх2+аЬх+асх+Ьсх^-аЪс; 2) a:6 — 1. 443. 2) a4 —ft4. 444. 2) a5 + ft*.
12 3 10
445. 1) 1. 446. 1) 4; 3) —4. 447. 1) ±^; 3) 5 -j. 448. 2) ^.
450. 1) 3; 2) 1. 451. 1) 7; 2) 1. 452. 1) 2; 2) 5; 3) 13. 453. 6 м.
454. 24 см. 455. 8; 9; 10; 11. 456. 13 м; 6,5 ж. 457. 5 ж; 15 м.
459. у. 460. 120 м; на 8 м. 461. 1) 22л:2 — 9* + 3; 2) аь — а* —
—6a3 + 4a2 — Зв + 1. 462. 1) 6л:6 — 2л:5—7а:4 + 6а:8 — 10а:2 + За:—2;
2) се_5с4 + 8с3 —8с + 4. 463. 2 м. 464. 1) /и8; 3) — 64ae.
465. 2)-i ft4. 446. 1) a2ft4ce; 3) — 8aeft8(?8. 467. 2) 3a2ftec*.
468. 1) — 2^-a4ftec8. 469. 1) — 1 -^ a10ft12ce. 470. 1) — 5a9ftecs.
471. 1) — 54лг12У>. 472. 1) a3*; 3) свл. 473. 2) x2n. 477. 1) d2 — с*.
481. 2) 4m2 — 9/г2. 482. 1) 4a2 — 9; 2) 9p2 — 1. 483. 1) 25a:2 —9^;
308

2) 4tf2 — -i. 484. 1) у л:2 — -у у. 485. 2) ce — cfe. 487. 1) 4л:V — 1.
488. 1) 25a4 — 9b2. 489. 1) а2л — b*\ 490. 1)6 -i- л:8 — ^y*.
491. 1) 0,04*2 —0,5a2. 492. 1) l,44c2rf2 —5,29л:2; 2) -i- л2 — 0,09m8.
494.1)2. 495.1)7. 500. 2) 9a2 — 6a£ + d2; 3) 25*2 + lOzt +1\
501. 1) 25*" —20xy 4-4v2; 3) a* — 2a*b-+P. 502. 1) с*-*2с*+\\
3) л:4 + 2а:У+У. 503. 1) *e — 2s8u8 + ae; 2) m« + 2m8/i2 + rc\
504/1)а2-а+1; 2) *2+|*+-L 3)^-1^ + 1.
505.1) £f_ixy+^y;2) -La2+i-a*+l*2; 3)5-1 m2 +
1 4 4 24
+ 7тя +2-i-«2. 506. 1) 18 -g-A2— Ю^*/ + 1 ~/2. 507.1) 0,04л:*—
— 2^у + 2ву; 2) 0,09a*+ 2,4а2£+Ш2;3) l,69me +6,5m8 + 6,25m*;
4) 5,76pe — 7,2/?y +2,25a*. 508. 1) ^ a*— |- a^8 + 0,25&e;
2) 2 -^- c* + 2cW + 0,36tf8; 3) a*m — 2a"*+1 + a2; 4) x2n + 2xn+l+л:2;
5) 0**+* + 2а2я+1 + а2л. 509. 1) 16a*£2 + 40aB£8 + 25a8£*; 2)49л:8У +
+ 42л:ву + 9лг*у; 3) ~ alob* — i- a*b*+ -1 a«b*; 4) 2 -L лт*У+
1 9S 2^ 0 4
+ 2 у*У+§*у.вЮ. l)gg mV-m8n* + ^mW; 2)^*y-
-3 ^д;8у + б1^У; 3)geW —2eW + l Je^;4) 8^pV+
+ 5 |-pV + 2-g-pV- 511. 1) 1,44лг*У—1,2лгбУ +0,25л:V;
2) 1 ztaiop+l^aW + OAdaW; 3) 6,25т*лв + тбл* + 0,04твя*;
4) 1,69/?V — l,3/>V + 0,25/>V- 512. 1) a2™-[-2a'"£'»-}-i>2'1;
Я) 4л:2'* — \2xmyn + 9у2л; 3) а2п+я + ап+1Ь2+^ Ь*; 4) 25л:6—гОлт^"'1 +
+ 4у2л"2. 513. 1) 1-а*п-*Ь* + а2пЬ2 + а*п+*; 2) -1 л:2'»-*— л:8"*-3 +
Q Q 4 4 9^ ;
+ ТвхШ~* 3) ^д4л+2^+уд8л^+ у«2л^в; 4)^л:*л-2Ул —
_ л:8лу»+2 + ^л:2л+2у. 515. 4а*. 516. 3) (т — 3/г)2; 4) (5л: + 2у)2.
518. 2) (л: — 5)2 + 2; 3) (л: + 4)2 + 5; 4) (л:—1)2 + 2. 520. 1) 4л:^;
2) 5л:2 + 16л:+20; 3) 7у9 — 52у+П2; 4) 80а2 — 150а + 290.
521. 1) — m2 —4m+9; 2) 3— 10а+9а2; 3) 7л:2— 16л:— 7.
522. 1) 20а — 7 — 14а2; 2) 50т2 + 41л2; 3) Ш2 + 180са* — 79с-*.
523. 1) 16лт8у — 16л:У; 2) 25me + 25/я*. 524. 1) 16 — 8а2 + а4;
2) л:*—у. 525. 1) лт* — 18аг" +81; 2)д*_8а2+16. 526. 1) а2 +
+ 2db + b* — с2; 2) л:"-.2л^ + У — z*. 527. 1) а2 — 2ас + с2 — Ь2;
2) а2 — *2 — 2Ьс — с"; 528. 1) a*+ 2ab + b2 — c* — 2cd — d2;
309

2) a» — 2ab + V— t*-2cd-d*. 529. 1) x' ±tocz + № — 4y*;
2) a* — 4b2 — Шс— 16c2. 531. 1) 5. 532. I) t>. 535. 3) a* + 6a2H~
+ 12a&8+8#. 536. 2) 8a8 —36a*$ + 54a*8 —27$». 537. 1) 1 x* —
^-4л;ау4-18лУ — 27у»; 3) a* + 3alb* + 3a*b*+b». 538. 3) 8me —
— 36m V + Mm8/*4 — 27лв. 539. 2) 64лг° + 240лг<У + ЗООлгУ + 125y8;
3) 1000m12—1800m10 + 1080m8—216m8; 4) 343рв+1323л1<> + 1701pn-4-
+ 72ty18. 540. 3) 0,125a8+ 0,075л^ + 0,оГ5*у*+0,00 iy.
541. 1) O^OOSo^ + O^a^+ClSa^ + O,^*8. 542. 2) 0,027a" +
+ 0,135a11 + 0,225a7 + 0,125a8. . 54a 2) x*n — Злг2« + 3лг« — 1;
4) a*n-{-Wn+m-1-\-3an+*m-* + a*™-'. 545. 27. 546. (« —n)8; 125.
547. .1) a8 + l. 548. 1) 8a8+ 27. 549. 1) 27a» — 64.
550. 1) j**— ^У. 551. 1) 8-1. 552. 1) 13. 553. 1) 2. 554. 1) 2.
555. 1) ^ 1,006; 0,000008; 3) ** 1,005; 0,000006; 5) «» 0,995; 0,000006.
556. 1) ^ 1,004; 0,000004; 3) ^ 0,998; 0,000001. 557. 1) ъ \Щ 0,001208.
558. 1) 4лг8 + 20; 2) а8 —Юа*+27а8—11; 3) 7a8 — 42a8*+42a*8 ^
— 3§^; 559. 1) 121a8 + 225fl^+12flW+135aW_9^ + 27^;
2) —8a8 — 32a2 + 78a —18. 560. 1) 2; 2) —6. 563. 28m; 26m.
567. 1) 2a; 3) — 2p. 568. 1) 6*. $60. 1) 9> 570. 1) 5; 3) —4.
571. 1) 2; 3)5. 572. 1) 2a; 3) у у. 57а 1) —2ab; 3) 2qr.
574. 1) —3; 3) — 3. 575. 1) a8; 3) m8; 5) m4. 576. 1) — у3; З) — a*8;
5) 1. 577. 1) a*""; 3) —*"*. 578. 1) a; 3) x\ 579. 1) 4a; 3) 4xy.
580. 1) —^ab\ 2) 3a*. 581. l)|e^; 2) ~^a%b.582.1 J-Q^a4*8;
2)44a8^ 583. 1) —-| am-abn~lca; 2) 0,5лг8> 584. 1) —0t2xy,
2)2a*b>c. 585. 1) «-; 3)1.. 586. 1) g; 2) *g. 587.1)|.
3)^. 593. 1) 3* + 4c. 594. 1) 2a —1. 595. 1) -—l + 3Af8.
596. 1) 2m/t8 + 4. 597. 1) 2a —4* +3c. 598. 1) — 2a8 + a—4.
590. 1) 1— 6a* + 6a2*8. 600. 1) 3a8 + 4aA + A8. 601. 1) 4a8 — 8a+2.
602. 1) — 8m8— 12m+2; 2) — 6я8—9л + 3. 60а 1) — 12у+3;су—9a8.
604. 1) 20m8—50m8 —30m —10. 605. 1) a8 —2a2 + 4a+0,2.
606. 1) _6m2 —-|m/i8 + /i4. 607. L) 4. 608. 1) 3. 609. 1) 7; 2) а
610. 1) 2a + 4$; 2) 2a — 3*. 612. 1) * + §|; 3) 2т~^-
613. 1) 5 —4a; 2) a. 614. 1) a — 5; 2) 4. 615. 1) a8 —2a—2.
616. 1) 9a* — 14a8* — 3*8; 2) J8 — 7a8*8. 617. 1) m — л; 2) блг—7.
618. 1) 2-1 — блг. 610. 1) 1—2*; 2) —^ —8 у * —5л
620. 1) 80,4^—lla^ 2) 16л:. 621. 2) ОДОу*. 624. 2*8 — ab — 5а8 + 4-
625. — 7а8 + 0,Зя* + 2,5*8. 627. — 1Д 62* 1) 2; 2) 1.
629. 100 м X 90 лг. 630. 100 лг, 70 м.
310

Глава IV. Задачи и упражнения для повторения
курса VI класса.
633w I) 5 = -^; 2) 5 = яг2. 634. Г) К=а8; 2) с2 = а2 + а».
635.««129кГ. 6Э&«*1,39. 637.0,9. 640. 7.** +2*-+6; 30,
64а 12 — 4/. 644. 1— 2а. 645, л* + 3;с8—12л\ 646. 1) 2-^aW — -1;
2) ^У — 2*У+ 1 ^-агУ. 647.1)— 64** +24а8*8; 2) 1,2лг2у+8У.
648. ^ + ^а*Ь-\гШ* + *Ь*. 649. 8а8 — 36a2q + 54ас2 — 27с».
650. 1) — Ьаш + 5а»М; 2) 90а — 35. 65. 1) Здг* — ху — 2у2;
2)4*» + 20. 65Ъ 1)—27а2 + 48а —21; 2)2а2 — 2. 653. 1)а* + я*4-а;
2) а8 — 10а* + 27а*— И. 654. Г) — 9а4 + 27а» — 54; 2) Зх* — ЗлЛ
655. 1) -j-; 2) — 1. 656. 1) —1. 657. 1) ** 1,3; 2) *«2,2. 658. 1)^2,8;
2) 11,5. 659. 1) 4; —6; 2) 4; —2. 660. 2) 4; —4. 661. 900 га.
662. 12 км\час; 9 кл/час. 663. 10 м; 5 лг. 664. 240 га; 180 га; 300 гй.
665. 400 км\чае; 1200 км\час. 666. 22 фазана; 14 кроликов.
667. 1170 овец; 600 свиней. 668. 1) 3800 кг; 4300 кг за первый год.
669. 420 га; 35 га. 670. 672 детали; 12 дней. 678. 17. 679. —3; — 2;
— 1; 0; 1. 681. 1) При *<0; 2) при а=*=0 и при а=»—Ь.
683. ±2. 684. 2а*—7,5а; 4,25. 685. 4,1. 686. 13 юи/чао.
687. 21а* — 12ас — 6*с. 688. 9. 689. — ~. 690. 6; 5. 691. 4. 692. 2..
693.0,14. 694.8; 6. 695. За* + 2а8 — а*+ 12а — 4. 696. 2.
697. 16а8 + За. 698. —369. 699. 8 см. 700. 25. 701. 2. 702. — 1 ■**
703. И еж; 9 еж. 704.0. 705. —6. 706. — ^. 707.9; 7.
708. 4/t8 —4m8 —8тл. 709. 1) — 13Г.2) \ ^.. 710. i-.
Глава V. Уравнения первой Степени с одним
неизвестным. *
724. 3) 6; 4) 1J. 726. 1) 3; 3) -|-. 727. 1) 7; 8) у. 728. 2) 2; 4) 1.
729. 1) 5; 2) — 2fr5 3) 3). 730. 1) 4; 2) — б|-; 3) 2 -|~; 4) 2,22.
731. 1) 4; —4; 2) 8; —8; 3) —3; 3; 4) 4; — 4. 732.-1) 4; 2) 5;
8) -2; 4) 4Д 733. 1) 19; 2) 6; 3) 4; 4) 2 -|. 734. 1) 4; 4) нет
решения. 735. 1) 8; 2) 1,2; 3) 3. 736L 1) 4; 2) 3; 3) 5, 737. 1) 2,33; 2) 2,71;
3) —1,79; 4) 2,б4. 738. I) 6; 3) 9. 739. 1) 10; 2) 3; 3) —1; 4) —3.
740. 2. 741. у. 748. 21-1. 749. 2,3. 750. 40; 36; 43. 751. 16; 20; 24.
752. 51 т; 18 т; 53,8 т. 753. Свёклы 240 кг. 754. Меди 24 кг.
755. 135 га; 297 га; 432 га. 756. 40е; 50°; 90V- 757. 70 га; 50 га.
311

758. 1100 m; 2200 т. 759. 65 m; 130 m. 760. 100 л; 50 л. 761. 20 щ
60 д:г. 762. 9" дней. 763>6 дней. 764. 40 га; 10 гл. 765. 90 т; 30 т.
766. 13 т; 26 т. 767. 400 кГ; 100 *Г. 768. 240 ж8; 200 лА
769. 60/сж/час; 120 км/нас; 770, 70 лампочек; 30 лампочек. 771. 8
задач; 5 задач; 4 задачи. 772. 14 деталей. 773. 90 вагонов; 45 вагонов.
774. 60 ж; 64 ж; 72 ж; 84 м. 775. 26 кусков. 776. 62. 777. 29. 778.57.
779. 1411; 1079. 780. 616 га. 781. 150 машин. 782. 3780 ц. 783.1200 га;
6 дней. 784. 70 га; 700 га. 785. 210 км. 786. 15 км. 787. 750 км.
792. 2,1 км; 3,6 км/час; 4,2 KMJnac. 793. 640 /си; 60 км\час.
794. 80 /еж. 795. 1320 кж; 230 кж/чде. 796. 7,5 км. 798. 50 смь;
100 еж3. 799. 20 см6; 25 еж8. 800. 5,6 ж; 2,4 ж. 801. 1) — 1; 2) ^.
803. (х+у)6; 27. 804. 1666 у; 2500. 805. 243 рабочих и 162
рабочих. 806. 8 см; 6 см. 809.8,5; 10,2. 811. Пшеницей 640 га.
812. 800 км; 128 км. 813.1600кубометров; 400кубометров; 11200ку*
бометров.
Глава VI. Разложение многочлена на множители.
818. 1) 2(х+у); 3)5(т — п); 5) 4(3c + 2d). 819. I) a(x— у);
3) c(d — b); Ъ) т(х — 1); 6) — a(2 + 5ft). 820. 1) 6(а + 2);
3) 5(1 —Зу); 5) 3(1—с). 821. 1) 1а (Ь + с); 3) 4а (х + 2);
5) — 5e'(3* + 4v). 822. 1) л (а — ft); 3) п(т — п); 5) с8 (с2+1).
823. 1) Злг2 (1 — 2лг); 3) 3/п8 (Вт — 2); 5) б*4 (1 — 2г2). 824. 1) ху (х—у);
3)ах2(а — х); 5) За2 (За — 2*). 825. 1) Зал: (а + 2л:); 3) За8 (За — 4ft);
5) 9ft8. (2а — ft). 826. 1) а"» (14- а); 3) у (у* — 1); 5) а2п (ап — 1 );
7) 4хп(х*ф{-5). 827.1)8500; 2)300; 3)^20; 4)^5. 831.3) (а9—2а—1);
5) 5л: (1— Зу + 2а). 832. 1)5лг^(Злу + 2 —4jf2); 3) 3aft(ft* + 2ft — 6).
833. 1) — 2х*у(2х — 3у + 4х*у*); . 3) 5a8ft2 (2aft —3a + 4ft2).
834. 1) (л: +у) (а + ft); 3) (Х — А)(а + Ь). 835. 1) (а — ft) (За + 2*);
3) (р — 3)(6/и + 5я). 836. 1) (а —ft) (л: —Л; 3) (л:— .у) (/> + ?)•
837. 1) (л:—l)(a2 + ft); 3) (а — ft) (2х+3у). 838. 1) (л: — 4) (дг + 3);
3) (/>-1)(/> + 4). 839. 1) (х-у)&а+1); 3) (*-l) (3*+l).
840. 1) (х — 1)(3а — 2ft + c); 3) (a2 + ft2) (/> + ? — г).
841. 1)'(лг+.у)(3+*+.у); 3(аг+^)(4а: — 4у + 1); 4) (а—ft) (а-3ft).
842. 1)(/> — а) (л:—.у— *); 3) (а + ^ + с)(лг— y + z). 843.1) ft (а + ft)2;
2) ft2 (а2 + Ъ2); 3) а (а — ft)2; 4) (х+у) (1 — л:— .у). 844.-1) 0; 4; 3) 0;
— 0,2. 845. 1) 0; — 1-Ь 2) 0; —11; 3) 0; 2; 4) 0; 13. 846. 1) — 73,2;
2) 1-|-. 847. 1) 1-Ь 2)0,6. 850. 3) х* (л:«+л:2— 1); 6) (а+ 2)(За:+ 1).
851. ^0,4. 853. —1. 854. 1) (х+у) (2д + 1); 3) (а — ft) (4л: 4-1),
855. 1) (х+у) фа— 1); 3) (a + ft)(3ft — 1). 856. 1) (т + п)(а + Ь);
3) (дг— У)(а + Ь); 5) (л: —с) (а —ft). 857. 1) (x+y)(a + b);
3) (a + b)(a + c). 858. 1) (a + ft)(*4-l); 3) & + $)(*+W
859. 1) (л: + 3) (x2 + 3); 3) (m + n)(m — 5). 860. 1) (2a — ft) (5у+лг);
3) (а—а:) (5а —7). 861. 1) (a + b) (Злг — Ay); 3) (2а— Зу) (5а — 7л:).
865. 1) 3(лг— у)2; 3) лг(1+лг)2(1—а:). Й66.Л) (а — ft) (х'+х — А);
3) лг(лг+1) (« + *—*)• * «Я- 0 (л: —2) (бах-ft—1);
2 (юл: — я) (тл^ + 2л: +1). 3) (ху + г) (ху+Злг».у4 — 1);
4) (2aft — c)(6aft — Зас+1). 869. 13 200. 870, 1) х (лг+ 1) (а + 3);
2) (а - 5) (а2 - 2); Д) (а - ft) (л: -1); 4) л:2 (1 - *) (7л: -у).
312

871. —0,83. 872. —1. 882. 1) Ux + ^b\(ax—^b\;
8) (г*+й(т*-то)- т' il (2^2+3)(2^-3)»
2) (1+ду)(1—Ay). 884. 8) (10д2 + 9$8)(10д8 —9ft8).
885. 1) (a* + P)(a + b)(a — ft). 887.2) 1360 ж2. 888.1} (т + л+р)Х
Xlm + n +p); 3) (Зл + 4ft 4- Зс) (За + 4b — 3c); 5) {2m — 1 + 10л) X
X {2m - 1 - Юл). 889. 1) (5p + 3q + 5) (5p + 3? - 5);
2) {2a + 3b — c*)(2a + 3b — c*y, 3) (лг-f у + 3y*a) (x+y2 — 3yz*).
890. 1) 43р2-4«72+1)(Зр2-4?2,-1); З) (х+уУ (х-уУ;
4) (m —л + 5тл)(т —л —5тл). 891. 1) (Гу лг+lVy лг+lV
$Ю. 1) (Р+^-0 (р-?+г); 3) (4д+а:-у) (4а-*+.у). 893.1) (\+х+у)Х
Х(1 — х— у); 3) {\+2a — 3b){\—2a + 3b). 894. 1) (6т + л) X
X (4т —л); 3) (1+а:2+У)(1—а:2—У). 895. 3) [*х+а — Ь) X
X (у *-* + *); 4) ^у-х^х—у). 896. 1)(1 + х+Я-?>Х
X (1+д.—_у — 2?); 3) (4 + 7a + 8ft — 9c) (4 + 7fc — 8ft + 9c).
901. 1) (Злг+2) (лг+4); 3) 5 (p+q) (5p+q). 902. 1) 4 (lw+n) (т+2п);
S)(4a4-4b + 3x + 3y)(4aA-4b — За: — 3v). 903. 1) (6а + b) {4a — ft);
3) — Sp(p + 4q); 4) 4 (2ft + с) (4с —ft). 904. 1) (5a — b) {5b — л);
2) — (9x+y) (x+9y); 4) 4(7p43?)(7j—p). 905. 1) {x* +y*) {х*+у*)\
906. 1) 6; -6; 3) 1; —J-. 907. 4) 3; -3; 6) -|; —J""* 6) T'
— .908. l)fi-m + yfiVlm — ^-nj; 2)4xy. 909. l)(a+3ft-3c)X
K(a_-3ft + 3c); 2) (\+x—y) (1 — x+y). 9Г1. 3) (д + 3)8.
912. 1) (m —л)2. 913. \) {x+\y; 3) (2a+l)8. 914. 1) (аш + Ь)ш;
3) (5m2 — л)8; 5) _(а:8 + л)8. 915. 1) (2д8 —ft8)2; 3) (Зт8 + л8)8.
616. 3) (т + 2л)8; 4) (а — 2ft)8. 917.1) (5т+1)8; 2) (4 — 2а)8;
3) (я + 6)8; 4) (^аР + 1А\ 918. 4) (а + 3) (j-За+ 9);
6) (дг —2) (л:8 + 2а: + 4). 919.3) (1 —q) (1 +q + q*). 920.1) (1 — 2e)x
Х(1+2д+4а2); 2) (3 — 2а) (9+6а+4а8); 3) (2а + Ь) (4а8 — 2ab + ft8);
4) (За: — 2.у) (9а:2 + блу + 4У)- 927.1)7 (т+1) (т-^ 1); 3)5а(д+1)х
X (а — Ц; 5) 5т (т + п) (т — л); 7) 7а:8 (у + 3z) (у — 3*).
928. 1)2(*4-у)8; 3) 3 (т-1)8; 5) Зх(у+\у; 7) 12*^ (а: 4-1 )8.
929. 1) (а+\У(а-\У; 2) (a:8+4v+4) (а:8 + 4у-4); 3) -(a + tyx
Х(а — 3у; 4) (3 + Ху (9 — лгг— 6а:); 5) (fl — ft4-c) (л — ft — с);
6) (л| + я+Р)(^-+я—Р)- 930. О (28л—12р)(7л—12р);
2) \6(у—х)(Ьх — у); 3) (\7a—№)ta+\2b); 4) (а+вЬ — Зс) (а+Зс);
5) -аг(12д — 5а:); 6) 7ft(8ft — Ь). 931. 1) (х+у+ 1) (х+у— 1);
2) (р-^) (/>-?-2); 3) (3 + *-;?H3-* + v); 4) (2 + a + ft) X
Х(2-а-й);5)(1 + /П-п(1-ш + п);6М1+р + ?)(1-р-Л
7) (2а — 5Ь + 6) (2а — 5ft — 6); 8) (4т — л — 7) (4т — л — ?);
9) (5а: + 2а — 3ft) (Ьх — 2а + ЗЬ); 10) (За:+2у — г) (Зх — 2у + г).
932. 1) (а — Ь)(а + Ь— 1); 2) (х+у) (х — у + \); 3) (ш+л)(т — л)8;
4) (х-у)(Х+у)*; 5) (« + *)(« + *_*); б) (х-у) (г-г'х+у);
l)(*n + n+p — q)(m + n — p + q)\ S) (a + b + c + d) (a+b-c-d).
813

933. 1) (x+ 1)*(x—\) (х* — х f !); 2) (m - \)(m* + \)(m* + m+ I);
3) (a-2)(a* + Sa + 4yr 4) (p + 2)*; 5) {a + \f (a*-a + I);
6UX±1} ixr .9{x*+•?+1); 7) K+*)2 (л -b); 8) (*-^)2 <*+^>-
934. 1) (от8 + л2) («4- n) (от — n); 2) (a + b)(a — b) (а2 — йЬ + Ь*) X
X(o* + ab + b*); $ (x + \)(x-\)(x*-x+\); 4)e»(e + l)x
X(aa_es + 2); 5) 2*(3<j2 + ^); 6) %ab(a* + b*). 936. 1) (a — 1) X
Х(а+1)8(а8~-я+1);2) <*-l)« (*■+.*4-1); 3>(* + l)8(a_l);
4)-с8(с-1)*(са + с4-1);5)(с+1)^-1Г(^+1);б)2в(а~1)х
X («+!)■; 7) (л;+1)9(л;-1)«. 937. 1) (дг^-2)(лг —3); 2) (л: + 2)Х
X (х + 4); 3) (а — Щ (а — ЗЬ); 4) (а — 5£) (а — 2Ь); 5) (* + 3)(х — 4);
б) (л:-^3)(д: + 4); 7) (а + 2Ь)(а — Щ\ 8) (а + 5Ь) (а — ЗЬ);
9) 2(л + 2)(л + 3); Ю) 2(jc + 3)(a: + 4); 11) 2(от —1)(от-2);
12) 3(р + 3)(р + 6). 938. 1) с — d; 3) от —я; 5) а + 2; 7) — (Л + 3).
939. 1^ б —в; 3) 1 + 2ж; 5) 4 — /ял. 940. 1) 4а —ЗЬ; 3) 7* — 9у;
5) 11с—13Л 941. 1) i--e—i.А; 3) -^-от —|-л. 942. 1) а + fc
3) а8 + *•. 94а 1) Зх+5; 3)'х — 2.944. 1) e» + 2a^.+ ftf; 3) т + п.
945. 1)в8 — а* + *8; 3)a* + ab + b*; 5)х* — 2х + 4;7)4а2 + 2а+\;
9) a* —aW-J-a*. 946. 1) х— у; 3) 2а — & 947. 1) в — *;
3)21+^+1. 4) 1=^. 948. 1) 3*(6<*-7*); 2> (Х + З)(х + 2)Х
Х(х— 2); 3) (в — x+jWa — дг— Ь); 4) (2л: + З)8; 5) (0,5а — 2) X
X (0,25а8 4- о + 4). 950. 20 ел х 20 см; 384 ел8.
Глава VII. Алгебраические дроби*
954. a + JLa. 964.^; 4. 965. ^; 3. 966.^; 8.
«-*. _^£_У ш. 969. т-02-. 971. 3) Ь 5) J..
m—"n> • s '. ' 2*' 'За1
^ 2W- m 2> 35mJ=7); 4>^: 5> 1: 6> 2: т- l) --1'
2)_};3)-^ 6)-g. 97,2)^,4)^.
•» »> ^ 3> ^ » 7%' 7) £*•' 8)_Т'
3) -Lt-±t. 4) Ц*. 979. 3) £±»; 5)^. 98а 3) ^|,
4)Ц-^; 5) _(а^-1);Х 6) ——. 981. 2) ^±1; 3) -?—\
5(2а-3ft) £4^. a-Jl# a-ft . 4) от + ^
a'-aft + У. 2> Я,+АУ + ^. 3Y 2(^ + ^+У)
a-fr ' ^ рЛ-ц ' > S(*+jr) '
_£+£*±*L. 4> (*->)(**+J*) ■ 5V _J> i
(л + 6)(а' + **)» , ' д* — Ау+У ' У Т—В*
„,, lv 5дгу „. a* — ft' 0. 2 ч
983.
984.
«>i
314
1)
3)
— 4

4)
«-И
a-\-b — са лч 1
«S; «>3J; 4> «+»-* .«?• »> Щгс
3)
л+ft'
2)
4)
QUO
лг+г ' > х1 + а
n £+1. 2) Л + 2
' П лг+2' ^
968. 2) ^:
5'
3) :
AT—_4
-з;
JC+1»
4) » + *. 6) «>
5> =фГЙ; ^'*T**
(5TJp-
9B1. 1) — 0,6; 0Д 2) 3,92;
995. 2) ?Ц^
3)
2d — ft „ 4ft + 3c
• 4) !
!T» 3)49« 35? 4)_T' *
49' 35
3 ♦ ' 5 * ' 2m »
997. 1) 3ft + 2a; 2) 2m — 3/i; 3) c—ft; 4)1—,?. »
P+i_.
1)
*)!=£; 3) 2m-3n; 4) a-il^*>
2)
»"(g-g).
m-
3n *
a '
3>ftif>
2) 2(m-n); 3) a+1; 4)3^m~n). 1002. 3) (« + »)-* 4) (x
-y)-1.
1003. 2) 3-'; 4) 5-». 1004. 3) 10"*; 4) 10"e. 1005. 3)^; 4) 2; 6) 0,001;
8) 0,000001. 1006. 3) 6-10-». 1007. 3) 0,00000004. 1008. 1) 10"^
2) 10"5. 1009. 1) 28-10"» см. 1010. 10"» см. 1011. 10"' см.
1013. 12.10-». 1015. 1) ^t^; 2) -^-,. 1016. =«0,3.
1017. 1)
1-е
?)
4ft—a'
3)
1
m — 3
4)
a (ft — 4д)
. c(c-M)' t; a8(a —ft)' ; rt(m + 3)' *' 4a + ft
lute, ij ^_x ,^3(ft_2e)»^ ft(ft + c) '^(m'-mn+n»)*
6,75. 1021. 5) —_
2Д . а-2*+Л
'*+a' ' в —2 '
2)^;3)^;4)^,
ГО19.
(022. 1)
6)
3)
m
2m
1) £+1. 8> 4(* + *>
7) -4—1 8) 1 ..
p — q"
1024. 1)
4)
*+J'
2tf
10) ±- 12) .g. .1027.3) g; 4)
a —Г
3)
1023. 1)
2/rt
r;8)
£±*±f. 4\£±1
' v a — b
Г
4)
0 — b
10
3 —<T
1026.8)-^;
Mat 7
i£. 1028.2)
15' "*' 28* •..*"— ."' 4x' "' 20л* ""—*•' 54^»
л\ За ют 14 *+2e. 04 15y —2* _. 4<w-f-3ftm .. 3bx — 2ay
4) 5F- 1029- J) 4Sr» 2) -9^—' 3) 24m« ' 4> aftrt 7 •
MM. ■„ Mi-?!. 2) 260+8,
. 15 »
Ю31. l)^il*;2)
1032. 1)
"36"
(b+c)x.
abc '
2)
4w + 3n
24 ;
тг—пул
xyz '
3)
24/7W
5m + 23
24
36a^
; 15 » ^ 20
26/?-[-3q^ 5рдс —Злу
afor ' ^ /ял/?
3)
315

7 д& ' ' ab ' '
1034.
1035.
1036.
1)
' 2)
2a —3a:
2)
5ал — 2m
n + 2mm
6) ~A„\ >
3fc9 + fa&2 —3fl*c
ai'C
3Qgfoc-|-46y-—3
6я2£2 > '
lab — № — 4fla , 6a2 + 2a — 5
]) 12Z2 ; <v
Зд — 4&
9. Пд + 23*
^ 12 *
3)
a2b2 '
5(*-.y).
4
31* —37д>
/л*я* ' ; a4&8 #
30д8с--2Ц&8-(-22&с8
36a2£2c2
1037. 1) 5a~7
3)
8&2-
4>>—IS"
30ab — 9aa
1038. 1)
12
22a 4-1016
2Aab
ax2 — bx — a
3)
1039.
ЬаЬ — a
»b
-b
4)
24
5e —1
1040. 1) - , „, -5 j „, -j , „,_ff
1041. 1) 3 j*;2) 7-£+l^. 3) IZ^V. 4) «^ . 1042. 1) An~2m
2)
3(a —ft). оч 9лг — 5y
■;*)
10
10
To- • """■ *' —з
1043. 1) 7; 3) 5. 1044. 1) 13;
6
^3> .
3) 9. 1045. 1) 13; 2) g; 3) 13; 4) 5-i. 1047. 1) 4,1; 3) 2^
1048. 1) 10. 1049. 1) 3; 2) 1; 3) 34; 4) 15. 1050. 1) —3; 2) 7; 3) 6; 4) 17,
1051. 1) 19; 2) 49; 3) 7. 1052. 1) 1; 2)^; 3) 0,3; 4) 0,808. 1053. 1)4
3) 5. 1054. 1) 2; 2) 1; 3) 0,1; 4) 0,2. 1055. 1) 2; 2) 3^; 3) 3; 4) ^
1056. 3)^+,V;4)
a (a— 1) ' ""' a (a
8)Т2^И)Т0(ёг7)-1058-2)
1059.3) 2^; 4) 2bX '
2(л+£> 1057 П Ш ■ 2) ga~4
2y .3) 2b -4)-**-
л:2—у
r-
1060.
л*»"' 4ee —*1,"ж/ 9ла—У
4)
Р2 + 2РЯ~Я
т* + п\
' т* — п2у
3) 21+ 9
3) ?^9
1061.
я2 —&2
jo2 — ?2 ' 1W1' !) 4(лг—1);2) 10(я+1); 3) °; 4) 8(л;+.у)
10б2. 1) ™ + Г + ™\ 2) *<*Г S? ; 3) У-**
1063.
3)
3)
т{2а-\-\)
5 (ай2 — п2)
. 19д + 6дл:
*' х2 — 9 ' "; П^-я2
д8—12д + 3 ^ 2(2д2-|-2&2 + а&)
2а (а2 — 9) ;
3)
1064. 2)
4> 5^Т ' 1065
2) !i» in*, n _3*±7а--И
2(* + v)
*'■ 2л:(л:2—I)
(g — ь)(а — ЗЬ)
"(я + 2)(л — 2)2
1068. 1)
/я+13
abtta* — 9b2)
1ПЛ7 n w -г"* — — . 2^2 + 4лг + 37
iub7. 1) (д + 2)(а,_9), z) 2 (л:2 —9)
2)
а+\
2(m + 3)2' ' 5 (а — 4)а;
оч * + 5 17/я—Пи
d' 6(лг+1)»; V 6(т — п)*
1069 П ^ + 8. 2^ 5^6ш- 3^2(ggrg + 3)-^ *2~4* + 5
316

1070 П 4a» + 7a-3 .„ *'-20.r-28 . 2p»-15p + 45.
• (a+l)2(a—1) '^ (х + 2)*(х-2)*а) 2(/>-3)2(/>+3)'
4) 4w'-9ffln-28«' 12a . _J_
„no n L_. 2) i°i*L±2L. 3) 2(2a'-7aft-3ft2).
wu-l> 3x-2y> l) (*2-l)2 ' ■> (a - ft)2 (a + ft)2 '
2(a-ft) 2 : 2) 2m* •
^ e2 + aft_(.^ • ,и/л '' 3(a2 — 1)" ' (ш2—1)» •
3>1Г£Т70; 4) a2+Tft + ft2 • Х(ЛЪ- h -°>г_ 107в- » *
Ш 1) a(c-ft); 3) J»l. 1079. 1)-£=£*-; 3)^=1.
1080. 1) l±£-;3)_£—.1084. Н = Ц-. 1085. 1) S^-^i1^*
' a + ft ' ' m + n ft ' 2
0ч . 2S 2S — ft/i ino, nft + nrt ^
2)^7^; « = —й • 1087.-^17)-; 20 деталей.
1Q88- t;(t>S+/n)-4aC0B: 5чаС- 1Ш- TWTW дней;5днеЙ-
fe£2 mrf
1090. 1) Ha :11__дней; 20 дней; 2) на л ,л , ., тонн; 0,02 т,
/л — йс г (г + а)
1092. 2 й часов; 32 часа. 1094. 52°. 1095. 12%. 1096. 200 *
v2 — т2 '
1097. ^24 га. 1098. 50 кг. 1102. 2) ^^-; 4) 1ойлУ.>
бл:8^ ' ' 4а
„05. 1) «£» ; 3) ,-,. 1.06. 1) ^^-; 2) («-»"« + »>.,
3) ^; 4) "^L. 1.07. 1) 1; 2) TF^r; 3) _,-^;
4) _(*-,)(*+,), I№ 1} |; 2) 5. 3) ^_;. 4) _£_..
1109. 1) 4 (а2 + aft + б2); 3) ^^^ . И00. 1)1;
25(лг-з>)'(д:+^ . д(а-З) , ,ч (*-!)(*-7)
8 ' ^ (a + 4)(a — 2) ' *> (х + 4)(х + 5)
11И- ?) 1+-^Т;4> ^^з-1112- D-J-; 2)0,3; 3)^-1;
4)a + ft. 1113. 1) У+±- 2) а] + Ь* . 1114. 1)-L;.2)-£±I
7 ' ' j> — х ' ' а2 — ft_. ' х у ' х — 1
1115. 1) 1«+2* + 2); 2) 1-а-а2; 3) 1£ + * .
7 л:2 + jc + 1 f * а2 * ' т — пу ' 2 (л: + 4)
317

тт. ., -b3)|-.,mi)^l;3)-^.im..,^3)^.
"20- D-SS-f 3)^±^±1. ,12,. „£±i; 3)e + *
*)£
49xy ' ' a8 • ""' > 2 •
*Ёг*. 7>^ГГ» 9> »-« И) e+1. „22. 1)5£+36.2)7*1б*.
1,23. 1) — e; 2) 1. „24. 1) ^±^; 2) нет решения, если
Ш-ШфЪ 3) ^f; 4)-Л. „25. 1) ^; 2) ^.
И26' »> /& 2> 7Sir П27- l> т+": 2> ь-« 3> f£rfi»
4) //т. 112». 1) 0, если рф%\ любое число, если р = #
2) «»(»-«) mn(q-p) ' е_, „ *>_£*
2) »' + »'. оч ,. 4ч _,. 1130 n 3(a-ft), a* (ft-a)
ч\ m mi n *а • ч\ 2(a*-»a). 4> I2c»-|-25aft+2ft»
3) т. ,131. 1) j—-; 3) 2а_ь • 4) T2fl + » >
q(2a-k3ft)(2a-3ft), а (2a+5ft)(2a-5ft) , ^
lldi 1) 8^+276» ♦ > 8в» +125ft*♦ ' ' '
"Л"-1) r5£i 2) -2ЙТГ' 3) 6Г. 4) 5.^1135. .) ^;
2>2^г^ 3> 3-*2; 4> зй£- 1136- !> ***• 2> -15
3> "* + *' ■ 4) аХ „38 П ^±^- 2) 4а > 3) аЬ> х
3> e<et_*t)» 4> *•-«*•1138- и »^' ^ з7?г:4)' 3,^Tjl
4) **+1. „39. 1) ,_Л , ,; 2) £±i; „40. 1) i£=«L
2)4. 1141. 2)_1. 1142. ■!)-«; 2) 2 ^ 114& 1) ^
и» »> «г 2> (Йдг- ,ш- » 4тТ)-;_ 2) *-*
,152- »> (<+»(».%-л!2)^- И53- *> nri 2)з*Ь-
„54.1) „ 2) ^. „55. 1) *£±Ц; 2) iTi. „56. 1) 2-^»|
*>■*• п7' ,}- 5^+fT' 2> 1^Г- ,158- *+*•
1159' 1} *s"(ffiy * 2) ^'+^+9 . ,164. 2) 3; 4) 1. ,165. 2) 5j
4) 6^-. „66. 1) 1; 2) —1; 3) 4{.4) б. „67. 1) 8; 2) 8» 3) 3; 4)1,
„68. 1) -8lji 2) -I. „69. 1) Ь^; 2) а; 3) £±*;
318

4) ff=«. iniDjfji 2>-**,f$J; 4) 0, если **>;
любое число, если e = fc 1171. 1) a + fc 2) у. 1172. 2) 6a;
* + &• : ' 5tf —6я* ' 7s + 5*# ' a
8)^ГЛ,; 4) a'<6Tf) + !ig-a>. U77. l)ii±^L
2^» —^ —д>' ^ ab + bc — 2ac ' ' (a—b)m
55=»». ,=2£=i». inli,r=JiL- /.".Ji-
a =
■fa= га 1180 n ,-*=<. ^-g(g+i). flP»q-fl)
'« = 7рг7?- uw- У a-* + C' *~ 1-е • ee i+e •
1181. -1. U82. 4. H83. -^-. 1184. 4". 1185. 28; 40. 1186. 72; 48.
M87. 12 км\час\ 30 км\час. 1188. 40 км\час\ 120 км\час. 1189.,6 час.
1190. 18 я-лг/члс. 1191. 120 кж. 1192. 240 /ш. 1Г9& 400 лгж/час;
1200 кмЫас. 1J94. 3 ж/шс; 1,5 ж/сек. 1195. 40 оборотов; 25
оборотов; 100 ж. 1196. 144 оборота в минуту. 1197. 30 мм. 1198. 150
машин. 1199. 72 детали. 1200. 7 деталей. 1202. 70 га; 50 га.
1203, 40 дней; 60 дней. 1205. 8 страниц; 6 страниц. 1206. 28
деталей; 20 деталей. 1207 50 см; 40 см. 1208. 2,5 ж; 1,6 ж. 1209. 25 кГ,
15 кГ. 1210. 1) 85е; 2) 50 л; 50 л. 1211. 1) 760 Г; 300 Г; 2) 109,5 Г
олова. 1212. «5,15 800 ж8. 1213. 20 дней! 30 дней. 1214. 6 час.
1215. 50 км\час. 1210. 600 м. 1217» 40000 жителей. 1213. 20 га.
1219. 60 л. 1220. 2 руб. 1221. 75000 человек. 1222. 24 станка;
16 станков. 1223. 80 км. 1224. 10 км. 1225. 15 км. 1226. т^*- кг;
SL^B. кг. iw> + («2-»>' тонн; *-(*2-»>'тонн. 1228. ^
Петров. 1229. -^Цдней. 1230. «(» + " + *>„. \23\.tV (х,~ 4) км.
а — t о а
1232. [(v + vjt + s] км. 1233. —— час; -^- /еж. 1234. 28 уче-
ников. 1235.' 84 года. 1236. 15 пчёлок. 1237. 8 дней. 1238. 420
человек. 1239. 15 мин. 1240. 30 слив. 1241. 10,5 коп.; 0,5 коп. 1242. 5 км.
ДОЗ. Всего 63 апельсина. 1245. ^^. 1246, 6. 1247. к2(* + ^;
х а — о '
Гщ. 1248. 0,4. 1249. j-~^. 1250. 56 дней; 140 дней. 1252. -1.
1253.у. 1$54. jrilT'' ffi'~ 1255в Нет.К0Рней- l25& «f —^.
1257. 360 км\час; 900 кж/iac.
319

Глава VIII. Координаты и простейшие графики.
1260. 1) На оси лг-ов расположены точки, ординаты которых равны
нулю; 2) А (2; 3); В (—2; 1); С (—3; -2); D (4; -3); Е (0; 1,5);
F (2,5; 0) и т. д. 1271. 1> ^ = 8° + 2°Л 1272. 1) у = 2х.
1273. 1) s = 4t. 1274. 2) у = ~х. 1275. 4) v = St. 1277. 3) у = 2х.
1281.' 1) у = 2х. 1288. 1)^=1,4аг. 1289. 3) ^116%. 1291. 1) у=*
= 0,5а: + 6. 1293. 1).у = 4,5л:+6. 1294. 2) у = Зх — 12. 1296. 3)3.
1301. \)у^~. 1303. 1)^ = —. 1304.2)^ = — . 1307. I) — часов;
X X X S
2) у кг; 3) у дней. 1308. Ц недель. 1309. -^ тракторов.
1317. Г) P^IJV (гравий). 13Ю. 2) у = —. 1319. 1) ^ = 0,5лг + 6.
Глав а IX. Системы уравнений первой степени с двумя
неизвестными.
1330. 1)^ = 3 —at; 2)jf = ^-i; 3)* = 9y + 2; 4)^ = ^-^.
1333. 1) (б; 3); 2) (1; — 1). 1334. 1) (4; 3); 2) Ц-; l). 1335. 1) (31,8;
6,6); 2) (2; 1). 1336. 1) (3; 4); 2) (3; 4). 1337. 1) (5; —2); 2) (5; -3).
1338. 1) (125; —47); 2) (1; —2). 1339. 1) (7; 5); 2) (5; —2).
1340. 1) (4; 3); 2) (2; 1). 1341. 1) (1; - 1 -I); 2) (3; - 2). 1342.1) (0; 5);
2) (0,5; —2). 1343. 1) (9; 2); 2) (—5; —6). 1344. 1) (3; 2); 2), нет
решения. 1345. 1) Нет решения. 2) (2; 5). 1346. 1) f—|-; 0 J; 2) (59; 369).
1357.1) (4; 2); 2) (—3; I). 1358. 1) (— 19; —3); 2) (21; 1). 1359. 1) (8; 9);
2) (4; 4). 1360. 1) (36; 12); 2) (—2; 5). 1361. 1) (4; —3); 2) (5; 8).
—- .. - .. .. ^ _. ^ 1) (— 1; 1); 2) (4; — 1). 1364. 1) (И; 6);
"~ -* ■■ ~ 2) (5; 10).
1369. (5; 9).
1362. 1) (2; —5); 2) (3; 2). 1363. 1) (— 1; 1); 2) (4; — 1). 13G
2) (3; 2). 1365. 1) (7; 5); 2) (4; 4). 1366. 1) (4; 2);
1367. 1) (3; 1); 2) (7; б). 1368: 1) (6; 8); 2) (4; 3); 3) (9; \0\
1370. 1) (5; 4); 2) (2; 1). 1371. (2; 3). 1372. (0,1; 4). 1373. Ц-; ^\
1374. Ц-; -IV 1375. (5; 3). 1376. (10; —3). 1377. (7; 3). 1378. (5; 1).
1379. (5; 3). 1380. (3; 2,5). 1381. (7; 4). 1382. (—2; 3). 1383, (5; 10).
1386. 20 км; 15 км. 1387. 20 коп.; 3 коп. 1388. 5000 б. кал.;
3000 б. кал. 1389. 8000 б. кал.; 7100 б. кал. 1390. 9 кг; 6 кг.
1391. 5 ру£.; 3 руб. 1392. 18,8 т; 88,5 т. 1393. 100 дубовых; 200
сосновых. 1394. 12 вагонов; 190 т. 1395. 32 человека. 1396. 52
скамейки; 300 уиеников. 1397. 350 км; 8 час. 1398. 100 w 200 м.
1399. 9,6 кг; 6 кг. 1400. 390 т; 240 т. 1401. 460 куб. м; 560 куб. м.
1402. 18 км\час; 2 км/час. 1403. 10 км/чао; 2 км/час. 1404. 60 км;
12 км/час; 5 час. 1405. 600 км; 25 км/час; 40 км/час; 50 км/час.
1406. 8 км. 1407. 8 машин; 6 час. 1408. 8 лошадей; 30 дней.
1409. 36 строк; 50 букв. 1410. 360 час; 120 час. 1411. 28 дней;
320

21 день. 1412. 20 дней; 30 дней. 1413. 2 часа; 4 часа. 1414. 60 га;
4 га. 1415. 89 Г; 35 Г. 1416. 100 Г; 300 Л 1417. 15 Г; 8 Г.
1418. 72°; 60е. 1419. 26°; 76°. 1420. 18 ж; 12 ж. 142Г. 15 еж; 12 еж.
1422. 6 еж; 3 см. 14(23. 26 еж; 8 см. 1424, 25 еж; 5 см. 1425. 14 еж;
4 см. 1426. 79е; 61°. 1427. 5 км\час; 3 /сж/час. 1428. 30 км\час;
35 км1час. 1429. 15 ж/е*к; 10 ж/еек. 1430. 36 м/мин; 9 м\мин.
1431. 16 лгж; 10 /еж. 1432. 168 ц; 80 г(. 1433. 600; 400. 1434. 17; 13.
1435. 6 км; 7,2 км\час\ 3,6 км\час. 1436. 3 км\час. 1437. 8 косцов.
1438. 12 км.
Глава X. Задачи и упражнения для повторения .курса
VII класса.
,439. а-±±. 1440. -2 + 1. 1441. 4a'-R^ + 6. 1442. -1
"л а2 16а8 Аа
1443. 0Г~7\. 1444. 22,5. 1445. Ь. 1446. ^±^. 1448. 24".
1450.^^. 1451. -^. 1452. ^-. 1453.^-. 1454.-1
1455. 2,5 часа. .1456. 1200 га; за 6 дней. 1457. 1344 ж. 1458. 15 км/час;
12 км]час. 1459. 1 час; 40 мин. 1460. 12 км\час; 10 км/час.
1461. 483 костюма; 336 костюмов. 1462. 9 км. 1463. 400 км1час\
1200 Агж/чле. 1464. 2).у = улг. 1466. 3) 1г = 2Л 1468. (2; 4).)
1469. 1) (0,5; 0); (0; 1); 2) (6; 0); (0; 3). 1470. (2; 4). 1471. (2; •!).
1472. (11; 6). 1473. (1; — 1). 1474. (0,5; 2,5).
\,; Глава XI. Счётная (логарифмическая) линейка.
1483. 2) 38.3а=«38=:6561; 37.38 = 39=о 19683; З8.3е = 3*= 19683;
39:37 = 32 = 9. 1498. **llfi кГ. 1499. ** 348 т. 1500. 24 га.
1508. ^92 куб, ж.
Г л а в a XII. Возведение чисел в квадрат и извлечение из них
квадратного корня.
1538. 2) лг<1; 4) х< — 3. 1550. 3) 1296; 4) 3125. 1551. 5) 1,6 лг2У;
6) -S5FF? -8) ТЙТ* *> х>1№- 1554- 2) 6>^; 15^; 12^;
15уТ; 4) 5]/2"; у/15; 2|/3"; 2,51/2". 1555. 3) ^V^;
Т l^T; ? ^; 4) (fl + *)|/Т; 3 {х -Л!^31^
3(д — £)»j/2(e — $). 1556. 1) 21 уТ; 2) 4]/3~. 1557. 1) 13J/3;
2) 131/5". 1558._ 1) 3}/3"; 2J^ 6,5^Г. 1559. 1) 5J/V, 2)_2хУ1с.
1560. 1) 19/2; 2) 15"|/2 — У5Г 1561. 1) 4J/10 —7]/g{
2) 32 + ~|/3+l]/2't 1562. 1) 22,51/2"; 2) 1 ]/Т5 - J ]/ 6.
321

1566. 1) Y2; 2) УЦЯ) VSl 4) V5, МП. 1) У7; 3) УД;
4, ^» „ УЦ±& 2, ]/|^; 3) /!^Й,
4> у ^ 1572> 2) l5*VV5* 3) ^/3"; 4)(e+l)»Vre.
1573. 8) |/^?; 4) ^/"^1. 1575.^/2" +1/5 - j /7\
157а 7/2 —3-i-/U 1584. 1) 3; 2) 5/3" + 5/2"; 3)1; 4)1.
1585. 1) В б раз; 2) в 3 раза. 1586. 5) 8,08; 6) 2/3".
1587. 1) 6(1—3/2 + 2/3"); 2) 4; 3) 2/6" —6-~/t;
4) 2(2/6"—1 + 12/5). 1588., 1) 7 + i- /б"; 2)2/3 +
+ 4]/"|~/10; 3) уЛ|. + 2-4/Т0;- 4)-4-/6-/Ю.
1589. 1) л*-2*-1; 2) 1^-^;3)-!-?£+*; 4)2*1-
__аз^^.л4. jsqo^ 1) 3 + 2/6—^3/2" —4/3; _ 2) 5/J5+
+ /7_—29—/5; 3) 6л»^-л/^ — 2£; 4) л/л —2а /л: —
— ]/"алг + 2л;-
Глава XIH. Квадратные уравнения и системы уравнений
второй степени с двумя неизвестными.
1604. 16 ж. 1605. 0; 2. 1609. 2) ± —; 4) ±-^-. 1610. 2) ±4;
4) 0; —3. 1611. 2) 0; ,— 2 у. 1612. 3) ±8. 1613. 1) ±2.
1(514. 1) Нет решений; 2) ±5; 4) ±2. 1615. 2) ±:5; 4) ±4.
1616. 140 ж. 1617. 2) 4; —16; 4) 9; —5. 1618, 2) —2; —12;
4) 15; —4. 1619. 2) 4; —3; 4) 4; 3. 1620. 2) —5; —1. 1621.2)3;
1у; 4) -"Г, -2|; <9 4; 1Д 1622. 2) 2; 1 1; 4) 1; |.
1623. 2) 1-1; —2; 4) 5; — -|-. 1624. 28 м. 1625. 108см.
1626. 5гжх5сл1. 1627.-11 команд. 1628. 22 участника.
1629. 30 учащихся. 1630. 3) 8; — 3; 4) 5; — Зу. 1631. 1) 1; у;
3) 4; —7; 4) 2; 2. 1632. 2) 10; -0,7; 4) J; —1. 1633. 1) 2; --Ь
3) 18; 15,8. '1634. 1) 5; — 11-; 3) 0; 60. 1635.2) —1; —4,7;
3) —2; —3. ' 1636. 2) 4; —5. 1637. 2) |-; —3; 4) 2,5; 5.
1638. 2)2; —9; 3) —1; -^2 А; 4) —2; 8,5. 1639. 1) 9; -4;
322

2)2; 4)2; —-L. " 1640. 2) 3r 3) 4; 4. 1641. 2) 10; 5Д
4) 12; 8l. 1642. 2) --i; 3) 5; 4; 4) 7; —1. 1643. 2) Ь-УТ;
— (3 + ]/3); 3)/5; 0. 1644, 1)^—0,35; ^—7,15;_2) ^3-0,81;
«*—4,36; 6) ««1,76; ^ — 0,10. 1650. 2) ** + (/2 + У 32*+
+1^6 = 0; 3)**—5]Л5л:+18 = 0;4)лг2 — (}Л5-^2) л; —2 У 5 — 6.
itef. 2) —б; 4) 15. 1662. **— 10*+ 24 = 0. 1653. x*+kpx+k2q = О.
1654.^ —9лг + 20 = 0. 1655.лг»~4лг + 3«=0. 1656. 4у2+4а —р*«*0.
1657. 2) (х — 9)(дг— 1); 4) (л:+ 6) (л:—10). 1658. 2) (лг + 6) (л:+19);
4) (а —18)(а—11). 1659. 2) (т — 4) (т + 3); 4) (5л: — 18) (* + 7).
1660. 2) (За+1) (а— 1); 4) (2т — 3) (т+1). 1661. 4) ?^±i . 1669. 9.
167a 1) (3; 1); (-3; \у, 2) (4; 2); (-3; -5). 1бк 1) (1; 0);
(-у; -£); 2) (5f 3); (~Т^-10)' 1675в 1)(2; ~2); 2) (6;2);
(2; 6). 1676. I) (0,25; 7J5); (-2; 1); 2) (17; 10); (4; -3).
1677. 1) (0; 0);( —2,4;4,8); 2) (6; 9) (-9; -6). 1678. 1) (8; 4);
(4; 8); 4) (5; 1); (-1;-5). 1679. 1) (2; 3); (3; 2); 2) (3; 0); (1;-2).
Г680. 2) (-2; 5); (-7^; 3 АV 1681. 1) (4; 2); (16; -10); (3; 2);
(2; 1). 1682. 1) (3; 4); (1; 2). 1683. 1) (4; 0); < —0,5; —4,5).
1684. 1) (3; 5); (-5; -3); 2) (3; 0); (~-Ь -у). 1685. 1) (2; 3);
(51; —46). 1687. 400 км\час; 320 км /час. 1688. 80 км\час\
ТО кмЫас. 1689.21 ряд. 1660. 20 км\час. 1691. 20 км\час.
1692. 7 кмIнас. 1693. 3 км/час. 1684. 50 км\час. 1695. 60 км\час.
1606. 72 кмЫас. 1697. 10 час. 1698. 12 км/нас. 1699. 12 дней;
6 дней. 1700. 5 час; 7 час. 1701. 30 м; 24. 1702. 12 дней; 6 дней.
1703. 30 дней; 20 дней. 1704.. 14 дней; 11 дней. 1705. 1000 км\час;
900 км\час. 1706. 2,5 т. 1707. 8 дней. 1708. 24 куб. м.
1709. 40 км/час; 50 км\час. 1710. 16 км\час; 12 км/час.
1711. 60~км1час; 120 км/час. 1712. 500 км; 150 км\час\ 100 км/час.
1713. 20%. 1714т 20%. 1715. 5%. 1716* 10 дней; 15 дней. 1717. 10 см;
4 см. 1718. 15 см; 8 см. 1719. 60 м; 40 м. 1720. 40 см; 9 с*.
1721. 12 см; 16 еж; 20 ел*. 1722. 36; 4. 1724. 3 дм; 4 &и. 1725. 9,0 см.
1726. 10 га, 20 ц; 12 га, 25 а; 8 га; 25 ц; 10 га, 30 ц. 1727. 12 км\час\
18 км/час; 24 лглг. 1728. 36 кле/час; 30 кмЫас. 1729. 800 ж2, 6 кг\
600 л2, 4 кг; 900 ж8, 5 у лгг; 600 м%, 3 у лгг. 1730. 15 л:Г, 6 ж;
20 кГ, 8 ж. 1731. 80 кГ; 39 кГ. 1732. 7 *Г; 24 *Г. 1733. 12 Г; 48 Г;
1,5 Г1см\ 1734. 32. 1735. 1 мин.; 0,2 м\сек*. 1736. =«0,054 м\сек%;
4 мин. 40 сек. 1737. 2 м1сек; 1 мин. 1738. 30 км/час; 24 кмЫас.
1739. 0,8 Г/сж1; 0,6 Г/с*8. 174а 20 см9; 30 сю?. 1741. 160 Г; 20%.
1742. r*72 м. 1743. 2 сел:. 1744. 100 сек. 1745. 12 *Г; 16 кГ. 1746. 8 кг;
6 кг. 1747. 5е. 1748. 8,8 Г/сле8; 7,8 Г/слг1. 1749. +3. 1750. ±5.
1751. 0; 2. 1752. — lj —5. 1753. 4; 2. 1754. 2у;^-. 1755. 10 точек.
1756* 7 сторон. 1757. Восьмиугольник. 1758. 4 м. 1759. 5 слс.
1760. 3 м. 1761. 40 с* X 20 см. 1762. 18 т; 15 т. 1763. 10 дней;
50 eat 75 га. 1764. 960 к*. 1765. 18 км\час\ 24 клг/чде.
323

Глава XIV. Функции и их графики.
1766.2) if = 6+4*. 1767. 1) М = 200 + 40*. 1773. 1) у = Зх; 3) 3.
П74. 1)\у-= —у л:. 1775. 2) у = 2х; 3) 2. 1776. 1) у = 4х.
1781. 1) — 1; 2) 2. 1785. 5. 1786. 1; 1. 1787. 3) v «*0,6* + 332.
1788. 1) a = 3b. 1789. 1) j>*= —. 1802. 1) у = лт2 —4; 2) (2; 0);
(— 2; 0). 1807. 2) Функция имеет наименьшее значение при х = 4;
4) (0; 16). 1812. 4) (0; 0); (1; 0). 1814. 1) Ь* — 4ас = 0.
1815. 1) у = х2 + 5; 2)^ = лг« — 4; 3) у = (х — З)2; 4) у = (лг + 6)1.
5)з>= — (л: + 7)2. 1816. 1) /> = ? = 4; 2) р = 0; ? = 3; 3) р= 12;
? = 36. 1820. 1) а) у = (х — 4)2 — 3; б) ^= — (*+5)2 + 2;
в) з> = (лг + 6)2 — 5. 1822. 1) а)р=1;?= — 6;б)/?= — 10; ^ = 23;
б) р = 5; # = 4. 1828. 1) Квадрат со стороной 4 см. 1831. 7,5 м\
12 лс._ 1865. «а 9,3 ж. 1866. 1) %1,8щ 2) ^4,9/сл*;
1867. «* 16,85 еж. 1868. «* 7,9 &и. 1878. - —. 1884. «* 8 /я.
/я
1885. 510 ж3. 1890. -^-г.
Глава XV. Задачи и упражнения для повторения курса
V—VIII классов.
1894. «а 22,4 млн. кв. км. 1895. «=5 169 т; «*26,4 т. 1896. 225 кг.
1897. 800 деталей. 1898. 258 руб. 06 кон. 1899. «=7,2%.
1900. 2) р»15. 1901. 1)^13,6; 2) «=.2770. 1902. «*1100 Г.
1903. evUO куб. м. 1904. 1) 123щ; 3) 3^; 4) 42,5.
7 О 1Q
1905. 4) 1^. 1907. 1) ЗаУа; 2) 10/2; 3) -|-/5 —у/3;
4) 12 jcy Y3x ;5) 0; 6) 6/лл8 Ymh. 1908. 1) 6; 2) 2/3*4-2 /2" ;
3)/42 + 7/2- + 2/3" + 2/Г;4) 7/Г-2/30;5) -J_g/5\
1909. 1) 8 + 4 VT —i/3; ; 2) 14-|-; 3) V* ~У2 _|.
4) 16/5"—2,4/ТО —6; 5)^ — -^ — ^. 1910. 1) 0; 2,4; 2) *; —0,5;
3) 4;Л,4; 4) —0,5; —1,46. 1911. 1) «* —0,41; —3,26; 2) «^ 0,56;
«^0,22; 3) «*0,06; —1,06; 4) ««15,16; «а—16,16. 1914. 1) 8л:2 +
4-10л: + 3 = 0; 3) х% — 2/5лг + 4 = 0. 1915. 1) л:8 —0,7л:+ 0,1 =0.
1916.1) (4л: —9) (2л: —3); 2) (Зл: + 8) (1 — л:); 3) (Зл:+ 1) (л: + 2);
4) (0,9л: —0,1) (л:—1); 5) (9 — л:) (л: + 5); 6) (5л: + 2) (3 — 4л:).
1917- ^Й^-'2)^—-^ |91а 1)~4; 2) 8' 1919- 1<**-1х +
+ 1=0. 1920. 1) abx2 — (a2 + b2)x-{-ab = 0; 2) ллг2 + (1 — а2) х —
— а = 0. 1921. ±3/5. 1922. 20; 72. 1923. 1) ««29,1; я» г—1,1.
324

1924. 1)1; 0,3; 2) 8;^; 3) |; 1. 1925. 1)2; -1: 2) 0; - X±;
3) 0; 1 1926. 70 км\час. 1927. 12 автобусов. 1928. 36 м\сек;
40 м\сек. 1929. 50 км/нас; 90 км\час. 1930. 25 км/час.
1931, 50 км1час. 1932. 10 час; 15 час. 1933. 20 час; 16 нас
1934. 12 дней; 24 дня. 1935. 2,5 км\час. 1946. 7 час; 6 час.
1938, (5; 4); (—4; —5). 1939. 5 см; 12 еж. 1940. 5; 1. 1941. 50 ж;
20 ж. 1943. (2; 4); (4; 2). 1949. (2; 1). 1950. Результаты с точностью
до 0,01 равны.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а I. Алгебраические выражения.
§ ,1. Употребление букв для обозначения чисел.
Составление формул решения задач 3
§ 2. Алгебраические выражения. Буквенная запись законов
арифметических действий б
§ 3. Порядок действий и употребление скобок ........ 7
§ 4. Числовые значения алгебраического выражения.
Составление таблиц Я
Глава II. Рациональные числа. Уравнения.
§ 5. Положительные и отрицательные числа. Сравнение чи-^
сел, знаки неравенства •. 14
§ в. Сложение рациональных чисел. 17
§ 7.-Вычитание рациональных чисел , . 20
§ 8. Умножение рациональных чисел 24
§ 9. Деление рациональных чисел . . 27
§ 10. Возведение чисел в натуральную степень. Порядок
выполнения действий 29
§11. Равенство и неравенство. Тождество и уравнение. . . 35
§ 12. Таблицы и графики 40
Глава III. Действия над целыми алгебраическими
выражениями.
§13. Одночлены и многочлены. Приведение подобных
членов 44
§ 14. Сложение одночленов 46
§ 15. Сложение многочленов 48
§ 16. Вычитание одночленов и многочленов . . 53
§ 17. Раскрытие скобок и заключение в скобки ♦ 55
§ 18. Умножение одночленов. Возведение одночленов во
вторую и третью степени . . . 61
§ 19. Умножение многочлена на одночлен '..... 63
§ 20. Умножение многочлена на многочлен 67
§21. Возведение одночленов в натуральную степень.
Умножение по формулам. 73
| 22. Деление одночленов 81
§ 23. Деление многочленов . 83
Глава IV. Задачи и упражнения для повторения
курса VI класса # . 87
326

Глава V. Уравнения первой степени с одним
неизвестным.
$ 24. Решение уравнений первой степени с одним
неизвестным с числовыми коэффициентами . ... . 98
§ 25. Решение задач при помощи составления уравнений . . 102
• *
Глава VI. Разложение многочленов на множители.
§ 26. Вынесение общих множителей за скобки 112
§27. Разложение многочленов на множители способом
группировки 117
€ 28. Разложение на множители по формулам умножения. . 119
§ 29. Применение различных способов разложения на
множители .•••.-. • 124
§ 30. Деление многочленов с использованием формул
умножения 126
Глава VII. Алгебраические дроби.
31. Основные понятия об алгебраических дробях. ...... 129
32. Сокращение дробей . . . . 132
ЗЙ. Понятие об отрицательном показателе степени ...*.. J36
34. Сложение и вычитание дробей ч 138
35. Умножение и деление дробей 148
36. Возведение дроби в натуральную степень 450
37. Решение уравнений с буквенными коэффициентами . . 151
38. Упражнения на все действия с дробями. . . 153
§ 39. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе
дроби J 56
§ 40. Задачи на составление уравнений 160
Глава VIII. Координаты и простейшие графики.
§ 41. Оси координат. Абсцисса и ордината точки на
плоскости j, . 171
§42. Прямая пропорциональная зависимость у=ах и её
график 174
§ 43. Линейная зависимость у = ах + Ь и её график ..... 182
§ 44. Обратная пропорциональная зависимость у = — и её
график . 185
Глава IX. Системы уравнений первой степени
с двумя неизвестными.
| 45. Уравнение с двумя неизвестными. . 193
| 46. Системы уравнений с двумя неизвестными . 195
§ 47. Задачи иа составление систем уравнений первой
степени , 201
Глава X. Задачи и упражнения для повторения
курса VII класса ....•.-■ 210
327

Глав'а XI. Счётная (логарифмическая) линейка.
§ 48. Основная шкала счётной (логарифмической} линейки. 215
§ 49. Умножение и деление чисел при помощи счётной
линейки ' 217
Глава XII. Возведение чисел в квадрат и
извлечение из них квадратного корня
| 50. Возведение чисел в, квадрат , 222
| 51. Квадратный корень^ и его арифметическое значение 228
§ 52. Вынесение множителя из-под знака квадратного корня
и внесение его под знак корня 231
§ 53. Извлечение квадратного корня из чисел при помощи
таблиц 234
§ 54. Извлечение квадратного корня из чисел при помощи
счётной линейки • . . . . 237
Глава XIII. Квадратные уравнения и системы
уравнений второй степени с двумя неизвестными.
| 55. Неполные квадратные уравнения 240
§ 56. Пблные квадратные уравнения. . . 241
§ 57. Сумма и произведение корней квадратного уравнения
(теорема Виета) ~ 249
§58. Система двух уравнений с двумя неизвестными, из
которых одно второй степени, а другое первой ..... 248
§ 59. Решение задач, приводящих к квадратным
уравнениям * 251
Глава XIV. Функции и их графики.
| 60. Линейная функция у = ах-\-Ь 261
§01. Функция y=zax% и её график 267
§ 62. Функция у= ах% 4- Ь и её график 269
§ 63. Функция yrz*ax% -|-fo + tf и её график 271
§ 64. Возведение чисел в куб; График функции у = хъ. ... 231
§65. Извлечение из чисел кубического корня. График
функции у^Ух ". ." 284
§ 66. Решение задач с геометрическим и физическим
содержанием. Графическое решение уравнений 288
Глава XV. Задачи и упражнения для повторения
курса V—VIII классов.
§ §7- Повторение арифметики 296
§ 68. Повторение алгебры 298^
Ответы 304

Б12 (075)
Л25
В переработке настоящего сборника принял участие
учитель школы № 506 г. Москвы Е. Г. Крейдлин,
, Павел Афанасьевич Ларичев
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ
ДЛЯ 6-8 КЛАССОВ
Редактор Н: //. Никитина
Технический редактор Н. Н. Махова
Корректор //. Я. Новикова
Подписано к печати с матриц 26/VIII 1969 г. 84X1087».
Печ. л. 17,22 (10,25). Уч.-изд. л. 14,60. Тираж 600 тыс.
(300001-900000) экз. Заказ 5056.
Издательство «Просвещение»
Комитета по печати при Совете Министров РСФСР*
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи» 41.
Отпечатано в Ивановской областной типографии с
матриц ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
ской типографии Н» 1 «Печатный двор» им. А. М.
Горького.
Цена Се* пеоеплета 19 коп., переплет Сум. 7 ков.
йуы. ледерин .12 кон., «овешЕср115 тал.
6—6