Текст
Библиотека учителя математики
СБОРНИК
упражнений
по
математике
4-5
С. А. ПОНОМАРЕВ, П. В. СТРАТИЛАТОВ
Н. И. СЫРНЕВ
СБОРНИК
УПРАЖНЕНИЙ
ПО
МАТЕМАТИКЕ
для 4—5 классов
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
МОСКВА 1971
51(07)
П 50
Сборник рекомендован к изданию
Учебно-методическим советом
Министерства просвещения РСФСР
Пономарев С. А. и др.
П 56 Сборник упражнений по математике для 4—5
классов. Пособие для учителей.
М., „Просвещение", 1971.
Перед загл. авт.: С. А. Пономарев, П. В. Стратилатов,
Н. И. Сырнев.
303 с.
6-5
231-71
51(07)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник упражнений по математике для 4 и 5 клас-
сов средней школы составлен в соответствии с новой программой
и новыми учебниками. В сборнике помещены задачи и примеры по
всем разделам курса математики 4 и 5 классов.
Особенностями сборника являются:
1) методическая последовательность в системе расположения
упражнений и разнообразие их;
2) наличие методических указаний и приведенных образцов
решения задач и примерных записей решений учащимися;
3) включение в сборник задач повышенной трудности и соот-
ветствующих указаний по их решению;
4) выделение геометрического материала в отдельные главы по
4 и 5 классам, что дает возможность учителю более свободно исполь-
зовать учебный материал в зависимости от подготовки учащихся
и общей планировки учебного материала;
5) включение в конце каждого параграфа контрольных заданий,
а также отделов для повторения и закрепления материала, изучен-
ного в 4 и 5 классах;
6) наличие приложений справочного характера для составления
задач учащимися.
В объяснительной записке новой программы текстовые задачи
в 4 и 5 классах рекомендуется решать и способом составления
уравнений, и арифметическими способами. Необходимо ознакомить
учащихся со способом приведения к единице, способом исключения
одного из неизвестных заменой его через другое неизвестное, спо-
собом проб (в частности, перечислением всех возможных частных
случаев) и графическим. Такое разнообразие способов обеспечивается
наличием в сборнике достаточного числа типовых задач. Разумеется,
говорить учащимся о типах задач не следует, однако рекомендуется
отметить задачи на нахождение числа по данному значению данной
его дроби и некоторые другие. Следует обратить особое внимание
на вычленение функциональной зависимости между величинами,
-которые приходится рассматривать при решении задач.
Авторы считают целесообразным уделить достаточно большое
внимание вычислительным примерам с многозначными числами, в
которых требуется выполнить семь-восемь действий, применяя круг-
лые, квадратные скобки. При этом числовые компоненты берутся
1* 8
в пределах миллиона. Большое внимание уделено особым случаям:
действиям с нулем и с единицей. Работу над решением этих упраж-
нений следует начинать с первых же уроков в 4 классе, сначала на
уроке со всеми учащимися класса, а затем постепенно переходя к
самостоятельной работе учащихся. Перед решением каждого примера
необходимо наметить план его решения: порядок действий, наиболее
рациональные приемы вычислений; надо Приучить учащихся произ-
водить письменные вычисления непосредственно в тетради (не поль-
зуясь какими-либо вспомогательными листами бумаги), см. указание
к примеру 6 сборника.
В связи с тем что сборник предназначен для учителя, число
рисунков ограничено, но приводимые рисунки и схемы составляют
органическую часть упражнения-задачи и должны быть доведены до
ученика. Мы считаем возможным рекомендовать применение эпидиа-
скопа для воспроизведения рисунка учащимся; если это по ка-
ким-либо причинам окажется невозможным, то соответствующий рису-
нок следует воспроизвести на доске или на таблице.
Некоторые упражнения, приведенные в сборнике, легко могут
быть дополнены самим учителем; составление упражнений, анало-
гичных им, не представит особого труда. Мы обращаем на эти упраж-
нения внимание потому, что они имеют большое значение для выра-
ботки навыков устных и письменных вычислений.
Следует обратить внимание на приводимые после каждого параг-
рафа контрольные задания. Они содержат как теоретический мате-
риал, так и его приложения. В контрольное задание включается,
как правило, основной программный материал; контрольное задание
может быть рекомендовано для самоконтроля учащемуся; оно может
быть использовано как самостоятельная работа на уроке после изу-
чения соответствующего материала. Контрольные задания не только
проверяют знания учащихся, но и позволяют учителю судить о
качестве своей работы, проверить, насколько удалось ему добиться
поставленной цели, обнаружить пробелы в работе.
Часть упражнений, аналогичных приведенным в том или ином
задании, может быть использована учителем в процессе работы над
изучаемым материалом, не дожидаясь окончания изучения соответ-
ствующего параграфа. Естественно, что часть упражнений контроль-
ного задания (или аналогичные им) учитель использует на контроль-
ных работах как по текущему материалу, так и при повторительном
обзоре той или иной темы.
В сборник включены некоторые упражнения из книг по ариф-
метике, написанных авторами ранее.
В заключение авторы считают приятным долгом выразить глубо-
кую признательность учителям математики школ г. Новгорода и
работникам Новгородского педагогического института, принявшим
участие в обсуждении рукописи сборника, особенно доценту С. А. Кузь-
миной, методистам ИУУ Г. Д. Шмыковой и Н. В. Курбатовой,
критические замечания и пожелания которых повлияли на оконча-
тельный текст сборника.
4
Глава I
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
В примерах 1—5 выполнить указанные действия. Вспомнить,
в каком порядке принято выполнять действия над числами. При
решении примеров называйте слагаемые, сумму, уменьшаемое, вычи-
таемое, разность, сомножители (множимое и множитель), произведе-
ние, делимое, делитель и частное.
1. 1) , 5 648 2) ,1273 3) 5 439 4) 5 663
+ 26 575 + 794 ~2 383 ~ 90^
5) 702-69; 6) 5 437-201; 7) 3 952:38; 8) 28 334:457.
2. 1) 740—540:180 + 87:3; 2) (304 + 796)-(508 + 340);
3) 9 600:1 200 + 36 — 660:15;
4) 1 920 + 3600:240-760 + 28-50;
5) 134-27 — 6 102:18+16 124-31;
6) 800—134 532:333 + 455 —8 000:125;
7) 190038 — (100 377 + 89 043):615;
8) (54 006 +70346)-509—1 500038.
3. 1) 118594:(1 000— 129 078:213) + 2 576;
2) 58905:17 + 206-47-29326:86;
3) 159-548 —(52 427 + 31 248);
4) 313 436: [822 • 106 — (6 057 + 80 458)];
5) [640251:207 —(867 + 2 158)]-37;
6) 85 906 —(305-246 + 4 540);
7) (68 109:219 + 7 137:549): 162;
8) (20 808:18—3 312:36)-103.
4. 1) (48248 —43215)-137—1 859004:17213;
2) 49 560 — 34 865 + 1 694 824:2 806;
3) [150-(1 820— 1 014) — 26535]:405—233;
4) 9 692 756 — [3 801 + (85 319 003 + 2 447 647): 3 350] • 308;
5) [(63 048 + 27 767 168:4 576):467+ 598-75];225;
3
6) 634 201 — [209 •( 143 — 318 250:4 750) + 4 986] - 23;
7) (16 523 883 + 763 -1 099): 71'8 — 55;
8) [600 525:75+ 40 971+201-(350 100-323 964)]: 27.
5. 1) 24 578+[1 845-267 + 62 238:(29 742—29 236)]: 123;
2) 66 924 + (125 • 8 000 — 190 000): 9 000—26 000;
3) [(33 667-42—1246 012): 167+ 214-302 —100]: 151—334;
4) 49 805 — [(619 500:875—653) - (12 080 — 5 020) + 4 825]: 125;
5) [436 646 + (9 290 + 264 750:375) 7 080—8 096 • 7 006]: 6 850 —
— 1 889;
6) 1 —[(273013:13 + 437-27): 160+15 660:135] :321.
Указание. Приводим возможный образец записи решения при-
мера 5(6).
1) 273013:13 = 21 001; 2) 437-27 = 11799; 3) .21001
437 + 11 799
27 32 800
.3059
‘ 874
11799
4) 32 800:160 = 3 280:16 = 205; 5) _ 15660:135 = 116;
32 135
80 216
“80 135
О 810
810
О
6) 205 + 116 = 321; 7) 321:321 = 1; 8)1 —1=0.
Учащийся сначала переписывает пример в тетрадь (мы этого не
показали) и после решения приписывает окончательный ответ
(в данном примере число нуль) числового значения данного выра-
жения. Следует требовать, чтобы учащийся все вычисления прово-
дил в тетради, какие-либо черновые вспомогательные записи допу-
скать не следует. Порядок действий нумеровать в самом примере
не следует. Решение проводится по отдельным действиям.
6. Как называется множество чисел, которым пользуются при
счете предметов? Назовите натуральные однозначные числа.
Сколько их?
7. Каков ваш рост? К какому множеству чисел принадлежит
число сантиметров, выражающих ваш рост?
8. Сколько элементов содержит множество цифр, которыми запи-
сываются натуральные числа в десятичной системе счисления?
9. Какими словами обычно заменяют слово „множество" в сле-
дующих предложениях: „Миша имеет множество марок"; „На лугу
пасется множество коров“; „На заборе сидит множество воробьев"?
6
10. Написать все числа, которые составляют множество нату-
ральных чисел второго десятка.
11. Написать все числа, которые составляют множество нату-
ральных чисел второго десятка третьей сотни.
12. На сколько единиц десяток больше единицы? Во сколько раз
десяток больше единицы? На сколько единиц сотня больше единицы?
Во сколько раз сотня больше единицы?
13. Изобразить точками на луче первые 10 натуральных чисел,
поставив у начала луча число нуль и выбрав некоторый отрезок
за единичный.
14. 1) Рассмотреть шкалу делений и числовые отметки учениче-
ской линейки. Какое последнее натуральное число поставлено на
шкале этой линейки? Если бы чис-
ла ставились на этой шкале про-
тив каждой метки, то какое бы
натуральное число было поставлено
в конце шкалы?
2) Рассмотреть шкалу термомет-
ра: а) комнатного и б) наружного.
Чем они отличаются друг от дру-
га? Почему на шкале наружного
термометра нуль стоит в середине
шкалы (см. рис. 1 (а), (б)?
3) Рассмотреть рисунок шкалы
медицинского термометра(см. рис.
1 (в). Какие числовые значения
нанесены на шкале этого термо-
метра?
15. Какие натуральные числа
имеются на циферблате часов? За
сколько секунд секундная стрелка
делает один оборот? За сколько
один оборот? На сколько самых мелких делений за это время пере-
двинется часовая стрелка?
16. Минутная стрелка сделала три полных оборота; на сколько
делений за это время передвинется часовая стрелка?
17. Рассмотреть рисунок шкалы торговых весов (см. рис. 2).
Скольким граммам веса соответствует самое маленькое деление
шкалы? Какой вес показывает стрелка на шкале весов?
18, Назвать основные единицы метрической системы мер для
измерения значений различного рода величин: а) для измерения
длины; б) для измерения веса; в) для измерения площади; г) для
измерения объемов; д) для измерения объемов жидкостей.
19. 1) Изготовить модель квадратного сантиметра и квадратного
метра.
2) Изготовить модели кубического сантиметра и кубического
дециметра.
7
Рис. 2
квадратных
квадратном
кубических
кубическом
20. 1) Сколько сантимет-
ров в дециметре?
2) Сколько
сантиметров в
дециметре?
3) Сколько
сантиметров в
дециметре?
21. 1) Сколько метров со-
ставляют 10000 см? 1 000 дм?
2) Сколько квадратных
дециметров в 1 кв. м? Сколь-
ко квадратных сантиметров
в 1 кв. м?
3) Сколько кубических
дециметров в 1 куб. м?
22. 1) Во .сколько раз
1 кв. м меньше 1 кв. км?
2) Сколько гектаров со-
ставляют 50 009 кв. м?
3) Во сколько раз I га
больше 1 кв. м?
23. 1) Во сколько раз 1 куб. см меньше 1 куб. м?
2) Сколько литров составляют 8 000 куб. см?
3) Сколько кубических сантиметров содержится в 1 л?
24. 1) Сколько килограммов составляют 18 000 г? 640000 мг?
2) Во сколько раз 1 г меньше 1 т?
3) Сколько килограммов содержится в 5 т 6 ц 4 кг?
25. 1) Раздробить в сантиметры 7 м 9 дм.
2) Раздробить в квадратные метры 3 га 187 кв. м.
3) Раздробить в литры 2 куб. м 37 л.
26. 1) 325 л превратить в меры высших наименований.
2) 645 мм превратить в меры высших наименований.
3) 365 ц превратить в меры высших наименований.
27. 1) Раздробить в минуты 2 сут 5 ч.
2) Превратить в меры высших наименований 380 000 сек.
3) 2 820 сут превратить в меры высших наименований, считая
месяц равным 30 сут.
28. 1) Промежуток времени между двумя последовательными
полнолуниями равен 2 551 443 сек. Выразить его составным имено-
ванным числом.
2) Сколько дней содержит год? Какой год называется високос-
ным? Как чередуются простые и високосные годы?
3) Может ли человек прожить миллион часов?
29. Первый искусственный спутник Земли сделал 1 400 оборотов
вокруг Земли. За каждый оборот он пролетал в среднем 42 860 км.
Сколько всего километров пролетел первый советский спутник?
8
Прочитать полученное число километров. Сколько классов оно
имеет? Назвать их. Назвать разряды этого числа.
30. По переписи 1970 г., население Советского Союза составляет
двести сорок один миллион семьсот сорок восемь тысяч человек;
население РСФСР составляет сто тридцать миллионов девяносто
тысяч человек; население Украинской ССР составляет сорок семь
миллионов сто тридцать шесть тысяч человек; в Москве проживает
шесть миллионов девятьсот сорок две тысячи человек. Население
мира к началу 1970 г. составляло три миллиарда шестьсот милли-
онов человек. Запишите все перечисленные числовые данные цифрами.
31. 1) По переписи 1959 г., население СССР составляло двести
восемь миллионов восемьсот двадцать семь тысяч человек; по пере-
писи 1970 г. население СССР составляет двести сорок один миллион
семьсот сорок восемь тысяч человек. Вычислить, на сколько человек
увеличилось население СССР за указанное время.
2) За то же время городское население увеличилось со ста
миллионов человек до ста тридцати шести миллионов человек. На
сколько человек за указанное время увеличилось городское населе-
ние СССР?
32. Шесть тысяч восемьсот миллиардов тонн составляют общие
геологические запасы каменных и бурых углей в СССР. Это более
половины всех угольных запасов планеты. Сколько тонн прибли-
женно составляют угольные запасы планеты?
33. По последним подсчетам ученых, расстояние до Луны состав-
ляет 373787 265 м. Прочитать это число и выразить его в кило-
метрах.
34. Существует легенда, что изобретатель шахматной игры за
свое изобретение попросил положить на первую клетку шахматной
доски одно зерно пшеницы, на вторую—два зерна, на третью —
четыре зерна и так далее, увеличивая число зерен в два раза
на каждую следующую клетку по сравнению с предыдущей.
При подсчете общего числа зерен получили следующее число:
18 446 744073 709 551 615. Прочитайте это число. Сколько в нем
классов? Назвать их.
35. 1) Назвать наименьшее двузначное число. Сколько чисел со-
держит множество двузначных натуральных чисел?
2) Назвать наибольшее трехзначное число. Сколько чисел содер-
жит множество трехзначных натуральных чисел?
3) Можно ли назвать наибольшее натуральное число? Почему
нельзя этого сделать? Назвать наименьшее натуральное число.
36. 1) Какое натуральное число следует добавить к каждому из
данных чисел, чтобы получить 10: 6; 8; 3; 7; 2; 9; 5; 4; 1?
2) Какое натуральное число нужно добавить к каждому из ука-
занных чисел, чтобы получить 100: 24; 68; 37; 96; 32; 75; 35; 50;
59; 93; 18; 29?
37. Какое натуральное число следует добавить к каждому из
указанных ниже чисел, чтобы получить 1 000: 125; 149; 200; 245;
296; 365; 401; 456; 504; 536; 743; 834?
9
38. Ознакомиться с русскими счетами. Отложить на счетах!
а) единицу; б) одну сотню; в) одну тысячу; г) один миллион; д) де-
сяток тысяч.
39. Отложить на счетах следующие числа: 35; 527; 12 583;
9185; 14634; 257 921.
40. Из двух натуральных чисел, если их старшие разряды оди-
наковы, которое больше: 21410 или 22 714? Почему?
41. Которое из двух натуральных чисел больше, если старшие
разряды их различны: 2 045 или 10 311? Почему?
42. Можно ли указать, какое из чисел больше, по их записи,
если вместо каждой точки подразумевается неизвестная цифра:
а) 4000 и 3 ...; б) 9.. и 1 ...; в) 72. и 75.; г) .3.. и .8..;
д) 2.3. и 2.8.; е) ..5. и .9.?
43. Данные ниже натуральные числа расположить в возрастаю-
щем порядке, начиная с меньшего из них: 1 325 337; 326 734;
1522 448; 1 385361; 13954270; 13954380; 13954311. Записать, что
самое большее из них больше самого меньшего.
44. Данные ниже натуральные числа расположить в убывающем
порядке, начиная с большего из них: 207 851; 207 951; 208851;
2 079 510; 207 999. Записать, что самое меньшее из них меньше
наибольшего.
45. Какое из двух чисел больше: а) пятизначное или семизнач-
ное; б) трехзначное или пятизначное?
46. 1) Написать натуральное число, большее 360 и меньшее 370,
содержащее в разряде единиц число 5; сколько имеется решений?
2) Написать натуральное число, меньшее 4 725 и большее 2 431,
содержащее в разряде тысяч число 3; сколько имеется решений?
47. 1) Сколько и каких разрядных единиц содержится в каждом
из данных чисел: 364; 504; 8 309; 12 907; 7 562 023. Каждое из этих
чисел записать в виде суммы его разрядных слагаемых.
2) Записать в виде суммы разрядных слагаемых: а) наибольшее
трехзначное число; б) наименьшее четырехзначное число; в) наи-
большее шестизначное число.
Указание. Записать число 2 051 в виде суммы его разрядных
слагаемых — это значит представить его в виде: 2 051 =2-1 000 +
+ 5-10+1.
48. Из скольких единиц каких классов и разрядов состоит каж-
дое из данных чисел, записанных в виде суммы их разрядных сла-
гаемых. Отложить каждое из них на счетах и записать обычным
способом:
1) 6-1 000 + 3-100 + 8-10 + 2; 2) 3-1 000 + 7-10 + 9;
3) 9-10000 + 4-1000+1-100 + 8-10 + 5;
4) 5-100000 + 7-10000 + 4-100+ 1;
5) 1-1000000+ 8-10000 + 4-100 + 3;
6) 5-1 000000 + 6-10000+1-10.
49. Дано натуральное число 6 453. Сколько в нем содержится
единиц? Сколько в нем содержится всего десятков? Сколько десят-
10
Rob содержится в разряде десятков этого числа? Сколько в нем со-
держится всего сотен? Сколько сотен содержится в разряде сотен
этого числа? Сколько десятков тысяч содержится всего в данном
числе? Сколько в нем содержится всего миллионов?
50. 1) Выписать множество трехзначных чисел, которые записы-
ваются с помощью цифр 3; 8 и 1, если в записи одного числа не
должно быть одинаковых цифр; сколько элементов содержит это мно-
жество?
2) Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с
помощью цифр 5; 7; 2 и нуль, если в каждом числе нет одинако-
вых цифр?
51. При измерении рост мальчика оказался равным 110 си Зльи,
а рост девочки — ПО см 7 мм. В медицинскую карту мальчика
записали: рост ПО си, а в карту девочки —111 см. Как называют.я
числа ПО и 111, выражающие приближенно рост мальчика и девочки?
52. Валовой сбор зерна в 1913 г. в России составил 76 млн. т,
а в 1968 г. в СССР собрано 169 млн. т. Округлить эти числа до
десятков миллионов и изобразить графически, выбрав соответствую-
щий масштаб.
53. Площадь Европы составляет 9 890 849 кв.км. Округлить это
число до тысяч.
54. 1) Данные числа округлить до десятков: 30 402; 99824;
101 365; 247 437.
2) Данные числа округлить до сотен: 17578; 375441; 5042 150;
560 834; 1 723 569.
3) Данные числа округлить до тысяч: 36 420; 480 563; 871 232;
943 468; 2 734 967.
55. При решении каждого примера, прежде чем производить
вычисления, сделайте прикидку, округлив данные числа до сотен.
Записать полученный приближенный результат, после чего над дан-
ными числами выполнить действия и сравнить оба ответа. Резуль-
тат сравнения записать с помощью неравенства.
1) 20876+12327 + 36714 + 5643;
2) 2671+5 329 — 3 982+1 067;
3) 263 + 471—510 + 784—891;
4) 584-293; 5) 4 678-314;
6) 3 785:38; 7) 29 585:485; 8) 453 128:716.
56. Записать множество М однозначных натуральных чисел. За-
писать, что наибольшее из них есть элемент этого множества М.
57. Записать, что множество М однозначных чисел, соответству-
ющих меткам шкалы медицинского термометра, есть пустое.
58. Записать множество Л\ двузначных чисел, содержащих целое
число десятков. Записать, что оно входит в *множество натуральных
11
чисел N. Записать, что число 20 является элементом каждого .из
множеств Nx и N.
59. Записать множество А трехзначных чисел, каждое из кото-
рых в записи содержит только одну какую-либо цифру. Сколько
элементов содержит это множество?
60. Составить множество В двузначных чисел, записанных циф-
рами 0; 2; 3; 4, если в каждом числе одна и та же цифра записы-
вается только один раз. Сколько элементов содержит В?
61. Составить множество В двузначных чисел, записанных циф-
рами 0; 6; 8 и 1, если в каждом из элементов одна и та же цифра
записывается только один раз. Сколько в нем элементов? Записать,
что число 10 принадлежит В. Принадлежит ли В число (06)? Ответ
записать символически.
62. Если через Е обозначить множество натуральных чисел, окан-
чивающихся цифрой 7, то какие из чисел 107; 754; 174; 27; 297;
„ 8 765; 1079; 2 567 и 17 являются эле-
А' ментами £? Выписать их.
/ \ \ 63. Записать множество символов,
/ \ с помощью которых обозначаются из-
\ вестные вам действия над числами. Сколь-
Л 2 " " • ко элементов оно содержит?
рис 3 64. А обозначает множество тре-
угольников, которые входят в состав
фигуры, изображенной на рисунке 3; выписать все элементы А, обо-
значив каждый тремя буквами, стоящими у вершин треугольника.
Является ли СОВ элементом Л?
Системы счисления.
Римская и славянская нумерации
65. 1.) Почему наша система счисления называется десятичной?
2) В чем состоит принцип поместного значения цифры?
66. Какая система счисления называется двоичной? В чем ее
характерные особенности? Где она применяется?
67. 1) Какая система счисления называется двенадцатеричной?
В чем ее характерные особенности? Где она применяется?
2) Какая система счисления называется пятеричной? В чем ее
характерные особенности?
68. Натуральное число 17 содержит 17 единиц. Оно записано
по десятичной системе счисления. Если его записать по другой
системе счисления, то общее число единиц сохранится или изменится?
1) Записать егр по двоичной системе.
2) Записать его по пятеричной системе.
Указание. Так как в числе содержится 17 единиц первого
разряда, то можно узнать, сколько единиц второго разряда они со-
ставляют. Система счисления двоичная, т. е. каждые две единицы
12
данного разряда составляют единицу следующего разряда. Значит,
17:2 = 8 (остаток 1) — имеем 8 единиц второго разряда и 1 единицу
(остаток) первого разряда. Но 8 единиц второго разряда составляют
8:2 = 4 единицы третьего разряда; деление выполнено нацело, по-
этому во втором разряде не осталось ни одной единицы. 4 единицы
третьего разряда составляют 4:2 = 2 единицы четвертого разряда и,
наконец, 2 единицы четвертого разряда составляют 2:2=1 единицу
пятого разряда. Значит, 17= 10001г. В двоичной системе счисления
для записи любого числа достаточно только двух цифр: 0 и I. Как
убедиться в том, что число 10001и содержит всего 17 единиц?
69. Число 1473 записать: а) в двоичной системе счисления;
б) в пятеричной системе счисления; в) в двенадцатеричной системе.
70. Сколько всего единиц содержится в каждом из данных чисел,
если они записаны в системах счисления с основанием, указанным
цифрой справа, снизу числа: а) 24105; б) 2771г; в) 1100012; г) 100102?
71. Какое из чисел больше: 141205 или 1111010012?
Указание. Подсчитать общее число единиц в каждом из чи-
сел. Получится: 1160 и 489. Значит, 141205 > 1111010012.
72. Выполнить сложение чисел, данных в указанной системе
счисления: а) 110102 и 100012; б) 43125 и 12240а; в) 78413 и 12712.
73. Выполнить вычитание чисел, данных в указанной системе
счисления: а) из 100012 вычесть 11012; б) из 342015 вычесть 24135;
в) из (1 1) 96312 вычесть 807612.
74. Перемножить числа, данные в указанной системе счисления:
а) 1012 и 10012; б) 31025 и 2045; в) 3212 и 1512.
Указание. Приводим решение примера (б).
Умножение производится, как и в десятичной систе-
ме. Почему при умножении 31026 на 4 получается
22 413? 4-2 = 8; но каждые 5 единиц составляют
единицу второго разряда, 8:5= 1 (остаток 3), и на пер-
вом разряде остается 3 единицы; 4-0 = 0, да единица
переходит из первого разряда; 4-1=4 единицы на
третьем разряде; 4-3 = 12; 12:5 = 2 (остаток 2); част-
ное 2 дает единицы пятого разряда, и остаток 2 дает единицы чет-
вертого разряда. Таким образом, 31026-4 = 224135. Аналогично и
далее.
75. Где встречаются записи чисел в римской нумераций? Про-
читать числа, записанные римскими цифрами: XIII; VII; CCXI;
XXVI; XLII; XII; XXIV; IX; XCI; XIX; CDLXII; XIV.
76. На памятнике Петру I в Ленинграде написано MDCCLXXXII.
Прочтите, в каком году поставлен памятник Петру I?
77. Данные числа записать римскими цифрами: а) 6; б) 11;
14; 15; 26; 39; 27; 48; 64; 88; в) 126; 543; г) 970; 2 954.
78. Назвать месяцы, обозначенные римскими цифрами: II; IX;
IV; XI; VIII; VI.
31025
2045
, 22413
+ 11204
1143313.
13
79. I) Записать двадцать пятое натуральное число. К какому
множеству чисел принадлежит оно? Какие оно содержит разряды?
Сколько единиц к нему недостает до числа 100?
2) Записать триста пятьдесят третье натуральное число. Сколько
к нему нужно добавить единиц до 1 000?
80. Записать самое большое четырехзначное число. Сколько
единиц к нему недостает до 10 000?
81. Какое по порядку натуральное число записано: 36726?
Сколько в нем классов? Какие? Сколько в нем разрядов? Какие?
Записать это число в виде суммы его разрядных слагаемых. Напи-
сать множество натуральных чисел, каждое из которых содер-
жит столько же десятков, сколько их содержится всего в данном
числе. Сколько элементов содержит это множество, считая и данное
число?
82. 1) Сколько различных двузначных чисел можно написать
десятью цифрами?
2) Сколько различных трехзначных чисел можно написать де-
сятью цифрами? Написать наибольшее и наименьшее из них.
83. Написать произвольное натуральное число. Написать нату-
ральное число только с помощью одной цифры 5, большее написан-
ного первоначально.
84. С помощью цифр 1 и 0 написать 4 пятизначных числа и
расположить их в возрастающем порядке.
85. С помощью'цифр 0; 1; 2; 3; 6; 7; и 9 написать семизначное
натуральное число, наибольшее из множества семизначных чисел,
которые можно написать теми же цифрами, при условии, что в
каждом из них одна и та же цифра не повторяется. Какие классы
имеются в этом числе? Записать его в виде суммы разрядных слага-
емых. Округлить его до тысячи.
86. В книге 145 страниц. Сколько печатных знаков для цифр
при нумерации страниц книги должен был набрать наборщик в ти-
пографии?
Указание. Нужно подсчитать, сколько цифр должен набрать
наборщик для нумерации страниц книги. Первые 9 страниц — 9
цифр; страницы с 10 по 99 содержат все двузначные числа; их 90,
и нужно будет набрать 180 печатных знаков; таким образом будет
перенумеровано 99 страниц и останется еще 145—99=46 (стр.). Для
того чтобы их пронумеровать, придется набрать 3-46= 138 печатных
знаков (каждая страница теперь нумеруется трехзначным числом);
9+1804- 138 = 327 печ. знаков.
87. Книга содержит 324 страницы. Сколько печатных знаков
должен набрать наборщик в типографии для нумерации страниц
этой книги?
88. 1) Если к числу 382 справа приписать нуль, то: 1) Во сколько
раз оно увеличится? 2) На сколько единиц оно увеличится?
2) Если к числу 12 536 приписать справа нуль, то на сколько
единиц увеличится это число?
14
89. I) Написать какое-нибудь двузначное число и поменять в
нем местами цифры десятков и единиц. Какое из этих чисел больше
и на сколько?
2) Написать какое-нибудь трехзначное натуральное число и по-
менять в нем местами цифры единиц и сотен. Какое из чисел боль-
ше и на сколько?
90. С помощью цифр 7 и 3 написать все возможные трехзначные
числа. Какое из них наибольшее? Записать его в виде суммы раз-
рядных слагаемых.
91. У мальчика от покупки осталась сдача: три монеты разного
достоинства, всего на сумму 6 коп. Каково достоинство каждой мо-
неты?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 1
1) Какое из натуральных чисел больше: 127 259 или 97 735 — и
почему?
2) Написать натуральное число, содержащее 56 десятков и 1
единицу.
3) Число 6 413 записать в виде суммы его разрядных слагаемых.
4) Сколько всего десятков тысяч содержит число 7 642396?
5) Округлить числа: а) 846 851 до тысяч; б) 147 935 до сотен.
6) Сколько элементов в множестве семизначных натуральных
чисел?
7) Записать в римской нумерации число 762.
8) Графически на числовом луче изобразить множество двузнач-
ных чисел, оканчивающихся цифрой 2, выбрав соответствующий
единичный отрезок.
9) 5 640 мин превратить в часы и сутки.
10) Которое число больше: 7 845 или 222 0103?
§ 2. СЛОЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ
92. На вопрос: «Сколько учащихся в вашем классе?»—один из
учащихся класса ответил так: «У нас в классе учатся 23 девочки и
16 мальчиков, причем в первом ряду парт сидят 14 учащихся, во
2-м ряду —11 учащихся и в 3-м ряду —14 учащихся». Сколько мно-
жеств и какие именно следует выбрать из перечисленных чтобы
получить ответ на поставленный вопрос? Сколько способов выбора
множеств имеется, чтобы получить ответ?
93. 1) СССР занимает 5 570тыс. кв. км Европы и 16 833 тыс. кв. км
Азии. Какую площадь занимает СССР?
Объяснить, почему ответ на вопрос задачи получается при по-
мощи действия сложения.
Указание. Приводим примерный ответ ученика.
Чтобы дать ответ на вопрос задачи, нужно найти сумму
5570 кв. км и 16833 кв. км. Сумма чисел находится действием
сложения.
15
2) Расстояние по железной дороге от Бреста до Москвы 1 099 км
и от Москвы до Владивостока 9 234 км. Найти расстояние по же-
лезной дороге от Бреста до Владивостока через Москву.
94. Расстоячие от Земли до Луны составляет 380 тыс. км, а
расстояние от Земли до Солнца на 149 620 тыс. км больше. Найти
расстояние от Земли до Солнца.
Объяснить, почему ответ на вопрос задачи получается при по-
мощи действия сложения.
Указание. Приводим примерный ответ ученика.
Чтобы дать ответ на вопрос задачи, нужно 380 тыс. км увели-
чить на 149 620 тыс. км\ чтобы увеличить одно число на некоторое
другое число, нужно выполнить действие сложения.
95. Площадь бассейна реки Дон составляет 429 777 кв. км, пло-
щадь бассейна реки Днепр равна 510 534 кв. км, а площадь бас-
сейна реки Северная Двина —362 284 кв. км. Найти площадь бассей-
на реки Волги, если она на 99 354 кв. км больше, чем площади
бассейнов Дона, Днепра и Северной Двины вместе.
96. 1) Найти сумму наибольшего четырехзначного и наименьшего
двузначного натуральных чисел.
2) Число 1 750 увеличить на сумму чисел 14 009; 40 728 и 22 090.
97. 1) Найти сумму натуральных чисел, заключенных между
31 и 43.
2) Найти сумму натуральных чисел, больших 25 и меньших 35.
98. По данной таблице подсчитать сумму, полученную магази-
ном от продажи ученических принадлежностей:
Наименование Стоимость
руб- коп.
1. Портфели ученические 148 50
2. Тетради 12 80
3. Альбомы для рисования 43 60
4. Ручки 26 80
5. Карандаши 2 76
6. Карандаши цветные 15 45
7. Краски 4 80
8. Кисточки 1 —
9. Линейки ученические 1 36
10. Резинки — 68
Итого:
Правильность решения проверить на счетах.
16
99. 1) Сформулировать переместительный закон сложения. При-
вести пример.
2) Сформулировать сочетательный закон сложения. Привести
пример.
100. Рассмотреть таблицу сложения чисел первого десятка:
0123456789
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
4 5 6 7
6 7 8
8 9
10
6 7 8 9
7 8 9 10
8 9 10 11
9 10 11 12
10 11 12 13
11 12 13 14
12 13 14 15
14 15 16
16 17
18
1) Найти с помощью таблицы сумму: 3 + 5; 7 + 8.
2) Найти с помощью таблицы сумму: 5 + 3; 8-|- 7; 4 + 2. Каким
законом сложения следует воспользоваться, чтобы с помощью таб-
лицы решить данные примеры?
101. Найти сумму чисел: 43561 + 786; обычная запись:
,43 561 Какой закон сложения применяется при сложении мно-
' 786 гозначных чисел?
Указание. Представить каждое слагаемое в виде суммы его
разрядных слагаемых и подписать разряды второго слагаемого под
соответствующими разрядами первого. При поразрядном сложении
слагаемых применяется сочетательный закон сложения.
102. Найти числовое значение каждого из данных числовых вы-
ражений: как более просто вычислить каждую сумму, применяя
законы сложения; правильность ответов проверить прикидкой и вы-
числениями на счетах.
1) 272 + 543 + 756 + 457 + 528; 2) 244 + 25 + 97+ 103+ 156;
3) 2 608 + 529 + 271 + 392 + 4 500;
4) 1 116 + 704 + 258 + 884 + 296 + 2600;
5) 10 556 + 8 074 + 9 444 + 926+ 1 500;
6) 1 720 + 863 + 280+137+ 1 400.
103. Вычислить устно числовое значение каждого из выражений:
1) а) 1 + 1; в) 270+1; в) 0+1; г) 0 + 0 + 0; д) 1 + 102;
е) 1+0; ж) 1 + 1473; з) 0+1+2 + 0;
2) а) 5 386 + 0 + 714; б) 7 806 + (0 + 894).
17
104. I) Если сложить два однозначных числа, каждое из ко-
торых меньше 5, то их сумма однозначное натуральное число
Почему?
Указание. Можно дать различные способы обоснования. При-
водим графический способ.
Изобразим натуральные числа до 10 включительно точками луча.
При сложении двух чисел, каждое из которых меньше 5, первому
слагаемому на луче будет соответствовать точка с отметкой 1; 2; 3
или 4; так как второе слагаемое меньше 5, то точка, соответствую-
щая первому слагаемому, переместится по лучу вправо на 1; 2; 3
или 4 единичных отрезка. Таким образом, сумме чисел будет соот-
ветствовать точка луча, расположенная левее точки с отметкой 10.
Эго значит, что сумма чисел есть однозначное число.
2) Какое самое большое натуральное число можно получить
в качестве числового значения выражения, которое представляет сум-
му двух однозначных слагаемых? Почему таким числом является 18?
105. 1) Найти значение выражения * + 2149 с переменным х,
если * = 751.
2) Найти значение выражения 627 + у с переменным у, если z/ = 0.
3) Найти значение выражения 21 785 + А, если Л =9268.
4) Найти значение выражения 1 649 + 6, если 6 = 751.
106. 1) Найти все значения выражения 254 + 83 + *, если пере-
менное х одно из множества чисел: {117; 2 007; 5 237}.
2) Найти значение выражения у + 417 + 1 864, если переменное
у является элементом множества {136; 583; 1 096; 1 463}.
107. Решить уравнения: 1) х—251 = 1 789; 2) * + 3 502 = 4 000;
3) у—2711 = 10444; 4) у+ 1 129 = 8700.
108. 1) Найти сумму всех однозначных натуральных чисел.
2) Найти сумму всех двузначных натуральных чисел.
3) Найти сумму всех натуральных чисел, заключенных между
35997 и 35 983.
4) Найти сумму всех натуральных чисел, заключенных между
12 658 и 12 662.
109. 1) Найти наибольшее значение выражения * + «/, если зна-
чения х принадлежат множеству двузначных натуральных чисел, а
значения переменного у принадлежат множеству трехзначных нату-
ральных чисел.
2) Найти наименьшее значение для выражения а+ 6, если пе-
ременное а имеет значениями множество А {107; 211; 407} и пере-
менное 6 имеет значениями множество В {316, 244; 705; 111}.
ПО. Пусть а — произвольное натуральное число. Если к нему при-
бавить число 5, то полученная сумма а + 5 принадлежит какому
множеству чисел? Которое из натуральных чисел больше: а или
а+ 5? На сколько одно из них больше другого?
111. 1) Как изменится сумма нескольких слагаемых, если одно
из них увеличить на 6 единиц, а остальные слагаемые не изменять?
2) Как изменится сумма нескольких слагаемых, если одно из
них уменьшить на 10 единиц, а остальные оставить без изменения?
18
112. Как изменится сумма нескольких слагаемых, если:
1) одно из слагаемых увеличить на 8 и какое-либо другое уве-
личить на 19;
2) одно из них уменьшить на 120, а какое-либо другое умень-
шить на 160;
3) одно из слагаемых увеличить на 100, а какое-либо другое
уменьшить на 80;
4) одно из слагаемых увеличить на 75, а какое-либо другое
уменьшить на 106?
ИЗ. Как изменится числовое значение суммы нескольких сла-
гаемых, если:
1) одно из слагаемых увеличить на 1 050, а какое-либо другое
уменьшить на 900;
2) одно из слагаемых увеличить на 15, а одно из остальных
уменьшить на 15;
3) значение одного из слагаемых увеличить на 476, а значение
одного из остальных уменьшить на 377;
4) значение одного из слагаемых увеличено на 213, а значение
одного из остальных слагаемых уменьшено на 312?
114. 1) Одно из двух слагаемых уменьшили на 37. Как следует
изменить значение другого слагаемого, чтобы при. этом значение
суммы не изменилось?
2) Значение одного из двух слагаемых суммы увеличили на 125.
Как следует изменить значение другого слагаемого, чтобы значение
суммы не изменилось?
115. 1) Из одного слагаемого суммы нескольких чисел вычли 16.
Как следует изменить значение какого-либо другого слагаемого,
чтобы значение суммы при этом уменьшилось на 20?
2) К одному слагаемому суммы нескольких чисел прибавили 40.
Как следует изменить значение одного из остальных слагаемых,
чтобы при этом значение суммы уменьшилось на 5?
3) Одно из слагаемых суммы увели-
чили на 25. Как следует изменить при
этом какое-либо другое слагаемое, чтобы
значение суммы увеличилось на 39?
4) Значение одного слагаемого сум-
мы уменьшено на 42. Как следует из-
менить значение какого-либо другого
слагаемого, чтобы при этом значение сум-
мы увеличилось на 18?
116. На рисунке показан один из
километровых указателей, установленных
на шоссе Москва—Ленинград.
1) Автомобиль проехал 30 км в сто-
рону Москвы от этого указателя. Каковы
теперь расстояния автомобиля от Москвы
и от Ленинграда?
W
2) От показанного на рисунке указателя автомобиль проехал 65 км
к Ленинграду. Каковы теперь расстояния автомобиля от Москвы и
от Ленинграда?
3) Каким свойством суммы приходится пользоваться при решении
этих задач?
117. На двух полках лежат 94 книги. Если с одной полки
снять 16 книг, то на обеих полках книг останется поровну. Сколько
книг было первоначально на каждой полке?
118. 1) Одно число больше другого на 112, а их сумма равна 242.
Найти каждое число.
2) Одно число меньше другого на 244, а их сумма равна 566.
Найти каждое число.
119. 1) Сумма двух чисел равна 789, а их разность равна 353.
Найти числа.
2) При сложении двух чисел в сумме получилось 428. При вы-
читании меньшего числа из большего разность составила 156. Найти
числа.
120. 1) Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг
другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и через
5 ч встретились. Найти скорость каждого автомобиля, если один из
них ехал быстрее другого на 16 км в час.
2) На двух автомашинах перевезено 33 т груза, причем каждая
машина сделала по 6 рейсов. Найти грузоподъемность каждой, если
на одну из них каждый раз грузили на 500 кг больше, чем на
другую.
121. 1) Вычислить устно 4 098-р2 759, используя изменение
суммы с изменением слагаемых.
Указание. Округлить первое слагаемое до сотен и изменить
соответствующим образом второе слагаемое.
2) Найти значение суммы 5 684 + 7 879, используя изменение
суммы с изменением слагаемых.
122. 1) Доказать, что если одно из слагаемых удвоить, то сумма
увеличится на число, равное этому слагаемому.
Указание. Вспомнить определение действия умножения на
натуральное число.
2) Как изменится сумма 6 слагаемых, если каждое из них уве-
личить на 50?
123. Найти числовое значение каждого из выражений наиболее
простым способом (применяя законы сложения или изменение сла-
гаемых):
1) 7 605+ (1 079 + 2 995); 2) 384 + (116 + 978).
124. Раскрыть скобки в следующих выражениях и вычислить
числовое значение каждого из полученных выражений:
1) 10 127+ (3 073+ 8 529); 2) 1 609+ (348+ 391);
3) 2077+ (1 356—477); 4) 562 + (х—859) при х= 1 438.
20
125. При каких натуральных значениях переменного х справед-
ливы следующие неравенства (в каждом примере указать, сколько
элементов содержит множество решений):
1) 65 < х < 69; 2) 364 < лг < 371; 3) х< 3 + 530;
4) 16<х<27; 5) 2 002 <х<2006; 6) х > 86;
7) 403 < х < 410; 8) 700 < х < 704.
126. При каких натуральных значениях переменного х справед-
ливы следующие неравенства:
1) 6 < х < 9; 2) 801 < х < 806; 3) 3000 < х <3008?
Решения каждого из этих неравенств изобразить графически на
числовом луче, выбрав соответствующий масштаб.
127. Найти натуральные решения каждого из неравенств и
в каждом примере указать, сколько элементов содержит множество
решений:
1) х+5<12; 2) х+1 > 14 + 3; 3) х + 19 >24.
128. Проверить, верны или нет равенства:
1) 4 071 +5 846 = 3 1134-6 804;
2) 17 005 + 2 548 + 1 253 = 10 996 + 112 + 9 698;
3) 456 + 901 + 1 004 = 2 053 + 707 + 22.
129. Проверить, верны или нет неравенства:
1) 212 + 279 + 617 < 645 + 594;
2) 5332 + 7251 > 4 101 +7992;
3) 10261 +4 711 +8 023 > 20604 + 1 005;
4) 10625 + 3304 + 296 >9306 + 2540 + 3659.
130. Заменить х так, чтобы получились верные равенства, если
х—один из элементов множества {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}:
1) । 6x7x4 + 65x87 хх2 99х 2) । 7 3x5 ' х 70х 3) 57x32 + х2 10х 4) 61002 ' XXX XXX
12x96 хОх 0x0 245 960
5) 35x78 6) 60 х84 7) 5х 728 8) 1x6 34х
+ 4х 596 37 9x5 7 045 38 х51
6 78х + 44 15х + 83x50 + 4 279
89 455 х.450 82 1хх 3215x3
148 733 227 165 хОх 827
131. 1) Найти площадь школьного участка, если здание школы
занимает 2 000 кв.м, сад и огород —2 га 4500 кв. м, двор со службами
и постройками—2 300 кв. м и спортгородок—1 700 кв. м. При реше-
нии задачи Коля дал ответ 3 га 500 кв. м; Ваня—2 га 10 500 кв. м
и Сережа — 2 га 9 500 кв. м. Кто из них дал верный ответ?
21
2) Квартира состоит из трех комнат, кубатура которых известна:
60 куб. м 130 куб. дм; 24 куб. м 880 куб. дм и 19 куб. м 470 куб. дм.
Какова кубатура всей квартиры? При решении задачи Маша полу-
чила ответ 93 куб. м. 1480 куб. дм, Ира получила 104 куб. м
480 куб. дм и Таня 103 куб. м 1480 куб. дм. Кто из них получил
верный ответ?
132. Сад имеет форму прямоугольника, одна сторона которого
26 м 8 дм, а другая—18 м 6 дм. Какой длины должна быть из-
городь, огораживающая сад?
133. 1) Найти периметр треугольника, стороны которого имеют
длины: 6 см 4 мм; 5 см 8 мм и 8 см 5 мм.
2) Вычислить длину ломаной линии, состоящей из трех отрезков,
если их длины равны: 6 см 3 мм; 1 см 9 мм и 5 см 4 мм.
134. 1) Ученик начал готовить уроки в 16 ч 30 мин и затратил
на подготовку 2 ч 50 мин. Во сколько часов он закончил приготов-
ление уроков?
2) Экспедиция выехала 21 мая в 14 ч и находилась в пути
12 дней 20 ч. Когда она прибыла к месту назначения?
135. После того как турист проехал 65 км, ему еще осталось
ехать до места назначения 310 км. Какова длина всего маршрута?
Дать графическую иллюстрацию к решению задачи, выбрав соответ-
ствующий масштаб.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 2
1) Вычислить наиболее простым способом каждую из сумм:
а) 376 + 277 + 223 + 554 + 145;
б) 2 057 + 2 571 + 1 543 + 829 + 4 573.
2) Число 14 639 увеличить на столько единиц, сколько всего
сотен содержится в этом числе.
3) Какая сумма больше: 6 0594-2 672 4-328 + 2 807 или 3 805 -|-
+ 141 + 3014 + 2403 + 605?
4) Решить уравнения:
а) 1 703 + %= 1213 + 490; б) 2547 + у = 1 970 + 578.
5) При каких натуральных значениях переменного х следующие
неравенства являются верными:
а) х < 203 + 797; 6) 85 < х < 89?
6) Найти длину ломаной линии, состоящей из трех отрезков, если
первый отрезок равен 2 дм 7 см, а каждый следующий отрезок
больше предыдущего на 1 дм 2 см.
7) Земля совершает оборот вокруг Солнца за 31 556 926 сек.
Выразить этот промежуток времени составным именованным числом.
8) Что больше: 80 руб. или 8 000 коп.?
22
§ 3. ВЫЧИТАНИЕ
136. 1) Как называется Числовое выражение 1275 — 958?
2) Как называется выражение а—b с переменными а и Ь\ если
и а и b—оба натуральные числа, то к каким числам принад-
лежит число (а—Ь)?
137. Найти числовое значение выражения а—Ь, если а и b при-
надлежат множеству натуральных чисел и Ь = а?
138. 1) Площадь Азии составляет 41839 000 кв.км, площадь
Африки на 11 998 000 кв. км меньше, площадь Антарктиды на
15 841000 кв. км меньше площади Африки, а площадь Европы на
2 391 000 кв. км меньше площади Антарктиды. Найти площади Афри-
ки, Антарктиды и Европы.
Объяснить, почему площадь Африки по данным задачи можно
вычислить с помощью действия вычитания.
Указание. Чтобы вычислить площадь Африки по данным за-
дачи, нужно 41 839 000 кв. км уменьшить на 11 998000 кв. км. Чтобы
уменьшить одно число на некоторое другое число, нужно выполнить
действие вычитания.
2) В Мировом океане Филиппинская впадина имеет глубину
10 540 м, а у Марианских островов имеется глубина в 10 863 м.
На сколько Марианская впадина глубже Филиппинской?
Объяснить, почему ответ на вопрос задачи можно получить при
помощи действия вычитания.
Указание. Чтобы дать ответ на вопрос задачи, нужно узнать,
па сколько 10 863 м больше 10 540 м. Чтобы узнать, на сколько
одно число больше (или меньше) другого, нужно выполнить действие
вычитания.
139. 1) Какое число нужно добавить к 50 697, чтобы полу-
чить 70 000?
Объяснить, почему для получения ответа на вопрос задачи нужно
применить действие вычитания.
Указание. Пусть неизвестно число х; тогда 50 697 + х = 70 000,
х— неизвестное слагаемое, причем известна сумма двух слагаемых
и одно из них. Зная сумму двух слагаемых и одно из них, , вто-
рое (неизвестное) слагаемое можно найти при помощи действия вычи-
тания.
2) К какому числу нужно добавить 37 428, чтобы их сумма со-
ставила 87 514?
140. Решить уравнения: 1) х 4-346 = 621; 2) 1 598 + ^ = 3722;
3) х—826= 1634; 4) 379—х = 285.
Правильность решения каждого уравнения проверить на счетах.
141. В Ленинграде 22 декабря солнце восходит в 9 ч 2 мин
и заходит в 14 ч 56 мин, а 22 июня оно восходит в 2 ч 37 мин
и заходит в 21 ч 27 мин. Какова продолжительность самого корот-
кого и самого длинного дней в Ленинграде и на сколько времени
один короче другого?
23
142. Вычислить значение каждой разности:
1) 42018—30053; 2) 27567—12874;
3) 70301 — 49684; 4) 1 071 413 — 502.769;
5) 100200—97 426; 6) 120 340 521—6 409 067.
143. 1) На сколько сумма 43 066 4-62 359 + 5 020 меньше суммы
48054 + 70691?
2) На сколько сумма 241 077 + 85 724 больше разности слагаемых
этой суммы?
144. Сколько весит дыня? Числовые значения даны на рисунке 5.
145. 1) Кассир получил 3 руб. и выдал чек на сумму
2 руб. 63 коп. Сколько сдачи он должен дать покупателю?
2) Отряд туристов вышел в поход на расстояние 23 км. До пер-
вого большого привала было пройдено 12 км и до второго—6 км.
Сколько километров отряд должен пройти после второго привала?
146. 1) Два поезда выходят одновременно навстречу друг другу
из пунктов А и В. Скорость поезда, вышедшего из А, равна 60 км
в час, а скорость поезда, вышедшего из В, равна 70 км в час.
На какое расстояние сближаются поезда каждый час?
2) Два поезда вышли одновременно из пункта А в пункт В.
Скорость одного поезда равна 130 км в час, скорость другого —
90 км в час. Каково будет расстояние между поездами через час
после их выхода из пункта Д?
147. По реке, скорость течения которой 5 км в час, плывет плот.
Катер, техническая скорость которого 25 км в час, догнал плот.
Какое расстояние будет между катером и плотом через 1 ч?
148. Найти значение каждого из числовых выражений:
1) 103 451 721 — (98 501 000 — 49 687 532);
2) 205 807 — (87 000 — 49 652) — 50 000—8 657;
3) 1 480 + 520 + (2 871 — 1 983)—(1 000—897);
4) 9 000 000—3 897 631 — 1 000 000 — (809 700 — 570 442).
149. Решить следующие уравнения:
1) 100 000 — х = 26 300; 2) 12 036—х = 8 204;
3) х—9 478 368 = 51 831; 4) х—356 951 = 485 468;
5) 75 683 — (31 420 + х) = 909;
6) (5 326—х) — 3 857 = 429.
24
150. 1) Найти разность между наибольшим шестизначным и наи-
меньшим трехзначным натуральными числами.
2) Найти разность между наименьшим шестизначным и наиболь-
шим трехзначным натуральными числами.
151. Установить, верны равенства или нет:
1) 2 187 — (935 + 478) = 1 974 — (583 + 617);
2) 632 — 254 — 281 =291 + 117 — 311;
3) 6908 —(2015 + 2 135) = 25035+ 403 —22 710;
4) 54 116—(27 859 + 26 257) = 6 065 + 2 468 —8 523.
152. Установить, верны или нет следующие неравенства:
1) 45+761 < 54 + 800; 2) 615 — 241 > 142 + 46;
3) 542 —137 > 658 —483; 4) 584 234— 396 045 > 205 + 198 021.
153. Найти значения следующих числовых выражений с пере-
менным х:
1) 572—х, если х = 199; 2) х — 2619, если х = 3025;
3) 1 794—х, если х=1794; 4) х — 4 326, если х = 4 327.
154. Найти числовое значение следующих выражений с пере-
менными:
1) 15 408—х—у, если х = 6 835 и у = 7 079;
2) х—61 233 + у, если х= 100 021 и у = 3 052;
3) 14 745 — а — Ь, если а = 7 423 и 6 = 6 311;
4) а — 3 081—Ь, если а = 5 245' и 6= 1 377.
155. 1) Найти все числовые значения выражения х — 2 475 с пере-
менным х, если х принимает значения элементов множества
Л {4000; 3977; 3801; 3712; 3654}.
2) Найти все числовые значения выражения 15 644—х с перемен-
ным х, если переменное х принимает значения {12 077; 13 781; 14 922}.
156. 1) Найти наибольшее значение каждого из выражений с пе-
ременным х: а) 715—х, если х принимает значения {102; 206; 77};
б) х — 2475, если х принимает значения {4000; 2851; 4 101}.
2) Найти наименьшее значение каждого из выражений с перемен-
ным у: а) 2038—у, если у принимает значения {88; 94; 147; 99};
б) у — 529, если у принимает значения {1043; 841; 966; 777}.
157. 1) Найти пять чисел, первое из которых меньше 201 на 15
и каждое следующее из четырех также меньше на 15 своего пре-
дыдущего.
2) Найти пять чисел, первое из которых больше 147 на 16 и
каждое следующее из четырех также на 16 больше своего преды-
дущего.
158. В каждом из примеров выполнить действие вычитания:
а) 100—80; 105 — 80; 108 — 80; 126—80; сравнить, как изме-
няется значение разности с изменением значения уменьшаемого;
б) 100—80; 94 — 80; 89 — 80; 83—80; сравнить, как изменяется
значение разности с уменьшением уменьшаемого при постоянном
значении вычитаемого;
25
в) 360—250; 360—270; 360 — 280; 360—300; сравнить, как из-
меняется значение разности с увеличением значений вычитаемого
при постоянном значении уменьшаемого;
г) 400— 100; 400—80; 400—65; 400—50; сравнить как изменяется
значение разности, если значение вычитаемого уменьшается, а зна-
чение уменьшаемого остается неизменным.
159. Как изменится разность, если:
а) к уменьшаемому прибавить 8, а к вычитаемому прибавить 3;
б) из уменьшаемого вычесть 5, а из вычитаемого вычесть 4;
в) к уменьшаемому прибавить 20, а из вычитаемого вычесть 17;
г) из уменьшаемого вычесть 25, а к вычитаемому прибавить 18?
160. Как изменится разность, если:
а) к уменьшаемому и к вычитаемому прибавить одно и то же
число 17;
б) из уменьшаемого и из вычитаемого вычесть одно и то же число 20;
в) к уменьшаемому прибавить 26, а из вычитаемого вычесть 20;
г) уменьшаемое уменьшить, а вычитаемое увеличить на одно
и то же число 30?
161. 1) Уменьшаемое увеличено на число 28. Как следует изме-
нить вычитаемое, чтобы разность увеличилась на 18?
2) К уменьшаемому прибавили число 19. Как следует изменить
вычитаемое: а) чтобы разность увеличилась на 22; б) чтобы разность
уменьшилась на 10; в) чтобы числовое значение разности не изме-
нилось?
162. Вычитаемое увеличено на 12. Как следует изменить умень-
шаемое, чтобы: а) разность уменьшилась на 16; б) разность увели-
чилась на 7; в) разность уменьшилась на 12; г) разность не изме-
нилась?
163. Вычислить значение каждого из выражений наиболее простым
способом (применяя изменение вычитаемого или уменьшаемого, округ-
ляя их до разрядного слагаемого):
1) 4 487 — 998; 2) 13 541—6 499;
3) 7 273 — 5 973; 4) 12 647 — 7847;
5) 5 032 — 3 988; 6) 12 307 — 9 748;
7) 13598 — 4600; 8) 3287 — 1 592.
164. Выполнить указанные действия наиболее простым способом
(применить изменение разности в зависимости от изменения умень-
шаемого или вычитаемого):
1) 127 —(88 + 27); 2) 468—(189+ 168);
3) 2265—(358 + 465); 4) 230—(130 —76);
5) 1473 —(698—127); 6) 951—(385—149).
165. Выполнить указанные действия, записав сначала данные
выражения без скобок:
1) (34 835—17 976)—12 835; 2) (11 751+6 473)—8 973;
3) 2 061—(861 +243); 4)8 405—(105 + 799); 5) 3 201—(2 079—99);
26
6) 22 731 —(18 854—269); 7) 4 427—(2 519—1 253);
8) 7 348—(5 348 —2 652).
166. В следующих выражениях раскрыть скобки и вычислить
числовое значение каждого из полученных выражений:
1) (2 567— 1 985) + 3 133; 2) 3 702 —(1 978 —698);
3) 12 371—(5 428+ 1 429); 4) 200 547 —(87 947—60 705).
167. В следующих выражениях с переменными раскрыть скобки
и найти числовые значения при указанных числовых значениях
переменных:
1) 651—(а + 350) при а = 101; 2) 724 — (Ь—176) при 6 = 394;
3) 3059 — (х—1840) при х = 2539; 4) 7606 + (584—х) при
х = 2 895.
168. 1) Верно ли равенство: 7 031 +685 = 6 709 + 1 007?
2) Решая пример, ученик нашел числовое значение каждого из
выражений: 7031+685 и 6709+ 1 007; он получил 7716. Учитель
предложил ученику проверить правильность вычисления каждой
суммы при помощи сложения и при помощи вычитания. Как должен
ученик это сделать?
169. 1) Какое число следует прибавить к числу 6 503, чтобы
сумма их составила 10 000?
2) « + х = 6; как найти слагаемое х, если известна сумма b и
другое слагаемое а?
170. 1) Верно ли равенство: 528—379 = 201—52?
2) Решая пример,- ученик нашел значение каждой разности; он
получил 149. Учитель предложил проверить правильность вычисле-
ния каждой разности: для первого выражения проверить сложением,
а для второго выражения—вычитанием. Как ученик должен это
сделать?
171. 1) Какое число следует вычесть из 1 907, чтобы разность
оказалась равной 374?
2) а—х = Ь; как найти значение вычитаемого х, если известны
уменьшаемое а и разность 6?
172. 1) Из какого числа следует вычесть 1 605, чтобы разность
получилась равной 429?
2) х—й = 6; как найти значение уменьшаемого х, если известны
вычитаемое а и разность 6?
173. Решить уравнения:
1) х +5823 = 7 258; 2) (х —3 756)—10073 = 1 844;
3) (х + 7261)—2 135 = 6005; 4) 4 284—(х—378) = 3 064.
174. В каждой из записей вместо х вписать цифру так, чтобы
полученное равенство оказалось верным:
1) , 5 8x7 + 7x38 1x305 2) х75х 3) 5738 • 4) . 2х5хх 4 3x8 3 2хх ' 1 х82 2x75 х497 х2 657
27
175. 1) Проверить справедливость каждого равенства, выполнив
сложение:
а) 27 912+ 102 534= 130 446; б) 15 341 = 11 877 + 3 464.
2) Проверить справедливость тех же равенств действием вычитания.
3) Проверить справедливость каждого равенства двумя способами
(вычитанием и сложением);
а) 835 723—96 241 =739 482;
б) 407 238 = 2 006 785 — 1 599 547;
в) 816 451—673 954= 142 497.
176. Решить следующие задачи составлением уравнений:
1) Если к неизвестному числу прибавить 649, то в сумме полу-
чится 1 558. Найти неизвестное число.
2) Если к неизвестному числу прибавить 21 265, то сумма соста-
вит 30 054. Найти неизвестное число.
3) Если из неизвестного числа вычесть 547, то разность будет
равна 1 835. Найти неизвестное число.
4) Если из неизвестного числа вычесть 3 098, то разность соста-
вит 10 615. Найти неизвестное число.
177. Решить задачи составлением уравнения.
1) В магазине было 13 400 м материи. После рабочего дня в ма-
газине осталось 9 672 м. Сколько метров было продано в этот день?
2) Мальчик купил 12 новых почтовых марок, после чего их у не-
го стало 171 марка. Сколько марок имел мальчик?
3) Сколько страниц в книге прочитал мальчик, если он открыл
книгу на странице 102, а окончил чтение на странице 131?
4) Автобус имеет маршрут длиной 21 км и делает всего 10 оста-
новок. Последние пять остановок расположены на протяжении 9 км
500 м. На каком расстоянии расположены первые пять остановок?
178. 1) В треугольнике АВС АС = 25 см, ВС = 30 см и АВ = 45 см.
На сколько большая его сторона длиннее наименьшей его стороны?
2) Измерить стороны треугольника АВС и узнать, на сколько
сантиметров большая сторона больше наименьшей (рис. 6).
28
3) На сколько сантимет- g
ров большая сторона четы-
рехугольника ABCD больше /
его меньшей стороны (рис. 7)? /
Сколько сторон четырехуголь- /
ника нужно измерить для ре- /
шения задачи? / |
179. Построить прямоу- / I
гольник, длина которого 8 см / 1
и ширина 6 см. Провести в нем / 1
его диагонали и измерить их. , / | -
Что больше: периметр прямо-
угольника или сумма длин Рис. 7
его диагоналей? На сколько?
180. Пионеры отправились в туристский поход; 2 ч 40 мин они
ехали автобусом, а остальную часть маршрута шли пешком. Сколь-
ко времени они затратили на переход пешком, если в поход они
вышли в 7 ч 30 мин утра и прибыли на место в 13 ч 20 мин?
181. 1) На приготовление письменных уроков ученица затратила
55 мин. Сколько времени она затратила на приготовление устных
уроков, если готовить уроки она начала в 16 ч 15 мин, а закон-
чила в 18 ч 10 мин?
182. Во Владивостоке часы показывают 12 ч дня, а в Москве
в этот момент 5 ч утра. На сколько часов отстает время в Москве
по сравнению с дальневосточным? Сколько времени в этот момент
в Свердловске, если время в Свердловске опережает московское
время на 2 ч?
183. Площадь, занятая под сельское хозяйство во всех странах
мира, равна 3 784 млн. га. Из нее 2 298 млн. га занимают луга и
пастбища, а остальное занимают обрабатываемые земли. На сколько
миллионов гектаров площадь обрабатываемых земель меньше пло-
щади, занятой лугами и пастбищами?
184. Средняя скорость самолета «ТУ-114» 900 км в час, а сред-
няя скорость самолета «ИЛ-18» на 250 км в час меньше средней
скорости «ТУ-114» и на 50 км в час больше средней скорости са-
молета «АН-10». Найти среднюю скорость самолета «АН-10».
185. В Москве в начале 1970 г. проживало 7 061 тыс. чел.,
в Ленинграде на 3 111 тыс. чел. меньше, чем в Москве, и на
2 318 тыс. чел. больше, чем в Киеве. Сколько человек проживало
в Ленинграде и сколько в Киеве в начале 1970 г.?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 3
1) Которое из выражений 356713 —(60874-j-207 119) и 520811 —
— (471 020—107 439) имеет большее числовое значение и на сколько?
2) Если к задуманному числу прибавить 407 и сумму уменьшить
на 267, то получится 301. Какое число задумано?
3) Решить уравнение: х +27 552= 185 143 —148 358.
29
4) При каких натуральных значениях переменного каждое из
неравенств: а) 207—138+х < 341 —239; б) # + 508—459 < 332 —
— 278—обращается в верное неравенство?
5) Школьники решили посадить около школы 185 деревьев. Было
посажено 72 березы, 39 сосен, 28 осин; остальное количество со-
ставили посадки тополя. Сколько тополей посадили школьники?
6) Найти разность между наибольшим шестизначным и наимень-
шим пятизначным числами.
7) Какое наибольшее значение принимает выражение 54 232—х,
если переменное х равняется одному из чисел множества
{20934; 48566; 39812; 51 692; 29855; 53 333; 47218}?
8) Каким образом наиболее просто найти числовое значение каж-
дого из выражений: а) 12 312 — 9850—1 612; б) 10 038—(8 541+238)?
§ 4. УМНОЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ
186. 1) Вычислить сумму, заменив сложение умножением:
а) 73 + 73 + 73 + 73 + 73 + 73 + 73; б) 1 008+ 1008 + 1008.
2) Вычислить произведение, заменив умножение сложением:
а) 24-4; б) 3 015-3.
187. Найти числовое значение каждого из выражений:
а) 0-8; б) 805-1; в) 72-0; г) 1-16; д) 0-1; е) 1-0.
188. Вычислить значение каждого из выражений:
а) 1 373-2; б) 28546-3; в) 3 745-4; г) 2 537-9; д) 16023-6;
е) 30541-7; ж) 491-5; з) 2 036-8.
Проверить правильность вычисленного произведения на счетах,
заменяя умножение сложением.
189. Вычислить значение каждого из выражений:
а) 56-12; б) 37-29; в) 538-16; г) 354-74; д) 413-38; е) 605-43;
ж) 701-54; з) 6 005-92.
190. Найти значение каждого из выражений наиболее простым
способом:
а) 506 + 506 + 506 + 506 + 311; б) 314 + 314 + 314 + 87 + 87;
в) 3 209 + 3 209 + 3 209 + 485 + 485 + 485 + 485 + 485; г) 52019 +
+ 52 019 + 432 + 432 + 432 + 432 + 432 + 432.
191. Вычислить значение каждого из выражений:
а) 1 763-504; б) 3 892-701; в) 41 507-1 008; г) 409 -5027;
д) 8936-7020; е) 7014-1 040; ж) 25 108-3019; з) 71640-2015.
192. Заменить переменное х так, чтобы получились верные ра-
венства, если х — один из элементов множества {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;
7; 8; 9}:
30
1) хххх 9 2) хххх • 8 3) хххх 4) хххх
• х9 хб
80658 43688 47547 20490
ххххх хххх
206037 88790
193. Сколько минут и часов проводит ученик в школе в тот
день, когда у него 5 уроков, причем 2 перерыва по 15 мин каждый
и остальные по 10 мин каждый? Составить формулу решения.
194. Наблюдатель заметил, что через 5 сек, после того как блес-
нула молния, послышался удар грома. На каком расстоянии от на-
блюдателя происходила гроза, если скорость звука 330 м в секунду?
Объяснить, почему ответ на вопрос задачи можно получить при
помощи действия умножения.
Указание. Чтобы получить ответ на вопрос задачи, нужно
330 умножить на 5. а) Каждую секунду звук проходит 330 м. За
5 сек звук пройдет путь, в 5 раз больший. Чтобы увеличить число
330 в 5 раз, нужно выполнить действие умножения, б) Каждую се-
кунду звук проходит 330 л; за 5 сек звук пройдет 330 + 330 4-330 +
+ 330 + 330; сумму нескольких одинаковых слагаемых можно вы-
числить при помощи действия умножения. Мы привели два возмож-
ных способа (а и б) обоснования ответа на вопрос задачи.
195. Стриж кормит птенцов 20 раз в день и приносит за один
раз 370 мелких насекомых. Сколько насекомых наловит пара стри-
жей летом для своих птенцов, если период выкармливания их
длится 32 дня?
196. 1) Турист прошел 24 км. Сколько километров проехал бы
за это же время велосипедист? (Указание. Использовать данные
о средних .скоростях передвижения в приложениях.)
2) В колхозе на некоторой площади было высажено 90 ц карто-
феля. Сколько семян озимой ржи потребовалось бы для засева того
же участка? Найти площадь участка. (Указание. Использовать
в приложениях данные о средних нормах высева различных куль-
тур на 1 га.)
197. Теплоход «Метеор» и катер проходят вместе 100 км в час.
«Метеор» проходит в час расстояние, в 3 раза большее, чем катер.
Сколько километров в час проходит каждый из них?
Указание. Решим задачу составлением уравнения. Приводим
возможный образец записи решения.
Требуется найти скорость теплохода и скорость катера. Пусть
скорость катера х км в час; тогда скорость теплохода 3-х км в час.
Оба вместе за час проходят х + 3-х (км); в условии сказано, что
оба проходят в час 100 км; значит, можно составить уравнение:
х + 3-х=100; решаем его: 4-х=100; х= 100:4; х = 25; скорость
катера 25 км в час; скорость теплохода: 25-3 = 75(кл« в час).
Ответ: 25 км в час и 75 км в час.
31
198. 1) В двух пачках 600 листов писчей бумаги. Сколько ли-
стов в каждой пачке, если в одной в 5 раз больше, чем в другой?
2) На трех полках лежат 324 книги. На 2-й полке книг лежит
вдвое больше, чем на 1-й, а на 3-й — втрое больше, чем на 1-й.
Сколько книг на каждой полке?
199. 1) Картина с рамой стоит 19 руб. 80 коп., причем картина
в 10 раз дороже рамы. Сколько стоит картина?
2) Стакан с подстаканником стоит 2 руб. 52 коп., причем ста-
кан в 6 раз дешевле подстаканника. Сколько стоит стакан и сколько
подстаканник?
200. 1) Сумма двух натуральных чисел 144. Одно из них в 7
раз больше другого. Найти каждое из чисел.
2) Сумма двух натуральных чисел равна 729. Одно из слагаемых
в 8 раз меньше другого. Найти каждое слагаемое.
201. 1) Уменьшаемое в 4 раза больше вычитаемого, а разность
равна 738. Найти уменьшаемое и вычитаемое.
2) Вычитаемое в 6 раз меньше уменьшаемого. Разность их равна
10 385. Найти уменьшаемое и вычитаемое.
202. Вычислить устно и правильность вычислений проверить на
счетах:
а) 2636-4; б) 1 473-2; в) 3846-3; г) 65083-7.
203. Письменно вычислить значения выражений, предварительно
выполнив прикидку:
а) 558-16; б) 354-24; в) 473-38; г) 682-45.
204. 1) Вычислить устно значение каждого выражения:
а) 3257-100; б) 978-10000; в) 1-724-0-65; г) 8750-1 000;
д) 1485+ (137—136)-15; е) 539 —(434 +366)-0.
2) Вычислить письменно значение каждого выражения:
а) 67059-809; б) 40057-7010; в) 71 050-9001; г) 198607-817;
д) 271 895-687; е) 47 059-4 036.
205. Проверить справедливость равенств:
а) 78-6 = 6-78; б) 307-18= 18-307; в) (25 + 35)-7 = 60-7;
г) (25 + 35)-7 = 25-7+ 35-7; д) 2-5-7 = 2-7-5 = 5-2-7 = 5-7-2 =
= 7-2-5 = 7-5-2.
206. Используя законы умножения, вычислить значения выра-
жений:
1)2-13-5; 2) 2-8-9-5; 3)4-8-5-5; 4)25-7-4-11; 5)28-99;
6) 198-7; 7) (12 + 35)-2; 8) (40 + 7)-3.
207. В следующих примерах выполнить действие умножения:
а) 5 .«8 дм 9 см-4; б) 15 кв. дм 37 кв. см-6', в) Зкв. м 54 кв. дм-14;.
г) 26 куб. дм 254 куб. см-8', д) 12 куб. м 700 куб. cai-9; е) 3 кг 875 г-3;
ж) 2 т 8 ц 45 кг-5; з) 6 ч 40 мин 16 сек-8.
32
208. Проверить справедливость каждого из следующих неравенств:
а) 705-43 >698-39; б) 8 125-9 < 6 549-12; в) 734-346 < 601-895;
г) 9 001-52 > 10 004 -16.
209. 1) Найти площадь квадрата, если его периметр равен 20 см.
2) Найти периметр квадрата, если его площадь равна 64 кв. см.
210. 1) Вычислить площадь прямоугольника, если его длина
42 мм и ширина 23 мм.
2) Вычислить периметр и площадь прямоугольника, если его
длина 47 мм и ширина 38 мм.
211. 1) Вычислить площадь поверхности и объем прямоугольного
параллелепипеда, если его длина 25 см, ширина 18 см и высота 12 см.
2) Вычислить объем и площадь поверхности прямоугольного
параллелепипеда, если его три измерения равны 35 мм, 26 мм и 41 мм.
212. Сделать модель прямоугольного параллелепипеда по разме-
рам предыдущей задачи.
213. Чемодан имеет форму прямоугольного параллелепипеда,
измерения которого равны: 60 с.и, 40 см и 25 см. Для этого чемо-
дана нужно сшить чехол. Сколько квадратных сантиметров материи
пойдет на чехол? Составить формулу решения.
214. Фанерный ящик для посылки имеет размеры 40 см, 20 см
и 15 см. Его перевязывают шпагатом, как показано на рисунке 8.
Сколько сантиметров шпагата нужно от-
резать, чтобы перевязать посылку, если на
узел и концы оставляют 50 см? Составить
формулу решения.
215. Железный бак, имеющий форму
прямоугольного параллелепипеда с разме-
рами 15 дм, 9 дм и 3 дм, нужно снаружи
покрасить. Достаточно ли для этого бан-
ки краски весом 500 г, если на покрас-
ку 1 кв. дм расходуется 1 г краски?
216. Ящик, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда
с размерами 12 дм, 4 дм и 8 дм, окантовывается по ребрам поло-
сами жести. Достаточно ли для этого листа жести прямоугольной
формы размером 60 стих 80 см, если ширина полосы для окантовки
берется 4 см?
217. 1) Модель куба имеет ребро в 10 см. Чему" равен объем
этой модели?
2) Модель куба имеет объем, равный 125 куб. см. Ребро куба
5 см. Найти площадь грани куба. Нельзя ли решить эту задачу,
если дано только ребро куба 5 см? Нельзя ли решить эту же зада-
чу, если дан только объем куба 125 куб. см?
218. 1) Объем комнаты, форма которой — прямоугольный паралле-
лепипед, равен 75 куб. м. Высота комнаты 3 м. Найти площадь
пола комнаты.
2) Мальчик из бумаги хочет сделать модель прямоугольного
параллелепипеда, чтобы его объем составил 60 куб. см. Высоту
2 № 2266
33
параллелепипеда он берет 5 см. Каковы два других измерения мо-
дели? Сколько решений имеет задача?
219. По указанным размерам на рисунке 9 найти объем куба
и объем прямоугольного параллелепипеда. Объем какого тела больше
и на сколько?
220. Вычислить значение каждого из выражений:
1) (69 + 97)-47; 2) (607 —427).63;
3) 89-17+ 108-14 — 99-18; 4) 830 + 357-527 + 491;
5) (830+ 367)-527+ 481; 6) (830+ 367)-(517+ 491);
7) 840+ 357-(557+ 451); 8) 405+ 451-75 —(739—652).
221. Вычислить значение каждого из выражений:
1) 79-68 + 435 268 —(767 —677)-51-96;
2) 78-607 + 19-[97 + 904-(2071 — 1 968)];
3) 805 001 + [908 • 307—65 - (413 — 299)1 — 205 • 34;
4) (976-887)-19+ [(1 007-965)-14 — 48]• 16;
5) 1 017 —418 -17-18 —(78 —56)-9;
6) (9 857 + 545)-105—996210 + 78-(1 080 — 789).
222. Вычислить значение каждого из выражений с переменными:
1) 3-а при а= 1 907; 2) 43а + 76 при а = 2011 и 6 = 635;
3) 71х—4075 при х=96; 4) 4• 17• 25• t/+ 2 108 при г/=13;
5) 25-п-8 при п = 452; 6) 165 + 2х + 435 при х = 637.
223. Вычислить значение каждого из выражений с переменными
(вычисления произвести наиболее простым способом):
1) х-2-11—800 при х = 40; 2) п-5-300—2500 при а = 5;
3) 465 + 3р + 235 при р = 200; 4) 592+ 2х—392 при х = 50;
5) 573 + 3t/ + 427 при у=12; 6) 1 068 — 5х + 232 при х = 37.
34
224. Решить уравнения:
1) %-7-11 —770; 2) а-2-31=62; 3) 317 + %+183 = 1 000;
4) 1 876 + 4х—676= 1 500; 5) 891 + Зу— 191 = 2 200.
225. Вычислить значение каждого из выражений, применяя
наиболее простой способ (используя законы умножения):
1) (704-8)-6; 2) (60 —7)-5; 3) (200 —13) 6;
4) 198-8; 5) 397-12; 6) 498-23.
226. Вычислить значение каждого из выражений, применяя
распределительный закон умножения:
1) 305-32 4-305-68; 2) 763-71 4-237-71; 3) 256-50—156-50;
4) 964-754-36-75; 5) 284-64 — 184-64; 6) 621-19 + 379-19.
227. Вычислить значение каждого выражения с переменным,
применяя распределительный закон умножения:
1) (76 + %)-3 при % = 24; 2) 77-3 + %-3 при % = 23;
3) 26а—26b при а = 208 и 6=108; 4) 37р—37-20 при р = 120;
5) 327р —127-94 при р = 94; 6) 325-61 — 175% при % = 61.
228. Вычислить значение каждого выражения, применяя рас-
пределительный закон умножения:
1) 2%+ 6% при % =105; 2) 12%+108% при % = 5;
3) 13#—26-15 при у = 50; 4) 17а + 51-49 при а = 2;
5) 986—936 при 6= 1 027; 6) 611с—311с при с=1050.
229. Решить следующие задачи с помощью уравнений:
а) При каком значении переменного % выражение 11% на 36
больше 7%?
б) При каком значении переменного у выражение 15с/ -\-1у рав-
но ПО?
в) При каком значении переменного а сумма выражений 6а и
Па равна 6817?
г) При каком значении переменного р выражение 14# меньше
выражения 17# на 4 062?
230. При каких значениях переменного каждое из следующих
равенств обращается в верное равенство:
а) 208-% = %-208; б) 152-73% = %-73-152; в) 14- с/-93 = 42• 31 -у;
г) П%+17%=282; д) (17+#) - 6= 17 - 6 + 6#; е) (17+5)-9=7-9 + 9-%?
231. При каких натуральных значениях переменного % каждое
из следующих неравенств будет верным:
1) 414% + 765-18 < 54-324; 2) 58%+167-20 < 32-108;
3) 267% + 813-57 < 5327-9; 4) 15%+ 618-32 < 12-1 663?
232. Пассажирский поезд выходит из Москвы в 10 ч 40 мин
и приходит на станцию назначения в 14 ч 10 мин. На каком рас-
стоянии от Москвы находится конечный пункт маршрута поезда?
Использовать таблицу средних скоростей передвижения (в прило-
жениях).
2*
35
233. Из Москвы и Саратова одновременно выходят два поезда
навстречу друг другу. Первый делает 40 км в час, а второй—48 км
в час. На каком расстоянии окажутся эти поезда один от другого
через 8 ч после выхода, если расстояние от Москвы до Саратова
892 км?
234. В резервуар проведены две трубы. Через первую вода
втекает со скоростью 40 куб. дм в минуту, а через вторую вытекает
900 куб. дм в час. Если открыть обе трубы одновременно, то пустой
резервуар наполнится через 6 ч. Найти вместимость резервуара.
Составить формулу решения.
235. Из 1 куб. м древесины можно получить 165 кг искусствен-
ного волокна, а из него можно изготовить 1 500 м ткани или 4 000 пар
чулок. Сколько искусственного волокна, ткани или чулок можно
изготовить из 15 куб. м древесины? Сколько хлопка или шелкович-
ных коконов может заменить 15 куб. м древесины, если 1 куб. м
ее заменяет хлопок, собранный с 50 га, или шелк с 320 000 шелко-
вичных коконов?
236. 1) Который теперь час, если прошедшая часть суток в 5 раз
меньше оставшейся?
2) Который теперь час, если оставшаяся часть суток в 3 раза
меньше прошедшей?
237. 1) Если неизвестное число умножить сначала на 7, а потом
его же умножить на 15 и полученные произведения сложить, то
в сумме получится 58 520. Найти неизвестное число.
2) Если неизвестное число умножить сначала на 11, а потом его
же умножить на 8, то первое произведение окажется на 2448 боль-
ше второго. Найти неизвестное число.
Произведение одинаковых сомножителей
238. 1) Записать данные произведения в виде степени:
а) 2-2-2.2-2-2-2; б) З-З-З-З-З; в) 5-55-5; г) 4-4-4-5-5;
д) 7-7-7.7-7-13-13-13-13; е) 9.9-2-2-2.
2) Записать данные степени в виде произведений и вычислить
их значения:
а) З3; б) 74; в) 2е; г) 52; д) 23; е) З4.
239. 1) Из множества А чисел А {9; 36; 18; 24; 81} выписать
те числа, каждое из которых можно представить в виде произве-
дения двух одинаковых сомножителей.
2) Представить в виде произведения двух одинаковых сомножи-
телей каждое из чисел:
а) 4; б) 16; в) 36; г) 49; д) 64; е) 81; ж) 100; з) 144.
240. 1) Сторона квадрата 4 см 3 мм. Найти периметр квадрата
и его площадь.
2) Периметр квадрата равен 10 см 4 мм. Найти площадь этого
квадрата.
36
241. 1) Пол балкона облицовывают кафельными плитками, имею-
щими форму квадрата со стороной 15 см. Сколько потребуется
плиток, если пол имеет форму прямоугольника со сторонами
1 м 80 см и 75 см?
2) Ребро куба 18 мм. Найти площадь его поверхности и объем.
242. 1) Объем куба равен 27 куб. см. Найти длину ребра куба.
2) Площадь квадрата равна 900 кв. см. Найти сторону квадрата.
243. 1) Вычислить площадь прямоугольника, если его длина
28 см и ширина 25 см.
2) Увеличить меньшую сторону прямоугольника в два раза,
оставив большую сторону равной 28 см. Вычислить площадь нового
прямоугольника.
3) Сравнить значения площадей обоих прямоугольников. Почему
площадь второго прямоугольника в 2 раза больше площади первого?
4) Вычислить, как изменится значение площади прямоугольника,
если его большую сторону (28 см) увеличить в 2 раза, а меньшую
сторону (25 см) оставить без изменения?
244. 1) Вычислить площадь прямоугольника, если его стороны
равны 40 см и 15 см.
2) Во сколько раз уменьшится площадь прямоугольника, если
его большую сторону (40 см) уменьшить в 2 раза, а меньшую оста-
вить без изменения (15 см)?
245. 1) Во сколько раз уменьшится площадь прямоугольника,
если большая его сторона равна 40 см, а меньшая (15 см) умень-
шена в 3 раза?
2) Изменится ли значение площади прямоугольника, если боль-
шую его сторону (40 см) увеличить в 3 раза, а меньшую сторону
(15 см) во столько же раз уменьшить?
246. 1) Вычислить площадь прямоугольника, если его длина
равна 12 см и ширина равна 6 см.
2) Длина прямоугольника равна 24 см, а ширина равна 18 см.
Вычислить площадь этого прямоугольника.
247. 1) Вычислить, во сколько раз площадь прямоугольника во
второй (№ 246) задаче больше площади прямоугольника первой за-
дачи? Решить задачу вычислением и графически (построить в тетради
каждый из прямоугольников и убедиться, что площадь второго в
6 раз больше площади первого).
2) Объяснить, почему площадь второго прямоугольника в 6 раз
больше площади первого прямоугольника.
248. Как изменится значение произведения, если:
1) один из сомножителей разделить на 2, а значение других со-
множителей оставить без изменения;
2) значение одного из сомножителей уменьшить в 8 раз, а значе-
ние остальных сомножителей оставить без изменения;
3) значение одного из сомножителей увеличить в 5 раз, а зна-
чения остальных сомножителей оставить без изменения;
4) значение одного из сомножителей умножить на 4, а значения
остальных сомножителей оставить без изменения?
37
249. Как изменится значение произведения, если:
1) значение одного из сомножителей увеличить в 2 раза, а зна-
чение другого сомножителя увеличить в 5 раз;
2) значение одного сомножителя умножить на 3, а значение дру-
гого сомножителя умножить на 4;
3) значение одного сомножителя увеличить в 4 раза, а значение
другого сомножителя уменьшить в 4 раза;
4) значение одного из сомножителей увеличить в 6 раз, а зна-
чение другого уменьшить в 3 раза?
250. 1) Во сколько раз увеличится число 3 527, если его сначала
умножить на 8 и полученное число умножить еще на 3?
2) Во сколько раз увеличится число 2 483, если его сначала ум-
ножить на 6 и полученное произведение разделить на 3? Как, не
выполняя действия с числом 2483, обосновать, что это число уве-
личится в 2 раза?
3) Как следует изменить значение одного сомножителя, если дру-
гой сомножитель умножить на 5, причем значение произведения
должно остаться без изменения?
4) Значение одного сомножителя умножено на 10. Как следует
изменить значение другого сомножителя, чтобы значение произве-
дения увеличилось в 5 раз?
251. 1) Первый сомножитель равен 9. На какое число увели-
чится произведение двух сомножителей, если второй из них увели-
чить на 2?
Указание. Вспомнить, какое действие называется умножением,
и распределительный закон умножения.
2) Как изменится значение произведения двух чисел, если один
из сомножителей увеличить на 3, а другой сомножитель оставить
без изменения?
252. Вычислить числовое значение каждого выражения наиболее
простым способом, раскрыв предварительно скобки или применив
законы умножения:
1) (325-11)-4; 2) (25 + 7)-8;
3) 25.184-25-22; 4) 3 706 + (412-701 —412);
5) 76-205—(83—7); 6) 601-73—(92-Х + 73) при х = 231.
253. Решить уравнения:
1) 573+ (812 4-х) = 1 925; 2) х—(521—398)= 1 280;
S) 413—(285 + х) = 80; 4) 365 — (201 —х) = 164.
254. Вычислить числовое значение каждого из выражений наибо-
лее простым способом:
1) 2а + 3а при а = 617; 2) 59х + х при х=108;
3) 75b— 456 + 209 при 6 = 62;
4) 75х—(326—5х) при х= 10;
5) 605-918 — (х + 5-918) при х=1007;
6) 704-313 —(313-4—х) при х = 400.
38
255. Найти числовое значение каждого из следующих выраже-
ний наиболее простым способом:
1) 768-125; 2) 3 482-25; 3) (6 632+ 185 + 2 368)-10;
4) 160 279—(209-401 +679).
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 4
1) Найти значение числового выражения:
(784 • 459—606 • 516) • (478 • 395 — 515 • 304) + 95 -1 327.
2) Для оплаты месячного расхода электроэнергии было снято
показание электросчетчика 832 киловатт-часа. Сколько нужно упла-
тить за электроэнергию, если 1 киловатт-час стоит 4 коп., а при
оплате за прошлый месяц показание счетчика было 743 киловатт-
часа?
3) Ширина прямоугольного участка втрое меньше его длины.
Вычислить площадь этого участка, если длина забора вокруг него
равна 920 м?
4) Ученик должен был перемножить числа 63 и 36. Он перемно-
жил отдельно десятки и отдельно единицы и полученные произведе-
ния 1800 и 18 сложил. Ученик дал ответ 1818. Правильный ли
ответ дал ученик? Какой ответ является правильным? Каким зако-
ном умножения пользуются при перемножении многозначных чисел?
5) Сумма двух чисел равна 682. Одно из них оканчивается ну-
лем. Если нуль в этом числе зачеркнуть, то получится другое число.
Найти эти числа.
6) Как изменилось числовое значение произведения, если один
сомножитель умножили на 12, а другой сомножитель разделили на 4?
7) Как наиболее просто вычислить числовое значение произведе-
ния 6024-25?
§ б. ДЕЛЕНИЕ
256. 1) Число 23 310 разделить на 45 равных частей.
2) Число 2 475 уменьшить в 25 раз.
3) Во сколько раз число 1804 110 больше числа 462?
4) Сколько раз число 178 содержится в числе 2 670?
5) Произведение двух сомножителей равно 60 172; один сомно-
житель равен 307. Найти другой сомножитель.
6) Какие основные задачи решаются действием деления?
257. 1) Расстояние от Баку до Ленинграда 3150 км. Самолет
пролетел его за 5 ч. Сравнить среднюю скорость самолета со сред-
ними скоростями «ТУ-114» и «ИЛ-18» (см. Приложения стр. 295).
2) Скорость теплохода «Ракета» 75 км в час, а скорость парохо-
да 15 км в час. Во сколько раз скорость парохода меньше скорости
«Ракеты»?
258. (Устно.) 1) Мама купила плитку шоколада и разделила
ее поровну сыну и дочери. Какую часть плитки получил каждый
из детей? Как записать ответ числом?
39
2) Мама купила плитку шоколада и разделила ее поровну 3 де-
тям. Какую часть плитки получил каждый? Как записать ответ числом?
3) Какая часть числа находится, если это число делится на 5?
4) Как записать пятую долю числа?
259. Найти числовое значение каждого частного:
1) 805:23; 2) 1 176:42; 3) 8610:123; 4) 77 050:25; 5) 70500:25;
6) 142 524:107.
260. Выполнить действие деления:
1) 3744:24; 2) 7566 156:78; 3) 177600:12; 4) 1 964800:320;
5) 27 280:16; 6) 2 151 763:307.
261. Выполнить действия деления:
1) 0:287; 2) 365:1; 3) 2 109:2 109; 4) 0:5.
262. При движении вокруг Солнца Земля перемещается за ме-
сяц на 75 168 720 км. На какое расстояние Земля перемещается за
сутки?
263. 1) Расстояние между двумя пристанями 1 260 км. Пароход
его прошел со средней скоростью 30 км в час. Сколько времени он
находился в пути?
2) Ракета, скорость которой 8 км в секунду, летит быстрее само-
лета в 32 раза. Вычислить скорость самолета в час.
264. Сколько литров воды дает родник в час, если туристы заме-
тили, что трехлитровая банка наполняется за 6 сек?
265. Для библиотеки требуется переплести 3 240 книг. Одна
мастерская берется выполнить заказ за 20 дней, другая — за 30
дней, а третья — за 60 дней. За сколько времени выполнят этот за-
каз все три мастерские, работая одновременно?
266. Чтобы выкачать воду из трюма, поставили два насоса. Пер-
вый выкачивает 25 ведер в минуту, а второй — 35 ведер в минуту.
Сначала 20 мин работал один первый насос, а потом оба насоса
стали работать вместе. Через сколько времени насосы выкачали
4 100 ведер воды из трюма?
267. 1) Из двух городов, расстояние между которыми 520 км,
выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мото-
циклист. Через 4 ч движения расстояние между ними оказалось
равным 272 км. Вычислить скорость мотоциклиста, если велосипе-
дист ехал с обычной средней скоростью передвижения. (См. Прило-
жения—таблицу средних скоростей.)
2) Из двух городов, расстояние между которыми 1480 км, одно-
временно в одном направлении вышел пассажирский поезд и выле-
тел самолет. Самолет догнал поезд через два часа после вылета.
Найти скорость самолета, если поезд шел с обычной средней скоро-
стью. (См.таблицу средних скоростей в Приложениях.)
40
268. При каком значении переменного а верны равенства:
1) а-. 100= 2) 100:а= 1;
3) 100:а= 100; 4) а:а= 1;
5) а: 100 = 0; 6) 0:я = 0.
269. Лыжник прошел: за первый час 10 км 880 м; за второй
9 км 450 м; за третий 9 км 100 м и за четвертый 8 км 10 м. Ка-
кое расстояние в среднем он проходил в час? Коля получил ответ
9 км ПО м; Нина получила ответ 9 км 360 м и Витя получил
ответ 9 км 135 ж. Кто из них получил верный ответ?
270. Используя основное свойство частного, вычислить числовые
значения выражений:
а) 7 200:240; б) 9180:180; в) 63700:9100; г) 15 120:2 160;
д) 845 040:120; е) 4 820 400:15 600.
271. 1) За первые три дня недели на 10 машинах перевезли
80 т груза и за последние три дня недели еще перевезли 90 т
груза. Сколько тонн груза было перевезено на каждой машине за
неделю, если ежедневная загрузка машины была одинаковой?
2) Сравнить два возможных решения первой задачи и получен-
ные при решениях выражения: (80 + 90): 10 и 80:10 + 90:10; из
сравнения этих выражений следует: при делении суммы на число
можно каждое слагаемое суммы разделить на делитель по отдель-
ности и полученные частные сложить.
272. 1) Проверить справедливость равенства:
4 284 560:14 = 4 200 000:14 + 84 000:14 + 560:14;
2) проверить справедливость равенства:
(640 —352): 16 = 640:16 —352:16.
273. 1) За 5 пакетов муки по 3 кг в каждом уплачено 6 руб,
90 коп. Сколько стоит 1 кг муки?
2) Сравнить два возможных решения первой задачи и полученные
выражения: 690:(5-3) и 690:5:3; из сравнения этих выражений
следует вывод: чтобы разделить число на произведение двух (не-
скольких) чисел, можно это число разделить на каждый сомножитель
последовательно и полученные частные перемножить.
274. Проверить справедливость следующих равенств:
а) 208:16 = (208:8): 2;
б) 79422:217 = 79422:7:31.
275. Зрительный зал кинотеатра имеет объем 2 700 куб. м. Ка-
кова его высота, если он имеет форму прямоугольного параллеле-
пипеда и размеры пола 45 м и 15 м?
276. 1) В зрительном зале 24 ряда стульев по 6 стульев в каждом?
Сколько получится рядов, если в каждом поставить по 8 стульев?
2) Рассмотреть два способа решения предыдущей задачи: (6-24): 8
и 6-(24:8) и сравнить ответы их; из сравнения ответов сделать
41
вывод: чтобы произведение нескольких чисел разделить на число,
можно разделить на это число только один из сомножителей.
277. Найти числовое значение каждого выражения наиболее
простым способом:
1) (12-15-17):2; 2) (32-76-83):4;
3) (81 -35-18):9; 4) (51-399): 17;
5) 552-68:12; 6) 19539:(501 • 13);
7) 219 792:(241-19); 8) (16 422 4- 12 558): 483.
278. 1) Сколько раз можно вычитать по 256 из числа 8 192?
2) Сколько раз следует взять слагаемым число 345, чтобы в
сумме получить 2 415?
279. 1) 55 832 652 разделить на сумму чисел 38 329 и 37 325;
2) 3 023 603 разделить на разность чисел 49 251 и 34 784.
280. На хлебозавод нужно доставить 4 200 мешков муки. Каждый
мешок весит 60 кг. На грузовик кладут 3 т. Сколько потребуется
грузовиков для перевозки муки, если каждая машина сделает
12 ездок?
281. Номер пряжи обозначается числом мотков, которое требуется
на 1 кг пряжи при длине нитки в каждом мотке в 1 000 м. Опре-
делить номер пряжи, в которой на 200 г приходится 4 000 м нитки.
282. В таблице вместо переменного х найти соответствующее
числовое значение:
Делимое Делитель Чгсгнсе
X 103 29 .
21 276 X 108
X 97 204
25 461 X 207
283. 1) Верно ли равенство: 768-65 = 256-195?
2) Решая пример 1), ученик нашел числовое значение каждого
из произведений 768-65 и 256-195; он получил 49920. Учитель
предложил ученику проверить правильность вычисленного произве-
дения при помощи умножения и при помощи деления. Как должен
это сделать ученик?
284. 1) На какое число следует умножить 513, чтобы получить
в произведении 13 338?
2) а-х = Ь\ как найти неизвестный сомножитель х, если известно
произведение b и другой сомножитель а?
285. Решить уравнения:
а) 172-х = 14 792; б) 18х = 738;
в) 61x4-431 = 1102; г) 302х—2019 = 21 537;
д) 737 —6х = 89; е) (Зх 4-40) • 4 = 832.
42
286. 1) Верно ли равенство: 321 530:814= 125215:317?
2) Решая пример 1), ученик нашёл числовое значение каждого
частного 321 530:814 и 125215:317; он получил 395. Учитель пред-
ложил ученику проверить правильность найденного значения частного
при помощи деления и при помощи умножения. Как должен ученик
это сделать?
287. 1) Какое число следует разделить на 57, чтобы в частном
получилось 304?
2) х:а = Ь; как найти неизвестное делимое х, если известно
частное b и делитель а?
288. Решить уравнения:
а) х:23 = 408; б) (х—72):31 = 16;
в) (х —76): 57 = 311; г) х:82 = 2065;
д) (х+1017):563= 107.
289. 1) На какое число следует разделить 28 341, чтобы в
частном получить 47?
2) а:х = Ь; как найти неизвестный делитель х, если известны
делимое а и частное Ь?
290. Решить уравнения:
а) 54 142:х=506; б) 116831 :х= 143;
в) 72 045:х = 45; г) 27 945:(х—155) = 405;
д) 3077646:(х + 25) = 2321.
291. Заменить переменное х так, чтобы получились верные
равенства, если х—один из элементов множества {0; 1; 2; 3; 4; 5;
6; 7; 8; 9}:
1) ххххх 2) xlx 3) 31 хх2:2х2= 126; 5) хххх744 | 345х
• 72 • х7 . 41 ххх664 I 315х “9474 Зхх ххххх Зхх
, 20x82 ф7273х । х5х8 + 15х2 _8294 хххх
252x4 252x4
ххх15х ххх 1х 138x4 138x4 0
0
292. Решить уравнения:
1) (х—2 056) —753 = 4 175; 2) 5 278—(378—х) = 5 049;
3) х-704=78 144; 4) х:2 501 =431.
293. Решить уравнения:
1) 23814:х = 42; 2) х:607 = 319;
3) (х+ 1 067):67 = 35; 4) (х + 2085)-1 001 =2298296;
5) (х—13451):709 = 46; 6) (17х-Н 153): 153 = 98.
294. Двум ученикам нужно умножить одно и то же число: пер-
вому— на 18, а второму — на 31. Первый получил в произведении
1116. Какое произведение получил второй ученик, если ответ оба
они вычислили правильно?
43
295. 1) Я задумал число; если из него вычесть 25 и разность
умножить на 4, то в произведении получится 552. Какое число я
задумал?
2) Если к утроенному неизвестному числу прибавить учетверен-
ное это же неизвестное число, то в сумме получится 3 514. Найти
неизвестное число.
296. 1) Если неизвестное число разделить на 8 и к частному
прибавить 200, то в сумме получится 320. Найти неизвестное число.
2) Если из неизвестного числа вычесть 140, то оно уменьшится
в 6 раз. Найти неизвестное число.
297. Какие натуральные числа следует взять вместо буквы %,
чтобы получить верное неравенство: а) х > 10; б) % + 7 < 12.
298. Решить уравнения:
1) %:315 = 607; 2) х:209 = 4061;
3) %:508 = 904; 4) 3009 136:%= 14 467;
5) 4828278:% = 78; 6) 219528:%= 12.
299. Проверить справедливость неравенств:
1) 3 105:23 > 1 596:42; 2) 79875:125 > 142 524:321;
3) 21 248:128 < 78 453:23;
4) 534 356:178 < 1 900992:64.
300. Найти числовые значения каждого из выражений и указать,
какие из них равны между собой и которые являются большими:
1) (1 456 + 1 512):28 и 1 456:28+ 1 512:28;
2) (9 483+ 435): 87 и 8 908:68 + 544:68;
3) 1 864-407 и 1 975-407;
4) 307 975:485 + 3 021 и 296 875:475 + 3 025;
5) 76 923:189—213 и 530 844:17 124 + 253;
6) 17307:27 + 304-217 и 403-119 + 27 648:48.
301. Вычислить значения следующих выражений с переменными:
1) а: 141 при а= 109 134; 2) а:824 при а = 520 768;
3) 6:2 143 при 6= 1 137 933; 4) 1 287 852:% при % = 284;
5) 77 381:% при х = 347; 6) 2 038 096:% при %=1003.
302. Вычислить значения следующих выражений с переменными:
1) а:376 + 5826 при а = 211 312 и 6 = 31;
2) 317 037:а —6:2044 при а = 487 и 6 = 83804;
3) 186 796:67:82 +а:350 при а = 63 350;
4) 1 336892:й —387 287:6 при а = 283 и 6 = 241.
303. Во сколько дней железнодорожный поезд может пройти
расстояние 15 750 км, если в сутки он будет находиться в движении
20 ч и скорость его движения будет 63 км в час?
304. 1) Турист проехал 363 км, причем на пароходе он ехал
6 ч со скоростью 23 км в час, а остальную часть пути по железной
дороге со скоростью 45 км в час. Сколько часов он ехал поездом?
44
Составить новую задачу, приняв за неизвестное скорость поезда,
а найденное время переезда поездом считать известным.
2) Турист проезжал по 48 км в день в течение 15 дней, а при
обратном возвращении затратил 16 дней. С какой средней скоростью
в день ехал турист при возвращении?
3) Из двух городов, расстояние между которыми 960 км, вышли
одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через
8 ч после выхода. Найти скорость каждого поезда, если один про-
ходил в час на 16 км больше другого.
305. 1) Из двух городов, расстояние между которыми 260 км,
одновременно вышли два поезда в одном направлении. Шедший
впереди поезд делал в среднем 50 км в час, а шедший сзади имел
среднюю скорость 70 км в час. Через сколько часов после выхода
второй поезд догонит первый?
2) Из двух городов, расстояние между которыми 80 км, одно-
временно в одном направлении вышли два поезда. Поезд, шедший
впереди, делал в среднем 60 км в час, а другой поезд шел со сред-
ней скоростью 65 км в час. Через сколько часов второй поезд дого-
нит первый?
306. 1) В каждом из данных примеров вычислить частное:
360:2; 180:2; 120:2; 72:2; 60:2; установить, как изменяются число-
вые значения делимого по сравнению с первым делимым (360); ана-
логично установить, как изменяются числовые значения частного
по сравнению с частным первого примера. Сделать вывод: как изме-
няются значения частного в связи с уменьшением значений дели-
мого в несколько раз при условии, что значение делителя не изме-
няется.
2) В каждом из примеров вычислить значение частного: 30:3;
60:3; 120:3; 150:3; 180:3; установить, во сколько раз увеличиваются
значения делимого по сравнению с первым значением (30); анало-
гично установить, во сколько раз изменяются значения частного;
сделать вывод, как изменяются значения частного с увеличением
в несколько раз значений делимого при условии, что значение дели-
теля не изменяется.
3) Вычислить в каждом из следующих примеров значение част-
ного: 160:40; 160:20; 160:10; 160:8; 160:2; сделать вывод, как
изменяются значения частного с уменьшением значений делителя,
если значения делимого не изменяются.
4) В каждом из следующих примеров вычислить значение част-
ного: 300:3; 300:6; 300:12; 300:15; 300:30; сделать вывод, как
изменяется значение частного, если значение делителя увеличивается
в несколько раз при условии, что значение делимого не изменяется.
5) Вспомнить основное свойство частного; как изменится значе-
ние частного, если значение делимого и делителя разделить на одно
и то же число? Проверить его справедливость на примерах:
3 600:120; 720:24 и др.
45
307. Вычислить наиболее простым способом значение частного:
а) 112:14; б) 1 700:25; в) 391 352:26;
г) 57 948:12; д) (39-7-15-4):78; е) 5 346 000:3 300.
308. Как изменится значение частного, если:
а) делимое умножить на 8 и делитель разделить на 2;
б) делимое разделить на 5 и делитель умножить на 3;
в) делимое умножить на 12 и делитель умножить на 4;
г) делимое разделить на 10 и делитель разделить на 5;
д) делимое умножить на 20 и делитель разделить на 10?
309. а) Как следует изменить значение делителя, чтобы значение
частного не изменилось, если значение делимого умножить на 15?
б) Значение делителя умножено на 10. Как следует изменить
значение делимого, чтобы значение частного увеличилось в 2 раза?
в) Значение делимого разделено на 12. Как следует изменить
значение делителя, чтобы значение частного не изменилось?
г) Значение делителя разделено на 42. Как следует изменить
значение делимого, чтобы значение частного уменьшилось в 6 раз?
д) Делитель увеличили в 24 раза. Как следует изменить дели-
мое, чтобы частное уменьшилось в 6 раз?
е) Делимое увеличено в 30 раз. Как следует изменить делитель,
чтобы частное уменьшилось в 5 раз?
310. 1) Насос выкачивает из бассейна воду за 32 ч. Во сколько
времени можно выкачать воду из бассейна, в 4 раза меньшего, при
помощи насоса, в 2 раза более мощного?
2) Турист проехал на лошади некоторое расстояние за 12 ч.
Во сколько времени автомобиль пройдет расстояние, в 10 раз боль-
шее, если скорость автомобиля в 6 раз больше скорости лошади?
311. Делимое уменьшено в 8 раз. Частное увеличилось в 7 раз.
Как изменилось значение делителя?
§ 6. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
312. 1) Сколько раз по 5 единиц содержится в числе 35?
2) Сколько раз по 5 единиц содержится в числе 36? Чему равен
остаток?
3) Сколько раз по 5 единиц содержится в числе 37? Чему равен
остаток? Проверить справедливость равенства 37 = 5-7 + 2.
4) Какие числа могут получиться в остатке при делении различ-
ных натуральных чисел на число 5?
313. 1) Какие числа могут получиться в остатке при делении
на каждое из 10 однозначных натуральных чисел? Почему?
2) При делении различных натуральных чисел на 12 можно ли
получить остаток, равный 15? Почему?
314. 1) Найти частное и остаток, если делимое 47 864 и делитель
363. Выполнить проверку правильности деления.
2) Найти частное и остаток, если делимое 910 321 и делитель 708.
Выполнить проверку правильности деления.
46
315. 1) При делении 15 627 на неизвестный делитель в остатке
получается 12. Какое наибольшее натуральное число, меньшее 15 627,
делится нацело на этот неизвестный делитель?
2) При делении неизвестного числа на 56 в частном получилось
73 и в остатке 21. Найти неизвестное делимое.
316. 1) При делении неизвестного числа на 47 в частном полу-
чилось 13 и в остатке 31. Какое наибольшее натуральное число,
меньшее неизвестного делимого, нацело разделится на 47?
2) При делении неизвестного числа на 57 в частном получилось
23 и в остатке 20. Какое наибольшее натуральное число, меньшее
неизвестного делимого, разделится нацело на 57?
317. Найти неизвестное делимое, если:
а) делитель 97, частное 24 и остаток 72;
б) » 103, » 39 и » 69;
в) » 4 091, » 318 и » 102;
г) » 908, » 923 и » 889.
318. 1) При делении 14 770 на некоторое натуральное число
частное равно 126 и остаток равен 28. Найти делитель.
2) При делении 90 445 на некоторое натуральное число частное
равно 293 и остаток равен 201. Найти делитель.
319. В каждом из следующих равенств указать делимое, тель и остаток: дели-
а) 3 076 = 73-42+ 10; б) 5382 = 83-64 + 70;
в) 4 938 = 301-16+122; г) 43222 = 527-82 + 8.
320. 1) Какое наименьшее натуральное двузначное число при
делении на 17 дает остаток, равный 2?
2) Какое наибольшее двузначное натуральное число при делении
на 22 дает остаток, равный 3?
3) Найти наименьшее натуральное число, которое при делении
на 999 дает остаток, равный 1?
4) Какое наибольшее натуральное четырехзначное число при
делении на 500 дает остаток, равный 499?
321. В каждом следующем примере проверить правильность
выполнения деления:
Делимое Делитель Частное Остаток
1) 1 510 53 28 . 26
2) 24 835 218 ИЗ 201
3) 14 887 401 37 50
4) 9913 300 33 13
322. На завод привозят стальные полосы длиной 4 280 мм и
4380 мм. Из этих полос вырезают детали длиной 188 мм, 195 мм,
212 мм и 215 мм. Из какой полосы следует нарезать каждую деталь,
47
чтобы на обрезки уходило возможно меньше металла? Станок может
из одной полосы нарезать детали только одного размера.
323. Найти неизвестное значение х, если:
Делимое Делитель Частное Остаток
1) 208 508 514 X 338
2) 225 989 691 327 X
3) 519 688 X 732 700
4) X 835 432 312
5) 398 874 X 549 300
6) 205 200 668 X 124
324. 1) Двум ученикам было нужно разделить одно и то же
число: первому на 18, второму на 19. Первый получил в частном
234 и в остатке 7. Какое число получил в частном второй? Оба
ученика ответ вычислили верно.
2) Какое число нужно вычесть из 2 480, чтобы, разделив раз-
ность на 65, в частном получить 38?
325. Проверить справедливость основного свойства частного при
делении с остатком на следующих примерах:
1) 751:25 — частное равно 30, остаток равен 1; увеличить в 2 раза
и делимое и делитель. Чему равно частное? Чему равен остаток?
2) 794:50—частное равно 15, остаток равен 44; уменьшить дели-
мое и делитель в 2 раза. Чему равно частное? Изменилось ли зна-
чение частного? Как изменилось значение остатка?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 5 И в
1) Найти частное и проверить правильность его вычисления:
а) 3 683 582:34 426; б) 61 556 713:7 517.
2) Найти приближенное частное и остаток. Сделать проверку:
а) 1294 358:6 264; б) 943 890:4 690.
3) Для засола зрелых помидоров берут 5 кг соли на 50 л воды.
Сколько соли нужно для приготовления 3 бочек рассола, если
емкость бочки 40 ведер и емкость ведра 12 л?
4) Потолок имеет длину 9 м и ширину, втрое меньшую длины.
Сколько листов сухой штукатурки нужно для обшивки потолка,
если длина листа 2 м и ширина 1 м?
5) Вычислить частное и остаток при делении 36 465 на 45. Как,
зная найденные значения частного и остатка, не производя деле-
ния, найти частное и остаток при делении 364 650 на 450?
48
6) а) Выписать множество А натуральных решений неравенств
8 < х < 15 и множество В натуральных решений неравенств
12 > у > 6.
б) Выписать те натуральные числа, которые являются решениями
обоих неравенств.
§ 7. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ
ПЕРЕМЕННЫЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ
326. (Устно.) Мальчик покупает в магазине 2 шоколадки по
24 коп. и калорийную булочку за 10 коп. Сколько денег должен
уплатить мальчик?
По условию задачи составить числовое выражение.
327. (Устно.) Используя названия результатов действий, про-
читать каждое из выражений и найти его числовое значение:
а) 39+16; б) 55—31; в) 507-0; г) 165:15; д) 127:1; е) 48-81.
328. Используя обозначения действий, записать каждое из выра-
жений и найти числовые значения их:
а) сумму чисел 647, 1 308 и 925; б) разность чисел 6 014 и
4 596; в) произведение чисел 177, 54 и 703; г) частное от деления
27 022 на 458.
329. 1) Найти значение числового выражения:• 1 600:80 + 17-32;
в каком порядке принято выполнять действия различных ступеней?
2) Представить число 18 в виде суммы двух натуральных чисел:
а) равных между собой; б) чтобы одно из них было на 2 больше
другого; в) чтобы одно из них было в 2 раза больше другого.
3) Представить число 14 в виде суммы двух натуральных чисел:
а) равных между собой; б) чтобы одно из чисел было двузначным
(сколько решений имеет задача?); в) чтобы оба были однозначными
числами (сколько решений имеет задача?).
4) Представить число 20 в виде произведения двух сомножите-
лей; сколькими способами можно это сделать?
330. 1) Каждое из чисел: 9, 81, 144, 10 000 представить в виде
произведения двух одинаковых сомножителей;
2) среди чисел 36, 49, 64, 100, 300 и 900 выделить те, каждое
из которых можно представить: а) в виде суммы двух одинаковых
натуральных чисел; б) в виде произведения двух одинаковых сом-
ножителей.
331. Составить числовые выражения по данным условиям и
найти значение каждого из них:
1) сумма чисел 17 и 20, умноженная на число 6;
2) разность чисел 118 и 19, разделенная на число 9;
3) число 72, разделенное на произведение чисел 3 и 4;
4) сумма чисел 24 и 20, разделенная на разность тех же чисел;
5) произведение чисел 15 и 6, разделенное на разность тех же
чисел;
6) произведение чисел 5 и 12, сложенное с частным чисел 16 и 4.
49
332. Найти значение каждого из следующих выражений:
1) 38-43 + 6573:313; 2) 73• 31 —6386:103;
3) 385-23-7 728:56; 4) 217-49 + 9 309:87;
5) 75-14—(237—72):5; 6) 651:31 +(187 + 35)-5;
7) (823 + 371):(273 —74); 8) (928 —49):(127 +166).
333. 1) 53-106 + 269-41—7489; 2) 473-72—3 928 + 57-205;
3) 9799:41 +6964:83 — 317;
4) 9794:59 + 28 — 6 360:265; 5) 245-9—5 792:181 — 1017;
6) 95 918:398 + 8-37—367; 7) 78-42:26 + 8099:89;
8) 77-52:91+5 724:53.
334. 1) 589:19-76 + 4 794;
2) 35-72—9581:67:11—2007;
3) 9214:271+48-52—2353;
4) 78-51:13:17 + 485 — 5368:61;
5) 6095:53-42 — 4 109 — 9394:7:61;
6) 54 • 62:93 + 2 075—9 075:25:11 —308;
7) 71 328-62-84:28—6 409:13 — 61 005;
8) 20006 + 57-39—20409 + 8 176:7:73.
335. Проверить справедливость следующих равенств или не-
равенств:
а) (1 553+ 3 447) :250 = 302-3—886;
б) (708 + 23-7)-240:(1 100 — 5-44) = (10 124 + 14050): 102;
в) 67400 + 504• 425 > 152-850—(39 100+10020);
г) 2 538 +(52—91:13)-69< 3209-2 + 0-235:5 + 2 103:2 103.
336. Найти числовые значения данных выражений, сравнить их
и составить равенства или неравенства:
а) 5 623 + 37-608—84-70 и 29-146—4 144:112 + 3 469;
б) 32-96—(4 040—3053) и 97 + 15-48.
337. Найти числовые значения выражений и составить из них
неравенства так, чтобы большее из выражений стояло в левой части
неравенства:
а) 50 498—18.(748 + 252) и 169-51+2 058-75;
б) 112808:(4-322 + 32—28-13) и 1 670 — 40 075:25.
338. Найти числовые значения выражений и составить из них
неравенства так, чтобы большее из выражений стояло в правой части
неравенства:
а) (673 + 1 212)-208—709-423 и 85 729—446 641:731;
6) 46 462:1 787 + 18 483:101 и 9 009:13 — 3 740:34.
339. Проверить справедливость следующих равенств или не-
равенств:
а) (891 319 + 763- 109 + 7 070 : 101): 207 — 105 = 10 121 —5 629 +
+ (68 467+ 67 286) :1223;
50
6) 497 + 13 311 : 27 + (56-75 — 2 075):25 = (172 + 17-34)-(823 +
+ 3-39): 141 —3925;
в) (16 531 -308 — 736-2016—188):304 < 216:18 + 48-307;
г) (200 + 35 • 55): 85 < 1 220 436: (708 • 37 — 20 184).
340. Составить выражения, содержащие переменные, и установить,
какие натуральные числа, включая и число нуль, могут принимать
переменные в полученном выражении:
а) сумма переменного а и числа 2;
б) разность между числом 9 и переменным Ь\
в) произведение числа 12 и переменного с;
г) частное от деления переменного а на число 15;
д) сумма переменных а, b и числа 100;
е) произведение переменных с, п и fe;
ж) разность между произведением переменных а и b и частным
от деления переменного с на переменное р;
з) сумма переменного а и произведения переменных b и п.
341. 1) Куплено п кг сахарного песку по 94 коп. за килограмм.
Сколько денег уплачено за покупку?
2) За проезд в автобусе пассажир платит 5 коп. Сколько копеек
опустят в кассу-автомат п пассажиров, которые сели в автобус на
одной из остановок?
3) Урожай пшеницы в колхозе составил 25 ц с гектара. Сколько
центнеров пшеницы собрано с п га?
4) В каждом классе школы учится в среднем 40 чел. Сколько
детей учится в а классах школы?
342. 1) Вычислить, какое количество бензина будет израсходо-
вано, если автомашина должна пройти расстояние а км при норме
расхода бензина 100 г на 1 км пути. При пробеге Москва—Ленин-
град шофер имеет запас бензина 20 кг. Сколько килограммов бен-
зина шоферу придется приобретать для завершения пробега?
2) При варке варенья на 1 кг малины кладут 1 кг сахарного
песку. Сколько потребуется сахарного песка, если ягод малины п кг?
Составить соответствующее выражение с переменным п и вычислить
его числовое значение при значениях переменного: а) п — 3 кг я
б) п = 5 кг.
3) Ученическая тетрадь стоит 2 коп. К началу учебного года уче-
ник покупает b тетрадей. Сколько денег он истратит на покупку
тетрадей? Составить выражение с переменным b и найти его значе-
ние при 6=10.
343. Какие числовые значения может принимать переменное а
в выражении а:5? При каком числовом значении переменного а
числовое значение данного выражения станет равным: а) 108; б) 407;
в) 0; г) 1?
344. 1) Вычислить площадь прямоугольника, если его длина
равна а и ширина равна Ь. Составить выражение площади через
&1
переменные а и b и найти значение полученного выражения при
а = 200 см и & = 75 см.
2) Три стороны треугольника соответственно равны а см, b см
и с см; составить выражение для периметра треугольника и вычис-
лить его значение при а = 24 см, Ь = 15 см и с =18 см.
3) Измерения прямоугольного параллелепипеда соответственно
равны а см, b см и с см; составить выражение для вычисления его
объема с переменными а, b и с и найти его числовое значение при
а = 10 см, Ь = 8 см и с = 20 см.
345. Турист каждый час удаляется от базы на расстояние а км.
На какое расстояние от базы удалится турист за 5 ч движения? Вы-
числить значение составленного выражения с переменным а, если
турист: 1) передвигается пешком; 2) едет верхом на лошади; 3) едет
на велосипеде; 4) едет на мотоцикле; 5) летит на самолете; 6) едет
на поезде; 7) идет на лыжах (см. табл, в конце книги).
346. Мать хочет подарить сыну авторучку, которая стоит а руб.,
и набор цветных карандашей, который стоит b руб. Сколько денег
должна она уплатить за покупку? Составить выражение стоимости
подарка с переменными а и Ь. Какова самая большая стоимость
подарка, если авторучки были стоимостью 2 руб. 40 коп.; 3 руб.
50 коп. и 3 руб. 30 коп.; а карандаши ценой 96 коп.; 23 коп. и
69 коп.?
347. Прямоугольник и квадрат имеют одинаковый периметр, рав-
ный 24 см. Который из них имеет большую площадь? Какова сторона
квадрата? Чему равна площадь квадрата? Какие значения могут
иметь переменные стороны прямоугольника? Например, могут ли
стороны прямоугольника иметь значения 9 см и 3 сл«? Какое значе-
ние имеет площадь такого прямоугольника? Какой ответ следует
дать на первый вопрос?
348. Игральная кость имеет форму куба, на каждой грани кото-
рого написано одно из чисел: 1; 2; 3; 4; 5 и 6. Играющий бросает
сразу две такие кости. Какова может быть сумма очков, которые
он получит на верхних гранях этих кубов? Сколько различных ре-
шений имеет задача?
349. 1) Мальчик наклеивает на лист альбома фотокарточки отца,
матери, свою и сестры. В каком порядке он может расположить эти
фото на листе? Сколько различных способов возможно применить?
2) Билет для проезда в автобусе стоит 5 коп. Сколькими спосо-
бами можно уплатить эту сумму, имея монеты достоинством в 1; 2;
3 и 5 коп.? Составить все возможные способы оплаты проезда.
350. На 60 коп. покупают конверты с маркой по цене 5 коп.
штука и открытки по 3 коп. штука. Обозначив число купленных
конвертов через у, число купленных открыток через к, составить
уравнение с двумя переменными. Привести несколько возможных
значений для переменных х и у, которые являются решениями со-
ставленного уравнения. Можно ли купить только 12 конвертов?
Только 20 открыток? Подобрать примеры других возможных реше-
ний.
52 ' ’
351. 1) а) Составить числовое выражение для вычисления периметра
квадрата, сторона которого равна 12 см;
б) найти периметр квадрата, сторона которого равна а; составить
выражение с переменным а для получения ответа.
2) а) Составить числовое выражение для вычисления периметра
равностороннего треугольника, сторона которого 20 см, и вычислить
его значение;
б) найти периметр равностороннего треугольника, сторона кото-
рого равна а; составить выражение с переменным а для получения
ответа.
352. 1) а) Составить числовое выражение для вычисления пери-
метра равнобедренного треугольника, если его основание равно 10 см
и боковая сторона 15 см. Вычислить значение этого выражения;
б) найти периметр равнобедренного треугольника, основание кото-
рого а и боковая сторона Ь; составить выражение с переменными а и Ь
для получения ответа и преобразовать его.
2) а) Составить числовое выражение для вычисления периметра
прямоугольника, длина которого 15 см и ширина 12 см, и найти его
значение;
б) найти периметр прямоугольника, смежные стороны которого
равны а и Ь; составить выражение с переменными а и b и преобразо-
вать его.
353. 1) Самолет „ТУ-104“ летел со скоростью 900 км в час. Какое
расстояние он пролетит за 8 ч?
2) Скорость самолета а км в час; какое расстояние он пролетит
за 8 ч полета?
3) Самолет летит со средней скоростью а км в час; до остановки
в пути он летел 7 ч и после остановки до конечного пункта еще
5 ч. Какое расстояние пролетел самолет до остановки? После оста-
новки? Какое расстояние пролетел самолет за все время полета?
Составить выражения с переменной а для каждого промежутка пути
и для всего расстояния в целом.
354. 1) Заправочная станция отпускает в день в среднем а л бен-
зина; сколько литров бензина будет отпущено в месяц, считая все
30 дней его рабочими? Сколько литров бензина будет отпущено за
квартал?
2) Магазин продает товаров в среднем на х руб. в день; сколько
рублей выручит магазин от продажи товаров за 6 рабочих дней
недели? Сколько рублей он выручит за 4 рабочие недели? Составить
соответствующие выражения с переменным х.
355. 1) Решить уравнения, преобразовав предварительно выраже-
ния с неизвестным:
а) х4-х = 24; б) х4-х4-х= 180;
в) 2-х4-3-х= 155; г) и -р и 4- 18 = 88;
д) а-\-а-\-а—17— 40; е) 5-а—11 = 44.
2) Какие натуральные числа являются решениями неравенств:
а) 2-х4~4-х < 24; б) 5-х—3-х> 10; в) 5-а—2-а<21.
63
356. 1) Основание равнобедренного треугольника равно 18 см,
и периметр его равен 50 см. Найти боковую сторону треугольника.
2) Периметр равностороннего треугольника 51 см. Найти его сто-
рону.
3) Периметр квадрата равен 160 см. Найти его сторону.
4) Периметр прямоугольника равен 280 мм. Его ширина равна
55 мм. Найти площадь прямоугольника.
357. Вычислить устно значение выражений, применяя законы
действий:
1) 2 187 + 562 + 5413; 2) 25-424; 3)2760-5; 4) 625-12; 5) 24-225;
6) 175-36; 7) 101-29; 8) 1 001-346; 9) 1 001-726; 10) 10001-2 351.
358. 1) Вычислить устно значение выражений, произведя только
один раз умножение и один раз сложение:
а) 34-28+ 12-34; б) 47-16 + 84-47; в) 29-72 + 28-29;
г) 154-41—54-41; д) 75-48 + 75-52.
2) Вычислить устно значение каждого из выражений, не выпол-
няя действия умножения в скобках:
а) (44-59—24-59):5; б) (42-83 + 38-83—30-83): 10;
в) (142-28+18-28—25-56):25.
3) Вычислить устно значение выражений:
а) 100 + 39-24 + 78-13; б) 32-56 + 32-20 + 96-8.
4) В цехе имеется 6 станков мощностью по а киловатт и 10 стан-
ков мощностью по b киловатт. Какова общая мощность оборудова-
ния цеха?
359. 1) Вычислить площадь боковой поверхности прямоугольного
параллелепипеда, если его измерения равны 10 см, 14 см и 18 см.
2) Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда,
если его измерения равны а, b и с.
360. Найти значение каждого из выражений, производя пред-
варительно преобразование выражения с переменными (к простей-
шему виду):
1) 17х + Их при х = 101; 2) 4 527+ 14^ + 2786 при п—1;
3) 957 — 3024а + 2043 при а = 0; 4) llx + 73-ll при х=127;
5) 159х — 58х при х = 49;
6) 2а + 11а+ 107+ 107+ 107 при а = 3;
7) 12а —5а+103+ 103+ 103+103 +103 при а = 5;
8) 33z/ + z/ + 34 при z/ = 99; 9) 4х:28—х:7 при х = 49;
10) 125-9р при р = 24.
Указание к № 360. Приводимые примеры следует решать, при-
меняя законы действий сложения и умножения, а также используя
преобразования выражений к простейшему виду. Так, в приме-
рах 1, 5, 6 можно произвести указанные действия: 1) 11х+17х =
54
= 28х и при х= 101 выражение получит числовое значение:
28-101 = 2 828; или в примере 6 аналогично 2а +11а= 13а; по опре-
делению умножения 107 + 107+107 = 3-107 и, применяя распреде-
лительный закон умножения относительно сложения, получаем
13-3 + 107-3 = 3-(13+107) = 3-120 = 360. Все вычисления следует
провести устно, но записью обосновать правильность проведенных
вычислений. Аналогично пример 4) (11 • х + 73• 11) при х= 127;
11 • 127 + 11-73= 11-(127 +73)= 11-200 = 2200. При решении при-
мера 10 следует учесть особые свойства некоторых чисел: 4-25=100
или 8-125= 1 000. Так, (125-9/?) при р = 24
125 • 9 • 24 = 125 • 9 • 8 • 3 = (125 • 8) • (9 3) (переместительный и сочета-
тельный законы умножения); 1 000-27 = 27 000; или этот же пример:
125-9-4-6 = (125-4)-(9-6) = 500-54 = 27 000.
При решении данных примеров показан возможный вариант за-
писи решения.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 7
1) Найти значение выражения: 3« + 46—5с при а=102, 6 = 75
и с = 48.
2) Как проще вычислить значение каждого из выражений:
а) 448 + 279—298; б) 44-175; в) 18-8+12-8 + 20-24?
3) Решить уравнения:
а) 2х-|- 11х + 18 = 186; б)24х = 9х + 780; b)2z/ + у + г/+ 700= 1 264.
4) Найти числовое значение выражения За+12а+15-98 при
а = 20.
5) Вычислить площадь поверхности прямоугольного параллеле-
пипеда, если его длина, ширина и высота равны 25 см, 30 см и
40 см.
6) Составить задачу, решение которой привело бы к составлению
выражения 25 • (а + b + с).
§ 8. УПРАЖНЕНИЯ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ
С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
361. Вычислить значение выражений:
1) 1:1+0:308 + 308:1; 2) 10-17 + 25-17 — 43310:71;
3) 988—4-(25 —13)—40; 4) 527:17 + 24-19—80:4;
5) 510:17 + 24-(38—80:4); 6) (510:17+ 24).38—80:4;
7) (510:17 + 24)-(38 —80:4); 8) 510:(27 + 24-38 —33-13).
362. Найти числовое значение выражений:
1) 2098-0+1-(307 + 0:4567) + 693:1;
2) (635 950:8050 + 5 427 335:67) • 28 551:307 - 999 649:49;
55
3) 88 + 23-81—79; 4) 78+ 23-(91—79);
5) (68+ 33)-(91—79); 6) (88+13)-81—79;
7) (9 101 + 1817): 53 — (10 601 — 919): 47;
8) 1308—17 108:(119—735:7).
363. Произвести указанные действия:
1) (43-29—27258:33)-(16218:53 —304);
2) 128-430 — 8791 +2675 + 71 625:375;
3) (147-29—22 875:75 + 20): 17;
4) (836:19 + 391):(52-37—1489);
5) 76-29 + 6886:313 — 408;
6) 477-85 — 7672:56—10800;
7) 5871:103 + (547 —382):5 —90;
8) (395-52 —603): 10 —48-24.
364. Вычислить значение выражений:
1) 25-(28-105 + 7 254:18) — (4267— 1 843):6-25;
2) 1 092 896:57 4 + 152 - 93—(76 -125 — 72 405:9);
3) 41 348-68-84:28 + 6539:13 — 32005;
4) 121 + 150-(6 293:31 + 18-32): [2 932 —(2 901-7-17)];
5) 375-12+ (245—27)-102 —3 195:15-42;
6) 2049-7 — 9659+ 16-105 — 6 992:38:23.
365. Вычислить значение выражений:
1) 121 350— 115325:25 — 27 840 — (2 064 + 3036): 170-9;
2) (110292:14:101 +4 109 —3907)-(1 236 —23 115:23);
3) 7402 140:765-345032:2 006 + 203-104;
4) 1 372247:673 + 407-201—6015-12;
5) 8682 416:632 — 1 117 464:808—450 150:75;
6) (137-56 —1 783207:739)-301.
366. 1) Найти три последовательных натуральных числа, если
их сумма равна 105.
2) Сумма четырех последовательных натуральных нечетных чисел
равна 8064. Найти эти числа.
367. 1) Сумма трех натуральных чисел 708. Одно из них — наи-
меньшее трехзначное число. Второе в три раза меньше третьего.
Найти числа.
2) Сумма двух чисел 715. Одно из них оканчивается нулем. Если
этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найти эти числа.
3) Сумма двух натуральных чисел 352. Если к меньшему из них
справа приписать нуль, то получится большее число. Найти эти
числа.
4) Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десят-
ков вдвое больше цифры единиц. Найти это число.
56
368. 1) Спортсмен проехал на байдарке по течению реки за
1ч 12 км 200 м, а против течения реки он проехал за 1,ч только
7 км 800 м. Найти скорость течения реки.
2) Два лыжника, находившиеся друг от друга на расстоянии
6 км 500 м, вышли одновременно навстречу друг другу и через
20 мин встретились. Когда же они вышли из одного пункта в одном
направлении, то через 40 мин один отстал от другого на 600 м.
Найти скорость каждого лыжника.
369. 1) С противоположных концов катка длиной 180 м бегут
навстречу друг другу два мальчика. Через сколько секунд они
встретятся, если начнут бег одновременно и если один пробегает
9 м в секунду, а другой 6 м в секунду? Составить формулу ре-
шения.
2) Один мальчик пробегает на коньках 8 м в секунду, а второй —
6 м в секунду. Через сколько секунд первый опередит второго на
50 м, если они одновременно побегут из одного места в одном и том
же направлении. Составить новую задачу, приняв за неизвестное
скорость мальчика, а найденное в задаче время считая известным.
370. 1) Два смежных участка земли прямоугольной формы имеют
одинаковую ширину 80 м и общую длину 240 м. Площадь первого
участка на 4320 кв. м больше площади второго. Найти площадь
каждого.
2) Два смежных участка прямоугольной формы имеют одинаковую
ширину 35 м и общую площадь 14000кв. м. Найти площадь каждого
участка, если длина одного на 80 м больше длины другого.
371. 1) Ширина прямоугольного участка земли, занимаемого
школьным фруктовым садом, на 100 м меньше длины. Школьники
расчистили примыкающий к саду пустырь. После этого длина и ши-
рина сада увеличилась каждая на 20 м, и длина стала в 2 раза
больше ширины. Сколько фруктовых деревьев удалось посадить еще,
если под каждое дерево отводится по 50 кв. м?
2) Длина прямоугольного участка земли, примыкающего к болоту,
на 80 м больше ширины. После осушительных работ длину и ширину
увеличили каждую на 30 м, и тогда длина участка оказалась в 2
раза больше ширины. На сколько увеличилась площадь участка?
372. 1) Ученики трех школ собрали всего 37 т железного лома.
В первой школе собрали на 1 т 500 кг больше, чем во второй, и на
3 т 500 кг больше, чем в третьей. Сколько денег получит каж-
дая школа за лом, если средняя цена установлена по 8 руб. за
тонну?
2) Три пионерских отряда собрали вместе 4 т 500 кг макулатуры.
Первый отряд собрал на 1 т меньше третьего, а второй — на 500 кг
меньше третьего. На какую сумму собрал макулатуры каждый от-
ряд, если 1 т ее стоит 20 руб.?
373. 1) Совершая туристский поход на 100 км, пионеры сделали
большой привал. После привала они прошли еще 10 км, и тогда
осталось идти в 3 раза больше, чем было пройдено. На каком рас-
стоянии от начала пути был сделан большой привал?
57
Указание. Весь путь 100 км-, осталось идти в 3 раза больше
пройденного, значит, 100:4 = 25 (кл/); было пройдено 25 км; до при-
вала было пройдено: 25 — 10= 15 (км).
2) Пешеход проходит за час 4 км, лыжник 9 км, а велосипедист
проезжает 12 км в час. Сколько времени израсходует каждый из
них, чтобы преодолеть расстояние 180 км?
374. 1) Спортсмен метнул копье в 5 раз, или на 48 м, дальше,
чем толкнул ядро. На сколько отстает спортсмен от чемпионов СССР
по метанию копья и толканию ядра, если рекорд СССР на 1970 г.
в метании копья 83 м 80 см, в толкании ядра 20 м 18 см?
2) Прыжок спортсмена в длину оказался на 450 см, или в 4 раза,
больше его прыжка в высоту. На сколько спортсмен отстает от чем-
пионов СССР по прыжкам в длину и высоту, если рекорды в этих
видах спорта по прыжкам в длину 7 м 80 см, в высоту 2 м 14 см?
375. 1) Электропоезд из 10 вагонов прошел мимо наблюдателя
за 8 сек. Какова скорость поезда, если длина вагона 16 м?
2) Кондуктор пассажирского поезда заметил, что встречный то-
варный поезд, шедший со скоростью 65 км в час, прошел мимо него
за 9 сек. Найти длину товарного поезда, если скорость пассажир-
ского поезда 55 км в час.
376. Два пассажира метро, начавшие одновременно один спуск,
другой подъем по эскалатору (движущаяся лестница метро), встре-
тились через .40 сек. Найти длину наружной части лестницы, если
скорость ее движения 1 м в секунду.
377. Зазор на стыках рельсов служит причиной стука колес
при движении поезда. Пассажир за одну минуту насчитал 75 уда-
ров. Какова скорость поезда, выраженная в километрах в час, если
длина рельса 12 м?
378. . 1) Два самолета вылетели одновременно навстречу друг
другу из двух городов, расположенных на расстоянии 6400 км, и
встретились через 4 ч. Скорость одного из них 750 км в час. Найти
скорость второго самолета.
2) От двух пристаней, расстояние между которыми 800 км, от-
правились одновременно навстречу друг другу два теплохода. Первый
проходил в среднем 450 м в минуту. Найти скорость второго, если
через 8 ч после начала движения расстояние между теплоходами
было 400 км.
379. 1) Из Москвы и Калинина в Ленинград по одному и тому
же шоссе выехали одновременно две машины. Из Москвы—легковая,
а из Калинина — грузовая. Средняя скорость грузовой автомашины
50 км в час. Определить скорость легковой машины, если она до-
гнала грузовую через 7 ч. Расстояние от Москвы до Калинина
168 км.
2) Из пунктов А и В, расстояние между которыми 8 км, одно-
временно и в одном направлении вышел пешеход со скоростью 4 км
в час и выехал автобус. Найти скорость автобуса, если он через
15 мин догнал пешехода.
58
380. 1) Из пункта А вышел автобус со скоростью 40 км в час
и через 12 мин догнал пешехода, который вышел из пункта Б од-
новременно с выездом автобуса из А. Скорость пешехода 5 км в час.
Найти расстояние между пунктами А и Б.
2) В полдень от пристани отошел пароход со скоростью 20 км
в час. Через 2 ч от той же пристани по тому же направлению
вышел другой пароход, который через 10 ч после своего выхода
догнал первый пароход. Определить скорость второго парохода.
381. 1) Расстояние от колхоза до станции, равное 6 км, пеше-
ход проходит за час, а велосипедист проезжает за 30 мин. На каком
расстоянии от колхоза и через сколько времени после начала дви-
жения они встретятся, если одновременно отправятся велосипедист
из колхоза, а пешеход со станции?
2) Расстояние от колхоза до города равно 40 км. Колхозник,
возвращаясь домой из города, вышел в 6 ч утра и шел со средней
скоростью 4 км в час. В 7 ч утра из колхоза за ним выехала ло-
шадь, на которой колхозник и вернулся домой в 1 ч дня. Найти
скорость лошади, считая, что лошадь двигалась с одной и той же
скоростью как до встречи с колхозником, так и после нее.
Указание. Изобразить графически условие задачи. Вычислить,
сколько времени находилась в дороге лошадь: 13—7 = 6 (ч), а до
встречи с колхозником 6:2 = 3 (ч); колхозник шел пешком 3 + 1 = 4 (ч)
и прошел за это время 4-4=16 (км)-, значит, лошадь проехала
40—16 = 24 (км) до встречи; скорость лошади 24:3 = 8 (км в час).
382. 1) В двух мешках 100 кг картофеля. Если из первого мешка
переложить во второй 12 кг, то в первом станет на 6 кг больше,
чем получится во втором. Сколько картофеля было первоначально
в каждом мешке?
2) В двух бидонах 28 л краски. Если из первого взять 3 л, а во
второй добавить 2 л, то во втором бидоне краски будет на 7 л больше,
чем останется в первом. Сколько литров краски было первоначально
в каждом бидоне?
383. 1) Уроки в школе начинаются в 8 ч 30 мин. Каждый урок
продолжается 45 мин. Перемены между вторым и третьим, между
третьим и четвертым уроками по 20 мин, остальные по 10 мин.
Определить время окончания 5-го и 6-го уроков.
2) Решить ту же задачу, если время начала уроков в 14 ч 30 мин.
384. 1) Первый советский искусственный спутник Земли был
запущен 4 октября 1957 г., а прекратил свое существование 3 ян-
варя 1958 г. Сколько времени он находился в полете?
2) Второй искусственный спутник Земли был запущен 3 ноября
1957 г., а прекратил свое существование 14 апреля 1958 г. Сколько
времени он находился в полете?
385. 1) Великий русский математик Н. И. Лобачевский родился
20 ноября 1792 г., а умер 12 февраля 1856 г. Сколько времени жил
Н. И. Лобачевский?
59
2) Великий русский математик П. Л. Чебышев родился 26 мая
1821 г., а умер 8 декабря 1894 г. Сколько времени жил П. Л. Че-
бышев?
386. 1) Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда,
заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м и высота 4 м.
Определить вес сена в сарае, если 10 куб. м сена весят 6 ц.
2) Потолок имеет длину 12 м, а ширину на 4 л меньше длины.
Сколько листов сухой штукатурки потребуется для обивки потолка,
если длина листа 2 м и ширина листа 1 м 5 дм?
387. 1) Для внутренних перегородок домов употребляются гипсо-
волокнистые плиты размерами: длина 31 дм, ширина 12 дм и тол-
щина 5 см. Сколько весит одна такая плита, если 1 куб. м гипсо-
волокнистой массы, из которой сделана плита, весит 8 ц?
2) Камышитовая плита имеет следующие размеры: длина 26 дм,
ширина 155 см и толщина 1 дм. Сколько весит такая плита, если
1 куб. м камышита весит 350 кг?
388. 1) Периметр прямоугольника 136 мм, причем длина на
8 мм больше ширины прямоугольника. Найти его площадь.
2) Площадь прямоугольника 2 210 кв. см. Одна из его сторон
равна 65 см. Найти периметр прямоугольника.
389. 1) Из прямоугольного листа стекла, длина которого 24 см,
а ширина 22 см, нужно вырезать прямоугольные пластинки разме-
ром 8 смхб см. Какое наибольшее число пластинок при этом можно
получить?
2) Какое наименьшее число листов стекла размером 150 сих50 см
потребуется для того, чтобы нарезать 6 стекол размером 52 сл/х49 см;
6 стекол размером 48 см х 48 см; 2 стекла размером 40 см х 48 см
и 1 стекло размером 36 сих 46 см?
390. 1) Ученик в течение 6 дней прочитал половину книги,
читая ежедневно по 10 страниц. После этого, чтобы прочитать
книгу к сроку, он стал прочитывать ежедневно на 5 страниц боль-
ше. На сколько дней ученик получил книгу?
2) Пионер, получая еженедельный журнал, успевал прочитывать
его к моменту получения следующего номера. За время пребывания
в деревне у него накопилось 5 номеров, и по возвращении он решил
прочитывать за неделю два номера. Через сколько недель будут
прочитаны все полученные номера журнала?
391. 1) Нужно отремонтировать три шоссейные дороги длиной
80 км, 95 км и 115 км. Определить затраты на ремонт каждой до-
роги, если расходы на ремонт 1 км одинаковы и если на ремонт
первой дороги отпущено на 1 800 руб. меньше, чем на ремонт второй.
2) От стальной полосы длиной 700 м отрезаны 3 большие и 4 ма-
лые заготовки, после чего остался кусок в 50 м. Определить раз-
меры заготовок, если большая заготовка в 2 раза длиннее малой.
60
392. 1) Экскурсанты за два дня израсходовали 188 руб. Во второй
день они израсходовали в 2 раза больше, чем в первый, и еще
8 руб. Сколько денег расходовали экскурсанты каждый день?
2) Бронза содержит 41 часть меди, 8 частей олова и 1 часть
цинка. Сколько весит кусок бронзы, если в нем цинка на 2 кг 135 г
меньше, чем олова?
393. 1) Пионеры сажали деревья на улицах поселка. На одной
улице нужно было вырыть 15 одинаковых ям, на другой—18 и на
третьей—25. За сколько часов работы были вырыты все ямы, если
на первой улице работы продолжались на 1 ч 40 мин меньше, чем
на третьей, если в среднем расход времени на рытье каждой ямы
один и тот же?
2) За 4 ч работы один ученик обработал на 5 деталей больше
другого, а мастер обработал на 25 деталей больше второго ученика
или в 2 раза больше первого. Сколько минут затрачивал на изго-
товление одной детали мастер и каждый из учеников?
394. 1) За 4 ч 30 мин работы один ученик обработал на 3 детали
меньше другого, а мастер обработал в 3 раза больше первого уче-
ника или на 27 деталей больше второго. Сколько времени затрачи-
вал мастер и каждый из учеников на обработку одной детали?
2) Рабочий превысил сменное задание по добыче руды в 3 раза
и дал на 18 т больше планового задания. Сколько тонн руды добыл
рабочий за смену и каково было сменное задание?.
395. 1) На двух автомашинах перевезли со склада в магазин за
2 дня 84 т различных товаров, причем в первый день было пере-
везено на 40 т больше, чем во второй. Определить грузоподъем-
ность каждой машины, если известно, что в первый день одна ма-
шина сделала 10 поездок, а вторая — 6; во второй день первая машина
сделала 2 поездки, а вторая — 6 поездок.
2) В мастерской было два куска материи на сумму 1480 руб.
Цена материи в первом куске 18 руб. за метр, а во втором—20 руб.
за метр. Сколько метров материи было в каждом куске, если первый
кусок стоил на 320 руб. дороже второго?
396. 1) Два экскаватора вынули вместе 10 000 куб. м земли,
причем первый работал 20 ч, а второй — 15 ч. Сколько кубических
метров земли вынимает каждый экскаватор в час, если первый вы-
нимает на 80 куб. м в час больше второго?
2) Для посева озимой ржи на площади 100 га и озимой пшеницы
на площади 150 га израсходовано вместе 59 m зерна. Какова норма
высева на 1 га озимой ржи и озимой пшеницы, если озимой пше-
ницы на 1 га высевается на 40 кг меньше, чем озимой ржи?
397. 1) Для 8 автомашин „Москвич" и 3 автомашин „Победа" на
300 км пути отпущено 351 л бензина. Сколько бензина расходует
автомашина каждой марки на 100 км пути, если „Победа" требует
на 100 км пути на 6 л бензина больше, чем „Москвич"?
2) Мотоциклист должен был проехать 540 км со скоростью 30 км
в час. Проехав некоторое расстояние, он должен был задержаться
на 3 ч и, чтобы прибыть к месту назначения в срок, после остановки
61
удвоил свою скорость. На каком расстоянии от пункта выезда прои-
зошла задержка?
398. 1) Бассейн вмещает 2 700 куб. м воды и наполняется тремя
трубами. Первая и вторая трубы вместе могут наполнить бассейн
за 12 ч, а первая и третья наполняют его вместе за 15 ч. Во сколько
часов каждая труба в отдельности наполняет бассейн, если третья
труба действует вдвое медленнее второй?
2) Коля и Ваня живут на одной стороне улицы поселка, а Миша
на противоположной. Если идти от дома Коли до дома Вани и потом
от дома Вани до дома Миши, то придется пройти 130 л; от дома
Вани до дома Миши и от него до дома Коли надо пройти 150 м;
от дома Миши до дома Коли и от него до дома Вани надо пройти
160 м. На каком расстоянии расположены дома мальчиков?
399. 1) При посещении выставки было куплено 78 детских биле-
тов и 16 билетов для взрослых на сумму 12 руб. 60 коп. Опреде
лить цену билетов, если детский билет в 3 раза дешевле билета
взрослого.
2) Для оплаты билетов каждый экскурсант внес 1 руб. 20 коп.,
но оказалось, что не хватает 1 рубля. Когда же каждый участник
внес еще по 10 коп., то оказалось, что 1 руб. остается лишним.
Сколько человек участвовало в экскурсии и сколько стоил билет?
400. 1) В мастерской сшили 8 одинаковых пальто и несколько
одинаковых костюмов, истратив на все 61 м материи. На пальто
расходовалось 3 м 25 см материи, а на костюм на 25 см больше.
Сколько сшито костюмов?
2) Несколько учащихся внесли на покупку книг по 50 коп., но
оказалось, что собранная сумма на 1 руб. 50 коп. меньше стои-
мости книг. Когда же каждый из учащихся добавил по 20 коп., то
вся собранная сумма денег превысила стоимость книг на 1 руб. 30 коп.
Сколько было учащихся и сколько стоили книги?
401. 1) Для 46 школьников были подготовлены шестиместные и
четырехместные лодки. Сколько было тех и других в отдельности,
если все туристы разместились в 10 лодках и все места в них были
заняты?
2) В мастерской из 1 000 листов бумаги сделано 120 тетрадей
двух сортов. На тетради одного сорта тратили по 8 листов на каж-
дую, а на тетради другого сорта по 12 листов. Сколько тетрадей
каждого сорта сделано?
402. На пароход продано 120 билетов первого и второго классов
на сумму 440 руб. Билеты первого класса продавались по 4 руб.
50 коп., а билеты второго класса по 3 руб. 25 коп. Сколько было
продано в отдельности тех и других билетов?
R2
403. 1) Отец старше сына на 20 лет. Сколько лет сыну, если
через 3 года он будет в 5 раз моложе отца?
2) Сыну 13 лет, а 5 лет назад он был в 4 раза моложе своего
отца. Сколько лет в данное время отцу?
404. 1) Сумма двух натуральных чисел равна 50. Если большее
число увеличить в 10 раз, а меньшее в 100 раз, то сумма изменен-
ных чисел составит 2 300. Найти первоначальные слагаемые.
2) Сумма двух натуральных чисел равна 1980. Если большее
число уменьшить в 100 раз, а меньшее в 10 раз, то сумма изме-
ненных чисел составит 99. Найти первоначальные слагаемые.
405. 1) Если каждое из двух задуманных чисел увеличить в
6 раз, то сумма составит 1500. Если большее из них увеличить на
100, то разность чисел будет равна большему числу. Какие числа
задуманы?
2) Если каждое из двух задуманных чисел увеличить в 5 раз,
то сумма составит 1200. Если же большее число увеличить на 90,
то разность чисел будет равна большему числу. Какие числа за-
думаны?
406. 1) Сколько квадратов со стороной 25 см можно вырезать
из листа фанеры, размер которого 1 060 мм х 850 мм?
2) Участок земли прямоугольной формы огорожен изгородью
длиной 240 м. Длина участка на 60 м больше его ширины. Уча-
сток разделен на две части, из которых одна на 700 кв. м больше
другой. Найти площадь каждой части.
407. 1) Мастерская получила два куска материи на сумму
2 860 руб. Цена материи в первом куске 19 руб. за метр, а во вто-
ром 15 руб. за метр. Сколько метров материи имеется в каждом
куске, если первый стоил на 370 руб. дороже второго?
2) Один участок земли имеет форму квадрата со стороной 60 м,
а другой участок прямоугольной формы имеет длину 90 м. Оба
участка обнесены изгородью. У какого участка изгородь имеет боль-
шую длину, если оба участка имеют одинаковую площадь?
408. 1) Завод за 22 рабочих дня в месяц должен выпустить по
плану 1 980 деталей. В результате рационализации удалось выпол-
нить план на 2 дня раньше намеченного срока. На сколько деталей
перевыполнял завод план ежедневного выпуска деталей?
2) Завод за 22 рабочих дня в месяц должен выпустить 2 376 де-
талей. Завод увеличил ежедневный выпуск на 24 детали. На сколько
дней раньше срока завод выполнил месячный план выпуска деталей?
409. 1) Если сестра отдаст брату 2 рубля из имеющихся у нее
денег, то у обоих денег станет поровну. Если же брат отдаст сестре
2 рубля из имеющихся у него денег, то у сестры станет денег в
3 раза больше, чем останется у брата. Сколько денег имеется у
каждого?
2) Мальчик начал читать книгу тогда, когда его товарищ прочел
30 страниц этой книги. Через сколько дней мальчик догонит своего
товарища, если он прочитывает по 25 страниц в день, а его това-
рищ по 20 страниц в день?
63
410. На запасных путях станции стоят два состава одинаковых
вагонов, причем в одном на 12 вагонов больше. После того как от
каждого состава отцепили по 6 вагонов, то в одном составе оста-
лось вагонов в 4 раза больше, чем в другом. Сколько вагонов было
в каждом составе?
411. В кассе магазина находятся пятирублевые и десятирублевые
кредитные билеты, всего на сумму 1 375 руб. Сколько денежных
знаков того и другого достоинства имеется в кассе, если десяти-
рублевых билетов вдвое больше, чем пятирублевых?
412. В кассе продано 400 билетов в мягкие и жесткие вагоны
для проезда до одной и той же станции ценой по 8 руб. 40 коп.
и по 6 руб. 80 коп. Сколько продано тех и других билетов в от-
дельности, если все билеты стоят 2 880 руб.?
413. По спортивной круговой дорожке длиной 840 м движутся
два конькобежца. Скорость первого 12 м в секунду, скорость вто-
рого 9 л в секунду. Они начали движение одновременно и из од-
ного места дорожки. Через какие промежутки времени первый бу-
дет обгонять другого, если они будут двигаться в одном направ-
лении?
414. В кассе имеется пачка десятирублевых и пачка трехрубле-
вых кредитных билетов. Десятирублевые билеты составляют сумму
на 350 руб. большую, чем трехрублевые. Какую сумму составляют
билеты каждого достоинства, если число их в каждой пачке оди-
наково?
415. Задумано некоторое число; если его умножить на 3 и из
произведения вычесть 5, то получится число 46. Какое число за-
думано?
2) Задумано некоторое натуральное число; если его разделить
на 4 и к частному прибавить 6, то получится 24. Какое число за-
думано?
416. 1) Задумано некоторое натуральное число; если из него
вычесть 8 и полученную разность умножить на 3, то получится 60.
Какое число задумано?
2) Задумано некоторое число; если к нему прибавить 5 и полу-
ченную сумму разделить на 3, то получится 9. Какое число за-
думано?
417. 1) Если к удвоенному неизвестному числу прибавить 90,
то получится число, в 7 раз большее неизвестного. Найти неизвест-
ное число.
2) Задумано число; если его умножить на 8 и из произведения
вычесть 60, то получится утроенное задуманное число. Какое число
задумано?
418. 1) Если к 187 прибавить произведение неизвестного нату-
рального числа на 18, то получится число, равное произведению
неизвестного числа на 29. Найти неизвестное число.
2) Если из 540 вычесть произведение неизвестного натурального
числа на 18, то получится число, равное произведению неизвест-
ного числа на 12. Найти неизвестное число.
64
419. 1) На какое натуральное число нужно умножить 31, чтобы
произведение получилось на 297 больше 2 400?
2) На какое натуральное число нужно разделить 2 762, чтобы
в частном получить 36 и в остатке 62?
420. Сумма двух чисел равна 720. Если к удвоенной сумме этих
чисел прибавить их разность, то получится 1560. Найти числа.
421. Разность двух чисел равна 70. Если уменьшаемое увели-
чить в 10 раз, а вычитаемое увеличить в 3 раза, то разность между
полученными числами составит 910. Найти числа.
422. Сумма двух чисел равна 610. Если первое слагаемое уве-
личить в 5 раз, а второе — в 2 раза, то сумма полученных чисел
составит 2 420. Найти числа.
423. 1) Если из произведения от умножения натурального не-
известного числа на 3 вычесть 5, разность разделить на 8, к полу-
ченному частному прибавить 23 и сумму умножить на 2, то полу-
чится 56. Найти неизвестное число.
2) Если к частному от деления неизвестного натурального числа
на 3 прибавить 5, сумму умножить на 4, из полученного произве-
дения вычесть 29 и разность разделить на 5, то получится 3. Найти
неизвестное число.
424. 1) Найти сумму двух чисел, если одно из них больше
10 000 на столько же, на сколько другое меньше. 1000.
2) Найти разность двух чисел, если уменьшаемое меньше 549
на столько же, на сколько вычитаемое меньше 349.
425. 1) Два участка земли одинаковой площади обнесены забо-
рами. Первый участок имеет форму квадрата со стороной 204 м,
а второй участок имеет форму прямоугольника, длина которого
272 м. На каком участке забор длиннее и на сколько?
2) Одна машинистка может переписать рукопись в 252 страницы
за 28 ч, а другая—эту же рукопись может переписать за 21 ч.
Во сколько времени обе машинистки перепишут эту рукопись, если
будут работать вместе?
426. Две бригады колхозников обработали 400 га пашни, за что
им было начислено 120 трудодней. Сколько трудодней приходится
на каждую бригаду в отдельности, если первой бригаде один трудо-
день начислялся за обработку 3 га, а второй бригаде — за обра-
ботку 4 га?
427. 1) В записи
АБВ
БВБ
одинаковые буквы обозначают одни и те же цифры. Какие цифры
вместо букв следует поставить, чтобы получить верное равенство?
3 № 2266
65
2) То же в записи
АБВ
ВБА
ГБА-.А = АА
428. 1) 24 одинаковых круга разместить поровну на сторонах
данного квадрата так, чтобы по одному кругу оказалось в каждой
вершине.
2) 24 одинаковых круга разместить поровну на сторонах данного
равностороннего треугольника так, чтобы по одному кругу оказалось
в каждой вершине.
3) Прямоугольник длиной 20 см и шириной 12 см разрезать только
на две части так, чтобы из них можно было составить новый пря-
моугольник со сторонами 30 см и 8 см.
429. Заменить переменное х так, чтобы получилось верное ра-
венство, если х—один из элементов множества {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;
7; 8; 9}:
1) х7ххх 2) ххххх [124
. 743 XXX 307
Л ххххх5 XX
хххххх XXX
Зххххх XXX
42ххх87х 12
430. В таблице должны быть размещены неповторяющиеся нату-
ральные числа от 5 до 20 включительно. Одинаковые цифры в записи
этих чисел обозначены одинаковыми буквами. Если правильно впи-
сать числа, то суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце
таблицы будут одни и те же. Восстановить числа и найти их сумму
по строкам (или по столбцам).
ик в ИЖ ИИ
3 нд г ИА
ИВ к иг ин
ид из ж ИЕ
Глава II
ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
§ 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
(Повторение и обобщение пройденного во II и III классах.)
Обыкновенная дробь и ее виды. Числовая прямая
Упражнения 431—450 решить устно.
431. На рисунке 10 изображены круги, каждый из которых раз-
делен на равные части. Прочитать и записать в виде дроби заштри-
хованную часть круга.
Рис. 10
432. 1) Записать, какую долю прямоугольника составляет за-
штрихованная часть (рис. 11).
Рис. 11
2) Сколько долей прямоугольника составляет А В С J) Е F
незаштрихованная часть? Записать. 111111
433. Отрезок AF разделен на пять равных час- рис 12
тей: АВ, ВС, CD, DE, EF. Какую часть всей
длины отрезка AF составляет каждый из отрезков: АВ, AC, AD,
АЕ и AF (рис. 12)?
„ А 1 2 4 13 60
434. Прочитать дроби: у I у '> у > jg и указать числитель и
знаменатель каждой дроби.
3* 67
435. Записать частное в виде дроби: 1) 1:6; 2) 1:12; 3) 3:10;
4) 8:20; 5) 5:12; 6) 13:45.
436. (Устно.) 1) Какую долю часа составляет 1 мин? 1 сек?
Б сек?
2) Какую долю метра составляет 1 дм? 1 см? 1 мм? 3 см?
437. 1) Какую долю дециметра составляет 1 см? 8 см? 15 см?
2) Какую долю часа составляет 7 мин? 43 мин? 45 мин?
438. 1) Выразить в метрах: 1 см; 13 см; 1 дм; 19 дм.
2) Выразить в тоннах: 1 кг; 24 кг; 253 кг; 1г; 120 г.
113 13
439. 1) Сколько граммов в у кг? в у кг? в у кг? в у кг? в кг?
1 1 2
2) Сколько килограммов в -5- т? в -=- т? в т?
Z О о
Запись решения: 1 т = 1 000 кг; ~ т — кг; 4 т = 250 кг.
г >44’4
1113
440. 1) Сколько минут содержит: у ч? у ч? ,^ч? у ч?
1112
2) Сколько сантиметров содержит: у м? у м? у м? у м?
441. Турист прошел некоторый путь за 3 дня, проходя в день
одно и то же расстояние. Какую часть всего расстояния он прошел
за 1 день? за 2 дня? за 3 дня?
442. Расстояние между двумя городами лошадь может пройти
за 20 сут, находясь в движении ежедневно по 10 ч, а спортивный
самолет пролетит это расстояние за 2 ч. На какую часть всего
расстояния переместится за час лошадь? самолет?
443. 1) С помощью линейки начертить отрезки: 1 дм; 4- дм;
1 л 1 л
-= дм; 77. дм.
о 1U
2) С помощью линейки начертить отрезок длиной 12 см. Начер-
тить отдельно отрезки, равные 4- данного отрезка, 4-данного отрез-
ка, у данного отрезка.
1 2
444. Ледокол прошел за первый день у, а за второй у всего
пути. Какую часть пути он прошел за два дня?
7
445. Ледокол за два дня прошел всего пути. За первый день
з
он прошел уд всего пути. Какую часть пути он прошел за второй
день?
446. В роще растут березы, сосны и дубы. Число берез состав-
ляет jq всех деревьев рощи, а число сосен — всех деревьев. Ка-
кую часть числа всех деревьев составляет число дубов?
447. Турист в первый день прошел у всего пути, во второй —
68*
-g , а в третий день—оставшуюся часть пути. Поставить вопрос к
задаче и решить ее.
448. В школьном саду посажены плодовые деревья, ягодный
кустарник и клубника. Плодовые деревья занимают у всей площади
2 п
сада, кустарник—у, и остальную площадь — земляника. Поставить
вопрос к задаче и решить ее.
449. Лес занимает площадь 7 га. Он разбит на 8 равных участ-
ков. Какую часть всей площади занимает каждый участок? Какую
часть гектара занимает каждый участок? Сколько гектаров занимают
6 участков?
450. Велосипедист за 20 мин проехал 7 км. Какую часть всего
расстояния он проезжал за 1 мин? Какую часть километра он про-
езжал за 1 мин? за 3 мин?
451. Выписать отдельно множество правильных дробей и мно-
жество неправильных дробей из данного множества М:
м J 1 • 1 • 2 5 • 7 • 72 • 391
М ~ | 2 ’ 5 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 69’ 39/’
452. Пусть А—множество правильных дробей. Из чисел 1; 2;
3; 4 составить дроби и записать принадлежность каждой из них
множеству А.
Запись решения: у^Л; у(£Л.
v 7 11 6 21 15 43 84 66 , ...
453. Какие из чисел -х-; -5-; -=; =?:; -гт и =-г больше 1?
О У О £,£> 1У /V 41 / 1
меньше 1? Написать эти числа.
.с. п . 2 5 7 6 3 14 17 63 43 58 D
454. Даны дроби: у; у; у; ; п; —; —; и gg. Выпи-
сать отдельно дроби, меньшие 1, дроби, равные 1, и дроби, боль-
шие 1.
455. 1) Написать все неправильные дроби с числителем 5.
2) Написать все правильные дроби со знаменателем 6.
456. 1) Написать с помощью фигурных скобок множество пра-
вильных дробей со знаменателем 5.
2) Написать с помощью фигурных скобок множество неправиль-
ных дробей с числителем 4.
457. 1) Из чисел 1; 3; 5; 6; 12 составить пять правильных
дробей.
2) Из чисел 1; 5; 8; 15; 17 составить четыре неправильные
дроби.
458. Записать длину отрезка, в котором уложилось: две целых
и три четвертых метра; пятнадцать целых и семь восьмых метра;
двадцать три целых и пять сотых метра.
459. (Устно.) 1) Из скольких дробей состоит множество всех
правильных дробей, знаменатель которых 8? знаменатель—23?
знаменатель—п?
69
2) Из скольких дробей состоит множество всех правильных дро-
бей, знаменателем которых являются однозначные числа?
460. Найти множество натуральных значений переменного х,
при которых будет справедливо неравенство: 1) 0 < < 1;
2) 2<2у^3. Ответы записать с помощью фигурных скобок.
461. Найти множество значений переменной х, при которых
дробь у будет правильной, а у—неправильной.
462. (У ст но.) 1) Сколько шестых долей в одной единице? в трех
единицах? в десяти единицах?
2) Сколько единица содержит: пятых долей? седьмых? десятых?
463. (Устно.) 1) Выразить единицу в девятых долях. Сколько
девятых долей в двух единицах? в шести единицах? в п единицах?
2) Выразить единицу в тридцатых долях. Сколько тридцатых
долей в трех единицах? в семи единицах? в п единицах?
464. 1) Представить число 2 в виде дробей со знаменателями
3; 5; 6.
2) Представить число 9 в виде дробей со знаменателями 1; 2;
4; 7; 9.
о о 23 6
Запись решения: 2=-у=у.
465. Написать три неправильные дроби, каждая из которых
равна 5.
466. Записать в виде смешанных чисел следующие частные:
14:3; 26:5; 57:8; 94:8; 116:12; 228:23.
26 1
Запись решения: 26:5 = -г- = 5.
г 0 0
467. Представить неправильные дроби в виде смешанных чисел:
5_. А- 2А 15- 54. 75. 100. 458. 791. КИ8
Т ’ У ’ 6 ’ 9 ’ 10’ 12’ 21 ’ 51 ’ 25 ’ 96 ’
468. Исключить целые числа из следующих дробей:
7_' 15. 23. 50, 70. 125. 145. 1201 . 3256
3 ’ 7 ’ 6 ’ 12’ 14’ 12 ’ 36 ’ 55 ’ 421 ‘
469. На рисунке 13, иллюстрирующем исключение целого числа
из неправильной дроби, показать отрезки, представляющие правиль-
ную дробь, неправильную дробь и смешанное число.
। । 1 I—) f I 1
I --+-< ± ।-------
I----------1-н/^ ‘ 111 । 1 1 J
Рис. 13 Рис. 14
70
Построить отрезки, иллюстрирующие исключение целого числа
7
ИЗ Дроби
470. На рисунке 14 показано, как смешанное число представить
в виде неправильной дроби. Показать отрезки, изображающие сме-
шанное число, неправильную и правильную дроби.
Построить отрезки, иллюстрирующие представление смешанного
числа 2-1 в виде неправильной дроби.
471. (Устно.) Сколько вторых долей единицы в каждом из
следующих чисел:
1! 2; 1±| 3-1| 10-1, 25-1?
472. Представить смешанные числа в виде неправильных дробей:
з!| 5|; 8у| 20^-; 35П! 151Т-
473. Три мальчика поймали вместе 7 кг рыбы и весь улов раз-
делили поровну. Сколько килограммов рыбы досталось каждому?
474. Пять одинаковых гаек весят 76 г. Сколько весит одна гайка?
475. Решить уравнения:
а) 4х = 3; б) 5х= 12; в) 3z/ = 2;
г) 4х-|-2х = 7; д) 7z/=10; е) 9х-^5х=13.
476. Записать с помощью фигурных скобок множество всех не-
правильных дробей, у которых членами дроби являются числа 2;
3; 7; 8 и 15. Каждую из полученных дробей выразить натуральным
или смешанным числом.
477. 1) Нарисовать в тетрадях числовой луч и отметить на нем
точки, соответствующие числам 1; 2; 3; ...; 12.
2) Отметим на этом же числовом луче точки, соответствующие
числам:
478. 1) Нарисовать числовой луч и отметить на нем точки, со-
1 2 4
ответствующие числам и -=-. Какие точки на числовом луче
Хм О
отстоят дальше от начала луча? Какая из данных дробей наиболь-
шая?
2) На числовом луче отметить точки, соответствующие числам
11 и 2-1. Какое из этих чисел больше? Как расположены эти точ-
ки по отношению к началу луча?
71
479. Заполнить пустые места, в таблице:
Дробь Числитель Знаменатель Делимое Делитель
2 5
3 7
4 9
Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
Сравнение дробей
480. Начертить 4 одинаковых прямоугольника, как показано на
рисунке 15, и ответить на следующие вопросы:
1) Сколько в целом прямоугольнике половин? четвертых долей?
восьмых долей?
2
Указание. Записать результат так: l = g- и т- Д-
2) Сколько четвертых долей в половине? восьмых долей в чет-
вертой доле? восьмых долей в половине?
481. Записать следующие равенства и поставить вместо буквы
числа:
., 1 х 1 у 1 а 2 ft 3 с
и "г"!’ Т ’ '4"У’ Т~ 'Т ’ ~4~ ¥’
1__. . л___ У . i а . 9___. 1 _____ с . о_
1 2 ’ 2 2 ’ * 4 ’ 4 ’ 1 8 ’ 8 1
482. Пользуясь рисунком 16, ответить на следующие вопросы:
1) Сколько в целом прямоугольнике третьих долей?
шестых долей? девятых долей?
। 2) Сколько шестых долей в третьей доле? девятых
“77 V 1 долей в третьей доле?
< Ууг 483. На рисунке 17 изображен круг, разделенный
на 8 равных секторов. Какую часть круга составляют
Рис.. 17 2 таких сектора? 4 сектора? 6 секторов?
72
484. Написать пять дробей так, чтобы каждая дробь равнялась
у. Изобразить графически.
485. Найти значение каждой буквы в следующих равенствах:
J х 1 (/ 2 а 2 У . i с . г) е
3 — И ’ У ~ У ’ "6 ’ У ~ У ’ 1 — У ’ У ’
486. Написать три равных дроби с разными знаменателями. Изо-
бразить графически.
13 2
487. Написать три дроби, равные: 1) 2) 3)2-^-.
1 3 7
488. Заменить дроби -у, дробями со знаменателем 24.
489. Сократить следующие дроби:
п А- Л - 2. • 12- £• 1Ё- 2*. 120.
6 ’ 16 ’ 21 ’ 65 ’ 20 ’ 40 ’ 49’ 160 ’
55 . 75 , 36. 56 . 72_. 22. 45 . 375_
ПО’ 225'’ 48’’ 140’ 144’ 77’ 150’ 4025’
490. Сократить следующие дроби, после чего выразить их сме-
шанным числом:
10. 12. 45. 40. 100. 400. 600
8 ’ 10 ’ 18 ’ 32 ’ 30 ’ 45 ’ 180 ’
491. Сократить выражение, а затем вычислить:
15-8-6 . 28-258 . 18-45-32
22-45-18’ 24-14-75’ 25-64-24-6 ’
492. Дорожная бригада должна отремонтировать 375 м шоссе.
За первые два дня она отремонтировала 75 м шоссе. Какую часть
работы она выполнила за два дня?
493. Надо уложить 650 м труб, а уложили 450 м. Какую часть
работы осталось выполнить?
494. Какую часть составляет наибольшее двузначное число от
наибольшего четырехзначного числа?
495. Какую часть суток составляет промежуток времени: 1) от
10 до 16 ч? 2) от 6 до 18 ч?
496. Два мальчика поймали вместе 80 окуней, причем первый
из них поймал на 12 окуней больше, чем второй. Какую часть от
улова первого мальчика составляет улов второго мальчика?
497. (Устно.) Какая дробь больше и почему:
2 3 . 17 11.. 11 13. „5 „7.
-г кг или — кг? -^га или 75 га? 7- или 77, ? З-т- или 3-^ ?
О О io lozu zll У У
498. Сравнить дроби и поставить вместо точек
знак < или >:
1 2.- A J_- 2 2- 2 U
Т •• ’ 5 ’ 4 • • • 4 ’ 9 • • • 9 ’ 15 • • • 15 •
73
499. Расположить в порядке возрастающей величины дроби:
12- А- А- А- А• 2 • Л- А
23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 '
Указание. Записать решение неравенством.
500. (Устно.) Какая дробь больше и почему:
7 73 3552 2
-^км или т^км? -^га или -=-га? 1-х-или 1^? 4^=- или 4-=- ?
10 1о о / о 1U 7 9
501. Сравнить дроби и поставить вместо точек знак < или >:
А 2-2 12. A L iA iA- оА чА
5 • • • 7 ’ is • • • 18 ; и • • п ’ *ю • • • Ао ’ 2 7 • • • 6i
7 7 7 7 7
502. Какая из дробей ; кт! ™; еб наибольшая и какая
12 о 21 оО оо
наименьшая? Расположить эти дроби в порядке убывания.
503. Объяснить с помощью числового луча, почему:
5 7 ’ > 7 7 1
504. Какая дробь больше: 1) А или А? 2) А или 4? 3) -б-илп
О У У 1V о
7 11 13
тх? 4) -гх или 5=? Записать в виде неравенства.
10 ' 10 2/
,, п 3К 1 4 1 3 4
Указание: 1) -?->-к-, а -х-<-х-, значит, -=- > .
z о 2 У 2 о 9
505. Сравнить числа: 1) 1-?- и 1А; 2) 11? и 1А ; 3) 2-i и
О 10 2^ 00 О
„24 1С7 .-13
225; 4) 1512 и 1524 .
г, - 3 5 10
506. Расположить дроби -=-; -гх и тх в порядке возрастания.
О 12 1 и
15 1 2
507, Расположить числа 2; ; Зу и 'Зу в порядке убывания.
508. Поставить вместо точек один из знаков <, > или =1
А А- А А- А А- А А- А А
8 • • • 8 ’ 2 • • • 8 ’ 2 • • • 4 ’ 22 • ' • 33 ’ 35 • ' 21 •
Задачи на нахождение части числа и числа
по его части
509. Начертить отрезок прямой линии длиной 12 см. Найти:
1 3 2
у- длины отрезка; -т- длины отрезка; длины отрезка.
4 4 О
510. От Москвы до г. Подольска 40 км. Сколько километров со-
1 2 3
ставляет этого расстояния? у этого расстояния? -g- этого расстоя-
ния?
74
511. Вместимость самосвала 12 куб. м. Он заполнен на у своей
емкости. Сколько это кубометров?
512. Скорость реактивного самолета «ТУ-144» 2500 км в час.
Сколько километров пролетит этот самолет за у ч? за 15 мин? за
45 мин? за 2 ч 30 мин?
Указание. Выразить минуты в часах.
513. В цистерне было 6 т керосина. Вначале из цистерны взяли
1 1 г
у всего керосина, а затем у остатка. Сколько тонн керосина ос-
талось в цистерне?
514. Трубопровод длиной 12 км проложили за три недели. В пер-
1 „ 1
вую неделю проложили у всей длины, во вторую — у остатка ос-
тавшейся длины, а остальное — за третью неделю. Сколько километ-
ров труб укладывали за каждую неделю?
з
515. На складе было 1 т 280 кг крупы. Рис составлял всей
крупы, пшено—у всей крупы, манная крупа—веса риса, а
остальная крупа была гречневой. Сколько килограммов было каж-
дого вида крупы?
2
516. Сарай длиной 20 м, шириной 10 м и высотой 6 м на у
своего объема заполнен сеном. Сколько весит это сено, если считать,
что 1 куб. м сена весит 60 кг?
517. Погреб длиной 12 м, шириной 8 м и глубиной 4 м заполнен
з
на у льдом. Сколько грузовиков потребовалось для завоза этого
льда, если на каждый грузовик грузили 4 куб. м льда?
518. Батон хлеба весит у кг. Сколько надо взять таких бато-
нов, чтобы их общий вес был 4 кг?
7
519. Предельный возраст льва 35 лет, что составляет пре-
дельного возраста слона. Найти предельный возраст слона.
з
520. уд расстояния от Москвы до Ленинграда составляют 150 км.
Сколько километров от Москвы до Ленинграда?
2
521, v некоторого числа составляют 70. Чему равно все число?
О
1 3
522. задуманного числа равна 32. Найти v задуманного
О о
числа.
2
523. Выход масла из сливок составляет у веса сливок, а вы-
4 ~
ход сливок из молока gg веса молока. Сколько надо взять молока,
чтобы получить 1 т масла?
75
524. Катер на подводных крыльях прошел сначала 125 км, а
затем у часть этого расстояния. Пройденный путь составил у ос-
тавшегося. За сколько часов катер прошел весь путь, если его
средняя скорость была 60 км в час, а на стоянки он потратил 2 ч?
525. Колхоз отправил на элеватор пшеницу в первый день на
2
24 машинах по 4 т 8 ц на каждой, во второй день у того зер-
на, что в первый день. Это зерно составило у того, что колхоз
должен отправить на элеватор. Сколько всего пшеницы должен был
отправить колхоз на элеватор?
526. Тракторная бригада вспахала в первый день поля, во
О
з
второй — у поля. Сколько вспахано за 2 дня?
2
527. Ученик, готовясь к урокам следующего дня, занимался -^ч
13
математикой, уч биологией, у ч русским языком. Сколько часов
он занимался дома?
528. Мальчик проехал у ч автобусом и у ч шел пешком. Сколь-
ко времени он был в пути?
529. Хозяйка купила у кг ржаного хлеба и 1 у кг пшеничного.
Сколько всего хлеба купила хозяйка?
530. В одном ящике было 12у кг помидоров, а в другом — на
2у кг больше. Сколько килограммов помидоров было в обоих ящиках?
531. В ящике было 10у кг винограда. Первому покупателю про-
з
дано 4—кг, а второму—остальное. Сколько было продано второму
покупателю?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 9
1) Прочитать дроби и объяснить, как
они образованы (рис. 18).
Указание. Надо предварительно
изобразить дроби на доске.
2) Сколько минут в у ч? в у ч?
1 1
в 16 ч?
3) Поставить вместо точек знак >, < или —:
1 £. 7_ _£. £ _£. £ 15 7_
2 • ’ ’ 8 ’ 10 ‘ • 5 ’ 6 • 1 ' 2 ’ 4 • • • Т’ 16 1 1 • J •
76
4) Какие значения могут принимать натуральные числа а н b
в равенстве если известно, что а < 24?
5) За лето турист прошел и проехал 1600 км. этого пути он
проехал теплоходом, —пешком, а остальное — поездом. Сколько
километров турист прошел пешком и сколько проехал на поезде?
§ 10. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН
532. В каких единицах измеряют:
а) возраст человека;
б) длительность эпох в истории человечества;
в) время перемен в школе;
г) время бега спортсмена на 100 м? 1500 л?
533. Сколько недель в году должен заниматься школьник в учеб-
ном году? А сколько это составит учебных часов, если считать, что
в учебной неделе 32 ч?
534. Сколько часов за учебный год занимается школьник в IV
классе, если принять, что в учебной неделе IV класса 32 учебных
часа?
535. На контрольном участке массовое цветение наступило на
87-й день после посева, а на опытном участке при' внесении азота
и фосфора — на 76-й день. В каком месяце и в какой день наступит
массовое цветение на каждом участке, если посев произвести
1 апреля?
536. За сколько минут Земля сделает полный оборот вокруг
своей оси? Выразить время полного оборота в секундах.
537. Самый длинный день в Москве—22 июня составляет 1053 мин,
а самый короткий — 25 декабря — 421 мин. Выразить в часах про-
должительность этих дней.
538. Какую долю составляет:
1) день от недели; от года;
2) час от суток; от недели;
3) 12 дней от февраля 1970 г.;
4) 6 мин от часа; 15- мин от часа;
5) 10 сек от минуты; от часа?
I 1 3
539. Сколько минут в ч? в -у ч? в ч?
540. Если считать, что в месяце 30 дней, то сколько дней:
113 7
в -5- мес.? в -J- мес.? в мес.? в -г=- мес.?
8 о 10 15
До введения метрической системы мер в нашей стране за еди-
ницу меры длины была принята сажень; более крупная мера —
верста (верста — 500 саженей); более мелкие — аршин (сажень —
3 аршина), вершок (аршин —16 вершков). Кроме этого, были при-
няты фут (сажень — 7 футов) и дюйм (фут—12 дюймов).
77
За единицу веса принимался пуд. Пуд содержит 40 фунтов.
541. 1) Сколько в сажени вершков? дюймов?
2) Сколько в версте футов? аршин? вершков?
542. 1) Какую долю сажени составляет вершок? фут?
2) Какую долю аршина составляет вершок? дюйм?
543. 1) Сколько вершков в -у аршина? в 2 у аршина?
2) Сколько футов в у версты? в 1 у версты?
544. Сколько в 5 пудах фунтов? Сколько в Зу пудах фунтов?
545. Какую долю пуда составляет 1 фунт? 10 фунтов?
546. Сколько пудов хлеба требуется для столовой на 3 дня,
если считать дневную норму человека в 1 у фунта?
§ 11. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА МЕР
Упражнения 547—553—устно.
547. Выразить в сантиметрах:
1) 2 дм 3 см; 2) 4 дм 3 см; 3) 3 м 5 см;
4) 5 дм 1 см; 5) 1 м 3 дм 2 см; 6) 2 м 4 дм.
548. Выразить в миллиметрах:
1) 2 см 3 мм; 2) 1 дм 4 см 1 мм; 3) 3 дм 5 мм;
4) 9 см 1 мм; 5) 4 дм 3 см; 6) 1 м 2 см 1 мм.
549. Выразить в килограммах:
1) 2 ц 15 кг; 2) 1 т 2 ц 20 кг; 3) 4 т 3 ц 5 кг;
4) 7 ц 6 кг; 5) 5 т 46 кг; 6) 2 т 4 ц.
550. Выразить в граммах:
1) 2 кг 425 г; 2) 18 кг 4 г; 3) 1 ц 5 кг 246 г;
4) 1 кг 36 г; 5) 10 кг 2 г; 6) 2 ц 18 кг 8 г.
551. Выразить:
1) в квадратных метрах: 2 кв. дм 15 кв. см; 3 кв. м 2 кв. дм
5 кв. см;
2) в квадратных метрах: 4 а 65 кв. м; 5 га 3 а 8 кв. м; 2 га 8 а.
552. Выразить с помощью дробей следующие длины в метрах:
1) 3 м 2 дм; 2) 10 м 26 см; 3) 6 м 7 дм 9 см;
4) 1 м 9 дм; 5) 48 см; 6) 8 дм 5 см;
7) 1 л 5 см; 8) 2 м 6 дм 6 см; 9) 3 см 5 мм;
10) 5 дм 2 см 9 мм.
553. Выразить в дециметрах:
1) 5 дм 4 см; 2) 3 см; 3) 4 дм 3 см 5 мм;
4) 7 дм 1 см; 5) 6 см 3 мм; 6) 7 мм;
7) 1 дм 4 см 2 мм; 8) 2 дм 2 мм; 9) 1 м 8 дм 5 см 2 мм.
78
554. Записать без дробей (т. е. выразить в сантиметрах или
миллиметрах):
1) -Г), дм; 2) 1 Л м; 3)5^ ем;
4> 3П 5> 41Я * 6>3И«-“-
555. Выразить в килограммах:
1) 3 кг 255 г; 2) 2 ц 4 кг 156 г;
3) 4 кг 105 г; 4) 365 г;
5) 1 кг 56 г; 6) 1 ц 5 кг 265 г.
556. Выразить в тоннах:
1) 7 т 185 кг; 2) 500 кг;
3) 12 т 14 кг; 4) 1 т 1 ц 15 кг;
5) 195 кг; 6) 726 кг.
557. Записать без дробей:
1 Тооб кг’’ 2) 2 Too 3) 3То /nI
.. л 100 ЕЛ п 12 . 51
4) 4 юоо кг> 9 100 ц'’ 4 1000 т‘
558. Выразить в рублях:
1) 1 руб. 3 коп.; 2) 3 коп.;
3) 4 руб. 1 коп.; 4) 50 коп.;
5) 18 руб. 5 коп.; 6) 1 руб. 75 коп.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § И
1) Выразить в килограммах: 2 кг 450 г; 3 ц 2 кг 500 г.
2) Выразить в дециметрах: 6 дм 7 см; 1 м 8 дм 3 см.
3) Выразить в квадратных сантиметрах: 4 кв. см 5 кв. мм;
19 кв. см 27 кв. мм; 1 кв. дм 26 кв. см 15 кв. мм.
520 7 15
4) Записать без дробей: 4^^ кг; 18^ дм; 14-^ кв. дм.
§ 12. ЗАПИСЬ И ЧТЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ.
ИЗОБРАЖЕНИЕ ДРОБЕЙ НА ЧИСЛОВОМ ЛУЧЕ
559. Сколько единиц в сотне? Сколько единиц в 63? Сколько
десятых долей в единице? Сколько десятых долей в 5 единицах?
Сколько сотых долей в одной десятой? Сколько тысячных долей
в одной десятой?
560. Назвать число единиц каждого разряда: 21,5; 10,74; 4'05,285.
561. Прочитать следующие числа: 0,2; 0,24; 0,015; 0,003; 1,053;
4,5001; 22,0035; 1,135136; 18,01919.
79
562. Записать в виде десятичной дроби числа:
1. 2L- 17 3 • 121- 27 35 9 • до? 11
10’ 100’ 1000’ 1000’ 100’ 10 000* 1000’ 10 000 •
563. Написать наибольшую десятичную дробь:
1) с тремя десятичными знаками, меньшую 1;
2) с четырьмя десятичными знаками, меньшую 2,5.
564. Записать в виде обыкновенной дроби числа:
0,9; 0,23; 0,07; 0,001; 0,053; 1,2; 13,033.
565. Какой разряд представляет цифра 5 в каждом из чисел:
4,562; 22,485; 0,857; 5,005?
566. Сколько тысячных долей единицы содержат числа:
2,478; 0,16; 27,053; 1,4?
567. 1) В каждом из следующих чисел: 1,356; 0,409; 4,0057;
0,0544; 1,0007; 0,00045 — перенести запятую на три цифры вправо
и прочитать полученные числа.
Указание. Запись решения: 0,0544 и 54,4; 1,356 и 1356.
2) В каждом из следующих чисел: 845,4; 4036,7; 50,8; 47,35;
4,53; 0,57; 0,1; 0,07; 4; 96; 105—перенести запятую влево на две
цифры и прочитать получившиеся числа.
568. 1) Отметить на числовом луче числа: 0,2; 0,7; 1,1; 2,9;
0,39; 1,26; 2,05.
2) Отметить на числовом луче точки: А (1; 5); В (2; 6); С (0; 25).
§ 13. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ.
ПРИВЕДЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ.
СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ
569. Изобразить на числовом луче точки 1,2 и 1,20; 2,1 и 2,100;
0,7 и 0,70. Сформулируйте это свойство десятичной дроби.
570. Записать с тремя десятичными знаками дроби:
4,2; 8,7; 0,51; 0,06; 27,1; 84,48; 0,1; 0,01.
571. Выразить в одинаковых долях (т. е. привести к общему
знаменателю) дроби:
1) 0,1; 1,25; 0,207; 2) 2,45; 7,02; 4,001;
3) 4,5; 6; 8,75; 4) 205,9; 70,08; 9.
Указание. Запись: 205,9 = 205,90; 70,08 = 70,08; 9 = 9,00.
572. Записать с одним десятичным знаком дроби:
0,40; 4,2; 6,500; 50,7000; 1002,30; 0,600; 0,40.
573. Выразить в одинаковых долях двумя способами дроби:
.1) 0,4; 12,60 и 3,500; 2) 0,20; 7,500 и 13,7.
.80
574. Привести к общему знаменателю дроби:
1) 3,87; 0,500 и 60,3; 2) 0,45; 17,860 и 0,573.
575. Написать десятичную дробь: 1) с тремя десятичными зна-
ками, равную 0,2; 2) с четырьмя десятичными знаками, равную 1,5.
576. Выписать из следующих чисел числа, равные между собой:
4,1; 2,56; 6; 2,5600; 6,1; 6,000; 4,10; 6,0; 4,2.
577. Написать два числа, удаленные от 5,9 на расстояние 3,2,
и показать их на числовом луче.
578. Написать два числа, равноудаленные от числа 4,3. Сколько
таких чисел, равноудаленных от этого числа?
579. Какое из двух чисел лежит правее на числовом луче:
1) 2,7 или 1,99? 2) 0,05 или 0,12? 3) 4,1 или 5?
580. Между какими двумя последовательными натуральными чис-
лами находится дробь: 1,7; 2,3; 7,9; 15,1?
581. Какие натуральные числа заключены между двумя дробями:
1) 0,3 и 5,1; 2) 0,01 и 3,1; 3) 12,01 и 15,4?
582. N—множество чисел, расположенных между числами 4 и 5.
Какие из данных чисел принадлежат множеству N-. 4,7; 4,09; 3,2;
5,1; 4,73? Записать.
583. Записать множество натуральных чисел, расположенных
между: 1) 4,2 и 8,7; 2) 3,5 и 13,1; 3) 0,3 и 5,1.
584. Написать множество десятичных дробей с одним десятичным
знаком и расположенных по величине между 1 и 2. Назвать наи-
большее и наименьшее из чисел этого множества. '
585. Написать множество десятичных дробей с одним лишь деся-
тичным знаком — четной цифрой после запятой и расположенных
по величине между 1 и 3.
586. Сравнить дроби:
1) 0,4 и 0,6; 2) 2,3 и 2,31; 3) 0,52 и 0,5198;
4) 1,5 и 1,52; 5) 43,04 и 43,1; 6) 0,1 и 0,09999.
7) 0,5 и 0,499; 8) 4,568 и 4,56;
587. Поставить знак > или знак < вместо звездочки в записях:
1) 3,2*3,19; 2) 17,065* 17,0648; 3) 0*0,01.
588. Поставить вместо звездочки цифру так, чтобы запись выра-
жения оказалась верной:
1) 0,5 *7 >0,531; 2) 3, *7 <3,59; 3) 17,19 > 17, *3.
589. Доказать, что при подстановке любой цифры вместо звез-
дочки записи 5, * 1 > 4,33 и 3,99 > 3, *876 окажутся верными, а
записи 7, *2 >7,93 и 9,95 <9, *4 неверными.
590. Между какими двумя последовательными натуральными
числами заключается каждая из дробей: 0,7; 2,9; 17,8; 250,35?
Указание. Запись решения: 250*< 250,35 < 251.
591. Какие натуральные числа заключаются между десятичными
дробями: 1) 3,58 и 4,1; 2) 32,4 и 34,1; 3) 4,7 и 8,2?
592. Из множества десятичных дробей написать три десятичные
дроби, каждая из которых заключается между дробями 3,2 и 3,3.
81
593. Написать множество натуральных чисел, удовлетворяющих
неравенству: I) 0,5<х<4,9; 2) 2,5 < у ^.8.
594. Из множества решений данных неравенств написать три
решения неравенства:
1) 0,1 < х < 2,5; 2) 2,3 < у < 2,4.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 13
1) Сколько тысячных долей единицы содержат числа: 3,405; 1,2;
0,83; 3,005; 7?
2) Выразить в одинаковых долях двумя способами: 0,9; 14,70;
56,300.
3) Написать десятичную дробь с четырьмя десятичными знаками,
равную 1,2.
4) Написать два числа, удаленные на 3,7 от точки, соответству-
ющей числу 7,2. Показать решение на числовом луче.
5) Записать множество натуральных чисел, обусловленных не-
равенством 3,2 < х 9,5.
§ 14. УВЕЛИЧЕНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ
В 10, 100, 1000 И Т. Д. РАЗ
595. Увеличить каждое из следующих чисел:
1) в 10 раз: 7,2; 0,5; 13,15; 0,003; 15,009; 0,0012; 1*444,4;
2) в 100 раз: 3; 3,07; 0,09; 3,1; 120,5; 0,004; 0,0009;
3) в 1000 раз: 4; 4,002; 32,033; 0,12; 0,0001; 12,01003.
596. Написать и прочитать числа, большие данных:
1) в 10 раз: 12; 3,25; 0,032; 120,02; 63,0031; 7,0101;
2) в 100 раз: 1,32; 23,1; 0,23; 7,1123; 0,001234; 2,5074;
3) в 1 000 раз: 0,746; 1,35; 0,1; 3,05; 120,4; 0,00317.
597. Вычислить:
1) 22,45-10; 2) 83,01-100; 3) 0,0239-10-10;
4) 3,045-10; 5) 1,0001-1 000; 6)4,3-10-100;
7) 43,173-100; 8) 0,00324-10 000; 9)0,001-100-100.
598. 1) Сколько сантиметров в 5,6 дм? в 3,245 м? в 3,63 км?
2) Сколько граммов в 0,25 кг? в 1,1 кг? в 0,00033 т?
3) Сколько квадратных метров в 5 га? в 3,250 га? в 0,0723 га?
599. Записать натуральным числом: 2,5 сот.; 3,2 тыс.; 57,23 тыс.;
4207,6 дес. тыс.; 5,4 млн.; 0,52 млн.; 1,1 млрд.; 35,24 млрд.
Указание. Запись решения: 3,2 млрд. — 3,2-1 000 000 000 =
= 3 200 000 000.
600. Уменьшить каждое из следующих чисел:
1) в 10 раз: 3; 27; 1,2; 0,5; 0,31; 1,25;
2) в 100 раз: 250; 36; 4; 1,3; 7,21; 0,03;
3) в 1 000 раз: 2002; 323; 41; 5; 0,6; 0,12.
82
601. Написать и прочитать числа, меньшие данных:
1) в 10 раз: 2; 3,4; 121,3; 168; 2023,4;
2)-в 100 раз: 456; 37; 9; 0,3; 0,23;
3) в 1 000 раз: 3; 428; 843; 21; 1,2; 0,1.
602. Вычислить:
1) 35,645:10; 2) 328,4:10000;
3) 0,0004:10; 4) 532:100000;
5)12,064:100; 6)42,3:10:100;
7) 0,533:100; 8) 393:1 000:10;
9) 424,3:1 000; 10) 429:1 000:1 000.
603. 1) Выразить в рублях: 295 коп.; 38 коп.; 2 коп.
2) Выразить в метрах: 325 см; 64 см; 3 см; 7,5 см; 0,31 см.
3) Выразить в тоннах: 5 625 кг; 373 кг; 14 кг; 29,7 кг.
4) Превратить в метры: 436 см; 3 028 см; 13 дм; 10,6 дм.
5) Превратить в тонны: 2 082 кг; 129 кг; 3,2 кг; 8,35 кг.
604. Выразить:
1) в арах: 2 425 кв. м; 394 кв. м; 30 кв. м; 7,2 га; 0,3 га;
2) в метрах: 125 см; 8 дм; 35 мм; 3,7 см; 0,2 км; 1,31 oi;
3) в килограммах: 4 293 г, 74 г; 1245 мг; 3,25 ц; 0,3 т;
4) в кубических сантиметрах: 2 734 куб. мм; 539 куб. мм;
4,25 куб. дм; 5,732 куб. м; 0,01 куб. м.
605. Найти значение выражения:
1) 156,4:а, если а=10; 100.
2) 45800:а + 626,5Ь, если а= 100 и Ь— 10.
606. Длина поля, имеющего форму прямоугольника, 250 м, а
ширина 75 м. Найти площадь поля в гектарах.
607. Ящик имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Длина
ящика 125 см, ширина 60 см, а высота 40 см. Найти объем ящика
в кубических метрах.
608. (Устно.) 1) Во сколько раз число 1,53 больше 0,153;
27,34 больше 0,2734; 0,201 больше 0,00201?
2) Во сколько раз число 0,25 меньше 25; 1,29 меньше 12,9?
609. (Устно.) 1) Во сколько раз надо увеличить число 1,75,
чтобы получить число 175.
2) Во сколько раз надо увеличить число 0,001, чтобы получить
число 100.
3) Во сколько раз надо уменьшить число 42,1, чтобы получить
число 0,421.
4) Во сколько раз надо уменьшить число 1,74, чтобы получить
число 0,00174.
§ 15. ОКРУГЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
610. Какие из следующих равенств являются точнымиг
1) 1 сажень=2,1 м; 2) 1 фунт = 0,4095 кг;
3) 1 кг=1000 г; 4) ведро=12,2 л; 5) 1 а=100 кв. м?
83
611. Какие из данных чисел являются точными и какие—ок-
ругленными:
1) расстояние между Москвой и Ленинградом 650 км;
2) в школе 725 учащихся;
3) библиотека имеет 20 000 книг;
4) железнодорожный рельс имеет длину 10,4 м;
5) станок состоит из 123 деталей?
612. 1) Округлить до сотен числа: 586; 349; 4 501; 256,7; 1234,99.
2) Округлить до тысяч числа: 6 429; 14 507; 9 604; 9; 11499,98.
3) Округлить до единиц числа: 7,45; 12,501; 0,628; 190,3984.
4) Округлить до десятых долей: 0,573; 2,743; 15,964; 105,999.
613. Численность населения наиболее крупных городов нашей
страны в январе 1970 г. составляла: Москва — 7 061 тыс. чел.; Ле-
нинград— 3950 тыс.; Киев—1 632 тыс.; Ташкент—1 385 тыс.;
Баку —1261 тыс.; Харьков —1 047 тыс.; Свердловск—1 026 тыс.
Округлить до миллиона численность населения перечисленных
городов.
614. 1) Округлить числа 0,479; 1,071; 2,75001; 0,395 до 0,1 и
до 0,01.
2) Округлить числа 4,35; 10,543; 85,4901; 7,809; до 0,1 и до 1.
615. Объяснить следующие записи (сказать, с какой точностью
и на основании какого правила произведено округление чисел):
1) 2084 «2080; 2) 2,341 «2,3; 3) 0,103 «0,10;
4) 2086 «2090; 5) 2,354 «2,4; 6) 3,105 «3,11;
7) 2082 «2100; 8) 2,382 «2,4; 9) 11,107 « 11,11.
616. Между какими двумя последовательными натуральными
числами заключается каждая из дробей: 13,6; 19,2; 5,98; 72,6; 1,15?
Округлить каждое из этих чисел с точностью до 1.
Указание. Запись решения:
13 < 13,6 < 14; 13,6 « 14.
617. Написать три десятичные дроби, каждая из которых за-
ключается между дробями 1,1 и 1,2.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 15
1) Выразить в метрах сумму: 25 м 7 5л/+ 4 м 9 дм 8 см -f-
+ 7 м 5 см.
2) В каждой из десятичных дробей 45,3; 376,42; 1,05 перенести
запятую влево через две цифры и прочитать получившиеся числа.
Как изменились приведенные числа после переноса запятой?
3) Выразить в сантиметрах: 4л/ 3 дм 5 см; 2м 3 см 456 мм;
1 264 мм.
4) Округлить число 15,475 с точностью до 0,01; до 0,1; до 1 и
до 10.
5) Мальчику надо разрезать на 6 равных частей планку, длина
которой 48,8 см. Чему равна длина одной части? До какого раз-
ряда надо округлить ответ?
84
§ 16. СЛОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕН
618. Вычислить устно:
1) 0,4 4-0,5; 2) 0,9 4-0,6; 3) 1,5+ 4,7;
4) 0,7 4-0,3; 5) 0,84-0,7; 6) 2,74-3,9.
619. Вычислить устно:
1) 0,3 + 0,2 4-0,4; 2) 0,7 + 0,4 + 0,9;
3) 0,1+0,3 + 0,2; 4) 1,2 + 2,5 + 3,1;
5) 0,4+ 0,6+ 0,2; 6) 4,5 +1,5+ 2,3.
620. Отложить на счетах числа: 12,5; 20,8; 14,75; 25,08; 42,04,
621. Выполнить сложение с помощью счетов:
1) 4,6 + 5,3; 2) 12,51 + 10,21; 3) 105,28 + 42,9;
4) 15,9 + 4,3; 5) 8,27+ 2,91; 6) 27,4 +31,67.
622. Записать такие пять чисел, чтобы: 1) первое число было
0,7; второе—1,2, а каждое следующее равнялось сумме двух пре-
дыдущих; 2) первое число равнялось 10,5, второе — 4,3, третье —
0,7, а каждое следующее—сумме трех предыдущих.
623. Записать множество чисел, которое получится, если скла-
дывать попарно числа, стоящие в таблице:
2,4 3,2 4
3,9 7 10,1
624. Записать множество чисел, которое получится, если скла-
дывать попарно числа, стоящие в столбцах таблицы:
0,92 0,89 1,04 2,45
3,71 4,07 5,73 7,99
625. Заполнить таблицу, составленную по следующему правилу.
Число в каждой клетке равно числу, стоящему над ним, сложен-
ному с 1,6.
0,72 0,95 1,08
85
626. Определить правило, по
таблица:
которому составлена следующая
5,4 5,6 5,8
8,9 9,1 9,3
14,8 15 15,2
8,6 10,2 15,5
8,9 13,3 16,2
9,2 16,4 16,9
627. Выполнить сложение:
1) 6 + 0,574-3,24 + 8+11,09;
2) 25,8 + 21,45 + 30 + 40,01 +3,015;
3) 376 + 325,75+104,397 + 457,629;
4) 10,0015 + 4,07805 + 0,80539 + 500,04;
5) 5,09009 + 2,705106 + 0,90076 + 1,00009.
628. С помощью русских счетов вычислить:
1) 24,64-28,9; 2) 2,05 + 3,2 + 8,9;
3) 3,54 + 3,69; 4) 49,06 + 71,904+11,37;
5) 29,2+16,17; 6) 357,97 + 34,01 + 105,01;
7) 160,751 + 120,43; 8) 4008,2 + 851,07 + 157,37.
629. Записать каждую десятичную дробь в виде суммы нату-
рального числа и дроби:
2,209; 17,01; 23,002; 102,4001; 40,5609.
Указание. Запись решения: 40,5609 = 40 + 0,5609.
630. Записать каждую дробь в виде суммы разрядных единиц:
3,501; 0,42; 0,234; 15,078.
Указание. Запись решения: 3,501 = 3 + 0,5 + 0,001.
631. Упростить выражения:
1) 3,5 + а + 6,8; 2) 2,4 + % + 3,7 + 2х + 2;
3) 5,6 + Z/ + 3у + 4,95; 4) 3,52 + 3у + 7,33 + 2,4 у.
Запись решения:
4) 3,52 + 3 у + 7,33+ 2,4 у = 10,85 + 5,4 у.
632. Проверить справедливость формулы а + Ь = 6 + а, подстав-
ляя вместо букв дроби:
1) а = 4,8 и 6 = 2,3; 2) а =15,29 и 6 = 46,07.
Какой закон выражает эта формула? Как читается этот закон?
633. Проверить справедливость формулы а + 6 + с = а + (6 + с),
подставляя вместо букв дроби:
1) а = 6,2; 6 = 3,5 и с =1,8; 2) а = 20,04; 6=18,47 и с =10,6.
Какой закон выражает эта формула?
86
634. Пример 4,25+1,96 + 7,75 + 3,2 + 0,04 ученик выполнил так:
(4,25 + 7,75) + (1,96 + 0,04) + 3,2 = 12 + 2 + 3,2 = 17,2.
Пояснить, имел ли он основание так переставлять слагаемые и
так их соединять (сочетать) для вычислений?
По аналогии с решенным примером вычислить
3,47 + 0,12 + 4,5+ 1,88+ 15,53.
635. Проверить правильность каждой из формул подстановкой
а = 0,1; 6=1,41; с = 3,46; d = 0,05:
1) fl ~h 6 -с -И d = (« + 6) -(• (с -1- d);
2) а + b + с + d = а + (Ь + с) + d\
3) а + b + с + d = а + b + (с+d).
636. Упростить выражение и найти его значение!
1) 4,2+ « + 2,09, если «=1,7;
2) 5,07 + 6 + 3,29, если 6 = 2,53;
3) с+ 9,01+3,41, если с =1,52;
4) 16,71 + 15,9+ 1,14+ d, если d= 1,35.
637. Вычислить наиболее простым путем!
1) 12,8 + 6,6 + 2,2;
2) 41,5 + (20,7+ 18,5);
3) (3,18+ 5,67)+ 4,82;
4) (16,4+ 13,2) + (10,6 + 4,8).
638. (Устно.) 1) Пассажирский самолет пролетает путь от
Москвы до Иркутска за 12,2 ч, а от Москвы до Владивостока на
10,6 ч дольше. За сколько часов самолет пролетает путь от Москвы
до Владивостока?
2) Реактивный самолет «ТУ-104» пролетает путь от Москвы до
Иркутска за 6,25 ч, а от Москвы до Владивостока на 5,1 ч дольше.
За сколько часов «ТУ-104» пролетает путь от Москвы до Влади-
востока?
639. Найти площадь огорода, засеянного картофелем и свеклой,
если известно, что под картофелем 6,54 га, а под свеклой 3,96 га,
640. Найти общую площадь двух участков леса, принадлежа-
щего колхозу, если первый участок занимает площадь 136,43 га, а
второй —178,92 га.
641. Одна бригада собрала за день 28,6 т картофеля, а дру-
гая—на 4,8 т больше. Сколько картофеля собрано этими брига-
дами?
642. Вес удобрений, привезенных первым грузовиком, на 1,6 т
меньше, чем вес удобрений, привезенных вторым грузовиком.
Сколько удобрений привезли вместе два грузовика, если первый
грузовик привез 3,2 т удобрений?
643. Какой ширины должно быть шоссе, чтобы по нему могли
проехать рядом три грузовые машины шириной каждая по 2,75 м
87
при условии, что между ними должен оставаться промежуток по
0,75 м, а по краям дороги по 0,5 м?
644. Две дорожные бригады покрывали асфальтом шоссе, идя
навстречу друг другу. Когда одна бригада покрыла 4,08 км, а дру-
гая на 3,08 км больше, между ними осталось расстояние 1,42 км.
Вычислить длину шоссе.
645. Найти длину ломаной линии ABCDE, если известно, что
.45 = 3,75 см; ВС = 1,8 см; CD = 0,85 см и D£ = 0,76 см.
646. Начертить произвольный треугольник. Измерить его сто-
роны и вычислить периметр.
647. Узнать, сколько населения было в СССР всего в 1970 г.,
если сельское население составляло 105,7 млн. чел., а городское
население на 30,3 млн. чел. больше сельского?
648. Цимлянское море занимает площадь 4,5 тыс. кв. км, а Куй-
бышевское море на 1 тыс. кв. км больше. Сколько квадратных кило-
метров занимают эти моря вместе?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 16
1) Найти суммы письменно и на счетах:
14,5 0,503 4,58
8,94 +7,09 +0,074
3,08 1,308 9,703
2) Выразить в центнерах, а затем в тоннах сумму:
2,3 m 4-25,4 ц + 436 кг.
3) Вычислить устно наиболее простым путем:
а) 0,15 + 3,07+ 1,85;
б) 0,36 + 2,9 + 0,64+1,5 + 0;
в) 2,57 + 4 + 0,3+1,43+ 1,2.
4) Вычислить сумму 4,5079+ 13,245 + 0,07 и округлить резуль-
тат с точностью до 0,1.
5) Надо поставить изгородь вокруг сада, имеющего прямоуголь-
ную форму. Ширина сада 0,24 км, а длина его на 0,15 км больше
ширины. Какой длины нужно поставить изгородь?
6) Упростить выражение: 5,8+ « + 4,3 +1,9.
7) Упростить выражение и найти его значение:
15,25+ & +3,29, если 5 = 8,15.
S 17. ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
649. Вычислить разность:
1) 9,2 —3,3; 2) 43,4 — 31,7; 3) 14,56—13,78
4) 11,8—8,7; 5) 4,25 — 1,23; 6) 121,21 — 120,74.
7) 21,7—15,8; 8) 4,06-3,19;
Правильность полученных результатов проверить на счетах.
88
650, Вычислить разность:
1) 25,073—16,29; 2) 4,23—1,756;
3) 47,496—31,507: 4) 14,7—13,247;
5) 5—4,998; 6) 261,05 — 249,0707;
7) 25—23,273; 8) 5028,3-5027,9995.
651. Найти разность следующих пар чисел и проверить резуль-
тат сложением:
1) 14,28 и 13,73; 2) 46 и 43,99;
3) 26,3 и 21,325; 4) 221,101 и 174,098.
652. Найти разность следующих пар чисел и проверить резуль-
тат вычитанием:
1) 3 и 2,534; 2) 1,1 и 0,899;
3) 44,2 и 33,141; 4) 16,07 и 13,9045.
653. Представить каждую дробь 4,6; 10,58; 0,73 в виде разности
натурального числа и десятичной дроби, меньшей 1.
Указание. Запись: 8,3 = 9—0,7.
654. Даны числа: 18,305; 10,07; 9,409 и 5,999. Записать мно-
жество чисел, которые можно получить из данных чисел путем
вычитания.
655. Записать 10 выражений числа 0,2, представленного в виде
разности двух дробей, например: 0,2 = 0,3—0,1 = 1,5—1,3 и т. д.
656. Сформулировать условие упражнения по записи:
2,4 —1,4; 3,5—2,5; 4,3—3,3; 4,8—3,8; 6,1—5,1.
657. Заполнить таблицу, составленную по следующему правилу.
Число в пустой клетке равно числу, стоящему слева без 0,7.
5,8
4,3
2,8
658. Определить правило, по которому составлена следующая
таблица:
6,5 10,1 13,2
4,2 7,8 10,9
1,9 5,5 8,6
89
659. Упростить выражение!
1) 6й+Г2,6—5«— 4,9;
2) 56 + 4,92 — 46 + 2,49;
3) 19,65 + 86-76-4,75.
660. Упростить выражение и вычислить;
1) 5,7 + а—4,8, если «=15,4;
2) 18,56 + 76 — 66—12,67, если 6 = 3,06;
3) 40,6 + 86—56—3,92—26, если 6 = 8,9.
691, К 14,9 прибавить 6,709. Из полученной суммы вычесть
19,739.
692. Решить уравнение:
1) # + 4,8=10,1; 2) 8,53 + %= 17,06.
663, Решить, составляя уравнение:
1) К какому числу надо прибавить 12,4, чтобы получить 25,01?
2) На какое число надо уменьшить 9,01, чтобы получить 2,9?
664. Все население СССР составляло: в 1959 г.—208,8 млн. чел.,
в 1940 г. — на 14,7 млн. меньше, чем в 1959 г., и на 47,6 млн.
меньше, чем в 1970 г. Сколько населения было в нашей стране
в 1970 г.?
665. В 1970 г. все население нашей страны составляло 241,7 млн.
чел., из них женщин было на 19,1 млн. больше, чем мужчин.
Сколько женщин и сколько мужчин было в СССР в 1970 г.?
666, На пустой бочке осталась следующая надпись: брутто —
260,6 кг, нетто—222,8 кг. В эту бочку налили 204,5 кг масла.
Как надо изменить надписи на бочке?
667, Составить и решить несколько задач при помощи вычита-
ния по следующим данным:
1) Площадь Москвы составляла:
до Великой Октябрьской социалистической революции 17,7 тыс. га
в 1932 г..........................................27,2 » »
в 1946 г..........................................33,1 » »
в 1970 г..........................................87,5 » »
2) На школьных соревнованиях в беге
. на 100 л лучшие результаты показали:
— р Петя Иванов—14,2 сек, Володя Петров—
A ^***>>i_ 1 13,9 сек и Леша Сухарев —13,6 сек при
I норме 14,6 сек.
668. Из пункта А надо попасть в
пункт С (рис. 19). Какой путь короче;
Рис. 19 через пункт В или через пункт £>?
90.
669. Валя утверждает, что
путь из Вишенок в Громово через
село Высокое короче, чем через
село Сосновка (рис. 20), а Петя
утверждает обратное. Кто из них
прав?
670. 1) Собственная скорость
теплохода (скорость теплохода в
стоячей воде) равна 24,8 км, а
скорость течения реки 3,2 км в
час. Найти скорость теплохода по
течению и скорость против течения.
2) Составить задачу, в которой
требовалось бы найти скорость ка-
Вишенки
Рис. 20
тера по течению и скорость течения реки. Что для этого надо
знать?
671. Решить уравнения и сделать проверку:
1) 8,2 + у=10,6; 2) 17,8Н-а = 21,5; 3) х —7,25 = 10;
4) /г + 4,28 — 4,28; 5) г —0,75 = 2,1; 6) 12,01 —п = 12,01.
Решение: 6) 12,01—п= 12,01;
п= 12,01 —12,01;
и = 0.
Проверка: 12,01—0=12,01;
12,01 = 12,01.
672. На рисунке 21 изображен валик, состоящий из нескольких
элементов. По данным рисунка вычислить длину каждого из эле-
ментов валика.
Рис. 21
673. 1) 6 — 3,2 + 0,09 — 0,0835;
2) 6 —(3,2 + 0,09—0,0835)!
3) 6 —3,2+ (0,09 — 0,0835).
674. 1) 27,03 —13,321—(17,481 —14,19);
2) 18,37 —10,15+ [1,763—(3,63 —2,164)];
3) (90,1—29,37) —[(13,721—5,991) —6,75].
91
675. 1) (5,1—0,01) —[5,6 —(0,999 + 0,001) —(7,8 —5,23)];
2) [(3-0,525)+ (4-3,097)] — [(4,7 — 3,25) — (8,01— 7,8)];
3) 16,27—(5,37 + 3,03) —[15,9—(4,35 + 7,65)].
676. 1) 14,06 —(0,07 + 3,380) —[1,16 + 2,542 —(4,74 —3,84)];
2) 5,025+ (2,5 — 0,144) — {8,65 — [4,037 — (0,89-0,751)]};
3) 28 —{19,8004 —[3,2005 —(2,906—0,5307)]}.
677. Проверить правильность каждой из формул путем подста-
новки. а = 15,4; 6 = 6,6; с — 2,1; d = 1,8;
1) а — (b + c-]-d) = a — b—с—d\
2) а — (Ь — с)—d = a—b-\-c—d-,
3) а —(Ь—с — d) = a — 6-j-c + d.
678. Вычислить наиболее простым путем;
1) (4,25 + 6,57) — (4,49 — 2,57) —(3,51 —1,75);
2) 17,56+ (9,28 — 5,56) — (7,01— 4,72);
3) (14,7 + 0,053) —(9,7—2,31) —(1,01—0,047).
679. Решить уравнение:
1) у+ 12,4 = 15,83; 2) 28,4 — £/ = 27,93;
3) 21,7 + ^ = 23,04; 4) у — (3,2 — 2,1) = 5,7;
5) £/—16,53= 14,47; 6) (16—3,8) —£/= 11,42.
680. Решить уравнение, предварительно упростив части урав-
нения:
1) 15,6 + Зх—2х = 26,5+ 4,9;
2) 4£/+ 18,56 — Зу — 12,06 = 40 — 32,07;
3) 8х+12,64 —7х—10,8= 19,56;
4) 4у+ 15,7 — 2у—7,09—у= 16 — 4,3.
Решение: 4) 4у-\-15,7 — 2у—7,09—£/=16—4,3;
(4£/-2г/-£/) +(15,7-7,09)= 11,7;
£/ + 8,61 = 11,7;
£/=11,7 — 8,61;
£/=3,09.
Упражнения 681—684 решить устно.
681. 1) Какое число надо прибавить к 7,75, чтобы получить 13?
2) К какому числу надо прибавить 25,39, чтобы получить 28,04?
3) Какое число надо вычесть из 45,4, чтобы получить в остат-
ке 7,47?
4) Из какого числа надо вычесть 19,09, чтобы получить 8,1?
682. 1) Уменьшаемое 26,701, а разность 24,96. Найти вычитаемое.
2) Вычитаемое 41,07, а разность 13,96. Найти уменьшаемое.
3) В. каком случае разность двух чисел равна уменьшаемому?
4) В каком случае сумма двух чисел равна одному из них?
683. Как изменится сумма, если:
1) первое слагаемое увеличить на 8,4; уменьшить на 3,8;
2) первое, слагаемое увеличить на 4,1, а второе увеличить на 7,5;
3) первое слагаемое увеличить на 4,6, а второе уменьшить на 3,4;
92
4) первое слагаемое уменьшить на 10,7, а второе увеличить
на 14,8;
5) первое слагаемое увеличить на 4,3, а второе уменьшить на 5,3?
684. Как изменится разность, если:
1) уменьшаемое увеличить на 4,2; уменьшить на 5,2;
2) вычитаемое увеличить на 80,3; уменьшить на 17,05;
3) уменьшаемое и вычитаемое увеличить на 14,58;
4) уменьшаемое увеличить на 10,3, а вычитаемое увеличить
на 4,8;
5) уменьшаемое увеличить на 24,7, а вычитаемое уменьшить
на 8,9;
6) уменьшаемое уменьшить на 3,7, а вычитаемое увеличить на 0,3?
685. Найти длину трехпролетного железнодорожного моста, если
длина среднего пролета 86,8 м, а каждый крайний пролет меньше
среднего на 12,2 м.
Указание. При решении задачи желательно дать схему трех-
пролетного моста.
686. Найти длину четырехпролетного железнодорожного моста,
если каждый из средних пролетов имеет длину 72,4 м, а каждый
крайний пролет на 8,6 м короче среднего пролета.
687. Колхоз под посев зерновых культур отвел три участка
земли. Площадь первого участка 480,4 га, второго — на 15,6 га
меньше, чем первого, а третьего — на 13,2 га больше, чем второго.
Сколько всего земли отвел колхоз под посев зерновых?
688. Один кирпич в сыром виде весит 4,5 кг. После сушки он
теряет в весе 0,8 кг, а после обжига теряет на 0,6 кг меньше, чем
после сушки. Сколько весит кирпич после сушки и обжига?
689. В квартире три жилые комнаты. Первая комната имеет
площадь 12,8 кв. м, площадь второй комнаты на 11,8 кв. м больше
площади первой, а площадь третьей на 10,6 кв. м меньше площади
второй комнаты. Чему равна площадь третьей комнаты?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 17
1) Найти разность и проверить результат:
а) 14,56 — 8,39^ б) 8,1—0,59;
в) 6,234 — 4,5709; г) 4 — 3,0576.
2) Найти числовое значение выражения двумя способами:
а) (4,28 + 6,043)-1,28; б) 16,25 —(8,15 + 4,52).
3) Из суммы чисел 2 и 0,546 вычесть их разность.
4) Вычислить: 1 + 17,4 — (36,43 — 20,84). Проверить правильность
полученного результата на счетах.
5) Решить уравнение, предварительно упростив части уравнения:
а) 5х + 20,52 - 4х-18,09 = 4 + 6,09;
б) 3«/ + 9,3—у + 7,8—^ = 4,57-3,21+5,8.
93
$ 18. УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕН
690. Выполнить умножение устно: 2,4-3; 3,8-2; 4,5-4; 7,5-2;
3,7-4; 4,4-5.
691, Вместо звездочек поставить нужные цифры:
0,08-4 = 0,*2; 6,608-4 = 2*,*32;
2, 23-6 = **,38; 0,707-7 = *,9*9.
692. Выполнить умножение:
3,23 0,538 4,503 4,8 7,32 15,25
х 5 х 5х 8 х 12 х 15 х 18
693. 1) 23,1-5; 2) 48,035-5; 3) 7,0025-4;
4) 405,28-4; 5) 501,25-8; 6) 9,225-8;
7) 200,07-7; 8) 0,045-6; 9) 0,0125-9.
694. 1) 45,8-12; 2) 0,45-35; 3) 0,85-86;
4) 4,58-12; 5) 0,016-0,28; 6) 2,125-16;
7) 0,458-12; 8) 1,025-24; 9) 0,032-25.
695. Решить уравнения:
1)х:3=1,5; 2) r/:8=l,2; 3)z:21=0,4.
696. (Устно.)
1) 43,75-10; 2) 48,7-100; 3) 0,27-0,1;
4) 2,8-10; 5) 0,0042-100; 6) 1,8-0,01;
7) 0,435-10; 8) 4,5923-1 000; 9) 0,035-0,001.
697, 1) 1,3-4; 2) 0,42-305; 3) 0,61-3; 4) 3,02-501;
5) 0,254-60; 6) 4,004-702; 7) 2,04-400; 8) 20,7-1 001.
698. Вычислить наиболее удобным способом:
1) 40,3 + 40,3 +40,3+12,5 + 12,5;
2) 12,45 + 3,24 + 3,24 + 3,24+ 12,45;
3) 9,06 + (7,3 + 9,06) + (3,03 + 9,06) + 73;
4) (2,4+0,9) + (4,5— 1,2) + (1,7 + 1,6) + (1,3+ 1,4).
Указание к 4): (2,4 + 0,9) + (1,5—1,2) + (1,7 + 1,6) +
+ (1,3+ 1,4) = 3,3+ 3,3+ 3,3+ 2,7 = 3,3-3+ 2,7.
699. 1) 5-0,41; 2) 500-1,08; 3) 47-2,002;
4) 17-1,01; 5) 1-4,053; 6) 220-5,04;
7) 12-4,05; 8) 0-2,825; 9) 340-7,053;
10) 40-3,24; 11) 18-0,011; 12) 99-3,401.
700. Заполнить таблицу, составленную по следующему правилу.
Число в пустой клетке равно числу, стоящему слева, умноженному
на 1,2.
94
0,5
1,5
2,5
701. Даны числа: 0,5; 1,2; 2,4 и 0,8. Записать множество чисел,
которое можно получить из данных чисел путем попарного умно-
жения.
702. Выполнить умножение и дать ответ:
1) в метрах: 0,8 кл-13; 41,05 м-1,6; 25,3 +и-4,1;
2) в километрах: 2,75 клг-З; 521,7 л-2,5; 45,8 лг-500;
3) в килограммах: 2,85 ц-12; 44,4 кг-2,5; 204,3 г-10,1;
4) в квадратных метрах: 3,04 кв. м-4,2; 25,2 кв. м-85.
703. 1) Размеры пылинок от 0,005 до 0,05 мм. Выразить размеры
пылинок в микронах.
2) Толщина швейной нитки № 40 равна 300 мк. Выразить тол-
щину нитки в миллиметрах.
704. Вычислить наиболее удобным способом:
1) 0,25-0,3-8; 2) 8-16-0,125-0,5;
3) 0,8-0,49-0,125; 4) 1,5-0,6-0,4-0,5;
5) 1,25-0,5-0,8; 6) 0,4-1,7-0,5-10;
7) 25-0,23-4; 8) 2,5-8-0,4-2,5;
9) 6,5-1,5-0,4-8; 10) 17,9-5-0-4,3.
705. Проверить равенства:
1) (2,45+ 1,12)-1,2 = 2,45-1,2+ 1,12-1,2;
2) 2,6-4,5 + 4,3-4,5 = (2,6 + 4,3)-4,5;
3) (3,28 —3,08)-2,5 = 3,28-2,5 —3,08-2,5;
4) 8,7 -1,4 — 8,2• 1,4 = (8,7 — 8,2)• 1,4.
706. Проверить и пояснить справедливость следующих равенств:
1) 5,25-0,61 = 52,5-0,061; 2) 3,4-1,5-0,9 = 0,34-150-0,09.
707. (Устно.) Что больше:
1) 3,5 или 3,5-0,99? 2) 3,8 или 3,8-1,1?
3) 42,3 или 42,3-0,777? 4) 65,45 или 65,45-1,001?
Сделать вывод о результате умножения десятичной дроби на
число, меньшее 1, большее 1.
708. Найти произведение 4аЬ, если
а 1,2 0,7 5,6
ь 3 1,1 2,5
95
709. Упростить выражение и найти его значение:
1) 4а + 25,6—2а— 7,9-\-5а, если а = 3,4;
2) 4*+ 48,62 —2Ь— 19,76, если * = 2,45;
3) 17,9 4-5* -12,81 -2*4- k, если *=1,07.
710. (Устно.) 1) Десятичную дробь умножили на какое-то число
и в произведении получили число, равное множимому. На какое
число умножили десятичную дробь?
2) На какое число надо умножить десятичную дробь, чтобы
в произведении получить нуль?
711. Средняя скорость поезда 62,5 км в час. Сколько километ-
ров пройдет поезд за 2 ч? за 10 ч? за 20 ч?
712. Средняя скорость теплохода 25,6 км в час. Поставьте вопрос
и решите задачу.
713. Китобойная флотилия «Слава» за один рейс добыла 3 000 ки-
тов. От каждого кита получили в среднем по 8,4 т жира. Поставьте
вопрос и решите задачу.
714. Из одной тонны сахарной свеклы добывают в среднем 0,16 т
сахара. Что можно узнать исходя из этого условия?
715. Первый в мире сверхзвуковой пассажирский самолет «ТУ-144»
развивает скорость 1600 миль в час. Выразить скорость «ТУ-144»
в километрах, если 1 миля = 1,6 км.
716. Мальчик, наблюдая грозу, увидел вспышку электрического
разряда (молнию), а через 32 сек услышал звук разряда (гром).
На каком расстоянии от мальчика произошел разряд, если скорость
звука в воздухе 0,33 км в секунду?
717. Семья колхозника выработала за год 1200 трудодней. Сколько
зерна, овощей и денег получит семья, если колхоз выдавал 2,23 руб.,
3,5 кг зерна, 4,4 кг овощей на 1 трудодень?
718. Нужно огородить для крольчатника проволочной сеткой
прямоугольный участок, периметр которого 12,4 м. Может ли этот
участок иметь размеры: 1) 5,2 м х 2 м; 2) 4 м х 2,2 лг; 3) 3,1 м х 3,1 м\
4) 5,2 м х0,5 jh?
719. На окучивании участка картофеля одновременно работали
тракторный окучник производительностью 1,3 га в час и два конных
окучника производительностью 0,25 га в час каждый. Поставить
вопрос к задаче и решить ее.
720. В 12 ч дня от пристани отошел теплоход со средней ско-
ростью 22,5 км в час, а через 6 ч отправился от этой же пристани
и в том же направлении „Метеор" со скоростью 74,3 км в час. На
каком расстоянии друг от друга они будут в 20 ч дня? в 23 ч?
721. Выполнить действия:
1) 20,16-0,13+ 14,4-1,058; 2) 4,5-3,1 4-1,2-0,3-2,1.
722. 1) (6,244-1,8)-(1 -0,4); 2) 10,8 + 3,5 - (6,4—5,9).
723. 1) (5,4+ 3,5)-(5,4 —3,5);
2) (Э — 0,4)-(6,1— 4,6) + (4,1— 2,85)-(3,2—3,12).
: 96
724. 1) 17,4-0,5 —(9,8 +1,4)-0,1+0,3-(24,3 — 18,8);
2) 41,5-0,6 —0,4-(15,8—12,3) + (13,44-15,4)-0,5.
725. Записать при помощи скобок и знаков арифметических дей-
ствий и произвести вычисления над числами 20,3; 5,4; 8,2 в сле-
дующих1 случаях:
1) сумму всех трех чисел умножить' на разность между первым
и вторым числом;
2) сумму первых двух чисел умножить на удвоенную разность
между первым и третьим числом.
726. Проверить распределительный закон умножения: 1) умно-
жив сумму чисел 3,21 и 5,29 на 0,25; 2) умножив разность чисел
3,34 и 2,09 на 0,4.
727. К какому числу надо прибавить 15,4, чтобы получить число,
в 2,5 раза большее, чем 15,1?
Указание. Задачи 727—728 решить, составляя уравнение.
728. От какого числа надо отнять 15,8, чтобы получить число,
в 2,5 раза большее, чем 10,8?
729. Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли
два поезда: один со скоростью 58,4 км в час, а другой со скоростью
66,2 км в час. Встреча их произошла через 2,5 ч. Найти расстояние
между городами.
730. Надо огородить колхозный сад, ширина которого 109,4 м,
а длина на 24,6 м больше ширины. Колхоз имеет 480 кольев для
изгороди. Хватит ли этого количества кольев для изгороди, если
на каждый метр идет 5 кольев?
731. Через поле прямоугольной формы, ширина которого 90,5 м,
а длина в 6 раз больше ширины, проходит поперек его (по ширине)
грунтовая дорога шириной 6,5 м. Сколько земли используется под
посев? (Ответ округлить до 1 а.)
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 18
1) Вычислить: а) 2,004-50 + 8,609-420—4,007-300;
б) (6,88 — 2,49)-(7,45+ 3,25).
2) Найти числовое значение выражения:
a(b + c-\-d) при а= 1,425; 6 = 50; с = 8 и d= 100.
3) Упростить выражение и вычислить:
а) 5,75 + 9а—2,8—4а + а, если а = 1,25;
б) 36 + 11,24—26—3,48 + 46 + 5,09, если 6=10,5.
4) Трактор при пахоте пятикорпусным плугом, захватывающим
полосу шириной 1,75 м, имеет скорость 5 км в час. Какое поле
этот трактор может вспахать за 8 ч непрерывной работы? (Выразить
работу с точностью до 1 га.)
5) Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу выехали
велосипедист со скоростью 10,4 км в час и мотоциклист, скорость
которого была в 4 раза больше, чем скорость велосипедиста, и
встретились через 1,5 ч. Найти расстояние между пунктами.
4 № 2266
97
§ 19. ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
Выполнить деление:
732. (Устно.) 1) 0,2:2; 2) 7,2:6; 3) 1,24:4;
4) 0,36:2; 5) 18,6:6; 6) 1,05:5;
7) 1,6:3; 8) 0,06:5:9) 0,003:15;
10) 2,4:3; 11) 0,84:6.
733. 1) 4,356:3; 2) 6,066:6; 3) 3,366:9;
4) 469,7:7; 5) 46,97:7; 6) 4,697:7;
7) 2,61:3; 8) 4,05:5; 9) 6,96:6.
734. 1) 2,42:8; 2) 5,31:9; 3) 4,032:7;
4) 0,196:14; 5) 3,61:19; 6) 20,01:24;
7) 10,2:15; 8) 234,5:35; 9) 0,03741:43.
Решить уравнения:
735. 1) 4,8:г/ = 4; 2) 0,15:х = 3; 3) 1,44:г = 12.
736. 1) 5,6х= 16,8; 2) 4,5г/= 22,5; 3) 1,7г = 5,44.
737. Решить уравнение, предварительно его упростив:
1) 4,05 + 8,2х —3,4 —7,7х = 3,7;
2) 3,35 + 6,8x4-5,8—2,Зх= 18,6;
3) 9,6#+15,25 —7,1г/+ 12,25 = 30.
Выполнить деление:
738. 1) 8,4:1,2; 2) 1,25:0,25; 3) 10,4:0,8;
4) 1,44:0,12;5) 0,75:0,25; 6) 0,96:0,16;
7)0,01:0,04; 8)0,01:0,25.
739. 1) 9:0,6; 2) 1:0,8; 3) 40:0,05;
4) 1:0,002; 5) 100:0,8; 6) 132:0,024;
7) 512:0,016; 8) 4 959:0,87.
740. 1) 0,24:0,4; 2) 10,01:9,1; 3) 2,7:0,03;
4) 2,002:9,1; 5) 0,9:0,045; 6) 6,54:1,09;
7)0,0121:0,11; 8)0,03388:121.
741. (Устно.)
1) 5:0,1; 2) 321:0,01; 3) 0,1:0,1;
4) 32:0,1; 5) 8:0,001; 6) 0,05:0,5;
7) 150:0,1; 8) 42:0,001; 9) 0,4:0,01;
10) 3:0,01; И) 2:0,0001; 12) 0,25:0,001.
742.
1) 7:0,032; 2) 1,024:8; 3) 37,505013:7,9;
4) 4 996:0,0012; 5) 0,7068:0,57; *6) 47,04:0,0084;
7).0,2205:0,147; 9,009:0,91; 9) 5508:6,12;
10)9,21:3; 11) 2222222,202:9; 12) 5,9827:0,2063.
08
743. Заполнить клетки таблицы по следующему правилу. Число
пустой клетки равно числу, стоящему слева, деленному на 0,2.
744. Определить правило, по которому заполнена таблица:
2,7 0,81 10,8
0,9 0,27 3,6
0,3 0,09 1,2
2,4 4,8 9,6
8 16 32
15,6 31,2 62,4
745. Найти приближенное частное:
1) 220:56 с точностью до 1;
2) 313:321 с точностью до 0,1;
3) 10,4:32 с точностью до 0,1;
4) 456:48 с точностью до 0,01;
5) 45,3:11,1 с точностью до 0,01;
6) 2:3 с точностью до 0,001;
7) 457:3,9 с точностью до 0,001;
8) 71,7:324 с точностью до 0,0001;
9) 0,011:75 с точностью до 0,00001.
746. Вычислить, сколько каждого вида продукции было вырабо-
тано в СССР на душу населения в 1970 г., если население страны
составляло 247,1 млн. чел. (ответы дать с точностью до 0,1):
№ пп. Вид продукции Всего На душу населения
1 Сталь 116 млн. т
2 Нефть 353 млн. т
3 Электроэнергия 740 млрд, квт-ч
4 Уголь 624 млн. т
5 Зерновые 186 млн. т
6 Ткани всех видов 8,9 млрд.л2
7 Обувь кожаная 676 млн. пар
4*»
99
ЧМ. Какую часть составят:
1) 7 руб. от 10 руб.; 10 коп. от 2 руб.; 15 руб. от 700 руб.;
2) 8 км от 40 км; 17 м от 2 км; 13 м от 91 м;
3) 25 г от 1 кг; 8 кг от 200 кг; 3 ц от 2 т;
4) 800 кв. м от 21 га; 400 кв. м от 5 га; 760 кв. м от 4 га?
748. Какую часть составляет число:
1) 0,21 от 0,63; 2) 0,375 от 3,125;
3) 0,8 от 16; 4) 2,84 от 4;
5) 5,6 от 12; 6) 5,525 от 13;
7) 0,425 от 0,5; 8) 45,156 от 159?
749. Решить уравнение:
1) 0,Зх—0,2 = 7,9; 2) 9,1х-|- 5,1 =106,2;
3) 0,7x4-2,2 = 19,7; 4) 0,31x4-1,2=1,2124;
5) 0,5х—17 =40,5; 6) 0,158х — 3 =3,162.
750. (Устно.) Поезд Московского метро проходит за 10 мин
расстояние 6,8 км. Сколько километров проходит поезд за 1 мин?
за 1 ч? Составьте задачу, обратную данной.
751. В пионерском лагере на питание 100 пионеров израсходо-
вано 62,5 кг хлеба, 32,4 кг мяса, 4,3 кг масла. Сколько каждого
продукта в отдельности приходилось на питание одного пионера?
752. Деталь весила 38,4 кг. После усовершенствования деталь
стала весить 12 кг. Во сколько раз прежний вес детали был больше
теперешнего? Составьте задачу, обратную данной.
753. Стоимость машины 4 520 руб. Износ оборудования при ее
изготовлении выразился в 316,4 руб. Какую часть стоимости ма-
шины составляет стоимость износа оборудования?
754. Вычислить, сколько продукции каждого вида приходится
на 100 га земельных угодий колхоза, который Имел 1 000 га земли.
Вид продукции Получено продукции (В Ч) Приходится на 100 га
Зерно ..... Мясо Сено 682,6 452,4 1256,8
755. Моторная лодка прошла 30,4 км по течению реки за 2 ч.
Скорость течения реки 1,2 км в час. Сколько километров пройдет
лодка в стоячей воде за 6 ч?
756. За 11 лет, прошедших после переписи населения 1959 г.,
население СССР увеличилось на 32,9 млн. чел. Найти средний при-
рост населения нашей страны за год (вычислить с точностью до
0,1 млн.).
100
757. Один автомат для приготовления, конфет за 10 мин дает
4 250 шт., а автомат другой конструкции за 15 мин изготовляет
7 560 конфет. Производительность какого автомата выше?
758. Известный океанограф Жак Пикар на подводном корабле
совершил подводное плавание по течению Гольфстрима. За 737 ч
корабль прошел 1 500 миль (1 миля = 1,6 км). Найти скорость
Гольфстрима в километрах.
759. Население СССР в 1959 г. было 208,8 млн. чел. За И лет,
прошедших после переписи 1959 г., население увеличилось на
32,9 млн. чел. Составьте задачу по этим данным.
760. Винт за четыре оборота продвинулся на глубину 9,6 мм.
За сколько оборотов он продвинется на глубину 38,4 мм?
761. Мощность всех двигателей космического корабля „Восток-Г*
составляла 20 млн. л. с. Какое количество двигателей автомобиля
„Москвич" могли бы развить такую же мощность, если мощность
двигателя „Москвич" равна 15 л. с.?
762. Используя данные таблицы приложения (стр. 295), составить
две задачи: первую задачу, решаемую действием умножения, и вто-
рую—двумя действиями, из которых одно—деление.
Выполнить указанные действия:
7КЧ П 80’4'8’1'4,8 . 13,8-1,75-3,810,2
14 0,0481,62 ’ 0,55-1,9-10,8-2,3 :
23,4-1,0010,625 5,2-14,4-6,75
6> 18,2-0,78-0,125 ’ 1,2-8-19,5-2,7 ’
Указание. Целесообразно преобразовать члены дроби так,
чтобы все множители были натуральными числами, например:
40,2-8,1-4,8 _ 402-81-48-1 000-100
0,048-0,81 ““ 10-10-10-48-81
7fi. .. 5,12 0,88 2,25 . 3,6-75,3-0,75
'°4, 3,2-0,48-0,6 ’ 150,6-7,5-21,6-18 ’
13,5-19,375 0,4
3,125-3,6-1,5-6,2 ’
765. Найти числовое значение выражения:
1) если а = 7,5; 6 = 6,4; с = 0,12; й = 25; е = 0,5;
2) , если т=1,2; п—12,1; k =1,1; е = 7,7.
' и, оке
766. Пользуясь правилом деления произведения, найти:
1) (12,8 •5,8• 0,7):58; 2) (4,45• 7,2• 5,5):0,11;
3) (25,8-1,44-0,05):0,12; 4) (13,5-9,1-6,6):0,013.
767. Пользуясь правилом умножения суммы и разности, найти:
1) (2,5+1,75)-0,4; 2) (6,72—4,6)-0,25.
768. Пользуясь правилом деления суммы и разности, найти:
1) (2,85+ 1,5):0,15; 2) (1,69-0,52): 1,3.
101
769. Решить уравнение:
1) у.0,5 = 2,6; 2) 4,5+16,9:1/= 17,5;
3) х:0,19= 1,1; 4) l,7:t/ = 4,25.
770. При каком значении переменной выражение: 1) (т—2,04).5
равно 4; 2) (п + 5,9):1,6 равно 6?
771. Произведение двух чисел равно 0,596, множимое 1,49. Найти
множитель.
772. Частное двух чисел равно 7,04, а делитель 5,6. Найти де-
лимое.
773. Частное двух чисел равно 0, а делитель 0,016. Найти де-
лимое.
774. 0,17 неизвестного числа составляют 1,02. Найти это число.
775. Как изменится произведение трех чисел, если первое ум-
ножить на 1,6, второе — на 0,25, а третье разделить на 0,8?
776. Вычислить, сколько продукции каждого вида приходится
на 100 га земельных угодий колхоза, который имел 2 450 га земли:
Вид продукции Получено продукции (в ц) Приходится на 100 га
Зерно Мясо Сено 2572,5 1837,5 2107,0
777. Звезды весьма различны по своей яркости. Самые яркие
звезды назвали звездами 1-й величины, звезды в- 2,5 раза более
слабые по яркости, чем звезды 1-й величины,—звездами 2-й вели-
чины, звезды в 2,5 раза более слабые, чем звезды 2-й величины,—
звездами 3-й величины и т. д. Какую часть яркости звезды 1-й
величины составляет яркость звезды 4-й величины, 6-й величины?
Примечание. Самые слабые по яркости звезды, видимые
зорким глазом в безлунную ночь,— звезды 6-й величины.
778. Земснаряд за 2,2 ч намывает в плотину 1 100 куб. м грунта.
Сколько грунта он намоет за 5,5 ч, если будет работать с той же
производительностью? Составьте задачу, ей обратную.
779. Сплав „третник" состоит из одной части свинца и двух
частей олова. Достаточно ли 0,65 т олова для изготовления тонны
сплава?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 19.
1) Найти частное t/:3,2, если у = 13,12; 25,76. Сделать проверку.
2) Найти приближенное частное 5,27:0,96 с точностью до 0,1;
0,01; 0,001.
3) Вычислить: (5,48 + 8/2): (7,97 + 8,77): 3,72 2,5.
102
4) По норме тракторист должен вспахать 62,5 га за 5 дней.
Сколько тракторист вспашет за 10 дней, работая с той же произ-
водительностью? Решить двумя способами.
5) Частное отделения двух чисел равно 1,2. Найти новое частное,
если:
а) делимое умножить на 0,5, а делитель оставить без изменения;
б) делимое и делитель умножить на 0,4.
6) Ширина захвата одной тракторной косилки равна 2,1 м.
Какую площадь уберут три тракторные косилки за 8 ч работы, если
средняя скорость трактора 4,5 км в час? (Вычислить с точностью
до 1 га.)
§ 20. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ НЕСКОЛЬКИХ ЧИСЕЛ
780. Температура воздуха утром была 14°, в полдень 20° и ве-
чером 18°. Определить среднюю температуру дня.
781. Для определения всхожести семян посеяли 4 сотни семян
отдельно одна от другой. Из первой сотни взошли 96 семян, из
второй 88, из третьей 92 и из четвертой 84. Определить среднюю
всхожесть семян.
782. Рабочий обработал три одинаковых детали: первую деталь
за 2,8 мин, вторую—за 2,1 мин и третью—за 3,2. Сколько минут
в среднем ему требовалось для обработки одной детали?
783. Чтобы найти среднюю длину своего шага, измеряют длину,
например, 15 шагов и находят среднее арифметическое. Найти сред-
нюю длину своего шага.
784. Найти среднее арифметическое:
1) трех чисел: 2; 5,4 и 3,1. Изобразить графически каждое из
этих чисел и их среднее арифметическое;
2) четырех чисел: 42,4; 36,04; 22,28 и 28,36.
785. Заполнить пустые клетки таблицы:
Первое число Второе число Среднее арифметическое этих чисел
4,6 3,8
5,4 6,1
0,25 0,32
786. Тракторист выполнил задание за три дня. В первый день
он вспахал 12,5 га, во второй—15,75 га и в третий —14,5 га. Сколько
в среднем гектаров земли вспахал тракторист за день? Записать
решение числовой формулой.
103
787. Участник соревнования по гимнастике получил оценку: 5,4;
5,6; 5,5; 5,2; 5,5. Найти среднюю оценку спортсмена.
788. Группа школьников, совершая трехдневный туристский
поход, находилась в пути первый день 6,4 ч, во второй 6,1 ч и в
третий 5,7 ч. Сколько часов в среднем находились в пути школь-
ники? Записать решение числовой формулой.
789. С участка площадью 4 сотки было собрано 3,8 ц свеклы,
с участка площадью 5 соток 4,5 ц и с участка в 2 сотки 2,26 ц
свеклы. Определить средний урожай свеклы с 1 сотки (1 сотка =
— 100 кв. л).
790. Пробный улов и взвешивание карпов-годовичков показал,
что из 20 карпов 8 имели вес по 0,6 кг, 7 — по 0,7 кг и 5 — по 0,8 кг.
Найти средний вес карпа.
791. На одном грузовике 4,6 т груза, а на другом — 3,2 т.
Сколько груза надо переложить с первого грузовика на второй,
чтобы грузы на грузовиках были равны?
§ 21. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
И ОБЪЕМА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
792. Крышка стола имеет длину 1,9 м и ширину 0,9 м. Вычис-
лить площадь крышки стола.
793. Заполнить пустые клетки таблицы:
Прямоугольник
длина ширина площадь
4,2 см 5,6 см
8,2 дм 41,82 дм*
0,9 м 5,4 л2
794. Луг прямоугольной формы имеет длину 1,25 км и ширину
0,8 км. С каждого гектара накосили 12 т травы. Сколько сена по-
лучилось из этой травы, если из 2,4 т травы получается 0,5 т сена?
795,-На прямоугольном участке земли, длина которого 0,15 км,
а ширина 0,135 км, разбивают сад. Сколько вишневых деревьев
будет посажено на этом участке, если под каждое дерево предпола-
гают в среднем отвести площадь 4,5 кв. ж?
Указание. В данной задаче целесообразно длину и ширину
выразить в метрах.
Ю4
796. Сколько центнеров семян потребуется для засева поля,
имеющего форму прямоугольника длиной 1,2 км и шириной 0,4 км,
если засевать по 1,4 ц семян на 1 га?
797. Сколько гектар луга скосит трактор с прицепом из четы-
рех косилок за 16 ч работы, если
1,56 м и скорость трактора 4,5 км
в час? (Ответ округлить до 0,1 га.)
798. По размерам, указанным
на рисунке 22, вычислить пло-
щадь, занятую под каждую куль-
туру.
799. Используя справочную
таблицу „Средние нормы высева
культур на 1 га" (стр. 295), вы-
числить потребное количество се-
мян для засева площадей, указан--
ных на рисунке 22.
800. Комната имеет форму ку-
ба со стороной 3,4 м. Общая пло-
ширина захвата каждой косилки
щадь двери, окон и печи — 7,67
кв. м. Сколько листов сухой штукатурки пойдет на облицовку стен,
если площадь одного листа 3,5 кв. м? Записать решение числовой
формулой.
801. Размеры комнаты, имеющей форму прямоугольного парал-
лелепипеда, 8,4 м, 6,5 м и 3,2 м. Определить объем комнаты.
802. Длина комнаты 6,5 м, ширина 6,4 м. Найти высоту, ком-
наты, если ее объем равен 166,4 куб. м. Записать решение числовой
формулой.
803. Сколько тонн пшеницы было привезено 8 грузовиками,
если кузов каждого из них имел длину 4 м, ширину 1,25 м, а
зерно нагрузили 0,8 м высоты кузова?
У^к а з а н и е. Вес пшеницы в объеме 1 куб. м взять из таблицы
на странице 295.
804. Размеры картофелехранилища, имеющего форму прямо-
угольного параллелепипеда, 20,5 м, 10,2 м и 2,2 м. Это картофеле-
хранилище было заполнено на 0,8 своего объема. Сколько тонн
картофеля находится в овощехранилище? (Округлить с точностью
до 0,1 т.)
Указание. Вес картофеля в объеме 1 куб. м взять из таблицы
на странице 295.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 21
1) Теплоход прошел за первый час 22,6 км, за второй—24,2 км
и за третий час—23,7 км. Вычислить среднюю скорость теплохода.
2) Среднее арифметическое двух чисел 21,1. Одно из этих чисел
15,4. Найти другое число.
105
3) Найти выработку пятикорпусного тракторного плуга за 8 ч
работы, если скорость трактора 4,5 км в час, а захват корпуса
0,5 м. (Ответ округлить до 0,1 га.)
4) Размеры классной комнаты 9,2 щх6,2 лх5,2 м. Допустимо
ли размещение в ней 42 учеников, если санитарная норма на одного
учащегося не менее 6 куб. м воздуха?
§ 22. ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ
ДРОБЯМИ
805. Поставить в пустые клетки таблицы числа так, чтобы суммы
по строкам, столбцам и диагонали были в таблице одинаковы.
4,2 3,7
4,3 3,9
3,8
7,4 8,1
7,7
8
806. Длина кирпича 2,5 дм, ширина 1,25 дм и толщина 0,65 дм.
Сколько весят 5 000 кирпичей, если 1 куб. дм кирпича весит 1,63 кг?
(Ответ округлить до 0,01 т.)
807. Выполнить указанные действия.
1) 2,5 4-0,56-284-0,125-15—0,12-7;
2) 12,8:4 + 76,8:12—42,6:6—2,4.
808. 1) 4,01 +43,6:10—73,2:30+ 15,4:100;
2) 176,4:100-0,041-40+ 13,5:50 + 0,3.
809. 1) (16,4 +13,2)-3—(10,6 + 4,8)-2—23,2;
2) (40,65 —32,6):5 + (4,72—2,24)-3.
810. 1) 4,735:0,5+14,95:1,3 + 2,121:0,7—21,6;
2) 0,01105 + 0,05—0,3417:34—0,875:125.
811. 1) (0,1955 +0,187):0,085—(4,72 — 4,72)-0,157;
2) (5,72 —3,21)-5 + (86,9 + 667,6):(37,1 + 13,2).
812. 1) 4,9 —(0,008 +0,992)-(5.0,6—1,4);
2) (50 000—1397,3): (20,4 + 33,603)—856.
813. 1) 2,18+ 1,35:2,7 + 6,02 —5,9 + 0,4:2,5-(4,2—1,075);
2) 8 — [(14,068 + 15,78):(1,875 -г 0,175)]: [(0,325 + 0,195) • 4].
814. 1) 42,52—[(6 + 9,728:3,2)-2,5—1,6]-1,2—0,015:0,01;
2) 45,32 — [(20 + 9,744: 2,4) • 0,5 — 1,63]: 0,25 + 0,0752:0,04.
106
815. Найти частное от деления:
1) (605,125:12,5 —36,8706:0,87 —0,0012) на (0,3181 -4—59,29:77);
2) (90,09:91 +3,774:0,34) на (232,31:17,87 + 186,85:5,05).
.816. Выполнить действия:
57,24-3,55+430,728 127,18-4,35 + 14,067
2,7-1,88—1,336 18+2,1492:3,582 ’
(4,561 +5,439)-0,1 (4,45—2,2):0,3
(7,01—5,01):0,5 (0,823+0,177)-30 ’
Г 0,3 (3,6—2,8) (0,2 —0,15):0,001] ,2fi
[ 0,25 (0,94 + 1,06) + (4,7 — 3,9) 10 J ,Л>,У2
817. Вычислить с точностью до 0,1, во сколько раз в 1970 г.
производство некоторых видов продукции промышленности в СССР
было больше, чем в царской России в 1913 г. Заполнить последнюю
графу.
Наименование Производство продукции Во сколько раз в 1968 г. больше, чем в 1913 г.
в 1913 г. в 1970 г.
Сталь (в млн. т) 4,2 116
Уголь (в млн. т) 29,1 624
Нефть (в млн. т) 9,9 353
Электроэнергия (в млрд.
квт-ч) 1,9 740
"818. Проверить справедливость формул:
1) (а + b + с)k = akbk + ck при a=l,5; 6 = 2,7; c = 0,6 и fe = 3;
2) (a+ 6)— (c—k) = a-\-b—c + fe при a = 2,8; 6 = 4,6; c = 5,3
и k = 1,8. V
819. Решить уравнения и проверить решение:
1) 12,4 + 2%—5,6 = 31,8; 2) 4,6—3%=1,3; 3) 4% + 2,6 = 8,2;
4) 5,8 — 5^ = 4,5; 5) 5,3 + 2#= 10,8.
Решение:
1) 12,4 + 2% —5,6 = 31,8;
2% + 6,8 = 31,8;
2% = 31,8 — 6,8;
2% = 25;
х= 12,5.
Проверка:
12,4 + 2-12,5—5,6 = 31,8;
12,4 + 25—5,6 = 31,8;
31,8 = 31,8.
Решить уравнения:
820. 1) (5000 —4997,3):(% +0,25)= 10;
2) 3,06 — 0,05# + 66:0,33 + 0,14 = 203,18.
107
821. 1) 213x4-325,6—200х = 80,3-102;
2) 4x4-15,4 —2х = 4,6-5,1;
3) 2,44-0,3г/— 1,8 — 0,25г/ = 8,2• (5,7 —2,2).
Решение: 1) 213x4-325,6 — 200х = 80,3-102;
13x4- 325,6 = 8190,6;
13х = 8190,6—325,6;
13х = 7 865;
х = 7 865:13;
х = 605.
822. К какому числу следует прибавить 4,8, чтобы произведение
полученной суммы на 2 оказалось равным 12,8?
823. Из какого числа надо вычесть 6,2, чтобы произведение
полученной разности на 3 оказалось равным числу 21,3?
824. На какое число следует умножить 4, чтобы в результате
сложения полученного произведения с числом 16,4 оказалось
число 36,24?
825. Неизвестное число умножили на разность чисел 1 и 0,57
и в произведении получили 3,44. Найти неизвестное число.
826. Сумму неизвестного числа и 0,9 умножили на разность
между 1 и 0,4 и в произведении получили 2,412. Найти неизвест-
ное число.
827. От числа 21,08 отняли удвоенное неизвестное число и по-
лучили 12,6. Найти неизвестное число.
828. К учетверенному задуманному числу прибавили 14,8 и
получили столько, сколько получится от умножения 20,5 на 4.
Найти задуманное число.
829. Номер обуви приближенно равен числу 1,6, умноженному
на длину ступни в сантиметрах. Определить: 1) номер своей обуви;
2) чему равна длина ступни человека, если он носит обувь номер 42.
830. Цементовоз имеет емкость бункера 8 куб. м. В бункер
погрузили 9,28 т цемента. Полностью ли загрузили бункер,
если 1 куб. м цемента весит 1,17 т?
831. Ученик на каникулы поехал к дедушке. По железной до-
роге он ехал 8,5 ч, а от станции на лошадях 1,5 ч. Всего он
проехал 440 км. С какой скоростью ученик ехал по железной до-
роге, если на лошадях он ехал со скоростью 10 км в час?
832. За лето один суслик уничтожает около 0,12 ц хлеба.
Школьники весной истребили на 112,5 га 3 750 сусликов. Сколько
хлеба сохранили школьники для колхоза? Сколько сбереженного
хлеба приходится на 1 га?
833. На запасном пути могут поместиться только 120 товарных
вагонов при средней длине 7,6 м. Сколько поместится на этом
пути четырехосных пассажирских вагонов длиной 19,2 м каждый,
если на этом пути будут помещены еще 24 товарных вагона?
108
Каждую из задач 834 и 835 дополнить вопросом, требующим
нахождения части целого.
834. (Устно.) 1) В колхозном саду 1 200 плодовых деревьев,
из них 0,6 всех деревьев яблони.
2) На заводе 2 500 рабочих, из них женщин 0,2 всех рабочих.
835. (Устно.) 1) В школе 820 учащихся; 0,4 этого числа
мальчики.
2) В старших классах школы 240 учащихся; 0,7 всех учащихся
этих классов комсомольцы.
836. Предмет, вес которого на Земле 1 кг, весит на Луне 0,16 кг.
Сколько весит предмет на Луне, если на Земле он весит 150 кг?
Сколько будете весить вы на Луне?
837. В резервуаре 3,64 т бензина. В первый день взяли
2
всего бензина, во второй---g- остатка и в третий—остальной бен-
зин. Сколько было взято в третий день?
838. В районном центре три школы: средняя, восьмилетняя и
начальная. В средней школе обучается 850 учащихся, в восьми-
летней— 0,6 от количества учащихся в средней школе, а в началь-
ной—0,5 от количества учащихся в восьмилетней школе. Сколько
учащихся в этих трех школах?
839. При размоле пшеницы на муку теряется 0,1 ее веса, а при
выпечке получается припек, равный 0,4 веса муки. Сколько пече-
ного хлеба получится из 7,5 т пшеницы?
840. Колхоз собрал 280 т семян подсолнуха. Сколько подсол-
нечного масла изготовят из собранного зерна, если вес зерна
составляет 0,7 веса семян подсолнуха, а вес полученного масла
составляет 0,25 веса зерна?
841. Колхоз продал государству вначале 800 т подсолнечника,
во второй раз 0,65 проданного вначале и в третий раз в 2,2 раза
больше, чем продал подсолнечника во второй раз. Сколько масла
получится из проданного колхозом подсолнечника, если выход
масла составляет 0,4 общего веса подсолнечника?
842. Артель рыбаков должна была выловить по плану 612 т
рыбы при среднем улове 6 т в день. Однако артель, вылавливая
в среднем на 0,5 т рыбы в день больше, чем намечалось по плану,
перевыполнила план, выловив на 12 т больше, чем по планус
Поставить вопрос к задаче и решить.
Дополните каждую из задач 843 и 844 вопросом, требующим
нахождения целого по его части.
843. (Устно.) 1) Рабочий за 8 ч выполнил 0,4 порученной
ему работы.
2) Рабочий внес в сберкассу 24 руб., что составляет 0,2 его
месячного заработка.
109
844. (Устно.) 1) Количество пищи, съедаемое слоном за 1 день,
составляет 0,1 его веса. В день он съедает в среднем 280 кг пищи.
2) Самая маленькая птица на Земле—колибри, а самая боль-
шая— страус. Вес колибри 1,8 г, что составляет 0,00002 веса
страуса.
845. Выход сливок из молока составляет 0,16 веса молока, а
выход масла из сливок составляет 0,25 веса сливок. Сколько тре-
буется молока (по весу) для получения 3 ц масла?
846. Сколько килограммов белых грибов надо собрать для по-
лучения 5 кг сушеных, если при подготовке к сушке остается 0,5
веса, а при сушке остается 0,1 веса обработанного гриба?
847. Сколько центнеров семян потребуется для засева поля,
имеющего форму прямоугольника длиной 1 075 м и шириной 460 м,
если на 1 га высевать 1,5 ц семян?
848. Сколько центнеров семян потребуется для засева поля,
имеющего форму прямоугольника, если его периметр равен 2,4 кл?
Ширина поля 300 м. На засев 1 га требуется 1,5 ц семян.
849. Надо нарезать пластинки квадратной формы со стороной
0,2 дм из листов железа, имеющих форму прямоугольника разме-
ром 0,4 дл/xlO дм. Таких листов железа имеется 48 штук. Хватит
ли этого материала для изготовления 5 000 пластинок?
850. Читательный зал имеет размеры 9,6 лх20 jhx4,5 м. На
сколько мест рассчитан читальный зал, если на каждого человека
необходимо 3 куб. м воздуха?
851. Какую площадь луга скосит трактор с прицепом четырех
косилок за 4 ч, если ширина захвата каждой косилки 1,56 м и ско-
рость трактора 4,5 км в час (время на остановки не учитывается)?
(Ответ округлить до 0,1 га.)
852. Найти выработку трехкорпусного тракторного плуга за 5 ч
работы, если скорость трактора 5 км в час, захват одного корпуса
35 см, а непроизводительная трата времени составила 0,1 всего
затраченного времени. (Ответ округлить до 0,1 га.)
853. На подводу нагружают 0,35 т груза, что составляет 0,125
того, что нагружают на небольшой грузовик. Сколько грузовиков
такой мощности требуется для перевозки 19,6 т груза?
854. Запас муки был распределен между тремя пекарнями: первая
получила 0,4 всего запаса, вторая — 0,4 остатка, а третья пекарня
получила муки на 1,6 т меньше, чем первая. Сколько всего муки
было распределено?
855. 1) Используя данные приложения (стр. 295), составить одну
задачу на нахождение части целого и одну задачу на нахождение
целого по его части.
2) Используя материалы задачи 1), составить им обратные задачи.
856. Найти среднее арифметическое:
1) двух чисел: 43,8 и 42,4; 305,3 и 307,5;
110
2) трех чисел: 58,5; 46,8 и 27; 0,74; 0,99 и 0,51;
3) четырех чисел: 2,48; 1,36; 2,24 и 2,04.
857. 1) Утром температура была 14,6°, в'полдень 23,5°, а вече-
ром 13,2°. Вычислить среднюю температуру за этот день..
2) Какова средняя температура за неделю, если в течение недели
термометр показывал: 21°; 20,Г; 22,2°; 23,2°; 23,8°; 22,1°; 20,1°.
858. Школьная бригада в первый день прополола 3,6 га свеклы,
во второй день — 3,9 га, а в третий—3,3 га. Определить среднюю
выработку бригады за день.
859. Для установления нормы времени на изготовление новой
детали были поставлены три токаря. Первый изготовил деталь за
3,5 мин, второй — за 3,7 мин, а третий — за 3,9 мин. Вычислить
норму времени, которая была установлена на изготовление детали.
860. Среднее арифметическое двух чисел 46,4. Одно из этих чисел
46,8. Найти другое.
861. Температуру воздуха измеряли три раза в день: утром,
в полдень и вечером. Найти температуру воздуха утром, если в пол-
день было 26,4°, вечером 20,2° тепла, а средняя температура дня
20,4°.
862. Автомобиль проехал за первые 2 ч 128,5 км, а за последую-
щие 3 ч 168,8 км. Сколько километров в среднем проезжал авто-
мобиль в 1 ч? (Вычислить с точностью до 0,1 км.)
863. По переписи 1913 г. население России составляло 159,2 млн.
чел., причем городского населения было на 102,2 млн. чел. меньше,
чем сельского. Сколько было городского и сколько сельского населе-
ния в России в 1913 г.?
864. 1) По переписи 1970 г. в СССР сельское население состав-
ляло 105,7 млн. чел., а городского—было на 30,3 млн. больше.
Сколько населения было в СССР в 1970 г.?
2) Используя условия и результаты действий в задачах 863 и 864,
составить задачу и найти: а) на сколько увеличилось население
в 1970 г. по сравнению с 1913 г.; б) на сколько увеличилось город-
ское население за это время?
865. Сумма трех чисел 446,73. Первое число меньше второго на
73,17 и больше третьего на 32,22. Найти эти числа.
Указание. Задачи 865 — 883 рациональнее решать путем состав-
ления уравнений. Желательно хотя бы на решении 2 — 3 задач при-
менить оба способа:
866. Катер по течению реки шел со скоростью 14,5 км в час,
а против течения со скоростью 9,5 км в час. Найти собственную
скорость катера и скорость течения реки.
Указание. Обозначив скорость течения реки через х, полу-
чим, что собственная скорость катера будет (14—х) или (9,5 + х).
Составим уравнение: (14 —х)— (9,5 + х) = 0.
867. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми
32,4 км, одновременно выехали навстречу друг другу мотоциклист
Ш
и велосипедист. Сколько километров проедет каждый из них до
встречи, если скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости вело-
сипедиста?
868. Найти два числа, сумма которых 26,4, а частное от деления
одного числа на другое равно 3,4.
869. Завод отправил три вида груза общим весом 38,4 tn. Вес
груза первого вида был вдвое больше веса груза второго вида,
а вес груза третьего вида был вдвое меньше, чем вес груза первого
и второго вида вместе. Найти вес груза каждого вида.
Указание. За х удобнее принять вес груза II вида. Тогда
груз I вида—2х и III вида — —= 1,5 х.
870. Газопровод Газли — Свердловск на 1 200 км длиннее газо-
провода Саратов—Москва. Найти длину этих газопроводов, если
первый газопровод в 2,5 раза длиннее второго.
Указание. Приняв длину газопровода Саратов—Москва за х,
получим, что разность длин газопроводов (2,5х—х) составляет
1 200 км.
871. Длина морской границы СССР в 2,5 раза больше сухопут-
ной. Морская граница длиннее сухопутной на 25560 км. За сколь-
ко часов можно облететь границу на реактивном самолете со сред-
ней скоростью 900 км в час? (Ответ округлить до 0,1 ч.)
872. Для борьбы с вредителями садов приготовляют известко-
во-серный раствор, содержащий серы 6 частей, негашеной извести
3 части и воды 50 частей. Сколько килограммов раствора получится,
если серы взять на 68,4 кг больше, чем негашеной извести?
873. Длина реки Дона в 3,934 раза больше длины Москвы-реки.
Найти длину каждой реки, если длина Дона больше длины Москвы-
реки на 1467 км.
874. Разность двух чисел 5,7, а частное от деления одного числа
на другое 2,5. Найти эти числа.
875. Одно число на 0,7 меньше другого и составляет 0,75 его.
Найти эти числа.
Указание. Удобнее за х принять большее число. Тогда мень-
- шее число 0,75 х, согласно условию можем составить уравнение:
х — 0,75х = 0,7.
876. Одно число на 3,2 больше другого числа. Если меньшее
число увеличить в два раза, то оно будет в 1,5 раза больше боль-
шего. Найти эти числа.
877. Два теплохода одновременно вышли навстречу друг другу
из двух портов, расстояние между которыми 315,7 км. Через сколь-
ко времени они встретятся, если скорость первого теплохода
32,6 км в час, а скорость второго 24,8 км в час?
878. Из двух городов, расстояние между которыми 313 км, одно-
временно выехали два автомобиля и встретились через 2 ч. Найти
скорость каждого автомобиля, если скорость первого была на 16,5 км
в час больше скорости второго.
112
879. Из двух населенных пунктов одновременно выехали навстречу
друг другу мотоциклист и велосипедист и встретились через 1,2 ч.
Скорость мотоциклиста 50 км в час, а велосипедиста в 4 раза меньше
скорости мотоциклиста. Найти расстояние между населенными
пунктами.
880. Из А в Б выехал велосипедист со средней скоростью 15,5 км
в час. Спустя 2 ч из Б навстречу ему выехал другой велосипедист
со средней скоростью 13,5 км в час. Через сколько часов после
выезда из А и на каком расстоянии от А они встретятся, если 0,5
расстояния между А и Б равны 44,5 км?
881. Из городов А и Б, расстояние между которыми 164,7 км,
выехали навстречу друг другу грузовая машина из города А и лег-
ковая из города Б. Скорость грузовой машины 36 км в час, а лег-
ковой в 1,25 раза больше. Легковая машина вышла на 1,2 ч позже
грузовой. Через сколько времени и на каком расстоянии от города Б
легковая машина встретит грузовую?
882. Первый и второй участки вместе составляют 0,75 всего поля
площадью 92 га. Второй участок на 15 га больше первого участка.
Найти площадь каждого участка.
Указание. Приняв площадь первого участка за х, получим,
что хф-(хф- 15) = 92-0,75.
883. Третий участок составляет 0,25 общей площади первого
и второго участков. Площадь второго участка равна 24,5 га. Найти
площадь первого и третьего участков в отдельности, зная, что пер-
вый участок на 10,2 га больше второго.
Указание. Задачу удобнее решить арифметическим способом.
884. Длина комнаты 8,5 м, ширина 5,6 м и высота 2,75 м. Пло-
щадь окон, дверей и печей составляет 0,1 общей площади стен ком-
наты. Сколько кусков обоев понадобится для оклеивания этой
комнаты, если кусок обоев имеет длину 7 м и ширину 0,75 м?
(Ответ дать с точностью до 1 куска.)
885. Надо снаружи оштукатурить и побелить одноэтажный дом,
размеры которого: длина 12 м, ширина 8 м, высота 4,5 м. В доме
7 окон, каждое размером 0,75 лх 1,2 м, и 2 двери, каждая размером
0,75 л«х2,5л!. Сколько будет стоить вся работа, если принять, что по-
белка и штукатурка 1 кв. м стоит 24 коп.? (Ответ округлить до 1 руб.)
886. Длина ящика (с крышкой), имеющего форму прямоуголь-
ного параллелепипеда, равна 62,4 см, ширина 40,5 см, высота 30 см.
Сколько квадратных метров досок пошло на изготовление 40 ящи-
ков, если отходы досок составляют 0,2 поверхности, которая должна
быть обшита досками? (Ответ дать с точностью до 1 кв. м.)
887. Длина подвала, имеющего форму прямоугольного параллеле-
пипеда, равна 20,5 м, ширина 0,6 его длины, а высота 3,2 м. Подвал
заполнили картофелем на 0,8 его объема. Сколько тонн картофеля
поместилось в подвале, если 1 куб. м картофеля весит 0,7 т? (Ответ
дать с точностью до 1 т.)
888. На вопрос «Какую наибольшую площадь прямоугольной
формы можно огородить проволочной сеткой длиной 8,4 л?» были
113
даны ответы: 1) 3,2 лх1 м\ 2) 2,2 мх2 м; 3) 3,7 .их0,5 м;
4) 2,1 мх2,1 м. Какой ответ дает наибольшую площадь?
889. Ширина захвата самоходной косилки равна 10 м. За какое
время будет скошен прямоугольный участок луга, размеры которого
1,31кл«х0,2 км, при скорости движения машины 6,5 км в час?
(Ответ дать с точностью до 1 ч.)
890. Для хранения продуктов сделали ледник. Дно ледника
имеет форму квадрата со стороной 4,6 м, глубина ледника 2,8 м.
Какую площадь льда на реке надо вырубить, чтобы набить ледник,
если толщина льда 0,5 м? Промежутки между кусками льда состав-
ляют 0,1 объема наполненного ледника.
891. Сколько кирпичей потребуется для постройки стены 9,1 м
длиной, 4,45 м высотой и 0,52 м толщиной, если размеры кирпича
26 см, 13 см и 6,5 см? Промежутки между кирпичами, которые
занимают 0,1 объема кирпича,, заливаются известью.
Практические работы
По данным, указанным на рисунках, составить задачи 892—897
и решить их.
892. См. рис. 23. 893. См. рис. 24.
11,5т
4,2т
Рис. 23 Рис. 24
894. См. рис. 25. 895. См. рис. 26.
__100,4км__
д в »12J км в чае
, — < .. Л1 . —————
47,0 км в чае 32,0 км0чае .------*~б2,5км0час Через 3 часа
Рис. 25 Рис. 26
896. См. рис. 27. 897. См. рис. 28.
114
898. Домоуправлением составлена смета на текущий ремонт трех
домов:
Наименование статей затрат 1-й дом 2-й дом 3-й дом Итого
1. Материалы 2. Заработная плата рабочих 3. Транспорт 3 537 руб. 2495,6 » 386 » 5 305 руб. 3743,8 » 579 » • • 15916 руб. 11229,4 » 1 737 »
Итого: 4. Накладные расходы 6418,6 руб. 1027,2 » 9 627,8 руб. 1 540 » • 28882,4 руб. 4 621 >
Всего 7445,8 руб. 11167,8 руб. * 33503,4 руб.
Подсчитать общую сметную стоимость текущего ремонта 3-го дома,
а также и по статьям затрат.
899. Практическая работа по составлению сметы.
Составить смету на ремонт помещения вашего класса, если тре-
буется побелить стены и потолок, а также покрасить пол и дверь.
Данные для составления сметы (размеры класса, стоимость побелки
1 кв. м, стоимость покраски 1 кв. м) выяснить у завхоза школы.
900. Для посадки в саду школа купила саженцы: 30 яблонь
по 0,65 руб. за штуку, 50 вишен по 0,4 руб. за штуку, 40 кустов
крыжовника по 0,2 руб. и 100 кустов малины по 0,03 руб. за куст.
Написать счет на эту покупку по образцу:
№ пп. ф Наименование саженцев Количество Цена Стоимость
руб. коп. руб. коп.
Всего — —
901. Составить задачу на нахождение себестоимости 1 кг ком-
пота, пользуясь данными следующей таблицы, и решить ее.
Смешиваемые сушеные фрукты Вес фруктов (в кг) Цена 1 кг (в руб.)
Яблоки 3,5 1,1
Груши 2,5 1,2
Вишня 4 0,9
115
902. Нормы материала для покраски пола на 1 кв. м в кило-
граммах.
Наименование материала Покраска
один раз два раза
Олифа Масляные краски (тертые) 0,026 0,092 0,06 0,13
Сколько понадобится материалов для покраски полов (отдельно
для покраски пола один раз, отдельно—два раза) в помещении,
состоящем из 12 комнат размером 6,5 мхб Л1; 4 комнаты размером
6,5 л«х14 м\ 3 зала размером 8,6 жх20 м?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 22
1) Выполнить действия:
1,35: 2,7 + 6,02 — 5,9 + 0,4:2,5 (4,2—1,075).
2) Решить уравнение:
14х—(6,8 +9х)= 15,4.
3) При посадке яблонь и груш расстояние между рядами должно
быть 8 м, а в рядах между деревьями — 6 м. Сколько груш и яблонь
можно посадить на 5 га земли?
4) Комната имеет длину 6,4 м, высоту 2,5 м, а ширину состав-
ляет 0,75 длины комнаты. Окна и двери составляют 0,1 площади
всех стен. Сколько кусков обоев нужно для оклейки этой комнаты,
если каждый кусок имеет длину 12 м и ширину 0,5 м?
5) В 5 ч утра из Одессы в Новороссийск вышел теплоход со
средней скоростью 22,9 км в час, а в 12 ч вслед за ним из Одессы
вышел второй теплоход со средней скоростью 27,9 км в час. Найти
расстояние от Одессы до Новороссийска, если оба теплохода при-
были в Новороссийск одновременно.
§ 23. НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ДАННОГО ЧИСЛА
903. Найти:
1) 12% от 400; 2) 50% от 135; 3) 120% от 150;
4) 4% от 75; 5) 10% от 3,4; 6) 200% от 24,5;
7) 20% от 35; 8) 25% от 0,56.
904. Найти:
1) 2,5% от 200; 2) 7,5% от 80; 3) 6,4% от 25;
4) 0,8% ст 500; 5) 12,5% от 48; 6) 0,5% от 14,4;
7) 15,5% от 12,8; 8) 112,5% от 0,64.
116
905. На сколько больше:
1) 4% от 50 руб., чем 3% от 60 руб.?
2) 30% от 45 га, чем 40% от 32 га?
3) 20% от 6,75 кг, чем 25% от 4,96 кг?
4) 150% от 32,8 м, чем 125% от 36,4 м?
906. Во сколько раз больше:
1) 25% от 9,6 л, чем 12% от 10 л?
2) 64% от 72,5 га, чем 29% от 40 га?
3) 45% от 44,8 руб., чем 42% от 12 руб.?
4) 75% от 14,4 т, чем 32% от 20 т?
907. Решить устно:
1) В Кремле стоят Царь-пушка и Царшколокол, отлитые рус-
скими мастерами. Вес колокола 200 т, а вес пушки равен 20%
веса колокола. Сколько весит Царь-пушка?
2) За пересылку денег по почте с отправителя берут 2% от
суммы пересылаемых денег, если сумма перевода не меньше 10 руб.
Сколько нужно уплатить за пересылку 25 руб.? 49 руб.? 350 руб.?
3) Сберегательная касса выплачивает вкладчикам по срочным
вкладам 3% годовых. Сколько процентных денег получит вкладчик
в конце года, если вклад составлял: 80 руб.? 150 руб.? 225 руб.?
4) Рабочий по плану должен изготовить 50 деталей. К концу
смены план был им выполнен на 120%. Сколько деталей изготовил
рабочий?
908. Решить устно:
1) 20% времени на уроке ушло на проверку домашней работы.
Сколько минут осталось на другую работу?
2) Из 40 учащихся класса 45% мальчиков. Сколько девочек
учится в этом классе?
3) Липовый цвет теряет при сушке 75% своего веса. Сколько
получится сухого липового цвета из 200 кг свежего?
4) Книга в переплете стоит 80 коп. Стоимость переплета состав-
ляет 15%. Сколько стоит книга без переплёта?
5) Найти 50% от 18 и 18% от 50. Сравнить полученные резуль-
таты и соединить их одним из знаков: = или =/=.
909. Казеиновый клей содержит 20% казеина, 25% нашатыр-
ного спирта и 55% воды. Сколько каждого из веществ нужно взять
для приготовления 200 г клея?
910. Для наклейки линолеума применяется асфальтовый клей,
содержащий 55% асфальта, 15% канифоли, 5% олифы, 25% бен-
зина. Сколько каждого из указанных веществ нужно взять для при-
готовления 7,5 кг клея?
911. Бригада рабочих решила сэкономить 4 800 руб. 40% этой
экономии должно дать повышение качества выпускаемой продукции,
35% — экономный расход сырья, а остальное — рационализаторские
предложения. Сколько рублей экономии дадут рационализаторские
предложения?
117
912. Пионеры собрали 50 к.г семян дуба, акации, липы и клена.
Желуди составили 33% всего сбора, семена акации 25%, ли-
пы 15%, а остальное — семена клена. Сколько семян клена было
собрано пионерами?
913. Фасоль содержит 23% белка и 55% крахмала. Соя содер-
жит 40% белка и 29% крахмала. На сколько больше белка в 5 кг
сои, чем в 5 кг фасоли? На сколько больше крахмала в 5 кг фа-
соли, чем в 5 кг сои?
914. В школе 880 учащихся. 75% всех учащихся принимали
участие в туристских походах. Среди туристов было 55% девочек.
Сколько девочек принимало участие в походах?
915. В питомнике было 1 800 саженцев. 85% саженцев отпра-
вили для озеленения города, а в городе 40% полученных саженцев
было посажено в детском парке. Сколько деревьев было посажено
в детском парке?
916. В школьной математической олимпиаде участвовало 160
чел. 35% участников получили право участвовать в городской
олимпиаде, а из них 25% получили премии. Сколько учащихся
школы было премировано на городской олимпиаде?
917. В библиотеке насчитывается 7 500 книг. Из них 84% на
русском языке. Среди иностранных книг 35% на французском
языке. Сколько французских книг в библиотеке?
918. В коллекции 800 марок. 65% составляют марки, выпу-
щенные в СССР. Среди остальных 12,5% составляют марки афри-
канских государств. Сколько в коллекции марок, выпущенных го-
сударствами Африки?
919. В овощехранилище было 2 400 т картофеля. За первую
неделю вывезли 22,5% имевшегося картофеля, а за вторую неделю
20% остатка. Сколько картофеля осталось в овощехранилище в
конце второй недели?
920. Протяженность трехдневного туристского маршрута 80 км.
В первый день было пройдено 35% всего пути, а во второй день
50% оставшегося расстояния. Сколько километров осталось пройти
в третий день?
921. Тракторная бригада за три дня вспахала 250 га. В первый
день было вспахано 36% всей площади, а во второй день 45%
оставшейся площади. Какую площадь вспахала бригада за третий
день?
922. Автомобиль проехал 180 км. 40% пути он двигался по
шоссе со скоростью 45 км в час, а остальную часть пути по про-
селочной дороге, где он уменьшил скорость на 20%. За какое
время автомобиль проехал все расстояние?
923. При дезинфекции зернохранилища применяют 15-процент-
ный раствор каустической соды из расчета 0,4 л раствора на
1 кв. м площади пола и стен. Сколько каустической соды нужно
для дезинфекции зернохранилища, если длина его 20 м, ширина
8 м ьысота 2,5 м? (Считать, что 1 л раствора весит 1 кг.)
118
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 23
1) Как найти несколько процентов данного числа? Указать два
способа решения этой задачи на следующем примере: найти 24%
от 75.
2) Написать формулу для нахождения р процентов от числа а.
3) В классе 35 учащихся. Из них 40% девочек. Сколько дево-
чек учится в этом классе?
4) В классе 35 учащихся. 0,4 общего числа учащихся состав-
ляют девочки. Сколько девочек учится в этом классе?
Что общего в задачах 3 и 4 и в чем их различие?
§ 24. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ПРОЦЕНТАМ
924. Найти число, если:
1) 8% его равны 24; 2) 140% его равны 182;
3) 45% его равны 225; 4) 250% его равны 75;
5) 12% его равны 72; 6) 320% его равны 192;
7) 40% его равны 56; 8) 105% его равны 63.
925. Найти число, если:
1) 28% его равны 8,4; 2) 2,5% его равны 15;
3) 64% его равны 22,4; 4) 7,5% его равны 60;
5) 85% его равны 1,7; 6) 42,5% его равны 221;
7) 18% его равны 0,54; 8) 82,5% его равны 33.
926. Найти число, если:
1) 15% его равны 45 руб.; 2) 120% его равны 4,8 т;
3) 48% его равны 14,4 кг; 4) 210% его равны 8,4 га;
5) 36% его равны 18 л; 6) 12,5% его равны 75 кв. см;
7) 65% его равны 15,6 м; 8) 72,5% его равны 435 куб. см.
927. Найти х, если:
1) %.7% =42; 2) 7,5%-х = 24;
3) 60%-х= 18; 4) х-32,5% = 13;
5)25%-х = 6,4; 6) 250%-х=120;
7) х-40% = 0,96; 8) х-150% =90.
928. Решить устно:
1) Картофель содержит 20% крахмала. Сколько картофеля нужно
для получения 60 кг крахмала?
2) Из хлопка получается 24% волокна. Сколько нужно взять
хлопка, чтобы получить 480 кг волокна?
3) Студент заплатил за льготную путевку 7 руб. 50 коп., что
составляет 30% ее стоимости. Сколько стоит путевка?
4) Ученик изготовил за смену 36 деталей, что составляет 72%
нормы. Сколько деталей нужно изготовить по норме?
119
929. Шахматная команда школы набрала в соревновании 68
очков, что составляет 85% числа сыгранных партий. Сколько
партий сыграли в соревнованиях шахматисты школы? Сколько раз
выступала команда, если в составе ее было 10 чел.?
930. Для туристского похода школьники собрали 17 руб. 60 коп.,
что составляет 32% всех расходов. Недостающие средства дала
шефская организация. Какая сумма денег требовалась для прове-
дения похода? Сколько денег получили школьники от своих шефов?
931. Мясо теряет при варке 35% своего веса. Сколько нужно
взять сырого мяса, чтобы получить 520 г вареного?
932. Сколько нужно израсходовать сырья для получения 1,5 т
готовой продукции, если отходы составляют 25%?
933. Сколько нужно взять воды, чтобы из 200 г соли приготовить
5-процентный раствор?
934. Школьники сдали в аптеку 6 кг сушеной малины и 5 кг
сушеной черники. Сколько всего свежих ягод они собрали, если
при сушке малина теряет 75% веса, а черника 80%?
935. При помоле рожь теряет 25% своего веса, а пшеница 20%.
Сколько ржи и пшеницы нужно смолоть для получения 120 кг ржа-
ной и 120 кг пшеничной муки? На сколько больше для этого при-
шлось взять ржи, чем пшеницы?
936. Баскетбольная площадка, имеющая площадь 300 кв. м, зани-
мает 15% площади школьного спортивного городка. Площадь спор-
тивного городка составляет 25% школьного участка. Найти площадь
школьного участка.
937. В городской математической олимпиаде 35% участников
первого тура было допущено во второй тур, а 20% участников вто-
рого тура было отмечено премиями и похвальными грамотами: 8 чел.
получили премии и 20 чел. похвальные грамоты. Сколько человек
участвовало в первом туре?
938. При первой сортировке овощей в хранилище потери соста-
вили 5%. При повторной сортировке потери составили 2%, после
чего оказалось овощей 186,2 т. Сколько тонн овощей было завезено
в хранилище?
939. За две книги заплатили 1,26 руб. Сколько стоит каждая
книга, если: 1) одна из них на 25% дороже другой? 2) если одна
из них на 25% дешевле другой?
940. В пионерском лагере отдыхало 396 пионеров. Сколько среди
них было мальчиков и сколько девочек, если: 1) мальчиков было
на 20% больше, чем девочек; 2) мальчиков было на 20% меньше,
чем девочек?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 24
1) Как найти число, если известно, чему равно несколько про-
центов этого числа. Указать два способа решения этой задачи на
примере: найти число, если 16% этого числа равны 48.
120
2) Написать формулу для нахождения числа, р % которого
равны Ь.
3) В классе 18 мальчиков, что составляет 45% всех учащихся
класса. Сколько учащихся в классе?
4) В классе 18 мальчиков, что составляет 0,45 всех учащихся
класса. Сколько учащихся в классе?
Что общего в задачах 3 и 4 и в чем их различие?
§ 25. ПРОЦЕНТНОЕ ОТНОШЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ
941. Найти отношение и процентное отношение чисел:
1) 5 к 20; 2) 24 к 40; 3) 0,16 к 0,8;
4) 4 к 5; 5) 1,5 к 12; 6) 2,5 к 6,4;
7) 12 к 25; 8) 3 к 7,5.
942. Найти отношение и процентное отношение чисел:
1) 5 к 8; 2) 24 к 15; 3) 0,56 к 3,5;
4) 8 к 5; 5) 3,6 к 4,5; 6) 3,5 к 0,56;
7) 15 к 24; 8) 4,5 к 3,6.
943. Найти процентное отношение чисел с точностью до 0,1%:
1) 2:3; 2) 4:9; 3) 7:12;~4) 4,5:4,2;
5) 5:7; 6) 1:6; 7) 12:7; 8) 4,2:4,5.
944. Решить устно:
1) Определить процент всхожести семян, если из 200 семян про-
росло 180.
2) Найти процент содержания соли в растворе, если в 500 г
раствора содержится 20 г соли.
3) Из 40 учащихся класса 12 отличников. Какой процент всех
учеников класса составляют отличники?
4) Из 45 т руды получено 9 т меди. Определить процентное
содержание меди в руде.
945. Рабочий получил льготную путевку стоимостью 80 руб.
и уплатил за нее 24 руб. Сколько процентов стоимости путевки
оплатил завком?
946. После снижения цен 1 м материи вместо 2 руб. стоит
теперь 1,75 руб. На сколько процентов была снижена цена?
947. Для автомобиля «Москвич» установлены нормы расхода
бензина: на каждые 100 км пути 8 л в летнее время и 8,8 л зимой.
На сколько процентов зимняя норма больше летней?
948. Токарь выточил за смену 48 деталей при норме 40 детален.
На сколько процентов была выполнена норма? На сколько процен-
тов была перевыполнена норма?
949. Тракторист получил задание вспахать 16 га, а успел вспа-
хать за день 20 га. На сколько процентов было выполнено задание?
На сколько процентов было перевыполнено задание?
121
950. В таблице показан выход крупы при обработке различных
сортов риса и проса. Заполнить последнюю графу.
Название и сорт зерновых культур Вес зерна в килограммах Вес крупы в килограммах Выход крупы в процентах
Рис „зеравшанка11 400 280
Рис „дубровский11 400 300
Просо „саратовское" 200 154
Просо „уральское" 200 171
951. На стрелковых соревнованиях команды, составленные из
учащихся различных классов, добились следующих результатов:
Классы Число очков Процент попаданий
IV V VI VII VIII 137 из 200 144 из 180 129 из 150 153 из 180 189 из 210
Заполнить последнюю графу и определить место, занятое каждой
командой.
952. Стороны прямоугольника 15 см и 20 см. На сколько про-
центов: 1) увеличится площадь прямоугольника, если длину каждой
из сторон увеличить на 20%; 2) уменьшится площадь прямоуголь-
ника, если длину каждой из сторон уменьшить на 20%?
953. Для предохранения оконных стекол от замерзания их смазы-
вают раствором, содержащим по весу 9 частей глицерина, 5 частей
поваренной соли и 6 частей воды. Найти процентный состав рас-
твора и построить секторную диаграмму.
954. Число увеличили на 25%. На сколько процентов нужно
уменьшить полученное число, чтобы вновь получилось данное число?
Решение. Пусть данное число равно 100; 25% от данного
числа составит 100-0,25 = 25, а увеличенное число будет равно
100 4-25= 125. Для получения данного числа 125 нужно уменьшить
на 25. Остается найти процентное отношение 25 к 125. Оно рав-
но 20%. Можно было бы данное число принять за единицу.
955. Число уменьшили на 20. На сколько процентов нужно уве-
личить полученное число, чтобы вновь получить данное число?
956. Агроном подсчитал, что имеющиеся в совхозе минеральные
удобрения составляют 80% того, что потребуется в текущем году.
122
На сколько процентов нужно увеличить имеющийся запас удобре-
ний, чтобы полностью обеспечить совхоз?
957. Скорость движения поездов на данном участке пути увели-
чили на 25%. На сколько процентов уменьшилось время, необходи-
мое для прохождения этого участка пути?
Решение. Пусть каждая из величин задачи численно равна
соответствующей условной единице. Тогда скорость после увеличе-
ния будет равно 1 + 1-0,25=1,25 единицам, а соответствующее
время будет равна 1:1,25 = 0,8 единицы. Таким образом, время
уменьшится на 1—0,8 = 0,2 единицы. Остается найти процентное
отношение 0,2 к 1. Оно равно 20%.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 25
1) Как найти отношение и как найти процентное отношение двух
чисел? Для пояснения ответа привести примеры.
2) Найти процентное отношение: 14 к 25; 64 к 50.
3) Найти с точностью до 0,1% отношения: 2 к 9; 5 к 12.
4) Два пионерских отряда соревновались за лучшую физическую
подготовку пионеров. В первом отряде из 40 человек спортивные
нормы сдал 31 пионер, а во втором отряде из 36 человек спортив-
ные нормы сдали 27 человек. Какой отряд победил в соревновании?
5) Найти процентный состав казеинового клея, если в него
входят по весу 4 части казеина, 5 частей нашатырного спирта
и 11 частей воды. Построить секторную диаграмму.
Глава III
ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
§ 26. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.
ЛУЧ. ОТРЕЗОК. ЛОМАНАЯ
958. На рисунке 29 изображены пары тел. Что общего и что
различного в изображении этих тел?
Рис. 29
959. Две одинаковые литровые бутылки наполнены до одинако-
вого уровня: одна молоком, другая водой. Что общего и что раз-
личного в этих наполненных сосудах?
960. Какую геометрическую форму имеет футбольный мяч, спи-
чечная коробка, неграненый стакан, арбуз, горошина, телевизор,
книжный шкаф, глобус, большинство консервных банок, Луна?
961. Назвать по два предмета, имеющих форму: а) куба; б) пря-
моугольного параллелепипеда; в) шара; г) цилиндра.
962. Какие вы знаете поверхности? Привести примеры каждого
вида поверхностей.
963. Назвать тела, имеющие только плоские поверхности? только
кривые поверхности? и плоские и кривые поверхности.
964. Какие из перечисленных геометрических фигур являются
плоскими фигурами, а какие пространственными: треугольник, куб,
с МВ КРУГ* ЦИЛИНДР> конус, прямоугольный
параллелепипед?
_ 965. Как назвать фигуры, образую-
щие поверхность прямоугольного парал-
, лелепипеда? куба? цилиндра?
*****’^ •£ 966. Какие из точек принадлежат
Рис. 30 прямой ЛВ? (рис. 30)? прямой СО?
124
967. Сколько прямых можно провести через одну точку? через
две точки? Сколько кривых линий можно провести через две точки?
968. В каком случае можно провести прямую через 3 точки?
через 4 точки? через 5 точек? через п точек?
969. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каж-
дые две из них провести прямые. Сколько таких прямых можно
провести?
970. Даны четыре точки на плоскости и из них никакие три не
лежат на одной прямой. Через каждую пару точек провести прямые.
Сколько прямых можно провести?
971. В одной плоскости проведены две прямые. Сколько точек
пересечения они могут иметь? А если в одной плоскости провести
три прямые, то сколько может быть точек пересечения в этом слу-
чае?
972. При решении задачи: «На прямой отмечены 8 точек. Рас-
стояние между каждыми двумя соседними точками 2 см. Какое рас-
стояние будет между крайними точками»—Петя получил ответ 16 см,
а Ваня —14 см. Кто из них прав?
973. Из одной точки провести четыре луча. Сколько лучей можно
провести из одной точки?
974. Начертить на одном чертеже лучи АВ, АС и AD. Имеют
ли общую точку эти лучи?
975. Через точку М провести три прямые. Сколько получилось
из них лучей с началом в точке Л4?
976. На прямой отметить три точки. Сколько лучей образова-
лось на этой прямой с началом в этих точках?
977. Начертить два луча, так чтобы они имели одну общую
точку, две общие точки.
978. Сколько отрезков изображено
на рисунке 31? Назвать их.
979. Начертить прямую и взять че-
тыре точки на ней. Назвать все отрезки,
образовавшиеся на прямой.
980. Начертить прямую и отрезок
MN на ней. Отметить на прямой три
точки А, В и С, так чтобы точки А
и В были внутри отрезка MN, а точка
С—вне отрезка. Назвать образовав-
шиеся отрезки прямой. Сколько их?
981. Три города А, В и С распо-
ложены на берегах Волги. От города
А до города В — 300 км, а от города
Найти расстояние от города А до города С. Почему получены два
разных ответа?
982. На плоскости взяты 5 точек: А, В, С, D и Е, из которых
никакие три не лежат на одной прямой. Точки соединены отрез-
ками. Назвать эти отрезки. Сколько их?
В по гопола С —
125
983. Можно ли на поверхности шара выделить отрезок? Если
взять две точки, лежащие на поверхности шара, и соединить их
отрезком, то где пройдет отрезок?
984. Начертить в тетради прямую MN. Взять на прямой точку К
и построить на этой прямой отрезок КВ. Сколько таких отрезков
можно построить?
985. Провести прямую АВ и отложить на ней отрезок CD. От-
метив на прямой точку К вне отрезка CD, построить с помощью
циркуля отрезок КМ, равный отрезку CD. Сколько таких отрезков
можно построить?
986. Начертить отрезки АВ, CD и AL. Сравнить с помощью
циркуля эти отрезки между собой и записать результат сравнения
неравенствами.
987. Начертить в тетради отрезок АВ и отрезок CD. Провести
прямую MN и на ней построить отрезок AtDlt равный сумме отрез-
ков АВ и CD.
988. Начертить три отрезка: АВ, CD и КЕ. На прямой MN
построить отрезок, равный сумме данных отрезков.
989. Начертить отрезок АВ. На прямой MN построить отрезок,
равный удвоенному отрезку АВ.
990. Начертить два отрезка: а и Ь. Построить отрезок, равный:
1) а + Ь-, 2) 21г, 3) а + 2Ь.
991. На листе бумаги начерчен отрезок. Как практически можно
разделить отрезок на две равные части?
992. Начертить отрезок: а = 2 см, а затем построить отрезки:
2а и За. Какими способами можно построить отрезки 2а и За?
993. На отрезке MN отмечены две точки. На сколько частей
они разделили отрезок MN?
994. Начертить ломаную из трех отрезков. Измерить с помощью
циркуля или линейки длину каждого отрезка и найти длину лома-
ной.
995. Построить ломаную линию из следующих трех отрезков:
2 см, 4 см и 5 см, а затем построить отрезок АВ, равный длине
ломаной.
996. Сравнить на глаз отрезки а и Ъ, изображенные на рисунке
32, и проверить результат с помощью линейки.
997. С автобусной станции отправляются 4 автобуса по различ-
ным маршрутам (рис. 33). С помощью циркуля и линейки опреде-
лить наибольший и наименьший маршруты.
120
998. Дана ломаная ABCDE. Найти сумму отрезков ломаной,
измерив каждый отрезок. Выпрямив ломаную (построением), изме-
рить длину получившегося отрезка. Сравнить оба полученных ответа,
999. На рисунке 34 изображен путь поездов: Москва — Воро-
неж— Ростов и Москва — Харьков — Ростов. Выпрямить каждый путь
(заменить ломаную отрезком) и сравнить эти пути.
Москва
С J)
Воронеж
Рис. 35
Харьков
о Ростов-на-Дону
Рис. 34
1000. На прямой расположены точки А, В, С и D так, что
AB = CD (рис. 35). Доказать, что AC = BD.
1001. Начертить треугольник АВС и, измеряя стороны треуголь-
ника, показать, что сумма любых двух его сторон больше третьей
стороны: т. е. АВ ВС > АС; АС-^-ВС^>АВ; АВ + АС > ВС.
1002. Построить треугольник АВС, в котором:
1) АВ = 5 см, ВС = 3 см и ЛС = 3 см; 2) АВ — ВС — АС = 5 см.
1003. Можно ли построить треугольник с такими сторонами:
1) 5 см, 10 см и 12 см; 2) 1 см, 2 см и 3 см; 3) 1,1 дм, 1 дм и
1,2 дл«?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 26 \
1) Через точку М провести две прямые. Сколько получилось
лучей с началом в точке Л4?
2) На плоскости взяты 4 точки: А, В, С и D, причем никакие
три из них не лежат на одной прямой. Точки соединены отрезками.
Сколько их? Записать эти отрезки.
3) Построить отрезок, равный по длине данной ломаной линии.
4) Построить треугольник АВС, у которого стороны АВ —7 см,
ВС = 8 см, АС =12 см.
127
§ 27. УГОЛ. СРАВНЕНИЕ УГЛОВ. ВИДЫ УГЛОВ
1004. Какие точки, отмеченные на рисунке 36, принадлежат
углу АВС? углу CBD? углу ABD?
1005. Начертить угол АВС и отме-
р тить.три точки, принадлежащие этому
углу, и две точки, не принадлежа-
F D щие ему.
J^-****'*** 1006. Что является общей частью
двух углов, изображенных на рисунке
д " ' » А 36? Угла АВС и прямой BD?
1007. Начертить угол MNP и отме-
Рис 3G тить на нем пять точек так, чтобы две
точки принадлежали углу, а остальные
три точки не принадлежали ему.
1008. Начертить два угла так, чтобы они имели общую часть:
а) одну точку; б) луч; в) отрезок.
1009. На рисунке 37 изображены углы. Назвать вершину каж-
дого угла и его стороны. Прочитать и записать каждый угол.
1010. Начертить в тетради два угла: / АОВ и /.МКН. Запи-
сать пропущенные слова:
Точка ...—вершина угла АОВ.
Точка К—вершина угла ...
Лучи О А и ОВ—стороны угла ...
Лучи ... и ...—стороны угла MKN.
1011. Назвать и записать углы, заштрихованные на рисунке 38.
Рис. 38
Рис. 37
Рассмотреть незаштрихованную часть плоскости. Почему эту фигуру
тоже можно считать углом?
1012. Начертить три разных угла и расставить’буквы А, В, С,
D, Е, F, К, М и N так, чтобы получились углы ABC, EDF и MNK.
Назвать стороны углов.
1013. Модель угла можно изготовить из двух планок и кусочка
пластилина. Сделать такую модель.
1014. Сделать и такую модель угла. Взять две тонкие планки
длиной 10—15 см каждая. Скрепить их гвоздиками. Раздвигая и
сдвигая планки (стороны угла), будете получать различные углы.
128
1015. Вырезать из бумаги три угла, обозначить их буквами и
сравнить их друг с другом.
1016. Начертить в тетради углы АВС и АВК так, чтобы угол
АВС был меньше угла АВК-
1017. Часовая стрелка за 3 ч повернулась на некоторый угол.
За какое время минутная стрелка повернется на такой жё угол?
1018. Минутная стрелка за 10 мин повернулась на некоторый
угол. За какое время часовая стрелка повернется на такой же угол?
1019. Продолжить К К до пересече-
ния с ВС, точку пересечения обозна-
чить буквой D. Известно, что / АВС
и — острые. Сравнить следую-
щие пары углов и результаты записать
в виде неравенства: ^ККМ. и / DNM', К
Z_DNM и /ЛВС. д ,
1020. Начертить углы АВС и АВК
так, чтобы Рис. 39
/ЛВС > /ЛВК.
1021. Вырезать из бумаги угол и разрезать его. на два равных
угла путем перегибания.
1022. Как проверить, что В К есть биссектриса /ЛВС (рис. 40)?
1023. Можно ли угол, вырезанный из бумаги, разрезать на 4
равных угла? Как это выполнить? Как
£ » объяснить, что все полученные углы равны?
/ 1024. Луч ВК есть биссектриса / ЛВС
/ (рис. 40). Как записать это утверждение
/ /в виде равенства?
/УУказание. Записывается: /ЛВК=
= £КВС.
„ йг _______А_ 1025. Луч BF не является биссектри-
сой / ЛВС (рис. 40). Как записать это
Рис. 40 утверждение с помощью знака неравен-
ства?
1026. Назвать углы, отмеченные дугами на рисунке 41.
1027. Сколько развернутых углов изображено на рисунке 42?
А полных?
1028. Начертить острый угол ЛВС и из его вершины внутри
угла провести лучи BD и BE. Записать множество острых углов,
полученных па чертеже.
5 № 2266
129
1029. Все развернутые углы равны между собой. Объяснить спра-
ведливость этого утверждения.
1030. Начертить пять острых углов так, чтобы их сумма состав-
ляла развернутый угол.
1031. Как разделить развернутый угол перегибанием листа на
два равных угла? Как называются полученные углы?
1032. Начертить прямой угол в различных положениях.
Указание. Целесообразно вначале иллюстрировать на модели.
1033. Все прямые углы равны между собой. Объяснить справед-
ливость этого утверждения.
Указание. Использовать обоснование задач 1029 и 1031.
1034. Нарисовать различные виды углов (прямой, острый и тупой)
и обозначить каждый из них тремя буквами. Назвать вершины
углов, стороны углов и углы. Записать с помощью знаков неравен-
ства результат сравнения прямого угла с острым, прямого угла с
тупым, тупого угла с острым.
1035. Начертить в различных положениях два тупых и три ост-
рых угла. Обозначить их и прочитать.
1036. Начертить треугольник с тупым углом. Какого вида будут
другие углы треугольника?
1037. Начертить четырехугольник с двумя тупыми углами.
1038. На рисунке 43 изображен шести-
С ________________д угольник. Записать множество внутренних
1 углов многоугольника: а) острых углов;
у 1 б) тупых углов.
^^****»^____р I У казан и е. ^/_CDE > 180° не входит
I в множество б).
1039. За сколько времени минутная
стрелка опишет прямой угол? развернутый
Рис- 43 угол? полный угол? тупой угол (указать
границы)?
1040. За сколько времени часовая стрелка опишет прямой угол?
развернутый угол? острый угол (указать границы)?
1041. В столярном деле для сравнения и построения углов при-
меняют малку. Рассказать, как с помощью малки можно построить
угол, равный данному.
1042. Сделать из картона или из палочек малку и сравнить
углы АВС и KMN, построенные учащимися в тетради.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 27
1) Начертить угол АВС и отметить четыре точки М, N, К, D
так, чтобы точки М и D принадлежали углу АВС, а У и К—ему
не принадлежали.
2) Часовая стрелка за 5 ч повернулась на некоторый угол. За
какое время минутная стрелка повернется на тот же угол?
3) Начертить острый, прямой и тупой углы. Обозначить эти углы
130
и .сравнить их величину друг с другом. Записать результаты срав-
нения.
4) Провести через данную точку одну прямую и два луча. Наз-
вать образовавшиеся углы и сравнить их между собой.
5) Начертить прямоугольник с двумя тупыми углами и одним
прямым.
§ 28. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ
1043. Используя угольник, выяснить, какие пары прямых, изо-
> перпендикулярными.
браженных на рисунке 44, являются взаимно
Сделать краткую запись.
1044. Дана прямая АВ. Провести три пря-
мых, перпендикулярных к этой прямой.
Указание. В задаче 1044 и последующих
задачах построение прямой, перпендикуляр-
ной к данной прямой, выполняется с помощью
угольника.
1045. Показать на окружающих предметах
взаимно перпендикулярные прямые. Как мож-
но назвать каждую из них по отношению к
другой?
1046.
сторон в
Сколько взаимно перпендикулярных
прямоугольнике?
1047. Даны прямая АВ и точка М, не лежащая на ней. Пост-
роить на прямой АВ точку, находящуюся от точки М ближе, чем
все другие точки этой прямой.
1048. Начертить прямую АВ и точку О. Провести через точку О
перпендикуляр к данной прямой, если: 1) точка О лежит на пря-
мой АВ; 2) точка О не лежит на прямой АВ.
1049. Начертить треугольник и отметить внутри его точку.
Провести через эту точку перпендикуляры к каждой стороне тре-
угольника.
1050. Начертить остроугольный треугольник и отметить на его
стороне точку. Провести через эту точку
перпендикуляры к каждой стороне тре-
угольника.
1051. Прямая АВ на рисунке 45 изо-
бражает дорогу, а точка D—дом. Изобра-
зить самый короткий путь от дома до
дороги.
1052. Начертить треугольник АВС и
точку К. На сторонах этого' треугольни-
ка (или их продолжениях) построить те точки, которые находятся
на кратчайших расстояниях от точки К, если:
1) точка К лежит внутри треугольника АВС;
2) точка К лежит вне треугольника АВС;
3) точка К лежит на одной из сторон треугольника ABCt
А В
Рис. 45
5*
131
1053. Начертить остроугольный треугольник и взять точку внутри
его. С помощью линейки определить расстояние от точки до сторон
треугольника.
1054. Начертить угол и поставить точку внутри угла. Найти
расстояние от точки до каждой из сторон угла.
1055. Начертить остроугольный треугольник и взять точку внутри
треугольника. Найти расстояние от этой точки до каждой из сто-
рон треугольника.
1056. На одной из сторон данного угла АВС взять точку D.
Найти расстояние ее до другой стороны угла, если: 1) / АВС
острый; 2) / АВС прямой; 3) ^/_АВС тупой.
§ 29. ГРАДУСНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ. ТРАНСПОРТИР
1057. 1) Построить окружность с радиусом, равным:
а) 2 см; б) 1,4 см; в) 2,1 см.
2) Построить окружность радиуса R и из ее центра О провести
отрезки О А < R, OB = R и ОС > R.
1058. 1) Пользуясь транспортиром, построить углы: 60°; 115°; 24°.
2) Начертить острый и тупой углы и Измерить их с помощью
транспортира.
1059. Записать с помощью двойного неравенства или знака ра-
венства следующие высказывания: 1) угол А острый; 2) угол В ту-
пой; 3) угол С прямой.
1060. (Устно.) Сколько градусов содержит угол, равный поло-
вине прямого угла? Сколько градусов содержит развернутый угол?
1061. Из вершины прямого угла проведена биссектриса, а затем
в одном из полученных углов также проведена биссектриса. Сколько
получено углов и сколько градусов содержит каждый из них?
1062. Из следующей записи углов выписать отдельно множество
острых углов и множество тупых углов: 35°; 59°; 80°10'; 115°;
140’28'; 179’45'.
1063. (Устно.) Произвести действия: 40° + 30°; 1О’-|-12О0;
132’4-45°; 17’15'4-30’22'; 19’45'4-11’15'; 65°—20°; 72°40'—30’15';
14’30' —10’40'; 1’17'—0’35'.
1064. Выполнить действия:
1) 115° + 36°;2) 69’40'4-30’10'; 3) 130’45' —60°28';
4) 138°—49°; 5) 120°30' 4- 15°30'; 6) 110’10' —35°40';
7) 49°—45°; 8) 18’19'4-60’51'; 9) 87’—56°43'.
1065. 1) Длина окружности равна 54 см. Найти длину дуги этой
окружности в: 90°; 10°; 45°; 5°.
2) Длина экватора Земли 40 000 км. Найти длину дуги экватора в:
30°; 50°; 1°.
Указание. Вычислить с точностью до 1 км.
1066. Прямой угол разделен на 4 равных угла. Найти каждый
угол.
132
1067. Прямой угол разделили на два угла так, что из полу-
ченных углов один на 20° больше другого. Найти получившиеся
углы.
Указание. Задачи 1067, 1068 решить, составляя уравнение,
1068. Прямой угол разделен на два угла так, что один из по-
лученных углов вдвое больше другого. Найти получившиеся углы.
1069. Начертить две пересекающиеся прямые. Измерить полу-
чившиеся углы. Есть ли среди них равные?
1070. Начертить-отрезок АВ и между точками Л и В на отрезке
взять точку D. Провести луч DC. Измерить угол ADC и угол СОВ.
Найти их сумму.
1071. Измерить углы чертежного треугольника.
1072. Начертить угол в. 110°. Взять точку О внутри угла и
провести через эту точку прямые, перпендикулярные к сторонам
угла. Измерить острый угол, образованный перпендикулярами к
сторонам.
1073. Начертить три различных треугольника и измерить углы
каждого треугольника.
1074. Найти сумму углов каждого из этих треугольников. Срав-
нить полученные суммы углов.
1075. Начертить прямоугольник и квадрат. Найти сумму углов
каждого из этих четырехугольников.
1076. Начертить пятиугольник. Измерить его углы и найти их
сумму.
1077. Найти дополнение до прямого угла следующих углов: 10°;
80°; 45°; 20°30'; 46°53'; 0°15'.
Запись решения: 90° — 46°53' = 43°7'.
1078. Найти дополнение до развернутого угла следующих углов:
105°; 120°; 140°20'; 115°26'.
1079. Построить углы, равные 50°, 62°, 90°, 110°.
1080. Построить биссектрису прямого угла.
1081. Начертить тупой угол и построить его биссектрису. На-
чертить тупой угол и построить угол, равный построенного ту-
пого угла.
1082. Доказать, что биссектриса тупого угла делит его на два
острых угла.
Указание. Из определения тупого угла имеем неравенство:
90й < х < 180°.
1083. В тупом и прямом углах провели биссектрисы. Какой из
получившихся острых углов больше?
1084. Начертить на глаз углы в 45°, 60°, 90°. Измерить построен-
ные углы при помощи транспортира и определить свою ошибку.
1085. 1) Окружность разделена на две дуги, из которых одна
на 100° больше другой. Найти величину каждой дуги.
2) Окружность разделена на две дуги, из которых одна в три
раза больше другой. Найти величину каждой дуги.
Указание. Обе задачи решить, составляя уравнение.
133
1086. 1) Полуокружность разделена на две дуги, из которых
одна на 45° меньше другой. Найти величину меньшей дуги.
2) Полуокружность разделена на три дуги, из которых одна
дуга в два раза больше каждой из остальных двух дуг. Найти эти
Дуги.
1087. (У ст но.) 1) Скольким градусам соответствует часовая
шкала циферблата?
2) Циферблат часов разделен на 12 равных частей (12 ч). Сколь-
ким градусам соответствует одно часовое деление?
1088. (Устно.) Какой угол составляют минутная и часовая
стрелки в следующие часы дня: 13 ч; 15 ч; 20 ч?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 29
1) С помощью транспортира начертить угол в 150° и построить
его биссектрису.
2) Начертить две пересекающиеся прямые так, чтобы один из
углов между ними равнялся 45°.
3) Из вершины прямого угла проведен луч так, что он разде-
лил прямой угол на два угла, из которых один на 15° больше
другого. Найти получившиеся углы.
4) Построить треугольник АВС, у которого ЛВ = 4,6 см,
£ABC = tf>° и ^_ВАС = Ь2°.
§ 30. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
1089 .. Построить два угла, сумма которых меньше развернутого,
так, чтобы: а) они имели общую вершину; б) они имели общую
сторону.
1090. Построить два угла так, чтобы: а) одна из сторон первого
угла была продолжением стороны второго угла; б) одна сторона
угла была бы общей стороной, а две
Му другие—противоположными лучами.
/ с 1091. Какие пары углов, изобра-
Xженных на рисунке 46, можно назвать
смежными? Почему?
_^*^***^^ 1092. На окружающих предметах
указать примеры смежных углов.
Рис. 46 1093. Могут ли быть смежные углы
оба: 1) острыми? 2)тупыми?3) прямыми?
1094. Объяснить справедливость утверждения: «Если один из
смежных углов тупой, то другой острый». Привести примеры.
1095. Четыре угла вместе составляют развернутый угол. Будут
ли эти углы смежными?
1096. Две прямые АВ и CD пересекаются в точке О.
1) Сколько пар смежных углов вы видите на чертеже? Назвать
эти пары.
134
2) Один из углов, образовавшихся при пересечении АВ и CD,
равен 60°. Найти остальные углы.
1097. Вычислить один из смежных углов, если другой угол ра-
вен: 1) 35°; 2) 160°; 3) 90°.
1098. Начертить треугольник и продолжить одну из его сторон
так, чтобы получилась прямая. Получили две пары смежных углов.
Измерить в каждой паре один из углов и вычислить другой. .
1099. Один из смежных углов вдвое больше другого. Найти эти
углы. Выполнить чертеж.
Запись решения. Меньший угол—х; ему смежный—2х.
Составим уравнение: х4-2х=180°.
1100. 1) Один из смежных углов вчетверо меньше другого. Найти
эти углы.
2) Один из смежных углов составляет у другого. Найти эти
углы.
1101. Один из смежных углов на 40° меньше другого. Найти
эти углы.
Запись решения. Меньший угол х; ему смежный х4-40°.
Составим уравнение: х 4-х + 40°= 180°.
1102. Один из смежных углов на 120° больше другого. Найти
при пересечении
эти углы.
1103. Построить OD | АВ и провести биссектрису ОМ угла AOD
и биссектрису ОК угла B0D. Доказать, что угол МОК прямой.
1104. Начертить два неравных смежных угла, чтобы их общая
сторона была: 1) вертикальной; 2) горизонтальной.
1105. (Устно.) Провести две пересекающиеся прямые АВ и
CD. Назвать смежные углы, вертикальные углы.
1106. Зная, что один из углов, полученных
двух прямых, равен 45°, найти величину каж-
дого из образовавшихся смежных и вертикаль-
ных углов.
1107. Дан угол 80°. Построить и вычислить
вертикальный ему угол.
1108. Две прямые АВ и CD пересекаются
щ точке О. Прямая ОМ делит ^/АОС попо-
лам. Разделит ли эта прямая ^DOB по-
полам?
1109. На рисунке 47 О A J_OB и C0[_0D.
Доказать, что / 1 = Z2-
1110. При пересечении двух прямых получены ;
и 4). Зная числовое значение одного из углов, найти остальные:
углы 1), 2), 3)
3) Z2= /14- 100°
/1=? /3 = ?
Z2 = ? /4 = ?
Указание. № 1110—1114 решите, составляя уравнение.
133
1111. При пересечении двух прямых один из углов в 3 раза
больше смежного. Найти образовавшиеся углы.
1112. Две прямые пересекаются. Найти образовавшиеся углы,
если один угол больше другого на 60°.
1113. Две прямые пересекаются, и сумма двух из четырех по-
лученных углов равна 150°. Найти все четыре угла.
1114. При пересечении двух прямых один из углов составил
Q
-g- другого. Найти все четыре образовавшихся угла.
1115. 1) Перечислите фигуры, изо-
D F С браженные на рисунке 48.
Г • / -"у Указание. Вероятно, некоторые
/ / учащиеся назовут только треугольники
А---'''''”’”*/ / и четырехугольники. Надо подчерк-
А f нуть, что точки, отрезки, углы тоже
фигуры.
Рис. 48 2) Записать множество всех вершиц
фигур на рисунке 48.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 30
1) Один из смежных углов вдвое больше другого. Найти эти
углы.
2) Один из углов треугольника 60°. Найти угол, смежный с
данным углом треугольника.
3) Дан угол в 40°. Построить вертикальный ему угол и вычислить
его величину.
4) Две прямые пересекаются. Найти образовавшиеся углы, если
один угол больше другого на 32°.
5) Найти угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.
§ 31. УПРАЖНЕНИЯ ПО КУРСУ IV КЛАССА
1116. Каким натуральным числом характеризуется множество
воскресных дней в 1965 г.? в 1967 ‘г.?
Указание. 1 января 1965 г. было в пятницу; 1 января 1967 г.
было в воскресенье. Каждый невисокосный год содержит 365:7 =
= 52 нед. и 1 день.
1117. Сравните множество понедельников и множество четвер-
гов в 1970 г.
Указание. 1 января 1970 г. было в четверг.
1118. На прямой взяты три точки. Сколько различных лучей
и сколько различных отрезков определяют эти точки?
1119. На прямой взято пять точек. Покажите, что множество
отрезков и множество лучей, определяемых этими точками, равно-
численны.
136
1121. Внутри острого угла из его вершины проведено несколько
лучей. Будут ли множество лучей и множество различных острых
углов на чертеже равночисленны?
1121. Будут ли равночисленны множество двузначных чисел,
делящихся нацело на 8, и множество двузначных чисел, делящихся
нацело на 9?
Решение. Находим частные от деления на 8 и на 9 наиболь-
ших двузначных чисел, кратных 8 и 9. Полученные частные умень-
шаем на 1 и узнаем, сколько двузначных чисел кратно 8 и 9.
99:9=11; 11—1 = 10 и 96:8=12; 12—1 = 11.
Множества не равночисленны.
1122. Будут ли равночисленны множество двузначных чисел,
делящихся нацело на 13, и множество двузначных чисел, делящихся
нацело на 14?
1123. Будут ли равночисленны множество двузначных чисел,
дающих при делении на 19 остаток 7, и множество двузначных
чисел, дающих при делении на 17 остаток 3?
Выполнить указанные действия:
1124. 1) 173-67 + 341-45 —464-56;
2) 28 764:612 + 33 337:629—70 537:713;
3) 557-37 + 44 457:73—738-27;
4) 833-57 — 717-66 + 29 397:717.
1125. 1) 563-67—443-27—593-43;
2) 41 538:86 — 22 161:83—12 685:59;
3) 287-79—357-63 — 15834:87;
4) 7 111 100:89-918-87 — 22746:669.
1126. 1) 34 653 — (357-29 + 467-33);
2) 10000—(24 327:51+29 754:57);
3) 32011— (567-87—287-67);
4) 5570—(274030:409—8811:89).
1127. 1) 287-47 —33-(29972—29587);
2) 713-68 — 74-(48545 — 47897);
3) 34 782:61 —106960:(50 178 — 49987);
4) 18018:286 — 60 102: (68 937 —67 983).
1128. 1) (23 199:57—22 557:73) 467;
2) (60501:67—68595:85)-643;
3) (638-49+ 303 929): 67;
4) (959-97+ 63 250): 39.
1129. 1) (287-24 — 528 960:87):(37-24—80);
2) (304-410:73 + 503- 34): (443 48 + 8);
3) (18509:223 —15563:197):(443-53—301-78);
4) (19734:66 — 21 097:73):(221-71-523-30);
15) (14652:444 + 31 423:469):(228-47 —188-57);
6) (24 447:281 — 28 294:329): (324 • 55—220 - 81).
137
ИЗО. Чтобы отправить телеграмму, содержащую а слов, нужно
уплатить 10 +За коп. Сколько следует уплатить за телеграмму из
10 слов, 12 слов, 15 слов, 20 сл'ов?
1131. Чтобы подняться на нужный этаж, необходимо пройти по
лестнице 20х—17 ступенек, где х обозначает номер этажа. Сколько
ступенек нужно пройти, чтобы подняться на первый этаж, второй
этаж, третий этаж, восьмой этаж?
1132. Плата за газ и электроэнергию составляет 4х + 2у коп.,
где х—это число единиц израсходованной электроэнергии, а у —
число кубических метров израсходованного газа. Подсчитайте плату
за отдельные месяцы, если:
Месяц X У Следует уплатить
Январь 50 32
Февраль 45 28
Март 36 25
Апрель 25 20
1133. Скорость движения парохода в неподвижной воде х км в час,
а скорость течения реки у км в час. С какой скоростью будет дви-
гаться пароход: 1) по течению реки; 2) против течения реки?
Составьте соответствующие выражения и найдите их числовые зна-
чения при: 1) х=18 км в час, у = 2 км в час; 2) х = 22,4 км в час,
у = 1,6 км в час.
1134. Было куплено а конвертов по 5 коп. за штуку и b кон-
вертов по 7 коп. за штуку. Сколько нужно уплатить за все кон-
верты? Составьте соответствующее выражение и найдите его числовое
значение при: 1) а = 4; 5 = 6; 2) а = 8; 5 = 2; 3) а = 4; 5 = 6;
4) а= 10; 5= 10.
1135. Пешеход идет со скоростью х км в час, а велосипедист
едет со скоростью у км в час. Они одновременно начинают движе-
ние из одного и того же пункта по одной дороге. Найти расстоя-
ние между велосипедистом и пешеходом через t ч после начала
движения. Составьте соответствующее выражение и найдите его чи-
словое значение при: 1) х = 4 км в час, у=12 км в час, / = 2 ч;
2) х = 3,6 км в час, у =10,8 км в час, t = 1,5 ч.
1136. Для подготовки к математической олимпиаде было пред-
ложено 150 задач. Число задач, решенных учеником, оказалось в
4 раза больше чиста нерешенных задач. Сколько задач решил
ученик?
1137. Собственная скорость парохода в 9 раз больше скорости
течения реки. Найти собственную скорость парохода и скорость
течения реки, если, двигаясь против течения, он за 6 ч прошел
96 км.
L38
1138. Собственная скорость парохода в 8 раз больше скорости
течения реки. Найти собственную скорость парохода и скорость
течения реки, если, двигаясь по течению реки, он за 4 ч прошел
108 км.
1139. В Москве в день зимнего солнцестояния (23 декабря) день
на 10 ч короче ночи. Определить момент восхода солнца, если за-
ходит оно в 15 ч 58 мин.
1140. В Ленинграде в день летнего солнцестояния (22 июня)
день на 13 ч 40 мин длиннее ночи. Определить момент захода
солнца, если восходит оно в 2 ч 37 мин.
1141. В 7 ч утра группа пионеров отправилась пешком из го-
рода в совхоз, проходя в час 4 км 800 м, а в 10 ч вслед за ними
выехала группа пионеров на велосипедах со скоростью 12 кМ> в час.
Определить расстояние от города до совхоза, если обе группы при-
были в совхоз одновременно.
1142. В 8 ч из одного города в другой вышел пассажирский
поезд со скоростью 55 км в час, а в 10 ч вслед за ним вышел
скорый поезд со скоростью 80 км в час. Во сколько часов следует
остановить пассажирский поезд, чтобы пропустить скорый поезд,
если расстояние между поездами, когда оба поезда находятся в
движении, не должно быть меньше 10 км?
1143. Два поезда вышли в разное время навстречу друг другу
из двух станций, расстояние между которыми 700 км. Первый Ттоёзд
проходил в час 55 км, а второй —60 км. Пройдя 330 км, первый
поезд встретился со вторым. На сколько часов один из поездов
вышел раньше другого?
1144. По спортивной круговой дорожке бегут два конькобежца,
причем первый со скоростью на 2 м в секунду быстрее, чем второй.
Если второй начнет движение на 20 сек раньше первого, то первый
догонит его через 80 сек. С какой скоростью бежал каждый из них?
1145. Полярники станции «Северный полюс-1» были .высажены
.на льдину 21 мая 1937 г. В каком году и какого числа были сняты
со льдины полярники, если станция работала 8 месяцев 29 дней?
.1146. Дрейф ледокола «Георгий Седов» начался 23 октября
1937 г., а окончился 13 января' 1940 г. Сколько времени продол-
жался дрейф?
1147. Периметр прямоугольника 45 м. Длина его 14 м 5 дм.
Вычислить площадь этого прямоугольника.
1148. Из прямоугольного листа железа, длина которого 24 см,
а ширина 22 см, нужно нарезать прямоугольные пластинки разме-
ром 8 смХ 6 см. Какое наибольшее число пластинок можно полу-
чить при этом? Решение поясните с помощью чертежа.
1149. Ребро одного куба в два раза больше ребра другого куба.
Во сколько раз объем первого куба больше, чем объем второго куба?
1150. В прямоугольном параллелепипеде длина 5 см, ширина
4 см и высота 3 см. На сколько увеличится объем параллелепипеда,
если каждое из его измерений увеличить на 1 см?
139
Выполнить указанные действия:
1151. 1) 3,7-0,18 + 35,9-0,26 —0,109-91;
2) 34,98:6,6 + 5,141:0,53—0,8379:0,057;
3) 0,131-470 + 26,187:2,9 — 50,4-1,4;
4) 0,439-97— 182,75:4,3 + 31,9-0,43.
1152. 1) (20,4—18,23)-4,3 + (0,40713 + 0,4411):0,67;
2) (0,357 + 7,043) 0,85 + (52 — 1,928): 5,69;
3) (1,5 — 0,4732)-35 — (0,6092+ 0,0718):0,75;
4) (139,4+ 16,6)-0,039 —(20—17,54):2,5.
1153. 1) 4,1819 + 0,73 (5,375 + 2,595);
2) 5,0143—65,9 (0,0612+ 0,0058);
3) 0,8374+ 15,024:(239,07+ 0,93);
4) 17,06—2,8.(30 — 23,91).
1154. 1) (0,83-3,7 + 9,741:51—0,012):0,325;
2) (67,21:0,143 —0,546-850 + 2,1): 1,25;
3) (79-0,63 —9,558:5,4 —26,94):0,324;
4) (0,049-7,6 —0,3872:5,5—0,202):0,625,
1155. 1) (11,328:16 + 7,752:7,6):0,16;
2) (0,037011:0,73 — 0,927:450): 1,6;
3) (579,2:64 —8,512:14):4,2;
4) (0,8844:11 + 0,09776:0,47): 1,4.
1156. 1) 13,7 —(0,53-6,7+1,77-3,1+ 0,005): 0,66;
2) 5,3:(2,87-0,53—0,043-7,7 — 0,19);
3) (5,4 • 0,77 —0,008): (2,747:0,67 + 0,05);
4) (3,06 — 2,97):(5,6-0,93—0,84-6,2).
1157. Чтобы определить вес сахарного песка, помещающегося
в стакане, произвели три взвешивания и получили: 204 г, 195 г
и 201 г. Найти вес сахарного песка, помещающегося в стакане.
1158. При измерении длины фасада школьного здания произ-
вели четыре измерения и получили соответственно следующие ре-
зультаты: 49,93 лг; 50,08 л; 50,12 м и 49,95 м. Какова длина
школьного здания?
1159. При измерении угла были получены следующие результаты:
37°15', 37°12', 37с08' и 37°09'. Найти наиболее надежное значение
величины угла.
1160. Определяя длину своего шага, школьник прошел расстоя-
ние в 100 м пять раз. В первый раз он сделал при этом 149 ша-
гов, во второй раз сделал 151 шаг, в третий раз—150 шагов, в
четвертый раз—153 шага и в пятый раз—152 шага. Сколько
шагов в среднем должен сделать школьник, чтобы пройти 100 л?
1161. Сторона квадрата равна 10 см. Каждую из сторон квад-
рата увеличили на 2,5 см и получили новый квадрат. На сколько
периметр и площадь нового квадрата больше, чем периметр и пло-
щадь первого квадрата?
140
1162. На сколько увеличится площадь всех граней куба с реб'
ром 10 см и насколько увеличится его объем, если ребро куба
увеличить на 1 сл/?
1163. Периметр квадрата равен 6,4 м. Найти периметр прямо-
угольника с такой же площадью, одна из сторон которого равна
3,2 м.
1164. Периметр прямоугольника равен 130 см, причем длина
его на 25 см больше ширины. Найти периметр квадрата, имеющего
такую же площадь.
1165. Смежные боковые стенки аквариума имеют площади
1 600 кв. см и 2 400 кв. см, а глубина аквариума равна 40 см.
Сколько нужно литров воды, чтобы наполнить аквариум на 95%
его вместимости?
1166. Длина аквариума 50 см, а ширина его 30 см. Когда на-
лили в аквариум 36 л воды, то он наполнился на 75% его вмести-
мости. Найти глубину аквариума.
1167. Нужно сшить бесконечный приводной ремень длиной
4,2 м из трех кусков: 2,285 м, 0,875 м и 1,64 м. На каждый шов
требуется 0,1 м. Какой длины кусок ремня останется после сшивки?
1168. Плотник прибил к стене гвоздем доску, положив под нее
кусок фанеры. На сколько вошел гвоздь в стену, если его длина
5 см, толщина доски 3,25 см и толщина фанеры 0,4 си?
1169. Нужно перевезти 65 ящиков весом по 15,8 кг каждый и
56 ящиков весом по 8,35 кг каждый. Можно ли перевезти весь груз
за один рейс на машине грузоподъемностью в 1,5 т?
1170, Для закладки фундамента вырыт ров длиной 24,5 м, ши-
риной 1,5 м и глубиной 2,4 м. Найти вес вынутой земли, если
1 куб. м ее весит 1,8 т.
1171. Вес муки, полученной при помоле пшеницы, составляет
0,8 веса пшеницы. При выпечке хлеба припек составляет 0,35 веса
израсходованной муки. Сколько килограммов хлеба можно получить
из 64 кг пшеницы?
1172. Площадь участка 0,4 га; 0,15 всей площади занято строе-
ниями, а 0,65 оставшейся площади занято огородом. Какова пло-
щадь, занятая огородом?
1173. Сколько нужно взять подсолнухов, чтобы получить 0,72 ц
масла, если из зерна подсолнухов получается по весу 0,35 масла,
а из подсолнухов получается по весу 0,7 зерна?
1174. Из питомника привезли саженцы фруктовых деревьев.
Среди них 0,45 составляли саженцы яблони. Среди саженцев яблони
0,4 составляли саженцы антоновки. Сколько всего привезли сажен-
цев фруктовых деревьев, если антоновки было 108 саженцев?
1175. Автобус проходит расстояние между двумя пунктами, рав-
ное 10,8 км за 0,3 ч, а легковой автомобиль за 0,2 ч. Через
сколько времени они встретятся, если из конечных пунктов начнут
одновременно двигаться навстречу друг другу?
1176. Пароход проходит расстояние между двумя пристанями,
равное 75,6 км, за 3,5 ч при движении по течению и за 4,5 часа
141
при движении против течения. Найти техническую скорость паро-
хода и скорость течения реки.
1177. Два арбуза весят вместе 11,76 кг. Сколько весит каждый
арбуз, если вес одного составляет 0,75 веса другого?
1178. Три дыни весят вместе 17,5 кг. Вторая дыня в 1,5 раза,
а третья дыня в 2,5 раза тяжелее первой. Найти вес каждой дыни.
1179. Скорость велосипедиста в 2,4 раза больше скорости пеше-
хода. Они начали движение одновременно из одного пункта и в
одном и том же направлении. Через 1,5 ч велосипедист опередил
пешехода на 10,5 км. Найти скорости пешехода и велосипедиста.
1180. Автомобиль и автобус начали одновременно двигаться по
одному и тому же маршруту, причем через 2,5 ч автомобиль опе-
редил автобус на 45 км. Скорость автобуса составляла 0,64 ско-
рости автомобиля. Найти скорости автобуса и автомобиля.
1181. Школьники изготовили две авиамодели. Первая авиамодель
развивала скорость 4,5 м в секунду и могла продержаться в воздухе
1,5 мин. Скорость второй авиамодели была в 1,2 раза больше, но
время ее полета составляло 0,8 времени полета первой модели.
Сравните дальности полета этих моделей.
1182. Две бригады начали одновременно проходку туннеля дли-
ной 162,5 м, двигаясь навстречу друг другу, и встретились через
25 дней. Первая бригада проходила за день на 0,3 м больше вто-
рой. Сколько метров туннеля проходила за день каждая бригада?
1183. Если при постройке забора вокруг прямоугольного участка
вкапывать столбы на расстоянии 4,2 м друг от друга, то понадо-
бится 126 столбов. Сколько понадобится еще столбов, если вкапы-
вать их на расстоянии 3,6 м друг от друга?
1184. Из #8,5 м сукна шириной в 1,05 м можно сшить 25 оди-
наковых пальто. Сколько таких же пальто можно сшить из 315 м
сукна шириной 1,18 м?
1185. Для 12 коров на 35 дней требуется 5,04 т сена. Сколько
сена потребуется для 16 коров на 45 дней при той же дневной
норме?
1186. Если ежедневно расходовать 3,6 т угля, то имеющихся
запасов хватит на 56 дней. На сколько дней хватит этих запа-
сов, если ежедневно расходовать на 1,2 т меньше, чем предпола-
галось?
1187. Рис содержит 75% крахмала, а ячмень 60%. Сколько
нужно взять ячменя, чтобы получить столько же крахмала, сколько,
из 5 кг риса?
1188. Колесо, имеющее окружность 1,5 м, сделало на некотором
расстоянии 96 оборотов. На сколько меньше оборотов сделает на
том же расстоянии колесо, окружность которого на 0,9 м больше
окр'ужности первого колеса?
1189. У мальчика было 3,6 руб. денег. 20% имеющихся денег
он истратил на покупку книг и за 18 коп. купил альбом. Сколько
процентов имевшихся у него денег истратил мальчик на все по-
купки?
142
1190. Для паркетного пола было заказано 8 400 прямоугольных
плиток размером 0,3 л«х0,08 м. На складе оказались плитки раз-
мером 0,32 лхО.ОЭ м. Сколько таких плиток потребуется для пола?
1191. В СССР около 700 млн. га леса. Из этой площади .35,6%
занято лиственницей, 12,6% сосновыми лесами, 9,7% еловыми,
7% березовыми и 0,7% дубовыми. Сколько гектаров различного
вида лесов находится на территории СССР?
1192. В книге 160 страниц. В первый день ученик прочитал
7,5% всей книги, а во второй — 25% оставшейся части. Сколько
еще страниц осталось прочитать ученику?
1193. Стоимость единицы продукции, выпускаемой заводом, со-
ставляла 20 руб. За год себестоимость была снижена на 10%,
В следующем году себестоимость удалось вновь снизить на 15%.
Найти себестоимость единицы продукции к концу второго года.
1194. 20% неизвестного числа на 120 меньше самого числа.
Найти неизвестное число.
1195. По переписи было установлено, что в поселке проживают
25% мужчин, 28% женщин и 940 детей. Сколько мужчин и сколько
женщин проживают в поселке?
1196. Себестоимость тонны продукции была снижена на 10%.
После этого себестоимость была снижена еще на 10% и составила
16,2 руб. Найти первоначальную себестоимость.
1197. Стороны прямоугольника 20 см и 15 см. На сколько про-
центов изменится площадь прямоугольника, если длину меньшей
стороны уменьшить на 20%, а длину большей стороны увеличить
на 20%?
1198. Стороны прямоугольника 20 см и 15 см. На сколько про-
центов изменится площадь прямоугольника, если меньшую сторону
увеличить на 20%, а большую сторону уменьшить на 20%?
1199. Два мальчика собрали вместе 420 марок, причем у пер-
вого мальчика оказалось на 10% больше марок, чем у второго.
Второму мальчику подарили еще 50 марок. На сколько процентов
меньше марок стало теперь у первого мальчика?
1200. При вождении речных караванов толканием вместо бук-
сировки скорость движения повышается на 25%. Буксирный паро-
ход провел баржу на расстоянии 120 км. 35% пути он вел баржу
ца буксире, а остальную часть пути вел толканием. Сколько вре-
мени было затрачено на весь путь, если при буксировке скорость
Составила 12 км в час?
1201. Даны две суммы:
193 + 384 + 573 4- 769 и 807 + 616 + 427 + 231.
Найти первую сумму. Как, зная первую сумму, проще всего
вычислить вторую сумму?
Указание. Обратите внимание на то, что при сложении пер-
вого слагаемого одной суммы с первым слагаемым другой суммы
получается 1 000. Этой особенностью обладают и другие пары сла-
гаемых рассматриваемых сумм.
143
1202. Даны две суммы:
2,18 + 4,36 + 6,53 + 8,77 и 7,82 + 5,64 + 3,47 + 1,23.
Найти первую сумму. Как, зная первую сумму, проще всего вы-
числить вторую сумму? (См. предыдущее указание.)
1203. Сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 разбить на
пять равных сумм, имеющих одинаковое число слагаемых.
Указание. Написать эти числа в виде пяти столбиков следу-
ющим образом:
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
11 12 13 14 15
20 19 18 17 16
и просуммировать числа в каждом столбике.
1204. Нужно найти произведение чисел 643 и 945. Вычисление
начато: 643
’ 945
3215
2572
Как закончить его, не умножая непосредственно число 643 на 9?
У к а з а н и е. Произведение любого числа на 9 можно получить
путем сложения произведений этого числа на 5 и на 4.
1205. Если у вершин треугольника написать любые числа, а у
сторон треугольника написать суммы чисел, написанных у соседних
вершин, то при сложении числа у любой вершины с числом у про-
тивоположной- стороны получим одно и то же число. Почему?
Указание. В силу переместительного и сочетательного законов
сложения.
1206. В бочке хранится несколько ведер бензина. Как отлить
из нее 6 л бензина с помощью девятилитрового и пятилитрового
бидонов?
Указание. 5-3 — 9 = 6.
1207. Сколько воды нужно прибавить к 50 г 35-процентного
раствора, чтобы получить 10-процентный раствор?
Указание. Найти: 1) вес чистого вещества в растворе; 2) вес
10-процентного раствора; 3) вес добавленной воды.
1208. В магазинах продают 9-процентный раствор уксуса. Как
нужно разбавить его водой, чтобы получить для маринада 3-про-
центный раствор? 2-процентный раствор?
1209. В каких системах счисления получены следующие произ-
ведения: 5-6 = 30; 5-6 = 33; 5-6 = 36; 5-6 = 42?
Указание. От произведения чисел в десятичной системе счи-
сления отнять цифру единиц произведения этих же чисел в неиз-
вестной системе счисления и полученную разность разделить на число
десятков произведения с неизвестным основанием.
1210. Числа 57 и 89 записать в девятеричной, восьмеричной,
семеричной, шестеричной и пятеричной системах счисления.
144
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 31
1) Произвести указанные действия:
[(8 301 — 7 395) • 78 — (560 695 + 298 889): 37]: 67.
2) Произвести указанные действия:
[0,311 — (0,0647 • 4,7 + 45,676:7 600)] :0,09.
3) Расстояние в 48 км катер проходит за 3 ч, если двигается
по течению, и за 4 ч, если двигается против течения. Сколько вре-
мени потребуется катеру, чтобы пройти 20 км по течению реки и
после получасовой стоянки пройти еще 21 км по озеру в непод-
вижной воде?
4) Площадь прямоугольника на 25% больше площади квадрата
со стороной 8,4 см. Одна из сторон прямоугольника составляет
0,75 стороны квадрата. Найти периметр прямоугольника.
Глава IV
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
$ 32. НАПРАВЛЕНИЯ И ЧИСЛА
1211. Приведенные ниже предложения запишите короче, исполь-
зуя знаки + и —:
1) Температура воздуха в полночь была 3° ниже нуля, а в пол-
день была 8° выше нуля.
2) Уровень воды в порту во время прилива был на 2,7 м выше
нулевой отметки, а во время отлива был на 1,9 м ниже нулевой
отметки.
1212. 1) На горизонтальной прямой отметьте точки, удаленные
от точки О, лежащей на этой прямой, на 2 см, —3 см, 4 см, —5 см.
2) На горизонтальной прямой отметьте точки, удаленные от
точки О, лежащей на этой прямой, на 2,5 см, —3,5 см, — см,
1 1
— 1 у СМ.
1213. 1) На вертикальной прямой отметьте точки, удаленные от
точки О, лежащей на этой прямой, на 3 см, —2 см, 5 см, —4 см.
2) На вертикальной прямой отметьте точки, удаленные от точки
О, лежащей на этой прямой, на —2,5 см, 4,5 см, —см, 2^- см,
1214. 1) В книге дежурного по туристскому лагерю записано:
в 6 ч прибыло 15 чел.;
в 8 ч выбыло 24 чел.;
в 10 ч выбыло 12 чел.;
в 11 ч прибыло 18 чел.;
в 12 ч выбыло 10 чел.
Запишите это, используя знаки + и — вместо слов «прибыло»
и «выбыло».
2) В ведомости председателя кассы взаимопомощи записано:
1. Иванова взяла ссуду 15 руб.
2. Соколов вернул ссуду 25 руб.
3. Ершова вернула ссуду 10 руб.
4. Павлов взял ссуду 20 руб.
5. Зверева взяла ссуду 18 руб.
Записать это, используя 4- и — вместо слов «вернул ссуду» и
«взял ссуду».
146
1215. Привести примеры множества, в которых происходит уве-
личение и уменьшение числа элементов. Показать, как можно кратко
записывать увеличение и уменьшение числа элементов этих мно-
жеств, используя знаки и —.
1216. Кладовщик овощехранилища сделал в блокноте такие
записи:
колхоз «Рассвет» — + 15,6 т\
столовая № 1-------4,5 т;
колхоз «Заря»------1- 10 т;
магазин № 10 — — 5 т;
столовая № 2-------7,2 т.
Как следует понимать эти записи?
1217. Во время наблюдений за изменением уровня воды в реке
в течение недели были сделаны записи:
за первый день + 0,45 м;
за второй день + 1,20 м;
за третий день 4- 0,35 м;
за четвертый день 0 я;
за пятый день — 0,25 м;
за шестой день — 0,55-м;
за седьмой день — - 0,75 м.
Как следует понимать эти записи?
1218. Объяснить следующие записи:
1) Гениальный математик древности Архимед родился в —287
году.
2) Гениальный русский математик Н. И. Лобачевский родился
в 1792 году.
3) Первые Олимпийские игры состоялись в Греции в —776 году.
4) Первые международные Олимпийские игры состоялись в 1896
году.
1219. На рисунке 49 изображена числовая прямая. Какие числа
соответствуют точкам А, В, С и D числовой прямой?
О +Г о +1
I t 1 г 1 1 » 1 ' 1 > ।
в D С А В ПСА
Рис. 49 Рис. 50
1220. Построить числовую прямую и обозначить на ней бук-
вами А, В, С, D и Е, точки, соответствующие числам 3; —2; —4;
1 и —6.
1221. Построить числовую прямую и обозначить на ней бук-
вами А, В, С, D и Е точки, соответствующие числам —2,4; 5,2;
1 к е 1 3
1,5; -5 т и -7.
1222. Назвать координаты точек А, В, С и D, изображенных
на рисунке 50.
147
1223. Построить на числовой прямой точки: Р(—7), Т (5), X (2)
и Y (—3).
1224. Построить на числовой прямой точки: А (2,5), В (0,6),
С (—4,2), О(—1,5) и Я (—у).
1225. Назвать числа, противоположные числам 15; —3; —3,8;
0; 0,56; 4,7.
1226. Назвать числа, противоположные числам: —12; 7; —у ;
0,2; 164; —0,1.
1227. Можно ли назвать противоположными числа: 4 и +4?
—4 и 4? Объяснить свой ответ.
1228. Найти модули следующих чисел: 13; —8; —615; 418;
—217; 24.
3 1
1229. Найти модули следующих чисел: у; —1у ; 0;—0,25; 0,04.
1230. Решить уравнения:
1) | х | = 3; 2) |/1 = 0,4; 3) |*/| = 10;
4) | и | = 0; 5) |z| = 5,5; 6) |о| = у.
1231. Сравнить следующие числа и поставить между ними соот-
ветствующий знак неравенства:
1) 7 и 9; 2) —5 и —7; 3) 3 и —1; 4) —5 и 0;
5) 12 и 10; 6) —8 и 23; 7) 2 и —5; 8) 0 и —4;
9) 1 и 0; 10) 0 и 7.
1232. Сравнить следующие числа и поставить между ними соот-
ветствуклЦий знак неравенства:
1) 7,2 и 2,7; 2) —0,4 и —0,5; 3) 0,1 и —0,2;
4) 0,08 и 0,4; 5) —0,12 и —0,2; 6) 1,8 и —8,1;
7) —1,2 и 0; 8) 6 и —0,3.
1233. Расположить в порядке возрастания следующие числаг:
1) —4; 3; —2; 1; 0; —1; 2; —3; 4;
2) —6; 7; —7; 8; —8; 9; —9; 10; —10.
1234. Расположить в порядке возрастания следующие числа:
1) —5,4; 4,3; —3,2; 2,1; —1,2; 2,3; —3,4;
2) —1; 0,1; —0,01; 0,001; —0,0001; 0.
1235. Расположить в порядке убывания следующие числа:
1) —4; 5; —3; 4; —2; 3; 0; —7; 9;
2) —4; —8; 6; 2; 12; —3; 1; 0; —6.
1236. Расположить в порядке убывания следующие числа:
1) 2,8; —2,7; 2,6; —2,08; 2,07; —2,06; 0;
2) 2; —0,2; 0,02; —0,002 ; 0,002; —2.
148
1237. Сравнить следующие числа:
1) | —31 и | —51; 2) 141 и | 11; 3) | —61 и 151;
4) 121 и | —101; 5) 8| и |6|; 6) | —4 | и 14 |j
7) |6 | и | — 5 8) |0 | и | — 21_
1238. Сравнить следующие числа:
1) |—0,-6| и |0,3|; 2) |— 0,2| и | — 0,02[;
3) |—1,2| и |—1,51; 4) |7,21 и |— 2,71;
5) 10,1 | и [0,01 |; 6) | —1,2 | и | 1,02 |.
1239. Расположить в порядке возрастания следующие числа:
1) |- 3|; |4|; | —12 [; 161; | —2 |; | —81; 101;
2) I— 0,81; |0,7|; |0,9 [; |— 0,61.
1240. Расположить в порядке убывания следующие числа:
1) |2|; |-1|; | 10 [; |0|; | —7 |; 15 |;
2) |4,2|; I— 4,31; |— 4,02 |; 14,03 |; | 01.
1241. Назвать все целые числа:
1) большие 2 и меньшие 7; 2) большие —8 и меньшие —3;
3) большие —4 и меньшие 2; 4) большие —5 и меньшие 0.
1242. Назвать все целые числа:
1) меньшие 4 и большие 1; 2) меньшие —1 и большие —6;
3) меньшие 3 и большие —3; 4) меньшие 0 и большие —2.
1243. 1) Назвать три последовательных целых числа, меньшее
из которых равно: 1) 5; 2) —7; 3) —1.
2) Назвать три последовательных целых числа, большее из кото-
рых равно: 1) 8; 2) —2; 3) 1.
1244. 1) Сколько элементов содержит множество всех целых
чисел, каждое из которых больше —5 и меньше 8?
2) Сколько элементов содержит множество всех целых чисел,
каждое из которых.меньше —2 и больше —11?
1245. Назвать общие элементы множеств А и В, если А это
множество всех целых чисел, каждое из которых больше —7 -и
меньше 5, а В—это множество всех целых чисел, каждое из кото-
рых больше —3 и меньше 12.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 32
1) Назвать известные вам числовые множества.
2) Какие числовые множества входят во множество рациональ-
ных чисел?
3) Привести примеры величин, которые принимают и положи-
тельные, и отрицательные значения.
4) Как построить геометрическое изображение: положительного
числа, отрицательного числа? Пояснить примерами.
5) Назвать числа, противоположные следующим числам: 4; —7j
+ 11; 0.
149
6) Чему равен модуль: 1) положительного числа; 2) нуля; 3) отри-
цательного числа?
7) Как произвести сравнение двух рациональных чисел?
8) Расположить в порядке возрастания следующие числа: -J-12;
— 11; +1,5; —0,9; +5; —4; +0,03; —0,02; 0.
§ 33. СЛОЖЕНИЕ
1246. В первый день запасы картофеля на складе изменились
на а т, а во второй день изменились на If т. Как изменились
запасы картофеля за два дня? Решить задачу в общем виде, а затем
рассмотреть следующие случаи: 1) а=15; 6 = 20; 2) а =—15;
Ь = — 20; 3) а = —15; 6 = 20; 4) а= 15; Ь = — 20; 5) а= 15; Ь = —15;
6) а = —15, 6 = 0.
К каждому случаю дать пояснения.
1247. За час температура изменилась на а градусов, а за сле-
дующий час изменилась на b градусов. На сколько градусов изме-
нилась температура за 2 ч? Решить задачу в общем виде, а затем
рассмотреть следующие случаи: 1) а = 2; 6 = 3; 2) а =—2; Ь = —3;
3) а = 2; Ь=— 3; 4) а = — 2; 6 = 3; 5) а = 2; 6 = —2; 6) а = 2; 6 = 0;
7) а = 0; 6 = —3.
Дать к каждому случаю соответствующее пояснение.
1248. Точка А, находящаяся на прямой, была удалена на а см
от нулевой точки и переместилась по прямой еще на 6 см. На сколько
теперь удалена точка А от нулевой точки? Решить задачу в общем
виде, а затем рассмотреть случаи, когда: 1) а = 8; 6 = 6; 2) а =—8;
6 = —6; 3) а = —8; 6 = 6; 4) а = 8; 6 = —6.
Каждый случай пояснить с помощью чертежа.
1249. Уровень воды в водоеме был утром против отметки а м
и к вечеру изменился на 6 м. Против какой отметки находился
уровень воды вечером? Решить задачу в общем виде, а затем рас-
смотреть случаи: 1) а = 0,25 м; 6 = 0,19 м; 2) а = —0,25 м; 6 = 0,19 м;
3) а = —0,25 .и; 6 = —0,19 м; 4) а = 0,25 м; 6 = —0,19 м.
1250. За первую неделю пребывания в спортивном лагере вес
спортсмена изменился на х кг, а за вторую неделю на у кг. На
сколько изменился вес спортсмена за две недели пребывания в спор-
тивном лагере? Решить задачу в общем виде, а затем рассмотреть
случаи: 1) х = 0,67 кг; у = 0,46 кг; 2) х = 0,67 кг; у=—0,46 кг;
3) х = —0,67 кг; у = 0,46 кг; 4) х =—0,67 кг; у = 0,46 кг.
Выполнить указанные действия.
1251. 1) 236 + 784; 2) —236 + 784;
3) —236+ (—784); 4) 236+ (—784).
1252. 1) 57 384+ 12 616; 2) —84 035 + (—5 965);
3) —57 384 + 12 616; 4) 84 035 + (—5 965).
1253. 1) 385 704 + (—385 804).; 2) —18 037 + 0;
3) —385 704+ (—385 804); 4) 0 + (—203 004).
150
1254. 1) 87 + 87; 2) —87+ (—87);
3) 87+ (—87); 4) —87 + 87.
1255. 1) 6,9 + 7,3; 2) —6,9 + (—7,3);
3) 6,9+ (—7,3); 4) —6,9+ 7,3.
1256. Расположить в порядке возрастания числа а, Ь, с и d, если:
а = —0,4783 + (—0,8517); b = —0,6907 + 0,9624;
с = 0,4783 + (—0,8517); d = 0,6907 + 0,9624.
1257. Расположить в порядке убывания числа х, у, г и I, если:
х = 209,74+(—198,87); у = —209,74+(—198,87); z = 209,74+198,87;
/ = —209,74 + 198,87.
Выполнить указанные действия:
1258. 1) 0+ (—39,47); 2) —75,16 + 0;
3) 5,43+ (—5,43); 4) —0,687 + 0,687.
1259. 1) 121 +131; 2) |,— 2| + ]3|;
3) 1—2Ц-1—3[; 4) |-2| + |— 31.
1260. 1) |4 | + |4 |; 2) 10 | +1 -3 |;
3) |-4| + |4|; 4) ]3| + |0|. ,
1261. 1) 10,291 + | 0,31 |; 2) | —0,291 +10,291;
3) |—0,29 | + |—0,291; 4) 10,291 +1 —0,291.
1262. 1) 15,31 +1 —5,31; 2) 101 +10,531;
3) I—5,31 + |—5,31; 4) ]—0,53| + ]0].
Решить уравнения:
1263. 1) — 19 + х=1; 2) г + (—17) = 0;
3) г/+ 19= 1; 4) 13 +1 = 0.
1264. 1) —12 + х = —7; 2) г + 8 = —1;
3) // + (—10) = 2; 4) 6 + / = -2.
1265. 1) —3,4 + х = —5; 2) г + 4,3 = — 5,5;
3) г/+1,5 = —5; 4) —7,2 + /=10.
1266. 1) —2,6+х = 2,6; 2) ? +(—7,4) = 7,4;
3) г/ + 5,2 = —5,2; 4) —2,8 + / = —2,8.
1267. В кассе было 5 000 руб. В течение дня кассир несколько
раз принимал и выдавал деньги, причем эти операции были сле-
дующие: —550 руб.; —180 руб.; 240 руб.; —360 руб.; —840 руб.;
80 руб.; 150 руб. Сколько денег оказалось в кассе к концу дня?
1268. На элеваторе было 14 520 т зерна. В течение недели прини-
мали и отправляли зерно, причем были сделаны следующие записи:
2 340 т\ —4 500 т; 1 640./и; 3 750 т; —2 800 т. Сколько зерна ока-
залось на элеваторе в конце недели?
151
-ISOM
Поверхность
моря
Рис. 51
1269. Вертолет летел на высо-
те 800 м (рис. 51). Пролетая над
гористой местностью и избегая об-
лачности, он несколько раз менял
высоту полета. Изменения эти бы-
ли следующие: 350 ж; —120 м;
—200 м; 240 м; —460 м. На ка-
кой высоте находился вертолет в
конце полета?
1270. Подводная ло'дка двига-
лась на глубине —150 м (рис. 51).
Во время учебного маневрирова-
ния она несколько раз меняла глу-
бину погружения. Изменения эти
были следующие: 120 м; —50 м;
—40 лг; 80 лг, 30 м. На какой
глубине находилась подводная
лодка по окончанию маневрирова-
ния?
1271. Геодезисты начали производить измерение высоты мест-
ности с отметки +137,5 м (над уровнем моря). В процессе работы
они несколько раз устанавливали нивелир (прибор для измерения
высоты местности), причем изменения высоты были следующие:
0,3 м; 0,8 м; —0,6 м; —1,7 м; —2,1 м; —1,4 м; 0,2 м; —1,6 М',
—0,9 м. На какой высоте над уровнем моря находились геодезисты
в конце работы?
1272. В начале опыта температура внутри холодильника была
—3,6°. Во время опыта были отмечены следующие изменения тем-
пературы: — 1,2°; —2,7°; —1,9°; —2,3°; 0,4°; —0,8°; 1,5°; 2,6°;
0,5°. Какова была температура внутри холодильника к концу
опыта?
1273. Водолаз опустился на глубине —48 м. Выполняя задание,
он менял глубину погружения следующим образом: 6 ж; 15 м\
—11 м\ —7 м; 13 м; 5 м. На какой глубине находился водолаз
после окончания всех работ?
1274. Планёр начал свободный полет на высоте 800 м. После
' этого пилот несколько раз менял высоту полета следующим обра-
зом: —135 м; 80 м; —55 ж; 65 ж; —35 л; —120 м. На какой
высоте находился планер после выполнения всех маневров?
1275. Показание, стрелки прибора в начале опыта было +0,148.
В течение опыта были отмечены следующие колебания стрелки:
0,017; —0,035; —0,051; —0,064; 0,028; 0,009. Найти показание
стрелки прибора по окончании опыта.
1276. В 0 часов показание барометра было 740 мм ртутного
столба. В течение суток были отмечены такие колебания: —8 мм\
—11 мм\ —7 мм-, —5 мм\ 3 мм\ 12 мм. Найти показание баро-
метра в конце суток.
152
Вычислить:
1277. 1) 78 + (—52)+ (—19)+ 63 +(—37);
2) —97 + 65 + 42 + (—83) + (—26);
3) 134+ (—267) + (—313) + 854 + (— 176);
4) —508+ 540+ 706+ (—878)+ (—519).
1278.' 1) —283+ 127+ 432+ (—859)+ 347;
2) 8 645 + (—3 306) + (— 1 822) + 2 084 (—6 576);
3) — 19 033 + (—30 874) + 42 305 + (—17 408) + 50 628;
4) 576 377 + (—608 523) + (—130 114) + 402 342 + 221 037.
Расположить в порядке возрастания числа a, b, cud, если:
1279. а = 52,47 + ( —27,64) + (—40,89)+ 16,06 + (—23,77);
b = — 5,864 + 3,209 + 2,034 + 7,122 + (—9,877);
с = 16,42 + (— 7,283) + (—249,6) + 3,566 + 104,7;
d = — 0,9845 + (— 1,454) + 0,7708 + (—0,3092) + 2,563.
Сравнить числа, соединив их знаками >; =; <:
1280. а = — 178 + 123+ (—97) + 211 +(—37)+ 15 и
6= 134 + (—203) + (—154) + 87+ 126+ 13.
1281. х = —394 + 527 + (—177)+ 103 + ( —119) + 22 и
у = — 406 + 378 + (—157) + (—207) + 341 + 11.
1282. я = —3,42+14,1+0,578+ (—5,09)+ (—9,43) и
6 = 4,87+ (—11,5) + 2,35+ (—0,462) + 4,48.
1283. х = 5,93 + ( —17,4) + 14,3 + (—0,378) +1,06 и
у = 37,2 + ( —6,37) + 0,539 + (—29,6) + (— 1,769).
Сравнить модули чисел, соединив их знаками — и +=:
1284. а = —54 + 87+ ( — 29)+ (—15) и
6 = 47 + ( —52) + (—94) + 89.
1285. х = —352 + 477 + (—513) + 395 и
у = 267 + (— 382) + (— 453) + 507.
1286. а = —2,08+ 1,84+ (—0,37)+ 0,62 и
b= 1,85 + (—3,02) + (—0,75)+ 1,91.
1287. х = — 15,3+ Ю,7 + (— -6,83) +12,06 и
«/ = 32,6 + (—41,3) + (—6,72) + 15,41.
1288. Расположить в порядке возрастания числа х, у, z, I, со-
единив их знаками неравенства, если:
х = — 1,2 + 2,3 + (—3,4) + 4,6;
«/ = — 2,1 +3,2 + (—4,3) + 5,4;
z = —9,8+ 8,7 +( — 7,6)+ 6,4;
/ = 8,9+ ( — 7,8) + 6,7+ (—9,7).
Вычислить устно, используя переместительный и сочетательный
законы сложения:
153
1289. 1) 37 + ( —50) + 22 + 13 + ( —28);
2) _ 1254-200+ 183Н-(—75)-Н—178);
3) 499 + (- 398) + (— 173) + 501 + (—602);
4) — 483 + 48 + (— 117) + 552 + (— 177);
5) 0,54 + (—0,74) + ( —0,79) + 0,46 + (—2,6);
6) —0,56 + 0,72 + (—0,44) + (—0,39) + 0,28;
7) —1,32 + 2,41 + 3,77 + 0,59 + (—4,68);
8) 3,75 + ( —7,26) + ( —10,04) + 6,25 + ( —2,74).
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 33
1) На примере какой-нибудь задачи пояснить правила сложения
рациональных чисел. Сформулировать правила сложения рациональ-
ных чисел.
2) Сформулировать законы сложения и привести примеры, ил-
люстрирующие эти законы.
3) Как найти сумму нескольких рациональных чисел?
4) Даны числа: х = — 15+11+( — 4) + 8 + ( —3) и </=15 +
+ (—11) + 4 + (—8) + 3. Какое из этих чисел больше? Сравнить
эти числа по модулю.
§ 34. ВЫЧИТАНИЕ
1290. На сколько градусов изменилась температура воздуха,
если при первом измерении термометр показывал а градусов и при
втором измерении показывал b градусов? Решить задачу в общем
виде, а затем рассмотреть такие случаи: 1) а = 8°; 6= 12°; 2) а = 9°;
6 = 4°; 3) а — —15°; 6 = —9°; 4) а = —11°; 6 = —16°; 5) а = 4°;
Ь = — 7°; 6) а = — 5°; 6 = 3°.
1291. Найти продолжительность стоянки, парохода у причала,
если:
1) время прибытия а ч, время отправления b ч;
2) он прибудет через два часа, а отправится через пять часов;
3) он прибыл четыре часа тому назад, а отправится через три
часа;
4) он прибыл пять часов тому назад, а отправился час тому
назад.
1292. Уровень воды в морских портах, который постоянно меняется
благодаря приливам и отливам, измеряют специальным прибором.
При первом наблюдении уровень воды был на пометке а и при
втором наблюдении на пометке Ь. Найти изменение уровня воды
в порту за время, прошедшее между двумя наблюдениями. Решить
задачу в общем виде.
Рассмотреть случаи, когда:
1) а = 2,75л<; 6 = 0,87м\ 2) а=1,42л; 6 = 3,14щ;
3) а = — 0,54 м;; 6 = — 2,05 м; 4) а = — 4,15 л*; 6 = —1,67л<;
5) а = 0,76л<; 6 = —1,24 л<; 6) а = — 2,43м; 6=1,17 л.
Пояснить каждый из полученных результатов.
154
Вычислить!
1293. 1) 237 — 129; 2) 475—{—109);
3) 584 — 729; 4) —609 —( — 372).
1294. 1) —887—113; 2) 19584—24076;
3) —5 840 —(—6 326); 4) —30847 — 54081.
1295. 1) 86 009 —( — 13 991); 2) 62 538 —( — 80 567);
3) —74 936 —(—19 237); 4) —12356 —( —12356).
1296. 1) 3,55 — 2,48; 2) 6,28—( — 3,72);
3) 4,07 — 6,38; 4) —9,64—2,36.
1297. 1) 0,508—( — 0,377); 2) — 0,177—(—0,413);
3) 0,633 — 0,509; 4) 0,209 — 0,416.
1298. 1) 52,73 —(—17,27); 2) —42,37—69,16;
3) —39,06 —(—12,09); 4) —75,78—( — 75,78).
1299. 1) 3,7 + (—8,3) —[ —2,8 + ( —4,3)];
2) — 9,1+4,7 —[5,4+ ( — 7,3)];
3) — 3,6—1,4 —[8,2 —( — 3,8)];
4) —7,5 —( — 4,8) —( — 3,3 —1,7).
1300. 1) —5,9— [3,4 + (—8,7)4- 1,7];
2) 2,7 —( — 4,9 + 0,8+1,4);
3) — 0,76—t—0,55 + (—0,77) + 0,92];
4) 0,24 — [0,62 + ( — 0,45) + (—0,23)].
Найти расстояние между двумя точками числовой прямой, если
координаты этих точек соответственно равны:
1301. 1) 9 и 3; 2) 4 и —7; 3) —3 и —8; 4) —1 и 7.
1302. 1) 0 и —5; 2) 0 и 7; 3) —2 и 0; 4) 13 и 0.
1303. 1) 7,8 и 3,2; 2) 5,6 и —2,4; 3) —12,4 и —8,6;
4) —15,2 и 2,6.
1304. Проверить равенство a4-(6 + c + d) = [(a + 6) + c] +d, при:
1) а = — 8; b = — 4; с= 11; d = —5;
2) а = — 3,7; 6=1,2; с = — 4,5; d = 3,1.
1305. Проверить равенство а + (6—с) = (а + 6)—с, при:
1) а = — 9; 6 = 5; с = — 8;
2) а — —15,8; b = — 7,3; с = —10,2.
1306. Проверить равенство а — (Ь + с + d) — [(a—b)—с]—d, при:
1) а = — 8; 6 = —4; c=ll;.d = —5;
2) а = — 0,72; 6 = 0,33; с = —0,41; d = — 0,18.
Вычислить устно, используя свойства сложения и вычитания:
1307. 1) — 1012 + 987; 2) — 5 993—(—6004).
1308. 1) —7 034 —(—6979); 2) 3982—4031.
1309. 1) —20,4+ 19,7; 2) — 37,7 —(—38,1).
1310. 1) —81,2 —( — 79,9); 2) 70,6 + ( —69,7).
155
Решить уравнения:
1311. 1) х—( — 8) = 3; 2) х—(—0,4) = —2,6;
3) х—5 = — 11; 4) х—1,8 = — 1,2;
5) _ц_х==7; 6) —5,4—х=1,6;
7) 9—х=» —4; 8) — 0,84—х = —0,34.
Объяснить следующие записи:
1312. 1)-14 + (+19) + (-13)-(+10)-(-17) = -14 + ( + 19)+
+(—13)+(—10) + (4-17) = —14 + 19—13—10+ 17 = — 37 + 36 = — 1.
2) —26,7 —(— 32,4) + (+ 16,5) —(+ 40,8)+ (— 21,7) = — 26,7 +
+ ( + 32,4) + (+16,5) + (—40,8) + (—21,7)= — 26,7 + 32,4+ 16,5 —
— 40,8 —21,7 = —89,2 + 48,9 = —40,3.
Следующие выражения записать в виде алгебраических сумм,
записать эти суммы без знака сложения и вычислить:
1313. 1) — 184 —(— 107) —( + 216)—(—144) +(—208);
2) 285 + ( —307) —( —164)—(+ 109) —( —176).
1314. 1) (—1 485) —(—3087) + (—2408) + (+ 1 005);
2) 16376 + ( —24038)—(—11 037) —(+ 14 569).
1315. 1) 0,72 —0,37 + ( —0,54) —( + 0,62)—( — 0,19);
2) 3*72—(—41,5)—(+ 26,6) + (—5,63)—(—0,78).
1316. 1) —14,37 —(—23,85)—(+11,64) —( — 3,31) + (—18,03);
2) 284,6 —(+ 177,7) —(—50,3)—(+ 109,9) + (—47,5).
1317. Расположить в порядке убывания числа a, b, с, d, соеди-
нив их знаками неравенства, если:
а = -54 + ( + 44)-(-18)-( + 37).+ (-29)-(-57);
6==64—( + 27)—(—34) + (—85)—(—17) + (—4);
с= 132 — ( — 215) + (—344) — (+ 183)—( — 314);
d = — 229 + (— 167) — (—429) + (+ 318) — (+ 206).
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 34
1) Что называется разностью рациональных чисел а и 5?
2) Как вычитание рациональных чисел можно заменить сложе-
нием?
Привести примеры.
3) Как найти расстояние между двумя точками на числовой
прямой?
4) Найти расстояние между точками А и В числовой прямой,
если их координаты равны: 1) —5 и 2; 2) 0 и —4; 3) 3 и 0;
4) —9 и —2.
5) Что называется алгебраической суммой? Записать в виде
алгебраической суммы выражение —7—(—5) + ( — 9) — ( + 4)—(—8)
и найти ее числовое значение.
156
6) Высота горы Эверест 8 882 л. Глубина Марианской впадины
в Тихом океане—10 863 л. На сколько метров первая точка на по-
верхности земного шара превышает вторую?
§ 35. УМНОЖЕНИЕ
1318. Температура воздуха изменяется за каждый час на а гра-
дусов и в настоящий момент равна нулю. Узнать температуру воз-
духа в момент времени, отличающийся от данного момента на t ч.
Решить задачу в общем виде. Рассмотреть случаи, когда: 1) а = 2;
t = 3; 2) а — — 2; t = 3; 3) а = 2; t — —3; 4) а — — 2;t = — 3. Объяснить
каждйй из рассмотренных случаев.
1319. Точка А двигается по горизонтальной прямой со скоро-
стью v см в секунду и в данный момент находится в нулевой точке..
На сколько будет удалена от нулевой точки точка А в момент времени,
отличающийся от данного момента на t сек. Решить задачу в общем
виде, а затем рассмотреть следующие случаи: 1) и = 3; t = 4; 2) v = —3;
/ = 4; 3) v = 3; t =—4; 4)и = — 3; t = — 4. Каждый случай пояснить
с помощью чертежа.
1320. Уровень воды в канале изменяется на а см в час. и в на-
стоящий момент находится против нулевой отметки. На каком уровне
будет находиться вода в момент времени, отличающийся от данного
момента на b ч. Решить задачу в общем виде и рассмотреть случаи,
когда: 1) а = 5; Ь = 3; 2) а = — 4; 6 = 2; 3) а = 3; b = — 4; 4) а = — 2;
Ь = — 5.
1321. Точка М двигается по вертикальной прямой со скоростью
х м в минуту и в данный момент находится в нулевой точке.
Определить положение точки М относительно нулевой точки в момент
времени, отличающийся от данного на у мин. Решить задачу в об-
щем виде и рассмотреть случаи, когда: 1) х = 1,5; у = 6,4; 2) х — —1,5;
z/ = 6,4; 3) х = 2,4; у = — 3,5; 4) х = — 2,4; у =—3,5.
1322. Автобус начал двигаться от остановки на шоссе, проло-
женном с востока на запад. Определить положение автобуса отно-
сительно этой остановки в момент времени, отличающийся от дан-
ного момента на t ч, если скорость движения автобуса v км в час.
Решить задачу в общем виде щрассмотреть случаи, когда: 1) о = 42,5;
/ = 1,2; 2) v = 24,4; t = — 2,5; 3) v = — 42,5;/ = 1,2; 4)v = —24,5;
/ = — 2,5.
Указание. Если направление на восток считать положитель-
ным, то направление на запад будет отрицательным.
Выполнить указанные действия:
1323. (Устно.)
1) ( —125)24; 2) 84-(—25);
3) (—72).( —15); 4) (-64).(-50).
1324. 1) ( —124).0; 2) ( — 2463)-(+ 146);
3) 0-( —48); 4) 1 584-(—237).
157
1325. 1) (—12345679)-(—9); 2) ( + 3 737)-(—243);
3) (—9 191)-(+ 121); 4) (—777)-( —143).
1326. 1) ( — 4,52)-( — 3,5); 2) ( + 1,331)-(—9,1);
3) (-0,875) •( +6,4); 4) (-0,048)-(-0,675).
1327. 1) ( + 0,245)-(—12,4); 2) 0-( —0,8976);
3) ( + 7,25)-( + 0,016); 4) (—1,379)-0.
1328. 1) (-6,04)-(—0,305); 2) (-70,8)-( +0,204);
3) (+32,5).( — 0,144); 4) ( — 3,65).( — 3,65).
1329. Проверить равенство (a-\-b-\-c)-k — a-k-\-b-k + c-k, при:
1) а== —7; 6 = 3; с = —1; k=-- — 2; 2) а = 9; Ь = — 5; с = —3;
& = —2; 3)а = — 8;6 = 6; с = 2;/г = 3; 4) а = 1,3; Ь = — 1,7; с= —1,9;
£ = —0,7.
Выполнить указанные действия:
1330. 1) ( —12 + 5).[3—( — 7)];
2) [ —И +(—4)]-[—11—(—4)].
1331. 1) [24-(-18) + (—47)]-(—13);
2) [ —63 —( + 28) —( —84)]-( —5).
1332. 1) (—Ц).[ —19—(—12)—(—7)1;
2) (-37)-[24 + (-47)-(-20)].
1333. 1) [ — 3,47 — (—2,83)+ 0,15]-( — 1,7);
2) [0,354 — 1,897 — (— 0,683)] (—2,3);
3) —5,4-[ —16,7 + (—31,5)—(—42,7)];
4) — 0,25-[0,256—(—0,834)—1,01].
1334. (Устно.) 1) ( — 3)-(—5).7; 2) 3-5 (—7);
3) (—1).(—3)-(—5)-(—7); 4) (-2).З-О-9.
1335. 1) 2-(-4) (-6).(-8); 2) (—7)-(— 11)-(—13);
3) (-1).2.3-4.(-5); 4) (— 1).(—2)• (—3)-(—4) (—5).
1336. 1) (—117).(—877)-( — 914)-0; 2) 742-( —395)-0-( —479);
3) 121 ( —242)-( —363); 4) (—202):( —303)-( —505).
1337. 1) (—0,1).(—0,2).( — 0,5); 2) 0,1 ( —0,4)-( —0,5);
3) (—0,1).( — 0,02).(—0,004)-(— 1);
4) 0,8 (—0,025)-(— 1,7)-(— 1).
1338. 1) 1,4.(— 1,5).1,6;
2) (—0,08) (—1,25)-(— 0,37).
1339. 1) ( — 3,73). 10-5,12-(—1);
2) 48-(—0,625)-( — 7,5)-( — 2).
1340. 1) (—1).(—3)-4-(— 5)-7;
2) (-1)-2.(-3)-(-4)-(-5)-(-6).
158
1341. 1) (—0,16)-(—7,5).0,37; 2) (—0,64)•(— 1,25)-(—2,25);
3) (—3,75) 0,12-3,7; 4) 0,825-(—2,4)-(-0,91).
1342. 1) ( —3)-( —7)-5 + 3-( —5)-7;
2) (—2)-(—4)-6 + 2-4-( —6);
3) ( —1)-(—3)-( —5)-7+ 1-3-5-(—7);
4) (-2)-(-3).4-5 + 2-3-(-4)-(-5).
1343. Решить уравнения:
1) х-(—6) = — 42; 2) %•(—0,04)= 1,2;
3) х-1,2 = —18; 4) х-0,6 = —0,24;
5) (—15) х = 45; 6) (—1,8)-х=—0,54;
7) (—24)-х = — 6; 8) (—3,2)-х= 1,28.
Вычислить устно, применяя переместительный и сочетательный
законы умножения:
1344. 1) (—5).49-4; 2) (—8)• (—17)-(—125);
3) 25-(-47)-(—4); 4) 16-(—13) (—5);
5) (—75)-(—19)-(—4); 6) 125-11(—4);
7) 32 •(—11)-(—25); 8) (—625)-(—29)-(—16).
1345. Вычислить:
З2; (—З)2; 43; (—4)3; 0,24; (—0,2)*; Г; (—I)5.
1346. Среди чисел а; а2; а3; а*-, а3 указать наименьшее и наи-
большее, если: 1) а = 2; 2) а = —2; 3) а = 0,1; 4) а =—0,1.
Произвести указанные действия:
1347. 1) (^.1,1)2+ 1,22 + (—1,3)2;
2) (—0,4)’ + (—0,4)’ + (—0,4)*;
3) (—0,2)3 + (—0,2)‘ + (—0,2)5;
4) (—0,5)2 — (—0,5)3 — (—0,5)4.
1348. 1) (-5) + (-4)2 + (-3)3 + (-2)‘ + (-1)3;
2) (-5)2 + (-4)3 + (-3)‘ + (-2)3+ (-!)»;
3) (—7)2 + (—5)3 + (—3)‘ + (—I)6;
4) (—8)2 + (—6)3 + (—4)4 + (—2)&.
1349. 1) (—0,5)3 + }0,6)3 —(—0,7)3 —(—0,8)3;
2) (—9)2 + (—7)3 + (—5)4 + (-3)3 + (-!)“;
3) (—2)5-(—5)’ + (—3)5-(—I)7;
4) (—2)3.(—3)4 + (—4)3-(—5)3.
1350. 1) (—1,5)2 + (—1,4)2 —(+ 1,3)2—(—1,2)2 —(—1,1)2;
2) (—1,5)2 — (—1,6)2 + (—1,7)2 — (—1,8)2 + (1,9)2.
159
1351. Найти числовое значение выражения х’ + «/3 + г3 при:
1) х = 0,2; у = 0,3; г = — 0,1;
2)х = 0,2; у = — 0,3; г = 0,1;
3) х — —5; г/= 4; г = 3;
4) х = 2,5; (/ = —3,5; г=1,5.
1352. Найти числовое значение выражения а’б’с2 при:
1) а = —1, 6 = 2; с =—3; 2) а—1; Ь = 2; с — —3;
3) а = — 1; 6 =—2; с — —3; 4) а=1; Ь ——2; с = 3.
1353. Дано выражение д2 + а3 + а4+а5, причем а может прини-
мать значения 0,1; —0,1; 0,2; —0,2. При каких значениях а это
выражение принимает наибольшее и при каких наименьшее число-
вое значение?
Решение. При а = 0,1 получим: 0,01+0,001+0,0001 +
+ 0,00001 = 0,01111;
при а = —0,1 получим: 0,01 — 0,001+0,0001—0,00001=0,00909;
при а = 0,2 получим: 0,04 + 0,008 + 0,0016 + 0,00032 = 0,04992;
при а — —0,2 получим: 0,04 — 0,008 + 0,0016 — 0,00032 = 0,03328.
При а = 0,2 — наибольшее значение, при а =—0,1—наименьшее
значение.
1354. Дано выражение а2 — а3—а4 + а5, причем а может прини-
мать значения 0,1; —0,1; 0,2; —0,2. При каких значениях а это
выражение принимает наибольшее и при каких наименьшее число-
вое значение?
1355. Каждое из выражений задачи вычислить двумя способами
и результаты сравнить:
1) [(-8) + 3 + (— 2)] •(-5); 2) [7 + (—10) + (—3)] - (—2);
3) (-4) • [3 + (-5) + 7]; 4) 3 • [(-9) + 11+ (-5)].
Упражнения 1356—1358 решить более простым способом:
1356. 1) [(—8) —3—(—2)]-(—5); 2) [7—(—10) — (—3)] - (—2);
3) (—4).[3—(- 5) —7]; 4) 3• [(-9)-11 -(-5)].
1357. 1) [(—0,2) + 0,8 + (—0,1)Г-(—0,4);
2) [1,4+ (-2,7)+ (-1,2)].(-1,2);
3) (-2,5)-[5,2 +(—1,7)+ 0,5];
4) 1,5-[(—7,7) + 3,3 + (—0,4)].
1358. 1) [(—0,2) —0,8—(—0,1)]-(—0,4);
2) [1,4-(-2,7)-(-1,2)]-(-1,2);
3) (-2,5)-[5,2—(—1,7)—0,5];
4) (+1,5)-[(-7,7)-3,3-(-0,4)].
1359. Найти числовое значение выражения (а2 + 62)-с3 при:
1) а = 2; 6 = 3; с = 4; 2) а = —2; 6 = —3; с = —4;
3) а = 2; 6 = —3; с = 4; 4) а = —2; 6 = 3; с = —4.
160
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 35
1) На примере какой-нибудь задачи пояснить правила умноже-
ния рациональных чисел. Сформулировать правило умножения ра-
циональных чисел.
2) В чем заключаются переместительный и сочетательный за-
коны умножения? Пояснить их на примерах.
3) Написать равенство, выражающее распределительный закон.
Проверить его для каких-нибудь числовых значений букв, входя-
щих в это равенство, заменяя каждую из букв рациональным числом.
4) Найти устно произведения: а) (—1)-(—2)-3-(—4)-(—5) и
б) (—1)-2-(—3)-4-(—5). Как можно быстро найти знак произведе-
ния нескольких сомножителей?
5) Вычислить двумя способами выражение
[(—7) + 5 + (—3) + 1 ] • (—2) и сравнить результаты.
§ 36. ДЕЛЕНИЕ
Вычислить:
1360. (Устно.) 1) 24:4; 2) 24:(—4); 3) (—24):(—2); 4) (—24):2.
1361. 1) 0:3; 2) 0:(—5); 3) 111:(—37); 4) (— 1 001):(—13).
1362. 1) (—1 001): 11; 2) 1 001:(—13); 3) (—5418):(—18);
4) (—6 432): 16.
1363. 1) 15264:288; 2) (—11 814): 179; 3) 12 096:(—126);
4) (—22 207): (—419).
1364. 1) 22411:73; 2) (—19 152):63; 3) 22904:(—56);
4) (—19 943): (—49).
1365. 1) 37 563:659; 2) (—44 899):761; 3) (—46569):(—817);
4) 70 153: (—961).
1366, 1) 33:0,5; 2) (—52):0,4; 3) 87:(—0,29); 4) (—111):(—0,03).
1367. 1) 2,952:7,2; 2) 26,79:(—4,7); 3) (—5,141):(—0,97);
4) (—2,773): 0,59.
1368. 1)0,21021:2,73; 2) 0,18753:(—3,29); 3) (—1,4171):(—0,383);
4) (—24,581):52,3.
1369. Проверить равенство (a-{-b + c):k = a:k-}-b:k-]-c‘.k при:
1) а = 24; 6 = —18; с=12; k = — 6;
2) а ——3,6; 6 = 4,8; с = —8,4; £ = 0,12.
б№ 2266
161
Вычислить двумя способами и сравнить результаты:
1370. 1) [(—75) + 45 + (—30)]:(—15);
2) [84 + (—63) + (—105)]: 21;
3) [(-90)+ (-54)+Ю8)]: (-18);
4) 121+ (—99)+ 44]: 11.
Вычислить:
1371. 1)
2)
3)
4)
(_ ц7).+ 52 + (_ 91)]:(-13);
(—252)+ 308+ (—112)]: 28;
611 + (—423) + 235]:(—47);
(—901)+ 689+ (—477)]: 53.
1372, Расположить в порядке возрастания числа а, Ь,
если:
end,
а —
Ь =
с =
d =
(—0,85) + 0,34 + (—1,02)]: (—1,7);
5,7 + (—9,5) + (—7,6)] :0,19;
(—12,4) + (—9,3) + 18,6]: (—0,31);
[0,156 + (—0,108) + 0,252]:0,12.
1373.
Расположить в порядке убывания числа х, у, г и
, если:
х —
У =
Z =
t =
(—22,5) + 1,65 + (—0,195)]:(—1,5);
(—3,25) + 0,175 + 0,0275]: (—0,25);
0,222 + (—5,55) + (—0,629)]: (—3,7);
(—8,97) + (—0,391) + 101,2]: (—23).
1374. Решить уравнения:
1) х:(—9) = —3; 2) х:(—1,2) = —5;
3) х:(—4) =1,5; 4) х:(—0,16) = 0,25;
5) (—18):х = — 4,5; 6) (—4,8):х = —6;
7) (—28):х = 3,5; 8) (—0,84):х = 0,021.
Выполнить указанные действия:
1375. 1)
2)
3)
4)
(—113)+ (—74) —23]: 14;
129 + (—26) — (—8)]:(—37);
(—287) —(—143) —96]:(—24);
322 — 198 + (— 124)]: (—77).
1376. 1) (—4466): [(—53) + (—13)-(—44)];
2) 5 134: [29 + (—37) — 9];
3) (—5265): [(—97)—(—56) + 28];
4) 5 776:[42 + (—34)—27].
1377. 1)
2)
3)
4)
(—54,53)—(—85,12)+ 29,26]:(—13,3);
7,348 + (—9,185) + 5,845]: 1,67;
(—44,892) + (—27,666) —(—17,748)] :(—52,2);
0,7123—0,6285 + (—0,5028)]: (—0,419).
1378. Проверить равенство (а—Ь):с — а:с—Ь:с при:
1) а = — 35; 5=15; с = —8; 2) а=1,8; Ь = — 4,2;
с= 10.
162
1379. Проверить равенство (а—b—c):k = a:k—b:k—c.k при:
1) а = 64; b = — 72; с = 54; k = — 8;
2) а = —0,84; 6 = 0,91; с = 0,42; & = —1,4.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 36
1) Что называется частным от деления одного рационального
числа на другое?
2) Сформулировать правило деления рациональных чисел. При-
вести примеры.
3) В чем заключается основное свойство частного двух рацио-
нальных чисел? Пояснить его на примерах.
4) Вычислить двумя способами выражение
[(—55)фЗЗ + (—99) + 22 + (— 77)]:(—11) и сравнить результаты.
8 37. РАСКРЫТИЕ СКОБОК И ВЫНЕСЕНИЕ
ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
1380. Объяснить следующие записи:
1) + (2х— Зг/ + 5) = 2х— Зу + 5;
2) —(2х—3w + 5) =—2х + Зс/—5.
В следующих выражениях раскрыть скобки:
1381. 1) (а—6); 2) (—х+у\, 3) —(а—2); 4) —(6+1).
1382. 1) 3 (х—у)-, 2) а(—6 + с); 3) —5(х—2); 4) — а(6 + с).
1383. 1) (—а + 6) с; 2) (а—2)( —3);
3) (х-у)4- 4) (1+6) (-4).
1384. 1) (а—6 + 2); 2) —(а—6 + 2);
3) (-х + у-7)-, 4) -(-х + у-7).
1385. 1) 2 (а + 6—с); 2) а(т—п+1);
3) —5 (а—6 + с); 4) — а(х—y + z).
1386. 1) (х + у—2)3; 2) (а + 6—2)х;
3) — 5(—х + у— 1); 4) (а + 6—4)(—5).
1387. 1) — (Зх—4у — 5); 2) —2(х—3// + 5);
3) 4 (7а—86 + 3); 4) а(Ь—с—2).
1388, 1) (а+ 26—1) с; 2) (а—26—Зс)4;
3) —х(3// + 2г — 7); 4) (т—2п—p)k.
1389. 1) 2(3х—у—2); 2) (—х + 2г/ + 3)2;
3) —3 (2а+ 6—5с); 4) (—За—6 + 4) (—2).
1390* 1) 4(—7х + Зу-1- 1); 2) (—2х + 4г/—5z — 3)7;
3) —5(4а-36-2); 4) (-5а-6 + 2с-4)(—6).
1391* 1) 0,2(5х—15г/—2z + 3); 2) (—х—5г/ + ? —1,5)-0,5;
3) — 1,5(4а—36—2с + 7); 4) (2а—0,66 + 2,4с —8) (—0,5).
6 *
163
1392. 1) 2,5 (—2% + 7(/—0,4z + 0,2);
2) —1,2(—5а + 0,56—1,5с—1);
3) (—х + 0,8г/— 1,2г—4)3,5;
4) (1,5а—2,56—с + 5)(—0,4).
1393. Объяснить следующие записи:
1) 2х — Зу + 4г—5= + (2х — Зг/ + 4г—5) — (2х —3// + 4г—5);
2) 2х—Зг/+4г —5 =— (—2х + 3г/—4г + 5).
Следующие выражения заключить в скобки двумя способами:
1) поставив перед скобками знак плюс (или подразумевая его);
2) поставив перед скобками знак минус.
1394. 1) а + Ь-, 2) х—у, 3) —а —5; 4)1—6.
1395. 1) —2а + 36; 2) 0,5—2х; 3) 0,2г/—7; 4) — ^-а + уб.
1396. 1) — 1,3х + 2,4г/; 2) —5,2 —а; 3) 0,05 + х;4) 3,56—0,2с.
1397. 1) а + 6 —с; 2) —24-а—6; 3) —х—г/ + 5; 4) 7 + х—у.
1398. 1) —За + 26—7с; 2) 6 —5а + 6;
3) Зх + 9г/—4г; 4) —15 — 7х—2у.
1399. 1) 0,2а—0,56 + с; 2) —0,5 — О,3х + z/;
3) — 1,3х — 2,5г/ + г; 4) 3,7 —2,1а —1,46.
Вынести за скобки общий множитель:
1400. 1) ах + Ьх—сх\ 2) —5х + 5г/—5;
3) 2а—26—2с; 4) —ау—Ьу + Зу.
1401. 1) 10а — 56—15с; 2) —12х —8г/ + 20;
3) 9а—66+12с—15; 4) —14х + 7г/ + 21г —35.
1402. 1) 0,За6+1,1ас—а; 2) бху— 12х + 9хг;
3) —1,3x1/—0,2хг-(-х; 4) —8а6 — 20ас+16а.
1403. 1) 14х—21 у + lz + 28; 2) 2ху — Зхг + 5х;
3) —15а+ 106 — 35с + 20; 4) —5а6 + 3ас—7а.
1404. 1) За6+12ас—9а; 2) 8а6с—24abd—6ab\
3) 8ау—буг—Юг/; 4) —35хг/—I5yz + 20yzv.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 37
1) Раскрыть скобки в следующих выражениях:
3(т + п—р—5) и —2(х — г/ + г —3).
2) Заключить в скобки двумя способами следующие выражения:
—а + 6 + с—1 и 5—k—т—п.
3) Вынести за скобки общие множители в следующих выраже-
ниях:
12х—8у—4г+ 16 и 2а6—4ас + 6ах—8ау,
164
$ 38. ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ ЧЛЕНОВ
1405. Объяснить следующие записи:
1) 5а—8а + 7а —6а = а(5 —8 + 7—6) = а (—2) = —2а.
2) —Зх// + 11ху—7ху-\-ху = ху(—3+ 11—7 + 1) = ху (+ 2) = 2ху.
3) 8а—96—7а—46+106 = (8а — 7а) + (—96—46+ 106) =
= а (8 —7)+ 6 (—9 —4+10) = а-1+6 (—3) = а—36.
Привести подобные члены:
1406. 1) За + 2а + а; 2) х + 4х—5х;
3) 56 — 76 — 36; 4) —2у + 3у—7у.
1407. 1) 1,3а—3,4а —2,7a; 2) 5,1х-’3,7х + 2,6х;
3) —7,56+ 1,36 + 2,26; 4) — у + 7,3// — 1,8//.
1408. 1) х// + 3х// + 6х//; 2) Зх—2у—Зу— у,
3) —2а6 —5а6 + 7а6; 4) 5а —76—За-а.
1409. 1) 7х—11х + 5х—Зх; 2) 66 — k + 2k — 76;
3) —5// + 7//+4//—у\ 4) —4а6—5а6—11а6 + 9а6.
1410. 1) —За + 46—7а—56+10а; 2) —7х + 2х//+5х—х// + 2х;
3) 2х+ 15//—7у—6х—4//; 4) 5а6—76—4а6 + 36 + 46.
1411. 1) —ab + 2ас + ЗЬс + 4ас—26с + а6;
2) 4—2ху + х + Зху— 2х—1;
3) 5а6 + 6с—3 — Заб + 26с + 2;
4) 7ас—4Ьс-)-ас—Ьс—8ас + 56с.
1412. 1) 6,2х— 1,7х—3,5х + х;
2) —0,35// + 0,43// — у—0,18//;
3) 0,1476 — 0,2546 + 6 — 0,6586;
4) —0,7а6 + 0,5а6—аб—0,4а6.
1413. 1) 4,Зху + 3,Зху—5,7ху—2ху\
2) 6,76х — 0,96х + 6х—4,46х;
3) —3,15ах + ах — 5,28ах + 4,87ах;
4) —by + 8,46// + 0,76//—11,26//.
Раскрыть скобки и привести подобные члены:
1414. 1) 3(х + //)— 2(х— у); 2) а(6 + 3) —3(2 — а6) + а;
3) —5(а — 2) + 3 (а 4-1); 4) —х(// — 4) — 2{ху—3) — Зх.
1415. 1) 7(а6—3)—4(а6—5)+1;
2) - 6 (1 —ху)—2 (3 + 2ху) + 12;
. 3) 3//(2х-1)-(х//-1)-5х(// + 3) + 6(х + //+1);
4) 2а (3—6) —36(а—1) —5(а6—а—6).
165
1416. 1) — 4(х — у—2) + 6(1 — х + у) + 2(5х—5у — 2);
2) 5(1—а + 6) — 3(2 — а — 6) + (1 — «4-26);
3) 2 (х—2у — Зг) — (2х — Зу + 6г) + 2 (6г—у)\
4) —(5а+ 26— Зс) + 3 (2а + 6 + с) — 4 (а — 36).
1417. 1) (8х —у) — (Зх—5«/) + (2х — 1у) — (5х + 2у);
2) (5а —46 +7с —5)—2 (2а—6 +2с — 1) — Зс—а.
1418. 1) (7а6—66с—5х// + 2х) — 3 (ab + 46с + ху—5х)—4а6 + 8ху;
2) (4ах—ау + 76х—36г/)—а (х + 2у) + 26(3х—у)—2Ьх + Зау.
1419. 1) 3(fe—2р)-5(2/г-р) + (6-Зр);
2) 7(а —26)+11 (6—а) —(2а + 36);
3) а(х — 2) — х(3 — а)+ 5 (а—х);
4) 26(// + 3)-2//(1-36)-(6-3У).
1420. 1) —(а—26 + Зс) + 2(—а + 36—с) — 3(2а—6—с);
2) х(у—г + 3)—у(2х—Зг+1) + 2(х—г/ + 2);
3) 2 (х—Зу— г) — (Зх—у—г) + 5(х — I/ + 2г);
4) а(3—26—с)+ 26(а—с—1)—с(3—а + 6).
1421. 1) 0,3-(1,2х—0,5i/)—1,5 (0,4 + г/);
2) —2,4-(1,5а+ 6)+ 0,5 (1,6а—6,46);
3) 0,8 (0,5x1/— 1,5) —2,5 (0,2ху — 1,2);
4) 5,6(1,5а6—0,5) —7,5(—аб + 0,4).
1422. 1) — 0,2(5,5х—1,5г/)+ 4(3,5x—0,25i/);
2) — 1,6 (7,5хс/—5)+ 12,5 (0,2x4/—0,4);
3) 3,2 (2,5—1,25x4/) 4-0,2 (20xz/—5);
4) —4,2а(6 —3) + 0,6(21—7а6).
В задачах 1423—1432 найти числовые значения выражений,
приведя предварительно их к более простому виду:
1423. (a + 6 + c)-fe + (a—6—c)-k-\-3ak при a = 3; 6 = —5; 'с = 7;
k — — 9. Все ли числовые данные понадобились при решении
задачи?
1424. (а + 6) с + (6 + с) а + (а—с)Ь—2(аЬ-{-ас) при:
1) а = —7; 6 = 5; с = —2; 2) а = —1,4; 6 = —1,5; с = 1,6.
1425. (5а6—Зас + 2)—(аб—Зас+1) при а = 3; 6 = — 4; с = — 7.
1426. (ху + 2х—Зу)-3-\-(2ху—3x + 4t/)-2 при х = — 6; с/= 5.
1427. (2а—36)-с—(36 + 2с)• а + (За—4с)-6 при а =— 9; 6 = 3;
с = — 4.
1428. (5х + 2(/)-г + (Зх—2г)-у — (5г—у)-х при х = 7; у — — 5;
г = —2.
166
1429. —(ab + 4ac—3bc)—3(2ab—ас—Ьс) при а=1,2; Ь — — 2,4',
с=— 1,8.
1430. (2ху—5хг)-2— (ху + Зуг) • 4 ф- (5x2— 4уг)-2 при х =— 0,8;
у = 0,6; г = — 1,4.
1431. (а—Ь)-с—(4а—с)Ь-(-(4Ь— 7с)-а при а = — 2,4; Ь = —1,5;
с = — 1,2.
1432. (7х—4y)-z — (5х -]- 4г)• у + (5у— Зг)-х при х = 3,2; у — —2,5;
г =— 1,5.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 38
1) Написать несколько произведений, содержащих числовые и
буквенные множители.
2) В написанных вами в первом примере произведениях указать
коэффициенты.
3) Какие выражения называются подобными? Привести несколько
примеров.
4) Привести подобные члены в следующих выражениях;
а) —Зху4~5ху + ху—4ху; б) 9а—7Ь—7а+10Ь.
Пояснить приведенное вами решение.
6 39. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ
1433. Объяснить следующие записи;
5(х—2) = 2 (12— х);
5х+ 10 = 24—2х;
5х-(-2х = 24 —10;
7х=14;
х=14:7; х = 2.
1434. Объяснить следующие записи;
3,2 (х—1,2)—3(2х— 1) = 0;
3,2х—3,84 — 6х 4-3 = 0;
— 2,8х—0,84 = 0;
— 2,8х = 0,84;
х = 0,84: (—2,8); х = —0,3.
Решить уравнения:
1435. 1) 2х=15—х; 2) 24—Зх= 15;
3) Зх4-8 = х; 4) х = 21—6х.
1436. 1) О,3х = 3,9—х; 2) 0,56—4х= 1,2;
3) 1,2х + 5,5 = 0,1х; 4) 0,07х = 0,81 —0,2х.
1437. 1) 7x4- 1 =25—х; 2) 12—х = 5х4-6;
3) Зх—4 = х — 8; 4) 7—2х = 3х—13.
167
1438. 1) 5х —2 = 7x4-11; 2) 9—Зх = х + 20;
3) 11х + 7 = 6х— 19; 4) 16-7х = х—3.
1439. 1) 4х—3 = х + 6; 2) 3х + 7 = 3—х;
3) 5 — 2х = 3х—10; 4) 2х—5=1—х.
1440. 1) 4—Зу = 2у—1; 2) 5а + 3=15—а;
3) 7fe —3 = 2fe + 7; 4) 5 — 26 = 6 + 8.
1441. 1) 0,2х + 2,7= 1,4 — 1,lx; 2) 3,7х—0,9 = 4,2+ 1,2х;
3) 5,36х—0,3 = 0,24—0,64х; 4) 0,08х +0,57 = 0,09—0,24х.
1442. 1) О,3х+ 1,4 = 2,8 — 0,4х; 2) 5,4 —1,5х = 0,Зх—3,6;
3) 4,4х + 5,9 = 0,9х—0,4; 4) 11,2х —3,8= 13,2 + 2,7х.
1443. 1) 13,7 — 2,2х = 1,5х + 2,6;
2) 0,47х + 0,19=1,84 + 0,14х;
3) 0,359х + 0,41 =0,503х—1,03;
4) 0,543 — 0,286х = 0,354х +0,223.
1444. 1) 3(х—2) = х + 2; 2) 2(х—3) = 7(2 + 6х);
3) 5(1—х) = 2(х — 8); 4) 11 (5 — 2х) = 3(х + 7).
1445. 1) 5—2(х—1) = 4— х; 2) 2(х—2) + 3(1— х) = 2;
3) 9 —5(х+1) = 4 + х; 4) 4 (2—х) —3(х+1) = 12.
1446. 1) 3(х+1) = 2(1—х) + 6;
2) 2(х +3) = (3—х)-3—8;
3) 5(1 —х) —10 = 2(х+1);
4) 2(3 — х)— 12 = 2(х— 1).
1447. 1) 0,2(Зх—4)=1,6(х—2);
2) 0,5(2—1,7х) = 0,4 (2,5 —1,1х);
3) 5,4(0,5х + 4) = 8,1 (4 + х);
4) 3,2(1— 2х) = 0,7 (Зх —1,5).
1448. 1) 0,01х — 0,17 = 0,ЗЗх—0,01;
2) Зх—0,09 = 0,51+2,4х;
3) 0,02х + 21 =3 — 0,16х;
4) 100—0,11х = 0,08х + 5.
1449. 1) 2 (х—3) = 5 + 3(2х—1);
2) 7(1—2х) = 4 + 3(х+ 1);
3) 2х— 1 =2(2х+ 1) — (х — 1);
4)‘8 —Зх = 4(х —1)—(х—6).
1450. 1) 3(1— х) — 5(х + 2) = 1— 4х;
2) (2 + х)-2 + (4х —1)-3 = 10х — 7;
3) (4 + 5х)-3(2—х) = 16х—0,4;
4) (2х + 0,1)—4(1—4х) = 8х—4,4.
1451. 1) |х+ 11 = 2; 2) |х + 3| = 1; 3) ]х—2[ =3; 4) |х—4| = 3.
1452. 1) |5—х| = 1; 2) |1—х| = 4; 3) [7—х| = 3;4) |8—х[ = 11.
168
Следующие задачи решить с помощью составления уравнений:
1453. Сумма двух последовательных целых чисел равна 17.
Найти эти числа.
1454. Сумма двух последовательных целых чисел равна —11.
Найти эти числа.
1455. Сумма трех последовательных целых чисел равна 18. Найти
эти числа.
1456. Сумма трех последовательных чисел целых равна —12.
Найти эти числа.
1457. Сумма двух чисел равна 47. Одно из них больше другого
на 9. Найти эти числа.
1458. Сумма двух чисел равна —13. Одно из них на 25 больше
другого. Найти эти числа.
1459. Разность двух чисел равна 10. Одно из них в 6 раз
больше другого. Найти эти числа.
1460. Разность двух чисел равна 36. Одно из них составляет
0,4 другого. Найти эти числа.
1461. Сумма двух чисел равна 68. Одно из пик в три раза
меньше другого. Найти эти числа.
1462. Сумма двух чисел равна 320. Одно из них составляет 0,6
другого. Найти эти числа.
1463. Сумма двух чисел равна 8,4. Одно из них на 13,2 меньше
другого. Найти эти числа.
1464. Сумма двух чисел равна —0,72. Одно из них на 0,6 меньше
другого. Найти эти числа.
1465. За 7 одинаковых учебников и 5 одинаковых задачников
заплатили 2 руб. 56 коп. Учебник дороже задачника на 4 коп.
Сколько стоит каждая книга?
1466. 44 спортсмена совершили поход на шестиместных и четы-
рехместных лодках. Всего было 9 лодок, причем все места в них
были заняты. Сколько было шестиместных и сколько четырехмест-
ных лодок?
1467. За пять одинаковых тетрадей и три одинаковых карандаша
заплатили 19 коп. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит карандаш,
если тетрадь дешевле .карандаша на одну копейку?
1468. За 30 м ткани двух сортов ценой по 0,53 руб. и 0,65 руб.
за метр заплатили 17,34 руб. Сколько было куплено метров мате-
рии того или другого сорта?
1469. Купили 14 конвертов по 5 коп. и по 7 коп. и заплатили
всего 82 коп. Сколько купили тех и других конвертов?
1470. При строительстве железнодорожной ветки длиной 210 м
использовали рельсы длиной 9 м и 12 м. Девятиметровых рельсов
было на 14 штук больше, чем двенадцатиметровых. Сколько уложили
тех и других рельсов?
1471. Купили 1,8 кг гвоздей двух размеров. Один крупный гвоздь
весит 0,02 кг, а мелкий 0,004 кг. Сколько крупных и сколько мел-
169
ких гвоздей было куплено, если мелких оказалось на 90 шт. больше,
чем крупных?
1472. Железная и медная детали весят вместе 149,2 г, причем
объем железной детали на 2 см3 больше объема медной детали.
Найти объем каждой детали, если 1 см3 меди весит 8,9 г, а 1 см3
железа весит 7,8 г.
1473. Длина прямоугольника на 5,48 м больше его ширины,
а периметр прямоугольника равен 64,8 м. Найти длину и ширину
прямоугольника.
1474. Ширина прямоугольника на 12,4 м меньше его длины,
а периметр прямоугольника равен 108,6 м. Найти длину и ширину
прямоугольника.
1475. На двух полках находится 36 книг. Если с нижней пол-
ки переложить на верхнюю 4 книги, то на нижней полке окажется
книг в два раза меньше, чем на верхней. Сколько книг было на
каждой полке?
1476. В двух корзинах лежат 124 яблока. Если из первой кор-
зины переложить во вторую 20 яблок, то во второй корзине окажется
в три раза больше яблок, чем в первой. Сколько было яблок в
каждой корзине?
1477. Периметр треугольника АВС равен 72 см. Сторона АВ
на 5 см больше стороны ВС и на 8 см меньше стороны АС. Найти
стороны треугольника.
1478. Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Сторона ВС
в 1,5 раза больше стороны АВ. Сторона АС составляет 0,6 сторо-
ны АВ. Найти стороны треугольника.
1479. Скорость движения пешехода на 8 км в час меньше ско-
рости движения велосипедиста. Одно и то же расстояние велосипе-
дист проехал за 2 ч, а пешеход прошел за 6 ч. Найти скорости
движения пешехода и велосипедиста.
1480. Автомобиль проезжал за час на 48 км больше, чем вело-
сипедист, причем одно и то же расстояние автомобиль проехал за
час, а велосипедист за 5 ч. Найти скорость движения велосипедиста
и автомобиля.
1481. Если от задуманного числа отнять 12 и полученный резуль-
тат утроить, то получится задуманное число. Найти это число.
1482. Если к задуманному числу прибавить 12, то получится
число в четыре раза больше задуманного. Найти это число.
1483. Купили 9 порций мороженого по 13 коп. и по 15 коп.
и заплатили всего 1 руб. 25 коп. Сколько было куплено порций
по 13 коп. и сколько порций по 15 коп.?
1484. Купили 8 одинаковых билетов в партер и 7 одинаковых
билетов на балкон и за все заплатили 19 руб. Сколько стоил билет
в партер, если он был на 50 коп. дороже билета на балкон?
1485. За питание в течение дня студент заплатил 1 руб. 30 коп.
Завтрак стоил на 15 коп. дороже ужина и на 40 коп. дешевле
обеда. Сколько стоил завтрак, обед и ужин отдельно?
170
1486. Ученик затратил на подготовку уроков 1 ч 50 мин. За-
нятия русским языком заняли на 15 мин больше, чем географией,
и на 20 мин меньше, чем математикой. Сколько времени ушло
на подготовку каждого предмета отдельно?
1487. Отцу 40 лет, а сыну 12. Сколько лет тому назад отец был
в 5 раз старше сына?
1488. Отец па 27 лет старше сына, а через 4 года он будет
старше сына в 4 раза. Сколько лет тому и другому?
1489. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если от этого
числа отнять 9, то получится число, обозначенное теми же цифра-
ми, но написанными в обратном порядке. Найти это число.
1490. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если к этому
числу прибавить 9, то получится число, обозначенное теми же
цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.
1491. Катер двигается по течению реки со скоростью 20 км в
час, а против течения реки со скоростью 16 км в час. Найти ско-
рость течения реки и собственную скорость катера.
1492. Пароход двигается по течению реки со скоростью 25 км
в час, а против течения реки со скоростью 20 км в час. Найти
скорость течения реки и собственную скорость парохода.
1493. У кассира оказалось 29 пятнадцатикопеечных и двадцати-
копеечных монет на общую сумму 5 руб. 20 коп. Сколько было
тех и других монет?
1494. У кондуктора было 40 десятикопеечных и пятнадцатико-
пеечных монет на общую сумму 4 руб. 85 коп. Сколько было тех
и других монет?
1495. Метр материи подешевел на 30 коп., и оказалось, что 20 м
материи по новой цене стоят на 3 руб. дешевле, чем 18 м этой же
материи по старой цене. Определить стоимость одного метра мате-
рии до снижения цены.
1496. Метр материи подешевел на 25 коп., и оказалось, что 15 м
материи по новой цене только на 60 коп. дороже, чем 12 м этой
же материи по старой цене. Определить стоимость одного метра
материи до снижения цены.
1497. На школьной математической олимпиаде было предложено
для решения 8 задач. За каждую правильно решенную задачу за-
считывалось 5 очков, а за каждую нерешенную задачу списывалось
3 очка. Сколько задач правильно решил ученик, если он получил
за свою работу 24 очка?
1498. На школьной математической олимпиаде было предложено
для решения 10 задач. За каждую правильно решенную задачу
засчитывалось 5 очков, а за каждую нерешенную задачу списывалось
3 очка. Сколько задач правильно решил ученик, если за свою рабо-
ту он получил 34 очка?
1499. Сумма двух чисел равна 1,82, причем первое число боль-
ше второго на 8,86. Найти эти числа'.
1500. Сумма двух чисел равна —0,04, а разность этих чисел
равна 1. Найти эти числа.
171
1501. Книга в переплете стоит 0,75 руб. Переплет в 4 раза де-
шевле книги без переплета. Сколько стоит переплет и сколько стоит
книга без переплета?
1502. Стакан с подстаканником стоит 2,64 руб. Стакан в 10 раз
дешевле ’ подстаканника. Сколько стоит подстаканник и сколько
стоит стакан?
1503. Лодка прошла некоторое расстояние по течению реки
за 2,5 ч, а на обратный путь затратила 6,25 ч. Найти скорость
движения лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки
1,8 км в час.
1504. Катер прошел некоторое расстояние по течению реки за
1,6 ч, а на обратный путь затратил 2,4 ч. Найти скорость течения
реки, если скорость катера в неподвижной воде 12,5 км в час.
1505. Расстояние между двумя станциями автобус проходит за
1,5 ч. Если скорость движения автобуса увеличить на 6 км в час,
то это же расстояние он пройдет за 1,2 ч. Найти первоначальную
скорость автобуса.
1506. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит
за 1,2 ч. Из-за ремонта пути поезд уменьшил свою скорость на
10 км в час и прошел это расстояние за 1,5 ч. Найти первона-
чальную скорость поезда.
1507. Альбом для рисования на 0,15 руб. дешевле альбома для
марок. 'За 8 альбомов для марок заплатили столько же, сколько
за 10 альбомов для рисования. Сколько стоит альбом для марок
и сколько стоит альбом для рисования?
1508. Набор красок на 0,12 руб. дороже набора цветных каран-
дашей. За 5 наборов красок заплатили столько же, сколько за
8 наборов карандашей. Сколько стоит набор карандашей и сколько
стоит набор красок?
1509. Три одинаковых билета в партер стоят на 0,6 руб. де-
шевле, чем пять одинаковых билетов в амфитеатр. Билет в партер
на 0,4 руб. дороже билета в амфитеатр. Найти стоимость каждого
из билетов.
1510. За восемь одинаковых билетов на дневной сеанс в кино
заплатили на 0,3 руб. меньше, чем за шесть одинаковых билетов
на вечерний сеанс. Найти цену каждого из билетов, если билет
на дневной сеанс был на 0,15 руб. дешевле билета на вечерний
сеанс.
1511. Одно число на 20 единиц больше другого, а 20% первого
числа на 1 больше, чем на 25% второго числа. Найти эти числа.
1512. - Одно число на 15 единиц меньше другого, а 25% первого
числа равны 20% второго. Найти эти числа.
1513. По простому вкладу сберкасса выплачивает вкладчикам
2% годовых, а по срочному вкладу 3% годовых. Вкладчик внес
в сберкассу 300 рублей, причем часть вклада была простой, а часть
вклада срочной. Через год вкладчик получил 7,8 руб. процентных
денег. Найти величину простого и величину срочного вкладов.
172
Указание. Обозначим через х простую часть вклада, тогда
срочная часть вклада будет равна 300—х. Составляем уравнение:
0,02% + 0,03 (300—х) = 7,8.
1514. Вкладчик внес в сберкассу 240 руб., причем часть вклада
была простой, а часть вклада была срочной. Через год вкладчик
получил 6,3 руб. процентных денег. Найти величину каждого вкла-
да. (См. задачу 1513.)
1515. В сберкассу принесли два вклада—простой и срочный,
причем срочный вклад был на 60 руб. больше простого. Через год
оба вклада принесли вместе 9,3 руб. процентных денег. Найти ве-
личину каждого вклада (см. задачу 1513).
1516. В сберкассу внесли два вклада—простой и срочный, при-
чем срочный вклад был на 50 руб. меньше простого, через год оба
вклада принесли 17,25 руб. процентных денег, найти величину
каждого вклада. (См. задачу 1513.)
1517. Две тракторные бригады должны вспахать вместе 1520 га.
За первый день обе бригады вспахали 170 га, причем одна из них
выполнила свой план на 10?4», а другая на 12,5%. Какая площадь
была намечена по плану для каждой бригады?
1518. Два комбайна должны убрать урожай на площади в 360 га.
За первый день оба комбайна убрали урожай на площади в 32 га,
причем один из них выполнил свой план на 8%, а другой на
10%. Какую площадь по плану должен убрать каждый комбайн?
1519. Разность двух чисел равна 1,4; 15% одного числа и 25%
другого числа составляют в сумме 1,89. Найти эти числа.
1520. Разность двух чисел равна 9; 5% одного числа и 6%
другого числа составляют в сумме 2,1. Найти эти числа.
1521. Сумма двух чисел равна 150; 20% одного из них на 3
больше 25% другого. Найти эти числа.
1522. Сумма двух чисел равна 275; 20% одного из них на 25
единиц больше другого. Найти эти числа.
1523. В первый день тракторист вспахал 16 га, а во второй
день 25% оставшейся площади поля. За два дня он вспахал 40'%
всей площади поля. Найти площадь поля.
1524. За первый день бригада скосила 15 га, а во второй день
20% оставшейся площади лугов. За два дня было скошено 36%
площади всех лугов. Найти площадь всех лугов.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 39
1) На примере уравнения 2х + 5 = 11—х показать, что члены
уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую,
меняя при этом их знаки на противоположные. Каким свойством
равенства при этом нужно воспользоваться?
2) Решить уравнение, приведенное в пункте 1, и сделать про-
верку.
3) Перечислить, какие преобразования нужно последовательно
выполнить, чтобы решить уравнение.
173
4) Я задумал число. Если из этого числа вычесть 8 и получен-
ную разность утроить, то получится задуманное число. Какое число
было задумано?
5) Решить уравнение 2 (0,1х—1,7) = 0,3 (0,4х—1,2).
§ 40. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ
1525. Найти координаты точек А; В; С; D; Е и F, изображенных
на рисунке 52.
1526. Найти координаты точек А; В; С; D; Е и F, изображенных
на рисунке 53.
1527. В какой части плоскости расположены точки, координаты
которых имеют: 1) одинаковые знаки; 2) противоположные знаки?
Где расположены точки, у которых одна из координат равна нулю?
В прямоугольной системе координат решите следующие задачи:
1528. Построить точки: А (3; 2); В(—4; 1); С(—2; —4); £>(1; 3);
Е (0 ; 5) и F(6; 0).
1529. Построить точки: Л(1,5; 4,4); В(—2,5; 1); С( — 5; —3,5);
£>(4,5; 1,5); Е(0; —5,5); F(—6,5; 0).-
1530. Построить отрезки, соединяющие точки Л(—5; —2) и
В (3; 2); точки С(—4; 3) и £>(2; —3).
1’531. Построить отрезки, соединяющие точки Л(—4,5; —1) и
В (1,5; 4); точки С(—2; 0) и £? (0; 5,5).
1532. Построить прямую Л( — 3; —1); В(3; 4). Назовите коор-
динаты каких-нибудь двух точек, лежащих на плоскости по разные
стороны от прямой АВ.
1533. Построить окружность с центром в точке 0(2; 5) и про-
ходящую через точку М (0; 4). Назовите координаты каких-нибудь
двух точек, из которых одна лежала бы внутри окружности, а
другая бы вне ее.
174
1534. Построить треугольник АВС, если А(—5; —2); В(0; 4);
С (3; —5). Назовите координаты каких-нибудь двух точек, из ко-
торых одна лежала бы внутри треугольника, а другая—вне его.
1535. Построить треугольник АВС, если А(—1,5; 5); В (4,5; 0);
С( — 0,5; —5). Построить еще два треугольника, вершины которых
были бы симметричны вершинам треугольника АВС: 1) относитель-
но оси X; 2) относительно оси Y.
1536. 1) Лежат ли на одной прямой точки А(—3; —3); В(1;
— 1) и С(5; 1)?
2) Лежат ли на одной прямой точки А(—4; —1,5), В (0; 1)
и С (4; 3,5)?
1537. Построить отрезки АВ и CD и найти координаты точки
пересечения этих отрезков, если:
1) А(—3; 1); В(3; 5); С(—2; 2); D(2; —2);
2) А( — 1; —3); В(3; 1); С(0; 4); £> (3; —2).
1538. Построить четырехугольник ABCD по координатам его
вершин и найти координаты точки, в которой пересекаются его
диагонали, если: А(—2; —2); В( — 3; 2); С(1; 4) и £>(2; —3).
1539. Даны четыре точки: А(—2; —3); В (0; —1); С (2; 3) и
D(5; 4). Лежат ли все эти точки на одной прямой?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 40
1) Как определяется положение точки на плоскости?
2) Как построить на плоскости точку, заданную ее координа-
тами? Привести примеры.
3) Построить на плоскости отрезок АВ, соединяющий точки
с координатами (—3; 1) и (4; 4), и отрезок CD, соединяющий точки
с координатами (—1; 5) и (1; —1). Найти координаты точки, в ко-
торой пересекаются отрезки АВ и CD.
§ 41. ГРАФИКИ
1540. Во время туристского похода пионеры шли со скоростью
3 км в час. Какое расстояние они прошли за 2 ч, 3 ч, 4 ч, 5 ч,
х ч. Построить график.
1541. Построить график движения плота по реке в продолжение
8 ч с момента отплытия от пристани, если скорость течения реки
1,5 км в час.
1542. Построить график движения лодки, двигающейся против
течения реки, в продолжение 6 ч после отплытия ее от пристани,
если в неподвижной воде лодка может двигаться со скоростью 6 км
в час, а скорость течения реки 3,5 км в час.
1543. Построить график движения плота по условиям задачи 1541,
если в начальный момент плот находился от пристани на расстоя-
нии 1 км вниз по течению реки.
175
1544. Построить график движения лодки по условиям зада-
чи 1542, если лодка начала движение от пристани с опозданием
на 2 ч от намеченного срока.
1545. Построить график изменения температуры воздуха за пе-
риод от полуночи до полудня следующего дня по следующей таблице!
Время (в ч) 0 2 4 6 8 10 12
Температура (в градусах) —3 —5 —6 -4 0 2 7
1546. 1) Построить график изменения температуры по следующим
данным:
Время (в ч) 0 2 4 6 8 10 12
Температура (в градусах) 2 0 — 1 —3 1 5 7
2) Построить график изменения температуры в течение суток по
следующим данным:
Время (в ч) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
Температура (в градусах) 3 0 4 5 10 12 7 5 2
3) Построить график изменения среднесуточной, максимальной
и минимальной температуры в течение какой-нибудь недели, про-
ведя соответствующие наблюдения или используя данные сводок
погоды.
4) Построить график изменения температуры воздуха в течение
суток по следующим данным:
Время (в ч) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
Температура (в градусах) —10 -12 —9 —9 —6 —7 —10 —12 —13
176
1547. Построить график изменения уровня воды в реке за не-
делю по следующим данным:
Даты 15/VI 16/VI 17/VI 18/VI 19/VI 20/VI 21/VI
Высота (в см) 8 5 4 —1 —1 —3 0
1548. Построить график изменения уровня воды в порту в те-
чение суток по следующим данным:
Время (в ч) 0 2 4 6 8. 10 12 14 16
Уровень воды (в м) 2,5 3,5 . 1 —4 —8,5 —2 1 5 7,5
1549. В приведенной ниже таблице показана стоимость различ-
ного количества метров ткани:
Количество ткани (в м) 1 2 3 4 5 6 8 X
Стоимость (в руб.) 0,75 1,5 2,25 3 3,75 4,5 6 0,75х
Построить график стоимости ткани.
1550. 1) Один килограмм крупы стоит 0,5 руб. Построить гра-
фик стоимости крупы для количества крупы от 1 до 10 кг.
2) Один килограмм конфет стоит 1,5 руб. Построить график
стоимости для количества конфет от 1 до 6 кг.
1551. На рисунке 54 изображен график движения группы пеше-
ходов и группы велосипедистов от города до пионерского лагеря.
Рис. 54
Рис. 55
177
По графику определить время начала движения каждой из групп,
время прибытия в лагерь, продолжительность отдыха в пути и
скорости движения. Когда и на каком расстоянии от города
велосипедисты догнали пешеходов?
1552. На рисунке 55 изображен график движения двух пешехо-
дов между городом и пионерским лагерем. Пользуясь графиком,
дать подробное описание движения каждого из пешеходов. (См. пре-
дыдущую Задачу.)
1553. На рисунке 56 изображен график изменения уровня воды
в морском порту в течение суток. Пользуясь графиком, дать под-
робное описание изменения уровня воды в порту.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 41
1) Построить график равномерного движения, продолжавшегося
в течение 8 ч, если скорость движения 0,25 км в час. Что для
этого нужно сделать?
2) Какие нужно провести наблюдения и как построить график
изменения температуры в течение суток?
3) Как построить график стоимости какого-нибудь товара, если
известна его цена?
Глава V
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ. ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ
И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
$ 42. ЧИСЛА, КРАТНЫЕ ДАННОМУ ЧИСЛУ.
ДЕЛИТЕЛИ ДАННОГО ЧИСЛА
1554. 1) Из множества натуральных чисел от 1 до 50 выписать
потри натуральных числа, кратных: а) числу 4; б) числу 6; в) числу 11.
2) Из множества чисел {20; 50; 144; 864; 1 500} выписать те,
каждое из которых является кратным: а) числу 5; б) числу 8;
в) числу 25.
3) Написать три натуральных числа, каждое из которых было
бы кратным для чисел 3 и 5.
1555. 1) Выписать множество трехзначных чисел, кратных
числу 100.
2) Выписать множество чисел, кратных числу 7 и заключенных
между числами 100 и 200; сколько элементов оно содержит?
3) Выписать множество чисел, кратных числу 11 и заключенных
между числами 1 333 и 1 400; сколько элементов оно содержит?
1556. Выписать множество двузначных чисел, кратных основа-
нию десятичной системы счисления.
1557. 1) Проверить, что каждое из чисел множества {21315;
43 785; 73 815} кратно числу 105.
2) Проверить, что каждое из чисел множества {14 651; 322 959}
кратно числу 637.
1558. Из множества чисел {15; 24; 25; 34; 48; 57; 64; 76; 80; 95}
выписать: а) подмножество чисел, кратных 5; б) подмножество чи-
сел, кратных 19.
1559. Написать по 6 первых членов последовательности нату-
ральных чисел: а) кратных 2; б) кратных 6; в) кратных 11; г) крат-
ных 29.
Указание. Числовая последовательность есть частный случай
множества. Она представляет множество чисел, занумерованных
и расположенных в порядке возрастания номеров.
1560. 1) Из последовательности натуральных чисел выписать
двузначные числа, кратные числу 10; сколько элементов содержится
в этом подмножестве чисел? Ввести переменное п для обозначения
порядкового номера элементов этого подмножества и проверить, что
179
выражение 10 п с переменным п представляет формулу любого из 9
выписанных членов подмножества. Какие значения следует прида-
вать переменному п в выражении 10 -п, чтобы получить все дву-
значные числа, кратные 10? Какое множество чисел составляют эти
значения переменного я?
2) Выписать трехзначные натуральные числа, кратные 100; ввести
переменное п для обозначения порядкового номера членов выписан-
ной последовательности и проверить, что с помощью выражения
100 я можно получить все трехзначные числа, кратные 100; какие
значения следует придавать переменному я в этом выражении, чтобы
получить выписанные вначале числа? Множество каких чисел со-
ставляют эти значения переменного я?
1561. 1) Последовательность задается формулой у= 17 л, где
переменное я обозначает порядковый номер члена последователь-
ности; вычислить по этой формуле 5-й, 10-й и 30-й члены этой
последовательности; какие значения переменному я нужно для этого
придать?
2) Последовательность задается формулой г/ = 6я4~5; перемен-
ное я обозначает порядковый номер члена последовательности; вы-
числить три первые члена этой последовательности; каким по по-
рядку членом последовательности является число 6 041?
Указание. Чтобы дать ответ на последний вопрсс, нужно
составить уравнение и решить его.
1562. 1) Составить формулу любого члена последовательности
натуральных чисел, кратных числу 11; найти 3-й, 8-й и 23-й ее
члены.
2) Являются ли числа 121; 11000; 22 891 членами последова-
тельности чисел, кратных 11? Найти их порядковые номера в этой
последовательности.
1563. Составить формулу любого члена последовательности на-
туральных чисел, кратных числу 6; а) найти по этой формуле113-й
и 25-й ее члены; б) какой порядковый номер в этой последователь-
ности имеет число 1218?
1564. Проверить, что при любых натуральных значениях пере-
менных каждое из выражений принимает числовые значения, крат-
ные числу 15: а) 30-я; б) Ю-я-3-fe; в) 5я-3р; г) 75 (п
1565. Какое из натуральных чисел, кратных числу 101, явля-
ется наименьшим? Почему нельзя указать наибольшего числа, крат-
ного 101?
1566. 1) Даны натуральные числа 100; 252; 630 и 1 260; выпи-
сать те из них, которые имеют делителем: а) число 4; б) число 7;
в) число 9; г) число 25.
2) Для каждого из следующих натуральных чисел составить
множество его делителей: а) 24; б) 50; в) 90.
1567. Выписать в порядке возрастания множество натуральных
делителей каждого однозначного натурального числа, начиная
с числа 2; а) убедиться, что каждое из чисел 2; 3; 5 и 7 имеет по
два натуральных делителя; б) убедиться, что числа 4 и 9 каждое
180
имеет по 3 натуральных делителя; числа 6 и 8 имеют по четыре
делителя каждое.
1568. Выписать в порядке возрастания множество натуральных
делителей для числа 100 и убедиться, что число их равно 9.
2) Выписать в порядке возрастания множества натуральных
делителей для числа 250 и убедиться, что число их равно 8.
1569. 1) Сколько натуральных делителей имеет первое натураль-
ное число?
2) Найти частное 1:( — 1); верно ли утверждение, что (— 1) есть
делитель числа 1? Сколько делителей, принадлежащих множеству
целых чисел, имеет первое натуральное число?
3) Выписать множество целых делителей для каждого из чисел:
12; 15; 48; расположить их в возрастающем порядке.
1570. Если натуральное число b является делителем натураль-
ного числа а, то целое число (—Ь) является также делителем
числа а. Показать справедливость этого утверждения.
Указание. Воспользоваться тождеством: Ь-с = (—Ь)-(—с).
1571. Выписать в возрастающем порядке множество всех целых
делителей для каждого из следующих чисел: 40; 62; 120.
1572. 1) Какие из чисел 10; 12; 17; 30; 45 являются делителями
числа 1 080?
2) Какие из чисел 7; 13; 15; 30; 32 являются делителями чис-
ла 435?
1573. 1) Какие из чисел 32; 6; 432; 12132 имеют делителем
число 32?
2) Какие из чисел 625; 1 150; 1420; 4 500 имеют делителем
число 25?
1574. 1) Между числами 100 и 200 выписать множество .тех
чисел, для которых число 35 является делителем.
2) Выписать множество трехзначных натуральных чисел, для
каждого из которых число 119 является делителем.
1575. 1) Выписать множество чисел, заключенных между чис-
лами 500 и 800, каждое из которых имеет делителями числа 60 и 90.
2) Дано натуральное число 45; какое натуральное число явля-
ется одновременно и кратным, и делителем числа 45? В какой
форме нужно дать ответ на этот вопрос, чтобы он был верен для
любого натурального числа?
1576. Найти частное 130 824:12; правильность выполненных
вычислений проверить умножением. Справедливо ли утверждение,
что числа 12 и 10 902 являются делителями числа 130 824? Как
называются два делителя данного числа, произведение которых
равно данному числу?
1577. 1) 23 и 41 являются дополнительными делителями неиз-
вестного числа. Вычислить это неизвестное число.
2) Какое число имеет своими дополнительными делителями числа
15 и 38? Найти еще пары дополнительных делителей этого числа.
Сколько элементов содержит множество пар дополнительных дели-
телей числа 570?
181
1578. В пионерском отряде 48 чел. Сколькими способами можно
его построить в колонну прямоугольной формы, чтобы все ряды
были полными?
1579. 1) Какими цифрами надо заменить буквы а и Ь, чтобы
получить верное равенство?
,fl2 2) Сколько делителей имеет найденное произведение?
___3) Найти все пары дополнительных делителей найденного
। 16& произведения. Сколько элементов содержит множество пар
~ а2 дополнительных делителей этого числа?
ЗЬЬ
1580. 1) Вместо букв а и b поставить такие цифры, чтобы по-
лучилось верное равенство.
. аЗ 2) Проверить, что найденное число имеет 8 натуральных
___аа делителей.
, 46 3) Найти все пары дополнительных делителей найденного
“Г 4» произведения. Сколько элементов содержит множество пар
50& дополнительных делителей найденного числа?
1581. 1) Число 3 708 имеет делителем число 36. Найти все на-
туральные делители числа 36 и проверить, что каждый из них
является делителем числа 3 708.
2) Неизвестное число имеет своим делителем число 28. Какие
целые числа еще являются делителями этого неизвестного числа?
1582. 1) Найти общие натуральные делители чисел 34 и 52.
2) Найти общие натуральные делители чисел 150; 350; 550 и 800.
1583. 1) Найти общие кратные, меньшие 50, для чисел 4 и 5.
2) Найти общие кратные, меньшие 100, для чисел 6; 8 и 12.
1584. 1) Найти общие кратные, заключенные между 100 и 300,
для чисел 12'; 15 и 20.
2) Найти общие кратные, заключенные между 1 100 и 1 300, для
чисел 12; 15 и 20. <
$ 43. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
1585. 1) 7 580—четырехзначное натуральное число; сколько
единиц оно содержит в разряде единиц? Сколько всего десятков
оно содержит? Является ли число 10 делителем числа 7 580?
2) 21 490—пятизначное натуральное число; сколько единиц со-
держится в разряде единиц этого числа? Сколько всего десятков
оно содержит? Является ли число 10 делителем этого числа?
1586. 1) Сумма чисел 130 + 410 + 760 имеет делителем число 10;
справедливо ли это утверждение? Как обосновать его справедливость?
2) Сумма чисел 730 + 362 не может иметь делителем число 10.
Обосновать справедливость этого утверждения.
1587. 1) 5 300 — натуральное число; сколько всего сотен оно со-
держит? Является ли число 100 делителем этого числа? Сколько
десятков в разряде десятков и сколько единиц в разряде единиц
содержит число 5 300?
182
2) 17100 — натуральное число; сколько всего сотен оно содер-
жит? Является ли число 100 делителем этого числа?
3) Сумма натуральных чисел 26 300 + 41 800 имеет делитель 100.
Как обосновать справедливость этого утверждения?
4) Сумма чисел 8 600 + 3 200 + 570 не может иметь делителем
число 100. Как обосновать справедливость этого утверждения?
5) Вычислить сумму 8 600 + 3 230 + 570; сколько сотен она со-
держит? Можно ли утверждать, что 100 есть делитель числа 12 400?
Можно ли утверждать, что 100 есть делитель каждого из слагаемых
этой суммы? Сравните сумму данной задачи с суммой трех чисел
предыдущей задачи: почему 100 не есть делитель суммы 8 600+3200+
+ 570? Почему 100 есть делитель суммы 8 600 + 3 230 + 570? Обра-
тить внимание на остатки, которые получаются при делении от-
дельных слагаемых каждой суммы на 100. Какой вывод можно
сделать? Проверить справедливость вывода на примере какого-либо
делителя, отличного от 100.
1588. 1) Разность чисел 240 — 90 имеет делителем число 10.
Обосновать справедливость этого утверждения.
2) Разность чисел 7 400 — 5 800 имеет делителем число 100.
Обосновать справедливость этого утверждения.
3) Сумма чисел 7 000 + 32 000+ 13 000 + 49 000 имеет делителем
число 1 000. Обосновать справедливость этого утверждения.
4) Сумма чисел 7 000 + 32 000+ 18 500 не может иметь делителем
число 1 000. Обосновать справедливость этого утверждения.
1589. Используя теорему о делимости суммы, выписать мно-
жество тех чисел, каждое из которых делится на 13;
а) 39 + 65 + 7878; б) 130 + 2734-1 326; в) 52 + 2 611.
1590. Используя теорему о делимости суммы, выписать те сум-
мы, каждая из которых имеет делителем число 7:
а) 56+ 147+ 1 407; б) 707 + 511 + 141; '
в) 1 421 +4 963 + 28; г) 77 + 756 + 385+ 195.
1591. Используя теорему о делимости суммы (и разности), вы-
писать те выражения, каждое из которых имеет делителем число 6:
а) 1 296—216 + 6 072; б) 132 + 634 + 18 036;
в) 36 072 — 1 824 + 32; г) 750+ 1 044 — 716.
1592. Используя теорему о делимости суммы (и разности), до-
казать, что:
а) выражение 640 + 1 704 + 32 имеет делителем число 8;
б) выражение! 155 + 370 — 640 кратно 5; в) выражение 27 + 1 041 +
+ 33 780 кратно числу 3.
1593. При каких значениях переменного п выражение:
а) 27 +га делится на 9;
б) при каком наибольшем двузначном натуральном га это вы-
ражение кратно 9?
1594. При каких значениях переменных а, Ь, га и р выражение
3й + 66 + 9га + 3р имеет числовое значение, кратное 3? Множеству
каких чисел принадлежат эти значения переменных?
183
Указание. Применить делимость суммы и произведения на
число.
1595. При каких натуральных значениях переменного k выра-
жение 17+ & имеет k делителем? Сколько таких значений?
1596. При каких натуральных значениях переменного х выра-
жение 13+ 125-|-х имеет делителем это значение х? Сколько таких
значений, если х однозначное натуральное число?
1597. С помощью теоремы о делимости суммы установить, делится
ли на 2 каждое из выражений:
а) 146 + 2458; б) 188 + 316 — 78; в) 5 720 + 13 564; г) 142 + 2455;
д) 1 320—619.
1598. При каких значениях переменных выражения кратны 2:
а) 76 + а; б) 2 188 + х; в) 462 — п; г) 2k\ д) 6р + 2п?
1599. 1) Выписать множество четных решений неравенств:
25 < х < 35.
2) Выписать множество нечетных решений неравенств:
148<х<160.
1600. 1) Выписать множество целых решений неравенств—3<х<5
и изобразить их на числовой прямой.
2) Выписать множество целых решений, кратных числу 2, нера-
венств — 5 < х < 3 и изобразить их на числовой прямой.
1601. 1) Выписать множество натуральных чисел, делящихся
на 5 и не превышающих числа 50.
2) Из чисел 12; 25; 40; 51; 63; 70; 105; 210; 984 выписать мно-
жество тех, которые делятся на 5.
1602. Используя делимость суммы и признак делимости на 5,
установить, делится ли на 5 каждое слагаемое и их сумма:
а) 65 + 85; б) 60+145; в) 2 315 + 6 710; г) 460+ 500=
д) 2 364 + 3295; е) 60+144. 1
1603. В записи 1749х вместо буквы х поставить такую цифру,
чтобы полученное число разделилось нацело на 5. Сколько различ-
ных чисел можно получить?
1604. Даны числа, записанные в виде суммы разрядных слагае-
мых:
а) 3-100 000 + 5.10 000 + 7-1 000 + 6-100 + 4-10 + 8;
б) 7-100 000 + 9-10 000 + 4-1 000 + 3-100 + 2-10;
в) 9-1 000000 + 4-10000 + 5-1 000 + 7-10 + 5;
г) 24-1 000 + 3-100 + 2-10 + 9.
1) Выписать те из них, которые делятся нацело на 2.
2) Выписать те из них, которые делятся нацело на 5.
1605. При каких натуральных значениях переменного х каждое
из выражений: а) 30 +'х; б) 15625 + 5х; в) 10х + 5; г) 470+ х
делится нацело на число 5?
1606. Для каждого из неравенств выписать множество тех ре-
шений, которые кратны числу 5: а) 12<х<30; б) 544 <x<560;
в) 1 004 > х > 1001.
184
1607. При каких значениях переменного х, принадлежащих
множеству натуральных чисел, выражение 324 560 4-х есть число:
а) кратное числу 2 (сколько ответов можно дать на поставленный
вопрос?); б) кратное числу 5 (сколько ответов можно дать?); в) крат-
ное числам 2 и 5?
1608. При каких однозначных натуральных значениях перемен-
ных хну числовые значения выражения 2хф- Зу есть число, крат-
ное числу 5? Сколько различных пар значений можно указать?
1609. 1) а) Найти остаток от деления 12 537 на 2; б) какие на-
туральные числа могут получиться в остатке при делении натураль-
ных чисел на 2? в) Привести примеры натуральных многозначных
чисел, которые при делении на 2 дают остаток, равный 1; г) при-
вести примеры четырехзначных и шестизначных натуральных чисел,
каждое из которых кратно числу 2.
2) Последовательность чисел задается формулой у = 2п, где
переменное п обозначает порядковый номер членов последователь-
ности. Вычислить 10-й член этой последовательности. Как обосно-
вать что любой член этой последовательности делится нацело
на 2?
1610. Последовательность чисел задается формулой г/ = 2пф-1;
переменное п обозначает номер члена последовательности. Вычис-
лить 100-й член ее. Как обосновать, что любой член этой последо-
вательности нацело на 2 не делится и при делении на 2 дает оста-
ток один и тот же для всех членов, равный единице?
1611. 1) Каждое из чисел 241; 1 342; 2563; 1 007; 10416; 3098;
42 709 разделить на 5 и найти остатки при делении.
2) Какие натуральные числа могут получиться в остатке при
делении натуральных чисел на 5? а) Привести примеры многознач-
ных натуральных чисел, при делении которых на 5 получается
остаток 1; остаток 2; остаток 3; остаток 4; б) привести примеры
натуральных пятизначных чисел, кратных 5.
1612. 1) Последовательность чисел задается формулой у = 5п,
где переменное п обозначает порядковый номер члена последова-
тельности. Найти ее 15-й член; обосновать справедливость утверж-
дения, что любой член этой последовательности делится нацело на 5.
2) Последовательность чисел задается формулой z/==5n + 4;
переменное п обозначает порядковый номер ее членов. Найти 10-й
член ее; обосновать справедливость утверждения, что каждый член
этой последовательности при делении на 5 дает остаток, равный 4.
1613. Дана последовательность чисел: 2; 7; 12; 17; 22; 27; 32.
Вычислить остаток при делении любого ее члена на 5; можно ли
продолжить эту последовательность так, чтобы все следующие ее
члены также при делении на 5 давали остаток 2? Составить фор-
мулу любого ее члена, используя переменное п для обозначения
порядкового номера ее членов.
1614. 1) Выписать первые 6 натуральных чисел, каждое из кото-
рых при делении на 5 дает остаток, равный 3.
J85
2) Составить формулу любого члена последовательности чисел,
каждое из которых при делении на 5 дает остаток, равный 3.
1615. Из данных чисел 24Ц 312; 1 188; 2 109; 3 044; 4 757; 4 978;
4 983; 5 541; 5 638; 5 647; 5 712; 5 886; 6 034; 6 266; 6 479; 7 013;
8551 выписать множество чисел: 1) кратных 2; 2) при делении ко-
торых на 5 получается остаток, равный 1; 3) при делении кото-
рых на 5 получается в остатке 2; 4) при делении которых на 5
получается в остатке 3; 5) при делении которых на 5 получается
в остатке 4.
1616. Из данных чисел 78; 123; 226; 827; 7 440; 28 054; 29 358;
222 111 выписать множество чисел: а) делящихся на 9; б) деля-
щихся на 3.
1617. Не выполняя деления, найти остатки от деления каждого
из данных чисел 91; 104; 198; 224; 1 223; 5727; 12407; 48207
а) на 9 и б) на 3. Правильность проверить делением.
1618. Выписать множество остатков, которые получатся от деле-
ния каждой суммы 800+20 + 7; 8 000 + 900 + 60 + 7; 2000+300 +
+ 70 + 3; 5000 + 400 + 7; 700 000 + 50 000 + 4 000 + 900 + 70 + 5
а) на 9; б) на 3.
1619. Выписать множество остатков от деления слагаемых каждой
суммы а) на число 9; б) на число 3:
1) 6-1000 + 2.100 + 4-10 + 8; 2) 5-1 000 + 2-10 + 8;
3) 7-1000 + 5-100 + 6-10; 4) 3-1000 + 9-100 + 2-10 + 7.
1620. В выражении 542 710+ % при каких однозначных значе-
ниях переменного х полученное число разделится нацело: а) на 9;
б) на 3? Сколько решений имеется в каждом случае?
1621. Цифрами 5; 6; 7 написать трехзначное чцсло, которое
делится нацело: а) на 9; б) на 3. Сколько решений возможно для
каждого делителя, если в каждом числе все цифры должны быть
различны?
1622. 1) Из чисел, заключенных между 1 000 и 1 050, выписать
множество тех, каждое из которых делится на 9.
2) Из чисел, заключенных между 1 000 и 1 025, выписать мно-
жество тех, каждое из которых делится на 3.
1623. 1) Какие числа, кратные 9, являются решениями нера-
венств: а) 125 < х < 160; б) 1 050 > х > 1 000; в) 305>х>300.
Выписать множество таких чисел для каждого неравенства.
2) Какие числа, кратные 3, являются решениями неравенств:
а) 101 < х < 120; б) 374 > х > 346; в) 1 001 > х > 1 000.
1624. Для каждого из чисел 436; 1 024; 12851; 761 381 вычи-
слить а) остаток от деления его на 9; б) остаток от деления его на 3.
1625. Выписать множество чисел, которые могут получиться
в остатке при делении любого натурального числа: а) на 9; б) на 3.
1626. 1) Из данных чисел 136; 288; 570; 981; 2 466; 17 802;
437 562 выписать множество тех, которые делятся нацело: а) на 2;
б) на 9; в) на 2 и на 9 одновременно.
186
2) Из данных чисел 350; 450; 585; 750; 855; 1 260; 3 575 вы-
писать множество тех, которые делятся нацело: а) на 5; б) на 9;
в) на 5 и на 9 одновременно.
1627. К числу 251 683 приписать справа две цифры так, чтобы
полученное восьмизначное число разделилось нацело: а) на числа
2; 5 и 9; б) на числа 2; 5 и 3. Сколько решений имеется в каж-
дом случае?
1628. Верно ли утверждение, что если натуральное число де-
лится нацело на 9, то оно разделится нацело и на 3? Ответ обо-
сновать.
1629. Не вычисляя произведения, доказать, что выражения:
а) 6-2 081; 753-1 754; 744-29 каждое делится нацело на 2;
б) 22-761; 671-249; 451-1007 каждое делится нацело на 11;
в) 36-204; 198-5041; 558-613 каждое делится нацело на 18.
1630. Выписать множество натуральных делителей каждого
числового выражения:
а) 6-13; б) 15-23; в) 34-29; г) 33-46.
1631. Доказать, что при любых целых значениях переменных
выражения
а) За-255; б) 27х-40у; в) 135£-7п; г) 6п-75р каждое делится на-
цело на 15.
1632. Не выполняя указанных действий, доказать, что выра-
жение:
а) 23-(28—16) делится на 4; б) 34-21 4-85-13 делится на 17;
в) 122 делится на 36; г) 102 делится на 25; д) 624-24 делится на 4.
1633. Доказать, что выражение 2-3-5-77 делится на каждое из
чисел: 6; 10; 15; 33; 55; 21; 35.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 42 И 43
1) Применяя признаки делимости, установить, делятся нацело
или нет: а) 4 854 на 2; б) 12 385 на 5; в) 1 740 на 2 и на 5;
г) 15804 на 9; д) 116025 на 3. Ответы обосновать.'
2) Проверить, что каждое из чисел 6 075 и 13 860 имеет дели-
телями числа и 5, и 9. Можно ли утверждать, что делителем каж-
дого из них является число 15? Ответ обосновать. Будет ли дели-
телем каждого из них число, противоположное 15?
3) 1 000 при делении на 3 дает остаток 1. Какое самое меньшее
из трехзначных чисел следует прибавить к 1 000, чтобы полученная
их сумма разделилась на 3 нацело?
4) У мальчика имеется три монеты разного достоинства, всего
на сумму 40 коп. Стоимость каждой монеты выражается числом,
кратным 5. Найти достоинство каждой монеты. Сколько решений
имеет задача?
5) Составить множество всех общих делителей чисел 84 и 90.
187
§ 44. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ
НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
1634. 1) Выписать множество простых делителей числа 245.
2) Выписать множество простых делителей числа 180.
1635. 1) Из множества чисел 21; 49; 87; 89; 103; 108; 211; 256;
375; 404; 439; 486; 519; 599; 610 выписать множество: а) простых
чисел и б) множество составных чисел.
2) Из множества чисел 47, 69, 77, 186, 191, 250, 280, 295, 307,
312, 420, 500, 586, 587, 658, 673, 777, 787, 809, 888, 940, 958,
991 выписать множество тех, которые являются простыми чис-
лами.
1636. По таблице простых чисел подсчитать число простых чи-
сел в каждом десятке первой сотни; по той же таблице подсчитать
число простых чисел в каждой сотне первой тысячи натуральных
чисел; доказать, что в каждом десятке не может быть больше че-
тырех простых чисел.
Указание. Использовать признаки делимости на 2 и на 5.
1637. Каждое из чисел 42; 191; 354; 686; 1264 представить
в виде произведения простых чисел.
1638. 1) Длина стороны квадрата выражается простым числом.
Какими числами (простыми или составными) выражаются периметр
этого квадрата? его площадь?
2) Длины смежных сторон прямоугольника выражаются просты-
ми числами. Каким числом будет выражен его периметр? его пло-
щадь?
1639. При каких значениях переменного а выражение 23а есть
простое число и при каких — составное?
1640. 1) Привести пример двух простых чисел, сумма которых
есть также простое число.
2) Привести примеры пар простых чисел, сумма которых есть
составное число.
Указание. Применить способ проб, начиная с первых про-
стых чисел; использовать таблицу.
3) Может ли быть произведение двух простых чисел простым
числом?
1641. При каких натуральных значениях переменных х и у
выражение Зх + 5у есть составное число?
1642. 1) Из множества чисел {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} составить
пары взаимно простых чисел.
2) Из множества чисел {8; 12; 15; 19 и 34} составить пары
взаимно простых чисел.
1643. 1) Из множества чисел {3; 4; 15; 34; 65; 91; 98} выде-
лить три взаимно простых числа. Сколько возможно всего выделить
таких троек* чисел?
2) Из множества двузначных чисел выделить самое большое,
а из множества трехзначных — самое меньшее, так, чтобы выделен-
ные числа оказались взаимно простыми.
188
1644. При помощи „решета Эратосфена" составить таблицу про-
стых чисел, начиная с 2 до числа 50. Полученный результат све-
рить с таблицей простых чисел.
1645. 1) Выписать множество чисел первой сотни, разряд единиц
которых содержит число 3. Выписать те из них, которые принад-
лежат множеству простых чисел.
2) Выписать множество чисел первой сотни, в разряде единиц
которых имеется число 7. Выписать те из них, которые являются
составными.
1646. Последовательность чисел 15; 25; 35, каждое из которых,
начиная со второго, больше предыдущего на 10. Какие еще дву-
значные числа можно включить в эту последовательность, чтобы
соблюдалось указанное свойство? Выписать множество простых
двузначных чисел этой последовательности.
1647. Выписать последовательность всех двузначных чисел,
каждое из которых кратно числу 10. Какое множество среди них
составляют простые числа?
1648. 1) Каждое из данных чисел разложить на простые мно-
жители: 48; 57; 84; 112; 225; 350.
2) Каждое из данных чисел представить в виде произведения
его простых множителей (или простых делителей): 148; 524; 3150;
10932; 13215; 20421.
1649. 1) Выписать множество тех двузначных чисел, каждое из
которых можно представить в виде произведения двух одинаковых
простых чисел.
2) Выписать множество тех двузначных чисел, каждое из кото-
рых можно представить в виде произведения/двух различных про-
стых чисел.
1650. 1) Вычислить устно значение выражений, применяя раз-
ложение на множители: а) 250-16; 125-36; 75-28; 225-48; 20-175-16;
б) 3060:27; 4096:32; 3078:18; 7250:125.
2) Найти значение выражений, применяя сочетательный закон
умножения: 22-33-23-32-5; 27-53:2e-52; 72-53-1 12:7-5-II2.
1651. Проверить справедливость равенства: 111=3-37; пользуясь
этим равенством, разложить на простые множители числа: 222;
333; 444; 555; 666; 777; 888; 999.
1652. Каждое из данных чисел разложить на простые множители
и для каждого с помощью этих разложений найти все его делители:
180; 456; 720; 7 224.
1653. 1) Найти общий наибольший делитель (D) чисел: 45 и 60;
96 и 120; 102 и 170; 512 и 2 688.
2) Найти D для заданных пар или троек натуральных чисел:
26; 65 и 130; 243 и 297; 105; 350 и 455; 360; 432 и 792; 1 995 и
2 310.
1654. 1) D(X, У, Z) = 15. Какие простые делители имеет число 15?
Можно ли утверждать, что каждый из делителей D является дели-
телем, общим для всех чисел X, У, Z? Ответ обосновать. Привести
примеры.
189
2) Какой общий делитель имеет каждое из чисел, составляющих
множество четных чисел?
1655. Найти общие кратные чисел 6 и 8; какое из них являет-
ся наименьшим? Может ли быть наибольшее кратное чисел?
1656. Найти для данных пар или троек чисел общее наимень-
шее кратное (К)' 24 и 36; 14 и 25; 54; 135 и 189; 100; 120 и 600; 120 и
144; 105 и 165; 60; 72 и 75; 240; 360 и 900; 450; 855 и 950; 160;
240 и 2 000; 156; 195 и 4 030.
1657. 1) Найти К для самого большого двузначного числа и
семьдесят седьмого натурального числа.
2) Найти /С (80; 96) и вычислить частные от деления найденного
К на 80 и на 96; проверить, что полученные частные — числа вза-
имно простые.
1658. Если натуральное число b есть делитель натурального
числа а, то частное может быть выражено только единственным
натуральным числом с. Доказать. '
Указание. а = Ь с и пусть еще а = Ь-с1. Доказать, что c = ct.
1659. Если при делении натурального числа а на натуральное
число b получается в частном натуральное число с и остаток р,
причем р <Ь, то пара натуральных чисел сир единственная.
Доказать.
Решение. Пусть а = Ь-с-\-р и, кроме этого, а = Ь-с1+р1,
причем р <Ь и рг<Ь. В этом случае должно быть с = с1 и р = рг
Докажем это. По условию а = Ь-с-\-р', по предположению а = Ь-с1+р1.
Значит, Ь-с + р = Ь-с1 + р1г или Ь-с—Ь-с1 = р1 — р, или Ь-(с—с±) =
= Pi—р, следовательно, (рг—р) должно нацело делиться на чи-
сло Ь. Но числа р и pt каждое меньше числа Ь, значит, разность
Pj—р и подавно меньше числа Ь, и, значит, чтобы pj—р могло де-
литься на число Ь, (р± — р) должно быть равно нулю. Но в этом слу-
чаеР1—р = 0 и Ь-(с—с,) = 0, откуда получаем: р1 = р и с—сг = Ь,
т. е. c = Cj.
1660. Не производя деления, установить, какой остаток полу-
чится при делении 6 043 на 2? 5 429 на 5? 13 764 на 10?
1661. 1) Написать произвольное трехзначное число, не делящееся
нацело на 2, и четырехзначное число, тоже не делящееся на 2. Сумма
этих двух чисел делится нацело на 2. Проверить и объяснить почему.
2) Написать три натуральных числа, каждое из которых нацело
на 2 не делится; разделится ли их сумма нацело на 3? Почему?
1662. а) Написать трехзначное число, оканчивающееся цифрой 7,
и четырехзначное число, оканчивающееся цифрой 8. Не производя
деления, узнать, какой остаток получится при делении каждого из
них на 5.
б) Проверить, что сумма этих чисел разделится нацело на 5.
Почему?
в) Какими цифрами можно заменить последние цифры 7 и 8
в записи этих чисел, чтобы сумма измененных чисел также разде-
лилась бы нацело на 5? Сколько таких решений?
190
1663. Цифрами 0; 3; 4 и 9 записать множество всех четырех-
значных чисел, каждое из которых делилось бы нацело на 5. Сколько
всего возможно решений, если в одном числе цифры не повторяются?
Указание. Нуль не может быть цифрой старшего разряда
выписанных чисел.
1664. Если b есть делитель а и с есть делитель Ь, то с есть
делитель а. Доказать справедливость этого утверждения, считая
а, b и с натуральными числами.
1665. Если число делится на 100, то оно делится на 4 и на 25.
Доказать справедливость этого утверждения.
1666. (Задача Эйлера.) Каждое четное число, большее 2, можно
представить в виде суммы двух простых чисел. Проверить на при-
мерах нескольких двузначных чисел.
1667. (Задача Гольдбаха.) Всякое целое число, большее 5, можно
представить в виде суммы трех простых чисел. Проверить на не-
скольких примерах натуральных чисел.
1668. Доказать справедливость утверждения: произведение двух
последовательных натуральных чисел может оканчиваться только
цифрами 0, или 2, или 6. Привести примеры.
1669. Доказать справедливость утверждений:
1) Сумма трех последовательных натуральных чисел делится на
три.
2) Сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на
пять.
3) Произведение трех последовательных натуральных чисел де-
лится на 6.
4) Произведение, трех последовательных натуральных чисел,
первое из которых есть четное число, делится на 24. Привести
примеры.
Указание. 1) Обозначить числа п, «+1, «4-2; n£N и рас-
смотреть их сумму.
2) Обозначив числа п, «4-1, «4-2, составить произведение:
«•(«4- 1)-(п4-2); одно из трех последовательных чисел—четное
число, одно из трех последовательных чисел есть число, кратное
трем.
1670. Доказать справедливость утверждений:
1) Если произведение двух чисел (натуральных) — число нечет-
ное, то сумма этих чисел есть число четное.
2) Если сумма двух натуральных чисел есть число нечетное, то
их разность также число нечетное.
1671. Несколько товарищей обменялись фотокарточками друг
с другом. Доказать, что при любом числе людей общее число фо-
токарточек четное.
Решение. Пусть число товарищей «. Тогда каждый из них
передаст другим («—1) фотокарточку. Всего будет передано фото-
карточек в « раз больше, т. е. «(«—1). Но это есть произведение
двух последовательных натуральных чисел и поэтому одно из них
обязательно четное, а другое нечетное. Но произведение четного
191
и нечетного чисел есть число четное. Можно рассмотреть сначала
задачу на частном числовом примере п = 7 или п=16 и т. п.
1672. Два мальчика катят обручи разных размеров. Один обруч
имеет в окружности 105щи, а другой —165 см. На каком наимень-
шем расстоянии оба обруча сделают по целому числу оборотов?
1673. Пионеры построились в ряды по 6 чел., а потом перестрои-
лись по 4 чел. в каждом ряду. Сколько было пионеров, если их
было больше 80 и меньше 90, причем в обоих случаях ряды были
полными?
1674. Площадь квадрата равна 225 см2. Вычислить его периметр.
1675. Имеются два натуральных числа, ни одно из которых не
делится на 13. При каком условии их сумма разделится нацело на 13?
1676. 1) Пароход Москва—Астрахань—Москва совершает рейс
за 16 суток, а по маршруту Москва — Уфа—Москва —18 суток.
Через сколько суток пароходы, вышедшие из Москвы одновременно,
снова встретятся в Москве? Если оба парохода из Москвы выйдут
1 мая, то когда они встретятся в Москве?
2) По трем различным маршрутам из Москвы одновременно выез-
жают три автобуса. Один возвращается в Москву через 8 ч, второй —
через 6ч и третий — через 4ч> Через сколько часов после выезда
из Москвы все три автобуса встретятся снова в Москве?
1677. Длина шага отца равна 75см, а длина шага сына—60см.
На каком расстоянии они сделают по целому числу шагов?
1678. 1) Найти наименьшее натуральное число, которое при
делении на 3 дает остаток, равный 2, а при делении на 4 дает
в остатке 3. Чему равно следующее натуральное число, которое
дает те же остатки? Как проще найти все такие числа?
Указание. 1) Формула общего члена первой последователь-
ности: 3fe + 2; для второй последовательности — 4р + 3; k и p£N.
Составить несколько членов этих последовательностей: 5; 8; 11; 14;
17; 20; 23; 26; 29; 32; 35; 38; ... 7; 11; 15; 19; 23; 27; 31; 35;
39; ... Общие их члены: 11; 23; 35; ...
Наименьшее из них И; общий член этой последовательности:
12n—1, где
2) Какое наименьшее число, записанное только цифрой 1, делится
нацело на три?
1679. 1) Доказать, что число 105—1 имеет делителем число 3.
2) Доказать, что число 1015—1 имеет делителем число 9.
1680. Дано четырехзначное число. Написать наименьшую сте-
пень 10, которая больше этого числа.
1681. Доказать, что квадрат натурального числа не может окан-
чиваться цифрами 2; 3; 7 и 8.
1682. На какую цифру оканчиваются числа: а) 363? б) 456?
в) 266-35«?
1683. Частное от деления а на р равно с; частное от деления
с на р равно /г; доказать, что частное от деления а на р2 равно k.
192
1684. Доказать, что если число не делится на 3, то, удвоив его
и прибавив или вычтя 1 из произведения, получится число, крат-
ное 3.
Указание. Рассмотреть выражения: 3k 4- 1 и 3«4-2; для пер-
вого из них составить 2 • (3k 4- 1) 4-1 = 6k 4- 2 1 = 6k 4- 3 = 3 • (2k 4- J);
для второго выражения составить 2 • (Зп 4- 2)—1 и преобразовать
аналогичным образом.
1685. 1) Каким числом должен быть сомножитель а, чтобы было
верным равенство 14• 46• 491 -а = О?
2) Каким числом должен быть сомножитель х, чтобы было вер-
ным равенство 25-947-х = 0?
3) Каким числом должен быть сомножитель а, чтобы было вер-
ным равенство 10-45-а = 450?
4) Каким числом должен быть третий сомножитель, если два
сомножителя равны 12 и 80, а произведение трех сомножителей
равно 960?
1686. 1) Выписать множество всех делителей числа п = 23-52.
2) Выписать подмножество нечетных делителей этого числа п.
3) Выписать подмножество однозначных делителей этого числа п.
4) Выписать подмножество двузначных делителей числа п.
5) Выписать подмножество трехзначных делителей числа п.
6) Выписать подмножество четырехзначных делителей числа п.
1687. 1) Из множества однозначных чисел выписать подмножество
однозначных чисел, кратных числу 3. Сколько элементов в этом
подмножестве?
2) Из множества однозначных чисел выписать подмножество чет-
ных однозначных чисел. Сколько элементов в этом подмножестве?
1688. 1) Выписать множество двузначных чисел, кратных числу
10, и выделить из него подмножество двузначных чисел с нечетным
числом десятков. Сколько элементов в этом подмножестве?
2) Выписать множество двузначных чисел; кратных числу 6, и
выделить из него подмножество двузначных чисел, кратных числу 12.
1689. 1) Дано множество А {а; б; в; г; б; е; ж; з; и; к}, элемен-
тами которого являются буквы алфавита. Выписать из него подмно-
жество гласных букв.
2) Даны множества А {0; 2; 4; 6; 8} и В {1; 3; 5; 7; 9}. Какие
элементы входят в множество С, если С = А и В? Выписать мно-
жество С.
1690. 1) Множество каких чисел получится, если объединить
множество четных положительных чисел и множество нечетных поло-
жительных чисел? Можно ли указать число элементов полученного
множества?
2) Множество каких чисел получится, если объединить множество
натуральных чисел, множество чисел, им противоположных, и число
нуль?
1691. 1) Наибольший общий делитель двух чисел равен 24, а их
сумма 144. Найти числа.
7 № 2266
19»
2) Наибольший общий делитель двух чисел равен 39, а их
сумма равна 234. Найти числа.
Указание. Полагаем одно число 24х, второе 24г/; тогда
24х4-24у = 144. Значит, х4-у = 6. Придадим переменному х значе-
ния 1; 2; 3; тогда у получит значения 5; 4; 3. Получим три пары
чисел: 24 и 120; 48 и 96; 72 и 72. Ответ дает только первая пара
чисел: 24 и 120.
1692. 1) Выписать множество А всех натуральных делителей
числа 18 и множество В всех натуральных делителей числа 30.
Составить множество С, если С = А А В.
2) Выписать пересечение S двух множеств, одно из которых
является множеством Т двузначных натуральных чисел, кратных 12,
а другое U является множеством двузначных натуральных чисел,
кратных 18. Сколько элементов содержит множество S? Как симво-
лически записать, что S есть пересечение множеств Т и {/?
1693. 1) Какое множество чисел является пересечением множества
натуральных чисел и множества четных чисел? Как это символи-
чески записать, введя обозначения рассматриваемых множеств?
2) Какое множество чисел является пересечением множества чет-
ных делителей числа а, если а = 2-3-5,
и множества четных делителей числа Ь,
если 6 = 22-5-7?
1694. Расставить в вершины трех
прямоугольников первые 12 натуральных
чисел по одному так, чтобы суммы в
вершинах каждого были равны 26 и
суммы чисел по диагоналям наружного
прямоугольника были одинаковы (см.
рис. 57).
1695 1) В доме проживают 100 семей, и каждая семья выписывает
газеты. Из них „Комсомольскую правду"—70 семей, „Известия"—75
и „Правду"—80 семей, причем ни одна семья не выписывает две
газеты одного названия. Каково может быть самое меньшее коли-
чество семей, выписывающих все три газеты одновременно?
Указание. Зная, что жильцы дома выписывают всего 70 4-
4- 75 4-80 = 225 (газет), допускаем, что каждая семья выписывает
по две газеты, т. е. 200 газет. Отсюда не трудно узнать наимень-
шее число семей, выписывающих все три газеты одновременно.
Задача может быть решена и графически.
2) Подано три рационализаторских предложения: одно удешевляет
выпуск продукции на 50%, другое—на 30% и третье—на 20%.
На сколько процентов удешевится выпуск продукции, если осущест-
вить все три предложения?
1696. Натуральное шестизначное число имеет в разряде единиц
цифру 7, а в разряде сотен тысяч — цифру 1; если цифру единиц 7
поставить перед единицей (цифрой старшего разряда), то получен-
ное шестизначное число в 5 раз больше первоначального. Найти
первоначальное шестизначное число.
194
Указание. Число 1ХХХХ7 в 5 раз меньше числа 71Х XXX»
значит, цифра единиц измененного числа должна быть 5(7-5 = 35);
цифра в разряде десятков измененного числа должна быть 8, так как
5-5 = 25 да еще переходит 3 десятка от умножения 7-5 = 35 и т. д.
Ответ: 142 857.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 44
1) Разложить на простые множители числа 336; 10 584.
2) Найти все делители числа 1820, выписать множество его
простых делителей.
3) Найти Д (1 680; 1 920); Д (375; 525).
4) Найти К (180; 210); К (31; 43); К (14; 98).
5) Простым или составным числом является произведение двух
взаимно простых чисел? Привести примеры. Ответ обосновать.
§ 45. ДРОБИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ПОВТОРЕНИЕ)
1697. (Устно.) 1) Какую часть недели составляет 1 день?
2 дня? 5 дней?
2) Какую часть года составляет 1 месяц? 2 месяца? 5 месяцев?
3 дня? 12 дней?
1698. Начертить прямоугольник, разделить его на 8 равных
частей. Заштриховать одну его часть. 3 его части. Записать, какую
часть составляет заштрихованная часть от всего прямоугольника
в каждом из указанных случаев.
1699. 1) Записать цифрами: одна девятая, пять шестых, восемь
двадцатых, пятьдесят девять восьмидесятых.
- 2) Прочитать дроби: -|-; -f-; . Указать числитель и зна-
М / 1 1UU
менатель каждой дроби и пояснить, что означает в каждой дроби
числитель и знаменатель дроби.
1700. (Устно.) Сколько в единице пятнадцатых долей? п-х
долей?
Сколько пятнадцатых долей в 3 единицах?
Сколько n-х долей в 3 единицах?
Сколько пятнадцатых долей в k единицах?
Сколько n-х долей в k единицах?
1701. Роща занимает площадь в 20 га. Она разбита на 30 деля-
нок. Какую часть всей рощи занимает площадь одной делянки?
Какую часть гектара занимает площадь одной делянки?
1702. Трое друзей поймали 4 кг рыбы и разделили ее поровну.
Какая часть всего улова досталась каждому? Сколько килограммов
рыбы получил каждый?
1703. Написать множество всех неправильных дробей с числи-
телем 7.
1704. Написать множество всех правильных дробей со знаме-
нателем 8.
7*
195
1705. Написать множество значений х, при которых дробь
будет правильной, а — неправильной.
1706. Выписать отдельно правильные дроби и неправильные
дроби из следующих чисел:
£. А- А - Ц • . 50. Z?. 81
5 ’ 3 ’ 7 ’ 12 ’ 45 ’ 55 ’ 75 ’ 81 "
1707. Написать по два примера правильных и неправильных
дробей с двузначными знаменателями.
1708. Написать множество правильных дробей, у которых сумма
числителя и знаменателя равна 6.
1709. Из скольких элементов состоит множество правильных
дробей: 1) со знаменателем 1; 2) со знаменателем 2; 3) со знаме-
нателем 3.
1710. Написать четыре решения каждого неравенства: 0<х< 1;
о . . о 1 . 1
3 > х > 2, 9 > г > ю '
1711. Нарисовать в тетради числовой луч и отметить на нем
1 2 .3 „ 1
точки, соответствующие числам: v ; 1; 3-„-.
О О 4 о
1712. Нарисовать числовой луч, отметить на нем точки, соот-
ветствующие числам: ; 4. Какие из данных дробей больше?
1713. Записать с помощью фигурных скобок множество пра-
вильных дробей со знаменателем 11 и обозначить это множество
буквой М. Какие из дробей -4; -4; 4; 4; 4 принадлежат мно-
жеству Л1?
1714. Представить число 7 в виде дробей со знаменателями:
2; 5; 12.
1715. Найти значения букв в равенствах: 5 = — ; Ь — ~\ 3 = 4-;
X О /
1 — 50
1 ~ k •
1716. Представить смешанные числа в виде неправильных дро-
бей: 21; 4-4; б|; 9-4; 12-4; 28^; 3()4; 5о|.
, 1717. Представить неправильные дроби в виде смешанных чисел:
10. Щ. 56. 129, 141. 567
9 ’ 12 ’ 5 ’ 6 ’ 14 ’ 49 ’
1718. Пояснить с помощью числового луча положение: нату-
ральное число можно представить в виде обыкновенной дроби, на-
пример, число 3 дробью со знаменателем 2. Пояснить с помощью
числового луча исключение целого числа из дроби у.
196
1719. Найти натуральные значения переменной в следующих
неравенствах: 2 < <3; 1 2.
Указание. Значения переменной находить путем подбора,
полагая х —10; 11; ... .
1720. Имеется пять чисел: 7; 8; 9; 10; 11. Сколько правильных
дробей можно составить из этих чисел? Сколько неправильных
дробей можно составить из этих чисел?
Указание. Для составления каждой дроби брать только пару
чисел.
1721. (Устно.) Какая дробь больше и почему!
..2 3 15 9 7 л о-,
1) ИЛИ тт? ИЛИ -р=? пт или 0,8?
' О D 1/ 1/ 1U
5 5 «ч 11 11 «ч 15 л 1
2) -г ИЛИ -п ? ™ или оТ ? cq или °»15?
О У ZU Z1 ои
2 2 2 2 2 2
1722. Какие из дробей у; у; jyl ygl у? I -ft являются реше-
2 2
нием неравенства: ^->х> т^?
о 1 □
1723. Написать множество натуральных чисел, являющихся
решением неравенства: 1) 1 < х < 6 у; 2) 0 < у <7 -i-.
1724. Написать три числа, удовлетворяющие неравенству
1 „ ^.1
5 < х < 2 •
1725. По какому признаку составлено множество:
nJ1.1.1. • 1 • 1 Д / 1 . 2 • 3 • ±- 49. б? Ь
*' ( 2 ’ 3 ’ 4....15’ ’/ 21 р* 3 ’ 4 ’ 5 ’ ”•» Бб’ 51 f
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 45
1) Составить две задачи, при решении которых возникают дроби»
(Одна задача на измерение величин и другая — на деление.)
2) Как короче записать суммы:
3+4; 5 + |; 7 + 4?
3) Изобразить на числовом луче числа:
Какое из данных чисел наибольшее? Где относительно начала
луча и других чисел расположилось самое большое число? Самое
малое?
4) Представить число 5 в виде дробей со знаменателями!
1; 2; 3; 6; 9; 15.
ЮТ
5) Представить смешанное число в виде неправильной дроби:
Проверьте правильность выполнения.
6) Что больше и почему:
9 9.11 11. о5 „6 .
_ Или _? _ ИлИ -? 2у или 2у?
i 46. СВОЙСТВА ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ.
СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
1726. (У стн о.) 1) На числовой оси (рис. 58) изображены три дро-
13 4
би: т и т • Какая дробь больше? Что надо сделать с дробью
0 0 о
4- , чтобы получить -|- ? -=- ?
3 0 0
1 3 1 5
2) Как получить дробь у из дроби -g-? дробь -g- из дроби у?
J
Рис. 58 Рис. 59
1727. (Устно.) Сравнить дроби и указать, какая из них больше
и во сколько раз:
2 6. 10 5.9 35.
=- ИЛИ Г? ИЛИ Р5? ИЛИ =-г?
/ /13 13 01 01
1728. (Устно.) Три равных отрезка разделены: один на 3, дру-
гой на 6, третий на 12 равных частей. Используя рисунок 59,
ответить на следующие вопросы:
1) Во сколько раз больше 4-? 4- больше 4,? 4- больше 4,?
о оо * л о 1 z
2) Какие доли крупнее:
1 1.1 1.1 1 .
_ или т? - или 12? у ИЛИ у?
1729. Увеличить каждую дробь двумя способами:
1 в 6 раз; — в 4 раза; в 17 раз; 14- в 2 раза; 2^- в 7 раз.
к£ 04 01 4*1
з
1730. (Устно.) 1) Во сколько раз надо увеличить: a) ^j, чтобы
3 4 4 1
получить у? б) Jg, чтобы получить -g- ? в) 1"2 , чтобы получить 3?
198
10 5
2) Во сколько раз надо уменьшить: а) у?, чтобы получить уу?
3 3 1 1
б) чтобы получить оё? в) 2-х-, чтобы получить -х-?
О ОО £ Z
1731. Через первую трубу за 3 ч наполняется бассейна, через
вторую трубу за 4 ч наполняется у бассейна. Через какую трубу
в 1 ч вливается воды больше?
1732. Двое рабочих копали канаву. Первый из них за 6 ч выко-
12 9
пал всей длины канавы, а второй за 3 ч—всей длины канавы.
Zo Zo
У какого рабочего производительность труда больше?
1733. (Устно.) Числитель дроби увеличили в 12 раз. Как
нужно изменить знаменатель, чтобы дробь увеличилась в 2 раза?
2) Знаменатель дроби уменьшили в 2 раза. Как нужно изменить
числитель, чтобы дробь увеличилась в 4 раза?
1734. Написать 4 дроби; каждая из которых равна у.
2 3
Указание. Дроби g и -у являются разными обозначениями
й 1
дроби у.
1735. В следующих равенствах вместо х поставить такое число,
чтобы новая дробь была равна данной:
,, 1 х п\ х 4 5 30 ., 10 х г. 84 12 125 5
-3—9' 2) 5=Тб:3)Т = Зб:4)25 = Т;5)9Т = Т;6)—= У
2
1736. 1) Заменить дробь у дробями, ей равными, с числите-
лями: а) 6; б) 16; в) 18; г) 48.
2
1737. Заменить дробь у дробями, ей равными, со знаменате-
лями: а) 10; б) 15; в) 25.
1738. Написать три дроби, каждая из которых равна: у; ; у.
1739. Написать три смешанных числа, каждое из которых равно:
i|; 2i> 4-
12 2
1740, Изобразить на числовой прямой дроби: у, у и у. Есть
ли среди этих дробей равные дроби?
1741* Подставить значение а, равное 2; 3^4; 5; 6, в выражение^
и сравнить полученные дроби.
1742. Выразить каждую из дробей у; у; в долях, в 3 раза
меньших, чем у данной дроби.
199
1743. Выразить каждую из дробей ур || в долях, в 5 раз
меньших, чем у данной дроби.
1744. Сократить дроби:
45. 22. 21- 77 51 13 - 11- 125 279
90 "’ 44 ’ 140 ’ 220 ’ 340 ’ 169 ’ 450 ’ 375 ’ 5400 ’
1745. Написать три дроби, которые можно сократить: 1) на 5;
2) на 2 и 5; 3) на ее числитель.
Найти значение выражения:
174R 2 5• 4'9 • 4'15. 7'12 . 17-36
1/чь. 57; 911; 318; 24.14> 24-51 ’
174- 17-3-9 , 19-8-3-11 , 15-13-6 . 49-77-56-100
6 51-15 ’ 22-4-2019; 6-9-5-26’ 33-70-42-280 *
174„ 64-24-49. 37-25-63-14. 76-204-156-108
6-56-16 ’ 49-74-100 ’ 432-78-68-152 ‘
1744 6 + 8. 42 — 25 . 35 . 39-2-6
1 48 ’ 34 ’ 75 — 5 ’ 8-5—13 '
1750. (Устно.) Будет ли дробь несократимой, если:
1) числитель и знаменатель — простые числа;
2) один из членов дроби — простое число, а другой—составное,
например, числитель — простое число, а знаменатель—составное;
3) числитель и знаменатель — составные числа.
Используя таблицу простых чисел (стр. 292), выписать из дан-
ных дробей несократимые дроби:
7 П . 84 . 47 . 99 . 202 . 53 . 1 020 . 601
1/&Ь 25 ’ 321’ 77 1 250’ 303’ 406’ 2 042 ’ 900 ’
1250 . 463 . 75 . 4 228 . 883 . 239 . 757 . 911
1 70 455 ’ 600 ’ 769 ’ 60 520 ’ 1 203 ’ 251 ’ 881 ’ 1 622 ’
1753. Какую часть составляет наибольшее двузначное число от
наибольшего четырехзначного числа?
1754. Какую часть составляет произведение чисел 7 и 44 от
наименьшего четырехзначного нечетного числа?
1755. В колхозе из 6000 га всей пахотной земли посевы зерно-
вых составляют 4 800 га. Какая часть всей пахотной земли занята
зерновыми?
1756. Рассматривая рисунки 60, а) и б), дать ответ: какую часть
оборота сделает большая шестерня, если малая шестерня сделает
полный оборот?
1757. Два колхоза за постройку плотины уплатили 28 500 руб.,
причем первый колхоз уплатил на 8000 руб. больше второго.
Какую часть взноса первого колхоза составляет взнос второго кол-
хоза?
200
1758. Два токаря, выполняя одну и ту же работу, выпустили
вместе 42 детали, причем первый выпустил на 6 деталей больше,
чем второй. Какую часть выработки первого составляет выработка
второго рабочего?
§ 47. ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К НАИМЕНЬШЕМУ ОБЩЕМУ
ЗНАМЕНАТЕЛЮ. СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ
1759. На рисунке 61 отмечены точ-
ками несколько дробей и среди них
равные. Найти и записать эти равные
дроби.
Рис. 61
Выразить в одинаковых долях:
1760. 1 н ±
1761. 4 и 4
'762. - и 4
Q 3 2 5 3 7
— И —— и — ' — и
8 16 ’ 9 36 ’ 7 35 ’
4 . 3 7 5 11 7 7 8
— и —— и
5 4 ’ 8 6’12” 8’12” 9
11 7 7 17 7 8
—— и — * и _ -
15 8 ’ 10 и 9’3 15 '
Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю:
17„, 1 1.3 5 4 7 . 23 1
I /03. 5 И 15 , 7 И ]4 > 15 И 180 ’ 120 и 30 •
17Б4 13 А- 29 L- 7 1! 13 . А 13
1/04. 200 и 25, 120 и 15, 120 и 24; 35 и 105; 36 и щ.
201
1 1 1 1 5 3 3 5 13 7
1765. 6и 4 , 8 и 6 , 14 и 8,16и 6 , )5 и ]0.
17ЙК 9 11 . 7 23. 15 11.7 19 . 11 19
l/bb. 20 и 30; ]8 и 24 , 36 и 24, ]50 и 120 , 360 и 144 .
Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю,
сделав сначала сокращение:
17R7 -И 55 77 12 75 . 10 70 20
45’ 35 И 44’ 176 ’ 144 И 200’ 72’ 180 И 225 ’
17RR 15 77 15, .10 „48 . 70 „45 .125
1'00. 27 ’ 99 И 60’ 72’ Z54 И 4440’ 420 ’ *225 ’
1769. Поставить вместо звездочки знак > и <:
1770. Написать множество дробей со знаменателем 8, располо-
1 7
женных между дробями о- и .
о о
1771. Написать множество натуральных значений о, удовлетво-
ряющих неравенству: 0 < -g- < 1; у2^Т2^ ‘
1772. Найти натуральные значения а и Ь, удовлетворяющие не-
равенству»
12 а 16. „ 8 „ Ъ „
Т7 17 Т7 ’ 44 > 44 >
1773. Какая дробь больше: А или А? А или А? А или А?
zO 1D о 1^-10 У
1774. Сократить дроби А и Ц, а затем сравнить их, используя
знаки > и <.
6 12
1775» Сравнить дроби уравнивая числители.
1776, Записать все дроби с числителем 1, большие А .
1777. Какая дробь, знаменатель которой—однозначное число,
7 8
больше -g-, но меньше -g- ?
Указание. Составить дробь , где п — натуральное число,
меньшее 9, а затем сравнить полученную дробь с данными.
1778. При каком значении переменной верно равенство:
2 __ х . У _ 6_. г _ 4 „
"3 - "6 ’ Т ” 10’ 1Г~32 '
1779. Найти натуральные значения переменной из неравенства:
2 х . 1 1 „ „ 3 , 1 х 1
У>‘15>5';‘6^=42^=7'’ 1^=3’<'1'5’
202
1780. Записать 5 решений неравенства 0 < а < А
1781. По какому признаку составлено множество:
1782. 64 одинаковых болта весят 8 кг, а 40 одинаковых гаек
весят 4 кг. Что тяжелее: два болта или три гайки?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 47
7
1) Как изменится дробь , если числитель заменить единицей?
Пояснить.
2) Знаменатель дроби увеличили в 5 раз. Как нужно изменить
числитель, чтобы дробь увеличилась в 2 раза?
3) Сцеплены две шестерни: одна из них имеет 24 зубца, а вто-
рая—8. Вторая шестерня сделала два полных оборота. Какую часть
полного оборота сделала за это время первая шестерня?
4) При каком условии наименьший общий знаменатель трех
дробей равен их произведению? Привести пример.
5) Расположить дроби A f А и А в порядке убывания.
xlU о 4 uU
§ 48. ЗАПИСЬ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ.
ОБРАЩЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ В ДЕСЯТИЧНЫЕ
(ТОЧНО И ПРИБЛИЖЕННО). ПОНЯТИЕ О ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДРОБИ
1783. Назвать числитель и знаменатель следующих десятичных,
дробей, записать их в виде обыкновенных дробей и, если возможно
сократить:
0,1; 0,3; 0,8; 0,14; 0,90; 0,125; 0,640; 0,375.
Записать следующие числа с помощью обыкновенных дробей:
1784. 1,2; 2,8; 4,45; 10,25; 105,08; 400,75.
1785. 0,5; 0,6; 0,25; 0,75; 0,12; 0,16; 7,05; 12,025; 103,28.
1786. Обратить обыкновенные дроби в десятичные посредством
разложения знаменателя на простые множители:
jL. _i_. 2. ±. А. А • Ъ- г??- 6 оА • зА
2 ' 5 ’ 4 ’ 4 ’ 8 ’ 8 ’ 16 ’ 25 ’ 25 ’ 125 ’ Z40 ’ d25 *
о о 9 о 9 о 9-5-5 о 225 о оок
Запись решения: 2^ = 22-^^ = 22 2 2 5 5 5 = 2w= 2,225.
Обратить обыкновенные дроби в десятичные посредством деле-
ния числителя на знаменатель.
, ,,г .1 4 3 1 7 16 3 . 3 п 5 . 3
1787. (Устно.) -g-; у; у; 25; l^; 2у; 4yg.
17RR А- А- А- А- А- 11- А_. оА- дА
1/ОО. 8 , 1б, б4, 40, 3Q, 20, !25 ’ « ’ 5 •
203
1789. Не вычисляя указать, какие из следующих дробей обра-
щаются в конечные десятичные дроби, а какие — в бесконечные:
1 . JL- А- 2 - 2- 2 - 11- 2 - 2 - 15
Т ’ "б ' 12 ’ 32 ’ 21 ’ 54 • 90 ’ 50 ’ 6 ’ 45 ‘
1790. Сравнить числа и записать в виде неравенства:
4- и 0,4; 1 и 0,08; £ и 0,15; 2 и о,42.
3 12 25 Ь
1791. Поставить вместо звездочки один из знаков >, < или =:
4*0.2; 1*0.47; 1*0,16; 1*0,313; 1*0,125; 1*1.
Округлить следующие числа:
1792. 1) До сотен: 1056732,4; 35745,3; 49568,95; 349,51; 3051,7;
2) до единиц: 56,75; 143,6; 17,453; 1,5; 2,5; 11,4; 0,9; .
3) до десятых долей: 6,998; 12,309; 94,12; 15,769; 1,471;
4) до сотых долей: 0,05457; 2,13500; 10,46573; 1,535; 0,4749.
1793. Записать следующие обыкновенные дроби в виде десятич-
ных дробей:
1) с точностью до 0,01: у; у; у; й; 2^; 1^ ;
2) с точностью до 0,001: ~; 2; ; 2!; ; 5^; 6-2 .
1794. Вычислить с точностью до 0,01 приближенное значение
частного с недостатком и с избытком: 2:7; 3:11; 8:13; 13:6.
3
1795. Найти десятичные приближения дроби уу с точностью до
0,1; 0,01.
1796. Из записи 0,40; ; 0,4; 0; | и 0,33 ответить
1(Л) 3 о о
на вопросы:
1) Сколько различных чисел здесь написано?
2) Сколько среди этих чисел дробных?
3) Сколько написано целых чисел?
1797. Среднее расстояние Луны от Земли 380 000 км. За сколько
часов долетит ракета до Луны, если ее средняя скорость на пер-
вом участке пути длиной 80 000 км будет 670 км в минуту, а на
остальном пути —150 км в минуту? (С точностью до 1 ч.)
1798. Наименьшее расстояние Марса от Земли 56 млн. км.
Сколько времени потребуется ракете, выпущенной -с Земли, чтобы
пролететь это расстояние, считая, что средняя скорость ракеты
350 км в минуту?
1799. Что больше:
2 или 0,7? 0,8 или ^? 0,75 или ^|? 2 или 2? 2 или 0,625?
4 50 43 7 9 о
2у или 2-|-? 0,095 или 2? 4-2 или 4,829?
1800. Бригада рабочих-экскаваторщиков решила уменьшить стои-
мость выемки каждого кубического метра грунта. Свое решение она
204
выполнила так: 1,3 коп. стоимости сэкономила благодаря повыше-
нию производительности труда и 1,2 коп.—на экономии энергии.
Бригада добилась экономии 8 560 руб. Сколько земли было вынуто
бригадой?
Составить и решить задачу по следующим данным:
1801. 1) Автомат изготовил 12 000 конфет при производитель-
ности 323 конфеты в одну минуту.
2) При семи оборотах винт продвинулся на глубину 2,5 мм.
1802. 1) Прочитать следующие периодические дроби: 0,333...;
0,232323...; 4,527272...; 1,901901901...; 0,(7); 0,(301); 4,(21); 1,(415);
0,5222...; 0,21333...; 13,5232323...; 0,4(37); 6,31(3); 15,43(29).
2) Записать следующие периодические дроби: нуль целых три
в периоде; нуль целых семнадцать в периоде; три целых двадцать
восемь в периоде; нуль целых три десятых и одиннадцать в пе-
риоде; двенадцать целых два нуля до периода и тридцать семь
в периоде.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 48
1) Записать десятичные дроби в виде обыкновенных: 0,9; 0,45;
0,28; 0,51; 1,8; 2,75; 5,125.
v й „ 3 5 15 7 26 18 ,
2) Какие из дробей у; -g-; можно обратить в ко-
нечные десятичные дроби? Выпишите эти дроби.
3) Обратить в десятичные дроби следующие обыкновенные дроби,
предварительно произведя сокращение (если это возможно):
28. J2. 17. _3_.
35 ’ 75 ’ 34 ’ 125 ’ й24 '
4) Сравнить, предварительно обратив в десятичные дроби, сле-
4 5 11 10
дующие числа: у и у; и .
§ 49. СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ
1803. (Устно.) Сложить:
1) у + у- 2) у + у’> 3) У + §’ 4) б’ + 'б 5
5) 9 + 9 . 6) 2зо + зО ‘
1804. Тракторная бригада в первый день вспахала третью часть
всего поля, во второй день — половину его. Какая часть поля была
вспахана за два дня?
Сложить:
1805. 1) 4 + у; 2) 4 + 3) У + У; 4) 4+т; 5)
205
1806. 1) 4 + 1; 2) 1 + 1; 3) 4 + |;
4) ’б’+тб ’ 5)»g-+ g-; 6) Зу+ 1 уз.
iso?, i) 4+|+|; 2) 4+4+|; з) 4+4+4; 4) 4+4+4.
1808. 1) -4+-б+]2; 2) 3) гб+у+у! 4) т+42+п •
1809. 1) 12+у+у ’ 2) То+т+у: 3) у+1б"^25 ’ 4) Тб+т+21 ‘
1810. Сложить дроби, предварительно сократив их, если это
возможно:
.. 14 , 25 . 2 о. 10 , 3 , 21 - о. 15 . 34 , 39 .. О11 . а3 . , 2
7о + бо+ 3 ’ 2) 30 + 7^"27’,3) 120^ 136^ 78 ’ 4^ 212^^15+ 9 '
1811. Заполнить пустые клетки таблицы по следующему пра-
вилу: число, стоящее в пустой клетке, равно числу, стоящему
сверху (в том же столбце), сложенному с числом, стоящим слева
5 1 1
(в той же строке), например, -x- = -T + v.
О Z о
0 1 2 1 4 1 5
к 3 5 6
1 5
1812. Не вычисляя выражений, поставить вместо звездочек
знак < или > между выражениями:
’> (4+12{)*(4-+124) ъ (4+111)*(114+4) •
1813. Доказать справедливость неравенства:
а) 2-) + Зу < 3-|- + 2у ; б) ю| < 7±+ ю|.
Не выполняя сложения, поставить вместо звездочек знак <
1814, I) 4 +4*1; 2) 4 + 4*1;
3)4 + 4*!; 4) 4 + 24*4; 5)з4 + 2|*6.
1815, Записать такие пять чисел, чтобы первое число было 4»
1
второе у, а каждое следующее равнялось сумме двух предыдущих.
206
1816. Записать множество чисел, которое получится, если скла-
дывать попарно числа таблицы:
1 т 4 3 4
1 "3 5 6 2 3
1817. Вычислить выражения:
1) 4у4-а, если а = 3-|-; 2) Ь + 12-|-, если b = 9-|- J
3) а 4- b + 3-1-, если а = 2— и Ь = з4-;
□ £. 4
4) а 4- 2^ 4- Ь, если а= 1-f- и Ь= 1-^ .
12 О 4
1818. Представить в виде дроби сумму:
b . 1 5 . а , R . 2 . а а . b . с
6 + У ’ 8' + Т’Ь + '5+Т0’ 20 + Т + У ’
,, b . 1 b , 3 й + 3
Указание: -тг 4-тт = тт 4-тг = •
0'2 о 1 о о
1819. Тракторной бригаде надо было вспахать поле. В первый
2 3 7
день бригада вспахала R, во второй — ™ и в третий — ™ всего
10 2U О V
поля. Какую часть всего поля вспахала тракторная бригада
за 3 дня?
7
1820. Дорожная бригада в первый день построила км шоссе,
во второй — на у км больше, чем в первый. Сколько километров
шоссе построили за два дня?
1821. Здание в первый день передвинули на 8-^-м, а во второй
день — на 2 у м больше, чем в первый день. На какое расстояние
передвинули здание за 2 дня?
з
1822. Лодка за первый час прошла 6-^- км, за второй час —
на км больше, чем за первый час, а за третий час она прошла
на -g км больше, чем за второй час. Поставить вопрос так, чтобы
ответ на него был получен с использованием всех данных чисел и
действия сложения.
207
1823. Из бочки с бензином в первую автомашину влили 25ул,
з
во вторую — на Зу л больше. В бочке осталось бензина еще
столько, сколько отлили во вторую машину. Поставить вопрос, для
решения которого надо применить сложение.
1824. Камень, брошенный в колодец, пролетает в первую се-
9 4
кунду 4pj м, а в каждую следующую секунду — на 9у м больше,
чем в предыдущую. Какова глубина колодца, если брошенный ка-
мень коснулся воды в колодце через 3 сек?
1825. Два туриста вышли навстречу друг Другу из двух пунк-
тов; первый может пройти расстояние между этими пунктами за
5 ч, а второй — за 6 ч. На какую часть всего расстояния они при-
ближаются друг к другу за час?
1826. Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на
9 3 5
, другое — на у , а третье — на у ?
Сложить следующие дроби, применяя наиболее удобные приемы
вычислений, основанные на законах сложения:
1827. (Устно.) 1) 1 + 2 + | + 1; 2) ’+± + ± + ||
8 . 5 . 1 . 1 . 2 ... 5 . 7 . 3 . 11 . 1
и + 14+ 3 + 14 + т ’ 4' 8 + 18 + 8 + 18 + 8 ‘
1828. 1) 24 + з1+5А+54 + 1 + з1;
2)4 + 21+51 + 51 + 3^;
3) 4 + 3т + 4 + т + '8' + 54':
4> 3й+Д+4+14+|4+2т-
1829. Проверить следующие равенства:
2) ljg-J-2-g- = бу + 3эд ;
,,, .19 . rI7 .-11 о5 ,с23
46o + ^4O I" 524 — 98"+ 640 ’
19 I tC 9 , t 91 II47! 1С28
4) Ю]20 J- 1540+ l300 ll150+ 1575 .
Выполнить сложение и сделать проверку, сложив те же' слагае-
мые в другом порядке:
1830. 1) 1 + 1 + 1 + 1; 2) 21.+ 71 + 21 + 61;
3) 31 + 21 + 81 + 4; 4) 51 + 71 + з1 + 1.
208
1831. Вычислить двумя способами:
»4+(1 + ^;2) 4тя+(3ш + Й)' 3> (14-I-St) + 24;
4>
1832. Вычислить выражение:
2 2 5
1) а + Ь-[-с1 если а = т, b^-т- и с = — ;
7 □ 3 6
2 1 5
2) а-\-Ь-\-с, если а= 1у , Ь = 2-^ и с=-;
3) а-\-Ь, если я = 4-+ 4 и 6=1-1 + 21.
У О 4 0
1833. Упростить выражение:
., 2 .1 ,2 3 . 1 , . 1 , 1 ,
'За + 'з а + '5 а’ 2> Т а ++ Т а + '2 6;
3) 1|а + 21а + 5|.
1834. Записать со скобками и вычислить:
1) к сумме чисел 3-1 и 5-1 прибавить 2-1 ;
2) к сумме чисел 2-^ и 5^ прибавить 4-1 •
' J lot) obi) lo
1835. Сложить дроби:
1) 2у + 2,15; 2) 26,61 +14-1; 3) 2,25 + 3-1;
4) 8-1 + 8,75; 5) з1 + 4,375; 6) 2-1=+ 15,704.
1836. 1) 1 + 2,45 + 1; 2) 4,8 + 21+ 11 ;
3) Зу +3,145+ 21; 4) 7,72 + 3,48 +Зу ;
5) 16,29+ 13,1 + 5,04; 6) з! + 4,25 + 5-1.
1837. Сложить дроби, применяя наиболее удобные приемы вы-
числений:
1) 1 + 2,52 + -1 + 3,4; 2) 11 + 2,76 + 3-1 + 3,24;
3) 4-1 + 3,09 +5-1 + 3,91; 4) 2|| + 3,832 + 5,09 +1.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 49
1) Сформулировать основное свойство дробей и указать, где мы
применяем это свойство.
2) Нужно ли принимать за общий знаменатель при сложение
нескольких дробей произведение всех их знаменателей? При каких
условиях пользуются этим приемом?
209
3) Сложить дроби, предварительно их сократив!
.15 , „22 .32 . 7 . 2
&24 + дЗз+ !24+ 3 '
4) Сложить следующие числа, применив наиболее удобные приемы
вычислений:
3— I 2— I 2— I 4— I —
“26* *4 +21з + 452+13’
5) Через сколько времени может быть изготовлена деталь, если
на ее обработку должно быть затрачено: 21 ч на токарном станке,
з1 ч на фрезерном станке и 11 ч на строгальном станке?
§ 50. ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ
1838. (Устно.) 1) Вес товара брутто (вес с упаковкой) равен
25у кг. Вес тары (упаковки) 3 кг. Найти вес товара нетто (без
упаковки).
7
2) Литр воды весит 1 кг, а литр бензина кг. На сколько
литр воды тяжелее литра бензина?
Найти разность (устно):
icon 11 q. 7 5 „.14 11 15 13
1839. Ру-у, 2)Тз~Тз* 3> 15—Гб’ 4> 17—Г7’
- _8__5 . fil 27_ 7_
’ 21 21 ’ °' 50 501
1840.1) 21—2; 2) 2о|-10; 3)3—1; 4)1—1;
5) 3-{|; 6) 1-1.
9 1 7 4 9 9
1841. 1) 24-4; 2)34-24; 3) 8^-51 ;
do ОО Id Id
4)21-11; 5)21-4; 6) 4^-31.
1842. 1) 2 5 , 2) 5 7 I 3) 15 2 , 4) 3 6 j
n_2_. 51___Г7
28 14 ’ °' 100 50 •
1843. Упростить выражения:
4 , 1 1 1
2) 14a + 21&-la-ll&;
d О Z d
3) 4“+4-1l“-4-
210
Вычислить выражения:
1844. 1) 15-5-—а> если а— 10-?-; 2) Ь—4?? если Ь — 5-~]
3) а— ^4-|- + 8-|-) , если а= 14-?-;
4) b—(б4—3-?-\ если 6 = 5-^.
' \ 6 5 / ’ 2
1845. 1) а + Ь—с, если а = 2-?-, 6=1-?- и с = 3?-';
О О о
2) а—6—с, если а = 6??, 6=14- и с = зА;
3) а + 6, если а = 2-?- + 3-?- и 6 = 3??—2-?-.
Решить уравнения:
1846. 1) х + 4| = 12|; 2) f/ + 5-|—21=б|;
о. . 4 , 3 .1
15 + а 5 ~4 6 *
1847. 1) ± + |=1+|; 2) //-1 = 1+1;
1 7 _ 5 1
о; 112 а — 12+ з .
1848. Определить правило заполнения числами клеток таблицы:
1 2 _1_ 4 1 "6
5 6" 7 12 1 2
4 11 12 О>| сл
1849. Заполнить клетки квадрата, зная, что сумма чисел, стоя-
щих в столбцах, равна сумме чисел, стоящих по строкам.
211
1850. 1) Сумма двух чисел 78^, одно из этих чисел 12^.
Найти другое число.
2) Сумма двух слагаемых 12-^-, одно из этих слагаемых 8^ .
Найти второе слагаемое.
31
1851. Сколько надо прибавить к числу 49gg, чтобы получить
число 88^г ?
24
121
1852. На сколько надо уменьшить число 6-^, чтобы получить
О41.
число 2jg?
2 5
1853. Брутто товара 26у кг, а тара — 2-^ кг. Найти нетто то-
вара (см. задачу 1838).
1854. На пустой бочке для масла осталась следующая надпись:
1 2 1
брутто — 115у кг, нетто —84 у кг. В эту бочку налили 50у кг масла.
Как надо изменить старую надпись на бочке?
1855. Рабочий выполнял норму за 6 ч. Усовершенствовав ста-
нок, он стал выполнять норму за 4 ч. На какую часть всей нормы
он стал выполнять за 1 чч больше?
Указание. Норму работы принять за 1.
1856. Три нассса, работая совместно, могут выкачать из бассейна
воду за 6 ч. Первый насос, работая один, может выкачать воду
за 12 ч, второй — за 18 ч. Какую часть бассейна может выкачать
третий насос за 1 ч?
1857. Три экскаватора различной мощности, работая совместно,
могут отрыть котлован за 4 дня. Первый экскаватор, работая один,
может отрыть этот котлован за 12 дней, второй — за 16 дней. Какую
часть котлована отроет третий экскаватор за 2 дня?
1858. Выполнить вычитание и сделать проверку сложением:
О12®-10®; 2> 3) 105^-Зп: 4* 27«»-207~s•
1859. Выполнить вычитание и сделать проверку вычитанием:
1)40^-38’; 2)49§-10Ч; 3)62^—61g; 4)37§-29^.
1860. Правильно ли выполнено вычисление:
Пояснить решение.
212
1861. Используя прием, указанный в предыдущем упражнении,
выполнить вычитание:
1) 101|— б1; 2) 131-4; 3) 41-ЗЙ; 4) 2б1-22{1.
1862. Правильно ли выполнено вычисление:
I \ 1 j 1 . ( л 3 1 I Г в \ ( \ л । с 6 \ । (п 3 1 \
!) 14у+ + = (j4g- + 5 gj + -
= 20+4=24si
2> 4-(4-6t)=(8I+6t)-4-15-4“4?
Пояснить решение.
1863. Используя приемы, указанные в предыдущем упражнении,
вычислить и пояснить решение:
1> 4+ (41- 4); 2) 8,4(611-41,);
3) 7,4(4-24); 4)241-(81-51).
1864. Записать со скобками, а затем вычислить!
2 3 7 7
1) из разности чисел 4-g- и 3-^ вычесть разность чисел 8— и 8^;
3 3 5
2) из суммы чисел 18у и 16-у вычесть разность чисел 25-g-
»'4-
1865. Вычислить:
» 5-I+4+4-4i г» 4-51+4-4.
2 5 3
1866. Представить смешанные числа 5у; 12g-; 21у в виде
разности натурального числа и правильной дроби.
3 3 5
1867. Из суммы чисел 28у и 26-g- вычесть разность чисел 28-д-
и 201.
1 3
1868. На сколько больше сумма чисел 2у и 1*§~> чем разность
тех же чисел?
Решить задачи 1869—1872 путем составления уравнения.
2 11
1869. 1) Какое число надо прибавить к чтобы получить
0 1Э
22 1
2) Какое число надо прибавить к 5^, чтобы получить 10 g-?
213
5
1870. На какое число надо уменьшить 41jg, чтобы получить
а) 321? 6) 4,Ь
2
1871. 1) К какому числу надо прибавить 24-у, чтобы получить
2бу?
7 1
2) Из какого числа надо вычесть 15-5-, чтобы получить 11^-?
О О
1872. 1) Какое число надо прибавить к 6-^-, чтобы сумма была
3 1
равна разности чисел 16у и 8j?
з
2) Найти уменьшаемое, если вычитаемое равно сумме чисел 8-^-
О5 о 1
и З-g , а разность равна 2 у.
1873. Написать два дробных числа:
1) чтобы одно было больше другого на 5у-;
2) чтобы разность их была равна вычитаемому.
1874. Не вычисляя выражений, доказать справедливость нера-
венства:
а) 15-1-71 < 15А-21; б> 1о|-8^> 10-1-8± .
1875. Не вычисляя выражений, поставить знак > или < вместо
звездочки:
а) (81-31) *(8-1-31); б) (1101 -б!) * ( 11о1-б|).
5 5 7
1876. Сумму чисел 14^ и 12у уменьшить на 7yg. Сколькими
способами это можно сделать? Какой способ в данном случае выгоден?
1877. (Устно.) Как изменится разность двух чисел, если:
1) уменьшаемое увеличить на 2 у ; 2) вычитаемое уменьшить
на Зу; 3) к уменьшаемому прибавить 24у, а к вычитаемому —
7 *9
35^; 4) к уменьшаемому прибавить 2-у, а от вычитаемого от-
нять з4 ?
О
1878. В первом ящике на 4у кг яблок больше, чем во втором.
1) Сколько килограммов яблок надо взять из первого ящика,
з
чтобы в нем стало на 3-у кг больше, чем во втором?
2) Сколько килограммов яблок надо взять из второго ящика,
чтобы в первом стало меньше на 1у кг, чем во втором?
214
3 км
1879. Теплоход по течению реки проходит 23-g- —. Скорость те-
о ч
чепия реки 21-1 Поставить вопрос.
1880. Катер по течению проходит 17-j^, а против течения
12у^. Поставить вопрос.
1881. Составить задачи, для решения которых надо было бы
выполнить следующие действия:
!) [(2—1) + 21] 2) [1-(4 + |)] м.
Выполнить вычитание:
1882. 1) 0,375—1; 2) 0,45; 3) 0,304;
4) 1—0,45; 5) 2,64—21; 6) 41-3,983.
1883. 1) 2,43—1—1; 2) з1 — 0,29 — 1;
3)5,25-4-4; 4)4-’’4-Т:
5) б|—(5,47—4,67); 6) 15,29-(12-|—2-J-) .
1884. Выполнить действия, применяя наиболее удобные приемы
вычислений:
1) 24-|— (20,95—2-1) ; 2) 6-|— (2,32 —11 —1,02) ;
3) 15,25—41—(5,15— 2-1"); 4) 21,4—51—(1б1 —6,б).
• О \ 6 ] 2 \ о ]
1885. Вычислить выражение:
1 3
1) . а—(& + с), если а = 2,7, ^=1у и с = ^;
2) а — (Ь—с), если a=iol, Ь— 12,08 и c = 9,68j
3) А —В, если Л = 4,9 — 1 и В = 2-|- -J-1,2.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 50
1) Вычислить: 21-11+21-(11-1) .
(4 3 \ 3
21 + 6-g 1—4-j-.
Какой способ оказался для данного примера более выгодным?
3) Самолет, вылетевший из Москвы, достиг Северного полюса
на третий день. В первый день он пролетел 1, во второй—1
всего пути. Какую часть пути он пролетел за третий день?
215
4) Рабочий выполнял задание за 7 ч. Усовершенствовав станок,
он стал выполнять это задание за 5 ч. На какую часть задания
рабочий стал выполнять за 1 ч больше, чем выполнял прежде?
5) К 1946 г. общая длина линий Московского метрополитена
(метро) была 40-^ км, а в конце 1970 г. стала 190 км. На сколько
километров длина линий, построенных в 1946—1969 гг., больще ли-
ний, построенных до 1946 г.?
$ 51. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ
НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО
«ООО ч п ,, 1 2 3 8 5 9
1886. (Устно). 1) Удвоить числа: -т-; тг; -х; тх.
4 ' ' d о о У о 1U
О. V 12 2 3 5 7
2) Утроить числа:
' г 2’5 7 5’5 9
1887. (Устно.) 1) Два одинаковых боЛДа весят 1 кг. Сколько
весит один такой болт?
g
2) Разделить м на 3 равные части.
1888. (Устно.) Выполнить умножение:
1) |-5: 2)4 '2: 4>Т'2;
5)1-3; 6)49; 7)1-8; 8) |-0.
1889. (Устно.) Выполнить деление:
1)1.5; 2)Д;2; 3)1.4; 4) §:7;
5)g;24; 6)1.2; 7)1.3; 8)1,4.
1890. Найти произведения:
1)21-2; 2)11-4; 3)21-6; 4)51-6;
5)141-10; 6)21-5; 7)41-1; 8) 18^-0.
1891. Выполнить деление:
1) 31:7; 2) 11:3; 3) з|:3; 4) 11:11;
5)51:8; 6) з!:3; 7) 7^:7; 8)181:9.
1892. Найти произведения наиболее удобным способом:
1)21-4; 2) 31-12; 3)41-9; 4)7-1-14;
5)121-6; 6)111-12; 7)181-18; 8) 5^-36.
216
1893. Выполнить деление наиболее удобным способом:
1) 8±:2; 2) 6^:3; 3) 12|:4; 4) 15^:5;
5) 14у:7; 6) 27-|-:9; 7) 125-|-:25; 8) 48^:16.
2 5 5 1
1894. Найти числа, в 3 раза большие чисел -г! тз; Itt-
г О О 1о 2
1895. Сколько километров в час проходит корабль, имеющий
скорость в 20 узлов? 32 узла?
Указание. Скорость морского корабля обычно измеряют при
помощи меры, называемой узлом; 1 узел = 1 ——, а 1 миля = 1-^- км.
1896. Эскалатор метро движется со скоростью 1-g- м в сек. Пас-
сажир спускался на эскалаторе 18 сек. Определить длину эска-
латора.
1897. Сколько тонн груза перевезут на грузовике за 8 рейсов,
з
если за один рейс на нем перевозят 3-^- т?
з
1898. 23 одинаковые детали весят вместе 28— кг. Сколько весит
одна деталь?
2
1899. Колесо за 40 сек сделало 206у оборота. Сколько оборо-
тов в среднем делало колесо за 1 сек? за 4 сек?
1900. Бутылка с подсолнечным маслом весит 0,86 ке; вес масла
на кг больше веса бутылки. Найти вес масла.
§ 52. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ
Нахождение дроби числа
№ 1901 —1904 решить устно:
1901. 1 кг конфет стоит 3 руб. 20 коп. Сколько стоит кг этих
конфет? v ке? 4 ке? 2-^- кг?
4 О Z
37
1902. Длина реки Невы равна длины канала имени Москвы,
протяженность которого 128 км. Найти длину Невы.
1903. Найти:
1) 4- числа 16; 2) 4- числа 45; 3) 4 числа 35;
а и и
4) -g- числа 640; 5) у числа 7; 6) числа 21.
1904. Найти:
1) | от 124; 2) 1 от 165; 3) от 15;
4) от 18; 5) от 14; 6) от 108.
217
1905. Найти:
1 х 1 1 1 7 qx I 2
J) 7 от y; 2) у от 8 ; 3) у от y;
,4 3 1 -.7 ,1 c. 4 o l
4) T 0T 6 ’’ 5) S' 0T 6) 9 0T V
190.6. Что больше:
b у от 120 или 1 от 160? 2) у от 94 или 1 от 140?
1907. Автомобиль «Волга» может развивать скорость 140 км
в час, а скорость автомобиля «Москвич» равна у скорости «Волги».
Найти скорость автомобиля «Москвич».
1908. Скорость полета стрижа 1 600 м в минуту, скворца-у
7
и ястреба—скорости полета стрижа. Найти скорость полета
скворца и ястреба в минуту.
1909. На вопрос «Который час?» ответили, что оставшаяся часть
з
суток равна у- целых суток. Который был час?
5
1910. В киоск доставили 960 тетрадей; у- этого количества
было в одну линейку, у— в клетку, а остальные — в две линейки.
Сколько тетрадей доставили в две линейки?
1911. Для организма ребенка в возрасте до 10 лет необходимо
в среднем 11 л воды в сутки. Шестая доля этой воды поступает в
организм с питанием, остальная часть —в виде питьевой воды. Сколь-
ко воды дети потребляют с питанием и сколько в виде питьевой
воды?
1912. Дым от одной папиросы содержит 5 мг яда никотина.
Сколько яда примет человек за один день, выкурив 20 папирос,
если от каждой из них в его организм попадет 4- часть никотина?
1913. Составить задачи, для решения которых требуется умно-
жить:
1) 60 км на 1; 2) 110 кг на 3) 5 т на 1-
Умножение дробей
Найти произведения:
1914. 1)9-1; 2) 12.1; 3) 15-1; 4) 45-1; 5) 72-1; 6) 64-g.
218
1915. 1) 32-11; 2) 27-3-1; 3) 12-51;
4) 90-2-1; 5) 1-4||; 6) 0-8^.
\ 1 1 1 1 2 2 2
1916. (Устно.) 1) 2 • 3; 7 * у; у • у; у
W-
1917 1) А.—- 91 А.И о\ 1?. 2.• 41
191Л 18 34’ 32 81 ’ 19 4’
2. А- А 1 4.
з ‘ з ’ 5'5 'Т*
А 1А сц А 18
7 ' 36 ’ °’ 72 ' 35 *
~ 17 2 .
6> 36 * 5Л ’
1918. 1) 21-11; 2) 31-21; 3) 21-51;
4)4|.1А; 5) 3±.2i; 6) 4±.5|;
7) (11V; 8) (зА?; 9) (з-!)’.
\ 4 у у 1 о у у о у
1919. Вместо звездочки поставить знак больше или меньше;
111 9 9
1) 81-2*41-41; 2) 24-А*зА.4.
Z Z и и и
1920. 1) Найти За, если а = А- 2-1; 4-2.
2) Найти А Ь, если 6 = 30; 3-1; 6-1. /
' 15 ’ ’8’4
1921. Не выполняя умножения, определить, что больше:
1) 100 или 100-А; 2) 2-1 или 2-1-А; 3) 31 или з!-А?
4 л л о л л л
1922. В каких случаях при умножении числа на дробь в про-
изведении получится число: 1) меньшее множимого? 2) равное мно-
жимому? 3) больше множимого? Составить по 2 примера, поясняю-
щие каждый случай.
1923. Предельный возраст жизни березы и ольхи 150 лет, сос-
4 2
на живет в З-^-раза дольше березы, ель — в 2jg раза дольше, чем
сосна, а мамонтово дерево—в 5 раз дольше ели. Определить пре-
дельный возраст жизни сосны, ели и Мамонтова дерева.
1924. Для кладки 1 куб. м кирпичного фундамента одному ра-
бочему требуется 5-1 ч. Сколько времени требуется ему для кладки
4-1 куб. м> 20-1 Куб, м?
1925. Подсчитано, что опоздание с уборкой хлебов на 5 дней
после наступления полной спелости зерна снижает урожай на 1
219
часть всего урожая, а при опоздании на 10 дней — на у урожая.
Вычислить:
1) Сколько может быть потеряно зерна с 1 га при опоздании
с уборкой на 5 дней, если в момент наступления полной спелости
з
урожай с 1 га составлял 28у ц?
2) Сколько может быть потеряно зерна с 1 га при опоздании с
уборкой на 10 дней, если в момент наступления полной спелости
урожай с 1 га составлял 32-1 ц?
1926. Поле прямоугольной формы имеет длину 1800 м, а ши-
2 2
рина его равна этой длины. поля засеяно пшеницей. Сколько
О О
гектаров земли засеяно пшеницей?
1927. Комната формы прямоугольного параллелепипеда имеет
длину 4-1 м, ширину 3-1 л: и высоту 3 м. Найти объем комнаты.
1928. Фабричный корпус формы прямоугольного параллелепи-
педа имеет длину 120 м. Ширина корпуса составляет -±- его длины, a
3 V
высота корпуса—уд ширины. Определить объем этого корпуса.
1929. (Устно.) Рассмотреть решение примеров и сказать, на ка-
ком законе умножения основываются эти приемы вычислений:
1) 2~4 = 2:4+|.4 = 8 + 3=11;
О) 1 LV4 —2—-4-f 1 Ц — 9.— — —— 8-1
1 4 V 1 12 J 4 244V 12у~’У12~4~°4’
1930. Используя рациональные приемы, вычислить:
1) 21-2; 4{.5; 5-1-6;
1 2 г о 1 2 \ . ( п 1 1 л 1 1 \
2Ц42 ' З^32 ’ з)’ (,54 ‘ 5 4 4 ‘ 5 J’
1931. Вычислить, применяя законы умножения:
2 J 91. 1 1Z о! А • 1 fil 1 1,
5'й2 2’ 8 ’ 18 3 ‘ 7 ’ 7 3 4 ’ 8 1
30 + 4 (n+2ii)-4(4+3w)-n-
1932. Представить в виде дроби произведение:
1)44= 2)14’ 3>44’ 4>4-5;
3 5 2 За 2а с 4а 5fe
Та' 6> 3" Т’ 7) 3&--4 ! 8) 36-4?’
220
Указание. Решение записывается:
2а 5____2а 5_10а
Т ’ 7k~ 2il’
Сложение, вычитание и умножение дробей
1933. Выполнить указанные действия:
.. 2 10 3 1
5 ’ 11 + 11 ' 15’
2)1 +
3>2ra-4+l54-ro'18i
4) 6-21-5-1.11+11.41-1.131.
1934. Какой стала стоимость станка после 4 лет его работы,
если первоначальная стоимость была 12 000 руб., а на амортизацию
2
(износ) списывается ежегодно кн первоначальной стоимости?
1935. Стоимость товара благодаря повышению производитель-
1 1
ности труда снизилась сначала на у, а затем еще на yj новой
стоимости. Сколько стоит после двух снижений товар, стоивший
раньше 3 600 руб.?
1936. Выполнить указанные действия:
(2А^5-к) ' (4Й—Зу) '
2) (1ОВ-4о)-(34-4):
(л! ,L\ зЯ69 А-
\ 5 ' 10 J *17 \°23 46J 80 9’’
(-7 7 J7> 1 2 л 1 3 (ч о 9 \
А V 12 536; ' 3 4 3 ' 46 ‘ \3 21з) ‘
1937. Проверить распределительный закон на примерах:
,.2 ,15
I) у умножить на сумму чисел I у и у ;
03 1 1 1 о 4 1
2) у умножить на сумму чисел 1 у , 2 у и у .
1938. Выполнить действия:
нА5 1 8 • 9\ (3+‘ 5-3>1 1 •
— у ’ 2) 1^-12------—; • т»
оз 4 . ( 1 4-1-2.• 4) А . (з 4~~1 5—3 X
3' 5 Д з 1 4 + 6 / ’ 4 5 V 9 10 / *
221
1939. Вычислить выражение:
3 1 а । 2,3 ,2
1) —уо + с, если а = у, Ь = -^ и с=1у;
1 2 , 3 1 1 1 3 , 2 2
2) 1 va + ~rb— 1-х- с, если а = 1-5-, Ь = -=- и с = -^;
О т Z и О и
3) |л-1в, если Л = (1|+|) И В = (21-1-3).
5 1
1940. Даны дроби у и -у. Написать и вычислить:
1) утроенную сумму этих дробей;
2) сумму утроенной первой дроби и удвоенной второй;
3) произведение суммы этих дробей на их разность.
1941. 1) К произведению чисел 4-?- и ~ прибавить 4-^.
О 1 I
4 5
2) Найти произведение суммы чисел 2 у и 5у на разность чи-
. 17 5
сел 1- и д-.
1942. Длина сада, имеющего форму прямоугольника, равна
87у м, а ширина на 20у м меньше длины. Какова длина забора,
окружающего этот сад?
1943. Два участка земли, каждый из которых имеет форму пря-
1 2 1
моугольника, имеют размеры: 107 -% м х 45 у м и 78 .их 70 у м.
Площадь какого участка больше и на сколько?
1944. Посадили 3 полезащитные лесополосы. Каждая полоса
была длиной'2 400 м, а шириной 8 у м. Найти общую площадь
этих полезащитных полос.
1945. В овощной магазин привезли 80 ящиков помидоров.
В 25 ящиках было по 10 у кг помидоров в каждом, а в остальных—
2
по 12 у кг. Сколько килограммов помидоров привезли в магазин?
1946. В магазин привезли 602 кг яблок. В первый день про-
3 5
дали ц привезенных яблок, во второй день—yj остатка, а в тре--
тий день — у яблок, оставшихся после первых двух дней продажи.
Сколько яблок осталось в магазине после трех дней торговли яб-
локами?
1947. Из двух пунктов выехали одновременно навстречу друг
другу два велосипедиста. Первый велосипедист может проехать рас-
стояние между пунктами за 5 ч, а второй — за 4 ч. Какая часть
пути будет отделять велосипедистов друг от друга через 2 ч после
их выезда?
222
1948. Из двух пунктов вышли одновременно навстречу друг
другу скорый и почтовый поезда. Почтовый поезд проходит рас-
з
стояние между пунктами за 16 ч, а скорый — за -у- времени поч-
тового. Какая часть расстояния будет между поездами через 3 ч
после их выхода?
1949. Автомобиль прошел за 4 ч 180 км. В первый час он про-
4 5
шел уд всего пути, во второй—-уу того, что прошел в первый час,
в третий — вдвое меньше пройденного за первые два часа вместе,
а в четвертый — остальной путь. Сколько километров прошел ав-
томобиль за четвертый час?
1950. Придумайте задачи, для решения которых надо сделать
следующие вычисления:
1) 20 кг—12 ~ кг • 1; 2) (30 1 клт + 2у км^ •
Умножение обыкновенных и десятичных дробей
1951. Найти произведение:
1)1-0,27; 2)1,24-1; 3)1-1.75;
х хО о
4)31-1,03; 5)21-23; 6)11-1,14.
1952.1) 1-0,4-0,5; 2) 0,25 - ~ - 0,4;
3)1-1-0,12; 4) 1,5-1-0,5;
5)2,75-1-11; 6) 1,08-2 • 0.
1953. Выполнить указанные действия:
1) 2,44-1-1,2; 2) 21-3,3-6,2-1;
хЭ О О
3) fl,44-2IV 5—1-6,6;
4) 10- (5,7 — 31)— 0,4-21.
1954. 1) 18,9 • 1; 2) 25,05 • 1; 3) 20,24 • 1;
4)1,5-1-0,4; 5)1-3,6-0,5; 6) 1,5-1,4-1.
223
1955. Вычислить выражение:
1) «4-0.46—4"с> если а = 3,5, 6=1,2 и с = 4-;
2) ~а—64-0,6 с, если а = 2,4, 6=1,5 и с = 4-
□ D и
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 52
1) Пояснить, почему при умножении на дробь иногда произве-
дение будет больше множимого, иногда меньше, а иногда равно мно-
жимому. Привести примеры.
2) Умножение целого числа на дробь, если дробь отличается от
1 на одну долю, целесообразно выполнять так:
25-f- = 25- fl—44=25—4у = 20 у.
О \ О / и о
Написать обоснование этого способа.
3) Вычислить: 1 у • ^4- • 2у4-у •
4) Найти значение выражения а—b + с, при а = 2-^-, 6=1 у
и с = 3,75.
7
5) От железной полосы длиной 6,75 м отрезали часть, равную у
ее длины. Определить вес отрезанной части, если погонный метр
полосы весит 30 4- кг.
§ 53. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ
Нахождение числа по данной его дроби
1956. (Устно.) 1) Предельный возраст белки 6 лет, что со-
ставляет у предельного возраста зайца. Каков предельный возраст
зайца?
7
2) Предельный возраст льва 35 лет, что составляет у предель-
7 iz
ного возраста медведя и у предельного возраста слона. Каковы
предельные возрасты слона и медведя?
1957. За 5 дней бульдозер отрывает у котлована. Найти часть
котлована, которую отрывает бульдозер за 1 день? За сколько дней
он отроет весь котлован?
1958. Найти число:
1) 4 которого равны 55; 2) 4 которого равны 1001;
1 и Zu
224
1959. Найти число:
1 4 9 1
1) у которого равна у; 2) у которого равны — .
1960. Найти число:
1 12 1
1) -5- которого равна 5 v; 2) — которого равны 5 .
О Zu и
2 3
1961. 1) Найти число, у которого равны — от 160.
2 5
2) Найти число, у которого равны у от 240.
2
1962. Столб, врытый в землю на -у своей длины, возвышается
над землей на 5 у м. Определить длину столба.
2
1963. Сахарный песок при переработке в рафинад теряет у
своего веса. Сколько надо взять сахарного песка, чтобы получить
104 кг рафинада?
1964. Составить задачу, для решения которой требуется разде-
лить: 1) 25 кг на у ; 2) 24 руб. на у; 3) 200 км на у .
Деление обыкновенных дробей
1965. Найти скорость поезда в час, если он проходит:
1) за 3 ч 180 к.и; 2) в у ч 40 км;
3) в у ч 45 км; 4) в у ч 20 км.
Выполнить деление:
1966. 1) 2:-J J 2) 12:4; 3) 20:4; 4) 25:|?; 5) 121b; 6)96:^;
и и ( 11 1Z и/
7) 48:-f- J 8) 0:|.
1967. 1) 1:1b 2) 6:1b 3) 24:2-|; 4) 1:3у; 5) 95:3yj
6) 0:4у; 7) 120:1b 8) 320:3-^ .
1968. Найти числа, обратные данным:
с. о. 1. J_ . 1 . . 13. 1 1 . о 4
°’ °’ *’ 2 ’ 10’ 5 ’ 15’ 1 2 ’ 3 5 *
1969. Найти число, обратное:
1) сумме у + у'. 2) разности 2-^-—1-Ь
3) разности *15 и у; 4) произведению у и .
8 Ns 2266
225
Выполнить деление:
1970. !) ±:1; 2) 11:9; 3)112 = 11.
4) 2 57’ 38’ 5) 6 19’38 ’ 51’7 17 •
1971. 1) 11:21; 2) 11:11; 3)81:11,;
4)121:31; 5) 2о1; ю|; 6) 4 11.
1972. Решить уравнения:
1ч 3 3 6 18
5Х~ 10’ 2) 7*~23 ’
3)21х = |; 4) з|х = 5|.
1973. Найти число:
14 4 2 04 Ч 7
1) -Q- которого равны -5-; 2) которого равны ;
У <5 ои О
3) 3 у которого равны 1 у ;
4) 1 эд которого равны 12 у .
1974. Составить задачу, для решения которой требовалось бы
разделить:
14 1 О 04 3 1 04 3 3
1) -г кг на 3; 2) т кг на -г кг; 3) га на -о- га.
'4 ' 4 2'6 4
1975. Найти значение выражения:
81 4±-А н-LA 28.4
, 4 2 . „ 5’17. ** 3 21. ..29’29 s R 13.47.. 1 . 1
—5 ’ 2) —3) ~Г" ’ 4) —Г ’ 8 16’64’1 35’3‘2 ’
15:Т7 4т 9 = 9
1976. Вычислить выражения:
1) 154-:а, если а = 2^-; 2) а:14, если а=14-‘,
2 1 3 2
3) а:Ь, если а = и b= 1 v; 4) b-.a, если а— 1 -г- и b= 1 .
1977. Не выполняя деления, определить, что больше:
1) 8 или 8:-|-? 2) 5 или 5:у ? 3) или
1 1 1 1 2 о
4) 1у или 1 г.т?
226
3 1
1978. Известно, что Найти значение выражения:
1)|-х; 2) 11:х.
1979. На рынке один колхозник продавал сливы по 18 коп.
за кг, а другой продавал меркой, в которую входит 3 кг слив, за
47 коп. Какой колхозник продавал сливы дешевле? На сколько
дешевле? Как решить задачу, не используя дроби?
1980. Когда турист проехал -g- всего пути между двумя горо-
дами, то до половины пути ему осталось проехать 12 км. Найти
расстояние между городами.
1981. Когда с продовольственной базы перевезли в магазины
5
12 всего запаса крупы, то на базе осталось на 7 т больше поло-
вины всего запаса крупы. Сколько крупы было на базе?
1982. Земля при своем движении вокруг Солнца проходит при-
мерно путь в 900 000 000 км за год ^365 сут^ . Какое расстояние
проходит Земля за 1 сут? за 1 ч? (Вычислить с точностью до 1 км.)
1983. Длина орбиты Луны вокруг Земли (линия, по которой
движется Луна) примерно 2 400 000 км. Какое расстояние проходит
Луна за 1 сут, если полный оборот вокруг Земли она совершает
за 27 сут? Какое расстояние пройдет Луна за 1 ч? (Вычислить
d I
с точностью до 1 км.)
1984. Выполнить указанные действия:
4|-5|-2
1) - д3 •
13Т
2)—Р-Г
11 3 5Т
44-— 2—3 —
33 . 3 2
•Л 1 К 1 Q >
5:2 154-зт-4
4)
2 7
2:2^ 4<:13
. о
Г 2~‘ 7~
3-Ьб4 5:14
о о о
1985. Вычислить наиболее простым способом:
п1.2 + 2.1+5 2. 9' flV + Aj_r_LY,
6 5 + 5 3 + 6 5’ ^<4у+1б+н;’
ох ( 1 \2 । л 1 1 4 .ч / 3 , . 5 ~ 3 . . 1 \ 5
3> (J) +4>5—ЗУ1 IP 4) (J64- + 4-6-6z + M: 6 *
Решить уравнения:
1986, 1) х:-| = з|; 2) 2-|.х:| = 25;
3) 7|.|.х = 221; 4)|.х4 = 8-
л A L о о
8*
227
1987. 1) |.(1 + 2х) = 1|; 2) | • (11-Зх) 1;
оч / 5 1 \ 3 2 1 , ,1 с 5
3) [jX 4) 11 — 1 24Х~6 у •
1988. Вычислить выражения:
Указание. Обратить внимание учащихся на наиболее рацио-
нальное решение примеров 1 и 2, применяя свойство прибавления
разности двух чисел и свойство деления числа на частное двух
чисел. Поясним:
п Г—h _L_А') — _l 1 _L_A_23 , . J__ t 2
" \36^2i; + \ 1 9 21 J 36 + 21 + 1 9 21 ~36 + 1 9 — 1 4 •
Упражнения 1989—1990 и 1994 решить, составляя уравнения:
1 3
1989. От умножения у неизвестного числа на получили 30.
Найти неизвестное число.
2 3
1990. От деления у_ неизвестного числа на 1 у получили 25.
Найти неизвестное число.
1991. (Устно.) Как изменится частное, если:
1) делимое умножить на 14-? 2) делимое разделить на 4-^-?
О
1 2
3) делитель умножить на 5-у? 4) делитель разделить на 3-?-?
Z о
5) делимое и делитель умножить на 2 у ?
1992. Как изменится произведение двух чисел, если:
4 2
1) множимое умножить на у, а множитель — на у; 2) множимое
1 2
умножить на 1 у, а множитель разделить на у; 3) множимое раз-
3 4 ..
делить на у, а множитель умножить на у; 4) множимое разделить
о 1 1 1
на 2у, а множитель — на у?
1993. Как изменится частное, если: 1) делимое и делитель умно-
жить на 2 у; 2) делимое умножить на у , а делитель — на у; 3) де-
лимое разделить на 2у, а делитель —на 5; 4) делимое умножить
на у, а делитель разделить на у ?
1994. 1) К какому числу надо прибавить 2у, чтобы получить
удвоенное взятое число?
228
2) К какому числу надо прибавить Зу, чтобы получить ут-
роенное взятое число?
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 53
5
1) Найти частное от деления 125 у на 25, пользуясь свойством
деления суммы на число.
4~L. 12 —
*5 IZ 3
2) Вычислить: --=---.
5Т
3) Скорость света 300 000 км в секунду. Расстояние от Солнца до
Земли свет проходит за 9 у мин. Чему равно расстояние от Земли
до Солнца?
4) Слесарь делает 32 детали за 5 ч. За сколько времени, рабо-
тая с той же производительностью, он изготовит 48 деталей?
5) За 7 у месяцев мартеновская печь дала 625 плавок. Сколько
еще плавок даст печь до конца года, если будет работать с той же
производительностью?
. § 54 УПРАЖНЕНИЯ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ
С ОБЫКНОВЕННЫМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
Примеры на все действия с обыкновенными
дробями
1995. Вычислить выражения:
1) 2у • 48—Зу : jg+5j2 = зб ;
2) 13~2 :1 у + 16 у • 1ТТ + I9-4- :2§-
1996. 1) (Зу—2у+5|+4у)-24;
2) 484=64-*_2|+lg. (b"-13,26).
1997. 1) (4.2|4-1):(1-’.144);
2) (8д-з4+4~8йМ4т-21)-
229
1998. 1)
2)
28t:i4+44
12-i- . 3 —_4— . 4 1
125 3 4 411 4 8
2 4
11 —:2 —
3 7
1999. 1)
2)
2000. 1) -145 6 ^ + 12.f—— + 2• 31;
103-3Г2
,9 1 2 2 2 1 3
’Тб-3У + 16Т-9-2-5 , 12T“61 -2:6T
7 I "Г о
2002. Вычислить выражение:
2 2
364:15 + 84.7
1) Л + В, если А= :-г—— и
12у+4:2т
2Н+<
^2 4 ’
7±_ 157-^:24
о э
2) 2П:36. если а .. ( 2 )’+lj-|4 и 4-(4)' + .
Решить уравнения:
2003. 1) |.х + 25=100; 2)—х-20 = 56;
3) 1.х-50| = .191; 4)40-|.х = 351.
2004. 1) х + 24-1х = 244; 2) |х-21 + 1х = 4^;
a. и и О Z о
2 , , 1 . 3 1 .. о 1 - 1 ,1 , 1 „ 1
3) 5Х+Ц~44 зх;4)24х 5б — ly-K— 1у — Зу.
230
Задачи 2005—2009 решить, составляя уравнение,
з
2005. Если от неизвестного числа вычесть 10 и полученную
разность умножить на 2, то получится 100. Найти число.
2006. Если к неизвестному числу прибавить столько же да еще
1 2
10у, то получится 95у. Найти неизвестное число.
2007. Если к неизвестному числу прибавить его четверть да
2 2
еще 2-=-, то получится 53-?-. Найти неизвестное число,
э э
2008. Если „от половины неизвестного числа отнять его треть,
2
то получится у. Найти нейзвестное число.
2009. Если от неизвестного числа отнять его половину да еще
3 29
-у, то получится эд. Найти неизвестное число.
Примеры на все действия с обыкновенными
и десятичными дробями
2010. Используя приводимую таблицу для устного счета, вы-
числить выражения:
1) ai + a4; 2) с^ + Ьз, 3) b4 —6,; 4) е2—е2;
5) a2 + d3; 6) bt—e3; 7) Oj + q; 8) d3 —аъ\
9) 4п,: 5d2; 10)6^ + 96,; 11) 2cs—2t3; 12) 5d3.a6-6s.
1 2 3 4 5
а _1_ 2 _1_ 7 £ 3 4 0,4
ь 1 3 _1^ 8 2 4 4 0,25
с _1_ 4 1 9 3_ 5 4 1,75
d j_ 5 1 10 4 5 4 3,12
е 1 6 1 12 5 6 9П 4,5
Указания. 1) Вначале условиться с учащимися, что фраза
«Возьмите число а3 и сложите его с dp> означает сумму чисел
2 1
у 4- у (а8 —число на пересечении строки a n столбца 3).
231
2) Затем перейти к такой формулировке: «Нипиши и т. д.)».
Эта таблица представляет неограниченное число упражнений
для устного счета.
Вычислить выражения:
2011. 1) 2: |7б^—ЗШ • 2,5 —U- :0,6б] ;
I у I & ои j о I
2) ^9-5—3,68):2у] • [1:(2,1—2,09)] :4.
2012. 1) (б,72 :-|-+1-|-• 0,в) : 1,21 —8-|-;
2) 3,075:1,5—(^ + 3,2б) —1,025.
2013. 1) 2 у+ 0,039: - (2,31:0,077)] —2,526;
2) [0,278:13,9 + (2 -0,47):^] ;102,2 + 3,4-1^.
2014. 1) 3,4 + (з-^ —2§ + ^Л-б£-+ 1,5-20,15:2-^-—10,09;
\ 1О о и *О 1 1 1 &
2) 7:0,2625—3,6:(б8,1:7,5—7^+1^)+ 4-|.Ц—17^.
2015. 1) 24,57:3,5+(з,35-2||+-|-) -(225:12,5—3^-2)—151;
2) 28,14:3,5-( 2-Uo,24 • (5,45+ 1 ^-б^ -1,8.
2016. Вычислить выражение Л + В, если:
1) Д = (0,875-0,7): (5-^—3^) и В = [(-1— 0,1:2) - А +
2) Д = (100,8 —42,5)--^-+11,9 и В = 1• (2,652:1,3—1-Ц- +
+0,0б) - (14,26-|:|); 10.
232
2017. Решить уравнения:
1) O,5x+l,5 + yx = 6-|-;
3) 4-^ + 5,4 = 3-^-—0,2х;
и о
3 1 2 1 1 1
2) 4 У *3 5 У~1 2 '
4) 2,3 = 4-^— I’2’
! О
2018. Как изменится произведение или один из сомножителей
в зависимости от следующих изменений (вместо слов „увеличить в“
перед числом стоит знак умножения, вместо слов „уменьшить в“ —
стоит знак деления):
Заполнить свободные места:
Первый сомножитель Второй сомножитель Произведение
1 ’ 2 4
3_ 4 0,2
•0,8 • 4
.2. : 3 3. ’ 5
•0,4 :2,5
:0,2 •0,5
:2Т • 1
4,5 :4Т
Указание. Запись решения примера третьей строки!
л = 4:0,8 = 5.
233
2019. Заполнить свободные места в таблице
(смотрите условие предыдущей задачи):
Делимое Делитель Частное
1 ’ 2 . 1 : 2
2 * 4 2 * 4
2 : 3 2 3
4 1 ' 3
5 ’ 6 • 4
_ 2 : 3 :2
»| сл 4
Задачи с обыкновенными и десятичными дробями
2020. Урожай картофеля на опытном участке составил в среднем
150 ц с 1 га, а при обычной посадке 60% этого количества. На
сколько больше можно собрать картофеля с ’ площади в 120 га с
опытного участка, чем при обычной посадке?
2021. Учащиеся собрали 105 кг цветов ромашки. Достаточно ли
этого количества, чтобы выполнить взятое обязательство — сдать
в аптеку 15 кг сухой ромашки?
Указание. При сушке ромашки теряется первоначального
веса.
2022. Первый рабочий изготовил за 1 ч 18 деталей, а второй
50% этого количества. На сколько больше деталей изготовит пер-
вый рабочий за 7-часовой рабочий день?
2023. В трех гаражах помещается 460 машин. Число машин,
помещающихся в первом гараже, составляет 75% числа машин,
помещающихся во втором, а в третьем гараже в 1,5 раза больше
машин, чем в первом. Сколько машин помещается в каждом гараже?
Указание. Задачи 2023 — 2029 легче решать составлением
уравнения.
2024. Из резервуара с керосином отлили вначале 40%, потом
у всего керосина и после этого в резервуаре осталось 16 т керо-
сина. Сколько керосина было в резервуаре первоначально?
234
2025. Велосипедисты участвовали в гонках три дня. В первый
4 2
день велосипедисты проехали всего пути, во второй—g-, а в
третий день—оставшиеся 100 км. Какой путь проехали велосипе-
дисты за три дня?
2026. Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В пер-
вый день он прошел у всего пути, во второй день — 0,6 оставше-
гося пути и в третий день — остальные 24 км. Найти длину пути,
пройденного ледоколом за три дня.
2027. Три отряда школьников сажали деревья. Первый отряд
посадил 0,35 всех деревьев, второй—у оставшихся деревьев, а
третий—остальные 260 деревьев. Сколько всего деревьев посадили
три отряда?
2028. Комбайнер убрал урожай пшеницы с одного участка за
5
три дня. В первый день он убрал урожая с всей площади участка,
у
во второй день—с оставшейся площади и в третий день — с ос-
тальной площади в 30,5 га. В среднем с каждого гектара собрано
30 ц пшеницы. Сколько пшеницы было собрано со всего участка?
2029. От каждой из 50 коров молочной фермы надоено в сред-
нем за год 5 850 кг молока. Выход сливок из молока составлял
16% веса молока, а выход масла из сливок у веса сливок. Сколько
масла получится из молока, полученного от всех коров за год?
2030. Космическая ракета с образцами лунного грунта 21 сен-
тября 1970 г. в 10 ч 43 мин стартовала с Луны с автоматической
станции „Луна-16“ и 24 сентября в 8 ч 26 мин совершила посадку
в заданном районе Советского Союза. Вычислить среднюю скорость
(на всем пути) ракеты: а) за один час; б) за одну минуту; в) за
одну секунду с точностью до 1 км, считая расстояние от Луны до
Земли 360 000 км.
2031. Найти среднее арифметическое:
1) 10 и 5у; 2)б|и 8|;
3)25|и 42|; 4) 151б|;
5) 4 и 1; 6) 19|; 281; 1Ц- и 4.
2032. 1) Число 3,4 является средним арифметическим чисел Зу
и х. Найти число х и, начертив числовую ось, отметить эти три
числа.
2) Среднее арифметическое двух чисел 14у. Одно из этих чисел „
5
15у. Найти другое число и, начертив числовую ось, отметить на
ней эти три числа.
235
2033. Сумма двух чисел 7 у. Одно число больше другого на
4 4-. Найти эти числа.
О
Указание. Задачи 2033—2044 решить, составляя уравнение.
2034. Сумма двух чисел 84 у, а их разность 34,5. Найти эти
числа.
2035. Если сложить числа, выражающие ширину Татарского
и ширину Керченского проливов вместе, то получим 11,7 км; Татар-
ский пролив на 3,1 км шире Керченского. Какова ширина каждого
пролива?
2036. Самый сильный человек на Земле советский штангист
Василий Алексеев на чемпионате мира в 1970 г. набрал в сумме
трех движений 612,5 кг. Сколько килограммов преодолевал В. Алек-
сеев в каждом виде троеборья, если он толкнул штангу на 13,5 кг
больше, чем выжал ее, а жим его был на 58 кг больше рывка?
2037. Сумма двух чисел 19 у, одно из них в два раза больше
другого. Найти эти числа.
3 1
2038. Сумма двух чисел 6 , а их частное 3 у. Найти эти
числа.
2039. В двух гаражах ПО машин, причем в одном из них в 1 у
раза больше, чем в другом. Сколько машин в каждом гараже?
2040. Жилая площадь квартиры, состоящей из двух комнат,
равна 47,5 кв., м. Площадь одной комнаты составляет у площади
другой. Найти площадь каждой комнаты.
2041. Сумма трех чисел 22 у. Второе число в Зу раза, а
третье в 2 у раза больше первого. Найти эти числа.
2042. Бригада за 3 дня убрала урожай с 578 га. Во второй
день было убрано в 1,5 раза больше, чем в первый, а в третий —
в 1 у раза больше, чем во второй. Сколько гектаров бригада убра-
ла в каждый из этих дней?
2043. 1) Разность двух чисел 7; частное от деления большего
2
числа на меньшее 5 -х-. Найти эти числа.
О
3
2044. Разность двух чисел 29у, а кратное отношение их рав-
5
но 8-ё-. Найти эти числа.
О
2045. Три экскаватора различной мощности могут отрыть кот-
лован, работая отдельно: первый — за 10 дней, второй — за 12 дней
и третий — за 15 дней. За сколько дней они отроют котлован, ра-
ботая совместно?
236
2046. Для разравнивания дороги поставлены две грейдерные
машины различной мощности. Первая машина может выполнить
всю работу за 12 дней, а вторая — за 6 дней. За сколько дней вы-
полнят всю работу обе машины, работая совместно.
2047. Первая бригада может выполнить некоторую работу за
36 дней, а вторая — за 45 дней. За сколько дней обе бригады, ра-
ботая вместе, выполнят эту работу?
2048. К ванне подведены два крана. Через один из них ванна
может наполниться за 12 мин, а через другой — в 1,5 раза быстрее.
5
За сколько минут наполнится всей ванны, если открыть сразу
оба крана?
2049. Токарь может выполнить определенную работу за 6 ч.
Чтобы ускорить выполнение работы, первому токарю дали в по-
мощь второго, и они, работая одновременно, все задание выполнили
2
за 2 у ч. За сколько часов выполнил бы это задание один второй
токарь?
2050. Бассейн наполняется первой трубой за 5 ч, а через вто-
рую трубу он может быть опорожнен за 6 ч. Через сколько часов
будет наполнен весь бассейн, если одновременно открыть обе трубы?
Указание. За час бассейн наполняется на (4-—4-| всей ем-
\ D О )
КОСТИ.
2051. Два трактора вспахали поле за 6 ч. Первый трактор,
работая один, мог бы вспахать это поле за 15 ч. За сколько ча-
сов вспахал бы это поле второй трактор, работая один?
2052. Из двух городов одновременно выехали автобус и легко-
вая машина навстречу друг другу. Автобус проезжает весь путь
за 8 ч, а легковая машина — за 5 ч. Через сколько часов после
выезда они встретятся?
2053. Расстояние между двумя городами автобус проходит за
2
4,5 ч, а такси — за -у этого времени. Через сколько времени они
встретятся, если отправятся из этих городов одновременно навст-
речу друг другу?
2054. Из двух пунктов, расстояние между которыми 63 км, вы-
шли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Первый
лыжник пройдет все это расстояние за 10-Г ч. Скорость второго
лыжника была в 1-Г раза больше скорости первого. Через сколь-
ко часов после выхода встретились лыжники?
2055. Группа туристов наметила пройти путь от турбазы до
озера за 4 дня. В первый день они наметили пройти -Г всего пу-
з
ти, во второй — у оставшегося пути, а в третий и четвертый дни
проходить по 12 км. Найти длину всего пути от турбазы до озера.
237
2056. Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 216 км,
вышел автобус со скоростью 60 км в час. Одновременно с ним из
города Б в город А вышел грузовой автомобиль. Сколько кило-
метров прошел автобус до встречи с грузовым, если скорость дви-
4 , .
жения грузового в час составляла у скорости автобуса?
2057. Между городами А и Б 210 км. Из города А в город Б
вышла легковая машина. Одновременно с ней из города Б в город
А вышла грузовая машина. Сколько километров прошла грузовая
машина до встречи с легковой, если легковая машина шла со ско-
ростью 80 км в час, а скорость грузовой машины в час составляла
3
у от скорости легковой машины?
2058. Пароход отправился по реке со скоростью 20 км в час.
Через 4 ч от той же пристани вслед за ним отправился катер
„Ракета" со скоростью 70 км в час. Через сколько времени и на
каком расстоянии от пристани катер нагонит пароход?
2059. Из двух колхозов, через которые проходит дорога в рай-
онный центр, выехали одновременно в район на лошадях два кол-
з
хозника. Первый из них проезжал в час по 8у км, а второй — в
1у раза больше первого. Второй колхозник нагнал первого через
Зу ч. Определить расстояние между колхозами.
2060. Тракторист выполнил задание за три дня. В первый день
1 3
он вспахал 12 га, во второй день —15 га и в третий день —
14 у га. Сколько в среднем гектаров земли вспахал тракторист
за день?
2061. Отряд школьников, совершая трехдневный туристский
поход, находился в пути в первый день 6 у ч, во второй 7 ч и
2
в третий день 4 у ч. Сколько часов в среднем ежедневно находи-
лись в пути школьники?
2062. Моторная лодка шла по течению со скоростью 14 у км
в час, а против течения — со скоростью 12 км в час. Найти ско-
рость течения реки и скорость лодки в стоячей воде.
2063. Катер по течению реки Шел со скоростью 15,5 км в час,
а против течения — 8у км в час. Найти скорость течения реки и
скорость катера в стоячей воде.
2064. Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя
городами за 10 ч, а товарный это расстояние проходит за 15 ч.
Оба поезда вышли одновременно из этих городов навстречу друг
другу. Через сколько часов они встретятся?
238
2065. Из двух станций выходят одновременно навстречу друг
другу два поезда: первый поезд проходит расстояние между этими
1 3
станциями за 12у ч, а второй — за 18-^- ч. Через сколько часов
после выхода поезда встретятся?
2066. Из Ленинграда в Кронштадт в 12 ч дня вышел теплоход
и прошел все расстояние между этими городами за 1,5 ч. По доро-
ге он встретил другой теплоход, вышедший в 12 ч 18 мин из Крон-
штадта в Ленинград и шедший со скоростью в 1-^- раза больше,
чем первый. В котором часу произошла встреча обоих теплоходов?
2067. Велосипедист и пешеход одновременно направились на-
встречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми
62 км. При встрече оказалось, что пройденный пешеходом путь со-
ставляет пути, пройденного велосипедистом. Сколько часов был
в пути велосипедист до встречи с пешеходом, если его скорость на
4,5 км в час больше скорости пешехода?
2068. Из одного селения вышел пешеход, идущий 4 км в час.
Через 4 ~ ч после выхода пешехода по тому же направлению вы-
ехал велосипедист, скорость которого в 2 у раза больше скорости
пешехода. Через сколько часов после выхода пешехода его догонит
велосипедист?
2069. Половину пути автобус шел со скоростью 60-^-, а дру-
гую—со скоростью 40-^-. Чему равна средняя скорость движения
автобуса по всему пути?
Указание. Обозначив половину пути через х, найти время,
за которое автобус прошел весь путь (Z7r + -^r = -^r'), а затем
/ „ 5х \
среднюю скорость на всем пути I 2х: )
§ 55. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА
2070. Написать множество чисел, каждое из которых определя-
ется равенством:
1) ап = nqLi > где п — натуральное число, определяемое неравенством
1 п ^9.
2) о„ =----, где п — натуральное число, определяемое неравенст-
вом 2 п 10.
2071. Множество А содержит числа, каждое из которых опреде-
2п.
ляется равенством ап— 2г1_ру» где п—натуральное число, удовлет-
воряющее неравенству 1 п 8. Множество В содержит числа,
239
каждое из которых определяется равенством Ьп — , где п —
натуральное число, удовлетворяющее неравенству 1 ==g п 8. Най-
ти общие элементы множеств А и В.
2072. Множество М содержит числа, каждое из которых опре-
деляется равенством тк — , где k — натуральное число, удов-
летворяющее неравенству 1 k 5. Множество N содержит числа,
каждое из которых определяется равенством пк = —, где k — на-,
туральное число, удовлетворяющее неравенству 1^&^5. Найти
общие элементы этих множеств.
2073. Если п—натуральное число, удовлетворяющее неравенст-
ву 1 п 7, то элементы множества А определяются равенством
а„ = -у_3д > а элементы множества В определяются равенством о„=
2/1
= .—о—. Найти общие элементы этих множеств.
1 —2/г
2074. Расположить в порядке возрастания следующие числа:
5 . 7 2 1 3
12 ’ 15 ’ 5 ’ 3 ’ 4 ’
25 17 И 5 7
18 * 12 * 9 ’ 3 ’ 4 •
2075. Расположить в порядке убывания следующие числа:
1) • ’ 20 ’ 22 9 7 37
25 ’ 10 ’ 8 ’ 40 •
Какие из этих чисел больше —0,89?
2) -4; 53 35 29 101
24 ’ 16 ’ 12 ’ 48 *
Какие из этих чисел меньше—2
2076. Сравнить по модулю следующие числа и записать резуль-
тат сравнения с помощью знаков .неравенства:
.. 47 . 23 17 . 13 9
96 ’ 48 ’ 32 ’ 24 ’ 16 ’
79 . 43 . 31 . 35 . 101
54 ’ 36 ’ 24 ’ 27 ’ "72" *
2077. Расположить в порядке возрастания следующие числа:
1) -0,53; -0,47;
' о 2о Д)
Какие из этих чисел £ интервалу (— 0,5; 0)?
2) -0,67; -|; -0,71; -^.
Какие из этих чисел $ интервалу (—0,7; 0)?
240
2078. Дана дробь—где а и b — натуральные числа.
1) Как изменится величина дроби, если увеличить числитель на
несколько единиц?
2) Как изменится величина дроби, если увеличить знаменатель
на несколько единиц?
Привести несколько примеров, подтверждающих ваш ответ.
2079. а, Ь, с и d—натуральные числа, удовлетворяющие усло-
вию a-d>b-c. Какой знак: =, <, > следует поставить между
дробями: 1) и Д-; 2) —и —-^-?
г ’ b d ' о d
Привести несколько примеров, подтверждающих ваш ответ.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 55
1) Назвать несколько подмножеств, входящих во множество ра-
циональных чисел.
2) Как определяется равенство двух рациональных чисел? При-
вести примеры.
3) Как определяется понятие «больше» и «меньше» во множестве
рациональных чисел? Привести примеры.
з
4) Сравнить числа —и —0,428572. Результат сравнения на-
писать с помощью знаков < или >.
5) Сравнить те же числа по модулю.
§ 56. ДЕЙСТВИЯ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
Произвести указанные действия:
2080. I) f +(-^> 2) -< + (-»;
£41
Расположить а, Ъ, с и d в порядке возрастания.
2083. 1) 54+(-з{) + (-4±) + 1^;
2)74+(-14)+8А+(-3^);
3) -23i + (-31^ +12| + 411;
4)(-521)+4з1? + 321+(-261).
2084 1) —_— • 2)—_(___—V
^иоч. I) 18 15, Л) 24 16J,
™ Г14\_/ _4_\ . ..
°' k 25/ \ 15 J ' q' \ 28/ \ 42/
2085. 1)4-21; 2) 5l-(-11) ;
Q\ f____ 7 5 \ f_ £?1 1 , A \ f _ A 16\ q23
3Ц-712;-Ч_М’ } Г445Г 336-
2086. 1) 17|-151; 2) (- 191)-log;
3) 13ra)_(—12й); 4>
2037. 1)(-|)_(_2,) + (_11)_^;
Ч4)+Н)-НН;
3> 4+ (~т)—(—в)+(—и);
.. 9 Г 5 \ ( 19\ 7
16 I- V 12j \ 24/ 8 •
2038. 1) 21-(-'11) + (-3|)-51;
2)(-4)-(-5в)+(-4)-«в'
4)(-4)+(-5п)-(-7я)-94-
242
2089. х = (- 0,27) + (~т) + (~ °’34);
г/ = |_(_0,274) + (-^)-0,085;
г = (-0,7)-(-|) + (-0,5)-|;
/ = 0,28 + (-А)Ц_^_°184.
Расположить х, у, г и t в порядке убывания.
2090. 2)(-g)-(-g);
„.20 / 18\ . .. f_15\ 32
й> 27 Л 25 J ' \ 28) ’ 45 ‘
2091. 1) 2|. (-21) ; 2) (-3|) • ( -2-1) ;
3>(-2Ю-4; 4>(~2А) (-2ге)•
(к \ 2 / 4\3 / Q \ 4 / О \ б
-А) ; 2) (-|) ; 3) (-А) ; 4) .
(1 \ 2 / 1 \3 / 1 \4 / 1
-34) ; 2) -1±) ; 3) -Ц-) ; 4) (-1-1) .
оу • \ * J \ о у ху
«апл п ( 36\ 64. 25 / 75 А 32 / 48\ . / 77X33
2094. 1) ( 125j.75> 2)4g.( 128;,3^75‘\ 55>’4Ц 96j'72’
2095. 1) 11:(-4|); 2) ( -4±): (-2±) ;
243
2102. a_[3l+(-2^].(-2i).;
НННИ
<i=[74+(-4)]'(-2s)
Указать наибольшее среди чисел а, Ь, с и d.
2103. <.= [5|-(-21)] • (-l2i);
‘=(-4-4) •(->§);
= [(-4Н-4)М-4);
К-4)-(-4)И-4)-
Указать наименьшее среди чисел а, Ь, с и d.
244
Указать наибольшее среди чисел |а|, |b |с| и |d|.
Указать наименьшее среди чисел | а |, | b |, | с | и | d
210в. 1) [|+(4)].[(_д)+2];
*> [(-Ю-Н)] <-(->
+ (-Й) • (~Й) • (~й):
2110. Написать удвоенное произведение чисел а и Ь. Найти
числовое значение этого выражения при: 1) а = —1,2; 5 ==2,5;
2) а = ±; 6=-®.; 3) а=—у; 6 = —0,75; 4)а=—|; Ь = 0,18.
245
2111. Написать сумму квадратов чисел а и Ь. Найти числовое
значение этого выражения при: 1) а — — 0,6; Ь— 1,5; 2) а = —;
6 = -4; 3) а=-4; 6 = —0,2; 4) а = — 6 = 0,16.
О О ZU
2112. Написать утроенную разность чисел х и у. Найти число-
вое значение этого выражения при: 1) х = —0,37; у —— 0,42;
2) х=-|; у = ±-, 3) х = ^; £, = — 0,7; 4) х = -^; </ = 0,72.
2113. Написать произведение суммы чисел х и у на их раз-
ность. Найти числовое значение этого выражения при: 1)х =— 0,15;
</ = — 0,75; 2) х=—|-; </ = |; 3) х = 0,32; у = — 0,18; 4) х = —
</ = — 0,12.
2114. Написать разность квадратов чисел х и у. Найти число-
вые значения этого выражения при тех же числовых значениях
х и у, что и в предыдущей задаче. Сравнить результаты.
2115. Написать квадрат суммы чисел а и Ь. Найти числовое
5
значение этого выражения при: 1) а = — 2,4; 6=1,5; 2) а— — ;
6 = -4; 3) а = 4; 6 = —0,16; 4) а=-<4: & = —0,14.
4 3
—I—
2П6. Найти числовое значение выражения --фу- при:
1) х = — 3,5; </ = 2,5; 2) х=—; у = ^;
3) *=—у! У = — 0,25; 4) х = |; </ = -0,125.
2117. Найти числовое значение выражения 4^4 пРи:
1) х = —1,6; </= 1,4; 2) х=4;
3) х=-|; = —0,5; 4) х = |; </ = -0,25.
2118. Найти числовое значение выражения jrjzy при тех же
числовых значениях х и у, что и в предыдущей задаче. Сравнить
результаты.
2
2119. Убедиться в том, что при х=—при х — —0,8 выра-
жение 15х2 + 22х + 8 равно нулю.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 56
1) Произвести указанные действия:
Г-11+6Л +Г-А_Г_1П17-1^
12 '"18/ 46/L 42 \ 28JJA 56J '
246
2) Произвести указанные действия:
[’+(-0,825)] :(-4)-(2-0,48) .
1 2
3) Показать, что при х= — 1у и</=— у выражения 4ху—х2—у2
и х2 + у2—ху принимают равные числовые значения.
6 57. УРАВНЕНИЯ
Решить уравнения:
2120. 1) 5х = 2-1—2х; 2) 7х + 2-1 = Зх;
3) 2-^- + 5х = 2х; 4) 3-|- — х = 5х.
2121. 1) 7х—14 = х —6-J-; 2) 5-1 — Зх = х+11;
3) 2х— 1у = 4~Зх; 4) 3-1—6х = х— 1| .
2122. 1) |х = 22—1х; 2) ^ + 3 = |х;
3) 23-|х = |х; 4) |х-21=1х.
2123. 1) |х-8 = 4* + 2; 2) х+ 15 = -1х+Ю;
3) 12—|-х = 29 + 1х; 4) 3—|-х=10—~х.
2124. 1) |(х-1)=х + |; 2) j(2х-3) = х—1;
3) |(4х-1) = 2х+11; 4) |(3-2х)=х-|.
2125. 1) 5-|(х + 1)=1(2-х); 2) 3-1 (2х+1) = -1(1-Зх);
3) 7(3х—1) = 5(х—3); 4) 16 (4х+(3) = 11 (3—х).
2126. 1) 2(4—Зх) + З(х—2) = 3; 2) 4(4 + 5х)—5(1 — 2х) = — 1,
3) 3(2х + 4) + 2(1— х) = 4; 4) 3(1— 2х) + 4(3х—1) = 7.
2127. 1) 2(3х— 1) + 6(1+х)=2; 2) 4(3-5х) + 5(Зх-1) = 9;
3) 2 (5-2х) + 4 (х+ 1) = 14; 4) 5 (2х + 3)-3(4-х) = 3.
2128. 1) |(x+2)+4(x-l) = g; 2) 1(2-х) + |(х-1)=^ ;
3) 1(2х+1) + 2(1-х) = з|;4) ±(3х+1) + 2 (j-x) =2.
247
2129. 1) (х+1)(х — 3) = (х—2)(х—5);
2) (х + 2)(6-х) = (х + 4)(5-х);
3) (х + 4)(х— т) =(х+1)(х—1);
4) (х+1|)(х+1) = (х-11}(х-Ь2).
Следующие задачи решить с помощью составления уравнений:
2130. Если от неизвестного числа отнять 10, то полученное
число составит неизвестного числа. Найти это число.
2131. Если от неизвестного числа отнять 2у, то полученное
число составит у неизвестного числа. Найти это число.
2132. Сумма двух чисел равна 21. Две пятых одного числа и
две третьих другого равны 10. Найти эти числа.
2133. Сумма двух чисел равна 3. Четыре девятых одного из
них и две пятых другого равны 2. Найти эти числа.
2134. Разность двух чисел равна 11. Две девятых большего из
этих чисел и три пятых меньшего равны 23. Найти эти числа.
2135. Разность двух чисел равна 15. Две трети большего из
этих чисел ш пять шестых меньшего составляют 1. Найти эти числа.
2136. В двух классах 63 чел. Три пятых учащихся одного
класса и три четверти учащихся другого класса пошли в турист-
ский поход. Сколько учащихся было в каждом из классов, если
третья часть всех учащихся в походе участия не принимала?
2137. Общая площадь двух полей в совхозе, засеяяных пшени-
5 7
цей, составляет 1 800 га. За неделю скосили -5- одного поля и тх
о 1U
2
другого, что составляет -у общей площади. Найти площадь каждого
поля.
2138. Площадь одного лесхоза на 90 км2 больше площади дру-
„ 2
того. Лесные посадки в первом лесхозе составляют == его площади,
/ о
а во втором его площади. Общая площадь лесных посадок в двух
лесхозах равна 27 клР. Какова площадь каждого лесхоза?
2139. Лыжники разбили маршрут протяженностью в 105 км на
з
три этапа. Во второй день они прошли -у расстояния, оставшегося
после первого дня пути, а в третий день они прошли на 5 км
Меньше, чем в первый день. Найти протяженность каждого этапа
пути.
2140. Школьник купил книги, тетради и портфель, заплатив за
все покупки 6,6 руб. За портфель он заплатил у того, что запла-
тил за книги, а за тетради заплатил на 1,9 руб. меньше, чем за
портфель. Найти отдельно стоимость книг, портфеля и тетрадей.
248’
2141. Две автомашины различной грузоподъемности перевезли
вместе 40,5 т груза. Грузоподъемность первой машины была на
3,5 т больше, и она сделала 6 рейсов, а вторая машина сделала
7 рейсов. Найти грузоподъемность каждой машины.
2142. В автоколонне всего 15 машин грузоподъемностью 2 у т
и Сколько тех и других машин, если за один рейс автоко-
лонна перевозит 32у т груза?
2143. Отец на 25 лет старше сына. Найти возраст каждого из
3
них, если возраст сына составляет у возраста отца.
2144. Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу
из двух пунктов А и В. При встрече оказалось, что первый про-
4
шел у всего. пути и еще 2,4 км, а второй прошел в два раза
меньше первого. Найти расстояние между пунктами А и В.
2145. Мастер и ученик должны были изготовить некоторое ко-
личество деталей. По окончании работы оказалось, что мастер вы-
3
полнил у всего задания и еще одну деталь, а ученик выполнил
з
у того, что выполнил мастер. Сколько деталей изготовили мастер
и ученик вместе?
2146. При подъеме штанги спортсмены применяют три вида
движений: жим, рывок и толчок. На соревнованиях спортсмен
в сумме трех движений набрал вес 467,5 кг. Вес штанги при толчке
оказался на 25 кг больше, чем при жиме. Вес штанги при рывке
составил суммы весов при толчке и жиме. Найти вес штанги
в каждом движении отдельно.
2147. Три дыни весят вместе 9,1 кг. Вторая дыня на 0,8 кг
тяжелее первой, а вес третьей дыни составляет у веса первой и
второй дынь вместе. Сколько весит каждая дыня?
Решить уравнения:
2.48. 1)
2149.
I 2 I 3 ... I 5 I 7
5 Х ~10’ 4) 12 Х —18*
249
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 57
1 ч г> 5 \ . 3 I 1 3 \ 1
1) Решить уравнение: у ^ух—gj+у +7J = —т .
2) Решить уравнение: ly ^2х + 2у) + 1у(Зх + 2) =3.
3) Решить уравнение: | 2-i-х—3-|-|=у.
4) Сумма трех чисел равна 1. Третье число на у меньше пер-
вого. Второе в два раза меньше суммы первого и третьего. Найти эти
числа.
6 58. ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ
2150. Заполнить пустые места в таблице, составленной по фор-
муле х = —.
а Ь С и -рЬ -р с 3
2 3 4
25 73 84
1 2 3 _2 3
0,6 2 т 3_ 5
_3 4 2,34 '1
2151. Написать формулу среднего арифметического двух чисел
и расписать формулу (т. е. составить расчетную таблицу).
2152. Расписать формулы: 1) г/= 5х; 2) у — 0,Зх + 0,4, придавая
значения х = 0,1; 0,2; 0,3, ... ,0,9, 1.
2153. Заполнить пустые места
таблицы, составленной по формуле:
у = х2 + 2х + 1.
X X2 2х У
1 2 3 1 4 2 4 4 9
250
2154. Расписать формулы:
1) У = х2;
2) z/ = x2 + 3;
3) у = хг— 4х + 3;
4) у = 5х2 + х + 1, придавая значения х: —3; —2; —1; 0; 1; 2; 3.
Формула нахождения пути равномерного
движения
2155. Плот движется по реке. Скорость течения реки 2,5 км
в час. Найти длину пути (S), пройденного плотом за t ч. Распи-
сать формулу, придавая значение t от 1 до 10.
2156. Вычислить среднюю скорость автомобиля, если за 4 ч он
проехал расстояние, равное 240 км.
,. „ км км км
Указание. Ответ выразить в —; в —; в —.
г ч мин сек
2157. Скорость света 300 000 —. За какое время свет от Солнца
достигает Земли, если расстояние между ними равно в среднем
149,5 млн. км?
2158. Велосипедист ехал 3 ч со скоростью vt и 2,5 ч со ско-
ростью v2. Записать формулой длину пути велосипедиста и вычис-
лить ее, если о. = 15,2 — и о,= 10,5 —.
2159. Из двух пунктов вышли одновременно друг другу на-
встречу два автомобиля: один со скоростью с^, другой со ско-
ростью v2. Автомобили встретились через 2,5 ч после выхода.
Найти расстояние между пунктами. Вы-
числить это расстояние при
и о, = 70-г —. "
2160. На рисунке 62 изображен график
пути S, пройденного туристом, при равно-
мерном движении в зависимости от измене- ,
ния времени t. Найти по графику путь S, 1 2 3 4 *?
3
пройденный за 3 ч; за 1,5 ч; за 2-^- ч. „
4 Рис. 62
Площадь прямоугольника, квадрата
и треугольника
2161. Периметр прямоугольника 6-^- дм, основание его на — дм
4
больше высоты. Поставить вопрос к задаче и решить ее.
251
2162. Заполнить свободные места в таблице, где S — площадь
прямоугольника, а — основание прямоугольника, h—высота (ширина)
прямоугольника.
а h S
2,5 см 24 см 4 3 см 12,5 кв. см
2163. Практиче-
ская работа. Вычис-
лить площади фигур, изо-
браженных на рисунке 63,
разбив их на прямоуголь-
ники и найдя измерением
размеры каждого прямо-
угольника. Результаты из-
мерений и вычислений же-
лательно поместить в таб-
лицу.
2164. Сколько листов сухой штукатурки потребуется для обивки’
потолка комнаты, длина которой 4у м, а ширина 4 м, если раз-
меры листа штукатурки 2л<х1у л?
2165. В квартире две комнаты. Длина одной равна длина
второй у этой длины. Ширина каждой комнаты 3,2 м. Площадь
этих комнат составляет 70% площади всей квартиры. Чему равна
площадь этой квартиры?
2166. С поля прямоугольной формы собрали урожай пшеницы
з
по 28 ц с гектара. Длина поля 800 м, а ширина равна у его
длины. Дополнить задачу вопросом и решить ее.
з
2167. Прямоугольный участок земли, имеющий в длину 150-у м
и в ширину 60у м, застроен так, что 80% его площади занято
строениями. Определить площадь земли под строениями.
2168. На прямоугольном участке земли, длина которого 0,36 км,
а ширина составляет у его длины, колхоз предполагает разбить
яблоневый сад. Сколько деревьев будет посажено в этом саду, если,
под каждое дерево в среднем нужно отвести площадь в 36 кв. м?
252
2169. 1) Основание треугольника —10,2 см, а высота на 2,4 см
меньше. Найти площадь треугольника.
2) Катеты прямоугольного треугольника 2,4 см и 3,2 см. Найти
площадь прямоугольного треугольника.
2170. Какая площадь больше: прямоугольника со сторонами
5 см и 4 см, квадрата со стороной 4,5 см или прямоугольного
равнобедренного треугольника, каждый катет которого равен 8 см?
Записать площадь этих фигур, используя знак < .
Длина окружности и площадь круга
2171. Заполнить таблицу длины окружности С, вычисленной
по формуле: C = n.D, где л = 3,14, a D принимает значение, ука-
занное в таблице:
2 м 2 м 35 см 42 см 3,4 см
2172. Вычислить длину окружности, если радиус ее равен 2,5 м;
32 см; 0,8 м; 55 мм; 4,6 см.
2173. Нужно огородить забором пруд, имеющий форму круга,
диаметр которого 75 м. Сколько для этого потребуется столбов,
если расстояние между ними делать 0,8 м?
2174. Земля совершает путь вокруг Солнца приблизительно по
окружности, радиус которой равен 150 млн. км. Какой путь совер-
шает Земля за сутки?
2175. Длина минутной стрелки часов на здании Московского
университета равна 4,13 м, а длина часовой стрелки 3,70 м. Вы-
числить скорости движения концов минутной и часовой стрелок.
2176. Определить площадь круга, если радиус его равен:
1) R = 10 см; 2) R = 4,5 см; 3) /? = з4- см.
о
2177. Определить площадь круга, если диаметр его равен:
1) £> = 30 см; 2) £>=12,1 см; 3) £) = 4у см.
2178. Диаметр разреза дерева 40 см. Вычислить площадь попе-
речного сечения дерева.
2179. Лошадь привязана к колу веревкой, длина которой равна
10,5 м. Найти площадь участка, на котором она может пастись.
2180. Вода течет по двум трубам с одинаковой скоростью,
диаметр одной из труб равен 25 см, а другой—15 см. Во сколько
раз за одно и то же время первая труба дает воды больше, чем
вторая?
253
Рис. 64
| 2,8
2181. Что больше и на сколько: площадь круга диаметром 2,7 м
или площадь квадрата со стороной 2,6 м?
2182. По размерам, данным на рисунке 64, определить площадь
заштрихованных частей каждой фигуры. (Вычисления производить,
принимая л = 3,14.)
Объем прямоугольного параллелепипеда и куба
2183. Заполнить пустые места в таблице, составленной по фор-
муле V = abc, где а, Ь, с—измерения прямоугольного параллеле-
пипеда.
а b С
2 3 4
1,2 4 5
1 3
12
2 4
6 2^- 0,2
8
2184. Сарай имеет размеры 10-^ жх4у м. Сколько сена
(по весу) поместится в этот сарай, если его наполнить на 0,8 его
высоты и если 1 куб. м сена весит 82 кг (с точностью до 0,1 ц)?
2185. Поленница дров имеет форму прямоугольного параллеле-
пипеда, размеры которого 4у лхЗу -«xl-y я. Найти вес полен-
ницы, если 1 куб. м дров весит 600 кг (с .точностью до 0,1 ц)?
2186. Аквариум прямоугольной формы наполнен водой до -?
□
1 2 3
высоты. Длина аквариума ly м, ширина у м, высота ~^м. Сколько
литров воды налито в аквариум?
254
2187. Нужно настелить пол в комнате длиной 8 м и шириной
4,5 м досками толщиной 0,05 м. Сколько кубических метров досок
потребуется, если на обрезки следует добавить 10% нужного коли-
чества? (Ответ округлить до 1.)
2
2188. Сарай длиной 18 м, шириной 10 м и высотой 5 м на -j
своего объема заполнен дровами. Сколько поездок за дровами сде-
лано, если дрова возили на 8 грузовиках по 5 куб. м на каждом?
2189. Погреб длиной 12,5 м, шириной 8 м и глубиной 2,5 м
набит льдом на 80% своего объема. Сколько поездок сделали, чтобы
перевезти лед, если возили его на 8 пятитонных грузовиках?
2190. Глубина колодца 4,5 м. Дно его представляет собой пря-
моугольник, стороны которого 1,6 м и 1,2.м. Расстояние от поверх-
4 - л
ности земли до уровня воды составляет у всей глубины колодца.
Сколько ведер воды вмещает колодец? Сделайте чертеж колодца.
Справка. Ведро воды—12л.
2191. Канавокопательная машина за Зч вырывает канаву глуби-
ной 2 м, шириной ул< и длиной 120л. Сколько кубометров земли
выбрасывает машина в среднем в час? Сколько землекопов заменяет
такая машина, если один землекоп за 7-часовой рабочий день может
вынуть 4 кубометра грунта?
2192. Дно и боковые стенки ямы, имеющей форму прямоуголь-
2 3
ного параллелепипеда размерами Пул хб-уж хЗ,2 м, надо обшить
досками. Сколько квадратных метров досок потребуется для этого,
если отходы составят примерно 0,1 поверхности, которая должна
быть обшита досками? Каков объем ямы?
2193. Периметр каждого из трех участков земли — одного квад-
ратного и двух прямоугольных — равен 120 л. Длина первого пря-
моугольного участка больше его ширины в 1,5 раза, а ширина
второго участка составляет -|- его длины. Какой участок больше
по площади? Сделать вывод о величине площадей прямоугольников,
имеющих одинаковые периметры.
Построение линейных, прямоугольных
и секторных диаграмм
2194. Построить диаграмму распределения пахотной земли кол-
хоза по отдельным культурам. Всего в колхозе 7 200 га пахотной
земли. Из этого количества пшеницей засеяно 4 200 га, кукурузой —
1 200 га, подсолнечником — 800 га и остальное—прочими культурами.
Указание. Иметь: циркуль, линейку и цветные карандаши.
2195. Из 40 учеников V класса 22 (15) ученика —11-летнего
возраста, 15 (10)—12-летнего возраста и 3 (2)—13-летние. По-
строить прямоугольную диаграмму и заштриховать. (В скобках
указано число девочек.)
255
2196. За 1-ю четверть в I классе из 40 учащихся имеют оценки
по арифметике: 9 учеников — оценку «5», 12 учеников — оценку «4»,
16 учеников — «3», а остальные — оценку «2». Построить секторную
диаграмму.
2197. По данной секторной диаграмме «Режим для ученика
V класса» (рис. 65) заполнить таблицу.
Количество часов
Сон
Занятия в школе
Домашние занятия
Прием пищи и отдых
Труд, спорт, отдых
2198. 1) Используя данные диаграммы „Размеры частей света"
(рис. 66), составить задачи на нахождение чисел: а) по сумме и
разности; б) по сумме двух чисел и их отношению.
Рис. 66
256
2) Построить диаграмму „Главнейшие реки нашей страны".
Амур.............. 4 510кл
Обь................ 4 340 км
Лена............... 4 270 км
Енисей................. 3 800 км
Волга
Днепр
Кама
Ока
3 700 км
2 300 км
2 030 км
1 500 км
Указание. Взять масштаб 1 см —> 500 км.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ К § 58
1) Короткоструйная дождевальная установка подает воду и раз-
брызгивает ее по кругу диаметром 10 м. Какую площадь орошает
дождевальная установка?
2) При расчистке территории водохранилища Братской ГЭС на
Ангаре было вырублено такое количество леса, что если бы сло-
жить срубленный лес в штабель в форме прямоугольного паралле-
лепипеда, то размеры его были бы: высота 20 м, ширина в 10 раз
больше высоты, а длина в 47,5 раза больше ширины. Сколько ку-
бометров леса было вырублено?
3) Перед началом дождя в школьном саду поставили сосуд,
имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Дождевая вода
заполнила этот сосуд до высоты 3 см. Определить вес воды, выпав-
„ „ 1 1
шеи в виде дождя на школьный сад, размеры которого у км х км,
если известно, что 1 куб. дм воды весит 1 кг.
4) Собранный картофель можно хранить в отрытых на поле
траншеях. Сколько траншей размерами 1,2 мх! .их 10 м нужно
з
приготовить для урожая картофеля с бу га, если предполагаемый
средний урожай его равен 154 ц с 1 га, а 1 куб. м картофеля весит
в среднем 675 кг?
9 № 2266
Глава VI
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
§ 59. ПОСТРОЕНИЕ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ.
ОСНОВНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ
2199. 1) Отметить на листе бумаги произвольную точку Лис
помощью линейки провести прямую линию через точку А. Сколько
прямых можно провести через взятую точку?
2) Отметить на листе бумаги произвольную точку Лис по-
мощью линейки построить два различных луча с началом в точке Л.
Сколько различных лучей с началом в точке Л можно построить?
3) С помощью линейки построить на листе бумаги произвольную
прямую и отметить на ней произвольную точку О. Построить отре-
зок прямой произвольной длины с началом в точке О.
4) С помощью линейки построить на листе бумаги произвольную
прямую, отметить на ней произвольную точку О и построить на
прямой отрезок- длиной 3 см с началом в точке О. Отметить конец
отрезка буквой Л. Сколько отрезков прямой длиной в 3 см можно
построить с началом в точке О на данной прямой?
2200. 1) Отметить на листе бумаги две произвольные точки Л
и В, построить прямую линию, проходящую через эти две точки.
Сколько различных прямых можно провести через две данные
точки?
2) Отметить на листе бумаги произвольную точку Л и провести
две различные прямые через эту точку. Как называются такие
прямые?
3) Отметить на листе бумаги две произвольные точки Л и В и
построить прямую АВ. Отметить точку С вне прямой АВ. По-
строить прямую АС. Сколько общих точек имеют две пересекаю-
щиеся прямые?
4) Отметить на листе бумаги две произвольные точки Л и В
и построить прямую АВ. Отметить точку С вне прямой АВ. Сколько
различных прямых можно построить, соединяя прямой каждые две
точки из построенных точек Л, В и С?
2201. 1) Провести произвольную прямую и отметить на ней две
точки Л и В. Построить на прямой точку С (вне отрезка АВ),
справа от точки В. Сколько отрезков прямой получилось?
258
2) Провести произвольную прямую и на ней отметить две точки
А и В. Построить на прямой АВ точку С между точками А и В.
Сколько различных отрезков при этом получится на данной прямой?
Сколько точек можно построить между Л и В на прямой АВ?
3) Провести произвольную прямую и на ней отметить две точки
А и В. Построить- на прямой АВ точку С, вне отрезка АВ, левее
точки А. Сколько различных точек С можно построить? Сколько
отрезков прямой образуют точки А, В и С?
4) Провести произвольные две пересекающиеся прямые. Сколько
при этом получилось различных лучей с началом в точке пере-
сечения?
2202. 1) Построить произвольную незамкнутую ломаную линию,
состоящую из четырех отрезков различной длины.
2) Измерить длины всех отрезков построенной ломаной и найти
ее длину.
3) Построить замкнутую ломаную линию, состоящую из четырех
отрезков различной длины и найти ее длину.
4) Построить незамкнутую ломаную линию, состоящую из трех
произвольно расположенных отрезков, длины которых равны 3 см,
2 см 3 мм и 1\ см 5 мм.
2203. 1) Построить циркулем окружность с центром в произ-
вольной точке и радиусом, равным 2 см; провести в ней диаметр,
радиус и хорду. Сколько диаметров можно провести в окружности?
Сколько радиусов? Сколько можно провести в окружности хорд?
2) Построить окружность радиуса 2,5 см с центром в произ-
вольно взятой точке О. Отметить на окружности две’ произвольные
точки А и В. Построить еще точку С на окружности между точ-
ками А и В. Сколько получилось при этом различных дуг на дан-
ной окружности?
3} Построить окружность радиуса 1,7 см с центром в произволь-
ной точке О. Отметить на окружности две точки А и В. Построить
на этой окружности дугу, равную дуге АВ (меньшей) с началом
в точке В и расположенную вне дуги АВ.
4) Провести две окружности с центром в произвольной одной
и той же точке О. Измерить радиусы построенных окружностей.
2204. 1) Отметить произвольную точку О и провести из неедва
луча ОА и ОВ так, чтобы образовался острый угол АОВ. Измерить
его с помощью транспортира.
2) Построить прямой угол с помощью угольника. Проверить
измерением правильность построения.
3) Построить произвольный угол и построить угол, смежный с
ним. Измерить каждый из смежных углов. Чему равна их сумма?
4) Построить две пересекающиеся прямые; назвать получившиеся
пары вертикальных углов; измерить вертикальные углы.
2205. 1) Построить квадрат со стороной, равной 2 см, и прове-
сти в нем диагонали. Измерить угол, образованный диагональю
и одной из сторон квадрата. Измерить угол при пересечении диа-
гоналей.
9* 259
2) Построить прямоугольник со сторонами: длина 4 см, ширина
3 ом. Провести в нем диагонали; измерить угол между большей
стороной прямоугольника и диагональю; измерить углы с верши-
ной в точке пересечения диагоналей.
3) Провести произвольную прямую и отметить на ней произ-
вольно точку А; о помощью угольника построить прямую, перпен-
дикулярную к первой и проходящую через точку А.
4) Провести произвольную прямую и отметить вне прямой
произвольную точку Л; с помощью угольника построить пря-
мую, проходящую через точку А и перпендикулярную первой
прямой.
2206. 1) Отметить произвольные две точки А и В и построить
отрезок прямой, соединяющий их; между точками А и В провести
произвольную ломаную линию, не пересекающую отрезок АВ; на
этом же рисунке провести произвольную кривую линию с концами
в точках А и В. Которая линия короче?
2) Отметить произвольные две точки М и К и измерить рас-
стояние между ними.
2207. 1) Отметить две произвольные точки А и В. Соединить
их отрезком прямой. Провести произвольную прямую, не пересе-
кающую отрезок АВ, и отметить на ней произвольную точку О.
Построить на проведенной прямой отрезок, равный отрезку АВ
с началом в точке О.
2) Измерить длину отрезка АВ и измерить длину построенного
равного ему отрезка; какие числа должны получиться при измере-
нии длин этих отрезков?
3) Отметить два произвольных отрезка и построить их сумму;
измерить длины этих отрезков и вычислением найти сумму их длин.
Измерить длину построенного отрезка и сравнить с вычисленным
значением длины.
4) Отметить два произвольных отрезка, не равных между собой,
и построить их разность; измерить длины построенных отрезков,
вычислить разность их длин и сравнить вычисленную длину разно-
сти с длиной построенной разности этих отрезков.
2208. 1) Отметить произвольный отрезок и построить отрезок,
в пять раз больший отмеченного.
2) Отметить произвольный отрезок и разделить его (на глаз)
пополам; измерить длину отмеченного отрезка и измерить длины
его двух частей. Какая ошибка допущена при делении?
2209. 1) Построить произвольный треугольник и построить отре-
зок, равный сумме трех отрезков сторон треугольника. Измерить
длины сторон треугольника и вычислить его периметр. Измерить
отрезок, выражающий периметр треугольника и сравнить с вычис-
ленным значением периметра.
2) Построить произвольный прямоугольник и построить отрезок,
равный сумме четырех его сторон; вычислить периметр прямоуголь-
ника, измерив его стороны; сравнить значения периметра вычислен-
ного и построенного,
260
3) Построить квадрат; построением и вычислением найти его
периметр.
4) Построить прямоугольный треугольник произвольных разме-
ров. Построить его периметр. Убедиться в правильности построе-
ния вычислением периметра треугольника и измерением длины по-
строенного отрезка.
2210. 1) Построить произвольный острый угол и измерить его.
2) Построить тупой произвольный угол и измерить его.
3) Построить произвольную окружность и в круге построить
центральный угол (т. е. угол с вершиной в центре круга, причем
стороны угла направлены по радиусам круга).
4) Построить при помощи транспортира углы в 40°; 115°;
240°; 332°. .
2211. Построить произвольный угол; при помощи циркуля и
линейки построить угол, равный данному. Правильность построения
проверить измерением величины данного и построенного углов.
Рассмотреть случаи острого и тупого углов.
2212. 1) Даны два произвольных угла; построить угол, равный
сумме этих углов. Задачу решить двумя способами: без измерения
углов и с измерением.
2) Построить прямоугольный треугольник Произвольных разме-
ров. Построить сумму его острых углов. Вычислить их сумму,
измерив величины их.
3) Построить прямоугольный треугольник произвольных разме-
ров. Построить угол, равный разности острых углов этого треуголь-
ника. (Решить задачу двумя способами: без измерения и с изме-
рением.)
4) Построить произвольный острый угол. Построить угол, в 3 раза
больший данного. (Решить задачу двумя способами: без измерения
и с измерением.)
2213. 1) Дан произвольный угол. Разделить его (на глаз) пополам.
Проверить измерением правильность выполненного деления и уста-
новить, какая была допущена ошибка.
2) Найти каждый из смежных углов, если один из них в 2 раза
больше другого.
3) Найти каждый из смежных углов, если один из них на 50е
больше другого. Построить найденные смежные углы.
4) Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых,
равен 55°. Найти каждый из остальных углов. Построить две пере-
секающиеся прямые так, чтобы углы соответствовали найденным
значениям.
2214. 1) Дан тупой угол произвольной величины. Построить
перпендикуляр к одной из его сторон так, чтобы он проходил через
вершину угла.
2) Прямой угол лучом, проведенным из вершины, разделен на
две части, из которых одна на 20° больше другой. Найти каждую
часть.
261
3) Прямой угол разделен лучом, проведенным из вершины, на
две части, из которых одна в 5 раз меньше другой. Найти каждую
часть.
4) Прямой угол разделен лучом, проведенным из вершины, на
2
два острых угла, один из которых составляет прямого угла.
О
Сколько градусов содержит каждый из получившихся острых углов?
2215. Разделить угол на две равные части циркулем и линейкой.
Правильность решения задачи проверить измерением. Решить задачу
для случая острого угла, для случая тупого угла и для случая
прямого угла.
2216. 1) Минутная стрелка часов за 15 мин описала на цифер-
блате часс-в некоторый угол. За какое время такой же угол опишет
часовая стрелка?
2) Сколько градусов содержит угол, который минутная стрелка
часов опишет на циферблате за 15 мин? за 30 мин? за 5 мин?
3) Часовая стрелка часов описала на циферблате за один час
некоторый угол. За какое время такой угол опишет минутная
стрелка?
4) Чему равен угол, образованный часовой и минутной стрелками
часов, если часы показывают 5 ч? 7 ч? 12 ч?
2217. Познакомиться с устройством экера и астролябии. Постро-
ить на школьном дворе участок прямоугольной формы с помощью
этих приборов. Вычертить план построенного участка.
Построение фигур, симметричных данным,
относительно прямой
2218. 1) Построить прямую а и три точки вне этой прямой,
в одной полуплоскости. Принимая прямую а за ось симметрии,
построить точки, симметричные отмеченным.
2) Построить прямую а и две точки вне ее, в разных полу-
плоскостях, и третью точку на прямой а. Построить точки, сим-
метричные отмеченным, приняв а за ось симметрии.
2219. Построить прямую а и отрезок АВ вне ее, в одной полу-
плоскости. Построить отрезок, симметричный АВ относительно
прямой а. Убедиться, что построенный отрезок равен данному. Как
это сделать?
2220. Построить отрезок АВ и прямую а, пересекающую его в
точке А. Построить отрезок, симметричный АВ относительно пря-
мой а. Убедиться, что построенный отрезок равен данному. Как это
сделать?
2221. Построить прямую а и отрезок АВ, концы которого лежат
в разных полуплоскостях. Приняв прямую а за ось симметрии,
построить отрезок, симметричный АВ. Убедиться, что построенный
отрезок равен данному.
2222. Построить две пересекающиеся прямые а и Ь. Приняв а
за ось симметрии, построить прямую, симметричную Ь.
262
2223. Построить прямую а и окружность с центром в точке О
и радиусом 1,5 см, вне а, в одной полуплоскости. Построить окруж-
ность, симметричную построенной, относительно прямой а.
2224. Построить окружность с центром в точке О и радиусом
1,7 см. Построить, прямую а, пересекающую окружность, но не
проходящую через точку О. Построить окружность, симметричную
построенной, относительно а.
2225. Построить прямоугольный треугольник с катетами 3 см
и 4 см. Приняв меньший катет за ось симметрии, построить тре-
угольник, симметричный построенному. Как убедиться в том, что
оба треугольника равны?
2226. Построить прямоугольный треугольник с катетами 2 см
и 3,5 см. Приняв гипотенузу за ось симметрии, построить треугольник,
симметричный построенному. Как убедиться в том, что оба треу-
гольника равны?
2227. Построить прямоугольный треугольник с катетами 2 см
и 1,5 см и прямую а, проходящую через вершину прямого угла
под углом 40° к большему катету. Построить треугольник, симмет-
ричный построенному, относительно прямой а. Проверить, что оба
треугольника равны.
2228. Построить произвольный тупоугольный треугольник, при-
няв за ось симметрии его большую сторону. Построить треугольник,
симметричный построенному. Проверить равенство обоих треуголь-
ников.
2229. Построить квадрат со стороной 2,2 см и прямую а, не
имеющую -с квадратом общих точек. Построить квадрат, симметрич-
ный построенному, относительно прямой а. Проверить, что оба квад-
рата равны.
2230. Построить квадрат со стороной 2 см и прямую а, прохо-
дящую через одну из его вершин под углом 45° к прилежащей
стороне. Построить квадрат, симметричный данному, относительно
прямой а.
2231. Построить квадрат ABCD со стороной 1,5 см, его диаго-
наль АС. Построить прямую а через вершину А перпендикулярно АС.
Построить квадрат, симметричный A BCD: 1) относительно АС;
2) относительно прямой а.
2232. Построить прямоугольник со сторонами 2 см и 1,5 см.
Приняв одну из больших сторон за ось симметрии, построить пря-
моугольник, симметричный построенному. Проверить, что оба прямо-
угольника равны.
2233. Построить прямоугольник ABCD и провести диагональ АС.
Построить прямоугольник, симметричный ABCD относительно АС.
2234. Построить произвольный отрезок АВ. Построить прямую а
так, чтобы концы отрезка АВ были симметричны относительно а.
Проверить, что любая точка а равноудалена от точек А и В.
2235. Построить произвольный отрезок АВ и перпендикуляр
к нему через его середину. Проверить, что любая его точка равно-
удалена от точек А и В.
263
2236. Построить произвольный отрезок АВ и точку С вне его.
Построить перпендикуляр к отрезку АВ, проходящий через точку С.
2237. Построить остроугольный треугольник. Построить три его
высоты.
2238. Построить прямоугольный треугольник. Построить три его
высоты.
2239. Построить прямоугольник и одну из его диагоналей. По-
строить Перпендикуляры на эту диагональ из вершин прямоуголь-
ника, не принадлежащих этой диагонали.
2240. Построить произвольный треугольник АВС. Построить
перпендикуляры к сторонам треугольника через их середины.
2241. Построить две точки А и В. Построить третью точку'С так,
чтобы АС = ВС и каждое было наименьшим из всех возможных.
2242. Построить медианы прямоугольного треугольника.
2243. Построить прямоугольник и одну из его диагоналей. Раз-
делить эту диагональ на две равные части.
2244. Построить окружность и в ней хорду. Построить перпен-
дикуляр к этой хорде из центра. Проверить, что перпендикуляр
разделил хорду на две равные части. Чем является перпендикуляр
для концов хорды? для самой хорды?
2245. Построить окружность и в ней диаметр. В одном из кон-
цов диаметра построить хорду. Построить симметричную ей хорду
относительно проведенного диаметра.
2246. Построить прямоугольник A BCD. 1) Разделить на две
равные части его стороны AD и ВС и через построенные точки
провести прямую. Проверить, что эта прямая является осью сим-
метрии прямоугольника ABCD.
2) Выполнить аналогичное построение для сторон АВ и CD
и проверить,, что проведенная через их середины прямая так же
является осью симметрии A BCD.
3) Сколько осей симметрии имеет каждый прямоугольник? Как
построить оси симметрии прямоугольника?
2247. Построить квадрат A BCD. 1) Отметить середины его сто-
рон AD и ВС и провести через них прямую. Проверить, что эта
прямая является осью симметрии квадрата ABCD.
2) Построить вторую ось симметрии квадрата ABCD, соединив
прямой середины его сторон АВ и CD.
2248. I) Построить квадрат ABCD и провести в нем диагональ АС.
Из вершин В и D квадрата провести перпендикуляры на диаго-
наль АС. Проверить, что эти перпендикуляры составляют йдну пря-
мую, проходящую через вершины В и D. Убедиться, что прямая BD
является осью симметрии квадрата.
2) Выполнить аналогичное построение для диагонали BD и про-
верить, что диагональ АС является также осью симметрии квадрата.
2249. Построить квадрат и все его оси симметрии. Сколько их?
Какие прямые являются осями симметрии квадрата?
2250. Построить окружность и в ней провести диаметр. Убедиться,
что он является осью симметрии окружности и круга. Сколько осей
264
симметрии имеет окружность? Сколько осей симметрии имеет круг?
Какие прямые являются осями симметрии окружности и круга?
2251. 1) Построить произвольный острый угол ЛВС и его биссек-
трису ВМ. На стороне ВА угла отметить произвольную точку Р.
Построить точку, симметричную точке Р относительно биссек-
трисы ВМ. Где расположена построенная точка? Проверить, что
биссектриса угла является его осью симметрии.
2) Решить аналогичную задачу для прямого угла АВС и убе-
диться, что его биссектриса является осью симметрии.
3) Решить аналогичную задачу для тупого угла АВС.
4) Какая прямая является осью симметрии каждого угла?
2252. 1) Построить равнобедренный треугольник АВС, АВ — ВС=
= 3,5 см, АС = 3 см и провести биссектрису угла В при вершине
треугольника. Проверить, что биссектриса угла при вершине равно-
бедренного треугольника является осью симметрии треугольника.
Указание. Построить сначала АС и с помощью циркуля по-
строить точку В, отстоящую от Л и от С на 3,5 см.
2) Построить такой же равнобедренный треугольник АВС и бис-
сектрису угла Л (угла при основании). Проверить, что биссектриса
угла при основании равнобедренного треугольника не является
осью симметрии треугольника.
2253. Построить прямоугольный равнобедренный треугольник
и построить его ось симметрии.
Поворот фигуры около точки на заданный угол
2254. 1) Построить отрезок АВ и отметить на нем произвольную
точку О. Концы отрезка Л и В повернуть около точки О на угол 40Q
по движению стрелки часов.
2) Построить отрезок АВ и отметить вне его произвольную
точку О. Концы данного отрезка Л и В повернуть на угол 60а
против движения стрелки часов.
2255. I) Построить отрезок АВ и произвольную точку О вне
его. Повернуть АВ на угол 100° по движению стрелки часов, при-
няв точку О за центр вращения. Отметить Аг тот конец, который
соответствует точке А.
2) Построить окружность радиуса 2 см и отметить на ней точку А.
Отметить точку В вне круга. Выполнить поворот построенной
окружности около точки В на угол 60° по движению стрелки часов.
2256. Построить окружность радиуса 2 см и отметить произ-
вольно точку М. Выполнить поворот построенной окружности около
точки М на 110° против движения стрелки часов.
2257. 1) Построить произвольный Д ЛВС и отметить точку О.
Выполнить поворот Д ЛВС около точки О на угол, равный 50°,
против движения стрелки часов.
2) Построить прямоугольный треугольник и отметить точку
пересечения его высот. Выполнить поворот треугольника около
этой точки на угол, равный 80°, по движению стрелки часов.
2G5
2258. I) Построить квадрат со стороной 1,5 ем. Выполнить по-
ворот его на угол 45° по движению стрелки часов.
2) Построить квадрат ABCD со стороной 1,5 см и отметить
точку О пересечения его диагоналей. Выполнить поворот квадрата
около точки О на угол, равный 90°, по движению стрелки часов.
Отметить новое расположение вершин А, В, С и D.
2259. I) Построить прямоугольник со сторонами 1,8 см и 1,2 см,
отметить точку О, пересечение его диагоналей. Выполнить поворот
прямоугольника около точки О на ^/90° по движению стрелки часов.
2) Построить прямоугольник со сторонами 1,8 см и 1,2 см и
отметить одну из его вершин (Д). Выполнить поворот прямоуголь-
ника около точки А на угол, равный 120°, против движения стрелки
часов.
Центральная симметрия
2260. I) Дан треугольник АВС и точка О, вне треугольника АВС,
Построить треугольник, симметричный треугольнику АВС относи-
тельно точки О.
2) Дан квадрат ABCD и точка О внутри квадрата. Построить
квадрат, симметричный данному относительно точки О.
2261. 1) Дан тупой угол. Построить угол, центрально симмет-
ричный данному углу относительно центра О, лежащего внутри
данного угла.
2) Дана окружность и точка О внутри окружности, не совпа-
дающая с ее центром. Построить окружность, центрально симмет-
ричную данной относительно центра симметрии О.
2262. 1) Даны две точки А и В. Построить точку О так, чтобы
А и В были центрально симметричными относительно точки О.
2) Построить несколько фигур, каждая из которых имеет центр
симметрии.
$ 60. ПОСТРОЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
2263. Начертить прямую а и отметить точку А вне прямой а.
Построить прямую, параллельную а и проходящую через точку А.
Указание. Применить линейку и угольник.
2264. Построить произвольный квадрат и прямую через две его
противоположные вершины. Построить прямые, параллельные ей и
проходящие через две другие вершины квадрата.
2265. Сколько можно провести прямых, параллельных данной
прямой через точку, не принадлежащую данной прямой? В чем
состоит аксиомг параллельности Евклида?
Пучок параллельных прямых
2266. Провести на плоскости произвольно прямую а. Отметить
три точки Л, В и С, не принадлежащие прямой а. Через каждую
266
точку провести прямую, параллельную прямой а. Сколько прямых,
параллельных а, можно построить на плоскости?
2267. Как называется множество прямых на плоскости, парал-
лельных между собой?
2268. Рассмотреть тетрадь по математике (в Клетку). Сколько
пучков параллельных прямых имеется на листе этой тетради?
2269. Рассмотреть лист газеты. Имеются ли на нем пучки па-
раллельных прямых? Что отделяет друг от друга пучок парал-
лельных прямых, проведенных на листе газеты сверху вниз?
2270. Сколько пучков параллельных прямых можно провести
на плоскости?
Направление. Угол между двумя
направлениями
2271. Сколько различных направлений определяет прямая на
плоскости?
2272. Сколько направлений на плоскости определяет пучок
параллельных прямых?
2273. С помощью какого прибора устанавливается вертикальное
направление?
2274. Как определяется на географической карте направление
север—юг? восток — запад?
2275. С помощью какого прибора определяется на местности
направление север — юг?
2276. Как по звездам можно определить направление на север?
2277. Построить произвольный треугольник АВС. Отметить
точку О вне треугольника. Построить три луча, каждый с началом
в точке О, определяющие направления АВ, ВС и СА.
2278. Построить произвольный отрезок CD и точки М и Р вне
этого отрезка. Построить два луча, один с началом в М, в направ-
лении от С к D, другой — с началом в Р, в направлении от D к С.
2279. Провести произвольную прямую и отметить на ней три
точки А, В и С. Какие направления можно задать на плоскости,,
выбирая попарно различные точки из отмеченных? Какие из на-
правлений совпадут?
2280. Как определить, одинаково или противоположно направ-
лены два параллельных между собой луча?
2281. Как определяется горизонтальное направление?
2282. Какой угол образуют пучки прямых, составляющих ли-
новку тетради в клетку?
2283. Дан луч АВ и луч CD, причем АВ не параллельно CD.
Как измерить угол между этими двумя направлениями?
2284. 1) Построить пару лучей так, чтобы начальные точки их
были различны и угол между направлениями лучей был равен 40°.
2) Построить пару лучей, которые имели начало в различных
точках и направления их составляли бы угол 100°.
267
2285. На рисунке 67 углы АОВ и Afl^ таковы, что ОА ||
и ОВ || OiB1 и одинаково направлены.
Доказать, что / АОВ = / A1OiBi.
2286. На рисунке 68 углы АОВ и AlOiBl имеют соответственно
параллельные стороны и противоположно направленные. Доказать,
что / АОВ = /_ А1О1В1.
2287. На рисунке 69 имеются 4 прямые, пересекающиеся в точ-
ках В, С, N и К.
1) Назвать угол между направлениями АС и EL; измерить его.
2) Указать углы с вершиной в точке ft (рис. 69) и назвать
направления, соответствующие сторонам этих углов.
2288. На рисунке 70 имеются ^АОВ и / А1О1В1, причем сто-
роны ОА и OjXj параллельны и противоположно направлены и
стороны ОВ и О1В1 параллельны и одинаково направлены. Дока-
зать, что / АОВ + ^10^! = 180°.
Указание. Соединить точки О и Ot и построить при точке
О угол, смежный с Х.АОВ-, доказать, что он равен
2289. На рисунке 71 АВ || CD и КМ пересекает их. Вспомни-
те, как называются углы 1—8 с вершинами в точках пересечения.
Доказать справедливость следующих равенств: a)
= /5 = /8; б) /2 = /3 = /6= /7;
в) Z2 + Z8 = Z3 + Z5 = Zl+Z7 = Z4 + Z6=180°.
Указание. Использовать задачи 2285; 2286.
2290. На рисунке 72 имеется Л АВС и МВ || АС. Доказать,
что / 1+/2 + /3=180°.
Указание. Сначала доказать, что Z^=21^ и Z2 = Z5*
268
Рис, 72
2291. Скольким прямым углам равна сумма внутренних углов
всякого треугольника?
2292. Сколько градусов составляет сумма острых углов прямо-
угольного треугольника?
2293. Сколько градусов приходится на каждый из острых углов
равнобедренного прямоугольного треугольника?
2294. Сколько градусов содержит каждый угол равностороннего
треугольника?
2295. В треугольнике ЛВС 21'4=50° и 2IС больше 2!^ на 20°.
Вычислить углы В и С.
2296. В треугольнике АВС ^А=40° и /_С в 3 раза больше
/ В. Вычислить углы В и С треугольника.
2297. Один из острых углов прямоугольного треугольника
в 4 раза больше другого. Вычислить острые углы треугольника.
2298. Один из острых углов прямоугольного треугольника на
20° больше другого. Вычислить острые углы треугольника.
2299. Ученик построил треугольник и измерил его углы тран-
спортиром. При измерении он получил: 212 = 82° и
2^3 = 43°. Верно ли измерил ученик углы? Может ли иметь тре-
угольник такие углы?
2300. Вычислить сумму внутренних углов произвольного че-
тырехугольника.
Указание. Построить в четырехугольнике одну из диаго-
налей.
2301. 1) При каждой вершине треугольника АВС построить
по одному углу, смежному с углом треугольника. Как называется
такой угол? Вычислить сумму всех внешних углов треугольника.
2) Построить при каждой вершине произвольного четырехугольни-
ка ABCD угол, смежный с углами А, В, С и D. Вычислить сумму
всех внешних углов четырехугольника.
2302. Построить четырехугольник, противоположные стороны
которого попарно параллельны. 1) Измерить его противоположные
углы. Доказать, что они равны между собой.
2) Измерить углы, прилежащие к его одной стороне. Доказать,
что сумма двух таких углов равна 180°.
Указание. Использовать задачи 2285, 2286.
269
Перенос фигуры по заданному направлению
2303. Задать направление на плоскости с помощью произвольно
построенного луча. Отметить на плоскости точки А и В. Выпол-
нить параллельный перенос точки А в заданном направлении на
3 см и точки В на 2 см в направлении, противоположном задан-
ному.
2304. Задать направление на плоскости с помощью произвольно
построенного луча. Построить отрезок АВ = 3 см. Выполнить па-
раллельный перенос АВ в указанном направлении на расстояние
2 см. Отметить середину АВ и указать, как эта точка перемести-
лась при выполненном построении.
2305. Построить окружность радиуса 1,5 см и задать на пло-
скости направление произвольным лучом. Выполнить параллель-
ный перенос окружности в заданном направлении на расстояние
2 см. Как будут расположены обе окружности относительно друг
друга?
2306. Построить окружность радиуса 1,8 см и провести в ней
диаметр в направлении север — юг (как принято на географических
картах). Выполнить параллельный перенос окружности в направ-
лении севера на 4,5 см. Каким образом взаимно расположены обе
окружности?
2307. Построить произвольный треугольник АВС и задать на-
правление его большей стороне. Выполнить параллельный перенос
Д АВС на расстояние 2 см в отмеченном направлении.
2308. Построить прямоугольный треугольник АВС с вершиной
С прямого угла. Выполнить параллельный перенос АВС в направ-
лении катета С А на расстояние, равное половине гипотенузы.
2309. Построить квадрат со стороной 2,3 см. Выполнить парал-
лельный перенос его на 1 см' в направлении на восток (как при-
нято на географических картах).
Указание. Вспомнить, как располагаются страны света на
картах.
2310. Построить прямоугольник ABCD и выполнить его парал-
лельный перенос в направлении диагонали АС на 2 см.
2311. Построить прямоугольник ABCD и выполнить его парал-
лельный перенос в направлении диагонали СА на 1 см. Указать,
как при этом переместится точка пересечения диагоналей прямо-
угольника.
Перпендикуляр и наклонные
2312. Провести произвольную прямую и отметить точку А вне
ее. Построить перпендикуляр из точки А на проведенную прямую.
От основания О этого перпендикуляра отложить на прямой отрезки
ОВ = ОС по разные .стороны точки О. Провести наклонные АВ
и АС. Проверить, что эти наклонные равны (при помощи измере-
ния и без измерения их длин).
270
2313. Провести произвольную прямую и отметить точку А вне
ее. Построить перпендикуляр АО из точки А на проведенную пря-
мую. От точки О отложить на прямой отрезки ОВ и ОС (ОВ^ОС)
и построить н-аклонные АВ и АС. Проверить, что АВ^=АС.
Указание. Рассмотреть два случая: ОВ и ОС расположены
по одну сторону О А и по разные стороны О А.
2314. Провести произвольную прямую и отметить на ней
точку О. Построить перпендикуляр к проведенной прямой в точке О.
Отложить на этом перпендикуляре отрезок 0М = 3 см и построить
наклонную 7ИВ = 5 см и наклонную Д4С = 6 см по разные сторо-
ны от ОМ. Проверить, что ОС > ОВ. Сохранится ли это неравен-
ство, если наклонные МВ и МС построить по одну сторону от ОМ?
2315. Провести произвольную прямую и отметить на ней точ-
ку О. Построить перпендикуляр к прямой в точке О. Отложить на
этом перпендикуляре отрезок ОМ = 4 см и построить наклонные
МВ и МС к прямой по разные стороны от ОМ так, что МВ =
*=МС — 5 см. Проверить, что ОВ = ОС = 3 см.
2316. Если из точки вне прямой проведены к этой прямой
равные наклонные, то относительно какой прямой эти наклонные
будут симметрично расположены?
2317. Если из точки вне данной прямой проведены к этой пря-
мой равные наклонные, то концы этих наклонных, расположенные
на данной прямой, относительно какой прямой будут симметрично
расположены?
Взаимное расположение прямой и окружности
и двух окружностей
2318. Построить окружность радиуса 2 см с центром в точке О.
Построить прямую а вне окружности. Построить перпендикуляр
из центра О на прямую а. Доказать, что длина перпендикуляра
больше радиуса окружности.
2319. Построить окружность, радиуса 2 см с центром в точке О.
Отметить на окружности произвольную точку А и построить пря-
мую, проходящую через А и не пересекающую окружность. По-
строить отрезок О А. Доказать, что любая другая точка построен-
ной прямой, отличная от точки А, отстоит от точки О на расстоя-
нии, большем радиуса.
2320. Построить окружность радиуса 2 см с центром в точке О.
Отметить точку А внутри окружности и построить прямую, про-
ходящую через точку А и не проходящую через точку О. Из точки
О провести перпендикуляр на построенную прямую. В скольких
точках построенная прямая пересекает окружность? Доказать, что
длина опущенного перпендикуляра меньше радиуса окружности.
2321. Построить окружность радиуса R с центром в точке О.
Построить прямую а, отстоящую от центра О на расстоянии И.
Как будет расположена прямая а по отношению к окружности,
если: а) Н > R; б) И = R и в) Н < R?
271
2322. Построить окружность радиуса 3 см с центром в точке О.
Построить прямую а, которая отстоит от точки О на 4 см. Как
расположена эта прямая относительно окружности?
2323. Построить прямую b и точку О, отстоящую от прямой на
2,5 см. Как будут расположены окружности по отношению к пря-
мой Ь, если центр каждой из них находится в точке О, а радиусы
соответственно равны: 2 см; 2,5 см; 3 см; 3,5 см?
2324. Построить прямую а и точку А, удаленную от а на Зсм.
На прямой а построить точки, которые отстоят от точки А; а) на
5 см; б) на 3 см; в) на 2 см. Как проще выполнить построение?
2325. Построить две параллельные прямые, расстояние между
которыми 2,5 см. Отметить произвольную точку А между прямыми.
Построить на параллельных прямых точки, отстоящие от точки А
на 3 см. Сколько таких точек можно построить? Как проще вы-
полнить построение?
2326. Построить квадрат со стороной 3 см. Построить точки,
принадлежащие этому квадрату и отстоящие от одной из его вер-
шин на расстоянии 2 см. Как наиболее просто выполнить по-
строение?
2327. Построить окружность, которая проходит через две данные
точки и центр которой лежит на данной прямой.
Указание. Рассмотреть все возможные случаи расположения
данных прямой и двух точек.
2328. Две окружности радиусов 2 см и 1 см расположены одна
вне другой так, что имеют одну общую точку. Изобразить на чер-
теже их расположение и определить расстояние между их центрами.
2329. Две окружности радиусов 2 см и 1 см расположены одна
внутри другой так, что имеют одну общую точку. Изобразить на
чертеже их расположение и найти расстояние между их центрами.
2330. Две окружности расположены одна внутри другой. Радиус
одной 2 см, радиус другой 1 см. Расстояние между их центрами
равно нулю. Изобразить на чертеже их расположение. Имеют ли
они общую точку?
2331. Две окружности расположены одна внутри другой. Радиус
одной—2 см, радиус другой — 1 см. Расстояние между их центра-
ми 0,5 см. Изобразить на чертеже их расположение. Имеют ли они
общие точки?
2332. Две окружности расположены одна вне другой. Радиус
одной — 2 см, радиус другой—1 см и расстояние между центрами
3,5 см. Изобразить расположение окружностей на чертеже. Имеют
ли окружности общие точки? Какое соотношение между радиусами
и расстоянием между центрами имеет место?
2333. 1) Две окружности имеют радиусы 2 см и I см. Расстоя-
ние между их центрами равно 2,5 см. Изобразить на чертеже рас-
положение окружностей. Имеют ли окружности общие точки? Какое
соотношение имеет место между радиусами окружностей и длиной
отрезка, соединяющего их центры?
272
2) Точки пересечения окружностей предыдущей задачи соединить
отрезком прямой и измерить угол между этим отрезком и линией
центров.
2334. Дан отрезок прямой АВ = 3 см. Построить точки, удален-
ные от концов отрезка: а) на расстояние 3,5 см; б) на расстоя-
ние 1,5 см.
2335. Начертить два круга различных радиусов так, чтобы они
пересекались между собой. Провести прямую линию через центры
этих кругов. Проверить, что эта прямая является осью симметрии
построенной фигуры.
2336. Начертить два круга различных радиусов, касающихся
друг друга. Провести прямую через центры этих кругов. Проверить,
что построенная прямая является осью симметрии фигуры, образо-
ванной двумя кругами.
Указание. Рассмотреть случаи внешнего и внутреннего касания.
2337. 1) Имеет ли ось симметрии фигура, образованная двумя
кругами различных радиусов и расположенных один вне другого?
2) Имеет ли ось симметрии фигура, образованная двумя окруж-
ностями различных радиусов, если одна расположена внутри другой?
3) Сколько осей симметрии имеет фигура, образованная двумя
кругами разных радиусов, если их центры расположены в одной
точке?
2338. Наружный диаметр трубы 5,5 см, а внутренний диаметр
ее равен 4,5 см. Найти толщину стенок трубы.
§ 61. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ
2339. 1) Если а, b и с—длины сторон треугольника, измерен-
ные одной и той же единицей, то -почему должны быть верными
неравенства: а<Ь-\-с; Ь<_а-\-с и с<а + &?
2) Если А, В и С — углы треугольника, то сколько градусов
составляет Д4-В4-С? Как называется треугольник, если 2/С = 90с?
Какие названия имеют его стороны?
3) Построить произвольный треугольник и в нем провести: а) три
его высоты; б) три его медианы; в) три его биссектрисы.
2340. 1) Мс?кет ли быть треугольник со сторонами 10 см;
12 см; 16 см?
2) Может ли быть треугольник со сторонами 16 см; 10 см; 28 см?
2341. Вычислить периметр треугольника, если его стороны равны
5 см; 6 см и 9 см.
2342. 1) Построить равнобедренный треугольник со сторонами
8 см, 8 см и 10 см.
2) Что является осью симметрии равнобедренного треугольника?
2343. 1) Доказать, что в равнобедренном треугольнике углы
при основании равны.
2) Вычислить углы равнобедренного треугольника, если угол
при основании в 2 раза больше угла при вершине треугольника.
273
2344. На рисунке 73 изображены равные фигуры. Какие точки
второй фигуры соответствуют точкам В и Е первой фигуры?
Рис. 74
Рис. 73
2345. На рисунке 74 изображены равные фигуры. Какие точки
второй фигуры соответствуют точкам Р, М и О первой фигуры?
2346. Построить треугольник, если три его стороны а =1,8 см;
Ь = 2,3 см и с = 2,6 см. По этим же данным построить треугольник
на кальке. Наложением проверить равенство обоих треугольников.
2347. Построить треугольник, если известны: а = 2,5 см; b = 1,8 см
и угол между ними С = 70°. По этим же данным построить тре-
угольник на кальке. Наложением проверить равенство обоих тре-
угольников.
2348. Разделить данный угол пополам (построить биссектрису
данного угла). Доказать правильность выполненного построения,
g» используя признаки равенства треугольников.
\ 2349. Построить угол, равный данному. Доказать
-X справедливость построения, используя признаки ра-
Xfc • венства треугольников.
Х^ 2350. В ДЛВС построить медиану BD к стороне
X с АС и продолжить ее за точку D на расстояние DE =
= AD. Построить отрезок СЕ. Доказать: АВ = СЕ.
д 2351. На рисунке 75 AB = CD и AD = BC. Угол
X ' ’ В = 50°. Сколько градусов содержит угол D7
X 2352. Доказать, что диагонали любого прямо-
X угольника равны между собой.
X 2353. Всякая точка, равноотстоящая от концов
X ' данного отрезка, расположена на перпендикуляре
" к отрезку в его середине (медиатриса). Доказать
Рис. 75 справедливость этого утверждения.
2354. -Построить произвольный отрезок и его медиатрису. Дока-
зать, что любая точка медиатрисы равноудалена от концов отрезка.
2355. Построить смежные углы и биссектрису каждого из них;
сколько градусов составляет угол между биссектрисами?
2356. Построить равнобедренный треугольник АВС с верши-
ной в А. Продолжить ВС за вершины В и С и отложить на про-
должениях BM = CN. Построить AM и AN. Доказать, что ДЛЛ4У
равнобедренный.
Указание. Доказать равенство треугольников АВМ и ACN.
274
2357. Построить равносторонний треугольник АВС и на его
сторонах отрезки AM = BN = СР, такие, что М расположена меж-
ду А и В, -N— между В и С и Р — между С и А. Построить /\MNP
и доказать, что он равносторонний.
Указание. Доказать равенство треугольников AMP; BMN
и CNP.
2358. Построить равнобедренный треугольник АВС с вершиной
в Л и биссектрису угла при его вершине. На биссектрисе отметить
произвольную точку О и провести ВО до пересечения с АС (точка N)
и СО до пересечения с АВ (точка Л1). Доказать, что: 1) ДВЛ1С
равен £\BNC и 2) ДДЛ1С равен &ANB.
Указание. Сначала доказать равенство треугольников АОС
и АОВ.
2359. Построить произвольный угол АОВ и его биссектрису ОС.
Отметить на ОС произвольные две точки М и Р. На стороне ОА
отметить отрезок OD — OM и на стороне ОВ отрезок ОЕ = ОР.
Доказать, что ЕМ = DP.
2360. Построить острый угол XOY и через точку О провести
OS ДОХ и OT_LOY. На ОХ отметить произвольную точку А, на
OY—точку В. На стороне ОС острого угла SOT отметить отрезок
ОС = ОА и на ОТ отрезок 0D — 0B. Доказать, что AB=CD.
2361. Построить треугольник, если сторона а = 6 см,
и сторона Ь = 3 см. Измерить угол, лежащий против стороны а.
2362. Построить треугольник, если его сторона а = 5 см, ^В — ЗОР
и сторона 6 = 3 см. Задача имеет два решения.
2363. Построить треугольник, если его сторона а — 5 см, ^/B = 30Q
и сторона Ь — 5 см. Сколько решений имеет задача?
2364. Построить треугольник, если его сторона а = 4 см, ^В = 30*
и сторона b = 1,5 см.
Указание. Задача решения не имеет.
2365. Построить равносторонний треугольник и провести одну
из его высот. Выделить один из получившихся прямоугольных
треугольников.
Доказать, что в этом прямоугольном треугольнике катет, лежа-
щий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
2366. Построить прямоугольный треугольник по данному катету
и прилежащему к нему острому углу, равному 60°. Доказать, что
гипотенуза построенного треугольника вдвое больше данного катета.
Указание. Дополнить прямоугольный треугольник до равно-
стороннего.
2367. Построить прямоугольный треугольник АВС (вершина пря-
мого угла Д); из вершины В построить луч BD до пересечения
с продолжением С А (за точку Д) так, чтобы ^_DBA = /_АВС.
Доказать, что £\,DBC равнобедренный.
2368. Построить произвольный угол XOY и OZ— его биссектрису.
На OZ отметить точку М и провести в ней перпендикуляр к OZ
до пересечения с ОХ в точке А и с OY — в точке В. Доказать, что
ДДОВ равнобедренный.
275
2369. Построить прямоугольный треугольник АВС (А—вершина
прямого угла). Провести биссектрису до пересечения с АВ
в точке D. Из D провести луч DE до пересечения в точке Е с ВС
так, чтобы ^/.EDC — ^CDA. Доказать, что /\CDE прямоугольный.
2370. Если а и b—параллельные прямые и с прямая, пересе-
кающая их, то: 1) внутренние накрест лежащие углы равны;
2) соответственные углы равны. Доказать справедливость этих
утверждений.
Указание. Разделить пополам отрезок секущей, заключенный
между параллельными, и через его середину провести общий пер-
пендикуляр к параллельным прямым. Рассмотреть прямоугольные
треугольники.
2371. Доказать, что в равнобедренном треугольнике высоты,
проведенные к равным сторонам треугольника, равны.
2372. Построить произвольный треугольник АВС и из вершины В
медиану к стороне АС и продолжить ее за АС. Построить перпен-
дикуляры из вершин Л и С на эту прямую и доказать, что Л и С
равноотстоят от медианы из вершины В.
2373. Построить произвольный угол и его биссектрису. Отметить
на биссектрисе произвольную точку и доказать, что она равноуда-
лена от сторон угла.
2374. Построить произвольный угол XOY и отметить на его
сторонах ОА — ОВ (ОЛ на ОХ); в точке Л построить перпендикуляр
к ОХ до пересечения в М с OY; в точке В построить перпендику-
ляр к OY до пересечения в К с ОХ. Построить МК. Доказать, что
треугольник ОМХ равнобедренный.
2375. В ДЛВС ^/А = 40°. Вычислить угол, под которым пере-
секаются биссектрисы углов В и С этого треугольника.
2376. В ДЛВС биссектрисы углов Л и В пересекаются под
углом 123°; вычислить угол С треугольника.
2377. Вычислить угол треугольника, если медиана треугольника,
проведенная из вершины этого угла, равна половине той стороны
треугольника, к которой медиана проведена.
2378. Сколько различных прямых можно провести через две
точки плоскости? Сколько различных прямых можно провести через
три точки, не лежащие на одной прямой, соединяя их попарно?
Сколько различных прямых можно провести через п точек плоско-
сти, соединяя их попарно, если никакие три из них не лежат на
одной прямой?
Указание. Если дано п точек на плоскости и никакие три
из них не лежат на одной прямой, то, соединяя их попарно между
собой, можно провести на плоскости —— прямых. Действительно,
из одной точки можно провести (п — 1) прямую, соединяя ее с каж-
дой из остальных точек. Так можно поступать с каждой данной
точкой. Всего получим п(п— 1) прямых. Но различных прямых
будет вдвое меньше, так как каждая прямая считалась два раза:
один раз из точки, из которой она проводилась, а второй раз из
276
точки, в которую она была проведена. Учащимся следует предложить
проверить правильность формулы для случая трех (или четырех)
точек, выполнив построение прямых указанным способом.
2379. Что представляет собой множество точек плоскости, уда-
ленных от данной ее точки на одно и то же расстояние? Ответ
обосновать.
2380. Что представляет собой множество точек плоскости, каждая
из которых равноудалена от концов данного отрезка? Ответ обо-
сновать.
2381. Что представляет собой множество точек плоскости, каждая
из которых удалена от данной прямой на одно и то же данное
расстояние? Ответ обосновать.
2382. Сколько общих точек имеется у двух параллельных прямых
на плоскости? Какое множество составляют точки пересечения?
2383. Сколько общих точек имеют две пересекающиеся прямые
плоскости? Какое наибольшее число точек пересечения содержит
множество точек пересечения трех прямых плоскости? Какое наи-
большее число элементов содержит множество точек пересечения
пяти прямых плоскости? Какое наибольшее число элементов содер-
жит множество точек пересечения п. прямых плоскости?
Указание. Наибольшее число точек пересечения получится,
если каждая из прямых будет пересекать все остальные. Если пря-
мых дано п, то каждая пересечет (п— 1) прямую и, следовательно,
всего точек пересечения будет п(н—1); но при этом способе под-
счета каждая точка пересечения была подсчитана дважды и, следо-
вательно, различных точек пересечения (наибольшее число их) будет
«(« — !)
2
Учащимся следует предложить проверить справедливость полу-
ченной формулы для частных случаев: для трех данных прямых
(п = 3), для четырех данных прямых и предложить построить наи-
большее число точек пересечения в каждом из этих случаев.
2384. Периметр треугольника 47 мм. Одна его сторона равна
15 мм. Вычислить каждую из двух других его сторон, если одна
из них на 6 мм больше другой.
2385. 1) Дан отрезок прямой. Разделить его на пять равных
частей.
2) Дан отрезок 7 см. Разделить его на 9 равных частей.
2386. .Вычислить площадь треугольника, если одна из его сторон
равна 12 см и высота, проведенная к этой стороне, равна 10 см.
2387. Вычислить площадь прямоугольного треугольника с кате-
тами 8 см и 6 см.
2388. Вычислить периметр и площадь прямоугольника, если его
длина равна 12 см и ширина 10 см.
2389. Вычислить площадь поверхности и объем прямоугольного
параллелепипеда, если его длина 10 см, ширина 4 см и вы-
сота 12 см. Вычертить развертку и сделать модель параллелепи-
педа с указанными размерами.
277
2390. Построить прямоугольный треугольник с катетами 3 см и
4 см. Измерить его гипотенузу. Длина ее должна оказаться рав-
ной 5 см. Проверить справедливость равенства 32 + 42 = 52, где 3;
4 и 5—длины сторон прямоугольного треугольника.
2391. Построить прямоугольный треугольник с катетами 5 см
и 12 см и проверить измерением, что его гипотенуза равна 13 ем.
Проверить справедливость равенства 52 + 122= 132. Вспомнить,
длинами каких сторон прямоугольного треугольника являются
числа 5; 12 и 13.
2392. Теорема Пифагора. Если стороны прямоугольного треуголь-
ника измерены в одних единицах, то квадрат длины гипотенузы
равен сумме квадратов длин катетов: с2 = а2 + 62 (рис. 76);
Рис. 76
Указание. На чертежах рассмотрите равные прямоугольные
треугольники со сторонами а, b и с. Оба чертежа представляют
равные квадраты со стороной, равной (а-[-Ь), где а и b — катеты
данного прямоугольного треугольника. На первом чертеже квадрат
состоит из квадрата со стороной, равной гипотенузе &, площадь
которого равна с2, и четырех прямоугольных треугольников, каж-
дый из которых равен треугольнику со сторонами а, b и с. На
втором чертеже квадрат тоже со стороной состоит из четы-
рех равных прямоугольных треугольников, каждый из которых
имеет стороны а, b и с и двух квадратов, один из которых имеет
сторону а, другой — сторону Ь. Площади этих двух квадратов соот-
ветственно равны а2 и Ь"-, площадь же квадрата на первом чер-
теже с2; если от квадрата на первом чертеже отбросить четыре
прямоугольных треугольника, то останется квадрат с площадью с2;
если от квадрата на втором чертеже отбросить также четыре пря-
моугольных треугольника, то останутся два квадрата с площадями,
равными а2 и Ь2. Так как большие квадраты на обоих чертежах
равны и все прямоугольные треугольники также равны между со-
278
бой, то, вычитая от равных площадей равных фигур равные пло«
щади равных же фигур, в остатке также получатся равные пло-
щади, т. е. площадь квадрата с2 равна а2А-Ь2. Значит, площадь
квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треуголь-
ника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах,
что и требовалось доказать.
2393. Площадь прямоугольного треугольника 30 см2. Гипотенуза
его равна 15 см. На каком расстоянии от гипотенузы расположена
вершина прямого угла треугольника?
2394. Вычислить площадь прямоугольного треугольника, если
его гипотенуза 17 см, а один из катетов равен 8 см.
2395. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см.
Найти высоту треугольника, проведенную на гипотенузу.
2396. Вычислить площадь треугольника со сторонами 10 мм\
10 мм и 16 мм.
2397. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, осно-
вание которого 24 мм и равные стороны по 20 мм каждая.
2398. Даны два квадрата с соответственно параллельными сто-
ронами и равные между собой. Рассматривая один из них как
выполненный параллельный перенос другого, указать, как было
задано направление переноса и на какое расстояние этот перенос
следовало выполнить?
2399. Даны две равные окружности. Рассматривая одну из них
как параллельный перенос другой, указать, как было задано это
параллельное перенесение. (Направление перенесения и расстоя-
ние, на которое этот перенос следовало осуществить.)
2400. Из точки А, вне прямой а, проведены к прямой а пер-
пендикуляр АО =12 мм и наклонная ЛВ=13 мм. Найти длину
отрезка ОВ, отсекаемого ими на прямой а.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К § 59—61
Задание 1
1) Построить две пересекающиеся прямые и биссектрисы пары
вертикальных углов. Доказать, что они составляют одну прямую.
2) Построить две пересекающиеся прямые а и b и отметить на b
точку С. Построить окружность так,- чтобы ее центр лежал на
прямой а и чтобы она проходила через точку С и точку пересече-
ния а и Ь.
3) Построить две .окружности, радиусов 2 см и 1,5 см, касаю-
щиеся внешним образом одна другой. Найти расстояние между их
центрами и построить ось симметрии фигуры.
Задание 2
1) Построить прямоугольный треугольник и провести перпенди-
куляр к большей стороне треугольника в ее середине (медиатриса).
Через каждую вершину треугольника провести по прямой пучка
прямых, параллельных построенной медиатрисе.
279
2) Построить окружность радиуса 1,8 см и провести в ней диа-
метр в направлении запад—восток (вспомните карту географии)
На расстоянии 2 см от центра провести прямую, перпендикулярную
построенному диаметру. Приняв этот перпендикуляр за ось симмет-
рии, построить окружность, симметричную первой относительно
указанной оси.
3) В предыдущей задаче считать одну из окружностей как вы-
полненный параллельный перенос другой. Как нужно направить
луч и какое расстояние задать для осуществления этого переноса?
Задание 3
1) При пересечении двух параллельных прямых секущей в одной
паре острых соответственных углов каждый равняется 65°. Вычис-
лить остальные 6 углов.
2) Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, про-
веденные к равным сторонам его, равны между собой.
3) Длина прямоугольника 16 мм и ширина 12 мм. Вычислить
периметр и площадь прямоугольника. Вычислить его диагональ.
Выполнить поворот прямоугольника на угол 35° по стрелке часов
около одной из его вершин.
S 62. УПРАЖНЕНИЯ ПО КУРСУ V КЛАССА
2401. Множество чисел А задано формулой ап = t, где п —
натуральное число. Выделить из множества А подмножество всех
натуральных чисел At. Сколько элементов содержит множество Дх?
Перечислить элементы этого множества. При каких значениях п
5Л_24
2402. Множество чисел В задано формулой Ьп = —-—, где п —
натуральное число. Выделить из множества В подмножество всех
целых чисел В,. Сколько элементов содержит множество Вх? При
каких значениях п b„^Bj?
2403. Множество А задано формулой ап— 60^~п-, где п—нату-
ральное число. Выделить из множества А подмножество всех нату-
ральных чисел Др Сколько элементов содержит множество Д^ Из
множества At выделить подмножество всех простых чисел Д2.
Сколько элементов содержит множество Д2? При каких п ап С Д2?
Указание. Представим ап в виде ^+1- Очевидно, что ап бу-
дет натуральным числом, когда п будет делителем 60. Число 60
имеет 12 делителей. При /г = 3; 4; 12 и 20 ап будет числом состав-
ным, при п=1; 2; 5; 6; 10; 15; 30 и 60 ап будет простым числом.
280
п_55
2404. Множество чисел В задано формулой Ь„ = > где п —
натуральное число. Выделить из множества В подмножество всех
целых отрицательных чисел Ву. Сколько элементов содержит мно-
жество Bj? При каких значениях п Ьп^В11‘
2405. Множество всех нечетных чисел задано формулой о„ = 2п — 1,
где п — натуральное число. Показать, что ап будет кратно 5, если
n = 5fe—2, где k тоже натуральное число. Проверить на примерах.
2406. Множество чисел задано формулой Ьп = 3п — 2, где п —
натуральное число. Показать, что Ьп будет кратно 7, если п = 7fe-|-3,
где k тоже натуральное число. Проверить на примерах.
2407. Множества чисел А и В заданы соответственно форму-
лами а„ = 4п—3 и Ьп = 4п— 1, где п — натуральное число, удовле-
творяющее условию ^10. Имеются ли во множествах А и В
общие элементы? Найти множество С, являющееся объединением
множеств А и В. Написать формулу и соответствующие условия,
определяющие элементы множества С.
Указание. Множество А содержит веете натуральные нечет-
ные числа, которые при делении на 4 дают остаток 1 (1; 5; 9;
13; ...). Множество В содержит все те натуральные нечетные числа,
которые при делении на 4 дают остаток 3 (3; 7; 11; 15; ...). При
объединении множеств А и В получим множество всех натураль-
ных нечетных чисел. Элемент этого множества можно задать фор-
мулой с„ = 2п — 1, где 1^п^20.
'2408. Множества чисел А и В заданы соответственно форму-
лами ап = 2п— 1 и &„=1—2п, где п—натуральное число, удовле-
творяющее условию l^n^lO. Имеются ли во множествах А и В
общие элементы? Найти множество С, являющееся объединением
множеств А и В. Написать формулу и условия, определяющие
элементы множества С.
2409. Множества чисел А и В заданы соответственно форму-
лами ап = 2п и Ьп — 3п, где п — натуральное число, удовлетворяю-
щее условию 1^пС15. Найти множество С, являющееся пересе-
чением множеств А и В. Написать формулу и условия, определяющие
элементы множества С.
Указание. Множество А содержит все натуральные числа,
кратные 2, а множество В содержит все натуральные числа, крат-
ные 3. Пересечением этих Множеств будет множество натуральных
чисел, кратных 6. Элемент этого множества можно задать форму-
лой сп — 6п.
2410. Множества чисел А и В заданы соответственно форму-
лами а„ = 4п и Ь„ = 6п, где п — натуральное число, удовлетворяю-
щее условию 1<п< 15. Найти множество С, являющееся пересе-
чением множеств А и В. Написать формулу и условия, определяю-
щие элементы множества С.
2411. Как изменится сумма нескольких десятичных дробей, если
в каждом из слагаемых перенести запятую: 1) на один знак вправо;
2) на два знака влево?
281
в
а
2)
2412. Как изменится разность десятичных дробей, если в умень-
шаемом и вычитаемом перенести запятую: 1) на два знака вправо;
2) на три знака влево?
2413. Как изменится произведение двух чисел, если: 1) в каж-
дом из сомножителей перенести запятую на один знак вправо;
2) в каждом из сомножителей перенести запятую на два знака влево.
2414. 1) Как изменится произведение двух чисел, если:
одном сомножителе перенести запятую на три знака вправо,
в другом сомножителе перенести запятую на три знака влево;
в первом сомножителе перенести запятую на два вправо, а во
втором сомножителе перенести запятую на один знак влево?
2415. Как изменится частное, если: 1) в делимом и делителе
перенести запятую на два знака вправо; на один знак влево;
2) в делимом перенести запятую на один знак влево, а в дели-
теле перенести запятую на два знака вправо?
Произвести указанные действия;
«••с 0,76-5,3 4-8; 4-0,33
41 ' 3,108:8,44-30,07:97’
9417 м :°’037 0’76 + 1,18 0’061
241'* 1) 4,263:0,87 4-0,3723:0,073 ’
3,07-0,39—32,3-0,037 о.
2418* 0 28,1-0,65-2,43-7~5-= 2>
. .. 9,956:0,764-0,015794:0,053.
241У. 1) 128,57:4,3—1,6543:0,071 ’
470 0,032—11,088:2,2 .
0,89-634-19,1-2,3 '
3,901:0,47 4-0,1649:0,097
0,084-0,544-8-0,00683 '
0,523-2,7 4-63,3-0,063 .
27,3-0,57 4-0,291-29 ’
615,09:87 4-1,3332:3,3
2,55-0,54 — 69,483:69 *
2420. Ученик истратил на покупку книг и тетрадей 3,48 руб.,
причем на книги было истрачено на 2,36 руб. больше, чем на те-
тради. На покупку карандашей ученик истратил 75% денег, истра-
ченных на тетради. Сколько денег осталось у ученика, если он
взял с собой 5 руб.?
2421. Турист проехал на автомашине по проселочной дороге и
по шоссе всего 296,8 км за 6 ч 18 мин. Расстояние, пройденное по
проселочной дороге, было на 95,2 км меньше, чем расстояние,
пройденное по шоссе. С какой скоростью турист ехал по шоссе,
если по проселочной дороге он ехал со скоростью 36 км в час?
2422. Расстояние между пристанями А и В 125,5 км. От этих
пристаней отправляются навстречу друг другу моторная лодка и
пароход. Л1оторная лодка отправляется на два часа раньше паро-
хода и идет против течения. Собственная скорость парохода 20 км
в час, собственная скорость моторной лодки на 12,5% больше ско-
рости парохода, а скорость течения реки в 10 раз меньше скорости
моторной лодки. Когда и на каком расстоянии от пристаней А
и В пароход встретится с моторной лодкой?
2423. От станции до дома отдыха 48,4 км. Автобус прошел это
расстояние за 1 ч 20 мин, причем в течение первых 20 мин он шел
282
со скоростью на 9,6 км в час большей, чем в остальное время.
С какой скоростью шел автобус последний час пути?
2424. Расстояние от дома до завода рабочий проходит пешком
за 45 мин, а на велосипеде это же расстояние он проезжает за 20 мин.
На каком расстоянии от завода проживает рабочий, если на вело-
сипеде он проезжает в час на 6 км больше, чем за то же время
проходит пешком?
2425. Две электрические веялки работали одна после другой
всего в течение 7 ч и израсходовали вместе 3 квт-ч энергии. Первая
веялка расходует в час 0,5 квт-ч энергии, а вторая 0,375 tzem-ч.
Сколько времени работала каждая веялка?
2426. У велосипеда ведущая шестерня (скрепленная с педалями)
имеет 48 зубцов, а ведомая шестерня (скрепленная с задним колесом
велосипеда) имеет 16 зубцов. Сколько оборотов в минуту сделает
заднее колесо велосипеда, если педали сделают 40 оборотов?
45 оборотов? 60 оборотов? Найти скорость движения велосипеда
в каждом из этих случаев, если диаметр колеса велосипеда равен
70 см.
2427. Сколько семян потребуется, чтобы засеять газон на пло-
щади, имеющей форму круга диаметром 52,5 м, если на 1 м2 тре-
буется 0,015 кг семян?
2428. Множество дробных чисел А задано формулой ап = >
где п—натуральное число, удовлетворяющее условию 1 п < 10.
Выписать отдельно подмножество At правильных дробей, входящих
во множество А, и подмножество Аг неправильных дробей, входящих
во множество А. Неправильные дроби записать в виде смешанных
чисел.
2м
2429. Множество дробных чисел В задано формулой =
где п—натуральное число, удовлетворяющее условию l^Cn^lO.
Выписать отдельно подмножество несократимых дробей, входя-
щих во множество В, и подмножество В» сократимых дробей, вхо-
дящих во множество В. Произвести сокращение дробей, входящих
во множество В2.
и I 3
2430. Множество дробных чисел А задано формулой ап — i~—2n ’
где п—натуральное число, удовлетворяющее условию 1 15.
Выделить подмножество Аг тех элементов множества А, которые
2
меньше -у.
л ~ I 5
2431. Множество дробных чисел В задано формулой b,t — >
где п—натуральное число, удовлетворяющее условию l^n^lO.
Выделить подмножество Вг тех элементов множества В, которые
1 3
больше ly и меньше . При каких значениях п Ьп£В^
283
Произвести указанные
2432.
действия:
+ 13\ £
V18 + 24 36/ 5
14 3 1_ ’
15 /' 10 14
Г3А_ .Л+ И
\ 28 21 '42у 15
8.12+11.28 !
45 4 г 75 11
2)
4)
, 1 4 7 2
4— -------9 —
6 15 18 3
41.3_i5.jl
9 16 27 20
20 16^40 1 11
-1
2433.
1) (2-J -4 — 1:0,4У21 + (з1-0,28 + 90,2:44):6,1;
2) 0,5- 1g") . 4+ 198,8: fn + g: 1,15") + 13-Х--0.05;
3) + • (0,17-52 — 3,883:0,55 + 0,62) + 4:0,в;
\ 1о 10 Zt 1 о
4) (4~ + 3-|— 5~):(11,02 — 5,87) + (3,996:0,37 — 1,04-2,5—
—0,1): 12.
Найти числовые значения выражений:
2434. -2+^+^ при: 1) х = -3; 1/ = -2; 2) х = -0,4; г/ = 0,5;
3) x = f ; г/ = --|; 4) х = --|; z/ = -0,25.
2435.
^-°~Ь при: 1) а = — 4; 6 = —1; 2) а = -|; 6 = — 0,3; 3) а=
a2-{-ab—2о- г г 1 4 7
=.— 6 = 0,5; 4) а = 11; Ь= —1,5.
2436. Книга в переплете стоит 1,7 руб. Стоимость переплета
2
составляет -у стоимости книги. Сколько стоит книга без переплета?
2437. Бутыль с маслом весит Зу кг. Сколько весит масло, если
оно в 1 у раза тяжелее бутыли?
2438. Какую часть составляет второе слагаемое от первого ела-
3 п
гаемого, если первое слагаемое составляет у суммы?
2439. Какую часть разности составляет вычитаемое, если раз-
ность составляет у- уменьшаемого?
2440. Для выполнения определенной работы первой машинистке
требуется 4 ч, а второй машинистке 5 ч. Однажды, работая вместе,
они напечатали 45 страниц. Сколько страниц напечатала каждая
машинистка?
284
2441. Мастер изготовляет одну деталь за 10 мин, а его ученики:
один—за 16 мин, а другой—за 20 мин. Исполняя срочный заказ,
они работали вместе и изготовили 51 деталь. Сколько деталей изго-
товил каждый?
2442. Из двух пунктов, расстояние между которыми 25 км, вышли
одновременно навстречу друг другу два туриста. Один из них про-
2
ходил в час на у км больше другого. С какой скоростью шел каж-
дый из них, если через 2 ч после выхода им осталось пройти до
встречи 9 км?
2443. Велосипедист проезжает некоторое расстояние на 2у ч
быстрее, чем проходит его пешком. Найти это расстояние, если
скорость велосипедиста 12 км в час, а скорость его пешком со-
2
ставляет у скорости на велосипеде.
Решить уравнения:
2444.
3 ( 1 , 2 \ „ 1 , 2 / 1 1 \ , о I
+ 2) 2J— 4х-|-2 2 ;
1/1 5 \ „1 , . 1 .. 3 / 1 , 1 \ 1 ,7
3) 2 ( 2 Х 1)~ 3 2 X -J- I 2 . 4) 5 2 х 4- 3 j — 4 х + 24 •
2445.
2446.
1 / 1 п ос\ ,1 ,7 2 / 1 , п 2 ,2
2 \ 2 х 0,2Д — 1 з х + 481 2) 3 3x4-0>2J — 9 х4-15;
3) 0,4 (^-х—0,3^ = 4-х—0,1; 4) 0,3 °.6>) = 1 +х >
\ о J' О \ /
2447.
D (^+т)(х+4) = (х—§-)(x+re):
2) (х-4)(х-г) = (х+4)(х+51):
з) х дт+д —хДх—тд
4) (1+xX^~x) = (1-xXS+x)-
Следующие задачи решить с помощью составления уравнений:
4
2448. Найти дробь, равную -у-, если разность между знаменате-
лем и числителем ее равна 21.
285
5
2449. Найти дробь, равную -д-, чтобы сумма ее числителя и зна-
менателя была равна 39.
2450. Разделить число 176 на две части так, чтобы частные от
деления первой части на 5, а второй на 6 были равны.
2451. Для школьного участка пионеры трех отрядов собрали
з
2-g т золы, причем первый отряд собрал на 0,405 т больше вто-
рого, а первый и второй вместе собрали на 0,835 т больше третьего.
Сколько тонн золы собрал каждый отряд?
2452. В двух классах 72 учащихся. В конце первой четверти
из одного класса перевели в другой четырех учеников, после чего
число учеников одного класса стало составлять 80% числа учеников
другого класса. Сколько учеников было в каждом классе в начале
учебного года?
Указание. Если в одном классе было х учеников, то в другом
было 72—х учеников. После перевода 4 учеников из одного класса
в другой оказалось: в одном классе х—4 ученика, а в другом 76—х
учеников. Составляем уравнение: х—4 = 0,8(76—х).
2453. Число книг на одной полке вдвое меньше, чем на другой.
Если с первой полки убрать 9 книг, а на вторую полку поставить
12 книг, то число книг на первой полке будет в 7 раз меньше,
чем на второй. Сколько книг было на каждой полке?
2454. Если поезд из А в £ пойдет со скоростью 48 км в час,
то он опоздает на 2 ч. Если же он пойдет со скоростью 60 км в час,
то придет в £ на час раньше расписания. За какое время должен
был пройти поезд расстояние от А до Б по расписанию и с какой
скоростью? Найти также расстояние от А до Б.
2455. Пароход проходит расстояние между пристанями А и Б
3
и обратно (без остановок) за З-g- ч. Собственная скорость парохода
18 км в час, а скорость течения реки 2 км в час. Найти расстояние
от А до Б и время, затраченное пароходом на путь в ту и другую
сторону отдельно.
2456. Автобус проходит расстояние между конечными станциями
своего маршрута за 1у ч. Если его скорость увеличить на 5 км в час,
то это же расстояние он пройдет на 15 мин скорее. Каково расстоя-
ние между конечными станциями маршрута?
2457. С трех участков собрали 99,75 т картофеля. Количество
картофеля, собранного с первого и второго участков, относилось
как 7:10, а с третьего участка собрали на 15% больше, чем со
второго участка. Сколько картофеля собрали с каждого участка?
2458. Колхоз разбил фруктовый сад на прямоугольном участке
размерами 240 .их 144 м. Сколько яблонь нужно посадить в саду,
если расстояние между рядами деревьев должно быть 8 м, а между
деревьями в каждом ряду 6 м? Сколько саженцев зимних, осенних
и летних сортов яблонь нужно приобрести, чтобы количества зимних
286
и осенних сортов относились как 5:3, а летних сортов было на 72
дерева меньше, чем осенних?
Ниже приведены задачи повышенной трудности.
2459. Найти всё прямоугольники, длины сторон которых—нату-
ральные числа и численные значения периметра и площади равны.
Указание. Обозначив стороны прямоугольника через х и yt
2и 4
получим: 2(х + у) = ху. Находим: х = = 2 + Отсюда сле-
дует, что у—2 есть делитель 4.
2460. Найти все целые решения уравнения ху = 4(х-[-у).
Указание. См. предыдущую задачу.
2461. Производительность труда рабочего повысилась на 20%.
На сколько процентов уменьшится время, необходимое для выпол-
нения одной и той же работы?
Указание. Если выполненную работу принять за единицу,
то при новой производительности труда выполненная работа выра-
зится числом 1,2. Для выполнения прежней нормы понадобится
1: 1,2 = -|- того времени, которое затрачивалось раньше. Остается
1 1
наити процентное отношение к 1.
2462. Машинист провел поезд за 7 ч 30 мин вместо 9 ч, поло-
женных по графику. На сколько процентов уменьшилось время
пробега? На сколько процентов была увеличена скорость поезда?
Указание. Для ответа на второй вопрос используйте указание
к предыдущей задаче.
2463. Куплено 36 учебников географии и 50 учебников истории —
всего на сумму 20,2 руб. Учебник истории стоил на 30% дороже
учебника географии. Сколько стоил каждый учебник?
Указание. Эту и следующую задачи проще всего решить
с помощью составления уравнения.
2464. Куплено 40 альбомов для рисования и 35 общих тетрадей
всего на сумму 13,6 руб. Общая тетрадь на 20% дешевле альбома.
Сколько стоил альбом и сколько стоила общая тетрадь?
2465. Объем строительных работ в СМУ увеличился на 80%. На
сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если произво-
дительность труда будет увеличена на 20%?
Указание. Объем строительных работ принимаем за единицу
и число рабочих тоже принимаем за единицу. Новый объем работы
выразится числом 1,8, а объем выполненной работы при новой про-
изводительности труда выразится числом 1,2. Для выполнения
оставшихся 0,6 всей работы потребуется еще половина имеющегося
количества рабочих. Число рабочих нужно увеличить на 50%.
2466. До просушки влажность зерна была равна 23%, а после
просушки оказалась равной 12%. На сколько процентов убыло
в весе зерно в результате просушки?
Указание. Принять количество имевшегося до просушки
зерна за единицу. Тогда количество сухого вещества выразится
287
числом 0,77. Это количество после просушки будет составлять
88% общего веса просушенного зерна. Теперь можно узнать вес
зерна после просушки. Этот вес равен 0,77:0,88 = 0,875 принятой
условной единицы.
2467. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10%
цены, обозначенной на обложке книги и при этом имел 8% на-
ценки, так как сам магазин заплатил за книгу дешевле означен-
ной на книге цены. Сколько процентов наценки имел бы магазин,
если бы он продавал книгу без скидки?
Указание. Используйте указание к предыдущей задаче.
2468. Сколько граммов воды нужно прибавить к 150 г 75-про-
центного раствора, чтобы получить 25-процентный раствор?
2469. Для нумерации страниц книги потребовалось 2 775 цифр.
Сколько страниц в книге?
2470. Найти наименьшую дробь, при делении на которую дро-
л „ 8 12 20 .
бей -г=; 5^; =- в частном получаются натуральные числа.
I и 21
Указание. Числитель искомой дроби равен наибольшему
общему делителю числителей данных дробей, а знаменатель — наи-
меньшему общему кратному знаменателей данных дробей.
2471. Поезд идет 15 сек мимо телеграфного столба и за 45 сек
проходит туннель длиной в 450 м. Найти скорость и длину
поезда.
2472. На линии метро курсирует 8 электропоездов, которые
двигаются с одинаковой скоростью и через равные промежутки
времени. Сколько нужно добавить поездов, чтобы при той же ско-
рости движения промежутки времени между поездами уменьши-
лись на -^?
О •
Указание. Принимаем время прохождения всего маршрута
за 1. Тогда время между поездами составит у. Найдем у от у ,
что даст . Новые промежутки между поездами составят
4-—4;=4;. Следовательно, на линии должно быть 10 поездов,
о 4U 1U
2473. Дачник, идя на поезд, прошел за первый час 3,5 км.
Если бы он не изменил скорость движения, то опоздал бы на 1 ч
к поезду. Поэтому он шел оставшийся путь со скоростью 5 км
в час и пришел на станцию за 30 мин до отхода поезда. Опре-
делить путь, пройденный дачником.
Указание. Проще всего решить задачу, составив уравнение,
но возможны и другие решения.
2474. Турист вышел на линию железной дороги между двумя
станциями Л и В. От проходившего обходчика он узнал, что до
станции А 3 км, а до станции В 2 км и что через 23 мин в сто-
рону станции А пройдет пассажирский поезд. На какую из стан-
ций следует идти туристу, чтобы успеть на этот поезд, если ско-
288 •
рость туриста 6 км в час, скорость поезда 30 км в час и на каж-
дой станции поезд стоит 1 мин 30 сек?
2475. Вдоль полотна железной дороги идет тропинка. Поезд,
длина которого 110 м, шел со скоростью 30 км в час. В 14 ч 10 мин
поезд догнал пешехода, идущего по тропинке в направлении дви-
жения поезда, и шел мимо него в течение 15 сек. В 14 ч 16 мин
поезд встретил другого пешехода, шедшего по той же тропинке
навстречу поезду и шел мимо него в течение 12 сек. Найти момент
встречи пешеходов и скорость каждого из них.
2476. Из сосуда, содержащего 40 л кислоты определенной кре-
3
пости, отлили сначала у всего количества и долили водой до преж-
него уровня. После этого снова отлили, такое же как и в первый
раз, количество литров разбавленной кислоты. Сколько литров
кислоты первоначальной крепости осталось в сосуде после этого?
2477. Только что добытый каменный уголь содержал 2% воды.
По истечении некоторого времени он впитал в себя еще некоторое
количество воды, и содержание воды в угле достигло 15%. На
5
сколько увеличился при этом вес Ю-g- ц только что добытого ка-
менного угля?
2478. Мальчик накопил на покупку фотоаппарата 5,2 рубля.
Остальные деньги дали ему отец и два старших брата. Первый
брат дал 25% суммы, собранной без него, второй брат дал 33у%
суммы, собранной на покупку без него, и отец дал 50% суммы,
собранной на покупку без него. Сколько стоил фотоаппарат?
Указание. Если первый брат дал 25% или у суммы, со-
бранной без него, то значит, что он дал у стоимости фотоаппара-
та. Таким же образом можно установить долю второго брата
и долю отца к стоимости фотоаппарата.
2479. а, Ь, с и d—цифры в десятичной системе счисления.
Найти эти цифры, если известно, что b-|-c + d=ll и (abc)l0 4-
4-(6oW)10 = (369)1О.
Указание. Сравнивая цифры в разрядах единиц слагаемых
и суммы, можно найти Ь. Далее легко найти a, d и с.
2480. а, Ь, с и d — цифры в восьмеричной системе счисления.
Найти эти цифры, если известно, что 64-c4-d = (ll)10 и (abc)s 4-
4- (bdd)B — (576)8. Воспользуйтесь указанием к предыдущей задаче.
2481. Числа а и b при делении на 5 дают соответственно
остатки 3 и 2. Найти остатки, получающиеся при делении на 5
следующих чисел: 1) а 4-6; 2) а — Ь; 3) 2а 4-36; 4) За 4- 26; 5) ab.
1111 q 7 о
2482. Даны две суммы: у + ^+щ + зб11 у + тг + Тб + зб ’ Най'
ти первую сумму. Как, зная первую сумму, проще всего найти
вторую сумму?
10 № 2266
289
Указание. Воспользуйтесь тем, что при сложении соответ-
ствующих слагаемых первой и второй сумм получается одно и то
же число
2483. Даны суммы: 11 + 2у + 3^ + 4^ и 11 + 2| + з| + Ц .
Найти первую сумму. Как, зная первую сумму, проще всего найти
вторую сумму? Воспользуйтесь указанием к предыдущей задаче.
2484. у—правильная дробь. Известно, что дробь сокра-
тима. Сократима ли дробь у ?
2485. Из колхоза в город выехали одновременно колхозник на
лошади и почтальон на велосипеде. Первый ехал со скоростью
7 км в час, а второй со скоростью 13 км в час. В 12 ч колхозник
находился от города в три раза дальше, чем почтальон. Когда
они выехали из колхоза, если от колхоза до города 48 км?
Указание. Эту и следующую задачи можно решить с по-
мощью уравнений.
2486. Из города в одном и том же направлении выехали два
велосипедиста, причем второй выехал через 1,5 ч после первого.
Один и тот же участок пути первый проехал за 5у ч, а второй
2
за 4у ч. Через сколько часов после выезда второй велосипедист
догонит первого?
2487. Катер, двигаясь по течению, обогнал плот и через 40 мин
после этого остановился для погрузки. Через бу ч катер двинулся
в том же направлении и. через час снова обогнал тот же плот.
Найти скорость течения реки, если катер двигался по течению
со скоростью 12 км в час.
2488. Два мальчика, имевшие поровну почтовых марок, про-
извели обмен. Сначала первый дал второму у имевшихся у него
1
марок, потом второй дал первому у того, что у него оказалось.
Сколько марок было у каждого, если первый мальчик дал вто-
рому на три марки меньше, чем второй дал первому?
2489. Найти двузначное натуральное число, которое уменьшится
в 14 раз, если зачеркнуть цифру единиц.
Указание. Если х—цифра единиц, а у—цифра десятков, то
10i/4-x = 14z/, или 4у — х. Цифра единиц должна быть в 4 раза
больше цифры десятков. Таких двузначных чисел существует два.
2490. Два двузначных числа оканчиваются цифрой 6. При
каких условиях их произведение оканчивается цифрами 36. Вы-
писать все множество пар таких чисел.
2491. В каких системах счисления справедливы равенства:
1) (134)х + (234)х + (144)х = (1000)х;
2) (134),+ (132),+ (124), = (1 000),?
290
Указание. При сложении простых единиц 4 + 4 + 4 получаем
в десятичной системе 12, а в системе счисления с основанием х
получился 0. Следовательно, основанием неизвестной системы
счисления будет один из делителей числа 12, кроме 1. Числа 2
и 4 отпадают, так как в записи чисел фигурируют цифры 2 и 4.
Число 12 тоже не подходит, так как при сложении простых еди-
ниц получаем 12, т. е. одну единицу следующего старшего раз-
ряда, и при суммировании единиц второго разряда получаем только
3 + 3 + 4+1 = 11- Нуль во втором разряде суммы не получился.
Остается убедиться, что х = 6.
2492. Прибывшего с поездом пассажира должна была встретить
машина. Поезд прибыл на станцию на 30 мин раньше, чем пред-
полагалось, и пассажир, не обнаружив на станции машины, пошел
пешком. По пути он встретил машину и оставшуюся часть пути
ехал на машине. В результате он прибыл на место лишь на 10 мин
раньше. Считая, что машина должна была прибыть точно к при-
ходу поезда, узнать, во сколько раз скорость машины больше
скорости пешехода (обе скорости считать постоянными).
Указание. Машина находилась в пути на 10 мин меньше,
чем предполагалось, следовательно, она не доехала до станции на
расстояние, соответствующее 5 мин, когда повстречала пешехода.
Это же расстояние пешеход прошел за 30—5 = 25 мин.
2493. Решить неравенство: |2х| > |2 + х|.
Указание. Рассмотреть три случая: 1) х < —2; 2) —2 < х < 0;
3) х > 0.
2494. Подсчитать по таблице число простых чисел в каждой
сотне первой тысячи натуральных чисел. Если через п обозначить
взятое число натуральных чисел, через л(л)—число простых чисел,
не превышающих п, то можно найти отношение , Вычислить:
л (100). л (200). л (300) л(1000)
100 * 200 ’ 300 И Т‘ Д’ Д0 1000 •
Отношения вычислить с точностью до 0,001.
Решение.
л (100) = 25; л (200) = 46; л (300) = 62; л (400) = 78;
л (500) = 95; л (600) = 109; л (700) = 125; л (800) = 139;
л(900) = 154; л(1 000)= 168.
Отношения соответственно равны: 0,25; 0,23; 0,206; 0,195; 0,19;
0,181; 0,179; 0,174; 0,171; 0,168.
2495. 1) Даны две точки А и В. Построить их ось симметрии
и доказать, что любая точка построенной оси симметрии одинаково
удалена от данных точек А и В.
2) Дана точка О и прямая а, вне точки О. По прямой а пере-
мещается точка А. Принимая точку О за центр симметрии, уста-
новить, какую фигуру опишет точка А, симметричная точке А
относительно центра О.
ю*
291
2496. 1) Построить ромб со стороной 6 см и острым углом 40°.
Провести в нем оси симметрии, отметить его центр симметрии и
вычислить тупой угол.
2) В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) провести
высоту BD из вершины В. Доказать, что получившиеся треуголь-
ники ABD и BCD равны между собой.
2497. 1) Какого диаметра дерево нужно взять, чтобы из него
можно было выпилить брус прямоугольного сечения со сторонами
8 см и 6 c-w?
2) На диагонали прямоугольника построен квадрат, сторона
которого равна диагонали, причем площадь квадрата вдвое больше
площади прямоугольника. Можно ли это сделать для произволь-
ного прямоугольника? Каким должен быть прямоугольник, чтобы
выполнялось указанное соотношение между площадями прямоуголь-
ника и построенного на его диагонали квадрата?
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Таблица простых чисел, не превосходящих 1 000
2 101 211 307 401 503 601 701 809 907
3 103 223 311 409 509 607 709 811 911
5 107 227 313 419 521 613 719 821 919
7 109 229 317 421 523 617 727 823 929
11 113 233 331 431 541 619 733 827 937
13 127 239 337 433 547 631 739 829 941
17 131 241 347 439 557 641 743 839 947
19 137 251 349 443 563 643 751 853 953
23 139 257 353 449 569 647 757 857 967
29 149 263 359 457 571 653 761 859 971
31 151 269 367 461 577 659 769 863 977
37 157 271 373 463 587 661 773 877 983
4! 163 277 379 467 593 673 787 881 991
43 167 281 383 479 599 677 797 883 997
53 173 283 389 487 683 887
59 179 293 397 491 691
61 181 499
67 191
71 193
73 197
79 199
83
89
97
Численность населения.
Население мира к началу 1970 г. считалось в 3 млрд. 600 млн. чел. В социа-
листических странах проживает 34% населения мира, в развитых капиталистиче-
ских странах — 19%, в развивающихся странах —46%, в неосвобожденных коло-
ниях— 1%,
293
Численность населения СССР (тыс. чел.)
На 15/1 1959 г. На 15/1 1970 г.
СССР 208 827 241 748
РСФСР 117 534 130 090
УССР 41869 47 136
БССР 8056 9 003
Узб. ССР 8 261 11 963
Каз. ССР 9 153 12 850
Груз. ССР 4 044 4 688
Азерб. ССР 3 698 5 111
Лит. ССР 2711 3 129
Молд. ССР 2 855 3572
Латв. ССР 2 093 2 365
Кирг. ССР 2 066 2 933
Тадж. ССР 1 961 2900
Арм. ССР 1 763 2 494
Турки. ССР 1516 2 158
Эст. ССР 1 197 1357
Численность населения
столиц союзных республик и городов
с населением свыше I млн. чел. (тыс. чел.)
На 15/1 1959 На 15/1 1970
Москва 6 044 7 061
Ленинград 3 321 3 950
Киев 1 НО 1632
Ташкент 927 1 385
Баку 968 1261
Харьков 953 1 223
Горький 941 1 170
Новосибирск 885 1 161
Куйбышев 806 1 047
Свердловск 779 1 026
Минск 509 916
Тбилиси 703 889
Ереван 493 767
Рига 580 733
Алма-Ата 456 730
Фрунзе 220 431
Душанбе 227 374
Вильнюс 220 372
Таллин 282 363
Кишинев 216 357
Каунас 219 306
Ашхабад 170 253
294
НЕКОТОРЫЕ СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ
ЗАДАЧ
1. Средние нормы культур на высева некоторых! 1 га (в кг) 2. Вес 1 куб. м некоторых сельскохозяйственных продуктов (в кг)
Озимая пшеница 180—230 Пшеница (зерно) 790
Яровая пшеница 230—240 Рожь (зерно) 700
Озимая рожь 140-200 Мука (ржаная) 390
Яровая рожь 140—150 Овес 470
Кукуруза Ячмень 30—50 230—240 Картофель 650
Гречиха Просо Горох Картофель Свекла сахарная Подсолнечник 50—100 (первая —при 18—25 250—270 20—40 ц (в зависи- мости от величины клубней) 35—38 10-16 широкорядном)
3. Вес некоторых продуктов (в г) в объеме стакана (200 куб. см) 4. Вес семян в объеме спичечной коробки (в г)
Мука пшеничная 160 Бобы 6
Мука картофельная 200 Горох 18
Сахар (песок) 200 Капуста 12
Масло животное 245 Кукуруза 20
Масло растительное 220 Тыква 10
Соль 325 Лук репчатый 10
Крупа гречневая 260 Морковь 12
> манная 200 Огурцы 5
» перловая 230 Редис 10
Пшено 230 Свекла 4
5. Средние скорости передвижения
(км в час)
Пешеход 4-5 Самолет «ИЛ-18» 650
Лыжник 8—10 Самолет «АН-10» 600
Лошадь рысью 8 Самолет «ТУ-104» 900
Велосипедист 12 Самолет «ТУ-144» 2 500
Мотороллер 80 Теплоход 20
Мотоцикл 90
Автомобиль 80-100 Теплоход «Комета» 70
Аэросани 200 Пасс, поезд 80
Вертолет 150 Экспресс «Красная стрела» 160
ОТВЕТЫ
Глава I. Натуральные числа
1. 5) 48 438; 6) 1 092 837; 7) 104; 8) 62. 2. 1) 766; 3) 0; 4) 2 575; 5) 503 123;
6) 787; 7) 189 730; 8) 5 836 730. 3. 1) 2 877; 2) 12 806; 3) 3 457; 4) 508; 5) 2 516;
6) 6336; 7) 2; 8) 109592. 4. 1) 689413; 2) 15299; 3) 0; 4) 452 756; 5) 200;
6) 154 191; 7) 24 135; 8) 196382. 5. 1) 28 584; 2) 41014; 3) 100; 4 ) 46 660; 5) 226.
16. На 15 делений. 27. 1) 3 180 мин; 2) 4 суш 9 ч 33 мин 20 сек; 3) 7 лет 10 мес.
32. 13 600 млрд. т. 34. 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона
73 миллиарда (биллиона) 709 миллионов 551 тысяча 615. 35. 1) 90; 2) 900.
42. а) 4... > 3...; б) 9.. < 1...; в) 72. < 75.; г, д, е) нельзя сравнить. 46. 1) 365;
одно; 2) 3000; 3001; 3002; ...; 1000 чисел. 49. 6453; 645; 5; 64; 4; 0; 0. 50. 1) 138;
183; 318; 381; 831; шесть; 2) 18.56. М {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9};
57. М = 0. 58. Л\{10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90}; N => Л\; 20€Л\20£ЛГ.
59. Л {111; 222; 333; 444; 555; 666; 777; 888; 999}; девять. 60. В {20; 30; 40; 23; 24;
32; 34; 42; 43}; девять. 61. В {60; 61; 68; 10; 16; 18; 80; 81; 86}; 10£В; (06)£В.
62. Е {107; 27; 297; 2567; 17}. 63. {+; —; •; :}. 64. Л {ЛОВ; ВОС; АОЕ; ЛВС};
ВОС£А. 68. 1) (10001)2; 2) (32)5. 69. а) (10111000001 )2; б) (10) 2912; (10) обозна-
чает число единиц третьего разряда; в) (21343)5. 70. а) 355; б) 379; в) 49; г) 18.
71. 14 1205 = 1 160; 1111010012 = 489. 72. а) 1010112; б) 221025; в) 1(10)4312.
73. а) 1002; б) 312335; в) 38 (10)912. 74. а) 1011012; в) 45(10)12. 76. 1782.
79. 1) 25; 25 75; 2) 353; 657. 80. 9 999; 1. 83. 87 941; 555 555. 86. 327. 87. 864.
88. 113 274. 108. 1) 45; 2) 4 905; 3) 467 870; 4) 37 980. 109. 1) 1 098; 2) 218.
НО. (c + 5)£Af. 112. 1) Увеличится на 27; уменьшится на 280; 3) увеличится на 20;
4) уменьшится на 31. 116. 1) 612—112 (в Москву); 2) Ленинград 517—207. 117.
39 и 55. 122. 1) а + Ь; (а + Ь)+Ь; 2) 50-6 = 300. 125. 1) {66; 67; 68}; три;
2) {365; 366; 367; 368; 369; 370}; шесть; 3) х < 533; {1; 2; 3; ...;532}; 532 решения;
4) {17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26}; 10; 5) {2003; 2004; 2 005}; три;
6) х > 86; 7) {404; 405 ; 406; 407; 408; 409}; шесть; 8) {701; 702; 703}; три.
128. 1) 9917 = 9917; 2) 20806 = 20806; 3) 2 361 ^ 2 782. 129. 1) 1 108 < 1 239;
2) 12 583 > 12 093; 3) 22 995 > 21 609; 4) 14 225 <15 505. 131. 1) Верный ответ
дал Коля; Ваня не привел ответ к более простому виду; 2) верный ответ дала
Ира; Таня не привела к более простому виду. 151, 1) 774=774; 2) 97 = 97;
3) 2 758 2 768; 4) 0 ф 10. 152. 1) 806 < 854; да; 2) 374 > 188; да; 3) 405 > 175;
да; 4) 188 189 < 193 226; нет. 153. 1) 373; 2) 406; 3) 0; 4) 1. 155. 1) 1 525; 1 502;
1 326; 1 247; 1 179. 156. 1) а) 638; б) 1 626. 173. 1) 1 435; 2) 15 673; 3) 879;
4) 1 598. 208. а) 30 315 > 27 222; б) 73 125 < 77 588; в) 253 964 < 537 895;
г) 486 052 > 160 064. 222. 1) 5 721; 2) 90 918; 3) 2 741; 4) 24 208; 5) 90 400;
6) 1 874. 231. 1) х < 9; 2) х < 2; 3) х > 6; 4) х < 12. 285. а) 86; б) 41; в) И;
г) 78; д) 108; е) 56. 288. а) 9 384; б) 3 358; в) 17 727; г) 169 330; д) 59 224.
299. 1) 135 >38; 2) 639 > 444; 3) 166 <3411; 4) 3 002 < 29 703. 315. 1) 15516;
2) 4 109. 335. а) 20 = 20; б) 237 = 237; в) 281 600 > 80 080; г) 5643 <6419.
336. а) 22 239 > 7 656; б) 2 085 >817; 337. а) 162 969 > 32 498; б) 118 > 67,
338. а) 88 173 > 1 059; б) 209 < 583. 340. а) а-{-2; б) 9—Ь; в) 12-с; г) а: 15;
д) а-{-6+100; е) c-n-й; ж) а-b — с:р; з) a-j-b-n. 343. а;5; а—любое число;
296
a£N; a) 540; 6) 2 035; в) 0; г) 5. 347. Площадь квадрата 36 кв. см-, площадь
любого прямоугольника меньше. 348. 36 различных решений. 349. 1) 24 различ-
ными способами; 2) 6 способов. 350. Число конвертов: 0; 3; 6; 9 и 12. 362.
1) 1 000; 2) 7 520 511; 3) 1 872; 4) 354; 5) 1212; 6) 8 102; 7) 0; 8) 86. 363. 1) 42;
2) 49 115; 3) 234; 4) 1; 5) 1 818; 6) 29 608; 7) 0; 8) 1 297. 364. 1) 73 475; 2) 14 585;
3) 9642; 4) 900; 5) 17790; 6) 6356. 365. 1) 88 627; 2) 64 680; 3) 30616; 4) 11 666;
5) 6 353; 6) 1 582 959. 366. 1) 34; 35; 36; 2) 2 013; 2 015; 2 017; 2 019. 369.
1) 180:(6 + 9)= 12; 12 сек; 2) 25 сек. 382. 1) 1-й 65 кг; 2-й 35 кг. 389. 1) 9 пла-
стинок; 2) 5 листов. 424. 1) 11 000; 2) 200.
427. 1) 8 2) 682 428. 1) 4 в вершинах и по 5 на каждой стороне.
+ 89 — 286 3) См. рисунок 77.
892 396-6 = 66
989
429 1) 57125
X 743
171375
228600
399875
42344875
Рис. 77
16 5 18 11
9 20 7 14
15 6 17 12
10 19 8 13
Глава II. Десятичные дроби
460. 1) {1; 2; 3}; 2) {1; 2; 3; 4; 5}. 584. {1,1; 1,2; 1,3; ...; 1,9}; 1,1 и 1,9
593. 1) {1; 2; 3; 4}. 626. 1) Число, стоящее в клетке, равно числу слева, сло-
женному с 0,2. 673. 1) 2,8065; 2) 2,7935; 3) 2,8065. 674. 1) 10,418; 3) 59,75.
675. 1) 2,96; 3) 3,97. 676. 1) 7,802; 2) 12,1.33; 3) 9,0248. 680. 1) 15,8; 2) 1,43;
3) 17,72. 685. 236 м. 686. 272,4 м. 687. 1423,2 га. 688. 3,5 кг. 689. 14 м2.
723. 1)16,91; 2) 13.724. 1) 9,23; 2) 37,9. 736. 1) 3; 2) 5; 3) 3,2. 737. 1) 6,1; 2) 2,1;
3) 1. 744. 1) Число, стоящее в клетке, равно числу, стоящему в столбце сверху,
деленному на 3. 749. 1) 27; 2) 25; 6) 39. 763. 1) 40 200; 3) 8,25. 764. 1) 11; 3) 1.
765. 1) 76,8; 2)28. 766. 1) 0,896; 3) 15,48. 794. 250 т. 795. 4 500 дер. 796. 67,2 ц.
797. «22,5 га. 807. 1) 19,215; 2) 0,1, 808. 1) 6,084; 2) 0 694. 809. 1) 34,8; 2) 9,05.
810. 1) 2,4. 811. 1) 4,5. 812. 1) 3,3; 2) 42. 813. 1) 3,3; 2) 1. 814. 1) 15,82; 2) 5,6.
816. 1) 200; 2) 0. 819. 3) 1,4; 4) 0,26. 820. 1) 0,02; 2) 0,4. 821. 2) 4,03; 3) 562.
822. 1,6. 823. 13,3. 824. 4,96. 825. 8. 826. 3,12. 827. 4,24. 828. 16,8. 839. 9,45 т.
840. 49 m. 841. 934,4 m. 849. Не хватит. 850. На 288 чел. 851. 11,2 га. 852. 2,4 га.
877. 5,5 ч. 878. 70 км и 86,5 км. 879. 75 км. 880. Через 4 ч; 62 км. 881. 1,5 ч;
67,5 км. 885. 41 руб. 886. 90 м2. 911. 1 200 руб. 912. 13,5 кг. 913. На 0,85 кг;
на 1,3 кг. 914. 363 дев. 915. 612 дер. 916. 14 чел. 917. 420 кн. 918. 35 мар.
919. 1 488 т. 920. 26 км. 921. 88 га. 922. 4 ч 36 мин. 923. 18 кг. 929. 80 парт.;
297
8 раз. 930. 55 руб.; 37 руб. 40 коп. 931. 800 г. 932. 2 т. 933. 3 800 г. 934. 24 кг
и 25 кг. 935. 160 кг и 150 кг. 936. 0,8 га. 937. 400 чел. 938. 200 т. 939. 1) 70 коп.
и 56 коп. 2) 54 коп. и 72 коп. 945. 70%. 946. На 12,5%. 947. На 10%. 948.
На 120%; на 20%. 950. 70%; 75%; 77%; 85,5%. 951. 80%; 86%; 85%; 90%.
952. 1) На 44%; 2) на 36%. 953. 45%; 25%; 30%. 954. На 20%. 955. На 25%.
9^6. На 25 %. 957. На 20%.
Глава 111. Основные геометрические понятия
1067. 35° и 55°. 1068. 30° и 60°. 1100. 1) 36° и 144°; 2) 30° и 150°. 1101. 70°
и 110°. 1102. 30° и 150°. 1110. 1) 60°; 120°; 60°; 2) 95°; 85°; 95°; 3) 40°; 140°;
40°; 140° 1111. 45°; 135°; 45°; 135°. 1112. 60°; 120°; 60°; 120°. 1113. 75°; 105°;
75°; 105°. 1114. 112°30'; 67°30'; 112°30'; 67°30'. 1116. 52 и 53. 1118, 6 лучен;
3 отр. 1120. Нет. 1121. Нет. 1122. Да. 1123. Нет. 1129. 1) 1; 2) 1; 3) 4; 4) 10;
5) и 6) реш. нет. 1136. 120. 1137. 18 км в час. 1138. 24 км в час. 1139. 8ч 58 мин.
1140. 21 ч 27 мин. 1141. 24 км. 1142. В 14 ч. 1143. На 10 мин. 1144. 8 м в сек;
10 м в сек. 1147. 116 м2. 1148, 11 пласт. 1149. В 8 раз. 1150. На 60 см3. 1155.
1) 10,8; 2) 0,0304, 1156. 1) 0; 2) 5,3; 3) 1; 4) реш. нет. 1159. 37°1Г. 1160. 151 шаг.
1161. На 10 см; на 56,25 см2. 1162. На 126 см2; на 331 см3. 1165. 91,2 л.
1166. 32 см. 1169. Можно. 1170. =s: 160 т. 1199. На 12%. 1200. 8 ч 42 мин.
1209. Десятичная; девятеричная; восьмеричная; семеричная.
Глава IV. Положительные и отрицательные числа
1230. 1) ±3; 3) ±10; 5) ±5,5. 1245. —2; —1; 0; 1; 2; 3; 4. 1249. а + Ь;
1)0,44 м; 2) —0,06; 3) —0,44 м; 4) 0,06 м. 1252. 1) 70000; 3) —44 768.
1256; а, с, b, d. 1257. 1) г х t у. 1267. 3 540 руб. 1268. 14 950 т. 1269. 610 м.
1270. —10 м. 1271. 130,5 м. 1272, —7°,5. 1273. —27 м. 1274. 600 м.
1275. —0,004. 1276. 724 м. 1291. 2) 3 ч; 3) 7 ч; 4) 4 ч. 1292. b—а; 1) —1,88 м;
2) 1,72 м; 3) —1,51 м; 4) 2,48 м; 5) —2 м; 6) 3,5 м. 1303. 1) 4,6; 2) 8; 3)3,8;
4) 17,8. 1314. 1) 199; 2) —11 194. 1315. 1) —0,62; 2) 13,77. 1316. 1) —16,88;
2) —0,2. 1322. vt; 1) 51 км; 2) —61 км; 3) —51 км; 4) 61 км. 1325.1) 111 111 111;
3) —1 112 111. 1333. 1) 0,833; 2) 1,978. 1339. 1) 190,976; 2) —450. 1364. 1) 307;
2) —304. 1368. 1) 0,077; 2) —0,057, 1377. 1) —4,5; 2) +2,4. 1430.
—20 i/z = 16,8. 1431. —6ас =—17,28. 1432. 4хг — 8уг = — 49,2. 1443. 1) 3; 2) 5.
1447. 1) —2,4; 2) 0. 1451. 1) 1 и —3; 4) 7 и 1. 1452. 1) 4 и 6; 4) 19 и —3.
1454. —6 и —5. 1456. —5; —4; —3. 1458. 6 и —19. 1463. —2,4 и 10,8. 1464.
—0,66; —0,06. 1493. 12 мон. и 17 мон. 1495. 1,5 руб. 1499. 5,34 —3,52. 1500.
0,48 и —0,52 1503. 4,2 км в час. 1505. 24 км в час. 1511. 80 и 60. 1513. 120 руб.
и 180 руб. 1514. 90 руб. и 150 руб. 1515. 150 руб. и 210 руб. 1516. 375 руб. и
325 руб. 1517. 800 га и 720 га. 1518. 200 га и 160 га. 1519. 5,6 и 4,2. 1520.
24 и 15. 1521. 90 и 60. 1522. 250 и 25. 1523. 80 га. 1524. 75 га.
Глава V. Обыкновенные дроби.
Действия с обыкновенными и десятичными дробями
1554. 1,в) {11, 22, 44}. 1555. 1) {100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900};
2) {105; 112; ...; 196}; 14 элементов. 1558. б) {57; 76; 95}. 1559. 1) а) {2; 4; 6;
8; 10; 12}. 1561. 1) {85; 170; 510}; 2) {11; 17; 23}; п = 1 006. 1562. 1) 11-п;
2) 11-й, 1 000-й, 2081-й. 1566. 2) а) {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}. 1569. 3) Для
12:{—12; —6; —4; —3; —2; —1; 1; 2; 3; 4; 6; 12}. 1572. 2) 15. 1574. 1) {105;
140; 175}. 1575. 1) {540; 720}. 1577. 1) 943; 2) 570; 8 элементов; (1; 570); (2; 285);
(3; 190); (5; 114); (6; 95); (10; 57); (15; 38); (19; 30). 1579. 1) 42-14 = 588. 1580.
1) 23-22 = 506. 1584. 2) 1140; 1200; 1260. 1593. а) п — число, кратное 9 и п = 0;
б) 99. 1595. 1) k=l и й = 17. 1599. 1) {26; 28; 30; 32; 34}. 1600. 2) {—4; —2;
0; 2}. 1606. а) {15; 20; 25}. 1621. {567; 576; 657; 675; 756; 765}. 1623. в) 0.
1627. б) приписать 20, 50, 80, решений три. 1638. 1) Периметр и площадь —числа
298
составные; 2) составные. 1640. 1) 2+11 = 13; 41-[-2 = 43 и др.; 2) 11 + 13 = 24;
17 + 23 = 40 и т. д.; 3) нет. 1657. 1) Л (99, 77) = 693. 1676. 1) 144 дня; 22/IX;
2) 24 ч. 1685. 1) а = 0; 3) а = 1. 1689. 2) С = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. 1690.
1) N-, 2) Z. 1691. 1) 24; 120; 2) 39; 195. 1692. 1) С = 4ПВ = {1, 2, 3, 6};
2) S = 7’flt/ = {36; 72}. 1694. См. рис. 78. 1695. 1) 25%; 2) на 72%. 1705.
2
12
Рис. 78
{4; 5; 6; 7}. 1708. /-5-; -1; Т1 • 1709’ 0 /-?-1;2)1; /4-?;3)2;
т}-1713‘ {п; ТТ! п}- 1723' {2; 3; 4:5;6}; 2) 2;3: 4; 5; 6: 7}-
1725. 1) Числитель во всех дробях 1, а знаменатель—натуральные числа от 2
до 16. 1753. JL. 1754. -Д. 1757. Д. 1758. 4. 1796. 1) Пять; 2) три; 3) два.
1 и 1 1 о /О 4
Я 1 1 91 I 1
1971. 1) -1; 2) 1±; 3) 8; 4) 4. 1972. 1) 2) £; 3) -; 4) 1-.
19 1 1
1973. 1) 1 у; 2) Зп. 1975. 1) — j 2) 6; 3) 14; 4) 1; 5) 3 —.
7 2 1
1980. 96 км. 1981. 84 m. 1984. 1) 3—; 4) 14-j-. 1986. 1) 3; 2) 7-^-; 3)6.
1987. 1)4: 2)0; 3) 1. 1994. 1) 2-1-; 2)14- 1995. 1) 81-^-; 2) 1541.
1996. 1) 270-1; 2) 1. 1997. 1) ; 2) -1. 1998. 1) 6^; 2) 16. 1999. 1) А;
□ о У и 4У У
2) 5-1. 2000. 1) 12. 2001. 1) 181; 2) 7^|. 2002. 1) 24; 2) 6^ . 2003. 1) 200;
О ОО xU
1 1 19 4 8
2) 684; 3) 150; 4) 12. 2004. 1) З^-; 2)54*; 3) 4~; 4)4-4- 2005. 80. 2006. 42-^.
О 4 44 У * 10
2007. 40-1, 2008. 2-1, 2009. 2-1, 2011. 2) 55,2. 2012, 1) 1-1; 2) 0,2. 2013. 1)0;
ООО о
2 2 19
2) 4,3. 2014. 1) 10,9; 2) 10^, 2015. 1) 34; 2) 6,2. 2016. 1) 2017. 1) 6,2;
□w о 4U
25
2) 5— . 2020. 720 т. 2021. Достаточно. 2022. На 63 дет. 2023. 1) 120 маш.; 160 маш.
и 180 маш. 2024. 60 т. 2025. 300 км. 2026. 120 км. 2027. 1 000 дер. 2028. 274,5 m.
2029. 10,4 m. 2045. За 4 дня. 2046. За 4 дня. 2047. За 20 дней. 2048. За 4 мин.
2049. За 4 ч. 2050. За 30 ч. 2051. За 10 ч. 2052. Через З^ч. 2053. Через 1-1 ч.
Q
2054. Через 4,2 ч. 2056. 120 км. 2057, 90 км. 2058. l-^- ч; 112 /сл._2059. 4,5 км.
и
299
2064. Через 6 ч. 2065. Через 7,5 ч. 2066. В 12 ч 50 мин. 2067. 4 ч. 2068. Через
3 ч. 2069. 48 км/ч. 2071. -1 1 -гт! и 2072. 2073. и
□ 9 13 17 4 5 11
17 13
2078. 1) Уменьш.; 2) увелич. 2079. 1) >; 2) <. 2083. 1) —2)
20J8 1) -4-g-; 2)-14^1. 2097. 1) -1; 3) -4-1. 2108. 1) —L; 2) 7^1.
О ZZO о О 1Z
2109. 1) 2) 2127, 1) --Ь; 3) любое число. 2128. 1) —L ; 3) - —.
16 36 6 2 '4
q 9
2129. 1) 2у; 2) 2у. 2137. 800 га и 1 000 га. 2138. 450 юн2 и збОкл2. 2139. 25 км;
60 км; 20 км. 2140. 3,5 руб.; 2,5 руб; 0,6 руб. 2141. 5 т и 1,5 т. 2142. 10 маш.
и 5 маш. 2143. 40 лет и 15 лет. 2144. 25,2 км, 2145. 40 дет. 2146. 152,5 кг;
11 1
177,5 кг; 137,5 кг. 2147 2,4 кг; 3,2 кг; 3,5 кг. 2148. 1)4 и 1-4 ; 3)--4 и 2-4.
4 4 6 6
2149. 1) -4-; 4-; 3)4^; 4 . 2164. 6 листов. 2165. 40 м3. 2168. 720 яблонь,
о 2 10 Ю
2173. « 294 ст. 2175. « 25.94 л/2; « 23,24 л2. 2180, 2у раза. 2184. « 77,5 ц.
2186. 360 л. 2187. 2 м3. 2188. 15 поездок. 2189. 5 поездок. 2190. 320 вед.
2191. 112 земл. 2192. 252 м3. 2193. Квадратный.
Глава VI. Геометрические построения
2213. 2) 60°; 120°; 3) 65° 115°; 4) 55°; 125°; 55°; 125°. 2214. 2) 35°; 55°;
3) 15°; 75°; 4) 30°; 60°. 2216. 1) За 3 ч; 4) 150°; 210°; 360°. 2295. В =55°; С = 75°.
2296. В = 45°; С=135°. 2297. 18°; 72°. 2299. 200°; пет. 2328. Зем. 2329. 1 см.
2341. 20 см. 2343. 2) 36°; 72°; 72°. 2355. 90°. 2375. 110°. 2376. 66°. 2377. 90°.
2379. Окружность. 2380. Медиатриса отрезка. 2381. Пара прямых, параллельных
данной. 2382. Пустое множество. 2384. 13 см; 19 см. 2386. 60 кв. см. 2387. 24 кв. см.
2388. 44 см; 120 кв. см. 2389. 480 куб. см. 2393. 4 см. 2394. 60 кв. см. 2395. 4,8 см.
2396. 48 кв. мм. 2397. 192 кв. мм. 2400. 5 мм. 2401. 9 элемент, при /1 = 1; 2; 3;
5; 7; 11; 15; 23; 47. 2402. 8 элемент, при п = 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. 2404. 6 эле-
мент. при п=1; 3; 6; 7; 13; 27. 2407. Нет, сп — 2п—I, 1<п<20. 2408. Нет,
с„=21—2п; 1<п<20. 2409. c„ = 6zi; 1 <п <5. 2410. с„=12/1; 1<л<5.
2416. 1) 10; 2) 0,1; 2418. I) 0,55. 2419. 2) 20,2. 2420. 1,1 руб. 2421. 56 км
в час. 2423. 33,9 км в час. 2424. 3,6 км. 2425. 3 ч и 4 ч. 2427. 32,5 кг.
2431. При /г = 3; 4; 5. 2432. 1)^|; 3) 3-|-; 4)-!^. 2433. 1) 1^; 2) 13,66;
2 4
3) 1; 4) 1,175. 2436. 1,5 руб. 2437. 2,1 кг. 2438. части. 2439. —.244X 25
«3 и
1 2
и 24 стр. 2441. 24 дет.; 15 дет.; 12 дет. 2442. 4-5- км в час; 3-у км в час.
3 ‘J
2443. 20 км. 2444. 1) —%; 3) — 2445. 1) —1-|-; 3) -А 2446. 1) —L;
3) —0,3, 2447. 1) -0,5; 2) 2448. 2449. 2450. 80 и 96.
' ' 3 49 24
о
2454. 720 км. 2456. 37,5 км. 2458. 360 дер.; 216 дер.; 144 дер. 2462. На 16у %;
на 20%. 2463. 20 коп.; 26 коп. 2464. 20 коп.; 16 коп. 2467. 20%. 2468. 300 г.
2469. 961 стр. 2471. 10 м в сек; 150 м. 2473. 21 км. 2474. На ст. Л.
2475. 14 ч 40 мин; 3,6 км в час; 3 км в час. 2476. 6,4 л. 2477. На 1-|- ц.
О
2484. Сократима. 2485. В 9 ч. 2486. Через 12 ч. 2487. 2,5 км в час. 2488. По
192 марки. 2490. Сумма цифр десятков равна 10. 2491. I) х = 6; 2) у=5.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. Натуральные числа.
§ 1. Многозначные числа и действия с ними. 5
§ 2. Сложение. Законы сложения...................15
§ 3. Вычитание ...................23
§ 4. Умножение. Законы умножения.30
§ 5. Деление...................................39
§ 6. Деление с остатком..................................................46
§ 7. Числовые выражения. Выражения, содержащие переменные. Преобразо-
вание выражений .......................................................49
§ 8. Упражнения на все действия с натуральными числами...................55
Глава II. Десятичные дроби.
§ 9. Обыкновенные дроби. (Повторение и обобщение пройденного во II—111 клас-
сах.) .................................................................67
§ 10. Измерение величин...................................................77
§ 11. Десятичная система мер..............................................78
§ 12. Запись и чтение десятичных дробей. Изображение дробей на числовом луч& 79
§ 13. Основное свойство десятичной дроби. Приведение десятичных дробей к
общему знаменателю. Сравнение дробей...................................80
§ 14. Увеличение и уменьшение десятичной дроби в 10. 100 и т. д. раз ... 82
§ 15. Округление десятичных дробей........................................83
§ 16. Сложение десятичных дробей..........................................85
§ 17. Вычитание десятичных дробей.........................................88
§ 18. Умножение десятичных дробей.........................................94
§ 19. Деление десятичных дробен . . .....................................98
301
§ 20. Среднее арифметическое нескольких чисел.........................103
§ 21. Вычисление площади прямоугольника и объема прямоугольного парал-
лелепипеда ...........................................................104
§ 22. Задачи на все действия с десятичными дробями....................103
§ 23. Нахождение процентов данного числа..............................116
§ 24. Нахождение числа по его процентам...............................119
§ 25. Процентное отношение двух чисел.................................121
Глава 111. Основные геометрические понятия.
§ 26. Геометрическая фигура. Прямая линия. Луч. Отрезок. Ломаная ... 124
§ 27. Угол. Сравнение углов. Виды углов...............................128
§ 28. Перпендикуляр к прямой..........................................131
§ 29. Градусное измерение углов. Транспортир ........................ 132
§ 30. Смежные и вертикальные углы.....................................134
§ 31. Упражнения по курсу IV класса...................................136
Глава IV. Положительные и отрицательные числа.
§ 32. Направления и числа.............................................146
§ 33. Сложение .......................................................150
§ 34. Вычитание.......................................................154
§ 35. Умножение.......................................................157
§ 36. Деление.........................................................161
§ 37. Раскрытие скобок и вынесение общего множителя за скобки.........163
§ 38. Приведение подобных членов......................................165
§ 39. Решение уравнений...............................................167
§ 40. Координатная плоскость..........................................174
§ 41. Графики.........................................................175
Глава V. Обыкновенные дроби. Действия с обыкновенными и десятичными
дробями.
§ 42. Числа, кратные данному числу. Делители данного числа............179
§ 43. Делимость чисел. Признаки делимости.............................182
§ 44. Простые числа. Разложение чисел на простые множители............188
§ 45. Дроби. Основные понятия (повторение)............................195
§ 46. Свойства дробных чисел. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 198
§ 47. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. Сравнение
дробей.............................................................. 201
§ 48. Запись десятичных дробей со знаменателем. Обращение обыкновенных
дробей в десятичные (точно и приближенно). Понятие о периодической
дроби.................................................................203
302
§ 49. Сложение дробей................................................205
§ 50. Вычитание дробей ..............................................210
§ 51. Умножение и деление дробей на натуральное число..............216
§ 52. Умножение дробей...............................................217
§ 53. Деление Дробей.................................................224
§ 54. Упражнения на все действия с обыкновенными и десятичными дробями 229
§ 55. Рациональные числа и их свойства...............................239
§ 56. Действия с рациональными числами...............................241
§57. Уравнения......................................................247
§ 58. Вычисления по формулам.........................................250
Глава VI. Геометрические построения.
§ 59. Построение циркулем и линейкой. Основные построения............258
§ 60. Построение параллельных прямых.................................266
§ 61. Построение треугольников. Равенство треугольников ............ 273
§ 62. Упражнения по курсу V класса................................ . 280
Приложения...........................................................293
Ответы ..............................................................296
Семен Алексеевич Пономарев
Петр Валентинович Стратилатов
Николай Иванович Сырнев
СБОРНИК УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
для 4—5 классов
Редактор И. С. Михеев
Художник Е. Е. Смирнов
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Е. Н. Зелянина
Корректор М. В. Голубева
В
В
Сдано в набор 30/111 1971 г. Подписано к печати
16/VI 1971 г. 60x90»/^. Бумага тппогр. Кг 2. Печ.
л. 19,0. Уч.-изд. п. 18.23. Тираж 200 тыс. экз. (Пл.
1971 г. № 231)
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при
Совете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41
Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая
типография имени А. А. Жданова Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР Москва,
М-54, Валовая, 28. Заказ № 2266
Цена без переплета 49 коп., переплет 10 коп.
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA