В. М. АЛЕКСАНДРОВ,
Б. И. СМЕТАНИН,
Б. В. СОБОЛЬ
ТОНКИЕ
КОНЦЕНТРАТОРЫ
НАПРЯЖЕНИЙ
В УПРУГИХ ТЕЛАХ
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА
«ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»
ВО «НАУКА»
1993

ББК 22.25
А46
УДК 539.3
Александров В. М., Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Тонкие
раторы напряжений в упругих телах.— М.: Физматлит, 1993.— 224 с.
ISBN 5-02-014867-9.
Излагаются результаты исследования широкого круга задач о концентрации
напряжений в окрестности плоских трещин, накладок, либо включений
в упругих телах. Рассматриваются трехмерные, а также осесимметричные
и плоские задачи о равновесии и об установившихся колебаниях тел
с трещинами, вопросы взаимного влияния трещин, влияния предварительной
конечной деформации на распределение напряжений в окрестности концент-
концентраторов в упругом теле. Представлены задачи о расклинивании упругих тел.
Используются и развиваются различные аналитические методы, которые
позволили в одних случаях получить решение в виде простых по структуре
формул, в других—осуществить удобную численную реализацию на ЭВМ.
Для специалистов в области механики разрушения, механики сплошной
среды и математической физики.
Табл. 18. Ил. 38. Библиогр. 95 назв.
Рецензенты:
член-корреспондент Украинской академии наук А. Е. Андрейкив;
академик Украинской академии наук В. В. Панасюк;
доктор физико-математических наук Г. Я. Попов
1603040000—031
А	Без объявл. © В. М. Александров, Б. И. Сметанин, Б. В. Соболь, 1993
053@2)-93
ISBN 5-02-014867-9

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 		5
Глава 1. Задачи о равновесии упругих тел, подкрепленных плоскими
гибкими накладками и включениями 		7
§ 1. Эллиптическая пластинка на границе полупространства либо в про-
пространстве 		7
§ 2. Кольцевая пластинка на границе полупространства либо в простран-
пространстве 		15
§ 3. Стрингер на границе полосы либо на ее оси симметрии 		26
§ 4. Круглая пластинка на границе слоя либо в его срединной плоскости	42
§ 5. Бесконечный клин со стрингером на границе 		45
§ 6. Упругая накладка на границе полуплоскости. Приложение к воп-
вопросам тензометрирования 		52
Глава 2. Плоские и осесимметричные задачи о трещинах в упругих телах	6
§ 7. Асимптотические методы в задаче Гриффитса 		61
§ 8. Продольные трещины в полосе 		71
§ 9. Круглая трещина в слое 		8С
§ 10. Трещина в клине 		85
§ И. Кольцевая трещина в пространстве 		93
§ 12. Цилиндрическая трещина в пространстве 		101
Глава 3. Задачи о расклинивании и об отслоившихся включениях 		10"
§ 13. Бесконечная полоса с продольным клином конечной длины 		107
§ 14. Расклинивание полуплоскости 		109
§ 15. Осесимметричная задача кручения полупространства, содержащего
круглое отслоившееся включение 		114
§ 16. Антиплоская задача об отслоившемся включении в слое 		124
§ 17. Осесимметричная задача кручения пространства, содержащего ци-
цилиндрическое отслоившееся включение 		129
Глава 4. Пространственные задачи о плоских трещинах в упругих телах	133
§ 18. Пространство с системой трещин 		133
§ 19. Полупространство с системой трещин в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной к его границе 		140
§ 20. Трещина в срединной плоскости слоя 		149
Глава 5. Динамические задачи для упругих тел с плоскими концент-
концентраторами напряжений		160
§ 21. Крутильные колебания пространства с круглой трещиной 		160
§ 22. Колебания плоскости с трещиной 		164
§ 23. Антиплоские колебания слоя с полосовой трещиной 		166
3

§ 24. Движение полубесконечного клина в полосе 		170
§ 25. Сверхзвуковое расклинивание полосы 		175
Глава 6. Плоские трещины в преднапряженных упругих телах 		181
§ 26. Нормальный отрыв берегов трещины в преднапряженной плоскости	181
§ 27. Сдвиг берегов трещины 		189
§ 28. Трещина нормального отрыва в преднапряженной полосе 		194
§ 29. Круглая трещина нормального отрыва в преднапряженном слое		199
§ 30. Равновесие преднапряженного пространства, ослабленного эллип-
эллиптической трещиной 		204
Дополнение. Исследование задач Гриффитса и Сака при детальном
учете межатомных сил сцепления 		210
Список литературы 		219

ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге излагаются результаты исследования смешанных задач для
упругих тел с плоскими концентраторами напряжений типа трещин,
накладок и включений, расклинивающих вставок. В книге приводятся
в основном результаты, полученные авторами либо их учениками.
Исследования других авторов затронуты лишь по мере необходимости.
Во всех случаях авторы старались ограничиться асимптотическими
и другими аналитическими методами решения задач. Это позволило,
с одной стороны, получить результаты в виде достаточно простых
формул, удобных для инженерных расчетов, с другой стороны, лучше
выявить качественные особенности решений тех или иных задач.
В некоторых случаях, когда найденных асимптотических решений
оказалось недостаточно для охвата всех возможных значений парамет-
параметров той или иной задачи, а также с целью установления диапазона их
применимости, получены решения с привлечением ЭВМ. Это обсто-
обстоятельство избавило авторов от необходимости подробного представле-
представления численных результатов, которые носят лишь иллюстративный
характер.
Если специально не оговорено, то плоские задачи рассматривались
в книге в рамках плоской деформации.
В главе 1 излагаются результаты исследования задач о равновесии
упругих тел, содержащих тонкие жесткие на растяжение, но абсолютно
гибкие пластинки (стрингеры). Пластинки скреплены с граничной
поверхностью упругого тела либо расположены в глубине тела.
Рассмотрена также задача об упругой накладке и изучена возможность
приложения ее к вопросам тензометрирования.
В главе 2 уделено некоторое внимание критериям разрушения тел
с трещинами. Затем рассматриваются задачи о продольных трещинах
в упругой полосе, слое либо клиновидной области, а также задачи
о кольцевой либо цилиндрической трещине в упругом пространстве.
В главе 3 приводятся результаты решения задач о расклинивании
упругих тел тонким жестким клином и о равновесии упругих тел,
содержащих тонкое жесткое отслоившееся включение. В задачах
о расклинивании учитывается наличие трещины вне клина, на его
продолжении.
В главе 4 рассматриваются пространственные задачи о периодиче-
периодической системе плоских трещин в упругом пространстве, задачи
о трещинах в упругом полупространстве либо упругом слое. В случае
5

полупространства трещины расположены в плоскости, ортогональной
граничной плоскости. В случае слоя трещины расположены в его
срединной плоскости.
Глава 5 содержит результаты исследования динамических задач об
установившихся колебаниях берегов трещин в упругих телах, а также
задач о дозвуковом и сверхзвуковом расклинивании упругой полосы
движущимся клином.
Последняя глава посвящена задачам о трещинах в нелинейно
упругих телах при наличии начальной конечной деформации. Пред-
Предположение о малости возмущений поля деформаций, вносимых
трещиной, позволило линеаризовать исходные уравнения.
Изложенные в книге результаты могут служить теоретической
базой для расчетов элементов конструкций на прочность и жесткость.
Авторы благодарны А. Е. Андрейкиву, Н. Ф. Морозову, В. В. Па-
насюку и Г. Я. Попову за замечания по рукописи книги. Их
благожелательная критика способствовала значительному улучшению
изложения материала. Авторы также благодарны Л. М. Филипповой,
предоставившей возможность использовать в главе 6 (§ 26, 27, 29)
результаты ее кандидатской диссертации, И. Ф. Александровой
и С. А. Гришину за помощь в оформлении рукописи.

ГЛАВА 1
ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ УПРУГИХ ТЕЛ,
ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛОСКИМИ ГИБКИМИ
НАКЛАДКАМИ И ВКЛЮЧЕНИЯМИ
х
§ 1. Эллиптическая пластинка на границе полупространства
либо в пространстве
1. Рассмотрим задачу о равновесии упругого полупространства,
армированного по границе тонкой жесткой на растяжение, но
абсолютно гибкой пластинкой. Пластинка имеет эллиптическую
в плане форму. Между нижней гранью пластинки и граничной
плоскостью полупространства осуществляется полное сцепление. На
пластинку действует нагрузка, эк-
эквивалентная приложенным к ее
центру сдвигающей силе Г, на-
направленной под углом а к боль-
большей полуоси эллипса, и моменту
М, ось которого ортогональна
грани пластинки (рис. 1.1). На
бесконечности в упругом полу-
полупространстве действуют растяги-
растягивающие напряжения /?, направ-
направленные под углом у к большей
оси пластинки [1].
Пусть в процессе деформации
упругой среды пластинка повер-
повернется в плоскости своей грани на
угол ф и центр ее сместится на величину 5 вдоль прямой, направленной
под углом C к большей полуоси эллипса. Требуется определить
напряжения, возникающие в области контакта пластинки с упругой
средой, а также зависимости между величинами, Г, М, /?, ос, у и ср, 5, р.
Введем в рассмотрение декартову прямоугольную систему коор-
координат х, v, z так, чтобы область, занятая упругой средой, определялась
неравенством z<0, а область контакта П между пластинкой и упругой
средой—неравенством
V2 „2
A.1)
Рис. 1.1
Граничные условия задачи имеют вид (z =
стг = О, (х,у)еп[]п,
(x,y)eCL

Здесь и далее ох, ау, oz, хху, тХ2, xyz—компоненты тензора напряжений,
м, v, w—проекции вектора перемещений на координатные оси,
Q—дополнение к области Q до всей плоскости. На бесконечности
исчезают все компоненты тензора напряжений, за исключением
ax=/?cos2y, ay=/?sin2y, xxy=~psm2y.	A.2)
Представим решение уравнений равновесия в перемещениях Ламе
в виде
U = UO + UU 1> = 1>о + ^Ь И>=И>о + И>1,	A.3)
где и0, v0, w0—перемещения в упругом полупространстве от действия
напряжений A.2) при отсутствии пластинки, иъ vu wi—добавочные
перемещения, обусловленные наличием пластинки. Компоненты тен-
тензора напряжений должны иметь аналогичную структуру.
Перемещения м0, v0, w0 будем искать в форме
ph tu r,= const (/=1, 2, 3).
В силу линейности эти соотношения тождественно удовлетворяют
уравнениям равновесия Ламе. Удовлетворяя условиям A.2) и условиям
на граничной плоскости z=0
G z О == Txz О = lyz О — О,
получим значения невозмущенных перемещений
Рх / 1	1 \ РУ
(cos 2 у v sin L у) н sin 2у,
A.4)
и0=7 (cos 2 у - v sin L у) н- ¦— sin 2у,
Е	40
vpz
w,—-.
Здесь и далее Е—модуль Юнга, G—модуль сдвига, v—коэффициент
Пуассона.
Теперь, очевидно, задача об определении добавочных перемещений
должна быть сформулирована при следующих граничных условиях (z = 0):
crzl=O,	{x,y)eU[JU,
-9j-w0 (х,у)еп,
i?0 (х,у)еп,
где и0, Vq даются соотношениями A.4), напряжения на бесконечности
исчезают.
Сьс^ние сформулированной задачи теории упругости со смешан-
смешанными граничными условиями A.5) к решению системы интегральных
8

уравнений относительно контактных касательных напряжений xxz и
xyz может быть осуществлено с помощью двумерного интегрального
преобразования Фурье [2]. Эта система имеет вид
+ 41 {((^^Z^Tyz(i,,J\)d^d4 = K(a0+alx+a2y), (х, у)еп,
I, (x,y)sQ,
^-2(cos2y-vsin2Y),	A.6)
\Gq>	_2G8sinC
2Gcp	P ( 2
2. Введем следующие обозначения:
'¦"	Hit—— I I '		.
1/2
Непосредственные вычисления позволяют убедиться, что между вве-
введенными величинами справедливы равенства
A.7)
Вычисление интегралов Wi} осуществляется с использованием соответ-
соответствующих соотношений монографии [3].

Для интегрального уравнения
0.8)
имеет место теорема Л. А. Галина [4], а именно: если правая часть
интегрального уравнения A.8) имеет вид
f(x.y)=t tbijx'y',	A.9)
i=0j=o
то его решение представимо в форме
р(х,у)=Г1(х,у) ? f ау*У.
Опираясь на соотношения A.7), нетрудно показать, что аналогичная
теорема будет иметь место и для следующих интегральных уравнений:
Я!
п
Я!
_
,
Я
Л3
,.у), (х, у)еП.
Исходя из этого, будем искать решение системы A.6) в виде
xyz(x, y) = l~l(x,
Реализация этих выражений позволяет с учетом A.7) получить
следующие соотношения для определения постоянных ch dt (i=0, 1, 2):
Л)о со — ао,	Qoo do = b0;
Это дает возможность записать решение системы двумерных интег-
интегральных уравнений A.6) в виде
10

Здесь введены следующие обозначения:
Qn=(l~k2)Pu, k2=l~2>
К(к), Е(к)—полные эллиптические интегралы первого и второго рода
соответственно.
Учитывая значения постоянных at, bf (i= 1, 2, 3), окончательно
получим
/ ,_|G5cosP (cos2Y-vsin2YNoi-*i(sin2Y-vcos2yNi1
"LF^^ (а)(?е) рх~
—У Ir'ix^y), A.10)
(sin2 у—vcos2y)P1o—^1(cos2y—vsin27)Pn
7Г~\	РУ
Для установления связи между Г, ot и 5, р вычислим проекции
сдвигающей силы
N	4nabGb cos p
11

Отсюда
Тангенс угла наклона силы Т к оси jc определим по формуле
tga=3=^tg|3.	A.12)
Формулы A.11), A.12) позволяют найти
). (,,3)
oo )
\Р00 )	4nabG\Plo Qoo
Угол поворота пластинки ф определяется из соотношения
Непосредственные вычисления позволяют получить:
3M(l-v)(Polgio-g2Pii6ii)
Из A.14) нетрудно заключить, что в случае, когда полупространст-
полупространство является ненагруженным (р = 0) и, кроме того, М=0, пластинка
получает лишь поступательное перемещение 5(ф = 0) в направлении,
составляющем угол Р с направлением большей полуоси эллипса. При
этом выполняется неравенство р^ос (р = а при к = 0 или а = 0; я/2).
Этот вывод можно сделать, рассмотрев выражение
Отметим, что случай действия силы Т вдоль одной из координат-
координатных осей рассмотрен в монографии [2]. Задача о кручении круглым
штампом упругого полупространства рассматривалась в ряде работ
(см., например, [5]). Решение ее вытекает из полученных соотношений
при соответствующих допущениях.
Самостоятельный интерес представляет решение задачи в случае
отсутствия нагружения поверхности пластинки. Выражения для параме-
параметров смещения пластинки и контактных напряжений легко получить,
полагая в соотношениях A.10), A.13), A.14) Т=0 и М=0. В частности,
нетрудно заметить, что в этом случае 5 = 0. Если, кроме этого,
пластинка имеет круглую форму (& = 0), а растягивающие усилия
интенсивности р направлены одновременно по двум координатным
осям (у = 0 и у = я/2), то перемещения точек поверхности упругого
12

полупространства вне области контакта с пластинкой могут быть
найдены достаточно просто. Именно, при г>а имеем
J	A.15)
Из формулы A.15) легко установить, что возмущения, вызванные
присутствием накладки, не превышают 3% уже на расстоянии г = 1,5а
от ее краев.
3. Пусть теперь в плоскости z = 0 упругого пространства имеется
включение—жесткая на растяжение тонкая эллиптическая в плане
пластинка, занимающая область Q. Как и прежде, предполагаем, что
между включением и средой в области контакта осуществляется
полное сцепление. К включению приложены усилия Т, М, а к упругой
среде на бесконечности—нагрузка интенсивности р.
Поскольку задача симметрична относительно плоскости z = 0,
перейдем к рассмотрению задачи о равновесии упругого полупростран-
полупространства z^O при следующих условиях на граничной плоскости z = 0:
w = 0,	(x,y)eU[JU,
w = 8cosp-q>}>, (x,y)eQ,
(x, у)еп.
Проведем далее рассуждения, которые подробно описаны в п. 1.
В результате придем к системе интегральных уравнений, аналогичной
по структуре A.6):
A.16)
^ + b2yy (x, у)еП,
Решение системы A.16) строится на основании рассуждений, описанных
в п. 2.
13

В результате получим соотношения, дающие решение рассматрива-
рассматриваемой задачи:
( ч f2G5cosp (cos2Y-vsin2y)/>oi-^2(sin2y-vcos2y)g11
Ххг(х' y)~l~Q^	(i+v)(i>oeo-9!pneu) px~
(psin2y+4G<p)P10-q2(psm2y-4G<p)Pn],_u^ ,
У\ К* П ( '
У\ К*' П (
v_f~2G5sinP
>1
Лю	2(P10Q01-q22P11Qll)
(sin2y—vcos2y)g10—^2(cos2y —vsi
3M(PlQQ01-q22PllQll)
SnabG[(Q+qQ)a2 + {P + qP)b2]
-РУ
A.18)
psm2y[(Q01-q2Q11)a2-(P10-q2P11)b2]
4G[(Q0l+q2Q11)a2 + (Pl0 + q2Pll)b2] ' { ' }
В случае отсутствия усилий на бесконечности и крутящего момента
(р=0, М=0), как и прежде, имеет место лишь поступательное
смещение пластинки в направлении, составляющем с направлением оси
Ох угол р. При этом, аналогично предыдущему, Р^ос.
Решение задачи для случая круглой пластинки [6] вытекает при
соответствующих предположениях из A.17)—A.19). Если упругое
пространство подвергнуто одновременному действию на бесконечности
двух систем равномерно распределенных взаимно перпендикулярных
усилий интенсивности р, что соответствует осесимметричному растяже-
растяжению упругого пространства, то контактные напряжения определяются
из соотношения
/ \ Гг	Т	0-vJ	8/?r
Заметим, что изложенный метод решения систем A.6), A.16),
очевидно, легко обобщить на решение любой системы двумерных
интегральных уравнений вида
t i i
i=lj=ls=o
П
f	«/*(*• У) (k=l> 2> -'
где qhijs—постоянные, fk(x, y)—полиномиальные функции, (рДх, у)
функции, подлежащие определению.
14

§ 2. Кольцевая пластинка на грашще полупространства
либо в пространстве
1. Рассмотрим задачи о равновесии упругого полупространства
(задача A)) либо пространства (задача B)), армированных тонкой,
жесткой на растяжение, но абсолютно гибкой кольцевой пластинкой.
Упругая среда сцеплена с пластинкой
и растягивается на бесконечности осесим-
метричными равномерно распределенны-
распределенными усилиями интенсивности р, направ-
направленными параллельно плоскости распо-
расположения пластинки. Область контакта
пластинки со средой определяется усло-
условиями: a^r^b, 0<ср<2я, z = 0 (г, ф, z—
цилиндрические координаты) (рис. 1.2).
В задаче A) граничная плоскость вне
области контакта свободна от нагрузки.
В задаче B), в силу симметрии относи-
относительно плоскости расположения пластин-	Рис. 1.2
ки, достаточно рассмотреть полупрост-
полупространство z^O. Граничные условия при z=0 для каждой из рассматривае-
рассматриваемых задач с учетом осевой симметрии могут быть записаны в виде
A)
тГ2 =
, Ь<г<оо),
B) w2 = 0 ((Kr<oo),
тГ2 = 0 ((Кг<я, b<r<oo\
Здесь и далее мг, мф, иг—компоненты вектора перемещений, аг, аф, az,
xrz—компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе
координат. На бесконечности ог — а^=р, az = tr2=0.
Как известно, в случае осевой симметрии решение задачи теории
упругости можно свести к определению функции напряжений F,
удовлетворяющей уравнению
A*F-0 [A-?l+Ii+ii
B.1)
Напряжения и перемещения при этом определяются через эту функцию
по формулам
д
Jf~Jz'
-д ( \F- — \	-д ( AF-1 dJ-\
аг=-
-~ I B.2)
15

Будем искать решение уравнения B.1) в виде
B.3)
где Fo соответствует действующим на бесконечности нагрузкам при
отсутствии пластинки, a Fx соответствует возмущениям, вызванным
наличием пластинки. В силу линейности уравнения B.1) и соотношений
B.2) имеем для каждой из компонент тензора напряжений и вектора
перемещений представления, аналогичные B.3).
Очевидно, что
A)	аг0 = 0, тГ2О = 0
B)	Wz0 = 0, тГ2О = 0 ((Kr<oo,z = 0),
и, кроме того, огг0 = аф0 =/>, cjzO = zrzO = 0 на бесконечности.
Бигармоническую функцию Fo будем искать в виде
Удовлетворяя граничным условиям B.4) и условиям на бесконечности,
для каждой из рассматриваемых задач соответственно найдем:
0)
J,
ГA-2у)г2 2(l-v)z2l
r, z)= -pz	 .
3
B)	F0(r,
Теперь для определения добавочных функций F± (r, z), являющихся
решением бигармонического уравнения B.1), получим следующие
граничные условия:
A) arl=0
хгг1=0	@^г<а, b<r<oo, z
B) wzi = 0	@^r<oo, z = 0),
xrri=0	((Кг<я, b<r<co, z = 0),
b, z = 0).
Напряжения на бесконечности исчезают.
Искомую функцию Fi(r, z) будем строить в виде интеграла
Ханкеля
Здесь и далее Jn(z) — функция Бесселя первого рода.
Удовлетворяя граничным условиям B.5), придем к следующе-
следующему интегральному уравнению относительно неизвестной функции
16

распределения касательных напряжений тгг (г, 0) = т (г) в области кон-
контакта [7]:
ь
\px{p)kol(r,p)dp = Ar (a^r^b),	B.6)
B.7)
О
Постоянная А в правой части уравнения B.6) принимает соответствен-
соответственно следующие значения:
0)	А	B) ^	B8)
2. Построим решение интегрального уравнения B.6), B.7), эффек-
эффективное при больших значениях параметра:
Х = 2[\п(Ь/а)У1.	B.9)
С этой целью вычислим интеграл B.7) при т=0, у=1, воспользовав-
воспользовавшись формулами F.512), (9.112) [8]:
7СРг|_
- {г+р)е(Щ1 B.10)
\r+P/J
В B.6) с учетом B.10) сделаем замену переменных и введем
обозначения по формулам [9]
-, р = аехр——,	B.11)
А.	К
Г	1+^1	3^
= т дехр-у ехр—,
2Х
В новых обозначениях интегральное уравнение B.6) запишется в виде
J	V х )
/(O=ch<sch - Ki sch - j-2ch - Е ( sch - 1.
B-12)
Из B.9) видно, что большие значения параметра X соответствуют
узкому кольцу, а малые — широкому.
Установим некоторые свойства ядра /(*) и общий вид решения
интегрального уравнения B.6). На основании известных свойств
полных эллиптических интегралов К(к) и Е(к) заключаем, что
в окрестности точки г=0 ядро l(t) имеет логарифмическую особен-
особенность и представимо в виде
B.13)
- 17

Функции Ft(t) являются четными, непрерывными со всеми производ-
производными при |/|^2/Х. и
Ff(O = 0(f2) (/-0).
Так как функция/(х)—достаточно гладкая при |х|^1, то решение
интегрального уравнения B.12) имеет вид [3]
где Ф(х), по крайней мере,— непрерывная функция при |х|^1 и любом
значении параметра Хе@, оо). Возвращаясь к исходным переменным
и обозначениям, получим
где функция Г (г) непрерывна при a^r^b и всех
Применяя регуляризацию рассматриваемого интегрального уравне-
уравнения решением его характеристического уравнения [10], сведем решение
исходного интегрального уравнения первого рода к решению интег-
интегрального уравнения второго рода
Ф = Ф0+?(Ф), Ф(*)еС(-1, 1)	B.14)
при дополнительном условии [11]
1	1
-l
/)= Г <H&)d%_ 1 Г 2 Г ЯТКЦ_
-1
В B.14) введены обозначения
Из свойств функции F(t) и соответствующих результатов, приве-
приведенных в [3], следует, что линейный оператор L действует в С(—1, 1).
Можно показать, что оператор L будет сжимающим при \>к„ где
На основании B.12) и B.13) представим регулярную часть F(t) ядра
l(t) в виде абсолютно сходящегося при |/|<я разложения
00	00
F(O = ln|f| X rf,*2'+ X ctt2i9	B.15)
18

с0 = 0,07944, <n =0,2857, с2 = 0,004494, rf, =-0,1875, rf2--0,0009766,
и будем искать решение интегрального уравнения B.14) в виде
Ф(*)= t Х-Чп-Х-Ф^х).	B.16)
т,п = 0
Поскольку разложение B.15) имеет место при Х>2/п, то ряд B.16)
будет равномерно сходиться при всех Х>Х0, где
tw 2/я} = 1,24,
и определять единственное решение уравнения B.14) [11].
Внесем Ф(х) в виде B.16) в интегральное уравнение B.14) и,
учитывая разложение B.15), приравняем выражения при одинаковых
степенях X и In X. В результате получим следующую рекуррентную
систему соотношений относительно Фтп(х):
Ф()
-1	-1
После вычислений по формулам B.17)	и перехода к исходным
обозначениям получим
т(г)=^- — I In-In-	Ф A.ln—=),
\ Po(x)-X~3 (^
1 Ро(х)
19

)-<х5), B.18)
x - dx In 7X9
0,
Pi =- 5,2 -0,008789 In 22A,+pa In 2X+pi2 (/=1-5-4).
Коэффициенты aib ai2, Pa» Pi2 даны в табл. 1.1.
Таблица 1.1
/¦
a,-2
I'1
P.2
1
-0,0195
0,0093
0,1875
0,0982
2
0,0410
0,0215
0,00178
0,00754
3
0
0,1807
-0,0352
0,0519
4
-0,0293
-0,00073
-0,00952
0,00069
5
0,0822
0,0272
6
0
0,0542
7
0
0,0073
8
0,00220
-0,0225
3. Далее построим асимптотическое решение интегрального уравне-
уравнения B.6), B.7), эффективное при малых значениях параметра X. Будем
искать это решение в мультипликативной форме [3, 9]
x(r)= lim
s —о
B.19)
Здесь через функцию хх(г) обозначено решение соответствующей
внутренней задачи с круговой областью раздела граничных условий
(радиус круга равен Ь). Это решение, естественно, несет в себе
информацию об особенностях решения задачи на внешнем контуре
кольца. Через т6(г) обозначено решение соответствующей внешней
задачи с круговой областью раздела граничных условий (радиус круга
равен а). Это решение, в свою очередь, содержит информацию только
о пограничных явлениях на внутренней границе кольца. Через функцию
v8 обозначено так называемое вырожденное решение, представляющее
собой главный член асимптотики т5(г) при r/b^>\.
Функция хх (г) определяется из интегрального уравнения B.6),
в котором следует положить нижний предел интегрирования а равным
нулю. Уравнение в этом случае сводится к хорошо изученному
интегральному уравнению, решение которого содержится в ряде работ
(см., например, [3]). Таким образом, найдем
B.20)
20

Для определения функции т8(г) в интегральном уравнении B.6)
верхний предел Ь устремим к бесконечности, а выражение в правой
части доопределим исчезающей на бесконечности функцией:
UU
I
B.21)
Нетрудно заметить, что при 5 -> О правые части интегральных
уравнений B.6) и B.21) совпадают.
Введем в рассмотрение новую искомую функцию, определяемую
соотношениями "**
00
T(u)=jpxB(p)J1(pu)dp,
B.22)
о
Тогда для функции Т(и) на основании B.21) получим парное
интегральное уравнение
B.23)
00
J иТ(и) Л (ru) du = O (О ^ г < а).
о
Умножим первое соотношение B.23) на г, продифференцируем по г,
полученный результат умножим на г (г2 — ос2)~1/2 и проинтегрируем по
г в пределах (а, оо). Второе соотношение B.23) умножим на
(а2 — г2)'112 и также проинтегрируем по г в пределах @, а). В резуль-
результате получим:
00
J
^ л cos 5а
2А
{
5 ,	/	B.24)
С 0<а<4
где С подлежит определению.
Используя обращение косинус-преобразования Фурье, из B.24)
найдем
00
_/ v 4A f ^ sin aw 1 Г _	, \
Т(и) = — С	+- cos5acoswcxfifot .
п \ и 6J	/
а
Последнее выражение подставим в B.22), что позволит вычислить
Г
/\ 4A(s- Ьа	d С cos bad(x\ (	,
Ч (г) = — С—	-- .	(й^г<оо).	B.25)
тт5\ rJ?^** ^IJ?^	'-,.,.
21

Для определения постоянной С подставим B.25) в интегральное
уравнение B.21). В результате, изменяя порядок интегрирования
и производя необходимые вычисления, будем иметь
sin дб
Внося B.25) и B.20) в выражение B.19) для т(г), получим главный член
асимптотики решения интегрального уравнения B.6) при малых
значениях параметра X в виде
]J - B26)
Для получения эффективного при малых X решения в более
широком диапазоне изменения параметра X воспользуемся методом
последовательных приближений. Нетрудно убедиться в том, что
интегральное уравнение B.6) можно заменить системой двух интег-
интегральных уравнений
1	00
Г	г Г
J	01	2 J
B.27)
J рхз (р)fcoi (г, р)Ф = J рх2 (р)fcoi (r, p)dp (г = а/Ь, е<г< оо)
е	О
при дополнительном условии
) ()]	)	/ B.28)
Введем новые неизвестные функции Т2 (а) и Т3 (а) следующим
образом:
B.29)
(e<r<oo).
Тогда по формулам обращения преобразования Ханкеля имеем
T2 (a)= j рт2 (р) Л (ap) dp - J рт3 (р) /, (ap) dp,
B.30)
(а) = - J рх2 (р) Л (ар) ф 4- J рх3 (р) Л (ар) ф.
О	г
Система уравнений B.27) и соотношения B.30) позволяют пе-
перейти к следующим парным интегральным уравнениям относительно
22

неизвестных функций Г2(а) и Г3(а):
^ @<г<1),
Ша^
= 0 (е<г<оо).
о
Решения B.31), B.32) имеют вид
/	cosa\ 2
h
(a)J- lit f^P*
KJ L Jv^2-p2
о о
Л
J
Внося B.33) в формулы B.29), получим
2 г /С,Е Гт2(р)Уе2-р2
B.31)
B.32)
B.33)
B.34)
Постоянную Ci определим в результате подстановки выражения B.34)
во второе уравнение системы B.27):
Таким образом, совершен переход от интегрального уравнения
первого рода B.6) к системе интегральных уравнений второго рода
B.34) относительно неизвестных функций т2(р), т3(р).
Исключим из первого уравнения системы B.34) функцию т3(г)
и введем новую искомую функцию q(r) по формуле
Я

В результате придем к следующему интегральному уравнению
относительно функции q(r):
B.35)
Можно показать, что К—линейный оператор, действующий в про-
пространстве С@, 1). Найдем условие, при котором К является операто-
оператором сжатия. Для этого получим оценку
\\K{q)\\
.<!Ш? max
Условие D<\ выполняется, если е<ео = 0,98, где ?0—наименьший
положительный корень уравнения
2Arthe[3(Arthe-e)-e2Arthe]-e7i2=0.
Следовательно, уравнение B.35) будет иметь единственное решение,
которое может быть определено методом последовательных приближе-
приближений для любого ее [0; е0]. Аналогичный вывод может быть также
сделан относительно системы B.34).
В качестве нулевого приближения решения системы уравнений
B.34) возьмем
Подставляя выражение t-jO") во второе уравнение, получим
и \
= 2 Г PVe2"P2^ = A_
JVl-p^-p2)
М(г,е) =
Г2A-82)
24

Учитывая асимптотику поведения B.36) при г> 1 и подставляя Тз(г)
в первое уравнение системы B.34), определим
B.37)
r, ?) =
=—2—ArthE-f
Г4 Б
1-е
(l-h?2)Arth?-s Nlr, б)
1-E
Подставляя поочередно B.36) с учетом асимптотики при г>\ и B.37)
с учетом асимптотики при г<г в соответствующие уравнения B.34),
найдем выражения для т2 (г) и т3 (г) в виде рядов, суммируя которые из
B.28) окончательно получим
г=--	 1+ 1—Ц^ -V* I'8
-1
), B.38)
А(е)=</(е)/65.
Асимптотики промежуточных построений, о которых упоминалось
выше, имеют вид
Непосредственные вычисления позволяют установить, что фор-
формулами B.18) и B.38) охватывается весь диапазон изменения парамет-
параметра X. Причем на достаточно широком интервале эти решения
перекрываются с точностью до 3%. При 0 < А, ^1,5 можно использо-
использовать более простое решение B.26), которое также смыкается с решени-
решением B.18).
25

§ 3. Стрингер на границе полосы либо на ее оси симметрии
1. Рассмотрим бесконечную упругую полосу шириной Л(|х|<оо,
—h^y^O). К верхней границе полосы, при у = 0, \х\^а, прикреплен
жесткий на растяжение гибкий стрингер (накладка). Нижняя граница
полосы находится в контакте с гладким
жестким основанием (задача (/)) либо
свободна от усилий (задача B)). К стрин-
стрингеру приложена сдвигающая сила вели-
величиной Т (рис. 1.3). На бесконечности, со
стороны, противоположной направлению
действия силы, полоса закреплена. Требу-
Требуется определить распределение касатель-
касательных напряжений т(х) = тху(х9 0), возника-
ющих в области контакта стрингера с по-
полосой.
Hi
\ -a. 0
-h
T
a x
Рис>
Граничные условия задачи имеют вид
(а<\х\<со, у = 0),
(|*| < оо, у = 0),
C.1)
A)	t; = 0, xxy = 0 (\х\<со, y=-h),
B)	а, = 0, тху = 0 (|х|<оо, y=-h).
В случае плоской статической задачи теории упругости, с ис-
использованием обобщенного интегрального преобразования Фурье,
может быть получено общее решение уравнений равновесия в переме-
перемещениях Ламе в следующем виде:
Используя C.2), формулы закона Гука и методику, развитую
в [12], можно получить следующие соотношения:
-oo + fc
00+ к
ди
у = 0
О
^G(l-v)-1), C.3)
C.4)
C.5)
26

Здесь к (t) дается формулой
sin ut du.
C.6)
Для условий A) и B) на нижней границе полосы функция Н(и)
имеет соответственно вид
"Ch2"	C.7)
Н(и) =
	,
shuchu+u
2(sh2 u-u2)[
C.8)
Из C.4) следует, что при с<0
о
Gx(x,y)dy = <
Г, х<—а9
О,
при с>0
О, х<— а,
Г, х>а.
Следовательно, в случае закрепления полосы при х= — оо постоян-
постоянную с, определяющую положение контура интегрирования в C.2),
нужно брать отрицательной, в случае закрепления полосы при х = + оо
постоянную с следует брать положительной.
Используя C.1) и C.3), получим следующее интегральное уравнение
для определения функции т(х)=/?(х/я):
C.9)
B=TH@)Bh)-lsignc9 X = h/a.
2. Рассмотрим теперь случай, когда в бесконечной упругой
полосе шириной 2/j(|jc|<oo, |>>|^h) имеется продольное, расположенное
симметрично относительно границ полосы, тонкое жесткое включение
(стрингер). Стрингер скреплен
с материалом полосы, к нему	у.
приложена сдвигающая сила ве-	^
личиной 2Т (рис. 1.4). На бес-
бесконечности, со стороны, про-	21
тивоположной направлению дей-
действия силы, полоса закреплена.
Границы полосы находятся в кон- :/,
-а
такте с жесткими гладкими ос-
основаниями (задача C)) либо
Рис. 1.4
27

свободны от усилий (задача D)). Требуется определить распределение
контактных касательных напряжений х(х) — хху(х, — 0) (|х|^а).
В силу симметрии достаточно рассмотреть область {|л:|<оо,
O}. В этом случае граничные условия задачи имеют вид
>> = 0),	C.10)
v = 0 (|*|<оо, >>=0),
C)	t> = 0, xxy = 0 (М<оо, y=-h),
D)	ау = 0, тху = 0 (W<oo, y=-h).
Рассматриваемая задача с использованием представлений C.2)
и граничных условий C.10) также сводится к определению функции
х(х)=р(х/а) из интегрального уравнения C.9). Функция Н(и) для
задач C) и D) имеет соответственно вид
Для каждой из рассматриваемых задач A)—D) поведение символа
ядра на вещественной оси в нуле и на бесконечности имеет вид
C.13)
пе-2Ы) (М-оо, /i=l, 2).
Постоянная А для задач A) — D) соответственно равна
2; 0,5; x(x-l); 8к(х2+1).	C.14)
Рассмотрим также задачи, аналогичные задачам A) — D), с той
лишь разницей, что в данном случае полоса подвергается растяжению
на бесконечности нагрузкой интенсивности q, а накладка, или
включение, нагружению не подвергаются. Это соответственно задачи
Aа) —Dа).
Будем искать решение уравнений равновесия в перемещениях Ламе
в виде
где wo, v0 — перемещения в полосе, соответствующие решению постав-
поставленных задач при отсутствии стрингера, «i, vt — возмущения, вноси-
вносимые стрингером. Несложные вычисления позволяют определить пере-
28

мещения и0, v0 для каждой из рассматриваемых задач при |х|<оо,
da)	itk
Ba),
(За)
^, vo(x,y)=-JLy,
\— 2v)qx	/ ч .
Это позволяет для добавочных перемещений ии vt сформулировать
граничные условия, аналогичные граничным условиям задач A)—D),
что, в свою очередь, позволит в каждом случае перейти к решению
интегрального уравнения C.9) с ядром C.6). При этом входящая в ядро
интегрального уравнения C.9) функция Н(и) для задач Aа)—Dа)
дается соответственно формулами C.7), C.8), C.11), C.12); интеграль-
интегральная характеристика решения Г, определяемая формулой C.5), равна
нулю. Постоянная В для рассматриваемых задач Aа)—Dа) имеет
соответственно вид
Aа), Bа)	Я=<?/2,
(За)	Я=?(х-1)х-\	C.15)
Dа)	В
3. Воспользовавшись свойствами C.13), сформулируем следующее
утверждение.
Лемма 1.1. При всех значениях |f|<oo для k(t) справедливо
представление
оо
fc(f) = r4F(r), F(t)= $ [и'1 H(u)-l]smutdu,	C.16)
о
причем F(t), как функция комплексного переменного w=t+h, является
регулярной в полосе |г|<оо, |т|<2. При \t\<2 функция F(t) представима
абсолютно сходящимся рядом
л = 0
Формулы C.16) вытекают из представления ядра C.6) и обобщен-
обобщенного значения интеграла
аи
sinutdu=-.	C.18)
Регулярность функции F(w) следует из свойств C.13) и теоремы А § 1.4
монографии [13]. Раскладывая в C.16) smut в ряд по степеням
29

аргумента, получим разложение F(t) в степенной ряд C.17) и коэф-
коэффициенты этого разложения
(л = 0, 1, 2, ...).	C.19)
Из регулярности F(w) вытекает, что функция F{t) является
непрерывной со всеми производными при И<оо. Учитывая, что
тах|/| = 2Д при t = (^ — x)/X и \х\, |?|<1, можно сделать вывод, что
решение, полученное с использованием разложения C.17), будет иметь
смысл, по крайней мере, при
\.	C.20)
Рассмотрим интегральное уравнение первого рода
C.21)
-1
с достаточно произвольной правой частью и ядром k{t\ определя-
определяемым формулой C.6). При
f(x) = B=comt	C.22)
это уравнение совпадает с ранее полученным интегральным уравнени-
уравнением в форме C.9).
Установим структуру решения уравнения C.21). Подставляя в него
представление ядра C.6) в форме C.16) и обращая главную сингуляр-
сингулярную часть [10], убедимся, что любое решение интегрального уравнения
первого рода C.21) из класса Lp(—1, 1), 1<р<4/3, является также
решением интегрального уравнения второго рода
1	1
C.23)
и наоборот, если f(x)eL0L(— 1, 1), то а>4. Здесь использовано
следствие 2.2 из [11].
Теорема 1.1. Если функция f(x)eHl(—l, 1), а>0, л^О, а реше-
решение интегрального уравнения C.21) существует в Lp(—1, 1), 1<р<4/3,
то это решение р(х) при всех А,е(О, оо) имеет вид
где функция vF(x)eCn(-l, 1).
Здесь #?(-1, 1)—пространство функций, л-е производные которых
удовлетворяют условию Гельдера при хе [— 1, 1 ] с показателем 0<а^ 1.
30

Доказательство теоремы строится с использованием леммы 1.1,
формул C.23) и аналогично доказательству соответствующей теоремы
из §24 [3].
С учетом теоремы 1.1 представим уравнение C.23) в виде
C-24)
,C.25)
Возможность перестановки порядка интегрирования в двухкратном
интеграле C.23) обосновывается с использованием свойств функций
q(x), F(t) и леммы §7 [10].
Лемма 1.2. Оператор А, определяемый формулами C.24), C.25),
действует в пространстве С(—1, 1).
Для доказательства леммы представим М(?, х) в виде
С учетом указанных в лемме 1.1 свойств функции F(t) и на
основании леммы 2.2 [И ] легко показать, что М(^, х) есть непрерывная
со всеми производными функция по совокупности переменных ?,
хе[—1, 1 ] и при любом значении Хе@, оо). Из ограниченности функции
М(?, х) при ?, хе [ — 1, 1] следует равномерная сходимость интеграла
C.24) по х. Следовательно, этот интеграл—непрерывная функция.
Теорема 1.2. Пусть /(х)еЯа(-1, 1), а>0, и справедливо
неравенство
II, /е[0, оо].
В этом случае решение интегрального уравнения C.24) в классе
С(—1, 1) существует, единственно и может быть получено пос-
последовательными приближениями по схеме
Для доказательства теоремы оценим \М(^, ;с)| при ?, хе [—1, 1 ]. Из
C.26) имеем
+п\х\
C.28)
31

Здесь 0</<1. Из C.24) с учетом C.28) получим
1
1
Отсюда следует, что при выполнении условия C.27) оператор
А является оператором сжатия в С(—1, 1), что и доказывает теорему.
Из C.16), C.19) можно установить, что
4. Следуя методу «больших X», решение интегрального уравнения
C.23) будем искать в виде следующего асимптотического разложения:
)= Z
к -2и
C.29)
Представление C.29) будет справедливо при X>max(Xl9X2). Внося
разложения C.17) и C.29) в уравнение C.23) и приравнивая затем
члены при одинаковых степенях X в левой и правой частях уравнения,
получим следующую бесконечную систему уравнений для последова-
последовательного определения функций рп(х):
(Э.зо)
-1	-1
и т. п. Проводя вычисления по формулам C.30) для случая C.22),
получим
C.31)
C.32)
32

). (з.зз)
Возвращаясь в C.31) к размерным переменным, будем иметь
C.34)
При этом для задач Aа)—Dа) Г=0.
Численные значения постоянных dn и Х2, определяемых формулами
C.19) и C.27), приведены в табл. 1.2. Для задач C), (За), D) и Dа)
вычисления были проведены при v = 0,3. Для задач C), (За)
(»"». '• 2, ...).
Здесь В2п—числа Бернулли [8].
Таблица 1.2
A), Aа)
B), Bа)
C), (За)
D), Dа)
4>
-0,2735
2,9014
-0,0914
0,5914
0,3329
-1,1720
0,1653
-0,3228
*г
-0,1496
0,5473
-0,0742
0,2098
*э
0,0629
-0,2334
0,0270
-0,1023
0,959
3,318
0,801
0,694
Решение задач в форме C.31)—C.34) практически может быть
использовано при 2^А,<оо. Указанный диапазон применимости
полученного решения может быть расширен с использованием аппрок-
аппроксимации Паде [14]. Рассмотрим, например, величину
C.36)
определяющую коэффициент при особенности контактных напряжений
в задачах Aа)—Dа). Пусть
i = ——,
d30 15
+
=——-
25
C.37)
2
В.
м.
h
4~1б"
Александров и
21 2
Tid°d
др.
1 57Л2
h+udl
1225
128~
33

Диагональная аппроксимация Паде функции N(X) имеет вид
>	<з.зв,
Коэффициенты аппроксимации C.38) at, b{ (/=1, 2) связаны с А, 0=1,
2, 3, 4) формулами
_h2h3-h1hA	_h2hA-h\
1~ МЛ1 ' 2~МЛГ
Соотношение C.38) с достаточной для практики точностью может
быть использовано при 1^А,<оо. В случае задачи Aа), например,
^ =0,13677, Л2= -0,35577, Л3 = 0,38475, Л4=-0,42323,
*! = 1,068, *2= -0,0343, в! = 1,205, я2= -0,244.
Численные значения величины TV, найденные для задачи Aа) по
формуле C.38), приведены в табл. 1.4 (см. ниже). Отметим, что эти
значения совпадают с соответствующими значениями, вычисленными
методом Шенкса [15] по формуле
Si(X)Si(X)-Sl(X)
>
m=l
5. Перейдем теперь к построению решения интегрального уравне-
уравнения C.9), эффективного при малых значениях относительной ширины
полосы. Для этого воспользуемся методом «малых X» [3, 16]. Решение
р(х) уравнения C.9) представим в форме
р{х)=р+{х)+р-{х),	C.40)
где /?+(*) и р~(х)—соответственно четная и нечетная составляющие
функции р(х). Функцию р-(х) будем строить в виде
(|*|<1),	C.41)
где функция \|/@ является решением интегрального уравнения
00	00
U(x)k(x-t)ch=l-nB- |
(Q	(	C.42)
34

Формулы C.41) и C.42) следуют из системы интегральных уравнений
00	-1
-1	-сю
C.43)
Этой системой при выполнении условия C.41) можно заменить
интегральное уравнение C.9). Каждое из уравнений системы C.43)
очевидными заменами переменных сводится к одному и тому же
интегральному уравнению C.42). Решение последнего уравнения
удобно строить с помощью метода последовательных приближений,
причем в качестве нулевого приближения следует взять решение
интегрального уравнения
]	\	C.44)
Решение уравнения C.44) может быть получено в замкнутом виде
с помощью метода Винера—Хопфа [13]. Однако форма этого
решения мало пригодна для практического использования. С целью
получения решения, удобного для практического использования,
аппроксимируем входящую в C.6) функцию Н(и) выражением, которое
легко факторизуется. В качестве такой аппроксимации может быть
выбрана следующая:
4Й^Й	0.45)
Будем выбирать ту ветвь функции ^/ог-ЬЛ!» которая при |а|->оо
принимает положительное значение. Здесь Rl9 R2, гт, Fm (m=l, 2, ...
..., М)—вещественные положительные числа. Функция Н(и) и ее
аппроксимирующая функция в форме C.45) на бесконечности совпада-
совпадают. Из условия совпадения этих функций в нуле получим
R\Ril XlzlF-^A-1.	C.46)
m=l
Постоянные Rl9 R2, em, Fm (w=l, 2, ..., M) следует определять из
условия наилучшей аппроксимации Н{и) выражением C.45) при
|м|<оо. При sm = Fm (m=l, 2, ..., М) аппроксимирующая функция
принимает вид
-.2 i п2
C.47)
35

Применяя к решению интегрального уравнения C.44) метод
Винера—Хопфа с учетом C.47), получим
о) М =
сош =
C.48)
C.49)
где G(z) =
w, erf(z) — интеграл вероятности. Таблицы функции G(z)
о
имеются в [17].
В табл. 1.3 приведены значения коэффициентов Rx и R2 и указана
относительная погрешность аппроксимации C.47) для задач A)—D),
Aа) — Dа). При этом для задач C), (За), D), Dа) вычисления были
сделаны при v = 0,3. Следует отметить, что погрешность решения
обычно не превосходит погрешности аппроксимации [18].
Таблица 1.3
Ri
погрешность, %
A), Aа)
1
2
5,6
B), Bа)
1,233
0,760
6,3
C), (За)
0,806
1,462
2,7
D), Dа)
0,300
0,306
12
Ограничиваясь нулевым приближением решения интегрального
уравнения C.42) в форме C.48), C.49) и учитывая C.41), получим
о-*.
Аналогично строится четная составляющая функции р(х). Ис-
Используя аппроксимацию C.47), получим
C,„
где со (f) по-прежнему дается формулой C.49). Постоянная D может
быть определена из условия
P=!p+(x)dx.
-1
C.52)
36

Внося C.51) в C.52), будем иметь
C.53)
Объединяя полученные результаты, представим приближенное
решение интегрального уравнения C.9), эффективное при малых X,
в форме
C.54)
\ л /	\ л /
Из C.36) и C.54) найдем
hл\ / п\
C.55)
Таким образом, асимптотические методы «больших Ъ> и «малых А»
позволили получить решение интегрального уравнения C.9) в простом
по структуре виде, удобном для приложений. Для установления
точности и границ применимости полученных приближенных решений
может быть использован, например, метод ортогональных многочле-
многочленов (см. ниже). Как показывает численное исследование, точность
решения в форме C.54), C.55) увеличивается с уменьшением X. Для
задач B) и Bа) это решение с достаточной для практики точностью
может быть использовано при 0<А,^2. Расхождение значений вели-
величины N, полученных с использованием формул C.38) и C.55) при
1,5<А,^2, не превосходит 3%. В случае задач A), Aа), C), (За) D) и Dа)
решение в форме C.54), C.55) может быть использовано при 0<Х^0,5.
6. Построим решение интегрального уравнения C.21) с помощью
метода ортогональных многочленов [19]. Представим решение этого
уравнения в виде
1
р(х)=ро(х)+р.(х), J p.(x)dx=0,	C.56)
-1
где ро(х) дается формулой C.30). В этом случае для функции /?*(х)
получим следующее интегральное уравнение:
1	1
Ц^И (И<1). C-57)
-1	-1
1
C-58)
37

Из свойств функции F(t), определяемых леммой 1.1, и условия
Ро(х)еЬ$(-1, 1) A<р<4/3) следует, что функция/Дх) при хе[-\, 1]
непрерывна со всеми производными. Функцию р. (х) представим в виде
р.{х) = Ч{х){\-х2)-11\	C.59)
На основании свойств /*(х) и в силу теоремы 1.1 функция *F(jc) при
хе[— 1, 1] непрерывна со всеми производными. Разложим функции
( Л
,(х) и ^(х) в ряды по полиномам Чебьппева
Л
1, /,(
)
и2т+1(х)Т2п($\, C.60)
/•(*) = I fmUm(x),	C.61)
m = O
Ч»(х)= I XmTm(x).	C.62)
m=l
В C.60) — C.62) Tm(x) и Gm(x)—полиномы Чебышева первого
и второго рода соответственно. В силу свойств функции F(t) ряды
в C.60) сходятся равномерно к F{t) при любых значениях ^е@, оо)
и |*К1, |^|<1, ряды C.61), C.62) сходятся равномерно при |jc|^1
к /*(х) и ^F(x) соответственно. Используя условия ортогональности
полиномов Чебышева, получим выражения, определяющие коэффици-
коэффициенты разложений C.60) и C.61):
C-63)
C.64,
C.65)
Внося C.58) и C.60) в C.65) и учитывая условие ортогональности
полиномов Чебышева второго рода, получим
1
C.66)
38

Используя C.16) и значение интегралов G.344, 7.355 и 7.324) [8],
получим другое представление коэффициентов а^ и Ь^, более удобное
для их численного определения
C.67)
C.68)
w w u
~~	о
x(w) = #(w)/w-l.	C.69)
Интегралы, входящие в C.66), можно выразить через коэффициен-
коэффициенты Хп разложения функции f(x) в следующий ряд:
/(*)= I гтит{х),	C.70)
т = О
1
Xm = l \f{x)J\-x2Um{x)dx (m = 0, 1, 2, ...).	C.71)
С этой целью соотношение C.30), определяющее ро(х), умножим на
y/l—x2 Um(x) и проинтегрируем по х в пределах от —1 до 1.
Воспользовавшись затем значением интеграла G.344B)) [8], найдем
Внесем теперь в интегральное уравнение C.57) представления
C.59) — C.62) и воспользуемся условием ортогональности полиномов
Чебышева первого рода, а также значением интеграла G.344A)) [8],
в результате получим соотношение, в левой и правой частях которого
будут стоять ряды по полиномам Чебышева второго рода. Прирав-
Приравнивая члены этих рядов при полиномах с одинаковым индексом,
придем к двум бесконечным алгебраическим системам относительно
неизвестных коэффициентов Хт {т=\, 2, ...):
V	/"	\~* •	/"	/^ *7^\
X2m+l=J2m— У. ^ти^2л+1»	\5.15)
00
X —f — У В Ь X	C 74)
и=1
Если /ф) = ?(х)A-х2)-1/2е1,р(-1, 1) A<Р<4/3) есть решение
интегрального уравнения C.57), то функция Ч*(х), как выше от-
отмечалось, непрерывна со всеми производными при хе[—1, 1], а пос-
последовательность {Хт}, связанная с ^(х) формулой C.62), принадлежит
пространству 1Х и удовлетворяет системам C.73), C.74). Наоборот, если
последовательность {Xm}eli является решением систем C.73), C.74), то
39

ряд C.62) равномерно по л:е[—1, 1] сходится к функции Ч*(х)
еС(— 1, 1). Проделав обратные преобразования от C.73), C.74) к C.57),
придем к выводу, что /?,(jc) = 4/(jc)A-x2)-1/2€Lp(-1, 1) A<р<4/3)
и является решением интегрального уравнения C.57).
Лемма 1.3. Для коэффициентов атп бесконечной системы C.73)
имеют место оценки
4Go (m>0, и^О),	C.75)
ТТЛ.
^ C.77)
G0=max|F(t)|, G2=max \F"{t)\ (|r|<2/X).
Оценка C.75) очевидна. Для получения остальных оценок соот-
соотношение C.63) следует представить в виде
^wn=-r~ МП	;	)cosBw+l)9sin\|/smBm+l)\|/«<pa\|f C.78)
7C XJJ \	X
00
и далее применить соответствующее число раз формулу интегрирова-
интегрирования по частям.
Теорема 1.3. Бесконечная система C.73) квазивполнерегулярна
при \>0. Если существует ее ограниченное решение, то последователь-
последовательность {X2n+i} принадлежит /х. При Х>Х3, где
64 л, 1 л л /32
C.79)
бесконечная система C.73) вполне регулярна.
Справедливость первой фразы теоремы следует из оценки C.77)
коэффициентов атп. Из C.66), C.77) следует оценка коэффициентов f2m
^	^2=const > 0, т>\.	C.80)
\1т~
Допустим, что найдено ограниченное решение системы C.73)
l*2,.+il<* (Ar=const>0, п^О).	C.81)
В этом случае из C.73), C.77), C.80), C.81) получим
(D3=const > 0, m> 1).
Отсюда следует вывод, что {X2m+i}^li-
40

Для доказательства последнего утверждения теоремы рассмотрим
Rm=t \°тп\ (т=0, 1, 2, ...)•	C.83)
Используя оценки C.75), C.76), получим из C.83)
G2 *-, 1
C.84)
Решая неравенство C.84) с учетом значения суммы рада @.244A))
[8], получим значение Хъ в виде C.79).
Лемма 1.4. Для коэффициентов Ь^ бесконечной системы C.74)
имеют место оценки
* 4 г
й	Сто
Ч3D«2-1)
~Dп2-\)т(т+2)
= const>0,
C.85)
C.86)
C.87)
Доказательство леммы аналогично доказательству леммы 1.3.
Теорема 1.4. Бесконечная система C.74) квазивполнерегулярна
при Х>0. Если существует ее ограниченное решение, то последователь-
последовательность {Х2п} принадлежит /А. При А,>А,4, где
C.88)
(жстема C.74) вполне регулярна.
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1.3.
В табл. 1.4 приведены значения величины N вида C.36), вычислен-
вычисленные для задачи Aа) по формулам, полученным методами «больших А»
C.38), «малых X» C.55) и ортогональных полиномов C.56), C.59),
C.62), C.73). Решение системы C.73) строилось методом редукции. При
0,5<^<оо результаты вычислений для урезанных систем, составленных
из пяти и десяти уравнений соответственно, практически совпадали.
Таблица 1.4
C.38)
C.55)
C.62), C.73)
0,5
0,798
0,791
1
0,964
0,981
1,5
1,013
1,015
2
1,017
1,017
2,5
1,014
1,014
41

§ 4. Круглая пластинка на границе слоя
либо в его срединной плоскости
1. Рассмотрим также серию осесимметричных задач теории упругости
о взаимодействии тонкой круглой жесткой на растяжение, но гибкой
пластинки радиуса а с упругим слоем толщины h, который растягивается
на бесконечности осесимметричной системой усилий аг=р.
Пусть пластинка расположена на одной из граничных плоскостей
слоя, а другая граница находится в контакте без трения с недеформиру-
емым основанием A) либо свободна от усилий B). Предположим также,
что грань слоя, к которой прикреплена пластинка, вне области контакта
с ней свободна от усилий и пластинка ненагружена.
Рассмотрим также случай, когда пластинка погружена в слой
толщины 2h симметрично относительно граней слоя и так, что плоскость
пластинки параллельна его граничным плоскостям. Предположим, что
обе грани слоя закреплены в неподвижных жестких обоймах без трения
(шарнирно) C) либо свободны от усилий D).
Во всех перечисленных задачах, как и прежде, будем предполагать, что
между пластинкой и упругой средой осуществляется полное сцепление.
Перейдем к более удобным граничным условиям (для добавочных
перемещений) аналогично тому, как это сделано в § 2, и воспользуемся
представлением искомой функции контактных касательных напряжений
в форме интеграла Ханкеля.
Применяя и далее рассуждения, традиционные в подобных задачах,
относительно неизвестной функции ф(^) в безразмерных координатах
получим следующее интегральное уравнение:
^(yy)	(X=h/a, 0<*<l). D.2)
О	О
Постоянная 5 для каждой из рассматриваемых задач принимает
соответственно значения
Функция Н(и) в каждом случае по-прежнему дается соответствующими
выражениями для задач A)—D), рассмотренных в § 3.
2. Перейдем к построению асимптотических решений интегрального
уравнения D.2). В частности, рассмотрим следующее интегральное уравнение:
D.4)
42

где ядро кО1(г, р) дается формулой B.7) при т = 0 и;=1. Оно, как
легко заметить, является характеристическим для интегрального
уравнения D.2). Нетрудно получить решение этого уравнения [3]
Выделим сингулярную часть ядра интегрального уравнения D.2)
и сведем решение его к решению интегрального уравнения типа
Фредгольма второго рода. Это уравнение принимает вид D.5),
в котором следует положить
D.6)
о	о
Решение интегрального уравнения D.5), D.6) будем искать в виде
46 ^ л _и , ч	D ?)
Подставим D.7) в интегральное уравнение D.5), D.6) и представим
функции Бесселя в D.6) в виде степенных рядов. Сравнивая после этого
коэффициенты при одинаковых степенях X, получим
Фо (*) = *, Ф1(х)
<"»3>-
Ф.М- I »<
где Е(х)—целая часть числа х, yrq определяются из рекуррентного
соотношения
j J
' я=1
D.9)
43

а коэффициенты bt даются интегралами
Значения коэффициентов bh подсчитанные по формуле D.10),
приведены в табл. 1.5.
Таблица 1.5
A)
B)
C)
D)
ъх
0,2585
-1,0928
0,1275
-0,2174
Ъг
-0,1111
0,3862
-0,05501
0,1303
0,03635
-0,1684
0,01811
-0,06481
Для задач C) и D) вычисления сделаны при v = 0,3. Для задачи C)
(-1ГМ^1)НСB/+1)/2/+1 Л
Ьх	n22i-2Bi)\\	V х 7
где ?(лс)—дзета-функция Римана.
Возвращаясь к исходной функции х(г) и ограничиваясь членами
порядка Х~5, получим при больших значениях параметра X следующий
результат:
Пусть относительная толщина слоя X неограниченно возрастает.
В этом случае решения задач A), B) и C), D) совпадают с решениями
задач для эллиптических и кольцевых пластинок на упругом полупро-
полупространстве и в упругом пространстве при соответствующих упрощениях
последних.
3. Перейдем к построению решения задачи в случае малой
относительной толщины слоя. В этом случае, поскольку радиус
кривизны контура пластинки велик по сравнению с толщиной слоя,
главный член асимптотики решения уравнения D.2) будет определяться
[3] решением следующего интегрального уравнения Винера—Хопфа:
ОО
(
V
=я6 @<х<оо).
D.12)
Приближенное выражение для функции распределения контактных
касательных напряжений найдем теперь по формуле
D.13)
44

Отсюда, используя C.49), имеем
D.15)
Как показывает численное исследование, решение интегрального
уравнения D.2) в форме D.11) может быть использовано при 2<А,<оо,
в форме D.14), D.15) — при 0<>.<0,3. Диапазон применимости
соотношения D.11) может быть расширен с использованием аппрок-
аппроксимации Паде. Решение уравнения D.2) в случае промежуточных
значений параметра X может быть построено методом систем,
основанным на применении ортогональных полиномов и изложенным,
например, в [3].
§ 5. Бесконечный клин со стрингером на границе
1. Рассматривается плоская задача для упругого клина ( —а<ф^а,
0^г<оо), граница которого ф= — а жестко защемлена (а), свободна от
нагрузки (б) или находится в контакте с гладким жестким основанием
(в). На границе клина ф = а находится тонкий нерастяжимый, но
абсолютно гибкий стрингер (накладка)
длиной Ь — а. Между стрингером и поверх-
поверхностью клина осуществляется полное сцеп-
сцепление. Стрингер нагружен продольной си-
силой Т (рис. 1.5). Вне стрингера, на границе
клина ф = а, напряжения отсутствуют.
Первоначально остановимся подробно
на первой из названных задач. В соответ-
соответствии со сказанным граничные условия
задачи (а) можно представить в виде
иг =5
где 6 — смещение стрингера под действием касательной силы Т.
Предполагается, что все компоненты тензора напряжений при г-*оо
исчезают.
Применяя к уравнениям Ламе, записанным в полярной системе
координат, и граничным условиям E.1) интегральное преобразование
45
@<r<a, b<r<oo, ф = а),
, Ф=-а),

Меллина по переменной г, сведем задачу к решению следующего
интегрального уравнения [20, 21]:
ъ
|т(р)/ПпЛ</Р=яе5 (а^г^Ь),	E.2)
^	(у	E.3)
О
2xsh4wa+ 2wsin4a	t	,	....
Нетрудно заметить, что функция L(u, a) обладает свойствами
E.5)
Это позволяет аппроксимировать функцию L(u, a) выражением th(>4w),
где для рассматриваемой задачи
2Dax-hsin4a)
Л	E6)
Непосредственные вычисления позволяют установить, что погреш-
погрешность такой аппроксимации при х=1,8 и 55°^а<175° не превосходит
4%. При указанной аппроксимации приближенное решение рассмат-
рассматриваемой задачи может быть представлено в замкнутом виде [20]
т(г)-
K{k)—полный эллиптический интеграл первого рода.
Рассмотрим случай, когда клин является «достаточно острым».
Легко видеть, что при малых a
2xch2p+x2+ l+4p2
46

Следовательно, имеет смысл при малых а заменить функцию L(u, a)
выражением L*Bwa). С учетом этого упрощения представим ядро l{t)
интегрального уравнения E.2) в виде
E.S)
р 2а
о
Если теперь ввести новые переменные и обозначения по формулам
l
2a	V /
E.9)
Рт(Р)ееФ*(т), Bа)-10ц5=/*,
то интегральное уравнение E.2) с ядром E.8) можно представить
в форме
ф	E.10)
-1
Как нетрудно убедиться, интегральное уравнение E.10) совпадает
с интегральным уравнением соответствующей задачи для упругой
полосы, и здесь далее могут быть использованы при больших и малых
\х асимптотические методы [3].
2. Вернемся, однако, к рассмотрению общего случая E.2). Произ-
Произведем в E.2) замену переменных и введем новые обозначения,
подобные E.9). Интегральное уравнение примет вид
E.11)
/ п \
Безразмерный параметр А,е@, оо), очевидно, характеризует относитель-
относительное положение пластинки на границе клина.
Вначале изучим случай больших X (пластинка находится относи-
относительно далеко от вершины клина). Для этого представим ядро l(t)
интегрального уравнения E.11), определяемое формулой E.3), в виде
f>f2i,,	E.12)
»=о
47

Результаты вычисления коэффициентов при х=1,8 представлены
в табл. 1.6.
Таблица 1.6
а, град
45
90
135
До
0,522
1,315
1,709
в\
0,114
0,0230
0,0109
а2
-0,0161
-0,000350
-0,0000840
Используя асимптотику E.5) функции L(w, а), можно показать, что
ряд E.12) абсолютно сходится при |г|<4а. Отсюда следует, что все
результаты, полученные на основе E.12), будут, по крайней мере,
иметь смысл при \>B<х)~1. Применяя и далее методику, описанную
в § 3, и возвращаясь к исходным переменным и обозначениям,
получим асимптотическое решение рассматриваемой задачи для клина
при больших X в виде
rj\n{blr)\n(rla)
^>2ir'"'is)+oH'EI3)
Перейдем к рассмотрению случая малых X. Главный член
асимптотики решения уравнения E.2) будем искать в мультипликатив-
мультипликативной форме [3]:
_ /_\_ /_\
E.14)
где функции Ti(r), т2(г) и v (r) являются решениями следующих
интегральных уравнений:
ъ
Jt^p)/^,
О
00
I
00
E.15)
@<г<оо).
Решения первых двух интегральных уравнений E.15) могут быть
найдены методом Винера — Хопфа [13]. Для получения практически
48

приемлемых результатов аппроксимируем функцию L(u, а) вида E.4)
выражением
,	E.16)
где А имеет вид E.6), а постоянная В подбирается при каждом
значении а из условия наилучшего приближения к исходной аппрок-
аппроксимирующей функции E.16) при всех ме@, оо). В аппроксимации E.16)
учтены основные свойства функции L(u, а). При х=1,8 и всех we[0, оо)
для углов а = 45, 90, 135° погрешность аппроксимации не превосходит
3%, если постоянная В соответственно равна 1,035; 0,814; 0,522. Не
останавливаясь на подробностях применения метода Винера—Хопфа,
приведем полученные решения первых двух интегральных уравнений
E.15) при аппроксимации E.16):
Решение третьего интегрального уравнения E.15) определяется без
труда применением теоремы о свертках для преобразования Меллина.
Это решение имеет вид
Таким образом, приближенное решение интегрального уравнения
E.2) в форме E.14) дается выражением:
Подставляя E.17) в формулу
T=jx(r)dr,	E.18)
а
найдем связь между силой Т и смещением пластинки 5:
-f)](z>^). E.19)
В табл. 1.7 приведены некоторые результаты вычислений по
формулам E.7), E.13), E.17) и E.19). В первых, вторых и третьих
колонках даны соответственно значения величин
На основании этого числового материала и аналогичных расчетов,
произведенных для ряда других углов, можно заключить, что при
49

с*
X
ю
Н
*
111
5 m<N
> »n so
^O^O^
00 CN •—«
S22
o'o'o"
do
o^
О
5 *П
\Os
ooo
о о о
ooo
ЧО 0
o"o"
со en"
2
o"
ГЧ
(S N N
I I !
OOO
<NCN<N
o'o'o"
SO Г»
On On
en m
»П SO
OO OO
OO
50

х=1,8 и использовании аппроксимации E.16) происходит надежное
смыкание асимптотических решений E.13) и E.17), E.19) в диапазоне
7,5°^ ос ^172,5°. Смыкание наблюдается в окрестности Х = а~1.
Таким образом, и в этой задаче асимптотические решения
в комплексе позволяют полностью и эффективно ее исследовать.
3. Перейдем теперь к рассмотрению условий (б) и (в) на границе
клина ф=—а. Проводя традиционные для рассматриваемых задач
рассуждения, получим следующее интегральное уравнение для опреде-
определения функции контактных касательных напряжений:
ъ
E.20)
Ядро интегрального уравнения в случаях (б) и (в) принимает
соответственно вид
OD
/(/) = L(u, ajsinutdu——,
J	2A
0
sh2wa—и sin 2a	л 2a—sin 2a
2(sh2wa-«2sm2a)	2(a2-sin2a)
, v ch2wa+cos2a . l+cos2a
(w, a) =	:	, A =	:	,	E.22)
v ; sh2Wa + Msin2a	2a-hsin2a	v '
aФ-, A = lim uL(u, a).
2	м^о
Ограничимся в данном случае построением замкнутого решения
интегрального уравнения E.20) при аппроксимации
L(u, a)=cth^,	E.23)
где А вычисляется по формулам E.21) или E.22). Вычисление
относительной погрешности аппроксимации E.23) позволяет устано-
установить, что эта величина при 0^м<оо и 15°^а<180° не превышает для
задачи (б) 5%, а для задачи (в) при 120°^а^ 180° не превышает 8%.
Внося E.23) в E.20) и вычисляя внутренний интеграл, сведем
интегральное уравнение E.20) к виду
Совершив в E.24) очевидную замену переменных, придем к син-
сингулярному интегральному уравнению первого рода с ядром Коши,
51

форма решения которого известна [10]. Применяя эту формулу
и возвращаясь к исходным переменным, получим
x(r) = ATrnA-x [(ЬкА-гкА)(гпА-апА)]-1/2.	E.25)
Здесь, как и выше, усилие Т связано с т(г) формулой E.18).
Особенностью рассматриваемых случаев (б) и (в) является то, что
определить связь между усилием Т и величиной смещения 8 не
представляется возможным.
В заключение отметим, что аналогично изложенному могут быть
исследованы задачи об упругом клине, армированном по биссектрисе
стрингером конечной длины.
§ 6. Упругая накладка на границе полуплоскости.
Приложение к вопросам тензометрирования
1. Во всех предыдущих параграфах принималось, что накладка
является абсолютно гибкой и жесткой на растяжение. На самом деле
ни то, ни другое в точности не
выполняется. Изгибная жесткость
накладки обычно мала, но конеч-
конечна, жесткость на растяжение обы-
I I Tj(x) чно велика, но не бесконечна.
' ""*" "*"	В данном параграфе будет рас-
рассмотрена задача о взаимодейст-
взаимодействии двухслойной упругой наклад-
накладки с упругой полуплоскостью
с учетом указанных обстоя-
обстоятельств.
Примем, что плоская дефор-
деформация упругого элемента
— его длины, может быть описана
111
111
-a
til' U»
Рис. 1.6
(рис. 1.6), толщина которого
уравнениями [22]
68 V"(*, i
F.1)
Сюда должны быть добавлены очевидные условия равновесия (момент
вычисляется относительно центра симметрии элемента):
F.3)
52

и вытекающие из них и из уравнений равновесия бесконечно малого
элемента условия свободных краев:
Q{x) = \xxydy
О	-л	О	-а
F.4)
8	хх
О	-	-а	-а
С учетом F.1) — F.3) условия свободных краев можно еще
представить в виде
и'{±а, 5) = w'(±a, 0) = 0,
и"(±а, 0) = (95)-1[2т2(±а)+т1(±Л)],	F.5)
Действительно, проинтегрируем, например, первое уравнение F.1)
в пределах от —а до а и учтем первое соотношение F.3). В результате
получим
96[«"(в, 8)-и"(-в, 6)]=-2[т1(в)-т1(-в)]-[т2(а)-т2(-в)].
Используя принцип «равноправия» краев элемента, далее возможно
приравнять отдельно
при этом, как видно, приходим к третьему из равенств F.5).
Существенным моментом для дальнейшего является внутренняя
непротиворечивость модели F.1), F.2). Для проверки этой непротиво-
непротиворечивости рассечем элемент, изображенный на рис. 1.6, плоскостью
y = h<b и введем в рассмотрение действующие в этом сечении
неизвестные контактные усилия <J3(x) и т3(х). Далее для двух
полученных таким образом тонкостенных элементов (элемент толщины
h и элемент толщины #=8 — h) запишем уравнения типа F.1), F.2):
Qh2u'"(x, I
вН2и'"(х9
F.7)
53

Теперь учтем, что имеют место условия контакта:
ni"(*. *) = и5'(х, h), vl?(x, h) = v?{x, h).
F.8)
Здесь индексы 1 и 2 присвоены перемещениям для первого и второго
элементов. Из условий контакта F.8) на основании F.6) и F.7)
получим систему уравнений:
F.9)
^	^	^	(
Решая систему F.9) относительно а3 и т3, найдем, что
а3 = A-Н8)'3[82C + б)а1+(Зб+1)а2 + Яб2(Ц-8)т'1-ЯеA+
F.10)
Подставляя, наконец, выражения F.10) в формулы F.6) и F.7),
определяющие и"'(х, 0), и'" (х, 5), i?iv(jc, 0) и vly (х, 5), собирая подоб-
подобные члены и учитывая, что 8 = ЯA+е), возвратимся к исходным
уравнениям F.1) и F.2).
2. В технике измерений и экспериментальных исследований широ-
широкое распространение получило электротензометрирование при помощи
проволочных преобразователей омического сопротивления. Малогаба-
Малогабаритный тонкий тензодатчик приклеивается к исследуемой детали
и деформируется вместе с ней, в результате чего изменяется его
сопротивление. Относительное изменение сопротивления связано с де-
деформацией измерительной базы датчика линейной зависимостью
AR/R = 5е,	F.11)
где константа S называется тензочувствительностью датчика и опреде-
определяется из тарировочных опытов. При тензометрировании, зная
тензочувствительность и изменение сопротивления, из F.11) можно
найти значение е. Обычно считают, что наклеенный тензодатчик не
54
Рис. 1.7

искажает напряженно-деформированное состояние, и принимают е за
величину соответствующей деформации на поверхности детали. Одна-
Однако при тензометрировании изделий из таких материалов, как пластики
или резины, к значению е должна быть сделана поправка, учитыва-
учитывающая существенное упрочняющее влияние датчика [23].
Далее, следуя [24], рассмотрим задачу, позволяющую найти
указанную поправку к результату тензометрирования. Именно, деталь,
к которой приклеен датчик, смоделируем полуплоскостью с упругими
характеристиками G3, v3, а тензодатчик с клеем — тонкой двухслойной
накладкой (рис. 1.7). Верхний слой (датчик) имеет усредненные модули
(?!, Vj и толщину Я, нижний (клей) — модули G2, v2 и толщину Л.
Предполагаем, что слои сцеплены полностью между собой и с полупло-
полуплоскостью в области контакта |х|<а. Полуплоскость растягивается на
^_ ^_ ' *;(*)
-а
i J i и 1
ttultjtu
а <$7(х) х
(х)
Ф)
-L
-а
Рис. 1.8
бесконечности равномерными усилиями интенсивности /?, в результате
чего в описанной упругой системе возникают напряжения и деформации.
Расчленим систему так, как показано на рис. 1.8, и введем
в рассмотрение реактивные нормальные ct(x) и а2(х), а также
касательные тх(х) и т2(х) усилия. Для описания
напряженно-
55

деформированного состояния тонкостенных элементов	1 и 2 ис-
используем уравнения вида F.1), F.2), а именно
в^иГСдс, A) = 2xi-4cyi» 201ЯМ:(х) = т1,	F.12)
2|	F.13)
^()	F.14)
Q2hu'i'{x, h)= -гт^-^-^-а,),	F.15)
в,=С,A-у,)-1 (/=1,2).
Здесь w^x, А) и уДх, Л)—горизонтальное и вертикальное перемещения
точек нижней грани тензодатчика, и*(х)—среднее по толщине тен-
зодатчика горизонтальное перемещение, и2(х, h) и v2(x,h)—горизон-
v2(x,h)—горизонтальное и вертикальное перемещения точек верхней грани слоя клея,
w2(jc, 0) и v2(x9 0)—аналогичные перемещения точек нижней грани слоя
клея.
В силу условий равновесия отдельных элементов (рис. 1.8) и сим-
симметрии способа нагружения упругой системы относительно оси
у (рис. 1.7) имеем
Ь	]	iO.	F.17)
-а	—а	—а
С учетом F.17) и отмеченной симметрии из F.12)—F.16) найдем:
F.18)
F.19)
Q1Hh'[{x,h)=~ [(дс-^а^+З [т^,	F.20)
Q2hu'2(x, Л)= -2 Jt^- ^г<Ъ-\ jix-Qfa-oJdb F.21)
—а	—а	—а
XXX
Q2hu'2{x,Q)= Гт1^ + 2|т2^+^ [(х-^Ж-а,)^ F.22)
56

Проинтегрируем F.19) по длине тензодатчика и определим дефор-
деформацию ?,, которую с его помощью можно зарегистрировать в экс-
эксперименте
F-24)
Чтобы воспользоваться формулой F.24), нужно сначала найти
функцию т1(х). С этой цеЛью примем во внимание условия контакта
между датчиком и слоем клея, а также между слоем клея и поверх-
поверхностью детали:
иi (х9 И) = и 2 (x, h), v I (x,h) = v fi (x, Л),
F.25)
и'2(х, 0) = и'3(х, 0), v'i(x, 0) = v'i(x9 0).
Здесь и'з(х, 0) и t; 5 (jc, 0)—производные перемещений точек поверх-
поверхности упругой полуплоскости, вызванных действием усилий р, и2 и т2.
Согласно формулам (9.3) гл.4 [11] при Х->оо имеем
F.26)
Удовлетворяя первым двум условиям F.25) с помощью соотношений
F.18), F.20), F.21) и F.23), получим систему уравнений:
F.27)
= -А2 + 2В2.
Здесь введены обозначения
О-*, T.i^.	,6.28)
2
57

Решая систему F.27) относительно Ах и Bl9 будем иметь
,	F.29)
Удовлетворяя двум другим условиям F.25) с помощью соотноше-
соотношений F.22), F.23), F.26) и исключая затем из рассмотрения функции Ах
и В1 с помощью выражений F.29), получим для определения т2 и а2
следующую систему интегральных уравнений
D
-1	-l
^,	F.30)
3 J«»-e.»«-
-1	1
OLA, и I CT7 ,„ ¦ . .	¦,*¦'•*. + •*
=— — _i.d§_oAe,T'2,	F.31)
Здесь введены безразмерные величины
х =а' Т2=^' а2=^' ' =ё;' а=Х F32)
(звездочки в F.30), F.31) и далее опускаем). Полагая, что 82/83~1,
и замечая, что X мало, пренебрежем в правой части уравнения F.31)
членами порядка аХ. Тогда имеем
-1	-1
Преобразуем теперь уравнение F.30) с учетом F.33). Получим
-1
Пренебрегая в правой части F.34) вновь членом порядка оЛ, придем
к уравнению Прандтля (|jc|<1):
38

решение которого может быть найдено одним из методов, изложенных
в [11,22]. При А,->0, т.е. в случае однослойной накладки, F.35)
в точности совпадает с уравнением F.28) гл. II [22].
3. Для наших целей достаточно построить решение уравнения F.35)
в наиболее простом виде
(х2у1/2,	F.36)
поскольку нас в конечном итоге интересует лишь интегральная
характеристика F.24). Подставляя F.36) в F.35) и усредняя уравнение
F.35) по хе [— 1, 1], найдем для постоянной А следующее выражение:
].	F.37)
Далее по формулам F.33), F.29) определим
oL(l + fSf]-1.	F.38)
Формула F.38) записана для безразмерной величины т\=х1
(звездочка в F.38) опущена). Теперь по F.24) будем иметь
--5J'
и, наконец, замечая, что истинная деформация поверхности детали
в месте наклейки датчика го=р/29 найдем поправочный коэффициент
к показаниям датчика
5^-
Таким образом, формулу F.11) следует переписать так:
Seo/k,	F.41)
где к подсчитывается по формуле F.40).
Чтобы оценить, насколько сильно искажает деформацию при-
приклеенный датчик, рассмотрим три примера. Положим А = А, = 0,003
и 1)91/03 = Ю3, 92/в3 = 10 (примерно соответствует случаю тензомет-
рирования резинокордовой детали), тогда ?=8,7; 2) Э1/03 = 102,
02/93 = 1 (примерно соответствует случаю тензометрирования «мягкой»
пластмассовой детали), тогда А: =1,8. Видно, что пренебрежение
упрочняющим влиянием датчика в этих случаях может привести
к значительной ошибке. Если 3) 91/03 = Ю, 82/03 = Ю~1 (примерно
соответствует случаю тензометрирования «жесткой» пластмассовой
детали), то к = 1,1. При дальнейшем возрастании относительной
жесткости детали коэффициент искажения к практически равен
единице.
Точное вырождение к в единицу при 03->оо происходит потому, что
принятые для слоя клея уравнения F.14) — F.16) не описывают
деформацию сдвига. На самом деле нужно было бы для описания
напряженно-деформированного состояния слоя клея воспользоваться
полным первым уравнением C.3) гл. I [22]. Это привело бы
59

к значительному усложнению схемы решения задачи, но незначитель-
незначительному уточнению формулы F.40). В ее правой части появились бы
малые слагаемые порядка А,3 и Л3, не исчезающие, однако, при 03-»оо.
Величины контактных касательных напряжений х2 и ть определя-
определяемые формулами F.36) — F.38), могут существенно отличаться от
точных вблизи краев х = ± 1. Действительно, если в системе интеграль-
интегральных уравнений F.30), F.31) не пренебрегать членами порядка оЛ, то
можно показать [11], что вблизи краев х=±\ функции
1
rl/2±i6'
= -!-ln|±^ {r=l±x; /=1, 2),
ZK I— 83
F.42)
т. е. они будут осциллировать. Еще вернее можно описать структуру
функций %j вблизи краев х=±1, если принять во внимание, что
напряженное состояние в этих окрестностях является существенно
двумерным и воспользоваться подходом, примененным в [25].
Именно, следует отдельно рассмотреть малые зоны у края контакта,
изображенные на рис. 1.9, а, построить асимптотики решений контакт-
контактных задач вблизи выделенных точек (рис.1. 9,6, в) и, пользуясь
произволом, возникающим в этих задачах, склеить их с решениями
F.36) — F.38) на некотором расстоянии е от края, исходя из условий
Рис. 1.9
гладкости эпюры контактных усилий. Такое усложнение незначительно
скажется на точности определения коэффициента к, но важно для
изучения вопроса о возможности расслоения (нарушения контакта)
в окрестности точек х = +1 между датчиком и слоем клея или слоем
клея и полуплоскостью.
В заключение заметим, что полученное ранее решение задачи
о взаимодействии двухслойной накладки с упругой полосой [22, 26 ], не
учитывающее нормального взаимодействия о2 нижней грани слоя клея
с упругой средой и приводящее в ряде случаев к отрицательному
значению для коэффициента искажения к, не может считаться
достаточно точным.

ГЛАВА 2
ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
О ТРЕЩИНАХ В УПРУГИХ ТЕЛАХ
§ 7. Асимптотические методы в задаче Гриффитса
1. Следуя [1], изложим результаты применения асимптотических
методов к задаче Гриффитса о трещине, рассматриваемой при
достаточно детальном учете действия сил межатомного сцепления
между берегами.
Пусть бесконечное упругое тело с правильной атомной решеткой
нагружено в условиях плоской деформации равномерными усилиями
(Ту = const # 0, а* = 0, тогда нетрудно убедиться с учетом закона
Гука, что
(v)-\	G.1)
о
где ?у — относительное удлинение в направлении оси у, G и v — упругие
постоянные. При указанном нагружении тела расстояние между
рядами атомов в кристаллической решетке будет в направлении оси
у несколько превышать нормальное межатомное расстояние Z>,
а именно оно будет равно Ь + АЬУ, т. е.
можно считать, что sy = Aby/b. Если далее
раздвигать ряды атомов, т. е. увеличивать
6У, то вначале су будет пропорционально
возрастать по закону G.1), затем при
достаточно больших гу линейная связь
перейдет в нелинейную, оу достигнет не-
некоторого максимального значения
<3р—теоретического предела прочности
и начнет быстро падать. Такой характер
зависимости оу от гу приведен на рис. 2.1.
После достижения усилием ау значения
Gp нужно считать, что сплошность тела
нарушается. Заметим, что описанная зависимость ау от ву будет иметь
такой же качественный характер и для аморфных тел [2].
С учетом G.1) зависимость, изображенную на рис. 2.1, опишем
выражением
где функция g(x) с ростом х монотонно убывает от значения g@)= 1 до
значения g(oo) = 0 не медленнее, чем х~* (ос>2), величина d соответству-
соответствует деформации еу, при которой &у достигает максимального значения
(ур. Это означает, что имеют место соотношения
G.3)
61
рис

где 5 — такое превышение нормального межатомного расстояния, что
при АЬУ>Ь взаимодействие между рядами атомов начинает падать. На
основании G.2) найдем, что работа, необходимая для образования
единицы свободной поверх-
поверхности, равна [2]
I I I t t t \r
x
00
xg(x)dx
G.4)
I II 1 I IV
Рис. 2.2
Рассмотрим теперь клас-
классическую задачу о растяже-
растяжении плоскости с трещиной
длины 2а (плоская дефор-
деформация) равномерными уси-
усилиями интенсивности /?, при-
приложенными на бесконечно-
бесконечности (рис. 2.2). Введем
раскрытие трещины Г(х)= — 2v(x, 0) (|х|^а), где v(x, 0)— перемещения
точек нижней грани трещины. Если «взглянуть в микроскоп» на край
трещины х= — а, то обнаружим раздвинутые ряды атомов (рис. 2.3).
Здесь b>b соответствует значению су=р. Очевидно, нужно счи-
считать, что трещина начи-
начинается там, где расстоя-
расстояние между рядами ато-
атомов достигает величины
6 + 5, а сила сцепления
между атомами начинает
спадать. Таким образом,
при движении вдоль оси
х от х=— оо до х=— а
усилие оу монотонно воз-
возрастает от значения оу =
=/?, достигая в сечении
х = — а максимального
значения ар, а затем, при
дальнейшем увеличении
jc, начинает монотонно
уменьшаться, стремясь
к нулю (см. рис. 2.3).
Значит, в вершинах тре-
трещины Г(±а) = 0 и
оу(±а,0) = ар. Усилия сцепления, которые действуют по берегам
трещины при |я:|^я (рис. 2.2), нужно считать внешними усилиями по
отношению к деформируемой среде и вводить их в краевые условия.
-а
Рис. 2.3
62

Итак, граничные условия задачи с учетом G.2) и G.3) будут иметь
вид1) при у = 0:
т*, = 0 (|*|<оо), v = 0 (|x|>4
G.5)
причем на бесконечности оу=р. Если пренебречь тем обстоятельством,
что в малых зонах вблизи вершин трещины задача в силу G.2)
является физически нелинейной, и считать всюду в упругой плоскости
вне трещины справедливыми уравнения линейной теории упругости, то
с помощью интегрального преобразования Фурье проблема нахожде-
нахождения решения уравнений Ламе при смешанных граничных условиях G.5)
может быть сведена к следующему нелинейному сингулярному
интегро-дифференциальному уравнению:
т^7(Г)	> г(±1)=0)- G'6)
Здесь введены безразмерные величины и обозначения:
G.7)
звездочки в G.6) и ниже опускаем. Для определения критического
значения усилия /?, при котором произойдет удлинение трещины, будем
использовать условие плавного смыкания берегов трещины в ее
вершинах [3 ]:
Г'(±1) = 0.	G.8)
2. Нелинейное уравнение G.6) при условии G.8) и любом значении
X имеет тривиальное решение Г = 0, /?=1, соответствующее случаю
отсутствия раскрытия трещины и, как следствие, разрушению тела по
достижении теоретического предела прочности. Покажем, что такое
решение реализуется в действительности лишь при достаточно
больших значениях параметра X.
Обращая сингулярный интегральный оператор, стоящий в левой
части G.6), при условиях Г(±1) = Г'(±1) = 0, придем к интегро-
дифференциальному уравнению
г'(*)=<
1 .	 С f(r\Jt
G.9)
*) В силу симметрии исходной задачи по у граничные условия формулиру-
формулируются для полуплоскости.
63

эквивалентному G.6) при условии
Интегрируя G.9) с учетом того, что Г(±1)=0, найдем
-1	-1
Предполагая теперь, что функция T(x)eCi(— 1, 1), произведем оценку
\\АГ\\с^\тах
ЯЛ, х
та
1. G.12)
Аналогично имеем
Таким образом, в силу G.12) и G.13)
G.14)
и оператор В является в Ci(—1, 1) при достаточно больших
X оператором сжатия. В этом случае решение интегрального уравнения
G.11) единственно в Ci (— 1, 1) и может быть получено методом
последовательных приближений. Однако одно решение Г = 0 известно
и, следовательно, оно является единственным, при этом из условия
G.10) имеем р=\.
Дальнейшая задача состоит в отыскании нетривиальных решений
уравнения G.6) при условии G.8) для значений X таких, что
G.15)
В работе [4] сказано, что математические трудности превращают
полное рассмотрение уравнения G.6), G.8) в чрезвычайно сложную
задачу, однако некоторых результатов можно достичь с помощью
1)	более поверхностного учета действия сил межатомного сцепления,
2)	асимптотических методов (пп. 3, 4).
Сначала остановимся на первом подходе. Для этого аппроксимиру-
аппроксимируем кривую, изображенную на рис. 2.1, так, как это показано на рис. 2.4.
Здесь а0 и гк = Ьж/Ь заданы, 5,—некоторое критическое раскрытие.
64

С учетом указанной аппроксимации интег-
ро-дифференциальное уравнение G.6) при-
примет более простой вид
* J 5-*
.-р
Рис. 2.4
G.16)
Решение уравнения G.16) должно быть
найдено при условиях
Г(±1) = Г'(±1) = 0, Г(с) = 5к/5. G.17)
Такое решение получено [2, 5 ] в замкнутом виде. В качестве основного
результата приведем здесь формулу для критического усилия, по
достижении которого произойдет удлинение трещины (деформацион-
(деформационный критерий разрушения)
ехр -
4асо
Заметим еще, что из G.4) и рис. 2.4 следует
G.18).
G.19)
Если д->оо, то из формулы G.18) с учетом первого соотношения
G.19), в котором нужно пренебречь величиной 5 в сравнении с 5К, и при
допущении с&1 вытекает условие разрушения Гриффитса (энергетичес-
(энергетический критерий разрушения). В размерных величинах его можно
представить в виде формулы [2]
G.20)
Если а-*0, то из G.18) вытекает, что /?->а„. Таким образом, здесь при
уменьшении полудлины трещины а величина критического усилия р(а)
гладко и монотонно возрастает от значения, определяемого формулой
G.20), до значения а*. Ниже с помощью асимптотических методов,
применяемых к уравнению G.6), G.8), покажем, что зависимость р(а)
имеет более сложный характер.
3. Изучим случай трещин относительно малого раскрытия. Для
этого положим в G.6) и G.8)
= /Л , 1— р = АХ	G.21)
и будем искать функцию Т°(х) и постоянную А в виде следующих
регулярных разложений по степеням параметра X, предполагая, что
X достаточно мало:
3 В. М. Александров и др.
G.22)
65

Подставляя теперь G.21) в G.6) и G.8), используя малость X и первое
соотношение G.3), получим с точностью до членов порядка ^3
1
I [^Md^ = A-
()	(y	(y	G.23)
-1
где введены обозначения
д_1 _*'(>) r_g"(l)+1/3g'"(l) „_g
в~1 Щу с~ Щ ' D
С учетом описанных выше свойств функции g(x) можно показать, что
В>0. Подставляя, далее, в G.23) разложения G.22) и приравнивая
члены справа и слева при одинаковых степенях параметра X (до X2
включительно), придем относительно функций Г,(.х) (/=0, 1, 2) к урав-
уравнениям
G-25)
я J с,—х
-1
1
D	G.26)
-1
t(x) G.27)
Приближенное решение нелинейного интегро-дифференциального
уравнения G.25) может быть найдено аналитически методом пос-
последовательных приближений или численно методом дискретных вихрей
[6] в сочетании с процессом квазилинеаризации [7]. Интегро-диф-
ференциальные уравнения G.26) и G.27) являются уравнениями
Прандтля. Их приближенные решения могут быть построены одним из
методов, описанным в [6], [22 к гл. 1]. При этом из условий
Г •(+!) = 0, эквивалентных соотношениям (ср. с G.10))
,-ij
_1 j
ж J
G.28)
66

будут определены постоянные ,4,0 = 0,1,2). Таким образом, асимп-
асимптотическое при малых X решение уравнения G.6), G.8) в форме G.21),
G.22) может быть реально построено. Критическое усилие р найдем из
второго соотношения G.21).
4. Изучим случай трещин относительно большого раскрытия. Для
этого обозначим Х/р = ц и положим Г = \хГ. Тогда уравнение G.6)
с условием G.8) примет вид
1 [Т%
*J 4-,
1, Г(±1) =
В G.29) и далее волну над Г опускаем. Уравнение G.29) можно также
привести к интегро-дифференциальному уравнению
1, Г(±1)=0), G.30)
[1-Х)
эквивалентному G.29) при условии
G.31)
Формулы G.30) и G.31), очевидно, аналогичны G.9) и G.10).
Для исследования уравнения G.29) (уравнения G.30), G.31)) при
малых значениях параметра ji применим метод сращиваемых асимп-
асимптотических разложений [8, 9]. В зоне изменения х вне малых
окрестностей точек х=±1, где Г(х)~1, из G.29) при ц«с1 в силу
свойств функции g(x) имеем в главном уравнение
1
- | ^^=-1 (|*|<1, Го(±1) = 0),	G.32)
-1
служащее для определения внешнего (проникающего) решения
г (Y\— Г\ г2"	а *\х\
Рассмотрим теперь е-окрестность точки х = — 1 и произведем ее
растяжение введением новой переменной г = (х+1)/е. При подходе
к границе е-окрестности, т. е. при г~1, внешнее решение G.33) имеет
порядок е1/2. Поэтому в е-окрестности будем искать функцию Г (х)
в виде
/2) (г~1).	G.34)
Аналогично в е-окрестности точки х=\
T(x) = ell2q{s) + o(z112) (s = (l-x)/z~l).	G.35)
3*	67

Здесь q{r)—внутреннее решение или погранслой. Подставив выраже-
выражения G.34) и G.35) в уравнение G.30), получим в окрестности х= — 1
-1
\-r\t-X)
-i+n i-л
В G.36) интеграл от — 1+Г| до 1— г\ мал, ибо функция /(Г/ц)^О (ц"
Г~1 и ц<:1. Кроме того, справедливы оценки
1;
I;
/(г/ц)*
J
oo
G.36)
1) при
G.37)
т. е. видно, что третьим интегралом в G.36) по сравнению с первым
также можно пренебречь. Итак, в главном уравнение G.36) можно
представить в форме
, „(ОНО). G.38)
Для обеспечения сращивания внешнего	и внутреннего решений
положим 81/2 = ц и введем обозначение	х = |12Д~1. При этом
уравнению G.38) после интегрирования по	г можно придать окон-
окончательный вид
@<г<оо).
G.39)
Такое же уравнение получится, если рассматривать е-окрестность точки
jc= 1. Интегральное условие G.31) путем аналогичных рассуждений
можно переписать следующим образом:
G.40)
Отсюда найдем критическое усилие
G.41)
68

Видно, что оно в главном определяется силами молекулярного
взаимодействия, проявляющими себя в е-окрестностях вершин тре-
трещины.
5. Заметим, что условие G.41), очевидно, в точности должно
совпадать с условием разрушения Гриффитса G.20). С учетом формул
G.3), G.4) и G.7) в безразмерных величинах соотношение G.20) можно
записать так:
G.42)
Сравнивая G.41) с G.42), видим, что должно выполняться соотношение
J=2I/g(\).	G.43)
Оно накладывает ограничение на возможный вид функции g(x),
входящей в исходную зависимость G.2). Таким образом, микромеха-
микромеханизм деформирования, описываемый формулой G.2), оказывается
связанным с макромеханизмом разрушения G.42).
Допустим, что функция g(x) в G.2) выбрана разумным образом,
т. е. так, что соотношение G.43) приблизительно выполняется, и перей-
перейдем к вопросу о построении приближенного решения нелинейного
интегрального уравнения G.39). При больших значениях аргумента
функция q (r) должна стремиться к внешнему решению, т. е. согласно
G.33), G.34)
q(r) = y/2~r (r-oo),	G.44)
в то же время эта функция в окрестности нуля такова, что
q@) = q'{0) = 0.	G.45)
В соответствии с G.44) и G.45) представим приближенное решение
уравнения G.39) в форме
q(r) = BrK/2Br+D)-\	G.46)
где постоянную D подберем так, чтобы выполнялось соотношение
G.43). Далее, приняв выражение G.46) в качестве начального приближе-
приближения для решения уравнения G.39), можно методом типа дискретных
вихрей [10] найти более точное его решение и затем определить
согласно G.40) новое выражение для постоянной /. Если оно будет
существенно отличаться от ранее принятого для / значения G.43), то
вид функции g (х) в G.2) является неудачным и его нужно подправить.
Повторяя этот путь несколько раз, в итоге найдем вид функции g(x)
(вообще говоря, не единственный), необходимый для выполнения
соотношения G.43), и приближенное решение уравнения G.39). Таким
образом, асимптотическое решение уравнения G.29) при малых
ц в форме G.33), G.34), G.39) может быть реально построено.
Критическое усилие р затем найдем из условия G.41) или G.42).
6. Рассмотрим конкретный вид функции g{x) в G.2). Как указано
в работе [11], падающий участок зависимости, изображенной на
рис. 2.1, предпочтительно приближать экспонентой, поэтому примем
g{x) = e~\	G.47)
69

Нетрудно убедиться, что тогда первое соотношение G.3) автоматичес-
автоматически выполняется, а второе соотношение G.3) и соотношение G.4)
принимают вид
d=ope/BQ), y = bdGp.	G.48)
Безразмерный параметр X, определяемый последним соотношением
G.7), теперь дается выражением
Х = Ье/Dа).	G.49)
Далее, из уравнения G.25) найдем достаточно точное значение
функции Го (х) и затем по первому соотношению G.28) определим
^о = 3,743. При этом вторая формула G.21) с точностью до членов
О (к3) примет вид
1-/> = 3,743 ХЛ	G.50)
Допуская в качестве начального приближения для решения уравнения
G.39) выражение G.46), убедимся, что соотношение G.43) будет
выполнено, если в G.46) положить Z)=18,3. В результате точного
решения уравнения G.39) с учетом G.40) найдено, что /=4,001, при
этом /=2е~1. Таким образом, соотношение G.43) при g(x) вида G.47)
с высокой точностью выполняется. В этом случае можно пользоваться
критерием G.42), который запишется так:
G.51)
Решение исходного интегро-дифференциального уравнения G.6)—
G.8) может быть получено методом последовательных приближений,
причем в качестве нулевого приближения следует взять одно из
полученных асимптотических решений.
Рассмотрим теперь плоскость (/?, X ~1), где X ~1 — безразмерная
длина трещины (рис. 2.5). Для рассматриваемого случая G.47) сплош-
сплошная часть кривой / (при Х'^-кХ'1, a< 6,046, А* = 0,113) соответствует
решению р=1, т.е. разрушению по достижении теоретического
предела прочности для
трещин малой относи-
относительной длины, не испы-
испытывающих раскрытия.
В верхней части рис. 2.5
штрихом изображены фи-
физически нереализуемые
решения (продолжение
кривой 7, кривая 2, полу-
полученная на основании
G.50), верхняя ветвь кри-
кривой 4 — решение исходно-
исходного уравнения G.6)—G.8)).
В нижней части рис. 2.5
SO Л~>
Рис. 2.5
штрихпунктиром изобра-
изображена кривая 3, определя-
определяемая формулой G.51)
70

и соответствующая механизму разрушения Гриффитса, сплошная часть
кривой 4 (к~1'^Х~1, /?^/7ф = 0,79) — физически реализуемое решение
исходного уравнения G.6)—G.8) для трещин большой относительной
длины. На основании приведенных результатов можно сделать вывод,
что теория Гриффитса с достаточной точностью применима при
а>34Ь (А.-1>50).
В заключение заметим, что на практике наибольшее распростране-
распространение для гриффитсских трещин получили так называемые силовые
критерии разрушения. Они более удобны, чем критерий Гриффитса,
ибо используют информацию лишь о напряженно-деформированном
состоянии в коннике трещины. Силовой критерий Ирвина — Баренблат-
та для трещин нормального отрыва формулируется так [12]:
Кг = К\,	G.52)
где Ki—коэффициент интенсивности нормальных напряжений на
продолжении трещины в окрестности ее вершины, равный умножен-
умноженному на у/2п коэффициенту при особенности, К\ — постоянная
материала. Важно отметить, что К\ можно найти, зная раскрытие
трещины, по формуле [13]
2	у/Щ)Г(х).	G.53)
Аналогичные критерии используются в случае трещин касательного
отрыва (Ки = Кп) и в случае тела с трещиной, находящегося в условиях
антиплоской деформации {Кщ — Кщ).
Для рассматриваемой в этом параграфе задачи о трещине
в плоскости Ki=py/na, и тогда формула G.52) принимает вид
р = К\ (ка)~1/2. Если еще воспользоваться связью [2,14] между
величинами К\ и у, а именно
ATJ = 2v9e,	G.54)
то вновь придем к формуле G.20), определяющей значение критическо-
критического усилия по Гриффитсу. Таким образом, при достаточно больших
значениях а можно говорить об эквивалентности [14] силового
критерия Ирвина — Баренблатта энергетическому критерию Гриффитса,
а следовательно, и деформационному критерию Леонова — Панасюка.
§ 8. Продольные трещины в полосе
1. Рассмотрим бесконечную упругую полосу шириной 2 h (|jc|<oo,
|д>|^й). Полоса ослаблена продольной трещиной длиной 2а, рас-
расположенной симметрично относительно границ полосы. К берегам
трещины приложена нормальная равномерно распределенная нагрузка
интенсивности q. Границы полосы находятся в контакте с гладкими
жесткими основаниями (а), либо жестко закреплены (б). Требуется
определить функцию у (х)= ±v (х, ±0) (\х\^а), характеризующую
вертикальные перемещения точек берегов трещины, и коэффициент
интенсивности нормальных напряжений К\ на концах трещины.
71

Методом суперпозиции к рассматриваемой задаче сводится соот-
соответствующая задача о продольной трещине в полосе в случае, когда
берега трещины свободны от нагрузки, а границы полосы раздвинуты
на заданную величину 5. В этом случае (плоская деформация)
(l-v)(l-2v)-1.	(8.1)
Используя общее решение уравнений Ламе в форме C.2) при с = 0
и формулы закона Гука, можно свести рассматриваемую задачу
к определению функции у (х) из следующего интегрального уравнения
[15, 16]:
а
{(^Ц=^<? (\х\<а),	(8.2)
l(t) = ] H(u)cosutdu.	(8.3)
о
Функция у(дс) должна удовлетворять очевидному ограничению
у(±я) = 0.	(8.4)
Для условий (а) и (б) функция Н (и) имеет соответственно вид
Применяя к (8.2) формулу интегрирования по частям с учетом
условия (8.4) и переходя к безразмерным переменным, получим
() $	(|*1<1).	<8-7)
Здесь ядро k(t) интегрального уравнения (8.7) дается формулой
C.6) и введены обозначения
* = -, Х = -, р{х) = у'(х).	(8.8)
а	а
Решение интегрального уравнения (8.7) должно удовлетворять
условию
Р= | p(x)dx = 09	(8.9)
-1
которое следует из (8.4). Постоянные dn, определяемые формулой
C.19), для условий на границах полосы (а) имеют вид [17]
72

В2т — числа Бернулли. Для условий на границах полосы (б) постоян-
постоянные dn имеют значения: do = 3,4749, ^ = — 1,2455, d2 =» 0,51837, d3 =
= -0,19951 (v = 0,3).
Решение интегрального уравнения (8.7) для больших значений
параметра X имеет вид
fl
где Ф1 (х, X) дается формулой C.32). Полученное на основании этих
формул и с учетом (8.8) выражение для определения функции y(jc)
запишем в следующем виде:
q 	_Г м-2 т	-2т-2(х\2п	_2М~|
у(х)=- у/а —х 1 + У У СтпХ т (-) +О(Х м) . (8.10)
1_ ш —и и —и	\ /	_1
Постоянные Стп для условий (а) и (б) на границах полосы
соответственно имеют значения:
Соо=-1,234, С10= 1,945, С1Х =0,338,
С20=-3,275, С21=-0,751, С22=-0,111,
СЗО = 5,655, С31 = 1,359, С32 = 0,340, С33 = 0,0353,
Соо=-1,737, С1О = 3,798, Сп =0,623, С20= -8,806,
С21 = -1,861, С22=-0,259, Сзо = 20,83, С31=4,557,
С32 = 1,029, С33 = 0,101 (v = 0,3).
Величина К\ может быть определена по формуле, аналогичной
G.53):
Jo	(8Л1)
Из (8.10), (8.11) для условий (а) и (б) найдем
0)], (8.12)
)]• (8.13)
Увеличивая диапазон применения формул (8.12), (8.13) с ис-
использованием диагональной аппроксимации Паде, получим
-fl +1,850 АГ2+0,833АГ4
1+3,084АЛ2 +
(8.15)
В случае малых значений параметра X решение интегрального
уравнения (8.7) будем строить с использованием аппроксимации
C.47). При Я2 = 0,64 для условий на границах полосы (а) и при
v = 0,3, R2 = 0J3 для условий на границах полосы (б) погрешность
73

аппроксимации C.47) функций #(w), определяемых формулами (8.5)
и (8.6), не превосходит 8% при всех 0^н<оо. Используя решение
уравнения Винера—Хопфа в форме C.49), а также (8.8), получим
сначала в случае малых значений параметра X главный член
асимптотики для функции у'(х) в форме C.50), а затем найдем
(8.17)
(8.18)
Как показывают расчеты, формула (8.10) может быть использована
при 2^А,<оо, формулы (8.16)—(8.18)—при 0<Х<2, формулы (8.14),
(8.15)—при 1<А.<оо.
2. Рассмотрим далее случай, когда границы полосы свободны от
нагрузки (в), а к берегам трещины приложена нормальная равномерно
распределенная нагрузка интенсивности q (к этой же задаче сводится
задача для случая, когда берега трещины свободны от нагрузки,
а к границам полосы приложена нормальная равномерно распределен-
распределенная нагрузка интенсивности q).
С помощью метода интегральных преобразований задача сводится
к решению интегрального уравнения (8.2), (8.3), причем для рас-
рассматриваемого условия (в) на границах полосы функция Н(и)
имеет вид [19]
H(u) = 2u(sh2u-u2)(sh2u + 2u)-1.	(8.19)
Отметим следующее свойство функции Н(и):
Шп!Г4Я(и)=1/6.	(8.20)
Постоянные dn, определяемые формулой C.19), для рассматриваемого
случая имеют следующие значения: d0— —2,284, rfx = 1,697, d2 = —0,846,
d3 = 0,348.
Функция y(jc) для больших значений параметра X определяется
формулой (8.10), в которой постоянные Стп имеют значения:
Соо= 1,142, С1О = 0,243, Сп= -0,849, С20= -0,224, С21 =0,300,
С22 = 0,423, Сзо = 0,207, СЪ1 =0,139, С32= -0,517, С33= -0,174.
Внося у(х) в (8.11), получим
(8.21)
Свойство (8.20) функции Н(и) усложняет построение эффективного
при малых значениях параметра X решения интегрального уравнения
(8.2) для рассматриваемых условий (в) на границах полосы. С целью
74

построения такого решения проинтегрируем уравнение (8.2) три раза
по х, в результате получим
$ = */(*) (\х\^а),	(8.22)
= J u~3H(u)sinutdu,
Здесь С—постоянная, подлежащая определению. Следуя методу,
развитому в [18], главный член асимптотики решения при малых
X интегрального уравнения (8.22) будем строить в аддитивной форме
по формуле
(y(y
(8.23)
где функции со(t) и v(x) определяются из следующих интегральных
уравнений:
{ со(т)h (x-t)dx = - f(ht-a) (О^t< оо),	(8.24)
о	h
^A^nfix) (|*|<oo).	-	(8.25)
Функция со(/) должна удовлетворять очевидному условию
ю@) = 0.	(8.26)
С целью построения практически пригодного решения интеграль-
интегрального уравнения (8.24) факторизуем функцию Я (ос) следующим образом
[20]:
(а) = Я+(а)Я_(а), Я+(а) = ^/^±^а+(ос), (8.27)
G±(a)=exp{±±
(a-iRY
+ ir\ + oo
ir\ — oo
Применяя к интегральному уравнению (8.24) с учетом (8.27) метод
Винера—Хопфа ([13] к гл. 1) определим функцию Q(oc)—преобразова-
Q(oc)—преобразование Фурье функции со(/)
[l] (8-28)
75

Используя свойства преобразования Фурье и условие (8.26), получим из
(8.28) выражение, определяющее постошную С:
C=Q/B.
Далее в (8.27) и (8.28) будем считать, что G+(a)=l, N=5, R = 1,836.
Это соответствует аппроксимации функции Я (а), погрешность которой
при |а|< оо не превосходит 3%. Переходя в (8.28) к преобразованию
Лапласа—Карсона с использованием таблиц этого преобразования
[20], найдем
^1
9 я = 0
B, k2 = l-3RB+3R2D,
3 = 3R-3R2B+R3D, k* = 3R2-R3B, ks = R
) = 0,508exp(-l,129/)erfv/3,87U,
v|/ (/) = 0,395 erf
Здесь erf(x)—интеграл вероятности.
Применяя к (8.25) преобразование Фурье, определим
(8.30)
С учетом малости X правой части (8.30) можно придать вид
что с точностью до О (А,) совпадает с прогибом цилиндрически
изогнутой пластины ширины 2а, защемленной по краям х—±а
и нагруженной равномерно распределенным усилием интенсивности q.
Из (8.23), (8.29), (8.30) получим выражение, определяющее функцию
у(х), в виде
Из (8.31) и (8.11) найдем
K^ljbqjhD.	(8.32)
76

Таблица 2.1
К.
У*
(а)
0,79
0,80
0,78
0,76
(б)
0,74
0,72
0,71
0,68
(в)
1,25
1,25
1,30
1,35
для
для
для
для
больших
малых X
больших
малых X
X
X
Л*
2
Формулы (8.10) (для рассматриваемого случая) и (8.21) могут быть
использованы при 2<А.<оо, формулы (8.31) и (8.32) — при 0<А,^2.
Расхождение значений перемещений у(х) точек поверхности трещины
при А, = 2, вычисленных соответственно по формулам для больших
и малых X, не превосходит 4% при
|х|<д. В табл. 2.1 приведены значе-
значения величин K* = (qy/an)~1Ki и у* =
= Q(qa)~1y@), вычисленных при А, = 2
для условий на границах полосы (а), (б)
(v = 0,3) и (в) по формулам для больших
и малых X соответственно. Зависимость
величины К* от X представлена на
рис. 2.6. Для условий (а) и (б) на гра-
границах полосы с уменьшением ширины
полосы коэффициент интенсивности но-
нормальных напряжений К\ уменьшается,
а для условий (в) — увеличивается. Сле-
Следовательно, в соответствии с силовым
критерием разрушения G.52) с умень-
уменьшением ширины полосы величина кри-
критической нагрузки q*, при которой
начнется развитие трещины, для усло-
условий (а) и (б) увеличивается, а для
условий (в) уменьшается.
3. Рассмотрим далее обобщение за-
задачи [17] на случай двух продольных
трещин одинаковой длины Ь — а, расположенных в бесконечной полосе
(|;с| < оо, Ь>|<А) на ее оси симметрии х. К берегам трещин приложена
нормальная равномерно распределенная нагрузка интенсивности q.
Границы полосы находятся в контакте с гладкими жесткими основани-
основаниями (а) либо жестко закреплены (б), либо свободны от нагрузки (в). Из
(8.2) получим интегральное уравнение рассматриваемой задачи в виде
(833)
i
\
\
т
1
1
е
¦ В
Рис. 2.6
-Ъ
Ядро интегрального уравнения (8.33) l(t) дается формулой (8.3).
Учитывая четность функции у(х), преобразуем интегральное уравнение
77

(8.33) к виду
ь
(8-34)
Применяя затем к (8.34) формулу интегрирования по частям с ис-
использованием очевидных условий
у(я) = 0, у(А)=О,	(8.35)
получим интегральное уравнение относительно функции у'(х)
(836)
В (8.36) функция k(t) имеет вид C.6), разложение в степенной ряд этой
функции дается формулами C.16), C.17).
Внесем указанное разложение ядра в (8.36). Проводя затем
регуляризацию интегрального уравнения (8.36) решением его харак-
характеристического уравнения ([10] к гл. 1), найдем
R(x) = J(x2-a2)(b2-x2).	(8.37)
Здесь Pi—постоянная, подлежащая определению.
Разыскивая решение интегрального уравнения второго рода (8.37)
в виде ряда по степеням X, где X = h/b, будем иметь
(8.38)
+ 2A +г2) ? -6 ?] ^Д-4 + О(^6)|, (8.39)
Ф2(х) = I
?=-, Y=\-~
Проинтегрировав (8.38) по х с учетом первого условия (8.35),
найдем раскрытие трещины
у(х) =Р1{пЬ)-Щх) + I
78

kFF, к) +2xb-3R(x)\d1\-* + O(X-6), (8.40)
X(x) = A +e2)FF, к) -2Е{Ъ, к) +2{bx)-1R(x),
Здесь FE, к) и Е(д, к)—эллиптические интегралы первого и второго
рода. Постоянную Р^ определим из второго условия (8.35). Внося у(х)
в форме (8.40) в (8.35), получим
Величина К\ для точек х = а и х = Ь оси х определяется соответст-
соответственно из условий, аналогичных G.35):
Kla= lim у/2п(х-а)ву'(х),
х->а + 0
Klb=- lim
b
Подставив у'(х) в форме (8.38) в (8.41), будем иметь
Полученное решение задачи в форме (8.40), (8.42) может быть
использовано при 0<е<1 и 2^>.<оо. При А,->оо из (8.42) следуют
значения величины Kh совпадающие с приведенными в [2] для случая
двух трещин равной длины в плоскости.
Получим теперь приближенное решение интегрального уравнения
(8.36) для условий на границах полосы (а) и (б) с использованием
аппроксимации
H(u)=ucthAu.	(8.43)
С ее учетом уравнение (8.36) преобразуется к виду
ъ
qAh
\
6
(8.44)
[i = nBAh)-1.
В (8.44) введем новые переменные и обозначения по формулам
x = ch2[i^, f = ch2|jjc, ос = сп2цд, P = ch2|i&.	(8.45)
В результате уравнение (8.44) сводится к сингулярному интегральному
уравнению, решение которого известно ([10] к гл. 1). Используя это
решение и возвращаясь затем к исходным переменным, получим
а)]/2. (8.46)
79

Постоянную Р2 определим из очевидного условия
Далее, исключая Р2 из (8.46), получим
(^	(8.47)
со= (Э —a)(P—1)-
Из (8.47) найдем
-ПE, ее, *)*(*)! (а<|*|<6), (8.48)
сЬ2цх-а
= arcsin
Здесь К(к)—полный эллиптический интеграл первого рода, ПE, ©, к)—
эллиптический интеграл третьего рода.
Погрешность использованной здесь аппроксимации для условий (а)
на границах полосы не превосходит 10%, для условий (б)—12% при
всех (Kw<oo. Анализ соотношений (8.42), (8.43), (8.49), (8.50)
показывает, что К\а>К\Ъ. Отсюда следует, что при возрастании
нагрузки q, приложенной к берегам трещин, развитие трещин начнется
в точках х= ±а, у = 0. Вторая трещина приводит к уменьшению
разрушающей нагрузки по сравнению с разрушающей нагрузкой,
соответствующей одиночной трещине. При 8^0,6 и любых значениях
Хе@, оо) влиянием одной трещины на другую практически можно
пренебречь.
§ 9. Круглая трещина в слое
1. Рассмотрим бесконечный упругий слой толщиной 2h @^r<oo,
0^ф<2тс, |z|^A). Слой ослаблен круглой в плане трещиной радиуса а,
расположенной в срединной плоскости слоя. К берегам трещины
приложена равномерно распределенная нормальная нагрузка интенсив-
интенсивности q. Грани слоя находятся в контакте с гладкими жесткими
80

основаниями (а) либо жестко закреплены (б), либо свободны от
нагрузки (в). Требуется определить функцию y(r)==±vz(r, ±0) и вели-
величину Кх.
К указанной задаче методом суперпозиции сводится соответст-
соответствующая задача для круглой трещины со свободными от нагрузки
берегами в срединной плоскости слоя, грани которого раздвинуты на
заданную величину либо к граням приложена нормальная нагрузка.
С помощью интегрального преобразования Ханкеля рассматрива-
рассматриваемая задача сводится к решению следующего интегрального уравнения:
(9.1)
Функция Н(и) для условий (а), (б) и (в) имеет соответственно вид (8.5),
(8.6) и (8.19). Функция у (г) должна удовлетворять очевидному условию
у(а) = О.
2. С целью исследования структуры решения полученного интег-
интегрального уравнения рассмотрим интегральное уравнение вида
} Ш)кш,(г, Q^fj(r) @<r< 1).	(9.2)
О
Здесь qj(r)—неизвестная функция, т = 0, 2, ядро kmj дается формулой
B.7).
При m=y=0 это уравнение возникает при исследовании осесиммет-
ричной контактной задачи для упругого полупространства с круговой
областью раздела граничных условий. Если f'0(r)eLp(S)9 p>2 и w = 0,
то единственное решение интегрального уравнения (9.2) в классе LP(S),
1<р<2, дается выражением [21]
(9.4)
Из результатов, приведенных в [3 ] к гл. 1 следует, что при
/0(г)еМв+2E), л^О, функция qo(r) имеет вид
причем \|/(r)e#y2(S); если же еще выполнены условия \|f(l)(l)=0
(/=0, 1, ..., т-\\ т^п), то
причем y\f,(r)eH^m(S) и \|/,(^)еЯп1/2E'1_6), S1-6—круг радиуса 1-6,
5>0 — сколь угодно малое число.
81

Пусть теперь в (9.2) т = 2, у = 0. Интегрируя это уравнение дважды
по г, получим
(9.5)
U=const).
о о
Подберем А в (9.5) таким образом, чтобы
v|/(l) = <7,(l) = 0.	(9.6)
Тогда в силу (9.4), куда вместо /о(г) подставим go{r) вида (9.5),
(9.7)
О
и на основании (9.3)
(9.8)
Из изложенных результатов вытекает
Теорема 2.1. Если fo(r)eMn + 2(S), л^О, то при т = 2 един-
единственное ограниченное решение qo(r) интегрального уравнения (9.2)
имеет вид
причем ш,(г)еЯЙE) и («.(rJeHi'^S!-,), 5>0.
Рассмотрим далее более общее по сравнению с (9.2) интегральное
уравнение, а именно
I,	(9.9)
О
Fmj(t, т) = f um[l-L(u)]Jj(ut)Jj(ux)du,	(9.11)
О
Функция L(u) удовлетворяет условию
()	, м-юо,	(9.12)
а также одному из следующих условий:
HmwL(w) =ZX (m+j>0),
и^о	Г9 13)
limt/-3L(w) = Z2 (Z,- = const; /=1,2).	v' '
82

Пусть в (9.9)—(9.11) У=0, т = 2.
Лемма 2.1. Функция F2o(t, т) непрерывна со всеми производ-
производными по совокупности переменных /,тв четвертьплоскости 0^/<оо,
О^коо. В квадрате 0^/<1, 0^т<1 функция F20(t, т) представима
абсолютно и равномерно сходящимся по совокупности переменных
степенным рядом
М*,т)=Е Y.dsltlsx2\	(9.14)
00
*-fe?j[1~L(M)]M2M+2*M (9Л5)
Доказательство леммы аналогично доказательству леммы 39.1 ([3]
из гл. 1).
Решение интегрального уравнения (9.9) при j=0, т = 2 представим
в виде
qo(r) = qoo{r) + q.(r),	(9.16)
где qOo(r)—решение уравнения (9.2) при 7 = 0, т = 2, определяемое
формулой (9.8). Внося (9.16) в (9.9), (9.10), получим для определения
q*{r) следующее интегральное уравнение:
), (9.17)
Теорема 2.2. Если fo(r)eLp(S), p>2, и решение интегрального
уравнения (9.17) существует в LP(S), p>2, то общее решение qo(r)
интегрального уравнения (9.9) при т = 2 и Xg(O, oo) имеет вид (9.16),
где qoo(r) дается формулой (9.8), а
ъ(г) = Ф*(г){\-г2у1\	(9.18)
причем Ф*(г)—непрерывная со всеми производными при reS функция.
Из свойств функции F20(t, т), определяемых леммой 2.1, следует,
что правая часть уравнения (9.17) при re[0, 1] является непрерывной
со всеми производными функцией. Отсюда, с учетом теоремы 2.1,
следует справедливость данной теоремы.
Из теорем 2.1 и 2.2 вытекает, что если функция f0eMn + 2(S), n^0,
а решение интегрального уравнения (9.9) при т = 2 существует в LP(S),
р>2, то это решение #о(>*) при всех Хе(О, оо) имеет вид (9.18), где
функция Ф^еН^Б) и Ф^еЯ*'2^^), 5>0.
3. Разыскивая решение интегрального уравнения (9.1) в форме
(9.18) и применяя метод «больших X» по схеме, изложенной в [22],
83

получим
|7?=?()	(9.19)
Постоянные djt для рассматриваемых задач (а)—(в) имеют соответст-
соответственно следующие значения:
doo= -3,8824, J1O = 4,8556, d20= -3,6580 (v = 0, 3),
0, dlo= -7,4253, </2O = 6,2024,
?(и)—дзета-функция Римана.
Коэффициент интенсивности нормальных напряжений К\ на кон-
контуре трещины определим из условия типа G.53)
Aj=-9 lim J2n(a-r)y'(r).	(9.21)
г-*а-0
Внося (9.19) в (9.21), получим
/(у	(9.22)
В случае малых значений параметра X, проводя рассуждения,
аналогичные изложенным в § 4, получим для условий (а) и (б)
у(г) = ^Ав-1х(-г).	(9.23)
Здесь, как и в случае соответствующих плоских задач, для условий (а)
Л2 = 0,64, для условий (б) R2 = 0,13 (v = 0,3), функция %(х) имеет вид
(8.17).
Величину К\ определим из (9.21) и (9.23). Проделав необходимые
выкладки, будем иметь
f	(9.24)
Аналогично для условий (в) на основании формул (8.29), (9.21)
получим
v	+ 1/2^ + C).	(9.26)
Здесь функции q>n(f) определяются формулами (8.29), постоянная
C=Q/B, где Q и В даются формулами (8.28).
Увеличивая с использованием аппроксимаций Паде диапазон
практического применения формулы (9.22), определяющей величину Къ
84

будем для задач (а)—(в) соответствеййо иметь
,042АГ
0,824 X-0,035U"
1 +1.291 X"'
(9.27)
**
(9.28)
0,898 Х~3 -0,395 Х~5
V
-——
8\
Рис. 2.7
1 + 1,432Х-2
+ 0,806>,-6A + 3,276Х(-2)-1 + О(Х-9I.
(9.29)
Как показало численное исследо-
исследование, в случае условий (а) на гранях
слоя формула (9.24) может быть
использована при 0<А,^0,9, форму-
формула (9.27) —при 0,9^Х<оо. В случае
условий (б) формула (9.24) может
быть использована при 0<А,<1,1,
формула (9.28) — при 1,1^А,<оо. В случае условий (в) формула (9.26)
может быть использована при 0<А,^0,5, формула (9.29) — при
1,1 ^ А, < оо. На рис. 2.7 представлена зависимость величины
^* = \/яB<7ч//я)~1Х/ от X для условий на гранях слоя (а), (б) и (в).
§ 10. Трещина в клине
1. Пусть в бесконечном упругом клине @^г<оо, |ф|<Р)
имеется трещина, расположенная на биссектрисе его угла (ф = 0,
a^r^b). К берегам трещины приложена нормальная нагрузка
Я (г). Границы клина находятся в контакте с гладкими жесткими
основаниями (а) либо свободны от усилий (б). Напряжения
при г->ао исчезают. Требуется определить функцию у(г)= ±иф(г, +0)
(a^r^b) и величину К\.
Используя общее решение уравнений Ламе в полярной системе
координат ([3] к гл. 1) и формулы закона Гука, можно получить
следующее интегральное уравнение рассматриваемой задачи [22]:
л + 100
(юл)
П — ioo
85

решение уравнения A0.1) нужно подчинить условиям
Функция L(w, P) для условий на границах клина (а) и (б) имеет
соответственно вид
L(u, p) =
ch2MP-cos2p '
/ R4_ sh2wP-M2sin2p
Отметим следующие свойства функций L(u, P):
L(u, р)=1 + 0(е~2иР) (м->оо, 0<р<я),
u~1L(u,$) = n/c + O(u2) (w->0, 0<Р<тс).
Здесь для условий (а) и (б) соответственно
_ l-cos2p _ 2p + sin2p
" 2p + sin2p' ~ 2p2-2sin2p*
Проинтегрируем по г обе части уравнения A0.1). Переходя затем от
интегрирования по мнимой оси к интегрированию по вещественной
оси, получим
ъ
C,.ir\ /Л
I,	(Ю.З)
\	A0.4)
о
Здесь В—постоянная, подлежащая определению, функция р(г) связана
с функцией q(r) соотношением
p(r) = \q{r)dr.	A0.5)
Сделав в интегральном уравнении A0.3) замену переменных по
формулам
—-, Х = 2 In- ,	A0.6)
X	л.	\ а)
сведем его к интегральному уравнению с разностным ядром, завися-
зависящим от безразмерного параметра \\
-1
В A0.7) приняты обозначения
A0.8)
¦ • \	л /	\	л /
86

Функцию k(t) представим в следующем виде:
F(t)= ? dnt
n = 0
2-+K
(Ю.9)
A0.10)
Ряд в A0.10) абсолютно сходится при |/|<2{J, постоянные
dn определяются соотношениями
(-1)'
00
- [L(w, $)-l]u2n + 1du (w = 0, 1,2, ...).
Для некоторых углов C значения dn приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
(а)
(а)
(б)
(б)
|3 = я/2
3 = тг/2
3 = 71
-1/6
1/12
-5/12
-1/24
*i
7/360
-1/720
11/180
7/5760
*г
-31/15120
1/30240
-239/12096
-31/967680
Внося k(t) в форме A0.9) в A0.7) и проводя регуляризацию,
получим
По одному из условий ограниченности функции \|/(jc) при х=±1
одновременно определим постоянную В.
Из теоремы 1.1 следует, что если /(х)еЩ(— 1, 1), а>0, р>1, то
ограниченное решение интегрального уравнения второго рода A0.11)
имеет вид
\|/(x) = T,(jc)v/1-jc2,	A0.12)
где функция х?1,(х)еСр-1(—\, 1). Возвращаясь в A0.12) к исходным
переменным и обозначениям, получим, что ограниченное решение
интегрального уравнения A0.3) имеет вид
A0.13)
где функция Ф(г)еСр-1(а, Ь).
2. Аналогично, как это было сделано в § 3, можно показать,
что интегральное уравнение A0.11) (и, следовательно, интегральное
87

уравнение A0.3)) при достаточно больших X имеет единственное
решение и оно может быть получено при помощи метода пос-
последовательных приближений.
Далее рассмотрим случай
q(r) = q = const, p(r) = qr.	A0.14)
Внося A0.10) в A0.11) и разыскивая решение этого уравнения в виде
разложения по степеням X, получим
1 25 j 1 ,2 3 , 1 ,, 9 , 5
d+dddd+
1 3	1 1
Выражение, определяющее функцию у (г), найдем из соотношений
A0.6), A0.8) и A0.15)
A0.16)
Величину К\ для точек г = а и r = b биссектрисы угла клина
соответственно определим из условий
Kla= lim 9y/2n(r-a)Y{r),
+0	A0.17)
Klb=- Um Ъ/2{Ь)у{)
r->b-0
Внося A0.16) в A0.17), получим
Следует отметить, что асимптотическое решение интегрального
уравнения A0.7) при малых X может быть построено с помощью
модифицированного метода «малых Ъ>, изложенного в [23].

3. Построим теперь приближенное решение интегрального уравне-
уравнения A0.3), основанное на следующей аппроксимации функции L(w, p):
L(u, p) = th(™/c).	A0.19)
Постоянная с в A0.19) для условий (а) и (б) на границах клина
Таблица 2.3
Р, град
(а)
(б)
60
10
42
75
1,5
18
90
0
2,5
105
1
4,5
120
4
4
135
8
2
150
4
0,5
165
46
0,1
180
0
определяется формулами A0.2). В табл. 2.3 приведены значения
величины ц в процентах, где
\х= max
ие@, оо)
-Ци, рI00%.
A0.20)
Используя значение интеграла C.987 A)) ([8] к гл. 1), преобразуем
интегральное уравнение A0.3) для случая A0.19) к виду
A0.21)
A0.22)
Интегральное уравнение A0.21) при помощи простой замены
переменных может быть приведено к сингулярному интегральному
уравнению с ядром Коши ([10] к гл. 1). Строя ограниченное решение
этого уравнения и возвращаясь затем к исходным переменным,
получим приближенное решение интегрального уравнения A0.3) в сле-
следующем виде:
При этом должно выполняться условие ограниченности функции у (г)
- = 0.	A0.24)
!'¦
Внося A0.22) в A0.24), получим выражение, определяющее постоян-
постоянную В:
2K{k)j p
ря(р) ¦
A0.25)
89

В A0.23)—A0.25) и далее используются обозначения
R(r) = J(rc-ac)(bc-rc), А: = уТ-8^, e = a/b.
Как следует из табл. 2.3, в двух случаях, при Р = я/2 и условиях (а)
на границах клина и Р = я и условиях (б) на границах клина,
представление A0.19) является точным. Следовательно, полученное
решение A0.23) в указанных случаях также является точным.
Погрешность решения интегрального уравнения A0.3) в форме
A0.23), как показывают расчеты, не превосходит погрешности аппрок-
аппроксимации A0.19), приведенной в табл. 2.3. В ряде случаев, например при
Р>5я/12 и условиях (а) на границах клина, эта аппроксимация не
является удовлетворительной.
4. Далее рассмотрим аппроксимацию вида [24]
L^pj^th^+X^^ch-.	A0.26)
Здесь постоянная с определяется .формулами A0.2), постоянные
Dn и тп (и=1, 2, ..., М) определяются из условия наилучшего
приближения функции L(w, P). Первое слагаемое, стоящее в правой
части A0.26), точно отражает поведение функции L(w, P) при 0<Р<я,
м->0 и w-юо. Остальные слагаемые в A0.26) при м->0 и м-юо
стремятся к нулю. Внося A0.26) в A0.4) и вычисляя интегралы,
получим
ъ
^ с <%=-яЫг)+|у(т)со(т, r)dx I	A0.27)
^C~rC	La	J
а
Функция g(r) дается формулой A0.22). Проводя в A0.27) регуляри-
регуляризацию, сведем это уравнение к интегральному уравнению второго рода
A0.28)
При этом должно выполняться условие ограниченности функции у(т)
ъ	ъ	ъ
из которого может быть определена постоянная В.
Интегральное уравнение A0.28) после исключения с помощью
A0.29) постоянной В преобразуется к следующему виду:
у{г) = Уо(г) + А(у), Jo{r)= -
90

A0.30)
\
Здесь is (А:) — полный эллиптический интеграл второго рода.
Решение интегрального уравнения A0.30) может быть получено
последовательными приближениями по схеме
Yn(r) = Yo@ + ^(Yn-i) («=1,2,...).	A0.31)
Аналогично, как это было сделано в § 3, можно установить диапазон
изменения параметров X и р, в котором оператор А является
сжимающим.
Численные расчеты показывают, что при всех 0^А,<оо и |i<50%,
где }л определяется формулой A0.20), для получения решения,
обладающего достаточной точностью, можно ограничиться нахожде-
нахождением первого приближения Yi(r). Максимальные отклонения значений
у о (г) от соответствующих значений уточненного решения Yi(r)
получаются при Х = 0 (трещина начинается из вершины угла клина).
При увеличении X эти отклонения уменьшаются, и при А.-»оо функция
у о (г) стремится к точному решению соответствующей задачи о трещи-
трещине в плоскости.
5. Рассмотрим случай, когда трещина начинается из вершины угла
клина. Для этого проинтегрируем A0.1) по частям с учетом условий
у(а) = у(Ь) = 0 и положим затем а равным нулю. Переходя далее от
интегрирования по мнимой оси в ядре полученного уравнения
к интегрированию по вещественной оси, придем к следующему
интегральному уравнению:
\y'(Qk(\n^\di;=-~rq{r) (O^r^b).	A0.32)
Сделаем в уравнении A0.32) замену переменных и введем обозначе-
обозначения по формулам
т = 1п-, / = lny, e'Y(be'x)=g(x).	A0.33)
В результате будем иметь
]	(Ю-34)
91

Применяя к интегральному уравнению A0.34) метод Винера—Хопфа
([13] из гл. 1) с учетом следующей факторизации функции L(a, ($) [19]:
A0.35)
Я±(а)=ехРи-	TZ^^X ^ = -,	A0.36)
Я(а) = Я+(а)Я_(а), т>0,
определим функцию G(a)—преобразование Фурье функции g(t) при
q(r) = q = const
g(«H,ftr/ .. с
/)L + (a, p)"
Далее с целью получения практически приемлемых результатов будем
считать здесь L + (a, P) = av/a+i/>(a-f/?)~r, что соответствует аппрок-
аппроксимации функции L(a, P) выражением
A0.37)
Определяя затем с помощью таблиц [20] функцию g(t) и возвраща-
возвращаясь к исходным переменным и обозначениям по формулам A0.33),
получим [24]
^iL-i-i, Ш~'
Отметим, что найденное значение коэффициента интенсивности нор-
нормальных напряжений Кп в форме A0.39) является точным. Погреш-
Погрешность приближенного решения в форме A0.38) зависит от погрешности
аппроксимации A0.37), но, как показывают вычисления в конкретных
случаях, не превосходит последнюю.
В табл. 2.4 приведены значения величин y^ = (q)y(^/)
Ка= (я\/bn)~l К\а и Kb= (qл/Ьп)~1 Кхь для случая A0.14), вычисленные
по различным формулам. При получении результатов, представленных
в табл. 2.4, были выбраны следующие значения постоянных при
аппроксимациях функции L(a, P). Для условий (а) в A0.26): Af=2,
/>i=4,9, Z>2 = 0,82, /И! = 1, m2=l,5, в A0.37): /) = 2,443, ?=0,882. При
92

этом Я- ( —/)= 1,0089, погрешность аппроксимации A0.26) не превыша-
превышает 3%, погрешность аппроксимации A0.37) не превышает 6%. Для
условий (б) в A0.26) /)и = 0(л=1, 2, ...), в A0.37) D = 2,549, ?=1,652.
При этом //_( — /)= 1,0014, погрешность аппроксимации A0.37) не
превышает 3%.
Таблица 2.4
(а)
(б)
(а)
(б)
р = 36,62°
р=90°
р=90°
р=180°
%
40
2,5
0
0
У,
0,216
0,200
0,202
0,636
0,553
0,567
0,326
0,326
1,460
1,456
0,432
0,436
0,409
0,409
К
0,469
0,433
0,435
—
—
—
0,607
0,607
—
—
0,779
0,788
0,726
0,726
0,469
0,441
0,443
0,900
0,785
0,802
0,590
0,590
1,125
1,121
0,705
0,709
0,683
0,683
X
3,5
3,5
3,5
0
0
0
2
2
0
0
1
1
1
1
A0.23) уо(г)
A0.31) Yl(r)
A0.16), A0.18)
A0.23) уо(г)
A0.31) Yi(г)
A0.38), A0.39)
A0.23) уо(г)
A0.16), A0.18)
A0.23) Yo(r)
A0.38), A0.39)
A0.17), A0.23)
A0.16), A0.18)
A0.17), A0.23)
A0.16), A0.18)
В заключение заметим, что аналогичным образом может быть
решена задача о трещине на биссектрисе клина (ср = О, a^r^b),
границы которого <р = ± Р жестко защемлены.
§ 11. Кольцевая трещина в пространстве
1. Рассмотрим упругое пространство, ослабленное плоской коль-
кольцевой трещиной. К берегам трещины при a^r^b, 0^ф<2гс, z=±0
приложена осесимметричная скручивающая нагрузка т(г), напряже-
напряжения на бесконечности исчезают. Требуется определить функцию
и(г)=Т«ф(г, ±0)и коэффициент интенсивности Кт напряжения тфг на
контурах трещины.
При помощи интегрального преобразования Ханкеля эта задача
сводится к определению функции v(r) из следующего интегрального
уравнения:
J<
(ИЛ)
93

Ядро к2i(г, г|) дается формулой B.7). Функция v(r) должна удовлет-
удовлетворять очевидным условиям
v(a) = 0, v(b) = O.	A1.2)
Проинтегрировав уравнение A1.1) дважды по г и выражая
внутренний интеграл через полные эллиптические интегралы, получим
[	]. A1.3)
Здесь Bt и В 2—постоянные, подлежащие определению,
)\	A1.4)
Сделаем в интегральном уравнении A1.3) замену переменных по
формулам A0.6) и введем новые обозначения
/(?)=ch?sch^(schM-2ch^(sch Л.	A1.5)
В результате получим
)^^ = я/(х) (|*|<1).	A1.6)
В § 2 установлены свойства ядра /(/) и получено неограниченное
решение интегрального уравнения A1.6). Далее построим при больших
значениях X = 2 (In b/a) ~1 ограниченное решение этого уравнения.
Сначала с учетом представления B.13) запишем интегральное уравне-
уравнение A1.6) в следующем виде:
1
i
A1.7)
||(^)F^)^	A1.8)
Проведя регуляризацию, представим уравнение A1.7), A1.8) в виде
эквивалентного ему интегрального уравнения второго рода
Ч(х) = У0(х) + А(Ч>),	A1.9)
4f(x) = y\f(x)(l-x2)-1/2i	A1.10)
94

1
= (ч(х)Ь{х,х)<к,
«Л;.
A1.11)
A1.12)
A1.13)
При этом должны выполняться условия ограниченности функции
1	1
Г
J
x<a'(x)dx | 1
A1.14)
J A-
-1
Они могут быть использованы для определения постоянных Вх и В2.
2. Пусть f(x)eH\{— 1, 1), ос>1/2. В этом случае можно показать,
что оператор А действует в пространстве С( —1, 1) и что если Х>Хи
где hi определяется из уравнения
4? \ тах\F'3(t)\ - \2-]n2X\max\F4(t)\+l In \ max|Fi(/)| = 1,
2л I	Л, л,	I
A1.15)
то оператор А является оператором сжатия в С( —1, 1). В A1.15)
введены обозначения
F3(*) = Fi(f)+-F2(f), F^(t)=-Ff2(t)9 F(/) = F1(r) + F2(r)ln|/|.
A1.16)
Из A1.15) определим: Х,!=0,84.
Преобразуем интегральное уравнение A1.9) с учетом B.15)
00	1	1
я=1
-1
A1.17)
и будем искать решение интегрального уравнения A1.17) в виде
95

Внося ^(х) в форме A1.18) в левую и правую части интегрального
уравнения A1.17) и приравнивая затем выражения при одинаковых
степенях X'1 и In А,, получим рекуррентную систему соотношений
относительно ^„(х). После определении Ч!тп(х) из условий A1.14)
находятся постоянные Bi и В2. Возвращаясь к исходным переменным
и обозначениям по формулам A0.6), A1.5), A1.10), получим выражение,
определяющее функцию v(r). Опуская промежуточные выкладки,
в случае
x{r) = Gxr (т = const)	A1.19)
приведем окончательное выражение для v(r):
^Х	A1.20)
+ A7,952-0,5х)х2 + 9,051л:3+1,837 дг4]Х'4 +
+ [7,791 -4,050х+3,281х2+A7,498-6,130х+0,891х2)х+
ln3U x=-ln2X.. A1.21)
16
Величину Кт для точек внутреннего и внешнего контуров трещины
соответственно определим из условий типа G.53)
Kma = G lim y/2n(r-a)v'(r)9	A1.22)
0
Kmb=-G lim y/2n(b-r)v'(r).	A1.23)
Г-.6-0
Внося A1.20) в A1.22) и A1.23), получим
A1.24)
Для увеличения диапазона применимости найденного решения
величину ЛA) с использованием аппроксимаций Паде следует пред-
представить в виде
0,187ХГ
0,0505k ~4
+ 1-
96

3. Для получения решения интегрального уравнения A1.1), эффек-
эффективного при малых значениях параметра X, рассмотрим следующую
систему интегральных уравнений относительно функций vx(r) и v2(r):
О
оо
A1.25)
Система интегральных уравнений A1.25) заменяет интегральное урав-
уравнение A1.1) при условии, что функция т(г) аналитически продолжена
в область О^г<а и
Применяя далее к системе A1.25) прием, аналогичный использован-
использованному в § 2, сведем A1.25) к следующей системе интегральных
уравнений второго рода относительно функций Ъх(х) и Ь2(х):
AU6)
В A1.26) введены обозначения:
), v2(x)=b~1xv2(bx), г=а/Ь,
1 ft
0	0	x	0
Постоянные С ш D находятся из следующих условий:
Исключая из A1.26) v2(x), для определения функции Vi(x) получим
интегральное уравнение второго рода
v1(x
00	€
=vlo(x)-4n~2J\-x2 —i^——2-	1V ;	=
= vlo(x)+L(v1)
4 В. М. Александров и др.
. A1.27)
97

Нетрудно убедиться, что интегральный оператор L(vi) в A1.27)
действует в С @, 1). Далее можно доказать, что оператор L является
оператором сжатия в С @, 1), если выполняется условие
A1.28)
Из A1.28) следует, что оператор L — оператор сжатия при е<1.
Функция v2(x) находится из второго уравнения системы A1.26)
после определения функции Vi(x). При построении решения методом
последовательных приближений в качестве нулевого приближения
решения уравнения A1.27) следует взять vlo(x).
Ограничившись вычислением функций Ъц(х) и v2i(x) для случая
A1.19), получим
2xb2
2a2-r2(l+s2)
A1.29)
A1.30)
Внося A1.29) в A1.22), A1.23), найдем
A1.31)
Полученное решение в форме A1.20), A1.24) рационально использо-
использовать при 4^А,<оо, формулы A1.29)—A1.31)—при 0<А,^4. В табл. 2.5
Таблица 2.5
Номера
формул
A1.20), A1.24)
A1.29)—A1.31)
A1.36)—A1.38)
A1.42)—A1.44)
у.
0,152
0,152
0,276
0,277
ка
0,584
0,578
Д.13
1,14
0,680
0,680
0,95
0,96
приведены значения величин ym=(xb2) * v(^fab), Ka=(xbG^fb) l КШа
и Kb= (xbGy/by1 Kmb, вычисленные при Х=4 по формулам, получен-
полученным для больших и малых значений X. Для рассматриваемой нагрузки,
98

приложенной к берегам трещины, Кь>Ка. Следовательно, при воз-
растании величины т развитие трещины должно начаться в точках
внешнего контура, при r = b.
4. Рассмотрим далее случай, когда к берегам трещины приложена
нормальная равномерно распределенная нагрузка интенсивности q.
Напряжения на бесконечности исчезают. Требуется определить функ-
функцию y(r)=+w(r, +0) (a^r^b) и коэффициент интенсивности нор-
нормальных напряжений К{ на контурах трещины.
При помощи преобразования Ханкеля рассматриваемая задача
сводится к нахождению функции у (г) из следующего интегрального
уравнения [25]:
ь
A1.32)
Ядро уравнения A1.32) k2o(r, С) дается формулой B.7). Функция у (г)
должна удовлетворять условиям
y(*Hy(*) = 0.	A1.33)
Проинтегрировав A1.32) дважды по г и используя представление
C9.14) из [3] к гл. 1, получим
Здесь 2?! и В2—постоянные, подлежащие определению. Сделаем
в интегральном уравнении A1.34) замену переменных по формулам
A0.6) и введем следующие обозначения:
В результате получим
(^) =«/»(*) (|*|<1).	A1.35)
Представим ядро li(t) интегрального уравнения A1.35) в следу-
следующей форме:
где F(t) имеет вид A1.16). Разложения функций Fi(t) и F2(t)
в степенные ряды даются формулой B.15), в которой для рассматрива-
рассматриваемого случая постоянные сп и dn имеют значения: со = 2,079,
С! =-0,1091, с2 = 0,005352, ^ = 0,0625, </2=-0,00358 и т.д.
4*	99

Интегральное уравнение A1.35) при | ? — х | X 1 ^ я эквивалентно
интегральному уравнению A1.17), в котором использованы обозначе-
обозначения A1.10)—A1.13). В A111) вместо /'(?) для рассматриваемого
случая нужно взять f\ (?). Оператор А, определяемый формулой
A1.12), будет сжимающим при Х>Хи где Xt определяется из уравнения
A1.15). При этом в уравнении A1.15) нужно брать функции F3(t)
и /ч(*), соответствующие ядру l\{t). Опуская промежуточные выклад-
выкладки, приведем окончательное выражение при больших X для определе-
определения функции у (г):
/ ч я{аЬM1А (. г . А1/2
...
7г ;; 17т)	AL36)
=1+ (о,246 + dx
Х~2+@,0092-0,17^\пХ) X'4] х+
[l,604+@,264+0,385rf1lnX.) X~2] x2-f(l,029-h0,119^-2) x3-f
ln3X). A1.37)
Величину Ki для точек внутреннего и внешнего контуров трещины
определим из условий A0.17). Внося A1.36) в A0.17), получим
,Дехр(-2,5/Х)	>ДехрB,5/Х)
5. Для получения решения интегрального уравнения A1.32), эффек-
эффективного при малых значениях параметра X, преобразуем это уравнение
с помощью методики, развитой выше, к следующей системе интеграль-
интегральных уравнений второго рода:
A1.39)
Постоянная С в A1.40) подлежит определению.
Аналогично, как это было сделано в случае кручения, можно
показать, что при е<1 единственное решение системы A1.39) может
быть найдено с помощью метода последовательных приближений.
Нулевое приближение следует брать в виде A1.40). Ограничившись
определением первого приближения, получим
,/ v	V Г	r2(a2 + b2)-2a2b2 t h1 . b+a 1
у (r)=		arccos v 2/ / ,x	+^-T b-	я -
W K^v^^L	r2(b2-a2)	r2 b-a J
100

2qabC (	a2 + b2-2r2 r2 b + a
Из A0.17) и A1.41) определим
Проинтегрировав соотношение A1.41) по г, получим
С <6arcsin - arcsin —
r2(i_g2) Jl-. A1.44)
Удовлетворяя услови51м A1.33), найдем
с=1 larcx^osE^yr^lnKl+sltl^e)-1] t Q, 7,
^arccosE+@,36348+0,1715640,111765)N/l-e2
D = ~ larccose + ^/l-e2 In -if -С.
я2[	v	1-eJ
Как показали численные расчеты, полученное решение A1.36)—
A1.38) рационально использовать при 2^Х<оо, решение в форме
A1.42)—A1.45)—при 0<Х,^2. В табл. 2.5 приведены значения величин
у.=(яЬУ1ву[(а+Ь)/21 Ка={Яу/2кЬ)-1Ки и Kb=(q у/Шу1Кш вычис-
вычисленные при Х=2 по формулам, полученным для больших и малых
X соответственно.
§ 12. Цилиндрическая трещина в пространстве
1. Пусть в неограниченной упругой среде имеется цилиндрическая
трещина радиуса R и длины 2а (рис. 2.8). На поверхности трещины,
при г = Я±0, 0^ф<2я, |z|^a действует касательная нагрузка интен-
интенсивности xrf = x(z). Целью исследования является определение коэф-
коэффициента интенсивности касательных напряжений А^ш при r=/?, z= ±a.
101

¦}
Для вывода интеграль-
интегрального уравнения этой осесим-
метричной задачи рассмот-
f^A \	I \	рим бесконечный цилиндр
\	р	цдр
t \ > радиуса Л, на поверхности
l.i 0 \ I z которого задано перемеще-
\ / \ /	ние u9(R, z) = mA)(z). Пред-
Чм*-;	^	полагается, что на оси цили-
цилиндра (г=0) напряжения
Рис. 2.8	ограничены. Решение такой
задачи строится с использо-
использованием интегрального преобразования Фурье и имеет вид
где 1„(х) — функция Бесселя от мнимого аргумента, Г*** (ос) и
трансформанты Фурье функций тЦ}(Л, z) и wA)(z).
Рассмотрим также другую вспомогательную задачу о равновесии
упругого пространства, содержащего бесконечную цилиндрическую
полость радиуса R. На цилиндрической поверхности задано перемеще-
перемещение мф(Л, z) = wB)(z). Предполагается, что напряжения при г-юо
исчезают. Трансформанта Фурье касательных напряжений т^(Л, z)
в данном случае определяется по формуле
G\*\U«>{a)K2(\*\R)
где ^„(jc)—функция Макдональда, а ?/B)(а)—трансформанта Фурье
функции wB)(z).
Для исходной задачи при r = R потребуем выполнения условий
сопряжения решений вспомогательных задач и введем следующие
обозначения:
A2.4)
Запишем граничные условия A2.3), A2.4) в трансформантах Фурье.
С учетом A2.1) и A2.2) найдем
102

Здесь введена в рассмотрение трансформанта Фурье Л" (а) разрывной
функции Х*00=хОО(М^я)> х*00=0(И>я). Очевидно, имеем
*(«)= J Х(Л)*|Я|Л,.	A2.6)
— а
Определяя из уравнений A2.5) функцию Ui2)(a) и подставляя
в A2.2), с учетом A2.3) получим [26]
~ |<х^(а)/2(|а|Л)Л:2(|а|й)е-'«с/а=^) (|z|<4 A2.7)
Заметим, что соотношение A2.7) можно было бы получить и другим
путем, применяя обобщенную схему метода интегральных преоб-
преобразований, изложенную в [19] к гл. 1.
Возвращаясь в A2.7) к оригиналам Фурье и учитывая A2.6),
а также очевидное условие
= О,	A2.8)
после некоторых преобразований придем к интегральному уравнению
относительно функции %'{z)
A2.9)
О
ядро которого имеет вид
L(u) = 2uI2(u)K2(u).	A2.10)
)= |
Из свойств интегрального уравнения A2.9) следует, что при
t(z) = t(— z) постоянная С=0. В безразмерных величинах
5 ?	^	Ш A2.11)
-э а>	а>	а> тр/ л, у-.,, тГ/ aQ
уравнение A2.9) примет форму
1
-1
2. Перейдем к построению эффективного решения интегрального
уравнения A2.12) при больших значениях параметра к. Нетрудно
103

убедаться, что ядро l(t) в окрестности *=0 имеет логарифмическую
особенйость и представило в виде
l(t)=-\n\t\+F(t),	A2.13)
причем для регулярной части ядра можно получить разложение B.15),
где ряды равномерно сходятся при всех |/|<Л/<оо, а несколько
первых коэффициентов с, и d{ имеют значения
Со=-0,5873, ^=0,5197, с2 = 0,1927,
</1==-0,9375, d2 = -0,1025 и т. д.
Представления A2.13) и B.15) позволяют свести интегральное
уравнение A2.12) к эквивалентному ему интегральному уравнению
второго рода
1	1
(^)]} 02.14)
-1
Следуя методу «больших X», найдем решение интегрального уравнения
A2.14) в виде
^	A2.15)
Подставляя представление A2.15) в интегральное уравнение A2.14)
и приравнивая выражения при одинаковых степенях АГ2 и 1пХ,
получим для определения Фпт(х) рекуррентную систему соотношений,
аналогичную B.17).
Определим коэффициент интенсивности касательных напряжений
Kuv когда касательная нагрузка равномерно распределена по берегам
трещины, т. е.
()	A2.16)
В этом случае, производя соответствующие вычисления, получим
<p(jc)=-?_L==ArD	A2.17)
U у/\-Х2
где обозначено
4 fa
A2.18)
An = 2ncn + dn(\-2n\n2X).
104

Возвращаясь в A2.17) к исходным переменным и обозначениям, будем
иметь
Величина Кш может быть определена из условия
02.20)
Отметим, что в случае соответствующей антиплоской задачи о равно-
равновесии пространства, ослабленного полосовой трещиной ширины 2д,
A2.21)
Следовательно, величина Af(l) характеризует влияние кривизны поверх-
поверхности трещины на изменение коэффициента интенсивности касательных
напряжений в окрестности ее границы.
3. При построении асимптотического решения интегрального урав-
уравнения A2.12), эффективного при малых значениях параметра X,
ограничимся рассмотрением случая A2.16). Главный член асимптотики
решения уравнения A2.12) будем строить в аддитивной форме по
формуле
A2.22)
где функции <o(z) и v(z) определяются из интегральных уравнений
A2.23)
—а
оо
=-^z (M<oo).	A2-24)
Решение уравнения A2.23) может быть получено методом Винера —
Хопфа, а решение уравнения A2.24)—применением теоремы о свертках
для преобразования Фурье. При применении метода Винера—Хопфа
рационально воспользоваться аппроксимацией функции L(u) выражением
A2-25)
Решения интегральных уравнений A2.23) и A2.24) соответственно будут
105

иметь вид
у/2В JB
v(z)=-4tz(GR)'1.	A2.27)
В A2.26) erf(z)—интеграл вероятности.
Коэффициент интенсивности касательных напряжений при малых
значениях X определяется по формуле A2.20) с учетом соотношений
A2.22), A2.26), A2.27). Проделав необходимые выкладки, получим
A2.28)
Параметр #A), вычисленный при различных значениях X по формулам
A2.18) и A2.28), представлен в табл. 2.6. При вычислениях принято
Таблица 2.6
N(\):
A2.18)
A2.28)
0,75
1,54
1,0
1,40
1,5
1,26
2,0
1,17
1,19
3,0
1,11
4,0
1,08
6,0
1,04
2?= 1,5. Погрешность аппроксимации A2.25) при этом составляет 2,5%.
Нетрудно заметить, что решения, полученные методами «больших X»
и «малых X», с достаточной для практики точностью перекрываются
в окрестности точки А, = 2.

ГЛАВА 3
ЗАДАЧИ О РАСКЛИНИВАНИИ
И ОБ ОТСЛОИВШИХСЯ ВКЛЮЧЕНИЯХ
§ 13. Бесковечная полоса с продольным клином конечной длины
1. Рассмотрим задачу о расклинивании упругой бесконечной
полосы толщиной 2 А тонким жестким гладким клином длиной 2а.
Клин расположен симметрично относительно границ полосы, толщина
«г—1
-b
У/*/////
Г//////
а
/УХУ/
а
<"" Ъ
Рис. 3.1
клина равна 2/. Перед каждым концом клина имеются трещины
длиной Ъ—а (рис. 3.1). Границы полосы находятся в контакте
с гладкими жесткими основаниями (а) либо жестко закреплены (б).
В силу симметрии достаточно рассмотреть область {|х|<оо,
O^y^h}. В этом случае граничные условия задачи имеют вид [1]:
v=f	(\x\<a, у = 0),
у = 0	(a^|jc|^fc, ^=
v = 0	F<|jc|<oo, jh=
х, = 0	(|х|<оо, j> = 0);
A3.1)
(a)
F)
v = 0 (|x|<oo, y=h).
Напряжения при |х|->оо исчезают.
Для решения задачи можно воспользоваться	многими резуль-
результатами, изложенными в § 8 (п. 3). В частности,	для определения
функции у' (х) = ± v'x (х, ±0) при а < |х \ ^ Ь на	основании (8.36)
107

получим следующее сингулярное интегральное уравнение:
Функции Н(и) для рассматриваемых условий на гранях полосы (а)
и (б) имеют соответственно вид (8.5) и (8.6), а функция у(х) должна
удовлетворять условиям
() () О.	A3.4)
Асимптотическое решение уравнения A3.3) при больших значениях
параметра X = h/b следует из (8.38) при # = 0 (Ф2(х) = 0). Проинтег-
Проинтегрировав по х выражение, определяющее функцию у'(х), с учетом
условий A3.4), получим
y(x)=f[l-Q(x)Q-1(b)l
^	). A3.5)
Здесь R(x), к, %(х) и 5 даются формулами (8.37), (8.39) и (8.40).
Выражение, определяющее коэффициент интенсивности нормальных
напряжений в точках х= +Ь, имеет вид (8.42), где лишь необходимо
положить
)	(b).	A3.6)
Формулы A3.5) и A3.6) могут быть использованы при 0<&<1
и 2^Х< оо.
2. Получим также приближенное решение интегрального уравнения
A3.3), основанное на аппроксимации (8.43). На основании (8.44) при
# = 0 получим
Решение интегрального уравнения A3.7) дается формулой ([10] из
гл. 1)
—,	A3.8)
а)
где a = ch2|ia, P = ch2^Z>. Постоянную Р1 определим из условия
)?(x)dx=-f.	A3.9)
а
108

Используя A3.9), а также условие (8.41), получим
A3.10)
A3.11)
Проинтегрировав A3.8) с учетом условий A3.4), определим
функцию у(х)
f.	A3.12)
Здесь А: и 5 даются формулами (8.47) и (8.48).
В заключение отметим, что на основании решения задачи
о кольцевой трещине, данного в § 11, нетрудно рассмотреть задачу
о дискообразном жестком включении в упругом пространстве с окру-
окружающей его кольцевой трещиной.
§ 14. Расклинивание полуплоскости
В работе [2] рассмотрена задача о симметричном расклинивании
упругого бесконечного клина с углом при вершине 2|} тонкой
жесткой гладкой пластинкой по-
постоянной толщины. Ниже при
Р = я/2 @<г<оо, |ф|^р) дается
обобщение этой задачи для слу-
случая пластинки переменной тол-
толщины (клина).
1. Клин вдавливается в полу-
полуплоскость силой Р (рис. 3.2). В ре-
результате расклинивания в полу-
полуплоскости при 0 ^ г ^ Z>, ф = 0 об-
образуется трещина. Область
контакта граней клина с упругой
полуплоскостью определяется
условиями: 0<г<д, ф=±0. При
a^r^b, ф=±0 берега трещины	Рис. 3.2
свободны от нагрузки.
Рассматривая в силу симметрии четверть плоскости {0^г<оо,
запишем граничные условия задачи в следующем виде:
о„=0
«ф=0
^=0, тг,=0
(a^r ^b, Ф = 0),
(Ь <г < оо, Ф = 0),
(О^г < оо, Ф = 0),
(О^г < оо, ф = я/2).
A4.1)
Здесь /(г)—функция, описывающая форму клина. Напряжения при
г -> оо исчезают.
С использованием преобразования Меллина рассматриваемая зада-
задача сводится к определению функции у(г)=±и9(г, + 0) (a^r^b) из
109

следующего интегрального уравнения [3]:
Ь	а
Jl^jfcLjjW-f SMkLli\<n+Dl (a^r^b), A4.2)
а	О
оо
k(t)=2 (sh2 y-w2 ) sh пи smut du, Z>1=const.	A4.3)
о
Решение интегрального уравнения A4.2) должно удовлетворять очевид-
очевидным условиям
О.	A4.4)
Функция q(r), характеризующая распределение нормальных напря-
напряжений в области контакта клина с полуплоскостью, может быть
найдена после определения функции у (г) по формуле
Связь между глубиной погружения клина Н и величиной вдав-
вдавливающей силы Р может быть затем определена из условия статики
P=-2]f'(r)q(r)dr.
О
Введем новую неизвестную функцию
и приведем интегральное уравнение A4.2) для случая /(г)=а(Я—г)
к виду
ь
^(^C=*(r) (*<!¦<&),	A4.7)
)=А(г-ЯIп r~H
я
гЧ-Я
2гЛ
Здесь Л = аЯ, iJ = const, 2а—угол при вершине клина. Решение
интегрального уравнения A4.7) должно удовлетворять вытекающим из
A4.4), A4.6) условиям
v(a) = v(b) = O.	A4.8)
ПО

В A4.7) введем новые переменные во формулам A0.6). В этом
случае интегральное уравнение A4.7) можно записать в форме
A4.9)
— 1, p(x)-=g\aexp — L
Используя представление ядра в форме A0.9) и проведя регуляриза-
регуляризацию, преобразуем A4.9) к интегральному уравнению второго рода
Соответствующее условие ограниченности функции v|/(x
удовлетворено выбором постоянной D2.
2. Легко убедиться в справедливости следующего представления
функции р(х):
p{x) = h ? [Ап(х-х0)-Вп(х-х0)\пХ]\-\
п = 0
A4.11)
Bo(t) = 09 Bx(t) = t9 52(/)=0,5/2ит.д.
Можно показать, что разложение A4.11) сходится равномерно по
хе [—1, 1], если
На основании A4.11) и A0.10) можно заключить, что асимптотичес-
асимптотическое при больших X решение интегрального уравнения A4.10) следует
искать в виде
() t	^*)*	A4Л2>
i,j=o
причем разложение A4.12) будет иметь смысл по крайней мере при
+, 2/я).
111

Внося A0.10), A4.11), A4.12) в A4.10) и приравнивая выражения при
одинаковых степенях A. In А, в левой и правой частях полученного
равенства, последовательно найдем
-b?Z jDin2-l)*0-2jdn2+
<|rei=0,
A4.13)
Возвращаясь в A4.12), A4.13) к исходным переменным и обозначе-
обозначениям, получим
у(г)=
A4.14)
Формулу A4.14) практически можно использовать при
Связь между параметрами критического состояния трещины, при
котором начинается ее развитие, найдем из условия типа G.53)
*1=-е Ит У'{г)у/2п{Ь-г).
A4.15)
Границу области контакта клина с упругой полуплоскостью будем
определять из условия
Km [Y'W-/'Ml-0.	A4.16)
112

1п-=т,
a
Введем следующие обозначения:
Я
а
Внесем у(г) в виде A4.14) в A4.15) и A4.16). Разлагая затем полученные
выражения в ряды по малым параметрам е и т и удерживая члены
порядка е2, ет и т2, найдем
~ / , 1
[-2+0,5тAп |т|-1,579)], Q3(t)=Q1(-t),
A4.17)
°з(т)=4=[тA'579
v т
П4(т)= -4=[^@,421 +In т)-0,25т2 B,079-In т)].
Первое уравнение A4.17) запишем в виде
Второе уравнение A4.17) представим в форме
Графики функций б(т) и у(х) даны на рис. 3.3.
Задавая значение А/, получим искомое т как точку пересечения
линий у=у(т) и у=-М. Затем на графике е=е(т) отыщем е. Таким
образом, при заданных Я и а определяются величины а и Ь. Как
показали расчеты, решение системы
A4.17), удовлетворяющее очевидному
условию е<т, возможно при т>0,47
(линия т=0,47 изображена на рис. 3.3
штриховой линией), при этом
М<1,46.	A4.18) ff>4
Неравенство A4.18) при заданных по-
постоянных материала полуплоскости (?, °>2
vh^i определяет значения параметров
а и Я клина, при которых справедлива п
определяемая на рис. 3.2 картина рас-
расклинивания полуплоскости.
В качестве примера рассмотрим -0,7
расклинивание оргстекла клином с па-
параметрами: а=1°, Я=0,85 см. Следуя
[2] гл. 2, положим: G = 2,45x '*A
хЮ5Н-см~2, v=0,25, А,= 1200Нсм~3/2.
Из системы A4.17) для рассматрива- -^/
емых значений параметров определим:
я = 0,52 см, 6=0,86 см.	Рис. 3.3
i
0,2
0,4

0,6
0,8
Т
113

§ 15. Осесимметричная задача кручения полупространства,
содержащего круглое отслоившееся включение
Следуя [19] гл. 1, рассмотрим в этом параграфе и двух
последующих задачи о тонком жестком включении в упругой среде,
одна грань которого скреплена со средой, другая грань отслоилась.
1. Пусть область, занятая упругой средой, есть полупространство
z^h. В плоскости 2 = 0 при О^г^а расположена тонкая жесткая
круглая пластинка радиуса а. Верхняя грань пластинки (z = 4- 0) жестко
скреплена с упругой средой, а нижняя грань пластинки (z=—0)
отслоилась от среды. К пластинке приложен крутящий момент
величиной М, под действием которого она повернулась вокруг оси z на
угол а. Трение между нижней гранью пластинки и упругой средой
отсутствует. Границу полупространства будем считать свободной от
нагрузки.
Разобьем рассматриваемое полупространство на две области: 1)
O^z^/i, 2) — oo<z^0 и снабдим все функции в каждой из этих
областей соответствующими индексами. Граничные условия рассмат-
рассматриваемой задачи для каждой из областей имеют вид
(z = 0, a<r<oo),
A5.1)
хф22 = 0 (z=-0,
напряжения при z-> — oo исчезают.
Введем в рассмотрение скачки касательных напряжений и переме-
перемещений при z = 0
l фг2"{0 (жг<оо) '
1	'	A5.2)
Mr)
0 (a<r< oo)
а также их трансформанты Ханкеля, определяемые формулами
Общее решение уравнений Ламе в рассматриваемой задаче нужно
взять в виде
u9l (r, z) = J % [А! (У е* + В, ($)*-<•] Л
I	A5.3)
114

Здесь и выше Ji(ty)—функция Бесселя. Произвольные функции Ai(^)9
А2(?,) и 2?i(?) в A5.3) с помощью первого граничного условия A5.1),
условий A5.2), а также закона Гука могут быть выражены через
трансформанты Г(^) и *F(?). После этого граничные условия на
пластинке (последние два условия A5.1)) преобразуются к виду
Проинтегрируем по г второе уравнение A5.4). Возвращаясь затем
в A5.4) к оригиналам и вводя в рассмотрение новую функцию о (г),
связанную с функцией \|f(r) формулой
[гЩ\ = го(г),
получим при 0<г<а
jT(f)*ii(', r)dt-]a{t)tk[0{t, r)dt=2ar,
О	О
A5.5)
]x{t)tkbi(t, r)A+]o(t)tklo{t, r)dt=D.
о	о
Здесь D—постоянная, подлежащая определению, функции Jty(f, r)
определяются формулами
(/=1> 2; >=1» 2>-
С целью сведения системы уравнений A5.5) к одному интеграль-
интегральному уравнению введем функции р(х) и q(x\ связанные с а (г) и т(г)
формулами ([19] к гл. 1):
Действуя затем на первое уравнение системы A5.5) оператором
х	у
О	О
а на второе уравнение оператором
X
Г
J
f(r)dr
115

после сравнительно простых преобразований сведем эту систему
к решению следующего интегрального уравнения [4]:
1	1
щ fx(C)MC-$te=8ofci+2D+ [х(С)*& С, X)* (|g| <!)• A5.7)
-1	-1
В A5.7) введены обозначения
ko(t)= -\n\t\-l/2n
При этом функции р(х) и #(х), связанные с а (г) и т(г) формулами A5.6),
доопределены в области отрицательных значений х следующим
образом:
р(-х)=р(х), q{-x)=-q(x).	A5.9)
Из A5.8) и A5.9) следует, что
A5.10)
2. С целью установления структуры решения интегрального
уравнения A5.7) рассмотрим следующее интегральное уравнение:
1)- A5п)
Продифференцировав по Ъ, уравнение A5.11), получим сингулярное
интегральное уравнение вида
A5.12)
При получении A5.12) использована формула (sgn;c)' = 25(;c) и извест-
известные свойства дельта-функции S(jc). Решение уравнения A5.12) имеет вид
([10] к гл. 1)
1
Щ + 2f ®+ Тп ) хЩ=^	A5ЛЗ)
*(l-g1/4.	A5.14)
Составляющая решения DiX~l{fy есть решение однородного интег-
интегрального уравнения A5.12).
116

Теорема 3.1. Если функция /(?)e#J+ Л-1, 1), а>0, л>0, то
решение интегрального уравнения A5.12) х(^) имеет вид [5]
X (?) = <» (§)*" 4$).	A5.15)
причем со(?)еСи(-1, 1).
Для доказательства теоремы преобразуем A5.13) с учетом значения
интеграла [6]
^"гг (-1)'(-3/4)г(-1/4) w_w+1
y-jpr-
-1
A5.16)
(z)b = z(z+1)...(z + h-1), (zH=l, 0!=l,
к следующему виду:
A5.17)
Продифференцировав формально n раз по ? интеграл A5.17) и ис-
используя формулу G.4) монографии [7], получим
-1
где функция #«(?;, ^) удовлетворяет условию Гельдера по обеим
переменным. Из ограниченности функции Х(?)Л^(?, ?) при ^Де[—1, 1]
следует равномерная относительно ? сходимость интеграла A5.18). Тем
самым также обосновано дифференцирование под знаком этого
интеграла. Следовательно, ЛГ(я)(?)—непрерывная функция, и теорема
доказана.
Проинтегрируем A5.13) по ? в пределах от —1 до 1. В результате
найдем
1
Q= J %(x)dx.	A5.20)
-i
Меняя порядок интегрирования в A5.19) и вычисляя интегралы,
определим
Q = nJlDl.	A5.21)
117

Формула A5.21) связывает постоянную Dx с интегральной харак-
характеристикой функции х(?). Однако в случае уравнения A5.12) постоян-
постоянная />i, тем не менее, остается произвольной и для ее определения
необходимо использовать дополнительное условие.
Нетрудно показать, что если
i.
J w?^	<1522>
-x)
то решение интегрального уравнения A5.11) хОО имеет вид A5.15),
причем со(?)еСп(— 1, 1).
Действительно, умножим левую и правую части уравнения A5.11)
на Х~х( — ?) и проинтегрируем по \ в пределах от —1 до 1. Меняя
затем порядок интегрирования и используя формулу F.7) из таблицы
А монографии [19] из гл. 1, получим A5.22).
Следствие. Формула A5.13) представляет решение уравнения
A5.11) при выполнении условий A5.21), A5.22); структура решения
этого уравнения определяется формулой A5.15).
Полученное решение A5.13) содержит интегрируемую бесконеч-
бесконечность при ?=±1. Если потребовать, чтобы это решение было
ограниченным на одном из концов рассматриваемого промежутка, то
появится дополнительное условие—условие ограниченности, из кото-
которого в случае уравнения A5.12) может быть определена постоянная Q.
Теорема 3.2. Если функция /(%)e#Jj+1(— 1, 1), а>1/4,
и выполнено соотношение
Q-^Д I %77T^ = 0,	A5-23)
?И I/4,	A5.24)
то решение интегрального уравнения A5.12) х(^) имеет вид
) 0^	A5.25)
причем со,(^)еСй(-1, 1).
Для доказательства теоремы соотношение A5.13) следует преоб-
преобразовать с учетом A5.21) и A5.23) к виду
Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1.
Отметим, что условие A5.23) равносильно условию со(—1) = 0.
118

Рассмотрим далее более общее по сравнению с A5.11) интегральное
уравнение
. A5.26)
Будем предполагать, что функции Fn(w) (л=1, 2) как функции
комплексного переменного w = /+'it являются регулярными в полосах
\t\<co, |т|<хя (л=1, 2). При |/|<х„ функции Fn(t) представимы
абсолютно сходящимися рядами
M'HI*"'"' F2(t)=tbnt\	A5.27)
и = 0	п=0
Решение интегрального уравнения A5.26) представим в виде
Ш=ХоО;)+Х.($)>	A5-28)
гДе Хо(?) есть решение уравнения A5.11), определяемое формулами
A5.13), A5.21) и A5.22). Внося A5.28) в A5.26), получим следующее
уравнение для определения %*(?,):
; (|х|<1), A5.29)
-1
1
-1
Теорема 3.3. Если функция /(х)еЯ;+1(—1, 1), а>0,
а решение интегрального уравнения A5.26) существует в Lp(—1, 1),
1<Р<4/3, то решение этого уравнения х(*) ПРИ всех ^е@, оо)
имеет вид
х(х)=п(х)Х-*(х),	A5.31)
причем функция П(х)еС„(— 1, 1), а Х(х) дается формулой A5.14).
Для доказательства теоремы рассмотрим правую часть уравнения
A5.29). На основании теоремы 3.1 и свойств функций Fn(t) легко
доказать, что /i(x), определяемая формулой A5.30) при хе[—1, 1],
непрерывна со всеми производными. Такой же вывод можно сделать
и относительно второго слагаемого, стоящего в правой части A5.29),
119

с учетом того, что xm{x)eL^(—\, 1), 1<Р<4/3. Таким образом,
уравнение A5.29) можно рассматривать как уравнение A5.11), правая
часть которого является непрерывной со всеми производными функци-
функцией. Отсюда, с учетом A5.28), теоремы 3.1 и следствия вытекает
справедливость настоящей теоремы.
Теорема 3.4. Если функция /(jt)e#SJ+i(—1, 1), ос>1/4, я^О,
а решение интегрального уравнения A5.26) существует в Lp(—1, 1),
4>р>1, и выполнено условие
Q(-l)=0,	A5.32)
то решение этого уравнения х(Л) при всех А.е(О, со) имеет вид
()()D	A5.33)
причем функция Qm(x)eCn(—l, 1), a Y(x) дается формулой A5.24).
Доказательство этой теоремы вытекает из теоремы 3.2 и подобно
доказательству теоремы 3.3.
3. Вернемся теперь к исходной задаче. Функции а (г) и т(г) будем
отыскивать в классе функций, имеющих при г—а интегрируемую
особенность. Пусть функции р(х) и q[x) имеют вид
Р^) = 7Г^к^ «W-T^TCi.	A5-34)
где />i(±l)#0, ^!(±l)#0. Внося р(х) и q(x) в форме A5.34) в A5.6)
и вводя вместо г новую переменную 5, связанную с г формулой
5=а-г, получим при 8->О
a(r)-d8-1/2-p, т(г) = С28/2-р (С1э С2—const).
Отсюда следует, что функции а (г) и т(г) будут иметь при г=а
интегрируемую особенность при ($<1/2. Следовательно, решение
характеристического уравнения, соответствующего уравнению A5.7),
следует взять в форме A5.33). Проводя регуляризацию интегрального
уравнения A5.7), получим
. (Ш5)
-1	-1
В A5.35) функция У(?) дается формулой A5.24). Условие ограничен-
ограниченности функции хОО ПРИ ?= —1 имеет вид
ia-D	Х— \ 4к I x(t)k(C,, t, Х)Л=0.	A5.36)
Пу/2 } Щ) J
120

Из соотношений A5.6), A5.8), A5.9), A5.20) с учетом очевидного
условия ф(а)»0 следует
а	а
jp(x)dx=j
ra(r)dr=J|[n|/(r)]*«0.	A5.37)
О	О
Уравнение A5.36) с учетом, что 6=0, служит для определения
постоянной D.
Решение интегрального уравнения второго рода A5.35) может быть
построено методом последовательных приближений. Аналогично тому,
как это было сделано в § 3, можно показать, что процесс пос-
последовательных приближений будет сходиться при выполнении условия
С, *I<4.	A5.38)
Учитывая оценки при
получим, что условие A5.38) выполняется при Х>0,523.
Разыскивая решение уравнения A5.35) в виде разложения во
степеням А,, получим
|y'V	A5.39)
Контактные напряжения тфХ определяются теперь по следующей
формуле, вытекающей из A5.2), A5.6), A5.10) и A5.39):
. A5.40)
Коэффициент N при особенности у контактных напряжений и зависи-
зависимость угла поворота пластинки а от величины момента М определим,
используя соотношения
ЛГ= lim (*-rK/4T,z(/-> + ()),	A5.41)
г—*а — О

Внося в A5.41) и A5.42) полученные выражения, определяющие тфг и q,
найдем
2М
В A5.43) введено обозначение
i \ 1 / 1 \
A5.45)
Здесь АГ(А:) и Е(к)—полные эллиптические интегралы первого и второ-
второго рода соответственно. При Х-»оо из A5.43), A5.44) следуют
результаты, соответствующие кручению отслоившегося кругового
включения в упругом пространстве ([19] к гл. 1):
<xaD = 2MEna3G)-\ Nao = 3y/2BMB/aI/4En2a2)-1.
Полученные формулы A5.39), A5.40), A5.43), A5.44) можно с надеж-
надежностью использовать при 1,5<Х<оо.
4. Решение интегрального уравнения A5.7) может быть получено
также с помощью метода ортогональных многочленов с использовани-
использованием спектрального соотношения ([19] к гл. 1)
A5.46)
и условия ортогональности ([8] к гл. 1)
*.=-
где 5ти—символ Кронекера, PjJfW(x)—полиномы Якоби.
Функцию х(?) следует искать в виде
Z АтИгя{%).	A5.47)
т = О
122

Применение к A5.7) процедуры метода ортогональных многочленов
приводит к следующей системе для определения коэффициентов
Ат разложения A5.47):
«=о
V2
2, ...), A5.48)
A5.49)
> С,
05.50)
- 1	- 1
Из A5.37), A5.42) с учетом разложения A5.46) получим
После подстановки найденных значений Ао и Ai в A5.48) и исключения
D неизвестными в полученной системе уравнений следует считать
Ат (т — 2, 3, ...) и а. При этом указанная система примет вид
у/2
п- ? enmAm-4aiahl8ni=0 (л = 1, 2, 3, ...). A5.51)
т=1
В результате решения системы A5.51) коэффициенты Ат (т = 2, 3, ...)
и а будут выражены через известную величину At.
Для коэффициентов епт при Х>0 справедлива оценка
\епт |
(t/=const,
A5.52)
Для вывода A5.52) к выражению A5.50), определяющему епт, следует
применить формулу интегрирования по частям по переменным
\ и ? с учетом вытекающего из 8.960 [8] к гл. 1 соотношения
ну ' 2ndxLy '
и воспользоваться асимптотическим представлением полиномов Якоби
8.965 [8] к гл. 1. С использованием
формулы Стерлинга легко может быть
установлена оценка	2
«->оо.
A5.53)
Квазивполнерегулярность	системы
A5.51)	при А,>0 следует из оценок
A5.52)	и A5.53).
На рис. 3.4 приведены зависимости
величин N,=.N/N00 A) и (х# = а/а0О B) от
параметра z = a/h, вычисленные с помо-
помощью метода ортогональных многочленов.
')
А
/
е
Рис. 3.4
123

В заключение отметим, что рассмотренный случай отслоения среды
от пластинки при z= — О (снизу) в действительности более вероятен по
сравнению со случаем отслоения среды от пластинки при z=+0
(сверху). Этот факт будет обоснован на примере аналогичной задачи
в следующем параграфе.
§ 16. Антиплоская задача об отслоившемся включении в слое
1. Пусть область, занятая упругой средой, есть бесконечный слой
(|jc|<oo, |j>|<A, М<оо). В плоскости у=0 при |дс|^я, |z|<oo
расположена тонкая жесткая полоса. Верхняя грань полосы скреплена
с упругой средой, нижняя грань полосы отслоилась от среды. Под
действием силы Г, отнесенной к единице длины полосы, полоса
сдвинута в направлении оси z на величину 8. Будем считать также, что
нижняя грань упругого слоя скреплена с недеформируемым основани-
основанием, верхняя грань слоя свободна от нагрузки. Граничные условия
рассматриваемой антиплоской задачи имеют вид
j+0), туг = 0 (|х| <а, >0),
w=0 (|jc|<oo, y=-h)9 туг = 0 (|*|<oo, y=h).
Напряжения при |*|-юо исчезают.
Использование представления гармонической функции w в виде
сю
закона Гука, граничных условий A6.1) и схемы решения задач об
отслоившихся включениях, развитой в [19] к гл. 1, позволяет свести
рассматриваемую задачу к интегральному уравнению
(^j	A6.2)
-1
00
k(t)= [L1(M)
—,	A6.3)
L1(«)=th2i/, ь(и)*~, Х.=Л/а, /(x)=2-=const,
tnu	a
dw
Здесь х(х)—функция, характеризующая распределение касательных
напряжений в области контакта полосы с упругой средой.
124

Исследуем структуру решения интегрального уравнения A6.2).
Функции LH(z) (л= 1, 2) в плоскости комплексного переменного z = u + iv
являются мероморфными функциями, действительными при и = 0. На
оси v=0 функция Li{z) имеет единственный нуль м=0 и не имеет
полюсов, функция L2(z) на оси v=0 не имеет ни нулей, ни полюсов.
Функции Ln(z) удовлетворяют условию
Ln(u)-+l + O(e-**u) (t/->oo, х„>0, «=1,2).
Л е м м а 3.1. При всех 11 \ < оо для k(t) справедливо представление
F(t)= r{[Li(u)-l]oostir+e-a-[La(«)-l]aiiiir}^, A6.6)
где ko(t) дается формулой A5.8), a F(w) как функция комплексного
переменного и>=/+/т является регулярной в полосе |г|<оо, |т|<х*
(x, = min(xb х2)). При |/|<х, функция F(t) представима абсолютно
сходящимся рядом
¦F(f)= I ant\	A6.7)
я = 0
Для доказательства представления A6.5) следует воспользоваться
значениями интегралов B2.29) [3 к гл. 1] и C.721A)) [8 к гл. 1].
Регулярность функции F(t) в полосе |т|<х« вытекает из свойств
функций Ln(z) (и= 1, 2) и теоремы А § 1.4 [13 к гл. 1 ]. Из регулярности
F(w) следует, что при |/|<оо функция F(t) непрерывна со всеми
производными. Раскладывая cosut и sin ut в A6.6) в ряды по степеням
Ш, получим представление A6.7) и коэффициенты этого разложения
A1=1,2,...),	A6.8)
Так как |/|<2Д, то решение уравнения A6.2), полученное
с использованием разложения A6.7), будет иметь смысл по крайней
мере при Х>Хи где
A6.9)
Интегральное уравнение A6.2) с учетом A6.5) совпадает с интег-
интегральным уравнением A5.26) при условии
Fi(f)=F(f), Ft{t)m0, X{x)sq(x).
125

Подставляя в интегральное уравнение A6.2) представление ядра
A6.5) и обращая его главную часть с помощью формул A5.13)
и A5.21), A5.22), убедимся, что любое решение интегрального
уравнения первого рода A6.2) из класса Lp(—1, 1), 1<р<4/3, является
также решением интегрального уравнения второго рода
— A6.11)
-1
при условии
Q=
1
1
-1	-1	-1
и наоборот, если /(jc)e#2+1(— 1, 1), а>0, л^О. Здесь Х(х) имеет вид
A5.14).
Нетрудно с учетом свойств функции F(t), определяемых лем-
леммой 3.1, и условия q(x)eLp(—l, 1), 1<р<4/3, заключить, что интеграл,
стоящий в правой части уравнения A5.26), является непрерывной со
всеми производными по х функцией при хе[-\, 1] и Хе@, оо). Если
к тому же f(x)eH\(— 1, 1), а>0, то в силу теоремы 3.3 решение
интегрального уравнения второго рода A6.10) в классе q(x)eL${— I, l),
1<Р<4/3, можно искать в виде
q(x) = Q(x)X-i{x),	A6.13)
где Q(x)e C(— 1, 1). В этом случае уравнение A6.10) можно представить
в форме
п(х)=По(х)+А(а)9	A6.14)
A6Л5)
Нетрудно показать, если М^, х) представить с учетом A5.16)
в следующем виде:
i
J
126

что оператор А, определяемый формулой A6.15), действует в простран-
пространстве С(— 1, 1) (см. аналогичное доказательство леммы 1.2).
Теорема 3.5. Пусть f(x)eH\(-l, I), <x>0, и справедливо нера-
неравенство
A6.16)
где G1=msix\F'(t)\, G2 = max |F"(f)| при te[O, со). В этом случае
решение интегрального уравнения A6.14) в классе С(—1, 1) существует,
единственно и может быть получено последовательными приближени-
приближениями по схеме
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1.2.
2. Применяя к решению интегрального уравнения A6.10) метод
«больших А», получим
06.17)
?l	**¦ "> Ы^*	U -1 . лЛ -S\l	/\ г ЛО\
И
Коэффициенты ап для рассматриваемого случая имеют следующие
значения:
A	^^ (—0.1....Х	06.19)
В A6.19) Вт—числа Бернулли, Ет—числа Эйлера ([8] к гл. 1).
Учитывая A6.4), получим связь между Г и интегральной характеристи-
характеристикой Q функции q(x) в виде
Т= ] x(x)dx = aGQ.	A6.20)
—а
127

Из A6.20) и A6.18) получим зависимость смещения полосы 5 от
величины приложенной к полосе силы Т
. Т Г 32Х fll /з 2 7
(.6.2.)
Найдем также коэффициент N при особенности контактных
напряжений по формуле, аналогичной A5.41):
iV= ton (в-хK/4т(*).	A6.22)
х-*а—0
Из A6.4), A6.13), A6.17) и A6.22) получим
#=Gfl3/42-5/4Q(-l).	A6.23)
При А,-* оо зависимость 5 от Г определена быть не может. Для
рассматриваемого случая Х!=4, х2 = 2 и, следовательно, из формулы
A6.9) вытекает, что Хх = 1. Из A6.16) определим: Gi = l, G2=0,5,
Х2 = 1,616. Следовательно, полученное решение в форме A6.17), A6.18)
может быть использовано при 1,616<Х<оо.
3. Далее в постановку рассматриваемой задачи внесем изменение:
будем считать, что отслоилась верхняя грань полосы, а нижняя грань
скреплена с упругой средой. В этом случае ядро интегрального
уравнения A6.2) будет определяться формулой
00
k(t)= \[Li(u)cosut-\-L2(u)sinut]— -nsgnt.	A6.24)
о
Здесь функции Lx(u) и L2(u) имеют прежний вид A6.3). Для функции
k(t) в форме A6.24) справедливо представление A6.5), в котором
О
Решение задачи для этого случая дается формулами A6.4), A6.13),
A6.16)—A6.23), в которых следует считать
«2.+1=42„+1Bя+1)! («=0,1,2,...).
Для случаев отслоений нижней либо верхней грани полосы из
полученных формул будем иметь соответственно
1 [1+0,393АГ1+0,0129А.-2 +
+О,2О1)Г3+О,ОО756Л.-4+0(А.-5)],
(-1)= Т{у/2 anGy^l-O&M-1 +0,0129A.-2 -
128

Отсюда, с учетом A6.23), следует, что при Х>Х2 величина
N принимает большие значения для случая отслоения нижней грани
полосы, чем верхней грани. Следовательно, при сдвиге расположенной
в срединной плоскости упругого слоя полосы отслоение должно
произойти на нижней ее грани.
§ 17. Осесимметричная задача кручения пространства,
содержащего цилиндрическое отслоившееся включение
1. Рассмотрим осесимметричную задачу о кручении упругого
пространства, содержащего тонкую жесткую круговую цилиндричес-
цилиндрическую оболочку радиуса R и длины 2а. Внешняя поверхность оболочки
при г=Л-}-0, |z|<fl, 0^ср<2я жестко скреплена с упругой средой,
внутренняя поверхность оболочки при r=R — 0, \z\^a, 0^ф<2я
отслоилась. Трение в отслоившейся области отсутствует. Под действи-
действием момента М оболочка повернулась вокруг своей оси на угол а.
Граничные условия задачи имеют вид
тГф = 0	(г = Л-0, |z|«i),	l * '
напряжения при г->оо исчезают, на оси цилиндра г=0 напряжения
ограничены. Использование представлений A2.1), A2.2), граничных
условий A7.1) и закона Гука позволяет свести рассматриваемую задачу
к решению следующего интегрального уравнения:
A7.2)
-1	-1
к(х, /)=Лэ(т-г)~[*1(х	4
В A7.2) ko(t) дается формулой A5.8),
00
*„(')= J[ L,{u) cos ut+e--]^ (n=l,2),
A7.4)
k3[t)= L3(w)sinw/—, Л=—,
J	«	а
о
Ьп(и)=2иЦи)К„(и)-1 (и=1,2),
5 В. М. Александров и др.	129

x(z)—касательные напряжения, возникающие в области контакта оболочки
с упругой средой. Отметим следующие свойства функций Ln(u) («=1,2, 3):
limLn(w)=-l, Ln{u) = O(u-1) (w-^oo).
Для решения интегрального уравнения A7.2) применим метод
ортогональных многочленов. Решение будем строить в виде следующе-
следующего разложения по полиномам Якоби Р{п~114' ~3/4)(jc):
Для реализации метода ортогональных многочленов понадобится
спектральное соотношение ([19] к гл. 1):
(п=0),
1	, v ГяУ
-1	^ Л
и условие ортогональности ([8] к гл. 1):
7с/„5тй,	A7.8)
-1
= /2 f= [ \
A1=1,2, ...).	A7.9)
Применение процедуры метода ортогональных многочленов
к A7.2) с использованием соотношений A7.5) — A7.9) позволяет свести
интегральное уравнение A7.2) к следующей бесконечной алгебраиче-
алгебраической системе относительно коэффициентов Хп разложения A7.5):
п 0
« -	A7-Ю)
= {- 1)" — X ЛХпЯтп (!Я= 1, 2, ...),
2
о	о
A7.11)
130

-1
A7.12)
с uu-L [ v
"v' */. J "
-1
Из A7.11) видно, что коэффициенты R^ обладают свойством
Rmn^Rnm- С использованием A7.8), A7.9) можно показать, что
Нт^=25и1--5иО, Ся@) = 6я0 (л = 0, 1, 2, ...). A7.13)
Из свойств функций Ln(u) и A7.13) следует, что особенность
у подынтегральных выражений в A7.11) при м = 0 является устра-
устранимой.
Зависимость между величинами М и 5 может быть получена из
условия статики
M=2nR J x(z)dz.	A7.14)
-а
Внося x(z) в форме A7.4) с учетом A7.5), A7.6) и A7.8) в A7.14),
получим
M=2yj2n2RGbX0.	A7.15)
Коэффициент N при особенности контактных напряжений может
быть получен из A6.22) на основании A7.4) — A7.6), A7.8). Именно
найдем
т = 0
2. Далее рассмотрим случай, когда внешняя поверхность оболочки
отслоилась от упругого пространства, а внутренняя поверхность
жестко скреплена с упругой средой. Граничные условия A7.1) задачи
для этого случая нужно заменить на следующие:
и, = 5 (г-Л-0. |z|*0,
тгф = 0 (r = /? + 0, |z|<fl).
Полученные ранее формулы A7.2) — A7.16) для граничного условия
A7.1) сохраняются и для граничного условия A7.17), за исключением
формулы, определяющей функцию L3(u). Эта формула должна
иметь вид
L3{u)=\-2uI2{u)Kx{u).
5*	131

Аналогично, как это бы-
было сделано в § 15, можно
показать, что система урав-
уравнений A7.10) при Х>0 явля-
является квазивполнерегулярной.
При этом коэффициенты си-
системы Rmn следует предста-
представить в форме, аналогичной
A5.50).
На рис. 3.5 приведе-
приведена зависимость М* —
= BJ2n2RGb)-lM	от
X (кривые / и 2) и зависи-
зависимость ^ = 2BaI/4(G5)^
от X (кривые 3 и 4). Сплош-
Сплошные кривые соответствуют
случаю отслоения упругой
среды от внутренней поверх-
поверхности оболочки, штриховые кривые соответствуют случаю отслоения
от внешней поверхности оболочки. Решение системы A7.10) строилось
методом редукции. Как показали расчеты, при 2^А,<оо с достаточной
для практики точностью можно ограничиться решением урезанной
системы A7.10), составленной из 5—6 уравнений. Приведенные на
рис. 3.5 результаты позволяют сделать вывод, что при кручении
круговой цилиндрической оболочки, помещенной в упругое простран-
пространство, отслоение среды произойдет от внешней поверхности оболочки.
\
\. 7
—
—
X
10
Рис. 3.5

ГЛАВА 4
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
О ПЛОСКИХ ТРЕЩИНАХ В УПРУГИХ ТЕЛАХ
§ 18. Пространство с системой трещин
1. Пусть трещина занимает в плоскости z = 0 упругого простран-
пространства область П, ограниченную кусочно-гладким контуром L. Трещина
находится в раскрытом состоянии под действием нагрузки
<tz= — р{х, у), z=±0, (х, у)ей. Предполагается, что напряжения на
бесконечности исчезают. Симметрия задачи относительно плоскости
z = 0 и отсутствие касательных напряжений на берегах трещины
позволяют свести ее к решению одного интегро-дифференциального
уравнения. Для этого необходимо к уравнениям равновесия в переме-
перемещениях применить двумерное интегральное преобразование Фурье по
переменным jc и у, а затем, решив полученную систему обыкновенных
дифференциальных уравнений, удовлетворить граничным условиям
в плоскости z = 0. В результате этого получим:
-jp(x,y), (х,у)еп,	A8.1)
п
х, у) = 0, (х, у)еЬ, у(х, y) = w(x, у, + 0),
/	п	п	\
Если область п является составной IQ=(jQb f]ui = 0l то
\ * = i i=i	/
интегро-дифференциальное уравнение A8.1) распадается на систему
уравнений вида:
[и)^|ИН	A8-2)
1=1 J J
j 0=1,2, ...,«),
где Lj—граница области Q7. Такие задачи исследовались в моногра-
монографии [1].
Рассмотрим, в частности, случай, когда Q есть область следующего
вида:
Я: П^Ог, Wi: 1(х, у)>0; П2:	^
133

симметричная, как и нагрузка р [х, у), относительно плоскости х — — h.
Симметрия позволяет в результате осуществления ряда подстановок
в интегралах A8.2) свести задачу к решению одного интегро-
дифференциального уравнения по П^ В результате этого в ядре
последнего появляется регулярное слагаемое [1]:
2я
y(x9y)=09 (x9y)eLu ^(a,p)=(a2 + p2)-3/2.
Если, в частности, пг и Q2 — бесконечные полосы, определяемые
неравенствами — 2h — a<jc^— 2h + a, |jc|^<7, |j|<oo, а нагрузка не
зависит от у, то интегро-дифференциальное уравнение A8.3) сводится
к уравнению задачи о двух трещинах в плоскости [2].
Параллельно рассмотрим задачу о равновесии упругого простран-
пространства, ослабленного двоякопериодической непересекающейся системой
Рис. 4.1
трещин, лежащих в одной плоскости. В этом случае в интегро-
00
дифференциальном уравнении A8.1) следует положить Q= (J Q^.
т,п= — оо
В частности, для случая эллиптической формы трещин имеем
: l{x + 2mhl9
(m, л=0, ±1, ±2, ...).
Трещины расположены параллельно координатным осям х и у так, что
расстояния между центрами отдельных трещин постоянны и равны
134

соответственно 2hi и 2h2 (рис. 4.1). Предполагается следующая
периодичность функции р(х, у): р(х, у) =р(х + 2mhи y + 2nh2)
(т, п= ±1, ±2, ...). Поскольку все трещины находятся в одинаковых
условиях, то функция у(х,у) двоякопериодична с соответствующими
периодами, и система интегро-дифференциальных уравнений сводится
к одному уравнению по области, занятой одной из трещин (ПОо) П ]'
= --%(*, j), (х,у)епоо, A8.4)
у(х, j) = 0, (x,y)eL00,
оо
(a, P)= X [«(a+2mAb p) + ^(a-2niAb p)] +
ao
(а, р-2иЛ2)] +
-f Y, [q{u>-2mhl9 fi-2nh2)+q(<x-2mhu
m,n= 1
+ q(ai+2mhi, fi — 2nh2) + q(aL+2mh1, Р + 2лй2)]. A8.5)
Если в A8.5) осуществить предельный переход, например, при
Л2->оо, то интегро-дифференциальное уравнение A8.4) с таким ядром
будет соответствовать задаче о равновесии упругого пространства,
ослабленного однопериодической системой (цепочкой) одинаковых
плоских трещин. Плоским аналогом последней из указанных задач
является задача о равновесии упругой плоскости, содержащей бес-
бесконечный ряд коллинеарных трещин равной длины [2].
2. При решении интегро-дифференциальных уравнений вида A8.3),
A8.4) может быть использован асимптотический метод «больших X»
([3] к гл. 1, [3]). Для этого в первой из рассматриваемых задач введем
параметр X = h/a (Х>\) и представим регулярную часть ядра уравнения
A8.3) в виде следующего разложения:
q(?)+x+2h, rj— y)= ? qn(x, ?, у, т\)Х~п.	A8.6)
п=3
Решение этого интегро-дифференциального уравнения будем искать
в форме аналогичного асимптотического разложения
00
у(х, у)— Yj Jm(x, y)X~m.	A8.7)
m = 0
Подстановка разложений A8.6) и A8.7) в уравнение A8.3) и
приравнивание членов при одинаковых степенях X сводит задачу
135

к бесконечной системе последовательно разрешаемых интегро-диф-
ференциальных уравнений:
A8.8)
,у) = 0, (x,y)eLl9 у1=у2 = 0,
и т. д. Непосредственными вычислениями легко убедиться, что
в рассматриваемой задаче разложение A8.6) имеет следующий вид:
A8.9)
Для случая эллиптической области раздела граничных условий
справедливо следующее утверждение:
Теорема 4.1. Если нагрузка, приложенная к берегам трещин,
может быть описана полиномом степени п
^ (r^t) A8Л0)
«=оу=о	V>= const/
то решение уравнения A8.1) для случая эллиптической области Q имеет
вид [4]
, у) H gijXy ( W+{;"Y	A8.11)
Рассмотрим случай р(х, у)=р = const. Решая систему A8.8) с ис-
использованием формул вида A8.10) и A8.11), получим
'). A8.12)
Здесь
Ь, a>b,	[J\~{blaJ, a>b,
A8.13)
C = \(b/aJ, a>b, D^=\Bk2-l)E(k)+(l-k2)K(k), a>b,
136

К(к) и Е(к)—полные эллиптические интегралы первого и второго рода
соответственно.
При решении второй из рассматриваемых здесь задач может быть
также применен асимптотический метод. Для этого введем в рассмот-
рассмотрение два безразмерных параметра X1=h1/a и X2 = h2/b (Х1,Х2>1).
Далее наиболее естественным путем является построение решения
интегро-дифференциального уравнения A8.4) в виде двойного асимп-
асимптотического разложения по отрицательным степеням этих параметров:
00
У{х,у)= I Ут.{х,уЖяк;\	A8.14)
т + л = 0
При этом реализацию указанного разложения следует осуществлять
путем представления несингулярной части ядра уравнения A8.4) в виде
двупараметрического ряда
ф-^-п)= t х»>п(хЛ, У, ч)Кт^п	08.15)
т + и=3
и последовательного решения системы интегро-дифференциальных
уравнений, получающихся в результате приравнивания соответству-
соответствующих членов при одинаковых комбинациях степеней параметров
Xi и Х2. Однако такой путь связан с вычислениями производных
высоких порядков и весьма громоздок. С точки зрения практического
построения решения уравнения A8.4) оказывается более удобным
ввести предположение: X2 = t'ki = tX @<г<оо, tX>\), которое к тому же
нисколько не сужает диапазона применимости получаемых резуль-
результатов. В этом случае оказывается возможным применить тот же метод
решения, что и в задаче для двух симметричных эллиптических
областей. При этом из A8.5) аналогично A8.9) получим
?	),	A8.16)
A8л7)
Здесь введен безразмерный параметр \x = bja, ^(x)—дзета-функция
Римана. Коэффициент d4 равен нулю (член при Х~* в этом случае
в асимптотическом разложении решения будет отсутствовать).
Таким образом, аналогично предыдущему можно построить решение
интегро-дифференциального уравнения A8.4). Оно будет совпадать по
виду с A8.12), при учете того, что коэффициент d3 в этом случае следует
вычислять по формуле A8.17), a d4 = 0. Если в последней из названных
формул осуществить предельный переход при г-»оо, то решение A8.12)
будет соответствовать задаче о цепочке трещин. Построенные асимпто-
асимптотические решения, очевидно, достаточно точны в тех случаях, когда
относительные расстояния между трещинами велики. Как будет
показано ниже, для случаев малых значений параметров X, Xi, X2 (близко
расположенных трещин) в качестве решений с достаточной для практики
точностью следует брать решения соответствующих плоских задач.
137

При численном анализе полученных результатов удобно ввести
в рассмотрение величину N=Ki/Kl<x>, где К\ — коэффициент интенсив-
интенсивности нормальных напряжений в окрестности контура трещины
в рассматриваемых случаях, К\^—соответствующая величина для
случая такой же, но изолированной трещины в пространстве.
Коэффициент К\ вычисляется по формуле [5]
Ai-e^liml^,	A8.18)
где п(х, у)—расстояние по нормали от точки с указанными коор-
координатами до контура, а коэффициент КХ(Х> дается выражением [5]
К^= pAyf)l(a2 sin2Ф + ?2 cos2ФI/4,
где использованы обозначения A8.13). Таким образом, параметр
N характеризует изменения напряжений в окрестности контура одной
из трещин, вносимые остальными. Построенные асимптотические
решения позволяют получить
Здесь угол ф отсчитывается от положительного направления оси Ох,
коэффициенты d3 и d4 для каждой из рассматриваемых задач
вычисляются по соответствующим формулам.
Диапазон изменения параметров X и Хи Х2, в котором можно
рекомендовать использование формулы A8.19), определяется сходимо-
сходимостью разложений вида A8.9). Последнее же существенно зависит от
соотношения размеров рассматриваемой эллиптической области. В за-
задаче о равновесии упругого пространства, ослабленного двумя
симметричными эллиптическими в плане плоскими трещинами, резуль-
результаты вычислений по формуле A8.19) в пределах 2% совпадают
с результатом работы [6] для следующих диапазонов изменения
параметров: а/Ь^0,2; 1,5<А.<оо. Точность формулы A8.19) улучшает-
улучшается, если трещины вытянуты перпендикулярно оси у (а^>Ь). В задаче же
о двоякопериодической системе областей оптимальной в этом смысле
является круглая форма трещин (а = 6). В результате непосредственных
вычислений по формулам вида A8.19) приходим к выводу, что при
сокращении расстояния между трещинами коэффициент интенсивности
нормальных напряжений в результате их взаимодействия возрастает,
причем в задаче о двоякопериодической системе трещин эти изменения
наиболее существенны.
3. Осуществим в задаче о двух симметричных эллиптических
трещинах предельный переход при Ь/а-+ оо и фиксированной величине
полуоси а. В результате этого перейдем к рассмотрению задачи
о плоской деформации бесконечного тела, ослабленного двумя
коллинеарными разрезами равной длины 2а. Решение этой задачи [2]
позволяет, во-первых, дать, хотя и несколько завышенную, оценку
138

коэффициента интенсивности напряжений в случае, когда трещины
сильно вытянуты, т.е. a/b<t:l, в наиболее опасной точке контура
Q (х= —а, у = 0). Заметим, что именно этот случай не охвачен
построенным выше асимптотическим решением. Во-вторых, решение
плоской задачи можно использовать в качестве верхней оценки
коэффициента интенсивности нормальных напряжений для рассмотрен-
рассмотренных здесь задач при относительно малом расстоянии между трещина-
трещинами (А,~1).
Это можно объяснить следующими рассуждениями. Ограничимся
рассмотрением двух симметричных трещин. Выберем на контуре
каждой из них по точке так, чтобы расстояние между ними было
минимальным. Пусть в этих точках контуры трещин являются
гладкими и их радиус кривизны равен р. Если расстояние К между
контурами достаточно мало по сравнению с р, т.е. S = A,/p«cl, то
напряженно-деформированное состояние на перешейке между ними
практически можно считать плоским и в качестве асимптотического
решения при малых 5 принять результат исследования задачи для
плоскости с двумя симметричными полубесконечными разрезами.
Если в плоской модели вместо полубесконечных размеров трещин
взять конечные, равные соответствующим поперечным размерам
трещин в нашей пространственной задаче, то от этого точность
асимптотической оценки, естественно, не ухудшится. О том, что эта
оценка решения будет именно верхней, свидетельствует принцип
сравнения для коэффициента интенсивности напряжений на контуре
трещин нормального разрыва [7]. Этим
принципом можно воспользоваться, по-
поскольку указанной плоской задаче соот-
соответствуют полосовые трещины, область
расположения которых содержит Q.
В качестве иллюстрации результаты
вычисления параметра N в задачах
о двоякопериодической системе трещин
(/), о цепочке B), о двух трещинах E)
представлены на рис. 4.2. При вычисле-
вычислениях принято: А, = А,1 = А,2 = 2. Вычисле-
Вычисления проведены для той точки контура
Q, в которой кривизна его минимальна,
Ni, N2, N3 — соответствующие значения
плоских аналогов задач, Ni=N2 = l,l2%>
N3 = 1,062.
Заметим, что при равенстве всех
соответствующих значений геометри-
геометрических параметров с позиции силового
критерия разрушения ([13] к гл. 2) наибольшую опасность представля-
представляет двоякопериодическая система трещин. С целью сопоставления
штриховой линией на рисунке представлено численное решение задачи
C) методом массовых сил [6].
В заключение отметим, что для задач, рассмотренных в этом
параграфе, возможна и другая физическая трактовка. В частности,
О
Рис. 4.2
139

формула A8.12) может быть рассмотрена как решение задачи
о равновесии упругого полупространства, ослабленного плоской
эллиптической трещиной, перпендикулярной к границе. Предпо-
Предполагается, что на границе полупространства касательные напряжения
и нормальные перемещения отсутствуют. В следующем параграфе
изложена схема, позволяющая получить интегро-дифференциальное
уравнение такой задачи при произвольных условиях на граничной
плоскости. Решение задачи о цепочке трещин также соответствует
задаче о равновесии упругого слоя, ослабленного трещиной эл-
эллиптической формы. Плоскость расположения трещины перпенди-
перпендикулярна граням слоя. Слой зажат между двумя жесткими гладкими
основаниями. Наконец, случай двоякопериодической системы трещин
соответствует задаче о деформации упругого стержня прямоугольного
сечения, зажатого со всех сторон в жесткой гладкой обойме.
В сечении стержня расположена плоская эллиптическая трещина,
перпендикулярная его оси.
§ 19. Полупространство с системой трещин в плоскости,
перпендикулярной к его границе
1. Рассматривается задача об упругом равновесии полупространст-
полупространства z^ О, содержащего в плоскости у = 0 трещину, занимающую в плане
некоторую область О. Эта область в общем случае может быть
неодносвязной и составной. Задача симметрична относительно плоско-
плоскости у = 0 (рис. 4.3). Трещина поддерживается в раскрытом состоянии
действием нагрузки оу=—р(х, z), приложенной к ее берегам. Граница
полупространства свободна от усилий, т. е. при z = 0
az = T,z = Tyz = 0.	A9.1)
Напряжения на бесконечности исчезают.
При построении интегро-дифференциаль-
ного уравнения этой задачи используется
обобщенная схема интегральных преоб-
преобразований, развитая в [19] к гл. 1.
Отметим, что при переходе через плос-
плоскость у = 0 в области расположения трещи-
трещины терпят разрыв функции v, ди/ду, dw/dy.
В связи с этим введем следующие обозна-
обозначения:
A9.2)
Рис. 4.3
dw
ду
ди
Ту
dw
у=-о ЪУ
ди
y=-o~J~y
у= + 0
При этом %, Хь %2 равны нулю на продолжении трещины в плоскости
j =0. Далее, учитывая, что касательные усилия на берегах трещины
140

отсутствуют, получим следующие соотношения:
dv du\	(dv du
dx 0y/v=-o \dx
A9.3)
f dv dw\	Idv dw\
\dz dyjy=-o \dz dyjy=+o
Или, используя обозначения A9.2), запишем
_* + Х2 = 0, -^+Xi=0.	A9.4)
dx	dz
Применим к уравнениям равновесия в перемещениях и граничным
условиям двумерное интегральное преобразование Фурье в виде
ОО 00
— оо — оо
00 00
При интегрировании по у участок интегрирования разбивается на два:
] —оо, — 0[, ]-ьО, оо [. На каждом из участков применяется формула
интегрирования по частям с учетом обозначений A9.2) и соотношений
A9.4). В результате этого задача сводится к решению системы шести
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая
в матричной форме может быть записана в виде следующего
операторного уравнения:
^	A9.5)
Здесь введены обозначения
Ха= J
О	0 -2/осБ! -Bа28!+у2) -2ар8!	О
О 0 -2/рб! -2аР8! -Bр28!+у2) О
-2i<xe2 -2фб2 0	0	0	-у2
-10	0	О	О	О
0-100	00
0	0-1	0	" О	О
М=
1-2V	_ 1	1	2__ 2 2
2{ГЦ' 8l(T=27)' 82"(l3^' V -а +Р ,
141

00 00
du
~dz
dv
~dz-
dw
~dz~
и
V
w
-e3d%Jdz
О	' ?3~l-v
О
О
Граничные условия, вытекающие из A9.1) и условий на бесконеч-
бесконечности, в изображениях Фурье представим также в матричной форме:
ФГаР@) + ЧТар(оо) = 0,	A9.6)
где в данном случае Ф и Ч*—квадратные матрицы шестого порядка.
Запишем их поблочно:
Ф =
I Л
0 0
0 0
I Л
О
О
О -/ос
О -/р
Здесь I — единичная матрица, 0—нулевая матрица.
Итак, рассматриваемая задача приведена к краевой задаче A9.5),
A9.6). Окончательной целью ее исследования является сформирование
функции
(^V	A9.7)
Формула A9.7) есть результат применения двумерного преобразования
Фурье по переменным х и у к соотношению закона Гука
dw ди\ dv
dz dxl ду
142

где a* = aye/G. Последнее слагаемое в A9.7) появляется вследствие
того, что функция dv/dy терпит разрыв при переходе через разрез.
Построение матрицы Грина [8] краевой задачи A9.5), A9.6) может
быть проведено методом, развитым в работе [19] к гл. 1, и дает
возможность получить следующее выражение для S(a, Р, z):
S(a, р, z) = e J х«(С)[Ма, Р. С - ^) + Z. 2 (ос, р, z,
о
Ll(a, р, л)=2?2р^|+уР;4ур+45(л)].-^',	A9.8)
L2(a, р, z, ;)=-
где 8(г|)—дельта-функция Дирака.
Перейдем в A9.8) к оригиналам функций. Теорема о свертке
позволяет под знаком интеграла получить оригинал Фурье функции
скачков %(х, z). Полагая затем j = 0h минуя промежуточные вычисле-
вычисления, запишем окончательный вид полученного интегро-дифференциаль-
ного уравнения для определения функции %(х, z) относительных
перемещений берегов трещины [9]
А И Х&
п
-zJ. A9.9)
Регулярная часть ядра уравнения A9.9), появление которой обуслов-
обусловлено влиянием границы полупространства, имеет вид
J, A9.10)
C1=Dv8183-18s3-438)D81s2)
-1
Напомним, что в силу симметрии задачи относительно плоскости
у = 0 функция %(х, z) = 2v(x, у, z)\y=+0. Следует также отметить, что
особенность в регулярной части ядра является устранимой. Если
предположить, что Q—полоса, определяемая условиями 0<a^z^b,
|х|<оо, а нагрузка р не зависит от х, то уравнение A9.9) в результате
соответствующих упрощений сводится к известному уравнению плос-
плоского аналога рассматриваемой здесь задачи—задачи о равновесии
полуплоскости со свободной границей, ослабленной перпендикулярным
к ее границе разрезом [2].
143

Аналогичным путем могут быть осуществлены постановка и вывод
интегро-дифференциального уравнения задачи для полупространства
и при других условиях на его границе. В частности, в случае жесткого
защемления границы полупространства проблема будет сведена к ре-
решению той же краевой задачи A9.5), A9.6), где матрицы Ф и Ч? будут
иметь несколько иной вид.
2. Пусть трещина занимает в плоскости у = 0 составную симметрич-
симметричную область Q: OiU^, ?liC\u2 = 0 (Пь l(z-hu x-h2)^0, Q2:
l(z—hu x+h2)^0), а нагрузка, приложенная к берегам трещины,
симметрична по jc. Пользуясь симметрией задачи относительно
плоскости л: = 0, в результате замены переменных уравнения A9.9)
можно свести к интегро-дифференциальному уравнению по П^
Сместим далее начало координат в центр этой области. Не вводя
новых обозначений для %, Qi и /?, из A9.9) получим:
X(x, z) = 0, (x9z)eLu
q2(x, §, z, Q = q(Z,+x+2h2, ?-z) +
+ tfi($-x, z+hu
х, %, z, QdW= -4np(x,z)IQ, (x,z)eCl1,
A9.11)
где qi(r\, z, Q имеет по-прежнему вид A9.10), a q(oi, P) = (a2-hp2)~3/2.
В результате проведенных преобразований области расположения
трещин определятся неравенствами:
Очевидно, что уравнение A9.11) справедливо также для любой формы
симметричных трещин.
При решении интегро-дифференциального уравнения A9.11) для
эллиптической формы трещин и полиномиальной нагрузки р(х9 z)
может быть применен асимптотический метод, достаточно подробно
изложенный в § 18. Для этого введем в рассмотрение два безразмер-
безразмерных параметра X1=hi/a, k2 = h2/b, характеризующих относительное
расстояние трещин до границы полупространства и относительное
расстояние между ними. Здесь hi—расстояние от центров трещин до
границы, 2h2 — расстояние между их центрами. В этом случае можно
построить двойное асимптотическое разложение решения по парамет-
параметрам А,ь Х2, однако оказывается более удобным ввести следующее
предположение: Xl = tX2 b/a = X @^/<oo). Это позволяет, как и прежде,
значительно быстрее получить результаты и не сужает диапазона
изменения параметров, в котором решение задачи дает достаточную
для практического использования точность. Решение интегро-диф-
интегро-дифференциального уравнения A9.il) следует искать в форме разложения,
аналогичного по структуре A8.7), причем реализация указанного
разложения осуществляется путем представления регулярной части
144

ядра уравнения A9.11) в виде ряда по отрицательным степеням
параметра X
). A9.12)
Здесь коэффициенты St связаны с параметром t и упругими постоян-
постоянными следующим образом:
St=Q,+P,+ T, (/=1,2,3),
32, с2
З/4
^0
Заметим, что коэффициенты Лу равномерно ограничены при всех
возможных значениях параметра / @^/<оо). Это важно, поскольку
ниже в результате осуществления соответствующих предельных перехо-
переходов по параметрам / и X из решения рассматриваемой задачи будут
найдены его частные случаи. Далее, осуществляя традиционные
рассуждения, суть которых изложена в § 18, придем к бесконечной
системе последовательно разрешаемых интегро-дифференциальных
уравнений первого рода, аналогичных по структуре A8.8).
Ограничимся рассмотрением важного случая р(х, z)—p — const.
В результате ряда выкладок, которые здесь не приведены, получим
асимптотическое разложение решения поставленной задачи. Нормаль-
Нормальные перемещения точек берега трещины, занимающей область Qb
вычисляются по следующей асимптотической формуле:
+ О(Х~% A9.13)
z, x)=l-z2/a2-x2/b2,
11 ' \(к2 + 1)Е(к)+(к21)К(к), a>b.
Смысл остальных обозначений взят из A8.13).
145

Введем, как и прежде, параметр М=Кг/К1о0, характеризующий
изменение коэффициента интенсивности нормальных напряжений
в окрестности контура трещины из-за наличия второй трещины
и относительной близости границы полупространства. В результате
вычислений получим:
где, как и прежде, угол ф отсчитывается от положительного
направления оси Ох.
Следует отметить, что диапазон практической применимости
получаемых результатов существенно зависит от соотношения геомет-
геометрических размеров трещин а и Ь. Оптимальной в этом смысле является
форма трещин, близкая к круго-
круговой. При отклонениях от этого
в ту или иную сторону диапазон
практической применимости ре-
результатов несколько сужается.
Эта зависимость обусловлена
0,5
0,25
0,25 0,5
Рис. 4.4
0,75 XJ
тем, что величина а/b непосредственно влияет на радиус сходимо-
сходимости разложения A9.12) регулярной части ядра интегрального урав-
уравнения.
3. В связи с тем, что рассматриваемые в этой главе задачи
являются многопараметрическими, численные результаты, как прави-
правило, носят иллюстративный характер и не претендуют на полноту.
В качестве примера на рис. 4.4 представлена область изменения
параметров А,ь Х2, в которой для всех точек контура трещины
Qi последний из выписанных член разложения A9.14) при v = 0,3 дает
вклад, не превышающий 3%. Область Qt такова, что Ь/а = 0,5.
Штриховой линией на том же графике проведена граница соответст-
146

вующей области для случая круглых трещин (b/a=l). На рис. 4.5
представлены результаты вычислений по формуле A9.14) параметра
N в точках Р и Q контура эллиптической трещины Qx. Эти точки
расположены соответственно максимально близко к другой трещине
и к границе полупространства. При вычислениях принято Ь/а = 0,5,
^=2, v = 0,3.
Отметим, что в рассматриваемом диапазоне изменения параметров
значения величины N в точке Р при А,2>0,4 превышают соответст-
соответствующие его значения в точке Q. Кроме того, следует учесть, что сама
N
1J03
1,01
0,2
0,4
Рис. 4.6
величина коэффициента интенсивности нормальных напряжений в точ-
точке минимальной кривизны контура в рассматриваемом диапазоне
изменения параметров А,ь Х2 остается, как правило, выше соответству-
соответствующих значений этой величины во всех других точках контура. Поэтому
в рассмотренном случае при достижении нагрузкой критического
значения следует первоначально ожидать объединения трещин в одну,
а затем выхода ее на поверхность. Этот процесс будет иметь место при
квазистатических нагрузках.
Рассмотрим случай, когда форма трещин круглая, а относительные
расстояния между ними и до границы полупространства одинаковы
(Ь/а=\, /=1). Результаты соответствующих вычислений при различных
значениях параметра X и v = 0,3 представлены на рис. 4.6. Нетрудно
147

заметить, что значения параметра N в точках Р и Q контура при всех
допустимых значениях X различаются незначительно. Сказанное
позволяет заключить, что в этом случае продвижение контура трещины
в точках Р или Q с позиции силового критерия разрушения
равновероятно. В данном случае учет любого фактора, выходящего за
рамки принятой модели, может оказаться решающим.
Перейдем к рассмотрению частных случаев. Предельный переход
при Ах-юо соответствует решению задачи о равновесии упругого
пространства с двумя симметричными эллиптическими трещинами,
лежащими в одной плоскости. Эта задача исследована в § 18.
Указанное решение вытекает из A9.14) в результате осуществления
предельного перехода (А-»оо, f->oo) так, что X2 = Xa/(tb)> 1. Возмож-
Возможность такого предельного перехода обсуждалась выше. Другой
частный случай Х2-*оо вытекает из A9.14) в результате предельного
перехода при /-+0. Он соответствует задаче о равновесии упругого
полупространства z^ — /*ь ослабленного плоской эллиптической тре-
трещиной /(z, x)^0, перпендикулярной к его границе. Как показали
вычисления, в этом предельном случае полученные результаты мож-
можно с достаточной точностью использовать при a/b^l/4, Xx^2. От-
Отсюда видно, что возникает необходимость построения решения за-
задачи, когда трещина относительно близко расположена к границе
полупространства ((h1 — a)/h1<^:\) или сильно вытянута вдоль нее
Проводя рассуждения, сходные во многом приведенным в п. 3
предыдущего параграфа, можем заключить, что в качестве асимп-
асимптотического решения
пространственной задачи
в случаях a/b<z\ или
1 — А, Г1 <с 1 следует при-
принять решение плоской за-
задачи о равновесии полу-
полуплоскости, ослабленной
разрезом конечной дли-
длины, перпендикулярным
к ее границе. В подтверж-
подтверждение этого на рис. 4.7
приведены результаты
вычисления величины
N в точках P(x = 0, z = a)
и Q(x = 0, z=— а) конту-
контура эллиптической трещи-
трещины при различных соот-
соотношениях ее размеров.
В качестве предельного
случая	представлены
звездочками результаты исследования плоской задачи [2]. Здесь
же для сравнения штриховыми линиями дано численное решение
задачи методом массовых сил [6]. При вычислениях принято:
О
148

§ 20. Трещина в срединной плоскости слоя
1. Пусть в срединной плоскости упругого слоя толщиной 2h
(|х|<оо, |j|<oo, \z\^h) расположена трещина, занимающая односвяз-
ную и ограниченную область Q. К берегам трещины приложена
нормальная нагрузка интенсивности р(х9 у). Для определенности будем
считать, что слой заключен между гладкими жесткими основаниями.
Рассматриваемая задача для слоя эквивалентна соответствующей
периодической задаче для упругого пространства с трещинами,
расположенными в параллельных плоскостях, отстоящих друг от друга
на расстояние 2Л. Требуется определить форму поверхности раскрыв-
раскрывшейся трещины у(х, y) = w(x, у, + 0) и коэффициент интенсивности
нормальных напряжений на контуре трещины.
В силу симметрии достаточно рассмотреть область: (|х|<оо,
|у|<оо, O^z^h). В этом случае граничные условия задачи могут быть
записаны в виде
oz=-p(x, у), (х, у)еп, z = 0,
w = 0, (х,у)ей, z = 0,	B01)
Txz = xyz = 0 (|*|<oo, M<oo, z = 0),
и>=т„ = т„ = 0 (|лг|<оо, \y\<oo, z=h\
Q—дополнение области Q до всей плоскости, напряжения при
у/х2+у2-+оо исчезают.
С использованием двумерного интегрального преобразования Фу-
Фурье рассматриваемая задача сводится к определению функции у(х,у)
из следующего интегро-дифференциального уравнения [13]:
а	B0.2)
F(t)=]u[H(u)-u]J0(ut)du,	B0.3)
1)-1.	B0.4)
Подлежащая определению функция у(х, у) удовлетворяет условию
y(x9y) = 0, (x,y)eL,	B0.5)
где L—граница области Q.
Можно показать, что функция F(t) вида B0.3) непрерывна со всеми
производными при 0</<оо. При 0</<2 функция F(t) представима
абсолютно сходящимся рядом
^(>)= I bmt2m.	B0.6)
т = 0
149

Коэффициенты рада B0.6) имеют вид
Вычисляя интеграл B0.7) с учетом выражения функции Н(и) B0.4),
получим
(-l)"Bm+2)!(m+2KBm + 3)
* =	 (™ = ° Ь 2 )	B08>
Здесь ?(т)—дзета-функция Римана.
Будем предполагать, что при достаточной гладкости функции
р(х, у) решение у(х, у) интегро-дифференциального уравнения B0.2),
B0.5) существует в LP(Q), p> 1, и единственно. С учетом этого и в силу
указанных выше свойств функции F(t) интеграл, стоящий в правой
части B0.2), является непрерывной со всеми производными в Q функ-
функцией по совокупности переменных х, у. Следовательно, при Х-»оо, где
([3] к гл. 1)
Х=-, а = -тахпК,	B0.9)
а	2
уравнение B0.2), B0.5) переходит в интегро-дифференциальное уравне-
уравнение A8.1). Из сказанного также следует, что структура решения
интегро-дифференциального уравнения B0.2), B0.5) будет той же
самой, что и у уравнения A8.1).
Чтобы установить структуру решения интегро-дифференциального
уравнения A8.1), подействуем на него оператором А. В результате
получим
B0.10)
Гармоническая функция v|/ может быть найдена из условия B0.5) для
функции у. Если правая часть интегрального уравнения B0.10)
принадлежит пространству #?(П), Р^2, а>0, а кривизна контура L,
рассматриваемая как функция дуги s, принадлежит пространству
H\(L), oe>O, то неограниченное решение у(х, у) уравнения B0.0) на
контуре L имеет особенность ([3] к гл. 1) вида R~112. Удовлетворяя
условию B0.5), получим ограниченное решение уравнения B0.10),
которое при сделанных выше предположениях вблизи L должно быть
порядка R112. Вид особенности функции у(х, у) в окрестности угловых
точек контура L исследован, например, в работе [10].
Заметим, что точные решения интегро-дифференциального уравне-
уравнения A8.1) известны лишь в случае полиномиальной правой части
и эллиптической области Q, а также в случае круглой области Q.
150

В более сложных случаях может оказаться полезным следующий
приближенный подход. На основании тождества
B0.11)
уравнение A8.1) представим в виде
y(x,y) = 0, (x,y)eL.
Пусть Q—область, симметричная относительно осей координат.
В этом случае с использованием аппроксимации [11]
R = B\$-x\ + C\r\-y\	B0.13)
двумерное интегро-дифференциальное уравнение B0.12) преобразуется
к следующему одномерному интегро-дифференциальному уравнению:
P(JC)
yJ*J*	± f 1^^ B0.14)
by J ц-у	дх J ъ-
У(±*(у),у) = у{х, ±Э(лг)) = О.
Здесь у=±Р(х) и х=±<х(у)—уравнения границы области Q. Коэф-
Коэффициенты В и С могут быть найдены из условия минимума
в Q среднеквадратичной погрешности аппроксимации B0.13). Аппрок-
Аппроксимация, аналогичная B0.13), использовалась при решении контактной
задачи для прямоугольного в плане штампа, вдавливаемого в упругое
полупространство [12].
2. Построим с помощью метода «больших X» решение интегро-
дифференциального уравнения B0.2), B0.5). Внося B0.6) в B0.2),
получим
B0.15)
у(х,у) = 09 (x,y)eL.
Так как maxni? = 2tf, то тах/ = 2Д (t = R/h). Отсюда следует, что
уравнение B0.15) и полученные на его основе результаты будут
справедливы по крайней мере при А,>1. Решение интегро-дифференци-
ального уравнения B0.15) будем искать в виде ряда по степеням Д,
У(х>у)=1 Ь-тут(х,у).	B0.16)
т = 0
151

Внося B0.16) в B0.15) и приравнивая выражения при одинаковых
степенях X, получим следующую бесконечную систему интегро-
дифференциальных уравнений относительно функций ут(х, у)
(ср. с A8.8)):
_2^_y^LLy	B0.17)
yo(x,y) = 0, (x,y)eL, 7^
Уъ{х,у) = 0 (x,y)eL,
а
x,7) = 0, (x, y)eL,
С1	Л
Ув(х,у) = 0, (x, y)eL
и т. д.
Допустим, что известно решение интегро-дифференциального урав-
уравнения A8.1) для любой правой части. Запишем это решение в форме
у = аА(р).	B0.18)
Легко убедиться, что оператор А обладает свойствами
= const.	B0Л9)
Учитывая B0.16)—B0.19), приближенное решение интегро-дифференци-
интегро-дифференциального уравнения B0.2), B0.5) можно представить в виде
+ JToo(p)A —+y— У + -4з ^00(^)^00A)A(l)-hO(X-7)>, B0.20)
152

где каждый последующий член асимптотики определяется решением
соответствующего уравнения системы B0.17).
В качестве примера рассмотрим случай, когда Q: 1(х, у)^0,
и примем р(х, у)=р = const. Тогда с учетом теоремы 4.1 решение
B0.20) можно представить в форме
B021)
/2(-У31-13ц2У22+4ц4У13),
я/2
Г СО8
J A-
Здесь и далее ?(?)—полный эллиптический интеграл второго рода.
Величины Qmn могут быть выражены через полные эллиптические
интегралы. Из B0.21) для больших значений X получим
N= A",/*",*, = T (a cos <p, b sin ф).	B0.22)
Угол ф отсчитывается от положительного направления оси х.
Формулы B0.21), B0.22) можно использовать для любых значений
параметра це@, 1) при 1,5^Х<оо.
Отметим, что так же, как это делалось в двух предыдущих
параграфах, на основании интегро-дифференциального уравнения
B0.2), B0.5) может быть изучено при больших X взаимовлияние
системы эллиптических трещин, лежащих в срединной плоскости слоя
[13].
3. Предполагая, что контур L имеет непрерывную кривизну, введем
безразмерный параметр р следующим образом ([3] к гл. 1):
p = h/b*, & = min(tf(b r0).	B0.23)
Здесь 2а0 — минимальный отрезок нормали к контуру Q, соединяющий
точки контура L; г0—минимальный радиус кривизны контура L.
Построим далее решение рассматриваемой задачи, эффективное при
малых значениях р.
153

Внесем в B0.2) оператор Лапласа под знак интеграла и объединим
регулярную и сингулярную части ядра. В результате представим
уравнение B0.2), B0.5) в форме
^(x9y)9 (х9 у)еП,	B0.24)
y(x,y) = 0, (x,y)eL;
m(t)=]uH(u)J0(ut)du.	B0.25)
о
Интегральному уравнению B0.24) еще можно придать вид
=~р{х, у\ (х9 у)ей9 B0.26)
и
ОО 00
r(t9 x)=X- H(uh)costaLcosT$dadp,	B0.27)
о о
Применив к интегральному уравнению B0.26), B0.27) двухкратное
преобразование Фурье, получим
1-T(ol, $)H(uh) = F+ (a, p)+F-(а, р).	B0.28)
Здесь Г(а, Р), F+(a, P), F_(a, р)—преобразования Фурье функций
y(*>jO' р(х>у) и Р*(х>у) соответственно,
%9г\)г{Ь-х9г\-у)(%Aт]9 (х, у)еп.
Определяя из уравнения B0.28) функцию Г (a, P) и возвращаясь
к оригиналам, получим
, B0.29)
00 00
cos a t cos f
H(uh)
о о
-da dp.	B0.30)
154

Преобразуем B0.29), B0.30) к виду
B0.31)
Можно показать, что при всех значениях 0<т<г<оо для %(t) вида
B0.32) имеет место равномерно и абсолютно сходящееся представле-
представление ([3] к гл. 1)
-
Zn)
B0.33)
При этом B0.33) можно любое число раз дифференцировать, получая
равномерно и абсолютно сходящиеся ряды. Здесь т—любое малое
положительное число, Ко (z)—функция Макдональда, zn = iyn—нули
функции H(z).
Рассмотрим область Q5cQ, состоящую из точек, отстоящих от
L по нормали не менее чем на ао&. _Из B0.33) при малых значениях
параметра р и условии /?«,(*, y)eL^(U), 1<Р<2, для точек (х, у)епв
следует оценка
B0.34)
Отсюда вытекает, что при малых значениях параметра р приближенное
решение интегрального уравнения B0.26) для «внутренних» точек
области Q будет даваться формулой
(жз5)
Погрешность решения в форме B0.35) определяется оценкой B0.34).
Это решение тем более точное, чем дальше рассматриваемая точка
(х, у) отстоит по нормали от контура L.
Выражение B0.35) можно упростить, используя свойства двумерной
дельта-функции. С этой целью воспользуемся формулами
\uJ0{uR)du = 2nb{R),
о
B0-36)
B0.37)
155

Учитывая еще соотношения
A.f>/o(nVa2 + P2)=-n2-MVa2 + P2),	B0.38)
цН'1 (х])=1/2{ц+х1ц3+х3г\5 + ...), T,-=const,
из B0.35)—B0.38) получим
В частности, при р(х, у)—р = const
y(x,y)=hpBB)-K
Теперь построим решение интегрального уравнения B0.24) при
малых значениях параметра р в окрестности границы области Q.
С этой целью преобразуем это уравнение к виду
9
B0.39)
Используя формулы E5.6), E5.7) монографии [3] из гл. 1, получим
следующую оценку второго интеграла в B0.39):
f fy
B0.40)
/6i—наименьший по абсолютной величине полюс функции H(z).
Перепишем B0.39) с учетом B0.40) в виде
а-аа
-**^, [х,у)еа-Ъ. B0.41)
В B0.41) перейдем к связанным с контуром L новым переменным пи s,
где п — отрезок нормали, соединяющий рассматриваемую точку
области Q—С16 с точкой контура L, s—длина дуги контура L ([3] из
гл. 1), соединяющая начало отсчета с указанной точкой контура L.
В новых переменных (с сохранением обозначений функций у и р)
уравнение B0.41) примет вид
п
y(C t)^y[(^^y
Jnh3P}nsl	B0.42)
156

где 2П — периметр контура L. С целью нахождения главного члена
асимптотики решения интегрального уравнения B0.42) при р-*0 опять
введем новые переменные по формулам
Устремляя затем р к нулю, получим (по-прежнему без изменения
обозначений функций у и р)
J
Стремление р к нулю в системе координат (я, s) соответствует
распрямлению контура L в прямую и вырождению области 0^</^5/р,
|с|<а0П/р в полуплоскость. Следовательно, главный член асимптотики
решения интегрального уравнения B0.42) при р-^0, определяемый из
решения интегрального уравнения B0.43), не зависит от кривизны
контура L.
4. Пусть p(d, c)=p(d). В задачах о трещинах в упругих телах этот
случай соответствует равномерно распределенной нагрузке, приложен-
приложенной к берегам трещины (р(х, у) = const), а также осесимметричным
задачам. В рассматриваемом случае интегральное уравнение B0.43)
преобразуется к интегральному уравнению Винера—Хопфа вида
00
г
= y(d, с),
B0.44)
Уравнение B0.44) определяет плоский «внутренний» погранслой
относительной толщины К, отходящий от каждой точки контура
L в глубь области Q. Этот погранслой должен стыковаться с «внутрен-
«внутренним» решением, определяемым формулой B0.35). Считая для простоты
область Q выпуклой, получим следующую оценку границы применимо-
применимости решения уравнения B0.44):
B0.45)
где d* определяется из уравнения ([3] к гл. 1)
v(d)—главная часть функции y(d) при d-^oo. Аналогичная оценка
может быть получена и для невыпуклой области Q. В этом случае
необходимо вводить, как это сделано в [3] гл. 1, кроме внутреннего
погранслоя внешний погранслой и в оценке B0.45) в качестве
К необходимо брать наибольшую относительную толщину указанных
погранслоев.
157

В случае выпуклой области Q, ограниченной гладким контуром L,
при р(х, у)=р = const внутренний погранслой с учетом аппроксимации
C.47) определяется формулой
+0,989ехр(-1,131и(х, y)/h)G(JOA91n(x,
G{z) = ]exp(u2)du.
о
B0.46)
Здесь п(х, у)—отрезок нормали, соединяющий рассматриваемую точ-
КУ (*> у) области Q—Q5 с контуром L, ограничивающим область Q.
Таблицы функции G(z) имеются в [17] к гл. 1. Из B0.46), в частности,
получим формулы для вычисления у(х, у) на осях эллипса х = 0 и у = 0
у(х, 0)=
+ 0,989 ехр(-1,131 (a-\x\)lh)G{y/0A91(a-\x\)lh)}9
7@, y)=^{
B0.47)
B0.48)
Из B0.47) найдем
~~	(х=±а, у = 0)9
х = 0, у= ±Ь).
В табл. 4.1 приведены значения величины N, вычисленные при
|i=l/2 соответственно для точек х=±а, у = 0 (ф = 0) и х = 0, у=+Ь
(ф = я/2) контура L. В первых строках приведены значения величины N,
Таблица 4.1
ф
0
п
2
X
2
0,979
0,982
0,978
0,981
1,5
0,952
0,964
0,946
0,960
1
0,849
0,921
0,803
0,902
0,5
0,838
0,683
0,704
0,25
0,683
0,672
0,483
0,472
полученные по формулам B0.21), B0.22), во вторых—по формулам
B0.48), в третьих — прямым применением метода Ритца [13] к интег-
интегральному уравнению B0.24), B0.25).
158

Как показывает анализ полученных результатов с учетом выраже-
выражения для /?1оо, величина К\ достигает максимального значения в точках
контура L х=0, y=±b (b<a). Следовательно, в соответствии
с критерием локального разрушения развитие эллиптической трещины
в слое начнется в указанных точках. Величина К} в одной и той же
точке контура трещины для рассматриваемых условий на гранях слоя
с уменьшением относительной толщины слоя X уменьшается. Следова-
Следовательно, с уменьшением относительной толщины слоя X величина
критической нагрузки, при которой начнется развитие трещины,
увеличивается.

ГЛАВА 5
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ
С ПЛОСКИМИ КОНЦЕНТРАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 21. Крутильные колебания пространства
с круглой трещиной
1. Рассмотрим упругое пространство, ослабленное плоской круглой
трещиной. К берегам трещины, при О^г^я, 0^ср<2я, z=±0,
приложена осесимметричная нагрузка тф2 = т(г)со8со/ (/—время), вызы-
вызывающая крутильные колебания точек ее берегов. Введем в рассмотре-
рассмотрение комплексную форму перемещений мф в виде
u9(r9z,t) = v(r,z)ei(Ot.	B1.1)
Применяя преобразование Ханкеля к уравнению Ламе, получим
следующее представление функции v (r, z), удовлетворяющее условию
убывания при z-> —оо,
Здесь и далее в этой главе с2—скорость распространения поперечных
волн в упругой среде, Jn(x)—функция Бесселя.
Используя закон Гука, можно свести рассматриваемую задачу
к определению функции y(r) = +v(r9 ±0) из следующего интегрального
уравнения:
а	оо
J	J V	С2	G
О	О
Ядро интегрального уравнения B1.3) следует понимать в смысле
теории обобщенных функций. Функция у (г) должна удовлетворять
очевидному условию
у(д) = О.	B1.4)
К B1.3) применим формулу интегрирования по частям. В резуль-
результате получим
00
—,	B1.5)
\|/(/•) = --[>У (г)].	B1.6)
160

Из B1.4), B1.6) следует условие
H.	B1.7)
Интегральное уравнение B1.5) проинтегрируем по г. Тогда будем
иметь
B1.8)
Особенность при ? = 0 в подынтегральном выражении ядра уравнения
B1.8) в силу условия B1.7) является устранимой, С—постоянная,
подлежащая определению.
Используя подход, развитый в [1], преобразуем B1.8) к следующе-
следующему интегральному уравнению:
B1.9)
F, a(x)=a(-x).
При этом функция у (г) выражается через вспомогательную функцию
а(х) с помощью формулы
BU0)
Из B1.10) видно, что ограниченность у@) дает условие
}	0.	B1.11)
Как и выше, условие B1.11) приводит к устранению особенности
в подынтегральном выражении ядра при ?=0 и может служить для
определения постоянной С.
2. Применим к решению интегрального уравнения B1.9) метод
«больших X», С этой целью запишем это уравнение в виде
B1.12)
-1
6 В. М. Александров и др.

k(t)= L/w2-lcosw/ — ,	B1.13)
0
1
J ф(г|)^г|=О,	B1.14)
-i
r\ = as, z = ax, Х = С2((йв) 1, (p(r})=.a(s).	B1.15)
Здесь X—безразмерная частота колебаний.
Будем выбирать следующие ветви функции y/z2 — \ на веществен-
вещественной оси [2]:
'"а-нг7г-^ :::::г (^
JyJ\-u2 @^м<1).
В этом случае с учетом интегральных представлений функции Бесселя
Jn(z) и функции Струве Hn(z) из B1.13) получим
+^signt \jo(t)dt~i H0(t)dt+const. B1.17)
Из B1.17) следует представление ядра k(t) в виде ряда
00
k(t) = nb{t)+ ? dtt\t\n+const,	B1.18)
л=1
! '
где §(/)—дельта-функция Дирака; и=0, 1, 2, ...
С учетом B1.18) решение интегрального уравнения B1.12) будем
искать в следующем виде:
<p(z)= I <Рп№-.	B1.19)
n = 0
Внося B1.18) и B1.19) в B1.12) и приравнивая выражения при
одинаковых степенях X в левой и правой частях полученного равенства,
придем к рекуррентной системе соотношений относительно функций
м)
<Po(z)=/(z) + Co, ()
B1.20)
1
1
и т. д. Постоянные Сп определяются из условий
f ф„(л)^Л = О (« = 0,1,2,...),	B1.21)
-1
следующих из B1.14), B1.19).
162

Пусть, например, x(r) = Gxr, где т — уюл закручивания на единицу
длины. Проводя вычисления по формулам B1.20) и B1.21), получим
/	149 29
Из B1.10), B1.15) и B1.22) определим
B122)
B1.23)
1
4/
35
1400Х4
:+0(Х-*).
Функция мф, характеризующая перемещения точек берегов трещи-
трещины, и коэффициент интенсивности касательных напряжений Кш на
контуре трещины имеют соответственно вид
B1.24)
B1.25)
При ю = 0 (Х=оо) из B1.24), B1.25) следует решение соответст-
соответствующей статической задачи
г, ±0, ^=
(г, ±0)=+4xC7i)-1rv/a2
B1.26)
Полученные формулы B1.24), B1.25) можно с надежностью
использовать при 1^А,<оо. На рис. 5.1 представлена зависимость
величины Q = mdLXt(Km/Kma0) от параметра Х~х (кривая 7). Как
показывают расчеты, увеличение частоты колебаний при
ведет к увеличению макси-
максимального значения коэффи-
коэффициента интенсивности каса-
касательных напряжений и, сле-
следовательно, к уменьшению
величины разрушающей на-
нагрузки. Приближенное реше-
решение интегрального уравне-
уравнения B1.9) в случае малых
X может быть получено ме-
методом, примененным в [3]
при решении задачи о кру-
крутильных колебаниях упруго-
упругого полупространства круго-
круговым штампом.	Рис. 5.1
6*
163

§ 22. Колебания плоскости с трещююй
1. Рассмотрим упругую плоскость, ослабленную прямолинейной
трещиной длиной 2а. К берегам трещины при | л: | ^а, у = ±0, приложена
нормальная нагрузка ау= —q0 + qicoscbt (t—время). Будем считать,
что qQ настолько превосходит qt >0, что берега трещины при колебании
не вступают в контакт. Для выделения единственного решения задачи
будем использовать принцип излучения Зоммерфельда [2].
Функцию v(x, 0, t), \x\^a, характеризующую нормальные переме-
перемещения точек берегов трещины, ищем в виде
v(x, 0, t) = q0Q-iy/a2-x2+Re(y(x)ei<ot).	B2.1)
Первое слагаемое в B2.1), соответствующее случаю qi=0, представля-
представляет собой решение задачи Гриффитса для плоскости с трещиной длиной
2а, к берегам которой приложена нормальная нагрузка oy=—q0. Для
определения функции у(х) с помощью обобщенного интегрального
преобразования Фурье может быть получено следующее интегральное
уравнение [4]:
1
-1
B2.3)
W	2A)/^I	2A-v)
Построим решение интегрального уравнения B2.2) с помощью метода
«больших А,». С этой целью, используя интегральное представление для
функции Ганкеля H{2)(z), представим ядро k(t) в следующем виде:
. B2.5)
Отсюда с учетом разложения в ряд функции Ганкеля найдем
k{t) = -+t{bn + dn\n\t\)t2»+l. .	B2.6)
1 я = 0
Коэффициенты этого разложения Ьп и dn даются формулами
+ 1пе+—-тс/(Зе2-4е+3I B2.7)
164

V 3
1 /5 , 1 2 1 l
и т.д.; D = C+]n(y/e/2)9 С—постоянная Эйлера.
2. На основании B2.6) решение интегрального уравнения B2.2) при
больших значениях параметра X будем искать в виде
Ф®= I V^m-^ln**..	B2.8)
т, п = 0
Используя далее алгоритм, изложенный в § 21, получим
ад,	B2.9)
-h[0,03129^4-0,3014^2-f0,1337-h(-0,1877^24-0,513l)lnX( +
При вычислениях было принято v = 0,3. Из B2.1) и B2.9) определим
функцию v (х, 0, /) и коэффициент интенсивности нормальных напряже-
напряжений К\ на концах трещины:
0, t) = q0Q~/{[()
{)] (	\ B2.10)
B2.11)
[0,006258^4-@,09212+0,062581пХ)^2-
Полученные в настоящем параграфе расчетные формулы могут
быть с надежностью использованы при 2,5<А,<оо. На рис. 5.1 (кривые
2 и 3) приведена зависимость величины/=A+Х) A+Х^*) от X, где
]. B2.12)
Кривая 2 соответствует значению х = 0,25, кривая 3—значению х = 0,5.
Анализ полученного решения позволяет сделать вывод, аналогичный
165

выводу предыдущего параграфа: увеличение частоты колебаний при
рассмотренных значениях параметров ведет к уменьшению величины
разрушающей нагрузки. Решение задачи при малых значениях парамет-
параметра X может быть получено методом, развитым в [5].
§ 23. Антиплоские колебания слоя с полосовой трещиной
1. Пусть в срединной плоскости упругого слоя толщиной 2Л
расположена полосовая трещина. Грани слоя свободны от нагрузки.
К берегам трещины при |х|^я, у=±0, |z|<oo приложена нагрузка
туг=— т cos cof (/—время). Эта задача обобщенным преобразованием
Фурье может быть сведена к решению следующего интегрального
уравнения [6]:
= 2nxaX2/G (|^|^ 1), ?> = х/а9 X = h/a, B3.1)
Функция ф(^) связана с функцией w формулой
w(x, ±0, ;)=±Яе[ф(;с/а)ехр(ш)/)] (\х\^а).	B3.2)
Ядро интегрального уравнения B3.1) следует понимать в смысле
теории обобщенных функций. Контур Г в ядре совпадает с веществен-
вещественной осью всюду вне окрестности вещественных полюсов функции Н(и)
и обходит положительные вещественные полюсы сверху, а отрицатель-
отрицательные—снизу [2]. Полюсы функции Н(и) определяются из уравнения
Решение этого уравнения имеет вид
и=±ип, un = Jti2-n2(n-l/2J («=1,2,...).
Отсюда следует, что при \i<n/2 все полюсы функции Н(и) лежат на
мнимой оси симметрично относительно вещественной оси. При
я/2<ц<оо на действительной оси будет находиться конечное число
полюсов функции Н(и).
Совместим контур Г в B3.1) с вещественной осью. В результате
получим
-1
1), B3.3)
166

B3.4)
Внеинтегральные слагаемые в ядре уравнения B3.3) обусловлены
наличием у функции Н(и) полюсов на вещественной оси, N—число
указанных положительных полюсов.
Решение интегрального уравнения B3.3) будем искать в виде
B3.5)
где Хт—коэффициенты, подлежащие определению, Un(x)—полиномы
Чебышева второго рода. Применяя к B3.3) процедуру метода
ортогональных многочленов ([19] из гл. 1), получим следующую
систему линейных алгебраических уравнений относительно Хт\
Z XmRnm=Un0 (#!=0, 1, ...),	B3.6)
т = 0	Z
B3'7)
Здесь дпт—символ Кронекера. При получении выражения, определя-
определяющего коэффициенты Rnm, использованы значения интегралов 7.324B)
и 6.574B) ([8] из гл. 1). Коэффициенты Хт и, следовательно, функция
ср(?) при Х<оо и ц<я/2 являются вещественными, а при ц>я/2 —
комплексными величинами. Отсюда вытекает, что при Х<оо и ц<я/2
отсутствует сдвиг фаз между колебаниями нагрузки ху2, приложенной
к берегам трещины, и колебаниями точек берегов трещины. В осталь-
остальных случаях, включая случай трещины в пространстве, сдвиг фаз
между указанными колебаниями будет иметь место.
Величина Кт может быть определена по формуле
Km=-G lim
zdw
B3.8)
y=+0
На основании B3.2), B3.5) и B3.8) найдем
Z(-l)wRe^w + ZC-1I»^ [ 'B3.9)
где ^iiioD=t>/a7t соответствует Х=оо, co=0.
2. Получим также решение рассматриваемой задачи методом
«больших X». При реализации этого метода удобнее рассматривать
167

следующее интегральное уравнение:
1
-*^: (КК1),	B3.10)
B3.11)
о
Интегральное уравнение B3.10) с ядром B3.11) эквивалентно интег-
интегральному уравнению B3.3) при условиях
ф(±1) = 0, ф'(?) = \|/(?).	B3.12)
Представим q(t) в следующем виде:
1 °°
q{t) = qi(t) + q2(t) = -+ Е (^т + Дик*! *l)'2m+1>
00
qi(t)= L/w2-n2sinw^.	B3.13)
о
Функции #! (О, преобразуя интеграл ([8] к гл. 1), можно также придать
форму
B3.14)
где H{i}(z)—функция Ганкеля. Используя разложение в ряд H^iz),
получим
!П=0
Bт+1)!B«+2)П '
где С—постоянная Эйлера. Функция q2(t) может быть разложена
в ряд вида
<Ы')= I K+iK)t2m+1,	B3.16)
m = 0
где am и pm на основании B3.11) и B3.13) представимы в форме
168

Реализация метода «больших X» приводит к следующему решению
интегрального уравнения B3.10):
3X)[ B3.18)
24	4
Из B3.18) с учетом B3.12) может быть найдена функция
B3.19)
и>(*, ±0, 0=±TGv/^:JcIRe[O(x/a)eie>f].	B3.20)
Из B3.20) и B3.8) получим
Klll = xs/an(N1cos(ot-N2sin(ot), ^ + /#2=0A),	B3.21)
Q = maxt *ш/*ш • = y/N\ + N2r	B3.22)
Расчеты по полученным здесь формулам проведены при и± = 1. При
решении системы B3.6) методом редукции для 0,5^А,<оо расхождение
значений величины Q, соответствующее удержанию в B3.5) пяти
и девяти членов ряда, не превосходит 1%. При З^А,<оо значения
величины Q, вычисленные по формулам B3.9) и B3.22), практически
совпадают. По B3.9) имеем
X 1,5 2 2,5 3	4	5	6
Q 0,400 0,545 0,645 0,745 0,905 0,950 0,975
В случае больших значений параметра ц либо малых значений параметра
X для решения рассмотренной здесь задачи рационально использовать
метод, развитый в [7]. Отметим также, что из B3.20) и B3.21) может
быть получено решение соответствующей задачи о трещине в упругом
пространстве. С этой целью в полученном решении нужно отбросить
члены, соответствующие q2 (t), а в оставшихся членах параметр X нужно
заменить на Сг^а)'1 и \х положить равным 1. Результаты вычислений
при этом совпадают с соответствующими результатами, приведенными
в монографии [8].
169

§ 24. Движение полубесконечного клина в полосе
1. Рассмотрим бесконечную упругую полосу шириной 2Л (|jc|<oo,
\у\^ /г). Полоса расклинивается вдоль оси симметрии тонкой жесткой
гладкой полубесконечной пластинкой (клином) постоянной толщины
Id. Пластинка движется
с постоянной скоростью V.
Впереди нее образуется тре-
трещина, смыкающаяся в неко-
некоторой точке оси симметрии
на расстоянии 2а от конца
пластинки (рис. 5.2). Грани-
Граница полосы находится в кон-
контакте с гладкими жесткими
основаниями. Предполагая,
Рис 5.2	что ПРИ ' = 0 ('— время) точ-
точка смыкания берегов трещи-
трещины имела координаты (а, 0) в системе (jc, у), введем подвижную
систему координат (?, г|) по формулам
У////Л
V/////,
2а
Используя обобщенное преобразование Фурье, можно получить
решение уравнений Ламе для рассматриваемого случая в следующем
виде:
оо +i
- ао + ic
oo + ic
-^ I
дц
Здесь с1 = с2/ч/^—скорость распространения продольных волн в уп-
упругой среде.
В рассматриваемой задаче напряжения при х -+ + оо должны
исчезать. Этому условию можно удовлетворить, положив в интеграле,
определяющем ф и \|/, с<0. Используя далее формулы закона Гука,
получим следующее соотношение:
B4.1)
-oo+ic
= (l+r2J-4rs, V<c2<Cl.
170

Здесь у(?)= ±мл(?> ±0) (|^|^а). Учитывая, что в B4.1) с<0, и перехо-
переходя затем во внутреннем интеграле к интегрированию по действитель-
действительной оси, получим
а
k(t)= \ L(u) sin utdu,
о
и—-О
Из B4.2) следует, что lim ал(^, 0) = 0. Учитывая, что
B4.3)
на основании B4.2) получим интегральное уравнение для определения
функции у'(?) ([1] из гл. 3)
Из B4.2) с учетом значения интеграла
dx	n sign ?
1
следует, что
*1а = Д*тоУ2яй-я)ал0;, 0)=--^^ Д1т q ,/2я(а-^уЧ^ B4.5)
2. Построим решение интегрального уравнения B4.4) методом
«больших Ъ>. С этой целью, воспользовавшись значением интеграла
3.987B) ([8] из гл. 1), представим ядро к (t) в виде
( }
Из B4.6) следует представление
= -+ ? аУ~1 (М<2г),	B4.7)
171

где В2п—числа Бернулли. Внося B4.7) в B4.4), после некоторых
преобразований получим
?5 Q, (*)+—?=j Ъ E),	B4.8)
ft)-('Ч) ^
4 -H
Постоянная Р может быть найдена из условия
)-d.	B4.9)
Внося B4.8) в B4.9), получим, что P=-d/a. Из B4.8) путем
интегрирования по х с учетом условий B4.3) легко может быть
получено выражение для определения у(?). Из B4.5) и B4.8) определим
B4.10)
Полученные формулы B4.8), B4.10) дают практически точное решение
при Х^2/г. В случае малых значений параметра X для решения
рассматриваемой задачи может быть применен метод, развитый в [16]
к гл. 2.
3. Решение интегрального уравнения B4.4), эффективное при
любых значениях параметра А,е@, оо), может быть построено методом
ортогональных многочленов ([19] из гл. 1). Для этого представим
интегральное уравнение B4.4) в виде
x (KK1), B4.11)
^cth|i	B4.12)
2А 2 А
) = k(t)-ko{t).	B4.13)
В B4.11) введем новые переменные ? и г| по формулам
B=ch[i.
172

-1	-1
После некоторых преобразований интегральное уравнение B4.11)
может быть записано в следующей форме:
B4.14)
B4.15)
Решение интегрального уравнения B4.14) будем искать в виде
-7= I ^^т(л).	B4.16)
/1
Используя процедуру метода ортогональных многочленов, получим
следующую систему для определения коэффициентов Хт:
= 1*„Утл (т = 0, 1, ...),	B4.17)
1 1
/l_n2
B4.18)
<*ит
В приведенных здесь формулах Тп(х) и Um(x)—полиномы Чебышева
первого и второго рода соответственно. К системе B4.17) необходимо
добавить уравнение, вытекающее из B4.9),
? jfY-th^Y^—.	B4.19)
При получении B4.19) использовано значение интеграла 3.613A) ([8]
из гл. 1).
Лемма 5.1. Для коэффициентов Ymn бесконечной системы B4.17)
имеют место оценки
(m, w^O),	B4.20)
(т>0, п>2),	B4.21)
B4.22)
!())l. 52(Я.)»2шах
Доказательство леммы аналогично доказательству леммы
173

Теорема 5.1. Бесконечная система B4.17), B4.19) квазивполне-
регулярна при Х>0. Если существует ее ограниченное решение, то
последовательность {Хт} принадлежит U. Бесконечная система B4.17),
B4.19) вполне регулярна при выполнении условия
Sl(k) + 3US2(k)<\.	B4.23)
Доказательство теоремы использует оценки B4.20)—B4.22), сумму
ряда 0.237C) ([8] из гл. 1) и аналогично доказательству теоремы 1.3.
При вычислениях выражение, определяющее У^,, рационально
преобразовать к следующему виду:
w(-l)'
nA-1
Im
00
I
;, B4.24)
со (w) = L (w) — cth Лм, P = uA/k.
Здесь (a )„ = #(#+1)...(аН-и—1), (aH = l; /*!!,(#)—присоединенная функ-
функция Лежандра. Далее следует использовать асимптотическое представ-
представление Рпт(В) при больших значениях аргумента (малые X) и при
значениях аргумента,
близких к единице (боль-
(большие X). Результаты рас-
расчетов представлены на
рис. 5.3, где приведена
/j/5l	1	^Г ^*"— I		¦ 1 зависимость величины
0,5
0,25
[/
г
!
7.
А
18
24
от X для v = 0,3
и K/ci=O,l; 0,3; 0,4 (соот-
(соответственно кривые /,
2 и 3).
Анализ полученных
результатов показывает,
что #ifl>0, если V<V0,
где К, определяется из
уравнения Q = 0. При
V> V* величина Ки стано-
становится отрицательной, что
невозможно в рассматри-
рассматриваемой постановке зада-
задачи, учитывающей наличие перед клином трещины нормального разрыва.
Поэтому условие Q = 0 или A+r2J — 4rs = 0 определяет предельную
(релеевскую) скорость движения клина. Это условие получено при
исследовании задачи о расклинивании упругой плоскости в работе [9].
Анализ зависимости Ки от параметров X и V\c\ показывает, что
в соответствии с критерием локального разрушения с увеличением
скорости движения пластинки длина трещины перед пластинкой должна
уменьшаться. При постоянной скорости длина трещины должна
уменьшаться с уменьшением ширины полосы.
12
Рис. 5.3
174

§ 25. Сверхзвуковое расклинивание полосы
1. Задачи о сверхзвуковом расклинивании упругих тел, как указано
в [10], возникают при анализе электронного и лазерного разрушения
материалов. Здесь изложим некоторые результаты работы [11].
Рассмотрим сначала вспомогательную задачу (плоская дефор-
деформация) о движении с постоянной сверхзвуковой скоростью
V (V>cl>c2) по поверхности упругой полосы толщины h со-
сосредоточенного нормального усилия Р. Пусть полоса жестко защем-
защемлена по основанию, тогда граничные условия вспомогательной задачи
в подвижной системе координат, начало которой совмещено с точкой
приложения сосредоточенной силы, будут иметь вид
С5У=-РЪ{Х\ Хху = 0
u = v = 0 (y=-h),
B5.1)
где д(х)—дельта-функция.
Известно, что такая задача сводится к нахождению двух волновых
функций, связанных через граничные условия, и может быть решена
Рис. 5.4
в замкнутом виде ([11] к гл. 1). Для системы ударных волн,
изображенных на рис. 5.4, приведем окончательное выражение для
перемещения точек верхней границы полосы в направлении оси у.
e, = G». B5.2)
Здесь введены обозначения
о
4(Y2-D
, в=
Y2+l
(У2-1J
B5.3)
G—модуль сдвига. Формула B5.2) справедлива при всех х> — 2yh,
когда 2р>у, как это имеет место на рис. 5.4, а также при всех х> — 4рЛ
в случае, когда Зр>у>2р. При другой системе ударных волн,
изображенных на рис. 5.5, выражение для перемещения точек верхней
175

-2/3h
////////77/7//////////////////
-yh -Jj3h
Рис. 5.5
границы полосы в направлении оси у имеет вид
у(дг, 0) = Р0Г1[П(л:)-/>1П(х-|-2рЛ)
где обозначено
л 2Я(ру-1JA-Я)
B5.4)
B5.5)
Формула B5.4) справедлива при всех х>~(р+у)й, когда 5Р>у>Зр,
а также при всех х> — брй, когда у>5р (рис. 5.5 соответствует случаю
4р>у>ЗР).
Положим V2/cl = G9 тогда
1/2(l-2v)/(l-v)<1/2. B5.6)
В табл. 5.1 даны значения величин у/Р, Ву S, Dt (/=1, 2, 3) в зависимо-
зависимости от параметра а. Из табл. 5.1 видно, что в основном 4>у/Р>2,
значения у/Р>4 достигаются при малых е (для слабо сжимаемых
материалов), а значения у/Р<2—при е, близких к 1/2.
Таблица 5.1
a
8=1/4
6=1/3
Y/P
В
D7
D,
У/Р
В
D^
D7
D3
1
00
00
00
-2
0
-2
00
оо
00
-2
0
-2
1+е
4
2,25
5,2
0
1,846
0
3
1
3,464
0
2
0
1+2е
3,162
2,530
5,262
0,323
1,756
-0,0315
2,450
1,378
3,805
0,279
1,916
-0,0106
1 + Зе
2,828
2,946
5,523
0,536
1,624
-0,0950
2,236
1,789
4,158
0,490
1,773
-0,0530
1+4е
2,646
3,402
5,823
0,698
1,495
-0,1719
2,121
2,210
4,493
0,658
1,627
-0,1184
00
2
00
00
2
0
-2
1,732
00
оо
2
0
-2
Пользуясь принципом суперпозиции, найдем теперь решение задачи
о движении со сверхзвуковой скоростью по границе упругой полосы
176

распределенной на отрезке —
основании формулы B5.2) имеем
нормальной нагрузки q(x). На
а
фК B5.7)
Соотношение B5.7) справедливо при всех х> — 2yh + a, когда 2р>у,
а также при всех x>-4ph+a, когда Зр>у>2р. Это еще можно
трактовать так, что соотношение B5.7) справедливо при А,>у~*
(X=h/a—относительная толщина полосы), когда 2р>у, а также при
Х,>Bр)~\ когда Зр>у>2р. Аналогично на основании формулы B5.4)
найдем
B5.8)
Соотношение B5.8) справедливо при всех х> -(Р+у)й+а Ск>
>2(Р+у)), когда 5р>у>ЗР, а также при всех x>-6$h+a \k>
>Cр)), когда у>5р.
2. Перейдем к постановке основной задачи. Пусть упругую полосу
толщины 2/г, защемленную по основаниям, рассекает, двигаясь
с постоянной скоростью V>ci по оси х, жесткий клин длиной 2а
и с углом при вершине 2а (рис. 5.6). К клину приложено толкающее
усилие б, действием сил трения в области контакта |л;|^я клина
-a f
	Q 	H^teSS
V
a ^
\
X
Рис. 5.6
с полосой пренебрегаем. В силу симметрии задачи относительно оси
х можем далее рассматривать лишь область — h^y^O, а считая, что
2<ха соизмеримо с величиной упругих перемещений (т. е. считая, что
клин достаточно тонкий), можем сносить граничные условия на ось х.
С учетом сделанных допущений в подвижной системе координат,
177

связанной с клином, будем иметь
хху(х, 0) = 0, ау(х, 0) = 0 (х<-а)9
Заметим, что третье условие B5.9) с учетом того, что движение клина
сверхзвуковое, может быть заменено таким: ay(jc, 0) = 0 (х>а).
Предположим далее, что относительная толщина полосы X настоль-
настолько велика, что справедливы формулы B5.7) и B5.8). Тогда, удовлет-
удовлетворяя граничным условиям B5.9), с помощью B5.7) придем в случае
Зр>у к следующему интегральному уравнению относительно контакт-
контактного давления fe)
= -Ща-х) (\x\^a). B5.10)
Аналогично с помощью B5.8) придем в случае у>3р к интегральному
уравнению
= -e.a(a-x) (|*|<e). B5.11)
Дифференцируя уравнения B5.10) и B5.11) по х и принимая во
внимание, что П'(<)=8(/), найдем
B5.12)
B5.13)
Если Х,>р~1, то на основании известных свойств дельта-функции из
B5.12) и B5.13) получим для q(x) выражение
q(x) = Q.a,	B5.14)
которое одновременно удовлетворяет и уравнениям B5.10), B5.11).
Далее толкающее усилие Q найдем по формуле
Q = 2n 5 q(§db	B5.15)
— а
178

а именно будем иметь б=4ав,ос2. Учитывая соотношение
J
Tl(t)dt=l-(\t\-t),
B5.16)
по формулам B5.7), B5.8) и B5.14) можем в каждом конкретном случае
найти раскрытие трещины Г (jc) = — 2v (jc, 0) за проникающим клином.
Нетрудно убедиться, что оно является кусочно-линейной функцией, при
— а^х^а — 2рЛ раскрытие постоянно и равно 4<ха. При меньших
значениях х не исключена возможность вступления берегов трещины
в контакт, однако в силу сверхзвукового характера задачи это не приведет
к изменению контактных усилий B5.14) между клином и полосой.
Если Х<Р, но Х>2(р + у) в случае B5.12) или Х,>Bр)
в случае B5.13), то из B5.12) и B5.13) будем иметь
Из условия а—2рЛ< — д
ния B5.17) следует
с учетом первого соотноше-
соотношеB5.18)
Из B5.17) и B5.18) получим
Формула B5.19) показывает, что контактное давление #(jc) всюду
в области контакта |*|<а при 1 -f-Z>!>0 положительно, а в точке
х = а — 2рй при />1т^0 имеет скачок. По формуле B5.15) теперь
нетрудно найти толкающее усилие б, а с помощью формул B5.7)
и B5.8)—раскрытие трещины.
Если в случае B5.13) величина ^<Bр)~1, но А,>2(Р+у)~\ когда
5р>у>3р, или ^>Cр)~\ когда у>5Р, то будем иметь
B5.20)
Из B5.20) с учетом значений
B5.21)
легко определим
q{x)=
B5.22)
179

Если в случае B5.12) величина Х<2(р+у) *, но \>у 1, когда
2р>у, или Х>B$)~1, когда Зр>у>2Р, то будем иметь
B5.23)
По аналогии с предыдущим из B5.23) получим
{0,а (л-2РА<л<д),
9,осA H-Z^i) (a-$h-yh^x<a-2$h),	B5.24)
Из формул B5.22) и B5.24) видно, что контактное давление q(x) всюду
в области контакта |лс|^я положительно, если 1 +D1>0 и соответст-
соответственно H-Z)i+D3>— D\ или 1-fD1H-Z>2>0. Эти условия, как следует
из табл. 5.1, при a^l+e всегда выполняются.

ГЛАВА 6
ПЛОСКИЕ ТРЕЩИНЫ
В ПРЕДНАПРЯЖЕННЫХ УПРУГИХ ТЕЛАХ
§ 26. Нормальный отрыв берегов трещины
в преднапряженной плоскости
1. Рассмотрим неограниченное упругое пространство, ослабленное
плоской трещиной, ограниченной гладким замкнутым контуром.
Предположим, что упругая среда испытывает однородную конечную
деформацию, при которой отсутствуют напряжения на плоскостях,
параллельных трещине. Очевидно, что при таком нагружении тела
наличие трещины не проявляется. Однако при последующем нагруже-
нагружении поверхности трещины начальные напряжения, действующие в теле,
будут влиять на деформацию тела с трещиной.
Рассмотрим задачу о наложении на описанную выше однородную
конечную деформацию малой деформации, вызванной нагружением
поверхности трещины некоторой равномерной нагрузкой. В силу
предположения о малости добавочной деформации последнюю задачу
будем рассматривать в линеаризованной постановке [1 ]. Для изучения
асимптотического распределения перемещений, деформаций и напряже-
напряжений вблизи контура трещины достаточно исследовать три двумерные
задачи для прямолинейной щели ([2], [13] из гл. 2): задачу нормально-
нормального отрыва, а также задачи поперечного и продольного сдвига. Первые
две задачи являются задачами о плоской деформации, в третьей задаче
рассматривается антиплоская деформация. Если тело изотропно
и фронт трещины параллелен одной из главных осей начальной
деформации, то эти три задачи можно рассматривать независимо.
В настоящем параграфе рассмотрена задача нормального отрыва.
Пусть х, у—декартовы координаты плоскости в начальном дефор-
деформированном состоянии. Трещина расположена на оси абсцисс симмет-
симметрично по отношению к оси ординат и имеет длину 2а в начальном
деформированном состоянии. Берега трещины нагружены равномер-
равномерным давлением интенсивности р. Для плоской добавочной деформации
система уравнений равновесия в перемещениях для произвольного
изотропного несжимаемого материала имеет вид [3]
д2и д2и d2v dq
дхду дх2 ду
ди dv
dq n
дх2 ду
181

Здесь и, v—добавочные перемещения в направлениях соответственно
осей абсцисс и ординат, q—функция добавочного давления, наличие
которой связано с несжимаемостью материала,
?=2Х2П2 + Х.?Пи +Х|П22-2Х.1>.2П12,
B6.2)
\2 \2 '	\1 '
X*—положительные постоянные, называемые главными растяжениями,
пк=^, пу=
П — удельная потенциальная энергия изотропного несжимаемого мате-
материала, функция главных растяжений Xki связанных условием несжима-
несжимаемости
Ц2^з = 1.	B6.3)
Начальные напряжения определяются следующими соотношениями
[4]:
Поставленная задача о трещине в предварительно напряженной
плоскости эквивалентна задаче для полуплоскости у^О со следующими
граничными условиями на границе полуплоскости у = 0 [5]:
, v = 0 (\x\>a).	B6.6)
Здесь (*21—добавочное касательное напряжение (см. ниже B6.14)).
Решение краевой задачи B6.1), B6.5), B6.6) будем искать в виде
следующих интегралов Фурье:
182

Решение системы B6.1) в изображениях, удовлетворяющее условию
B6.5) и требованию затухания при у-юо, имеет вид
B6.8)
Здесь юь ю2 — корни характеристического уравнения
s(d*-(g-2s)<d2 + b = 0,	B6.9)
имеющие положительную вещественную часть, Ci = s—g+s(uf (/=1,2).
Граничные условия B6.6) приводят к парному интегральному
уравнению для функции (ty
00
Л!
B6.10)
(\х\>а),
*+*г у т==	1		B6 11)
© го '	A+со?)(Иш|M+(ш©1)^"
2. Парное интегральное уравнение B6.10), по существу, не отлича-
отличается от аналогичного уравнения, возникающего при решении задачи
о трещине в ненапряженной плоскости [6]. Решение уравнения B6.10)
имеет вид
^^,	B6.12)
где Jx{t) — функция Бесселя первого рода. На основании B6.7), B6.8),
B6.12) решение задачи для трещины нормального отрыва может быть
записано в форме
и(х, y^-^
о	s
]^,	B6.13)
183

Несимметричные добавочные напряжения в задаче о плоской дефор-
деформации с учетом условая несжимаемости вычисляются па формулам
dv	ди	т
°ll=-g y+q=g «^+?> <*22=?,
У	Х	B6.14)
# , dv ди . f ди dv\
о\2 = Ь —+s —-, a*2i=5 —-|- — .
дх ду	\ду дх)
Опираясь на эти соотношения, получим
B6.15)
Производя в B6.13), B6.15) соответствующие вычисления с ис-
использованием [8] из гл. 1, найдем
J о&л-Юг	Zj lZ	'
В B6.16) приняты обозначения
(y=l, 2).	B6.17)
Для исследования характера решения B6.16) вблизи конца щели
х = а, >>=0 следует ввести в рассмотрение полярную систему координат
с центром в этой точке
Будем считать, что — я^ф^я. Обозначим через хк и ук вещественную
и мнимую части корня сок
<*Ы = Ъ + *Уы (*=1, 4	B6.18)
184

Если корни вещественны, то у1=72=0, если же они комплексны, то
т1=т2, Yi = — Y2- Положим
=1, 2),
<ф
В результате для *=1, 2 получим
cos фк = (cos ф - ук sin <p)/xk (ф),	B6.20)
Подставив представления B6.19) в B6.16) и учитывая формулы B6.20),
получим выражение перемещений и напряжений как функции полярных
координат р, ф. Удержав в этих выражениях только члены низшего
порядка относительно р, будем иметь асимптотические представления
полей смещений и напряжений вблизи кромки трещины. Выписывать
эти представления для общего случая нецелесообразно ввиду их
громоздкости. Из полученных соотношений вытекает важный вывод.
Для любого материала из рассматриваемого класса изотропных
несжимаемых тел перемещения вблизи кромки трещины имеют
порядок р1/2, а напряжения—порядок р/2. Таким образом, началь-
начальные напряжения, действующие в плоскости трещины, не меняют
порядка особенности напряжений вблизи края трещины.
3. Подробный анализ решения задачи о трещине нормального
отрыва в предварительно напряженном теле проведем для случая
материала Муни [4]. Выражение для удельной потенциальной энергии
в этом случае имеет вид
n = D1(X21+X22 + Xl--3)+D2(X21k22 + 'klX23 + X21Xl-3). B6.21)
Случай D2 = 0 соответствует неогуковскому материалу. При малых
деформациях материал B6.21) следует закону Гука с модулем сдвига,
равным 2(D1+D2), и коэффициентом Пуассона, равным 0,5.
Будем предполагать, что в начальном однородном состоянии среда
испытывает плоскую деформацию:
Л3 = 1, Х^Х21=Х,	B6.22)
Напряжения в начальном состоянии на основании B6.4) и B6.21)
имеют вид
X-2), G=2(D1+D2),	B6.23)
В рассматриваемом случае имеем
b = GX2, s = GX~2, g
©1 = 1, ш2 = Х2, z1=z, z2 = x+iX2y.
185

Соотношения B6.16) для материала Муни принимают вид
и= —
GM(X)
" = ШЩ [(l-VYy-il+^MV^^-l^1^)], B6.25)
M(X)
Re
(bhX^z 4X*z2 I
На основании B6.23) и линеаризованных соотношений теории
малых деформаций, наложенных на конечную деформацию [4],
получим добавочные истинные напряжения aaP, т. е. обусловленные
малой деформацией приращения компонент тензора напряжений Коши
du
B6.26)
Решение B6.25) задачи о равномерно нагруженной трещине
в предварительно напряженной плоскости из материала Муни можно
представить в более явной и удобной форме, если ввести в плоскости
с разрезом от точки х = а, у = 0 до точки х=— а, у = 0 две системы
эллиптических координат (ах, (Зх) и (а2, Р2)
У=1, 2),
cosP2,
sinP2.
B6.27)
Значению oc^oc^O соответствует указанный выше разрез, на верхнем
берегу которого 0<рх^я, 0^Р2^я, на нижнем берегу я<Рх<2я,
я^Р2^2я. Следуя B6.27), из B6.25) получим
арХ2 m 2
U~~ GM(X) *¦' ~
186

B6.28)
-1 (y=l, 2),
G=1, 2).
При переходе из B6.25) к B6.28) выбор ветви квадратного корня
однозначно определяется условием затухания решения при о^-юо,
ОС2->00.
Для перемещений берегов трещины из B6.28) при ах = а2=0
получим
u = X2(X2-\)px[GN{X)y\	B6.29)
v=±X2(\+X2)py/a2-x2[GN(X)]-i,
Здесь верхний знак перед радикалом соответствует верхнему берегу
разреза, нижний знак—нижнему берегу. При Х=1 выражение B6.29)
переходит в известное решение задачи Гриффитса о трещине в ненап-
ненапряженном теле (для коэффициента Пуассона, равного 0,5, поскольку
материал несжимаем):
Как видно из B6.29), наличие начального одноосного напряжения
в теле приводит к появлению горизонтальных смещений на поверх-
поверхности трещины, находящейся в раскрытом состоянии под действием
нормального давления. Уравнение N(X) = 0 имеет единственный корень
К~ 0,545. При Х->Х* перемещения на поверхности трещины неог-
неограниченно возрастают. Это означает, что при Х^Х* однородное
напряженно-деформированное состояние сжатой плоскости с трещиной
неустойчиво.
Из соотношений B6.20) для рассматриваемого случая материала
Муни имеем
Pi = P» <Pi = <P> P2 = p(cos2(p + k4sin2cpI/2,	B6.30)
sin y = -T si
cos y = -^= [(ф	ф)]
187

Полученные соотношения дают возможность установить асимптотику
распределения перемещений и напряжений в окрестности вершины
трещины х—а:
B6.31)
>12-
M(X)
После подстановки в B6.31) выражений B6.30) получаются явные
представления перемещений и напряжений вблизи конца трещины как
функции координат р, ф. Рассмотрим, например, нормальное напряже-
напряжение отрыва на площадке, расположенной под углом ф к оси абсцисс:
На рис. 6.1 представлена вычисленная по формулам B6.30)—B6.32)
зависимость ст(ф)=рч/2раф1>|р=го при различных значениях парамет-
параметра начальной деформации X. График показывает, что при достаточно
Рис. 6.1

сильном начальном сжатии максимум нормальных напряжений отрыва
реализуется не на продолжении линии трещины, как в задаче без учета
начальных напряжений, а на площадке, расположенной под некоторым
углом к линии трещины. Это указывает на возможность распростране-
распространения трещины в направлении, не совпадающем с первоначальной
линией трещины, т. е. на возможность ветвления трещины.
§ 27. Сдвиг берегов трещины
1. Предположим, что берега ^=±0 прямолинейной трещины
нагружены равномерной касательной нагрузкой интенсивности т,
направленной вдоль оси х. Легко видеть, что данная задача о плоской
деформации предварительно напряженной плоскости с разрезом
эквивалентна задаче интегрирования системы B6.1) в полуплоскости
у ^ 0 при следующих смешанных граничных условиях на границе
полуплоскости >> = 0:
оо),	B7.1)
-T=const (||),
B7.2)
)
«=0
Руководствуясь соображениями симметрии, решение краевой зада-
задачи B6.1), B7.1), B7.2) будем искать в виде следующих трансформант
Фурье:
B7.3)
Уравнениям B6.1) и условию B7.1) в трансформантах удовлетворяют
выражения
{21 Л)
Здесь и ниже использованы обозначения § 26. Удовлетворяя гранич-
граничным условиям B7.2), получим парное интегральное уравнение для
189

функции
]B(Z)coslxdb=0 (\x\>a),	B7.5)
0
2. Решение уравнения B7.5) имеет вид
/2	W?.a*/tM	B7.6)
Таким образом, на основании B7.3), B7.4), B7.6) решение задачи
о поперечном сдвиге трещины записывается в форме
Ц-, B7Л)
00
f (с2с
Вычисляя интегралы в B7.7), получим
-Л2),	B7.8)
^i(l+cof)-c1(o^2(l+coi)],
<J 12 ==tj~lvF Re[c
190

Для перемещений берегов трещины из B7.7) найдем
Формулы B7.8) показывают, что в задаче о поперечном сдвиге
компоненты тензора напряжений имеют в окрестности края трещины
особенность такого же порядка, как и в аналогичной задаче без учета
начальных напряжений. Полную картину распределения перемещений
и напряжений в окрестности особой точки х—а можно получить,
подставив в B7.8) соотношения B6.19), B6.20).
3. Рассмотрим подробнее случай материала Муни в условиях
плоской начальной деформации. На основании B6.24) получим
Формулы B7.9) для рассматриваемого материала запишутся так:
*. B7-10)
При Х-+1 соотношения B7.10) переходят в известные выражения для
перемещений берегов трещины в аналогичной задаче без учета
начальных напряжений. Таким образом, учет начальных напряжений
приводит к появлению вертикальных смещений берегов трещины,
сдвигаемых касательной нагрузкой. Эти перемещения не приводят
к раскрытию трещины, поскольку они одинаковы для обоих берегов.
Как и в задаче о нормальном отрыве, при Х-+Х*& 0,545 перемещения
неограниченно возрастают. Кососимметричная форма потери устой-
устойчивости плоскости с трещиной наступает при той же начальной
деформации, что и симметричная относительно оси ординат форма.
Асимптотические представления решения вблизи особой точки
х = а, вытекающие из B7.8), имеют вид
и =
хаХ6
¦"
К соотношениям B7.11) следует присоединить выражения B6.30).
191

4. Рассмотрим неограниченное упругое первоначально дефор-
деформированное пространство, содержащее плоскую полосовую трещину,
занимающую в плоскости у=0 область й(|х|^д, |z|<oo). Поверхность
трещины подвергнута действию равномерной касательной нагрузки,
направленной вдоль кромок трещины, причем на разных берегах
направления действия нагрузки противоположны. Если главные оси
начальной деформации совпадают с осями координат и тело изотроп-
изотропно, то на основании соотношений теории малых деформаций,
наложенных на конечную деформацию, возникающая при таком
нагружении трещины добавочная деформация будет антиплоской. Это
означает, что перемещения в плоскости ху равны нулю (w=t? = 0),
а компонента вектора перемещений в направлении оси г, параллельной
фронту трещины, зависит от двух координат (w=w(x, у)).
Условия равновесия в задаче об антиплоской деформации пред-
предварительно напряженного тела сводятся к одному уравнению
^+^=0.	B7.12)
ох ду
Соотношения между компонентами тензора напряжений и проекцией
вектора перемещений w для случая антиплоской деформации принима-
принимают вид
* dw * dw
B7.13)
Подставив B7.13) в B7.12), придем к уравнению равновесия относи-
относительно смещения
»Ф+?-0, ,1-Ь.	B7Л4,
Поставленная выше задача может быть сформулирована в виде
задачи для полуплоскости у^О при следующих граничных условиях
на прямой >>=0:
* - ~ т = const (I | \
B7.15)
()
При решении задачи B7.14), B7.15) воспользуемся косинус-
преобразованием Фурье
B7.16)
Уравнение B7.14) с учетом условия затухания решения на бесконеч-
бесконечности дает
W& у)=С{%)е-^у.	B7.17)
192

Из краевых условий B7.15) получаем парное интегральное уравнение
для определения функции ()
2(O37t2
B7.18)
()
О
5. Уравнение B7.18) идентично уравнениям B6.10), B7.5) и имеет
решение
Г1-^='-4^.	B7.19)
/
Из B7.16)—B7.19) вытекает выражение для перемещения в верхней
полуплоскости
w= *	Re^^-zi-Hza), z3 = x+/cu3^.	B7.20)
Для перемещения на берегах трещины имеем
B7.21)
В B7.21) знак «плюс» соответствует верхнему берегу трещины, а знак
«минус»—нижнему берегу. Касательные напряжения вне трещины, на
ее продолжении, определяются формулой
B7-22)
Можно показать, что в рассматриваемой задаче добавочные
истинные напряжения выражаются следующим образом:
<Ti3 = CFi3, а23 = ст2з, ст/, = а33 = 0 (/, у'=1, 2).
Асимптотическое представление распределения полей перемещений
и напряжений в окрестности контура трещины в задаче продольного
сдвига дается формулами
а13=—^=7М2Рэ)'1/25т^+0(Ур),	B7.23)
2
Величины ф3 и р3 определяются соотношениями B6.20), в которых
следует положить к=3.
1 В. М. Александров и др.	193

§ 28. Трещина нормального отрыва
в преднапряженнон полосе
1. Рассмотрим нелинейно-упругий слой с потенциалом гармониче-
гармонического типа [4], занимающий область (|jc|<oo, \y\<h, |z|<oo). Грани
слоя у= ±h находятся в контакте с гладкими жесткими основаниями.
Слой ослаблен полосовой трещиной, лежащей в плоскости у—О,
бесконечной длины и постоянной ширины 2а. Область, занятая
трещиной, определяется условиями: |х|^а, j = 0, |z|<oo. Предполага-
Предполагается, что упругая среда находится в начальном состоянии в условиях
однородного поля напряжений txl, *3з (^22 = 0). Компоненты вектора
перемещений при этом определяются формулами
=1*1-
A{/-i +Лз + А-З — ^/^ —2С7(Л2"~ 1)? A.j =
х0, Уо, z0—лагранжевы координаты, совпадающие в естественном
состоянии с декартовыми координатами, Л, G—упругие постоянные.
После линеаризации уравнения равновесия в перемещениях и выра-
выражения для добавочных напряжений могут быть записаны в виде [1]
Аи.2—г + Я—г+а-— = 0,
дх2 ду* дхду
Ad2v Л od2v д2и _
А—7 + Яос2—7+а-— = 0,
ду2	дх2 дхду
B8.1)
2G (ди 2dv~"
2G (ди dv
<^21= (л ,
2а
Декартовы координаты начального деформированного состояния свя-
связаны с лагранжевыми координатами соотношениями
x = XiX0, У = ^2Уо, z = X3z0.	B8.2)
194

Решение системы уравнений B8Л), полученное с помощью интет-
рального преобразования Фурье, имеет вид
B8.3)
Т-
Функции Cj — Cj{^ (/=1ч-4) подлежат определению в результате
удовлетворения граничным условиям задачи. Нужные далее выражения
для добавочных напряжений вытекают из определяющих соотношений
B8.1) и имеют вид
B8.4)
Исследуем задачу о наложении на однородную конечную дефор-
деформацию малой, вызванной нагружением берегов трещины нормальной
нагрузкой интенсивности р(х). Рассматривается случай плоской дефор-
деформации. В силу симметрии данная задача может быть сформулирована
для полосы толщины h при следующих граничных условиях:
o*22=-p(x) (\
v = 0 (\x\>a),
B8.5)
*=0 (|дс|<оо),
0, v = 0 (| jc | < оо).
Используя результаты B8.3), B8.4), с учетом B8.5) сведем рассмат-
рассматриваемую задачу к определению производной функции
y(x)=±v(x, ±0) (\х\<а)	B8.6)
из интегрального уравнения первого рода с сингулярным разностным
ядром
а
[y'(t)l(~)dt=-n<xhHp(x) (|*M.	B8.7)
195

Ядро интегрального уравнения B8.7) имеет вид
f Ци)=*??™,	B8.8)
)'	G(l+a) '
2. По своей структуре интегральное уравнение B8.7) совпадает
с интегральным уравнением (8.7) задачи о трещине нормального
отрыва в линейно-упругом слое. Функция L(u) обладает следующими
свойствами:
а)	в плоскости комплексного переменного z = u + iv функция
zL(z)—четная и мероморфная, а при v = 0—действительная;
б)	Шп*?(*)=1+Д>0;
г->0
в)	на действительной оси имеет место оценка
2% и-юо;
г) при а=1 (А,1 = А,2) функция L(u) совпадает с функцией Н(гл)и~1
вида (8.5). Все это позволяет при решении интегрального уравнения
B8.7) воспользоваться асимптотическими методами «больших» и «ма-
«малых» X.
Производя рассуждения и вычисления, аналогичные описанным
в гл. 2, получим решение указанного уравнения для случая р(х) =
=р = const в следующей форме (ср. с (8.10)):
у(х)=рНу/а2-х2ф(^ А	B8.9)
4 Н
d% 321 . 43 . , 33 j2 17
Постоянные t/n даются выражениями
?^	2n+2 (« = 0,1,2,...). B8.10)
Здесь В2п—числа Бернулли. В табл. 6.1 приведены значения постоян-
постоянных dn (л = 0, 1, 2, 3) для некоторых значений параметров задачи а и р.
196

Таблица 6.1
а
1
10
100
п
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
Р
1
2,46740
-0,67645
0,22254
-0,070599
1,14163
-0,24029
0,068803
-0,020021
1,06555
-0,21526
0,059980
-0,017118
ю
2,46740
-0,67645
0,22254
-0,070599
1,38415
-0,32008
0,096927
-0,029273
1,31381
-0,29693
0,088770
-0,026589
100
2,46740
-0,67645
0,22254
-0,070599
1,43945
-0,33827
0,10334
-0,031383
1,37092
-0,31572
0,095393
-0,028768
Коэффициент интенсивности нормальных напряжений определяется
по формуле вида (8.11) и равен
К1=ру/акФA, А,).	B8.11)
Формулы B8.9) и B8.11) применимы при А.еB, со). При малых
значениях параметра А, форма раскрытия трещины определяется
следующим соотношением (ср. с (8.16)):
B8.12)
причем при Е> 1
а при
X (*)=erf Ф (х) - С ехр [ - 2*р2 (*)] erf [Cq> (*)].
Здесь введены обозначения
= V?-l, C=y/l-E
erf(z)—интеграл вероятности.
Коэффициент интенсивности нормальных напряжений дается фор-
формулой
1р.	B8.13)
197

Формулы B8.12) и B8.13) получены на основе аппроксимации функции
L(u) выражением
'
B8.14)
(D—параметр аппроксимации). Соотношения B8.12) и B8.14) справед-
справедливы при Хе@, 3/2).
Использование аппроксимации Паде функции Ф(/, X) приводит
к расширению диапазона практической применимости выражений
B8.9), B8.11). Диагональная аппроксимация функции Ф(г, к) имеет вид
{,at(t)a6{t)-a2(t)a%(t)
lU a2(t)a6{t)-al(t) '
B8.15)
h (д_
a2(t)a6(t)-al(ty
В табл. 6.2 приведены значения y* = y@){paX3)~1 G и Кт =
— К\(р у/па)~* для некоторых значений параметров аир. Вычисления
проведены при А.= 1, Z) = 0,64 по формулам B8.9), B8.11) и B8.12),
B8.13), в которых Ф(г, X) бралось в форме B8.15). Погрешность
Таблица 6.2
а
1
10
100
У*
К
У*
к.
У*
к
B8.9)
B8.12)
B8.11)
B8.13)
B8.9)
B8.12)
B8.11)
B8.13)
B8.9)
B8.12)
B8.11)
B8.13)
Р
1
0,377
0,368
0,572
0,564
0,304
0,302
0,715
0,730
0,298
0,296
0,726
0,745
10
0,274
0,267
0,572
0,564
0,233 .
0,230
0,681
0,689
0,230
0,227
0,691
0,700
100
0,254
0,248
0,572
0,564
0,219
0,215
0,674
0,680
0,215
0,213
0,683
0,691
198

аппроксимации B8.14) при этом не превышает 8,1%. На основании
полученных результатов можно, в частности, заключить, что при ос=1
коэффициент интенсивности нормальных напряжений К\ не зависит от
параметров растяжения среды, во всех остальных случаях параметры
начальной деформации существенно влияют на механические харак-
характеристики рассматриваемой задачи. Как показывает анализ получен-
полученных результатов, с физической точки зрения имеет смысл рассматри-
рассматривать значения a>B-hP)D-f Зр), так как функция у(х) в промежутке
( —д, а) положительна лишь при выполнении этого условия.
§ 29. Круглая трещина нормального отрыва
в преднапряженном слое
1. Рассмотрим упругий слой из несжимаемого неогуковского
материала, имеющий в недеформированном состоянии круговую
трещину радиуса а0. Трещина расположена в срединной плоскости
слоя. Слой испытывает конечную радиальную деформацию в плоско-
плоскости трещины. Решением этой задачи является однородная деформация
и однородное поле напряжений
B9.1)
Здесь X—коэффициент растяжения материальных волокон в радиаль-
радиальном направлении (при сжатии Х<\), G—модуль сдвига материала.
Обозначив через 2aoho толщину слоя в недеформированной кон-
конфигурации, через а — Хао—радиус трещины в начальном дефор-
деформированном состоянии, из условия несжимаемости найдем, что
толщина деформированного слоя будет равна 2яА, где h = X~3h0.
На описанную конечную деформацию накладывается малая дефор-
деформация, вызванная нагружением трещины давлением интенсивности р.
Используя соотношения теории малых деформаций, наложенных на
конечную деформацию, получим линеаризованные уравнения осесим-
метричной деформации неогуковского тела для рассматриваемого
начального напряженного состояния в следующем виде [7]:
(д2и 1 ди - 1 . Л _д~ - -~* Л
1	±Л	49
дг2 г дг г2)	dz2 дг
дг2 г дг)	dz2 dz
ди и dw .
or r dz
Здесь г и z—безразмерные (отнесенные к радиусу трещины а в на-
начальном деформированном состоянии) цилиндрические координаты
предварительно растянутого или сжатого слоя, и и w—добавочные
перемещения соответственно в радиальном и вертикальном напра-
направлениях, q—функция давления, появление которой в уравнениях
199

равновесия, как и прежде, обусловлено несжимаемостью материала.
Из уравнений B9.2) вытекает, что q—гармоническая функция
g+I |+g=0.	B9.3)
Условия на гранях слоя z=±h, выражающие отсутствие нагрузки,
имеют вид
—Н-^Х4 = О, —+— = 0.	B9.4)
dz	dz dr
В силу симметрии задачи относительно срединной плоскости слоя
достаточно рассмотреть половину слоя O^z^h с гранишыми услови-
условиями при z = 0
—+— = 0 @<г<оо),
h~*y+q=-j-p{r) ((Kr<a),	B9.5)
w = 0 (a<r<oo).
Решение уравнения Лапласа B9.3) представим в виде интегрального
разложения Ханкеля
00
q= \[B1(<x)cb<x(h-z)+B2(a)sha{h-z)]Jo{a.r)-^-. B9.6)
I	Sil ОС/2
о
Из уравнений B9.2) с учетом B9.6) найдем
00
и= [f,Ai(a)\3sbaX3(h-z)+A2(<x)Vcha%3{h-z)+
2Х*	v I	do.
-	—— I Bi (ос) ch ос (Л—z)+В2 (ot) sh ot \h—z JJ V J\ (otr) —-—,
A—A )a	J	shaw
0
B9.7)
00
w= \<A1(a)chaX3(h---
da
+<fw«~
Удовлетворяя граничным условиям B9.4), получим
i(a)-	B9-8>
200

Первое из условий B9.5) на срединной плоскости слоя приводит
к соотношению
Подчиняя решение B9.7) остальным условиям B9.5), получим следу-
следующее парное интегральное уравнение относительно В2(а):
00
г
rB2(a}
B9.10)
Преобразуем уравнение B9.10) к следующему виду:
Ja2r(a)L(p, X)/0(«r)rfa=/(r) @<r<l),
B9.11)
00
f аГ(а)/0(о^)^а = 0
о
где введены обозначения
B9.12)
.(X)©,(a, Л)'
Здесь Г(а)—трансформанта Ханкеля функции у(г)=О ('•>1), у(г)=
= w(r, +0) (г<1). Важно также отметить, что
?(р, X)=
?(Р, \)=
B9.13)
201

Для анализа свойств L(p, X) при 0<а<оо исследуем нули функции
Ф1 (а, X). Очевидно, что множество действительных корней уравнения
Фцос, Х)=0 состоит из корня а = 0 и действительных корней уравнения
-**—*-_.	B9.14)
(l+y2)
Перепишем B9.14) следующим образом:
Нетрудно установить, что со„<0 при >>>1 и со^>0 при у<1.
Следовательно, если у>\, то ш(м, j) при изменении и от 0 до
оо монотонно убывает от значения у до 1, а при у<\ монотонно
возрастает от у до 1. Поэтому при всех 0<м<оо справедливы
неравенства
()
B9.16)
у^(о(и,у)^\ (у^1).
Кроме того, имеем
/'(у)>0 ((К;и<3-1/2),
B9.17)
/'(у)<0 C-1/2<^<оо), /'C/2) = 0.
Уравнение f(y) = 1 имеет два корня: }/=1 и >>=>>«,«0,296. Отсюда и из
B9.17) вытекает, что f(y)^l при j*^j<1 и /(у)^1 при у^у
и 1<^<оо. Это с учетом B9.16) означает, что уравнение B9.15) при
у+<у<со не имеет действительных корней. Таким образом, функция
Фх(а, X) не имеет вещественных нулей, кроме а = 0 для значений
Х,<А.<оо, где Хф=у1/3& 0,667. Поскольку, как видно из B9.13), а=0 не
является полюсом L(p, А,), то эта функция при А,#<Х<оо вообще не
имеет полюсов на вещественной оси.
2. Применяя к первому соотношению парного интегрального
уравнения B9.11) оператор А, представим его в виде
B9.18)
О О
Здесь А—постоянная, подлежащая определению из условия
уA)=0.	B9.19)
202

Уравнение B9.18) с условием B9.19) эквивалентно интегральному
уравнению второго рода [8]
B9.20)
-1
с условием
ф(±1) = 0.	B9.21)
При этом функции ср(/) и g.(t)—четные и имеют место соотношения
V
00
M(t)= J [l-L(p,a.)]cosa/</«,
0	B9.22)
2 Г Ф'(т)Л	,л d С rg{r)dr
Заметим, что B9.20) является интегральным уравнением Фредгольма,
ибо на основании описанных выше свойств функции L(P, X) нетрудно
заключить, что ядро M(t) непрерывно.
При отсутствии нагрузки на берегах трещины, когда /(r)=g(r)=
=?„(*) = 0, приходим к своеобразной задаче на собственные значения:
задаче определения тех значений параметра X, при которых существу-
существуют нетривиальные решения уравнения B9.20) при g,(t) = O с условием
B9.21). Максимальное из этих значений X представляет собой
критическую деформацию, при которой происходит осесимметричное
и симметричное относительно плоскости z = 0 выпучивание материала
слоя над трещиной. По физическому смыслу % должно лежать
в пределах А*^Х< 1, ибо X* соответствует критической деформации при
А0 = оо (см. следующий параграф). С уменьшением hQ значение % все
более приближается к 1. Указанная задача на собственные значения
может быть решена численно подобно тому, как это делалось в [9].
Если интересоваться лишь достаточно малыми значениями параме-
параметра h0 (йо^1/5), то можно для парного интегрального уравнения
B9.11) ограничиться построением вырожденного решения. Заменяя
в первом соотношении B9.11) точное выражение функции L(P, X)
в силу малости h0 ее асимптотическим представлением B9.13) при
Р-+0, получим
@<г<1).	B9.23)
Далее с учетом второго соотношения B9.11) найдем
B9.24)
Ч...)', уA)=у'A)=0.
203

Отсюда при /(/•)=0 имеем
A[h2QAy+k2(y2)y-\=O, уA)=у'A)=О,
B9.25)
l '~2E+2x+5x2)'
Значения X и fc(x) при различных х сведены в табл. 6.3. Ограниченное
Таблица 6.3
X
X
к
X
X
к
X
¦ X
к
0,088
0,667
0,8208
0,35
0,839
0,4676
0,65
0,931
0,1670
0,10
0,681
0,8035
0,40
0,858
0,4085
0,70
0,942
0,1301
0,15
0,729
0,7322
0,45
0,875
0,3529
0,75
0,953
0,0971
0,20
0,765
0,6625
0,50
0,891
0,3009
0,80
0,963
0,0682
0,25
0,794
0,5948
0,55
0,905
0,2525
0,85
0,973
0,0435
0,30
0,818
0,5298
0,60
0,918
0,2078
0,90
0,983
0,0232
в нуле решение дифференциального уравнения B9.25) дается формулой
y(r) = C0 + C1J0(kr/h0) (Со, С1 -const).	B9.26)
Удовлетворяя граничным условиям, найдем, что нетривиальные
решения задачи B9.25) будут существовать при условии
Л(А:/Ло) = 0.	B9.27)
Отсюда определим с помощью табл. 6.3 значение критической дефор-
деформации % такое, что
B9.28)
§ 30. Равновесие преднапряженного пространства,
ослабленного эллиптической трещиной
1. Рассмотрим задачу о нагружении нормальным давлением бере-
берегов плоской эллиптической трещины. Под действием нагрузки трещина
находится в раскрытом состоянии. Среда, в которой она расположена,
предварительно подвергнута однородному двухосному растяжению
или сжатию вдоль плоскости трещины. Рассмотрена модель несжима-
несжимаемого неогуковского материала [4].
Пусть в плоскости z = 0 упругого пространства расположена
трещина, занимающая в плане область Qo. На бесконечности в двух
взаимно перпендикулярных направлениях действуют равномерно рас-
распределенные нагрузки ац = /ь O22 = h, вызывающие конечную дефор-
204

мацию неогуковского тела
(рис. 6.2). Из соотношений те-
теории малых деформаций, на-
наложенных на конечную дефо-
деформацию, вытекают следующие
уравнения равновесия, которые
описывают деформацию пред-
предварительно нагруженного тела
в случае неогуковского мате-
материала:
0,75
0,5
\
V
t \
Г*"
^—.
Рис. 6.2
(ЗОЛ)	Х*О,75	7	125
divA = 0.
Здесь Л = {м, v, w} — вектор до-
добавочных перемещений, х, у, z—декартовы координаты в предвари-
предварительно деформированном состоянии, q—функция добавочного давле-
давления, наличие которой связано с несжимаемостью материала, Хи Х2,
Х3—коэффициенты предварительного растяжения вдоль координатных
осей. Поскольку материал несжимаем, для коэффициентов главных
растяжений имеет место соотношение XiX2X3=l. Предполагается, что
в предварительно напряженном состоянии ст33 = 0. Связь коэффициен-
коэффициентов предварительного растяжения с напряжениями имеет вид
t — nil2 \2\ 1 —с(\2 \2\
1\—vJ^'m—^3/? *2 — ^-*\2 — ^3/'
Пусть, в частности, область, занимаемая трещиной в ненагружен-
ном состоянии, эллиптическая (Qo: х2\а%+у2\Ъ\^\). В этом случае,
в результате предварительной деформации, трещина займет в плане
область Q: х2/а2+у2/Ь2^1, размеры которой связаны с исходными
размерами трещины следующим образом: а = Х1а0, Ь = Х2Ь0. В частно-
частности, круговая трещина может принять эллиптическую форму (если
^i т^2 )> а при соответствующем подборе коэффициентов предваритель-
предварительной деформации эллиптическая трещина может стать и круговой.
Для нагрузки, приложенной к берегам трещины, введем обозначе-
обозначение oz= — р(х, у). Граничные условия в плоскости z = 0 в силу
симметрии задачи относительно этой плоскости представим в виде
ди dw
oz дх
dv dw
oz ду
G dw
C0.2)
; = 0' (^по-
(^под	уравнений B6.1) является уравнение Лапласа для функции
q(x,y,z), которым можно воспользоваться для определения функции
добавочного давления.
205

Применим к уравнениям B6.1), уравнению Лапласа А# = 0 и гранич-
граничным условиям C0.2) двумерное интегральное преобразование Фурье
F(a, р, z)= J J /(jc, у, z)e-«*x+Wdxdy.	C0.3)
— ao — оо
В результате получим систему обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
C0.4)
j(at/+pF)+—=0,	C0.5)
^-co22=0, co2 = a2 + p2.	C0.6)
Граничные условия при z=0 в терминах изображений	Фурье
примут вид
+,wo, +»^ a+?g.	<зо.7,
Из C0.6) при z^0 непосредственно получим
e = a(a,P)^-e>2.	C0.8)
Это позволяет построить общее решение системы дифференциальных
уравнений C0.4). Решая каждое из них в отдельности, находим
{?/, К, ty = {U.(% P), K,(a, P), Ж,(а, p)}e"*2-f
+ {-ia, -ip, Я.?ХЗа>}б.(а. Р)|^г^1- C0-9>
Используя условия несжимаемости в виде C0.5), можно исключить
Ж,(а, Р) из C0.9)
»;(а, Р) = /х|/ [а^(а, P)-f рК.(а, р)].
Удовлетворяя граничным условиям C0.7), получим
Q = 0,5GH(a, р, ХД2)^.
Отсюда в результате перехода к оригиналам Фурье вытекает следу-
следующее интегральное уравнение для определения функции вертикальных
206

перемещений берегов трещины [10]:
Л) ? ? Я(а, р, Х1Х2)ехр{/[а(х
— оо — оо
р(х9у\ (х,у)еп, C0.10)
у, +0), у(х, у) = 0 (x9y)eL,
\|/3 + \|/2Ш+3\|>С02-0K
2. Рассмотрим случай, когда коэффициенты предварительного
растяжения в обоих направлениях одинаковы, т.е. Х1=Х2 = Х. При
этом, очевидно, ф = Хло и
#(а, Р, А,) =
где Г(Х) дается формулой B9.12). Тогда с учетом интеграла [11]:
уравнение C0.10) приводится к виду
>>Л)?=-?/>(*. *)> {х.У)еп9	C0.11)
г2 д2
Как нетрудно заметить, функция Т(Х) монотонно возрастает при
Х*<Х<оо; Т(Х*) = О, ^^«0,667. Было установлено [1, 12], что при Х->Х,
сжатое пространство теряет устойчивость. Этот предельный случай
в рассматриваемой здесь задаче соответствует разрушению неогуков-
ского тела с трещиной независимо от величины приложенного
дополнительного давления. Если предварительная деформация отсут-
отсутствует (Х,= 1), то из интегрального уравнения C0.11) вытекает
соответствующее уравнение классической задачи в случае несжима-
несжимаемого материала.
Предположим далее, что коэффициенты растяжения в направлениях
координатных осей Ох и Оу различны, но при этом X,1=X-fx,
Х2 = X — т, х/Х<cl. В этом случае возможно следующее асимптотическое
разложение:
#(а, р, Х1Х2) = /)(а, р, X, т) = 2<*Т{Х) + 2тМ{Х)^^+О{х2),
w	(ЗО12)
Такое представление, как и в предыдущем случае, позволяет вычислить
207

ядро интегрального уравнения C0.10). Пользуясь результатами [11],
заметим, что
00 00
и*
со
- оо - оо
Таким образом получим в рассматриваемом случае следующее
интегральное уравнение относительно функции у (х, у):
д2^
= -lp(x9y), (х,у)еп. C0.13)
Интегральное уравнение C0.11) получается из C0.13) в результате
предельного перехода при т->0.
3. Перейдем к построению асимптотического решения уравнения
C0.13)	в случае эллиптической области Q. При этом функцию
вертикальных перемещений берега трещины будем искать в виде
y{x,y)=tyn{x>yh*'	C0.14)
я = 0
Подставляя C0.14) в C0.13) и приравнивая выражения при одинаковых
степенях т, получим для определения первых двух членов разложения
C0.14)	систему интегральных уравнений
)	( \ ( )Ъ	C0.15)
Рассмотрим случай равномерного давления на берега трещины
р(х, у)=Р — const. Решая последовательно систему уравнений C0.15)
аналогично тому, как это сделано, например, в § 18, получим
C0.16)
км\-ь1ХШ
Для определенности здесь считаем, что а^Ь; К (к), Е(к)—полные
эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.
Таким образом, результат C0.16) позволяет заключить, что в случае,
208

когда коэффициенты предварительного растяжения в обоих направле-
направлениях достаточно близки, как и при их равенстве, предварительная
деформация не меняет порядка особенности в окрестности контура
трещины.
В качестве параметра, характеризующего изменение коэффициента
интенсивности нормальных напряжений в результате предварительной
деформации, удобно рассматривать N=Kl0/Ku где Кю — коэффициент
интенсивности нормальных напряжений в окрестности контура эллип-
эллиптической трещины в случае, когда тело подвергнуто предварительной
конечной деформации. Интенсивность растяжения в обоих направлени-
направлениях одинакова (Х1 = Х2 = Х). Величина К{ соответствует случаю отсутст-
отсутствия предварительной деформации (Х=1).
На рис. 6.2 представлен график изменения параметра iV=77~1(X).
Если тело подвергнуто предварительному растяжению (Х,>1), то N<\.
Это свидетельствует о том, что предварительное двухосное растяжение
в плоскости трещины способствует упрочнению тела по сравнению
с классическим случаем
Х=1. Иными словами, пред-	° 0,25 0,5 0,75 k
варительное двустороннее
конечное растяжение снижа-
снижает значение коэффициента
интенсивности нормальных &
напряжений. В случае же,
когда тело подвергнуто дву-
двустороннему сжатию в плос- %
кости трещины (Х,<Х<1),
значение коэффициента ин-
интенсивности нормальных на-
напряжений возрастает. Этот К5
случай соответствует сниже-
снижению несущей способности
тела, содержащего плоскую /
трещину. Коэффициент ин-	0,5 А* 0,75	1	1,25 А
тенсивности нормальных на-	РИС 5 3
пряжений Ки в случае, когда
коэффициенты предварительной деформации Хх и Х2 мало раз-
различаются, следует вычислять по формуле
\
\
/
/
в
0,15
0,5
0,25
Графики изменения коэффициентов А(Х) и В (к) по соответствующим
параметрам изображены на рис. 6.3.
Отметим, что хотя результаты получены для неогуковского
материала, предложенный метод исследования пространственных задач
о трещинах в преднапряженных геометрически нелинейных упругих
средах применим для любого гиперупругого несжимаемого материала.
При этом также сохраняются основные качественные выводы.

ДОПОЛНЕНИЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ГРИФФИТСА И САКА
ПРИ ДЕТАЛЬНОМ УЧЕТЕ МЕЖАТОМНЫХ СИЛ
СЦЕПЛЕНИЯ
В § 7 задача Гриффитса при детальном учете межатомных сил
сцепления приведена к решению интегро-дифференциальных уравнений
G.6), G.25) — G.27) и G.39). Ниже рассмотрим вопросы получения
приближенного решения этих уравнений, а также проведем в аналогич-
аналогичной постановке анализ осесимметричной задачи о растяжении упругого
пространства, ослабленного круглой в плане плоской трещиной.
1. Решение Г0(х) нелинейного интегро-дифференциального уравне-
уравнения G.25) представим в следующем виде:
В (Д.1) и далее используются обозначения § 7. Внося представление
(Д.1) в G.25) и обращая затем сингулярный интегральный оператор,
получим
Из первого условия G.28) с учетом (Д.1) и (Д.2) найдем
(Д.З)
Отметим, что решение уравнения (Д.2), (Д.З) ф(х) не зависит от
функции g(x). Функция g(x) влияет лишь на значение коэффициента Ао.
Для решения уравнения (Д.2), (Д.З) применим метод ортогональных
многочленов ([19] к гл. 1). Функцию (р(х) с учетом ее четности будем
искать в виде разложения по полиномам Чебышева второго рода Un(x)
с четными индексами
00
Ф(х) = R(х) ? XtU2i{x)/Bi+1).	(Д.4)
Из (Д.4) следует
wx	—YX.T2.+I(x)
где Т„(х)—полиномы Чебышева первого рода.
210

Применение к уравнению (Д.2), (Д.З) процедуры метода ор-
ортогональных многочленов приводит к следующей системе уравнений
для определения коэффициентов Х{.
IE X
Х,= -5Ю+— | <р2(?)С/2((?)Л(?)^ V (;=0, 1, ...), (Д.5)
fl °° / X \21 ~*
E=)j Z (^—^т) г ' Ьу—символ Кронекера.	(Д.6)
Можно показать, что коэффициенты Xh определяемые из соотношений
(Д.5), (Д.6), удовлетворяют условию
С этой целью следует просуммировать по / в пределах от 0 до
оо члены, стоящие в левой и правой частях (Д.5). При этом
необходимо учесть (Д.З), (Д.4) и формулу ([8] к гл. 1)
2Л(*)? U2i(x)=l/R(x).
i = 0
Решение системы (Д.5), (Д.6) может быть получено методом
последовательных приближений по схеме
^= J 9muM№(Qd(Q,	(Д.7)
Фт (х) = R {х) § Х^ U2n (х)/Bп +1),	(Д.8)
При этом должно выполняться условие
§ *„,•=(> (т=1, 2, ...).
» = 0
Это условие может быть использовано для контроля правильности
определения коэффициентов Xmi.
Вычисляя в (Д.7) интеграл (после перехода к новой переменной
r|=arccosx и использования формулы
211

приведем это уравнение к виду
.
(m = 0, 1, ...; i = 0, 1, ..., Mw+1).
Таким образом, приближенное решение интегро-дифференциального
уравнения G.25) с учетом (Д.1), (Д.8) определяется рядом
AB l
где т—число приближений по схеме (Д.7) — (Д.9).
2. Решение линейных сингулярных интегро-дифференциальных
уравнений G.26) и G.27) методом ортогональных многочленов сводит-
сводится к бесконечной линейной алгебраической системе. С целью получения
этой системы функции Гп(х) (и=1, 2) представим в виде
Г„(*) = Л(х)| YniU2i(x)/Bi+l).	(Д.11)
Применяя к G.26), G.27) с учетом (Д.11) процедуру метода ортогональ-
ортогональных многочленов, получим
Y,}=tc»Y«-A'bjo-bnj (/"=0, 1, •••; п = \, 2), (Д.12)
J ro(x)R2(x)U2i(x)U2j{x)dx,
bnj=- J R(x)y\,n(x)U2j(x)dx,
ф. (х) = В„П+ 2 (х) + [ЗСГ1 (х) Г, (х) - ВГЦх)] 5„2,	(Д. 13)
Выражая коэффициенты Ап (п=\, 2) через коэффициенты Yni с помо-
помощью G.28) и учитывая представления (Д.10) и (Д.11), найдем
An = E?xmiYni-dn, dn = Qy\fn (я=1, 2).
Внося полученное выражение коэффициентов Ап в систему (Д.12),
приведем ее к виду
Ynj= t CJ< Yni-ЫЕ I Хы Yni-dn)-bnj	(Д.14)
i = 0	i = О
(/=0, 1, ...; и = 1, 2).
212

Можно сказать, что система (Д. 14) квазивполнерегулярна. Для
установления этого факта достаточно получить следующие оценки
коэффициентов С#:
^	, ai=const>0),
f2 O'=y; a2=const>o).
Для нахождения этих оценок коэффициенты С,-,- следует преобразовать
к форме
АВ я/2
1
а затем применить формулу интегрирования по частям.
В результате непосредственных вычислений для случая G.47)
получено: #=1/2, C=l/3, Z>= —1/8, ЛО = 3,743, Ах = 16,59, А2 =92,29.
Система (Д. 14) решалась методом редукции.
3. Решение уравнения G.39), G.40) может быть найдено методом
последовательных приближений по схеме
r]f(qn)\n ^ Л,
lJ»o	I^l
Для значения функции g(x) в форме G.47) по схеме (Д.15), (Д.16)
получено: /=4,001. Формула G.41) в этом случае принимает вид
p = y/S9002X/n.	(Д.17)
При численном интегрировании в формуле (Д.15) устранение логариф-
логарифмической особенности проводилось с использованием интеграла 4.339
([8] к гл. 1). В случае G.47) условие разрушения Гриффитса G.42)
преобразуется к виду G.51), что практически совпадает с (Д.17).
4. Приближенное решение исходного интегро-дифференциального
уравнения G.6) может быть получено методом последовательных
приближений с использованием ортогональных полиномов. При этом
в качестве нулевого приближения следует брать для фиксированного
значения X одно из найденных выше асимптотических решений. Затем,
меняя X с относительно небольшим шагом, в качестве нулевого
приближения следует брать решение уравнения G.6), найденное для
предыдущего значения X. С целью получения такого решения, обратив
в уравнении G.6) с учетом условия G.8) сингулярный оператор,
преобразуем это уравнение к виду
Г'( \- ЛМ f Яг(?))^ /| {<]\
213

Условие G.8) позволяет представить предельную нагрузку в форме
/> = С/(Г).	(ДЛ8)
Учитывая, что тах|/(х)|=/@)=1 при jce[0, oo), можно показать, что
величина /?, определяемая формулой (Д. 18), не превосходит единицы.
С этой целью достаточно получить следующую оценку:
Процесс последовательных приближений будем строить по схеме
(]_ R(x) f
-1
Как и выше, функции Г„(х) представим в виде разложения по
полиномам Чебышева второго рода
Tn{x) = R{x)fiZlliU2t(x)lBi+l) (л = 0, 1, ...)• (Д.20)
i = 0
Здесь п—номер приближения. Из (Д. 19), (Д.20) получим следующие
уравнения для определения коэффициентов Zni (л = 0, 1, ...):
При непосредственных вычислениях по формулам (Д.20), (Д.21)
функция /(Г„) бралась в виде: /(Г„) = A+Г„)ехр( — Г„), что соответ-
соответствовало случаю G.47). При этом в (Д.20) удерживалось конечное
число членов ряда. Результаты вычислений, проведенных по получен-
полученным выше формулам, приведены на рис. 2.5.
5. Рассмотрим далее в постановке, изложенной в § 7, осесиммет-
ричную задачу о растяжении упругого пространства с круглой в плане
плоской трещиной. Область, занятая трещиной, определяется услови-
условиями: 0^r<a, z = 0 (r, z—цилиндрические координаты). Трещина
находится в раскрытом состоянии под действием приложенных на
бесконечности растягивающих усилий oz=p = const. Детальный учет
межатомных сил сцепления приводит к следующим граничным
условиям:
z = 0, тГ2 = 0 @<г<оо), wz = 0 (a<r <оо),
Здесь и далее Г(г) = 2мг(г, + 0)—раскрытие трещины, где
и2—компонента вектора перемещения, остальные величины введены
в § 7. Применение интегрального преобразования Ханкеля к получен-
полученной задаче для функции Г (г) приводит ее к необходимости решения
214

следующего интегро-дифференциального уравнения:
Wr = [f(T)-PyX @<г<1)9 ГA) = 0.	(Д.22)
В (Д.22) введены обозначения: Г\ = Г/5, р*=р/ор, г* = г/а,
1	00
=X- j(rj\[xT(x)dx[jo{ur)Jo{ux)du,
О	О
J0(z)—функция Бесселя. Звездочка в (Д.22) и ниже опущена. Критичес-
Критическую нагрузку р будем определять из условия ([3] к гл. 2)
Г'A) = 0.	(Д.23)
Обращая в (Д.22) оператор W, приведем уравнение (Д.22) к виду
Ц1	(Д.24)
о
Условие (Д.23) с учетом (Д.24) приводит к следующему представлению
величины р:
1
P=Qif(r), Q1w=^^dx.	(Д.25)
О
Аналогично предыдущему можно показать, что величина р не
превосходит единицы. Отметим, что тривиальное решение уравнения
(Д.22) Г = 0 имеет место при />=1.
6. Решение уравнения (Д.24), (Д.25) при малых значениях параметра
X будем строить в виде асимптотических разложений G.21), G.22).
Коэффициенты Ап (л = 0, 1, 2), входящие в G.22), подлежат определе-
определению согласно вытекающим из (Д.23) условиям
Г;A) = 0 (л = 0, 1, 2).
Внося представления Г (г) и р в виде G.21) и G.22) в (Д.24) и (Д.25)
и приравнивая выражения при одинаковых степенях X, получим
интегральные уравнения, из которых последовательно находятся
функции Го(г), Г!(г) и Г2(г):
Гя(г)-2ВА(Г0Гн)+А*п + 2АлЯ(гIк = 0 (л = 0, 1, 2). (Д.26)
Функции \|/и определяются формулой (Д. 13). Условие (Д.23) приводит
к следующим представлениям коэффициентов Ап:
Л = <21B^Г0Ги-1|/п) (/2 = 0, 1, 2).	(Д.27)
Отметим, что при п=0 интегральное уравнение (Д.26) является
нелинейным, при л=1, 2—линейным. Функцию Го представим в виде
(Д.1). Тогда из (Д.26), (Д.27) получим следующее интегральное
215

уравнение для определения функции ср(г):
/я = 0,
(Д.28)
Приближенное решение уравнения (Д.28) может быть найдено
методом последовательных приближений по схеме
(p2m (#и = 0, 1, ..., М),	(Д.29)
При реализации схемы (Д.29) для каждого значения т функции фт(г)
могут быть определены в явном виде.
Для значений л = 1, 2 уравнение (Д.26), (Д.27) целесообразно
преобразовать к следующей форме, не содержащей Ап\
-О (и=1, 2),	(Д.ЗО)
Решение уравнения (Д.ЗО) может быть получено методом Бубнова—
Галеркина. При реализации этого метода решение уравнения (Д.ЗО)
будем искать в виде
rn(r) = 2-^txHiU2i(r) (и=1, 2).	(Д.31)
п i=o
Применение к уравнению (Д.ЗО) процедуры метода Бубнова—Галер-
Бубнова—Галеркина приводит его к следующим системам линейных алгебраических
уравнений относительно коэффициентов XHi:
AD °°
Xnj	? *„,#,, = Д.,- (/i=l, 2; у=0, 1, ...),	(Д.32)
п i=o
1 1	1
0 0
1 1
о о
Здесь Pj(y)—полиномы Лежандра.
Непосредственные вычисления по полученным в настоящем пункте
формулам проводились для случая G.47). В результате этих вычисле-
вычислений найдено: ЛО = 2,14, Л1=20,5, ^42 = 153. Системы (Д.32) для я=1
и п = 2 решались методом редукции.
7. Полученное в п. 6 решение соответствует трещинам большой
относительной длины и относительно малого раскрытия. Рассмотрим
теперь случай относительно большого раскрытия трещин. С этой
216

целью введем обозначения: ц=А,//?, Гг = цГ. В результате уравнение
(Д.22) примет вид
<г^1),	(Д.ЗЗ)
) = 0, Г'A)=0.	(Д.34)
В (Д.ЗЗ), (Д.34) и далее верхний индекс 1 у Г опущен. Обращая в (Д.ЗЗ)
оператор W, получим
Г(г) = 2Я(г)/я-цЛ/(Г/ц)Д @^г<1).	(Д.35)
Это уравнение эквивалентно (Д.ЗЗ), (Д.34) при выполнении равенства
(Д.36)
следующего из второго условия (Д.34). Для решения уравнения (Д.35),
(Д.36) при малых значениях параметра ц применим метод сращива-
сращиваемых асимптотических разложений ([8 ] к гл. 2). Внешнее (проника-
(проникающее) решение вне контура трещины при ц«1 и с учетом свойств
функции g(x) может быть получено из (Д.35). Оно имеет вид:
T{) 2()/
)	)
Рассмотрим теперь 6—окрестность точки г=1. Введем обозначения
р=A-г)/е, *=A-Ч)/8, *=A-*)/е.	(Д.37)
При подходе к границе е-окрестности внешнее решение с учетом (Д.37)
примет вид: Г0(г) = 2^2ер/к. Поэтому для сращивания внутреннее
решение будем искать в форме
r(r) = vW(p) + *(vfy	(Д.38)
Внося представление (Д.38) в (Д.35) и переходя к внутренней
переменной, найдем
р	оо
_« f * ГЖЛ @<р<оо),
О
Меняя затем порядок интегрирования и вычисляя внутренний интег-
интеграл, окончательно получим
о
Аналогично условие (Д.36) примет вид
/(ф^^ (к) (Д.39)
(Д-40)
О
Из (Д.40) найдем критическое усилие
217

Переход в (Д.39), (Д.40) к новым переменным по формулам р = я2//4,
? = л2т/4 приводит к выводу, что J0 = nJ/2, где J определяется
формулой G.40) и решением уравнения G.39). Следовательно, для
случая G.47) /0 = 2,00л и в силу (Д.41)
(Д.42)
Отметим, что Саком в рассматриваемой задаче на основании
энергетического критерия Гриффитса получена следующая формула
для определения критического усилия ([2] к гл. 2):
В используемых здесь безразмерных величинах эта формула
принимает вид
' ~~	(Д.43)
Для случая G.47) с учетом G.4) из (Д.43) следует
что практически совпадает с (Д.42).
Решение интегрального уравнения (Д.24), (Д.25) может быть
получено методом последовательных приближений, аналогичным ис-
использованному в п. 4.
На рис. Д.1 приведены результаты вычисления значений предель-
предельной нагрузки р, полученные по формулам G.21), (Д.41) и (Д.25) (кривые
1,0
р*
0,5
р 1'
л"
о
20
Рис. Д.1
1, 2 и 3 соответственно) при g(;c) = exp( —х). Реализуемой в дейст-
действительности является нижняя ветвь кривой 3 при Х*Х<Х~1 и р<р*
(Х* = 0,0865, р* = 0,890), так как у раскрытой трещины при монотонном
возрастании нагрузки р в первую очередь будет достигнуто напряжен-
напряженно-деформированное состояние, соответствующее этой ветви. При
Х~1<Х^1 (или а<7,856) предельная нагрузка р равна 1, что
соответствует разрушению по достижении теоретического предела
прочности. При X ~1 ^ 55 расхождение значений р, полученных по
формуле Сака (Д.43) и по формуле (Д.25), не, превосходит 3%.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К ГЛАВЕ 1
1.	Александров В. М., Соловьев А. С. Некоторые пространственные
смешанные задачи теории упругости//Инж. ж. МТТ.—1966.—№ 2.
2.	Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости.— М.: Гостехиз-
дат, 1955.
3.	Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассичес-
Неклассические смешанные задачи теории упругости.— М.: Наука, 1974.
4.	Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.— М.:
Наука, 1980.
5.	Ростовцев Н. А. К задаче о кручении упругого полупространства//
ПММ.— 1955.— Т. 19, вып. 1.
6.	Leon M. Кеег. A note on the solution for two asymmetric boundary value
problems//Int. J. Solids and Struct.,—1965.—V. 1, № 3.
7.	Александров В. М., Соловьев А. С. Некоторые смешанные задачи
теории упругости //Изв. АН СССР. МТТ.—1969.—№ 5.
8.	Г р а д ш т е й н И. С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений.— М.: Наука.— 1971.
9.	Александров В. М. Осесимметричная задача о действии кольцевого
штампа на упругое полупространство//Инж. ж. МТТ.—1967.—№ 4.
10.	Г ах о в Ф. Д. Краевые задачи.— М.: Наука, 1977.
11.	Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных
сред со смешанными граничными условиями.— М.: Наука, 1986.
12.	Александров В. М., Сметанин Б. И. О симметричных и несиммет-
несимметричных контактных задачах теории упругости//ПММ.—1985.—Т. 49,
вып. 1.
13.	Нобл Б. Метод Винера —Хопфа.— М.: ИЛ, 1962.
14.	Б ей к ер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде.— М.: Мир,
1986.
15.	Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.— М.: Мир, 1967.
16.	Александров В. М. Асимптотические методы в задаче о взаимодейст-
взаимодействии жесткой накладки с упругой полосой. В сб. «Асимптотические методы.
Задачи и модели механики».— Новосибирск: Наука, 1987.
17.	Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики,
таблицы.— М.: Наука, 1968.
18.	Koiter W. Т. Approximate solutions of Wiener—Hopf type integral
equations with applications, parts I—III.— Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap.
Proa, 1954, В 57.
19.	Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов,
тонких включений и подкреплений.— М.: Наука, 1982.
20.	Александров В. М. Об одной контактной задаче для упругого клина//
Изв. АН АрмССР. Механика.—1967.—Т. 20, № 1.
21.	Александров В. М. К контактным задачам для упругого клина с одной
защемленной гранью//Изв. АН АрмССР. Механика.—1968.—Т. 21, № 2.
22.	Александров В. М., Мхитарян СМ. Контактные задачи для тел
с тонкими покрытиями и прослойками.— М.: Наука, 1983.
219

23.	Александров В. М., Галаджев Р. С, Соловьев А. С. К расчету
погрешностей тензоизмерений//Измерительная техника.—1966.—№2.
24.	А л ексан дро в В. М., АлпаидзеЗ. Г., Гришин С. А., Постни-
Постников Б. А. Расчет погрешности тензометрирования изделий из низкомо-
низкомодульных материалов //Изв. АН СССР, МТТ.—1988.—№ 4.
25.	Александров В. М., Гришин С. А., Коваленко Е. В. Контакт-
Контактное взаимодействие толстой плиты с упругим слоем большой толщины//
Изв. АН СССР, МТТ.—1985.—№ 5.
26.	Александров В. М., Соловьев А. С. Некоторые смешанные плос-
плоские задачи теории упругости и их применение к расчету погрешностей
тензоизмерений//Изв. АН СССР. МТТ.—1970.—№ 1.
К ГЛАВЕ 2
1.	Александров В. М., Кудиш И. И. Асимптотические методы в задаче
Гриффитса//ПММ.—1989.—Т. 53, вып. 4.
2.	П а н а с ю к В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами.— Киев:
Наукова думка, 1968.
3.	Желтое Ю. П., Христианович С. А. О механизме гидравлического
разрыва нефтеносного пласта//Изв. АН СССР.— ОТН.—1955, № 5.
4.	Билби Б., Эшелби Дж. Дислокации и теория разрушения//Разруше-
разрушения//Разрушение.— М.: Мир, 1973.—Т. 1.
5.	ВитвицкийП. М., ЛеоновМ. Я. О разрушении пластинки со щелью//
ПМ.—1961.—Т. 7, вып. 5.
6.	Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в син-
сингулярных интегральных уравнениях.— М.: Наука, 1985.
7.	БеллманР., КалабаР. Квазилинеаризация и нелинейные краевые
задачи.—М.: Мир, 1968.
8.	Найфэ А. X. Методы возмущений.— М.: Мир, 1976.
9.	Кудиш И. И. Взаимодействие накладки, находящейся в условиях устано-
установившейся нелинейной ползучести, с упругой полуплоскостью//Изв. АН
АрмССР. Механика.—1979.—Т. 32, №2.
10.	Кудиш И. И. Численные методы решения одного класса нелинейных
интегральных и интегро- дифференциальных уравнений//ЖВМ МФ.—
1986.—Т. 26, № 10.
11.	Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин//Разрушение.—
М.: Мир, 1975.—Т. 2.
12.	Баренблатт Г. И. Математическая теория равновесных трещин, образу-
образующихся при хрупком разрушении//ПМТФ.—1961.—№ 4.
13.	Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения.— М.: Наука, 1974.
14.	Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин.—М.: Наука, 1984.
15.	Александров В. М. К теории равновесных трещин в упругом слое//
Концентрация напряжений.— Киев: Наукова думка, 1965.— Вып. 1.
16.	Александров В. М., Сметанин Б. И. Равновесная трещина в слое
малой толщины//ПММ.—1965.—Т. 29, вып. 4.
17.	Сметанин Б. И. Две щели в полосе конечной толщины//ПММ.—
1970.—Т. 34, вып. 2.
18.	Александров В. М., Сметанин Б. И. О равновесных продольных
трещинах в пластинах//Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1966.
19.	К о й т е р В. Бесконечный ряд параллельных трещин в неограниченной
упругой пластине //В кн.: Проблемы механики сплошных сред. М.: Изд-во
АН СССР, 1961.
20.	Д и т к и н В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному ис-
исчислению. М.: Высшая школа, 1965.
21.	Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости.—Л., М.: Гос-
техиздат, 1949.
22.	Сметанин Б. И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое//
Инж. ж. МТТ.—1968.—№ 2.
23.	Александров В. М., Рома лис Б. Л. Контактные задачи в машино-
машиностроении.— М.: Машиностроение, 1986.
220

24.	Сметанин Б. И. Об одной смешанной задаче теории упругости для
клина//ПММ.—1968.—Т. 32, вып. 4.
25.	Сметанин Б. И. Задача о растяжении упругого пространства, содер-
содержащего плоскую кольцевую щель//ПММ.—1968.— Т. 32, вып. 3.
26.	Сирунян В. X. Цилиндрическая трещина в упругом пространстве//Изв.
АН АрмССР. Механика.—1974.—Т. 27, №4.
К ГЛАВЕ 3
1.	Сметанин Б. И. Задачи о расклинивании упругих тел//Статические
и динамические смешанные задачи теории упругости.—Ростов-на-Дону:
Изд-во Ростовского ун-та, 1983.
2.	Сметанин Б. И. О расклинивании упругого бесконечного клина//
ПММ.— 1969.— Т. 33, вып. 5.
3.	Га л ад же в а М. Р., Сирунян В. X., Сметанин Б. И. О раскли-
расклинивании упругой полуплоскости//Изв. АН АрмССР. Механика.—1974.—
Т. 27, № 2.
4.	Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Отслоившееся включение в упругом
полупространстве//Изв. АН СССР. МТТ.—1985.—№ 6.
5.	Сметанин Б. И. Об одном интегральном уравнении и его приложении
к задачам о тонких отслоившихся включениях в упругих телах//ПММ.—
1985.—Вып. 5.
6.	Попов Г.Я. К решению плоской контактной задачи теории упругости
при наличии сил сцепления или трения//Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-мат.
наук.—1963.—Т. 16, № 2.
7.	Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.:
Наука, 1968.
К ГЛАВЕ 4
1.	Андрейкив А. Е. Пространственные задачи теории трещин.— Киев:
Наукова думка, 1982.
2.	П а н а с ю к В. В., С а в р у к М. П., Дацышин А. П. Распределение на-
напряжений около трещин в пластинах и оболочках.— Киев: Наукова думка,
1976.
3.	Соболь Б. В. Равновесие упругого пространства, ослабленного системой
плоских трещин//Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.—1984.—№ 1.
4.	ДовноровичВ. И. О напряженном состоянии упругого тела при
наличии плоской щели (разреза)//ПММ.—1962.—Т. 26, вып. 2.
5.	Ирвин (IrwinG. R.). Сила, вызывающая распространение несквозной
трещины в пластине // Прикладная механика. Труды американского обще-
общества инженеров-механиков (рус. пер.).—1962.—Т. 29, сер. Е, №4.
6.	N i s i t a n i A., Murakami Y. Stress intensity factors of an elliptical crack or
a semi-elliptical crack subjected to tension // Int. J. Fract.,—1974.— V. 10, № 3.
7.	Гольдштейн Р. В., Ентов В. М. Вариационные оценки для коэффици-
коэффициента интенсивности напряжений на контуре плоской трещины нормального
разрыва//Изв. АН СССР. МТТ.—1975.—№ 3.
8.	Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.— М.: Наука,
1969.
9.	Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Растяжение упругого полупространст-
полупространства с трещиной, расположенной перпендикулярно к его поверхности//
ПММ.—1981.—Т. 45, вып. 5.
10. Bazant Z. P. Three-dimensional harmonic functions near termination or
intersection of gradient singularity lines: a general numerical method//Int. J.
Eng. Sci.,—1974,—V. 12, № 3.
И. БисплингхоффР., ЭшлиХ., ХалфмэнР. Аэроупругость.—М.:
ИЛ, 1958.
12.	С у м б а т я н М. А. Об одном аналитическом подходе к пространственным
контактным задачам теории упругости//ПММ.—1982.—Т. 46, вып. 3.
13.	Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Равновесие упругого слоя, ослаблен-
ослабленного плоскими трещинами//ПММ.—1984.—Т. 48, вып. 6.
221

К ГЛАВЕ 5
1.	Александров В. М., Чебаков М. И. Смешанные задачи механики
сплошных сред, связанные с интегральными преобразованиями Ханкеля
и Мелера —Фока//ПММ.—1972.—Т. 36, вып. 3.
2.	Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи
теории упругости для неклассических областей.— М.: Наука, 1979.
3.	Ч е б а к о в М. И. К задаче Рейснера—Сагочи//Прикл. механика.—1973.—
Т. 9, вып. 12.
4.	Великотный А. В., Сметанин Б. И. К задаче об установившихся
колебаниях плоскости с разрезом//ПММ.—1975.— Т. 39, вып. 1.
5.	Александров В. М., Б у р я к В. Г. О некоторых динамических смешан-
смешанных задачах теории упругости//ПММ.— 1978.— Т. 42, вып. 1.
6.	С м е т а н и н Б. И., Соболь Б. В. О продольных колебаниях берегов
полосовой трещины в упругом слое//ПММ.— 1984.— Т. 48, вып. 4.
7.	Зеленцов В. Б. О решении одного класса интегральных уравнений//
ПММ.—1982.—Т. 46, вып. 5.
8.	Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упруго-пластического раз-
разрушения.— М.: Наука, 1974.
9.	Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О расклинивании хрупких тел//
ПММ.—1960.—Т. 24, вып. 4.
10.	Борзых А. А., Черепанов Г. П. К теории разрушения твердых тел
под воздействием мощных импульсных пучков электронов//ПММ.—1980.—
Т. 44, вып. 6.
11.	Александров В. М., Сметанин Б. И. Сверхзвуковое расклинивание
упругой полосы//ПММ.—1990.—Т. 54, вып. 5.
К ГЛАВЕ 6
1.	Гузь А. Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными
напряжениями.—Киев: Наукова думка, 1983.
2.	Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения//
Разрушение.— М.: Мир, 1975.—Т. 2.
3.	Филиппова Л. М. Плоская контактная задача для предварительно
напряженного упругого тела//Изв. АН СССР. МТТ.—1973.—№ 3.
4.	Лурье А. И. Нелинейная теория упругости.— Наука, 1980.
5.	Александров В. М., Филиппова Л. М. Прямолинейная трещина
в предварительно напряженном упругом теле//Изв. АН СССР. МТТ.—
1984.—№ 3.
6.	Новацкий В. Теория упругости.— М.: Мир, 1975.
7.	Филиппова Л.М. О влиянии начальных напряжений на раскрытие
круговой трещины//ПММ.—1983.—Т. 47, вып. 2.
8.	Александров В. М., Чебаков М. И. Смешанные задачи механики
сплошных сред, связанные с интегральными преобразованиями Ханкеля
и Мелера—Фока//ПММ.—1972.—Т. 36, вып. 3.
9.	Г у з ь А. Н. Механика разрушения композитных материалов при сжатии.—
Киев: Наукова думка, 1990.
10.	Александров В. М., Соболь Б. В. Равновесие предварительно напря-
напряженного упругого тела, ослабленного плоской эллиптической трещиной//
ПММ.—1985.—Т. 49, вып. 2.
11.	Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования
обобщенных функций.— М.: Наука, 1977.
12.	Филиппова Л. М. Пространственная контактная задача для предвари-
предварительно напряженного упругого тела//ПММ.—1978.— Т. 42, вып. 6.

Научное издание
АЛЕКСАНДРОВ Виктор Михайлович,
СМЕТАНИН Борис Иванович,
СОБОЛЬ Борис Владимирович
Тонкие концентраторы напряжений
в упругих телах
Заведующий редакцией Л. А. Русаков
Редактор Н. В. Самойлова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректоры О. А. Бутусова, Л. С. Сомова
ИБ № 41489
Сдано в набор 15.09.92. Подписано к печати :-;;.СЧ93. Формат 60x90/16. Бумага
тип. № . Гарнитура тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л. 14. Усл. кр.-отт. 14,25.
Уч.-изд. л. 15,6. Тираж? »• экз. Заказ № 1000. С—031.
Издательская фирма «Физико-математическая литература» ВО «Наука»
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО
«Первая Образцовая типография» Министерства печати и информации Россий-
Российской Федерации. 113054 Москва, Валовая, 28.
Отпечатано в Московской типографии № 2 ВО «Наука»
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6 За к. 116

Victor Alexandrov, D. Sc. (Phys. & Math.)
Boris Smetanin, Cand. Sc, (Phys. & Math.)
Boris Sobol, Cand. Sc. (Phys. & Math.)
THIN STRESS CONCENTRATORS IN ELASTIC BODIES
Moscow, Nauka Publishers, General Editorial Board for Literature on Physics and
Mathematics, 1993
Readership: Engineers and researchers interested in problems of strength.
Specialists in fracture mechanics of solids and mathematical physics.
Summary: For the first time the problems of stress concentration near the thin
defects of various nature are treated on the unified level.
The results of the study of a wide scope of related problems of stress distribution
in the areas of cracks, straps, inclusions in elastic bodies are presented. The
three-dimensional, axisymmetric and plane problems of the equilibrium and the
stabilized oscillations for bodies with cracks have been considered. A search into
questions of interaction between cracks, the influence of the preliminary finite
deformation on stress distribution near the concentrator in al elastic body has
undertaken.
A selection of problems of wedging in elastic bodies has been presented.
In all the cases, the authors tried to limit oneselyes to the asymptotical and other
analytical methods of treatment. This has made it possible to better reveal the
qualitative features of the treatment on the one hand, and to shape up some results as
formulas convenient for engineering calculations.
In some cases, however, a number of analytical solutions have been supplemented
with some computerized qualitative background.
Contents: The problems of the balance of elastic bodies reinforced by plane
flexible straps and inclusions. The plane and axisymmetric problems for cracks in
elastic bodies. The problems of wedging in elastic bodies. The three-dimensional
problems for plane cracks. The dynamical problems in the theory of elasticity for
bodies with plane stress concentrators. The plane cracks in prestressed elastic bodies.
The authors: Victor Alexandrov is a leading researcher at the Institute for
Problems in Mechanics the Russian Academy of Sciences and professor at Moscow
state University. He is the author of several books. Some of them were published by
Nauka Publishers: «Non-classic Mixed Problems in the Theory of Elasticity» A974),
«Contact Problems for Bodies with Thin Covers and Layers» A983), «Problems with
Mixed Boundary Condition in Continuum Mechanics» A986).
Boris Smetanin is a lecturer at Rostov State University. Boris Sobol is a lecturer
at Rostov Architectural Institute.
Aleksandrov, Smetanin and Sobol are the authors of numerous papers for
Applied Mathematics and Mechanics journal and other periodicals which are
translated into English in the USA.