Учебник удостоен
второй премии
по конкурсу
Министерства просвещения
РСФСР
НЛ»ПРИИЦЕВ,М.И.ЯГОДОВСКИИ
АРИФМЕТИКА
УЧЕБНИК
ДЛЯ
5-6 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ
ШКОЛЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ПРОСВЕЩЕНИЕ
Москва 1866
Уиебник удостоен
второй премии
по конкурсу
Министерства просвещения
РСФСР
НЛкПРИНЦЕВ,М.И.ЯГОДОВСКИИ
АРИФМЕТИКА
УЧЕБНИК
ДЛЯ
5-6 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ
ШКОЛЫ
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
По решению Министерства просвещения
РСФСР настоящий учебник арифметики для
5—6 классов печатается в качестве пробного.
Все отзывы и пожелания по проверке дан-
ного учебника просим направлять по адресу:
Москва, Чистые пруды, 6, Министерство про-
свещения РСФСР, Программно-методическое
у правлен не.
I- НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
§ 1. СЧЕТ КАК ОСНОВА АРИФМЕТИКИ.
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД ЧИСЕЛ,
Арифметика — это наука, изучающая числа и действия над
ними. Счет является основой арифметики. Прежде чем научить-
ся вычислять, надо научиться считать и надо уметь записывать
числа. Для счета люди пользуются названиями чисел и особы-
ми знаками для их краткого обозначения.
Знаки для изображения чисел называются цифрами. Мы поль-
зуемся десятью цифрами: О, I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
Для обозначения отсутствия предметов употребляется число
нуль, которое изображается циф-
рой 0 (рис. 1).
Числа, получаемые в результа-
те счета предметов, например: 1,
5, 7, 30, 20, 75 и другие, называ-
ются натуральными числами. Мно-
жество всех натуральных чисел,
расположенных в порядке счета:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
и т. д. без конца, называется нату-
ральным рядом чисел. В натураль-
ном ряде каждое число, начиная
с двух, на единицу больше преды-
дущего.
Натуральные числа являются
целыми числами. К целым чи-
слам относится и число нуль, но
оно не принадлежит к натураль-
ным числам.
Не следует смешивать понятия
«числа» и «цифры». Различных
чисел можно написать сколько
Рис, 1
5
угодно, а цифр — только десять *. Любое натуральное число мы
записываем с помощью этих десяти цифр.
Каждое из первых девяти натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 и 9 — записывается одной цифрой; эти числа называют-
ся однозначными числами. Число нуль относится к однознач-
ным числам. Все остальные натуральные числа записываются с
помощью нескольких цифр и называются многозначными чис-
лами.
По количеству входящих в них цифр многозначные числа делят-
ся на двузначные, трехзначные, четырехзначные и т. д.
Примеры. 22, 35 и 47 — двузначные числа; 305, 666 и 700 —
трехзначные числа; 506 066 — шестизначное число.
§ НУМЕРАЦИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ.
Словесное выражение натуральных чисел и способ их запи-
си с помощью цифр называется нумерацией чисел.
В основу счета предметов и нумерации чисел большинством
народов уже давно взято число десять. Мы пользуемся десятью
цифрами для изображения чисел.
Известно, что десять единиц составляют десяток, десять де-
сятков составляют сотню, десять сотен составляют тысячу и
так далее.
Наша система счета или счисления называется десятичной
системой счисления, а число 10 — основанием этой системы.
В записи многозначного числа первая цифра справа обозна-
чает число единиц, вторая справа — число десятков, третья—-чи-
сло сотен и т. д. Так, например, в записи 2307 цифра 7 озна-
чает семь единиц, цифра 0 указывает, что десятков нет, а циф-
ры 3 и 2 обозначают, что число содержит 3 сотни и 2 тысячи.
В записи 555 все цифры одинаковы, но каждая из них име-
ет свое значение: одна указывает число единиц, другая —число
десятков, третья — число сотен.
Для облегчения чтения и записи многозначных чисел в них
выделяют разряды и классы. Каждый класс состоит из трех
разрядов. Цифра, изображающая разряд, указывает число раз-
рядных единиц этого разряда. Первые пять классов и их раз-
ряды изображены в таблице классов.
* Слово «цифра» в обычной речи часто употребляют в том же смысле, в
каком в арифметике употребляется слово «число; например, говорят о циф-
рах семнлетнего плана.
6
Член Академии наук СССР Иван Мат-
веевич Виноградов — один из выдающихся
советских математиков (родился в 1891 го-
ду). Он известен своими крупными рабо-
тами, связанными с изучением натураль-
ного ряда чисел. И. М. Виноградов удо-
стоен звания Героя Социалистического
труда.
С помощью такой таблицы легче
записать число или прочитать запи-
санное в ней число. Однако надо
уметь делать и то и другое без
помощи таблицы, а для этого необ-
ходимо хорошо помнить, в каком
порядке идут классы и разряды.
Количество классов можно увеличить как угодно. Так, на-
пример, существует VI класс, который называется классом
квадриллионов, VII класс — класс квинтиллионов
и так далее. Однако для практических вычислений вполне доста-
точно знать первые четыре класса.
Таблица классов для нумерации чисел.
V класс—класс
триллионов
IV класс—
класс
миллиардов
III класс—класс
миллионов
II класс—класс
тысяч
1 класс—класс
единиц
Чтобы правильно записать число, надо установить, какие
оно имеет классы. Кроме этого, надо помнить, что цифра нуль
в числе не читается. Для записи числа сто два миллиарда
семьсот тысяч надо прежде всего установить, что его старший
разряд — сотни миллиардов, в классе миллионов все цифры—
7
нули, в классе тысяч надо записать число 700 и в классе еди-
ниц все цифры—нули. Это число запишется так: 102 000 700000.
Чтобы правильно прочитать число, надо прежде всего уста-
новить по количеству цифр его старший разряд.
Число 12 000Д7О имеет R пифрХ следовательно. оно относит-
ся к классу миллионов, его старший разряд — десятки мил-
лионов; в классе тысяч все цифры — нули, оно читается так:
двенадцать миллионов пятьсот семьдесят.
В XVI веке на Руси был изобретен замечательный прибор •—
русские счеты. Этот прибор, предназначенный для выполнения
арифметических действий, помогает усвоению нумерации чи-
сел. На рисунке 2 изображены русские счеты, на которых от-
ложено число 2 456 000 870.
Задание 1.
1.	Сколько цифр содержат числа: 1) 12 345; 2) 100 305;
3) 4 200 001 ?
2.	Какая разница между числом и цифрой ?
3.	Какое число находится в натуральном ряде чисел:
1)	перед числом 3000? 2) после числа 1099?
4.	Сколько трехзначных чисел содержится в натуральном
ряде чисел ?
5.	Сколько цифр имеют числа: 1) две тысячи пять; 2) шесть
миллионов двадцать; 3) тридцать одна тысяча сто; 4) один,
миллиард двести пять тысяч; 5) сто два миллиона сорок три?
Записать каждое из этих чисел с помощью цифр.
6.	Для каждого из следующих чисел: 200 450; 340 000 002;
4 372 956-—указать число цифр, высший разряд и записать каж-
дое число словами.
Упражнения.
1.	Прочитать числа и отложить их на сче-
тах: 968; 5853; 62 712; 4044; 50 902; 400 079*
3 009 207;	758 896;	8 634 521;	505 037 000:
4 000 000; 2 092 003 000.
2.	Прочитать числа и отложить их на сче-
тах: 2493, 45 289; 35 798; 50 055; 70 807;
500 080; 969 699; 5 075 777; 7 012 309; 70 070 300;
9 000 000; 8 051007 000.
3.	Двенадцатого апреля тысяча девятьсот
шестьдесят первого года советский летчик
Ю. А. Гагарин впервые в мире совершил кос-
Рис. 2.
мический полет. Вес корабля «Восток», на котором летел пер-
вый космонавт, равнялся четырем тысячам семистам два-
дцати пяти килограммам. Полет продолжался сто восемь ми-
нут. Космонавт пролетел около сорока тысяч километров.
Наибольшая скорость полета равнялась примерно двадцати де-
вяти тысячам километров в час, а наибольшая высота полета
составила триста двадцать семь километров.
Записать цифрами все числа, встречающиеся в этих предло-
жениях.
4.	Запишите цифрами все числа, встречающиеся в данных
предложениях:
Вес третьего советского искусственного спутника Земли ра-
вен одной тысяче тремстам двадцати семи килограммам. При
запуске спутника он вышел на орбиту на расстоянии одной ты-
сячи восьмисот восьмидесяти километров от Земли. За триста
пятьдесят восемь суток спутник сделал пять тысяч оборотов
вокруг Земли, пролетев двести двадцать восемь миллионов две-
сти тысяч километров.
5,	Написать наименьшие двузначное, трехзначное, четырех-
значное и пятизначное числа.
6.	Написать наибольшие двузначное, трехзначное, четырех-
значное и пятизначное числа.
7.	Сколько четырехзначных чисел содержится в натуральном
ряде чисел?
8.	Сколько пятизначных чисел содержится в натуральном
ряде чисел?
9.	Какое число в натуральном ряде чисел будет первым?
Можно ли указать последнее натуральное число?
10.	Какое из известных вам целых чисел не является нату-
ральным?
11.	К числу 591 приписали справа два нуля. На сколько
новое число больше, чем 591?
12.	К числу 480 приписали справа три нуля. На сколько
новое число больше, чем 480?
13.	Дано число 45. Записать число теми же цифрами, но в
обратном порядке. На сколько одно число больше другого?
14.	Дано число 139. Записать число теми же цифрами, но в
обратном порядке. На сколько одно число больше другого?
15.	Записать пять чисел, следующих в натуральном ряде за
числом 1997.
16.	Записать шесть чисел, стоящих в натуральном ряде пе-
ред числом 30002.
Рис. 3.
17*. Сколько нужно цифр для нумерации страниц книги, ко-
торая имеет 205 страниц ?
18.	Как можно быстро вычислить сумму всех двузначных
чисел ?
Указание. Сложить первое и последнее двузначные чис-
ла, затем второе и предпоследнее. Что можно заметить ?
19.	Как можно быстро вычислить сумму всех трехзначных
чисел?
20.	К данному числу приписали шесть нулей справа. Во
сколько раз новое число больше данного числа ?
21.	Какие числа при любой перестановке их цифр не изме-
няются ?
§3. МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР.
В 1918 г. в нашей стране введена Международная метриче-
ская система мер вместо прежних русских мер.
* В этом и других параграфах чертой отделены задачи повышенной труд-
ности.
Рис. 4.
В настоящее время мы ино-
гда употребляем только одну
из прежних единиц — пуд, рав-
ный примерно 16 кг.
Все расчеты и измерения
выполняются в единицах мет-
рической системы мер. Табли-
цы этих единиц помещены в
конце книги.
1.	Меры длины. Основная
единица длины — метр. Необ-
ходимо запомнить названия
всех единиц длины и соотно-
шения между ними. Для изме-
рения длины применяются из-
мерительная линейка (рис. 3),
мерная лента (рис. 4), полевой циркуль (рис. 5) и другие изме-
рительные приборы.
При измерении длины отрезка АВ (рис. 3) следует нулевое
деление измерительной линейки совместить с началом отрезка.
Это указание нужно выполнять и при измерении длины с по-
мощью мерной ленты.
На измерительной линейке нанесены миллиметры. Она дает
возможность производить измерения длины с точностью до
1 мм. На мерной ленте (рис. 4) нет миллиметровых делений,
самые мелкие деления на ней равны 1 см или см. Этот при-
бор позволяет измерить длину с точностью до 1 см или до
см. Мерной лентой измеряют длину и ширину комнаты, зда-
ния, земельного участка и т. д.
Для измерения больших расстояний, например длины поля,
употребляют иногда полевой циркуль (рис. 5). Обычно расстоя-
ние АВ между концами ножек циркуля делают равным 2 м.
Таким циркулем измеряют расстояние с точностью до 1 м, так
как на глаз можно определить половину расстояния между кон-
цами ножек циркуля.
2.	Меры веса. Основная единица веса — килограмм. Таблица
единиц веса помещена в конце книги. Следует запомнить назва-
ния единиц и соотношения между ними.
Взвешивание тела производят на различных весах.
На рисунке 6 изображены торговые стрелочные весы. Точ-
ность измерения этими весами равна 5 г.
Рис. 5.
и
зоо г50
Рис. б.
точные весы. Точность таких весов
При взвешивании
небольших количеств
веществ, например в
аптеке, употребляют
более точные весы.
Аптекарские весы
имеют точность, рав-
ную 10
Для взвешивания
больших грузов упо-
требляются менее
составляет 100 г» 1 кг и
более.
1 кв.см 1 кв.мм
Рис. 7.
12
Рис. 8
3.	Меры площади и меры объема.
Названия единиц площади или объема
происходят от названия единиц длины.
Например, площадь квадрата со сторо-
ной 1 м равна 1 кв. м, а объем куба
с ребром 1 м равен 1 куб. м. Не сле-
дует смешивать друг с другом эти на-
звания. Нужно твердо усвоить, что, на-
пример, метр, квадратный метр и ку-
бический метр — различные поня-
тия.
Нужно не только запомнить соот-
ношения между различными квадратными или кубическими еди-
ницами, но и научиться быстро вычислять эти соотношения.
Рассмотрим на примерах, как следует выполнять такие вычис-
ления. На рисунке 7 изображены три квадрата: площадь одного
равна 1 кв. мм, площадь другого—1 кв. см, а площадь треть-
его— 1 кв. дм. Чтобы ответить на вопрос, сколько квадратных
сантиметров содержит 1 кв. дм, достаточно подсчитать число квад-
ратов со стороной 1 см, которые помещаются в квадрате со сто-
роной 1 дм (рис. 7). На рисунке видно, что 1 кв. дм = 10- Юке. см —
100 кв. см. Так же легко вычислить другие соотношения.
1 кв. см = (10-10) кв. мм = 100 кв. мм.
1 кв. дм — (100-100) кв. мм = 10 000 кв. мм.
На рисунке 8 изображен в уменьшенном виде куб, ребро ко-
торого равно 1 дм. Его объем равен 1 куб. дм. Из рисунка вид-
но, что в этом кубе помещается 10-10-10, или 1000, кубов,
ребра которых равны 1 см.
Следовательно,
1 куб. дм = (10-10-10) куб. см = 1000 куб. см.
4.	Меры вместимости (емкости). Для измерения вместимости
сосудов и количества жидкости употребляется основная едини-
ца— литр. Литр на 28 куб. мм больше 1 куб. дм, но эта раз-
ница незначительна, она меньше, чем объем четвертой части
спички. Поэтому будем считать, что 1 л равен 1 куб. дм.
Другие единицы емкости указаны в таблице мер в конце
книги.
Задание 2.
1. Как подсчитать, сколько квадратных метров содержится
в 1 кв. км ?
13
в
Q	2. Что больше: 5000 кв, см или 1 кв. м?
Jr .	3. Сколько кубических сантиметров в
J 1 куб. ж? Как можно подсчитать это число
J	кубических сантиметров ?
Д 4г J	4. Что больше: 1 куб. км или 100 000
X	куб. м? Как вычислить, сколько в 1 куб. км
J	содержится кубических метров ?
J	5. Измерить в миллиметрах длины отрез-
X	ков на рисунке 9.
J	Упражнения.
X	22. Какой из отрезков (рис. 10) кажется
' *	длиннее? Измерить оба отрезка.
Г______________Г	23. Какой из отрезков (рис. И) АВ или
ОМ кажется короче ? Измерить оба отрезка.
Рис. 9.	24. Выразить в метрах: 1) 12 400 см; 2)
1 000 000 см; 3) 2 км 350 м; 4) 569 060 дм;
5) 1000 000 дм; 6) 5 км 866 м.
25.	Выразить в километрах: 1) 124 000 м; 2) 2 000000 м;
3) 9031000 м; 4) 620000 м; 5) 160000 дм; 6) 1020000 дм.
26.	Выразить в килограммах: 1) 23 tn; 2) 1002 т; 3) 2 т
400 кг; 4) 55 т 850 кг; 5) 9 т 40 кг; 6) 10 т 90 кг.
27.	Сколько квадратных метров содержат: 1) 5 га? 2) 7 га?
3) 12 га 50 а ? 4) 6 etz 53 а ? 5) 8 га 523 кв. м ? 6) 11 га 5 а 23 кв. м ?
28.	Сколько аров содержится: 1) в 45 га ?
2) в 108 га? 3) в 500 000 кв. м ? 4) в
403 000 кв. м?
29.	Выразить в миллиграммах: 1) 17 г;
2) 204 г; 3) 70 г 370 мг; 4) 29 г 48 мг.
30.	Выразить в кубических метрах:
1) 5000000 куб.см; 2) 41 000000 куб, см;
р	3) 6 560 000 куб. дм; 4) 40 200 000 куб. дм.
ИС* ’	31. Выразить в литрах; 1) 7 000 000 куб. см;
2) 290 000 000 куб. см; 3) 2 куб. м 147 куб. дм;
4) 13 куб. м 43 куб. дм.
О	32. Сколько минут прошло: 1) от 12 час.
дня до 3 час. 30 мин. этого же дня (до
15 час. 30 мин.)? 2) от 7 час. утра до 4 час.
40 мин. этого же дня (до 16 час. 40 мин.)?
33.	Сколько минут составляют: 1) 15 час.?
2) 23 часа 23 мин.? 3) 3 суток? 4) 5 суток
К	R	час.?
пиг 1 1
34.	1) Ширина прямоугольного участка земли равна 500 ж,
а длина 3400 м. Вычислить площадь его в квадратных метрах и
в гектарах.
Указан ие. Чтобы вычислить площадь прямоугольника,
надо перемножить числа, выражающие его длину и ширину в
одних и тех же единицах.
2) Длина стены равна 12 м, ее высота равна 2 м 5 дм. Вы-
числить площадь стены в квадратных метрах и в квадратных де-
циметрах.
35.	1) Длина ящика 200 см, ширина 50 см и высота 40 см.
Вычислить объем ящика в кубических сантиметрах и в куби-
ческих дециметрах.
Указание. Для вычисления объема предмета такой формы
нужно перемножить числа, выражающие его длину, ширину и
высоту в одних и тех же единицах.
2)	Размеры прямоугольной ямы равны 5 м 5 дм\ 4 м\ 1 м 5 дм.
Вычислить объем ямы в кубических метрах и в кубических деци-
метрах.
36.	Учебник арифметики, которым вы пользуетесь, издан в
количестве 1 миллиона экземпляров. Какую длину займут все
учебники, если их приложить друг к другу короткой стороной
обложки? Ответ дать в крупных единицах длины.
37.	Измерить (приблизительно) в сантиметрах длину, шири-
ну и толщину учебника арифметики. Какой примерно объем
займут все учебники, если они изданы в количестве 1 милли-
она экземпляров? Можно ли такое количество учебников по-
местить в той комнате, где занимается ваш класс?
«.^РИМСКАЯ НУМЕРАЦИЯ.
Десятичная система нумерации, о которой мы говорили ра-
нее, возникла в Индии. Позднее ее стали называть арабской,
потому что она была перенесена в Европу арабами. Цифры,
которыми мы пользуемся, тоже называются арабскими. Кроме этих
цифр, мы пользуемся римскими цифрами.
Для обозначения чисел употребляются следующие римские
15
Римскими цифрами иногда обозначаю? главы или разделы
в книгах, месяцы в письмах» годовщины выдающихся событий
И т. д.
Таблица римских изображений чисел.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
XI	XII	хш	XIV	XV	XVI	XVII 	 _	XVIII	XIX	XX
30	40	50	60	70	80	90	100	1000	49
XXX	XL	L	LX	LXX	LXXX	xc	c	M	XLIX
При записи чисел римскими цифрами надо помнить, что
если меньшая по значению цифра поставлена перед большей,
то такая запись означает разность чисел. Например, запись IX
означает 10—1, или число 9; запись XL означает 50—10, или
число 40.
В записи чисел римскими цифрами одинаковые цифры встре-
чаются не более трех раз подряд.
Задание 3.
1.	Обозначить каждый из месяцев года римскими циф-
рами.
2.	Которую годовщину Великой Октябрьской социалистичес-
кой революции мы будем праздновать в этом учебном году?
Записать римскими цифрами.
3.	Прочитать предложения: I) Мы живем в XX веке. 2) Я
прочел XXIX главу романа Жюля Верна «Вокруг света в восемь-
десят дней». 3) Мой брат учится в IX классе.
16
4.	Какие римские цифры мы используем для обозначения
чисел первой сотни?
5.	Записать числа 39; 74 и 101 римскими цифрами.
Упражнения.
38.	Записать числа 18; 27; 34; 48; 53; 60; 79; 84; 92; 99
римскими цифрами.
39.	Прочитать числа, записанные римскими цифрами: XIV;
XXVI; XXXIX; XLI; LIX; XCI; XCVIII.
40.	Выразить в граммах: 1) 2 m 45 кг; 2) 470 кг 150 г.
41.	Выразить в кубических сантиметрах: 1) 15 куб. дм
20 куб. см; 2) 3 куб. м 1400 куб. см.
42.	Выразить в кубических дециметрах: 3 куб. м 32 куб. дм
и 12 куб. м 52 000 куб. см.
43.	Записать число, большее одного миллиона на 5 еди-
ниц.
44.	Записать число, меньшее ста тысяч на 8 единиц.
45.	Выразить в квадратных метрах: 12 а; 25 га и 5 га 15 а.
5. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О НУМЕРАЦИИ ЧИСЕЛ
И СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ.
Люди в процессе трудовой деятельности постепенно научились считать
предметы и записывать натуральные числа.
У разных народов и в разные эпохи употреблялись различные знаки для
обозначения чисел.
АЛА
В древнем Египте, например, число 37 изображалось так: | ц || \ ..
Знак /Д служил для обозначения 10, а знаком | изображалась единица.
Вавилоняне изображали единицу знаком , а 10 — знаком	На-
пример, запись	обозначала число 21.
Славяне ранее пользовались для обозначения чисел буквами своего алфа-
вита. Одни буквы обозначали однозначные числа, другие — круглые десятки,
тре гьи — круглые сотни
17
При обозначении чисел над буквами ставился особый знак в виде черты.
Например, буква fp (со знаком r-J наверху) обозначала число 300; буква
служила для обозначения числа 20, буква у] —для обозначения числа 8.
Число 328 записывалось так: ТКИ
В Индии при обозначении чисел пользовались девятью знаками для пер-
вых девяти натуральных чисел. Примерно в VIII веке индийцы ввели знак
для обозначения нуля. Это было выдающимся изобретением, так как с по-
мощью этих десяти цифр удалось упростить нумерацию чисел.
Арабы стали применять индийские цифры и называли нуль «сифр», что
значит «пустое». Отсюда произошло название «цифра». Сперва так называли
только цифру 0, а лет двести тому назад стали все 10 знаков для обозначе-
ния натуральных чисел называть цифрами. Слово «нуль» произошло от ла-
тинского слова nullus, что значит «никакой».
В X—XI веках индийские цифры были заимствованы у арабов народами
Европы и получили название «арабские». Однако индийская система обозна-
чения чисел распространялась в Европе медленно, многие страны еще дол-
гое время пользовались римской нумерацией. Только примерно в XV веке
начинают широко применяться арабские цифры.
Цифры постепенно меняют свой вид (см. таблицу изображения цифр на
рис. 12). Начертания цифр, которыми мы сейчас пользуемся, установились
в Европе в XVI веке.
В России арабские цифры начали широко применяться после напечата-
ния книги Л. Ф. Магницкого «Арифметика».
Происхождение десятичной системы счисления связано с использованием
десяти пальцев рук.
Кроме этой системы счисления, существовали и другие: пятеричная сп-
ось число 5, двенадцатеричная и
12 и 60).
1)	Цифры деванагари, Индия,
IX век
2)	Цифры западных арабов, X век
3)	Французские цифры, XIII век
4)	Готские цифры эпохи (ок.
1400 г.]
5)	Цифры эпохи Возрождения
(ок. 1500 г.]
6)	Современные цифры
Рис. 12.
стема, в которой	за	основание прин:
шестидесятеричная системы (с основан!
?	J4 И	U	К»
I	2 ?	ч Я	?	9 ? «
I	7 з	А <?	J	-I	X Э о
1 2343|z7S30
1234567890
18
I Мь<нетй»1 , практик |
| Й/1Н Д'КАТМНДА . t
|	Ч!т6 £СТк ЛрДЛПТ1КД ;
3 Д|Й\ьтГГ1КА ИЛИ ЧИСЛНТЕЛКНЦД 9 ^СТЬ )£#ДОЖЕСТВО
$ честное 9 ненавистно! 9 н бс41мх оудовопоХтнсн 9
I ЛШ0ГОПОЛ₽ЗНжЬйш£е 9 Й ЛЕНОГО^БДДН^ЙШЕЕ , W ДрЕ-
3 БН^ИШН^Х ЖЕ Й нбн^йшн^х 9 КХ рД^НДА врЕ/ИЕНД
§ ИВЛШН^СА ЙзрХдН^ИШН^Х ДркЬЛиТЙСШБХ 9 НЗШЕр^-
I	ТЕННОЕ 9 Й ИЗЛОЖЕННОЕ .
§	К рЛНКОГ^БД КТЬ ДрМжЛЙтТка лрдктТкд 5
|	§ «ТБ С^Г§БД .
I 1 Д|^ТЖЛЕЕТ'|*КД П0Л1Т1КД 9 ЙлН ГрдЖДДНСКДА
э а Л\ |р*ь**л*ЕтУкд. лоНстнкд 9 не ко гражданств^
3 т6клта>9 НО Н К ДКНЖЕНТю НБНЫ^Ж Кр^ГОоТ ЛрННДЛЕЖД1рДА .
£ 22ЯЗЯ2ЯЙГ2?Ж2Я£Й2Й222Я2Я2Я2Я25?^2 22Я22Я252Я£Я£Я2 2Я55
mjg чТ	Чг Чг Яр ЯР ЯР Яр Яр Яр ЯР ЯР ЯР ЯР ЯР ЯР ЯР ЯР ЯР ЯР Яр ЯР ЯР Яр Яр ЯР Яр Яр ЯР ЯР ЯР ЯР ЯР Яр ЯР
Страница из учебника арифметики Леонтия Филип-
повича Магницкого Впервые этот учебник был напеча-
тан в 1703 году. Л. Ф Магницкий происходил из кресть-
ян Тверской губернии, родился в 1669 г., умер в 1739 г.
Он был образованным человеком, знал несколько язы-
ков, самостоятельно изучил математику. Его учебник
был написан доступным и простым языком, многие рус-
ские люди изучали арифметику по этому учебнику. Наш
гениальный ученый М. В. Ломоносов называл этот учеб-
ник и грамматику Смотрицкого «'вратами учености*.
Для числа 12 существует название «дюжина», 12 дюжин составляют
«гросс».
Год делится на 12 месяцев. Час содержит 60 минут, а минута — 60 се-
кунд.
Эти названия и соотношения являются остатками двенадцатеричной и
шестидесятеричной систем счисления.
Вообще говоря, можно любое число, начиная с двух, взять за осно-
вание системы счисления. Если, например, записывать числа по пятеричной
системе, где основанием будет 5, или пяток, а не десяток, то для записи
чисел достаточно только пяти цифр: 0, 1,2, 3, 4.
Число пальцев на одной руке по пятеричной системе запишется двузна-
чным числом 10 (пяток есть единица второго разряда).
Запись 105 читают так: «Один — нуль по пятеричной системе». Эта за-
пись означает: один пяток и нуль единиц. Чтобы отличить эту запись от
записи в десятичной системе, внизу поставлена цифра 5. Число дней в не-
деле запишется так: 125 (один пяток и две единицы). Число пальцев на
руках и ногах запишем таким образом: 40ь (четыре пятка и нуль единиц)
и т. д. Наименьшее число цифр имеется в двоичной системе. Для изображе-
ния чисел в этой системе необходимо иметь только две цифры: 0 и 1.
Первые девять натуральных чисел записываются в двоичной системе
следующим образом: 1 = 12; 2 = 102; 3 = 11а; 4 = 1002; 5= 1012; 6 = ПОз*,
7 = 1112; 8= 10002; 9= 10012. Изображения чисел в двоичной системе зани-
мают больше места, чем в десятичной системе, однако арифметические дей-
ствия над числами значительно упрощаются. Например, таблица умножения
в двоичной системе очень проста: 0*1 = 1*0=0; 1*1 = 1. Благодаря такой
простоте двоичная система используется для записи чисел и букв в электрон-
ных счетных машинах. Эти машины могут выполнять десятки тысяч ариф-
метических операций в 1 секунду.
§ б. СЛОЖЕНИЕ И ЕГО ЗАКОНЫ.
Собрание (или группу) каких-либо предметов называют мно-
жеством. Например, говорят о множестве учащихся в классе,
множестве букв в алфавите, множестве голов скота в колхозе.
В арифметике принято говорить о множестве и в том случае,
когда имеется только один предмет или вовсе нет предметов.
Например, множество мальчиков в классе может состоять толь-
ко из одного мальчика. В этом множестве может и не быть ни
одного мальчика (если в классе учатся только девочки).
20
Рис. 13.
Предметы множества называют эле-
ментами. Если элементы множества
можно пересчитать, то такое множество
называют конечным. Число его элемен-
тов называют численностью множества.
Например, в классе 36 учащихся, ла-
тинский алфавит содержит 26 букв;
36 и 26—численности множеств. Мно-
жества могут иметь одинаковую чис-
ленность.
Множество натуральных чисел бес-
конечно. Численность его нельзя ука-
зать.
Условимся элементы множества
изображать точками внутри прямо-
угольника (рис. 13).
На рисунках 14—16 изображены
условно три множества. В первом мно-
жестве 6 элементов. Оно условно изо-
бражает, например, число рабочих дней
в неделе или число месяцев в полу-
годии. Во втором множестве только
один элемент. Оно изображает, напри-
мер, число голов котенка или гуся. В третьем множестве
нет элементов, его численность равна нулю. Это множество
условно изображает, например, число слонов или крокодилов
в тундре.
Часто приходится два множества соединять в одно новое
множество. Например, множество мальчиков и множество дево-
чек в данном классе образует множество всех учащихся этого
класса. Если численность первого множества равна 17, а чи-
сленность второго равна 18, то численность множества всех
учащихся равна 35. Следовательно, по двум данным числам 17
и 18 мы нашли третье число 35.
Нахождение по двум данным числам третьего числа называ-
ется арифметическим действием.
Такое действие, которое мы выполнили над числами 17 и
18, называют сложением. Мы записываем: 17+18 = 35.
Рис. 14.
Рис. 15.
Рис. 16.
Определения*. Числа, которые надо сложить, на-
зываются слагаемыми. Число, которое получается в
результате сложения, называется суммой. Запись, обо-
значающую сложение чисел, также называют суммой. Напри-
мер, 17 + 18 есть сумма чисел 17 и 18.
Сумма нуля и любого другого числа равна этому числу. Ес-
ли, например, в одной клетке нет кроликов, а в другой клетке
5 кроликов, то общее число кроликов в этих клетках, или сум-
ма 0 и 5, равна 5:
0 + 5 = 5.
Можно объединять в одно множество сколько угодно мно-
жеств, следовательно, можно складывать сколько угодно чисел.
Если даны числа 11, 7, 1 и 3, то их сумма будет равна:
11 + 7 + 1 + 3 = 22.
Под суммой нескольких слагаемых понимают число, которое
получается путем постепенного сложения: сначала вычисляют
сумму 11 + 7 = 18, затем к 18 прибавляют третье слагаемое 1,
получают 19. Наконец, к 19 прибавляют 3 и получают 22. Что-
бы с помощью изображения множеств вычислить сумму, доста-
точно изобразить каждое множество точками и пересчитать все
точки (рис. 17).
На практике люди давно убедились в том, что результат
счета предметов не зависит от порядка счета. Вследствие этого
сложение обладает двумя свойствами, которые называют зако-
нами сложения.
Переместительный закон. От перестановки слагаемых
сумма не изменяется.
17+18 = 18+ 17,
11 + 7+1+3 = 11 + 1 + 3 + 7.
Сочетательный закон. Сумма не изменится, если неко-
торые слагаемые объединить в группы, произвести
сложение в каждой группе и полученные результаты
сложить.
19 + 21 + 37 + 93 = 19 + 21 + (37 + 93).
С помощью этого закона можно быстрее вычислить указан-
ную сумму: 19 + 21 = 40, а 37 + 93 = 130, следовательно, сум-
ма равна 170.
* Определением называется предложение, в котором разъясняется
смысл какого-либо понятия (или названия).
22
• с • • г	• • • • • • •	•	• • •
Рис. 17.
Из этого закона следует такое правило: чтобы к числу приба-
вить сумму, достаточно к этому числу прибавить каждое слагаемое.
Например, 19+(31 +167) = 19 + 31 -h 167.
Чтобы записать законы сложения для любых чисел, обозна-
чают слагаемые буквами латинского алфавита.
Если слагаемые обозначить буквами af b и с, то можно за-
писать, что
и —1~ Ь = b + я,
Q~\~b~\-C = CL-\~ (/) + С).
Законами сложения пользуются для устных и письменных
вычислений.
Задание 4.
1.	Вычислить устно, применяя законы сложения: 1) 800+560+
+200+440; 2) 2009+991+743; 3) 49+0+37+51.
2.	Объяснить справедливость законов сложения, используя ри-
сунок 17.
Представить в виде суммы разрядных единиц число 7672.
Упражнения.
46.	Записать сумму чисел 42, 89 и 108 и объяснить на этой
сумме законы сложения.
47.	Как быстрее вычислить сумму:
8+13 + 11+2+17+9?
Какие законы сложения следует применить при этом вычис-
лении ?
48.	Представить в виде суммы разрядных единиц числа:
1)	3719; 2) 5705; 3) 999; 4) 42 075; 5) 156 000; 6) 289 400.
49.	К числу 1001 надо прибавить сумму чисел 999 и 3700.
Записать и вычислить эту сумму, используя правило о при-
бавлении суммы.
50.	Вычислить суммы, используя законы сложения:
1)54+78+46; 3) 135+209+65+91+71; 5) 135+209+65+91+76;
2)	123+88 ! 112; 4) 245+311+55+89;	6)245+311+55+189.
23
S 7.1 СЛОЖЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ.
* ПРОВЕРКА СЛОЖЕНИЯ.
Сложение можно выполнять с помощью счета. Однако этот
способ является слишком медленным. Кроме того, при счете тре-
буется иметь предметы или изображать их. Сложение однознач-
ных чисел производят при помощи таблицы сложения. Напри-
мер, надо знать наизусть, что 4+3 — 7 или 5+3 = 8 и т. д.
Сложение многозначных чисел производится путем сложения
единиц одного и того же разряда. При этом каждые десять еди-
ниц данного разряда заменяют одной единицей следующего,
старшего разряда.
При письменном выполнении сложения многозначных чисел
необходимо их аккуратно записать друг под другом так, чтобы
цифры одного и того же разряда находились в одном и том
же вертикальном столбце.
Пример. Сложить 2409; 378 и 44 781. Запись имеет вид:
2409
+ 378
44781
47568
Таким образом, при сложении чисел мы разбиваем каждое
слагаемое на сумму разрядных единиц: 2409 + 378 + 44 781 =
= (2000+400+9)+(300+70+8)+(40 ООО + 4000 + 700 + 80+ 1),
а затем применяем законы сложения — переставляем слагаемые,
объединяем их в группы, чтобы произвести сложение по отдель-
ным разрядам, начиная с единиц.
Проверка сложения производится с помощью переместитель-
ного закона сложения. После перестановки слагаемых должна
получиться та же сумма.
Если при перестановке слагаемых получается другая сумма,
то это означает, что в одном из вычислений допущена ошибка.
Задание 5.
1.	Найти сумму чисел: 1) 9007; 3700 и 989; 2) 12 498; 159 789
и 14153. Проверить результат.
2.	Вычислена сумма: 1) 157+69=216; 2) 29 715 + 3799 = 33 50 1
Проверить вычисление. Если сумма вычислена неверно» то
найти правильный результат.
3.	Вычислить сумму: 251 кг 700 г
+ 748 кг 300 г
24
Упражнения.
Вычислить сумму чисел:
51.
1)	5349+9876;	4) 9751; 88976 и 1397 656;
2)	9709+13291;	5) 38; 70 999; 395 и 7666;
3)	19782; 507968 и 3701905; 6) 78500; 999900; 87000.
Выполнить проверку.
52.
1)	54091 и5909;	4) 190005; 87999 и 659;
2)	9999 и 77 777;	5) 27051; 609 879 и 3 102 409;
3)	896; 6779 и 45 975; 6) 708; 149 765 и 120 009.
Выполнить проверку.
53.	Длина физкультурного зала 12 м 56 см, ширина 8 м 86 см.
Чему равна длина плинтуса этого помещения, если оно име-
ет две двери шириной 1 м 50 см каждая?
54.	Длина сада прямоугольной формы равна 1 км 248 м, а
ширина 895 м. Чему равна длина изгороди вокруг этого сада?
55.	Вычислить сумму:
1)	24 км 305 м + 39 км 595 м; 3) 47 га 38 а + 17 га 92 а\
2) 12 кг 581 г + 13 кг 419 г; 4) 5 час. 42 мин.+12 час. 36 мин.
56.	Может ли сумма двух чисел равняться одному из них?
57.	В каком случае сумма одинаковых слагаемых равна
каждому слагаемому?
§ 8. СЛОЖЕНИЕ НА СЧЕТАХ.
Сложение двух чисел на счетах начинают со сложения еди-
ниц высших разрядов, а затем складывают следующие за ними
единицы низших разрядов.
Пусть, например, надо найти сумму 243 и 735. Откладываем
на счетах 243. Затем к двум косточкам на проволоке сотен при-
бавляем 7 косточек, а к четырем косточкам на проволоке десят-
ков добавляем 3 косточки и, наконец, к трем косточкам на про-
волоке единиц добавляем 5 косточек. На счетах будет отложе-
но: 9 косточек на проволоке сотен, 7 косточек на проволоке
десятков и 8 косточек на проволоке единиц, т. е. на счетах будет
отложена искомая сумма 978.
При сложении может случиться, что на правой стороне не
найдется достаточного количества косточек (например, при сло-
25
жении 37 и 9). В таком случае пользуются способом округле-
ния второго слагаемого; вместо прибавления 9 добавляют один
десяток и из результата вычитают 1.
Например, при сложении 37 и 9 поступают так: откладыва-
ют число 37, добавляют одну косточку на проволоке десятков
и получают 47, а затем отбрасывают 1 косточку на проволоке
единиц и получают искомую сумму 46.
При сложении на счетах нескольких чисел складывают сна-
чала два первых слагаемых, к полученной сумме прибавляют
третье слагаемое, к сумме трех слагаемых прибавляют четвер-
тое и так далее.
Задание 6.
Выполнить сложение на счетах, результаты проверить пись-
менно:
1) 63+27; 3) 4256+720; 5) 548+756;
2) 152+805; 4)	96+89 ; 6) 129+303+859;
7) 12 586+27 004+1529;
8) 125 048+84 530+7998.
Упражнения.
Выполнить сложение на счетах, результаты проверить пись-
менно:
58.
1)	254+7232;	6)	1254+384+2943;
2)	4523+52 340;	7)	10 284+987 + 1603+89;
3)	423+351+8204;	8)	420+9543+727+4345;
4)	5300+2360+135;	9) 5243+4009+87 046+759+120;
5)	1486+754+239;	10)	49+756+3450+49 296+84 752.
59.
1)	4208+791;	6) 288 859+72 504+35 281;
2)	2362+630;	7) 862+9423+54 588+620 759;
3)	586+285+1203;	8) 12 004528+4 364 000+79 758 368;
4)	76 + 1283+945+54;	9) 45 003+284+3575 + 79+1568;
5)	12 683+43 500+4979;	10) 5656+6565+7575+8686+9797.
60.
1)	12	руб.	42	коп.+23	руб.	54 коп.;
2)	128	руб.	28	коп.+73	руб.	78 коп.;
3)	428	руб.	09	коп.+219 руб.	52 коп.+48	руб.	76	коп.;
4)	15	руб.	33	коп.+ 18	руб.	74 коп. + 12	руб.	56	коп.	+
+20 руб.	06 коп.;
5)	1283 руб. 24 коп. + 729 руб. 89 коп.+528 руб. 02 коп.;
26
6)	876 руб. 84 коп.+592 руб. 36 коп. + 14 руб. 08 коп.+
+28 руб. 13 коп.;
7)	8 руб. 95 коп.+40 руб. 12 коп.+ 126 руб. 77 коп.+
+29 руб. 03 коп.;
8)	1567 руб. 45 коп.+396 руб. 19 коп.+ 1203 руб. 09 коп. +
+770 руб. 46 коп.
д.^ПСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ СЛОЖЕНИЕМ.
Основными (простыми) задачами называются задачи, для
решения которых нужно произвести только одно арифметическое
действие.
1. Найти сумму нескольких чисел.
Задача. В I классе—41 учащийся, во II—37 учащихся, в
III—35 учащихся и в IV—42 учащихся. Сколько всего уча-
щихся ?
Решение. 41+37+35+42 = 155 (уч.)
2. Увеличить число на несколько единиц.
Задача. На приобретение книг для библиотеки было отпу-
щено в прошлом году 1409 руб., а в этом году отпущено на
541 руб. больше. Сколько денег отпущено на приобретение книг
в этом году?
Решение. 1409+541 = 1950 (руб.).
Задание 7.
1.	Найти сумму чисел:
1)	179 098; 134 992 и 4 037 860;
2)	157 439 698; 47 999 и 8087.
2.	Увеличить каждое из чисел: 227; 3049 и 99 989 на 19 758.
3.	Площадь одного поля равна 19 га 28 а, площадь второго
на 4 га 90 а больше. Чему равна сумма площадей того и дру-
гого поля ?
4.	Составить две основные задачи, решаемые сложением.
Упражнения.
61.	Земельный участок состоит из трех частей. Площадь
первой части равна 3049 га, площадь второй на 992 га больше,
а площадь третьей части равна сумме площадей первых двух
частей. Чему равна площадь всего участка?
62.	Учащиеся одного класса собрали 760 кг металлического
лома, а другого класса — на 260 кг больше. Учащиеся третьего
27
класса собрали на 50 к.г больше того, что было собрано первыми
двумя классами вместе. Сколько лома собрали все три класса?
63.	Поезд во время следования сделал 3 остановки. Оста
новки имели продолжительность: 12 мин., 17 мин. и 10 мин.
Первый пролет он прошел за 1 час 3 мин., второй — за 58 мин.,
третий — за 1 час 12 мин., четвертый — за 49 мин. Сколько вре-
мени он находился в пути? Сколько времени поезд затратил на
остановки?
64.	Привести примеры множеств, численность которых равна
0, 1, 2, 3, 4 и 5.
65.	Вычислить стоимость всех учебников, какие должен иметь
учащийся пятого класса.
66.	Книжный ларек в первый день продал книг на 19 руб.
56 коп., а во второй день на 4 руб. 80 коп. больше. На какую
сумму продано книг за два дня?
67.	Неизвестные цифры слагаемых и суммы
ками:
обозначены точ-
1)	.84.	2)	1.5	3)	5.17
+ 2..3	.. 17	+ .4.8
6529	+ 581.	681.
. 0846	'
Восстановить эти цифры.
68.	Все четыре слагаемых имеют одну и ту же цифру
ниц. Может ли их сумма оканчиваться той же цифрой?
еди-
§ 10. ВЫЧИТАНИЕ.
Решим задачу: «На двух полках 26 книг, на одной из них
12 книг. Сколько книг на другой полке?» (рис. 18).
В этой задаче число 26 есть сумма, одно из слагаемых равно
12, нужно вычислить другое слагаемое. Если его обозначим
буквой х, то можно записать: 12 + х = 26.
Рис. 18.
26
* • 9 • • •	• •••«$
12
Рис. 19.
Число х можно найти, если в множестве, состоящем из 26
элементов, отсчитать 12 элементов (рис. 19), а затем пересчи-
тать остальные элементы. Отсюда следует, что х = 14.
Вычисление неизвестного слагаемого выполняется с помощью
действия, которое называется вычитанием. Записывают так:
26 — 12 = 14.
Определение. Вычитанием называется арифмети-
ческое действие, посредством которого по данной сумме
двух слагаемых и одному из них отыскивается другое
слагаемое. Поэтому вычитание называют действием, обратным
сложению.
Числа при вычитании носят особые названия.
Определения. Число, из которого вычитают, на-
зывается уменьшаемым. Число, которое вычитают,
называется вычитаемым. Результат вычитания назы-
вается разностью.
Запись, обозначающую вычитание, например 26 —12, также
называют разностью.
11?) ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ.
Находить результат вычитания с помощью счета затрудни-
тельно, так как в случае больших чисел счет отнимает много
времени.
Для вычисления разности многозначных чисел надо уметь
быстро и безошибочно вычислять разность между однозначными
числами, а также между 10 и однозначным числом, например:
9 — 7; 8 — 5; 10 — 3; 10 — 5; 10 — 7; 8 — 8.
Так же быстро нужно вычислять такие, например, разности:
17 — 9; 18 — 9; 14 — 6; 15 — 7; 16 — 7.
29
При письменном вычитании многозначных чисел их записы-
вают так, чтобы цифры одних и тех же разрядов были подпи-
саны друг под другом:
7958
“3426
4532
Но часто бывает так, что число единиц в данном разряде умень-
шаемого меньше числа единиц того же разряда вычитаемого.
Пример.
5438 •
“ 1675
3763
Цифра десятков уменьшаемого меньше цифры десятков вычи-
таемого. В этом случае нужно одну единицу соседнего, высше-
го разряда (разряда сотен) выразить в единицах данного разряда
(разряда десятков). Единица сотен составляет десять десятков,
прибавляем еще 3 десятка, которые имеются в уменьшаемом.
Из 13 вычитаем 7, получаем 6 — цифру десятков разности. Так
же поступаем при вычитании сотен.
Если уменьшаемое имеет один или несколько нулей, то на-
до взять единицу того первого высшего разряда, цифра которого
отлична от нуля, и выразить ее в единицах низшего разряда.
Примеры.
1)	50 006	2)	1 000 000
“ 17 238	— 730 892
32 768	269 108
В первом примере берем одну единицу разряда десятков ты-
сяч, выражаем ее в тысячах, получаем 10 тысяч, от этих 10 ты-
сяч берем одну тысячу и выражаем ее в сотнях и т. д. Нако-
нец, взяв один десяток и выразив его в единицах, вычитаем из
16 единиц уменьшаемого 8 единиц вычитаемого. При дальней-
шем вычитании разрядных единиц надо помнить, что вместо
каждого нуля стоит цифра 9, а вместо 5 стоит цифра 4.
Во втором примере мы берем 1 миллион, выражаем его в
сотнях тысяч, от получившихся 10 сотен тысяч берем одну сотню
тысяч и выражаем ее в десятках тысяч и т. д. Наконец, вместо
последнего нуля (справа) имеем 10 единиц, а вместо остальных
нулей имеем цифру 9. Теперь можно вычислить разность.
Если вычитаемое больше уменьшаемого, то результат вычи-
тания нельзя выразить натуральным числом. Например, разность
30
24—100 нельзя выразить натуральным числом, так как нет та-
кого натурального числа, которое при сложении с числом 100
дало бы число 24. В частности, невозможно отнять от нуля
какое-либо натуральное число.
Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность равна
нулю:
30 — 30 = 0
0— 0-0.
Вообще, а — а = 0
Если вычитаемое равно 0, то разность равна уменьшаемому:
20 — 0 = 20. Вообще, а — 0 = а.
Задание 8.
1.	Вычислить разность:
1)	78 489 — 40 309;	4) 300 000 — 75 908 ;
2)	13 005 —	797 ;	5) 1 000 000 — (12 798 + 175 396).
3)	127 905 — 34 999;
2.	Как называются данные и результат действия сложения?
3.	Какое действие называется вычитанием?
4.	Как называются данные и результат вычитания?
Упражнения.
69.	Вычислить разность:
1)	3700—1724;	3) 29070— 3987;	5) 200000— 47921;
2)	10000—8973;	4) 100500—72341 ;	6) 2 054 070—1934 795.
70.	Вычислить разность.
1)	5684 — 4054 ;	4)	959 959 — 60 000 ;
2)	50 000 — 9730 ;	5)	5 000 000 — 1 703 254 ;
3)	70596— 796;	6)	12 658 000 — 4 959 002.
71.	Сумма двух чисел 207 340, одно из слагаемых равно
39 775. Найти другое слагаемое,
72.	За два дня завод выпустил 37 000 деталей, в первый
день было изготовлено 15 876 деталей. Сколько деталей было
изготовлено во второй день?
73.	С каким числом нужно сложить 8675, чтобы получить
1 000 000?
74.	Вычислить разность между наибольшим трехзначным
числом и наибольшим двузначным числом.
75.	Вычислить разность между наименьшим шестизначным
числом и наибольшим четырехзначным числом.
76.	В каком случае разность равна уменьшаемому?
31
б 12. ПРОВЕРКА СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ.
Проверку сложения и вычитания можно производить, исполь-
зуя определение действия вычитания.
1.	Если, например, 27 4- 19 = 46, то 46 — 27 = 19 и
46—19 = 27. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно сла-
гаемое, то должно получиться другое слагаемое.
2.	Если, например, 100 — 93 = 7, то 93 + 7 = 100. Если сло-
жить вычитаемое и разность, то должно получиться уменьшае-
мое.
3.	Если, например, 248 — 89= 159, то 248— 159 = 89. Если
из уменьшаемого вычесть разность, то должно получиться
вычитаемое.
В результате проверки может не получиться числа, о кото-
ром сказано в правиле. Это означает, что в одном из вычисле-
ний допущена ошибка.
§ «3. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ВЫЧИТАНИЕМ.
1.	По сумме и одному из слагаемых найти другое слагаемое.
Задача. В январе и феврале завод выпустил 2549 тракто-
ров, из них в январе 1278 тракторов. Сколько тракторов вы-
пустил завод в феврале?
Решение. 2549— 1278 = 1271 (тракт.).
2.	Уменьшить число на несколько единиц.
Задача. Литр воды весит 1 кг, а литр керосину весит на
202 г меньше. Сколько граммов весит 1 л керосину?
Решение. 1000 — 202 = 798 (г).
3.	Вычислить, на сколько одно число меньше или больше
другого.
Задача. Один из рабочих изготовил 1235 деталей, а вто-
рой 1474 детали. На сколько деталей больше изготовил второй?
Решение. 1474—1235 = 239 (дет.).
Задание 9.
1.	Проверить вычитание: 3049 — 726 = 2359. Если есть ошибка,
то выполнить вычитание снова.
2.	Вычитаемое 3472, а уменьшаемое 50007. Вычислить раз-
ность и проверить результат.
3.	Сумма двух чисел 300 041, одно из слагаемых 2397. Вы-
числить другое слагаемое.
4.	Уменьшить 200 000 на 5471.
32
5.	Какое из чисел больше и на сколько: 300 705 или 1 000000?
б.	Измерить длину и ширину обложки тетради в миллимет-
рах и вычислить, на сколько одна из величин больше или
меньше другой.
Упражнения.
77.	Вычислить разность чисел:
1)	3475 и 978;	3) 457 296 и 43 079;
2)	13 470 и 9698;	4) 280 400 и 59590.
Проверить результаты.
78.	Вычислить разность между суммой чисел 42 795 и 3795
и их разностью.
79.	К началу рабочего дня в кассе было 247 руб. 31 коп.
В течение дня поступило в кассу 547 руб. 38 коп., а выдано
409 руб. 74 коп Сколько денег осталось в кассе к концу ра-
бочего дня?
80.	Вычислить
I)	100000 —9592 + 721; 3) 1700571 — 50 798 -103 729;
2)	13459 + 741 —8971; 4) 52 873 900 — 872 560 — 4253.
81.	Проверить вычисление разности
1)	50079 — 37289 = 12890;	3) 327 591 —27351 = 300710.
2)	100 503 — 49 507 = 50 996 ;
Если есть ошибка, то выполнить вычитание снова.
82.	Какое из чисел больше и на сколько: 700 501 или
200 004?
83.	Длина одного провода равна 12 м 80 см а длина друго-
го на 3 м 90 см меньше. Чему равна длина обоих проводов?
84.	Ширина прямоугольника меньше длины на 22 лг Чему
равна площадь прямоугольника, если длина его составляет 222 м?
85.	Какая из величин больше и на сколько: 1 га или
579 кв. >и?
86	Сумма двух чисел равна 1000 000. Одно из них 908 705.
Чему равно другое число?
87.	Длина ящика 92 см, ширина на 1 дм, а высота на 52 см
меньше длины. Вычислить его объем в кубических сантиметрах.
88.	Разность дву чисел равна нулю. Одно из них равно
5 400002. Чему равно другое число?
2 Заказ № 316
33
89.	Найти неизвестное число х, если
1) х 4-4981 —55 700,
2) х~ 739 = 1000,
3) 45 000 —х = 8729.
При вычислении использовать определение действия вычпл
НИЯ#
§ 14/ ВЫЧИТАНИЕ НА СЧЕТАХ.
Если надо из 432 вычесть 275, то вычитание начинают
выполнять со старших разрядов. От четырех косточек на про-
волоке сотен отбрасываем направо две косточки, т. е. вычитаем
две сотни При вычитании 7 десятков поступают иначе, так как
в уменьшаемом только 3 десятка. Вычитают 7 десятков из
сотни, для этого отбрасывают одну косточку направо на про-
волоке сотен, а три косточки (10 — 7 = 3) добавляют к числу
десятков. Подобно этому поступают при вычитании 5 единиц:
отбрасывают направо на проволоке десятков одну косточку и
добавляют пять косточек к двум на проволоке единиц.
Этим приемом часто пользуются при письменных и устных
вычислениях. При вычислении разности
432
“275
157
можно рассуждать так: от 9 единиц нельзя отнять 5 единиц;
возьмем один десяток и отнимем от него 5 единиц, пол> м
5 единиц, да еще в уменьшаемом есть 2 единицы, следователь-
но, число единиц разности равно 7. От 2 десятков нельзя от-
нять 7 десятков, возьмем одну сотню уменьшаемого и выра им
ее в десятках, отнимем от 10 десятков 7 десятков, полупим
3 десятка, да в уменьшаемом есть еще 2 десятка, следовать 1ь-
но всего будет 5 десятков. Остается от числа сотен уменьша-
емого отнять число сотен вычитаемого.
Задание 10.
Выполнить вычитание на счетах, результаты проверить пись-
менно-
1) 87- 52:	4) 750— 387; 7) 1526 - 129— 658;
2) 984 — 753 ; 5) 2023 — 1786 ; 8) 38 354 — 9869 — 12 345 .
3) 5996 — 805;	6) 40 542—9568;
34
Упражнения.
Выполнить вычитание на счетах, результаты проверить пись-
менно:
90.					
1)	758 —	243;	6)	845 435 —	65 709;
2)	6256 —	5024;	7)	100054 —	8975;
3)	842 —	758;	8)	1856 —	298 —	343;
4)	7320 —	5653;	9)	44 455 —	5386 — 19 898;
5)	28 520 —	19619:	Ю)	1 230 540 —	76 658— 8940.
91.
1)	26 руб. 28 коп. — 14 руб. 23 коп.;
2)	459 руб. 65 коп. — 244 руб. 24 коп.;
3)	756 руб. 24 коп. — 547 руб. 08 коп.;
4)	1225 руб. 09 коп.—695 руб. 14 коп.;
5)	6254 руб. 15 коп. — 3586 руб. 78 коп.;
6)	524 руб. 50 коп. — 15 руб. 64 коп. — 408 руб. 07 коп.;
7)	4120 руб. 00 коп.—753 руб. 40 коп.—82 руб. 43 коп.—
— 1527 руб. 05 коп .;
8)	32 563 руб. 17 коп. — 184 руб. 28 коп. —;756 руб. 10 коп. —
— 2038 руб. —24 810 руб. 79 коп.
92.	Выполнить действия на счетах:
1)	184 — 72 — 83;
2)	1596 + 839 — 592 г 101;
3)	7984- 195 -859 + 4061;
4)	56 785 + 5678 — 6785 — 678;
5)	942 — 549 — 84 + 409 — 695;
6)	15 руб. 43 коп. — 8 руб. 72 коп. + 51 руб. 07 коп. —
— 35 руб. 77 коп.;
7)	845 руб. 03 коп. + 45 руб. 99 коп. — 185 руб. 79 коп. —
— 54 руб. 03 оп .;
8)	1283 руб. 80 коп. — 109 руб. 90 коп.—968 руб. 13 коп. +
+ 49 руб. 56 коп.
8 15. УМНОЖЕНИЕ.
Часто при сложении нескольких чисел бывает так. что все
слагаемые — одинаковые числа. Например:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5.
2*
25
В таком случае сумму вычисляют посредством умножения.
Вы знаете что пользуясь знаком умножения, можно записать:
3 —В 5 4~ 5 4“ 5 4~ 5 И- 5 = 5x6,
или
5 Ч~ 5 4~ 5+5 + 5 + 5 = 5*6.
В записи 5хб, или 5*6( число 5 означает слагаемое, а
6 — число таких слагаемых .
Определения. 1. Умножением называется ариф-
метическое действие, посредством которого по дан-
ному слагаемому и числу таких слагаемых находят
их сумму.
Например: 5*3 = 54-54-5. Или 0*4 = 04-0 4-04- 0.
2.	Число, которое умножают, называется множи-
мым.
3.	Число, на которое умножают, называется мно
жителем.
4.	Множимое и множитель называются сомножи-
телями.
5.	Результат умножения называется произведением.
Запись, обозначающую умножение, например 5-3, также на-
зывают произведением.
Первое определение можно применить для умножения толь-
ко на натуральное число, большее единицы. Число слагаемых
не может равняться ни 1. ни 0. Поэтому надо дополнительно
дать определения произведения числа на I и на 0.
6.	Произведение любого числа на 1 равно самому
числу.
Например: 8*1 =8; 10*1 = 10. Вообще, л*1 = а. Такое оп-
ределение принято для того чтобы можно было записать:
8»1 -1*8 и т п
7.	Произведение любого числа на нуль равно нулю.
Например- 5-0 = 0;	1-0=0;	0-0 = 0. Вообще. а-0 = 0.
Следовательно, <7-0 = 0*а.
Кроме произведения двух чисел, можно вычислять произве-
дения трех и более чисел. Разъясним что следует понимать
под произведением любого числа сомножителей.
Если число сомножителей больше двух, например 3*12*5*4,
то в этом случае произведением называют число, которое по-
лучается, если умножить первое число на второе, полученный
результат умножить на третье число и так далее.
36
Например, для вычисления произведения 3-12*5*4 надо 3 ум-
ножить на 12, полученное произведение 36 умножить на 5 и
последнее произведение 180 умножить на 4:
3.12*5*4 =36-5-4 = 180*4 = 720.
ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ.
1.	На рисунке 20 изображен прямоугольник, разделенный на
одинаковые квадраты. В одном горизонтальном ряду 9 квадра-
тов, а всего таких рядов 6. следовательно, общее число квад-
ратов равно: 9*6.
Можно число их подсчитать иначе: в одном вертикальном
ряду 6 квадратов, а таких рядов 9. следовательно, общее число
квадратов равно: 6•9.
Число квадратов на рисунке 20 не зависит от способа под-
счета. Отсюда следует, что 9*6 = 6*9.
Произведение не изменяется от перестановки сомножителей.
Это свойство умножения называют переместительным законом
умножения. С помощью букв его можно записать так:
а-b = b-а.
Закон остается справедливым для любого числа сомножителей.
Например: 5-3-4 =4*5-3.
2.	На рисунке 21 изображена укладка коробок пластилина.
Сначала положили нижний слой коробок, в нем 3 ряда по 4
коробки в каждом, а затем положили на нижний слой еще 5 та-
ких слоев. Так как в нижнем слое 4-3, или 12 коробок, а таких
слоев 6. то общее число коробок равно произведению:
4*3*6 = (4*3)*6 = 12*6 = 72.
Можно вычислить общее число коробок иначе: в одном вер-
тикальном слое 3*6, или 18, коробок, а таких слоев 4.
Следовательно, 4*3*6 = 4*(3*6).
Произведение нескольких сомножителей не изменит-
ся, если некоторые из них объединить в группы, про-
извести умножение в каждой
группе и полученные результа-	г-г
ты перемножить	-------------------
Это свойство умножения называют	—------------------
сочетательным законом умножения. 
Запишем его в буквенном виде: 
а*Ь-с =а-(Ь‘С),	-------------------
Рис. 20.
Рис. 21.
Закон верен для любого числа сомножителей.
3.	Чтобы понять третий закон умножения, рассмотрим задачу:
«В магазине были коробки цветных карандашей двух сортов,
в одних по 5, а в других по 12 карандашей. Приобрели по
3 коробки каждого сорта. Как можно вычислить, сколько всего
куплено цветных карандашей?»
На рисунке 22 изображены эти коробки и сделаны вычисле-
ния. Можно записать, что
(5+ 12)-3 = 5-3 + 12-3.
Отсюда следует, что при умножении суммы на число можно
умножать каждое слагаемое на это число. Это свойство умно-
жения верно для любого числа слагаемых, его называют рас-
пределительным законом:
Чтобы умножить сумму на какое-либо число,
можно каждое слагаемое умножить на это число и
полученные результаты сложить.
(д+12)-3 = 51
12 штук	12 штук
5 • 3 * 12 • 3 = 51
(5 + 12)- 3 = б- 3 ♦ 12-3
Рис. 22.
С помощью букв распределительный закон запишем так:
(а + Ь)-с = а-с + Ь-с
Обычно знак умножения между буквами не пишут, а поэтому
распределительный закон можно записать проще:
(а 4- 6) с = ас 4- Ьс
Задание 11.
1.	Как можно вычислить сумму 29 слагаемых, каждое из
которых равно 817?
2.	Какие законы умножения следует использовать при вычис-
лении произведения 5-379*2?
3.	Вычислить произведение 2751-348-0.
4.	Что значит умножить какое-либо число на натуральное
число, отличное от 1?
5.	Чему равно произведение любого числа на 1? на 0?
Упражнения.
93.	Вычислить сумму 15 слагаемых, каждое из которых рав-
но 58.
94.	Найти произведения: 1) суммы чисел 478 и 477 на их
разность; 2) суммы чисел 568 и 568 на их разность; 3) раз-
ности чисел 999 и 998 на их сумму; 4) разности чисел 791 и
791 на их сумму
95.	Вычислить произведения:
1)	(676- 139 — 176)-!;	4) (453 — 72 + 628)-0;
2)	(924 —295 + 76)-1:	5) 0-1 -(671 — 392 + 81);
3)	498-512-0;	б) (4739— 1278)-(500 —500).
96.	Какие законы умножения следует применить при вычис-
лении произведений:
1) 4-956-25;	3) 200-13-5-2-5,
2) 5-97-20;	4) 125-17-8?
Вычислить эти произведения.
97. Удвоить числа: 507 3920 и 75 739.
98. Утроить числа: 909; 4890 и 10 139.
39
1?| УМНОЖЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ.
Умножение чисел с помощью сложения производить затруд-
нительно, на это приходится затрачивать много времени.
Умножение многозначных чисел выполняют, используя таб-
лицу умножения однозначных чисел и законы умножения.
I.	Один из сомножителей — число, изображаемое единицей с
одним или несколькими нулями.
37-10 = 10-37 — 370, так как в 37 десятках 370 единиц.
572* 100 = 100 * 572 = 57 200 , так как 572 сотни составляет
57 200. Чтобы найти произведение двух чисел, одно из которых
изображается единицей с одним или несколькими нулями, до-
статочно приписать к другому числу справа столько нулей,
сколько их в первом числе.
Примеры: 1) 243’1000 = 243 000; 3) 5000• 100 = 500000.
2) 100’602 = 60200;
2.	Умножение многозначного числа на однозначное.
При письменном вычислении произведения многозначного
числа на однозначное нужно подписать однозначное число под
единицами многозначного числа и применить распределительный
закон умножения;
3066
Нужно уметь записывать этот случай умножения в строчку:
438*7 = 3066.
При умножении однозначного числа на многозначное следует
использовать переместительный закон умножения
Например: 8'927 = 927*8 = 7416.
3.	Умножение многозначного числа на число, все цифры ко-
торого, кроме первой, нули.
Пример.
438
х 700
30 6600
Сначала умножаем, не обращая внимания на нули, содержа-
щиеся во множителе. Затем к результату приписываем справа
столько нулей, сколько их содержит множитель.
4.	Умножение многозначного числа на многозначное.
В этом случае данные числа записывают одно под другим,
причем, пользуясь переместительным законом, берут множителем
то число, у которого меньше цифр. Например, при умножении
134 на 2759 пишут:
2759
х 134
11036
8277
2759
369706
При умножении на 134 множитель представляем как сумму
4 + 30 + 100 и применяем распределительный закон:
2759.(4 + 30 + 100) - 11 036 + 82 770 + 275 900.
Первое произведение 2759-4 — 11036 подписываем под пер-
вой чертой. Вместо второго произведения 2759*30 — 82 770 вы-
числяем произведение 2759*3 = 8277. Оно выражает количество
десятков, а поэтому записываем его под первым произведе-
нием так, чтобы последняя цифра 7 была подписана под циф-
рой десятков 3. Вместо третьего произведения 2759*100 =
= 275 900 вычисляем произведение 2759-1 и записываем так, что-
бы последняя его цифра оказалась в столбце разряда сотен,
После этого складываем записанные таким образом произведе-
ния.
5.	Особые случаи умножения.
1) Множитель имеет один или несколько нулей между дру-
гими цифрами.
Пример.
3751
х 204
15004
7502
765204
В этом примере второе произведение (3751*0) равно нулю, а
поэтому его не записывают. Первую справа цифру третьего про-
изведения, т. е. цифру 2, надо записать под цифрой сотен пер-
вого произведения.
л
2) Сомножитель имеет один или несколько нулей подряд
справа. Умножение в этом случае выполняют так:
1)	13700 х 21	2)	12000 х 3900
137	108
274	36
287700	46800000
Эти записи показывают, что при умножении чисел, оканчи-
вающихся нулями, достаточно произвести умножение, не обра-
щая внимания на эти нули, и к полученному произведению при-
писать справа столько нулей, сколько их имеется в конце того
и другого сомножителя вместе.
Задание 12.
1. Вычислить:
1) 2735-1000; 3) 798-69;	5) 3009-908;
2) 1253-600;	4) 125-5358; 6) 100-357-70 900.
2. Вычислить сумму и произведение чисел 907 и 867.
Упражнения.
99.	Вычислить произведения:
I)	5008 • 9;	5)	8000 • 4067;	8)	720 - 408;
2)	27016-79;	6)	7090-504;	9)	57000-909;
3)	547-10 000;	7)	337-807;	10)	205-205.
4) 3526-800;
100.	Вычислить произведения:
1)	4507203-8;	5)	600-5004;	8)	1728-860;
2)	73-100;	6)	89-7009;	9)	3071-5006;
3)	300-796;	7)	60-1507;	10)	79-79-79.
4)	275-807;
101.	Сколько секунд содержится в 30 сутках? в 100 сутках?
102. Сколько квадратных метров содержат 57 га? 209 га?
103.	Сколько кубических сантиметров содержится в 209 куб. м?
в 456 куб. м?
104.	Вычислить произведение суммы чисел 1247 и 235 на их
разность.
105.	Вычислить произведение наибольшего трехзначного чис-
ла на сумму чисел 507 и 163.
42
106.	Вычислить: 1) площадь квадрата со стороной 365 см;
2)	площадь прямоугольника со сторонами 40 см и 23 дм.
107.	Вычислить: 1) объем куба с ребром 58 дм; 2) объем ку-
ба с ребром 1 дм 2 см.
108.	Восстановить цифры, обозначенные точками:
2 . . 5
13.0
. 2 .
4.77.
2)	. 1 .
X 3. 2
. 3 .
4 . 0
6. 5
,.2.0
109, Сколько цифр может содержаться в результате умноже-
ния двух трехзначных чисел?
18. ПРОВЕРКА УМНОЖЕНИЯ.
Проверка умножения производится с помощью переместитель-
ного закона: переставив сомножители и произведя вычисление
вновь, мы должны получить тот же результат
Если при проверке получается другой результат, то это оз-
начает, что в одном из вычислений допущена ошибка. В таком
случае надо вновь выполнить оба вычисления, так как ошибка
может содержаться и в том и в другом вычислении или в одном
из них.
Пример. Проверяя вычисление 37*92 = 3414, получили, что
92*37 = 3304. Очевидно, что где-то допущена ошибка. Оказыва-
ется, что оба произведения вычислены неверно. На самом деле
каждое из них равно 3404.
8 19. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ
Ь УМНОЖЕНИЕМ.
1. Найти сумму одинаковых слагаемых.
Задача. Первый советский искусственный спутник Земли
совершил вокруг нее 1400 оборотов. За каждый оборот он про-
летал в среднем 42 860 км. Сколько всего километров пролетел
этот спутник?
43
I. Увеличить на несколько единиц
/////
IttlkffH
Перьев на 4 больше, чем карандашей
II. Увеличить в несколько раз
/////
Перьев в 4 раза больше, чем карандашей
5-4=20
Решение* 42 860-1400=
— 60 000400 (км), т. е. приб-
лиженно 60 млн, км,
2. Увеличить число в не-
сколько раз.
Задача. Средняя ско-
рость пешехода 5 км в час,
а средняя скорость пасса-
жирского самолета в 90 раз
больше. Какова средняя ско-
рость пассажирского само-
лета?
Решение. 5-90 = 450
(км в час).
Замечание. Следует
различать выражения: «Уве-
личить число на несколько
единиц» и «Увеличить число
в несколько раз».
Используя рисунок 23,
запомните разницу в вычис-
лениях при решении этих ос-
новных задач.
Задание 13.
1.	Проверить вычисления:
1) 73-509 = 4307; 2) 102-86 =
=9266.
Если вычисления выполнены
неверно, то найти правильные результаты.
2.	Число 479 увеличить на 509. Число 479 увеличить в 509 раз.
3.	Вычислить площадь прямоугольника, если его стороны рав-
ны 72 см и 1 м 39 см,
4.	Составить две основные задачи на увеличение числа, ре-
шаемые одна с помощью сложения, а другая с помощью умно-
жения.
Упражнения.
ПО. Вычислить произведения:
1)	2 т 547 кг- 10;	3) 5 час. 36 мин.-15;
2)	457 куб. дм-1000;	4) 1 га 2 а-100.
44
111.	Вычислить произведения
1)	12 мин. 36 сек.*50;	3) 4 кв. дм 10 кв. см-10000;
2)	25 кг 300 г-60;	4) 12 куб. м 25 куб. дм-1000.
112.	Вычислить произведения и сделать проверку;
1)	97-8;	3) 2750-39,	5) 153-8073.
2)	32000-507.	4) 27-3409;
113.	Вычислить площадь листа фанеры, размеры которого
равны 1050 мм X 870 мм. Какую площадь можно обить 26 лис-
тами такой фанеры?
114.	Пенсионер получает в месяц 81 руб. 15 коп. пенсии.
Вычислить его годовую пенсию
115.	Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу
из двух пунктов, расстояние между которыми 360 км. Первый
идет со средней скоростью 50 км в час, а другой проходит в
час на 20 км больше. Через сколько часов после выхода они
встретятся?1
116.	Длина одного участка прямоугольной формы равна 425 м,
а ширина на 75 м меньше. Длина и ширина другого участка
в 8 раз больше, чем у первого. На сколько больше площадь вто-
рого участка, чем площадь первого?
117.	Три звена пионеров убирали огурцы. Первое звено со-
брало 1240 кг огурцов, второе на 375 кг больше, а третье со-
брало в 3 раза больше, чем первое. На сколько больше собрало
третье звено, чем второе?
118.	Расстояние между двумя городами 739 км. Из того и
другого города вышли одновременно навстречу друг другу два
поезда. Один из них делает в среднем 52 км в час, а другой
на 8 км меньше. На каком расстоянии друг от друга будут по-
езда через 1 час после выхода? Каково будет расстояние между
ними через 10 час. после выхода?
119.	Как можно быстро умножить многозначное число на 9
и на 99, используя вычитание? Показать на примерах:
72 492-9; 8004-99.
45
2^ ДЕЛЕНИЕ.
Задача. Площадь прямоугольника равна 105 кв, м, а шири-
на его равна 5 м. Чему равна длина этого прямоугольника?
Решение. Обозначим длину буквой х. Известно, что пло-
щадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.
Следовательно, можно записать, что
Х‘5 «= 105.
Таким образом, наша задача сводится к следующему: найти не-
известный сомножитель, зная, что произведение равно 105, а дру-
гой сомножитель равен 5. Неизвестное число х = 21, так как
21*5	105. Длина прямоугольника равна 21 м.
Итак, мы выполнили новое арифметическое действие. Его на-
зывают делением и записывают так:
105:5 = 21.
Определения. 1. Деление есть действие, посред-
ством которого по данному произведению двух сомно-
жителей и одному из них находят другой сомножи-
тель, Деление — действие, обратное умножению.
2.	Число, которое делят, называется делимым.
3.	Число, на которое делят, называется делителем.
4.	Результат деления называется частным.
Запись, обозначающую деление, например 105:5, также на-
зывают частным.
Действие деления для натуральных чисел часто бывает не-
выполнимым. Например, нельзя выразить натуральным числом
частное 5 :8 или частное 23 :5. В таких случаях применяют дру-
гое действие, которое называют делением с остатком.
Пример.
372 I 52
364 7—
8
В этом примере число 372 называют делимым, 52 — делителем,
7 — частным, а 8 — остатком. Остаток всегда меньше делителя.
При делении с остатком делимое равно делителю, умноженно-
му на частное, плюс остаток: 372=52-7 + 8.
Если остаток окажется равным нулю, то вместо деления с
остатком получим обычное деление (без остатка).
46
। 21. ДЕЛЕНИЕ НУЛЯ И ДЕЛЕНИЕ НА НУЛЬ.
1. Деление нуля на число, которое не равно нулю.
Если, например, надо найти х = 0:7, то это означает, что
надо найти такое число, которое после умножения на 7 дало бы
нуль.
х-7 = 0.
Это равенство выполняется только при х = 0, а поэтому 0:7 = 0.
Если делимое равно нулю, а делитель не равен ну-
лю, то частное равно нулю.
2. Деление числа на нуль.
Найти частное 12:0 — значит найти такое число х, чтобы
0-х = 12
ко такого числа нет, так как произведение нуля на любое чис-
ю равно нулю.
Найти частное 0:0 — значит найти такое число х, чтобы
0-х = 0
Так как произведение нуля на любое число равно нулю, то не-
известное число х может быть любым числом. Такой случай де-
ления исключается. Отсюда следует, что делить на нуль нельзя.
в 22. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ.
Деление многозначных чисел производится путем постепенно-
го подбора цифр частного.
109687 I 437
874	251
2228
2185
437
437
О
Сначала в делимом отделяем слева наименьшее число, кото-
рое будет больше делителя или равно ему. В данном примере
таким числом будет 1096. Так как это число выражает сотни
делимого (цифра 6 — цифра сотен), то первая цифра частного
(цифра 2) является цифрой сотен. Следовательно, частное — трех-
47
значное число. Умножаем 437 на 2, получаем 874. Из 1096 (со-
тен) вычтем 874 (сотни), получаем разность 222 (сотни). Выра-
жая 222 сотни в десятках и прибавляя 8 десятков делимого,
получаем остаток 2228 десятков. Этот остаток делим на 437,
чтобы узнать цифру десятков частного. Таким же образом нахо-
дим цифру единиц частного.
При делении необходимо следить за тем, чтобы разность пос-
ле вычитания была меньше делителя. Если разность окажется
больше делителя (или равна ему), то это означает, что цифра
частного найдена неправильно, ее необходимо заменить боль
шей по значению. Если остаток, выраженный в единицах сле-
дующего, низшего разряда, окажется меньше делителя, то в
частном на месте этого разряда надо поставить нуль.
Пример.
1407159 1 351
1404	4009
3159
3159
0
Первая цифра частного 4 является цифрой тысяч. Следова-
тельно, частное — четырехзначное число. Первая разность равна
3 тысячам; выражая ее в сотнях и прибавляя 1 сотню делимого,
получаем 31 сотню, но 31 меньше 351, а потому на месте сотен
частного ставим цифру 0. Выражаем 31 сотню в десятках и,
зная, что в делимом есть 5 десятков, получаем всего 315 де-
сятков, но 315 меньше 351, следовательно, в частном на месте
десятков тоже надо поставить цифру 0. После этого находим
цифру единиц частного.
Рассмотрим случай деления, когда делимое оканчивается од-
ним или несколькими нулями.
1287000 I 234
П70	5500
1170
1170
0
При вычитании сотен получается разность, равная нулю. Так
как в делимом цифры десятков и единиц — нули, то в частном
достаточно поставить нули в разрядах десятков и единиц.
48
Рассмотрим случай деления, когда делимое и делитель окан-
чиваются нулями.
538500 | 1500
4500	359
8850
7500
13500
13500
0
Запись деления можно значительно упростить, а иногда мож-
но частное вычислить устно.
Так как делимое 538 500 равно 5385 сотням, а делитель ра-
вен 15 сотням, то можно записать:
5385 | 15
45	359
88
75
135
135
0
Результат получился тот же.
Другой пример: 2 520000 : 9000 = 2520 : 9 == 280. Если дели-
мое и делитель оканчиваются нулями, то до выполнения деле-
ния можно отбросить от каждого из них по одинаковому коли-
честву нулей, а затем разделить полученные числа.
Если производится деление с остатком, то надо помнить, что при отбра-
сывании нулей остаток уменьшается во столько раз, во сколько уменьшили
делимое и делитель
Пример. При делении 151 000 на 7000 получаем в частном 21 и в ос-
татке 4000, а при делении 151 на 7 получаем в частном то же число 21, а в
остатке 4
Задание 14.
1.	Произведение двух чисел равно 79 002., одно из них 378.
Вычислить другое.
2.	Найти частное отделения первого числа на второе:
1)	287966 и 938; 2) 531 и 531; 3) 760665 и 95; 4) 0 и 4000.
3.	Как называются данные и результат деления?
4.	Можно ли делить число на нуль?
5.	Можно ли делить нуль на число, не равное нулю?
49
Упражнения.
120,	Вычислить частное:
1)	376479:531;	5)	99104:76;	8)	0:507;
2)	774900:3780;	6)	4508 130:57;	9)	1281:1281;
3)	840 000 : 6000;	7)	3 295 060 : 67;	10)	56 380 : 1.
4)	1 594 786:398;
121.	Вычислить частное:
1)	1 533750:375;	5)	988610:29;	8)	0:409;
2)	1 072 500:3900;	6)	3 633 360:48;	9)	105:105;
3)	393 900 : 505;	7)	7 797 853 : 79;	10)	59 002 : 59 002.
4)	826 200:2700;
122.	Вычислить частное:
1)	25 кв, м 10 кв. дм: 2; 3) 25 куб. м 101 куб. 0лс:3.
2)	23 часа 40 мин.: 10;
123.	Вычислить частное:
1)	12 кв. м 15 кв. дм; 5; 3) 40 куб. м 200 куб. дм: 6.
2)	14 час, 50 мин. : 10;
124.	1) Площадь прямоугольного участка земли равна
2520 кв. м, его длина 90 м, вычислить ширину участка.
2)	Площадь классной доски равна 350 кв. дм, ее ширина
140 см. Найти длину доски.
125.	В 1965 г. в СССР намечено выработать 10 млн. m са-
хара-песка из сахарной свеклы. Сколько понадобится мешков и
вагонов для перевозки этого количества сахара, если каждый
мешок вмещает 80 кг. а каждый вагон 16 т?
Ь ЯЗ^ПРОВЕРНА УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.
Проверку умножения и деления можно производить, исполь-
зуя определение действия деления.
1.	Если 48*67 = 3216, то 3216 : 48 = 67 и 3216 ; 67 = 48.
Если произведение двух сомножителей разделить на один из
них, то должен получиться другой сомножитель.
2.	Если 2461 :23 = 107, то 23’107 = 2461.
При умножении делителя на частное должно получиться де-
лимое.
50
3.	Если 2461 : 23 = 107, то 2461 : 107 = 23.
При делении делимого на частное должен получиться делитель.
Замечание 1. При проверке деления с остатком делимое
должно равняться произведению делителя на частное плюс ос-
таток (§ 20).
Замечание 2. В результате проверки может не получить-
ся числа, о котором сказано в правиле. Это означает, что в од-
ном из вычислений допущена ошибка. В заключение рассмотрим
пример, когда проверка приводит к неверному выводу. Учащий-
ся записал вычисление и его проверку таким образом:
76	2624 I 34
34	242	76^’
344	204
228	204
2624	0
Он решил, что вычисление выполнено верно. Однако уча
щийся ошибся, считая оба раза, что 7-4 = 32. Верный резуль
тат равен 2584.
Отсюда следует, что нельзя быть вполне уверенным в пра-
вильности вычисления даже в том случае, когда при проверке
получается число, указываемое в правиле. Надо при вычислени-
ях быть очень внимательным и выполнять их так. чтобы можно
было поручиться за их правильность.
24.	ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ДЕЛЕНИЕМ.
I.	По произведению и одному из сомножителей вычислить
другой сомножитель.
Задача. Площадь прямоугольника равна 2432 кв. м длина
его 64 л. Вычислить ширину прямоугольника.
Решение. Так как площадь прямоугольника равна произ
ведению его длины на ширину, то в этой задаче требуется най-
ти неизвестный сомножитель (ширину), если известны произве-
дение (площадь) и другой сомножитель (длина).
Обозначив ширину через х, запишем:
64-х = 2432.
По определению действия деления имеем:
х = 2432 : 64, или х = 38 м.
2.	Уменьшить число в несколько раз.
51
Задача. Предельный возраст сосны равен приближенно 750
годам, а предельный возраст березы в 5 раз меньше. Определить
предельный возраст березы.
Решение. 750 : 5 = 150 (лет).
3,	Вычислить, сколько раз одно число содержится в другом.
Задача. В колхозе имеется 250 т пшеницы. Сколько надо
сделать рейсов 5-тонной машине, чтобы перевезти эту пшеницу
на элеватор?
Решение. 250 . 5 = 50 (рейсов).
4.	Разделить число на равные части.
Задача Разделить 192 яблока поровну между 48 детьми
Сколько яблок получит каждый ребенок?
Решение. 192 : 48 = 4 (ябл.).
5.	Вычислить, во сколько раз одно число больше или меньше
другого.
Задача. Среднее расстояние от Земли до Солнца равно
приближенно 150 000 000 км, а среднее расстояние от Земли до
Луны равно примерно 400 000 км. Во сколько раз расстояние от
Земли до Солнца больше, чем расстояние от Земли до Луны?
Решение. 150 000000.400000 = 375 (раз).
Замечание Следует различать выражения: «Уменьшить
число на несколько единиц» и «Уменьшить число в несколько
раз». Используя рисунок 24, запомните разницу в вычислениях
при решении этих основных задач.
Задание 15.
1. Проверить частные, если они вычислены неверно, то най-
ти правильный результат
1) 69 993 77 = 99,	3) 639 158000 79300 = 806
2) 292 657 73 = 409,
2 Уменьшить число 189 216 на 27 единиц. Уменьшить это
же число в 27 раз.
3. Во сколько раз 426 760 больше, чем 47? На сколько больше
426 760, чем 47?
4. Составить различные основные задачи решаемые делением
Упражнения.
126.	Вычислить частное и выполнить проверку:
1)	6 020 000.172 000, 2) 107855.583; 3) 136 174 983.2569.
127.	Вычислить частное и выполнить проверку
1) 2 924 800:457; 2) 101 574:486, 3) 14 516 608 4826
128.	При делении некоторого числа на 207 в частном полу-
чили 509 и в остатке 89 Какое число делили’?
129.	При делении 238 200 на 591 в частном получили 43 и
в остатке 27. Проверить деление. Если оно выполнено неверно
то найти правильный результат
130.	Один автоматический станок за 3 часа вырабатывает
11 625 болтов и работает 14 час в сутки Сколько станков надо,
чтобы в сутки вырабатывать 434 тыс болтов?
131.	Звук распространяется в воздухе со скоростью около
300 м в сек. Через сколько времени будет слышен зв^к взрыва
который был произведен на расстоянии 35 км 100 м9
132.	На какое число х надо умножить 219, чтобы получить
24 528?
133.	Какое число меньше 11 881 в 109 раз? Какое число боль
ше 11 881 в 109 раз?
134.	1) Объем прямоугольной плиты равен 2040 куб дм, дли-
на ее 17 дм, а толщина 8 дм. Какова ширина этой плиты?
2)	Какую высоту должна иметь прямоугольная коробка вме-
стимостью 2 куб дм, если ее длина 25 см, а ширина 1С слР
135.	В вагон погрузили ящики с товаром, всего 16 т 533 zee
Сколько ящиков погрузили в вагон, если каждый ящик с това-
ром весит 16 кг 500 г?
136.	Найти неизвестное число v если известно что.
1)	х . 507 = 95,
2)	57 500 : х = 115
При решении задачи использов< ть
определение действия деления
137.	Несколько мальчиков ловили ры-
бу. Всего было поймано 75 рыб. Сколько
Рис 25
14S*
было мальчиков, если всем,
кроме двух, досталось по 11
рыб, а двум дали по 10 рыб?
138. Измерить с точностью
до 1 мм длины сторон пря-
моугольника, изображенного
на рисунке 25. Вычислить его
площадь и сумму длин всех
сторон (периметр).
139.	Вычислить площадь земельного участка в квадратных
метрах и в арах (сотках). Размеры участка указаны на рисунке 26
140.	Вычислить в квадратных миллиметрах площадь фигуры,
изображенной на рисунке 27.
141.	Два участка прямоугольной формы имеют одну и ту же
площадь. Первый участок имеет длину 280 м, а ширину 139 м.
Вычислить длину второго участка, если его ширина на 99
меньше ширины первого участка.
142.	Контрольное задание.
1)	Вычислить сумму, разность и частное чисел 262 870 и 97.
Выполнить проверку каждого из действий каким-либо способом.
2)	Число 281 увеличено в 19 раз, а 6489 уменьшено в 21 раз.
Вычислить произведение получившихся чисел.
3)	Длина ребра одного куба равна 4 дм, а длина ребра дру-
гого куба на 3 дм 2 см меньше. На сколько больше объем пер-
вого куба?
143.	Контрольное задание.
1)	Вычислить разность, Произведение и частное чисел 3063 и
1021. Выполнить проверку каждого из действий.
2) Число 88 352 уменьшено в 88 раз, а число 1078 уменьше-
но на 88. Найти разность получившихся чисел.
3) Длина ребра одного куба равна 4 см 5 мм, а длина реб-
ра другого куба в 3 раза меньше. На сколько меньше объем
второго куба? 
144. Контрольное задание.
1)	Вычислить произведение суммы чи-
сел 1732 и 1675 на их разность и умень-
шить его на 104 199.
2)	Наружные размеры ящика: длина
1 м 23 см, ширина 1 м 13 см, высота
82 см. Толщина его стенок 15 мм, а тол-
щина дна ящика 20 мм. Вычислить вмес-
тимость этого ящика.
Рис. 27.
3)	Какое наибольшее число прямоугольников длиной 20 см и
шириной 13 см можно вырезать из листа картона, размеры ко-
торого I лсх70 см?
• ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДАННЫМИ ЧИСЛАМИ
И РЕЗУЛЬТАТАМИ ДЕЙСТВИЙ НАД НИМИ.
L Сложение. Если х + 15 = 27, то по определению действия
вычитания можно записать, что
х = 27— 15, или х = 12.
Чтобы вычислить одно из двух слагаемых, надо из их суммы
вычесть другое слагаемое.
Если а + b = s, то а = s — b и b — s — а.
II.	Вычитание. 1. Известно, что х — 30 = 70, требуется вы-
числить уменьшаемое л. Из определения действия вычитания
следует, что х есть сумма, а 30 и 70—слагаемые. Значит,
х = 70 + 30, или х = 100.
Чтобы вычислить уменьшаемое, надо к разности прибавить
вычитаемое.
Если а — b = г, то а = г 4- Ь.
2.	Найти вычитаемое х, если известно, что 270 — х = 200.
Из определения вычитания следует, что х и 200 — слагаемые, а
их сумма равна 270. Можно записать, что
х + 200 = 270.
По правилу вычисления слагаемого
х = 270 — 200, или х = 70.
Чтобы вычислить вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть
разность.
Если а — b = г, то b = а —г.
III. Умножение. Если 20-х = 300, то на основании опреде-
ления действия деления можно записать, что
х = 300 : 20, или х = 15.
Чтобы вычислить один из двух сомножителей, надо их про-
изведение разделить на другой сомножитель.
Если ab — р, то а = р : b и b = р : а.
IV. Деление. 1. Вычислить делимое х, если известно, что
* : 5 = 12.
55
Из определения деления следует, что х есть произведение, а
5 и 12 — сомножители. Можно записать, что
х = 12-5, или х = 60.
Чтобы вычислить делимое, надо частное умножить на делитель.
Если а : Ь = /, то а = ib.
2. Вычислить делитель х, если известно, что 40: х = 5. На
основании определения деления можно записать, что
5.x = 40.
Используя правило пункта III, можно вычислить х:
х = 40 : 5, или х = 8.
Чтобы вычислить делитель, надо делимое разделить на частное.
Если а : b = t, то b = а : /.
Выше было приведено много таких равенств, в которых буква
обозначала неизвестное число. Такие равенства называются урав-
нениями.
Решить уравнение — значит найти неизвестное число.
Чтобы решать уравнения, надо уметь применять правила,
рассмотренные в этом параграфе. Каждое из правил можно
быстро вспомнить, составив несложный пример на данное дейст-
вие. Например, если вы забыли, как находится вычитаемое, то
можно взять такой пример:
20 — 3= 17.
Каким действием можно найти вычитаемое 3, зная числа
20 и 17? Очевидно, вычитанием: от 20 надо отнять 17; отсюда
становится понятным, что вычитаемое надо вычислять с помощью
вычитания, т. е. из уменьшаемого вычесть разность.
Таким же образом можно поступить, если необходимо проверить
себя в знании других правил.
Задание 16.
1. Вычислить неизвестное число, обозначенное буквой (ре-
шить уравнения):
1)	4039 4- х = 1 000 000;	4)	38 279 : z = 379;
2)	15 000 — £/ = 4799;	5)	72-х = 36 360;
3)	с — 0 = 1729;	6)	у : 7009 = 39.
Упражнения.
Решить уравнения:
145.	1) 258 + х = 7938;	3) 7500 + у = 8401;
2)	z + 5634 = 10 000; 4) 0 + с = 2835.
56
146.	1)	х — 542 - 458;	3)	z — 0- 24 283;
2)	659 — x = 276;	4)	// — 5638 = 1.
147.	1)	x-766 = 155498;	3)	524-x=0;
2)	209-z/— 101 574;	4)	125-c= 15625.
148.	1) x : 724= 101, 3) у : 1261 = 1;	5) 10021:2 = 1
2)	x : 803 = 0;	4) 15 360 : x = 96;
149.	Найти уменьшаемое, если вычитаемое равно 6944, а
разность в 4 раза меньше.
150.	Найти вычитаемое, если уменьшаемое равно 17 542, а
разность 8653.
151.	Произведение двух сомножителей равно 92 213, один из
сомножителей 1111. Найти другой сомножитель.
152.	Делимое равно 321 201, частное 801. Найти делитель.
153.	Делитель равен 509, частное 202. Найти делимое.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ.
Некоторые задачи легче решать с помощью составления
уравнения. Решим несколько таких задач.
Задача 1. Найти два числа, если одно из них в 9 раз
больше другого, а их сумма равна 2450.
Решение. Если меньшее число обозначим буквой х, то
большее число равно 9-х, короче 9х*. Их сумма х 4* 9х равна
2450, следовательно, можно записать такое уравнение:
х + 9х - 2450.
Но одно число х и 9 таких же чисел составят в сумме 10 таких
чисел, а поэтому уравнение можно записать проще:
1 Ох = 2450.
Решая уравнение, найдем, что меньшее число х равно 2450 : 10,
или 245. Большее число равно 245-9, или 2450 — 245, т. е. оно
равно 2205.
Задача 2. Один кусок проволоки в 4 раза меньше другого.
Чему равна длина каждого из них. если один длиннее другого
на 75 м?
Решение. Если длина меньшего куска х метров, то длина
большего составит 4х метров. По условию задачи разность меж-
* Знак умножения не пишут между двумя сомножителями, если один из
НИХ обозначен буквой.
57
ду этими числами равна 75, следовательно, можно записать
такое уравнение:
4х — х = 75.
Если от четырех одинаковых чисел (от 4х) отнять одно такое
же число (х), то получим три таких числа (Зх), а поэтому урав-
нение запишем так:
Зх = 75.
Решая его, получим, что меньшее число х = 25, а большее
число равно 4х, или 100. Отсюда следует, что длины кусков
проволоки равны 25 м и 100 м.
Задача 3. Из пункта А (рис. 28) по направлению к В от
правился велосипедист. Спустя 2 часа из В навстречу велосипе-
дисту выехал мотоциклист. Расстояние АВ равно 124аси. Скорость
велосипедиста равна 12 км в час, а мотоциклиста 38 км в час
Черес сколько времени после выезда мотоциклиста они встре-
тятся?
Решение. Обозначим время движения мотоциклиста до
встречи через х (часов). Допустим, что они встретились в точке
С (рис. 28). Из рисунка видно, что сумма расстояний АС и СВ
равна расстоянию АВ Кратко записываем:
АС + СВ - АВ.
АС — путь велосипедиста, он за 2 часа проехал 24 км и за
х часов 12 х км, следовательно, АС = 24 + 12х.
СВ —путь мотоциклиста. За х часов он проехал 38х км, а
поэтому СВ = 38хкм Расстояние АВ = 124 км. Вследствие этого
можно записать такое уравнение:
24 + 12х + 38х - 124
Так как 12хЧ-38х = 50х, то уравнение запишем иначе:
24 4- 50х - 124
Слагаемое 50х равно сумме 124 без другого слагаемого 24:
50х= 124 — 24
50х = 109
Рис. 28.
Встреча произойдет через 2 часа после выезда мотоциклиста.
Уравнение 24 + 50х = 124 можно решить, рассуждая иначе:
если от равных чисел отнять поровну, то и получим равные
числа; отнимем от левой и от правой частей уравнения по 24,
тогда получим уравнение 50х = 100 откуда находим, что
х=2.
Задача 4. Из пункта А по направлению AM (рис. 29)
выехал мотоциклист со скоростью 43 км в час. Одновременно
из пункта В в том же направлении выехал велосипедист со
скоростью 13 км в час. Расстояние АВ равно 90 км. Через
сколько часов мотоциклист догонит велосипедиста ?
Решение. Обозначим искомое время в часах через х. До-
пустим, что встреча произошла в точке С. По условию задачи
АВ = 90; ВС = 13х, АС = 43х. Из рисунка видно, что АС —
— ВС = АВ, или 43х — 13х = 90.
Решаем это уравнение:
ЗОх = 90
х = 3.
Через три часа мотоциклист догонит велосипедиста.
Рассмотренные задачи можно решать без составления урав-
нений. Но если обычный способ решения подобных задач вызы-
вает затруднения, то следует применить способ составления
уравнений.
Задание 17.
1. Разность чисел равна 3608. Одно из чисел в 5 раз боль-
ше другого. Найти эти числа.
к 2. Из двух городов, расстояние между которыми 3000 км
Вылетели одновременно навстречу друг другу два самолета.
Скорость одного составляет 550 км в час, а другого 450 км
В час. Через сколько часов полета они встретятся ?
I 3. По одному направлению бегут два мальчика, расстояние
иежду ними 100 м. Скорость первого мальчика 180 м в минуту.
59
Второй мальчик, желая догнать первого, увеличивает свою
скорость до 200 м в минуту. Через сколько времени он его
догонит ?
Упражнения^
154.	Решить уравнения:
1)	2x4-3= 19; 4) 8х — Зх = 45;	7) 12x4-4x4- 13=61;
2)	Зх —5 = 40; 5) 5х + х + 8 = 44; 8) 19х — 10х — 9 = 72;
3)	х 4- Зх = 56; 6) 1 Ох — 7х — 5 = 22.
155.	Сумма двух чисел равна 72, одно из них в 7 раз боль-
ше другого. Найти эти числа.
156.	Одно из чисел в 6 раз больше другого, разность этих
чисел равна 35. Найти эти числа.
157.	Расстояние между пунктами Л и В равно 2950 км.
Из пункта А в пункт В вылетел самолет со скоростью 250 км в час.
Через 1 час навстречу ему из пункта В вылетел второй самолет.
Самолеты встретились через 4 часа после вылета первого само-
лета. Найти скорость второго самолета.
158.	От станции отошел поезд со средней скоростью 40 км
в час. Когда он прошел 80 км. вслед за ним от той же стан-
ции отошел другой поезд со средней скоростью 60 км в час.
Через сколько часов после выхода второй поезд догонит первый?
159.	В пятых и шестых классах всего 240 учащихся. Уча-
щихся шестых классов вдвое меньше, чем учащихся пятых
классов. Сколько учащихся в пятых и шестых классах в от-
дельности?
160.	Длина прямоугольного участка земли в 5 раз, или на
480 м, больше его ширины. Вычислить площадь участка в квад-
ратных метрах и в арах.
^В7. ИЗМЕНЕНИЕ СУММЫ.
Рассмотрим изменение суммы при изменении слагаемого на
несколько единиц. Пусть, например, на одной полке находится
12 книг, а на другой 13 книг. Всего на двух полках находится
12 + 13 = 25 (книг).
Изменим одно из слагаемых, увеличим его, например на 4
(добавим на первую полку 4 книги), тогда сумма увеличится тоже
на 4.
Это можно записать так:
(12 + 4)4- 13 = 25 + 4.
60
Если уменьшим одно из слагаемых, например снимем с первой
полки 5 книг, то и сумма уменьшится на 5.
Это можно записать так:
(12 — 5)+ 13 = 25 — 5.
Отсюда следуют такие выводы:
1. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц,
го и сумма увеличится на столько же единиц.
2. Если одно из слагаемых уменьшить на несколько единиц,
то и сумма уменьшится на столько же единиц.
Применим полученные выводы для объяснения одного из
приемов устного счета. Пусть нужно вычислить 328+197+493.
Округлим второе слагаемое до 200, увеличив его на 3, а
третье слагаемое до 500, увеличив его на 7. Тогда 328 + 200 +
+ 500 = 1028. Но мы увеличили слагаемые на 3 и на 7, при
этом сумма увеличилась на 10. Поэтому искомую сумму полу-
чим. вычтя 10 из 1023. Итак. 328 + 197 + 493 = 1018
^8. ИЗМЕНЕНИЕ РАЗНОСТИ.
Рассмотрим изменение разности при изменении уменьшаемого
или вычитаемого на несколько единиц.
Решим задачу. У мальчика было 90 коп., он купил книгу
за 17 коп. Сколько денег у него осталось?
Эта задача решается вычитанием:
90 — 17 = 73 (коп.).
Количество денег, которое было у мальчика до покупки, есть
уменьшаемое, стоимость покупки — вычитаемое, оста-
ток денег — разность.
Если бы у мальчика было на несколько копеек больше, то
у него и осталось бы на столько же копеек больше.
Допустим, что у мальчика было на 5 коп больше тогда
(90 + 5) — 17 = 73 + 5.
Если бы у мальчика было на несколько копеек меньше, то
у него и осталось бы на столько же копеек меньше.
Например, если бы мальчик имел не 90 коп., а на 50 коп.
меньше, то разность тоже была бы на 50 коп. меньше.
Это можно записать так:
(90 — 50)— 17 = 73 — 50.
61
Изменение разности при изменении уменьшаемого можно вы-
разить такими правилами:
1. Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то раз-
ность увеличится на столько же единиц.
2. Если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то
разность уменьшится на столько же единиц.
Как же изменится разность при изменении вычитаемого на
несколько единиц? Используем ту же задачу.
90— 17 = 73 (коп.).
Вычитаемое выражает стоимость покупки. Но чем дороже
покупка, тем меньше денег останется.
Если вычитаемое (стоимость покупки) увеличится, например
на 5 коп., и будет равно не 17 коп., а 22 коп., то у мальчика
останется денег на 5 коп. меньше:
90 — (17 + 5) = 73 — 5.
У него останется только 68 коп.
И, наоборот, если стоимость покупки (вычитаемое) будет
меньше, то разность (остаток денег) будет больше.
Например, если вычитаемое уменьшить на 7 коп., то разность
будет больше на 7 коп.
90 —(17 —7) = 73+ 7.
У мальчика останется 80 коп.
Изменение разности при изменении вычитаемого можно вы-
разить следующими правилами:
1. Если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то раз-
ность уменьшится на столько же единиц.
2. Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц, то раз-
ность увеличится на столько же единиц.
Эти правила выражают простое и ясное свойство вычи-
тания: чем больше отнимаем, тем меньше остается, и. на-
оборот, чем меньше отнимаем, тем больше остается.
Выводы об изменении разности применяются при устных вы-
числениях. Пусть нужно вычислить 533—299. Округлим вычи-
таемое до 300, увеличив его на 1. Получим разность 233, кото-
рая будет меньше искомой на 1. Следовательно, 533—299=234.
Задание 18.
1.	Как изменится сумма, если одно из слагаемых: 1) увели-
чить на 8? 2) уменьшить на 9? Привести примеры.
62
2.	Одно слагаемое увеличили на 10, а другое уменьшили на
10. Изменилась ли сумма?
3.	Как изменится разность, если: 1) уменьшаемое увеличить
на 11? 2) вычитаемое увеличить на 7? 3) вычитаемое уменьшить
на 6?
4.	Уменьшаемое и вычитаемое увеличили на 5. Изменилась
ли разность ? Объяснить при помощи числового примера.
5.	Разность двух чисел равна 100. Вычитаемое увеличим на
50,	уменьшаемое уменьшим на 40. Чему будет равна разность?
6.	Вычислить устно:
1)	98 + 196+ 13; 2) 999 + 599 + 56; 3) 1502 — 998.
Упражнения.
161-	Как изменится сумма, если одно слагаемое:
1)	увеличить на 8 единиц?
2)	уменьшить на 9 единиц?
3)	увеличить на 12 единиц, затем еще на 9 единиц?
4)	увеличить на 16 единиц, затем уменьшить на 11 единиц?
162.	Как изменится сумма, если:
1)	одно слагаемое увеличить на 15 единиц, а другое — на 7 еди-
ниц?
2)	одно слагаемое увеличить на 15 единиц, а другое умень
шить на 18 единиц?
3)	одно слагаемое уменьшить на 4 единицы, а другое увели-
чить на 15 единиц?
4)	одно слагаемое уменьшить на 6 единиц, а другое на 17
единиц ?
5)	одно слагаемое увеличить на 13 единиц, а другое умень
шить на столько же единиц ?
163.	1) Одно слагаемое увеличили на 14 единиц. Как нужно
изменить второе слагаемое, чтобы сумма не изменилась?
2) Одно слагаемое уменьшили на 42 единицы. Что нужно
сделать со вторым слагаемым, чтобы сумма не изменилась ?
164.	1) Сумма двух чисел равна 14 454, одно из них в пять
раз меньше другого. Найти эти числа,
2) На школьных соревнованиях по метанию мяча оказалось
что ученик, занявший первое место, метнул мяч втрое дальше
чем занявший последнее. Найти результат каждого ученика
если известно, что лучший результат отличается от худшего
на 48 м.
165.	Сад огорожен изгородью в виде прямоугольника. Как
изменится длина изгороди, если:
63
1)	длину сада увеличить на 24 м?
2)	длину сада уменьшить на 12 м, а ширину увеличить на 9 .w?
166.	Брату и сестре вместе 26 лет- Сколько лет им будит
вместе через два года ? Сколько им было вместе 3 года назад ?
167.	Как изменится разность, если уменьшаемое:
1)	увеличить на 13 единиц?
2)	уменьшить на 23 единицы ?
3)	уменьшить на 20 единиц, затем еще на 8 единиц?
168.	Как изменится разность, если вычитаемое:
1)	увеличить на 8 единиц?
2)	уменьшить на 4 единицы ?
3)	увеличить на 6 единиц, затем еще на 6 единиц?
169.	Как изменится разность, если:
1)	уменьшаемое увеличить на 13 единиц, а вычитаемое уве-
личить на 12 единиц?
2)	уменьшаемое уменьшить на 26 единиц, а вычитаемое уве-
личить на 26 единиц?
3)	уменьшаемое и вычитаемое уменьшить на 8 единиц?
4)	вычитаемое уменьшить на 17 единиц, а уменьшаемое уве-
личить на 23 единицы?
170.	Брату 12 лет, сестре 7 лет. Насколько лет брат будет
старше сестры через 3 года? через 5 лет?
171.	На нижней полке на 7 книг больше, чем на верхней.
На сколько книг будет больше на нижней полке, если: 1) пять
книг переставить с верхней полки на нижнюю? 2) две книги
переставить с нижней полки на верхнюю?
172.	Вычислить устно:
1)	398+ 173;	3) 87 + 46 + 199; 5) 792 — 299;
2)	549 + 224 + 150; 4) 524 — 96;	6) 897 + 167 + 996.
Объяснить приемы устных вычислений, которые применялись
при решении этих упражнений.
§ 29.	ИЗМЕНЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
Рассмотрим изменение произведения при изменении одного
из сомножителей в несколько раз.
Решим задачу: «Длина прямоугольника 12 м, а ширина 10 м.
Чему равна его площадь?»
Эта задача решается умножением:
12-10= 120 (кв. м).
64
На рисунке 30, а в уменьшенном виде изображен данный
прямоугольник. Изменим один из сомножителей, например уве-
личим длину в 3 раза. Тогда получим прямоугольник, изобра-
женный на рисунке 30, б; его площадь в три раза больше пло-
щади прежнего прямоугольника.
Вычисление его площади можно записать так:
(12-3) 10 = 120-3 = 360 (кв.м).
Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, то
произведение увеличится во столько же раз.
Если сомножитель уменьшить в несколько раз, например в 4
раза, то произведение (площадь) уменьшится в 4 раза (рис. 30, в)
(12 : 4) • 10 = 120:4 = 30 (кв. м).
Если один из сомножителей уменьшить в несколько раз, то
произведение уменьшится во столько же раз.
Эти правила применяются при устных вычислениях. Пусть
нужно вычислить 32 • 25. Увеличим второй сомножитель в 4 ра-
за; чтобы произведение не изменилось, первый сомножитель
уменьшим в 4 раза. Получим: 8 • 100 = 800.
Задание 19.
1.	Как изменится произведение, если один из сомножите-
лей: 1) увеличить в 7 раз? 2) уменьшить в 5 раз?
2.	Один из сомножителей увеличили в два раза, а другой в
3 раза. Как изменилось произведение? Пояснить ответ примером.
3.	Площадь одного прямоугольника равна 144 кв. м, длина
другого прямоугольника в 6 раз меньше, а ширина в 6 раз боль-
ше, чем длина и ширина первого. Какова площадь второго пря-
моугольника?
4.	Вычислить устно:
1)	688 • 5;	2) 808 • 25; 3) 48 • 50.
Упражнения.
173. Как изменится произведение,
если один из сомножителей:
1)	увеличить в 6 раз?
2)	уменьшить в 9 раз?
3)	увеличить в 3 раза, затем еще в
2 раза?
4)	увеличить в 15 раз, затем умень-
шить в 5 раз?
Рис. 30.
3 Заказ М 316
Рис. 31.
174. Как изменится произ-
ведение, если:
1)	один сомножитель увели-
чить в 4 раза, а другой в 5 раз?
2)	один сомножитель уве-
личить в 18 раз, а другой
уменьшить в 2 раза?
3)	один сомножитель умень-
шить в 14 раз, а другой увели-
чить в 7 раз?
4)	один сомножитель увели-
чить в 10 раз, а другой умень-
шить в 10 раз?
175.	1) Один сомножитель увеличили в 8 раз. Как нужно из-
менить второй сомножитель, чтобы произведение не изменилось?
2)	Один сомножитель уменьшили в 7 раз. Что нужно сделать
со вторым сомножителем, чтобы произведение не изменилось?
176.	1) За котом гонится собака. Расстояние между ними
14 ж. Через сколько секунд собака может догнать кота, если он
бежит со скоростью 6 м в секунду, а собака пробегает 8 м в
секунду?
2)	По соседним дорожкам бассейна плывут в одном направ-
лении два мальчика (рис. 31). Расстояние между ними равно 4 м.
Один из них плывет со скоростью 150 см в секунду, через 8 секунд
он догнал второго. С какой скоростью плыл второй мальчик?
177.	Имеется две пачки тетрадей двух сортов: по 12 листов
и по 24 листа. В первой пачке тетрадей в 4 раза больше, чем во
второй. В какой из пачек больше листов бумаги и во сколько
раз?
178.	Куплено несколько килограммов товара ценой по 2 руб.
за 1 кг. Во сколько раз больше придется заплатить, если
купить в 6 раз больше товара по цене 1 руб. за. 1 кг?
179.	Поезд прошел некоторое число километров за определен-
ное время. Скорость самолета в 10 раз больше скорости поезда,
но самолет затратил на рейс в 5 раз меньше времени, чем поезд.
Во сколько раз путь поезда меньше пути самолета?
180.	Для перевозки груза подано некоторое число железно-
дорожных вагонов одинаковой грузоподъемности. Во сколько раз
больше можно перевезти груза, имея утроенное число вагонов с
грузоподъемностью в два раза большей?
66
181.	Как изменится произведение двух сомножителей, если:
1) к одному из них прибавим единицу?
2) от одного из них вычтем 2?
182.	Один из сомножителей равен 1872. Другой сомножитель
увеличили на 10 единиц. Как изменилось произведение?
ИЗМЕНЕНИЕ ЧАСТНОГО.
Рассмотрим изменение частного (для деления без остатка) при
изменении делимого и делителя в несколько раз.
Решим задачу: «Нужно разрезать брус длиной 120 см на 12
равных частей. Чему равна длина каждой части?»
Задача решается действием деления:
120; 12 = 10 (см).
Если бы длина бруса (делимое) была в несколько раз боль-
ше, например в 3 раза, то очевидно, что и длина каждой его
части была бы в 3 раза больше:
(120 • 3): 12 = 30 (см).
Если делимое увеличить в несколько раз, то частное увели-
чится во столько же раз.
Если, наоборот, длина бруса была бы в несколько раз мень-
ше, то и длина каждой его части была бы во столько же раз
меньше. Если, например, длина будет в два раза меньше, то
(120:2): 12=5 (см).
Если делимое уменьшить в несколько раз, то частное умень-
шится во столько же раз.
Как же изменится частное при изменении делителя? Если
число равных частей (делитель) будет больше, то длина каж-
дой части будет меньше. Например, если делитель или число
частей увеличить в 2 раза, то
120 : (12-2) =5 (слс).
Следовательно, длина каждой части уменьшилась в 2 раза:
длина стала равной 5 см вместо 10 см.
Наоборот, если число частей будет меньше, то частное будет
больше. Например, если число частей будет в 4 раза меньше, то
120: (12: 4) = 40 (см).
и длина каждой части увеличилась в 4 раза: она равна не 10 см,
а 40 см.
з*
67
1.	Если делитель увеличить в несколько раз, то частное умень-
шится во столько же раз.
2.	Если делитель уменьшить в несколько раз, то частное уве-
личится во столько же раз.
Рассмотрим изменение делимого и делителя, когда и то и
другое увеличивается или уменьшается в одно и то же число
раз.
Если делимое и делитель увеличить, например в 3 раза, то
частное не изменится. Проверим это на той же задаче. В зада-
че было дано частное:
120 : 12 - 10.
Увеличим делимое и делитель в 3 раза:
(120-3): (12-3) = 360: 36 = 10.
Следовательно, частное не изменилось.
Проверьте сами, что оно не изменится, если, например, де-
лимое и делитель уменьшить в 4 раза.
Запомним следующее правило:
При увеличении или уменьшении делимого и делителя в оди-
наковое число раз частное не изменяется.
Это правило можно доказать, пользуясь предыдущими пра-
вилами. Например, сначала увеличим делимое, а затем делитель
в одинаковое число раз. Частное сначала увеличится в несколь-
ко раз, а затем во столько же раз уменьшится. Следовательно,
частное не изменится.
УКАЗАНИЯ . «СВОВНИЮ ПРАВИЛ
$ дНАЗАпЯл Н УЫ»иЕНИН> НгАВИЛ
У ОБ ИЗМЕНЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ.
Чтобы хорошо усвоить правила, изложенные в параграфах
27—30. полезно пользоваться следующими указаниями:
1)	при сложении и вычитании рассматривается изменение
данных (и результатов) на несколько единиц;
2)	при умножении и делении рассматривается изменение дан-
ных (и результатов) в несколько раз;
3)	не следует при формулировке вывода использовать только
память; выводы похожи друг на друга, а поэтому можно до-
пустить ошибку, если ограничиться только заучиванием их;
4)	чтобы правильно сформулировать тот или другой вывод,
следует придумать соответствующую задачу (или пример), с по-
мощью которой и высказать этот вывод.
68
Задание 20.
1.	Как изменится частное, если:
1)	делимое увеличить в 5 раз?
2)	делитель увеличить в 5 раз?
3)	делитель уменьшить в 12 раз?
2.	Делимое уменьшилось в 10 раз, а делитель увеличился в
2 раза. Как изменилось частное? Привести пример.
3.	В каком случае при изменении данных частное не изме-
нится? Привести пример.
Упражнения.
183.	Как изменится частное, если делимое:
1)	увеличить в 8 раз?
2)	уменьшить в 11 раз?
3)	увеличить в 4 раза, затем еще в 3 раза?
4)	уменьшить в 5 раз, затем еще в 2 раза?
184.	Как изменится частное, если делитель:
1)	увеличить в 6 раз?
2)	уменьшить в 8 раз?
3)	увеличить в 3 раза, затем еще в 6 раз?
185.	Как изменится частное, если:
1)	делимое увеличить в 20 раз, а делитель увеличить в 4 раза?
2)	делимое увеличить в 20 раз, а делитель уменьшить в 4 раза?
3)	делитель увеличить в 6 раз, а делимое уменьшить в 3 раза?
186.	1) Делимое увеличено в 7 раз. Как нужно изменить
делитель, чтобы частное не изменилось?
2)	Делитель уменьшен в 9 раз. Что нужно сделать с дели-
мым, чтобы частное не изменилось?
187.	Вместо точек поставьте подобранные вами числа и ре-
шите получившиеся задачи:
1)	В классе . . . учащихся. Они собирали желуди в течение
трех дней. В первый день каждый учащийся собрал в среднем
. . . кг . . г, во второй на ... г больше, а в третий в . . .
раза больше, чем в первый. Сколько всего желудей собрано?
2)	Для школы-интерната куплено . . . пар коньков, а лыж
куплено на . . . пар меньше. Пара лыж стоит . . . руб. . . .
коп., а пара коньков на ... руб. . . . коп. дороже. Сколько
стоит вся покупка?
188.	Колхоз заготовил кукурузного силоса для коров на
20 дней. На сколько дней хватит силоса, если стадо коров уве-
личится вдвое, а количество заготовленного силоса увеличить в
6 раз?
69
189.	Турист на лыжах идет в два раза быстрее, чем пешком.
Сначала он прошел некоторое расстояние на лыжах, затем в
четыре раза меньше прошел пешком. На какой путь он затратил
больше времени и во сколько раз?
190.	Намечено перевезти некоторый груз с помощью несколь-
ких автомашин. Как нужно изменить количество автомашин,
если за такой же срок нужно перевезти груза в 10 раз больше,
а вместо полуторатонных автомашин послать трехтонные?
191.	С двух грядок убирали морковь. Площадь одной грядки
была в три раза больше, чем площадь другой грядки, но собра-
ли моркови с первой грядки в три раза меньше, чем со второй.
Во сколько раз было больше собрано моркови с 1 кв, м второй
грядки, чем с 1 кв. м первой грядки?
§ 32. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ДЕЙСТВИЙ.
/. Если над числами надо выполнить только дейст-
вия сложения и вычитания, то они выполняются в том
порядке, в каком записаны.
Определение. Сложение и вычитание называют
действиями первой ступени.
Пример, При выполнении действий
432 — 347 + 51 —27
вычисления производят в следующем порядке:
1)	432 — 347 = 85; 2) 85 + 51 = 136; 3) 136 — 27 = 109.
Если встречается несколько слагаемых подряд, то при вы-
числении их суммы можно применить законы сложения.
II.	Если над числами надо выполнить только дейст-
вия умножения и деления, то действия производятся
в том порядке, в каком они записаны. Если встреча-
ется несколько сомножителей подряд, то при вычис-
лении можно применить законы умножения.
Определение. Действия умножения и деления на-
зываются действиями второй ступени.
Пример. При выполнении действий
15-27-4:90-3
вычисления можно вести так:
1) 15-4 = 60;	3) 1620:90 = 18;
2) 60-27 =1620;	4) 18-3=54.
70
III. Если над числами надо выполнить арифмети-
ческие действия обеих ступеней, то в первую очередь
надо произвести умножение и деление, а во вторую —
сложение и вычитание.
Пример. 100 — 25: 5 4-4-8.
Решение. 1) 25:5=5; 2) 4-8 = 32; 3) 100 — 5+ 32 = 127.
Если над числами требуется произвести действия в другом по-
рядке. чем указывают I—Ш правила, то употребляются скобки.
Сначала производятся действия в скобках.
Пример. (100 — 25):5 + 4-8.
Решение. 1) 100 — 25 = 75;	3)4-8 = 32;
2) 75:5 = 15;	4) 15 + 32 = 47.
Иногда знак деления обозначается с помощью черты.
Пример.
20-72 — 600:15 .
36	34
Этот знак (черта) заменяет скобки и указывает, что надо от-
дельно выполнить действия над числами, стоящими над чертой
и под чертой, а затем первый результат разделить на второй.
Решение. 1) 20-72= 1440;	3) 1440 — 40 = 1400;
2) 600 : 15 = 40;	4) 36 + 34 = 70;
5)	1400 : 70 = 20.
Задание 21.
1.	Какие действия называются действиями первой ступени?
второй ступени?
2.	Какие действия надо производить в первую очередь?
3.	Вычислить: 1 000 000 — 104-(9106 — 100).
4.	Вычислить устно:
120-2-7-5	.
5 —4-Ц8 —2-9)
Упражнения.
192.	Вычислить:
1)	15360:128-5;	5) 52-22-2;
2)	15 360 : (128-5);	6) (52 —22)-2;
3)	840:105-8;	7)48 + 2-13;
4)	840 : (105-8);	8) (48+ 2). 13.
-71
193.	Вычислить:
1)	1476—276.3:2;
2)	12+28-16+243 : 9;
3)	600000-1020-570+90300;
4)	504-425—89400—10600;
5)	252-850—(89 400+10 600);
6)	1260 : 7+6432 : 16-0—3-21;
7)	209.1+0 : 328-5+4203 : 4203;
8)	428+(52—91 : 13)-6;
9)	(5028+12) : 18-5;
10)	102.(702—696) : 4+16.
194.	Вычислить:
I)	510: (27+ 12-76— 11-39);
2)	32 + 204-(1404— 1392): 8;
3)	59-(1000 — 827)• 101 — 709• 803;
4)	(1 046 460 : 489 + 3 488 200 : 2140): 377— 10;
5)	(10207:59 + 1 046360:707)-40;
6)	1008 — 17 119 : (119 — 816:8);
7)	(43 -19 — 53 856 : 66) - (32 224 : 106 — 304);
8)	(6981 + 289-6): (38-35 —35-35).
195.	Выполнить действия:
(757 + 16-7).240 .
'	1100 — 5-44
2	35 000— 118
198 — (252 — 31’7)
+ 84 : 28*2.
196.	1) Записать произведение суммы чисел 24 и 105 на чис-
ло 18. Вычислить это произведение.
2) Записать разность между числом 1000 и частным от де-
ления 575 на 25. Вычислить эту разность.
197.	1) Записать сумму произведений 23 на 5, 17 на 5 и вы-
числить ее.
2)	Сумма чисел 5 и 17 умножается на 23 и на 5. Записать
это произведение и вычислить его.
198.	Следующие задачи решить способом составления урав-
нений:
1)	За 2 руб. 16 коп. куплено 8 кг картофеля и 1 кг мяса.
Найти цену картофеля и мяса, если известно, что мясо в 10 раз
дороже картофеля.
2)	Велосипедист ехал 1 минуту под гору, затем 6 минут в
гору. В гору он проехал на 300 м больше. Найти скорость ве-
лосипедиста на спуске и на подъеме, если известно, что скорость
на спуске в 4 раза больше скорости на подъеме.
72
199.	Составить задачи, которые решались бы с помощью
следующих уравнений:
1) 6х + х = 420;
2) 5х — х = 196.
Решить получившиеся задачи.
<83. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ НЕСКОЛЬКИХ
ЧИСЕЛ.
Задача. Мотоциклист ехал в течение трех часов. За пер-
вый час он проехал 32 км, за второй час 39 км и за третий
час 37 км. Вычислить среднюю скорость движения.
Решение задачи состоит в том, чтобы найти сумму данных
чисел и разделить ее на 3. Средняя скорость, или среднее ариф-
метическое этих чисел, равна
32 + 39 + 37	.
--- з -----= Зб (км в час).
Определение. Средним арифметическим нескольких
чисел называется частное от деления суммы этих
чисел на число слагаемых.
ПОНЯТИЕ О ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЛАХ.
Решим такую задачу: «Чтобы узнать длину своего шага,
ученик отмерил расстояние в 100 м и стал считать число пол-
ных шагов на этом расстоянии. Для получения более точного
числа шагов он прошел расстояние три раза и получил такие
результаты:
1-й раз — 153 шага,
2-й раз— 156 шагов,
3-й раз—154 шага.
Сколько сантиметров содержит длина шага ученика?»
При решении задачи нужно сначала узнать, сколько шагов
в среднем содержится в 100 м. Для этого надо вычислить сред-
нее арифметическое чисел 153, 156, 154.
Сумма этих чисел, равная 463, не делится (нацело) на 3.
В частном получается 154 и в остатке 1. Но в жизни, на прак-
тике, редко пользуются делением с остатком. Обычно выражают
73
частное приближенным числом. Для нашей задачи частное запи-
шем в таком виде;
— —э - — « 154 (шага).
Вместо знака точного равенства « = » поставлен знак прибли-
женного равенства « «». Он читается так: «приближенно равно».
Ученик на расстоянии 100 Л1 делает приблизительно 154 шага.
Такой результат деления называют приближенным числом.
Чтобы вычислить величину шага в сантиметрах, надо 10 000 см
разделить на 154:
10000 1154
924	64
760
616
144
Частное от деления тоже придется выразить приближенным
числом. Можно считать, что длина шага приближенно равна
64 см или 65 см, и записать:
10000: 154 «64 (сл)
или	10 000 : 154 « 65 (c4t).
Первый результат называют приближенным частным с недо-
статком с точностью до 1 см. Второй результат называют при-
ближенным частным с избытком с точностью до 1 см.
Из двух таких результатов обычно выбирают один. Для этого
сравнивают делимое с произведениями приближенных частных
на делитель.
Если 64 умножить на 154, то получим 9856. Произведение
154-64 отличается от делимого на 144. Если же 154 умножить
на 65, то получим 10 010; это произведение отличается от дели-
мого только на 10. Поэтому лучше считать среднюю длину шага
равной 65 см.
Такой вывод можно сделать и проще, не производя умноже-
ния. Так как остаток (144) оказался больше половины делителя
(154), то лучше взять значение частного с избытком. Если же
остаток будет меньше половины делителя, то приближенное част-
ное следует взять с недостатком.
Из этой задачи видно, что приближенные числа могут полу-
читься в результате деления.
74
Кроме этого, источником получения приближенных чисел яв-
ляются различные измерения. Например, измеряя длину комнаты,
мы не принимаем во внимание мелкие единицы длины — милли-
метры, а расстояние между городами выражаем обычно в кило-
метрах, не указывая более мелких единиц длины.
Приближенные числа получаются иногда и в результате счета
большого количества предметов. Например, численность населе-
ния в городах и странах, численность скота в области, по всей
стране выражается также приближенными числами.
Задание 22.
1.	Вычислить среднюю температуру суток, если утром было
8Q, днем 22°, вечером 15° и ночью 10°.
2.	Заработок рабочего в январе составил 90 руб. 20 коп.,
в феврале 87 руб., в марте 100 руб. 20 коп., в апреле 90 руб.
70 коп. и в мае 95 руб. 10 коп. Каков средний месячный зара-
боток этого рабочего?
3.	Сумма всех чисел, получившихся при подсчете населения
города по отдельным его районам, равна 723 406. Следует ли
помещать в справочнике такое число жителей этого города или
его следует округлить? Какими приближенными числами можно
выразить численность населения этого города?
4.	Измеряют ли расстояние между городами с точностью до
1 мм или 1 см? В каких единицах обычно измеряют такие рас-
стояния?
Упражнения.
200.	Рабочий изготовил 4 одинаковые детали. На изготовле-
ние первой детали он затратил 53 мин., второй 48 мин., третьей
52 мин. и четвертой 43 мин. Каково среднее время изготовления
одной детали?
201.	Мерной лентой измерили три раза одно и то же рассто-
яние и получили такие числа:
1) 379 м 38 см; 2) 378 м 70 см; 3) 379 м 72 см.
В таких случаях за расстояние принимают среднее арифме-
тическое всех полученных чисел. Чему равно расстояние?
202.	За первый час пешеход прошел 5 км 350 м, за второй
4 км 700 м и за третий час 4 км 200 м. Вычислить среднюю
скорость пешехода.
203.	Вычислить среднее арифметическое чисел:
1)	13; 14; 18 и 17;
2)	57; 62; 67;
75
3)	127; 86; 58; 43; 157;
4)	5 кв. ле 3 кв, дм и 5 кв. м 97 кв. дм;
5)	1200 куб. см; 1 куб. дм и 980 куб. см;
6)	12 кг 370 г; 13 кг 700 г; 14 кг 50 г и 12 кг 950 г.
204.	Для определения всхожести семян посеяли 4 сотни се-
мян. Из первой сотни взошло 87 семян, из второй 89 семян, из
третьей 93 и из четвертой 82 семени. Сколько в среднем прихо-
дится проросших семян на 100 посеянных?
§ ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ.
На практике, в жизни, некоторые числа приходится округлять.
Это делают, например, при сообщении итогов переписи населе-
ния, при вычислении среднего арифметического нескольких чисел.
Численность населения в СССР, по переписи 1959 г., состав-
ляла 208 827 000 человек. Это число округленное, последние три
нуля поставлены взамен отброшенных цифр младших разрядов.
Округлить натуральное число — значит отбросить одну или
несколько цифр младших разрядов, заменив их нулями.
При этом пользуются следующим правилом; если первая
из отбрасываемых при округлении цифр меньше 5, то
последняя сохраняемая остается без изменения; если
первая из отбрасываемых цифр 5 или больше 5, то
последняя сохраняемая цифра увеличивается на еди-
ницу.
Если численность населения СССР (по переписи 1959 г.) ок-
руглить до миллионов, то цифру миллионов 8 нужно увеличить
на 1, так как следующая за нею цифра больше 5. При таком
округлении следует считать, что население СССР составляло
209 000 000 человек. Такие большие округленные числа часто за-
писывают без нулей, поставленных взамен отброшенных цифр,
указывая название разряда. Вместо 209 000000 можно записать:
209 миллионов, или еще короче 209 млн.
Натуральные числа можно округлять до десятков, заменяя
цифру единиц нулем; до сотен, заменяя цифры единиц и десят-
ков нулями, и т. д.
Пример. Округлить число 327 159.
При	округлении	до	десятков	получим:	327 159	^327 160;
при	округлении	до	сотен	»	327	159	^327 200;
при	округлении	до	тысяч	»	327	159	^327	000;
при	округлении	до	десятков	тысяч	327 159	^ 330 000.
76
Измеряя стороны прямоугольника, мы получаем не точные,
а приближенные числа. Вычисляя его площадь, мы получаем
также приближенное число, а, следовательно, результат вычис-
ления надо округлить.
Решим задачу:
«Длина прямоугольного участка земли равна 72 м, а ширина
54 м. Оба числа получены с точностью до 1 м путем измерения
расстояния полевым циркулем. Вычислить площадь участка».
Площадь прямоугольника равна:
72-54 = 3888 (кв. м).
Этот ответ необходимо округлить, так как при измерении
длины и ширины могла быть допущена неточность в несколько
десятков сантиметров. Например, при измерении ширины мог ос-
таться небольшой отрезок АВ (рис. 32). Этот отрезок был мень-
ше 1 л<, его не измеряли и решили считать, что ширина при-
ближенно равна 54 м. Тогда и выполненное нами вычисление
площади имеет неточность, которую можно представить в виде
площади полоски шириной АВ и длиной в 72 м. Пусть, напри-
мер, ширина АВ этой полоски была 40 см, тогда ее площадь
составит 40-7200 = 288 000 (кв. см), т. е. около 30 кв. м.
Итак, неточность вычисления площади может быть равна не-
скольким десяткам квадратных метров. Поэтому результат вы-
числения нужно округлить до сотен и записать так:
72-54 = 3888 (кв. м) ~ 3900 (кв. л).
Результат вычислений нужно округлять почти в каждой за-
даче с приближенными данными.
Задача. Размеры зала в сантиметрах равны: 961 см; 1201 см
и 400 см. Вычислить объем зала.
Решение. Произведение
этих чисел
961 -1201 -400 = 461 664 400.
Рассуждая, как и в преды-
дущей задаче, можно показать,
что неточность этого произве-
дения может достигать несколь-
ких сотен тысяч кубических
сантиметров. Поэтому произ-
Рис. 32.
ведение надо округлить: достаточно оставить только три пер-
вые цифры, а остальные заменить нулями. Следовательно, объ-
ем зала равен 462 000 000 куб. см, или 462 куб. м.
Задание 23.
1,	Вычислить площадь крышки прямоугольного стола, если
ее стороны равны приближенно 1723 мм и 921 мм. Результат
округлить, оставив только первые три цифры.
2.	Вычислить объем земли, которую надо извлечь при рытье
котлована, если его размеры с точностью до 1 дм равны 34 дм,
273 дм и 173 дм. Результат округлить до десятков тысяч куби-
ческих дециметров и выразить в кубических метрах.
3.	В каком случае при округлении последняя сохраняемая
цифра остается без изменения? В каком случае ее следует уве-
личить?
Упражнения.
205.	Округлить числа:
1)	3792; 47588; 31 049 до 10, до 100 и до 1000.
2)	3 579 261; 4 099 987 и 5 908 751 до 100 тысяч и до 1 млн.
206.	Округлить числа:
575 209; 380499 и 705891 до 10, до 100, до 1000 и до 100000.
207.	Длина участка 738 м, ширина его 505 м. Вычислить
площадь и округлить ответ с точностью до 1 тысячи квадратных
метров. Чему приближенно равна площадь этого участка в гек-
тарах?
208.	Длина классной комнаты 8 м 52 см, ширина 6 м 12 см,
высота 2 -и 85 см. Вычислить ее объем и результат округлить,
оставив только три первые (слева) цифры. Ответ выразить в ку-
бических метрах.
209.	Сколько гектаров содержит площадь, равная 5 475 999 кв. лг?
210.	Выразить в тоннах вес груза в 19 752 кг.
211.	Выполнить действия:
1)	5763 + 37-608 + 84.700;
2)	29-14-6 — 4256 : 112 + 3609;
3)	(134-25 — 3179 + 42 978: 174) • 1470 : 98;
4)	113 975:47 + 102 840: 120+ 1296 — 23-86;
32 -96 — (5010 —3023) .
97+15-8
39064:19+ 128 • 16
’	1680 — 40 100:25
78
212.	Выполнить действия:
1)	52 468 — 5246.9+ 18.(748 + 252);
2)	600 675 : 15 : 5 + 201 • (400 100 — 379 964);
3)	102 900:98 — 5.(899 + 690+ 101) : 65;
4)	(50.179 + 205 800: 196) : (1324— 18-18);
5)	112 277 : (3-322 + 34 — 27-13)• 101;
6)	999 999—10 368 :(1024 — 56 -16) + 82.
213.	Решить уравнения:
1)	х	+ х = 64;	4)	х + 4х + 26 = 76;	7)	х + 2х + 6х = 99;
2)	х	+ х + 13 = 83;	5)	10х— х — 45;	8)	5х + 6х + х = 96.
3)	х	+ 2х = 105;	6)	7х — Зх = 128;
214.	От пристани отошли одновременно пароход и катер и
двигались в одном и том же направлении: первый со скоростью
32 км в час, а второй со скоростью 16 км в час. Через 3 часа
пароход сел на мель и только через 7 час. после этого догнал
катер. Сколько времени пароход простоял на мели?
215,	От города до колхоза 170 км. Из города в колхоз вы-
ехал мотоциклист со скоростью 42 км в час. Спустя 1 час на-
встречу ему по той же дороге из того же колхоза выехал вело-
сипедист со скоростью 22 км в час. Через сколько часов они
встретятся и на каком расстоянии от города?
216.	В 12 часов дня со станции отошел поезд и двигался со
средней скоростью 66 км в час. В 1 час дня по шоссе, распо-
ложенному вдоль линии железной дороги, вслед за ним выехал
автомобиль. В 4 часа дня автомобиль догнал поезд. Какова сред-
няя скорость автомобиля?
217.	Пловец плывет по озеру. Вслед за пловцом идет лодка,
скорость которой в 3 раза больше скорости пловца. Первона-
чальное расстояние между ними составляло 240 м, и через 3 ми-
нуты лодка догнала пловца. Найти скорости пловца и лодки.
218,	Если к неизвестному числу прибавим число, в 6 раз
большее неизвестного, а из суммы вычтем 131 то получим 100.
Найти неизвестное число.
219.	1) На трех полках разложено 176 книг так. что на вто-
рой полке лежит книг втрое больше, чем на первой, а на третьей —
вчетверо больше, чем на второй. Сколько книг лежит на каждой
полке?
2)	Путь туриста составил 1125 км. Он проехал поездом в
4 раза больше, чем пароходом, а самолетом пролетел в 5 раз
больше, чем проехал поездом.
79
Сколько километров турист проехал на пароходе» на поезде
и пролетел на самолете?
220,	Одна доярка за 1 час в среднем надаивает вручную 12 кг
молока, а при машинном доении на 58 кг больше. 35 доярок на
ферме доили коров вручную 2 часа. Сколько доярок при машинном
доении могли бы выполнить эту работу за 1 час?
221.	Куплено 200 куб. м дров по 3 руб. за кубометр и 50 куб. м
по 4 руб. Определить среднюю цену купленных дров.
222.	В первом квартале завод по выпуску тракторных запас-
ных частей перевыполнил план выработки на 33 600 руб., а во
втором квартале на 74 300 руб. Во втором полугодии он недо-
выполнил план на 48 600 руб. Как завод выполнил годовой
план?
223.	Выручка магазина в январе составила 12 532 руб. 60коп,,
в феврале 9598 руб., в марте 15 029 руб. 40 коп. Найти сред-
нюю месячную выручку в рублях.
224.	По данным таблицы указать, как изменится сумма при
изменении слагаемых. Знаком плюс обозначено увеличение, а
знаком минус уменьшение слагаемого на несколько единиц
по сравнению с первоначальным значением. Если слагаемое не
изменяется, то в таблице поставлен 0.
I вменение слагаемого	1-го	+3	—5	+5	—8	—7	+9	+3	—51	0	+13
Изменение слагаемого	2-го	0	0	+3	— 10	+5	-5	—8	+51	—19	— 13
Изменение	суммы		?		?	1	?		?	?	?
225.	По данным таблицы указать, как изменится разность
при изменении уменьшаемого и вычитаемого на несколько еди-
ниц.
Изменение уменьшаемого	+ 10	0	—9	0	+5	—5	+30	+ 13
Изменение вычитаемого	0	+6	0	— 14	+7	' —7	—3о| + 13	
Изменение разности	?	?	?	?	?		?	
80
226.	По данным таблицы указать, как изменится произведе-
ние двух сомножителей при изменении сомножителей в несколь-
ко раз. Увеличение в несколько раз обозначено знаком умноже-
ния (•), а уменьшение — знаком деления (:); если сомножитель
не изменяется, то в таблице это обозначается умножением на
1 (!)•
227.	По данным таблицы указать, как изменится частное при
изменении делимого и делителя.
228.	Контрольное задание.
1)	Вычислить: 296 862 — 262 770 : 57 + 305 • (1234 — 908).
2)	Из аэропорта вылетел самолет со скоростью 600 км в час.
Через 30 минут вслед за ним вылетел другой самолет со ско-
ростью 750 км в час. Через сколько времени после вылета вто-
рой самолет догонит первый?
3)	Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на
12 единиц, а вычитаемое уменьшить на 10 единиц?
229.	Контрольное задание.
1)	Вычислить: 8 ♦ (9 « 22 + 328 + 802) + 100672 : 968 : 4 —
-10 650.
81
2)	В первой бригаде колхоза собрано по 290 ц свеклы с
каждого из 225 га, а во второй бригаде — по 326 ц с каждого
из 175 га. Найти средний урожай свеклы с 1 га по всему кол.
хозу. Ответ округлить: 1) до 1 ц; 2) до 1 т.
3)	Как изменится частное, если делимое уменьшить в 9 раз,
а делитель увеличить в 3 раза?
•ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЯХ.
В древней Индии сложение производили начиная со старших разрядов.
Вычисления записывались заостренной палочкой на дощечках, посыпанных
песком, и легко стирались. Вследствие этого такой способ сложения слева
направо был удобным. Результат сложения писали над слагаемыми. Этот при-
ем в начале IX века переняли арабы, от которых он проник в Европу.
Современный способ сложения многозначных чисел по разрядам справа
налево впервые был введен во Франции в XIП веке. Начиная с XV века пра-
вила сложения не отличаются от современных. Знак сложения < + >, а также
знак вычитания «—> широко стали применяться с XVI века, в этом же веке
англичанин Рикорд ввел знак равенства < = ». В древней Индии вычитание
производили так же, как и сложение, начиная со старших разрядов. Арабы
изменили это правило и стали вычитание начинать справа.
Способ умножения, похожий на тот, которым мы пользуемся, был введен
еще в древней Индии. Этот способ перешел к арабам, а от них в Европу.
Раньше пользовались другими способами умножения. Применялся, например,
способ, когда умножение начинали с высшего разряда множителя:
235
X 481
940
1880
235
113035
Тот способ, которым пользуются в настоящее время, вытеснил все осталь-
ные способы в XVI веке.
Знак умножения «X» введен более трехсот лет тому назад. Точка как
знак умножения употреблялась немецким математиком Региомонтаном еще в
XV веке.
Индийский способ деления сочетался со стиранием цифр и записью снизу
вверх. У арабов, которые не стирали цифры, а зачеркивали их, этот способ
стал называться делением <вверх». Он был громоздким и сложным. Вследствие
этого действие деления отнимало много времени и усваивалось с большим тру-
дом. Способ деления, похожий на современный, появляется только в XV веке.
Знак деления в виде черты употреблялся арабами. В ХШ веке этот знак был
82
Леонард Эйлер — великий ученый-матема-
тик (1707—1783). Он родился в Швейцарии, но
много лет работал в России. Труды Эйлера имели
большое влияние на развитие математики не
только в нашей стране, но и в других странах.
заимствован у арабов итальянским ученым Лео-
нардо Пизанским. Знак деления в виде двух то-
чек «:» впервые введен англичанином Джонсо-
ном в 1663 г
37.	ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ ДАННОГО
ЧИСЛА.
Кроме натуральных чисел, мы пользуемся и дробными чис-
лами. Например, мы часто употребляем такие выражения: «Куп-
лено полкило масла» или «Рабочий выполнил полторы нормы»,
з
или «Урок продолжался — часа». Эти числа называют дробями
или дробными числами.
Чтобы изучить дроби и действия над ними, необходимо знать
некоторые сведения о делимости чисел.
В дальнейшем слово «делится» будет означать, что деление
целых чисел выполняется нацело, без остатка.
Если же при делении получается остаток, то будем говорить,
что делимое не делится на делитель
Каждое натуральное число делится на I, каждое натуральное
число делится само на себя. Многие числа делятся не только на
1 и сами на себя, но и на другие числа. Например, число 12
делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Говорят, что эти числа являются
делителями числа 12.
Определение. Делителем данного кисла называет-
ся всякое число, на которое делится данное число.
Пусть дано число 12. Какие числа делятся на 12? Прежде
всего само число 12 делится на 12. Можно назвать бесконечное
множество чисел, которые в 2, 3, 4, 5 и так далее раз боль-
ше 12. Эти числа будут: 24, 36, 48, 60 и так далее. Все
они также делятся на 12 и называются кратными этого числа.
Определение. Кратным данного числа называет-
ся всякое число, которое делится на данное число.
83
Задание 24.
1.	Назвать несколько кратных для каждого из чисел: 7, 10, 16.
2.	Назвать делители чисел: 7, 10, 30, 31 и 45.
3.	Что называется делителем данного числа?
4.	Что называется кратным данного числа?
Упражнения.
230.	Написать все делители каждого из чисел: 18, 21, 30, 33.
231.	Написать для каждого из чисел: 18,21, 33, 100 по 3
кратных.
232.	Какое число является самым меньшим делителем дан-
ного числа? Какое самым большим?
233.	Какое число является самым меньшим кратным данного
числа? Есть ли у числа самое большее кратное?
234.	Два поезда вышли одновременно в одном направлении
со станций А и В, расстояние между которыми равно 120 км.
Поезд, вышедший из В, идет со средней скоростью 50 км в час,
а поезд, вышедший из Л, со скоростью 70 км в час. Через
сколько времени один поезд догонит другой?
235,	Из двух городов, расстояние между которыми равно
138 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда:
пригородный и скорый. Сколько километров пройдет каждый из
них до встречи, если у пригородного поезда средняя скорость
в два раза меньше, чем у скорого?
i § 38. ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ ДВУХ ЧИСЕЛ.
Можно ли, не производя деления суммы на некоторое число,
выяснить, будет ли она делиться на это число?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим различные слу-
чаи делимости слагаемых и суммы.
1.	Оба слагаемых делятся на данное число.
Например, в сумме 35 + 105 оба слагаемых делятся на 5, их
сумма тоже делится на 5.
Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то их_
сумма делится на это число.
Справедливость этого вывода можно пояснить с помощью
распределительного закона.
35 4- 105 = 5-7 + 5*21 =5 • (7 + 21)= 5*28 = 140.
Так как произведение 5*28 делится на каждый из сомножи-
телей, то число 140 делится на 5, следовательно, сумма 35+105
84
делится на 5. Этот вывод справедлив для любого числа слагае-
мых- Например, сумма 18 + 20 + 46 делится на 2.
2.	Оба слагаемых не делятся на данное число.
Например, слагаемые суммы 31 + 13 не делятся на 2, а их
сумма 44 делится на 2.
Другой пример. Слагаемые суммы 21 + 13 не делятся на 8,
их сумма 34 тоже не делится на 8.
Если оба слагаемых не делятся на данное число, то о дели-
мости суммы ничего определенного сказать нельзя. Сумма может
делиться и может не делиться на данное число.
3.	Одно слагаемое делится, а другое не делится на данное
число.
Рассмотрим несколько примеров:
1) 34 + 7 - 41.
Первое слагаемое делится на 2, а второе не делится на 2. Их
сумма 41 не делится на 2.
2) 26 + 35 -61.
Первое слагаемое делится на 2, на 13 и на 26, второе слагаемое
не делится ни на одно из этих чисел. Их сумма 61 также не
делится на эти числа.
Если одно из слагаемых делится, а другое не делится на
данное число, то их сумма не делится на это число.
Из этих выводов можно сделать такое общее заключение:
если одно из двух слагаемых делится на некоторое число, то
сумма разделится на это число только тогда, когда другое сла-
гаемое делится на это число.
Например, дана сумма чисел 30 + х, первое слагаемое де-
лится на 10. Сумма разделится на 10 только в том случае,
когда слагаемое х делится на 10. Иначе говоря, слагаемое х
должно быть кратным 10. Следовательно, число х может при-
нимать значения: 10, 20, 30, 40, 50 и т. д. Только при этом ус-
ловии сумма 30 + % будет делиться на 10.
Задание 25.
1.	Пользуясь правилом делимости суммы, указать, делится ли
сумма 88 и 50 на 2, на 5.
2.	Назвать несколько таких значений х, чтобы сумма 30 + х
Делилась на 2, на 3, на 5.
3.	Можно ли утверждать, что сумма не делится на данное
число, если каждое из слагаемых не делится на это число?
Привести примеры.
85
Упражнения.
236.	Не производя сложения, установить, какая из написан-
ных ниже сумм разделится на 2, на 6, на 7:
1)	82 + 14; 2) 30 + 96; 3) 42 + 56; 4) 45 + 35.
237.	Не производя сложения, установить, какие из написан-
ных ниже сумм не делятся на 3, на 5, на 6:
1)	48 + 14; 2) 75 + 14; 3) 60 4- 25; 4) 30 + 45.
238.	Не производя сложения, установить, какая из написан-
ных ниже сумм делится на 3, на 9:
1)	999 4-99 + 9;	3) 999 + 99 + 7;
2)	999 + 99+ 3;	4)	7 • 99 + 6.
239.	Ширина прямоугольника в 4 раза меньше его длины.
Чему равна площадь прямоугольника, если сумма всех его сто-
рон равна 450 лг?
240.	Который теперь час, если прошедшая часть суток в 5 раз
меньше оставшейся?
§ 39.) ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ.
Признаками делимости чисел называются правила, с помощью
которых можно, не производя деления, узнать, делится или не
делится любое число на данное число.
Прежде чем изучать признаки делимости чисел, рассмотрим та-
кие понятия: четные и нечетные числа и цифры, сумма цифр числа.
Четными числами называются те числа, которые делятся на 2.
Нечетными числами называются такие, которые не делятся на 2.
Цифры 0, 2, 4, 6 и 8 называются четными, так как они изобража-
ют однозначные четные числа. Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называются
нечетными, так как изображают нечетные однозначные числа.
Суммой цифр данного числа принято называть сумму всех тех
однозначных чисел, которые изображаются цифрами данного числа.
Например, сумма цифр числа 72013 есть 7 + 2 + 0+1+3,
она равна 13; сумма цифр числа 5541 равна 15.
§ 40^ ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 2.
Всякое многозначное число можно представить в виде суммы
двух чисел, одно из которых равно числу, выражаемому цифрой
единиц данного числа. Например,
72 = 70 + 2; 135 = 130 + 5; 7250 = 7250+ 0.
86
Первые слагаемые каждой суммы — круглые десятки. Десяток
делится на 2, следовательно, эти слагаемые делятся на 2. Рас-
сматриваемая сумма разделится на 2 только при условии, когда
второе слагаемое делится на 2.
Второе слагаемое будет делиться на 2 только в том случае,
если оно выражается четной цифрой.
Отсюда следует признак делимости: на 2 делятся только
те числа, которые оканчиваются четной цифрой.
Числа 72 и 7250 делятся на 2. Число 135 не делится на 2.
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 5.
Пусть даны такие числа: 725, 302, 4710 и 3735. Представим
каждое из них в виде суммы двух чисел, из которых одно рав-
но числу, выражаемому цифрой единиц.
725 = 720 + 5; 302 = 300 + 2; 4710 = 4710 + 0; 3735 = 3730 + 5.
Первые слагаемые каждой суммы — круглые десятки, следова-
тельно, эти слагаемые делятся на 5. Сумма разделится на 5
только в том случае, когда второе слагаемое делится на 5. Оно
выражается цифрой единиц; если эта цифра будет 0 или 5, то
число разделится на 5.
Отсюда следует признак делимости: на 5 делятся только
те числа, которые оканчиваются нулем или цифрой 5.
Числа 725, 4710 и 3735 делятся на 5. Число 302 не делит-
ся на 5.
Задание 26.
1.	Написать четыре трехзначных числа, делящихся на 2; три
пятизначных числа, не делящихся на 2.
2.	Написать несколько многозначных чисел, делящихся на 5 и
несколько чисел, не делящихся на 5.
3.	Найти сумму цифр каждого из чисел: 1) 43 723; 2) 503 472;
3) 120 340 507.
Упражнения.
241.	Из чисел 84, 95, 106, 123, 135, 220,249,505, 1500, 1908,
2007 , 56 341, 68 285, 120 384, 1 000 000 выписать отдельно чис-
ла, которые: а) делятся на 2; б) делятся на 5; в) не делятся ни
на 2, ни на 5.
242.	То же для чисел 20, 73, 100, 364, 495, 689, 710, 807,
848, 922, 9441, 69996, 849957, 1 000005.
87
243.	Пользуясь правилом делимости суммы, объяснить, поче-
му число 8246 делится на 2, но не делится на 5.
244.	Будет ли число, делящееся на 25, делиться на 5? на 2?
Привести примеры.
245.	Из цифр 0, 3, 5, 6 составить 4 четырехзначных числа,
делящихся на 2; из этих же цифр составить несколько четырех-
значных чисел, делящихся на 5.
246.	На склад поступило 15 730 куб. м сосновых, еловых и
березовых дров. Сосновых было 3543 куб. м, еловых на 394 куб. м
меньше. Через некоторое время продали 6798куб. ^березовых дров,
1909 куб, м сосновых и 2708 куб. м еловых. Сколько дров каж-
дого сорта осталось после продажи?
247.	Для приготовления новогоднего подарка использовали
конфеты четырех сортов ценой 5 руб. 50 коп., 3 руб. 20 коп.,
2 руб. 30 коп. и 1 руб. 80 коп. за 1 кг. В каждый пакет по-
ложили по 200 г наиболее дешевых конфет и по 100 г конфет
других сортов. Чему равна стоимость одного подарочного па-
кета?
248.	Сумма цифр четырехзначного числа равна 28. Первая и
последняя цифры его одинаковы. Цифра десятков равна 7, цифра
сотен на 4 меньше. Какое это число?
§ ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА 3 И НА 9.
Для изучения признаков делимости на 3 и на 9 запишем не-
сколько чисел и вычислим сумму цифр каждого из них.
Число	354	729	134	2025	3139	201
Сумма цифр числа	12	18	8	9	16	3
После деления на 3 каждого из чисел, данных в таблице, мы
обнаружим, что разделятся на 3 числа 354, 729, 2025 и 201.
Сумма цифр каждого из них также делится на 3.
Числа 134 и 3139 не делятся на 3. Сумма цифр каждого из
них также не делится на 3.
Оказывается, что справедлив такой признак делимости: на 3
делятся только те числа, у которых сумма цифр де-
лится на 3.
88
Если проверить, какие из чисел, данных в таблице, делятся
на 9, то обнаружим, что на 9 делятся 729 и 2025. Сумма цифр
каждого из них делится на 9.
Числа 354, 134, 3139 и 201 не делятся на 9, и сумма цифр
каждого из этих чисел не делится на 9.
Справедлив такой признак делимости: на 9 делятся толь-
ко те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Примеры. 1) Число 471 234 делится на 3, так как сумма
его цифр равна 21, но 471 234 не делится на 9.
2) Число 20 071 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма
его цифр, равная 10, не делится на эти числа.
3) Число 2754 делится на 3 и на 9, так как сумма его цифр,
равная 18, делится на эти числа.
Вывод этих признаков состоит из нескольких частей.
1.	Всякое число, изображаемое единицей с одним или несколькими нуля-
ми, можно представить в виде суммы 1 и числа, кратного 3 и 9.
10 = 9+1
100 = 99 +1
1 000 = 999 + 1
10 000 = 9999+ 1 и т д.
Первые слагаемые 9, 99, 999, 9999 и т. д. делятся на 3 и на 9.
2.	Всякое число, у которого все цифры, кроме первой, нули, можно
представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых кратно 3 и 9, а
другое изображается первой слева цифрой числа.
40 = 4-10 = 4- (9 + 1) =4-9 + 4.
200 = 2-100 = 2- (99 + 1) = 2-99 + 2.
7000 = 7.1000 = 7- (999 + 1) = 7-999 + 7.
Первые слагаемые кратны 3 и 9, так как содержат множитель, делящий-
ся на 3 и на 9.
3.	Всякое число можно представить в виде суммы двух слагаемых, из
которых одно есть число, кратное 3 и 9, а другое есть сумма цифр данного
числа.
2754 = 2000 + 700 + 50 + 4 = (2-999 + 2) + (7-99 + 7) + (5-9 + 5) + 4 =
= (2-999 + 7-99 + 5-9) + (2 + 7 + 5 +4).
Первое слагаемое (2-99 + 7-99 + 5-9) есть число, кратное 3 и 9, так как
каждое слагаемое внутри скобок делится на 3 и на 9. Второе слагаемое есть
сумма цифр данного числа.
4.	Так как всякое число можно представить в виде суммы двух слагаемых,
из которых одно делится на 3 и на 9, то для делимости числа важно обратить
внимание на другое слагаемое, которое представляет сумму цифр числа. От-
сюда и следуют признаки делимости на 3 и на 9.
89
Задание 27.
1.	Какие из чисел: 1) 75243; 2) 94541; 3) 65 278; 4) 102 306;
5) 72 917; 6) 153594 — делятся на 9? делятся на 3?
2.	Написать несколько многозначных чисел, которые делятся
на 3, а затем несколько чисел, которые делятся на 9.
3.	Какие из чисел: 1) 2707; 2) 345 000; 3) 45 812; 4) И 107;
5) 67 211 —не делятся на 3? Какие из этих чисел не делятся
на 9?
4.	Будет ли число, делящееся на 9, делиться на 3? Будет ли
число, делящееся на 3, делиться на 9?
Упражнения.
249.	Из чисел 702; 301; 14 210; 2340; 7806; 15 426; 1101 вы-
писать числа: 1) делящиеся на 3; 2) делящиеся на 9; 3) не де-
лящиеся на 3.
250.	Какие из чисел: 50505; 972; 1412; 13041; 9873; 12 345 —
делятся на 3 ? на 9 ? на 5 ? на 2?
251.	Бронза содержит 41 часть меди, 8 частей олова и 1 часть
цинка. Для получения сплава нужно употребить 1 кг 200 г оло-
ва. Сколько нужно взять меди и цинка?
252.	Самолет вылетел с аэродрома в 7 час. 23 мин. утра и
совершил посадку в 2 часа 08 мин. того же дня. Какое расстоя-
ние пролетел самолет, если его средняя скорость составляет
960 км в час?
253.	Магазин продал в первый день 725 кг рыбы, а на сле-
дующий день получил столько, сколько у него осталось в первый
день. Во второй день было продано 1 т 250 кг. В третий день
магазин получил столько, сколько оставалось накануне, и продал
всю имеющуюся рыбу в количестве 520 кг. Сколько рыбы имел
магазин в первый день ее продажи?
254.	Используя правило делимости суммы чисел, доказать, что
на 4 делятся только такие числа, у которых последние две циф-
ры (справа) составляют число, делящееся на 4.
255.	Используя правило делимости суммы чисел, доказать, что
на 25 делятся только те числа, у которых последние две цифры
(справа) составляют число, делящееся на 25.
90
§43^ ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА.
Число 0 обладает тем свойством, что оно делится на все на-
туральные числа, частное от деления 0 на любое натуральное
число есть 0. Деление на нуль невозможно.
Первое число натурального ряда, число 1, тоже обладает осо-
бенностью: это число не делится ни на какое число натурально-
го ряда, кроме 1. На 1 делится любое натуральное число.
Рассмотрим теперь делимость остальных чисел натурального
ряда начиная с числа 2.
Одни из них делятся только на 1 и сами на себя, например
числа 2, 3, 5, 7 и др. Такие числа называются простыми чис-
лами.
Существуют натуральные числа, которые делятся не только
на 1 и сами на себя, но и еще на некоторые другие числа.
Например, число 6 делится на 1, на 6, а также на 2 и на 3.
Такие числа называются составными числами, так как их можно
составить путем умножения простых чисел.
Итак, мы пришли к следующим определениям:
/.	Натуральное число, большее 1, которое делится
только на 1 и само на себя, называется простым
числом.
2.	Натуральное число, которое делится не только
на 1 и само на себя, но и на какое-либо другое число,
называется составным числом.
3.	Числа 0 и 1 не относятся ни к простым, ни к
составным числам.
Пафнутий Львович Чебышев (1821 —
1894) — великий русский математик, изу-
чавший распределение простых чисел в на-
туральном ряде. Он разрешил много труд-
нейших математических задач и успешно
занимался вопросами применения матема-
тики к практике. Он изобрел арифмометр
и ряд других механизмов, занимался расче-
тами, нужными для вычерчивания геогра-
фических карт и кройки платьев, приложе-
ниями математики к артиллерии, П. Л. Че-
бышев занимался вопросами преподавания
математики в школе.
К простым числам относятся: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и др.
К составным числам относятся: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,
18, 20 и др.
Таблица простых чисел, меньших 1000, помещена в конце
книги. Доказано, что множество простых чисел бесконечно. Оче-
видно, множество составных чисел также бесконечно.
Задание 28.
1.	Какие числа называются простыми?
2.	Какие числа называются составными?
3.	Написать все простые числа, меньшие 30.
4.	Назвать числа, которые не являются ни простыми, ни со-
ставными.
5.	Написать наименьшее двузначное простое число, наиболь-
шее двузначное простое число.
Упражнения.
256.	Сколько простых чисел содержится между 30 и 50?
между 50 и 100?
257.	Пользуясь таблицей на странице 422, выписать все про-
стые числа от 101 до 150.
258.	Может ли простое число быть четным?
259.	Может ли сумма цифр простого числа делиться на 3? на 9?
260.	Из чисел 31,33.38. 47,81, 131, 135, 137, 138, 247, 1287
выписать отдельно:
1)	простые числа;
2)	числа, делящиеся на 2;
3)	числа, делящиеся на 3;
4)	числа, делящиеся на 9.
261. Турист рассчитал, что
Рис. 33.
он может проехать на велосипеде
588 км за 7 дней, если ежеднев-
но будет находиться в пути по
6 час. За сколько дней он про-
едет 392 км, если ежедневно бу-
дет ехать в течение 7 час. с той
же средней скоростью?
262. 1) Одно колесо на пути в
240 м сделало 100 оборотов (рис.
33). Сколько оборотов сделает дру-
гое колесо на том же расстоянии»
если его окружность на 6 дм
больше?
Указание. За один оборот колесо проходит путь, равный
длине окружности этого колеса.
2)	На пути 250 я одно колесо сделало 125 оборотов, а дру-
гое — на 25 оборотов меньше. Окружность какого колеса больше
и на сколько?
263,	Может ли быть простым числом двузначное число, все
цифры которого одинаковы?
Тот же вопрос для трехзначного числа.
264.	Могут ли два простых числа стоять рядом в натураль-
ном ряде чисел?
265.	Объяснить, почему сумма двух двузначных простых чи-
сел будет составным числом*
• РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ
МНОЖИТЕЛИ.
Составные числа получили такое название вследствие того,
что их можно представить в виде произведения простых чисел*
Сделаем это для всех составных чисел до 20 включительно:
1)	4-2*2;	4)	9-3*3;	7)	14	= 2*7;	10)	18	=	2*3*3;
2)	6-2*3;	5)	10 = 2*5;	8)	15	= 3*5;	11)	20	=	2-2*5.
3)	8 = 2*2*2;	6)	12=2*2*3;	9)	16 = 2*2*2*2;
Выражение числа в виде равного ему произведения простых
множителей называется разложением числа на простые множители.
Чтобы разложить число на простые множители, делят его по-
следовательно на простые числа, используя признаки делимости
чисел.
Разложим на простые множители число 9828. Запись после-
довательного деления имеет следующий вид:
2
9828
4914
2457
819
273
91
13
13
2
3
3
3
7
Сначала 9828 делят на 2, так как число оканчива-
ется четной цифрой. Полученное частное 4914 снова
делят на 2. Следующее частное 2457 не делится на 2,
но его можно разделить на 3.
Частное, равное 819, делим снова на 3, полученное
частное 273 тоже делится на 3. Следующее частное
91 не делится ни на 3, ни на 5. Пробуем его делить
на следующее простое число 7. Частное равно 13, его делим
на простое число 13.
93
Разложение закончено:
9828 = 2-2-3-3-3-7-13.
Замечание 1. Каждое число можно разложить на простые
множители единственным образом, разница в разложении может
быть только в порядке следования множителей.
Например: 420 = 2-5-2-3-7, или 420 = 2-2-3-5-7.
Замечание 2. Иногда при разложении на множители чи-
сло записывают в виде произведения составных множителей, а
затем каждый из них разлагают на простые множители.
Примеры.
1) 72 = 8-9 = 2-2-2-3-3;
2) 3300 = 33-10-10 = 3-11-2*5-2-5.
Замечание 3. При разложении чисел на простые множи-
тели иногда полезно использовать таблицу простых чисел.
Пример. Разлагая 998 на простые множители, мы получаем:
99812
449 | 449	998 = 2-499.
Если путем проб испытывать, на какие простые числа может
делиться 499, то пришлось бы сделать несколько проб. Проще
посмотреть сразу в таблицу и обнаружить, что 499 — простое
число.
Задание 29.
1.	Разложить на простые множители следующие числа:
30, 70, 65, 99, 490, 512, 4900, 94 600.
2.	Что называется разложением числа на простые множи-
тели?
Упражнения.
266.	Представить число 48 в виде произведения двух сомно-
жителей, трех сомножителей. Разложить 48 на простые множи-
тели.
267.	То же для числа 120.
268.	Разложить устно на простые множители числа 10, 35,
38, 45, 100, 170.
269.	Разложить на простые множители следующие числа:
1)	72, 81, 128, 252, 585, 660, 935, 1000, 1116, 10200;
2)	92, 145, 360, 603, 888, 3000, 4256, 12 600.
D4
270.	Разложить на простые множители числа:
1)	654, 2758, 3775, 4490, 6567, 99 700;
2)	11 415, 5064, 8008, 13 473, 14 460, 163 600.
Указание. Пользуйтесь таблицей простых чисел.
271.	Со станции вышел поезд со средней скоростью 60 км
р час. Другой поезд отошел от станции по тому же направле-
нию на 1 час. 30 мин. позже первого и шел со скоростью 75 км
р час. Через сколько часов он догонит первый поезд?
272.	На уборку картофеля с 30 га с помощью конного плу-
га затрачивалось 2400 трудодней. При уборке картофеля карто-
фелеуборочным комбайном на каждый гектар затрачивается 16 тру-
додней. На сколько меньше трудодней будет израсходовано при
уборке 100 га картофеля комбайном, чем с помощью конного
плуга?
273.	Какое наименьшее количество простых множителей мо-
жет содержать разложение составного числа?
274.	Какой простой множитель обязательно содержится в раз-
ложении такого составного двузначного числа, все цифры кото-
рого одинаковы?
§ 4^ ОБЩИЕ ДЕЛИТЕЛИ ДВУХ ЧИСЕЛ.
Общим делителем двух чисел называется такое число, на ко-
торое делятся оба данных числа.
Например, для чисел 60 и 18 общими делителями будут чис-
ла 1, 2, 3 и 6, так как 60 и 18 делятся на эти числа. Число 12
не будет общим делителем чисел 60 и 18, так как число 18 не
делится на 12.
Из общих делителей можно выбрать самый большой делитель.
Для 60 и 18 таким наибольшим делителем будет 6. Для чисел
120 и 60 наибольшим общим делителем будет 60.
Наибольшим общим делителем двух чисел называется самый
больший их общий делитель.
Некоторые числа имеют только один общий делитель, равный
единице. Например, числа 8 и 15 имеют только один общий де-
литель, он равен 1.
Определение. Два числа, которые имеют только
один общий делитель (равный 1), называются взаимно
простыми числами.
95
Задание 30.
1.	Какие общие делители имеют числа 10 и 5; 12 и 6; 20 и 3?
2.	Назвать два каких-либо числа, которые имеют общий де-
литель, равный 2; равный 3; равный 15.
3.	Назвать несколько пар взаимно простых чисел.
4.	Какое число называют общим делителем двух данных
чисел?
5.	Какие числа называются взаимно простыми?
Упражнения.
275.	Написать число, взаимно простое с числом: 10, 12, 13.
22, 30, 42, 65.
276.	Найти устно общие делители чисел 6 и 14; 9 и 15; 14
и 21; 30 и 45; 22 и 77; 100 и 102.
277.	Разложить на простые множители числа: 28 и 48; 60
и 72; 100 и 120; 105 и 315. Выписать в порядке возрастания все
делители того и другого числа. Подчеркнуть общие делители
каждой пары чисел.
278.	Из города выехал велосипедист со скоростью 20 км в час.
На 2 часа позже из другого города, отстоящего от первого на
280 км, навстречу велосипедисту выехал мотоциклист. На каком
расстоянии от первого города велосипедист и мотоциклист встре-
тятся, если скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости
велосипедиста?
279.	Из 1 ц молока получается 9 кг сыра. Сколько сыра
можно изготовить из молока, полученного от 150 коров за 5 ме-
сяцев, если средний удой каждой коровы составляет 12 кг в день?
280.	Длина реки Дона в 4 раза больше длины реки Москвы.
Найти длину каждой реки, если известно, что река Дон длиннее
реки Москвы на 1467 км.
18. ОБЩЕЕ КРАТНОЕ ЧИСЕЛ.
Кратным некоторого данного числа называется число, которое
делится на данное число. Для нескольких чисел можно найти
такое число, которое делится на все эти числа, его называют
общим кратным.
Например, для чисел 15, 6 и 9 общим кратным будет число
90, так как 90 делится на 15, на 6 и на 9. Общих кратных
можно найти бесконечное множество. Для чисел 15, 6 и 9 об-
щими кратными будут числа 180, 270, 360, 450 и т. д.
96
Определение 1. Общим кратным нескольких чисел
называется число, которое делится на каждое из дан-
ных чисел.
Определение 2. Наименьшим общим кратным не-
скольких чисел называется самое меньшее из общих
кратных этих чисел.
Для чисел 5, 6 и 10 наименьшим общим кратным будет чис-
ло 30, а для чисел 15, 6 и 9 наименьшим общим кратным будет
число 90.
НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО ОБЩЕГО
КРАТНОГО ЧИСЕЛ.
 I способ. Наименьшее общее кратное можно находить пу-
гем проб. Прежде всего надо выяснить, не будет ли наименьшим
^юбщим кратным самое большее из данных чисел.
Например, для чисел 4. 12 и 6 наименьшим общим кратным
будет 12, так как 12 делится на 4 и 6. Сокращенно запишем
так:
НОК (4, 12, 6) = 12.
Рассмотрим еще пример: найти НОК (4, 16, 6). В этом при-
мере наибольшее из чисел 16 не будет наименьшим общим крат-
ным, так как 16 не делится на 6. В таком случае наибольшее
из данных чисел умножают на 2, нз 3, на 4 и т. д. до тех пор,
пока произведение не будет делиться на все данные числа.
Умножив 16 на 2, получим произведение 32, которое также
не делится на 6. Если умножим 16 на 3, то полученное произ-
ведение 48 делится на все данные числа, следовательно,
НОК (4. 16, 6) = 48.
il способ. Наименьшее общее кратное можно находить
с помощью разложения данных чисел на простые множители.
Пример. Найти НОК (300, 270, 77).
Разложим устно эти числа на простые множители.
300 = 2.2-3.5'5; 270 = 2-3.3.3.5; 77 = 7-11.
Выпишем одинаковые простые множители (например, двойки)
из того разложения, в которое они входят в наибольшем коли-
честве. Выпишем также из каждого разложения все одиночные
простые множители, которых нет в остальных разложениях. Все
выписанные простые множители перемножим. Простой множи-
4 Заказ № 316
97
тель 2 встречается в наибольшем количестве в разложении чис-
ла 300, где он содержится 2 раза. Простой множитель 3 встре-
чается в наибольшем количестве в разложении числа 270, где он
встречается 3 раза. Множитель 5 содержится 2 раза в разло-
жении числа 300, а множители 7 и 11 содержатся по одному
разу в разложении числа 77.
Взяв эти множители в указанном количестве, составим из них
произведение:
2-2-3-3-3.5-5-7.И.
Покажем, что это произведение будет наименьшим общим
кратным данных чисел. Оно делится на любое из них, например
на 300, потому что содержит все множители, входящие в разло-
жение этого числа. Применяя законы умножения, можно запи-
сать, что
2-2-3-3-3-5.5-7-11 = (2-2-5.5-3).(3-3-7-11) = 300-693.
Следовательно, произведение делится на 300. Таким же об-
разом можно проверить, что оно делится на 270 и 77.
Итак, это произведение — общее кратное данных чисел. При
его составлении мы не брали лишних множителей, а поэтому
оно должно быть наименьшим общим кратным.
Произведение вычисляем, применяя устный счет:
(2-5-2-5)-(3-3-3). (7-И) = 100-27-77.
Окончательно получим, что
НОК (300, 270, 77) = 207 900.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел,
нужно:
1)	разложить эти числа на простые множители;
2)	каждый из множителей взять столько раз, сколь-
ко раз он входит в разложение числа с наибольшим
количеством этих множителей;
3)	перемножить все взятые множители.
Замечание 1, Если разложения не содержат общих прос-
тых множителей, то наименьшее общее кратное равно произве-
дению этих чисел.
Примеры, 1) НОК (12, 7) = 12-7 = 84;
2) НОК (5, 8, 9) = 5-8-9 = 360.
Замечание 2. Можно при вычислении НОК выделить из взя-
тых множителей те, которые входят в разложение большего из
98
данных чисел. Умножив это число на произведение остальных
множителей, получим НОК.
Пример. Найти НОК (676, 312).
676 = 2-2-13-13; 312 = 2-2-2-3-13.
НОК (676, 312) = 2-2-2-3-13-13 = 676-6 = 4056.
Задание 31.
1.	Найти путем проб НОК чисел:
1)	6, 5 и 30; 2) 10, 12 и 5; 3) 3, 4. 12 и 15.
2.	Найти НОК чисел:
1)	180 и 80; 2) 300, 49 и 200; 3) 5 и II; 4) 9, 8 и 5.
3.	Какое число называют общим кратным нескольких чисел?
4.	Какое число называют наименьшим общим кратным не*
скольких чисел?
Упражнения.
281.	Найти устно НОК чисел: 1) 8 и 6; 2) 8 и 10; 3) 2, 5
и 6; 4) 2, 5 и 7; 5) 10, 40 и 80.
282.	Даны числа 12 и 16. Написать по 10 чисел, кратных
каждому из данных чисел, расположив эти кратные в порядке
возрастания.
Образец записи:
12	24	36
Подчеркнуть в получившейся таблице общие кратные для чи-
сел 12 и 16, выписать НОК.
283.	Выполнить такое же упражнение для чисел; 1) 24 и 60;
2)	24, 30 и 40.
284.	Найти	НОК	чисел:
1)	28	и	40;	4)	60	и	128;	7)	24,	34	и	64;	10)	180,	224	и	252;
2)	36	и	48;	5)	96	и	144;	8)	35,	45	и	70;	11)	450,	855	и	950;
3)	55	и	125;	6)	75	и	105;	9)	90,	120	и	192;	12)	500,	625	и	1024.
285.	Найти НОК каждой пары чисел и частное от деления
НОК на каждое из чисел этой пары:
1)	24 и 56;	3) 75 и 95;	5) 250 и 256.
2)	126 и 144;	4) 88 и 120;
К*
99
286.	Заработок сына в три раза меньше заработка отца, а
вместе они получили за месяц 168 руб. 80 коп. Сколько зараба-
тывают в месяц отец и сын отдельно?
287.	С трех участков собрали 18 090 ц пшеницы. С первого
участка собрали в 2 раза больше, чем со второго, а с третьего
в три раза больше, чем с первого. Сколько пшеницы собрали
с каждого участка?
288.	На двух грузовых автомашинах можно перевести за 1 рейс
7500 кг груза. Грузоподъемность первой из них вдвое больше,
чем второй. Обе машины сделали по 12 рейсов, затем вторая
сделала еще 7 рейсов. Сколько груза перевезли обе машины?
289.	Вычислить:
1)	(395-52 — 603;.25 — 24-962;
2)	20 346+ 1 092 322:574 —(1598 —46-13);
3)	26 928: 11-3 — 26 928 : (11 • 3);
4)	(83 + 9522 : 46) : 290 + 99 999.
290.	Вычислить:
.	19-832 + 832-31
96 + 64 200:25:642 ’
828 + 44-25 + 900 ,
(1111 —999)-4 ’
8-33-125	12 000:25-4 + 12-1040
107 736 : 134 — 23.23	12 000 : (25• 4)
291,	Для пайки жестяных изделий применяется сплав, в ко-
тором на одну часть свинца приходится две части олова. На каж-
дые 15 изделий требуется 100 г сплава. Сколько нужно взять
свинца и олова, чтобы выполнить пайку 180 изделий?
292.	Из двух городов вышли одновременно навстречу друг
другу два поезда и встретились через 18 час. Определить ско-
рости поездов, зная, что разность их скоростей равна 10 км в час,
а расстояние между городами 1620 км.
293.	Контрольное задание.
1)	Для получения бетона берут 1 часть цемента, 2 части
песку и 4 части щебня. Сколько цемента, песка и щебня потре-
буется для получения 252 т бетона?
2)	Найти НОК чисел: 44, 9 и 144.
3)	Вычислить: 22 + 3248:16 — 96:6-14.
294.	Контрольное задание.
1)	G 14 га собрали по 150 ц картофеля с каждого гектара.
100
(артофеля 1-го сорта оказалось в 2 раза больше, чем 2-го
юрта, а 3-го сорта в 2 раза меньше, чем 2-го сорта. Сколько
юбрали картофеля каждого сорта?
2)	Найти НОК чисел: 54, 465 и 4320.
3)	Вычислить:	—9504 ; (108* 11).
।1О 03•1Z
|43. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ.
295.	Вычислить:
1)	2991 +4 218 900:2100;
2)	6 279 000 : 8050 — 779;
3)	375-12 + 102.(255 —37) —3075: 15-42;
4)	201-856 : 321 — (836 — 10-41);
5)	(110 292: 14: 101 + 4400 —3398)-(1237 —23 138:23);
6)	3 121350 —(15 125:25 + 302-804 —51 000: 170).9;
7	5.(141 + 288 + 359)-940	.	.
7> Т258 + 724—258 - 4 J8T “ 20 280 ’ 1690 ‘ 4’
я (777 777-9 + 7) , 4375 + 400 -qfi . . „ .
8)	(900 + 638 — 538)-2	1 536.(128-12).
Вычислить с помощью счетов:
9)	721 + 854 — 93;
10)	966 — 528 — 321;
11)	1243 — 648 + 4092;
12)	7564 — 6439 + 73 564;
13)	964+ 1049 + 12 686 + 97 211;
14)	65 263 — 49 281 — 10924 + 34 756.
296.	Пользуясь признаками делимости и правилом делимости
суммы, установить, какая из написанных сумм разделится на 2,
на 3:
1)	152 628 + 5427;	4)	175 185	+ 34 140;
2)	172 344 + 6336;	5)	64 724	+ 54 858;
3)	542 401+81 018;	6)	725 481	+ 700 362.
297. В предыдущем упражнении установить, какие из слагае-
мых делятся на 5, на 9.
298.	Разложить на простые множители:						
	1) 900;	3)	23 100;	5) 86 625;		7)	9440;
	2) 756;	4)	2187;	6)	2736;	8) 100 000.	
299.	Найти	НОК	чисел:				
1)	84 и	35;	4) 36,	32 и	48;	7)	1860	и 1116;
2)	380 и	570;	5) 360,	450 и	510;	8)	1001	и 546.
3)	2808 и	351;	6) 121,	154 и	297;		
101
Рис. 34.
300. Найти среднее ариф-
метическое данных чисел.
Результат округлить: а) до 1;
б) до 10.
1)	87 и 94;
2)	125, 129 и 131;
3)	227, 218 и 224;
4)	43, 39, 47 и 41;
5)	189, 183, 191 и 191;
6)	73, 72, 70, 75, 75 и 74.
301.	Расстояние по железной дороге от Бреста до Москвы
1100 км, а от Москвы до Иркутска на 3942 км больше. Расстоя-
ние от Иркутска до Владивостока на 782 км меньше расстояния
между Москвой и Иркутском. Сколько километров от Бреста
до Владивостока?
302.	В сосуде было 3 л жидкости. Сперва отлили 852 куб. см,
а во второй раз на 267 куб. см больше. Сколько жидкости ос-
талось в сосуде?
303.	Сколько платформ нужно подать для перевозки 3950 шпал
(рис. 34), если на каждую погружать до 200 шпал? Сколько
шпал будет на последней платформе?
304.	Из двух городов, расстояние между которыми 1632 км,
вышли одновременно два поезда и встретились через 16 час. Один
из них за 12 час. прошел 636 км. Какое расстояние пройдет
каждый из них до
встречи?
305.	Засеянный пря-
моугольный участок
поля учетчик измерил
с помощью полевого
циркуля (сажени). По
длине уложилось 480
саженей, а по ширине
250 саженей. Какова
площадь поля в квад-
ратных метрах? в гек-
тарах? (Сажень при-
нять равной 2 м>)
Рис. 35.
306.	С картофельного поля размерами 840X750 м собрано
всего 895 т картофеля.
Найти средний урожай в центнерах с 1 га.
307.	Сколько будет стоить штукатурка и побелка стен и по-
толка вашей классной комнаты (стоимость штукатурки 1 кв. м
принять за 1 рубль, а I кв, м побелки за 10 коп.)?
308.	Сколько кубических метров воздуха приходится на одного
ученика в вашей классной комнате?
309.	Вдоль дороги поставлены столбы на расстоянии 45 м
друг от друга (рис. 35). Их заменяют новыми столбами, расстоя-
ние между которыми равно 60 м. Первый столб ставят на
место прежнего первого столба. Через сколько метров от первого
столба места установки новых и прежних столбов будут сов-
падать?
310.	Я в три раза старше брата, но в три раза моложе отца.
Нам троим вместе 52 года. Сколько лет каждому из нас?
311.	Трое рабочих вместе изготовили 192 детали. При этом
двое рабочих изготовили деталей поровну, а третий столько,
сколько изготовили первые два вместе. Сколько деталей изгото-
вил каждый рабочий?
312.	За смену скрепер и бульдозер (рис. 36) переместили
вместе 2500 куб. м грунта, причем скрепер переместил втрое
больше, чем бульдозер. Сколько грунта переместили отдельно
бульдозер и скрепер, ра-
ботая две смены?
313.	Восстановить ци-
фры, которые обозначены
точками:
1)	2.05.	2)	3.57
“ 18.37	“.98.
81.6
4.6
314.	К числу прибавили
то же число, а затем от-
няли удвоенное первое чис-
ло. Чему равна разность?
Рис. 36.
315.	Улитка взбиралась на дерево высотой 10 м. За день оь
поднималась на 4 м, ночью она сползала вниз на 3 л/. Черс
сколько дней улитка достигла вершины дерева?
316.	Для нумерации страниц книги потребовалось 918 цифр.
Сколько страниц в книге?
317.	На стоянке находилось всего 16 машин: «Москвичи» и
мотороллеры. Сколько машин каждого вида находилось на стоян-
ке, если у всех вместе 50 колес?
II. ДРОБИ.
$ < ВВЕДЕНИЕ НОВЫХ ЧИСЕЛ ПРИ ДЕЛЕНИИ
W НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Жизнь, практика часто ставит перед нами задачи, которые
невозможно решить, если пользоваться только натуральными
числами и нулем. Рассмотрим такие задачи.
Задача 1. Поле прямоугольной формы разделили на 3 рав-
ные части. Выразить в гектарах площадь каждой части, если
площадь поля равна: 1)45 га; 2)1 га.
Решение. 1. Если площадь поля равна 45 га, то площадь
каждой его части находим делением 45 на 3:
45 : 3 = 15 (га).
2. Если площадь поля равна 1 га, то площадь каждой его
^асти нельзя выразить в гектарах целым числом,
На рисунке 37 показаны два способа разделения поля на три
явные части. Каждую часть поля назовем одной третью его.
^)дну треть записывают так: . Площадь каждой части счи-
О
тают равной га.
О
Условимся и в таком случае задачу решать действием деле-
ния и записывать:
1 3 = -у (га).
Одну треть будем называть
1ЯСТНЫМ от деления 1 на 3.
1ожно рассмотреть сходные за-
ачи, которые приведут к деле*
ию единицы на другие натураль-
ные числа.
Рис. 37.
11111
б В 5 Б б
•	« 	। е
Рис. 38.
В итоге получим записи:
1:2 = 4-; 1:3== 4-; 1:4 = 4-; 1  5 = 4- и т. д.
Z	о	Ч	□
Эти результаты: —- (одна вторая, или половина); -у- (°Дна
третья, или одна треть); Ц- (одна четвертая, или одна четверть);
(одна пятая); -т- (одна шестая) и т. д. — называют долями
t)	о
единицы.
Если отрезок, принятый за единицу (рис. 38), разделить на
5 равных частей, то каждая часть составит -у этого отрезка.
Отрезок можно разделить на любое число равных частей. В ре-
зультате этого будут получаться различные доли отрезка (еди-
\	'ill	п
ницы), например «пт, и т. д. Доли единицы условимся
О LU 19
называть дробными числами.
Задача 2. Поле прямоугольной формы, площадь которого
равна 2 га, разделили на 3 равные части (рис. 39). Выразить
в гектарах площадь каждой части.
Решение. Разделим каждый гектар поля на три равные
части (рис. 40). Площадь каждой такой части равна у- га. Каж-
дая часть всего поля содержит две такие части или -у (две треть-
их) гектара.
Решение задачи запишем кратко так:
2 га
Рис. 39.
2:3 = -|- (га>
с	2
Будем называть -у частным от деле-
ния 2 на 3.
Решая подобные задачи, придем к за-
писям:
19
5:7 = А; 12: 10-lg;
5
Такие частные, как (пять седы
Рис. 40
мых), -^(двенадцать десятых), ^00 (се-
мнадцать тысячных) и т. п., называют
дробными числами или дробями. Каждая
из таких дробей состоит из нескольких
одинаковых долей единицы.
Рис. 41.
Определение. Дробным числом, или дробью, назы-
вается одна доля единицы или несколько одинаковых
долей единицы.
За единицу в различных задачах принимают 1 я, 1 га, 1 час
и т. п., а также путь, запас керосина и т. д.
Примеры. 1. Если известно, что, двигаясь равномерно, за
г	,	1
□ час. прошли весь путь, то за 1 час проходили у пути, за три
з
часа прошли -у пути (рис. 41).
2. Сутки содержат 24 часа. Следовательно, 1 час составляет
1	_	7
суток, а 7 часов составляют суток.
Решая задачи 1 и 2 о площади поля, мы условились назы-
вать дроби и -у- частными.
3 о
Таким образом, можно дробное число рассматривать как част-
ное от деления одного натурального числа на другое. При этом
делитель пишется под чертой и обозначает, на сколько равных
частей разделена единица, а делимое пишется над чертой и по-
казывает, сколько таких частей взято. Дроби, записанные таким
способом (с помощью черты), называют обыкновенными дробями.
Задание 32.
1.	Записать частное в виде дроби:
1)1:6;	3) 3:7;	5)1 : 50;	7) 15:41.
2) 1 : 10;	4) 8: 10;	6) 2:5;
2.	Сколько минут содержит: у часа? у часа? часа?
1	3
3.	Сколько граммов содержит:-^- кг? у кг?
4.	Что называется дробью?
Упражнения.
318.	Записать дроби: четыре десятых; три пятых; одна сотая;
восемнадцать тысячных; пятнадцать четвертых; сто девятых.
107
319.	Площадь поля равна 35 га, чему равна:	площади по-
9
ля? -о^ площади поля?
оо
320.	Записать в виде дроби частные:
1)	1:12;	3) 6 : 15;	5) 5 : 3;
2)	1:10000;	4)8:25;	6) 89:20.
1	*5
321.	Сколько часов содержит: -g- суток? -g- суток?
322.	Какую долю часа составляет 1 минута? 1 секунда?
323.	Какую долю килограмма составляет 1 г? 10 г? 100 г?
324.	1) Одно число составляет часть другого. Найти эти
числа, если их сумма равна 1200.
2} Одно число составляет -i- другого. Найти эти числа, если
их разность равна 256.
ВВЕДЕНИЕ ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ.
При измерении величин мы часто пользуемся дробями. На-
пример, мы говорим: «Нужно взвесить — кг масла». Это озна-
чает, что требуется взвесить 500 г масла, так как -у килограм-
ма составляет 500 г»
Можно сказать, что продолжительность урока составляет
— часа, или 45 минут.
Используя дроби, можно значение величины, полученное в
мелких единицах, выразить в более крупных единицах данной
системы мер. Например, миллиметры выразить в сантиметрах,
метрах или километрах.
Пример ы.
1.	Так как в одном метре содержится 100 см, то 1 см в
100 раз меньше 1 м, а поэтому 1 см = (1 : 100) м или 1 слс = ас.
9	3
Следовательно, 2 см =	Л(; 3 см ~ м и т. д.
2.	Известно, что 1 га = 10 000 кв. м, а поэтому 1 кв. м
= ioW га-	следует, что 2 кв. м = га, 3 кв. м
1 W	1 у UvV
3
= 10 000' га и т’
11 11
108
ЗАПИСЬ ДРОБИ. ИЗОБРАЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО
ЧИСЛА В ВИДЕ ДРОБИ.
Дроби изображают с помощью черты и двух натуральных
чисел, одно из которых записывается над чертой, а другое под
чертой. Число» стоящее над чертой, называется числителем дро-
би, а число, стоящее под чертой, называется знаменателем дроби.
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделена
единица, а числитель указывает число этих частей в данной дроби.
Числитель и знаменатель называются членами дроби. Част-
ное от деления двух натуральных чисел равно дроби, у которой
числитель равен делимому, а знаменатель делителю.

Это определение условились применять и в тех случаях, когда
делителем является единица. Так, например, можно записать, что
Г 1	5	1ОП1 132
5 : 1 = -г- или 132 : 1 =
Все дроби образуют множество дробных чисел. Множество
натуральных чисел является частью этого множества.
Задание 33.
1.	Выразить в метрах: 1 дм; 2 дм; 3 дм; 7 дм; 4 дм 2 см;
29 дм 5 см.
2.	Выразить в квадратных метрах: 1 кв. см; 23 кв. см;
273 кв. см; 1000 кв. мм; 5 кв. дм 60 кв. см; 10 кв. дм 10 кв. см.
3.	Что показывает числитель дроби? знаменатель дроби?
Упражнения,
325. Выразить в квадратных метрах:
1)	1 кв. дм;
2)	1 кв. см;
3)	1 кв. мм;
4)	3 кв. дм;
5)	27 кв. см;
6)	374 кв. мм;
7)	2 кв. дм 17 кв. см;
8)	25 кв. см 25 кв. мм.
326. Выразить в кубических метрах:
1)	I куб. дм;
2)	1 куб. см;
3)	3 куб. дм;
4)	28 куб. дм;
5)	1275 куб. см;
6)	69 570 куб. см;
7)	1 куб. дм 250 куб. см;
8)	5 куб. дм 35 куб. см.
109
327.	Записать дроби, у которых числители равны 7, 12 и 18,
а знаменатель равен 25.
328.	Записать дроби, у которых числитель 128, знаменатели
3; 7; 15; 250.
329.	Найти наименьшее общее кратное знаменателей следую-
щих дробей:
.. 2	1 з .	1	1 J_. JL	2 * 1
25	' 100	И 400 ’	8	’ 5	И 3 ’	°' 24 1	13	И 180'
330.	Одна треть ширины прямоугольника равна 28 ж, а у
его длины равна 55 м. Вычислить его площадь в квадратных
метрах. Выразить ее приближенно с точностью до 1 га.
331.	Изобразить отрезок и -у его. Какую долю отрезка со-
1 1
ставляет от -у его?
Д. ПРАВИЛЬНАЯ И НЕПРАВИЛЬНАЯ ДРОБЬ
Ж
Различают правильные и неправильные дроби.
Определение. Правильной дробью называют дробь,
у которой числитель меньше знаменателя,
п Г 2	7	47
Дроби -у ; у и у — правильные.
Определение. Неправильной дробью называется
дробь, у которой числитель равен знаменателю или
больше знаменателя.
Например, дроби у-; -у; у; у — неправильные.
§ 9з| СМЕШАННОЕ ЧИСЛО.
Чтобы разделить, например, 5 яблок поровну между тремя
детьми, можно поступить так (рис. 42): дать каждому по одно-
му яблоку (3:3 = 1), а оставшиеся 2 яблока разделить на троих
поровну. Для этого каждое из оставшихся яблок можно разде-
лить на 3 равные части и дать каждому из детей по -у яблока
(2:3 = т)-
Для чисел это деление можно записать так:
5 : 3 = (3 + 2): 3 = 3; 3+2 : 3 = 1+-|-= 1.
110
Краткая запись р суммы
1	*	2
натурального числа 1 и дроби -у-
о
представляет собой смешанное
число.
Определение. Сметан-
ным числом называется сум-
ма натурального числа и
дроби, записанная без знака
сложения.
Обычно дробь смешанного чи-
сла является правильной дробью.
Например: 1 ~; 12^-;
ЧИСЛОВОЙ ЛУЧ.
Часть прямой, ограниченная двумя ее точками, называется
отрезком прямой или просто отрезком (рис. 43).
Часть прямой, расположенная по одну сторону от некоторой
точки этой прямой, называется лучом (рис. 44). Эту точку на-
зывают началом луча.
Отложим от начала луча равные отрезки (рис. 45) и напишем
около начала луча А число 0, а у концов отрезков последователь-
ные натуральные числа. Такой луч называется числовым лучом.
Каждый из равных отрезков называют	&
единичным отрезком.
На числовом луче можно отметить
точки, соответствующие дробным чи-
слам (рис. 46).	g
Для изображения на числовом луче
точки, соответствующей, например, чи-	43
слу 4 делят единичный отрезок на
г	V ,	гу	луч О	ЛУЧ
5 равных частей (рис. 46). Затем от
точки, соответствующей числу 4, от-
з	О,
кладывают -г- единичного отрезка.	KL	луч
э
Может оказаться, что две дроби
изображаются одной и той же ТОЧКОЙ	Рис. 44.
1J1
д
i mI i1 > Г|
0 12 3 4 6 6? б 9 10 11 12 13 14
Рис. 45.
числового луча. Такие дроби называются равными. Например,
на рисунке 47 видно, что равны следующие дроби:
i _ 2 , А —А- А —А- А —А
5 “ ю ; 5 ~ ю : 5 “ ю : 5 ~ ю •
Если дробям соответствую? различные точки, то дроби сч!ь
1	5
таются неравными. Например, дроби 2 у и Зу изображаются
различными точками В и С (рис. 46), поэтому эти дроби не равны.
Расстояние ДС больше, чем расстояние АВ, поэтому считают,
5	1
что 3-с- больше, чем 2 — .
6	4
На числовом луче правильным дробям соответствуют точки,
находящиеся между точками 0 и 1. Следовательно, любая пра-
вильная дробь меньше единицы. Неправильным дробям соответ-
ствует точка 1 и точки, расположенные вправо от точки 1. По-
этому неправильная дробь или равна единице, или больше единицы.
Например, ~ меньше 1;	= 1; ~ больше 1.
Задание 34.
1.	Какие дроби называются неправильными? Какие дроби на-
зываются правильными? Привести примеры.
3	1
2.	Как короче можно записать суммы: 2 4- у ; 4 + у ; 10 +
-4-	А ?
10 г
1	3
3.	Изобразить на числовом луче числа: 2у и ^. Какое
из них меньше 1 и какое больше 1?
Упражнения.	*
ООО	г -	5	6	2	3	13	17	15	1
332.	Какие из дробей:	w, -у^. -5-,
будут правильными?
333.	Записать все правильные дроби со знаменателем 8.
О 1	2 В 3 С 4	5
III I ' "I- I I	I l-"'l I '
д II 11	^4 А А
Рис. 46
0	1	2	3	4	.
V	5	5	б	5	!
I.......— >  I I > I |
-L-23_4bj6_678^9
io io io io io io io io П5

II 12
10 Ю
Рис. 47.
334.	Записать все неправильные дроби с числителем 8.
335.	Записать смешанным числом результаты деления:
1)	(6 + 1): 2; 2) (10 + 4) : 5; 3) (28 + 3): 7.
336.	Изобразить на числовом луче числа: ; 1; 1	; 2 и
3-^-. Указать, какие из них меньше 1 и какие больше.
337.	Сколько четвертых долей содержится в каждом из чисел:
1-1; 5-1; 3-1?
4	4	4
338.	Какие из чисел: . -X. 4т • 44 — больше 1?
О ZU ZZ 1о
339.	1) Автомашина прошла расстояние от одной остановки
до другой за 30 минут. Какую часть этого расстояния она про-
ходила в среднем за 1 минуту? за 7 минут? за 15 минут?
2)	Ученик прочитал книгу за 4 часа 40 минут. Какую часть
книги он прочел за 5 минут? за 28 минут? за 1 час 10 минут?
ВЫРАЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ИЛИ СМЕШАННОГО
Г Ж ЧИСЛА НЕПРАВИЛЬНОЙ ДРОБЬЮ.
Всякое натуральное число можно выразить дробью с любым
знаменателем.
Допустим, что натуральное число 5 надо выразить дробью со
знаменателем 6. Рассуждаем так: в одной единице содержится
6 раз по -g- , а в 5 единицах этих долей содержится в 5 раз
30
больше, т. е. 30, а поэтому 5 = -^-.
Отсюда делаем вывод: чтобы натуральное число выразить
дробью с данным знаменателем, надо данный знаменатель умно-
жить на натуральное число; полученное произведение будет чи-
слителем искомой дроби.
Выразим 3 неправильной дробью. Используя предыдущее
правило, выразим сперва натуральное число 3 в седьмых долях,
их будет 3-7, или 21, такая доля. Кроме того, в дроби смешан-
ного числа имеется 4 седьмых. Всего получим 25 седьмых. Итак:
п 4 __ 7 • 3 -L- 4 _ 25
д 7 "	7	“ 7 *
ИЗ
Чтобы смешанное число выразить неправильной дробью, надо
знаменатель его дроби умножить на его натуральное число и к
произведению прибавить числитель этой дроби, результат будет
числителем неправильной дроби; знаменателем неправильной дро-
би будет знаменатель дроби смешанного числа.
Задание 35.
1.	Выразить число'7 дробями со знаменателем 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
1	1	7
2.	Выразить в виде неправильной дроби: 2-у, 20 у, 4у,
10 —	5 —
Ю 7 , о ю .
Упражнения.
340.	Выразить число 12 дробями со знаменателем 5, 6, 7 и 100.
341.	Выразить в виде неправильных дробей:
!) 1 %; S-b; 174- и 30+i
2)2-Ь S4-; lli; 27А.
342.	Сколько пятых, шестых и седьмых долей содержит
единица?
343.	Сколько десятых долей содержится в каждом из чисел:
5;2А;7 н 142_?
344.	Записать в виде смешанных чисел:
о	7
1)	5+^;	3) 10-3+ 4,;
2)	7+ 1 + 4:	«) 12 + 2-9+ 4-
«6. ВЫРАЖЕНИЕ НЕПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ НАТУРАЛЬНЫМ
ИЛИ СМЕШАННЫМ ЧИСЛОМ.
Выразим смешанным числом. Эта дробь содержит 32 пя-
тые доли, а в единице содержится 5 пятых долей. Чтобы узнать,
32
сколько единиц содержит дробь , нужно 32 разделить на 5.
О
32
В частном получится 6, следовательно, дробь содержит 6
□
единиц. Остаток 2 показывает, что, кроме 6 единиц, в этой дро-
2	32	2
би содержится еще -у . Итак, у = 6 у.
114
Чтобы неправильную дробь выразить смешанным числом, надо
числитель разделить на знаменатель. Частное дает натуральное
число смешанного числа, а остаток-числитель дроби этого числа.
Если деление числителя на знаменатель выполняется без
остатка, то неправильная дробь выражается натуральным числом.
45
Например, -у- = 9.
Вследствие этого можно сказать, что при делении с остатком
большего числа на меньшее частное можно выразить смешанным
числом.
2	1
Примеры. 47:5 = 9-=-; 31:10 = 3-,„.
О	1 и
Задание 36.
, D	, 301	405 971	435
1. Выразить неправильные дроби ; —г-; -=11-5= смешан-
1<J	4 о
ными числами.
2. Какое из чисел в предыдущем упражнении будет наиболь-
шим и какое наименьшим?
Упражнения.
345. Выразить смешанными числами дроби:
П	16	.	45	.	203	457.
5	’	13	’	20 И 45 ’
25 . 47 . 231 . 231
>	8	’	15	’	100’	23 *
о.	65	.	243	365 .	207
6 ’ 24 ’ 18 ’ 40 '
346. Выразить неправильными дробями смешанные числа:
12 j? so-£: l094;
2) 81; 20^; 15^; 808^.
347. Написать все неправильные дроби с числителем 9 и вы-
разить нх смешанными или натуральными числами.
2
348. 1) В первый день прошли пути. Сколько прошли
Еилометров, если весь путь равен 60 км? Объяснить решение,
спользуя чертеж.
2
2) Прошли — пути, что составляет 60 км. Сколько километ-
ров составляет весь путь? Объяснить решение, используя чертеж.
115
349.	1) За ~ кг чаю заплатили 1 руб. 33 коп. Сколько сто-
ит 1 кг чаю?
7
2)	Купили 2Q- кг конфет. Сколько заплатили» если 1 кг стоит
1 руб, 80 коп.?
350.	Составить все неправильные дроби, у которых числите’
лями и знаменателями являются числа 3, 7, 8 и 12. Каждую из
этих дробей выразить натуральным или смешанным числом.
СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ ПО ВЕЛИЧИНЕ.
Для обозначения того, что одно число больше или меньше друго-
го, употребляют знаки неравенства: > и <. Острием этот знак
всегда обращен к меньшему числу: так, например, пишут:
20 < 100, или 100 >20.
Запись читают так: двадцать меньше ста, или сто больше
двадцати.
Как узнать, какая из двух дробей больше и какая меньше ?
Такое сравнение можно сделать с помощью числового луча (§ 54).
Но этот способ неудобен. Обычно для сравнения дробей приме-
няют другой способ, который не требует выполнения чертежа.
Сравним дроби с одинаковыми знаменателями. Если даны
л 5 И	а	е
дроби ty и 7Т ’ т0 это означает’ что первая дробь содержит 5
долей, а вторая 11 таких же долей, следовательно, вторая дробь
больше первой (рис. 48).
Можно записать, что -тг > -гт , или	.
14 ' 14	14	14
Если дроби имеют одинаковые знаменатели, то та из них
больше, у которой числитель больше.
3	3
Сравним дроби -5- и -g- с одинаковыми числителями. На
рисунке 49 одна и та же единица, изображенная отрезком АВ,
была разделена сначала на 5 равных частей, а потом на 8 равных
частей.
3	3
Дробь содержит 3 доли единицы, а дробь -у- содержит
тоже 3 доли, но более мелкие, а поэтому
з 3
5 > 8
или
3	3
8 < 5 ’
116
б
14
и
14
Если дроби имеют одинаковые
числители, то та из них больше,
у которой знаменатель меньше.
Вспомним, что всякая правиль-	4g
ная дробь меньше I, а неправиль-
ная дробь 'больше I или равна I.
Следовательно, любая неправильная дробь больше любой пра-
вильной дроби.
3	9
Примеры, -g- < -g- ;
101	197
27 > 200 *
Сравнение по величине дробей с разными числителями и зна-
менателями будет рассматриваться в дальнейшем (§ 62).
Задание 37.
 Г.	- 5	1	7	10
1. Расположить дроби -7-5-; -рг; -г, ; в порядке возрастания.
1 о	1 о	Jo	Jo
2	2	1	1
2. Какая из дробей больше: -у- или ; 1 или 1 -у ?
Отметить на числовом луче точки, соответствующие этим дробям.
Упражнения.
351.	Объяснить с помощью чертежа, почему:
5	10 ’ ^6^5'
5	17	4
352.	Записать дроби	и в порядке возраста-
1	1 Z	1 <4-	1
ния величины.
353.	Записать дроби ~ и ~ в порядке возрастания.
354.	Записать все дроби со знаменателем 12, меньшие .
355.	Записать все дроби с числителем 1, большие
356.	Записать дроби	и * в порядке воз-
15	11 I и о
растания.	А	В
о и ।	। о
и “5" в порядке убывания.	С*1	1	5
Рис. 49.
I А | в
_	358. Какое из чисел больше:
С I D
Оч..^.^	।	। ,o jj j 2 нли j 4 ? 2 2 3 или 2 3	?
' b	b	10	□
p 50	Указать на числовом луче точки, соот-
ветствующие этим числам.
ИЗМЕНЕНИЕ ДРОБИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ
ЕЕ ЧИСЛИТЕЛЯ В НЕСКОЛЬКО РАЗ.
Возьмем дробь, например у- . Увеличим ее числитель в три
раза. Выясним, что дробь в три раза больше, чем ~ .
На рисунке 50 меньший отрезок изображает — , отрезок АВ
изображает дробь ~ , а отрезок СО — дробь . Из рисунка
видно, что отрезок CD втрое больше АВ, а поэтому и число
в три раза больше, чем . Следовательно, при увеличении чис-
лителя дроби в 3 раза дробь увеличилась в 3 раза.
При увеличении числителя дроби в несколько раз дробь уве-
личивается в то же число раз.
Из рисунка 50 видно, что отрезок АВ втрое меньше отрезка
2	6
CD. Следовательно, число в три раза меньше, чем .
При уменьшении числителя дроби в несколько раз дробь умень-
шится в то же число раз.
Эти выводы можно получить и без чертежа. Мы знаем, что
дробь является частным. Поэтому можно применить к дроби пра-
вила об изменении частного при изменении делимого (§ 30).
S ИЗМЕНЕНИЕ ДРОБИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ
$	И «Sill tn tn и Е. ДДгиоН ПгИ llOlntntnnVI
ЕЕ ЗНАМЕНАТЕЛЯ В НЕСКОЛЬКО РАЗ.
Возьмем дробь, например
3
~-г~. Увеличим ее знаменатель
4
о	Г 3
в 2 раза, получим дробь -g- .
Покажем, что дробь -g в 2 ра-
3
за меньше, чем
4
Рис. 51.
На рисунке 51 меньший отрезок изображает , отрезок АВ —
л	3
, а отрезок CD-g-.
Из рисунка видно, что CD вдвое меньше отрезка АВ, т. е. чис-
3	3
кдо -Q- в 2 раза меньше, чем -г-. Следовательно, при увеличе-
Ьии знаменателя в два раза дробь уменьшилась в 2 раза.
I При увеличении знаменателя дроби в несколько раз дробь
Ъменьшается в то же число раз.
I Из рисунка 51 видно, что отрезок АВ вдвое больше отрезка
13	3
r?Z). Следовательно, число -л в два раза больше, чем -5-.
При уменьшении знаменателя дроби в несколько раз, дробь
увеличивается во столько же раз.
Без чертежа эти выводы можно получить, воспользовавшись
правилом об изменении частного при изменении делителя (§ 30).
Задание 38.
1.	Как изменится дробь, если ее числитель увеличить в 5 раз?
Привести пример.
2.	Как изменится дробь, если ее знаменатель увеличить в 4
раза? Привести пример.
3.	Изменится ли величина дроби, если и числитель и зна-
менатель ее увеличить в два раза? в три раза? Привести при-
меры.
Упражнения.
9	1°	21	51
359.	Во сколько раз каждая из дробей: yQ ;	-7Q ; уу—
3
больше, чем g- ?
о	- „	60	10	24	3
360.	Во сколько раз каждая из дробей: -у; -у; -у; -у—
.	120^
меньше, чем у ?
361.	Во сколько раз каждая из дробей: ~ ; —,	—
7
 Меньше, чем ?
I	40
15	15	15	15
362.	Во сколько раз каждая из дробей: —г-;	;
।	г	4 Ь4 16 9о
15	15
;-~8--больше или меньше, чем ?
I °
119
363.	Записать дробь, которая будет больше, чем
1) в 2 раза; 3) в 100 раз.
2) в 5 раз;
9
364.	Записать дробь, которая будет меньше, чем :
1)	в 3 раза;	3) в 9 раз;
2)	в 4 раза;	4) в 1000 раз.
365.	Выразить неправильными дробями смешанные числа
7 4-. 6-^; 12-^; 21	108^:804^; 99^.
366.	Выразить смешанными числами неправильные дроби:
171 23 . 86 . 103 . 225. 507 , 1253 . 4207
Т' ’ Т5 1 "24 ' 49’ 70* 100’ 1000’
367.	Как изменится дробь, если ее знаменатель увеличить в
4 раза, а затем еще в 4 раза? Привести пример.
368.	Как изменится дробь, если ее числитель увеличить в 12
раз, а знаменатель в 3 раза?
§ ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ.
р
Возьмем дробь, например . Увеличим ее числитель в 2
раза, при этом дробь увеличится в 2 раза. Затем у получившей-
ся дроби -у- увеличим знаменатель в два раза. Дробь умень-
шится в два раза и станет равнойНо если дробь -у-сначала
увеличить в два раза, а затем в два раза уменьшить, то величина
3	6
дроби останется прежней, т. е. -у- = -g- . Равенство можно запи-
6	3
сать так:	.
о	4
Приходим к выводу: если числитель и знаменатель
дроби умножить или разделить на одно и то же
число (не равное нулю), то величина дроби не изме-
нится.
120
Этот вывод называется
основным свойством дроби.
Поясним его, используя
рисунок.
Рис. 52.
На числовом луче (рис. 52) отрезок ОВ разделен на 4 равные
части. Точка А изображает дробь. Разделим отрезок ОВ на 8
равных частей. Из рисунка видно, что дробь изображается
1ой же точкой Д. Следовательно,	. или = -4- •
г	4 о	о 4
Равенство каких других дробей можно установить, используя
этот рисунок ?
Применяя основное свойство дроби, можно, например, запи-
сать:	_6 _ 1	135	27 _ 3
Т2 ~ Т; 180 “ 36 ~ 4 ‘
| 61ф СОКРАЩЕНИЕ ДРОБИ.
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель,
не равный единице, то дробь можно представить в более простом
виде, с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Например,
24
дробь -хтг можно, используя основное свойство дроби, заменить
ии
равной ей дробью. Для этого достаточно разделить на 6 ее чис-
24 _ 4
30 “ 5 *
литель и знаменатель:
Такое преобразование называют сокращением дроби.
Сокращением дроби называется преобразование дроби в равную
Rh дробь путем деления числителя и знаменателя на их общий
делитель.
Дробь, которая не может быть сокращена, называется несо-
4
кратимой дробью. Дробь -=---несократимая дробь, так как ее чле-
О
ны имеют только один общий делитель 1. У несократимой дроби
числитель и знаменатель — числа взаимно простые.
Сокращать дробь можно постепенно, несколько раз, используя
устный счет и признаки делимости:
840 __ 84 _ 21____7
3600 “ 360 “ 90 ~ 30 '
В этом примере сначала сократили дробь на 10, получили
121
После этого сократили на 4, получили дробь и, наконец, со-
о	г 7
кратив на 3, получили несократимую дробь .
Задание 39.
1. В чем заключается основное свойство дроби?
2. Доказать равенство следующих дробей:
n Л - _L.	- _L. лх_ 9-L
И 36 — 2 ’	8 ~ 56 ’ '600 “ 3 ’	"	9 *
Упражнения.
369. Написать несколько дробей, равных:
1) 4; 2)2-; 3)4-; 4)	; 5) -1|.
370.	Написать несколько смешанных чисел, равных:
о 2> 4т; 3> Зт; 4> 244 5> 4-
371.	Выразить каждую из дробей:	; -А- и в долях, ко-
Э	1Л	4U
торые в 3 раза мельче, чем у данной дроби.
5	7	9
372.	Выразить каждую из дробей: -д-; -jy и -gg- — в долях,
которые в 4 раза мельче, чем у данной дроби.
17	5	3
373.	Заменить дроби -т-; -рг; —; дробями со знаме-
4	1£	О	10
нателем 48.
1	2	5	17
374.	Заменить дроби— и ^-дробями со знамена-
о	О	о	ои
телем 60.
375. Сократить дроби:
1)
2)
10 .	21	14 .	42 .	40 .	36 .	128 .	924 .	680 .
20 1	28 ’	35 ’	63 ;	90 ’	48 ’	160 ;	1260 ’	1700’
9	25 .	18 .	44 .	72 .	120 .	768 .	1500.	99000
15“;	35 ’	81 ’	33 ;	90 ’	80 ’	512’	6300’	4500 *
376. Сократить дроби:
16 .	21	.	27	.	26 .	96 . 360 .	378 .	646 . 720 .
56 ’	49	’	72	’	130’	144’ 430’	630’	874 ’ 9720’
18 .	22	.	17	.	450 .	169 . 720 .	810 .	455 . 6480
36 ’	55	’	340	’	210 ’	65 ’ 800 '	540 ’	1001 ’ 8910*
122
377.	Сократить дроби и сравнить их по величине:
12	J2£	.	~	60	105.	еч	150	121.	71	132	180.
*1	30	И	35	’	144	И	180’	°’	135	И	99 ’	''	143	И	255’
оч	15	27	..	99	63	с,	120	128	о.	70	90
2) 24 И 72 ’	180 И 140’	75 И 48 ’	8) 98 И 144'
378.	Можно ли сократить дроби:
80	35	39	.. 123	100 с. 123..
!) 8Г’	2) 64" ’ 3> 65 ; 4) 145 ; 5) 729' 6> 321 ?
379.	Из 120 га земли засеяли 80 га. Какая часть земли за-
сеяна?
380.	Всего надо уложить 250 м водопроводных труб, уложи-
ли 225 м. Какая часть всей работы выполнена?
♦ ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К НАИМЕНЬШЕМУ ОБЩЕМУ
ЗНАМЕНАТЕЛЮ.
5
Возьмем две дроби и выясним, какая из дробей больше: -уу
3 о
ИЛИ ?
о
Преобразуем эти дроби так, чтобы знаменатели их стали оди-
наковыми, но величины дробей не изменились. Удобнее всего в
качестве такого общего знаменателя взять общее наименьшее
5	3
краткое знаменателей дробей и —. НОК чисел 12 и 8 рав-
5
но 24. Чтобы из дроби получить дробь со знаменателем 24,
нужно знаменатель данной дроби умножить на 2. Но чтобы ве-
личина дроби не изменилась, числитель ее мы также должны ум-
ножить на 2. Получим:
5 _ 10
12 ’ 24 '
3
Умножая на 3 знаменатель и числитель дроби -g- , получим:
3 _ 9
8 “ 24 ’
Теперь можно утверждать, что
10	9	5	з
24	24 ’ ИЛИ 12	8 •
123
Решить этот вопрос нам удалось с помощью преобразования,
которое называют приведением дробей к общему наименьшему зна-
менателю.
Приведением дробей к наименьшему общему знаменателю на-
зывается такое преобразование данных дробей, в результате ко-
торого они не изменяют своей величины, но имеют один и тот
же, притом наименьший, знаменатель.
Число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби
при приведении к наименьшему общему знаменателю, называется
дополнительным множителем для данной дроби.
Для дроби дополнительный множитель равен 2, а для
3
дроби -у дополнительный множитель равен 3.
Возьмем еще несколько дробей и сравним их по величине:
3	2	31
"20 Т5~ и 180 ’ Приводим сначала их к наименьшему общему
знаменателю. Для этого находим наименьшее общее кратное чи-
сел 20, 15 и 180. Оно равно 180. Теперь находим дополнитель-
ные множители для каждой дроби путем деления наименьшего
кратного 180 на соответствующий знаменатель. Принято записы-
вать эти дополнительные множители справа и несколько выше
числителя каждой дроби.
Дополнительными множителями будут соответственно 9, 12 и 1.
Умножаем на них члены каждой дроби. Запись имеет вид:
— 2L •	2- _ 24
”20” ~ 180 ’	15 ~ 180*
31
Члены дроби j-go остаются без изменения. Теперь можно ре-
31
шить вопрос о величине дробей. Большей из дробей будет , а
24	2 тл
меньшей или -уу Используя знаки неравенства» запишем,
что
2	3	31
15 < 20	180*
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю,
надо:
1)	найти наименьшее общее кратное знаменателей;
2)	вычислить для каждой дроби дополнительный множитель
путем деления наименьшего общего кратного на знаменатель дроби;
3)	умножить члены дроби на дополнительный множитель.
124
Примечание. Если при приведении дробей к общему зна-
менателю разлагали знаменатели на простые множители, то до-
полнительные множители можно вычислить, не прибегая к деле-
нию общего знаменателя на данный знаменатель.
Для этого исключают из разложения общего знаменателя все
простые множители, содержащиеся в разложении данного знаме-
нателя, и перемножают оставшиеся.
1	13
Пример. Привести к общему знаменателю дроби и .
Решение. 60 = 2-2-3-5; 504 = 2-2-2-3-3-7.
НОК (60, 504) = 2-2-2-3-3-5-7 = 2520.
Исключим из разложения общего знаменателя 2-2-2-3-3-5-7
множители 2, 2, 3 и 5, которые содержатся в разложении зна-
менателя первой дроби. Останутся множители 2, 3 и 7, их про-
х	*	1
взведение и будет дополнительным множителем для дроби
Исключая множители второго знаменателя, видим, что остает-
ся только один — 5. Следовательно, дополнительным множителем
цля второй дроби будет 5.
______42	13^ __ 65
60	2520 ’	504 ” 2520 ’
Задание 40.
7	4
1. Какая из дробей больше: у,.- или -g- ? 2. Какая из дробей
51	31 о „	к 17	18	631
«больше:	или gjy ? 3. Сравнить дроби:	и 900 ’
Упражнения.
381.	Привести дроби к наименьшему общему знаменателю:
1	3	5	1	... 52 . 7	61
12	и 4	:	7	и 2	’	5) Ю5 > 95	и 63	’
„ 7	_L.44J_.JL	_L- R4 11 . 3	23
20 И 15 ’	64 ’ 52 И 13 ’ 0) 50 1 10 И 100'
382.	Привести дроби к наименьшему общему знаменателю:
,,	1 .	1	.	1 .	1	1	. Л>	3	19	5	7
)	2 ’	3 ’	4 •	5	6 ’ 4)	9	’ 20	’	6	и 8	’
911- L- ! 1 и ± сч 37	19	5	5
} 2 ’	4 ’	8 ' 1о 32 '	80 ’ 48 ’ ЗУ И 96 ’
,, 4 .	7 .	11	97 .	13	8	43	57
? 25 ’ 75 ’ 125	175 ’	°' 100 1 125* ’ 75 И ТбО ’
125
383.	Записать дроби в том порядке, в каком они должны быть
расположены на числовом луче (начиная с меньшей дроби):
_5_._7__._L	5	3	. 7 .	2	5 .
1)	6’9’11	И 8	’	4	’ 20 ’	3	И 9 ’
о, 1 1	,2	.13
3)	1 -у ;	1 — и 1 — .
384.	Сократить дроби, а затем привести их к наименьшему
общему знаменателю:
75 . 44	33 .	ч 40 . 42	50 .
90 ’ 99 И 44 *	64 ’ 144 П 180*
J0.	„ 2 70 .	4) . 45 . 4 35	5£
1 72 ’ 1 108 И 2 3 1400 *	6 60 ’ 4 * 49 И 84 ’
385.	Вычислить точное значение среднего арифметического
чисел: 1) 15; 61 и 73; 2) 41; 35; 10; 6 и 2.
386.	Вычислить:
1)	(1 + 27 : 3 + 51 -4) : 12;
375-10— 279:9 + 4
30 — 24
15 951 : 39 — 405 : 405 .
8100 : 405
15 + 61 608:604 + 42 672:84
9 + 2048:128
387.	Выразить: 1) 12 см в метрах; 2) 340 г в килограммах;
3) 1450 куб. дм в кубических метрах; 4) 1200 кв. м в гектарах;
5) 27 минут в часах; 6) 1250 м в километрах.
388.	Выразить: 1) 175 см в метрах; 2) 755 г в килограммах;
3) 150 минут в часах; 4) 2430 куб. дм в кубических метрах;
5) 345 кв. м в арах и в гектарах; 6) 12 800 м в километрах;
7) 58 000 куб. см в литрах.
389. Контрольное задание.
1) Сократить дроби: 6Q ; т^о и 240 ’
Л	.	8	70	13
2) Сравнить по величине дроби:	и
3) Выразить 150 мм в метрах; 3750 г в килограммах;
4) Вычислить: (37-5 — 105 : 5) : 16.
390. Контрольное задание:
-	360 315	936
1) Сократить дроби: 945 »"зо" и 2ьд ‘
126
2)	Какое из чисел:	W — будет наименьшим и ка-
14 olnj оо
кое наибольшим?
3)	Выразить 240 кв. см в квадратных метрах; 4650 кг в цент-
нерах.
4)	Вычислить: (77 + 9823 : 47) : (13 + 7-5).
СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ.
Решим задачу: «За первый день похода группа пионеров про-
2	„	3
шла -у- всего намеченного пути, а за второй день -у- всего пу-
ти. Какую часть своего пути прошли пионеры за 2 дня?»
На рисунке 53 изображен весь путь AD, который разделен на
7 равных частей. За первый день пионеры прошли расстояние
Лб, а за второй день расстояние ВС. За два дня они прошли рас-
стояние АС. Чтобы узнать, какую часть всего пути пионеры про-
шли за два дня, достаточно подсчитать число седьмых долей в
отрезке АС. Всего в этом отрезке 5 седьмых долей. Условимся
записывать решение таким образом:
2	3 _ 5
7	' 7 ~ 7 *
Такое действие называют сложением дробей.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к
сложению натуральных чисел, указывающих количество одина-
ковых долей в каждой дроби.
2	3
Вычисляя сумму -у- + -у-, мы складывали натуральные чис-
ла 2 и 3.
Числа при сложении дробей имеют такие же названия, как и
при сложении натуральных чисел: те дроби, которые складывают-
ся, называются слагаемыми, результат сложения называется сум-
мой.
Решим другую задачу: «Одну часть пути велосипедист про-
13
ехал за-эд часа, а остальную часть пути
23
за -эд- часа. Сколько времени он затратил
на весь путь?»
О............
АВ	С В
Рис. 53.
127
13	23
Для решения задачи надо сложить две дроби: -gg- и .
13 , 23	13 4- 23	36	11 / ч
30 + 30 “	30	— 30 —	5 (часа)-
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменате-
лями, надо сложить их числители и полученную сум-
му разделить на их общий знаменатель.
Это правило можно применить и для вычисления суммы дро-
бей с различными знаменателями, если предварительно привести
слагаемые к общему знаменателю.
5	.	1	. 3 _ 20	3	27	50	25	.
9	12 1 4 “ 36	+ 36	36	— 36	“ 18	— 1	18 ‘
Чтобы сложить несколько дробей с разными знаменателями,
надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем
складывать по правилу сложения дробей с одинаковыми знамена-
телями.
Для упрощения записи рекомендуется сначала записать общий
знаменатель, а над ним записать сумму числителей.
5~	1-	3~	20 4- 3 -1- 27	50	25	.7
9 + 12 + 4 —	36	“ 36	18	Т8~'
При сложении смешанных чисел следует сначала сложить на-
туральные числа, а затем дроби.
n	n 1	। q 7	3	4 4~ 7 4~ 18 г 26 /у 8
Пример. 2-^-4-32q 4-	= 5	= 20-	® То" *
Во всех случаях, где это возможно, надо при вычислениях
применять устный счет; дополнительные множители в тех случа-
ях, где это не вызывает затруднений, можно не записывать.
При сложении дроби и нуля остается справедливым то пра-
вило, каким пользуются при сложении натурального числа и нуля.
3	( л 2 3 *	л 	5	5
Задание 41.
1. Найти сумму чисел:
То и То ’	3) 1 -j-: 2-^-и-д-;	5) д-р и .
2) Т и
2. Увеличить: на 4~ ! 4~ на 1
5	5	3	4
128
Упражнения.
391.	(Устно.) Выполнена-^- часть работы, затем еще-g-.
Какая часть работы выполнена?
392.	(Устно.) Выполнить сложение:
+	5>4 + тг 8и4- + з4-1
2)4 + 41	6> ]4 + 41	9)34 + б4;
3>4 + 41	7>24 + 4i 10)54+64 + 1.
41-2. + -2-
^'8^8'
393.	Выполнить сложение:
1 \ 1 1 I 7 .	_ |	гч 7	।	1	।	3
1) 12 + 12 '	3)	9	+ 9	+	9 1	5) 10 10 10	‘
17 , 13 .	..	23	, 29	а	.
2) 20 + 20 ’	4)	10	+ Ж	+	30 *
394. 1) 1 А + 34-;	3) U-4+54-+ 3-^-;
2)54+3-4 + 2;	4)21^+ 13-^+26-|.
395. 1) у +	; 4) -у + -g-;	6) -[o' + -j-g- Ч 2“ ’
2)4 + 4; 5>4 + 4 + 4-’ 7)-£ + -£ + -й-
3)4 + 4-;
39	6.1) 3-4+54 + 4>	4) 28 4-+42 4-+ 3-g-;
2)204+54--^114‘ 5> 64-15+4]4+ 23-434
3) 21# + 44+ 1-*1; 6)28^ + 34^+12^+26^
397.	Тракторист вспахал в первый день поля, во второй
-i-, а в третий Какую часть поля он вспахал за 3 дня?
з
398.	Ширина прямоугольного участка земли 40-^- л<, а дли-
5 Заказ Nb 316
129
з
на на 10-g- м больше. Какую длину должна иметь изгородь
круг участка?
399.	Между двумя станциями имеется 2 остановки. Ра с сто я-
з
ние до первой остановки 10-jg- клс, а от первой остановки до вто-
3	1
ровна 1-^- км больше. Оставшееся расстояние на 2 км боль-
ше второго. Найти расстояние между станциями.
400.	1) Один комбайн может убрать поле за 6 дней, а дру.
гой за 4 дня. Какую часть поля уберут за 1 день оба комбайна?
2)	Один насос может наполнить бассейн за 20 мин., другой
за 12 мин., а третий за 16 мин. Какую часть бассейна наполнят
за I мин. все три насоса, работая вместе?
401.	1) Учащиеся 5-го класса могут окопать деревья в школь-
ном саду за 12 час., а учащиеся 6-го класса за 8 час. Какую
часть работы они сделают за I час, работая вместе? Прикинуть,
сколько часов им потребуется для выполнения всей работы.
2)	Дочь может выполнить уборку квартиры за 1 час, а мать
за 40 мин. Какую часть работы они сделают за 1 мин., работая
вместе? Сколько времени они затратят на всю уборку?
402.	Может ли сумма трех правильных дробей быть больше 1?
больше 2? больше 3? Привести примеры.
403.	G крутого берега упал в море камень. В первую секун-
9	4
ду он пролетел 4 во вторую на 9 -g- м больше, а в третью
на 9-f- м больше, чем во вторую, и т. д. Какова высота бере-
га, если падение камня продолжалось 5 сек.?
§ 8«| ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ.
Переместительный и сочетательный законы сложения, изло-
женные в § 6 для натуральных чисел, остаются верными и для
дробных чисел.
n	1. 5	6	6.5
Примеры. 1) — + — = — + —.
11
Та и другая сумма равна qg-.
130
Та и другая сумма равна 1	.
Справедливость законов сложения для дробных чисел объяс-
|яется тем, что сложение их сводится к сложению натуральных
мсел, которые являются числителями слагаемых дробей, приве-
денных к общему знаменателю.
С помощью букв эти законы можно записать так:
4-44 + 4+ 4-4 +(4+ 4)-
tn п ft tn tn ft р tn \ п р /
При сложении смешанных чисел используются оба закона
Кожения: сначала мы складываем натуральные числа, а затем
обные числа. Законы сложения применяются при устном счете.
Задание 42.
Применить законы сложения и вычислить устно:
То + 4" +	+ V: 2) 2 4- 1 4* + ЗА + 1_|_.
3) В чем состоят переместительный и сочетательный законы
Сложения?
Упражнения.
404.	Показать справедливость переместительного закона на
Примерах:
|<34 + 54-''44 з>'0то+7-й+'<•
2>64 + 94т + 5#; 4>434+12f 5+ 44
405.	Выполнить сложение, группируя слагаемые наиболее вы-
^дным способом:
»134 + 2|4 + f4 +16-4
2)	434 + 22^+13^+6^.,
3)	222, + 74+14-11 +ЗА,
4>	1430 + 15 + 5 30 + 7"25 '
406.	Выполнить сложение:
)325 + 320^'3 25 + ^6’
ОЧ Q 1	15 . . 3 г 1
3 48’	16 + 1 8 + 5 16 »
131
3)	Й- + 24+84+ и>:
4)	39jq- + 1	+ 4 jq- + 2^-
407.	Самосвал забирает 3-^- т щебня; вес машины без груза
на yg- ш больше веса груза. Сколько весят два нагруженных са-
мосвала?
408.	В один бидон вошло 10-у- л керосину, а в другой на
1	 л больше. Сколько керосина в двух бидонах?
409.	В первый день перевезли уд- всего груза, во второй день
на уд- груза больше» а в третий день столько, сколько перевез-
ли за первые два дня вместе. После этого осталось 50 т. Каков
был весь груз?
410.	Пригородный поезд находился в пути I час 40 мин.,
причем сделал 4 остановки в 1 мин., 2-|- мин., 2-~ мин. и
3-у- мин. Остальное время он шел со средней скоростью 30 км
в час. Какое расстояние прошел поезд?
^^65. ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ.
Определение действия вычитания для дробных чисел остается
таким же, как и для натуральных чисел: вычитание есть дейст-
вие, посредством которого по сумме и одному из слагаемых на-
ходится другое слагаемое.
Данные и результаты вычитания носят такие же названия,
как и при вычитании натуральных чисел.
Рассмотрим задачу: «За два дня прошли -Ц- всего пути, а
за первый день прошли этого пути (рис. 54). Сколько прошли
Рис, 54.
во второй день?»
Обозначив искомый путь через л, мо-
жем записать:
20 + х “ 20 '
По определению вычитания:
_ 17___________________________6_
Х ~ 20	20 •
Из рисунка 54 видно, что х =	. Следовательно,
17	6 _ 17 — 6 и
20	20 — 20 — 20
Приходим к выводу: чтобы из одной дроби вычесть
другую дробь с таким же знаменателем, надо из чис-
лителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого
и полученную разность разделить на общий знамена-
тель этих дробей.
Если дроби имеют разные знаменатели, то их приводят к на-
именьшему общему знаменателю, а затем применяют предыду-
щее правило.
Пример-Л----------= -Л- — тн- = т=
г г 15	5	15	15	15
Как найти разность смешанных чисел?
п	о 13 л 2 q 13	« 8	5 г 1
Пример, 8	— 3 -g- = 8-£о — З-^д- = 5	— 5 -j-.
При вычитании смешанных чисел сначала вычитают их нату-
ральные числа, а затем дроби.
Рассмотрим случай, когда дробь уменьшаемого меньше дроби
вычитаемого
О 1	О 2 о 1	о 8	7 21	Q 8	-13
П р и м е р. 8 20	3 5	— 8 20	3 20	= 7 2(J	3 2Q —4 20 .
~	1	8
Так как из нельзя вычестьто одну единицу уменьша-
емого вместе с его дробью выразим неправильной дробью, а за-
тем выполним вычитание.
Замена единицы уменьшаемого неправильной дробью приме-
няется и при вычитании дроби из натурального числа.
Примеры. 5	= 4 tq- То = ТсГ^
g 2 JL   5 — 2 —   3 -^5-
z17 ~ ° 17	2 17 ~ d 17 ’
Рекомендуется такие вычисления выполнять устно.
133
Задание 43.
1.	Вычислить разности:
D1-4; 2) 5-4; з) 4--V- 4)з4--14-;
5)	1^—4-
пи	3	Н ,
2.	На сколько -g- меньше, чем
3
3.	Сумма двух чисел равна 5 -д-, одно из слагаемых равно
33
35 '
Вычислить другое слагаемое.
Упражнения.
5	8
411. (Устно.) Какое число на меньше, чем
Выполнить вычитание."
412. (Устно.)
О 4-4-; 3> гт-'-г; 5> '-4; 7> 10—1-I-;
2» 4-4; 4> 8т- 54; 6> 4—т' s)i2-4-54-
4!3.	3>з4-2А; 5)20“-8-§;
2)	1 4-4; 4> '74-164-
4(4 i\ 1____L •	_____3 . 5\	___.
*'2	8 •	5	10 ’ °' 20	12 *
415.1)	5)	lO^-si;	8>	5.2А_43§1
2) 74-44; S) »4--1()4; 9> 4024-'тЬ
3>12T-,2i; 7> 144-34> ‘°) 631-6°-4-
4> '«4 -18 4'
134
416.	Вычесть; правильность вычитания проверить сложением:
D24-14-; 2)13А_10±.; 3) 12^-9^
4) 34 21-264.
417.	Вычислить:
1)84 + 5-1--7 А; 5) 19^-(в" + 8»;
2)224-104+9-4; б) 22- (10 А + 9 “),
3)t!>4-84-+8§;	7) 82 А-(ИА- И»),
4>214-21-я +	8> 154 + (5 -п- “ 4тг)|
9)	(56-А- — И4) + (110-96 А);
Ю) (89-1-+ 5А + 5 А)-(119-18.’1).
418.	Население Азии составляет 1-^- млрд, человек. В Ев-
Ipone, Африке, Америке и Австралии, вместе взятых, проживает
на -g- млрд, человек меньше чем в Азии. Найти численность на-
селения земного шара.
419.	В одном баке содержится 19-- л бензину» во втором на
3	7
1 -=- л меньше, а в третьем на л меньше, чем во втором.
О	1U
Сколько бензина во всех трех баках?
420.	1) Скорость парохода в стоячей воде составляет 22у км
в час. Скорость течения реки 2-^- км в час. Какова скорость па-
рохода при движении по течению и против течения?
2)	Лодка плывет по течению реки со скоростью 7 км в час.
з
Скорости течения составляет 1 км в час. Найти скорость
|Ободки при движении против течения.
з
421.	В первом квартале завод выполнил годового плана.
135
во втором на меньше; в третьем квартале на — годового
плана меньше, чем в 1-м полугодии. Какую часть годового пла-
на осталось выполнить в 4-м квартале?
М СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ.
Все правила о .зависимости между данными числами и резуль-
татами сложения и вычитания (§ 25) остаются справедливыми и для
дробных чисел.
3	1	13
Примеры. 1. Если х 4—g- — 1	, то х = 1 ----g- =
15-6 __9_
10 ~ 10 '
о г?	«4	3	3 . . 4 iH
2. Если х — 1 ТГ т0 Х=ТТ + 1 ~ = 114 '
Все правила об изменении суммы и разности для натураль-
ных чисел (§ 27 и § 28) остаются справедливыми и для дробных
чисел
3
Примеры. 1. Если одно из слагаемых увеличить на l-g-,a
5	, 3
другое уменьшить на . то сумма увеличится на 1 -g-. а затем
5
уменьшится на . В результате этих изменений сумма увели-
чится на число, равное
. _3__5_ __ . _9__10 _ 23
1 8	12 ” 1 24	24 “ 24 ’
2
2. Если вычитаемое увеличить на -jg-, то разность уменьшит-
2
ся на -г=-.
10
Установим еще одно свойство вычитания. Решим такие при-
меры:
i)s4-(3+i4); г,s а-з-14..
Р первом примере от 5	- надо вычесть сумму чисел 3 и 1	,
з	1
Разность равна 1 -у . Во втором примере от этого же числа 5 —
надо отнять каждое слагаемое сул;мы 3 4- 1у. Получается тот
же результат I -г-,
о
136
Это свойство вычитания можно выразить таким правилом:
чтобы из числа вычесть сумму, можно из этого числа вычесть
первое слагаемое этой суммы, из результата вычесть второе сла-
гаемое и т. д.
Задание 44.
1.	Решить уравнения:
‘) * + 3 4-= 44т-; 2> V - -ЗГ ~ Т5-10—
2.	Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить или
уменьшить на некоторое число? Привести примеры с дробными
числами.
3.	Как изменится разность, если вычитаемое увеличить или
уменьшить на некоторое число? Привести примеры с дробными
числами.
4.	Какое свойство вычитания можно использовать при реше-
2	/2	7 \
нии примера: 5 -g---/1 -д- +	1?
Упражнения.
422. Решить уравнения:
1>' + 54 = 7®;
2) 13 4 + Ж-274;
3) 9 4-х =5 4;
4>	7-4 = 18 4;
6)104-1,-64;
6)	2 — 4	= 1 -joy .
7)	X + ~7g- — I -JJ- ;
8)	12+ 3-4 + 1,-184
423.	Сумма двух слагаемых равна 15. Одно из них умень
3	11
шили на 5 -б- , а другое увеличили на 1 -иг-. Чему равна но-
о	1Л
вая сумма?
424.	Что сделается с разностью, если:
1)	к уменьшаемому прибавить -g-?
з
2)	к вычитаемому прибавить -g-?
з
3)	к уменьшаемому и к вычитаемому прибавить по -g- ?
137
4)	к уменьшаемому прибавить , а от вычитаемого отнять
7
425.	Разность равна 7	. Чему будет равна разность, если:
з
1)	уменьшаемое увеличить на -j- ?
2
2)	вычитаемое увеличить на Б -&- ?
3)	уменьшаемое уменьшить на 3 -g- ?
5
4)	вычитаемое уменьшить на 4 -д- ?
426.	Вычислить, применив свойство вычитания:
» 12 те ~ (3 те + 5 т);	3) 24те-(8т + 124)'.
2> 22 -щ-	^5	+ 3 -р, j;	4) 23 -2J-	^5 1(- 4- 10
3	1
427.	В одном бидоне 5 -g- л молока, а в другом 3 л.
Сколько молока будет в каждом бидоне, если из первого пере-
з
ЛИТЬ -уу л во второй?
з
428.	Учащиеся одной школы собрали 2 -v- m макулатуры,
. з
учащиеся второй школы собрали на т меньше, а учащиеся
9
третьей школы собрали на т больше, чем учащиеся второй
школы. Сколько тонн макулатуры собрала третья школа? На
сколько она собрала больше, чем первая?
429.	Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за
6 дней. Один из них мог бы выполнить всю работу за 15 дней.
Какую часть работы выполнял за 1 день второй рабочий?
2
430.	За 1 кг яблок и 1 кг груш уплачено 1-у руб. Сколько
нужно заплатить за такую покупку, если цена яблок снижена на
1	3
-j- руб., а груш на руб. за 1 кг?
з
431.	При покупке книги ученик получил сдачи 3руб.
Сколько он получил бы сдачи, если бы купил книгу, которая
13
дороже на рубля?
138
432.	Контрольное задание.
1)	Бассейн наполняется двумя трубами: первая труба может
наполнить бассейн за 3 часа, а вторая за 5 час., через третью
трубу наполненный бассейн может опорожниться за 12 час. Ка-
кая часть бассейна наполнится за 1 час при совместном действии
всех трех труб?
2)	Выполнить действия: ^20	— 7	— ^24 ~---22	.
3)	Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на
С 3	о 3 .
5	, а вычитаемое уменьшить на 3 -j-'
67^ УМНОЖЕНИЕ ДРОБИ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО.
Умножение дроби на натуральное число (большее 1) имеет тот
же смысл, что и умножение натурального числа на натуральное
число (§ 15).
2	2	2	2	2
Пример. А.4 = 4_+_2_+4 + _|_.
Определение. У множить дробь на натуральное
число (большее 1) —значит найти сумму одинаковых
слагаемых, равных этой дроби, если число слагаемых
равно данному натуральному числу.
„	2 ,
Для вычисления произведения -4 применим правило ело-
О
жения дробей:
2 л  2 + 242 + 2
3	3
или еще короче:
2 л	2*4	8	о 2
_,4 = -з- = -г =2-3-.
Чтобы умножить дробь на натуральное число, до-
статочно умножить ее числитель на натуральное
число и полученное произведение разделить на знаме-
натель.
В буквенном виде это правило можно записать так:
_£_.л/ - a‘N
ь ~ ь *
139
Следует сократить дробь еще до вычисления произведения
числителя дроби на натуральное число, если такое сокращение
возможно.
3 1О __ 3-12 _ . 4
20	20	5 
3* 12
В этом примере мы сокращаем дробь на 4, получаем
3’ 3
, а затем вычисляем окончательный результат.
При умножении смешанного числа на натуральное число мож-
но смешанное число выразить неправильной дробью, а затем
производить умножение.
3 A.J4 = *1.14 = Alli = 23-2 = 46.
Смешанное число есть сумма натурального числа и дроби, а
поэтому при умножении его на натуральное число можно исполь-
зовать распределительный закон. Этот закон остается верным и
для дробных чисел.
3	-14 = (з + А). 14 = 3-14+ А-14 = 42 +	=
= 42 + 4 = 46.
Запись вычисления следует вести короче, применяя устный
счет:
з А. 14 = 42 + 4 = 46
Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, до-
статочно умножить отдельно целую часть и дробь смешанного
числа на натуральное число и полученные произведения сложить.
Задача об увеличении натурального числа в несколько раз
решается умножением. Будет ли это верно для увеличения дроб-
ного числа?
Умножим -д- на 4.
2 А 2-4	8
V4 = -9'==-Т’
8	2
Дробь -д- больше, чем у, в 4 раза (§ 58). Следовательно,
задача об увеличении дроби в несколько раз решается с помощью
умножения.
140
Задание 45.
1.	Вычислить: 1) -Х--10;	2) 3 4—6
ZO	О
4	7
2.	Вычислить произведение суммы чисел 3 -jy и на чис-
ло 6.
3.	Вычислить; -т-*2 4- 2	4— i ~гг‘2.
4	f	14
Упражнения.
Выполнить умножение!
433.	(Устно.)	1) -J--2;	4)-Л--8;	7) А-3;
2)4-4;	5)4-1;	8)А.б;
3)4-5;	6)4-0;	9)А.8.
5
434.	Увеличить в 2 раза, в 3 раза, в 7 раз.
435.	Выполнить умножение:
О®'";	3)44-13-,	5)4-35;	7)А.|51
2)4-21;	4)4-40;	6>-g-18;	8) AL.84.
436.	1) 1 ф.4; 3)12 —*12; 5)414-12; 7) 28 -^-70;
2)5 4-8; 4)104-15; 6) 35 А.35; 8)22А-75.
Вычислить:
437.	1) А.7 + А.8;	6) 5 А.6 + 12 А.9;
2)4.12 + 4-8;	7)47А_7А.6 +з4;
3> i-5 +-а'А-	8)8244.34.9-54.1-,
4)4-6-4'7) 9>244 +5 А.6;
5) 2 4.26 + 74'7; 10)42А_2 4-7.
141
‘I3S-'»(4 + 4)-5-
3)	(24--‘4'25:
8)(54 +7)-9~(3т-24)-|0;
6)(«4-64)-20 + (29-n-~274)'35-
439.	Турист первые 3 часа шел со скоростью 4 км в часЯ
затем уменьшил скорость на км в час и шел еще 3 часЦ
Сколько всего прошел турист?
7
440.	В одном ящике 12 кг сахару, а в другом вдвое
больше. Сколько будет сахара в каждом ящике, если из второго
з
переложить в первый 3 кг ?
441.	В цистерну проведены 3 трубы. Через первую трубу
цистерна может наполниться за 25 мин., через вторую за 30 мин.,
а через третью наполненная цистерна может опорожниться за
40 мин. Открыты одновременно все три трубы. Какая часть ци-
стерны наполнится за 1 мин.? за 10 мин.? за 20 мин.?
442.	Одно звено кровельщиков может закончить покрытие
крыши черепицей за 6 дней, а другое за 5 дней. Какую часть
работы останется выполнить после того, как оба звена прорабо-
тают вместе 2 дня?
§ 6^ НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ЧИСЛА.
При решении задач на дробные числа часто приходится нахо-
дить дробь числа. Рассмотрим такие задачи.
з
За дача 1. Площадь поля 60 га. Убрано-^- этого поля. Сколько
гектаров убрано?
142
На рисунке 55 дан чертеж этого поля в
3
виде прямоугольника и его заштриховано.
6Ога
Рис. 55.
Решение. Вычислим сначала площадь-j- поля, она в 4 раза
меньше площади всего поля.
1	60
от 60 га равна или 15 га.
~ 2 3
Теперь можно вычислить -у- площади •
3	13
Так как у вЗ раза больше-^-, то от 60 га равны
15 га-3, или 45 га
4	9
Задача 2. Найти от часа.
19	9
Решение. у от часа в три раза меньше, чем часа:
1	9	9	3 ,
“F 07 То часа равна ТоТз = То (часа>*
4	9
-о- от '777 часа в 4 раза больше, чем найденная величина!
о	1и
4	9	3*4	12	« 1	z
-н- от -ттт часа равны -ттг = -ттг = 1 (часа).
о	1U	10	К)	О
Итак, решение задачи на нахождение дроби числа выполня-
ется по такому плану: 1) находят одну долю числа; 2) находят
требуемое число долей.
Задание 46.
5
1.	Сколько минут составляют часа?
7
2.	Длина стола 180 см, а ширина составляет -у длины.
Какова ширина стола?
о тэ	4	3
3.	Вычислить ур °Т
Упражнения.
Найти:
443.	1) от 9;	3) ~ от 42;	5)	от 21 : 7) 44 от 48;
2) 4- от 12;	4) ~ от 25;	6)	от 24 i 8) Л от 30.
D	1Э	/о	'll
143
444.	1) 6 от з •	4) jo от 10 ;	7) 16 от 4 3 ;
2)4-°?-^-; 5)1от1}; 8)4-от5-|-.
ОХ з	7	1	о 1
3)	—от -гт-;	6) -т=- от 2	;
/	1D	10	7
445.	1) В 1 час самолет пролетел 720 км. Сколько километ-
1	2	3	5	11
ров он пролетит за часа, часа, -=- часа, часа, -пр
О	О	О	О	1Z
часа?
2)	Килограмм конфет стоит 2 руб. 40коп. Сколько стоит кг ,
3	3	9
То кг- V кг- То кг?
446, В некоторых случаях достаточно получить приближенный
ответ задачи, не производя подробных вычислений. Тогда гово-
рят, что проделана «прикидка» результата.
Решить, пользуясь «прикидкой», следующие задачи:
1) Мотоциклист ехал 3 часа со скоростью 55 км в час,
29
затем 2 часа со скоростью 75 км в час. Сколько примерно
ои
километров он проехал?
Указание. Дроби, данные в задаче, следует принять рав-
ными 3 час., после чего вычисления можно выполнить устно.
2) Нужно купить 4 кг конфет по 2 руб. 45 коп. за I кг.
Прикинуть, какова стоимость покупки.
447.	Длина Волги равна 3700 км, а длина Дуная составляет
7
длины Волги. Вычислить длину Дуная (результат округлить
до сотен километров).
448.	Норма высева озимой пшеницы на 1 га составляет
2 -JQ ц, а озимой ржи -у этого количества. Нужно засеять
пшеницей 125 га и рожью 215 га. Сколько потребуется ржи и
пшеницы?
17
449.	В школе 1225 учащихся. Из них составляют девочки.
Сколько мальчиков учится в школе?
450.	Грузоподъемность грузового автомобиля «ЗИЛ-151» со
5
ставляет -у- грузоподъемности «ЗИЛ-150», а грузоподъемность
1 ЛА
последнего равна 4 т. Сколько груза может перевезти «ЗИЛ-151»
за 5 рейсов?
451.	Для получения атомной энергии используется тяжелая
вода, которая входит в состав обычной воды, составляя часть
/vv
ее (по весу). Сколько тяжелой воды содержит 1 куб. м обычной
воды? 10 куб. Ответ округлить до 10 а.
Указание. Вес 1 куб. м воды равен 1 т.
3	3	7
452.	Сколько сантиметров составляют -у м, -у м, м ,
7 z,
25
15	9
453.	Сколько килограммов составляют -у т, у т, т,
73 о
100
14	7
454.	Сколько аров (соток) составляют га, -g- га, га.
21
-50- га-
Вычислить:
455.1)	4 + 4-8;	3> (4 + 4)-8;
2)	27 А-А.13; 4) (54 у - 53 4)-5.
456.	1) 4-8 + 13 4 4 =
2)	8 4*6 - 4-40’
3)	7 4-5 4-6 4-12;
4)	94г12- 15 4г4;
5)	22 А.5-17 4-6+ 9 4;
6)	7-J+ 13 4-12 + 4-13.
457.	1) 24 4-6 - (134- 4'7):
2)	35 4-15 + (42 4+ 1 12 ’4):
145
3)	(29^-1з4-2)"'-1 т-5’
4)	^7^--3-2 —2	-9)-3 — 4-|-;
5)	- 10 -З..Ю-3-|-.9)-5 + 7-1-6;
6)	Г1514 — 10 ф.10 — 37 4 -3^8 —2 -^-3.
\	*	5	° J
458.	Куплено 5 м сукна по 7 руб. за 1 м и 9 м по|
з
15 -j- руб. за 1 м. Сколько стоит вся покупка?
459.	При укладке пути узкоколейки протяженностью 12 Ц- кл<|
3	2
в 1-й день сделано работы, а во 2-й день -уу остатками
Сколько километров пути осталось уложить?
460.	Два поезда выходят одновременно навстречу друг другую
с двух станций. Первый поезд может пройти все расстояние за
40 мин., а второй за 25 мин. На какую часть расстояния между]
станциями сблизятся поезда за 3 мин.? 5 мин.?
461.	Из месячной зарплаты в 90 руб. рабочий уплатил -yJ
3	1
часть за квартиру, у^ за расходование электроэнергии, a -yj
оставшихся денег истратил на питание. Сколько денег осталось]
на другие расходы?
462.	Решить уравнения:
1)	х + 3	= 8 4-4;
- -‘-в;
3)	32 ~ — t = 5 -£--3;
4)	41 ^-17 + г = 52 -^--29.
УМНОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА НА ДРОБЬ.
В § 67 был разъяснен смысл умножения дроби на натуралы!
ное число. Это определение умножения нельзя применить к ум4
з j
ножению на дробь. Если, например, надо 76 умножить на -у-, та
146
это не означает, что число слагаемых равно у. Число слага-
емых может быть равно только 2, 3, 4 и т. д., т. е. целому
числу, большему, чем единица.
Выясним смысл умножения на дробь с помощью такой
задачи:
«Поезд проходит в среднем 76 км в час. Какое расстояние
он пройдет за 2 часа? Какое расстояние он пройдет зау часа?»
На первый вопрос ответить легко: за 2 часа поезд пройдет
расстояние, равное
76-2 = 152 (км).
Условились и для решения второго вопроса также применять
умножение:
76.А.
YT	3
Но что значит умножить на у и как выполнить такое
умножение?
Чтобы ответить на эти вопросы, решим задачу другим спо-
з
собом. Чтобы узнать расстояние, пройденное поездом за у часа ,
з
достаточно найти дробь числа, найти у от 76 км.
~ 3 *
Отсюда становится ясным, что умножение числа на у должно
3
означать нахождение у этого числа.
О пределение. Умножить число на дробь — значит
найти дробь множимого.
Выведем правило для умножения натурального числа на
з
дробь. Найдем сначала у от 76 км так, как это делали раньше:
у от 76 км равна у (км);
у от 76 км равны -у- (км).
Из определения умножения на дробь следует, что произведе-
ние 76-Л- равно от 76, или -?6*.3-  Итак:
4 г 4	4
3	76-3	Г-7 / х
76-~г =	= 57	•
147
Такое рассуждение можно провести для любого случая ум-
ножения натурального числа на дробь.
Чтобы умножить натуральное число на дробь, надо
это число умножить на числитель дроби и получен-
ное произведение разделить на знаменатель.
В буквенном виде правило запишем так:
а; а
К-Т = ~Г
Замечание 1, Правило об умножении дроби на натураль-
ное число (§ 67) и правило об умножении натурального числа
на дробь можно объединить в одно:
Чтобы умножить дробь на натуральное число или натуральное
число на дробь, надо натуральное число умножить на числитель
дроби и результат разделить на ее знаменатель.
С помощью букв это правило можно записать так:
Отсюда следует, что при умножении натурального числа на
смешанное число можно пользоваться тем же правилом, что и
для умножения смешанного числа на натуральное (§ 67).
Примеры. 1) 5-13= 13-5 4--j--5 = 67;
2)24.2=2.2 + 4.2 = 4 + 4 = 54.
При вычислениях следует пользоваться устным счетом и
писать короче:
1) 5-13 4- = 65 + 2 = 67;	2) 2 -^-2 = 4 + 4 = 5 4 •
О	1U	О	О
Замечание 2, При умножении смешанного числа на
натуральное или натурального числа на смешанное можно сме-
шанное число выразить неправильной дробью.
п.	о 7 о 27 п 27-2	27	- 2
Пример.	2 10-2	— 10-2	— 10	— 5	—5 5	.
Задание 47
1.	Вычислить: 1) 15--^-;	2) 20•	;	3) 5--у.
2.	Средняя скорость поезда 60 км в час. Сколько поезд
пройдет за -гтг часа?
148
3.	Вычислить: 1)14-у-5;	3) 4-5-|-;
2) 2-|"3;	4) 12-1 4*
Упражнения.
Выполнить умножение:
463.	(Устно.) 1)	3)	5) 12--^-;
2)7-4;	4) 10-4-;	6)30-4
464.	1) 8	3)25-4-; 5) 58--4	7)	 51;
2)12-4: 4)42-4: 6)87--4; 8) 4-24.
465.	1) 5-2-^-;	3)11-7 А; 5) 24.ю-^; 7)14-9;
2) 9-3 4	4)16-8-4 6)100.5-4 8) 30-^-25.
466.	Вычислить:
1	ч с	*4	.	14	_	~ _ 3
5 •	15	+	15		5	+ 7-5 4 J
2)	3 4 + 15-3-4
_	9	_	_	,	9	6.
3)	14 •	7 + 7-	1	14	4 • 1б ,
4)	7.	’5+ 35-4'•
6) >тг+5-4тг-8'2т:
6)	(14-®- .10— 5 4 .24). 2- !-!£-• 26;
7> i0-6i-(-rr 21+5'14)-2-
8)2 + 5 - 1-if-— (-1-- 9+9-4)
467.	Один кубический метр сухого песку весит 1500 кг.
Сколько весит куб. м? 2	куб. м? 7 куб. м?
149
468.	Средняя скорость мотоциклиста составила 78 км в час.
3	1
Какое расстояние он проехал за у часа? за 1 у часа? за
2 часа?
о
469.	Цельное молоко содержит часть жира, а сгущенное
g
Удо. На молочноконсервный завод поступило 6000 кг цельного
молока. Хватит ли его для приготовления 2500 кг сгущенного
молока?
470.	Длина прямоугольного участка земли составляет 80 м,
5	тт
ширина составляет -у длины. Другой участок имеет квадратную
,	20
форму, причем длина его изгороди составляет изгороди пер-
вого участка. Найти площадь каждого участка.
9
471.	Велосипедист проехал 40 км. у этого пути он ехал по
з
шоссе, затем у остатка по грейдеру, а остальной путь по поле-
вой дороге. Сколько километров пришлось ехать велосипедисту
по полевой дороге?
УМНОЖЕНИЕ ДРОБИ НА ДРОБЬ.
Умножение дроби на дробь имеет тот же смысл, что и ум-
ножение натурального числа на дробь. Умножить дробь на дробь —
значит найти дробь множимого.
Решим задачу: «Поезд проходит -у км в мин., какое рас-
стояние он пройдет за у мин.?»
2	4
Для решения задачи надо найти произведение у -у. Так
как мы еще не знаем, как умножить дробь на дробь, то решим
эту задачу другим способом. За у мин. поезд пройдет у того
расстояния, какое он проходит за 1 мин., следовательно, для
Л	о 4	2
решения задачи надо наити от км:
и	о
1	2	2
у от у равна
4	2	2-4
_ от у равны зу
160
Теперь можно записать, что
2	4 _ 2-4 _ 8 .	.
3 * Т- ~ 3 6 “ 15 '‘КМ'‘
Таким образом, мы пришли к выводу: чтобы умножить
дробь на дробь, надо произведение числителей разде-
лить на произведение знаменателей.
С помощью букв этот вывод запишем так:
а т   а-т
b * п	Ь-п
Следует сократить полученную дробь, если это возможно, до
вычисления произведений числителей и знаменателей.
„	14	5	14-5	2
Пример. 15 • 7 — 15 7 — 3 .
14-5
Дробь сокращаем на 5 и на 7, в результате получа-
2
ем
Правило умножения двух дробей распространяется на любое
число сомножителей.
п	2	7	8 __	2*7*8	_	1*1*8	_ 8
Пример.	3	10 • 21 — з,10.21	—	3*5*3	— 45	•
В этом случае можно зачеркивать сомножители при сокра-
щении дроби и подписывать новые сомножители, получающиеся
при сокращении.
При умножении смешанных чисел или дроби и смешанного
числа следует смешанные числа выразить неправильными дро-
бями, а затем пользоваться предыдущими правилами.
гг	о 1	2 * * 5	9'5	15
Примеры. 1) 2 4 • 12 — 4 12 — i6 ;
9х о 1	1 1	3 __ 7*8*3 _ 12 __ 9 2
° 2 * 1 7 ’б — 2*7*5 “ 5 “ Z 5 *
Замечание. Правило умножения дроби на дробь можно
применять при умножении дроби на натуральное число и нату-
рального числа на дробь.
2
Примеры. 1)	• 7 =
2) 9 • А =
3) 2^- • 5 =
2	7	_	14
15	'	1	—	15	’
9	5	45	-5
1	’	8	“	8	~	5Т 1
9	5 _ 45 _ .. 1
4 ’ 1 “ 4 ~ 11 4 ’
151
Задание 48.
1.	Вычислить произведения:
п 15	7 .	ох 2	17	9 .
2)	— . — . — . —	4) 3-!-- 1— • 10
' 2	4	6	10 ’	>	8
29	4
2.	Вычислить произведение суммы чисел и на их раз-
ность.
3.	Что значит умножить любое число на натуральное число ?
на дробное число ?
Упражнения.
Выполнить умножение:
472. (Устно.)
n _L . _L •	4) __L . __L •	7) JL . & •	9) JL . JL .
ч 3	5 ’	10	12 ’	u 10 T’	9	7 •
~8~ ‘ ~2~ ’	5)	з	‘	4 .	8)	1 и >	1°) 9 • 4 •
3) T ‘ ТГ ’	6)	6	•	7 .
473
1) — •
l) 25
2) — •
15
35
4)	
> 100
7
9
25
32
21
44
16
51
5A A . A . A.
16	15	9 ’
R.	7	9	100
°'	10	‘	20	‘	153	’
71	11	6	5	27	.
24	'	55	'	9 ' 40	’
15	8	И	39
6'	49	*	13	*	15 ' 64	*
474.
1) 2-^ --Й-; 5) IsA.lO^;
2)	6) 44.54 .A;
3)204.1A; 7) 84.54. li.
4)104.S>4
10
Выполнить действия:
475.
*' 6	14	18 ’
2) 121 + Л . л.
31 — — — • А •
°' 8	15	16 *
/5	9 \	49
476-	О 6 + 14 J ' ~02~ ’
2)	15— -4^ • (
4> 3A + 2i-
к\	r *	о 3	□ 3	5
°' 31	° 16 ’ 6 20	~б'2О	'	13	’
4 9	35	_5__ч_1_	65
0)4 10	’ 36	' 1	6 15	*	69	'
34 \
— 35);
/7	8 \	1
3)	(40 -[5 — 29 35 J • 28 - 26 • т j
4)	( 31Г + 1То‘) • 1-17 + 6-ТГ 5
/	1	3 \	/	1	5 \	1
5)	[6-2--5-TJ . (13-2-- 10-6") . 1-д-.
2
477.	Средняя скорость поезда составила 50 км в час. Какое
и
13	1
расстояние пройдет поезд за -у- часа ? часа? 2 часа ?
478.	Норма времени для кладки 1 куб. м кирпичного фун-
4
дамента составляет 5 -g- часа. Сколько времени потребуется
9	3	5
для кладки -цу куб.м, 3куб.м, 10-g-куб. м?
3	1	1
479.	Куплено 2 -=-лс сукна по 22 руб. за метр и 3 м
О	Л	х
4
сатина по 1-у руб. за метр. Сколько стоит вся покупка?
480.	Скорость полета вороны составляет 40 км в час. ско-
рость скворца составляет 1 -g- скорости вороны, а скорость го-
лубя равна 1 скорости скворца. Найти скорость голубя.
481.	При асфальтировании улицы на укладку смеси вручную
3
звено рабочих затрачивает 5-g- часа на каждые 100 кв. м по-
153
Задание 48.
1.	Вычислить произведения:
,.	15	7	.	„	_2^	17	9 .
*'	28	' 30	’	°'	51 '	18 '	10 ’
2) — 	— •	—	• — •	4)	3-!--	1— •	10
£> 2	4	6	10 ’ J '’JT 8
29	4
2.	Вычислить произведение суммы чисел и на их раз-
ность.
3.	Что значит умножить любое число на натуральное число ?
на дробное число ?
Упражнения.
Выполнить умножение:
472. (Устно.)
nJ L- 4) J_ . J_ •
ч 3 5 ’ 1 10 12 ’
2) 4-- 4-«
3)4-- .г: 6)4-4;
9> 4 *
9
10 ’ Т >
3 .
7 •
Г ТГ ’ 1и' 9 г •
473
D 41 •
3) — •
35
4)21.
’ 100
7
9
25
32
21
44
16
51
б) 4г
6)-^
7>44
8) 4г
4
15
9
20
6
55
8
13
8 .
9 ’
100
153
б
9
14	____
15 ‘ 64
27
40
39
474.
1) 2— • —
z 12	58
15	7
3)204 - 1А
4)Ю4-9Н
5) 15-1--10 А;
Д' . 8 с 5	5
6^ 4 25 ‘ 5 16 ’ 17 ’
7) 8т-5ТТ '4-
15S
Выполнить действия:
475.
hl + ±.l.
2) 111 + А . Л.
31 А _ А . А.
°' 8	15	16 ’
/5	9 \	49
476 1Ц 6 + 14) • “62" ’
4	3
2) 15—-4-е- •
4> 3^ + 2^-1тг^
5)#-54-34-4-
сл а 9	35	5 __ ц 1
П10 ' 36 ’ 7 ~ °"Т5 '
34
3
1 7 — 35
5
___<
13 *
65
69 '
/7	8 \	1
Зц40 !5 — 29 35 ) • 28 — 26 • 4 |
4Ц 3 5 + 1 10 ) ‘ 1 17 + 6 17 !
/	1	3 \	/	1	5 \	1
5) ( 6-2--5-8-) • (13-г- 10-6-) .I-д-.
2
477.	Средняя скорость поезда составила 50 -=- км в час. Какое
о
1	3	1
расстояние пройдет поезд за -g- часа ? часа? 2 часа ?
478,	Норма времени для кладки 1 куб. м кирпичного фун-
4
дамента составляет 5 -у часа. Сколько времени потребуется
9	3	5
для кладки -jo* куб.м. З-^-куб.м. 10-g— куб. м?
3	1	1
479.	Куплено 2-=-м сукна по 22-^ руб. за метр и 3-~- м
О	Z	Л
сатина по 1 -4- руб. за метр. Сколько стоит вся покупка ?
О
480.	Скорость полета вороны составляет 40 км в час. ско-
. 1
рость скворца составляет 1 -g- скорости вороны, а скорость го-
лубя равна 1 --- скорости скворца. Найти скорость голубя.
481.	При асфальтировании улицы на укладку смеси вручную
з
звено рабочих затрачивает 5-у часа на каждые 100 кв. м по-
153
крытия. При укладке смеси асфальтоукладочной машиной тре-
2
буется — этого времени. Ширина покрытия равна 10 ж; снача-
ла укладка велась вручную на участке длиной 120 м, затем с
помощью машины на участке длиной 380 м. Сколько времени
затрачено на всю работу?
§ 71А ДРУГОЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
/НА НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ЧИСЛА.
В § 68 был указан способ решения задачи на нахождение
дроби числа. Так как умножение числа на дробь есть нахожде-
ние дроби числа, то новый способ решения этой задачи заклю-
чается в следующем: чтобы найти дробь данного числа, доста-
точно умножить это число на дробь.
5	3
Пример. Найти -у- от 1 у .
п	. 3	5	8-5	8.1
Решение. 1 -г- • ~=г =	= -=- = 1	.
о	1	5*7	7	7
Задание 49.
1.	Вычислить устно:
1)	4- °’ 4-; 2) 4- °* 4- ; 3) X от 34; 4) у от 12.
и	О	о	*	1 /	О
2.	Найти:
14	21	50	04	33	„ 50	40	9
25	°’ “8Г	*	20	°’ 99	’ 3) 87	04 2 10	’
3.	Площадь пришкольного участка равна 1 га Сад зани-
3	1
мает -у участка, под кукурузой занято участка, а осталь-
ная площадь отведена под овощи. Какая площадь отведена под
овощи ?
4.	Как найти дробь данного числа?
Упражнения.
482.	Найти:
1)	4"°’4 =	3) 4 от4:	5)-g- от б4 :
2)	4-от	4) 4от 2;	б^отг^.
154
483.	Найти:
n 1 ™ 15 • q\ 33	35	25	_ 17
О	6 0Т 16 ’ 3) 14 01 39 ’ 5) “ПГ01 5-20";
2)	-gT 0Т V ’	4) ТО ОТ 1 ~Т ’ 6> "4б~ 0Т 3	•
484.	Выполнить умножение:
1)	4.3; 3) 12А ' 6; 5) 5 4  1 4- ; 7)284.3(4.
2)	4-7; «зА.Ц; 6) 10-4 4-4
485.	Колесо велосипеда делает в среднем 150-^- оборотов в
минуту. Сколько оборотов оно сделает за -у мин.? за 4 мин.? за
5 мин.?
486.	1) При переработке сахарной свеклы получается
сахара (по весу). Сколько сахара будет получено из m сахар-
ной свеклы ? из 5 т? из 6 4- т?
4
з
2)	Для подвески линии связи требуется 98 кг стальной
О
3
проволоки на 1 км. Сколько проволоки нужно на км? на
5 км? на 20-^- км?
з
487. 1) Составить задачу на нахождение от некоторого
числа. Решить эту задачу.
2) Составить задачу на нахождение
2
6 от некоторого числа. Решить эту
О
задачу.
488. 1) Рекордсмен в тяжелом весе
(рис. 56) выжал штангу весом 162-|-кг,
а второй штангист, выступавший в
легчайшей весовой категории, вы-
жал -ру этого веса. На сколько больше
выжал первый ?
Рис. 56.
2) Составьте сходную задачу, используя, например, результаты
школьных соревнований по прыжкам в длину.
1	5
489. 1) У мальчика было I -у руб.; этих денег он ис-
-	2
тратил на билеты в кино, а за книгу уплатил -у- остатка. Сколь-
ко денег осталось у мальчика?
2) Пионерская дружина школы за собранный металлолом по-
1	4
лучила 312 у руб. Ребята решили -у этих денег истратить на
„	з
телевизор для пионерской комнаты, -у остатка отложить для ту-
ристского похода, а остальные деньги истратить на материалы
для технического кружка. Сколько денег было истрачено на ма-
териалы?
Г2.] ОСОБЕННОСТИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА МНОЖИТЕЛЯ.
Названия данных и результаты умножения для дробных чи-
сел остаются такими же, как и для целых чисел.
Рассмотрим следующие случаи умножения.
1. Умножение на 0 и на I.
Произведение дроби на 0 и на 1 определяется так же, как
и произведение натурального числа на 0 и на 1 (§ 15).
П р и м е р ы. • 0 = 0;	• 1 =-•	.
/	о	и
Для этих случаев справедлив переместительный закон умно-
жения:
JL . о = 0 . — = 0* —. 1 = 1—
7 и „ и . 7 — и, 3	1 — 1 з з •
Вообще,
—-0 = 0- — = 0;
п	п
т । __ । tn _ т
п	п п '
2. Умножение на число, большее, чем Ь
Рассмотрим несколько примеров.
1)	2-6 =16 у; произведение 16у>2у.
2)	2у 5—• = ~Ч*п~ “ 14; произведение 14 > 2 -у .
156
сх 2	8	16	. 1	.12
3)	Т "У = ТУ = 1 15 : произведение 1	> -у
Какой вывод можно сделать из этих примеров ?
При умножении числа (не равного нулю) на число, большее 1,
получается произведение, большее множимого.
3.	Умножение на правильную дробь.
Рассмотрим несколько примеров:
1) 40 	= 25; 25 <40
о.	2	5	5	5	.2	28
2)	3	’ 8	— 12	’	12 < 3	’ ТЭК КаК 3 — 12	'
При умножении числа (не равного нулю) на правильную дробь
получается произведение, меньшее множимого.
Задание 50.
1.	В каком случае произведение равно множимому?
2.	В каких случаях произведение меньше множимого ?
3.	Сравнить по величине, не производя вычислений:
1)	3-1-.2 и 3-L;	3) -2-• 2-1-И Ц-;	5) 1 . А » А
2)	Ю • -у и 10;	4) 0 • и 0;
Упражнения,
490. Что больше:
1)	297 или 297 •
2)	297 или 297 •	?
z	о
3)	15-|- или 154.1 4-?
Вычислить:
491 1) J2. ,  I _ . _1Ё. •
4^1. L) 13	6 -Г 10 2б ,
20
21	15 “Н 20	7 ’
n 8	п 8	12
4)	9-уу или 9-jg- •-jy?
5)	26 4 или 26-|- • 4?
6)	7-4 «ли 7-4 • °?
О	о
3)	2 4 • 22 + 33 • 5 2 :
157
4)
5)	4-‘ + ‘-1-п- + 2874-<):
6)	o-54 + 7-f-'1-1'6-n--
9	32	7	9	5
35 * 16	20 ’ 21 ’
0 12	13 Z 8	14 *
4)	74-4-14---тг;
5> 8-^г2^г-54-#;
6> 20tI'24~104-3-^-
49з.	о 34+4.14—24.14-:
п\	10	5	1Л 5	9	- о	25
2)	12	6	10	6	•	26 + 7 • 3	42	;
о\	/о	3__13	\	.	3 _3.1	5
9	+ 18 /	1	7	6 1	18	’
4)	(|2-|— 104). >+ 12+ -8;
ех 1 л 7	. 7 / 24 35	20 9 \
°) 14 12 4 12 Д 25 ’ 36	27 ’ 20 Л
6)	(13-5. 14). (13+5. 14).
494.	Решить уравнения:
1	\ 9 3 ।   15 «	п\ 12 15      1 ,
1)	2 4 + X — 16 8,	3) 25 ‘ 28 Х ~~ 10 ’
П\ lr!	1q3	.13 q 6 q3
2)	У 4- 5 3 • & — 12 -g-1	4) у 1 -jg- • 2	3 б
158
495.	Расстояние между двумя городами равно 353^- км. Из
них выходят одновременно навстречу друг другу два поезда. Сред-
няя скорость одного поезда составляет 58-=- км в час, а другого
з
60-jQ- км в час. Каково будет расстояние между поездами через
1 часа?
О
496.	Из двух автостанций навстречу друг другу выехали два
легковых автомобиля: первый шел со скоростью 72-^- км в час,
з
автором	в час. Известно, что первый автомобиль отправился
3	„	А 1
на -=- часа раньше, чем второй, и что они встретились через 4 -=-
О	О
часа после выезда первого автомобиля. Чему равно расстояние
между автостанциями?
497.	Из двух рабочих, занятых окраской крыши, первый мог
выполнить всю работу за 10 час., а второй за 15 час. Рабочие
проработали вместе З-i- часа. Какую часть работы осталось вы-
полнить?
498.	Один кран может наполнить ванну за 12 мин., а другой
за 20 мин. Сначала 3 мин. был открыт только первый кран, затем
еще 4 мин. оба крана действовали одновременно. Какая часть
ванны осталась незаполненной?
499.	Сравнить по величине произведения:
п75	9	13	.	7	5	9	13	7	5	9	13.
1 8	’	13 ’	8	’	'	8	’	13	' 9	И	'	8	*	13	'	15 ’
п\	1 с 5	.1	2	ic5	.1	4	1	г 5	.1	2
2)	-jg-	•	1 -тг • —;	15	i6	•	1 — •	—	н	15-jg-	•	1 -g- •	—.
500.	Я задумал число. Когда к этому числу прибавил 3	, а
2	5
затем вычел 1 -у, то получил 6 -у. Какое я число задумал?
ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ.
Все законы умножения, изложенные в § 16, остаются верны-
ми и для дробей.
1.	Переместительный закон.
5	2	15-2.1	1
7 ’ 3 ’ 10 ~ 7.3- 10 — 21 ‘
159
Проверьте на этом примере» что произведение не изменится
от перестановки сомножителей. С этой целью вычислите произ-
ведения:
п 2 А А	А	5	2
3 ’ 10 ’ 7 ’	10 ’ 7 ‘ 3
Почему не может измениться произведение?
2.	Сочетательный закон.
Прочитайте об этом законе в § 16 и проверьте, что
2	3	4___2	/ 3	4 \
7 ’ 5 ' 9	7 *	5 ’ *9~ J
Изменятся ли произведения числителей и знаменателей, если
мы объединим сомножители в группы?
3.	Распределительный закон.
7	3	3
Произведение суммы дробей -ру 4- -тх- на дробь -s-г- вычисляет-
I"	1Z	1 J
/ 7 Э \	3 _ 10	3 = 10 • 3 _ 5
ся так: 12 + 12 j ' ц ~ 12 ’ 11	12  11 “ 22 ’
X/	3
Умножим теперь каждое слагаемое на -рр и полученные про-
7	3	3	3
изведения сложим:	 ур + 77 ‘ yf
Вычисляя каждое слагаемое этой суммы, получим:
п2_ А-А. 91 А А_А
4 12 ’ II “ 44 ’	12 * 11	44 *
Сумма этих произведений равна:
7	3	10	5
44 + 44	44	22 ‘
Получили тот же результат. Следовательно,
/ 7 з \ з___________________7 з з з
Т2/	11 “ 12	11 + 12 • 11 ’
Итак, чтобы умножить сумму на дробь, можно умножить каж-
дое слагаемое на эту дробь и полученные произведения сложить.
С помощью букв законы умножения можно записать так:
i\	°	т - т	°
'	b	п	п	b *
л.	а	с	гп ___ а	( с	in\ ф
'	d’	d	д	д	d	Л/
160
3) (v+-d-J-V=V’-7r + -T-^-'
Задание 51.
1. Вычислить устно, применяя законы умножения:
d4'74'4’ 2>2-4-4; 3>(4+4)-7-
2. Вычислить:
5—* — . 24 4- — • Ю • — 4- 9 —
2	144	25	38	“ 9
1	39
2 ’ 40 *
Упражнения,
501.	Показать справедливость переместительного закона на
примерах:
11 3 . — . -2 •	3) 3 — • — • 1 — *
^8	25	9 ’	6 4	25	1 15 ’
502.	Произвести умножение, объединяя сомножители в группы
наиболее выгодным способом. Какие законы умножения приме*
няются при этом?
9	25	. ох 16	9	2	27_.
14 ’ 33 ’	3 ’ 4 ‘ 9 ' 16 »
25	9	,	39	35	8	81
39 ’ *32~*	4 ’ 81 ' 39 ’ 35 '
18 ‘ 25
(6	13
27 ‘
503.	Показать справедливость распределительного закона на
примерах:
1) / Л _i_ _Л . А.	4) (11 JL 9	. Л .
16 + 12 у 25 ’ Ц ю и 12 у 45 ’
2> (32 + 10} ‘ 27 ’	5) р Т+ 2т+ 3’5") • 4~г-
(Ч	1 \	7
64-+34)-‘-п-;
504.	Проверить справедливость равенств:
1 ( 17 Ji — 21 Л______________1 Л •
("JS-- 7 J ’ 17 ~~ 35 * 17	7 * 17 •
21 /о 2__ 1 ЛЬ = 2^ •	1 — . -!1{
21	40	1 20)	29	40	29	20	29 ‘ 6
6 Заказ /й 316
161
3> (24 +3 4-44)'8t-2t'84-+3v-84—
— 4 JL . 8 _1_
10	0 7 •
505.	Вычислить наиболее удобным способом:
1)	5 . з J и -11 . з 1 .
^18 6 4 + 18 ° 4 *
п\ с	2	3	।	о	9	3	в
2)	5	Н	’	7	+	8	и	7	•
3)	44-24 + 2т2т~74-24
4.	г	5	J3,	q	JL	Л.
°	6	’	120	°	6	'	120	0 3 ‘ 120‘
506.	Вычислить:
п	10	л	7	7	13	г	1	_9_,
21	‘	9	20	18 '	°	3	26 ’
9.	д 1	20	81	_ 5	15	64_.
4	7	'	27 ’ 100 + ' 8	32	’ 75 ’
7 7 25 5 Q 2 8 33 .
' 10 ’ 27 ‘ 33 д 11 ’ 81 ’ 70 ’
4)	9 TF ’ 2 T ‘ 1 21 “' 14-(Г ’ Тб '85' :
5)	224 • 4г- 1 4г~174г • ТГГ • 0;
/_5_	9	. 32__15	16	-\ 4 _8_____- _9_
6)	14 ' 22 ' 1 45 + 32 ' 25 ' й) ' 4 9	° 10 ’
507.	На складе имеются дрова трех пород: мягкой по цене
3	4
2*10 за м> смешанной по З-g- руб. за куб. м. и твер-
дой по 4 4 РУб- за куб. м. Отпущено за неделю 45 куб. м
дров, поровну каждой породы. Сколько стоят все отпущенные
дрова?
508.	Куплено по 2 4 кг печенья трех сортов ценой 4 РУ®-*
4	О
9	9
руб. и 1 -у- руб. за 1 кг. Сколько стоит вся покупка?
162
509.	Решить уравнения:
d * + 34 •4-4 = 4-14 =
2)	б4-!4 •4 + - = 4-24--
510.	Контрольное задание.
1)	Моток электропровода длиной 60 м разрезали на 3 части.
5
Длина первой части составила всего провода, длина вто-
3
рой части---остатка. Какова длина третьей части ?
3)	Решить уравнение: 2 -------х = 1 —-.
511.	Контрольное задание.
1)	Участок площадью 72 га вспахали за 3 дня. В первый
день вспахано поля, во второй остатка. Сколько гек-
таров вспахали в третий день?
/ А 3	5	[ 1 4	1	1 q 1 о со 11
2)	(	’ 17	6 + 15	9	3 2 '3J*8 5^"12’
5	5
3)	Решить уравнение: х + 3 -g- = 4 -уу.
НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ.
Решим задачу: дробь числа известна, найти это число.
з
Задача 1. Площадь 60 га составляет — площади всего по-
ля. Вычислить площадь этого поля.
Если для решения этой задачи использовать рисунок 57, то
надо иметь в виду что заштрихованная часть составляет 60 га,
а площадь всего поля неизвестна. В задаче
была известна площадь всего поля, нужно
Решение. В данной задаче известно,
ля равны 60 га. Следовательно, в 3
6»
1 из § 68, наоборот»
з
было найти -з- ее.
4
3
что — площади по-
60 га
Рис. 57.
раза меньше, т. е.-|-площади поля равна-у- га. или 20 га. Вся
площадь поля равна 20 га-4 =80 га.
Если площадь поля обозначить буквой х, то решение задачи
можно записать короче:
— х = 60 га;
4	’
-Jp х = 20 га;
4	’
х = 80 га.
5	3
Задача 2. 1 -у некоторого числа равны 2-у. Найти это
число.
Решение. Обозначим искомое число через х и, выразив
смешанные числа неправильными дробями, запишем:
13	13
8 Х “ 5 ’
1	13	1
ТХ “ 5-13 ~ V ’
1-8	8	.3
х=-Т-=-5-=
Итак, нахождение числа по его дроби выполняется по такому
плану:
1) находят одну долю искомого числа; 2) находят искомое
число.
Задание 52.
5
1.	Израсходовано 30 руб., что составляет -у всех денег.
Сколько было денег?
2.	Задумано число, которого равно 2	. Какое число за-
думано?
3.	Составить задачи на нахождение дроби числа и числа по
его дроби. Объяснить, как они решаются.
Упражнения.
512.	а) (Устно.) Найти число:
1	13
1)	-j- которого равна 13; 4) -у- которого равна
2)	-К которого равна 15; 5) -К которого равна
1	1	ч
3)	-у которого равна 11;	6) -уу которого равна ур
164
б) Найти число:
3
1)	-р- которого равны 24;
и
5
2)	которого равны 40;
ох 4	16
3)	— которого равны
5	15
4)	которого равны ;
о	OZ
5	„1
5)	-jy которого равны 4-g-;
4	з
6)	-g- которого равны 3 у^ ;
_ 17
/) -g- которого равны б4;
25	50
8)	-у которого равны-у-;
20	п 3
9)	-гх- которого равны 2	;
1 о	zb
,п. 40	_ 5
10)	-~=- которого равны 5 ту.
io
513.	Девочка прошла на лыжах 300 м, что составило -д-
всей дистанции. Какова длина дистанции?
з
514.	Свая возвышается над водой на 1 -у^ м, что составляет
13
длины всей сваи. Какова длина сваи?
нужно для выполнения всей работы?
з
516.	Канавокопатель прорыл 1км канавы, что составило
13
кё* намеченной работы. Какова будет длина всей канавы?
2
517. На приобретение спортивного костюма потрачено 16 -г руб.,
и
4	TZ
что составило -г?- стоимости пальто. Какова стоимость пальто и
15
костюма вместе?
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ЧИСЛА.
Определение. Два наела, произведение которых
равно единице, называются взаимно обратными.
Например:	= 1; -1- . 5 = 1.
О	Z	Э
2	3	1
Числа	и —- , а такжеи 5 будут взаимно обратными.
О	Z	о
Число, обратное натуральному числу, есть дробь, числитель
которой 1, а знаменатель—данное натуральное число.
Пример. Числа, обратные 7, 10 и 23, будут соответственно
7 1 10 11 23 •
165
Число, обратное данной дроби, есть дробь, у которой числи-
телем является знаменатель данной дроби, а знаменателем — чис-
литель этой дроби.
5	1	1
Например, числа, обратные дробям-у, То^-у, будут со-
12 1П 5
ответственно Юи-тт-.
5	11
Число, обратное 1, будет 1. Для нуля нет обратного числа.
Задание 53.
1.	Написать числа, обратные следующим числам:
12; 100; X; ; -1-; 3. ; 3 ± ; 10-1- .
2.	Какие числа называются обратными? Привести примеры.
3.	Почему 0 не имеет обратного числа?
Упражнения.
518.	Написать числа, обратные числам:
1)9; 23; 1;-1;	• 2.;	22_; 9-1; 2оА.
9\ I?-_1_ * .2— •	• з JL ю —
1G 25 ’ 23 ’ 100 ‘ ° 4 ’	5 ‘
7
519.	Засеяно -jy поля, после чего осталось засеять 24 га.
Какова площадь всего поля?
3
520.	Продано -g- полученных спортивным магазином лыж. по-
сле чего осталось 120 пар. Сколько пар лыж было получено?
3	1
521.	-к- от 12 составляют—г неизвестного числа. Найти это
5	4
число.
5	5
522.	-д- от 75 составляют-g- неизвестного числа. Найти это
число.
2
523.	Ученик прочитал 75 страниц, затем еще у этого коли-
з
чества. Всего прочитано у книги. Сколько страниц в книге?
1	3
524.	Велосипедист проехал 12—юн и еще —этого расстояния.
2
Осталось ему ехать -у всего пути. Сколько километров содер*
жит весь путь?
166
525. Вычислить:
f94 _L . JL %4 _____7-2	. 19 —	*5 .
\	6	6 * 29	35)	13 64 ’ 34 ’
2)	26-,1 +(i2A-24-8t 1 i  4)-
Q\ / 9 5	2	«5\q2	*	17
бЦ2 8	3 ’ 2	14	j ' 1 3	1	21	’
4\ (49 __25	3	, 1	4 \ ' 3__7	.	3	.	1
4Ц4У 24	2b	4	1	5 )	7’8	5	1	7	’
ДЕЛЕНИЕ ДРОБИ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО.
Данные и результат при делении дробей имеют те же назва-
ния, что и при делении натуральных чисел: делимое, делитель и
частное.
Определение действия деления остается для дробных чисел без
изменения: деление есть действие, посредством которого по произ-
ведению и одному из сомножителей находят другой сомножитель.
Убедимся, что это определение применимо для случая деле-
ния натуральных чисел, рассмотренного в § 49.
2
Например, из произведения 3 •	- 2 согласно определению
и
2
действия деления следует, что 2:3 = -х-.
Такой записью мы и пользовались в § 49, считая, что частное
от деления двух натуральных чисел есть дробь числитель кото-
рой является делимым, а знаменатель—делителем.
Если дано произведение п* ~ =т (буквы тип обозначают
натуральные числа), то согласно определению деления имеем:
т
т : п = — .
п
Рассмотрим случай деления дроби на натуральное число
з
Пусть надо разделить на 2. Обозначим частное через х и
3 о
запишем : 2 = х.
D
По определению действия деления это означает, что нужно
3
найти такое число х, чтобы 2«х = Полученное равенство по-
з
называет, что х в два раза меньше, чем -т-.
О
167
IO
Следовательно, число х должно составлять от , или
3	1
Х ~ 5 ’ "Г ’
з
Но х обозначает частное : 2, следовательно,
А-? _ 3 JL-JL
5 ’	5'2	10 *
Чтобы разделить дробь на натуральное число, достаточно ум-
ножить ее на число, обратное делителю.
При делении дроби на натуральное число дробь уменьшается
во столько раз, сколько единиц содержит натуральное число.
3	3
В данном примере дробь -у— в 2 раза меньше дроби
При делении смешанного числа на натуральное число следует
смешанное число выразить неправильной дробью, а затем приме-
нить предыдущее правило.
о 2	•	99 - 11	.	99 - 11	1	11	„ _L
° 3	’	~ 3	’	“ 3	* 22	~ 3-22	6	“
Задание 54.
1. Вычислить частные:
2) А:Ю; 3)3 4-: 50;	4)5-|~--4.
3	7
2) Уменьшить сумму чисел	в2 раза, в 37 раз, в 111
раз.
1	2
3) Вычислить среднее арифметическое чисел: Зу, 5 п 4у.
Упражнения.
9
526.	Огород площадью га разделен на 6 равных участков.
Какова площадь каждого участка?
527.	Резиновый шланг длиной 12 -у- м разрезан на 7 равных
частей. Какова длина каждой части?
Выполнить деление:
S28.	1)А:2; 3)-n~:5:	7>~з/:33;
2)4;3;	6) £: 28;	8)4:80.
168
529.	l)4--4;	3)-g-:6;	5)	-И-: 26;	7)	: 125;
2)4:7=	4)^:9;	6)	: 27;	8)	; 44.
530.	1)24-: 5;	3) 6: 29; 5) 12 4-;: 27; 7) 30-4 : 5.
2)3-4'10; 4)8-4:36; 6)20-|-:50;
531.	1)1 ’ -6; 3) 5-4:8;	5)13-Д-:58; 7) Юо4-.Ю;
2)	4-4:9; 4) 11 4 : 27; 6)16-4:96; 8) 24^:384.
О	i и	1Э	1 ЛЭ
532.	Вычислить:
'>(те + т>):5: 3> (4-—-пг) • 3-	5> ( 8Т + 5т): «•
2)(4+4):‘»(2т“4):|0’ 6>(|24--9т):4-
ДЕЛЕНИЕ НА ДРОБЬ.
5	3
Пусть нужно -Ут,- разделить на . Обозначим частное через
х и запишем:
5 . _3
12 * 4
= X.
Из определения действия деления следует, что
3	5
4 х “ 12 '
3	5
Эта запись означает, что-^- от числа х равны . Вычисле-
ние числа х сводится к решению задачи о нахождении числа по
его дроби:
- _ 5*4
* ~ 12-3 ‘
~	5
Этот же результат можно получить, если делимое — умно-
4
жить на число, обратное делителю, т. е. на .
О
169
5	3	5	4	5-4	5
отсюда следует, что -jy -	' -у = 12.з = “9" '
Деление натурального числа на дробь не отличается от деле-
ния дроби на дробь, так как любое натуральное число можно
записать в виде дроби.
з
Например, для вычисления частного 5 : -g- можно 5 записать
к 5
в виде дроби — :
к .	3 _ 5	8___40 _	io J_
°4	8 “ I	3	“ 3 “	3	'
Однако нет необходимости натуральное число выражать в ви-
де дроби. Достаточно делимое умножить на число, обратное де-
лителю:
5:4-5. ’	«	13Ц-.
При делении смешанных чисел их обращают в неправильные
дроби, а затем производят деление:
О 2 , Q 7 _ 12 , 52	12	15	1215 __ 36 __ 9
5 : 15 — 5 ' 52 “ 5-52 ~ 52 ~ ТГ ’
Таким образом, деление на дробь выполняется по тому же
правилу, что и деление дроби на натуральное число (§ 76).
Чтобы разделить одно число на другое, достаточно
делимое умножить на число, обратное делителю.
Замечание 1, При делении дроби на натуральное число
возможен случай, когда числитель дроби делится на это число.
и	18 п 18	2	2
Например. 77 :9 — 77 9	77j — 77
Тот же результат можно получить, если разделить числитель
на данное натуральное число, а знаменатель оставить без изме-
нения.
18 .о — 18:9 __ 2
77	:	у —	77	—	77	.
Такие вычисления нужно по возможности выполнять устно.
Замечание 2. Задачу о нахождении числа по его дроби
(§ 74) будем теперь решать, используя определение действия де-
ления.
2	8
Например: пусть неизвестного числа равны -5- . Если не-
О	У
известное число обозначить через х, то
170
к Найти дробь числа.
Длина грубы 100 см
Сколько сантиметров
составляет Дее длины9
120см
X ?120-
Задача решается умножением.
X - 100см
II Найти число по его дроби.
Чему равна длина трубы,
если | ее длины равны 120см?
Задача решается делением.
X- 144 см
Рис. 58.
, По определению действия деления
8	2	20 п 2
X==V =	=2 V
Чтобы найти число по данной величине его дроби, нужно дан-
ную величину разделить на эту дробь.
Замечание 3. Нахождение дроби числа выполняется ум-
ножением. а нахождение числа по его дроби — делением. Запом-
ните разницу в решении этих задач, используя рисунок 58.
Задание 55.
1.	Вычислить: 1) 4г :	! 2) 2 4- •’ 3 4-; 3)	: 30.
'33	55	7	4	4 ’	' 125
2.	Каким правилом пользуются при делении дробных чисел?
з
3.	Чему равен весь отрезок, если -у его составляют 12 сл:?
4.	Каким действием решается задача о нахождении числа по
его дроби? Как решается задача о нахождении дроби числа?
Упражнения,
Выполнить деление:
533.	1)	>4-	2 ; “Г *	3>4:	4 : Т ’	5>4:	18. 77 •
	2)	3 ю :	5 7 ’	4)>:	16 . 45 *	к, 31 • 100 '	124 125 '
534.	1)	5 14 :	5 ’	з>4	6 : 25 ’	5) 91 • й> 100 •	39 50 ’
	2)	7 ,	5	.v -1L	22	fix 57	•	95
		12 :	11 •	4) 20	: 35 ’	6) тг-	128 *
535. 1) 4 :-g- ; 3) 15-J-; 5) 30:-|£-;
2)12:-J-;	4) leg; 6) 42 ; > .
536 1) 8:4-; 3) 20:-4-; 5)108:44; 7) 0 : -g-;
U	OZ	vj
2)21:^-,	4) 1:^; 6)100:-^; 8)0:7->.
537.	Выполнить деление наиболее удобным способом:
!)4- 8;	3)-ЛГ;8;	5)#; 6:	7)3-4:11;
2)	: 15;	4) -g-: 4 ;	6) 44 : 10;	8) 5 ; 7.
538.	Выполнить деление:
"2Т:Т-. 3>4:64: 5>|о4: ‘4- 7> 16 Т  24 W
2)6i:i; 4)#:2^; 6) 8^:10^; 8) 11	: 2 £.
539.	1) l-i-.-i; Ч-И- : 7^; 5) з: 1 -i-;
2> 44:^h 4»4>hll)4: 6>1 -А-=3 4-;
7) 21 — • 2 — •
Z 4 ’ Z 10 ’
8) 12-jg-: 5 -gg-.
11	33	а 3 . 3
4 15 : 125 ’	° 11 : 11 ’
9)	20 • 15 •	4\ 15— * — •
49 • 77 * V 8 ' 8 *
541. Вычислить:
п 22	1 1 , 1 3 л	пч
-2Г: 11 + 1^;4;	3> ЧТ ;
540. Выполнить деление, правильность деления проверить ум-
ножением:
5) ISA: 34-;
6) 100 4J: ю44
10	J о
.2	5	.	3
:	3	8	:	4	’
QX	16	. Л	,	Q	4	.	с.	4V	13	.	1	1	9	-	Q	3	•
2)	27	. 4	+	3	7	. 5,	4)	25	•	1	5	16	’	3	8	’
т
5) 54-:24- + 7^:14;
6)
3	31_____„ 7 .	5
10 • 50	3 16 • b 12 •
26	.	39	21	50 .	„	5	25	.	6 .
35	'	50	+ 25	' 63 '*	17	: 34	’	35’
2	1
41	75	15 . 25 ,	7. 12 Т ’ 4"5~.
60 ’ 82	'	34 ’ 68 ’	1	’
5Т
3
3)124-: 4-1--34.-g; 8) -
2  • fi —•
“5	7
1 5 *	5	7
10 ? • 90 з__5 A .L * о\ 7_________9	1 -
4) 1U 8 . 2U 10 b 7 . 1д , У) !	9
2 27 "22
8	25	10
15 ’ 64 ’	21 ’
3	8
543.	За 1 — часа выполнено -yg- всей работы. Какая часть
работы сделана за 1 час? Сколько времени потребуется для вы-
полнения всей работы?
544.	За 2-i- кг товара заплачено 4-^- руб. Сколько стоят
3
6 jo кг товара?
3	2
545.	Куплено 6-^- jh штапельной ткани по 2-у руб. за 1 ле.
Сколько можно на эту же сумму купить ткани другого сорта по
4
цене 1 -уруб. за 1 л?
3	1
546. Центробежный насос за-уф- часа перекачал 97 куб. м
воды. Какова часовая производительность насоса (в куб. лг)?
Сколько воды он перекачает за 3-^- часа?
547. Экскаватор за 2-^- часа работы вынул 137 Ц- куб. я
грунта. Сколько грунта будет вынуто за 3 смены продолжитель-
з
ностью по 6-*- часа каждая?
173
свойства произведения и частного.
Все правила об изменении произведения и частного, изложен-
ные в § 29 и 30, а также все выводы о зависимости между
данными и результатами умножения и деления (§ 25) остаются
справедливыми и для дробных чисел.
n	lx 3	10	3-10	2	,,
Примеры, 1) -z- • -кг = R- ог =	 Увеличим один из
О	Z1	О * Z1	f
3	6	„
сомножителей в 2 раза, например вместо -у возьмем у. Иолу-
0	10	6-10	4
чим произведение	— -е—^г- =	которое также в два
О	Z1	О * Z1	/
-	2
раза больше, чем -у .	’
2)	5 :	= 60, а 5 ; -Д- = 20. Делитель увеличили в 3 раза,
а частное уменьшилось в 3 раза.
4	8
3)	Решить уравнение: 2 -у • х =	.
тт	V	8
Неизвестный сомножитель х равен произведению-^-, деленному
4
на другой сомножитель 2 -j- :
8 . о 4 _ 8 , 18 _ 8-74
Х “ 21 : 2 7 ” ’2Г : 7 “ 21 • 18 “ 27’ ’
JX п	16	2
4)	Решить уравнение:	Применив правило на-
Zo	О
хождения делителя, получим:
_ 16 . 2 _ 16 • 5 _ 8	, _3_
Х ~ 25:5~25-2— 5~
В дальнейшем мы будем пользоваться также основным свой-
ством частного: если делимое и делитель умножить или разде-
лить на одно и то же число, не равное нулю, то частное оста-
нется без изменения.
Примеры. I) 12 Д-: 5 = 2 Д- ; умножая делимое и делитель,
4
например на получим:
(12 Д- • ДД : (5 • ДД = 10*: 4 = 2 Д- Частное осталось без
I 2	5 / I □ J	2
изменения.
174
1	1	33-2	3
2) 8—г- ; 2-х- — —=-=3-^. Разделим делимое и делитель
4	Z	т • О	1U
г 1
иа 5
/г, 1 	1 \ . IО 1 . С 1 \ _ 3 . 5 _ 3 • 11 _ 9 3
4 ’° 2 j 2 '° 2 ) ~ 2 ’ 11 — 2-5 “15 10 •
Частное не изменилось.
Задание 56.
1. Решить уравнения: 1) х-3-^- = 4;
2) у. 4 = 34-;
3)
2.	В чем состоит основное свойство частного? Объяснить, ис-
пользуя пример.
Упражнения.
7
548.	Произведение двух чисел 5	. Чему будет равно про-
изведение. если: 1) один сомножитель увеличить в 5 раз? 2) один
сомножитель уменьшить в 19 раз? 3) один сомножитель увели-
чить в 12 раз, а другой уменьшить в 3 раза?
549.	Частное равно . Чему будет равно частное, если:
1) делимое увеличить в 12 раз? 2) делитель увеличить в 25 раз?
3) делимое увеличить в 18 раз, а делитель увеличить в 9 раз?
550.	Решить уравнения:
1)	X-3-1-=15; 4) х + 3-Ь:4г=12: 7> 5 Ц- •' т = 5 V ’
2)	х: 4- = 1-|-; 5) б4-.!/ = Д-;	8) п- 1 А = 7 2-.
3)	12:х = 3-4 ; 6) у. 2 4- = 14-;
1	2
551.	Поезд прошел 20 — км за -у часа. Какова средняя
скорость поезда? Какое расстояние пройдет поезд, двигаясь с та-
- 1 .
кои скоростью 5 -5- часа?
о
9
552.	-эд площади фабричного двора занято фабричными кор-
175
пусами,-^ складами, а остальные 17 000 кв, м не застроены.
Какова площадь фабричного двора?
з
553.	Конькобежец затрачивал в среднем 1 мин. на каж-
дые 800 м дистанции. За сколько времени он пробежал 10 or?
19
554.	Выход пшеничных хлопьев составляет веса пшеницы.
4
Сколько надо взять пшеницы для получения 3-у т пшеничных
хлопьев? Хватит ли 21 т пшеницы для получения 20 т пше-
ничных хлопьев?
§ 791 ДЕЛЕНИЕ СУММЫ НА ЧИСЛО.
'ЧЯВг	/	4 \
Пусть надо вычислить частное 112 + -^-1: 3.
Деление на 3 можно заменить умножением на Jp и приме
о
нить распределительный закон умножения:
(12 + 4) : 3 - (12 + 4)- 4 =|2- 4 + 4 -4=12:3+4:3.
Отсюда следует, что
(12 + 4-V3 = 12:3-|-4-:3.
I о /	о
Чтобы разделить сумму на некоторое число, достаточно каж-
дое слагаемое суммы разделить на это число и полученные част-
ные сложить.
Это правило иногда выгодно применять при делении смешан-
ного числа на натуральное число.
Пример. 124-:3 = 12:3 + 4-:3 = 4 + -4 = 4-i--
О	О	1D	10
Разумеется, что при вычислении надо применять устный счет
и записывать короче:
4	4
124:3 = 44.
Замечание. Правило о делении суммы на число можно
применять при делении смешанного числа и в том случае, когда
целая часть его не делится на натуральное число.
Пример.
1L — 1 Л
105 - 1 105
1з4--14 = (14+1 4): 14= 1 + тЙт = 1 +
176
При вычислениях нужно применять устный счет и записывать
короче:
15 7 • ] 4  1 22 _ 1 JJ_
10 15 ’ 1	1 15-14 “ 1 105'
Задание 57.
1. Проверить справедливость равенств:
/15 г	5 \ _	15	г	,	5
1)	( 28 + 14 ) ’ 5 ~ 28 '	5	+	14-5;
2)	/? 5	+ i AV	17 _	2	5	• 17	4- 1 А	•	17
6	’г 1 о ) •	20 ~	6	• 20	9	•	20	•
2. Найти частные, пользуясь правилом о делении суммы на
число:
1) 280 А; 14;	2) 625 4-: 25;	3) 1000 ~ : 100.
10	О	Zo
3. Найти частные:
1) 24-|_; ц; 2)55-А:18;	3)122^:20.
Упражнения.
555.	(Устно.) Выполнить деление:
1)	12-А--2;	3)16-А;4;	5) 34 А ; 34 ;	7) 120 А- : 20 ;
'	5	'	11	о5	Ы
2)	15-4-.-5;	4) 20	: 10;	6) 50 А : 25;	8) 100-А но.
Выполнить деление:
556.	1) 84 -А: 6;	3)6бА;ц;	5) 69 А : 23 ;
1Z	4	ом
2) 81 А' 9;	4) 85 А,-17;	6) 90 А _• 15.
557.	1) 44 А : п ;	3) 75-А-:15;	5)1юА;55;
2)6оА-;8;	4) 85 — : 7;	6) 202 А : 40.
Zo	1э	И
558.	1) К ванне подведены 2 крана. Первый кран может на-
полнить ванну за 6 мин., а второй за 12 мин. За сколько време-
ни наполнится ванна, если открыть одновременно оба крана?
177
2) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 10 час.,
а другая за 15 час. За сколько времени они перепечатают эту
рукопись, работая одновременно?
559.	1) Длина прямоугольного аквариума равна 48 см, ширина
5
составляет длины. Аквариум наполнен водой до высоты
1	7
17 -у см, что составляет высоты всего аквариума. Найти объ-
ем аквариума.
2) Бронза состоит из меди, цинка и олова. Количество цинка
2
составляет уу количества меди, а количество олова — половину
количества цинка.
На изготовление слитка бронзы затрачено 20 кг цинка. Сколь-
ко весит слиток бронзы?
560. Трем трактористам поручено вспахать поле. Первый мо-
жет закончить всю работу за 6 дней, второй за 8, а третий за
12 дней. За сколько дней они вспашут поле, работая одновре-
менно?
561. В бассейн проведены 3 трубы. Первая может наполнить
бассейн за 30 мин., вторая за 20 мин., а через третью из напол-
ненного бассейна вода может вытечь за 48 мин. Через сколько
времени наполнится пустой бассейн, если все три трубы будут
действовать одновременно?
ДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЧИСЛО.
Пусть надо разделить произведение чисел 20-14-8 на 7.
Чтобы разделить это произведение на 7, достаточно умножить
его на ~. Следовательно,
20-14-8 : 7 = 20-14-8-Д = (20-8)-(14-^ ) = (20-8)-(14: 7) =
= 20-8-2 = 320.
Это свойство частного можно выразить следующим правилом:
Чтобы разделить произведение на некоторое чис-
ло, достаточно разделить один из сомножителей на
это число, а затем полученное частное умножить на
остальные сомножители.
Пример. (2-K-5V- 2-Г = 2-К-2 = 4 Д.
178
При вычислении мы устно разделили 5 на 2-^- , получили в
частном 2, а затем сомножитель 2-|- умножили на полученное
частное.
Задание 58.
1. Вычислить частные, применяя правило о делении произве-
дения на число:
1) (10 • 12 • 21) : 6 ;	3) (15 • 3-|- • б) : 3-|-.
2) (15- 12): 7-Т ;
5_?_ • 18 • А
2. Вычислить: 1) -------;
Упражнения.
562, Вычислить:
1) (З-Т  26^| ; 13;
I о	I
2) (2 А . 18 • З-Ту-Э;
\ Ь	13 /
20	32 \ , 10 .
21 ‘ 81 ) : 21 ’
4) (7А.5А); ,
51 ('м  12Т  5 4): 2~г '•
6)(з4-24'21т):34--
563. Вычислить:
I)
1	2
5-4“  30- 4 у-
10
1 Л 3	2
4 ~2~ ' 9 8 ’ 6 3
3)
з4
16 JL 7
25 ‘ 5 '3 ‘ 2 “9
5	2	16
-Т ’ 54Г ’ 8"27
179
564.	Белый медведь достигает веса у т9 вес уссурийского
2	-	5
тигра составляет у веса белого медведя, а вес льва у веса
тигра. Каков вес льва?
4	4
565.	Вес лошади тяжеловоза равен	что составляет
веса слона, а вес слона составляет веса синего кита. Сколь-
oU
ко тонн весит кит?
566.	Лыжники совершили пробег за 3 дня. В первый день они
2	2
прошли у всего пути, во второй у пути, а в третий день остав-
шиеся 55 юи. Какова длина всего пробега?
567.	Норма высева озимой ржи на глинистых почвах состав-
ляет 1 у от нормы высева на песчаных почвах. Известно, что
на 100 га песчаной почвы отпущено 162 ц ржи. Сколько нужно
добавить семян, чтобы засеять 100 га глинистой почвы?
КВАДРАТНЫЕ И ФИГУРНЫЕ СКОБКИ.
Для изменения принятого порядка действий употребляются
круглые скобки (§ 32). Иногда, кроме круглых скобок, употреб-
ляются квадратные [ ] и фигурные ( ).
n	(о 5 I Г о 1 /2 . 1 \ .113) 1О
Пример. |2 -J2 + |_2 5 \ 7 + 21 ) ‘ 4 ' 10 J ’ 12'
Сначала выполняются действия, записанные в круглых скоб-
ках, затем в квадратных и, наконец, в фигурных скобках. При
этих вычислениях соблюдаются правила о порядке выполнения
действий первой и второй ступени.
Решение.
1. Вычислим сумму дробей в круглых скобках:
1 \	_I 1	1	_ в__.	1 ___ .	7 _ . _1_
' 7	21 ~ 21 Т 21	21	3 '
2. Производим вычисления в квадратных скобках; сначала
. 1 - 1 п 1
вычислим произведение 1-х- на 1-т-, а затем из 2-=- вычтем
<5	4	и
это произведение:
2) 1 _L . 1 _L = 2 * 4 • 5_ = JL = I — •
3	4	3-4	3	3 '
о\ n 1	1 2   . 3____Ю  
2 5'	1 3 " 1 15	15 ~ 15 ’
180
3. Произведем вычисления в фигурных скобках, для этого
3	5
сначала разделим предыдущий результат на , а затем к 2
прибавим полученное частное:
8 . 3 __ 8 ’ 1° _ 16 _ . 7
15 ' 10 “ 15 • 3 “ 9 ~ 1 9 ’
5)
5	। 1	7	_ q	15 + 28	_ Q 43 А 7
12 + 1	9	~ d 36	~ 6 36	“ 4 36	*
4. Умножим предыдущий результат на 12:
6) 4 — • 12 = 48^4 = 484- = 50-Ь•
'Jo	OU	J	J
Задание 59.
Вычислить, объяснить порядок действий:
.. 2 . 5 _9_	2 . /5	9 \,
*7 3 • 8 ’ 10 И 3 •’( 8 ’ 10 Л
1	4	4	[3	3	3 ejp
3)	Не производя вычислений, объяснить, в каком порядке
нужно выполнять действия:
( 2	_3_ Г 1	4 . / 5___3	_1_\ 1 1 _1_
I 3 + 5 ’ [ 3 +" 9 4 8	8 ' 3 j ] ]	2 '
Упражнения.
Вычислить:
568.
. / 5 . , 3 5 \ 9	.. /1О . с 2 . 2 \ 2
) ( 18 + 1 4 ‘ 14) ’ 26 ’ 4) ( 8'5 5 + 3 ) ‘ 3 ’
2> (4Т^-34--4)-1&. 5» (54- = 4 + 7:5-±-):3-+;
3> (4 + 24-4)44 6> |4-(|04-2тУ2Н-.
569- »64-4 + (12:3т + 4):
2) 4S:A+(5A. Л-ЗА); Л;
181
6) [(2:-1--4--1)-5т + 124]--35-:
7) Г ( 2_ . 1 J_1-L _L\-9_L-|-/7_L-I__L. Л1. 2-
3	*2	14‘4?р	5^\	4^4 JJ 15
1	5	5
71-4--3°-Г + -6-
182
573.	Решить уравнения.
1)	2х + (4+4-). 12=6;
2)	4х — (1 -% + -4-) •’ -у = 2 ~8-1
з)	5-(4 + 1)-2а'=24-;
q 2	/ 6 о 1 \ о 1	3
4)	в-з-г^.г-^-Зл^! -3-.
3	1
574.	Сумма двух чисел равна 15—. одно из них в 3ра-
за больше другого. Найти эти числа.
4	3
575.	Разность двух чисел равна 16 —, одно из них в 2
раза меньше другого. Найти эти числа.
576.	За два дня комбайнер убрал 38 га, причем во второй
день он убрал в 1 раза больше, чем в первый. Сколько гек-
таров убрано в первый и во второй день отдельно?
577.	Площадь, занимаемая РСФСР и Казахской ССР, состав-
4	1
ляет 19-f- млн. кв. км, причем площадь РСФСР b6v раза
больше площади Казахстана. Каковы площади этих республик?
183
578.	Две грейдерные машины закончили разравнивание доро-
ги за 4 дня. Одна из машин может эту работу выполнить за
12 дней. Сколько дней потребовалось бы второй машине для вы-
полнения всей работы?
579.	Двое каменщиков могут выложить стену за 8 дней, один
из них мог бы окончить эту работу за 12 дней. Сколько дней
потребуется второму каменщику для окончания всей работы?
580.	Пассажирский поезд может пройти расстояние между
двумя станциями за 35 мин., а скорый за 25 мин. Через сколь-
ко минут они встретятся, если одновременно выйдут с этих стан-
ций навстречу друг другу?
581.	Автобус, двигаясь со средней скоростью 42-^- км в час,
затратил на рейс 3-^- часа. Какова должна быть скорость, что-
бы время движения уменьшилось на 12-^-мин.?
582.	В трех школах 2160 учащихся. Число учащихся в пер-
. 1
вой школе в 1 -у- раза оольше, чем во второй школе; в третьей
1 А	Г
школе учится -у общего числа учащихся. Сколько учащихся в
каждой школе?
583.	Сумма трех чисел равна 42^-; второе число в 4-^- ра-
з
за больше первого, а третье в 1 -у раза больше второго. Най-
ти эти числа.
584.	Найти два числа, среднее арифметическое которых рав-
. л 7	.1
но 14 -у- , если известно, что одно число в 1 раза меньше
о	о
другого.
585.	Контрольное задание.
4
1) Две машинистки переписали рукопись за 4-у часа. Одна
из них могла закончить эту работу за 8 час. За сколько време-
ни может переписать рукопись вторая машинистка?
2) Вычислить:
Г/о 57 I г 1	1 1 \ А 23 / . 3 О	I il ол
[(3 80 + 6 ~5- :1~Т):45О Д4-^-2-8-) + Д 24’
586.	Контрольное задание.
1)	В районе два маслодельных завода. Один из них может
переработать урожай подсолнечника за 8 месяца, второму нуж-
184
но — этого времени. За сколько времени переработают урожай
оба завода, работая вместе?
2)	Вычислить:
/13 А _ 2 А. Щ . [А .(2_ .
Г 16	8	38 у [ 14 Д 12	48 JJ '
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ.
В § 26 было решено несколько задач с помощью составления
уравнений. Рассмотрим еще несколько задач.
Задача 1. Сумма чисел равна 542 (рис. 59), а их разность
248. Найти эти числа.
Решение. Разность показывает, на сколько одно из чисел
больше (или меньше) другого. Если меньшее число обозначим через
л, то большее число будет равно х + 248. Их сумма равна 542,
следовательно, можно написать такое уравнение:
х -р X + 248 = 542.
Решим это уравнение;
2х + 248 - 542; 2х = 542 — 248; 2х - 294; х = 147.
Меньшее число 147, а большее равно сумме 147 + 248 или
разности 542— 147, т. е. большее число равно 395.
Замечание. При составлении уравнения можно обозна-
чить буквой большее число. Если, например, большее число равно
у, то меньшее равно у — 248. а их сумма
у 4- у — 248 = 542.
Решим это уравнение:
2у — 248 - 542; 2у = 790; у = 395.
Получим тот же ответ: одно число 395. а другое 147.
Задача 2. Учащиеся за 3 дня собрали 3-^- т металли-
ческого лома (рис. 60). Во второй день они собрали на -у- гп
больше, чем в первый, а в третий день в 1 у раза больше, чем
в первый. Сколько лома было собрано за каждый день?
542
Х+ 248
Рис. 59
320 г
Рис. 60.
Решение. Обозначим количество лома (в тоннах), собранное
в первый день, буквой х, тогда во второй день собрано х (тон-
ны), а в третий 1 х (тонны). Если сложить эти три числа, то
получим 3	. Следовательно, решение задачи сводится к решению
такого уравнения:
х+х+-г + 1= 3 > 
Так как х + *+ 1ух = 3у х, то уравнение можно записать
в таком виде:	.	.	.
34-‘+4-3i
Решаем его:
3 1 х — 3 ——
d 2	6 20
1 о 1 о 16 Q 1	_ 4
4	’	3 2	Х ~ 2 20	’	3 2	Х ~ 2 5	’
о 4	„1	14-2
х = 2	; 3 -г
О	2
4
5  7
~	*	4	„4.1	« 1
В первый день собрали ш, во второй + -т-, или 1-^т’
г	о	U 4	Л)
„4.1	t 1
и в третий ‘ 1 —  или 1 ~5“
Задача 3. Сумма трех чисел равна 17 -у. Первое число
на 7 больше второго, а третье число на 1 меньше второ-
Л	о
го. Найти эти числа.
Решение. Так как в условии задачи и первое и третье
числа сравниваются со вторым, то буквой х обозначим второе
число. Тогда первое число равно х -р 7	, а третье х — 1 -4-.
Z	о
2
Сумма трех чисел равна 17-у, поэтому можно записать урав-
нение:	.	. .	. j .	2
(х + 7-Ь) + х + (х- 1 Р) = 17 р.
186
Решаем уравнение:
Зл- + 7-Ь— 14- = 174; Зх + б4 = 174;
Зх = 1?4-— 6 4; Зх = н4;
о	и	Z
„Н^З.З^.зА.
5	1
Второе число равно 3 у . Первое число на 7 у больше, сле-
л о । *7 1	, л 5 4~ 3	* * 1
довательно, оно равно 3-^-4- 7 — = 10 —— = 11	.
О	Z	О	о
Третье число на 1 у меньше первого» т. е. оно равно
з-|—14-=2-Ц4-= 2-4-
о	о	О	2
Проверка. Сумма трех чисел равна:
ii 1 j	I п 1	1 z? 2 4 5 4~ ic	17
11-т+ 3-6~+ 2-2-= 16----6-= 16'F=17T-
В рассмотренных задачах требовалось найти два числа, если
известны сумма этих чисел и их разность.
Такие задачи рекомендуется решать с помощью составления
уравнений, обозначая буквой меньшее из неизвестных чисел.
Задание 60.
2	2
1.	Сумма чисел равна 50 — , а их разность 4-=-. Найти эти
0	О
числа.
2.	Второй участок пути на 2 у о больше первого, а третий
на Зу км меньше первого. Чему равна длина каждого из них,
если весь путь составляет Ю5-~- клс?
Упражнения.
587.	Решить уравнения:
1)	х + х + 3->_ = 7 А; 3) х + 2х + 84= 124;
2	7	2	9
2)	х + х-4 = 54;	4) x + 4x=l4;
18?
5) х + 24*+ 4-*-= 19;
О	Z
6) з4х + х-24 = 1б4.
7	4	4	4
3
588,	1) Сумма двух чисел равна 8 — , а их разность равна 2.
Найти эти числа,
2) Сумма двух чисел равна 12-^-, одно из них на 1 -^-боль-
ше другого. Найти эти числа.
з
589,	Турист за два часа прошел 9— км, причем в первый
час он прошел на -у км больше, чем во второй. Сколько он
прошел в каждый час?
4
590.	На две автомашины погрузили 5 -у т груза, причем на
з
одну из них погрузили на — tn больше, чем на другую. Сколь-
ко груза взяла каждая автомашина?
591.	В двух самых крупных по численности населения союз-
ных республиках — РСФСР и УССР — в 1959 г. проживало
2
159-у млн. чел., причем в Российской Федерации проживало на
з
75 -у млн. чел. больше, чем на Украине. Какова численность
населения РСФСР и УССР?
592, 1) Найти два числа, среднее арифметическое которых рав-
5	3
но 20-?-, если известно, что одно число на 2 -77- меньше дру-
о	1U
того.
2) Среднее арифметическое двух чисел равно 9-у; одно из
3	tI „
них составляет -у другого. Наити эти числа.
 ВЗЯ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ КВАДРАТА
™	* ИЛИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА, ЕСЛИ ДЛИНЫ
ИХ СТОРОН ВЫРАЖЕНЫ ДРОБНЫМИ ЧИСЛАМИ.
Одну из сторон прямоугольника называют его основанием.
Другую сторону, образующую с основанием прямой угол, назы-
вают высотой прямоугольника (рис. 61).
188
S,
Основание
Рис. 61.
Если длины их выражены натураль-
ными числами и в одних и тех же едини-
цах, то для вычисления площади пря-
моугольника надо перемножить эти числа
(рис. 62). Произведение выражает число
квадратов, на которые разделен пря-
моугольник. Площадь каждого из них
равна 1 кв. единице.
Правило для вычисления площади прямоугольника кратко
читается так: площадь прямоугольника равна произве-
дению его основания на высоту.
При этом подразумевается, что длины сторон выражены в од-
них и тех же единицах, а площадь — в соответствующих квадрат-
ных единицах.
Этим же правилом пользуются для вычисления площади
квадрата.
Можно ли пользоваться этим правилом для вычисления пло-
щади прямоугольника (или квадрата), если длины его сторон вы-
ражены дробными числами? Чтобы ответить на этот вопрос, решим
задачу: «Вычислить площадь прямоугольника, если основание его
2	4
равно -у Л1, а высота равна у ло>.
На рисунке 63 изображен квадрат, площадь которого 1 кв. м,
2
и внутри него заштрихованный прямоугольник со сторонами -у м
4
и -=- м.
D
Этот квадрат и прямоугольник разделены на прямоугольники
со сторонами м и -4- м. В квадрате содержится 15 таких пря-
моугольников, следовательно, площадь каждого из них равна
~ кв. м. В заштрихованном прямоугольнике содержится 8 таких
прямоугольников, а потому его площадь равна у кв. м.
Тот же результат получится, если перемножить числовые зна-
чения основания и высоты данного прямоугольника:
Рис. 62.
Если обозначить длины неравных сторон
прямоугольника буквами а и Ьу а его площадь
буквой 3 (рис. 63). то правило можно записать
коротко так:
3 = ab.
Такая запись называется буквенной форму-
лой.
Площадь квадрата вычисляют по этой же
формуле, но у квадрата высота b равна основа-
нию а.
Задание 61,
1.	Вычислить площадь квадрата со стороной 2 ~ м.
2.	Одна из сторон прямоугольника равна 1 м. Чему равна
другая сторона этого прямоугольника, если его площадь равна
площади квадрата, указанного в предыдущем упражнении?
3.	Вычислить площадь прямоугольника, изображенного на ри-
сунке 63. Измерения произвести с точностью до мм. резуль-
тат вычисления округлить до 10 кв. мм.
Упражнения.
593.	В таблице указаны основания и высоты шести прямо-
угольников. Вычислить площадь 3 каждого из них.
№ прямо- угольника	1	2	3	4	5	6
Основа- ние а	а з 6 —см 4	9 —дм 5	12-1 м 10	24— см 5	4 — км 25	8— м 20
Высота b	6 см	2	15-1- м О	2 2- м 4	12-L м 4	12_?Jjw 5
594.	Сторона квадрата равна 3 м. Вычислить его пло-
щадь в квадратных метрах, в квадратных дециметрах, в квад-
ратных сантиметрах.
з
595.	Сторона квадрата равна 12-^- дм. Вычислить его пло-
190
щадь в квадратных дециметрах,
в квадратных сантиметрах, в ква-
дратных метрах.
596.	Площадь прямоугольника
3
равна 13-^- о. м. Чему рав-
на его высота, если основание
равно 4-^- ;и? м? 1 м? 31 дм?
о	о	10	4
597.	Площадь прямоугольника равна 120 кв. дм. Чему равно
его основание, если высота равна 12-^- дм?	1 м?
598.	Вычислить площади заштрихованных фигур (рис. 64, 65).
Для этого разделить фигуры на прямоугольники и измерить с
1
точностью до >2" мм основание и высоту каждого прямоуголь-
ника. (Результаты вычисления округлить до 10 кв. мм.)
599.	Длина комнаты 5 -у- м, высота 3-^- м. В стене имеются
1	4
два окна шириной 1 -гт л и высотой 1 м. Вычислить площадь
I и	о
стены (без окон) в квадратных метрах.
600.	Основание прямоугольника на бу ж больше его высо-
7
ты, основание и высота вместе составляют 25-г— м. Найти пло-
щадь прямоугольника.
з
601.	Длина прямоугольного участка на 12-р^- м больше его
2
ширины, длина изгороди вокруг участка равна 227 -у м. Найти
площадь участка в квадратных метрах, в арах.
602.	Сторона квадратной облицовочной плитки равна 1 дм.
Сколько потребуется плиток для облицовки стены размером
4 — м на З-yg- м. (Результаты
2
603. 5 грядок длиной 10-5-
морковью. Сколько семян по-
требуется на весь огород, если
на каждый квадратный метр
нужно г семян?
604. Вся граница прямо-
угольного участка леса состав-
округлить до десятков.)
„ . 3
м и шириной 1 -х- м засеяны
о
Рис. 65.
Рис. 66.
лйет 5 длина участка в 6 раз больше
его ширины. Какова площадь участка в квад-
ратных километрах, в гектарах?
605. От квадратного листа железа со сто-
м 3
ронои -у- м отрезали прямоугольную поло-
ску шириной б см, а затем от получившегося
прямоугольника отрезали вдоль меньшей сто-
роны полоску шириной в 2 — см. Какую
часть площади данного квадрата соста-
вит площадь оставшегося прямоугольника?
М 9м ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА КУБА И ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, ЕСЛИ ДЛИНЫ ИХ РЕБЕР
ВЫРАЖЕНЫ ДРОБНЫМИ ЧИСЛАМИ.
Такие предметы, как спичечная коробка,
кирпич, ящик, комната и т. п., имеют форму
прямоугольного параллелепипеда (рис. 66).
Прямоугольный параллелепипед ограничен
шестью прямоугольниками. Стороны этих
прямоугольников называются ребрами, а
прямоугольники — гранями прямоугольного
параллелепипеда.
Две противоположные грани называются
основаниями, остальные четыре — боковыми
гранями.
Ребра, заключенные между основания-
ми, называются боковыми ребрами. Любое
из них можно считать высотой прямоуголь-
ного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед, у кото-
рого все ребра равны, называется кубом.
Если длина, ширина и высота прямо-
угольного параллелепипеда (рис. 66) изме-
рены одной и той же единицей и выра*
Рис. 67.
жены натуральными числами, то для
вычисления его объема надо перемно-
жить эти числа.
На рисунке 67 изображен прямо-
угольный параллелепипед. Этот парал-
лелепипед разбит на кубы, ребра ку-
бов равны 1 дм.
Параллелепипед содержит (считая
сверху вниз) 4 слоя кубов. В каждом
слое 3*2, или 6, таких кубов. Таким
образом, в параллелепипеде содержит-
ся 3-2-4, или 24, куба. Объем каж-
дого из них равен 1 куб. дм. Следова-
тельно, объем прямоугольного парал-
лелепипеда равен 3-2-4 = 24 (куб. дм).
Объем прямоугольного парал-
лелепипеда равен произведению
его длины, ширины и высоты.
При этом подразумевается, что дли-
ны всех его ребер выражены в од-
них и тех же единицах; объем —
в соответствующих кубических еди-
Рис. 68.
ницах.
Остается ли указанное правило верным для таких прямоуголь-
ных параллелепипедов, длины ребер которых выражаются дроб-
ными числами? Чтобы ответить на этот вопрос, решим за-
дачу:
«Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, если его
3	2	1
ребра равны -у м, у ai и —
Такой параллелепипед изображен на рисунке 68. Он разбит
на о параллелепипедов, ребра которых равны л«, -5- м и
м. Один из них изображен отдельно; чтобы определить объем
каждого из этих параллелепипедов, разобьем куб с ребром в 1 м
на такие параллелепипеды (рис. 68). В кубе 4 слоя, а в каждом
слое 15 параллелепипедов. Всего в кубе таких параллелепипедов
15-4, или 60. Следовательно, объем каждого из них равен
бЦ” куб. м.
7 З.каэ № 319
193
615.	Измерить с точностью до
— см размеры спичечной коробки.
Найти объем коробки в кубических
сантиметрах. Сколько коробок спи-
чек можно уложить в ящик с раз-
3	,4
мерами: а — лс; о = м\
О	о
с = То м?
616.	На складе есть дрова дли-
v 1 2	.4	1	„
нои 1 Mt 1 м и -х- м. Мерка
о	z
для отпуска 1 куб. м дров имеет
длину 1 м (рис. 70). Какова долж-
на быть высота укладки дров в мерке для
каждого размера дров? (Ответ округлить до
1 см.)
617.	Форма и размеры коридора указаны
2
на рисунке 71. Высота коридора 3-=- м. Вы-
О
числить его объем.
8ОКРУЖНОСТЬ И УГОЛ
На циферблате часов (рис. 72) изображают
окружность, разделенную на 60 равных частей.
В центре окружности укреплены часовая и
минутная стрелки.
На рисунке 73 изображена окружность, ее
центр обозначен буквой О. Окружность изоб-
ражают с помощью циркуля. Острие ножки
циркуля ставят в центре окружности, а конец
другой ножки, где укреплен карандаш (или
мел), при вращении описывает окружность.
Отрезок, соединяющий любую точку окруж-
ности с ее центром, называется радиусом ок-
ружности. Все радиусы окружности равны
между собой (рис. 73).
Отрезок, проходящий через центр окруж-
ности и соединяющий две ее точки, называет-
ся диаметром окружности (рис. 73). Диаметр
вдвое больше радиуса.
Рис 72.
196
Часть окружности называется
дугой (рис. 73). Диаметр делит ок-
ружность на две равные дуги.
Часть плоскости, ограниченная
окружностью, называется кругом	рис 74.
(рис. 74). Например, поверхность
монеты (нижняя и верхняя) имеет
форму круга.
Стрелки часов при вращении об-
разуют различные углы. Например,
в 3 часа и в 9 час. они образуют
прямые углы (рис. 72).
Если два луча выходят из одной *
точки, то они образуют угол. На ри-
сунке 75 изображены такие два лу-
ча. Их называют сторонами угла, а
точку Л, ИЗ которой ОНИ ВЫХОДЯТ,	рис 75
называют вершиной угла. Эти же
лучи образуют и другой угол. На рисунке 75
тот и другой изображены с помощью различной
штриховки. Чтобы знать, о каком из них идет речь,
условимся внутри угла изображать небольшую
дугу, как это сделано на рисунке 76.
Угол называют и записывают с помощью буквы,
обозначающей его вершину. Около буквы пишут
знак «^г». Этот знак заменяет слово «угол». На
рисунке 76 изображен В. Иногда угол запи-
сывают тремя буквами, причем в середине ста-
вят букву, обозначающую его вершину (рис. 77):
^АВС\ ^CBD; ^ABD.
ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ.
В 12 час. стрелки часов совпадают: будем счи-
тать, что угол между ними равен нулю. После этого
минутная стрелка уходит вперед, и угол между
нею и часовой стрелкой все увеличивается
(рис. 78).
Как измерить угол? На циферблате часов
окружность разделена на 60 равных частей.
D
Рис. 77.
Рис 78
Для измерения углов окру-
жность делят на 360 равных
частей (рис 79) и часть
ubU
окружности называют дугой
в 1 градус или дуговым
градусом. Если концы этой
дуги соединить с центром
окружности, то получится угол, называемый угловым градусом.
Слово ^градус» записывают знаком «°».
Угол с вершиной в центре окружности называется централь-
ным углом (рис. 79). Центральный угол содержит столько угло-
вых градусов, сколько его дуга содержит дуговых градусов.
Прибор с помощью которого измеряют углы, можно изгото-
вить так* из круга вырезают меньший по размеру круг с тем же
центром делят окружность первого круга на градусы и натяги-
вают две нити — одну между 0° и 180°, а другую между 90° и
270° Пересечение этих нитей определяет центр окружности
(рис 79) Углы между нитями прямые, каждый прямой угол
содержит 90°.
Для измерения угла центр окружности совмещается с вер-
шиной угла, а одна из сторон угла направляется на нулевое де-
ление Другая сторона укажет на некоторое деление окружности
прибора. Это деление и показывает величину угла в градусах.
На рисунке 79 угол содержит 48°. Можно записать, что
А О В - 48°.
Так как обычно изме-
ряют углы, меньшие 180°,
то вместо этого прибора с
полной окружностью поль-
зуются на практике дру-
гим прибором, который
называется транспортиром.
Транспортир изображен на
рисунке 80. При измерении
угла центр полуокружно-
сти совмещается с верши-
ной угла, а одна из сто-
рон угла должна быть на-
правлена по краю транспор-
тира на нулевое деление.
^А0В=48<>
Рис, 79.
Рис. 80»
Рис. 82.
На рисунках 80—82 показано измерение Чч -
скольких углов транспортиром. Угол, который
меньше 90°, называется острым углом (рис. 80).
Угол, больший 90°, называется тупым углом
(рис. 81). Результат измерения угла не зави-
сит от размеров транспортира, подобно то' у
как показания времени на часах не завись г
от размеров циферблата. Для более точке '
измерений употребляется другая единица —
угловая минута. Угол в 1° делят на 60 равных
частей, и часть называется минутой. Минута
обозначается с помощью штриха. Например,
угол в 30 градусов и 40 минут записывают так:
£0° 40'.
Задание 63.
1.	Начертить утлы, которые образуют стрел-
ки часов в 2 часа, в 4 часа, в 7 час. Обозна-
чить их с помощью букв.
2.	Сколько минут содержится в 3°? в
3.	Начертить углы в 10°. в 45° и в 152°.
4.	Измерить транспортиром углы на рисунке
83. Какие из них будут тупыми углами?
Рис. 83.	Упражнения.
618.	Начертить окружности, имеющие один и
тот же центр и радиусы, равные 2 слц 4 см.
619.	Начертить окружности, имеющие один и тот же центр
я диаметры, равные 6 см, 7 см.
620» В окружности провести 4 радиуса. Обозначить буквами
центр окружности и концы радиусов. Измерить транспортиром
и записать с помощью букв углы, которые образуют соседние ра-
диусы. Сколько градусов содержи? дуга каждого угла?
621.	На сколько градусов повернется минутная стрелка за
1	3
5 мин., за 10 мин., за 20 мин.? за-^- часа? за часа?
622.	Выразить в минутах углы:
I)	2°; 2) 5°; 3) 30°; 4)	5) 2° ~6) 3°-Ь
200
623.	Пользуясь линиями,
имеющимися в тетради в клет-
ку, начертить углы, как указа-
но на рисунке 84. Измерить
каждый из углов, отмеченных
стрелками.
624.	Для рубки различных
металлов зубило затачивают
под разными углами: для чу-
гуна 70°, для стали 60°, для
меди 45°, для алюминия 35°. На-
чертить углы заострения зубила
для рубки каждого из металлов.
625.	Начертить углы, содержащие 5°; 20°; 30°; 60°; 86°; 120°;
135°; 162°.
626.	Выполнить действия:
Рис. 84.
1)	24° + 37°;
2)	48°-3;
3)	56° — 18°;
4)	135° :3;
5)	15° 26'+ 35° 15';	9) 12° 52'-2;
6)	42° 45'+ 18° 38';	10) 67° 18': 2,
7)	82° 14' —53° 7';
8)	96° 13' —59° 47';
627.	Два угла вместе составляют 180°, один из них в 5 раз
больше другого. Найти эти углы.
628.	1) Два угла вместе составляют 90°, один из них на 5° боль-
ше другого. Найти эти углы.
2)	Из двух углов один в 3 раза, или на 32°, больше другого.
Найти эти углы.
629.	Вставить пропущенные числа и решить получившуюся
задачу: «Длина изгороди прямоугольного участка равна , . . м,
одна из сторон участка на . . . м больше другой. Найти пло-
щадь участка.
630.	Работая обычным резцом, токарь может выполнить зада-
ние за 2у часа, а при работе быстрорежущим резцом он за-
3	1
тратит -г- этого времени. Токарь задания выполнил обыч-
О	о
ным резцом, а затем сменил резец на быстрорежущий. Сколько
времени он затратил на всю работу?
631.	Чтобы вырыть котлован под здание, одному экскавато-
ру потребуется 15 дней, а другому в 1 раза больше. За
сколько дней они выроют котлован, работая вместе?
201
632.	Расстояние между двумя городами автобус может прой-
А 1	х	2
ти за 4-у- часа, а легковой автомобиль за этого времени.
Z	о
Через сколько времени они встретятся, если отправятся из этих
городов одновременно навстречу друг другу?
633.	Стоимость билета в кино составляет -гт стоимости би-
14
лета в театр. За оба билета я заплатил рубля. Сколько сто-
ит каждый билет?
§8Т^РЯМ0УГ0ЛЬНЫЕ ДИАГРАММЫ
Для наглядного изображения значений величин пользуют^
особыми чертежами, которые называются диаграммами. Если на
этих чертежах числовые значения величин изображаются с по-
мощью прямоугольников, то такие чертежи называются прямо-
угольными диаграммами.
Изобразим прямоугольной диаграммой рост посевных площа-
дей в РСФСР. В 1945 г. посевная площадь составила 67 млн. га
в 1953 г.— 97 млн. га, а в 1956г.—
114 млн. га. Выберем сначала
какой-либо масштаб для изобра-
жения прямоугольников. Допус-
тим, что наибольший по величине
прямоугольник, изображающий
114 млн. га, должен иметь высо-
ту 80 мм. Это означает, что на
.	80
1 млн. га приходится  мм,
40
ИЛИ мм.
Э/
Отсюда следует, что высота
прямоугольника, изображающего
посевную площадь 1945 г., долж-
на быть равна:
40 g7 _ 2680 _
57	57
9Q
= 43 ~ ~ 44 (мм).
Рис. 85.
Высота прямоугольника, изображающего посевную площадь
1953 г., должна составлять:
40 Q_ 3880	4	.
57 • 97 — 57 — 68 57 ~ 68 (мм).
Изобразив эти прямоугольники (рис. 85), получим прямоу-
гольную диаграмму.
Задание 64.
1. Пользуясь диаграммой на рисунке 86, рассказать о чис-
ленности рабочих в основных отраслях промышленности СССР
за 1962 г. Вычислить общее число рабочих занятых в этих от-
раслях промышленности.
2. Построить прямоугольную диаграмму длин следующих
рек СССР:
Название реки
Амур...........
Лена...........
Волга .........
Днепр .........
Длина
в км
4510
4270
3700
2290
Упражнения.
634.	Построить прямоугольную
диаграмму, изображающую вес каж-
дого из трех советских искусствен-
ных спутников Земли, используя
следующие данные:
№	Дата запуска	Вес
1	4 октября 1957 г.	83 -4“ кг о
о	3 ноября 1957 г.	3 508 -JQ- кг
3	15 мая 1958 г.	1327 кг
Ряс 86.
635.	Построить прямоугольную диаграмму добычи каменного
угля в СССР, используя следующие данные:
Год	1913	1930	1940	1930	1955	1961	1963
Добыча угля в млн, tn	29	48	166	261	391	510	532
636.	Закром колхозного амбара имеет длину 12	л/, шири-
на его составляет длины, а высота равна 2 ~ м. Сколь-
ко автомашин зерна вместит закром, если размеры кузова ав-
1	1	з
томашины 3 -к- х 2 —г- X — ж?
2	4	5
637.	Продавец книжного ларька знает, что за книги он по-
лучил в 2у раза больше, чем за журналы, а вся дневная вы-
7
ручка составляет 84 руб. На сколько рублей продано книг
и журналов отдельно?
з
638.	Совхоз за два года сдал государству 11 -у тыс. т
О
9
зерна, причем во второй год он сдал на 1-~- тыс. т больше,
ZO
чем в первый. Сколько зерна сдано в первый и во второй год
отдельно?
639.	На сортировке зерна работали зерновой сепаратор и 3
сортировки. Вместе они просортировали 4 гп зерна, причем
з
сепаратором сделано на 2 -у- tn больше, чем всеми тремя сор-
тировками. Сколько зерна просортировал сепаратор и каждая
из сортировок?
640.	Территория СССР в 2 уу раза, или на 13 млн. кв, км,
больше территории США, Англии, Франции и ФРГ, вместе взя-
тых. Вычислить по этим данным территорию СССР.
Указание. Территорию четырех капиталистических стран
обозначить через х.
204
88^СЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ.
Часть круга, ограниченная
двумя радиусами и дугой, назы-
вается сектором (рис. 87). Два
радиуса делят круг на два
сектора (рис. 87).
Если некоторая величина де-
Рис. 87.
лится на отдельные части, то
для наглядного изображения та-
кого деления пользуются секторной диаграммой. Вся величина
изображается кругом, а отдельные части ее изображаются секто-
рами.
Изобразим с помощью секторов площади материков, исполь-
зуя данные из прилагаемой таблицы:
Азия ......... 44 млн. кв. км
Америка..............42	млн. кв. км
Африка..............30	млн. кв. км
Антарктида............14	млн. кв. км
Европа.................10	млн. кв. км
Австралия..............9	млн. кв км
Суша в целом . . . 149 млн. кв. км
Вся окружность содержит 360°. Следовательно, площади всей
суши 149 млн. кв. км соответствует 360°, а 1 млн. кв. км соответ-
360°
ствует дуга, равная . Эту дробь мы не будем выражать
смешанным числом, так как в таком виде она более удобна для
последующих вычислений.
Вычислим, сколько градусов должна содержать дуга сектора,
изображающего на диаграмме площадь Азии. Так как на 1 млн.
360°	, .
кв. км приходится , то на 44 млн. кв. км должно прихо-
дится в 44 раза больше:
360°.44 _ 15840° __	46
149	~	149 “ 1UC) 149
Построим сектор с углом в 106°, этот
жать площадь Азии (рис. 88, а).
106°.
сектор будет изобра-
205
Вычислим угол того сектора, который должен изображать
площадь Америки:
36СР-42 _ 1512(F _ 1П1о 71 _ imo 1
149	“ 149 — 1Щ	149 ~ 1U1 2 ’
Теперь можно построить этот сектор.
Сектор, изображающий площадь Африки, имеет угол, равный
360°-30 _ 10800° _ 7Оо 72	_ 7QO I
149	~ 149 ”	149 ~ 'Z 2 *
Углы секторов, изображающих площадь Антарктиды, Европы
и Австралии, соответственно равны:
33’	« 34°; 24°-^- « 24°; 21° -{Я- « 22°.
Выполним проверку наших вычислений, зная, что сумма всех
углов должна быть равна 360°.
Проверка показывает, что сумма всех углов равна:
106’ + 101’ -Ь + 72’ -1- + 34° + 24“ + 22’ = 360°.
После построения остальных секторов получим диаграмму в
окончательном виде (рис. 88, в).
Задание 65.
Построить секторную диаграмму, используя следующие дан-
ные:
Распределение земель в царской России в млн. га:
Крестьянские хозяйства (середняки и бедняки) .... 135
Кулацкие хозяйства............................80
Помещики и монастыри.........................152
Всего ..............................367
206
Упражнения.
641.	Построить секторную диаграмму распределения посев-
ных площадей СССР (по данным 1962 г.).
Культуры	Площадь в млн. га
Зерновые 		136
Овощи и картофель . ,	11
Технические 		14
Кормовые 		55
Всего 		216
642.	Построить две секторные диаграммы, показывающие рост
заготовок хлеба в Казахской ССР в связи с освоением целины
(в млн. пудов в среднем за год).
	До освоения целины 1949—1953 гг.	После освое- ния целины 1956—1960 гг.
Целинный край	 Остальные области Казахской ССР		63 48	508 197
Всего по Казахской ССР	111	705
Указание. Радиус второго круга следует взять в 2 у раза
больше, чем первого круга.
643.	Составить секторную диаграмму, показывающую коли-
чество мальчиков и девочек в вашем классе.
644.	Составить таблицу и секторную диаграмму распределе-
ния своего времени в один из дней недели по следующим
разделам:
1)	занятия в школе;
2)	отдых и развлечения;
3)	подготовка уроков;
4)	помощь родителям;
5)	сон;
6)	оставшееся время.
207
£49.^ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ПО ТЕМЕ
X «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ».
645.	Таблица для составления упражнений на действия над
некоторыми часто употребляющимися дробями.
А	Б	3	г	Д	в
1	1 2	1 12	о ~3”	3 10	1 1 т
2	1 3	1 16	3 4	7 10	1 2 3
3	1 4	1 20	2 5	9 10	3 3 4
4	1 5	1 24	3 5	5 12	4
5	1 6	1 25	4 1Г	4 25	о. ел
6	1 7	1 30	5 “б~	7 30	17 7 20
7	1 8	1 50	1 со |оо 1			3 1 100 |	н
8	1 9	1 60	5 8	13 Too	1 9 10
9	1 10	1 ТОО	1 7 ТГ	21 100	3 10 10
Пользуясь числами, данными в таблице, составить примеры
на каждое из действий над дробями. Решить эти примеры (по воз-
можности устно).
646.	Вычислить:
20'2’	3-j- + 2-g	4у;
2)4--4:3 + ^:	5И2^-81 + 34-;
« 8-5^-8ЯГ-^-8-
208
647.	Вычислить, используя законы сложения:
+ 2 "24 + 1 Лб 8 “Те" ’
2> 4Т8>-3~ЙГ + 34-+5
3)	i : 3 + 4 4; + 3 > - 7 AL ;
4)2Jj+54-;5-3-i + 44:2;
5>5'34 + 44г  2-i--io+iTr.
23 ТЗ" : 4	4‘2T + 4Ts'‘34’3 ТГ 
648. Вычислить:
п А . А _ А  А + 5 • 4 •
1}	25	9	32 • 10	5 ’
21	.	28	fi	.	18_______14	10	.	‘
50	’	75	'	Й	‘	35	15	‘	21	•
о, (7 1	2 ц 5 \ . 43
V 3	3 ’° 8 / • 50	J’
..	п 1	3	И	,	с	3 \ ,	п 3
4)	7 2	'	V	Ю	:	12	+	5	20 /	28	’
л	11	.	с	7	/\ 5	.	23 \	.49
5)	4	16	8	8	’	V 9	'	32 /	4 80 ’
6)	(4-25 -224) -4 + (14-.24-14-1 4-) -4;
7\ (з	7	.	8___5	. 2	, 7^1.	8 	4^. (пл	. 24_— • 5^
8	31	14	5	'/	9	5 \Z 13 '	26	'	’
649. Вычислить, используя законы умножения:
1) 2А
13
15
16	, 19_______ 9 3	4 .
21	26	4 ‘ L ‘ 11 •
2)
3)
9 17	28 55	• 1-^- 28	34 } □ 1 . 81 + д 5 *	44--	5 16 ’
5	8	о 5	11	7	7^6	11
					’ 3 —-.				
д 8	’ 15	° 4	29 .	4>	24 ~	25	0 7	1 14
1	1	1		Л 1	2	3	1
5 3	' 3	+ 3 	3 3	2 4	• 5-ё--^2-н’-2-г 5 . . 5	4
209
650. Вычислить:
' ъ  К15 4 +144) 39]
1	1	29
7 -g- 4- 3 7 — 8 56
651. Решить уравнения:
. . / 1 О . О г 1	I	г Х	Г| I
\~25~ + 4Г  5 ~з} : ТТ ~ 5Т ’ х ~ 2Ло ’
Замечание 1. Нередко сразу не удается наметить путь
решения задачи. Тогда начинают выяснять, какие величины на-
до знать, чтобы ответить на вопрос задачи. Если не все такие
величины даны в условии, то нужно поставить вопрос: «Что
нужно знать, чтобы найти эти неизвестные величины?» Подоб-
ные вопросы продолжают ставить до тех пор, пока не придут к
известным величинам.
Разъясним этот прием отыскания пути решения с помощью
следующей задачи:
«Нужно перевезти 56 бочек керосину по 140 л в каждой. Вес
4
бочки 38 кг, вес 1 л керосину равен кг. Сколько бочек ос-
танется после двух рейсов автомашины грузоподъемностью 1 у т?».
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать, сколько -бо-
чек перевезла машина за два рейса. А для этого надо знать,
сколько бочек она перевозит за 1 рейс. Но эта величина
тоже неизвестна. Чтобы ее найти, нужно знать, сколько
весит бочка с керосином.
210
Вес пустой бочки нам известен, поэтому остается узнать,
сколько весит 140 л керосину. Это мы можем узнать, так как
вес 1 л керосину известен.
Путь решения задачи намечен.
Решение.
1. Сколько весят 140 л керосину?	
	4 • 140 = 112 (кг).
2. Сколько весит	бочка с керосином?
	38 4- 112 = 150 (кг).
3. Сколько бочек	перевозит машина за 1 рейс?
	1500 : 150 = 10 (бочек).
4. Сколько бочек	осталось после двух рейсов?
56— 10-2 = 36 (бочек).
Нет надобности отдельно выписывать ответ задачи (или при-
мера), так как это является лишней записью.
Замечание 2. Иногда бывает выгодно не вычислять результа-
ты всех действий, кроме тех, которые дают ответ на вопрос задачи.
Задача. Ящик имеет размеры 7 дм, 5 дм и 7 дм.
Какова высота другого ящика такой же вместимости, если его
длина равна 7 дм, а ширина 3-^- дм?
Чтобы найти высоту второго ящика, достаточно знать его
объем и площадь дна. Но объем второго ящика равен объему
первого ящика, у которого известны все размеры.
Итак, объем второго ящика мы можем найти.
Площадь дна второго ящика также можно найти, так как из-
вестны его длина и ширина.
Решение. 1) Объем первого ящика равен: 7 -i- • 5 X
X 7 куб. дм. Этой же величине равен и объем второго ящика.
2) Площадь дна второго ящика равна: 7 • 3 кв. дм.
3) Высота второго ящика равна его объему, деленному на
площадь дна, т. е.:
-J_	1	15	21
' 2 '5 4	_	2 ’	4	1	15-21-2	15 - 3 • 1 _ 45
1	“	„7	“	2-4-7	1-4-1	“ 4 “
7 ' 3 2	* 7 * ’ 2
= п-1-
211
Запись всех действий, которые надо выполнить, чтобы отве-
тить на вопрос задачи, называется числовой формулой для этой
задачи.
1 1
’ 5 ~4“ * 7
Запись-----------j------ является числовой формулой для
7-3^-
рассмотренной задачи. Числовую формулу можно составить для
любой задачи. Однако для многих задач применение формулы
не упрощает решения.
652.	Расстояние по железной дороге от Харькова до Курска
4
составляет у расстояния от Курска до Москвы. Известно, что
первое расстояние на 300 км меньше второго. Сколько километ-
ров от Москвы до Харькова?
653.	Расстояние по железной дороге от Смоленска до Киева
примерно в 2 -i- раза больше расстояния от Смоленска до Мин-
ска. Известно, что первое расстояние на 396 км больше второго.
Найти каждое расстояние. (Ответ округлить до десятков кило-
метров.)
5
654.	Речной пароход сделал рейс туда и обратно за 12 у ча-
1 2
са, причем на путь по течению он затратил на 1у часа меньше,
чем на обратный путь. Сколько времени затрачено на путь про-
тив течения?
з
655.	За два дня израсходовано 15 -jq- рубля, причем в пер-
4
вый день на 6 у рубля больше, чем во второй. Какая часть
всех денег израсходована за второй день?
656.	За два часа первый рабочий выполнил половину задания,
а второй у, За сколько часов они выполнят это задание, ра-
ботая вместе?
657.	Двое рабочих могут выполнить вместе работу за 12 дней.
Они проработали вместе 9 дней, после чего первый был переве-
ден на другую работу, а второй закончил оставшуюся работу за
5 дней. За сколько времени мог каждый из них выполнить всю
работу?
§
658.	Среднее арифметическое двух чисел равно 173 у , одно
из них на 23 у больше другого. Найти эти числа.
212
5
659.	Среднее арифметическое двух чисел равно 75 у» одно
из них составляет у другого. Наити эти числа.
2
660.	Лодка проплыла вниз по течению 1 км за 12 мин. Из-
5
вестно, что скорость течения реки составляет у скорости лодки
в стоячей воде. Найти скорость течения и скорость лодки в сто-
ячей воде.
661.	Длина изгороди прямоугольного участка составляет 157 м,
причем длина участка на 13 у м больше его ширины. Како-
ва площадь участка ?
3
662.	Длина комнаты равна 6 у м. ширина в полтора раза
меньше, а площадь большей стены комнаты равна 23 у кв. м.
Найти объем комнаты.
663.	Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60 куб. см,
2	5
его длина равна 2 у см, а ширина составляет у длины. На
сколько высота параллелепипеда больше его длины? Написать
числовую формулу.
664.	Пароход идет по реке со средней скоростью 17 у км в
2
час. Через 1часа вслед за ним от той же пристани отошел
О
з
катер со средней скоростью 24 у км в час. Через сколько вре-
мени катер догонит пароход?
4
665.	Пароход прошел по озеру 84 км, делая в среднем
26 у км в час, затем прошел по реке, впадающей в озеро, еще
54 у км. Скорость течения реки равна Зу км. Сколько вре-
мени затратил пароход на весь рейс?
666.	Расстояние между двумя городами равно 243 км. Поезд
3
прошел половину пути со средней скоростью 48 км в час, за-
тем, после стоянки продолжительностью у часа, он увеличил
скорость на у первоначальной. Сколько времени затрачено на
весь путь?
213
4
667.	Собрано 3 стога сена. В первом стоге 24 -g- rnt во вто-
1	1Q 7
ром на этого количества меньше, а в третьем на 13-уд- fn
меньше, чем в первых двух стогах вместе. При высыхании вес
•сена уменьшился на -±~. Сколько получено сухого сена? (Резуль-
тат округлить до 1 т.)
668.	Ученик сельской школы проходил расстояние между до-
2
мом и школой за -g- часа. Ему купили велосипед, и на этот
3	~
путь он стал тратить-g- прежнего времени. Считая, что в меся-
це 26 учебных дней, вычислите, на сколько времени больше он
затрачивал на дорогу до школы и обратно в 1 месяц, когда хо-
дил пешком? Напишите числовую формулу.
669.	Поголовье крупного рогатого скота в районе увеличилось
3	*	47
за несколько лет на 26-^- тыс. голов. Это составило по-
головья, имевшегося вначале. Сколько скота было вначале и
сколько стало через несколько лет? (Ответ округлить до 1 тыс.
голов.)
670.	В 1960 г. в СССР было произведено 8-g- млрд, пудов
9
зерна или примерно производства зерна за 1962 г. Производ-
з
ство зерна в 1953 г. составляло около -g- того, что было про-
изведено в 1960 г. На сколько больше и во сколько раз больше
произведено зерна в 1962 г., чем в 1953 г.? (Результаты вычис-
лений округлять до 1 млрд, пудов.)
3
671.	При сушке малина теряет своего веса, а черника
4	~	'
-у- . Сколько надо взять свежей малины и свежей черники, что-
бы получить по 10 кг сушеных ягод?
672.	Может ли сумма двух дробей с числителями, равными
1, быть неправильной дробью?
673.	Может ли произведение двух правильных дробей быть
неправильной дробью?
674.	Правильной или неправильной дробью будет частное от
деления неправильной дроби на правильную?
214
675.	Одна из девочек может прополоть грядку за 1 час, дру-
гая за 2 часа, третья за 3 часа и четвертая за 4 часа. Сколь-
ко времени потребуется на прополку этой грядки» если девочки
будут работать все вместе?
676.	Знаменитый греческий ученый Пифагор на вопрос о чис-
ле его учеников ответил так: «Половина моих учеников изучает
математику; четверть изучает природу; седьмая часть проводит
время в молчаливом размышлении; остальную часть составляют
3 девушки». Сколько человек обучалось у Пифагора?
677.	Аквариум в форме куба с ребром 4-^ дм заполнен во-
2
дой на -х- высоты. Из него перелили воду в другой аквариум,
□
7	2
размеры дна которого 2 дм X 5-=- дм. Найти уровень воды
1U	о
в новом аквариуме. Написать числовую формулу.
678.	Основание прямоугольника уменьшили на его, а вы-
1	тт
соту увеличили на ее. На какую часть первоначальной пло-
щади изменилась площадь прямоугольника? При решении исполь-
зовать чертеж.
679.	Контрольное задание.
1)	Два бульдозера закончили участок насыпи железнодорож-
ного полотна за 12 дней. Первому из них потребуется для вы-
полнения всей работы в 2-|~ раза больше времени, чем при сов-
местной работе. За сколько дней может выполнить всю работу
второй бульдозер?
2)	Вычислить: 1712	З^- • 4") : 4г ~ 30-5 -J-1 :	•
1	о о 3 / 1о	a J 4
3)	Решить уравнение: 2х-|-6-|-;3 = 2-^-.
680.	Контрольное задание.
1)	С одного участка чайной плантации собрано 62-Т ц чай-
ного листа. С двух остальных участков вместе собрано в 2 -Г
э
раза больше, причем сбор со второго участка составил -у сио-
ра с третьего участка. Сколько чайного листа собрали со вто-
рого и с третьего участков отдельно?
2)	Вычислить: 4	 11 .* [в • 4--[16	— 12-^-) [ .
7	2	( о 4	6 \	15	2 J J)
ill. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
П0НЯТИЕ ° ДЕСЯТИЧН0Й ДРОБИ.
До сих пор дробные числа записывались нами с помощью
черты и двух натуральных чисел. Над чертой записывался чи-
слитель дроби, а под чертой — знаменатель дроби. Такие числа
принято называть обыкновенными дробями. К обыкновенным
дробям относятся и смешанные числа.
Среди обыкновенных дробей встречаются дроби, у которых
знаменатель изображается единицей с одним или несколькими
нулями, например:
1	13	.21	131	7 2705
10 * 100 * 1 100 ’ 1000 ’	10000 ’
В десятичной системе счисления эти дроби называются си-
стематическими дробями. Их знаменателями являются либо
число 10 (основание нашей системы счисления), либо произве-
дение чисел, каждое из которых равно 10*.
Систематические дроби часто записываются без знаменателя,
с помощью запятой. Налево от запятой записывают целую часть
числа, а направо от запятой — числитель дроби. Указанные вы-
ше дроби запишутся таким образом:
— = 0,1 (читают: нуль целых одна десятая);
1 з
= 0,13 (нуль целых 13 сотых);
21
1 т™ =1,21 (одна целая 21 сотая);
* В любой другой (недесятичной) системе счисления также имеются си-
стематические дроби. Например, в пятеричной системе систематическими дро-
бями будут дроби со знаменателями 5, 25, 125 и т. д.
216
131
“foocT =0’131 (нуль целых 131 тысячная);
970е)
7 -у0000 = 7,2705 (7 целых 2705 десятитысячных).
Определение. Систематическая дробь, записанная
без знаменателя с помощью запятой, которая отде-
ляет целое число от числителя дроби, называется
десятичной дробью.
§ 91^ ЗАПИСЬ И ЧТЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ.
о	,, 7	49	345
Запишем следующие дроби: 1	и в виде деся-
тичных дробей: 1-^-=1,7; -^- = 0,49; -^-=0,345.
Из этих примеров видно, что число цифр после запятой рав-
но числу нулей в знаменателе дроби. Это правило соблюдают
во всех случаях и записывают так:
Т - °-7- Т = °'07' ТИО = °’007 " т-
Если число цифр в числителе дроби меньше числа нулей в
знаменателе, то между запятой и числителем пишут столько ну-
лей, чтобы общее число цифр после запятой было равно числу
нулей в знаменателе. Например, записывая дрооь 1	, сле-
дует после запятой поставить 2 нуля, а затем написать числи-
тель дроби 41:
41
1ioW= 1’0041-
Определение. Цифры, стоящие после запятой
(вправо от запятой), называются десятичными знаками*
При чтении десятичной дроби следует по числу десятичных
знаков узнать, чему равен знаменатель дроби. Например, дробь
5,00781 имеет 5 десятичных знаков, следовательно, ее знамена-
тель равен 100 000; дробь читается так: 5 целых 781 стотысячная.
Задание 66.
57	3	2	4
1. Записать десятичными дробями:	-rvr;	1-ттг I	3 -,
1UU	1CKJ	1U	юи
6	77	. о 397	.	77
1000 ’	1000 ’ 2 1000 000 ’ 6 10 000*
2. Прочитать дроби: 0,4; 0,14; 1,475; 0,07; 1,007; 1,0054;
0,00003.
217
Упражнения.
681.	Записать десятичными дробями:	; 1 -10до0-;
-	3 ,	fi 33	9	12
0	100 ’	° 10000	’ 1000	’ 1000000	'
682.	Прочитать дроби: 0,9; 0,09; 0,0009; 1,045; 2,30475; 0,0047;
1,00023; 12,0004.
1	3	7
683,	Привести дроби:	и к общему знаменателю
100 и записать их десятичными дробями.
684.	Вычислить сумму дробей: 1) и ; 2)	и
27
-ygjj . Результаты записать десятичной дробью.
685. Записать в метрах с помощью десятичных дробей сле-
дующие размеры:
1) 34 см;	10) 2 кв. м 2 кв. дм;
2) 34 мм;	11) 248 кв. см;
3) 147 мм;	12) 5 кв. см;
4) 203 см;	13) 71 кв. дм 153 кв. см;
5) 1 At 23 см;	14) Зкв. м 15 кв. дм 28 кв. см.
6) 2 м 3 см 1 мм;	Записать в килограммах:
7) 2 км 523 м;	15) 24 г;
8) 17 дм 5 мм.	16) 504 г;
Записать в квадратных метрах:	17) 5 кг 5 г;
9) 12 кв. дм;	18) 13 кг 122 г.
ЭЯ ЗНАЧЕНИЕ ЦИФР ПОСЛЕ ЗАПЯТОЙ В ДЕСЯТИЧНОЙ
F ДРОБИ.
гт	1 г 7354
Представим 15 в виде сУммы:
1 с; ,	7000	300	50	.	4
10 + юооо + юооо	10000 + 10 000 *
Сократим дроби этой суммы соответственно на 1000, на 100
и на 10, тогда получим, что
15 _ 7334 _ —15-2 l 3 - а. 5 . а. 1—
юооо ю * юо юоо ’ юооо •
Так как 15-^- = 15,7354, то
15,7354 = 15 4-	+ -[эд- 4-	4- Ю(ХХ$-.
218
Из этого следует, что первый десятичный знак означает число
десятых, второй десятичный знак — число сотых, третий — число
тысячных и т. д.
В записи десятичной дроби каждая ее цифра имеет значение
в зависимости от того места, какое она занимает после запятой.
Чтобы научиться читать и записывать десятичные дроби полез-
но запомнить такую таблицу.
Таблица десятичных знаков наиболее употребительных
дробей.
Число десятичных знаков дроби	Какие доли выра- жает эта дробь
1 2 3 4 5 6	Десятые Сотые Тысячные Десятитысячные Стотысячные Миллионные
Примеры. 1. Дробь 0,00105 имеет 5 десятичных знаков,
она выражает стотысячные доли и читается так: нуль целых
105 стотысячных.
2. Записать дробь: одна целая семь миллионных. Из таблицы
видно, что дробь должна содержать 6 десятичных знаков, сле-
довательно, она записывается так: 1,000007.
Сравним по величине дроби: 2,3; 2,30; 2,300; 2,3000. Каждую
из записанных дробей можно представить в виде суммы
з
2+ -цр Поэтому все эти дроби равны.
Если к десятичной дроби приписать справа один или несколь-
ко нулей, то величина дроби не изменится.
Приписывание справа к десятичной дроби одного, двух, трех
и т. д. нулей равносильно умножению числителя и знаменателя
дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Вследствие этого величина дроби
не изменяется.
• ЗАПИСЬ НЕКОТОРЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ.
Дроби и можно привести к общему знаменателю 10:
£ о
1 _ 5	1 _ 2
2	10 * 5 — 10
219
и записать в виде десятичных дробей:
4 = 0,5; А = 0,2.
1	3
Дроби — и можно привести к общему знаменателю,
равному 100:
1 _ 25 , 3_______75
4 “ 100 ’ 4 “ 100
и записать в виде десятичных дробей:
4 = 0,25; 4 = °-75-
4	4
Задание 67.
1.	Сколько десятичных знаков имеет десятичная дробь, если
ее знаменатель 10; 100; 1000; 10000; 100000 и 1 000000?
2.	Если десятичная дробь имеет 1, 2, 3, 4, 5 и 6 десятич-
ных знаков, то каков ее знаменатель?
3.	Две дроби имеют различное число десятичных знаков.
Могут ли такие дроби быть равными ?
4.	Объяснить, почему 4,5 м = 4,50 м — 4,500 м.
Упражнения.
686.	Прочитать следующие дроби:
I) 75,09; 2) 0,09; 3) 2,003; 4) 0,0038; 5) 20,0007; 6) 0,00033;
7)	3,000006; 8) 0,0000035; 9) 10,0007563; 10) 0,0007896.
687.	Прочитать следующие дроби:
1)	4,05; 2) 24.025; 3) 0,007; 4) 8,0072; 5) 0,0004; 6) 8,00049;
7) 12,00002; 8) 0,0000068; 9) 1,007563; 10) 0,0830402.
688.	Записать дроби:
1)	2 целых 53 сотых; 2) 0 целых 8 сотых; 3) 11 целых 29 тысяч-
ных; 4) 7 целых 293 десятитысячных; 5) 0 целых 142 стотысяч-
ных; 6) 3 целых 8521 миллионных-
689.	Записать дроби:
1)	0 целых 524 тысячных; 2) 5 целых 54 тысячных; 3) 20 целых
299 десятитысячных; 4) 0 целых 8 десятитысячных; 5) 9 целых
203 стотысячных; 6) 0 целых 5394 десятимиллионных.
690.	Записать следующие десятичные дроби в виде суммы
обыкновенных дробей, числители которых изображаются деся-
тичными знаками: 1) 0,78;	2) 0,893;	3) 0,0573; 4) 0,65847;
5)	0,590873; 6) 0,060704.
691.	Объяснить, почему равны следующие числа:
1)	5,28 и 5,280; 2) 13,07 и 13,0700; 3) 2,0750 и 2,075; 4) 0,0203
и 0,02030.
220
692. Произвести
дробью:
30	100 *
2) -13.1 — •
25	40 *
31_LL . 4_IL.
О) 210 • * 21 ’
действия, результат записать десятичной
4) 1^: 5J-.3;  7>11:14-4А;
5>Т-'4:	«> ‘ТТ+ V: 'Т-
6) Ю: 1-В-:
СРАВНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ ПО ВЕЛИЧИНЕ.
Для сравнения обыкновенных дробей по величине их приво-
дят к общему знаменателю, при этом приходится иногда произ-
водить большие вычисления.
Десятичные дроби очень легко сравнивать по величине.
Если десятичные дроби имеют различные целые части, то та
дробь больше, у которой число целых больше. Например,
13,7 > 4,78919. так как 13 >4.
Если десятичные дроби имеют равное число целых, то та
дробь больше, у которой число десятых больше. Например,
1,7 > 1,534, так как 7 > 5.
В справедливости этого правила можно убедиться, если выра-
зить дроби в одинаковых долях. Очевидно, что 1,700 > 1,534..
Если у десятичных дробей число целых и число десятых
одинаково, то та дробь больше, у которой число сотых больше.
Например,
0,78 >0,75514, так как 8 >5 и т. д.
Вывод. Из двух десятичных дробей та больше, у которой
число целых больше; если целые числа равны, то та больше,
у которой число десятых больше; если равны числа целых и де?
сятых, то та больше, у которой число сотых больше, и т. дт
Десятичная дробь, у которой число целых равно нулю, явля-
ется правильной дробью; если число целых в десятичной дроби
не равно нулю, то дробь является неправильной.
Всякая правильная дробь меньше неправильной дроби. На-
пример:
. 0,98 < 1,9; 2,48 >0.7975.
221
Задание 68.
1.	Какая из дробей 4,3; 1,49; 1,475 наибольшая? наименьшая?
2.	Расположить в порядке возрастания числа 7,84; 6; 7,805;
7; 9; 7,843.
Упражнения,,
693.	Какая из дробей больше:
1)	14,7 или 1,472? 2) 5,43 или 5,207? 3) 0,35 или 0,357?
4) 0.347 или 0,3429?
694.	Записать три равные дроби с разным числом десятичных
знаков.
695.	Записать дроби:
1)	нуль целых семнадцать тысячных; 2) нуль целых двенадцать
сотых и 3) нуль целых триста сорок две миллионных. Какая из
них наибольшая и какая наименьшая?.
696.	Указать значение каждого десятичного знака в дробях:
9,7; 14,01; 2,401; 0,0401; 5,40239; 0,000075.
Расположить дроби в порядке их возрастания.
697.	У двух правильных десятичных дробей числа десятых
равны, а числа сотых различны; у первой дроби 5, а у второй
3 сотых. Какая из дробей больше? Привести примеры.
9М ИЗМЕНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ ПРИ ПЕРЕНОСЕ
F ЗАПЯТОЙ.
Перенесем в десятичной дроби 13,48 запятую вправо на
один знак, получим дробь 134,8. Сравним эти дроби, а для этого
представим их в таком виде:
4	8
13,48=10 + 3 + 4+^;
134,8 = 100 + 30 + 4 + -^-.
Так как каждое слагаемое второй суммы в 10 раз больше
соответствующего слагаемого первой суммы, то число 134,8 в
10 раз больше числа 13,48 (или 13,48 в 10 раз меньше, чем
134,8). Если перенести запятую на один знак (вправо или влево),
то десятичная дробь изменится (увеличится или уменьшится)
в 10 раз.
Если в дроби 13,48 перенести запятую вправо на 2 знака, то
получим число 1348, которое в 100 раз больше числа 13,48.
Если в дроби 13,48 перенести запятую влево на 2 знака, то
получим число 0,1348, которое в 100 раз меньше числа 13,48.
222
Так же можно убедиться, что при переносе запятой на 3
знака влево или вправо дробь изменится (уменьшится или уве-
личится) в 1000 раз.
Вывод. Если в десятичной дроби перенести запя-
тую вправо на 1, 2, 3 и т. д. знака, то десятичная
дробь увеличится в 10, 100, 1000 и т. д. раз. Если
перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. знака, то
десятичная дробь уменьшится в 10, 100,1000 и т. д. раз.
Можно записать, что
13.48- 10 = 134,8;
13,48: 10 = 1,348;
13,48 -100 = 1348;
13,48: 100 = 0,1348.
Чтобы увеличить десятичную дробь в 10, 100, 1000 и т. д.
раз, достаточно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. знака,
а чтобы уменьшить десятичную дробь в 10, 100, 1000 и т. д.
раз, достаточно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д.
знака.
• УМЕНЬШЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА В 10, 1ООУ
1000 И Т. Д. РАЗ.
На практике часто приходится уменьшать натуральные числа
в 10, 100 и т. д. раз.
Например, чтобы выразить 45 см в дециметрах, нужно 45
уменьшить в 10 раз. Для этого достаточно отделить запятой
одну цифру справа и записать, что
45 см = 4,5 дм.
Число 4,5 в 10 раз меньше числа 45. так как 4,5-10 = 45.
Если требуется разделить число на 100. или, иначе говоря, умень-
шить его в 100 раз, то достаточно отделить запятой две цифры
справа. Например, 45 см = 0,45 м. Число 0,45 в 100 раз меньше
45, так как 0,45-100 = 45.
Отсюда можно сделать вывод: чтобы уменьшить натуральное
число в 10, 100, 1000 и т. д. раз, достаточно отделить запятой
справа 1, 2, 3 и т. д. цифры этого числа (вместо недостающих
цифр слева приписываются нули).
223
Примеры.
152 : 10 = 15,2;
2:10-0,2;
147 : 100 = 1,47;
3:	100 = 0,03;
7 : 1000 = 0,007;
23 : 1 000 000 = 0,000023.
Задание 69.
1.	Увеличить каждую из дробей: 4.12; 4,0759 и 1,3 в 10,
100 раз; уменьшить их в 10, в 1000 раз.
2.	Во сколько раз увеличится каждая из дробей: 1,03; 0,2;
0,041 и 1,40031, если отбросить запятую^
3.	Выразить в рублях: 1) 27 коп.; 2) 3 коп.; 3) 12 руб. 15коп.
Упражнения.
698.	Выполнить действия:
1)	27,25-10;	5)	6,711:1000;	8)	0,4:10;
2)	371,01-100;	6)	0,173*100;	9)	1,02:1000;
3)	17,1:10;	7)	0,52*1000;	10)	135,7:1 000 000.
4)	5,09 : 100;
699.	Выполнить действия:
1)	123:10;	3) 54.100;	5) 8:1000;	7) 1,4:100;
2)	542 : 100;	4) 893 : 1000; 6) 73 : 10 000; 8) 0,02 : 1000.
700.	Выразить в метрах:
1)	12 см; 3) 1275 мм; 5) 1 дм I см;	7) 2,5 дм;
2)	135 см; 4) 145 дм; 6) 3 м 3 дм 3 см 7 мм; 8) 0,68 см.
701.	Выразить в тоннах:
1)	2 кг;	3) 147 кг;	5) 8,4 ц;
2)	35 кг;	4) 57 356 кг; 6) 9,52 кг.
702.	Выразить в гектарах:
1)	45 998 кв. м;	3) 3 га 4 а;
2)	2 га 347 кв. м;	4) 0,85 а.
703.	Выразить в кубических метрах объем прямоугольного
параллелепипеда, ребра которого равны: 1) 140 см, 2 м и 55 см;
2) 5 дм, 8 см и 1,5 дм; 3) 0,12 м, 0,5 дм и 5 см.
704.	1) Измерить с точностью до 1 мм длину, ширину и тол-
щину линейки. Выразить в кубических сантиметрах ее объем.
‘224
Сколько кубических метров древесины пойдет на изготовление
1 млн. таких линеек (не считая отходов)?
2)	Составить и решить сходную задачу об объеме канцеляр-
ской резинки
J 97. ЗНАЧЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
В ПРАКТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ.
Метрическая система мер составлена так, что различные еди-
ницы в 10, 100, 1000 и т. д. раз больше или меньше других.
Например, 1 км в 1000 раз больше 1 лс а 1 кв. м в 1 000 000 раз
меньше 1 кв. км.
Так как изменение десятичных дробей в 10, 100, 1000 и т. д.
раз можно производить очень быстро, то десятичные дроби ши-
роко применяются при измерениях и вычислениях. На практике
значение некоторой величины выражают обычно в каких-либо
одних единицах, используя десятичные дроби. Например, не за-
писывают, что длина равна 2 м 4 дм 8 см, а выражают эту
длину в каких-либо одних единицах, например пишут, что эта
длина равна 2,48 м, или 24,8 дм, или 248 см и т. д
Десятичными дробями часто пользуются для записи больших
натуральных чисел. Например, вместо 46 800 000 пишут: 46,8 млн.
(число 46,8 в миллион раз меньше, чем 46 800 000).
Запись 93,7 тысяч означает число 93 700, т. е. число в 1000 раз
большее 93,7.
Десятичные дроби легко сравнивать по величине; действия
над ними сходны с действиями над натуральными числами, а
поэтому при различных практических расчетах употребляются
десятичные дроби.
Различные числовые данные в газетах и журналах, в докла-
дах, в сводках выражаются обычно в десятичных дробях.
Задание 70.
1.	В СССР в 1960 г. произведено: экскаваторов—12,6 тыс.
штук, бумаги — 2,4 млн. т, хлопчатобумажных тканей — 4,8 млрд
кв м. Записать эти данные натуральными числами.
2.	Записать числа 14000000; 15 470000 и 700 000 в миллионах
3.	Выразить: 1) 1200 г в килограммах и в тоннах;
2) 473 000 куб. м в кубических километрах.
8 Зак» № 316
225
Упражнений.
705.	Числа 150 900; 48 700; 15 730; 1579 и 43 выразить в ты-
сячах, используя десятичные дроби.
706.	Выразить число 2 475 600 в тысячах и миллионах.
707.	В СССР проживает более 216,1 млн. чел. Выразить это
число натуральным числом.
708.	В России в 1913 г. получено 4 200 000 т чугуна, а в СССР
в 1963 г. — 58 700 000 т. Выразить эти числа в миллионах.
709.	Основание прямоугольника 3,2 м. а высота 80 см. Вы-
числить его площадь в квадратных сантиметрах, а затем выра-
зить ее в квадратных метрах.
710.	Какое из чисел больше: 1) 34,2 млн. или 2479,5 тыс.?
2) 54762,3 тыс. или 54,6 млн.?
р8. ОКРУГЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
f И ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ.
В жизни, на практике, большие целые числа часто округляют.
Например, в наших газетах ежегодно сообщаются результаты
выполнения государственного плана развития народного хозяйства
СССР, в этих сообщениях приводятся округленные числа. Если,
например, оказалось, что все наши обувные фабрики выпустили
417 693 548 пар кожаной обуви, то это число округляют и ука-
зывают, что изготовлено 418000000 пар обуви. Число 417 693 548
округлили с точностью до 1000 000.
При округлении целых чисел заменяют несколько последних
цифр нулями (§ 35).
Десятичные дроби также иногда округляют.
Решим задачу: «Вычислить площадь пола помещения, если
длина этого помещения равна 972 см. а ширина 631 см».
Площадь пола равна972-631 —613 332 (кв. см), или 61,3332 кв. м.
Полученное число 61,3332 округляют, так как нет смысла вы-
ражать площадь пола с такой большой точностью. Достаточно
оставить только один десятичный знак, а остальные отбросить.
Площадь пола следует принять равной 61,3 кв. м. В этом случае
говорят, что число округлено с точностью до 0,1.
При округлении десятичной дроби отбрасывают один или не-
сколько десятичных знаков, не заменяя их нулями.
Правило округления целых чисел и десятичных дробей заклю-
чается в следующем: если первая из отбрасываемых при
округлении цифр меньше 5, то последняя сохраняемая
.226
цифра остается без изменения] если первая из отбра-
сываемых цифр 5 или больше 5, то последняя сохра-
няемая цифра увеличивается на единицу.
В нашем примере первая (слева) отбрасываемая цифра была 3,
а потому последняя сохраняемая цифра осталась без измене-
ния.
Если надо, например, округлить дробь 4,281, оставляя только
цифру десятых, то эту цифру надо увеличить на 1, так как сле-
дующая цифра 8 больше 5:
4,281 «4,3.
Используя правило округления, объяснить следующие записи:
2,341 « 2,3;	2,352 « 2,4;	2,371	2,4;
0,103 « 0,10;	0,105 «0,11;	0,107 «0,11.
Задание 71.
1.	Округлить дроби: 4,35; 14,221; 0,78; 0,91; 0,95; 0,97 с точ-
ностью до 0,1.
2.	Округлить дробь 4,80537 до 0,0001; до 0,001; до 0,01; до
0,1 и до 1 целой.
3.	Население СССР, по переписи 1939 г., составляло 170557 000
человек. Округлить это число до сотен тысяч и записать полу-
ченный результат в миллионах.
Упражнения.
711.	Округлить числа: 0,479; 1,071; 2,75001; 0,385; 4,4981 до'
0,1 и до 0,01.
712.	Округлить число 15,4729 с точностью до 0,001 до 0,01,
до 0,1 и до 1.
713.	Вычислить объем куба, ребро которого равно 36 см. Ре-
зультат выразить в кубических дециметрах и округлить его с точ-
ностью до 0,1 куб. дм.
714.	Вычислить площадь двух прямоугольных участков, если
размеры одного 1120 м х 390 ле, а другого 290 м х 1200 м. Ре-
зультаты вычислений выразить в гектарах и округлить до 0,1 га.
Какая площадь больше?
715.	Размеры бруска 423 льиХЗО лшХ72 мм. Вычислить его
объем. Результат выразить в кубических дециметрах и округлить
до 0,01 куб. дм.
716.	Округлить 543239 и 67 370 до сотен и записать в ты-
сячах.
8*
227
717. Построить прямоугольную диаграмму жилищного строи-
тельства в городах и поселках СССР по данным следующей таб-
лицы:
	Год	1951	1958	1961	1962
	Построено жилья в млн. кв. м	27.6	71,2	80.2	80.5
Указание. Взять масштаб: 1			мм изображает 1 млн. кв. м.		
СЛОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ.
Запись десятичных дробей основана на десятичной системе
счисления, как и запись многозначных чисел. Вследствие этого
сложение десятичных дробей можно производить так же, как и
сложение многозначных чисел.
Для сложения, например, 243,48 и 34,57 записывают эти чис-
ла друг под другом так, чтобы запятая была под запятой, а оди-
наковые разряды или доли были в одном вертикальном столбце,
и производят сложение одинаковых долей и разрядов, начиная
справа.
, 243,48
+ 34,57
278,05
При вычислении суммы рассуждают так: 8 сотых да 7 сотых
дают 15 сотых, но 15 сотых (0.15) содержат 1 десятую и 5 со-
тых. Записываем под сотыми цифру 5, а 1 десятую будем скла-
дывать с десятыми долями; 4-4-5 4-1 десятых дают 10 десятых,
т. е. 1 единицу, запишем под десятыми цифру 0, а 1 единицу
будем складывать с единицами, 3 + 4 + 1 дадут 8 единиц, а по-
тому на месте единиц пишем цифру 8 и ставим запятую.
Затем складываем единицы следующих разрядов, как при
сложении многозначных чисел.
Примеры. 9,7	0,7291
+ 12	+ 0,73
0,789	0,909
22,489	2,3681
228
Чтобы сложить несколько десятичных дробей, подписывают
слагаемые так, чтобы одинаковые доли и разряды были подписаны
друг под другом, а затем производят сложение, начиная с более
мелких долей, г. е. справа налево.
При сложении десятичных дробей применяются известные нам
законы сложения.
Пример. Вычислить устно сумму: 3,64-4,7 + 0,4. При вы-
числении следует сначала найти сумму 3,6 + 0,4, она равна 4,
а затем к 4 прибавить 4,7, получим 8,7.
При устных вычислениях не следует забывать, что надо скла-
дывать целые с целыми, а доли с одинаковыми долями.
Задание 72.
1.	Вычислить сумму чисел: 14,3; 2,69; 0,375.
2,	Сумму чисел 4,2787 и 146,981 увеличить на 1,4533.
3.	Вычислить устно: 1) 3,7 +2 + 0,3; 2) 4,99 + 0,11; 3) 7,1 +
+ 8,3+10,7; 4) 0,7 + 0,03; 5) 0,25 + 0,5.
Упражнения.
718.	Вычислить:
1)	4,35 + 11,4;
2)	0,729 + 0,21 +57;
3)	2,0009 + 13,0071 + 13,4;
4)	23,073 + 52,38 + 0,7576;
5)	0,0028 + 1,52 + 3,4772;
6)	7,3 + 7,32 + 7,322 + 7.3223.
719.	Вычислить:
1)	12,4+ 13,41 +0,99;
2)	0,921 + 0,39 + 7,009 + 14,3;
3)	5,000201 + 0,799999 + 4;
4)	105,73 + 203,3 + 72,508
720.	Найти сумму:
1)	6,33 руб. +32,1 руб. + 149,27 руб.;
2)	152,09 руб. + 4954,48 руб. + 850,8 руб.;
3)	2,4 т + 43,1 кг + 5,7 tn + 79,9 кг. Ответ дать в тоннах.
4)	2,3 га + 437 200 кв. м + 3,1 а. Ответ выразить в гек-
тарах.
721.	Записать в дециметрах 76,8 см; 50 см; 7,9 см; 113,7 см
и вычислить сумму получившихся чисел.
229
722.	Записать в гектолитрах 37 л; 57,2 л; 2,8 л и 375 л.
Вычислить сумму получившихся чисел.
723.	Вычислить сумму чисел:
1)	13,45; 1,409; 2,31;	2) 10,97; 5,4; 0,908.
Какая из них больше?
724.	Вычислить сумму чисел:
1)	3,045792; 4,99876; 0,76;	2) 4,27; 3,909765; 0,0471.
725.	Увеличить сумму 9,4 + 0,795 на 0,775.
726, Вычислить устно:
1)	1,7 + 5 + 0,3 + 0,04;	3) 0,75 + 4,3 + 0,25.
2)	12,1 + 12,55 + 12,45;
727.	Вычислить устно:
1)	0,36+ 12,1 +0,64;	3) 13 + 3,49 + 4+ 1,51.
2)	5,7+ 5.1 +5,2;
728.	Высота прямоугольника 13,78 м, а основание на 2,73 м
больше. Вычислить сумму всех его сторон (периметр прямоуголь-
ника).
729.	В России в 1913 г. было добыто каменного угля 29,1 млн. tn,
в СССР в 1958 г. на 466,9 млн. т больше, а в 1960 г. на 17 млн. т
больше, чем в 1958 г. Сколько было добыто каменного угля в
СССР в 1960 г.?
730.	Из двух пунктов навстречу друг другу двигаются авто-
мобили: один со скоростью 57,8 км в час, другой — 43,7 км в час.
На сколько уменьшится расстояние между ними через час? Чему
равно расстояние между пунктами, если автомобили встретились
через два часа?
731.	Один кусок рельса весит 42,3 кг, другой на 6,12 кг больше,
а третий на 10,48 кг больше, чем второй. Чему равен вес всех
трех кусков?
732.	Сложить с помощью счетов:
1)	15,7 + 13,2;	6) 5,854 + 12,78;
2)	25,9 +	20,3;	7)	29,5 + 42,54 + 6,8;
3)	8,52 +	5,96;	8)	6,803 + 12,84 + 9,8;
4)	4,73 +	9,88;	9)	25,75 + 83,7 + 92,46;
5)	46,758	+ 53,705;	10)	341,5 + 6,02 + 89,028.
230
§ 100.	ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ.
Вычитание десятичных дробей производится так же, как и вы-
читание целых чисел. Для вычитания разности дробей, например
384,07 и 23,49, их следует подписать так же, как и при сложе-
нии десятичных дробей, а затем производить вычитание, начиная
с самых мелких долей:
384,07
23,49
360,58
От 7 сотых нельзя отнять 9 сотых, надо взять одну десятую
долю, но число десятых в уменьшаемом равно нулю, а поэтому
возьмем одну единицу и выразим ее в десятых долях, всего бу-
дет 10 десятых. Возьмем одну десятую и выразим ее в со-
тых долях, будет 10 сотых, да еще есть в уменьшаемом 7 со-
тых, всего будет 17 сотых. От 17 сотых отнимем 9 сотых
получим 8 сотых, цифру 8 запишем на месте сотых. От 10 де-
сятых осталось 9 десятых, а потому от 9 десятых отнимаем
4 десятых. Получится 5 десятых, запишем цифру 5 под десяты-
ми долями. Теперь надо от 3 единиц отнять 3 единицы, получим
0 единиц, пишем 0 и ставим после него запятую. После этого
вычитаем единицы следующих разрядов, как при вычитании мно-
гозначных чисел.
Чтобы из одной десятичной дроби вычесть другую десятичную
дробь, следует вычитаемое подписать под уменьшаемым так, чтобы
одинаковые разряды и доли были подписаны друг под другом, а
затем вычитать одинаковые доли и разряды, начиная справа.
Примеры. 13	__ 0,87
“ 0,745	0,8205
12,255	0,0495
Задание 73.
1.	На сколько 15 больше, чем 12,48?
2.	Сумма двух чисел 11,4, одно из них 1,989. Вычислить
другое.
3.	Решить уравнения:
1)	12,3+ х = 100,7; 2) у - 3,04 = 5,975; 3) 18 —л = 4,475.
231
Упражнения.
733.	Какое из чисел больше и на сколько:
1)	12,57 или 3,9?	4) 18,405 или 9,97?
2)	4.58 или 4,607?	5) 8,4001 или 5.987?
3)	15 или 15,475?
734.	Какое из чисел меньше и на сколько;
1)	86,15 или 63,97?	4) 806,47 или 677,98?
2)	133,4 или 133,29?	5) 83,307 или 101,5?
3)	16 или 15,907?
735.	Вычислить разности и проверить вычитание с помощью
сложения:
1)	13,4—0,791;	4) 16— 13,792;
2)	15,67 — 4,9;	5) 1,000001—0,859677;
3)	17,05 — 16,981;	6) 20,01 —3,7924.
736.	Вычислить:
1)	7,824 — 2,53 — 3,9;
2)	0,8957 — 0,659 + 0,0281;
3)	1,357 + 2,753+16,5 — 4,95;
4)	18,98 — 17,99+ 13 — 0,77;
5)	45,78 —3,395 —(16 —4,275);
6)	2 — 0,876 —(1—0,293)+ 1,901.
737.	Решить уравнения:
1)	х+13,7 = 14,89;	4)	30,9 — у = 15,09;
2)	17,58 +х = 26,99:	5)	х - (12,7 — 1,9) = 15,3;
3)	у — 20,9 = 8,97;	6)	(12,4 — 1,19) — х = 3,78.
738.	Вычислить:
1)	202,48 —(0,09+ 1,23) —(101.3—0,409);
2)	(13 — 0,48) — (10,9 — 8.08) - (0,87 — 0,395);
3)	5,6 — (0,998 + 0,002) -(1,7—1,605);
4)	14 — 3,7 — 4,07 — 0,9072.
739.	Сумма двух чисел равна 13,405, одно слагаемое равно
9,8955. Вычислить другое слагаемое.
740.	Общий вес ящика со 100 болтами (вес брутто) составляет
40,82 кг; вес ящика равен 2,85 кг. Найти вес каждого болта.
741.	Железная полоса весом 17,90 кг при обработке потеряла
0.1 своего веса. Сколько она весила после обработки?
232
Рис 89.
742.	1) Уменьшаемое равно 124,4» вычитаемое в 100 раз мень-
ше. Найти разность.
2)	Вычитаемое равно 0,9785, уменьшаемое в 100 раз больше.
Найти разность.
743.	Первое слагаемое равно 125, второе в 10 раз, а третье
в 1000 раз меньше первого. Найти их сумму.
744.	1) В эстафете по бегу 4x100 м (рис. 89) первый участок
пути пройден за 11,8 сек., второй за 11,6 сек., третий за 12,3 сек.,
а четвертый за 11,5 сек, Какое время показала команда?
2) Составить похожую задачу, используя данные школьных
соревнований по бегу.
745.	Основание прямоугольника 132,4 м, высота на 51,7 м
меньше. Вычислить периметр (сумму всех сторон) прямоугольника.
746.	В кладовой было 37,275 т зерна. Выдано 19,378 /п. а при-
нято 42,572 т. Сколько зерна стало в кладовой?
747.	Из суммы чисел 12,079 и 3,791 вычесть их разность.
748.	Проверить правильность результата:
1)	13,4 + 3,84 + 0,765 = 17,905;
2)	12,7 — 3,98 — 4,098 = 4,022;
3)	12,7 4- 3,95- 16,45 = 0,2;
4)	0,563 — 0.4987 + 0,9357 = 1.
Если результаты не верны, то найти правильный результат.
749. Вычислить с помощью счетов:
1)	48,87 — 25,32;
2)	10,89 — 9,5;
3)	2,481 — 1,23;
4)	72,34 — 58,41;
5)	5,24 — 2,792;
6)	112,4 — 68,49;
7)	84,92 — 35,4 — 21,32;
8)	208,4 — 79,83 — 69,562;
9)	34,5 — 27,88 + 16,75 — 3,57;
10)	4,835 + 0,77 — 0,983 — 3,64.
750.	Уменьшаемое увеличили на 4,82, а вычитаемое умень-
шили на 5,3. Как изменилась разность?
233
751.	Каждое из трех слагаемых увеличили на 12,05, а послед-
нее, четвертое слагаемое уменьшили на 5,75. Как изменилась
сумма?
752.	При вычитании числа 2,494 вместо цифры 9 написали
цифру 0. На сколько изменилась разность?
753.	Вычислить сумму: 13,7981 4- 4,9101 + 10,86. Округлить
каждое из слагаемых до 0,1 и вычислить их сумму. Какая из
сумм больше и на сколько?
754.	В сыром виде один кирпич весит 4,5 кг, после сушки его
вес уменьшился на 0,8 кг, а после обжига он теряет в весе на
0,6 кг меньше, чем при сушке. Сколько весит 1000 кирпичей
после обжига?
755.	Площадь первого участка равна 202,6 га, площадь вто-
рого на 39,9 га больше площади первого, а площадь третьего на
70,8 га меньше суммы площадей первых участков. Чему равна
площадь всех трех участков?
756.	Скорость течения реки 3,24 км в час, а скорость лодки
в стоячей воде 8,3 км в час. С какой скоростью будет двигаться
лодка по течению и против течения?
757.	Контрольное задание.
1)	Вычислить сумму чисел: 1,29; 12,3 и 0,781. Уменьшить пер-
вое слагаемое в 10 раз, второе — в 100 раз, а третье слагаемое
увеличить в 100 раз. Вычислить сумму полученных чисел. Какая
из этих сумм больше и на сколько?
2)	Площадь Москвы (без лесопарковой зоны) равна 87,5 тыс. га.
Площадь Нью-Йорка на 5,9 тыс. га меньше площади Москвы.
Площадь Лондона на 51,3 тыс. га меньше площади Нью-Йорка.
Чему равны площади Лондона и Нью-Йорка?
3)	Вычислить: 21,3 м — (4,31 м + 9,67 м).
Результат округлить до 0,1 м,
1Оф УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ.
Вычислим произведение дробей 4,32 и 2,7. Если их выразить
обыкновенными дробями, то можно записать:
4 34 о 7	434 2L- 43427
Произведение 434-27 можно вычислить, если умножить 4,34 на
2,7, не обращая внимания на запятые (мысленно отбросить запя-
тые); это произведение равно 11718. Для деления его на 1000
достаточно отделить запятой 3 цифры справа.
234
Действие умножения записывают так:
v 4-34
х 2,7
3038
868
11,718
Легко заметить, что запятой отделяется столько десятичных зна-
ков, сколько их в том и другом сомножителях вместе.
Примеры. 43,4-2,7 = 117,18;
0,434-0,27 = 0,11718;
0,434-0,027 = 0,011718.
Чтобы умножить десятичные дроби, следует, не об-
ращая внимания на запятые, умножить их как нату-
ральные числа и в произведении отделить запятой
столько десятичных знаков, сколько их в том и дру-
гом сомножителе вместе.
Этим же правилом пользуются и при вычислении произведе-
ния натурального числа и десятичной дроби.
Примеры.	0,38	4,22
х 14	х 0,35
152	2110
38	1266
5,32	1,4770	=	1,477
При умножении десятичных дробей применяют законы умно-
жения. Если, например, надо умножить 0,021 на 14,35, то при
письменном вычислении следует применить переместительный за-
кон и записать так:
14,35
х 0,021
1435
2870
0,30135
Задание 74.
1.	Вычислить произведения:
1)	0,7-2,45;	3) 1,3-10,5-12;	б) 12-0,75-3.
2)	0,09-13,4;	4) 0,026-0,0455;
235
2.	Вычислить площадь прямоугольника, если его стороны при-
ближенно равны 4,21 м и 2,35 м. Результат округлить до 0,1 кв. м.
3.	Как перемножить десятичные дроби?
Упражнения.
758. Вычислить:
1) 12-0,56;	4) 4,3-0,07;	7) 3,5-0,41;	10) 9,78-0,45;
2) 16-0,75;	5) 1,55-1,48;	8) 5-3,24;	11) 0,45-0,78;
3) 0,025-14;	6) 0,6-0,058;	9) 12,8-0,41;	12) 0,025-0,8.
759. Найти:
1)	0,6 от 2,5;	6)	2,7 от 2,7;
2)	0,24 от 0,6;	7)	0,1 от 2,38;
3)	0,288 от 0,15;	8)	0,001 от 1002;
4)	0,102 от 6,05;	9)	1,0001 от 1;
5) 1,2 от 0,2;	10) 2,03 от 0.			
760. Вычислить устно:				
1) 2,4-3;	4) 7-0,5;	7)	5,17-1;	10) 0,4-15;
2) 3,2-5;	5) 8-0,04;	8)	0,27-0;	11) 16-0,05;
3) 0,1-0,5;	6) 0,9-0,001;	9)	0,4-0,7;	12) 1,25-0,4.
761.	Вычислить объем куба, если его ребро равно 0,8 дм. Ре-
зультат округлить до 0,01 куб, дм.
762.	Основание прямоугольника равно 0,361 м, высота 0,027 м.
Вычислить его площадь. Результат вычисления округлить до
0,0001 кв. м и выразить в квадратных дециметрах.
763.	Вычислить:
1)	10,04-20 +6,3-4,9;
2)	4,5-0,8 — 0,09-7,2;
3)	12 —(7,24 —3,84)-0,027;
4)	19,5 + 13,5-(1 —0,24);
5)	0,759 -р (2,3 + 0,79)-0,06;
6)	5, 8-2, 7 —(7,1 —6,982).3,5;
7)	82-0,15 + 120-0,025 ;
8)	(4,5-24 — 120-0,05)-12,5;
9)	7,8.(5,4-1,5 — 12,5-0,04)+ 12,6;
10)	20,5 — 0,25.(16,4 — 12,25).
764.	Каждый метр проволоки при нагревании на 1° удлиняет-
ся на 0,000017 м (рис. 90). Проволока имеет длину 450 м. На
сколько увеличится ее длина, если проволока нагреется на 38°?
236
765.	Звук распространяется в воздухе со скоростью 0,33 км
в сек. На каком расстоянии произошел электрический разряд
(молния), если после вспышки звук был услышан через 28 сек.?
(Ответ округлить до 0,1 км.)
766.	Вычислить произведение суммы чисел 3,48 и 0,5 на их
разность.
767.	Из двух станций навстречу друг другу вышли два по-
езда: один со скоростью 49,6 км в час, а другой со скоростью
58,7 км в час. Они встретились через 1,8 часа. Найти расстояние
между станциями. (Ответ округлить с точностью до 1 км.)
768.	Из 250 га земли 0,62 этой площади засеяны кукурузой,
а 0,24 пшеницей. Остальная часть засеяна гречихой. Сколько гек-
таров занято каждой культурой?
769.	1) Даны числа: 12,9; 0,87; 4,3 и 0,59. Вычислить сумму
произведений первых двух чисел и последних двух чисел.
2) Даны числа: 7,58; 0,944; 0,65; 2,35.
Вычислить разность произведений первого числа на третье и
второго на четвертое.
770.	Вес бумаги составляет 0,2 веса древесины, из которой
вырабатывают бумагу. Сколько бумаги получится из 25 куб. м
древесины, если 1 куб. м ее весит 0,62 т?
771.	Из килограмма молока получается до 0,15 кг сливок,
а из 1 кг сливок — 0,3 кг сливочного масла. Сколько масла по-
лучится из 27 ц молока?
7 72. 1) На окраску 1 кв. м пола расходуется около 0,3 кг
краски. Стоимость 1 кг краски равна 1,42 руб. Подсчитать ко-
личество краски и ее стоимость для покраски пола в двух ком-
натах, размеры которых 10,8 м X 8,9 м и 9,5 м х 6,7 м.
2) Составить такой же расчет для классной комнаты.
237
§ 10Ж. ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА
' И ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО.
1. Вычислим частное 51,34 : 34.
51,34	| 34 При делении 51 на 34 получаем в частном
~ 173	1,51 1 и в остатке 17. Пишем в частном 1 и ставим
170	запятую. Выразим 17 единиц в десятых долях,
34	получим 170 десятых. В делимом есть еще 3 де-
34	сятых, всего имеется 173 десятых. Делим их на
б	34, получаем в частном 5 десятых. Выражаем
3 десятых в сотых, получаем 30 сотых, в делимом
есть еще 4 сотых, всего будет 34 сотых. Разделив 34 сотых на
34, получим в частном 1 сотую и в остатке нуль.
Следовательно: 17,34 : 34 = 0,51 .
2. Вычислим частное 0,06: 15.
0,06	| 15 При делении нуля целых на 15 получаем в
’ 60	0,004 частном нуль целых, после нуля ставим запятую.
60	Разделив нуль десятых на 15, получим в частном
' б	нуль десятых. Так как число сотых (6) меньше,
чем 15, то в частном пишем на месте сотых 0. Выразим 6 сотых
в тысячных долях; при делении 60 тысячных на 15 получим
4 тысячных.
Итак: 0,06 : 15 = 0,004.
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется
так же, как и деление натуральных чисел. При этом остатки
выражаем в десятых, сотых и т. д, долях, пока в остатке не
получим нуль. Таким же приемом пользуются и для выражения
частного двух натуральных чисел десятичной дробью.
Пример. Выразить частное 13:8 десятичной дробью:
13	|8	13:8 = 1,625.
8	1,625
50
48
20
16
40
40
0
Выполняя деление, надо внимательно следить за процессом
деления и поставить в частном запятую в тот момент, когда за-
кончено деление целой части делимого.
238
Задание 75.
1. Вычислить частное:
1) 34:25;	2) 2,45:35;	3)	1758,96:56.
2. Вычислить неизвестное число, обозначенное буквой:
1) 0,135 :х = 27;	2) 402,93 : у = 99.
Упражнения.
773.	Вычислить:
1)	17,385:5; 3) 18:8; 5) 181,8:12; 7) 1,0248:60;
2)	7,884:4;	4)7:50; 6)30:16;	8)0,121:25;
9) 0,01 : 125 .
774.	Вычислить:
1)	1:200;	3) 63,14 : 205; 5) 7 : 350 ;	7) 154,33:305;
2)31,35:15; 4) 0,49:35;	6)168,012:12; 8)0,126:18.
775.	Решить уравнения:
1)	х: 70 = 1,65;	3) у • 72 = 29,16 ;
2)	0,78 : х = 8 ;	4) 500 • х = 32,7 .
776.	Вычислить:
1) (3,4-2,5 4-3,7: 2): 30;
4,7—2,5-0,4
25
3) (3,8 4- 4,7 — 8,25): (0,5 -50) ;
4) (4,9 + 3,9): (4,9 — 3,9) • 1,5.
777.	Вес 1 погонного метра рельса типа Р65 равен 64,93 кг.
Длина рельса 12,5 м. Сколько весят 15 рельсов? Результат округ-
лить до 0,1 т.
778.	Вычислить устно:
1)	1 : 4;	5)	7,2; 2;	8)	4,8: 4;
2)	5 : 4;	6)	12,3 : 3;	9)	12,5 :5;
3)	3 : 4;	7)	1 : 25 ;	10)	10,01 : 10.
4)	3:2;
779.	При пахоте план выработки на один трактор был уста-
новлен в 475,3 га. 40 тракторов вспахали 18709 га. Сколько в
среднем осталось вспахать каждому трактору?
239
780.	Прямоугольная пластинка должна иметь площадь
388,8 кв. мм, а длину 54 мм. Чему должна быть равна ее ши-
рина ?
781.	Один мальчик пробежал 75 м за 12 сек., а другой 100,8 м
за 16 сек. У какого из мальчиков скорость (за 1 сек.) была
больше и на сколько?
782.	14 л керосину весят 11,2 кг, а 12 л бензину 8,52 кг.
На сколько 1 л бензину легче, чем 1 л керосину?
10^ ДЕЛЕНИЕ НА ДЕСЯТИЧНУЮ ДРОБЬ.
Деление на десятичную дробь можно заменить делением на
натуральное число, используя свойство частного! если делимое
и делитель увеличить в одинаковое число раз, то частное не
изменится.
Разделим, например, 15,368 на 3,4. Отбросив запятую в де-
лителе, мы увеличим его в 10 раз; чтобы частное не изменилось,
увеличим и делимое в 10 раз, для чего перенесем в нем запятую
вправо на один знак.
Отсюда следует, что
15,368 : 3,4 - 153,68 : 34 .
Находим теперь частное от деления десятичной дроби 153,68 на
натуральное число 34. Это частное равно 4,52, следовательно,
15,368:3,4 = 4,52.
Действие записывают так:
15,368:3,4 = 153,68:34;
153,68 | 34
136	4,52
176
170
68
68
0
Если деление можно выполнить устно, то запись упрощается!
4,2 : 0,05 = 420 ; 5 = 84 или 5 : 0,2 = 50 : 2 = 25.
Чтобы разделить натуральное число или десятичную дробь
на десятичную дробь, следует: 1) отбросить в делителе
запятую и увеличить делимое во столько раз, во
240
сколько раз увеличился делитель; 2) разделить новое
делимое на натуральное число, полученное после от-
брасывания запятой в делителе.
Задание 76.
1.	Найти частные:
1)	26,39:6,5;	2) 1,08:15;	3) 0,3333:5,5.
2.	Объяснить, когда при делении десятичной дроби на нату-
ральное число надо поставить запятую в частном?
3.	К какому случаю деления сводится деление на десятичную
дробь ?
Упражнения.
783.	Вычислить устно:
1)	25:0,2;	4) 12,4:0,4;	7) 0,8:0,04;
2)	1,4: 0,7;	5) 0,72:0,2;	8) 0,15:0,3. /
3)	15:0,03;	6) 0,4 : 0,5 ;
784.	Найти частное:
1) 40,86 : 4,5 ;	8) 30,0675 ; 7,5 ;	15) 0,6039:5,49;
2) 68,288: 9,7;	9) 0,00338 : 0,13 ;	16) 45:0,36;
3) 0,63: 1,75;	10) 23,958:4,5;	1 7) 20,88 : 1,8 ;
4) 108 : 1,35;	11) 16,74 : 3,72;	18) 0,00784 : 0,35 ;
5) 259,7 : 0,35 ;	12) 19:9,5;	19) 85:0,00017;
6) 6549 ; 92,5 ;	13) 6,8547 : 2,19;	20) 3318 : 0,0000158.
7) 4,96335:8,15;	14) 3,7 : 0,8;	
785.	Вычислить и выполнить проверку результата:
1)	28,52:0,084;	3) 5,9827:20,63;
2)	0,02091 : 2,05 ;	4) 37,5004: 1,25 .
786.	а) Найти число, 0,65 которого составляют:
1)	1,3; 2) 0,195; 3) 26; 4) 3,25; 5) 0,0585.
б)	Найти число, если 2,8 составляют:
1)	0,7 этого числа;	4) 0,056 этого числа;
2)	1,4 этого числа;	5) 1,75 этого числа.
3)	0,35 этого числа;
787.	Вычислить;
1)18 — 5,348 — 11,3022 : 1,35;
2) [(20,3 —2,0809) — (15—8,3079)1 : (6,2857 — 3,9803);
24!
5,48+8,02
(7,97 + 8,77):3,72 ’
4)	(9,5: 19 + 1,9.0,95)-3,4;
5)	(0,2028 : 0,24 — 0,23-1,5)-(4,05 — 13,1625 : 4,05) j
6)	(1,08 : 1,5 + 6,3 : 0,28) : (4,2 — 3,4 — 28,39*0,02);
7)	[5,2 + 3,14: (8,7 — 2,42)]: [7,86 — 0,26-(1,38 + 28,12)];
8)	10,003:0,5:0,02:3,5.
788.	Сумму чисел 3,42 и 7,58 разделить на разность чисел
1,736 и 1,714.
789.	Произведение чисел 3,72 и 0,5 разделить на 0,15.
790.	Найти произведение частных 14,7:4,2 и 0,1505:4,3.
791.	Вычислить сумму частных 138:0,15 и 3,55:17,75.
792.	Сколько раз содержится 0,84 Л1 в 168 л?
793.	За какое время поезд, делающий по 208,8 км в каждые
3,6 часа, пройдет путь 4,93 км?
794.	Во сколько раз 0,9 больше, чем 0,25?
795.	Сумма двух чисел равна 5,48, а их разность 4,3. Найти
эти числа.
796.	Одно из чисел в 2,4 раза больше другого. Найти эти
числа, если их сумма равна 3,502.
797.	Одно число на 2,4 больше другого. Найти эти числа,
если их сумма равна 42,76.
798.	Одно из чисел в 5,3 раза больше второго. Найти эти
числа, если их разность равна 0,043.
799.	Решить уравнения :
1)	0,6 х — (3,4 + 2-0,3) = 3,5 ;
2)	” 5-0,3 + 0.14:3,5	0,045 ’
48	,9-12,7 = „ . ;
800.	Вычислить уменьшаемое, если разность равна частному
0,21 : 5, а вычитаемое равно произведению 2,04-0,15.
801.	Длина комнаты равна 6,3 м, ширина 5,25 м. а объем
79,38 куб. м. Чему равна высота комнаты?
802.	На 1 га высевают 0,15 ц семян подсолнечника. Поле
имеет длину 840 м. На какую ширину это поле можно засеять,
если имеется 945 кг подсолнечника?
242
803.	Длина окружности равна 16,328 дм, а ее диаметр 5,2 дм.
Во сколько раз длина окружности больше ее диаметра?
804.	За два дня для школы привезли 18,6 т угля, причем во
второй день привезли на 3,4 гп меньше, чем в первый. Сколько
угля привезли в каждый из дней?
805.	С двух огородов собрали 26,36 ц картофеля. С первого
огорода собрали на 1,72 ц больше, чем со второго. Площадь
первого огорода 7,8 а, второго 5,6 а. Сколько в среднем собирали
с 1 а на каждом из огородов ?
806.	В двух ящиках 30,24 кг гвоздей; вес гвоздей в первом
ящике в 2,6 раза больше, чем во втором. Найти вес гвоздей в
каждом ящике.
807.	Вес вяленой рыбы составляет 0,55 веса свежей рыбы.
Сколько вяленой рыбы получится из 42,4 ц свежей? Сколько нуж-
но взять свежей рыбы, чтобы получить 121 ц вяленой?
808.	Автобус за первый час прошел 0,2 всего пути, за вто-
рой час 0,75 того, что он прошел в первый час. За эти два часа
автобус прошел 70 км. Найти весь путь, который должен пройти
автобус.
IO4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧАСТНОЕ.
При делении десятичных дробей и натуральных чисел очень
часто частное выражается десятичной дробью с большим числом
десятичных знаков, например:
214,7 : 320 - 0,6709375.
Нередко в частном без конца повторяется одна цифра или не-
сколько цифр, например:
1:3 = 0,3333 .
4:11 = 0,3636 . , ,
Многоточие в этой записи указывает на то, что без конца повто-
ряется в первом частном цифра 3, а во втором — две цифры:
3 и 6.
Если частное содержит много десятичных знаков или они
повторяются без конца, то частное обычно выражают прибли-
женным числом.
Если при делении 214,7 на 320 ограничиться вычислением
только десятых долей, то говорят, что частное вычислено с точ-
ностью до 0,1. В этом случае записывают так:
214,7 : 320 ~ 0,6.
243
Можно вычислить частное более точно, найти не только деся-
тые, но и сотые доли. В таком случае говорят, что частное вы-
числено с точностью до 0,01. Записывают так:
214,7 : 320 ~ 0,67.
Можно еще более точно вычислить частное, с точностью до 0,001,
и записать:
214,7 : 320	0,670.
Можно выразить частное с точностью до 0,0001 и т. д.
Написанные здесь приближенные частные называются приб-
лиженными значениями с недостатком, так как они меньше
точного частного, которое равно 0,6709375.
Если увеличить на единицу последнюю цифру (справа) у
приближенного частного с недостатком, то получим приближенное
значение частного с избытком. Для частного 214,7 : 320 значения
с избытком будут равны: 0,7; 0,68; 0,671 и т. д. Эти значения
больше точного частного, равного 0,6709375.
Чтобы выразить частное с точностью до 0,1;	0,01; 0,001
и т. д., достаточно записать в частном столько десятичных зна-
ков, сколько их имеется в числе, выражающем точность.
Примеры. Частное 1:3 = 0,333 . . . приближенно выража-
ется так:
0,3 или 0,4 с точностью до 0,1;
0,33 или 0,34 с точностью до 0,01;
0,333 или 0,334 с точностью до 0,001 и т. д.
Частное 1077,253 : 250 = 4,309012 приближенно выражается
так:
4,3 или 4,4 с точностью до 0,1 ;
4,30 или 4,31 с точностью до 0,01 ;
4,309 или 4,310 с точностью до 0,001 ;
4,3090 или 4,3091 с точностью до 0,0001 и т. д.
Обычно из двух приближенных значений частного берут то,
которое меньше отличается от точного частного. Для этого мож-
но пользоваться правилом округления: если первая из отбрасы-
ваемых цифр меньше 5, то берут значение с недостатком, а если
она 5 или больше 5, то берут значение с избытком.
Например, в последнем примере следует взять такие прибли-
женные значения частного:
1)	4,3 (с точностью до 0,1);
2)	4,31 (с точностью до 0,01);
244
3)	4,309 (с точностью до 0,001);
4)	4,3090 (с точностью до 0,0001) и т. д.
Замечание. На практике не всегда пользуются этим
правилом.
Задача. Сколько рейсов должна сделать пятитонная авто-
машина, чтобы перевезти 32 т картофеля?
32
Решение. Частное —равно 6,4. Если это число округ-
э
лить с недостатком согласно правилу, то 2 т картофеля оста-
нутся неперевезенными. Следовательно, 6,4 нужно округлить
по избытку, т. е. машина должна сделать 7 рейсов.
Задание 77.
1.	Измерить толщину учебника арифметики (без переплета)
в миллиметрах и вычислить с точностью до 0,01 мм толщину
листа бумаги в этом учебнике.
2.	На расстоянии 150 м пешеход в среднем делает 223 шага.
Какова длина шага (в метрах)? Вычисление выполнить с точ-
ностью до 0,01 м.
3.	Найти приближенные значения частного 3; 11 с точностью
до 0,1; до 0,01; до 0,001.
Упражнения.
809. Вычислить с точностью до 0,01 приближенное значение
частного с недостатком и с избытком:
1) 13:7;	4) 18:0,57;	7) 0,5 ; 2,9;	9) 1301:909;
2)12:11;	5) 0,72:0,127; 8) 247:345; 10)1:0,7.
3) 15,7:30,25; 6) 4,3 : 4,1 ;
810.	Вычислить среднее арифметическое чисел:
1)	12,3; 14,8 и 9,45 с точностью до 0,1 ;
2)	1,372; 1,27; 0,98; 1,39 и 0,981 с точностью до 0,01.
811.	С 234 га собрали 736 т зерна кукурузы. Какова урожай-
ность с 1 га (с точностью до 0,01 т)?
812.	Средняя плотность населения СССР 10.1 чел. на 1 кв.км.
В СССР проживает около 226 млн. человек. Какова территория
СССР? (Ответ достаточно выразить с точностью до 1 млн. квад-
ратных километров.)
813.	В нижеследующих упражнениях частные вычислить с
точностью до 0,1 :
1) 2,3:0,71 +3; 17 + 0,5.43;
245
Можно вычислить частное более точно, найти не только деся-
тые, но и сотые доли. В таком случае говорят, что частное вы-
числено с точностью до 0,01. Записывают так:
214,7:320 ^0,67.
Можно еще более точно вычислить частное, с точностью до 0,001,
и записать:
214,7: 320 ~ 0,670.
Можно выразить частное с точностью до 0,0001 и т. д.
Написанные здесь приближенные частные называются приб-
лиженными значениями с недостатком, так как они меньше
точного частного, которое равно 0,6709375.
Если увеличить на единицу последнюю цифру (справа) у
приближенного частного с недостатком, то получим приближенное
значение частного с избытком. Для частного 214,7 : 320 значения
с избытком будут равны: 0,7; 0,68; 0,671 и т. д. Эти значения
больше точного частного, равного 0,6709375.
Чтобы выразить частное с точностью до 0,1; 0,01; 0,001
ит. д., достаточно записать в частном столько десятичных зна-
ков, сколько их имеется в числе, выражающем точность.
Примеры. Частное 1:3 = 0,333 . . . приближенно выража-
ется так:
0,3 или 0,4 с точностью до 0,1;
0,33 или 0,34 с точностью до 0,01;
0,333 или 0,334 с точностью до 0,001 и т. д.
Частное 1077,253 : 250 = 4,309012 приближенно выражается
так:
4,3 или 4,4 с точностью до 0,1 ;
4,30 или 4,31 с точностью до 0,01 ;
4,309 или 4,310 с точностью до 0,001 ;
4,3090 или 4,3091 с точностью до 0,0001 и т. д.
Обычно из двух приближенных значений частного берут то,
которое меньше отличается от точного частного. Для этого мож-
но пользоваться правилом округления: если первая из отбрасы-
ваемых цифр меньше 5, то берут значение с недостатком, а если
она 5 или больше 5, то берут значение с избытком.
Например, в последнем примере следует взять такие прибли-
женные значения частного:
1)	4,3 (с точностью до 0,1);
2)	4,31 (с точностью до 0,01);
244
3)	4,309 (с точностью до 0,001);
4)	4,3090 (с точностью до 0,0001) и т. д.
Замечание. На практике не всегда пользуются этим
правилом.
Задача. Сколько рейсов должна сделать пятитонная авто-
машина, чтобы перевезти 32 т картофеля?
32
Решение. Частное —=- равно 6,4. Если это число округ-
э
лить с недостатком согласно правилу, то 2 т картофеля оста-
нутся неперевезенными. Следовательно, 6,4 нужно округлить
по избытку, т. е. машина должна сделать 7 рейсов.
Задание 77.
1.	Измерить толщину учебника арифметики (без переплета)
в миллиметрах и вычислить с точностью до 0,01 мм толщину
листа бумаги в этом учебнике.
2.	На расстоянии 150 м пешеход в среднем делает 223 шага.
Какова длина шага (в метрах)? Вычисление выполнить с точ-
ностью до 0,01 м.
3.	Найти приближенные значения частного 3:11 с точностью
до 0,1; до 0,01; до 0,001.
Упражнения.
809. Вычислить с точностью до 0,01 приближенное значение
частного с недостатком и с избытком:
1) 13:7;	4) 18:0,57;	7) 0,5:2,9;	9) 1301 :909;
2)12:11;	5) 0,72:0,127; 8) 247:345; 10)1:0,7.
3) 15,7:30,25; 6) 4,3 : 4,1 ;
810.	Вычислить среднее арифметическое чисел:
1)	12,3; 14,8 и 9,45 с точностью до 0,1 ;
2)	1,372; 1,27; 0,98; 1,39 и 0,981 с точностью до 0,01.
811.	С 234 га собрали 736 т зерна кукурузы. Какова урожай-
ность с 1 га (с точностью до 0,01 tn) ?
812.	Средняя плотность населения СССР 10.1 чел. на 1 кв.км.
В СССР проживает около 226 млн. человек. Какова территория
СССР? (Ответ достаточно выразить с точностью до I млн. квад-
ратных километров.)
813.	В нижеследующих упражнениях частные вычислить с
точностью до 0,1 :
1) 2,3:0,71 + 3: 17 + 0,5-43;
245
2) 12,5:0,92 + 9:7 — 1,2:7;
ox 3-5,4 —2:3	12 + 7:8 .
15—13, 1	2—0,4-3 *
4)	(3— 1,4:3) :0,09;
5)	13,4 + (7,4 + (9—0,8: 1,9).0,4]: 0,29;
6)	1,3: [13 : 0,7 — (4,9 + 1,8-0,23) ; 0,9].
814.	В РСФСР проживало в 1963 г. 123,4 млн. человек, ее
территория 17,1 млн. кв. км. Вычислить с точностью до 0,1 че-
ловека плотность населения РСФСР.
815.	Требуется выгрузить из вагонов на автомашины 500 т
рыботовара в бочках. Сколько часов потребуется для выгрузки
этого товара, если норма выработки на одного грузчика за один
семичасовой рабочий день равна 23,1 т и в каждой смене ра-
ботают 12 человек? Сколько следует оплатить за работу, если
норма оплаты за 1 т составляет 13,9 коп.? Написать числовые
формулы.
816.	Используя таблицу, вычислить вес рельса каждого типа,
если длина его равна 12,50 м.
Типы рельсов	Р65	Р5Э	Р43
Вес I погонного метра в кг . .	1 64,93	51,51	44,65
Результаты округлить до 0,1 кг.
Сколько рельсов типа Р65 и Р43 длиной 12,5 м можно по-
грузить на пятитонную машину? Результат выразить в целых
числах.
817.	Среднее расстояние Земли от Солнца равно 149,5 млн. км.
Расстояния планет Венеры и Марса от Солнца составляют 0,722 и
1,52 расстояния Земли от Солнца. Вычислить с точностью до
1 млн. км расстояния Венеры и Марса от Солнца.
818.	Вес тела на Луне составляет 0,16 веса этого тела на
Земле, вес тела на Марсе в 2,4 раза больше веса тела на Луне.
Космонавт на Земле весит 88 кг. Вычислить с точностью до 1 кг
его вес на Луне (рис. 91) и Марсе.
819,	Объем воды при замерзании увеличивается в 1,1 раза.
Сколько воды получится, если растопить 1 куб. м льда? Сколько
льда получится, если заморозить 1 куб. м воды? (Вычислять с
точностью до 0,001 куб. м.)
246
820.	Один пионерский от-
ряд собрал 24,55 кг лекар-
ственных растений, второй в
1,2 раза, а третий в 1,4 ра-
за больше того, что собрал
первый. При сушке вес рас-
тений уменьшился на 49,5 кг.
Сколько сухих растений по-
лучено всеми тремя отряда-
ми вместе?
821.	На 4 автомашинах
привезли 14,5 т муки. На
второй в 1,2 раза, на третьей
в 1,3 раза, а на четвертой
в 1,5 раза больше, чем на
первой. Сколько муки при-
везли на каждой машине?
822.	Автомобиль шел на
подъем 2,3 часа, а по гори-
зонтальному участку пути 6,1
часа и всего прошел за это
время 430,2 км. По горизон-
Рпс. 91.
тальному пути он прошел на 234,7 км больше, чем на подъем.
С какой средней скоростью шел он по горизонтальному участку
пути и на подъеме?
823. Пионеры отправились в трехдневный поход. В первый
день они прошли 0,36 всего расстояния, во второй 0,75 оставше-
гося пути, а в третий остальные 6,8 км. Сколько километров
прошли пионеры за три дня?
824.	За 2 дня турист прошел 60,9 км со средней скоростью
4,35 км в час. Время, затраченное туристом на прохождение
пути во второй день, составило 0,75 того времени, которое он за-
тратил в первый день. Сколько часов шел турист каждый
день?
825.	Первая труба может наполнить бак за 25 мин.; второй
трубе для наполнения бака нужно лишь 0,25 этого времени. За
сколько времени наполнится бак, если открыть обе трубы одно-
временно?
Указание. В задачах 826—829 приближенные частные до-
статочно вычислять с двумя десятичными знаками.
826.	Рабочий-ученик может выполнить работу за 4 часа; ма-
стер на выполнение той же работы затрачивает 0,6 этого време-
247
ни. За сколько времени мастер и ученик выполнят всю работу,
работая вместе?
827.	Кран для горячей воды наполняет ванну за 10 мин., а
для холодной воды за 12,5 мин. Оба крана открыли на 4,5 мин.,
а затем закрыли кран для горячей воды. За сколько времени
наполнилась ванна?
828.	Насос мог выкачать воду из затопленного подвала за
5 час., если бы не прибывала каждый час вода в количестве
0,06 бывшей в подвале воды. За какое время насос выкачает
воду из подвала?
829.	Одна из колхозниц выполола полосу за 0,45 часа, а дру-
гая такую же полосу за 0,35 часа. За какое время они закончат
прополку одной полосы, работая совместно? За какое время они
закончат прополку двенадцати таких полос?
830.	Начертить диаграмму высот некоторых горных вершин
земного шара по данным следующей таблицы:
Название вершины	Высота в км
Пик Коммунизма (СССР)		7,495
Эльбрус (СССР)		5.633
Монблан (Франция)		4,810
Джомолунгма (Китай)		8,848
Килиманджаро (Танганьика) ....	6,010
831.	Начертить секторную диаграмму состава молока, если из-
вестно, что оно содержит 0,05 белка, по 0,04 жиров и углеводов,
остальное вода.
832.	Начертить секторную диаграмму, изображающую расчет
стоимости изготовления трактора по данным следующей таблицы:
Наименование расходов	Часть сто- имости трактора
Сырье, готовые детали		0,325
Смазка и топливо 		0,003
Электроэнергия 		0,012
Заработная плата рабочим и служащим	0,238
Износ станков		0.422
833.	Принять общие расходы по изготовлению трактора (се-
бестоимость) за 2000 руб. Вычислить расходы по каждой статье,
пользуясь данными таблицы из № 832.
248
834.	Контрольное задание.
1)	При сушке для получения изюма виноград теряет пример-
но 0,72 веса. Сколько надо взять винограда, чтобы получить 270 ц
изюма? Сколько получится изюма из 22,5 т винограда?
2)	Вычислить: 4,1 — 15,022 : 7,4 + 72,1 — 14,168 : 230.
3)	Моток проволоки весит 31,4 кг; 1 м этой проволоки весит
150 г. Найти длину проволоки в мотке (с точностью до 0,1 лг).
835.	Контрольное задание.
1)	Число учащихся в младших классах составляет 0,6 числа
учащихся в старших классах. Всего учащихся в школе 928 чело-
век. Сколько обучается в младших классах?
2)	Вычислить: (20,88 : 18 + 45 : 0,36): (19,59 + 11,95).
3)	Автомобиль за 2,3 часа прошел 148,5 км. Какова средняя
скорость автомобиля (до 0,1 км в час).
^109. ПОНЯТИЕ О ПРОЦЕНТЕ.
В практических расчетах очень часто употребляют сотые доли,
которые называются процентами.
Определение. Процентом называется одна сотая.
Процент принято обозначать особым знаком % и записывать
так:
12	3	4
Гбо = 1 Too = 2%; Too = 3%; Too = 4% и т* д*
Если п — натуральное число, то можно записать, что — п %.
Так как 1 = то 1 = 100%, а поэтому 2 = 200%, 3 = 300%
и т. д. Следовательно, любое натуральное число выражается це-
лым числом процентов.
Десятичные дроби со знаменателями 10 и 100 также выра-
жаются целым числом процентов.
Примеры: 1) 0,01 = 1%;
2)	0,04 = 4%, так как дробь содержит 4 сотых;
3)	1,23 = 123%, так как дробь содержит 123 сотых;
4)	0,6 = 0,60 = 60%.
Надо уметь число процентов выражать дробью или натураль-
ным числом. Например, чтобы выразить 7% дробью, рассуждаем
так: 7% равны 1%-7, но 1 % = 0,01, следовательно,
7% = 1 %. 7 = 0,01-7 = 0,07.
249
Рассуждая таким образом, можно записать, что:
22% = 0,01- 22 = 0,22;
140% = 0,01-140 = 1,4;
400% = 0,01-400 = 4.
Следовательно, чтобы выразить проценты в виде дроби или
натурального числа, достаточно одну сотую умножить на число
процентов.
§ 106. НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЧИСЛА.
Задача. Сахарная свекла содержит в среднем 16% сахара.
Сколько сахара содержится в 5 т свеклы?
Решение. Так как 16% =0,16, то задача сводится к на-
хождению дроби числа, надо найти 0,16 от 5 /и. Для этого нуж-
но вычислить 5-0,16.
Решение запишем так:
1)	16% =0,16;
2)	5-0,16 = 0,8 (/и) = 800 (кг).
Можно проценты выразить и в виде обыкновенной дроби:
1)	16% = цю = 25 ’
2>54 = т-«-
Чтобы найти несколько процентов числа, следует
проценты выразить дробью, а затем найти дробь
данного числа.
Часто задачу о нахождении нескольких процентов числа мож-
но решить устно. При устном решении проще сперва найти 1 %
1
данного числа, или его, а затем наити искомое число про-
центов.
Пример. Рабочий за смену должен был обработать 300 де-
талей. Он обработал на 20% больше. Сколько деталей это состав-
ляет?
Решение. 1% от 300 составляет 3, а 20% составит в 20 раз
больше: 3-20 = 60.
Следовательно, рабочий, кроме 300 деталей, обработал еще
60 деталей.
250
Следует запомнить, что:
10% = 4г ; 20% = 4- ; 25% = 4- ; 50% = 4- И 75 % =
10	5	4	2
___3_
~ 4 ’
Например, при вычислении 25% от 80 руб. достаточно найти
от 80 руб., т. е. 80 разделить на 4.
Задание 78.
1.	Выразить в процентах: 0,02; 0,2; 0,92; 1,53; 1,5; 5.
2.	Найти 36% от 735 руб.
3.	Вычислить устно:
1)	1% от 160 руб.; 2) 5% от 400 м; 3) 120% от 200 кг;
4)	50% от 842 га.
4.	Что называется процентом?
5.	К какой задаче сводится любая задача на нахождение про-
центов от данного числа?
Упражнения.
836. Выразить в процентах:
Too:	1об:	1 Too: 7} То-’ 9) 1ТсГ’
2) т- 4>	6> 1гаг 8) ‘4; 10> Тб-
837. Выразить следующие числа в процентах:
1) 6;	3) 17;	5) 0,5;	7) 0,7;	9) 5,01;
2) 12;	4) 0,48;	6) 0,07;	8) 1,44;	10) 10,1.
838. Выразить проценты натуральными числами или десятич-
ными дробями:
1) 9%;	4) 39%;	7) 800%;	10) 231%;
2) 13%;	5) 81%;	8) 1000%;	11) 401%;
3) 27%;	6) 600%;	9) 150%;	12) 529%.
839. Найти (устно):
1) 10% от 70;	6) 3% от 500; 11) 45% от 2000;
2) 20% от 70;	7) 12% от 150; 12) 300% от 200;
3) 25% от 12;	8) 23% от 1000; 13) 200% от 250;
4) 50% от 248;	9) 4% от 400; 14) 400% от 350.
5) 75 % от 1; 10) 30% от 200;
251
840. Найти:
4%; 8%; 18%; 200% от 75 руб.
841. Найти:
9%; 13%; 66%; 106% от 230 км.
842. Найти:
1) 98% от 45 га;	7) 22% от 4 руб. 50 коп.;
2) 106% от 95 кг;	8)	7% от 0,26 куб. м;
3) 57% от 800 At;	9) 78% от 0,5 л;
4) 152% от 55 кв. м;	10) 275% от 1,4 м;
5) 59% от 600 г;	11) 325% от 8,8 часа;
6) 230% от 40 сек.;	12) 84% от 15,3 куб. дм.
843.	В школе 920 учащихся. 55% из них составляют мальчи-
ки. Сколько мальчиков и сколько девочек в школе?
844.	Скорость автомобиля 120 км в час, скорость велосипе-
диста составляет 20% этой скорости. Какова скорость велосипе-
диста?
845.	Килограмм товара стоил 4 руб., сколько он стоит после
снижения цены на 12%?
846.	1 м ткани стоит 1,6 руб., цена снижена на 15%. Сколь-
ко будет стоить 3,5 м ткани после снижения цены?
847.	Площадь поля 140 га. 35% площади засеяно кукурузой,
44% пшеницей, а остальное горохом. Сколько гектаров отведено под
каждую из культур?
848.	Рабочий по плану должен был изготовить 200 деталей,
он выполнил план на 112%. Сколько деталей изготовил рабочий
сверх плана?
849.	Тракторист перевыполнил на 25% дневное задание, рав-
ное 10 га. Сколько вспахал тракторист?
850.	Школьники на воскреснике должны были посадить 1200 то-
полей и 2000 кленов. Они посадили тополей на 30% больше,
а кленов на 15% меньше, чем по плану. На сколько деревьев
посадили школьники больше, чем было намечено по плану?
851.	Совхоз должен был сдать 37 260 т зерна. Он перевы-
полнил план сдачи на 5%. Сколько зерна сдал совхоз государ-
ству?
252
Ю7. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ПРОЦЕНТАМ.
Задача. Найти число, если 72% его составляют 90 кг.
Решение. Так как 72% = 0,72, то, обозначив неизвестное
число через л, можно записать, что
0,72л = 90.
Откуда х = 90 : 0,72, или х = 125 кг.
В этой задаче мы находили число по его дроби.
Чтобы найти число по данным его процентам, до-
статочно выразить проценты в виде дроби и решить
задачу о нахождении числа по данной его дроби.
При устных вычислениях удобнее сперва найти 1 % числа, а
затем все число, или 100%.
Пример. Засеяно 80 га, что составляет 40% всей пашни.
Сколько гектаров занимает вся пашня?
Решение. Если 40% составляют 80 га, то 1% составит в
40 раз меньше, т. е. 2 га, а все поле составляет 100%, или 200 га.
Задание 79.
1.	Найти число, если 43% его составляют 215 кв. м.
2.	Фабрика выполнила план на 147% и выпустила 735 000 пар
обуви. Сколько пар обуви предполагалось выпустить по плану?
3.	Вычислить устно х, если 10% его составляют 60 кг.
4.	К какой задаче сводится любая задача на отыскание не-
известного числа, если известны несколько процентов его?
Упражнения.
852.	Найти число, если:
1)	14% его составляют 98 км;
2)	8% его составляют 12,3 га;
3)	26% его составляют 18,2 кв. м\
4)	71 % его составляет 163 300 чел.;
5)	123% его составляют 68,88 л;
6)	250% его составляют 1 км.
853.	Найти число с точностью до 0,1, если:
1)	17% его равны 1,2 кг;
2)	27% его равны 10,2 м;
3)	54% его равны 9,7 га;
4)	231% его равен 375 куб. м.
253
854.	От каких чисел 24 составляет: 2%? 3%? 6%? 8%? 60%?
855.	От каких чисел 55 составляет: 11 %? 55%? 40%? 125%?
856.	Сберегательная касса платит 3?6 годовых. Вкладчику в
конце года начислено 6 руб. Какова сумма вклада?
857.	Комбайнер за час работы убрал 3 га, что составило 15%
того, что он убрал за день. Сколько он убрал за день?
858.	Рабочий изготовил 240 деталей, что составило 120% его
дневной нормы. Какова дневная норма рабочего?
859.	Вес готового силоса составляет 88% заложенной зеленой
массы. Сколько массы нужно заложить для получения 500 т си-
лоса? (Вычислить с точностью до 10 т.)
860.	Часы после снижения цены на 10% стоят 24,3 руб. Сколь-
ко стоили часы до снижения цены?
861.	Картофель при сушке теряет 86% своего веса. Сколько
надо взять сырого картофеля для получения 2,5 т сушеного?
862.	В классе 26 девочек, что составляет 65% от числа всех
учащихся класса. Сколько в классе мальчиков?
863.	25% всех деревьев сада составляют груши, остальные
150 деревьев составляют яблони. Сколько груш в саду?
864.	На пришкольном участке высажено 25 кустов крыжовни-
ка. Кустов смородины посадили на 20 ?6 больше, а число посажен-
ных кустов малины на 60% больше, чем число кустов крыжовни-
ка и смородины вместе. Сколько всего кустов посажено на участке?
865.	Поезд прошел все расстояние между городами Л и В за
1,2 часа, сделав в пути одну остановку. Расстояние от А до ос-
тановки составляет 30,6 км, или 75%, расстояния от остановки
до В. Найти среднюю скорость поезда.
866.	Ученица высчитала, что она тратит 45 час. в неделю на
посещение школы и приготовление уроков, 30% этого времени
на занятия музыкой и спортом (рис. 92). Все время, затраченное
на занятия, составляет 90% того, что она тратит на сон. Сколь-
ко времени спит ученица в день? (С точностью до 0,1 часа.)
867.	Два поезда вышли одновременно с двух станций навстре-
чу друг другу. Скорость одного равна 56,4 км в час, скорость другого
Рис. 92.
на 25% больше. Поезда встретились,	Рис. 93.
когда второй поезд прошел 155,1 км.
Найти расстояние между станциями.
868.	Кусок сплава состоит из меди, цинка и олова. Количе-
ство цинка составляет 15 % всего сплава; олова в 5 раз меньше,
а меди содержится в этом куске 20,5 кг. Найти вес куска и ко-
личества цинка и олова, содержащиеся в куске.
869.	Ученик купил портфель, авторучку и книгу. Стоимость
авторучки составила 30% стоимости всей покупки., портфель сто-
ит вдвое дороже авторучки, а за книгу ученик заплатил 0,6 руб.
Сколько стоит портфель и авторучка отдельно?
870.	Маслозавод за первый день изготовил 32,5 ц масла, а за
второй на 20% больше, чем в первый. Продукция, выпущенная
в первые два дня, составила 78% продукции следующих двух
дней. Сколько масла изготовлено за 4 дня?
§ 108. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИМЕТРА ПРЯМОУГОЛЬНИКА
И ТРЕУГОЛЬНИКА.
На рисунке 93 изображены прямоугольник и квадрат. Измерим
длину стороны квадрата, она равна 1,1 см. Сумму длин всех его
четырех сторон можно вычислить умножением:
1,1-4 = 4,4 (см).
Говорят, что периметр этого квадрата равен 4,4 см. У прямо-
угольника не все стороны равны. Измерим неравные стороны,
длина одной из них 2,4 см, а другой 0,7 см. Чему же равна
сумма длин всех сторон? Так как другие две неравные стороны
имеют такие же длины, то сумма длин всех его сторон равна:
2,4 -F 0,7 4- 2,4 + 0,7 = 3,1 + 3,1 = 6,2 (см).
Вычисление можно записать так:
(2,4 4-0,7).2 = 3,1-2 = 6,2 (сл0.
Сумма длин всех сторон прямоугольника называ-
ется его периметром. Периметр прямоугольника на рисун-
ке 93 равен 6,2 см.
Измерим длину каждой стороны треугольника
(рис. 94). Одна из них равна 2,7 см, другая 1,5 см
и третья 1,9 см.
Рис. 94.
Рис, 95.
Сложив длины всех сторон треуголь-
ника, получим его периметр:
2,7+ 1,5+ 1,9 = 6,1 (см).
Задание 80.
1.	Сторона квадрата равна 0,6 м. Вы-
числить его периметр и площадь.
2.	Начертить прямоугольник, вычис-
лить его периметр и площадь.
3.	Найти периметры треугольников,
изображенных на рисунке 95. Измерение
сторон выполнить с точностью до 0,1 см.
Упражнения.
871, Найти периметр и площадь квад-
рата, если сторона его равна:
1) 0,8 см; 2) 1,5 дм; 3) 22,3 м;
4) 0,058 см.
872. Найти периметр и площадь прямоугольника, если сторо-
ны его равны:
1) 1,2 дм и 0,7 дм; 3) 5,2 м и 28 дм,
2) 20,4 см и 8,6 см; 4) 0,34 м и 5,5 см.
873, Найти периметр прямоугольника, площадь которого
22,4 кв. см, а одна из сторон равна:
1) 3,2 см;	3) 0,2 дм;
2) 2,8 см;	4) 56 мм.
874. Найти периметр треугольника, если его стороны равны:
1)	2,5 см; 3,6 см и 1,9 см; 3) 0,28 м; 3,9 дм и 52 см;
2)	22,3 дм; 50,6 дм и 43,4 дм; 4) 6,43 км; 943 м; 5,8 км.
875.	Найти периметр пола классной комнаты. (Измерить с точ-
ностью до 0,1 м.)
876.	Вырезать из картона модель треугольника. Найти пери-
метр. (Измерить с точностью до 0,1 см.)
877.	Периметр квадрата равен 4,8 м. Одна из сторон прямо-
угольника, имеющего тот же периметр,
равна 1,4 м. Площадь которого из них
больше и на сколько?
Рис. 96.
878.	Указать размеры нескольких
прямоугольников, имеющих один и
тот же периметр. Вычислить сторону
квадрата с таким же периметром.
Сравнить площади получившихся фи-
гур, какая из них больше? Какой вы-
вод можно сделать из этого сравнения?
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
ТРЕУГОЛЬНИКА.
Разрежем прямоугольник на два
равных треугольника, как указано на
рисунке 96. У каждого из этих тре-
угольников имеется прямой угол. Та-
кие треугольники называются пря-
моугольными треугольниками. При-
мером прямоугольного треугольника
служит чертежный треугольник.
Из рисунка 96 видно, что пло-
щадь прямоугольного треугольника
вдвое меньше площади прямоуголь-
ника.
Любой треугольник можно раз-
бить на два прямоугольных треуголь-
ника. Для этого достаточно к боль-
шей стороне данного треугольника
приложить чертежный треугольник
так, как указано на рисунке 97, и
провести отрезок BD. Этот отрезок на-
зывают высотой треугольника, а сто-
рону АС— основанием треугольника.
Высота BD разделила треуголь-
ник АВС на два прямоугольных тре-
угольника (рис. 97). Площадь одно-
го из них составляет половину пло-
щади прямоугольника AMBD, пло-
щадь другого —половину площади
прямоугольника DBNC. Отсюда сле-
дует, что площадь треугольника АВС
равна половине площади прямоуголь-
ника AMNC.
р
Рис. 100.
9 Заказ № 3J6
Иначе говоря, площадь треугольника равна половине
произведения его основания на высоту. Обозначим основа-
ние треугольника буквой а, высоту буквой Л, а площадь буквой S
(рис. 98). Полученное правило можно записать формулой:
5 = ah.
Пример. Основание треугольника равно 12 см, высота 5 см.
Площадь треугольника равна -^--12-5 = 30 (кв. см).
За основание треугольника можно принять любую из его сторон, не обя-
зательно большую. При этом высота может пойти по стороне треугольника
(рис. 99, а) или вне треугольника (рис. 99, б).
Задание 81.
1.	Вычислить площадь треугольника, если его основание рав-
но 20,4 м, а высота равна 12,3 м.
2.	Вычислить площадь треугольника, изображенного на рисун-
ке 98.
3.	Как вычисляется площадь треугольника?
Упражнения.
879.	Вычислить площади треугольников по данным таблицы.
	1	2	3		5	G
Основание:	16,2 см	2,94 м	| 12,75 м	52,5 см	15,2 см	7,6 м
Высота:	8 см	0,85 м	6,6 м	5,2 дм	95 мм	50,5 дм
880.	Площадь треугольника равна 6,76 кв. см. Найти основа-
ние, если высота равна:
1) 1,3 см; 2) 0,65 см; 3) 2,8 см.
881.	Площадь треугольника равна 8,97 кв. м. Найти его вы-
соту, если основание равно:
1) 3,45 м; 2) 0,69 м; 3) 33 дм.
882.	Нужно засеять просом треугольный участок с основанием
250 м и высотой 828 м. Сколько потребуется семян, если норму
высева принять 0,25 ц на 1 га? (Результат округлить до 1 кг.)
883.	Трактористу осталось запахать треугольный клин разме-
258
рами а — 75 м и h — 600 м. Сколько времени он затратит на
это, если 1 га он вспахивает за 1 час 10 мин.?
884.	Вычислить с точностью до 0,1 кв, см площадь четырех-
угольника ABCD (рис. 100). Для этого разбить четырехугольник
на два треугольника с общим основанием АС, (Измерение произ-
водить с точностью до 1 мм.)
ИЮ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ КУБА
И ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. '
Определение. Поверхностью куба или прямоуголь-
ного параллелепипеда называется сумма площадей всех
граней куба или прямоугольного параллелепипеда,
У куба все грани — равные квадраты, число таких квадратов
6, а поэтому для вычисления поверхности куба нужно вычислить
площадь одной грани и умножить ее на 6.
Пример. Если ребро куба равно 5 см, то площадь одной
грани равна:
5-5 = 25 (кв. см).
Поверхность этого куба равна:
25-6 = 150 (кв. см).
У прямоугольного параллелепипеда не все грани равны. На
рисунке 101 изображена спичечная коробка, имеющая форму пря-
моугольного параллелепипеда.
Чтобы вычислить всю поверхность, нужно знать размеры сто-
рон отдельных граней. Для этого достаточно выполнить три из-
мерения. Результаты их записаны на рисунке 101.
Площадь передней грани равна (3,6-5,0) кв. см, такую же
площадь имеет задняя грань.
Площадь правой грани равна
(1,8-5,0) кв. см. Такую же площадь
имеет левая грань.
Площади нижней и верхней гра-
ней равны, каждая из них равна
(1,8-3,6) кв. см.
Поверхность коробки можно запи-
сать в виде такой числовой формулы:
3,6-5,0-2 + 1,8-5,0-2 + 1,8-3,6-2.
9»
Рис. 101.
Поверхность равна: 36 4- 18 4- 12,96 = 66,96 (кв. см). Этот
результат следует округлить и дать ответ с точностью до 1 кв. см.
Поверхность коробки равна 67 кв. см.
Задание 82.
L Вычислить поверхность куба, ребро которого равно 2,4 м.
2.	Вычислить поверхность модели прямоугольного параллеле-
пипеда. Измерения выполнить с точностью до 1 мм.
Упражнения.
885.	Вычислить поверхность куба, ребро которого равно:
1)	6 см; 2) 2,5 см; 3) 3 —х— дм; 4) 0,8 см; 5) 4,25 м.
о
886.	Вычислить поверхности прямоугольных параллелепипедов
по данным таблицы:
	1	•1	3	4	5	6
Длина	6 см	3,5 дм	5,1 м |0,84 дм		6,4 см	3,5 м
Ширина	5 см	4 дм	64 <Ъ<	1,5 дм	3,25 см	8,2 дм
Высота	| 9 см |	5,2 дм	450 см	2,8 см	0,5 дм	1 дм
887.	Вычислить поверхность и объем прямоугольного парал-
лелепипеда, измерения которого равны:
1) 5 см; 2,4 см; 9 см; 2) 3,2 м; 7,5 м; 1 м; 3) 0,5 м; 3,6 дм; 4 см.
888.	Прямоугольная жестяная коробка (с крышкой) имеет раз-
меры: 40 слгХ40 см X 6,5 см. Сколько квадратных дециметров
жести пойдет на изготовление 10 коробок?
889.	Вычислить с точностью до 0,1 кв. м поверхность клас-
сной комнаты (измерения производить с точностью до 1 дм).
СОСТАВЛЕНИЕ СМЕТЫ.
Сметой называется расчет денежных средств, материалов или
продуктов, рабочей силы и т. д. для выполнения какого-либо ме-
роприятия. Например, для постройки жилого дома, школы, боль-
ницы и т. п. составляется смета или расчет необходимых мате-
риалов, рабочей силы, денег для выполнения этого строительства.
Чтобы составить, например, смету на окраску стен и потол-
ков в школьном здании, необходимо сначала вычислить общую
площадь стен и потолков. Кроме этого, используя справочник по
260
строительным работам, следует определить нормы расхода необ-
ходимых для ремонта материалов. В справочниках указываются
цены на материалы и затраты на рабочую силу.
Ниже приводится форма такой сметы. Перед окраской стен и
потолков делают перетирку штукатурки, чтобы замазать трещины
и повреждения штукатурки. В первой графе сметы указаны виды
работ; перетирка штукатурки и клеевая окраска, а также площадь
той поверхности, которую нужно отремонтировать. Во второй и
третьей графах указаны материалы и нормы их расхода. На-
пример, для перетирки 1 кв. м штукатурки нужно 0,001 гп из-
вести и 0,0003 куб. м песка. В графе пятой указаны цены: 1 т
извести стоит И руб. 44 коп., 1 куб. м речного песка стоит
1 руб. 79 коп., остальные цены указаны за 1 кг.
Смета на материалы для внутреннего ремонта
школьного здания.
Описание работ	Наименование материала	Норма расхода	Необходи- мое коли- чество	Цена мате- риала		Стоимость	
		на 1 кв. м	материала	руб.	коп.	руб	коп
1	2	1	3	*	5	6	7	S
1. Перетир- ка внутренней штукатурки на площади 1300 кв. м 2. Клеевая окраска стен и потолков на площади 1300 кв. м	Известь Песок речной Мел молотый Краска сухая Клей маляр- ный Мыло хозяй- ственное Купорос	0,0001 т 0,0003 куб. м 0,23 кг 0,017 кг 0,009 кг 0,006 кг 0,006 кг		11 1 И т с	44 79 02 29 38 47 27 । г о:		
Задание 83.
Используя данные этой сметы, вычислить количество матери-
ала и его стоимость (графы 4, 7 и 8). Подсчитать общую стоимость
материалов.
Упражнения.
890.	В нормах и расценках строительных работ указывается,
что за работу по прретирке 10 кв. м следует уплатить 48 коп., за
окраску 10 кв. м стены 38 коп. и за окраску 10 кв. м потолка
261
49 коп. Вычислить стоимость рабо-
чей силы по перетирке и окраске,
если общая площадь потолка и стен
равна 1300 кв. м, из них площадь
стен составляет 800 кв. м.
891.	Составить смету на окраску
стен и потолка в классной комнате.
892, Размеры комнаты 6,5м (4,5м ;
УЗ м. Составить смету на замену
обоев в этой комнате, если кусок
обоев размерами 0,5 лгХ12 м стоит
77 коп. и стоимость работы состав-
ляет 16 коп. за 1 кв. м (проемы не учитывать).
893.	Контрольное задание.
1.	Вес груза пассажирского самолета составляет по норме
1260 кг, что составляет 90% от веса самолета без груза. Само-
лет взял 75?о груза, предусмотренного нормой. Сколько веси? са-
молет с грузом?
2.	Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат со
стороной 0,8 м. Высота параллелепипеда равна 0,35 стороны ос-
нования. Найти поверхность и объем параллелепипеда.
894.	Контрольное задание.
1.	В первый день убрали 28 % площади участка, во второй
день на 10?6 больше. В третий день убрали остальные 8,5 га.
Сколько гектаров убрано в первый и во второй день отдельно?
2.	Пользуясь клетками тетради, вычертить треугольник, как
указано на рисунке 102. Найти периметр и площадь треугольни-
ка. (Измерять с точностью до 0,1 ся.)
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ПО ТЕМЕ
«ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ».
895.	Вычислить:
1)	34,9044:20,06 + 0,016-292 — 6,412;
2)	(10,62 + 0,4): 0,04 —(13,7 4- 3,5-2,1);
3)	(1,5 + 2,75 : 0,25)-0,3 : [(2,5 + 14,375 : 0,5)• 0.24];
4)	2,48 + 45 : 0,36 + 5,472 : 0,24;
5)	60,13 — 0,12: 1,6 — 2,4:0,32;
6)	17,8-0,65:0,08 — 86,775:6;
7)	(0,008 + 0,248 : 0,25) • (5 - 0,6 — 1,4);
8' (0,08 + 0,097-30).(0,08 : 0,1 —0,65).
262
896.	Вычислить:
n 5,2.12-6,75 ,
19,5'2,7 *
0,13-4,5.0,576
0,48-7,8
3)	(232,078 : 2,74-452,25-0,048) : 4 + (628,125 : 33,5 + 83,502);
4)	507,6 : (5 — 10,8 : 36) — 385 - (0,08 — 3,5-0,02);
г' 0,0325:0,13-40
0,252 : 0,028 : 0,9 ’
6)	(78,25 : 31,3 + 3,885 : 1,85 + 0,4578 : 0,327): 0,01.
897.	Найти частные с точностью до 0,1; 0,01; 0,001:
1)	17,1 : 7;	3) 1,65: 1,03;
2)	0,23:0,031;	4) 0,003:0,00033.
898.	Произвести действия, вычисляя частные с точностью до
0,01:
1)	7,39 : 5,4 + 0,283 : 0,13;	3) 5,2 : 6,83 + 4,01 : 3,5;
2)	0,27 : 0,07 — 4,6 : 3,9;	4) 0.28 : 0,29 — 6,5 : 12,4.
899.	Таблица для составления упражнений на действия над
десятичными дробями.
А	Б	h	г	Д	Е
1	0.1	1.5	2.5	0.01	1 ,25
2	0,2	1.7	3,4	0,02	4,08
3	0,3	1.8	3,6	0,03	3,24
4	0,4	1 .6	4,8	0,04	2 ,56
5	0,5	1.9	5,7	0,05	2,25
6	0,6	1.2	7,2	0,06	1, 17
7	0,7	1.4	4,2	0,07	4,48
8	0.8	1.3	2,6	0,08	6,76
9	0,9	1.1	5,5	0.09	3,96
Пользуясь числами, данными в таблице, составить примеры
на каждое из действий над десятичными дробями. Решить эти
примеры (по возможности устно).
263
900.	Решить уравнения:
1)	х 4- 0,285 = 0,864;	5)	0,28х = 1,4;
2)	12,03 —х =	7,8;	6)	5,04 : х = 12.8;
3)	х —4,083 =	5,917;	7)	х: 0,8 = 2,05;
4)	Зх = 5,73;	8)	х + Зх = 3,92;
9)	х + х~ 0,045-3 = 0,225;
10)	х : 2,5 = 0,12-0,12;
11)	х + 1,4х = 0,8-1,2;
12)	0,4х + Зх = 0,17.
901.	Сумма двух чисел равна 1,689, а разность 0,997. Найти
эти числа.
902.	Сумма двух чисел равна 13,78, одно число больше дру-
гого на 12,78. Найти эти числа.
903.	Овощной магазин продал 24,6 т картофеля и капусты,
причем капусты было продано на 7,8 т меньше, чем картофеля.
Сколько продано капусты и картофеля отдельно?
904.	Рыболовецкая бригада за два дня добыла 22,7 ц рыбы.
Во второй день было выловлено на 0,7 ц больше, чем в первый.
Сколько рыбы было выловлено в каждый из дней?
905.	Сумма двух чисел равна 4,35, одно из них в 4 раза мень-
ше другого. На сколько одно из них больше другого?
906.	Сумма двух чисел равна 16,5, одно из них в 2,3 раза
больше другого. Найти эти числа.
907.	Разность двух чисел равна 7,29, одно из них в 3,7 раза
меньше другого. Найти эти числа.
908.	На 100 км пути два легковых автомобиля «Москвич» и
«Победа» расходуют вместе 22,5 л бензина, причем «Победа» рас-
ходует бензина в 1,5 раза больше, чем «Москвич», Сколько бен-
зина расходует каждая из машин на 1 км пути?
909.	Паровоз и два вагона весят 125,8 /п, вес паровоза в 4,8
раза больше веса одного вагона. Найти вес паровоза и вес вагона.
910.	Сливочное мороженое состоит из молочного жира, саха-
ра и воды. Сахара в 1,5 раза больше, чем жира, а воды в 5 раз
больше, чем сахара. Сколько жира, сахара и воды содержится в
200 г мороженого?
911.	Куплено 2,5 кг колбасы по 2,1 руб. за 1 кг, 0,5 кг сыра
по 2,9 руб. за 1 кг и 0,6 кг масла. За всю покупку уплачено
8,8 руб. Сколько стоит 1 кг масла?
912.	За 1,5 кг макарон, 1,8 кг гречневой крупы и 2,25 кг риса
уплачено 3,06 руб. 1 кг макарон стоит 24 коп., 1 кг крупы в
2.5 раза больше. Сколько стоит 1 кг риса?
2Ь4
913.	В магазине было 22,5 ц яблок. В первый день продано
0,4 всего количества, во второй 0,2 остатка, а в третий день про-
дано на 1,4 ц больше, чем в четвертый. Сколько было продано
яблок б каждый день?
914.	Каменный уголь составляет (по весу) 0,6 от веса всей
породы, поднимаемой на поверхность при добыче каменного угля.
Остальную часть веса всей породы составляет так называемая
«пустая» порода. Добыто 600 млн. т угля. Сколько пустой по-
роды вынуждены поднять на поверхность земли? Вычислить объ-
ем этой породы, считая, что 1 куб. м породы весит 2 т. Напи-
сать числовую формулу.
915.	Для опрыскивания огородных культур применяют ра-
створ, содержащий 1 часть парижской зелени, 3 части извести и
196 частей воды. Сколько нужно взять этих веществ, чтобы об-
работать 1,25 га огорода, если на гектар нужно 820 кг раствора?
916.	От двух станций, расстояние между которыми 764,5 км,
отошли навстречу друг другу два поезда. Первый поезд вышел
на 2 часа раньше второго и шел со средней скоростью 57,25 км
в час, скорость второго поезда на 15,5 км больше. Какое рассто-
яние пройдет каждый поезд до встречи?
917.	Собственная скорость (скорость в стоячей воде) речного
теплохода 21,3 км в час, средняя скорость течения реки 2,8 км в
час. Расстояние между пристанями 92 км. Сколько времени за-
тратит теплоход на рейс в оба конца? (Ответ округлить до 0,1 часа.)
918,	Теплоход прошел расстояние 105 за 4 часа. За пер-
вый час пройдено 0,2 расстояния, за второй в 1,2 раза больше.
За третий час теплоход прошел в 1,1 раза больше, чем за чет-
вертый час. Сколько километров он проходил за каждый час?
919.	Скорость конькобежца равна 7,2 м в сек., скорость дру-
гого составляет 85% скорости первого. За сколько секунд первый
догонит второго, если расстояние между ними в данный момент
равно 27 м?
920.	Самолет ТУ-104 вылетел с аэропорта со средней скоро-
стью 13,5 км в мин. Через 21,6 мин. вслед за ним с того же
аэропорта вылетел скоростной самолет, скорость которого равна
180% скорости ТУ-104. На каком расстоянии от места вылета
скоростной самолет догонит ТУ-104?
921.	Два звена каменщиков, работая вместе, могут выложить
фундамент за 4 дня, первое звено может сделать эту работу за
12 дней. Какую часть работы сделает второе звено за 1,5 дня?
922.	В ванну проведены два крана: с горячей и с холодной
водой. Если открыть только кран с горячей водой, то ванна на-
265
Рис. 103.
полнится за 18 мин., а если открыть
только кран с холодной водой, то за
14,4 мин. За сколько времени напол-
нится ванна, если открыть оба крана?
923.	Две бригады лесорубов долж-
ны были вырубить участок леса за 14
дней, первая бригада могла закончить
всю эту работу за 24,5 дня. Сначала
обе бригады проработали вместе 9 дней,
затем оставшуюся работу закончила
вторая бригада. За сколько дней был
вырублен участок?
924.	1) Ящик для угля имеет размеры 0,6 X 0,5 X 0,4 ж. Вы-
числить вместимость ящика в кубических дециметрах. Сколько
килограммов угля вмещает ящик, если вес 1 куб. м каменного
угля принять за 1,2 т?
2)	Вычислить поверхность ящика по данным предыдущей за-
дачи.
925.	1) На Международных олимпийских играх лучший ре-
зультат в беге на 5000 м составил 13 мин. 48,8 сек., а в беге на
400 м 45,1 сек. На какой дистанции скорость больше и на сколь-
ко? (Вычислить с точностью до 0,1 м в сек.)
2)	На олимпийских играх лучший результат в ходьбе на 50 км
равен 4 час. 11 мин. 12,4 сек. Вычислить скорость спортсмена с
точностью до 0,1 м в сек. Вычислите скорость своей ходьбы на
участке длиной 1—2 км.
926.	Размеры фанерного ящика для посылок равны 3,5 :
X 2,4x3 дм. Вычислить поверхность ящика. Сколько листов фа-
неры нужно для изготовления 50 таких ящиков? (Площадь листа
фанеры принять за 2 кв. м.)
927.	Вычислить площади заштрихован-
ных фигур (рис. 103).
928.	Вычислить площади заштрихован-
ных фигур (рис. 104), произведя необходи-
мые измерения с точностью до 0,1 см.
929.	Сберкасса платит 3% годовых (по
срочным вкладам). Какую сумму может по-
лучить вкладчик через год, если он поло-
жит на книжку: 1) 40 руб.? 2) 105 руб.?
3) 192 руб.?
Рис. J 04.
930.	Рабочий получил всего за месяц 103,5 руб., причем пре-
мия составила 15% от месячной заработной платы. Какова зар-
плата рабочего?
931»	Цена на ткань одного сорта снижена на 18%, а другого
сорта на 10%. До снижения 1 м ткани первого сорта стоил
2,5 руб., а второго 2,2 руб. Сколько нужно заплатить за 3 м той
и другой ткани после снижения цен?
932.	Шофер перевез за 3 дня 45 т минеральных удобрений.
В первый день перевезено 24% всего груза, что составило 90%
того, что было перевезено во второй день. Сколько тонн удобре-
ний было перевезено за третий день?
933.	Основание прямоугольника равно 20 слс, а высота 12 см.
Основание увеличили на 12%, а высоту уменьшили на 2О?о.
Найти площадь и периметр нового прямоугольника.
934.	Сторона квадрата равна 2,4 м, что составляет 120% ос-
нования прямоугольника и 40% его высоты. Периметр какой фи-
гуры больше и на сколько?
935.	Основание треугольника равно 9,6 см, а высота 7,5 см.
Чему будет равна площадь треугольника, если: 1) основание уве-
личить на 25?о? 2) высоту уменьшить на 20%? 3) основание
уменьшить на 50%, а высоту увеличить на 50%?
936.	Ребро куба равно 0,6 Измерения прямоугольного па-
раллелепипеда составляют 30%, 40% и 150% ребра куба. Найти
объемы куба и параллелепипеда. Написать числовую формулу.
937.	Найти поверхность куба и параллелепипеда по данным
предыдущей задачи.
938.	Длина ящика 0,7 л<, что составляет 140 % его ширины и
высоты. Каждый из размеров увеличили на 20%. Насколько ку-
бических дециметров увеличился объем ящика?
939.	Автомобиль прошел за 6,5 час. 343,25 км, причем пер-
вую часть пути он шел со средней скоростью 50,5 км в час, а
вторую со скоростью, на 5 км в час большей. Сколько часов ав-
томобиль шел с увеличенной скоростью?
940.	Вертолет пролетел за 1,9 часа 249 км. Первую часть пути
он летел со средней скоростью 150 км в час, а вторую со ско-
ростью, равной 0,7 первоначальной скорости. Сколько километров
вертолет пролетел с одной скоростью и сколько с другой?
941.	Контрольное задание.
1. Скорость пешехода составляет 0,3 скорости велосипедиста.
Пешеход отошел от города на 3,15 км, когда вслед за ним вы-
267
ехал велосипедист. На каком расстоянии от города велосипедист
догонит пешехода, если скорость велосипедиста равна 18 км в час?
2. Вычислить:
(2,088 : 18 4- 4,5 : 0,036 — 2,7 -4,06) : 0,01.
942. Контрольное задание.
1. Один рабочий может выполнить работу за 7,5 дня; друго-
му нужно 0,8 этого времени, а третий на выполнение такой ра-
боты затратит в 1,5 раза меньше времени, чем первый. За сколько
времени сделают работу все три рабочих, работая одновременно?
2. Вычислить:
(3,69-4,5 + 3,36; 0,12)-0,5 — 3 ; 8.
IV. СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙСТВИЯ
НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ
И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН
113J ВЫРАЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ
7 ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБЬЮ.
Любую десятичную дробь можно выразить обыкновенной
дробью.
Примеры. 1) 0,8 =	~ ;
Выражение обыкновенной дроби в виде десятичной не всегда
возможно.
7
Чтобы выразить обыкновенную дробь, например , десятич-
ной дробью, нужно сначала заменить ее равной обыкновенной
дробью со знаменателем 10, или 100, или 1000 и т. д. Эти числа
разлагаются на простые множители 2 и 5 и содержат каждый из
них одинаковое число раз.
Покажем, что десятичными дробями можно выразить только
те обыкновенные (несократимые) дроби, у которых знаменатель
не содержит иных множителей, кроме 2 или 5.
Рассмотрим, например, такие дроби:
1 \	_L_	?	.	21 —	= ? •	3) —________-____
4	8 ~	2 - 2 - 2	*	7 25	5 • 5 ’	7 500	“ 2 - 2 - 5 • 5 • 5	*
Чтобы эти дроби выразить десятичными, нужно в знамена-
теле каждой дроби получить произведение одинакового числа
множителей 2 и 5.
Числитель и знаменатель первой дроби умножим на 5 • 5 • 5:
7	7	_	7 • (5 • 5 • 5)	__	7-125	875 _	р 0 _
8	“ 2'2*2	“	2 • 2 • 2 • (5 • 5 	5) -	10-10-10	“ ЮО0 “
269
Умножив числитель и знаменатель второй дроби на 2 • 2Ь а
третьей дроби на 2, получим:
7 __ 7 _ 7 - (2 - 2)	7 . 4	28	0 OR.
25	5-5	5 • 5 • (2 • 2)	10-10	100	’ *
3 _ _	3	3-2	__..	6	_ 6	__Q
500 —	2-2-5-5S	“ 2-2-5-5-5-2	““	Ю-10-10	“ 1000	’ и
Если бы знаменатель несократимой дроби содержал другие
простые множители, например 3, 7, 11, то такую дробь нельзя
было бы выразить десятичной дробью.
5	5
Например, дробь у = yj нельзя выразить десятичной, так
как, умножая 3 на любое натуральное число, невозможно полу-
чить 10, 100, 1000 и т, д.
Десятичной дробью можно выразить только такую
несократимую обыкновенную дробь, знаменатель ко-
торой не содержит никаких других простых множи-
телей, кроме 2 и 5.
Важно не пропустить слово «несократимую», так как некоторые
сократимые дроби могут быть выражены десятичной дробью, хо-
тя их знаменатели и содержат другие простые множители, кроме
2 и 5.
Пах 1X	1
рнмеры, 1) — = — ;
М ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ
В ДЕСЯТИЧНУЮ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ
ЗНАМЕНАТЕЛЯ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ.
Из предыдущего ясно, что выражение обыкновенной дроби
десятичной можно выполнить так:
1)	сократить обыкновенную дробь (если это возможно);
2)	разложить знаменатель на простые множители*;
• Преобразование можно упростить, если знаменатель обыкновенной дро-
би оканчивается нулем.
7
Например, дробь можно преобразовать таким образом:
7-5-5
•270
7-5-5-5	__
2-2-2-2-5-5-5-5 “
3)	если знаменатель не содержит других множителей, кроме
2 и 5, то надо умножить числитель и знаменатель на такое число,
чтобы знаменатель стал равным 10, 100, 1000 и т. д.; полученную
дробь записать десятичной дробью.
Если знаменатель содержит множители, отличные от 2 и 5, то
дробь нельзя представить десятичной дробью.
217	7
Примеры. 1) 240 = 80 = 2*2-2-2-5
= W -
14	7	7	~ х
2) р>п — дтг — о о q - Эту дробь нельзя выразить десятичной^
1	OU	2 • х • J • О
так как ее знаменатель содержит простой множитель 3.
Задание 84.
1. Выразить обыкновенной дробью: 1,04; 0,125; 4,0016; 0,608;
1,750.
OTZ	313374	9
2. Какие ИЗ дробей: —	— И 400-МОЖ-
но выразить десятичной дробью? Выразить их десятичными дро-
бями.
Упражнения.
943.	Выразить обыкновенной дробью: 2,8; 1,48; 0,640; 0,725;
1,0032; 0,044.
пал Т7	к “	7	1	14	3	5	131
944.	Какие из дробей:	— можно
выразить десятичной дробью? Выразить такие дроби десятичными.
945.	Одно из слагаемых в 6 раз больше другого. Сумма их равна
57,9. Вычислить точные значения каждого из них в обыкновенных
дробях и приближенные значения с точностью до 0,1 и до 0,01.
946.	Площадь дна бака прямоугольной формы равна 14,12кв. дм.
Определить высоту бака (с точностью до 0,01 дм), если его ем-
кость равна 90 л?
947.	Первые 300 м пути поезд прошел за 23 сек. На каждые
следующие 300 м он затрачивал на 2 сек. меньше, чем на пре-
дыдущие. Вычислить среднюю скорость поезда, если он прошел
1,5 км. Ответ выразить с точностью до 0,1 м в сек. и до 0,1 км
в час.
948.	Вычислить и результат выразить десятичной дробью:
271
2) 2А + (,4:5—
3)5A-(3.-7 + A.2).4-§;
л\ JL • о $ • $ ' 1 _22_
' 7 * Z 21 ' 11 55 ‘
«5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ
В ДЕСЯТИЧНУЮ ПУТЕМ ДЕЛЕНИЯ ЧИСЛИТЕЛЯ
НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
Этот способ основан на том, что обыкновенную дробь можно
рассматривать как частное от деления ее числителя на знаменатель.
Примеры. Выразить десятичными дробями:
1) — 1) 8 3 1 8 30 0,375 60 40 0	2)3i 7 | 25 70 0,28 50 200 200 0
4- = 0,375. О	3 4-= 3,28. -ZD
Чтобы выразить обыкновенную дробь десятичной, достаточно
разделить числитель на знаменатель, представляя частное в виде
десятичной дроби.
При выражении обыкновенной дроби десятичной иногда огра-
ничиваются приближенным значением частного. Например, пишут:
4 ~ 0,4 или 4 ~ 0,38.
О	о
Приближенным значением частного иногда заменяют обыкно-
венную дробь и в том случае, когда она не может быть выражена
десятичной дробью. Так можно поступить, например, при
решении следующей задачи: «Общая поверхность Земли равна
510 000 000 кв. км, суша занимает 149 000 000 кв. км. Какая часть
земной поверхности занята сушей?»
272
PT-Y	v	l*tZx Vl/U UvU	u
e ш e н и e. Под сушей находится 1:,Г.ПАПГ,ПП-, или , всей
'	O1UU0UUU0	O1U
149
земной поверхности. Так как знаменатель несократимой дроби g^
содержит простые множители 3 и 17, то дробь не может быть
выражена десятичной дробью. Ограничимся приближенным значе-
нием частного, например с точностью до 0,001.
149 I 510
1490 0,292
1020
4700
4590
1100
1020
80
149
- °’292
Следовательно, суша занимает примерно 0,292 всей поверх-
ности Земли.
149
Можно сказать, что в этой задаче дробь приближенно вы-
ражена десятичной дробью.
Задание 85.
1.	Выразить десятичными дробями (путем деления числителя
.	207	15	17	7
на знаменатель):
2.	Выразить приближенно (с точностью до 0,1, до 0,01, до
0,001) десятичными дробями: ; А;	; А;
Упражнения.
949.	Указать, какие из дробей можно выразить десятичной
дробью, и выполнить это преобразование:
n JL.	2 • 18 •	3	Q4 13 .	7 .	5 .	13	.
5 ; 11 ’ 35  1200 ’	40 ’ 23 * 34 ’ 260 *
9	7 ,	1 , 127	11	лх 7 .	40 .	1 .	81
20 ’ 13 ; 88 ; 5500 ’	80 1 43 ’ 99 ’ 450*
950. Вычислить приближенное значение (с точностью до 0,01
и 0,001) тех дробей в упражнении 949, которые нельзя выразить
w	к	Л «	5	57	101	1001
десятичными дробями, а также дробей: ; -g^; -g^ ; w.
951. Вычислить приближенное значение суммы дробей
о
и выразив каждое слагаемое с точностью до 0,0001.
1о
273
952* По норме на одного учащегося должно приходиться в
классе от 1,25 до 1,5 кв. м пола. Размеры пола в классном поме-
щении 8,95 м X 7,37 м. Какое число учащихся допустимо по норме
для этого помещения? Предварительно сделать прикидку резуль-
тата.
953.	Выполняется ли указанная норма (задача 952) для вашего
классного помещения?
954.	За первый квартал суконная фабрика выработала
290 тыс. м сукна, что составило 29% годового плана. Чему равен
годовой план и сколько тысяч квадратных метров выпустила фаб-
рика сверх квартального плана?
955.	Вычислить и окончательный результат выразить точно или
приближенно десятичной дробью:
!) (7-У-+12:104)-(1з4-бА:14);
2) ('1 + + 3'“ (3 II “ 4	'4 2г) ’
3)(12+4'31:4-) + (12-3w-'4);
4)	1^5+25:4 + 4: А;
5)	4:12 + 4:8^4:24;
6)	ISA-[9-3:7 .(А+ 4 + 4)]:44;
7> [(64+24+4-64):4-30:#24;
ГЛ?? I ?1\ __ /А А VI 3 . /А.
°' Ц 36" + 63 )	4 + 21 J] ’ 5 • 5 * 8 ) я
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ.
Рассмотрим деление числителя обыкновенной дроби на ее зна-
менатель в том случае, когда она не может быть выражена деся-
тичной дробью.
274
5
Пусть дана дробь -рр. Разделим 5 на 11.
5 (	11
50 0,4545 . ..
I'L
60
55
50
44
60
55
5
Замечаем, что в частном будут без конца повторяться цифры
4 и 5, а в остатках будут повторяться цифры 5 и 6.
Такое частное условились называть бесконечной десятичной
дробью.
Ранее рассмотренные десятичные дроби можно назвать конеч-
ными. Каждая из них имеет конечное множество десятичных зна-
ков. В бесконечной десятичной дроби цифры, стоящие после за-
пятой, тоже называются десятичными знаками. Множество их —
бесконечное мн ожество.
В бесконечной десятичной дроби 0,4545... цифры 4 и 5 по-
вторяются в одном и том же порядке, или, как говорят» повторяются
периодически.
В бесконечных десятичных дробях может периодически повто-
ряться любое число цифр.
Примеры. 1) 5:9 = 0,555.... Здесь повторяется одна циф-
ра 5. 2) 437 : 333 = 1,312312.... В этой бесконечной десятичной
дроби периодически повторяются три цифры.
Все такие бесконечные десятичные дроби называют десятич-
ными периодическими дробями или, короче, периодическими
дробями.
Повторяющиеся в этих дробях несколько цифр (или одна
цифра) называются периодом дроби.
При записи периодической дроби, например 0,4545 ..., многото-
чие в конце записи означает, что период повторяется без конца. Коро-
че периодические дроби записывают с помощью круглых скобок, в
которые заключают период. Например, 0,4545 ... = 0,(45). Читают
так: нуль целых, сорок пять в периоде.
Проверьте, что = 0,333 ... = 0,(3); 1	= 1,3434 ... = 1,(34).
В результате деления числителя на знаменатель может быть получе-
275
на и такая бесконечная десятичная дробь, у которой повторяющиеся
2
цифры начинаются не сразу после запятой. Если дробь выразить
10
2
бесконечной десятичной дробью, то получим, что -yg- = 0,1333 ...
После запятой находится цифра 1, а затем повторяется цифра 3.
0,1333... = 0,1 (3),
читают: нуль целых, одна десятая^ 3 в периоде.
Дробь 2,437171 .. . можно записать: 2,43(71) и читать так: две
целых, 43 сотых, 71 в периоде. ,
Если обыкновенная дробь не выражается десятичной дробью,
то она выражается периодической дробью.
Справедливо и обратное утверждение: всякая периодическая
дробь равна некоторой обыкновенной дроби. Можно, например,
g
проверить, что 0,5 (3) = -yg-. В практических расчетах периодиче-
ские дроби не употребляются, их выражают приближенными чис-
лами с той или иной точностью.
Задание 86.
1.	Выразить в виде периодических дробей следующие обыкно-
13	2	7
венные дроби: -g-; -ц-; -уу ; -yg-. Найти их приближенные зна-
чения с точностью до 0,001.
2.	Почему эти дроби должны выражаться периодическими
дробями?
3.	Какая дробь называется периодической дробью?
Упражнения.
17	7	2
956.	Выразить дроби -у^-, -yg , 1 -уу- и -у- периодическими дро-
бями. Указать их приближенные значения с точностью до 0,01 и
0,001.
957.	Написать две какие-либо дроби, которые выражаются
периодическими дробями, записать каждую из них в виде перио-
дической и вычислить приближенные значения их.
958.	Проверить, что:
1)	0,222.. . =	;
2)	0,5777 ... =	;
7	45
3)	6,1222... = 6-^;
7	VV
4)	10,41666 ... = 10-^-;
5)	0,0606060 . .. = А;
6)	2,153153153.. . = 2~
276
959.	Используя предыдущее упражнение, записать приближен-
ные значения дробей	-Ц-,	, X и ~ с точностью до
У 4э УО 12	33	111
0,01; до 0,001; до 0,000001.
960.	Подъем дороги составляет в среднем 13,7 лс на каждые
100 м. Сколько километров надо пройти, чтобы подняться на
высоту 1,5 Kit? (Ответ дать с точностью до 0,1 км.)
961.	Турист делает в минуту в среднем 80 шагов, а длина
шага в среднем равна 0,78 м, Сколько дней потребуется туристу,
чтобы пройти 120 км, если он ежедневно будет находиться в
пути 8 час.? (Ответ округлить до 1 дня.)
§ 117. СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ
И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ.
При вычислениях приходится иметь дело и с обыкновенными
и с десятичными дробями. При этом можно одни вычисления
производить в обыкновенных дробях, а другие в десятичных дро-
бях. Обычно в практических вычислениях обыкновенные дроби
приближенно выражают десятичными дробями. Надо выбирать
наиболее быстрый способ вычисления, не требующий сложных и
громоздких записей.
Рассмотрим несколько примеров:
1.	Вычислить: + 0,25 + -l-V 1 Дг .
\ о	0/12
Вычисления лучше вести в обыкновенных дробях, так как 0,25
можно быстро выразить обыкновенной дробью, эта дробь равна -Ь .
п	3	_ь	1	щ	1	= 9 + б + 4 _	19	.
8	+	4	+	6	24	24	’
9\	21	• 1	7	_	Ч	-12	-	1
>	24	•	12	21	’ 19	2	'
2.	Вычислить: 1,378-------------+	'
Если вычисление вести в обыкновенных дробях, то они будут
громоздкими, так как общий знаменатель выражается большим
числом, он равен 115 500.
В таких случаях можно вместо точных вычислений произво-
дить приближенные, выражая приближенно обыкновенные дроби
Десятичными дробями. Решим этим способом данный пример.
277
5	12
Выразим десятичными дробями у и с точностью до 0,001,
так как первое число 1,378 дано в тысячных долях:
1) 5 I 6
50 0,833
20
20
2
2) 12 I 77
120 0,155
77
4- » 0,833.
О
12
~	0,156.
430
385
4э0
385
Ь5
Здесь следует взять приближенное значение с
избытком.
3)	1,378 ~ 0,833	4)	0,545 + 0,156
	0,545	0,701
3.	Вычислить:	2 4 - (т + °'5+°'25): (4+4
Для вычисления суммы чисел в первых круглых скобках
целесообразно сначала сложить только десятичные дроби:
0,5 + 0,25 = 0,75.
Для дальнейших вычислений выразим дробь 0,75 обыкновен-
ной дробью:
0,75 =4--
4
о	1	3
Затем вычислим сумму -у- и -у : 1 2 3
1	.	3	__	44-9	__	.	1
3	4	~	12	—	1	12	*
После этого вычисляем сумму чисел в других круглых скобках:
2	5	84-5	=	.	1
3	1	12	“	12	“	1	12	•
278
Наконец, вычисляем частное: 1 иу •’1 “jy = и Разность:
2^- — 1 = 14--
Все вычисления следует производить не торопясь, каждое на-
до проверить, прежде чем переходить к следующему.
Все цифры и знаки действий надо писать четко и аккуратно.
Только при соблюдении этих условий можно ожидать, что окон-
чательное вычисление будет выражать правильный результат и
время, затраченное на работу, не пропадет напрасно.
Задание 87.
1. Вычислить:
1----5- : [5 — (б • Ц- — 1,5^ • 1,75.
2. Вычислить:
1,4 — 0,05 • [3,01 + 3,5 : 0,7 — (0,4 — 0,39)].
Упражнения.
962. В каждом из упражнений выполнить вычисления снача-
ла в обыкновенных дробях, а затем в десятичных. Предваритель-
но сделать прикидку результата.
1)	+ 0,56 — °,4;	4)	’О-12;
2) 1,8 — 1+ 1 —- ;	5)14:3-^;
3)1 4 '-°'92;	6) gl; 3-1.25.
963. В каждом из упражнении выполнить вычисления в
обыкновенных и в десятичных дробях. Если обыкновенную дробь
или частное нельзя выразить десятичной дробью точно, то сде-
лать это приближенно. Предварительно сделать прикидку резуль-
тата.
1) 24-0.9.2Х;
2) 0,48 + 3 4 - 2,4;
3) 5 4’ 0,14 — 0,36;
964. Вычислить, пользуясь
или обыкновенными дробями:
1) 1,75 ; 4-1.75 -14;
J	о
4)	3 4: 1,1 +4,5- 1 4:
5)	12,05 • 2 — 4 • 4,9;
6)	8 : 0,16 — ЗА • 6,4.
там, где это удобно, десятичными
279
2)	(0,385-4) '4-:
3)	1,0905: 4+24 : |00:
4)	2,6275 — (10,42 + 10	• 4г!
'	К	2о j oil
5)	6,6 : 1	+ 1.98 - 9-^- + 6,79 : 0,7;
2
2,8:2-д-
6)	------j---— + 0,625 — 4-;
5 1Г — 3 _дГ
I	5 \
2,4+ 1^- ] . 4,375
7)		-JL JL-------- ;
3	6
965. Вычислить:
1)	(з + 0.24) - 2,15 + (5,1625 — 2,1875) •	:
2)	( 0,364 ;	+ -пг •' 0.125 + 2 -±- • 0,8'j -2—1,4;
3)	( 2,4---. 0,6 : [7-4- + 0,25 'j - 0,4 1 ;
4)	2,8 : (-А- + 0,2) : (б — 5 73 ) + 1,04;
5)	Г(2 — 0,75) : 4“ + 0,642 ; 0,з1  4г + 4>35;
I	о	I *
6)	1,25 — (4~ + °’5 + °’25)  (4- + i) •
7)	8 ; [(4,5 — 3,2) • -4 + 31 ; °-5] i
~	2,1+5: 6,25-7
°	6,9 + 8-0,0125 ’
280
966. Вычислить:
1)	[418,11 : 135 А— 1341 •• (20— 15,52) 1 : 0,1;
4
2)	[0,4+ 8 : [5 — 0,8 • 4-^ — 5 : 24-1 • 3;
I	О }	2	ОО
3)	[1 4 + 2-32 — 1 4И 1 ТГ • °-2;
\ О	d(J I 14
4)	(4 4-+2>3) (1.2S — -4)-54:3’4;
5)	[4-: 0,125 + 2,8 : 4 ~ 1 ~п4 °,44 ‘ 0.06;
\ Л	оО	1 1 /
с> 4-2т-[м-3т'0’48)-^
7) [16,7 : 0,25 — [5 4—24i4 5>51 : 3^-:
I 45	30 1 I 3
8) [8,6 • 0.25 _ (5	- 4	: (1.34 +	: 2 J1) .
967. Найти:
1) А от 0,18;	3) от 2,56;	5) 0,99 от 5-^-;
2) 0,15 от -Д-;	4) 0,002 от 4-^-;	6) ~ от 2>3-
7	45	о	z 5
968. Найти число, если:
1) 0,9 его равны 1 —;
5
2) его равны 0,95;
3
3) 0,05 его равны З-^-;
7
4)	7CF- его равны 7,35;
5)	его равны 1,28;
6)	1,21 его равны 2-|-
969. Найти:
1) 0,78 от 38-i- км\ 3) от 8,2 кг; 5) 0,56 от 3,45 л;
2) 0,575 от 4-|- т\ 4) от 0,45 га; 6) от 4,8 руб.
28J
970. Найти величину, если:
з
1)	-у- ее равны 2,7 кв. м;
2)	0,78 ее равны 0,819 м;
4
3)	0,48 ее равны 28 -g- кг;
4)	2,36 ее равны 1180 га;
У
5)	-р*- ее равны 0,054 км;
1 о
6)	0,32 ее равны 6,4 руб.
971.	Входящее в состав бронзы олово составляет =- веса
О
бронзы. Сколько олова требуется для изготовления 45,5 кг бронзы?
4
972.	При простом помоле пшеница дает муки -у веса зерна,
3
а рожь -у веса зерна. В помол пущено 694,5 т пшеницы и ржи,
причем ржаной муки получилось 357,75 tn. Сколько получилось
пшеничной муки?
973.	Со станции вышел поезд в 10 час. 25 мин. и шел со скоростью
56,5 км в час. В 11 час. 10 мин. в том же направлении отпра-
вился автомобиль. С какой скоростью должен двигаться автомо-
биль, чтобы догнать поезд на расстоянии 124,3 км от станции?
(Ответ дать с точностью до 0,1 км в час.)
974.	Тракторист по норме должен вспахать за 12 дней 67,2 га.
За сколько дней он вспахал 109,2 га, если ежедневно выполнял
в среднем 1,3 нормы?
975.	Лыжник находился в пути 3 дня. В первый день он про-
з
шел — пути, во второй — 0,5 остатка, в третий день 36 км. Чему
равен весь путь?
976.	Решить уравнения:

2) 6,4х = 12 • -Т ;
3) х ; 4,3
= 0,06;
4 /
4)	[ 14 —(13 —0,5) . А-] ;	х'') = 625;
5)	(12,35 • А + 7 : 2^ : х = 4,2.
Ответы выразить в десятичных дробях точно или приближенно.
282
977.	Контрольное задание.
1)	Ширина захвата самоходной косилки 10 м, скорость ее дви-
13
жения 6-£ф км в час. За сколько времени будет скошен участок
размером 2,49 км X 0,9 км? (Ответ дать в часах.)
149
2)	Выразить дробь периодической дробью и найти ее при-
ближенное значение с точностью до 0,001.
3)	Вычислить:
204-	• 7,5— 135 : 2,5): (4,2 • 3^
1О	I \	t
34,4 : 14 -Т
'§ ОТНОШЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ.
Задача. Латунь представляет сплав, содержащий определен-
ное число весовых частей цинка и меди. Известно, что для изго-
товления куска латуни было взято 3,73 кг меди и 2,52 кг цинка.
Сколько частей меди и цинка содержит латунь?'
Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем частное от деления
количества меди на количество цинка:
3,78 : 2,52 =	~ .
Частное показывает, что на каждые 3 части меди надо брать
2 части цинка. Говорят, что отношение веса меди к весу цинка
при изготовлении латуни равно отношению трех к двум и запи-
сывают так: 3:2.
Определение. Отношением двух чисел называется
частное от деления одного из них на другое.
Отношение обозначают с помощью знака деления, например:
12:5, или .
Делимое называют предыдущим членом отношения, а дели-
тель— последующим членом отношения.
В отношении 12:5 число 12 есть предыдущий член, число 5—
последующий член. Отношением называют как запись 12:5, так
о 2
и результат деления, т. е. число L g-.
Если отношение больше единицы, то оно показывает, во сколь-
ко раз предыдущий член больше последующего. Например, 12
2
в 2 -г раза больше, чем 5. Если отношение меньше единицы, то
О
283
оно показывает, какую часть последующего члена составляет пре-
дыдущий. Например, отношение 8: 16 = -i- показывает, что 8 со-
ставляет ~ от 16.
Все свойства частного (§ 25 и 30), очевидно, справедливы и
для отношения двух чисел.
ОТНОШЕНИЕ ДВУХ ВЕЛИЧИН.
Определение. Отношением двух величин называет-
ся отношение их числовых значений.
Если, например, надо найти отношение основания прямоуголь-
ника к его высоте, то это означает, что надо найти отношение
числовых значений длин этих сторон прямоугольника, выражен-
ных в одних и тех же единицах.
Если основание прямоугольника равно 1 ж, а его высота 25 см,
то отношение основания к высоте равно:
1 м : 25 см = 100 см : 25 см ~ 4.
Это число показывает, что основание в 4 раза больше высоты.
Однако не всегда отношение величин указывает, во сколько раз
одна больше или меньше другой или какую часть одна из них
составляет по сравнению с другой.
Например, цена товара есть отношение его стоимости к коли-
честву товара. Если стоимость 5 кг товара равна 10 руб., то от-
ношение 10:5 = 2 выражает числовое значение третьей величи-
ны— цены товара. В этом примере нельзя говорить, что 10 руб.
в 2 раза больше 5 кг.
Задание 88.
1.	Найти отношение:
1)	14 к 5;	3) 2 см к 400 м\
2)	400 м к 2 м\ 4) 1 га к 4 а.
2.	Средняя скорость есть отношение пути ко времени, в те-
чение которого пройден этот путь. Вычислить значение скорости,
если пройденный путь равен 20 км, а время движения 0,4 часа.
Можно ли сказать, что больше: 20 км или 0,4 часа?
3.	Что называется отношением двух чисел?
4.	Что называется отношением двух величин?
284
Упражнения.
978. Найти отношение		чисел:	
1) 124 к 31;	6)	12,25 к 0,125;	11) 48:0,0016;
2) 6 к 20;	7)	О 2	13 83 к 15 =	12) 338:0,000169;
3) 12,3 к 3;	8)	6-J- к 8,2;	13) 121 :0,00011;
4) 0,55 к 0,25;	9)	1,35 к 5|; о	14) 529:0,000046.
5) 9,1 к 0,07;	Ю)	0,063 к 2 V; о	
979. Найти отношение		(с точностью	до 0,01):
1) 15:9;	4) 7,2	: 14;	7)	5г;2т;
2) 13:24;	5) 0,83 :0,3;	8)		17,6: 2 Т- 4
3) 20:51;	6) |:	7 в 8 ;	
980. Найти отношение:
1) 5 дм к 12 см;	5) 6 кв. дм к 24 кв. см;
2) 25 см к 7 дм;	6) 120 кв. см к 0,3 кв. м;
3) 400 г к 2 кг;	7) 150 куб. см к 0,9 куб. м;
4) 3,6 т к 2,4 т;	8) 5 куб. дм к 200 куб. см.
981.	Двое мальчиков бросали мяч в цель. Один из 20 брос-
ков имел 13 попаданий, а другой из 26 бросков 15 попаданий.
Чей результат лучше?
982.	Во время тренировок в стрельбе один спортсмен выбил
186 очков из 200 возможных, другой 166 очков из 180 возмож-
ных. Чей результат лучше?
983.	Найти отношение веса деревянного бруска в килограм-
мах к его объему в кубических дециметрах, если размеры бруска
1,2 лгХб сл1Х2,5 см, а вес равен 1 кг 80 г. Будет ли это отно-
шение иным, если взять другой брусок из этого же материала?
984.	Вес мальчика равен 36,5 кг, площадь его лыж равна
1800 кв. см, а площадь обуви 160 кв. см. Найти отношение веса
мальчика к площади опоры на снег без лыж и на лыжах. (Вы-
числить с точностью до 0,01.)
285
£ 120^ НАХОЖДЕНИЕ ОДНОГО ИЗ ЧЛЕНОВ ОТНОШЕНИЯ.
Из определения действия деления следует, что делимое равно
делителю, умноженному на частное, а делитель равен делимому,
деленному на частное.
Если эти правила применить к членам отношения, то получим:
1) предыдущий член равен последующему члену, умноженно-
му на отношение:
1с	1 С 1 1
х : — — 5; х =	- 5 = I :
4	4	4 ’
2) последующий член равен предыдущему члену, деленному на
отношение:
1	17	1
9 — * г = 14’ г = 9 — • 14 = — = —
z 3	’	3	3-14 6
Задание 89.
1.	Найти предыдущий член отношения, если последующий
член равен 12, а отношение равно:
1) 3;	2) 0,5;	3) 1,3;	4) 11.
2.	Найти последующий член отношения, если предыдущий
член равен 15,6, а отношение равно:
1) 2;	2) 1,2;	3) 0,7;	4)
3.	Как найти предыдущий член отношения? Как найти после-
дующий член отношения?
Упражнения,
Найти неизвестный член отношения:
985. 1) х : 10 = -1;	5) х : 0,28 = 2,5;
2) х: 24 = 2-1;	6) 11,7 : х = 0,9; □и
3) 21.-х =11;	7) х: 12,5 = 0,44;
4) 31: х = 31;	8) 0,069 : х = 0,092.
986. 1)^--3;	4) ii-0.8;	7) 8 у: х = 1.25;
2>А“6-
2~ О.	3	,ft.	г. 15,6	. 1 . 3)	х =16;	6)—	1т;
286
987. I) x.1,8 м = 15;
4) x : 5,2 кг = 0,7;
2)	x : 22 — г = 2 ;	5) х : 4,5 руб. 6,4;
3)	48,4 дм : х = 5,6;	6) 12,25 руб. : х = 3,5.
988.	Проволока разрезана на части длиной 9 м и 14,4 м.
Найти отношение длины первой части к длине второй части.
Найти отношение длины каждой части к длине всей прово-
локи.
989.	Площадь прямоугольника равна 220,5 кв, дм, высота
105 см. Найти отношение высоты прямоугольника к его осно-
ванию.
990.	Найти отношение площадей двух прямоугольных участ-
ков земли, если длина и ширина одного равны 72,8 м и 71,4 м,
а другого 127,4 м и 30,6 м.
991.	Чтобы вывести искусственный спутник на орбиту вокруг
Земли, нужно сообщить ему скорость 8 км в сек. Найти отноше-
ние этой скорости к скорости звука, равной 20 км в мин.
992.	Найти отношение средних скоростей двух поездов, если
2
первый за 1,6 часа прошел 96 км, а второй за у часа прошел
34 км.
993.	Сплав из свинца и олова содержит 1 кг 520 г свинца и
760 г олова. В каком отношении взяты свинец и олово по весу
при составлении сплава?
994.	Вычислить с точностью до 0,01 отношение длины класса,
в котором вы занимаетесь, к его ширине и обратное отношение,
т. е. отношение ширины к длине.
з
995.	Найти отношение каждого из чисел: 2;	0,9; 1,6 —
□
к числу, обратному ему.
996.	Отношение площади окон к площади пола классной ком-
наты (световая площадь) не должно быть меньше 0,2. Вычис-
лить с точностью до 0,01 световую площадь вашего класса.
997.	Крутизной лестницы называется отношение высоты сту-
пеньки к ее глубине. Вычислить с точностью до 0,01 крутизну
лестницы, если высота ступеньки 17 см, а глубина 30 см.
998.	Вес советского космического корабля «Восток», на кото-
ром первый в мире космонавт Ю. А. Гагарин совершил свой
исторический полет вокруг Земли, составлял 4725 кг, а вес аме-
287
риканского космического корабля «Френдшип-?»— 1355 кг. Вы-
числить с точностью до 0,1 отношение веса «Восток» к весу
«Френдшип-7».
^121^ ЧИСЛОВОЙ МАСШТАБ.
План или карта местности всегда вычерчивается в некотором
масштабе. Это означает, что расстояние между любыми двумя
точками на плане в определенное число раз меньше расстояния
между этими точками на местности. Величина этого уменьшения
выражается отношением длины линии на плане к длине этой ли-
нии на местности. Это отношение называется числовым масшта-
бом. Если длина линии на плане равна, например 2 см, а длина
ее на местности равна 500 м, то числовой масштаб равен:
2 см : 500 м — 2 см : 50 000 см = -mJrin .
ZDvvv
Числовой масштаб выражается обычно дробью с числителем,
равным 1, а знаменатель выражается круглым числом: 1000,
2500; 5000; 10 000; 25 000 и т. д. Знаменатель показывает, во
сколько раз длина линии на местности уменьшена при изображе-
нии ее на плане.
/г	1
Если масштаб равен , то, например, линия на местно-
сти длиной 300 м изображается на плане линией, в 5000
раз меньшей. Длина линии на плане равна: 300 м: 5000 =
= 30 000 см : 5000 — 6 см. Зная длину линии на плане или карте
и числовой масштаб, можно определить длину этой линии на
местности.
Допустим, что на карте, масштаб которой равен -р ,
длина участка железной дороги равна 16 см. В действительности
длина этого участка на земной поверхности в 1 000 000 раз боль-
ше. Таким образом, длина участка железной дороги равна:
16 см-1 000 000 = 16000000 см = 160000 м = 160 км.
Числовым масштабом пользуются также при построении диа-
грамм.
Задание 90.
1.	На рисунке 105 изображена часть схематической карты
СССР в масштабе	Определить расстояние между Мо-
сквой и Одессой.
288
2.	На листе тетради требуется
изобразить прямоугольный участок,
одна сторона которого равна 245 м,
а другая 112 м. Какой числовой
масштаб можно выбрать для этого
изображения?
3,	Определить длину и ширину
дома (рис. 106).
4.	Что называется числовым мас-
штабом?
Упражнения.
999.	Найти числовой масштаб пла-
на или карты по данным таблицы:
Рис. 105.
	1	!?	3	4	5	G 1	7	9
Длина линии на местности . .	200 м	1 КМ	1,5 км	30 м	100 км	200 км	600 км	15 км
Длина линии на плане или на карте		1 см	1 дм	6 см	15 см	1 см	2,5 см	,1,5 см	1,5 см _	
1000.	На карте с масштабом 1Q QQq расстояние между Мо-
сквой и Ленинградом равно 6,5 см, между Москвой и Калинином
1,4 см, между Киевом и Минском 4,2 см. Найти действительное
расстояние между этими городами.
1001.	Числовой масштаб карты ра-
вен 30 QQQOQ0- Каково будет расстоя-
ние на карте, если на местности оно
составляет; 1) 600 км; 2) 300 км;
3) 450 км\ 4) 740 км; 5) 1030 км
(результаты округлить до 0,1 см).
Начертите полученные отрезки.
1002.	Числовой масштаб плана ра-
вен - Дп'  Каково будет расстояние на
о 00
плане, если на местности оно состав-
ляет: 1) 100 м; 2) 200 м; 3) 160 м;
М К 400
10 Заказ № 316
Рис. 106.
Рис. 107
4) 8 м; 5) 26 м\ 6) 45 м
(последние 3 отрезка на-
чертить).
1003.	На плане с мас-
штабом длина прямо-
угольного участка равна
41 см, а ширина 13,5 см.
Найти площадь участка в
квадратных метрах, в арах
(сотках).
1004.	Какова длина
отрезка, изображающего
длину вашего класса на
плане с масштабом:
1) Поб“ ’ 2^ ~5б~ ’	200' ?
Начертить эти отрезки.
1005.	Какова длина
отрезка, изображающего
длину здания вашей шко-
лы на плане с масштабом:
; 2) Too • йб '
1006.	Какой масштаб
можно взять, чтобы план
пришкольного участка поместился на странице тетради?
1007.	Используя топографическую карту (рис. 107), найти
расстояние АВС на местности.
1008.	Используя карту, приведенную на рисунке 105, найти
расстояние между Москвой и Ростовом, Москвой и Минском,
Харьковом и Одессой, Ленинградом и Курском.
1009.	Норма высева кукурузы 0,4 ц на 1 га. Сколько нужно
семян, чтобы засеять прямоугольный участок, который на плане
с масштабом ^QQ- имеет размеры 12 сиХ7,5 см?
1010.	Вычислить, сколько семян потребуется, чтобы прямо-
угольный участок пашни, изображенный на рисунке 107, засеять:
1) кукурузой; 2) гречихой? Норма высева на 1 га кукурузы 0,4 ц,
гречихи 0,7 ц.
290
1011.	Построить прямоугольную диаграмму, изображающую
наибольшие глубины океанов (в масштабе 1 : 100000).
Название океана	Наибольшая глубина в метрах
Атлантический	. . .	9218
Индийский .	....	7 450
Северный Ледовитый . .	5000
Тихий 		10 990
1012.	Построить прямоугольную диаграмму, изображающую
длины некоторых каналов (в масштабе 1 : 2 000000).
Название канала	Длина в км
Беломорско-Балтийский (СССР)	227
Москва — Волга (СССР) . . .	128
Волга — Дон (СССР)		101
Суэцкий (ОАР) 		161
Панамский (США)		81
•. УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ «СОВМЕСТНЫЕ
ДЕЙСТВИЯ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ
И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ. ОТНОШЕНИЕ
ВЕЛИЧИНж.
1013. Вычислить:
1)	(Л + 0.8—1).(3+5Л-0.!2);
2)	/2- + 0.15 — 1— ); (2 —— 1 — + 0,04);
Ц 4	25 У V 2	4 г
3)	(2,314--); — + (1 — + 0,7125 ): 3;
\	4 / 50	\ 16	/
4)	-н 1 -5. — 0,411) : 0,59;
6) 12,8-0,25 7-5- — 0,125);
10*
291
7) 1,456	+ — : 0,1254-4— -0,8;
7	25	16	2
8) /4-— 0,004-300V0,0015 + f 4- — 3 1) : 10.
\ 8	/	к * 5	2^
1014. Вычислить:
3	2
2,4-3— + 2-—- * 4,125
4 "	11
5	4
5 6 ‘ 2 7
—  75
3
2	2
2	3 \
1,5 + 2- + 3- • 3,6
о	4 /
14— 15 X : 2
8
°'з125-‘1+4т):
— 0,39^ : -33.
I 25	/ 50
1015. Вычислить в десятичных дробях, выражая промежуточ-
ные и окончательные результаты с заданной точностью:
1)	23 : 1587 + 0,4 : 21,3 (с точностью до 0,001);
2)	2-5-: 1,38—1 -у - 0,47 (с точностью до 0,01);
3)	5-^—7 • 0,39 4- 2 -1- (с точностью до 0,01);
4)	102 — + 0,36-812 — 89:2— (с точностью до 0,1).
3	8
1016. Вычислить:
2	I \
2 — . 3,75 + 1 — . 8,25 : 3
5	11/
/б,6 + — — 5— ] : 0,1
2 . \	40	200/
3	30,75 +	+ 3—
12	6
(2	\	2	1
2.5 ——. 0,375 + — — 2,5 : 1 —
5	/5	4
97,85 : 10,3+ 10,3: 20 4
5
292
4)
2/1	2
7,2 + 6~ : 4 — + 2,25 : —
3 I 8	3
9
16
2,2
12,75 — 1,125 : _L
2
/ 1	1 \ /	13\1
2,25 —-+ 0,5 4-— : 2,3— 1— • 0,64
*3	4 / V	60 /]
JL —о,бб) • (А +о,65
[	3	37 '
47 — — (14,125 — 18 - 0,75) • 7,4 :
8	181
7-- 4-69,36 : 10 А
55	5
1017. Выполнить действия над периодическими дробями, пред-
варительно округлив их с заданной точностью:
1)	0,(6) + 0,(23) (с точностью до 0,001);
2)	0,(83) — 0,(524) (с точностью до 0.001);
3)	2,3(5)+ 1,2(41) —3,1(27) (с точностью до 0,01);
4)	0,37(2) • 0,(52) (с точностью до 0,001)*
1018. Вычислить отношения:
1)28:5;	5) 2,5 кг : 20 г;
2) 3,24 : 0,045;	6) 0,38 м : 1,9 дм\
3) 4 — : 1 —;	7) 7,5 кв. м : 2 га; '	18	9	’
4) ~ : 0,8;	8) -Т- куб. дм : 0,2 куб. см.
1019. Найти неизвестный член отношения:
1)-1|. = 2;	4) х: 0,55 = 0,88;	7)х:Зу = 0,63;
2) ^-=5;	5) х : 2 | = Ю;	8) 5,2 : х = +
3) 0,012 : х = 0,04;	6)	: х =	;
1020.	Легковая автомашина в 1-й час прошла 52,4 км, что
з
составляет 0,2 всего расстояния между городами, во 2-й час -д-
остатка, а остальной путь прошла в следующие два часа, проходя
293
каждый час' поровну. Сколько километров проходила маши-
на в каждый из последних двух часов? Какова средняя скорость
машины на всем пути?
1021.	Пароход, двигаясь со скоростью 24,3 км в час, прошел
первую часть пути за 3 часа 20 мин. Затем он увеличил ско-
1	1
рость на 1 у км в час и с этой скоростью прошел оставшиеся
61,2 км. Сколько времени шел пароход и какова его средняя
скорость на всем пути?
1022.	Из двух городов, расстояние между которыми 800 км,
отправляются одновременно навстречу друг другу два поезда.
2
Скорость одного из них 56,25 км в час, скорость другого в 1 -д
раза больше. Через сколько времени поезда встретятся?
1023.	Из двух пунктов, расположенных на шоссе на расстоя-
нии 31-^- км, выехали одновременно по одному направлению
мотоцикл и мотороллер. Скорость мотоцикла равна 52уО1вчас,
скорость мотороллера составляла -g- этой скорости. Через сколь-
ко времени после выезда мотоцикл догнал мотороллер?
1024.	Поезд отошел от станции в 7 час. 25 мин., а в 8 час. 7 мин.,
с этой же станции вслед за ним по шоссе, расположенному
вдоль железнодорожного полотна, выехал автобус со средней
скоростью 46,8 км в час. В пункт назначения, отстоящий от
станции на расстоянии 210,6 км, поезд и автобус прибыли одно-
временно. Какова скорость поезда?
1025.	Из книг, имеющихся в библиотеке школы-интерната,
всего количества составляет политическая литература, 0,45 —
учебные пособия, — техническая литература, а остальные
4400 книг — художественная литература. Сколько книг имеется в
каждом из первых трех отделов библиотеки ?
1026.	Свинцовая руда содержит (по весу) 0,2 свинца. Во вре-
1
мя выплавки свинца его часть идет в отходы. Сколько нужно
взять руды для получения 1,5 т свинца. (Результат округлить
до 1 т.)
17
1027.	Три трактора работали вместе. Первый вспахал -кк-всего
поля, второй 0,6 остатка, остальное вспахал третий трактор.
Какую часть работы первого трактора выполнил третий трактор?
Вычислить приближенный ответ с точностью до 0,01.
294
1028.	Найти периметр и площадь
прямоугольника, если его стороны
3
равны: 1) 5-уу- м и 2,83 м\
2)	0,35 км и 1 ~ км.
1029.	Площадь прямоугольника
равна 80 кв. м, высота 6,4 м. Найти
Рис. 108.
периметр.
1030.	Периметр прямоугольника равен 183,6 см, одна сторона
в 3 раза больше другой. Найти стороны прямоугольника.
1031.	На рисунке 108 изображен план участка. Какой длины
должна быть изгородь вокруг участка?
1032.	Участок леса на топографической карте с масштабом
1 ; 50 000 изображен на рисунке 109. Найти длину всей границы
(периметр) участка.
1033.	Найти периметр треугольника, если:
1	5
1)	его стороны равны 2 — м; 1,2 м; 1 -g- м;
2
2)	одна сторона равна -к- дм, другая на 0,3 дм больше, а
О
2
третья составляет первой.
и
1034.	Найти площадь треугольника, если:
5
1)	основание равно 2,4 см, а высота составляет -jg- основания;
7
2)	высота равна 1 -у- м, а основание составляет 120% высоты.
1035.	Отношение двух чисел равно 3-^-, а сумма их равна
17,34. Найти эти числа.
1036.	Отношение двух чисел равно 0,24, одно из чисел на
3 -ф- больше другого. Найти числа.
О
1037.	Два неизвестных числа относятся как 5:	, одно
меньше другого на 8,9. Найти числа.
1038.	Сумма двух чисел равна
10 4U, одно из них на 1,2 больше
о
другого. Найти числа.
1039.	Бутылка с подсолнечным мас-
лом весит 0,86 кг; вес масла на кг
больше веса бутылки. Сколько масла в
бутылке?

.о
3°
Z
OQ-'
2:
О'
о;
о
о
О
4
о
о
о
о
О
ЗР.Я .ОЯ.Я.О.?.9.Оя P.O®
о
о
Рис. 109.
1040.	Кусок говядины весом 25,4 кг разрубили на 3 части.
3
Первая весит вдвое больше второй, а вес третьей на кг больше
веса второй части. Каков вес каждой части?
1041.	Один из трактористов может вспахать поле за 5 дней,
а другой за 6,5 дня. За сколько дней они вспашут это поле, ра-
ботая одновременно? (С точностью до 0,1 дня.)
1042.	Первый поезд проходит расстояние между станциями
Л и В за 10 час., а второй за 11-^- часа. Через сколько часов
они встретятся, если отправятся одновременно с этих станций
навстречу друг другу? (С точностью до 0,01 часа.)
1043.	Контрольное задание.
1)	Выполнить действия:
1,5-	(2,652 : 1,3 — 1 -Л- + 0,0б) + 3,7
5,4-4 • 1.92'
2)	Отношение высоты прямоугольника к его основанию равно
-уу; высота меньше основания на 36,4 м. Найти периметр прямо-
угольника.
^12^ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ДРОБЯХ.
1 1
С понятием доли, например или -j- и т. д., человек практически
был знаком еще в глубокой древности. Такими дробями широко пользова-
лись египтяне, они называли их единичными дробями. Записывали они так:
писали число, которое мы ставим в знаменателе, а над ним записывали осо-
бый знак О . Например, дробь -g- записывалась в виде •
С помощью суммы этих дробей они представляли другие дроби, напри-
2 __ 1 .	1
мер- 5	3 + 15 '
Греки, индийцы и арабы записывали обыкновенные дроби так, как мы
их записываем, но не ставили черты.
Римляне пользовались только дробями со знаменателем 12. Длительное
время вычисления с обыкновенными дробями были очень сложными и их
старались избегать. Исключение представляли так называемые шестидесяте-
ричные дроби, которые были введены жителями Вавилона свыше 4000 лет
тому назад. Эти дроби имели знаменателями числа 60; 3600 (или 60-60);
216 000 (или 60-60-60) и т. д. Такими дробями часто пользовались до XVII
века, когда они постепенно стали заменяться десятичными дробями. В XVIII
веке сведения об обыкновенных дробях появляются в школьных учебниках,
296
н действия над дробями стали производиться так, как мы делаем в настоя-
щее время.
Десятичные дроби изобретены сравнительно недавно. В середине XV ве-
ка среднеазиатский ученый Джемшид Каши написал книгу «Ключ к арифме-
тике», где были подробно изложены сведения о десятичных дробях и действи-
ях над ними. При изображении десятичных дробей он вместо запятой упот-
реблял вертикальную черту.
Независимо от него европейский инженер Стевин в 1585 г. опубликовал свои
работы о десятичных дробях. Стевин обозначал десятичные дроби особым
образом: вместо 5,342 он писал 5° З1 42 2Э. Современный способ изображе-
ния десятичных дробей с помощью запятой был введен англичанином Непе-
ром в 1617 г.
Десятичные дроби стали широко применяться в Европе начиная с XVIII
века.
Периодические дроби были введены и изучены в XVII и XVIII веках
математиками Валлисом, Ламбертом и Эйлером.
Проценты широко использовались в денежных расчетах еще до нашей
эры. Слово «процент» происходит от латинских слов procentum, что озна-
чает «со ста» или «на сто». Знак % появился в итальянских записях в
XV веке
V. ИЗМЕРЕНИЯ НА MECTHOCTI^
ОБОЗНАЧЕНИЕ НА МЕСТНОСТИ ТОЧЕН И ПРЯМЫХ.
Точки на местности обозначаются с помощью колышков или
небольших (длиной около 2 м) шестов, которые называются ве-
хами (рис. 110). Чтобы издали хорошо различать веху, на нее
наносят цветные полосы, обычно белого и красного цвета. Обо- I
значение на местности прямых линий с помощью вех называется I
вешением или провешиванием. Выполняется это так: в начальной
и конечной точках отрезка АВ (рис. 111) устанавливаются верти- ।
кально две вехи. Если грунт твердый, то отверстие для вехи I
удобнее делать с помощью особого колышка из твердого дерева Г
или окованного железом. Между вехами А и В ставят другие L
вехи так, чтобы они закрывали друг друга. Для этого наблюда- I
тель становится в 2—3 метрах от вехи А и смотрит, чтобы веха. Г
А закрывала веху В. Его помощник ставит новую веху в точке С I
(рис. 111), а наблюдатель указывает рукой, куда следует пере- I
двинуть веху, чтобы она находилась на прямой АВ. Если необ- F
ходимо, то таким же образом устанавливаются другие промежу- I
точные вехи.	I
При провешивании следует добиваться совпадения нижних час-' I
тей устанавливаемых вех.
Некоторые из вех (иногда и все вехи) можно убрать, а на их »
место забить колышки.	/
Рис
ПО
298
Рис. HL
ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ НА МЕСТНОСТИ.
После провешивания прямой можно измерить расстояние меж-
ду выбранными точками этой прямой.
Измерять расстояние можно различными способами: мерной
лентой, веревкой, разделенной на метры, полевым циркулем, ша-
гами и на глаз.
Чтобы не произошло ошибки при счете количества полных
лент или веревок, укладывающихся в изме-
ряемом расстоянии, употребляют металл ичес-	лх
кие шпильки (рис. 112). Когда лента или ве-
ревка уложена на измеряемом расстоянии
первый раз (сделан первый ход), идущий	и| ))|
впереди втыкает первую шпильку в грунт У	V*
последнего деления мерной ленты; эту шпиль-
ку подбирает идущий сзади.
Когда все шпильки израсходованы, они пе-
редаются идущему впереди, эта передача отме-
чается в журнале измерений. Журнал имеет	!
форму (указанную на стр. 300).
Если измеряемое расстояние невелико, то
журналом можно не пользоваться.
Рис. 112.
299
X X » 0	Число		Число		Число метров в неполном ходе	Общая длина в м
	передач	метроь	ходов в не- полной передаче	метров		
4 в	3	300	6	60	7,4	367,4
с
V\	1 ЫД 12 р W1 • 'Я 1 \ 1 Ry	$ Рис. 114.
м
Рис. 115.
§ 1261 ЭККЕР.
Эккер —прибор для построения на местности прямых углов.
Простейший эккер представляет собой доску, на которой вычер-
чен квадрат. В серединах сторон квадрата укреплены 4 гвоздя
(рис. 113). Прямые АВ и CD (рис. 114) образуют при пересече-
нии прямые углы.
С помощью эккера можно на местности провешить прямую
линию так, чтобы она составила прямой угол с другой прямой
линией (рис. 115).
Две прямые, образующие прямой угол, называются перпенди-
кулярными прямыми. Прямые FE и MN (рис. 115) являются
перпендикулярными друг к другу.
127Д ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО УЧАСТКА
И ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕГО ПЛОЩАДИ.
Для построения прямоугольного участка на местности прове-
шивают прямую АВ. Из точки А провешивают прямую АС, пер-
пендикулярную к АВ (рис. 116). Затем провешивают СО, перпен-
дикулярную (под прямым углом) к АС (рис. 116). Чтобы получить
прямоугольник, достаточно провести из точки В прямую, перпен-
дикулярную к АВ (или CD). Для этого наблюдатель устанавливает
эккер в точке В так, чтобы одна пара гвоздиков эккера находи-
Рнс. 116
лась на прямой ВА. Его помощник устанавливает на прямой CD
веху в такой точке F (рис. 116), чтобы она находилась на пря-
мой, проходящей через другую пару гвоздиков.
У	часток ACFB - прямоугольник.
Для вычисления его площади измеряют основание АВ, высоту
АС и находят их произведение. Чтобы проверить правильность
измерений, их производят повторно. Можно во второй раз изме-
рить другую пару сторон—CF и FB.
Результаты измерений обычно несколько отличаются друг от
друга. Это объясняется тем, что невозможно совершенно точно по-
строить прямые углы с помощью эккера и измерить длины сторон
прямоугольника.
После этого находится среднее арифметическое полученных
произведений, которое и принимается за площадь участка. Сред-
нее арифметическое следует округлить, оставив столько цифр,
сколько их имеет наименьшее из чисел, выражающих длины сто-
рон прямоугольника.
Пример. 1) АВ»213,3 л; 2)СЕ»231,9л;
АС » 88,4 м; FB я 89,1 м;
Si х 20446,92 кв. м. S2 »20662,29 кв. л.
$ в—”'29. = 2055 4.605 ~ 20 600 (w. .«)
4
В результате оставлены три цифры слева. Остальные цифры
заменены нулями.
VI	. ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО
§ 128. УКАЗАНИЯ О РАБОТЕ С УЧЕБНИКОМ
ПРИ ПОВТОРЕНИИ ПРОЙДЕННОГО.
Чтобы отыскать в учебнике параграф или страницу, где изло-
жен повторяемый материал, следует воспользоваться оглавлением
книги. Надо внимательно прочитать названия глав и постараться
определить, в какой главе находится этот материал. Затем про-
читать названия параграфов этой главы и найти страницу, где
находится тот параграф, в котором изложен повторяемый мате-
риал.
Кроме оглавления, следует пользоваться алфавитным указате-
лем, помещенным в конце книги. В этом указателе помещены
различные названия (термины) по алфавиту.
Читать учебник следует внимательно и не торопясь, лучше
про себя, а не вслух. При чтении надо прежде всего стремиться
понять смысл читаемого, нельзя запоминать непонятый текст. Фор-
мулировку правила или определения можно заучить по учебнику
или передать своими словами. Например, текст переместительного
закона сложения: «От перестановки слагаемых сумма не изменяет-
ся»— можно высказать другими словами: «Если слагаемые поме-
няем местами, то сумма останется без изменения» или «Сумма
не меняется от перестановки слагаемых».
Объяснение справедливости правила или объяснение способа
решения задачи не следует заучивать. Его надо уметь рассказать
своими словами, используя те примеры, какие даны в учебнике,
или свои собственные примеры.
Некоторые правила, например правила о сложении и вычитании
десятичных дробей, надо объяснять на примерах, а не высказы-
вать наизусть.
Следует научиться передавать правильно смысл прочитанного
и изученного, нельзя ограничиться только одним запоминанием.
303
В § 129—132 помещены вопросы для повторения пройденного.
К каждому вопросу надо уметь дать правильный ответ и привести
примеры. Эти примеры должны показывать» что вы понимаете
смысл того или иного определения, закона, правила и умеете при-
менить его на практике.
129.	ЧИСЛА.
1.	С помощью каких чисел выражается численность множеств,
которые имеют один или больше элементов?
2.	Каким числом выражается численность множества, в ко-
тором нет ни одного элемента?
3.	Сколько различных цифр мы используем для обозначения
натуральных чисел?
4.	С какой целью введены дробные числа?
5.	Какими дробями мы пользуемся?
6.	Какие знаки, кроме цифр, мы употребляем для записи
обыкновенных, десятичных и периодических дробей?
7.	Почему система счисления, которой мы пользуемся, назы-
вается десятичной?
8.	Какие числа называются простыми и какие — составными?
Какие из целых чисел не относятся ни к простым, ни к составным?
9.	Какие числа называются делителями данного числа?
10.	Какое число называется наименьшим общим кратным дан-
ных чисел?
11.	Как найти наименьшее общее кратное нескольких чисел?
12.	Какие дроби называются правильными и какие называются
неправильными дробями?
13.	Как записать натуральное число в виде обыкновенной дроби?
14.	Как выразить смешанное число неправильной дробью?
15.	Как выразить неправильную дробь смешанным числом?
16.	Какие из обыкновенных дробей можно записать в виде де-
сятичных дробей? Как выполнить это преобразование?
17.	Как изображаются числа на числовом луче?
18.	Какая из обыкновенных дробей больше, если они имеют
одинаковые знаменатели?
19.	Как узнать, какая из дробей больше, если числители и зна-
менатели их различны?
20.	Могут ли быть равными обыкновенные дроби с разными
числителями и разными знаменателями?
21.	Как узнать, какая из десятичных дробей больше?
304
22.	Какими числами выражают периодические дроби при вы-
числениях?
23.	В чем заключается правило округления целых чисел и де-
сятичных дробей?
24.	Почему результат деления точных чисел иногда выражают
приближенным числом?
§ 13^ ДЕЙСТВИЯ НАД ЧИСЛАМИ И ЗАКОНЫ ДЕЙСТВИЙ.
1.	Какие определения действий вычитания и деления известны
для любых чисел?
2.	Какие определения действия умножения вы знаете?
3.	Какие действия с нулем возможны? Какие действия с ну-
лем невозможны?
4.	Как называются данные и результаты сложения и вычи-
тания?
5.	Как называются данные и результаты умножения и де-
ления?
6.	В каком порядке надо производить арифметические дей-
ствия?
7.	Как выполняются сложение и вычитание обыкновенных
дробей?
8.	Как выполняются умножение обыкновенных дробей на на-
туральное число и умножение натурального числа на обыкновен-
ную дробь?
9.	Как вычисляется произведение десятичных дробей?
10.	Как выполняется деление обыкновенных дробей?
11.	Как выполняется деление десятичной дроби на десятичную
дробь?
12.	Когда следует поставить в частном запятую при делении
десятичной дроби на натуральное число?
13.	Сформулировать законы сложения и умножения.
14.	Для каких чисел верны эти законы?
15.	В чем заключается основное свойство частного и дроби?
16.	Как можно умножить или разделить сумму на некоторое
число?
17.	Как можно разделить произведение на некоторое число?
18.	Какими действиями решаются задачи об увеличении числа:
1)	на несколько единиц? 2) в несколько раз?
19.	Какими действиями решаются задачи об уменьшении чис-
ла: 1) на несколько единиц? 2) в несколько раз?
305
20. Каким действием решается задача о нахождении дроби
числа?
21. Каким действием решается задача о нахождении числа по
его дроби?
22. 23. 24. 25.	Что называется процентом? Как найти несколько процентов от числа? Как найти число, если известно несколько его процентов? Что называется отношением двух чисел? Что называется
отношением двух величин?
• ИЗМЕНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ДЕЙСТВИЙ. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ДАННЫМИ
ЧИСЛАМИ И РЕЗУЛЬТАТАМИ ДЕЙСТВИЙ НАД НИМИ.
1.	Как изменится сумма при увеличении одного из слагаемых
на некоторое число?
2.	Как изменится произведение, если один из сомножителей
увеличить в несколько раз?
3.	Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на
некоторое число?
4.	Как изменится разность, если вычитаемое увеличить на не-
которое число?
5.	Как изменится частное, если делимое увеличить в несколь-
ко раз?
6.	Как изменится частное, если делитель увеличить в несколь-
ко раз?
7.	Как найти неизвестное слагаемое, если известны другое
слагаемое и их сумма?
8.	Как найти неизвестное уменьшаемое, если известны вычи-
таемое и разность?
9.	Как найти неизвестное вычитаемое, если известны умень-
шаемое и разность?
10.	Как найти неизвестный сомножитель, если известны другой
сомножитель и их произведение?
11.	Как найти неизвестное делимое, если известны частное и
делитель?
12.	Как найти неизвестный делитель, если известны делимое
и частное?
13.	Какое равенство называется уравнением?
14.	Как найти неизвестный предыдущий член отношения?
15.	Как найти неизвестный последующий член отношения?
306
g 132| ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
1.	Как производится измерение длины отрезка прямой на чер-
теже и на местности?
2.	Какие единицы длины вы знаете? Какая из них самая
крупная? Какая самая мелкая?
3.	Можно ли мелкие единицы длины выразить в более круп-
ных? Как это сделать?
4.	Что называется периметром прямоугольника или треуголь-
ника?
5.	Какими единицами измеряются углы?
6.	Сколько градусов содержит прямой угол?
7.	Как называется прибор, с помощью которого измеряют
углы? Как пользоваться этим прибором?
8.	Как вычислить площадь прямоугольника?
9.	Как узнать соотношение между единицами площади, зная
соотношение между единицами длины?
10.	Как вычислить площадь треугольника?
11.	Как вычислить поверхность куба?
12.	Как вычислить поверхность прямоугольного параллелепи-
педа?
13.	Как вычислить объем прямоугольного параллелепипеда?
14.	Как узнать соотношение между единицами объема» зная
соотношение между единицами длины?
15.	Какие виды диаграмм вы знаете?
16.	Что называется числовым масштабом?
$ 13а| УПРАЖНЕНИЯ.
1044.	Составить множества: 1) всех двузначных чисел, окан-
чивающихся нулем; 2) всех правильных дробей, имеющих знаме-
нателем 7; 3) всех десятичных дробей, имеющих 0 целых и один
десятичный знак, выраженный нечетной цифрой. Выразить числен-
ность каждого из этих множеств.
1045.	Каким числом выражается численность множеств: 1) всех
правильных дробей, имеющих знаменателем 2? 2) всех правиль-
ных дробей, имеющих знаменателем 1?
1046.	Записать 3 шестизначных числа, больших 500 000, но
меньших 500100. Существует ли шестизначное число: меньшее
100 000? большее 999 999?
1047.	Выписать отдельно все простые и все составные делите-
ли чисел: 1) 12; 2) 65, 3) 67; 4) 32; 5) 606.
307
1048.	Какое число является делителем всех натуральных чи-
сел? Какое число делится на любое натуральное число?
1049.	Сократить дроби:
1)	36 . 84 ’	4)	11 200 . 67 200 ’
2)	136 . 184 ’	5)	5 625’
3)	360 . 840 *	6)	io AL 1926'
1050.	Найти НОК чисел: 1) 72 и 168; 2) 80 и 180; 3) 44; 75
и 80; 4) 120; 150 и 270; 5) 75; 64 и 7; 6) 11; 3333 и 9999.
1051.	Записать в порядке возрастания все правильные дроби
со знаменателем 5 и все неправильные дроби с числителем 5.
Изобразить все эти дроби на числовом луче.
Указание. За единицу принять отрезок длиной 2,5 см.
1052.	Сравнить по величине дроби, результат записать с по-
мощью знаков > и <:
5) 0,547 и 0,5407;
2)	4 » i. 4) 5-Щ и 5	6) 6,825 и 6,852.
1053. Записать дроби в порядке возрастания:
।	И ,	7	3	5 .
24 ’	16	’	8	И	12 ’
91	9 •	5	•	А-	7	3	•
10’	6	’	9	’	8	И	4	’
3)	0,263; 0,027; 0,02629; 0,1 и 0,02631;
4)	0,723; и 0,7708.
7 4	40
1054.	Каждую из данных обыкновенных дробей выразить де-
сятичной, применяя оба способа такого преобразования:
1)4;	3)2i	5)1L;	7)21;
2)i;	9 5^;	6)1^;	8)2^.
308
1055.	Каждую из данных обыкновенных дробей выразить пе-
риодической дробью, округлить результаты с точностью до 0,01
и 0,001:
О -д-;	2) -ggj 3) -gg-;	4) -^g-,	5) 4^;	6)
1056.	Выразить смешанными числами неправильные дроби:
.	152	155 q 138	. 208
25 ’	35 ’	65 ’	65 *
1057.	Выразить неправильными дробями числа:
1)25^-;	2)25;	3)25,3;	4)8^.
1058.	Вычислить сумму четырех слагаемых, первое из которых
равно 187, второе на 88 меньше, третье в 11 раз меньше второго,
а четвертое на 11 больше третьего.
1059.	Вычислить частное от деления произведения чисел 1104
и 1012: 1) на их сумму; 2) на их разность.
1060.	Вычислить произведение суммы, разности и частного чи-
сел 75 и 15.
1061.	Вычислить сумму произведений каждого из чисел И, 12,
13 и 14 на 105.
1062.	Как изменится сумма, если: 1) одно слагаемое увели-
з
чить на 2 а другое уменьшить на 0,5? 2) одно слагаемое умень-
шить на 12,25, а другое увеличить на 11 -i-?
1063.	Как изменится произведение, если: 1) один сомножитель
увеличить в 120 раз, а другой уменьшить в 15 раз? 2) один со-
множитель увеличить в 5 раз, другой в 6 раз, третий в 7 раз?
1064.	Как изменится разность, если: 1) уменьшаемое увеличить
1	2
на 5-т-, а вычитаемое уменьшить на 4-т-? 2) уменьшаемое уве-
о	о
3
личить на 7,4, а вычитаемое увеличить на 8-^? 3) и уменьшаемое
о
3
и вычитаемое уменьшить на 10-^-? 4) уменьшаемое уменьшить на
14
0,52, а вычитаемое увеличить на
1065.	Как изменится частное, если: 1) делимое увеличить в
75 раз, а делитель уменьшить в 15 раз? 2) делимое увеличить
в 42 раза, а делитель в 14 раз? 3) делимое уменьшить в 4 раза,
309
а делитель увеличить в 24 раза? 4) делимое уменьшить в 100 раз,
а делитель в 1000 раз?
Решить уравнения:
1066.
1)	5,79 4-х = 8,48;	4)	X —	12,8 =3,24:2;
2)	х 4-7,2 4-3-|-= 15,6;	5)		— х = 5,8 : 29;
3)	8	+ * 4- 0,3 = 9	6)	X —	4 4- = 0.625 : 0,025. О
1067. 1)	2х + -^-: 0,25 = 1; 2)	0,654 : 1,09 + Зх = 8,19.0,3; 3)	5х + 3 -^--2,2 =0,845:0,1; 1068. Г) —= 0,44;	4) 1 О, О		4) 5) 6) 2,5 X	х 4- х 4- 5	• 0,36 = 9,2; 5х 4-х = 4-^-: 0,32; 10х — 5х = 9,45-4-^-. = 0,05;
	2) ^-=7,2-1 |;	5) 3Т	5 9	х = 0,81;
	3)	7 1 :	6) 0,24	2	1 4~2 6х	-=5.4:
1069.	1) Делитель равен 208, частное 89, а остаток 8. Чему
равно делимое?
2)	Делитель равен 98, частное 304, а остаток 48. Чему равно
делимое?
1070.	(Устно.) Вычислить:
1)	(123 456 — 6789 + 234 567) • (7 - 8 — 56);
2)	(98 765-1234 —7 654 321)-(1 —321 : 321);
3)	196-4—196-3;
4)	184.184- 184-183.
5	5	5
1071.	Сумму чисел 56-77Г и 5-z-:
J J	lb 12	6
3	2
1)	увеличить на 6-jg-;	3) увеличить в 2-у раза;
2)	уменьшить в 6-^-раза;	4) уменьшить на 2 -у.
310
1072. Вычислить:
1) 325 215 — 659 360 : 32 + 5 401 800 : 45;
2) 38 437 + 79 497 : 99 — 360 -109;
19 * l i 3 . । 17  og 39 . 3 ,
12 15 + 1 16 • 1 40	20 50	13 ’
4) 12______Z_. (XL. JV 22.1±-4^-
4	9	20	35 )	10	17	85 ’
5> [184-(-& +3.4-0.38)]: (19-24.54-); 
6) (1,5 4- 2,75 : 0,25); [(2,5 + 14,375 : 0,5)-0,24].
1073.	Вычислить:
i)	16 -j- + 4?- •• <70-84 2’3)- (2-°25 -1 -§-); 4
2)	(2-^-+2-U)-3 — 64,5 : 6 + 4^--2,2;
/, 1 \
(1 740 —0,01 0,5 1:0,01
3)	-------------H------->
15,75 + 9-g--2
4)	0,9:0,1 + 17,85: 3-^- — (б 3^-6,3;
5)	(3,6-± — 24 : 2Oo) : 1 -^ + 1-T‘°’2;
6)	3,7+ 1Ц-- (2,652 : 1,3 —1	• (14,95 + A-1,68^ ;
7)	(б34,5 : 90 —44-)-2,4 + 0,7— (o,5 + 20:8-|-) : 2 4s
8)	0,125: 4- +3,6: /68,1 : 7 A-— 6,83\ + 4-J- 
7	’ 2o 1	I	2.	j 6 bo
1074.	Вычислить:
1)	91.8--Ц —11,35 — 7,429: Гз,18 + (14 4-—13-}4Г| : 2 ~
oO	I	I OO	1 OU 1	jL i
2) 3,5-	+ i)-25: [37 + Tr ' (8.3-6,6)J;
311
3> (4 + v: [31: (57 т -31 “ 14)])  #
4)	3 -i-: {[(О.З + 12 А) : к —12  °'25] : 2.73|:
5)	[1.6 + (5-^-2-1 71) :1	-А- 48,5].0,05;
6)	 [(4,25 : 0.85 - 2.5) : (27 -1- : 5 6 7 8 - 4.06 ) + З-jj : 2
7)	Г/2,225 -h 4t--1	— 13 : 5.2 : 3,6 1: 10 - 4;
\	1о 60 72	/	J
67,5 : 3 JL — 0,3 (3,6 + 0,7344 ; 0,036)
8>-------^т27т:-х-------------------
3	14
1075. Вычислить:
О 174----0,375^ : 0,25 — (-J- — 0,35V 3 -^-"1 : 1.4;
\ Ь	/	ко	/О
2)	— 0,405 + 4--2.2 4 5,51 + 2-|- —4,5;
3)
2-IZ-4-_!_•0.2 —0,455
20	40
16,5: А 0,2
80
— 7 4-- 1.8 : 40;
О
22,59 : 4 _1_ — 1 ,41 — — 2,38
'	<>	7	1
--------------------7----------31г=
2,4 + 5,6:——	1,5
8
5)
3: А — 0,09: /А : 2.5
5	к 20
,7 + 6-JL
25
: 5;
5,3 — 3 —
6) 1±: 2,7 + 2,7:1 ^ + 0,4: 2 ± .(4,2-1^);
7) [(0.875-71). 1 4+ (20^-18,5): Ю.э].4-L
8) [(6-1-:3.1-4.0,9).0,2 + А].бА
312
1076. Вычислить наиболее удобным способом, применяя законы
сложения и умножения:
1) 3893 + 56 252 + 6107 + 43 748;	6) 3-|--2-|- • ТК ’
2)	25-8629-40;
3)	80-532-125;
г- 3	, 1С-13	л	17 . л 1
4)	20	у9	Н- 4	20	12 ’
11	3	50	.
15" '	14	' 99	16’
1077. Вычислить:
1 3 #	10 g	7	в	17
17 ’ 29	40 ’ 24
6,25-0,4	’
/ 13	\
^25"+ 2,852 4-0,48 1:0,9
2)	1.07-0,05-200	’
7)	0,5731 +2,865+ 1,4269;
8)	1,6-5,134-0,25;
9)	+з4+1 2 3 4+-4;
10)	0,384-0,42 +2,616-0,42.
„	8,4-0,625-5,1	.
0,34-2,5-0,7 ’
2,56-0,048-5,5
’о/зз-оГГгв-оГбз-’
22	4	13 \
2’84+ 35 + 25 + 1 "35)-7 8 6 9 10’5
6,4-0,25-6,25
2 А. 0,09-3 — -4,8
____9__________8
9-'Ll,21 -12-0,05
7	11
/24,09	2,781	0,444 \ .
V 5,5	2,06	0,24 ) 
8) Го,75 + 5 -f- ~ (б,6 — 34-Н : 0,0068.
7 L	ь \	i-^ /J
1078. Вычислить с помощью счетов:
1) 2,38 + 9,25 + 5,18;
2) 0,25+ 13,41 +9,31;
3) 16,84 — 7,52;
4) 43,52—13,74;
5) 17,96 + 28,39 + 14,53;
6) 102,71 + 84,93 + 65,65;
7) 23,73 — 16,88 + 1,03;
8) 1,56 — 0,63 + 10,98;
9) 72,343 + 5,846 + 13,859;
10) 65,502 + 20,279 + 35,568;
И) 102,753 — 64,849 + 25,384;
12)	405,542 + 729,164 — 959,959;
13)	7,28 + 8,563 + 4,2;
14)	9,6 + 13,54 + 0,983;
15)	5,428 + 0,42 + 5,8;
16)	8,92 + 7,9+ 14,285;
17)	26,58 — 21,424 + 0,67;
18)	2,2 — 0,864+ 1,54;
19)	7,243 — 6,82 + 5,5 — 4,728;
20)	8,6 — 2,84 — 3,758 + 6,23.
313
1079.	Найти отношения:
1)	125 к 80;
2)	80 к 125;
3)	10-|- к 18-^-;
4)	18-i к 10 -I-;
5)	24,7 к 123-Ь
П)
12)
10) 0,86 см к 4,3 м\
10 час. 20 мин. к 5 минутам;
1 минуты к 1 суткам.
6)	65,24 к 13,048;
7)	5 кг 25 г к 670 г;
8)	13 т 959 кг к 1269 кг
9)	24 м к 1,5 км\
1080.	Вычислить с точностью до 0,01 отношения:
13“
1) 24:56;	3) —5)0,41:4;
2>-Йг-	4> 4:34;	6)54:6,5.
1081.	Найти:
1)	3?6 от 60;	3) 145% от 2,8;	5) 99% от 212 кг;
2)	22% от 15,5; 4) 12% от 40 руб.; 6) 250% от 26000 м.
1082.	Найти число, если:
1)	7% его равны 21;
2)	44% его равны 12,1;
3)	12О?6 его равны 0,24;
4)	36% его равны 180 руб.
5)	2% его равны 0,85 гп;
6)	375% его равны 1515 л.
1083. Найти число (с точностью до 0,01), если:
1) 13% его равны 5; 2) 128% его равны 7,4; 3) 9% его рав-
ны 2,6 руб.; 4) 115% его равны 83,5 ц.
1084.	Морская миля равна 1,852 км и составляет длины
1° земного меридиана. Чему равна длина всего меридиана? (Ре-
зультат округлить до 10 км.)
1085.	Две автомашины заняты на вывозке зерна. Первая ма-
шина за 1 час может вывезти в среднем 2,7 т зерна, а вторая
2
—- этого количества. Сколько зерна они вывезут вместе за
о
О
6 часа?
314
1086.	1) Учащиеся собирали и сушили лекарственные расте-
ния. Они заготовили листьев полыни 57,6 кг, ягод бузины
3
-j- этого количества, а вес заготовленного ландышевого цвета
составил 15% от количества бузины. Сколько заготовлено лан-
дышевого цвета?
2) Составьте сходную задачу и решите ее. Напишите число-
вую формулу.
1087.	В литейную мастерскую привезли 48,2 т чугуна. В пер-
вый день израсходовано 0,3 всего количества, во второй
2
остатка, а в третий день нового остатка. Сколько чугуна
израсходовано в третий день и сколько его осталось после трех
дней расхода?
3
1088.	В первую неделю отпуска рабочий израсходовал от-
пускных денег, а во вторую 0,7 остатка, после чего у него оста-
лось 10,5 руб. Сколько он получил за 2 недели отпуска?
з
1089.	В колхозе -г- всей земли занято пашней, 0,15 занято
4
лугом, а остальная часть земли —- лесом. Найти площадь всей
земли колхоза, если известно, что площадь пашни на 1560 га
больше площади леса.
1090.	Участок поля убирали два комбайнера. Оказалось, что
5
первый комбайнер убрал -jg- участка, второй остальное, причем
второй убрал на 49,2 га больше, чем первый. С каждого гектара
в среднем намолачивали по 21,5 ц зерна. Сколько зерна намо-
лотил каждый комбайнер?
1091.	Промтоварный магазин за три дня распродал получен-
ную им ткань. В первый день было продано 0,6 имевшейся ткани,
5
во второй день -д- того, что было продано в первый день, а
в третий день — вся оставшаяся ткань. При этом во второй день
было продано на 204,8 м ткани больше, чем ' в третий. Сколько
ткани было получено магазином?
1092.	Зерно кукурузы содержит 10% белка, 70% углеводов
и 6% жиров. С 1 га собрано 42 ц зерна кукурузы. Сколько ки-
лограммов белка, углеводов и жиров содержится в этом количе-
стве зерна?
1093.	Ученик рассчитал, что одна книга стоит 80% его денег,
а другая 65% его денег и поэтому ему не хватит на покупку
315
этих книг 27 коп. Сколько денег было у ученика и сколько стои-
ла каждая книга?
1094.	Некоторые виды кактусов имеют большую высоту и
содержат до 3000 л воды, что составляет 96% веса растения.
Сколько весит одно такое растение? Во сколько раз его вес
больше, чем вес человека? (Вес человека в среднем принять за
75 кг.)
1095.	Обезьяна горилла достигает роста на 20% больше сред-
него роста человека. Рост обезьяны шимпанзе составляет 75%
роста гориллы. Вычислить рост этих обезьян, приняв средний рост
человека за 1,7 м.
1096.	В средней полосе СССР продолжительность снежного
покрова составляет от 28% до 45% года. В Крыму снег лежит
лишь около 6% года, а на полуострове Таймыр до 73% года.
Вычислить с точностью до 10 дней продолжительность снежного
покрова в этих местностях СССР.
1097.	На колхозной пасеке было 120 пчелосемей. В первый
год с каждой пчелосемьи собрали 39,5 кг меду* Во второй год
количество пчелосемей увеличили на 30%, а сбор с одной пчело-
семьи увеличился на 20%. На сколько больше собрали меда во
второй год, чем в первый?
1098.	Хлебопекарня в первый день израсходовала 8,5 т муки,
во второй день 0,8 этого количества, а в третий день на 20%
больше, чем во второй. Сколько хлеба было выпечено за 3 дня,
если припек составляет 40% веса муки?
1099.	Норвежский ученый Хейердал и его спутники проплы-
ли на плоту «Кон-Тики» по Тихому океану около 4300 мор-
ских миль в течение 97 суток. С какой средней скоростью в ки-
лометрах в час двигался плот, если одна морская миля равна
1,852 км?
1100.	Из Москвы во Владивосток вышел поезд со средней
скоростью 82,6 км в час, через 15 час. из Владивостока в Моск-
ву вышел поезд со средней скоростью 75,8 км в час. Спустя
2 суток после выхода второго поезда расстояние между ними
равнялось 143 км (поезда еще не встречались). Чему равно рас-
стояние по железной дороге между Москвой и Владивосто-
ком ?
1101.	В 8 час. 30 мин. утра от станции отошел поезд со
средней скоростью 82,5 км в час. В 9 час. 12 мин. с той же
станции по тому же направлению вышел другой поезд, скорость
которого составляла 0,8 скорости первого поезда. Какое расстоя-
316
ние будет между поездами в 10 час. б мин. утра? в 10 час.
30 мин.?
1102.	От двух пристаней А и В одновременно по одному на-
правлению вышли два парохода. Первый прошел за 1,25 часа
5
27 км. скорость второго составила скорости первого. Найти
расстояние между пристанями, если известно, что первый паро-
ход догнал второй через 2,5 часа после выхода.
1103.	Расстояние между станциями А и В равно 362 км.
Из А по направлению к В вышел поезд со средней скоростью
62,5 км в час, а через 0,8 часа навстречу ему из В вышел дру-
гой поезд. Поезда встретились через 3 -L- часа после выхода пер-
вого поезда. Какова скорость второго поезда ?
1104.	В 10 час. 15 мин. утра от пристани отошла лодка и
2
шла со средней скоростью 6 км в час. В 2 часа дня от той
О
же пристани вслед за ней отошел катер, который догнал лодку
на расстоянии 35 км от пристани. В котором часу катер догнал
лодку? Какова скорость катера?
1105.	Речной теплоход отошел от пристани А в 10 час. и
прибыл в 13 час. 36 мин. в пункт В, отстоящий от А на 96 км
по течению реки. После остановки, длившейся 0,75 часа, тепло-
ход отправился из В в Л, причем двигатели работали с прежней
мощностью. В котором часу теплоход прибыл в А, если средняя
2
скорость течения равна км в час?
О
7
1106.	1) Диаметр колеса равен 1,4 м и составляет Длины
окружности колеса. Сколько раз обернется такое колесо на рас-
стоянии 5,5 км?
2) Длина окружности колеса в 6,28 раза больше его радиуса.
Радиус колеса автомашины равен 40 см, колесо сделало 625 обо-
ротов. Какое расстояние прошла автомашина ?
Напишите числовую формулу.
1107.	На земном шаре находится 1370 млн. куб, км морской
воды. 1 л ее весит 1,03 кг, причем различные соли составляют
0,034 этого веса. Сколько соли можно получить, если выпарить
одну миллионную часть всей морской воды? (Ответ дать с точ-
ностью до 1 млрд, тонн.)
1108.	В двух участках земли 256-^- га, один из них на
42,6 га меньше, чем другой. Найти площадь каждого участка.
317
1109,	Среднее арифметическое двух чисел равно 17,2, одно
2
из чисел больше другого на 1 -г. Найти эти числа.
1110.	От двух станций, расположенных на расстоянии 259,7 км,
вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость
одного была на 7,3 км больше скорости другого. Поезда встрети-
лись через 2 -у- часа после отправления. Какова скорость каждого
поезда ?
1111.	Моторная лодка шла по течению реки со скоростью
з
24,8 км в час; против течения скорость лодки составила ско-
рости по течению. Найти скорость лодки в стоячей воде и ско-
рость течения реки.
1112.	Средняя скорость почтового самолета при полете по
направлению ветра составила 216 км в час, а при полете против
7
ветра лишь -д- этой скорости. За сколько времени самолет про-
летит 139,5 км в безветренную погоду? (Ответ вычислить с точ-
ностью до 1 мин.)
1113.	Куплено три отреза материала общей стоимостью 82 руб.
20 коп. Первый отрез дороже второго на 4,8 руб., а третий де-
шевле второго на 3,6 руб. Сколько стоит каждый отрез?
9
1114.	Среднее арифметическое двух чисел равно 18-jg-, одно
из них в 8 раз больше другого. Найти эти числа.
1115.	Отношение двух чисел равно 3, а их сумма равна 15,4.
Найти эти числа.
1116.	Отношение двух чисел равно 6,4, одно из чисел больше
9
другого на 18-j-g- . Найти эти числа.
1117.	Два неизвестных числа относятся как 8,4:2-^-, одно
о
число меньше другого на 5,2. Найти эти числа.
1118.	Для сева отпущено 267,3 ^ семян пшеницы и ржи, при-
чем пшеницы на 72,9 ц больше, чем ржи. Этими семенами за-
сеяно 135 га, причем пшеницей в 1,5 раза больше, чем рожью.
Высчитать нормы высева пшеницы и ржи на 1 га,
1119.	Швейная мастерская получила 801,9 м шерсти и дра-
па, причем шерсти получено в раза больше, чем драпа.
Из всего драпа сшили детские пальто, а из всей шерсти —
318
платья. Всего было сшито 405 платьев и
пальто» причем платьев на 81 больше, чем
пальто. Сколько материала затрачено на
каждое пальто и каждое платье?
1120.	Найти периметр чертежного тре-
угольника с точностью до 1 мм. Выра-
зить результат в дециметрах, в метрах.
Чему будет равен периметр, если каждую
из сторон увеличить в 3 раза?
1121,	Периметр прямоугольника равен
26,4 см, одна из сторон в три раза мень-
ше другой. Вычислить площадь прямоугольника в квадратных
сантиметрах, в квадратных дециметрах.
2
1122,	Основание прямоугольника равно 6-^- м, периметр в
2,5 раза больше основания. Найти высоту и площадь прямо-
угольника.
1123,	Как вычислить площадь фигуры, изображенной на ри-
сунке 117? Чему равна эта площадь?
1124.	Во время пионерского похода по родному краю участ-
ники его пользуются картой, масштаб которой 1:1 000000.
Сколько понадобится времени, чтобы проехать из одного города
в другой на велосипедах со скоростью 12 км в час, если
на карте расстояние между этими городами
0,6 дм?
1125.	Вычислить площади земельных участ-
ков, изображенных на рисунке 118 в масштабе
1 : 25 000. Для вычисления изображенные фи-
гуры надо разделить на части, как отмечено
пунктиром, и произвести необходимые изме-
рения с точностью до 1 мм.
1126.	С прямоугольного участка размерами
860 м X 750 м убрано 3360 т зеленой массы
кукурузы. Вычислить урожай с 1 га с точно-
стью до 1 ц. Сколько рейсов должен сде-
лать самосвал грузоподъемностью 3 т, чтобы
перевезти урожай с 1 га?
1127.	На опытном участке три грядки дли-
ной по 10 м были засеяны морковью. Шири-
на первой грядки была 2,5 ж, второй 2,4 м, а
третьей 3 м. С первой грядки убрано 187,5 кг
моркови, со второй 186 кг, а с третьей 192 кг.
Вычислить урожай с 1 кв. м каждой грядки.
по шоссе равно
Рис. 118.
1128.	Ледник, имеющий форму прямоугольного параллелепипе-
да, размером 2,8 л<х5,2 >иХ2,5 м необходимо набить льдом. Проме-
жутки между кусками льда занимают 0,15 его объема. Толщина
льда в водоеме равна 54 см. Какую площадь должен иметь уча-
сток водоема, на котором надо вырубить лед?
1129.	Отношение объема погруженной в воду части айсберга
(рис. 119) ко всему объему равно 0,87. Над водой находится
часть айсберга, имеющая примерно форму прямоугольного парал-
лелепипеда, длина и ширина которого 0,5 км и 0,4 км, высота
20 м. На какую глубину погружен айсберг, если его подводная
часть имеет ту же форму? Сколько весит айсберг, если 1 куб. м
льда весит 0,9 m?
ИЗО. В железнодорожном составе 45 платформ, груженных
углем. Размер платформы 6,4 мХ2,75 м, уголь грузили на плат-
форму до высоты 78 см. Сколько тонн угля погружено в состав?
(Вес 1 куб. м угля равен 1,3 т.)
1131.	На каждый кубический метр кирпичной кладки требу-
ется 500 кирпичей. Сколько кирпичей нужно, чтобы сложит^
стену длиной 10,4 м, толщиной 0,5 м и высотой 6 м? За сколь-
ко рейсов может перевезти этот кирпич автомашина, забирающая
за 1 рейс 2,5 т, если 1 кирпич весит 3-^- кг?
1132.	Бассейн наполняется водой через три трубы. Первая
труба может наполнить бассейн за 10 час., вторая труба за 15 час.,
а третья за 30 час. Все три трубы действовали одновременно
1 час 40 мин. Какая часть бассейна осталась незаполненной?
1133.	Для перевозки сахарной свеклы с участка звена на за-
вод выделены две автомашины. Первая автомашина может вы-
полнить всю работу за 28 дней, второй потребуется на этого
времени меньше. Во сколько дней они окончат вывозку свеклы,
работая одновременно?
1134.	Бассейн наполняется тремя трубами. Первая труба мо-
жет наполнить бассейн за 8 час., второй трубе требуется для
наполнения бассейна 0,45, а третьей 0,85 этого времени. За
Рис. 119.
сколько времени наполнится бассейн, если будут работать все
трубы? (С точностью до ОД часа.)
1135.	Два экскаватора могут вырыть котлован за 4 дня.
Первый экскаватор затратит на эту работу в 1,5 раза больше
времени, чем оба вместе. После того как они вместе проработали
2,5 дня, один из экскаваторов потребовалось перевести на другую
работу. За сколько дней будет вырыт котлован, если оставить
первый экскаватор? второй экскаватор?
1136.	Звено мальчиков и звено девочек для прополки огорода
получили одинаковые участки. Звено мальчиков за 0,8 часа сде-
1	1	1	Л Г
лало --г- своего задания, а звено девочек за 1 часа 0,5 зада-
4	о
ния. Девочки, закончив свою работу, перешли на участок маль-
чиков, и оба звена вместе закончили работу. Сколько времени
длилась прополка двух участков? (С точностью до ОД часа.)
1137.	За один киловатт-час электроэнергии платят 0,04 руб.
Подсчитать, сколько придется заплатить потребителю за пользо-
вание электричеством в течение 27 дней по данным следующей
таблицы:
Наименование электроприборов	Количество электро- приборов	Расход электро- энергии за 1 час на 1 прибор	Время пользой- НИЯ в часах в сутки
Лампочка . .	4	0,1 киловатт	7,5
Плитка . . .	1	0,8 киловатт	2,4
Приемник . .	1	0,1 киловатт	2,5
Телевизор . .	1	0,15 киловатт	3
1138.	Пионерское звено в составе 12 человек собралось в ту-
ристский поход на 3 дня. Пионеры решили взять с собой про-
дукты из расчета на 1 человека в день: хлеба по 0,5 кг, масла
и сахара по ОД кг, крупы по 0,2 кг соли по 30 г и по одной
банке консервов весом 350 г. Составить смету расходов звена на
питание, включив в нее вес и стоимость этих продуктов.
1139.	На золотых приисках были найдены три самородка зо-
лота общим весом 19,372 кг. Больший из них тяжелее среднего
на 0,738 кг, а разность между весом среднего и меньшего рав-
на 0,428 кг. Сколько весил каждый из них?
11 Заказ № 316	321
1140.	За 5 кг манной крупы и 4 кг перловой крупы уплаче-
но 3,54 руб., за 7 кг манной крупы и 4 кг перловой уплачено
4,54 руб. Сколько стоит 1 кг той и другой крупы отдельно?
1141.	Найти три числа по следующим условиям: второе чис-
7
ло составляет 0,75 первого, третье -у второго, разность между
первым и третьим равна 2,2.
1142.	Куплено 35 билетов в театр и кино на сумму 18,5 руб.
Билет в театр стоит 0,7 руб., а билет в кино 0,4 руб. Сколько
куплено билетов в театр и сколько в кино?
1143.	Если купить 0,5 кг конфет и 1,5 кг печенья, то надо
уплатить 3,2 руб., а если купить 0,5 кг конфет и 1,8 кг печенья,
то надо уплатить 3,59 руб. Какова цена 1 кг конфет и 1 кг пе-
ченья?
1144.	В Мастерской имеется два куска ткани различного сорта.
3	1
Первый кусок ценой по 3-у руб. за 1 м стоит на 7-у руб.
дешевле, чем второй, хотя он на 1 -у м длиннее второго куска.
Цена второго куска 4-у руб. за 1 м. Какова длина каждого куска?
1145.	Куплено несколько метров материи. Если бы 1 м стоил
на 0,2 руб. дороже, то вся покупка обошлась бы дороже на
2,1 руб. Сколько метров материи было куплено? Можно ли по
этим данным найти цену 1 м?
1146.	Ученики убирали на пришкольном участке капусту.
Если бы урожай с 1 а составил 4,95 ц, то было бы со всего
3
участка собрано на 1 -у ц меньше, чем в действительности, а
если бы урожай с 1 а составил 5,15 ц, то было бы собрано на
1 -у ц больше, чем в действительности. Сколько убрано капус-
ты и какова площадь участка?
Задачи на сообразительность.
Занимательные задачи.
1147.	Сумма двух чисел больше большего слагаемого на 25.
Найти слагаемые, если известно, что одно из них больше дру-
гого в 4 раза.
1148.	Разность двух чисел меньше уменьшаемого на 99, а
вычитаемое больше разности в 9 раз. Найти уменьшаемое, вычи-
таемое и разность.
322
1149» Произведение двух сомножителей в 12-^- раза больше
меньшего из них; найти сомножители, зная, что один из них
з
больше другого на 5-=-. Найти произведение,
э
1150.	Частное двух чисел в 2,65 раза меньше делимого, а
делитель на 1,25 больше частного. Найти делимое.
1151.	Знаменатель дроби на 3521 больше числителя. После со-
кращения дроби получилось . Какова была дробь до сокращения?
1152.	Разность двух чисел равна 0,7. Если большее из них
увеличить в 5 раз, то разность будет 75,1. Найти эти числа
1153.	Сколько раз к наибольшему однозначному числу нужно
прибавить наибольшее двузначное, чтобы получить наибольшее
трехзначное?
1154.	Напиши наименьшее пятизначное число, кратное 9, так,
чтобы первая цифра его была би все цифры были бы различны.
1155.	Сколько нулей будет в конце числа, которое является
произведением первых пятнадцати натуральных чисел?
1156.	Отцу 40 лет, сыну 13 лет. Сколько лет тому назад
отец был в 10 раз старше сына?
1157.	Матери 36 лет, дочери 12 лет. Через сколько лет мать
будет в два раза старше дочери ?
1158.	На двух кустах сидели 16 воробьев. Со второго куста
совсем улетели 2 воробья, а затем с первого куста на второй
перелетели 5 воробьев. После этого на каждом кусте оказалось
одно и то же число воробьев. Сколько воробьев было на каждом
кусте вначале ?
1159.	Найти наименьшее число, которое при делении на 2
дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при деле-
нии на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4
и при делении на 6 дает в остатке 5.
1160.	Из сорока звеньев составлена цепь. Просвет каждого
звена 12 мм, а толщина звена 3 мм (рис. 120). Какую длину
имеет эта цепь ?
1161.	Доску длиной 3 м надо разрезать поперек на две части
так, чтобы число метров в одной части было равно числу деци-
метров в другой части. В каком месте надо сделать разрез?
12
1162.	На одну чашку весов положили кусок мы-
3	3
ла, а на другую -у- такого куска и еще кг. Уста-
новилось равновесие. Сколько весит кусок мыла ?	jWi
Р -Г
ll*	Рис. 120.
1163.	Среди 26 одинаковых по внешнему виду металлических
деталей одна имеет пустоту (легче других). Как с помощью
трех взвешиваний (без разновесок) на чашечных весах выделить
эту деталь?
1164.	Длина ребра куба 0,5 м. Этот куб разрезали на куби-
ки, длина ребра каждого из которых равна 2 мм. Кубики затем
уложили в один сплошной ряд. Чему равна длина ряда ?
1165.	Мальчик идет из села А в село В, отстоящее от А на
расстоянии 3 км. С мальчиком побежала собака; пока он прошел
1 км, собака уже добежала до села В. Затем собака вернулась
к мальчику, снова побежала в В затем снова вернулась и т. д.
Какое расстояние пробежала собака за время, которое мальчик
затратил на путь от А до В ?
1166.	По дороге рядом идут мальчик и девочка. Длина шага
мальчика 60 см, а длина шага девочки 50 см. Следы каких по
счету шагов мальчика и девочки будут расположены друг против
Друга ?
1167.	Два поезда по двухколейной железной дороге движут-
ся навстречу друг другу — один со скоростью 60 км в час, а
другой со скоростью 80 км в час. Пассажир, сидящий во втором
поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него 6 сек. Какова
длина первого поезда ?
1168.	Яша идет от дома до школы 30 мин., а его брат Петя
40 мин. Петя вышел из дома на 5 мин. раньше Яши. Через
сколько минут Яша догонит Петю?
1169.	Моторная лодка, идя по течению реки, затрачивает на
путь от пристани А до пристани В 32 часа, а на обратный путь
48 час. За какое время проплывет плот путь от А до В?
1170.	Требуется разделить 7 одинаковых яблок поровну меж-
ду восемью мальчиками. Как сделать так, чтобы разрезов было
возможно меньше ?
1171.	Вода при замерзании увеличивается на -ц- своего объе-
ма. На какую часть своего объема уменьшится лед при обрат-
ном превращении его в воду?
1172.	Ученица купила в магазине 9 тетрадей, несколько
блокнотов по 12 коп. и 3 карандаша. Продавец выписал ей чек
на 71 коп. Взглянув на чек, ученица сказала продавцу, что он
ошибся. Продавец удивился, как без вычислений ученица могла
обнаружить ошибку, пересчитал снова и действительно нашел
ошибку. Каким образом ученица обнаружила ошибку, не вычис-
ляя стоимости покупки ?
324
1173.	Существует ли дробь со знаменателем 2, которая боль-
7	8 .
ше -г?-. но меньше -tf ?
IO	15
1174.	Сколько существует дробей со знаменателем 40, которые
больше , но меньше ? Какие из них являются несократи-
мыми ?
1175.	Доказать, что среднее арифметическое пяти последова-
тельных натуральных чисел равно среднему из этих чисел.
1176.	Доказать, что если даны какие-либо три натуральных
числа, не делящиеся на 3, то либо их сумма делится на 3,
либо сумма двух из них делится на 3.
1177.	Верно ли утверждение: для того чтобы число делилось
на 2, необходимо, чтобы оно оканчивалось нулем ?
1178.	Верно ли утверждение: для того чтобы число делилось
на 2, достаточно, чтобы оно оканчивалось нулем ?
1179.	Верно ли утверждение: для того чтобы сумма двух
натуральных чисел была четным числом, необходимо, чтобы
каждое слагаемое было четным ?
1180.	В школе 370 учащихся. Доказать, что среди учащихся
этой школы обязательно найдется хотя бы 2 учащихся, отмечаю-
щих свое рождение в один и тот же день.
VIS. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
,ВТ0ЧНЫЕ.............ПИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН
9	ТОЧНЫЕ И llrllbllllrntllnDlL ОПп ilIIIIjI DhllH iHili
Числовые значения некоторых величин мы можем, а иногда и
должны выражать точными числами. Например, число учащихся
в классе, наличие денег в кассе, соотношения между метрически-
ми мерами и т. д. мы выражаем точно. Если после правильного
подсчета мы утверждаем, что в классе присутствуют 27 учащих-
ся, то это число точное. Если кассир подсчитал, что к концу дня
в кассе имеется 27 301 руб. 26 коп., то это число тоже точное.
Нам известно, что в 1 км содержится точно 1000 м.
Изучая натуральные и дробные числа, изучая величины и их
измерение, решая практические задачи, мы не раз встречались с
приближенными числами. В каких случаях нам приходится иметь
дело с приближенными числами?
1.	В результате измерения величин всегда получаются при-
ближенные числа. Измерительные приборы не могут дать точного
значения измеряемой величины. Во-первых, ни один измеритель-
ный прибор нельзя изготовить совершенно точно. Во-вторых,
каждый прибор имеет свою точность, определяемую величиной
самого мелкого деления. Например, на обычной измерительной
линейке самые мелкие деления — миллиметры, а на торговых
весах самое мелкое деление выражает 5 г. Кроме этого, при из-
мерении мы допускаем некоторые неточности. Например, не вполне
точно совмещаем нулевое деление с началом отрезка, длину ко-
торого измеряем; не всегда одинаково натягиваем мерную ленту,
не вполне точно располагаем ее по той прямой, вдоль которой
производим измерение длины. Измеряемая величина может из-
менять свое значение. Например, длина одного и того же ме-
таллического стержня изменяется в зависимости от температуры
воздуха; в жаркую погоду длина больше, чем в холодную. Вес
326
тела также изменяется, многие вещества впитывают влагу из
воздуха, вещество может высыхать. Часто не имеет смысла на-
ходить точное значение измеряемой величины. Например, нет
смысла, указывая время дня, выражать его в часах, минутах и
секундах; отпуская со склада 1 т каменного угля, взвешивать
его с точностью до 1 г, а температуру воздуха измерять с точ-
ностью до долей градуса.
2.	Приближенные числа часто получаются в результате вы-
числений, особенно при различных практических расчетах. Даже
в тех случаях, когда можно результат вычисления выразить точ-
ным числом, практически не всегда это делают. Если, например,
обувная фабрика за 26 рабочих дней выработала 67 234 пары
мужской обуви, то ее среднесуточная выработка равна частному
12
67 348:26, которое можно выразить точным числом 2585—рг-. Од-
нако на практике частное выражают приближенным числом и го-
ворят, что выработка составляла 2586 пар в сутки, а иногда ок-
ругляют и такой результат до десятков или до сотен. В практи-
ческих вычислениях значения величин часто берутся приближен-
ными, а поэтому и результаты таких вычислений выражаются
приближенными числами.
Например, путем наблюдений установлено, что поезд за 2 ча-
са 37 мин. прошел расстояние 178 км; при вычислении скорости
движения поезда надо иметь в виду, что эти числа приближен-
ные. Следовательно, средняя скорость движения должна быть
выражена приближенным числом. Можно принять, что она равна
приближенному числу 68 км в час (точное значение частного
l78^I"68w)-
3.	Приближенные числа появляются иногда в результате счета.
Население города, области или страны несколько изменяется в
процессе его подсчета, при счете могут быть допущены ошибки.
Следовательно, результат счета является приближенным числом.
Его округляют, и в справочниках указывают численность населе-
ния, например, с точностью до одного миллиона или до одной
тысячи.
Приближенными числами выражают, например, количество де*
тей, учащихся, рабочих в стране, число голов скота или птицы
в районе, области или во всей стране и т. д.
327
Задание 91.
1. Назвать точные и приближенные числа: 1) продолжитель-
ность жизни кипариса составляет 3000 лет; 2) 3 кг содержат
3000 г; 3) вес трубы равен 48,4 кг; 4) в доме 123 окна.
2. Привести примеры получения приближенных чисел.
Упражнения.
1181.	Какие из чисел будут точными и какие приближен-
ными:
1)	расстояние между двумя селами равно 24 км;
2)	цена сукна — 24 руб. за 1 м;
3)	в классе присутствует 23 учащихся;
4)	слон весит 4 т;
5)	поезд шел 30 мин.;
6)	емкость стакана равна 250 куб. см;
7)	км составляет 250 м;
8)	в среднем столовая отпускает в день 940 обедов.
1182.	Будут ли точными числа, выражающие число ударов
пульса или число вдохов и выдохов в одну минуту?
1183.	В каких случаях частное от деления двух чисел выра-
жают приближенно десятичной дробью?
3	15
1184.	Вычислить точное значение разности 2-^ — 1 -рг и ее
приближенное значение с точностью до 0,001.
1185.	Подсчитать число букв в каждой из каких-либо 5 строк
§ 134 учебника арифметики. Принять среднее арифметическое этих
чисел за число букв в строке (в среднем). Какие числа в этих
вычислениях будут приближенными?
1186.	Измерить ширину и высоту какой-либо двери и опреде-
лить ее площадь в квадратных метрах. Будут ли результаты из-
мерений и вычисления приближенными числами?
§ 135^ АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ.
Пользуясь приближенным значением величины, необходимо
знать, какова неточность, или погрешность, этого значения.
2
Если при выражении дроби в виде десятичной дроби при-
О
2
мем, что -у 0,67, то при этом допустим некоторую неточ-
ность, или погрешность.
328
Вычислим, на сколько точное число -15- отличается от своего
приближенного значения 0,67. Для этого от большего числа от-
9	67	9	901_90П	1
нимем меньшее число: 0,67------------------~- = —— = ^.
□	о	OvU	oUU
ГТ К	1
Приближенное число отличается от точного числа на -
или приближенно на 0,003. Эту разницу называют абсолютной
погрешностью.
Абсолютной погрешностью называют разность, которая пока-
зывает, на сколько точное число больше или меньше своего при-
ближенного значения.
Часто точное значение числа неизвестно. Тогда об абсолют-
ной погрешности судят по величине наименьшего деления шкалы
измерительного прибора. Эту величину называют ценой деления
прибора. Например, цена деления торговых стрелочных весов рав-
на 5 г. Абсолютная погрешность взвешивания на этих весах не
превышает 5 г. Это означает, что отклонение от точного веса не
превышает 5 г. Если, например, вес тела равен 450 г, то принято
записывать так:
450 (±5) г.
Знаки ± показывают, что отклонения могут быть как в сторо-
ну увеличения, так и в сторону уменьшения.
Если оценивать на глаз половину деления шкалы весов, т. е
2,5 г, то можно считать, что абсолютная погрешность не превы-
шает 2,5 г. При этом можно приближенно указать и число еди-
ниц. Например, может получиться такой результат:
453 (±2,5) г.
При измерении миллиметровой линейкой абсолютная погреш-
ность не превышает 1 мм. Допустим, что некоторая длина I при
измерении такой линейкой оказалась равной 17,7 см, тогда мож-
но записать:
I ~ 17,7 (±0,1) см, или I ~ 177 (± 1) мм.
Запись означает, что отклонение приближенного значения дли-
ны от точного значения не превышает 1 мм. Оценить на глаз
половину миллиметра трудно. Если это удастся сделать (напри-
мер, при пользовании тонкой металлической линейкой), то абсо-
лютную погрешность можно считать равной 0,5 мм.
При измерении сравнительно больших расстояний измеритель-
ный прибор (метр или мерную ленту) приходится несколько раз
329
переносить по измеряемой линии. В таких случаях погрешность
измерения может оказаться значительно больше, чем цена деле-
ния применяемого прибора.
Допустим, что при измерении одного и того же расстояния
мерной лентой получили такие результаты: 327,57 м, 327,71 м
и 327.48 м. Эти результаты отличаются друг от друга десяты-
ми долями метра. Следовательно, абсолютная погрешность не мо-
жет быть меньше 0,1 м, или 10 см. А цена деления измеритель-
ной ленты составляет 0,01 м, или 1 см. Таким образом, в этом
измерении погрешность в несколько раз больше цены деления из-
мерительного прибора.
Задание 92.
1 О	2	4-
1.	Вычислить точное значение суммы и -ту- и приближен-
О	11
ное ее значение с точностью до 0,001. Найти абсолютную по-
грешность приближенного значения.
2.	Какова абсолютная погрешность при измерении температу-
ры комнатным и медицинским термометром (рис. 121)?
3.	Измерить миллиметровой линейкой длину стола три раза.
На сколько отличаются результаты измерения друг от друга? Ка-
кой вывод можно сделать о величине абсолютной погрешности
измерения?
Упражнения.
1187. Вычислить частные:
. 1) 23:12; 2) 0,38:0,06; 3) 1,23: 1,27;
Рис.
Г21.
4)	- с точностью до 0,01 и найти абсо-
лютную погрешность вычисления. Можно ли
считать абсолютную погрешность вычисления
равной приближенно 0,01?
1188. На стрелочных
ния посылок наименьшее
50 г. Какова абсолютная
ния на этих весах?
весах для взвешива-
деление составляет
погрешность измере-
1189. Какова абсолютная погрешность из-
мерения: 1) величины углов транспортиром?
2) времени с помощью стенных часов?
1190.	Объяснить записи:
1)	40,1 (±0,05) м;	4) 412000 (± 1000) га;
2)	43,785 (±0,005) т; 5) 99,78 (±0,01).
3)	275 600 (±100) чел.;
1191.	Вычислить погрешность, которая получится при округ-
лении до 0,01 каждого из чисел:
1) 4,59001; 2) 0,792; 3) 0,798; 4) 5,9999; 5) 0,0789; 6) 1,2555.
1192.	Вычислить погрешность, которая получится при округ-
лении до 1 каждого из чисел: 1) 5,4; 2) 6,78; 3) 7,2919; 4)0,7;
5) 0,92; 6) 10,0752.
1193.	Вычислить погрешность, которая получится, если число
0,79023 заменить дробью:
1) 0,8;	3) 0,790;	5) 0,7;
2) 0,79;	4) 0,7902;	6) 0,791.
1194. Вычислить погрешность, которая получится, если число
927 341 заменить числом:
1) 1000 000;	3) 920 000;	5) 927 000;
2) 900000;	4) 930 000;	6) 928 000.
1195. Приближенное значение в миллиметрах одного дюйма
с точностью до одной миллионной равно 25,399541 мм. Записать
приближенные значения дюйма с точностью до 1 мм; до 0,01 мм;
до 0,0001 мм.
gB. ПРАВИЛО ЗАПИСИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ.
В приближенном числе различают верные и сомнительные ци-
фры. Рассмотрим два примера.
1. Длину здания школы измеряли два раза и получили ре-
зультаты: 25,65 м и 25,82 м. За длину здания следует взять
среднее арифметическое этих чисел: 25’65+25*82 — 25,735 (лг).
Первые две цифры, 2 и 5, этого числа такие же, как и в каж-
дом из результатов измерений. Поэтому цифры десятков и еди-
ниц числа 25,735 назовем верными цифрами. Третья и четвер-
тая цифры результатов измерений оказались различными. Их счи-
тают сомнительными цифрами. Поэтому и в числе 25,735 три
последние цифры называют сомнительными.
331
Крупный ученый — математик и мор-
ской инженер Алексей Николаевич Кры-
лов (1863—1945), Он обращал большое
внимание на приложение математики к ре-
шению практических вопросов. В част-
ности, А. Н. Крылов много сделал для об-
легчения технических и практических расче-
тов с помощью приближенных вычислений.
Принято оставлять в записи при-
ближенного числа только одну сом-
нительную цифру, которая непосред-
ственно следует за верными цифрами»
Итак, нужно записать: 25,735 «
— 25,7 (л<). Эта запись показывает,
что длина здания содержит 25 м и
еще примерно 0,7 м.
2. Для подсчета числа зерен в 10 г ржи отвесили два раза
по 10 г. В первой навеске оказалось 326 зерен, а во второй 342
326-1-342
зерна. Среднее арифметическое этих чисел равно:---х--- = 334.
В числах 326. 342 и 334 цифра сотен (3) является верной. Ос-
тальные цифры этих чисел будут сомнительными.
Можно принять, что в 10 г содержится 3 сотни и еще при-
мерно 3 десятка зерен ржи. О числе единиц ничего определенного
сказать нельзя: на их место при округлении ставим нуль.
Итак, в 10 г содержится приближенно 330 зерен ржи. В чи-
сле 330 цифра сотен является верной, а цифра десятков сомни-
тельной.
Иногда может показаться, что все цифры приближенного числа являют-
ся сомнительными. Например, при измерении длины участка получены резуль-
таты 298,3 м и 300,6 м Среднее арифметическое равно 299,45 м. В этом чи-
сле все цифры отличаются от результата второго измерения. Однако среднее
арифметическое отличается от результатов измерений незначительно: всего на
1,15 м. Таким образом, погрешность среднего арифметического не больше
2 м, что не составляет половины десятка метров. Поэтому цифры сотен и де-
сятков считают верными.
Следовательно, длина участка приближенно равна 299 м. В этом числе
сомнительна только цифра единиц.
Для выяснения верных и сомнительных цифр приближенного числа поль-
зуются таким определением: цифра какого-либо разряда (доли) считается
верной, если погрешность не больше половины единицы этого разряда (до-
ли); если же погрешность больше половины единицы какого-либо разряда
(доли), то цифра этого разряда (доли) и все цифры, расположенные спра-
ва от нее, считаются сомнительными.
332
Примеры.
1. 4,6(^120,05) см — цифра 6 верная.
2. 194° (±1°) — цифра 4 сомнительная, остальные цифры числа 194 верные.
Выдающийся русский ученый А. Н. Крылов предложил запи-
сывать приближенные числа так, чтобы они не содержали лиш-
них, ненужных цифр. Правило Крылова о записи приближенных
чисел сводится к следующему: при записи приближенных чисел
следует писать все верные цифры и не более одной сомнитель-
ной цифры; при этом в записи приближенных целых чисел вза-
мен отброшенных цифр нужно поставить нули.
Пример. Пусть в числах 77,837 и 17 834 мы знаем, что
только первые 3 цифры верны. Согласно правилу Крылова, нуж-
но записать: 77,837 ® 77,84; 17 834 ~ 17 830.
Задание 93.
1. Указать верные и сомнительные цифры следующих при-
ближенных чисел, записанных по правилу Крылова:
5,62; 0,8364; 23,70; 543; 7830; 54,0; 52 000.
2. Записать по правилу Крылова следующие приближенные
числа:
1) 1345, если онс	> содержит 2 верные цифры;		
2) 345, если оно	содержит		1 верную цифру;
3) 57 896	»	»	3	верные цифры;
4) 0,7891	»	»	3	в	»	;
5) 0,7891	»		2	в	» ;
6) 4,48	»		1	верную цифру.
Упражнения.			
1196. 1) Указать	верные	 и	сомнительные цифры следующих
приближенных чисел, записанных по правилу Крылова: 27,3;
5732 т; 13,78; 8,900 км; 0,058 куб, м; 0,8870; 127 000 (все нули
поставлены взамен отброшенных цифр); 5 790 000 чел. (три по-
следних нуля поставлены взамен отброшенных цифр).
2) В следующих приближенных числах подчеркнуты верные
цифры: 54,81; 0,37985; 598761; 13,4815; 0,0400923; 14,986; 437599;
429,67. Записать эти числа по правилу Крылова.
1197.	При тщательном и неоднократном измерении некоторой
длины оказалось, что она равна 6,77 м Эта же длина была из-
мерена только один раз, и в результате измерения получено
6,81 м. Указать верные и сомнительные цифры второго результа-
та и записать его согласно правилу Крылова.
ззз
1198.	Определяя вес 1 куб, см меди в граммах, получили
три таких результата: 8,81; 8,92 и 8,94. Вычислить среднее ариф-
метическое их, указать верные и сомнительные цифры его и за-
писать окончательный результат по правилу Крылова.
1199.	Определите среднее число своих шагов, какое вы дела-
ете за 2 мин., двигаясь: 1) обычным шагом; 2) быстрым шагом;
подсчет в каждом случае произведите три раза.
 » t
S137.J СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ.
При действиях над приближенными числами может получить-
ся результат, содержащий не одну, а несколько сомнительных
цифр. В таких случаях результат нужно округлить.
Округление суммы и разности приближенных чисел, выра-
женных десятичными дробями, производится в зависимости от
числа десятичных знаков в этих числах. Для получения правил
такого округления рассмотрим две задачи.
Задача 1. В мешок весом 0,925 кг насыпали 63,5 кг саха-
ру. Сколько весит мешок с сахаром?
Решение.
, 0,925
+ 63,5
64,425 ~ 64,4 (кг).
В первом слагаемом сомнительной является цифра тысячных,
а во втором цифра десятых. Поэтому три последние цифры (4,
2 и 5) суммы являются сомнительными. По правилу Крылова
нужно оставить только одну сомнительную цифру и записать
результат 64,4 кг. Следовательно, в сумме пришлось оставить
столько десятичных знаков, сколько их содержит слагаемое с
меньшим числом десятичных знаков.
Задача 2. От куска провода длиной 12,4 м отрезали 3,78м.
Вычислить длину остатка.
Решение.
12,4
3,78
8,62 ~ 8,6 (м).
В уменьшаемом цифра десятых, а в вычитаемом цифра сотых
являются сомнительными, разность 8,62 имеет две сомнительные
цифры. По правилу Крылова нужно оставить одну сомнительную
цифру, а поэтому разность следует считать равной 8,6. Следова-
334
тельно, в разности пришлось оставить столько десятичных зна-
ков, сколько их содержит данное с меньшим числом десятичных
знаков.
Правило. Результат сложения или вычитания при
ближенных десятичных дробей следует округлить
так, чтобы он содержал столько десятичных знаков,
сколько их имеет данное с наименьшим числом деся-
тичных знаков.
Применяя это правило, мы можем получить результат, содер-
жащий не одну, а несколько сомнительных цифр. Но такие слу-
чаи встречаются редко.
Рассмотрим сложение и вычитание приближенных целых чи-
сел.
Задача. В одном населенном пункте проживает 37 000 чел.,
в другом 5700 чел., а в третьем 950 чел. (Нули поставлены вза-
мен отброшенных цифр.) Сколько человек проживает во всех
этих пунктах?
Решение.
37000
+ 5700
950
43650 ~ 44 000 (чел.).
В первом слагаемом сомнительной является цифра тысяч, во
втором — цифра сотен, а в третьем — десятков. Поэтому в сумме
(43 650) первой сомнительной цифрой является цифра тысяч. Ре-
зультат считаем равным 44 000. Сходное рассуждение можно про-
вести и для вычитания.
Приходим к выводу: результат сложения или вычитания при-
ближенных целых чисел следует округлить так, как округлено
наименее точное данное.
Наименее точным числом считается то число, которое округ-
лено до наиболее крупного разряда (крупной доли).
Пример. Найти разность 98420—1500. Нули в числах по-
ставлены взамен отброшенных цифр.
98420
1500
96 920 « 96 900.
Замечание. Для упрощения вычисления суммы и разности
приближенных чисел их можно предварительно округлить с той
точностью, с какой выражено наименее точное данное, а затем
выполнить указанное действие, как с точными числами.
335
Вычисления в предыдущих задачах можно выполнить так:
1) , 0,9 + 63,5	2)	12,4 “ 3,8	3)	37 000 + 6 000	4)	98 400 1 500
64,4	8,6		1 000 44 000		96 900
Результаты получились те же. Иногда при предварительном
округлении получается иной результат. Но этот результат незна-
чительно отличается от результата, полученного без предваритель-
ного округления.
Пример. Вычислить сумму приближенных чисел: 32,52,
5,44 и 3,3.
Решая без предварительного округления, получим, что
32,52 + 5,44 + 3,3 = 41,26 ~ 41,3.
Решая с предварительным округлением, получим:
32,5 + 5,4 + 3,3 = 41,2.
Разница на 0,1 не имеет существенного значения.
Задание 94.
1.	Вычислить сумму приближенных чисел: 24,28 кв. м и
15,3 кв. м.
2.	Вычислить разность этих чисел.
3.	Какими правилами нужно пользоваться при сложении и вы-
читании приближенных чисел ?
4.	Вычислить сумму и разность чисел в упражнениях 1 и 2,
округлив предварительно данные числа.
Упражнения.
1200.	Чем отличается значение длины 24 м от значения дли-
ны 24,00 м? Сколько верных цифр содержит каждое из этих
приближенных чисел, если они записаны по правилу Крылова?
Привести сходные примеры приближенных значений каких-либо
величин.
1201.	В числе 18 000 два нуля поставлены взамен отброшен-
ных цифр. Чем отличается от этого числа число 18 000, в кото-
ром все три нуля поставлены взамен отброшенных цифр? При-
вести примеры таких чисел, после округления которых получит-
ся первое число, второе число.
336
1202.	Произвести дейст-
вия над приближенными чис-
лами:
1)	0,58 + 0,379;
2)	12,4 — 0,78;
3)	13,475+ 1,48 + 15,9;
Рис. 122.
4)	14,00 — 3,4;
5)	15,4 — 3,4791;	7) 3,38 + 4,78— 1,405 — 1,307;
6)	8,092 + 3,40 — 5,6;	8) 0,48 + 1,39 + 14,26 — 3,401.
1203.	Прямоугольный участок леса имеет длину 1,58 кж, а
ширину 226 м. Какова длина канавы вокруг этого участка ?
1204.	Две стороны треугольного участка земли 2430 м, и
2390 м, а третья 237 м. Первые два числа даны с точностью
до 10 м, а третье до 1 м. Вычислить периметр участка.
1205.	Одна из египетских пирамид (рис. 122) сооружена при-
мерно 3000 лет тому назад. Можно ли утверждать через 20 лет,
что эта пирамида была сооружена 3020 лет тому назад?
1206.	Даны числа: 43700(± 100); 127000 (± 1000) и 27940
(+10). Вычислить их сумму без предварительного округления и
с предварительным округлением.
1207.	Произвести действия над приближенными числами без
прэдварительного округления, а затем с предварительным ок-
руглением:
1)	1,52 +0,7847 + 0,353;
2)	7,28 — 5,5473;
3)	0,9922 + 0,23 + 0,48753;
4)	5,416 — 4,03 + 2,7;
5)	38,25 + 3,825 + 0,3825 + 0,03825;
6)	0,8488 — 0,08488 — 0,008488 + 84,88.
1208.	Найти сумму приближенных чисел, считая, что первое
слагаемое дано с точностью до 1000, а второе с точностью до 100:
1)	523 000 + 98 500;	3) 2 780 000 + 535 000;
2)	8000 + 159 400;	4) 5 600 000 + 998 300.
1209.	Найти разность приближенных чисел, считая, что умень-
шаемое дано с точностью до 1, а вычитаемое с точностью до 100:
1) 73 792—73 500;	2) 100 280 — 5400;	3; 496 800 — 75 000.
337
14	11
1210.	Найти сумму -к- Н—«- + тг Ч—=- » выразив все слага-
х У	1I	О
емые десятичными дробями с двумя десятичными знаками. Ка-
кие из этих десятичных дробей числа точные?
121L 1) От моего города до Москвы но железной дороге
540 кль Это расстояние дано с точностью до 10 км. Я прошв л
от вокзала в сторону Москвы 18 км. На каком расстоянии я на-
хожусь от Москвы?
2)	На автомашину погружено 3,4 т. Вес шофера и двух груз-
чиков равен 266 кг. Сколько весит груз вместе с шофером и
грузчиками?
1212.	1) Длина морского пути от Ленинграда до Нью-Йорка рав-
на 8160 км (округлено до 10 км). Теплоход, направляясь в
Нью-Йорк, отошел от Ленинграда на 73,5 км. Вычислить остав-
шийся путь.
2)	Площадь поля равна 25,5 га. Убрано 23 а. Сколько оста-
лось убирать?
1213.	Выполнить действия, считая все значения приближен-
ными:
1)	1,45 м0,297	13,48 м;
2)	240 га + 13 700 га + 970 га (второе слагаемое выражено с
точностью до 100 га);
3)	14,37 м — 5,75 м + 13,496 м;
4)	2,48 т + 20,4 т + 14,9 т — 3,79 т;
5)	18,3 л —9,14 л+ 2,48 л + 20,2 л;
6)	0,249 кг + 1,47 кг —0,4729 кг;
7)	34,2 мм+ 1,49 мм — 0,478 мм;
8)	24,68 кв. м + 14,53 кв. м + 124,9 кв. м — 2,856 кв. м.
1214.	Контрольное задание.
1.	От станции до пионерского лагеря нужно пройти вдоль
железнодорожной линии 1,18 км, по лесу 1,5 км и по деревне
0,8 км. Вычислить расстояние от станции до лагеря.
2.	Вычислить разность приближенных чисел:
1)	8320—-500 (нули поставлены взамен отброшенных цифр);
2)	0,5763 — 0,49.
из
3.	Выразитьдесятичной дробью с точностью до 0,01. Най-
ти абсолютную погрешность результата.
338
^8. ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.
При умножении и делении приближенных чисел пользуются
не подсчетом числа десятичных знаков, а подсчетом значащих
цифр числа.
Определение 1. Значащими цифрами приближен-
ного числа, выраженного десятичной дробью, счита-
ются все цифры этой дроби, кроме нулей, стоящих
слева от первой цифры, отличной от нуля.
Пример 1. Приближенное число 10,408 имеет 5 значащих
цифр. Все его цифры являются значащими, так как крайняя сле-
ва цифра числа отлична от нуля (она равна 1).
Пример 2. Приближенное число 0,0104 имеет три значащие
цифры: 1, 0 и 4. Два нуля, стоящие слева от единицы, не счи-
таются значащими цифрами.
Пример 3 Приближенное число 0,400 имеет три значащие
цифры: 4, 0 и 0. Нуль, стоящий слева от цифры 4, не относит-
ся к значащим цифрам.
Определение 2. Значащими цифрами приближенно
го целого числа считаются все его цифры, кроме ну-
лей, поставленных взамен отброшенных или неизвест-
ных цифр.
Пример 1. Вес легкового автомобиля «ЗИЛ-111» равен
2576 кг. В этом приближенном числе все четыре цифры являют-
ся значащими.	е
Пример 2. Частное 34 2077 : 57	6001 « 6000. Число 6000
имеет три значащие цифры, так как только один последний нуль
поставлен взамен отброшенной цифры (единицы).
Пример 3. Наибольшее расстояние от Земли до Луны рав-
но 406 000 км (с точностью до 1000 км). Это приближенное чи-
сло имеет три значащие цифры, так как все нули в конце числа
поставлены взамен неизвестных или отброшенных цифр.
139. ВЫДЕЛЕНИЕ ЗНАЧАЩИХ ЦИФР В ЗАПИСИ
ПРИБЛИЖЕННОГО ЦЕЛОГО ЧИСЛА.
Чтобы из записи приближенного целого числа, оканчивающе-
гося нулями, было ясно, сколько значащих цифр имеет это число,
можно использовать особый способ записи таких чисел.
Например, пусть в числе 7520000 три последних нуля не яв-
ляются значащими цифрами. Условимся записывать это число так:
7520-10\ Первый сомножитель показывает, какие цифры данного
339
числа являются значащими. Таких цифр — четыре. Второй сомно-
житель условно обозначает 1000.
Таким же образом запись 203-104 означает, что данное число
равно 2 030 000 и оно содержит три значащие цифры. Число
58-10 = 580 содержит две значащие цифры и т. п.
С помощью этого способа особенно удобно записывать очень
большие приближенные числа. Например, объем земного шара»
равный 1100 000 000 000 000 000 000 куб. м, записывают так:
11-10-° куб. м или 11-Ю11 куб. км.
Задание 95.
L Сколько значащих цифр содержат приближенные числа:
1,04; 5,40; 0,2047; 0,0023; 4,050? Какое из них имеет наимень-
шее число значащих цифр?
2.	Сколько значащих цифр содержат числа: 543 000; 1 400 000;
234 340 000, если каждое из них дано с точностью до тысячи.
Записать данные числа, используя способ выделения значащих
цифр.
3.	Сколько значащих цифр содержат числа: 78-102; 580-106;
20-105? Записать эти числа обычным способом.
4.	Когда нуль в конце записи числа является значащей
цифрой?
Упражнения.
1215.	1) В числах 127 000; 557^000 и 37290 все нули постав-
лены взамен отброшенных цифр. Сколько значащих цифр содер-
жит каждое из чисел? Записать эти числа, используя способ вы-
деления значащих цифр.
2) Сколько значащих цифр содержат числа: 12-103; 9400-104;
104-106; 41-10? Записать эти числа обычным способом.
1216.	Числа 2 570 000 и 39 000 выражены с точностью до 1000.
Сколько значащих цифр содержит каждое из них?
1217.	Число 27 534 выражено с точностью до I. Сколько зна-
чащих цифр оно имеет?
1218.	Сколько значащих цифр содержат числа:
1)	5,20;	4) 0,0092; 7) 0,0071;	9) 11,00;
2)	13,457;	5) 0,75;	8) 13,000;	10) 15,720.
3)	0,9724; 6) 2,931;
1219.	Вычислить сумму приближенных чисел:
1)	63,4 + 4,58 + 0,789;
2)	0,48 + 0,751 +0,9000;'
340
3)	172 000 + 192 000 + 34 700;
4)	68 400 4- 9 850 000 + 11 000
(нули поставлены взамен отброшенных цифр). Сколько зна-
чащих цифр имеет каждое слагаемое и сумма их?
-хмисел.
Чтобы вывести правило для умножения приближенных чисел,
решим задачу: «Вычислить вес ртути, если ее объем равен
42 куб. см, а вес 1 куб. см ее равен 13,6 г».
Оба данных — числа приближенные. Для нахождения веса
ртути эти числа нужно перемножить.
Произведение 13,6-42 = 571,2.
Так как объем ртути могли измерить только с точностью до
1 куб. см, то он мог быть, например, равным не 42 куб. см, а
41,6 куб. см.
Произведение 13,6- 41,6 = 565,76.
В полученных произведениях 571,2 и 565,76 только цифру
сотен можно считать верной. Поэтому остальные цифры числа
571,2 будут сомнительными. По правилу Крылова результат сле-
дует округлить и принять вес ртути равным 570 г.
Записать следует так:
13,6-42	570 (г).
Результат 570 имеет две значащие цифры. Множитель 42 так-
же имеет две значащие цифры, а в множителе 13,6 три знача-
щие цифры.
Таким образом, в результате умножения приближенных чисел
нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет чис-
ло с наименьшим количеством значащих цифр.
Пример. В произведении приближенных чисел 0,735-12,451
первое число имеет три значащие цифры, а второе — пять. В про-
изведении надо сохранить три значащие цифры. Вычисления мож-
но записать так:
12,451
х 0,735
62255
37353
87157
9,051485 «9,05
341
Задание 96.
1.	Вычислить площадь прямоугольника, если его основание
равно 579 лг, а высота 402 м. Измерения произведены с точностью
до 1 м.
2.	Вычислить объем комнаты, если ее длина 11,9 At, ширина
8,4 At и высота 4,2 м.
3.	Средняя скорость бега спортсмена равна 7,8 м в сек.
Сколько он пробежит за 29,3 сек.?
Упражнения.
1220.	Выполнить действия над приближенными числами:
1)	54-83; 2) 256-48; 3) 5,24-2,5; 4) 0,0756-0,12;
5) 8,1-5,4-0,75; 6) 4,25-0,04-7,6.
1221.	Стороны прямоугольника равны 10,2 м и 5,56 м. Найти
его площадь и периметр.
1222.	Норма высева гречихи равна 0,90 ц на 1 га. Сколько
нужно семян, чтобы засеять участок площадью 48,5 га?
1223.	Скорость лыжника равна 0,17 км в мин. Какое расстоя-
ние он пройдет за 24,3 мин.?
--------
Чтобы вывести правило деления приближенных чисел, рас-
смотрим задачу: «Для определения скорости поезда отмерили вдоль
железнодорожного пути расстояние 1021 м (с точностью до 1 м)
и заметили, что это расстояние поезд прошел за 93 сек. (с точ-
ностью до 1 сек.). Какова скорость поезда?»
Решение. Так как время не было измерено с точностью до
0,1 сек., то возможно, что поезд прошел это расстояние не за
93 сек., а, например, за 92,6 сек.
Вычислим скорость движения для того и другого случая:
1021 :93 ~ 10,98 {м в сек.),
1021 : 92,6^ 11,03 (м в сек.).
В этих результатах совпадают только цифры десятков, а по-
тому следует считать, что скорость поезда равна:
1021 : 93	11 (м в сек.) или 40 км в час.
Делимое имело четыре значащие цифры, а делитель — две
значащие цифры. В частном пришлось оставить две значащие
цифры.
342
Таким образом, в результате деления приближенных чисел
нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет
число с наименьшим количеством значащих цифр.
Например, при делении приближенных чисел 20,3 на 5,846 в
частном надо оставить три значащие цифры (делимое имеет три,
а делитель четыре значащие цифры). Следовательно, частное
20,3:5,846 ^3,47.
Правила умножения и деления приближенных чисел можно
объединить в одно правило: при умножении и делении при-
ближенных чисел в результате надо сохранить столь-
ко значащих цифр, сколько их имеет число с наимень-
шим количеством значащих цифр.
Применение этого правила лишь изредка дает результат, ко-
торый содержит не одну, а несколько сомнительных цифр.
Замечание. Если одно из чисел является точным, а дру-
гое приближенным, то в результате сохраняют столько значащих
цифр, сколько их содержит приближенное число.
Задача 1. Лист кровельного железа весит 4,52 кг. Сколько
весят 8 таких листов?
Решение. Число 8 точное, число 4,52 — приближенное, оно
имеет три значащие цифры; в результате надо сохранить тоже
три значащие цифры.
4,52-8 - 36,16	36,2 (кг).
Задача 2. Железнодорожный мост длиной 548 м имеет 6
одинаковых пролетов. Вычислить длину пролета.
Решение. Число 6 точное, а число 548 приближенное, оно
имеет три значащие цифры, частное следует найти с тремя зна-
чащими цифрами.
548:6 ^91,3 (м).
Задание 97.
1.	Кусок меди весит 478 г. Найти его объем, если 1 куб. см
меди весит 8,9 г (1 куб. см~ число точное, остальные числа —
приближенные).
2.	Как следует округлять результат умножения или деления
двух приближенных чисел?
3.	Как следует округлять результат умножения или деления
двух чисел, одно из которых является точным, а другое прибли-
женным?
343
Упражнения.
1224.	Выполнить действия над приближенными числами:
1)	2753:33;	4)	23,0-41,9;	7)	0,63: 1,93;	10)	5,57-1,309;
2)	431-592;	5)	13,70:1,4;	8)	44,5-0,0075;
3)	34,7:1,23;	6)	5,703-2,7;	9)	3,4:154;
И) 37 000:230 (нули поставлены взамен отброшенных цифр)-
12) 3400-725 000 (оба числа даны с точностью до сотни).
1225.	Вычислить площадь прямоугольника, если его основа-
ние и высота выражены приближенными числами:
1)	4,25 м и 3,25 м;	4) 14,72 км и 5,31 км;
2)	341 м и 245 м;	5) 5432 м и 349 м;
3)	0,78 дм и 0,037 дм; 6) 0,079 м и 0,231 м.
1226.	Не вычисляя произведения или частного приближенных
чисел, указать, сколько значащих цифр должен содержать ре-
зультат (в целых числах нули не являются значащими цифрами):
I)	3,48-0,78;	4) 0,0732-0,00509;
2)	12,34 : 0,0789;	5) 132 : 14;
3)	57 000-3600;	6) 2341-569;
7) 14,01 : 5,00; 8) 16,0-17,234.
1227.	Вычислить произведение двух чисел, если первый со-
множитель— приближенное число, а второй — точное число:
1) 8,3-7; 2) 0,543-12; 3) 752-0,9; 4) 6-0,274.
1228.	Вычислить частное, если делимое — точное число, а де-
литель — приближенное:
I) 5:0,42; 2) 4,8 : 0,9; 3) 0,524:8; 4) 124:35.
1229.	Сколько пшеницы получено с участка, площадь которо-
го 4250 га, если средний урожай составил 19,5 ц с 1 га?
1230.	Цистерна вмещает 38,8 т нефти. Сколько надо цистерн
для перевозки 4700 т нефти? (Число 4700 т дано с точностью
до 100 т.)
1231.	Сосуд с жидкостью весил 59,7 кг. Когда из него было
3
вылито -j- жидкости, то сосуд с оставшейся жидкостью весил
17,3 кг. Сколько весил пустой сосуд?
1232.	На пошивку мужского костюма идет в среднем 3,1 м
сукна. Сколько надо сукна для пошивки 7 костюмов? 123 костю-
мов?
1233.	В железнодорожном составе 39 одинаковых вагонов.
В состав погружено 669 т зерна. Сколько зерна в среднем по-
гружено в каждый вагон?
344
*142.) УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ
’ С ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫМ ОКРУГЛЕНИЕМ ДАННЫХ.
Для упрощения умножения или деления двух чисел одно из
них можно предварительно округлить так, чтобы в этом числе
было только на одну значащую цифру больше, чем в другом.
Пример 1. Вычислить произведение приближенных чисел
24,351-0,45. Первое число имеет пять значащих цифр, а второе
только две значащие цифры. Округлим первое так, чтобы оно
имело три значащие цифры:
24,351 «24,4.
Вычислим произведения 24,351-0,45 и 24,4-0,45:
1) 24,351 -0,45 = 10,95795 ~ 11;
2) 24,4-0,45 = 10,980 « 11.
Результаты равны, но вычисление во втором случае проще,
чем в первом.
Пример 2. Вычислить частное приближенных чисел
6,4:2,7413. Делимое имеет две значащие цифры, а делитель
пять значащих цифр. Округлим делитель так, чтобы в нем оста-
лись три значащие цифры:
2,7413 «2,74.
Вычислим частные.
1)	64000	12,7413 54826	2,33	2)	640	1274 548	2,33
91740 82239	920 822
95010	980
6,4 :2,7413 «2,3; Результаты одинаковы,	6,4 : 2,74 « 2,3. . но вычисление с предварительным
округлением проще.
$143А совместные действия с приближенными
’ ЧИСЛАМИ.
Пример. Вычислить: 4,4-0,326 + 0,5028 : 2,8 — 16,28• 0,031,
считая все данные числа приближенными.
Решение выполняем по действиям. Результаты каждого дей-
ствия округляем по правилам из § 137 и 141.
345
1) v 0,326 4,4	2)	5,028 128		3) у 16,3 х 0,031
		28	1,79» 1,8	
1304		222		163
1304		196		489
1,4344 « 1,4		268		0,5053 «0,51
		252		
		16		
4) 1,4+ 1,8 —0,5 = 2,7.
В третьем и четвертом действиях произведено предваритель-
ное округление чисел.
Задача. Три участка 53,5 га, 81 га и 9,6 га засеяны
просом. Средний урожай на первом участке составил 27,0 ц с гек-
тара, на втором 31,3 ц, а на третьем — 31,7 ц. Сколько проса
собрано со всех участков?
Решение. С каждого из участков собрано:
1) v 53,5	2) v 31,3
Х 27,0	Х 81
3745	313
1070	2504
1444,5 »	1440 ц	2535,3 «2500	ц
3) у 31,7	Всего собрано:
9,6	1440
1902	+ 2500
2853	300
304,32 ® 300	ц	4240 » 4200 ц
Такой же результат получится,	если	в последнем действии
предварительно округлить слагаемые.
Точность окончательного результата иногда можно повысить,
применяя правило «запасной цифры». Оно состоит в следующем:
при округлении промежуточных результатов следует
оставлять на одну цифру больше, чем это требуют
правила действий.
Применим правило запасной цифры к задаче 2.
1)	53,5-27,0	1445 (ц);
2)	31,3-81 « 2540 (ц);
3)	31,7-9,6 ~ 304 (ц);
4)	1445 + 2540 + 304 = 4289 ~ 4300 (ц). Оказывается, такой
результат точнее, чем 4200 ц.
В некоторых случаях применение правила запасной цифры не
влияет на окончательный результат. Все же при решении задачсчис-
лом действий, большим трех, лучше пользоваться этим правилом.
346
Задание 98.
1. Вычислить без предварительного округления и с предва-
рительным округлением:
1) 1,43-11,0789;	2) 0,6 ; 0,8593.
2. Как следует округлять одно из данных чисел при умно-
жении и делении приближенных чисел?
Упражнения.
1234.	Вычислить без предварительного округления и с пред-
варительным округлением:
1) 1,7-0,72315;	3) 13:0,42909; 5) 75 281-35;
2) 1,7:0,72315; 4) 0,2725-0,4;	6) 8:95 429.
1235.	Размеры чугунной плиты, имеющей форму прямоуголь-
ного параллелепипеда, равны: 245 см X 127 смХ12 см. Вычис-
лить ее вес, если 1 куб. дм чугуна весит 7,2 кг.
1236.	Шагающий экскаватор (рис. 123) вынимал в среднем за
сутки 12 тыс. куб. м грунта. Сколько вынули грунта два таких
экскаватора за 7 суток?
1237.	За смену 9 тракторов марки ДТ-54 вспахали 55 га.
Найти среднюю выработку на один трактор.
1238.	Вычислить ширину прямоугольного параллелепипеда,
если его объем равен объему куба, ребро которого 12,2 см, дли-
на параллелепипеда равна 44,2 см, а высота — 2,4 см.
1239.	Сколько кубометров досок нужно для устройства сплош-
ного забора вокруг прямоугольного участка, если длина участка
86 м, ширина 37 м. Толщина доски 2,5 см, ширина 16 см, а
длина 4,9 м. Высота забора
составляет 0,5 длины доски.
1240.	Выполнить дейст-
вия над приближенными
числами (в целых числах ну-
ли справа—незначащие циф-
ры):
1)	350-271 + 291-540 —
-437400:240;
2)	243 700:570 +
+ 290-370 + 305-490;
3)	0,42-7,32+ 3,4:0,72;
4)	289,2:21 — 34,28:32,4;
Рис, 123.
\|	5) 0,51 +(4,3:9,01 —0,0728).2,4;
\|	6) 12,4: (0,84-0,941 +0,7592:0,738);
	7) 6,24.8 — 34:2,8 — 0,423;
J 8) (3,4—1,289) : (12,4 —0,981);
/	9) 5,4-(5,5 : 270 + 0,31 : 7,29);
.	у 10) (8,04 + 2,4-3,61 —0,5).(3,1 —0,72*0,92).
1241, 1) В первой бригаде колхоза была
засеяно сахарной свеклой 202 га, а во вто-
Рис. 124.	рой бригаде 98 га. Средний урожай с 1 га
составил в первой бригаде 230,2 ц, а во вто-
рой 272 ц. Сколько всего получено свеклы?
2)	В колхозе два участка орошаемой земли общей площадью
62,5 га засеяны рисом. Собрано риса с участка площадью 29,0 га
по 43,6 ц с 1 га, а с другого участка по 51,4 ц с 1 га. Вычис-
лить средний урожай риса с 1 га.
1242.	Сколько кубических метров раствора пойдет на наруж-
ную штукатурку стен здания длиной 52,7 му шириной 12,5 м и
высотой 12,8 м? Площадь окон и дверей составляет 142 кв. м.
На 1 кв. м стены расходуется 0,035 куб. м раствора.
1243.	Поезд за 2,4 часа прошел 153,4 км. До конечной стан-
ции ему осталось идти 546,6 км. Сколько времени поезд затра-
тит на весь рейс?
1244.	Из Москвы отправились 2 поезда: один в Горький со
средней скоростью 72,4 км в час, а другой в Новосибирск со
средней скоростью 80,5 км в час. Расстояние по железной доро-
ге от Москвы до Горького 439 км, а от Москвы до Новосибирска
3191 км. На сколько часов дольше будет в пути поезд, идущий
в Новосибирск?
1245.	Два железнодорожных состава перевозят руду. В пер-
вом составе 45 платформ, а средняя нагрузка на платформу со-
ставляет 16,4 /и; во втором составе 42 платформы со средней
нагрузкой 17,6 tn. Сколько тонн руды перевезли оба состава
вместе?
1246.	Отношение длины окружности к ее диаметру прибли-
женно равно 3,14, а диаметр равен 5,7 см (рис. 124). Вычислить
длину окружности. На сколько она меньше, чем периметр квад-
рата со стороной, равной диаметру?
1247.	1) Некоторое количество воды один насос может отка-
чать за 17 час., а другой за 15 час. За какое время откачают это
количество воды оба насоса, работая одновременно?
2) Одна бригада может выполнить некоторую работу за 12
дней, другая за 10 дней и третья за 11 дней. За какое время
все три бригады, работая совместно, выполнят эту работу?
348
1248. Вычислить точное и приближенное значения (с точно-
стью до 0,01):
1) з4-24;	3) 0,48:-^;
2) 51; 2^-;	4) 1,58-1^-.
Найти абсолютную погрешность каждого вычисления.
1249. Контрольное задание.
1. Выполнить действия над приближенными числами:
1) 32,47-0,12;	2) 14,8 — 3,98 + 4,796.
2. Мраморная плита имеет размеры: 2,41 мХ.0,62 м X 1,40 м.
Вычислить ее вес, если 1 куб. м мрамора весит 2,6 т.
1250. Контрольное задание.
1. Выполнить действия над приближенными числами:
1) 5,7:0,3729;	2) 12,7 + 3,95 — 1,479.
2. Кирпичная стена дома имеет размеры: 12,42 лХ 0,51 л<Х
X 15,48 м.
Вычислить ее вес, если 1 к.уб. м кирпичной кладки весит
1,52 т.	_______
1251. Ниже приведены две записи умножения приближенных
чисел: обычная (слева) и сокращенная (справа):
V 4’19
х 7,33
2933
126
13
30,7	30,7 •
При сокращенной записи умножение начинают с высших разря-
дов множителя и сразу округляют полученные произведения.
Вычислить сокращенным способом произведения:
1) 241-399;	2) 0,43-2,79;	3) 2,47-0,985.
1252. Вычислить с точностью до 0,001:
1)	0,(21)+5,2(13);	4) 7,3 (2)-0,0 (5);
2)	2,3 (15) — 2, (1);	5) 2, (32): 0, (3);
3)	0, (4) • 0, (82);	6) 0,4(7) : 0,0 (35).
1253.	Размеры кирпича 26 см, 13 см и 6,5 см. Известь при
кирпичной кладке занимает 10% объема кирпича. Сколько по-
требуется кирпича для постройки четырех стен здания размерами
6,6 м, 5,4 м, 4,5 м, если толщина каждой стены 0,43 л»?
X4’19
7,33
1257
1257
2933
30,7127
VIII. ПРОЦЕНТЫ
14^ ПОНЯТИЕ О ПРОЦЕНТЕ.
Процентом называется одна сотая. Процент обозначается зна-
ком % (§ 105).
При изучении десятичных дробей были рассмотрены некото-
рые задачи на проценты. В этих задачах мы имели дело только
с целым числом процентов. Но число процентов может быть и
дробным.
В § 105 был указан способ выражения целого числа процен-
тов в виде натурального или дробного числа. Покажем, что этот
способ пригоден и для дробного числа процентов. Например, вы-
разим 1,5% дробью.
Очевидно, что 1,5% = 1 % - 1,5, но 1% =0,01, следовательно,
1,5% = 0,01-1,5 = 0,015.
Рассуждая таким же образом, можно записать, что
0,38% = 0,01-0,38 - 0,0038;	252,4% = 0,01-252,4 - 2,524;
_1_ % = _L. _L = J_.	2 — % = -1 -	= —
3	100	3	300’	4	100	4	400 ’
Следовательно, чтобы любое число процентов выразить нату-
ральным или дробным числом, достаточно одну сотую умножить
на число процентов.
Вообще, п% =0,01 -л, где п — любое число.
Ранее было показано, что целым числом процентов можно вы-
разить любое целое число, а также десятичную дробь со знаме-
нателем 10 и 100 (§ 105).
350
Пользуясь дробным числом процентов, можно любое число
выразить в процентах точно или приближенно. Для этого надо
100
помнить, что 1 = jog — 100%, тогда, например:
2=1-2 = 100% -2 = 200% ;
5 = 1-5 = 100%-5 = 500%;
0,009 = 1 -0,009 = 100% -0,009 = 0,9%;
0,0583 = 1-0,0583 = 100%-0,0583 = 5,83% «5,8%;
1-L = 1 • 1 4- = 100% • 14- = 183 4- % 183,7 %.
6	6	6	3
Из примеров следует, что для выражения числа в процентах
достаточно 100% умножить на данное число.
Используя это правило, следует записывать вычисления короче:
0,0583 - 100% -0,0583 = 5,83%.
4 = 100% • А = 71-4 % ~ 71>4%-
При приближенном выражении число процентов обычно ок-
ругляют до 0,1% и реже до 0,01%.
Задание 99.
1. Выразить данное число процентов натуральным числом или
дробью: 4%; 175%; 5,4%; 0,079%;	2-|-0/о-
2. Следующие числа выразить в процентах (точно или прибли-
женно): 4; 0,38; 0,025; 2,512; 4; 14; 14-
Упражнения.			
1254. Выразить десятичными дробями:			
1) 7%; 1	4) 112%; ' '	7) 83,6%;	10) 0,3%;
2) 30%;	5) 250%;	8) 126,3%;	11) 2,25%;
3) 99%;	6) 7,5%;	9) 352,5%;	12) 0,07%.
1255. Выразить обыкновенными несократимыми дробями:			
1) 5%;	5) 125%;	9) 327,2%;	12) 40 4 %;
2) 12%;	6) 200%;	ю) 4%;	7	6	* 1
3) 75%;	7) 12,5%;	f 15 к	13) 89 4%;
4) 90%;	8) 84,4%;	11) 5-4- %;	
		'	У	14) 116-4 %•
351
1256. Выразить в процентах:
1) 0,35; 2) 0,03; 3) 0,78;	4) 1,8; 5) 1,42; 6) 5,03;	7) 0,515; 8) 0,0234;	9) 1,111; 10) 3,0035.
1257. Выразить в процентах:			
‘>4:	4) 4;	7) — • >	20 ’	10)5А;
2) 4;	5) 1^	8)	1000
4-	6)1-1;	9) 14 =	12) 2-j-.
1258. Выразить в процентах (с точностью до 0,1%) следую-				
щие дроби:				
1) -3-;	5 4) 12 ’	7)254;	9)	о 9 . 8 35 ’
2) 4;	11 . 5)	18 ’	8)	Ю)	Ю-г • О
3) 4;	6)2-1-;			
1259. Пользуясь понятием процента, выразить следующие дан-
ные по Советскому Союзу:
1)	В 1961 г. выработано электроэнергии в 160 раз больше,
чем в 1913 г.
2)	В 1961 г. машиностроительная и металлообрабатывающая
промышленность выпустила продукции в 350 раз больше, чем в
1913 г.
3)	Реальная заработная плата рабочих увеличилась за 44 года
Советской власти в 5,8 раза.
4)	Грамотные составляли в 1920 г. взрослого населения
4
страны, в 1939 г. , в настоящее время СССР—страна сплош-
О
ной грамотности.
14S. НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЧИСЛА.
В § 106 была рассмотрена первая основная задача на
проценты: найти несколько процентов числа. Решение
ее сводится к нахождению дроби числа.
Задача 1. Сберегательная касса платит 2% годовых. Сколь-
ко процентных денег принесет вклад в 300 руб. через 8 месяцев?
352
2
Решение. 8 месяцев составляет года, следовательно,
О
2	1
процентные деньги составят: 2% • -у или 1 -у % от 300 руб.
Так как 1 -4-% = -Дтг • 1 -4- = -Л-. то для решения задачи до-
d	НИ) *1 /о
статочно найти от 300 руб.
75
300-	-^г- = 4 (рубля).
Другой прием нахождения процентов числа заключается в вы-
числении сначала 1 % от числа, а затем требуемого числа про-
центов. Этот способ часто применяют при устных вычислениях.
Задача 2. Найти 2,5% от 40 руб.
Решение. 1 % от 40 руб. составляет 40 коп., а Ц- % со-
ставляет 20 коп., следовательно, 2,5% от 40 руб. равны 100 коп.,
или 1 рублю.
Задание 100.
1.	Вычислить устно:
1)	1% от 160 руб.; 2) 5% от 400 м; 3) 1,25% от 200 м.
2.	Найти 3,6% от 735 руб.	4
3.	Совхоз должен был сдать 412 400 ц зерна. Он выполнил
план на 103,4%. Сколько зерна сверх плана он сдал государству?
Упражнения.
1260.	Найти:
1)	6% от 50;	9)	128% от 76;
2)	14% от 525;	10)	325% от 8,8;
3)	9% от 20,4;	11)	100,7% от 12 000;
4)	80% от 37,5;	12)	120,2% от 56 100;
5)	1,5 % от 36;	13) 4% от 33;
6)	0,5% от 4,8;	14) 16-|- % от 56;
7)	16,4% от 62,5; 15)33-4% от 72,3;
8)	3,25% от 400;	16) 150	% от 6000.
1261.	Найти 2%; 8%; 21%; 30,5%; 124% от 60.
1262.	Найти 87,5% от 4; 40; 120; 88; 104.
12 Заказ № 316
353
1263.	Найти:
1)	12% от 25 руб.;
2)	65% от 46 кг;
3)	22% от 420 руб. 50 коп.;
4)	111 % от 8 млрд, пудов;
5)	1,8% от 1650 л;
6)	0,4% от 220 млн. чел.;
7)	14,3% от 12 600 га;
8)	14-|-% от 1470 км;
9)	5% от 60%;
10)	4% от 4%
1264.	Один метр ткани стоит 2 руб. 40 коп. Сколько он бу-
дет стоить после снижения цены на 15%?
1265.	Сберегательная касса платит 2% годовых. В какую сум-
му превратится вклад в 750 руб. через 1 год? через два года?
1266.	Рабочий, уходящий на пенсию, имел среднемесячный зара-
боток 124 руб. По закону о государственных пенсиях, его пенсия
должна составлять 55% от месячного оклада, кроме того, за непре-
рывность стажа прибавляется 10% от пенсии. Сколько рублей
будет получать пенсионер в месяц? (Ответ округлить до 1 руб.)
3
1267.	Стандартизованное молоко содержит 3 — % жира (по
весу). Сколько жира содержится в 840 кг молока?
1268.	. При перевозке зерна по железной дороге на расстояние
1000—2000 км допускаются потери зерна в 0,15%. Вычислить
допустимые потери в килограммах при транспортировке 750 т
зерна.
1269.	Сплав содержит 12% сурьмы, 6,5% меди, а остальное1
олово. Сколько нужно взять каждого металла для получения
40 кг сплава?
Рис. 125
1270.	Водоупорный казеино-
вый клей содержит 22,2% казеи-
на, 33,3% нашатырного спирта,
остальное вода. Сколько ка-
зеина, нашатырного спирта и
воды нужно взять для приго-
товления 500 г клея? (Ответ
округлить до 1 г.)
1271 Производство зерна в
СССР в 1961 г. возросло на
67,2?о по сравнению с уров-
нем 1953 г., когда было про-
изведено 5036 млн. пудов.
Сколько зерна было произведе-
но в 1961 г.?
1272.	В СССР имеется 7* 102 млн. га леса. Из этого количест-
ва занято лиственницей 35,6%, сосновыми лесами 12,6%, еловы-
ми 9,7%, березовыми 7%, дубовыми 0,7%. Сколько гектаров
леса каждого из указанных видов находится в СССР?
1273.	Рис содержит 74,5% углеводов, 5,8% белков, 0,8% жи-
ра. Сколько жира, белка, углеводов содержится в 3 кг риса?
1274.	Площадь островов Новая Земля составляет 82,6 тыс.
кв. км, площадь острова Сахалин равна 93,2% этой площади, а
площадь Курильских островов равна 20,3 % площади острова Са-
халин. Чему равна общая площадь острова Сахалин и Курильских
островов?
1275.	Царь-колокол (рис. 125), находящийся в Московском
Кремле, содержит 84,5% меди, 13,2% олова, 1,3*% серы и
1,0% цинка. Вычислить, сколько каждого из указанных веществ
содержится в колоколе, если он весит 200(±10)/п.
1276.	Среднее содержание жира в коровьем молоке составляет
3,7%. На сколько увеличилось бы количество жира в годовом
удое'со стада в 400 голов, если бы жирность молока была рав-
на 5,2%? Годовой удой одной коровы принять за 3000 кг.
1277.	Месячная норма штамповщика 650 т деталей, сдельная
расценка —16 коп. за 1 т. Штамповщик перевыполнил норму на
12,5%. Сколько он заработал за месяц?
1278.	1) Фотоаппарат стоит 25 руб. 40 коп. Эта цена была
снижена на 15%, а через некоторое время новая цена была сни-
жена на 12%. Сколько стоит фотоаппарат после второго сниже-
ния цены?
2)	Цена на товар снижалась два раза: сначала на 20%, а но-
вая цена снижена на 25%. Сколько процентов от первоначаль-
ной цены составляет цена товара после второго снижения?
§14^ НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ПРОЦЕНТАМ.
В § 107 была рассмотрена вторая основная задача на
проценты*, найти число, если известно несколько его
процентов. Эта задача сводится к нахождению числа
по его дроби.
2
Задача 1. В медной руде содержится 2-^-% меди. Сколь-
ко нужно добыть руды, чтобы получить 4 m меди?
Решение. 1) 2 А % = 0,01 - 2 А = -X = 4;
о	a oUU /о
2) 4 :	= 150 (т)
12*
355
Другой прием нахождения числа по его процентам заключа-
ется в вычислении 1 % от числа, а затем всего числа, которое
принимается за 1 или за 100%.
Задача 2. Найти число, если 0,2% его равны 50 м.
Решение. Если 0,2%, или -i- % числа, равны 50 м, то 1%
его равен 50-5 = 250 (м). Все число составляет 100%, следова-
тельно, оно равно:
250-100 = 25000 (м) = 25 км.
В жизни, на практике, задачи на процентные вычисления час-
то связаны с округлением чисел и с приближенными вычислени-
ями.
Задача 3. Вычислить 23% от 60 руб. 75 коп.
Решение. 23% =0,23; 60 руб. 75 коп. = 60,75 руб.
Следовательно, 23% от 60 руб. 75 коп. равны:
60,75-0,23 = 13,9725 (руб.) 13 руб. 97 коп.
Результат, очевидно, следует округлить, отбросив 0,25 коп.
В этой задаче предполагалось, что 23% от 60,75 руб. — чис-
ла точные. Однако нередко данные числа являются приближен-
ными.
Задача 4. За несколько дней уборки свеклы оказалось, что
убрали 36,8 га, или 27,2%, планового задания. Сколько гектаров
составляло плановое задание?
В этой задаче оба числа приближенные: 36,8 га получено пу-
тем измерения, а число процентов вычислено приближенно. Сле-
довательно, при решении задачи надо применить правило деления
приближенных чисел.
Решение. 36,8:0,272 ^132 (га).
Замечание. В этой главе и в следующих главах при ре-
шении задач следует применять правила приближенных вычисле-
ний, если известно, что в задаче даны приближенные числа.
Задание 101.
1.	Найти число, если 4,3% его составляю? 215 кв. м.
2.	Фабрика выполнила план на 147% и выпустила 735 000 пар
обуви. Сколько пар обуви предполагалось выпустить по плану?
3.	Вычислить х, если 11,4% его составляют 62 кг (данные
выражены приближенными числами).
Упражнения.
1279.	Найти число, если:
1)	15% его составляют 330;	2) 7% его составляют 9,1;
356
2
3)	123% его составляют 86,1; 6) 15% его составляют 564 ;
з
4)	5,4% его составляют 27; 7) 4 -g-% его составляют 22,5;
2
5)	63,7% его составляют 700,7; 8) 22,5% его составляют 964—.
1280.	От каких чисел 18 составляет 1%; 3%; 4,5%; 25%;
50%; 150%?
1281.	От каких чисел 1,2 составляет 2%; 8,4%; 16,8%; 120096?
1282.	Найти число, если:
1)	3% его составляют 36 коп.;
2)	85% его составляют 510 руб.;
3)	7,2% его составляют 21 руб. 60 коп.;
4)	1 --- % его составляют 7,5 руб.;
5)	13% его составляют 156 га;
6)	115?6 его составляют 2,3 млн. т;
7)	34% его составляют 1020 га;
у
8)	6,7 % его составляют 5-|уЛ(.
1283.	За перевыполнение нормы рабочий получил в месяц
сверх зарплаты 17 руб. 10 коп., что составило 18% его месячно-
го оклада. Сколько заработал рабочий за месяц?
1284.	Вкладчик сберкассы (внес некоторую сумму сроком на
один год и через год получил 576 руб. 80 коп. Какова была
сумма вклада, если известно, что по срочным вкладам сберкасса
платит 3% годовых?
1285.	Вкладчик внес 1 июля в сберкассу некоторую сумму.
Через полгода ему начислили 9 руб. 50 коп. процентных денег
(из расчета 2% годовых). В какую сумму превратится вклад еще
через год?
1286.	Производство радиоприемников и телевизоров в СССР
увеличилось в 1962 г. по сравнению с 1958 г. на 1538 тыс.
штук, или на 31,5%. Вычислить число радиоприемников и теле-
визоров, произведенных в СССР в 1958 г. и в 1962 г.
1287.	В 1961 г. в СССР произведено цемента на 28,4 млн. т
больше, чем в 1955 г. В процентах прирост производства цемента
составил 126%. Выразить в миллионах тонн производство цемен-
та в 1955 г. и в 1961 г.
1288.	Производство шерстяных тканей в СССР составило в
1962 г. 131 % по сравнению с производством этих тканей в США.
Известно, что в США произведено на 86 млн. м шерстяных тка-
ней меньше, чем в СССР. Выразить в миллионах метров произ-
водство шерстяных тканей в СССР и США в 1962 г.
357
1289.	Рыболовное судно за сезон выловило 9570 ц рыбы, пе-
ревыполнив план на 12,6%. Другое судно такой же план недо-
выполнило на 5,8%. Сколько рыбы выловило второе судно?
1290,	Мясо теряет при варке около 35% своего веса. Сколько
нужно взять сырого мяса, чтобы получить 1 кг вареного?
1291.	При сушке картофель теряет 85,7% своего веса. Сколь-
ко нужно взять сырого картофеля, чтобы получить 71,5 т гото-
вой продукции?
1292.	Ржаная мука дает 40% припека, а пшеничная 35%.
Сколько нужно муки для выпечки 1 т ржаного хлеба и 1 т
пшеничного хлеба? (Ответ с точностью до 10 кг.)
1293.	При переработке пшеницы можно получить 80% муки,
2% манной крупы и 18% кормовых отходов. Сколько надо взять
пшеницы, чтобы при переработке получить 200 кг муки? Сколько
при этом получится манной крупы и кормовых отходов?
1294.	25% участка земли засеяно рожью, 35% кукурузой, ос-
тальное пшеницей. Под пшеницей было на 297 га больше, чем
под кукурузой. Найти площадь всего участка.
1295.	Цена на товар снижалась 2 раза: сначала на 10%, а потом
еще на 6,5% (по отношению к новой цене), после чего 1 кг товара
стал стоить 1 руб. 71 коп. Какова первоначальная цена товара?
1296.	На заводе 35% всех рабочих составляли женщины, 58‘%
мужчины, остальные 98 человек были подростки-ученики. Сколь-
ко было мужчин и женщин среди взрослых рабочих?
1297.	Купили 20 м сатина по 1 руб. 60 коп. за метр, а сит-
ца купили на 55% больше, чем сатина. Сколько заплатили за
всю покупку, если цена сатина выше цены ситца на 33%?
1298.	За рационализаторское предложение рабочий получил
премию. 60% ее он израсходовал на покупку костюма, 16% на
покупку туфель, 6% на покупку книг, а на остальные деньги он
купил 4,5 м материи по 6 руб. за метр. Сколько рублей состави-
ла премия? Сколько рабочий истратил на книги?
1299.	Контрольное задание.
1.	При покупке в кредит мотороллера уплачено наличными
120 руб., что составило 37,5% его стоимости. Остальная сумма
была выплачена равными долями в 4 месяца. При этом сделана
наценка в размере 1 % стоимости мотороллера. Сколько выпла-
чивали каждый месяц?
2.	Найти 5-у % от 82,5
2
3.	Найти число, 252% которого составляют 50
35Ъ
1300.	После того как от числа отняли 10%, затем 25% ос-
татка и еще 20% следующего остатка, осталось 18,9. Найти это
число.
1301.	Цена на товар сначала была снижена на 20%, затем
повышена на 20%. Осталась ли прежней цена товара?
1302.	Рыболовецкий колхоз получил на приобретение обору-
дования ссуду в 2500 руб. от двух учреждений: от одного по
5% годовых, а от другого по 7%; всего за год колхоз уплатил
155 руб. процентных денег. Сколько денег взято у каждого уч-
реждения?
1303.	В банк, платящий 1,5'% годовых, положена сумма
2400 руб. В какую сумму обратятся эти деньги через 1 месяц;
через два месяца 10 дней; через 11 месяцев 5 дней; через 1 год
и 4 месяца? (1 год принимается в таких расчетах равным 360
дням, а месяц — 30 дням)
ПРОЦЕНТНОЕ ОТНОШЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ.
Отношение чисел выражается натуральным или дробным чис-
лом. Известно, что всякое натуральное или дробное число мож-
но выразить в процентах, а поэтому и отношение двух чисел
можно выразить в процентах.
Определение. Процентным отношением двух чисел
называется их отношение, выраженное в процентах.
Процентное отношение первого числа ко второму показывает,
сколько процентов (сотых) составляет первое число от вто-
рого числа.
Процентным отношением очень широко пользуются на прак-
тике. Рассмотрим несколько задач на процентные отношения.
Задача 1. Колхоз получил 18 ц пшеницы с 1 га, а насле-
дующий год урожайность с 1 га увеличилась на 3 ц, На сколь-
ко процентов повысилась урожайность?
Решение. Для решения задачи надо найти отношение 3 ц
к 18 ц и выразить это отношение в процентах:
3-: 18 = 4- = 100% • 4- = 1б4- % ~ 17%.
о	о	3
урожайность увеличилась примерно на 17%.
Задача 2. По плану цех завода должен был изготовить
20 000 запасных частей к тракторам; благодаря повышению про-
изводительности труда цех за это время выпустил 24000 запас-
ных частей. Каков процент выполнения плана?
859
Решение. Надо найти отношение количества выпущенных
деталей к количеству их по плану и выразить отношение в про-
центах:
24 000:20 000 = 4- = 100 % •	= 120% .
О	5
План выполнен на 120%.
Вычисление процентного отношения можно записывать и
иначе:
3: 18 = -^-% = 16-|-%;
24 000 : 20 000 = -422L’4 % =120%.
zvvUU
В задачах на процентное отношение обычно ставится вопрос:
сколько процентов составляет значение одной величины от значе-
ния другой величины? Значение первой величины должно быть
предыдущим членом отношения. Значение второй величины, ко-
торое принимается за единицу или за 100%, должно быть последу-
ющим членом отношения.
Пример. Улов рыбы в СССР в 1955 г. составлял 2,7 млн. т,
а в 1961 г. 3,7 млн. /п. Сколько процентов составил улов
1961 г. от улова 1955 г.? Сколько процентов составил улов
1955 г. от улова 1961 г.?
В первом случае предыдущим членом отношения нужно счи-
тать 3,7 млн. ту а последующим 2,7 млн. /п, во втором слу-
чае наоборот.
Улов 1961 г. составил:	% ~ 140% улова 1955 г.
Улов 1955 г. составил:	%	73% улова 1961 г.
Задание 102.
1.	Из 327 га вспахано 225 га. Сколько процентов вспахано?
Сколько процентов осталось вспахать?
2.	Рабочий выполнил 3 нормы. Сколько процентов они сос-
тавляют? На сколько процентов перевыполнил рабочий свою
норму?
3.	Из 135 посеянных семян взошли 107 семян. Найти процент
всхожести. Под процентом всхожести разумеется процентное от-
ношение числа семян, которые взошли, к общему количеству
посеянных семян.
4.	Что называется процентным отношением двух чисел?
360
Упражнения.
1304.	Выразить в процентах отношение чисел:
1) 2 :5;	5) 15:2;	9) 13:7;	13) 2,5 :1,75;
2) 3:4;	6) 1:6;	10) 52: 11;	14) 8,1 : 10,2;
3) 7:20;	7) 3:14;	И) JL.JL. 4 5	6’	15)	: 0,28;
4) 8: 5;	8) 9:80;	12) 5-f-: бА;	16) 5,5:6 -4- О
1305.	Выразить в процентах (с точностью до ОД %) отноше-
ние чисел и их обратное отношение:
1)17:19; 2) 30:27,2; 3)0,41:0,42;	4)-^-:-^-.
1306.	Найти процентное отношение:
1)	1 кг к 5 кг;	5)	14 руб. к	32 руб.;
2)	5 кг к 1 кг;	6)	5	руб. 20	коп. к	130 руб.;
3)	7,5 т к 12 т;	7)	5	м к 2 км;
4)	12 т к 7,5 т;	8)	1	сек. к 1	часу.
1307.	Вычислить процентное отношение с точностью до 0,1%;
1)	18 руб. к 57 руб.; 4) 170 кв. м к 1 га;
з
2)	25 коп. к 17 руб.; 5)3-^-тыс. т к 14 тыс. т;
3)	2 кг к 850 г; 6) 0,39 м : дм.
1308.	В классе 23 ученика и 15 учениц. Вычислить с точнос-
тью до 0,1% : 1) сколько процентов составляет отдельно число
учеников и число учениц от общего числа учащихся в классе;
2) каково отношение числа учеников к числу учениц, выражен-
ное в процентах.
1309.	Произвести такой же подсчет для вашего класса.
1310.	Из 2004 человек, занесенных в список избирателей, при-
няло участие в голосовании 1998 человек, из них за выдвинутых
кандидатов голосовало 1990 человек. Вычислить с точностью до
0,01 % процент избирателей, принявших участие в голосовании, и
процент избирателей, голосовавших за кандидатов.
Указание. Во втором случае последующий член отношения
равен числу избирателей, принявших участие в голосовании.
1311.	В связи с повышением разряда рабочий стал вместо
75 руб. получать 80 руб. в месяц. На сколько процентов увели-
чилась его зарплата?
361
1312.	В прошлом году в колхозе на 1 ц зерна затрачивалось
1,45 трудодня, а в этом году 0,96 трудодня. На сколько процен-
тов понизилась затрата трудодней на 1 ц зерна?
1313.	Грузоподъемность автомашины «ЯАЗ-200» равна 7 т. а
«ГАЗ-51» 2 т 500 кг. На сколько процентов грузоподъемность
одной машины «ЯАЗ-200» больше грузоподъемности двух машин
«ГАЗ-51»? .
1314.	Составить таблицу роста производства стали в СССР
(с точностью до 0,1%), используя следующее данные.
Г оды	Производ- ство стали в млн. т	В % к уровню 1913 г.	В % к предшест- вующему уровню
1913	4,2		
1928	4,3		
1950	27,3		
1955	45,2		
1963	80,2		
Продолжить эту таблицу, используя новые данные.
1315.	Составить таблицу роста продукции сельского хозяйства
в СССР за 1953 —1961 гг. (с точностью до 0,1 %).
Произведено	1953 г	961 г	В % к уровню 1953 г.
Зерно 	 Мясо (в убойном весе) . . Молоко	 Яйцо	 Сахар (из сахарной свеклы)	5036 млн. пуд. 5,8 млн. т 36,5 млн. т 16 млрд, шт. 3434 тыс. т	8423 млн. пуд. 8,7 млн. т 62,6млн. т 29 млрд, шт. 6085 тыс. т	
1316.	Для определения чистоты посевного материала взяли
две пробы по 50 г. В первой пробе было 0,8 г сора и 0,3 г по-
врежденных семян, а во второй 1,1 г сора и 0,4 г поврежденных
семян. Определить чистоту семян с точностью до 0,1%.
Указание. Нужно вычислить процент неповрежденных семян
в каждой пробе и взять среднее арифметическое найденных чисел.
1317.	Для определения влажности муки была взята проба ве-
сом 8,40 г и высушена, после чего ее вес оказался 7,35 г. Найти
процент влажности муки (до 0,1%).
1318.	Маслодельный завод принял 200 кг молока жирностью
3,5%, 250 кг жирностью 4,2% и 350 кг жирностью 4%. Все
362
это молоко смешали вместе. Вычислить процент содержания
жира в полученной смеси (до 0,1%).
1319.	Шахтер взял обязательство добывать ежемесячно уголь-
ным комбайном 16 тыс. т угля, а добыл за 3 месяца 53,16 тыс. т.
На сколько процентов в среднем он перевыполнил месячное за-
дание?
1320.	В 1961 г. задание семилетнего плана по прокату было пе-
ревыполнено на 3,9 млн. т\ общее количество проката в 1961 г,
составило 55,3 млн. т. На сколько процентов было перевыпол-
нено задание?
1321.	Чтобы найти процентное содержание перегноя в почве»
ученик взял две навески высушенной почвы: подзолистой 82,4 г,
чернозема 96,8 г. После прокаливания органические вещества
сгорели и вес стал равным 80,9 г и 87,3 г. Вычислить процент
содержания перегноя в той и другой почве.
1322.	Бетон содержит (по объему) 1 часть цемента, 2 части
песка и 4 части щебня. Сколько цемента, песка и щебня надо
взять для получения 200 куб. м бетона, если выход бетона со-
ставляет 63% от общего количества составляющих веществ?
1323.	3,5% первого числа составляет 175, а 6,2% другого
числа составляет 155. Сколько процентов составляет второе чи-
сло от первого числа?
1324.	Основание прямоугольника равно 20 м, высота состав-
ляет ЗО?о основания. Если основание увеличить на 25%, а вы-
соту уменьшить на 1096, то на сколько квадратных метров уве-
личится площадь прямоугольника?
1325.	Электронная счетная машина (рис. 126) заменяет труд
200 000 вычислителей. Найти процентное отношение произво-
дительности одного человека-вычислителя к производительности
электронной машины.
1326.	Ножные швей-
ные машины двух разных
марок до снижения цены
стоили 116,6 руб. и 122
руб.; после снижения обе
машины стоят по 100 руб.
На сколько процентов
снижена цена на машины
каждой марки? На сколь-
ко процентов в среднем
снижена цена на ножные
швейные машины?
Риг. 12Г.
1327.	Построить две прямоугольные диаграммы, показываю-
щие рост промышленного производства в странах социализма и в
капиталистических странах (в процентах к уровню 1937 г.) по
данным таблицы:
Годы	1937	1955	1957	1959	I960
Страны социализма .... Страны капитализма . . .	100 100	362 198	445 213	610 229	681 246
Продолжить эту таблицу, используя новые данные.
1328.	Построить три прямоугольные диаграммы, показываю-
щие план создания материально-технической базы коммунизма в
1960 —1980 гг. по данным таблицы:
	I960	1970	1980
Годы	данные выражены в процентах		
Валовая продукция промышленности	100	263	690
Производство средств производства	100	273	700
Производство предметов потребления	100	242	500
1329.	Построить секторную диаграмму процентного состава
мороженого «Эскимо», которое содержит 63,6% сливок, 18%
сахара, 3% сухого молока, 10% шоколадной глазури, 3% агара
и 2,4% питьевой воды.
1330.	Пользуясь данными предыдущей задачи, составить и
решить задачи на нахождение: 1) нескольких процентов числа;
2) числа по его процентам.
1331.	Построить секторную диаграмму распределения площа-
ди вашего пришкольного участка между различными сельскохо-
зяйственными культурами.
1332.	Используя данные предыдущей задачи, составить три
задачи различных видов на процентные вычисления.
§ 148^ ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ.
Абсолютная погрешность не дает возможности судить о ка-
честве измерения или вычисления.
Сравним два измерения длины:
1)	длина карандаша равна 17 см с точностью до 1 см;
2)	длина комнаты равна 9,63 м с точностью до 1 см.
364
Абсолютная погрешность того и другого измерения не пре-
вышает 1 см, но в первом измерении погрешность в 1 см допу-
щена на расстоянии примерно 17 см, а во втором случае на
расстоянии примерно 10 м.
Для сравнения качества того и другого измерения надо найти
отношения абсолютных погрешностей к приближенным числам и
сравнить эти отношения. В данном случае надо вычислить и срав-
нить отношения:
1) 1 см : 17 см и 2) 1 см : 9,63 лп
Относительной погрешностью называется отношение абсолют-
ной погрешности к приближенному значению. Относительная по-
грешность обычно выражается в процентах.
В первом измерении относительная погрешность равна;
1 : 17 = ~ % «6%.
Во втором измерении она равна:
1 см : 9,63 м = 0,01 Л:9,63л1 = ^% ^0,1%.
Уоо
Эта погрешность меньше, следовательно, качество измерения дли-
ны комнаты лучше по сравнению с качеством измерения длины
карандаша.
Чем меньше относительная погрешность, тем выше качество
измерения или вычисления.
Если известно точное значение величины, то относительную
погрешность можно вычислять как отношение абсолютной погреш-
ности к точному значению. Это отношение мало отличается от от-
ношения абсолютной погрешности к приближенному значению.
Пример. При измерении углов с общей вершиной получили,
что их сумма равна 362°, а точное значение этой суммы равно
2
360°. Абсолютная погрешность составляет 2°. Отношение »
2
«0,56%, а 362 «0,55%. Относительная погрешность равна «
«0,6%.
Задание 103.
I.	Измерили высоту заводской трубы с точностью до 0,1 м.
Она оказалась равной 32,4 м. Каковы абсолютная и относитель-
ная погрешности этого измерения?
2.	Измерили ширину листа бумаги с точностью до 1 мм, Ши-
рина равна 253 мм, Каковы абсолютная и относительная погреш-
ности этого измерения?
3.	Как вычисляется относительная погрешность?
365
Упражнения.
 1333. При взвешивании на торговых весах с точностью до 5 г
вес рыбы оказался равным 0,5 кг. Каковы абсолютная и относи-
тельная погрешности взвешивания?
1334.	Определите вес учебника арифметики, взяв его в руку,
а затем взвесьте учебник на весах. Вычислите абсолютную и от-
носительную погрешности, которые вы допустили, взвешивая кни-
гу без весов.
1335.	Термометр с делениями в 1° показал утром 12° тепла,
а в полдень 20°. Вычислите относительную погрешность каждого
измерения.
1336.	Высота горы, измеренная с точностью до 1 м, составила
1205 м, а высота дома, измеренная с точностью до 1 см, соста-
вила 853 см. Найти относительную погрешность каждого измере-
ния.
1337.	Измерив толщину листа железа с помощью измеритель-
ной линейки, нашли, что она равна 2 мм. Измерив ее штанген-
циркулем (рис. 127), получили 1,8 мм. Найти абсолютную и от-
носительную погрешности первого измерения, приняв результат
второго измерения за точное значение толщины.
1338.	Для нахождения расстояния было произведено 3 изме-
рения, их результаты: 226 м, 227 м и 230 м. Вычислить искомое
расстояние, абсолютную и относительную погрешности измерения.
Указание. За абсолютную погрешность принять среднее
арифметическое абсолютных погрешностей отдельных измерений.
1339.	Для нахождения угла между двумя направлениями на
местности произвели 2 измерения, их результаты: 36°25' и 36°35'.
Вычислить абсолютную и относительную погрешности измерения.
Использовать указание из предыдущей задачи.
1340.	Начертить треугольник, измерить его углы и найти их
сумму. Вычислить абсолютную и относительную погрешности
суммы углов. (Точное значение суммы равно 180°.)
Рис. 127
6 7 а 9 10 II 12 13 Н 13 О
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
НА ПРОЦЕНТЫ.
Каждая из основных задач на процентные вычисления реша-
ется по определенному правилу. При решении задач одного и того
же вида мы, применяя соответствующее правило, производим вы-
числения в одном и том же порядке. Это дает возможность со-
ставить формулу решения основной задачи данного типа, обозна-
чив данные числа и искомое число буквами.
1.	Составление формулы для решения первой основной задачи:
найти р% от числа п.
Решение. Так как 1 % = т™ , то р% =	. Следователь-
1 vU	IUU
но, искомое число х составляет:
р	р	пр
n ’ Too ’ т- е- Х = "-Тоо’ илих = Тоо-
Пример. Найти 2,4?6 от 30.
Решение. Так как р = 2,4 и п = 30, то
2.	Составление формулы для решения второй основной зада-
чи: найти число х, если р"Ь его равны числу т.
Решение. Известно, что р% =т£л- Задача сводится к на-
1 ии
хождению числа х, если его равны /и. Такая задача решает-
I ии
ся делением:
р	100/71
х~~ tn :	; выполнив его, получим, что х =--------
100	J	р
Например: найти число х, если 2,4% его составляют 30.
Решение. Так как р = 2,4 и гп = 30, то
100-30	10000 1ПгП
3.	Составление формулы для решения третьей основной зада-
чи: найти процентное отношение числа а к числу Ъ.
Решение. Задача сводится к выражению в процентах отно-
шения а : д. Отношение равно дроби -у-. Известно, что 1 = 100%,
а поэтому
4- = 1-4- = юо% • 4*
о	и	и
100а л/
~ъ~ '°
367
Следовательно, искомое процентное отношение
100а 0/
X = --г-- % •
О
Задача. Найти процентное содержание воды в семенах пше-
ницы, если в 157 г семян содержится 23,6 г влаги.
Решение. В этой задаче а = 23,6; 6 = 157. Следовательно,
100-23,6 0/	2360 0, IX по/
х = —— % = -тку- % ~ 15,0%.
157	15/
Замечание. Применяя эти формулы, не следует надеяться
только на свою память. В тех случаях, когда нет уверенности в
правильности выбора формулы, нужно провести те рассуждения,
с помощью которых получена эта формула.
Задание 104.
Пользуясь формулами, решить следующие задачи:
1)	Пройдено 3 км, что составляет 15% всего пути. Чему ра-
вен весь путь?
2)	Пройдено 4 км, весь путь равен 7 км. Сколько процентов
пути пройдено?
3)	Расстояние между двумя селами равно 8 км, пройдено 15%
этого расстояния. Сколько километров пройдено?
Упражнения.
Задачи № 1341—1346 решить, применяя формулы для про-
центных вычислений. Для каждой задачи, используя данные и
полученный ответ, составить другие основные задачи.
1341.	Кузнец отковал за смену 342 скобы, выполнив задание
на 114%. Сколько скоб составляло задание?
1342.	Содержание в зерне свыше 0,05% рожек спорыньи де-
лает зерно непригодным для употребления. В 0,5 кг зерна обна-
ружено 0,2 г спорыньи. Пригодно ли это зерно?
1343.	Зола составляет примерно 5% от веса дров. Сколько
получится золы при сжигании 1,42 т дров?
1344.	В 1 ц китовой печени содержится около 100 г витами-
на А. Сколько это составит процентов?
1345.	Расстояние от Москвы до Калининграда по железной до-
роге равно 1300 км, что составляет 14% расстояния от Москвы
до Владивостока. Найти это расстояние.
1346.	Месячное задание работницы чулочной фабрики состав-
ляет 2600 пар чулок. За неделю она выполнила 30,5% этого за-
дания. Сколько пар чулок связала работница за неделю?
368
1347.	Дюралюминий — сплав, который применяется для по-
стройки самолетов. Один из его сортов содержит 3,7% меди,
0,90% магния, 0,70% марганца и остальное алюминий. Сколько
потребуется каждого из металлов для приготовления 25 т этого
сплава?
1348.	Часы до снижения цены стоили 40 руб., а после сни-
жения 34 руб. На сколько процентов снижена цена?
1349.	В школьном питомнике выращено 11 500 саженцев. Из
этого количества 35% саженцев выделено для посадки вдоль
шоссе и озеленения завода. При этом число саженцев, передан-
ных заводу, составило 7-1-% того, что было высажено вдоль шос-
О
се. Сколько саженцев передано заводу?
1350.	Работница на питание, квартиру и т. п. за месяц из-
расходовала 48,6 руб., что составило 54% ее месячной зарплаты.
Из оставшихся денег 18 руб. она внесла на сберегательную книж-
ку, а на остальные деньги купила материи на платье. Какой про-
цент зарплаты составляет стоимость материи?
1351.	Колхозник купил в спортивном магазине велосипед и
охотничье ружье, заплатив за всю покупку 140 руб. Сколько
стоила каждая вещь в отдельности, если стоимость велосипеда
составила 75% стоимости ружья?
1352.	Спутник весил 510 кг. Вес последней ступени ракеты,
с помощью которой он был запущен, составляет 440% веса спут-
ника или 4,8% от общего веса многоступенчатой ракеты. Найти
общий вес ракеты.
Во сколько раз вес ракеты превосходит вес автомобиля «Мо-
сквич», если вес его равен 980 кг?
1353.	Чтобы получить 1 т чугуна, надо переработать 2—2,5 т
железной руды. Для выплавки 1 т меди требуется 70—100 т
руды, а для добычи 1 т радия надо переработать около 500 млн. т
руды. Сколько процентов составляет вес чугуна, меди и радия
от веса тех руд, из которых они получаются?
1354.	В 1913 г. в России на 1 жителя приходилось 205 кг
каменного угля, 66 кг нефти и 11 кг цемента. В 1961 г. на 1
жителя СССР приходилось примерно 2400 кг каменного угля,
760 кг нефти и 230 кг цемента. Выразить эти числа в процен-
тах по сравнению с соответствующими числами за 1913 г.
1355.	Выход сахара составляет 16% от веса переработанной
сахарной свеклы. Приняв суточную норму потребления сахара
равной 50 г на 1 человека, вычислить, сколько свеклы нужно
переработать, чтобы обеспечить на год сахаром вашу семью?
369
1356.	По расчетам семилетнего плана, в 1961 г. нужно было
получить 66,6 млн. т стали, а фактически произведено 70,7 млн. tn.
Вычислить с точностью до 0,1 процент перевыполнения плана.
1357.	Себестоимость изделия на заводе составляет 15 руб. 20 коп.,
в таблице указаны отдельные статьи расхода.
Наименование статьи	В про- центах	Руб.	Коп.
Материалы и электроэнергия Зарплата рабочим 	 Общезаводские расходы . . . Износ оборудования ....	68,5% 15% 9,5% 7%		
Вычислить с точностью до 1 коп. расход по каждой статье.
1358.	Себестоимость изделия, равная 52 руб. 48 коп., состоит
из: 26 руб. 12 коп. стоимости материала, 11 руб. 15 коп. зар-
платы рабочим и 15 руб. 21 коп. прочих издержек. Выразить с
точностью до 0,1% расход по каждой статье.
1359.	Основание прямоугольника 42,2 л, высота его 31,4 ль
Основание уменьшили на 7%, а высоту увеличили на 7%. На
сколько квадратных метров изменилась его площадь?
1360.	На склад прибыло 6 вагонов картофеля по 40,7 т в
каждом. Через некоторое время вес картофеля вследствие усушки
оказался равным 243 tn. Вычислить процент усушки (с точностью
до 0,1%).
1361.	Площадь треугольника равна 14,4 кв. дм, основание
равно 4,8 дм. Высоту треугольника увеличили на 20%, затем
уменьшили на 20 см. На сколько квадратных дециметров изме-
нилась площадь треугольника?
1362.	Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. На
сколько процентов увеличится периметр треугольника, если пер-
вую сторону увеличить на 25%, вторую на 30% и третью на 35%?
1363.	Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 дм,
4 Ли и 6 дм. На сколько увеличится объем параллелепипеда,
если каждое ребро увеличить на 50% ?
1364.	С участка земли колхоз снял 205,5 tn картофеля; 60%
этого картофеля было продано по 8 коп. за килограмм. Из по-
лученных денег 2589,3 руб. правление выделило на проведение
водопровода. Сколько процентов составляют деньги, выделенные на
проведение водопровода, от всех денег, полученных за картофель?
1365.	Совхоз планировал получить на участке в 24 га по 12 ц
семян свеклы с каждого гектара, на деле урожайность оказалась
370
на 25?® выше. За проданные семена совхоз получил 12 960 руб.
из расчета по 45 руб. за 1 ц. Сколько процентов собранных се-
мян продал совхоз?
1366.	I) Сумма двух чисел равна 244, одно из них составля-
ет 22 ?о другого. Найти эти числа.
2) Разность двух чисел равна 61, одно из них составляет
87,5% другого. Найти эти числа.
1367.	Цена на товар снижалась 2 раза: сначала на 20%, затем
на 10%. Сколько процентов от первоначальной цены составляет
цена его после второго снижения?
1368.	За два месяца швейная фабрика выпустила 770 мужских
костюмов, причем во второй месяц она сшила костюмов на 20%
больше, чем в первый. Сколько костюмов было сшито в каждый
из месяцев?
1369.	Территория трех союзных республик Закавказья: Гру-
зинской ССР, Армянской ССР и Азербайджанской ССР — со-
ставляет 187 тыс. кв. км. Территория Грузии на 133-^- % , а
территория Азербайджана на 190% больше территории Армении.
Какова территория каждой республики?
1370.	Отношение веса автомобиля марки «ЗИЛ» к весу авто-
мобиля марки «Чайка» равно отношению 103:78. Вес автомоби-
ля «Волга» составляет 74,9?® веса автомобиля «Чайка». Найти
вес автомобилей этих марок, если автомобиль «Чайка» легче ав-
томобиля «ЗИЛ» на 625 кг.
1371.	Начертить прямоугольную диаграмму продолжительно-
сти жизни некоторых растений (данные выражены в процентах):
Секвойя...........100%
Кипарис........... 60%
Тополь серебристый 20%
Сосна обыкновенная 12%
Ясень............. 10%
Береза ............ 5%
Рябина ...........1,6%
Найти продолжительность жизни каждого из указанных рас-
тений, если продолжительность жизни рябины составляет 80 лет.
1372.	Начертить прямоугольную диаграмму продолжительно-
сти жизни некоторых животных (данные выражены в процентах):
Щука..........100%
Попугай....... 50%
Слон ............... 27%
Страус ............. 13%
Речной рак	....	10%
Рыбка колюшка	.	.	1,7%
371
Найти продолжительность жизни каждого из указанных жи-
вотных, если продолжительность жизни колюшки составляет
5 лет (результаты округлить до одной значащей цифры).
1373.	Контрольное задание.
1.	За декаду колхоз должен был засеять по плану 1250 га,
а засеял 1370 га. Другой колхоз должен был за это же время
засеять на 4,8% больше первого, но он засеял на 10% больше,
чем засеял первый. На сколько процентов каждый из колхозов
перевыполнил декадный план сева?
2.	Измерив длину кузова автомашины «ГАЗ-51-Д», я получил
3 м и 3 см. За точное значение длины принимается 3070 мм
(размер, предусмотренный техническими расчетами). Каковы аб-
солютная и относительная погрешности измерения?
1374.	На какое время нужно положить в сберкассу 600 руб.,
чтобы, считая по 3% годовых, получить 613 руб. 50 коп.?
1375.	Какую сумму нужно положить в сберкассу, чтобы через
10 месяцев получить дохода 10 руб. (считая по 3% годовых).
1376.	За 5 шт. лимонов и 8 шт. апельсинов уплачено 4 руб.
45 коп. Сколько стоит каждый лимон и каждый апельсин, если
апельсин дороже лимона на 60%?
1377,	С двух участков площадью 15 га и 12 га собрано
7530 ц сахарной свеклы. Урожай с 1 га на первом участке со-
ставил 84% урожая с 1 га второго участка. Сколько свеклы со-
брано с каждого участка?
1378.	Вычислить 7% от 20%? а % от b °/о?
IX. ПРОПОРЦИИ. ПРЯМАЯ
И ОБРАТНАЯ
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
ВЕЛИЧИН.
§150. ОТНОШЕНИЕ ЧИСЕЛ. ЗАМЕНА ОТНОШЕНИЯ
ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ ОТНОШЕНИЕМ НАТУРАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ.
Отношением двух чисел называется частное от деления пер-
вого из этих чисел на второе (§ 118).
Отношением двух величин называется частное от деления их
числовых значений (§ 119).
Частное не изменяется, если делимое и делитель умножить
на одно и то же число (отличное от нуля). Вследствие этого
отношение не изменится, если предыдущий и последующий чле-
ны умножить на одно и то же число (кроме нуля).
На основании этого свойства можно отношение дробных чи-
сел заменить отношением целых чисел.
Примеры. 1)4-:-^- =	28 V (~ 28 1 = 21 :10;
r г '4	14	14 I \ 14 J
2)5: -|-=(5-3) :	' 3) = 15 ; 2'>
3) 1,4 : 1,25 = 140 : 125.
В последнем примере оба члена отношения умножили на 100.
При замене отношения дробных чисел отношением натураль-
ных чисел следует оба члена отношения умножить на их наи-
меньший общий знаменатель.
Задание 105.
1.	Найти отношения: 8 к 3; 4 к 12,4; 2 кг 100 г к 700 а.
2.	Найти неизвестный член отношения:
1)	х: 0,8 = 6,5;	2) 2 : х = 0,25.
3.	Заменить отношение дробей отношением натуральных
чисел:
1)4:4-; 3)14:24; 5)14:24-
' 5 о '5	4	'	3
2) 0,4 : 0,5;	4)	: 0,39;
373
Упражнения.
1379.	Найти отношения:
1)	13,5 м к 45 дм;	4) 144 кг к 7,2 ц;
2)	7,8 т к 1300 ц;	5) 5 лет 4 мес. к 15 дням;
3)	3 час. 45 мин. к 1,14 час.; 6) 1,2 кв. м к 1,5 кв. дм.
1380.	В I—IV классах 136 учащихся, aeV — VIII 198 уча-
щихся. Вычислить с точностью до 0,1 отношение первого числа
ко второму и обратное отношение.
1381.	В 1960 г. в СССР произведено зерна 8,20 млрд, пудов,
а в 1962 г. на 0,85 млрд, пудов больше. Вычислить отношение
количества зерна, произведенного в 1962 г., к количеству, про-
изведенному в 1960 г. Выразить это отношение в процентах
1382.	Найти неизвестный член отношения:
1)	х : 2,6 = 1	4) 0,54 ; х = 0,027; 7) х : -%- = 0,66;
1 о	4
2)	х :	= 2,4;	5) 0,1 : х = 0,0001; 8)2,56:x = l-|--
3)	х : 4 = 6,3;	6) 3,43 : х = 4,9;
1383. Заменить отношение дробных чисел отношением нату-
ральных чисел:		5) 71 ;	0,023;	9) 6-4:74;	12) 1.2:4-;
1)	5 . 7 6'6’				
2)	А-А. 7 *' 7 ’	6) 2: -	3 20 ’	Ю) 54:64;	13) 3 4 •• 4,5;
3)	0,9:0,4;	7) Ч	- : 5;	И) 4.0,24;	14) 6,26: 24
4)	2,52:0,31;	8> 4	_ 9 ' ; 35 ’		
§ 151. УПРОЩЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ.
Частное не изменится, если делимое и делитель разделить на
одно и то же число.
Вследствие этого отношение не изменится, если предыдущий
и последующий члены разделить на одно и то же число. На ос-
новании этого можно заменить отношение двух целых чисел от-
ношением взаимно простых чисел. Такое преобразование можно
назвать сокращением членов отношения.
Пример. 120 ; 48 = (120 : 6); (48 : 6) = 20 : 8 =
= (20 : 4) : (8 : 4) = 5 : 2.
374
Обычно сокращение членов отношения записывают короче, не
показывая, на что делят члены отношения. Предыдущий пример
следует записать так:
120:48 = 20:8 = 5:2
или еще короче:
120 : 48 = 5: 2,
разделив члены отношения на их общий делитель 24.
При сокращении членов отношения следует оба члена делить
на их общий делитель до тех пор, пока члены отношения не ока-
жутся взаимно простыми числами.
Чтобы упростить отношение чисел, сначала заменяют отноше-
ние дробных чисел отношением целых чисел, а затем, если воз-
можно, сокращают члены отношения.
Пример. 0,45 : 5,4 = 45 : 540 = 5 : 60 = 1 : 12.
Задание 106.
1.	Сократить члены отношения:
1)	36: 108;	2) 240:90.
2.	Упростить отношения:
2)4,8:0,15.
3.	Как упростить отношение?
Упражнения.
1384.	Сократить члены отношения (устно):
1)	12:8;	3) 7:35;	5) 15:20;
2)5:15;	4)22:11;	6) 100:1000.
1385.	Сократить члены отношения:
1)	64:120; 3) 108:72;	5) 189:105;	7) 143:78;
2)	55:605; 4)112:210; 6) 1200:720; 8) 209:88.
1386.	Упростить отношения:
1)	16: 1 —; 4) 9^: 4-^; 7) -3-34-;	9)3,25:-^-;
2)7-1-; 20; 5) 7,29:1,62;	8) 6-^-: 0,81; 10) 1:1,025.
ох 18 . 27	0,784 .
25 * 35 * °' 0,84 ’
375
1387.	Упростить отношения:
ИГ•’ -зГ : 3> 8’25 : 3’75> 5> 5 4 : 2-5: 7> 5 •* ТГ’
2)26:1А; 4) -L: 0.5;	8)4,02:6.
1388.	В прошлом году жители города получили 75 630 кв. м
жилплощади, а в этом году на 28 700 кв. м больше. Найти от-
ношение жилплощади, полученной в этом году, к жилплощади,
полученной в прошлом году.Выразить это отношение в процентах.
1389.	В 1961 г. в СССР произведено 8,7 млн. т мяса и 62,6
млн. tn молока. На 1980 г. намечено получить около 32 млн. т
мяса и около 175 млн. т молока. Выразить отношением намечен-
ный объем производства мяса и молока к производству в 1961 г.
Отношения вычислить с точностью до 0,1. Выразить их в про-
центах.
1390.	Найти неизвестное число х из отношения:
1)	2х:0,35 = 16; 3) 0,441 :1 х. = 4 ~; 5) 4“ *  -г = 4;
2)	7-^-: 5х = 1,3; 4) 6х : 11	= 0,18; 6) 5,2: 4-*=4--
У	У	О	о
1391. Расстояние между пунктами на местности равно 85 км,
а на карте 3,4 см. Найти числовой масштаб карты. Вычислить
расстояние на местности, если на карте оно равно 15,8 см.
ПРОПОРЦИЯ.
При изучении изменения величин часто пользуются отноше-
нием их числовых значений, сравнивают эти отношения, опреде-
ляют, какое из них меньше, какое больше. Отношения могут
оказаться и равными друг другу. Например, отношение 2 м : 5 см=
=200 : 5 = 40, отношение 14 км : 350 м = 14 : 0,35 = 40. Отношения
равны и, следовательно, можно записать: 2 м : 5 см = 14 км :
: 350 м или 200 : 5 = 14 : 0,35.
Такое равенство отношений называют пропорцией.
Определение. Пропорцией называется равенство
двух отношений..
Например, равенство
24:3 = 80:10	(1)
можно назвать пропорцией.
376
Пропорцию записывают и в таком виде:
21=21	Л)
С помощью букв пропорцию можно записать так:
а : b = с: d, или -т~ =	•	(2)
о а
Числа, составляющие пропорцию, называются членами пропор-
ции. Первый и последний члены называются крайними членами,
а второй и третий члены — средними членами.
В пропорции (1) крайние члены — 24 и 10, а средние члены —
3 и 80; в пропорции (2), записанной в буквенном виде, а и d—
крайние члены, b и с — средние члены.
Пропорцию читают так: а так относится к Ь, как с относит-
ся к d.
Этими словами указывается, что отношение чисел а и b рав-
но отношению чисел cud.
Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, вычисляют
величину каждого из отношений, входящих в пропорцию. Если
эти отношения не равны, то пропорция составлена неверно.
Пример. Пропорция 0,35 :	= 0,3 : 0,25 неверна, так как
о
0,35 : 2- = 1,05, а 0,3 : 0,25 = 1,2.
О
Задание 107.
1.	Из каких отношений:
1) 0,6:5;	2) 4,2:7;
з
3)	-^-.*6,25 можно составить пропорцию?
2.	Верно ли составлены пропорции:
1)	0,02 : 0,5 = 1 : 40; 3)	: 2 2- = 4-~: 66?
2)	0,02 : 0,5 = 1 : 25;
3.	Что называется пропорцией? Как называются числа, со-
ставляющие пропорцию?
Упражнения.
1392.	Вычислить отношения:
1)	0,125 к 0,25;	2) 1,3 к 2,6;	3) 10,5 к 5,25.
Составить пропорцию из этих отношений.
1393.	Записать пропорции:
1)	5 так относится к 3, как 2 относится к 1,2;
377
1	2
2)	0,9 так относится к -у-, как 45 относится к 16-у-;
2
3)	-у- так относится к 0,1, как 14 относится к 4,9.
Проверить эти пропорции.
1394.	Проверить пропорции:
1)	5: 2-|-= 3: 1 4-;	3) 1 ; 0,25 = 0,6 : 0,15;
о	О
2)	0,8 : 0,2 = 0,32 : 0,08; 4) 0,1 : 0,01 = 0,2 : 0,02.
1395.	Составить пропорции из таких чисел:
1)	2; 6; 4 и 12;	3) ±J 4 и ПТ :
2)	12; 1; 12 и 144; 4) 36; 3; 18 и 6.
1396.	Составить две такие пропорции, у которых крайними
членами будут числа 100 и 20.
1397.	Составить две такие пропорции, у которых каждый из
средних членов равен 18.
1398.	Составить две такие пропорции, у которых каждое из
отношений было бы равно 0,3.
5
1399.	Отношение двух чисел равно -у-. Найти эти числа,
если: 1) их сумма равна 16,28; 2) их разность равна 0,35.
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ.
^ПЕРЕСТАНОВКА ЧЛЕНОВ ПРОПОРЦИИ.
Напишем несколько пропорций:
1) 5:3 = 75:45;	3) 0,2 : А = 2,1 : 7.
2) 0,2: 0,3 = 14; 21;
Составим и вычислим произведение средних членов и произ-
ведение крайних членов для каждой из этих пропорций:
1)	5-45 = 225 и 3-75 = 225;
2)	0,2-21 = 4.2 и 0,3-14 = 4,2;
3)	0,2-7 = 1,4 и А • 2,1 = 1,4.
О
Из примеров можно сделать такой вывод: произведение
крайних кленов пропорции равно произведению ее сред-
них членов. Это свойство называют основным свойством
пропорции.
Докажем основное свойство для любой пропорции.
378
Пусть дана пропорция:
Если равные числа и ~ умножим на одно и то же чис-
ло bd, то получим также равные числа. Следовательно,
a l j с l j	«W cbd
— • bd = -~г • bd, или —— =	,
ba	ba
После сокращения дробей получим, что
ad = be.
Чтобы убедиться в том, что пропорция составлена верно,
достаточно проверить, равны ли произведения крайних и сред-
них членов. Если эти произведения равны, то пропорция состав-
лена верно.
2
Примеры. Пропорция 2,4:5 = 0,8: 1 -у верна, так как
2,4-14- = 4 и 5-0.8 = 4.
Пропорция 2,4 : 5 = 1 4-: 8 неверна, так как 2,4-8 = 19,2,
□
а 5-1 4-= 8-*-•
О	о
Пользуясь таким способом проверки пропорции, можно делать
перестановку членов данной пропорции.
Пусть дана, например, пропорция
15:6 = 0,5:0,2.
Если поменять местами крайние члены или средние члены,
то получим такие верные пропорции:
0,2:6 = 0,5:15; 15:0,5=6:0,2.
Если поставить крайние члены на место средних, а средние
на место крайних, то также получим верные пропорции:
6:15 = 0,2 : 0,5;	0,5 : 0,2 = 15:6.
С помощью перестановки членов пропорции можно составить
8 различных пропорций» включая данную пропорцию.
Задание 108-
2	4
1.	Проверить пропорцию 60 : 6-«- = 1 -г- • 0,2 двумя способами.
□	о
2.	В пропорции 24:3 = 1:—^- выполнить перестановку чле-
нов тремя способами.
3.	В чем заключается основное свойство пропорции? Записать
его для пропорции т : п — k: р.
379
Упражнения.
1400.	Проверить пропорции, находя произведения крайних и
средних членов:
1)	4 _1_ ; з J_ = 36 ; 28; 4) 0,35 : 0,6 - 0,105 : 0,18;
'24	'
2)	3: 7,5 = 2	6-^; 5) 2-^- :9 = 1 :3,9;
3)	18 : 3 = 30 : 5;	6) 15; 1,8 = 2,7 : 0,09.
1401.	Даны равенства:
1)	4-9-0,2-180;	3) 0,48• 0,5 = 0,6 0,4;
2)	0,3-0,2 -0,006-10;	4) 7 -±- •	= 1-|- - 3
Из каждого равенства составить пропорцию, применяя основ-
ное свойство пропорции. В каждой пропорции выполнить пере-
становку членов двумя способами.
1402.	Основания двух треугольников равны 12,4 см. Вычис-
лить их площади, если высоты равны 2,5 см и 7,5 см. Составить
отношение площадей и отношение высот треугольников. Можно
ли из этих отношений составить пропорцию? Записать эту про-
порцию.
1403.	Стороны одного треугольника равны 12 см, 15 см и
20 см, а другого 12 дм, 15 дм и 2 м. Вычислить периметры
треугольников. Составить отношение периметров и отношение
меньших сторон этих треугольников. Можно ли из этих отно-
шений составить пропорцию?
1404.	Площади оснований двух прямоугольных параллелепипе-
дов равны 240 кв.см, высоты их равны 1,5 дм и 2,5 дм. Вычислить
объемы параллелепипедов. Составить отношение объемов и отно-
шение высот этих параллелепипедов. Можно ли составить пропор-
цию из этих отношений?
1405.	Сторона одного квадрата равна 1,2 см, а другого
2,4 см. Вычислить периметры и площади квадратов. Составить
отношение сторон, отношение площадей и отношение перимет-
ров этих квадратов. Какие пары полученных отношений можно
взять для составления пропорции?
§154| НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ЧЛЕНА ПРОПОРЦИИ.
Используя основное свойство пропорции, можно найти неиз-
вестный член ее, если остальные 3 члена известны.
Найти х, если 0,5 : х = 2 : 13.
Чтобы решить это уравнение, используем основное свойство
и запишем:
 х.2 = 0,5-13.
Отсюда следует, что
0,5-13 о 1
х = —= 3Т-
Средний член пропорции равен произведению ее край-
них кленов, деленному на другой средний член.
Так же можно показать, что крайний член пропорции
равен произведению ее средних членов, деленному на
другой крайний член.
Если дана пропорция
а : Ь = с : d,
то эти выводы можно записать так:
. ad	ad f	.
Ъ = — и с = (для средних членов);
Ь с t Ь с /	и	\
а = -j- и а = — (для крайних членов).
Задание 109.
1. Вычислить неизвестный член пропорции:
1) 125.25=35 : х;	3) 9-^- : 14 -Ь = х : 0,75;
2) х : 15 = 1,456 : 1,05;	4) 0,3 : х =	: 3 Ц- •
2. Как можно вычислить неизвестный член пропорции?
Упражнения.
1406. Вычислить неизвестный член пропорции:
1)	х: 12 = 5:4;
2)	18:х = 6:35;
3)	15:2 = х: 8;
4)	100 : 13 = 10 : х;
г> 3	.7	.
5)	2 -g- : 1 f2 - 4 : х;
6)	9,36 ; 2,34 = х ; 1
О
7)	9 -1-: * = 14 : 12;
8)	8,75 : 3	= х : 4,2;
9)	х : 23 = 0.5 : 1,4;
10)х : 21 = 4,5 : 35;
11)0,6:0,25 = х : 3,7;
12) 13,5 :х = 12	4.
381
1407. Решить уравнения, используя правило о нахождении
неизвестного члена пропорции:
1)	Зх: 0,25 = 25,2: 5;
2)	0,5: 5 // = 4,2: 14;
3)	~х:5 = 16:0,8;
4)	12,3 : 6 = 7 х : 4,2;
5)	5,1 :8Ц- =6х:0,3;
6)	0,2 :4х = ± :2^;
7)4-:34- = 1-1-:8х;
8)	~^-х:5 = 20: 1,6;
9)	24 .-0,08 = 1
о	У о
10)	0,01 : 10 X = 10:
ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
Наблюдая различные величины, с которыми мы встречаемся
в жизни, можно заметить, что многие из них изменяются. На-
пример, изменяются: температура воздуха, производительность
труда, путь, который проходит движущийся предмет, и другие
величины.
Во многих случаях изменение одной из них зависит от изме-
нения другой. Например, стоимость товара зависит от количества
этого товара или его цены; пройденный путь зависит от скорости
или времени движения, площадь прямоугольника зависит от длины
его сторон.
Рассмотрим изменение двух величин: площади прямоугольника
и его основания, если высота прямоугольника не изменяется и
равна, например, 5 м.
Обозначим площадь буквой S, а основание буквой а и соста-
вим таблицу значений этих величин.
Для вычисления площади 5 будем пользоваться формулой
S = 5a,
где 5 — значение высоты прямоугольника.
Пусть, например, а = 6 л/, тогда S = 30 кв. м. Эти числа за-
писаны в первой графе нижеследующей таблицы:
*382
Увеличим основание в 3 раза: а = 18 м, тогда S = 90 кв. м.
Эти значения записаны во второй графе таблицы.
Из этих примеров видно, что каждому значению одной вели-
чины (основанию) соответствует значение другой величины (пло-
щади). Например, 6 м и 18 м соответствуют значения площади,
равные 30 кв. м и 90 о. м
Сравним отношения 6:18 и 30 : 90. Каждое из них равно .
Из этих отношений можно составить пропорцию: 6 : 18 = 30 : 90.
В таблице даны еще несколько значений а и соответствующих
им значений S. Если сравнить отношения значений а и отноше-
ния соответствующих значений S, то эти отношения будут равны.
Из них можно составить пропорцию. Например,
9 :	= 45 : 2 или 4 ; 28 = 20 : 140.
Такие величины называют прямо пропорциональными величинами,
а зависимость между ними называется прямо пропорциональной
зависимостью.
Определение. Две величины называются прямо
пропорциональными, если отношение двух любых зна-
чений одной величины равно отношению соответству-
ющих им значений другой величины.
Можно сказать, что длина основания и площадь прямоуголь-
ника— прямо пропорциональные величины (при условии, что вы-
сота прямоугольника не изменяется).
Приведем другой пример прямо пропорциональных величин.
Если количество товара увеличить, например в 2 или в 3 раза,
то его стоимость также увеличится в 2 или в 3 раза (если цена
товара при этом не изменилась). Отношения соответствующих
значений величины одинаковы: стоимость товара и его количест-
во— величины прямо пропорциональные.
Задание 110.
1.	Привести примеры прямо пропорциональных величин.
2.	Какие величины называются прямо пропорциональными?
3.	Будет ли сумма двух слагаемых и одно из них — величи-
нами прямо пропорциональными, если другое слагаемое остается
без изменения? Выяснить на примере.
383
Упражнения.
1408.	Показать, что следующие пары величин являются прямо
пропорциональными:
1)	цена товара и его стоимость, если количество товара не
изменяется;
2)	периметр квадрата и длина его стороны;
3)	объем тела и его вес, если удельный вес не изменяется;
4)	площадь треугольника и его основание, если высота не из-
меняется;
5)	стоимость товара и его количество, если цена товара не
изменяется;
6)	объем прямоугольного параллелепипеда и его высота, если
площадь основания не изменяется;
7)	расстояние и расход бензина, если норма расхода бензина
на 1 км не изменяется;
8)	количество изготовляемой продукции и время, затраченное
на ее изготовление, если производительность труда не изменяется;
9)	дробь и ее числитель, если знаменатель остается постоянным.
1409.	Можно ли считать прямо пропорциональными следую-
щие величины:
1)	дробь и ее знаменатель, если числитель дроби остается без
изменения?
2)	произведение двух чисел и одно из них, если другое оста-
ется без изменения?
3)	возраст человека и его вес?
4)	площадь квадрата и длину его стороны?
5)	объем куба и длину его ребра?
1410.	Решить уравнения, используя основное свойство пропор-
ции:
1) 2 ±-х: 0,5 =2-j-: 1	;	4) 4300 : 5,8 = 4,3 : 10х;
2) 12,1 : -,4=5,5х:3-|-;	5) 23= 4“; 2 3-5;
3) 1000: 4 4-*/ = 54-: 4,6;	6) 0,05 х : 0,01 = 4 : З^г •
Z	У	«
ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
Рассмотрим изменение таких двух величин: времени и скоро-
сти равномерного движения на некотором неизменном участке
пути, например на расстоянии 200 км. Обозначим время движе-
ния буквой скорость равномерного движения буквой и. Так как
384
скорость есть отношение пути ко времени, то для нашей задачи
200
можно записать, что и = — .
Условимся выражать время в часах, тогда скорость будет вы-
ражена в километрах в час. Составим таблицу соответствующих
значений / ио.
	I	п	111	IV	V	VI
Время в часах		10	5	1	1 2	4	12
Скорость движения в км в час.	20	40	200	400	50	2 16-3-
Если взять отношение двух любых значений времени, напри-
мер отношение 10: 5 (из I и II граф таблицы), то это отношение
равно обратному отношению соответствующих значений скорости:
10:5 = 40:20.
Такие величины называются обратно пропорциональными, а
зависимость между ними называют обратно пропорциональной за-
висимостью.
Определение. Две величины называются обратно
пропорциональными, если отношение двух любых зна-
чений одной величины равно обратному отношению
соответствующих значений другой величины.
Можно сказать, что скорость и время движения — обратно
пропорциональные величины (при условии, что пройденный путь
не изменяется).
Рассмотрим другой пример. Если число рабочих, выполняющих
некоторую работу, увеличить, например в 2 или в 3 раза, то (при
той же производительности труда) время работы уменьшится в 2
или в 3 раза. Иначе говоря, отношение значений времени будет
1 1 о -
равно -у 'или -у . Эти отношения обратны отношениям соответ-
ствующих значений первой величины. Число рабочих и время
работы — величины обратно пропорциональные.
НЕПР0П0РЦИ0НА||Ь||Ь1Е ВЕЛИЧИНЫ-
Кроме прямо и обратно пропорциональных величин, встреча-
ются и непропорциональные величины.
Для непропорциональных величин отношение значений одной
величины не равно ни прямому, ни обратному отношению соот-
ветствующих значений другой величины.
13 Заказ № 316	385
Например, возраст и рост человека — величины непропорцио-
нальные.
Рассмотрим более сложный пример.
Стоимость обычной телеграммы вычисляется так: за каждое
слово взимается 3 коп. и, кроме этого, за подачу телеграммы
10 коп. Если стоимость телеграммы в копейках обозначить бук-
вой у> а количество слов буквой х, то у = Зх + 10. Пусть х = 6,
тогда у = 28. Если х=12, то £/ = 46. Сравним отношение числа
слов и отношение стоимостей:
9
12:6=2; 46 : 28 = 1	.
’	14
Эти отношения не равны. Отношение, обратное второму от-
ношению, 28: 46, также не равно 2.
Следовательно, стоимость телеграммы и количество слов в
ней — величины непропорциональные.
Задание 111.
1.	Привести примеры обратно пропорциональных величин.
2.	Какие величины называются обратно пропорциональными?
3.	Будут ли разность и вычитаемое величинами обратно про-
порциональными, если уменьшаемое остается без изменения?
Выяснить на примере.
Упражнения.
1411. Показать, что следующие пары величин являются об-
ратно пропорциональными:
1)	цена товара и его количество, если стоимость товара не
изменяется;
2)	основание и высота прямоугольника, если площадь его не
изменяется;
3)	два взаимно обратных числа;
4)	дробь и ее знаменатель, если числитель дроби остается
без изменения.
1412. Показать, что следующие величины не будут пропор-
циональными:
1)	количество истраченных и оставшихся денег;
2)	поверхность куба и длина его ребра;
3)	стоимость железнодорожного билета и расстояние;
4)	количество бензина и скорость автомобиля;
5)	количество мальчиков и девочек в классе;
6)	возраст человека и размер его обуви.
386
1413. В таблицах даны значения прямо или обратно пропор-
циональных величин. Выяснить для каждой таблицы вид зави-
симости. Вычислить неизвестные числа, обозначенные в табли-
цах буквами.
2)	1):6 = 5:3;	5) 1,1 х : 4,4 = 0,43 : 5
3) 1,25:4 = 1,35:3//;
1415. Контрольное задание.
1.	Записать пропорцию, у которой первые три члена равны
5; 12 и 0,3.
2.	Показать, что ширина доски и количество досок для на-
стила пола заданной площади — величины обратно пропорцио-
нальные, если все доски имеют одинаковую длину.
3.	Решить уравнения:
1)	2,55 : 2	= х: 6;	2) 64 : 2 у = 0,8 : 0,42.
$158, РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ.
Задачи на пропорциональные величины решались и раньше.
Но при решении таких задач величины не назывались пропорцио-
нальными.
Рассмотрим, например, задачу: «За 7 кг товара заплатили
3 руб. 50 коп. Сколько следует уплатить за 4,5 кг этого товара?»
13*
387
Обычно такую задачу решают способом приведения к единице:
вычисляют сначала стоимость одного килограмма, а затем стои-
мость 4,5 кг. Один килограмм стоит 50 коп., следовательно, за
4,5 кг надо уплатить 2 руб. 25 коп.
Можно применить и другой способ решения таких задач, спо-
соб пропорций. Он заключается в следующем: неизвестное число
обозначают буквой (обычно буквой л) и составляют пропорцию,
одним из членов которой является это неизвестное число, а затем
вычисляют его как неизвестный член пропорции.
Применим способ пропорции к решению предыдущей задачи.
1.	Кратко запишем содержание задачи, обозначив буквой не-
известное число, т. е. стоимость 4,5 кг.
Запись имеет вид:
| 7 кг __________ 3,5 руб. |
j 4,5 кг  х руб. |
2.	Установим вид зависимости между величинами задачи. Эта
зависимость прямо пропорциональная: если купить товара в не-
сколько раз больше, то стоимость его увеличится в 'том же от-
ношении.
Условно можно обозначать прямо пропорциональную зависи-
мость одинаково направленными стрелками, как это сделано в крат-
кой записи содержания задачи.
3.	Запишем пропорцию. Величины в этой задаче прямо про-
порциональные, пропорция запишется так:
7	3,5
4,5 х
4.	Надо найти неизвестный член пропорции:
4,5^3,5	4,5.0 5 = 2,25 (руб.),
или х — 2 руб. 25 коп.
Решим еще одну задачу: «В
коробке передач автомашины
«ЗИЛ-150» зубчатое колесо веду-
щего вала, имеющее 17 зубцов,
сцеплено с другим колесом, име-
ющим 40 зубцов (рис. 128). Пер-
вое колесо сделало 400 оборотов.
Сколько оборотов сделало второе
колесо?»
Рис. 128.
1.	Запишем кратко содержание задачи:
| 17 зуб. — 400 об. |
i 40 зуб. — х об. |
2.	Устанавливаем вид зависимости. Зависимость обратно про-
порциональная, так как при увеличении числа зубцов в несколь-
ко раз число оборотов уменьшается во столько же раз. Обозначим
эту зависимость противоположно направленными стрелками.
3.	Запишем пропорцию:
17:40 = х:400.
4.	Вычислим неизвестный член пропорции:
* =	40	= 170 (об.).
Таким образом, решение задач по способу пропорций сводится
к составлению уравнения, зная, что отношения соответствующих
значений пропорциональных величин будут равны.
При решении задач не следует забывать, что значения одной
и той же величины должны быть выражены в одинаковых еди-
ницах.
Задание 112.
1.	12 тракторов одинаковой производительности вспахали поле
за 88 час. Сколько нужно таких же тракторов, чтобы вспахать
это поле за 33 часа?
2.	Из 1 кг ржаной муки получается 1,4 кг хлеба. Сколько
килограммов муки расходует хлебозавод на выпечку 28 т хлеба?
3.	Задача-шутка. Один петух разбудил своим пением
двух людей, спящих на сеновале. Сколько надо петухов, чтобы
разбудить 10 человек?
Упражнения.
1416.	Если ежедневно расходовать 500 л, то запаса бензина
хватит на 36 дней. На сколько дней хватит бензина при ежеднев-
ном расходе в 400 л?
1417.	За 102 киловатта электроэнергии уплатили 4 руб. 8 коп.
Сколько следует уплатить за 173 киловатта электроэнергии?
1418.	Машина «ГАЗ-51» израсходовала на 150 км пробега
39,75 л бензина. Сколько эта машина израсходует бензина на 800 км
пробега?
1419.	Из 2,5 кг ржаной муки получается 3-^- кг хлеба. Сколь-
ко хлеба можно испечь из 35 т ржаной муки?
389
1420, Велосипедист затратил на проезд 8 час. при
скорости 15 км в час. Сколько бы он затратил време-
ни на тот же путь, если бы он делал по 12 км в час?
1421, Окружность переднего колеса повозки равна
з
2 -g- ж. На некотором расстоянии оно обернулось 48
раз. Сколько раз на том же расстоянии обернулось
заднее колесо, если его окружность равна 3 ,и?
1422. Маятник стенных часов делает 135 качаний за
1 мин. Сколько качаний он делает за 9 мин. 20 сек.?
1423. Колхоз имеет запас сена для 240 коров на
129	60 дней. На сколько дней хватит этого сена, если
стадо увеличится на 60 коров?
2	1
1424. Насос может выкачать -у- бассейна за 7 у мин. Ка-
кую часть бассейна он выкачает за 0,15 часа?
1425.	1) Сколько весят 70 л керосину, если 15 л весят 12,3 кг?
2)	В 2 т медной руды содержится 25 кг чистой меди. Сколько
меди содержится в 270 т такой руды?
1426.	Составить две задачи: одну на прямо пропорциональные
величины, а другую на обратно пропорциональные. Решить эти
задачи.
1427.	1) На одной из сцепляющихся шестерен 30 зубцов, а на
другой 18 (рис. 128) Сколько оборотов сделает вторая шестерня,
в то время как первая сделает 135 оборотов?
2)	Одна из двух сцепляющихся шестерен делает 540 оборотов
в минуту, а другая 216 оборотов. На большей шестерне имеется
60 зубцов. Сколько их на другой шестерне?
1428.	Из 50 кг картофеля получается 7,5 кг крахмала. Сколь-
ко крахмала получится из 3,6 т картофеля?
1429.	1) Шкив, диаметр которого 800 мм, делает 280 оборотов
в минуту. Он соединен ременной передачей со шкивом, имеющим
диаметр в 350 мм (рис. 129). Сколько оборотов в минуту делает
второй шкив?
2)	Два шкива соединены ременной передачей. Один из них
делает в секунду 4 оборота, а другой 6 оборотов. Диаметр мень-
шего шкива равен 24 см. Найти диаметр другого шкива.
1430.	Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Осно-
вание одного из них равно 3,6 м, а высота 2,4 м. Основание
другого 4,8 м. Чему равна его высота?
Задачу решить, не вычисляя площадей.
390
1431.	Два треугольника имеют одинаковую площадь. Основа-
ние одного треугольника равно 12 см. Найти основание другого
треугольника» если его высота составляет 25% высоты первого
треугольника.
1432.	17% некоторого числа равны 5,1. Найти 24% этого числа
(решить способом пропорции).
1433.	15% поля убрано за 2 дня. За сколько дней будет уб-
рано 50% поля? 75% поля?
1434.	2,8 т составляют 25% груза. Сколько процентов этого
груза составят 6 /и? 10 пг?
1435.	Из 2 кг бумажной макулатуры можно изготовить около
40 штук школьных тетрадей. Сколько нужно макулатуры, чтобы
изготовить тетради для школы, где учится 720 учащихся и каж-
дый учащийся должен получить по 20 тетрадей?
1436.	Два вала соединены посредством ременной передачи.
Ведущий вал делает 180 оборотов в минуту. На ведомом валу,
который делает 300 оборотов в минуту, посажен шкив с диамет-
ром 240 мм. Каков диаметр шкива на ведущем валу?
1437.	На плане расстояние между двумя пунктами равно
3,4 см, масштаб плана ~iqqq-- Эта же местность изображена на
К	1 тт
плане, масштаб которого равен -^qq • Чему равно расстояние
на втором плане между теми же пунктами?
1438.	Длина детали на чертеже в масштабе 1 : 40 равна 1,3 см.
Чему равна ее длина на чертеже, масштаб которого 1 : 25?
1439.	За 12 оборотов винт продвинулся вперед на 15 мм
(рис. 130). Сколько оборотов надо сделать, чтобы винт продви-
л 1
нуле я на 4 мм>
1440.	За 8 месяцев рабочий выполнил 1,75 годовой нормы.
Сколько он выполнил норм за год, если работал с той же произ-
водительностью?
1441.	Конными граблями с шириной захвата 2,15 м за
4 часа можно убрать сено с площади 3,5 га. За	=
какое время можно убрать эту площадь
тракторными граблями с шириной захвата
6,00 м при той же скорости движения? С
какой площади можно убрать сено трактор-
ными граблями за 4 часа?
1442.	Трое маляров могут закончить ра-
боту за 5 дней. Для ускорения работы
добавили еще двух маляров. За какое вре-
Рис. 130.
мя они закончат работу, считая, что все маляры будут работать с
одинаковой производительностью?
1443.	Для изготовления 100 штук кирпичей требуется 0,39 куб. м
глины, 0,05 куб. м песку. Сколько глины и песка потребуется
для изготовления 125 тысяч кирпичей?
1444.	Книга содержит 345 страниц, на каждой странице в сред-
нем 34 строки по 48 букв в каждой. Сколько страниц имела бы
эта книга, если бы на каждой странице было по 36 строк, а в
каждой строке по 40 букв?
1445.	В одном из промышленных северных поселков был сде-
лан запас муки на 4^- месяца для 1500 человек из расчета по
0,8 кг в день на одного человека. На сколько месяцев хватит этого
запаса для 960 человек, считая по 1 кг в день на одного человека?
1446.	Пять бульдозеров за 90 минут выравнивают 15 го. Сколь-
ко времени потребуется шести таким бульдозерам для выравни-
вания площадки размерами 3 км X 0,5 км?
159. ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ.
Задача. Трем звеньям пионеров поручено собрать 36 ц по-
мидоров. Известно, что отношение числа пионеров первого звена
к числу их во втором звене равно 3:7, а для второго и третьего
звеньев это отношение равно 7 : 5. Сколько помидоров собрало
каждое звено, если все пионеры работали с одинаковой произво-
дительностью?
Решение. В таких же отношениях будут находиться коли-
чества помидоров, собранных звеньями.
Короче говоря, .что 36 ц надо разделить прямо пропорциональ-
но числам 3, 7 и 5, или разделить в отношении 3:7:5 (читает-
ся так: три к семи, к пяти).
Если искомые числа обозначить через хп х2 и х3, то хх ; х2 = 3 : 7
и х2: х3 = 7 : 5.
Эти пропорции показывают, что если число х2 состоит из трех
равных частей, то число х2 содержит 7 таких частей, а число х3
5 таких частей.
Если эту часть обозначить через х, то
хг = Зх; х2 = 7х; х3 = 5х.
Сложив x1F х2 и х3> получим 36 (по условию задачи), а потому
можно составить такое уравнение:
Зх + 7х + 5х = 36.
392
Решаем это уравнение:
15х = 36, х = 2,4.
Теперь можно найти искомые числа:
х1 = 3-2,4 -7,2 (ц);
хг = 7-2,4 = 16,8 (ц);
х3 = 5-2,4 = 12 (ц).
Такое разделение данного числа называют прямо пропорцио-
нальным делением или делением в данном отношении.
Если все данные числа или некоторые из них выражены дро-
бями, то их можно заменить натуральными (целыми) числами,
2
Задача. Разделить 195 прямо пропорционально числам
7	d
12-	и 2.
В этой задаче 195 надо разделить на такие три части:
к	2	7	7 п
хъ х2 и х3, чтобы -Ч : х2 = “3- : 72 и ; *3 = ‘Тг’: 2‘
Заменим отношения дробных чисел отношениями целых чисел.
Для этого умножим оба члена каждого отношения (в правой
части этих равенств) на общий наименьший знаменатель всех дро-
бей, входящих в отношения. Этот знаменатель равен 12. Тогда
получим, что
хг; х2 = 8 : 7 и х2 : х3 ~ 7 : 24.
Следовательно, для решения задачи достаточно 195 разделить в
отношении 8:7: 24.
Решение.
2	7
1)	xr: х2: х3 = -g- :	: 2; хх: х2: х3 = 8 : 7 : 24.
2)	хг = 8х; х2 = 7х; х3 = 24х.
3)	8х + 7х 4- 24х = 195; 39х = 195; х = 5.
4)хх = 5-8 = 40; х2 = 5-7 = 35; х3 = 5-24 = 120.
Замечание. Запись: хх : х2: хя = 8 : 7 : 24 — нельзя понимать как запись
деления нескольких чисел. Если левую и правую части этого равенства по-
нимать как частные, то оказывается, что они не равны между собой:
40	1
40:35: 120 — 35.120 - 105 I
8	1
8:7:24 - 7 24 — 21 .
Следовательно, запись ; х2 : х3 — 8 : 7 ; 24 является лишь кратким обозна-
чением условия задачи о прямо пропорциональном делении.
393
Прямо пропорциональное деление часто применяется для прак-
тических расчетов, особенно при изготовлении смесей, сплавов
и растворов. Решим одну из таких задач: «Для борьбы с вреди-
телями садов берут серу, негашеную известь и воду в отношении
6:3: 50. Сколько надо взять каждого вещества для обработки
60 га, если на 1 га надо 25 кг этой смеси?»
Решение. Вычислим количество смеси для 60 га.
25-60 = 1500 (кг).
Найдем количество серы, негашеной извести и воды для приго-
товления 1500 кг смеси. Число 1500 надо разделить прямо про-
порционально числам 6:3: 50.
1)	= 6х; х2 = Зх; х3 = 50х;
6хЗх + 50х = 1500; 59х=1500; х=-^-.
n\ tz	1500-6	।
2)	Количество серы хА = —» 150 (кг).
3)	Количество негашеной извести х2 =	~ ~ 76 (кг).
4)	Количество воды х3 = 15°Л'5 6° ~ 1300 (кг).
ОУ
Задание 113.
1. Разделить 240 прямо пропорционально числам 3; 5 и 4
(вычисления сделать устно).
2. Разделить проволоку длиной 9,37 м в отношении 2:5:7
(вычислить с точностью до 0,01 -и).
Упражнения.
1447. Разделить:
1)	450 прямо пропорционально числам 2; 4; 9;
2)	360 в отношении 8:11 :6;
3)	33,8 прямо пропорционально числам 10; 2; 3 и 11;
4)	3913 в отношении : -4- : -4-;
'	2 о 4
5) 6464 в отношении : 0,3 :1
X	о
6) 156 прямо пропорционально 0,2 : 0,3 : 1,4 : 0,5.
1448. Моток провода длиной 156 м разрезали на 3 части, длины
которых пропорциональны числам 6, 5 и 2. Найти длину каждой
части.
1449. Для приготовления крахмального клейстера берут по весу
1 часть крахмала, 1 часть холодной воды и 13 частей кипятку.
Сколько надо взять крахмала для приготовления 7,5 кг клейстера?
394
1450, Для выведения чернильных пятен с одежды применяют
раствор, который содержит три весовые части хлорной извести,
две части стиральной соды и 100 частей воды. Сколько нужно
взять извести и соды для получения 210 г раствора?
1451.	Трое мальчиков собрали вместе 155 белых грибов. Они
разделили их пропорционально своему возрасту. Сколько грибов
получил каждый, если одному было 12 лет, другому 10 лет, а
третьему 9 лет?
1452,	Для приготовления какао беру? порошок какао, молоко
и сахар в отношении 0,3 : 20 : 2. Сколько нужно взять порошка
какао и сахара для приготовления 500 г какао? 5 кг какао?
1453,	Для приготовления стекла берут 24 части мела, 31 часть
песку и 10 частей поташа. Сколько потребуется поташа, песка
и мела для изготовления 520 кг стекла?
1454.	На ремонте железнодорожного полотна работали три
бригады рабочих. В первой было 24 человека, во второй 15, в
третьей 16 человек. За один день они выполнили работу, которая
оценивается в 171 руб. 60 коп. Сколько заработала каждая бри-
гада, если все рабочие работали с одинаковой производительностью?
ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ.
Задача 1. Разделить 120 обратно пропорционально числам
4-, 2 и 4.
О
Выражение «разделить число обратно пропорционально данным
числам» означает—разделить это число прямо пропорционально чис-
лам, обратным данным.
Итак решение задачи: разделить число обратно пропорциональ-
1 П А
но числам у, 2 и 4, сводится к следующему:
1) Заменяем данные числа обратными им:
з JL ±
О, 2 .	4
2) Делим 120 прямо пропорционально числам 3, ~ и
Решение. 1) хл: х2 •* *з = 3 :	: -у;
Xi: х2: х3 = 12 : 2 : 1;
2) Xj = 12х; х2 = 2х; х3 = х; 15х = 120; х = 8;
3) Xj = 12-8 =96; х2 = 2-8 = 16; х3 = 8.
395
Обратно пропорциональное деление можно использовать при
решении таких задач на обратно пропорциональные величины, в
которых значение одной из величин равно сумме нескольких не-
известных чисел.
Задача 2. Одно и то же расстояние скорый поезд проходит
за 7-L часа, а пассажирский за 10 час. Где произойдет встреча
О
этих поездов, если они одновременно вышли навстречу друг другу
со станций, расстояние между которыми равно 442 км?
Для решения задачи достаточно узнать, какое расстояние про-
шел до встречи один из поездов* Скорый поезд пройдет большее
расстояние, так как его скорость больше. Если бы, например, одно
и то же расстояние скорый поезд прошел за 5 час., а пассажир-
ский за 15 час., то при встрече скорый поезд прошел бы в 3 раза
большее расстояние, чем пассажирский. Следовательно, для реше-
ния задачи надо 442 км разделить обратно пропорционально чис-
лам 7 4- и 10.
и
Решение.
1. Заменяем данные числа 7-^- и 10 обратными им:
з 1
22 И 10 ’
3	1
2. Делим 442 прямо пропорционально числам и -jg-:
3	1	1Г 1 I
- х2 — 22 * ю —	. 11;
хл + х2 ~ 26х;
Скорый поезд прошел до встречи 255 км. Поезда встретятся
на расстоянии 255 км от той станции, из которой вышел скорый
поезд.
Задача 3. Первый рабочий выполняет норму за 6 у часа,
второй за 5 час. и третий за 4 у часа. Работая некоторое время,
они сделали 917 изделий. Сколько изделий сделал каждый из
них?
Время выполнения нормы и количество изделий, вырабатывае-
мых за одно и то же время, — величины обратно пропорциональ-
ные. Если бы, например, один рабочий выполнял норму за 4 часа,
396
а другой за 8 час., то за одно и то же время первый сделал бы
в 2 раза больше изделий, чем второй.
Следовательно, для решения данной задачи надо 917 разделить
обратно пропорционально числам 6-|-, 5 и 4-^- или прямо про-
4	1	2
порционально -хё-, и
хО	и	У
Решение.
4	1.2.
1)	X, . х2 . х3 — 25 . 5 . 9 ,
- х2 • хз = 36 : 45 : 50.
2)	= 36л; х2 = 45х; х3 = 50х;
131а; = 917; х = 7.
3)	jq = 36*7 = 252 (изд.);
х2 = 45-7 = 315 (изд.);
х3 = 50-7 = 350 (изд.).
Задание 114.
1.	Разделить 250 обратно пропорционально числам -- и 1.
Вычисление провести: 1) точно; 2) приближенно, с точностью до
0,01.
2.	Как разделить данное число прямо пропорционально задан-
ным числам?
3.	К какой задаче сводится задача о делении данного числа
обратно пропорционально заданным числам?
Упражнения.
1455. Разделить:
1)	65 обратно пропорционально 3; 2 и 4;
2)	322 обратно пропорционально 3; 5 и 1;
1	5
3)	34 обратно пропорционально 0,75 и-д-;
2	3
4)	931 обратно пропорционально -д-;	0,8;
1	4
5)	980 обратно пропорционально 12; 9;	-уд-;
6)	124,6 обратно пропорционально 0,9; 1,5 и 6.
397
1456.	Три числа относятся как 3:5: 10. Третье число равно 12.
Вычислить первые два числа.
1457.	Три числа относятся как 0,4: 1,2: 0,6. Третье число на
11,7 меньше второго. Чему равно каждое из трех чисел?
1458.	При делении данного числа обратно пропорционально
5; 4 и 6 оказалось, что большая часть на 9,7 больше меньшей
части. Чему равно данное число и на какие три части его раз-
делили?
1459.	Два насоса, действуя один после другого, наполнили
водоем за 42 часа. Первый давал в час 64 гл воды, второй 48 гл.
Сколько часов действовал каждый насос, если через тот и другой
поступило одно и то же количество воды?
1460.	Чтобы приготовить замазку для аквариумов и сосудов
(для воды) с деревянными каркасами, берут мел, свинцовый сурик
и олифу пропорционально числам 5; 3,5 и 1. Сколько нужно взять
каждого из веществ для приготовления 0,5 кг замазки?
1461.	Первый спортсмен пробегает 100 м за 12 сек., а второй
за 13 сек. Сколько метров пробежит каждый спортсмен до встречи,
если они начнут бег одновременно и навстречу друг другу, ра-
зойдясь на 200 м?
1462.	Мастер изготовляет одну деталь за 5 мин., ученик изго-
товляет такую же деталь за 9 мин. Работая вместе, они изгото-
вили 84 детали. Сколько деталей изготовил каждый?
1463.	На окраску стен в помещении нужно 36 кг краски. Во
время ремонта решили окрасить стены в два цвета: верх светлой
краской, а низ темной. Сколько понадобится той и другой краски,
если высота стен 3 м, а высота части стены, окрашенной в тем-
ный цвет, 1,8 Л1?
1464.	1) Колхозник поехал на луг за сеном и взял с собой
трех сыновей: 15 лет, 12 лет и 10 лет. Обратный путь в 13,5 км
мальчики по очереди ехали на возу, причем расстояние распреде-
лили обратно пропорционально возрасту. Сколько километров про-
ехал каждый из них на возу?
2) На севе яровых было занято 217 тракторов разных марок
с нормой выработки за смену 20 га, 48 га и 88 га на трактор.
Каждая группа тракторов одной и той же марки засеяла одина-
ковую площадь. Сколько было тракторов каждой марки?
1465, Контрольное задание.
1.	Разделить 765 обратно пропорционально числам 5; 4 и 3-|-.
2.	При ежедневном расходе 5,6 т каменного угля его хвати?
на 50 дней. На сколько хватит этого запаса, если расход умень-
шить на 1100 кг?
398
3.	Решить уравнение:
0.4л :2-i -4,OS :2-i.
1466» Контрольное задание.
1.	Разделить 46,2 прямо пропорционально числам 0,4; 6; 9.
2.	Если скорость велосипедиста равна 20,4 км в час, то он
проедет путь за 3 часа 20 мин. За сколько времени он проедет
этот путь, двигаясь со скоростью 17 км в час?
3.	Решить уравнение:
д А . 2	«1,5
6,4. 3 х — 1 4 . 16.
X. ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО.
Перед началом повторения пройденного следует прочитать ука-
зания в § 128.
$ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
1,	Почему на практике мы часто пользуемся приближенными
числами?
2.	Что называется абсолютной погрешностью приближенного
числа?
3.	Как оценивается абсолютная погрешность, если неизвестно
точное значение величины?
4.	Что называется относительной погрешностью приближенно-
го числа?
5.	Какое значение имеет относительная погрешность для оцен-
ки качества измерения или вычисления?
6.	Какие цифры приближенного числа называют верными? Ка-
кие называют сомнительными?
7.	Сколько сомнительных цифр обычно оставляют в записи при-
ближенного числа?
8.	Какие цифры приближенного целого числа называют зна-
чащими?
9.	Какие цифры приближенного числа, выраженного десятич-
ной дробью, называют значащими?
10.	Каким правилом следует пользоваться при округлении
суммы и разности приближенных чисел?
11.	Каким правилом следует пользоваться при округлении
произведения и частного приближенных чисел?
400
12.	Каким правилом следует пользоваться при выполнении
действия над числами, одно из которых точное число, а другое при-
ближенное?
13.	Как нужно предварительно округлять данные, чтобы уп-
ростить действия с приближенными числами?
ПРОЦЕНТЫ.
1.	Что называется процентом?
2.	Как любое число выразить в процентах?
3.	Как можно любое число процентов выразить натуральным
или дробным числом?
4.	Как вычислить один процент от данного числа?
5.	Как вычислить число, если известно значение 1% этого
числа?
6.	Какими способами можно вычислить несколько процентов
данного числа?
7.	Какими способами можно вычислить число, если известны
несколько процентов его?
8.	Как выразить отношение двух чисел в процентах?
9.	Записать формулы, с помощью которых можно решать три
основные задачи на проценты.
ПРОПОРЦИИ.
1.	Как заменить отношение дробей отношением натуральных
чисел?
2.	На каком свойстве частного основана замена отношения
дробей отношением натуральных чисел?
3.	Что значит сократить члены отношения и упростить отно-
шение?
4.	На каком свойстве частного основано сокращение членов
отношения?
5.	Что называется пропорцией и как называются ее члены?
6.	Как проверить пропорцию?
7,	В чем заключается основное свойство пропорции?
8.	Как можно применить основное свойство пропорции для пе-
рестановки ее членов?
9.	Как можно решить уравнение, если оно имеет форму пропор-
ции, один из членов которой неизвестен?
10.	Какие две величины называются прямо пропорциональ-
ными?
1L Какие две величины называются обратно пропорциональ-
ными?
12.	Существуют ли непропорциональные величины?
13.	Как разделить число прямо пропорционально данным чис-
лам?
14.	Как разделить число обратно пропорционально данным
числам?
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ.
1467.	Выполнить действия над приближенными числами, при-
меняя к каждому из упражнений два способа вычисления: а) без
предварительного округления данных; 6) с предварительным ок-
руглением данных:
1)	7,8345—6,28+1,451—0,8359;
2)	85 946—4200—54 300+7390
(числа 4200 и 54 300 даны с точностью до 100);
3)	102,07-0,830;
4)	0,079-9,75368;
5)	0,035281 : 0,351;
6)	203409 : 0,190.
1468.	Выполнить действия над приближенными числами:
1)	3,4729 : 0,43+0,0571-1,297;
2)	340 000 : 547+124-39
(первое число дано с точностью до 100);
3)	14,75 - 72,39—141,29 : 23,75;
4)	(4,37+0,437—0,0437)-5
(число 5 точное);
5)	3,48 • 2,7 - 0,7293—13,49 : 25,5;
6)	17,299+-^-. 4,270 - 4,00 (число точное).
1469.	Вычислить:
1)	52% от 142 руб.;	4) 0,75% от 34 га;
2)	3,5% от 40,4 км;	5) 4,3% от 342 т\
3)	14,5% от 200 м; 6) 12% от 12%.
1470.	Найти число, если:
1)	12% его составляют 2010 кв. м;
2)	3-^-% его равны 77 км;
402
3)	1,25% его равны 5 га\	5) 1,8% его равны 900 кг;
4)	10,2% его равны 3,4 л\	6) 0,03% его равны 12^-.
1471.	Выразить в процентах отношения:
1)	15,7 : 33,1;	4) 49 руб.: 74 руб.;
2)	1-|- : 576;	5) 37,2 ц : 3-|- т\
3)	102-^- : 92,8;	6) 27,4 га : 1,3 кв. км.
1472.	Решить уравнения:
1)	х : 8,5=23,4 : 15;	4) 12 : 4,5=0,03 : 0,9 х;
2)	134-  *=И  0,11;	5) 5-4*:5,6=5-|- : 2,1;
3)	8-4 •• 0.04 = -4* : 0,5;	6) 0,46 : 0,012х=0,92 : 0,08.
О	о
1473.	Произвести всевозможные перестановки членов пропор-
ции:
о -¥-=-1^= 2)4:6=24-;184-
Проверить полученные пропорции.
1474.	Разделить:
1)	число 220 прямо пропорционально числам 2,1 и 0,1;
2)	число 34,5 обратно пропорционально -i- и 4- ;
о
2	3	4
3)	число 68,6 обратно пропорционально числам -у-;	;
О	4	О
4)	число 2,35 прямо пропорционально -i-; 0,25 и 0,2;
2	5	7
5)	число 50 в отношении : -х- :-то ;
'	о о 12
6)	число 705 разделить на части прямо пропорционально чис-
лам 2,10 и 1-д- и обратно пропорционально этим же числам.
1475.	Каждое ребро куба увеличили на 40%. На сколько про-
центов увеличится объем куба? На сколько процентов увеличится
его поверхность?
1476.	Строительные организации города по плану за год должны
были сдать 72,8 тыс. кв. м жилой площади. В первом квартале было
2	3
выполнено — плана, во втором 35% плана, в третьем плана,
а в четвертом квартале было сдано 21,84 тыс. кв. м. На сколько про-
центов перевыполнен годовой план? В каком квартале квартальный
403
план был недовыполнен и на сколько процентов? (Считать квар-
1 ч
тальныи план равным годового.)
1477.	В 1961 г. кукурузой по стране было занято 25,7 млн. га,
а сахарной свеклой на корм скоту 1,3 млн. га. В 1962 г. посевные
площади составили: под кукурузой 145%, а под свеклой (на корм
скоту) 220% от площадей, отводившихся в 1961 г. Вычислить,
на сколько миллионов гектаров увеличились посевные площади под
этими культурами?
1478,	Колхоз за год получил по 76 ц мяса на 100 га пашни;
молока получено по 527 ц на 100 га земли. В следующем году запла-
нировано получить мяса 91 q, молока 575 ц. Вычислить в процентах
намеченный прирост производства мяса и молока.
1479,	Прядильная фабрика выработала за месяц сверх плана
22 т пряжи, перевыполнив план на 5,5%. Из всей выпущенной
пряжи первый сорт составил 97,5% при плановом задании в 96%,
Сколько пряжи первого сорта выработала фабрика сверх плана?
Написать числовую формулу.
1480.	Шахта выдала за месяц 388 800 т каменного угля, пере-
выполнив задание плана на 8,
Рис. 131.
%. В следующие два месяца задание
было увеличено на 15% и пере-
выполнялось на 10%. Вычислить
процент выполнения квартального
плана добычи угля (до 0,1%).
1481.	На рисунке 131 изобра-
жена в виде диаграммы числен-
ность населения некоторых горо-
дов СССР (в тысячах человек, по
данным 1959 г.). Приняв числен-
ность населения Москвы за 100%,
выразить в процентах население
остальных городов (до 0,1%).
1482.	На рисунке 132 изобра-
жена секторная диаграмма «Рас-
пределение учащихся в СССР ме-
жду школами различного вида к
началу 1962/63 учебного года».
Зная, что число учащихся во всех
школах СССР составляло в то вре-
мя 42,4 млн. чел., вычислить до
0,1 млн. численность учащихся в
школах каждого вида.
1483.	Из бассейна в пер-
вый час выкачали 25% всей
воды, затем 10% остатка, по-
сле чего в нем осталось 13,5
куб. м воды. Сколько воды
было в бассейне первона-
чально и сколько воды вы-
качали в первый час?
1484.	Первая в мире со-
ветская атомная электро-
станция расходует в день
35 г урана. Сколько камен-
ного угля заменяет это ко-
личество урана, если 0,4 г
урана дает столько же теп-
ла, что и 1 т угля?
1485.	Из 1 ц картофеля
получается 1 пуд крахмала.
Сколько нужно взять карто-
феля, чтобы получить 1 ц
крахмала?
Рис. 132.
1486.	Автобус, двигаясь со средней скоростью 48 км в час, про-
шел расстояние между городами за 6 час. 18 мин. За сколько вре-
мени пролетит это расстояние пассажирский самолет, средняя
скорость которого равна 252 км в час?
1487.	Зубчатое колесо, имеющее 30 зубцов, делает 50 оборотов
в 1 мин. Зубчатое колесо, сцепленное с первым, делает 75 оборотов.
Сколько зубцов имеет второе колесо?
1488.	Педальное колесо велосипеда имеет 46 зубцов, а соеди-
ненная с ним цепью зубчатка заднего колеса 18 зубцов. Велосипе-
дист сделал 36 оборотов педальным колесом. Сколько оборотов сде-
лало заднее колесо?
1489.	Трактор за 2 часа 30 мин. работы израсходовал 22,5 л
керосину. Сколько керосина нужно для 7 час. работы?
1490.	Куплено 2,5 кг конфет ценой 2,52 руб. за 1 кг. Сколько за
такую же сумму можно купить конфет ценой 1,8 руб. за 1 кг?
1491.	Комбайнер, убирая в среднем по 26,4 га в день, убрал учас-
ток за 12 дней. Сколько он должен был убирать в день, чтобы за-
кончить работу за 11 дней?
1492.	Девять автомашин перевезли груз за 11 рейсов. За сколь-
ко рейсов перевезут этот груз 11 автомашин?
405
1493.	Главный вал делает 250 оборотов в 1 мин. Какого диа-
метра надо насадить на него шкив, чтобы с помощью ременной
передачи другой шкив с диаметром 160 мм делал 400 оборотов
в 1 мин.?
1494.	Для перевозки груза требовалось 16 трехтонных машин-
Автобаза выделила для этого одну трехтонную машину, а осталь-
ные пятитонные. Сколько пятитонных машин выделила автобаза?
1495.	При бурении скважины в мягком грунте норма времени
составляет 0,75 часа на 1 ж, а в твердой породе на 4,65 часа больше.
В мягком грунте скважина пробурена за 33 рабочих часа. Сколько
времени потребуется, чтобы пробурить скважину такой же глубины
в твердой породе?
1496.	Если пароход будет делать по 22 км в час, то он сделает
рейс за 10-g- часа. Сколько времени он затратил на рейс, если на
самом деле он двигался со скоростью 18,7 км в час?
1497.	За 35 мин. автомобиль проехал 42 км. Какое расстояние
з
он проедет за 1— часа? За сколько времени он проедет 133 км?
1498.	Из 120 посеянных семян 115 взошло. Сколько семян с
такой же всхожестью нужно посеять, чтобы получить 575 расте-
ний? Сколько всходов получим, если посеем 576 семян?
з
1499.	Пароход, двигаясь со средней скоростью 18-—кл! в час
против течения реки, затратил на рейс 6 час. 24 мин. На обратном
пути его скорость была на 6-^- км в час больше. Сколько времени
он затратил на обратный путь?
1500.	Звено колхозниц за 4-^- часа сделало прорывку свеклы
на участке длиной 240 м и шириной 80 м. Сколько времени потре-
буется этому звену для прорывки свеклы на участке длиной 180 м
и шириной 160 м?
Указание. Решать с помощью числовой формулы.
1501.	За 3,7 часа учащиеся школы пропололи на колхозном ого-
роде участок длиной 92,5 м и шириной 24 м. Сколько времени по-
требуется им для прополки другого участка длиной 88,5 м и шири-
ной 32 м?
Указание. Решать с помощью числовой формулы.
1502.	Три земснаряда (рис. 133) за сутки укладывают около
120 000 куб. м грунта. Какой длины плотину смогут намыть 9 таких
земснарядов за 4 суток, если в среднем ширина плотины 64 м, а вы-
сота 24 м?
Указание. Решать с помощью числовой формулы.
406
1503.	Звеньевая рас-
считала, что звено в со-
ставе 20 человек, вы-
полняя норму в 0,12 га
на одного человека в
день, закончит обработ-
ку участка за 10 дней.
За сколько дней выпол-
нят эту работу 25 чело-
век, работая с той же
производительностью?
За сколько времени за-
Рис. 133.
кончат эту работу 32 человека, выполняя по 15 соток в день?
1504.	Прямоугольный участок земли размерами 750 лех660 м
намечено засеять гречихой из расчета 0,7 ц на 1 га. Однако норму
высева пришлось увеличить на 20 кг на 1 га. Какую площадь можно
засеять семенами, отпущенными согласно первоначальному расче-
ту? Сколько семян нужно добавить, чтобы закончить сев на всей
площади?
1505.	Для 54 коров на 30 дней заготовлено 24,3 т силоса. Сколь-
ко силоса нужно заготовить для 72 коров на 40 дней, если увеличить
норму выдачи силоса на 20% ?
1506.	Пешеход тратит на прохождение некоторого пути 1 час,
делая в минуту 120 шагов длиной по 75 см каждый. Сколько вре-
мени затратит на тот же путь другой пешеход, если он будет делать
ежеминутно по 125 шагов длиной по 80 см каждый?
1507.	Свинцовая пластинка имеет размеры 4,05 д.мХЗ,6 дмХ
X 1,9 си. Как велика толщина другой свинцовой пластинки такого
же веса, длина которой 8,55 дм, а ширина 3,24 дм? Написать
числовую формулу.
1508.	Для двух автомашин «ЗИЛ-110» на 100 км пути н^жно
54 л бензину. Сколько бензина израсходуют три такие машины на
расстоянии 120 км?
1509.	Участок поля в 30га был скошен тракторной косилкой за
10 час. Сколько конных косилок нужно, чтобы скосить участок за
это же время, если производительность конной косилки составляет
10% производительности тракторной косилки? За сколько часов
участок будет скошен самоходной косилкой, производительность
которой в 2-g- раза больше производительности тракторной ко-
силки?
407
1510.	Бригада рабочих при 7-часовом рабочем дне может выпол-
нить работу за 15 дней. За сколько дней выполнит эту работу та
же бригада при 6-часовом рабочем дне, если увеличить производи-
тельность труда на 26% ?
1511.	Плата за электроосвещение в течение 20 дней при 6 элек-
тролампах составила 2 руб- 88 коп. Сколько придется заплатить за
5 таких же лампочек, если пользоваться ими 30 дней?
1512.	В первый день турист прошел 40% пути, во второй 20%
остатка, остальной путь пройден за третий и четвертый дни пропор-
ционально числам 5 и 7. Какова длина всего пути, если в четвертый
день турист прошел 28 км?
1513.	Комбайнер убрал пшеницу за 3 дня. В первый день он
убрал 30% всего участка; площади, убранные во второй и третий
дни, относились как 3 : 4. Какова площадь всего участка, если в
третий день убрано на 5 га больше, чем в первый?
1514,	Три колхоза сообща построили мост через реку. Первый
колхоз внес 35% стоимости моста, а остальную сумму внесли второй
и третий колхозы в отношении 2 : 3. Известно, что третий колхоз
внес на 240 руб. больше, чем первый. Во сколько рублей обошлась
постройка моста и сколько внес каждый колхоз?
1515.	В три палатки были доставлены яблоки. Первая палатка
получила 14 у % всех яблок, остальные яблоки распределены
между второй и третьей палатками пропорционально числам 9 и 10,
причем во вторую палатку поступило яблок на 135 кг меньше, чем в
третью. Яблоки были проданы по 55 коп. за 1 кг. Сколько рублей
выручили за яблоки все три палатки?
1516.	Обувной магазин получил мужскую и женскую обувь,
всего 840 пар. Количества мужской и женской обуви пропор-
циональны числам 2,5 и 3,5. За день продано 42% мужской обу-
ви по 20 руб. 80 коп. за 1 пару и 35% женской обуви по 19 руб.
20 коп. за 1 пару. Сколько выручил магазин за проданную
обувь?
1517.	Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу
с двух станций, отстоящих на 820 км. При встрече поездов выяс-
нилось, что пройденные ими пути относятся как 1,4 : 1	. Найти
О
средние скорости поездов, если через 5 час, 36 мин. расстояние меж-
ду ними составляло 30% расстояния между станциями.
1518.	В технической библиотеке завода были книги на русском»
немецком и английском языках. Книг на иностранных языках было
408
5520, причем количества книг на английском и немецком языках
были пропорциональны числам 1 и 1,875, число книг на русском
языке составляло 180% числа книг на немецком языке. Сколько
всего книг в библиотеке?
1519.	Колхоз отвел под кормовые культуры: кукурузу, свеклу
и бобовые — 740 га, причем отношение площадей, отведенных под
каждую из культур, было равно 1 у-: 1 у- : у. На следующий
год посевы кукурузы увеличены на 15%, а посевы бобовых на 37,5%.
Сколько гектаров отведено под кормовые культуры во второй год?
1520.	Молочнотоварная ферма колхоза получила за квартал
5,60 тыс. ц молока, причем надои молока в первый, второй, третий
месяцы были пропорциональны числам 5, И и 12. По плану в пер-
вый месяц нужно было получить 1,2 тыс. ц, во второй 2 тыс. ц,
а в третий 2,2 тыс. ц. На сколько процентов выполнен план надоя
в каждый месяц?
1521.	Со склада в первый день отпустили угля на 12 т, или в
1,3 раза, меньше, чем во второй день, а в третий день 37,5% того,
что было отпущено в первые два дня. Сколько угля отпускали каж-
дый день?
1522.	Три школы помогали колхозу в уборке початков кукуру-
зы. Одна школа собрала початки с 30% участка, вторая сделала
83 у % того, что сделала первая школа, а третья школа убрала
на 10 га больше, чем вторая. Чему равна площадь участка, с которо-
го школьники собрали урожай?
1523.	Три пионерских отряда обязались собрать 12 т металли-
ческого лома. Первый отряд собрал лома в полтора раза больше,
чем второй. Третий отряд собрал 40% того, что первый, причем
третий отряд собрал на 2,4 т меньше, чем второй отряд. На сколько
процентов перевыполнено обязательство?
1524.	Для трех школ нужно заготовить дрова. Второй школе
нужно было заготовить у- того, что нужно было первой школе, а
третьей школе 120% того, что нужно было второй. После того как
заготовили 106 куб, м, осталось заготовить еще 60% общего коли-
чества. Сколько дров нужно заготовить каждой школе?
2
1525.	Под спортивную площадку отведено 26-^-% всей площади
школьного участка, под сад 22,5% всей площади, а площадь питом-
ника составляет 24% площади сада. Оставшуюся часть участка
отвели под опытное поле и площадку для игр, причем под опытное
поле отведено на 363 кв. м больше, чем под площадку для игр.
Вычислить площадь питомника и площадь сада, если известно, что
409
площадь опытного поля составляет 144% площади игровой пло-
щадки.
1526.	Лыжная мазь для оттепели состоит из льняного масла,
канифоли и соснового дегтя, взятых в отношении 3:7:15. Сколь-
ко нужно взять каждого из указанных веществ для приготовления
12 кусков мази весом по 50 г?
1527.	Лыжная мазь для зернистого снега приготовляется из
льняного масла, канифоли и автола, взятых в отношении
17 : 41,5 : 41,5. Сколько нужно взять каждого из указанных ве-
ществ для приготовления 500 г мази?
1528.	С участка площадью 85 га собрали 156,4 т пшеницы.
Сколько соберут пшеницы с поля размерами 750 лХ1200 л«, если
урожайность повысить на 20%?
1529.	Для настила пола в здании требовалось 400 досок длиной
4,5 м и шириной 16 см. Вместо этих досок взяли доски, длина ко-
торых на 20?6 меньше, а ширина на 20% больше. Сколько потребует-
ся таких досок для настила пола? Написать числовую формулу.
1530.	Из 3,5 т золотоносного песка намывают примерно 1,4 г
золота. Найти процент золота в песке. Сколько нужно промыть
песка, чтобы получить 1 кг золота?
1531.	Два шофера сэкономили вместе за месяц 250 л бензину,
причем количество бензина, сэкономленного первым и вторым шо-
ферами, относится как 3 : 2. За экономию бензина шофер получает
премию, равную 48,7% стоимости сэкономленного бензина. Какую
премию получит каждый шофер, если 1 л бензину стоит 8 коп.?
1532.	Доярка выработала 200 трудодней. Ее сменила другая
доярка, которая выработала 100 трудодней. План надоя был пере-
выполнен на 600 л, за что дояркам выдали 15 % молока, получен-
ного сверх плана. Сколько молока получила каждая доярка за пе-
ревыполнение плана?
1533.	На обработку одной детали первый рабочий затрачивает
10 мин., второй 12 мин., а третий 16 мин. Сколько деталей обра-
ботал каждый, если все вместе они обработали 2478 деталей?
1534.	Руда содержит 19% (по весу) свинца. На заводе во время
переработки руды теряется 14% содержащегося в руде свинца.
Сколько нужно переработать руды, чтобы получить на заводе 47 т
свинца?
1535.	Смешано 250 tn руды, содержащей 68% железа, и 370/п
руды, содержащей 42% железа. Сколько процентов железа со-
держит эта смесь?
1536.	Для большинства комнатных растений рекомендуется
следующий состав почвы: дерновая и листовая земля, перегной и
410
песок в отношении 2:1:1: 0,2. Сколько \
нужно взять каждой из составных частей для \
приготовления 5 кг почвы?	V	1
1537.	Периметр прямоугольника равен
2,2 м, стороны относятся как 3 : 2,5. Най-
ти площадь	-
1538.	Масштаб карты равен -cJLn. Учас-
ток леса на плане имеет вид прямоугольна-
ка, основание которого равно 12 см, а вы-
сота на 25% меньше. Найти площадь участ-
ка в гектарах и квадратных километрах.	рис i34
1539.	Периметр треугольника равен 7,4 дм,
его стороны пропорциональны числам 5;6 и
7,5. Найти стороны.
1540.	Вычислить площади фигур, изображенных на рисун-
ке 134. Измерения выполнить с точностью до 0,1 см.
1541.	Вычислить площади земельных участков (рис. 135), если
первый участок изображен в масштабе а второй участок в
zuUUU
масштабе
1542.	Кусок железа имеет форму прямоугольного параллеле-
пипеда, измерения которого равны 14,5 см, 24,2 см и 30,8 см. Вы-
числить давление, производимое этим куском, если его поставить
на каждую из различных граней? (Удельный вес железа взять из
таблицы в учебнике физики.) Написать числовую формулу.
1543.	Вычислить давление воды в месте наибольшей глубины
Черного моря, если известно, что эта глубина достигает 2245 м,
а удельный вес морской воды равен 1,03 г!см3. Во сколько раз это
давление больше того, какое производит _
столбик ртути высотой 2 м> (Удельный	у
вес ртути взять из таблицы.)	/	/
1544.	Сумма одного числа и 24% второ-
го числа составляют 13,72, а 15% разности
искомых чисел равны 1,035. Чему равно
каждое из чисел, если второе число мень-
ше первого?
1545. Для перевозки груза были вы-
делены три автомашины, грузоподъемно-
сти которых относятся как 5:14: 10.
Рис, 135.
Сначала первая автомашина перевезла 33-i-% груза, затем вто-
рая перевезла столько же, после чего остальной груз перевезла
третья автомашина. На всю перевозку было затрачено 13 час.
Сколько часов была занята каждая из автомашин?
1546. Туристский маршрут рассчитан на 26 дней. Предположе-
но одинаковые расстояния пройти пешком, делая в день по 20 кле,
проплыть на байдарках, делая в день по 30 км, и проехать на лоша-
дях, делая в день по 40 км. Сколько дней будет затрачено на каждый
вид передвижения?
Контрольные задания.
1547. 1) Расстояние от Свердловска до Челябинска равно 262 км.
Из этих городов навстречу друг другу вышли два поезда. Первый
шел со средней скоростью 48 км в час. Второй вышел на-^- часа
13
позже, а его скорость составляла скорости первого поезда.
Через сколько времени после отхода первого поезда эти поезда
встретятся?
2) Вычислить: (5809-457+1 407 232 : 368—1 293 432) :
(449 400+3 279 570 : 582).
7 32
3) Решить уравнение:	= 2.
1548. I) Автобус проезжает расстояние между городами за 4-^~
часа, а легковой автомобиль за 3 часа. Через сколько времени они
встретятся, если выедут из этих городов одновременно навстречу
друг другу?
2) Вычислить:
1394615:205 + 21378:42
3216+ 16-16.16
3) Решить уравнение:	* = 6.
1549. 1) В 7 час. 30 мин. от речной пристани отошел пароход
и двигался со средней скоростью 18 км в час. В 8 час. 6 мин. вслед
за ним отправилась моторная лодка, скорость которой была на 25%
больше скорости парохода. На каком расстоянии от пристани мо-
торная лодка догонит пароход?
о	( 6400-450 — 320-6250 ОСА АПА А САА АА1 \	7
2) Вычислить: •--------------------250 000 — 4 500 001	: 7.
\ /
412
1
15х 2Т
3) Решить уравнение:	.
2~т
2
1550. 1) Теплоход прошел расстояние по течению реки за 2-5-
часа» двигаясь со средней скоростью 37-i- км в час. Сколько вре-
мени он затратит на обратный рейс, если скорость течения реки в
среднем равна 40 м в мин.?
2) Вычислить: 4	+ 5 g- : (б1 - 221 : 32	) + 4t"2S
2
6 з
3) Решить уравнение: j-gy =	•
1551. 1) Два отреза сукна ценой по 16 руб. 80 коп. за метр стои-
ли вместе 88 руб. 20 коп. Сколько стоил каждый отрез, если извест*
з
но, что в одном было на -у- At больше, чем в другом?
2) Вычислить: [^2 -§- • 4-j- +	. -у) . -уу — 6 .	- ур
4	2
3) Разделить 95 обратно пропорционально числам у-, 2 -у- , 4 .
1552. 1) Средняя температура за двое суток составила 24° -у-,
во вторые сутки было на 4° теплее, чем в первые. Найти температуру
в первые и во вторые сутки.
2) Вычислить: 7,5.(2,008—(1,02+3,42 : 11,4)] : 0,8.
19
3) Упростить отношение: 5	:26,4.
1553. 1) Периметр прямоугольника равен 75,6 At, основание
в 3 раза больше высоты. Найти площадь прямоугольника.
пч о	.	22,45 — 3,36:0,3	. n nr- п П/1
2) ВЫЧИСЛИТЬ. 2,7:0,18+0,065:0,013	* 0,05-0,04.
_ n	о 1	2	32
3) Решить уравнение: 2-j х-------— = — ,
1554. 1) За три рабочих дня каменщик уложил 32,4 куб. м
кирпичной кладки. Во второй день он сделал в раза больше,
чем в первый день» а в третий сделал 90% того, что сделано во второй
день. Сколько кубических метров кирпичной кладки укладывал
каменщик в каждый из трех дней?
413
ох О	15,2-0,975	,	(4—1,15:0,4)*24
2) Вычислить: 0 ^8:0,07 —0.75 +	8,9 + 10:100
3) Решить уравнение: 12-i- x + 3 ; 8 = 9	.
1555. 1) В январе совхоз израсходовал силоса в 1,2 раза больше,
чем в декабре, а в феврале 85% того, что было израсходовано в
январе. Сколько тонн силоса израсходовано за три зимних месяца,
если известно, что в январе израсходовано на 64,8 т силоса больше,
чем в феврале?
2) Вычислить:
0,035:0,02:0,5—0,78232:0,254
0.475-0,04:0,02
3) Решить уравнение: б --------6 -|-х = 6	.
1556. 1) В саду растут яблони, груши и сливы. Число яблонь
составляет 85% всех деревьев сада, груш в 8 у раза меньше, чем
яблонь, а сливовых деревьев на 26 меньше, чем грушевых. Сколько
деревьев каждого вида в саду?
m D_	6:0,5 + 204:5	0,032
2) Вычислить. 7 62>о,25_ 0,918:3,6	0,001 '
3) Вычислить сумму и произведение чисел, обратных числам 2;
0,24; 2-|-; 1.
О
1557. 1) Один из рабочих может выполнить задание за 5 дней,
другой тратит на эту работу на 50% времени больше. За сколько дней
они выполнят эту работу, работая вместе?
2) Вычислить: [б,3 + 3 • (35	— 10	• 0,4 )] • (0,7 — -Ь).
3) Решить уравнение: 7,5х — 3,3х—3,2=1.
1558. 1) В бассейн проведены три трубы. По двум трубам вода
поступает в бассейн, а по третьей вытекает из него. Первая труба
может наполнить бассейн за 4у часа, вторая за 6 час., а через тре-
тью трубу вода из наполненного бассейна может вытечь за 9 час.
Через сколько времени наполнится пустой бассейн, если открыть
все три трубы?
(	4	2	7^4
n	(3 27 — 0>7  1 3 + 18") : 27 ~8,3
2) Вычислить: ----------------------------
4,16 + 2	. 0,3
г 1 о ’
А 1 Л
3) Масштаб плана равен Найти расстояния на местности,
если на плане они составляют 7,5 см; 42,3 см; 18 мм. Отрезком какой
длины изобразится на плане участок дороги длиной 135 м?
1559. 1) Два маляра должны были окрасить забор. Сначала один
из них окрасил половину забора, затратив на это 3 часа 45 мин.,
затем к нему присоединился второй, и через 2 часа 30 мин. работа
была окончена. За сколько времени мог окончить всю работу каж-
дый из маляров?
1	\	8
25 *7’125) : 9’Г 27	8 . л о
15 : °’8'
2) Вычислить:
2
2 — 1 -V : 1.5
О
3) Участок земли имеет форму треугольника. Вычислить его
площадь, если на плане с масштабом 1:10 000 основание треуголь-
ника равно 9,1 см, а высота 3,8 см.
1560. 1) Одна колхозница собрала 0,1 ц хлопка за 0,9 часа, дру-
гая 0,08 ц за 0,8 часа. За сколько времени они соберут 1 ц хлопка,
работая одновременно?
2) Вычислить с точностью до 0,1 :
1,5.(2,652:1,3 - 1	0,06 )+3,7 • (5,4.
\	оО	/	\	Z/ 40 /
з
3) Выразить с точностью до 0,1% отношение 4 у: 4,3 и обрат-
ное отношение.
1561. 1) В магазин привезли муку трех сортов: муки первого
сорта было 44% всего количества, а количества муки второго и
третьего сортов относились как 0,05 : 0,125. При этом муки третье-
го сорта было на 288 кг больше, чем муки второго сорта. Сколько
привезли муки каждого сорта?
2) Вычислить с точностью до 0,1:
I 1	2	3 х
+	1,8 + 26'* 3,25] .595
3) Найти среднее арифметическое: 1 кг 23 г; 995 г; 1,03 кг.
1562. 1) Площади участков, вспаханных тремя трактористами,
относятся как 0,25 : 0,5 : 1. Сколько всего вспахано земли, если
известно, что первый и второй трактористы вместе вспахали на
1,65 га меньше, чем третий?
2) Вычислить с точностью до 0,1:
(82,15 — 15,2 : 2 -у) • 0,05 : 0,25 + (о,81 + -у) • (о,81 — -у) .
415
3) В колхозе две полеводческие бригады. Первая бригада со-
брала ржи по 18,7 ц с каждого из 115 га, а вторая по 22,5 ц с 184 га.
Вычислить урожай с 1 га по всему колхозу.
3	1
1563. 1) Из 573 м сукна шириной 1 — м сшито 204 пальто.
Сколько таких пальто можно сшить из 112 ~ м сукна шириной
1	у м> Написать числовую формулу.
2)	Вычислить с точностью до 0,01:
[(2,25 —	2 4 + 29.75 ; 6 4 — 1 4 : 0,641: 8 -J- •
L \	О/О	О <>	J4
3)	Найти НОК чисел 132, 100 и 32.
1564, 1) Расстояние между двумя городами мотоциклист про-
ехал за 3 часа. В первый час он проехал 30% пути, во второй
остатка, а в третий час остальное расстояние, причем в третий час
мотоциклист проехал на 24,8 км меньше, чем во второй час. Найти
расстояние между городами и среднюю скорость мотоциклиста на
всем пути.
2) Вычислить:
56-38.75
19 15-28
124-128-144
48-31-32 ’
3)	Упростить отношение: 17 -±-: 21,6.
1565. 1) Катер, двигаясь со средней скоростью 330 м в мин.,
прошел расстояние между пристанями Л и В за 6 час. 30 мин. Те-
плоход «Ракета» на подводных крыльях вышел из Л одновременно
с катером, пришел в В, вернулся в А и снова пришел в В в одно
время с катером. На стоянки в В и А теплоход израсходовал по
30 мин. Найти среднюю скорость движения теплохода «Ракета».
2) Вычислить:
38,4-0,88-1,56
0,33-2,56-65 +
0,432-0,8.9,8
0,014-5,76-70 '
3)	Как изменится частное, если делимое увеличить в 3,6 раза,
а делитель уменьшить в 5 раз?
1566. 1) Комната имеет длину 6,4 м, высоту 2,5 м, а ширина ее
составляет 144% высоты. Стены этой комнаты нужно оклеить
обоями. Сколько кусков обоев нужно для оклейки, если каждый
кусок имеет длину 12 м и ширину 0,5 м, а окна и двери занимают
10% площади стен?
2) Выполнить действия над приближенными числами:
(253,859—193,96 + 20,3)-0,069.
416
3) Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на
2
5-у, а вычитаемое увеличить на 5,6?
1567. 1) Колхоз заготовил 105 т сена. 48-^-% сена вывезе-
но с луга, а остальное сено сложено в трех стогах, причем между
стогами сено распределено в отношении обратно пропорционально
числам -4- и -4-. Сколько тонн сена было в каждом стогу?
2	3	4	J
2) Выполнить действия над приближенными числами:
45,28 : 6,45+89,5-0,567—12-0.4682.
3) Найти среднее арифметическое чисел:
125 ж; 118,4 м; 119 м; 126,6л.
1568. 1) Три машины различной грузоподъемности перевозят
удобрения с железнодорожной станции в колхоз. Шофер первой
автомашины берется перевезти вагон удобрений за 3 рейса, второй
за 5 рейсов, а третий за 10 рейсов. Они вместе перевезли 85,5 nt удо-
брений, сделав одно и то же число рейсов. Сколько перевез
каждый?
2) Выполнить действия над приближенными числами:
0,75999-7,2—56,2001 : 38,4+93 : 111.
3) Произвести несколько перестановок членов пропорции:
Проверить получившиеся пропорции.
Задачи на сообразительность.
Занимательные задачи.
1569.	Дети делили яблоки. Когда стали раздавать по 5 яблок,
то последнему досталось 3 яблока. Когда же стали раздавать по
4 яблока, то осталось 15 яблок. Сколько было детей?
1570.	Колхозница принесла на рынок продавать яйца. Когда
она их раскладывала по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз
оставалось одно яйцо. Когда же она разложила их по 7, то ни од-
ного лишнего яйца не осталось. Сколько яиц принесла колхозница
на рынок?
14 Заказ № 316
417
1571.	На памятнике греческого математика Диофанта имелась
следующая надпись: «Здесь погребен Диофант, и камень могиль-
ный расскажет, сколь долог был век его жизни. Часть шестую
ее составляло прекрасное детство, двенадцатой части равна его
светлая юность. Еще часть седьмая прошла — браком себя соче-
тал. Пять лет прошло —и послал Гименей ему сына, коему рок
половину лишь жизни прекрасной дал по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец кончину воспринял, четыре лишь
года с тех пор прожив, как сына лишился. Скажи мне, сколь-
ких лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?»
1572.	Вставить пропущенные цифры:
1) ???? X ?2 18?48 7499? ?? ?66?	2) 6?7?8	?7? ?7? р? 3?64 ?9?8 2?68 ?9?8
О
1573. Восстановить стертые цифры, обозначенные знаками во-
проса:
1) 23??85 X ???5 ?????2? ?347?? ??9570 ?04??? 7????????	2)	?7??? X 743 ?????5 ?????? ?????? 42???87?
1574.	Даны три отрезка (рис. 136). Измерить их длины с точно-
стью до 0,1 см. Начертить такой четвертый отрезок, чтобы из длин
всех четырех отрезков хможно было составить пропорцию.
Сколько решений имеет задача?
1575.	Найти вес рыбы, зная, что хвост ее весит 4 кг, голова весит
столько, сколько хвост и половина туловища, и туловище столько,
сколько голова и хвост вместе.
1576.	Один рабочий получил за день столько рублей, сколько
дней он проработал, а другой получал за день на 1 рубль больше
первого, но работал на 1 день меньше. Какой из рабочих больше
получил денег?
1577.	Жители одного из городов УССР разговаривают либо на
С
Рис. 136.
украинском, либо на русском языке, либо на том и другом. По-
украински разговаривают 84,2%, по-русски 78,8%. Сколько про-
центов населения этого города разговаривают на обоих языках?
1578.	Хозяйка купила на рынке курицу, утку, гуся и индейку
за 20,3 руб. Утка, гусь и курица вместе стоят 11,9 руб., индейка,
гусь и курица 17,5 руб., утка и курица 6,2 руб. Сколько стоит каж-
дая птица в отдельности?
1579.	Матери 36 лет, у нее сын 13 лет и дочь 11 лет. Через
сколько лет возраст сына и дочери вместе будет равен возрасту
матери?
1580.	На сколько процентов возрастет покупательная способ-
ность населения, если цены на все товары снизить на 20% ?
1581.	Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют
прямой угол?
1582.	Изменится ли величина дроби, если к числителю и знаме-
нателю ее прибавить равные числа, отличные от нуля? Какие не-
равные числа можно прибавить к числителю и знаменателю дроби,
чтобы величина ее осталась прежней?
1583.	Найти число, обладающее таким свойством: любое число
процентов его равно этому числу.
1584.	Ваза весит 60 кг и состоит из сплава золота, меди, олова и
2	3
железа. Золото и медь составляют вместе у, золото и олово
з
золото и железо т общего веса. Найти вес каждого металла в от-
дельности.
1585.	Индийская задача. Старший брат сказал младшему:
«Дай мне 8 орехов, тогда у меня будет вдвое больше орехов, чем у
тебя». А младший сказал старшему: «Ты мне дай 8 орехов, тогда
у нас будет поровну». Сколько орехов было у каждого?
Приложение.
ТАБЛИЦЫ НАИБОЛЕЕ УПОТРЕБИТЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦ
ИЗМЕРЕНИЯ.
1. Меры длины.
Обозначения единиц.
Название единиц	Обозна чение
Метр	М
Километр	КМ
Дециметр	дм
Сантиметр	см
Миллиметр	мм
Микрон	р-
Соотношения между
единицами
1 км = 1000 м
1м — 100 см = 10 дм
1 дм = 10 см
1 см = 10 мм
1 мм — 1000 р.
Примечание. При измерении диаметра труб употребляется одна из
единиц прежней русской системы мер длины —дюйм. Он обозначается знаком
<">. I" а 25,4 мм.
2. Меры площадей.
Обозначения единиц.
Название единиц	Обозначение
Квадратный метр Квадратный километр Квадратный дециметр Квадратный сантиметр Квадратный милли- метр Ар Г ектар	Кв, М, или м2 Кв. КМ, или км2 кв. дм, илидл2 Кв. СМ, или см2 кв. мм. или о2 а ги
Соотношения между
единицами.
1 кв. м = 100 кв. дм —
= 10 000 кв. см
1 кв. км = 1 000 000 кв. м
1 кв. дм= 100 кв. см
1 кв. см = 100 кв, мм
1 а — 100 кв. м
1 га = 100 а
420
3, Меры объемов.
Обозначения единиц.
Назриние единиц	Обозначение
Кубический метр Кубический дециметр Кубический санти- метр Кубический милли- метр	куб. м, или м3 куб. дм, или дм3 куб. см, или см3 куб. мм, или мм3
Соотношения между
единицами.
1 куб. м = 1 000 000 куб. см
1 куб. дм = 1000 куб. см
1 куб. CAt = 1000 куб. мм
4. Меры емкости (вместимости).
Обозначения единиц.
Название единиц	Обозна- чение
Литр	Л
Декалитр	дкл
Г ектолитр	гл
Соотношения между
единицами
1 л ~ 1 куб. дм
1 дкл. — 10 л
1 гл = 100 л
5» Меры веса.
Обозначения единиц.
Название единни	Обозна- чение
Килограмм	кг
Тонна	т
Центнер	и
Г рамм	г
Миллиграмм	мс
Соотношения меж ду
единицами.
I т = 1000 кг
1 ц = 100 кг
1 кг = 1000 г
1 г = 1000 мг
Примечание. При измерении веса иногда употребляется одна из еди-
ниц прежней русской системы мер веса — пуд.
1 пуд ~ 16 кг,
I	пуд.
6. Меры времени.
1 сутки = 24 часам
1 час — 60 минутам
J минута = 60 секундам
1 високосный год = 366 суткам
1 простой год = 365 суткам
1 век	= 100 годам
421
ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, МЕНЬШИХ
1ООО.
2	3	5	7	1 1	13	17	19
23	29	31	37	41	43	47	53
59	61	67	71	73	79	83	89
97	1О1	103	107	109	1 13	127	131
137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263
269	271	277	281	283	293	307	31 1
313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457
4£1	463	467	479	487	491	499	503
509	521	523	541	547	557	563	569
571	577	587	593	599	601	607	613
617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719
727	733	739	743	751	757	761	769
773	787	797	809	81 1	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881
883	887	907	911	919	929	937	941
947	953	967	971	977	983	991	997
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
Абсолютная погрешность 329
Арифметическое действие 21
Верные цифры 331
Вершина угла 197
Веха 298
Взаимно обратные числа 165
>	простые числа 95
Высота прямоугольника 188
>	треугольника 257
Вычитаемое 29
Вычитание 29, 132
Градус 198
Грани параллелепипеда 192
Действия первой и второй ступени 70
Деление 46, 167
Деление с остатком 46
Делимое 46-
Делитель 46
Делитель числа 83
Десятичная дробь 217
Десятичная система счисления 6
Десятичные знаки 217
Диаграмма 202
Диаметр 196
Доли единицы 106
Дополнительный множитель 124
Дробь 107
Дуга 197
Знаки неравенства 116
Знаменатель дроби 109
Значащие цифры 339
Классы чисел 6
Крайние члены пропорции 377
Кратное 84
Круг 197
Куб 192
Луч 111
Минута (угловая) 200
Многозначные числа 6
Множество 20
Множимое 36
Множитель 36
Наибольший общий делитель 95
Наименьшее общее кратное 97
Натуральные числа 5
Неправильная дробь ПО
Непропорциональные величины 385
Несократимая дробь 121
Нечетные числа и цифры 86
Нуль 5
Нумерация чисел 6
Обратные числа 165
Обратно пропорциональные вели-
чины 384
>	пропорциональное деление
395
Обыкновенные дроби 107
Общее кратное 97
Общий делитель 95
Однозначные числа 6
Округление чисел 76, 226
Окружность 196
423
Основание параллелепипеда 192
*	прямоугольника 188
»	треугольника 257
Основное свойство дроби 120
»	свойство пропорции 378
Остаток 46
Острый угол 200
Относительная погрешность 365
Отношение 283, 284
Отрезок 111
Переместительный закон сложе-
ния 22, 130
> закон умножения 37,159
Период 275
Периодическая дробь 275
Перпендикулярные прямые 301
Периметр 255
Поверхность параллелепипеда 259
Последующий член отношения 283
Правильная дробь 110
Предыдущий член отношения 283
Приближенные числа 74, 244, 326
Приведение к наименьшему общему
знаменателю 124
Признаки делимости чисел 86
Прикидка 144
Провешивание прямой 298
Произведение 36
Пропорция 376
Простые числа 91
Процент 249
Процентное отношение 359
Прямой угол 197
Прямо пропорциональное деление
392
Прямо пропорциональные величи-
ны 383
Прямоугольная диаграмма 202
Прямоугольный параллелепипед 192
Прямоугольный треугольник 257
Радиус 196
Разложение на простые множители 93
Разность 29
Разряды чисел 6
Разрядные единицы 6
Распределительный закон умноже-
ния 38, 160
Ребра параллелепипеда 192
Римские цифры 15
Сектор 205
Секторная диаграмма 205
Систематические дроби 216
Слагаемое 22
Сложение 21, 127
Смета 260
Смешанное число 111
Сокращение дроби 121
Сомножители 36
Сомнительные цифры 331
Составные числа 91
Сочетательный закои сложения 22,
130
Сочетательный закон умножения 37,
160
Среднее арифметическое 73
Средние члены пропорции 377
Стороны угла 197
Сумма 22
Сумма цифр числа 86
Счеты 8
Транспортир 198
Тупой угол 200
Угол 197
Уменьшаемое 29
Умножение 36, 139, 147
Уравнение 56, 185
Формула 190
Цена деления 329
Центральный угол 198
Цифры 5
Частное 46
Четные числа и цифры 86 и 87
Числитель дроби 109
Числовая формула 212, 259
Числовой луч 111
Числовой масштаб 288
Члены дроби 109
Члены пропорции 377
Эккер 301
Элементы множества 21
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ.
№ за*
даний
1.	4. 900. 5. 1) 4; 2) 7; 3) 5; 4) 10; 5) 9.
2.	1. 1000-1000. 2. 1 кв. м. 3. 100-100-100. 4. 1000-1000-1000»
3.	4. 1; V; X; L И С. 5. XXXIX; LXXIV; CI.
4	. 3 . 7000+ 600+ 70+ 2.
5.	2. 1) Сумма равна 226; 2) Сумма равна 33 514.
в. 7) 41 119; 3) 217 576,
7.	1. 1) 4 351 950; 2) 157 495 784. 2. 19 985; 22 807 и 119 747. 3 . 43га 46 а.
8.	1. 1) 38 180; 2) 12 208; 3) 92 906; 4) 224 092; 5) 811 806.
9.	1. Разность равна 2323. 2. 46 535. 3. 297 644. 4. 194 529. 5. 699 295.
10.	7) 739; 8) 16 140.
12.	1. 5) 2 732 1 72; 6) 2 531 130 000.
13.	1. 1) Произведение равно 37 157. 2) Произведение равно 8772.2.988 и
243 811. 3. 10 008 кв. см.
14.	1. 209. 2. I) 307; 2) 1; 3) 8007; 4)0.
15.	1. 1) Частное равно 909. 2) Частное равно 4009. 3) Частное равно 8060.
2. Первый результат равен 189 189, второй равен 7008. 3. В 9080 раз;
на 426 713.
16.	1) х=995 961; 2) ^10 201; 3) с=1729; 4) г=101; 5) х=505; 6) у=273 351.
17.	1. 902 и 4510. 2. 3 часа. 3. 5 мин.
18.	4. Не изменилась. 5. 10.
19.	2. Увеличилось в 6 раз. 3. 144 кв. м.
20.	2. Уменьшилось в 20 раз.
21.	3. 63 376. 4. 10.
22.	1 .«14°. 2. 92 руб. 64 коп. 3. Можно сказать, что население составляет
700 000 чел. или 720 000 чел. 4. Нет. Обычно выражают в километрах.
23.	1. 1586883 кв. ммх\ 590 000 кв. жм=159м. дм. 2.я;1 610 000 куб. дм =
= 1610 куб. м.
26.	3. 1) 19; 2) 21; 3) 22.
27.	4. Так как 9 делится на 3, то число, кратное девяти, делится на 3, Число,
кратное трем, не всегда делится на 9, например число 33.
28.	4. 0 и 1. 5. 11 и 97.
29.	30 = 2 • 3 • 5; 70=2 -5.7; 65=5 • 13; 99=3 • 3 • II; 490=2 -5-7 - 7;
512=2 - 2 - 2 - 2 • 2 - 2  2 • 2 - 2; 4900=2 • 2 • 5 - 5 - 7 - 7;94 600=2 • 2х
X 2 - 5-5-11 -43.
425
2. z/л кв. см
3
34. 2. 2 -у ;
35. 1.	;
61 . 39 . 75 .
3’8’ 7 ’
30.	1.12 и 6 имеют такие общие делители: 1, 2, 3 и 6. Числа 20 и 3 имеют толь*
ко один общий делитель, он равен 1. 2. Например, числа 12 и 1706 имеют
общий делитель 2; числа 30 021 и 71 211 имеют общий делитель 3. 3. На-
пример, 16 и 25; 7 и 11; 13 и 60.
31.	1. 1) 30; 2) 60; 3) 60; 2. I) 720; 2) 29 400; 3) 55; 4) 360.
12	8	1	3
32.	1. 2) -уу ; 4) -у ; 6) уу ; 2. уу часа=6 мин. 3. уу кг—300 г.
12	3	7
33.	1. 1 дм = уу л<; 2 дм = уу м\ 3 дм ~ уу м\ 1 дм — уу ли
_	273
— 10000 кв- м-
1	1
4 5 ’	10 10 •
14	21	28	35	42	7
2	’	3	;	4	•	5	’	6	‘ 2’ 3	:
А.. 36. 1. 30 А; 101 А; 121 А ; 14 А. 2. Наиболь-
10	10	4	8	30
1П1 3	.. 15	,	1^5^710 „2^2
шее 121 _ ; наименьшее 14 — . 37. 1. — < — < _ < — . 2.— > —;
. 1 - , 1	6_1.30_2,.4_.2.„30_95.
4 >	5 • 3 ' 4- Т2	-75	'io V ZW2^--27'
А_ = А. 4о. i. А> А 2. А>А.з. A>A>A. 4i. ii) i;
1863	23	15	9	90	180	20	24	900
2) 1 A ; 3) 4 A; 4) 10 A; 5) A®.. 2. 1) 1; 2) 2 A. 42. 1. 1) Сложить
1	10	8	1	60	1530	12
первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым, затем сложить получен-
ные результаты.	2.	Сложить	сначала	второе и третье	слагаемое.	43.	1.
1)	А ;	2)	4 А ;	3)	А; 4)	1	2®	;	5)	А ;	2. На	А	. 3. 3 А .	44.	1.
7	3	7	8	18	24	20	24	70
1)	А •	2)	А; 3) 7	А. 45.	1. 1)	3	А; 2)	23 А.	2.	23 А. 3.	7 А.
7 154	’ 96	’	8	5	4	10	14
46. 1. 25 мин. 2. 140 см. 3. А . 47. 1. 1) 13 А; 2) 14; 3) 2 А . 2. 18 км.
35	3	3
3. 1) 72-1-; 2) 7 А; 3)23; 4) 14. 48. 1. 1) А; 2) А  3) ’ ; 4) 60.
2	/	о	02	OU
2. 259 .	49. 1. 1) А	; 2) А	; 3) 6; 4) 28. 2. 1) А ;	2) А	; 3) 1 А	.
300	36	6	27	6	3
з
3. га. 50. 1. а) Если множитель равен 1; б) если множимое равно 0.
2.
3)
I	1	2
Если множитель меньше единицы. 3. 1) 3.— • 2> 3-—2) 10-—<10;
2	2	5
А . 2 А > А; 4) 0 • А = 0; 5) 1 • А = А . 51. 1. 1) и 2) Сначала
4	5	4	4	12	12
перемножить первый и третий сомножители. 3) Применить распределительный
закон. 2. 3. 52. 1. 48 руб. 2.2—. 53. 1. — ; _L ; 4; 2 JL ; 8; 5 —;
28	12	100	2	4
7 * 31
3. Потому, что нет такого числа, произведение которого и нуля
426
было бы равно 1. Это произведение всегда равно 0. 54. 1. 1) _L ; 2)
3) -L I 4) 1А ; 2.	; J_  — . 3. 4 JL . 55. 1. 1) 2 22 t 2)
16	'	12	120	60	180	10	f 153* *
2
3)	. 3. 32 см. 4. а) Делением на дробь, б) Умножением на дробь.
125
1) I Ц__ ; 2) 2-2 ; 3)22. 57. 1. Выполнить действия над числами, стоящи*
7	5	32
9 .
13 ’
56. 1.
ми до знака равенства, затем с числами, стоящими после знака равенства, я
сравнить результаты. 2. 1) 20 --L. ; 2) 25 JL; 3) 10	; 3, 1) 2 2L;
2) 3 А; 3) 6 А. 58. 1. 1) 420; 2) 24; 3) 90. 2. 1) 4; 2) 112: 3) 23 А.
59. 1. и I®.. 2. 2—. 60. 1. 23 А и 27 А. 2. 35 А км: 37 А км
25	27	24	15	15	18	9
и 32 —— км. 61. 1. 6 -5— кв. м. 2. 5 м. 62. 1. 10 А. куб. м. 2. 26 ^—куб.м.
36	4	125	3
3.	97 куб. м. 63. 2. 180'; 90 . 64, Всего 10 070 тыс. чел. 66. 1. 0,57;
0,03; 1,2; 3,04; 0,006; 0,077; 2,000397; 3,00077.
67.	3. Могут быть равными, если одна получится из другой путем приписы-
вания нулей справа.
68.	1. Наибольшая 4,3; наименьшая 1, 475. 2. 6; 7; 7, 805; 7,84; 7,843; 9
69.	1. 41,2;,412; 0,412; 0,0412 и 40,759; 407,59; 0,40759; 0, 040759. 2. В 100;
в 10; в 1000; в 100 000 раз, 3. 1) 0.27 руб. 2) 0,03 руб. 3) 12, 15 руб.
70.	1. 12 300; 2 400 000; 4 800 000 000; 2. 14 млн.; 15,47 млн.; 0,7 млн. 3.
1)	1,2 кг; 0,0012 т; 2) 0,473 куб. м.
71.	1.	4,4; 14,2; 0,8; 0,9; 1,0; 1,0. 2. 4,8054; 4,805; 4,81; 4,8;	5. 3. 170, 5 млн.
72.	1.	17,365. ‘2. 152,713. 3. 1) 6; 2) 5,1; 3) 26,1; 4) 0,73; 5)	0,75.
73.	1.	На 2,52. 2. 9,411. 3. 1) 88,4; 2) 9,015; 3) 13,525.
74.	1.	1) 1,715; 2) 1,206; 3) 163,8; 4) 0,001183; 5) 27. 2. 9,8935 кв.	кв.м.
75.	1. 1) 1,36; 2) 0,07; 3) 31,41. 2. 1) 0,005; 2) 4,07.
76.	1. 1) 4,06; 2) 0,072; 3) 0,0606.
77.	1 . *Толщину учебника нужно разделить на число листов (не страниц).
2.	^0,67 м. 3. — 0,3;	0,27; ^0,273.
78.	1. 1,53= 153%; 1,5=150% и 5=500%. 2. 264 руб. 60 коп.
79.	1. 500. 2. 500 000 пар,
80.	1. 2,4 м и 0,36 кв. м.
81.	1. 125, 46 кв. м.
82.	1. 34, 56 кв. м.
83.	Общая стоимость 24 руб. 81 коп.
1	1	1	76	3	3	_	3
84.	L 1 25		8	' 4 625	’	125	: 1 4	’ 2' 5	“ 0,6:	6	= 0,5;
3	7	7
125"	°,°24 ,	28’ = 0125;	400 = °10175-
2	3
85.	1.5,175; 1,875; 0.068; 0,2. 2. уу « 0.118 « 0,12 « 0,1; -ур ж 0,073«
120	1	17
л0,07«0,1; -gy ж 2,105 — 2,11 ж 2,1; ууу «0,007 ж 0,01 «0,0;	=»
427
1	3	2
ж 0,043 яг 0,04 = 0,0. 86. 1. -g-= 0,1(6) « 0,167; у = 0,(27) яг 0,273; у =
7	5	4
= 0,(153846) ® 0,154; у = 0,4(6) s 0,467. 87. 1. -у 2. 1. 88.1. 1)2-у.
2) 200; 3) 20^00"'	25. а) КМ В чаС' Нельзя. 89. 1. 1) 36; 2) 6;
2
3) 15,6; 4) 13,5; 2. 1) 7 8; 2) 13; 3) 22у. 4) 41,6. 90. 1. яг 1100 км. 2. Не
1 1
более -1goo -, 91. 1. Первое и третье — приближенные числа. 92. 1.	; 2.
1° и 0,1°. 93. 2. 1)я1350; 2) я: 350; 3)^57 900; 4)^0,7891; 5)^0,789, 6)я4,5.
94. 1.-39,6. 2. я9,0. 95. 1. 3; 3; 4; 2; 4. 2. 3; 4; 6. 96. 1,я233000 кв. м.
2. я 420 куб. м. 97. 1.х54 куб. см. 98. 1. 1)я15,8; 2)~0,7. 99. 1. 0.04. 1,75;
0,054; 0.00079;	-^г. 2. 400%; 38%; 2,5%; 251.2%; 55 у (, я 55,5%;
OUU OUU	У
101-у%; -j^-%. 10°* 2- 2б’46 РУ6, 3* 14000	10к к 5000 кв- * 2*
500000 пар. 3.^540 кг. 102. 1. ъ 68,8%, 31,2%. 2. 300%; 200%. 3.	79,3%.
103. 1. 0,1 м; ж 0,3%. 2. 1 мм; 0,4%. 104. 1) 20 км. 2)	57%; 3) 1.2 км'
2	10
105. 1. 2-J-: -jj-; 3. 2. 1) 5,2; 2) 8. 3. 1) 3: 5; 2) 4:5; 3) 32:45; 4) 65:39.
3
106. 1. 1)1:3; 2) 8:3. 2. 1) 5:3; 2) 32 : 1. 107. 1. 0,6: 0,5 = -у-: 6,25. 2.
57
1) Не верно. 2) Верно. 3) Верно. 109. 1)7; 2) 20,8; 3)	или 0,49;
4)2,25. 110. 3. Нет, 111. 3. Нет. 112. 1. 32 трактора. 2. 20/л. ИЗ. 2. 1,34 м;
1	5
3,35 м и 4,68 м. 114. 1, 1) 104	125 в 20-^-; 2) 104,17; 125 и 20,83.
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ,
1. Натуральные числа,
17. 507 цифр. 32. 1) 210 мин.; 2) 580 мин. 33. 1) 900 мин.; 3) 4320 мин. 34.
1) 170 га. 35. 1) 400 000 куб. см; 400 куб. дм. 53. 39 м 84 см. 54. 4 км 286 м.
55. 3) 65 га 30 а; 4) 18 час. 18 мин. 61. 14 180 га. 62. 3610 кг. 63. 4 часа 2
мин.; 39 мин. 66. 43 руб. 92 коп. 68. Может. 74. 900. 75. 90 001. 78. 7590.
79. 384 руб. 95 коп. 80. 1) 91129; 2) 5229; 3) 1 546 044. 83. 21 м 70 см. 84. 444 а.
85. 1 га больше на 9421 кв. м. 86. 91 295. 87. 301 760 куб. см. 88. 5 400 002,
89. 1) 50 719; 2) 1739; 3) 36 271. 93. 870. 94. 1) 955; 2) 0. 95. 2) 705; 4) 0. 99.
2) 2 134 264; 4) 2 820 800; 6) 3 573 360; 8) 293 760; 10) 42 025. 100. 5) 3 002 400;
6) 623801; 7) 90 420; 9) 15 373 426; 10) 493 039. 101. 2 592 000 сек. 103.
209 000 000 куб. см. 104, 1 499 784. 105. 669 330. 106. 1) 133 225 кв. см. 107.
1) 195 112 куб. дм. 109. 5 или 6. ПО. 3) 84 часа. 111. 1) 10 час. 30 мин.;
2) 1518 кг; 3) 410 кв. м. 113. 237 510 кв. см или около 24 кв. м. 115, 3 часа, 116.
9 371 250 кв. м. 117. 2105 кг. 118, 643 км; 221 км. 120. 4) 4007; 6) 79 090. 121.
1) 4090; 4) 306; 5) 34 090. 122. 1) 12 кв. м 55 кв. дм. 2) 2 часа 22 мин.;
3)8 куб. м 367 куб. дм. 124. I) 28 .и. 125. 125 млн. мешков; 625 000 вагонов.
128. 105 452. 130. 8 станков. 131, 117 сек. или около 2 мин. 132. 112. 134.
428
1)	15 дм. 135. 1002 ящика или примерно 1000 ящиков. 136. 1) 48 165; 2) 500-
137. 7 мальчиков. 141. 973 м. 142. 2) 1 649 751. 3) 63 488 куб. см. 143. 2) 14;
3) 87 750 куб. мм. 144. 1) 90 000; 2) 1056 куб. дм\ 3) 25. 145. 2) 4366; 3) 901.
146. 1) 1000; 2) 383. 147. 1) 203, 2) 486. 148. 1) 73 124; 4) 160. 149. 8680. 150.
8889. 151. 83. 152. 401. 153. 102 818. 154. 1) 8; 2) 15; 3) 14; 4) 9; 6) 9; 7) 3; 8)9.
155. 9 и 63. 156. 7 и 42. 157. 650 км в час. 158. 4 часа. 159. 80 и 160. 160.
720 а. 165. 1) Увеличится на 48 м; 2) уменьшится на 6 м. 166. 30 лет; 20 лет.
170. На 5 лет. 174. 1) Увеличится в 20 раз; 3) уменьшится в 2 раза, 177. В
первой пачке в 2 раза больше. 178. В 3 раза. 179. В 2 раза. 180. В 6 раз. 181.
Увеличится на число, равное другому сомножителю. 185. 1) Увеличится в
5 раз; 3) уменьшится в 18 раз. 188. 60 дней. 189. В первый раз затратят вре-
мени в 2 раза больше. 190. Взять машин в 5 раз больше. 191. В 9 раз больше.
193. 9) 1400; 10) 169. 194. 1)1; 2) 338; 3) 461 580; 4) 0; 5) 66 120; 6) 1; 7) 0;
8) 83. 195. 1) 237; 2) 220. 196. 2) 977. 197. 1) 200; 2) 2530. 200. 49 мин. 201.
« 379 м 27 см или 379 м. 202. 4 км 750 м. 203. 1) ^16; 2) 62; 3) «94;
4) 5 кв. м 50 кв. дм; 5) 1060 куб. см; 6)^13 кг 268 г. 204. ^88 семян,
205. 1) 3792^3790^3800^4000; 47 588^47 590^.47 600^'48 000;
31 049 ^31 050^31 ООО « 31 000;
2)	3 579 261 ^3 600 000^4 000 000.
4 099 987^4 100 000^4 000 000;
5 908 751^5 900 000^6 000 000. 207. 373 000 кв. м или ж 37 га. 208. ъ 149
куб. м. 209. ^548 га. 210.^20 т. 211. 1) 87 059; 3) 6270; 5) 5. 212. 1) 23 254;
2) 4 055 345; 3) 920; 4) 10; 5) 17 473; 6) 1 000 000. 213. 1) 32; 2) 35; 3) 35; 4) 10;
5) 5; 6) 32; 7) 11; 8) 8. 214. 5 час. 215. Через 3 часа после выезда мотоцикли-
ста; расстояние равно 126 км, 216. 88 км в час. 217. 40 м в мин. и 120 м в мин.
218. 33. 219. 1) 11; 33 и 132; 2) 45. 180 и 900. 220. 12. 221. 3 руб. 20 коп. 222.
Перевыполнил на 59 300 руб. 223.	12 387 руб. 228. 1) 391 682; 2) 2 часа;
3)	увеличится на 22. 229. I) 0; 2) ~ 306 у^31 гп; 3) уменьшится в 27 раз. 234.
6 час. 235. 46 км и 92 км. 239. 8100 кв. м. 240. 4 часа утра. 245. На 5 делятся чис-
ла: 3560; 3650; 5360; 5630; 6350; 6530; 3605; 3065; 6305; 6035. 246. 1634 куб. м;
441 куб. м; 2240 куб. м. 247. 1 руб. 46 коп. 248. 9379. 251. 6 кг 150 г
меди и 150 г цинка. 252. 6480 км. 253. 1480 кг. 258. Существует только одно
четное простое число 2. 259. Нет. так как оно делилось бы на 3. 261. 4 дня.
262. 1) 80 оборотов; 2) 5 дм. 263. Число 11. Трехзначного простого числа с
одинаковыми цифрами не существует. 264. Таких чисел только два: 2 и 3.
265. Их сумма будет четным числом. 271. 6 час. 272. 6400. 273. Два. 274. 11.
278. 100 км. 279. 243 ц. 280. 489 км и 1956 км. 284. 9) 2880; 10) 10 080;
11) 8550; 12) 640 000. 285. 1) 168; 7 и 3; 3) 1425; 19 и 15; 5) 32 000; 128 и 125.
286. 42 руб. 20 коп. и 126 руб. 60 коп. 287. 4020 ц, 2010 ц и 12 060 ц. 288.
107 т 500 кг. 289. 1) 475 337; 2) 21 249; 3) 6528; 4) 100 000. 290. 1) 416; 2) 101;
3) 0. 291. 400 г и 800 г. 292. 40 км в час и 50 км в час. 293. 1) 36 /п, 72 т и 144
т; 2) 1584; 3) 1. 294. 1200 у, 600 ц и 300 ц; 2) 133 920; 3) 0. 295. 1) 5000;
2) 1; 3) 18 126; 4) НО; 5) 249 480; 6) 933 333; 7) 0; 8) 0. 299. 7) 5580; 8) 6006.
300. 3) 223; 5) « 189; 6) 73. 301, 10 402 км. 302. 1029 куб. см. 303. 20 плат-
форм; 150 шпал. 304. 848 км и 784 км. 305. 480 000 кв. м; 48 га. 306.«142 у.
309. Через 180 м. 310. 4 года; 12 лет и 36 лет. 311, 48; 48 и 96. 312.
1250 куб. м и 3750 куб. м. 314. 0. 315. На седьмой день. 316. 342 стр, 317.
9 и 7.
429
II. Дроби.
324. 1) 240 и 960; 2) 64 и 320. 329. 1) 400; 2) 120; 3) 4680. 330. 18 480 кв.
2 га. 333. 2_. А,	— п —. 335. 1) 3 J-; 2) 2-L; 3)
8	8	8	8	8	8	8	2	5
4 X .
7
90 км.
дроби:
71 403 . 2. 15	43
4’8’	7’8’
коп. 350. Со знаменателем 3 будут
4; А= 1.
3
15	15
341. 1) А . ЛЁ.
3	9
1) 7 руб. 60 коп.; 2) 63
= 2-1; -----
3	3
3	3
5 ’ 2
1) 1 -1- : 2) 2	. 367. Уменьшится
_4_____12
5 “ 15 ’
40
349.
7
3
353. X, X,
10	7
9	9
17 ' 20
12 =
3
15
358.
в 4 раза.
_ 28
“ 48
378 _____
630 “ 5
3 о 2
-4-;3)!-
2) 620 4"
5
1 '
5
1 24 :
9
36 -уд- км.
3)
4)
399.
3
LU , I3?. 348. 1) 24 км.; 2)
10’5
8 =2_2_. J
3 ‘
-356Ч- 13'-ГГ’^‘
3 -
371.
_5__________________
6 ~ 48 ’ 16 “
3
9
10
1
’ 1 2 1
2
3) 20 -g- .
380.
. 383
13
1 21 -
5
5
12 “ '
9
48 •
5
1) “Г 
7	21
15	___________
36 ’ 40 “ 120 '
385.
27	3
376. 72 - 8
7	9
9 ' 11 ’
2
1)49^-;
104
4) 2.	394.
5)
36 *
389. 4)
4
11 11 ‘
2
1 т
47
2) 240*
1
2)
6)
5
352. —,
12
X . 357.
7
16 раз.
В
2)
-; 4) 62-25
9
: 7)2-j6-.
401
400. 1)-^1
24 мин. 403. 122-у- м. 406. 1) 20^ ; 2)
2
15 -Е- т. 408. 23 л.
о
13	7
144 ; 5) 30 :
109
Ю) 2^. 417.
1
3 10
12 ’
407.
з) 4* 4)
45
8>	8 52 •
409. 250 т.
9
6) 100 •
29
2) 21 ^g-.
10) 0.
3
19 т
418.
млрд.
чел. 419.
КМ
19
6)	5]00;
4> 12~36
в
час;
8)
427.
2)
z 55 ’
3
10 Л
5
4
431.
1
3 "10 руб*
432.
4	5	7
12	'	12	’	12	’
119	9
5	’	10	'	14	'
368. Увеличится
12
7
4 = 48 ’ 12 =
_____________36_
; 430 - 43 ’
5^
9
1
373.
96	2	360
144 = "3
7
20 ’
386.
5
6 * 2>
4
18т--
23
390. 4) 5 24-.
13
25-	395-	»
37
397.	60 .
• 5
1) -уд ; около
19
10 48 ’ 3)
410.
4)
3
54 5
393
2
3 ;
398.
1)
2)
2
 3 1
А
4;
45 км. 414.
3А.
d 12 ’
415. 2)
13
13 30 :
184 -г~ аг
о
_ 1
' 24 '
5
4) 44^-.
2) ~12~ '
11
5 часов; 2)
23 W’
>4:
6)
4> 150 : 6) 12 :
47
1 48-;	8)
25 КМ
_ 87
17_Х
17 102 '
л. 420.
3
20 *
в час и
8
422. 2) 13^; 4) 25-§- ;
Увеличится на 1. 425. 2) 2 Tgjy I
3	1
т; ~2б~ т' 429- Jo*  439* 33 кол.
11	27
2)	11 "2^-;	3) увеличится на 8	.
421.
км в час.
19
423. И "24~	424- 4)
3
428. 2 -г
4
,_п_
и 3 20 -I.
9
!) 20 ;
1)
100
430
I	11	23	41	43
437. 2) 11 -g-; 4) 2; 6) 148yy ; 7) 6	; 10) 25yy . 438. 2) 19-gy ;
2	1	9	13	29
4)	40-q—; 6) 126-Г7Г. 439. 27 km. 440. 16-™ кг, 21 кг. 441.	;
о '	1U	2U	2U	600
29	29	4	5	81	1	8
60 J 30--442-T5- 444‘ 2) 108 = 4 *>10б: 6)	8) 3-^.446.1)390^;
2)	10 руб. 447. я: 2900 км. 448. 387 ц; 262-у ц. 449. 630 мальчиков.
1	112
450.	12— т. 451. а 1430 г; ж 14 290 г. 455. 2) 18; 4) 1 уу . 456. 2) 24 уу;
52	1	17	13	1
4) 50уу; 6)171уу. 457. 1) 142—; 2) 580уу ; 3) 4уу ; 4) 57	'►
39	13
5) 44; 6) 0. 458. 179 руб. 25 коп. 459. 9 км. 460. няя ; -77г .	461.	41 руб.
ZrwV	*iv
7	17	61	7	7
15 коп. 462. 1) 9уу; 2) 12 уу; 3) 15 уу; 4)815уу. 466. 1)49уу;
3	5	1	53
3)	14-у ; 5) 7уу; 6)0; 7) 13 -у-; 8) 8 уу . 469. Достаточно. 470.20 а
1	3	3	3	1
и 25 а. 471. 12~у км. 473. 7) уу,; 8) уу . 474. 6) 6-у ; 7) 51. 475. 2) 2^ ;
7	37	4	1	„ 4
4)	7-иг-; 6) 7=-.	476. 2) 13^-; 4) 13. 477. 25-?- км, 37-я- км и
/	о	о
2	11	3	5	4
ИЗ-5- км, 478- 5-5Q- часа; 21 часа; 61 -g- часа. 479. 64 -g- руб.
27	13	1
480. 90 яде в час. 481. 128 часов. 482. 2) "Ест ;	4) 1 тт;	6) 4 ~г~ .
49	2	2	4
483.	2) -др; 4) 1; 6) 3. 484. 5) 7; 7) 865 -?-. 486. 1) т; ~е~ т и
01	о	ZD	О
49	257	23	9
1 т, 489. 1) 50 коп.; 2) 25 руб. 491. 1); 2) оТё I 3) 1	; 4) 47 -ттг }
DZ	и!Э	Z4	1U
17	19	41	1	31
5)	?уу ;	6)	21 .	492.	2) ]40 ;	4) -у ;	6)	13	120 .
164	1	5	3	5	1
493. 1) 1 -ууу ; 2) 34 -у ; 3) 2 уу; 4) 103 -yy* I 5) 11 -у- ; 6) 128 -уу- .
3	14	11	1	1	1	5
494. 1) 4 у-; 2) 7 у? ; 3) уд ; 4) 9-у . 495. 136 у-л-л. 496. 523-укл. 497. уу •
13	1	13	„7	15
498. gg . 500. 5. 505. 1) 3 -у ; 2) 6 ;3) 0; 4) ууу . 506. 1) 2 -уу ; 2) 5 уу ;
151	11	59
3) -jyy ; 4) 27 —у ; 5) 22; 6) 1 ууу . 507.	159 руб. 508. = 7 руб. 509.
2	13	1	7	17	2
1)уг; 2) -24“. 510. 1)27-у- л; 2) 26 уу ; 3) -уу- . 511. 1) 32 у- га;
1	19	3	3	9
2) 7	’• 3) “24~  512' б) 2) 48; 4) V ; 6) 7 “Г ; 8) 6; 10) 3 Тб" ’ 514' 8
1	9
515. 14 дней, 516. 2 км, 517. 77 -jq- руб. 519. 80 га. 520. 192 пары.
4	1	3	4
521. 28 -7Г-, 522. 50. 523. 140 стр. 524. 62-5- км. 525. 1) 19-^г ; 2) 57-г ;
431
33	1	3	3	12
3) 1; 4) 1	. 526. 7 -у а. 528. 2) уу; 4)	; 6)	; 8) -у^у .	530.
5	9	5	8	13	31 л	„ 27	17
2) 74	! 4) Tq	; 6) ~[2	' 5311	15	: 4) 30	' 6) 180	' 532’	160	’ 4) 100;
71	17	7	1	8	4
6) -уу . 534. 2) I -gQ-; 4) -g- ; 6) 1 -g- . 535. 2) 28; 4) 1 yy ; 6) 76 -у ;
I 2	4	71	12	163	23
538. 2) 22-у ; 4) -у ; 6)	; 8)4 -др . 541. 1) -уу ; 2) -уду ; 3) -уду ;
13	7	19	33	1	1	11
4) уу; 5) 8 уу ; 6) 14 уу . 542. 2) 1 уу ; 4) -y;6)2-y;	8) 1 уу ;
2	3
9) 6 —Q- . 543. 3 часа. 544. 12 -?- руб. 545. 9 м. 546. 325 куб. м;
о	Э
13	4	20
1083 -у куб, м. 547. 1113 ^куб. м^ 1100 куб. м. 548. 3) 22 у . 549. 3)	.
6	1	5
550. 2) -= ; 4) 8; 6) 4; 8) 5 -т . 551. 50 км в час; 270 км. 552. 60 000 кв м.
f	о	О
553. 17 мин. 11-усек. 554. 4 пг не хватит. 556. 2) 9 -у; 4) 5 ур 6) буу.
14	29	4
557. 2) 7yg-; 4) 12-уу 6) 5 у?. 558. 1) 4 мин.; 2) 6 час. 559. 1) 24 л;
2	1	1
2) 200 кг. 560, 2 -у дня. 561. 16 мин. 562, 2) 13*у; 4) 36 у; 6) 63. 563.
7	3	1	1
2) 1-п^; 4) 15^-. 564. т. 565. 150 т, 566. 175 км. 567. 20-^- ц. 568.
'	21	i	О	4
2) -jy; 4) 2-у; 6) Зуу 569. 1) 3 -}у 2) 137 “ 3) ~ 4) ~.	570,
12	4	3	111
1) 1 24; 2) 25 ; 3) 2; 4> ’Т 5) Т 6) 357Ь *> 50: 2) 5Т0; 3) 2 Т-
6	1	11	2
4) 13; 5) 6; 6) 58; 7) 1; 8) уу 572. 1) Зуд-; 2) уу 3) -у; 4) 0; 5) 1.
1	15	11	13	1	1	3
573. 1) 1 -у; 2) 1у; 3) 2-ду; 4) уу 574. 3-у и 12-у. 575. 9-у	и
2	2	1	1	7
26-у. 576. 15-у га и 23 уд- га. 577. 17 уд- млн. кв. км и 2 уд- млн. «в. *сл».
578. 6 дней. 579. 24 дня. 580. 14 мин. 35 сек. яг 15 мин. 581. 45-у км в час.
1	3
582. 768 чел.; 672 чел.; 720 чел. 583. 3-у-; 15; 24. 584. 12 -т- и 17. 585.
О	т
2	19	2
1) 10 час.: 2) уу 586. I) 3 уу; примерно за 3 месяца 20 дней; 2) 2 у.
1	15	3	3	23	1	1
587. 2) 3-у; 4) уд-; 6) 4. 588. 1) 3-у и 5-у; 2) 5уу и 7уу. 589. 5у км.
5	19
4 -у КЛ1. 590. 3 т 275 кг и 2 т 525 кг. 591. 117 -у- млн. чел.; 41 уд- млн. чел.
41	59	2
592. 1) 19уд- и 21 уд-; 2) 8 и Ю-у. 593. 2) 72 кв. дм; 4) 549 кв. см;
3	1
6)	1081 -у кв. дм. 594, 105 625 кв. см. 595. 16 256-у кв. см. 596.
432
1
3 8 х;
599. 13
32 а.
1	3	4	3
22 лс; 12 у м' **	9 у	у-	$м-
16
25 кв'
41
м. 600. 155 -эд- кв. м ~ 156 кв. м.
1
601. 3194 -у
кв.
27
602. 2^700 плиток. 603.	43 г. 604. -у кв.
км или 84
га.
м ~
3
8
605. -эд-. 606. 2) 68 у куб. дм; 4) 2QQ0 кУб- км* 6) 48 125 куб. см.
1	729	1
607. 91 у куб. дм = 91 125 куб. см = gggQ куб, м. 608. куб. м —
1	1	4	1
= 37у куб. дм — 37 037 куб. см. 609. 124 у кг. 612. 68 у куб. м.
613. 107 -i~ кв. м. 614. 2у~ м. 615. 12 800. 616. 71 см, 56 см и 67 см.
617. — 933 киб. м. 621. 30% 60% 120% 180% 270% 622. 5) 150% 6) 195%
626. 6) 61е 23% 8) 36°26% 10) 33'39% 627. 30° и 150% 628. 1) 42 30' и 47°30%
5	4	1
2) 16е и 48°. 630. 1 —g- часа. 631, 9 дней. 632. 1 -у часа. 633, руб
7	1	1
и ”Т0 РУб- 636. — 40 машин. 637. Книги—60 -% руб., журналы—24 у руб.
638. 5-у т; 6 т. 639. Сепаратор 3 у т; сортировка -у т. 640.
2	37	31	9	23	33
22 у млн. кв. км. 646.	1) у~. 2) 1 -у,	3) у; 4) 1 у; 5) 7 у ;
17	43	19	41	7	2
6) 31 у, 647. 1) у; 2) 9 у; 3) у, 4) 2 у. 5) 24; 6) 25 у
27	6	4	1	1
648. 4) 9 у, 6) у. 649. 2) у; 4) у. 650. 1) 1; 2) 11 у;	3)	1;
1	3	1
4) у. 651. 2) 1 у; 4) у. 652. 780 км. 653. 730 км и 330 км. 654.
5
7 час. 15 мин. 655. -у.	656. 2 часа 24 мин. 657. 30 дней и 20 дней.
11 Л 5	3	1	1
658.	185 24 и 162	659 90 -у и 60 -у. 660.2 у км в час
1
и 4 -у км в час, 661. 1495 кв. м я? 1500 кв. м.
662. 101 -!А	100 (куб. д<). 663. 10 -L см. 664. 4 -J— часа. 665. 5 час. 32 мин.
25	10	6
666. 4 часа 51 мин. 667.	61 т. 668. 13 час. 669. 56 тыс. и 82 тыс. 670. На
4 млрд, пудов; в 1 Л- раза. 671. 40 «г и 50 кг. 675. -1?- часа _1_ часа.
676. 28 чел. 677. 4 —— дм. 678. Уменьшилась на _L_. 679. 1) 20 дней;
6	16
2) 194, 3)_L . 680. 1) 37 _L ц и 100 ц; 2) 2 -Ц-.
433
III. Десятичные дроби.
683. 0,20; 0,12 и 3,50. 684. 1) 0,751; 2) 0,3077. 685. 2) 0.034 л; 4) 2,03 л;
6) 2, 031 м; 8) 1,705 м; 10) 2,02 кв. м; 12) 0,0005 кв. м; 14) 3,1528 кв. м;
16)0,504 кг; 18) 13,122 кг. 688. 4) 7,0293; 5)0,00142; 6) 3,008521. 689. 5) 9,00203;
6) 0,0005394. 692. 2) 0,559; 4) 0,7; 6) 5,2; 8) 1,25.698. 9)0,00102; 10)0,0001357.
699. 2) 5,42; 4) 0,893; 6) 0,0073; 8) 0.00002. 700. 4) 14,5 м; 6) 3,337 м;
8) 0,0068 м. 701. 2) 0,035 т; 4) 57,356 т; 6) 0,00952 т. 702. 2) 2,0347 га;
4) 0.0085 га. 703. 1) 1,54 куб. м; 3) 0,0003 куб. м. 705. 150 900= 150,9 тыс.; 43 =
0,043 тыс. 709. 2,56 кв. м. 711. 0,479^=0,5; 0,479^0,48. 713. 46,656^46,7
(куб. дм). 714. 43,7 га; 34,8 га. 715. 0,91368 куб. дм. ^0,91 куб. дм. 718. 2)
57, 939; 3) 28,408; 5) 5. 719. 2) 22,62; 3) 9,8002. 720. 3) 8, 223 т; 4) 46. 051 га.
721. 24,84 дм. 722. 4,72 гл. 723. Вторая сумма больше. 728. 60,58 м. 729.
513 млн. т. 730. 101,5 км; 203 км. 731. 149,62 кг. 732. 8) 29,443; 10) 436, 548.
736. 1) 1.394; 2) 0,2648; 3) 15,66; 4) 13,22; 5) 30,66; 6) 2,318; 737. 2) 9,41;
4) 15,81; 6) 7,43. 738. 1) 100, 269; 2) 9,225; 3) 4,505; 4) 5,3228. 739. 3,5095. 740.
0,3797 кг яг 0,38 кг. 741. 16,11 кг. 742. I) 123,156; 2) 96,8715. 743. 137,625.
745. 426,2 м. 746. 60,469 т. 747. 7,582. 749. 9) 19,8; 10) 0,982; 750. Увеличит-
ся на 10,12. 751. Увеличилась на 30,4. 752. Увеличилась на 0,09. 754. 3500 кг.
755. 819,4 га. 756. 11,54 км в час и 5,06 км в час. 757. 1) 63,981; 3) 7,3 м.
758. 2) 12; 4) 0,301; 6) 0,0348; 8) 16,2; 10) 4,401; 12) 0,02. 759. 2) 0,144;
4)0,6171; 6) 7,29. 761. 0,51 куб. см. 762. =0,97 кв. дм. 763. 1)231,67; 2) 2,952;
3) 11,9082; 4) 29,76; 5)0,9444; 6) 15,247; 7) 15,3; 8) 1275; 9) 71,88; 10) 19,4625.
764. =29 см. 765. =9,2 км. 766. 11,8504. 767. =195 км. 768. 155 га, 60 га и
35 га. 769. 1) 13,76; 2) 2,7086. 770. 3,1 т. 771. 121,5 кг. 772. 1) = 48 кг и
=68 руб. 773. 2) 1,971; 4) 0,14; 6) 1,875; 8) 0,00484. 774. 2) 2,09; 4) 0,014;
6) 14,001; 8) 0,007. 775. 2) 0,0975; 4) 0,0654. 776. 1) 0,345; 2) 0,148; 3) 0,01;
4) 13,2. 777. 12,2 т. 779. = 7,6 га. 780. 7,2 мм. 781. На 0,05 м. 782. 0.09 кг.
784. 2) 7,04; 4) 80; 6) 70,8; 8) 4,009; 11) 4,5; 13) 3, 13; 15) 0,11; 17) 11,6;
20) 210 000 000. 786. а) 2) 0,3; 4) 5; б) 2) 2; 4) 50. 787. 1) 4,28; 2) 5; 3) 3; 4) 8.5;
5) 0,4; 6) 100; 7) 30; 8) 285,8. 788. 500. 789. 12,4. 790. 0,1225. 791. 920,2. 792.
200. 793. 0,085 часа или 5,1 мин. 794. 3,6. 795. 4,89 и 0,59. 796. 1,03 и 2,472.
797. 20, 18 и 22,58. 798. 0,01 и 0,053. 799. I) 12,5; 2) 0,0693; 3) 90,5; 4) 1,26.
800. 0,348. 801. 2,4 м. 802. 750 л. 803.=3,14. 804. 7,6 т и 11 т. 805. 1,8 ц
и 2,2 ц. 806. 21,84 кг и 8,4 кг. 807. 23,32 ц =23 ц; 220 ц. 808. 200 км. 809.
2) 1,09 и 1,10; 4) 31,57 и 31,58; 6) 1,04 и 1,05; 8) 0,71 и 0,72; 10) 1,42 и
1,43. 810. 1) 12,2; 2) 1,20. 811. 3,15 т. 812. 22,4 млн. кв. км. 813. 1) 24,9;
2) 14,7; 3) 24,3; 4) 27,8; 5) 50,8; 6) 0,1; 814. 7,2 чел. 815. = 13 час.; 69,5 руб.
816. 811,6 кг; 643,9 кг; 558,1 кг; 6 шт. и 9 шт. 817. 108 млн. км и 227 млн. км.
818. 14 кг и 34 кг. 819. 0,909 куб л, 1,1 куб. м. 820. 38,88 кг. 821. 2,9 т; 3,48 т
3,77 т и 4,35 т. 822. 54,5 км в час и 42,5 км в час. 823. 42,5 км. 824. 8 час. и
7	1
6 час. 825. 5 мин. 826. 1,5 часа. 827. 6 -х- мнн. = 7 мин. 828. 7 -5- часа=7 час.
О	/
829. =0,20 часа и = 2,4 часа. 834. 1) 375 ц и 16,2 т; 2) 74,1084; 3) 209,3 м.
835. 1) 348 чел.; 2) 4; 3) 64,6 км в час. 836. 8) 150% ; 10) 170%. 837. 6) 7%;
8) 144%; 10) 1010%. 838. 8) 10; 10)2,31; 12) 5,29. 840. 3 руб.; 6 руб.; 13,5 руб.;
150 руб. 842. 2) 100,7 кг; 4) 83,6 кв. м.; 6) 92 сек.; 8) 0,0182 куб. м; 10) 3,85 м;
12) 12,852 куб. м. 843. 506 и 414. 844. 24 км в час. 845. 3 руб. 52 коп. 846.
4 руб. 76 коп. 847. 49 га; 61,6 га и 29,4 га. 848. 24 дет. 849. 12,5 га. 850. На
60 деревьев. 851. 39 123 т. 852. 2) 153,75; 4) 230 000; 6) 400 м. 853. 1) 7,1 кг;
2) 37,8 м; 3) 18,0 га; 4) 162,3 куб. м. 856. 200 руб. 857. 20 га. 858. 200 дет.
434
859. 570 m. 860. 27 руб. 86t. 18 m. 862. 14 мальчиков. 863. 50. 864. 143
куста. 865. 59,5 км в час. 866. 9,3 часа. 867, 279,18 км « 279,2 км. 868.
25 кг; 3,75 кг и 0,75 кг. 869. 3,6 руб. и 1,8 руб. 870. «163,2 ц. 871. 2) 6 дм
и 2,25 кв. дм. 4) 0,232 см и 0,003364 кв. см. 872. 2) 58 см и 175,44 кв. см; 4)
79 см и 187 кв. см. 873. 2) 21,6 см. 4) 19,2 см. 874. 2) 116,3 дм; 4) 13,173 км^
«13,2 км. 877. Площадь квадрата больше на 0,04 кв. м. 878. Квадрат имеет наи-
большую площадь. 879. 2) 1,2495 кв. м; 4) 13,65 кв. дм; 6) 1919 кв. дм. 880.
1) 10,4 см; 2) 20,8 см. 881. 2) 26 м. 882. «=259 кг. 883. ~2 часа 40 мин. 885.
2) 37,5 кв. м; 4) 3,84 кв. см. 886, 2) 106 кв. дм; 4)	3,83 кв. дм; 6) 660,4 кв. дм.
887. 2) 69,4 кв. м, 24 куб. м. 888. 424 кв. дм —420 кв. дм. 890. 117 руб. 30 коп.
892. 19 руб. 03 коп. 893. 1) 2345 кг; 2) 2,176 кв. м и 0,1792 куб. м « 0,18 куб. м.
894. 1) 7 га и 9.5 га; 2) 9,0 см и 3,4 кв. см. 895. 1) 0; 3) 0,5; 5) 52,555; 7) 1,6-
896. 1) 8; 2) 0,09; 3) 118; 4) 104,15; 5) 1; 6) 600. 897. 2)7,4; 7,42 и 7,419; 4)9,1;
9,09 и 9,091. 898. 2) 2,68; 4) 0,45. 900. 2) 4,23; 4) 1,91; 6) 0,39375; 8) 0,98;
10) 0,036; 12) 0,05. 901. 1,343 и 0.346. 902. 0,5 и 13,28. 903. 8.4 т и 16,2 т.
904. 11 ц и 11,7	905. 2,61.906. 11,5 и 5. 907. 2,7 и 9,99. 908. 0,09 л и 0,135 л.
909. 18,5 т; 88,8 т. 910. 20 г; 30 г и 150 г. 911. 3,5 руб. 912. 72 коп. 913.
9 ц; 2,7 ц; 6,1 у и 4,7 ц. 914. 400 млн. т; 200 млн. куб. м. 915. «5 кг; « 15 кг
и « 1000 кг. 916. 400,75 км и 363,75 км. 917. 8,8 часа. 918. 21 км; 25,2 км;
30.8 км и 28 км. 919. За 25 сек. 920. 656,1 kjw«656 км. 921. -д~. 922. 8 мин.
2
923. 20 -у дня. 924. 1) 120 куб .м; 144 кг; 2) 1,18 кв. м (без крышки). 926.
О
«14 листов. 929. 1) 41 руб. 20 коп. 2) 108 руб. 15 коп. 3) 197 руб. 76 коп.
930. 90 руб. 931. 6 руб. 15 коп. и 5 руб. 94 коп. 932. 22,2 т. 933. 215,04 кв. см
и 64 см. 934, Периметр прямоугольника больше на 6,4 м. 935. 1) 45 кв. см;
2) 28,8 кв. см; 3) 27 кв. см. 936. 0,216 куб. м и 0,03888 куб. м. 937. 2,16 кв.м
я 0,8424 кв. м. 938. На 127,4 куб. дм. 939. 3 часа. 940. 84 км и 165 км. 941.
1) 4,5 км; 2) 11415,4. 942. 1) 2 дня; 2) 21,9275.
IV. Совместные действия над обыкновенными
и десятичными дробями. Отношение величин.
7	14	3	19	22
944. — = 3,5; -gg-= 0,4; -gg- = 0,0375. 945. 8 уд-«8,27; 49	« 49,63.
946. 6,37 дм. 947. 15,8 м в сек. или 56,8 км в час. 948. 1) 2,375; 2) 8,775;
7	11	7	81
3)4,2; 4) 1,2. 949. 2) -gg- = 0,35; gggg = 0,002; 4) -gg- == 0,0875; ggg = 0,18.
1	127	40	1
950. 2) gg- 0,077; -gg- « 1,443; 4) -gg- « 0,930; -g§- « 0,010.	951. 0,6300.
r	26	169
952. 44—52 уч. 954. 1 млн. м и 40 тыс. м. 955. 1) -дд- « 0.41; 2) 5 -ддд- «
8	1
«5,64; 3) 135,125; 4) 40 -д~ « 40,89; 5) 0.0525; 6) 16.25; 8) 0.125. 956. ду =
7	7	2
= 0.08 (3); -дд- = 0,1 (5); 1 дд- = 1,(63); — = 0,(285714). 960. « 10,9 км.
2	6
961. «4 дня. 962. 2) 1,77; 4) 0,105; 6) 0,335. 963, 2) 8 25=8,08; 4) 7у«
«7,86; 6) 26. 964. 2) ^0,274; 4) 2,2055, 6) « 0,964, 8) 0,5. 965. 1) 8,5;
435
2)	10,2; 3) 3,96, 4) 21,04; 5) 5,16; 6) 0,25; 7)	; 8) 4.9. 966. 1) 0,8; 2) 1;
71	2	1	25	1
3)	-15 ; 4) 18 у. 5) 1,5; 6) 1 -у . 7)	18 yg- ; 8)	. 967. 2) -ygg ;
1	9
4)	0,00875; 6) 7. 968.2) 1,14; 4) 26-y-; 6) 1 ур . 969. 2) 2,53 m; 4) 0,24 га.
972. 174 tn. 973. S5,7 км в час. 974. 15 дней. 975. 126 км. 976. 1) 21; 2) 0,625;
149	1
3) 0,213; 4) 0,54; 5)	2,60. 977. 1) 34 часа; 2) л 1,656; 3) 8	.
Уи	о
5
978.	2) 0,3; 4) 2,2; 6) 98; 8) у-; 10) 0,027; 12) 2 000 000; 14) 11 500 000.
5
979.	2) 0,54; 4) 0,51; 6) 0.76; 8) 7,82. 980. 2)-уу ; 4) 1,5; 6) 0,04; 8)	25.
981.	Первого. 982. Первого. 983. 0.6,984. 0,23 и 0.02. 985. 2)48,8; 4) 1	;
7
6) 13; 8) 0,75. 986. 2) 9; 4) 6; 6) 13; 8) п™ . 987. 2) 63 г; 4) 3,64 кг; 6) 3 руб.
5	5	8	1
50 коп. 988. -w-, и -pj- . 989.0,5. 990. 1 -у- .	991. 24.	992.	® 1,2.
О	1О	1о	о
993. 2 : 1. 995. 4; 0,36; 0,81; 2,56. 997. 0,57. 998. 3,5. 999. 2) 1 : 10 000;
4) 1 : 200; 6) 1 : 8 000 000; 8) 1 : 1 000 000. 1000. 650 км, 140 км, 420 км,
1001. 2) 1 см; 4) а; 2.5 см. 1002. 2) 40 см; 4) 1,6 см; 6) 9 см. 1003. 8856 кв. м х.
л 89 а. 1009. 36 ц. 1013. 1)5,74; 2) 2; 4) 4.6; 6) 5.12; 8) 1950,07. 1014. 2) 16;
17	1
4) 1,2; 6) 1. 1015. 2) 1,19; 4) 352,7. 1016. 1) 1	; 2) 40; 3) 1,84; 4) v ;
10	о
5
5) 5-уг-; 6) 0,25. 1017. 2) 0,313; 4) 0,1953. 1018, 2) 72; 4) 0,15; 6) 2; 8) 625.
1019. 2) 120; 4) 0,484; 6) 4; 8) 19,5, 1020. 65,5 км в час. 1021. 5 час.
44 мин.; 25 км в час. 1022. 6,4 часа. 1023. 3,6 часа. 1024. 40,5 км в час.
6
1025. 880; 4752 и 528. 1026. 8,75 т 9 т. 1027. я, 0,35. 1028. 2)	3 км
7
и 0,4 кв. км. 1029. 37,8 м. 1030. 68,85 см и 22,95 см. 1033. 2) 2 дм.
7
1034. 2) 2-тгт- кв. м. 1035. 13,26 и 4,08. 1036. 5 и 1,2. 1037. 9 и 0,1.
' Ь4
1	49
1038. 6 дл и 4	. 1039. 480 г. 1040. 12,4 кг, 6,2 кг и 6,8 кг. 1041. ^2,8дня.
OU	ои
1042. 5,29 часа. 1043. 1) 22,7; 2) 176,8 м.
V. Повторение пройденного.
17	1	1	57
1049. 2)	; 4)	; 6) 10 -5- . 1050. 2) 720; 4) 5400; 6) 9999. 1052. 2)	;
' 26	J о	2	24 до
119	129	3	5	7	8	9
4) 5 120 < 5 J3Q 1 6) 6,825 < 6,852. 1053. 2)	; jg .
1055. 2) 0,939; 4) 0,156; 6) 0,098. 1058. 315. 1059. 1) 528; 2) 12 144. 1060.
27 000. 1061. 5250.1062. 2) Уменьшится на 1,05. 1063. 2) Увеличится в 210
раз. 1064. 2) Уменьшится на 1,2; 4) уменьшится на 1,08. 1065. 2) Увеличит-
436
ся в 3 раза; 4) увеличится в 10 раз. 1066. 2) 4,65; 4) 14,42; 6) 29 -g- .	1067.
5
2) 0,619; 4) 3.55; 6) 7,98. 1068. 1) 5,94, 2) 28; 3) 0,45; 4) 50;5) 1,458; 6)	.
1069. 1) 18520; 2) 29840. 1071. 2) 2 у ; 4) 14 -у.	1072.	1) 424 650
1	2	*>9
2)	0; 3) 2,6; 4)	; 5) 2.6; 6) 1 у . 1073. 1) 20,71; 2) 14 у ;	3) 3
И	1
4)	0,95; 5) 0,3; 6) 15,94; 7) 5; 8) 5. 1074. 1) 14,4; 2) 2 -у ; 3) 1; 4) у •
I	1	2
5)	0,025; 6) у . 1075. 1) 1,25; 2) у; 3) 0; 4) у; 5) 1; 6) 3; 7) 5,6;
19	1
8) 2,65. 1076. 4) 29 у ; 6) 4; 8) 2,0536; 10) 1.26. 1077. 1) у; 2)	0,4.
7	29	I
5) 3,75; 6) 2 у ; 8) 500. 1079. 2) 0,64; 4) 1 у; 6) 5; 8) 11; 10) 0,002; 12) jy .
1080. 2) 1,55; 4) 0,24; 6) 0.87. 1081. 2) 3.41; 4)4,8 руб.; 6) 65000 м.
1082. 2) 27,5; 4) 500 руб.; 6) 404 л. 1083. 2) 5,78; 4) 72,61 ц. 1084. ^40 000 кл<.
1085. 30 tn, 1086. 1) 6,48 кг. 1087. 14,46 т; 7,23 tn. 1088. 56 руб. 1089. 2400 га..
1090. 881,5 ц ^882 ц и 1939,3^1940 ц. 1091. 768 м. 1092. 420 кг, 294U кг,
252 кг. 1093. 60 коп., 48 коп. и 39 коп. 1094. ~3,1 /л; 40 раз. 1095. ^2.0.и;^
~ 1,5 м. 1096. 100 —160 дней; 20 дней; 270 дней. 1097. 2654,4 кг ^2700 кг.
1098. 32844 кг ^33 т. 1099. ^3,4 км в час. 1100. 9302 км. 1101. 72,6 км
и 79,2 км. 1102. 9 км. 1103. 67,5 км в час. 1104. 15 час. 30 мин.; ж 23 км в час.
1250 раз; 2) ж 1,6 км. 1107. 48 млрд. т.
1105. В 18 час. 51 мин. 1106. 1)
7	13
1108. 149 yg га и 106 -у га. 1109.
18 у и 16 эд . 1110. 52 км в час и 59,3 км в
час. 1111. 21,7 км в час и 3,1 км в час. 1112. 44 мин. 1113. 31,8 руб.,
1	6	2
27 руб. и 23,4 руб. 1114. 4 у и 33. 1115. 3,85 и 11,55. 1116. Зу и 22 jg .
1117. 2 и 7,2. 1118. 2,1 ц и 1,8 ц. 1119. 1,8 ми 2,1 м. 1121. 32,67 кв. см^
2	1
~ 0,33 кв. дм. 1122. 1 -к- м; 11 -тг- кв. м. 1124. 5 час. 1126. 521 ц; 18 рей-
о	У
сов. 1127. 7,5 кг; 7,75 кг и 6,4 кг. 1128. ж 60 кв. м. 1129. « 28 млн. tn.
ИЗО. ~ 810 т. 1131. 22 рейса. 1132.	. 1133. 12 дней. 1134. 1,8 часа.
О
3
1135. 4 у дня; 7 дней. 1136.2,9 часа. 1137. 6 руб. 7 коп. 1139. 7,092 кг;
6,354 кг и 5,926 кг. 1140. 50 коп. и 26 коп. 1141. 6,4; 4,8 и 4,2. 1142,
15 и 20. 1143. 2,5 руб. и 1,3 руб. 1144. 19 м и 17,5 м. 1145. 10,5 м. Нет'
1146. 634- ц; 12у а. 1147. 100 и 25. 1148. 110; 99 и 11. 1149. 86,25.
2012
1150. 3,71. Н51. -5533  . 1152. 18,6; 17,9. 1153. 10 раз. 1154. 60129. 1155.
Три нуля. 1156. 10 лет. 1157. 12 лет. 1158. 12 и 4. 1159. 59. 1160. 486 м.и
8
«0,5 м. 1161. На расстоянии 2 у м. 1162. 3 кг. 1163. При первом взвеши-
вании положить по 9 деталей на каждую чашку весов. 1164. 31,25 км.
1165. 9 км. 1166. Пятый, десятый, пятнадцатый и т. д. шаг мальчика сов-
падает с шестым, двенадцатым, восемнадцатым и т. д. шагом девочки.
437
1167.233 у м. 1168. Через 15 мин. 1169. 192 час. 1170. 4 яблока разрезать по-
полам, 2 яблока на 4 части и одно на 8 частей. 1171. -уу . 1172. 71 не де-
лится на 3. 1173.	. 1174. 13 дробей; несократимы дроби, у которых чи-
слитель равен; 27; 29; 31 и 33. 1177. Неверно, так как есть числа, которые
делятся на 2, но не оканчиваются нулем.
VII. Приближенные вычисления.
1184.	~ 0,277. 1187. Абсолютная погрешность равна: 2) §qq ; 4)
1188.50 г. 1189. 1) I3; 2) 1 мин. 1191. 2) 0.002; 4) 0.0001; 6) 0,0015. 1192’.
2) 0,22; 4) 0,3; 6) 0,0752. 1193. 2) 0,00023; 4) 0,00003; 6) 0,00077. 1194.
2) 27341 ;4) 2659; 6) 659. 1195. 25 мм; 25,40 мм и 25,3995 мм. 1197. а 6,8 м.
1198. Окончательный результат а 8,9 г. 1201. В первом числе верные цифры 1
и 8, а во втором только 1. 1202. 1) ~ 0,96; 2) sas 11,6; 3) ~ 30,9; 4) sas 10,6;
5) — 11,9; 6)—5.9; 7) as 5,45; 8) as 12,73. 1203. а 3,61 км. 1204. as 5060 М.
1206. as 199 000. 1207. 2)asl,73; 4)—4,1; 6) a 85,64. 1208. 2) a 167 000;
4) s=s 6 598 000. 1209. 2) sa 94 900. 1210. sas 1,20. 1211. 1) sas 520 km; 2)''a 3,7 tn.
1212. 1) sas 8090 km; 2) a 25,3 га. 1213. 1) as 15,23 m; 2) as 14 900 га;
3) a 22.12 m; 4) as 34,0 m; 5) as 31.8 л; 6) as 1,25 кг; 7) as 35,2 мм;
8) asl61,2«e. M. 1214. 1)аЗ,5кл«; 2) as 7800 llas0,09; 3) 0.94;	. 1215. 1) 3; 3
и 4 цифры, 2) 2; 4; 3; 2. 1216. 4 и 2 цифры. 1218. 2) 5; 3) 4; 4) 2; 6) 4;
8) 5; 10) 5. 1219. I)as68,8; 2) as 2,13; 3)a399 ООО; 4) а 9 930 000. 1220. 2)sal2 000,
4) sas0,0091; 6) as 1. 1221. as 56,7 кв. м Has31,5 м. 1222. sas 44 ц. 1223. sas 4,1 км.
1224. 1) as 83; 2) sas 255 000;	3) sas 28,2. 4) as 964; 5) as 9,8;	6) as 15;
7) sas 0,33;	8) as 0.33;	10) sas 7,29;	12) sas 2 500 000 000,	1225.
1) sas 13,8 кв. м; 2) as 83 500 кв. м; 3) as 0,029 кв. дм; 4) as 78,2 кв. км>
5) as 190 га; 6) а;0,018 кв. м. 1226. 2) 3; 4) 3; 6) 3; 8) 3. 1227. 2) as 6,52;
4)sas2. 1228. 2) а 5; 4) а 3,5. 1229.	а	82	900 ц. 1230. а	120. 1231.	а	3,2 кг.
1232. а 22 м; а 380 м. 1233. а 17,0 т.	1234. 1) а 1.2;	2) а 2,4;	4)	а 0,1;
6) а 0,00008. 1235. а 2,7 т. 1236.	а	170	тыс. куб. м. 1237. а 6,1	га. 1238.
а 17 см. 1239. а 15 куб. м. 1240.	1) а	250 000; 2) а	260 000;	3)	а 7,8;
4)а13; 5)а 1,48; 6)а6,81; 7)а40; 8)а0,18; 9)а0,34; 10)а39. 1241. 1)а74000 ц;
2) а 47,7 ц. 1242. а 53 куб. м. 1243. а 11,0 часа. 1244. sas33,5 часа.
1245. as 1477 т. 1246. ~ 18 см; на sas 5 см. 1247. 1) а 8,0 часа; 2) а 3,7 дня.
22	1	1347	3
1248. 2) 2-^g- а 2,49; дэд ; 4) 1 2050 ' 1.66; 1025 . 1249. 1) а 3,9 и а 15,6;
2) а 5,5 т. 1250. 1) а 15 и а 15,2. 2) а 150 т. 1252. 2) 0,204; 4) 0,406;
6) 13.514. 1253. а 18 тыс.
VIII. Проценты.
3 •
1254. 2) 0,3; 4) 1,12; 6) 0.075; 8) 1.263. 10) 0.003; 12)0,0007. 1255. 2)	'
9	211	1	49	204
4) -уу; 6) 2; 8) 250 ; Ю) ; 12) уууу; 14) у^. 1256, 6) 503% | 8) 2,34%;
438
6	2	1
10) 300,35%.1257. 4) 42 -у-%; 6) 166-g-%; 8) 14%; 10) 580%; 12) 283 j%.
1258. 2) 14,3%; 4) 41,7%; 6) 216,7%; 8) 128,3%; 10) 1083,3%. 1259.
2) 35 000%; 4) 33 %, 80%, 100%. 1260. 6) 0,024; 8) 13; 12) 67432,2;
14) я 9,05; 16) 9015. 1263. 2) 29,9 кг. 4) 8,88 млрд, пудов; 6) 880 000 чел.
8) 210 км; 10) 0,16%. 1264. 2 руб. 4 коп. 1265. 765 руб. и 780 руб. 30 коп.
1266. 75 руб. 1267. 31,5 кг. 1268. ж 1100 кг. 1269. 4,8 кг, 2,6 кг и 32,6 кг ж
ж 33 кг. 1270. 111 г; 167 г; 222 г. 1271. « 8420 млн. пудов. 1272.
~ 200 млн. га; ж 90 млн. га; х 70 млн. га; х 50 млн. га; х 5 млн. га.
1273. ж 2, 24 кг; к 0,17 кг и ж 0,02 кг. 1274. ж 92,6 тыс. кв. км. 1275. ж 170 т;
хЛбт; «2,6 ти «2,0 т. 1276. 18 т. 1277. 117 руб. 1278. 1) 19 руб.;
5
2) 60%. 1279. 2) 130; 4) 500; 6) 3600; 8) 4285-у. 1282.	2) 600 руб.;
4) 600 руб.; 6) 2 млн. т; 8) 83-у- м. 1283. 112 руб. 10 коп. 1284. 560 руб.
1285. 978 руб, 69 коп. 1286. « 4,88 млн. и « 6,42 млн. 1287. « 23 млн, т
и « 51 млн. т. 1289. « 8000 ц. 1290. «1,5 кг. 1291. «500 т. 1292.710 кг и 740 кг.
1293. 250 кг; 5 кг; 45 кг. 1294. 5940 га. 1295. 2 руб. 3 коп. 1296. 812 и 490.
1297. 69 руб. 20 коп. 1298. 150 руб. и 9 руб. 1299. 1) 50,8 руб.; 2) 4,4;
3) 20. 1300. 35. 1301. Уменьшилась на 4%. 1302. 1000 руб, и 1500 руб.
1303. 2403 руб., 2407 руб., 2433 руб. 50 коп., 2448 руб. 18 коп.'1304. 4) 160%;
6)16-^-% ж 16,7%; 10) « 473%; 12) 90%; 14) ж 79%; 16)82,5%. 1305.
2) 110,3% и 90,7%; 4) 74,3% и 134,6%. 1306. 2) 500%; 4) 160%; 6) 4%;
8) -^-%. 1307. 2) 1,5%; 4) 1,7%; 6) 2340%. 1308. 1) 60,5% и 39.5%;
2) 153,3%. 1310.99,70%; 99,60%. 1311. « 7%. 1312. я 34%. 1313. 40%.
1316. 97,4%. 1317. 12,5%. 1318. 3,9%. 1319. « 11%. 1320. « 7,6%.
1321. ж 1,8% и ж: 9,8%. 1322. х 45 куб.м; х 91 куб. м; х\80куб.м. 1323.
50%.	1324. 15 кв. м. 1325. 0,0005%.	1326. « 14,2%;	« 18,0%;
«16,1%. 1333. 5 г; 1%. 1335. «8% и 5%. 1336. «0,1%. 1337. 0,2 мм.
и 10%. 1338. «228 л; «2 л; «0,9%. 1339. 5'и «0,2%. 1341. 300 скоб. 1342.
Пригодно, так как содержит 0,04% рожек спорыньи. 1343. «70 кг. 1344.
0,1%. 1345. «9300 км. 1346. 793 пары. 1347. «930 кг; «230 кг; « 180 кг и
«23,7 т. 1348. 15%. 1349. 275 штук. 1350. 26%. 1351. 60 руб. и 80 руб.
1352. «47 т; «48 раз. 1353. 40%—50%; 1%—1,4%; 0,0000002%. 1354.
« 1200%;‘« 1200% и « 2100%. 1356. 6,2%. 1359. Уменьшилась примерно на
10 кв. м. 1360. 0,5%. 1361. Уменьшилось на 1,92 кв. дм х 2 кв. дм.
1362. Увеличился на «31%. 1363. 114 куб. дм. 1364. «26%. 1365. 80%.
1366. 1) 44 и 200 ; 2) 427 и 488. 1367. 72%. 1368. 350 и 420. 1369. 70 тыс. кв.
км; 30 тыс. кв. км; 87 тыс. кв. км. 1370. «2580 кг, « 1950 кг и « 1460 кг.
1373. 1) 9,6% и tx 15%; 2) 40 мм и «1%. 1374. 9 месяцев. 1375. 400 руб.
1376. 25 коп. и 40 коп. 1377. 3780 ц и 3750 ц. 1378. 1,4%; у^-%.
IX. Пропорции. Прямая и обратная пропорциональность
величин.
1379. 2) 0.06; 4) 0,2; 6) 80. 1380. 0,7 и 1,5. 1381. яИ10%. 1382. 2) 0,9; 4) 20;
6) 0,7;8) 1,6. 1383. 2) 6:3; 4) 252 : 31; 6) 40 : 3; 8) 55 : 18; 10) 102 : 125;
12) 96 : 75; 14) 626 : 260. 1386. 2) 9 : 25; 4) 15 : 7; 6) 14 : 15; 8) 25 : 3;
10) 40 : 41. 1387. 2) 16 : 1; 4) 1 : 2; 6) 4 : 7; 8) 67 : 100. 1388. = 138%.
1389. 3,6 = 360% и 2,8 = 280%. 1390. 1) 2,8; 2) 1	3)0,015; 4)—^—;
5) 3	; 6) 23 4~. 1391. -г,г4л'пгГ 1395 км. 1392. 0,125:0,25=1,3:2,6.
1	2
1393.	2) 0,9 : -у- = 45 : 16 - д- . 1394. Все пропорции верны. 1395. 2) 1:12=
= 12 : 144; 4) 36 : 6= 18 : 3. 1399. 1) 10,175 и 6,105; 2) 0,875 и 0,525.
1400. Пропорции 5) и 6) неверны. 1403. Периметры равны 47 см и
47 дм. Пропорцию можно составить такую: 47: 470 = 12 : 120. 1404.
Объемы: 3600 куб. см и 6000 куб. см. Л\ожно составить, например, такую
2
пропорцию: 3600 : 6000=1,5 : 2,5. 1406. 1) 15; 2)105; 3) 60; 4) 1,3; 5) 2	;
О
1	3	1
6) 5— ; 7) 8; 8) 9,8; 9) 8 у ; 10) 2,7; 11) 8,88; 12) 4,32. 1407. 1)0,42; 2) у ;
3
3) 200; 4) 1,23; 5) 0,03; 6) 0,25; 7) 1,08; 8) 93 у ; 9) 0,16; 10)0,00008.
12	8	9
1410. 1) у ; 2) 101,2; 3) 200; 4) 0,00058; 5) 10,5; 6) у . 1414,	‘
7
2) 9; 3) 1,44; 4) уу ; 5) 0,32. 1415. 1. 5 : 12=0,3 : 0,72; 3. х=7,14; у= 16,8.
1416. 45 дней. 1417. 6 руб. 92 коп. 1418. 212 л. 1419. 49 tn. 1420. 10 час,
1421. 38 раз. 1422. 840. 1423. 48 дней. 1424.0,8. 1425. 1) 57,4 кг; 2) ^3,4 т.
1427. 1) 225оборотов; 2) 24 зубца. 1428. 540кг. 1429. 1) 640; 2) 36см. 1430. 1,8м.
2
1431. 48 см. 1432. 7,2. 1433. бу дня; 10 дней. 1434. л 54%; ж 89 %
1435. 720 кг. 1430. 400 мм. 1437. «1.4 см. 1438. ж 2,1 см. 1439. 3,6 оборо-
5
та. 1440. 2 -у нормы. 1441. ^1,5 часа; ^9,8 га. 1442. 3 дня. 1443. а;490 куб.м
и ^63 куб. м. 1444. 391 стр. 1445. ~5у месяцев. 1446. 12,5 часа.
1447.	2) 115,2; 158,4	и 86,4; 4)	1806; 1204 и 903;	6) 13; 19,5; 91 и	32,5.
1448.	72 м, 60 м и 24 м. 1449,	0,5 кг. 1450. 6 г;	4 г. 1451. 60; 50	и 45.
1452. 1) ^7 г и ^45 г. 1453. т 190 кг, 250 кг и ж80 кг. 1454. 74 руб. 88 коп.;
46 руб. 80 коп. и 49 руб. 92 коп. 1455. 2) 70; 42 и 210; 4) 342; 304 и 285;
6) 75,6; 28; 16,8 и 4,2.	1456. 3,6 и	6. 1457.7,8; 23,4 и	11,7. 1458. Данное	число
71,78.	1459. 18 час. и	24 часа. 1460. ^260 г; ж 180	г и ^53 г. 1461.	104 м
и 96 м. 1462. 54 и 30. 1463. ^22 кг и «14 кг. 1464. 1) 3,6 км; 4,5 км и
5.4 км\ 2) 132; 55 и 30. 1465. 1) 204; 225 и 306; 2) ^62 дня; 3) 10,8. 1466.
1) 1,2; 18 и 27; 2) 4 часа; 3) 2,4.
440
X. Повторение пройденного.
1467. 1) я=2,17;2) ~34 800; 3) &84,7; 4) = 0,77; 5) —0,101; 6) al 070 000.
1468. 2) » 5400; 4) — 23,8; 6) » 22,99. 1469. 2) 1.4 км; 4) 26 га; 6)1,44%.
1470. 2) 2200 км; 4) 33 л; 6) 40500. 1471. 2) а 0,3%; 4)	; 6)^21%.
1	1
1472. 2) 0,135; 4)	; 6) 3 -тт- . 1474. 2) 13,8 и 20,7; 3) 25,2; 22,4 и 21; 4) 1;
C5U	о
3	3	112
0,75 и 0,6; 5) 16; 20 и 14; 6) 105	; 528 и 70	; 261 у-; 52 у и
2
391 у . 1475. 1) На 174%; 2) на 96%. 1476, На 15%; в третьем квартале на
« 14,3%. 1477. «11,6 млн. га; «1,6 млн. га. 1478. — 20% и 9,1%.
1479. «27 т. 1480. 109,4%. 1481. 65,8% ;21,9% ; 18,5% и 4%. 1482. 4,3 млн.;
15,9 млн.; 18,0 млн.; 4,0 млн.; 0,2 млн. 1483. Было 20 кг/б. м. 1484. «88 tn.
1485. «6,3 ц. 1486. 1,2 часа, 1487, 20 зубцов. 1488. 92 оборота. 1489. 63 лит-
ра. 1490. 3,5 кг. 1491. 28,8 га. 1492. 9 рейсов. 1493. 256 мм. 1494. 9.
1495. «240 час. 1496. 12 час. 1497. 126 км; «1 час 51 мин. 1498. 600 сем.;
3
552 раст. 1499. 4,8 часа. 1500. 6-у часа. 1501. «4,7 часа. 1502. «940 м.
1503. 8 дней; 5 дней. 1504. «39 га; 9,9 ц. 1505. 51,8 tn. 1506. 54 мин.
2
1507. I см. 1508. «97 л. 1509. 10 косилок; «4 -у часа. 1510. 14 дней.
1511. 3,6 руб. 1512. 100 км. 1513. 50 га. 1514. 6000 руб., 2100 руб., 1560 руб.
и 2340 руб. 1515. 1650 руб. 1516. 6360 руб. 1517. 50 км/час; 52,5 км/час.
1518. 12 000. 1519. ~817 га. 1520. «83%; 110%; —109%; 1521. 40 /», 52 tnt
34,5 гп. 1522. 50 га. 1523. 55%. 1524. 100 куб. м; 75 куб. м и 90 куб. м.
1525.	«2.4 а и	10 а.	1526. 72 г,	168 г	и 360 г. 1527.	85 г. 208	г и 208 г.
1528.	«1990 ц.	1529.	«420 досок.	1530.	2500 tn. 1531. 5	руб. 84 коп. if 3 руб.
90 коп. 1532, 60 л и 30 л. 1533. 1008; 840 и 630. 1534. «290 т. 1535. «52%.
1536.	«2,4 кг;	1,2 кг; 1,2 кг и	0,2 кг. 1537. 0,3 кв.	м. 1538.	27 кв. км.
1539.	2 дм; 2,4 дм и 3	дм. 1542. «240 г;	« 110 г и « 190 г. 1543.	—231 кг на
1 кв. см; «85 раз. 1544. 12,4 и 5,5. 1545. 7 час.; 2,5 часа; 3,5 часа.
1546. 12 дней, 8 дней и 6 дней. 1547. 1) 2 часа 45 минут; 2) 3; 3) 0,732.
1548. 1) 1 час. 48 минут; 2) 1; 3) 594.	1549. 1) 54 км; 2) 142 857;
3	1
3) 0,18. 1550. 1) —2 у- часа; 2) 6 у ; 3) 200. 1551. 1) 50,4 руб и 37,8 руб.;
2) 6^-; 3) 70; 15 и 10. 1552. 1) 22,5°; 26.5°; 2)6,45; 3) 12:55. 1553.
1) 246,96 кв. м; 2)0,45; 3) 0,4. 1554. 1) 9,6 куб. м; 12 куб. м. и 10.8 куб. м;
5	42	1
2) 7, 56; 3)	- 1555. 1) «1200 tn; 2)	; 3)	. 1556. 1) 442; 52 и 26;
f	УЭ	тО
1	125	2
2) 0; 3) 6 -у п ]44 • 1557. 1) 3 дня; 2) 61 -у ; 3) 1. 1558. 1) 3 часа 36 минут;
2) 1,54; 3) 110 м, 635 м, 21 м и 9,0 см. 1559. 1) 7, 5 часа и 15 час..; 2) 1; 3)«17 га.
1560. 1) ^5 час.; 2) 19,5; 3) 103,0% и 97, 1%. 1561. 1) 528 кг, 192кг,
480 кг; 2) 15,8; 3) 1 кг 16 г. 1562. 1) « 11.6га; 2) 15,7; 3) «21,0 ц. 1563. 1)J48;
5
2) 0,36; 3) 26 4U0.	1564.	1) 124 км; «41 км/час. 2) у , 3) 50:63.
441
1565. 1) ~70 км/час; 2) 1,56; 3) увеличится а 18 раз, 1566, 1) 7 кус-
ков; 2) ^5,5; 3) увеличится на -yg- . 1567. 1) 12 т, 18 т и 24 /п. 2) ^52,1;
3) 122,25 т. 1568. 1) 45 т, 27 tn н 13,5 т; 2) ^4,8. 1569. Пчел. 1570. 301.
1571. 84 лет. 1572. 1) 9374-82=768 668; 2) 69 748:371 = 188. 1575. 32 «г.
1576. Первый получил на 1 рубль больше. 1577, 63%. 1578. 3,4 руб.;
2,8 руб.; 5,7 руб. и 8,4 руб. 1579. 12 лет. 1580. 25%. 1581. 44 раза.
1582. 1) Изменится, если дробь не равна 1. 2) Если дробь обозначить через
а
. то можно прибавлять к числителю па, к знаменателю пЬ,
1583. Нуль. 1584. 30,5 кг; 9,5 кг; 14,5 кг и 5,5 кг. 1585. 56 и 40.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
I.	Натуральные числа.
§	1.	Счет как основа арифметики. Натуральный	ряд	чисел ....	5
§	2.	Нумерация многозначных чисел ............... 6
§	3.	Метрическая система мер ............................................. Ю
§	4.	Римская нумерация .............. 15
§	5.	Исторические сведения о нумерации чисел	и	системах счисления 17
§	6.	Сложение и его законы ............................................ 20
§	7.	Сложение многозначных чисел. Проверка	сложения .... 24
§	8.	Сложение на счетах .............. 25
§	9.	Основные задачи, решаемые сложением	............. 27
§	10.	Вычитание ............................................. 28
§11.	Вычитание многозначных чисел .............................................................. 29
§ 12.	Проверка сложения и вычитания ............................................................. 32
§ 13.	Основные задачи, решаемые вычитанием ....................................................... —
§ 14.	Вычитание на счетах ....................................................................... 34
§ 15.	Умножение ...............................................................................   35
§ 16.	Законы умножения .......................................................................... 37
§ 17.	Умножение многозначных чисел .............................................................. 40
§ 18.	Проверка умножения ........................................................................ 43
§ 19.	Основные задачи, решаемые умножением ....................................................... —
§ 20.	Деление ................................................................................... 46
§ 21.	Деление нуля и деление на нуль ............................................................ 47
§ 22.	Деление многозначных чисел ................................................................. ~
§ 23.	Проверка умножения и деления .............................................................. 50
§ 24.	Основные задачи, решаемые делением ........................................................ 51
§ 25.	Зависимость между данными числами и результатами действий
над ними ...................................................... 55
§ 26.	Решение задач с помощью уравнений ......................................................... 57
§ 27.	Изменение суммы ........................................................................... 60
§ 28.	Изменение разности ........................................................................ 61
§ 29.	Изменение произведения .................................................................... 64
§ 30.	Изменение частного .......................................................................  67
443
§ 31.	Указания к усвоению правил об изменении результатов арифме-
тических действий ............................................... 68
§ 32.	Порядок выполнения арифметических действий ................... 70
§ 33.	Среднее арифметическое нескольких чигел ...................... 7з
§ 34,	Понятие о приближенных числах ................................. —
§ 35.	Округление чисел ............................................. 76
§ 36.	Исторические сведения об арифметических действиях ... -	82
§ 37.	Делители и кратные данного числа ............................. 83
§ 38.	Делимость суммы двух чисел ................................... ^4
§ 39.	Признаки делимости чисел ..................................... 86
§ 40.	Признак делимости на 2	................................. —
§ 41.	Признак делимости на 5 .................................. 87
§ 42.	Признаки делимости на 3 и на 9 .......................... 88
§ 43.	Простые и составные	числа .................................... 91
§ 44.	Разложение чисел на	простые множители ........................ 93
§ 45.	Общие делители двух	чисел .................................... 95
§ 46.	Общее кратное чисел .......................................... 96
§ 47.	Нахождение наименьшего общего кратного чисел.................. 97
§ 48.	Упражнения для повторения ................................... 101
II.	Дроби.
§ 49.	Введение новых чисел при делении натуральных	чисел	....	105
§ 50.	Введение дробных чисел при измерении ........................ 108
§ 51.	Запись дроби. Изображение натурального	числа	в	виде	дроби	109
§ 52.	Правильная и неправильная дробь ............................. 110
§ 53.	Смешанное число ............................................... —
§ 54.	Числовой луч ................................................ 111
55.	Выражение натурального или смешанного числа неправильной
дробью.....................................................	.	113
§ 56.	Выражение неправильной дроби натуральным или смешанным
числом ........................................................ 114
§ 57.	Сравнение дробей по величине ................................ 116
§ 58.	Изменение дроби при изменении ее числителя в несколько	раз	118
§ 59.	Изменение дроби при изменении ее знаменателя в несколько	раз	—
§ 60.	Основное свойство дроби ..................................... 120
§ 61.	Сокращение дроби ............................................ 121
§ 62,	Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю	.	.	.	123
§ 63.	Сложение дробей ............................................. 127
§ 64.	Законы сложения для дробных чисел ........................... 130
§ 65.	Вычитание дробей ............................................ 132
§ 66.	Свойства сложения и вычитания ............................... 136
§ 67.	Умножение дроби на натуральное число ........................ 139
§ 68.	Нахождение дроби числа ...................................... 142
§ 69.	Умножение натурального числа на дробь ....................... 146
§ 70.	Умножение дроби на дробь .................................... 150
§ 71.	Другой способ решения задачи на нахождение дроби числа	.	.	154
444
§ 72. Особенности произведения двух чисел в зависимости от вила мно-
жителя .................................................. 156
§	73.	Законы умножения	для дробных	чисел ..................... 159
§	74.	Нахождение числа	по его дроби	..................... 163
§	75.	Взаимно обратные	числа ................................. 165
§	76.	Деление дроби на	натуральное	число ..................... 167
§	77.	Деление на дробь ....................................... 169
§ 78.	Свойства	произведения и частного ........................ 174
§ 79.	Деление	суммы на число .................................. 176
§ 80.	Деление	произведения на число ........................... 178
§ 81.	Квадратные и фигурные скобки ............................ 180
5 82.	Решение	задач с помощью уравнений ...................... 185
§ 83.	Вычисление площади квадрата или прямоугольника, если дли-
ны их сторон выражены дробными числами ........................ 188
§ 84.	Вычисление объема куба или прямоугольного параллелепипеда,
если длины их ребер выражены	дробными	числами ........... 192
§ 85.	Окружность и угол ....................................... 196
§ 86.	Измерение углов ......................................... 197
§87.	Прямоугольные диаграммы	............................ 202
§ 88.	Секторные диаграммы ..................................... 205
§ 89.	Упражнения для повторения	по	теме	«Обыкновенные дробив 208
111.	Десятичные дроби.
§	90.	Понятие	о десятичной дроби ......................... 216
§	91.	Запись и	чтение десятичной дроби .................... 217
§	92.	Значение	цифр после запятой в десятичной	дроби ...... 218
§ 93.	Запись некоторых обыкновенных дробей в виде десятичных дро-
бей ........................................................... 219
§ 94.	Сравнение десятичных дробей по величине .................... 221
§ 95.	Изменение десятичной дроби при переносе запятой ............ 222
§ 96.	Уменьшение натурального числа в 10, 100, 1000	и	т.д. раз .	.	223
§ 97.	Значение десятичных дробей в практических расчетах . . .	225
§ 98.	Округление целых чисел и десятичных дробей	................. 226
§ 99.	Сложение десятичных дробей ................................. 228
§ 100.	Вычитание десятичных дробей ................................ 231
§ 101.	Умножение десятичных дробей ................................ 234
§ 102.	Деление натурального числа и десятичной дроби на натураль-
ное число ..................................................... 238
§ 103.	Деление на десятичную дробь ................................ 240
§ 104.	Приближенное частное ....................................... 243
§ 105.	Понятие о проценте ...........................  о	. . 0	249
§ 106.	Нахождение процентов числа .......................  ,	•	250
§ 107.	Нахождение числа по его процентам	...............  о	•	253
§ 108.	Вычисление периметра прямоугольника	и треугольника	л	.	255
§ 109.	Вычисление площади треугольника	257
445
§ ПО.	Вычисление поверхности куба и прямоугольного параллелепи-
педа ....................................................... 259
§ 111.	Составление сметы.................................... 260
§ 112.	Упражнения для повторения по теме «Десятичные дроби» . .	262
IV.	Совместные действия над обыкновенными
и десятичными дробями. Отношение величин.
§ 113.	Выражение обыкновенной дроби десятичной дробью ....	269
§ 114.	Преобразование обыкновенной дроби в десятичную с помощью
разложения знаменателя на простые множители ................ 270
§ 115.	Преобразование обыкновенной дроби в десятичную путем де-
ления числителя на знаменатель.............................. 272
§ 116.	Периодическая дробь ................................. 274
§ 117.	Совместные действия над обыкновенными и десятичными дро-
бями ....................................................... 277
§ 118.	Отношение двух чисел ................................ 283
§ 119.	Отношение двух величин .............................. 284
§ 120.	Нахождение одного из	членов отношения ............... 286
§ 121.	Числовой масштаб .................................... 288
§ 122.	Упражнения по теме «Совместные действия над обыкновенными
и десятичными дробями. Отношение величин» .................. 291
§ 123.	Исторические сведения о дробях ...................... 296
V. Измерения на местности.
§ 124.	Обозначение на местности точек и прямых ............. 298
§ 125.	Измерение расстояний на местности ................... 299
§ 126.	Эккер ............................................... 301
§ 127.	Построение прямоугольного участка и вычисление его’ площади —
VI. Повторение пройденного.
§ 128.	Указания о работе с учебником при повторении пройденного 303
§ 129.	Числа ............................................... 304
§ 130.	Действия над числами и законы действий .............. 305
§ 131.	Изменение результатов арифметических действий. Зависимо-
сти между данными числами и результатами действий над ними 306
§ 132.	Геометрические сведения ............................. 307
§ 133.	Упражнения ............................................ —
VII. Приближенные вычисления.
§ 134.	Точные и приближенные значения величин .............. 326
§ 135.	Абсолютная погрешность .............................. 328
§ 136.	Правило записи приближенных чисел ................... 331
§ 137.	Сложение и вычитание приближенных чисел ............. 334
§ 138.	Значащие цифры приближенного числа .................. 339
446
§ 139.	Выделение значащих цифр в записи приближенного целого
числа .................................................. —
§ 140.	Умножение приближенных чисел ........................ 341
§ 141.	Деление приближенных чисел ......................,	.	342
§ 142.	Умножение и деление приближенных чисел с предварительным
округлением данных........................................... 345
§ 143.	Совместные действия с приближенными числами ........... —
VIII.	Проценты.
§ 144.	Понятие о проценте .................................. 350
§ 145.	Нахождение процентов числа .......................... 352
§ 146.	Нахождение числа по его процентам ................... 355
§ 147.	Процентное отношение двух чисел ..................... 359
§ 148.	Относительная погрешность ........................... 364
§ 149.	Формулы для решения основных задач на проценты ...... 367
IX.	Пропорции. Прямая и обратная
пропорциональность величин.
§ 150.	Отношение чисел. Замена отношения дробных чисел отношением
натуральных чисел........................................... 373
§ 151.	Упрощение отношения ................................. 374
§ 152.	Пропорция ........................................... 376
§ 153.	Основное свойство пропорции. Перестановка членов пропорции 378
§ 154.	Нахождение неизвестного члена пропорции ............. 381
-§ 155*	Прямо пропорциональные величины .................... 382
§ 156.	Обратно пропорциональные величины ................... 384
§ 157.	Непропорциональные величины.......................... 385
§ 158.	Решение задач на пропорциональные величины .......... 387
§ 159.	Прямо пропорциональное деление ...................... 392
§ 160.	Обратно пропорциональное деление .................... 395
X. Повторение пройденного.
§ 161.	Приближенные вычисления ............................. 400
§ 162.	Проценты ............................................ 401
§ 163.	Пропорции ............................................. —
§ 164.	Упражнения для повторения ........................... 402
Таблицы наиболее употребительных единиц измерения .......... 420
Таблица простых чисел,	меньших 1000	  422
Алфавитный указатель ....................................... 423
Ответы и указания к заданиям ............................... 425
Ответы к упражнениям ....................................... 428
447
Николай Александрович Принцев
Михаил Ильич Ягодовский
арифметика
для 5 и 6 классов средней школы
Редактор Л, А. Сидорова
Редактор’ карт В И. Борискина
Внешнее оформление художника
С, Я- Нодельмана
Рисунки художника А. В. Сайчука
Художественный редактор Б. Л. Николаев
Технический редактор В. И. Корнеева
Корректоры 7\ А. Кузнецова и Н. А,
Мясникова
• * *
Сдано в набор 6/1V 1965 г. Подписано к печати
28* VII 1965 г. A 11560. Формат 60 90L/lft. Печ. л. 28
Уч.-изд. л. 23,23 Тираж 20 000 экз. Заказ № 316
* * •
Издательство ((Просвещение» Государственного
комитета Совета Министров РСФСР по печати.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Ярославский полиграфкомбинат Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Ярославль, ул. Свободы, 97,
Цена без переплета 30 коп. Переплет 8 коп.
448
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.PU/SHKOLA