^e*
■■ъ >-"4*Sf-%"'
-:ч :* ш
*
лЛ*^
-
-
*
% **
f
^:
#
"=V
* •* U ^' W ЧЫ iA. ££>
. W w k. V. 4^.; ^ч^ Ч*> a/ tfj

М.Л.Краснов
А.И.Киселев
Г. И. Макаренко
Е.В.Шикин
В.И.Заляпин
Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации
ш качестве учебника для студентов
высших технических Учебных завод
«й
Издание второе, исправленное
УРСС Москва* 2004

ББК22.1я73
Краснов Михаил Леонтьевич; ^ J ;v f
Киселев Александр Иванович, -f"u\ $ ■ '
Макаренко Григорий Иванович,
Шикин Евгений Викторович,
Заляпин Владимир Ильич
Вся высшая математика: Учебник. Т. 2. Изд. 2-е, испр. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 192 с.
ISBN 5-354-00300-8
Предлагаемый учебник впервые вышел в свет в виде двухтомника сначала на английском и
испанском языках в 1990 году, а затем на французском. Он пользуется большим спросом за рубежом.
В 1999 году книга стала лауреатом конкурса по созданию новых учебников Министерства
образования России.
Этот учебник адресован студентам высших учебных заведений (в первую очередь будущим
инженерам и экономистам) и охватывает практически все разделы математики, но при этом представляет
собой не набор разрозненных глав, а единое целое.
Во второй том включен материал по некоторым разделам Математического анализа
(неопределенный и определенный интегралы, функции нескольких переменных) и дифференциальной геометрии.
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Лицензия ИД №05175 от 2106.2001 г. Подписано к печати 22.10.2003 г.
Формат 70x100/16. Тираж 4000 экз. Печ. л. 12. Зак. № 628..
Отпечатано в типографии НПО «Профиздат». 109044, г-Москва, Крутицкий вал, 18.
1859 ID 17344 м/17345 т
785354»003006»>
ISBN 5-354-00270-2 (Пойное произведение)
ISBN 5-354-00300-8 (Том 2)
© Едиториал УРСС, 2004
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана
в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или
механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на то нет письменного
разрешения Издательства.
. . I ' .' ■ ■ ■
Издательство УРСС
Тел./факс: 7(695)135-44-23
Тел./факс: 7(095) 135-т42-£6
■'E-mail: URSS@URSS.ru Л
научная И учебная литература Каталог изданий в Internet: http://URSS.ru

Глава XII '
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Понятие первообразной
Основной задачей дифференциального исчисления являлось нахождение по заданной
функции f(x) ее производной /'(х). В интегральном исчислении основной задачей
является обратная задача, которая заключается в нахождении функцщ* f(x) по ее
известной производной Jr(x), Перейдем к рассмотрению этой задачи.
Определение. .Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале
(а, Ь), конечном или бесконечном, если функция F(x) дифференцируема в каждой
точке этого интервала и ее производная Fl(x) = f(x) или, что то же самое, dF(x) =
f(x) dx для всех х £ (а, Ь),
Пример 1. Функция F(х) = arcsins является первообразной для функции Да?) ~ у 1 д на интервале
(-1,1), так как
i^(s)^(arcsina;)' = -p» -V« €■(—1> 1).'
v 1 - #2
Пример 2. Функция
><«)-£, 0<«#1,
является первообразной для фун!сции /(*) = а* на интервале (-оо* +оо), В самом дет,'
"■>w-(£)'-t5-'-'v.^:»,+„»j, ;::;;::i:
Если F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (а? Ь)? тб
и функция Ф(х) = F(x) + С, где С — произвольная постоянная, будет первообразной
для /(х) на интервале (а, Ь). В самом деле,
$'(x) = [F(x) + C]'=/(x) = /(i)
для всех х £ (а, Ь), Таким образом, если функция f(x) имеет на (а, Ь) первообразную,
то она имеет на этом интервале бесконечное множество первообразных. Между двумя
различными первообразными для одной и той же функции существует тесная связь,
которая устанавливается следующей теоремой.
Теорема 1. Если F(x) и Ф(х) — bee любые первообразные для функции f(x) на интервале
(а, 6), то их разность равна некоторой постоянной
Ф(х) т F(x) = С, С = const, х е (а, 6),

4 ; ■.., — — ТПШ XII. НвОГ^А«Л4ИНМЙ MHIf f|W
4 Пусть F(x) иФ(ж) — первообразныедля функции /(ж) на (а, Ь), т. е.
Рассмотрим функцию <р(х) = Ф(х) -' JF(a?)'.'Дйя нее йолучаём г
для всех х € (а, Ь). Возьмем в интервале (а, Ь) любке две точки «о их и применим
теорему Лафанжа (о конечных приращениях) к фуншии ^(г) на отрезке [х0, х]. Тогда
получим '■/..":. .'о.. .-\.-. •■'.' ■ ■■<* v •
Хж)-у(жо) = (а-ао)^(0» где ж0<|<гж-
1^ щк^(ж) Лт А *** (а*$я№Л*;5?Ч0 ~ '.О.-Иг.значит, 9?(ж) = j^a?e) Va € (о, Ь), т. е,
функция <р(х) йа (а, Ъ) постоянна. ТЬким образом, Ф(х) - F(x) = С, где С = const,
длявсехя € (а,Ь). ► |
Следствие. Если F(x) является одной из первообразных для функции J(x) на
интервале {а, Ь), то любая другая первообразная Ф(х) для фуцкции f(x) имеет вид
Ф(х) =yF(zj+ С,
где С — некоторая постоянная. Л н
§2. Неопределенный интеграл
Опрадд/юшв. Совокупность всех первообразных для функции /(я), определенных
на интервале (а, Ь), называется неопределенным интегралом от функции /(«) на этом
йЙЭДдою М <£оШШгШ ЬймволЫй '/ ffWfdx* Здесь знак jf называется знаком
интеграла, выражение f(x) dx — подынтегральным выражением, qslmsl функция f(x) ~
подынтегральной функцией, а х называется переменней интегрирования.
Если F(x) является какой-либо первообразной для функции f(x) на интервале
(а, Ь), то в силу следствия будем иметь ,
Я lf(*)jfy =:${») + С,
звд^С ^дрриэвсщьная посеянная. При щ*и любое равенство^ обеихчастях шгоро*
го стоят неопределенные интегралы> является равенством между множествами. Такое
равенство означает, что эти множества содержат одни и те же элементы —
первообразные,. ■'-. lvr.;% _ . .л. • ._.. ., _ _k -■ \
Иногда будем понимать Ьимвол / /Щ dx как любой элейент из этой совокупно-
сти»т.е, каккакую-тошпервообразных.
В дальнейшем будет доказана теорема о существовании неопределенного
интеграла, а сейчас приведем ее формулировку.
Ttopewa 2. Функцияr'jf(x), непрерывная на интервале (а, Ь), имеет на этом интервале
первообразную, а следовательно, и неопределенный интеграл. ,

IS* СмЛстм н»олр«дм#*«н<нч> шмрод -
Операцию нахождения первообразной или неопределенного интеграла от
функции f(x) называю? интегрированием функции f{x)> Интегрирование представляет
собой операцию, обратную дифференцированию.
§3, Свойства неопределенного интеграла
Будем считать, что все рассматриваемые функции определены и непрерывны на одном
и том же интервале (а, 6), следовательно, на этом интервале существуют иеопределен-
ные интефалы от этих фунйщй*
1« Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
d(ff(x)dx)=f(x)dx.
4 В самом деле, так как JP*(x) = /(a?) Va? £ (а, Ь)i, то
d (J f(x) dx) = d[F(x) + С] = AF(a?) = ^(ш) 4« = /(ar)4а?. ^
2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
(/./(*)'*)'"*■/(»),
что следует из свойства L "
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная
/ dF(*)«F(e) + C.
4 В самом деле, если F*(x) = /(a?) Vx € (а, Ь), то
/Щх)= Гр(хул*±//(^.Ла^+а^. ■
4« Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или
вносить шщ знак интеграла р
J Afix)dx = AJ f(x) dx} A - const, A # 0.
«« В силу свойства 2 имеем
Таким образом» fAf(x) dx выражаеттожесамоемножество функций» чтои Ajf{x)dx^
т. е. множество первообразных для функции Л/(х).

I
Глава XII. Неопределенный интеграл
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен
алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций
/ [f(x) ± ф)} cte = J f(x) dx± J ф) dx\
щ В силу свойства 2
(У [}{х) ± ф)] dx^j ^ /(ж) ± ф).
Q f(x) dx ± J ф) dx) = (f /(ж) dx) ± (J ф) dx) = f(x) ± ф).
С другой стороны,
Таким образом,
/ [f(x) ± ф)} dx и / f(x) dx± ф) dx
являются первообразными для одних и тех же функций /(ж) ± (р(х). Следовательно,
они отличаются друг от друга на некоторую постоянную С. ►. '
Следствие.
/ Ё Akfk{x) I dx = X) Лк f fk{x) dx>
где Ak = const (fc== Ij2>,.., n).
Так как выражение вида
где все Л& — некоторые постоянные, называется линейной комбинацией функций Д'(а?),
fc.= l,2,...,n,to последнее равенство означает, что
неопределенный интеграл от линейной комбинации конечного числа функций равен
линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций.
Свойства 4 и 5 определяют так называемое линейное свойство неопределенного
интеграла.
§4. Табличные интегралы
Каждая формула для производных конкретных функций, т. е. формула вида Fl(x) ==
/(ж), может быть обращена, т.е. записана в виде J f(x) dx =» F(x) -f С, С = const.
Татшм путем получается следующая таблица основных интегралов, которые являются
обращением основных формул дифференциального исчисления:

§ 4, Табличные интегралы,
/•
„а-И
1. / xadx=—— +Cf аф-\, х>0,
а4-1
1п|ж| + С, ш#0.
a*dx~-— + С, 0<а#1.
1па
чь
ч
В частности, при а = е получим
[e?dx = <f + C.
4. I sinxdx=:-cosx-hC*
\
5. i cosxdx = sina?H-C
/<fcc
sin* a
:~ctga?+-C, хфпж (n = 0,dbl,±2,...).
/
tgx + C, x^-z + nw (n = 0,±l,d:2,/^).
vT^F
= arcsinx + C, —1<ж<1.
shxdx = chxH-C\
13. / chxdx = shx + C*
■thx + C
/^^1» ,,„■ „i -
-. -.,: ;. =s In|s + v хг±аг\ + С (для знака «-» должно быть |ж|> |а|).
——r = arctgx + C,
1 + ж2 .
12- /
Г их
14, / —г- = -
sh2x
= -cthaJ + C, a?#0.
Формулы 8 и 10 являются частными случаями более общих формул
/dx х
, , v = arcsin ~ + С, |ж! <
/dx 1 х
^—-т.= -arctg- + C.
а1 + х2 а а

I
Глеи XII, Неопределенней интеграл
Справедливость всех приведенных выше формул устанавливается с помощью
дифференцирования, которое показывает, что производная правой части этих равенств
равна подынтегральной функции.
Следует отметить, что если операция дифференцирования элементарных функций
всегда приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования
элементарных функций может привести к неэлементарным функциям, т, е. к таким функциям,
которые не выражаются через конечное число арифметических операций и
суперпозиций элементарных функций. Например, доказано» что
следующие интегралы не выражаются через элементарные функции:
(интеграл Пуассона)^
(интеграл Френш)ь
(интегральный логарифм), 0 < х Ф 1,
(интегральный синус), хф О,
(интегральный косинус), х Ф О,
Эти интегралы дртя и существуют в силу непрерывности подынтегральных
функций в их областях определения, но они не являются элементарными функциями.
Некоторые из этих интегралов играют большую роль как в самом математическом
анализе, так и в его разнообразных приложениях,
В некоторых случаях с помощью тождественных преобразований
подынтегральной функции данный интеграл можно свести к интегралу, к которому применимы
основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных
интегралов.
Пример I. Найти неопределенный интеграл
"" щ Имеем' '
^к^>1|рМ1ЯрХ:НВЙТМИК11ГрВЛ
J я1 + *
~* dx
/ sin хг dx, I cos x% dm
j 1пш
/sins
ТГ'1
/COS Ж
(to
dx

(1 ИНТ«ф*рОМ**# ЯИ#НОЙ fTtptMtHHOl»„
/'(1+ •)*'■/ м+'3в' + ша ■ ' ■/'<1 + *а) + а*^'"' 7Л \ 2 Yw
Пример 3. Найти интеграл ^
^ г»МвеМ
у a^^Mv^-^ вяу ^зу ^^3yj^|y—^ja^ ia^^p^-e-.W'
§5. Интегрирование заменой переменной
Одним из основных приемов интегрирования функций является замена переменной.
Пусть требуется найти интеграл j f(x)dx от непрерывной функции Да»). В
подынтегральном выражении положим х — <p(t), где функция <p(t) имеет непрерывную
производную ip(t) и обратную функцию < = ^(ж). Тогда справедливо равенство
j.f{*)'d*mjt[tffi\4?{t)*%
(1)
в правой части которого после интегрирования вместо t надо подставитьего выражение
через xf7.е, функциюч(>(х), ■/-•"'
< Для доказательства равенства (1) находим производные интегратор, стоящих в его
левой и правой частях. Производная по х от левого интеграла равна л
{//(^*) ^/W^,f
Производную по ж от правого интеграла находим по правилу дифференцирования
сложной функции с промежуточным аргументом * .■ Учитывая, что производная обрат*
ной функции равна
**кшт где ^)>°> -
получим
(//MoMO<«)^f(//b(0^^
Так как производные указанных выше интегралов равны, то эти интегралы
определяют одео и то же множество функций, а именно — множество первообразных
функций /(&).>
Равенство (1) выражает собой часто применяемый на практике метод
интегрирования, называемый интегрированием заменой переменной или подстановкой*
Функцию <p(t) на практике выбирают так, чтобы интеграл в правой части равенства (1) был
более простым, чем первоначальный.

10„ -■■ ■„ „■ ■ ■ .,- -. ,,„•■•.,w^., .., , . Гя^Ж Неопределенныйинтеграл
Пример 1, Найти интеграл
'//т37Р-(в>0)'
-4 Положим х = a sh t. Тогда da = a ch * d* и мы будем иметь
Г dm ^ г achtdt _ /■ о ch t dt _ г __ -~
J Vx^a2 "J ^(etfe+l)"'" acht ~J
Выразим переменную t через старую переменную 2» Для этого разрешим равенство х = a sh *
относе-'
ситвльно *, Так как по определению sh t = —*— г то
2
или
m2t - 2аге* ~а™%
откуда
е_ & ^ У^7 + я2
а
Учитывая, что et > 0, берем корень со знаком «+», так что
, а: + v/#2 + а2
* = --"■—-■ -■■■ ■.-г
откуда находим
* = !n(s 4- уа?2 4- a2) -In а,
Окончательно получаем
у уу^ш| = ы(% 4- \/$2 + а2 ) 4-С (С = €-\па).>
Пример 2, Найти интеграл
J (x + 2)y/ITT'
щ Сделаем замену переменной, положив х = t1 -1, откуда dx *= 2* dtk t =*у2~Т7. Тогда
{ dm r ltdt - f dt • • ■
. Ji*+wttiJ WTWt = 2J pn = 2arct8t + c-
Возвращаясь к переменной $ по формуле t = Var 4- i» получим
t dx . r
, ^^ « 2 arctgV^ 4- 14- C. ►
J (* + 2)уаПГГ
Замечание. Если в интеграле / /(ж) dx подынтегральное выражение /(ж) Же можно представить в виде
f(*)dx. = g[y{z)]l?(x)ds;
т,е.
/(*)d*=f[*(*)]d[«(jr)],
причем функция g(t) легко интегрируется, т. е. интеграл
Jg(t)dt = F(t) + C
находится легко, то делая в данном интеграле замену t = ф(х), будем иметь
ff(z)dx = F[i!(x)]+C
Пример 3* Найти интеграл
■"TV ■/г--".;.' '■ /££!*;■■'.; •.

§6, Инwp*po*iнив по частям.
.11
«Положим t = 2* + 2~*? t> 0.Тогда dt =* (2* In 2- 2"* In 2) dx, откуда
t*--2->-5Iv
Поэтому
У ..2*.+ 2~* In2 У * In2 . In2
Пример 4. Найти интеграл
г e2*dx
J Ve* 4- 1'
41 Сделаем замену переменно» положив Уе*'--Н I = *. Тогда у» д = 2 Л, е* = t2 - 1. Поэтому
/7Йг = /«-^Т-/0'-')-^-) —
§ 6. Интегрирование по частям
Пусть функции и = u(a;)Ht? = v(s) имеют непрерывные производные и'(ж) и г/(я).
Тогда, по правилу дифференцирования произведения, будем ищть
[и(ж)г;(ж)] =tt(aj)v'(«)' + v(x)uf(x).
Это равенство показывает, что произведение данных функций u(x)v(x) является
первообразной для суммы u(x)v\x) + v(x)v!(x) и, следовательно,
/|
[u(&)t/(z) -f v(g)u'(g)] da: = u(x)v(x) + C.
Отсюда, используя линейное свойство интеграла, находим
/ u{x)v{x)dx =%(x)v(x) -' / v(x)u(x) dx 4- C\
Так как по определению дифференциала
v'(x) dx ■= dVj г/(а:) da: = du,
то полученное равенство можно записать короче
/ udv = uv - J v du + C,
или
/ и dv = uv - / v dti,
a)
считая, что постоянная С включена в один из неопределенных интегралов.
Нахождение неопределенного интеграла с помощью этой формулы называется
интегрированием по частям. Формула (1) сводит нахождение интеграла J udv к
нахождению интеграла f v du, который в некоторых случаях можно легко найти. При ее
применении к нахождению интеграла приходится разбивать подынтегральное
выражение на два множителя и и dv = v* dx, из которых первый дифференцируется,

*f , ■ ■■ , ; ,. „,. ; . Гит XII. Наопраделе^ыЛ интеграл
а второй интегрируется при переходе к юпадралу в правой части. Выбирать и сяедеет
так, чтобы интегрирование дифференциала rft/ не представляло трудностей и чтобы
замена и на du и dv на г? в совокупности приводили к упрощению подынтегрального
выражения.
Пример 1, Найти интеграл
/.{2-3*)сова4в\
Положим
«к2<-3в, efrecoatfife.
Тогда .
dti =-3da, t> = / eosxds =*inx.
Прим#мяя формулу (1), Суд«м иметь
у (2^ 3#)^bos« d«^ав (2 — Зг)^fisr^ 3 /slfi rd« = (2 — Зш) iln* С** ►
Замечание, Если взять
tt = co$z, dt> = (2 - За?) <te
алия»
и = (2-Засова?, dt> = ds
и применить формулу (1), то в обоях случаях в ее правой части получим более сложные интегралы, чем
первоначальный.
При нахолщеник функции v по ее дифференциалу d* можно брать любое значение
постоянной интегрирования С, так как она в конечный результат не входит (для проверки этого достаточно
в формулу (1) подставить * + С вместо с). Поэтому для удобства будем брать С = 0.
Привар 2» Найти интеграл *
J inxdx.
ч Так мак в данном интеграл* * dt» = In ж4», то здесь имеется единственный выбор, в именно « = lnz(
dv = ete.Torfti Йия &,e ш JTdxst«, Иофррмуя»(1>получаем
у In m dx ж ш In * - J dx ss x In* - s + С = «(kia? - 1) + C. ►
Пример З. Найти интеграл ' ' ' "•-'
Ifa-Jim (|ef<|a|).
^ Применим метод интегрирования поместим, положи а
«шд/а2«-г2, dessdc.
Отсюда находим
- аг&в _
Примеш» формулу (1К получим
I у«2 - г2 ## «s хуа2 - •* + / 'дад? + 2CV'
Добавим и вычтем о2 а числителе подынтегральной функции интеграла а правой част и, произведи
деление на vV- *** будем иметь
^ / ф^П**х*4х.+ 20■="*)/&?-** + a* «ncstn - —/ \/e*- ж2 «& + 2C*

§ 6. Интагрироааиие не чжЫ* __ ; «*_ -■■ - : 13
Для нахождения данного интеграла мы получили алгебраическое уравнение с одним неизвестным, ко-
"'- торым является этот интеграл, ■-<; ^ »-.•.■■■;»: ;.-
у а2 ~-х24х = хуи>2 - х2 + в2 arcsln — / у аг - х1 их + 2С.
Из этого уравнения находим
а2
J yJ€?-x2dx = -xyJu2-%% + %r arcsln - + С. ►
Задача, Показать, что справедливы слвдусщне формулы:
а) у ух2 + в2dx = -жу^З + в2 + -г^(х +V*1 + fl2) + с*
б) у у ха - о1 da: i= -хуя1 ** вг - -г Цх жух2 "1*2| + ^* ГЛ11*1 > 1*1*
Замечание, К нахождснюо интеграла Jvdu в правой части формулы (!) можно применить снова
интегрирование по частям,
Пример 4. Найти интеграл
М Положим и = **, dt» я 2* dx, тогда
du^2xdx* 0 = г-r и / х22*das в я2—; - —-- / х2*dx.
In 2 V taa ln2/ .*■■.-
К интегралу в правойчасти снова применяемiiifreTpnp^aMi^e по чаевал, полагая * » *ч ^* * 2* dx,
'■ОТКуДв--; ■■.,:*•:■.. ■-■ -■■■:; . . .'% .. ,,....,
'• ■>. . :- /2*- - -.
du^dx* via--— ■
к* 2 ..,.,,
и, следовательно, * ^ ^
У »п2 »п2 V Ш2 1п2 У / 1п2 1п2 V 1п2 1г72/ +
" ' ':-^;--,:"-':-:^-='r" '; -■■-'■- <"V v2 -j :о:;ч^5г^^ -^,- 'у
V bi2 Щ) ta'2 - *
Пример 5. Найти интеграл
/ e** cos/Эх (a £0,p #0). . ,. ,>,, _
< Интегрируя тю частям, попоянм, например,
te = eQ3% dt>-cos£xdx^ (или л ==с^^
Тогда
/sin /?х
costfxdx = ——.
Поэтому
/ еа* cos£x dx = iea* sui£x - § / e**.9bkfiz dx.
Для нахождения полученного в оравой части интеграла снова применим интегрирование по частям:
cos/Зх
' uzze**, dv = smpxdx; dti = aea*dx, tr =— ,
/ea^sin^xdx = --e<5'Jicos^x4-2 (emec&fedx;'
■ "''. '"i . ^У ■ -.- : ■'■ v. -.-■■ ■ .,,*,*;:.. /::,;' .';;'# y = Г'.'."■■ '■>., ■■ -л. ■-.■.'."'■ л.
Подстввляя правую часть этого равенства в результат первого интегрирования, будем иметь
/«"• cos/?xdx = |ea*&npz4 £*?*w&pz~~ Je^tmftedx.

14-
. Глава ХН. Неопределенный интеграл
Таким образом, посредством двукратного интегрирования по частям мы получим для нахождения
данного интеграла алгебраическое уравнение первой степени с одним неизвестным, из которого
находим
-1 \ /• *<*я
Н)1
еш cos рг dx - --j- (a cos fix + р ш px),
откуда
ев? cos /Эаг йя = -^—^ (в cos /te + /? ап/Эж) + С,
Аналогично находим интеграл
I еах sin 0х dx = ^-—у(а sin /fa - /3 cos#c) 4- С. ►
С помощью интегрирования по частям можно находить, например, следующие
интегралы:
1.
/а(*:
) In х dx,
где Рп(х) = £} 4$* — многочлен n-ой степени,
ЫО
«* Положим
Тогда
и = In £, dt/ = Рп(я) da:.
dx /
du = —, v = / Pn(&) <te = QR+!(x),
где Qn+i(x) — многочлен (п -f 1)-ой степени. Поэтому
f Pn(x) In x dx^Qn+l(x) Ins -J Q^ dx = Qn+ite) tax - Д!+|(я?) + C3
где Hn+i(x) — многочлен (п + 1)-ой степени. ►
Пример б. Найти интеграл
/(4а?3 4- 2х) Ы х dx.
< Полагаем
тогда
и = 1п£; dv = (4х3 + 2а?) &с;
a; J
Формула (1) дает;
4 2
[(4x3 + 2x)lnxdx =.(s4+s2)ln*'- 1Ххъ + х)йх ~ {х4 + a;2) In ж - ™ - ^~ 4* С
/ Pn(a:)arctgaa;dx, / F„(&) arcctgasdx,
Где а — действительное число.

§6. Интегрирование по частям.
.11
Эти интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций. Если, например,
в первом интеграле взять
и = arctg аху dv = Рп(х) dx^
то
1 -f а2х4
и мы получаем
/Pn(z) arctg ая da; = Qn+\ (х) arctg ax - a I ■"* ~ ~: Йж.
{ J l.+ crx*
Аналогично поступаем и со вторым интегралом.
Пример 7, Найти интеграл
\ ПЗх2 + \)3Lictgxdx.
< Пусть
ТСГДЭ
Поэтому
и = arctg z, dfc = (Зх + I) da;,
d# = ?, v = а? 4- ар»
■* 3
/ (3#2 4- 1) arctg ж их = (ж3 4* х) arctg х - / ——у <*ж = (х3 + х) arctg z - ■ / « d* =
/
Pn(x). arcsin. ax dx,
/ад
arccos axdz.
где а — действительное число.
Для нахождения этих интегралов берем
u = arcsin ах (и == arccos оке'),? dv = Ря(х) dx;
тогда
a dx ( ' adx \ ' "-
и формула (1) дает ,
/ Ря(х) arcsin «a: dx = Q„+i(x) arcsin ах - а / -~J=™ dx,
Полученный в правой части интеграя можно находить различными способами,
которые мы приведем в примерах (подробнее этот интеграл будет рассмотрен ниже
(см.§8)). v __.. , : ^ \ ;. :
Примере* Найти интеграл
/
х arcsin хйх.

t § '■— .■i::.nil: ..-г-,:— - ■" ..- . ... ,. ' ' . :..\ ,,: ...... :.' ' ...'. ' ТЯЩШ )Ц. HtOflfM Д1ММШЙ jeUilft tH
4 Sep#M
« = arcsinx, 4»жх2**хг -
откуда
dx x3
: 4**7f^f*
Куприн**** формулу (IK будем «меть
Г 2 -~i ' -• ** i * / *****
/ х* areata х dx = -г arcsin х - - / -та^.. .
В полученном в правой части равенства интеграл* сделаем гюдстановку * = \/Г^"х*, х2 = 1 - *2,
xdx- ~tM* Тогда
Окончательно получаем
J х2arcsin»dsr = ?г-arcsinx + .г(«а.+ 2)уГ--)й+.С;.>
Используя многократное интегрирование по частям можно найти следующие
интегралы;
4.
j Рп(х)е**<Ш,
где А — действительное число*
Для нахождения этого интеграла в формуле (1) интегрирования по частям полагаем
откуда
du = Ftix)dx, :v = \j* (АЙ0)<
Поэтому
J P„(x)e*- dx = |j».(x)e* - | У J*(*)e* dx,
где /«(а?) — многочлен {n - 1)-оЙ степени. Кинтегралу в правой части снова
применяем формулу (1) и т.д. В результате п-кратного интегрирования по частям придем
к табличному интегралу / ед* dx = |e** + С.
Припер 9. Найти интеграл
7(x2 + 2x)e*ds.
щ Полагая
а = ж + 2х, dt? = e*dx,
находим
d* = 2(х + 1) dx, * = е*>
Тогда
/(х2 4- 2х)с* dx = (х2 + 2з)е* - 2 /(х + 1}е* dx.
Интеграл в правой части снова берем по частям, принимая и = х + 1, 4» =?_е* dzf откуда dv » dx,
г = е*. Следовательно»
/(х + 1)е*dx = (х + l)e*-Je*dx = (х + 1)в*-в* + С = хе* + С.

} 1 Иит»гр*фОввн^понвстц» , f ., '--, г - - -^ У-^ > ■—~ — .....^ .■■*.- - .-^.■•- - #;
Окончательно получаем ^ i
/V + 2ж)е* <fe к (*rHh 2я)е* - ice* + С = а?2е* + С. ■>
Звмечвние, Интегралы этого вида можно находить с помощью метода неопределенных коэффициентов,
который состоит в следующем: ищем интеграл в виде произведен^ многочлена п -ой степени
Qn(x) = &о + М 4-.'.. + Ъпхп
с неопределенными коэффициентами &о, h»... t Ь« на функцию &**, i е.
Для нахождения неизвестных коэффициентов 6% дифференцируем обе части этого равенства:
^Ф
Затем» сокращая на еЛ* ?£ 0, будем иметь
Рп(х)=</п(*) + Ш*)<
В этом равенстве слева и справа стоят многочлены л-оЙ степени, приравнивая коэффициенты которых
при одинаковых степенях 2, получим систему из я •+ 1 линейных уравнений, содержащих искомые
коэффициенты Ьк. Эта линейная система имеет единственное решение, так как ее определитель
* отличен отнуля, ■" ■ --^'■:-*■■ - '' - ■ '-'Г/ -^ть ■ v,v ■-: ^:v:!!''';'-^
ПримврЮ. Найти интеграл
](т2 + 2х)е*4т,
/4 Положим
J (х2 + 2х)е'4х ,.ад (do + М + Ъгхг)*ш%
где Ьо, Ьь h — неизвестные коэффициенты. Дифференцируя это равенство, найдем
XJ + lx)? = (bix + 2Ь2*)е* -f (DoV6ii+\iii2)e*.'"'"''
Обе части последнего равенства сокращаем на е* ^ 0;
2aj + £2 = b0 + ftia: + &2*2 + Oi + 2Ь2&. л \
В правой части равенства собираем все члены с одинаковыми степенями х:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
0 = 50 + Ь] ]
2 = bi*2o2 L
.*«Ь J
62 = 1. Исходный
j(x2 + 2е)е* *te ^ *V 4- С. *
ж1
Решая эту систему, находим; 6$ = 0, bj е.о, $2 =? 1. Исходный интеграл будет равен
*>■#:
/ Рл(&) sin/?£*&, / Pn(a:)cos^asdx,
где /J — действительная постоянная, р Ф 0.
Для первого из этих интегралов в формуле интецжрования по частям полагаем
и = Рп(х)у dv = sin /?ж cte (для второго dv = cos /Зж cfcc),
откуда ♦ ,
<!& == i^(a?) d#, v = -——- f дяявторош v = —— 1.
р \ р /
Следовательно,

m^
Глаза XII» Неопределенный Интеграл
f Pn(x) sinPx dx = ~pn(#)$~^ + - / jfi(a) cos{3x dx.
Применяя п раз интегрирование по частям, придем к одному из интегралов
/, ■ л , cos^c / • л sin/3x
sin /te dx.= - —-— или / cos px dx ~ —-—,
P J P
Пример 11. Найти интеграл
/ (хг - 1) cos xdx,
< Интегрируем два раза по частям, при этом будем пользоваться более короткой записью, Получаем
~l !J = ^ ''f-^'^Iff* U(x^l)sinx^-2жcosж^2smж+C = (з;2--3)smiE+2xcosI+C►•
( ап = ах, « = — cosi I
Кроме указанных выше интегралов существукугидругие интегралы, которые находятся
посредством метода интегрирования по частям.
Пример 12* Найти интеграл
/ xdx i
У sin2а?*
«4 Полагая
получим
Поэтому
U = Xs dV ss ~г~т-
/dx
sin2 a?
sin* ж
sin2
r xdx r
В интеграле правой части равенства, применяя подстановку £ = sin я, <ft = cos a? dx, найдем
// €о§ xdx t dt
ctgxdx- - = / -- s= In|e| + С = In|sinz| + C«
J Sin X J I
Окончательно имеем
/x dx
-гт—=-^ ctg ж + in [ sin ac| i-С. ►
sm2a?
§7. Интегрирование рациональных функций
В этом параграфе будет рассмотрен метод интегрирования рациональных функций,
7.1. Краткие сведения о рациональных функциях
Простейшей рациональной функцией является многочлен n~oVi степени, т. а. функция
вида
Qn(x) = а%хп + аххп~1 -f . •. + ап^х + ап,
где а0, а\},.., ап — действительные постоянные, причем а0 Ф О, Многочлен Qn(x),
у которого коэффициент а0 = 1, называется приведенным*
Действительное число Ь называется корнем многочлена Qn(^)» если Qnfo) = О,

§7, Интегрирсианив рациональных функций __ __ __ 1|
Известно, что каждый многочлен Qn(x) с действительными коэффициентами
единственным образом разлагается на действительные множители вида
х-Ъ и х2 +px + q,
где р, q —действительные коэффициенты, причем квадратичные множители не имеют
действительных корней и, следовательно, неразложимы на Действительные линейные
множители. Объединяя одинаковые множители (если таковые имеются) и полагая,
для простоты, многочлен Qn(x) приведенным* можнозаписатьегоразложение на
множители в виде
Qn(x) = (х - а)*(х -bf...(x- 1)Х • (х2 + р,х + q})* .. .{х2 ±рвх +.q№,
где а,/?,..., Л,/г 1,...,/гд — натуральные числа.
Так как степень многочлена Qn(x) равна пя то сумма всех показателей а, 0У,.,., Л,
сложенная с удвоенной суммой всех показателей /ij, ..,, fii9 равна п:
а + (3 + ... + А + 20м 4~... Н- /**) = п.
Корень а многочлена называется простым или однократнъщ, если а = 1 у и
кратным, если а > 1; число а называется кратностью корня а. То же самое относится
и к другим корням многочлена,
Рациональной функцией f(x) или рациональной дробью называется отношение двух
многочленов
ПХ) Qn(x)'
причем предполагается, что многочлены Рт(х) и Qn(x) не имеют общих множителей.
Рациональная дробь ^Щ называется правильной, если степень многочлена, стоящего
в чиелителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. т < п. Если
же га ^ пу то рациональная дробь называется неправильной и в этом случае, разделив
числитель на знаменатель по правилу деления многочленрв, ее можно представить
вввде
■■■■:':Ш-Л'" (Х) + ?Ш.
где JRm„„(z), P(x) — некоторые многочлены, а д-% является правильной
рациональной дробью.
Пример 1. Рациональная дробь ~^М является неправильной дрофьй©. РазделивРфс^щх5 Н- 1 на;
Qa(s) ~ ж2 + 1 «уголком», будем иметь
-я3 +1
* х +1
Следовательно,
ж$ + 1 з -■■*■+1-
= ж -ГЖ + :
ж2 + 1 ж2 + 1
Здесь Лз(ж) = хъ - о:, Р(х)~ х + "1, причем 4Д» есть правильная дробь. ►

20, _ i :.;,„„„;.„ _«^_Г/шваXII. Неопределенный ннтеГрал
■ .■*■
Определение. Простейшими (или элементарными) дробями называются рациональные
дроби следующих четырех типов;
А ■■ Л ■ Mx+.N. ,., Mx + N
\щ ц# . _ ш# _ . _ ^
ж-о? * (ж-о)*1 * x2+px + q* ^^^Л t^
где Л, М, Ny ayp,q — действительные числа, к — натуральное число, большее или
равное 2, а квадратный трехчлен х2 + px + qHe имеет действительных корней* так что
2 2 ^
его дискриминант ^ - g < 0 или q - $ > 0.
В алгебре доказывается следующая теорема.
Теорема 3, Правильная рациональная дробь Щ* (яг < п) с действительными
коэффициентами, знаменатель которой Qn(x) имеет вид
gn(x) = (x-a)a(x-if.,.(x4Pl? + ^!
разлагается единственным способом на сумму простейших дробей по правилу
А\ i А2 Ам
х - о ' (х - о)2 * *" (х - а)а
Б] В2 Br /ч\
М]Ж + АГ| М2ж + N2 M^x + N^
(х2 +р8х + д,)1 (ж2 +>,& + У2 / " {хг+р9х + q$)i*<'
В этрм разложении А\г Аг%*.. >Ла, ВиВ2>... ,,< >.B^,.,r, , JVf|; ЛГГ, M2, N2r.,. , Мц$3
Npt — некоторые действительные постоянные, часть которых может быть равна нулю.
Для нахождения этих постоянных правую теть равенства (1)приводят к общему
знаменателю, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях
левой и правой частей. Это дает систему линейных уравнений* из которой находятся
искомые постоянные. Этот метод нахождения неизвестных постоянных называется
методом неопределенных коэффициентов,
Иногда бывает удобнее лрименить другой способ нахождения неизвестных
постоянных, который состоит в том, что после приравнивания «шелителей получается
тождество относительно xt в котором аргументу ж придают некоторые значения,
например, значения корней,;в результате чего получаются уравнения для нахождения
постоянных. Особенно он удобен, если знаменатель Qn (х) имеет только
действительные простые корни.
Пример 2, Разложи ь на преютейшие дроби рациональную дробь
Зх2 -6а? + 2
х*~3х2 + 2х'
4 Данная дробь правильная. Разлагаем знаменатель на множи ели:
(ж3 - Зх2 + 2х) = х(х2 - Зх + 2) = х(х - 1)(х - 2).
Так как корни знаменатели действительные и различные, то на основании формулы (1) разложение
дроби на простейшие будет иметь вид . , л
Зж2-6ж+2 _ А В С
ж3 -Ъх% +2х ~ х х-1 х-2*

«J
Приводя правую часть атого равенства к общему знаменателю и прирааниаая числители а его левой
и правой частях, получим тождество
Зх2-бх + 2*А(х-1)(х-2)+Вх(х-2) + С*(«-1), (*)
или - , ,
Зх2 - бх + 2 = (А + В + С)х2 + (-ЗА - 2В - С)* + 2А*
Неизвестные коэффициенты А*В<€ найдем двумя способами,
Первые способ, Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xt ъ е. при х2, x1, х°
(свободный чж*)* в левой и правой частях тождестве, получим линейную систему уравнений для нахождения
f неизвестных *оэффнцн**тов At В,. Сi
А4-В+С*3 )
-ЪА-1В-С = ~~Ъ },
2А»2 J
Это система имеет единственное решение
Л-1,' Bel, С«Ь
Второй способ. Так как корни знаменателя равны х\ «О, «2'■«* 1( *э = 2» то полагая а
тождестве (*);
х я 0f получим 2 = 2А, откуда А я 1;
i»i, получим -1« -#*откуда В«1;
х = 2, получим 2 я 2<?, откуда С ж 1,
и искомое разложение имеет вид
Зх2-6х + 2 1 1 1
x^^T^~i «-* х-2*
Пртеиер I* Разложить на простейшее дроби рациональную дробь
х3 + Зх+1
х^ + 3х* + Зх3 + хг
<4 Разлагаем многочлен, стоящий а знаменателе, на множители:
х5 + Зх4 + З*3■ + а2 = «V+ З*2 + Зх + 1) ш (х+ 1) V.
Знаменатель имеет две различных двйствмте ьных корня: х\ = 0 кратности 2 и х2 = -1 кратности 3.
Поэтому разложение данной дроби на простейшие имеет аид
V^'tef-l _ Aj А2 В\ В2 Вг
v >s + 3x4:+3x*+0*~ х + Р" + х+. 1-+ (хФ1р+ (х^ 1)г
Приводя правую чвсть к общему знаменателю, найдем
ху+&+А±А1Ш(х+^ + Аф
или ■ ■''•■""-v'
х3 + 3х+1 = (Af +Bj)x4+(3Aj «f А2 +2В, -f-B2)xJ-H3Aj +ЗА2 +Bj +В2+В3)х2 + (Ai + 3A2)s + A2<
Первый способ» Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях
послвдиего тождества, получим линейную систему уравнений
Ai + Bx^O
ЗА* + А2 +2Bj+В2 ~ 1
3Ai +3A2-bBi4-^2+B3 = 0
Aj.+'3Aa = 3
А2ч\
Эта система имеет единственное решение
А! «О, A2 = lf Д*0, В2 = 0> B3=-3f
и искомым разложением будет
х3 + Зх + 1 1 3
х5 + '$$* + Зх34х2 в ?"" (х + 1)^
второй способ. В полученном тождестве полагая х = 0, получаем 1 = А2, или А2 = 1; пола»
гая х - -1. получим -3 = В3, или Вз.=■ -3. При подстановке найденных значений коэффициентов Aj
и Bj а тождество оно примет вид
х3 + Зх + 1 ш Ахф + I)* + (х + I)3 + Вгх2(х + I)2 + В2х2(х + 1) - Зх2,
х4
х3
X*
X

Ш_ - ■,■■.„ , ,,, , ,, ,;■ .,,,,- ТптшЩ1 Неопредвмнныйшг0фяш
0
■ ИЛИ . ' :
хг + 3s + I - (х + 1)э + Зя2 as А^ф + I)3 + В\х2(х + I)2 + В2ж2(а? + 1),
т.е.
О = Ахф + I)3 + 5jx2(x + I)2 + В2х2(х + 1).
Сокращая на х(х + 1)» будем иметь
4j(x + I)2 + 5i«(x + 1) + В2х = 0.
Полагая х = 0, а затем ж = — 1, найдем, что А\ = 0, Вг = 0 и, значит, f?j = 0, Таким образом, опять
получаем
Пример 4, Разложить на простейшие дроби рациональную дробь
хъ + х1 + 1
(а;2 + 1)2 '•
4| Знаменатель дроби не имеет действительных корней, так как функция х2 +1 не обращается а нуль
ни при каких действительных значениях $, Поэтому разложение на простейшие дроби должно иметь
аид
а;3 + х2 + 1 М|а?+уУ| М2з? + N2
(**+!)* * *2 + 1. + (*2 + 1)2' ,. ;;
Отсюда получаем
а;3 + а;2 + 1 = (М |Ж 4- Н\){х2 + 1) + М^ж + iV?,
или
и3 + х2 + 1 = Мjar3 + JVja;2 4- (Mt + М2)х 4* (JV, ■+ N2)>
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего равенства,
будем иметь
откуда находим
и, следовательно»
£3 + £2 -И _ 3 + 1 : Ж ■
(ж2 + 1)7 "~*2 + 1 ~ (аг2+1)2' *
Следует отметить, что в некоторых случаях разложения на простейшие дроби
можно получить быстрее и проще, действуя каким-либо другим путем, не пользуясь
методом неопределенных коэффициентов.
Например, для получения разложения дроби в примере 3, можно прибавить и вычесть в числителе Зж2
и произвести деление, так как указано, ниже:
V + te+l ■-' (a?3 + 3s2-f 3s+l)~3;c2 (я + 1)3-3*а ■_ 1 3
ж5 + За;4 + За;3 + а2 " х2(х -И)3 ~ *2(* + 1)3"' '"a;2 (a;+l)3*
7,2. Интегрирование простейших дробей {
Как было сказано выше, любую неправильную рациональную дробь можно
представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби (§ 7),
причем это представление единственно* Интегрирование многочлена не представляет
трудностей, поэтому рассмотрим вопрос об интегрировании правильной
рациональной дроби.
Так как любая правильная рациональная дробь представима в виде суммы
простейших дробей, то ее интегрирование сводится к интегрированию простейших дробей.

J7, Интегрирование рациональных функций.
М
Рассмотрим теперь вопрос Ьб их интегрировании.
I.
Р Adx \ Г d(x - а) _
J х-а Р~ J х - а
jiln|a-aJ + C.
Iw^ --»/«—»"*->-
1-*
(ж -" а)
-*+1
+ С =
(1 - к)(х - а)1
- <iV-i
+ а
III. Для нахождения интеграла от простейшей дроби третьего типа выделим у
квадратного трехчлена полный квадрат двучлена: *
аГч-рж + д =
^•ИГЬ-(5)Ч~!)Ч-т>
Так как второе слагаемое g - $• > 0, то положим его равным а2, где а = ■+ у q. — ^ ?
а затем сделаем под етановну ж + § = £, <f& = <tt, ж2 + рж + g = t2 + а2. Тогда, учитывая
линейные свойства интеграла, найдем:
7 $2 + рх + q \ J t2 + a2
-M[ndt ,'(N mp\ f *-■-
2 У .«2 + a» + V 2 /У 0 + a'""
~ 2 У *? + a2- +\ 1)1 i2 + a2 ~
2 \ 2 / a a
M , / 2 ч
= — In(ar-т-p2D + g) +
2 iV ~ Mp lx + p ■. '
arctg rr;^v^S .я- + CV
уЧд - p5
\/4g-~p2
Пример 5. Найти интеграл
/
2-е
я2+4« +6
<*?.
< Подынтегральная функция является простейшей дробью третьего типа, так как квадратный трехчлен
х2 + 4$ + 6 не имеет действительных корней (его дискриминант отрицателен: ^ - q = —2 < 0),
а в числителе стоит многочлен первой степени, Поэтому поступаем следующим образом;
1} выделяем полный каадрат в знаменателе
х2 + 4я 4- 6 s (х2■ + 4х + 4) 4- 2 '« (я + if + 2;
2) делаем подстановку
. « + 2 = «,' "^«Л,. £ = *-2, aP + 4x+6=f*4-2
(здесь а2 = 2);
3} находим интеграл
2-х . >2.-(*-2)'„, ', /■ <** \ f2tdt
»'-* arctg -* - - b(*2 + 2) + С = 2^ arctg ^i- - - -1п(** -f 4л? + 6) + С. *
■^««■^-^
;17Г~Г

24,
. Г лам Хй. Нмпрцдоимый интрм
IV, Для нахождения интеграла от простейшей цроби четвертого типа положим, как
и выше,
?+!*«> &«*,' u**dq~%.
Тогда получим (fc ^ 2)
У. (•* + ?* + # / (*а + а*)* Л"
>(*2 + а2)*-1+Л 2 У У (*2 + а2)*"
2(1 -*К'2"
Интеграл в правой части обозначим через J* и преобразуем его следующим образом:
*~У (*2 + а2)*~а2У («J +а»)» **~
\ f dt If t2dt i 1 f d(t2 + a2)
~ a4 (t2 + a2)*"1 " а2 У («2 + a2)* = a2/*-1~ 2а2 У V +
Интеграл в правой части интегрируем по частям, полагая
d(*2 + a2)
о2)
u = t, do =в
откуда
и, следовательно,
(*2 + а2)*'
аи- at, v-j (f2 + a2)l - (1 _fc)(t, + e2)Ut.
- JL _L Г f 1 /" <й I
* " а2"'*-'~ 2а2 [(1" fc)(*2 + а2)*"' ~ 1 - * / в*' + в2)*"1 J
(1 - k)(t2 f в2)*-' *
или
Л =
■ / 2* - 3 ,
2а2(* - 1)(*2 + вг)*"1 2ог(* - 1)
Мы получили так тшвммуюрекуррентную формулу, которая позволяет найти
интеграл J и для любого -к в 2, 3,... . Действительно, интеграл J г является табличным:
J'= /л', 2 = -arctg-+C,
Полагая в рекуррентной формуле к = 2, найдем
J2=fwf<
t
i
^ " 2a2(*2 + a2) T 2? ~ 2a2(*2 + oJ) + 2a3 arCt8 a + ,
Зная h и полагая Л = 3, легко найдем J3 и так далее.

|7* Ийшрирдокие рациональных функций - .. %%
В окончательном результате, подставляя всюду вместо t и а их выражения через х
и коэффициенты р и qf получим дм первоначального интеграла выражение его через х
и заданные числа М, ЛГ, р, д.
Пример 8. Найти интеграл
*+1
/
($2 - 4& + 5)2 а5*
« Подынтегральная функция есть простейшая дробь четвертого типа, так как дискриминант квадратного
трехчлена $2-4х + 5 отрицателен, т. е. \~q = -1 < 0, а значит, знаменатель действительных корней
не имеет, и числитель есть многочлен 1-ой степени.
1) Выделяем s знаменателе полный квадрат
я2 - 4х + 5 = (х2 - 4* + 4) + 1 = (* - 2)2 + L
2) Делаем подстановку;
х-2 «в, dx«df; ж = «+2 (о2=1),
Интеграл примет вид: ,.*•
/ х + 1 " Г f + З Л 1 / 2t<ft г Л 1 ■[ dt
J l^^TW J WTW 2 J WTW+ J ¥Ш~~ШТ1)+Ч W?W*
Полагая а рекуррентной формуле к = 2» в2 = Ь будем иметь
г dt t 1 / <ft f 1
/(TW"5pTT) + 2/inM
и, следовательно, искомый интеграл равен
* + 1 . 1 31 3 А „ 3f-V 3 , _
^^^^
возвращаясь к переменной х, получим окончательно
/;
/
ж + 1 . Зх~7 3 > ^ „
xdx = --5—__ + - aretg(x -2) + С. ►
(ж2-4х+5)2 2(х2-4х + 5) 2
7.3* Общий случай
Из результатов пп Л и 2 этого параграфа непосредственно следует важная теорема.
Теорема 4, Неопределенный интеграл от любой рациональной функции всегда существует
(на интервалах, в которых знаменатель дроби Qn(x) Ф 0) и выражается через конечное
число элементарных функций, а именно, он является алгебраической суммой, членами
которой могут быть лишь многочлены, рациональные дробщ натуральные логарифмы
и арктангенсы.
Итак, для нахождения неопределенного интеграла от дробно-рациональной
функции следует поступать следующим образом:
1) если рациональная дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель
выделяется целая часть, т. е. данная функция представляется в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби;
2) затем знаменатель полученной правильной дроби разлагается на произведение
линейных и квадратичных множителей;
3) эта правильная дробь разлагается на сумму простейших дробей;
4) используя линейность интеграла и формулы п. 2, находятся интегралы от
каждого слагаемого в отдельности,
Пример 7, Найти интеграл
/
(*-!)(**-4)dX-

Ш ——.~_ ; : —_Глам XII. Неопределенный интеграл
■■«* Так как знаменатель (х.,«*■ 1)(х2 - 4) == ж3 — ж* — 4ж + 4 есть многочлен третьей степени, то
подынтегральная функций является неправильной дробью. Выделяем в ней целую часты
з3 |а?3 ~а?2-4ж-М
х7 + 4а? - 4
Следовательно» будем иметь
= 1 +
где jRo(ar) = 1, Р(ж) = х2 + 4а? - 4. Знаменатель правильной дроби
(а-.1)(*2-4)
имеет три различных действительных корня;
а = 1, 6 = 2, с =.-2,
и поэтому ее разложение на простейшие дроби имеет вид
ж2+4а-4 _ А В С
(х - 1)р - 4) ~"а:-1 + а?-2 + а?+2'
Отсюда находим
х2 4-.4Х - 4 = А(а?2 - 4).+ В(ж - 1)(ж 4- 2) + С(х - 1)(* - 2).
Придавая аргументу х значения, равные корням знаменателя, найдем из этого тождества, что:
если х = 1,
если х ss 2,
если ж = -2,
Следовательно,
а?2 + 4х - 4
<*-1)<«*-4)я
Искомый интеграл будет равен
то 1 = -ЗА, А = --;■.
то В = 4В, В = 2;
то -8= 12С, С=~~.
3
111 2 1
За?™ 1 ж-2 Эя + 2
i 1 о 1
Г x3dx r{ I I JL_' 2 1 \
da; =
-.-^.-.i-^-f,»,^,^
Примере. Найти интеграл
ж2 +1
/:
>* -*3
dar.
4 Подынтегральная функция является правильной дробью, знаменатель которой имеет два различных
действительных корня: х s= 0 фатности 1 и а? = 1 кратности 3, Поэтому разложение подынтегральной
функции на простейшие дроби имеет вид
х2 +1 А, А2 А3 В
х* - ж* а? а?2 х* х - 1
Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю и сокращая обе части равенства на этот
знаменатель, получим
или
а;2 + 1 = (Aj +В)ж3.+ Mi + А2)х2 + (-А2 + А2)х - А3.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях а? в левой и правой частях этого тождества:
Ai+B=sO, -А5Ч-А2 = 1> ~А2 + Аз=0> -А3 = 1.

§ 8< Интегрирование иррациональных функций.
.27
Отсюда находим Л\ = ~2, Ai = ~1» А% = ~1« В ** 2* Подставляя найденные значения коэффициентов
в разложение, будем иметь
tle-2-JL-JL' 2
* г3 ic &2 $2 -«--I*
Интегрируя, находим:
,2
Пример 9, Найти интеграл
г ху-х
(** + !):
■ d#.
* Знаменатель дроби не имеет действительных корней. Поэтому разложение на простейшие дроби
подынтегральной функции имеет вид
■M\9 + N\ Mzz + Ni
Отсюда
х2 - х = (Jlf 1* + i\Ti)(*2 + 1) + Я2я + ^\Г2?
ж3 - х = ilfja;3 + JViJC2 + (М\ + ЛГ2)ж + (iVi + JV2). :
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого тождества,
будем иметь
откуда находим
и, следовательно,
/ „ , , ,„, dX = / -, Г - 7-3 7ГТ <*Я = - 1п(аГ + 1) -f -s Г + С ►
Замечание. В приведенном примере подынтегральную функцию можно представить в виде суммы
простейших дробей более простым способом, а именно, в числителе дроби выделяем бином, стоящий
в знаменателе, а затем производим почленное деление:
ху-'х (х*+х)~2х х(х2 4-1) - 2х х 2х
(х1 + I)2
(*2 + I)2
(я2 + 1)
*~-г
а?2 + 1 (ж2-И)2*
§ 8. Интегрирование иррациональных функций
Функция вида
П(иииъ\.<>щ) =
Рт(циЧЪ.,*,Чк)
где Pm и Qn являются многочленами степеней m и п соответстэенно от
переменных tii,Щ]*** >ик> называется^амаональисш функцией от tii, tii, «♦« гщ* Например,
многочлен второй степени от двух переменных tij и ti2 имеет вид
РгЫуЪ) = Аоо + A\qu\ + А0\и2 + ;42otif + ^ntiiti2 + Аогиз»
где Aqq.Aiqs Aq\9 j420, -Ац, -A02 — некоторые действительные постоянные, причем

28 , у ,,. Y.l,,,,,' ■; , _„. ._Гл«мЯ.Н#опрвд#/иНН1МЙ«нт*ф1Л
Пример 1. Функция
\ /(«,»)- ' Ц*,
g2 + 2yf+sy
я + ж3^+1 '■ ■ ■
является рациональной функцией от переменных $ и yt так как она представляет собой отношение
многочлена третьей степени ft (г, у) « *2+2|?34-ж$? и многочлена пятой степени QsO** У) == *+*У+1»
а фуници* f(xfy) as ^J^t? текоеой не яаляет
В том случае, когда переменные щ, ti2» *. *, п^, в свою очередь, являются
функциями переменной х:
tij = f\(x), U2 = /2($)> . . . , tifc = Д(ж),
то функция Л [/i (ж), fi{x)%,.., Л(ж)] называется рациональной функцией от фунмций
/i(*)i/a(*),...,/*(«).
Пример 2. Функция
есть рациональная функция от х и радикала six1 + x + 1:
/(я?)« л(я?, V^T«TT).
Пример 3. Функция вида
не является рациональной функцией от ж и радикала у/ш1 •¥ 1»но она является рациональной функцией
от функций In а?» в^+^ и sin а?2;
Как показывают примеры, интегралы от иррациональных функций не всегда
выражаются через элементарные функции. Например, часто встречающиеся в
приложениях интегралы
/ dx f x2dx
J ^>(1-х*)(1-кЩ и J ^i-^-M' '
не выражаются через элементарные функции; эти интегралы называются эмипттес-
кими интегралами первого и второго родов соответственно.
Рассмотрим те случаи, когда интегрирование иррациональных функций можно
свести с помощью некоторых подстановок к интегрированию рациональных функций.
1. Пусть требуется найти интеграл
где Д(#, у) — рациональная функция своих ар!ументов х й у; т > 2 — натуральное
число; а, Ь, с, d — действительные пбстояннне* удовлетворяющие условию ad-bc Ф О
(при ad- be = 0 коэффициенты а и Ь пропорциональны коэффициентам с и d, и по-
этомуотношение ff^| независитотж; значит, в этом случае подынтегральная функция
будет являться рациональной функцией переменной х, интегрирование которой было
рассмотрено ранее).

18, Интегрирование иррациональных функций.
.29
< Сделаем в данном интеграле замену переменной, положив
% ss i/- <—j ИЛИ £ =
<& + <*' """ ~ CX + d
Отсюда выражаем переменную х через новую переменную £» Имеем
* = ll(jmb — рациональная функция от *, Далее находим
d mtm"](a - dm) + cmtm-\(d • «"?.*- 6)
или, после упрощения,
Поэтому
(ad-dc)m*m"1 ^
(a ~ &m)2
•Л,
где Hi (t) — рациональная функция от t, так какрациональнаяфушщия от
рациональной функции, а также произведение рациональных функций, представляют собой
рациональные функции.
Интегрировать рациональные функции мы умеем. Пусть
I Rx(t)dt = F(t) + C% F*(t) = Rx{t).
Тогда искомый интеграл будет равен
Пример 4, Найти интеграл
и
4/2$ ^3 йш
.2» + 3(2« + Э)^:
ч* Подынтральная фуш*Нй «cm* ра^оналжая функцм,0г а? и |^ - у|дз» т*$* '■#(*) - (iXif *
Пшому полагаем *~ y|~=J. Тогда н
2$ — 3~2ж£ + 3< , sb — 5'7^?Г я 7 If—swl J $ &% ** у: щ% $ 2ж + 3'* г—г|*
Таким образом, попуцим
Д1-*4)2 Шэ ■' "*!"■
Пример S. Найти интеграл
С>:
h
4s
ЩЩ+Щ'

so.
. Глава XII. Неопределенный интеграл
-4 Общий знаменатель дробных показателей степеней х равен 12, поэтому подынтегральную функцию
можно представить в виде
i 1
откуда видно, что она является рациональной функцией от х и ,$i, т.е. Л(х, lfyz), Учитывая это,
положим t = {\fx, x = tl2t d$ = \2tu dt Следовательно,
/ ** _./ "*"* _„ f tAdt _лл /*(*4~1) + 1^
J V3(V* + V*)~J .?(*-+*)' J i+t2~ J i + fi
2. Рассмотрим интегралы вида
/ Д(ж, VaiP + baT+c) а*ж,
где подынтегральная функция такова, что заменив в ней радикал у/ах2 + Ьх + с
через у, получим фунмцию Л (ж, у) — рациональную относительно обоих аргументов х
и у. Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции другой переменной
подстановками Эйлера.
8.1. Первая подстановка Эйлера
Пусть коэффициент а > 0. Положим
Тогда
или
с = у/ах1 + 5& + с + \/ах,
(с - \/а ж)2 = ах2 + Ьх + с,
с2- 2\/ажс = bx + c.
Отсюда находим х как рациональную функцию от с:
х =
t2-c
2>/at + bf
и, значит,
2t{2^t + Ь) - (с2 - с)2%/5 л ' ^ va*2 + 6*+ Су/а ja
ах = ; тг—7=-.—-гтч ~ ас = 2 —/ж ^. ,чл— ас,
(2л/ас + Ь)2
\/аж2 + Ьх ч- с = с - \/а ж = с - Va ;
(2ч/ас + Ь)2
£2-с \/at2+& + <V5
Таким образом, указанная йодстановка выражает х, dx и \/аж2 + &ж + с рационально
через с, Поэтому будем иметь
/ R{x, у/am2 + bx + c) dx= I R\ (c) dc,
где
о/*\ о ( i%~c \/5^ + M + cVa\ л >/flt2 + bt-+C\/5
Jfi(c) = 1c I „,-,-...» —_—_- | 2
2у€с + ё* 2y/ai + b
(2y/a t~tb)2
является рациональной функцией от с.

§8. Иктегр^ровз«ивнррзмйонал1»ныхфун)(ЦИй.
31
Замечание. Первую подстановку Эйлера можно брать и в виде
t = \/а$г + Ьх + с - \/а ж,
Пример 6. Найти интеграл
г dx
J V$2 4-a2
4 Так как а = 1 > 0* то применяя подстановку Эйлера t = л/ж^+lc? + ж, найдем
*2+а
<far=—^—<ft? ^3+аа=Г-
*2-а2 *2 + а2
Я*
2*
2*
Поэтому будем иметь
Задача. Применяя первую подстановку Эйлера, показать, что
8,2. Вторая подстановка Эйлера
Пусть трехчлен ах2 + 6х + с имеет различные действительные корни Х] и х2
(коэффициент а может иметь любой знак). В этом случае полагаем
у/ах2 + Ьх + с = (ж - Ж] )£ (или \Д^2 + Ь&4* с = (i — #а)0>
Так как
ах2 + Ьх -т- с — (х - X))Н\
то получаем
а(х -Х])(х- х2) = (х- x-i)V, или а(х -х2) = (х - Xj)*2,
откуда находим
Х|^2 - axi 2a(x2 - Xi)£
х=^^-» dx= {t2_a)i ;*.
. \ ^ - a / г - a
Так как х, dx и ^/ах2 + 6с + с выражаются рационально через t, то исходный интеграл
сводится к интегралу от рациональной функции, т. е.
где
у» " ■ „ f
1 R(x}y/ax2 + bx + c):dz*=. 1 Ri(t).dt,
\
П U\ В /'*l*2.'-eS52 ф, -Х2)Л 2ф2 - &!)£
jf,W -л ^ <2 _.e , t2_a J (<? _ fl)2
— рациональная функция от t,

ЗД. ,. ■ , , • „ , ,,и i ,' ,,., Гл11 ХЙ1 Н«нфбд<яаннь<й Kyrtfpm
(Гример 7, Найти интеграл fc. \^-'*-:'><%'":'-:. ' ■ ■■?
•4 Функция 1 - г2 имеет различные действительные корни- * \ т. -1, xj = 1. Поэтому приментем
sTop^o подстановку Эйл#р« ж ;\ ; Ле - '
Отсюда накопим '...>:".•./"
2 3£l4--'l V'V ./'■"■' -"-^ Ж-'-'.-"'. '';;^lii-r':
,., ''Щ|'^* г * ЙЩ» r',,vv!J. '.-ЖШ ,.:
Подставляя найденные выражения для а? - 2, \/ТЩ$-.-и-& в данный и^те^л-, получим
/ **ж - / (**-n)(t2 + l)4Ul _ 2 / ** 2 у <й _
«^*адЛ« + с-^««^э.^ + с.|>
Пусть коэффициейс > 0* Делаем замену поименной» поотжий
\/ах% +'4*-+ £ = arf 4- v'c -(или ^«? + Ь& + с — *rf - %/с),
Заметим, что для приведения интеграла ;
/
к интегралу от рациональной функции достаточно первой и второй подстановок Эй*
л ера, В самом деле, если дискриминант б2 - 4ас > 0, то корни квадратного трехчлена
ах1 + Ьт + с действительны, и в этом случае применима вторая подстановка Эйлера,
Если же Ь2 - 4ас < 0, то знак трехчлена аш2 + Ьх + с совпадает со знаком
коэффициента а, и так как трехчлен должен быть положительным» то а > О, В этом случае
применима первая подстановка Эйлера*
Для нахождения интегралов указанного выше вида не всегда целесообразно применять
подстановки Эйлера, так как для них можно найти и другие способы интегрирования,
приводящие к цели быстрее. Рассмотрим некоторые из таких интегралов.
1. Для нахождения интегралов вида
/
da?
у/аай + Ы + е
выделяют полный квадрат из квадратного трехчлена:
а*1+Ь« + с = в(хЧ2а!1 + ^=а[(хЧ2х1 + ^+£-^] =

j 8. Интегрирование иррациональных функций.
где г
После этого делают подстановку
Ргг
4ос>Ь2
4а '
*=?« +
2а'
dx = dt
и получают
/
dx
-I
dt
\/ах2+Ъх + с У л/аР + Р*
где коэффициенты а и Р имеют разные знаки или они оба положительны. При а > О
и Р > 0, а также при а > 0 и Р < 0 интеграл сведется к логарифму, если же а < О
и Р >0 — к арксинусу.
Пример 8. Найти интеграл
/■
dx
Лг>2-4х+5
< Так как х2 - 4х + 5 = (х - 2)2 + I; то, полагая х - 2 = t, dx = dt, получаем
/ , к**' =[ и rfg: ,; ^/-T^^inft+v^2^
J V«2-4x+5 У ^(я-2)2-И У V^+T v v ' v v y
Пример 0. Найти
J V6x-x2'
Ч Имеем 6x - x2« -[(x2 - 6x -h 9) - 9] = 9 - (x - 3)2. Полагая s - 3 = t, d# = dt, будем иметь
Г dx г dt . t „ . x-3 ^
/ y, ■ , i, « / /—»^ = arpsin - 4- С = arcsin -^— + С ►
У V6x-x2 J v9~i* 3 3
2. Интеграл вида
/
Af a? + ЛГ
у^хЩх + с
dx, аф 0r
приводится кинтегралу из п. 1 следующим образом. Учитывая, что производная (ав2+
Ьх + с); = 2ая? + 6, выделяем ее в числителе:
■/
Afa + iV ' /" М4^[(2ах' + 6) - Ъ] + ЛГ
: ах = / —: > ".' " ■ ———"~ dx =
\/ая2 + Ьв + с 7 V^ + te + c
_ М / (2as + 6)rfs /дг.-'^N /
2а У \/аж2 ■+ Ьх + с V 2а J J
2fl У v'e&' + te + c ^ 2а / у д/аж2 + &а? + с
dec
\/ааг2 -f Ьа: + с
= — \/й#2 + Ьа 4-е -г-
а
(*-'£>/
dx
\/аж2 + Ьх + с
2 3ак.628

34 ■ •••■■• ■"■■■■ ■•■■ ■ ••■■ - ;, ;',ГлаааХИ,Неопределенныйинтеграл
Пример 10, Найти интеграл
J V6x-x2
М Выделяем в числителе производную подкоренного выражения. Так как (6ж -x2)f = 6 - 2ж, то будем
иметь, учитывая результат примера 9,
/ ч-i dx^ 1 [ -2х~2 dx-_ .'. М«-Д*)-»&-
J л/$%) — яг'1' 2у V6# — i2" 2 У \/6ж - х2
d{6x~x2)
л г dx Л /d(6s~s2) • , s-З г г „
= 4 / у - - / \|-*=ш,*.....' = 4arcsm —— - у/tot - я2 + С. ►
3. Интегралы вида
/
Рп(х)
ах,
уахМ-Ьх + с
где Р«(х) — многочлен n-ой степени, можно находить методом неопределенных
коэффициентов, который состоит в следующем, Допустим, что имеет место равенство
/р /х\ . —; г. dx
—====== dx = Qn-ф)V ах2 + fta + с -f An /■ , ... ■= ,=,
у ах2 + 6х 4- с '.-..../ у ах2 + Ьх + с
(о
где Qn_i(x) —многочлен (п - 1)-ой степени с неопределенными коэффициентами:
Qn~i(x) = A0 + Alx + ,,. H-Ai-ix^1:-
Для нахождения неизвестных коэффициентов Л0, Ли •. ♦, A»-i продифференцируем
обе части (1):
V ах2 + Ьх + с
ах+* , 1 Д2)
Затем правую часть равенства (2) приводим к общему знаменателю, равному
знаменателю левой части, т. е. у/ах2 +Ьх + с, сокращая на который обе части (2), получим
тождество
Рп($) = Q'n^(x)(ax2 + Ьх + с) 4- Qn~i(%) (ах + ~ j ■+ А„, (3)
в обеих частях которого стоят многочлены степени п■. Приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х в левой и правой частях (3), получим п + 1 уравнений,
из которых находим искомые коэффициенты л4*(к. = 0,1, 2,..., п). Подставляя их
значения в правую часть (1) и найдя интеграл
/
dx
V их2 + bx 4-с
получим ответ для данного интеграла.
Пример 11, Найти интеграл

§9. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений ~
< Положим
/ ■ * Ж = {Ао + Axx)\jx2+2x + 2 + A2 [
J \Лг2 + 2ж + 2 v J
Дифференцируя обе части равенства, будем иметь
.35
dx
%/х2 + ъ + г
(4)
х2 /—
; ч . ^ = Ах у я2 + 2х + 2 + (А0 + Л,ж) -
\/ж2 + 2а; + 2 ^
х + 1 Л2
) , _|_ ,,,„, _
v* -г^*-г^ \Zs2 + 2:r + 2 л/ав? + 2х + 2'
Приведя правую часть к общему знаменателю и сокращая на него обе части, получим тождество
ж2 = А\ (ж2 + 2х + 2) + (Aq + Ахх)(х + 1) + Д2,
или
х2 = 2Л!Ж2 + (2^ + ^i + Л0)ж + (Ао + 2^i + А2).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, придем к системе уравнений
2 ' 2АХ = 1 '
А0 4- 3i4i = О
, А0 + 2Аг + А2 =0 „
3 11
из которой находим Л0 = -:, А\ = ^, А2 = 2- Затем находим интеграл, стоящий в правой части
равенства (4):
J vV + 2ar + 2: </ ^+1)2 + 1 V .
Следовательно, искомый интеграл будет равен
х - 3
/
ж2 da;
\/ж2 + 2х -f 2
\Аг2+2х + 2 + ~ 1п(ж + i + yV+2s + 2) + С ►
§9. Интегрирование
некоторых тригонометрических выражений
1. Рассмотрим интеграл вида
/
jR(sin х, cos x) dx,
(i)
в котором подынтегральная функция является рациональной функцией как от sin я,
так и от cos х одновременно. Например, функция
_ 1 - 2 sin x
/(Х) = 2 +cos2*
является рациональной функцией одновременно и от sin x и от cos x; функция
1 + sin2 х
9(х) =
л/соГж + cos х
является рациональной относительно sin х, но не является рациональной
относительно cos х (функции такого типа мы рассматривать не будем).
Интеграл (1) с помощью замены переменной tg § = t, где -* < х < 7г, сводится
к интегралу от рациональной функции. В самом деле,
2*
sin я =
2sinf cos | _ 2tg f
cos2 § +sin2§■■" 1 + tg2 § ~ i + *2'

ж.
. Глава XII* НеопределенныйлктеСра*!
COS X =
cos2 f - sin2 f _ 1 — tg2 f _ 1 -12
cos2 f + sin2 § ~ 1 +tg2 § "":. 1-Й2'
2 dt
z = 2 arctg *, <te = -—-r,
l.+ t2
поэтому
J R(sinx}cosx)dx = J r[Y^Tjji •£+$) f^j2 = /RiОd*>
где Д i (0 — рациональная функция от t.
Примере Найти интеграл
< Применяя подстановку tg | = I, найдем
г ах
У sin ж
tg- +С. ►
Указанная подстановка иногда приводит на практике к громоздким выкладкам,
поэтому укажем несколько частных случаев, в которых интеграл / R(s'm я, cos x) dx
может быть найден с помощью более простых подстановок.
А* Пусть интеграл имеет вид
/
R(sin x) cos х dx.
Тогда подстановка sin a: = t, cos x dx = dt приводит интеграл к виду
/
R(t) dt
Пример 2,
'У 4 +
cos x dx
-sin2 ж I
5* Интеграл имеет вид
t = sin x
dt = cos x
I f dt \ ." t ■ \ /1 , \ „
dx | = y^^-2ar^2+C=2WCtgl2Sma:j+a!
/
iZ(cos x) sin x dx.
Полагая cos x = tf sin x dx = -dt, приводим интеграл к виду
- I R{t)dL
Пример 3.
У 2+coss | anada = -« | J 2 + t J 2 + i v ■ v '
В* Если подынтегральная функция i2(sin£, cos x) содержит sin г и cos а: только в
четных степенях, то удобно применить подстановку tg x = t. Тогда
.' л dt
х = arctg t% dx = ^

§9. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
.37
Функция sin2 х и cos2 х в этом случае выражаются рационально через tgx, а
следовательно, и через t. В самом деле,
sin2 x =
sin2 ж
tg2 х t2
cos2 x + sin2 x l+tg2a I + *2'
1 1
cos2 x + sin2 x 1 ■+ tg2 x 1 + t2 *
В результате этой подстановки интеграл приведется к виду
2 cos2 х
cos х =
f «(sin2 *, cos2 x) dx = J R L—;, ~~p\ j^-p = JR}(t) dty
где R\ (t) — рациональная функция от t.
Пример 4. Найти интеграл
г dx
У sin2 я + 4 cos2 х -f I
4 Положим tg x = tx dx = y^jy. Тогда
SinX=rT?, erf.-—jy.
Поэтому
У sin2x + 4cos2x + 2 "У J2 . 4 ^ 2 1 -K2 "
i+fl ' wJ
1 t dt i t „ 1 /tgx\ _,
Г. Рассмотрим интеграл вида
/ sina x cos^ x dx%
где a, /J —действительные числа, иукажемдва случая, когда этот интеграл выражается
через элементарные функции.
а) Одно из чисел а или /J является положительным нечетным числом. Пусть,
например, /J = 2fc + 1, где к > О — целое, а второй показатель степени, т. е. а,*может
быть любым действительным числом. Тогда, используя тождество cos2 x + sin2 x = 1,
интеграл можно представить в виде
= / sina a(cos2 ж)* cos xdx = sina я(1 - sin2 x)k cos ж dx.
Положив
будем иметь
sinx = t, cos xdx = dt)
f sin* x cos2*+l xdx= j ta(l - i2)* dt.

cos3 ж ,
- dx.
38 __ ■,:..;„..,-■■-,■ —• ■■ ■■ ■ • - ■■ - ■' Глава Xtl. Неопределенный интеграл
Возводя 1 -t2 в степень к по формуле бинома Ньютона и умножая все члены
полученного многочлена на ta, получим к -f 1 степенных функций, интегрирование которых
очевидно.
Пример 5. Найти интеграл
/ sin х cos x dx.
А Имеем
/-, е ft л. С . 2 /, • 2 v2 j I sinx — t
s\rfxco£xdx = J s\rtxcos*xcosxdx = J sin s(l-sin x) cossda: = | cosxdx = dt | =
= Jt2[l-t2)2 dt= /(J2 -2*4 +f6)de=jt3 -jt5 + jt7 + C={-sin2 x-jsins x+jsin1 x-¥C. ^
Пример 6. Найти интеграл
A sin3 ж , .
/ г-' dX'
J COS^ Ж
«* Имеем
/• sin3z у sin2ж . у 1-cos2ж I Cosa; = e I
/ dx ~ -—к— sin xdx — I = sin xdx = . m Am _ M \ —
J cos2x J cos2 ж У cos2 ж I sin ж аж ——at |
= /тг1л = /(1-?)Л = < + 7+с=с08х + ^ + с-Г>
Пример 7. Найти интеграл
/-
•4 Имеем
/" cos3 ж ■ у cos2 ж , М-sin'яг .1
/ -== dx— — . cos xdx- —■==- cos ж dx =
J увтж У ysip J у/ыпх |
г 1 -12 r I , 3 \ i 2 3 2 *
= J -~~dt= J la -0\ dt = 2tV--t* +C = 2v^nTi--(Vsln^)5 + C^
{, - .. - . ■
б) Числа a и /3 являются положительными четными числами, т.е. a = 2m,
/3 = 2п,гдегаип — натуральные числа. В этом случае иногда удобно преобразовывать
подынтегральную функцию, используя известные формулы тригонометрии
l-cos2z 2 l + cos2z
SinJz = ^—^, cos z =—— v (1)
В результате применения этих формул при тфп интеграл приведется к виду
/ sin2m х cos2n x dx =../(sin2 x)m(cos2 x)n dx =
"/ (Чг*)" (1±Т1?£)П *-;Ь/(1-«->.П1 + «.1.)-л
Возводя биномы 1 - cos 2x и 1 ■+ cos 2ж соответственно в степени шипи раскрывая
скобки, получим сумму, члены которой содержат нечетные и четные степени cos 2x.
Члены с нечетными степенями cos 2х интефируются как указано в п. а). К членам
с четными степенями cos2z снова применяем формулы (1), в результате чего
получим степени cos Ах, Продолжая так дальше, дойдем до интегралов вида / cos kx dx
(где к > О — четное число), которые легко находятся.
1 - sin2 ж __ л _ | Sin ж = t
cos ж dx = dt

§91 Интегрирование некоторых тригономвтримеских выражений.
В случае, когда т = п, используется также формула
применение которой дает
1 ■■■„
sin х cos x = - sin 2a?,
2
/ sin2" x cos2n xdx = I (sin ж cos $)2n dse = / I - sin 2a? I • d« =
= — / sin2* 2x dx = — /(sin2 2x)n dx =
Последний интеграл находится так, как указано выше.
Примере,
Г, 2 4 , У l-cos2s /l+cos2s\2 ,
< I sm xcos xdx =—-г* ( z J dx =
= - f( 1 + cos 2x - cos2 2ж - cos3 2a;)dz = ~ / 14- cos2z (1 - sin2 2x) qos2x dx =
= r / I r - * cos4s -fsin2 2$cos2z ) dx ss - ( - ж - - sin4z + - sin3 2x ) + C. ►
8У V2 2 / 8 V2 8 6 /
Пример 9,
Щ J sin2xcos2xdx = /(sina;cosz)2dz=- /sin22zdz = - / -———da; = ~ (z--sin4a;J + C. ►
2. Интефалывада
/ sin ax cos /?£ d&, / cos ax cos fixdx, I sin ax sin /Зж dx
легко находятся с помощью тригонометрических формул (а ф /3):
sin сю* cos рх = - [sin(a + /3)х + sin(a - /?)ж],
cos aar cos /Зж = - [cos(a + j9)s + cos(a - /3)x],
1 4
sin аж sin fix = - [cos(a - /3)ж - cos(a + /3)s].
Найдем, например, первый интеграл. Имеем
/ sin ax cos fixdx= - / [sin(a + /3)ж + sin(a - /3)ж] doi =
_ 1 Г cos(a + ff )ж cos(a-/3)a"|
2 L a + /J o-j9 J
Остальные два интеграла находятся аналогично.
ПримерЮ.
41 J cos Зж cos ж dx = - I (cos 4ж+сш2ж) dx = г I т sin 4ж~Ь- sin 2х J +С == - sin 4жЧ?т sin 2ж+С. ►

40.
. Глава XII. Неопределенный интеграл
Упражнения
Используя таблицу простейших интегралов, найдите следующие интегралы:
1. [x2Vxdx.
J sin 5x cos 2x
J Vtf
10*
dx.
2*8* dx.
cos2x
4(-
J з*
■/xdx.
■dx.
.. , sin 7x + sin 3x
10. / —m — dx.
137sP
dx
i2 x ch2 x'
18. /cth2xdx.
dx
/4x2 + 9'
я t cos 2x
8. / —5—Ty-d*.
J cos2 ж sin2 x
11. / (tg x - ctg ж)2 da;.
14./Sh2x
Г sin 2x
У sin ж cos3 ж
dx
dx.
chx
dx
- dx.
.«/
,7' / *Й^?'
20./
cos^ x sin^ x
th ж dx.
V9 - 4x2 *
Применяя метод подстановки, найдите следующие интегралы:
„з
21. 7 хс 2 dx.
24. / *
У х In х
27. t-*
J v^iF+l
30./
■/
7 si
7
dx
33,
38,
xva?-
x3
VT^x"
lntgx
: dx.
sin2a?
22. [ x2 sin -r dx.
25. / £
28. / -dx.
J e*-l
31. / x\/x + 1 dx.
34. /f*L.
^ 1 + X4
37. /-i^dx.
У in sin x
dx.
23. A-^
2в. / d*
29. Jx\x-\)"
Ilk
dx.
32,
35.
VT^lr*
:dx.
dx.
38. / J55LE.
7 COS3 X
e^'dx.
39.
arctg«'earete *
dx.
40. / ln*
У x(4 + ln2
dx.
1 + <r2 — J д.(4 + ln2 xj
Применяя метод интегрирования по частям, найдите следующие интегралы:
41.-гае"* da. 42. /х2* dx. 43. /х sin 2x dx,
44. /(1 + х)е* dx. 45. /(1 + х In 2)2* dx. 46. /(2х - х2)е~* dx.
47. / arctg x dx. 48. / x arcctg x dx. 49. / arcsin x dx.
50, J —_ dx. 51. fxtg2xdx. 52. /cos(lnx)dx.
53. / sin(lnx) dx.

>
J& Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
„41
Найдите интегралы от простейших дробей;
2dx 55 / dx
55*У 2-Зх*
dx
84. /^
У 5 +
2х
"■/<rw »■/
*а+2* + 3
х dx
56, / **
'У (3*+5)з ■
59. /_£±l_dx.
У х1 + 2х + 5
60, / -=— г da;. 81* / -—=" Г7«
У х2 -х + 2 У х24-7х + 13
Найдите интефалы от рациональных функций, применяя метод неопределенных коэффи*
циентов:
62» / 2х + 3
У х2 + Зх - 10
dx
dx.
п. /: xdx :,■ в4.'/-is:
У (a + l)(2m+l) У (х-
Зх2 - 2х - 4
(х-2)(х2-4)
х + 2
dx.
dx.
71. /—£L
У x(x2 +
У х4 - .
$7. / x+2
91 J («+з)«
xdx
»/Й<
'У *» + •«
Г
Найдите интегралы от иррациональных функций:
_. / 1 /l-as __ /vT+i. -- /■ 1 /l+m .
1A-JjF^riT+;dx- n'J-ird*- ™-J (i-x)(i+x)>ii^dx-
77. f?El\*L-. 78. /-*! 79. /■ '*
Ж 4-1 Л Ж—3
dx.
80.
dx
У Vx2-4x~5'
83./
86./
X+l
Vx2-6x-l
2sa4-3x4-2
Vx24*2x4-2
x-dx
dx*
dx.
84, f-yJ^L^dx. 85. /
У V1+6&-X2 У
4x~xa
£-3
Vl+6x~x2
/ x-dx
7 vf^r
Л7-7ГЧГ*-- М,У
90./
2x41
v^n
dx.
vT+P
Найдите интегралы от тригонометрических функций:
У 2 -f- cos х 7 5 4- 4 sm х
лл f dx Л_ /• sin2x _,
94. / -—————, 95. / г—dx.
У 5 4- sin x 4- 3 cos x У 1 4- sin2 x
93. /
dx
»■■/
5 4- sin x 4- 3 cos x
1 4- cos x - sin x
1 -cosx + sinx
dx.
4
98, / cos3 x dx.
100. / sin2 x cos3 x dx. 101» / cos4 x sin3 x dx.
103. / sin2xcos2 xdx. 104. / sin4xdx. .
3s!nx- 4cosx
ЛЛ д cos xdx
9g# / :,
У 5 4- sin2 x - 6 sin x
99. /sin5xdx.
102. / —— dx.
У COS4 X
105. / sin4 xcos2xdx.

42,
roe. [-£-.
J sm4x
109./ 4 dx.4 .
J cos4 x - sm4 x
112. /cos7x
115./
cos 3x dat
sin x sin 2x sin 3x dx.
107.
110.
113.
/cos я
sin4 x
/-
/-
da?,
sin 5x cos x dx.
. Глава Xii. Неопределенный интеграл
dx
IS4 Ж
111. / sinx cosSxdx.
108.
[ dx
J sin2, a; cos4;
f x x
sin 15x sin 10x dx. 114. / cbi — cos - dx»
У 2 3
Ответы
1..0,3*ID'3 fC. 2. 4#s + C. 3. !*,5/8 + C. 4, ^ + 2x + In \x\ + C. 5. ^ + С 6. ^ (§)* + С
7, -^ - ~ + C. 8. -ctgx -tgx -f C. 9. 2tgx-f C» 10. 2x -f C. 11. tg x - ctgx - 4x + С
12. tgx-ctgx-f C. 13. - thx-cthx-f C. 14. 2chx-f C. 15. x - thx'+ C. 16.x- chx + C.
17. | tg-1 §x +C. 18. £ In |g=§| +C, 19. In yjl*+i/4iF±9+C. 20. |suTJ §x-fC. 21«#a'2+C;
22. - cos ^ + C. 23. -v/T^i2" -f C\ 24. In | In x| -f C. 25. 4 ln(l-f &%) + С 26. -8i/l - Ц + C\
27. -2 In(e^2 -f vT+T^J+C. 28. In |e* - I| + e + С 29. ^ + ^ + ^ + C,
30.2jg^/5^^. 31. |(x+ 2)?/3-|(x + J)4/3+C. 32. &(х'+1)*\*я-3) + С. 33. ~vT^F-f
У{\ -а)3Ч--С, 34. }tg"1.*2 Ч-С. 35. J sinM x3 + С 36. | In2 tg x + C. 37, In | lnsinx| + C.
38. fe^* + С. 39. i6^2* + c. 40. 1пл/4 + 1п2х +C\ 41. -(x + l)e"a + C. 42. kgbiy H-С
43. | sin 2x - § cos 2x + Cv 44. же* -f С 45. x2* -f C. 46. xV* -f С 47. x arctg x - In \/T+lF +
C. 48. [{x2 + 1)arctgx - £я 4- С 49. xsin'1 x 4- VI - ж2 4- С. 50, xtgx + lnlcoss| + С
51. -y + xtga?-f In | cos x| + C 52. § (cos In x + sin In x) + С 53. f(sin In x -cos Inx) fC.
54 Ш |51^—J5' " * ln |2~Зж| + C' 56'~^P + c' 57' SF*p + c- 58« ji^xz^+C.
59. In v^T2xT5-f | tg ^f1 + C. 60. In vb* -1 + 2 + ^ arctg ^ + C, 61. ln Vx2 + 7x -f 13 -
^ arctg ^-f С 62. In |x2 -f 3x - 10| + C. 63. ln JajjL -f С 64. ln|(x - l)(x2 - 4)| -f C.
65. ^-fln|gf| + C. 66. 4 + ln|^|-fC, 67.^ + 1п|х + 3| + С. Л^-^+с/
69. X^^+ln I^JH-O. 70. ^H-lnl^H- llH-C. TLln^^H-C 72. lln||^|^l arctg^+C
71 * (^ vfeb+^m ^)+c- 7t ■ ^+c-75' 2^+5+i»i^i+c-7& ?fe+c-
77, -§ (b|)4/3+C. 78.1 n |a>-2+%/x2 - 4x|+ С 79.arcsin 2=2+C. 80. ln jx-2+Vx2 - 4x - 5|+C.
81.ln(x-2-f Vx2*4x-f 5)-+ С 82. arcsin &£> 83. Vs2 -6x - 1 -f 4 In |x - 3 + v^-6x-l| -f
C. 84. 2%/1-f 6x -*^+ 4 arcsin 7-+ С 85. -VH-бж-»2' + С. 86. xV^2-f 2x-f2 + С
87. xVb^-f arcsin x+ C. 88. xVF+l- ln(as + \^П) + С. 89. -i^dt^VT^ + C,
90. (^x- |x3-f |x5) VT+F- ^In(x-f vS*+T)+C. 91. ^(l+t^'fJ+C.Otltg-'^ + C.
93. I In
2«f + I
i+tg^
+ C\ 94. ^ arctg ^p + c. 95. ln(l + sin2 x) +C. 96.
+ C. 98.sinx-|sm3x-fC. 99. -\ cos5 x-f \ cos3 x-cosx-f C. 100,
1 In t$li£ j- Г
1 sin3 x-
97»-x-f 2 In
A sins x-f С 101. f cos7 x-f cos5 x-f С 102. -О^.-^-н-С. 103. f -^+С. 104. |ж-1 sin 2x+
^sin4x-fC. 105.^-^-^-fC. 106.-ctgx-|ctg3x-fC. 107.--^ ctg3 x-f С. 108.tg« +
|tg3x-2ctg2x-f С 109.-|ln|tg(x^f)|-fC. ПО.-^-й^+C. H.1.-2^£ + a|te-f С.
112. й^+*£«+с. 113. -^н-^н-С. 114, | sin |^+-3 sin |.+C. 115. ^-^^s^+C.

Глава XIII
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§1. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла
1.1. Геометрия: площадь плоской фигуры
Рассмотрим плоскуюфигуру а А ВЪ> ограниченную кривой АВ, являющейся графиком
положительной непрерывной функции у = f(x) /отрезком [а, Ъ], a < b, оси Ох
и прямыми х = а% х = Ъ, которую будем называть криволинейной трапецией (рис* 1).
^м-1 ^я:& ®
Рис.!
Установим понятие площади криволинейной трапеции аАВЬ и укажем способ
вычисления этой площади. Разобьем отрезок [а, Ь] на ?* частей точками
а = Шо < Х\ < хг < ... < жп-1 < хп = 6.
На каждом частичном отрезке [zfc_bzfc] возьмем по одной произвольной точке &■
(«fc-i ^ & ^ ajfc) и построим прямоугольник с основанием [xk-uXk] и высотой,
равной /(&)> fc = 1, 2, .,,, и. Площадь Д<2* этого прямоугольника будет равна
Д <?*=/(&) Да*,
где длина основания прямоугольника равна Дя*. = хк - %k-\ * В результате такого
построения получим «ступенчатую» фигуру, состоящую из п прямоугольников^
площадь Qn которой будет равна сумме площадей этих прямоугольников: ,
; :. П.,. ....
■*=Г"

44 ; _™ , Tnm Х1И. Определенный интеграл
Будем теперь делить отрезок [а, Ь] на все более и более мелкие части так, чтобы
число частичных отрезков увеличивалось, а их длины уменьшались, Тогда
«ступенчатая» фигура будет все меньше и меньше отклоняться от криволинейной трапеции
аАВЬ. Пусть
А = max Axk
является длиной наибольшего из частичных отрезков [&*-ь&*]» к = 1,-2, .».,п.
При А —► 0 число частичных отрезков будет неограничено увеличиваться, а длины
Дш* всех этих отрезков будут стремиться к нулю, так как 0 < Д$* < А для всех
ft ss-1, 2,.-.., п, Если существует конечный предел Q площади «ступенчатой» фигуры
при
А = max Axk -» 0,
то он принимается за площадь криволинейной трапеции aABbf т. е*
Этот предел, если он существует, не должен зависеть от способа разбиения отрезка
[а, Ъ] на частичные отрезки [ж*_ь ш*] и от выбора точек & на них,
Таким образом, задача о площади криволинейной трапеции аАВЬ привела нас
к вычислению предела вида
п
Ит У2/ик)Ахк. (1)
1.2. Физика: путь материальной точки
Рассмотрим следующую физическую задачу: найти путь 5, пройденный материальной
точкой за промежуток времени от* = *о до t = Г, если известна скорость г; движения
этой точки как функция времен и *,т,е, г; = /(*), Для ее решения разобьем промежуток
времени [to>T] на п малых временных интервалов, ограниченных моментами времени
*o<*i <*2<.-. <tn = T.
Допустим, что скорость f(t) мало меняется на каждом промежутке [tk-\y h] и поэтому
ее можно приближенно считать постоянной на нем и равной значению v в некоторый
моментвремени т> Е [tk~u **]• Тогда путь з*, пройденный точкой эавремя Д^ = £* -
**-1 * будет приближенно равен ** = /(т*) Д t* и, следовательно, путь 5П, пройденный
точкой завремя от to до Г, приближенно равен
п
Sn = *1 +. «2 '+>--+ *п = /(П)Д*1 + /ЫД*2 + - - - + f(Tn)Atn L ^ f(Tk)Mk-
Обозначим через А наибольший из частичных промежутков времени Д^:
А = max Д**.
При А —> 0 число частичных промежутков времени будет неограниченно увеличивать-
ся, а сами промежутки будут неофаниченно уменьшаться; При переходе к пределу

J2. Понятие <жр*$$я«шого интеграла * . - 45
при А ~* 0 в сумме Sn получим точное значение пути 5, пройденного точкой за
промежуток времени от t$ до Т:
п
S = timJ2An)&k. (2)
Мы пришли к вычислению предела, имеющего тот же вид» что и предел (1), только
роль переменной ж играет время t,
Т&ким образом, рассмотренные выше две задачи привадят нас к вычислению
однотипных пределов (1) и (2) специального вида. Эти цределы, в случае их
существования, называются определенными интегралами от функции f(x) (или f(t))
ь т
и обозначаются символом / f(x) dx (или / f(t) dt).
Перейдем теперь к изучению этих пределов, облекаясь от их геометрического
и физического смыслов,
§2. Понятие определенного интеграла
Пусть функция f(x) определена на отрезке [а, Ь], где о < Ь. Разобьем этот шрезок
на п частей произвольными точками
О as Ж0 < Х\ < Х% < « . . < Жп_1 < Хп = Ь,
и пусть Дж* = ж* - ajjb-i (Дя& > 0) — длины полученных частичных отрезков
[ж*~1, ж*]. В каждом частичном отрезке [ж*~ь я*] возьмем произвольную точку &,
вычислим значения /(^) фунмции f(x) в этихточках и составим сумму
Sn =/Ui)Aan +/(&)Д*2 + ... +/Un)Axn^ 13/(6) Д^.
Эта сумма называется интегральной суммой фунмдии f(x) на отрезке [о, Ь]. Величина
интегральной суммы 5„ зависит как от способа разбиения отрезка [а, Ь] на частичные
отрезки 1«*-1, ж*], так и от выбора точек & на них.
Обозначим через А длину наибольшего из отрезков [х^-и %k]> т. е,
.А = max Дж&>
■ - , ■ п ■..-■•
Определение» Число J называется пределом интегральных сумм ]Г] /(6.)Дж* функ-
ции /(5?) на отрезке [а, Ь], если для любого числа е > 0 найдется число 6 > 0
такое, что для любого разбиения отрезка [а, Ь] на части с длинами Дж* < 6 для всех
к = 1, 2,..., п (т, е. А < 6 )> неравенство
£/(&)A**-jl
будет выполняться при любом выборе точек £**
<£

46.
Для обозначения предела интегральных сумм употребляется завись
, Глава XIII, Определенный интеграл
1—*П *■""*
А-0
*=!
Здесь число б зависит от выбора числа е и поэтому иногда пишут 6 — 6(e).
Определение. Если при любых разбиениях Отрезка [а, Ь], а < Ь на частичные отрез-
ки [шл-ь х*] и при любом выборе точек £к в них, интегральные суммы ^2 /(^)^xifc
при А —* 0 имеют один и тот же конечный предел J, то этот предал называют опреде?
ленным интегралом в смысле Римана от функции /(ж) по отрезку fa, b] и его обозначают
ь
символом / f(x) dx.
Итак, по определению
Числа аиЬ называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла\х
называется переменной интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, f(x) dx —
подынтегральным выражением.
Заметим, что из самой конструкции определенного интеграла вытекает, что его
величина не меняется, если функцию f(x) видоизменить в любой точке с отрезка [а? Ь].
Иначе говоря, если вмес!о функции /(ж) взять функцию
Ф)
-.{ф
для х£[щЬ], хфс%
для х = с,
где число С Ф /(с), то
g(x)dx = J f(x)dx.
а а
Это справедливо и вслучае изменения значений функции f(x) в конечном числе точек
отрезка [щЬ].
Так как определенный интеграл определен нами при условии, что a < Ь, то
дополним его определение, заметив, что;
U
1) если Ь = а, то / f(x) dx = 0;
а
а Ь
2) если Ь < а, то / f(x) dx = - / /(х) dx.

§3.Условй9^тефируеаюстифункций._ , ,,,, , . .. 47
ь
Пример. Вычислить / dm.
< По определению определенного интеграла получаем
■ : ? ■ п *
*=1 л^Ы1
= \im(xn - xq) = lim(b - а) = Ь - а. ►
§ 3. Условия интегрируемости функций
Определение. Функция /(ж), определенная на отрезке [а, Ь] называется интегрируемой
по Роману на этом отрезке, если для нее существует определенный интеграл
о
I
f(x) dx,
Теорема 1. Если функция f (х) интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь\, то она
ограничена на этом отрезке.
< Пусть функция f(x) не ограничена на отрезке [a, Ъ]. Разобьем отрезок [а, Ь] на **а-
стичные отрезки [xk~\, ж*], k.г.=а 1, 2, *'.«, п. Так как /(ж) неограничена на [а, 6], то
найдется частичный отрезок, на котором она не ограничена. Пурть, например, тамш
отрезком будет отрезок [а?о? Щ ]* Выберем точки & и составим интегральную сумму
5П - 2 /(&)Д** - /(ft)Д*, + S /(ft)Д**-
Зафиксируем точки ft, ft,.♦ ♦, £п и будем менять только точку ft € [ж0, a*i]. Тогда
п
сумма ^ /(ft)Azfc будет иметь определенное значение, а первое слагаемое /(ft)Axi
будет изменяться, и надлежащим выбором точки ft его можно сделать как угодно
большим по абсолютной величине и, значит, \Sn] может быть сделана пак угодно
большой. Это означает, что интегральная сумма Sn при max &xk —* 0 не имеет
конечного предела, т, е, f(x) не интегрируема по Риману на [а, Ь]. Отсюда следует,
что если фушщия f(x) интегрируема на [а, б], то она ограничена на {а, 6]. ►
Замечание, Ограниченность функции f(x) на отрезке [q, bj не является достаточным условием для ее
интегрируемости, т, е. функция f(x) может быть ограниченной на [а, Ь] и в то же время неинтегриру-
емой на [аг Ь]. В нвчестве примера, доказывающего зт*з утверждение, приведем фуняшю Дирнхяе:
■ ч ( 1, если z рационально,
ffa) = &(%) = < л
'х ' v ' ДО, если а: иррационально»
которую рассмотрим, например, на отрезке [0,1]. Эта функция ограничена: [/(ж)| ^ 1 Vz € [0,1],
но она не интегрируема на нем.

48.,. .,„ .„ .„_„.,,,,,, '• ,.,,.,.,„., w.„, .,,,.„„.„„.,,,,.■ , ^..,: _^_* fmmXHI.Определенийиитвграл
««В самой деле, составив для нее интегральную сумму £« ф £ f($k)&%k будем иметь:
п ,...,.^ ■.-.■.
Д, = ^ I * Джй = 1 для рациональныхточек (*,
Si — 23 °* ^г* = ° ДЛЯ иррациональных точек (**
*-1 .
Итак, при любом как угодно малом Л = max Да?* интегральная сумма Sn может принимать как
значение, равное U так и значение, равное нулю. Следовательно» 5П при А ~* О предела не имеет, т. е.
фун|щия Дирихле не интёгрир^ма на отрезке [0, !]♦ ►
Приведем без доказательства теорему, дающую достаточное условие
интегрируемости .функции.
Теорема 2* Функция f(x), непрерывная на отрезке [а, Ь], интегрируема на этом отрезке.
Притер 1* Функций }(х) = е"г непрерывна на отрезке [0, а], где а — любое число, и поэтому она
интегрируема на этом отрезке» т. е. для нее существует определенный интеграл
/•"•**■•
Приведем формулирован еще двух теорем, дающих достаточные признаки
интегрируемости функции.
Теорема 3. Функция f(x), определенная и монотонная на отрезке [а,Ь], интегрируема
на этом отрезке.
Здесь следует опдетить, что если функция f(x) монотонна на отрезке [а, ft], то
ее значения заключены между числами /(а) и /(b). Поэтому определенная на [а, Ь]
монотонная функция f(x) ограничена на этом отрезке,
Теорема 4, Функция f(x), ограниченна яна отрезке [а, ft] и имеющая на нем конечное число
точек разрыт, интегрируема на этом отрезке.
Пример 2. Функция
fix) I sin h *>ш х ^ °» '
'v ' \ ■ 1, если ж = 0,
интегрируема на отрезке (0,1], потому что она ограничена, ]f(x)\ < 1 Чх € [0,1], и имеет на этом
отрезке одну точку разрыва х= 0 (точка разрыва второго рода),
§4. Свойства определенного интеграла
Установим некоторые свойства определенного интеграла. При этом будем считать,
что все рассматриваемые функции непрерывны, а следовательно, интегрируемы на
отрезке [а,Ъ].
1. Определенный интеграл зависит только от величины нижнего и верхнего пределов
интегрирования, т.е. от чисел аи Ь, и от вида подынтегральной функций f(x)9
но он не зависит от переменной интегрирования, Поэтому величина определенного

Н СюЛстм определенного инт«Т«ла.
интеграла не изменится, если букву ж, обозначающую переменную интегрирования,
заменить любой другой буквой:
о о о
f f(x) dx = I f(t) dt = f 'f(u) du.
2* Посюянный множитель можно выносить за знак (вносить под знак) определенного
интеграла: ,
» о
J Af(x) dx = A I f(x) dx, A = const.
<4 По определению имеем
ь
Af(x) dx = lim £ Af(b) Axk = A lim £ /(*»)*** = A f f(x) dx, ►
3, Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен
алгебраической сумме интегралов от этих функций:
о о о
J [/i(x) ± Ш] dx = J /,(*) dx ± J f2(x)dx.
t
+ / [/i(*)±/2<*)] dx = Urn£[/»(&)±Л(6)]Д** =
= limJ£ /1(&)д«» ± Е л(**)д*»1 =
n n 6 6
д__>0 ***** д^0 *~-r J J
Следствие. Имеет место соотношение
ь
j[Aif\(z) + A2t2(z)^
а а а
где А\ и Аг — произвольные постоянные, которое выражает свойство линейности
определенного интеграла.

■$Q.
4. Дли любых чисел а, Ьт с имеет место равенство
.Глава XIII. Определенный интеграл
о с о
/ f(x) dx = I f(x) dx+ I f(x) dx
при условии су ще ствования обоих интегралов в правой части * Это равенство выражает
свойство аддитивности определенного интеграла.
< Рассмотрим два случая.
1) Пусть а < с<Ь, По определению имеем
f(x)dx = \imyff(^)Axk.
Так как интеграл не зависит от способа разбиения отрезка [а, Ь] на части, то точку с
можно включить в число точек деления этого отрезка. Пусть, например, разбиение
имеет вид (рис. 2) й
а < х§ < х\ < #2 <" •. - < хт =s с < хт+\ < ... < хп = 6.
Тогда интегральную сумму ]£ /(£*) Дж*, соответствующую отрезку [а,Ь], можно раз-
бить на две суммы; одну, соответствующую отрезку [а, с], и другую, соответствующую
отрезку [с, Ь],т.е.
n т n
Переходя в этом равенстве к переделу при А = max Axk -* 0? получим
} п
/ f(x) dx = lim У] /(b)Дя* =
a A_,0|fe=I
= lim, X) /(6)Д«* + "m Ц) /(Ь)Аа;* = / /(e) dx + / /(ж) da:.
fc = l
fc=m+I

§4. Свойства определенного интеграла,
.51
2) Пусть а < Ь < с, В силу доказанного имеем
ь
( f(x)dx=f f(x)dx + f f(x) dx,
откуда находим, что
ь с
f f(x) dx= f f($) dx-J f(x) dx = f f(x)dx + f f(x) dx.*>
a a b а с
Для случая, когда f(x) > 0 и а < с < Ь, свойство аддитивности определенного
интеграла означает, *1то площадь криволинейной трапеции аАВЬ равна сумме площадей
криволинейных трапеций асСА и сЬВ С (рис.2).
5. Если функции f(x) и д(х) на отрезке а ^ х ^ Ь удовлетворяютусловию / (ж) ^ д(х),
то
о о
/ f(x) dx ^ / д(х) dx,
т.е. неравенство можно интегрировать.
М Так как f(x) < д(х) в каждой точке х € [а, Ь], то при любом разбиении отрезка
[а, Ь] на части [xk~\, хк] и при любом выборе точек & € [jcjb-i, xk] будет справедливо
неравенство
2/to)A**<S^*)A»-
jfe=i
Дг=1
Переходя в этом неравенстве к пределу при Л = max Ахк —► О, получим при а ^ Ь
1<к<п
У\
I f(x) dx^ g(x) dx.
а а
Рис.3

52
_ Глааа XIII, Определенный интеграл
Замечание* В случае, когда f(x) ^ 0 и д(х) ^ 0 на отрезке [а,Ь], это свойство геометрически означает,
что площадь криволинейной трапеции аЬВ\А\ не больше площади криволинейной трапеции аЬВ^Аг
(рис. 3). Из этого свойства, в частности, следует, что если f(x) > 0 (f(x) ^ 0) на отрезке [о, 6], то
J f(x)dx^0 И f(x)dx^0
б. Если а < Ь, то имеет место неравенство
^ Интегрируя в переделах от а до Ь очевидное двойное неравенство
получим *
т.е.
f \f(x)\ dx < J f(x) dxX f \t(x)\dxf
О I 0
] f{x)dxЫ [\f(x)\dx.
7. Если числа ти М являются соответственно наименьшим и наибольшим
значениями функции f(x) на отрезке а < х < Ь, то
о
т(Ь-а)< / f(x) dx ^ М(Ь- а).
< Так как т < /(ж) ^ М для всех х Е [а, Ь], то в силу свойства 5 получаем
ь ь ь
I rndx < / f(x) dx < / М dx.
Но так как
то
Ь Ь b Ъ
mdx = m \ dx — m(b - а), I М dx = М I dx = M(b - а),
а а а а
6
т(Ь - а) ^ / /(ж) dx < М(Ь - а). ►

§4* Свойства определенного интеграла.
.13
У1
о
i Аг)
А,
А.,
ЛГ
с
h ■ , : >**!
Ч : jf-лу !
V-/ 1
#$«
i
т "— 1
t {
[\
' 1
>в2
>в
,в.
аХ
ь
X
Рис» 4
Змечшнне» Для функции f(x) > О на (а, 6 J, это свойство геометрически означает, что площадь Q яри-
волииейной трапеции а62?А заключена между площадями Q\ и (?: прямоугольников аЪВ\А\ и аЬВ2А2
(рис.4):
Пример 1. Оценить интеграл
2* «
| Vlb -f б sin
4 Так как
1 * I
I Щ mill ■",..-;. :^.у = -7щрвхяа^ггг: _ в 0»*5,
Л/ = max
" o<a<2r \ft0 + 6ahis Vi64-6skia?
то согласно свойству 7 будем иметь
И-
= 0,50,
2*г• 0,25 ^ / ;;-. у , ^ 2*г * 0,50,
J VW + 6sin#
т.е.
Пример 2. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
Je"x2dx или Je~xdx>
4 На отрезке 0 ^ я ^ 1 имеем а?2 ^ а?, откуда -а? ^ -а?2, и так пек число с > 1» то еГ* ^ в""*
и по свойству 5 получаем
je^dz} je~zdz.

54 - „ . .„ , - Глава XIII. Определенный интеграл
§5. Теорема о среднем
Теорема 5. Пусть функция /(#) непрерывна на отрезке [a, ft]. Тогда на этом отрезке
найдется по крайней мере одна точка £ такая, что имеет место равенство:
ь.
j J(x)dx = (b-a)f(l)> a^i^b.
4 Так как/(х) непрерывна на отрезке [a, ft}? то она на этом отрезке имеет наименьшее
значение га и наибольшее значение М$ и по свойству 7 получим
о
г(Ъ - аК / /(*) dx ^ M(ft - а).
Учитывая, что ft - а > 0, находим
ь
m ^ _:— / f(x\ dx < jyr
Положим
а
b
—— / f(x)dx = fit где m^/i^M.
В силу непрерывности функция /(х) принимает все промежуточные значения,
заключенные между шик Поэтому найдется значение sc = £,a^£^ft такое3 что
/(О = /^3т.е.
~L~Jf(x)dx = f{t) иди f f(x)dx = (b-a)№, а^%^Ъ.>
а а
Замечание. При о < 6 будем иметь
а — а
Положив
о- а
находим отсюда £ = а + (6 — а) • 0, Доказанное выше равенство можно записать теперь в виде
ь '::.■.■"
/ /(ж) <te = (6 - a)/[a + (6 - а)$Ъ 0А0< 1.
о
Геометрический смысд теоремы о среднем состоит в следующем» Пусть функция
f(x) % 0 на отрезке [а} ft], a < ft. Тогда
9
Jf(x)dx = Qu (b-a)f(0 = Q2,

§6. Произв дная интегра а с переменным верхним прдддлпи ■ 55
где Q\ — площадь криволинейной трапеции abBA, Q2 — площадь
прямоугольника abNM, основанием которого является отрезок [а, 6], а высотой ордината точки
Р.(б■/(£))• Теорема о среднем утверждает, что на кривой АВ (рис.5) найдется по
крайней мере одна точка С(£, /(f)) такая, что Q\ = Qi.
У>
о
1
А-
М'
а
*__ у = №
i
1
гх..
[/(f)
<
•AT
ь
X
Рис.5
Определение. Число
ь
M[f(x)]=^-aJ f{x)dx
называется средним значением функции f(x) на отрезке [а}Ь].
Если функция }(х) непрерывна на [а, 6], то найдется точка f Е [а, 6] такая, что
м[/(х)]=№.
Пример. Найти среднее значение функции f(x) =sinx на отрезке [0, тг].
< По определению получаем:
1*1 О
M[sins] = / sinxdx = - (- cos;r + cosO) = -.
о , ■ ■
Здесь мы воспользовались формулой Ньютона—Лейбница, которая будет доказана ниже в § 7. >
§6. Производная интеграла
с переменным верхним пределом
Пусть функция /(#) непрерывна на отрезке [а,Ь]. Возьмем на этом отрезке
произвольную точку х и рассмотрим определенный интеграл
х
I
f(t) dt.

56.
. Глава XIII. Определенный интеграл
Этот интеграл существует для любого a Е [а, Ь] в силу непрерывности f(x) на [а, Ь]
и является функцией своего верхнего предела х. Обозначим ее через F(x), т. е.
положим
Теорема б. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6]. ТЬгда функция
X
F(x) = jf(t)dt
а
имеет производную в любой точке х Е [а} Ь], причем
F,(x) = f(x).
Другими словами, производная от определенного интеграла по его верхнему
пределу равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.
< Дадим аргументу а приращение Да Ф О такое, что х + Да € [а, Ъ]. Тогда функция
F(x) получит приращение Д-Р, равное в силу аддитивности определенного интеграла
х+Дх х х+Дх а
AF = F(x + Ах) т F(x) = f f(t) dt- f f(t) dt = J f(t) dt + J f(t) dt =
\ a a a x
а г+Дж »+Д«
= f№dt + J /(<)<«= / f<f)dt.
Применяя теорему о среднем значении, получим
Д-Р = (а + Да - а)/(а + в * Да) = Да * /(а + 0Да),
откуда
Д£
Да
= /(а + 0Да), О<0< 1.
Переходя в этом равенстве к пределу при Да —► 0 и учитывая непрерывность
функции /(а) в любой точке а Е [а, 6], получим
Д-Р
= lim /(а + 0 • Да) = /(а),
lim A
Дж-»0 Да Дз->0
т.е.
F\x) = /(а) или
П f(t)dtj' =
/(а) Va€[a,6].*
Замечание. Если функция /(х) непрерывна на отрезке [a, ft] то для любого х € [а, 6] будем иметь

§7> Формул! Ньютона—Лейбница* ™^__ 17
Пример.
о \'
Теорема 7. £c?w функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6] то она на этом отрезке имеет
первообразную, означит и неопределенный интеграл.
< Пусть /(ж) непрерывна на [о, Ъ]. Тогда для любого х из этого отрезка существует
определенный интеграл / /(0 dt, т.'е. существует функция
F{x) = Jf{t)
а
такая, что
**(«)=/(») Va?€[a,b].
Это означает по определению, что jF(e) является первообразной для f(x) на [о, Ь].
Отсюда следует» что неопределенный интеграл от функции f(x) t непрерывной на [ot b],
можно представить в виде
J f(x) dx = J f(t) dt + С,
a
где С — произвольная постоянная. ►
§7. Формула Ньютона—Лейбница
Теорема 8. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, Ь], а функция F(x) является ее
первообразной на этом отрезке, тогда
ь
J f(x)dx = F(b)-F(*)>
Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница.
< Возьмем функцию .
ф(х) = J f(t) dt, х € к ь]:
Эта функция является первообразной для функции f(x) на отрезке [ot b], а любые две
первообразные для одной и той же функции отличаются друг т друга постоянным
слагаемым* т, е. существует постоянная С такая, что
*'(as)' = F(i)'-+C или Г f(t)dt = F(x)+C

58.
для всех х 6 [a, ft],.. При ж ^ а имеем
J f(t) dt = F{a) + С
а
а
и так как / f(t) dt = 0, то F(a) + С = О, откуда
а
C = -F(a).
. Глава XIII. Определенный интеграл
Следовательно,
Положив х = ft, получим
J f(t)dt = F(x)-F(a).
а
Ъ
ff{t)dt=F{b)-F{a),
или, обозначая переменную t интегрирования через $,
ь
I*
х) dx = F(b) - F(a). ►
Замечание. Если обозначить F(b) - F(a) = F(x)\ , то формулу Ньютона—Лейбница можно записать
в виде "
Jf(x)dx^F(x)\a, где FJ(x) = f(x).
Доказанная формула является основной в интегральном исчислении. Она сводит вычисление
определенного интеграла от фунедии f(x) к нахождению ее первообразной F(x),
Примеры.
1/Найти
/
х&х.
4 Известно, что
Поэтому
г х1 х2
Jxdx = ^+C, т.е. F(s)~y + C.
4
/■
4 2
xdx = -™
2
I4 42 22 ,
2. Найти
4 Имеем
/sin a; da:,
о
ж
/ sin a; da; = -cgss|.
sin х dx = - cos x\ = - cos ж - (- cos 0) = 2. ►

§8, Замена переменной в определенном интеграле — _$9
§8. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 9» Пусть дан интеграл
ь
f(x) dx,
/■
о
где функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь}< Положим х = <p(t), и пусть функция <p(t)
удовлетворяет условиям:
1) при изменении t от а до /3 функция (p(t) непрерывно меняется от а до Ь так, что
<p(ot) = а, 4>ф) = Ь а все остальные значения <p(t) содержатся в области, где функция
f(x) определена и непрерывна;
2) производная <pf(t) непрерывна на отрезке [а, (3\.
Тогда будет справедлива формула
ь
J f(x)dx = j' f[<p(t)W(t)dl
< По формуле Ньютона—Лейбница
ь
f(x)dx = F(b)-F(a),
а
где F(x) — какая-нибудь первообразная для функции f(x) на отрезке fa, Ь], т. е,
I
Ff(x) = f(x) Vs € fa, Ь]. Возьмем сложную функцию от t, а именно Ф(£) = F[<p(t)]f
определенную на отрезке [а,'/?]." По правилу дифференцирования сложной функции
ее производная равна '■■■'.'■ ,
:*'(*) =^И0И0 = /И')И*)-,-.'
Таким образом, фуннция Щ) есть первообразная для функции 7[р($)]у>'($),.
непрерывной на [а,/?], и по формуле Ньютона—Лейбница получим
в ь
} /М')]*>'(') Л = Ф(/3) - Ф(о) = F[<p(p)] - F[<p(a)] = F(b) - F(a) = J f(x)dx. ►
a a
Замечание* Фуннцию tp(t) выбирают так, чтобы новый интеграл
Р
JfMt)]?f(t)dt
a
был более простым, чем первоначальный интеграл
ь
J №**.
При вычислении определенного интеграла по доказанной формуле к старой
переменной интегрирования не возвращаются.
Пример 1. Вычислить интеграл
/ ^йг - х2 dx (а > 0).

68 . l *. _ Глеи XIII. Определенныйинтег рал
S
А Положим, например, х = a sin t Тогда ■/
dT = acostdt, уа2 - х2 = й sin t
Полагая в равенстве х = a sin t снечала х = О, а затем я; = а, получим два уравнения a sin* = О,
а sin t = а, из которых находим нижний предел интегрирования t = О и верхний предел t = |. Поэтому
будем иметь
а О О
Пример 2. Вычислить интеграл
4 Положим х = е1. Так как t — О при х = 1, t = 1 при х = е, t = 1пх, то
*1п2х . }.?., *3|1 1
/V*-/'Vt
.-1-"
Замечание* В некоторых случаях в интеграле удобнее применять замену переменной не в виде х = ^(*)>
а в виде t = ф(х)>
Пример 3. Вычислить интеграл
J Ve^^ldx.
о
щ Положим t = \V-.l. Тогда х = ln(t2 + 1), dx = ™. При х = 0 получаем t =0, а при х = In 2
получаем * = 1. Следовательно,
' Т^-ТЛ-2 I <2<" -2 /<1±£Ы*-
о о о
Пример 4. Вычислить интеграл
1
о
4 Положим t = х4 - 2х -Н. В данном случае выражать х через *» т.е. находить функцию х = p(t)
не нужно! Дифференцируя его равенство, получим dt = (4х3 - 2)dx , откуда (2х3 - l)dx = \4t.
Поэтому будем иметь
X , f.
j(2x%- \)sj^bT\dxш - / Vfdtш --. ь>
0 1
Приведем теорему, которая в некоторых случаях упрощает вычисление
определенного интеграла.
Теорема 10, Пусть функция f(x) интегрируема на симметричном относительно тонки О
отрезке 0. Тогда
Jf(x)dx=l
а
2 / f(x) dx} если f(x) — четная функция;
о
0> если /(as) — нечетная функция.

Ъ&Шзффтштчашт^ __ ,_ «*~—:— 61
< Согласно свойству аддитивности определенного интеграла имеем
о и а
J f(x)dx = J f(x)dx+f f(x)dx.
-а -а 0 \
Сделаем в первом интеграле замену переменной: х = -J, dx = -Л; J = -ж. Тогда
О 0 а а
f f(x)dx = - f f(-t)dt= f f(^t)dt= f f(-x)dx
-a a 0 0
последовательно,
У /(e) dx = f [f(-x) + f(x)] dx,
-о О
Полагая в этом равенстве f(-x) = f(x) (четная функция), а затем f(-x) = -f(x)
(нечетная функция), подучим требуемые равенства, ►
Пример S. Интеграл
так как подынтегральная функция на отрезке [-#, п] являете нечетной»
щ В самом деле,
' sta'H?)*81*'*1 « - sin3 же001 •■ V* € [-чг, 4>
§ 9. Интегрирование по частям
Теорема 11, Пусть функции и = и(х) и v = v(x) имеют на отрезке [аг Ь] непрерывные
производные и\х) и v'(x) ТЬгда имеет место равенство
ь ь
I udv = и *v\a - / vdu.
^ В силу условия теоремы произведение иv = и(ж)т;(ж)данныхфункцийимеетна[а, Ь]
производную, равную , >
(uv)' ==W +vu'}
т. е, uv является первообразной на [а, Ь] для функции uv1 4-W. Применяя формулу
Ньютона—Лейбница, получим
ъ
I (uv + vu) dx = иу\а.
a •'■>'•■■■ ,
По правилу интегрирования суммы это равенство можно представить в виде
ъ ъ
I uv' dx + vu* dx ='Uv\ai

62.
. Глава XIII. Определенный интеграл
откуда находим
о о
I uv dx = uv\a - / vuf dx.
Так как по определению дифференциала функции v'dx = dv, u'dx = du то
окончательно будем иметь
6 6
I udv = uv\a ~ I vdv>*\
Пример 1. Вычислить интеграл
/ (я* - х) sii
sin x dx.
Щ В данном интеграле имеем и dv =; (ж—х) sin dx. Возьмем и = я-$$ dv = sin x dx, тогда du = -dx,
v = —cosx. Применяя формулу интегрирования по частим, получим
/(* -x)unxdx = -(тг - х) cos ж - / cosxdx = (а>~ r)cosx -sinx = ж. ►
Пример 2, Вычислить интеграл
4 Имеем
/
In ж
dz =
и = In Xj dv = -f
1
= — in* + / « _. - _ = — - ^ + i = i _2
% n ■ J x2 w li zli e e
e4>
§ 10, Площадь плоских фигур
в прямоугольных координатах
1. Пусть функция f{x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а,Ь], а < Ь. Тогда
площадь Q криволинейной трапеции аЬВА будет раэна (рис, 6)
Пример 1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой у = х2, прямой х = а (а > 0)
и осью Ох (рис.7).
4 Имеем

§10. Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах„
\у = *2
1 х = а
О
/У
а
i
1
X
Рис. б
Рис. 7
м'
О
y~x2-2xl
1 2/
X
Рис.8
Рие. 9
х Пусть функция f(x) < 0 на отрезке [а, Ь], о < Ь. Тогда кривая у = /(ж)
расположена под осью Ож и интеграл
ъ
I
f(x)d$
Площадь Q криволинейной трапеции аЬВА (рис. 8) будет равна
ь
Q = - / /(ж) da: или Q =
■ / f(x) dx\.\
а '
Пример 2, Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 - 2ж и осью Ох (рис. Л
«* Данная фигура расположена под осью Ох на отрезке [0,2] на котором у 0, Поэтому искомая
площадь Q будет равна
Q = - f(x2- 2х) Аг = /(2s - ж2) da: = s:
2 п3!2 4
3, Пусть функция /(ж) меняет свой знак при переходе ж через точку с (а, Ь), т. е.
часть криволинейной трапеции аЬВА расположена над осью Ох, а другая часть под

64.
. Глава ХШ, Ощ*> & интеграл
осью Ох (рис. 10). Тогда площадь Q всей заштрихованной фигуры будет равна сумме
двух площадей
с , ъ
Q = Q\ + Q2 = J f(x) dx + \J f(x) dx
или
с о
Q = Jf(x)dx-Jf(x)dx.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 1 - х2, прямой в = 2 и
осями Ох и Of? (см. рис.11).
4 Имеем
Х Г lo 3 lo li 3
-,-j-.*j-j-"
Рис, 10
Рис И
4. Пусть функции /(х) и#(х) непрерывны и /(х) > ^(х) > 0 на отрезке [а} Ь]$ а < Ь9
причем кривые у = f(x) и у = #(а?) пересекаются в точках «А и В. Тогда площадь Q
фигуры, ограниченной этими линиями (рис. 12), будет равна разности площадей Q\
и Q2 криволинейных трапеций аАСВЬ и aADBb соответственно. Таким образом,
9 V
Q = J f(*)dx- I g(x)dz
или
9
Q = ][f(x)-g(x)]dx.
Для нахождения пределов интегрирования а и Ь надо из системы уравнений у = /(х),
у = д(х)$ исключить у и решить уравнение /(х) = ^(х), действительные корни
которого дадут искомые пределы.

if& Аоддощвеод ф^
.65
Пример 4,Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = 4» - ш2 и у = а2 - 4х + 6 {рисЛЗ}*
«I Находим абциссы точек Л и В пересечения данных парабол, Для этого решаем уравнение 4х~х2 =
я2 -4ж+6 или х2 -4«-+3 = 0. Его корни х\ = I, хг = 3 являются пределами интегрирования: а = I»
6 = 3. Пасомая площадь <? равна
з
g = /[4ж - а2 - (ж2 - 4* + 6)] dx = /(8х - 2а?2 - 6) dx = 4*2j* - |я?э|
(3 " i i3 8
IN
о
t
д<
-
я
*
^ftk„AiL^ " Л*як
IIdUm
Wy*9(x) Щ
i
>B
b x
yi
o\
i
\
ymX^--4x+6j
\jm>. i
\
/
/
/
' j
WhB
^r
\
V
'■■rA
i 4\ *
РисЛ2
5. Пусть кривая АВ задана в
параметрической форме уравнениями
х = <р(*)> ■» = ♦(«)»
где функции (p(t)f $(t) непрерыв-
ны^ вричем tp(i) имеет
непрерывную производную (р'Щ на отрезке
[а,Р] и 1р{а) = а, y(/J) = fc
Площадь Q криволинейной трапеции
йЪВА (рис, 14) описывается
формулой
РисЛЗ
Q
ч
ydx.
рис; 14
Сделаем замену переменной в атом интеграле» положив х ^ <p(t)f у = if>(t)+ Тогда
площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной
параметрическими уравнениями, будет равна
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
x = acost, y = 6sini, 0 ^ t < 2ir (a>6>t))*
3 Зак. 628

66.
. Глава XIII. Определенный интеграл
<4 В силу симметрии эллипса относительно координатных осей достаточно вычислить площадь той части
фигуры, которая расположена в первой четверти, а затем ее учетверить, т. е. искомая площадь Q равна
Q=aJ ydx.
В этом интеграле делаем замену переменной:
х = a cos t, у = Ьsin t, dx = -asindt.
Для нахождения новых пределов интегрирования положим х = 0, тогда получим уравнение a cos J = 0,
из которого находим t\ = а = |, а затем, полагая х =а, получим а = a cost, т. е. cos J = 1, откуда
t2 = (3 = 0. Таким образом, когда х изменяется от 0 до а, то t изменяется от ~ до 0. Поэтому
о о */2
Q = 4/&sinS(-asin*<^
6. В некоторых случаях для вычисления площадей плоских фигур удобнее
пользоваться формулами, в которых интегрирование ведется по переменной у. В этом случае
переменная ж считается функцией от у: х — д(у), где функция д(у) однозначна
и непрерывна на отрезке с ^ у ^ d оси Оу. Пределы с и ^интегрирования по
переменной у, являющиеся точками пересечения данной крййой с осью Оу находится
из уравнения p(j/)^ 0,получаемогоиз уравнения х = д(у), ёёли в нем положить аг<= 0.
Тогда площадь ^ограниченная кривой х — д(у)й осью ординат (рис. 15), будетравна
Пример б. Вычислить площадь, ограниченную кривой х = 2-у-у2 (г/арабола) и осью ординат (рис. 16).
J.---.- ■ ■ ■ *-Ч:'г-.,
< Пределы интегрирования находим как ординаты точек пересечения параболы с осью ординат: при
х = 0 получаем уравнение 2-у-у2 = 0, из которого находим у{ ==#= -2, yj = d = 1. Следовательно,
1
о
с*
\
■ж
шшр
х = д(у)
X
Рис, IS
Рйс. 16

§ 11. Площадьгиюской фигур" в полярных координатах.
«67
искомая площадь будет равна
Q = J(2^y^y2)dy = 2y
= 4,5. ►
Задача, Найти площадь фигуры,ограниченной линиями у2 = 2ж-ь1 (парабола) и х-у-\ = 0 (прямая).
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = arcsin х, у = arccosx и осью абцисс,
Указание, Записать уравнения линий в виде х = д(у)>
§ 11. Площадь плоской фигуры в полярных координатах
Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнением р = f(<p), где
функцияf(<p)< непрерывна ц неотрицательна на отрезке а ^-.(р < /3. Плоская фигура,
ограниченная этой кривой и двумя лучами, образующими с полярной осью углы а и /3
называется криволинейным сектором (рис.17).
Для определения площади криволинейного сектора ОАВО разобьем его на п
произвольных частей луча^и^ = а = ^о> <р = фи.♦ ♦, <р = <рп-л, ф =Л = 9*- Обозначим
углы между этими лучами через А^?|, Ayfy- -,•, Д^п- Возьмем произвольный луч щ,
заключенный между ip.^;HiPkM обозначим через /?* длину радиуса-вектора,
соответствующего этому лучу. Возьмем круговой сектор с радиусом, равным /5fc и
центральным углом Ау>*(рис. 18), Его площадь AQ* будет равна AQ* = ^рдАзд или, так как
fa = f($k),AQk = \f2{<Pk)A<pk.
p4i<P)
Рис. 17
Рис 18.
Проделав подобное построение во всех п частях сектора ОАВО, получим фигуру,
состоящую из п круговых секторов, площадь Qn которой будет равна
п 1 п
Qn = ^ AQk = - 53./2(й)Д^.
fc=i
ы\
Обозначим наибольшее &<рк через Л:
Л= max А<рь
Будем делить угол АОВ на все более и более мелкие части так, чтобы А —► 0.
Тогда полученная фигура будет все меньше и меньше отклоняться от сектора ОАВО,
и поэтому естественно считать площадью Q криволинейного сектора ОАВО предел

ее
_*_ ■„. , ; ,, „ Глааа Xlfl, Определенный иншрал
площади Qn построенной фигуры, когда А = max Atpk -* О, при условии что этот
предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка [а, р] на частичные
отрезки и от выбора точек <рк на них. Таким образом, по определению v
) имеем
Сумма 2 \f 2($b)A(pk является интегральной суммой ддя функции \] (<р)$ которая
непрерывна на отрезке [а, /3] в силу непрерывности функции /(<?). Следовательно,
эта сумма при А —♦ 0 имеет предел, равный определенному интегралу
/
\f4v)*P-
Итак, площадь криволинейного сектора ОАВО
равна
р = а{\ + cos$>)
Р ft-
Q^IJ f2(tp)df или Q=^Jp2d<p.
Пример 1, Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
/> = а(1 + cosp), а >0
(рис.19).
4 Искомая площадь равна
Q аз — 7(1 + cos tpfdtp s- / (1 + 2 cos tp -f cos2 ф) 4f «
о о /
,2 »
Рис. 19
a2 //, A t+cos2^\ J a2 //3 л 1 л \ . 3 2
"If/ \l + 2cos^* 2 J f~ll J \5+ам**'£ V *~3 *
§ 12. Вычисление объемов тел
Рассмотрим тело, ограниченное некоторой замкнутой поверхностью, Пусть известна
площадь Q любого сечения тела плоскостью» перпевдикуля^ной к оси Ох (рис, 20),
Эта площадь зависит от положения секущей плоскости» т, е. она будет функцией от х:
Q = Q(x).
Будем считать, что функция Q(x) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Для определения
объема данного тела ПРОВОДИМ ПЛОСКОСТИ 2 = а = &Q, £' as &i, 2 = 9?2> • * < > х = & = хп>
которые разобьют тело на ц слоев, В каждом отрезке [x^-i, Ж*Ь * = 1,2,.-.. ,-п,-
возьмем по одной произвольной точке £* и заменим каждый слой тела цилиндром с
образующими, параллельными оси Ох> направляющей которого является контур сечения
тела плоскостью х = (к (рис. 20). Объем Дг/д. такого цилиндра равен произведению
площади Q(£k)> где £* € [2*_ь 2*], его основания на его высоту Ахк:

112. Вычисляй* обммов тел
М
Рис. 20
а объемом Уп всех п цилиндров будет сумма
п п
О, то его естественно принять
*=1 *=1
Если эта сумма имеет предел при А = max Дж*
за объем V данного тела:
n
В нашем случае сумма 2 Q(U)^xk является ин-
тегральной суммой для функции Q(x), непрерывной
на отрезке [а% Ь], и поэтому указанный предел
существует и равен определенному интегралу
о)
Пример 1* вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом
V + V + 7'1' Рис.21
4 В сечении эллипсоида плоскостью» перпендикулярной к оси Ох и соответствующей абсциссе xv
получается эллипс фис* 21)

70.
.Глава XIII. Определенный интеграл
полуоси которого равны
bf^ .\'f-i
Поэтому площадь Q(x) сечения будет равна
. :. <?(*) = 7ГЙС ^1 - ^j .
Применяя формулу (1), получим
V = [жЪс Г 1 - ~] dx = 2irbc J (1 - ^ J dx = ^яаЪс.
В частности, при b = с = а, эллипсоид обращается в сферу х2 + у2 + z2 = а2, а объем шара х2 +
у2 •¥ z2 ^ а2 будет равен V = з7™3- ►
Рассмотрим тело, образованное вращением
вокруг оси Ох криволинейной трапеции аЬВА
(рис. 22), ограниченной кривой у = f(x),
прямыми х == о, ж = Ь (а < Ь) и осью Ох.
Это тело называют телом вращения.
Сечением тела вращения плоскостью,
перпендикулярной к оси Ох и соответствующей абсциссе х,
является круг плоЩаДи Q(x) = жу2 = nf2(x) и,
следовательно, объем тела вращения
о о
= 7Г / f2(x)dx или V = 7г / #2dx.
Пример 2. Найти объем тела вращения, полученного вращением дуги О А
параболы у2 = 2рх вокруг оси Ох (рис. 23).
4 Уравнение дуги О А параболы будет у = у/2рх, р > 0. Искомый объем
равен
а а
V = я I y2dx = n 2px dx = яра2. ►
§ 13. Вычисление длины кривой
Рис.23
Рассмотрим кривую ^АВ, имеющую концы в точках А и В9 и возьмем на ней
произвольные точки М\, Mi,... , Mn_i, следующие вдоль кривой одна за другой (рис. 24).
Соединим эти точки хордами AM\, М \М2,..., М„ -\ В, длины которых обозначим
соответственно через Asj, -Д$2» • • • > Д*п- Тогда длина Sn ломаной АМ\М%... Мп-\В,
вписанной в кривую ^АВ, будет равна
5„ = Д«1 + Дв2 + .... + Д*п = ^2 Д$ь
fc=i

§13. Вычисление длины 1фй*ой
71
Определение. Длиной S кривой ^АВ называется
предел, к которому стремится длина Sn
вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена
стремится к нулю:
S = Hm Sn = lim
maxAej-*0 тйх&шк-
„£*»■
k = \
если этот предел существует и не зависит от
выбора точек Mj, Mj,.-.. ,Мп~\ на кривой ^АВ,
В этом случае кривая ^АВ называется
спрямляемой.
Рис. 24
:д-1
13.1. Длина кривой в прямоугольных координатах
Пусть кривая *~>АВ задана уравнением у = f(x), где функция f(x) имеет
непрерывную производную f{x) на отрезке [а, Ь]. Разобьем отрезок [а, Ь] произвольными
точками >
a = Xq < $\ < х2 < ... < Xk^x < Xf. < ... < а?» = Ь
на п элементарных отрезков [х^-и 3fr], к = ■ 1> 2,..., п и построим вписанную
ломаную, вершинами которойявляются точки кривой у = f(x):
1 = М0(ш0;/(а?о))» Afi(asb/(*i)), .;. , Мп(шП)/(а!п)) =В. .
Обозначим длины звеньев ломаной через As\, Asm ..., Asn и положим
Ахк=хк~хк-и Ау* =■/(«*)-/(a?*-.i).
Тогда длина k-го эвена ломаной равна (рис. 25)
^»д/(Да?*)2 + (Дл)а= у 1 + (|||) -А**
Применяя теорему Лагранжа,
получим
Ау* = /(ж*) - /(zfc-i) =
■ =. (a*-a*_i )/'(&) =
= /(&)А«*.
где £* — некоторая точка отрезка
[хк-ихк], Поэтому
Ав* = ^1 + №>]2дя!*'
и длина вписанной ломаной будет
равна
Ы|

72.
. Глава XIII. Определенный интеграл
Так как по условию f'(x) непрерывна на [а, Ь], то и функция у 1 + [/'(я)] будет
непрерывна на этом отрезке, и, следовательно, интегральная сумма (1) имеет предел S
при max As*. —► 0, который является определенным интегралом:
s= и? JZ \А + t/#(6)]2 Д«* = / Ф + [Л*)]2 4с
или, короче,
Пример 1. Вычислить длину S цепной линии
У"
= сЬж
отточки 4(0,1) до точки В(а} cha) (рис.26).
4 Из уравнения цепной линии находим
у' = sh х.
Учитывая тождество ch2 ж.—sh?.« = 1, получим
\/l + ya = \/l -Ь sh2 a; == у ch2 х = ch х (ch ж > 0).
Поэтому
5 = / ch х dx = sh ж = sh а. ►
Рис.26
(2)
13.2. Длина кривой, заданной в параметрической форме
Пусть кривая ^АВ задана в параметрической форме уравнениями
-* = ¥>(*), *=*(*)• to^t^T, (3)
где функции у>(£) и ^(4) имеют непрерывные производные у>'(4) и ^'(0 на отрезке
*о < *■ < Г» причем у>'(4) Ф 0 на этом отрезке. В этом случае уравнения (3) определяют
функцию у "= /(а?)» имеющую непрерывную производную у'х = |Ш на [*о> Т]* Тогда
>AjiE**=VhoivwqiV
и, согласно формуле (2),
г . __
5»/^И)]2+И«)]Ч
ИЛИ
(4)

} 13. Вычисление длины криюй.
„П
Пример 2, Вычислить длину окружности радиуса R (рис, 27).
< Окружность в параметрической форме задается
уравнениями
х = R cos t, у =R sin t% О ^ t < 2w*
Согласно формуле (4) получим
2* * . _ 2*
S = j У(-Л$1пОа + (Ясо»*)24t~R fdt = 2* Д, ►
о о
Пример 3. Найти длину эллипса.
> gasacosf, j/=ftsint, 0 ^ < < 2ir (0 < 5 ^ о).
^ Так как а: J = -asm*, у J = о cost, то, применяя фор*
мулу (4) и учитывая симметричность эллипса относительно
координатных осей» найдем
.Рис. 27
5 = 4-/ ^а*8|"па1 + »асо»г*Л«:4 / ^О-со^О-М^см^Я *
о о
гД; , »/2-'
= 4 Гу/л* - (а2 - ft2) cos2 i Л = 4а / j/l ~**css2 tut,
где е = %~ эксцентриситет эллипса, 0 < е < 1. Мы получил так называемый
эллиптический интеграл, который не вычисляется с помощью непосредственного применения формулы Ньютона-
Лейбница, поскольку первообразная не является элементарной функцией, >
Замечание. Если положить t = | - г, то получим
/ sjl - е2 cos2 tdt= J yf\- s2 sin2 rdr^J \/l - e2 sin2 i («;
о о о
именно в этой последней записи интересующий нас интеграл обычно и рассматривают.
Пример 4. Найти длину одной «арки» циклоиды
*sa(f-itai), y = a(l -cost), 0 ^ * < 2sr$ a>0 (рис.28),
У1
0
I
2я« д;
Рис. 28

74, : . Гяа§аMl Определенный интаграл
А Применяя формулу (4), найдем
2* ^тшшчт^^^_т^^ 2* 2* J Г"
S = a J yj(\ -cost)2 -fsift2tdt«a f V2-.cost A = a / J4sin2 -Л =
о "о о
sin -\ Л = 2a / sin - (ft = -4e cos - = 8a,>
2 У 2 2lo
13,3, Длина кривой в полярных координатах
Пусть кривая ^АВ задана уравнением в полярных координатах р = f(<p)>ot ^ <р ^ /?,
где функция /(у?) имеет непрерывную производную f{<p) на отрезке [a,/3b Ддя
нахождения ддины кривой составим ее параметрические уравнения. С этой целью
воспользуемся формулами перехода от полярных координат к декартовым: х = р cos <p,
у = р sin v3. Подставляя сюда вместо р функцию /(^), получим уравнения х =
/(V?) cos у>, у = /(v?) sin ^, которые являются параметрическими уравнениями кривой.
Здесь параметром является полярный угол (р, Дифференцируя последние уравнения,
найдем
.. ^=-/!(^)cos^-/(p)sin^, у9 = f'(<p) sin v? + /(?) cos p.
Возводя в квадрат обе части каждого равенства и складывая, будем иметь
_ ■*?+*?= [/м]2+[/(*)12. - ;
Согласно формуле (4), получим
. . 0 '■";;'
8=/у/[Г(г)]г+Ш]2*р, (5)
или, что то же, ^ ____^
I ^ : I
(6)
Пример 5* Вычислить длину кардиоиды /> =* a(l - cosp), a > 0.
Из уравнения кардиоиды находим pf = a sin у?, 0 < р < 2зг. Г
2# ' 2* ■ * *" Л
S= /^a2(l-cos^)2+a2sin2^#=a /^2(i»co$^)#=2a f Min2-d<p = 2a l&m-dip-Sa* |
4 Из уравнения кардиоиды находим />' = a sin у?, 0 < tp < 2зг. Применяя формулу (б), получаем, что
2% 2* 2- 2*
" " " ' ' . Ч> .
0 0 0 0
§14. Дифференциал длины дуги кривой
Пусть дана кривая у = /(я)> где функция /(ж) имеет на отрезке [а,Ь] непрерывную
производную /'(ж). Рассмотрим дугу ^АМ этой кривой'от"точки A (a, /(a)) до
переменной точки М (ж? /(ж)) (рис 29). Тогда длина 5 дуги ^АМ этой кривой будет
функцией от ж и выразится формулой
ж ж . .
S= s/l+[f'(x^2dx = Jy/l+[f'(t)]
2dt.

$Ш Д*фф*рв«|до длины дуги криюй„
.?!
Так как подынтегральная функция у 1 + [ff(t)] непрерывна на отрезке [й,Ь)9 то
будем иметь
dS(x)
dx
= i(f Ф + lt'®]**) = V;f+[/'««)]J
ИЛИ
dST
dx
= w.i +
Отсюда дли дифференциала длины дуги ^4 Af получаем формулу
М{х + dx,y + dy)
dy
x + dx
*■ Геометрический смысл
дифференциала длины дут кривой
заключается в том, что он равен
длине отрезка MN касатель-
ной МТ, ограниченного точкой
касания М(х,у) и точкой
N(x + dx,y + dy) (рис, 29). При
достаточно малом dx = Дж
длина ДS дуги ^ММ1 кривой
у = /(ж), отвечающей
приращению Дж 5= dx может считать*
ся приближенно равйой длине
отрезка MN касательной МГ>
проведенной в точке М к этой
кривой, т.е.
Д5 ^ dS.
Для случая задания кривой параметрическими уравнениями
'*=>(*), 2/=V>0, 'o^<$IY
где функции y>(j) и V>(0 имеют непрерывные производные иа отрезке [t^T\, получим
или
Рис, 29
dS^^xf+yfdt
Из этой формулы, в частности, следует, что если за параметр t взять длину Б
переменной дуги, т. е. положить
* = <p(S)> y = 1>(S),
то
(!)Ч§)='-

ft . ' , Гяввц ХШ. Определений кнтегрм
#
Если кривая задана уравнением в полярных координатах: р = Др), а < у ^ /?,
где функция /(у?) имеет непрерывную производную /'(р) наотрезке [а,/3], то
AS « s/p* + pftd<p.
§15. Физические приложения определенного интеграла
15.1, Работа переменной силы
Определим работу, которую произведет сила F при перемещении ею материальной
точки М по прямой Ох из точки а в точку Ъ (а < Ь). Из физики известно, что если
сила F постоянна, то работа А равна произведению величины F силы F на длину пути
$ = Ь~ а, т. е. А = F "■ $, при условии, что сила направлена по прямой О'а.
Пусть величина силы F, действующей на материальную точку М по прямой Ох,
является непрерывной функцией от ж;
F^F(x)
на отрезке [а, Ь] прямой Ох, Разобьем отрезок {as Ь] точками жо = a < х\ < %% < ... <
хп = Ь на п частей с длинами Дай, Да^. - м Джп, На каждом частичном отрезке
[хк-] у Xk] возьмем произвольнуюточку^ и будем считать, что величина силы F наэтом
отрезке постоянна и равна F = F($k). Тогда при достаточно малом Дж* работа Д4*
будет приближенно равна
ААк ъ ОД) Дг*>
а сумма
п п
даст приближенное значение работы А силы F на отрезке [а, Ь]щ Но так как Лп
является интегральной суммой для функции F(x) на отрезке [в,Ь], то за работу Л
силы F на отрезке [а, Ь] естественно принять предел этой суммы при max £х& -* О,
который существует в силу непрерывности F(x) на [а? Ъ]. Таким образом, искомая
работа Л будет равна
A=mX^^mk)Axk = JF{x)dx- ■■• (1)
Пример 1» Найти работу А, которая совершается при перемещении заряда 92 из точки Мh отстоящей
от заряда q} на расстоянии г\, ш точку Щ% отстоящую от заряда q\ на расстоянии ri% считан» что
заряд 9i помещен в точке М0, принятой за начало отсчета.
-4 Пусть электрические заряду q\ и 92 имеют одинаковые знаки, например, д\ > О, 92 > 0.
Поэтому заряд 9i будет аттэпкиаать заряд 9а * По закону Кулона величина F силы F электростатического
взаимодействия двух точечных электрических зарядов, находящихся в вакууме, равна
где г — расстояние между зарядами, k — коэффициент пропорциональности. Применяя формулу (1),
найдем
A = ]k9-^dr~*,,* / * = kqm (-i)f = кШ (^ - £) . ►

I'ltt Фи$м#ш» приложений определенного интегралещ ■■■■■. .> - 77
15.2. Массам центр тяжести неоднородного стержня
Пустьдан неоднородный стержень, расположенный на отрезке [а, Ь] оси От, линейная
плотность р = р(х) которого известна, Разобьем отрезок [а, Ь) точками
а = а?о < Х\ < а?2 < >., < a?n-i < хп = Ь
на частичные отрезки^™и Щ ]». н а каждом и з которых эозьмем по одной
произвольной точке "■&■', и составим сумму
п
Таккак каждое слагаемое этой суммы является приближенным значением массы части
стержня на отрезке [ж*-ь ж&], то указанную сумму естественно принять за
приближенное значение массы всего стержня. Поэтому массу га воего стержня определим как
п
предел сумм 5Z p(tk)&xk при стремлении к нулю max Ахц'—» 0» т.е. как интеграл
/
р{%) dx
Таким образом, масса га стержня равна
ь
га = / р(х) dx, m (2)
.<* i, ■
Ддя определения центра тяжести неоднородного стержня используем формулу
для координаты центра системы материальных точек М\, М^ •.. ? М„, имеющих
массы гаь т2>«♦•, ran и расположенных в точках &ь х\,..., тц оси 0$. Координата хс
центра тяжести этой системы находится по формуле
( , , 12 ™>kXk
ТП\Х\' + ГП2Х2 ■+•■;.. + mn£n jfe=f ,-v
Жс = = —j * . (3)
m\ + га2 + ... + га„ А
Разобьем отрезок [а,д] точками а = ж0 < а^ •.* < хп = 'ft на частичные
отрезки [х*-ь #*] и вычислим массу га* части стержня, расположенной на этом отрезке.
По формуле (2) имеем га* = / р(х) dx. Применив формулу среднего значения
к этому интегралу, получим, что
' ■^*=ар(&)(®*"-**и) = р(&)Дя?*, где ам^&^а*.
Допуская, что масса гад. сосредоточена в точке £& Отрезка [afc-h &*], неоднородный
стержень можно рассматривать как систему материальных точек с массами га*,
расположенных в точках & отрезка [а, Ь]. Так как
** ь

78 ______^ : ,.:. Глава XIII. Определенный интеграл!
то по формуле (3) найдем приближенное выражение для координаты хс центра тяжести
неоднородного стержня:
*с **=!—; , (4)
т
* Выражение, стоящее в числителе правой части (4), яЕЛяется интегральной
суммой для функции хр(х) на отрезке [а, Ь]. Поэтому координату х€ центра тяжести
неоднородного стержня определим по формуле
ь
J xp(x) dx
а
Хе =
b - . '
Jp(x)dx
а '•'■■■
Пример 2. Найти координату xt дентр'а тяжести неоднородного стержня, линейная плотность которого
р = я» а длина 1 = 1.
Щ Находим массу данного стержня
1
. 1
х dx = -.
2
о
о
Искомая координата центра тяжести равна
хс - 2 J x*dx = г- ►
о ,
§16. Приближенное вычисление
определенных интегралов
При решении физических задач приходатся иметь дело с определенными интегралами
от непрерывных функций, первообразные которых не выражаются через
элементарные функции. Это приводит к необходимости получения приближенных формул
для вычисления Определенных интегралов. Приведем две из них* а именно, формулу
трапеций и формулу парабол.
16.1, Формула трапеций
Пусть требуется вычислить интеграл.. ~
'■■■■■' ь
I
где функция f(x) непрерывна на отрезке [а,Ъ]. Для упрощения рассуждений будем
считать, что/(я) ^ О,
Разобьем отрезок [щ Ь] на п равных частей точками
а' ^ xq < х\ < Х2 < ... < xn-i < хп = b

§ 16* фибяираяда» вычислемие определенных интегралов.
.7$
\d — х^ х^ Xj
Рис. 30
и с помощью прямых х = хн (fc = 0,1,».., п) построим п прямолинейных трапеций
(рис. 30). Сумма площадей этих трапеций приближенно равна площади
криволинейной трапеции аАВЬ, т. е.
/Ы+/(*!), ч , /(^0 + /(х2)
h
х) dx »
• +
2 («1 ~ «о) + 2
/(зп-|) + /(зп) , , 'Ь-а-
(х2 - х{) + ... +
n-l
(*. - *.-i) * -~ [/И + /Й + 2 £,/(**)] i
fc»l'
где f(xk-\) и /(я&) — соответственно основания трапеций, а х* - хъ-\ = ^ — их
высоты. Таким образом, получена приближенная формула
п-Ь
/(i) dx■«, -£р [/(а) + /(b) + 2 £/,(*,)],
bsp:
которая называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше п.
Замечание. Если фунюшя f(x) имеет на {а, 5] непрерывную производную йторого порядка fn(x), то
абсолютная величина погрешности не превосходит числа
чЗ. ..; ■■ •' ■-,■■■ ■■.■■■::''■■■■■
М
12п*
где М= max l/w(a?)|.
Пример 1. Пользуясь формулой трапеций, вычислить приближенно интеграл / -^ при п = 10.
0 *+1
4 Разобьем отрезок [0,1] на 10 равных частей точками xQ = 0; х{ = 0,1; ... ; а?9 = 0,9; zjo = 1
и вычислим приближенно значения функции /(ж) = -™ в этих точках:
/(0) = 1,0000;
/(#,1)= 0,9091; 7(6,2) = 0,8333; /(0,3) =0,7692;
/(0,4) а: 0,7143; /(0,5) = 0,6667; /(0,6) =0,6250;
/(0,7) = 0,5882; /(0,8) = 0,5556; /(0,9)'= 0,5263f
/(1) = 0,5000,

80.
»Гл ам XIII. Определенный интеграл
Применяя формулу трапеций, получим
} dx 1 / L0Q0Q + 0 5000
/ JTJ te 10 ( "2 '"' + °»9091 + °>8333 + °*7692 +;0,7143- + 0,6667 + 0,6250 +
+ 0,5882 + 0,5556 + 0,52631 = 0,69377 » 0,6938.
Оценим погрешность полученного результата. Так как
/(*) - iiy то ''<*> —^глР' '"(а:) = Щф
На отрезке [0,1] имеем (/-'(а?)) < 2, а значит М = max |/"($)| =* 2, Поэтому погрешность получен-
ного результата не превосходит величины ч
(ft-а)' 2 1
Точное значение данного интеграла легко находим по формуле Ньютона—Лейбница:
■ ■ i ,
.'■'';.y,^-;iii(r+i)|J-ta2«b^93i3.' ..;/<
о
Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007, что находится в
соответствии с приведенной выше оценкой погрешности, ►
16,2. Формула парабол
Вычислим сначала площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной дугой МоМ2
параболы у = Аъ2 ф Шх *¥€> проходящей через точки Mo(0ry0h М\ г |, уЛ»M2(/if уг)
(рис.31)* Площадьфбудегравна ^
н
(Ax2 + B$ + C)dx = A— | +B—|л + Сж|л =
2 lo
0)
V h2
= 4 ~ + B ~ + СЛ = 7 (2ЛЛ2 + ЗБЛ + 6С),
3 2 о
Выразим площадь Q через ординаты
точек Mo, Мь М2. Подставйяя
координаты этих точек в уравнение параболы,
получим
2/о = С, у, =А~Г+Б- + С,
4 2
2/2 = АЛ2+БЛ-г-С
Отсюда находим, 4to
2Ah2 + ЗБЛ + 6С = #о + *У\ + 2/2
и поэтому
h
Q= g(yo + 4y,+y2).
Рассмотрим теперь определенный интеграл
ь
!■
f(x)dx,
где /(г) ~ произвольная функция, непрерывная и неотрицательная на отрезке [о, 6].

11#i Приближенное ibrwcfiem определенных интегралов.
,81
Разобьем отрезок [а,Ь] на2п (четное число) равных отрезков точками
а = хо<х\ <«2<«" < ®гп-г < згпч < Щп О Ь
и представим интеграл в виде суммы
6 «а «4 2п
f f(x)dxo I f(x)dx+ f f(x)dx + ... +'••/ f(x)dx, (2)
о 3$ *2 2n"2
Проведем через точки г* прямые, параллельные оси Оу и обозначим через Л, М\,
Мъ < < • э Л/гп-2* Мгп-ь -В точки пересечения этих прямых с кривой у о /(»), а их
ординаты обозначимчрезуо,1/ь1/2| • • • *У2п-2,У2п-\)У2п< Через каждые три точки Мгк^г,
Mik-x* Mm (к О 1,2,, < <, п) проведем параболу с вертикальной осью симметрии,
В результате получим п криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами
(рис. 32). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, отвечающей отрезку
[x2h-2,t Х2ъ] приближенно равна площади соответствующей «параболической*
трапеции, то, учитывая, что длина h отрезка [яг*-2> х2*] равна , по формуле (1) имеем
■"** Ь-а
f(x) dm * —— (уги^г + 4угк^ + у1к),
j
zik«*l
6п
где у$ о /(&*)> к О 1,;-2, • *.• , п. Подставляя в правую часп» равенства (2) вместо
интегралов их приближенные значения, получаем приближенную формулу
Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.
х2п~2 х2п-\ х2п~Ь х
Рис.32
Замечание. Если функция f(x) имеет на отрезне [о, Ь] непрерывную производнуго четвертого
порядка /lv(z), то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем
г(»-а)5
М
2880п4 !
гдеМ= max |/,v(x)|.

82* ___ .,- ,„ - Гшжялпи. Определенный интеграл
Погрешность формулы Симпсона с ростом п уменьшается быстрее, чем
погрешность формулы трапеций, Поэтому формула Симпсона позволяет получить большую
точность, чем формула трапеций.
dx
Пример 2. Вычислить приближенно интеграл
г dx
У 7+7
о
по формуле Симпсона при 2п = 4.
4 Разобьем^отрезок (0,1] на четыре равных части точками
Щ = 0; ху = 0,25; х2 - 0,50; хъ =0,75; хА = I
и вычислим приближенно значения функции у ^ —-^ в этих точках;
уо = 1,0000; у\ = 0,8000; у2 = 0,6662; у3 = 0,5714; у 4 = 0?5000.
По формуле Симпсона находим
dx b-at
JxTT* ^[*+W + ?W + «fa +*)] -
« —[1,0000+0,5000+ 2 * 0,6662+ 4(0,8000+ 0,5714)] ^0,69325.
Оценим погрешность полученного результата. Подынтегральная функция f(x) = ^ имеет
производную четвертого порядка /IV (x) = r-v.a , для которой получаем
Л/= шах |/,v(z)| = max
24
(1+ж)3
= 24.
Погрешность результата не превосходит величины 2g^^ < 0,0005. Сравнивая приближенно* значение
интеграла с точным» приходим к выводу, что абсолютная ошибка результата! полученного по формуле
Симпсона, меньше 0,0001, что соответствует полученной выше оценке погрешности, ►
Эти примеры показывают, *гго формула Симпсона 4aef более точные
приближенные значения определенных интегралов, чем формула трапеций.
Упражнения
Вычислить определенные интегралы, пользуясь формулой Ньютона—Лейбница,
1 4 j . . 2 I
L J x3>y/£dx. 2. / (у/х - -^=) dx. 3. / 7х ♦ Тх dx,
О 1 О
1Г/4 2 х 3
4# / +C0S X dag. 5. /tgascfc, б, /|*|&.
У I + cos 2а: У J
О 0-2
■ » ■ 3 , -3 '
/. t х dx f dx
yf\ + cos 2x dx. 8. / / ■ ■■ . 9. / -==—..
0 0 0
I 4
J
У xVLni У sA-^P У " V9-f x2
e 0 0

§ 16» ЩиШхтт* вычисление определенных интегралов_
о о о
*/2 . #/12
3C0S ж sin 2ж dar.
■л ( coss-sinя ■ г . ^ ^ J ..... /\cos(lnaj)
16. / dx. IT. / to sin 2x • ctg 2x dx. 18.'7' —1—-<**•
7 cos x + sin а? У J x
О 1Г/4 1
I lrt2 In Э
* W.Jstfxdx. 20. /thxcfe. 21. /
th2 a? dar.
Применяя формулу интегрирования по частям, вычислите следующие интегралы;
2* ■ 1 Г
22. fxsmxdx, 23. jln(\ + x)dx. 24. fxshxdx.
о о о
2S. I arcsinxdx. 26* / ar3el~ с£ж,
о ■ ■ - о
Вычисление площадей
27. Вычислите площадь фигуры, ограниче иной параболой у = ж2+2ж-3 и прямой у = х+3.
28. Вычислите плошадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х - х2 и прямой у = -ж,
29. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = я2 — 1, прямой х = 2 и осями
координат.
30. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами у = ж2 -За?—4 иу = 4+Здг-ш2,
31. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми у = а?- 1, у = I и кривой у = In а?.
32. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривыми у = е~*, у = е* и прямой х = 1.
33» Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривой у = ж3, прямой у = 8 и осью Оу.
34. Вычислите площадь фигуры, ограниченной астроидой х = a cos3 t,y = a sin^J (а > 0).
35. Вычислите площадь фигуры^ ограниченной одной аркой циклоиды х = a(t - sin t),
у = а{1 — cos£), a > 0, и осьюабцисс*
36. Найдите площадь фигуры, ограниченной кардиоидой х = а(2 cos J — cos 2t)s
y = a(2sinf-sin2f),a > О,
37* Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой р = a sin^> (a > 0).
38. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой р = a sin 2^ (a > 0).
39. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой р = 2 + sin 9?.
Вычисление объемов тел
40. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной полуволны
синусоиды у = sin х (0 ^ х ^ тг).
41. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой у = sin2 x
(0. <*<*)•
42. Найдите объем эллипсоида, образованного вращением эллипса ~? + р = 1 вокруг
оси Ож*
43* Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площадки, ограниченной
осью Ох и параболой у = ах - хг (а > 0)
44» Найдите объем тела» образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной
параболой у = х2, осью Оу и прямой у = 1.
45. Найдите объем сегмента, отсекаемого плоскостью ж = а от эллиптического параболоида
2р + 29-х-
46. Найдите объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом Ц + jjj- - рг,5= 1
и плоскостями z = 0 и з ~ 7*,

84 _- . __ Глт XIII. Определенный интеграл
Вычисление длин дуг
47. Вычислите длину дуги параболы у = у отточки (0>0)доточки (М)-
48. Вычислите длину дуги полукубической параболы у = \П? от начала координат до точки
4(1>1).
49. Найдите длину дуги 'кривой у = In х от ж = у/Ъ до х = \/§. ^
50. Найдите длину дуги кривой у = insin х от х = | до х = §.
, 51. Найдите длину кривой х= a cos3*, у = а sin3* (a > 0) (астроида).
52. Найдите длину дуги кривой ж = ~ - *, у = J2 + 2 от * - 0 до * = 3,
53. Найдите длину дуги кривой х = е' cost, у = е*sin^ от t = 0 до t = In тт.
54. Найдите длину дуги логарифмической спирали р = ae^(a > 0), находящейся внутри
круга р< а.
55. Найдите длину кривой р = a sin <p (a > 0).
56. Найдите длину первого витка спирали Архимеда р = а<р (а > 0).
Ответы
1. |. 2. |+1п4. 3. \\п\, 4. =£. B.tgl-1. 6.6,5. 7,0. 8. f. 9,-|. 10. 2. 11. 1, 12. § In2 3.
13. 11п(4-кл/Т7).14. £.15,^.16.0. 17.^^, 18. sin К 19. sh21, 2Q. In |. 21.In 3-1. 22.-2тг.
23. In4-1;24.e~l\ 25. *—^. 26.2-ч/е. 27. i|2, 28.4Д 29. 2И30,^. 31. e-2,5. 32.2ch 1-2.
33. 12. 34. |тга2. 35. 3*а2. 36. бтга2. 37. ^'. 38. ^.39. |тг, 40. ^1 41. |тг2. 42. *тгаЬ2.
43. 4- ^ ! 45.>a2^. 46. nabh (l -f £). 47, \ [у/?$\п(иЩ. 48. 1^. 49.1 +|ln {.
50. { In 3.51.6а. 52.12.53.(7f-])v^.54.a^^

Глава XIV ■ - - ■
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1, Интегралы
с бесконечными пределами интегрирования
1.1. Определения, Примеры
Понятие определенного интеграла связано с функцией, рассматриваемой на некото*
ром конечном отрезке [а,6), так что область интегрирования в определенном инте-
1рале йсегда ограничен^. Однако часто приходится иметь дело с фикциями в
неограниченных областях: в бесконечных полуинтервалах вида [a, -f oo) или (-оо, 6],
или же в интервале (~oof +оо). С подобной ситуацией мы встречаемся, например,
при вычислении потенциала гравитационной или электростатической силы.
Чтобы распространить понятие определенного интеграла на случай
неограниченных областей интегрирования, нужны новые определения, устанавливающие, что
следует понимать под символами
+оо Ъ -■ +00
/ /(ж) dx, / f(x) dx и / /(ж) dx.
й -"00 -00
Пусть функция /(ж) определена для всех х ^ а и интегрируема (например,
непрерывна) на каждом конечном отрезке a < х < Ь, где a — фиксировано, а 6> a —
произвольно. Определим, что мы будем понимать под символом
' +00
J f(x)dx (1)
a v
(несобственный интеграл 1-го рода). Рассмотрим функцию аргумента b ^ a
ь
{x)dx. (2)
J(b) = J f(a
Определение. Если при b -* 4-оо функция J(b) имеет конечный предел L4 то мы
называем несобственный интеграл (1) сходящимся и полагаем по определению
+00
I f(x)dx= Irm f f(x)dx =
J &->+0Q J

86. _ _ . _— —^ Гя8|аХ1У, Ивсобстц ениые тщщт
Если при Ъ —► -foo функция J(b) не имеет (конечного) предела, то мы называем
интеграл (I)расходящимся и не приписываем ему никакого числового значения.
Пример 1. Рассмотрим несобственный интеграл
+ОС
/
dx
1+а2'
о
«4 По определению
так что интеграл
Г dx ч. г dx „ г ж
I „ . = i,m / — = \т arctgb=~,
J l + X2 Ь^+xJ l+X2 b«-*+oo Q 2
0 0
+00"
/
dx
. 1+s2
0
сходится и равен ^, ►
Пример 2, Рассмотрим несобственный интеграл
,.. /
-4 Так как интеграл
+00
cos х dx*
о
ь
cosxdx = sin 6
о
не имеет предела при Ь -> +оо, то данный несобственный интеграл расходится. ►.
Пример 3. Пусть точечные электрические заряды q\ и qi имеют одинаковые знаки, например» q\ > О
и qi > О, так что заряд q\ будет отталкивать заряд #■ По закону Кулона сила F электростатического
вэвимодейстаия в вакууме деух точечных электрических зарядов равна
где г — расстояние между зарядами, *—постоянная,
Пусть заряд ft помещен в точке Mq, которая принимается за начало отсчета. Требуется найти
работу А по перемещению заряде qi из точки М, отстоящей отточки Mq на расстоянии г\, в
бесконечность. Искомая работа А выражается несобственным интегралом
+00 , +00 .
По определению
J T2 b-*+cK>J Г2 *-*+оо.\ Г/ *-*+оо\Г1 Ь/ ft
Таким образом, Л = -*f*. Если дг — единичный заряд, то А = -^-. Эта величине называется
потенциалом поля» создаваемого зарядом ад * -1
Пример 4. Рассмотрим интеграл
' dx
— (а = const). (3)
ж ■
-г»
/
Установим, при каких значениях а интеграл (3) сходится и при каких расходится. По определению
имеем
dx 4, f dx
/*e lim /2.
1 1

§ 1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования
87
Пусть аф\. Тогда
Поэтому, если а > 1, то
j dx _ г1"0*
J za ~ 1-а
1-а 1-а
im / — = lim I ) = ,
♦+оо J xa ъ-++оо\1-а I--a J a-1
lim
' 6-++00
так что при a > 1 интеграл (3) сходится; если же a < 1, то при Ь -* -foo интеграл
ь
i
dx
х°
не имеет конечного предела, так что при a < 1 интеграл (3) расходится.
Пусть a = 1. Тогда
I7-I4"*
откуда видно, что при a = 1 интеграл
dx
г ах
1 х~°
+00.
Следовательно,
интеграл
dx
[ dx
J х«
Ха 6-»+оо
сходится, если a > 1,
расходится, если a ^ 1.
Полученные результаты имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим область D,
ограниченную слева прямой х = 1, снизу — осью Ох, а сверху — кривой у = -~ (рис. 1). Вправо эта область
простирается безгранично. Условимся под площадью всей бесконечной области D понимать предел
площади конечной ее части до прямой х — Ъ (рис.2) при Ь -* + оо.Тогда полученные выше
результаты будут означать, что если область D сверху ограничена кривой у = ^, где a > 1, то она имеет
конечную площадь, если же верхняя граница области D есть гипербола у = £ или кривая у = —, где
a < 1, то говорить о площади области D не имеет смысла.
Замечание. Нетрудно видеть, что для любого О б > 0 интеграл
+00
г dx
J х*
также сходится при a > 1 и расходится при а ^ 1.
*.'
а<\
1
О
>а
= 1
а)
<
1
ма 1)
Рис.1
Рис.2

Пользуясь определением несобственного интеграла
+оо Ь
. Глам ДОЛ Несобственные интегралы
[ f(x)dx= lim f f(x)dx}
J 6-*+00 J
можно доказать справедливость следующих утверждений.
1. Если интеграл
+00
f(x)dx
сходится и А — любое действительное число, то интеграл
+00
/
А/(ж) dx
также сходится, причем
+00 +00
f \f(x)dx = \ J f(x)dx.
2. Если интегралы
сходятся, то интеграл
также сходится, причем
+00 +00
/ f(x) dx и / tp(x) dx
а а
+00
f(f(*) + V(*))<b
+00 +00 +00
J (/(*) + ?(*)) dx = J f(x) dx + J ч>(х) dx.
'< Действительно, для любого b > a
b b
J (/(*) +t<P(x)) dx I f(x) d* + / ¥>(*) dx*
(4)
(5)
a a a
Каждое слагаемое в правой части (5) имеет предел при Ъ -► +оо. Значит, существует
предел левой части (5) при Ъ -► +оо, т. е. интеграл
+00
f(f(x) + <p(x))dx
а
сходится. Переходя в равенстве (5) к пределу при Ъ -► +оо, получаем равенство (4). ►

§ 1» Интегралы о бесконечными пределами интегрирован** в
Задача. Пусть интеграл
.11
/(/(*) + ?(*))**
сходится, Что можно сказать о сходимости интегралов
I J(x)dx и / ip(z)dz1
Можно показать, что если функции и(х) и v(x) непрерывно дифференцируемы
на полуррямой х ^ а, то
(6)
(формула интегрирования по частям). При этом предполагается, что из трех
входящих в равенство (6) выражений (два интеграла и двойная подстановка) имеют смысл
по крайней мере два; существование третьего отсюда уже вытекает*
Пример. Рассмотрим интеграя
Хч J Л
(л — натуральное число или нуль).
< Интегрируя по частям, находим
+00
Jn =r J iV" dx = Ч*"0|£°° + п J xn~}e~*dx = nJn^ (n = 1,2,...).
Замечая, что
получаем
j0= J e~*ete=l,
й
1,2, Несобственные интегралы 1 -го рода от неотрицательных функций.
Теоремы сравнения
Во многих задачах вычислять несобственный интеграл не требуется, а нужно лишь
установить, сходится ли этот интеграл или расходится» Вопрос о сходимости или*
расходимости несобственного интеграла часто решается с помощью теорем сравнения.
Теорема 1 (сравнении), Пусть на отрезке [а, Ъ] при любом Ъ > а функции f(x) и <р(х)
интегрируемый
Тогда
1) если интеграл
Jф)
dx

3Q , ^ — — ^_ Глава Ж. Несобственные интегралы
сходится, то сходится и интеграл
I f(x)dx;
а
2) если интеграл
+00
J f(x),
+00
dx
а
расходится, то расходится и интеграл
+00
/ (р(х) dx.
+00
dx
А 1) Пусть интеграл
а
сходится. Докажем, что сходится и интеграл
+00
/ f(x)dx,
а
Ъ
т. е. J(b) = J f(x) dx имеет конечный предел при b —> +оо.
а
Прежде всего из неотрицательности функции f(x) Чх^ а следует, что J(b) есть
неубывающая функция от Ь, Действительно, если Ь\ > ft, то
Ь] ъ ьх ъ
Jfa) = / f(x) dx= J f(x) dx +У f(x) dx}t f f(x) dx = J(b).
а а Ь а
Далее, т. к. f(x) ^ (p(x)Vx ^ а, то при любом b > а имеем
ь ь
/7w*,</»« л
+00
Интеграл / <р(х) dx не превосходит несобственного интеграла / <р(х) dx который
а а
по условию сходится. Следовательно, при любом b > а имеем
Ъ +00
J(b) = J f(x) dx ^ J ф) dx = L.

§ 1. Интегралы с бесюнечньйин пределами интегрирования ; ■ ; 91
ъ
Итак, интеграл J(b) = f f(x)dx представляет собой функцию от Ь, неубывающую
а
и ограниченную сверху (при Ь —► +оо). Поэтому J(b) имеет конечный предел при
+00
Ь ~* +оо, а это, согласно определению, означает, что интеграл / f(x) dx сходится.
а
Первое утверждение теоремы доказано.
2) Докажем второе ее утверждение* Пусть интеграл
+оо
/
f(x)dx
расходится. Применяя метод рассуждения от противного, допустим, что интеграл
+00
/
<р(х) dx
а
сходится. Тогда, согласно уже доказанной первой части теоремы, будет сходящимся
+00
интеграл / f(x) dx, что противоречит условию. Следовательно, наше допущение
а
+00
неверно, т. е. интеграл / <р(х) dx расходится, ►
а
Пример» Рассмотрим несобственный интеграл
У 1 + х2 + sin4 х
а
Л Исследовать его на сходимость при помощи определения не представляется возможным.
Воспользуемся тем, что для всех х ^ 0 функция
f^ l+^ + eta4»
удовлетворяет условию
■ < ■ ■ е~* ■■■■ ■ I
1+£24-$т4ж ^ \^хг • '
Так как интеграл
г dx
J IT?
о
сходится, то в силу теоремы 1 сходится и рассматриваемый интеграл. &
Теорема 2 (сравнения). Пусть функции f(x) и <р(х) непрерывны и неотрицательны для всех
х > а и пусть <р(х) отлична от нуля для всех достаточно больших х, Тогда, если
существует конечный предел
Jim Щ^к^'О,
$-*+Ой.<р(Х)
то интегралы
+00 +00
/ f(x) dx и I <р(х) dx
а а
сходятся или расходятся одновременно.

§2 , „ -■ • ■ , ■' Гит XIV. Несобственны* интегралы
Ч Пусть
fix)
Это означает, согласно определению предела, что для всякого числа е > 0, например,
е = § > О s существует такое число N, что для всех x^N выполняется неравенство
<р(х)
<е=г>
или?чтотоже,
2 (р(х) 2
Отсюда, в силу того, что <р(х) > 0, получаем двойное неравенство
к 3
- Ф) < f(x) < - кф) Vs^AT.
Пользуясь теоремой 1, из неравенства f(x) < \ кф) заключаем: если интеграл
+00 4-00 .
/ (р(х) dx сходится, то сходится и интеграл / f(x)dx\ из неравенства ?(р(х) < f(x)
N N
+00 . ■ +00
усматриваем: еслиинтеграл J (p(x)dx расходится, то расходится и интеграл / f(x)dx.
N N
+00
Аналогично устанавливаем, что если интеграл / f(x) dx сходится (расходится),
N
+оо >
то интеграл / ф) dx будет также сходящимся (расходящимся).
N
+00 +00
Полученные выводы остаются в силе и для интегралов / f(x) dx и J <p(x)dx*
а а
+00
Это следует из того, что интеграл / д(х) dx будет сходящимся или нет одновременно
а
+00
с интегралом / д(х) dx, где р > а — сколь угодно большое фиксированное число,
.*■ -. р .'-,■ "-: '■ ■'■
поскольку разность этих интегралов является собственным интегралом, §>
Пример. Исследовать на сходимость интеграл "
J $343я-М
4 На полупрямой х ^ 1 подынтегральная функция f(x) = у^д > °« Запишем ее так:
■■"■■ /<*) = -|т^ \
*+• + ?
Отсюда видно, что для больших х функция f(x) ведет себя как |. Выберем в квчестве функции
сравнения £?(х) = |. Будем иметь
|1Ш £_!_! e 1Ш 1- ', - 2 ^ О,
«-♦+00 щщ #-*+» ж3 + Зх 4- 4

§ 1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования — 93
Интеграл
+00 .
/т
расходится. В силу теоремы 2 расходится и данный интеграл. ►
Используя теорему 1, а также результаты, касающиеся интеграла / рг, приходим
1
+<»
к следующим признакам сходимости и расходимости интеграла / f(x) dx от неотри-
а
дательной функции f(x).
Теорема 3, Если существует такое число а > I, что для всех достаточно больших х
М
где М > О и не зависит от х, то интеграл
+00
\dx
J №<
сходится.
Если для всех достаточно больших х
М ■' ■
/0е) ^ — (М > О, М независит от х)}
то интеграл
расходится.
х
+00
;.//(*)'
i dx
а
< Пусть условие
М
0</(х)<— (о>1)
+00
XQ
выполнено для всех х ^ А > тах{о,0}. Так как интеграл J ^ dx для а > 1
сходится, то, взяв в качестве <р(х) функцию jtr по теореме 1 получим, что сходит-
+оо
ся и интеграл / f(x) dx. Отсюда, в свою очередь, вытекает сходимость интеграла
А
+оо ■* \
J /(ж) dx, так как
о;
Ь А Ь
J f(x)dx = f f(x)dx+[ f(x) dx
a a A
и при Ь -+ -hoo интегралы / J(x) dx к f f(x) dx имеют конечные пределы только
о А
одновременно.

94 • ' ЛпвщЩ. Несобственные интегралы
Пусть теперь для всех х ^ А > гаах{а, 0} выполнено условие f(x) ^ ~ (Ы > 0).
+00 +00
Так как интеграл / ~ dx расходится, то по теореме! расходится и интеграл J f(x)dx,
А
+00
а вместе с ним и интеграл / f(x)dx. ►
о
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
foe
f X-2 dx
J хъ + х2 + 2х + 5
< Для 2^3 имеем
ж-2 х 1
;•;-.;.; 0<-= 5 = 7<'^Гв-у
+00 ,
dx
Интеграл
/
з
сходиться (а = 2 >1). Следовательно, сходится и данный интеграл, ►
1.3. Абсолютно сходящиеся интегралы 1-го рода
Пусть функция f(x) определена для х)аи интегрируема на любом отрезке [a, b]f
где Ь > а.
Определение. Интеграл
+00
//<«>
da:
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл / \f(x)\dx.
+00
Если интеграл J f(x)dx сходится, а / |/(s)| dx расходится, то
+00
dx
//(*)«
называют (условно) сходящимся интегралом.
Теорема 4, Если интеграл
+00
/|/(*).|-
а
сходится, то сходится и интеграл
+00
J f(x) dx.

§ 1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования _*_ .95
::; ■' +00.... ,,v.".
Ч Пусть интеграл / |/(х)| dx сходится,
•..--. ..'.-; v ' . а .,.■'. . . ■;....
Ъ
lim /|/(
х)\ dx = L < +оо.
Так как для всякого ж из области определения функции /(ж)
Н/(*)1</(*)'<1/(*)1,
то
0<|/(«)| + /<*)<2|/(*)|. (1)
+00
Вместе с интегралом / \f(x)\dx, который сходится по условию, сходится и интеграл
а
+00 +00
/ 2\f(x)\dx =2 / \f(x)\dx. Поэтому, согласно 1-й теореме сравнения, из (1) сле-
а а
+00
дует, что сходится также и интеграл / (f(x) + \f(x)\) da?. Последнее означает, что
а
ъ ---v ■ ■
интеграл J(f(x) + \f(x)J) d# при Ь -> +оо имеет конечный предел.
а
Имеем, очевидно,
f(x)={f(x) + \f(x)\)-\f(x)\ Vi>af
откуда для всякого Ь > a
& ъ ъ
J f{x) dx = J(f(x) + \f(x)\) dx- f \S(x)\ dx. (2)
a a a
Каждое слагаемое правой части (2) имеет конечный предел при Ь —► +оо. Следова-
ь
тельно, интеграл / f(x) dx при b —► +оо также имеет конечный предел, т. е. интеграл
+00 а ..'■'' v
/ f(x) dx сходится. ►
a ^
+00
Теорема 1 и результаты, касающиеся интегралов / |£, позволяют сформулировать
1 +оо
следующий признак абсолютной сходимости интеграла / f(x) dx.
а
Теорема 5. Если существует такое число а > I, что для всех достаточно больших х
функция f(x) удовлетворяет условию
1/(*)1<£, (3)
х
где М > О и не зависит от х, то интеграл
+00
f(x) dx
а
сходится абсолютно.
I

'И . геевежг Н*^т»вш* тггвгрвл*
■■■.'»'
< В самом деле, пусть условие (3) выполнено для всех х ^ А > тах{а| 0}* 1Ьк как
Ч-оо +00
интеграл / J* dx для а > 1 сходится, то по теореме 1 сходитсяинтеграл / \f(x)\dx.
А А
+00 +00
А тогда сходится и интеграл / \f(x)\ dx, и, значит, интеграл / /(«) dx сходится
а а
абсолютно. ►
Пример. Рассмотрим интеграл
+00 ,
/ sins _
J я2
1
4 Имеем, очевидно, 1^1 ^ ^ V* ^ 1. Интеграл
I V
1
сходится, следовательно» данный интеграл сходится абсолютно. ►
Итак, если интеграл
+00
/
/(«) dx
сходится абсолютно, то он сходится. Обратное неверно; интеграл
+00
f(x) dx
I
может быть сходящимся, но не быть абсолютно сходящимся.
Пример. Рассмотрим интеграл
+00 t
sin at
/?* «>
i
< Для исследования его сходимости применим формально интегрирование гто частям;
+ 00, +00 i |+00 +00 +00
r&inx . rl _, s ом* Г г со&х ■ . /■ cos* . /m ■
/ dz =s - /~d(cos«) = —!—- - / —£-d$ = cos 1 - / —j"dx* (5)
J X J X * ], J 35 J X
1 1 ll 1 1
Ч-оо „. ■
Интеграл / ^ dx сходится абсолютно и, значит, сходится. Тамим образом, оба выражения в правой
части (б) конечны, Поэтому, во-первых, проделанное интегрирование по частям законно, а во-вторых,
левая часть конечна, т.е. интеграл / ~dx сходится.
Покажем теперь, что интеграл (4) не сходится абсолютно, т. в, что интеграл
У "T"dX (6)
1
расходится. Действительно, из неравенства
|8in*|>8ln *—.■ г
при любом 6 > 1 имеем
/ rin* . . 1 rdx 1 г сое2*' /чЧ

J1. Интегралы $ бесконечными пределами интегрировании. , .:-. V , .„. .„,.„...,; 97
Интеграл / — расходится;
Ь d
tim ( — = *оо>
6-*+сю J X
Интеграл / £~ dx сходится. Чтобы а этом убедиться, достаточно проинтегрировать его по частям
{см. (&)). Перекода в неравенстве (7) к пределу при Ъ -*• +оо» полним» что правел, а следовательно*
и левая часть этого неравенства стремятся к бесконечности и поэтому интеграл (6) расходится. Таким
образом, интеграл (4) не сходится абсолютно, ►
Приведем один достаточной критерий сходимости интегралов, называемый при*
знаком Абеля—Дирихле.
Теорема в, Пусть
1) функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную F(z) при х ^ а;
2) функция д(х) непрерывно дифференцируема при х > а;
3) функция д(х) монотонно убывает при х ^ а;
4) ton g(x) = 0.
Тогда интеграл
4оо
/
f(x)g(x) dx
а
сходится,
Пример. Применим признак Абеля—Дирихле к исследованию сходимости интеграла
+00 .
" sin х
-дГ*х, а>.0. (8)
1
та
/
4 Функция f(x) = sin в имеет всюду ограниченную первообразную F(x) ~ -cosaj, а непрерывно
Дифференцируемая при х ^ 1 функция д{х) = ~ (а > 0) монотонно убывает и стремится к нулю,
когда х <-» 4-х. Все условия теоремы Абеля*-Дирихле выполнены, так что интеграл (8) сходится. а»
Задача. Доказать сходимость интеграла Френеля
1 400 '
J sin х2 dx,
й
(Указание: сделать замену переменной х2 = t>)
1.4. Главное значение интегрвла 1-го рода
Несобственный интеграл
//(*)<
) dx
-оо
определяется следующим образом:
43ак.628

98.
. Глава XIV. Несобственные интеграла
Интеграл / f(x) dx называется йсодяи<ил1Ся4еслиуказанный предел существует, ирае-
ходящим с я в противном случае. -^
Если оба предела интегрирования бесконечны, то по определению полагают
-foo 6
/ f(x) dx = lim / f(x) d&
или
+00 #2
/f(x) dx- lim / f(x)dx
N^+oo J
JV2-+*>-JV|
(NUN2 —> 4-00 независимо друг от друга). Может оказаться, что определенный та-
шм образом несобственный интеграл не существует, но существует главное значение
интеграла по Коши, определяемое по формуле
+ас N г
v Р- / /■($) dx = lim / /($) tfa^
т.е. когда N\ = N2 = N (v. p, -r» начальные буквы слов valeur principal — главное
значение). Тог да говорят, что несобственный интеграл
*оо
/(ж) da:
сходится в смысле главного значения по Коши.
Пример. Рассмотрим интеграл
х dx
Г xdx
1 1 + Т
4 Имеем
У xdx I .1+JVj
#2
ad*
откуда видно, что при произвольном стремлении N\ и #2 ,к +оо интеграл / гт-у предела не имеет,
-tfi
', т.е. интеграл / ~-Д расходится, В то же время
-оо 1+х
1 АЛ \)
' xdx
r xdx „ r xdx 1 1+ ЛГ*
v<p, /- „ = iim / . - — -in-—_-=о,
il + ж2 лг-+оо У 1 + ж2 2 1+#*
т.е. рассматриваемый интеграл сходится в смысле главного значения по Коши, ►

§2, Интегралы от неограниченных функций.
.99
§2. Интегралы от неограниченных функций
2.1. Определения. Примеры
Необходимым условием существований
определенного интеграла
о
I
/(х) dx
является ограниченность функции /(х) на
отрезке [a, ft]. Так что, если, например, функция /(х)
интегрируема на отрезке [a, Ь\]> где ft[ < ft, и He-
ограничена в окрестности точки х = ft, то интеграл
от /(х) на [a, ft] в обычном смысле (в смысле Ри-
мана) не может существовать. Однако при помощи
новых определений понятие интеграла можно
распространить и на такие случаи, когда подынтегральная функция оказывается
неограниченной на отрезке интегрирования,
Пусть функция /(х) интегрируема на отрезке [a, ft - e] при любом как угодно
малом е > О, но не ограничена в интервале (ft - е, Ь) (см. рис. 3). Определим, что мы
будем понимать под символом
Рис.3
//<*
)dx
(о
{несобственный интеграл 2-го рода). Для этого рассмотрим функцию от е (е > 0):
Ъ-е
/dx*
а *:.;..■■■■
Определение, Если при е. -» 0 + 0 функция J(e) имеет конечный предел X, то мы
ъ
говорим, что несобственный интеграл / f(x) dx сходится, и полагаем по определению
Ь Ь~е
/■■fix)dx°zz lim / f(x) dx = L.
(2)
Если при е «-» 0 + 0 функция J{e) не имеет предела, то говорят, что несобственный
интеграл (1) расходится и не приписывают ему никакого числового значения.
Пример. Рассмотрим интеграл
i
dx
VT^¥'
4 Здесь функция f(x) = ■■» i» непрерывна и, значит, интегрируема на любом отрезке [0,1 - е],
е > 0, но при х -* 1 — 0 функция f(x) -> +оо. Имеем

100.
н fлш XIV» Нмоботниы* интегралы
lim / ' :,„■■? = lim farcsin(l - e)) = arcsin 1 = -r,
так что рассматриваемый несобственный интеграл сходится. ►
Аналогично, если функция f(x) неограничена только в интервале (о, a-f г), е > 0,
несобственный интеграл
I
f(x) dx
определяется так:
о о
I f(x)dx= lim [ f(x)dx,
J e-*0+0 J
о+г
(3)
Несобственный интеграл
dx
называется сходящимся, если указанный предел существует, к расходящимся — в
противном случае.
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
У х°*
(4)
4 По определению
Так как при а Ф 1
то
dx
[Цш lim /2.
/2* - ж
У я* ~ 1 - а
1 с1~а
1-а i-а'
/ их 1
lim / —- = , если а < 1;
«-»о+оУ х« 1-а1
если же а > 1, то интеграл / j? не имеет конечного предела при с -» 0 + 0.
При а = 1 имеем
/ Ха J X *-»0+0
Следовательно,
интеграл
сходится, если а < 1,
расходится, если а ^ 1.

12* Интегралы от неограниченных функций , —«^^—^^^^ _ Ш
Если функция f(x) на отрезке [а, Ь] не ограничена только в окрестности точки с,
где а < с < Ь, то полагаем
ь с ь у с"~£* -..*.'■■ >
f f(x)dx= ff(x)dx + f f(x)ta = 9Ш^< J f(x)dx+ J f(x)dx\.
Рассмотрение других вариантов распределения особенностей функции f(x)
предоставляем читателю,
2,2. Несобственные интегралы 2-го рода от неотрицательных функций.
Теоремы сравнения
Теорема 7 (сраанения). Пусть функции f(x) и <р(х) интегрируемы на отрезке [а, Ь ~ е]
при'любом сколь угодно милом е > О, неограничены в интервале (Ь — е, Ь) и связаны
условием
0^f(x)^ip{x) на '[о,*).
ТЬгдд
1) если интеграл / <р(х) dx сходится, то сходится интеграл f(%)dx;
а а
Ь . • ■ ■ Ь
2) если интеграл I f(x) dx расходится, то расходится интеграл <р(х) dx*
41 Пусть интеграл
сходится» т« е. существует
Докажем, что интеграл
ь
/ <p(x)dx
llm
е~*0+0
а
/ <р(х) dx = L,
ь
f(x) dx
а
также сходится, т. е, что функция J(e) = / f(x) dx имеет конечный предел при
о
I
е -* 0 + О, В самом деле, так как J(x) > 0 на [а, Ь), то для любого е > 0 (е < Ь - а)
функция 7(e) = / /(ж) do: неотрицательна и не убываетпри убывании е, Кроме того,
а
из условия /(ж) < <р(х) Vz € [а, Ь) при люббм е >0 имеем
f[x)dxX I <p(x)dx.

102 -- - ' ■ ■ ' L ■ :,„ '„■,;„-„;;;Twn XIV; Несобственные интегралу
Интеграл / <р(х) dx не превосходит интеграла / <р(х) dx, который по условию схо-
а а % ■■...
дится. Следовательно, для любого е > 0
J(e) = f f(x)dx<J <р(х) dx = L.
Таким образом, J(e) есть неубывающая при е —» 0 + 0, офаниченная сверху
функция. Поэтому существует конечный предел J(e) при е —* 0 + 0, что означает,
■ ■ ^ '■.' '•■ ■ ъ:
согласно определению, сходимость несобственного интеграла Jf(x) dx.
Справедливость второго утверждения теоремы легко доказывается методом
рассуждения от противного. ►• ?:
Теорема 8 (сравненил). Пусть положительные на [щ Ь) функции f(x) и <р(х) неограничены
только в окрестности точки х = Ь,и пусть существует предел
lim 44 = *>0.
Тогда интегралы
ъ ь
I f(x)dx и I (p{x)dxl
а а
сходятся или расходятся одновременно.
Пример. Исследовать на сходимость интеграл !
-К» /
щ Интеграл (*) является объединением несобственных интегралов 1-го и 2-го рода. Действительно,
во-первых, это интеграл с бесконечным верхним пределом, в во-вторых, подынтегральная функция
f{x) = ~~t^ не определена в точке х = 0 и становится неограниченной при х-»0 для
достаточно большого а > 0.
Для исследования сходимости интеграла (*) разобьем промежуток интегрирования на два так,
чтобы первый промежуток учитывал особенность функции f(x) в точке х = 0, а второй — поведение
функции f(x) при х -* +оо. Выберем, например, полуинтервалы (0,1] и [1, +оо). Тогда будем иметь
О 0 1
Рассмотрим интеграл
1
arctgz _,
- ах.
I'
Для исследования его сходимости воспользуемся теоремой 6, Известно, что arctgx ~ x (х ~+ 0).
Положив <р(х) = -s=r, будем иметь
lint — т"-г = lim ———г--"-" = 1*
«~»ОЧ-0 ЩХ) *-»0-fO Xй

ft. Нн7*фм* от неограниченных функций _ ; 10$
t Интеграл J (f{x) их сходится при а - 1 < 1, т. е. при а < 2. В силу теоремы 8 интеграл / Е$£ dx
также сходится при а < 2.
Рассмотрим теперь интеграл
+00
arctgz
1
/
dx.
Воспользуемся теоремой 2» положив (р(х) = ^. Имеем
.. /(*) ,. araarctga: *г
lira Ц-4 — Иш ——> = —.
*-ч-оо -. ^>(х) *-»+оо жв 2
+*» J- . ■ .'..■'■'■'
Интеграл / -? сходится при а > 1, а поэтому при а > 1 сходится и рассматриваемый интеграл.
■ 1
Значит, оба интеграла в оравой части равенства (**) будут сходиться лишь когда 1 < а < 2. Это
и есть условие сходимости интеграла (*). >
2.3. Абсолютно сходящиеся интегралы 2-го рода
Определение* Интеграл / f(x) dx называется абсолютно сходящимися, если сходится
Ь а
/ !/(*)!
интеграл / \f(x)\dx
ь ъ
Теорема 9. Если сходится интеграл / |/(х)| dx, то сходится и интеграл I f(x) dx,
а а
Пользуясь теоремой 7, нетрудно доказать следующий признак абсолютной
сходимости интеграла.
Теорема 10. Пусть функция f(x) неограничена только в интервале (Ь — £, Ь), где в > О
сколь угодно мало, Если существует такт положительное число а < \, что для всех х,
достаточно близких к Ьрх <Ь,
■'■■ ^'■* , ■. ч, М
/ .^?F^'. ■;
где М > Ои не зависит от х, то интеграл
ъ
dx
//(*)'
сходится абсолютно,
Задача, Показать» что если для всех ж, достаточно близких к Ь, х<Ь
М
о — х
то интеграл
ь
Jf(x)dx
о
абсолютно сходиться не может,
}

104
Г лам XIV. Несобственные интеграф
Замечание, Интегралы второго рода приводятся к интегралам первого рода с помощью подстановок
Ь- х = ^ или х - а = j. Поэтому элементарную теорию несобственных интегралов 2-го рода можно
вывести из теории интегралов 1-го рода.
2.4. Главное значение интеграла 2-го рода
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезках [а, с - е] и [с + е, Ь], где а < с < Ь,
при любом е > 0 и нфограничена в окрестности точки с. Тогда,
причем для сходимости интеграла предел должен существовать при независимом
стремлении €\ и ег к нулю.
ГЬворят, что несобственный интеграл сходится в смысле главного значения по Коши,
если существует предел
(е > 0 одно в обоих интегралах)* Величину
v. р. J f(x)
dx
называют главным значением интеграла по Коши. Очевидно, что интеграл может быть
сходящимся в смысле главного значения* но не быть сходящимся.
Пример. Пусть /(*)» Л., до е € (а* Ъ)> Тогда
J Х-С. J Х-С v /!• v Vle+ei C-0 C2
Предел правой части (1) при произвольном стремлении t\ и сг к нулю не существует. Положим
*1 = г2 s * • Тогда при £ -+ 0 + 0 предел правой части существует и есть главное значение
рассматриваемого интеграла;
v.p.
/dx 6 - с
ж - с " с:- а'
a < с < 6.
Задача. Пусть функция /(ж) определена в окрестности (~Л, Л) точки х = 0, кроме* быть может» самой
этой точки, и неограничена при ж,-* 0, Известно» что всякую функцию /(х) а окрестности точни х = О
можно однозначно представить в виде суммы четной и нечетной фунщий
ж.м^+ши.л(1)+^
Показать, что
л
v.p. J f(x) dx
существует, если существует интеграл J /2(2)dx, где fi(x) —• четная составляющая функции /(г).
о

12. Интегралм т к§агранич0ииых функций _—„—■, , .—, 105
Упражнении
Пользуясь определением, исследуйте на сходимость интегралы.*
1. / ——г< 2, / —— da?. 3. / ze x dx. 4. / —— *
J я*+ 1 J хъ J J xfax
0 1 0 ■■ 2 ■■■'■ ..
Исследуйте на сходимость интегралы:
+00 +00 , . +00 5 * * ***** *
s / g(te с / S+-1 7 Г s <fo ft t dm
1 1/2 о г
+00 +00 , +с*1-, /l |.l^
Jxarctgx л* Г dx f*nV + x)
-rzszszx&dx.' 10, / ——-, с*—действительное число. 11. / — -dx,
^SFTT / x\nax J xa
0 2 1
12, Вычислите несобственный интеграл / ж2n+Ie~* d« (n — целое число, n > 0),
о
13. Покажите, что
+оо +оо ■*''.-.■"■■
v»p, /sinada = Ot v.p. / —=0.
• -00 -00
Пользуясь определением, исследуйте на сходимость интегралы;
I О 0 v
-1 0 «i
Исследуйте на сходимость интегралы:
ЛЛ / dx ^ t хг dx лш / dx лш t dx
20,
[ dx - г x'dx M f dx 4e t d
/ v ,, 21, / ,, i, 22, / и fl. 23. / —-
0 0 yV1 ' 0 0
cosaj
Исследуйте на сходимость интегралы;
+ео e . .. ."'' +оо у—
/*£ / v& COSШ
, .-"г dx (а, /5 — действительные числа). 25. / —•—— dx.
/ Ш t уХ СО
/ ——- dx (а, (3 — действительные числа). 25. / ——:
о о
Ответы
1. Сходится; равен |. 2. Расходится. 3. Сходится; равен |. 4. Расходится, 5. Сходится.
в. Расходится. 7. Сходится. 8» Расходится, 9. Расходится. 10. Сходится при а > 1. 11. Сходится
при а > <Х 12. ф. 14. Сходится; равен 2. 15. Сходится; равен -J-. 18. Сходится; равен §.
17* Сходится; равен -§, 18. Расходится. 19. Расходится. 20. Сходится, 21, Расходится.
22. Сходится. 23. Расходится. 24, Сходится, если а >;■ -1, $ - а > 1. 25; Сходится неабсолютно;
использовать теорему Абеля—Дирихле.
/
)

Глава XV
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функции однойпеременной не охватывают все зависимостей, существующих в
природе. Так, например, объем v прямоугольного параллелепипеда, ребра которого имеют
длины х, у9 z соответственно, выражается формулой
v = xyz%
где х, у, z могут принимать любые положительные значения. В этом примере имеем
четыре переменных величины, причем значение v вполне определяется заданием трех
остальные переменных х9 у9 г. Для изучения таких иподобных им зависимостей
вводится понятие функции нескольких переменных.
§ 1. Некоторые определения и обозначения
Пусть Ж1 — n-мерное евклидово пространство. Расстояниемежщ двумя любыми
точками М\х\} x'2i.,., х'п) и М"(х"} х",... ,'ж£) из if1 обозначается символом р(М\ М")
и определяется формулой
При п = 1 получаем
р(М\М") = |*i -ail
— расстояние между точками М'(х\) и М"(х'[) прямой (R1 = R); при п — 2 имеем
р(М', М") = y/\jx - xtf + (я," - г>гГ
— расстояние между точками М'(х\, х*2) и Mff(xf{} х*{) плоскости (R2).
Определение. Пусть точ^а Мо(ж?, ж|,,»♦ ^х%У G Мп и пусть е > О — действительное
число, Совокупность всех точек М Е Жп таких, что /э(М, Мо) < е, называется п-мерным
(открытым) шаром с центром в точке Mq и радиусом е> или шаровой е-окрестностью
тонки М0еЖп.
В случае п = 2 имеем
(а?~аго)2 + (у-уо)2<£2

§ 1. Некоторые определения и обозначения
107
Это внутренность круга с центром в точке Мо(жо, У о) радиуса е (круг без
ограничивающей его окружности; рис. 1). Для п = 3 имеем (х - хо)2 + (у- у о)2 + (г - z0)2 < е2.
Эхо шар радиуса, е с дентррм в точке Мо(жо, з/о> zq) (шар без ограничивающей его
сферы; рис. 2).
\
Н
О
Рис. 1 Рис.2
Наряду с шаровыми окрестностями рассматриваю? прямоугольные окрестности
точки Мо(ж?, «2,. • • ','££). Это совокупность всех точек М(хи а^,..., жп) € К*
таких, что
а?-ег<«4<»?+е«, е* > 0 (я = 1, 2,... ,п).
В случае п = 1 имеем обычную е -окрестность хо - е < х < жр + е точки жо
на числовой прямой. При п = 2 это прямоугольник со сторонами длины 2^] и 2ег
(без границы, рис. 3). Для п = 3 это (Открытый) параллелепипед с центром в точке
М)(зо> 2/о> *о) > ребра которого имеют длины 2е\ , 2ег, 2е3 (рис. 4).
zi
У к
2е,
2*2
-X)
\u ^У
v
Рис.3
Рис.4
Определение. Пусть множество Е С Ж1. Точка М £ Е называется внутренней точкой
множества Е, если су ествует е > 0 такое, что точка М содержится в множестве Е
вместе со своей е-окрестностью.
Если все точки множества Е внутренние для Et то множество Е называется
открытым множеством.

*
1tSS _. ■, ^ Глам XV. Фунгции нвсиоямю переменим*
ТЪк, в случае п = 2 любой круг без ограничивающей его окружности является
примером открытого множества, м
Определение. Точка Р Е Rn называется граничной тонкой множества Е С S** если
в любой окрестности точки Р существуют точки, как принадлежащие множеству Е>
так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничнык точек множества Е
называется его границей и обозначается дЕ.
Если к множеству -Б присоединить его границу, то получим замкнутое множе-
ствоШ: _
Е = Е U 0#.
Примером замкнутого множества может служить круг вместе с ограничивающей
его окружностью.
Определение, Множество Е С Жп называется связным, если любые две его точки
можно соединить непрерывной кривой (в частности, ломаной), всеми своими точками
t содержащейся в множестве Е (рис, 5),
а) связное множество б) несвязное множество
Рис.5
Определение* Открытое связное множество называется областьку*
Область называется ограниченной, если существует шар (круг), содержащий эту
область.
Всякую область, содержащую данную точку Мо, будем называть окрестностью
т<$чки М0 (просто окрестностью, в отличие от е-окрестности),
§2, Понятие функции нескольких переменных
Если каждой точке Jkf(xi, 22, ♦ • • > &я) множества Е точек n-мерного евклидова про*
странства Шп по некоторому закону поставлено в соответствие определенное
действительное число ■«, то говорят, что на множестве Е определена функция точки М или
функция п переменных х\)Х2У... ,2,,, и пишут *
г* = /(М), или и = /(зьяг/... ,яп), М €Ё>
Множество Е называется областью определения функции /.
При изучении функвдй несколькихиеременныхмы, какправило, будем
ограничиваться рассмотрением функций двух переменных z = f(x<y), так как обычно бывает

12. ПОНЛТйв фуККЦИ*К«С*#»МСЙХ Я*рв1й#НЙ*Ш ,-,■,,, ,.л .. -. , , 109
х2 + у2^
I
z^x1*^
яфю/как перенести выводы» сделанные для функции двух переменных» на функции
бфьшего числа переменных.
|Если функция задана одним
аналитически^ выражением, причем область
определений функции заранее не указана, то в
качеств области определения принимают
совокупное всех тех точек М(хи хг>.,.., #*), дяя
которых данное аналитическое выражение
имеет конечное действительное значение
(естественная область определения). Так, для
функции
z = x-k-y
область определения — вся плоскость хОу,
для функции .„.,.■
область определения — замкнутый круг
Рие,£
Пусть функция £ = f(x} у) определена
в некоторой области Е на плоскости хОу,
Тогда каждой точке (ж, у) € Е будет Отвечать
точка (ж, у, /(ж, у)) трехмерною пространства,
Множество всех таких точек (ж, у> /(ж, у)), где
точка (ж, у) € Е, называется графиком функции
z = /(ж, у). Например, график функции
z = ж2 + у2
— параболовд вращения (рис. 6).
Для изучения характера изменения
функции z = /(ж, у) пользуются линиями
уровня. Линией уровня называется множества точек
на плоскости хОу\ в которых функция / при-
нимаетданное постоянное значение 2 = с. Эту
линию можно также получить, пересекая
график функции z = /(ж, у) плоскостью z = с,
параллельной плоскости хОу, и проектируя
линию пересечения ортогонально на плоскость
хОу> Система лшШй уровня /(ж, у) = с„,
(т = 1,2,..., к), где Ст-ц - ^ = h = const,
позволяет судить о ходе изменения функции*
Там, где линии уровня расположены густо,
функция изменяется быстро, а где линии
уровня расположены редко, функция изменяется
медленно, Для функции
2 1
г — х -by
линии уровня.— концентрические окружности с центром в на*шд$ координат (рис. 7;
здесьшагЛ= 1).
Рис.7

no
Глава XV, Функции нескольких переменных
Этот прием изучения функции может быть распространен и на функции и =
/(ж, у, z) трех независимых переменных. Вместо линий уровня тогда возникают
поверхности уровня — множество точек М(я, у, г) пространства, в которых
функция f(M) принимает данное постоянное значение. Например, для функции
2 2 2
U = X + У + Z
поверхности уровня — концентрические сферы с центром в начале координат.
§3. Предел функции нескольких переменных
Пусть функция f(M) определена в некоторой окрестности Г2 точки Мо(яо, Уо), кроме,
быть может, самой точки Мо.
Определение 1. Число А называется пределом функции f(M) в точке Mq(zo, 2/о)> если
для любого числа е > О существует число б > 0 такое, что для всех точек М(я, у) € Г2,
отличных от точки Мо(яо, У о) и удовлетворяющих условию 0 < р(М , Мо) < 6, верно
неравенство ..<...-.'
\f(M)-A\<e. (1)
Обозначения:
4 = hm f(M) или А= hm fix,у).
у-у0
Предполагается, что точка М может стремиться к точке Мо по любому закону,
по любому направлению, и все соответствующие предельные значения существуют
и равны числу А.
Примеры.
1. Рассмотрим функцию
Она определена на всей плоскости хОу, причем
/(0,0) = 0, Покажем, что предел этой функции е точке
0(0,0) равен нулю. Возьмем любое е > 0. Тогда
условие |/(ж,у) - 0| < е запишется так; \х2 + у2 - 0| < е,
или
|ж2+/|<£.
Замечая, что уж2 + у2 — />(Af,0), г да M(x,j/) —
точка с координатами (я, j/), последнему неравенству
можно придать вид р2(М, О) < е, или
р(МгО)<уД.
Если взять'#.= V?, то для любой тонки М(ж,у), для
которой p(Af,0)<6=Vi, будем иметь |ж2+у2-0|<£,
\Н^у)-о\<€
(рис. 8). Согласно определению это означает, что число А ■■
0(0,0).
2. Рассмотрим функцию
*/ ' \ 2хУ
г я д:2'+ у2
0 есть предел данной функции в точке

$ 3. Предел функции нескольких переменных.
ЛИ
\ ..
I Этим заданием она определена всюду» исключая точку 0(0,0). Рассмотрим поведение функции на раз-
1 личных лучах у ** kxf xФ 0. Имеем
^кх) = ^~, **0,
1x4
Я^кх) = ^
^откуда
* 2к
j /(*,**)
так что при разных к мы получаем различные предельные значения. Следовательно, данная функция
R ТПШГ0 П^П. П\ ППОПОП9 UO UUO0T
в точке О(0,0) предела не имеет
3. Пусть
х2у
эта формула задает функцию во всех точках плоскости хОу, кроме начала координат О(0,0).
Исследуем поведение функции на различных лучах у = кх, х ф 0, Имеем
., ч кхъ
так что
т.е. предел функции f(x,y) по любому направлению существует и равен нулю. Если же у = ж2, то
/(*,*2)=Л, *#0,
и, значит, предел вдоль параболы у - х2 существует, но равен ^. Таким образом, данная функция
в точке 0(0,0) предела не имеет.
Теорема 1 Если функции f(M) и <р(М) имеют предел в точке М0, то в точке М0
существуют пределысуммы f(M)+tp(M), разности }{М) -<р(М), произведения f(M) ><p(M)
и частного 4rd (последнее при дополнительном условии, что lim <p[M) Ф~0), причем
Jim (/(М)±р(М)) = Jim f(M)± ton. <p(M),
linv (/(M) • <р{М)) = lim f(M) • Jim <p(M),
t/%jr. lim f(M)
ш\.Щ±~ыг* .:.. Гит <р(м)Ы-
м~*Мо<р(М) 1щг ip{M) \m^Mq . /
Замечаниег Удобным бывает следующее определение предела функции в точке (эквивалентное
определению 1).
Определение 2. Пусть функция /(М) определена в некоторой «проколотой»
окрестности П точки М0 (т, е. окрестности, из которой удаленаточка Мо). Число Л называется
пределом функции f(M) в точке М0г если для любой последовательности точек {Мп}>
сходящейся к точке А/о {Мп € О, Мп ^М0), соответствующая последовательность
значений функции {/(Мп)} сходится к числу А.
Замечание. Рассмотренное выше понятие предела предполагает одновременное стремление всех аргу-
ментов к их предельным значениям;
(ж,у)-»(хо?ш).

Для функций многие переменные приходится иметь дело и С пределами д$уюго рода, получаемыми
в результате ряда последовательных предельных переходов в том или ином порядке. Тайне пределы
называются поетбрными. От составляют специфику фушодий мно*т переменных/
Рассмотрим, например, функцию '
х2„у2 ..,.,,;,..,-.■.■, ..V ■ i
определенную этой формулой всюду, кроме точки 0(0,0), При постоянном у ?& О и & -+' О имеем
при постоянном ж # 0 и у -» 0 получаем
Ит/(*,у) = 1.
Стало быть, для этой функции
Ilm
lim/(*,j,) Ulim
to/(*,»)
и результат зависят от порядка предельных переходов*
§4- Непрерывность функции нескольких переменных
Пусть функция f(M) определена в некоторой окрестности П точки Мо(жо, уо).
Определение. Функция f(M) называется непрерывной в точке Мб(яб?: ito)»если
lim f(M) = ДМо),
или, что то же,
Jim/(ж,у) = /(ж0,!/о).
Предполагается, что точка М(ж, у) может стремиться к точке Мо(жсьУо)
произвольным образом, но цсе время оставаясь в области определения функции f(M),
На языке %в~8ъ непрерывность функции в точке MQ выражается так:
функция f(M) непрерывна в точке Мо» если для всякого е > О существует 6 > 0 такое,
что для воех точек М € О, таких, что р(М, Мо) < 0, выполняете^ неравенство
|/(м)^/(Мо)|<^ ;
Определению непрерывности функции в точке М0(хо, уо) можно придать еще
следующую форму. Если обозначить через Д& и Ду приращения независимых
переменных ж и у при переходе отточки Мо($о* уо) кточке M(xf у), а через
Д* = f(x0 + Дж, уо + Ду) - /<ж0, уо)
обозначить соответствующее полное приращение функции z = /(ж, у) ? то равенство
Jim f(x,y) = f(x0}y0)
будет равносильно равенству
Urn Az zsQ '

I^l* Непрерывность функции нескольких «ременных „__ — „„„„„„„ — «11S
в&Ьратюздему условие непрерывности функций г = /(»)'$) в точке Мб(щ}уо):
Величины Дж, Ау могут стремиться здесь к нулю произвольным образом, независимо
дру^отдруга.
Понятие непрерывности функции, введенное выше, называется непрерывностью
по совокупности переменных ж, у. Из этого опреде ения следует, что eq и функция
f(xiy) непрерывна в точке Мо(ж0, уь), то она непрерывна в этой точке по каждой
из переменных ж и у. Напротив, из непрерывности функции /(ж, у) в точке Mq
по каждой из переменных ж, у не вытекает непрерывность функции / в этой точке.
Рассмотрим, например, функцию
[■О,:". Ж =У = 0.
По заданию функции /(ж, у) имеем /(ж, 0) = 0 Уж, так что
Нт/(ж,0) = 0 = /(0,0)<
«-♦о
Поэтому функция /($>0) непрерывна по ж при ж -,=* 0, Ана огично функция /(0,у)
непрерывна по у при у = 0, так как /(0, у) = 0 для всякого у, и потому
11га/(0,у) = 0=/(0}0),
Однако данная функция /(ж, у) в точке О(0,0) разрывна» В самом деде* пусть у = ж.
Тогда
2ж2
Пт /(й у) = lim -j—j = 1 ф № 0).
Это не удивительно. Говоря о непрерывности по ж и по у в отдельности, мы учитываем
лишь приближения к точке О(0, 0) по оси Ож или по оси Oyf оставляя в стороне
бесконечное множество друпж способов приближения.
Теорема 2. Сумма, разность и произведение функций f(M) и <p(M)f непрерывных в
точке М0| есть функция непрерывном в точке Mq. Частное Q%A непрерывных в точке Af0
функций f(M) и <р(М) непрерывно в точке М0, если <р(Мо) ф0.
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке области D, то она называется
непрерывной в области D. Точки, в которых функция /(М) не является непрерывной,
называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва функции /(ж, у) могут
быть изолированными и могут заполнять целые линии. Так, функция
-■.-' : У(^> = ^
имеет единственную точку разрыва О(05 0); точки разрыва функции
заполняют прямые у = ж и у = -ж»
Теорема 3. Если функция f(M) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то
1) f(M) ограничена в D;
2) f(M) принимает в 2J наибольшее и наименьшее значения.

114,
Глава XV. Функции нескольких перемен**
§5. Частные производные
Пусть функция z = f(xy у) определена в некоторой
области D на плоскости хОу. Возьмем внутреннюю
точку (ж, у) из области D и дадим ж приращение Ах
такое, чтобы точка (х + Ах>у) Е D (рис.9). Величину
У*
Axz = f(x + Ах, у) - f{x,y)
назовем частным приращением функции z по х.
Составим отношение ^£. Для данной точки (х, у) это
отношение является функцией от Ах. ,. .
Определение, Если при Ах -* 0 отношение ^ Доиеет
конечный предел, то этот предел называется частной
производной функции z = f(x,y) no независимой
переменной х вточке (ш, у) и обозначается сикволок || (или fz{%} 0, иж''z'xfo} у)).
Таним образом, по определению
О
Рис.9
dz AZZ-
— = 1Ш1 -r-^f
ох, --.д*мо
Дягили, что тоже самое,
Аналогично
Ах~*о . . . Да? ,
£ = Нт ^ = lim /(*>>+у-Ж?).
Если и = /(жь ж2, ■ * • > жп) — функция тг незйвисимщнеременннх^то
—U = К ^Ж|* Ш2> « • м «*-_!IXk+Axkl Zk+u *'• • j «») -/(«li *2i • • м S*-l> £*?♦♦♦* **)
#2Jfc 4«k-0
ДХь
Заметив, что A^z вычисляется при неизменном значении переменной у, а Д^г —
при неизменном значении переменной х, определения частных производных можно
сформулировать так: ^ )
частной производной по х функций z = /(ж, у) Называется обычная производная
этой функции по х, вычисленная^предположений,что у -*- постоянная;
частной производной по у функции z = /(ж, jf) ^называется ее производная по у,
вычисленная в предположении, что х■'■-*- постоянная.'
Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с
правилами, доказанными для фу нмции одной переменной.
Пример. Найти частные производные функции z - еху. х;
«Имеем %=уе*1, %=Й*: ►

§5. Частные дроимодные.
-115
■ ■ ■ .- ' : '■■ ■ " .■■■■ . \ :■ , ■■ ■.- ■■ ■'
Замечание. Из существования у функции z = /(z, у) в данной точке частных производных по всем
аргументам не вытекает непрерывности функции в этой точке. Так, функция
[о, х = у = О,
не является непрерывной в точке О(0,0). Однако в этой точке указанная функция имеет частные
производные по ж и по у. Это следует из того» что /(ж, 0) = 0 и /(0, у) = О и поэтому
дх
= 0
df
(0,0)
= 0.
(0,0)
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
Пусть в трехмерном пространстве поверхность S задана уравнением
где /(ж, у) — функция, непрерывная в некоторой области D и имеющая там
частные производные по ж и по у. Выясним геометрический смысл этих производных
в точке Мо(хо,уо) Е А которой на поверхности z = f(x,y) соответствует точка
JVo.(»o,lto, f(xo}Vo)).
При нахождении частдой производной || в точке Mq мы полагаем, что z является
только функцией аргумента х, тогда как аргумент у сохраняет постоянное значение
2/ = »о,т.е. ■
2Г = /(Ж,2Л)) =
Функция J\ (x) геометрически изображается кривой L, по которой поверхность S
пересекается плоскостью у — уо. В силу геометрического смысла производной функции
одной переменной
/!(*о) = tga,
где а — угол, образованный касательной к линий L в точке ЛГ0 с осью Ох (рис-10).
Но
(*о,»о)
z = f(x,y)
"^Г\/3 I
Рис. 10

tie,
. Глава XV. Фушщии нескольких щтттк
так что
\дх)
Мф
= tga.
Таким образом, частная производная (|§) \м равна тангенсу угла а между осью Ох
и касательной в точке No к кривой, полученной в сечении поверхности z = /(ж, у)
плоскостью у = Уо.
Аналогично получаем, что
(s)L-v
§б. Дифференцируемость
функции нескольких переменных
Пусть функция z = /(ж, у) определена в некоторой области D на плоскости хОу.
Возьмем точку (ж? у) € D и выбранным значениям ж и у дадим любые приращения
Ах и Ду, но такие, чтобы точка (ж -t- Дж, у +. Ду) € Л*
Определение* Функция z = /(ж, у) называется дифференцируемой # точке (ж, у) € I?,
если полное приращение
Дг = /(ж + Дж, у + Ду) - /(ж, у)
этой функции, отвечающее приращениям Дж, Ду аргументов, можно представить
в виде
Az= ААх + ВАу + а(Дж,Ду)Дж4- /9(Дж»Ду)Ду, (О
где Л и В не зависят от Д ж и Ду (но вообще зависят от ж и у), а а(Дж, Ду) и ЩАх, Ду)
стремятся к нулю при стремлении к нулю Д ж и Д у,
Если фуниция z = /(ж, у) дифференцируема в точке (ж, у), то часть ЛДж + ВАу
приращения функции, линейная относительно Дж и Ду, называется полным
дифференциалом этой функции в точк^ (ж, у) и обозначается символом dz:
(2)
dz = АДж 4- /ЗАу,
Тамкм образом,
Az = dz + a • Дж + $ • Ду.
Пример. Пусть z = ж2 + у2. Во всякой точке (я, у) и для любых Дж и Ду имеем
Az =s (а? + Дж)2 + (у + Ду)2 -х2 -у2 - 2жДж + 2уДу + Дж *Да? + Ду * Ду»
Здесь Л = 2ж, В = 2у, **(Дж, Ду) = Дж, /3(Дж, Ду) = Ду, так что аи^ стремятся к нулю при
стремлении к нулю Дж и Ду. Согласно определению» данная функция дифференцируема & любой точке
плоскости zOy. При этом
/ dz = 2жДа? + 2уДу, * ,,>■.■
Заметим, что в наших рассуждениях не был формально ис клюнен тот случай, когда
приращения Д ж, Ду порознь или даже оба сразу равны нулю.

вв.Д|^м^р0«циру9Мостъ фумои^ несмлмих временных _ ,—^ ^—„ _ 117
Формулу (1) можно записать более компактно, если ввести выражение
р « ^/(Дя)2 + (Ду)2
(расстояние между точками (ж, у) и (х + Дж, у -f Ду)), Пользуясь им, можем написал/
(Да? Д# \ у
Обозначив выражение, стоящее в скобшх, через е, будем иметь
а-Дж + /3-Ду = ер,
где е зависит от Дж, Ду и стремится к нулю, если Дж ^Ои Ду -* 0, или, короче*
еслир—> 0. ч
Формулу (1), выражающую условие дифференцируемости функции z = /(ж, у)
в точке (ж, у), можно теперь записать в виде
hz «^4Дж + ВДу + «Л (3)
где е = £(р) '-* 0 при р ~* 0, Так, в приведенном выше примере Дг = 2жДж +' 2у Д у +
(Дж)2 + (Ду)2, или Дз = 2жДж 4- 2уДу + р2, так что тут ш(р) = р,
6.1. Необходимые условия дифференцируемости функции
Теореме 4. Если функция z as /($, у) дифференцирует в некоторой точке, то она в этой
точке непрерывна,
щ Если в точке (ж, у) фунжшя z « /(ж, у) дифференцируема, то полное приращение
функции я в этой точИе, отвечающее приращениям их и Ду аргументов, мсшно
предсташиъ в виде i
Д* = ААх + ВДу.+ а(Дж, Ду)Дж + /3(Дж, Ду)Ду (1)
(величины А, В для данной точки постоянны; а, /3 —♦ 0), откуда следует, что
АК-0
iim Д*=0.
Дя-Ю
Последнее означает, что в точке (ж, у) функция i == /(ж, у) непрерывна. ►
Теорем! 5. £Ьш функция z = /(ж, у) дифференцируема в данной точке, то она имеет
в этой точке частные производные |§ и щ*

118. _ .. , ... , ._ _ ^ . .^№^^
i4 Пусть функцщ z = J\xy%) д]йф4^ре^цщ^|^тод
этой функции, отвечающее приращениям А ж, &у аргументов, можно представить
в виде (1). Взяв в равенстве (1) Дж# 0, Д# =?= 0Г получим
Axz = ААх + а(Дж,0)Дж, /''^ZT-7'1-^.■'.'/■.. л *^>.st '
откуда 7
Ф^^А + а(Дж,0).
Дж ^ п
Так как в правой части последнего равенства величина .Ж независит"от-.Дж,
а а(Дж, 0)-+ 0 при Дж -+ 0, то
А =в= bm ~~"-
; Дх-Р Да?; : ,. ,м ,? ...,,.. ,-,, :;
Это означает, что в точке (ж, у) существует частная производная функции z^f(xy у)
по ж, причем v , -
Подобными же! рассужденияйи убеждаемся;»'ЭДм^'^^»*чйУе (^^ёэздёстаУе*
частная производная функции z = /(ж, 2/) по у, причем §£ = В. ►
Из теоремы следует, что
Дг = -г- ДжЧ- тг:Д2/ + '^* + Р&у-
Подчеркнем, что теорема 5 утверждает существование частных производных
только в точке (ж, у), но ничего не говорит о непрерывности их в этой точке, а также об их
поведении в окрестности точки (ж,"у).у..
6.2. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных
Как известно, необходимым и достаточным условием дйфференцйгруемостифункции
у = f(x) одной переменной в точке жо явдяетсясущеСтвование конечной производной
/'(ж) в точке жо. В случае, когда фу^ция з^
обстоит значительно сложнее: необ^имьй и достаток
мости нет уже для функ ии z = /(ж, у) двух независимых переменных ж, у; есть лишь
отдельно необходимые условия (сЫ. выше) и отдельно — достаточные. Эти
достаточные условия дифференцируемостй функций нескольких переменных выражаются
следующей теоремой. . ./:.;
■■■:■■■■■■■• ■■: т" ■■■■■■'■' - ■ ■■■•■■;.-■?■- ■- "■*■;■'■•. "'V '■
Теорема в. Если функциям == /(ж, у) имеет частные производные f'x и ffy в некоторой
окрестности тонки (жо, Уо) и если эти производные непрерывны в самой точке (жо, уо),
то функция z = /(хуУ) дифференцируема вточке (ж0,2/о)-
Пример. Рассмотрим функцию
Она определена всюду. Исходя из определения частных производных, имеем
д*-о Да; Д*-о Да;
/,(0,0) = Шп ЩМ^т^Ш ЩЬ1 =0. "" " "

J 7. Полный
ЛИ
Так как р = )/(&ш)\+(&у)2, ш
домой функция 5 точке 0(0* 0) найдем ее приращение в этой
Af{%0)= ^Д*»Ду «=с(Д*,Ду)^
*(Д*,Ду);
^ДЯ'Ду
(1)
/(Дж)2 + (Ду)2
Для диффврвицир>«мох^и функции /(*,'ir) = #*F в J304** 0(0,0) необходимо, чтобы функция
е(Дж, Ду) была бесконечно малой при Да? ~» 0 и Ду -* 0, Положим Ду = Да? > 0> Тогда из
формулы (1) будем иметь
<Дз)а/3
Поэтому функция f(z,p) = %Щ we дифференцируема в точке О(0,0), хотя и имеет в этой точке
производные /* и /£. Полученный результат объясняется тем, что производные fz v\ f'v разрывны
а точке О(0,0), ►
§7. Полный дифференциал. Частные дифференциалы
Если функция z — f(x% у) дифференцируема, то ее полный дифференциал dz равен
dz = А&х + В&у.
Замечая, что А — |§, В — щ, запишем формулу (1) в следующем виде
dz dz
&z — _ Дх 4- —* Дм,
дх ду у
(1)
(2)
Распространим понятие дифференциала функции на независимые переменные,
положив дифференциалы независимых переменных равными их приращениям:
ds — Дж, dy — Ду,
После этого формула полного дифференциала фуннции примет вид
(3)
i. Пусть z = 1п(ж + у2). Тогда
x + y2 s + y2 a? + r
Аналогично, если и = /(«ь а?2> .■.. 8 хп) есть дифференцируемая функция п
независимых переменных, то
ви
&ъ = У2^~~йЩ (d%k « Д**).
Выражение
йшж = /£(&,») <fe
W

120 , . ,„,, Глам XV. фикции нескольких переменных
называется частным дифференциалом функции z = f(x} у) по переменной х; выражение
dyz = flfay)dy\ (5)
называется частным дифференциалом функции z ■=■ /(ж, у) по переменной у.
Из формул (3), (4) и (5) следует, что полный дифференциал функции является
суммой ее частных дифференциалов:
А& = dsZ + dyZ.
Отметим, что полное приращение Д* функции z = /(ж, у)/вообще говоря, не равно
сумме частных приращений.
Есливточке (ж, у) функция z = J{xry) дифференцируема и дифференциал dz Ф 0
в этой точке, то ее полное приращение
Д* = — Да: + ~ Ау + а(Дж, Ду)Дж + 0(Дж* Ду)Дг/
0ж #у
отличается от своей линейной части
только на сумму последних слагаемых а Дз 4- /?Д У у которые при Ах -♦ 0 и Ду -* 0
являются бесконечномалымиболеевысокогопорядка, чем слагаемыелинейной части,
Поэтому при dz 7^ 0 линейную часть приращения дифференцируемой функции
называют главной частью приращения функции и пользуются приближенной формулой
Az ю dzs
которая будет тем более точной/чем меньшими по абсолютной величине будут
приращения аргументов.
§ 8. Производные сложной функции
1. Пусть функция
* = /(ж,у)
определена в некоторой области В на плоскости хОу, причем каждая из
переменных х, у в свою очередь является функцией аргумента t:
x=<p(t), у=Щу :*> <*<*i.. (1)
Будем предполагать, что при изменении t в интервале (*0, t \) соответствующие точки
(ж ^ у) не выходят за пределы области D. Если подставить значения х = <p(t), у = f(t)
в функцию z = /(ж, у), то получим сложную функцию
одной переменной *.
Теорема7. Есливточке t существуют производные

§8, Прсшзюдны* сложной функции—.','.,„■ ..-— , —, , ■■,,■—-—— 121
и присоответст0ующихзнанениях х == <p(t),y = i>(t) функция f(x^ у) дифференцируема,
то Сложная функция z = / [у?(0> $(t)] в точке t имеет производную % причем
dz dz dx dz dy
"ей ~" 0s Ж + 0у /2Г
< Дадим t приращение At, Тогда ж и у получат некоторые приращения Ах и Ду.
В результате этого при (Ах)1 + (Ду)2 #0 функция z также получит некоторое
приращение Дг, которое в сйлудифференцируемости функции г. = /(ж, у) в точке (х, у)
может быть представлено в виде
-.-■ 4z ■■■■ dz'.-. ■ ■ ■
Az = «~Ax+<zrAy + aA$ + fiAy$
то ау
где а(Ах, Ау) и (3(АхгАу) стремятся к нулю при стремлении к нулю Ах и Ду.
Доопределим а и $ при Ах = Ду = О, положив а(0,0) = 0, j0(6,'O) = 0. Тогда
а(Дш? Ду) и /0(Дя, Ду) будут непрерывны при Ах = Ду = 0,
Рассмотрим отношение ^f > Имеем
Дг _ dz Ах 9z Ду Дш ^Ду /0ч
___ (2)
В каждом слагаемой^ Правой части (2) оба сомножителя имеют пределы при Д* —> 0:
действительно, частные производные $| и Щ для данной то*шж (%>у) являются
постоянными, по условию существуют пределы
Ах dx , Ay dy ,
1ш1 ~Z7 - 17 = Ф С) и lim T7 = 37 = i> (')i
АИО ДГ ; <Й дмДГ й
из существования производных |f и $f в точке t следует непрерывность в этой точке
функций х = <p(t) и у = V(0; поэтому при Д* -> 0 стремятся к нулю и Ах и Ду, что
в свою очередь влечет за собой стремление к нулю а(Дж,Ду) и /3(Дж, Ду)*
Таким образом, правая часть равенства (2) при М -* 0 имеет предел, равный
0
dz dx dz
$х"Ш+ду
dy
dt'
и предел левой части
Um
Дг
Д*'
(2), т. е.
существует
Значит, существует при Д*
равный %, Переходи ь равенстве(2)*к пределу при Д* ~» 0, получаем требуемую
формулу ;'- ■-■:.г-■.■ -'>■-_. .=-■ ■ :; ■;,./■
л* .-■>« I
(3)
da?
Bz dy
+ ду dt'
►
Пример. Пусть
Тогда в силу (3)
™ = 2ж cos t + 2f? * 3t2 = 2 sin I cos t + бИ = sin 2t + 6t5,
at

122
Глам XV. Фуицяи ъжшюьюа КЬр«*викых
В частном случае, когда
* = /(а>У), a y = V(*),
и, следовательно, 2 является сложной функцией от ж,
z = f(x,i>(x))>
получаем
(4)
dx
dz dz dy
dx dy dx'
(5)
В формуле (5) з§ есть частная производная фуниции z = f(z} у) по ж, при вычислении
которой в выражении /(ж, у) аргумент у принимается за постоянную. А |£ есть полная
производная функции z по независимой переменной ж, при вычислении которой у
в выражении /(ж, у) уже не принимается за постоянную, а считается в свою очередь
функцией от х: у = ip(x), и поэтому зависимость z от ж учитывается полностью.
Пример. Найти |^ и ff, если z = arctg| и у «ж2.
У .
дх дж ж7 я2+$?2
dz dz dz dy у
dx ~ Ъх d#dx ~ a? -f y2
х^ + |га ■
*2аг =
1 + х*
2. Рассмотрим теперь дифференцирование сложной функции нескольких
переменных. Пусть >
* = /(я,у),
где в свою очередь
так что
■* = ^1^)|- V=1>(t>v)t
Предположим, что» точке (£, ty) существуют непрерывные частные производные щ,
Щ*'%" 3?» а в соответствующей точке (ж, у), где ж « ^>(&ty), у = ip(tv),
Функция /{ж, у) дифференцируема. Покажем, что при этих условиях сложная фунмция
г = *:(£, ij) в точке (£, *?) имеет производные щ и ||, и найдем выражения для этих
производных. Заметим, что этот случай от уже изученного существенно не
отличается. Действительно, при дифференцировании z по £ вторая независимая переменная ?;
принимается за постоянную, вследствие чего ж и у при этой операции становятся
функциями одной переменной (: ж* = v?(£> с)> у = 1>(£гс)-й войрос о производной щ
решается совершенно так же, как вопрос о производной jfc прц выводе формулы (3).
Используя формулу (3) и формально Заменяя в ней производные § и $ на
производные щ и Ц соответственно, ролучим
Аналогично находим
dz
ее"
Ьг дх
' das д£
' дх ду
вг
дх дщ
+ ду щ-

£9<* Дифференциал еложной^Ьц^ Иимриантность формы дифференциала, —. .
Пример. Найти частные производные S и щ функции z = х2у - хф, если а? — (у, у -ы |;
-(*-;-^'(fv-*;)r*'('-i)ii
Если сло$н^* функр^щ и цадащ формулами
-Ш
так что
■-;*Ш
то при выполнений соответствующих условий имеем
В части
где
имеем
ди _дидх ди ду ди dz ди _/ ди дх ди ду ди дг
ом случае» когра, _
ди _df dfdz du_df dfdz
дх ~" to+г9г #f V; ; ду " flty * 4г 0y*
%
&»
Здесь g|;/т- подааащ^ная врвдзшднагфункций t* по независимой переменной ж*
уяшыракщая полную зависимость и от $, в трмчисл? и через z = *($, у)»а ^ —
частная производнаяфу^к^дм =J(xs,y} z) цо fe* прд вычислении кршройаргументы у
zпршшщ&тъ% запо^ощпщ.Тожс^ -,
§& fl^^f^Ht|ia/f шсшной функции.
Инториайтикостьг формы дифференциала,
Если ^ — /(ж, |/) — дифференцируемая функция независимых переменных ж и|, то
ее поянйй дифференЩЙлdz равен f
где dx = Дж, dy = Д#.
Пусть теперь
где
- dz ^ dz ^
Йж ; %
(1)

124 - ■ ..■,-.-,-,,..-^.--, .„,■„.„„■ ,., у ГлиаXV.Функциинесколькихвременных
Предположим, что в точке {{,tj) функции v?(& *?) и ^гч) иМЙют Непрерывные ^acfr
ные производные по £ и по rjf а в соответствующей точке (а?, у) существуют и
непрерывны частные производные || и щ, вследствие чего функция £ = /(ж, у)
дифференцируема в этой точке. При этих условиях функция
имеет в точке (£t tj) производные
д£~дхд£+ ду д(\ дт) " дх дч + ду д^ ( '
Как видно из формул (2), щ и щ непрерывны в точке (&*?). Поэтому функция
z = / М£> *7)> ^>(& 7)] в *04*fe "(&; Ч) Дифференцируема, примем согласно формуле
полного дифференциала для функции от независимых пёремейных ( и rf9 имеем
;*г-Ц« + %Ь (3)
Заменив в правой части равенства (3) щ и щ их выражениями из формул (2), получим
■ (dz дх dz ву\ ЛА (dz дх дг 8у\ J
\dx в$ By di)^^\dxdn dydrtJ h
или
dz (дх ^ дх \ dz (dy ^ dy -\ /j4
Т&к как по условию функции ж = <p({t rj) и у = 1р(£, ф в точке (£, tj) имеют
непрерывные частные производные, то они в этой точке дифференцируемы и
дх дх ду ду , х
Из соотношений (4) и (5) получаем, что
. Ят ■■♦ I ' ■&■
(6)
л дг dz. -
Сравнение формул (1) и (6) показывает, что полный дифференциал функции
z = /(ж, у) выражаемся формулой одного и тога же вида как в случае, когда
аргументы х и у функции /(ж, у) являются независимыми переменными, так и в случае,
когда эти аргументы являются в свою очередь функциями от ««которых переменных.
Таким образом, полный дифференциал функции нескольким переменных обладает
свойством инвариантности формы.
Замечание. Из инвариантности формы полного дифференциала следует; если хиу являются
дифференцируемыми функциями какого угодно конечного числа переменных
10 остаются в силе формулы
(з?\ у dx *-xdy
^1*~ - ^--'■■■
легко получаемые для случая, когда х и у — независимые переменные.
яГ'пг

9Дш МИИНМММ ФУНКЦИЙ ~т~***,„
т
§10. Неявные функции
хг*ешу
Пусть имеем уравнение
..Я«г»)*0, ......,■ (1)
где ЗГ(х} у) есть функция двух переменных, заданная в некоторой области G на
плоскости хОу. Если для каждого значения х из некоторого интервала (xq - ft0f «о + Ло)
существует ровно одно значение у, которое совместно с х удовлетворяет уравнению (1) *
то этим определяется функция у = у(х)$ для которой равенство
с $Г(х>у(х))=0
выполмяется тождественно шхв указанном интервале, В зтом случае говорят, что
уравнение (1) опредедощ величину у кёк неявную функцию х>
Иными словами, ^ункЦда у = з/(&), заданная уравнением $Р1$Л у) = 0, не
разрешенным относительно у, называется неявной функцией; она становится явкой, если
зависимость у от х задается непосредственно.
Примеры,
1« Уравнение
определяет на всей оси Ох величину j/ как
однозначную функцию ж;
у = х.
2. Уравнением
y-jc-6siny = 0, 0<£<1> (2)
величина у определяется как однозначная функция х.
Проиллюстрируем это утверждение. Уравнение
y-«-«8in# = 0
удовлетворяется парой значений х = 0, у ж 0. Будем
считать х параметром и рассмотрим функции г = у
и м = х+£ sin у, Вопрос о том» существует ли дляi
выбранного' zq соответствующее единственное значение #0 тажов, что пара (х^уъ) удовлетворяет
уравнению (2), сводится к тому, пересембются ли кривые z т у и z = xq -f r sin j/ в единственной точке.
Построим их графики на плоскости zOy (рис, 11). Кривая z = ar + £siny, где х рассматривается
как параметр» получается параллельным переносом вдоль оси Ог привой z = e sin у. Геометрически
очевидно, что при всяком х кривые ш = у и г = х+е$1пу имеют единственную точку пересечения»
ордината у которой является функцией от ж, определяемой уравнением (2) неявно, Через элементарные
функции эта зависимость не выражается.
3. Уравнение ■. ■:■■ -я;..-
■ ' '■. ;$'-. .■ ■ V + ^ + l aO ■
ни при каких действительных х не определяет у как действительную функцию аргумента х.
В таком же смысле можно говорить о неявных функциях нескольких переменных.
Следующая теорема дает достаточные условия одаозначной разрешимости
уравнения
■Щх>у) = й'\ (1)
относительно у в некоторой окрестности заданной точки (xof ffo) ?
Теореме 8 (существования неявной функции).
Пусть выполнены следующие условия:
1) функция ^(я, у) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике D = {xq -
6! < х < xq + 6и j/o - 62 < у < Уо + *г}> 6\>0,62>0,с центром в точке (ж0, J/o)»
г sin г/
РисЛ1

126
Tnm XV. Фуниции нескольких переменных
2) в/яо«//се (жо, j/o) Функция &(х,у) обращаетсявы^ль*
3) в прямоугольнике D существуют и непрерывны частные производные -^ и -щ-;
4)
дЗГ(х)У)
ду
Тогда для любого достаточно малого
положительного числа е найдется
окрестность х0 - 6q < х < xq + 6q, 6q > О,
точки Хо такая, что в этой
окрестности существует единственная1'
непрерывная функция y = f(x) (рис. 12), которая
принимает значение Уо при х=хо (f(xQ)=
Уо), удовлетворяет условию \у - уо\ < е
и обращает уравнение (1) в тождество:
3r(x,f(x))~~0,
Этафущсцияу = f(x) непрерывно
дифференцируема в окрестности точки Xq,
причем
< Выведем формулу (3) для производной
неявной функции, считая существование
этой производной доказанным,
Пусть у = f(x) — неявная
дифференцируемая функция, определяемая
уравнением (1). Тогда в интервале (а?о -
<5о, хо + #о) имеет место тождество
вследствие него в §т6м интервале
dg"(gt/(g))
daT
Согласно правилу дифференцирования
сложной функции имеем
d&{xry{(*)) _
dx
= 0.
д^ d&'dy
9ж 5у dx
^ Единственная в том смысле, что любая точка(х, у), лежащая на кривой 5*"(х, у) = 0 и принадлежащая
окрестности П = {хо - ^о < х < хо +Аь Уо - * < У < Ito +*} точки (эд jib), имеет координаты, связанные
уравнением у я /(х),

fmi^emm^mmтхтом*№"!■■■ ■ - -■■ ■'- ■■■ ■■ ■■ ■■ • ■ -■■ __Ji27
Отсюда при у = f(x) получаем, что к;
dW d&dy Л - ■
.. _ /... ;, дх ,, ду dx
и, значит,
dx 2^
Пример. Найти -^ от функции t/ = i/(x), определяемой уравнением
5V- С С ■
4 В данном случае
х2 + у2^.
■alar' • . #зг -^ ■■■'.■'.'' ■■--■■/ ;^ ■'; : :. л'-;- v $ ■■. *
Отсюда в силу формулы (3)
..;..■■. £=-7, (V#0)-»»
Замечание. Теорема^ дает условия для существования единственной неявной функции, график которрй
лроходит через заданную точку (яо, t/o)» Достаточные;Ыо не йёоВ^оДймые. В самоселе;рассмотрим
уравнение '!■ "-•.'', ..-,. ■/'.'■.'•yir-.- .: ■■:.•?•-. --.-л я1..--..-*.'./w.-.
(у-*)2 = 0.
Здесь .
,,, имеет непрерывные частные производные. й^?., й^, но
-;.-- ^ = 2(t/-x). ... ..
равна нулю в точке О(0,0). Тем не менее, данное уравнение имеет единственное решение
\ „( :, у = х/ ]'.", _,%. ",'". ,.. ,,- ".";/. "\,^ '■'.. "■
равное нулю при х = 0. .*'."' . <
Задача. Пусть дано уравнение
»2=у ..;::,. ■' . ..." .(»')
и пусть ,./?,..
i Д : , ■ !/=!/(*)> -оо<ж<+оо, ^ :Г J (2')
— однозначная функция, удовлетворяющая уравнению (l').
1) Сколько однозначных функций (2') удовлетворяет уравнению (l')?
2) Сколько однозначных непрерывных функций удовлетворяет уравнению (l')?
3) Сколько однозначных дифференцируемых функций удовлетворяет уравнению (1')? ,
4) Сколько однозначных непрерывных функций у = у(х), 1- 6 < х ^ 1 + 6, удовлетворяет"
уравнению (1'), если у (1) = 1й 6 > 0 достаточно мало? .v.
Те€^)ема существования, аналогичная теореме 8, имеет место шв случае неявной
функции'z = z(x, if) двух переменных, определяемой уравнением
^(*,У,*) = 0. (4)
Теорема 9. Пусть выполнены следующие уствия!
1) функция & определена у цёпрерыена в области D :
Xq — #i < X < XQ + б\,
«J6;;^;l«). - ■ # ':<#. <Ш +&> I (<5i; > § Л >■ Р, £ > 0);
z0- <53 < 2 < ^о -г- ^з 5

Ш ; .,. , , Гтш XV, Функции н&сиояыснх^эрвмднных
2) Щ**,Уо,ъ)^0;
3) в области D существуют и непрерывны частные производные
Щс ? Щ?»Щ \, ■ .
4) #(*о,йь*ь)*0.
1Ъг£д для любого достаточно малого е > О найдется окрестность П точлм (яо>|/о)*
0 которой существует единственная непрерывная функция z =? /(ж, у), принимающая
значение z§ при х = ж0, у = j/o, удовлетворяющая условию \z - щ\ < е w обращающая
уравнение (4) в тождество:
ЗГ(хуУ}/(х,у)) = 0,
Дм этом функция z =s /(ж, у) в области Л ш*ее/и непрерывные частные производные fz
.< Найдем выражения для этих производных. Пусть уравнение
5Г(а, у, z) =г о
определяет £ как однозначную и дифференцируемую функцию z =г /(ж, у)
независимых переменных о? и у, Если в это уравнение вместо # подставить функцию f(x, у),
то получим тождество
^(*, ¥,./<*, *))з О"' («,»)€а-
Следовательно, полные частные производные по х к по у функции ЗГ(х% у, z), где
* - /(ж> у)> также дожны быть равны нулю. Дифференцируя, найдем
0а + 0z 0а ~ ! ду * dz ду~ у
откуда
дх^"^ бу" <f U* /
Эти формулы дают выражения для частных производных неявной функции двух
независимых переменных» ■»
Лрлшф* Найти частные производные от функции z($, у), заданной уравнением
< Имеем
03Г . д^ ' дР .
аж а* *'■ &? '
откуда
§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
11,1. Предварительные сведения
Пусть имеем поверхность S, заданную уравнением
£F(x,j,,z) = 0, (1)

111. Касвтельнн йлоюеть и нормаль к поверхности _ \v 129
0(традме«и#. Точка М(х, у, г) поверхности (1) называется обыкновенной точкой этой
поверхности, еслив точке М всетрипроизводные
дЗГ 63? вЗГ
~дх* ~ду} ТГ
существукя и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля.
Если в точке М(ж, у, г) поверхности (1) все три производные
взг езг дзг
равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М
называется особой точкой поверхности.
Пример. Рассмотрим круговой конус
(рис. 13). Здесь
ж2 Ч-у2 -г2 = О
^(ар,у,*) = аг2-Н2-хг,
так что
Единственной особой точкой является начало координат О(0,0,0);
в этой точке все частные производные
дхУ ду И dz
одновременно обращаются в нуль. *»
Рис. 13
Рассмотрим пространственную кривую £, заданную параметрическими
уравнениями
* = *(*),
у-ф\ a<t<p.
* = «*),
(2)
Пусть функции £(*), ф), ((t) имеют непрерывные производные £'(t), l\t), ('(t)
в интервале а < t < /3. Исключим из рассмотрения особые точки кривой, в которых
e2(t)+v2(t)+<;,2(t)=o.
Пусть Afo(xo, jfo» го) — обыкновенная точка кривой L, определяемая значением to
параметра t, to € (a,/3). Тогда
т ~х%)1+1?ЩУ+'Щ)Ъ
^векторкасательной к кривой L вточке Afio(ao> Ito> *<>)•
11.2. Касательная плоскость поверхности
Пусть поверхность 5 задана уравнением
^"(*. У> *)■ =
53ак.628
(1)

130.
.ГлаваXV. Функций нескольких переменных,
Возьмем на поверхности 5 обыкновенную точку Р и проведем через нее некоторую
кривую L, лежащую на поверхности и задаваемую параметрическими уравнениями
a<t<p.
(2)
Предположим, что функции £(t}, r)(t)9 ((t) имеют непрерывные производные, нигде
на (а, р) не обращающиеся одновременно в нуль. По определению, касательная
кривой L в точке Р называется касательной к поверхности S в этой точке.
Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то, поскольку кривая L лежит
на поверхности 5, уравнение (1) обратится в тождество относительно t:
zr(at)Mt),m)=o, «б(a,/j).
Дифференцируя это тождество по t, по правилу дифференцирования сложной
функции получим
д^ dx д& dy d& dz _
~0ж~ It + ~ду It + ~dz~ ~dt ~~
Выражение в левой части (3) является скалярным произведением двух векторов:
д& д& д&
(з)
(4)
dx #' dy / dz
dt dt dt
В точке Р вектор г направлен по касательной к кривой 2/в этой точке (рис. 14). Что
касается вектора п, то он зависит только от координат этой точки и вида функции
^(я, у, z) и не зависит от вида кривой, проходящей через точку Р.
Так как Р — обыкновенная точка поверхности 5, то длина вектора п отлична
от нуля,
1(д@-\2 (дзг\2 (д&х1
То, что скалярное произведение
(п,т) = 0
означает, что вектор т, касательный к кривой L в точке Р, перпендикулярен вектору
п в этой точке (рис. 14). Эти рассуждения сохраняют свою силу для любой кривой,
проходящей через точку Р и лежащей на поверхности 5. Следовательно, любая
касательная прямая к поверхности S в точке Р перпендикулярна вектору п, и, значит,
все эти прямые лежат в одной плоскости, тоже перпендикулярной вектору п.
Определение, Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к
поверхности 5, проходящие через данную обыкновенную точку Р Е 5, называется касательной
плоскостью поверхности в точке Р (рис. 15).

§11. Касательная плоскость и норманне поверхности . ,,. 131
Рис. 14
ftac. 15
Вектор
n,*~U*V ду
г '»* \р)
есть нормальный вектор касательной плоскости к поверхности ^"(з, y,z) = 0 в
точке Р. Отсюда сразу получаем уравнение касательной плоскости к поверхности
tFfa у, z) = 0 в обыкновенной точке Ро(щуо*:го) этой поверхности:
(!)
(*o4№i*>)
<*-*°)+(У
(6)
Если поверхность S задана уравнением
* = /<*,»),.
то, записав это уравнение в виде
получим
и уравнение касательной плоскости в точке Ро(зо> 3/<ь зо)> zo = /(^о, З/о) > будет выгл
деть так
-чюи—ш
(чм)
(v?..Vo)--
(7)
11*3. Геометрический смысл полного дифференциала
Если в формуле (7) положить x~'xq= Ах, у - уо = Ду, то она примет вид
{*ш)
Ду-
Св)
Права часть (8) приставляет собой полный дифференциал функции z = f(xyy)
в точке М0(х0,2/0) на плоскости хОу, так что
z — zo — dz*- '

132
Глиа XV» Функции нескольких перемятых
Таким образом, полный дифференциал функции z = /(я, у) двух независимых
переменных а; и у в точке М0> отвечающий приращениям Да? и Aj/ переменных 2 и у, равен
приращению z - zo аппликаты z точки касательной плоскости поверхности в точке
Щхо> Уо* /(во, Уо)) при переходе от точки M0(aj0, Уо) к точке М(х0 + Да, у0 + Ду).
11.4. Нормаль к поверхности
Определение. Прямая, проходящая через точку Р0(ж0, jfo, *о) поверхности
'^(«,й*)=0
перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в точке Ро, называется
нормалью к поверхности в точке Р0.
Вектор
является направляющим вектором нормали, а ее уравнения имеют вид
'. ■ ■ Я т-^0
/дзг\
\\8х)::
<«о*о.*о)
У - Уо
~т
(*0>*<Ь*в)
Z - Zo
'(£)
(*(ь*смо)
(9)
Если поверхность S задана уравнением z = /(ж, у), то уравнения нормали в точке
Жжо, Уо, /(яо,Уо)) выглядят так:
(10)
ар - %q у - <
Sto * - «о
-1 '
Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке 0(0,0,0);
< Здесь
так что
2 2
В точке (0,0) эти производные равны нулю:
.Д»,о)-/{(0,0)» о, ;-
и уравнение касательной плоскости в точке О(0,0,0) принимает следующий вид:
i-0 = 0(a?-0) + 0(sf-0),
т.е. z = 0 (плоскость гОу). Уравнения нормали;
$-0 у-0 _ г-0
. - о S"1T~ -1 .V
2Г = 0,
— ось Oz, ►

J) 12. Производные высших порядков «^ r 133
§12. Производные высших порядков
Пусть функция г = f(x} у) имеет частные производные ^ и щ в каждой точке х
области D. Тогда эти производные
|^ = /i(x,y) и g = /;(*,y)
будут функциями от х и у в области Д которые в свою очередь в точках области D (во
всех или в некоторых) могут иметь частные производные. Эти частные производные
от if и Ц (если они существуют) называются вторыми частными производными или
частными производными второго порядка функции г = f(x,y). Для функции г =
/(я, у) двух независимых переменных я, у получаем четыре частные производные
второго порядка, которые обозначаются так:
V
Производные /£'„ и f'Jx называются смешанными: одна из них получается
дифференцированием функции сначала по ж, затем по у; другая, наоборот, дифференцированием
сначала по у, затем по х.
Аналогично определяются частные производные 3-го и т. д. порядков.
Пример. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков
z = ж3у2-жу1
&z * 2 2 3 & *s , 2
** * 3 * 2 #2* „ 3 ^
от функции
as»-1*-*:*
Обратим внимание на то, что смешанные производные zi'y и 4'х оказались
тождественно равными. Это не случайно. Имеет место следующая теорема.
Теорема 10 (о равенстве смешанных производных). Пусть для функции
* = /(&,»)
в некоторой окрестности точки Mq(xq} Уо) существуют производные fz, fy, f"y и fyX
и пусть, кроме того, производные fxy и fyX в точке Mq(xq} y0) непрерывны. Тогда в
точке Мо эти производные равны,
/i»(«o, Уо) = /ух(«о, Уо).

134 Глава XV. Функции нескольких переменных
Требование непрерывности производных f'Jy и fyX в точке Мо(яб, Уо) существенно»
Так, для функции
U, х = у = О,
смешанные производные fjy и /^ разрывны в точке 0(0,0), и для этой функции
имеем/;у(0,0) =-1, 4'г(0,0) = 1.
Верен и более общий факт:
если для функции и — f(x\, Х2,..., хп) какие-либо смешанные производные порядка
га ^ 2 отличаются между собой только порядком дифференцирования и непрерывны
в некоторой точке, то они в этой точке имеют одно и то же значение.
§ 13. Дифференциалы высших порядков
Пусть в области D задана функция z = /(ж, у) независимых переменных ж и у. Если
эта функция дифференцируема в области Dy то ее полный дифференциал в точке
(ж, у) Е Д, соответствующий приращениям dx и dy независимых переменных х, у,
выражается формулой
dz f dz
dZ=dxdX+didy
(здесь dx = Ах, dy =^ Ay — произвольные приращения независимых переменных,
т. е. произвольные числа* не зависящие от х и у). Поэтому мы можем изменять ж и у,
оставляя dx и dy постоянными. При фиксированных dx и dy полный
дифференциал dz есть функция от х и у, которая в свою очередь может оказаться
дифференцируемой.
Определение. Полный дифференциал от dz в точке (ж, у)\ соответствующий
приращениям независимых переменных, равным прежним dx и dy, называется
дифференциалом второго порядка функции z = /(ж, у) и обозначается символом d2z:
d2z0¥d(dz). (1)
Пусть функция z = /(х, у) G С2(1?),т.е. имеет в области -D непрерывные частные
производные до второго порядка включительно. Тогда полный дифференциал dz
этой функции будет дифференцируемым, т. е. будет существовать d2z. Пользуясь
известными правилами дифференцирования и помня, что dz и dy — постоянные,
получим
2 (bz dz \
d z = d(dz) = d I — da? + — dy J ~
\dx ay J
Ш
\dx
^d^&)+4S^)e4S)/to+4e)^

J13. Дифференциалы высших порядкое.
дг „ Ьг
По формуле полного дифференциала, примененной к Ц и щ, имеем
л(Ъг\ д (.dz\ _ в /А*\' в2:, 92г
Поэтому из формулы (2) следует
d z= 7ГТ(Л*) + ТГ-^-
Так как
02Z
0у&в 0я0у
к; *
dz\
Л-
J
дхду
d2z
= дх*°
_d2z
дхду
dxdy +
дудх
ах + -—г
ду2
d2z ,
в силу непрерывности этих смешанных производных, то для d z получаем формулу
9 д Z J
d zz = -r^dx +2
дх2
d2z
дхду
d2Z 2
(3)
ЗдесьЖг2 = {dx)2, dy2 = (dy)2.
С помощью формального символа ^dx^-^dy формулу (3) записываютусловным
равенством
d2z
={ъ^ + ъ?я) "
(4)
д
в
Здесь символы ^ и щ рассматриваются как «множители» и формула квадрата суммы
с последующим условным умножением на z приводит к нужному результату. Именно,
запишем
, ( д д \2 д2 7 д2 д2 о
d=\^dx + ^dy)=e^dx+26^dxdy+Wdy-
«Умножим» обе части полученного выражения почленно на z, поместив множитель z
в «числители» 02 дробей, стоящих в правой части. Получим
ffo^.V ■ - b2z . . d2z
дх1
d z = тгт dx + 2-—— dx dy + —^ dy ,
x2 дхду dy2
что совпадает с формулой (3).
Подобным же образом вводятся понятия дифференциалов 3-го, 4-го и т. д.
порядков. Вообще, полный дифференциал n-го порядка dnz есть полный дифференциал
от полного дифференциала (п - 1)-го порядка:
dnz = d(dn~lz).
Если функция z = /(ж, у) Е Cn(D), то у нее существует дифференциал n-го порядка.
Этрт дифференциал выражается формулой следующего вида
— йхА dy) z\
дх ■ду V
(5)

136
Глам XV. Функции нескольких переменных
Для функции и = f(x\}X2i...,хт) от m независимых переменных ж 1,^2, ...»жя
при выполнении соответствующих условий получаем
du=^—dX{ + — dx2+,..+ — dxm)u.
Замечание. Если х и у не являются независимыми переменными, а суть функции от £ и t?, то, как
и в случае функции одной переменной, уже второй дифференциал не обладает свойством
инвариантности формы.
4 В самом деле, пусть
z = /(х,у), где а? = ?((,!;), у = <*((, t;).
Тогда первый дифференциал может быть записан в прежнем виде
~ дх дх
й* = Шйх+ъйу<
но теперь dx и dy сами есть функции и могут не быть постоянными. Поэтому
А-<ё)*+<ё)*+ё^)+й^>-(я*+4*)а'+£л+5^
так что инвариантность формы вообще не имеет места. ►
§14. Формула Тейлора
для функции нескольких переменных
Пусть функция z = /(ж, у) имеет непрерывные
частные производные до п-го порядка включительно во
всех точках (я, у) некоторой, 6-окрестности точки
(х0, уо) и пусть точка (xQ + Дя, уо + Ду) принадлежит /
этой окрестности (рис. 16). Положим /
x = x0 + tAx} у = Уо + *Ду, ' (1) J
где t € [0,1] — новая независимая переменная. Тогда
* = /(з> У) = f(xo + *Дя, Уо + *Ду) = <p(t),
так что величина z оказывается сложной функцией от ty
определенной на отрезке [0,1] и имеющей там
производные до порядка п включительно. Поэтому z = <p(t)
можно представить формулой Тейлора по степеням t:
(*о> Уо)
(х0 + Ах,у0 + Ау)
Рис. 16
Полагая t=lt получим
>-')(о) „ , <pinUet) n '
v \ ;,n-i + y w>t»t- о<в< 1.
(п - 1)!
г
п!
• +■/■.. .\. +
п!
О < д < 1.
(2)
(«-1)1
Выразим величины в правой части формулы (2) при помощи исходной функции f(x) у)
и ее производных. Заметим, что аргументы хиу функции /(ж, у) являются
функциями от ty но имеют постоянные дифференциалы dx = Да: • dt, dy = Ду ' • dt (Да, Ду —

§14. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
.11?
фиксированные числа). Поэтому для вычисления последовательных дифференциалов
функции г =/(ж, у) применима формула
= (£(Az<tt) + ^(Ay<tt)) f(x,y) = (Ада+i- Ay} f(x,y)(dtj',
откуда
dip
= ^)(0=(АДх + |.Ду)р/(Х)У).
(3)
При* = 0всилусоотношений(1)имеемя: = a?o, У = Уо* и формула (3) принимает вид
pw<°> '= (£ А* + тсд»У/<*.»)l^o (p = o,i n-i). (4)
При * = 0 получаем
^(|)в(±д.Ч.±д,у/<^
Заметим еще, что
.^(0 = /(*о + А«, уо + Ау).
Подставляя выражения (4), (5) и (6) в равенство (2), получим, что
(5>
(б)
f(z0 + Ах, у0 + Ау) = /(so, Уо) + \j£ Ах + — Ду1 /(г, у)
I /а а \п"'
l / a a .v* ,
(7)
Это — формула Тейлора для функции z = /(х, у) dsjoc переменных, z
д
b-kih^'+ii*)***1*
— остаточный член этой формулы в фо/ше Лагранжа.
Приведем сокращенную форму записи формулы Тейлора. Перенося первое ела»
гаемое правой часта формулы (7) в левую часть и обозначая разность /(#о + Дз,
Уо + Ау) - /(so, Уо) через Д/\{хш), получим, что
Д/1, = <*/|/ X*t\*f
Wft) ччт) 2!
(до) ■. (n.-l)!
ef-1/
+ »7 <f/
toft)- M-- I
{«0+*&** ¥o+*Af)
(8)

138 ■ _ ■ , „ ., ■ ; -.-•■-■ - „„, -, ■ • ■ ._ Г л аю XV > Функции нескольких переменных
Формулой (8) йользую#ся Шя приближенного вычисления приращения Д/ функции
z = /(ж, у) в точке Mq{xq, y0).
При достаточно малыхло модулю значениях Ах и Ду.и при ^ Ф О за приращение
функции Д/ приближенно можно принять дифференциал df. Это означает, что
в правой части формулы Тейлора (8) берется только одно первое слагаемое. Если
приближенное равенство Д/ ж df не дает требуемой точности, то для повышения
точности можно воспользоваться дальнейшими членами формулы Тейлора (8).
Пример, разложить функцию
/(ff,y) = e*siny
по формуле Маклорена с остаточным членом 3-го порядка.
<4 Формула Тейлора (7) с остаточным членом Щ имеет вид
/(so + Д*> уо + Ду) = f(x0ly0) + /i(x0,2Л>)Д* + fy(*Q, 2/о)Ду+
+ | [/£(*о, Уо)**2 + 2/^(*о, Vo)b*by + /JW*o. 2/о)Д^2] +
+ ~ [/£•(*. У) Д*3 + 3/йг(±, у) Д* 2^ + 3/5,(*, у) Д*Ду2 + /^*, у)Ду3] Ц^д..
Формула Маклорена получается из нее, если положить хо = уо = 0, Ax = xf Ду = у:
/(*эУ) .= /(o,p) + /i(of р)*.+ ^(о,о.)у+ ^[^*(о9о)с2гЬ vfy(Q,o)«y+/;lf№q)y2]+ )
+ 3! l'"»(fe''*** + 3A(^.**)*V+ 3/jy0s,%)sy2 + 0'*>:ty)y3], 0 < 9 < 1.
В данном случае
f(x,y)= e*siny, /(0,0) = 0;
/i(^y)= e*siny, /i(0,0) = 0;
f'y{*,y)= e*cosy, /,(0,0) = 1;
&(*,*) = e*siny, /£(0.0) = 0;
Д(х,у)= e*cos^ /^(0,0) = 1;
/y'y(*,y) = -e*smy, #,(0,0) = 0;
'£«(*,!() = Vsinys JU«('Mjf) = e*einty;
f%v(x,y)= e*cosy, /'^(Bx.By) = e8* cos By;
/i*(*,*) = -e*siny, . ftVy(BxJy) = --e$* sin By;
fyyy(x\ У) = "~e* c<>sy, fyVV(Bx, By) = -<?** cos By.
Таким образом, формула Маклорена (*) принимает вид
еж siny -y+xy+ ие9х$1пВу'ХЪ + ЗеВх<^$у-х2у-Зе9х81п$у'ху2-е9хстВу'у3],>
Замечание 1, Нетрудно заметить, что формулу Маклорена моато записать так:
/(^y)=/(0,0)+Pl(a:ty) + i^(x5y) + -i< + Pn-i (я, у) + J2ft!
где i\(x, у) — однородный многочлен к-ой степени относительно ж, у.

§15. Экстремум функции нескольких переменных.
.139
§ 15. Экстремум функции нескольких переменных
15.1. Понятие экстремума функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия экстремума
Пусть функция z — /(х, у) определена в некоторой области D и пусть Мо(жо, Уо)—
внутренняя точка этой области.
Определение. Если существует такое число 6 > 0, что для всех Ах и Ду,
удовлетворяющих условиям |Дж| < б и |Ду| < 6, верно4неравенство
Д/(яо, Уо) = f(x0 + Дх, уо + Ду) " /(яо,-'Уо) < °> 0)
то точка Мо(жо> Уо) называется тонкой локальногомаксимума функции / (я, у); если же
для всех Дж, Ду, удовлетворяющих условиям \Ах\ < 6 и | Ду | < 5,
А/(ж0, Уо) = f(x0 + Дж, уо + Ду) - /(х0, уо) >0,
то точка Мо(жо, уо) называется тонкой локального минимума.
(2)
Иными словами, точка Мо(ж0, Уо) есть точка максимума или минимума функции
/(ж, у), если существует 6-окрестность точки Мо(ж0,уо) такая, что во всех точках
М(ж, у) этой окрестности приращение функций
Д/^/(^у)-/(я0,Уо)
сохраняет знак.
Примеры.
1. Для функции
z = х1 + у1
точка О(0, 0) — точка минимума (рис. 17).
2. Для функции
точка 0(0,0) является точкой максимума (рис. 18).
3. Для функции
-7 + S,
точка 0(0,0) является точкой локального максимума.
х2+у2фО,
х = у = 0,
<4 В самом деле, существует окрестность точки 0(0, 0), например,
круг радиуса ^ (см. рис. 19), во всякой точке которого, отличной
от точки 0(0,0), значение функции /(ж-, у) меньше 1 = /(0,0). >
г « х2 + у2
Рис. 17
Мы будем рассматривать только точки строгого максимумам минимума функций,
когда строгое неравенствЬ Д/ < 0 или строгое неравенство Д/ > 0 выполняется
для всех точек М(ж, у) из некоторой проколотой ^-окрестности точки Мо-
Значение функции в точке максимума называется максимумом, а значение
функции в точке минимума — минимумом этой функции. Точки максимума и точки
минимума функции называются точками экстремума функции, а сами максимумы и
минимумы функции — ее экстремумами.

140.
/\* »I ~ #2 - ya
. Глам XV. Функции нескольких переменных
iz
Рис, 18
Рис, 19
Теорема 11 {необходимое уелоеие экстремума), Если функция
* = /(«,!/)
имеет экстремум в точке Мо(х0) уо), то в этой точке каждая частная производная §§
и Щ либо обращается в нуль, либо не существует,
щ Пусть в точке М0(яо) Уо) Функциям = /(а, у) имеет
экстремум* Дадим переменной у значение у& Тогда
функция z = /(а, у) будет функцией одной
переменной х\
**= /(a,lfc).
Так как при х = xq она имеет экстремум
(максимум или минимум, рис. 20), то ее производная по х
при х = х0, т.е. (|§)|(Ж(Ш)> ™бо равна нулю,
либо не существует, Аналогично убеждаемся в том, что
( Зу) L у\ или равна нулю, или не существует. ►
Точки, в которых || = 0 и || = 0 либо не
существуют, называются критическими точками функции
* = fix> У)* Точки, в которых Ц = щ = 0,
называются также стационарными точками функции.
Теорема 11 выражает лишь необходимые условия
экстремума, не являющиеся достаточными.
Пример» Функция
■ '**
имеет производные
.•*-»»
Рис. 20
дх Л. дх
которые обращаются е нуль приг = у = 0. Но эта функция в точке О(0, 0) не имеет экстремума.

I IS. Экетрзмум фующии нес*олм*х переменных _ —,..,.,„,— _.
4 Действительно, .функция
f(x,y)~x2-y2
равна нулю в точке 0(0,0) и принимает в точках М(х, у), как
угодно близких к точке 0(0,0), как положительные, так и отрицательные
значения. Для нее
.141
А/(0,0) = /<х,у)-/(0,0) = х2^у2,
так что
Г Д/>0 в точках (х,0)
\ Д/< 0 в точках (0, у)
при сколь угодно малых |г| > 0 и |у| > 0> ►
Рис. 21
Точку "0(0,0) указанного типа называют точкой мини-
макса (рис, 21).
Достаточные условия экстремума функции двух переменных выражаются
следующей теоремой.
Теорема 12 (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пустьточка М0(х0) г/о)
является стационарной точкой функции f(x\y), a-
Л(«0эЛ)'=О 'и 4(^Уо) = 0,
и в некоторой окрестности точки Mq(xq, у$), включая саму точку Мо, функция /(ж, у)
имеет непрерывные частные производные до второго порядка ёгслючитёльно. ТЬгда:
1) в точке Мо(жо, Уо) функция /(ж, у) имеет максимум, если в этой точке
определитель
Я(яо, Уо) =
/i(*o,lto) /J(*o,»o).
fxy(*o,Vo) /уу(«о,!/о)
= /м(«(ь- Уо) • /£(«о, !/о) - /#(«о, Уо) > О
/*.(*о,И>).<0 №«о?Уо)<0);
2) в лючке Мо(шо, з/о) функция /(ж, у) *а*еетя минимум, если
D(x0,y^>0
(«о,Уо)>0 .(Jff(«p,|to)i.>0);
3) в точке Мо(хо^у(^ функция f(x, у) не имеет экстремума/если
i>(«o,»p)<;ft ,
Еслиже
D(x0,y0) = 0,
то в точке Мо(жо>Уо) экстремум функции /(ж, у) может быть, а может и не быть.
В этом случае требуется дальнейшее исследование.
< Отграничимся доказательством утверждений 1) и 2) теоремы. Напишем формулу
Тейлора второго порйдка для функций /(&, y)i

142 _ -:• - ' ___^__ Гта XV, Функций несаолшгс керемеииых
/(х0 + Дх, 2/о + Ау) = /(«о, 2/о) + /i(s<j, 2/о)Дз + /у(х0> 2/о)Ду +
+ ~[fU*,2/)Д*2 + 2/£у(х, 2/)ДхД2/ + /* (а>,»)Ay2]'|Wo+#A»,
2 - - |у-у0+^Ду
где Q < в < 1. По условию /i(x0,2/о) = 0, /у(х0,2/о) = 0, так что
Д/=7(х0 + Дх, 2/о + Ay) - /(so, 2/о) =
= ^ [/£(*> 2/)А^2 + 2/^у(х, 2/)ДхДг/ + &(*i У)*У2]
X=Xq-¥0Ax i
y=y0-f^Ay
(О
2'
откуда видно, что знак приращения Д/ определяется знаком трехчлена в правой
части (1), т. е, знаком второго^дифференциала d2/* Обозначим для краткости
А = /£,(*, 2/), в = £(х,у), С = /£(*, у).
Тогда равенство (1) можно записать так:
Д/ = I (АДх2 + 2ВАхАу + САу2) Uso-н^*. (2)
2 ly=ffo4-$Ay
Пусть в точке М0(хо, 2/о) имеем
АС-Б2 >0, (3)
т» е.
/^(^о, 2/о) *^(хо?2/о) -/^(^S^)) > 0/
Так. как по условию частные производные второго порядка от функции ■f(xi у)
непрерывны, то неравенство (3) будет иметь место и в некоторой окрестности точки
М0(хо,Уо).
Если выполнено условие (3), то А = /^(х, у) Ф 0 в точке М0, и в силу
непрерывности производная /ix(x> у) будет сохранять знак в некоторой окрестности точки М0.
В области, где А Ф 0, имеем
ЛДх2 + 2ВАхАу + СДг/2 = 1 [(АДх + ВАу)2 + (ЛС - Б2)Ду2].
Отсюда видно, что если АС -В2 > 0 в некоторой окрестности точки МЬ(хо, 2/о),
то знак трехчлена АДх2 + 2ВАхАу + СДу2 совпадает со знаком А в точке (з0?2/о)
(а также и со знаком С, поскольку при АС - В2 > 0 Л и С не могут иметь разные
знаки).
Так как знак суммы ЛДх2 + 2БДхДу + САу2 в точке (х0 + 0Дх? у0 + 0Ду)
определяет знак разности
Д/ = /(х0 -I- Дх, 2/о + Ду) - /(жо, Wb)» ■ ■■■'.
то мы приходим к следующему выводу: если для функции /(х?у) в стационарной
точке (х0,2/о) выполнено условие АС - Б2 > 0 и Л < 0 (С < 0), то для достаточно
малых |Дх| и \Ау\ будет выполняться неравенство
Д/ = /(х0 + Дх, 2/о + Ду) - /(з0,2/о) ^ 0.
Тем самым, в точке (х0, у0) функция / (х$ у) имеет максимум.
Если же в стационарной точке (х0, уо) выполнено условие АС - Б2 > 0 и А > 0
(С > 0), то для всех достаточно малых |Дх| и \Ау\ верно неравенство
Д/ = /(х0 + Дх, 2/о + Ау) - /(х0,2/о) ^ 0, ;
и, значит, в точке (шо, 2/о) функция f(x,y) имеет минимум. ►

If 15. Экстремум функции нескольких «ременных „
143
Примеры.
1. Исследовать на экстремум функцию
z = х2 + 2у2 - 2х + 4у - 6,
-4 Пользуясь необходимыми условиями экстремума, разыскиваем стационарные точки функции. Для
этого находим частные производные j£t щ и приравниваем их нулю. Получаем систему уравнений
{ 0£
дх
~2ж™2 = 0,
dz
--4,+4"-0,
откуда х = 1, у = -1> так что Мо03 -1) — стационарная точка. Воспользуемся теперь теоремой 12.
Имеем
А\ -*
\Щ дх2
= г в\ ■*
а2*
^о дх By
щ
м '1 а2*
= 4,
&о
вначит, в точке Л/0 экстремум есть. Поскольку л1 == 2 > 0, то это — минимум»
Если преобразовать функцию z к виду
г = (х-1)2+2(у + 1)2-9,
то нетрудно заметить, чтс правая часть (*) будет минимальной, когда х == 1, у = — 1. Это —
абсолютный минимум данной функции, ►
2. Исследовать на экстремум функцию г
z=xy.
М
* Находим стационарные точки функции, для чего составляем систему уравнений
дг
1Гх=У^
—~ = х = 0.
Отсюда ж sb j/ = 0, так что точка Л/о(0,0) — стационарная, Так как
а\ "■■ = *£
(Af0 &e2
1Mb
' 'Alb #я%
м0
-1 с\ -^
= о,
Wo
• ис-^Ц—ко
и в силу теоремы 12 в точке Л*о(0.0) экстремума нет. ►
3. Исследовать на экстремум функцию
z в ж4 + #4*
4 Находим стационарные точки функции. Из системы уравнений
Гх=4х = 0'
получаем, что а? = у =>0» так что стационарной является точка Л/д(0,О). Далее имеем
Wo ##2
Л:
м0
= 0. Я =
«fc дх§у
щ
°' . U> Ж5
= о,
A^j

144 ,,. , ,.., ,r, ;, ,';,. fttata XV» Фумод* н#с«отли* мремекмы*
*
так что
^■-«Ч^-А
и теорема 12 не дает ответа на вопрос о наличии или отсутствии экстремума, Поступим поэтому так.
Для функции
во всех точках M(z% у), отличных отточки Afb(0,0),
4/(0,0) = f(xiV) - /(0,0) = «4 + у* > О,
так что, по определению, в точке Л/о(0,0) функция ъ имеет абсолютный минимум.
Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что функция
г - ~я4 «. у4
имеет в точке О(0,0) максимум, а функция
4 4
в точке О(0,0) экстремума не имеет, ь»
Пусть функция п независимых переменных
■tl=/(»ir«2j.-M*n)
дифференцируема в точке Мо(ж°, х\>_..., ж®), Точка Мо называется стационарной
точкой функции и, если
dXi
= 0 (•.-1д.;.1п1
«о
Теорекш 13 (достаточные услойия экстремума)* Дуе/иь функция и = /(хь х2,..., шй) зяре-
делена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрест-
ности тонки Mo(a:f, ж^ ,,, ?xj), которая является стационарной тонкой функции
f(xu Х2, • • •, Фп}* ЗЪгдя, есд</ квадратичная форма (второй дифференциал функции f
в тонке Мо)
^(da?h&а>,..5efa?n) e 2J
dxicte/ (4)
Mo
является положительно определенной (отрицательно определенной), то тонкой минимума
(соответственно, тонкой максимума) функции f является тонка Мъ(х\ух\> ,..,&£).
Если же квадратичной форма (4) является знакопеременной, то в тонке М0 экстремума
нет, ,
Для того чтобы установить, будет ли квадратичная форма (4) положительно или
отрицательно определенной, можно воспользоваться, например, критерием Сильвестра
положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы,
15.2. Условный экстремум
До сих пор м ы занимались отысканием локальных экстремумов функции во всей
области ее определения, когда аргументы функции не связаны никакими дополнительными
условиями. Такие экстремумы называются безусловными. Однако часто встречаются
задачи на отыскание так называемых условнщ экстремумов.
Пусть функция z = /(«, у) определена в области D. Допустим, что в этой области
задана кривая L, и нужно найти экстремумы функции /(ж, у) только среди тех ее
значений, которые соответствуют точкам кривой L* Тание экстремумы называют
условными экстремумами функции z = f{x) у) на кривой L.

515. Экстремум функции тш^йштщтштт.
^14Г
Определение. ГЬворят, что в точке Мо(х0, у0), лежащей на кривой £, функция f(xyy)
имеет условный максимум (дшя«*(уж), если неравенство
/&У)</(яо>Уо)
(соответственно
/(&,у)>/(х0,Уо))
выполняется вовсехточках М(ж? у) кривой L, принадлежащихнекоторой окрестности
точки Мо(шо, уо) и отличных от точки Мо (рис. 22),
Если кривая L задана уравнением <p(xf у) = 0, то задача о нахождении условного
экстремума функции z = f{xfy) на кривой L может быть сформулирована так: найти
экстремумы функции z = f(x} у) в области D при условии, ч*о f (х, у) =» 0.
Таким образом, при нахождении условных экстремумов функции z — /(я, у)
аргументы я и у уже нельзя рассматривать как независимые переменные: они связаны
между собой соотношением <р(х) у) = 0, которое называют уравнением связи.
Чтобы пояснить различие между безусловным и условным экстремумом, рассмотрим такой пример.
Безусловный максимум фунации
(рис. 23} равен единице и достигается в точке (0,0). Ему соответствует точив М — вершина
параболоида, Присоединим уравнение связи у « j, Тогда условный максимум будет, очевидно, равен |. Он
достигается а точке (о, 5). и ему отвечает вершине М\ параболы, являющейся линией пересечения
параболоида с плоскостью у «к|. В случае безусловного максимума мы имеем максимальную
аппликату среди всех аппликат поверхности * = 1 - я2 ~ у2; ш случае условного — только среди аппликат
точек параболоида, отвечающих точкам прямой у = j на плоскости хОу.
Один из методов отыскания условного экстремума функции
*-/(*» У);.
при наличии связи
р(*>у)-4-'
состоит в следующем.
о)
(2)
Рис. 22
Рис. 23

ш.
. Глава XV. Функции нескольких переменных
Пусть уравнение связц # (ш> У) — .Р определяет у как однозначную
дифференцируемую функцию аргумента х:
Подставляя в функцию z ==/(ж, у) вместо у функцию ^(я), получаем функцию одного
аргумента
r=/fo#r))=F(a:), (3)
в которой условие связи уже учтено. Экстремум (безусловный) функции F(x) является
искомым условным экстремумом*
Пример. Найти экстремум функции
при условии
2 2
k-ЬУ- 1~0,
0')
(20
РйсЛ4
ц Из уравнения связи (2') находим у ~ 1 -ж, Подставляя это
значение у в (Г), получим функцию одного аргумента х;
;. z==s2 + (l~a:)2<
Исследуем ее на экстремум:
"щ\ = 2х - 2(1 - х),
откуда х = 1 — критическая точка; г/? = 4 > 0, так что х == ~
1 ■
(У = 2^ Доставляет условный минимум функции z (рис.24), fr»
Укажем другой способ решения задачи об условном
экстремуме, называемый методом множителей Лагран-
жа.
Пусть М0(&о> Уъ) есть точка условного экстремума функции
'*=/(*, У)
при наличии связи
Допустим, что уравнение связи определяет единственную непрерывно
дифференцируемую функцию
у = 1р(х)
в некоторой окрестности точки xQ. Считая, что
£ = #*)>
получаем, что производная по ж от функции / (ж, *ф(х)) вточкежо должна быть равна
нулю или, что равносильно этому, должен быть равен нулю дифференциал от /(ж, у)
в точке Мо:
■"(4f)|^ = (/:*e + /fd»)||<k-0. (4)
Из уравнения связи имеем у
(^)Ц = Ы^ + ^^)Ц = 0. ■ (5)
Умножая последнее равенство на неопределенный пока числовой множитель Л и
складывая почленно с равенством (4), будем иметь
(r«+;M)'iM&-«te+'(/;+M)Ue*=&-

§15. Экстремум функции нескольких переменных.
.147
Предположим, что значение множителя Л выбрано следующим образом:
W+M)L = o
(считаем, что ipfp Ф 0). Тогда в силу произвольности dx получим
(/J+M)
= 0.
(6)
(7)
Равенства (6) и (7) выражают необходимые условия безусловного экстремума в точке
Мо(шо, Уо) функции
р(ъу) = /(*>у) + *Ф>у)>
которая называется функцией Лагранжа.
Таким образом, точка условного экстремума функции Цхуу), если <р(х^у) = 0,
есть обязательно стационарная точка функции Лагранжа
F(x,y) = №,у)+\ф,у),
где А —- некоторый числовой коэффициент. Отсюда получаем правило дАя отыскания
условных экстремумов;
чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции
z = f(x> У) при наличии связи <р(х, у) = 0:
1) составляем функцию Л агранжа
F(x,y) = f(x,y) + \<p(xyy);
2) приравнивая нулю производные §§ и Щ этой функции и присоединяя к полученным
уравнениям уравнение связи, получаем систему из трех уравнений
~ = f'x(x,y) + X<p'x(x,y) = 0,
{ ^■■sjJ(»>y) + Ap;(aJ>y) = Of. (8)
dF , '
— = V?(s, у) = 0,
из которой находим значения А и координаты х, у возможных точек экстремума.
Вопрос о существовании и характере условного экстрему ма решается на основании
изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
7 , ч d2F 2 d2F 82F 7
d2F{x, у) = -3- dx2 + 2 .2— dx dy+—r dy2
дтду 9 dy2
для рассматриваемой системы значений ж0, у0, А, полученной из (8) при условии, что
g<te + ^<fc = 0 ((dx)2-f(d2/)2#0).
Если d2F < 0, то в точке (ж0, Уо) функция /(ж, у) имеет условный максимум; если
d2F > 0 — то условный минимум. В частности» если в стационарной точке (atylfo).
определитель D для функции\F(x, у) положителен,
I Fxx (хоуУо) F"y(x0iyo)\
\Fxy{x0yyo) Щ1у(х0ууо)\
Щхо,Уо)~
>0,

1£8 „ ; ,„.,.,. „,,:, ,:: ,„., .,, —wТпшXV, Функции нескольких переменных
то в точке (яо, Уо) имеется условный максимум функции /(ж, у), если
-.Л = !&(*о,»>)<Ь (С = ^(х0,2/о)<0),
и условный минимум функции /(ж, у), если
4 = #»<«*»№)> 0 (C = JFft(*o»lto)>Q).
Пример* Вновь обратимся к условиям предыдущего примера: найти экстремум функции z = as2 + у2
при условии, что х + у = 1.
* Будем решать задачу методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид
F(x, у; А) = х2 + у2 + Х(х + у ^ 1).
Для отыскания стационарных точек составляем систему
'.JPj =2z + A = 0,
^=52у + А = 0,
^ = *Ч~у-1=0.
Из первых двух уравнений системы получаем, что х = у. Затем из третьего уравнения системы
(уравнения связи) находим, что х = у = | — координаты точки возможного экстремума. При этом сказывается,
что А = -1, Таким образом, фужщия Лагранжа
u,v F(x,y;-l) .= as2+.**-*-**!,. „
Для нее f£ = 2, Fgv = 2, F|g = 0, так что
1201
4oal-4>a • ;
и FSx ».2:> 0, т.е. точка Mq(j» 5) ^^ точка условного минимума функции z = х2 +у2 при условии
х + у= 1. ►
Отсутствие безусловного экстремума для функции Лагранжа F(a5, у) еще не
означает отсутствия условного экстремумадля функции /($-, у) при наличии связи <р(х1 у) = 0,
Пример. Найти экстремум функции z = &у при условии у - ш а=0, i
<* Составляем функцию Лагранжа
F(^y;A)-ajy + A(y«4
и выписываем систему для определения А и координат возможных точек экстремума:
'4=у-.А=0»
F*y =x + А = 0^
[Ftx=y-x = 0.
Из первых двух уравнений получаем х + у = 0 и приходим к системе
Гх + у = 0?
\у-ж = 0,
откуда г = у = А = 0. Таким образом, соответствующая функция Лагранжа имеет вид
F(s,y;0) = a>y.
8 точке (0,0) фуниция F(x1 у; 0) не имеет безусловного экстремума, однако условный экстремум
функции z — ху, когда у = х> имеется. Действительно, в этом случае z — х2. Отсюда видно, что в точке
(0,0) есть условный минимум, ►
Метод множителей Лагранжа переносится на случай функций любого числа
аргументов.
Пусть ищется экстремум функции
2 = /(ЯьЯ2,...>Жп) /

J15. Эктрвмумфунс^шнескольких переданных , 149
при наличии уравнений связи
<р](хьх2,...,хп) = 0,
>2(яь&2,-.,&*) = О,
(9)
где га < п.. Составляем функцию Лагранжа
+ А2^>2(«Ь 32? .., , Зп) + .. - +.Am^m'(^b^2i«'«-i^n)i
где Ai, А2,..., Ат — неопределенные постоянные множители. Приравнивая нулю
все частные производные первого порядка от функции F и присоединяя к
полученным уравнениям уравнения связи (9), получим систему п'+т уравнений, из которых
определяем A*, A2f • \., Ат и координаты х\, ж2,. •,, хп возможных точек условного
экстремума* Вопрос о том, являются ли найденные по методу Лагранжа точки
действительно точками условного экстремума зачастую может быть решен на основании
соображений физического или геометрического характера»
15,3, Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций
Пусть требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции z = /(«, у),
непрерывной в некоторой замкнутой ограниченной области D, По теореме 3 в этой
области найдется точка (х0, у0), в которой функция принимает наибольшее
(наименьшее) значение. Если точка («о, У о) лежит внутри области D, то в ней функция / имеет
максимум (минимум), так что в этом случае интересующая нас точка содержится среди
критических точек функции /(х, у); Однако своего наибольшего (наименьшего)
значения функция f(x>y) может достигать и на границе области. Поэтому, чтобы найти
наибольшее (наименьшее) значение, принимаемое функцией z = /(»,- у) в
ограниченной замкнутой области £>> нужно найти все максимумы (минимумы) функции,
достигаемые внутри этой области, а также наибольшее (наименьшее) значение
функции на границе этой области. Наибольшее (наименьшее) из всех этих чисел и будет
искомым наибольшим (наименьшим) значением функции z = f(xyy) в области D.
Покажем, как это делается в случае дифференцируемой функции*
Пример, Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в области Z>{-1 < х < 1, -1 < у < 1}.
4 Находим критические точки функции z = х2 + у2 внутри области D. Для этого составляем систему
уравнений
8* , ■«■"■■
Отсюда получаем х = у = 0* так что точка О(0,0) — критическая точка функции z. Так как
V Л_, d2z ■■>* ■
дР~2> а?*2* ШЩ-0$
то в этой точке ЛС - В2 = 4 > 0 и Л = 2 > 0, и, значит, в точке 0(0,0) функция z = а?2 + у1 имеет
минимум, равный нулю,

150.
Найдем теперь наибольшее и наименьшее
значения функции на границе Г области В* На части
границы Т\ = {х = 1, -1 ^ у ^ 1} имеем
Тл8$а XV* Функции нескольких переменных
2 д* л
ли
dp
2 > 0, то в этой точке функция z = 1 +|р имеет
минимум, равный единице. На концах отрезка Гь в точках
(1,-1) и (1,1), имеем
*(l,-lf = i(l;l) = 2.
Пользуясь соображениями симметрии, те же
результаты получаем для других частей границы Г2 =
{у = 1,-1 ^ х ^ 1}, Г3 = {х = -1,-1 ^ у ^ 1}
и Г4 ={у = -1,-1 ^ а? ^ 1}. Окончательно получа-
ем; наименьшее значение функции z ^ %2-¥%2 в
области Ъ равно нулю и достигается оно во внутренней .
точке О(0, 0) области, ъ наибольшее значение этой
функции, равное двум, достигается в четырех точках
границы МН1, -1), Jrf2(i,"l). *з(-1, О, М4(-1, -1) Мг
{рис.25)> * \
Рис.25
Упражнения
Найдите область определения функций:
I. 2=arcsin- + vW- 2. г = \Л «- ж2 +у 1 -у2* 3. г = увт(^а+^2).
4. *=х—*- + -. 8. z = ln(s2+y), 8, z = $y+^m% + y2-R2 + dln
7. 2=ctg*r(x + y), ^ 8. a)z=y$m#'smy; б)z^Vsm$- i+y^siny ~ L
Постройте линии уровня фунмдей:
9. a) z = х + у; б) * = х2 + у2, 10. а) * = ™; б) г = JL;
II. a)z = ta(xa-f у); б) * = arcsin sy,
Найдите поверхности уровня функций трех независимых перемеиных;
12.fi = х + у + г/13, и = ir2 -f у2 - z2.
Вычислите пределы функций:
Л2
£2 + у
2*
14. a) lim г ■;
«-о- яу
б) lim
х2у
>-0 *
15. a)lim^; б)Нт?^.
«-Q Ху *-•' Ж
,2 .,2
18, a) lim Г1 + ^У; б) lim 4-^7- W. a) lim ** У
|Mt(fc«cONt).
^
° аг2 -ht/2 *
г-.о *
б) lim
е «''■иг
pS^+y1'
18* Покажите, что функция z = |±J при ж -* 0, у -» 0 предела не имеет, Рассмотрите
поведение функции на прямых у = fcx.
Укажите множества точек разрыва следующих функций:
Л -/ ■■:■•■■■ ■.'■:"':■' .1 1
19. ъ)г = -т—1; 6)z=lnJx*+p\ 20.a)z.= —-^ г; б)г =
я2+у2 v 1-ж2-у2 (я-у)2
21. а) г = cos —; б)* = жу.
ху
22.'* =
1
sin23ra?+sm2?ry'

J15* teTpeM^i фунади шшжшш переменных ; _ , If!
Найдите частные производные функций и их полные дифференциалы:
23. г-хг +у2-2ху\ 24. г^шс\%-. 25. * = «".' 26. 2 = 1п(ж+1пу).
27. tx = sy+y2 + :r2, 28. u^^z2-\~y1^z2: 29. 2 = ch(s2y+shy). 30. 1х = ж*
Найдите производные сложных функций:
31. a) z = х2 + агу + у2, где ж = *2, у = i Найдите §» б) г = |, где х = е*, у = 1-е2'.
Найдите §,
32. а) г = же*, где у = arctg х, Найдите §§ и ~. б) г = 1п(ж2 - jf2),где у = е*. Найдите §§
«fc-
33. a) z = arctg |, где ж = tx sin v, у = tx cos v. Найдите |j и §f. 6) > = x2 + у2, где
ж = tx + v, у = tx - v. Найдите |f и f~*
34. Используя формулу производной сложной функции двух 'переменных, найдите ^ и Ц
функций: a) z = /(tx), г де и = arcsin жу + |, б) г = /(tx), где tx' = $ai*~+et8"?.
35. Используя формулу производной сложной функции двух переменных, найдите §j и §j
функций: a) z = /(tx, v), где tx = ж2 In у, v = arcsin |, 6) z = /(tx, v), где tx = e* *oosy,
v = arctg f ♦
Найдите j| функций3 заданных неявно:
36. a:2+y2+ln(a?2 + y2) = a2, 37.1ntg — -=b.
XX
X 1
38. Vy + arcsin - + - = 0. 39* у* = ж".
V У
40. Найдите угловой коэффициент касательной кривой х2 + у2 = 10у в точ^е пересечения
ее с прямой ж = 3.
41. Найдите точки, в которых касательная кривой ж2 + у2 + 2а? - 2у- 2 = 0 параллельна
осйОж. ..-.-, ;:^='\: :-:;
В следующих задачах найдите || и |j:
42» a;cosy + yeos2 +zcosx= 1.
.«.s+s+s-r.. ■■;;; :-'.. "';
Напишите уравнения касательной плоскости и нормали поверхности:
44. г = я2 + 2у2 вточке (1,1,3).
45« 7 + fr + fr = 1 в точке (а?о,'у<ь.*о>.
46. z = sin ж cos у в точке (f» f г $) *
47. z = ж2 +у2 + 2жу вточке(1,1,4).
48. ж2 + у2 + жуя - Э = 0 в точке (1,1,1).
49. Составьте уравнения касательных плоскостей поверхности х2 + 2уа + Зг2 = 21,
параллельных плоскости х + 4у + 6г = 0.
Найдите три-четыре первых члена разложения по формуле Тейлора:
50* /(ж, у) = еж cos у в окрестности точки (0, 0).
51. /(ж, у) = е* 1п(1 + у) в окрестности точки (0,0),
52. /(ж, у) = жу в окрестности точки (1, I).
53. /(ж, у) = arctg—^ в окрестноститочки (0,0).
54. /(ж, у) = еж+у в окрестности точки (lrM). f

152 ; _ _ Глава XV. Функции нескольких переменных
Пользуясь определением экстремума функции, исследуйте на экстремум следующие
функции: ,
55. z = 1 - (х - 2)4 - (у - З)4 в точке (2,3).
56. z = (х - 2)4 + (у - З)4 в точке (2, 3).
57. z = ж4 - у4 в точке (0,0).
58. z = sin4 ж — (у — I)4 в точке (0,1).
Используя достаточные условия экстремума функции двух переменных, исследуйте на
экстремум функции:
59. z = 2у-я2 -у2. 60. z = я2-2я + у2. 61. z = 2яу ~4я -2у.
62. * = я3 + 8у3-ба;у+ 1. 63. z^effa + y2).
64. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = х2 - у2 в замкнутом круге
*2+у2<1.
65. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции * = а?2у(4-а?-у) в треугольнике,
ограниченном прямыми х = 0, у = 0, х + у = б.
66. Определите размеры прямоугольного открытого бассейна, имеющего наименьшую
поверхность, при условии, что его объем равен V.
67. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего при данной полной
поверхности S максимальный объем.
Ответы
1. I ^Vn ' и 1 *Г<(Г ' * ^' ^вадРат» образованный отрезками прямых х = ±\ и у=±1,
включая его стороны. 3. Семейство концентрических колец 2жк < х2 + у2 < (2к + 1)тг, к =
0,1,2,... . 4. Вся плоскость за исключением точек прямых у = ж и у = 0. 5. Часть плоскости,
расположенная выше параболы у = -ж2. 6. Точки окружности х2 + у2 = .R2. 7. Вся плоскость
за исключением прямых х + у = n, n = 0 ± 1, ±2,... , 8. а) Подкоренное выражение неотрица-
f sin х > 0, f sin ж < 0 '
тельно в двух случаях < . £ J или < ■ . и < л что равносильно бесконечной серии
неравенств I'2**<*^(21Н-1)1гГ * = 0,±1,±2,..Г ' Г (2Л-1)7Г<х<2Лтг, * = 0,±1,±2,...
\2m;r<y<(2m + l)7r, m = 0,±l,±2,... и \(2т-1)тг<у<2т7г, т = 0,±1,±2,...
соответственно. Область определения — заштрихованные квадраты (рис. 26);
-ч /sinж-1=0, , ' * ■
' 1 sin «—1=0 что Равносильно бесконечной серии
хк = ™ + 2Ь-, fc = 0,±l,±2,,>.
Ут= "J + 2Ш7Г, Ш = 0, ±1, ±2, . . ,
Функция определена в точках М^ = (хк} ут).
9. а) Прямые, параллельные прямой х + у = 0; б) концентрические окружности с центром
в начале координат. 10. а) параболы у = Сх2\ б) параболы у — С>/х. 11. а) параболы у = С-х2
(С > 0); б) гиперболы ху = С,где|С| < 1. 12. Плоскости х + у + * = с. 13. При и > 0 — одно-
полостные гиперболоиды вращения вокруг оси Oz; при и < 0 — двуполостные гиперболоиды
вращения вокруг оси Oz, оба семейства поверхностей разделяет конус ж2+у2-z2 = 0.14. а) -J;
б) 0. 15. а) 1; б) 2. 16. а) е*; б) 0. 17. а) Предела не существует; б) 0. 18. Положим у = кх,
тогда z = §гШ = -Иг» х Ф 0. При* = -1 имеем lim * = 0,приЛ = \ \irnz = 3, а при к = 3
lim z = -2, так что заданная функция в точке (0,0) предела не имеет. 19. а) Точка (0,0); б) точка
(0,0). 20. а) Линия разрыва — окружность х2 + у2 = 1; б) линия разрыва — прямая у = х.
21. а) Линии разрыва — координатные оси Ох и Оу; б) 0 (пустое множество). 22. Все точки
(т, п),где тип — целыечисла. 23. §§ = 3s2-2y; |j = 2y-2s; dz = (3s2-2y) ds+2(y-s) dy,

J15, Экстремум функции нескольких переменных.
.153
Рис. 26
*- (1, + *)Л + (.ф.*)^+.(#+.|,)Л. 28, §§ = -^ф--; % ^ ^ф_;й = ^ф-^;
d« = 'ffiff? • 29. Ц = sh(*2y + shу)2ху; | = sh(*2y + shу)(*2 + chу); dz = sh(*2y +
shy)[2sydx + (x2 +chy)dyl. 30.du = a**"1 [yzdx+xzhaxdy +xyInxdz]. 31.a)4i3 + 3t2+2t;
6) -2ch<. 32. a) f§ = e"; | = e» (l + ^r); 6) |f = fa; g = ^.33. a) g * d;
& - l; б) Ц --*; fi = 4v. 34. a) §£ = /'(«) [^+^.в.-ГС«.)-[7й^-.^;
6) £ = /<(«)[со$*Л + е«*»_^у]; g = A.>I-«.t.J + ***3fc.]. 35.a) £ =
£2a* + «^ *- .V " «^b^ Й = !^2+йву2х " jfjifrr*- ~§{е»:+и"' •
iny+ff.^. зб.у = -|. 37./= I. a^'fe^.»/^
sin
1иж *
40* В точке A#i(3,1)» |/ * 3/4; в точке M2(3;9),Y = -3/4. 41» Mi(-1,3); Af2(-l,-l),
**' Si - cos*-ysinz> dy - co*#-y*in*' *°' 09 - PI» 6* ~ Йг" HHl **+-*»»-* - <*»
.ijl = «yi. a fc^. 45. ^ + ^ + ^ = i; £|a = JEy = £^i.f 48. x - у - 2z + 1 = °;
а^Й_ 1Ж1* = ^, 47i4a. + 4y.z_4= 0; 2=1 =*^1 =%t 48.3a; + 3y + z-7 = 0;
«jl = iji = M, 49,.x+4y+6z+21 = 0; x+4y+6z-21 =0. 50» 1+ж+^(ж2-у2) + |(ж3-Зжу2).
51.У+1(2*y-y2)+|(3x2y-3*y2+2y3)> 52, l+(e^ 1)+(ж-1)(у-1)+1(ж-1)2(у-1). 53»Ушанив1
воспользоваться формулой arctg f^ « arctg ».- arctg у; получим ж - у - f(x3 -у3) + з(я5 --у3).
54Л + [(ж- 1>.+ <у+ 1)]+ tedlf±ill! + ИегМШИ! - 1+ яр+ ^+ *$Й. 55, zm8x = 1.
56, zmtn = 0. 57. Нет экстремума. 58» Нет экстремума, 59* z^ = 1 в точке (0$ 1). 60. zmkl = -1
в точке (1,0). 61. Нет экстремума. 62» zmlrs = Ов точке (1Г|). 63« гты = -J в точке (-2,0),
64. Наибольшее значение z = 1 в точках (1,0) и (-1,0); наименьшее значение z = -1 в точках
(0> 1) и (0, -1). 65. Наибольшее значением = 4 в точке (2,1), наименьшее значением = -64
в точке (4, 2). 66. х = #2У, у = &2У> z = { \/W> 67. Куб со стороной а = *Д.

Глава XVI ; :
ЭЛЕМЕНТЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Плоские кривые. Способы задания.
Естественная параметризация
Наглядный геометрический объект — плоская кривая — при •точных определениях
приводит к нескольким различным, хотя и близким понятиям. Плоскую кривую
можйо понимать и кйк некоторое множество точек rta плоскости и как множество
точек плоскости вместе с очередностью их прохождения — ориентацией, Приведем
два наиболее распространенных подхода к определению того, что представляет собой
плоская кривая.
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оху,
Определение 1 (неявный способ задания), Плоской кривой называется множество 7 точек М
плоскости, координаты хиу которых при подстановке в уравнение
Щх,у) = 0 (I)
обращают его в тождество,
Пример 1. Уравнение
**'+У-;a2s:0, где а > О,
задает окружность радиуса в с центром в точке О(0, о) (рис, 1),
Другим распространенным способом задания
плоской кривой является параметрический способ за- _
дапйя,
Определение 2. Параметризованной тоской кривой
называется множество 7 точек М плоскости,
координаты а: и у которых определяются соотношениями
*=>(<), У=Щ a^t^b, (2)
где <p(t) Hi/>(t) —непрерывные на отрезке [а, Ь] функции.
Пример 2.
a?=:acost, y^asint, 0 ^ t ^. 2яу (3)
— параметрические уравнения окружности радиуса а с центром в точке 0(0,0), При изменении
параметра t от 0 до 2*г соответствующая точка обегает окружность против часовой стрелки.
Рис, -1,

§ 1. Плоские ириек», Способнзадвния. 6ст#ст*вннзя параметризация 155
Данное определение допускает естественную
физическую интерпретацию. Если воспринимать
параметр t как время, то параметрически заданную
кривую можно рассматривать как с лед движущейся точки
ЛГ(ш, у), координаты которой изменяются со
временем по правилу (2), При этом вовсе не исключается
случай, когда при своем движении переменная
точка М в некоторый момент f может вновь оказаться
там, где ранее (в момент U, U < t*) она уже
находилась:
*>('*) = ¥>(**), ♦(*•) = *(0
(рис.2). Геометрически этооднаитаже точка. Однако
вследствие того, что в рассматриваемом процессе мы
попадаем в нее дважды в разные моменты времени, это две разные точки кривой,
задаваемой параметрическими урашнениямй (2).
Замечание. Строго говоря»определения 1 и 2 вводят в рассмотрение разные объекты. Поэтому для того,
чтобы не впасть в заблуждение, нужно ясно представлять, в каком именно смысле рассматривается
задаваемая кривая.
Пусть кривая 7 задана параметрическими .уравнения^ (2) (рцс. 3). Точка
A(tp(a)ftp(a)) называется начальной тонкой этой кривой, атотеа B(jp(b)^(b)) —•
конечной точкой кривой 7. Кривая 7 называется замкнутой, если ее начальная и
конечная точки совпадают (рис, 4),
Рис.2
РисЗ
Рис. 4
Одно и то же м ножество точекн а плоскости можно задавать при помощи различных
параметрических уравнений,
*
ПримерЗ. Уравнения
т = йст(2жг\ у^ашт(2жг% O^r^l, (4)
задают окружность радиуса а, обходимую в положительном направлении, Легка видеть, что» положив
в формулах (3) 1~2ят3, мы приходим к соотношениям (4). *
Определение, Функция
t = h(r)t .a$r%&
(5)
подчиненная условиям:
, а) Н(т) непрерывна на отрезке [а, р];

156 ' ■ - - Глава XVI. Элементы дифференциальной геометрии
б) ft(r) строго возрастает на отрезке [а,/3];
в) область значения функции ft(r) —отрезок [a, ft],
называется непрерывной заменой параметра кривой 7
(рис, 5).
Заменяя в формулах (2) параметр t на функцию h(r),
получаем уравнения у
— другую параметризацию кривой у,
Любую кривую можно параметризовать многими
различными способами.
Определение 3. Плоская кривая 7 называется п-гладкой относительно параметризации
» = ЧР(*)|' Уя*(*)| <*<*<&>
если функции ^(*), y>(t) принадлежит классу С*[а% Ь]9 п Е N. Если порядок п
гладкости функций p(i), r/f(t) несуществен, то говорят просто о гладкой кривой.
Пример 4, Кривая % заданная уравнениями
является 3-гладкой (рис. 6а).
а) - \
О
/
:/■■■•
\у
В(Х, 1)
/
/...
#
Рис.6
б) i
ж-1.1)
О
^
5(1,1)
■ х
Пример 5. Кривая 7. заданная уравнениями
является 2-глвдой. Однако множество точек на плоскости! описываемое этими уравнениями, имеет
а точке О (при t = 0) особенность — налом (рис*$б>> Это означает, что гладкость функций ф) и ^(<),
задающих кривую» не обеспечивает плавного ее изменения. Отметим» что производные
jp'W-w2, *'(<) = зад
этих функций при t = 0 одновременно обращаются в нуль.
Точка Mq гладкой кривой % отвечающая значению *0 параметра, М0 = Мо(*о),
в которой .
У(*о) = 0, Л) = 0,

{1. Плоски* (фпые. Способы лемм. Есмстмиин ларам^трюэцм.
,157
называется особой /яочкойэтой кривой (относительно заданной параметризации),
Точка Мо(*о) гладкой кривой 7» в которой
• И«о)]? + У<«о)]2:>0-.
называется обыкновенной, птрегулярнощ точкой этой
кривой.
Пример 0. Вое точки окружности (3) являются регулярными.
Пример 7. У кривой, задаваемой уравнениями
х =? a cos* i, у - о sk3 i, 0 < i < 2*-,
(астроида) четыре особых точки (при t = О, |, я% у) (рис, 7),
Определение 4. Падкая плоская кривая 7 называется
регулярной относительно заданной параметризации,
если все ее точки являются регулярными, т. е.
наотрезке[а,&). Рис 7
Последнее неравенство означает, что скорость
\/Н<)]2+Ш?
кривой 7 относительно заданной параметризации не обращается в нуль ни в
одной точке кривой. При изменении параметра t текущая точка M(t) перемещается
порегулярной кривой 7»нигде не
останавливаясь и не поворачивая вспять, "" t~~
ф
t tn
Hh
b
Рис, 8
поскольку скорость регулярной
кривой ни при каких значениях параметра
не обращается в нуль.
Пусть 7 — регулярная кривая, заданная
параметрически. Обозначим через Мо
точку кривой 7» отвечающую значению to
параметра, а через М ~ точ&у кривой 7>
отвечающую значению t параметра из некоторой
окрестности точки to (рис, 8, 9),
Прямая М0Т называется касательной
регулярной кривой 7 в точке Мо, если при М —►
Мо (или, что то же, t —► t0) наименьший
Д0 из углов между этой прямой и
переменной прямой ЩМ стремится к нулю (рис. 9),
Регулярная кривая имеет касательную в
каждой своей тщке. Вектор скорости кривой
в точке Мо.(р'(<о)> ^'(4)) коялинеарен ее
касательной в этрй точке.
Прямая, йроходящая через точку Мо перпендикулярно касательной кривой у
в этой точке, называется нормалью кривой в точке Мо.....
Замена параметра
t±k(f), а<г</?,
называетсяда^ля/жой, если Ы(т) > О во всех точках отрезка [а, /J]. v
Рис. 9

158 ^ ; - . - .,. ,,;,..,-- ..,,, , Глава XVI, Элементы дифференциальной г^рметрии
В случае неявного задания (1) кривая 7 будет регулярной, если в каждой ее точке
М(х, у) выполняется неравенство
[Fa(x,y)Y+\F$(xi9))2>Q.
Точка М0(ж0, у о) неявно заданной кривой у называется особой, если в этой точке
F(*o, Уо) = 0, F9(zo, yo) = ,0f Fv(xq, y0) = 0. (6)
Пример 8. Кривая, заданная уравнением
{$2+у2)2-2а2(х2-~у2) = 0
{лемнискат Бврнулли), имеет одну особую точку О(0,0) —
узел (рис.'10).
Различают несколько типов особых точек.
Пусть М0(ж0, у о) — особая точка кривой 7»
F(*.o, Уо) = 0, Л («о, Уо) = 0? Ц («ь, »о) = 0.
Введем следующие обозначения
Рис. 10
1. Д > 0 =£ Mq — изолированная тонка.
Пример 9.
F(*,y) г (*2+ **)(*-I)-** 0
(рис.11),
« В точке Мо(0» 0) имеем:
F(0,0) = O, F*(0?0) = 0, Fj,(0,0) = 0; A= -2,' В = 0, С =-2; Д = 4>0. ►
2. Д < 0 =3- М0 — двойная тонка (узел).
ПримерЮ.
(рис.12). ^
* В точке ^fo(Oi 0) имеем:
\-?F(0,''0)«0, F*(0,0) = 0, >у(0,0) =0; Л = 2, В.=* О, С = -2; Л = ~4 < 0,>
1 *
Рис.11
Рис. 12
Рис, 13
3. Случай Д = 0 требует бсшее детального исследования, так как характер
особенности кривой при этом условии может быть разным.

§ 1. Плоение кривые. Способы задании. Естественная параметризация ~~ —:———>. Ш
Пример 11.
(рис.13).
. jP(e,y).s:y-y3 = 0.
<4F(0,0)=Fx(0}0) = Fy(0,0)=0;
А = 2, Б = 0, С~0; Д = 0.
Точка Л/о (0,0) —точкавозврата первого рода. ►
Пример 12.
(рис.14).
^F(0,0)=Fx(0,0)=JPy(0,0)=0; Л = 2, Б = 0, С = 0; Д = 0.
Точка Л/0(0,0) — точка возврата второго рода. ►
Вгадкая (тем более регулярная) кривая спрямляема.
Длина кривой 7» заданной уравнениями (2),
вычисляется по формуле
Рйс.14:
Значени
j ь 1
\s = J у/Ш]г'+[П$2м}
0
ефункции
t
4) = /№щг+Ш)]2ц
а
l
о
[у ......
A fa n у
4 t~a
ВрЫЪ
X
равно длине переменной дуги кривой 7,
заключенной между точками А(а) и M(t) (рис. 15).
Функция s(t) на отрезке [а, Ь] строго возрастает,
Рис.15
а'(0 = \/ИО]2+И<)]2>о,
и является гладкой на отрезке [а, 6].. Кроме того, область значений функции s(i)
совпадает с отрезком [0,5]. Тем самым, длину дуги можно взять за новый, естественный
(натуральный) параметр кривой. Параметризация кривой, где в качестве параметра
взята длина дуги 5, называется естественной параметризацией.
Если^
х = х(з)} у = у(з)у O^sXS
— естественная параметризация кривой 7> то
/[*(«)]V[»4?)]? = 1-
Поэтому естественно параметризованную кривую часто называют кривой с единичной
скоростью.
Пример 13. Параметризация
а: = a cos-, y = asin-, 0<e£2ira,'
окружности радиуса a является естественной:
l2 r ,,\i2
\Щ+[4<*))\*^

160.
. Глам XVI, Элементы дкффвр^нцйалмюй гееяетрм*
§2. Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны.
Эволюта и эвольвента плоской кривой
Пусть 7 — регулярная кривая и Mq — точка этой кривой.
Определение. Кривизной к кривой 7 в точке М0
называется предел отношения
Аз
при М ~* Afo, где Д0 — наименьший угол
между касательными к кривой у в точках Mq
и М, а Дв - длина дуги ^MqM (рис. 16).
РисЛб
Кривизна кривой характеризует скорость
ее отклонения от касательной. Кривизна
прямой равна нулю в каждой ее точке. Кривизна
окружности постоянна и равна 11 где а —
радиус окружности.
2-регулярная кривая имеет в каждой своей точке определенную кривизну. Если
х = х(з)у у = у(з)
— естественная параметризация кривой у /то ее кривизна к(в) может быть найдена
по формуле •
fc(*)H*W(*)-*WW|.
В случае произвольной параметризации
x = x(t)} y = y(t)
имеем
t(f).,K(W-«*(<V(0
(И')Р + И')Р)3/2
При явном способе задания у = у(я) —
*(')*
V(*)l
(1 + И«)Р)
3\*/2*
Пример 1« Кривизна параболы у = х2 в ее вершине 0(0,0) равна 2.
Кривизна плоской кривой по определению неотрицательна. Однако во многих
случаях- кривизне плоской кривой полезно отнести знак, Обычно выбор знака связы*
вают с иапра * *ние м вращения касательной к кривой при паремещении даоль кривой
при возрастании параметра:
«+»: кривизна кривой положительна, если касательная вращается против часовой
стрелки (в положительном направлении);
«-»: кривизна кривой отрицательна, если касательная вращается по часовой
ртрелке (в отрицательном направлении) (рис. 17),

ft S, КшШШ JtMtttfOA <&NBOJL РаДМУС КОИвИЭНЫ. ЭаОЛЮТа М ааОЛЬааИТа ПЛОМОЙ KDWOA 111
В этом
вычисляется по фщ>яупе
на явно заданной кривой
ТУ
*<*) =
/(*)
__^>
Прлнр 2. Кривизна синутх)цаы у = sin х
■ ,\ sins?
':.,*Ф",~(1+«*»«)*■.
положительна (равна 1> в точка 4(-§, Ч^ и отрицатаяьма
(равна -1) а точив #(5, l) (рис. 18). В точке О иривиэна
синусоиды р8§на нулю.
к>0
*<0,
Если кривизна кривой в точке Мо(*о) отлична
от нуля, то определенрадык кривизны кривой в этой точке
РИС. 17
*<*>=щ-
Окружное» ^даусаЛ(^о),
проходящая че|^точ1су AfoOo)i
имеющая fc этойтечке ei^^ Ряе,1Г
шую касательную и лежащая поту
же сторону от этой касательной, что и кривая % называется соприкасающейся
окружное тью кривой у ъ точке Afo, или окружностью кривизны (рис. 19). Ясно, что кривизны
кривой и ее окружности кривизны в их общей точке совпадают. Центр соприкасаю-
щейсяокружности называется центрам кривизны кривой в точке ilfo * Его координаты а
и Ь вычисляются «о формулам
ПримарЗ* фтпараболы y = s2 awв«ршине 0(0,0) им««м Л « jt а = 0rl» j. Поэтомусафужностъ
фивианы парабол* а точна О может быть задана уравнением
(рис.20).
Эволютой регулярной плоской кривой называется множество ее центров кривизны
(рис, 21)* Уравнения эволюты кривой 7, заданной параметрически,
> = s(*)t У=#(')|
имеют следующий вдц:
= x(t)
И<)]^
-[И0]2 1
И*)]2+И*)]2 1
*WG)'-
\<ф«эдп
6 Зак. 628

162,
. Глава XVI. Элементы дифференциальной геометрии
Рис: 21
Пример 4. Найти эволюту параболы
4 Имеем
или, что то же,
-о
(рис. 22). ►
Пример 5. Эволюта окружности
х +у = а
состоит из одной точки — ее центра О(0,0).
Если кривизна k(s) регулярной кривой 7 отлична
от нуля и производная &'(*) сохраняет знак вдоль кри- у
вой 7, то эволюта этой кривой состоит только из регулярных точек.
Рис. 23

J2. Кривизна плоской »фквой. РаДиус криаизнй. Эволюта и эвольвента плоской »сривой 163
Если кривизна к(з) регулярной кривой 7 равна нулю в некоторой точке кривой,
к(зо) = 0, а ее производная сохраняет знак вдоль кривой 7,/то эволюта этой
кривой распадается на две регулярные кривые, являющиеся эволютами частей кривой 7
при s < sq и при s > %. Каждая из этих ветвей уходит в бесконечность при s -+ sq.
Пример б. Кривизна параболы у = х2
£- . 2
(1 + 4x2)3/2
в ее вершине 0(0,0) отлична от нуля, а производная кривизны
■ ■ 1 '■'■■ -'-е- 24ж /:-
, ;. •■' . (1 + 4^)3/2 ■ -; '
не сохраняет знака вдоль Параболы. Поэтому эволюта параболы и имеет особенность — точку возврата
первого рода (см. рис. 22);
Пример 7, Кривизна кубиадкой параболы у = аг3
_ _ 6х
при х = Q обращается в нуль, а ее производная
,,_ 6-270а;4
\ v v "(1 + 9«4)V2..:; " '
в окрестности точки 0(0,0) сохраняет знак. Поэтому эводиота кубической параболы распадается на две
регулярнее ветви (рис. 23).
Эвольвектой кривой 7 называется кривая^ для которой данная кривая 7 является
эволютой. Эвольвента кривой 7 совгадает с мкожеством концов отрезков касательнш
к кривой 7 > отложенных от точек касания, длины которых убывают на величину,
равную приращению дуги кривой у.
Наглядный способ образования эвольвенты
Отложим на кривой 7 от произвольной точки Mq этой кривой дугу длины с. Обозначим
вторЬй конец дугичёрёз'М; Представим теперь, что на дугу ^MqM наложена гибкая
нерастяжимая нить, один из концов которой закреплен в точке Щ. При сматывании
натянутой нити с кривой 7 (как с шаблона) второй ее конец,М опишет эвольвенту
кривой 7 (рис.
— естественная параметризация кривой ^flb^^ кривой
имеют следующий ЙМД -МЩЫ'- .; - ■ - оп^.-л -/ьогх?,? ^ж^^л &::.:v. с^-жг-пг. - ..■-.$•;:)
i

1M.
„ Глава XVI Элемент дифференциальной геометрии
х~х(*) + (с-8)г((8),
где с — произвольная постоянная; Тем самым, у любой регулярной кривой существует
бесконечное число эвольвент.
Пример 8. Эвольвенты окружности
описываются уравнениями вида
хЧуг=г
х = a(cosi «f (t - с) sin *),
где с — параметр семействе эвольвент (рис. 25).
Рис.26
§ 3. Пространственные кривые! Способы задания
Определение. Параметрически заданной
пространственной кривой называется
множество 7 точек Му координаты г, у и * которых
определяются отношениями
x=t(t), 'У-^^Щ a^t&b> Й)
гда-{(<)(, ч^у^'У^' Ф^ции» непрерывные
на отрезке [а, 6], или в векторной форме
где г(0 = Ш) ЙАШ)Дрис.26)Л
Наглядно параметрически заданную кривую можно представлять как след
движущейся точки Meкоординатами £(0v^(OrC(0<
Припер 1.
«secosi; ysasin*, ж'щЩ! 0<£^4*>
■7; «у[Мвнениядв^ви^
7Ь<йсй Л и 2? кривой ъ бтвеЧаюЩйб значениям* = a
nt = b параметра соответственно, называются «д«/о^ь«ой
и конечной точками кривой 7« Кривая 7 называется за-
мкнутрй, если эти точки совпадают.
Понятия гладкой и регулярной пространственной
кривой вводятся в полном соответствии с плоским случаем:
кривая дя заданная параметрический бекгорйым
уравнением'""1. """"*
называется п~регулярцой, еоли :
1) йекторная фун^сфш г(0 имеет на отрезе [а, 6]
непрерывные производные поряди п и
2) скорость кривей
Рис.27
шШ^ьШШШШй:
«•'col -Мш^^Ш^т

13. Простр1нстмн*ы* цтшыв. Способ* аадлш.
JtS
Другим распространенным способом задания пространственной кривой является
неявный способ задания кривой как множества точек М, координаты я, у и z которых
являются решением системьк уравнений
{
F(x,y,z) = Ot
<?(*,»»*) = О,
(2)
где функции F(a, у, z) и G(x,y,i) подчиняются определенным условиям.
Укажем важный частный случай, наиболее часто встречающийся на практике:
F(x} у у г) и G(x} y,z) являются гладкими функциями своих аргументов и в некоторой
точке М0(:со» ffo> *о) выполнены условия: .
^(ао, »о, *о) = О, С?(ж0,Уо»*о) = 0)
6 VG^o,»o»^) С?#(«о,уо,«о) <?i(a<htth*o)y ; \'
Неявно заданная пространственная кривая, в каждой точке которой выполняется
условие (3), будет регулярной.
Пример 2. Кри§ая, задаваема» уравнениями
V+ir2 + *2 = 1* '\*+'у + * = о,
будет регулярной (рис.28). Эта кривая представляет собой
большую окружность — сечвнйе с<^ры ivtoctocTbJO,
проводящей через ее центр.
Пусть 7 — регулярная кривая, заданная
параметрически. Обозначим через Mq точку кривой 7»
отвечающую значению *о параметра, а через М —
точку кривой, отвечающую значению i из некоторой
окрестности^-
Прямая М0Т называется касательной к кривой f
в точке Мо, если при М -* Мо наименьший из углов
Ад между этой прямой и переменной прямой М$М
стремится к нулю. Регулярная кривая имееткасател ьиу ю в каждой своей точке, Вектор
скорости дфивой в точке М0 кошшнеарен ее касательной в зто&даяке. Уравнения
касательной к кривой 7 втрчжс Мо(я§> Sfoy*o) имеют
следующий вид
Рис.28
щг
J5t
Z-Zp
Любая прямая, проходящая через точку Д&
перпендикулярно касательной к кривой 7 в точке М0, называется
нормалью кривой у в точке Мо»
Шоскос^, Проходящая через точку М0 кривой 7
перпендикулярно ее масательной MqT в этой точке, называется
нормальной плоскостью кривой в точке Мо (рис. 29).
Уравнение нормальной плоскости кривой, заданной
параметрически, имеет следующий вид:
*'(«»)(* - я») 4- у'(<(Ш» - Jfc) + *to)(f ~ #). '.f^
Рис.29
Ясно, что все нормали кривой в точке Мо лежат в ее норм^ в этой
точке, .

166 - т , ,. _. Глам Щ Ъттвт доффермцмдыюй ге*м*трии
Пример 3* Касательная и нормальная плоскость винтовой линии в точке /-i, 4», j-X (при t = f)
описываются уравнениями
-л(-л)+^(?-^)+6('-6!)=0
соответственно*
Регулярная пространственная кривая спрямляема. Длина кривой, заданной
векторным уравнением
p = p(t), &<£<ft,
вычисляется по формуле
В случае координатного задания кривой
х = x(t), у = »(')>■ * = *(')>. * <*< ь*
имеем -•-■•- ?■■■ ■ ■ ■•■■■■■■ ; ■- ■■•<
о ■ ■ - . ■ . -
Значение функции
I Ж ;
равно длине дуги кривой ?, заключенной между
точками А(а) и М(£) (рис. 30), Эта функция строго
возрастает на отрезке [а, Ь], причем
»'(*)= >'(*>|>о.
Тем самым, дайну дуги можно взять за новый Параметр
на кривой. Параметризация кривой, где в качестве
параметра взята длина дуги s, называется естественной
параметризацией. Кривая с естественной параметризацией
т = г(а), 0^ a^S
имеет единичную скорость
\т=1
(Ьтносительно этой параметризации).
Для того, чтобы параметризация кривой
Рис.30
Р = г(0, a<t<b,

#4, Кривизна к 1фучвЫ1№ пространственной «|жвой. Ф(^мулы Френв.
Ж
была естественной, необходимой достаточно выполнение условия
ИоГ=1 ; : ' ;
или, что то же самое,
[*'(€* [у'тг + [тг = Ч
Пример 4, Для винтовой линии имеем
1 • ■ • ■ - ■ ; ■■ ■■
Поэтому естественная параметризация винтовой линии может быть записана так
§4. Кривизна и кручение пространственной кривой.
Формулы Френе
Пусть7 —регулярная кривая, Мо —точка кривой 7» П — плоскость, проходйщаячерез
касательную МоТ кривой j в точке ЛГо* Пусть М — точка кривой 7> близкая к
точке Мо,и Р — ортогональнаяпроекция точки М на плоскость П (рис. 3.1). Обозначим
через h длину отрезка MP и через d — Длину
отрезка MqM, Плоскость П называется соприкасающейся
плоскостью кривой 7 в точке Мо, если отношение
h
: :\-v 1?''; ■■■■•■ .Уг>--;{'Л ■
стремится к нулю при jM* -*Мо< " Рис. 31
Геометрическое пояснение. Среди всех плоскостей, проходящих через касательную к кривой в точке ЛГо,
соприкасающаяся плоскость наиболее-тесно примыкает ккршюи в некоторой (малой) окрестности этой
.-■,;'"' точки. ' ■■ .^. >; ,■:■:■.-,,;..., .-.- ■., ,;,.,-: : .;. Г ■;''.- :*^.:> г;.;Ч ■ '::
Пусть кривая 7 зада!ц векторным уравнением
У . ' р«^)
и точка Mq кривой 7 отвечает значению to
параметра. Если векторы г'(^о) и r"(t0) неколлинеарны,
то в точке Mq существует и притом ровно одна
соприкасающаяся плоскость (рЕс. 32), Вектс^ г;'(^о)
второй производной вектора r(t) кривой лежит в сбприквсаюЩеЙсй пйо(да>сти*
Поэтому соприкасающуюся плоскость кривой называют также плоскостью ускорений.
Если кривая 7 задана в координатной форме
x = x(t)f y=y<t); z = z(t),
то уравнение соприкасающейся плоскости записывается в виде
Рис.32
X ■- x(to) у » Ш$). Z ~r$(t§)
l/(to) '
x"(h)
ftfo)
= o;

in.
. Глава jm.Элементы дифференциальнойтшщщ
Нормаль кривой 7 в точке 3fo, лежащая в соприкасающейся плоскости П0 кривой
в этой точке, называется г^вшй«о/>,м^ь/окривой в точке Мо, а нормаль кривой 7>
перпевдикулярная соприкасающейся плоскости По> называется бинормалью кривой 7
вточке Afo.
Плоскость, проходящая через касательную и бинормаль кривой 7 в точке Мо,
называется спрямляющей плоскостью кртой у ъ точке Mq,
} 1. Найти главную нормаль и бинормаль, соприкасающуюся и спрямляющую плоскости винтовой
зжаеЫ, y = eaial> х = Ы
< Начнем с уравнения соприкасающейся плоскости. Имеем
^f.. ~«т о.
Так *ек бинормаль перпендикулярна соприкасающейся ллскхости, то ее канонические уравнения зали*
сыаавтеа следующим образом;
ттштшФЛшщшШтш SS |^^пвм||н JJJ5 тшчттттяшЛ» Л
«^(ач^'т^*2)'-
Вычислим теперь направляющий в«стор главной нормали. Имеем
i J k
*\tf eVi jl
-^ -у- а
t —r e
Заменяя найденный вектор на коллинеарный
i + Jv -
гюлучавм канонические уравнения главной нормали:
1 " 1 в 0 *
Намонвц,
— уравнение спрамл<аощей плсежости, перпендикулярной главной нормали. ►
(Первой) кривизной fcj кривой 7 в точке Мо назы
вается предел отношения
при М -* Мо, ще ДА — наименьший угол между ка
сатеяышми к кривей 7*■'<&.тояах;1№:# — ^
длина дуга ^М0М (рис. 33). Кривизна кривой
измеряет скорость ее отклонения от касательной. Кривизна
прямой равна н^шов каэкдой ее тоже/
Если
r=*r(a) Fhc.33
— естественная параметризация кривой 7, то ее кривизна Jti вычисляется по формуле
ш= \+ш

§4 Кривизна недоем» пространственно* кривой. Формулы фрвив.
.т
Вектор r*{s) называется вектором кривизны кривой. Он ортогонален единичному
вектору касательной г'(л), а егодлина равна кривизне кривой,
В случае произвольной параметризации v i
r = r(t)
кривизна 2-регулярной кривой находится по формуле
W -'
г'(0хг"(<)
«"(<>|
Пдмм«р2, вектор кривизны винтовой линии
/(I)
1+о«Ь»
?}■*■
и
Поэтому кривизна винтовой линии постоянна:
■ ....-:.,..; .■ ../Д-tJp.v .:-,,,..-.,,,
Пусть Мо — точка кривой 7готвечающая значению $о
естественного параметра, и
— единичный вектор касательной кривой 7 в этой то«е.
Если точка Мо не является точкой распрямления кривой «у»
к\(0о) Ф 0» то формулой
"'Ш''^
определен единичный вектор главной нормали кривой
в этой точке. Векторное произведение
bo = to х no
является единичным вектором бинормали кривой 7 (рис. 34)*
В случае произвольнойпараметризации векторы t, пи b вычисляются по формулам
Рис.34
At)
b =
Г?$Х^<0
*фх*ЭД>'
Три луча, исходящие из точки М0 и имеющие направления, задаваемые
векторами to, «о и Ьо, образуют сопровождающий триэдр кривой V в точке Mq (рис. 34),
Пример 3, Для винтовой линии
■'VV;7 • " » ••■"; ■■ ■-«*•••■•»■■- I ■ '-А -^ ■■-: - '"'■■-■
имеем
К»)
*{*)
V 3STP VeJ+»*' 73T+1? VJP+F'.ШШ)'
-(-
cos •
-sin-
^Р'7
Vat + P' Vtfi + b})'

Обозначим через &$ наименьший угол между соприкасающимися плоскостямППо
и П кривой 7 в точке Мо и близкой ей точке М соответственно (этотугол совпадает
с наименьшим углом медду бинормалями кривой в точках Mq и М), а через As —
длину дуги ^МоМ кривой 7 (рис. 35). Кручением к2 кривой^ в точке М0 называется
предел отношения Д^9
■■'..-2м' ;
при М —» М0, снабженный знаком в соответствии со следующим правилом выбора
знаков: у
если векторы Ь1 и п сонаправлены (они всегда коллинеарны), то выбирается знак
«-» (вращение соприкасающейся плоскости происходит от вектора п к вектору Ь);
если векторы Ь'ип противоположно направлены, то выбирается знак «+»
(вращение соприкасающейся плоскости происходит от векторд b к вектору п) (рис. 36).
Кручение кривой определено в любой точке 3~регулярной кривой, не являющейся
точкой распрямления, и измеряет скорость отклонения кривой от соприкасающейся
плоскости. Кручение плоской кривой равно нулю в каждой точке.
Рис. 36

§4. Кр**13наккрушл*прос^^ __— _
: Если -.-
— естественная параметризация кривой, то ее кручение вычисляется по формуле
J71
В случае произвольной параметризации
г=г(*)
имеем
Пример 4, Кручение винтовой линии постоянно:
*2 =
7W
ВекторДарбу
является вектором мгновенной угловой скорости сопровождающего трехгранника
при движении точки по кривой с единичной скоростью.
Пример S. Вектор Дарбу винтовой линии
-параллелен оси винтовой линии (рис. 37).
Единичные векторы касательной 1(5), главной нормали п(в) и бинормали b(s)
кривой 7 и ее кривизна fcj (в) и кручение ^(з)в каждой точке связаны соотношениями
Р»е.37
Рис.38

172
■ -■*' :'>.;. ■ ■■'■:, '■■■■ v *■■...'
■...,.. „..,-,.'... ' .■.. ■ :
■i,np^ ЩЩ ...
db
*
4-''-;': ■' '
ПнмаЩ &iw#trrv дифференциальной геометрии
называемыми >ра*«е«авлш Френе,
Выберем в щнэб^
ксхфдашатную систему Охух так, чтобы начало
координат — точка О — совпадало с точкой Мо кривой ъ
отвечающей значению ^о = 0 естественного параметра,
а ортами координатных осей Ох, Оу и Ог были
единичные векторы t(*o)* n(*o)ib(*o);
l = t(*o), J = n(*o)> k = b(*0)<
Раскладывая векторную функцию г(а) в окрестности
точки «о = 0 по степеням $ и сохраняя лишь главные
члены, патучимуравнения кривой 7, близкой кривой 7:
т{8) = & + ав*} + Ъа%
где
Записывая последние соотношения в координатной
форме
х = з} у = а*2, г = Ь*3
и предполагая а > 0 и Ь > О, убезедаемся в том,
что проекции кривой 7> общий вид которой показан
нарис. 38^ на координатные плоскости имеют
следующий вид (рис,39):
на соприкасающуюся плоскость (рис, 39 а);
на спрямляющую плоскосп» (риа 39 б);
на нормальную плоскость (рис. 39в).
«у
**
be* &**£
~^!
Рас 39
§5. Понятие гладкой поверхности. Способы задания
Пусть D — 01райотшн^я плоская область* BD — ее границей В = Б U 6D —
- замыкание области. Д, Введем на плоскости координатную систему (щ v) и зададим
на множестве D три непрершные функции
■■•^'Hytffr #;<|fc4*,-i* прмоугольнйе декартойы координата ?очекв трехмерном
евклидовом пространстве I3. Предположим, что функции Щ обладаютследующим
свойством:

{ 5. Пометив глмкой пицгоюсп. Способы мдви»,
.171
Смйстм А. Если (u'( v1) и (^", v") -~ различные точки множества 5* тоточки М'(*', у',*')
и Мп{х'\ if,'zH) пространства б3, координаты которых вычисляются по формулам
.;'^Ад -у-^у),. /=<(«и>
/^(«".а у=»7(«\И. ^=с(«"^),
также различны. 'У
,,.,-„«.„.-ш.-..-.—.m,..u. .i.-i,,.;. - „ ш ..i— » .....»—■,■..■■,-,,■ ■ .„■ „«.и—.—,,—.,—,m^mm«,m i. i 1 ч
■' ,- -„■„— ',,. ,..,. ,■ - —«и—-——, „ . .,„.,. »■„,. m ~U m ■ ■ —.*, и**-. тшшшщ m
Определение, Множество 5 точек М, координаты х, у и ж которых одредеяадхшя
соотношениями (1) и функции £(t*>«), щ{щ v) и фь v) рбадают т^Щрщи А* щзырается
простой поверхностью (рис, 40).. ^ .-v Д ,,
Множество точек Mfa у, z) с координатами ,
aj = ^(ti,v), у = у(%*)> z=C(ti,v), (#/^€«0;
— образ границы &D обчисти 2> — называется границей простой поверхности 5.
Обозначение: 0S. ,• т ^
Соотношения (1) называются параметрическими уравнениями rtpocroft
Поверхности.
Пример 1. График непрерывной функции v ...-' ^ ду^ ^ ; ^ ^
является примером простой поверхности {рис. 41). Ее параметрические уравнения имеют вид
Пусть i, j и k — орты координатных осей. Тоща задание поверхности 5 при
помощи функций (1) равносильно заданию одной векторной функции
г = г(щ v) = £(<t?)i>#*t v)i +<(*, tr)^-
^;;;;^;.;;;;:;(2)
В этом случае говорят, что поверхность S задана векторным уравнением.
Простая повфшойъ S называется гладкой в точке Щ, йвечающей значениям
и г*щ.&#. = щ дарамет$юв, сттфщщщ U&>v)% r&ur®),i C(%t?) ^етд^гочке

га.
i Глав* XVI. Элементы дифференциальной геометр £
Рис.41 Рис.42
ТЬчкаЛГо гладкой поверхности S называется обыкновенной, или регулярной, если
;(з)
"■■*i^%iW.v*(«oi4)) &(*йь*>о)/
В противном случае
тоте|
Мо называется особой,
Поверхность называется регулярной, если условие (3) выполняется в каждой ее
точке. Часто условие (3) удобнее записывать в равносильной форме
ru(ti0j vo) x rv(u0, vo) Ф (h
(4)
Пример 2. График гладкой функции является регулярной поверхностью, так как всегда
Пример 3. У конической поверхности, задаваемой уравнениями
....;,.-:г:, ..ч . a?,^.tfaos.t?t.. y.^.w.s%t?V: * —«,^!;_ _ ,,;<
все точки, кроме точки (9(0,0,0) (при « = 0, v = 0), регулярны (рис, 42). В точке, О имеем
тщ{1 0,.tp);el-
Другим распространенным способом задания поверхности является неявный способ
задания поверхности какмножества S точек Ы, координаты х, у и ъ которых обращают
в тождество уравнение
Ffcy,z};±$
Если F(x} yfz) — гладкая фунмдия своих аргументов, причем
fI .+;й+>|;>Ь,
то поверхность 5 будет регулярной.
Приме? 4, Сфера
является регулярной поверхностью:
■-■^Н-;ЯЧ'-.;-7<-,..-
в каждой точке.
jx2^'*^.*'!^
(^¥f2¥Fz^*&2>$ ч ftpmr

§ б, Щтш квадратичная форма. Площадь поверхности -
.175
Пусть S — простая поверхность, Мо и М ~~ различные ее точш; Плоскость П,
проходящая через точку Мо, называется касательной к поверхности S в точке М0?
если при стремлении переменной точки М к точке Мо (по произвольному закону)
угол между прямой МоМ и плоскостью П стремится к нулю (рис. 43).
Пусть
г = v(uyv)
— векторное уравнение регулярной
поверхности S и Мо — точка
поверхности 5, отвечающая значениям щ
и vq параметров и и v* Вычислим
векторы rtt(tio9vo) и rf(tio, vo), бтло-
жим их от тожи Мо и проведем
через точку Мо плоскость П, содержа-
щую эти векторы. Построенная
плосесть П будет касательной
плоскостью поверхности в .точке. Mq (рис.44),
В каждой точке регулярной
поверхности существует и притом ровно
одна касательная плоскость.
Прямая, проходящая через точку
Мо регулярной поверхности S и пер-
певдпсулярная касательной
плоскости поверхности в этой точке,
называется нормалью к поверхности S в
точке М0;
I -'J-'к"
IV = Г* X Г* а?
вектор нормали.
У*
Ри&44
Пример 5. Написать уравнения касательной плоскости и нормали поверхности, заданной уравнением
z = f(x,y)t в точке Мо(хо,Ш, /(а?о,£о))-
4 Вычислим вектор нормали в точке Л/о, Имеем
II J k
No =
1 0 Л{*о,|К>)
О 1 /*(*«,№)
= -/*(*о, lfe)i - /, («о, jtfl+fc.'
Тогда
— урввнения нормали, а
-/*(*<), ffc) -/y(«0iVb) -""'Г
.(«о = /(*<h1to))'
-Л(а?о»Ito)(a? - а?0) - /*(*о>JtoXtf - Ito) + z - Ч = О
— уравнение касательной плоскости поверхности в точке (а?о, $<ь /(&(ь Уо))< *
§6. Первая квадратичная форма. Площадь поверхности
Пусть S — регулярная поверхность, заданная векторным уравнением
r = r(tt,v), (uyv) ED,

т.
. Глава xvi $mmm дифферлщ*
Первой квадратичной формой поверхности 5 называется выражение
1 = М
Запишем последнее соотношение подробнее. Так шк
dr = rudu + r1idv%
то
dp2 sz r« du2 4- 2(гш г*} du dv -¥v\ dv2*
0)
Выражение (1) в каждой точке поверхности 5 предстзшшетшбойквдцраттгшуюформу
от дифференциалов du и dv, &га квадратичная форма является знакоположительной,
так как ее дискриминант
ир*>0;
Для коэффициентов первой квадратичной формы используют следующие
обозначения:
Е^гЪ > = (гШ|г,}г G = ri
так что выражение (1) для формы I можно переписать в виде
I = Е du2 + 2F du dv + G dv2.
(2)
где
#G~Fa>0.
Пример 1. Пердея квадратичная форма
поверхности, заданной уравнением * « /(*, у), имеет вид
1«(1 + Л2) <**2 + 2/*/f «fe d|f +■(! + /|) dya.
VI
o*
0
t
AP*
' """"mm
• ^1
S«
IT)
(
)
j
У
и
Площадь поверхности
Разобьем область D изменения
переменных и и v на части прямыми и = щ> t> = vky
параллельными координатным осям и и и
(рис, 45), Кривыми r(t*f, v) и r(ti, vk) будет
разбита на части и поверхность 5 (рис. 46).
Произвольному четырехугольнику D**
параметрической плоскости соответствует на
поверхности 5 криволинейный
четырехугольник 5,jfc, мало отличающийся от па рал- Рис, 45
лелрграммаД* со сторонами» определяемы*
ми векторами ти(щг vk)Au,гй г»(и,у#*)Д^ ГЭтхяпарашхеЛограмм лежит в касательной
плоскости поверхности $ в точке М(щ5 *и)• Примем его площадь
за приближенное значение площади криволинейного четырехугольника ;5Й , а за при-
блсженное значение площади поверхности ^ сумму
площадей всех таких параллелограммов.

ft» Перши» «адратичмт форма. Площадь поверхностит
.№
Рис.46
i'OV.
Площадью а поверхности 5 назовем предел этих сумм при стре лении к нулю
величин Д^ и At;*.
Для регулярной поверхности этот предал всегда существует и равен
(3)
Так как
lruxpv|2=^a-f2,L
то формулу для вычисления площади поверхности можно записать в виде
'*^:У^>' \- v;
Пример 2. Вычислить площадь оферы радиуса Я. : ^ f ; i : v ■xir^y >
4 Параметрические уравнения сферы имеют вид
a;j= #cost*cos V, у з= Д sin«costi, \Z =s ДзЬде,.. v;\
D = {(«, V) [ 0 < и % 2тг, -£ < i>^ I} .
Путем простых вычйслений^аходим / ; f -"*"■ ^ " > ?.■-, ч i
';*s Йг':
<r = If yjEG~F2du dv.szJt* f du j cosvdv = 4irR2. ►
•°' / ■■ '"V ' -x/2

1».
. Глава XVI. Элементы дифференциальной гдеметрин
Если поверхность 5 представляет собой график гладкой функции z =*.J[xty),
заданной в области D, то ее площадь можно вычислить по формуле
— Jjy/i&n + Si^dy.
§ 7. Вторая квадратичная форма. Кривизна поверхности
Пусть 5 •— 2-регулярная поверхность, заданная векторным уравнекием
г = г(щ v), (щу) €D.
В каждой точке такой поверхности домимо единичного векгора нормали
Тц X Ту Гц X Гу
л =
(1)
определен и второй дифференциал векторной функции r(ti, v):
d2r =й г^ du2 + 2гш dudv +Twdv\
Второй квадратичной формой поверхности S называется скалярное произведение.
векторовс12г и п:
II = (dp, и) = (rUU} n) du2 ■+ 2(rw, n)4tt <fo + (pOT) n) dv .
(2)
Ясно, что в каждой точке поверхности 5 форма (2) является квадратичной формой
относительно дифференциалов du и dv.
Для коэффициентов второй квадратичной формы принять! обозначения
L = (iW,n)f М = (г^п), JV =*-(rwln);
Это позволяет записать ее в следующем виде
11^ Ldu2 + 2M dudv + N dv2.
(3)
(4)
Приведем несколько формул дня вычисления коэффициентов L, М и N.
Заменяя в формулах (3) вектор п его выражением (1), получаем
VEG-F*' *
y/EG-F2'
VEG - F2
Если поверхность является графиком гладкой функции
' * = /(«! »)l
то
Вторая квадратичная форма является эффективным Средством исследования
геометрических свойств регулярной поверхности. Посредством этой формы можно
ввести важные геометрические характеристики, измеряющие степень и вид отклонения
поверхности от касательной плоскости. Остановимся на двух понятиях — гауссовой
кривизны поверхности и нормальной кривизны поверхности в заданном направлении.

§Ъ Втйра* квадратична» форма. Кривизна поверхности „. ^ ,.. - ,, Ш
Гауссовой кривизной поверхности называется отношение дйскриМийантЬв первой
и второй квадратичных форм " '• " ■"
1 " EG-F2\}
Если поверхность задана уравнением
.*==/(*!0)l
то гауссова кривизна этой пойерхкости вычисляется по формуле
\ '{i + fl+Wl
Гауссову кривизну удобно использовать для классификации тотек регулярной
поверхности: знак гауссовой кривизны поверхности в данной ее точке указывает на
характер поведения поверхности в этой точке.
Точка Мо поверхности 5, отвечающая значениям щ и v0 параметров, Mq(щ, v0),
вкоторой .' ч -;';: ,;г-::-)' L'^y::-
К(щ> vo) > 05 называется эмиптическощ
К(щ, vo) < 05 называется гиперболической;
К(щ^$^ 0|нО отличМот нум х^
тичной формы, называется параболической.
Пусть По -* касательная плоскость поверхности 5 в точке Щ; Все точки
поверхности 5 в окрестности эллиптической точки лежат по одну сторону от плоскости По.
Точки поверхности 5 в окрестности гиперболической .точки.'лежат по Обе стороны
от плоскости По. Все точки поверхности 3 в окрестйрсти параболической точки
кроме (возмолко) одной кривой лежат по одру сторону от roiockoc^ilo.
Пример 1. Все точки эллиптического параболоида являются эллиптическими (рис.47), все точки
гиперболического параболоида являются гиперболическими (рис. 48), все точки цилиндрической поверхности
являются параболическими (рис.49).
Рис. 47 Рис. 48
\

180 MJ ...,..:,,.,:,; •„„„ „,••„,„;.,,,:,., м,. ,.- ' ,,: „ ,., у ГламЖ Элем**тыднффереж^ккой ffrowerpiw
Возьмем на регулярной поверхности 5, заданной вШо^ным уравнением' "
произвольную точку Мо(щ, tio) и проведем через нее касательную плоскость Щ;
Производные г«(ио>г>о) и re(tio»t?o) векторной функции г^г;), вычисленные в точке
(и<ъ vq)» л^жат в плоскости П0 (рис, 50). Построим на плоскости По линейную
комбинацию этих векторов
(рис, 51) и проведем через определяемую ей прямую/ и дормаль поверхности в этой
точке плоскость П. Эта плоскость рассечет поверхность 3 по нривой — нормальному
сечению поверзшости в направлении I, определяемом парой чисел £ и tf (рис. 52).
Рис.50
Кривизна кп пост{К^нной
кривой — нормальная кривизна
поверхности в данном направлении —
вычисляется по формуле
■&*МС*Ф
L£2+2M£i}+Nt}2
Пример 2. Найти нормальные кривизны
эллиптического параболоида
в точке О(0,0,0),
<4 Вычислим в точке О коэффициенты
первой и второй квадратичных форм. Имеем
Е = \ Р = 0, £=1,
£=1, м = 0, N^2.
Тем самым»
Рис. 51
Рис, 52
&п(Ьп):
i2+m2
i2+tl2
а +
е+п2
Ясно, что в данной точке величина кп изменяется вместе с изменением прямой /.
Направления, в которых нормальная кривизна принимает наибольшее и наименьшее

J7. Вторвяиадратмч«да|форма. Кривима поверхности.
^т
значения, называются главными, В общем случае главные направления на
поверхности в каждой точке ортогональны. Соответствующие пи нормальные кривизны
называются главными кривизнами поверхности в рассматриваемой точке,
. Пример 3» В приведенном выше примере главными направлениями эллиптического параболоида а
точке О(0 ДО) будут направлении координатных осей * и у: (£; 0) и (0;ф (рио.53), Главные мривизны
равны соответственно
I. Найдите кривизну: а) цепной линии у = ch я; б) эллипса а? = a cos t» у = Ь sin t..
2* Найдите соприкасающуюся окружность эллипса в его вершине А(а, 0) (при t = 0).
3. Найдите уравнения эволюты эллипса.
4, Найдите уравнения касательной и нормальной плоскости кривой с уравнением r(f) =
(t>t\t*)*TmmA(U\}\).
6. Найдите единичные векторы сопровождающего трехгранника в точке 0(0,0,0) кривой,
заданной уравнением r(t) = (t$ t\ t%).
в» Найдите кривизну и кручение кривой с уравнениями: х = е\ у = е~\ z = v2L
7. Найдите уравнения касательной плоскости и нормали геликоида: ж = u cos и, у =
usint, ;я = о»;/
8. Найдите первую квадратичную форму; а) параболоида вращения я = ucosv, у = tisfau1,
z = и2;б)геликоидах = u cosily = w»inv, z = av.
9. Найдите площадь криволинейного четырехугольника на геликоиде; ограниченного
линиями и з*0, и т о, v = 0, « = L
10»НаЙдопевторую1а8дратичнуюформу: а) параболоида вращения ж = ucos «, у = ti sfnv,
z = и2;б)яеликонцах = ticost),y = uiinv, * = a«,
II. Найдите гауссову кривизну геликоида.
Ответы
' м»= j,;6) ■> ■ tf ^^i, г (х - ^)Чу2 = £. з- ■ a^ctf<;y8iyWt;
4, а=1 = ifl = ^1э а? + 2у + 3* - б = 0, 5.1 = (1,0,0),м = (0,1/0). b = (0,0,1) J 6. *i = -k2 =
^^^.xasint^yacos^^
«2 tte2; 6) I * du2 + («2 + a2) dv2. 9. £ (vfl +'ln(l + V2))* 10. a) II = ^~(^ti2 * u2 tfo2);
■в)п--^"-*-"зИк\

Предметный указатель
Абеля—Дирихле признак сходимости
несобственных интегралов 1-го рода 97
аддитивность определенного интеграла 50
астроида 157
Б
Бернулли лемниската 158
бинормаль пространственной кривой 168
В ' ^
вектор Дарбу 171
->- кривизны 169
выражение подынтегральное 4,46
главная часть приращения функции несхолькнк
переменных 120
главное значение несобственного интеграла
1-го рот по Коши 98
— 2-городапоКошиЮ4
граница множества 108
график функции 109
Д
Дарбу вектор 171
дифференшеал 2-го порздиа 134
— функции нескольких переменных полный
116
——~~-частный 120
Дифференнируемость функции нескольких
переменных в точке П 6
длина кривой 71
дробь рациональная 19
— — неправильная 19
— —правильная 19
простейшая 20
элементарная 20
замена параметра хриюй непрерывная 156
—.-— — регулярная 157
— переменной в неопределенном интеграле 9
знак интеграла 4
значение функжии на отрезке среднее 55
и
инвариантность формы дифференциала
функции нескольких переменных 124,136
интеграл неопределенный, линейное свойство
5-6
от функции на интервале 4
— несобственный 1-го рода 85
— — расходящийся 86,98
сходящийся 85,9В
— — ~- абсолютно 94
в смысле главного значения по Ко*
ши91
условно 94
2-города99
— расходящийся 99» 100
.— сходящийся 99,100
в смысле главного значения по
Коши 104
— определенный в смысле Римана 46
»свойства 48-53
— эллиптический 1-го рода 28
2-го рода 28
интегрирование заменой переменной 9
— почестям 11
■— подстановкой 9
— функции 5
касательная к поверхности в точке 130
— регулярной кривой 157» 165
корень многочлена 18
»кратность 19
кратный 19
однократный 19
простой 19
кратность корня многочлена 19
кривая замкнутая 155,164
— плосийя154
— — гладкая 156 , ■ ■ .'
n-гладкая относительно параметризации
156
параметризованная 154
— — регулярная 157,158
— пространственная, заданная неявно 165
заданная параметрически 164
— — регулярная 164
— с единичной скоростью 159
— спрямляемая 7!
кривизна кривой первая 168
— плоской кривой 160
— поверхности гауссова 179
главная 181
нормальная 180
кручение пространственной кривой 170

Предметный указатель.
.183
Л
Лагранжа метод множителей 146-147
— функция 147
лемниската Бернулли 158
линия уровня 109
м
Маклорена формуладля функции двух перемен-
. ных138 — ■
максимум функции двух переменных
локальный 139
— -т условный 145
метод множителей Лагранжа 146-147
минимум функции двух переменныхлокальный
139
— условный 145
многочлен приведенный 18
множество замкнутое 108
— открытое 107
н ;■.'•■■■' .
направление поверхности главное 181
непрерывность функции нескольких
переменных в области 113
— в точке (по совокупности
переменных) 112, ИЗ
нормаль к поверхности 175 i
— — в точке 132 ; ,
— плоской кривой 157
■— пространственной кривой 165
главная 168
Ньютона—Лейбница формула 57-58
область 108
— ограниченная 108
— определения функции 108
естественная 109
окрестность «проколотая» 111
— точки 108
прямоугольная 107
шаровая 106 <
окружность кривизны 161
— соприкасающаяся 161
остаточный член формулы Тейлора в форме
Лагранжа для функции двух переменных 137
п ■.'.
параметр кривой естественный 159
натуральный 159
параметризация кривой естественная 159,166
первообразная функции на интервале 3
переменная интегрирования 4,46
плоскость касательная к поверхности 175
— — в точке 130
— нормальная пространственной кривой 165
— соприкасающаяся 167
— спрямляющая 168
— ускорений 167
площадь поверхности 177 >
поверхность, заданная неявно 174
— простая 173
гладкая в точке 173
— регулярная 174
— уровня 110
подстановка Эйлера вторая 31
,..~,— первая 30-31 ,_ ,_.
третья 32
правило отыскания условных экстремумов 147
предел интегральных сумм 45
— интегрирования верхний 46
— — нижний 46 ^
— функции нескольких переменных в точке
110,111
u — — повторный IT2
признак Абеля—Дирихле сходимости
несобственных интегралов 1-го рода 97
— абсолютной сходимости несобственного
интеграла 1 -го рода 95-96
— 2-го рода 103
— расходимости несобственного интеграла
1-го рода 93-94
— сходимости несобственного интеграла
1-го рода 93-95 , /;
приращение функции }^Шщ^к^т(1еф4рифлх,
главная часть 120
частное 114
производная функции частная 2-го порядка 133
— смешанная 133
по независимой переменной 114
радиус кривизны кривой 161
расстояние между точками 106,117
свойства определенного интеграла 48-53
сектор криволинейный 67
сечешю поверхности нормальное 180
Симпсона формула 81
скорость кривой 157.166
сумма интегральная 45
т -:.-'-- ':..-.;;;.-:;:; ",..;
Тейлора формула для функции двух переменных
137
тело вращения 70
теорема о равенстве смешанных производных
133 . ....,'.....- ,..,- \ / '■:';:;■
— о среднем 54-55
— существования неявной функции 125-128
теоремы сравнения для несобственных
интегралов 1-го рода 89-92
— 2-го рода 101-102 ;
точка возврата 1-го рода 159
— — 2-го рода 159
— кривой двойная 158
изолированная 158
конечная 155,164
— — начальная 155,164
обыжювенная 157
особая 157,158
регулярная 157
— локального максимума функции двух пере^
менных 13?
' минимума функции двух переменных 139
экстремума функции двух переменных 139
— минимаиса 141 ' '
— множества внутренняя 107
— — граничная 108

,184 ; ...■■
— поверхности гиперболическая 179
обыкновенная 129,174
особая129,174
параболическая 179
— — регулярная 174
эллиптическая 179
— разрыва функции нескольких переменных
113
— распрямления кривой 169
— строгого максимума функции двух перемен*
нык139
минимума функции двух переменных 139
-г функции критическая 140
стационарная 140,144
трапеция криволинейная 43
триэдр сопровождающий 169
У
узел 158
уравнение связи 14S
уравнения простой поверхности
параметрические 173
— Френе172
условие безусловного экстремума необходимое
147
— дифференцируемости фунхдаи нескольких
переменных в точке достаточное 118
необходимое 117-118
— интегрируемости функции достаточное 48
— экстремума функции двух переменных
достаточное 141-142» 144
необходимое 140
ф
форма квадратичная поверхности вторая Ш
.— первая 176
формула интегрирования по частям для
несобственных интегралов 1-го рода 89
-_ Предметный указатель
— Маклорена для функции двух переменных
138
— Ньютона—Лейбница 57-58
— парабол 81
— Снмпеона81
— Тейлора для функции двух переменных
137
— трапеций 79
Фреие уравнения 172
функция й переменных 108
— интегрируемая по Риману 47
— Лагранжа 147
— нескольких переменных дифференцируемая
в точке 116
— неявная 125
— подынтегральная 4,46
— рациональная 18,19,27
— — отнабора функций 28
ц
центр кривизны 161
ш
. шар п-мерный открытый 106
3
эвольвента плоеной кривой 163
эволюта плоской кривой 161
Эйлера подстановка вторая 31
— — первая 30-31 " . ' ' ' 1 .
третья Ук
экстремум функции двух переменных
безусловный 144
— — локальный (относительный) 139
— -- — »достаточное условие 141-142,
144
_«*.__-.; необходимое условие 140
— ; — условный 144

Оглавление
Глава XII
Неопределенный интеграл . ..... 3
§1, Понятие первообразной . .......,,..<..,...... 3
§2. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . > ...,,.*.*••• . 4
§3. Свойства неопределенного интеграла ....... . . . ... . ... . . ... 5
§4 Табличные интегралы . . .......... > > . . . . . . . . * . > . . .,.■..■• • . 6
§5. Интегрирование заменой переменной .....,.♦. ... » . . . 9
§6, Интегрирование почестям . .... ..... . . .... ... ........... 11
§7, Интегрирование рациональных функций . ..... ...... . ........ 18
7.1. Краткие сведения о рациональных функциях . . . . . .... ... . . . ... 18
7.2. Интегрирование простейших дробей ■• . ... > . . . . .... .......*. 22
7.3. Общий случай ...» . ....... ... . . . . .... ... . . . . ^ . ... 25
§8. Интегрирование иррациональных функций 27
8.1. Первая подстановка Эйлера ..................... . . .... 30
8.2. Вторая подстановка Эйлера 31
8.3. Третья подстановка Эйлера . . 32
§9. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений 35
Глава XIII
Определенный интеграл ................................... 43
§ 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ........... 43
1.1. Геометрия: площадь плоской фигуры ..................... 43
1.2. Физика: путь материальной точки .... . . . . . . .............. 44
§2. Понятие определенного интеграла 45
§3. Условия интегрируемости функций ......................... 47
§4. Свойства определенного интеграла. 48
§ 5. Теорема о среднем......................л,,....»,.... 54
§6* Производная интеграла с переменным верхним пределом. .......... 55
§7. Формула Ныртона—Лейбница ...... ... ; ..... 57
§8. Замена переменной в определенном интеграле 59

186
Оглавление
§9. Интегрировани&ро частям , ,. ........ . . . ..... . . . ... ...... . - 61
§10. Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах . . ....>... . 62
§11. Площадь ллоской фигуры в полярных координатах . . . . . 67
§12. Вычисление объемов тел ..... .. ... . > . . .... , , . . . ; . . 68
§13. Вычисление длины кривой . . ........ 70
13.1. Длина кривой в прямоугольных координатах .................. 71
13.2. Длина кривой, заданной в параметрической форме . . ... ... ...... 72
13.3. Длина кривой в полярных координатах ............... 74
§ 14. Дифференциал длины дуги кривой . . . 14
"§15. Физические приложения определенного интеграл)а . . ............. 76
15.1. Работа переменной силы . ..... . .... ... ..... . . ........ 76
15.2. Масса и центр тяжести неоднородного стержня .. . . . ........... 77
§16. Приближенное вычисление определенных интегралов 78
16.1. Формула трапеций . . .............. ,\.'■,.... • ... • • 78
16.2. Формула парабол . . . . . , . ..... . . ...... .... ,./. 80
Глава XIV
Несобственные интегралы .......... ><.,.. . > ,^ . . . . .^ . *, . У *; Ш
§1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования . . 85
1.1. Рпределеиия. Примеры . .... ...... . ..... . . . . . ..... 85
1.2. Несобственные интегралы 1-гр рода от неотрицательных функций.
Теоремы сравнения . . ... .... ... . . ... .,. . . . . .... .... ... 89
1.3. Абсолютно сходящиеся интегралы 1-го рода . .... . . , . . . ...-',.'. ... 94
1.4. Главное значение интеграла 1-го рода . . . . ...... ............ 97
§ 2. Интегралы от неограниченных функций . . ..... ♦ 99
2.1. Определения. Примеры . ... . . . ...... .'".',' . . . . .".'. : ... v ... 99
2.2. Несобственные интегралы ^-города от неотрицательных функций.
Теоремы фавнения 101
. г 2.3. Абсолютно сходящиеся интегралы 2-го рода . . . . . . .... . . . ... . , 1Q3
2.4. Главное значение интеграла 2-го рода .104
Глава XV '
Функции нескольких переменных 106
§1. Некоторые определения и обозначения 106
§2. Понятие функции нескольких переменных 108
§3. Предел функции нескольких переменных 110
§4. Непрерывность функции нескольких переменных . 112
§5. Частные производные 114
§6. Дифференцируемость функции нескольких переменных . . . .116
6.1. Необходимые условия дифференцируемости функции ............. 117
6.2. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких
переменных . . . 118
§7. Полный дифференциал. Частные дифференциалы ........ ...... 119
§8. Производные сложной функции „ . 120

Qtnmtwm - - ■"■ ■ ; ,,,,•„; ,.„■,„,, ,^-v ,■,,,„,.>, - ^Л87-
§9. Дифференциал сложной функции, Инвариантность форшй
дифференциала . . v<vy. . .... .■. г. .ч . . ;/;■. , . . . . . .123
§10. Неявные функции ...*.. , .v. . ...... , , ........... . 125
§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. . . ■". Л. . . . , . . , . . . . 128
11.1. Предварительные савдения ........ ...... . . ... . . . . . . . . . 128
11.2. Касательная плоскость поверхности . . . ....... .... . . ... . .. 129
11.3. Геометрический смысл полного дифференциала . ...... . . ...... . 131
11.4» Нормаль к поверхности ...........*.....,...,.,,..,.. 132
§12* Производные высших порядков . ...... . . ■....' ........ т ..... , , . . . 133
§13. Дифференциалы высших порядков , . ,.. ,... ... .... .., , . ... .'>,. , . .134
§14. Формула Тейлора для функции нескольких переменных . . . .... ... . .' 136
§15. Экстремум функции нескольких переменных .... . ; . . ,V]!,..... . . 139
15.1. Понятие экстремума функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия экстремума . . . . . ."'. ... . . . . . 139
15.2. Условный экстремум . . . .... . . ■.', . .... 144
15 ,3* Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций ......... 149
Глава XVf
Элементы дифференциальной геометрии ..... ::^^:V:\^r^',:w'l[:::v::\SA-
§'1. Плоские кривые. Способы задания. Естественная параметризация . . .-« . 154
§ 2. Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента
плоской кривой . . . . . . . . . . . ..... ....... , . . . v.. ... ....... 160
§3. Пространственные кривые. Способы задания , .. . , . ... .... . . ... 164
§4. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе ...... 167
§5. Понятие гладкой поверхности. Способы задания. ... .... ..,....,. 172
§6. Первая квадратичная форма. Площадь поверхности , . VT. ... ...-. , /, ; 175
§7. Вторая квадратичная форма. Кривизна поверхности . . ,*...... . ... •'•■/. . 178
Предметный указатель.-. . . . Y.;v. . 182

m
i
Издательство УРСС
специализируется на выпуске учебной и научной литературы, в том числе
монографий, журналов, трудов ученых Российской Академии наук, научно*
исследовательских институтов и учебных заведений.
Ш Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Основываясь на широком и плодотворном сотрудничестве с Российским
фондом фундаментальных исследований и Российским гуманитарным научным
фондом, мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономических условиях.
При этом мы берем на себя всю работу по подготовке издания — от набора,
редактирования и верстки до тиражирования и распространения.
Среди вышедших и готовящийся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
КраснюМ. Л. и др. Вся высшая математика. Т. 1-6.
Краснов Ы.Л.% Киселев Л. Я., Макаренко Г. Я. Сборники задач с подробными $ешеннямж
Векторный анализ.
Интегральные уравнения.
Варивдионное исчисление.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Фунввви комплексного переменного*
Операционное исчисление. Теория устойчивости.
Боярнук Л, К. и др. Справочное пособие во высшей математиве ■ 5-та том** (Аетгидемидович).
Дубровин Б. А., Новикове, И , Фотнт А. Т. Соервмеивая геометр**. Методы м сражжиид. Т .1-3.
Сборник задач по математике (дла втузов). Под ред. Мышкиса А. Д, Минасяна В. Б.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. ]
Магарил-Илъяев Я Я, Тихомиров В, А/. Выпуклый анализ я его приложения.
Князев И Н. Функциональный анализ.
Данилов Ю.А. Многочлены Чевытева.
Дифференциальные и интегральные уравнении
Петровский И. Г, Л е!щни 1ю теории обыкновенных уравнений.
Петровский И. Я Лекции но теории интегральных уравнения.
Трикоми Ф, Дифференциальные уравнений.
Элъегапъц Л.Э* Дифференциальные уравнения и вариационное нечислеин*.
Амелькин В. В. Автономные и линейные многомерные е уравнения.
АмелькинВ.В. е уравнения в приложениях,
Белдман Р. Теории устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Кузьмина R П. Асимптотические методы дли обыкновенных дифференциальных уравнений.
Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнения.
Алгебра
Чеботарев Н. Я Введение в теорию алгебр.
Чеботарев Н. Я Теория алгебраических фушщиА.
Чеботарев Н. Я Tfeoрня групп Ли.
СупруненкоДА* 1>уппы подстановок.
Супрунент Д A.t Тышкевич Р. И* Перестановочные матрицы.
'.?;#■
По всем вопросам Вы можете обратиться к ними
таи/фоке (095) 135-44-23» 135-42-46
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в Интернет-магазине: http://URSS.ru
Издательство УРСС
Научная и учебная
литература

Издательство УРСС
Представляет Вам свои лучшие книги:
Дифференциальная геометрия
Лозняк Э. Г., Щикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство.
Рашевский IT. -jf. Геометрическая теория уравнений с частными производными.
Рашевский О. к.Рнмаиовагеометрия и тензорный анализ.
Рошевс««й Я ^. Ку^ дифференциальной геометрии.
Белько Й* В. и др. Дифференциальная геометрия.
Белько И. В. Слоеные группоиды Ли и метод Эресмаиа в дифференциальной геометрии.
Теория чисел и теория графов ,
Хинчин А. Й.Цж жемчужины теории чисел.
Хинчин А. Я. Цепные дроби. " (> '" * л
Понтрягин Л. С, Обобщения чисел.
Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел.
Вейль Г. Алгебраическая теория чисел.
Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм.
Жуков А. В. Вездесущее число «пи».
Яглом И.М Комплексные числа и нх применение в геометрии.
. Оре О. Приглашение в теорию чисел.
Оре 0.1>афы и их применение.
Харари Ф. Теория графов.
История математики
ТЬдхантер И. История математических теорий притяжения и фигуры Земли от Ньютона до Лапласа.
Архимед, Гюйгенс, Лежандр, Ламберт. О квадратуре круга.
Нейгебауер О. Точные науки в древности.
Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России.
Гнеденко Б. В. О математике.
Гнеденко 5. В. Очерк по истории теории вероятностей.
Теория вероятностей и теория, щр
Гнеденко Б. B.t Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.
Боровков А А. Теория вероятностей.
Боровков А. А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов.
Золотаревская Д. И. Теория вероятностей. Задачи с решениями,
Лытьев Ю. П. Возможность. Элементы теории и применения.
Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике.
Шикин Е. В. От игр к играм. Математическое введение.
Жуковский В. И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения.
: Смольяков Э. Р. Теория антагонизмов н дифференциальные игры.
Смольяков Э. Р. Неизвестные страницы истории оптимального управления.
Математическая логика
\ Колмогоров А. #,, Драгами Л./. Математическая логика.
; ДрагалцнА'Г. Конструктивная теория доказательств и нестандартный анализ.
Бахтияров К. Й. Логика с точки зрения информатики.
Ламов Гч Cmejm M. Занимательные задачи.
м
in :■-

i
Математическое моделирование
Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование.
Тарасевич Ю, Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы.
Плохотников К. Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
Вайд лих В. Социодниамика: системный подход к математическому моделированию социальных наук.
Попков Ю. С. Теория макросистем. Равновесные модели.
Ресин В. #., Попков Ю. С. Развитие больших городов в условиях переходной экономики.
В№Ш*$:Ш?'Щ^йсЩBlCl, Шпков Ю. С. Вероятностные технологии в управлении развитием
города. ^ -': 'У'.""/ :
Закревский А. Д. Логика распознавания.
Закревский АД. Логические уравнения.
Закревский А. Д. Параллельные алгоритмы логического управления.
Закревский А. Д. Логический синтез каскадных схем.
Закревский А. Д., Торопов И. Р. Полиномиальная реализация частичных булевых функций и систем.
Киселева И. А. Коммерческие банки: модели и информационные технологии в процедурах принятия
решений. ■■■■■„<■:/:: v ■
Селезнев В.Е., Алешин В. B.t Клишин Г. С. Методы и технологии численного моделирования
газопроводных систем.
Селезнев В.Е. и др. Численный анализ и оптимизация газодинамических режимов транспорта
природного газа. г,
Селезнев В.Е. и др. Численный анализ прочности подземных трубопроводов.
Оптимизация
Софиева Ю. Н., Цирлин А. М. Введение в задачи и методы условной оптимизации.
Галеев Э. М. Оптимизация: теория» примеры, задачи.
Ковалев М. М. Дискретная оптимизация (целочисленное программирование).
Ковалев М.М. Матроиды в дискретной оптимизиции.
Механика
Арнольд В. И. Математические методы классической механики.
Арнольд В. И., Козлов В. 2L, Нейштадт А И. Математические аспекты классической и небесной
механики.
Петкевич В. В. Основы механики сплошных сред^
Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости.
Победря Б. Е., Георгиевский Д. В. Лекция по теории упругости.
Георгиевский Д. В. Устойчивость процессов деформирования вязкоплястнческих тел.
Матвиенко Ю. Г., Сапунов В. Т. Сопротивление материалов в задачах и решениях.
Сапунов В. Т. Классический курс сопротивления материалов в решениях задач.
Кузьмина Р. П. Математические модели небесной механики. ,
Математические применения в лингвистике
Карпов В. А. Язык как система.
Хамский М, Миллер Дж. Введение » формальный анализ естественных языков.
Потапова Р. К. Речь; коммуникация, информация, кибернетика.
Потапова Р. К Тайны современного Кентавра*
Потапова Р. К. Новые информационные технологии и лингвистика.
Потапова Р. К. Речевое управление роботом.
Венцов А. Вц Косе*цч ,& В. Проблемы, восприятия речи.
^^1„^ш1чК

щЕ]
Издательство УРСС
Представляет Вам свои лучшие книги:
Математическая физика
Применения теории групп
Петрашень М. И.} Трифонов Е. Д. Применение теории групп в квантовой механике.
Вейль Г. Симметрия.
Вигнер Э. Инвариантность и законы сохранения. Эподы о симметрии.
Менский М. Б. Группа путей: измерения, поля, частицы.
МенскийМ.Б. Метод индуцироваииых представлений: пространство-время* концепция частиц.
Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам.
Галицкий В.М., Кар на кое Б.М.\ Коган В. И. Задачи по квантовой мехааикс Ц, 1, 2.
Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрии и элементарные частицы., , (
Федоров Ф. И. Группа Лоренца. ." ' .■
Теория поля и гравитация г
Сарданашвили ГА. Современные методы теории поля. ТЛ -4.
Иваненко Д. Д.г Сарданашвили Г. А. Х^ттящии >j
Конопле в а И. П., Попов В. И. Калибровочные поля.
РубаковВ. А. Классические калибровочные поля.
Волобуев И. П.у Кубышин Ю.А. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли н их приложения
в теории поля.
Березин А. В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е. А. Кватернионы в релятивистской физике.
Маслов В. П., Шведов О. Ю. Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и квантовой
теории поля.
Богуш А. А. Введение в калибровочную полевую теорию электрослабых взаимодействий.
Богуш А. А., Мороз Л. Г. Ведение в теорию классических полей. ,
Розенталь И.Л., Архангельская И. В. Геометрия, динамика, Вселенная. Ki
Применения синергетики ^
Пригожий И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках.
Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры* Вычислительный эксперимент.
Олемской А. И., Кацнельсон А. А. Синергетика конденсированной среды.
Милованов В. П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика
и самоорганизация. ■
Москальчук Г. Г. Структура текста как сииергетический процесс.
Евин И. А. Искусство и синергетика.
Бабурин В. Л. Эволюция Российских пространств: от Большого взрыва до наших дней
(ннновационно-сннергетнческнй подход).
Серия «Синергетика: от прошлого к будущему»
ТрубецковД.И. Введение в синергетику. Колебания и волны. * н "
Трубецков Д. И. Введение в синергетику. Хаос и структуры.
Малинецкий Г. Д Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики,
Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего.
Баранцев Р. Г. Синергетика в современном1 естествознании.
Андрианов И.В., Баранцев Р. Г., Маневич Л. И. Аеммптотология — путь к Целостной простоте.
Чернавский Д. С. Синергетика и информация (динамическая теория информации).
Пригожий И., Стенгерс И. Время. Хаос. Квант. К решению парадокса времени.
Пригожий И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой.
Пригожим Jf.t Николис Г. Познание сложного. Введение.
Пригожий #., Гленсдорф П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуации.

Издательство УРСС
Представляет Вам свои лучшие книги:
Брайан Грин
ЭЛЕГАНТНАЯ ВСЕЛЕННАЯ ;
Суперструлы, скрытые размерности и поиски окончательной теории
В течение последнего полувека физики продолявди, основываясь ка открытиях своих пред»
шественникоа, добиваться се более полного понимания принципов устройства мироздания,
И вот теперь, спустя много лет после того, как Эйнштейн объявил о своем походе на поиски
единой теории, физики считают, что они смогли» наконец, выработать теорию, связывающую
все эти прозрения а единое целое — единую теорию, которая в принципе способна объяснить
се явления, Эта теория, теория суперструн, и является предметом данной книги,
Теория суперструн забрасывает очень широкий невод в пучины мироздания. Это обширная и
глубокая теория» охватывающая многие важнейшие концепции, играющие центральную роль
в современной физике. Она объединяет законы макромирз и микромира» законы, действие
которых распространяется в самые дальние дали космического пространства и на мельчайшие
частицы материи; поэтому рассказать об этой теории можно по-разному. Автор выбрал подход,
который базируется на эволюции наших представлений о пространстве и времени.
Книга вызовет несомненный интерес у широкого круга читателей, особенно тех из них, кто
не имеет достаточной подготовки в физике и математике, ко также и тех» которые имеют
определенную научную подготовку. Она поможет студентам, изучающим естественные науки,
и их преподавателям в понимании некоторых основополагающих концепций современной
физики, а также даст им правдивое и взвешенное объяснение того, почему специалисты по
теории струн испытывают такой энтузиазм в отношении прогресса в поиске окончательной
теории мироздания.
Роджер Пёнраув
НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ
Q компьютерах, мышлении и законах физики ' , ■
Монография известного физика и математика Роджера Пеиро-
уза лосвяшеиа изучению проблемы искусственного интеллекта
на основе всестороннего анализа достижений современных наук.
Возможно ли моделиро ание разума? Чтобы найти ответ иа этот
вопрос, Пеироуз обсуждает широчайший круг явлений;
алгоритмизацию математического мышления, машины Тьюриига, теорию
сложности, теорему Шелл, телелортакию материи, парадоксы
к антовой физики, энтропию, рождение вселенной, черные дыры,
строение мозга и многое другое.
Книга вызовет несомненный интерес как у специалистов, так и у
широкого круга читателей.
Издательство
УРСС
(095) 135-42-46,
(095) 135-44-23,
URSS@URSS.ru
Наши книги можно приобрести §
ФШ№4т$2* (м.Лубанм, ул.Мяшщии, |\ Тм. (093) 925-2457)
ттмтжА дм маши» (м.Арвлсш, g&fteuM $$т, I. Т«. (095) 203-9242)
«Иоскм» («.Охотны» $& у&ТОДош*, I. Ты. (095) 22*7335)
i% №***$, ул. в, тмт 21. те*. со*э) годод, ттщ
<Н.Про«Щ>С*М, У*. К*р*СШШИ, I. ТМ. (D95) 270-5421)
*Ст»ры* Сит» (н.Пувшмсям, Таерсюй **#, 25. Т«. <093) 202-9Ш)
«Гиомс» (и.У*ммр«т»т, 1 гум.корвус ИГУ, иоин.Ж Тел. (095) 939-4713)
«У МШИ» (МТУ) {ы.ШотбШШ, ул.Чжнюм, Ц ТМ, «ОД 973-4301)
«спи. дои mm» (Неаош*щ» Ж т«. <ш> «ГЬШ4>