/
Текст
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИК
*
Е
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Р. О. КУЗЬМИНА
7-86
ДЛЯ ВУЗОВ И ФИЗМАТОВ
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
г ОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД 1933 МОСКВА
2-я~тш1огрГ~ОНТИ им. Евгения Соколовой Ленинград, пр. Кр. Командиров.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Отдел двенадцатый. Ряды.
Введение ..................................................... 5
1. Исследование сходимости рядов (1—40).......................... 6
2. Непосредственное суммирование конечных и бесконечных ря-
дов (41—102)................................................. 9
3, Суммирование рядов с помощью определенных интегралов
(103-162)................................................. 15
4. Определение сумм рядов с помощью дифференцирования
(163—177).............................................. 21
5. Тригонометрические ряды (178—236)................• . . 23
6. Разные задачи (237—291)............................. 29
Отдел тринадцатый. Приближенные вычисления
Введение . ................................................. 39
1. Интерполирование. Теория погрешностей (1—29)....... 40
2. Приближенное вычисление интегралов (30—71).......... 45
3. Суммирование. Уравнения в конечных разностях (72—87) ... 49
4. Приложения формулы Эйлера - Маклорена (88—100)..... 50
5. Вычисление сумм медленно сходящихся рядов (101—131) ... 52
6. Вычисление определенных интегралов через разложение в ряды
(132—151) . ................................................ 59
7. Решение численных уравнений (152—167)............... 64
8. Вычисление корней трансцендентных уравнений (168—176) . . —
9. Приближенное интегрирование дифференц. уравнений (177—220) 63
Отдел четырнадцатый. Функции комплексного пе-
ременного
Введение................................................... 74
1. Уравнения Коши-Римана (1—11)................................. 76
2. Особые точки. Ряды Тэйлора и Лорана (12—38)................. 78
3. Вычеты и различные их применения (39—130).................... 80
4. Определение числа корней уравнений (131—146)................. 96
5. Разложение функций на простейшие дроби н в бесконечные
произведения (147—176)................................. 98
6. Ряды функций (177—199).............................. 101
7. Производящие функции. Специальные функции (200—234) . . 105
8. Эллиптические функции (235—269)..................... 114
9. Конформные преобразования (270—329) . ...................... 119
10. Принцип максимума модуля (330—341)................. 129
11. Дифференциальные уравнения в комплексной области (342—361). 132
Отдел пятнадцатый. Уравнения математической
физ ики
Введение.................................................. 135
1. Составление дифференциальных уравнений с частными произ-
водными второго порядка (1—20)
2. Приведение линейных уравнений второй степени к канонической
форме (21—27) . ............................................ 142
3. Метод характеристик (28—44)................................ —
4. Метод Римана (45—49).................................... 148
5. Метод Фурье (50—103)..................................... 150
6. Интегральные ур-иия (104—164) . ........................ 166
Отдел шестнадцатый. Вариационное исчисление.
Введение................................................... 178
1. Уравнения Эйлера-Лагранжа (1—15)......................... 179
2. Необходимые и достаточные условия для простейшей задачи
вариационного исчисления (16—37)............................ 182
3. Параметрическая форма интегралов. Трансверсальность (38—50) 185
4. Уравнение Гамильтона-Якоби (51—71)....................... 187
5. Интегралы, зависящие от производных высших порядков или
от нескольких функций (72—99)............................. 191
6. Разрывные решения. Односторонняя вариация (100—117) . . . 196
7. Кратные интегралы (118—138)........................ 199
8. Изопериметрические задачи (139—166)'............... 206
9. Разные задачи (167—176)........................... 211
Отдел семнадцатый. Теория вероятностей.
Введение................................................... 214
1. Применение основных теорем. Формула Байеса (1—56) .... 215
2. Математические ожидания. Способ конечных разностей и произ-
водящих функций(57—90)...................................... 222
3. Теорема Бернулли. Неравенства Чебышева (91—103)......... 226
4. Теорема Лапласа н Ляпунова-Маркова (104—131)............. 228
5. Геометрические вероятности и законы распределения вероят-
ностей (132—190)............................................ 236
6. Математическая обработка статистических наблюдений (191—237) 244
Ответы к задачам
Отдел XII................................................ 264
Отдел XIII............................................... 274
Отдел XIV................................................ 288
Отдел XV................................................. 306
Отдел XVI............................................... 321
Отдел XVII-.............................................. 336
ОТДЕЛ ДВЕНАДЦАТЫЙ
РЯДЫ
ВВЕДЕНИЕ
§ 1, посвященный исследованию сходимости рядов, не-
посредственно примыкает к соответственному параграфу
Отдела IV, носящему более элементарный характер. При
определении условий сходимости рядов, зависящих от пе-
ременного, желательно полное исследование сомнительных
случаев выбранного признака, что легко достигается под-
бором подобающего другого: задачи этого параграфа пред-
полагают, что признак Гаусса известен решающему.
Задачи § 2 (суммирование рядов) легко решаются по
аналогии с теми примерами, которыми обыкновенно иллю-
стрируется глава о рядах в обычном курсе, на основании
теорем, устанавливающих основные действия над рядами.
Указания, как правило, даны к первой из задач, решаемых
однородными методами, таковы, например №№ 41,50, 75, 94.
То же относится и к § 3 (суммирование с помощью опре-
деленных интегралов), где такими показательными задачами
являются №№ 103, 120, 146, 147, 149, 161.
Следует, однако, отметить, что и при суммировании ря-
дов надо на ранее решенные, задачи смотреть как на тео-
ремы: просуммированный ранее ряд дает возможность сум-
мировать другие ряды как непосредственным использова-
нием найденной суммы, так и применением выработанного
метода. Этим замечанием обусловлены как расположение
задач, так и места, где помещены указания.
Указание на основной метод решения задач параграфа
на определение сумм с помощью дифференцирования (§ 4)
дано самим его заглавием.
Приложениям тригонометрических рядов посвящен це-
лый параграф в Отделе XV. Поэтому трактующий о триго-
нометрических рядах § 5 может быть поставлен в связь
с приведенными там задачами физического и технического
характера. Задачи этого параграфа можно решать незави-
само от того, проработаны или нет задачи трех, ему пред-
шествующих, руководствуясь, однако, сделанным выше
замечанием общего характера о значении каждого просум-
мированного ранее ряда. В отделе рядов Фурье введены
примеры на разложение по ортогональным функциям.
Задачи последнего параграфа предназначены для осо-
бенно интересующихся учащихся. Хотя в них затронуты
вопросы, относящиеся к различным специальным главам
анализа, знакомства с этими главами, благодаря сделанным
указаниям, не требуется.
§ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ
Исследовать сходимость рядов, в которых общий член
имеет вид:
1 хп
1 и“=Xя ЧЛ • 2' и" = *
хп
И” = (1+х)(1+х2)...(1+х’Т
д *2” к (1-2-3.
1Ч-хги+1‘ 5’ и,‘ 1-2-3.
(х \ п Пп
7-гг- = ТЧГз7
п
.пу
~2п
10. Выяснить условия сходимости гипергеометрического
ряда:
с/ о х 1 1 «•₽ I а (а + 1) ₽ (₽ + 1) 2 I
, q(« + l)(« + 2)P(P+l)(P + 2) гЯ ,
1 l-2-3-7(7-H)(i + 2) Г'--
Исследовать сходимость рядов, общие члены которых
указаны в задачах 11—32.
1-2-3...и
11' К” ~ (х +1) (х-Ч-2) ... (х + ?г) ’
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ
12.
13.
14.
15.
. _</(«+!)••• (« + » + *).
“ £($4-1)... (& + « + !)’
(а-}- 1)(2а + 1).. .(па-\-1)
и“ “ (£4-i)(2£-H)...(/^+ij ’
1 - 3-5 ... 2л—1 1
2-4-6... 2л 2«4-Г
1-3-5... 2л —1 1
=-----------------— .
2•4 - 6 ... 2л ]/л
а > 0;
«>0,
b >0.
£>0.
16.
17.
_/1 -3-5... 2л— 1 \“
\ 2-4-6 ... 2л / ’
= jWH)- •• (Н-«—I) 1 .
1 • 2 • 3 ... л ’
₽>0,
а>0.
18. л = а т + т +1 +‘ ‘ ‘+“ + п
19. л„ = (2 — Уе)(2- |/ё)...(2 — f/ё).
Указание, е <
20. л„ = 1—cos —
п
i-i-Y*.
л у
21.
«„ ~ log cos —
п
24,
26.
27.
/. 7t . 7г\Р
u_ — Л tg----sin — I ,
n и J
1 /. « + 1V
lln — I Og-----I
n Vn\ h n—1)
—1 — 2 V~n-
28. un^a~n+l/a.
30.
32.
23.
25.
«•==
л2Ц-1у lp
/г2 — ! I ~~ 1
„ 1 п ~г1 «
я-=‘ое
i i
29. un = an-\-a n — 2.
„ — v’°S« QI
“п — л - 31. и„=е
и =— A _^IogлYl
n /л •
34. Исследовать сходимость ряда —-=-------------к
/2 + 1 /2 — 1
- _1__________
1 /3+1 /3 — 1 '
35. Доказать, что ряд, в котором отношение последую-
щего члена к предыдущему равно -+ (—1)”._L
кп 4 2
будет сходящимся.
36. В последовательности чисел ил = 1, и2 — 2, и3 = 3,
«4 = 5, нб = 8, и6 = 13, ...три последовательных члена
и„, н„+1 связаны соотношением «п+1 = «„ + «„_,. Исследо-
1 . 1 . 1 .
вать сходимость ряда -—[- -—Ь — + ...
37. В ряду чисел «1 = 1, «а = 1, «3 = L —
п6 = 9, ... каждые четыре последовательных числа un+l,
иг, «п_2 связаны соотношением «я+1 = ня+ни_1+«в_2.
.. 1 , 1 , 1 ,
Исследовать сходимость ряда -—|--|----...
«1 «2 «з
38. Последовательность чисел составляется по следую-
щему закону: v0 = x>0, v1 = sin х, v2==sin sin x,...vn =
= sin v„_j,... При каких у. ряд | v0 f +1 Vj |р +1 va |и + ... будет
сходящимся и при каких расходящимся?
Указание. Расходимость ряда при у. = 2 доказывается че-
рез рассмотрение бесконечного произведения
Исследование в случае у > 2 можно обосновать на нера-
, х3
венстве sinx<x—при х<1.
39. Последовательность чисел vn определяется форму-
лами
VO = X > О, V, = arctg х, ... V<( = arctg v„_r
Исследовать при положительном у.' сходимость ряда
Vo1'+v/+v/+v3p+...
40. Доказать, что числа vn последовательностей двух
предыдущих задач при возрастающем п выражаются ра-
венством
в котором е(«)->0 при /I —> оо.
§ 2. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ И
БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
41. Найти сумму /(0) 4-/(1) 4~/(2) 4~ • • • 4"/(й —1 )> где
/(х) = а 4- Ъх 4- сх2.
Указание. Можно воспользоваться легко доказываемой
теоремой: если F(x4-1)— F(x)=f(x), то /(1)4~/(2)4-
4-...4-/(x-l)=F(x)-F(l).
Определить суммы:
42. 124-324-524- • • • 4-(2п — I)2.
43. I2 4-5» 4-93 4-...-г (4п 4-1)3.
44. Ь224-2-324-3.424-...4-я(/14-1)2;
45. 1 -п24-2(п—1)2+... 4-А(/г—/г4-1)24-... 4-л • I2.
п
46. 21 &(п— /г4-1)2.
Й=1
47. 13—234-33— ... 4-( — l)fi-1«3.
48. И—2*4-3*—...4-( —1)и-1л*.
49. Полагая Slc— 1'‘4-2Л4-3*4~ • • • 4~й*» доказать равен-
ства 2Sb4-S3 = 3522, 574-Sb = 2S32
50. Определить сумму: sin x-f-sin 2х-|- • • • 4~sin(n—l)x
Указание. См. указание задачи 41 или использовать фор-
мулу Эйлера.
Найти суммы:
51. 14~cosa4-cos2a4-... 4-C0S(/Z—l)a.
52. sin x-|-2 sin 2x 4- ... + Iй — 1) sin (n — 1) x.
53. cosx4-2cos2x cos3x4~• • • 4~(n— l)cos(«— 1) x.
54. cosx-|-cos3x4-• • • 4-cos(2«—l)x.
55. sin x—sin 2x-|- sin 3x— ... — sin 2nx.
56. sin2x4- sin2 2x 4- • •. + sin2 nx:
57. sin2x—sin83x-}-sin25x4^ ... 4~(— l)"-1sin2(2«—l)x.
58. Применив к функции
. . x , sinx . sin2x ,
.«=2-+—+ -2—t
2«4-l
COS J— X
(2« 4-1) sin |
sin nx
n
надлежащим образом формулу Лагранжа, доказать, что ряд
sin х , sin 2х t sin Зх .
। _ |___ .
сходящийся и определить его сумму при условии 0<х<2л
Указание. Рассмотреть w (х) — (~).
59. Применив к функции
. . sin х . sin Зх , । sin (2л— 1)х . cos2nx
fW— 2 § г • • • “Г 2п—1 ' 4flsinx
надлежащим образом формулу Лагранжа, доказать, что ряд
sin х . sin Зх sin 5х ,
“Г 1 3 * 5 ‘
сходящийся и что сумма его при условии 0 < х <- не за -
7Г
висит от х и равна .
60. Найти сумму х sin а-}-х2 sin 2 а-|-.. .Ц-х”-1 sin (и—1)а
П— оо
61. Найти сумму ряда sin а л • х“; |xj< 1.
И—1
62. Найти сумму Г-j-xcos a 4- х2cos 2 a 4- ••• +'
4-Xra~1COs(n— l)a.
63. Найти при условии |х] <1 сумму ряда l-J-xcosa-}
4-x2cos2a4- ...
64. Найти яри |х|< 1 сумму ряда «-}-(«+ 1)*4*
—J— (a -J- 2) х2 -J- ... 4" (а 4* л) х” 4- ...
65. Определить при |х|< 1 сумму ряда 14~4x-j-9x24'
4-. - . Ч-п2х,г_1+...
66. Определить при |х| < 1 сумму ряда х— Их2 4- ... -{-
+ (— ir-V+w2 — 1) хя+ ...
67. Определить при |х|< 1 сумму ряда 1 4-16х-|-81х24-
+ ... +^x”-‘+...
68. Разложить в ряд по восходящим степеням z дробь
1 — z -
—--------jr-r- и определить область его сходимости.
1 Z itZ"
69. То же для дроби
1— Z
1—5z + 6z2 •
"1 J_. .1 ^2
70. То же для дроби j——
71. Разложить при |х|<1 в ряд по восходящим степе-
"ям *
72. Разложить при |х|<1 в ряд по восходящим степе-
"™ “ дР°бь (1-х)(1-^)(1-х»)-
-от- <- a-\-bz
То же для дроби -д---н!
r (1—2zcos?j-.z)
74. Если положить
“1 +а*+№+л*Ч- • •
то будем иметь следующее равенство:
1 +'“+*'* +•' • = •
Доказать.
75. Найти сумму
____1 , 1 । , , 1
а(а4-1) («+ l)(a-f-2j ~г" ' * ’ ~г' —1)(аЦ-п) *
Указание. Разложить дроби на простейшие.
Найти суммы рядов.
77' 1 -4 + 4-7 +7 • ю+"’
78. Найти сумму
1__________+________1
(С“Ь2) (с4-р4~2)
(^+w)(^+p4-n)
где р—целое положительное число.
79. Проверить равенство
J____________1 __ 1 ____
р ' а(а+1)...(а-[ р— 1) a(a-f-l) . . . {а^-р)
+ То + 1)(« + 2)...(а + р+1Г+ • ‘ ’
Указание. Сравнить с задачей 75.
Найти суммы рядов.
8°-
81 1 । 1 . 1 I
° 1 -7 3-9 5.1Р
«9 3 IL.- ' 2Л+1 I
О£- р!. 22~1~2’2 - З2' ' гл2(п + 1)2 ‘ "
2 I 3 । ____l
°0- 12.32 1 22.42 ‘«2(« + 2)2
ЯД 1 I 2 I I_______”________.
°*- 12.32^32.521 •• • ^(2« —1)2(2п+1)21
ЯК 3 I 5 [ I 2я + 1 ,
I2 • 52 ~ ~ З2 - 72 ~г” * * ' ”* (2п— 1)2(2й+3)2 ’г ‘ '
86. Найти сумму
____1 I 1______I.
с(с+1)(с+2)____________________(с+1) (с + 2)(с + 3) 1
+ - _______________1__________.
‘ (с+«—1) (с + «) (с+п+1)
Указание. Применить метод предыдущих задач.
87. Найти сумму ряда
1-2-3 2-3-4~ 3-4-5
88. Доказать, что
1_______________________________
(с + п) (с +р + п) (с—|- ‘2р + п)
^1у__________1______
(с + п) (с +/> + п)
Найти суммы рядов.
ЙУ- 1 -5-9 13-7 -11 Г5 -9- 13^'”
! 90, 1-4-7 + 2-5-8’^3-6-9"'“’"*
91. Найти сумму
г(с+1)(с + 2)(с+3)^(с-Ь1)(с+2)(с+3)(с + 4) 1
__________________1 ____________________
‘ (c-j-л —1)(с4-л) (<? + «+ 1) (с4-«+2) *
92. Найти сумму ряда
—1_____+_______1_________1_____+
ЬЗ-5-7тЗ-5-7-9 1 5-7-9-11 ’
93. Найти сумму ряда
14 9
2-3-4-5 + з'-4-5-6^“4-5-6-7^ " ' ~г
+ (n+D(« + 2)(« + 3)(n + 4j + ' ‘ •
Указание. См. указание задачи 41.
94. Исходя из тождества
, с . с , с
a-j-«—1 ba-\-n b (a-J- ri) (an—1)
доказать равенство
“ г
V, C 1 C > C
arc tg -5-,--—. —r7-—— =arc tg---arctg —?—.
* c--f-(а-|-Л) (a-\-k—1) a °a-\-n
Примечание. Сравнить с указанием задачи 41.
Найти суммы рядов
95. arctgy4-arctgJj-+ ... +arctg ...
96. arctg 1 +arctg±-+ ... + arctg „a+'n+l +''’
97. arc tg^ + arctg^+ ... +arctg ^L_ + ...
98. Исходя из равенства
(1 + x) (1 +^)(1 +^).. .(1 +a^-‘) = 1^-,
определить сумму
х 2х2 , 4х4 . . 2п-1хйП~г.^
1-1-х +1 4-х2 + 14-х4 + ‘+ i _|_Х2П~1’
затем определить сумму бесконечного ряда
х । 2x2 ! 4x4 ।
14-х + 14-х2 14-х4
99. Доказать, что
X X2 X*___ . X2”-1
1—X2 ‘ 1—Х*+1—X8 " 1—х2” 1 — X 1—X2"'
Определить сумму ряда
______________I—..х.4-4-
1—Х2 ’1-—Х* Г1—Xs1
при условии его сходимости.
100. Доказать, что при условии 1 х] < 1 имеем:
101. Исходя из равенства
х х х, х sin х
COS -5- • COS ~ • COS-g-,.. . COS ™ =-----
определить сумму
_ 1 . X . 1 , X . , 1 , X
5,1 = yig T •• • -Г2»^2я’
затем определить сумму бесконечного ряда
_ 1,х,14х.1.х,
5 ~ 2 tg 2~ -г 4 tg 4 8 tg 8 "
102. Определить сумму
СУММИРОВАН. РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕН. ИНТЕГРАЛОВ 15
затем найти сумму бесконечного ряда
(См. задачу 101.)
§ 3. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
103. Представить в виде определенного интеграла сумму
ряда
5 = —------4------ГоТ'----4~ • - • > где О > 0. b > 0.
а а-\-Ь ' а-\-2Ь а-\-ЗЬ 1 ’
Указание.
Определить суммы рядов:
104.
юз. S1=1-144-4+...
106. S==l—^4-у—ГДе сУммиР°вание
распространяется на все нечетные числа, не делящиеся на 3.
!07. i = l + |-4-| + |+|-|_| + ...
108. S=l+|_|_|+|+|_|_|+...
ж s = 1+|+±_4|_^+^+^+^-...
по. s = i4—-—-—L i 4. । J_1_L _i_
'з 5 7-t-9-tw 13 I5-i-...
in. s = i—L_|_4-Li J—-------? L
7-I-9 15 '17 8n—1 '
i 1. __
^8n+l •”
я’ — 1
112.
113. 5= V 1—1)
п
71=1, 3,6,7,...
П — 1, 3, 6, 7, ...
114. Выразить определенным интегралом сумму ряда:
’ где a> a:#₽-
Найти суммы рядов:
П6- S~ So(4«q-l)(4n + 3) ’
117.
113. S = У—7—г—Гт-, где n целее число>1.
n(n-\-h)
119. S= У-Ц;—где h целое число >1.
n(n-\-n}
120. Выразить определенным интегралом сумму ряда
VI _______________?(Л0______________
(и + ctj) (л «2) • •
n — i
где <р(п) полином степени по крайней мере на 2 единицы
ниже степени знаменателя; числа a,.(i—1, 2, 3,.. .k) веще-
ственные, различные и >—-1.
Указание. Разлагая дробь на простейшие, обратить вни-
мание на ограничение степени <р(п).
Найти суммы рядов:
121.
°0 1
5== V --J_____________
п (4?га — 1)
122‘
123. S= jg ’
Указание. Рассмотреть интеграл \
124. S = 2.3 + 3Т4Т5' + 176Tf+--*
Указание. Выразить общий член в функции значка.
,23’ S= 1 • 2 3 3 4 • 5 ^ 5 • 6 • 7
126’ S= 2-3-4 + 4-5-6 +“б“7\8 ^‘"
с 1 1 , 1
д “ 2 - 3 • 4 4 - 5•6 + 6-7•8 ‘ ’ ’
!28. S = Ь2.3.4 + 4.5.6.7 + 7.8-9-10"
129- 5 1 • 4 • 7• 10^~4 • 7 • 10 • 13~^7 • 10• 13 • 16
Указание. См. указание к задаче 120.
130‘ S== 12.33 + 32.52" + 52.72 + • • •
Указание. Воспользоваться равенством
it2 1 1 1
6*= 1+32+32 + 42 + ••*
—------L_____L_____1____I______!_____I
Р - З2 • 52 1 З2 - 52 - 72 ‘ 52 • 72 •
»---1---1----1__|_________-_J-.
1 • 22 ~ 2 • За г 3 • 42 1 • •
= _2___L 1 , 1
Р-5 т З2 - 6 г 52 - 7 ‘
1 ___________1 , 1 ,
1‘2.22.32 “Г 22 • З2 • 42 “ З2 • 42 • 52 1
131.
132.
133.
Гюнтер и Кузьмин, ч. III
2
135.
h целое число >1.
х2
2-(2-|-ft)
х3
3 - (3-|-/z)
136. s— j,2.з + 2.3.4 + 3.4.5 + •••* W<i‘
1 у* «т»2
137. 1.3.5 +3.5.7 +5.7.9 1%1<L
nq С- - Ь3-5 I 3-5'7 х I
138. i-7.9.11-|-9.11.13JC+
5-7-9
11 • 13-15
х2+-
[х|< 1-
139.
2 2-4 2-4-6
Суммировать ряд 5 = ?
П
2
приняв в соображение интеграл ' sin2”+1
о
140. Суммировать ряд
1,1-3 1-3-5 ,
2‘ 2 • 4 2 • 4 • 6‘
3-5...2п—1
2-4-6...2п
тс
2
приняв в соображение интеграл J sm2n<₽rf<p.
О
141. Найти сумму ряда
, sin2 0 2 sin4 6 2-4 sin6 6
1 3 3^5 3-6-7 '’*
142. Суммировать ряд
1-1^6+44^
2-4tg«6
3-5-7
при условии — + 6 .
Тг
Суммировать ряды.
1ЛО С-1
143. S— 4 2 б-4
1-3-5
I.4.8 ••• —
1 3 -5...(2л4-1)
“2-4-6...2п(2л4-4)
Указание. Использовать формулу бинома Ньютона и
воспользоваться тождеством:
2«4-1 3
2«4-4~ 2л4-4’
... „ 1 . 1 . 1-3 . 1-3-5 ,
14,6 2 +2-4+ 2-4-6 +2 • 4-6-8г
if1 1,1-3 1 . 1 -3-5 1 .
145. 5=1 + т.^ + г-1-.-4-+5-т-г.^+...
146. Приняв во внимание, что
1
J xm~l log л dx = —~j2 (т> °)>
суммировать ряд
с 4 , 1 1,1-3 1 , 1-3-5 1 ,
2 ’ 3й ^ 2 • 4 ' 52 1" 2 - 4 • 6 ’ Т‘ '
147. Приняц во внимание, что
1
J’ xm-t (logx)2 dx — (m > 0),
суммировать ряд
1 2 ЗзГ2-4 5s
,1-3-5 1 ,
1" 2 • 4 • 6 ’ 73 1 ' ‘ *
148. Проверить равенство
1
F(a, ₽, Ъ = Jга~1(Д— *(1— xz)~^dz,
0
в котором F(a, p, 7, x) сумма гипергеометрического ряда
a-P , а(а4-1)Р(Р-}-1) „ , . n
!+1Т7Х+ 1Т2^+1П гАе а>0’ Tf —«>°.
Указание. Разложить (1—2х)_₽ в ряд и и использовать
свойства эйлеровых интегралов.
149. Найти F(a., р, -у, 1) (см. задачу 148), предполагая
условия сходимости выполненными.
Выразить определенным интегралом суммы рядов:
, а . а(а + 1)
-г ь 1 £(*4-1)
а(а-4-1)(а4~2) 3
0.
Указание. См. задачу 148, принимая во внимание уело
вия сходимости интеграла.
1 , /1 V 1 , /1-3V 1 /1 -3-5\2 1 ,
151.5-2+^2) “4 + \2“4/ 'б + ^Гб/ 'б + -"
/ 1 \2 / 1 \2 / 1 • 3 \2
152.5 = (+) +3(^_) +5( зУё) +
+ 7(-+'А±_Г+.
1 2-4-6-8 / 1 •’
.„ 9___£ , 1-2 ,___1 >2-3___
х ‘ х(л +1) ~^х(л+1)(х+2)~г" * ” “
.____1 • 2 - 3...и_
х (х—|- 1)... (x-j- п—1)
«ед с__ 1 I й I а (й + 1) I а(й+ 1) (g-f~2) !
1- 2)-+••••,
^>«+1, а > 0
с а I о I О «(« + 1)(й + 2) ,
b *(* + !) b (* +1) (Z» + 2) + “’’
b > а + 2, а >• 0
1 кс с 11 1 1 1 ‘ 2 I 1 • 2 • 3 .
156. s=l+_+__+—
157.
158. 5=1
1 , 1-2 1 - 2 - 3 ,
з + з-5' 3-5-7 +
1.4 + 1 .4.7 + 1-4-7-10 +’•••
i59. Проверить равенство: nz
н 1—н . (2 —я)(1—п~)
1
2(2+1) (2 + 2) Г 2 (2+1)(2 + 2) (24-3)
Указание. Вычитать из левой части последовательно
члены правой.
160. Доказать следующее равенство:
1 . ! ! . 1 । 1
г2 "г а4-1)2+ (£4-2)2 +---t 4- 2t(t4-1)
। Ь2 । 1-2-3
нз/(/-4~1)(/4-2)~ь 4ц/4-1)(г4-2)(^4-з) +”:’
если £>0.
Указание. Использовать задачи 146 и 159.
161. Выразить определенным интегралом сумму ряда
11 1
$ — а а (а 4-1) (а +1) (а 4- 2) А +
।_____ 1____________ 1 ] _ ...
я(«4-1).. .(а-\-п — 1) 1 а~>
Указание. Знаменатели обнаруживаются при применении
интегрирования по частям к интегралу J" z^e^dz; и — линей-
0
ная функция х и z.
162. Доказать следующее тождественное равенство двух
рядов:
1—1_____1---|-------1_______1_ —
я ‘ я(а-4~1) ' «(«4~l)(a + 2)n ”
/11,1 1 \
\а 1 -(a-j-l)^- 1 -2-(я4-2) 1 • 2 3 • (я-|-3) + ' Г
Указание. См. задачу 161.
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУММ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕН-
ЦИРОВАНИЯ
163. Найти суммы рядов:
52 = ^л2л”; 83 = ^п3хп; |х[<1,
пользуясь тем, что
И рекуррентной формулой:
ds,.
*- + 1 dx
Определить суммы рядов.
$-8 J-7 «11
164. 5 = £- + ^4-|г+...
•у 9*5 -гЭ
IM. S„A+£.+£. + .„
о4
166. 5=1+|Г4-8Г + ...
Указание. Составить дифференциальное уравнение для
нахождения суммы ряда.
о . 1 z3 , г9 ,
3! “ 6!
168. Приняв в соображение дифференциальное уравне-
iogdH-л)
(14-х)я ’ д
нне, которому удовлетворяет функция^
зать, что
169. Приняв в соображение дифференциальное уравне-
ние, коему удовлетворяет функция у—УЛ — х2 arc sin х,
доказать, что
х3 2 х5 2 • 4 х7
„х _ _ __ _______ ...
170. Приняв в соображение дифференциальное уравне-
ние, коему удовлетворяет функция
У=yi+x2 log (х+/14-х2),
доказать, что
.Xs 2 х5 . 2 • 4 х7
>”=х+тг —3 Т +ъ~57 - •
171. Доказать, что при | х | < 1 имеем:
1 1 / 1 \х3 / 1 1 \ х4
-±4iog(i4-x)]2=-^х2-(14-у) з 4-(14-у44)т~ •*
Указание. См. задачу 100.
172. Доказать, что при х2< 1 имеем
— !og(l+x)log(l—х) =
~х 2 + 'з)т + (1“ т) т+---
173. Доказать, что при [х|<1 имеем
1 , , v, х2 /, . 1 \ л'1 . (. . 1 , 1 \ Xs
Y(arctgx)«=—
сходится ли этот ряд при х=1?
174. Доказать, что
можно ли положить в этом равенстве х = 1?
175. Доказать, что
1 i 1 !+* о , /1 '1 , 1 \ х3
_ arctg*.log 1^7=х» + ^-_+т) —
176. Доказать, что при х2 < 1 имеем
1-|-/Г^Х — 1 х 1-3 х2 1-3-5 х3
Og 2 “ 22*2-44 2-4-6 6
177. Разложить в степенной ряд функцию у = (arc sin х/э.
§5* ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
178. Разложить в ряд Фурье функцию, равную —1
в промежутке (—л, 0) и -j— 1 в промежутке (0, я).
179. Разложить в ряд Фурье функцию |х] в промежутке
(— к, я).
180. Разложить функцию / (х) = х в промежутке (0, я)
по косинусам кратных дуг.
181. Разложить функцию f(x) — x в-промежутке (0, я)
по синусам кратных дуг.
182. Разложить функцию х в промежутке (0, 1) по коси-
нусам кратных углов.
183. Разложить в ряд Фурье функцию х2 в промежутке
(—7Г, тс).
184. Разложить в ряд Фурье функцию л2 в промежутке
(О, 2тс).
185. В промежутке (— тс, -]-тс) разложить в ряд Фурье I
функцию/(х), определяемую равенствами /(х) = cos х, если
х>0, и /(х) =— cosx, если л<0.
186. Разложить функцию (sinx) в интервале (—тс, тс).
187. Разложить функцию /(х), равную нулю при —тс <л<0
и равную sinx при 0<х<тс, зиая, что /(х-{-2тс)=/(х).
188. Доказать, что четная функция /(х), имеющая период
2тс и обладающая свойством: /(-^--{-х)= —/(-н—
разлагается в ряд Фурье такого вида:
/(*) = а» cos (2и +
139. Доказать, что у нечетной функции /(х) с перио-
дом 2тс и притом такой, что
ложение в ряд Фурье имеет вид:
— х
/(*) = 2 sin (2п +
190. Разложить функцию, равную тсх—х2, в интервале
0, —j в ряд по синусам нечетных кратных углов.
191. В промежутке (—“, +те) разложить в ряд Фурье
функцию /=| х|3 и на основании этого раз ожения найти
суммы рядов:
192. В промежутке (—тс, тс) разложить в ряд Фурье
функцию Xs.
193. Разложить в ряд Фурье в промежутке (0, 2тс) функ-
цию ех— 1.
194. Разложить в ряд Фурье в промежутке (— h, + /г)
функцию ех.
195. Разложить в ряд Фурье в промежутке (—я, 4-к)
функцию cos ах.
196. Разложить в ряд Фурье в промежутке (—к, -f-к),
функцию sin ах.
197. Разложить в ряд Фурье в промежутке (—тс, -|-тс)
функцию sinh ах.
198. Разложить в ряд Фурье в промежутке (•—тс, -{-тс)
функцию cosh ах.
199. В промежутке (—тс, -f-тс) разложить в ряд Фурье
функцию /(x) = 10gCOS-g-.
200. Пользуясь результатом задачи 194, доказать фор-
мулу разложения котангенса в бесконечный ряд дробей:
, 1 , V 2х
KC°tg«=27+2,,
201. Применяя результат задачи 197, получить разло-
жение
1 1 . 1 ___ vi 2г
е*~ 1 ~ Т + Т ~ ’
202. Доказать, что в пределах от 0 до тс имеет место
тс . ,2 cos 2х 2 cos 4х 2 cos 6х ,
разложение sin х = 1----,—к------—-g------- —{- ...
£ 1*0 0*0 О
203. Доказать, что при--^-тс<х^-^-тс имеем
тсх / тс2 х2\ . sin3x . sin5x
и на основании этого найти сумму ряда 5=1——
204. Доказать, что при О^х^тс имеет место равенстве
-sinx . sin3x . sin5x . тс , .
—+-^-+ =-&
205. Доказать, что при —^-тс^х^-i- тс имеет место
cos3x cos5x . cos7x к „
равенство — ... = т cos» х -
1
--g-COSX.
206. Доказать, что при 0=sO'?'~ имеет место равенство
sin 46 sin 66 . sin 86
1 - 2 2-3 + 3-4 +
= sin 26 — (тс—2 6) sin2 6 —
— sin 6 cos 6 log (4sin2 6).
207. Доказать, что при 0 уЕ 6 тс имеем равенство
cos 46 . cos 66 . cos 86 .
1-2 2T3"3^4 ’
4- sin2 6 log (4 sin2 6).
ГТ cos 3z
208. Доказать, что —
I2 • z2
/ \
= 2 (тс — 2z) sin «4-I-q—2kz-\-2z'2— 3 )
\ /
= cos 26— —ej sin 26
. cos 5z . cos Iz 1
' 23.32 ~r 3-2.42 T • • • —
cosz при условии
ЛЛЛ „ sin 3z sin 5z . sin Iz
209. Доказать, что -------2^3^+ '32742------• • * =
==(^4-3—2z2jsinz— 4^cosz при условии —-g-^z^4"Tp
210. Приняв в .соображение, что / хи dx —— (п > 0),
</ tz
о
sinx . sin2x . sin3x
суммировать ряд—-----1---%----1-$—
211. Найти сумму ряда —р—
при условии О^Х^тс.
. со
212. Найти сумму ряда S —
п^=1
sin2 2х
22
sin2 Зх
З2-
sin2 п 6 sin2 п <р
п?
при усло-
виях 0< б^тс. 0<уsgтс.
(Ю
„ v sin2га6sin2гач>
213. Найти сумму ряда S = 2и ------ ПРИ усло-
п— 1
виях 0<6<тс, 0<<р<тс.
Суммировать ряды.
214. ^-4- c°s22*+-g^L+...; 0<x<2lt.
215. rtnx.+Jin3x +Jln5x+. 0<x<«.
13b
216.
217.
218.
cos я . cos3x . cos 5х . _
-j—+—3—+—5—<><*<•
sin х , sin 5x . sin 9л . _ ъ
-i- + —5—+—9—0<J£<T-
cos x , cos 5л , cos 9x , _ . я
-j-+—5—+—§—Ь-; о<л< 2.
1 1
219. sin <p+"q- s*n + sin 3<p-J- ...
~ о
220. sin ©-i- sin 2©-|—i- sin 3© -f~ • • •
Л о
221.
«2--------------------J
и = 2
co
V s*n nx
n2 — 1
П—2
0 < x < 2л.
Полиномы Чебышева Г„(х) определяются равенством:
Тп (л) = cos (л arc cos =
(-.1)W/TZZ^ /Г(1 — х2Г
1 -3.5...(2« — 1)-251 * 1 dxn
Они обладают в интервале (—1, 1) свойством ортогональ-
ности при характеристической функции р(х) — —-—-- ,
у 1 — ха
выражающемся формулами:
1
f тп(*) тт(*) -1Z . = 0 при пфт
J ]/ 1—л2
1
. dx тс
Тп (Л) 2**-1 ’
Пользуясь последними равенствами, можно разлагать
в интервале (—1, 1) функции весьма общего типа, напри-
мер, удовлетворяющие условиям Дирихле, в обобщенный
ряд Фурье, расположенный по полиномам Гп(х).
Разложить по полиномам Чебышева функции/(х), опре-
деленные в интервале (—1, 1) следующими условиями:
222. /(х)=хз.
223. f(x) = 0 при — 1 < х < О, f(x) — 1 при О < х < 1.
224. / (х) = | х |. 225. /(х) = х2п.
Полиномы Лежандра Р„(х), Эрмита-Чебышева Нп(х)
и Лагерра LK(x) определяются равенствами:
1
2” п\
dn(x2 — 1)п .
dxn
о?
е2 dyie 2
га! dx
LA*)-
dnxne ~х
dxn
Одно из важнейших свойств этих полиномов — свойство
ортогональности. Оно выражается равенствами:
со со
f е 2 Н„ (х) Нт (х) dx 0, e xL s (х) Lm (х) dx = О,
—со О
f PA^P.,Mdx = 0.
'i
При этом п±м. Если же п = т, то справедливы фор-
мулы: „ ..
со , _ ,_ОО
J e~^H,Ax)dx = -^-; f e~xL,Ax)dx = l',
—со О
—1
С помощью этих формул можно разлагать функции
весьма общего вида в ряды по полиномам Лежандра
в интервале (—1, 1). Функции, определенные в интервале
(О, оо), можно разлагать по полииомам Лагерра, а заданные
в интервале (—со, оо) — по полиномам Эрмита-Чебышева.
Разложить в ряд по полиномам Лежандра функции, опре-
деленные в интервале (—1, 1) условиями:
226. / (х) = О при — 1 < х < 0, /(х) — 1 при 0 < х < 1.
227. /(х) = |х|.
Разложить по полиномам Лагерра функции;
228. е~ах. 229. cosax.
230. sin ax. ‘ ’ 231. хп.
Разложить по полиномам Эрмита-Чебышева функции:
232. /(х) = sign х, равную — 1 при х < 0, -f-1 при х > О.
233. /(х) = | х |. 234. /(х) = е
235. /(х) = cos ах. 236. f (х) = sin ах.
§ 6. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
237. Доказать тождество:
__L=__L_ - 1 , _1_
2 3 4 2п п 1 ' п 4~ 2 1 ‘ 2/г
и, исходя из него, найти сумму ряда
У (—I)"-1 .
238. На основании асимптотического равенства
1+4+4+ • • •+= c+iog п+s» °im s» =о)
доказать равенство
i+4+4+"-+2^=4c+logl/4"+e"(iira8«==0)-
239. На основании асимптотического равенства
1+4+4+ + 4 = C + !ogn + E« (Iims„ = 0)
Z о IL 71^=00
суммировать ряды:
1)
i _ 1 J__± f 2 1 L_J i i
2 4 6 8'3 10 12 14 Тб+‘
Примечание. Ряды задачи получаются из ряда
1
L. +
2^3
1
~4
перестановкою членов.
240. Доказать асимптотические равенства:
1+т+4+-+гг=з=тс+т+1^^+'»
Jim е; = 0,
Л=:оо
И
•••+4Л=Т==ТС“
lim 8,( = 0.
7с~оо
Указание. Взять к из ряда, дающего arctgx.
На основании результата № 240 найти суммы рядов:
241. S=1 j-+-g п— Ts + ”,f
242. S=l+4 = 4+.4 + ^_^+...;
243. В гармоническом ряду:
,+±+±+Л+±+...
1 2 1 3 т 4 т 6 1
выбрасываются те слагаемые, знаменатели которых содер-
жат данную цифру, например 9. Будет ли сходящимся новый
ряд?
244. Из ряда натуральных чисел 1, 2, 3, ... выбираются
числа
3, 7, 8, 15, 24, 26, {А)
которые по прибавлении к ним единицы дают полную сте-
пень. Найти сумму ряда
Указание. Собрав члены ряда, зависящие от числа п,
1
разложить их сумму в ряд по степеням —.
245. Из ряда (Л) предыдущей задачи выбираются отдельно
четные и нечетные числа:
8, 24, 26, ...;
3, 7, 15, ...
Найти суммы рядов
е_ 1 , 1 , 1 , 1 I 1 1 I
8 г 24 г 26 ’ • И 3 7 ’ ' 15 Ь
246. Из ряда натуральных -чисел выбираются числа
5,9,10,17,26,28,..., (£>)
которые по вычитании из них единицы дают полную сте-
пень. Найти сумму ряда
5_____L 1 JL _L J__L i
5 1 9 17
247. Из ряда (£)) предыдущей задачи выбираются отдельно
четные и нечетные числа. Найти суммы рядов
„ ! , 1 , 1 , С'__ 1 д_ 1 f 1 г
5 1 9 ’~17ф‘” И 10 26 + 28
у2 Х^
248. Если положить о (х) = х -1- -f- — -f- -^7 + ..
ТО <Р (х) 4-0 (1 — X) = -g- — log х log (1 — х).
Доказать.
Указание. См. указание к задаче 130,
249. Если положить
уЗ у4
4>W=^+^-+-^-4-^+
то
<?(—х)4-<р
|-[1ои(14-х)Р,
Доказать.
250. Найти сумму ряда
1
й 217
См. задачу 248.
251. Если k целое числом 1, то сумма ряда
1-2^1.2-з + 1.2тЗ-4+'’;
будет равна ерк, где рк целое число. Очевидно, что А = 1.
Доказать, что числа р2, ра,... определяются последовательно
с помощью равенства
Р*4-1= 1 ---^-/’2+ • • • Л-Рк.
252. Если k целое числом 1, то сумма ряда
будет равна ехрк(х), где рк(х) полином с целыми коэффи-
циентами. Вычислить полиномы р2(х), р3(х) и найти общую
формулу, позволяющую последовательно вычислять эти
полиномы.
253. Доказать, что, полагая
= 13 *-4-23 4- З3 + ... 4- п3,
будем иметь
СО
s,<-2>”4=°-
п = *
254. Доказать, что, полагая
5ч=134-284-зз4-... 4-я3,
будем иметь
2 -^-л” = -|-хеа:(л:34-8х2 4-14х4-4).
п=1
255. Доказать, что
23л2+4тН 33 л3+---
х3 4-18а?-}-9х
27(1 — хУ
256. Найти сумму ряда
। tJg 1 й-j Og
“J” 0 б?2 О (Iq —J- 0 6 CIq —6 #4 6
t при условиях: 1) 6 > 0, 2) an > 0 при всяком n = 1, 2, 3,...
и 3) ряд 4- 4- + ... — расходящийся.
Uj Ug
Указание. Изучить разность — S.
257. Найти сумму ряда задачи 256 в том предположении,
1 , 1 . 1 .
что ряд----}---|- -—Ь • • • — сходящийся.
Oj й2
258. Найти сумму ряда
5 —. । 5________.
1+3 6 ^(14-36) (1+56)^
7
+ (1-|-30)(1 +50)(1 + 76) +•••> 6 > °>
259. Найти сумму ряда
5— 2 . -I_______?________L
1+26 * (1+ 26) (1+36) ‘
_[___________4___________. t п . о
Г(1+2б)(1+ЗО)(1+46) ‘ ‘
260. Найти сумму ряда
е_ , (1-2)2
' (О2+ 22) (62-+32) Г
. (1 • 2 • З)2 .
(62 + 22) (02 + 32) (02 + 42) Т • • •
261. Найти сумму ряда
<? = 12 | <ЬЗ>а д_
62_|_32 -Г (02_|_32) (Q2 + 52; “Г
,_________(1 -3-5)2 ___
‘ (02_|_32) (02 + 52) (02 _{_ 72) Г • • •
262. Если р + q = 1, то
Р+f + рг-’?’+• +
! |i(p.—1)...(р. —Л-+1)
1-2-3... п р 1
~ j ; [). п.
fx^-^X-xfdx.
О
Доказать.
Гюнтер и Кузьмин, $ III 3
263. Найти суммы
рядов:
sin пх
<?_ v__________
2d я(я2+«2)
П1
при 0^Х^2тс и
264.
(
е/_ v (—1)”sin»x
2d Я(Яа-|-Яа)
Найти суммы рядов:
,, ^2, cos пх
>“2 *ч^п<
п=1
с, v, ( — 1)” cos ял
265.
2d яа4-«2
п — 1
Найти суммы рядов:
S' =
п—1
Указание. См. задачу 264.
266. Найти, суммы рядов:
1
2d а2-|-(2я— I)2
31=1
2d (a2 + «V ’
267. Найти суммы рядов:
, ,ЧИ-И sin яг
1
51 = 2d [O2 4-(2rt—1)2]2'
,»-ц cos nz
я(я4-|-4) ’
п — 1
Указание. Суммы прошлых
ции а.
268. Найти сумму ряда:
И=1
задач — аналитические функ-
п — 1
5 =
1
269. Доказать, что
—1
к==16 S 2 я(я*Н-4) ’
270. Положим
ФО> =____У I У 1 __У-__L
124,у2 '22+У2 1 32+>2 1
доказать, что Пт Ф (у) —
Указание. Найти Ф (у). ,
271. Предположим, что дан знакопеременный ряд S =
мо—«1+^2 — н8удовлетворяющий следующим усло-
виям:
+1 > +1 + 2
при всех /г^О. Требуется доказать, что
~2 но < < “2” М°Н—2*
272. На основании предыдущей задачи доказать, что
.. / х х2 . Л'3 \____ 1
\ 14-л — 14-^2+ 1-|-л*— • • * ) “Т'
273. Зная, что при р > 0
lira (i - х)р (1* ~1 2Р -1 х 4- 3* - ’ х2 -Ь ...) = Г Со),
а;~1
доказать следующее предложение: если lim п- — а,
nv
lim (1 — + • • .) = аГ(р).
аг—1
274. Доказать следующее предложение, если
I • Ч~ ^2 Ч • • • —
lim -1—1——-------!—-=а,
П = СО ft
ТО
lim (1 — x)p(a1-^-asx-l~a3x2~r .. .) = аГ(р-{- 1).
#=1
См. задачу 273.
275. Доказать, что
Нт ]/Т^х (х -у х4 4-л® 4- х’в 4- ...) = /у
аз=1 а/
См. задачу 274.
276. Доказать, что
lim(х — х14^л9 — х16-]- .. =
03 = 1
См. задачу 275.
3*
sin а ]/л
п
277. Исследовать сходимость рядов:
yi cos a
п
278. Доказать равенство
1______п , л (л— 1)_____1
т т-\-р' 1-2 т 2р
_ п (л —1)(л —2) _ 1 . , ( __, 1____=
1-2-3 z?zЗр 1 *' 1 ' ' т^-пр
1 • 2-3. ,.п-р"
т(т-\-р).. Лт-\-рп) ’
где /п >€),/>> О и п целое число >0.
Указание. Для первого шага помножить обе части на т.
279. Предполагая----- 6 Ч—, доказать равенство
1 tg26 tg4O ________ 1 sin5 О
п п—2 п -|- 4 п п —2
2 sin* 0 2 • 4 sin6 0____
(п 2) (л 4) (л 2) (/z -! 4) (п 6)
Указание. Преобразовать последовательно члены левой
части равенства.
280. Суммировать ряд
S = arc tg — arc tg + arc tg .
Указание. Представить aretgx через log комплексного
аргумента и положить x—yi.
281. Суммировать ряд:
о х х? , . х2 , . х2 .
S==arctg-p + arctg-^-barctg -^+-..
282. Суммировать ряд:
x^
5 = arctg^ —arctg + arctg
283. Функция f (x) = (1 — qx) (1 — q2x) (1 — ?3x) ...
очевидно удовлетворяет функциональному уравнению
у(х) = (1—qx)f(qx). Исходя из него, определить коэффи-
циенты А„ в разложении /(х) — Ап х".
284. Определить коэффициенты Ск в тождество:
(1 -Нл) (1 -^х"1) (1 -f-^x) (1 Ч-^лГ1) .. .(1 +
... (l-F^-’x-^-Co + C, (х + х-1)--}-
4- с2 (х2 + х-2) 4-... + Сп (хп + х~в).
Доказать, что при | q\ < 1’ справедливо равенство
2 ?•*'=И (Iа+?!— х-') я - ?•). •
—ОО п= 1
285. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
286. Доказать при х > 0 равенство:
287. С помощью теоремы Коши-Гадамара о сходимости
степенных рядов найти нижний предел радиуса сходимо-
сти ряда зная радиусы сходимости /?г и /?2 ря-
дов ^апхп, ^Ьпхп-
288. Доказать теорему: если ряд ап сходится и имеет
сумму s, притом
пГ’ т0 /*е a!f(.x)dx=s.
О
289. Числа ап положительные и убывающие при возра-
стании п. В таком случае условие пап-+0 при п—»оо необ-
ходимо для сходимости ряда У ап. Доказать.
290. Если числа s0, еп е2>... могут принимать значения
— 1, 4-1, 0, то __________
limeojA2 4"ei 24-e2^/<2 + • • • +е» У 2 =
П->со
п . / К V е0»е1>е2я* •-в« \
= 2sml — 2j---------2s----/'
' п—о
( —1)[^1
291. Исследовать сходимость ряда V ---------- , ГД£
И=1 п
а>0 и [V~n] означает целую часть числа Ун.
ОТДЕЛ ТРИНАДЦАТЫЙ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
*
ВВЕДЕНИЕ
В § 1 отдела ХШ первые 11 задач посвящены элемен-
там теории погрешностей; №№ 12—18 представляют при-
меры на интерполяционные формулы; задачи 19—20 дают
идею интерполирования по способу наименьших квадратов;
№№ 21—29 — примеры прецизионного применения формул
интерполирования.
§ 2 образуют задачи на вычисление интегралов по фор-
мулам механических квадратур. По простоте и точности
результата. достойна особого внимания задача 60.
Несколт ко последних задач содержат примеры на обоб-
щенные формулы квадратур типа Гаусса, предложенные
Эрмитом и Стильтьесом и пока недостаточно оцененные
практиками.
§ 3 состоит из вопросов на суммирование и решение
уравнений в конечных разностях; последняя его задача
(№ 87) связана с важным определителем, имеющим значение
в теории интегрирования некоторых дифференциальных
уравнений.
§§ 4 и 5 касаются применения формул Эйлера-Макло-
рена и других приемов нахождения сумм медленно сходя-
щихся рядов.
§ 6 посвящен приближенному интегрированию с помощью
рядов. Задачи первой его половины весьма элементарны.
Остальные (№№ 141—151) представляют примеры получения
весьма важных асимптотических разложений интегралов.
Метод их решения оказывается во многих случаях весьма
ценным. *
Большая часть § 7 отведена простым примерам на метод
Греффе, с пользою приложимый при решении алгебраиче-
ских уравнений. Последние же три №№ (165—167) предста-
вляют собой задачи на применение метода итераций.
§ 8 образуют задачи на решение трансцендентных урав.
нений по методу Ньютона. Из них №№ 171, 172 и 174
связаны с уравнениями, встречающимися во многих вопро-
сах прикладной математики, в частности в теории упруго-
сти. Задача 176 связана с известным парадоксом Эмерсона
в учении о сопротивлении материалов, состоящим в тол
что иногда часть прочнее целого.
§ 9 содержит задачи на приближенное интегрирование
дифференциальных уравнений. Часть из них посвящена
изучению аналитических методов, например метода после-
довательных приближений. Другая часть этих задач имеет
дело с численным интегрированием уравнений и интегралов.
§ 1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ. ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
1. Полагая, что написанные числа верны только до по-
следней значащей цифры, найти приближенные величины
следующих величин:
а) 0,53784 • 42,46578;
Ь) 0,234 + 4,3758+15,372 • 0,3762;
е)
2. Угол, по измерении угломерным прибором, оказался
равным 32313'25"=t 10'". Какова относительная погрешность?
3. Сторона квадрата приблизительно 1 метр. С какой
степенью точности ее надо измерить, чтобы погрешность
площади была бы не больше 1 кв. см?
4. Маятник длиною около 2 м совершил около 400 ка-
чаний. Зная, что длина его измерена к Точностью до 1 мм,
а общая продолжительность колебаний измерена с точ-
ностью до 0,5 сек., определить, с какой точностью можно
найти по этим данным величину ускорения g, а также вы-
- яснить, какая ошибка измерения сильнее сказывается на
результате.
5. При измерении ширины пролета строящегося моста
на одном берегу реки отложена линия (базис), равная
200 м=*=0,01 м. Измерены углы между базисом и направле-
ниями из концов его на точку за рекой. Они оказались
90°=Ы' и 60°rtl'. С какой степенью точности можно опре-
делить по этим данным расстояние за реку?
6. При какой величине угла относительная ошибка вы-
числения катета прямоугольного треугольника по данному
катету и противолежащему углу будет особенно мала, если
пренебрегать ошибкой в измерении данного катета?
7. В поле зрения зрительной трубы нивелира видны две
горизонтальные линии. При рассмотрении в эту трубу вер-
тикальной рейки с дециметровыми делениями между нитями
видны 10 делений рейки, если рейка удалена на 50 м. При
переносе рейки в другой пункт между теми же нитями
видны 25 ±0,2 деления. Каково расстояние до нового поло-
жения рейки?
8. В пятизначных логарифмических таблицах даны деся-
1 -Б
тичные логарифмы чисел с точностью до 10 . Как ве-
лика может быть погрешность при нахождении числа по
логарифму, если число заключено между числами 300 и 400?
9. Тот же вопрос в применении к таблице огарифмов
синусов и логарифмов тангенсов, если угол около 45°.
10. Длина перимера правильно вписанного 96-угольника,
которой пользовался Архимед при вычислении тг, выражается
при г=1 формулой Р — 96 у 2 — j/”2-ф ^2К2-j-]АзГ
Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая
получить Р с точностью до 0,001, с какой точностью надо
производить вычисление подкоренных величин?
11. Гипсометрическая формула, по которой определяют
________________________________________
высоту места над землей, такова р—рое 18 40°О+«Ов при
этом ро — давление на поверхности земли, р — давление
в данном месте на высоте h,
®“ 273 ’ *
— температура по
Цельсию. Определить, какова погрешность в определении
высоты, если 1 = 0°, а величина /> = 500 мм с точностью
до 1 мм.
12. Найти целую функпию от х, по возможности низкой
степени, принимающую при х = 2, 4, 5, 10 соответственно
значения 3, 7, 9, 19.
13. Найти целую функцию от х, по возможности низкой
степени, принимающую при х = 2, 4, 5, 10, 15 соответ-
ственно значения 3, 7, 9, 19, 0.
14. Найти целую функцию от х, по возможности низкой
степени, принимающую при х= 1, 2, 3, 4,5 соответственно
значения 2, 1,—1, 5, 0.
15. Найти полином f (х), по возможности низкой степени
принимающей при х —— 2, —1, О, 1, 2 те же значения,
, . тех
что и функция у~ sm-^-. Определить величину разности
1 5
/(х)—у при значениях х, равных-^, -т-, 10.
Z о
16. Найти полином /(х), по возможности низкой степени,
4.4
принимающий при х = — 2,--0, 2 те же значе-
ния, что и функция у = cos —г . Определить значения раз-
ности /(х)—у при значениях х, равных —1, 3, 10.
17. Для функции у = Xs — Зх24*5х — 7 при ^==0 вычи-
слены значения разностей Ду0 = -{-3, Д2уо = О, Дуу0 = 6, со-
ответствующие приращению h—1 аргумента. Требуется
вычислить разности Ду0, Д2_у0, Д3у0, соответствующие при-
, 1
ращению аргумента »i —ур-
18. Для функции у = 2х1— x3-j-3x2 — 1 при X —0 вычи-
слены разности Ду0 = 4, Д2у0=28, Д3у0 = 66, Д1у0 = 48, со-
ответствующие приращению аргумента /г0=1. Требуется
вычислить разности Дjp0, Д2у0, Дау0> A4J’O, соответствующие
приращению аргумента = jg.
19. Найти уравнение прямой, для которой сумма квад-
ратов расстояний до точек (3, 2), (7, 5), (12, 9), (— 3, —2)
была бы наименьшей.
20. Найти уравнение параболы второго порядка так,
чтобы сумма квадратов расстояний до нее по вертикали
от точек ( — 3, 4), ( — 2, 2), ( — 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2),
(3, 3) была бы наименьшей.
21. Пользуясь таблицей
X log х 101° A log х 101° Д2 log х
1005 1006 3,002166059 3,002597978 4319184,7 4314893,4 — 4291,3 — 4282,8
вычислить log 1005,237, определив точность вычислений.
Указание.
х(л-—1) (л-—2
1-2-3
при 0<х<1. Числа
таблицы даны с точностью
22. Пользуясь таблицей
1
до — последнего знака.
задачи 21, найти х по данному
23.
log х = 3,002268651.
Пользуясь таблицей
и log sinh и 105 △ log sinh и log sinh и 10& д iOg cosh и
0,500 9,71692 94,0 0,05217 20,1
0,501 9,71786 93,8 0,05237 20,1
0,502 9,71879 93,7 0,05257 20,1
0,503 9,71973 93,5 0,05277 20,2
0,504 9,72066 93,3 0,05297 20,2
sinh 0,50235.
найти
24.
Найти корень уравнения cosh « = 1,1287. См. таблицу
задачи 23.
25. При помощи данных
X sin x
41° 0,6560590290
42° 0,6691306064
43° 0,6819983601
44° 0,6946583705
вычислить с возможною точностью sin 41°20'.
26. По данным
51°, 0 0,370 6344
21°,5 0,379 6626
22°,0 0,388 7052
22°,5 0,3977625
вычислить при <р==21°15'.
27. По данным
V 9 А f-7=T== J у 1—-gSin2? ..
28°,0 28°,5 29°,0 29°,5 0,49846361 0,50772435 0,51700422 0,52630357
вычислить корень уравнения F(<p)=O,5.
28. По данным
X -,1<,sr2'+*)
0,71 0,72 0,73 0,74 0,21645 01462 0,2242928871 0,23207 69593 0,2398032061
вычислить ф (0,715). Для оценки погрешности следует при-
нять в соображение, что (л) =
1
(х + 2)а4
1
(х+1)2
29. По данным
X Ф(х) = <*logE(l+x)_ ‘ ' dx
0,83 0,84 0,85 0,86 0,30686 12 0,3140a 89 0,32120 00 0,32829 22
вычислить корень уравнения (х) = 0,31.
§ 2. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ.
Вычислить по способу трапеций величину следующих
интегралов, принимая указанное в каждой задаче число
промежутков т\
Б 3
Г dx с f dx .
30. I — , т = 6. 31. I —г-н, т = 4.
J х J х -4-2
2 1
Вычислить по способу Симпсона при указанном числе
промежутков т интегралы задач 32—37.
32- /1^. 33. „_8.
О о
1 2 - .
34 . Г Г з» т = 8. 35. [ ~— dx, т — 6.
О 1
ГС
Г sin л . .
36. I —w = 4.
О
2
37. J* xlogjcdx, /п = 4.
О
Вычислить по способу Котеса
следующие интегралы:
1 1
«зе С о ол Г x^dx ,
38. J m = 8. 39. J m = 4.
О 0
Г log(l+-^) .
40. I —V-. - > dx, m = 5.
J 1 +^2
0
Вычислить по способу Чебышева интегралы:
43.
41.
loio
1000
m — 2.
4
42.
i
2
dx
m = 3.
dx, m = 3 и
ш = 4.
о
XT
V
/COS X .
— dx, m — 4.
14-х
0
Вычислить по способу Гаусса интегралы
45.
dx r
7—1—, m — 5.
14- x
x^dx
задач 45 — 52.
m = 4.
» 3M4
о 0
1 n
/log(l-!-x) , . ло Г sin2x , .
——- dx, tn = 4. 48. I —dx, m — 4.
о 0 -
TC
2
0
тс
'T 1
50. J -YJ~dx, in —4, 51/ ^ = 5.
о 0
Вычислить с помощью формулы Симпсона интегралы
52.
ex dx
V’l—ха
Указание. Предварительно применить
== sin и.
53. f dx—-
J /1—х4
подстановку х —
54. f
J 1+х4
о
оо
=5- /г^-
о
Указание Разбить промежуток интегрирования на две
части (0, 1) и (1,оо) и ко второму применить подстановку
X . *
1
66. Вычислить интеграл
/sinx ,
—— ах, рассматривая его как
о
Wit
предел интеграла
о
п—> со и вычисляя послед-
ний интеграл по формуле трапеций при Чп ординатах.
57. Вычислить с помощью формулы Симпсона
0
— , т = Ч.
х3
58. Вычислить с помощью формулы Симпсона с 5-ю орди-
натами объем тела, получаемого при вращении одной дуги
синусоиды у — sin х вокруг оси ОХ и определить получен-
ную погрешность, сравнив с точной величиной объема.
59. Вычислить с помощью формулы Симпсона площадь,
ограниченную двумя последовательными дугами кривой
y = sin2x и осью ОХ. При этом сначала взять формулу,
разделив интервал на 2 части, а затем—на 8 частей.
60. С помощью формулы Симпсона и параметрической
формулы уравнения эллипса получить следующую прибли-
женную формулу для длины четверти эллипса с полуосями
а и Ь:
[« + & + (а* + 62)].
61. Исследовать степень точности этой формулы в двух
простейших случаях: при а — Ь и при 6 = 0.
Доказать справедливость следующих формул квадратур
типа Гаусса, первая из которых принадлежит Эрмиту
остальные Стильтьесу:
62. у
J/1—л* л £, I 2» .1
63. Г= ~ X sin2^p/(cos^j).
.-1 fc—1
M-JV l^f(x)ax=
4lT V4 • о j:( 2k К \
= о----ГТ У, sln 6~Т /I COS X------------i—г I.
2п - - 1 2п +1 \ 2п 4* 1/
f /W =dx=JL
J l'jc(l--X) п
о
п р
2 -Hcos2
k=t
(2/г — 1)^
4л
66.
е
п
к
4^4-4
— ( п kit \
TiT'W
67. J |/L=^/(x)rfx=
о
2л V’ • о о kv \
2л+1 Ъ sin 2«4=I^(COS 2^=н)-
Справедливость их понимается в ограниченном смысле:
они верны с полной точностью, если/(л) — полином сте-
пени меньшей чем 2л. В остальных случаях они верны
лишь приближенно, причем точность приближения беспре-
дельно возрастает вместе с числом л.
Вычислить с помощью предыдущих формул следующие
интегралы:
1
68. У*ух (1 — х2) dx.
о
1
69. J* Vx (1 — л) (1 4~ kx) dx^ | k | < 1; n = 2.
о
71-
§ 3. СУММИРОВАНИЕ. УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Найти величины следующих конечных сумм:
72. j’ 73. 2} Л3; 74. (2^4-1)2;
ill
' " 1 *» i
75‘ S А; (& 4-1) (A-J-2) 76' arCtgA®4-3A4-3-
77. Найти наибольшее число частей, на какое можно
разрезать круглую пластинку п прямыми.
78. Найти общий вид чисел Фибоначчи, определяемых
условиями ип+2 = «и+14-«„> «о=1, «1=1.
79. Найти общий вид чисел, удовлетворяющих рекур-
рентному соотношению и&+2—4«M+14~4«n== я и начальным
условиям «0=1, Zij=2.
80. Тот же вопрос при начальных условиях п0= 1, «j = 4.
Решить уравнения в конечных разностях:
81-Л+1 ~^Уп = аП-
82- Лг+1-йЛ = созиг«- 83. Л+1 !•
84- Уп+-^П~1Уп-85. Л+2-3Л+1-^и=(-1)".
86- У„ +2 — аУп (п 4-1 )уп = 0.
87. Вычислить определитель Dn, данный равенством:
0 0
о о
0 0
0 X X *' 2 1 2 - 0 V -V. 1-
Гюнтер и Кузьмин, ч. П1
4
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА
88. Определить число знаков в числе
1 • 2 • 3.. .99 (Log <? = 0,43429...).
89. На основании формулы Эйлера доказать, что
,.1.1. . 1 Z-.I1 I 1
1+"2’ + "з'+• •• + 7 ~С+log* + 17
3!Д4 (2й-3)!Д2Ь_2 п (2/г —1)!Л2Л _
- x2ft-2 (О<0<1),
где С некоторое постоянное. Полагая х=10, вычислить С
1
с точностью до 2; |Q8>
1 л 1 „ л „ 1
А'2 12 ’ Ai 720 И 6 30240 ’
90. Вычислить с точностью до 0,001 сумму • •+оо*
1 и JL J.
Примечание. Модуль обыкновенных логарифмов с доста-
точной точностью дан в логарифмических таблицах.
91. Вычислить сумму 1 +4+4 + ”' + 1000000 С точ‘
костью до 2 jgio » — 0,57721566 4901...
92. На основании формулы Эйлера доказать равенство
c+2Vx+^rx
А
_в
2л-2'
1-3-5 А4 1-3-5...(4£ —3) А2к
1-3-5...(4А+1)Ла+а
° 22ft + l 2fc+3
х 2
(0 < 0 < 1).
Вычислить постоянное С с точностью до , jp6- > полагая
х=4.
ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА-МАКЛАРЕНА 51
93. В равенстве
log2 i Iog3 ,
2'3'
b^ = C+4(1ogB)»+'^
logn—1 । n 6 logn—11
12«2 1 720^
(О < <) < 1);
ВЫЧИСЛИТЬ постоянную С С ТОЧНОСТЬЮ ДО 2~joe •
а, в Jog 2 log3 . log 4
94. Вычислить сумму ряда $ — — -|—]-§—— ...
1
С ТОЧНОСТЬЮ ДО 1Q5.
95. На основании равенства
1+±+J_4_J_+..,+_L.==^_± . J__J_ .
>Т 22 Т 32 Т 42 I -Т 6 п -Г 2ft2 6«3- Г
11 л2
-L-гтт-тт-— 6 • -Й9„7 (0<е < 1) вычислитьс точностью до
ОиД° О
1
2 • ICP '
99. Вычислить с точностью до 0,000001 сумму ряда
1.1.1.
102 + + 122 + ”‘
97. Вычислить сумму s ряда
иа основании равенства
1 _]—Lj—Li -.L-L^
= __1______. _1___1_,____1______
S 2n2 ' 2/г3 4/14 12па 12/г8 ' '
1
С ТОЧНОСТЬЮ до 7~ГТ— .
2 • 1U8
98. При помощи формулы Эйлера вычислить сумму ряда
log2 . Iog3 , log4 . 1
s = —2^—-----------4^-+---c точностью до зТщГ-
99. Вычислить сумму ряда
> log2 log3 , log4
22 З2 ' 42
1
С ТОЧНОСТЬЮ ДО —.
100. Вычислить с точностью до -i- сумму ряда
1 i + ---------i +
КУ Кз /4
См. задачу 92.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ МЕДЛЕННО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
101. Преобразование Эйлера (Л). Дан сходящийся ряд
и0 — %-}-—•••, имеющий сумму s. Требуется „доказать
следующие утверждения:
1) ряд А^о — ДгХ + др«2— • • сходящийся при всяком Р;
2) число --- 2^ ^------имеет пределом 0 при беско-
нечном возрастании р;
3) рядУ-/г0---|-Дм0 + -|-Д2«0—... 4-
сходящийся и имеет сумму
4) если числа ( — 1)*Д*к0 одного знака и убывают с воз-
растанием I, то
18 1 A I L ло , ( — 1)М АР-1 .
----8Д2«о— —^“Д «о +
+ 6 (~=^ д%> где < 0 <1.
Указание. При обозначении s0 = zz0; 51~и0— uY\ $2 =
~и0—имеем
„ _Др«0 — Др«!•+-... _
2Р '
I
==(—!)* S
\
М)+Р(Р2 Si+ • • • +^-А
l+p+£fcd) + ... + l Г
Х' /
откуда по известной теореме Чезаро заключаем limZ?p = 0.
р—оо
102. Преобразование Эйлера (В). Дан ряд $ =±= иох—щх^ -|-
-}-н2х3 —..., сходящийся в области — 1 < х < 1. Доказать
в предположении х > 0, что ряд
1* / У \ 2 / х \ 3
«От4----Д«о гт^ 4-А2«о гт- --•••
°14-* \i+*/
сходящийся, и имеет сумму $. Сверх того, если числа
(—1уД‘и0 одного знака и убывают с возрастанием I, то
s==“°r+^ —лк°\1 + х) +
, , / х \Р хр+1
+ +0(_ 1)₽д*Ко_2Е-—,
где
Указание. Труднее всего доказать, что
х*+1Ь?и0—х?+2&
lim
(1+хУ
0.
Доказательство этого утверждения получается на основа-
нии теоремы Чезаро с помощью рассуждений, аналогичных
указанным в предыдущей задаче.
103. При помощи преобразования Эйлера доказать ра-
венство —
х х2 .
т т + 1 '
, 1 / х \й
1 mfm-f-l) \1 -\~х)
' i
при х>-----2-.
X3 __ 1 X
т -|-2 ~ т 1-|-х ‘
_______1-2 / х \3
га(ш4-1)(т-Ь2) \1-|-х/
54
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
104. При помощи преобразования Эйлера доказать ра-
венство
2- 4( х2 \2 г
3-5\1 4-х2) +
2 х2
3 14-х2'1
2-4-6
3-5-7
исходя из известного ряда arc tg х — х--I- —---... Ппи-
• 3 5 г
нимая во внимание, что 2 arc tg -i- 4- arc tg , вычи-
o /4
1
СЛИТЬ ГС С ТОЧНОСТЬЮ ДО -J7^.
1и»
Вычислить с помощью преобразования Эйлера суммы
следующих рядов с указанной точностью:
105. log 2 = 1--у -Ь 4---j 4-... с точностью до н-|лч •
Указание. Первые девять членов просуммировать непо-
средственно.
106. -у — 1--1 4—ег---у 4~ • • • с точностью до 10~5.
~к о О /
Z Z д.х-ч-о.
107. -д-$ • + 3.5.7 4~ • • •с точностью до 10 .
tnQ . 1 . 1 - 3 . 1 - 3-5 ,
108. 1--2 + 2Т4+2Т4.5 с точностью до Ю .
109. 1—--^2 4~ 5^~ 72 + ••• с точностью до 10~s.
ПО. Применив преобразование Эйлера к ряду
5 = 1— -4----=—...,
2 Уз
вычислить его сумму с точностью до &.
111. Применив к ряду s=l — А. . пре.
к а- 1
образование Эйлера, вычислить его сумму с точностью до •
то,ностьюдо1° '•
113. Применив преобразование Эйлера к ряду
_ 1 1_________________________1__
S log 10 log 11 log 12 "
1
ВЫЧИСЛИТЬ его сумму С ТОЧНОСТЬЮ ДО-JqJ.
В дальнейшем даются примеры на применение преобра-
зования, называемого некоторыми авторами преобразова-
нием Куммера. Это преобразование основано на следующем
принципе: если для сходящегося ряда$ —K1-[-zz2-}-n3+...
можно найти последовательность чисел Рр Р2,Р3,,.. удовле-
творяющих условиям
1) НтР„в„ = 0,
то ряд
СЮ
Р1 + 1)«1+ Е где К = Рп-~------Рп+1
П=1 »4~1
будет сходящимся и будет иметь ту же сумму, как данный
ряд «1+zza-+-zzs.
Относительно приемов для определения чисел Рп мы не
имеем возможности говорить здесь; поэтому интересующихся
мы отсылаем например к сочинению Бертрана: „Traite de
Calcul differentiel et de Calcul integral", t. 1 (Paris 1864).
114. Вывести ряд
co | J J
5:2=10— n3(n_|_l)8 И3 РЯДЙ 32
n=l
взяв Pn в форме <?_ i n -Cq -|—-r-r.
115. Вывести ряд
2_ 2071 27 • 16
— 210 + 35
__________________1 _________________
И1 (2/2-j-l)(2zz-|-3)(n-4-l)2n8(n-]-2)3
из ряда задачи 114, беря Рп в форме Рт = п-ф-^оН- -
Вычислить на основании найденного ряда я1 2 с точностью
дО10Ы- _
П6. Вывести ряд
32“ 1 2 (4л2 — 1)з И3 ряда1 + З2 ^52 “8 *
117. Доказать равенство
к* _ 2 12-4 12-4-6 1 __
4 1 + 3 * 2 +3-5 * 3 + 3-5-7 * 4+"'
112 24 yi 2-4-6...2л
~ 45 5 и2й 3 - 5 - 7.. ,(2n + l)n2(«+ 1)(7л — 1)(7л4-6)‘
118. Пользуясь рядом
к _ , 1 1,1-3 1 ,
2 1 ' 2 ’ 3 *~2-4 ’ 5
найти разложение:
it 2688
* 2 “1710
3 - 27 у 1 3 • 5.. .(2л4~ 1)
5 А 2 • 4'6 • • • <2« + 2) (2« + 3) (2« +1)2 (14« + 5) (14« +12)
119. Вывести равенство
! , / 1 \3 ! /1 -3V , /1 - 3-5V , 39 ,
\ 2 / + I 2- 4/ + \2 • 4 6/ + ‘ ' ~ 28 +
.«>
V Г1_-3-5...(2п-[-1)13 4п-|-3
I 5 12 • 4 • 6... (2n -t- 2)] (2л + 1)3 (4л2 + 2п + 1)(4л2-4-'10л + 7)
1
и вычислить сумму ряда, стоящего слева, с точностью до
120. Вывести равенство '
I 1 L JL 4 ± I . = А _ у _ _2."+j__
2 Г 23 ‘ 33 ‘ 4 4п4 (п 4-1)< ’
беря Рп в форме Рп = с_1п-]-с0
а
п 4~ ь
Вычислить сумму
ряда 1 + 2^- 4-33+ • -с точностью до
121. Доказать равенство
S1 2аI 2 -|- 5
= 3 (а^фзУ ~
_____ (4а2 -j-1) («2 -4-1)
t 6n (n_1) (а2 + я2) (ft2 + [(«+ 1 )21
и вычислить при а = 2 сумму стоящего слева ряда с точ-
ностью ДО-^~.
122. Доказать равенства
ОО 1
6 2 2 Л! (Я4 _[_ _|_ 1) ’
1
п\ (п-> + 2п — 1) («з 4- 3na4-5« + 2)
и вычислить е с точностью до
1
1010*
123. Доказать равенства
СО
I 9 — 2 I 3 * V (—I)”-1
Og “ 3 + 2 п (п -|- 1) (2п2 4Л)"(2«2 + 4л + 3)’
исходя из ряда
10g2=l-4+-i--i+...
124. Из ряда
, „ з v (—и"-1
log2- -4 — 2й 4n2(n-f-l)a
вывести ряд
Ina9-65J-A У (—I)”-1___________
Wg2_96H" 2 (n + l)(2«4-l)(2« + 3)n2(n + 2)2
, л 1
и ВЫЧИСЛИТЬ log 2 С ТОЧНОСТЬЮ ДО
125. Доказать равенства
ОО -
-1 2 У (~1)W
4 ~ • 3Л 5 ' • • (4«2— I)2 ’
w_i -2, 12 У_________(—I)”"1
4"-1 3 ‘5 ---^(4/г2 —1)(16/г4-|-8п2 + 9)'
126. Доказать равенство
127. Доказать равенство
/ 1 V /1 - 3\2 / 1 - 3 - 5\2 ,
1 \ 2 / ’ \2-4/ \ 2-'4-6/ “Г "
“го+27.?,(-1)”-‘(
1 •3-5...(2л— 1)у
2-4-6...2/г /
4« — 1
(2« — I)2 (8/г2 12« +- 9) (8/гЯ14« + 5)
и вычислить сумму ряда, стоящего слева, с точностью до
128. Доказать равенство
1
х"
л («4-1)
1 _ х(3 —2х)
1— х~ 6(1— х)
^п+2
1 —«[(1 —*)« Ь х 4- 2] К1 — X)« + 3] («+1) (« + 2)
(— Вычислить левую часть этого равенства при
Х=4- с точностью ДО -Дг-.
4 10б
129. Доказать равенство
S1_____2g—1 2г2
nzn ~2z(z — 1) z— 1
_______________________1 _______________________
п(п +1)[(г— l)n + g + 1] [(g— l)n-}-2g] g”+1
(g2 > 1). Вычислить при g = 4 сумму данного ряда с точ-
ностью до .
130. Доказать равенство ,
со ОО
lg2 = y~= — — У_________________1___________
^2”п 4 1) (п + 3) (п + 4)’
131. Вывести следующие результаты:
V 1 _ _ v 46п 4“ 11
2^ 2пп2“11 2^ п2(п+ 1)2(2п+9)(2п + 11)2" ’
со ОО
S1 3 . у, п — 5
и=1 2”п2~ 5 "* 2^ п(п-4-4) (п + 5) (п+1)2 2п ’
Вычислить сумму ряда
2 2^ с точность1о «о
п—1
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ.
132. Вычислить интеграл
при помощи раз-
ложения в ряд с точностью до
Я
-Т
Г / sin х \ ® 1
133. , Вычислить интеграл I I I dx с точностью до .
О
134. При помощи разложения в ряд вычислить
I ’
/е~3/> dx с точностью до -г—-.
10"
о
135. При помощи разложения в ряд вычислить
1
J' Xх dx с точностью' до ’
О
Указание: х? — dBX°S3!.
1С
т
136. Вычислить интеграл § ПРИ помощи Разл0"
о
1
жения в ряд с точностью до у^г .
Указание. Положить x = 2arctg^.^
137. Доказать равенство
1 ОО
f A j.? V________________________2п+5______________
J 4 'r Zj л!(2п-4-1)(2п2 —/г + 3)(2п24-Зп4-4)
1
и вычислить стоящий слева интеграл с точностью до -%—у^.
138. Доказать равенство
С & j ? г с V1 Зп'-}-7
J е (Зи -4-1) (Зя2 — 2л-Ь5) ”(3/гй + 4п + 6) пГ
о П=1
1
и вычислить интеграл с точностью до у^-.
1
1
-Г-j--5- С ТОЧНОСТЬЮ ДО Т7ГГ
1 + XJ 1и°
о
лри помощи разложения в ряд и применения к этому ряду
преобразования Эйлера.
140. Вычислить интеграл
1
С ТОЧНОСТЬЮ ДО -JqJ
/ xd х
log(%+1)
при помощи разложения в ряд и применения к этому ряду
преобразования Эйлера.
1
1
С ТОЧНОСТЬЮ ДО YqT
о
Указание. Положить х-[-1=ег.
Доказать равенства весьма удобные при больших значе-
ниях коэффициента и:
е~п" Г 1 1-3 1-3-5
2» L1 2/г2 ' 22n4 23»6 *” '
п
ОО
142. f e~^dx
, (-1)4-1-1-3...(2^—3) k 1-3... (26-1)
~г 2к~‘ л2к~2 г? v • 2fcn2ft
при 0<0<1.
Ce^dx 1 1-2 , 1-2-3-4
' J п2-\-х? п2 nt ' п6 '
,, 1 -2...4k , , lVtfll-2-3...(2^+2)
I \ * / 2/s IV 2k4-2
П П
при 0 < 0 < 1.
Указание к задачам 142 и 143. Применив к одному из
множителей разложение с остаточным членом, применить
затем формулу из теории функций Гамма. В задаче 142 поло-
жить
х = У t-^n2.
Найти первые члены разложений подобного же харак-
тера для интегралов:
144. Г** 1-Х.; 145. f 146. (
Указание. Применить подстановку х = е~и и воспользо-
ваться приемом предыдущих задач.
147. Доказать, что для функции Неймана ? (х), выраженной
определенным интегралом
Ce~2tVa!dt
J У?=л
справедливо оаз-
л ожени е
Г2(Х + 1)
Г(Х+1Г
4-е -5—-------.
(4Ух)п г(«4-1) J
(
143. Если положить Ф(z) — 4-4 т~~Ь 1 1 к'4 •••>т0
1 1-3 1•3•D
для вычисления Ф(г) при больших значениях z можно поль-
зоваться равенством
®w=i/
г 2 z 2 • 4 • 6... 2s z
' 1 ? 2-4-6...2« z2s+i
(0 < 0 < 1). Доказать.
Указание. Выразить прежде всего Ф(г) при помощи
квадратуры.
149. Доказать справедливость следующего равенства:
Z _|_ ZP + 1 ZW _
1 т 14/> + 1)+1 •(/> + !) (2/74-1Г’’’
Г(^)^ 1 , p-1 (p —1)(2д—1)
p F Z z z
I z_ 1 Vi(o —l)(2p—Up —1] »
+ где 0<6<l.
150. Доказать равенства:
я = 4и
1___'
И2-]-И2 .
4л
g2 П--J
1 1 I IC 9 Г Xda
~1----C 16 И2 I ---------g-j------,
n J (xi~[-4ni)eaKa'—l
« 1 4л 1 « (— I)4 B2^_. ,
S n2-j-£2 ~~ e8*”—1 ' "z7 ‘' S 22'-2(2v—l)n4V=2
(-l)fc0B2fe+1
"Г 22,с(2Л4-1)и47£+2
При этом 0 < 6 < 1, а В1У В2, Вв,... — числа Бернулли.
Указание. Можно воспользоваться величинами инте-
гралов
ОО со
Г ~кх . . . Г sin их ,
е sin nxdx, I —-----------dx;
J e — 1
0
— e r,x sin nxdx,
x 21
последний из которых как раз и равен величине
СО
. „ Г xdx
4п2 I -------------------------------.
J ^+4и*)(е2'1Ж-1)
151. Доказать, что при малых значениях b длина чет-
верти эллипса x2-j-^ = l может быть представлена форму-
лой I — 1-|- log 6 (&) • Ь\ где 6 (й)—функция, остаю-
щаяся конечной при b •-> 0.
§ 7. РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ.
Вычислить по способу Греффе корни уравнений:
152. Xs —3x4-1 =0. 153. х3 —7х —7 = 0.
154. X»—5х-}-1 = 0. 155. х3 —8x4-15 = 0.
156. 2х8 —5х24-7х —2 = 0.
157. Xs — 1,74x2 — 2,52х 4- 3,97 = 0.
158. х± —8х34-х2 —х-|-1 =0. 159. х4 — Зх24-4х— 1 =0.
160. х-4 —4x4-1=0. 161. X4 —7х34-х4-4 = 0.
162. х6 —х* —Зх34-2х4-5 = 0.
IRQ уб_Q у2 I v_1 _Л
164.' 7х® 4- 5,47xs — 3,33х2 — 1,72х + 0,15 = 0.
Найти по методу последовательных приближений корень
следующих уравнений:
1 х2
165. х=24~е—г-г-166. Зх = 6 — 167. х34-5x4-1=0.
1 5х-]-1 40 1
§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
168. Вычислить корень уравнения xlogx=100 с точно-
1
СТЬЮ ДО -уду.
169. Вычислить корень уравнения x = cosx с точностью
до То»’
170. Вычислить корень уравнения Зх = еж.
171. Вычислить наименьший положительный корень урав-
нения x = tgx, встречающегося в теории упругости и неко-
торых других отделах математической физики.
172. Вычислить наименьший положительный корень урав-
нения (4 — Зх2) sin х = 4х cos х = 0 с точностью до-у^§-.
173. Вычислить три наименьшие положительные корня
уравнения cosh х cos х = 1, встречающегося при изучении
колебания упругого стержня. *
174. Вычислить наименьший положительный корень функ'
ции Бесселя, равной сумме ряда
1 — ~22'12' 24(1 -2)2 2°(1 -4 • З)2' + • •'
175. Вычислить наименьший положительный корень урав-
нения
у уЗ у4
1 __ Д_________________|____II___________л
2 3 • 22 4-(2-3)2 1 5(2-3-4)2 •••
1
С ТОЧНОСТЬЮ ДО .
176. Прочность балки при прогибе определяется ее мо-
ментом сопротивления, равным моменту ее поперечного
сечения относительно горизонтальной оси, проходящей через
центр тяжести сечения, деленному на наибольшее рассто-
яние точек сечения до оси. Оказывается, что если от круг-
”ой балки срезать сверху и снизу пластинки с поперечным
сечением в виде достаточно малого сегмента, то ее проч-
ность возрастет (парадокс Эмерсона). Определить размеры
сегмента, дающего наибольшую прочность балки.
§ 9. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
177. С помощью разложения по степеням х найти общий
интеграл уравнения: у' — ху=1.
178. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти
при х = 1 значение частного интеграла того же уравнения,
который обращается в нуль при х = 0.
179. Разложить в ряд по степеням х общий интеграл
уравнения у" = 0.
. 180. Разложить в ряд по степеням х общий интеграл
уравнения: (1 -j- х)у' — пу = 0.
181. Разложить по степеням х общий интеграл уравне-
ния: у"—ху — 0.
182. Найти значение прих=1 частного интеграла преды-
дущего уравнения, определяемого начальными условиями
ври х = 0: у0— 1; уо' = О.
183. Найти частный интеграл Л(х) уравнения Бесселя
хУ'+У+ху — О, удовлетворяющий при х = 0 начальным
условиям: у0 — 1, у0' — 0.
184. Вычислить величины Уо(1), Л (2), Л(3).
По способу Пикара дифференциальное уравнение
У^=/(х,_у), интеграл которого при х = а обращается в Ь,
заменяется интегральным уравнением:
J = + j f(x,y)dx.
а
Гюнтер и Кузьмин, ч. III 5
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
r'
I
I
I
I
I
I
Последнее решается по методу итерации: составляют ряд
функций: yG, у19 у2,.. .уп9..из которых первая выбирается
произвольно, а остальные составляются по формуле:
х
+ J f(x,yn_Jdx.
а
Если у„-> ®(х), при п-> со равномерно в данном интервале,
включающем а, то у = у(х) и будет интеграл уравнения.
185. Найти уп для уравнения у'—у, а = 0, Ь—1 и выби-
рая у0 равным нулю тождественно.
186. Доказать, что для уравнения у' —у, при а —0 и
произвольно данном Ь, способ Пикара сходящийся в любом
конечном интервале при произвольном выборе функции у0.
187. Доказать, что способ Пикара для системы уравне-
ний: и' —v, v' — u при а —О сходящийся во всяком конеч-
ном интервале.
Указание. Данную систему уравнений можно заменить
системой интегральных уравнений:
X
г'—Ду j' udx.
о
188. Доказать, что, заменив уравнение
Уа+р(х)У'
системой уравнений:
у' = и; и'=—p(x)u-\-q(x)y
и применив способ Пикара, получим сходимость внутри
круга с центром в начале координат и проходящем через
ближайшую к началу особенную точку коэффициентов
уравнения р(х) и д(х).
189. Составить таблицу значений интеграла уравнения:
у'~ x-J-y при начальных данных: х = 0, у=1, для значений
х — 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Применить способ Пикара, по-
ложив у0 — 1 и вычисляя интегралы с помощью приближен-
ной формулы:
«4-71
f /(x)*x,-/J /(*)+/(*+&) 1 ДУ(Х)4-ЛУ(Х+Л)1
2 12 2 S
X
190. Решить уравнение у'—у = аху по методу после-
довательных приближений, полагая у0 = 0 и составля
дальнейшие приближения по формуле:
У'п~ Уп = ахУп-1-
191. Решить аналогичным приемом уравнение:
у"-\-а?у = аху,
где а — малый параметр. При этом у = 0, у' = а при х = 0.
Указание. Полезно применить теорему:
Если У/4-а2у==/(х), то
1 х
у = Cj sin ах -ф- С2 cos ах -f sinn(x—
о
192. Показать, что интеграл уравнения
y"-j~xy = O
в интервале между большими числами п и n-j-" имеет
приблизительно У п корней.
Указание. Подставка х — п-\—~ сводит к уравнению
У п
предыдущего типа.
193. Доказать, что функция Бесселя /„(%), удовлетворяю-
щая уравнению
х2у"+ХУ + (х2 — пЪу = 0,
имеет в весьма удаленном от начала интервале {а, а-\--Ь')
. Ь
приблизительно — корней.
194. Найти два первые члена разложения по степеням
малой величины а интеграла уравнения
у" — ау'2 -{-у = 0.
При этом начальные условия такие:
• х = 0; у = 1; у' = 0.
195. Доказать, что интеграл уравнения
У"+Р(х) У'+<АХ)У = Р(х),
где />(х), q(x), /(х)— непрерывные функции х в данном
интервале, есть непрерывная функция от вида функций
р(х), Q(x), рУ)> иначе говоря, интеграл уравнения, удо-
5*
68
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
влетворяющий данным начальным условиям, изменится
лишь на величину, стремящуюся к нулю, если р, q, f заме-
нится на р-^-е.гэ, f-j-s'b, /-{-ею, где <р, ф, о> — непрерывные
функции, а е—>0 не зависит от х.
196. Найти при п—*со асимптотическое выражение для
полиномов Эрмита-Чебышева Нп(х), определяемых формулой:
СС1
и удовлетворяющих уравнению:
Я/(х) - хНп’(х) + пН„(х) = 0.
Указание. Преобразовать уравнение подстановкой
ЦХ*) =f(x)y,
где /(х)— соответственно подобранная функция к виду
у" +-----Н/г + -9")У —0 и применить метод задач 187 —194.
\ у 2 /
197. Найти асимптотическое при п —»оо выражение для
полиномов Лагерра Ln(x), определяемых формулой
dnxne~x
dxn
и удовлетворяющих уравнению
х L,"(x) 4- (1 — х) Ln'(x) -fnLn(x) = 0.
198. Найти аналогичное предыдущим асимптотическое
1 ip
выражение для полиномов Лежандра Рп(х)~ ---------—»—
Zj П\ Cpsv
удовлетворяющих уравнению:
(1 - х2) Рп"(х) - 2х Р/(х) + п(п + 1) Рл(х) = 0.
199. Найти три первые члена разложения в ряд по сте-
пеням малой величины а интеграла уравнения:
у"-фу=У2,
удовлетворяющего условию у = «, у = 0 при х = 0.
260. Найти при 0 < х < тс интеграл уравнения:
У'4-у — тсх — х2,
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 69
удовлетворяющий условиям: у = 0 при а: —0 и х = к, раз-
ложив его в ряд вида ап sin пх.
201. Найти интеграл уравнения (при — т^х^~)
удовлетворяющий условиям:
у'= /" = 0 при х= ztit.
Метод Эйлера для приближенного численного интегри-
рования уравнения у' =f(x, у) состоит в вычислении после-
довательных значений у. у0, у1г у9, ys, . . . для значений
переменного х: х0, х04~й, х0-]-2й, х0 Jr3/z, ... с помощью
систематического применения формул:
Уп-1)’1г и Л=Л-1+дЛ-1.
Этот способ может быть уточнен, если заменить фор-
мулу ky—y'h более точной, например:
. г/ . У"& к ,, , У"/?2 , У "'А3
Дул'У'/г-Ь^^-, Ау^УЛ + —2-4- -б^ И Т. д.
При этом величины у", у"',... находятся дифференциро-
ванием данного уравнения.
202. Составить с помощью метода Эйлера таблицу зна-
чений интеграла уравнения: у' —x-j-y с начальным усло-
вием:у = 1 при х = 0, для значений х, равных 0; 0,1; 0,2;,... 1.
При вычислении вспомогательных величин удерживать два
знака после запятой.
203. Решить тот же вопрос, положив в основу более
точную формулу:
л ь / I Ь~У"
Вычисление вести до третьего знака после запятой.
204. Тот же вопрос, но исходная формула взята с точ-
ностью до малых величин третьего порядка:
. . , . /г2 у" . й3У"
205. Найти при х=1,1; 1,2; 1,3; 1,4 значения интеграла
уравнения у'= 2ху, зная, что он при х=1 принимает зна-
чение, равное 2.
Метод Рунге для приближенного вычисления значения
интеграла уравнения у'—fix, у) состоит в следующем.
Выбрав малое число h = &х, вычисляют четыре числа a,b,c, d
по формулам:
а=/(х, y)/z; , у + у)/г;
с=/(*+4’ ^ + 4)/г; + y+c^h-
После этого вычисляется число k с помощью равенства:
c + 2^4-2c-f-zZ
-- 6
Положив приближенно Ду да Л, находим значение вели-
чины у при значении аргумента, равном x-j-h. Способ этот
сравнительно точный, но довольно громоздкий.
206. Доказать, что в тех случаях, когда /(х, у) разла-
гается в ряд по степеням приращений х и у, равенство
Ду да k верно с точностью до величин четвертого порядка
малости относительно h включительно.
207. Вычислить по методу Рунге значения интеграла ура-
внения: ~у' = ху, при начальном условии: у — 1 при х — 0
для значений х равных единице. При этом положить h— 1.
208. Вычислить по методу Рунге значения у из задачи 202
для значений х = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.
Несравненно более удобен, чем метод Рунге, метод Адам-
са-Штермера. Для уравнения у/ =/(х, у) он состоит в сле-
дующем. Вычисляют каким-нибудь способом значения у для
нескольких значений аргумента, равных х0, x0-[-h, x0~\~2h,
x0-|-3/z, х0]-4/г, . . . Вычисляют также и соответствующие
значения /(х, у). Составляют таблицу:
X У hy' = hf{xy} &hy' №hy' L°hy' Why'
х0 х -р h x-f- 2h x-}-3h x-[-4h Уо У1 Уа У?. У4 hyo hyi ЬУа hy-i ЪУь Ыу’о' Miy/ ^hy./ Miy3' &hy0' Why/ t^hy2’ ^hy0' №hyf &hy0' дл
Величина Ду4 находится с помощью формулы:
1 К Q
^n-hyn' +~2 W'n-t + 12 ДЧ-»+g W«-s +
. 251 ... , . 95 ... ,
^720 Л 288”Л 1У »-« + ’ ’ *
Эта формула либо представляет сходящийся ряд, если
величины ^hy'n_k убывают достаточно быстро при k—> ос,
либо, как это бывает обычно при малом fe, несколько пер-
вых ее членов представляют величину Ду„ с точностью до
величины порядка первого из отброшенных членов. В напи-
танном примере можем писать;
15 4 941
Y д^Уз' + у2A8Z^2'+4ДЗЙЬ' Д4Уо'.
Зная Ду4, находят уь, а затем новую косую строчку разно-
стей, т. е. величины:
йуБ', bhy/, №hyj, bfihy^', tehy^ и т. д.
209. Найти по методу Адамса-Штермера при х — 2 инте-
грал уравнения./— х -фу, обращающийся в единицу при'х = 1,
при этом пользоваться формулой для Ду, взятой до третьих
разностей включительно, и вести вычисление до пятого
знака.
210. Найти значения интеграла уравнения y/-j-2xy — О
для значений х, взятых через ОД в интервале (0,1), зная,
что при х — 0, у — 1.
211. Найти таблицу значений интеграла уравнения:
у' х-]-У у для х = 0; 0,1; 0,2; ... 1,
если при х = 0 у —0.
Указание. Разложение у в начале имеет вид:
2 I . 4 /~ 2 т . 1 _ , 1 , Г 2 | ,
У~ ЬХ + 7 ]/ 3 * + 7 Х + 49 ]/ '3 Л + ••*
Выгодно ввести новую переменную, положив: х =
212. Составить таблицу значений функций sinx и cos л:
через 0,1 от О до 1, пользуясь уравнениями: (sin хУ = cos х;
(cosx) ——sin л и применив методу Адамса-Штермера.
213, Составить таблицу значений функций Бесселя J0{x) и
Jo' (х) для значений х через одну десятую от нуля до еди-
ницы, при этом уравнение для J0(x), имеющее вид
х Ju" (х) 4~ Jo' (х) х J0(x) — О,
заменить системой.
хг/ -j- v хи = 0; и' — V.
Для уравнений второго порядка вида: y"=f(x, у, у')
можно пользоваться формулами:
1 1 19
vy.« */.+W„_, +п +-йо 4‘*'.-,+
+^П-.
/,2 А2 А3
^yn-hyn' + ^/п+^д/и_1+А-д2Л_2 +
+ -1^ДЗ/
180 7~-з Г 32 “Jn-i
и с: q
^Уп = hfn 4- д Л_1+Г2А Д2Л-2+т h дзА-*+
। 251 , . ,
"1~ 720 h Л ^”-4*
214. Составить таблицу значений через 0,1 в интервале
(0,1) функции y = chx, удовлетворяющей уравнению у" =у
и начальным условиям: при х = 1, у — 1, у' ~0.
215. Составить таблицу значений функции J0(x) для зна-
чений х, идущих через 0,1 в интервале (0,1), зная, что /0(х)
удовлетворяет дифференциальному уравнению:
х /0"(х) 4- J0'(x) 4- X /0(х) = о
и начальные ее значения при х = 0: Jo(0)=l, /о'(О) = О.
216. Зная величины:
cos 1 =0,54030; cos 1,1 =0,45360; cos 1,2 = 0,36236; cos 1,3 =
=0,26750; cos 1,4 = 0,16997 с помощью уравнения у"— —у,
найти значения cos х при х=1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2.
217. Замечая, что для величин а®, определяемых ра-
венством: а^ = АЛ/к)(х4-кЛ), справедлива формула:
а также пользуясь тем, что одну из величин можно
получить дифференцированием данного уравнения, соста-
вить таблицу чисел d® для функции ch z при h — 0,1;
0 < х < 0,5.
Если дифференциальное уравнение имеет вид:
У =/(х) или y"=f(x),
т. е. если дело сводится к простому или кратному интегри-
рованию, то таблица значений f(x) и их разностей может
быть составлена до интегрирования. В этих случаях выгодно
пользоваться формулой Лапласа:
+ +^hfn-^hfn +
Q
160“A •••
Удобны и формулы Гаусса:
^J/„+4+, 1 , 11 А‘А+4'А+1
L 2 12 2 -|"720 2
191 а%+Д6А+1 1
60480 2 • ' ’J
1 1 31 1
Д2УИ = А2 [Л+12Д24 ~“240 Д4Л +'60480 ^п’ ‘ ’
218. Составьте пятизначную таблицу натуральных лога-
рифмов целых чисел от 100 до ПО, зная, что log 100 —
— 4,605170. При этом воспользоваться равенством:
X
219. При х==5; 5,1; 5,2;. . . 6 значения функции Бес-
селя /0(х) таковы: 24,336; 26,680; 29,25.4; 32,080; 35,182;
38,588; 42,328; 46,436; 50,946; 55,900; 61,342. Найти величину
интеграла от /0(х), взятого в пределах от пяти до шести.
220. Составить пятизначную таблицу значений интеграла
X
у = С е~а‘ dx
о
для значений х, возрастающих на 0,1 от нуля до единицы.
ОТДЕЛ ЧЕТЫРНАДЦАТЫЙ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ВВЕДЕНИЕ
В задачах настоящего Отдела затронуты основные части
урса функций комплексного переменного, проходимого сту
дентами университетов. Однако многие задачи могут быть
использованы и студентами технических втузов в том
случае, когда приходится изучать комплексные переменные.
Наконец, весьма большое место отведено задачам на при-
ложение комплексных переменных к теоретической физике,
именно: к механике, гидродинамике, электростатике и др.
Эти задачи также могут быть использованы студентами
соответствующих специальностей.
Первый подотдел рассматривает уравнения Коши-Римана
Здесь следует обратить внимание на использование этих
уравнений как в декартовых (первые семь задач), так
и в полярных координатах (последние две задачи). Нужно
далее отметить, что здесь же можно использовать, при
надлежащем видоизменении, некоторые задачи, находящиеся
в начале подотдела о конформном преобразовании (§ 9).
Образующие собою второй подотдел задачи на особые
точки и ряды Тэйлора и Лорана решаются обычными мето-
дами; решение задач №№ 25—28 связано с рядом задачи 24.
В подотделе о вычетах (§ 3) большое место уделено
гидродинамической интерпретации вычетов (вихри и источ-
ники); в связи с этим имеется ряд задач, где надо не по
функции находить вычеты, а наоборот, составлять функцию,
зная ее полюсы и главные части (напр. задачи 121 — 124,
126—130). Применение вычетов к нахождению определен-
ных интегралов начинается с легких задач и кончается
очень трудными, снабженными указаниями. Здесь же можно
использовать часть задач Отдела об определенных интегра
лах. Номера 98—100 естественно связаны с двумя предше-'
ствующими им задачами. Задачи 107—ИЗ легко решаются,
если изложен способ Коши решения дифференциальных ура
внений по методу вычетов. Подобное же замечание можно
сделать относительно задач 114—116 на вывод рядов, ана-
логичных рядам Фурье.
Первые 25 задач подотдела Разложение функций
на простейшие дроби и в бесконечные произ-
ведения (§5) решаются обычными способами; осталь-
ные же носят гидродинамический характер и решают
обратную задачу, так что решение их опирается на резуль-
таты предыдущих задач. v
В подотделе о рядах функций (§ 6) задачи 177—184
требуют знания формулы Лагранжа. Следующйе задачи
(185—188 и 190—194) решаются непосредственно.
Следующий параграф содержит задачи на производящие
функции и специальные функции. В задачах этого пара-
графа широко использованы основные методы теории функ-
ций: разложения в ряды Тэйлора, производящие функции
и изменение контура интегрирования.
После изучения теории эллиптических функций первая
половина посвященного этим функциям восьмого подотдела
не представит никакого затруднения. Другая же их поло-
вина дает типические примеры приложения эллиптических
функций к механике и геометрии.
Весьма большое число задач отведено конформным пре-
образованиям и их многообразным приложениям (§ 9). Первые
три задачи (270—272) имеют вводный характер. Следую-
щие задачи (273—278) являются примерами простейших
конформных преобразований и могут быть при надлежащей
интерпретации использованы студентами всевозможных спе-
циальностей, требующих знания таких преобразований;
в тексте дана гидродинамическая интерпретация. Аналогич-
ное замечание можно сделать о всех дальнейших задачах
этого подотдела. В третьей группе (279—290) рассматри-
ваются преобразования,' производимые наперед данными
функциями; задачи расположены в порядке возрастающей
трудности, причем некоторые из них имеют электростати-
ческий характер.
Остальные группы подотдела служат для усвоения мето-
дов решения обратной задачи конформного преобразования.
При этом предполагается знакомство студента с линейными
преобразованиям^ принципом отражения в прямой и окруж-
ности и формулой Кристофеля Шварца. Сначала идут чисто
математические задачи (291—309), за ними следуют задачи
на применение конформного преобразования к теории тепло-
проводности, электростатике, гидродинамике. В каждой из
этих групп, как чисто математических, так и в прикладных,
задачи опять-таки расположены по степени возрастающей
трудности от очень простых до очень сложных. Обратными
задачами на конформные преобразования лучше всего по-
этому пользоваться в таком порядке: вслед за простыми
задачами математического характера рассматривать про-
стые же задачи прикладного; после сложных математиче-
ских— сложные задачи из прикладных групп.
В последнем отделе (§ 11) содержатся задачи на инте-
грирование дифференциальных уравнений рядами и инте-
гралами, которые могут решаться студентами, прорабо-
тавшими курс аналитической . теории дифференциальных
уравнений.
§ 1. УРАВНЕНИЯ КОШИ-РИМАНА
Обозначения: z = х + iy = re®, z — x — iy, х — Re z,
у — Im z, г — | z I, 6 = arc z.
Найти аналитическую функцию f (z) — и {x, y) w (x, y)
по следующим условиям:
1 = x4 — 8x3y — 6x2y2 + 8xy3 y^, f (0) — 0.
2.
3.
4.
5.
2У
x2-f-y24-2x-f-1 ’
x—y(x2- y2)
1 — 4xy - h (x2 -py2)'’
/(l) = 0.
, /(0) = 0.
__ 2sin2x ./ л \ q
eZy - e 2y — 2 cos 2x ’ \ 2 /
a — F (флх24у2-|-х), г/= О (]/х2 4~У2— x), где^иб
подлежащие определению функции.
6. и(х,у) = <ц-^-^, где ©—подлежащая определению
функция.
7. Показать, что для сякой аналитической функции /(г)
имеет место равенство
^lZ(-g) I2
<?х2
^ЧЖ11 = 4|/-(г)р.
8. Пусть /(г) регулярна в односвязной области В, огра-
ниченной кривой L. на которой |f (г) | имеет постоянное
значение. Показать, что когда точка z пробегает кривую L,
arg/(2) изменяется монотонно, а сама точка f (z) пробегает
(может быть несколько раз) окружность.
Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости
(в дальнейшем только такие движения и рассматриваются)
характеризуется аналитической функцией то (2) = ® (х, y)-j-
-|-гф(х,у), где <р называется потенциалом скорости, ф—функ
цией тока. Проекции скорости на оси координат и
определяются равенством vx— = Каждая частица
жидкости движется по линии тока ф = const; разность зна-
чений функции ф в двух точках представляет объем жид-
кости, протекающей в единицу времени через цилиндр
единичной высоты, опирающийся на какую-либо линию,
соединяющую эти две точки. Любая линия тока или частй
ее может быть заменена твердой стенкой без нарушения
движения жидкости.
9. Функция тока имеет вид
ф = arctg
л V
•s'1 <г
(а > 0);
найти
10.
потенциал 9 и ® = <р-|-гф.
Функция тока имеет вид
ф = log (г4 4-64 — 2Z>2 г2 cos 26) (b > 0),
где z — гёл. Найти потенциал о и w = <? г ф.
11. Потенциал скорости имеет вид
1
где z— ^к — гке^к, причем 2j = a>0, z2 — ai, zs——a
24 =— ai. Найти уравнение линий тока и показать, что ли-
ниями тока являются как окружность \ z \ = а, так и оси
координат. Какой объем жидкости V протекает каждую
секунду через прямую линию, соединяющую точки 2 = 0
и 2 = ае 4 ив каком направлении?
78
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ. РЯДЫ ТЭЙЛОРА И ЛОРАНА
12. Какие особенности имеют функции:
1 __
1) j/z2— 1, 2) sin ;--, 3) log log z, 4) arctgV z,
13. Найти в точке z — e значение той ветви функции
которая при z = 0 имеет значение ie “ и которая
непрерывно продолжается в точку z — e * вдоль радиуса,
соединяющего эту точку с началом координат.
14. Какое значение имеет в точке z = 3 функция
/(.z) = log(l — z2), которая будет однозначной, если про-
вести разрез в виде полуокружности, с центром в начале коор-
динат, соединяющий точки ф1 и —1 и лежащий в полу-
плоскости у>0, и если взять ту ветвь логарифма, которая
при z = 0 обращается в нуль? Какое значение имела бы
та же функция в той же точке, если взять разрез в виде
симметричной полуокружности, лежащей в полуплоскости
J<0? 1_______________________________________________
15. Найти особые точки функции ср (z) — log (z-J-Vz2—1)-
Показать, что функция <p(z) однозначна в плоскости с над-
резами поивещественной оси — со < z < — 1 и l<z<co
и вычислить значение о (г) и <? (— i), если на верхнем краю
надреза 1 <z<co значения Ув2'—1 и <»(z) берутся поло-
жнтельными.
Разложить в степенной ряд:
16.
----щт—» в кольце между окружностями
(Z—2)(Z2-j- 1)
х2 -|-у2 — 1, х2 -|-у2 — 4.
1
17. -г-
(z2
— l)(z2 — 4)2
для различных |z).
2
18. -j-в кольце между окружностями (х 4- 2)2 -|-у2 = 1,
(х + 2)24-у2 = 9.
19. sin z sin [ — |.
\ z )
20. Разложить в ряд по возрастающим степеням С = z — е
(0-<<?<'к) ту ветвь функции Vz — е'^г, которая при z = 0
ОСОБЫЕ ТОЧКИ. РЯДЫ ТЭЙЛОРА И ЛОРАНА
79
имеет значение ie 2
в точку z — e
и которая непрерывно продолжается
вдоль радиуса, соединяющего эту точку
с началом координат (см. задачу 13).
1 £ — I
21. Разложить в степенной ряд ----~ log—-т—. в кольце
Z Z р Z
1 < 1z I <Z 2 и в области > 2, принимая для z = 2г значение
log вещественным.
Дать явное выражение в виде определителей для коэффи-
циентов следующих рядов Тэйлора:
22 ____-_____
log(14-«)
п— 1
23. sec z— /4
п — о
(2п)!
-g-, Еп—числа Эйлера
e0=i).
24. z cotg z
(2л)! ’ 11
Д, — числа
ернулли.
Доказать следующие разложения в ряд Тейлора:
25.tg,= 2--C^
(2л)!
2
z
26.
sin z
п = 1
!2я1_ 1)Д
(2к)!
. sin z
‘27. log—
. tgz
28. log ———
S22«(22«-1— \)В.
п (2п)!
z2K
п~ 1
2 '
Доказать предложения, высказанные в задачах 29—32.
СО
29. Если ряд^апг” имеет на круге сходимости только
п— о
одну особую точку z0, и притом это полюс, то lim---— 2^
30. Если радиус сходимости степенного ряда равен еди-
нице и на круге сходимости лежат только полюсы первого
порядка, то последовательность коэффициентов ограничена.
ОО
31. Если все коэффициенты ряда ап zn вещественны,
неотрицательны и радиус сходимости ряда равен 1, то точка
z — 1 является особой точкой.
Указание. Допустив противное, переразложить ряд
в окрестности точки а, где 0 < а < 1 и принять во вни-
мание, что новый круг сходимости выходит за пределы
старого,
со
32. Если радиус сходимости как ряда /(.?)= ^ а,} г”, так
•4=50
ОЭ
и ряда «Я2П, где ап — Rea„, равен 1 и если а„^0, то
п=о
точка г=1 является особой точкой функции /(2).
При помощи теоремы Абеля вычислить;
у (—1)*“* sin(2A—1)<р у (- l)fccos4?
& 2.4-1 ’ Л (.4 + 1)(4+2)’
ое у 1 -3-5... (2.4— 1) . ,
35‘ 2-4-6...24
Вычислить первые два члена в разложении у по возра-
стающим степеням х для проходящих через начало коор-
динат ветвей нижеследующих кривых:
36. у3 — Зху4-х3 = 0.
37. v6 + «x4 —42лу2 = 0.
38. 4 (х --1) у6 4.2хуз — Зх-зу -f - xi = 0.
§ 3. ВЫЧЕТЫ И РАЗЛИЧНЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Найти вычеты функций:
z2n
39. ------в точках z— — 1 и z — ca (п — целое поло-
жительное).
40. ______________
1 — cos (z — а)
1
е « zn
41. у в точке г = 0 (и— целое положительное).
42. е‘ log---х в точке z = оэ.
& z — р
Вычислить криволинейные интегралы в задачах 43 — 52.
вдоль эллипса х2— ху-|-_у2-|-х-г_у = 0.'
44. J Г dz ' вдоль окружности х2-|-у2 —2х —
— 2у = 0.
45. J л 2 2 2 Г dz “ -о- ! (г2 — !)2 (г_ 3)2 по астроиде х + у°—2 .
46. J С dz , , „ , ВДОЛЬ ОКРУЖНОСТИ 1г1—Ь счн*
тая [а| < 1, | b \ < 1, т и п целыми числами. / 1 1 \
47. 1 1 (а0 я, z 4- п2 2') \е 2 + ~ 7 dz. вдоль окружности
Г *+-
48. I е Zdz вдоль окружности около начала коор-
динат.
/dz
(1—Z2) (!—£«)*
50 Г________dz________
' J z (2z10—l)(z20 —2) ’
l»l=i
1 C z% dz
51. ——7 I - 2-ie,- по полуокружности около начала
координат радиуса R, причем р < где р— целое
число, с диаметром вдоль оси у-ов и лежащей со стороны
положительных х.
52. —— по параболе х=у2 в направлении
возрастающих у, если пои z = 0 значение корня равно 1.
Гюнтер и Кузьмин, ч III g
53. Каковы необходимые и достаточные условия того,
чтобы функция
Z
F(z) = I ts(z)dz
k
была однозначной, если <э(г) есть мероморфная функция?
54. При каком соотношении между а и b функция
. f / asinC . AcosG
F(z)=J (—пг-Н—
Zq
-будет однозначной?
55. При каком а функция
Z
?(*) = J +
будет однозначной?
56. Найти условия, при которых
F(z} = e°
будет мероморфной, если о (г) — мероморфная функция.
При каких h будет мероморфной функция
я
Г
J cos я-f-Zi
Ф (г) = ег“
Вычислить интегрированием по контуру интегралы в за-
дачах 57—87.
СО
_ f х^ -I-1 J
57. I - г dx.
J *4 + l
— CO
Указание. Дополнить контур интегрирования большой
полуокружностью в верхней полуплоскости.
со
58. f Ф~Г dx’
О
со
s9-J(4fey- а>0'ь> °-
со
60‘ f (Х2 + ^)(Х2^О2)2 ’ Д > 0. * > 0.
-ОО
xZmdx
——2^-, п и т — целые числа, п
62. [----(а > 1).
J cos « -j- а 3
о
Указание. Подстановка z — e^
2ft
Г cos2 26 6? 6
j 1—2»cos64-p2 '*^1
о
2п
Г cos23?
J 1 —2pcos2?+p2 •’
о
<1).
f
IP I < 1.
65. Вычислить, чему равен Jcotg(x—a) dx, если1та=£0.
0
Указание. Подстановка t — егг^~а\
cos ах , .
-j—i—т-dx, а>0.
1 _L -г4
eiaz
Указание. Рассмотреть уу—j, дополнив контур инте-
* ~т~г
грирования большой полуокружностью в верхней полу-
плоскости
67.
л
~а^
о
68.
69.
о
-r-dx.
X4
о
sin тх
—i—577- dx; т^О, «>0.
х (х2 у- а2)- ’
70. J cos (№) dx, J sin (x2) dx.
о 0 'i
Указание. Интегрировать eiz' по контуру сектора боль-
шого радиуса, сторонами которого служат положительная
вещественная ось и биссектриса первого координатного
угла. Ср. с задачей 92.
71. Доказать, что если Q(z) равномерно стремится к О
при |г|-> со, О^агсг^те, и если Q(z) голоморфна в области
z | > с, arc z те, то
lim / emiz Q(z)dz = 0,
r>cog
где С — полуокружность [ z j — г, Im z > О, “a m — положи-
тельное число.
It
Указание. В интервале 0^6 имеет мест0 неравен-
2
ство sin 6 > — 6.
К
72. Найти
оо . оо sr',
/ ми с las
----— dz, /2 — I —j—т- dz, Re r > 0, a > 0.
z — ir 1 J z-{-ir
—co —co
Приложить результат к вычислению интегралов:
со оо
т С х sin ах , г С г cos ах ,
L = I ——9 dx, h = ! “V-—Т
J •*2 + r j
о о
__ Г sinx ,
73. I ------ dx
J х
о
Указание. Интегрировать ---- по контуру, состоящему
из большой полуокружности и малой полуокружности,
общим центром которых является начало координат и кото-
рые лежат в верхней полуплоскости; концы одной полу-
окружности соединены с концами другой полуокружности
отрезками вещественной оси. Применить задачу 71. Ср. с пре-
дыдущей задачей.
74.
о
cos х — е
------------dx.
х
75.
— a2 sin л:
а2 х
dx (а > О).
о
76.
. -J- К cos kx , * 1
О
где а, Ь,..k > О, Д-Н#+ • • • 4
со
77. f
о
—:-----dx, 0 < а < 1, О < b < 1.
1 — е
с-
Указание. Интегрировать -у--? по контуру прямоуголь-
ника с вершинами выделив точки ztitz малыми
полуокружностями и устремить R к со.
79.
Указание. Надрезать плоскость z по положительной
вещественной оси и концы надреза соединить большой и
малой окружностями с центром в начале координат. Полу-
ченный контур взять за путь интегрирования функции
G — 1
Z
со
М- f ТтО.77- -
о
00 к
81. f —г~; «>0, £>о, — 1 <х< 1.
J а2-^-^х2 ’
о
о
Указание. Надрезать плоскость по отрезку 0<z< 1
и взять за путь интегрирования контур, окружающий этот
надрез. Рассмотреть еще окружность большого радиуса
с центром в начале координат.
83. f - - _-Х
84.
xndx_____
(1 — ах”) у/\—хп
где 0<Га<1.
Указание. Подстановка xn — t.
85. Вычислить интеграл
xdx
(х— z) У cP— х2
где корень берется с положительным знаком сначала для
любого комплексного г, не лежащего на отрезке —a^z^a,
а потом и для — а < z < а.
Указание. Представить I в виде интеграла по замкну-
тому контуру С, состоящему из дважды пробегаемого
отрезка—-a^z^a и затем вместо С ввести другой контур
в виде круга бесконечно большого радиуса. При —a<z<.a
надо рассматривать главное значение интеграла I.
ах.
О
Указание. Рассмотреть интеграл по всей вещественной
оси, дополнив ее большой полуокружностью в верхней
полуплоскости.
88. Доказать формулу
я
г d? к rf{ix)+f{^ix}
J Ъ iin? “-2-/(1) “ J ------------------ГСТ------dX’
О 0
считая f(z) голоморфной функцией - в полукруге | z [ ss 1,
Rez^X), и показать, как ее применить к следующим
функциям:
1) f{z) = zm, т> — 1; 2) f (z) = arctgz\ 3) f(z) = z\ogz.
89. Доказать, что
CO
/(<ф — л-2) cos х 4~ (а -! р) х sin х
а-4-£оз
1 с
90. Вычислить 1(a) —~; I -~—ds,
м j sa
a—ito
а>0» ₽>0>
где a > 0 и а ве-
щественно.
Указание. Дополнить контур большой полуокружностью,
лежащей слева от мнимой оси, если а^О, и справа от мни-
мой оси, если а^О.
91. Вычислить
a-f-г'оо
/(х) = ~ f .--------х- ... ds-, где «>0 и х>0.
J s(s + l)(s4-2)
а—гео 4 *
92. Доказать, что если 0 < Re s < 1, то
СО Явт.
I xsе~1Х dx—T(s)e 2
е
и вывести отсюда для п > 1 равенства
Указание. Интегрировать г8-1 е-г по контуру первого
квадранта, дополненного большой четвертью окружности
и использовать задачу 71.
83. Доказать, что если с > 0 и Re z > 0, то
C-f-®00
''-й f г<!>г"л-
Указание. Интегрировать I’(s)z 8 по контуру прямо-
угольника с вершинами
(—1=±=Z),
и устремить п к оо. Для оценки интегралов можно вос-
пользоваться асимптотической формулой:
[/ 1 \ 1
logf(z)— tz— — llogz-ф-^— У) fog2т
\ 2 / z
если |arczl^T—S, где 8>0, и формулой
Г(г)Г(1-г)
т
sin r.z'
94. Доказать с помощью предыдущей формулы, что
1 _ 1
" х‘- 1 ’
95. Показать, что если /(г) регулярна в замкнутой одно-
связной области, ограниченной аналитическим контуром
L, а zu z2>.. .,zn — произвольные друг от друга отличные
точки внутри этой области, то полином степени п—1
Р(2)=. 1 Г Ж
v 7 2~z J <о(С) С — z
L
где
w (г) = (г — Zj) (z — г2)... (г — z„)
совпадает с f (z) в точках zlt z2,...z„.
96. Показать, что если для мероморфной функции f(z),
регулярной при целых (положительных и отрицательных)
значениях z, существует последовательность контуров
Си С2)..Сп..удаляющихся с п в бесконечность во всех
направлениях, таких, что
тс ctg tcz - f(z) dz — О,
(*)
и если ряд 2j f(ri) абсолютно сходится, то сумма егр
—со
равна сумме вычетов функции ~f(z) ctgTCz относительно
особых точек f (г), взятых с обратным знаком.
97. При тех же предположениях показать, что, если
вместо (*) будет выполнено
С тс
hm I —-----------
w->oo J SIH HZ
f(z)dz — 0,
и если ряд
2 (—)V(rt) абсолютно сходится, то сумма
его равна сумме вычетов функции f(z) относительно
особых точек f(z), взятых
Просуммировать ряды:
981 S ’
п~—со
с обратным знаком.
99. У —iy-TC.
aU а 4- Ьпл
п=1 1
101. Доказать равенство:
_________1_________1
2TCX2(coshx — cos л) 2тсх4
СО
100. 2
П—1
(-1)"
a-J-^n2'
Указание. Взять интеграл от функции
V (— 1)г г 1
егг- —е~гт' , хл । & ’
е е (^)4+"4-
тс-2-
(екг — e~rz) sinTCz
. , .1
ПО Кругу = и устремить П—> со.
90
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
102. Показать, что в разложении в ряд
1 1 1 । I 1 \W“—1 —1
е‘ —1 “7~^2 ф Т2п)Т
п= 1 4
числа Бернулли Вп могут быть представлены в виде
с 2(2и)! у _1_
й (2*)г“ А
*03. Показать, что в разложении secz в ряд
00 F
secz= z (£"0=1)
числа Эйлера Еп могут быть представлены в виде
(—D*
(2£ 4- l)2,l+I ’
2n/:s
е п л
\-е2^
104. Взяв интеграл [
где п— целое положи-
тельное число, по границе области
0 < Re z < ,
----(О
Im z
Р,
п I
Z----х~
и
переходя к пределу при «о -> со , р -> 0, доказать, что
?£ = 0
г^"-
105. Доказать, что если 2v не равно нечетному числу,
то имеет место равенство
cosh 2vx ,
—dx =
sinh x
cos w
T2
у
2
cos Г (у)
0< s<l.
Указание. Проинтегрировать функцию
ins
^.s-214-i
(1 — Z?)‘
ПО
контуру, состоящему из отрезка вещественной оси (О, R),
отрезка мнимой оси (О, Ri) и дуги круга радиуса R, причем
точка z~l выделяется малой полуокружностью.
106. Доказать, что
cos 2^ — е~2гиЖ
е^—2 cos2^ + e-2K
1 ( cosh aS 1
“2 \
• sin ax dx —
пои a > 0, 0<E < 1.
е'г 1
Указание. Проинтегрировать-^—p • по обводу
окружности радииса — (2р.— Г) ~ и увеличить затем р до со.
По способу вычетов решить при указанных начальных
условиях уравнения и системы уравнений в задачах 107—113.
107. у" - 2/=/(х), у (0) = т;о, у' (0) = rh.
108. у"+~у'+~y=f(x), _у(1) = TJo, У (1) = ^.
ЮЭ.у'-Ь-А-у —y(l) = 7i0, у(1) = -^.
ПО. х' — = х(0) = а,
У4-х-г-г = 0, у(0) — 1>,
z'-vy-^z — 0, z(O) = c.
111. x' — 4x— 2y—2г = 0, x(0) = —1,
/-f-x-[-z=0, у (0) — 1,
z' —|— 2x у = 0, z (0) = 1.
112. x'4-x-J-y = e£, x(0) —1,
У — x-\-3y = e~\ y(0) = — 1.
ПЗ. x" = 3x-^4y, x(0)=l, x'(0) = 0,
У — — x —y, y(Q) = 0, У (0) = 1.
Применить к выводу рядов, аналогичных рядам Фурье,
следующее разложение Коши, имеющее место в проме-
жутке % < а < а^.
+ у У-- F(,W,
если Fji) удовлетворяет в промежутке a0<!x<ai условиям
Дирихле, функции y(z) и л (г) —целые, причем уравнение
тг(г) = О имеет лишь простые корни А2>. и если
для всякого 6 в промежутке —гг- < 6 < тг будет
/4 £
lim
Г->со
-(л?’') е
,(а —а0)гег8
lim
xC-re*)^-^6
~(— reiS)
где 4'(2) = я(г) —х(г).
114. Взяв K(z) = ens + 1, х(г) = еаг, а>0, вывести раз-
ложение
(2/г-|- 1)тс(«—[О ]
и в частности получить разложение
сое 2a =
± V ( —l)fc+1 (2А4-1)
" А (2^-1) (2^ + 3)
cos(2^-[-l)a
для
115. Взяв я(г) = еяе —г, х(г) = е"г, «>0> вывести раз-
ложение
а
« г
F(a) = J о) J Для —
п~^ п а
2
где — корни уравнения enz = z. В частности получить
разложение
- 2).„sinh
е = 2* 1)(1- У
116. Взяв
* (*) = z (enz + e~az) + h (eaz - е“ог), у (г) = eaz (z + /г),
где а > 0 и h > О, вывести разложение
а
F(”=1TO) +
— а
“Ь V л-;—о t ^(и) cos к (а—
' 2ак.—sm 2ак„ J v ’ m v 1,1
»=i " пУа
для —а<а<о, где к„— положительные корни уравнения
к cos ок-}-Л sin ок = 0.
В частности получить разложение
COsha
h sinho
1 -}- ah
4kn (sinh a cos к„ о Ц- к„ cosh a sin кге а)
(2ок„ - sin 2ок„) (V +1) “
cos k,.a,
Пусть движение жидкости определяется аналитической
функцией w (г) = <р (х, у) -j- (х, у), так что vx — ive = .
Объем жидкости, протекающий в единицу времени через
замкнутый контур С, т. е. через поверхность цилиндра еди-
ничной высоты, построенного на контуре С, дается фор-
мулой Е= ф vxdy— vvdx, назовем его для краткости про-
с
течением; циркуляцией скорости по замкнутому контуру С
называется Г= rvxdx-\-,vydy. Очевидно Г-}-ZE = ф dia —
о с
С d-w , Т1
= ф —г dz, так что В и Г могут определяться при помощи
вычетов.
94
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Е
Если w==-=r- log (г — а), где Е вещественно, то точка а
называется источником обильности Е. Если
Г
w — -----
2гЛ
log (г — а),
где Г вещественно, то точка а называется вихрем интен-
сивности Г.
117. Найти для источника z — a обильности Е, протече-
ние и циркуляцию по контуру Су, окружающему точку а,
и по контуру С2, не окружающему точки а. Найти линии
тока и линии равного потенциала.
118. Та же задача для вихря г —а интенсивности Г.
119. Какой объем жидкости V протекает в единицу
। , 3
времени через круг \z\ = -^-a и чему равна циркуляция
скорости Г по этому кругу, пробегаемому в положительную
сторону (т. е. против часовой стрелки), если характеристи-
ческая функция течения равна ®>== log sinh
120. Найти, чему равны циркуляции скорости 1\ и Г2по
кругам |г— b\ — b и jz-j-bj — b в движении жидкости, для
которого характеристической функцией служит
w — 2i log (z2 — b2).
пели в некотором движении жидкости может быть про-
ведена линия тока С, делящая плоскость на две части, то
источники и вихри, находящиеся с одной стороны линии С,
называются отображениями источников и вихрей, лежащих
с другой стороны линии С.
121. Найти отображение источника z — a обильности Е
в вещественной оси.
122. Найти отображение вихря г = а интенсивности Г
в вещественной оси.
123. Доказать, что отображением источника а обильности
Е в круге | z |= R является источник такой же обильности Е
в точке -4- и источник обильности —Е в точке г = 0.
а
Замечание. Точка — называется отображением
а
чотки а в круге I z 1 = R.
124. Доказать, что отображением вихря а интенсив-
ности Г в круге |г| = /? является вихрь интенсивности — Г
в точке ~^г-.
а
125. Какому распределению источников можно припи-
сать движение, характеризующееся функцией
log
z^—1
z
?
126. Движение жидкости происходит в квадранте, огра-
ниченном стенками, поставленными вдоль положительной
вещественной и положитель-
ной мнимой оси. В точке z = 1
через очень малое отверстие
из квадранта вытекает каждую
единицу времени объем жид-
кости Q. Найти функцию w (z),
характеризующую движение.
Указание. Отразить движе-
ние в осях х-ов и J-OB.
127. Движение жидкости
происходит в области ABCD,
указанной на черт. 1 и огра-
ниченной прямыми ВХ и СУ
Черт. 1.
и четвертью окружности ВС. л
В точке В (z = 1) каждую единицу времени вливается объем
жидкости Q; такой же объем каждую единицу времени
выливается в С {z — i). Найти функцию w(z), характеризу-
ющую движение.
Если движение жидкости в односвязной области, опре-
деляющееся функцией w(z), вызывается вихрем интенсив-
ности Г, находящимся в точке z = a, то этот вихрь пере-
ча .
мещается со скоростью определяющейся по формуле
da___Г dw Г 1____________/ \
dt Y dz 2vi(z— ,a)J \ dz }
Z—v. я~а
Если Wi (z) = ©j (x, y) (x,y) и a — a( -|- za2, то траекто-
рией вихря служит ipj (ап a<2) = const. Жидкость на oo всегда
предполагается покоящейся, если не оговорено противное.
128. Вдоль вещественной оси х находится стенка. На
расстоянии h от этой стенки находится вихрь интенсив-
ности Г. Найти скорость и перемещения этого вихря.
129. Вдоль окружности | z | = А? находится стенка. В точке а
внутри круга находится вихрь интенсивности Г. Найти ско-
рость it перемещения этого вихря и его траекторию.
130. Вихрь интенсивности Г находится в точке a-\-ib
и движется в области, ограниченной положительными осями
координат. Найти проекции скорости его перемещения и его
траекторию.
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
131. Найти число корней уравнений:
z6 — 6zЮ = 0,
z4— 5z4~ 1=0,
z8 — 4г5 -j-z2— 1=0,
содержащихся в круге |z|< 1.
Указание. Воспользоваться теоремой Руше, по которой
уравнение (z) 4-(г) — 0 имеет столько же корней, как
и ?С?) = 0, внутри области голоморфности этих функций,
если на контуре области | (z) | < | <j> (z) |.
132. Если в единичном круге | z | < 1 функция /(z) регу-
лярна и |/(z)|< 1, то уравнение /(z)— z = 0 имеете круге
| z | 1 один и только один корень z0 (при конформном
отображении, совершаемой функцией f(z), точка z0 является
неподвижной точкой).
133. Пусть L замкнутая непрерывная кривая, не имею-
щая двойных точек, и пусть функция f(z) мероморфна
внутри L и регулярна на самой кривой L.
Показать, что если |а| больше, чем максимум |/(z)j на
кривой L, то число корней уравнения /(z) = а, лежащих
внутри L, равно числу полюсов функции /(z) внутри L
(конечно учитывается кратность корней и полюсов). Если
же минимум |/(z)| на L больше чем а, то число корней
уравнения f(z) = a внутри L равно числу нулей функции
j (z) внутри L.
134. Сколько корней имеет уравнение
z4_|-2z34-3z2 4- z 4- 2 = 0
в каждом квадранте?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
135. Сколько корней имеет уравнение
2zi — 3z3+ Зг2 — z +1 = О
в каждом квадранте?
136. Показать, что уравнение X — z— e~z —0 при Х>1
имеет в полуплоскости Rez^O единственный корень и при-
том вещественный.
137. Показать, что уравнение z£"~B — 1 при X > 1 имеет
в круге |z| ё=1 единственный корень, притом вещественный
и положительный.
138. Показать, что уравнение z2ex-a = l при X > 1 имеет
в круге |z|<l два корня, притом вещественных и разных
знаков.
139. Показать, что уравнение —О, где п—
целое положительное число, большее единицы, при всяком
а имеет в круге | z | 2 по крайней мере один корень.
140. Показать, что уравнение tgz = z имеет только ве-
щественные корни, а именно трехкратный корень 0 и корни
где *„ = («+-1)* — s„ и limen = 0.
\ & J И->оо
tgz
z
Указание. Рассмотреть
на контуре квадрата, сто-
роны которого равны 2гая.
141. Показать, что уравнение cosh г cosz = 1 имеет четы-
рехкратный корень 0 и, кроме того, корни вида гп,
r„i, — г„,—rni, где г„ возрастающие положительные числа,
/ > 1 \
стремящиеся к 1 п -j- у I m
142. Доказать теорему: если корни уравнения
i=k
И — ibd := ? (г) + (2) = 0
имеют вид z— то все корни уравнений
e(z)sin cos z — 6 и <?(z) cosz— <p(z) sinz = 0 будут
вещественными, простыми и перемежающимися.
143. Показать, что вещественный тригонометрический
полином
ат cos т 0 -4- bm sin т 6 Ц- «т+1 cos (гаг -J-1) 6 Ц-
| Ч-sin («г-Ь-1) G + ...-rfl(lcos/z0 + 6„sinne
имеет по крайней мере 2т и самое большее 2га корней
в интервале 0 gg 6 < 2~.
Гюнтер и Кузьмин, ч. III 7
Указание. Рассмотреть изменение аргумента выражения
Р (z) = (ат - ibj + (ат+1 - ibm+l] . +(a-ibn)z*,
когда z пробегает окружность z — е1'1 или окружность
z — (l—(е>0).
144. Тригонометрический полином
Оо + аг cos 6 -j- as c°s 20-~|- ... ап cos„6,
в котором 0<rzo<G1<G2< ... < ап имеет ровно 2п веще-
ственных различных корней в интервале 0^6<2гс.
Указание. Предварительно доказать, что полином
Р(г) = я0-j- arz а^ +... + a„z*
не может иметь корней в области |z|< 1 (полезно для
доказательства умножить Р (г) на 1—z).
145. Пусть последовательность функций /г(г), /8(z),...,
fn (z),..., регулярных в области G, сходится к функции f(z)
и притом равномерно во всякой замкнутой области, лежа-
щей целиком внутри О. Показать, что предельная функция
f(z) регулярна в О, и если только она не равна то-
ждественно нулю, то всякий корень этой функции, лежа-
щий внутри G, является точкой сгущения для множества
всех нулей всех функций /„(z).
146. Пусть/(/) заданная в интервале O^f^l функция,
положительная и не убывающая, и пусть f/(f) iff сходится
б
1
Показать, что целая функция f(t) cos ztdt имеет только
о
вещественные корни.
Указание. Воспользоваться задачами 144 и 145.
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
И В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Разложить в ряд простейших дробей:
147. ctg(z— а).
150. —1—
148. tgz.
149. -4—
smz
cos z
151.
sin г
152.
COS2rcz
1
е3 —1 ’
153.
154.
еяз
е3—1
155.
156.
я sin (а г)
2 sin (я z) ’
где — я < а <; я.
г sin z . . ...
—------------(см. задачу 140).
sin г — zcos г4
157.
sinh z cos z — cosh zsinz
cosh z cos z — 1
(см. задачу 141).
Разложить в бесконечные произведения:
158.
160.
161.
164.
166.
167.
168.
sin (z — а)
sin а
cos я г—созяго.
sin я г —sin яг0.
cosh z — cos z.
is»,
cos а
162. е3 —е3». 163.
165. sinhz— /sin г.
sin г—z cos г (см. задачу 140).
1 — cosh z cos z (см. задачу 141).
Показать, что
169.
ТТ n(a-\-b-\-n) _
11 (а4-п)(64-п) ~
Доказать, что
Г (а -1-1)Г (64-1)
Г(а4-64-1)
z(l~ 4
п(«4"1)
sin яг
яг(1 —z)
170. Доказать, что
/(4 =
(1«|>1)
есть целая функция и найти коэффициенты сп разложения
этой функции в ряд Маклорена
со
/и- 2 V"-
п=0
171. Доказать, что целая функция
имеет следующее разложение на первоначальные множители
_ -Л- /. , гз \
71=1
п
где гп обозначает последовательность положительных воз-
растающих чисел, являющихся корнями уравнения
О К 3 ~ 2 г»
2 cos-у-/•„ = <?
причем
lim
(2/г — 1) я
= 0.
Черт. 2.
пару два вихря, симметричных
Применить результаты предыдущих задач к решению
нижеследующих гидродинамических задач (172—176).
172. Найти функцию w{z), характеризующую движение
жидкости, происходящее
от наличия бесконечной
цепочки вихрей одной и
той же интенсивности Г
каждый, лежащих на оси
х, причем расстояние
между каждыми двумя
соседними вихрями равно
I и один из вихрей на-
ходится в начале коор-
динат.
Указание. Вихри сле-
дует группировать по-
парно, объединяя в одну
относительно начала коор-
динат.
173. Найти фунцию w(z), характеризующую движение
жидкости, происходящее от наличия двух полубесконечных
цепочек вихрей, причем в верхней цепочке интенсивность
всех вихрей равна Г, в другой же она равна — Г. Расстоя-
ние между соседними вихрями каждой цепочки равно I;
вихри верхней цепочки начинаются с вихря в точке
I , h . . „ I h . ,
вихри нйжнеи—в точке——^-i (черт. 2).
174. Найти скорость и вихря интенсивности Г, вызыва
ющего движение жидкости в полосе, ограниченной двумя
параллельными стенками, отстоящими друг от друга на
расстояние d, если расстояние вихря от одной стенки
равно h.
Указание. Воспользоваться отображениями в стенках.
175. Найти функцию и» (г), определяющую движение
жидкости в сосуде, изображенном на черт. 3, если в дн;
сосуда в его середине проделано весьма малое отверстие,
через которое каждую единицу времени вытекает объем
жидкости Q. г
176. Решить задачу, аналогичную предыдущей, но только
при условии, что отверстие, через которое вытекает жид-
кость, расположено не в дне сосуда, а
в правой его стенке на высоте h над
дном.
Указание. Воспользоваться отобра-
жениями в стенках.
§ 6. РЯДЙ ФУНКЦИЙ
177. Разложить по возрастающим
степеням w тот корень уравнения
та = 2г-}-г2, который обращается в 0
при та = 0.
178. Разложить по убывающим сте-
пеням а тот корень .уравнения zm+‘-j-
4- az — b — 0, который стремится к 0
при а -> оо.
179. Разложить по возрастающим степеням w тот ко-
рень уравнения w = ze~‘, который обращается в 0 при
та = 0.
180. Разложить по возрастающим степеням та тот ко-
рень уравнения та(1— z2) — 2z, который обращается в 0 при
w = 0. Разложить также log z ~2z-j-...
181. Разложить по возрастающим степеням «у тот ко-
рень уравнения та (Z2 — l) — 2(z — а), который обращается в а
при W — 0.
182. Разложить по возрастающим степеням w функцию
е~(2+а), где z есть корень уравнения на = •
183. Разложить по возрастающим степеням •w функцию
z
где z есть тот корень уравнения та==т—т—который об-
ращается в 0 при та = 0.
184. Разложить в ряд по возрастающим степеням эксцен-
триситета е эллиптической орбиты, планеты эксцентриче-
скую аномалию F, связанную со средней аномалией М пла-
неты уравнением Кеплера
Е = Af-j-е sin £.
Найти сумму рядов функций в задачах 185—188:
со .
1R4 V Z
2d (1—гэт) (1— zn+1)’
?(*—!)
2!
z(z—l)(z—2) ,
3! 1
188. 1
z2(z2 —1)(.г2 —4)
312
z2(z2-l2) ... (г2-п2)
’ («4-1)12 т- ••••
189. Найти сумму ряда
2 (<*+”Ю(м + иР—1)(М + ИР—2)- • «+Л
я=О
Указание. В некоторой окрестности точки z~O имеет
место формула
у «>* Г <*“/(*) ?(х)*] ==__/(г)__
tl\ dxn Ж=О 1—W’o'lz) *
п — 0
если z=w<p(z) и функции /(z) и ©(г) регулярны в окрест-
ности z — 0‘ причем © (0)^- 0.
Найти область сходимости следующих рядов функций:
19°- S (1+г)(Т+^:7(Г+л;
1S1 у____________________________________________
[(г + 1Г — 2(z— l)n] [(г —l)n —2(^ + 1)”]*
ш. 2
z(Z-'rri) П”.
11
п-0
со
192- 2
• п — 1
1
1 -j- g2”z2
195. Доказать, что ряды
(а>1).
непродолжимы за круг сходимости.
Указание. Все эти ряды обладают тем свойством, что
при подстаиовке г = С, где а — надлежаще выбранное
рациональное число, ряд по степеням С будет отличаться
от данного ряда только первыми членами. Использовать
еще результат задачи 31 или тот факт, что на круге схо-
димости степенного ряда всегда лежит особая точка.
196. Доказать, что все особенности функции, заданной
при |z] < 1
/(*)= S
_1_______1_______
П2 z___e2r.nV~2i
п = 1
и регулярной в этой области, лежат на окружности \z |= 1,
которая представляет существенную купюру.
Указание. Надо доказать, что ak=e2nk 2г будет особой
точкой ряда, который получится, если переразложить дроби
в окрестности точки га}., где 0<г<1. Для этого разбить
ряд на две части, из которых одна состоит из конечного
числа членов, а другая состоит из члена
и очень
малого по величине остатка.
1____
k2(z — <h)
197. Доказать, что все особенности функции, регуляр-
ной в области Ini z > О,
со со
/<*)= 2 S
Ш = — со п = — ОО
1
(т 4- иг)3
лежат на вещественной оси, которая представляет суще-
ственную купюру.
198. Пусть дан ряд положительных возрастающих чисел
р„, стремящихся к со; pt < р2 < ps <... -> со. Доказать, что
если ряд
Ц J- = 2
П—Л*П и—1
сходится в точке г0, то он сходится во всякой точке
если только Rez>Rez0-
Указание. Воспользоваться необходимым и достаточным
условием сходимости ряда, применив к сумме
т+N
199. Доказать, что ряд
преобразование Абеля:
4- # w-f-2V—1
$п (Рп +1) —1’
т т
к
где 5Д.= V «»•
п~1
оо оо
1=уе-^ (зада-
Рп
ча 198) сходится в области Rez>£> и расходится в об-
ласти Re2'<Z), где D— lim , в частности ряд
»->со log/>„
“ j
С(г) = V определяющий функцию „зета“ Римана,
П
11=1
сходится для Rez>l и расходится для Rez<l.
Указание. При доказательстве расходимости можно вое-
со
пользоваться тем обстоятельством, что ряд п„ с убы-
п = 1
чающими положительными членами только тогда может
сходиться, если пип -> 0 при п со.
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 105
§ 7. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ, специальные функции
200. Показать, что функция t
eli—\
е' — 1
является
произ-
водящей функцией полиномов -q <р„ (г), т. е. разлагается
в ряд
t 1 _ у <р„ (z) tn
г—1 д и!
где ?»(£) — полиномы степени п, называемые бернуллиевыми.
Показать далее, что
и что для целых z
4 Т.«=Г’Ч-2”-‘+... +(г-1)“-'.
Найти производящие функции нижеследующих шести
полиномов:
201. Я„(г) = -е2 d-^e 2, и = 1, 2,..., Я0(г)=1.
9П2 п (г+УГ+^)”+1-(^--/Г+7у+1
2 У Г+^а
Л=:0, 1, 2....
1
~i cos (n arccos z), п—1, 2, 3,...;
ад=1.
л==1’ 2’ 3’-"’
1 dn (znp
205. Ln(z) = ~e^-^±±.. п=1, 2, 3,..., Z0(z)=l.
1 ('у91 "Ьа о—
206. = и=1, 2, 3,...,
L^(z) = 1.
।
203.
I
207. При помощи производящей функции для полиномов
Эрмита Нп (г) доказать справедливость равенств:
Hn'(z) = -Hn_
пНп (z) + zHn^ (z) + Нп 2 (г) = 0; n = 1, 2, 3,... ,
Наа (z) - zHn' (z) + пНп (г) = 0;
СО Z2
J е 2 Hm(z)Hn(z)dz =
— со
0, если тфп
n = 0, 1, 2, 3,...
= У2*
-—; если т — п
п\
208. Пользуясь производящей функцией для полиномов
Лежандра Рп (z), показать, что
1
J P,Az)Pm{z)dz =
—1
0 при пфт
п — 0, 1, 2, 3,...
= 2
-—г—Г при т = п
2п-}-1 1
209. При помощи производящей функции для полиномов
Лагерра (задача 205) показать, что
nLn (г) + (z - 2п+1) £„_t (z)+(п -1) £„_2 (z) = 0;
п = 2, 3,...
zLn"(г)4-(1 -г) £/(г) + nLn (г)-0, п = 0, 1, 2,...
со
J’ e-sLn(z)Lm(z)dz =
О
0 при пфт
= n = 0, 1, 2, . . . .
1 при п — т
210. При помощи производящей функции для обобщен-
ных полиномов Лагерра L{^(z) показать, что
nL^ (г)4- (г-2»-а4- 1) £и_t (г) + (п+а - 1) L^_2 (z) = 0
+ + l-z)L^(z^nL% (г) = 0.
211. Доказать, что
P„(cos6) =
1 - 3 ...(2n —1)
2-4-6...2п
2 cos п 0
1 -2п
2(2n—1)
2 cos (я — 2) 6
1 • 3 • 2п(2п—2)
2 4 (2л —1)(2л— ЗУ
2 cos (и — 4) 6
Указание. Применить производящую функцию и тожде-
ство:
1 — 2 и» cos 0— (1 — we,6)(l — ®ye~ia).
212. Пользуясь разложением:
____1____^0(г) , РДг) , Р2(г) ,
V1 — 2tz ф- г2 t * Z2 “г ‘ ’ • •’
доказать формулу Лапласа:
₽-«=т
и формулу Дирихле-Мелера:
Г cos (л + 4) t
P„(cosO) = — J -Д -А____iJ=dt.
к о V 2(cosZ— cos 6)
Указание. Применить формулу
1 С tn
Рп (cos 0) = —г I ---------- dt,
21zt J /1—2^cosG-H2
в которой интеграл берется по замкнутому контуру, заклю-
чающему в себе обе особые точки подинтегральной функции.
213. Доказать равенство:
PU)=_JL С fr2-1)" dt
2тЛ } 2n(t-zT+r '
гке точка t = z лежит внутри простого замкнутого контура С.
»
214. С помощью результата задачи 213 доказать, что
(1 _ Z2j рп" (г) _ 2г Рп' (га +1) Р„ (г) = 0
(л +1) Р„+1 (г) - (2га 4- 1) zPn (г) + пРп^ (г) = 0
Рп'+1 (г) - zP' (г) = (п + 1) Рп (г);
zPi(z) — Pn-itz) = nP„(z).
215. Исходя из производящей функции для функций
Бесселя Jn(z)
4* 0-у) __ у tnj (-)
—ОО
1 Г _п_1 2г(М~^) ,
показать, что J„ (z) = I и. & du, где
' a
коитур С обходит в положительном направлении начало
координат.
Отсюда получить разложения:
... V <-1)"
“ I ' т 1 (т -|- л)! \ 2 /
^Sint = 2 Jn (x) einn
М — со
ОО
cos (х sin т) — Jo (х) + 2 Лп (%) cos 2” т •
п = 1
ОО
sin (х sin т)=2 J2n +, (х) sin (2га -|- 1) т.
п =S о I
216. Если/(г) = anzn и <р (г) = У, bnzn регулярны
в круге [ z | < Р, то при г<А? справедливо равенство
i «A+Z + 2fc=2^/ f^^zjz^dz.
J —|г| = г
Пользуясь этим замечанием, доказать равенство:
2 it
О
cos (х sin 0 — п 0) d 0.
о
217. Функцию Бесселя Jn(z) можно представить в виде
интеграла:
Я8
£ It I f
С
где С — контур, охватывающий в положительном направле-
нии отрицательную полуось.
Исходя из этого интегрального представления, пока-
зать, что
п
Z
справедливы равенства:
Доказать, что
218. Jn{z) =
8 = 0
(-l)sz”+2s
2и + 288!Г(п4-$-|-1) *
219- 4+,+1(г)“ ~9;rfv-Ln I •<Il(*sine)sin,‘+1ecos8v-*1t
о
Rep. >— 1, Rev>— 1.
220. Г = —--------------
• ' г I/ it »т ,
0 (*2+У2)
v > —— ; х > 0; Re у > 0.-»
221. J e~yt4^fl + ldt^-~-rie'T>i-:
v> — 1; х>0, Re_y>0.
222. Функции Ганкеля Н^} (z) и И® (z) определяются
равенствами:
нт^{г}+1уЛг}=^^2^к,
» k ' 1 1 V / I Sin yjt
Я<2)(г) = /Дг)—/Г./г)
Л,(-г)-^ЧДг)
— i sin vit
Для этих функций существуют интегральные предста-
вления:
При этом путь интегрирования Сг охватывает в положи-
тельном направлении вертикальную полупрямую из точки
/=1 вверх, а контур С2 охватывает в отрицательном на-
правлении полупрямую, идущую вертикально вверх из
точки t — —1. В первом интеграле считается, что аргумент
t1—1 равен нулю при t—1-fe, е>0. Во втором считается,
что аргумент —1 равен л при t=—1Ц-е» е>0.
Исходя из сказанного, доказать при х>0 формулы:
V г2—1
ВД=_2.
«J VР—1
Доказать справедливость формул:
z
2
+i
z dt,
223. Z/z) =
1
2
Re
ds,
0.
При этом
z
2
s=o
функция Бесселя от мнимого аргумента.
04-coi . / X V' + 2s
224. Л(х) = о— :
2ttl С — аЯ
v > 0, х > 0, с
При этом путь интегрирования — вертикальная прямая
о J4(xt)f+ dt
о (й24-/2)
Указание. Выразить величину ------------— определен-
(«2 4-^2) 2
ным интегралом с помощью формулы:
1 — 1 Т ё~аххе ~^dx
а-“Г(5)/е
и переменить порядок интегрирования. См. также за-
дачу 221.
226. Ko(z) = f db largz|<~,
О
где Ко (г) = ~ Н™ (iz).
227. Ко (х) — [ c°S.*^= clu — С cos (x sh t) dt, x > 0.
J V «24-I J
228. I™ (x)
exx~4 dn(e~a!'xn+',j
111 dxn
_ Г(п4-*4-1) 1 Г /. x \n e*dz '
~ n! ' 2vi J \ z j g4 +1 ’
При этом контур С охватывает в положительном на-
правлении отрицательную Часть вещественной оси.
Указание. Использовать интеграл Ганкеля:
1 1 Г « -т .
•нтт = -п—г I е и du.
Г (т) 2 тг i J
с
229’ r(n4-v4-i) LnW —
п С>п—1с( .уП — k I V \
_ V 2. (— 1)_____ zW/Al
.(г — h — £!Г(п4-у —Л4-1) »\2/
230.
e~wJ^iV xw )
(г У xw)'
( 1) (х) wn
r(n4-v+l)b>‘ w ’
Указание. См. задачи 228 и 217.
_Д оо
ж 2 f .1
231. Z.£’(x) = —— J J, (2 V~xi) е~*t 2‘dt’ v > ~ L
n • Hi 0
Указание. См. задачи 221 и 94.
232. Показать, что при Re s > 1 функция Римана С (s),
1
определяемая суммой ряда V
может быть предста-
влена равенством:
Xs ' dx
ех—\ '
233. Показать, что функция Римана C(s) может быть
представлена в виде интеграла, имеющего смысл при вся-
ких s, равенством:
C(s) =
(— z)8 ldz
ё^~1
При этом контур интегрирования обходит в положи-
тельном направлении положительную вещественную по-
луось.
234. Доказать, что функция C(s) удовлетворяет уравне-
нию :
C(l-s) = -^r(s)cos^C(s),
которое может быть переписано и в такой форме:
2 Г ( f) С (s) = *~8«г ( Цг) (1 “ s)*
Гюнтер и Кузьмин, ч. Щ
8
2341с*. Доказав равенства:
1 I Y(S)dS.
е “2кг J ’
в— €а»
а>0, Rex>0,
сю
«4-ОО< _ в, / с \
1 С * 2г
- я я’® 1 / _______\ z /_____ а > 1
2к4а-сог п 4
2х2
вывести из них, что для функции $(х) справедлива фор-
мула
2<p(v)+1= V^[2<H*)+ 1].
\ л /
§ 8. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
235.
ЦИЙ
236.
Представить ^(2н) в виде линейной суммы функ-
Доказать, что
где
2g(z4-<i)i)g(z+m2)g(z — <»i —<ой)
— a2(z) a ((Oj a (a>2) a (o^ Ц- a>2) ’
6a(z-{-d) a(z — d) a (z c) a (z— c)
Z’ “ cH-)°2(«)°2(c) ’ :
237. Доказать,
a (2«)
ЧТО -r—
есть эллиптическая функция
и найти ее выражение через ^(и).
238. Доказать, что
f^)2=„2 ]J
»<£ w»2 = О
(mj и m2 не равны одновременно нулю).
239. Выразить ,,,1 через функцию С (и).
г (2г0 — 5 W
240. Доказать, что
Ц_ ю % z, 4- (е' —
+«Ч) - et + р(г)--—•
F(z) %>'(z 4- «j) p(z 4- <о2) p(z 4- “i 4- “2)=g/—2 W-
241. Доказать, что
№>-т
<<2г)=4?В'+2«г)-
242. Показать, что если инвариант ^2 = 0 и а— -—g-rt
, • Кз
± I -g-, то
Р («») = « Р (и), (я2 и) == а2 f? (и),
&' (и) = Р' («») = V' («2«);
С (И) = а с (а И) = аЧ (а2 и),
а (и) = а2 а (а и) = а а (а2 и).
243. Показать, что если g2 — — 20, gs = — 40, $>(и) = 5,
то р (2к) = 0, р (3«) = — (4и) = А
244. Является ли функция е^(г) эллиптической?
Вычислить следующие интегралы:
245. f 246. f 247. f .
ш f№)-ml1 249 f б4>Т г‘ ’_0
М8' J е^)=№Г J гм-г«>г где
и
о
251. Показать, что общим решением уравнения
d2w 3 й, .
является
252. Проверить, что функция
ф = ° (Ы~РЙ) U <. (а)
с (U) а (а)
удовлетворяет уравнению типа Лямэ:
о!2Ф
= Ф.
253. Проверить, что функция
__ с(Н-|~о)а(ц4~^) - и к.(а) +I (Z>)]
а2 (и) а (а) а (£)
удовлетворяет уравнению типа Лямэ:
^2Ф
~ = [6 Р (к)+3 Р (а) + 3 р (6)] Ф,
если р' (а) = — р' (Ь), р (а) ф р (6).
Обратить следующие интегралы:
ОО Я
с dz Г dz.
254. и = I лг233- tt== I --------- с,~;
J ]/4z3—g3 J у l—zb •
z О
z
r dz
256- U = J )/ 1 —-Г*
f dz
257. Выразить J—J и переменное z через
функции р и С.
258. Обратить в якобиевских функциях интеграл
259. Если быстро вращать однородную нить около пря-
мой, соединяющей ее концы, то каждый элемент нити будет
отталкиваться от оси вращения силой, пропорциональной
его расстоянию до оси. Если пренебречь силой тяжести, то
дифференциальные уравнения относительного равновесия
нити имеют вид где
есть натяжение нити, ц — постоянная. Найти форму кривой.
Указание. Из первого уравнения находим Т—^=А\ по-
c. 2Л
лагаем а2 = —, тогда второе уравнение дает после исклю-
„ 1 /\ 1 / У । У2 &
чения Т и интегрирования I/ 1 + I I
260. Дифференциальное уравнение движения математи-
ческого маятника длины I имеет вид
\2 / & \
= 2gh-4glsiTfi^,
где h — положительная постоянная, а 0 — угол откло-
нения стержня маятника от вертикали. Выразить у —
= sin ~ 6 в зависимости от t при помощи эллиптических
функций Якоби.
261. Дифференциальное уравнение движения сфериче-
(dz \а
-jT I = 2g(z— a) (z —
— b) (z — с), где постоянные a, b и с вещественны, a < b <^c
Решить уравнение в эллиптических функциях Якоби.
262. Дифференциальное уравнение движения маятника
центробежного весового регулятора, т. е. тяжелой точки,
двигающейся по окружности радиуса /, вращающейся с угло-
вой скоростью <о около вертикальной оси, проходящей через
центр круга,—имеет вид
d&\3 е-
) =24-COS я) — а>2 cos2& 4* У-
at I I
Здесь 0 — угол отклонения маятника от вертикали, на-
правленной вниз, а ц — постоянная. Выразить 6 через t при
помощи функции Вейерштрасса, предполагая р. = 0.
263. Уравнения движения твердого тела, вращающегося
по инерции, могут быть приведены к виду
Лр24-Д^2_|_сг2 = £)и2,
42р2 4- £2^2 С2/2 = D2 р2,
£§+(Д —С)г/^О,
dt 1 4 УЙН9ЖКТЕН dTOS
где p(t), q(t) и r(t) — проекции угловой скорости вращения
тела на главные оси инерции; А, В и С—главные моменты
инерции, являющиеся постоянными, также как D и р. Опре-
делить p{t), q(t) и r(t) через якобиевы функции, считая
А>В> D>C>0.
Указание. Выразить р и г через q.
264. Дифференциальное уравнение оси тонкого упругого
стержня, первоначально прямолинейного, а потом согнутого
двумя взаимно противоположными силами и двумя парами
сил, приложенными к его концам, имеет вид
р с2
где р — радиус кривизны кривой, с — постоянная. Выразить
х и у в функции дуги s эллиптическими фунциями Якоби.
Примечание. Это же уравнение встречается в теории
капиллярности и в теории дирижаблестроения.
Указание. Если 0 — угол касательной к кривой с осью л,
/й&\2 2
то I — ) = — (cos 8 -ф р), где р— постоянная интегрирования.
\ as у с
265. В прямоугольнике с вершинами 0, в>1} <в2,
^где «1>0, у >о) находится в точке а-\-Ы единственный
вихрь интенсивности Г. Найти движение жидкости, им вы-
зываемое, и траекторию вихря.
266. Пусть дана кривая третьего порядка
У2 = 4%з —g2x—g3; (*)
показать, что ее можно представить параметрически в сле-
дующем виде
х = Ки, g3), у = р'(и, g& gs),
причем каждой точке кривой будет отвечать в параллело-
грамме периодов одно и только одно значение и.
Доказать, что необходимое и достаточное условие того,
чтобы три точки М1г ТИ2, 2И3, которым отвечают значения
параметра ulf и2, и3) лежали на одной прямой, состоит
в том, чтобы сумма «Н-и2 + уз была периодом
f -J- и2-\-иа — 2/?^ <в2-
267. Показать, что из всякой точки М кривой (*) можно
провести к этой кривой четыре касательных, помимо той,
которая касается кривой в точке ЛТ. Найти параметры и1,
«2, «3, uit отвечающие точкам касания, если точке М отве-
чает значение параметра v.
268. Проведем в точке М, которой отвечает значение
параметра и, касательную к кривой (*), и пусть эта каса-
тельная пересечет кривую в точке N. Найдя абсциссу X
точки N через элементы кривой в точке Л4, вывести
формулу 1 rrw?
269. Показать, что кривая (*) имеет девять точек пере-
гиба. Найти значения параметра, отвечающие этим точкам,
и показать, что эти точки расположены по три на двенад-
цати прямых.
§ 9. КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
270. Какие кривые описываются точкой z плоскости
комплексного переменного, когда параметр t пробегает все-
возможные вещественные значения, если а, b и <о веще-
ственны и
1° z = ае“+~ е~11, 2° z = at+beM,
3 z — e (a it), 4 z j
271. Какие линии или области в плоскости комплексного
переменного определяются следующими условиями:
1 *
1° Im — —2;
z
z—i
-—1^2;
3'
4° 0 < arc
5'
2z
1.
272. Показать, что все корни уравнения
(z — a)” — kn(z — р)" = 0
лежат на одной и той же окружности.
Найти линии равного потенциала скорости <р = const,
линии тока ф = const и направление движения по ним, зная
характеристическую функцию движения ®(г) = ©(х,_р)-г
соответственно указанную в каждой из задач
273—278.
273. 70 = ^. 274.70=—. 275. 70= Д.
z 2?
276. w — log ?; какая область ограничена линиями тока
Ф = о и 4'=тс?
277. 70 = log ----.
ь z — р
Указание. Удобно принять z— a = r1e»ai, z—p = r2eia«.
278. 70 = ilog-—
& z— p
279. Точка <w — — называется отображением точки z
в окружности радиуса а с центром в начале координат.
Найти отображение в этой же окружности полуплоскости
Re z > 2a.
280. Пусть zx — отображение z в окружности k. Если 70,,
70 и К— изображение элементов zn z и k на плоскости
70 = д д, то показать, что wx есть отображение на
в окружности К.
281. Найти условия, которым удовлетворяют коэффи-
циенты а, Ь, с и а, когда 70 =—преобразует круг
| z | < 1 в верхнюю полуплоскость.
282. На какую область преобразуется круг | z | < 1
функцией
на —a (nz — zn),
где а > 0, а п > 1 —целое число? Вычислить величину пло-
щади этой области.
/ z \п
283. Функция 70=11-|-----) преобразует в верхнюю
полуплоскость область G„. Найти G = lim G„ и показать
# 2?->СО
что ег преобразует G в верхнюю полуплоскость.
Плоское электростатическое поле при отсутствии непре-
рывно распределенных зарядов характеризуется аналитиче-
ской функцией 70(г) = ср(л', У)-НФ(л, у), причем проекции
электрической силы Ех и Еу на оси координат определя-
„ -с. .dzo
ются равенством Ex — iEy — i-^--, уравнение силовых линии
есть = const, уравнение эквипотенциальных линий <|>==
= const. Внутри и на границе проводника С потенциал Ф
должен быть постоянным; плотность электричества о в ка-
ком-либо месте этого проводника определяется формулой
Iе
G— ---
4тг
dw
dz
284. Показать, что функция w — 2iq\og~ определяет
электростатическое поле вне кругового цилиндра I £ | — го,
происходящее от равномерного распределения на этом
цилиндре заряда q. Найти силовые и эквипотенциальные
линии.
285. Найти электростатическое поле вне параболы у® —
— 4a(x-t~a), в котором одной из эквипотенциальных линий
служит эта парабола. Найти силовые и эквипотенциальные
линии.
Указание. Координаты точек параболы могут быть выра-
р2—4аа„
жены параметрически в виде у=Р, х = -——.Естественно
поэтому попытаться рассмотреть электростатическое поле,
—4аа
определяемое функцией z =—в котором дан-
ная парабола является эквипотенциальной линией.
286. Найти электростатическое поле вне эллипса х =
= acosp; у = b sin р, в котором одной из эквипотенциаль-
ных линий служит этот эллипс. Найти силовые и эквипо
тенциальные линии.
287. Что отвечает при конформном преобразовании w —
— £ + где z — re®, линиям г—с и 0 = а и областям
Z
7Г
1) г>с, 2) а<0<я — а, если
288. Доказать, что w — cos z преобразует полуполосу
О < х < л, у > О на полуплоскость v < 0.
289. На что преобразуется верхняя полуплоскость z
функцией w, если cos w = cosh a cos z и z = -g- отвечает
«|=-|(а>0)?
290. Доказать, что функция w = arctg z преобразует
| z | < 1 на полосу, ограниченную прямыми, параллельными
мнимой оси, и определить ширину этой полосы.
Найти функцию w(z), совершающую конформное пре-
образование:
291. круга | z | < 1 в себя так, чтобы точкам z — —1, i,
1 соответствовали точки —1, —^7 1;
5 1 ЧП
292. круга | z | < 1 на полуплоскость 1ш ® > 0 так, чтобы
точкам z=l, i, — 1 соответствовали точки w =—1, 0, 1;
293. области, заключенной между двумя окружностями,
пересекающимися в точках z = a и z = b под углом тах, на
полуплоскость Im w > 0 так, чтобы z — а переходила
в w = 0, a z — b В ® = оо;
294. полукруга | z | < I, Imz>0 на полуплоскость
Im и» > 0 так, чтобы точкам г —0, 1, — 1 отвечали точки
w = 0, 1, — 1;
295. квадранта 0 arc z на круг | w | < 1 так, чтобы
точкам z—l-\-i, 0 отвечали точки ® = 0, 1;
296. плоскости z с разрезом вдоль всей действительной
положительной полуоси на круг
297. плоскости z с прямолинейными разрезами rz-> оо
и Ь->— оо, где а и b вещественны и а > Ь, на полуплос-
кость Im w > 0;
298. плоскости z с прямолинейным разрезом а < z < b,
на Im w > 0;
299. круга | z j < 1 с вырезом по вещественной положи
тельной оси 0 < z < 1 на полуплоскость Im w > 0;
300. полосы 0 < Re z < а на полуплоскость Im w > 0;
301. области — п|>«, \z — b | <b, где 0 < а < Ь, на
полосу 0 < Im w < л;
302. области 0 < а < | z | < Ь, 0 < arc z < п на прямо-
угольник.
303. На что преобразует круг функция
Л (14-z’f <
w = I - /—dz,
J (1 — z")~+x
где п—целое и X вещественное 0 ssXssl? Отметить случай
X —0. При каких п и X получится изображение внутренности
пятиконечной звезды на внутренность круга?
Найти функцию w (г), совершающую конформное пре-
образование:
304. круга | z ] < 1 на внешность правильного много-
угольника в п сторон.
305. полуплоскости Im z > 0 на равносторонний треуголь-
ник так, чтобы вершины треугольника соответствовали
точкам z = 0, 1, оо;
306. внутренней части параболы у2 = 4с2(х— с2) на полу-
плоскость Im w > 0;
307. внутренней, части правой ветви гиперболы cos2a —
v2
— 4 sin2^" * НЯ ПОЛУПЛОСКОСТЬ ® >0;
308. внутренней части эллипса
х2 . у2 _ -
7 , 1 \2^ [ 1 \2
I сЧ---I с--------
\ 'с / \ с /
на полуплоскость Ira w > 0;
у*
309. внутренности эллипса у — 1 с разрезом, иду-
щим от фокуса z= — 1 к фокусу z= 1 на внутренность
кругового кольца 1 < | w | < А; определить А.
Плоская задача теплопроводности при установившемся
течении тепла внутри однородного тела характеризуется
аналитической функцией ®>(z) = <p (х, у) + ^(х, у), где
$ (х, у) — температура; уравнение линий течения тепла
«Р = const, уравнение изотермических линий 4> = const.
Решить плоскую задачу теплопроводности, т. е. найти
функцию w (z) и температуру ф, в задачах 310 — 314.
310. Для области 0 < 0 < •*, г > « при граничных усло-
виях ^(г, 0) = (г, тг) = О, ф(п, 6) = 1. Найти изотермиче-
ские линии.
Указание. Данную область надо конформно отобразить
на полосу 0 < Im w < 1 надлежащим образом.
311. Для сектора круга О<0<а, 0<г<а при гранич-
ных условиях ^(г, 0) = 4>(г, а)=^0, 0) = 1.
312. Для полубесконечной полосы 0 < х < л, у>0 при
граничных условиях <Ь(0, у) = ф — ^(х, 0) — 1. Найти
изотермические линии и линии течения тепла.
Указание. Молено воспользоваться результатом за-
дачи 288. й ЧП 1
313. Для прямоугольника —п<х<п, 0<у</>, если
границы х — —а, х — а, у = 0 поддерживаются при темпе-
ратуре '}==С, а граница у = Ь при температуре 6=1.
314. Для области
|z|>l,
5
< заключенной
между двумя окруж-
ностями, если внут-
ренняя граница под-
держивается при
температуре 6 = 0, а
наружная при тем-
пературе = 100.
316. Полубеско-
а А вечная пластина DE,
ЧеРт- 4- заряженная до по-
тенциала V, нахо-
дится на расстоянии b от бесконечной пластины АОВ,
имеющей потенциал 0 (черт. 4). Найти функцию w(z), опре-
деляющую электростати-
ческое поле.
Указание. В плоскости
w рассматриваемой обла-
сти AOBCDEA отвечает
полоса 0 < 6 < V, кото-
рую можно преобразо-
вать сначала в полуплос-
кость, а потом по фор-
муле Кристофеля-Швар-
ца — в рассматриваемую
область.
316. Найти электро-
статическое поле между
двумя проводниками ука-
занной на черт. 5 формы, заряженными до потенциалов V
и — V.
Указание. Очевидно, что вдоль оси х-ов потенциал
6 = 0, следовательно, достаточно рассмотреть поле между
осью х и верхним контуром.
317. Две полубесконечные пластины А'А и В'В, заря-
женные первая до потенциала— V, вторая до потенциала V,
сближены так, что расстояние АВ = 2Ь (черт. 6). Найти
функцию ^(г), определяющую электростатическое поле.
318. Найти электростатическое поле вне квадратного
цилиндра — п < х < а, — а<у <а, на котором расположен
заряд q.
Черт. о.
Указание. Если на контуре С находится заряд q и если
внешность контура „С отображается на внешность круга
|С|=1 аналитической функцией
и . п
z = at C-J-OoH——Ьда—Ь
то электростатическое поле вне С характеризуется функцией
n- 1 WO
w = 2‘?,R4fe'
где — некоторая постоян-
ная (см. задачу 284).
319. Поток жидкости
движется параллельно оси х
со скоростью 1, затем на-
талкивается на цилиндр
| z | =h и обтекает его сим-
метричным и непрерывным
образом (черт. 7). Найти
функцию w(z), характери-
зующую движение жид-
кости. Найти также зави-
симость скорости V частиц жидкости, прилегающих к ци-
линдру, от угла 6, характеризующего положение частицы.
Указание. По симметрии достаточно рассмотреть область
течения жидкости, лежащую выше оси х. В плоскости w
этой области отвечает область Im -w > 0.
320. Найти функцию w(z), характеризующую симметрич-
ное непрерывное обтекание эллиптического цилиндра с осями
а и Ь, расположенными по осям х и у, потоком жидкости,
имеющим на бесконечности скорость 1, направленную
параллельно оси х.
Указание. Воспользоваться результатами предыдущей
задачи и задачи 287.
321. Найти функцию w (z), характеризующую симметрич-
ное непрерывное обтекание прямолинейного контура
длины 2а, расположенного по мнимой оси симметрично
относительно вещественной оси. Чему равна скорость
в концах этого отрезка?
322. Найти функцию ту (г), характеризующую движение
жидкости, вызываемое перемещением в направлении оси Оу
с постоянной скоростью v=1 прямолинейного контура С
длины 2а, расположенного по вещественной осн симме-
трично относительно начала координат (на бесконечности
жидкость покоится). /
Найти далее распределение скорости вдоль контура С,
а также распределение вихрей вдоль этого контура.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей
задачи. Если в точке Ж контура С имеем lim a(x,e)=«j(x)
и lim и (х, — е) — и2 (х), где е > 0, то циркуляция скорости по
е->0
контуру, охватывающему бесконечно малый элемент кон-
тура dx, будет равна (а2—u^dx\ эту величину можно на-
звать интенсивностью вихрей dV, находящихся на эле-
менте dx.
323. Показать, что функция
i \ ( । 1 Г* , z
®(2)='c(z+-f)+2SI°S-r
характеризует обтекание круга ] z | = 7? потоком, параллель-
ным на бесконечности оси х и имеющим там скорость с.
Найти циркуляцию скорости по кругу |z| = 7?, а также
критические точки движения, т. е. такие точки, в которых
скорость жидкости равна 0.
324. Найти функцию ®(г), характеризующую обтекание
прямолинейного отрезка длины 2а, расположенного по мни-
мой оси симметрично относительно вещественной оси, не-
прерывным потоком жидкости, имеющим на бесконечности
скорость, равную по величине 1 и направленную парал-
лельно оси х. При этом в нижнем конце отрезка поток
должен иметь конечную скорость.
325. Найти функцию ®(г), характеризующую обтекание
непрерывным потоком, имеющим на бесконечности напра-
КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
127
вление, параллельное оси х, и скорость равную по вели-
чине 1, дуги круга АВС, опирающейся на хорду АОС
длины 2а. В концах дуги А и С касательные к дуге соста-
вляют с хордой
углы а (черт. 8). При
этом нужно удовле-
творить условию,
чтобы скорость по-
тока в точках А и
С была конечной.
Указание. Пре-
х z — а
образование -37-
Черт. 8.
переводит область вне дуги АВС в плоскость, надрезанную
по лучу, исходящему из начала координат.
Указание к задачам 324 и 325. Если область плоскости z
вне контура С конформно отображается на область плос-
кости С, лежащую вне круга |С| — R, аналитической функцией
а_
Z — йд-j--
то функция (см. задачу 323)
й-2
С2
, Г , С(г)
^2Л'°еТГ
характеризует обтекание контура С потоком, параллельным
У . на бесконечности оси хиимею-
rI А щим там скорость с, причем
<777777777777777777777,
Черт. У.
циркуляция по контуру С
равна Г. Если контур С имеет
выступающие углы, то ско-
рость в них обращается в бес-
конечность, но надлежащим
подбором циркуляции Г можно
добиться конечности скорости
в одном выступающем угле.
326. Струя ширины b
жется со скоростью Vo парал-
лельно оси у, потом наталкивается на ось х и идет наконец
, ox , dw
параллельно оси х (черт. 9). Определить функцию -j-, ха-
* &,Z
растеризующую движение и уравнение границы АВС.
Известно, что на линии тока АВС, являющейся границей
струи, скорость течения
dw
dz
должна быть постоянной и
в данном случае должна равняться Уо.
Указание. Ввести но-
0\ А
и777/7777?77-~--77/777777777
покой ; покой
С ’ В
Черт. 10.
вую функцию =
— - „ —% и показать,
что области движения
X жидкости ОуАВСхО отве-
чает в плоскостиС = ре*
область —7 < а < 0, р >
. 1 D 2
> vy-. В плоскости же w
Vo
этим областям отвечает
область 0 < ф < Vo6. По-
этому можно установить
зависимость между Сида.
327. Струя вытекает из полубесконечного пространства,
лежащего выше оси х через отверстие ОА. В очень уда-
ленной части струи ВС ско-
рость течения равна 1, тол-
щина струи равна те. Найти
функцию г (да), характеризую-
щую движение, уравнение ли-
нии АВ и ширину щели ОА
(черт. 10).
Указание. Области тече-
ния жидкости отвечает в пло-
скости С область — те < а < 0,
р > 1, в плоскости же да
область 0 < Ф < те.
328. Жидкость движется
параллельно оси у со ско- Черт. 11.
ростью 1, наталкивается на
прямолинейную пластинку СОЛ длины / = 4-}-те, поставлен-
ную перпендикулярно потоку, и обтекает ее, образуя две
струи, границами которых являются АВ и CD (черт. И).
Найти функцию \z (да), характеризующую движение и урав-
нение линии АВ.
Указание. По симметрии достаточно рассмотреть только
область х 0; этой области отвечает в плоскости С область
— “-< °< 0, Р > 1, в плоскости w область 4» > 0.
329. По положительной вещественной оси расположена
стенка. В точке ре13 находится вихрь интенсивности Г.
Найти функцию w(z), характеризующую вызываемое вих-
рем движение, а также траекторию вихря.
Указание. Можно воспользоваться тем, что, отображая
движение в вещественной оси, получим риманову двулист-
ную поверхность, на которой будут находиться два вихря.
§ 10. ПРИНЦИП МАКСИМУМА МОДУЛЯ
330. Показать, исходя из интеграла Коши для {/(г))“ при
любом п, что если функция f(z) регулярна в замкнутой
односвязной области, ограниченной аналитическим конту-
ром С и если на контуре С |/(г)|</И, то во всякой точке
области |/(2!) | < М.
331. Показать, что если /(г) регулярна в круге I z | < R,
отлична от постоянной и
2 л:
!<?) = f |/(^/0)|2й0,
О
то /(г) есть возрастающая функция от г в промежутке
0gsr<7?.
ОО
332. Показать, что если f(z) = anzn ограничена по мо-
п = о
со
дулю числом М в своем круге сходимости | z] < 1, то V | а„[2
п = о
сходится и не превосходит 7W2.
333. Показать, что если /(g) регулярна в круге \z \ < R,
отлична от постоянной и
2 л
/(0 = f \f(re*)\db
О
то /(г) есть возрастающая функция от г в промежутке
Гюнтер и Кузьмин, ч. Ill „
Указание. Рассмотреть функцию
2.
F^=f !
О
334. Показать,, что если f(z) есть регулярная и ограни- ,
ченная в круге | z | < 1 функция и если
lim — 0
равномерно в секторе где « < ₽, то f(z) тожде-
ственно равна нулю.
Указание. Рассмотреть функцию f (г) / (<»г) f (ш2 z) . . .
2гЛ
/(<ои-1г),где <й = е ", при достаточно большом целом п.
335. Пусть f(z) есть полином степени п и пусть в интер-
вале— имеет место неравенство |/(г)|^Л/. По-
казать, что для любого z имеет место неравенство
\f(z)\^M(a + bT,
где а и b полуоси эллипса, проходящего через z и имею-
щего фокусами точки -f-1 и — 1.
Указание. Положив z —
, применить теорему
о максимуме модуля к функции £ /I——I.
336. Показать, что если в круге |z|<l функция f{z}
регулярна и удовлетворяет неравенству lf(z)[^M и если
известно, что /(«) = 0, где |«| < 1, то во всем круге |z| < 1
имеет место неравенство
Z — а
1 — az
Указание. Применить теорему о максимуме модуля к
, . 1 —az
функции /(г) •
337. Показать, что если в круге ' z | < 1 функция/С?)
регулярна, |/(z) | < 1, /(0) = 0, и если /(2) регулярна в точке
2=1, причем /(1) = 1, то /'(1) вещественно и /'(1)^1.
Указание. Использовать лемму Шварца, из которой сле-
дует, что в рассматриваемом случае \f (z) I < | z | при | z | < 1.
338. Показать, что если в круге ] z | < 1 функция /(z) ре-
гулярна, /(0) ф 0, |/(г) | < М и если f(z} обращается в этом
круге в пуль в точках zlt z2, z3... (нуль Л-ой кратности
считается при этом k раз), то ряд
(l-l21|) + (l-|z2|) + (l-|z8'
дающий сумму расстояний корней f(z) до окружности
|z| = l, сходится.
''казание. Применяя принцип модуля, доказать формул
Z— Zi Z — z2 z — zn
1 — Z{Z 1 — 22Z 1 znz
перейти к пределу n -> оо и положить затем z = 0.
339. Показать, что если в круге | z \ < 1 функция f{z) регу-
лярна, Re/(z)>0 и/(0)>0, то на круге |z| = r, 0<г<1
имеют место неравенства
1 — г 1 —I— г 9 г
Re/(z^/(0)i±i, | Im J (z) | ,
1 -р r X — Г
причем знак равенства в какой-либо из этих формул мо
жет иметь место только для
где ®»о > 0 и а —• вещественные постоянные.
Указание. При помощи функции F(ro), переводящей
полуплоскость Rero>0 в круг |F(w)l< 1, найти функцию
F(/(z)) регулярную в круге |z| < 1 и удовлетворяющую
в этом круге условиям g(0) = 0, |g-(z)| <1; применить за-
тем лемму Шварца, по которой |g"(z)|^|z|, причем знак ра-
венства имеет место только для функции^(г) = ге4“,гдеа—
вещественная постоянная.
340. Показать, что если в круге |z|<l /(г) регулярна,
\Ref(z)\< 1, /(0) = 0, то на круге |г| = г, 0<г<1 имеют
место неравенства
4
| Re/(z) ] — arctg г
К
]Im/(z)|^-|-logl-±-£,
причем знак равенства может иметь место только для
/(г) = Л logl+£_J2
где а вещественно.
Указание. См. указание к задаче 339.
341. Показать, что если функции /0(z), /j(z)..., fn (z),...
регулярны в круге |z|< 1, не имеют в этом круге корней
и по модулю не превосходят 1 и если lim/„(0) = 0, то во всем
П->СО
круге |z] <1 будет lim/„(z) = 0 равномерно во всяком
7г->оо
круге | z | < г, где г < 1.
Указание. Один из способдв доказательства — использо-
вать формулу Пуассона для log|/„(z)|.
§ 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ
ОБЛАСТИ
Проинтегрировать при помощи рядов уравнения в ниже-
следующих задачах, найдя общий интеграл:
342. у'" + тх^у = 0, у (0) = А, у' (0) = В, у" (0) = 2С.
343. ху" -\-2у' ху = 0.
344. лУ' + х2Ву + [₽ (1 — ₽) + 8 (1 — ₽) х] у = 0,
2₽У=1, 0, —1, — 2,...
345. (1—х2)у" — 2xy'-J-n(«-j- 1)_у = 0, где 2п не целое
число. Найти разложения интегралов в области нуля и бес-
конечности.
346. ху'+У+у = о.
347. =
348. х(1 —x2)y'-f-(l —Зх2)У — ху — 0.
349. Показать, что уравнение
х(х- 1)У'$Ь [(а + 2) х-а - 1 ]у + <2-^1у = 0,
где а—постоянное, имеет два частных решения в виде
ух = <р(а, х) и у2 = х~п <?( — а, х), где у (а, х) есть ряд, рас-
положенный по целым степеням х и при х=0 обращаю-
щийся в 1. Рассмотреть случай а — 0.
350. Построить интегралы предыдущей задачи, когда
а = 0, в области точки 1.
351. Построить интегралы предыдущего уравнения в .
области точки со.
352. Найти регулярный в области начала координат
интеграл уравнения
4х'-у'" — (1 — 14х—л2)У' (4 4х)у' 4~ 2у = 0.
Указание. Воспользоваться функциональным уравнением
цля функций Бесселя.
353. Найти условие, которому должно удовлетворять
число k, чтобы существовал регулярный в области начала
координат интеграл уравнения
2x2/ — (26 — 5х4-2хЗ)У4-(1 — 4х)у = 0, k4= 0.
Построить этот интеграл.
Указание. См. указание к предыдущей задаче.
354. При помощи преобразования Лапласа проинтегри-
ровать уравнение
ху"~\-ау'— q2xy = 0, a>Q.
355. Доказать, что при 0 < а < 2 общий интеграл пре-
дыдущего уравнения может быть представлен в форме
It
у = у*e^^Asin0-1 Ф4-ВХ1-0 sinl-o<p)rf<p
б
и при а= 1
— It
у = f (А 4- S log (х sin2 ?)]</<?.
О
Проинтегрировать при помощи преобразования Лапласа
уравнения:
356. ху" 4- (2/г 4-1)./ + лу = 0.
357. ху" — (а 4- [') (1 + X) у'4-а₽ ху = 0.
358. При помощи преобразования
/У
cos 4^ W(t)dt
найти два частных интеграла уравнения ху"’ —у — 0.
359. При помощи преобразования
У*sin х/V (/) <# и У*cos xt W(f) dt
найти два частных решения системы
| xy'-^-z'-^~у = 0, —1<1тх<1;
| y'—xz’--~z = 0.
360. Доказать, что интеграл уравнения Лежандра
(1 — х^)у" — 2xy'-j-n (п -{-1) J = °
может быть представлен в виде
г! _”+1 _2±?z z Х2
хп t 2 (1—0 2 (1—^2) <#, «>0
О
361. Пусть Ф(х, 0 = tx) дока-
зать, что интегралы:
1 со
1° j‘ Ф(х,/)^,р>О,т>Р; г^Ф^О^, ₽>0,«+1 >Ъ
О о
1
со ас
3° f Ф (X, t) dt, a + 1 > у > ₽; 4°у'ф (л, t) dt, ₽ > 0, a < 1;
5°уФ(х, t)dt, у>р, а<1; 6°/‘ Ф (x,t)dt, а Ц- 1 > Т, 1— a >0
1 J
a?
будут решениями гипергеометрического уравнения
х (1 + (т—(а+₽+0^] а? J'=°-
Указание. Сделать подстановку у — j (1 — Zx)~a V (/) dt.
ОТДЕЛ ПЯТНАДЦАТЫЙ
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ВВЕДЕНИЕ
Отдел разделяется на 6 параграфов. § 1 — составление
дифференциальных уравнений — введен с двоякой целью:
с одной стороны, чтобы дать учащимся достаточную прак-
тику в процессе сведения того или иного физического во-
проса к математическому исследованию, а с другой сто-
роны, дать им в руки тот материал, которым им придется
широко пользоваться в дальнейших параграфах отдела
§ 2 носит вводный характер к основным методам: ме-
тоду характеристик и способу Фурье, которым посвя-
щены § 3 и 5.
§6—интегральные уравнения вводятся в задачник впер-
вые и относятся главным образом к теории линейных
уравнений типа Фредгольма.
§1. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1; Абсолютно гибкая однородная нить под влиянием
сильного натяжения То находится в прямолинейном поло-
жении равновесия. Доказать, что уравнение малых ко-
лебаний нити имеет вид:
д*и _ 1 д2и ГТо
дх* ~а? ’ ’ а~ 1/
где и есть смещение точки с
а р — линейная плотность нити
(черт. 12).
2. Тонкий однородный стер-
жень совершает продольные ко-
лебания, при которых его попе-
речные сечения, оставаясь пло-
скими, перемещаются вдоль оси
ОХ. Доказать, что уравнение
малых колебаний имеет вид:
д^и 1 д2и
дх2 а? ’ dt* ’ 6
абсциссой х, t — время'
г’е « есть смещение сечения с абсциссой х, р— линейная
плот 10сть, а Е—модуль Юнга материала стержня (черт. 13).
3. Доказать, что
Qr-——~7.-_ । ...... . уравнение продольных
* колебаний конического
Черт. 13. стержня'имеет вид:
д Г/ х \2 ди 1 1 /______х \а д2п _____, Г Е_
дх \ h / дх о2 \ h ) дР ’ а ]/ _ р ’
где и есть перемещение стержня с абсциссой х, a h — вы-
сота конуса (черт. 14).
4. Крутильными колебаниями стержня называются такие
колебания, при которых его попе-
речные сечения поворачиваются л——।
одно относительно другого, вра- V——_Л-ту~—~~
щаясь при этом около оси стер-
жня. Доказать, что уравнением ма- черт. 14.
лых колебаний служит уравнение
d20 _ 1 _ Aoi
дх2 а2 ‘ дР ’ а 1/ k ’
где 0 есть угол поворота сечения с абсциссой х, G — мо-
дуль сдвига, /—полярный момент инерции поперечного
сечения, a k — момент инерции части
О--------------и стержня, имеющей единицу длины.
\ 5. Абсолютно гибкая однородная нить
\ закреплена в одном из концов и под действием
। своего веса находится в вертикальном положении
х щ равновесия. Доказать, что уравнение малых коле-
/ баний нити имеет вид:
/ д Г ди 1 д2и г—
у дх [ ' дх J cP дР ь
где и есть смещение точки с абсциссой х, I — длина
* нити, a g—ускорение силы тяжести (черт. 15).
Черт. 15. 6. Абсолютно гибкая нить длиной / подвешена за
конец х = 1, а на другом конце х = 0 прикреплен
груз в Р кг. Линейная плотность нити р изменяется по
закону
А
Р
где постоянные Ли/, связаны с массой М груза соотно-
шением
М = 2АУ1Х.
Доказать, что уравнение малых колебаний нити около своего
равновесного положения имеет вид
_ 1 д2и 8
002 “ ’ dt? • а~~ У ¥’
где _____
б = 4“ х‘
7. Тяжелая однородная нить длиной /, закрепленная
верхним концом (х = 1) на вертикальной оси, вращается
вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью «.
Доказать, что уравнение малых колебаний нити около
своего вертикального положения равновесия имеет вид:
д2и 9 д
~д&~а дх
а>-и,
где
a=Vg.
8. Абсолютно гибкая однородная нить закреплена в одном
из концов и в положении равно-
весия располагается по оси х-ов.
Выведенная из положения равно-
весия, она вращается с постоян-
ной угловой скоростью <о вокруг
оси и (черт. 16). Доказать, что
уравнение малых колебаний нити
около своего относительного по-
ложения равновесия имеет вид:
д
дх
(/2 —х2)-^-
' ' дх
1
«2
где через / обозначена длина нити.
9. Неоднородная нить, плотность которой изменяется
по закону
а
Ь2~— х2
(Ь>1)
прикреплена концом х — 0 к неподвижной оси, а на другом
конце х — 1 прикреплен шарик, масса которого выражается
равенством
доказать, что при вращении нити с постоянной угловой
скоростью “ вокруг указанной оси, уравнение малых коле-
Черт. 17.
баний будет иметь вид (черт. 17)
&и 2 о2и
где
. х
х — arc sin v .
b
10. Вывести уравнение попе-
речных колебаний нити закреп-
ленной на концах, взяв за исход-
ную точку минимальный принцип
Гамильтона.
Указание. При малых колебаниях нити величины потен-
циальной и кинетической энергий выражаются формулами:
где То есть величина начального натяжения, a Z — длина
нити. Согласно принципа
ментах времени и /2
имеет место равенство
г ]\u—T)dt=b.
ti
11. Исходя из прин-
ципа Гамильтона, решить
задачи 5 и 8.
12. Гибкая однород-у
ная нить натянута на аб-
солютно гладкой сфере
радиуса/? и в положении
любых мо-
Гамильтона при
равновесня направлена по
экватору. Доказать, что уравнение малых । колебаний нити
имеет вид
где 0 и <р обозначают географические координаты точки М,
То есть начальное натяжение, а р — линейная плотность
нити (черт. 18). »
Указсмие. Можно воспользоваться принципом Гамиль-
тона, приняв во внимание следующие выражения для потен-
циальной и кинетической энергий:
2 J 2 J \d'fj
о 0
где aR — l и через l обозначена длина нити.
13. Гибкая однородная нить длиной / закреплена одним
из концов в полюсе абсолютно гладкой сферы и под дей-
ствием своего веса располагается по дуге большого круга
Доказать, что уравнение малых колебаний нити имеет вид
(cos<? — COSa) )J-(cos© — COSa)(J== —
1 dvj a2 at2
где через g обозначено ускорение силы тяжести, а через
радиус сферы.
Указание. Выражение потенциальной и кинетической
энергии имеют следующий вид:
14. Доказать, что при непрерывно распределенных вдоль
провода омическом сопротивлении R, емкости С, индуктив-
ности L и утечки изоляции G, дифференциальные уравнения,
которым удовлетворяют напряжение р и сила тока i, имеют
вид
с^+ор=о.
др , . dt , п. л ci .
-V- 4- L -уг 4- Ri = 0, -5- +
дх 1 dt 1 ’ дх 1
Указание. Первое уравнение выводится из закона индук-
у ции, примененного к
весьма малому участку
провода. Второе уравне-
ние получается из усло-
у вия непрерывности тока
х в проводе. <
15. Абсолютно гибкая
однородная пленка (мем-
брана) натянута на кар-
касе С. Это положение
мембраны принимается за
Черт. 20. плоскость координат
ХО Y. Доказать, что урав-
нение малых поперечных колебаний мембраны имеет вид:
д2и . д-и 1 д2и _______ /То
дх2 *"dy2 a2 dt2’ а ~ у . а ’
где-Уо есть сила начального натяжения, рассчитанная на
единицу контура С, а о обозначает поверхностную плот-
ность мембраны (черт. 20).
16. Тонкий однородный стержень изолирован от внеш-
него пространства и имеет в точке М (х) температуру и (х, I),
изменяющуюся с течением времени. Доказать, что эта тем-
пература удовлетворяет уравнению
д2и _ 1 ди
дх2 a2 dt ’ а ~~ |/ ср ’
где с есть теплоемкость, k — коэффициент внутренней
теплопроводности, а р — плотность вещества стержня.
17. Доказать, что уравнение распространения тепла
в тонкой изолированной пластинке имеет вид
д2и . d2u 1 ди
дх2 ду2 a2 dt'
где значение постоянной а то же, что и в предыдущей задаче.
18. Дано однородное кольцо с очень малым поперечным
сечением (черт. 21). Приняв во внима-
ние потерю тепла в окружающую кольцо /%.
среду вследствие лучеиспускания через '
боковую поверхность, доказать, что /7 р ' &
уравнением распространения тепла в ([ / 'Х 1
кольце служит уравнение II Z.__________Н—J
* д2« , __ 1 ди yi П
дЬ2~ c^lt' 7/
а = , Ь = ^г, Черт. 21.
У Ср ak г
где через 6 обозначена длина дуги кольца, а входящие
в уравнение постоянные имеют следующие значения: k, h—
коэффициенты внутренней и внешней теплопроводности,
с, р—теплоемкость и плотность вещества кольца, с, I —
площадь и периметр поперечного сечения.
19. Доказать, что температура однородного проводника,
находящегося под действием постоянного тока, удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению
ди _ k д2и hp .
dt ср дх2 ср<о И и°'
i2r
Сро>2 ’
где через i и г обозначены сила тока и омическое сопроти-
вление проводника, через р и <о — периметр и площадь его
поперечного сечения, а через и0 — температура окружающей
среды.
20. Доказать, что уравнение радиального распростране-
ния тепла в однородной изолированной сфере имеет вид
d2v 1 dv . Г k
= —®(г» 0 = m(r> *)> а — 1/ —>
dr2 a2 dt v v > /> |/ Ср ’
где и есть температура сферы в точке, отстоящей на рас-
стоянии г от ее центра.
§ 2. ПРИВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Привести к канонической форме следующие дифферен-
циальные уравнения:
21.
d2u d2u
dx2 dy2
22. х2~^2ху
dx2 1 J
23, y^L + x^=0-,
J dx2 1 dy2
_. „ d2u n d2u „
24. x2 — y2 = 0;
dx2 J dy2
0;
_^L+yS^ = 0-
Ox Oy ‘ y dy2 ’
d2u du
. d-u
dy« dx
= 0;
26. ' „ = 0.
dx2 dy2 dx 4
27. Найти замену переменных, при которых уравнение
д2и .. . , . ди . ~ , , \ди . п
— ₽' cotg (х-у) д- ф- ₽ cotg (х—у) -I- и = 0
преобразовывается в уравнение Эйлера
d^u т dv . п dv_______________________р р
Е — т) dE ' Е — dy (Е — tq)2
§ 3. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
28. Доказать, что общий интеграл уравнения
d2u 1 d2u
dx2 a2 dt2
имеет вид и — v (х — at) -|- (х -ф- at), где и $ — произволь-
ные функции.
29. Показать, что общему решению уравнения
дг/ х V^l _ 1 /i х V
дх [ \ h / дх _ а2 \ h / dt2
можно придать форму
__(х — at) -}- ’> (х ф- at)
11 h — х
20. Доказать, что решением уравнения
д2и _ 1 &и
дх2 ~ a2 dt2 ’
удовлетворяющим условиям
X ди
=f^- м
о
= Д(л),
t=0
служит выражение
/ (х — at) ф- ф- at)
sc~i-at
x—at
и =
и
2
Указание. Следует воспользоваться результатом задачи 28.
31. Отрезок однородной струны, закрепленный на кон-
цах х —0 и х = 1, имеет в начальный момент времени форму
параболы, симметричной относительно перпендикуляра, про-
веденной через середину отрезка (0, /). Определить форму
струны в моменты времени
, / , I
t==- и t = —,
2а а
предполагая, что
32. Доказать,
при условиях:
и
начальные скорости отсутствуют.
что уравнение, приведенное в задаче
29,
=/(*), =F(x)
t = 0 t=0
имеет решение вида:
(й — x-^at) f{x — at)-\-(h — х — at)f(x-\-at)
U~" 2{h—x)
F(z)dz.
33. Найти интеграл уравнения
, д2и
{р-х)дх‘
1 ди д2и
2 дх ду2
0<%<р
При условиях:
ди
и S =F^>-
У—О 6=0
34. Проинтегрировать уравнение
(р2 — х2)
д2и
дх2
ди
дх
й=°
ду2
Q<_x<~p
при условиях
и =/(•*);
г/=о
ди
ду
= F(x).
у — о
х
35. Доказать, что общее решение уравнения
х2
д?и
г.
2xv
д2и
ду2
имеет форму
Указание. См. задачу 22.
36. Показать, что общему решению уравнения
ч а2и „ (Ри .
х— у2 3-7. = °
ду2 J дх2
можно придать вид
и
Указание. См. задачу 24.
37. Доказать, что уравнение, приведенное в предыдущей
задаче, при условиях
и
4:1 \
=/(А
у=1 J
— F(x)
у=1
имеет следующее решение
« У) = 4 f (ху) -г^-/ (у) 4-
ОС л?
?/ . g/
+ ^Vxy f ^j~dx—^ХУ f r-^dx.
ац x2 a-У
Указание. Следует воспользоваться результатом преды-
дущей задачи.
38. Доказать, что если при х — ct {с = const) имеют место
равенства u—f{f), ^=F{f), то решением уравнения
д-и 1 д2и
дх2 a? dt2
служит выражение
14-₽,/ at-\-x \ , 1 — В ./ at — х \ .
“= 2 4^0+?))+ 2 4^(W)) +
'+г
i+₽
, 0(1— р) Гс,,. О с
Н----- 2 " j P&dz* где Р = ~ •
*-2.
__«
1-р
Указание. Следует воспользоваться результатом задачи 28
и принять во внимание равенства
du __ди I . ди dx
dt ~ df ‘ дх ' dt
x^ct x~ct x^et
39. На конце x = 0 цилиндрического стержня, настолько
длинного, что его можно считать простирающимся в одну
сторону до бесконечности, действует возмущающая гармо-
ническая сила A sin <о/. Доказать, что относительное пере-
мещение сечения стержня с абсциссой х выражается фор-
мулой:
О при
lit = (О
A sin — {at — %) при at >> х.
Гюнтер и Кузьмин, ч. Ill
10
Указание. Применить способ характеристик к интегриро
ванию уравнения
д2и „ д2и
--- = /7* __
dt2 дх2
при пограничном условии и = Д sin и при начальных
ди
условиях: -л
* C/zG
|а:=0
л ди I „
= °5 = °’ имеющих место при всяком
t=0 4=0
положительном х.
40. Идеальный газ, плотность которого изменяется по
закону p—f(at—х), совершает продольные колебания в не-
ограниченной цилиндрической трубке. Доказать, что ско-
рость газа в сечении с абсциссой х выражается формулой:
= af (at — х)+(vQ—a)f(at)
f(at—x) ’
где — скорость в сечении х = 0.
Указание. Воспользоваться уравнением неразрывности.
41. Бесконечная струна, находящаяся в прямолинейном
положении равновесия, получает в начальный момент вре-
мени (t— 0) удар от молоточка, масса которого равна М,
причем этот молоточек касается струны в точке х — О
и имеет начальную скорость
Доказать, что в момент времени t > 0 возмущенная струна
имеет вид, указанный на черт. 22, где иг— прямая волна;
ni — } ПРИ х—«!=0 при х—«/>0,
2 / о
а — обратная волна:
2Г
в2 = {1 — е ш ) при х-4-о^>0; «2=0 при x-f-o£<0.
Указание. При интегрировании уравнения
(Ри 2 д*и
~дР"~а дх2
следует принять во внимание условие
dt2 dt2 v дх 0 дх
х-~о а?=о j)—0 ж—о
42. Начало координат х = 0 помещается в плоскости
раздела двух газов [(I) и (II)], заполняющих очень длинную
цилиндрическую трубку. Конденсации газов обозначаются
через и s2. Из области (I) движется прямая волна
г- ( . X \
Si= F 11-----I,
\ «1/
претерпевающая в сечении х = 0 отражение и поглощение.
Доказать, что между падающей волной F, отраженной /
и поглощенной © существует соотношение:
f а,—а2
F a1-j-a2
о 2а2
F а1~\-а.2 ’
где означает скорость поглощенной волны.
43. Область начальных колебаний однородного газа
представляет собою шар радиуса R. Начальные скорости
частиц газа всюду равны нулю, а начальная конденсация So
постоянна внутри шара и равна нулю вне его. Найти выра-
жение для конденсации 5 в момент времени t > 0.
Указание. Применить метод характеристик к интегриро-
ванию уравнения
д2 [г Ф (г, 7)] _ 2 да[гФ(г, £)] /.._ 1 дФ^
дР а дг2 \ — аг dt /
при начальных условиях
=/W = 0;^ =fW=)^« "Ри''<«
, lo при r>R.
44. Решить предыдущую задачу, применяя интеграл
Пуассона:
Ф(г, t) = ~
где через Е обозначена сфера, описанная радиусом at из
точки М, находящейся на расстоянии г от центра колебаний
(черт. 23).
§ 4. МЕТОД РИМАНА
45. Проинтегриро-
" вать по способу Ри-
д2и
мана уравнение ^7 —
(fell
—при усл0’
виях
= F(x).
г/ — о
Указание. В данном случае функция Римана равна
единице.
4G. Решить по способу Римана задачу 3"
Указание. За область интегри
рования следует принять криво
линейный треугольник, образован-
ный характеристиками MP, MQ
и дугой равносторонней гипер
болы ху—1 (черт. 24). Функция
Римана определяется равенством
v (х, у; х0, у0)= 1/ ‘ черт. 24
47. Показать, пользуясь методом Римана, что интеграл
д2 0 , „ 1 о2 0
Удовлетворяющий условиям
уравнения-^—
в =/(?); v = F(<p), имеет вид
I 4 = 0 01 4 = 0
Ч> + at
в (?> f)=л?.-я?+«о 1 г ф z} dZt
где
у—-at
Ф (<?, t, z) = ~f(z)J0 (K(z —с?)2 —+
+ й^(г)^Ё^ЕЭ.
/(г—<р)2—й2/2
Указание. Функция Римана определяется равенством
у, х0, у0) = Jo (/(х — л:0) {у —
где /0(л) обозначает Бесселеву функцию нулевого порядка.
48. Применив способ Римана, доказать, что при усло-
.. . ди
= /W’ ~dt
4 = 0
ПИЯХ и
. . /, чд^и
= ? W уравнение (/ — х)
£ = О
ди 1 д2и
Их~~с? имеет Решение
Ф(х, t, z)= с(1 — z^F [ ~
7~ atf(l-z-) J 1 1 4
+ 8уТ— xVz \2’ 2’ 4 Vl—XZ
с , о . . а • р , а (а + 1) ₽ (Р + 1) о I
где F (а, Р, 7, л) = 14-X4-- х + • • •есть
гипергеометрический ряд.
Указание. Заданное уравнение надо привести к про-
стейшей канонической форме (см. задачу 25). За область
интегрирования следует принять треугольник, ооразован-
ный характеристиками MP, MQ и биссектрисой у = —х
(черт. 25). Функция Римана определяется равенством
®(х, у; х0,
4- *
(х —х0)(у—у0)\
(хо—уо)(х—у)/
49. Проинтегрировать по способу Римана уравнение
(/2 —х2)
д2и
дх2
„ ди
2х —
дх
(Ри
ду*
« = 0,
подчинив его интеграл условиям
и
=/(*),
о
ди
ду
= ? (х).
у=о
Указание, Функция Римана имеет вид
v(x,y, хй,у^ =
/_1 Л 1 1in(*~x0)sin(y—у0) \
\ 2 ’ 2 ’ b sin (х0 — у0) sin (х —у) г
§ 5. МЕТОД ФУРЬЕ
50. Для однородной струны дли-
ною I, закрепленной на концах х = 0
их — /, известны в начальный момент
времени отклонение от прямолиней-
ного положения равновесия и скорости
точек. Изучить по способу Фурье поперечные колебания
струны (см. задачу 1). >
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
(Ри _ 1 д*и ___
дх* ~ ~сР дР,а~~ V р
и выполнению условий: н|ж=о = О, и ]ж=/:=0 при всяком/;
M|j=o /С*)» Qf
— F (х) при 0 < х < Z.
4 = 0
51. Изучить с помощью метода Фурье продольные коле-
бания ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТерЖНЯ ДЛИНОЮ I, у КОТОРОГО ОДИН
конец закреплен, а другой свободен (см. задачу 2).
4
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
<Fu___ 1 д2и ______ Г Е
дх2 a2 dt2’ й~ |/ р
при условиях и|ж=0 = ь,
К1 t=0--ft
=0 при всяком
дх
= F(x) при 0 < х < I.
t=0
52. Решить предыдущую задачу при условии, что оба
конца стержня свободны
53. Проинтегрировать но способу Фурье уравнение кру-
с t & е 1^6 , Г ci
тильных колеС г ни? вала -5-5 — —w~=^r>a — 1/ “тг при усло-
дх2 a2 dt2 V k
вин, что один из концов вала заделан, а на другом при-
креплен шкив (см. задачу 4).
Указание. Интеграл уравнения колебаний удовлетворяет
д2Ь
условиям eb=0 = O,
t и е!; = о = /(*)’ ^7
иг t = o
Гб! , .
с — Д/ -у, и «j обозначает
сительно оси вала.
•2
= -с ~dt
при всяком
X —I
= F (х), при 0<х</, где
момент инерции шкива отно-
54. Решить ту же задачу в предположении, что на кон-
цах вала прикреплены два одинаковых шкива.
Указание. Предельные условия имеют вид
д2 б ае <?2 б ос>0
dt2 дх ’ dt2 ~ дх
“ а=о ил ;г=о х = 1 ил
де
55. К концу х = 1 однородного стержня, закрепленного
в точке х = 0, подвешен груз в Р кг. Изучить вынужден-
ные продольные колебания стержня, предполагая, что на
него действует внешняя непрерывно распределенная сила
Р Г(х, t).
Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения
д2и
~дР
д2и . , ГЕ
при условиях
= 0;
Х—О
д2и
х= I
dx
,с =
X — I
=»; Ч
dt
= 0.
и
и
t = o
t = 0
56. Струна длиной I закреплена на концах х = 0 и x=d
и в начальный момент времени оттянута в точке х = с на
расстояние h от оси ОХ-, затем она отпущена без сообще-
ния ее точкам начальной скорости (черт. 26). Определить
отклонение и (х, t) струны для любого момента времени
(см. задачу 50).
57. Струна длиной I закреплена на концах х = 0 и х — 1
и в начальный момент времени в точке х = с получает удар
от молоточка (струна пиани-
но). Предполагается, что во
время удара молоточек ка-
сается очень малого участка
струны и что сам удар длится
% очень недолго по сравнению с
периодом колебания струны.
Найти выражение для откло-
нения и(х, t) струны (см. за-
дачу 50).
Указание. Начальные
условия колебания: f(x) = 0 во
всем интервале (0, I), F(x)~0 во всем интервале (0, /) за
исключением очень малого участка (с— е, c-j-®), гДе
F(x) > 0.
58. Абсолютно изолированный электрический провод
длиною I в некоторый момент времени, принимаемый за
начальный, заряжен до некоторого постоянного потен-
циала р0. Определить величину напряжения и силу тока i
по истечении времени t от начального момента, предполагая,
что один из концов провода замкнут накоротко, а другой
открыт (см. задачу 14).
Указание. Задача приводится к интегрированию системы
уравнений
^+Z«+R;=o, «+с^=0
дх ' dt 1 dx 1 dt
при условиях: /?|ж=о = О, г|а.==1 = 0 при всяком t,
- plt = o—po, *|z = o = O при 0<х</.
59. Однородная струна длиной I под влиянием сильного
натяжения То находится в прямолинейном положении равно-
весия и закреплена на концах х = 0 и х — 1. В точке х = с
на струну' действует со-
средоточенная гармони-
ческая сила
pP(t) = A sin<o/.
Определить отклоне-
ние а(х, t) струны от по-
ложения равновесия
(черт. 27).
Указание. Задачу мож-
но привести к интегри-
рованию уравнений
d2«j__ 1 сРи^
дх2 '~"а?1№’
и выполнению пограничных условий:
Wj |ж = о — 0, И11я: = с — “a|a:=c, — О»
0 дх
7^.1
~'°д^
60. Однородная струна длиною /, закрепленная на кон-
цах х = 0 и х = I, колеблется под действием внешней воз-
мущающей силы р Г (х, t), распределенной непрерывным
образом вдоль всего отрезка струны. Найти отклонения
струны от положения равновесия, приняв “во внимание ее
свободные колебания, вызываемые начальным отклонением
и начальной скоростью.
Указание. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид
д°и
“2В+т^
(1)
интеграл этого уравнения пишется в виде суммы k = zz14-
. ' д2и
4-и2, где «j есть интеграл однородного уравнения =
о д3и
= a2 удовлетворяющий условиям
ОХ ““
аз=О — 0, ZZj |a;=J — 0- W<|t = 0—f (-У),
дих
~dt
t= о
= F(x),
а н2 есть интеграл неоднородного уравнения (1), подчинен-
ный условиям
Kg Jac=O==O, U2 |o: = l5==0, |f = o —0, | = U.
61. Изучить вынужденные поперечные колебания струны,
закрепленной на конце х —О и подверженной на конце
х = 1 действию возмущающей гармонической силы, вызы-
вающей смещение, равное A sin <о t.
62. Решить предыдущую задачу в предположении, что
внешняя возмущающая сила сосредоточена в точке х — с
струны. Исследовать частный случай, когда сила действует
гармонически.
Указание. Сосредоточенную в точке х — с силу можно
рассматривать как предельный случай силы р Г (х, t) > О,
непрерывно распределенной по очень малому участку (с — е,
с ]-е).
63. Две разнородные струны, длиной 1Х и /2> связаны
между собою в точке х = /, и закреплены на концах х = 0
и х — 1х~\~В. Определить период поперечных колебаний.
Указание. Задача приводится к интегрированию ура-
внений
^«1... ^«8 ,3^4
* ц/2 1 dt~ ’ dt2 2 дх2
пр., условиях
diij _________ди2
~дх x=li ~ ~дх
64. Струна, закрепленная на концах, состоит из двух
неоднородных частей АВ = 1 и ВС = 12, причем в точке В
помещается шарик массы /Й. Доказать, что период Т по-
перечных колебаний определяется из уравнения
icolg
2k/j
Тах
1 , 2 р /2
— cotg = М
«2 Га^
2 тс
ТТ’
Указание. Следует принять во внимание условие
.. .. д-и.,
М = Л/ -T7V
dZ2 я_г дВ
дЩ , т ^2
dx x=li ' °дх
65. Стержень АС, закрепленный в начале А и свободный
на конце С, состоит из двух неоднородных частей АВ = 1,
и ВС = 1%. Доказать, что период Т продольных колебаний
стержня определяется уравнением
, 2 л/. , 2л/, Е,а<>
tg~aJ~E~a;
Указание. Выделить колебания одной и той же частоты,
удовлетворяющие уравнениям:
д2щ п
dt2 1 ’ d/2 2 dx2
при условиях
I t? ^«1 C dlla ,
u, = u.2 ; E, — E2 I
66. Тяжелый растяжимый стержень, длина которого
в нерастянутом состоянии равна /, подвешен за конец
х = 0, а конец х — 1 оставлен свободным. Изучить вынуж-
денные колебания стержня.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
д-и
dt*
„ &11
а дх2
г/Г
при условиях
и
и
е* II © II о ж = 0, t=O
а 1 I’-O о II о II R = 0. а?. =0
67. Доказать, что радиальные колебания однородного
газа, заключенного между двумя неподвижными концентри-
ческими сферами радиусов и /?, (R, < /?2), происходят
гармоническим образом, причем период основного тона
выражается формулой
2л(^-^
Нт У ур0
где р-1 — наименьший положительный корень уравнения
i И „ /?1#2
tg И ~Р Н2 + 1 ’ Р ~
68. Доказать, что уравнение радиальных колебаний газа
д2ф . 2 дФ 1 <?2Ф _ Д «
+= Ж имеет Решение Ф = —cos— (at — г),
обращающееся в нуль при lim г—оз.
69. Доказать, что если уравнение малых колебаний газа
имеет вид
Э2Ф .
дг2
2дФ 1 д
г dr "i" г2 sin б dO
1
= я2 dt2 ’
Sln
то оно допускает интеграл
_ Д COS ОГ ш . . а . а> , , .1
Ф =-------cos — (at—г)Д-------sin —(at — r)\,
г | а ' ' mr a v Д’
обращающийся в нуль при lim г—оо.
70. Доказать, что решением задачи № 7 служит ряд
ак cos а Д. t Д- bk sin a Д t) Jo
а [л,, po,... означают положительные корни уравнения
Jo(^) = 0.
71. Линейная плотность подвешенной нити изменяется
ю закону р = ях’”, где т>— 1. Вывести уравнение малых
колебаний нити и доказать, что отклонение от равновесного
положения выражается формулой
где ур р-2> - - • — положительные корни уравнения Jm (х) === 0.
72. На круглую мембрану, закрепленную по краю, дей-!
ствует внешняя гармоническая сила
р Y = р A sin <о t,
непрерывно распределенная по всей ее площади.
Доказать, что часто вынужденные колебания мембраны
выражаются равенством
тде R—радиус мембраны.
73. Дан тонкий однородный стержень длиной I, изоли-
рованный от внешего пространства. Во все время наблю-
дения концы х — 0 и х = 1 удерживаются при постоянной
температуре а — 0. Кроме того известно начальное распре-
деление температуры вдоль стержня.
Определить его температуру в
задачу 15).
Указание. Задача приводится к
ди ад^и
нения теплопроводности
ВИЯХ И |а. = о==О, и |®=t = 0 При
при 0 < х < I.
74. Решить предыдущую задачу
момент времени
интегрированию
а — j / при
t (см.
урав-
всяксм t: и \t = c==f(x)
в предположении, что
х = 0 стержня имеет температуру, равную нулю, а на конце
х = 1 происходит лучеиспускание тепла в окружающую
среду, температура которой считается равной нулю.
Указание. Второе из пограничных условий предыдущей
, ди ’
задачи следует заменить следующим: k
— —hu
Х~1
где через k и h обозначены коэффициенты внутренней и
внешней теплопроводности вещества стержня.
75. Решить предыдущую задачу в предположении, что
лучеиспускание тепла в окружающую среду происходит на
обоих концах стержня.
Указание. Пограничные условия имеют следующий вид:
ди _____ h ди h
д* дх k
76. Применить метод Фурье к исследованию распростра-
нения тепла в однородном кольце, предполагая, что из-
вестно начальное распределение тепла (см. задачу 17).
Указание. Задача приводится к интегрированию урав-
нения
dv d2v
---—/7^----
dt д№'
и = ve~bt
при выполнении начального условия
к ]t = о=/(0) при 0 < 0 < 2 к.
77. Дана однородная сфера радиуса R, центр которой
расположен в начале координат. Известно, что начальная
температура любой точки сферы зависит только от рас-
стояния г этой точки от центра сферы. Во все время
наблюдения внешняя поверхность сферы удерживается при
температуре 0°. Определить температуру любой точки
внутри сферы в момент времени t (см. задачу 19).
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
п =—, а=1/ — и выполнению условий
dt dr2 г V ср J
— 0, т|,--в = 0 при всяком t, — при
О < г < R.
78. Решить предыдущую задачу в предположении, что
поверхность сферы все время свободно охлаждается в среду,
Имеющую температуру 0°.
Указание. Второе из предельных условий в предыдущей
задаче надо переменить на следующее:
79. Однородный, газ заключен в неподвижный сосуд,
имеющий форму шара радиуса R. Исследовать радиальные
колебания газа, предполагая, что движение происходит
с потенциалом скоростей.
Указание. При малых колебаниях потенциал скоростей
удовлетворяет волновому уравнению
d2u . d2u . cfiu 1
dx2 ‘ dya ‘ dz2 a2 dt2'
а = 1/ ^5, где р0 и р0 — начальные плотность и давле
Г Ро
ние, а у — постоянная Пуассона.
Преобразовав уравнение колебаний к сферическим коор-
динатам г, б, со, искать по способу Фурье интеграл, удо-
влетворяющий условиям и |) = о = конечной величине,
ди
~дг
„ 4 I \ ди
— О при всяком t, u|t=o=j(r),
r~R
t — 0
80. Тяжелая однородная нить длиной /, подвешенная за
один из своих концов (х = /), выводится из положения
равновесия и отпускается без началь-
ной скорости (черт. 28). Определить
отклонение и в функции от абсциссы
х и времени t.
Указание. Задача приводится к
д~и .
интегрированию уравнения
• ди
^д^
виях:
и )®=0
1 д~и г—
&dP>a==Vg при уСл0‘
X
Черт. 28.
конечной величине, и|ж=г=О
при ВСЯКОМ t, u\t = o—f(x),^
= 0
i = 0
81. Дана цилиндрическая трубка
при 0 < х < Z.
радиуса R настолько
длинная, что ее можно считать простирающейся в обе
стороны до бесконечности. Исследовать малые радиальные
колебания однородного газа, заключенного в трубке.
Указание. Уравнение колебаний следует преобразовать
к цилиндрическим координатам г, ф, z, направив ось z по
- д*и , 1ди
сси трубки, затем искать интеграл уравнения =
1 &и „
~~а?~дР' УД°влетвоРяющии условиям и |г=о = конечной
ди
величине, -3-
дг
— F(r) при О
= 0 при всяком Z; u\t = o — f(r), ~
<R.
t — O
82. Применить метод Фурье к исследованию радиальных
колебаний мембраны, имеющей форму круга радиуса R и
закрепленной на краю (см. задачу 15).
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
д^и 1 ди 1 о2п , / То ,
а=]/ VnpH Условиях «1-=о =
— конечной величине, и | r=j? = 0 при всяком t и и - 0 =
=/W, = F(r) при 0<г<7?.
Ul t=0
83. Исследовать радиальное распространение тепла
в бесконечном цилиндре радиуса R, боковая поверхность
которой все время имеет температуру 0°.
Указание. Уравнение теплопроводности в цилиндриче-
ских координатах имеет вид
ди Jd~u , 1 ди\ , Г k
-dt^a \^+~F Тг]’ а==]/ Е?
Следует искать интеграл этого уравнения, удовлетворяю-
щий условиям и |, = о — конечной величине, «|г=я = 0 при
всяком t и и |t = о —f(r) при 0 </'</?-
84. Цилиндр с радиусом основания R и высотою h
имеет во все время опыта температуру нижнего основания
и боковой поверхности равную 0°, а температура верхнего
основания есть определенная функция от г. Найти стацио-
нарную температуру внутренних точек цилиндра.
Указание. Для решения задачи необходимо отыскать
м д^и , 1 ди , д^и _
такой интеграл уравнения =='-)> который
удовлетворял бы условиям: и |,- = о = конечной величине,
и |2 = о = О, и |,.=в = 0, u\e=h—f{r) при 0 </•</?.
85. Решить предыдущую задачу в предположении, что
боковая поверхность цилиндра покрыта непроницаемым для
теплоты чехлом.
Указание. Третье из пограничных условий, указан-
ных в предыдущей задаче, следует заменить следующим:
— 0 *
86. Решить задачу 84 в предположении, что боковая по-
верхность цилиндра свободно охлаждается в воздух, имею-
щий температуру 0°.
Указание. Пограничное условие на боковой поверхности
ди I
имеет вид—г- -1- hxu ( =0.
дг\г^П 'r=R
87. Цилиндр с радиусом основания R и высотой h имеет
температуру обоих оснований равной 0°, а температура бо-
ковой поверхности представляет данную функцию от г:
u=f(z). Найти стационарную температуру внутренних то-
чек цилиндра.
88. Дана тонкая прямоугольная пластинка со сторонами
I и т (совпадающими с осями координат), для которой
нзвестио начальное распределение температуры. В течение
всего времени наблюдения периметр пластинки удерживается
при температуре 0°. Требуется определить температуру
каждой точки пластинки по истечении времени t от началь-
ного момента (см. задачу 16).
Указание. Задача приводится к интегрированию урав-
нения
да____ д'2и । д2и \ __1 Г k
dt а \ dx2 ‘ dy2 ) ’ а~~ у ср
при условиях:
« = 0 при х — 0
и —0 при х — 1
п = 0 при у — 0
« = 0 при у — т
при 0<j<m и при всяком t,
при 0 < х < I • и при всяком t,
и |/=о ~ J’) ПРИ 0 < х < / и 0 < у < т.
89. Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами /, т, п
(три его ребра совпадают с осями координат). Во все время
наблюдения боковые грани удерживаются при темпера-
туре 0°, а оба основания имеют данное распределение тем-
пературы. Определить стационарную температуру внутрен-
них точек параллелепипеда.
Указание. Искомая функция удовлетворяет уравнению
д^и д2и д2и
+ ПРИ условиях: п = 0 при х = 0, // = О
при х — 1, и —О при _у = 0, и —0 при у — т, u = f(x,y) при
г—О, u — F(x,y) при z — n.
90. Исследовать малые колебания мембраны, закреплен-
ной на краях и имеющей форму прямоугольника, стороны
которого I и т совпадают с осями координат х и у (см. за-
дачу 14).
Указание. Задача приводится к интегрированию урав-
нения
dx2 ‘ dy2 a2 dt2' а ~~ |/ а ’
Гюнтер и Кузьмин, ч. III Ц
u — Q при х = 0,
и — 0 при у = О,
и
да
dt
/=0
f=0=/(x,j/)
при условиях;
и —0 при х — 1,
и —0 при у — т.
О < х <1,
н 0 < у < т.
91. Исследовать распространение тепла в бесконечно
длинном стержне, изолированном от внешнего пространства
(см. задачу 15).
Указание. Искомая температура удовлетворяет уравнению
~ и условию н|(=0=/(х).
92. Дан однородный стержень, у которого один конец
удален на бесконечность, а другой имеет температуру, из-
меняющуюся известным образом с течением времени. Опре-
делить температуру стержня по истечении времени t от
начального момента.
Указание. Следует проинтегрировать уравнение распро-
странения тепла в стержне при условиях и 1^^==® (t), “[^ 0=
= f(x).
93. Исследовать распространение тепла в тонкой пла-
стинке, предполагая, что она настолько велика, что ее
можно считать неограниченно простирающейся во все сто-
роны (см. задачу 16).
Указание. Искомая температура удовлетворяет урав-
нению
д^и . д2и 1 ди ”, /" k . ,
•у— 4-= —= --гг, а = I/ — и условию и ,_0=
дх* 1 ду* a2 dt |/ ер J и~° J
94. Исследовать распространение тепла в бесконечной
пластинке, ограниченной с одного края, на котором темпе-
ратура изменяется известным образом.
Указание. Если провести ось ординат вдоль края пла-
стинки, то задача приводится к интегрированию уравнения,
указанного в предыдущей задаче, при выполнении условий
«U=0=<p(M);
95. Определить температуру в точке М (х, у, z) неогра-
ниченного пространства, предполагая, что известно началь-
ное распределение температуры.
Указание. Искомая температура удовлетворяет урав-
нению
ди о(д2и . д2и . д2и\ Г k
л = “'1&?+г5з+®Ф a~V К " усл0ЕИ,<>
^f=0=f(x>y^
96. Гибкая однородная нить вращается с постоянной
угловой скоростью <и вокруг вертикальной оси. В момент
времени, принимаемый за начальный, нить выводится из
своего относительного положения равновесия, и ее точкам
сообщаются начальные скорости. Определить отклонение
и (х, t) нити по истечении времени t от начального момента
(см. задачу 8).
Указание. Задача приводится к интегрированию урав-
нения
<>.д?и о ди 1 д241 <о
(/2—х2) 5-5 — 2х -Y- — — • , а =
дх2 дх a2 dt2 у 2
при условиях и^|я.=0 — 0, uj^г — конечной величине при
всяком t и ult:=0—f(x),-^r —F(x) при 0<х</.
t -—.О
97. Доказать, что уравнение Лапласа
д-и . 2 , 1 (Ри ctgO ди _ _
Г?Г2 ' г ()г т~ r2 "Т Г2
допускает частное решение
и = Рт (cos 6),
где А и В обозначают произвольные постоянные, т есть
целое положительное число или нуль, а Рт (cos 6) есть поли-
ном Лежандра с индексом т.
98. Произвольная функция / (г) может была разложена
в ряды следующего вида:
/(Г) = А + Аг+А^г2 + ... + Апгп + ... при г < R,
В. В2 Вч в,
— -----------... -L—~сг+• •-приг>7?.
Найти такое решение уравнения, приведенного в преды-
дущей задаче, которое удовлетворяло бы условию
“|о=о- =/W-
164
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
99. Круговое проволочное кольцо радиуса /? заряжено
Е единицами статического электричества. Найти потенциал
v(r,0) наэлектризованного кольца на любую точку поля
(черт. 29).
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей
адачи.
100. Найти такое решение уравнения задачи 97, чтобы
при r=R (на поверхности сферы радиуса R с центром
в начале координат) оно обращалось в данную функцию
угла 6, т. е. и ]r=fi = /(0) при 0 < 0
Указание. Принять во внимание результат задачи 97 и
воспользоваться разложением функции /(6) в ряд по поли-
номам Лежандра
4 = —Р J / (6) (cos 6) sin Orf 6.
» —О о
101. Слоем непроводящего вещества поверхность шаро-
вого кондуктора радиуса R разделена на две полусферы,
заряженные до потенциалов: г/1 (верхняя) и v2 (нижняя).
Найти потенциал v (г, 0) такого кондуктора на любую точку
поля (черт. 30).
Указание. Следует воспользоваться результатом преды-
дущей задачи, приняв во внимание равенства:
при о<е<у,
при — < 6 < я.
102. Металлический шарик радиуса R с закопченной
поверхностью подвержен действию солнечных лучей в воз-
духе, температура которого равна 0°. Определить стацио-
нарную температуру внутренних точек шарика (черт. 31).
Указание. Задача приводится к интегрированию урав-
нения Лапласа (см. задачу 97) при следующем условии:
ди
dr
4~Н(«—/(6) = 0, где Н постоянно, а
r—R r_ r—R
103. Проинтегрировать по способу Фурье уравнение по-
а « д^и , 1 д2и
перечных колебаний балки— = 0 при условиях
ди
ti — G, ^ = 0 ПРИ л' = 0, х — 1, выражающих, что оба конца
балки закреплены наглухо (черт. 32).
Указание. Характеристические числа Хн Х2, Х£>... задачи
определяются из уравнения
coshXZ- cosXZ— 1,
а соответствующие им фундаментальные функции
Хп (х) = (sinh X,/ — sin X„Z) (cosh \.х—cos X„ x) —
— (cosh X„Z — cos X„Z) (sinh X„x — sin \,x)
образуют систему функций ортогональных на интервале (0,/).
§ 6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
104. В точке х —« однородной нити (р —1), подвержен-
ной действию сильного натяжения То— 1 и закрепленной
на концах х—0 и х—1, подвешен
груз Q — 1 (черт. 33).
Доказать, что уравнение провеса
нити имеет вид
» ( х(1—$) при
к— (X, I ---------д.) при
Черт. 34.
Черт. 33.
105. Тяжелая однородная нить закреплена в точке х — 1
и подвержена в точке x = t действию горизонтальной силы
Q=1 (черт. 34). U
Доказать, что равновесное уравнение нити имеет форму
к f—logS при
( —10gXnpHX>£.
Указание. Натяжение нити в точке М(х) принимается
равной—х.
106. Однородная нить длиной I==1 прикреплена концом
х=0 к неподвижной оси и вращается вокруг этой оси
с постоянной угловой скоростью. К точке х — 1 такой нити
приложена сила Q = 1 (черт, 35).
Доказать, что уравнение относительного равновесия нити
имеет вид:
и = Ал(л;,£) —
1 .
-2 log
т10g
1
1 —X
1+?
1 — е
при
при
Указание. Натяжение нити в точке К! (х), вызываемое
центробежной силой, принимается равным
1
А* —2 j xdx — {\—х2).
SC
107. Доказать, что при непрерывно распределенной на-
грузке уравнение провеса нити имеет форму
1
Я = f КМ Р$) di,
О
где через /?(£) обозначена величина нагрузки, рассчитанная
на единицу длины нити.
Указание. Воспользоваться законом Гука н результатом
мредыдущей задачи.
108. Доказать, что задача о малых колебаниях закреп-
ленной нити может быть приведена к решению однород-
ного уравнения Фредгольма
1
У(х)=Х f КМ)У & di,
О
где симметричное ядро К (x, £) имеет вид, указанный в за-
даче 107.
109. На однородную струну, закрепленную на концах,
действует непрерывно распределенная сила
Д($, £)=/?0(E)sin<»A
Доказать, что задача о вынужденных колебаниях такой
нити сводится к решению неоднородного уравнения Фред-
гольма
1
j(x)=/(x) + X f КМ У® di.
О
110. Рассматривая последовательность
1, х, х2,..., хп...
в промежутке (— 1, 1)» заменить ее последовательностью
ортогональной и нормальной, взяв за весовую функцию
р (х) = 1.
Составить первые три члена последовательности.
Примечание. Рассматривая квадратичную погрешность
ь
j Р (х) [/(х) — (х)]Мх,
а
мы называем р(х) весом.
111. Решить задачу 110, взяв за весовую функцию
112. Рассматривая последовательность
1, х, х2,..., х"...
в промежутке (0, со), заменить ее ортогональной и нормаль-
ной, считая, что весовая функция
р{х) = е-\
Составить первые три члена последовательности.
113. Рассматривая последовательность
1, х, х2, ...Xя...
в промежутке (—со, + со), заменить ее ортогональной и
нормальной, считая, что весовая функция
р(х) = е~х\
Составить первые три члена последовательности.
Указание. Использовать свойства функции Г(р).
114. Свести к интегральному уравнению нахождение
решений уравнения
У + хУ+у = 0, у(0) —1, у(0) = 0.
115. Найти «(х) из уравнения
и(х) = x-j-4 J" (t—x)u(t)dt.
О
116. Заменить нахождение у из уравнения у"-f-y — O при
начальном условии: у (0) —0, у'(0) —— 1 решением инте-
грального уравнения.
117. Заменить нахождение у из уравнения у”—5у'-]-6у=0
при начальных условиях у(0) = 0, у'(0) = 1 решением инте-
грального уравнения.
118. Заменить нахождение у из уравнения cosx
при начальных условиях у(0)=у'(0) = 0 решением инте-
грального уравнения.
119. Решить уравнение
1
/ \ 1 Г 4 14.Х А4 I бх
<p(x) = —J x^<p(O^ + -g-.
о
120. Решить уравнение
1
<р(х) = 3 у xtv}{t)dt-\-Zx—2.
6
121. Решить уравнение
2
1 Ч v
о
122. Решить уравнение
2
<р(х) — 3 Jxt<p(x)dt-{-3x— 2.
О
123. Найти определитель Фредгольма и резольвенту для
уравнения
© (х) « X J К(х, у) <t(y)dy F(x),
а
а также первое характеристическое число и его фундамен-
тальную функцию;
К(х,у) = д(х)д(у);
решить уравнение, считая, что X не характеристическое
число.
124. Тоже, предполагая
К(х, y) = q{y).
125. То же, предполагая
/<(х,у) = ^(х).
126. Решить уравнение
= е^(У^У‘
о
127. Решить уравнение
t
®(х) = л-2 -4- 2 j (1 4- 3xy)^\y)dy.
и
128. Найти все решения уравнения
1
?(х) = X у y<r(y)dy + F(x).
и
129. В уравнении
1
е(х) = X J К(х, у) <?(y)dy+Д(х).
о
К(х, у) = х, если х<у; К(х,у)=у, если х>у.
Найти определитель Фредгольма и резольвенту.
130. Найти определитель Фредгольма и резольвенту для
уравнения
ъ
? W = X f К(х, y)*{y)dy 4- F{x),
а
а также первое характеристическое число и его фундамен
тальную функцию:
К(х, у} = с.
131. Для уравнения
1
е(х) = х J\x-Yy)^y}dy-[-F(x)
О
найти характеристические числа и фундаментальные функ
ции.
132. Решить уравнение
1
«(%)== У (^+>)?(>)^у+^л2 — 9х— 4.
о
См. задачу 131.
133. Для уравнения
2тс
<р(х) = к J (sin х sin у Ц- sin 2х sin 2у) <р (у) dy -j- F(x)
О
составить определитель Фредгольма, его миноры, резоль-
венту и фундаментальные функции.
134. Для уравнения
®(х) = к J cos (х4~у) <&y)dy 4- F(х)
о
составить определитель Фредгольма, его минор, резоль-
венту, фундаментальные функции и решение.
135. Решить уравнение
тс
?W = J cos(x4-j/)'f(j)rfy4-l.
о
См. задачу 134.
136. Найти резольвенту уравнения •
найти фундаментальные функции.
137. Решить уравнение
1
?(*)== 6 J (ху — +4“
О
138. Найти резольвенту уравнения
1
?(х) = К j (х2 <p(y)rfy 4- F(x).
о
139. Найти резольвенту уравнения
?(х) = ку (^4-j2x)<p(j)(^4-F(x).
о
140. Составить резольвенту уравнения
1
<p(x) = l f +
О
141. Составить резсльвенту уравнения
1
<р(х) = к у" (л- —у) v(y)dy+F(x).
6
142. Проверить, что уравнение
СО
<р(х) = к у e-^-v'tfjjdy
— оэ
. 1
имеет решение при всяком к > .
Указание. Составить дифференциальное уравнение
для <?(х).
143. Решить систему уравнений
1 1
о(л') — 1“ (х—y)tyy)dy, <}(*) = к l' (у— x)<f(y)dy.
о Ь
См. задачу 13о.
144. Дано, что
К(х, у) =—~, если х<у
К(х,у}=^, если х>у.
Решить систему уравнений
1
?(х)=5* У К{Х, y)^{y)dy
О
1
*1(х) = ~ J' К(у, х) 'i(y)dy.
о
145. Свести к интегральному уравнению нахождение
решений уравнения
(ху')' -ф- Уху = 0
при граничных условиях:
у>(0) ограничено, у(1) = 0.
146. Свести к интегральному уравнению нахождение
решений уравнения
(ху'У + ^Хх — = 0
при граничных условиях:
Х0) = 0, у(1)_о.
147. Составить интегральное уравнение, фундаментальные
функции которого лежандровы функции порядка nv.
((1—ха)/)'-}- n(n-f-l)
/га3
1 —л2
у = 0;
граничное условие:
у ограничено при х = —1 и х — -|-1.
148. Решить задачу 147 дтя случая гп — 0 лежандро-
вых полиномов.
Указание. Рассматривать уравнение
((i-w)'+«(»+1^=4 • • •
149. Составить интегральное уравнение, фундаменталь-
ные функции которого полиномы Эрмита:
у" + (1 — х?)у' + ty — 0,
у —0 при х — ±со.
Указание. Положить X — —
150. Составить интегральное уравнение, фундаменталь-
ные функции которого полиномы Лагерра:
ху" "Г (1 — Х)У' + пу — 0;
у ограничено при х = 0 и х— со.
Указание. Положить X = — 1 -j— И.
151. Найдя соответствующую функцию Грина, заменить
уравнение
у" 4- &у =/(х), Х0) =Х1) = 0
интегральным.
152. Найдя соответственную функцию Грина, заменить
уравнение
У'+^=/(х), /(О)=Лу(О), У(1)= -Яу1)
интегральным уравнением.
153. Найти характеристические числа и фундаменталь-
ные функции уравнения
1
<р(л-) = — 1 J <р(У I х — у j dy 4- F(x).
о
Указание. Выяснив граничные условия, свести нахожде-
ние характеристических чисел к интегрированию обыкно-
венного уравнения.
154. Найдя соответственную функцию Грина G (?, х), за-
менить уравнение
У 4- &у =/(х), М0) = 0, /(1) = - Лу(1)
интегральным.
155. Проверив, что фундаментальные функции уравне-
ния задачи 154 равны
1 / 2(^ + У)
sin knx,
где ka корень уравнения
k— — htgk,
решить уравнение
?(х) = A2 y*G(C, x)y(Qrf44- 1.
о
156. Проверить, что для уравнения
д2« । д2и______________________„
дх2 1 ду- ’
вслучае круга радиуса R при граничном условии и = 0
функция Грина равна
Т к 1 1/Г2
G{x,y,4*)) = - l°g ~т2^ tog .
где /j и г2—расстояния от точки (х, у) до точек (С, и
/ С/?3 \
\с3-Н2’ с2-Н2/’
Убедиться в симметрии функции О(х, у, С, vj.
157. Проверить, что для уравнения
д2к . д~и ( д~и____
, дх2 * ду2 ~г dz2
в случае сферы радиуса R при граничном условии и — О
функция Грина равна
G(x, у, z, 5, т], Q = -Ь (—
где rt и г2 — расстояние от точки (х, у, z) до точек Q и
/ . IR2 г,/?2 с/?3 \
(е24^2+^ ’ г2-н®-На ’ £2-W+£2 /’
158. Проверить, что характеристические числа и фунда-
ментальные функции уравнения
?(х,у) = >< J У*G(x, у, С, TjWCtfr;,
(Ю
где G — функция Грина задачи 156, а (2) — площадь круга
радиуса R, могут быть найдены нахождением характери-
стических чисел и фундаментальных функций уравнения
ж
КО = ~ р J (р» О 'Ир) йр>
О
где
/(р> 0 = tog /—log R, ? < 1-, j(p, I) = log p — tog R, p > I,
p и I — расстояния точек (С, ч), (х, у) от центра круга.
Указание. Обратить внимание на симметрию граничных
условий относительно центра круга.
159. Найти характеристические числа и фундаментальные
функции уравнения задачи 158.
160. Найти характеристические числа и фундаменталь-
ные функции уравнения
?(х, у, z) =
у, Z, ?, %, 4”
(2)
+Ж у, z),
где О(х, у, z, S, •»], С) — функция Грина задачи 157, а 2—'1
сфера радиуса R.
Указание. Использовав симметрию относительно центра,
можно притти к заключению, что фундаментальные функции
зависят только от расстояния от начала координат. Вос- -
пользоваться дифференциальным уравнением 2-го порядка,
определяющим эти функции.
161. Найти решение уравнения
AJ/=XV+F(o),
где а — У х-Уу'2-^?'2, удовлетворяющее на границе сферы
радиуса R с центром в начале координат условию У = 0;
функция V должна быть задана внутри сферы.
См. задачу 160.
162. Фундаментальные функции уравнения
П*, У, [ f -^^^аг-1-Г(х,у, z),
(S)
где г — расстояние между точками (х, у, z) (?, tj, С) называются
универсальными функциями Корна.
Найти универсальные функции Корна, предполагая, что
область (S) есть сфера радиуса R.
Указание. Вследствие симметрии, искомые функции зави-
сят только от расстояния а точки от начала координат
(а — У х*у2z2). Функция выражается линейно через
решения некоторого дифференциального уравнения и не-
определенные коэффициенты вместе с характеристическими
числами находятся подстановкой в данное уравнение. Норми-
рование достигается использованием дифференциального
уравнения.
163. Доказать, что интегральное уравнение
«(х) — f (х) К у* (xt)t u(t) dt, v > — 1
О
имеет следующее решение:
jyxtjtf^dt
1/.(X) = 1 _jo •
Указание. Следует воспользоваться формулой Фурье-
Ганкеля:
/(X) = f a da J Jy (a?) J (xa) RS.
0 0
164. Доказать, что интегральное уравнение
ОО
и(х} = X У /v (xf) tu (0 dt, Ф> —~
о
при X = ztl имеет следующее решение:
(^ + х2Г'/з+ 2Т(* + 4-)’
где через а обозначен произвольный параметр, подчинен-
ный единственному условию Ra > 0.
Гюнтер и Кузьмин, ч. lit
12
ОТДЕЛ ШЕСТНАДЦАТЫЙ
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Первые два параграфа настоящего отдела содержат
в себе упражнения на основную простейшую задачу вариа-
ционного исчисления. Задачи § 1 сводятся к разысканию
экстремалей того или другого интеграла. В задачах 11—13
приемом Эйлера изопериметрическая задача сводится к обыч-
ной. Задачи 14—15 являются примерами обратных задач
вариационного исчисления.
Часть задач § 2 решается элементарно, путем составле-
ния полного приращения интеграла, другая часть решается
обычными методами, наконец ряд задач относятся к случаю,
когда общая теория неприменима и служат для выяснения
различных случаев, которые могут здесь представиться.
В задачах § 3 разобраны геодезические линии на про-
стейших поверхностях, как примеры задач на минимум
интегралов в параметрической форме. Вторая половина
параграфа служит для уяснения понятия трансверсальности
и дает примеры задач с переменными пределами. Следую-
щий параграф содержит задачи на построение поля, "инва-
риантный интеграл Гильберта и уравнение Гамильтона-Якоби.
Эта теория имеет большие приложения в физике и механике.
В § 5 о минимуме интегралов, содержащих высшие про-
изводные или несколько неизвестных функций, часть задач
трактует теоретические вопросы, например составление
обобщенных условий трансверсальности. Следует обратить
внимание на задачи 82—87 об устойчивости прямолинейной
формы стержня при сжатии его продольной силой. В то
время как при граничных условиях, данных в задачах 82
и 83, можно рассматривать экстремум интеграла, содержа-
щего только первую производную от некоторой функции,
в задачах 84—86 этого сделать нельзя; здесь приходится
рассматривать или изопериметрическую задачу или же
задачу о минимуме интеграла, содержащего вторую про-
изводную. В задаче 87 требуется найти минимум выражения,
которое, кроме интеграла, содержит аддитивно заданную
функцию от значения искомой функции на верхнем пределе.
В § 6 задачи о разрывных решениях сводятся по боль-
шей части к установлению условий Эрдмана для угловых
точек. Другой тип задач этого параграфа, в которых допу-
скаемые до сравнения линии лежат в определенной области,
решаются при помощи метода односторонней вариации.
В § 7 задачи 126 и 129 освещают вопрос об инвариант-
ном характере дифференциальных выражений, получаю-
щихся из задач вариационного исчисления. В этом же пара-
графе дан ряд задач на вывод уравнений математической
физики из принципа Гамильтона. Как в задачах этого пара-
графа, так и в двух последующих параграфах ставится
почти исключительно вопрос об экстремалях.
§ 1. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА
1. Найти достаточные условия сильного минимума инте-
грала
1 — j f(x, у) ах
при условии, что конечные точки минимальной кривой ле-
жат соответственно на прямых х — хх и х — л2.
*4-1 1
Примеры: 1)/=/ (у3 — Зх*у)dx; 2) 1= j‘ у (у-\-x)dx;
— 1 и
4-а
3) /= J (х2у-1у3 — a2yjdx (а > 0);
—а
4) / — J' (бах—у--')у dx (а >0, хл > 0).
о
Указание. Воспользоваться формулой Тэйлора с оста-
точным членом.
2. Найти минимум интеграла
(а?2.у2)
I— I (У2 4* 2xyyz) dx.
(•»’, Уд
3. Найти экстремум интеграла
у.У
I— J (ху 4-у2 — 2у2у') dx.
(*i, //)
4. Найти экстремум интеграла
г/3)
/= f ^+>2+^У)^.
(®1, УУ
5. Найти экстремаль интеграла
в
проходящую через заданные точки А и В, лежащие в верх-
ней полуплоскости у > 0.
6. Найти экстремали интеграла
(®»;J/2)
/= J Ум14-У2) У1 > °> У‘2 > о-
(®х, 2/1)
7. Найти в квадратурах экстремали интеграла
1= J' ynjA 1 4-у‘2 dx.
Ji,
1Г,
8. Найти экстремали интеграла /== f rn ds (в полярных
м,
координатах г, 6), выражающего момент n-ой степени дуги
относительно начала координат.
9. Материальная точка движется в плоскости так, что ее
скорость v обратно пропорциональна ее расстоянию до на-
чала координат, причем j vds, взятый вдоль траектории
между двумя любыми точками последней, является экстре-
мумом. Найти направление силы, действующей на точку и
орбиту точки.
10. Плоская кривая является орбитой для свободного
движения материальной точки под действием центральной
силы и в то же время брахистохроной (см. задачу 29)
для другого движения уже при другой центральной силе
Показать, что если v и v' суть скорости точки в этих двух
движениях в некоторой точке траектории, то для всех точек
траекторий произведение vv' остается постоянным.
11. Среди всех кривых, соединяющих начало координат
с прямой х = а, определить ту, которая, заключая вместе
с осью Ох и указанной прямой площадь заданной вели-
чины S, имеет наименьшую длину.
Я?
Указание. Взять за независимую переменную к = J ydx,
О
т. е. площадь, ограниченную кривой, осью Ох и перемен-
ной ординатой (прием Эйлера).
12. На сторонах ОА и ОВ угла с вершиной О даны
точки А и В-, требуется соединить их кратчайшей линией
АСВ, при условии, что площадь ОАСВО имеет заданную
величину S.
Указание. Взять за независимую переменную площадь
сектора О АС, за функцию — длину радиуса ОС.
13. Найти поверхность вращения около оси ОХ, имею-
щую заданную площадь и заключающую наибольший объем
при условии, что поверхность пересекает ось вращения
ровно два раза.
14. Найти все интегралы 1= J F(x, у, y')dx, для кото-
рых экстремалями служат прямые линии.
Указание. Составив дифференциальное уравнение экстре-
малей, y"~G(x, у, у'), получить из уравнения Эйлера
— ° дифференцированием по у'
уравнение в частных производных для R — F^:.
дх~^~У ду~^~ ду'~^~
Таким образом, существует бесчисленное множество задач
вариационного исчисления, имеющих заданное уравнение
у" — О(х,у,у') своим уравнением Эйлера.
т,
15. Найти все интегралы / — J F{x, у, y')dx, для кото-
рых экстремалями являются параболы у ~ ах -j- Ьхъ.
Указание. См. задачу 14.
§ 2. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПРОСТЕЙ-
ШЕЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
16. Среди кривых, соединяющих точки А (1,3) и 5 (2, 5)»
найти ту, которая дает минимум интеграла
г
/= J у' (1 +л2У) dx*
1
Указание. Рассмотреть также полное приращение инте
грала А/.
17. Найти среди линий, соединяющих точки Д(0, 1) и
В (1, 4), ту, которая дает минимум интеграла
1
I— J (12ху-1~уУ ~]~y'2)dx.
О
18. Среди линий, соединяющих точки Д(1, 0) и В (2, 1),
2
найти ту, которая дает минимум интеграла I— J (xyri—y)dx*
i
Найти характер минимума.
19. Найти минимум интеграла
(2,1)
I — J (ху'4 — 2yy's) dx
(i,o)
и определить его характер.
20. Показать, что если подинтегральная функция инте-
грала
(Щ
1 = J F{x,y)dx
&)
не содержит явно у, то каждая экстремаль всегда может
быть окружена полем и для сильного минимума достаточно
(л,/) _ *
выполнение условия----fr./a ' > 0 в каждой точке поля для
любого направления.
21. Найти минимум интеграла
7= у‘ ехУ Н-у'2 dx.
(0,0)
22. Показать, что прямая у —О дает только слабый ми-
(1,0)
нимум интеграла /— J (у'2— yy's) dx, хотя условие
(0.0)
d^F
Лежандр а^-?2> 0 в точках экстремали _у = 0 выполняется
для всех у.
23. Найти критические сопряженные точки на экстрема-
13
лях интеграла /— Jy У1 -т-у'2 ах при помощи дифферен-
А
циалыгого уравнения Якоби.
24. Найти минимум интеграла
1= j' (ys + 2y> — 9y)dx.
to. ?/i)
J’ 1 + v2
—~r~-dx. Найти
ас,
экстремали, проверить условия Лежандра, Якоби, Вейер-
штрасса и найти характер минимума.
«Г,
26. Найти минимум интеграла/=
-~dx. Найти экстре-
ат
мали, проверить условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса и
найти характер минимума.
27. Показать, что экстремали интеграла
Z= J ymG(y')dx
-
получаются одна из другой преобразованием подобия и
переноса параллельно оси ОХ. При этом касательные в со-
пряженных критических точках пересекаются на оси ОХ.
28. Среди кривых, соединяющих точки Мг (— а, Ь) н
Л?2 (а, Ь), а > 0, Ь > 0, найти ту, которая при вращении
около ОХ дает наименьшую поверхность. При этом:
1) найти экстремали;
2) исследовать вопрос о возможности проведения экстре-
мали через две данные точки;
3) в случае существования экстремали, проходящей че
рез две данные точки, выяснить, какая из них дает мини-
мум и найти характер этого минимума.
29. Задача о брахистохроне. Среди кривых, лежа-
щих в плоскости XOY (ось OY направлена вертикально вниз),
найти ту, скользя по которой тяжелая точка скорее всего
скатится из точки О (0,0) в точку М (а, Ь}. При этом началь-
ная скорость точки равна нулю.
30. Найти в вертикальной плоскости XOY кривую, дви-
гаясь по которой тяжелая материальная точка придет
в кратчайшее время из точки О (0, 0) в точку М (а, Ь\ при
этом дано, что начальная скорость в точке О равна |/2gh.
31. Задача Ньютона. Найти форму, какую надо
придать телу вращения, чтобы оно испытывало наименьшее
сопротивление при равномерном движении вдоль оси вра-
щения. При этом предполагается, что при скорости v эле-
мент испытывает в направлении оси ОХ сопротивление
£p2cos3<pda. Здесь <р—угол нормали к &<з с ОХ. Требуется
найти экстремали, рассмотреть условие Якоби, исследовать
характер минимума.
Указание. Если уравнение меридиана поверхности у ==/(л"),
то полная сила сопротивления будет равна интегралу
•Т1
k J 2яу v2 cos8 ads —
''8 ,
--,-dx.
Принять за параметр 9 —у По поводу условия Якоби
см. задачу 27.
32. Среди линий, соединяющих точки А( — 1, 1) и
В (1, 1), найти ту, которая дает минимум интеграла:
1
/= J(Xy2_|-12y2) dx.
-1
Исследовать полное приращение интеграла Д7.
Замечание. Злчеь общая теория неприменима, так как
(PF
—обращается в нуль внутри данного интервала.
33. Найти минимум интеграла
(1,1)
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛОВ 185
34. Показать, что для интеграла
(-1,0)
ОХ является такой экстремалью, для которой вторая вариа-
ция положительна, но интеграл все ..же не имеет сильного
минимума. —
35. Показать, что не существует непрерывной функции
У — которая давала бы минимум интеграла:
1
-1
и удовлетворяла бы условиям: <?(—1) = — 1; © (1) — 1. (При-
мер Вейерштрасса.)
Указание. Вывод можно основать иа изучении функции
_ arctg ах
у ~~ arctg а *
36. Найти минимум интеграла
(к, о
/ v'2cos2x(Zx.
’ (0, 0)
37. Найти минимум интеграла
(1,1) £
/ хэу2Лс.
(-1.-D
г ,
§ 3. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛОВ
ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТЬ ,
38. Найти максимум интеграла
(•«2, У3)
/?>0*
(®1, V1)
Указание. Взять уравнение Эйлера в форме:
59. Найти геодезические линии ца поверхности вращения
г2 = 2/(г)
(г, % z — цилиндрические координаты). Выяснить, для каких
Жа
дуг AIjAfg интеграл ds действительно будет минимум,
м,
40. Найти геодезические линии круглого цилиндра r — R.
41. Найти геодезические линии конуса /* —ztga.
42. Исследовать геодезические линии на шаре радиуса R.
Найти экстремали, исследовать условие Якоби и выяснить
характер минимума интеграла J ds.
Указание. Полезно ввести сферические координаты.
43. Геодезические линии на параболоиде вращения 2г — г2.
При каком условии геодезическая линия между двумя точ-
ками на одном меридиане будет кратчайшим расстоянием.
44. Для сплюснутого эллипсоида вращения
V2
а-
= 1; а > b
экватор (у = 0, x2-\-zz — a2') есть геодезическая линия. По-
казать, что сопряженная с точкой А критическая точка А'
„ Л
этой линии отстоит от А на расстоянии
Указание. Применить дифференциальное уравнение
Якоби.
45. Имеем две окружности радиуса г с центрами в точ-
ках Mt(—а, Ь) и М2(а, Ь). Кривая лежит в верхней полу-
плоскости, кончаясь на данных окружностях, а при враще-
нии вокруг ОХ дает поверхность наименьшей площади.
В каких точках и под каким углом она пересекает окруж-
ности?
46. Написать условие трансверсальности для интеграла,
л/.
/= f [4W -х'у) - Я -
Mi
47. Для каких интегралов вида JF (х, у, у') dx транс-
версальность приводится к ортогональности?
48. Найти все интегралы J у, у') dx, ' у которых
трансверсали пересекают экстремали под углом 45°.
49. Среди линий, соединяющих точку 0(0, 0) с кривой
у3=2 — х, найти ту, которая дает минимум интеграла
(®Ъ&1)
J ^-y^dx-
(0,0)
50. В вертикальной плоскости ХОУ, с направленной вниз
осью ОУ, найти кривую, двигаясь вдоль которой тяжелая
материальная точка придет в кратчайшее время из точки О
на заданную прямую у — (х—c)tgp; 0<р<>. При этом
начальная скорость равна нулю.
Указание. Положить у' — ctg 9, где 9 — параметр.
§ 4. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
51. Найти функцию поля р(х,у) и само поле экстре-
малей, проходящих через начало координат, интеграла
(а?. У) ____
I У1±УЛс!Х) (у>0).
(0,0)
52- . Дано, что семейство экстремалей проходит через
точку (х0, у0). Обозначая через (хр у,) точку пересечения
этих экстремалей с некоторой трансверсалью, показать,
что взятый по экстремали интеграл
(Мд
J f(x, у, у') dx
(®о> Уъ)
имеет постоянную величину.
52b>s. Семейство экстремалей, зависящих от одного пара-
метра, пересечено двумя трансверсалями. Доказать, что
интеграл j f (х, у, у') dx, взятый по любой экстремали
между точками пересечения с трансверсалями, имеет по-
стоянное значение.
Указание к задачам 52 и 52b,s. Использовать криволи-
нейный интеграл Гильберта
® = J [/ (*, У, Р) —Pfp (х, у, р)] dx + 4 (х, у, р) dy,
а также условие трансверсальности.
188
вариационное Исчисление
53. Среди линий, соединяющих прямую х = 0 с точкой
A Ui, .У1)> где xt > 0, у, >0, найти ту, которая дает минимум
интегралу^
(у>о);
о
Составить также уравнение Гамильтона-Якоби и найти
эквидистантные кривые для экстремалей, трансверсально
пересекающих прямую х = 0.
54. Найти уравнение Гамильтона-Якоби и трансверсали
для поля экстремалей у — ах интеграла J y'2dx.
55. Найти трансверсали для поля экстремалей у = ах
интеграла
/ = У* G(y')dx.
56. Найти трансверсали для поля экстремалей у = %4~а
интеграла
I— J (xyri — 2yy's)dx.
57. Найти трансверсали для поля экстремалей^ — %—'—
интеграла
J Vykl—y^dx; (а > О, х>0;
58. Найти экстремали интеграла
7= f G(y)VTV^dx
путем решения уравнения Гамильтона-Якоби и обратно
найти решение уравнения Гамильтона-Якоби, исходя из
первого интеграла уравнения Эйлера.
59. Найти экстремали интеграла
ж,
/ = J y^^y^yi^-^dx
при помощи решения уравнения Гамильтона-Якоби.
60. Зная, что путями лучей света являются такие кривые,
по которым свет распространяется в наикратчайшее время,
и зная, что скорость света обратно пропорциональна коэф-
фициенту преломления среды п, показать, что брахистохрона
(задача 29) есть путь света в среде, в которой коэффи-
циент преломления п выражается формулой:
1
V 2gy
В связи с этим найти пути лучей света в такой среде
и уравнение волновых поверхностей. Для брахистохрон
найти синхроны, т. е. кривые, куда точки, двигающиеся
из точки (0, 0) по разным брахистохронам, приходят одновре-
менно.
61. Найти траекторию материальной точки, движущейся
под влиянием силы тяжести, исходя из принципа наимень-
шего действия, согласно которому для траектории точки
первая вариация интеграла „действие11 обращается в нуль:
/= f V^W+h)ds.
Здесь U—силовая функция, в данном ~случае~Сл= —gy;
если ось OY направлена вверх.
- Составить уравнение Гамильтона-Якоби и, решив его,
найти экстремали, в частности те, которые проходят через
начало координат. Исследовать характер минимума инте-
грала.
Указание. Если масса точки равна единице, то закон
живой силы дает:
s'3
— ^=h — gy.
62. Найти траекторию для движения точки в плоскости
иод действием силы отталкивания от оси ОХ, пропорцио-
нальной расстоянию точки до этой прямой и направленной
параллельно оси OY при условии, что интеграл живой
^2 у2
силы имеет вид ----~ = 0, исходя из интеграла „действие"
/= f У VT+y'^dx (у>0).
63. Материальная точка описывает окружность r=2/? cos О
(в полярных координатах г и 0) радиуса R под действием
центральной силы , обратно пропорциональной пятой
степени расстояния от центра силы, лежащего в начале
координат. Показать, что интеграл „действие", взятый по
любой дуге этой окружности—< 6Х < 0 < 62 < — , является
сильным минимумом.
Указание. В рассматриваемом случае и дей-
ствие пропорционально J -^-^-hds. Показать, что
Z?=0,
64. Изучить движение материальной точки иод действием
центральной силы, пропорциональной расстоянию от центра
силы О, исходя из принципа наименьшего действия и при-
меняя метод Якоби-Гамильтена.
Показать, что в сопряженных критических точках какой-
либо траектории точки, рассматриваемой как экстремаль
интеграла действия, касательные взаимно перпендикулярны.
65. Найти геодезические линии на поверхности Лиувилля,
для которой элемент дуги имеет вид
решая уравнение Гамильтона-Якоби.
66. Доказать, что для поверхностей, у которых элемент
дуги определяется равенством:
rfs2 = Е (и, г») du2 4- 2F (и, ф) du dv Ц- G (и, v) dv2,
уравнение Якоби-Гамильтона для задачи о геодезической
линии имеет вид:
О (+е(^)’=£С-/Ч
\ ди / ди dv \ ov ]
67. Найти кратчайшее расстояние между заданной точкой
и параболой у2 — 2рх,
68. Найти минимум интеграла:
1
J (2/У2+у у' + У ^х>
о
если значения на концах интервала не даны.
69. Найти кратчайшее расстояние между двумя окруж-
ностями Сх и С2, лежащими в одной плоскости.
70. Для задачи о нахождении минимума интеграла
/= J f(x, у, У) dx,
дано уравнение Гамильтона-Якоби: zex~H(x, у, zt>s). Найти
функцию / (х, у, у').
Указание. Воспользоваться равенствами:
=/(*, У> Р) —Pfp (*, У, Р), -Qj =fP Об У> Р)>
где р— функция поля.
71. Уравнение Гамильтона-Якоби для задачи о минимуме
интеграла
f f(.x,y,y')dx
имеет вид
\дх J Ц ду / ! >
Найти функцию /(х, у, у').
§ 5. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ ИЛИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦИЙ
72. Для задачи о минимуме интеграла
ГР,
J /(*, у, у', у") dx
найти уравнение Эйлера и граничные условия, считая за-
данными только координаты конечных точек.
73. Показать, что уравнение Эйлера для условий задачи 72
имеет первый интеграл:
ду'
d ( д/ \
-г~ J — const,
dx \ оу /
если f не содержит у. В случае же, если / не содержит х,
то первый интеграл можно написать в таком виде:
, ,Г df d ( df\] „ df
J—У ---------~г- ~гт/ ) —У ~ const.
ду ах \ ду / ] J ду
Если, наконец, f не содержит ни х, ни у, то уравнение
Эйлера имеет второй интеграл:
74. Среди линий, проходящих через точки А (0,0)
и В (1, 0), найти ту, которая обращает в минимум интеграл
У* y'^dx в двух случаях: 1) еслиу'(0) = а; у'(1) = 6; 2) если
О
не дано никаких других условий.
75. Найти экстремали интеграла f (/')” dx.
76. Ищется минимум интеграла J f (х, у, yr,y") dx, при-
чем для переменного верхнего предела дано условие:
© (х, у, у') = 0. Найти условие на этом конце, обобщающее
условие трансверсальности.
77. Та же задача, но на верхнем пределе дано значение
у'(х2) и кривая h (х, у) = 0, на которой должна лежать
точка (х2, у2).
78. Найти такую плоскую кривую, чтобы площадь, огра-
ниченная дугой /I4j/142, нормалями и 7142С9 в точках
М} и 7И2 и дугой эволюты CjC2, обратилась в минимум.
При этом даны величины: хп у,, у/ и х2, у2> Уъ> т- е- поло-
жения и направления концов МгМ2.
Пример. х1=у1 = 0, у/ = 1; х>—1, у2 = 0; у/ — — 1.
Указание. Положить у' = tg4> и принять ф за параметр.
79. Прежняя задача, только не даны направления в точ-
ках Afi 11 А42. При этом А/ДО, 0) и М, (2-^,0).
80. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы
функция / (х, у, у',... у(п)) при любом выборе функции у
была полной производной по х от некоторой функции
®(х,У,у\...у(г1-1)).
81. Является ли ,© = х2у/"4-ху"-|-(2ху—1)У+У + 2х
полной производной от функции «(х, у,у', У) и если это
так, то найти функцию и.
82. Вертикальный стержень зажат на своих концах О и А.
Нижний конец О неподвижен, верхний может перемещаться
по горизонтали. На верхний конец его А действует сила Р,
направленная вниз. Определить критическую нагрузку Р°,
I
при которой прямолинейная форма стержня перестает быть
1 устойчивой. Модуль упругости Е. Момент инерции попереч-
ного сечения относительно оси, проходящей через центр тя-
жести сечения перпендикулярно плоскости изгиба, равен I.
Указание. В случае равновесия полная потенциальная
энергия должна быть минимумом. При этом потенциальная
i
I . - 1 ст Г ds
а энергия изгиба выразится интегралом . —, где р —
J J Р“
О
радиус кривизны. Потенциальная энергия, происходящая от
опускания верхнего конца, равна Р • Ьу, где &у— смещение
конца А против неизогнутого состояния (ось ОУ напра-
влена вертикально вверх). За искомую функцию полезно
I принять угол 6 между касательной к стержню и осью ОУ.
На концах очевидно 0 = 0. На нижнем конце должно быть
равно нулю боковое смещение конца.
83. Тот же вопрос, но при условии, что нижний конец
i зажат, верхний свободен, т. е. на нижнем конце 0 = 0, на
верхнем не задано.
Указание. Вопрос о минимуме разобрать в предполо-
ег
i жении малых прогибов, считая cos 6 = 1---%-.
84. Та же задача при условии опертых концов.
Указание. Считать прогибы малыми и положить
1 (Ри ________ dи
Р dyz ’ dy ’
где V— горизонтальное смещение точки. Полная потен-
циальная энергия может быть выражена интегралом:
~2 J а)
О ’ ’
На концах г< = 0.
85. Та же задача, но при условии, что оба конца зажаты,
т. е. на них v = 0, У = 0.
83. Та же задача, но нижний конец зажат, а верхний
оперт, т. е. на верхнем конце г> = 0, a if не задано.
87. Горизонтальный стержень АВ длиной / одним концом
свободно оперт, а другим лежит на упругой опоре и сжи-
мается двумя горизонтальными силами Р. Определить
критическую нагрузку Ро, считая, что при вертикальном
Гюнтер и Кузьмин, ч. Ill 13
смещении г> упругая опора дает сопротивление равное —kv.
Указание. Потенциальная энергия упругой опоры
Л©2
равна ~2~
88. Если интеграл /= //(х, у, у', у") rfx преобразовать
по Вейерштрассу в /— JF (x,x',xF, y,y',y")dt, то функция F
будет тождественно удовлетворять равенствам:
F^x' Fx,+y' Fy.-\-4x" Fx., + <2y" Fy.,-, 0 = x' Fx„-\-y' Fy„.
89. Показать, что уравнения Эйлера для интеграла
У /(*, У у У'> г> z') dx
допускают следующие первые интегралы:
df „
1) ~7 = С, если f не содержит у;
90.
f—г' С’ если f не содеРжит х'
Показать, что уравнения Эйлера для интеграла
/(х, у, у', z, z') dx
могут быть представлены так:
dy _дН _ dz ___дН di\___дН # dll #
dx dr, ’ dx дС * dx ду ’ дх dz '
Н(х, у, z. т{,(,)—у'—у—f\ = '•“ТЛ7*
\ > X, < I X ду' 1 dz J ду' dz
91. Найти условие трансверсальности для интеграла
/ /(л, Ь у'> z> z') dx,
если конечная точка лежит на поверхности S(x, у, z) = 0.
92. Та же задача, но конечная точка лежит на кривой
у — F (х), z — G (х).
93. Показать, что для интегралов j' f(x,y, z)ds и только
для них условия трансверсальности на поверхности или
кривой совпадают с условиями ортогональности.
94. Ищется минимум интеграла
лг3
f !' (х, у, z) ds,
й.
где р (х, у, z) положительная функция, непрерывная вместе
со своими производными. Показать, что:
1) В точке пересечения экстремали с поверхностью
уровня р — С соприкасающаяся плоскость экстремали содер-
жит нормаль к поверхности уровня.
2) Если 4 угол между касательной к экстремали и нор-
малью к поверхности уровня, причем поверхность проходит
через точку касания, то р sin 4» — С на всей экстремали.
3) Условие Вейерштрасса выполняется.
95. Гибкая нить находится под действием силы/7, имею-
щей потенциал U, так что:
v__ dU_ y— — ^L ? dU
дх’ ду' ' dz'
При этом сила F отнесена к единице длины нити. Уравне-
ния равновесия нити имеют вид:
rf / у. ( Г dz \
ds \ ds ) дх ' ds \ ds / ду ' ds \ ds /—' dz
Здесь Т—натяжение нити, ds2 — dx2 -j- dy2-Г dz\ Из этих
уравнений следует, что T~U-\-h, где h — постоянная.
Доказать, что условия равновесия нити являются необ-
ходимыми условиями минимума интеграла (х, у, г) ds,
где — h.
96. Найти дифференциальные уравнения геодезических
линий в /г-мерном пространстве Римана, т. е. экстремали
интеграла, определяющего длину кривой между двумя
точками;
/=: V ^Хг'х^дт.
J i, к
При этом квадратичная форма ds2^^glkdxidxk симме-
трична (т. е. gik — gki) и положительна.
97. Найти кривую между точками (xn ур г.) и
Afa (х2, у2, z2) так, чтобы ее линейный момент относительно
оси ОХ, т. е. интегргл
I' /y2-j-z2 . у j
был минимумом.
98. Найти минимум интеграла ]/7z—х2—у2 — z^ds,
дающего „действие" в случае, если материальная точка
притягивается к неподвижному центру силою, пропорцио-
нальною расстоянию.
1) Найти экстремали непосредственно и по способу
Гамильтона-Якоби.
2) Найти сопряженные критические точки.
99. Найти кратчайшее расстояние между кругом
л2+у = а2, £ — 0
и гиперболой:
z2—у = с2 х —0.
§ 6. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ. ОДНОСТОРОННЯЯ ВАРИАЦИЯ
100. Найти разрывные решения с угловой точкой для
задачи о минимуме интеграла
(21)
J у'2 (у'— Г)2 dx.
<о,о)
101. Среди линий, идущих из точки А (0,0) в точку
В (2,0), найти линию с угловой точкой, вдоль которой
интеграл
в.
/* (У4 — бу'2) dx
А
принимает минимальное значение.
102. Найти разрывные решения с угловой точкой задачи
о минимуме интеграла
/’(У4 —2У2)йх.
А
103. Для задачи об экстремуме интеграла
siny dx
(ОД)
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ. ОДЙОСТОРОННЯЯ ВАРИАЦИЯ 197
найти непрерывные решения, а также решения с угловой
точкой.
104. Среди всех цилиндрических поверхностей с обра-
зующими, параллельными OZ, найти ту, на которой плос-
кость z = 0, конус z = ]/x2-} -y2 tga и две образующие,
проходящие через точки А(хиу^) и 5(x2, у2), отсекают наи-
меньшую площадь.
Указание. См. задачу 8.
105. В плоскости XOY найти кривую, соединяющую две
точки (ru и /И2 (г2, 62) и имеющую наименьший момент
инерции относительно точки О. Найти непрерывные и раз-
рывные решения.
106. Среди линий, лежащих в верхней полуплоскости и
соединяющих точки А и В, найти ту, которая при вращении
вокруг ОХ дает наименьшую поверхность.
Найти разрывные решения (см. задачу 28).
107. Найти кривую, лежащую в области _у>А>0, соеди-
няющую точки Mj (—а, Ь) и ТИ2(а, 6) и образующую при
вращении вокруг ОХ наименьшую поверхность.
108. Среди линий, соединяющих данные точки А (х0,у0)
и В (xnyj, найти разрывное решение задачи о минимуме
интеграла
в
/= /*V(h—gy) (х'2 + У2) dx.
Л
109. Найти кратчайший путь из точки Д( — 2,3) в точку
5(2, 3), расположенный в области ygx2.
Указание. На пограничной линии в силу односторонности
вариации должно быть выполнено неравенство:
п
ду dx \ ду' /
НО. Среди кривых, соединяющих точки А (0, 0) и В (6,0)
и лежащих в области у>0, найти ту, которая дает макси-
мум интеграла
в
У‘(у2 — ау /Г+У2) dx,
А
при условии b > 2а > 0.
111. Ищется минимум интеграла
ъ
1= f Vu (х,у) -fh VГ+У2 dx
в области y^f(x) при условии, что на одном пределе за-
даны значения функции и ее производной (а,уа,уа'), а на
другом пределе дано только само число Ь. Показать, что
если экстремаль встречает граничную кривую y—f(x), то
ее дальнейшее продолжение составляет с граничной кривой
тот же угол, т. е. угол падения равен углу отражения.
112. Внутри выпуклой области В заданы две точки ЛТ,
и
Найти кратчайший путь из в М2 с заходом на гра-
ницу В.
113. Найти минимум интеграла
_______________________________
у У у • |/1 —y'^dx
(0,0)
при условиях:
yfeO; 1—У2ё-0.
114. Между кривыми, соединяющими точки А(а,уа) и
^(^>У&) найти ту, которая дает экстремальное значение
интегралу
ъ
I уУ1 —у2 у'2 dx
а
при условии
у 0, 1 —у2 у'2 0.
115. На поверхности z = <?(x,y) даны точки и М.2.
Провести на поверхности кратчайшую линию из TMj в М2
* „ dz
при условии, чтобы наклон кривой, т. е. , не превосхо-
дил данного числа k (горная железная дорога).
116. Соединить точки А и В кратчайшим путем, выхо-
дящим из Л в данном направлении и имеющим кривизну,
не превосходящую данной величины Точка В лежит
г\
вне кругов радиуса R, касающихся данного направления
в точке А. (Задача Маркова.)
117. Свет идет по такому пути, что первая вариация
интеграла
/ n(x,y)Vx'2-\-y'2dt
Ус)
вдоль пути равна нулю.
V
При этом п(х,у)— показатель преломления среды.
Если луч проходит из одной среды в другую, то п (х, у)
может получать внезапное изменение. Вывести условие
преломления луча света при переходе луча из среды с по-
казателем преломления в среду с показателем преломле-
ния ла (см. задачу 94).
§ 7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
118. Составить уравнение Эйлера для интеграла f J^dS,
' где v — отрезок нормали между поверхностью и плос-
костью ху.
119. Уравнение Эйлера для интеграла
J у, z, р, q) dx dy,
где f принимает на контуре заданные значения, способно
обращаться в тождество. Доказать, что необходимым и до-
статочным условием для этого является равенство:
f , ... ч . .., ч дЬ дМ . dN
f= L (х,у, z) + М(х,y,z)piN(х,у,z)q; — - = ф- — .
(С другой стороны необходимым и достаточным условием
является независимость величины интеграла от вида поверх-
ности S.)
120. Найти уравнение Эйлера для задачи о минимуме
интеграла
(ди \2 1
-4-2м/(%,.у)J dxdy
при заданных значениях и на контуре области.
121. Найти минимум интеграла
f J\p~+q*)dxdy,
s
если даны значения функции и на контуре. При этом:
1) составить уравнение Эйлера;
2) показать, что всякое решение уравнения Эйлера, удо-
влетворяющее условиям на контуре, дает сильный минимум.
122. Найти уравнение Эйлера для задачи об экстремуме
интеграла
dx dy.
Указание. Обратить внимание на то, что можно найти
функцию <р (х, у\ имеющую непрерывные первые производ-
ные, но не имеющую вторых производных и следовательно
не удовлетворяющую уравнению Эйлера, но тем не менее
обращающую первую вариацию интеграла в нуль.
123. Получить дифференциальное уравнение минималь-
ных поверхностей, т. е. среди всех поверхностей z — z(x,y),
опирающихся на заданный контур С (или несколько кон-
туров), найти ту, которая имеет наименьшую площадь.
В частности найти минимальные поверхности, уравнение
которых имеет форму z — <?(х) (_у).
124. Показать, что если мы имеем минимальную поверх-
ность z — z(x,y), опирающуюся на заданный контур С, то
эта поверхность дает сильный минимум интеграла
/= JJ у 1 + р2+у2 dx dy.
125. Показать, что задача о минимуме интеграла
G (Уи2 4- г»8) dx dy,
где
до до
дх ду
приводит к уравнению Эйлера
(с2 — и2) — 2uv - —f- (с2 — г»2) = 0,
4 ’ дх4 дх ду 1 v ' ду2
где
~qG"(q}-G'(q)
(к такому уравнению приводит задача о плоском стацио-
нарном адиабатическом движении сжимаемой жидкости
с потенциалом скорости <?, если положить:
G (q) = [2a2 + (T-l)(t/2-<72)]1'-1;
а, 7, U—постоянные).
126. Пусть £ (х,у), т[(х,у) криволинейное координаты
и пусть:
ds2 = dx4-\-dy^ — e (Е, tj) d& + 2/(Е, ц) d £d^ +g(£, tj) .
Исходя из первой вариации интеграла
г С I ди \2 . / ди уп , ,
J~J ЛЫ+by)W'
показать, что оператор Лапласа Д/г преобразуется к новым
криволинейным координатам по формуле:
. д2 и . &и
&“=
1 ( д (g^—K \ а / еиг—^ \|
Veg—/2 Id A Veg—f* ' dv;\]Zeg-—f2 Ji
Пример. Полярные координаты, где ds^-dr^-j-i^dd2
Указание. Если
р . £>СЛО _ 1
D(x,y) Veg—f2’
то
^=~Dx^; ^=~Dyv ^ = Dxt;
е^4-еу^=-£>й/; %2+V-£>2e.
Поэтому
Z= У jD[gu2 — 2/Ц + eiifi d^d^
127. Значения функции и даны на поверхности объема V.
Найти необходимое условие минимума интеграла
Ш' / ди \» . / ди \2 . / ди У1 , , .
ЬЛ+Ы +ЬЛ
V
128. Тот же вопрос в применении к интегралу:
Г С С , /\ . / ди \8 . I ди V . ( ди у , . ,
J JrJ V 1+Vdd ’H’dy) ~ir[-te)dxdydz-
129. Пусть Е2, Е8 — криволинейные ортогональные ко«
ординаты, определяемые формулами:
х — х (Е1э Еа, Ед); у ,==:У S2, Eg), z = z (Ер E2, E3).
Пусть также:
ds2 dx2 4- dy2 + dz2 ^HPd Ey -|- Я22 d Eaa + Н/ d^
202
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пользуясь первой вариацией интеграла:
ШГ / ди V . / ди \2 . / ди \21 . , ,
показать, что оператор Лапласа Д« в новых координатах
имеет вид:
1
△ и =
д [ Н2Н3 ди \ . д / Н3Н1 ди )
। д / Н1Н2 ди \ 1
+ Н3 ^з/]-
Пример. Сферические координаты, где
cfs2 = sin2 6 d <p2 4- r2 d 62.
130. Показать, что для задачи о минимуме интеграла
f f f ^ + H^^H^-E^-E^-E^)dxdydzdt,
где
„ __ dA, дА* . н __ <МЖ d.4„ , И дАу_ дАх
* ду dz ’ 9 dz дх ’ ’ дх ду
~ дАх дФ „ дА дФ Р дАе дФ
х dt дх ' v dt ду ’ ' dt dz *
уравнения Эйлера совпадают с уравнениями Максвелла рас-
пространения электромагнитных волн:
d/У, d£~> - дИу дН, _ дЕ,
ду dz dt ’ dz дх dt ’ дх ду dt
дЕ„ dEv дЕ,^0'
дх ' ду ' dz
131. Составить дифференциальное уравнение продоль-
ных колебаний стержня, исходя из принципа Гамильтона.
Стержень расположен по оси ОХ между точками (0,0,0)
и (/, 0,0) и работает на продольное сжатие и растяжение. Обо-
значения: и (х, t) — смещение; w (х) — площадь поперечного
сечения; р (х) — плотность материала; Е — модуль упругости;
а — коэффициент Пуассона; /(х) — полярный момент попе-
речного сечения относительно точки (х, 0,0); F (х) — внешняя
сила на единицу массы. Выяснить, какие граничные усло-
вия можно рассматривать на концах.
Указание. Потенциальная энергия
кинетическая энергия
i i
'Г 1 Г / ди \* . 1 9 С т[ д*и \2.
T=~2j Р“(^Г)‘lx+2°~J р/(^)
О о
Для работы внешних сил имеем выражение
г
8 А — (' (м Fou dx.
о
132. Составить дифференциальное уравнение малых
поперечных колебаний стержня, исходя из принципа Га-
мильтона. Стержень длиной I расположен по оси ОХ и ра-
ботает на изгиб. Колебания происходят в плоскости X0Y.
Обозначения: v (х, t) — смещение; « (х) — поперечное сечение;
р (х) — плотность материала; Е — модуль Юнга; I (х) — момент
инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей
через центр тяжести его перпендикулярно XOY\ F(x)—
внешняя сила, отнесенная к единице массы. Найти также вид
предельных условий, которые должны выполняться в разных
случаях.
Указание. Потенциальная энергия
i
1 Г I V
V=-W'(^)dx-
в
Кинетическая энергия имеет выражение
если учитывать и поступательное и вращательное движение
элемента стержня.
133. Исходя из принципа Гамильтона, составить диффе-
ренциальное уравнение малых поперечных колебаний мем-
браны, расположенной в плоскости XOY и работающей
только на растяжение. Обозначения: С (х,у, t) — смещение,
перпендикулярное XOY; р(х,у)— поверхностная плотность;
50 — площадь мембраны в положении равновесия; Р—на-
тяжение мембраны, постоянное и дающее силу, действую-
щую в плоскости XOY на единицу длины контура, огра-
ничивающего какой-либо элемент площади; F(x,y)— внешняя
сила, перпендикулярная XOY, отнесенная к единице массы;
®—внешняя сила, перпендикулярная XOY, действующая на
контуре и отнесенная к единице длины контура. Найти также
вид предельного условия на контуре С мембраны, когда он
не закреплен (если он закреплен, то предельное условие
будет (с, t) — заданная функция положения точки на
контуре).
Указание. Кинетическая энергия
потенциальная энергия
V= f fp(dS—dSJ.
»-0
Для малых деформаций
1 о С СП V 1 { дг- \2Ъ 4
V~2PJ J \дГ) \dxdy’
134. Составить дифференциальное уравнение равновесия
мембраны и выяснить граничные условия в том случае,
когда на нее действует внешняя сила только на контуре,
равная k (s) С (s), где k — коэффициент пропорциональности,
a C(s)— поперечное смещение точки мембраны. Сила напра-
влена противоположно смещению.
Указание. Потенциальная энергия, происходящая от
внешней силы, равна
-A- f /t(s)P(s)4s.
135. Составить точное дифференциальное уравнение
равновесия мембраны, служащей дном цилиндрического со
суда, в котором налита жидкость плотностью р0, глубиной й
(относительно первоначального положения мембраны). Обо-
значения: t,(x,y,t)— смещение точки мембраны в верти-
кальном направлении OZ (положительное направление вниз),
Р—постоянное натяжение мембраны.
Указание. Потенциальная энергия, происходящая от силы
тяжести,
Ц = / / Ро (А2~ ’2) dx dy>
энергия растяжения мембраны
So
При этом
f f 9o(h-\-t)dxdy—M— масса жидкости.
136. Исходя из принципа Гамильтона, составить уравне-
ние малых поперечных колебаний тонкой пластинки. Пла-
стинка работает на растяжение и изгиб, толщина ее 2/г.
В положении равновесия срединная плоскость пластинки
лежит в плоскости XOY и ограничена контуром С. При
этом: С (х,у, t)—смещение точки по OZ, р — постоянная плот-
ность пластинки, Е—модуль Юнга, о — коэффициент Пуас-
сона, внешних сил нет. Выяснить характер предельных
условий.
Указание. Кинетическая энергия пластинки
Т = р/1 f dxdy'
s0
Потенциальная энергия
.. Eh5 Г Г Г/ 1 , IV 2(1— а) . .
3(1 - а«) J J |Д /?! / J Ъ Z?a dX У-
Полезны приближенные формулы:
1,1 М , дК
дх^ду2’
1 дЧ / дЧ \2
/?2 дх2 ду2 \ дх ду )
„ , <Ж дК,
В дальнейшем величины - и полезно выразить через
дК. дК
и > где п и s — направления нормали и касатель-
ной к контуру.
137. Вывести уравнения равновесия упругого изотроп-
ного тела, исходя из принципа виртуальных перемещений,
т. е. из условия:
где
8 J* \\dxdydz = Q,
П = А _ w, W=р (иХ+ vY + wZ),
2Л=(к+2а) (+р- 4- 4- «у)2+
4- («,+w,)2 — 4^ — 4ws их — 4щ. ъ.],
к и р. — упругие постоянные, И —энергия деформации,
рассчитанная на единицу объема, X, Y, Z—составляющие
внешней силы на единицу массы, и, у, w — перемещения
точек упругого тела, заданные на поверхности; их обогна-
ли
чает -у- и т. д.
138. Вывести уравнения движения упругого изотропного
тела, исходя из принципа Гамильтона:
г J' (г—п) dt = o,
О
где
'г 1 С Г С Г/ V . / cto V / д® \21
~2J J J Н \ / \dxdyd~,
а величина П имеет то же значение, что и в задаче 137,
§ 8. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
139. Найти форму тела вращения относительно оси ОХ,
однородного, имеющего данный объем V и оказывающего
наибольшее притяжение по закону Ньютона на точку, лежа-
щую на пересечении тела с ОХ.
140. Найти однородное тело вращения около оси ОХ
с заданным объемом Гис наименьшим моментом инерции
относительно оси OZ.
141. Стоимость земли зависит от ее положения и может
быть характеризована заданием положительной функции
р(х,у). Среди кривых длиной I, соединяющих точки и
ТИ2, найти ту, которая вместе с хордой М± Л*2 ограничи-
вала бы площадь наибольшей стоимости.
Указание. Ищется максимум
J J1 р (х, у) dxdy,
найти
только кривизну экстремали; применить формулу Грина.
142. Из кривых, длиной I, соединяющих точки —а,0),
Л42 (а, 0), определить ту, которая вместе с ОХ ограничи-
вает наибольшую площадь. При этом / > 2а.
143. Соединить две неизвестные точки и М2 на оси
ОХ кривой наименьшей длины, заключающей вместе с ОХ
площадь данной величины S.
144. Найти замкнутую кривую данной длины I, ограни-
чивающую площадь наибольшей величины.
145. На двух данных ординатах ЛИ1(х = а) и ВВх(х — Ь)
найти такие точки М и N и такую соединяющую их кривую,
чтобы площадь AMNB была максимальная. При этом дана
сумма длин дуги MN и ординат АМ и BN.
146. Среди всех кривых, проведенных между ордина-
тами х — х0 и х — хх и образующих вместе с ними и ОХ
заданной величины площадь, найти ту, у которой центр
тяжести этой площади занимает наинизшее положение.
147. Данную точку (0, Ь) оси OY соединить с ОХ кривой,
заключающей вместе с осями ОХ и OY данную площадь 5
и образующей при вращении около ОХ наименьшую по-
верхность.
148. Из начала координат плоскости XOY провести
кривую ОА длиной I, кончающуюся на прямой у = h и обра-
зующую вместе с ординатой точки А и осью ОХ наиболь-
шую площадь.
149. Дан угол с вершиной в начале координат. Соеди-
нить данную точку Мх на одной стороне угла с неизвестной
точкой другой стороны М2 кривой длины I так, чтобы
площадь между кривой и сторонами угла была наибольшая.
150. Среди кривых длиной I, соединяющих точки
и М..(х2,у2) найти ту, у которой центр тяжести лежит наи-
более низко.
151. Найти форму тяжелой однородной нити, один конец
которой закреплен в точке В (xv j/J, а другой конец нахо-
дится на оси OY. Длина нити I.
152. Среди кривых, проведенных от периферии круга
х24~_у2 = /?2 в точку М(ау 0) и для которых площади сек-
тора с вершиной в центре круга имеют данное значение,
найти такую, для которой потенциал дуги в точке О имеет
наименьшее значение. Плотность постоянна, притяжение —
по закону Ньютона.
153. Среди кривых длиной /, проходящих через точки
TWjtXi.yj) и М2(х2,у.2) и имеющих в этих точках данные
углы наклона и 02, определить ту, которая вместе с нор-
милями и и дугой эволюты заключает
наименьшую площадь.
Указание. Взять дугу $ за независимую переменную,
а угол 6 за функцию. Получим:
i i i
\ г 1 с ds С
S — I pds—-^- I —Z7- —min; I cos 6ds — Хо— x,j
z J 2 J ч J
0 0 0
I
I smbds=y^— yr.
о
154. Найти положение равновесия упругого стержня,
зажатого на концах.
i
Указание. Надо найти экстремум интеграла /==
' о
где г—радиус кривизны. Условия на концах дают коорди-
наты концов (Хр^) и (х%,у^, а также углы наклона и 02.
Задача сводится к изопериметрической, если за функцию
взять угол наклона 6.
155. Аэроплан имеет собственную скорость и. Ветер дует
параллельно оси ОХ со скоростью v < и. Аэроплан имеет
запас горючего на определенное время полета. Определить
максимальную площадь кривой, какую может описать аэро-
план при полете с возвратом в точку отлета.
к п
156. Найти минимум интеграла Jу'2dx, если J yPdx=\,
о о
у (0) — у (-к) — 0. Найти экстремали и проверить условие
Якоби.
тс
157. Найти минимум интеграла J y"2dx при условиях;
о
к
fy'*dX^ у(0)=у(к) = 0.
о
п К
158. Найти минимум J y"2dx, если J y~dx—\, j/(0) =
о и
=_у(тс) = О.
159. Среди линий, идущих из А (0,0; в В fl, -|-Y найти
л А
ту, которая дает экстремум интегралу / y'^dx при условии:
и
1
[ (у—У2)^=-^.
о
160. Из линий от точки А (0, 0, 0) до В(1,1, 1), у которых
в
/* (У2- ху'— z'*)dx = 2,
найти ту, у которой
Л в
У (у'~ г'3 — 4хг' — М} dx
А
минимум. Рассмотреть такую же задачу при условии, что
про точку А известно лишь, что она лежит в плоскости XOY.
161. Среди всех поверхностей z = z(x,y), опирающихся
на заданный контур L и ограничивающих вместе с цилин-
дром, проектирующим L на XOY, и основанием этого
цилиндра данный объем г», найти ту, которая имеет наи-
меньшую площадь. При этом составить уравнение Эйлера
и выяснить его геометрическое значение.
162. Среди поверхностей с заданной площадью 5, опи-
рающихся на плоскость XOY и ограничивающих данный
объем V, найти ту, у которой центр тяжести этого объема
имел бы наинизшее положение. При этом выяснить геоме-
трическое значение уравнения Эйлера и найти, какие гра-
ничные условия должны выполняться на линии пересечения
поверхности с плоскостью XOY.
163. Среди всех поверхностей z = z(x,y) заданной пло-
щади и опирающихся на данный контур найти ту, у кото-
рой центр тяжести лежит наиболее низко. Составить урав-
нение Эйлера и выяснить его геометрическое значение.
164. Среди замкнутых поверхностей данной площади
найти ограничивающую наибольший объем. Составить урав-
нение Эйлера, выяснить его геометрическое значение и по-
казать, что сферическая поверхность удовлетворяет уравне-
нию Эйлера.
165. Дана система материальных точек Mlt Л12,... Л1п
Масса точки равна тч, координаты ее xv, уч, z дей-
Гюнтер и Кузьмин, ч. Ш 14
ствующая на нее сила имеет составляющие Xt, Kv, Z,(. Пусть
существует функция V(xy)yy, zy, t) — потенциальная энергия,
такая, что
dV dV у dV
дху ’ ' dyy ’ dz.t '
Обозначим через T кинетическую энергию:
1 п
т=~ 2 ™А2+у2+К2);
V=1
при этом точка означает дифференцирование по t. Пусть
дано m условий вида ?к (а\, zy, t) = 0, (а = 1, 2, ... m).
Показать, что отыскание экстремума интеграла Га-
мильтона:
^9
/= f‘(T—V)dt
прн заданных ху,уу, zy для t — ty и t — t2 приводит к диффе-
ренциальным уравнениям Лагранжа первого рода:
Если же выразить координаты через г — Зп— m неаавй-
симых переменных qlt q2, ... qr и tt то придем к дифферен-
циальным уравнениям Лагранжа второго рода:
(.=1.2,...г).
dt Qqt dqy dqy
166. При обозначениях предыдущей задачи допустим,
что функции <?а и V—— U не содержат t. Назовем траекторией
кривую в Зге-мерном пространстве: ху — ху (т), у, —У, (’),
zy=^zy(-c), удовлетворяющую всем условиям <?а (ху, yv, zy) — 0.
Каждому движению точек под действием заданных сил
отвечает своя траектория. Показать, что эта траектория
является экстремалью для задачи о минимуме интеграла
„действия"
/- J'VULTfT)
Здесь h— постоянная интеграла живых сил T—U-}-h,
а дифференцирование совершается по т; значения перемен-
ных на концах заданы.
Указание. Составив уравнения Эйлера, выбрать т так,
чтобы оказалось:
V«2+у/2+2'2) = 2(67 -Ь А)-
Найденное значение параметра т обозначить через t.
§ 9. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
167. Функции у (х) и z (х) удовлетворяют уравнению:
72Н-У2=z'•
Кроме того дано, что
3>(0) —у (n) = «e”-f- be~n, z(O) — a— If.
Найти у и z из условия, что z(n)— максимум.
168. Задачу о кратчайшем расстоянии между двумя точ-
ками Mt и М.2 в пространстве рассмотреть как задачу
Майера. _____
Указание, и' — У х'2-*-у''2~\-г'2, х(4) —хъ у(/1) = у1,
2 (4)=2i> х (4)=Л'2. у (4) =Уг, 2 (4) = 4; «(4)=о, и (4) =
=минимум.
169. Среди всех кривых, соединяющих данные точки
/И, (Xujj) и (х2,у2), лежащие в вертикальной плоскости
XOY (OY—вниз), найти ту, двигаясь по которой тяжелая
точка придет из Л!, в М, в кратчайший срок. Начальная
скорость v,; на точку действует, кроме тяжести, сопроти-
вление R — kv".
Указание. Закон живых сил дает
w' — ЁУ' + У х'2 +У2 — 0.
За параметр принять v.
170. Среди кривых,соединяющих данные точки Мх(хх,уг)
и М2 (х2,у2), лежащие в плоскости XOY (OY—вниз), найти
ту, двигаясь вдоль которой, точка придет в Ж2 с наиболь-
взей скоростью. При этом скорость точки в Л4 равна vlt
на точку действует сила тяжести и сила сопротивления
R = hv'1. Сравнить нормальную реакцию кривой с центро-
бежной силой.
,, dy
Указание. За параметр взять z? = -r-.
I
I
I
|
171. Соединить точки Мг (0, 0, 0) и Л/2 (а, 0, 0) кривой,
имеющей данную кривизну — и наименьшую длину.
172. Аэроплан вылетает из точки A (x^yj в момент t — О,
имея в виду в кратчайшее время попасть з точку б(х2, у2).
Найти, как нужно для этого направлять аэроплан, если
известно распределение ветра в пространстве и времени,
т. е. известны проекции скорости ветра ® на осн ОХ и OY:
•wx — u(x,y,t), wv = v (х, у, t). Собственная скорость аэро-
плана V, причем w2 = и? -j- v2 < V2.
173. Крыло аэроплана, длиной I, расположено по оси ОХ
и движется параллельно оси ОУ со скоростью v0 (плоскость
XOY—горизонтальна). Обозначим через f(x)dx подъемную
силу элемента крыла длиной dx. В аэродинамике показывается
при некоторых допущениях, что при таких условиях от эле-
мента крыла отходит вихрь интенсивности dT — —f'(x)dx.
pWo
Здесь р — плотность воздуха, считаемая постоянной. (Эта
формула есть следствие основной формулы Н. Е. Жуков-
ского). Эти вихри вызывают в каждой точке Е крыла на-
правленную вниз скорость воздуха
г
2
4irpv0 J
~~ и
dx.
При этом ось OZ направлена вниз, а у интеграла берется
здесь и дальше главное значение. Индуктивное сопротивле-
ние крыла определяется по формуле
f'wv-dxdt.
5 — X
Требуется определить при заданной полной подъемной
силе крыла
такое распределение подъемной силы, т. е. такую функ-
цию /(х), чтобы индуктивное сопротивление бр:ло наимень-
шим. При этом следует учесть, что благодаря отсутствию
вихрей вне промежутка-----— < х -С -у должно быть вы-
Указание. Обратить внимание на формулу:
174. Даны два уравнения
и'=f(x, у, у', z, и), z'=g(x, у, у', г, и).
Найти у как функцию от х при условии, что значения
х, у, z и и даны при х = х0, дано также у при х = х5 и
и (х,) должно быть экстремумом. Пример:
#1 Ж
u(x'J=J /(x,y,y'f z) dx; 'z= j /1 + у 2 dx.
з-о a?Q
Составить дифференциальные уравнения Эйлера.
175. Найти экстремум функции W=f[u, в), где
и — J F(x, у, х',у') dt, / G (х, у, х', у') dt,
h t,
при заданных значениях х и у на концах промежутка (4, t2).
176. Найти вид экстремалей для задачи о минимуме
интеграла
[(В) (В) ________
I y dx* j У l-\-y'2dx,
(А) (А)
где А (х., yj и В (х2, у2) заданные точки.
ОТДЕЛ СЕМНАДЦАТЫЙ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ВВЕДЕНИЕ
Специальный отдел, посвященный теории вероятностей,
появляется впервые. В нем охвачены основные разделы
теории вероятностей и простейшие вопросы математиче-
ской статистики.
Задачи § 1 имеют целью разъяснить применение основ-
ных теорем теории вероятностей. Начинаясь с примеров
непосредственного вычисления вероятности и постепенно
усложняясь, задачи рассматривают разнообразные случаи
использования основных теорем. При составлении текста
задач этого параграфа, как н везде в дальнейшем, было
обращено внимание на четкую' формулировку условий, при
которых производится вычисление вероятности, так как
только в этом случае можно говорить об определенной
числовой характеристике вероятности. При решении задач
особенно в начале на это следует обратить должное
внимание.
В § 2 даются задачи на вычисление математических
ожиданий и задачи, решение которых связано с вычисле-
нием математических ожиданий. Здесь же рассматри-
ваются и более сложные вопросы, решение которых связано
с использованием конечных разностей и метода производя-
щих функций.
К § 3 отнесены задачи, связанные с законом больших
чисел. Задачи § 3 дают примеры на применение неравенства
Чебышева. Они непосредственно примыкают к задачам § 4,
в котором рассматривается применение теоремы Лапласа
и Ляпунова-Маркова.
В § 4 введены задачи на выборочный метод, который
непосредственно связан с упомянутыми теоремами. С целью
облегчения решения задач § 4 в конце отдела приложена
таблица значений интеграла
С — 1
I е 2" dz. Эта таблица
о
позволяет избежать при решении задач § 4 обращения
к специальным таблицам, которые не всегда могут быть
под рукой учащегося.
§ 5 посвящен задачам на вычисления геометрических
вероятностей. В этом параграфе обращено внимание на
составление кривых распределений и даются примеры нэ
вычисление характеристической функции.
§ 6 охватывает лишь простейшие вопросы математиче-
ской статистики. В начале параграфа даются задачи на
вычисление сводных характеристик, построение гистрограм
и кривых, накопленных частостей.
Далее следуют задачи на выравнивание частот и соста-
вление уравнений выравненной кривой и, наконец, задачи
на обработку корреляционных таблиц.
Все сложные задачи сопровождаются либо указаниями
к их решению, либо подробными ответами, разъясняющими
ход решения.
§ 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ. ФОРМУЛА БАЙЕСА
1. При записи фамилий членов некоторого собрания,
общее число которых равно 360, оказалось, что начальной
буквой фамилии у семи была А, у пяти была Е, у восьми
была И, у девяти О, у четырех—У, у двух— Ю, у всех
прочих фамилия начиналась согласной. Требуется опреде
лить вероятность Р, что фамилия члена данного собрания
начинается гласной.
2. Из ящика, в которам находится 20 шаров белого
цвета и 2 черных, вынимается т шаров, причем после
каждого вынимания шар кладется обратно; требуется опре-
делить наименьшее значение числа т выниманий, при
котором вероятность Р достать хоть один раз черный шар
более(Р>4).
3. При тех же условиях определить наименьшее значе-
ние х числа выниманий т, если шар кладется обратно,
чтобы вероятность Р достать хоть один белый шар была
более
4. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы
появление 6 очков хоть один раз получило вероятность
больше 0,7? больше 0,8? больше 0,9?
5. Колода карт разделяется на две пачки поровну (по
26 карт). Требуется определить вероятность Р, что в обеих
пачках окажется равное (2) число тузов.
6. При тех же условиях определить вероятность Plt
что карт красных и черных мастей в каждой пачке будет
поровну (13).
7. Из колоды карт берется 6 карт. Требуется опреде-
лить вероятность Р, что среди этих карт будут представи-
тельницы всех четырех мастей.
8. Каково наименьшее число х0 карт, которое необхо-
димо взять из колоды, чтобы вероятность что среди
них встретятся две карты одинакового наименования, была
более -ц- ?
9. 20 человек среди которых 10 мужчин и 10 женщин,
группируются попарно. Какова вероятность Р, если груп-
пировка происходит случайно, что каждая из 10 пар со-
стоит из лиц разного пола?
10. Общество из 5 мужчин и 10 женщин разбивается на
5 групп по 3 человека. Какова вероятность при случайной
группировке, что в каждой группе будет по 1 мужчине?
11. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Определить
вероятность Р, что все цифры различны (каждая цифра
может иметь 10 значений).
12. В трех урнах содержатся белые и черные шары. В пер-
вой содержится 3 белых шара и 1 черный, во второй урне
6 белых и 4 черных, в третьей 9 белых и 1 черный.
Из урны, выбранной наудачу, извлекается шар. Вычислить
вероятность, что этот нгар белый, считая, что выбор любой
из урн одинаково вероятен.
13. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара,
переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 чер-
ных шара.
Вычислить вероятность вынуть белый шар из второй урны.
14. В трех урнах содержатся белые и черные шары.
В первой 2 белых и 3 черных шара, во второй 2 белых и
2 черных шара, в третьей 3 белых и 1 черный шар. Из
первой урны переложен шар во вторую. После этого шар
из второй урны переложен в третью. Наконец из третьей
урны шар переложен в первую.
Какое распределение черных и белых шаров в первой
урне представляется наиболее вероятным. Вычислить эту
вероятность?
Что представляется более вероятным, сохранение перво-
начального состава урны илн его изменение?
15. В условиях предыдущей задачи определить вероят-
ность, что состав шаров во всех урнах не изменится от
перекладывания.
16. В условиях задачи 14 вычислить вероятность, что
прн перекладывании шаров из одной упны в другую два
раза был переложен шар белого цвета и один раз шар чер-
ною цвета. Указать вероятность, что при этом состав пер-
вой урны не изменится.
17. Требуется показать, что (Л или В) — (Л) (В) — (Ли 5);
в частности, если Л и В независимы, то (Л или В) = (Л)
+ (В)_(ЛВ).
18. Доказать, что если Y ==^-{-8, причем вероятность,
что Х^ 10, равна 0,9, а вероятность, что | 8| 1, равна 0,95,
то вероятность Pv что Y <9, и вероятность Р2, что У<11,
удовлетворяют неравенствам
0,85 0,95,
какова бы ни была зависимость между X и 8.
19. Доказать, что
(Л или В или С) = (Л) +• (В)(С) — (Л и В) — (Л и С)—'
— (В и С) (Л и В и С).
20. Рассматривается п фактов Ло Л2.... Ли; обозначим
через А = (Л«); = и ЛД Аи = (Л и Л* и Л,) и т. д.
Показать, что вероятность (Д или Л2 или ... Л„) =
i—n i~n— i n — 2, k~ n — 1, 1 — П •
= 2^— 2 +
4=1 4‘ = 1, ft = 2 < = 1, ft =2, 1=3
I ! 4 .И — 1 _
। ( Pv>
21. Из урны, содержащей шары с нумерами 1, 2,... А]
производятся последовательно извлечения шара. Каждый
раз по извлечении шар возвращается обратно в урну. Вы-
числить вероятность, что при «-кратном извлечении
номера последовательно вынутых шаров будут итти в воз-
растающем порядке.
22. Из последовательности чисел 1, 2, ... я отмечено
число k. Какова вероятность, что два числа, выбранные на-
удачу из этой последовательности, окажутся одно меньше
и другое больше чем k.
23. Из последовательности чисел 1, 2,3, ... N отобраны
наудачу п чисел: xt < х2 ... < хп. Найти вероятность,
что хт = М.
24. Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2, ... Л/,
производятся последовательные извлечения п шаров. Ка-
ждый раз по извлечении шар возвращается в урну обратно.
Нумера вынутых шаров записаны в порядке возрастания.
Вычислить вероятность, что номер m-го шара окажется
равным М.
25. Предполагая в предыдущей задаче числа М и N
весьма большими и отношение их равным х, найти предель-
ный закон распределения величины х.
26. 6 билетиков с нумерами 1, 2, ... 6, последовательно
вынимаемых из ящика, имеют одинаковую вероятность по-
явиться в любом порядке. Нужно определить (пользуясь
решением задачи 20) вероятность Р, что порядковый но-
мер, по крайней мере, у одного из билета, совпадает
с его собственным номером. Решить ту же задачу, если
число билетиков неограниченно возрастает.
27. Дано ,N билетов с номерами 1, 2, ... , N, как
в предыдущей задаче. Определить вероятность Р, что, после-
довательно выбирая п < N, из них, по крайней мере, один
раз порядковый номер извлечения билета совпадает с его
собственным номером. Рассмотреть случай N— 10, п = 5.
28. Из сосуда, содержащего т белых и п черных шаров,
вынимаются последовательно шары и не возвращаются
обратно в урну. Операция извлечения продолжается, пока
не получится белый шар. Выяснить закон распределения
числа извлеченных черных шаров.
-29. Предполагая в предыдущей задаче величины т, п
весьма большими, установить предельный закон распреде-
ления. Отношение п : (т -j- ii) = а.
30. Из сосуда, содержащего т белых и п черных шаров,
извлекается шар и возвращается в сосуд обратно. Извле-
чение продолжается до тех пор, пока не появится белый
шар. Вычислить вероятность А-кратного извлечения черного
шара.
. 31. Предположив в задаче 30, что величины тип воз-
растают беспредельно и отношение п : (т -f- п) стремится
к а, установить предельный закон распределения.
32. Из сосуда, содержащего 2 белых и 4 черных шара,
двое поочередно извлекают шары. По извлечении шар ка-
ждый раз возвращается в сосуд обратно. Извлечение пре-
кращается при появлении белого шара.
Вычислить вероятность извлечь первым белый шар ка-
ждому из участников, если шар извлекается не больше 2 k раз.
33. Из сосуда, содержащего 2 белых и 4 черных шара,
двое поочередно извлекают шар. Вычислить вероятность
вынуть первым белый шар каждому из участников.
34. Два мальчика играют в игру, бросая монетку. Вы-
игравшим считается тот, кто первый откроет решетку. Во
сколько раз больше вероятность выигрыша начавшего, если
бросание монеты может быть продолжено сколь угодно долго.
35. В сосуде заключается N билетов с различными нуме-
рами. Из сосуда вынимают т раз по п билетов, каждый раз
возвращая их обратно. Вычислить вероятность, что k билетов
не появятся. Вычислить вероятность, что все билеты появятся.
36. В сосуде заключается N билетов с различными ну-
мерами. Из сосуда k раз извлекаются п билетов и по вы-
нутии их возвращаются обратно. Установить закон распре-
деления для числа различных нумеров, появившихся при
k извлечениях.
37. Определить вероятность, что партия в 100 предметов,
содержащая 5% брака, будет принята при испытании поло-
вины изделий.
Условие приемки—наличие брака не свыше 2%.
38. Партия в 10000 изделий, содержащая 10% брака,
подвергается приемке. Какое количество изделий следует
подвергнуть испытанию, чтобы установить наличие 10%
брака, не известных приемщику, с точностью до 1%.
Вероятность наличия процента брака в этих пределах
должна быть 0,90.
39. При приемки партии N изделий подвергнуты испыта-
нию п изделий. Среди п изделий оказалось количество
брака равным т.
Определить вероятность, что наличие брака в прини-
маемой партии не превышает М. При решении задачи
считать, что при отсутствии испытаний все предположения
о размере брака представляются одинаково возможными.
40. При приемке партии в 100 изделий подвергнута
осмотру половина. Среди них оказалось одно бракованное.
Указать вероятность, что партия содержит не больше
5% брака. Все предположения о размере брака при отсут-
ствии испытания считать одинаково возможными.
41. Продолжительные статистические наблюдения над
качеством продукции, выпускаемой заводом, показали, что
доля брака равняется р-ой части выпускаемой продукции.
Вычислить вероятность, что в партии, содержащей N изде-
лий, количество брака равно М
42. При приемке партии изделий числом W подвергаются
испытанию п изделий. Наличие количества т брака среди
изделий, подвергнутых испытанию, служит основанием
к отказу в приемке всей партии.
Вычислить вероятность партии быть принятой при нали-
чии в ней М бракованных изделий.
43. В трех ящиках находится соответственно: 1) 2 белых
и 3 черных шара, 2) 4 белых и 3 черных шара, 3) 6 белых
и 2 черных шара. Предполагая, что извлечение из всех
трех ящиков одинаково вероятно, определить вероятность
того, что извлечение было произведено из первого ящика,
в следующих случаях: 1) если известно, что вынутый шар
оказался белым; 2) если вынутый шар оказался черным;
3) ту же задачу решить, если вероятность извлечения из
каждого ящика а, = 0,1; а2 = 0,7; а3 = 0,2.
44. При тех же условиях определить вероятности х, и х2,
если известно, что после трех извлечений (с возвратом шара)
из того же ящика: 1) все три шара оказались белыми;
2) все три шара оказались черными.
45. Даны два ящика: в первом находится 2 белых, 2 крас-
ных и 20 черных шаров, во втором — 8 белых, 15 красных
и 2 черных шара. После извлечений шара из одного, а по-
том из другого ящика вынутыми оказались сначала черный,
а потом красный шары.
Определить вероятность, что извлечение производилось
сначала из первого, а потом из второго ящика, предпола-
гая обе последовательности й priori равновероятными;
46. Событие А имеет вероятность Р произойти в любой
момент промежутка времени Т. Требуется определить его
вероятность р произойти в течение остающегося времени
Т—t, если йо истечении времени t<T событие А еще не
произошло.
47. Если известно, чго вероятность двум близнецам
быть -одинакового пола вдвое больше чем вероятность
быть разного пола, причем, вообще, вероятность рожде-
ния мальчика равна 0,51, требуется определить вероятность,
что. другой из близнецов мальчик, после того как устано-
влено, что первый из них — мальчик.
48. Какова вероятность Р01 что среди 1000 лампочек нет
испорченной, если из взятых 100 наудачу все оказались
исправными? Решить задачу, при предположении, что число
плохих лампочек не может превысить 5 на тысячу и все
значения (0, 1, 2, 3, 4, 5) числа испорченных лампочек
a priori равно возможны.
49. В сосуд, содержащий п шаров, опущен белый шар.
Какова вероятность вынуть белый шар из этого сосуда?
Все предположения о первоначальном составе шара счи-
таются одинаково возможными.
50. Из сосуда, содержащего п шаров неизвестного цвета,
вынут один шар, оказавшийся белым. Вычислить вероят-
ность, что вновь вынутый шар будет тоже белый. Все пред-
положения о первоначальном составе сосуда считать оди-
наково возможными.
51. Из сосуда, содержащего я шаров, неизвестного цвета
вынут один шар, оказавшийся белым. По возвращении этого
шара в урну вновь вынут шар. Определить вероятность,
что этот шар будет белого цвета. Первоначальный состав
сосуда представляется одинаково вероятным.
52. Из сосуда, содержащего N шаров, вынуты т -}- п ша-
ров, среди которых т шаров белого цвета. Установить ве-
роятность,что до изъятия в сосуде былоЛ/ шаров белогоцвета.
53. Из отвала, содержащего ' на поверхности п кусков
окисленной руды и п' кусков сульфидной руды, отобрано
наудачу т образцов и отправлено в лабораторию для ана-
лиза. При вскрытии ящика с образцами оказалось, что пер-
вые k из вынутых кусков относятся к рудам окисленным.
Какова вероятность, что и следующий кусок будет отно-
сится к той же руды? При решении задачи принять, что
любые т из п-\-п' кусков на поверхности отвала могли
быть отобраны в ящик с одинаковой вероятностью.
54. В сосуде содержатся белые и черные шары. Общее
число N шаров в сосуде известно, но неизвестно ни число
белых, ни число черных ш *ров.
При т -j- «-кратном извлечении шара из сосуда т раз
появился белый шар и п раз черный.
Какой состав шаров в сосуде представляется наиболее
вероятным? Все предположения о первоначальном составе
сосуда одинаково вероятны.
55. Обозначая через РЬп вероятность появления собы-
тия Ai раз при п независимых опытах, если вероятности А
последовательно равны рг, р2,. . ,рп , доказать неравенства
р р р
' о, п 1 1, » ' Я-1, п
из которых вытекает, что Р,,„ возрастает вместе с I до
некоторого максимального значения, после которого она
начинает убывать.
Пример:
1 1 1
А—2» А = -
1 1
А—5.
56. Даны ? попарно независимых события, которые
однако все 3 вместе произойти не могут. Предполагая, что
все они имеют одну и ту же вероятность х, определить
наибольшее возможное значение х.
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ. СПОСОБ КОНЕЧНЫХ РАЗНО-
СТЕЙ И ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
57. В лотерее разыгрывают два предмета: велосипед стои-
мостью в 2500 руб. и часы ценою в 500 руб. Чему равно
математическое ожидание выигрыша для лица, обладающего
одним билетом, если общее число выигрышных билетов
равно 1000?
58. Из ящика, содержащего 4 белых и 20 черных шаров,
вынимают 5 шаров и перекладывают в другой ящик, где
положено было 16 белых шаров; после этого из второго
ящика в первый обратно перекладывают 6 шаров. Спра-
шивается, каковы будут после этого математические ожидания
чисел белых шаров х1 и х2 в обоих ящиках?
59. При бросании 3 игральных костей игрок выигрывает
100 руб., если на всех костях по 6 очков, и получает 10 руб.,
если шесть будет только на 2 костях. Какую сумму он
должен внести за билет на право участия в игре, чтобы
игра была безобидна.
60. При бросании и игральных костей определить м. о.
(математическое ожидание) суммы очков на всех костях
и дисперсию этой суммы.
61. Вероятность появления события А равна р. Вычис-
лить м. о. х числа последовательных опытов, где А неиз-
менно повторяется, и дисперсию В этого числа.
62. За каждую серию из а > 0 опытов, где А неиз-
менно повторяется, игрок получает уа руб.; напротив,
если а = 0, он платит 1 руб. Требуется определить вели-
чину у при условии, что игра будет безобидной. Рассмо-
1
треть пример р=
63. В условиях задачи 24 найти м. о. М
64. Из сосуда, содержащего т белых и п черных ша-
ров, вынимаем шары, извлекая их последовательно до тех
пор, пока не появится белый шар. Определить м. о, числа
вынутых при этом черных шаров.
65. Из сосуда, содержащего т белых и п черных ша-
ров, извлекаются шары и возвращаются обратно, пока не
появится белый шар. Вычислить м. о. числа вынутых чер- _
пых шаров и его дисперсию.
66. В сосуде содержится а билетов с иумером 1, Ь би
летов с нумером 2,...и k билетов с нумером т. Из сосуда
вынуто п билетов. Вычислить м. о. числа невышедших
нумеров. . '
67. В сосуде содержится а билетов с нумером 1, b би-
летов с нумером 2, с билетов с нумером Зит. д., k биле-
тов с нумером т. Определить м. о. числа совпадений но-
мера вышедшего билета с номером извлечения, когда
извлекаются все шары
аbk^m.
68. Доказать, что если м. о. х2=м. о. х3 — м. о. х4 — а,
то величина х не может получать иных значений, кроме
О и 1.
69. Известно, что х<;Д и м. о. х = 0; показать, что ве-
роятность Р неравенства х<—АР меньше чем
70. Доказать тождество
1 । 0 Д ci । ч (A cl} (Д cl 1) j ।
Н Д —1 + (Д — 1)(Д — 2) +••• +
. (А—а)1 __ Д(Д + 1)
' (А—\}...а «(а4-1) ’
(где Д > а — целые положительные числа), вычисляя двумя
различными способами м. о. числа т черных шаров, отде-
ляющих 2 соседних белых в серии, состоящей из A -j-1
шара, среди которых имеется а белых.
71. Показать, что дисперсия а2 величины х не может
превысить квадрата полуразности между крайними ее зна-
нениями. Указать условия, при которых этот верхний пре-
дел достигается.
72. Величина х может получать все целые положитель-
ные значения с вероятностями, убывающими в геометриче-
ской прогрессии. Требуется определить знаменатель про-
грессии 'q так, чтобы м. о. л==10, и вычислить при этом
условии вероятность Р10, что и вероятность Р1т,
что 100.
73. Величина х может получать значение 0 с вероят-
ностью % и любое целое положительное значение п > 0
с вероятностями рв, убывающими в геометрической про-
грессии {рп = В^). Надо определить указанные вероятности,
если даны м. о. х — а, м. о. х2 — Ь, и установить условия,
которым должны подчиняться а и Ь, чтобы задача была
возможна. Проверить, приемлемы ли значения а — 4, b — 25.
74. Величина х получает целые неотрицательные значе-
k"
ния п>0с вероятностями ая — А Определить А и k,
если известно, что м. о. х — а и найти наиболее вероятное
значение у- числа п.
75 Найти условия, необходимые и достаточные, которым
надо подчинить «=м. о. х, b — м. о. л2, с = м. о. х3, для
того, чтобы величина х получала только целые неотрицд-
< Л Akn + BF
тельные значения /г>0 с вероятностями «„ = ----------,
где А 0, В
7
мер: а = ~,
>0, /г>0, Z>0. Рассмотреть численный при-
13 .
4 ’
с —
определить наиболее вероят-
ное значение п.
76. Решить предыдущую задачу при условии, что k мо-
жет быть отрицательным. Пример: а = 1,85; Ь — 5,7;
с = 20,95.
77. Доказать, что [м. о. лр]4 > [м. о. х9]1", если х > 0 и
Р > Q > 0.
73. Доказать, что, какова бы ни была величина х, .мо-
менты, т. е. м. о. последовательных ее степеней а,==
— м. о. х', удовлетворяют неравенствам
1
«е • a2i
79. Величина х может получить три значения, из кото-
рых одно есть нуль. Зная моменты его первых четырех
степеней, определить значения х и их вероятности; ука-
зать условия, необходимые и достаточные, чтобы эти зна-
чения были: 1) действительны, 2) неотрицательны.
21
Пример: ^ = 0, as = 2, а3~ — 1, =
80. Число л>-0 может получить любые целые значения
М
с вероятностью а;, = -———— —.
“ (а4-й) (а-4-1 +Л) («4-2 4-й)
Вычислить аЛ, если известно, что м. о. х — А", показать,
что м. о. л2 не имеет смысла. Полагая А = 3, вычислить
вероятность Р10, что х < 10.
81. Известно, что
М
а,‘ ~ {а + Л) (а 4- й 4-1) (а 4- й+2) (с 4- Л 4" 3)
представляет вероятность числу л 0 получить целое зна-
чение й. Определить аЛ по условию, чтобы стандарт а
числа х, так же как и его м. о. А, были целыми числами.
82. Даны 2 ящика с шарами; в первом шаров, из них
М белых, во втором шаров, из них белых. Одно-
временно один шар из одного ящика заменяется шаром из
другого и обратно. Эта операция смешения производится
последовательно I раз. Требуется определить м. о. числа
белых шаров после этого в каждом из ящиков. Рассмо-
треть случай, когда /-> оо.
83. Решить предыдущую задачу в предположении, что
Л\ = оо, т. е. при условии, что вынутый из первого ящика
шар всегда заменяется черным. Рассмотреть случай, когда
I -> со, причем -дг = а остается конечным.
84. Вычислить дисперсию Вг числа белых шаров после I
выниманий при условиях предыдущей задачи.
85. Вероятность появления события изменяется от испы-
тания к испытанию. Построить производящую функцию
вероятностей Р'т, п появления события т или менее раз при
п испытаниях.
86. При некоторой игре игрок имеет одинаковую ве-
роятность р — -^- ничего не выиграть или же выиграть или
проиграть по 20 или 40 копеек. Требуется определить ве-
Гюнтер и Кузьмин, ч. П1 15
роятность, что после 12 партий он проиграет не менее
3 руб. и дисперсию В его выигрыша.
87. При бросании игральной кости игрок уплачивает
1 руб. в случае появления нечетного числа очков и полу-
чает 3 руб. при появлении 6 очков, остальные (2 и 4) чет-
ные числа очков считаются безразличными. Определить
вероятность ]2, что после 12 партий он выиграет не
менее 15 руб. и дисперсию В выигрыша.
88. Предполагая, что при составлении 7-значной таблицы
(мантисс) логарифмов все цифры равновероятны, какова ве-
роятность /?5, что сумма S цифр мантиссы окажется меньше 20?
Каковы м. о. S и м. о. 52?
89. Число х может получать любые целые значения т
с вероятностью (1 — д) qm; складывая h . значений этого
числа, определить вероятность Ра, что полученная сумма у
равна а. Найти наиболее вероятное значение S этой суммы;
рассмотреть предельный случай, когда сю, причем hq = t
остается конечным.
90. Число хп с увеличением п на 1 получает прираще-
ние 1 или — 1, причем оба значения равновозможны,
если х„ = 0; если хл^0, то вероятность уменьшения |x„|
равна А I вероятность увеличения | хп | равна В =*
==1—Полагая ло = О, найти вероятность РпЛ ра-
венства | х„ | = h при любых п и h\ рассмотреть случай
п—>оо. Вычислить м. о. |л„|. Рассмотреть случай Д =
§ 3. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ. НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШЕВА
Применяя лемму Чебышева-Маркова, решить нижесле-
дующие задачи:
91. Указать нижнюю границу вероятности Р неравен
ства
т_____L (п
п 2 100 ’ v '
при п независимых опытах, если в каждом опыте вероят«
ность равна -i-, полагая /г—10000; /г = 100000
92. Как велико должно быть п, чтобы вероятность Р
неравенства (1) была больше, чем 0,99?
93. Прия—10000, какую верхнюю границу для
т 1
п 2
можно указать с вероятностью не меньшей, чем 0,99?
94. Если игрок при бросании игральной кости выигры-
вает 4 руб. в случае появления 6 очков и выплачивает.
1 руб. в прочих случаях, какова вероятность, что при
10000 бросаниях он проиграет не менее 200 руб.?
95. Предполагая, что в последовательных и независимых
опытах вероятности появления А соответственно р,=
*
, определить нижнюю границу вероятности, что
число его появлений /и<1.
96. Показать, что какова бы ни была случайная вели-
чина х и данное положительное число е, вероятность не-
равенства
еХ > ^s—log Z (Л)
м \
\ 2 /
меньше, чем е где /==м. о. е5®.
97. Полагая, что т есть число появлений события А
в серии п независимых опытов с соответственными вероят-
ностями р, вывести из (Л), что вероятность неравенства
1 1 '1
п
меньше, чем е~* (если А?)) •
1
98. Показать тем же способом, что вероятность нера-
венства
— (С)
(п \
2d А А )
1 '
99. Пользуясь неравенствами (В) и (С), решить задачи
(92) и (94).
100. Показать, что если р — ^-, то вероятность нера-
венства
меньше, чем е Применить к решению задачи 93.
101. Производится п независимых опытов, где вероят-
ность в z-ом опыте появления события А равно
3
4
требуется определить верхнюю границу вероятности р,
что число т появлений А будет более 10.
0
и
102. Величина хЛ принимает три значения: -j-#1, — и
1 1
с вероятностями, равными соответственно ———
1 2А? 2/s
1----.
k°
Требуется доказать, что к сумме независимых величин
п
приложим закон больших чисел, если а>1.
1
103. Обобщить результат предыдущей задачи, показав
п
применимость закона больших чисел к сумме xf. неза-
к=1
висимых случайных переменных х,., определяемых следую-
щим образом. Случайная переменная х* принимает серию
значений с вероятностями, указанными в таблице
хк ак 0 ~ak
Рк Рк 1 -Ърк Рк
Ряд А+Ра+ • • • +а+--« сходящийся
§ 4. ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА И ЛЯПУНОВА-МАРКОВА
104. Пользуясь формулой Лапласа, указать, сколько раз
п надо бросить игральную кость, чтобы вероятность нера-
венства
т 1 £
- g ЮО
была не менее, чем вероятность противоположного нера-
венства, где т — число появлений 6 очков.
105. Игрок выигрывает 7 руб. при появлении 6 очков и
уплачивает 1 руб. в других случаях. Требуется с вероят-
ностью 2 Ф (4)0,999 936 указать, между какими пределами
будет его выигрыш Р после 8000 бросаний кости.
106. Вероятность появления события в каждом из серии
3
независимых испытаний одна и та же и равна С какой
вероятностью можно ожидать, что при 10000 испытаний
отношение числа т появления события к числу п произ-
веденных испытаний отличается от вероятности
3
—меньше
4
чем на 0,0001, меньше чем на 0,001 и меньше чем на 0,01?
107. Бюффон, производя опыт для проверки закона
больших чисел, бросил монету 4040 раз. Герб появился 2048
раз. Вычислить вероятность, с которой можно ожидать,
что при повторении опыта Бюффона отклонение частности
появлений герба от вероятности не превзойдет величины
уклонения, имевшей место в опыте Бюффона.
103. Для события, имеющего вероятность появления
р —0,2, будет произведена серия независимых испытаний.
Указать, какое уклонение частости появления события от
вероятности можно ожидать с вероятностью Р — 0,9128
при 5000 испытаний.
109. Американской компанией по изготовлению шаровых
мельниц производились опыты по выяснению устойчивости
различных железных сплавов против коррозии.
Произведенные для определенного сплава опыты обна-
ружили, что этот сплав не поддается коррозии в среднем
в течение 875 дней. Это определение сопровождается
стандартным уклонением равным 85 дням.
Пользуясь интегралом вероятностей, указать, какое коли-
чество листов, изготовленных из данного сплава, должно
быть подвергнуто испытанию, чтобы с вероэтностью 0,90
ожидать величину уклонения от средней не больше чем
на 5%.
ПО. Из урны, содержащей черные и белые шары в от-
ношении 1:3, производят п извлечений шара. Пр л каждом
извлечении регистрируется цвет шара, после чего он
возвращается в урну. Каким следует выбрать число п,
чтобы ожидать уклонение частости появления белого
шара от его вероятности не больше чем на 0,001 с вероят-
ностью 0,9966?
111. Сколько раз следует бросать монету, чтобы с ве-
роятностью 0,6 ожидать, что уклонение частости появления
герба от вероятности 0,5 оказалось меньше 0,01.
112. Определить уравнение огибающей всех нормальных
дЯ
1 А
кривых У = —у^==е
113. Согласно теории Менделя, при скрещивании жел-
того гороха вероятность появления зеленого гороха
равна ~. Наблюдение 34153 случаев скрещивания дало
в 8506 случаях зеленый горох. Совместим ли этот резуль-
тат с гипотезой Менделя?^
114. При подсчете числа простых чисел, которые в вось-
мом, девятом и десятом миллионах приходится на каждую
из 2000 групп по 500 последовательных чисел, обнаружи-
лись следующие данные', ни в одной группе не оказалось
менее 17 простых чисел и более 46. В верхней строке при-
лагаемой таблицы поставлены все числа х(17<;х<:46)
фактически наблюдавшиеся; в дальнейших трех строках
в каждом столбце под соответствующим значением х ука-
зано число групп Ni(x), Л'2(х), N3(x), содержащих х про-
стых чисел, соответственно, в восьмом, девятом и десятом
миллионах.
! х 17 18 19 20 21 22 23
— 1 4 5 6 11 18
N./X) 1 — 2 у 9 15
Щх) — 1 1 7 9 13 20
24 25 26 27 28 29 30 31
48 63 70 102 141 149 165 188
40 68 61 106 174 202 168 202
46 73 105 130 135 171 177 210
X 32 33 34 35 36 37 38
203 181 160 141 115 78 63
187 187 135 140 82 82 48
194 171 143 111 89 72 54
39 40 41 42 43 44 45 46
38 16 15 14 4 1 .— •—-
41 20 11 5 1 4 1 1
27 20 11 4 4 2 — —
Вычислить средние числа М2, Л1д простых чисел на
каждую группу и их дисперсии у2, a2s, для каждого
миллиона. Показать, что если бы в каждом миллионе про-
стые числа были расположены случайно, то дисперсии
были бы значительно больше.
115. Показать, что если бы указанные в предыдущем
примере средние значения Mlt /?2, М3 и соответствующие
им средние квадратичные отклонения =х2, а32 получены
были бы в результате механических выборок, то разница
между TWj и Ма не могла бы быть признанной случайной;
напротив, разница между и Л12 могла бы быть и
случайной.
116. Построить по схеме Пуассона совокупности групп
из 500 опытов в каждой, где вероятность р, появления
простого числа была бы равна 0 или р в z-ом опыте, так,
чтобы средняя вероятность была равна Р = — 0,0625 при
- о , о 11 875 п
задаинион дисперсии с2 = 18 = Показать, поль-
4 о 4 о
зуясь элементарными соображениями о делимости чисел,
что в натуральной последовательности 500 чисел не может
быть более 119 простых чисел.
117. В двух местностях распределение рабочих по воз-
расту характеризуется таблицей
Местность Число рабочих Число рабочих старше 35 лет
А 35311 11721
В 21 812 .. . . ... у • 4032
Выяснить, представляется ли разность отношения числа
рабочих старше 35 лет к общему числу рабочих в данной
местности больше той, которую можно ожидать при слу-
чайной выборке.
Указание. Решить задачу, вычисляя уклонение отноше-
ния, составленного для отдельных местностей, от отноше-
ния, вычисленного на основании всех данных. Одновременно
рассмотреть вопрос и иначе, вычислив разность отношений
для данных местностей.
118. Завод, изготовляющий проволочные канаты, получил
две партии стальной проволоки. Стальная проволока, иду-
щая на изготовление канатов, выдерживает в среднем
растягивающее усилие в 6720 кг на 1 кв. см. Стандартное
уклонение отдельЙГых образцов от этого среднего имеет
величину 220 кг на 1 кв. см. Серия последовательно про-
веденных наблюдений показала, что в отношении растяги-
вающих усилий, выдерживаемых отдельными образцами
проволоки, имеет место нормальный закон распределения.
Из каждой партии проволоки, поступившей на завод,
было подвергнуто испытанию 20 экземпляров. Результаты
испытаний даются в приводимой ниже таблице.
Величина растягивающего усилия, выдержи-
ваемого проволокой
1-я партия 2-я партия
630 6S0 715 728
687 713 695 712
672 669 723 669
698 675 724 707
678 656 709 695
678 670 680 659
678 693 700 689
672 672 707 691
663 695 6/0 663
666 696 714 722
Возможно ли на основании этих испытаний утверждать,
что обе партии проволоки требуемого качества и резуль-
таты испытаний следует объяснять случайностью выборки.
119. Пользуясь данными предыдущей задачи, что можно
оыло бы сказать относительно качества проволоки, посту-
пившей на завод, если бы в журнале испытаний не было
указано, или указано неправильно принадлежность образ-
цов к отдельным партиям.
120. Приемка партий проволоки (смотри задачу № 118)
происходит при условиях, когда оказывается, что как сред-
нее значение растягивающего усилия, так и его стандарт-
ное уклонение для проволки, поступающей на завод, раньше
не определялись. Можно ли сказать в этом случае, что
качество поступивших партий проволоки различно,
результат испытаний следует отнести за счет случайности
выборки.
121. На некотором производстве выход брака характери-
зуется таблицей, полученной в результате выборочного
обследования.
Выяснить годовой процент брака и процент брака за
различные месяцы, установить на основании этих данных,
можно ли объяснять помесячное колебание процента брака
случайными обстоятельствам!! выборки или изменениями
характера работы на производстве.
122. Испытания на растяжение, произведенные для одного
и того же сплава, приготовленного на пяти различных
заводах, показали следующий результат:
Завод I II III IV V
Средняя величина растяги- вающего усилия . . . 7328 6165 7052 7997 8583
Стандартное уклонение . . 299 609 132 311 251
Растягивающее усилие и его стандартное уклонение
выражаются в килограммах на квадратный сантиметр.
Следует ли объяснять различие средних случайным
отбором образцов, или же различием качества сплавов, т. е.
уклонением в производстве одного из заводов от стандарт-
ной марки.
123. Приводимая ниже таблица дает среднюю длину
яйца кукушки вообще и среднюю длину яйца кукушки,
положенного в гнездо определенного вида птиц. Измерения
производились с целью обнаружить разницу в размерах
яиц, опускаемых кукушкой в гнезда различного вида птиц.
Отложенные яйца Число наблюдений Средняя длина н мм Стандартное уклонение
Вообще .... 1572 22,3 0,95
1-й вид । 91 21,9 0,79
2-й вид 115 22,4 0,76
3-й вид 58 22,6 0,86
Выяснить, существует ли действительно разница в длине
или же расхождение носит случайный характер.
Указание. Вычислить отношение разности средних зна-
чений к ее стандарту и для оценки вероятности уклонения
воспользоваться интегралом Лапласа.
124. Таблица дает результаты ряда наблюдений над че
шуей крабов, живущих в глубокой и мелкой воде.
Средняя длина чешуи Средняя ошибка
Мелководные крабы ...... 8.41 0,04
Глубоководные крабы 8,59 0,05
Наблюдения производились с целью обнаружить влияние
окружающей среды на организм. Выяснить, можно ли при-
писать получившуюся разницу влиянию среды или ее сле-
дует отнести за счет случайности выборочного обследо-
вания.
125. Для того чтобы вал радиуса г мог вращаться
в круговом отверстии опоры радиуса R, необходимо, чтобы
между валом и отверстием опоры оставалось свободное
пространство. Величина разности между Z? и г должна
однако оставаться в известных пределах
а < R—г< Ь.
При серийном изготовлении валов и опор обе части
готовятся раздельно, причем при сборке может оказаться,
что части не подходят одна к другой. Полагая, что в нала-
женном производстве уклонения величин г и от средних
значений г0 и Ro следуют нормальному закону распределе-
ния, вычислить, какой процент изделий придется отбросить
при сборке на конвейере.
126. Стандартное уклонение длины черепа 3000 людей
равно 6,0459 со средней ошибкой 0,0526. Стандартное
уклонение той же величины для 1306 человек, выбранных
наудачу из этой группы, оказалось равным 6,0025 со сред-
ней ошибкой 0,0792.
Выяснить, какова величина вероятности подобного рас-
хождения в условиях случайной выборки.
127. Исследование длины и ширины 139 черепов, най-
денных в Верхнем Египте и относимых к расе, жившей
за 8000 лет до нашей эры, показало, что стандартное укло-
нение длины и ширины черепа 5,722 мм и 4,612 мм соот-
ветственно.
Те же величины, выведенные на основании обследования
1000 европейцев, оказались равными 6,161 мм и 5,055 мм.
Предполагая, что закон распределения длины и ширины
черепа нормальны, выяснить, можно ли считать расхожде-
ние стандартов случайным.
128. Распределение значений величины х имеет стан-
дартное уклонение о. Отдельное измерение значений х
сопровождается средней квадратичной ошибкой a'.
измерения х приходится пользоваться образцами, изгото-
вление которых обходится а рублей за штуку. Стоимость
производства одного измерения а' рублей. Сколько следует
изготовить отдельных образцов и сколько измерений произ-
вести над каждым, чтобы среднее значение величины х,
установленное в результате этой серии наблюдений, сопро-
вождалось средней квадратичной ошибкой, не превосходя-
щей а, и стоимость производства опыта была бы возможно
малой.
129. Доказать, что если хГ( может получать с вероятно-
стями равными два значения rt к , где ------------то
П
к сумме Sn = xt. теорема Ляпунова применима.
1
130. Рассматривается серия из весьма большого числа п
опытов, разбивающихся на группы по 3 в каждой так, что
в первых двух опытах каждой группы вероятность появле
‘ . 1
ния события А равна а исход третьего опыта предо-
пределен результатами предыдущих двух опытов тем. что
число появлений А в каждой группе должно быть четным
(О или 2). Показать, что число т появлений события А во
всей серии п подчиняется тому же предельному закону
Лапласа-Гаусса, как если бы все опыты (как в схеме Бер-
нулли) были независимы.
131. Величина х!: может получать значения А’ с веро-
1 „ . 1
ятностями —j-, либо значение 0 с вероятностью 1------—,
2А k
п
где 0<Х< 1. Требуется доказать, что к сумме^ хк неза-
1
висимых величин хк применима теорема Ляпунова.
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
132. На отрезке АВ длины / поставлены наудачу две
точки L и'М. Какова вероятность, что точка L окажется
ближе к точке А, нежели точка М Все положения точек
L и М на отрезке АВ одинаково возможны.
133. На отрезке АВ длины I поставлены наудачу две
точки L и М. Какова вероятность, что точка L ближе
к точке М, чем к точке А. Все положения точек L и /И
одинаково возможны.
134. На отрезке АВ длины I поставлена наудачу точка L.
Какова вероятность, что расстояние этой точки от середины
отрезка меньше, чем расстояние этой точки до одного из
краев и какова вероятность, что расстояние от середины
меньше, чем расстояние до определенного края. Все поло
жения точки L на отрезке АВ одинаково возможны.
135. На отрезке АВ длины I поставлены наудачу две
точки L и М. Вычислить м. о. длины отрезка LM и величину
стандартного уклонения при условии, что все положения
точек L и /И на отрезке АВ одинаково возможны.
136. На отрезке АВ длины I поставлены наудачу две
точки L и М. Предполагая, что все положения точек ЬкМ
одинаково возможны, построить интегральную и дифферен-
циальную кривые распределения длины отрезка LM.
137. Какова вероятность, что из трех взятых наудачу
отрезков можно составить треугольник. Длина каждого из
отрезков не превышает а и все значения ее одинаково воз-
можны.
138. Прут длины I разламывается на две части, после
чего большая часть опять разламывается надвое. Вычи-
слить вероятность, что из получившихся частей можно со-
ставить треугольник.
139. Предполагая, что все значения |рК1,|#1С1 равно-
вероятны и единственно возможны, определить вероятно-
сти, что корни уравнения
л2-[-рл-|-^ = 0
1) действительны; 2) оба положительны.
140. Предполагая, что оба корня уравнения
(х— а)(х—р) — х2-|-рх-[-^ = 0
имеют одинаковую вероятность получать любое значение
в промежутках — 1<а<1; —определить плот-
ности /(р) и ?((?) распределения вероятностей коэффициен-
тов р, q.
141. Какова вероятность, что все tкорни кубического
уравнения
х34-рх-|-# = 0,
написанного наудачу, окажутся вещественными. При этом
предполагается, что все значения коэффициентов р и q
одинаково возможны и не превосходят по абсолютному
значению величины 714.
Указание.'Принять во внимание условие веществен^
сти корней кубического уравнения.
142. Двое условились встретиться в определенном месте.
Относительно времени уговорились, что каждой из них
будет на месте встречи между 1 ч. и 2 ч. и ранее пришедший
подождет другого в течение четверти часа. Вычислить веро-
ятность, что встреча произойдет.
143. Два лица, встречающиеся в назначенном месте,
имеют одинаковую вероятность притти в любой момент
промежутка времени Т. Определить вероятность P(/o), что
одному из двух придется ждать другого время £<70, м. о. 7
и м. о. I2.
144. Необработанный алмаз разбился на 7< частей. Пред-
полагая, что ценность неграненного алмаза пропорциональ-
на квадрату его веса, определить, во сколько раз уменьши-
лась его ценность, вычислив м. о. стоимости осколков. При
решении задачи считать все возможные разделения объема
на К частей одинаково вероятными.
145. На окружности круга наудачу поставлены две
точки А и В. Считая все положения точек на окружности
одинаково возможными, вычислить плотность вероятности,
что отношение расстояния между ними к диаметру окружности
равно дайной величине х, и составить кривую распределе-
ния вероятностей.
146. Материальная точка описывает под действием цен-
тральной силы эллиптическую траекторию. В некоторый
момент времени производится измерение расстояния движу-
щейся частицы от притягивающего центра. Предполагая,
что с одинаковой вероятностью следует ожидать производ-
ства измерения в любой момент времени, вычислить м. о.
расстояния движущейся точки от центра. Большая ось орбиты
а и эксцентриситет е.
147. Доказать, что при любом законе вероятностей м. о.
квадрата расстояния между двумя точками уД и
Л?2(х2,у2) данной области не больше удвоенного м. о. квад-
рата расстояния любой точки области до начала коорди-
нат, которому оно равно, если м. о.х1 = м.о.у1 = 0.
148. Две точки х и у находятся на двух противополож-
ных сторонах прямоугольника, стороны которого равны
ан Ь; полагая распределение вероятностей для каждой точки
равномерным, определить вероятность PlzJ, что расстояние
между ними z<.z1} а также м.о.z и м. о.г2.
149. Решить задачу, отличающуюся от предыдущей тем,
что точки хну находятся на смежных сторонах прямо-
угольника.
150. Определить м. о. квадрата расстояния между двумя
точками, находящимися на любой из четырех сторон пря-
моугольника, если все положения точек равно возможны;
проверить, что оно зависит только от периметра 2р.
151. Вычислить м. о. квадрата расстояния между внут-
ренними точками: 1) прямоугольника, 2) эллипса (а,Ь—сто-
роны прямоугольника); определить, каковы должны быть
полуоси эллипса А —Ха, В — ХЬ, чтобы оба м. о. были
равны).
152. На отрезке АВ длины I поставлены наудачу К от-
резков одинаковой длины а. Какова вероятность, что точка
М, находящаяся на расстоянии b от одного из концов, ока-
жется непокрытой ни одним из отрезков. Все положения
каждого из отрезков считаются одинаково возможными.
153. На отрезке АВ длины I поставлены наудачу 2 от-
резка одинаковой длины а. Вычислить м. о. длины, пере-
крытой этими отрезками.
154. На отрезке (а, Ь) разбросано наудачу п точек
(так что закон вероятностей хг на (а, Ь) равномерен). Тре-
буется определить закон распределения вероятностей рт (хт)
точки х„„ занимающей т-ое место от конца Ь.
155. Сохраняя условия предыдущей задачи, вычислить
м. о.хт и ее дисперсию о‘2(х,„).
156. Показать, что если а и Ь—данные постоянные вели-
чины, а числа т и п бесконечно возрастают так, что
м. о. хт = 0, то вероятность неравенства —7-
уп у п-
имеют пределом == j е2аЬdz, где аир—произвола
г а
ные конечные числа.
157. Найти уравнение иоверхности корреляции между
хл и хт (k > т), вычислить коэфициент корреляции RmI.
между хк и хт и показать, что обе линии регрессии прямые.
158. Найти плотность распределения вероятностей p(z)
расстояния z — хт — х*, полагая k—m — h.
159. Найти предельный закон вероятностей^-^-—, при
п-> <х>, если h = k — т остается конечным.
160. Вычислить вероятность и(8), что наименьшее из
расстояний х. — xi+1(x0 — a,xn+1 = b) больше данной вели-
чины Рассмотреть случай n->ob.
161. Вычислить вероятность щ (й) того, что одно и
только одно из расстояний xi— л<+1<£, и вероятность
и2($) того, что два и только два из этих расстояний
менее S.
162. Величина а, которая при t— 0 равна нулю, имеет
вероятность pkt увеличиться на одну единицу и вероят-
ность 1-—pkt остаться неизменной. Требуется определить
предел вероятности, что a — k по истечении времени t, по-
лагая, что kt—.>0.
163. Событие А происходит т раз в течение периода
времени То> причем вероятность его появления в любой
момент одна и та же. Требуется определить вероятность,
что оно произошло k раз в продолжение данного проме-
™ — т
жутка Т, полагая, что /0-»-оо и
1 о
164. Появление события А при п наблюдениях сопро-
вождалось появлением события В. Определить вероятность
Рт, что при т дальнейших наблюдениях появление события
А будет сопровождаться появлением события Е. Все пред-
положения относительно первоначального значения вели-
чины вероятности появления события А одинаково воз-
можны.
165. Призовой стрелок при п выстрелах попадал в цен-
тральное поле мишени. Каким количеством наблюдений надо
располагать, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,999, ожи-
дать попадание в центр при новом выстреле.
До поступления сведений о результатах стрельбы все
предположения о вероятности стрелку попасть в центр
мишени представлялись одинаково возможными.
166. Появление события А при п наблюдениях сопро-
вождалось появлением события В. Каким количеством на-
блюдений необходимо располагать, чтобы с вероятностью
не меньшей 0,999 ожидать появления события В при еле
дующих появлениях события А. Первоначальные предполо-
жения о величине вероятности появления события А оди-
наково возможны.
167. Отрезок АВ состоит из двух неоднородных частей.
Ряд проб, взятых в различных точках этого отрезка нау-
дачу, дал т проб, относящихся к одной части, и п проб,
относящихся к другой.
Какое соотношение между частями представляется наи-
более вероятным?
168. На диске имеются отверстия, размеры и располо-
жение которых трудно замерить. На диск брошено N дро-
бинок, из которых М провалилось в отверстия. Принимая
дробинку за точку и допуская, что до опыта все предполо-
жения о соотношении между площадью диска и площадями
отверстий одинаково возможны, установить наиболее веро-
ятное соотношение между площадями отверстий и пло-
щадью диска.
Вычислить характеристические функции
0(0= у" eUxf(x) dx
— со
для непрерывных кривых распределения вероятностей /(х):
(,т—оу
169. = е~ ™
170. f(x) =0, при |х| > 2; f(x) = ~ (1 —, при|х|<2.
Вычислить характеристические функции для распре-
со
деления вероятностей 0(£) = J eilxdF(x), соответствующих
интегральному закону F (х) распределения вероятностей
171. Д(х) = 0, при х<а; F(x)—p, при а<х<£;
F(x) — 1, при х>£.
172. F(x) = 0, при х<а, F(x) = l— прИ х-^а
173. f(x) = 0 прих<—а, Д(х) = ^ф— при — а<х<а.
F=l, при х>д.
174. Вычислить характеристическую функцию н моменты
распределения задачи 145.
175. Для данной линии трамвая от пункта О до L изве-
стна функция F(a, b), представляющая, что пассажир, еду-
щий по этой линии, сел в точке х < а и едет до точки у Ь.
Требуется определить:
1) относительную плотность движения, а именно, функ-
цию <р (г), представляющую вероятность, что пассажир, еду-
щий по данной линии, проезжает через точку z\
2) вероятность (г), что он сел до пункта г;
3) вероятность <р2 (г), что он сошел не позже z.
176. Предполагая все функции, введенные в предыдущей
задаче, непрерывными и диференцируемыми, установить
зависимости между ними и функцией р (х, Ь), выражающей
плотность вероятности для пассажира, севшего в точке х
сойти в точке b > х.
177. Определить функцию <р (х) плотности движения,
если дано, что вероятность (х) сесть в трамвай в точке х
Гюнтер и Кузьмин, ч. Щ 16
пропорциональна x(L— х)2, а вероятность р(х,у) пропор-
ционально (у—х)\ где Л>0. Рассмотреть случаи h — 1
и й = 0.
178. Определить р (х, у) и о (z), если вероятность марш-
d2F(x, у)
рута от х к у у представляющая—^х1)у ' пропорциональна
(у—x)h, где й>0. Определить при каждом значении h от-
ношение Ръ максимальной плотности движения к средней
плотности; исследовать изменение Ph в зависимости от h.
179. Определить <р(г), если р(х,у) пропорционально
- ^У / ч . ™Z
Sin а <Р1 (г) = sin
и tz\
2LF
т. е. вероятность посадки (г) =
180. Определить вероятность (z) посадки в точке z
и плотность движения y(z), если вероятность маршрута
(х,у) равно 0, при у—::<_а и пропорциональна x(L—у)
при у — х>-«^а<£; рассмот5реть случай a =
181. Требуется найти предельный закон распределения
вероятностей уп при со, если
Л + 1=^г 1
где xt — независимые между собой случайные величины,
у которых м. о. хг = 0, м. о. хг2=1, м. о. |хг|3<с3,
причем р, k, с —определенные числа (предполагается из-
вестной предельная теорема Ляпунова-Маркова).
182. Требуется найти м. о. х2 и предельный закон вероят-
п
ностей для хг, при со, если xi + 1
о
-J- + j, где «г—независимые случайные величины, причем м. о.
м. о. I«JS
«,=0, м. о. аг3 — Ь2у полагая, что отношение-р---< о
ограничено, А > 1, хо = О и lim —— 0.
lb
183. Сохраняя условия предыдущей задачи, найти пре-
дел коэфициента корреляции между S„ и где
184. Решить две предшествующие задачи при условии
что lim — — а отличен от 0. Рассмотреть случай, когда
К
а-* со, причем Ь2 — —, где k — конечное число.
185. Найти предельную плотность р (у) распределения
вероятностей для уп при п-> со, если
з'г+1-у4=-^(^+4)>
полагая, что с,. — независимые случайные величины, которые
принимают лишь значения -ф-1, —1 с вероятностями, рав-
ными -g-.
186. Найти предельный закон Р(у) вероятностей для уа,
если
У\ + 1 =yt {1 +7/-=). Уо'= 1>
где а4 принимает значения да и —ра (о>0) с соответ-
ственными вероятностями р и q.
187. Вычислить коэффициент /?n+l корреляции ь^жду
=У« +1—Уп и дУп + 1=У» + 2—Уп + 1, если величины уп
независимы, полагая м. о. у,,2 = ая2; проверить, что /?г < 0;
п
показать, что при zz-» со, lim —— —-— , если 0 < Ао <
< < .41 для всех i.
188. Для совершения некоторого производственного
процесса необходимо участие k независимых факторов
А> *4g,... 71д, которые заканчивают свою работу в течение
времени хг, х2,..., хк, так что весь процесс заканчивается
по истечении.времени X, равного наибольшему из значений
xt (i — 1, 2,.. .k). Требуется определить м. о. суммарной по-
тери времени всех факторов, если известны интеграль-
ные законы вероятностей Pt (xj каждого фактора. Рассмо-
треть случай, когда Р4*(х) = Р(х) не зависит от х.
189. Решить предыдущую задачу в случае, когда Р (х) = 0,
при х < а', Р (х) = sin2 (х— а), при я<х < a -J- b\ Р(х) — 1.
при х > а-\-Ь.
190. Внутри шара наудачу поставлены две точки. Счи-
тая все положения точек одинаково возможными, построить
кривую распределения значения х отношения расстояний
между точками к диаметру шара.
§ 6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ
НАБЛЮДЕНИЙ.
19-1. Возраст женщин, вступивших в брак в 1917 году
в г. Ленинграде, характеризуется таблицей
Возраст До 20 л. 20-25 25-30 30-35 35-40 40—45 45-50 50-55 55-60 60 и больше
Число лиц, вступивших в брак . . . 3388 9342 4750 1649 682 327 146 49 20 8
Вычислить средний возраст женщины, вступившей в брак,
и стандартное уклонение. Указать величину средней ошибки
в определении среднего возраста женщины, вступившей
в брак.
192. Возраст мужчин, вступивших в брак в 1917 году
в г. Ленинграде, характеризуется таблицей
Возраст До 20 л. 20—25 25-30 ю со 1 о СО 35-40 1 40-45 45-50 50—55 55—60 60 и больше
Число лиц, вступивших в брак .. . 688 5774 7547 3164 1472 813 491 225 101 85
Вычислить средний возраст мужчины, вступившего в брак,
и среднюю ошибку определения возраста.
193. Таблица
4.781 4.764 4.777 4.809 4.761 4.769
4.795 4.776 4.765 4.790 4.792 4.806
4.769 4.771 4.785 4.779 4.758 4.779
4.792 4.789 4.805 4.788 4.764 4.785
4.779 4.772 4.768 4,772 4.810 4.790
4.775 4.789 4.801 4.791 4.799 4.777
4.772 4.764 4.785 4.788 4.799 4.749
4.791 4.774 4.783 4.783 4.797 4.781
4.782 4.778 4.808 4.740 4.790
4.767 4.791 4.771 4.775 4.747
дает 58 значений величины е полученных Милликеном при
определении величины заряда электрона, равной е 1О~10 ед.
Вычислить среднее значение величины заряда. Определить
медиану и моду. Найти среднее между максимальным и
минимальным значением. Сопоставить между собой получен-
ные средние характеристики,.
104. Диференциальная функция распределения величины
скорости v движения молекул газа характеризуется равен-
! ством
.. _*>»
/ 3 \ 2 242
о (тЛ = 4т: I -— I е v2.
' \zT.al
Приняв для кислорода а = 461,2 м/сек вычислить величину
средней скорости движения молекул кислорода, величину
среднего квадратического уклонения и величину наивероят-
нейшей скорости движения молекулы
195. Пользуясь данными предыдущей задачи указать при-
мерное число молекул кислорода на тысячу, которые дви-
гаются со скоростями от 0 м/сек до 100 м/сек, число моле-
кул, движущихся со скоростями от 100 м/сек до 200 м/сек,
от 200 м/сек до 300 м/сек и т. д.
196. Вычислить величину ах стандартного уклонения для
। распределения
Г (?-\
I О I
?(*) = —-7ZL~V (H-X2) ,
р I "________* I
\ 2 /
1 где <р(х) — диференциальная функция распределения,
197. Распределение значений изучаемой величины харак-
теризуется таблицей
Значения величины 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0
Частоты... 13 10 8 43 100 815 1761 2397 3431 3703 2165 510 77 15 2
выведенной на основании 15050 наблюдений над различ-
ными объектами.
Ошибки отдельного измерения характеризуются таб-
лицей
Значение величины 2.8 3.1 3.4 3.7 4.0 4.3 4.6 4.9 5.2
Частота ... 2 16 46 88 138 ИЗ 71 22 4
полученной в результате повторных измерений над одним
и тем же объектом.
Вычислить среднее значение изучаемой величины и ее
дисперсию, учтя возможные ошибки наблюдений.
198. Пропитывая креозотом столбы, предназначенные для
установки телеграфной линии, и железнодорожные шпалы,
заметили, что глубина проникновения креозота увеличи-
вается, вообще говоря, с увеличением толщи древесины.
Нижеприводимая таблица (стр. 247) дает сведения о средней
толщине древесины столбов, изготовленных из семи различ-
ных видов|деревьев, данные о средней глубине проникновения
креозота, установленные с помощью взятия пробы бурением
столба и величину коэфициента корреляции, установленного
по этим пробам.
X обозначает среднюю толщину древесины в сантиме-
трах, Y — среднюю глубину проникновения креозота в сан-
тиметрах.
Выяснить с помощью данных этой таблицы: а) можно
ли считать, что глубина проникновения креозота не зави-
сит от вида дерева» б) можно ли считать, что средняя тол-
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ 247
щина древесины не характерна для вида дерева; в) теснота
связи, характеризуемая коэфициентом корреляции rxlJ, одна
и та же для всех видов, или нет? Иначе говоря, можно ли
цифровой материал таблицы объяснять случайными колеба-
ниями выборки или нельзя.
Вид Число столбов Число проб X °® У
1 48 350 7.1222 1.2120 3.7932 1.2652 0.2597
2 50 239 6.3104 1.3844 4.1590 1.4182 0.4403
3 50 316 5.7918 1.3334 3.4032 1.1859 0.4913
4 47 323 6.7926 1.4186 4.1306 1.4306 0.1584
5 48 346 7.2214 1.1870 3.9284 1.3730 0.1815
6 50 241 6.8024 1.1974 4.0640 1.5092 0.4181
7 50 346 6.3700 1.2770 3.3664 1.3126 0.3855
Всего 343 2161 6.6484 1.3726 3.8106 1.3822 0.3926
199. Вычислить основные статистические характеристики
распределения, указанного в таблице. Построить кривую
распределения.
Возраст о сч о 20—25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60 и больше
Число лиц. . 66 1659 3 622 3 492 2455 1333 664 200 54 16
200. Распределение родившихся в Ленинграде в 1923 г.
по возрасту матери дается таблицей:
Возраст До 20 л. i 20-25 25-30 30-35 • 35 -40 40-45 45-50 50 и больше
Число лиц . . . 495 » 4 402 4 271 2570 1352 410 53 . 8
Вычислить основные статистические характеристики
распределения, приведенного в этой таблице. Построить
гистограмму.
201. Распределение FeO в руде горы Магнитной харак-
теризуется таблицей
X 04 1 о 2—4 4-6 6-8 j О 1 СО 10-12 12-14 14-16 16—18 18-20 20-22 22-24 24—26 26-28 28-30 30-32
У .11 16 20 17 19 16 20 22 19 18 27 37 27 18 5 4
В первой строке дается содержание FeO в пробе, вы-
раженное в процентах от общего веса пробы. Во второй
строке приведены частоты.
Построить гистограмму распределения. Вычислить сред-
нее содержание FeO в руде и его среднюю ошибку.
202. Построить гистограмму распределения, характери-
зуемого таблицей, дающей содержание свинца в руде одного
нз рудников Нерчинского округа
Содержа- ние РЬ 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 . 25-30 30—35 35-40 40—45
Частота . . 122 75 43 23 * 13 9 7 5 1
Вычислить основные характеристики распределения.
203. Построить гистограмму распределения серебра
в руде на основании данной таблицы
Содержание Ag XI- 1 о ОО 4. 3—12 12-16 16—20 20-24 24-28 28-32 32—36 36-40
Частота .... 188 75 44 24 13 8 6 5 1 1
Содержание серебра дается в процентах от веса всей
пробы.
Вычислить среднее содержание серебра в руде.
204. Построить гистограмму распределения цинка в этой
же руде по таблице.
Содержание Zn 0-5 5-10 10-15 1 to 1О 04 1 о 04 25-30 30-35 35—10 40-45 45-50
Частота .... 23 30 36 40 42 41 37 29 17 * 2
Содержание цинка дано в процентах от общего веса
пробы.
Вычислить среднее содержание цинка в руде.
205; Пользуясь таблицей задачи 202, построить кривую
накопленных частостей содержания свинца. С помощью этой
кривой или по таблице накопленных частостей найти ме-
диану.
Содержание 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Накопленные частости 0,42 0,66 0,81 0,88 0,92 0,96 0,99 0,99 1,00
206. Пользуясь таблицей задачи 203, построить кривую
накопленных частостей содержания серебра.
С помощью полученной кривой определить первую,
вторую и третью квартель.
207. Пользуясь данными задачами 204, построить кривую
накопленных частостей распределения содержания цинка.
С помощью этой кривой или соответствующей таблицы
определить четыре первых децили.
208. Записи технического контроля содержат следующую
таблицу распределения изготовляемых телефонных аппа-
ратов на категории по их качеству:
Категория 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Число аппаратов 6 18 161 1904 2304 1916 662 101 11
Вычислить основные статистические характеристики рас-
пределения, представляемого данной таблицей, приняв оценку
качества аппарата разрядом за величину случайной пере-
менной. При вычислении моментов ввести поправки
Шеппарда.
209. Опыты по определению глубины пропитывания
столбов и шпал креозотом установили наличие связи между
глубиной проникновения крезота и толщиной древесины.
Нижеследующая таблица дает распределение толщины дре-
весины в деревьях, употреблявшихся для изготовления шпал.
Толщина древесины 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4.0 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5
Частоты 2 29 62 106 153 186 193 188 151 123 82 48 27 14 5 1
Вычислить основные статистические характеристики
распределения среднее значение, стандартное уклонение,
меру скошенности и меру крутости.
210. Следующая таблица дает распределение числа ре-
шенных задач теста. „Технические задачи" при психотех-
ническом обследовании группы подростков
X 3 4 5 6 7 8 9 10
У 5 15 30. 48 80 56 12 4
Произвести выравнивание, пользуясь нормальной кривой.
211. Таблица
X 3 4 5 6 7 8 9 10
У 8 38 46 71 52 21 9 5
дает распределение числа х решенных задач теста „мате-
матические задачи" при психотехническом обследовании,
группы подростков г. Ленинграда.
Произвести выравнивание, пользуясь нормальной кривой.
212. Выравнять с помощью нормальной кривой распреде-
ление числа решенных задач теста „технические задачи"
при психотехническом обследовании групп подростков, по-
ступающих в фабзавучи г. Ленинграда
X 1 2 3
у 4 7 20
4 5 6 7
29 25 10 5
дает распределение числа решенных задач теста „Техниче-
ские задачи" при психотехническом обследовании.
Произвести выравнивание, пользуясь нормальной кривой.
214. Проверить, что распределение 2000 групп по 500
чисел в 10-ом миллионе по числу входящих в них простых
чисел, согласно последней строке таблицы, приведенной
в задаче 114, вполне удовлетворительно выражается зако-
ном Гаусса.
215. Проверить, что для 9-го миллиона приближение
к закону Гаусса менее удовлетворительно.
. 216. Выравнятьэмпирический ряд, данный таблицей, поль-
зуясь одной из кривых Пирсона.
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N 1 7 23 50 84 119 129 120 92 53 27 9
217. Решить задачу 211, выбрав для выравнивания одну
из кривых Пирсона. Сравнить полученные результаты.
218. Выравнять таблицу задачи 210, пользуясь одной из
кривых Пирсона. Сопоставить полученные результаты.
219. Выравнять эмпирический ряд, пользуясь одной из
кривых Пирсона.
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N 1 3 13 21 39 49 52 49 35 23 10 5
220. Выравнять эмпирический ряд, представленный таб-
лицей
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N 7 7 12 16 19 20 18 15 11 7 4 3
221. Выравнять таблицу задачи 205, пользуясь одной из
кривых Пирсона.
222. Выравнять частоты таблицы задачи 199.
223. Произвести выравнивание частот, пользуясь таб-
лицей задачи 200.
224. Выравнять частоты таблицы задачи 202. Сопоста-
вить выравненные частоты с заданными.
225. Выравнять частоты таблицы задачи 208, поль-
зуясь вторым приближением по методу Шарлье. Соста
вить таблицу теоретических частот. Вычислить величину
коэфициента точности.
226. Выравнять таблицу частот задачи 209, пользуясь
нормальной кривой, и вторым приближением по способу
Шарлье. Составить таблицу теоретических частот для
первого и второго приближения.
227. Распределение родившихся в г. Ленинграде в 1923 г.
по возрасту отца и матери характеризуется таблицей.
\ X У \ До 20 20—25- 25—20 30—35 35—40 40-45 45—50 50 и более
до 20 27 30 8 1
20—25 229 1 117 267 40 6
25—30 163 1798 1.402 227 29 3
30-35 60 1011 1 422 867 ИЗ 18 1
35-40 12 305 815 795 471 52 4 1
40-45 2 102 240 408 403 168 10
45-50 1 33 88 168 243 109 20 2
50-55 1 4 26 50 62 42 13 2
55-60 2 1 10 18 16 5 2
60 иболее 2 4 7 2 1
Буквой х обозначен возраст матери, буквой у обозначен
возраст отца. Выяснить тесноту и характер связи между
возрастом отца и матери.
228. При изучении состава руд Кадаинского рудника
Нерчинского округа 296 проб обнаружили содержание
в руде свинца и серебра, характеризуемое таблицей
РЬ Ag^X^ 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35—40^40—45
0—4 113 9
4—8 9 59 . 7
8-12 1 4 28 3
12—16 8 12 4
16—20 1 6 7 1 1
20-24 1 1 8 3
24-28 2 1
28-32 3 2
32-36 1
36-40 1
Содержание свинца и серебра даются в процентах от
общего веса пробы.
Выяснить характер связи и составить уравнение линии
регрессии.
229. Изменение содержания FeO в руде горы Магнитной
глубиной характеризуется таблицей
Г СТ т—» см | 1—ч
й 1 ОО С1 см Г-И т—ч V—4
26—28 СО ю rF •—ч со СМ
О 1 - ’Т со СО UO СМ
22—24 — Т—Ч со СО со СО с-1 СО см
20-22 СО 't см CD хг> СО г- »~ч
О см 1 со СМ со Ю со со г—ч ч—ч
а “сх э * СМ со тр со тГ г—I т—Ч Г—Ч
— со । CQ со т—ч см т—Ч см
12-14 ОО со т—< С1 т—Ч
10-12 со СМ ю »~-Ч см
О f 1 ОО со Tf Г- со w—Ч »—<
°? ю Ю st Ю »—Ч с-1 —
со 1 CD со СО Г~Н т-Ч
Д со со ю СМ С1
СМ 1 о <о СО г—Ч «*-4
/ / о-ю ! 02-01 S 1 о СМ I 30-40 40-50 1 50-60 60-70 70-80 06-0S 90-100 100—110 110—120
Буквой х обозначено содержание FeO, выраженное в про-
центах от веса пробы, буквой у обозначена глубина места
взятия пробы, выраженная в метрах.
Вычислить коэфициент корреляции и корреляционные
отношения. Выяснить характер связи и составить уравне-
ние линий регрессии.
230. Распределение браков по возрасту женихов и невест
в г. Ленинграде в 1923 году характеризуется таблицей
\ х У \ До 20 20-25 25-30 30-35 35—40 40—45 45-50 50-55 55-60 60 и бол.
До 20 219 197 28 6 1
20-25 1 145 2675 647 131 31 6 3
25—30 626 2 478 1349 369 76 28 6 1 1
30—35 202 990 869 452 118 44 14 3
35—40 48 351 475 323 161 56 17 5 1
40-45 16 140 204 219 146 93 34 12 1 1
45—50 4 60 113 148 115 83 43 13 7 2
50—55 5 26 39 5Б 78 64 39 16 7 2
55—60 1 6 13 15 32 32 31 17 4
60 и бол. 5 8 9 14 21 13 12 10
Буквой х обозначен возраст жениха, буквой у—возраст
невесты.
Вычислить коэфициент корреляции и корреляционные
отношения. Выяснить характер связи.
231. Приводимая таблица дает распределение браков пс
возрасту женихов и невест в 1917 г. в г. Ленинграде.
X До 20 20-25 25-30 30-35 35-40 40—45 45-50 50—55 55-60 60 и бол.
До 20 337 300 40 9 2
20-25 1439 3406 787 125 15 2
25-30 1168 3 755 2062 443 95 18 6
30-35 320 1223 1002 440 127 42 8 2
35-40 83 412 464 288 154 52 И 7 1
40—45 31 154 233 149 131 86 23 5 1
45-50 7 ;56 109 115 81 66 40 10 6 1
50-55 2 17 33 58 38 37 27 10 2 2
55-60 1 11 14 13 27 8 19 4 4
60 и бол. 8 6 9 12 16 12 11 7 4
Буквой х обозначен возраст жениха, буквой у — возраст
невесты.
Вычислить коэффициент корреляций и корреляционные
отношения с их средними квадратичными ошибками. Со-
ставить уравнения линий регрессии.
232. В результате обследования 250 подростков г. Ленин-
града с целью определения их склонностей получена сле-
дующая таблица распределения решаемости теста „Техни-
ческие задачи" и решаемости теста „Математические задачи".
Гюнтер и Кузьмин, ч, III (7
Буквой х обозначено число решенных технических задач,
буквой у обозначено число решенных математических задач.
Л' V \. 3 4 5 6 7 8 9 10
3 2 3 3
4 2 4 15 8 9
1 3 8 18 14 2
6 5 4 17 30 14 1-
7 5 26 20 1
8 1 13 7
9 5 1 3
10 2 2 1
Вычислить коэфициент корреляции н корреляционные
отношения с их средними ошибками.
Составить уравнения линий регрессии.
233. Таблица, приводимая ниже, представляет распреде-
ление решаемости теста „Технические задачи" и решаемости
теста „Подбор фигур по образцу". Буква х обозначает
число решенных задач первого теста, буква у—число решен-
ных задач второго теста.
X у 2 з 4 5 6 7 8 9 10
0 1 1 1
1 2 1 2
2 1 2 3 3 1
3 6 7 3
4 1 2 5 10 3 1
5 2 6 7 5
6 1 3 1 7
7 2 2 2 1
8 3
9 1 1
Таблица получена в результате обследования группы
подростков г. Ленинграда в 1933 г. при определении их
профессиональных склонностей.
Выяснить корреляцию между х и у. Определить коэфи-
циент корреляции, корреляционные отношения и составить
уравнения линий регрессии.
234. При определении профессиональной направленности
испытуемым предлагают задачи из физики, математики и
других областей. С этой целью составляются тесты, содер-
жащие по 10, 15, 20 и более задач.
Каждый «испытуемый получает несколько тестов. Ниже-
приводимая таблица представляет результаты обследования
100 подростков, поступающих в ФЗУ в г. Ленинграде
в 1933 г.
В таблице буквой -х обозначено число решенных техни-
ческих задач, буквой у — число задач, заключавшихся в под-
боре слов по аналогии с данным словом.
X. X 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 2
2 1 2 3 1 •
3 1 4 6 4 5
4 2 6 И 8 2
5 3 6 8 7 1 -—-—
| 6 1 2 3 2 1 1
1 7 1 1 2 1
Вычислить коэфициент корреляции между х и у и его
среднюю ошибку. Составить уравнения линий регрессии х
по у и у по X.
235. Содержание Fe2O3 и FeO в рудах горы Магнитной
по основанию ряда взятых проб характеризуется следующей
таблицей.
30-32 ^4 oj т-4
28-30 СО
26-28 *-* со СО CO Ч- СО
24-26 OJ ш <о «• •
OJ 1 OJ сч - Т Т тн Т-Ч TH
20-22 OJ СО Ю СО СО -Т т—4 oj
8 1 СО oj 04 TH OJ OJ, CO TH
16-18 - т-4 OJ СО TH OJ OJ co OJ
14-16 1Л OJ CO T CO tH
12-14 03 Ю T OJ rH OJ TH
О1 i о т-4 OJ to ”* OJ
8-10 04 rH OJ CO TH CO OJ
6-8 r4 OJ Ю CO <o
4 -6 ! TH r—4 OJ 4Ф as OJ
1 о й t—( OJ OJ OJ
7 —• rH CO
36-39 39-42 I 42-45 ф 1 Ю IS-W 1 1 51-54 S I 57-60 1 3 1 S 63-66 | 66-69 I 69-72 I 72-75 75-78 78-81 I SI—84 co 4- co I 87-90 90-93 | 93-96
Буквой х обозначено содержание Fe2OB, а буквой у содер-
жание FeO: Величина содержания компонентов дается
в процентах от общего веса взятой пробы.
Выяснить корреляцию между х и у.
236. Изменение содержания серы с глубиной в железных
рудах горы Магнитной характеризуется по взятым пробам
0‘9-S‘c см
5‘e-o‘s см г—< см
o‘e-s‘t г—< см
g't'" o't' см
o'fr—S‘£ со ю ю со
e‘e-o'£ см см со тГ ю см
o‘£—S‘& г—< см ОО тГ тГ см см Г-н
s'g—b'5 тГ тг со со со
o's-s'i СО со г—<
e'i-o‘i г—f со см
o‘i—s‘o «—1 о со со г—<
s‘o-o'o 34 co со со т-Н см ГЧ ю ч* г—<
4 / О о о о о о о о о о о о см
I-H 1 CM 1 со _| 1 ш 1 со 1 1 оо 1 CD 1 I—• I 1
/ О 1 о о 1 о о 1 о о 1 о о 1 о 1 о 1 о
Т~Ч СМ со ш со со CD о 1—М т-Н
таблицей, в которой буквой х обозначено содержание
серы во взятых пробах, а буквой у — глубина места взятия
пробы.
Содержание выражено в процентах. Глубина дается
в метрах.
Выяснить связь между содержанием серы во взятой пробе
и глубиной места взятия пробы.
237. При изготовлении одной из деталей машины свари-
ваются две части, изготовленные из различных стандарт-
ных материалов.
Испытания твердости этих частей после сварки даны
таблицей
№ испы- тания Твердость № испы- тания Твердость № испы- тания Твердость
I часть II часть I часть II часть .1 часть II часть
1 50.9 44.3 21 48.7 36.8 41 47.9 36.7
2 44.8 25.7 22 44.9 36.7 42 45.8 35.3
3 51.6 39.5 23 46.8 37.1 43 47.9 35.5
4 43.8 19.3 24 49.6 37.8 44 45.8 35.1
5 49.0 43.2 25 51.4 33.5 45 49.1 33.2
6 45.4 26.9 26 45.8 37.5 46 50.0 36.1
7 44.9 34.5 27 ’48.5 38.3 47 47.3 35.9
8 49.0 37.4 28 46.2 30.7 48 46.9 35.2
9 53.4 38.1 29 49.5 33.9 49 49.1 38.1
10 48.5 33.0 30 50.9 39.6 50 48.2 35.9
11 46.0 32.6 31 47.5 36.9 51 46.9 33.8
12 49.0 35.4 32 45.0 37.5 52 49.0 37.6
13 43.4 36.2 33 46.6 32.4 53 44.7 35.5
14 44.4 32.5 34 48.0 39.8 04 51.7 36.2
15 46.6 31.5 35 44.5 35.3 55 45.2 34.4
16 50.4 38.1 36 48.5 38.3 56 44.8 Л 27.5
17 45.9 35.2 37 46.0 38.1 57 42.4 31.1
18 47.3 33.4 38 48.9 35.0 58 48.5 36.8
19 46.6 30.7 39 46.3 34.9 59 50.1 34.4
20 47.3 36.8 40 46.1 32.9
Таблица обнаруживает изменчивость твердости обеих
составных частей детали. Единственной общей причиной
колебаний твердости частей могут являться изменения тер-
мических условий в процессе сварки. Для выявления влия-
ния процесса сварки на твердость частей детали машины
решить вопрос, правдоподобно ли объяснять корреляцию
твердости частей детали с точки зрения случайной вы-
борки.
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ
< *__________1 2
Ф (2) = Ге 2 Z dz.
V 2п J
О
Z Ф(г) Z ФО?) Z Ф(г) Z Ф(г)
0,00 0,0000 0,40 0,1554 0,80 0,2881 1,20 0,3849
0,01 0,0040 0,41 0,1591 0,81 0,2910 1,21 0,3869
0,(2 0,0080 0,42 0,1628 0,82 0,2939 1,22 0,3883
0,03 0,0120 0,43 0,1664 0,83 0,2967 1,23 0,3907
0,04 0,0160 0,44 0,1700 0,84 0,2995 1,24 0,3925
0,05 0,0199 0,45 0,1736 0,85 0,3023 1,25 0,3944
6,06 0,0239 0,46 0,1772 0,86 0,3051 1,26 0,3962
0,07 0,0279 0,47 0,1808 0,87 0,3078 1,27 0,3980
0,08 0,0319 0,48 0,1844 0,88 0,3106 1,28 0,3997
0,09 0,0359 0,49 0,1879 0,89 0,3133 1,29 0,4015
0,10 0,0398 0,50 0,1915 0,90 0,3159 1,30 0,4032
ап 0,0438 0,51 0,1950 0,91 0,3186 1,31 0,4049,
0,12 0,0478 0,52 0,1985 0,92 0,3212 1,32 0,4066
0,13 0,0517 0,53 0,2019 0,93 0,3238 1,33 0,4082
0,14 0,0557 0,54 0,2054 0,94 0,3264 1,34 0,4099
0,15 0,0596 0,55 0,2088 0,95 0,3289 1,35 0,4115
0,16 0,0636 0,56 0,2123 0,96 0,3315 1,36 0,4131
0,17 0,0675 0,57 0,2157 0,97 0,3340 1,37 0,4147
0,18 0.0714 0,58 0,2190 0,98 0,3365 1,38 0,4162
0,19 0,0753 0,59 0,2224 0,99 0,3389 1,39 0,4177
0,20 0,0793 0,60 0,2257 1,00 0,3413 1,40 0,4192
0,21 0,0832 0,61 0,2291 1,01 0,3438 1,41 0,4207
0,22 0,0871 0,62 0,2324 1,02 0,3461 1,42 0,4222
0,23 0,0910 0,63 0,2357 1,03 0,3485 1,43 0,4236
0,24 0,0948 0,64 0,2389 1,04 0,3508 1,44 0,4251
0,25 0,0987 0,65 0,2422 1,05 0,3531 1,45 Q.4265
0,26 0,1026 0,66 0,2454 1,06 0,3554 1,46 0,4279
0,27 0,1064 0,67 0,2486 1,07 0,3577 1,47 0,4292
0,28 0,1103 0,68 0,2517 1,08 0,3599 1,48 0,4306
0,29 0,1141 0,69 0,2549 1,09 0,3621 1,49 0,431ч
0,30 0,1179 0,70 0,2580 1,10 0,3643 1,50 0,4332
0,31 0,1217 0,71 0,2611 1,11 0,3665 1,51 0,4345
0,32 0,1255 0,72 0,2642 1,12 0,3686 1,52 0,4357
0,33 0,1293 0,73 0,2673 1,13 0,3708 1,53 0,4370
0,34 0,1331 0,74 0,2703 1,14 0,3729 1,54 0,4382
0,35 0,1368 0,75 0,2734 1,15 0,3749 1,55 0,4394
0,36 0,1406 0,76 0,2764 1,16 0,3770 1,56 0,4406
0,37 0,1443 0,77 0,2794 1,17 0,3790 1,57 0,4418
0,38 0,1480 0,78 0,2823 1,18 0,3810 1,58 0,4429
0,39 0,1517 0,79 0,2852 1,19 0,3830 1,59 0,4441
Продолжение.
Z Ф (z) z Ф(г) z Ф(г) Z Ф'г)
1,60 0,4452 1,85 0,4678 2,20 0,4861 2,70 0,4965
1,61 0,4463 1,86 0,4686 2,22 0,4868 2,72 0,4967
1,62 0,4474 1,87 0,4693 2,24 0,4875 2,74 0,4969
1,63 0,4484 1,88 0,4699 2,26 0,4881 2,76 0,4971
1,64 0,4495 1,89 0,4706 2,28 0,4887 2,78 0,4973
1,65 0,4505 1,90 0,4713 2,30 0,4893 2,80 0,4974
1,66 0,4515 1,91 0,4719 2,32 0,4898 2,82 0,4976
1,67 0,4525 1,92 0,4726 2,34 0,4904 2,84 0,4977
1,68 0,4535 1,93 0,4732 2,36 0,4909 2,86 0,4979
1,69 0,4545 1,94 0,4738 2,38 0,4913 2,88 0,4980
1,70 0,4554 1,95 0,4744 2,40 0,4918 2,90 0,4981
1,71 0,4564 1,96 0,4750 2,42 0,4922 2,92 0,4982
1,72 0,4573 1,97 0,4756 2,44 0,4927 2,94 0,4984
1,73 0,4582 1,98 0,4761 2,46 0,4931 2,96 0,4985
1,74 0,4591 1,99 0,4767 2,48 0,4934 2,98 0,4986
1,75 0,4599 2,00 0,4772 2,50 0,4938 3,00 0,49865
1,76 0,4608 2,02 0,4783 2,52 0,4941 3,20 0,49931
1.77 0,4616 2,01 0,4793 2,54 0,4945 3,40 0,49966
1,78 0,4625 2,06 0,4803 2,56 0,4948 3,60 0,499841
1,79 0,4633 2,08 0,4812 2,58 0,4951 3,80 0,499928
1'80 0,4641 2,10 0,4821 2,60 0,4953 4,00 0,499968
1,81 0,4649 2,12 0,4830 2,62 0,4956 4,50 0,499997
1,82 0,4656 2,14 0,4838 2,64 0,4959 5,00 0,499997
1,83 0,4664 2,16 0,4846 2,66 0,4961
1,84 0,4671 2,18 0,4854 2,68 0,4963
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
ОТДЕЛ XII
1. Ряд сходящийся при х>1 и расходящийся при 1.
2. Ряд сходящийся при х неравном zt 1; расходящийся при х = ± 1.
3. Ряд сходится при всяком х.
4. Ряд сходится при х <21, расходится при х==1.
5. При 4sSx<4 ряд сходящийся, при | х | > 4 расходящийся.
6. Ряд сходящийся при | х | < е и расходящийся при | х [ == е,
7. Ряд, абсолютно сходящийся при I х К -у, расходящийся при
| х | При х = ряд расходящийся; при х — —— сходящийся.
8. Ряд сходящийся при всяком X. 9. При | х | 1.
10. При | х | < 1 ряд абсолютно сходящийся; при х = -!-1 ряд схо
дайся, когда !>« + ₽; наконец при х = — 1 ряд сходящийся, когда
“ + Р — 1-
11. Ряд сходящийся при х>1, расходящийся при xg?l.
12. Ряд сходящийся при /?>«”)-2, расходящийся при Ь^= а + 2.
13. Ряд сходящийся при расходящийся при
14. Ряд сходящийся. 15. Ряд расходящийся.
16. При а>2 ряд сходящийся, при ag2 — расходящийся.
17. При а>р ряд сходящийся, при ag=fi — расходящийся.
18. Прив<~- ряд сходящийся, при а & ~ — расходящийся.
19. Ряд расходящийся 20. Ряд сходящийся.
21. Ряд сходящийся. 22. Ряд расходящийся.
23. Ряд сходится при условии 2р>1.
2
24, Ряд сходится при условии />>-5-.
О
25. Условие сходимости я = 2.
26. Ряд сходится при условии р > -i-.
27. Ряд сходящийся 28. Ряд сходящийся.
29. Ряд сходящийся.
30. При х<^— ряд сходится, при х & —— расходится.
31. Ряд расходящийся.
32. Ряд сходящийся при х>1/2, расходящийся при xgi'j.
33. Сходящийся.
34. Ряд расходящийся. 36. Ряд сходящийся.
37. Ряд сходящийся.
38. Ряд сходящийся при р>2 и расходящийся при р. *g2
39. Сходится при р. > 2.
я(п—1) и(и —1)(2я —1)
41. па+----------b + —--------р73-----~ с'
42. 43. (и +1) (2п + 1) (8«2 + 12г. + 1).
О
n(n+D («4-2) (3« + 5) я(п + 1)2(п + 2)
4 12 ' 4 12
45. !1+1((И + 1)4-1].
OV
47.
пЧ2п + 3)
----~—- при п четном,
о
2И2 + ЗЯ2—1
при п нечетном.
48. (—1)”~
1 я4 + 2и3 — п
х 2п — 1
COS ~---COS----JT--
50.-----------------—
,-v -
2 sin *2"
(па\ (п—1)а
T)coS—----
sin fir
2л —1
п cos —— X
о > Х
2sin-j*
. а
БШу
4
2
. 2я —1
cos (я — 1) х _______2
. х\а ' . X
(2s,nyJ 2smT
54.
sin 2nx
2sinx "
sin nx cos —~— x
55. S =------------------—------
x
cos-g
53. S = n -
sin nx cos (n-|- l)x
sinx
r (-1)”-1 sin2 2их — [1 + ( — 1)” -1] sin2 x
57’ * ~ 2c6s2x
58.
л — x
~2 •
X sin a — x31 sin П a+ xr'"'* 1 * 1'1 sin (n — 1) a
1 — 2x cos a -|- X2
x sin a ,
1 — 2x COS a 4- X?
1 —X COS a — Xn COS П a 4-xn + 1 COS (Я — 1) a
62» - <-» о —
1 — 2x COS a -f- X3
63.
1 — X COS a
1 — 2x COS a 4- X3
64.
x , a
(X—1)2+1 —X*
65. -
1 4-x
(l-Л)2
66.
x — 7x® — 3x3 — x4 *
(Г+^Я
67.
1 4-11x4-1 lx2 4-x3
(1 -^)6
68. -------TT-s— У ——--------~zn: область сходимости:
1 — z — 2^2 3
n~0
1 1
2 <z< 2 •
CO
69. ——--• = "V (2-3” —2”) zn; область сходимости:
1 — 5z 4- te3
70.
область сходимости: — 1 <^z<Z~[-1.
9+(-1)и 1 (2я4-1)л1
8 2/2 4 J
7! 1 = V 2я4-14-(-1)”~ 1 W-1
' (1 —x) (1 —x2) 4
7 2___________‘
(1 —X) (1 —х^) (1 — л3)
V Г (и 4-1) (п + 5) , 17 (—1)п 2 2птЛ „
Zi [ 12 8 Н 9 C0S 3 J Х
П—О
73 a + bz____________=
(1 -2г cos ф + 22)2
_ V1 (я + 3) sin (п + 1) у — (п + 1) sin (п + 3) у
~ Z в' 4 sin2 ф
п=Ъ
*” +
, VI (п + 2) sin п ф — п sin (п + 2) ф п ,
4- 5 Я—'— ----------т—,--------—!---— 2 ; область сходимости
1 4 sin3 ф
И<1.
79‘ р\с + 1"^с + 2"^ * ' ’~^с + Р/
1. !_
р \с + п +1 ' с + п + 2 ' ~с + п + р
80.11. 81. |. 82.1.
83.А. 84.1. _ 83,|.
fi6 1_________________1_________
2с(с + 1) 2(с + п)(с + п+1) *
87‘V 8Э-420 ' 9°' ТоЗб*
qi------------------------------------------.
Зс(с + 1)(с + 2) 3(с + и) (г + «+1)(с + п + 2)
92’ 90 * 92 93 *‘ 36 * 95 *‘ Т’ 93‘ f 97‘ З-’
г пП у2п у.
98. Sn = -----------; S = --------, при условии | х | < 1;
1 — х 1 — хг 1 1 — х
99. S = - Х , если | х | С1; S — — —если IXI^>1-
10,-s»=ictg-5i-ctsx; S = ^—ctg-*-
2" Z
1
4 V 2
105. S
[(л 4-2 log (V 2+1)]. 10S. S
108. S = -J +1 log 2.
7С
'2 /3 ’
109. S = 4£-
107. S = log 2.
11О.я=ЦХ ,n.s = "_<£J+L>. О
112. log (1 + /2). Г 2 113. S = ~4=r. 2 У 2
... „ 1 Гха — х* 114. S = -g-j— / dx. V+aJ 1—x С 115. S = 4-. 4
116. s = ~. 8 117. S = — 2 6 У 3
„as = l(i+l + ±+. . . +1).
. .+Ц^) + 1^Иг2.
Л А
120. Пусть —:————j Г = У ~~г— . В силу постав
(И + «1) (П + а2)... (я + ак) П + af
г — 1
к
2^
dx.
генных условий имеем: Л1 + Л2 + . . . + ^4=0hS=J
121. S = log 4 — L 122. S = - A + 2. log 2.
123. S = ^-. О . 124. S = log2-y.
125. S = у (1 - log 2). 126. S = -|-- log 2.
T. 3 „11. л
127. S = — . 128. S = Д- — v leg 3 4 . 6 4 e 12 / 3
37 ~ „ 7-2 1
129-S = 2268- 139. S = — 16 2
f31 <? — ?+2 L ldl- d ~ 256 9 ‘ 132. S = 2-^. 6
,33-s-36 Й"®2 25 134 c — 7:2 ~~ 39 972 ‘ 16 *
11
т 1 + ' h (x ^l-x
n=l
136. 5 =
J______1_
4x - 2xs
(1~X)2
2x2
137. S = —
24x
1
8x2
(1— x3 , 14- у x . n
— log—— r-_— при x>0;
16x2 V X 1 - V X
c 5 1 . (1—x)* х 2 . - ...
5 =----—J----arc tg у —x при x < 0.
24x 8x2 8x2 У—х
138. s=-L_+-J£) 10g 1+T£ +
1 -X X5 Vx 1 — Vx
, 2(3’50 - 1470x + 105x2 4. 51xs + 53л1) . n
+—“---------------io5x5-----------------"P« -v>°;
o 1 , 6(8x- л-2-10) , ,<--- ,
s =-------1_ :— -1 arc tg у — x 4-
1 — X X5 у ------X
, 2 (3150-1470x4-105x2 + 51x3 у 53x4)
+ да ‘ ' при x < 0.
139. S=l-y=log(14T /2).
.,0 л _ „ „ л
Ш- при-1-<6<^-.
2 sin 6 4- log cos 6 — 2 log cos ~
140. S= J=.
V 2
143. S = /^-|—1. 144.5=1. 145. 5 = 14-log2.
146. 5 = у log 2. 147. 5 = ~ (tog 2)®.
149. F(«, ₽, 1,1) = “Ри Услобипх “ > 0, Т — а — ₽>0.
х \Т а) 1 и Р/
150. 5 = 1 4- ах [ -У— dz.
J (1-хг)«+1
2 9
151. 152. S = —.
ТС 7С
154. S =
Ь — а — 1
156. 5 = — .
2
153. S = х при х > 2.
155.
157.
<?_, g(ft —1)
(b—а—1) (Ь—а—2)‘
5= J=log(2 4-K3).
3
g Ку 3
158. S=91(-у'^-^=1+j/ilog(l+{/2)-
о
1 QlV’08 t I/4 — I
log 3 4- У--arc tg v -
2 /3
161. S = exj' х* 1 е х dz.
о
I63S‘=(T^r
с — '
62 (1— х)3
S3
x + 4л2 + Xs
164. S = A log * ^~Z — 4- arc tg z.
4 b 1 — z 2 *
“S-S’T'^S
167. S = 4r (ez+2e
О \
f- 4 arc tg z. 166.
V Гз \
COS-—- Z].
S =(e*e ® -|“2 cos2).
177. 3' = л-2-|
2x4 . 2-4x6 . 2-4-6x8
3-23-5-3
3-5.7-4
fc=o
sin (2k 4-1) x
2^4-1 •
179.
n 4 Vi cos(2fe-4- l)x
2 ~ V 2d (2k + I)2 '
7i—0
iRn я 4 у С08(2/г+1)х
’ 2 и Zl (2k 4-1)2 ’
0
1Я9 -L_AV со5тг(2/г+ l)x
* 2 (2/г-|-1)2
181.
S(—1)”г+1
—-Til-- s:n mx-
m=L
183.
3 г^и(
111—1
ли
Г —о COS #?X
184.
VI cos mx
sin mx.
185. f(x) =
m3
9П—-1
1
k=l
sin 2kx.
9
186. -
cos’ nx
4«2 — Г •
V cos2nx
187- ^ + TSlnX“^L 4^1
ion A V sin(2w+Dx
n Zi (2я+Ъ3 '
191. |xp =
ri ccs2Jx
cos (2j — 1) x
3=1.
3-1
1)2
3
k
m
VI cos(2i— l)x „
X СУ“’Ы P««'B 6
j=i
96’ 90’
m=l
2тг2
m
cos mx.
[СО
т—1
h -й (-1)*-JCOS^
194 е® —- е е _h (е?*_е~й) X ----------- +
1S4, Й2-}~П2Я2
4- тг (е?| — е
. t \ П___1 _ /2 7U X
1)” n sin —y-
n=. 1
2 sin 11 a
195. cos ex =------------
к
„„„ . 2 sin я a
196. sin ax =------------
acosx
a cos 2х
, 2 sinh «л
197. sinh ах =
2«’Г12 —«2 2a — «2 T •
sin x 2 sin 2x , 3 sin 3x
I2—«2 ~ 22 —«2 + 3a—«2
. ( sinx 2sin2x . 3sin3x
198. cosh ах
л \а2—}-12
2sinh«n/l acosx
«24-22 ~ «24-32 г
a cos 2х a cos 3%
,2a «24-12^ «24-22 «24-32
199. log cos у==— log 2 4
2(B. s=”Jg*.
1536
cos х cos 2х . cos Зх
№ + Л2 1$
1
2
3
210. Искомая сумма равна —%— ПРИ
2 п. Если предположить
О
х<С + я. т0 искомая сумма равна —у— при 0
п и равна
г. X , ..
-у —у при —я<х<0.
2Н.£(^).
212. Если ip.4- ® = п> т0 S = 4 Ktf, когда <f g 0, и S = ~ яО, когда ср 6.
Если же ср 6 > л, то S = 1 п(я - 6), когда ср 6 и S = ~ л (г. — ср),
когда ср > 6.
| S = 0 при 8 > ср,
213. Если 0<ср 4- »<я, 5 = у при 9 = <р,
I s= 4- при 8<(р;
Если г. ср 4- 8 2 л,
к 11
S = — — при v > ср,
S = — ~ при & == «р,
S = 0 при
214. S = — -L log 61 sin2 -6 х
215. S = -j- при 0 < x < г..
216. S = -Ь fog ctg2 у x.
о , с я 1 1 , 1 + Sin X
2.7. 5= о +-г-log—!---
8'4 6 cos х
2l8.S = |-|logtg^.
219. 6 '-?• 220. 4 .
ОГ>. о 1 . cos X к — х. . /1
221. S == —- -|-----------------— sin х; S' = sin x L—
i о 1
— log 2 siny x
222. хЗ = АГ1(а)+Гз(х)>
223.
224.
1 2 (-lh2t^+I(4
7 + 2Л + 1
2 2 yi (— !)fe 22* T2k (x)
к V 2d 4A2 — Г '
к=1
225 1 <2л)! I V (?"~2ft)!
22Л-1 (,г!р f Zi [(n-A)!]’ 22n“2S '
7c=l
227.j - V <-;>7«44>(2t-2>.
2 ^4 22'*-1 (A - 1>! (A 4- 1)!
TT7 S (тЬ) W
229- ^AnLn(x)-, An = ±-
230. 2ВпДг(х): Bn^±-
о-li V ( ~ (я!)3 r t \
X A!(n —А)! b^X‘
(ш)и (-gZ)w
(l + eO”4-1^ (1 ~ai)n+l
(ai)n________( - ai)n
(l + c/)n+l _ (1— ai)n
— 1 t — 1\k 9k
2321 i k H2k + 1^).
k-1
233 V A H (хУ A — (— 17s (2fe~b 2)!
ОТДЕЛ XII
273
а* со
234. е 2 апНп (х).
П — 1
235. еТ V (-^а2пщп (г)>
п=1
а2 со
236. е 8 2 (-1)п«2п+‘//211+1 (X).
п—1
239. 1) S = - о 1 -2-log2; 2) —log 2; 3) S = 0.
241 S' ~ 1 1л<г 9 949 e л i Mo 9
'я1' г> 4 243. Будет. 4 6_-4- | --log 2.
244. Искомая сумма «= 1. 245. ™- S- ') 2- S = 1 — log 2; S' = log 2.
247. S = |- 250. S = y|- + log2-l; S' = — - 2 (log 2А -Iog2--j-.
252. Р1(х) = х; Р2(х) = х(х-}-1); Р3(х) = х(х24-Зх-|-1); вообще
Рл + 1 (X) = X fP,e (X) + Р'к (X)] = X [1 + kPr 4- Р8+ ... + рк].
256. 5 = -^.
о
258. S = 4-.
v
257.
259.
И*
260.
253.
п 6(024- 1)
sinh л 6
_ г. — х и sinh д (я —х). _ х
1сР 2 л2 sinh па ’ ~~ 2а2
14-Q2 х
. л 0 У
cosh -g-у
к sinh дх
2е2 sinh а я ’
264. 5 — 1 _i_ n cosh a («— x) . 1 , n cosh «x
2«2 1 2« sinh n a 2a2 1 2л sinh о к '
265. S = n a — 1 J- • S' = —
2e2 J4a 2a (eK(l 4-1)
_ я д — 2 . л [(2 па 4-1) е2га— 1] #
4а4 2дЗ (72ла —I)2 ’
Я гс[(гсд4-1)ека4-1]
8д2 4дЗ(еко4-1)2
Гюнтер и Кузьмин, ч. Ш
18
„„„ о тс ( % । sinlizX dS
267. S = —( — 4-cosz
8 \ тс 1 sinhяу 4 аг
268 $ = —sinh (тс х У 2~) — sin (тс х У 2)
х3У 2 cosh (тс х У 2) -J- cos (тс х У 2)
277. Сходятся при а>-|-.
У2'-1
280. S(x) = arctg п?—
282. S =------^-+ arctg
п(п'Ч-1).
Q 2
Л« == (?-1) (92-1)...(9й- 1) '
СО К
285. —3—- V е ° cos 2 я лх.
У а
— оо
287. R^R^. 291.
ОТДЕЛ XIII
3. 0,05 мм.
4. g определяется с точностью до 3 см', ошибка в измерении времени
больше влияет на результат, чем ошибка при измерении длины.
5. С точностью до 20 см приблизительно.
6. При 45°.
7. 125 ct 1 м.
8. Около 0,009.
9. Погрешности угла при нахождении по синусу—около 1', по тан-
генсу—около 30".
10. Точность вычисления подкоренных величин такова: под первым
корнем: 6 • 10~7, под вторым 2 • 10-6, под третьим Ю 5, ПОд четвертым 4 • 10~.Б
11. Приблизительно 16 М.
12. 2х — 1.
29
13. 2х — 1 — -т^УгЧтГч - 2) (х - 4) (х - 5) (х - 10).
АС • 11 1U • О
14 О * 1 (х — 1) (х — 2) , п (х—1) (х —2) (х —3)
1 1 1-2 + 1-2-3
по (х — 1) (х — 2) (х — 3) (х — 4)
~28----------ПГТ-4----------
4л?__ ^3
15. f(x)~—значения разности: — 0,63; +0,68; —320.
О
640__I • 9л
16. /(х) =---—------- значения разности: 0,000, 0,039; 112.
17. Ду0 = 0,471; Д2.Уо= —0,054; Д3_у0 = +0,006.
18. Ду0 = 0,0292; Д2.у0 = 0,0568; Д3_у0 = 0,0012; Д*у0 = 0,0048.
107х + 831
19’ >=------442~
Их2 —Зх + 4
20. J =
21. 3,002268462.
22. Найдя после первого приближения х — 1005,237 и вычислив
Л log 1005,237 при h — 0,001, после второго приближения получаем х =
= 1005,2374367.
23. 0,52373.
25. 0,66043862; до —J—
z 108
24. и = 0,50145
26. 0,375147; до ^6
27. ср = 28О9'57" 75.
28. ф (0,715) — 0,220378903; до
29. х = 0,834350.
30. 0,920. 31. 0,512.
32. 0,69315 в действительности 0,6931472.
33. 0,78540 0,785396.
34. 0,83566 в 0,8356488.
35. 0,24018 м 0,240227.
36. 1,37079 1,37076.
37. 0,63631 я 0,636294.
38. 0,69314773 0,69314718.
39. 0,24433 » 0 243748.
40. 0,17260 » 0,17248.
41. 0,0099503309
42. 0,5235.
43. 0,84873 при т = 3 н 0,84893 при п\= 4.
44. 0,67353.
45. 0,69314716 в действительности 0,69314718.
46. 0,24383 „ 0,243748.
47. 0,82247 » 0,822467.
48. 1,21871
49. 1,3508 в действительности 1,350644,
50. 0,67375.
51. 0,272198 в действительности 0,27219826.
3,9774638-
52. 3,043 при п=2; 3,016 при п = 4.
53. 1,302 при я = 2, вместо 1,3110287771.
54. — = 1,118 вместо = 1,111.
102 2/2
55. 1,057 вместо
О
56. -у без ошибки,
57. 0,83467 в действительности 0,8356488,
7^2
58. без всякой ошибки.
59. В первом случае 0, во втором л; истинная величина равна л.
61. В первом случае точность абсолютная, во втором погрешность
около 0,23%.
68. При п = 2, 3 имеем:
0,479271; 0,47925633.
70. 3,97746 (при п = 4).
71. При п = 3; 1,3152 вместо 1,3110287771.
79 W(W+ 1) <2П+
6
73.
4пЗ+12п2+11й
' 3
75 1 1
2 2(п+1)(п + 2)-
76 . -J-arctg^.
77 »2 + w + 2
2
78 ,/ 1 [Y1 + V5’Y + 1 Л-У5'У + 11
78. J J*
79. пя = п4-2.
80. Ым = п + 2 + 2”(п+1).
82. у =Сап------а^\т(Г^Х)
a2 cos2 m + sin2 т
83. уп = - С. „ + 4 + 1.
” П71-|-1) 3 1
84. уп = Са(и+1)! +
85- уп = Ci • + С2 (- 1)” + « (- 1)и.
86.
87.
у = С1ви Г(«.) + - а)п Г(н).
/ — 1 4- / 1 —
Оп
88. 156. 89. С =0,57721566.
90. 2,348. 91. 14,3927267229.
92. С =—1,460355. 93. С= —0,073927.
94. s = log 2 С —log 2 J = 0,15987; С - - эйлерова постоянная.
95. -77-= 1,6449341. 96. 0,105166.
6
97. 5=1,20205690. 98. 5 = 0,9375483.
ОО
99. 5' = ~ И 2 - - • У 1%^- = 0,1013166.
п~ 2
100. 1---+ ----|—}-••• = 0,60490.
yi у з у4
105. 0,69314718. 106. 0,78540.
107. 0,37682. 108. 0,70711.
109. 0,91596.
110. ип = -4=;
п Уп
5=1-------1= Ч—1= Ч—1= Ч-----7= — ~7Г и6 + 4Дий----Д2 uf, Ч~
У2 У3 У4 У5 2 ь 1 4 ь 8
111.
112.
113.
114.
115.
116.
119.
116
Ч-yg — 32 д4кб Ч-32дь«6 = 0,6049.
_ ,1
«а — П3 :-
5=1 2з" 33 4§~ 2~ Дм."> + |$ДЗмз Ч~
1 6
Ч- 32 Д4 «5 — 32' д5 "б = 0,90154.
0,136294.
1
«„ = -г-.
п log п
5 = -у«ц) — дмю + у д2 мю — jg дз “ю 16 д4Чо = 0,2218.
р 1 । 1 т-i 1
” 2 ф 6n ’ п 6n3(n+1) ’
Р п~2 | 23
п~ 5 "* 35(2пЧ-1) '
== 1 Ч- 35n8(2n-f-l)^(2n4-3) ’ = 9,8696044011.
1 8
Рп==п~ 1 + 3(2n —1) ’ >и = 1 + 3(2п — 1^ (2п-Р1)'
р _ оя j_____4яЧ~ 1 .
5(4«аЧ-2пЧ-1) ’
> .________________18(4иЧ-3)_______•
” 5(2пЧ-1)8 (4паЧ-2пЧ-1) (4я2Ч-10«Ч-7) ’
( 1 \2 /1.3^2
1 + (-2) +•’•= 1>3932039-
19 0 р - - ! — х 1Д- ——i I 1 |
123. Р - 2 +4л, Ч’-1 + 4п4(п + 1)’ + +
4-± + . . . =1,20206.
<5°
121.
4д2 4- 1
6п
(4Д8+1) («2+П .
6n(n+l) (Я2 4-Л2) ’
Рп — п ~ у +
ОО
У -а-|-.- = 0,6081.
я2 4-4
п=1
122. 1. Р.. =——^-т-т. >»= 1 — гт-1-j—г?
” «2 — п 4-1 п 1 4- п~ + ni
9 р _ п2+ rt + 2 х — 1 4- 6
п ~ rfi 4- In - 1 ’ п ~ (n342n - 1) (п34-3Я24-5п 1-2) ’
е = 2,7182818284.
12з. 1. рп = = 1 — 4п2(П_|_^ ;
2 р —______I _|_________X =14-------------------------------
« 2 -2(2^4-1)’ п т2п(2п2 4-1)(2п2-|-4п4-3)
124 р = . х =1________18<”+1>_______•
1 >п 2(2п4-1)’ п п2(2п4-1) (2«4-3)’
log 2 = 0,6931471806.
125.
1 р — J• х = 1 --- ------------•
" 2n—1' п (2п—1Я (2п+1) ’
Р =_1 +_____,
п 2 ' 2(4п2 — 4п4-3) *
12
= 1 + (2n— 1) (16п4 + 8п24-9) ’
126. ^n-2(2n —1)’ 1+ (2п—1)3 (2«4-1) *
127 р=-1 +_________^=3______f
iz/. fn 2 -Г 2(8ns_ 12п4-9) ’
, , , __________27(4n —1)__________
” “ 1 ' (2n — I)2 (8n2 — 12n 4- 9) (вп2 + 4n 4- 5) ’
19Я p Х[(1-Х))П4-Х]
128. Pn (l x) [u_x)n + x_|_2] »
. __ i ।______________6x________
л«-2+ (1-х)я[(1-х)п4х42] [(1-л)«4-3] ’
1 — 3 log 4 = 0,13695. j
129 Р — ll^Z ~1~ ____________
*"• (г-1)2я + г2- 1 ’
2z2
Гп = 1 Дл(г - 1) [(г - 1) л±г± 1] [(г — l)n4-2z] ’
ОО
У ~— = 0,2876821.
4к-я
п—1
130.
131.
132.
134.
Рп п + 3’ У'п ’ + (//4-3) (я + 4)ю*
! р . _2»+1 х 22 + 92я _____
п 2п4-9’ я2(2я + 9) (2л+11) ’
2 Р - - п X -1 . 2(я —5)
п „ + 4’ п я (л ± 4) (л+*5) ’
У = 0,58224.
2 • я2
П — i
2
dx~ 1,37076.
1
f е^х* dx = 0,746824.
о
JC
2
133. f(~~)dx = 0,73414.
о
135. /Л=1-| + 1-1
. = 0,7834305.
n
у
136. / —Д— dx = 2 (1--1- + --L-— . . . ^ = 1,831931.
J sinx ' З2 ‘ 52 }
и
1
137. J>'ax= 1,4626317,
о
} ___________3(2я + 5)__________
(2я2 — я+3) (2я2+Зл + 4)"
138z == 1,341904.
О
I
140. = 0,866579.
J 1 +xi
о
152. 1,5320; 0,3473; — 1,8794.
154. — 2,3300; 2,1284; 0,2016.
156. 0,3684; 1,0658 ±1,25657.
139. = 0,83565.
J 1 + л3
о
141- ! = 1.22927.
J log(x±l)
о
153. 3,0489; — 1,6920; — 1,3569.
155. — 3,5042; 1,7521 ± 1,10037
157. 2,01167;—1,54717; 1,2755
158. 7,8873; 0,4637; — 0,1755 + 0,4926/.
159. —2,2340; 0,3273, 0,9534 + 0,6772/.
160. 1,4934; 0,2510; — 0,8722+1,3810/.
161. 6,9676; 0,9334; —0,4505 + 0,64197.
162. 1,90647; 1,56877; —1,47299. — 1,06534 (cos 61° 54' 33" +
+ 7 sin 61 ° 54'33").
163. 1,2937; — 1,4305; — 0,1083 + 1,2684г; 0,1767 + 0,5498/.
164. 0,658231; — 0,371340; 0,077156.
165. 2,0874.
166. 1,06777. 167. 0,1981.
168. 3,5972850. 169. 0,73903512.
171. См. задачу 136. 172. 2,56343423.
173. хг = 4,73004; х2 = 7,85420; х3 = ~ + 0,00003.
174. 3,6705.
176. Центральный угол .сегмента балки должен быть около 24°.
х2п чп х2й+1
177. _у0 2-4-6 ... 2n + X 1-3-5 . . . (2п+1) “
о о
№ а?8 л __а?8
=уое 2 + е 2 J е * dx,
о
178. 1,410686.
, 00 « 00 - .
о о
=Jo cos х + j' sin x.
co
180. y0 У W(”--1) (17Ъ2)з' ’ ' (2Гт+~ Жо(1+х)“.
182. 1,172300.
co . nra f Л
183.7^) =V-----------Lb
184. J0(l) = 0,765197686558.
J0(2) = 0,223890779141.
J0(3) = — 0,260051954902.
„з xn — 1
185. >st = l+ x + —+ — + . . . + -F-ljr
189.
X J’o J'l J'2 .... У
0 1 1 1 • • • • 1
[0,1 1’ 1,105 1,1102 • . . • 1,11034
0,2 1 1,220 1,2414 .... 1,24280
0,3 1 1,345 1,3946 • 1,39971
0,4 1 1,480 1,5708 .... 1,58364
0,5 1 1,625 1,7710 ...» 1,79743
190. у
191.
a2nj?n
2nn
Уп-Уп-1
— Cex-
an-i хы-2
2”-1(n —1)!
y—Cex
192. Первые два члена разложения имеют вид;
у — sin ах [х sin ах — ах2 cos ах].
194. С точностью до величин второго порядка находим
у — cos х ~ (3 Ц- cos 2х).
196. При п — 2k имеем:
п я?2
+ ^eo^ + O.wl;
197.
198.
4
ЛДХ) = РП (CCSV) = —
2 4 2п Г cos nc? + "2 - т)
Z • zi. . «/Н \ Z ч- J
3-5...(2«Н-1) L /2 sin? ~
+ °G)
*199. у = a COS X + a2 — -g- COS X у + у COS 2л'^ +
. „ /61 2 2 „ . xsinx ,1 o \
4-a3 / — COSX — 3—9 cos 2*4-------6---F —cos3xj.
200 У = 2- У _
ZOO. J - m k(ft + (2k J 3
fc=l
nni л । 4 X1 cos nx
2M‘ 2“ + ^ Zd /»2(ггЧ-1) '
n =1, 8, 5. . .
202.
X о, 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Ъ,6 0,7 0,8 0,9 0,10
У i 1,1 1,22 1,36 1,53 1,72 1,94 2,14 2,48 2,81 3,18
Ду о,1 0,12 0,14 0,17 0,19 0,22 0,25 0,29 0,33 0,37
203.
X У х-\-у , , ю 1 ty2 200 2 Ду
0 1 0,1 0,01 0,11
0,1 1,11 0,121 0,011 0,131
0,2 1,241 0,144 0,012 0,156
0,3 1,397' 0,170 0,013 0,183
0,4 1,580 0,198 0,015 0,213
0,5 1,793 0,229 0,016 0,245
0,6 2,038 0,264 0,018 0,282
0,7 2,320 0,302 0,020 0,322/
1 0,8 2,644 0,344 0,022 0,366
0,9 3,010 0,391 0,025 0,416
1,0 3,426
Точное значение у при х — 1 равно 2е — 2 = 3/365. . 3
204.
X У hy" 2 Л/" 6 Ду
0 1 0,1 0,01 0,0003 0,1103
0,1 1,1103 0,1210 0,0110 0,0004 0,1324
0,2 1,2427 0,1443 0,0122 0,0004 0,1569
0,3 1,3996 0,1700 0,0135 0,0004 0,1839
0,4 1,5835 0,1983 0,0149 0,0005 0,2137
0,5 1,7972 0,2297 0,0164 0,0005 0,2466
0,6 2,0438 0,2644 0,0182 0,0006 0,2832
-0,7 2,3270 0,3027 0,0201 0,0007 0,3235
0,8 2,6505 0,3451 0,0222 0.0007 0,3680
0,9 3,0180 0,3918 0,0246 0,0008 0,4172
1 3,4357
е»
205. 2,46736; 3,10542; 3,98744; 5,22340.
207. 1,71 вместо е = 1,65.
208. 1; 1,11034; 1,24280; 1,39971; 1,58364 с точностью до пятого
знака.
209. Если взять h — 0,1 и учитывать четвертые разности, то полу-
чается точность до одной стотысячной. Вычисление имеет вид:
X У Ду . , -*+У 10 Miy' Д-7/у' L’>hy' Why'
1 ’ 1 0,2 31551 3319 347 40
1,1 1,21551 0,231551 34870 3666 387 40
1,2 1,46421 0,266421 38536 4053 427 43
1,3 1,74957 0,304957 42589 4480 470 51
1,4 2,07546 0,37069 0,347546 47069 4950 521 55
1,5 2,44615 0,42019» 0,394615 52019 5471 576 58
1.6 2,86634 0,47490 0,446634 57490 6047 634
1,7 3,34124 0,53534 0,504124 63537 6681
1,8 3,87661 0,60218 0,567661 70218
1,9 4,47879 0,67603 0,637879
2,0 5,15482
210. Значения функции такие:
1; 0,99005; 0,96079; 0,91393; 0,85214; 0,77880; 0,69768; 0,61263; 0,52729;
0,44486; 0,36788.
211. Значения у таковы:
0,03090; 0,09368; 0,18020; 0,28738; 0,41337; 0,55706; 0,71738, 0,89359;
1,08519; 1,29158. При решении следует вычислить разложением в ряд зна-
чения у при х = 0,100; 0,1125; 0,1250; 0,1375; 0,1500, положив h = 0,0125.
Начиная от х = 0,3, можно взять h = 0,025.
212. и — sin х; cos х — v; и' — v; v' — — и.
X и hu' А А» Да V hv' А Да Дз
0 0 0,1 —0,00050 —100 3 1 0 998 - 9 —12
0,1 0,0988 0,09950 —0,00151 —97 2 0,9950 0,00998 989 —21 — 8
0,2 0,1987 0,09801 —0,00248 -95 3 0,9801 0,01987 968 —29 —11
0,3 0,2955 0,09553 -0,00343 -92 5 0,9553 0,02955 939 —40 - 9
0,4 0,3894 0,09210 —0,00435 —87 4 0,9210 0,03894 899 .—48 — 8
0,5 0,4793 0,08775 —0,00522 -83 6 0,8775 0,04793 852 —56 — 9
0,6 0,5646 0,08253 —0,00605 —77 8 0,8253 0,05646 796 -65 —
0,7 0,6442 0,07648 -0,00682 —69 0,7648 0,06442 731 -71
0,8 0,7173 0,06968 —0,00751 0,6968 0,07173 660
0,9 0,7833 0,06215 0,6215 0,07833
1,0 0,8415 0,5102
213.
X 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
1 0,997 0,990 0,978 0,960 0,938 0,912 0,881 0,846 0,808 0,765
-Г,(Х) 0 0,050 0,099 0,148 0,196 0,242 0,287 0,329 0,369 0,406 0,440
214.
X У у' 1 hy" д Д2 дз Д'»
0 1 0 0,1 500 1007 13 13
0,1 1,00500 0,10017 0,100500 1507 1020 26 10
0,2 1,02007 0,20134 0,102007 2527 1046 36 11
0,3 1,04534 0,30452 0,104534 3573 1082 47 9
0,4 1,08107 0,41075 0,108107 4655 1129 56 17
0,5 1,12762 0,52109 0,112762 5734 1185 73 7
0,6 1,18546 0,63665 0,118546 6969 1258 80
0,7 1,25515 0,75858 0,125515 8227 1338
0,8 1,33742 0,88810» 0,133742 9565
0,9 1,43307 1,02651 0,143307 ч
1,0 1,54307 1,17519
215. 1; 0,99750; 0,99002; 0,97763; 0,96040; 0,93847; 0,91200, 0,88120;
0,84629; 0,80752; 0,76520. _
216. 0,07074; — 0,02920; — 0,1288?; — 0,22720, — 0,32329, — 0,41615.
217.
X у = ch х hy' tfy" Аз/" v = fry
0 1 0 0,01 0 0,0001
0,1 1,0650 0,01 0,0100 0,0001 0,0001
Продолжение
X у — ch х hy' • лу' Лзу" v = fry
0,2 1,0201 0,0201 0,0101 0,0002 0,0001
0,3 1,0453 0,0303 0,0103 0,0003, 0,0001
0,4 1,0808 0,0406 0,0106 0,0004 0,0001
0,5 1,1268 0,0514 0,0110 0,0005
218.
X log* /(Х) = ^ Д/(х) X log.г /(Л) = У Д/(х)
100 4,605170 0,01 -99 106 4,663441 0,009434 —88
101 4,615120 0,009901 —97 107 4,672831 0,009346 —87
102 4,624973 0,009804 —95 108 4,682134 0,009259 —85
103 4,634730 0,009709 -93 109 4,691350 0,009174 —83
104 4,644392 0,009616 -92 ПО 4,7000482 0,009091
105 4,653962 0,009524 —90 -
220. 0,00996; 0,19735; 0,29122; 0,37969; 0,46126; 0,53514; 0,€0067; 0,65768;
0,70623; 0,74681.
ОТДЕЛ
1.(7 -2)zi. 2.
XIV
г-1
г + Г
cts г.
Б. a J^z -J- ₽ Ц-п, где а, и f — вещественные постоянные.
6. а + i р + т i log z, где a, p, 7 — вещественные постоянные.
9. <p log (cosh — cos -Зк-УЛ c, w— log sinh
i \ a ci / ci
**2 eln 96
10. ч» = — 2 arc tg + C’ w = 2Z iOg (г2 - 62) + C-
11. ф = 01 — 02 + 63 — 64+ G V=-y в направлении от точки zx
К точке zg.
12. 1) z — 1 и z = — 1 точки разветвления, z = со полюс первого
порядка;
2) z = 1 существенно особая точка;
3) z = О, z = 1 и z = со логарифмические точки разветвления;
4) z-О точка разветвления, z =— 1 логарифмическая точка развет-
вления.
3ni
13. /2 sin <р е 4 . 14. n i + log 8; — п г -J- log 8.
15. Точки разветвления г — +1 и z = — 1; <р (z‘) = log (1 + /2) +
9(-0 = log (/2-1) +-у-.
16.—
w=0
(— 1)”2 , (—1)”4
I
n=o '
Z2«+2
17.
n=o
4’4-2
1.
3« + 7 zM ,
---C------при 1
4”+2 9
S|(3n- ’> 4”~’+lh^
w —3
ь2(г+2Г”~1
и=0
19. «0 + ^ (— !)* ak (z3i + z 2*), где ak =
Ь=1
V____________________
(2k + In4-1)! (2«+l)l
Зя?
г — e'f* = /2 sin 4
3n£
= / 2 sin <p e 4
z£
Гюнтер и Кувьмяи, ч. Ш
4 sin <p ' 32 sin2 <p ' ‘ ‘ J
19
2^+2-
n = O
1
И —0
z — e
2
1
21.
оо со
при кик*-
».’О п=1
XСп (4")при' и > 2>где =c2Jfc+1=
п~ 2
3-2:!
1 , 2-Z ,
2 °g 2 4-z + Сп
, (- О*"1
" "Г (2fe — 1) 2Й*~1
Ьп
33. log j ctg^-|-)| для и
34. (cos 2? + cos ?) log 2 j cos j — cos -|-
для 0 g к.
1
2
(sin 2<p sin <p) <p
•15. ------==3 Sin (-------------------J ДЛЯ 0 < V < 7C.
pi=4'^ + TfA'rj+--
36 j _ А 1 т/'T 7
I>.= -T3x’-t^--La« + ...
j_ j_ . _2 А
_yt = Ъ 3 х 3-----— ab 3 х 3 ...
О
1 3 ,
у2 = а 2 /Г1 X 2 + ~ <fi b бТ + ...
У-i
+4-^+-
Уз-1 .. (Уз-1)«
38.
J'e
2
Уз+1
1
/2
1
/2
24
(УЗ + 1)*
24
з
1
I
А
2
1
г 2
39.
40. Все вычеты равны 4.
41. (-1)
n-f-l
11 (—!)•*+»
21 + 3! + п\
42. е’ — е^.
43. —^(-1+/). 44.— —.
2 У2 2
Зл£
4о. -
64
^6 (— 1)т 2тс/ Г»г(»г4-1)-• • 1)_п (»4~1)- •.(«+«—!)'
' {Ь — д)»?™-1 L (я —1)!. («—1)1
СО
47. Ш (4«п + 4Й1 + ^-^). 48. 2.Z
к=0
,п 2ягг8 2л ii^
49‘ Т=ЛГ’ если r<1; WAT’ если г>1>
50. —
5к ~ бт(1+1/Т+^+ ••• +^У
53. Все вычеты tp(z) должны равняться 0.
19*
54. Ь = 2а. 55. а = — 2.
56. Полюсы ср (г) должны быть простыми и соответствующие вычеты
целыми числами; Л
У»?—1
---------, где п — целое.
57. тс У"2.
59.
_1 8 "
2а 2 b 2
п(2а + &)
' 2аЗЙ(а4-гр’
61.
63.
65.
те
— cosec
п
2m 4-1
2/1
62.
64.
тс I, если 1m а > 0;
а
€6. —к е Vz Icos.—JL_
УТ \ 1<2
— r.i, если 1та<0.
2тс
Уаг — 1"
7С(1 - Д4-Р2)
1 — р
а \
sin*——*1.
V?)
w 1-е--2о
67- ------------
4 а
69.
тс (1-е~та) п/яе~та
2а4 4а3 ’
+ Р
п
72. 4 = 2тсiё~аг, 4 = 0, 4 = 4 = е~аг.
ТС
73.-т.
75. тс (е~а---
77. 0.
79. п cosec тс а.
74. 0.
81.
тс
76.----(Ла4-В64- ... +Kk),
78. я (etg а тс — etg b тс).
80.
sin р к sin X
82.
83.
2al-41+xcos —
_%с_ 2
уТ"
xcfx
(x — z) УаЗ —д-з
тс
, где берется то значение
Уаз-г3
корня "^a^ — zt, которое при z — i положительно. Если же —a<^z<^a,
а
У* xdx
———• = 7С.
{x — z) V (if-X2
90. I (а) = 0, если Й Л 0; I (а) = а, если а > 0.
91. 1(х) = 0, если .г==1; f(x)=(х—I)3, если х^г'Л.
4U
98. ~ cosec3 .
№ b
107. у = ho+ Oh-Чо) *] ^ + / (* ~ dz‘
о
00
108. у = *10 cos log х +«ц sin log x + J z f (z) coslog-~-dz.
i
, 1 V', 1 ( i \
109. у = ijo (*+—) + ~ V)
(x-l)3(2x+U
6x
110.
a — e t , « +26 + c:] a—b-j-c
x 2~ e 4 6 e r~ 3
= a + 2b + e g_ t b — a — c
J 3 3
c — a i a 4-26 4- c —j. a~b^~c
г~ ~2~ e + 6 e + 3
j x = ezt-2e\
111. ' >=(l-f)ef.
( z = 2? — e2f + te*.
112.
И±24£е-а + _4.е*_е-г
-Ю + 24/ 2t 1 (
--------g -e + 9 e.
113.
4-3f t 4+6
> = ~2-₽----Pe .
A
117. Цля контура Ct протечение Er= E, циркуляция I\ — 0; дли кон-
тура Cz: Ea = 0, Г2 = 0. Если z — a = reintJ то линии тока 6 = const суть
радиусы, исходящие из точки а; линии равного потенциала log г = const
суть окружности с центром в точке а.
118. Для контура Q: Et = О, Г, = Г; для контура С2: Е2 = 0, Г8 = 0.
Линии тока — окружности с центром а, линии равного потенциала —
радиусы, исходящие из точки а.
119. V= 6л, Г = 0. 120. l t = Г2 = — 4л.
121. Источник той же обильности Е в симметричной относительно оси
точке а.
122. Вихрь интенсивности — Г в симметричной точке а.
125. Источники обильности 2л в точках z=l nz = — 1 и сток той же
обильности 2л в точке 2 = 0.
О <>п za_______1
126. w (z) =--log (22 - 1). 127. w (z) = -%- log -qTY.
Г
128. Скорость и = и направлена параллельно оси х.
129. и =-------•-----, окружность I а I = const.
2гс(/?2—|а|2) ’
da _ Г я2 db _ Г 1 1 _
ldU’ dt ~ 4тг6(«2 + 62)’ dt~ 4г. о («24-62) ’ «2 ' ^2 ~ const-
131. 0; 1; 5.
134. По одному корню в каждом квадранте.
135. По одному корню в каждом квадранте.
ОО
1 1
2 — а — тт.'
9П~ — СО
147.
ОО
148- 22 У -----—l-j-----.
(2щ-1)2^.-г2
149.
т=1
СО ОО
150. л у . 151. у ----------НГ__,
т" г» - (2/и - I)2 ~ [г - (2м +1)
ОО.
№ 2 7 -у-
>»=—со 2
ОО
153. 1-+ — +2г У
tn—l
со
1 . V1 2z cos 2m л a — 4л m sin 2л ma
15" V + 2j-------^+4i^2-------
m= 1
E(— 1 >nn sin (n a)
F — «з
n=i
СО
со g
158. e 2Ct8“ I I’ f 1-£---] е«+ив.
JLL к дН-ятс/
П~ — со
п
159. lim ТТ /1
П->СО * I
—п—1 у
Z
а+(2п+1)~
со
ко. - -Ь„!(г1_гЛЦ([1_.<£+р>1] [,
-ед}-
(z - gp)21)
(?«? Ji’
КВ. П[1 + т^
п—1
163.
_z«_
4 л1 и4
где С — эйлерова пос 'оянная.
164.
174. и = etg —— параллельно стенкам.
17э. w (z) = — log sin .
176. w (z) — — log fcosh ~ — sin .
тс \ 2b 2b J
т V (- 1)”-Ч -З..А2п — 3) f w\n , ...
177. z — V i~ ’рЯД сходится ПРИ IwК1-
Г, --1
b i V/ IV» bnm+x (n/n + 2)(nm + 3)...(nm + ffl
178. z a +2/ ' a(m+i)n+i n!
n = i
I L tnm
ряд сходится при -----------—- <--------------,
I am+l | (OT-H)“+1
179. z
w”, ряд сходится при |®|
СО
ion 9__ / 1 \П 1*3*5...(дЙ 1) . 1 4“ Z _
189. z= 2j(- D 2.476“p?r+2rW ’ 10g Т=7 “
П—0
со
' = 2 (-1)И271т|^^2й^)да2И+1,рЯДЫСХОДЯТСЯПрИ'^<1
п=о
181 г - + = а . yi te>n dn 1 /йа — 1 \*
w 2^ я! dan~l k 2 J ’
»=1
ряд сходится при | w | <min [| a-j- У a2 — 11,| я —У я2— 11].
n °° .
° ,.,n f„—a
182. e~~<й+°) = ew^ 1 —e~a— 7, —r --------:——; ряд сходится
я! de71-1
при I w| <; 1.
Co » —1
г , , V »" VI ( 2я \ (Я — Г!
183. ег= 14- у а„—Г, где а = у , ) —-—5----------j-r-, ряд -схо-
Ли» ’ Я1 » k k } (п — 1 — k,\ е
п=1 k=iQ
1
.дится при I W <; — . 15
' (sin”Af)
амп~1
1S5. - 1 — - при I z I < 1; — при | z |> 1.
~ Z Z Zj
186. 1 при |я|< 1; 0 при.|г|>1.
187. О при 00 ПРИ Re£<^0.
sin тс г
183.---<1+^2—— где г — w (1 +
1 — Wp(14-2r
190. |г|<1 и |г|>1.
/ г 1 1 \п
191. Re г > 0 и Re г < 0, кроме корней уравнений (—_ J = 2
192. |г|< 1.
193. Вся плоскость кроме точек 0, —1, —2,...
194. Вся плоскость кроме точек ^zia~~n(n — 0, 1, 2....).
201. е 2 ~УНп(г)мп.
со
202. -i—?г~------ - У. V (*)»”•
1 - - 2zw — то2 »
п~О
л W2
1____ со
203. ---------—-== У Т (z]wn.
, , w3 jai »'
1— ®г'1—4- «=о
204.
205.
1_________
1 — 2zw + ®г
ZW
-----— со
р W 1 ’ШСЛ
4-------==y.L (z)wn. 206.
1 — W n
2р»(гг)гЛ
n=Q
zw
i"l-w
(1 — ®)“+1
235. 4^ (2zz) = (и) 4- — Wj) 4- (u — w2) 4- £) (« — w, — ш2).
2ЭТ-тир-=-*’'»
2B- ^<2»)-I? И “ ~ 2 B ~ “<> + '• ’“<l! •
i *
2nii w< 4- 2nio >a9 - , „ л
«.==—-—-A---где mb ma = 0,1, 2, но ne равны 0 зараз.
* о
244. Нет; эта функция — двояко периодическая, но не мероморфная,
так как в каждом параллелограмме периодов она имеет существенно особую
точку.
245. -Lp'4-^2-^4-С.
246. ± ~ 4) & ’(2) + кИ+ С-
247. ~ pW ^log 3 (z + e)~ ,0S с (z “ Я) — 2z : (а)] + С.
248. 2 Г log - и ? (г,)] + С.
L ь а(и)а(») к _| 1
249. — log tf?' (V) - &>' («;] + С.
250. — [— log а (у — и) —a log а (а v — U) —=.а2 log а (i2 у — и) — За С (» ],
где аЗ= 1, НО аф 1.
254. г = р (и; О, gs). 2э5. z — 1 = —- 1
V О, 4)
256. z
_ -i.O)
1 + 2 р (и; - 1, 0) ’
257. z = j? (и; 4, О); С(ц)+ А
О О (и)
258.
2== 1 БП(У'Зи)
Уз <1п(Уз«)
причем модуль Л =
ное движение с
259. у — У б2 — «2 sn
260. Если -А
), k j — колебатель-
к-, если =- > Ъ то У =
= sn (J/Akj — вращательное движение; если Л — 2/, то у =
261. z = a cns
у g(c —с)
I У2
У g(c—a)
I У2
1_ ЕМ 1
5 F(«)'h
t I -f~ Ъ sn2
262' ~cosT = [г где(° ~ постоянная ифункцияр
образована с корнями 1---------, — 1------—, ------.
fcg bg 3g
263. q = |л j/sn I~ Zo)l> P = -Cn l"(Z~Zo)1
t/D,A-£)). r „ <V1 -s/Z)(Z — nveZTCj'
' = f1 К C{A=C} dn [л (t - ГДе 11 = <J- У -• AUG'
K , Г И — в) ю -ГсГ
а модуль
264. Если | р. |< 1, то р. == — cos a, k = sin У — сП
х=~s+fdnS (-7)ds’если <л>11 то k = у у
о
8
(2 \ 2 /* / 5 \ 2г
dn2ur: если<А=1’ T0J=^pj'
X = — s + 2c tgh .
Г , G (г -- a — ib) <s (z 4- a -|- ib) \
265. w — k—-log-;—i---!----------Нг?, траектория вихря P(2a)—
2tci 6a(z-|-« — ib)a(z — a-}-lb) r
{lib) = const.
v v , v , v . -
267. «i = —y, «2 =---2" + ир «з =----2‘ + <»з> ut —— у + wi + “2-
2 cztoj -4- 2 B«>9 f. л . o
269. ua& -------- 2 -, где a, p = 0, 1, 2.
270. 1° эллипс; 2° циклоида удлиненная или укороченная; 3° развертка
круга; 4° парабола.
271. 1° окружность радиуса 2’ внутренность лемнискаты Бернулли;
2 У2
3° внутренность круга радиуса——; 4° лежащая слева от мнимой оси
О
область вне круга, центром которого является z —— i, а радиусом У 2;
5° общая часть двух кругов радиуса У2 с центрами в точках ± I.
273. = х2 — У = const, ф == 2ху — const, две ортогональных системы
гипербол.
X V
274. V = '^2 = const- ф = — x2 = const, два ортогональных
семейства кругов.
__ cos 2 6 .. sin 20 , „
275. <f =—— = const, ф =--—— — const, два ортогональных семей-
ства лемнискат.
276. tp = log г = const — концентрические окружности; ф = 0 = const —
лучи, исходящие из начала координат. Верхняя полуплоскость, в которой
жидкость радиально растекается из источника, находящегося в начале ко-
ординат.
277. tp = log “ = const, ф = 6i — ea!f= const, два ортогональных семей-
ства окружностей. Линии тока идут из точки а (нстрчиика) в точку р
(сток).
278. 9 = 6а — 6Х = const, ф = log — = const, два ортогональных семей-
ка
ства окружностей. Линии тока окружают точку а (вихрь) в отрицательном
направлении, точку р (тоже вихрь) в положительном.
а а
279. Внутренность круга с центром в точке z = — и радиуса —.
300
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
231. — и — сопряженные величины, — =• 1.
ас | с |
282. На внутренность эпициклоиды с п — 1 ветвями; л о2 и (п-|-1).
284. Эквипотенциальные линии — концентрические окружности, сило-
ые линии — расходящиеся из начала координат радиусы.
285. w - ]- 2<м = 2 Эквипотенциальные линии — параболы у2 =
= 4ct2(q2 -|- х) с фокусами в начале координат, силовые линии — ортого-
нальные параболы у2 — 4^2 ^2 — с тем же фокусом.
апл a I b ччр cv b ______Cui- .
286. г = —~— е Ч----g— е > эквипотенциальные линии—софокус-
+
X2
вые эллипсы
= 1, где с2 —а2— &, а Z положительный пара-
метр; силовые линии — софокусные гиперболы——
С" -ь А
0>6> —са.
287. Эллипсы
и2
V2
4 sin2 а
= 1, Области г~у>с отвечает
=. 1, где
у.д- = 1, гиперболы
и2
4 cos2 с
внешняя часть эллипса; области
с<0<тг—« отвечает часть .плоскости, заключенная между ветвями ги-
перболы.
289. На верхнюю полуплоскость w с вырезами по мнимой оси от w = 0
до w = ai и параллельными вырезами, отстоящими друг от друга на рас-
стоянии л. *
___ тс
290. у,
292. w = J-
291. w = ~~—,
z — i
1
293 w = с ( * ) , где с = const
294 . w = у^-7. 295. w =
1 + г- 2 — iz2
296. w = —- —- (в этой и дальнейших задачах приводится только
1 уг-\1
одно из возможных решений).
297. ®=Т/ 293.®=!/ —~А
Т z — b V z~ b
293.
301. w = —f) 300 w = е
(b — a)z
302. w == log z; прямоугольник имеет вершины log a, log b, log b -j- л i
fog a тс i.
303. Многоугольная звезда с равными сторонами. Внутренние углы,
—---------------------и я + *• При X = 0 получается правиль-
чередуясь, равны я
иый многоугольник в
ная звезда.
2
n сторон. При n = 5, X = —- получится пятиконеч-
3
s
304. w = Cj /
— гп)
zs
2
n
— dz-\- c2, где Ci и c2 — постоянные.
%
305. w = с1 j
106.
о
w == I cos
dz .
........4- с2, где с, и с8 — постоянные.
(1 — zj'2
307.
w = i
z +Vz^ — 4
ла
303.
w~
2
log
2
; log с, r,l
; log с, л/), где
log с н я/—периоды функции Вейерштрасса.
ЗОЭ. w = z-j- Уг2 — 1, А = 2+ У 5".
310.
* 2. z—a , 2 .
—logTuTT’ ф = “ arctg
lay
л- -|-_y2 — aa‘
311.
2 1 а*
®= —log-^
а °
। 2
, ф = — arctg
. лО
sin----
а
312.
w =
sinh у
нии: —-——
sin x
— z
sinh
= 2-log(lctg-|-), ф = -|- arctg изотермические ли-
cosh у .
= const, линни течения тепла: ---— — const,
cos х
313. tgh
b
a
It w
2
где к определяется из условии —
_ ЮОI
314. w = . п
log 2
, 4* + 1 . 100 . 14г Ч-11
log7+T’ bF2-l0g|z + 4|
315.
V ь , ь
v--------log —.
к ° т:е
302
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
о
319. w (г) = z 4- У(6) = 2 sin 6.
329. W(z) = -----L. УТ2_а2+<;2.
a — b а — Ь ’ 1
321. w (z) = J^z2 3 -| й2, сс.
322. w(z) =—iz—lr«2 - г2, причем берется то значение корня, которое
при z = l положительно; и1(х) =—, и?(х) =-----------------t/Г =
р2 —/ ~ Уа2—х2
— 2х dx
Уа2 — х2
323. Циркуляция по кругу j z | = R равна 1 ; критических точек две,
причем при 11' | < 4л cR обе они лежат на контуре, круга в точках zt =
= Reia и z2=l?eгде sina = --t—.
4тс cR
t
324. w (z) = Уz2 4- й" + й; 'с2 ~ + g
2 2/cos-—
325. w (z) = I 4- —~—--ai tg - log---------,
4/cos2-^- 2 a
где I = -i- (z 4- Уz2 — a2 — ia tg -r^.
326- W = F 4&X ’ >=— ‘°g coth
327. z = 1 — е w ~У е 2w —-1 -{- arc tg e 2w — 1, где при w < 0
корень положителен; на АВ 0<<р<оо и х = 1 + ₽-5Р + л>
1/4 — 2<р 1 . 1 Т21 — ₽ < о ,
у — V 1 — е 4------=- log —5---„ ——, О А = 2 4- л.
2
328. z = 2frw-|-Trw(l — ®)4- arcsin У и», где Refrw>0, У 1—w
при w = 0 равен 1; на АВ 1 </.р < со и х = 2 У<р -{-У = log (Уч т
70
ОЯ-» 1’1 Уz — У Р е 2 -° 1
32Э. w (z) = log —-------------------, р sm — = const.
У z — У р е 2
СО со
331. Если f (z) = 2 ап гП' 10 1 (г) = 2тс 2 I ап I2 г2".
П=0 77 = 0
342. у = А
mjfi
4-5-6
mix# \ ,
4 • 5-6 • 10 11 • 12 • ••J +
v rnjfi , т2х12
Х V 5~(Г7 Ь 5-6-7-11-12-13 ~ •
, / mjfi , т2х^2
+ V 6-7-8 + 6-7-8-12-13-14
ЗАЗ.у=Сг
sin.г , cosx
— - •
х - J х
ЛЛ 2₽ (2₽4-l)...(2₽ + v-l)
1=0
п (п 4~ 1)
21 п
[и(л + 1)-1 - 2]
п (n -j- О [я (« + 1) — 2 • 3]
3!
х3 4
4!
[п(«+!)-1 -2] [я(п + 1)-3-4|
5!
( — 1)~' о' Р +Е
ч=0
= 4
1Г ха 51?_____12_ Аи—2 4-
[ 2(2л-1) Г
, п (л—1) (л —2) (л —3) „_4 1,
2-4• (2л — 1) (2л — 3) •••J-t-
I в Г х-1” + Л I (я + *) (» + 2) г-(п + 3 I
+ Ь [ 1 2(2л + 3) Х . )+
(л -j~ 1) (л -р 2) (л 4~ 3) (п -j- 4) (и+5) I
2• 4• (2л3) (2.t'-j-5) "Г •'
Г Зл-2
346 . j = 2Q х--^
L \Х-У
11X8
(3!j2
L (10s (2!)3 (З!)2 "Ь • • • ] (С-j 4-G'°gл)-
1 ±
2 Г Х$ Х^ ”1 v $
347 .Л = х^ [l + _^___+...p2=J110gx_^. +...
ОО
3ie- у = се. + с, iogx) + 4(т)’-' +
ОО
349. л = <р (а, х) =
П~0
1-3...(2л — 1) (7а + 1)-.. (2л 4- 2л - 1)
(2л 4- 2) (2а + 4)... (2л 4- 2 л) • 2 • 4... 2л
оо
при а ------ 0 <? (О, X) = У х”
леи \ Z • 4. . »2 Л J
общий интеграл будет
У — Ci ? (О, х) -f- с2 (0, х) log х + 2 »
где
дУ V 2 f 1-3, ..(2/г-1) \а Y (- 1Г'~1 п .
да Li V 2-4...2п ) j
п=1 J-1
з50- У1 = ? (0>1 — X), у2 = 2 ((У-—4- ч> (0,1 — х) log (1 — х).
__ 1
2
jt = x
яри a==0
ГДей = -^+^. (,= Ot±l, ±2,...).
54. Прн Re х > 0 jy = q [* {t-— q2) S etx dt-{-
-(1
— q a—S
—co
при Re x <Z 0 меняются пределы
интегрирования второго интеграла.
1
/я---------------—
е*® (Z'24"l) 2 dt. За контур интегрирования можно
г
взять кривые, идущие из со в направлении RexZ<^0, обходящие точки
-j-Z и —/и уходящие в оо в том же направлении, или контуры обхода
точек -|~Z, —Z в противоположных направлениях так, чтобы приращение
. п+-4~
функции exl (Z3-|-l) вдоль контура равнялось нулю.
»(«+Р) t Р(«+Р) t
ЪЪ7.у=А У etx(t—a) “-₽ (Z-₽) ₽~e dt-\-
Гд
H-в J etx(t — a) а-₽ (Z —0) ₽-а dt.
Контуры Гх и Г2 выбраны так, что точки а и р лежат внутри их или на
них самих, а приращение функции
_ g<”+ Р> _ Р (° + Р)
e®*(Z — а) а-₽ (Z—Р)
вдоль контура равно нулю. Например, если а < 0 < Р < — °»то за 1\ мо-
жет быть взят отрезок от а до р и за Г2 полупрямая из точки а (или Р)
до оо в направлении Re xt<^0.
со t2 оо ta
358. Vi = / sin e 2 tdt, y9= / cos -4- e 2 tdt.
J J t
0 0
co w oo
359. /‘ e^^-dt, г1= Г e~*^dt,
J Vt J Vt
t cos xtdt,
— OJ
= I ef t sin xtdt.
0
Гюнтер и Кузьмин, ч_ III
20
ОТДЕЛ XV
21.
ЙИ п. Е ,
^- = 0; 1 = х-у, ч = х+у.
22.
23.
24. -
25.
йи
~drf~
&и
й2
а2»
д^дч
й«7
= 0; 6= А >]= у.
Й <Ь]
<Ри
~д^
1
25
1
4 (I
_ , 1 ди 1 ди
! + 25 й + 2-о й “ °’ ~у'’
-^- = 0; 5=лу; т] = -У.
^е^+у,—
Vl-X,
W
и — - , ._. ..
V 2 — У
&W _ 1 Г . + . y-u>
‘ й й] 4 sin2 (5 — т]) ’ ' 2 ’ ** 2 ’
- . W
U =-----, (X = Z COS 1й).
у Sin W
27. 5 = tg л; т] = tg у; v = и (* 3') cos"~ т х =
(5 - 7])™
= «-sinP (х-у) ccs„t
(5-т,)И
₽' — ₽ = Z7Z — п; р ~ ₽ (1 — ₽') — п (1 — и).
о« 1 л I 4Й х(1~х)
31. и = 0, и = — ----------, где h = и„^ при t = 0.
1 [ ШиА л
t=4- t=~
3
оо /(“>+/(₽) , I /' F^)dz
^U~-------2----^~2 J y^Z ’
a
где
a = x — Vp — x у--^-y2; ₽ = x 4- Vp — x у--L j2.
34. ^z^+z<p> +4- /-4^^
2 2 J Vp- — Z^
где ______
a = X CCS _y — Уp2 — X2 sin J’,
p = x cos у -J- Уp - — x2 sin y.
43. При t, лежащем внутри интервалов ^0, r и K0H“
г — R r + R „ S0(r — at)
денсация равна нулю; при--------- < t < —1---конденсация S == ----
2.Г »
43. Искомое решение имеет вид:
_у) — 'k'sinCw—у)/[/ cos(<о-—у)] 4- У5!п(<»4-^)/[/С08ш+^)]
2 Vsinw
i "'r'v
4- i Q(y>,y,z)tlZ,
2 у sin ш •/
«О—У
. , \ n \ -.r~.--------„ / 1 1 , COS (<0 — г) — COS V
где Ф (<л, у, — cos z) у sin z F I -к~, 1,-----J——-Ц-------<
\ 2 2 2 sin ш sin z
+ 4-/(/cos2)------F' P-, -L, 1, _c£.s_^.-^-cos>
2 sin <л ysin z \ 2 2 2 sin ш sin z
<л = arc cos -y- .
Указание. Надо привести заданное уравнение к простейшему канони-
ческому виду (см. задачу 26). Область интегрирования та же, что в преды-
дущей задаче.
50. и =
V1 ( mzat .
JL v«cos ~i ।
п=1
, . пк at
bn s;n —~
sin—j
где
C»=4- f bn = -^- f F($ sin-^irf.e.
о 0
i-« Г . (2n 4~ 1) а ~ (2л4-1)г:
5t ["» C0S “^2/-----H Sin --------- sin Xf
n = о
где
г
2 . (2«Ч 1);сл ,
ап = ~Г J К1П~— 2/----
о
I
к 4 /' г, ч (2«4-1)г.х ,
= F(%) sin--2Г—
о
I
52. « = -у- j [/ W4-//7 (*)1 ах +
О
। V1 Г n nat г . п it at 1 пп .г
+ h»cos—-+S№snr—~ I cos--,
»=i
где
его ь „ ^'п I t V“na^ \ . I'SiХ
53. б= 2j («„cos—у-F*„sin—j—\ sin—-—,
n = l
I
a — 4 Г , X ,J*X
«„ — x-——“ 5— / f (x) cos —— dx,
2Hn + sin2|An J ' I
t>n =-----Q—4J~~ ‘i f P' ('V> C0S ~~7 rfx>
n «Н„12(Л +sin^|x ) J I
0
где «д-з... обозначают положительные корни трансцендентного урав-
нения
М8н = т(т = /-^).
rj г V L „ at , . . |Jkat \ , ^k Р lJfc 1
54.0= ^(«fcCos-y-4-^ sin —у— p’sln — x- — cos— xj;
k = l
2p.fe Г ( Pir P Ръ )
Яь= p?+.p(p+2)/ v08"*4- <** Sin-r^;
i
2! Г f lJ7c P 1-4 1
bk — —г и I —ГоТ / F (°) {cos ——-x-j------sin-— x}dx,
* «[lV-rP(/^+ 2,1 J i I I j ’
где p/t — положительные корни уравнения
55. (О sin —t—,
k-l
где
2 P2 4~ Hfc2 P /* dY (6,т) a u.t p.b£
о 0
a p2,..< обозначают положительные корни уравнения
(Atgp. = p.
2ЛР V1 1 •
56. и (х, t) — —5——-— >, -5- sin
я2 с (/ — с) я^
П=1
flTCC
п л х пт. at
sin —j— cos —-—
I
57. u(x,t)=-^— У
«яр
и= 1
я x . я л at
— sin —j—, где число А,
~i— s*n
определяемое равенством —
F (x) dx, есть импульс силы удара
С—6
молоточка о струну.
— 1 S~t 00
58- Р = е Х Sin - sin (Юд t + <р„\
n = (?
1 R . co
. o 8 X V fc (2n4- l}nx .
X bn C0S 2/-----------Sin “«f’
w “0
где /
°n n (2n -f-1) sin %4 ’ ft
и
b - <0 _<2я+1)" /'1 cW
n lL<»n’ n >l\LC I/ £П2(2п4-1)2
59.
A
Hi = --
1 аы
sin p(l — c)
sin pl
sin px sin «01,
A
sin pc . ,, 4 .
sinp (l — x}~ sin w t,
GJ
где p = —,
a
n~ 1
X sm —j— d £ • sin
n Ttx
I
r«e Pn =
апт:
~T~^
61. и
л - ш - J.
A sin — x • sin <or
a
sin------I
a
kr.X
kTza
kr.at
sin
co
2 A co a V1
I
1 nr*-----
F(f} =
X (x, f) cfx.
I
aiZn X ,
-y— (t — T) d T,
Если внешняя возмущающая сила
= Fo sin со t, то
„ „ » , йп
г;__М,у± !
л ат. п о>_/ —
n=l
гармоническая, т. е. Л0 =
. п л х . па nt .
sin —-— sin —j— -f-
» I
2F0
I
sin
n nx
I
• sin wt,
причем предполагается, что ни одна из частот <оя в точности не равна
частоте ш.
(Я. Период Т определяется из уравнения
65. и
2 л 2л /2
«1 tg~г~ 4~ «2 tg -у/- = 0.
1 Gj л tig
m (2й-4-1)лд/ . (2А-|-1)лх
— £х2 . glx 16gP VI 2/ 2/
~ 2«2 а2 л? Zi (2Й-4-1Р
fc=о
73. и (х, = -р ₽
п — 1
74. и (аг, t) —
2 ут Р' + Р-п
I р (р 4~ 1) + V'n
п — 0
a2 na ns 1
i3 ппх [• . пл? Е
sm—— / /(t) sin——«ч-
о
а» p.na t J
Р . Рпх е .
sin—J- t /(E)sin-J—rfE, p —
0
hl
к ’
где н, |i2> Р-з.-.-
нения
обозначают положительные корни трансцендентного урав-
X Л
tgp= —тл Т = -1'-77Г~-
75. и (х, /) =
m i*» I - I*» a'
2 Y H^COS —x + psin-^-x ,----------
l ' P (P 4" 2) -f- pn2
n—1
I \ A
4- p sin —j—) a E, p = -
I
о
hl
(l*»cos
где pa, p3„.
нения 2 cotg p
. обозначают положительные корни трансцендентного ypas-
= Р Р^
Р
СО
76. и (х, t) = е ы Г-^0- 4- (ап cos и 6 4- sin л 0) е °’ ,
РД£ 2гс 2гс
ап=-~- J f(b)tosnfidb, bn=-~~ j fl®) si»яв
О о
СО R
77. п(х, 0 =— V * IC sinI p/(p) sin -^^-dp.
*\' ЛЙ If ' J •
И=1 0
78. и (x, f) —
- v ^ + !V . ISir /• . i’»P .
1 TTjTpiy^r* «П— J P/(P)s>n-^dp,
n = i 0
P — HR — 1. где через p2, p2, p3,... обозначены положительные корни
уравнения р- cos р- 4~ Р sin р — 0.
R со
79. « (г. t) = A f [f (р) +1 р (р) j dp + ( ап cos +
о И = 1Л '
+ Ьп sin
1
apnt
R
R
. lbsr
Sla~R^
г
«п =
iV
flip,
u
—^—(14-------/ pF(p)sin-~---rfp,
«Р* \ ISi2 ! J R
где pp p2>--- положительные корни уравнения: tgp = p. •
80. и (x, t) —
где [Аь pa, pg,... обозначают положительные корни трансцендентного урав-
нения J0(xj —0 [ Jo (х) и (х) — бесселевы функции нулевого и первого
порядка].
R оо
2 Р Г и м*.. t
81. zz(GZ) = ^ J |/(P)4-fF(p)] prf₽+ 2^ ka>*4r +
0 n = l
2
‘ 44. sin
R
a,l~ RV^V-ni J \ R I dp'
2 0 ?
Ьп = aRpnJ^n) J p F(p) J° ) dp'
где p-р p-2> pg,... обозначают положительные корни уравнения Jx(x) = 0.
St? 1Д«. Г G |Дл< II / \
[«„ cos ~R-F bn sln ~~7?~ J J0
n — 1
2 / / p „ p \
On "лйл-’(н„) J p f p) j° / d?‘
„ 7?
2 /• / Ни P \
‘•=^м?кг/ "МтН *
где Hi, На» Нз>«»« обозначают положительные корни jравнения J0(x) —О.
оо «3 Нг3
83. к(гД) = -~^ е
П=1
pf(p)J0\—R-1 ф,
где нр Р-ai Нз»--- обозначают положительные корни уравнения Jo(x) = O.
84. и (г)
где Hi> Н2> Hai • • • обозначают положительные корни уравнения Jo (х) = 0.
2 sinh-^-
SS. J -—5-
я=1 sinh- р—
/х
где Ни Нг> Из- • • • обозначают положительные корни уравнения J, (ле) = О
86. и(г) =
где пр Нг'• обозначают положительные корни уравнения xJt(x)
— ^Rjotxj^O.
88. и (х, у, t) =
j=i fc=i
I m
sinlF J ff^yyx
о 0
X sin -2ЛЛ. sin-A^ dxdy.
kit у
89. и (x,y, z, t)
j=i«=i
{_ —------- _ fr
sinh [j/ it (n — г)]У j f (x, y) sin sin dx dy+
o S
- _____ I tn
-|-sinh [y 2__|_А j* p (X> J) sfa ,.A *. s;n -k^y~ dxdyi.
о 6 f
90. и (x, у, t) = - А 2 [ cos -А + А. „ Х
e=lfc=l u
Л Т ; . Sin l/"4—+ ~,‘Ttat )
х/ f f(x,y)sin^- sin—dxdy -4--------------...---------
J J l tn Г :i ьз
" 0 »'/ i-+w
I m
X J J F{x,y) sinliA sin ~~dxdy .
о о
+CO _ 1 (Д—Q»
91. u(x, - f f^e * аЧ dx.
2a V itt J
— 00
, “ r . 1 (”-9* 1 (^+Q-
92'“u', = ^Fir//<E)['’ * ]«+
x p 4 O=(«-O
i- -—r— / ? (’ll---g— ^4-
2a Г к ./
4- CO + co 1 (x—E)2-j-(?/ ijp
— co —co
со 4-со 1 (-к—Е)Ч-(?/—т>У
94. и(х,у, -j—jf f /G. Ч)[«
О —со
_ 1 (ж+ОЧЧУ-ч)8
— е 1 °* |rf4d£4-
1 ж’+(?/+'У
t +<ю “ 4 &(t— С)
4тгд2 J (/ ZTfp di^dt-
0 —co . ' •
4“°° 4-co 4“00
95. и(х,y,z, /) =----?— f /* f /(5. »X)X
(2aVnty J J J
' ' —co —co —co
1 Cc-EF+(y—08+(з-0-
x« 4 ia4 dld^dl.
co
96. и(х,0 =2 lan cos /2л(2л^Т) at 4- bn sin У 2л(2я—fjef] P2n-i (y y’
n = l
где
i i
О о
fPft(-c)— полином Лежандра с индексом ft].
98. и (г, 6) = До Ро (cos 6) 4- At rPt (cos 6) 4- ... 4- An ra P* (cos 6)4-..,
прн r<R,
U (r, fi) = Po (cos 6) 4- A Pt (cos 6) 4- ... 4- Pn (COS 6) 4- ...
прн r^>R,
99. v (r, = ’-(^)ap2(cose)4-^(^-)4p4(cos6)-... j,
при r<R
при r^>R.
©°
S/ r \m
Am I -R-j Pm (cos 0) при r < R,
0
m4-l
W1. „(г. 6,=- Р, <сАЧ_ ’(^)Ч(сга6)+
+•»(£)'* <“»•>-• +
+< - •> * йГ+' <«+з> р>«+> <“>»)+-]
при r<R
.)=a+s 4Yaioos «) - 4(£)‘р, (eos 4)+
х> • л I \ и J О \ Л /
+т|(т)'р>(“8,>-+
при r>R.
‘® „(г. «) = ЛШД [5^ + _^_г|^.Л(со5(,) +
1 5 / г \2 1 (_IVе1
+ 77^ + 2" ПГ \R ) Рг (C0S ’’Х| + 7/А>|-'2Л 2~~ Х
~') р2к <cos ®)+' ’ * ] «РИ 0 < 8 < к и г < /?.
СО
103. и(х, t)— (ап cos _|_ b* sin a"K2nt)Xn (х),
п=1
i I
J' f(x)Xn[x)dx J F(x)Xn(x)dx
4 о_____________ . _______ 4 о
">‘ Z 1Хп"[1)Р ’ aln^ [Z"(Z)P ’
1 x, ч ди 1
гдеи =/(x); -дт =?(%).
где Pn (x) — полином Лежандра.
Вообще
|Л cos (n arc cos x) = |/ 2^11! Tn (x)
где 1'n (x) — полином Чебышева.
I
112. 1, — х-|-1, -i-л-» —2x4-1,..
Вообще
L (х).
л! •> 4
. n __х
где L (х) = ех — — V* е ) = полиному Лагерра.
" dx51
Проверить последнее указание.
11Q 1 2X2
' /2^’-
Вообще
где Нп (х) =( — 1)” ег”
-----?----Н
п---л' '
2TnP j/V
(Г ё~^
----ti— = полиному Эрмита.
dx
ш ж
114. у = У У*и(х)«
6 о
115. и х) == ~ sin 2х.
о
.-и а?
116. у = У У н(х)йл2 —X n(x) —X— УI
ОО о
iB а?
117. у— У У u(x)dxz-}-x, и(х)=5
о о
ж ж
О)
118. у = у у и(х);
о о *
119. <р(х) = х.
5
121. <р (л ) = —— х.
Ь
123. D(X) = 1 —X У’.
а
о
ж
и (х) = COS X — l' (х — t) и (t
о
120. 5? (х) = — 2 -J- ex.
9
122. <p(x)=yX-2.
... 8Мё(У\
Ъ
l-*f ^(x)dx
а
\ = ~Ъ-------¥1W =
f^3(x)ds
а •
а
ОТДЕЛ XV
317
ъ
<р(л) = F(x)-f---~Ц—-------- / ё(У)1?(У)аУ>
^l—^fg2(x)dx\a
а '
Ъ
124. D (X) = 1 — t.J'g (х) dx,
а
Sty)
b
1 —X
а
х1 = —ь---—
j'g(x)dx
а
ъ
4------—А----------. у g(y)F(y)dy.
1—X у g(x)dx «
а
b
125. О(Х) = 1 - X g(x)dx, R I X ) =---------------------
« 1— ^j'g(x)dx
а
\ = —г~---. TiW =
f g(x)dx
a
g^xjdx
g(x)
ь
<f (х) — F (х)------------- Г F (у) dy.
1 —X Jg(x)dx £
a
126. <p (x) = Сею. 127. 9(x) = x2 - 1 x - A.
*1 Л.Л
1
128. <?(x) = F(x)4-^Ay- J yF(y)dy, если X не — 2,
о
i
<p (x) = f(x) + С, если X = 2 и yF(y)dy = 0.
о
129.
cos (l^X (1 — j')) sin (l^Xx)
VеX cos V'X'
cos (У X (1 — x)) sin (VXy)
У X cos У X
D (X) — cos УГ.
130. D \) = \—c(b~a) X, D |1 j = с,
1 , ч 1
' = 7(ГГй’ ’‘м=7г?5
131. Определитель Фредгольма
£>(Х)=1 -Х-А-ха, Х=-6 + 4 /У, <р(х) = ±/3x4-1.
132. (л*) = 18л'2 -J— 12х -р 9.
133. D (к) = (1 — Хп)з, £> ( * | X ) = (1 —lit) (sin х sin у 4- sin 2х sin 2у),
D 1> х2 | X = (sin х, sin 2х2 — sin х2 sin 2xj) (sin Jj sin 2y2—sin y2 sin 2_y,).
Ъ 2 .1
Фундаментальные функции, отвечающие числу к — :
sinx и sin2x.
Ш. OW-l-4x«.
Фундаментальные функции sin х и cos х.
¥ (х) = д(л) 4- ~А / /Ч*)sin х^х —COSr/~ ^(х) cos xtIx-
14-у-б
, . . 2sinx
135. tp (х) = 1-— •
136.
ху —
12
Ф1 = 1-
; фундаментальные функции:
<?з
Xi <^12.
137.
ср (х) = 2х.
138.
1-А
3 4э
139.
, 2.x______L
1 2 1 240
2
5
140.
1 ~ а ~ тг>2
141.
X— V
142. ^(x) = e^v^=ri'i .
143. X = /12 , <f, = 1, ->! = /12 - х) ;
<р2 = /12 (х — у) , = 1.
144. (х) — cos тех, ф (х) = sin кх.
145. О = — log Е, х < 5> О = — log х, х >. 5.
I
J(.je) = +X„/* €G(x, 5)j (s)d?, _y(x) = /0(Xn, x).
6
K6. +(/•], x<Ei 0=2.[_(.6)“+(±)"],
1
y(x) = +\f eG(x, 5) j/(e)^ = Zw(Xw,x).
0
147 G — 1~^ v<t. q _ 1 /1 —x 1 + E\ 2 f
2»Д1-х 1+е/ ’ °“2«Дг/х i-eJ •x>e’
d'n
j(x) = + n(«4-l) / G(x,®y&di= /1—Xs’”—(x\
J dx n
— i
где (x) — полином Лежандра.
148. G = -y log[(1 -x) (14-5)] +log2-A-, x<5;
G (x, 6) = G (5, x), у (x) = Pr) (x).
। 4~<»
149. G = —e 2 J e v-di j" e ^dt.x.^-, G (x, 5) = G (S, x),
-—co £
j'(x) = +p. j G{x,k) y{k) d^. p = 2« + 2.
— CO
ж+E 00 t
153. G=> 2 I ~dt, Glx,^ = G (^x),
ca
j(x) = 4ja I G(xt ^)y(s) d |л==п4-1.
о
151.
G(с, х) = 5 (1 — х\ если Е<х, G(E, х) = х(1 — Е), если £>х.
1 1
^(х) = Л3 I’ G(i,x)y(i)di~ У /(E)G(E,x)rfE.
б «
152. G(x,6)
_ П +^)[1 + Я(1 - £)]
~ h + H+Hh
1
; ж<6.
G (хЛ) = О(5,л);Х-г) = ^2 J
о
1
У G(x,S) /’(?)'&
о
153. cotg(J^-)+~=0, чп = Сп [cotg — sin VXex+cos/Xo х
ч>'(0) 4-<р’(1) =о» ф (0) 4- ф (1) 4-ф' (0) = о.
/ h \ „
154. G(E, х) —Е( 1 — . . . х ), если Е<х,
\ t —fl /
G(E, х) =х (1 — е), если Е>х,
1 1
у (х) — k2 J' О (Е, х) j (Е) rfE — j f (Е) G (Е, xj dz.
о о
155.
2Л cos k
- „,,• :---” ,, sin k X.
k ^(h-У-Ь cos2A ) 11
n v 1 » nz
a 2 / a , I \
159.
где Jo (x) — функция Бесселя нулевого порядка, а а/( — ее корни.
п
ICO. V (а) = — X f Р2 о (р> й) v (р) rfp,
о
G(p,a) = ~---а<р, G(p, a) = -L--^-, й>р«
со R
161. У(й) = Г(«)+ - х Х_у- • / Р2Лр) V„ (р)^р v„W>
п=1 " О
где X и Vn («)—характеристические числа и фундаментальные функции
задачи 160.
R
162. V(а} = ). f р2 G (р, а) V(р) dр,
о
G(p, в) = —, «<р, G (р, в) = —,
' р г а’
а>Р.
Vn^
’(2fe+ 1)л
2 R /
7'2fe-|-D%',®
* ~ \ 27? ) •
ОТДЕЛ XVI
1. =0, /^>0. 1) у — х2; 2) у~-------—; 3) верхняя полуокружность
у — -j- Уа2 ~ х2 ; 4) дуга параболы у — — У Чах.
2. Интеграл не зависит от пути интегрирования и равен
/ = хгу22 — х^2.
3. Минимум 7=0 при у = —%, если х± -f- 2yt — х2 -j- Ъ’г = 0; в про-
тивном случае экстремума не существует.
4. Минимум интеграла для прямой у — 0, если у± = у2 = 0; в против-
ном случае экстремума нет.
5. Окружность с центром на оси ОХ, проходящая через заданные
точки. Через любые две точки, лежащие в верхней полуплоскости, прохо-
дит одна и только одна экстремаль. Если назвать эти экстремали прямыми
В______
/* у ] д_
линиями, а значение интеграла I = / ——- dx, взятого по этой экстре-
А
мали, назвать расстоянием между точками А и В, то получится осуще-
ствление геометрии Лобачевского на полуплоскости у>0.
6. Экстремали параболы у = — —----1- а = а ~ j >
получающиеся одна из другой преобразованиями подобия н переноса
параллельно оси ОХ. Через данные две точки могут проходить две экстре-
мали, одна или ни одной.
8. r”+1cos [л 1) (0 — о. ] = р. Две точки Mj (гь 6Д н М2 (г2, 02)
можно соединиib непрерывной экстремалью только в том случае, если
9. Линия действия силы проходит через начало координат, орбитой
точки является логарифмическая спираль.
11. Дуга окружности.
12. Дуга окружности, проходящей через точки О, А н В.
13. Сфера.
Гюнтер и Кузьмин, у. III
Ж
у1
14. Г (х, у. Л = j' )У - Ч * «, у - Ч, Ч!+У +
О
где Фир — произвольные функции своих аргументов.
и
15. Е (х, у, у') = /(и- а)Ф ---------------аА) d.a-\-y'
о
д* (х,у)
dy
-| д '<Д.А,..У>> где п __ _;\У .__rL, а Ф и ф — произвольные фикции своих
аргументов.
4
16. у—7—-— дает сильный минимум.
17. у = х34- 2x4- 1 лает сильный минимум, ибо полное приращение
интеграла ДI положительно.
3 logx х — 1 ,
18. У~~2—iog2------2— ДаеТ сильнь*й минимум, ибо полное при-
ращение интеграла Д / положительно.
19. у = х — 1, слабый минимум.
21. Если ^>2 л, то нет экстремали, соединяющей заданные точки,
и минимума интеграла не существует. Если ^<42 л, то среди экстремалей
е(х—С,) cos (у— = 1 есть одна, проходящая через заданные точки; эта
экстремаль дает сильный минимум.
22. Касательная прямая к характеристической кривой U—у'% — уу'з
в точке (у' = 0, (7=0) пересекает характеристическую кривую U в точке
с абсциссой —. В любом соседстве экстремали функция Вейерштрасса Е
может менять знак, условие Вейерштрасса не выполнено.
х — В
23. Экстремали _y = acosh-—; уравнение Якоби
сРи
dx2
2 , . х — ₽ du 1
—г- tg h------— —4--------5 ll
6. b a dx a-
= 0,
его решения = sinh v, ua = cosh v — v sinh v, где v — —. Если x
их0(п0 = —-----сопряженные критические точки, to sinh v cosh v0 —
— cosh v sinh y0 (v — v0) sinh v sinh vg = 0.
24. v = a sin (3x 4- ₽)> гЛе постоянные аир определяются из условия,
чтобы кривая проходила через заданные точки, дает сильный минимум,
к тс
если | х2 — Х1 I < "тр если \х2~ то минимума нет.
25. у = sinh (дх 4~ (4; через две заданных точки проходит всегда одна
н только одна экстремаль. Условия Лежандра и Якоби выполняются,
условие Вейерштрасса не выполняется, слабый минимум.
26. Экстремали — параболы у = с (х 4- и)2; через две точки, лежащие
с одной стороны от оси ОХ, проходит две экстремали; через две точки,
лежащие с разных сторон от оси ОХ, — ни одной; если обе точки лежат
в верхней полуплоскости OXY (у>0), то дуга одной из экстремалей,
соединяющих две заданных точки, не содержит точки оси ОХ; на этой
jiyre условия Лежандра и Якоби выполняются, условие Вейерштрасса не
выполняется, эта дуга дает поэтому слабый минимум.
27. Уравнение экстремалей имеет вид: у — ay (А g Если рассматри-
вать пучок экстремалей, проходящий через точку А (х0, _у0\ то (3 будет
функцией от а, определенной уравнением = ----Y В сопряжен-
\ a /
ной критической точке В: = -----—— — о, откуда Р>—ар' =
=х—, т. е. ₽-сф' есть абсцисса точки пересечения касательной к экс-
У о
тремали в точке В с осью ОХ. С другой стороны в точке А = О,
откуда 0 — а 0' — х0-—, т. е. 0 — а 0' есть в то же время абсцисса точки
Уп
пересечения касательной к экстремали в точке А с осью ОХ.
X ~— £
28. 1) у — с cosh ———. 2) Через заданные точки проходят две экстре-
X
малиу = с cosh —, если b^>aiga, где a — решение уравнения sina =
= tgh ( ~8[д а Г® а с есть Решение уравнения ~~ —
. а , , .
= cosh — . Если b = a tg а, то через заданные точки проходит только
одна экстремаль и ни одной, если 3) Для нахождения сопряжен-
ной с М± точки на экстремали Л^М, имеем уравнение ~--------etgh — =
а ... а „ а а
—------— + ctgli — . При этом х>а, если — < etgh — , и х < а, если
— >ctgh—. 4) Минимум, н притом сильный, при b~^>a tga дает та
экстремаль, у которой — <^ctgh — , т. е. та Из цепных линий, которая
выше.
29. Дуга циклоиды х — с (2 4 — sin 2 ф), у = с (1 — cos 2 ф), не содер-
жащая между О и М точки возврата. Она дает сильный минимум.
30. Экстремали-циклоиды: х = с2-)-с1 (2 ф — sin 2 ф), _уЦ-Л = с1 (1 —
— соэ2ф). Существует только одна экстремаль, удовлетворяющая гра-
ничным условиям и не содержащая между точками О и Л! точек возврата.
Она дает сильный минимум.
31.1) Экстремаль j = a- - - — ; х = a (q2 -|- q^ — log q) 0.
Она состоит из двух ветвей, уходящих в бесконечность. Условие Лежандра
выполняется только на одной ветви, вогнутой в сторону отрицательной
оси ОУ (при q 2) На той же ветви кривой выполняется и усло-
вие Якоби, ибо абсцисса точки пересечения касательной к экстремал.!
с осью ОХ убывает, если двигаться по ветви в сторону возрастающих q
(см. задачу 27). 3) Условие Вейерштрасса иа рассматриваемой ветви не
выполнено. Поэтому минимум слабый.
32. у = х'А дает сильный минимум, ибо полное прнращеиие интеграла
+1
А I — (a2Y2+ всегда положительно.
—1
33. Общее решение уравнения Эйлера у = Сг log х 4- С2; непрерывной
экстремали, соединяющей заданные точки, не существует.
34. Не выполнено условие Вейерштрасса, что сразу видно из рассмо-
трения характеристической кривой.
35. Интегральная кривая уравнения Эйлера у = — решением служить
не может, так как является разрывной линией. Точная нижняя граница
интеграла есть нуль.
36. Точная нижияя граница интеграла равна нулю. Непрерывной
кривой у — tp (х), дающей минимум интеграла, не существует
3 _
37. у = Ух дает сильный минимум.
38. Если расстояние между заданными точками (х\, у,) и (х2, у2)
меньше 27?, то меньшая нз двух дуг окружности, проходящей через задан-
ные точки, дает сильный максимум.
39. Уравнение геодезических линий 0==«4_"4* a /*1/ <> ,
rz = 2f(z). Для двух сопряженных критических точек Afj (г,, 6,, г,)
и Л1,' (г/, О/, г/) на геодезической линии имеет место равенство
f Уъм'*
J
dz = 0 (корень берется на разных промежутках с над-
«1
лежашнм знаком). Дуга Л11ЛТ2 дает сильный минимум, если точка М2 лежит
ближе ближайшей сопряженной с Л4г в направлении Л1|Л72 точкой.
40. Винтовые
линии 0 = a
г
~R
etg р дают сильный минимум
между
любыми двумя своими точками (/?, ©г, zj и (/?, 62, z2), равный | | •
Между двумя точками можно провести бесчисленное множество геодезических
линий, а именно etg ₽ =---—— (в2 — 6t 2р л), где р — любое целое число.
- г2 — г1
41. г sin [(6 — Р) sin а] = С; если С 4=0, то сопряженных точек нет
н геодезическая линия дает сильный минимум интеграла между любыми
двумя своими точками.
42. Дуги больших кругов. Сопряженными точками являются диаме-
трально-противоположные точки. Дуга большого круга, меньшая полу-
окружности, дает сильный минимум. _____________
fj и, I- j Г ।
43. О = a — arctg (aiz) 4- -к- log ——г, где и — 1/ , _ , в частности
при a = 0 дуги меридианов. Геодезическая линия дает кратчайшее расстояние
между двум ! точками меридиана всегда, если обе точки лежат по одну
сторону от начала координат; если же точки лежат по разные стороны от
начала координат, то должно быть выполнено условие
ОТДЕЛ XVI
ig (W +1 + л) -у ig (У +1 + ra) - Xffl-.1
325
о.
а — г cos f
ас 1 x 1 0111 Y ** ’— * vwo у .
4a. log---------------------——-——, где Ф угол, составляемый ка-
л cos 6 (b — rsinip)cosd J
сательными в концах кривой с осью ОХ. Эти касательные проходят через
центры окружностей
46. 2Z? cos (0 — 6) = х sin в — у cos в, где б и 6 — соответственно углы
с осью ОХ касательных к экстремали и к трансверсали в точке (х, у).
47- F (х, у, у') = G (х, у>) У1+у'г.
48. F (х, у/, у') = G (х, у) У 1 у у/'2 е^^ВУ\
Vi sin х ' п ,
49. у = где определяется из уравнения 3 (xt — 2) —
SID •
3______
— sin 2xt = 0, yit = У2 — xt; Xj = 1,88.. .Условие Якоби выполнено. Инте-
грал имеет сильный минимум.
50. Дуга циклоиды х = -А , С—{2 6 — sin 2 <!>},
2 (л — р)
£
---р- {1 — cos 2 >Ь} дает сильный минимум.
У
51. Экстремали суть полуокружности у = уп2-(х— р)2 с центрами
на осн ОХ. Пучок экстремалей через начало координат есть у = Ух(2а-х).
v2 —— х~“
Поле есть верхняя полуплоскость; р (х, у,) = .
v r а . fdW\2 , /д№\*
53. Уравнение Гамильтона-Якобн ~
1
экстремали
окружности с центром на оси ОХ у = У ₽- — (х — о.2. Экстремали, транс-
версально (в данном случае ортогонально) пересекающие полуось ОУ
суть концентрические полуокружности у — Ур2 — х2 , заполняющие полу-
плоскость у > 0. Условие Лежандра выполнено всюду Fy, , 'у> 0. Эквиди-
стантные кривые -у = const. Дуга окружности с центром в начале коор-
динат, проходящей через точку В, дает сильный минимум.
54. Параболы уй = Сх. Уравнение Гамильтона-Якоби есть 4 —[-
= 0.
55. xG
const
56. Эллипсы Зха — 8ху 4- бу'2 = const.
57. W = Ух —у {х -}- 2у'} = const.
О
53. Уравнение Якоби-Гамильтона
Его решение
у___________
W-ax + J УС(ур — а- 4у + ₽.
Уо
i
326
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
Экстремали
У
___dy
КЩ/Я Т- а3
У«
5Э. Гиперболы х3
Ху — у2 = а
ние
сп V г а , fdWV . ( dWf 1
60. Уравнение Гамильтона-Якоби j ' VdJTj ~ 2gy
; его реше-
W |-Л2д = ох-|- Уу(1 —аа_у) -—arcsina Vy~ + '(•
Для кривых, проходящих через начало, -( = 0. Лучи—циклоиды. г
1 __________ 1 r- -
X-)-—“Уу(1 ~ а2.у)--— arcsina у у = 0.
Определяя отсюда а и подставляя в W= const, пслучим уравнение волн
и вместе с тем уравнение синхрон:
W y-2g=2ax + 2 V у (.1—а3 у) = const.
61. Уравнение Гамильтона-Якоби
W
Пусть h = ag, тогда . = f х -j-
=*=0.
__________ 2
а — ^—у dy—'ftx----у(а~
8
—Р2 —у) 2 -|- у. Экстремали — параболы у = а — р2
Мали, проходящие через начало: у = —
^Г~ ' Экстре-
- х. Если точка
,--- V,,2
брошена из О под углом а к осн ОХ со скоростью г»0 = у 2/г, то а —
g2 х2
У а — В* _ Vncosa .
2__i2_ = tga, ₽ = и получаются параболы у =
л tg а. Огибающая этих парабол, граница поля, — тоже парабола. Если
конечная точка В лежит внутри этой параболы, то дуга экстремальной
параболы ОВ, не касающаяся границы поля, дает сильный минимум .дей-
ствию". Хорда, соединяющая точку О с сопряженной критической точкой
на экстремали ОВ, проходит через фокус этой экстремали.
62. Цепная линия.
"=Л-|(л2+у3).
„ /дй7\3 /dU7\2
64. Уравнение Гамильтона-Якоби
1Гж= У j/*a— ~dx-
с
= будут эллипсы:
V2k
kv2 ~ dW
Экстремали
т—------т- у = sin О
2 (Л —a) J
или--1-—-
а ' И —а
— cos р = ~ sin2 р.
V a (h — а) *
65. /- Г у - dy. = ₽.
J V^fM + a J V g(y)~a
67. Экстремали, пересекающие параболу трансверсально, являются
нормалями к параболе. Поле экстремалей имеет границей эволюту пара-
болы. Если отрезок нормали АВ (где В — точка на параболе) таков, что
центр кривизны параболы в точке В лежит на АВ, то АВ не является
минимальным расстоянием до параболы (если только точка А не совпадает
с точкой возврата эволюты параболы). Если же центр вне отрезка АВ,
то АВ дает сильный минимум интеграла f ds. Если вдобавок АВ не пере-
секает ось параболы, то АВ дает кратчайшее расстояние от А до любой
точки параболы.
— X —- 1
£8. у =--------- дает сильный минимум.
69. Отрезок АВ прямой, проходящей через центры данных окружно-
стей, дает сильный минимум интеграла, если между точками А н В не
лежат центры заданных окружностей.
70. Заданное уравнение Гамильтона-Якоби соответствует задаче о мини-
муме интеграла J = j' у i ц_ уч
•Vq
71. f(x,y,y')=V^+^ УГ+У2
d d?
12-fy~dx^+-d^
74. 1) у = x (x — 1) {(a -f- b) x — a] и 2) у = 0.
2и-1
75. = 1 -Hx-H при п== -i- J/ = -^-log(ax--|-₽)-bY4+S-
ри п = 1 полный дифференциал.
76. у (х, у, у ) = 0, -----------------------==
f_____У f
= v’ dx у" _ 4"
• Чу ~ Чу
77. у' (х2), h (х.у) = 0, -1—----= .
.7? '1у
78. Циклоида: х = h -|- а (2ф -|- sin 2ф) — b cos 2ф
у = k 4- b (2ф — sin 20) — a cos 20.
При этом постоянные определяются из начальных условий. Для примера
_____________________1 20 4- sin 20 . cos 20
* “ 2 л2 ’ У ~ л-)-2 '
73. Полная арка циклоиды, основанием которой служит отрезок М^М^.
х ~ п 2ф 4- sin 2ф / л , л \
у = — 1 — cos 2ф < 2 < * < 2 J
“• 4 - £ 4+4.+ < - 0“ 4«> ” °-
г ил- ил ил
81. и — х-у!' — ху' -к ху2 -| х2 -|- С.
Г1Ё 7?JE
82. 6 = 0 дает сильный минимум, пока 1/ ~p~i Ро — ~р~-
6 6
При Р^> Ро экстремали упругие линии sin = sin ~ sin ф, где
di> __________
1 — sin2 ~2° sin2 ф
83. 6 = 0 дает сильный минимум, пока
г, "s EJ
84. Ро = —
г, 4л:2 FJ
85. Ро = ——
п-
т
JE
£/
86. Ро = g--, где р = 4,49... наименьший положительный
корень
уравнения tg р = р.
87. Pti равно наименьшему нз двух чисел —р- и kl; в последнем слу-
чае/алка при потере устойчивости остается прямолинейной, прогибается
только опора.
91. S (х, у, г) = 0,
у‘
5Я
92. f-yfy, - z'fz,-\- F' (x)fy, + G’ (x)/s, = 0.
п
“• X
n
i=l
iPx-
ds2
ik
h
i,k~l
дётл дёл
dx,.
~—Л — о (/г =1,2.. .и), где
ds
---к —г----;— I — символы
к ^xi------dxlJ
Кристоффеля первого рода.
97. Экстремали у — с cos a cosh
Z = с sin a cosh '
с J
щих неравенству х^>хг решение уравнения
Условие Лежандра выпол-
няется; условие Якоби тре-
бует, чтобы при xt < х2 бы-
ло х2<х, где х есть наи-
меньшее из удовлегворяю-
А_ гй | cos3 a sinh sinh Х -|~ sin2 a sinhsinh ~ — I -|-
е I с с Л с с >
. . х — xt
-к sinh — =0,
с
93. Экстремали — эллипсы х = q sin t
у — с2 sin (/ + ₽)
z = jOi — cf — c22 sin (t + 7
в сопряженных точках касательные к эллипсу взаимно перпендикулярны.
/~ eft
93. у с3+'2 •
100. Ломаная линия, составленная из отрезков прямых у — х иу=1
- или из отрезков прямых _у = 0 и у — х — 1, дает абсолютный минимум.
Прямая у = х дает слабый максимум.
101. Ломаная линия, составленная из прямых у/ = уг3х и у — —У'З (х— 2)
дает сильный минимум интеграла.
102. Экстремали—прямые линии. Если ——— <1, то существуют
I *2 Ху |
два разрывных решения — ломаные линии, составленные двумя отрезками
прямых линий, параллельных биссектрисам координатных углов.
103. Прямая у = х tg <?, соединяющая заданные точки, дает слабый ма-
ксимум, если 0<(tg<p<(n, слабый минимум, если я <( tg ¥ 2я и т. д. Ло-
маная линия, составленная из отрезков прямых, тангенсы углов наклона
(4л—1) л,
которых равны -----$—~ (п—целое), дает сильный минимум.
104. Экстремали—равнобочные гиперболы с центром в начале коорди-
нат и прямые, проходящие через начало координат. Если точки А н В рас-
положены так, что угол АОВ прямой нли тупой, то есть только разрывное
решение—пара прямых, соединяющих данные точки А и В с вершиной
конуса. Если угол АОВ острый, то равнобочная гипербола, проходящая
через точки А и В, дает сильный н притом абсолютный минимум. В этом
случае разрывного решения нет.
105. Если 0., = 6Х, то единственное решение прямая Mt Л42; если
0 <J 02 — 0х | < , то единственное решение есть кривая г3 cos (30а) = 0,
О
соединяющая заданные точки; если | 02 — 0, | > -g-, то существует только
разрывное решение в виде ломаной Му О М2.
106. Искомое разрывное решение состоит из отрезков АС и BD пер-
пендикуляров, опущенных из точек Л и В на ось ОХ, и отрезка CD оси ОХ.
Это разрывное решение является единственным, если через данные точки
нельзя провести цепной линии, директрнссой которой является ось ОХ.
107. Всегда существует разрывное решение Л^Л^А^Л-д,, где MyNy и
х В
N2M2 — дуги цепных линий у = k cosh —, отвечающие интервалам
—— р и где 0 — a—k 1g j/”— 1) > а отре-
зок прямой у = k. Кроме того, через заданные точки может проходить
одна илн две непрерывных экстремали.
108. Ломаная линия ACDB, составленная из отрезка пограничной пря-
мой CD и перпендикуляров, опущенных из точек А и В на пограничную
прямую CD, дает сильный минимум. Для соответствующей задачи механики
о движении точки под действием силы тяжести полученное решение зна-
чения не имеет "
109. Искомая минимальная линия составлена из отрезков прямых линий
и дуги параболы у = х2. Согласно условию Эрдмана прямые касательны
к параболе; уравнения этих прямых у = —2л. — 1 и у = Чх — 1.
110. Уравнение Эйлера приводит к решениям у = 0 и у2-|-(х—а)2=4а2.
Поэтому решением является линия, составленная из полуокружности ради-
уса а с центром на оси ОХ в одной из точек а<х<Ь—а и двух отрез-
ков пограничной линии у = 0.
112. Линия которой прямолинейные отрезки MtM0 и М0М2
образуют с касательной к границе в точке Мо одинаковые углы.
113. Экстремали—параболы у = р — -Х °- - . Пучок экстремалей, про-
ходящих через начало координат, естьу = х ——.Поле есть область,
д-р
образованная осью ОХ и прямой у = х. Так как -у^у^О.то имеем сильный
максимум, если точка (х^у^ лежит внутри поля. Ломаная линия, состав-
ленная из отрезков прямых у = 0 ку — у} = х — х± дает абсолютный мини-
мум, также как ломаная, составленная нз отрезков прямых у = х и у —\\ =
= — (х — At).
/Х__fj)2
114. Экстремали—эллипсы —----------|-у2 = а2 с центрами на осн ОХ,
Пограничные линии: прямая у — 0 и параболы у® = ± 2 (х — у) (решение
уравнения 1 —у2у/2 = 0). Дуги эллипсов дают максимальное значение инте-
грала. Дуги пограничных парабол и отрезок прямой у = 0 дают интегралу
его наименьшее значение нуль, образуя разрывное решение, угловые
точки которого лежат на прямой у = 0.
115. Решение состоит из геодезических линий, поскольку они удовле-
dz t г>
творяют условию, и из кривых постоянного подъема = k. В точках пе-
рехода геодезические линии также должны иметь подъем k.
116. Кратчайшим путем является линия, составленная из дуги погра-
ничного круга радиуса/? и отрезка прямой, касательной к этому кругу.
117. Если 6 и ф—углы, образованные лучом падения н лучом преломле-
sin 6
ния с нормалью к линии преломления, то-------£
sin 6
«1
118.
2(г + П = 1-
121.
122.
d2z , &z
дх2 Су2
д2? д2?
дх2 ду2
г-Н = 0.
1пп д2и , д2и
120 <Эх2 + ду2^^Х,у>'
= о, ¥ (А.У) = f(x -|-у) 4-g(x -у).
123. (1 4- q2) г — Jpqs (1 -|-р2) t = 0; это уравнение выражает, что
в каждой точке минимальной поверхности средняя кривизна поверхности
равна нулю, т. е. главные радиусы кривизны равны по величине и имеют
прямопротивоположное направление. Единственным решением уравнения,
имеющим форму z = ?(%)+Ф(у), является кроме плоскости z — Дл'4-Ву -|- С
а (z—zX COS а Су — Уп)
лишь 12 °'=---------г---где а—постоянная.
cos а (х — х0)
126.
127.
. 1 ( д / d'l \ d / I ди \ 1
Ди = — { -V- г -у- + "5“ ( — -д— > •
г ( dr \, dr ) да \г д-f J )
dx2 ' ду2 ' dz1
128. (1 -j- и2 и2) uJX + (1 + ms2 + и.,2) uyjj + (1 + H»s) ttES —
— 2 (iixttv uxy иуиму2 + u^u^) = 0.
_ „ . 1 f d / 9 . . du \ , d /
12Э. Ди = ., . „1-^- r2 sin 0 — ) + -st- (
r2siii 6 i dr \ dr ) dt) \
d’u \
dx di )
131.
d du \
= -г— E ы 4- рш F; на сво-
дх \ dx J ' г
, „ д ( г d-u \ . _ ди „
бодном конце должно выполняться условие о2—— р/-^—17-4-£oj—= 0,
dt>\ дх dt J 1 dx
или же движение конца может быть задано и = ? (/).
132- i w) “ ~dTdt (Р1 dx аг)+(£/4Я = Р“F- Если
конец стержня заделан наглухо и совершает заданное движение, то на этом
dv д‘>и
конне v~'ft (Г, = <р3 (Г; если конец оперт, то v = ср (t)\ = 0; если ко-
d ( d2v У d ( d2v\
нец свободен, то I[Е1^ = 0.
' р 5F )= А’р'F’ На св°б°дном контуре С должно выпол-
7 di
няться условие Р-=^ = Ф.
134. Д £ = 0; на контуре С должно быть задано смещение С (s) или же
dr k
должно выполняться естественное граничное условие -гр- -р- ? — 0.
, I м П дЧ dC d4
। £Ро (« + Q=0 или, если обозначить =р? ~£-=д, ~я~я
ох оу оха
d3^
dx dy
dK
s, = t, а главные радиусы кривизны через /?j и 7?а, то
р ^Ро(Л+,) = о нлн
У(14-ра4-92?
1
Ri
4* s Ро _Ь £) — 0.
d2C . Eh2 [dir . . d4 d41 n r
136- -d^++ 2d^ + = граничные усл9'
вия на контуре С имеют следующий вид: С = cjj (с, /), = <ра (с, t),
если контур заделан наглухо;
г / л лг d2^ d3C
(; = ?(с, дС = _^+ —
[^2 г д2 F ?
sin3 0 4- -4-cos2 6 — 2 - S -S - sin 6 cos О I, где 6—угол нор-
dx2 ' ду3 дхду J
Мали к контуру С с осью ОХ, если контур оперт;
« =„ to о. «« «\ta.cos.
дп Т2 дп ds дх* ду-)
ffir 1
+ з— (sin2 6 — cos2 0) ,
' дх ду ' J
+
dt
если на контуре задано только ;
4’ =(1 ~[Ssin26 4--^-cos26 -2 sin6cosb] и
= (1 — а) -у- [7sin 6 cos 6 + (sin2 6 ~ cos2 е)1,
дп ds L\ дх* dy3 J ' дхду J ’
если контур свободен.
dX„. дХ„ дХ.
137--д^ + -дГ + -д^рЛ==0' + Y=Zy=*(wy+vJ,
dYrdYy , dYz _|_p у —о у — 9u. 7/ 4- ХД Z — X — vAu 4- w k
дх ' ду dz
dZ dZ„ dZ,
ж .I X । дх ду ' 4-pZ=0, ZZ = 2lx WZ + >-Д. Xy = Yx = р.(оЛ. + ny).
Д ==.
д2и dX№ dXv dX,
138.₽-^ = dx 4-V + -л^-4-р^. dz 1 1
д2о f дТ2 = dYx dx дУ„ ^r+ дГ -^- + ₽Г. dz
d3w dZT dZ„
p~oi2^ dx , + pZ, где буквы имеют то же зна- dz
чение, что в задаче 137.
139. Если ось ОХ взять за ось полярной системы координат, то
г = а У cos 0, где а =*
1/"1517
г 4я
2
(Q 17\
К") •
141. — = — , где а—постоянная, г—радикс
Г А
кривизны экстремали.
142. Дуга окружности, радиус которой 7? определяется из уравнения
7?sin-~ = а, причем 7?>
143. Полуокружность.
Л I
144. Окружность радиуса
Ь — а л
145. MN— полуокружность радиуса——> обращенная
к оси QX н построенная на диаметре, параллельном оси ОХ-
вогнутостью
146. Прямая у —
S
Л'1 Л’о
147. Прямая линия: — 4- ~ = 1, где ab — 2S.
а о
148. Окружность (х — /?)2 -j-y2 = R2, где R = -- , а ш есть решение
41 О)
sinw
уравнения ----
h
, лежащее в пределах
О < ш < л.
119. Дуга окружности, пересекающая под прямым углом сторону угла,
проходящую через точку Л12.
50. Цепная линия: .у — X = a coshдает сильный минимум.
X
151. у + X = a cosh — — цепная линия.
152. Дуга окружности, проходящей через точки О и М.
где постоянные опреде-
ляются из условий
153. x = c]-}-C2s * **n 6— X (20 -J- sin 20)-f- р cos 20 x(0t) = хь у (бЦ =
х(02) = х2, _у(02) =3'2,
у — cs — с2 cos 6-f-X cos 20—р. (20—sin 20) /=с2 (03—6t) — 4Х (sin 02—
— sin &i) + 4 р. (cos 62 —
— cos 6r).
154. Упругая линия.
з
и2 — v- и2 2л и 4г.п
156. у = ± У 2 sin х дает минимум 1, условие Якоби выполняется; на
других экстремалях у = rt У 2 sin пх (л целое), прокодящих через задан-
ные точки, условие Якоби не выполняется.
157. Минимум равен 1 при у = ± У 2 sin х,
158. Минимум I равен 1 при у = ± У 2 sin х.
159. Единственная кривая, удовлетворяющая условию , есть
1 , 1
у — — ~4 "Ь'2"х> так что кривых для сравнения не имеется..
5 7
160. у = —— х2 х; z = х; если точка А не задана, то
у — —х8 Ц- 2; 2=1.
161. 1) — = X; 2) экстремальные поверхно-
сти суть поверхности постоянной средней кривизны.
62. 1) и 2) (1 + g2).r^j£gs + <1+P2)< _ 1 1 z + X
1^(1+Р2-h ?2)3 Pi Ра и
.3) По-
верхность должна сечь плоскость ху ортогонально.
163. 1) (z + л) [(1 W) г - ?PQS + (1 + р2) /] = I + 2) ~ +
Pi
. 1 1 ..
4- -—= -ту , где pj и р2 главные радиусы кривизны поверхности, а /У —
Р2 N
длина отрезка нормали между поверхностью и горизонтальной плоскостью
164. 1) --3~-!LLL = 2) средняя кривизна по-
/а+^+л3 '
верхности постоянна.
167. у — аех be~z=a2e2x — b-e~2x. 168. Прямая линия.
169. р v) определяется из квадратного уравнения g-Ц- (р а — ==
—з /' vdv
= gv-j. У 1 -j- рг, н тогда х — / -п г —-->
J gp-kv У 1 +р2
/• pvdv
v = / -----с— t причем, кроме заданных, имеет место еще
- J gp-kv Vi + p2
граничное условие [ар (w2) — Й г'а = О-
v2d р , _ I Г v2pdp
г+р2’ y~ngJ Н7?
Так как радиус кривизны
_t/s _ ~s ± + p1
Г ~~ di) ~ dp — ng ’
1
170. v =
то легко показать, что
n — 1 v2 „ , n
Л =---------. При n= 1 N = 0.
n r
171. Дуга окружности радиуса p, соединяющая заданные точки.
172. Обозначив через <? угол, составляемый продольной осью или, что
тоже, направлением относительной скорости аэроплана с осью ОХ, имеем
прежде всего очевидные равенства
dx ... dy , .
—- = и + V cos т>, — = v -Н V sin ®,
/7/ * 1 ПГ ' 1
откуда выводил равенство
(V- — w3) dt2 -р 2 (udx -|- vdy} dt — (dx- + dy-) = 0.
Вводя в качестве независимого переменного т и обозначая дифферен-
ц 'рованне по т штрихом, будем иметь уравнение
t' — L (х, у, t, х', у') = 0,
где L есть решение уравнения
(V2 - w2) Е2 + 2 (их' 4- vy') L - (х'2 -Ь у’2} = 0. (*)
При этом известны значения функций х (т), у (т), t (т) при т = т0 и
функций х(т) и уПт) при т = т1 и требуется определить эти функции при
всех т так, чтобы t (т3) было минимумом. Получилась задача Майера, для
которой уравнениями Эйлера являются
где л — функция от т. На основании последнего уравнения два первых дают
d dL 2L. - dL d dL dL _ dL dL **
dt dx' dx dt dx' ’ d- dy' dy dt dy'' '
Продифференцировав уравнение (*) по x', получим
[(У3 — ®2) L 4- (их' 4- vy')] 4- Lu — x' = 0
и точно так же найдем другие производные от L tuxy', х, у, t. Выгодно
теперь взять за параметр т время t, т. е. положить т = t\ тогда очевидно
будет L=l, х'— х, у'—у (точка означает дифференцирование по t) и
предыдущее уравнение даст (UZ = и cos <р 4~® sin <p).
dL___________x — и__________cos ср
dx' У2 — w3 (их 4- vy) V 4- 1У ’
точно так же найдем
dL их cos ср 4- v-,- sin ? dL ut cos cp 4- vt sin q
'dJ:" V+ W ’ ’ = ~ И 4- W '
du du „ „
де ux= ut = -^T н т. д. Поэтому первое из уравнении (**) дает
d cos ср их ccs :р 4~ sin ? (ut cos cp4-vt sin’cp) coscp
"dt У 4- VIZ * V 4ЛУ = (V 4-lIZp •
точно также второе из уравнений (**) дает
d sin ср и cos у 4- vy sin ср (z/^cos ср 4~ V/sin у) sin cp
~dt V4- W~ ' V+ HZ. = (V+W . ’
Умножая последнее уравнение на cos ср и вычитая из него предыдущее
уравнение, умноженное на sin ср, получаем уравнение
= — Uy coss ср — (Vy — их) sin ср cos ср 4- vx sin2 ср,
которое вместе с двумя уравнениями, приведенными в самом начале ответа,
дает полную систему уравнений для определения трех функций x(t), у (г)
н ср (0- Если в некоторый момент направить оси так, чтобы ср = 0, то полу-
d's
чим, что -^~= ~uv> т- е- аэроплан надо рулить так, чтобы он повора-
чивался в ту сторону, где составляющая скорости ветра в направлении про-
дольной оси аэроплана меньше.
I
173. У Т’ е‘ W = cons^
2
Решением уравнения
i
J dx= - 4т.;, vuw
I
~ 2
является согласно задаче 85 отдела
/'(х) =
XIV
— 4р vowx
л-э
откуда
— х2 Д =ЛРW=A^_^ А3
2 »о
Можно также воспользоваться решением задачи 322 отдела XIV, со-
гласно которому движение жидкости, вызываемое перемещением прямо-
линейного отрезка длиной / в направлении, перпендикулярном к этому,
отрезку со скоростью w, можно считать происходящим в силу наличия
2я*ву dx
вихрей интенсивности df=------ , перпендикулярных как к на-
правлению отрезка, так и к направлению скорости w. В нашем случае
вихри простираются от отрезка
сивность надо удвоить, так что
только в одну сторону, поэтому их иитеп-
4 vw d к
rfr=------—ZlL-s с другой стороны
ОТ— - f(x) dx, откуда
f'(x)
— 4р v0 wx
"1/ х%
V 4 х
174. X' +Х/п-|-p.g„ = 0, |*' + X4 + i*gs = 0; (л(х1) = 0; +
— А(х/ -i-ug ,) = о.
dx
175. Экстремали являются
6 J(XF-|-IxG)d/ =
в то же время экстремалями задачи
О, значения постоянных X и ц связаны со значениями
и и v формулами / («, v) = X; f (и, v) = р.
176. Окружности.
ОТДЕЛ XVII
7 + 5 + 8Ч-9 + 4Ч-2_ 35 _ 7
360 ~ 72
360
; вероятность Q, что началь-
65
ная буква согласная Q = 1 — Р = —.
2. х0 = 8. Действительно, Р — 1
1 ЗОК) _
J <у. откуда «'>-414>7.
1 -
2 у»
yj-l ; поэтому нужно,-чтобы
3. _Vj= 7. Действительно, Р =» 1
Ст 1
’“20^. 1
гт
ь22
С2О
Cm *
22
Поэтому нужно, чтобы
; следовательно, xt есть наименьшее целое число т, удовлетво-
I
ряющее неравенству
(22 — w)1201 (22 — тп} (21 — т) ^1
(20--«1)1221 22-21 < 2 ’
откуда т1 — 43//; 231 О 0. Поэтому лу )> -2- — у .
. 'l-log3 . 1—log2 1
4- nh> "log 1,2 : W*> ""log 1,2
= 13.
«—>24 z^2
_ п ^48 ‘ Ci 325
с26 833
Ь52
6 р JC«1L (W
1 СЦ 521(131)4
Применяя формулу Стирлинга,
п ~ п!1е п У2п п, получим приближенное значение
52вз • 1362е~104 V 13л V 13л Т ’
4С®9 1181
Cf2 3290
8-р<-1-#=тир>-1
48-44-40 1349
Рл — 1 — :
48 - 44 23
51 - 50 “ 375 ’
48 • 44 • 40 • 36 _ 2053 .
6 51.50-49-48 “ 4165 ’
48-44-40-36-32 128171
6 51-50-49-48-47 jl95755’
Поэтому х0 = 6. •*
21°(101)2 1 2 - 4...20 256
201 210'1-3...19“ 46189 ‘
ЮР— 35-51101 81 10-9-8-7-6 п„лол
1о- Р “ —15Г “ Тош • п- р =------------------1№-------- °’3024-
12. Р = 0,25 + 0,2 0,3 = 0,75г •
«-Р = |^-0,6 + 2.|13.0,5 + ^.0,4 = 0,52.
14. Первоначально имевшееся в урне. Вероятность 0,480.
15. 0,236. 16. 0,336. 0,096.
17. Событие [Д или В] равноценно событию А или [В и Д], вероят-
ность которого равна (Д) -}- (В н Д) = (Д) (В) — (Ди В).
Гюнтер и Кузьмин, ч. Ill
22
18. Вытекает из предыдущей задачи.
19. В силу предыдущего,
(Л или [В или С]) = (Л) 4~ (В или С) — (Л и [В или CJ) =s
е= (Л) 4- (В) 4- (С) — (В и С)—(Л и [В или С]); но (Л и [В или С] равно-
сильно [Л и В] или [Л и С], откуда (Л и [В или С]) = (Л нВ) 4-
4- (Л и С) — (Л и В и С).
20. Действительно, полагая формулу доказанной для п — 1, имеем
i~n п — 1, fc — п— 1
(Л2 или Л3 или ... Ап) = 2 Pi~'£Pik + .-• + (—
i=a i=2, к—з
k~n k — n—Л, l~n
([Л£ и Л2] илн [Л! и Л3]...нли [Л, и Л„1) = 2Ль — 2‘ +
к~2 к —2,1=2
+ •«,
откуда
(Л1 или [Л2 или...или Лп])=р14-(Л2 или Л3. ..или Л„) —
— ([Л£ н Л2) или.. .или [Л] н Л7!|) =
4~~п 1, к—п г=п—1,
= "£pi~• +('“lpi2---n-
4 = 1 4=1, к—2 4 = 1, к=2,1=3
(М — п / N — М \
\ П J
пл (п — 1\ ЛМ\™—1 (N — Af +«* I
(—n—J -дг=
/п — 1 \ А14-1)”~та
~ П \т - 1) Nn
к
25. Дифференциальный закол распределения
п
чп-~ 1 . ^п—т
26- р=1~^г + 4!-‘4Т + 4г-4г = ТЙ-’ так как в данном
случае Pi = , pik = , pikl = и т. д. при любых i, k, I. Если
число билетиков увеличивать, то мы получим для Р сумму возрастающего
числа последовательных членов разложения в ряд е*-1 , и при бссконеч.
ном возрастании числа билетов lim Р — ё~ *•
о? p—!L п(п~ О ’ , п(л—!)(л —2)
~ N 2!/У(ЛГ-1) 3!/V(/V—!)(?/-2j
, ( - I)”"1_______
’ W(2V —1)..-.(1V —л-f- 0
„ C »r ,n r> 12151
Еслнл = 5, TV =10, то P = •
30240
28 P = л(л—l).t.f« —fe+Ряг
k (tn 4- ri) (m n — 1)...(tn -j-n — k)'
29. (1 — zO ak.
30. (—£- V—31. (1 — a) ak.
\mn J m n
32. Для первого вероятность
3
5
(N-k)(N-k-.\)f n
'r 1-2 \N-k — 2
36. Вероятность выхода m различных билетов
37. P = 0,18.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 42, поло-
жив т = 2.
38. В силу условий задачи величина выборки определяется нера-
«енствомт1б-^|Л9(4--т±5), где /
я?9
е~ т dx-, t = 1,64; п 238.
находится
нз условия
м м
к—т к--т
40. Р = 0,098.
2 3
5 56 5 84 .
43. 1) - 2 4 з - 241 ’ 2) Л ~ 3 . 3 1 “• 179 ’
У + 7 +-J. 5 + 7 + 4
4 6
х~ 59 ’ У ~ 41 ‘
8
125 175616
44. 1) 8 6^ 27 1845241 '
125 + 343 + 64
27
125 148176
Х* ~ 27 27 , 1 “ 245051 '
125. 343 ‘ 16
20 15
25 ’ 25 300 _ 50
~20 15 2_ _3~30о = 5Г
25 ‘ 25 + 25 ’ 25-
46.
„ ,Р(Г-0
р~ T—Pt'
47. р =
0,51 - ±
6
~o3i
103
153
0,673.
48. р0 =
» 1
900 900 • 899 900 • 899 • 898 - 897 • 896
1 + 1000 + ГбОО • 988 + • ’ +1000 • 999 • 998 • 997 • 996
0,214
49.
52.
2л + 2"
(Ж";"
50.
О
51.
53.
2«+1
Зп
п — k
n-j-n’ — k r
54.
а
белых шаров и
Ь —
черных шаров,
если
(д + 1)” (У - д - 1)" < д’" (W - о)’*,
и
Г mN 1 . . ,
° ~ I »г -j- /г] "г * °ель1х шаров и
b^N — + zij ~ 1 черных шаров,
если
(д + Ч (N— а— 1) >д (Л—«) .
55. Проверив непосредственно правильность неравенств (I) для п » 2,
применяем метод математической индукции, полагая (I) верным для п и
вводя новый (п-|-1)-й независимый опыт, в котором рп^_1~р имеет Про-
извольное значение. Тогда Р,л> „+1 = р + Pm.„ q, где q = 1 — р,
поэтому достаточно заметить, что
Р 4“ Р 4” п Р 4” ^иг,п Я) >
так как по раскрытии скобок коэфициенты при />2, pq и q2 положительны
благодаря тому, что
р р р
«г, п * w?4-l, п 'зи-рг, п
р р ~~р •
* т—1, п * т, п * w-j-i, п
“ Х<Т- 57 Т®-2™+ -№»»= Зи6”-
41 1
58. 42 В пеРВ0М ЯЩНке и 12 во втором, так как после первого
5 5
извлечения м. о. хх = 4 — — и м. о. х2 = 16 + , а поэтому вероят-
16 + А
ность после того вынуть белый шар из второго ящика равна---------У - =
’01
= J26 ’ ?ткУда слеДУет. что м. о. числа белых шаров, вынутых при извле-
чении 6 шаров из 2-го ящика, равна ~ ® = ^Г'
125
59. руб. Игра выгодна при стоимости билета 1 руб. 15 коп. и
невыгодна при стоимости билета
7
60. м. о. х = -у и, м.
1
61. м. о. х = --;
1 ~р
62. м. о. выигрыша равно
1 руб. 16 коп.
В = м. о.
2
= М,
о.
49
35
А" 4 "-12Л-
1 I8 ______
1 — Р J ~ О — Р)"'
Л4 = -(1 -р)4-г(1 _р)_у + />2(1 _р)_у2-}_ ...
= (1 -р)
Поэтому М = 0, если У~^- Полагая р
13
2ДУ — П
. 1-РУ ]’
Гз’ J/r= 2 ’ В ЭТОМ СЛУЧ"С
игра была бы выгодна при у — 7 руб. и невыгодна при у = 6 руб.
1
63.
64.
65.
п
1 •
м.
СгЧ) • i X т.
\т — 1 / д/ ляа
Л1 = 1
т 11 1
т -J- п — 1 т 4- п
-о. "С”"1)________т I
~ (т 4- п) (т + п — 1) т-\-п— 2 '
п{п — 1J...1 т
—L- fl . — -— ——— • —. t
* (m-f-л) .lj tn
п к
УШ’к*1г
?- (т + п)Ь + 1
к=о
„ ( п у ( п \п+1
т VI \т -j- п / \т 4- п)
~~ т 4- п . п
8=1 т 4- п
п / п \п +1
__т 4 п 'т 4- п) _ ( п +1
~ ~ ] п п +п'
т 4- п
6fi G + f--l-^ + (« + Н • • • +fe) + ~" .
(п А
а 4- Ь 4- с . .. 4-к)
67. 1.
68. Вытекает из неравенства
м. о. л-2 • м. о. xi м. о. х3.
69. — АРР 4- А (1 — Р) > 0, откуда Р< •
70. м. о. т = ——f Т , так как число черных шаров А а 4- 1
°4~ 1
и они разбиваются на а 4- 1. группу. С другой стороны,
(Z — д 4- 1) д 2(Л-д4-1)(Л-д)д
(Д 4-1) А (Л 4-1) А (Д — 1)
71. Вытекает нз неравенства
где а > b крайние значения х. Равенство осуществляется, если м. о. х
;=: а^-~- и кроме того xf получает лишь значения: д, 6; следовательно
соответствующие вероятности равны
ОТДЕЛ XVII
343
72. q = 0,9; PI0 = 1 - q*> = 1 — (0,9)» ф 0,652; P1№ = 1 - (0,9)100 ф
>0,9999737. (Применяя лемму Чебышева-Маркова, можно a priori утвер-
ждать, что Т3!оо >0,9, каков бы ни был закон распределения вероятностей,
лишь бы было известно, что м. о. х --= 10.)
4а3 I b — а \п 2а2 .. , ,
73. р = -5--5- -г-i— , «о = 1-----— • Чтобы задача была
Ь1 —- а2 \ Ь + а) и Ьфв
возможна, необходимо и достаточно осуществление условий Ь ф а
Ьфаф2а2: первое из неравенств необходимо, чтобы рп > 0, второе нера-
венство выражает, что а0 > 0. Значения а = 4, Ь — 25 недопустимы, так как
4-}-25<2-42; наименьшее приемлемое значение b (при а = 4) равнр 28>
1 /3\” '
тогда Р„ = 3-^-4 J , «о = fl-
74. k—a, А — е~к. Замечая, что —^±L = —- заключаем, что
аи п 4- 1
р, = [а], если а ие целое число; если же а целое число, то наиболее ве-
роятны будут оба значения а, а —1.
75. Необходимо и достаточно, чтобы
b ф а2 4- а, сфаф-----(- Ь.
1 1 а
Полагая
а2 — м. о. х (х — 1) = b — а, а3 = м. о. х (х — 1) (х — 2) == с — ЗЬ 4- 2а
Ае = и, Be — uv
имеем
и 4- = 1, uk -}- utl = a, uk2 + иф = а2, uk2 4 иф = а3.
Из этих уравнений видно, что для положительностей k, I, и, tit необ-
ходимо, чтобы as> а2, аа3^а22, откуда вытекает также аяфаа2, кото-
рые равноценный а2 4- а и а (с ф а) ф Ь2 ф ab. Достаточность этих усло-
вий обнаруживается фактическим решением этих уравнений, из которых
следует, что k и I являются корнями уравнения
Р (z) -}- (а2 — a2) z2 — (а3 — аа2) z -|- (аа3 — а23) = 0.
Достаточно проверять, что при сделанных условиях корни последнего
уравнения положительны так же, как значения
I — a a — k
u~r^k' Ui~~T^k
для чего надо заметить, что Р (а) = — (а2 — сф)2 ф 0, так что величина а
заключена между Ink.
3 13
В численном примере k = 1, I — 4, и = —, и, — — , А =
—4; наиболее вероятное значение п равно 1.
76. Как и раньше, нужно, чтобы о = а, — а2ф0 и 8, — а3 — ааг > 0,
т. е. Ь"^а2фа и с Ь(а 4- 3) — а (а 4'2)" так как в таком случае корни
p(z)=0 действительны, /г |-Z^0 и значения а>0, иг>0. Но, кроме
_______________________________________________I
того, надо, чтобы aj = Ak -)- Bl = uke 4" ui^e > A-
1 19
В численном примере 1—2, k — — 1, и — ,
<4 = (19е~-3—1)>0 представляет отисснтельиый минимум, причем,
е Г19е~ 32та+(___ В’1!
вообще, % — 9Q |---------> 0, абсолютный максимум соот-
ветствует п е 2.
77 Полагая х1 «= z, можно ограничиться случаем f=l, Предполагая
затем все вероятности рациональными, приводим рассматриваемое нера-
венство к
после этого достаточно проверить, что, если -f-х3 = s дано, то х/ 4- х.,'
достигает минимума при х4 == х2 (р > 1). Поэтому минимум отношения
Р -—рр- осуществляется, когда все xj равны.
1.2L х«]
Случай, когда вероятности иррациональны, разрешается переходом
к пределу.
78. Если величина получает ие более i значений, то Д24 = 0, так как он
представляется н виде суммы определителей, в которых по крайней мере
2 колонны имеют пропорциональные члены. В общем же случае, каждой
совокупности Z-f-1 значения х соответствует определитель, являющийся
квадратом определителя Вандермонда, умноженным на произведение ве -
роятностей всех этих значений.
79. Из уравнений д, -ф- pt 4- р2 == 1, ppt\ -j- р2х2 = а, р1х12 4~ р2х22 = а2,
Pixis + Рг-^3 = «з. ДЛ4 + Рг^ = а4’ заключаем, что коэффициенты уравне-
ния х2 -[- Арс -|- Л2 = 0, корнями которого служат х1( х2, удовлетворяют
равенствам /12Ро = А3 Ар^ + а2, 0 = А.^ -р- Ata2 -f- й3, 0 = Api2 4-
4- Да3 -1- о4; откуда р0 = (по предыдущей задаче Да > 0, Д4> 0). Эти
условия достаточны для вещественности хг — х2 и неотрицательности
Pv Р21 так как Pi₽2Xi2x22(x1 — ха)2 = Д2. Для положительности х4 и х2, до-
полнительно необходимо и достаточно, чтобы at>-0 н ata2— а22 =
= Р1Д2х1х2(ха —xt)3>-0 (т. е. все миноры и элементы Д4 не отрицательны).
Пример: х1 = 2, х2 = — Pi ==-§-' =
80. Из условия, что
%=1
следует, что М = 2« (я -}- 1);
и
М
2(а + 1)
СО
поэтому а = A; ^/zsaA -> 00. Полагая А = 3, имеем
о
о
24
(3 + ft)(4 + ft)(5 + /z)
12
Г 1 1185
[З-4-6 13-14] 9Г
81. Л4 = Зсг(й-|-1)(« + 2); Д = 4; а3 = ЗД(А-{-1);
*
ОТДЕЛ XVII
345
поэтому
А = 3, а2 = 36, в = 6,
1008
“л '"(6 + ft) (7 + ft) (8 + ft) (9 -рГ) *
82. Обозначив через X и У соответственные М. О. числа белых ша-
ров в каждом ящике после I перекладываний, имеем, очевидно, У. “=
Л.
— М-'у-Му. С другой стороны, после г перекладываний p{^_1=xs—
У.
~ пРеДставляет собой соответственные вероятности появления
белого шара Ж каждого ящика при (7-|~1)-ом вынимании. Поэтому
откуда
^-1]
N J ’
xk+l-xk=M±^~^_ + l k Nt N
решением которого, при начальном условии Хо — М, будет
М + М. 1 IV
* + туч-аг,. V n nJ-
[Т„ v М „ Д4 -j-
It'S ** “ W+ Л'; N' Ьт “ N+ Nt N1'
83. Х=2И.(1—+
84. Be определяется из уравнения в конечных разностях
решением которого при В = 0 является
Ве = М - -^у 4- (Л]2 - М) (1
(Р* + '?,•)
1 — х
346 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
Г'
86. Обозначая через Рт, п = Р_^ п вероятность выиграть у рублей
при п партиях, имеем
2п
F w=2 »х"=(I)" [х2 + х +1 +I+iГ=
— 2»
^кбхз’у к 1 — х ) г
откуда
D ____ 1г — 1 _ — I I 1
п L — т — 1 Z »3п — т — 6 “г" • ’' J ’
вероятность Rm п проиграть не менее -у— рублей равна
2»
Рщ', п ~ 2 ^к, п = уГ Зп — т nF Зп — т — Б ~Ь •' ’
к=т
г, _ 9 ГА12 , 12 ] _. 27209'212 = 0,00111448064,
«15,12 - -^12 L ь 21 1ZGiel~ 10И
2п
В = 4 2 ^Рт, » = i I Fm - Fd)] = и = °-е6 Р*блей-
— 2»
87. Вероятности Рт п выиграть т рублей при п партиях являются
коэффициентами производящей функции
«^)=("^)”=(т)"['+34гГ.
откуда
р -У 3\~и скск
где
ЗЛ 4^ = tn h п, 7i 7i *
I = 7)1
+ -S~ + 'тг1] - тЩг' * О-ОМ367; с = 2" = 21 руб-
OZ VT J О Z
'’°=тИС“-7С»1 “°'057772-
7 Q -
м. о. S = F' (1) = • 4 • Ю7 = 31,5.
10
м. о. S* F" (1) 4- F' (1) = 168 + 850,5 + 31,5 = 1050.
рд = ц,/(«+0-.-(«+*-1>: и-®.л’=Л| \q-b-
Если b не целое число, то S = [Ь -}- 1]; если же Ь целое число, то наиболее
вероятными будут значения Ь и t-j- 1. Прн Л-> со, Ра~> ——— .
90. Из уравнений
^«4-1, ~ А?п, 7»+а+ ВРп>н
для Л>0 и
^И~Н,0 ^+1,1 ^я,0
следует, что производящая функция
F(X,y) = У Р Х,1У* =/(>) Г 1 4----------=
п’п L /1-4ДЯл?
где
/(x)=^PnjOx» =
Л _ в 4- V1 - 4ДВх*
—2/1(1 — х*)
Рп h = 0, если п — h нечетное число; м. о. | хп | = Мп, где производя-
щей функцией для Мп служит
х[Д-В+V1-4ДДл-2]_________
ду А’ “ А(1 - х2) [1 - 2Вх + V 1 — 4/1Ь‘л2]2’
Если А = В,
F (х,у) = Г1 + 2---------------1,
V1 - № L 1 — ху+ /1 — *2]
dF ...___ 1 Г 1 11 — 1 +х 1
ду (А’ ”” 1 — X L V1 —%2 J 3/2 ~ 1 — Л ’
поэтому
А - В / В Y1-
Ла A J
при п четном, и Мп — Mn_Y при п иечетиом.
Возвращаясь к общему случаю, получаем limP„ ?г
И=оо '
(при условии, что п — h нечетное), так как при малых значениях у бли-
жайшими особенными точками F (л‘,_у) будут полюсы х = ± 1, н поэтому
коэфицненты при хп аснмптотичны соответствующим коэфициентам
функции ( А > ,
3 39
91. Р> -у в первом случае; ео втором случае.
92. «>250 000.
1 •
93. С требуемой вероятностью можно утверждать, что 4500 <
< от <5500.
94. Р>0,99.
1 2
9э. Л! == м. о. т = 1-—; м. о. (от — Af)2<~5~.
2W о
4 5
роятность больше, чем 1--д- = -д- (при всяком п).
96. Неравенство (Д) равноценно неравенству
Поэтому искомая ве-
> Ф I
вероятность которого по лемме Чебышева-Маркова меньше, чем е *.
97. Для доказательства 1-го неравенства надо лишь заметить, что
п п
log 1= 2 l°g (Рг е* + <угХ 2 zPi 4" е для ВТ°Р°ГО неравенства сле-
1 1
дует заметить, что средняя геометрическая двух чисел не больше средней
арифметической.
98. 2^~ т ~ п ~ т ~ 2 Чс
93. 92) «>60 000, 94) Р>1 — 2е“25’088 > 1 —
100. Применяя способ-рассуждения задач 97 и 98, достаточно заметить
что log -i- (е -}- 1) < ~ (1 -}- . Для решения задачи надо опре-
/1 „ _ fj о , log 200 272
^0 -,где2е = 0,01, так что от-
куда д<^.
101. Вероятность неравенства от — 3
е“р; поэтому Р< .
102. Фиксировать вспомогательное число N так, чтобы
При достаточно большом п выполняется очевидно неравенство
N
Sft₽<4-tn-
fc-i
Числа е и положительные наперед заданные числа. Легко видеть, что
(И \ / п X п
1 IS а'*|>4“ел S
Д=1 ' 'fc = 7V+l ' fc=A'+l
откуда следует закон больших чисел.
103. Доказательство можно провести тем же приемом, что и в предыду-
щей задаче.
104. п >625. 105. 1600 < Я <3733.
106. Pi = 0,0184, Р, = 0,1824, Р3 = 0,9790.
107. Р = 0,9946. 108.0,00967.
109. п. = 10 110. п > 1 278 750.
1
х }^2ел
111. п = 441.
112. у = ±
113. Совместим, так как
8506
34153
т|<3 Vтгашнтолькоб°-
лее значительное отклонение является мало вероятным при постоянной веро-
ятности р = -4-.
г 4
114. М, = 31,5645; М2 = 31,476; Л43 = 30,995; я? = 17,1888; с22 = 16,071;
с32= 16,592975. При случайном распределении в каждом миллионе вероят-
ности встретить простое число равны соответственно: = 0,063129;
р2= 0,062952; р3 = 0,06199. Таким образом, например, для 10-го миллиона
дисперсия, соответствующая схеме Бернулли, была бы пр3 q3 — 500р3 qs =
— 29,1073 вместо наблюдаемой с32 == 16,592975. (Схема с невозвращаемыми
шарами дает 29,015.)
115. — М3 — 0,5695 превышает свой стандарт |/ несколько
больше, чем 4,4 раза; напротив, М2 — Мх = 0,0885 немного менее своего
стандарта.
116. о2 = 500Р—тр2, где т — число опытов, в которых вероятность
(500 Р)2
простого числа отлична от нуля, откуда т = ~ , так как р =
Ovv jr —’
500 Р D «5
= ———. . В данном численном примере, т = 75, р — .
В натуральной последовательности 6 чисел не более 2 простых; среди
30 чисел не более 8; среди 210 не более 48; поэтому из 500 последова-
тельных чисел:
420 соответствует не более....2•48 = 96
60 „ „...............2-8=16
18 „ . ......3- 2= 6
2 . „ z ............. 1=1,
т. е. всего не более 119. Поэтому, во всяком
(500 Рр
слУчг,е 500Р^'<120- т-е.
cs<500f(l
117. Расхождение такое, которое
выборке: ибо величина разности
может иметь место и при случайной
4032
21812
11721
35311
At 0,147
больше нежели утроенная величина дисперсии этой разности.
118. Средняя величина растягивающего усилия, выдерживаемого про-
волокой первой партии заключается в пределах
6720
V20
6620
6920.
Первая партия проволоки стандартного качества. Средняя величина
растягивающего усилия, выдерживаемого проволокой второй партии, больше
нежели 6920 кг на кв. см. Качество проволоки второй партии выше стан-
дартного. Результаты испытаний нельзя объяснить случайностью выборки.
119. Рассматривая результаты испытаний как случайную выборку, не
трудно убедиться, что средняя величина растягивающего усилия, получае-
мая на основании результатов испытаний, превышает 6920 кг на кв. см.
Качество поступающей проволоки уклоняется от стандартных условий.
120. Средняя величина растягивающего усилия для первой партии
отличается от средней величины для второй на 219 кг на кв. см. Разность
221
превосходит 3 •At; 210 кг на кв. см, где 221 есть величина стандарт-
ного уклонения, определенная иа основании результатов всех испытаний.
Результат испытаний нужно объяснять не случайностью выборки,
а различным качеством проволоки обеих партий.
121. Средний годовой процент брака 1,О9°/о. Рассматривая величину
р — 0,0109 как вероятность попасть при выборке на брак, устанавливаем
для большого объема производства, что стандартное уклонение процента
брака по месячной выборке равно
Г 0,0109(1 —0,0109) = OjW47(
г 483
где 483 — средний объем месячной выборки.
Сопоставляя данные таблицы
Процент брака Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
0,76 0,82 1,17 0,59 3,01 0,60
* Процент брака .Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
0,76 0,51 0,48 2,80 [1,12 0,59
с величиной:
( 2,50%
1,09%-3.0,47%= ’ '°
I V,OZ jQ
нетрудно указать те месяцы, для которых колебание процента брака
нельзя объяснить случайностью выборки. Такими месяцами будут май и
апрель. Анализ хода производства в этн месяцы важен для устранения
дефектов производства. Величина 0,47% была установлена для простоты
делением 0,0109 (1 — 0,0109) на средний месячный объем выборки. Легко
проверить, усложняя вычисление, что сделанное заключение остается
в силел если .применить для каждого месяца индивидуальную оценку
стандартного уклонения величины процента брака по выборке.
122. Сплав, приготовляемый на 11 заводе, иной марки, чем сплавы че-
тырех остальных. Результат получается путем применения правила За.
123. Вероятность, что разница в длинах яиц в гнездах птиц 1-го и 2-го
вида имеет величину 0,5, представляется с точки зрения случайной вы-
борки мало вероятной.
Вероятность меньше 0,00003.
Вероятность, что разница в длинах яиц в гнездах 2-го н 3-го вида
может быть случайной, тоже незначительна.
124. Отношение величины расхождения 0,18 к его стандарту 0,06 имеет
величину, равную 3. Вероятность с точки зрения случайной выборки, что
расхождение достигнет такой величины, равна приближенно 0,003.
Наблюдения говорят за влияние условий жизни на организм.
125.
где
я — (Яр-Го)
а
—(/?0—ru)
а
126. Вероятность, что расхождение будет не меньше получившегося^
равна приближенно 0,462.
127. Принимая среднюю ошибку стандартного уклонения з”, вычислен-
3
ного на основании серии п наблюдений, равной ____, найдем, что веро-
ятность получившегося или большего расхождения стандартов при случай-
ной выборке для длины имеет величину 0,2340 и для ширины черепа 0,1368.
Указание. Стоимость производства опыта равна А = ап а'п -f- п'
Точность определения средней по этой серии опытов характеризуется
величиной средней квадратичной ошибки
Исходя из того, что при данном п' величина п определяется равенством
п
°8 4
С'2 *
п'
легко получить указанный результат, изучив изменение А при измене-
нии п'.
129. м. о. х£ — Л8Х; м. о. |-^ Iй = поэтому при 1. >-----------
При
где А — конечная постоянная.
ОТДЕЛ XVII
353
130. Вероятность числа „нуль" появлений А равна 2-, вероятность
3
двух появлений в группе равна —. Поэтому число т — где т1
з
есть число появлений некоторого факта At, имеющего вероятность р = —
при и, = -2- независимых опытах. По теореме Лапласа, вероятность нера-
венства Уз^ < т1--------п}
УЗг^, которое тождественно с иера-
t —— л
вепством -у- Уп < т------—
itVn, имеем пределом—-
е 2 dt.
п
V ьах
131. м.о.х^= Лх,
м.
О. I X* [В = kz\
132. 2-.
135. 2L1
3
_ (НЬ'"
2Х + 1
1зз. 2_.
4
134 2_ _2
2 ' 4
136. Интегральная кривая характеризуется уравнением
г> — .г2 „ , .
а2
а.
Дифференциальная кривая
распределения _у =
2 (Д -
а2
и
/
1
3
137. Л_.
138.
139. р1 = 2-
о
140. 1) lp|<2; f(p) = 2^£.
HI. Р-^^~
45
р= 2___2.
2 20
7
142. — .
16
о
> (9) =-1-fog-L
х У
27
’/" 2 ... 27
/ -77-, если
’ М 4
7
12 ’
4 *
Гюнтер и Кузьмин, ч. III
23
354
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
ох х 2 Т
143. = м. о. f-4-, м. о.
144. -г—-.
k -р 1
145. Дифференциальная функция распределения вероятностен
л У (Р — Х2
0<х<<4
<р (х) = О, х < О; (х) = 0, х > d.
Интегральная кривая распределения вероятностей
Ф (х) == — arcsin -4~, 0 5 х rf.
тс а
Ф(х) = 0, х<0; Ф(х) = 1, x>d.
146. a^iy^-e2).
147. м. о. [(*! —х2)2 + (У1—,у2)2] = 2 м. о. (x1a+j12) —2 (м. о. х^*—
— 2 (м. о. Л)3- _____
„ _ , „, , 2с У zP — b2 — (z.2 — 62)
148. Р (zj = 0. при Zt < b-, Р (zj =-—----------1------,
при ft < z, < У с2 + b2-, P(z^~l, при zt > У а2 -|- ft2 полагая, что точки
находятся на стороне а.
& , «у У a2 + b2 , 1 ,Л—— 2ft2
м. о. z = —- log -□-------}- — у «а у Ь2 - - - ^===;
fl2
М. о. z2 = ft2 + -у.
149. Р (zx) = 0, при Zj < 0; Р (zx) — , при 0 < Zj< с;
zx2 — а2
2Ь
, л
zt arc sin—
______£1.
2ab
при a < zx < ft;
„, . У^12 — a2 . УZi2 — ft2 Zj2 Г a b 1
p (zi) = 2fc- + — 2F~ гМагс n ~a 1 ~x J ’
при ft < Z\ < У a2 + ft2.
p (zj) = 1, при zr > Ус2 + ft2.
Д2 b -и У C2yft2 . ft2 . а У У a2+b2 . 1 -./-sj-tt
°-2=6b 10g -±-L^-±-- + 6^ 102 — ~b^~ + -F ^8+И
м. o. z2 — — (a2 + ft2).
150. M.
O tj
tsi. 1)^, У.
л //— а — b\k b
I — а ) = V ~ / а) ’ + а <0; + а > /•
Сд-и / F /у\ /р) —. у \ Ш 1
154. PnSxm) ~ h-'A\~iT-) I---» где постоянная
v — a\ ь—а / \ b — a)
г----------nJ____— mC m
m~(W_l)|(n — m)! - •
155. m. o. xm =
ma-]-(n+l — m)b .
n + 1 ’ 1 ™'
(b — a)2m (n — m 1)
” (n-f- 1)2 (n + 2)
155. log Pjx)=X-(n-m) |j-+^+ • • •] - (m-D [-J- +
+ 2^2+ • • • > где X—постоянная, ие зависящая от х; поэтому, принимая
во внимание, что х порядка (—и замечая, что — ------— — —------- =а
tfnl а b
«4 -6 . , . .. Гп — т , т — 1 ] л* ,
= 1Г' закл,очаем’ что 10Е РтЮ = Х - [—J "г" + •’ ГДе
1
е->0, как Поэтому рт(х)^ае 2аЬ.
у п
157. При заданном хт плотность вероятностей для xk равна
(х _______________а\п~к/ к ____г \к ~ т~ г
_ ) | —------- J ; поэтому поверхности
хт а / \ хт а / t ,, 7
корреляции
Р^т.к (хт,хк) Ап,Ь (хк а) (•*«» хк} W Г — хп^
где постоянная
,________________________________________
m,li (Ь — а)п (т — 1)! (А — т — 1)1 (n — k)V
n ,, (ri k -|-1) х-п 4- ka
Линия регрессии хк по хт имеет уравнением У =-----'-----т ,
п — т 4* 1
m*fc4-(*4-i — m)b
другая линия регрессии 1 =---------fe J-1------' Коэфициент корре-
,и р »г (п-6 4- 1)
тк~У (А4-1;(п —т4-1)’
Ъ — г
158. p[z}==Am kzk-m-1 у (Ж
а
I (b — g — л) dx =
Ch
b — a
z \П-А
- Ра<*+^.
< . , , ,, (Г& — а — (п —1) 81" ГА-а-поТ1!
161. «1(8) = (п+1) --Н—"J T=7 -J J’
(« + I 9 R-а{п— 1)81" Гб —а —(л —2)61"
«а (6) =-1 2 [------iZT-a--J -[-----b^7t----J
Первая из формул
все расстояния, кроме,
получается, если заметить, что вероятность, что
может быть, одного определенного расстояния,
больше 6, равна 1-------,— ------— I ; поэтому вероятность, что только
L о — a J
расстояние между двумя определенными смежными точками меньше 8,
I Ь — а~ (п — 1)61" (Ъ — а — л 6\"
оавиа ------.— ------— — ( —--------т— I • Точно так же вероятность, что
r L b — a J \ (б — а) /
все расстояния, кроме, может быть, двух данных расстояний, больше 6,
равна |~^ ~ ~• Поэтому вероятность, что они оба и только
. ( „ Г(6 — а) —(п —1) 81" Гб — а(п —1)81"
они меньше 8, равна 1 2 ---------г— -------- — ------т - •--- —
b - а - л 81"!
b — a J J
Остается умножить последнее значение на
С2 ,
и4-1
_(п4-1)л
2 ’
162, При любом данном Д/, вероятность t (А), что а = А, в момент t,
равна
где п Ь t — t,
, h п —к
D !Ъ\ НтП(Л'_1)---(П"А+1)ГпЛй/'1 Р(\П~к
P0<t (k) = 1Ш1----------------(pt) ~)
-=e~vt
k\ *
163. Решение приводится к предыдущей задаче.
164. Рт = —~4-г. 165. п > 9980.
166. 989 000.
167. Длины частей относятся друг к другу как т к п.
М
168.
их <х~аУ _3>{.
2 dx = e (cos at — i sin at),
169. 0 (0 = —
О \ 2л
—со
2
170. 0(0= J (1 - у) е iix dx =
о
171. 0 (0 = peiat + qe ibt, где q = 1 — р.
00 .„ — aWA-iat
172. 0(0 = *2 Г dx = _±e -----.
J k2 — It
a
a
«-то n /X» I C ifr . sin at
173. I exdx = —
2a J at
—a
174. 4 (td) + ~ i ( 0 (td) + Ц- 4 (td) + 4- 4 («) + ••!. где 4(M}
Tv О О I
обозначает *-ую функцию Бесселя.
Моменты:
,f 4 f 1.3...(2p+1) 1-3...(2*4-1). 2fe ,
,2fc-1 к ( 2-4...(2p + 2) 2-4. ..(2*-{-4) '
1-3...(2*4-1).2*.(2*-2) 1 а + 1 1-3...(2*4-1) 4/
2-4... (2*4-6) •ja “ 2-4.„(2*4-2; X
V — f 1 — 2fe I ~ *) _ 1 rfM+i
*4-2-1'(*4-2)(*4-3j •
175. % (2) = F (г, L); <f2 (z) — F (z, z); у (г) = (г) — <р2 (г).
rt *^о Уо
F (х, _у) f / * ,
176. р(х, у)——=С-——; F(x0, >0)= I | ср (х)р(х, у)dxdy.
о X
ff!
f x(L — x}^dx
177. -----
f x(L— x'pdx
о
6х2£2_8хЗ£4-Зх‘ . ,
------------!; р(х, у)
L4
(й + Р(,У-*)Ь.
(L-x)ft+1 ’
a?' y’
n C fl2(h+l)x(L-xWy-x)\^
Flx 'y}~ J J----~
0' ®
r f\2(y’ — х? + 1х.
= I —------;—zs-dx.
- J (L-x^-W
о
При Л = 1
4 /“12, j 6xy2 — вх^у + ях4
F (x, y) = J -jjfy — xpx dx =-i-£4-—---,
0
поэтому
/ ч z к ч -^S f\ X2 \ o X / , X
= x) = -f[6 V~75/“8~r
-¥('--rX3-r)
При h = 0
, 12 Г. x„ . , 6Lj/xs-4(£+l)x3+3x4
F (x, j) = 2Г / (v — x) (£ — x) xdx = —-'•-s
о
достигает максимума (который менее чем 2) при Л<1 и с возрастанием
h убывает до 1 при h = со.
Ч У
179. /'(zj)-4j"'.
0 X
cos уу sin -f-
--------------— dx dy =»’
L
Q
л у
— cos-j- . я z
—-----dx = sm --cos^logtg
2L
Vs (г) = sin cos2 log tg-£- (1 + -j-J,
<?(z) = cos2 — log tg (1 4- -~y
<c.„ ... V2z(L — a — z)z .. „
180. %'(*) =------(L _ , если г<£ —д; <h (*) = 0,
z>L — a\p (x, y) = 0, при у - x <д; p (x, у) = ??2 (£ ~при
^1.» it- Д7j
если
F(x,y)
<?(*)= 1
, прн — а.
Поэтому
181. Уп = еп
z — a
L — a
, где z.
kx,
Уп=Уо
kxt
где =
n—i—i
. Следовательно
4-3 у---
L — a
n
I +Уп,
8 -7^—
L—a
y — x^a;
4-3^-
L — a
прн
F{x, y) = F(y — a, у)
при z^ZL — a.
— 8
,м. о. Уп = 0, м. о. K!2 = 4-S(1+|) =
о
л-
применяя теорему Ляпунова и замечая, что lim (уп— Уп) = _уоеР, находим,
что вероятность неравенства
и.». [1- (1 -1 )"] +
/ 1 Xs*
«. о. ' ~3..L л®«г.
Теорема Ляпунова применима, так как
S’
е 2пА'Ъа
и предельная Плотность вероятности равна ^== .
Поэтому предельная плотность вероятностей гп равна
| zn j
- —г е . Но lim уп=у0 lim е , откуда
у 2 те
, 1 Л У I 8\2 _____ • 1 Л У\Ъ
p(v)~_l г--2(,ог^ + т)
у /2л F 2луБ е
если — > 0, н р(у) = 0, если — << 0.
Jo Jo
( aq \т I ар\п — т
1 + у=j — ~г=) с вероятностью
гт ,-,т „п — т
Р Ч
Применяя теорему Лапласа и полагая m — np-\-t Упрд, находим, что
lim уп = е 2 , где А = а У рд (Ур Ут)» причем t пол-
fl» со
чиняется нормальному закону Гаусса -Д
V
2
; поэтому
е
PCV)= Ay У 2 к
2А‘
3 + 4 Урд 6
2 + 4 Урд
— (log У?
2 Да
где
187. /?; =
pqa?
С=е 2 (х + 2
А У 2^
ci
е
С
2
<
I' 1
Полагая — — = 1 + е* замечаем, что
°» *
R । 1 = J_____________________1 + . ==
f 2 2 Я’ + О + М2] D + 0 + Ei- 1Я
(2 + >е, + е*)(2 е{ _ j + 2^Л/)+(2 е4+ е?)(2+2е^_ j+ j.t) —2sf_ t
2 {2 + / [1+(1+ .,)«] [1+(1+^_!)2]} / [1 + (1 + ^)2] [1 + (1 + S- 1)а]
является членом сходящегося ряда, если произведение (1 + ег-) =о
1
»=—— сходится при возрастании п.
kN N
188. м. о. 2fc'= Pt(x)dx — kJ Pt{x)-P2(x).. .Pk(x)dx, где W
io о
величина не меньшая, чем максимальное возможное xi (так что Р/х) = 1
N
при х>ДГ). Если Р£х) — Р(х), то м. о. Sk = k Др(х)- PkW) dx.
о
1RQ v А V А Г <- 1-3-5...(2fe — l)~|
189. м. о. 2^— 2 Р 2-4... (2й —2) J'
k
191. Средний возраст 24,77. Стандартное уклонение 5,95. Средняя
ошибка в определении средней 0,04.
192. Средний возраст 28,96. Стандартное уклонение 7,39. Средняя
ошибка определения возраста 0,052.
193. Средняя арифметическая 4.780J- 10—10. Медиана 4,785-10—10•
Мода 4,779 • Ю-10. Среднее между наибольшим и наименьшим —
4,775 - 10 ”10.
194. Средняя скорость движения молекулы кислорода 429,9 м/сек.
Среднее квадратическое уклонение 179,7 м/сек. Наивероятиейшая скорость
движения 376,6 м/сек.
195. Примерное распределение скоростей характеризуется таблицей
Скорость в м/сек . 0—100 100-200 200 -300 300—400
Число молекул . . . 14 82 166 214
Скорость в м/сек . 400-500 600—600 600-700 700
Число молекул . . . 203 162 92 77
1
196.
•ш
197. Среднее значение 4,025 выводится из первой таблицы.
Для определения величины стандартного уклонения о исходим из того
положения, что распределение отдельных значений изучаемой величины
некоррелироваио с распределением ошибок измерения.
В таком случае
2 2
Й =о3 + °2 >
где — стандартное уклонение наблюденного распределения, а а2—средняя
квадратичная ошибка отдельного наблюдения
а = 0,680.
198. Как глубина пропитывания древесины креозотом, так толщины
древесины и теснота связи между ними характерны для отдельных видов
деревьев. Колебания средних величин в таблице и коэфициента коррел-
ляции нельзя отнести за счет случайности выборки.
При определении случайности значения коэфициента корреляции
вычислить стандартное уклонение коэфициента корреляции по формуле
1 — г3
г Уп — 1
где и —объем совокупности, служившей для определения коэфициента.
19Э. Среднее 32,96. Стандартное уклонение 7,40. Медиана 24.
200. т = 28,00 ± 0,051, а = 5,91.
201. т = 15,80 ±0,48.
202. т = 9,38, с = 8,88.
203. 7,65 ±0,40.
204. 22,22 ± 0,67.
205. Медиана 6,7.’
206. Таблица накопленных частостей содержания Ag.
Содержание Ag 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
Накопленные ча- стости .... 0,41 0,67 0,79 0,87 0,92 0,97 0,98 0,99 0,99 100
Первая квартиль 2,5%. Медиана 6%. Третья квартиль 10,7%.
207. Таблица накопленных частостей содержания Zn.
Содержание Zn 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Накопленные ча- стости .... 0,08 0,19 0,29 0,44 0,57 0,71 0,85 0,99 0,99 100
Первые четыре децили 6%, 10%, 15%, 22,5%.
208. Среднее значение 5,166. Стандартное уклонение 0,995. Мера ско-
шенности 0,318. Мера крутости 3,202.
209. т = 2,914, с = 0,803, k = 241, ₽ = 2,687.
210. у = 70,76 е-0’2557 I®-6-68)2.
211. > = 66,23 е~°'221 222(а,~Б’98)2.
212. Пусть х обозначает число решенных задач, у — выравненную
частоту:
у = 20,68 е °'36e I®-*24)2.
213. у = 28,79 е -2’60 (•г-4-14)2.
214. Вычисляя числа 7V'3(x) групп, содержащих х простых чисел,
которые соответствовали бы кривой Гаусса с центром 30,995 и стандар-
том 4,073, находим, что коэффициент точности Н3 — 0,68.
215. Н2= 1,9.
216. М — 6,06, с = 2,082, k = 0,0009 кривая И типа. Уравнение кривой
Значение у, определенное по этой формуле, дает таблицу
. , х 6,02 , , ч 13,28
> = 63,29^1+——10Д4^ •
218. k — — 0,235. Кривая для выравнивания I типа.
219. k — 0,000. Кривая нормальная.
> = 54,545 е-0’1038!®-®’987)3.
220. k = 0,011. Кривая II типа Пирсона. Уравнение выравненной
221. /г = 5,15>0. Кривая III типа.
, , г ч 0,7023
у = 6505,62 е~!’097а; (1 4- )
J \ 1,552/
222. k = — 0,427. Кривая 1 типа Пирсона
, х, ч 2,147 , х, Х9,7бэ
у = 3434,71 (1 + g^gg j — Щ549) .
223. А = —0,81. Кривая I типа.
/ х Ч1.И7, х >6,113
„ У==: 4115,4 (1 + 2Дй) (1- бДй) '
224. Таблица выравненных частот
Содержание РЬ 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25—30 30—35 35-40 40—45
Частоты . . 141 68 37 20 13 8 4 3 2
Уравнение выравненной кривой частот
/ Jt \— 0*50 z у» \ 1*81
^77,2б(Г-^) (1-да) •
225. Распределение:
<у(х) = 0,401 (1 - 0,159л: + 0,054х’В) в 1>980
при х' — х —5,166.
Таблица теоретических частот:
Категория..... 1 2 3 4 5 6 1 8 9
Число аппаратов . 0,(-D 2 289 1716 2984 1952 625 110 10
Коэффициент точности: /7 да 26.
При вычислении коэфициента точности первое слагаемое делить на
наблюденную частоту.
226.
1 прибл. 1 5 12 27 53 92 138 179 202 199 170 127 82 46 23 10 1
2 прибл. 0 0 9 25 55 99 149 189 207 193 159 116 77 46 25 13 1
Наб. част. 0 0 2 29 62 106 153 186 193 188 151 123 82 48 27 14 2
227. г= 0,645, а вс 0,0005, т) = 0,653, а = 0,005, у.. яг 0,647, « =я
s== 0,005.
Связь линейная. Уравнения линий регрессии
х — 28,0 =«=0,52 (у -33,0)
у — 33,0 = 0,81 (х — 28,0).
228. г = 0,96, аг = 0,005.
Связь линейная
х — 9,38 = 1,252 (у — 7,65)
у — 7,65 = 0,736 (х — 9,38).
Содержание РЬ обозначено через х, содержание Ag обозначено через у-
229. г =0,694; с, = 0,000; и_ = 0,720; с., =0,028; ^ = 0,861;
о = 0,015.
чу
Линия регрессии у по х прямая.
t х — 15,80 = 0,215 (j — 41,72).
Линия регрессии х по у кривая.
230. г= 0,594; <^ = 0,005; = 0,612; <^ = 0,005; ^«0,638;
•„ =0,005.
Связь криволинейная.
. 231. г = 0,554; сг = 0,004; = 0,561; = 0,004; ~ 0,570,
», =0,004.
Уравнение линий регрессии
х — 24,8 = 0,71 СУ — 29,0)
у — 29,0 = 0,44(х — 24,8).
232. т„ — 6,68; = 1,41; ту = 5,98; = 1,51.
Г =0,723, аг = 0,032.
т; =0,732, а =0,029; т= 0,736, =0,029.
Уравнения линий регрессии:
х - 6,68 = 0,677 (у - 5,98)
у — 5,98 = 0,771 (х — 6,68).
233. тх = 5,490, <зх = 1,486, ту = 4,240, = 1,929, г = 0,701, яг = 0,051,
= 0,758, а, = 0,043, г. = 0,715, с = 0,049.
’ Ч® ‘У ’
х — 5,49 = 0,540 Су — 4,24)
у — 4,24 = 0,907 (х — 5,49).
Связь принята за прямолинейную по той причине, что
t® С»
----= 1,5 и —==- = 1,1.
а,--в.
234. г =0,561; аг = 0,069; та, = 4,14; ах — 1,39; ту = 5,49; <sy = 1,49.
х — 4,14 = 0,520 (у — 5,49); у — 5,49 = 0,604 (х — 4,14).
235. г= — 0,81, сг = 0,019;^ = 0,88, ^ = 0,013; ^ = 0,84, = 0,018,
Линия регрессии х по у кривая. Регрессия у по х прямолинейная
у — 68,63 = — 1,405 (х — 18,17).
236. г = 0,64. с,. = 0,04, = 0,70, а = 0,03, = 0,73, п = 0,03.
* 9 3 ' *Х ’ " Г'У
Величина среднего содержания серы в руде данного горизонта может
быть представлена в виде линейной функции от глубины, так как раз-
ность т> 2 — г2 = С меньше Зс, .
'JU X
Уравнение линии регрессии х по у.
х — 1,53 = 0,0335 (у — 41,72).
237. Коэфициент корреляции равен 0,513. Он больше нежели у-•
Объяснение наличия подобной величины коэфициента условиями случай-
ной выборки обладает малой вероятностью.
Ответственный редактор Н. В Булатов. Технический редактор Р В. ЭмОина.
Сдана в набор 6,'VIII 1933 г. Подписана к печати 27 JX 1933 г.
Формат 82ХП0- ГТТИ № 292. Т-20-5-2. Тин. зв. в 1 п. л. 4Э.320.
Ленгорлит № 25138. -Тираж 20.000 -23 л. Заказ Л» 1870
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
п © д редакцией
В. ГЛ. ПОНТЕРА и Р. О КУЗЬМИНА *
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД 1933 МОСКВА