И. К. Даугавет

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ПРИБЛИЖЕНИЯ
ФУНКЦИЙ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА

WSI.SA.

Я. К. ДАУГАИЕТ

ВВЕДЕНИЕ

В ТЕОРИЮ
ПРИБЛИЖЕНИЯ
ФУНКЦИЙ

Учебное пособие

Из <5и । 'ы

С. 5. '’те1

‘ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ЛЕНИНГРАД 1977
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Ленинградского университета

УДК 517.51

Д а у г а в е т И. К. Введение в теорию приближения функ-
ций. Учебное пособие. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 184 с.

Цель книги — первоначальное ознакомление читателей с основ-
ными результатами и методами теории приближения функций. При
отборе материала учитывалось наличие простого доказательства и
значение того или другого результата для вычислительной мате-
матики.

Содержание книги: наилучшие приближения, прямые и обрат-
ные теоремы конструктивной теории функций, ортогональные много-
члены, интерполяция. Некоторые из рассматриваемых в книге во-
просов до сих пор не освещались в учебной и монографической ли-
тературе.

Книга рассчитана на студентов старших курсов университетов,,
кроме того, она может быть полезна научным работникам в обла-
сти вычислительной математики. Ил.—8, библиогр.—27 назв.

20204—052	„

Д 076 (02)—77 69“77

Издательство Ленинградского
университета, 1977 г.

Лаугавет Игорь Карлович

Введение в теорию приближения функций

Редактор Г. И. Чередниченко

Техн, редактор А. В. Борщева

Корректоры Е. К. Терентьева, И. Л. Гагарина

Сдано в набор 3 1 1977	г.	Подписано к печати 20 IV 1977 г.
Формат бумаги 60x90'/ic-	Бум. тип. № 3.	Псч. л. 11,5.	Уч.зт. л.'10,73.
Бу м. л. 5,75.	Тираж 7725.	Заказ 65.	Цена	61 к.
Издательство ЛГУ им.	А. Л. Жданова. 199164,	Ленинград. Университетская наб., 7/9.

Типография ЛГУ им А. А. Жданова. 199164, Ленинград, Университетская наб., 7/9.
ВВЕДЕНИЕ

В настоящей книге излагается ’курс лекций, которые автор
в течение многих лет читал на математико-механическом фа-
культете Ленинградского университета в качестве годового
спецкурса, предназначенного для студентов, специализирую-
щихся по кафедре вычислительной математики. При создании
этого курса за основу были взяты лекции по конструктивной
теории функций проф. И. П. Натансона, которые автору посча-
стливилось прослушать. С течением времени содержание курса
и способы изложения менялись. Книга отражает современное
состояние курса.

Теория приближения функций (или конструктивная теория
функций) (рассматривает задачи,  связанные с приближением
функций более простыми.

Первый вопрос, который возникает, когда сказана предыду-
щая фраза, — это что понимать под простыми функциями. Ча-
ще всего рассматривается приближение функции функциями из
некоторого «-параметрического семейства. Частным случаем
такой задачи является задача приближения функций линейны-
ми комбинациями заданных функций, причем наибольший прак-
тический интерес представляет приближение функций алгебраи-
ческими полиномами. Именно этой задаче — приближению
функций полиномами — и посвящена в основном книга.

Близость двух функций может также пониматься по-раз-
ному и трактуется обычно как близость в некотором функцио-
нальном пространстве. Пас будет интересовать, главным обра-
зом, равномерная близость, т. е. близость в пространстве С.

Итак, книга посвящена преимущественно вопросам, связан-
ным с равномерным приближением функций полиномами. Опре-
деленный интерес представляет выяснение тех условий, которым
удовлетворяет полином, приближающий функцию наилучшим
образом. Далее, из классической теоремы Вейерштрасса извест-
но, что любая непрерывная функция на конечном отрезке мо-
жет быть сколь угодно точно равномерно приближена полино-
мами Однако насколько велика должна быть степень полино-
ма достаточно хорошо приближающего функцию, зависит от
свойств этой функции. Так называемые прямые и обратные тео-
ремы конструктивной теории функций устанавливают замеча-
тельную связь, которая существует между свойствами гладко-
сти функции и качеством ее приближения полиномами. Нако-
нец, определенное внимание в книге уделяется конкретным спо-
собам приближения функций — рядам Фурье по ортогональным
многочленам и интерполяции.

Для тех, кто занимается вычислительной математикой, тео-
рия приближения функций интересна по меньшей мере в двух
отношениях. Во-первых, при вычислениях па ЭВМ часто возни-
кает потребность систематически использовать некоторую функ-
цию (например, специальную). Наиболее распространенный
прием построения стандартной программы вычисления значений
некоторой функции состоит в том, что сначала строят полином,
приближающий эту функцию с требуемой точностью, и стан-
дартная программа вычисляет в действительности не значения
функции, а значения этого полинома. Поэтому специалисту в
области вычислительной математики полезно знать, как может
быть построен полином, достаточно хорошо приближающий
функцию, 'какого качества приближения можно ожидать и т.п.
Во-вторых, целый ряд приближенных методов решения функ-
циональных (дифференциальных, интегральных) уравнений со-
стоит в том, что приближенное решение ищется в априори за-
данной форме — в виде линейной комбинации «координатных»
функций. Таковы, например, методы Ритца, Галеркина, метод
моментов. При этом, естественно, возникает вопрос, может ли
решение принципиально быть достаточно хорошо приближено
функциями такого вида. Знание ответа часто позволяет делать
достаточно глубокие выводы об эффективности метода. Поэто-
му результаты теории приближения функций широко исполь-
зуются в теории приближенных методов решения функциональ-
ных уравнений. Заметим еще, что идеи интерполяции глубоко
пронизывают всю вычислительную математику.

Хотя книга, как сказано выше, посвящена в основном вопро-
сам равномерного приближения функций алгебраическими по-
линомами, в первых параграфах изложение ведется в более об-
щем плане. Это, с одной стороны, позволяет лучше уяснить сущ-
ность рассматриваемых свойств, а с другой — приводимые здесь
результаты представляют для вычислителя и самостоятельный
интерес. Довольно большое внимание в курсе уделяется вопро-
сам приближения периодических функций тригонометрическими
полиномами. Известные результаты здесь более полны, чем для
случая приближения алгебраическими многочленами, и служат
базой для получения соответствующих результатов в алгебраи-
ческом случае.
При изложении задач теории приближения функций естест-
венно пользоваться языком функционального анализа. Предпо-
лагается, что читатель знаком с основами функционального
анализа, например, в объеме первых девяти глав книги Л. В.
Канторовича и Г. П. Акилова [8]. Впрочем, в большей части
курса (за исключением § 8 гл. 4 и § 2 гл. 6) от читателя требу-
ется скорее привычка обращаться с простейшими понятиями
функционального анализа, чем знание более глубоких результа-
тов. Кроме того, автор счел ненужным приводить элементарные
сведения из теории интерполяции, так как обычно они хорошо
известны уже студентам младших курсов.

В книге, если не считать нескольких мелких замечаний, со-
вершенно не отражены вопросы истории развития предмета.
При формулировке многих теорем указывается их автор, но сле-
дует иметь в виду, что это носит часто несколько условный ха-
рактер. Иногда теорема, приписываемая тому или другому ма-
тематику, в действительности является более поздним обобще-
нием или усилением доказанного им утверждения. Таковы, на-
пример, теоремы П. Л. Чебышева в § 3 гл. 1 и теоремы
Д. Джексона в § 4 гл. 2. Или, наоборот, формулируемая в
книге теорема является лишь частным случаем более общей
теоремы, доказанной ее автором. Это, например, теорема А. Н.
Колмогорова в § 2 гл. 1, теорема А. Ф. Тимана в § 2 гл. 2.

Использованная при написании книги литература указана в
конце общим списком. Однако конкретные ссылки на этот спи-
сок даются лишь в том случае, когда автор считает нужным
обратить внимание читателей на результаты, имеющие непо-
средственное отношение к содержанию книги, но не нашедшие
в ней отражения.

Освоение любой математической дисциплины немыслимо без
самостоятельных размышлений над ее вопросами. Помощь чи-
тателю в этом отношении призваны оказывать задачи, поме-
щенные в конце большинства параграфов. Следует иметь в ви-
ду, что среди этих задач попадаются довольно трудные. Неко-
торые задачи существенно дополняют основной текст книги.

Автор благодарит проф. В. С. Виденского и проф. Г. И. На-
тансона, прочитавших книгу -в рукописи, за ряд ценных замеча-
ний.
Глава 1

НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

§ 1.	Основные понятия

Пусть F— некоторое банахово пространство, F— его конеч-
номерное подпространство.

Определение. Наилучшим приближением элемента /СF
элементами 'подпространства F называется число



а элементом, наилучшего приближения называется такой
элемент что |1/—<р|| = £’(/).

Геометрически наилучшее приближение элемента f тракту-
ется как его расстояние до подпространства F, а элемент наилуч-
шего приближения — как точка подпространства F, ближайшая
к f.

Существование определенного выше элемента наилучшего
приближения требует доказательства.

Теорема \.Для любого f QF элемент наилушиего приближе-
ния существует.

Доказательство. По определению точной нижней гра-
ницы для каждого^ натурального п найдется такой элемент
подпространства F, что ||/ — !|< Е- (/) + 1 'п. Рассмотрим
последовательность {<?„}. Эта последовательность ограничена:

IV,, II < II ч>„ -/II + 11/11 < Е (/) + 1 п +1/|| <!/! + £_(/)+ 1.
Г	I "	9	1

Таким образом, члены этой последовательности ограничены в со
вокупности и, _кроме того, принадлежат конечномерном у под
пространству F. Известно, что ограниченное множество в конеч-
номерном пространстве компактно. Поэтому из последовательно
сти {фп} можно выделить частичную сходящуюся: фя -хр, при-

А»

чем очевидно Переходя к пределу в неравенстве

.получим /—Ср К £_(/),
II / — ср II > £_ (/) очевидно
«приближения, <р является

а так как обратное неравенство
в силу определения наилучшего
элементом наилучшего прибли-

.жения

Заметим, что при доказательстве теоремы существенно ис-
пользована предположенная с самого начала конечномерность
подпространства F.

Как будет видно из дальнейшего, элемент наилучшего при-
ближения может быть пе единственным. Однако нетрудно ука-
зать довольно широкий класс банаховых пространств, в которых
элемент наилучшего приближения всегда единствен.

Определение. Говорят, что пространство F имеет
'выпуклую сферу, если из ll/|| = |igll и f g следует, что
/4-g i| < ll/S + ’ilg'lh т. е. в неравенстве треугольника стоит
знак строгого неравенства.

Геометрически это означает, что если точки / и g принад-
лежат одной и той же сфере (||/.|=(1g| = A?), то середина
отрезка, их соединяющего, лежит внутри этой сферы
( y(7+g) </?).

\ I z	/

Теорема 2. Если пространство F имеет выпуклую сфе-
ру, то элемент наилучшего приближения любого элемента
f£F единствен.

Доказательство проводится от противного. Пусть G>t
m с2 — два разных элемента наилучшего приближения. Тогда,
учитывая, что / — 0^1 = 11/—<р2]|=£(/), и используя стро-
гое неравенство треугольника, получим

/— 4 (? 1+

=ji(/-?i)+(/-?2)a

т. е. для элемента ? =	+	получено неравенство

II/ — Ф II < Е—(/), что противоречит определению наилучшего
приближения 

Замечание. Из известных функциональных пространств
пространства Lp при 1<р<4-оо имеют выпуклую сферу. Это вы-
текает из того, что в интегральном неравенстве Минковского
знак равенства достигается лишь в том случае, если соответст-
вующие функции пропорциональны. Таким образом, в просграл-
ствах при 1<р< + оо элемент наилучшего приближения все-
гда единствен. Что касается пространств С и L, то ИХ сферы не
выпуклы. Действительно, Ilf+gllc = llfllc +llfillc всякий раз, когда
функции fug достигают максимального по абсолютной 'величине
значения в одной и той же точке и с одним знаком. Для равен-
ства же ||/4-£|1ь = llflk + llgllr достаточно, например, чтобы обе
функции fug были неотрицательны.

Отметим некоторые простейшие свойства наилучших прибли-
жений и элементов наилучшего приближения. Для краткости
формулировок условимся обозначать через f, g элементы прост-
ранства F, а через ф, ф — их элементы наилучшего приближе-
ния.

1°. E_(/XI|f|], так как в качестве приближающегося эле-
мента из F всегда можно взять 0.

2°. Если g — cf, где с — постоянная, то EFfg) = |c[E(/) и
ф = сф. Это свойство очевидно. Следует только заметить, что в
связи с возможной неединственностью элемента наилучшего
приближения равенство ф = Сф следует понимать так: элемент с<р>
является одним из элементов наилучшего приближения для g.
Таким же образом следует трактовать аналогичные равенства и
ниже.

3°. Если и g=f+x, то Е-(g) = E (f) и ф = <р-f-

4°. E—(f -f-g) <£’__(/) + E_(g). Докажем, для примера*
это свойство, хотя оно не менее очевидно, чем два преды-
дущих:

I (/ + g)-(? + Ф) J < И- Ч> 11 + к - Ф II = Е- (/) + Е (g),

-*	Jr

и остается воспользоваться определением наилучшего прибли-
жения.

Как непосредственное следствие 1°, 2° и 4°, получается
следующее свойство.

5°. |£'_(/)-£_(g)|<F_(/-g)<||/-J?B.

Свойства 2° и 4° означают, что заданный на F функционал
E-(f) есть полунорма, т. е. удовлетворяет всем аксиомам
нормы, за тем исключением, что обращается в нуль на всех
элементах подпространства F.

В связи с неравенством 4° следует подчеркнуть еще одно-
обстоятельство.

6°. <?4-О, вообще говоря, не является элементом наилуч-
шего приближения для f -f-g. Подтверждающий это пример-
будет приведен ниже.

7°. Пусть дана последовательность элементов fn и —
соответствующие элементы наилучшего приближения. Если
то (Л) -*	(/)• Если к тому же элемент наилуч-

J И *	р'	р

шего приближения <р единствен, то и <рл —> ф.

Доказательство. Соотношение Л_ (/л) -> Е- (/) следу ет-
Л	Л

сразу же из 5°. Так как

li ?«!«II ч> „ -/„ НА -/II+11/11=-^(Л) + II л -/II +1/1,

то последовательность {<?„} ограничена и потому (F—конечно-
мерно!) компактна. Пусть	— сходящаяся подпоследова-

тельность и х — ее предел. Тогда, переходя к пределу в равен-
стве ]fnk — <рлЛ||= Е— (/„*), получим ||/—z !=£-(/), т. е. х
является элементОхИ наилучшего приближения для /. Если
элемент наилучшего приближения <? единствен, то х = <Р-
Итак, в этом случае последовательность срл} компактна^
и любой ее предельный элемент совпадает с Значит, вся

эта последовательность сходится к <р 

Если пространство F и его подпространство F такозы, что
элемент наилучшего приближения для любого / (< Т7 единствен,
то можно рассмотреть оператор А, который каждому f (*Е
ставит в соответствие его элемент наилучшего приближения:
Af=q>. Согласно свойствам 2° и 7е оператор А однороден и не-
прерывен. Однако (см. 6°) он, вообще говоря, не аддитивен и
потому не линеен. С этим связаны трудности решения задач
построения элементов наилучшего приближения.

Рассмотрим теперь положение, когда задано не одно подпро-
странство, а целая последовательность конечномерных подпро-
странств {Fn} пространства F. Будем считать, что при каждом п
Fn+iZ)Fn, и для простоты введем обозначение Ер„ (f) =En(j).
Тогда очевидны следующие два свойства.

8°. En+1(f)^En(f).

9°. Для того чтобы для любого элемента fQF выполня-
лось соотношение /?„(/)-> О, необходимо и достаточно, чтобы
множество U Еп было плотно в F.

п

Свойствами 8° и 9° все свойства последовательности наи-
лучших приближений произвольного элемента / исчерпаны.

Теорема 3. Пусть \F 1 —последовательность конечно-
мерных подпространств пространства F, причем Fn+i ZD Fn
при всех пи иЛ плотно в F. Пусть	—произвольная

монотонно стремящаяся к нулю последовательность (р>п^>0,
рл+1 у-Д. Тогда существует такой элемент f£.F, что при
всех п En(f) — yn.

Доказательству теоремы предпошлем короткую лемму.

Лемма. Пусть и f2 — произвольные элементы F, при-
чем f ^F. Тогда для любого числа	найдется

такое число а, что Е- -|- а/2) = р,.
Л
Доказательство. Действительно,	4- а/2) есть

^непрерывная (см. 7°) функция а, причем при а = 0 она обра-
щается в	и при <х —> со f_ (/, + а/2) —> 4- со, так как

F	*

Е (fx + «Л)> Ер Ш -£_(/,) = | а | £_(А) - Е- (/,) 

Доказательство теоремы. Пусть W — натуральное
число. Покажем сначала существование такого элемента
fN £ чт0 ПРИ п = 1 ’ 2’ • • • ’ N — 1 Еп (Д) = |л„. Для этого
в каждом подпространстве Fn найдем элемент А/?, не принад-
.лежащий Fn_x. Согласно лемме можно выбрать число «л. так,
что для элемента £у = алДу будет Ек_х (gv) = !\V-i • Дока-
жем теперь индукцией no J существование такого элемента
gN-j	для которого Еп(giV_y) = при п — N—j— 1,

N — j, ..., N— 1. Уже рассмотренный случай /==0 предста-
вляет базу для индукции, остается установить возможность
’индуктивного перехода. Пусть элемент gA, -_п уже построен:

Fn(gyy_(у—ij) — V'n при ti'=N —J, Л/ у4“1» •••
— , 2V— 1. Обозначим через y£FN_. элемент наилучшего
приближения gN (у_г) в подпространстве FN_r так что



— ^N-J (^Л’-(/-1)) — Av-/’

и будем искать следующий элемент gx_j в виде
Sx—j — S дг_(7-_1)	Z "k °Av-/ •

-Учитывая, что

— ^x-j Идг-у-р

и применяя лемму, выберем а из условия EN_._г (£л, ) =
= ^v-/_r Так как —у 4- o-hN_j QFn при n^N—j\ то при
n — N—j, N—/4"Ь •••> N—1 также будет En(gN j.) —
== ^п{ёх-и-1) * —1лл- Этим доказана возможность индуктивного
перехода, а тем самым и существование всех g<v_y. Если мы
положим теперь /л, ~g2t то получим элемент с требуемыми
•свойствами.

Обозначим Через <?л,ЕFt элемент наилучшего приближения
_/v в подпространстве И и положим f'N =	fN^FN,

Тогда

при п = 1, 2,

(/Лг)

при ti — N^ А:4- 1, ...

(*)
Все элементы последовательности {/дГ) принадлежат множе-
ству М:

M —	||/i|<th, £«(/)< th: при /г = 1, 2, ...}.

Покажем, что множество М компактно. Для этого по произ-
вольному £ > 0 найдем такой номер К, что у-к < е, и положим

— {с1 © £ F^

h'K !h + £1-

/Ие компактно как ограниченное множество в конечномерном
пространстве F г и в то же время является s-сетью для М
•(для любого /£М ег0 элемент наилучшего в Ff< приближе-
ния <р таков, что II/— ?!Kt*/f < е и ||<рй<||/|| + ||/ — ?||<th + £,
т. е. <р£7Ие). Обладая при каждом s компактной s-сетью, само
М. также компактно. Итак, из последовательности |/^‘ можно
выделить частичную, сходящуюся к некоторому f£F. Пере-
ходя к пределу по соответствующей подпоследовательности
индексов в равенстве (*), легко убедиться, что элемент / —
требуемый 

Введем еще некоторые важные понятия. Пусть М — неко-
торое множество элементов пространства F; М CZ F. Число

/еМ

характеризует возможность приближения всех элементов мно-
жества М элементами из подпространства F. Для заданного
множества М величина	зависит от выбора подпростран-

ства и можно ставить задачу об отыскании такого подпрс^ст-
рансгва F заданной размерности п, для которого эта величина
минимальна.

Определение 1. Пусть п — натуральное число и
McF— некоторое множество элементов 'пространства F. Тогда
п-поперечником множества М называется число

d„ (Л1)= inf ё’-(М),

где inf берется по всем подпространствам FС F заданной
размерности п.

Разумеется, /г-поперечник некоторого множества М может

♦быть равным Д-co.

Определение 2. Подпространство FcF размерности п
«называется экстремальным для множества М с F, если

(Л4) = dn (М).
г

Последовательность подпространств {FJ (размерность Flt
есть п^, nk -> со) называется экстремальной по порядку, если
существует такая постоянная с, чго при всех k

% (M)^cd (М).

‘k

При выборе подпространств Fjif элементами которых мы со-
бираемся приближать элементы заданного множества М, часто
довольствуются экстремальной по порядку последовательностью
подпространств. Эго связано с тем, что, во-первых, экстремаль-
ные подпространства не всегда удается построить и, во-вто-
рых, иногда можно указать экстремальные по порядку подпро-
странства, более «простые», чем экстремальные.

Отметим некоторые очевидные свойства «нпопереч;нико1в.

1°. Если множество М лежит в некотором N-мерном под-
пространстве У пространства F, то при N dn(AI) = 0.

2°. «-поперечники любого множества Af не возрастают
с увеличением «: dn+1 (Л'1) <1 dn (/И).

3*. Если и ТЙ2—два множества элементов пространства
F, причем	то dn (7ИхХ dn (М2).

Вычисление «-поперечников различных множеств и построе-
ние соответствующих экстремальных подпространств, а также
нахождение экстремальных по порядку последовательностей
подпространств составляют важный 'круг задач теории прибли-
жений.

В заключение заметим, что данное в этом параграфе опре-
деление «-поперечника не является общепринятым, хотя оно
естественнее с точки зрения задач теории приближения функ-
ций. Более принятым является такое определение /г-попереч-
ника (мы его обозначим d*n(M)). Для любого элемента h^F
обозначим через Л/г «сдвиг» множества М на A: Mh — {f\f£F,
f=g— A, g£M}. Тогда d*n (M) — inf dn Впрочем, все
he Г
конкретные множества, для которых будут изучаться «-попе-
речники, симметричны относительно нуля пространства (т. е_
вместе с каждым элементом f содержат и —/). Для таких
множеств «-поперечники dn и d*n совпадают. Доказательство»
этого факта предоставляем читателю в качестве задачи.

§ 2.	Наилучшие приближения
в пространстве С (К). Теорема Хаара

Пусть К — некоторый метрический компакт (компакт-
ное метрическое пространство) с метрической функцией р_
Будем обозначать через С (К) банахово пространство вещест-
венных непрерывных на К функций с нормой

|/i| = max |/(х),.
хеК
В этом и следующем параграфах будут изучаться свойства эле-
ментов наилучшего приближения в пространстве С(К).

Пусть Сп—'подпространство пространства С(К) конечной
размерности п и пусть (рДх), цДх), , (рп(х)— базис этого
подпространства. Элементы Сп будем называть обобщенными
полиномами по системе {(р/х)}, или, для краткости, просто по-
линомами. Элемент наилучшего приближения будем соответ-
ственно называть полиномом наилучшего приближения. Сле-
дующая теорема дает признак полинома паилучшего прибли-
жения.

Теорема 1 (А. Н. Колмогоров). Пусть f(x)— непрерывная
на К функция, f^Cn, н ? (х)Е Сп — некоторый полином.
Пусть

R — {x\x^K, |/(х)-?(х)| = |/-?1)

— множество тех точек х£К, в которых разность /(х) —
— у(х) достигает максимальной по модулю величины (мно-
жество точек максимального уклонения полинома о),
<з ^x) = sign (f(x)—Для того чтобы <?(х) был полино-
мом наилучшего приближения функции f(x), необходимо
и достаточно, чтобы система линейных неравенств отно-
сительно Cj

с(х)Уп с&Лх)>® при xQR	(*)

у=1 J J

была несовместна, т. е., другими словами, чтобы не наш-
лось такого полинома б(х)£Сп, который бы во всех точках
множества R принимал значения того же знака, что
и разность f(x) — © (х).

доказательство. Достаточность. Пусть ¥(х) не
есть полином наилучшего приближения для /(х). Тогда
|.у—(/) = \f — <р ||, где <р — полином наилучшего при-
с п

•ближения для /. Определим полином ф(х), положив

Ф U) = ¥ (х) — ? (х) = [/ (х) — ? (х)] — [/ (х) — © (х)].

Если точка х — из множества R, то в последнем представле-
нии полинома ф(х) первое слагаемое по абсолютной величине
(11/— ¥il) больше второго ,/(х) — ¥ (х) |	(/))’ и потомУ

во всех точках из R <Дх) имеет тот же знак, что и разность
/(х) — ¥(х)- Достаточность доказана.

Необходимость. Пусть ф(х) — полином, который в точ-
ках множества R принимает значения тех же знаков, что
п /(х) — <р(х). Положим М — Множество R замкнуто,
л ф (х) на R в нуль не обращается, поэтому т = min | О (х) । > 0.

xeR

Дак как функции ф и f — ¥, непрерывные на К, тем самым
и равномерно непрерывны, найдется такое 8	0, что как толь

ко о (х', х")<8, так

I [/(.е) — ?(х')] - [/(*")-ч>(х"» | < 4II/-тII

И

1'ИЛ'’)-'ИЛ|<7//г-

Обозначим теперь через Ai множество тех точек из К, рас-
стояние которых до R меньше 3, и положим /(2 =
Очевидно, что множество открыто, а R> замкнуто. В силу
выбора 8 в каждой точке множества Кг функции f—и
принимают значения одного знака. Положим теперь

max |/(х) — <р (х) | = ||У— ф || — s.
хеК2

Число е положительно, так как А2 замкнуто и не содержит
точек из R. Наконец, определим полином f (х), положив

— £

ф(х) = ?(х)4--^-ф(х).

Оценим разность /(х)— ?«.х). Если то в представлении

/ (х) — ф (х) = [/(х) — (х)] — 2^- ф (х)

уменьшаемое и вычитаемое имеют один и тот же знак и оба
по абсолютной величине не превосходят /—<р||. Значит, для
Ад

l/W-?WKI/-4

Если х^А'г, то

|/(х)-у(х)|<|/(х)-?(л)| +

+1Ь-ги*)кг/+?1-«+4-<1/--п

Итак, во всех точках компакта К /(х)— ? (х) <||/—ф||. Тем
самым ||/ — ?,|<||/—<р||, и у не является полиномом наилуч-
шего приближения для / 

Займемся вопросом о единственности полинома наилучшего
приближения.

Определение, «-мерное подпространство Сп пространст-
ва С(К) называется чебышевским, если любой отличный от
тождественного нуля полином фССп обращается в нуль нс бо-
лее чем в п—1 точке компакта К.

Линейно-неза,виси1мая система (pi(х), ^(х),	, <рп(х) непре-

рывных на А функций называется чебышевской, если натяну-
тое на эти функции подпространство пространства С(К) явля-
ется чебышевским. Другими словами, чебышевской системой на-
зывается базис чебышевского подпространства.
Примером чебышевской системы является система степеней
1, х, х2, ... , х’1-1 на любом промежутке (а, 6].

Йз определения чебышевского подпространства немедленно
следует, что если подпространство Сп чебышевское и полиномы
<Г» Ф € С совпадают в п точках, то они совпадают везде.

Теорема 2. Для того чтобы система функций (х),_
а,(х), ..., <ря(х) была чебышевской, необходимо и доста-
точно, чтобы определитель

<Р1 (-*1) • • •	С*1)

был отличен от нуля, каковы бы ни были различные точ-
ки Xf, х2, ... , хп компакта К.

Доказате тьство. Если нашлись такие точки xlt х2, ...,
..., х . что Л = 0, то система уравнений относительно не-
известных cf

<¥fi (A‘i) + Cff 2 (*i) + • • • + са^п (хД = О,
«•••••«••••••••в	0^)^

С1?1 (-*„) + ^2?2 (*») + • • . + Сп?п (-Хп) = О

имеет ненулевое решение. Соответствующий этому решению-
полином ф(х) = Х\ jCfx(-x) обращается в нуль во всех точках,
л, (т = 1, 2, ..., п), и потому система {<рД не чебышевская.

Обратно, если система ‘<pz) не чебышевская, то найдется:
такой отличный от тождественного пуля полином ф (х), кото-
рый имеет не менее п корней. Пусть xls х2, ..., хл — его-
корни. Тогда Д, определитель системы уравнений («), равен
нулю, так как коэффициенты полинома ф дают ненулевое-
решение этой системы 

Следствие 1. Если подпространство Си(Е.С(К) чебы-
шевское, то в классе полиномов однозначно разрешима лю-
бая интерполяционная задача. То есть каковы бы ни-были
различные точки хп х>, ... , х г компакта К и числа
ot2, . •. , ап» найдется воинственный полино и ч£Сп такой,
что ср (xk) = аЛ при k — I, 2, ... , п.

Доказательство. Пусть <р2, срл— базис подпро-
странства Сп. Задача построения интерполяционного полинома
сводится к решению системы линейных уравнений

которая однозначно разрешима в силу доказанной георемы 

Следствие 2. Пусть подпространство СпС.С (К) чебы-
шевское и — полином наилучшего приближения функ-
ции f с сп. Тогда множество

/? = [х|хек, |/(х)-?(х)| = |/-?>|}
содержит по меньшей мере п Д-1 точку.
Доказательство. Допустим противное пусть А? содер-
жит лишь т точек х15 х2, ...» хт (т й)- Если т пу
г выберем произвольно очки хт+1, . • • , хп так, чтооы
все точки хк (6 = 1, 2, ... , п) оказались различными. Исполь-
зуя следствие 1, построим интерполяционный полином ф (х)

по условиям

t

Ф (*л) = sign (/(Xft) — <? (xj).

Во всех точках множества /? = {ль х2, . ..*, хт, полином ф
принимает значения того же знака, что и f — <р, и потому по
теореме Колмогорова <р не есть полином наилучшего прибли-
жения Н

Теорема 3 (А. Хаар). Для того чтобы для любой функ-
ции f^C(К) полином наилучшего приближения в подпро-
странстве С. был единственным, необходимо и достаточно,
чтобы подпространство С было чебышевским.

Доказательство. Достаточность. Пусть подпро-
странство Сп чебышевское. Допустим противное, что для неко-
•торой функции	нашлось два полинома наилучшего

приближения у'(х) и (х). Построим полином ф(х)—
= 4- (</ (х) 4- <?" (х)). Так как
2^

•ф— также полином наилучшего приближения, и по следствию
2 из предыдущей теоремы найдутся такие точки х}, х2, ...
..., хп+1, что |/(xz) — Ф(х/)| = 2?с (/). Для каждой точки xt
п

£с (Л=I/ (*)	(a)I = 111/ (А) - <№)] +1/ М - '?"(•*,)] I <

п	~

< 4-1/ к) -1’ м ।+4- 17(a) - ?" < а) । <

< 4- Ес„ (/) + 4- £С„ (Л =	(/)•

Так как первый и последний члены этой цепочки неравенств
совпадают, в действительности знак <4 в обоих случаях должен
быть заменен на =. Во втором случае это означает, что
f(Xi)—<р'(Xi) и "(Xi)—qf (Xi) равны по абсолютной величине, а
б первом — что они имеют один и тот же знак. Итак, при всех
1=1, 2, ..., П+ 1 j(Xi)—Ц)'(Хг) =f(X{)—ff"(xi)> т- в- ПОЛИНОМЫ
<р' и ц>" совпадают по меньшей мере вл+1 точке х/. Но тогда I
они совпадают везде, и этим достаточность доказана.

Необходимость. Предположив, что подпространство
Сп не чебышевское, построим такую функцию f(x), полином
наилучшего приближения которой не единствен. Пусть <р1} ...
.. •» фп — базис Сп и —тот полином, который имеет не ме-
нее п корней. Пусть хь л'2, ... , хп — его корни. Тогда (см. до-
казательство теоремы 2)

?! (*я) • • • ?п О//)

Очевидно, что определитель

?п(Х1) ••• ?л(*п)

равен Д и потому также равен нулю. Следовательно, система
.линейных уравнений относительно at-

«1?! (*i) + • • • +	(* «) — О,

(*1) + • • • +	Ы = О

•имеет ненулевое решение. Впредь через (ан а2, ., ап) будем
обозначать какое-нибудь ненулевое решение этой системы.
Числа а, обладают тем свойством, что каков бы ни был поли-
сом <?£Сп,

2". aJf w=°-	«

Действительно, для <? (х) =	!

так как каждый множитель, заключенный в квадратные скоб-
ки, равен нулю в сил}'1 выбора а,.

Построим теперь непрерывную функцию g'(x), удовлетво-
ряющую следующим условиям: g(xf) = signаь Z=l, 2,	, /г,

g||=l. Существование такой функции g очевидно. Положим



1

м

где 7И = ||ф”. Тогда функция /(х) обладает свойствами:

1)	/(х) непрерывна;

2)	/(*/) = g (*/) = sign at-

3)

4)	£с„ (/)=!•

'Свойства 1)—3) очевидны, докажем последнее. Ес (f)	=

Допустим, чго Ес	Пусть <р(х) — полином наилучшего

приближения для /. Тогда для тех Z, при которых az=H=0,
окажется sign <р (х,) — signf (х£) — sign аь ибо у (х/) = f (xj —
— [/(*/)—	причем |/(xj| = l, |/(xj — ?(xf)[<

2 Зак.»...

I ВИБЛПОте^м

!	' T* ь'маТй?'П  кетвччг

17
<ZEr (/)<!. Но это сразу же приводит нас к противоречию»
с тождеством (*), и свойство 4) доказано.

При любом е таком, что |е|<Д М, полином еф(х) является
полиномом наилучшего приближения функции /(х), так каю

/(*) — sb(x) g(x)|(l __L[o(x) j-He *|ф(л)

<1 -^1'М*)14ФН'И*)1==

= 1 -(тг —lel)l^(x)K1=£cn(/)-

Итак, полином наилучшего приближения функции /(х) не
единствен 

Задача I. Показать, что система 1, х, л2, ... , л 1, g (х), где g (х) —
п раз непрерывно дифференцируемая на [а, функция, такая, что g ‘ (х)
не обращается в нуль, является чебышевской на промежутке pz, frj.

Задача 2, Показать, что если К.—замкнутое ограниченное множество
в m-мсрном пространстве 1т > 2\ имеющее хоть одну внутреннюю точку, то
С {К) не имеет чебышевских подпространств размерности больше единицы.

Задача 3. Показать, что если К — окружность, то любое чебы-
шевское подпространство пространства С (К) имеет нечетную размерность,.

§ 3. Теоремы Чебышева

Теоремы П. Л. Чебышева дают некоторые необходимые и
достаточные признаки полинома наилучшего приближения в
пространстве С(К). Прежде чем переходить к их изложению,,
дадим некоторые вспомогательные сведения. Начнем со свойств
выпуклых множеств в n-мерном пространствеСимволом
(уъ Уч) будем обозначать скалярное произведение векторов
V,, 3'2 6 9^'°, IУI = У (У, У)*

Определение. Множество Y точек из 9^(л) называется-
выпуклым, если вместе с любыми точками у0 и уг оно содер-
жит все точки отрезка у = (1—^УоЧ-^Уь где О Д У

Теорема 1 (теорема отделимости). Если множество Кс9\(л>>
выпукло и замкнуто, z^ Y, то найдется такой вектор и,
что для любого yQY будет (у — z, и) > 0.

Доказательство. Ввиду замкнутости Y найдется точка;
у()6К, ближайшая к точке z: ||j'o — z|X!|v — 2’i| для всех
уС Y. Положим u= y^ — z и покажем, что вектор и — требуе-
мый. Допустим противное, пусть нашлась такая точка yt С Y,
что (j'l — z, и) 0. Положим у =(1—ЧУо + ^Ух и рассмотрим
функцию

ф0') = |Ух-г|2 = 1(1 — х)« + ^(У1—г) I2*

Так как при X £ [Q, 1] у? С У, функция Ф(Х) достигает на [0, 1]
своего минимального значения при Х = 0. Но это противоре-
чит тому, что Ф'(0)= — 2|«|2 + 2(у1 — z, ц) < 0 

Определение. Пусть К—произвольное множество точек
Выпуклой оболочкой множества Y называется множе-
ство У* всех точек, представимых в виде У==2Г?^1’ где
дг — любое натуральное число, у, £ Y, Xz > 0 и Xi== 1.

Выпуклая оболочка любого множества V очевидно есть
выпуклое множество, содержащее Y. Это — минимальное со-
держащее Y выпуклое множество.

Теорема 2 (Каратеодори). Пусть Y*—выпуклая оболочка
множества Кс9х л' п у£ Y*. Тогда найдутся такое нату-
ральное число г	векторы у1? у2,	, yT^Y и числа

х,, ..., хг, хл>о,	у

Сущность утверждения теоремы состоит в том, что при опре-
делении выпуклой оболочки можно ограничиться линейными
комбинациями элементов из У, содержащими не более zj+1 чле-
нов.

Доказательство. Возьмем произвольный вектор у£ У*.
По определению выпуклой оболочки он может быть предста-
влен в виде

.V	к

j'=25\y., лек, >,>о. 2ч=1- w
/-1	i-l

Если + 1, то у уже имеет нужное представление. Пусть
Л’ >«4-1. Покажем, что в этом случае вектор у может быть
представлен в виде, аналогичном (»), но с меньшим числом
слагаемых; тем самым теорема будет доказана. Каждому из
векторов у1 = (^п, ..., riln) (/ = 1, 2, ..., Л) поставим в со-
ответствие вектор zi^Z^n^ ) по правилу zt - (гщ, ... ,	1).

Так как число векторов zt (N) больше размерности простран-
ства (/г 4-1), между ними существует линейная зависимость,
|т. е. найдутся такие числа af-, среди которых имеется хоть
одно положительное, что , aizi = 0. Это векторное равен-
ство в {/г4~ 1 )-мерпом пространстве ввиду определения векто-
|ров z, равносильно двум следующим равенствам:

.V	/V

V azyz = 0, V = 0.	(**)

i 1	r = l

Положим теперь X. (s) = Xz — Из равенств (*) и (**) выте-
кает, что при любом s

При е —0 все ХДг) положительны, при достаточно большой! г
среди ХДе) найдется хоть одно отрицательное. Поэтому суще-
ствует такое число г0 > 0, что при всех i	0 и среди
этих чисел имеется
в представлении

хоть одно, равное нулю. Вычеркивая

нулевые слагаемые, мы получим требуемое представление
вектора у с меньшим, чем N, числом слагаемых е

Следствие. Если множество Y ограничено и замкну-
то, то его выпуклая оболочка Y* также ограничена
и замкнута.

Доказательство. Ограниченность Y* очевидна—любая
сфера, содержащая Y, содержит также и К*. Покажем замк-
нутость Y*. Пусть последовательность у1), у(2\ ... , y(k\ .. ]
сходится к у0. Используя теорему Каратеодорн
и вводя, если это потребуется, нулевые слагаемые, каждый
вектор yW мы можем записать в виде

Используя замкнутость и ограниченность множества Y, а также

ограниченность последовательностей {МЛ)}, можно выбрать

подпоследовательность номеров щ так, что одновременно
. (k.,\	.	<k..\

. Предельным переходом получаем пред-'

ставление

tl ~Ь 1

-Уо = 2

Z-1

л-4-1
лег, \>о, £>.,=!.
i=l

Этим и показано, что дуб У* 

Докажем теперь результат, касающийся несовместных си-
стем линейных неравенств.

Лемма. Пусть матрица

йл+11

• • ^1л



с п столбцами и n-j~ 1 строкой такова, что все определи-
тели порядка п	|

^11 • • •

g __ ^7—1 1 • • • ^j—1 П

&i+l 1 • • • ^/+1, п

^п+1 1 • • • ^/г+1 п

отличны от нуля. Цля того чтобы система линейных не-
равенств относительно чисел	1

была несовместна, необходимо и достаточно, чтобы числа
о ,	...» йл+1 имели чередующиеся знаки.

р Доказательство. Рассмотрим сначала систему п урав-
нений с п Ч~ 1 неизвестным: 2Г« = 0, где *2Г — транспониро-
ванная по отношению к 21 матрица. Так как ранг 21' равен л,
эта система имеет единственное (с точностью до постоянного
множителя) решение « = (8Ь — о2, о3, ... , (—1)л^+1).

Достато-чность. Каков бы ни был вектор _Vo=(^i» • • • РЪ),
система уравнений 21у = 21у0 разрешима. Поэтому вектор пра-
вых частей 21у0 ортогонален всем решениям сопряженной
однородной системы, т. е. вектору и. Поскольку все компо-
ненты вектора и одного знака, среди компонент 21у0 есть хоть
одна неположительная. Так как вектор у0 произволен, это
и означает несовместность системы неравенств (#).

Необходимость. Если знаки чисел bi не чередуются, то
среди 'компонент вектора и (все они по условию отличны от ну-
ля) найдутся как положительные, так и отрицательные. Но то-
гда существует вектор z со всеми положительными компонента-
ми, ортогональный вектору и. Ввиду этой ортогональности си-
стема уравнений 21z/=z разрешима. Ее решение #=(тр, цп)
является одновременно решением системы линейных неравенств
(*) 

Вернемся теперь к рассмотрению пространства С (К) и его
«-мерного подпространства Сп. Пусть <?i (jc), ?2(л:), ..., ©л(х)—
выбранный базис этого подпространства, лу, х2, ... ,	—

точки компакта К. Введем обозначение

•••

Т1 (-^г+1) •••

?1 (-^Л+1) • • ♦	(-*7z+l)

Заметим, что если подпространство Сп чебышевское и точки
хь х2,_____ хл+1 различны, то при всех i определители

А» (х1} ... , хл+1) отличны от нуля в силу теоремы 2 предыду-
щего параграфа.

Теорема 3 (П. Л. Чебышев). Пусть Сп — чебышевское под-
пространство пространства С (Д'), f — непрерывная на К
функция, причем fE^Cn, и ч^Сп — ее полином наилучшего
приближения. Пусть

/?={х|х6К |/(х)~?(х)| = [|/~Till

— множество точек максимального уклонения полинома
Тогда найдутся такие точки хг, х2, ... , хп+1£/?, что числа

(.ху, ... , хя+1) имеют чередующиеся знаки (здесь

Vi^atXi), а (х) == sign(/(х) — <р(х))).
Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что чере-
дование знаков у чисел сохранится, если точки х>, . .1
. ..,ля+1 перенумеруем как-нибудь иначе. Действительно,!
если мы поменяем номерами точки и хА+1, то все числа gzl
кроме lk и изменят знак на противоположный, а числа Ц
и поменяются номерами.

Доказательство. Каждой точке x£R поставим в со-|
ответствие вектор у = у(х)= тг>, ..., ^„)C9v(n), где ^=1
= o(x)®z(x), и обозначим через Kc9v(Z2) множество всех
таких точек у(л):

{y\y&R(n\ У=У(х), x£R}.

Так как множество R очевидно замкнуто, Y также замкнуто и i
ограничено. Обозначим через Уж выпуклую оболочку У. Она
гоже замкнута. Точка 0 принадлежит этой выпуклой оболочке,
так как в противном случае по теореме 1 нашелся бы такой век-
тор и=(съ с2, ... , сп), что для всех точек у £ У (у, u)>Q, т. е.
числа Cj разрешают систему линейных неравенств

’МХ-/л(х)>.0

которая в действительности по теореме Колмогорова несов-
местна. По теореме Каратеодори найдутся такое число r^n-f-1
и такие точки х„ х2, .... хг£/?, что 0 = V=i \у (xz), при-
чем \ > 0, 2*	~ 1 • Число г в написанном представлении

не может быть меньше «4-1, векторы у(хг), у(х2), ... , v(x)
при j < п линейно-независимы (см. теорему 2 предыдущего
параграфа).

з'Х-1сл(х,)>0 (/=1’21 •••’ "+•>>

каждое из которых можно записать в виде

(«» У (*/)) > 0 (и =_(сг, с2, ... , сл)),
несовместна, так как иначе

/	л+1	\	«4-1

0 = («, 0) = «, 2 >-.У (Л-,) ) = У («, У (х,)) > 0.
\	t=l	/	/=1

По доказанной выше лемме определители оп составленные
для матрицы

°i?i (*i)

•••

<3«+1(Р1	... ап+1?я (-Д+1)

имеют чередующиеся знаки. Но

л +1

• • > -^л+1) — | 1

-т е. числа отличаются от 6Z лишь общим множителем 

Определение. Систему точек х1э х2, ... , хп¥А из R та-
-ких, что числа 1£ = 5,-Д£-(х1, ..., хп+1) имеют чередующиеся
-знаки, будем называть чебышевским алыпернансом.

Наличие чебышевского альтернанса является не только не-
обходимым, но и достаточным признаком полинома наилучшего
приближения. Однако достаточность этого признака может
быть доказана при более слабых предположениях, чем необхо-
димость — не требуется, чтобы подпространство Сп было чебы-
шевским. Ниже она будет получена из теоремы об оценке снизу
на и лучшего приближения.

Теорема 4 (Валле-Пуссен). Пусть Сп — произвольное п-мер-
ное подпространство пространства С (К), f£C(K),

Пусть нашлись такие точки хх, х2, ...,	что

/(х1) — ^(х1)=А1,т1п\А1\~А>0ичисла^=а[^{(хх,х2, ... , хя+1)
>(a( = sign^z) имеют чередующиеся знаки. Тогда Ее (f)^>A.

Доказательство. Определители составленные для

•матрицы

(-4) • • •	(*i)

(^71+1) ’ " •	(^Л+1)

•ввиду условий теоремы имеют чередующиеся знаки, и по до-
сказанной ранее лемме система линейных неравенств

(i=l. 2, ... , «4-1)	(*)

•несовместна. Доказывая теорему от противного, предположим,
что Е, (f)<A, и пусть Ф(х) — полином наилучшего прибли-
жения функции f. Положим

Z (^) =(^) — ? (х) =	•

Тогда

Х(^) = [/(xj — ? (X/)] — [/(xt) — б (xt)] = Az — [/ (xz) — ф (Xi) I,

•причем уменьшаемое по абсолютной величине не меньше А,
•а вычитаемое не превосходит Е, (f)<A. Итак, / (xz) имеет
тот же знак, что At, т. е. azy (xz) > 0 при всех I. Но это озна-
чает, что числа Cj являются решением системы неравенств (#),
в чем и состоит искомое противоречие 

Замечание. Очевидна оценка сверху наилучшего при-
ближения: Ес (/)^|,/ — ?||- При построении полинома <?, при-
ближающего функцию /, оценки А Ес^ (/) II/ Til часто
п эзволяют судить о степени достигнутого приближения в срав-
пении с наилучшим.

Как следствие теоремы Валле-Пуссена теперь может быть
получена следующая теорема.

Теорема 5 (П. Л. Чебышев). Пусть Сп — произвольное
п-мерное подпространство пространства C(K),fQC(K) и
<? £ С_. Если нашлась такая система точек х,, х-2, ... , х„., £ /С.
ЧЛПО

1)	1/(^)-?(*<)1==1!/-<4

2)	числа =	—	х2,	, х„и) имеют

чередующиеся знаки,

то <р есть полином наилучшего приближения функции f.

Доказательство сразу же следует из того, что по тео-
реме Валле-Пуссена Д (/) > А = ||/— ? ’. Неравенство же
Ес (/XI/ —Ф очевидно. Итак, Ес (/)= /-ф, и <р — по-
"Л	Л

лином наилучшего приближения 

Еще раз подчеркнем, что теорема 5 не требует, чтобы под-
пространство Сп было чебышевским. Поэтому наличие альтер-
ната является достаточным признаком полинома наилучшего
приближения, например, в случае приближения функций многих,
переменных (см. задачу 2 в § 2). Вместе с тем для нечебышев-
ского подпространства Сп полином наилучшего приближения
может и не обладать альтернансом; более того, множество R
может состоять вообще из одной точки.

Пример. Пусть К— [0, 1] и подпространство C„czC(/<)‘
натянуто на функции х, х2, ... , хп. Пусть /(х)=1. Так как
для любой функции <р(0)=0, то всегда ||/ —	1, и

потому Ес (/) = 1. Полиномом наилучшего приближения функ-
ции f является, например, <р (х) = х. Для этого полинома мно-
жество точек максимального уклонения R состоит из единст-
венной точки 0.

Отметим практически важный случай, когда К=.\а, есть
отрезок на числовой оси. Тогда, если предположить дополни-
тельно, что точки хъ х2, ... , хл+1 расположены в порядке
возрастания: a х} < х2 < ... < хп+1 Ь, а подпростран-
ство Сп— чебышевское, окажется, что все определители
Af (xb х2,... , хя+1) имеют один и тот же знак. Действительно,,
положим

••• ?л(^)

... ^(х^)
Ti(x) ...<?„(х)
<Р1("^/+2) • • • Tn (-^<4-з)

•	• V •	•	•	•	•

••• <РЛ(*л+1)
Очевидно, что функция d (х) непрерывна и, так как система
? __ чебышевская, на промежутке [xf, х/+1] в нуль не обра-
дуется. Поэтому A,(Aj, . • • »-^л+i)—и	»^-«+i)==

= d(Xi) имеют один и тот же знак. В связи со сказанным для

_ га‘ #] в доказанных выше теоремах 3 — 5 (при этом в
теоремах 4 и 5 следует дополнительно предполагать, что Сп —
чебышевское подпространство) можно говорить о чередовании
знаков не у чисел Ez, а у самих разностей /(^) — <р (az). Пере-
форму тируем в этом плане лишь теоремы 3 и 5.

Теорема 6. Пусть Сп — п-мерное чебышевское подпрост-
ранство пространства С ([а, £]). Для того чтобы полином-.
был полиномом наилучшего приближения непрерыв-
ной функции f £Сп, необходимо и достаточно, чтобы наш-
лись такие точки а^, х^, • • • t xr^j (a^^Xi х% ...
что

1)	!/(*«)“	fl G = h 2, ... , n 1),

2)	знаки чисел f(xd— у(хд чередуются.

С идеями альтернанса связана также следующая теорема
об оценке снизу /г-поперечника множества М в пространстве
С (К).

Сигнум-вектором порядка п будем называть вектор $ =
= (а1э °2> • •• » °л), каждая компонента которого <?z есть либо-
4-1, либо —1. Множество всех сигнум-векторов порядка п
(очевидно, что их 2,!) будем обозначать через Уя.

Теорема 7. Пусть М — некоторое множество функций -
из С (К). Пусть нашлись такое число 8>0 и такие точки
Х(, а2, ... , x;i+t € АГ, что любому сигнум-век тору s =
— (О], з2,..., an+-i) С Sm-i соответствует такая функция
f£M, что для всех k=}, 2, ... , n-j-1

1)	1/Ш)1>«,

2)	sign/ (xt) = о4.

Тогда dn(M)^o.

Доказательство проведем от противного. Допустим,
что dn(M) < о, и пусть Сп — такое подпространство простран-
ства С (К) размерности п, что ё с (Af) <8. Пусть s,, s2, ... ,	—

все сигнум-вектэры порядка n-j-], пронумерованные в про-
извольном порядке (Аг=2/Н1)» и/и /г» ••• , fN—соответст-
вующие им в силу условия теоремы функции из М. Обозна-
чим через <р,,	••• 5 элементы наилучшего приближения

этих функций в подпространстве Сп, так что

п	п

Тогда в правой части равенства

Ъ (^) =/; (^) — (/у (^л) — Ъ (xk))
уменьшаемое по абсолютной величине не меньше 8 (по усло-
вию 1)), а вычитаемое — меньше, и потому

sign сру (xk) = sign/, (xk) =

где через	обозначены компоненты вектора s =

Рассмотрим матрицу

?1(*1)	?2(*l)	• • •

А =

(х2) 92(л.>) ... ?Л(х2)

?1 (-^n+l) ^(^лм) •

Тл'С^л-ы)

Строки этой матрицы линейно-независимы, так как для любой
системы чисел с,, с2, ... , спИ, не равных одновременно нулю,
найдется такой сигнум-вектор sf-, что <з^ = sign ск, если только
0, и тогда £*!?;(**) > 0- Итак, ранг матрицы А равен
п-\-1. Нумерация векторов Sj произвольна; поэтому, не умаляя
•общности, можно считать, что отличен от нуля определитель



?1(*л+1) ?2

Но все функции <р(, <р2, • • • , <pn*i принадлежат одному и тому
же «-мерному подпространству Сп. Так как число их больше
размерности подпространства, между ними существует линей-

ная зависимость Vrt 1

“/Р/(х)=° (2

0|. В частности,

2^. 1aj(f>j(xk) = O при & = 1, 2, ... , п-f-l. Это противоречит
тому, что определитель А отличен от нуля 

3 а д а ч а I. Пусть а < b < с <^d, К = \а, b\ U [с. rfj, Cj — одномерное
подпространство С (/(), натянутое на функцию

' * I, если xQ [а, Ь\,
„ — I, если х£ [с, d\.

Каково соотношение между знаками разности f (х) — у (х) (здесь <г (j —
полином наилучшего приближения для /) в точках чебышевского альтер-
шанса X], х2, если эти точки принадлежат одному и тому же промежутку
[а, /?] или [с, d]? Если они принадлежат разным промежуткам?

Задача 2. Доказать, что если выполнены условия теоремы 5, то по-
.липом наилучшего приближения <р функции f единствен.

Задача 3. Доказать следующее обобщение теоремы 7 на случай про-
извольного банахова пространства. Пусть М С F— произвольное множество
«банахова пространства F, Фь Ф2, .... Фя+1 — заданная система функциона-
лов в пространстве F (Ф*(?Р*), причем ||ФЛ = 1 (/‘=1, 2.......«4-1), и

-В > 0 — некоторое число. Если каждому сигнум-вектору $ = (дь ... , a/zF)
• соответствует такой элемент ffM, что при всех Z=l, 2, . . и 4-1

2) sign Ф, (/) = Gt-,
то dn (М) > В.
S 4. Алгебраические полиномы наилучшего приближения.
Многочлены Чебышева

В этом параграфе будем рассматривать пространство С не-
прерывных на отрезке [о, 6] функций <и его подпространство,
состоящее из всех алгебраических полиномов степени не выше
п. Как уже отмечалось, это 'подпространство чебышевское; его
размерность есть и 4-1. Наилучшее приближение функции / по-
линомами степени не выше л будем обозначать символом En(f)-

Из результатов предыдущих па-
раграфов следует, что полином
наилучшего приближения любой
непрерывной функции единствен
и что необходимым и достаточ-
ным признаком полинома наи-
лучшего приближения является
наличие чебышевского альтер-
нанса, состоящего из п + 2
точек.

Приведем некоторые примеры
полиномов наилучшего прибли-
жения.

Пример 1 (наилучшая по-
стоянная). Пусть для непрерыв-
ной функции f (х) требуется построить
жающую ее наилучшим образом, т. е.
приближения нулевой степени. Пусть

Рис. I.

постоянную, прибли-
полином наилучшего
Д4 = шах/(х), т —
[а, &]

= min f(x). Тогда Ро = (М -ф т) /2 является искомым полино-

мом наилучшего приближения и E^(f) =(М — т}{2. Доказа-
тельство этого факта очевидно и основано на том, что точки
и х2, такие что /(хх) = М и f(x2) = m, составляют чебышев-
ский альтернанс.

Пример 2 (наилучшая линейная функция). Пусть функ-
ция f(x) задана и дважды непрерывно дифференцируема на
промежутке [а, Ь], причем f"(x) на всем [а, сохраняет
знак. Для определенности считаем, что /"(х)>0. Требуется
построить полином наилучшего приближения этой функции
первой степени. Не приводя аналитических формул, поясним
графически, как такой полином может быть построен (рис. 1).
Точки (a, f (а)) и (#,/(#)) графика функции f соединим от-
резком 5^, который является графиком линейной функции 1х(х).
На промежутке (а, Ь) найдется единственная (так как f" (х) > 0)
точка х0, в которой касательная к графику функции парал-
лельна ,— график линейной функции Z2(x). Ввиду усло-
вия/ (х) > 0 Z2(x) <•/(-*) 'С Л (х). Теперь легко видеть, что
•Pi (х) = (/ (х) ~\~l2 (х)) 2 и есть линейный полином наилучшего
приближения функции /(л), поскольку точки я, х0, Ъ со ста -
вляют чебышевский альтернанс.

Пример 3. Покажем, что сумма полиномов наилучшего-
приближения двух функций может и не быть полиномом наи-
лучшего приближения их суммы. Положим на [0, 1] (рис. 2)

Рис. 2.

1

/(•*) =

3 — 8л

-54-8л

при 0 < л 1 у 4,
при 1/4<х< 1/2,
при 1/2<х<Г 3/4,
при 3/4< х < 1,

Тогда

£(*) = |

— 1 4~ 4л при 0 х < 1 2,

3 — 4л при 1/2 < х' 1.

/(л')4-Я(л') = -

4л

2 — 4х

— 2 4-4л

4 —4л

при
при

при
при

0<х<1/4,
1,4 < л<1/2,
1,2<х<3/4, •
3.4 <х<1.
» * -

Из теоремы о чебышевском альтернансе следует, что линей-
ными полиномами наилучшего приближения этих функций
являются: для/(л) 1Х (л) = 0, для g(x) /2(л)=0 для /(*)+•£ (л>
Z3(x) = l/2.

Следующие два примера имеют принципиальный характер.
Они находят применение, в частности, в вычислительной мате-
матике.

Пример 4 (полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля).
Пусть для промежутка (—1,1] требуется найти полином наилуч-
шего приближения функции f(x) = хп средн всех полиномов,
степени не выше п—1. Если Qn-i«)— искомый полином нап-
лучшего приближения, то очевидно, что полином Рп(х) =
=лп—Qn_j(x) решает следующую задачу: среди всех полино-
мов степени п со старшим коэффициентом 1 найти тот, норма-
которого в пространстве С([—1,1]) минимальна.
Полином, решающий эту последнюю задачу, называется по-
линомом, наименее уклоняющимся от нуля. Из теоремы 6 пре-
дыдущего параграфа >и указанной выше связи этого полинома
с полиномом наилучшего приближения функции хп сразу же
«вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Для того чтобы полином Рп(х) степени псо
старшим коэффициентом 1 был наименее уклоняющимся
от нуля, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая
система из (п 4~1) точек — 1 <	< х2 < ... < хя+1 < 1, что

|Ря(л)|=РЛ “	Рп х^) имеют чередуюи^иеся знаки.

Задачу о полиноме, наименее уклоняющемся от нуля, реша-
ет полином Чебышева.

Определение. Полиномом Чебышева степени п называ-
ется

Тп (х) — cos (п arccos х), | х | < 1.

Согласно определению Т0(х) = 1, 7\(х) = х. Из формулы
cos [п 4- 2) 6 = 2 cos 0 cos («+1) 6 — cos nft следует, что

Та^х) = 2хТа+1(х)-Тп(х).

Это позволяет легко установить методом индукции, что Тп(х)
является многочленом степени п со старшим коэффициентом
2П-1 (при п 1). Ясно также, что при четном п Тп(х) содержит
лишь четные степени х, а при нечетном п — нечетные.

В широком смысле полиномами Чебышева мы будем назы-
вать также многочлены, отличающиеся от определенных выше
лишь постоянным множителем. Обозначим через Тп(х) =
= 2~(п~^Тп(х) полином Чебышева со старшим коэффициен-
том 1.

Теорема 2. Полиномом, наименее уклоняющимся от нуля,
является полином Чебышева ТДх), причем |j Тя| = 2-(л_11.

Доказательство. Из определения полинома Чебышева
следует, что ||7'ni|=l, и потому || 7'и!| = 2-(л-1). Положим xk —
= cos ——1 тс (k — 1, 2, ... , п 4- 1). Тогда — 1 = хх < х2 <...
... хп+1 — 1 и	ч

COS (п — £4-1)^ =

л—12~(л—1)__

n—k+ 1

Таким образом, многочлен Тп(х) удовлетворяет условию тео-
ремы 1 

Возвращаясь к первоначально поставленной задаче, теперь
из теоремы 2 сразу же получаем следствие.
Следствие. Для промежутка [—1, I] выполняется равен-
ство

Полиномы Чебышева решают 'и другую экстремальную за-

дачу.

Теорема 3. Пусть а и А (| а, > 1, А=£0) — заданные чи-
сла. Среди всех многочленов Рп(х) степени п, удовлетво-
ряющих условию Рп(а)—А, наименьшую норму в простран-
стве С([—1, 1]) имеет полином Чебышева Тп(х) —

Доказательство. Из доказательства теоремы 2 ясно,
что все корни полинома Чебышева лежат в интервале (—1, 1)
(так как каждый из промежутков (хц, х&+\), k=l, 2, ..., п, со-
держит корень Тп). Поэтому 7+/ц)=+0. Будем доказывать тео-
рему от противного. Пусть нашелся такой многочлен Рп(х)
степени не выше п, что Рп(а)=А <и во всех точках х С [—1, 1.

11= IА\]\Тп(а)\. Тогда в точках xk (k=l, 2, ...
..., /г + 1), которые были введены при доказательстве теоремы
2, разность Тп(х)—Рп(х) =Rn(x) принимает значения чередую-
щихся знаков. Поэтому'полином Rn(x) па промежутке (—I, +1)
имеет не менее п различных корней. Кроме того, его корнем
является точка а. Отсюда следует, что Rn(x) есть тождествен-
ный нуль, что противоречит сделанному предположению 

Следствие. Если многочлен степени п Рп(х) на про-
межутке — 1, 1] удовлетворяет неравенству | Рп (х) I 1 »
то при | а > 1 | Рп {а) | Тп (а) |.

Многочлены Чебышева, как наименее уклоняющиеся от ну-
ля, находят применение для понижения степени приближающего
полинома. Поясним это на примере. Пусть требуется прибли-
зить функцию f(x)=cosx на промежутке [—1, 1] многочленом
шестой степени. Отрезок ряда Тейлора

QJx)==l-

л2

2!

доставляет функции f приближение, лежащее в пределах
0.000025>1/8 ’>||/-Q6it|> |/(1) — Q6(l)|>]/8! — 1/10! >0.000024.

Возьмем теперь в качестве приближающегося многочлена сле-
дующий отрезок ряда Тейлора Q&(x) и исключим из него с по-
мощью многочлена Чебышева старший член. Именно положим
ре (Ч = Q» (X) - + Г, (х).

Поскольку Q8(a') и -jU 78 (х) — четные многочлены восьмой сте-
пени с одцим и тем же старшим коэффициентом, их разность
Р (х) есть четный многочлен не выше шестой степени. При?
этом	1 ~	1

- Л К!’/ -	-8Г и81 < -4т + - 2Г8Г < °-000 °0047-

Таким образом, полином PG(x) доставляет нашей функции f
приближение примерно в 50 раз лучшее, чем отрезок ряда?.
Тейлора той же степени.

Формула, с помощью которой определены полиномы Чебы-
шева, позволяет вычислять их значения в точках промежутка.
[—1, J], Выведем другое представление этих многочленов,
удобное для всей вещественной оси. По формуле Муавра

cos «0 = -у- [(cos 0 -4- i sin 0)л -f- (cos 0 — i sin 0)л1.

Подставляя сюда 0 = arccos х, получаем

Т„ (х) = 4- [(* +1V1 — х’)" + (х -1 ]/ 1 - л:2) "1 •

(*>

Легко убедиться, что выражение, стоящее в правой части этой
формулы, является многочленом степени п, поэтому формула
(*) позволяет вычислять значение полинома Чебышева в лю-
бой точке х. Для |х|> 1 формулу (*) удобно переписать в виде-

Пример 5. Требуется найти наилучшее приближение и?
полином наилучшего приближения степени п функции /(х) =
= _ - (я>1) на промежутке [—1, 1].

Для решения этой задачи рассмотрим заданные на [—1, 1|
вспомогательные функции ъ(х) = —* 1 , 9 (х)—arccos х, ф(х)_
= — arccos v (х), F(x) = Acos(n0 + ф), где А — постоянная, ко-
торая будет выбрана ниже. При изменении х от — 1 до -J- 1
функция v (х) монотонно убывает от 1 до — 1, поэтому опре-
деление функции ф(х) законно. Получим теперь другое пред-
ставление функции F(x):

F (х) = А [ cos nb cos ф — sin nb si пФ].	(*)

Здесь cos fib — cos ti arccos x = Tn (x) — многочлен Чебышева..
Дифференцируя эту формулу по х, получаем — nsin«6-0. =
= 7\(x\ откуда sin/z6=4-)/ l — х2 Тп(х). Далее, cos ф =

— v (х) = ***_ •, и так как — к -Д ф -Д 0, то

sin ф = — ]/1 — cos26 =	У (х — а)2 — (ах — I)2 =

•Au И

= -Д-у<а2-1)(1-л2).
Подставляя полученные выражения в формулу (*), получаем
(ах — 1) Тп (х) —	(1 X2) l^a 1 ? п

Т7 (х) = А ——- ——————х — а	»

'Обозначим через Qn+t (х) числитель этой дроби —это много-
член, степень которого не больше я 4-1. Так как по теореме
Безу’многочлен Q,;H (х) — Qn+1 (а) делится нацело на х — а, то

F (х) =	- Р„ (х),

/ \	Л Qл?+1 (X) —QЛ4-1 (^0

где Рп {х)~ — А  - ----х <—многочлен степени не выше п.

Несколько позже будет показано, что Q„n(a)>0. Пока же
положим А — -75—— и уоедимся, что при таком выборе А по-
-лином Рп(х) и есть полином наилучшего приближения функ-
ции f. Действительно, в силу выбора А

и для доказательства высказанного утверждения достаточно
установить существование таких точек —1	х1<х2< ...

... <лп+2<И, в которых функция F(x) достигает максималь-
ного по абсолютной величине значения с чередующимися зна-
ками (эти точки составят чебышевский альтернанс). По опре-
делению функции F(х) выполняется неравенство |F(x)|-<A.
Далее, «6(— 1)4-ф(— 1)=пгс, «О(1)4-Ф(1) = — г- Непрерыв-i
пая функция п9(х)4~ф(х), принимая на концах сегмента
[—1, 1] значения п~ и —тг, принимает и все промежуточные
.значения. Значит, найдется такая система точек — 1 ~х1 <1
< Х2 < ...	ЧТО «О хк) 4“ ф (xk) — (п 4- 1—Но

тогда F(x^ — A cos («-J- 1 —&)тс = (—1)й+1*АА. Этим и показано,
что Рп(х)— полином наилучшего приближения функции f (х) =
— —5— и Еа{——^ = А. Вычислим теперь величину А, при-
чем одновременно покажем, что Рл-и(й)>0 — утверждение,
которое уже было использовано выше. Ясно, что

a‘—l 7-;(a) = -i-[(a + ]/«2-l)"- (а - /а2 - I)"].

Отсюда получаем Qn+1 (а) = (а2 — 1) (а 4- у а2 — 1) >0 и

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 4. Для промежутка [—1, 1] при а > 1 справед-
ливо равенство

Е I__-__= ___________?_________

« -V — а}	_ 1) (й + /й2 — 1)л *

Заметим, что проделанные выше выкладки позволили по-
лучить и полином наилучшего приближения Р (х) функции
1;(х — а).

Задача. Показать, чго на промежутке [—a, zzl, симметричном отно-
сительно нуля, полином наилучшего приближения любой четной функции —
четный, любой нечетной функции — нечетный.

§ 5. Пространство С. Тригонометрические полиномы
наилучшего приближения

В этом параграфе будем рассматривать пространство С,
элементами которого являются непрерывные 2л-периодические
функции, а норма определяется равенством

||/||~=^ max |/(х)|= шах |/(х)|,
ь —оо<л< + со	ле[«, а+2г.]

причем а здесь—любое вещественное число.

Пространство С можно трактовать (в смысле очевидной ли-
нейной изометрии) как подпространство пространства
С ([а, п + 2л]), состоящее из функций, удовлетворяющих усло-
вию f(a)=f(a-r2n), а также как пространство C(S) непрерыв-
ных на единичной окружности 5 функций. Последняя трактов-

<?„« Ю = (а= - 1)	(а) - -У (1 - «’-)	- 1 г; (а) =

= (а2-1)[7-„(а) + -1-Г^Т Т‘п(а) .

Так как Т„(а) = -У [(а 4- Уа~ — I) +(о —	—1) ]> то

ка удобна тем, что в ней С является частным случаем рассмот-
I ренного выше пространства C(F)—пространства непрерывных

на метрическом компакте К функций. В ближайшем рассмотре-
нии несущественно, каким образом определена на окружности
5 метрическая функция, однако в дальнейшем это окажется
важным. Расстоянием р между двумя точками и х2 единич-
I ной окружности будем считать угол между радиус-векторами
этих точек, заключенный в пределах 0 р <1 л.

j Будем рассматривать подпространство Сп пространства С,
состоящее из тригонометрических полиномов порядка не вы-
ше п.

3 Зак. 65
Определение. Тригонометрическим полиномом порядка
не выше п называется функция

Тп (л) = «0 + V (ak cos kx + bk sin kx).

Если хоть один из старших коэффициентов ап, Ьп отличен от
пуля, то говорят, что Тп(х) имеет порядок п.

Отметим несколько очевидных свойств тригонометрических
полиномов. Произведение двух тригонометрических полиномов
порядков «1 и п2 соответственно есть тригонометрический поли-
ном порядка /114-/22- Если Тп(х) —тригонометрический полином
порядка п и у—произвольное вещественное число, то Un(x) —
= Тп(х+у)—также тригонометрический полином порядка п.
Если тригонометрический полином Тп(х) есть четная функция,
то все его коэффициенты bk (k=\, 2, ..., п) равны нулю, а
если нечетная, то равны пулю коэффициенты or (k — 0, 1, ...,/г).
Производная тригонометрического полинома Тп(х) .порядка п
(/2^1) есть тригонометрический полином того же порядка.
Размерность подпространства Сп равна 2/г 4-1.

Наилучшее приближение функции f(x) £ С тригонометриче-
скими полиномами порядка не выше п будем обозначать сим-
волом En(f).

Сейчас нас будет интересовать вопрос о возможном числе
корней тригонометрического полинома. Если ху есть корень
тригонометрического полинома Тп(х), то при любом целом k
точки Xi+2fcrc также будут его корнями. Эти корни являются
эквивалентными Ху. Вообще две точки Ху и %2 вещественной оси
называются эквивалентными, если при некотором целом k
х2—Xy = 2kn. Так как при установлении линейной изометрии ме-
жду пространствами С и C(S) точке Ху вещественной оси ста-
вится в соответствие точка Si единичной окружности S, радиус-
вектор которой образует с осью абсцисс угол xlt эквивалент-
ным точкам Xi и х2 при этом соответствует одна и та же точка
5 £ S.

Условимся говорить, что точка хх является корнем крат-
ности k функции f(x), если эта функция в точке Ху имеет k
производных, причем f{xY) =f' (Ху) — ...	(-^i) =0,

(X()	0. Теперь может быть сформулирована следующая

теорема.

Теорема 1. Тригонометрический полином Тп(х) порядка п
имеет не более 2п попарно неэквивалентных корней, даже
если каждый корень считать столько раз, какова его крат-
ность.

I Доказательство. Пусть Tn(x) — 2704-V^_i(/7Acos^x4-
-J-Z^sin kx). Воспользовавшись формулами Эйлера

elkx e-ikX	ikx _ -ikx

cos kx —---Цт-----, sin kx = ----,

Ьапишем Tn(x) в виде Tn (x) = nCkeik\ где ^—некото-
рые комплексные числа. Вынося множитель e~inx за знак суммы,
получаем представление

I	Тп (х) = e'inx dkeikx = e~inxP 2п (eix),

где Pin (z) —	— алгебраический полином степени не

выше 2/г. Поскольку е~1пх в нуль не обращается, из получен-
ного представления ясно, что если хг — корень 7Г[(х), то
=	— корень полинома P2n(z), причем если a*j и х2 —

неэквивалентные корни 7'Л, то zx = eiXi и z2 = eix»— различные
корни Т2п.

| Продифференцируем равенство P2n(eix) — einxTn(x):

I	ieixP2tl (eix) = einxT'n (a) -j- ineinxTn (x),

йли	P2n{e!x) = — iel xTn (x) Д- ne1 (xy

Дифференцируя последнее равенство, можно получить пред-
авление для P2n(pix), Р2п{е,х) и т. д. Методом индукции
тко установить, что оно имеет вид

Tyj(x)—некоторые непрерывные функции. Отсюда следу-
т, что если Ху — корень Тп(х) кратности k, то Zy—eiXt— корень
олинома Р2п кратности не менее k. Таким образом, установле-
1о, что каждому корню Ху тригонометрического полинома Тп(х)
соответствует корень Zy полинома P2n(z) нс меньшей кратности,
причем неэквивалентным корням Тп соответствуют различные
сорни Р2п- Поэтому число попарно неэквивалентных корней
ш (с учетом кратности) не превосходит числа корней полино-

Р2п, т. с. 2/г И

I Замечание. Каждому корню Ху полинома Тп(х) соответ-
•твует эквивалентный ему корень, лежащий на промежутке
[а, а 4- 2л]. В то же время все корпи, лежащие па (а, а 4- 2л],
юпарно неэквивалентны. Поэтому в формулировке теоремы 1
«ожно было бы говорить о числе корней тригонометрического
полинома, принадлежащих промежутку (а, а-|-2л].

Из теоремы 1 вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Подпространство тригонометрических
полиномов порядка не выше п является чебышевским под-
№остранством пространства C(S).
Следствие 2. Система функций 1, cos х, , cos пх
является чебышевской на промежутке [0, тс].

Доказательство. Допустим противное, пусть некото-
рый отличный от тождественного нуля четный тригонометри-
ческий полином Тп (х) — а$ -Д д^соя/гх имеет на [0, тс]
(п-{-1) различных корней. Возможны два случая: ДДО)=£О,
Д(0) —0. В первом случае не менее п корней принадлежат
(0, тс) и по четности каждому такому корню xk соответствует
корень xk — — xk£( — тс, 0), так что на [—тс, тс] Тп(х) имеет
не менее 2п 4- 1 корней, что противоречит теореме 1. Во вто-
ром случае число корней па (—тс, 0) не меньше п— 1 и об-
щее число различных корней полинома Тп(х) на (—тс, тс) не
меньше 2п, а так как по крайней мере один из них (точка 0)
имеет кратность не ниже двух (Г/г(0) = 0 ввиду четности
ГДх)), мы опять приходим к противоречию с теоремой 1 Я

Следствие 3. При любом а > 0 система sin х, sin 2х, ...
.. , sin пх является чебышевской на промежутке [а, г. —а].

Доказательство. Если бы какой-нибудь нечетный
тригонометрический полином Тп (х) = V * bk sin kx имел на
[я, тс— а] не менее п различных корней, то столько же кор-
ней он имел бы (в силу нечетности) и на [ —тс-|-а, —а), об-
щее же число корней на [—тс, тс] с учетом очевидного корня
О оказалось бы не менее 2п Д- 1 Я

Следствие 1 ’позволяет перенести на задачу приближения пе-
риодических функций тригонометрическими полиномами , ре-
зультаты § 2 ,и 3. В частности, из теоремы Хаара немедленно
следует такое утверждение.

Теорема 2. Для любой функции f £ С ее тригонометрический

полином наилучшего приближения в классе Сп единствен.

Теоремы 2 и 3 § 3 с учетом соображений, изложенных в кон-
це § 3, позволяют сразу же установить следующую теорему о
чебышевском альтернанте (при этом следует

мерность подпространства Сп равна 2п-Н).

Теорема 3. Пусть f £Сп — непрерывная

функция и Тп£Сп— некоторый тригонометрический поли-
ном. Для того чтобы Тп являлся полиномом наилучшего
приближения функции f, необходимо и достаточно, чтобья
нашлись такие (2п Д- 2) точки 0 xt <Z х2 <j ... < x2fti.2 < 2тс]
что

помнить, что раз

1)	(* = 1. 2,	, 2« + 2),

2)	числа /(х^ — Tn(xk) имеют чередующиеся знаки. |
Частным случаем теоремы Валле-Пуссена является следую'

Теорема 4. Пусть f^C, Тг^Сп. Пусть для некоторой
системы точек 0 < х^ < х2< ... < х,„+2<2тс f(xk) — Tn(xk}=Ak,
I Д/г 1 = Д > 0 и числа Ak имеют чередующиеся знаки,
рогда ETn(f)^ А.

Задача 1. Показать, что система функций sin х, sin 2х, ..., sin пх
не является чебышевской па промежутках [0, г. — а] и [а, я] (а > 0).

Задача 2. Сформулировать теоремы о разрешимости интерполяцион-
ных задач, соответствующие следствиям 1, 2, 3 теоремы 1.

Задача 3. Пусть даны числа А и В, не равные одновременно нулю.
Показать, что из всех тригонометрических полиномов порядка п вида

п— 1

Тп (х) — A cos пх -ф- В sin пх -|-	. («/, cos kx + bk SJIi kx)

k=\

наименее уклоняется от пуля (т. е. имеет минимальную в С норму) полином
A cos пх У В sin пх.

§ 6. Некоторые вопросы наилучшего приближения
в пространстве L. Теорема Маркова

В этом параграфе будем рассматривать пространство
L=L(\a, £]) суммируемых на промежутке \а, #] функций с
нормой

ь

а

Пусть Ln — некоторое конечномерное подпространство прост-
ранства L. Элементы этого подпространства будем называть
полиномами.

Лемма 1. Пусть функция f QL и полином таковы,
что равенство
ь

[ ф (х) sign (/(х)—®(x))dx = 0	(*)

а

выполняется для любой функции ^£Ln. Тогда ф есть поли-
ном наилучшего приближения функции f в подпростран-
стве Ln.

Доказательство следует из такой цепочки равенств и
неравенств, в которой о — произвольный полином из Ту.

ь

!1/— ч L = J !/(*) — ? (х) | t/х =
а

b

= j (/ (х) — <? (х)) sign (/(х) — <Р (х)) dx =
а

b

= j (/(X) — <? (X)) sign(/(x) — ф (х)) dx У
а

b

< J |/(х) - ф (х) I dx = I/— ф II,,
а

щая теорема.

37
причем при переходе от третьего члена цепочки к_чегвертому
использовано равенство (*) для ^полинома Ф(х) = ф(х) ?(х)л
Итак, для любого II/-f 11£	а этой значит,

чт0 ср _ полином наилучшего приближения 

Пусть х0, x1f , хг— различные точки промежутка (а, Ь\
Будем говорить, что х0, хъ ... , хг—это все точки переме-
ны знака функции E(x)£L ([а, &]), если либо почти везде на
[a, b\ sign/Дх) = sign <»(х), либо почти везде на [a,
signF(x) —— sign о» (х), где «>(х) = (х — х0)(х— xt) ... (х — хг).

Теорема	1	(А.	А.	Марков).	Пусть функция g(x}£L та-
кова, что	I

1)	хР, Xi, ... , xrG(iz, b)— все точки перемены знака g(xj,

2)	для	любого	полинома	'b^_Ln	]

ь	1

J ф (х) sign g (xjdx = 0.
а

Пусть функция f£L и полином	таковы, что х ,

хъ ... , хг — все точки перемены, знака функции f—у. То-
гда ф есть полином наилучшего приближения функции f и

Е, (/) =
п

b

|7(x)signg(x)cTx

а

Доказательство. Из условий теоремы следует, что
почти везде на [а, Ь\ либо sign (/(х) — ф (х)) —sign g (х), либо
sign (/(х) — <? (х)) = — sign g (х). Поэтому ввиду (*) выполнены
условия леммы, и с является полиномом наилучшего прибли-
жения функции /. Далее,

ь

ELn (/) = f (/ W “?(*)) sign (/(x) — Ф (x)) dx =
a

b	b

= + J (/(7 —?(-^))signg(x)rfx- ± j‘/(x)sigi] g(x)dx =
a	a

В двух последних равенствах учтены (*) и неравенство Е. (/) >н
ь tl

>0 и

Особенностью доказанной теоремы является то, что функ-
ция g(x), удовлетворяющая («), строится независимо от при-
ближаемой функции f(x). Она зависит лишь от выбранного под-
пространства Ln. Ниже будут указаны соответствующие функции
g(x) для случаев приближения тригонометрическими и алгеб-
раическими полиномами.	|
Лемма 2. При любом а и при любом целом у =# (2/?4~1) («+1)
/# __ целое') выполняются равенства

J cos v%-sign sin [(«4~ 1) (х— а)1 dx = Q,

( sin ух  sign sin [(«+!) (х — а)] dx — 0.

Доказательство. Достаточно доказать при v =/=
=^(2^+!)(«+!) равенство нулю интеграла

С4*'sign sin [(/г + 1) (х — a)] dx

так как левые части доказываемых равенств — соответственно
вещественная и мнимая части J. Делая подстановку х = у +
л-~(/г-|-1) и учитывая 2т-периодичность подынтегральной
функции, получаем

мг л

ehv sign sin [(« +1) (у — a) -ф- п] dy = — е

УХ

п + 1

Итак, 1 е 1 J — 0. При v (2/г 4~ 1) (я 4- 1) первый мно-
житель отличен от нуля и потому 7 = 0 И

Следствие. При любых а и а для тригонометричес-
кого полинома Тп{х) порядка не выше п выполняется ра-
венство

а+7г' Тп (х) sign sin [(« 4" 1) (х — a)] dx = 0.

Обозначим через L пространство 2^-периодических функ-
ций, суммируемых на каждом конечном промежутке, с нор-
мой

1/1г= O/WIrfA
х	l, j а

причем эта норма, разумеется, не зависит от а. Если рассмат-
ривать функции из L лишь на промежутке {а, а + 2л], то мы
сразу же получим, что пространство L линейио-изометрично
L([a, а + 2л]). Через Ln будем обозначать подпространство L, со-
стоящее из тригонометрических полиномов порядка не выше п.
Из доказанной леммы (точнее — из ее следствия) и теоремы
Маркова немедленно вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть	Тп(х) — тригонометрический

полином порядка не выше п. Если x,:=a ф- k- (п 4-1)
/£ —О 1	. , 2/г + 1) — все точки перемены знака разности

f(x\ _L Тп(х) на некотором промежутке (а, а 4- 2тг) длиной 2-
т » Тп есть тригонометрический полином наилучшего при-

у

ближения (в метрике пространства L) функции f и

Ег(П =

। f(x) sign sin[(« + 1)(х— ^}dx

Доказательство. Достаточно использовать линейную
изометрию пространств L и L (\а, а + 2-]) и положить в тео-
реме Маркова g (х)= sin [(#4-1) (х — я)]: точки х0, хъ ...
... , х2л+1— все точки перемены знака этой функции на любом
открытом промежутке длиной 2к, который их содержит 

Лемма 3. Для любого алгебраического полинома Р (х)
степени не выше п выполняется равенство

1

J = ( Рп (х) sign sin [(«-{- 2) arccos х] dx == 0.

Доказательство. Сделаем в интеграле J замену пере-
менной x = c.osO. Тогда

f Рп (cos 6) sin 6 • sign sin [(n-j-2) 0] dO =
о

Prt(cos 0) sin 6-sign sin [(n + 2) 0] dO.

При последнем переходе использована четность подынтегральной
функции. Очевидно, что Рп (cos 0) sin 0 = Тп+Х (0) —тригономет-
рический полином порядка не выше /г+1, и равенство J = 0 выте-
кает немедленно из следствия к лемме 2 

Если рассмотреть пространство L ([— 1, 1]) и его подпро-
странство Ln, состоящее из всех полиномов степени не выше /г,
то условие 2) теоремы Маркова будет выполнено (в силу до-
казанной леммы) для функции g (х) = sin [(/г-}~2) arccosх].
Так как все точки перемены знака этой функции на (—1, 1)
исчерпываются точками xk = cos - (k — \, 2,	, п-Р 1),

то справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть f £L ([— 1, 1])« Ргг — полином степени
не выше п. Если точки xk = cos  Q- 2 ... , /г4-1) —
И "I "

это все точки перемены знака разности f—Рп на (— 1, 1),
то Рп есть полином наилучшего приближения в простран-
стве L функции f.
Теорема 3 допускает следующее применение. Пусть f(x) —
.[сирсрьивиая функция .и требуется построить се полином наи-
лучшего (в метрике Л([—1, 1])) приближения степени п. По
узлам Xk, указанным в теореме 3, .построим полином Рп(х), ин-
терполирующий функцию ; (х) : Pn(xh) ~f(Xh) (k=\, 2, ..п+1).
Тогда точки Xk являются .корнями разности ](х)—Рп(х). Если
окажется, что они являются точками перемены знака этой разно-
ети и Других точек перемены знака на (—1, 1) нет, то Рп(х)
и есть иско1мый полином наилучшего приближения.

В периодическом случае подобное применение теоремы 2
несколько сложнее, поскольку число точек Xk (2п4-2) на еди-
ницу больше, чем требуется для разрешимости интерполяцион-
ной задачи. Однако здесь в нашем распоряжении имеется еще
один дополнительный параметр — число а.

Задача. Доказать что среди всех многочленов степени п со старшим
коэффициентом 1 наименьшую норму в пространстве /_([—1, 11) имеет так
называемый полином Чебышева второго рода

sin (и 4- 1) 6

£4 (х) = —2м sin 6

где 6 = arccos х.
Глава 2

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ
В ПЕРИОДИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

§ 1. Характеристики гладкости функции

В этой главе будут излагаться теоремы, в которых устанаы
ливается замечательная связь между быстротой убывания
Е J (f) — наилучших равномерных приближений .непрерывной
2л-'периодической функции f тригонометрическими полинома-
ми — и гладкостью этой функции. Теоремы, в которых исход5
из свойств функции делается заключение о ее наилучших при
ближениях, называются прямыми теоремами конструктивной
теории функций; теоремы, в которых па основании поведения
•наилучших приближений функции делается вывод о свойства^
ее гладкости, — обратными. В данном параграфе вводятся неко-
торые характеристики функции, которые естественно называть
характеристиками ее гладкости, и изучаются их свойства.

Пусть М — метрическое пространство (.не обязательно ком-
пактное) с метрической функцией р. Наложим па пространство
М следующее ограничение, которое всюду ниже будет предпо-
лагаться выполненным.

Условие А. Пусть	и х,, х2£Л4 таковы, что

p(Xi, х2) t\ + ^2- Тогда найдется такая точка х0£/И, что
Р(Х|, Х0)<Л, р (Х2, Хо)< Z2-	I

Очевидно, что условие А выполняется, если Л1 есть выпук-
лое множество в /п-мерном пространстве с естественной мет-
рикой, в частности отрезок (конечный или бесконечный) число-
вой осн. Более общо, этому условию удовлетворяет любое вы-
пуклое множество в банаховом пространстве. Очевидно также,
что условие А выполнено для окружности S с введенной в § 4
предыдущей главы метрической функцией.

Будем рассматривать вещественные функции f(x), заданные'
на пространстве Af.

Определение. Модулем непрерывности функции f (х)
(xf М) называется вещественная функция w(/; t), заданная
на [0, со) равенством

о>(/; /) = sup (/(Xj)— /(х2)|.

P(*l X2)^t
Отметим свойства модуля непрерывности.

1°. со (/; t) не убывает на [О, -ф оэ). Это свойство очевидно.

2°. Для того чтобы При I —> 0 выполнялось соотношение
<о (/:	необходимо и достаточно, чтобы функция f (х)

была на М равномерно непрерывна. В частности, если М
компактно, соотношение <о(/; t)--+Q выполняется для любой
непрерывной функции.

Доказательство этого свойства вытекает непосредственно
из определения модуля непрерывности функции и определе-
ния равномерной непрерывности.

3°. «>(/; /)— полу аддитивная функция, т. е. при tlt t2 > О

«>(/; Л-ф £>)<<»(/; ^) + ш(/; ^).

Доказательство. Пусть х1 и х2— любые точки М,
у ювлетворяющие условию р (хь х2) <. -ф t2. Построив соглас-
но условию А точку х0, получим

I/O.) -/(%,) I < |/(х.) -/(хс) I + |/(х2) -/(х„) I <

I	<“(/; Л)+ “>(/; У-

Гак как это неравенство соблюдается для всех пар точек х(,
х2, подчиненных единственном}’ ограничению р(хн х2Х^ф-ф/2,
то

<”(/;

<»(/; М+ <»(/; Д>)н

Очевидным следствием доказанного свойства является
неравенство w(/; nt)^na>(f; t), которое выполняется для
любого натурального п.

4°. Если функция f(x) равномерно-непрерывна на 714, то
<о(/; t) есть непрерывная функция.

Доказательство. В силу полу аддитивности

М/; М-Ч/;	к2-Ш

и остается воспользоваться свойством 2° 

Определение. Непрерывную, неубывающую и полуадди-
тивную функцию <a(t), заданную на [0, + оо) и такую, что
<о(О)=О, будем называть модулем непрерывности.

Непосредственным следствием полуаддитивности функции
<о(7) является неравенство

| со (Л,) — со (£() | w (11> — tx |).

Поэтому в данном выше определении непрерывность можно
предполагать лишь в точке 0 — этого достаточно, чтобы со(7)
была непрерывна во всех точках t.

Доказанные выше свойства модуля непрерывности функции
означают, что модуль непрерывности любой равномерно-непре-
рывной на М функции f есть модуль непрерывности в смысле
только что данного определения. Само это определение оправ-
дывается тем, что каждый модуль непрерывности является мо-
дулом непрерывности некоторой равномерно-непрерывной фупк-
ции. Более точно — выполняется следующее свойство.

5°. Если <о(7) есть модуль непрерывности,, то <о(ш;

т. е. каждый модуль непрерывности является модулем непре-
рывности самого себя.

Доказательство. Пусть — /Д	Тогда

в силу полуаддитивности и неубывания co(Z)

10) (СО —10 (О I ’С ю G — С ]) <•>(/),

откуда ю (<«>;	Но так как <o(Z) — <о(О) = ш(/), то

со (со; t) (о (Z) 

6°. Если пространство М ограничено и d — его диаметр, то
при t у d со(/; Z) = co(/; d). В частности, если М = <а, Ь> —
конечный промежуток, то <«(/:	= b— а) при t>b— а.

Если f— непрерывная 2т-псриодическая функция в
/Х'^С(5)—соответствующая ей (в силу линейной изометрии)
функция на единичной окружности, то <о(/;	=	t). Это

следует из способа определения на S метрической функции.
Для функции f £С СО (/; t) == со (/; т) при t > 77.

7°. Если неубывающая функция w(О (<€ [0, + оо)) непре-
рывна в точке 0 и о> (0) — 0, причем функция «>(/)/£ не возра-
стает, то со (t)—модуль непрерывности.

Д о к а з а т е л f> с т в о. Достаточно установить полуаддитив-
ность функции со(/). Воспользовавшись тем, что функция о>(С t
не возрастает, для любых £2>0 получим

Определение. Будем говорить, что функция £ (/)'
(/(-<«, Ь>) выпукла, если для любых	выполняется

неравенство

.? (t) > g (С,)+ДД g (Л).
*2—Ч	1-2 — Ч

Модуль непрерывности, который является выпуклой функцией,
будем называть выпуклым модулем непрерывности.

Подчеркнем, что выпуклость функции определена выше как
выпуклость ее графика вверх, т. е. выпуклость подграфика. В
связи с этим выпуклость дважды непрерывно дифференцируе-
мой функции g означает соблюдение неравенства g"(t)^O.

8°. Если о>(/) (t£ [0, -f- со)) — выпуклая, неубывающая, не-
прерывная в нуле функция, такая, что со(0)=0, то <о — модуль-
непрерывности.
Доказательство. В силу 7° достаточно показать, что
функция (о (t)lt не возрастает, /(ля этого возьмем произволь-
ные числа 0 < и < v. Ввиду выпуклости <о(£)

. ч и , ч , V — и /ГЛ и , .	to («)	<»> (v)

(«)> — « (^)Н---— «ДО) =—<о(-и), Т. С. ——

С'	U	1/	<4*	V

А это и означает, что о> (/) t не возрастает 
Замена п и е. Модуль непрерывности вообще

•быть выпуклым. Например, функция

не обязан

2*



при 0<Д<Д/4,
при 1 4^ t 3 4,
при 3 4< / < 1,
при t 1,

не будучи выпуклой (рис. 3),
диться, модулем непрерыв-
ности для самой ce65f и
потому модулем непрерыв-
ности. Однако любой мо-
дуль непрерывности не мо-
жет очень сильно отличать-
ся от выпуклых. Именно
верно такое утверждение.

9°. Если «(О—любой
модуль непрерывности, то
существует такой выпуклый
модуль непрерывности
со* (7), что при всех t

<о(0<‘й*(0<2о>(/).

Рис. 3.

Докажем сначала простую лемму.

Лемма. Пусть дано семейство функций fa (t) (t£<a, b>),
где а пробегает некоторое множество А. Если при каждом
•J- функция fa (/) не убывает и выпукла, то и функция
/(£) = inf fa(t) не убывает и выпукла.

а € Л

Доказательство. То, что /(/) не убывает, очевидно.
Далее, при любом а и А < t < t2



поэтому

и

inf А (С =/(0 >(^<) + Дт-/ №) и
а	*2	*2 Ч

Перейдем к доказательству самого свойства 9°. Будем счи-
тать, что w(0 не есть тождественный нуль, и потому w(Z) О
при t > 0. Взяв а > 0, положим

Ka — min

0</<а

2<.) (а)— <)(/) _ 2<о (а) — со (fa)
а — t	а — ta

0.

Здесь ta — точка, в которой достигается минимум, причем так
как при t -> а — 0 (2«> (а) — a>(Z))/(a— /)->-|-оо, такая точка
существует. Отметим, что выполняется неравенство

со (а) = Ка (а — ta) — [ш (а) — <« (А)]	/<а«.

Положим теперь /а(t) = 2w (а) -f- Ka(t — а) и покажем, что при
всех t

«>(/)</ДО-

(*)

Действительно, при £ = а неравенство (*) очевидно. При
/<а (*) следует из неравенства (2«>(а) — <o(Z)) (я— t)^K.
Если же t > а, то £ = (/гД-0)а, где /г—натуральное, 0<9<1. и

W (0 -С п<л (Я) + ($а) nKa^ + 1а (М = la (t).

Определим теперь на (0, Д-оо) функцию w*(Z), положив ш*(£)
= inf/a(Z). Согласно лемме <о*(/) есть неубывающая выпуклая
а>0

на (0, Д- со) функция. Так как при всех a w (t) la(t), то при
t > 0 <0 (Z)	w'"(Z). Но поскольку lt (t) — 2w (Z), то <o* (t) 2w (£).

Итак, при t > 0

ю (Z)	(!)* (^) =C	(£).	(**)

Доопределим теперь w* (t) в точке 0, положив <d*(0)=0. Из
(**) следует, что ю*(/) в нуле непрерывна и потому при таком
доопределении окажется выпуклой на [0, Д- со). Остается,
сославшись на 8°, отметить, что «)*(/)— выпуклый модуль
непрерывности 

10°. Функция со (/) = /</* при /С>0, 0<a<J, есть выпук-
лый модуль непрерывности.

Это утверждение есть (непосредственное следствие 8°.

Определение. Будем говорить, что функция f{x) (х £ М)
удовлетворяет условию Липшица с показателем а и постоян-
ной /С, и писать f СКН''(/И), если для любых х1э х>^М вы-
полняется неравенство

1/(^1)—/(*•>) К К (p(xu x2)f.

Согласно определению модуля непрерывности функции /
ее принадлежность классу КН{л}{М) означает выполнение не-
равенства w (/; t) КК'

Полезно заметить, что если М — <а, Ь> есть конечный или
бесконечный промежуток и условие Липшица определить
с показателем a> 1, то соответствующий класс (М)
окажется состоящим лишь из постоянных. Действительно, пе-

реходя к пределу при	в неравенстве (/(х-ДАл:) —

^/(з:)) Ах i Дх'а-1, получаем, что любая функция / из
такого класса во всех точках имеет производную, равную нулю.

Обозначения. Пусть (Z) — некоторый модуль непре-
рывности. Через /Д(Л1) будем обозначать класс непрерывных
,а М функций /, удовлетворяющих условию <о (У;

{ак было сказано выше, тогда КН<г,(М) ~ Нш (М) при
,(t)-=Kta.

Будем обозначать через /У(а|(7И) (0<а^1) множество
Ьункцин, удовлетворяющих условию Липшица с показателем
, и какой-нибудь постоянной, т. е. Н ‘ (/И) = \JKH '(Л/).
к

Условимся в случае, когда М = [а,	— фиксированный

шмкнутый конечный отрезок числовой оси, опускать символ
И. Так у нас появятся классы Л/ш, КН , И '. Если же мы
усматриваем 2^-периодические функции на всей числовой
ки, то символ М будем заменять волной. Например, Н^ —

+ 00)) П С, или (что то же самое) /7Ш= H!J}(S).

I Будем через С(г)([а, #]) (или просто С(Л>) обозначать мно-
:ество г раз непрерывно дифференцируемых на [а, функ-
ий, а через кс(г) — подмножество тех функций из С"г\ для
оторых 1у(х) j Аналогичный смысл имеют классы С(г'

КС(Г^ 2я-периодических функций.

Наконец, если УсС([я, Z?]) — некоторый класс непрерыв-
ых на [а, функций (или V с С), то через C>k V (соответ-
гвенно IZ) будем обозначать множество тех функций f
з С(М([я, &]) (С(А)), для которых У(А:)С (У1^6 Ю- Таку нас
□явятся классы	Ct3)/7,O и т. п.

11°. Если М = <а, Ь> есть промежуток на числовой оси,
ункция У(х) на <а, Ь> непрерывно дифференцируема, причем
Г(х)|</С, то f£KH(X\<a, b>).

Доказательство следует немедленно из формулы ко-
ечных приращений: /(х2)—/(х1)=//(Щх2—xt) (££(хь х2))И

12°. Пусть to (Z) — модуль непрерывности, /(х) (х£7И) —
граниченная на М функция, и пусть существует такое число

0, что при	о) (/; Z)^o>(Z). Тогда найдется такое



Доказательство. Пусть Z, = sup|/(х)|. Если р(х,, х2)<;
С Zo, то |/(%i)—f(x2) |	«> (t) по условию. Если же p(xt,

-~-r^{t). По.ю-
<> (/о)

э

О’

2Л \

<’> (*о) / '

Л|м /<’=п]ах(1,

Тогда ^окажется, что для любых
точек хх, х,, таких что р(х{, х2)	|/(хх)—f (х2)

и тем самым &(f', t) < /<ю (О И

13°. Если метрическое пространство М компактно и 0 < р <1
< а < 1, то Я(а) (А1) С Я(р) (/И).	.	|

Это свойство вытекает непосредственно из 12°.

Определение. Будем говорить, что функция f(x) удо-
влетворяет условию Дини—Липшица, и писать f^DL (7И),
если »(/; 01n-i-

й согласно определению g

g (*i) </Uo) 4- ф (p (xb Xo)) 4- A.

Используя полуаддитивность и монотонность ф, получаем
g (*i) — g Ю < Ф (р (*ь *о)) —ф(р(л0, xq)X

<Ф(1рС*ь Хо) —р(х0, хо)|)<Ф(р(х0, хх)Хф(0-

14°. При любом «6(0, 1] (A/)DHw(Af)

Введем еще в рассмотрение класс Бернштейна W.

О п р е д е л е н и е. Будем говорить, что функция /(х) (х 6 А1)|
принадлежит классу IF (AI), если для ее модуля непрерывно-
сти при некотором К > 0 выполняется неравенство « (/; t)
<Л7(1 + ]Jnf|).

Рассуждениями, вполне аналогичными проведенным в 12°,
устанавливается следующее свойство.

15°. Если пространство /И компактно, то при любом «6(0, 1)

(AI) Z) D A/U) (AI).	I

Совершенно аналогично g(x0) — £(Х1Хф (£), и потому |g(Xj) —
— g (ло) i Ф (^)- Так как для достижения этого неравенства
потребовалось лишь условие р(х0, xg) ^t, то w (g; t) Д>Ъ(1ц
т. е. g6^(/<).

Оценим теперь разность f — g. Очевидно, что g(x)^
</(-*) + Ф(?(л’ ^))4-д = /(^)4-д, откуда g(x)—/(хХД.
С другой стороны,

Задача 1. Показать, что если метрическое пространство М не удо>
влетворяет условию А, то модуль непрерывности w (/; /) функции f(x
(х£Л4), определенный тем же равенством, что в начале параграфа, може|
п не быть полуаддитпвным.

Задача 2. Показать, что в правой части неравенства ы (/) < w* (/) <
< 2<о (7) (см. 9°) коэффициент 2 не может быть заменен меньшим.

Задача 3. Очевидно, что любая функция /(х), принадлежащая класс]
/Д1), абсолютно непрерывна. Показать, что при 1 класс содержи

/(х) — g (х) = f (х) — (/ (xz) 4- Ф (р (х, х')) + А) =
= [/(^)—/М1—Ф(Р(А x'))-A<
<ш(р(х, х')) —ф(р(х, х')) — А <2А — Д = А.

Итак, / (х) — g(x)-<A, что- вместе с предыдущим неравен-
ством дает |/(х)—g(x)XA, и ввиду произвольности точки х
li f_ <т II	А 

ю 6 ИС (К) и

Замечание. Если d—диаметр компакта К, то при фор-
мулировке теоремы Тимана можно положить

и такие функции, которые не являются абсолютно непрерывными.

§ 2. Теорема Тимана

Пусть К — метрический компакт, удовлетворяющий условии
А предыдущего параграфа (см. с. 42). Пусть даны два моду-
ля непрерывности и ф(0- Нас будет интересовать вопро(
о возможности приближения функций класса ИДК) функциям!
класса НДК) в смысле метрики пространства C(g).	I

Теорема (А. Ф. Тиман). Для любой функции ф^Нш(К
найдется функция g6A^(/<) такая, что	I

Действительно,
где

I

у- шах

2 0<t<d

(о(0-Ф(0)-

если /6 АД {К), то очевидно,

что ф^НшДК),

<°о (0 =

I to (d)

При t ^d,
при Z > d.

Задача. Пусть К ~ [0, 1], w (7) и ф (7) —
сти, что (/) = «(!) и ф(/) = ф(1) при t

такие модули непрерывно-
1. Показать, что тогда

11/~ g||c (ку "Г SUp ~ Л-

А/ ф	2/ f

Доказательство. Определим функцию

g(х) = min(/(у) + Ф(р(х, у)))Д-А—/(х')4-фД(х, *'))4~д-
у € К

Здесь х'—та точка компакта К, в которой достигается напй
санный минимум.

Покажем сначала, что g 6 Afi (А). Пусть р(х0, xt)<;A ТогД

£(хо)=/(хо)4~Ф(рС*о, а'о))4-Д	1

Максимум в левой части достигается для функции /(%)== «(д:)

§ 3. Теорема Ахиезера — Крейна — Фавара

В этом параграфе будут получены оценки наилучших при-
нижений дифференцируемых 2л-периодических функций триго-
10Метрическими полиномами.

4 Зак. 65
Лемма 1. Пусть f £C(r) — г раз непрерывно дифференци-
руемая 2к-периодическая функция. Справедливо предста-
вление
тс

/(х) = й0 + 4- J ?, (/)/г| (« + X) л,

—“ l-w

=	коэффициент Фурье функиА

/(•*), а

(— 1)'"	со|/^ при г четном {г —2т),

?r(/)=J	!

(—l),n+1 '\^t°	при г нечетном (r = 2m Д-1).

Доказательство. Заметим прежде всего, что ряды, с по-
мощью которых определена функция фг(7Д ирт 2 сходятся
равномерно, а при г=1—по меньшей мере в среднем (так как
ряд, составленный из квадратов коэффициентов этого тригоно-
метрического ряда, сходится). Запишем частную сумму ряда
Фурье функции f(x) в виде

п

эп {/-, х) = а0 + V {ak cos kx 4- bk sin kx) —

^ЯШЯ
k^l

r. n	I

= <2o + _~ CQS — x)f{t)dt.

— К

Считая для определенности г нечетным и проведя г-кратпое ин
тегрирование по частям в последнем интеграле, получаем

°я(/; •*) =

sin k(t — х}
Р

п

f}{t) di —

= а„ + ДД(- 1>”Ж

k=l



Остается перейти к пределу в этом равенстве при п-^оо, причем
оп (I; x)-^f(x), так как функция f(x) непрерывно дифференци-
руема, и предельный переход под знаком интеграла возможен,
поскольку первый множитель сходится к <pr(t) по меньшей ме-
ре в среднем Н

3 а м е ч а н и е. Только что доказанное представление функ-
ции f через ее производную порядка г верно в действительности
для более широкого класса функций, чем это указывалось к
формулировке леммы. Требовать непрерывности fW на всей оси
не обязательно. В частности, приведенное выше доказательство

без всяких изменений проходит и в том случае, когда име-
ет конечное число (на каждом конечном промежутке) точек
разрыва первого рода. Это обстоятельство будет использовано
ниже.

Лемма 2. Справедливо равенство

Т1 (0={

(t- 7с)/2 при 0 </<^77,

(/ -ф к)/2 при — тг < t <б 0.

Доказательство. Обозначим через g(t) функцию;
стоящую в правой части (*). Простые вычисления показы-
вают, что

"7“ J g (0 sin —

= 0.

Таким образом, —

03 sin kt
k

есть ряд Фурье функции

g(f). Этим лемма доказана. Отметим дополнительно, что так
как функция Vi(t) непрерывно дифференцируема на (0, 2к)г
ее ряд Фурье сходится к ней во всех точках t4=2kv. (k — ^
11	' л 4	г	0) сходимость равно-

мерна 

Лемма 3. Каковы бы ни были
разность

вещественные числа с-,..

Су COS 'it,

если г = 2т,



Су sin vt,

имеет в интервале (0, тс) не более чем п-\- I {при г— 2т}
или п {при г = 2m-]-l) корней с учетом кратности.

Доказательство. Говоря ниже о числе корней, всегда
будем каждый корень считать столько раз, какова его крат-
ность. Отметим прежде всего очевидное равенство оД, (О =

==~|?r(^) (r = h 2, ...), верное при всех t, за исключением,
случая г—I, / = 2&тс — в этих точках функция ^^.{6} не диф-
ференцируема. Доказывать наше утверждение будем индукцией
по г. Пусть сначала г — 1. Допустим противное, а именно,,
что {t} —	(/) — ^j”=i Су sin vZ имеет на (0, тс) не менее п -ф-1

корней. Очевидно, что /Д(тс) = 0. Так как при дифференциро-
вании кратность каждого корня понижается на единицу и-
между каждыми двумя корнями Rr{t} появляется (по теореме
Ролля) по крайней мере один корень производной, то {t\
имеет на (0, тс) не менее п Д-1 корней. По на этом

промежут-

п

V=l

ку cos'd — четный тригонометрический

полином, отличный от тождественного нуля, и мы приходим.
в противоречие с теоремой I (см. с. 34).
Возможность индуктивного перехода от г к г+1 доказы-
вается по-разному для четных и нечетных г. Пусть наше
утверждение доказано для г —2m— 1. Докажем его (от про-
тивного) для г + 1=2/??. Если разность R>m(t) имела бы на
(0, w) не менее (/г + 2) корней, то производная — R „ (0=1

= СР
ТГ

лп

имела бы на (О

менее (/г+0 корней, что противоречит индуктивному пред-
положению.

Предположим теперь, что наше утверждение доказано для
1 = 2m-f- 1. Если бы разность

г = 2/?г, и докажем его для г

/?2т+1(0 имела на (0, п) («4-1) корней, то

«2т+1 (0) =	(к) = 0, мы получили бы, что производная

«г„+1 (0) = R

учитывая, что

V

имеет на (0, + не менее (/г+ 2) корней, что опять противо-
речит индуктивному предположению я

Напомним, что символом Е~ (/) обозначено наилучшее

*-п

приближение функции fC_L тригонометрическими полиномами

порядка не выше п в метрике пространства L (см. с. 39—40).

Лемма 4. Справедливо равенство



у=0

Доказательство проводится отдельно для случаев,
когда г четное и г нечетное.

1) Пусть г —2т. Система функций 1, cos/, ..., cos nt на
промежутке [0, -Д чебышевская (см. с. 36). Поэтому сущест-
вует четный тригонометрический полином Т* (/) = Zjv=oCcosv

такой, что 7п {.Xk) = чт (xk) при k = 0, 1,...

«, где

kit

К

— и + 1 1 Чп ч- 2 ’
корнями разности

*

чки xk (/г = 0, 1, ... , /г) являютс
причем по лемме 3 все они про-

етыс, и других корней на (0, -) эта разность не имеет, т. е

xk— все точки перемены знака разности

*

п

Поскольку — Тп — функция четная, при £ = /г+1, « + 2,

kit

К

...,2/?+1 точки	= —Г + ~2„—2  =

являются точками перемены знака —7Д,

и есть

^—x2n+i-k также
а в точках 0 и <

эта разность знака не меняет. Итак, точки xk —

Ttk

v„ —	1, ... , 2/г + 1) — это все точки перемены знака <?г — гп

па (0, 2я). Поэтому по теореме Маркова (теорема 2 на с. 39)

(* = 0, 1

полином наилучшего (в метрике пространства £)
приближения функции '?r(t) и

dt .

71	J —"	\	\	\ j j

Остается вычислить последний интеграл. Учитывая свойство
ортогональности функции sign sin [(п + !)(/ + «)] (см. лемму 2
на с. 39), получаем

л со



cos kx
~kr

— Я /? = 1

у«=0

Л

у=О

у=0

4

г

у | sin [(2v + l)y]dy =

о

ОО

v=0

2) Пусть теперь г = 2/?г+1. Существует нечетный
тонометрический полином 7 л (t) — S G sin vt такой
\	\	1 Л ъ	kn г

три-
что

По лемме 3 узлы х1г — все точки перемены знака разности
?г—Тп на (0, к). Г1о нечетности <рг — Т*п точки х0 = 0, xn+I=iv
и = 2тс x2n+2-k — । (^ — « + 2, п + 3, ... , 2/г + 1) так-
же точки перемены знака, причем кроме точек xk (/г = 0, 1,...
•	, 2/?+1) других точек перемены знака разность <рг— Тп на

(—2Д + 2 » —2/Г4- 2 ) не имеет- Следовательно, по тео-
реме Маркова Тп — полином наилучшего приближения функ-
ции срг в метрике пространства L и

п
Для завершения доказательства остается проделать выкладки,
аналогичные тем, которые были выполнены в первом случае Ц

Теорема (Н. И. Ахиезер, М. Г. Крейн, Ж. Фавар). Пусть
/е с(г> - г раз непрерывно дифференцируемая 2к-периодиче-
ская функция. Тогда

Итак, функция F(x) представима в виде F(x)=/(x) —
__ Vn(x), где Vn(х) =	-j- Fx (х) + F>(х) — тригонометрический

Идином порядка не выше п. Поэтому

£» (/XI/- KIL =|Л~ <4£~ (?,)£* (/"О-

д	с п

где

— постоянная

v=0

для завершения доказательства остается воспользоваться
леммой 4 

Замечание. Как видно из доказательства теоремы,

Фавара.

Доказательство. Обозначим через Д(х) тригономе-
трический полином наилучшего приближения функции fir} (х\
гак что — Тп\\ = En(f[r^), и через Un(t)—тригонометри-
ческий полином наилучшего приближения в метрике простран-
ства L функции !! ?г — г~	Рассмотрим функ-

цию

Это равенство позволяет получить интегральное представле-
ние постоянных Фавара

F W = 4-	[ Tr К) - и, W1 [/ W e + X) - T„ (t + x)] dt.

sign sin (п -f- 1)

sign sin (п 4- 1) / dt при г = 2m 4-1

2п 4- 2

dt

при r = 2m,

Ясно, что

I I < 4 ll/(r’ - n L Г i ъ w - u„ (t) । dt=
C J —"

(см. доказательство леммы 4). В этих формулах л > 0 — про-
извольное целое число. В частности, полагая п — 0 и учиты-
вая лемму 2, получаем при г —1

Ввиду произвольности

точки x в этом неравенстве

1

sign sin t dt =

2

Согласно лемме 1 функция А (/с) может быть записана в виде

^ (*)=/ (*) — aQ — Л (х) — F2 (х),

где

(О /(г) (t + х) dt = 4 Г Un (t - х)/'> (Z) dt.

Вычислим значение Из равенства <p'(Z)= — ох(/) следует,
что при 0<7	ср,(/) = —— тс)24-б’> где - постоянная с

легко определяется из условия ^^2(t)dt — Q и оказывается
равной с = 7г2/12. Используем теперь интегральное представле-
ние УТ2 при /2 = 0 и четность функции ср2-

п W = 4 Г l?r (О - ип (01 Т„ (t + X) dt.

Но Un(t— х) и Tn(t-\-x) суть относительно х тригонометри-
ческие полиномы порядка не выше п с коэффициентами, зави-
сящими от t. Поэтому как Fx (х), так и /4(х)—тригонометри-
ческие полиномы порядка не выше п.

Х2 — J" <р2 (0 sign sin (t —dt —

=-----J- p <?•>(/) sign cos t dt~ — J 2?г(^) dt—j ^2{t)dt .

После элементарных выкладок отсюда получается равенство
^2 = ~-78- Значения постоянных Фавара j^1 = t/2 и J^’2 = ,i2/8
будут существенно использоваться ниже. Приведем без дока-
зательства значения еще двух постоянных Фавара: J^3 = tc3/24,
jjfj = ок5 384. Из представления постоянных г с помощью
ряда ясно, что при г -> -|- со Xг -> 4/тг, причем при г нечетпьц

> 4, к, а при г четных <4,к. При г>4 0.99 < (г 4)Ж, <1
< 1.01, т. е. постоянные	совпадают с 4 к с относительной

погрешностью, меньшей одного процента.

Следствие 1. Для функции f£KC(r} выполняется не*
равенство

Ег„(Л<ХЛ1(п + 1у.

Доказательство следует немедленно из теоремы Ахие-
зера — Крейна — Фавара, если воспользоваться очеви цюв
оценкой

К Н



Замечание. Если ввести в рассмотрение величину
sup
feKC^

то, как вытекает из доказанного следствия,

8 п (кс{г}) < ХгКЦп 4- 1 у.

В действительности (см. § 5) справедливо равенство
8Тп(КС{г}}=ЖгК{п-у 1/.

Следствие 2. Если КН то ЕТп (f)^~K 2 (п -|- 1).

Доказательство. Возьмем произвольное число h > 0
и построим для функции f среднюю функцию Стеклова

J -h	J x—h

Очевидно, что fh(x) — 2~-периодичсская непрерывно диффе-
ренцируемая функция, причем f'h (х) = [/(х ф- h) — f(x — Л)] J
Так как /СКН(1\ то |/Л(х)|<К, fh£KCir> и по следствию J

Еп\fh} < М\К!{п + 1) =	2 (« -Н).

то же время

1/(*ЮЛЮ1=4г|Д [/(*+о-/(*)] Л

A J* j/ (х+о —/wiм < А У,у ।(1dt=

Поэтому Еп (J— ЛХ1,1/—/Л ||^ </</7/2. Наконец,
С

^(/)<^г(Л) + ^п(/-Л)

т:/</2(/г+ 1) + АА/2,
и ввиду произвольности Л>0 требуемое неравенство дока-

зано И

Замечание. Ниже будет показано, что

sT„ (кн'"} =

sup £„г(/) = =А2(«+1).
/бАТУП)

Задача. Доказать, что для f£Cr 1 КН
£„Г(Л <ХЛ/(« + 1)г-

§ 4. Прямые теоремы

Доказанная в предыдущем параграфе теорема Ахиезера—
Крейна—Фавара относится к числу прямых теорем — в ней «а*
основании свойств гладкости функ-
ции делается вывод о поведении А
наилучших приближений. Однако в У

этой теореме свойства гладкости
функции учитывались лишь гру-
бо— в форме наличия у нее непре-
рывных производных. В данном па-
раграфе будут установлены прямые
теоремы, учитывающие более тон-
кие свойства гладкости.

Лемма. Пусть о — выпуклый мо-
дуль непрерывности, б>0. Найдется
такое число М—М^б), что при всех

Рис. 4.

О)(^< (»(В) +/и• (£ — 8).

Доказательство. Утверждение леммы имеет простой-
геометрический смысл — график правой части неравенства есть
опорш1я прямая к подграфику функции <о (/) (эта функция
выпукла!), см. рис. 4.

Переходя к формальному доказательству леммы, положим
/И = ш о. (х)-о (8) .

0<л<8 х ~ °

Ясно, что О 714<^а)(8)/8 и для всех ££[0, 8] ш(£)— о>(8)^Л1х
X (£ — 8). Остается доказать такое же неравенство для £>8.
Допустим противное, пусть нашлось такое > о, что «>(^) —
~	(Zj — о). Тогда и для достаточно малого е > 0 будет-

0)(Л)— ш(8) > (/И-f-s)(С—8). Согласно определению точной
границы по выбранному е найдется такая точка

€ [0, 8), что (о)(/0) — О)(8)]/(/0 — 8) < М-фе, т. е. ш\t^ — ш (о) >
(Al-f-e) (г0 — 8). Но тогда

феф h (У - <> (8)1 > (М + е)- 8у<%- *> ,
ФХ [«> (л) -», (8)] > (ж+s)	•
Складывая эти неравенства, получаем

А4- “ (Q + 4—у- ш (<|) - ю (8) > О,
*1 - 4q	— 40

что противоречит выпуклости модуля непрерывности <»(/)

Теорема 1 (Н. П. Корнейчук). Пусть со— выпуклый модуль
непрерывности. Тогда

со

Доказательство. Покажем сначала, что для любой
«функции Е„ (/)< у со 1. Взяв произвольное 8>0,
построим но доказанной лемме такое число 7И = ЛД(6), что
со (t) Д со (3) -J- М• (t — о), и рассмотрим класс МН^} —Н\>, где
— Mt. При всех > О со(/)—	— МЪ. Поэтому

по теореме Тимана (с. 48) найдется такая функция
«что ||/ —	— Л4о]/2. По следствию 2 из теоремы

ч л

Ахиезера— Крейна — Фавара (с. 56) для функции gQMH^



Поэтому

£« (/)

Еп (g) +1/ - g С < 2^-fT + 4 ["> (Ч - ЛЧ-

Написанное неравенство выполняется при всех 8>0 (напом-
ним, что М, разумеется, зависит ото). Положим о = -кЦп-f- 1).
Тогда и придем к требуемому неравенству.

Покажем теперь существование такой функции/0(а:) £//«,,
что Еп (fo)~ — со—XT • Построим функцию /0(х), четную,
9^	/ — \	/ к \

-с периодом -^-г, такую, что /о(0) —0, /0 ИгттТ’
• * I—	\ f L I— 1 /	\ ! L Т 1 1 /

.и линейную на 0,

Ясно, что

(рис. 5).

Поэтому w |уь:

ПРИ 1 < nil 40
г £>	л

С» (Z) ввиду выпуклости СО (t) И при	——7 О) (/о^)^ш(^)’

I * I

так как со(^) не убывает. Таким образом, /О^НШ.

Положим
теперь

Тп (х) ~ ± о) f-^рт) • ПРИ всех х I/о (л) — Тп (х) | <
) > так как 0	(х)	( п дД / • т0 же вРемя

для точек == тгтгг € [0, 2r) (6 = 0, 1, ..., 2/z-f- 1)
f ь* | I

т. e. в этих точках разность /0—Тп достигает максимального
по абсолютной величине значения с чередующимися знаками.
До теореме Чебышева (теорема 3 на с. 36) Тп является поли-

домом наилучшего приближения функции /0 и Е1п (/0) =

Применим теорему Корнейчука в случае выпуклого моду-
ля непрерывности а>(/) = Л?“ (0<а<Д).

Следствие. Справедливо равенство

<?'„ (КН(аГ) = sup ET„(f) = (п + 1)’.
ff-KHW

Теорема 2 (первая теорема Джексона). Для любой функ-
ции f£C выполняется неравенство

£»(/)<»(/; <(»+!)).

Доказательство. Пользуясь свойством 9‘ модуля не-
прерывности (с. 45), построим такой выпуклый модуль непре-
рывности <о*(0> что «>(/; t) <	(t) <2w {/; /). Тогда

И по теореме Корнейчука
Замечание 1. Теорема Джексона оыла доказана значи*
тельн'О раньше (в 1911 г.), чем теорема Корнейчука (1961 г.),
но в более слабой, чем приведенная выше, форме. Именно.
Джексоном было показано, что Еп (j)	1/п), где С—не-

которая постоянная.

Замечание 2. Как это следует из теоремы 1, если мо-

дуль

непрерывности функции f выпуклый, то Entf)^
, V Возникает вопрос, нельзя ли коэффициент-У

\	I /

поставить и в общем случае, без предположения о выпукло-

сти <» (/; t). Оказывается, что нет. Это показывает следующий

пример.

Рис. 6.

Пример (Н. П. Корнейчук). Для каждого п и е>0 най-1
дется такая функция f£C, что £’!(/)> Д — еЛ ш ЛГ; -ppyl 4

При построении этой функции будем считать, что г <1/2.
Положим h = rd{n-{-1), хо = О, xk = kh— (п— &4~1)Р(&—12
2, ... , «4-1), где 0<8<.2е/(«4-1)2, x_k=-xk (Л=1, 2, ....
... , «4“ !)• Построим теперь четную 2^-периодическую функ-
цию /, задав ее па [0, тс] следующими условиями:

1) /М = о, /(xs) = (-l)«-1 (*=1, 2, ... , я + 1); I

2)/(х) = 0 при 0<Л<Х! —xk + р < х < хм — ?
0=1. 2......./г);

3) /О) линейна на каждом из промежутков [xk — р, <]
и [лй, xk 4- 3] (k = 1, 2, ... , «4-1)

(см. рис. 6, где и четно). Легко проверяется, что со(/; к/(«-|-1))=1
= а>(/; Л)==1. Рассмотрим теперь тригонометрический полином

Тп (*) =

5ICH0, что

Т (х \ — 2/2 + 1

—- 2/2 4-2 ’

Тп (kh) =

sin (&к — kh[2) __

2 (л 4 1) sin (£Л/2)~

Оценим производную полинома 7п(х):

| Тп (х) j = -Ч-р [ sin х 4~ 2 sin 2л -f~ ... ф- п sin пх j <

Л=1

Из полученной оценки следует, что

Теперь имеем

/(xs) - Т„ (х„) = lf(xt) - Т„ (Ы)] + (Т„ (kh) - Т„ Of)] =
/ 1 \fe+l	+ 1 I

2л + 2

где |^|<е<1/2. В формуле («) /г = 1, 2, ..., «4-1, однако
(4 верна и для k~Q (с р,о = О) и (по четности) для k = —1,
— 2, ..., — « (при tx_fe = [xA).

Таким образом, нашлась система точек — ^<x_rt<x_,E+1<_____

... < хп+1 — те, в которых разность f(x)—Тп(х) принимает
значения чередующихся знаков. По теореме Валле-Пуссена
(см. теорему 4 на с. 37)

Етп (/) > min |/(xft) — Тп (xk) I > у — max [	~ е-'

Z/ft —р	AIL (

Итак,	=

Теорема 3 (вторая теорема Джексона). Для каждой функ-
ции fQC{r’ справедливо неравенство

Доказательство следует немедленно из неравенств
т„~\тт,г Е? (/(г)) (теорема Ахиезера — Крейна — Фава-
ра) и En(fW)	—77т) (первая теорема Джексона)»

I	11 JL /

Замечание. Пусть	где оз — выпуклый модуль

непрерывности. Используя для-оценки Enif^} вместо первой
Теоремы Джексона теорему Корнейчука, получаем оценку

___ sin ((л + 1/2) х)
Можно показать,

что эта оценка является точной в следую-

щем смысле:

sup sup

, ST {

' <0
(O

Подчеркнем разницу межЛу случаями г —0 и г^1. При г = 0
оценка Eh{f) I r ; (/ЕЙ») является точной для
каждого выпуклого модуля непрерывности <о (t). В случае
же г^-1 оценка (**) является точной лишь для всей сово-
купности выпуклых модулей непрерывности.

Если положить <о (t) — Kt (0 0-^1), то неравенство (**)
приводит к оценке

(«+ПГ+“ для /6С(Г,КЯ(“’.

В недавней работе Н. П. Корнейчука [12] получен следую-
щий интересный результат: если w — выпуклый модуль непре-
рывности, то

ор т (рйг) 1-1 I _ ciin Р? f f\_____1	В ‘	а(л+1)

& п \С Нш)— SUp t, п \J ) —	। 1 у	[ ])г	+ 1 ,

/еС(г)Я01	So

т..Чп

где	bm'1 = —г f (2/) sin milt dt.

о

§ 5. Об л-поперечниках некоторых
классов 2л-периодических функций

В этом параграфе будут вычислены (при нечетном п) п-по-
перечники некоторых классов непрерывных 2л-периодических
функций в пространстве С. При этом окажется, что экстремаль-
ными подпространствами являются подпространства тригоно-
метрических полиномов. Эго утверждение в сущности означает,,
что тригонометрические полиномы — наилучший аппарат при-
ближения непрерывных 2л-псриодичесюих функций. Подчеркнем
также «универсальность» этого аппарата приближения — под-
пространства тригонометрических полиномов являются экстре-
мальными сразу для многих классов функций.

Теорема 1. Пусть о>(/)— выпуклый, модуль непрерывно-
сти. Тогда в пространстве С

(^»°)	2 W \ ^ ।	>

причем экстремальным является подпространство тригоно-
метрических полиномов порядка не выше п.

Доказательство. Согласно определению поперечников-
d>n+1 (#<») < &п (Hd). По теореме Корнейчука <?п (CQ =
=="Vф* Поэтому для доказательства обоих утверждс*
нпй теоремы достаточно установить оценку снизу б4и+г(7/ш)>
(/? +1) ' ^ля этого воспользуемся теоремой 7 (с. 25)_
Положим Л = г'(/г4- 1), xk — kh (6 = 0, ± 1, +2, ... ) и пока-
жем, что любому сигнум-вектору s = (a0, с1э , <,л+1) £ У.2л+2
соответствует такая функция /<£//,„ что при /г = 0, 1, ...
... , 2/z-f-l fs (xk) — где о = о> (Л)/2. В качестве fs возьмем
2^-периодическую функцию, определяемую на [0, 2к] равен-
ства ми	(/г = О, 1, ... , 2д 4~ 1//Д2^) —/ДО), и тре-

бованием, чтобы на каждом промежутке {xk, xk J (/г = О, 1, ....

Рис. 7.



... , 2/г ф-1) она была линейна (рис. 7). Ясно, что модуль не-
прерывности функции f s есть

при t

при t^h,

если только не все компоненты вектора 5 одинаковы. Поэтому
0) (Д; ^)<Д°(0 (при /	- (д-f-1) ввиду выпуклости, а при

(«4~^) — монотонности о)) и	Если же все ком-

поненты вектора s одинаковы, то /Дх) есть постоянная,
“(Л; /)= = 0 и опять	Итак, функция /с— требуемая, и

в силу упоминавшейся выше теоремы 7 доказательство завер-
шено К

Значительно сложнее доказывается теорема о поперечни-
ках классов и мы предпошлем ей несколько лемм. На-
помним, что для функции /С С(л-1), которая г раз непрерывно
дифференцируема всюду, за исключением конечного (на каж-
дом конечном промежутке) числа точек, которые являются
точками разрыва первого рода для /(г), справедливо предста-
вление (см. § 3)

(О /(г (* + *) dt, а0 =	С/(х) dx,

f(x)=a0 + — J

если г — 2т,

если г = 2т-\-\.

Пусть г и п— натуральные

числа, A =	и

если г нечетно,
если г четно.

Определим матрицу

Лемма 1. Если г нечетно, то определитель матрицы, 21
отличен от нуля. Если г четно, то 0 есть простое собст-
венное число матрицы 21, причем соответствующий ему
собственный вектор есть (1, 1, 1, ... , 1).

Доказательство. Матрица 21 циклическая, и поэтому
нетрудно указать ее собственные векторы 1,	%, • • • t0/”+1)

(k = 0, 1, ... , 2п 1', где — eir.k,'(n+1) — корни степени 2п -J- 2
из единицы. Собственный вектор uk соответствует собственному
числу

Хй=?г+1(Уо) + °>/г?г+1(У1)+ ... +^Л+1?г+1 (Ьи)
(равенство <2luk = ).kuk проверяется элементарно). Определитель
1 1 ... 1

О)0 Wt . . . 0),я+1

0)241 'w2n+’l Д / 441

О 1	2л+1

столбцами которого являются векторы uk, есть определитель
Вандермонда и поэтому отличен от нуля. Значит, все векторы
uk линейно-независимы, и указанные выше (/г = О, 1, ...
... , 2д-|-1) — все собственные числа матрицы 21.
Покажем сначала, что если r = 2m — I, то все ХЛ
от пуля, и потому det 21 =7^0. Действительно,
2л 4-1

Re = V cos ?rtl (Л.) =

2л + 1	оэ

ОТЛИЧНЫ

п + \

где at=

Учитывая, что

2 л Д-1	2 п 4-1 . . iz

V cos — Re X1 е J'1'1 =

7=0	7=0

2//Д-2, если v делится на 2/I-J-2,

. 0, если v не делится на 2/z Д- 2,

видим, что gz>0 и для некоторых I at>0. Таким образом,
ReX^O, и для нечетного г лемма доказана.

Пусть теперь г = (2т. Заметим прежде всего, что

2/г+1	2л + 1 ii:(2p/+Z)

В X] sin -J2/7= Im X? е 2(,,Т ° =

/-0	-	J-0

7-0

'	гЛ

(2/г Д-2) sin yj, если р делится на 2/гД-2,

0, если р нс делится на 2/гД-2.

Как и в предыдущем случае, легко установить, что

L z=l /=о

со	2Z2-F1

V	1	V -in (2(/-^)/ + /)-

Д+1	Jj	2(и+1)

Z=1	/-О
В силу сделанного выше замечания в первом из этих рядоц
отличны от нуля лишь члены, соответствующие / = (2/z-|-2)v —
(v=l, 2, ... ), а во втором — /=»(2/г + 2)(v — 1) 4~ £ С* = 1, 2, ... 1
(если k = 0, то v = 2, 3, ... ). Поэтому

Отсюда ясно, во-первых, что ReXo = O, и,
ReX&==0 при /г = 1, 2, ... , 2/z-f-l, поскольку
него знакопеременного ряда с убывающими

во-вторых, что
сумма послед]
по абсолютной

величине членами положительна. Непосредственно ясно,
а0 = У	(jy) вещественно; поэтому л0— 0, и так

<о0= 1, то w0=(U 1, • • • » О 

ЧТ(

Kill

Для получения нужного нам результата теперь следует вве-
сти понятие сплайна. Нас интересуют лишь периодически
сплайны с равноотстоящими узлами.

Определение. Пусть xk — х0 -|- kh, где h = т.\п -J-1), -
равноотстоящие точки иг — натуральное число. Периодичен
ним сплайном порядка г с узлами xk называется г — 1 ра
непрерывно дифференцируемая 2п-периодическая функщп
\ (л), которая на каждом промежутке (xk, xk+x} (k = 0,	1

± 2, ...) совпадаете некоторым многочленом степени не выше г

Из определения немедленно следует, что на каждом про
межутке (х , хА+1) Sr (х) —ak есть некоторая постоянная, при
чем в силу ^-периодичности й/г+2/1+2 — ak и

2л + 1	2л+1	Л'/г+1

k -О

=	[sr” (х2„«) - sr1’ (*<>)] = о,.

так как х2п+2 = х0-f~ 2”. С помощью ядер сплайн Sr можс(
быть записан в виде
7Г

х0+2г

= Л + 4- (’	— x)Sl?(t)dt=

*0

2л+1 хь+1

Л=0

В последнем равенстве было учтено, что
Здесь

'Рг(о=-?;+,(о.

Из полученного представления видно, что сплайн Sr(x) пол-
ностью определяется заданием 2/г4~2 чисел: А, ayj, а , ... , а2п
(если учесть, что a2n+i = —	•

Положим теперь fk~xk, если г нечетно, и tk — xl( — h!2,
если г четно, и докажем разрешимость интерполяционной за-
дачи с узлами tk в классе сплайнов.

Лемма 2. Каковы бы ни были числа а0,	... , а2п+1, су-

ществует, и притом единственный, сплайн Sr (х) порядка г
с узлами xk такой, что Sr(tk} — ak при k = 0, 1, ... , 2/г 4-1.

Доказательство. Будем искать числа Д	а2п,

соответствующие сплайну Д, решающему нашу задачу. Тре-
бования Sr(t]d~ak (k = 0, 1, ... , 2/гД1) дают нам систему
2//4-2 линейных уравнений относительно этих чисел, и наша
цель — убедиться, что эта система уравнений однозначно раз-
решима. Для этого достаточно показать, что соответствующая
однородная система имеет лишь нулевое решение, т. е. что
сплайн

2л+ 1

Д (х) = А + -1- \j а} [<рг+1 (х; — х) —	(хуи — X)],

J- и	_

Удовлетворяющий условиям Sr{tk)~O, тождественно равен
нУлю. Учитывая, что Xj—tk-=yJ_k (числа yk были введены
ПеР<‘д леммой 1), значения Sr(tk) можно записать в форме

2л+ 1

(^) = Л 4- -J-Oj [ <рг+1 ( у f_k) — <рг+1 (у;+1_А)].
Суммируя равенства Sr\tk)~O по всем k = 0, 1, ... , 2n-j-
получаем

2п + 1	г2п+1	2л-м

Но ввиду 2тс-периодичности функции сг+1 и так как yi+2nvi
= yt. + 2к,
2л + 1	2/J + 1	2л+1

У ?г+1 (Уу-ft) = у ?ГИ (Уу+i-ft) — У «Рги (Ул)-
ft^O	ft=0	ft-О

Поэтому в равенстве (**) все коэффициенты при ау равны н}
лю, и отсюда сразу же следует, что А —0. Итак,

Здесь мы воспользовались тем, что y_ft = y2ni.2_ft—	и_потсж

Фг+1(У-*) = ?т(У2«+2-л), и ввели обозначения bj = a) — aj
=	..., 2/i + 1), b^ — a^ — a2n+l. Рассмотрим равенств

7?\(^)=0 как систему уравнений относительно чисел b
Учитывая 2к-периодичность функции <?г+1, эту систему можн

записать в виде

Фг+1 (Vo) + ?Г+1 (-V1) Ь\ + ?г+1 ( У г) Ь2 + • • • + ?Г+1 (Лл+i) ^Л4-1 =
*?/•+! (Уллы) ^0 Н“ ?г4-1 (.Vo) ~Ь ^/"+1 (-V1) ^2 Н- • • • Н~ Vr+l (У2л)^2лМ '

?Г+1(У1)^о + ?гы(У2)^/ + ?ги(Уз)^>+ ••• +?Ж СУо)£2л-М=1
и матрица ее коэффициентов есть матрица 21 из леммы 1. Пр
нечетном г из леммы 1 немедленно следует, что Ь0~Ь^= .
, ..=Z72nH=O. Если г четно, то эта же лемма позволяет 
ключить лишь, что все b равны между собой; однако из d
мого опрецеления чисел bj немедленно следует, что ^?=1|
так что и в этом случае Z/o = &1==_.. .=Z>2n+1==O._Равенел
нулю всех чисел bj означает, что а0 = аг= ... = а2пп, и Л
как ak = (\ то все числа ak равны нулю, и сплайн Sr{x)
есть тождественный нуль 

Положим теперь хп — 0 (тогда xk~ kh) и рассмотрим сплайн

к* (а), у которого в представлении (*) А = Д» = 0 и а — а\ =

Лемма 3. Справедливы равенства

s*(tk)=(-\y*'*k	(k = O, 1,	, 2« + 1),

где Ж г —постоянная Фавара и w?=[r/2] — целая часть чи-
сла г'2.

 Доказательство. Согласно определению S* S*(r) (х) =
= «£==(— 1)* при ал<х<хл+1, т. е. Sr{ (х) = sign sin (л Д- 1)х.
Поэтому функция Sr г(х) нечетная и имеет период ~ (п 1)=2Л,
а функция S, (х4- h 2) четная. Из представления

S*(x)=—J ?r(Z)

Sr r'(x + t) dt

ясно, что функция Sr(x) также имеет период 2/г, при г чет-
ном Sr (x) нечетная, а при г нечетном S*(x4-A/2) нечетная.
Поэтому для доказательства леммы достаточно убедиться, что

А

Sr(4)-(-i)",+i ад«+1)г.

Если г нечетное, то tQ = хо = О, и потому

=-^- J (0 T\t)dt =-^- ( <pr(/) sign sin (лД- \)t dt =
— T.	— к

Здесь мы воспользовались интегральным представлением по-
стоянной при нечетном г (см. с. 55). Если г четное, то
С = х0 — Л/2 == — к (2/г 4- 2) и

л

s: («„)=д у <i) 5:dt=

—л

=4 Д,(о
— л

sign sin («4-0 К-

dt = {— 1)'«+1

(«+ l)r ’

причем мы опять воспользовались интегральным представле-
нием постоянной Жп на этот раз для четного г 

Лемма 4. Пусть s = (o0, а1э ... , а2п+1) — произвольный сиг-
нум-вектор, /<> О и Sr(x) — сплайн порядка г, решающий
интерполяционную задачу

S,(tk) = ekKX,!(n+lY.

Тогда на всех промежутках (хл, х/г+1) I	(X) I = I ak [ к.

Доказательство. Сделаем предварительное замечание.
Пусть/—непрерывная 2?г-периодическая функция и пусть на
любом конечном промежутке она дифференцируема всюду, за
исключением конечного числа точек. Если на некотором про-
межутке (a, а~^2~] длиной 2г нашлись такие (2n-j-2) точки
Xf. (а < х} < х2 < ... < л2п+2 а + 2г), в которых / принимает
значения чередующихся знаков, то на этом же промежутке
найдутся такие точки yk (a<y1<j/2< ••• <Уткь"Ся + 2г),
в которых производная f' функций / принимает значения чере-
дующихся знаков. Действительно, пусть для определенности
/(Xi)>0. Тогда /(х2) < О</(А), и потому в некоторой точке
Zj^(xlt х2) будет f'(zt)<0. Аналогично в некоторой точке
z2^(x2, xs) будет /'(z2)>0 и т. д. Наконец, в некоторой точке
^2л+2€ (^2п+2, *1 + 2г) будет /' (z2nt.2) > 0. Если ?2п+2 < а + 2г,
то полагаем =	(£ = 1, 2, ... , 2п-\-2), если же г2л+2 >

> а 2г, то полагаем = £2л+2 — 2г,	= (k = 2, 3, .. .

... ,2^4-2). Ясно, что точки {yft}—требуемые.

Утверждение леммы будем доказывать от противного. Пусть
для некоторого v ; av\ = max | ak |>К. Построим сплайн

R, (х) = s; (х) + (-1 )v+1 Т sf (X).

V	*

« Так как | S* (^) | —

К

— •$, (Q

Г \ R/

то

sign Rr (tj = sign S* (fk) = (— l)'"+,+\

т. e. в точках tk (0 < / </2 < •.. <^2лн-’<С2г) сплайн Rr (x)
принимает значения чередующихся знаков. Применяя после-
довательно к сплайну Rr(x) и его производным утверждение,
сформулированное в начале доказательства, получаем, что в
некоторой системе точек 0 < yt < у-, < ... < у2л+2 2г Rr х)
принимает значения чередующихся знаков. Но это противо-
речит тому, что R(r (x) есть кусочно-постоянная функция, при-
нимающая на (0, 2г) последовательно всего лишь 2«4-2 зна-
чения, из которых одно (на промежутке (л\, л\+1)) есть нуль 

Теорема 2. (В. М. Тихомиров). В пространстве С спра-
ведливы равенства

d2nn 'КС"') = Si (КС (г>) = КУО '(п + 1 у

и подпространство тригонометрических полиномов порядка
не выше п экстремально для класса КС .
I Доказательство. Так как d2n+x {КС 'г')^.&п (КС (г)) (по
.определению /г-поперечников) и &п(К	КЖг1(п ф- 1)г (по

следствию из теоремы Лхиезера — Крейна — Фавара), то до-
статочно доказать неравенство

d^x (КС{т})^КЖг!(п + 1у.

Для этого воспользуемся опять теоремой 7 (см. с. 25). Вы-
берем достаточно малое е > О, И пусть S —(а0, аь , o2n+t)—
произвольный сигнум-вектор. Пусть, как и в лемме 4, Sr(x)—
сплайн, решающий интерполяционную задачу

Построим для Sr среднюю функцию Стеклова

А(*)=4г (4(*+0<tt=4-

(папомним, что функции Стеклова уже рассматривались в § 3).
Тогда /з (х) есть г раз непрерывно дифференцируемая функ-
ция, причем

/Г’ (X) = 4г Щ'-”(х+г) - sr1’ (х- 8)].

Так как Si-f)(%) существует везде, за исключением конечного
(на конечном промежутке) числа точек, и по лемме 4
5гГ|(х, |г>/С, то 'f‘T (х) |К, и fzCiKC(r\ В то же время при
достаточно малом о будет |/е (х)—Sr (*)!<>, и потому

1/« (/*) | > КЖт!(п ф- 1 )г — е, sign/б (Q = sign Sr (tk) = ak
(k = 0, 1, ... , 2яф-1).

Итак, мы показали выполнение условий теоремы 7, уже
упоминавшейся выше, и по этой теореме

Л„+, (КС1'1) ЖЖг1(п + 1)' - г.

®впду произвольной малости г

4>и+1 (КС{Г} )ЖЖг!{п + 1)' 

Замечание. Попутно доказано равенство

К	= /ГГ;<« + 1)',

‘Отмеченное в § 3 без доказательства.

Задача 1. Показать, что в пространстве С последовательность под-
®>Ространств тригонометрических полиномов экстремальна по порядку для
Класса Н1П при любом модуле непрерывности ы.

Задача 2. Показать, что если в условиях леммы 2 при четном г взять
® качестве узлов точки то интерполяционная задача станет, вообще
Говоря, неразрешимой.
§ 6. Обратные теоремы

В обратных теоремах устанавливается степень гладкости
функции в зависимости от поведения ее наилучших 'приближе-
ний. Предварительно установим одно неравенство для произ-
водных тригонометрических полиномов.

Теорема 1 (первое неравенство С. Н. Бернштейна). Для
каждого тригонометрического полинома Тп (х) порядка не
выше п справедливо неравенство

| Тп < «I rjc.

Доказательство. Пусть ТДх)— произвольный тригопо-
г
метрический полином порядка не выше п. Положим ||Лг||л =

= | Тп (х0)1 = Мп. Требуется доказать, что	Дока-

жем это от противного. Предположим, что [ Тп || < М. Не
уменьшая общности, можно считать, что 7Д(х0)=Л1/г (в слу-
чае Тп (х0) == — Мп можно было бы перейти к рассмотрению
полинома—Тп (х)). Так как х0 — точка максимума Тп, то
Тп(х0) = 0. Рассмотрим тригонометрический полином Un(xy) =
= 7Wsin/z(x — х0)—Дг(х). В точках j^ = x0-}-(2/г+1)“. 2/г
(£ = Q, 1,..., 2п) Un(yk) = (— l)ft М — Tn(yk), и, поскольку
Тп (yk) | <М, значения 4/я(уД и Un(ykM имеют противопо-
ложные знаки. Поэтому каждый ‘ промежуток (yk, yfi¥})
(k = 0, 1, ... , 2п—1) содержит хоть один корень полинома
Un (х). Пусть эти корни zk: zk £ (yfe, у/г+1) (k = 9, 1, ... , 2п — 1).
Так как у2п—у0 = 2т.у все эти корни принадлежат откры-
тому промежутку длиной 2~\ кроме того, точка z2rt = z02я
также является корнем полинома Un. По теореме Ролля
между каждыми двумя корнями Utl лежит по крайней ме-
ре один корень его производной U'n. Поэтому на про-

межутке (г0, z -j-2~) имеется по меньшей мере 2п различных
корней Un. Заметим, что Un (х0) = Мп cos п (х — х0) — Гп(х),
и потому Un (xQ} = Мп — Mn = Q. Кроме того, £7л(х) =
= — Мп2 sin п (х — х0)—7\(х) и Un(xo) = O. Таким образом,
тригонометрический полином Л/Л(х) имеет не менее 2/г попарно
неэквивалентных корней, причем хотя бы один из них (точка х0.
не ниже второй кратности. Общее число неэквивалентных
корней у Uп с учетом кратности оказывается не менее 2/г-f-Ь
и потому Un(x)=Q. Отсюда следует, что Un(x) — const, что
противоречит тому, что в точках yk полином Un принимает
значения чередующихся знаков 

Следствие. Для любого тригонометрического поли
нома Тп(х) порядка не выше п при любом натуральном k
выполняется неравенство

T(k)
1 п

Замечание. Первое неравенство Бернштейна, а также
следствие из него являются точными в том смысле, что для
некоторых тригонометрических полиномов (например, (х)=
= cos/z(x— а)) эти неравенства обращаются в равенства. Это
означает, что норма оператора k-кратного дифференцирования
в пространстве тригонометрических полиномов порядка не вы-
ше п (с нормой пространства С) равна nk.

Теорема 2 (С. Б. Стечкин). Для любой функции f£C спра-
ведливо неравенство

Доказательство. Обозначим через Тп(х) (/г = О, 1, ... )
полиномы наилучшего приближения функции /, так что
II/— ГДП = Еп (/). Возьмем произвольное t > 0. Наша задача—
оценить |/(xt)—f (х2) | в предположении, что jXj—х2|<Д.
Если /^>1./2, то так как ТДх)— постоянная,

1/(Л)-/(л)|

f (-^1) C*T) I (ЛТ) — Л) (-^г)

C2Z^/)<4/£<f(/),

что и доказывает неравенство (*) в этом случае. Пусть же-
t < 1/2. Выберем натуральное число k из условия 2А<^	<2А+1.

Тогда

I f (A) ~/(х2) | < |/(х,) - T2k (х.) | 4- | T2k (x.) - T2k (x,) l-E

+ I T2k (x2) -f(x2) I <	(/) + I T2s (x,) - T2„ (x,) I

Ц2^£«(/)+|Г2»у.

В последнем неравенстве использовано, что согласно выбору k
1 < 2*+|/ и что

Запишем Тл в виде
£

тАх) = т'0(х) + {Т2(х)-Т<1(х)}' + 2[Г2,(х)-7'2.-1(х)]'
v = 2

*) [а] означает целую часть числа а.
ш оценим каждое слагаемое, стоящее в правой части. Оче
пвидно, что То(х) = О. Далее,

< < (/) +	(/) < 2<_! (/),

<и по неравенству Бернштейна

Точно так же |'[Т2 — 7’0]'|_<4£'J'(/). Поэтом)'

2-,£27'„, (/)

£ ’ (/) + 2 2'е:^ (/)
v=l

’Подставляя это неравенство в полученную выше оценку
— /(лД| и учитывая произвольность точек хг и х2,
чиненных условию |хг — х21 t, получаем

для

ПОД”

(**)

Е; (/) + 2 2’£^ (/)

V—1



‘Определим теперь на [0, + со) функцию (_у) так, что <? (п) =
= Еп (/) и с (у) линейна на каждом промежутке [л, /г 4-1]
(тг = О, 1, 2, ... ). Очевидно, что функция <р(у)не возрастает,
:в частности, E^(f)	<? (у) при у ^2V и <?(>)-<£'«(/) при

у^>/г. Интегрируя первое из этих неравенств по у от 2V 1
.до 2\ а второе — от п до п-j-l, получаем

(/)

2V

2^ — 1

(/)•

Теперь можем написать следующую цепочку равенств

И

не-

равенств:

k	k	k

22-^,(/) = 222-,£'27'-(Л<2 2

v = 1	v= 1	v = 1

2х

2V-1

2ft

= 2 J (у) dy = 2

1

2fe-l л+1	2fe-l

2 Еп(п-

п=1 п	п=^1

'Подставляя полученную оценку в (**) и учитывая при этом,

•что в силу выбора k 2k— 1 < [1-^], мы и придем к (*) В

Теорема 3 (первая теорема С. Н. Бернштейна). Пусть

v0<a^l. Если, функция f^C такова, что при всех п~^>\
En(f)^AIn\ г^е —некоторая постоянная, то при а < 1
f£H(a\ а при а = 1 f£W*K

Доказательство. Применяя в условиях теоремы оцен-
ку («), получаем

[1/Л

(/;	£1(Л + Л2 1/л’

(Если а

t~adz =

п=\	О

ш при t

1 «>(/; tXKt\ где К= 8 [Ео(/) + А/(1-а)]. Поэ-

тому в случае а<Д /£/У(а) (мы воспользовались свойством
12° модуля непрерывности (см. с. 47)). Если я=1, то при

и потому w(/; t) <Л7(1 + |lnZ|), где К~ 8(Е0(/) + А), т. е.

Замечание 1. Теорема Бернштейна была доказана раньше
•(1912' г.), чем теорема Стечкина (1951 г.).

Замечание 2. Сопоставляя первую теорему Бернштейна с
прямыми теоремами (см. следствие из теоремы Корнейчука на
с. 59), можно сформулировать следующее утверждение.

Для того чтобы, функция f6_C удовлетворяла условию
Липшица с показателем зс (0 < а < 1), необходимо и доста-
точно, чтобы ее наилучшие приближения удовлетворяли
неравенству Е,, (f)^An~a, где А— некоторая постоянная.

Замечание 3. Существуют примеры таких непрерывных
периодических функций /, для которых En(f)^A;n и ко-
торые тем не менее не принадлежат классу так что в
этом отношении утверждение первой теоремы Бернштейна при
а=1 не может быть усилено. Поэтому при а = 1 неверно
Утверждение, аналогичное сформулированному в замечании 2.

Теорема 4. Пусть f^C. Если для некоторого натураль-

*) Определение класса 1Г см. на с. 48.
ного р ряд 1En(f} сходится, то функция f р риз не-

Z2-1

прерывно дифференцируема и

00

k=\n:2]

Доказательство. Очевидно, что функция f[x) может
быть представлена в виде равномерно сходящегося ряда

СО

/(х) = Т, (х) + V (rn ,, (х) - Тп (х)),	(*)

где Тп (х) —ее полиномы наилучшего приближения. Тогда
|| Тп 2? — Тп 2,_i ||~ < || 7\ 2» — /1| 4- i' f — Та 2v..i Ц~ =

= <2’(/) + ^Г2-1

поэтому по
из теоремы

первому неравенству Бернштейна (см.

следствие

X Т(р\ _ Т{р} Л~
" л2'	1 П2''~1“С

<2«"2v"£'

Таким образом, р раз продифференцированный ряд, стоящий
в правой части (*), мажорируется числовым ря том

S = 2n" V 2’"£;,,_1(/) = 2/;"У 21? (п 2’-’),
7=1	* - I

где, как и при доказательстве теоремы Стечкина, через ? (У>
обозначена кусочно-линейная (она линейна па каждом про-
межутке [/?, k 4-1], где/г — натуральное) функция, принимаю-
щая в натуральных точках k значения ср (k) = Ek (/)- Учиты-
вая, что

п г*-1

уР~ \ciy = X	(2^—1),

п 2V-2

перепишем ряд S в форме

со п 2'‘~ 1

Так как функция у (у) не возрастает,

р 22^+l

2Р — 1

о(у)<у,
причем из сходимости написанного интеграла следует сходи-
мость ряда S. .Чалое,

ОО	со й-f-l

j = J Ур-1 <Р О'ИУ < 2 J Ур~'ч(У)<1у^
п2	/г—[«2] Л

со	Л + 1	со

I V>?(A) ур-1 rfj, = д. ((А+1)Р _*/<)£'(/).

Л-[/z,2]	k	h=[n,2]

Учитывая, что

л-1	р-1

(k4- 1)" — kP = у Clpk! < kP~' V Clp = kP~' (pS-X),

Z=0	Z=O

получаем оценку

co

(2P-1) V k»~'El(f).
k frt 2]

По условию теоремы последний ряд сходится. Таким об-
разом, сходится интеграл J, а вместе с ним и ряд S, причем

О2р+1

kP-'ETk (/).

Л=[л,2]

Итак, ряд (*), через который выражается функция /, после
/7-кратного дифференцирования сходится равномерно. Отсюда
следует, что функция f р раз непрерывно. дифференцируема
и

/|") (х) = 7

(х) +

00

v=l

Полученная выше оценка суммы ряда S позволяет теперь
установить, что при всех х

ОО

I I/"’’(•')—	V kP-'El(f),

А=И/2]

и так как Тп (х) есть тригонометрический полином порядка
не выше п, то

ЕТп

СО

Ь=[п 2]

Теорема 5 (вторая теорема С. Н. Бернштейна). Пусть
Функция f \х)^С такова, что для ее наилучтих прибли-
жений выполняются неравенства Е‘п (/) ^Ап~(р+а\ где р —
натуральное, 0 < а 1, А — некоторая постоянная. Тогда
сслп7.<^\) то f /У'а), а если а=1, то f £С(Р) W
Доказательство. Воспользовавшись теоремой 4, сразу
же получим, что функция f р раз непрерывно дифференци-
руема и выполняется оценка

ОО

[ПГ2]

где С—некоторая’ постоянная. Теперь,применяя первую тео-
рему Бернштейна, видим, что f р)	(если а < 1) или

С W (если а=1) 

Сопоставляя вторую теорему Бернштейна со второй теоре-
мой Джексона, придем к следующим утверждениям.

Следствие I. Для того чтобы непрерывная ^.-перио-
дическая функция f принадлежала классу	где р —

натуральное, О < а < 1, необходимо и достаточно, чтобы
для ее наилучших приближений выполнялась оценка Еп (/) "Cj

Следствие 2. Для того чтобы функция f^C была бес-
конечно дифференцируема (пг. е. имела произвооные всех
порядков), необходимо и достаточно, чтобы при любом на-
туральном р выполнялось соотношение Е (/) д’—->0, т. е.
чтобы наилучшие приближения этой, функции стремились
к нулю быстрее, чем 1/п в сколь угодно большой степени.

Задача. Доказать, что если Е\ (/) < А'п, то для этой функции f вы-
полняется неравенство \f (х Д- /г) — 2f (х) + f (х — fi) \ < ch, где постоянная
с не зависит от х и h.
Глава 3

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ
В АЛГЕБРАИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

§ 1. Метод индуцированных функций

Во второй главе были изложены теоремы, устанавливающие/
связь между свойствами гладкости непрерывной 2л-псриодиче-
ской функции и поведением се яаилучпгих приближений триго-
нометрическими полиномами. Такие же связи существуют и для
функций, непрерывных на конечном промежутке [а, Ь], в случае
их приближения алгебраическими полиномами. Изучение этих
связей и составит предмет третьей главы. При этом оказывает-
ся, что интересующие нас прямые и обратные теоремы в алгеб-
раическом случае могут быть получены из соответствующих
теорем в периодическом случае. Делается такое сведение мето-
дом индуцированных функций.

Определение. Пусть f (х) — непрерывная на промежутке-
[а, Ь\ функция (/£ С ([«, Ь]) *>. Индуцированной по отноше-
нию к f называется функция

/ д \	с ( Ь CL д । Л —р h \

<?(0)=/(—cose Н------— 1.

Заметим, что при любом вещественном 0 cos 0 4—

“Р Ь j- г <1	,	„

—ту—tp, 0], так что функция <р задана на всей числовой

оси, причем ср (0)—/(&), ср(тг)=/(а).

Оператор, который каждой функции f f С ставит в соот-
ветствие ее индуцированную, обозначим через «7:	От-

метим простейшие свойства индуцированных функций.

1°. Для любой функции f£C индуцированная функция.
? = есть непрерывная четная 2к-периодическая функция..

Д В дальнейшем промежуток [а, Я будем считать
11 обозначать пространство С ([а, #]) просто через С,

фиксированным
.Множество таких функций будем обозначать через С* это
подпространство пространства С, состоящее из четных функ-

ции.	„ _

2° Для любых функций /h/sfjC и вещественных чисел
а1? а2 ^(а1/1+а2/2)=а1^/14-а2^>/2, т. е. оператор St адди-
тивен и однороден.	-	. ,тт.

3°. Для каждой непрерывной четной 2^-периодическои функ-

ции ? (Е С*

существует единственная функция /6 С такая,

что

y=Stf, причем

/(*) = ?

arccos

Таким образом. St как линейный оператор, действующий из С
в С.х., имеет обратный St~': f—St~^.

4°. Для любой функции fQC выполняется равенство
И/1!с=Н/11с-

Свойства 1° —4° индуцированных функций очевидны и оз-
начают, что оператор St есть линейная изометрия между с
и С%.

5°. Если Рп— алгебраический полином степени не выше /?,
т0 <ур __четный тригонометрический полином порядка не|

выше п Если Тп — четный тригонометрический полином по-
рядка не выше п, то ^-‘^-алгебраический полином степе-
ни не выше п.	-

Доказательство. Так как оператор St имеет обратный!
и размерности подпространства четных тригонометрических
полиномов порядка не выше п и подпространства алгебраи-
ческих полиномов степени не выше п одинаковы (п + 1), toi
достаточно доказать первое из высказанных утверждении.I
В силу линейности оператора достаточно убедиться, что для
рп^х^хп — /.LzJLcos04-	~)” есть четный тРигР»о-

метрический полином порядка не выше п. Но последнее оче!
видным образом следует из того, что произведение трпго|
неметрических полиномов есть опять тригонометрический по-
лином, порядок которого равен сумме порядков сомножите-|
лей И

6°. Для любой функции f£C выполняется равенство I
£„г (УД = £„(/).

Доказательство. Пусть Р„ — полином наилучшего при]
ближення функции /. Тогда Г =УР„-тригонометрическш
полином порядка не выше п и \\Jf J п\\^ —	|

= I/-Р„|е = £„(/). Отсюда £„r(iX/) <£„(/)• Обратное не-
80

равенство доказывается буквально так же, требуется лишь
установить, что тригонометрический полипом наилучшего при-
ближения четной функции Я/ будет четным. Покажем это.
Пусть 1п тригонометрический полином паилмчшего приб ш-
женин функции ¥ = 3f. Положим Un(6) = Тп (- 0); U„ — также
тригонометрический полином порядка не выше причем

—£4(0)| = |^(- 0)—гя(-е)| <£яг(?).
Так как 6 здесь любое, Un также тригонометрический по-
лином наилучшего приолижения для <^, и в силу единствен-
ности полинома наилучшего приближения должно быть U (0) —
= 7,(е) Т. е.	и 7;-четный а п{)~

7°. Пусть f Е С и ^ = Stf, Тогда

Д о к а 3 а т е л ь с т в °* Пусть числа 0г и 0.> таковы, что
| - е21 < /. Тогда	I <Р (0J — О (02) I — | f (^) _ f	|

W	I )’ г&с Х1 ~ —2— C0S ~ > И потому

{A-x2|^^|cos 0^008 0,1=

«здесь мы воспользовались формулой конечных приращений'
а-некоторая точка между 6, и б2). Так как модуль непре-
рывности а>(/, t) нс убывает, | ©(бх) — ?(&•>){-<<» (/; -К х

X cz) t. Д."я достижения этого неравенства потребова-

вши лишь, чтобы оыло I — 9., I /, поэтому	t) <Г

<»(/; x(b-a)t}*		"

8°. Пусть С, v — SJf' Пусть [<2(,	—промежуток, вну-
тренний по отношению к [a, b\ ([zzn	b)\ ио^Д/;

модуль непрерывности функции /, если мы рассматриваем ее
лишь на промежутке	Существует такая постоянная/<,

зависящая только от а, Ь, ах и Ь{, что

М/; 0 </<«>(<?; /).	(Ф)

Доказательство. Пусть х, £ fa., b.l и lx. —

ОгДа l/(^i) —/(х2) I ~ | ? (fh) — *F (^) I w (т; lei—^1)7 где
г»—-0(xz), 0 (х) = arccos-—» Функция 6(х) на проме-
МТКе £j] непрерывно дифференцируема (это было бы
Лг1РН0 по отношению ко всему промежутку [а, Ь\—в точ-

что п	индекс здесь, как и в некоторых случаях ниже, показывает,

Ш1н-1А.Ла1Н11ЫИ моменг <ПРИ определении модуля непрерывноепп мы рассмаг-
«ем функцию f лишь на промежутке /д].

6 Зак. оз
ках а и b производная 6'(л) обращается в бесконечность).
Положим М = max [О'(%) I. Тогда —62 |<AI Ixj —

.»€{«!, 61]

и потому «)((/;	7И/). Если положить теперь К~=^

— [/И] +1 (ближайшее к М целое число, большее М), то

СО] (/; /)<со(<р; Л7)<Л>(?; t) 

Заметим, что для модуля непрерывности со (7; t) функции /,
построенного для всего промежутка [а, Ь], оценка вида («), во-
обще говоря, неверна.

Задача. Доказать существование такой постоянной К —К (а, Ь), что
для модуля непрерывности функции /, рассматриваемой на всем промежут-
ке [а, &], справедлива оценка '•>(/; /) <	(с; J^t), где © =

§ 2. Прямые теоремы

Теорема 1 (первая теорема Джексона). Для каждой функ-
ции С выполняется неравенство

.Доказательство. Положим y — Используя свой-
ства 6° и 7° индуцированных функций, а также первую тео-
рему Джексона для периодического случая (см. с. 59), по-
лучаем

Замечание 1. Если про функцию f нам известно, чт«
где св — выпуклый модуль непрерывности, то, исполь-
зуя вместо первой теоремы Джексона теорему Корнейчука
(см. с. 58), легко получаем

р ( -СХ 1	. . I	Д) 'I	I

Еп (/) < — «> ( 2 („ + 1) ) 

В частности, если	то

F ( f\ .<~ К ( — — — —Y	I

\J)^ 2 2(zi + 1) } ’	1

если f£KC(X\ то тем самым	и потому	1

I

n /	4 п 1

Замечание 2. Приведенное в предыдущем замечаш
неравенство для наилучших приближений функций класса ДН
может быть записано в форме

g„(K/7w)= sup	)Д (
Как было показано Бернштейном [4], выполняется асимптоти-
ческое равенство

и потому (см. следствие из

<г„ (кн^)« 4

теоремы Корнейчука па с. 59)

(Ь — zz) п \а
2 иг -р н )

(/г —> со).

Однако при фиксированном значении п в неравенстве (*) знак
< нс может быть, вообще говоря, заменен на =. В частно-
сти,

«2(W|1,) = (3 -2^2)K(b-a)< -^-К(Ь-а),



(10 + 7 ]/7) к (й - а) < 4- К(Ь - а)

(см. [23]; поведение величины $п (КН ) изучалось также
С. М. Никольским [15]).

Переходя к вопросу о поведении наилучших приближений
дифференцируемых функций, докажем сначала два вспомога-
тельных утверждения.

Лемма 1. Для функции f^KCn при выполня-
ется неравенство

Доказательство проведем сначала для случая а — — 1,
b~ 1. Построим функцию g 'х) —f(x) — f (0)х. Тогда g' (0)=0,
при п^>\ En(f) —	(Я) (так как f и ё отличаются на мно-

гочлен первой степени) и g^KC (так как g" (X) =f" (X)).
Пусть y = $g — индуцированная по отношению к-g функция;
<p(6) = g(cos6). Тогда

<р" (6) — siв2 6• g/f (cos 6) — cos 6 • g' (cos 6) =
== (1 — cos2 0) • g" (cos 6) — cos 6 • g' (cos 6).

Из последнего представления видно, что у" есть функция,
индуцированная по отношению к функции G(x) = (l—х2) X
Xg"(x)— xgr (х) (y" = 3/'G). Так как g' (0) = 0, то

g'(x) =
о

и потому | g' (х)[ К\хJ (поскольку g£KC( ). Отсюда

I G(x) |< (1 -х2И+|хН£'(*)К (1-х2)К4-х2К=К.

Итак, ||G|jc</G Но тогда =	ипотому <р^КС(2).

Cj	с
Используя свойство 6° индуцированных функций
из теоремы Ахиезера — Крейна — Фавара (см. с.
равенство	получаем

и следствие

56),

а также

и этим доказательство при а=-—1, Ь = \ завершено.

Для произвольных а и b доказательство проводится сведе

пием к

уже рассмотренному случаю путем приведения про-
межутка [а, b | к [— 1, 1] линейной заменой переменной. Итак
пусть функция f принадлежит классу /<Cv2)([a, #]). Положим

Тогда д" (.у)

Ь — а

2

и потому



где Кг — । - т~ К- Если для полинома Рп (х) положить Qn (_у)

, то Qn будет полиномом той же сте

пени, что

П-1

С ([а, 6])

Поэтому Еп (<F)< Еп (f). Используя обратный переход от про-
межутка [— 1, 1] к \а, Ь], точно так же легко получить, что
и Е.'(f) Д Д (&"), и потому En(f) = En(g~). Наконец, исполь-
зуя уже доказанный случай леммы, получаем

Еп (/) = Еп (<Г)

b — а

7

п

Заметим, что примененный при доказательстве леммы при-
ем, согласно которому утверждение доказывается сначала для
«удобного» промежутка, а для произвольного получается путем
линейной замены переменной, будет использоваться и ниже.
При этом впредь подробно на переходе от «удобного» проме-
жутка к произвольному останавливаться нс будем.

Лемма 2. Если f(:C‘, то

если С, то

Доказательство. Докажем сначала второе неравенство
Пусть С ‘, и пусть Q„-2 — полином наилучшего приближе^
ния для так что \f" —	= En_2(f"Y Построим полино|

Рп(х) степени не выше п такой, что (х) = Q„_2(x), и поло
жим ЗГ (х) =f(x) — Р,(х). Так как д (х) отличается от /(?с1
на многочлен степени не выше п, то En(f) = Еп(д). В то
время <Г'=/" - Q/t-2, ||F"!'C = £„_,(
где K — En_2(f"). Применяя лемму 1

£„(/) = £„ (ST)

Ь—а>Л
~~2~ /

получаем

9 / А z> \ >

Первое неравенство доказывается точно так же, как вто-
рое, только вместо леммы 1 используется неравенство En(f)^<L
. тс Ь — а К	<

--------7>—- . j 1/€лС I, отмеченное в замечании 1
к теореме 1 

Теорема 2 (вторая теорема Джексона). Пусть v = 0 или
v=l. Если функция f 2т -|-v раз непрерывно дифференци-
руема (/^C(2zn+v) ), то при п>2т-[-у

En{f)

Ь — а
~2~

напи-

<0 ( .(2zn+v). (b — Д) тс )
________V ’ 2(k-2ot-^4-1) /
(л+ 1)2(п-1)2 ... (л— 2т ]-3)2(n-2m4-1)"

Доказательство. Воспользовавшись леммой 2,
шем ряд оценок:

р

п—2 /н+2

/ b — а |2	1

2	/ (п — 2т -р 3)2





Если v = 0, добавим к этим неравенствам оценку, даваемую
первой теоремой Джексона:



(Ь — а) к

2 (п — 2т -f-l)l

Перемножая все выписанные неравенства и сокращая на про-
изведение En^(f") Еп_^ (/IV) ... Еп_2т (/(2"г)), получим (*). Если
же v=l, то к неравенствам (**) добавим еще два (см. лемму
2 и первую теорему Джексона):

Ь — а



1

п — 2т -J- 1

Е„-2т-,

Еп-2т—1



Перемножая неравенства (**) и два последних, опять придем
к (*) при v = 1 


Замечание 1. Если f Нш, где и — выпуклый мо-
дуль непрерывности, то в оценке (*) множитель	;

(Ь— а)п \	1	/ (Ь— a) tz \

7Г-.—Чт----—j- можно заменить на т;-------------о——гтг- .

2 (п — 1т — v 4- 1) /	2 \ 2 (п — 2т — v + 1) / ‘

Для того чтобы убедиться в этом, достаточно при доказатель-
стве теоремы для оценки Еп-чт-^ (ф(2тл ) воспользоваться
замечанием 1 к первой теореме Джексона. Такая замена,
в частности, возможна для функций f класса С А77(1’.

Замечание 2. Довольно сложное выражение, стоящее в
правой части оценки (*), не должно заслонять качественную
картину поведения наилучших приближений р раз непрерывно
дифференцируемых функций: существует такая постоянная ср,
зависящая лишь от р, что для каждой функции f С при
п=р, р+1, р + 2, р + 3, ... выполняются оценки

Еп (/) < ср

Ь —а\Р 1

—й— ----w

2 / пр

(/>). Д—£

2п

Именно в такор форме теорема 2 формулировалась самим
Джексоном. Заметим, что для получения этого качественного
результата можно было бы использовать лишь первое из утвер-
ждений леммы 2, однако правая часть оценки для En(f) при
этом получилась «бы больше, чем в (*).

Сформулируем еще очевидное следствие из теоремы 2.

Следствие. Если f — бесконечно дифференцируемая
на [а, Ь\ функция, то при любом р En(f)np—>0.

Задача I. Оценка (*) такова, что ее правая часть содержит инфор-
мацию лишь о производной f гп“и никакой дополнительной информации
о самой функции /. Показать, что при п < р — 1, располагая информацией
лишь об flp\ оценить En(f) невозможно.

Задача 2. Доказать теоремы типа теорем Джексона для спучая при-
ближения функций, непрерывных на [a.	(0<«<^) четными алгебраиче-

скими многочленами (применить аналог метода индуцированных функций).

§ 3. Об «-поперечниках некоторых классов
непрерывных функций

В этом параграфе будет показано, что последовательность
подпространств алгебраических многочленов является экстре-
мальной по порядку для классов функций /Д, С Ню в про-
странстве С([«, Ь]). Поскольку в предыдущем параграфе по-
лучены оценки сверху для	и ^n\C }НЮ) (теоремы

Джексона), то доказательство этого утверждения сводится

к оценкам снизу «-поперечников соответствующих классов.

Теорема 1. Для пространства С справедливо неравенство
дп (ЕД) "2"w I ~ I •
Доказательство этой теоремы основано на применении
1еоремы 7 (см. с. 25). Положим	, хк =а-{- kh (k=Q,

1, ...» л), 8 = 4"t0('^^') = TQ)^- ПУСТЬ 5=(5о. °п •••♦ °и)€

+1 — произвольный сигнум-вектор. Построим соответствую-
щую ему (в смысле условия теоремы 7) функцию f(x) сле-
цх'юшим образом. При x£[xk, xfe+1]

о

g — (л^х — xk\

-8 + <»(х — xk\

= <

если aft = aft+1 = l,
если ak = 1, <зл+1 — — 1,
если ak=zak^ = — 1,
если ck — — 1, ck+l — 1.

Эта функция требуемая. Действительно, во-первых, очевидно,
что/(xft) = a*&; во-вторых, felL. Докажем последнее. Ясно,
что |/(*)|<8 при всех х и /(х) монотонна на каждом про-
межутке [xk, xft+1]. Пустьх\ х7£ [л, Ь} таковы, что \х'—х"
Требуется показать, что \f(x')—/(хД| <«(/). Если t^h, то
\f(x')—f(x") I 2o = w (Л) < «)(£). Если t<.h, то возможны
два случая: a) x и x' принадлежат одному и тому же про-

межутку fxft, хй+1], б) х' и х" принадлежат соседним проме-
жуткам. В случае а) при aft = c^+1 \f(x')—/(х'')| = 0 ч
а при ал == — afe+1

1Ж) -f (х") | = | <0 (х' - xft) - О) (х" - хА) |

0)(|х'—х"|)<(.о(О

(мы воспользовались полуаддитивностью и монотонностью
модуля непрерывности). В случае б) будем считать для опре-
деленности, что Xfc-j < х' < хк < х" < хй+1. Тогда

f(x«) -/(x') = [/(x")-/(xt)] + [/(x4)-/(x')l,

причем ясно, что [х"— хА|</и |xft — х' | < t. Если либо
^_! = аь либо 0^ = 0^, то в правой части (*) одно слагаемое
есть нуль, а второе по абсолютной величине не превосходит
МО- Если же cfe_j=Gft+1 — — ofc, то слагаемые в правой части
(*) имеют противоположные знаки и

'/U") -/(*') I < max (|/(х") -/(xt) |, |/(xt) -/(%') |) < ш (/),

Итак, во всех случаях	|ш(0, и потому

В силу теоремы 7 паша теорема доказана в

Следствие. В пространстве С ([а, последовательность
ъодпространете полиномов является экстремальной по порядку
иля каждого класса Н^, где со — произвольный модуль непре-
рывности.
Доказательство. В силу первой теоремы Джексона
(см. с. 82), только что доказанной теоремы, а также монотон-
ности и полуаддити'вности модуля непрерывности

п I b — а\	л ,

2С0 I п _|_ 1 ।	4с/п+1

(ЯД к

Замечание. В том случае, если со — выпуклый модуль
непрерывности, неравенство, полученное при доказательстве
•следствия, может быть усилено. Именно для выпуклого моду-
ля непрерывности

П-Н

(ЯД

(см. замечание 1 на с. 82).

Теорема 2. Для любого натурального г найдется такая
постоянная Аг > 0, что в пространстве С(\а, Ь]) для произ-
вольного модуля непрерывности «> выполняется неравенство

Доказательство проведем сначала для случая, когда
модуль непрерывности со выпуклый. Рассмотрим функцию
y2)f+1, если |у|<1,
О, если |j/|	1.



Эта функция г раз непрерывно дифференцируема па всей чис-
ловой оси, а ее производная (r-j-l)-ro порядка имеет разрывы
в точках + 1 и —1. Положим

max

— ОО < у < Д-со

l^r)(j)|— max

I «(г) (У) I = М,

max |Дг+1)(у)|= max | Дг+1)(у) [ = N.
— со<у<-фсо	—1<у<1

Разобьем теперь промежуток [ст, Ь] на п равных частей точ-
ками — а, хх, л*2, ... , хп = b : xk — а Д- kh (k=0, 1, .... , ri),
h — (b — а)!п. Рассмотрим функции

(%) = и

(& = 0, 1, ... , п).

Эти функции обладают следующими свойствами:

если j Ф k,
если j—k\

2) “М-Д—'0, если x£(xk — А, лАД-Л);
3)	vk (x) г раз непрерывно дифференцируема и
| -Ufe} (х) | < Mh~r;

4)	^(х) дифференцируема г +1 раз всюду, за исключе-
нием точек xk— h, xk-\-h, где 'ujr+1) терпит разрывы первого
рода, причем

Положим еще 8 = сАгсо(А), где с = [max (4/И, 2/V)]-1, и пока-
жем, что б/л(С(г)А/<0)^> 8 (в этом и состоит утверждение дока-
зываемой теоремы). Для этого в силу теоремы 7 (см. с. 25) до-
статочно для каждого сигнум-вектора s = (a0,	, с/г)

построить такую функцию /^С<Г)НШ, что /(+) —°/ (/ = 0>
1, ... , п). Построим функцию f в виде

п

fe=O

Равенство f(X:) = a-c следует сразу же из свойства 1) функ-
ций vk. Остается показать, что f^C[r}Hw. Учитывая, что па
каждом промежутке [xfe, xfe+1] отличны от тождественного
нуля из всех функций ^7(x) лишь ,vk{x') и (х), из свойств
3) и 4) получаем оценки

|/(г) (х) | < 2Mh~ % |/(г+1) (х) | < 27VA~(r+1)B,

которые дают соответственно следующие неравенства для мо-
дуля непрерывности функции / .

<о(/(г); /)<4/ИА"г6, w(/(r); z)<2.VA“(r+I)8t

Поэтому при t h

<о (/(r); t} < 2Nh~{r+%t = 2ЛТ ~ ° (Л) <"4- ° (Л) < ° (О,

причем последнее неравенство следует из выпуклости модуля
непрерывности -со (t). Если же t~> h, то

a (f{r\ Л < 4Л4/Г г8 = 4Жсо) (А) < <о (А) < <о (t).

Итак, неравенство со 7)<со(/) доказано для всех Z^O..
Тем самым	и для выпуклого модуля непрерывности,

доказательство теоремы завершено.

Пусть теперь со — произвольный модуль непрерывности. По
свойству 9° модуля непрерывности (см. с. 45) найдется такой
выпуклый модуль непрерывности <о"'(/), что <о (И	со* (£)

^2<o(f). Положим со.х. (Z) = <о* (^)/2; это также выпуклый модуль,
непрерывности, причем со^(7)^со (Z)^2co^. (7). По доказанному
выше

Ь — а

п
•Но ввиду неравенства	выполняется включение

С(Г}Н^ CZ С{Г}НЫ, и поэтому

Следствие. При любом натуральном г и для любого
.модуля непрерывности в пространстве С([а, #]) последо-
вательность подпространств полиномов является экстре-
мальной по порядку для классов функций C^HW.

Доказательство следует 'немедленно из только что доказан-
ной теоремы и второй теоремы Джексона (см. замечание 2 па
с. 86).

В связи с доказанными в этом параграфе теоремами следу-
>ет подчеркнуть одно свойство последовательности подпрост-
ранств полиномов, .которое .коротко можно охарактеризовать как
универсальную экстремальность но порядку. Действительно,
эта последовательность подпространств является экстремальной
.по порядку сразу для многих классов функций, фактически для
всех классов, которые мы рассматривали. Экстремальные под-
пространства для классов Н& и	как правило, неизвест-

ны— исключение составляет класс (см. [21]).

Задача 1. Доказать, что в пространстве С

dn(KC(r+r>) = <ln (С(г)

Задача 2. Доказать, что последовательность подпространств полино-
мов экстремальна по порядку для классов /<С5Г) в С.

Задача 3. Пусть М — замкнутое, ограниченное и выпуклое множество
в т-мерном пространстве, имеющее хоть одну внутреннюю точку. Пусть
С^Н, — множество функций f из пространства С (М) таких, что функция f
г раз непрерывно дифференцируема и все ее производные порядка г при-
надлежат классу Л/и (44). Показать, что тогда

<1„	> А, (М)	(1,

где Ar (М) — некоторая постоянная, зависящая лишь от г и М.

§ 4. Обратные теоремы

Теорема 1. Пусть [<2lt	—внутренний по отношению

.к [а, Ь\ промежуток (т. е. [at, Ьх\а{а, b)). Тогда суще-
ствует такая постоянная с, зависящая только от а, Ь, а{
и Ь{, что для любой функции f^C выполняется оценка

<»i

где (/, Z)—модуль непрерывности функции f х), если ее
рассматривать лишь на промежутке [al} bj.
 Доказательство. Пусть v — Sff— индуцированная по
отношению к /функция. Поскольку £'/(<?) = £'„(/) (свойство
индуцированных функций), воспользовавшись теоремой
Стечкина (см. с. 73), получим

Г	и>(?; t)	£Д/)-

Но по свойству 8° индуцированных функций ^ (/; t) ЛЬ(<р; t),
и остается положить с = 8/Си

Теорема 2 (первая теорема С. Н. Бернштейна). Если для
функции f£C([a, £>]) при некотором и. (0<я<Д) выполняют-
ся неравенства

En(f)^.A/na (/г = 1, 2, ...),

то в случае а < 1	*.]), а в случае а = 1 /£

Ьг\),где («t, ЬД—любой внутренний по отношению
к к ь] промежуток.

Доказательство этой теоремы дословно повторяет доказа-
тельство первой теоремы Бернштейна в периодическом случае
(см. с. 74), и поэтому приводить его не будем.

Замечание. Подчеркнем, что в условиях теоремы при-
надлежность функции / классу И'а или W гарантируется
лишь на каждом внутреннем промежутке [аъ bj, но не на
всем [я, Ь]. Возникает вопрос, связано это с существом рас-
сматриваемой задачи или вызвано способом доказательства.
Оказывается, что при выполнении условий теоремы функция /
в действительности может и не принадлежать классу Н 1
(или W) на всем [а, б].

Пример. На промежутке [—1, 1] рассмотрим функцию
/(л)=]/1—л3. Эта функция принадлежит классу ([ — 1, 1]),
так как ввиду элементарного неравенства ' У а— ] b , У а—Ь

1Ж)	I < /Iх\ - Л-21 < V2 I X, - Л2 |'«

но не принадлежит классам Н “ ([— 1, 1J) при а>1,2, так
как при таких а

У(1-6)-/(1)	Ке(2-е)

 ----------- - — ... ......

Построим для функции / индуцированную q = ^/:

I	<5(6) = /(cos 0) = У1— cos2 0 = | sin 01.

Ясно, что ?£ 1 -Т/1’, и по следствию 2 из теоремы Ахиезера—
Крейна—Фавара (см. с. 56)	(?)	тс/2(«1) < к 2/г. Но

En{f) = Еп (<р). Таким образом, несмотря на то, что En(f)<Z
(/г=1, 2, ...), на всем промежутке [—1, 1] функция/

принадлежит классам Н а) при а>1 2 (и тем более классу W),
При доказательстве обратных теорем в случае дифферен-
цируемых функций будет использовано второе неравенство
Бернштейна.

Теорема 3 (второе неравенство С. Н. Бернштейна). Если
на промежутке [а, /?] алгебраический полином Рп (х) сте-
пени не выше п удовлетворяет неравенству | Рп (х) | М, то
на (а, Ь) для его производной выполняется оценка

। Рп (х) | < Мп , ]/(х — а) (Ь — х).

Доказательство. Построим для полинома Рп индуци-
рованную функцию Гп-=УРп. По свойству 5° индуцированных
функций Тп есть четный тригонометрический полином порядка
не выше п, а по свойству 4° 7ф||_=	Многочлен

Рп выражается через Тп в виде (xfc[<2, &]) Рп(х) = Тп(С\ где
0 = 6 (х) = arccos — . Отсюда Рл (х) = Гп(0)0х. Соглас-

но первому неравенству Бернштейна
Тп IL 111 Рп V -С Мп* н поскольку 0А-

теорема доказана И

Следствие 1. В условиях теоремы 3 при
ральном р для х£(а, b) выполняется оценка

любо н нашу-

\Р{пРЧх)\<р

р/2 «(».-!) ... (»-р+1) м
[(х — а) (Ь — х)]р-2

(*

Доказательство проведем для случая а = — 1, Ь=\
общий случай получается из этого линейной заменой пере-
менной. Итак, пусть х—та точка промежутка (—1, 1), длг
которой доказывается неравенство (*). Выберем точки хр х2, ..
... , хр_1 так, чтобы было | х | < хр_г < хр_2 < ... <Xj < 1
в остальном эти точки пока произвольны. Применяя теорему 3
для х£(— 1, 1) получаем оценку

|р; (х)|<-Ии/1/Г=Ц5;

из которой для х£[— хь xj следует, что

| Р'п(х)| <Мп IJ/1 — х2 = Mt.

Полученная оценка равномерна относительно х£[ —хь xj
Поэтому, применив теорему 3 к промежутку [— х,, xj и по
линому Рп(х), получим, что для х£(— х1л xj

Рп (х)

и для х£ [— х2, х2]

М{ (п— 1)

Мп (п — П

Мп (п — 1)


Продолжая эти рассуждения, имеем

I pj."1 (х)

< Мп(п — 1) ... (л — ^4-1)

V(i - 4) (4 - 4) • • • (4-i ~ *2)

Воспользуемся теперь имеющимся произволом в выборе точек
Xk и выберем пх так, чтобы было

1 _ V-2_ v2_ V-2_ — V-2	_ v2 __ v2	_ (I — *')

1 Aj —Л2— ... ------Лр 2 Лр-1---Лр_} X — —-

(можно показать, что такой выбор — наилучший). Тогда мы
и придем к неравенству (*) Я

Замечание. Огрубляя неравенство (*), можно перепи-
сать его в виде

| Р{р} (х) | pPi2 [ (b — х) (х — «)]-г :~прМ.

Из этого неравенства, если положить М — || Рп ||с, немедленно
вытекает следующее неравенство.

Следствие 2. Пусть [яъ — промежуток, внутрен-
ний по отношению к [a, b]: [#j, b] с (а, Ь). Тогда суще-
ствует такая постоянная Ап, зависящая лишь от р, а, Ь,
ах и Ьх, что для любого полинома Pfi (х) степени не выше
п выполняется неравенство

'р(р} ц

И «• Ю ([«!,

А пр il Р II

Р 1Ы « НС ((«. Я) ‘

Теорема 4. Пусть функция f^C(\a, /?]) такова, что при
некотором натуральном р сходится ряд У пр~хЕ (/).
Тогда на открытом промежутке (а, Ь) функция f{x) р раз
непрерывно дифференцируема и для любого промежутка
[«1, Z>i]C(<2, b) найдется такая постоянная ср, зависящая
лишь от р, а, Ь, ах и blt что выполняется неравенство

СЮ



ср 2

k= [/г,-2 J

Здесь	— наилучшее приближение функции f(p} по-

линомами на промежутке [аь bj.

Доказательство. Для индуцированной функции ? — 3ff
En('E} — En(f), и потому ряд 27=1(?) сходится. По
теореме 4 (см. с. 75) отсюда следует, что функция <?
Р раз непрерывно дифференцируема на всей оси. Но /(%) =
— ? I arccos——h И так как функция arccos—г —
на открытом промежутке (а, Ь) бесконечно дифференцируема,
то f (х) на (а, Ь) непрерывно дифференцируема по меньшей
мере р раз. Перейдем к доказательству оценки величины
Е 1 f,p , которое вполне аналогично доказательству соответ-
ствующего неравенства в периодическом случае (см. с. 76). Обо-
значая через Рух полиномы наилучшего приближения функ-
ции /, получаем

f(x) - Р„ (х) = V“ , (Р„2. (х) - Р 2,_. (X)).

Поскольку	]

II ^«2''	|;с ([й)	||/	Лг2'; ||с	д]) +

+И-р»2'-‘1С([о,4|)<2^->(/)

и по следствию 2 к теореме 3

(Р) п(Р)

n2v~ ^л2'->-1

!1

I.C ([йъ М)

A ,np2pv

Р К1‘

то

2АрЕп^ (f)np2p\

ОО

I	с'пр V 2Р ^~^Е 9v-i

\J	М)	2

V— 1

со

(/)=

1 n2v~“~

где <р (v) — функция, линейная на каждом промежутке
[Л, k + 1) (/?— натуральное) и такая, что ^(k) = Ек(ф). Так
как ф(у) не возрастает, то

СО

п!2

со &4-1

yj f '^(у)Ур~^У <

k—[n,2] k

Здесь с', с", с"’ — некоторые постоянные, зависящие от р, а,
Ь, сц, Ь,. Остается заметить,, что так как Рпр>— полином сте-
пени, меньшей п, то Е{п} (/(р))<||/1Р) —	p.d И

Теорема 5 (вторая теорема С. Н. Бернштейна). Если функ-
ция f£C([fi, £]) такова, кто для ее наилучлиих приближе-
ний при /г = 1, 2, ... выполняются неравенства En(f) ^.
^сп~{р+а\ где р — натуральное,	то на откры-

том промежутке (а, Ь) функция f р раз непрерывно диф-
ференцируема и для любого промежутка \ах, с {а, Ь)
ф£ С{р)Н[а) (\аъ гч]) (если а<1) или feC{p}W([at, bt])
(если а=1).
Доказательство. Из оценки для En(f), данной в усло-
вии теоремы, сразу же следует, что ряд V п"{Е, (г) схо-
дится. и потому функция f по теореме 4 р раз непрерывно
дифференцируема на (я, Ь). По выбранному промежутку
[л15 &|| построим промежуток [а2, b2\ так, что й<«2<й1<
< Ь{ < Ь2 < Ь. Тогда по той же теореме 4 для наилучших
приближений функции /(р) на промежутке [а2, Z?2] выполняет-
ся неравенство

со	со

W(/"”)<с у	V

fe~[n'2]	k-[nl‘2]

Учитывая, что промежуток — внутренний по отноше-
нию к [л2, Ь>], и применяя первую теорему Бернштейна, полу-
чим, что f £Н ([«!, Z?J) (если а< 1) или f'p £ W([alt 6,1)
(если я = 1) И

Задача 1. Сопоставить поведение наилучших приближений функ-
ции f (х) — (I — х2)р+а (0 < а <Д), заданной на промежутке [—1, 1], с ее
свойствами гладкости.

Задача 2. Обозначим через Еп (/) (п >т) наилучшее приближение
функции f на промежутке [—I, 1] полиномами, не содержащими хт, т. е..
полиномами вида

J'n, т (-*) = «о + -Г • • • + ат_ххт 1 + ат^хт^ + ... + апхп.
Доказать, что при любом сколь угодно большом р в классе С^Р1 найдется
функция /, для которой ряд	^гт~}Еп т (/) расходится. Указание::

показать, что из сходимости написанного ряда следует, что f ' (0) = 0.

§ 5. Неравенство Маркова

Правая часть второго неравенства Бернштейна, доказанно-
го в предыдущем параграфе, в концах промежутка [а, Ь] обра-
щается в бесконечность, и потому это неравенство не позволяет
получить равномерную оценку производной полинома па [а, Ь],
если нам известен максимум его абсолютной величины на этом
отрезке. Равномерная оценка дается неравенством Маркова.,
которое будет доказано в этом параграфе.

Лемма 1. При 6 £ [0, « 2] выполняется неравенство

sin 6	20/тг.

При всех вещественных 6 и натуральных п

| sin пО | <04 sin 61-

Доказательство первого из этих неравенств немедлен-
но следует из того, что функция /(6) = sinG — 2В/тт выпукла
на промежутке [0, ^2] в смысле определения, данного на
С- 44, так как f " (6) — — sin В 0, и что/(0) =/(it/2) = 0.

Второе неравенство очевидным образом доказывается мето-
дом математической индукции и
Лемма 2. Для многочлена Чебышева Тп (х) = cos (п arccos х)
при х£[—1, 1| выполняется неравенство | Гл (х) | •</г2.

Доказательство. Так как для х£[—1, 1] Tn(x)z=z
.== cos /гб, где х = cos 6, то

г' ( v\_ п sin Ozz _и sin «О

7 "vO — ~	п Sin о '

хе

п по лемме 1 | Тп(х) | CZ/г2 Я

Заметим, что переходя к пределу в равенстве Гя(х) =
= ц, приО->0 или 6 -> -, легко получить, что 7^(1) = я2,
Тп (—1) —(—1)'7г2. Таким образом, ||7'«||C([_lj	=/г2.

Лемма 3. Если многочлен	степени не выше

п — 1 на промежутке [ — 1, 1 ] удовлетворяет неравенству
I Q , (х) V1 — х2|<1, то на том же промежутке | QW_T (х) |<z?.

2& — 1

Доказательство. Пусть xk — cos——- (k=i, 2, ...

п)— корни полинома Чебышева Тп(х). Очевидно, что
1>х, >х2> ... >xn> —1, причем хп = — х1. При доказа-
тельстве требуемого неравенства рассмотрим два случая:
а) |х|<хп б) х,<|х|<П________	_____

а)	Если |х|<х(, то 1^1 — х2>]/1 — х{ = sin-^-, и по лем-

ме 1 ] .1 — х2 >	, откуда lQn_i(x)|< =-</?.

б)	Пусть |х|>х.. Построим для Qn_^ интерполяционный
полином по узлам х15 х2, ..., хп. Записывая этот полином
в форме Лагранжа и учитывая, что он должен совпадать
с Qrt_! (ведь — многочлен степени не выше п — 1), мы
придем к тождеству

п

Q»-1 (А-) = V

/г-1

или, учитывая, что

/ п (-^л) —

sin (п arccos Xk)

Q«-i ’

 — к тождеству

п

/г=-1

11оскольку I / 1 — X2 Qn_! (х/г) I < 1

по условиям леммы, то

п

/г-1
вспомним, ЧТО X

!, И потому либо X > Лд, либо



[4так, разности х— xk либо все положительны, либо все отри-
цательны, и

П

П

/г-1

'Таким образом,

I Qn-t (А’)

Л=1

и остается воспользоваться леммой 2 

Теорема 1 (неравенство А. А. Маркова). Для любого по-
линома Рп(х} степени не выше п выполняется неравенство

I р' I %п~ II р и

I 1п !с в—а 1И л1!с

(здесь С = С([ал Ь])).

Доказательство проведем для промежутка [—1, 1] —
общий случай сводится к этому линейной заменой перемен-
ной. Положим М = \Рп\\с и определим многочлен Qn-i(x) сте-

I	1

пени не выше п — 1, положив Qn_i(x)— ~мп'^>п(х) • По пер-
вому неравенству Бернштейна Рк ( -у) | < - --	- (•*(:(— 1, 1)),

и потому | У1 —-K'Qfl-iC*) для всех лг£[—1, 1]. По лем-
ме 3 тогда || Qn_, ||с < п и j Рп|1с — Мп\(^п_гРг •< Мп2 

Замечание 1. Неравенство Маркова является точным
в том смысле, что для многочлена Чебышева на промежутке
[—1, 1] выполняется равенство 1 Г,г||с =/г2|| 7'п||с.

Замечание 2. Стоит обратить внимание на то, что пра-
вая часть неравенства Маркова имеет более высокий (второй)
•порядок роста по п, чем правая часть второго неравенства
Бернштейна. Для точек, не слишком близких к концЗхМ проме-
жутка, второе неравенство Бернштейна дает лучшую оценку
производной полинома, чем неравенство Маркова. Комбинируя
вместе два этих неравенства, можно утверждать, что для
х е к *]

Последовательное применение неравенства Маркова к про-
изводным полинома позволяет получить оценку его старших
производных.

Следствие. Для любого полинома Рп(х) степени не вы-
ше п при натуральных k выполняются неравенства
Замечай и е 3. При k> 1 приведенное в следствии нора,
венство не является точным. Точное неравенство для старших
производных было получено В. А. Марковым и имеет вид

IP?1

/ 2	— Р) (Л2 — 22) ... (п? — (k— I)2) р

{2k — 1)!!	II Ис-

Заметим, что правая часть этого неравенства имеет тот же по-
рядок роста по и, что и неравенства, приведенного в следствии.

Неравенство А. А. Маркова позволяет установить некоторые
неравенства, связывающие нормы полиномов в пространствах
Lp. Промежуток [а, Ь], как и выше, считаем фиксированным и.
условимся для-функции f, заданной на [я, д], обозначать через.
Hfllp ее норму в пространстве Lp

f/i,=(£ I/О) №)*''’•

Теорема 2. Цля каждого полинома Рп (х) степени не ви~
ше п выполняется неравенство

Доказательство. Положим \.РпК~А, и пусть х0 —та

точка промежутка fa,
венству Маркова Рп I1,

Ь}, для которой \Рп(х^\ — А. По пера-

2/12

А, и потому для любой точки.

л£[л, &], используя формулу Лагранжа, получаем

I Рп (%) ! = ' Рп (х0) 4“ Рп (£) (-^ — *о) ] > | Рп С*о) I I РП (£) (я -^о) I
>A—^A\X-Xt\=A[\-^\X-XA.

По крайней мере один из промежутков [л'о, x0-|-(Z> — «)/2л2й
или [х0— {Ь — а)/2п2, х0] целиком содержится в [а, Ь\. Пусть,
для определенности, таков первый из этих промежутков. Тогда

с

Возводя полученное неравенство в степень 1 р и вспоминая
что А = ||РЛ||С, получаем

что равносильно доказываемому неравенству И
Теорема 3. Пусть 1	< q < -J- со. для любого полино-

ма Рп[х) степени не выше п выполняется неравенство

Р \\ 2S.P + 1 )	fP,p-2iq II р 1|	7„ > П

.1'nilgai b — a I 'b llJnllp \а I).

Доказательство. Очевидно, что

Г	Р4=£ | л (х) Г” I рп «\pdX

Используя для оценки \\Рп\\с предыдущую теорему, получим

и остается возвести полученное неравенство в степень 1 q 

Замечание 1. Теорему 2 можно рассматривать как част-
ный случай теоремы 3 при q= + <x>.

Замечание 2. Неравенства, указанные в теоремах 2 и
3, являются точными по порядку. Это означает существование
такой постоянной с>0, зависящей л-ишь от р, q и длины проме-
жутка И bl что при всех п 1

SU р || Р п || $ /1| Рп ||р

*п

cfplq—'bp

(sup в левой части берется по всем полиномам данной степе-
ни п).

Задача 1. Используя неравенство Маркова, доказать, что для модуля
непрерывности побои функции f£C справедливо неравенство

«о (/; t) < Ct [f0 (У) + 2^;' 'Ьг£„(/)] .

где постоянная с зависит лишь от длины промежутка [а, 6].

Задача 2. Доказать, что если при некотором натуральном р ряд
Дл= л2р—1£'/1(У) сходится, то функция Уна [а, 6] р раз непрерывно диф-
ференцируема и

К | Г1 Zj

Задача 3. Доказать, что если наилучшие приближения функции f
Удовлетворяют неравенствам En(f) < Ап~ 2P+2a)j где р > 0 — целое,
О < а < 1, то	(К £>]) (естественно, считается, что
Глава 4

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

§ 1. Наилучшие приближения в гильбертовом
пространстве

Пусть Н—вещественное сепарабельное гильбертово про-
странство. Скалярное произведение элементов /, g^H будем
обозначать через (/, g), а норму — через 11/11==] (/, /)•

Конечную или бесконечную систему <р2,	• • • ненуле-

вых элементов Н будем называть ортогональной, если
(<ръ cpfe) = O всякий раз, когда i =/= k, и ортонормальной систе-
мой (ОНС), если, кроме того, ||<рл|| = 1 при всех k.

Определителем Грама конечной системы ср2» • • • , <?л
(?л€^) называется определитель

(ф1, <Р1) (?1,	••• (?1, ?п)

<Р1) (?/п <?2) . • •	?п)

С определителем Грама системы связан следующий признак
ее линейной независимости.

Лемма. Для того чтобы, система <рь <р2, • • • > <?п была
линейно-независима, необходимо и достаточно, чтобы, ев
определитель Грама был отличен от нуля.

Доказательств о этого утверждения распадается на две
части.

1)	Покажем, что если система <р2, • • • , линейно-за-
висима, то А — 0. Линейная зависимость системы означает су-
ществование таких чисел ах, а2, ... , ап, нс равных нулю одно-
временно, что ( 7.^ = 0. Умножая последнее равенство ска-
лярно на ©у, получаем, что числа az являются решением одно-
родной системы п уравнений с п неизвестными

У“ «((?/, Т1) = 0,/=1, 2,	, Я.	(*)

Таким образом, эта система уравнений имеет ненулевое ре-
шение, и потому ее определитель, который и есть А, равен
нулю.
2)	Покажем, что если Д = 0, то система <р2,	, ^.ли-

нейно-зависима. Действительно, в этом случае система урав-
нений (*) имеет ненулевое решение яь а,, ... , ал, поскольку
ее определитель равен нулю. Положим	Уравне-

ния (*) могут быть переписаны в виде (/, <рх) = 0, (/, <р2) = 0, ...

?л) = 0.Умножая эти равенства соответственно на
яг, я2> ••• 1 ап и складывая, получаем (/, /) = 0, т. е. /=0,
и потому система <р,, <р2, ... , <?п линейно-зависима 

Теорема 1. Пусть срн <р2, ?з, ••• —конечная или беско-
нечная линейно-независимая система элементов Н. Суще-
ствует такая ортогональная система у2, ф3, ... (с тем
же числом элементов), что

а)	каждый элемент этой системы фА есть линейная
комбинация первых k элементов исходной системы <рь <?_>, ...

б)	каждый элемент есть линейная комбинация ф1э
фг» • • • ♦ Фа-

Доказательство. Положим = и при k^-2

(?!» Ф1) (?Ь ?2) - • - (<Р1, ?А-1) <Р»
(?А, ?1) (?А, ?2) • • • (<?*, <?А-1) Та

Написанное равенство следует понимать так: фА есть линейная
комбинация <pt, <р2> • • • > 'T'k с коэффициентами, равными алге-
браическим дополнениям элементов последнего столбца на-
писанного определителя. Система (фЛ) удовлетворяет требова-
нию а): фЛ = ад! +	причем akk = ±k_v —

определитель Грама системы <рх, <р2, • • • , и потому akk^ 0*
Ясно, что для любого f^H

(Фа, /) =

(«Рь ?1) • • • (<Р1, Фл-1) (?ь /)

(?а, <Р1) • • • (<?ъ Tft-1) (?а, /)

Поэтому (фА, <р/) = 0 для /=1, 2, ... , k—1, так как опреде-
литель вида (*), через который выражается это скалярное про-
изведение, имеет два одинаковых столбца. Отсюда ввиду вы-
полнения а) следует, что и (фЛ, ф/) = 0 для Z= 1, 2, ... , k — 1,
т. е. система {-4»*|—ортогональная. Для завершения доказа-
тельства остается отметить, что требование б) является непо-
средственным следствием а), если учесть, что в представлении
фА как линейной комбинации ср,, ср2, ... , <рА коэффициент при
срЛ отличен от нуля 

Требования а) и б) теоремы означают, что при любом k
множества линейных комбинаций элементов <ръ ... , <рА и
элементов ф3, ф2, ... , фй совпадают. Про ортогональную си-
стему |фА}, удовлетворяющую требованию теоремы, говорят,
что она получена ортогонализацией системы {срА]. Элементы
Щд— j.-составляют ортонормальную систему, полученную
II II

ортогонализацией системы Про нее будем говорить, что
она получена ортонормализацией системы Из формулы (*)
ясно, что для построенной в процессе доказательства теоремы
системы {фА} (фЛ, = (мы условились обозначать через
определитель Грама системы <рь ф2, ••• , Учитывая орто-
гональность элементам <р2,	, ср^, имеем (фА, ’>*) =

= akk^k — Д^Д*. Важным следствием этого равенства является
положительность определителей Грама △ поскольку Дг =
= (?ь <Р1) > 0.

Итак, доказанная выше лемма может быть дополнена
утверждением — определитель Грама линейно-независимой си-
стемы положителен. Вычисленное выше значение (фА, $k) по-
зволяет написать выражение элементов ОНС {соА непосредст-
венно через <р7-:

1

<x>k——r=----

?l) • • • (?i,

?*-1) ¥i

(<Fb ¥1) -	¥*-i)

(6 = 2, 3, ... );

Это представление верно и при 6 = 1, если положить по опре-
делению До=1.

ОНС, полученная ортонормализацией данной системы {<pfe|,
не единственна. Чтобы в этом убедиться, достаточно умно-
жить некоторые из элементов на — 1’ Но этим неединст-
венность и исчерпывается. Если потребовать, чтобы коэффи-
циент ак/г в разложении = -ЬаЛ2(р2... 4-aftfe<pfe был
положителен, то такая ОНС {«>*}, полученная ортонормализа-
цией 4<р*}, уже единственна. Действительно, если	4-

+ ₽*2?2+ ••• +	— другая такая же система, то, полагая

Х =	гДе Т = «**/₽». мы получим, что разность / есть

линейная комбинация элементов <э2, ... , <рА_ь ортогональ-
ная <?!, 'f2, ... , и потому ортогональная самой себе, т. е.
Х = 0 и<#Л = ^;. Ввиду того, что || ]|=|| <»* [| = 1, у| = 1, но
поскольку akk > 0 и m > О, y = 1 и тем самым со*=оА.

Перейдем к вопросу о наилучших приближениях в прост-
ранстве Н. Пусть Нп — «-мерное подпространство пространства
Н и oi, л2, ... ,	— его ортонормальный базис (существова-

ние такого базиса следует из теоремы 1).

Теорема 2 (Теплер). Пусть f — произвольный, элемент
пространства Н. Элементом наплучшего приближения f в
подпространстве Нп является <р = ’У" akwk, где ak — (ft
и

(/)=

п
Доказательство. Пусть ф = ^ck<ok—произвольный эле

Л = 1

мент подпространства Нп. Тогда

(п	п	\	п

fe=l	Л=1	/	Л=1

п п	п	п

'	+2	%-)МЛ2 — 2VQ«ft + v4 =

Л-1 j~A	Л=1	Л=1

л	П	п

= 1/1? - У А + У (с„ - atf > II/IF - У 4=I/- ? р.

k -1	fe=l	Л=4

/	я Л\12

Итак, / — ф|> /—?j=(||/||2 —’ пРнчем знак Равен-
X	л--1 /

<ства в этом неравенстве достигается

<ск = ак при всех k, т. е. если ф = <р 

Следствие 1. Пусть wx, w2» ...
пусть ak = (f, &k). Тогда -

лишь в случае, если
— некоторая ОНС и

п

Л=1

Это неравенство называется неравенством. Бесселя.

Следствие 2. Пустьи ^^Нп. Для того чтобы, <р
'был элементом наилучшего приближения f ~в Нп, необхо-
димо и достаточно, чтобы для любого	выполнялось

равенство (/—<?, ф)=0, т. е. чтобы разность f—<р была
-ортогональна всему подпространству Нп.

Доказательство. Необходимость. Пусть <о — эле-
мент наилучшего приближения /. Тогда у —	11 п0'

тому (<р, <оЛ) = «Адля k~l, 2,... , п, (f—<?, Mik) — ak-— ak = Q.
Будучи ортогональной всем элементам со* (fe==l, 2, ... , п),
разность f—ортогональна и их линейным комбинациям, т. е.
«сему Нп.

Достаточность. Пусть ? = e^k таков, что
’С/ — ?» ф) = 0 для всех С Выбирая в качестве элемент <•*,
•получаем 0=(/—с, <£>k)=.ak — ckl т. е. ck = ak при всех
Л=1, 2, ... , п, и с? есть элемент наилучшего приближения 

Замечание. Обозначим через S’ оператор, который каж-
дому элементу /б:Н ставит в соответствие его элемент наи-
лучшего приближения в Нп. Из теоремы Теплера следует, что
этот оператор S таков:

К - —* X
Он линеен и является оператором ортогонального проектировав
ния на Нп. Таким образом, задача построения элемента наилуч-
шего приближения в гильбертовом пространстве решается про»,
сто.

Подпространство НпС.Н может быть задано с помощью не-
ортогонального базиса фь ф2, •  • , фи- В этом случае для по-
строения элемента наилучшего приближения ф£/7п для f С Н
имеются две возможности. Во-первых, используя теорему 1.
можно построить ортогональный базис {со*} подпространства
Нп, и тогда ф найдется в той форме, которая дается теоремой
Теплера. Во-вторых, не прибегая к ортогональному базису,
можно искать ф в виде линейной комбинации ф& с неопределен-
п

нымм коэффициентами: ф=2£алфл. Согласно следствию 2 для
h—1

нахождения этих коэффициентов можно написать систему ли-
нейных уравнений

?/) = </*	(/=Ь 2> ••• > «)•

Определитель этой системы есть определитель Грама базиса
{ф/j и потому отличен от нуля.

Перейдем теперь к случаю, когда нам требуется изучить по-
ведение наилучших приближений и элементов наилучшего при-
ближения при расширяющейся системе подпространств прост-
ранства И. Будем считать, что задана бесконечная ОНС {ghJ,
и пусть Нп — подпространство, натянутое на первые п элемен-
тов этой системы (оь а>2, • • - , (On-

Определение. Коэффициентами Фурье элемента fQH
относительно ОНС {соА} называются числа ak — (f, wk). Рядом
Фурье элемента f называется ряд uk<£k.

Теорема Теплера означает, что элементом наилучшего при-
ближения для элемента f ib подпространстве Нп является част-
ная сумма его ряда Фурье. Поэтому вопрос о стремлении для
данного элемента / последовательности ЕИ (f) к нулю (или,
что то же самое, о стремлении элементов наилучшего прибли-
жения к /) есть вопрос о сходимости к элементу f его ряда
Фурье.

Заметим, что согласно следствию 1 при любом и

9

Uk

Из этого неравенства следует, что ряд V03 а* схо-
дится и для его суммы выполняется неравенство

< Il/Ц2. Последнее неравенство, как и указанное на с. 103, на-
зывается неравенством Бесселя.

Определение. Будем говорить, что для элемента
относительно ОНС {<оАJ выполняется уравнение замкнутости„
или равенство Парсеваля, если ' ,4=|/р.
Если обозначить через sn частные суммы ряда Фурье эле-
мента /: sn~^\nk то согласно теореме Теплера

/	п \1/2

еНп(п=и-м=ил2 

Поэтому очевидна теорема.

Теорема 3. Для того чтобы ряд Фурье элемента f^H схо-
дился к самому этому элементу, необходимо и достаточно, что-
бы для f относительно {<ол} выполнялось уравнение замкнуто-
сти.

Представление о поведении ряда Фурье в том случае, когда
для f уравнение замкнутости не выполнено, дает следующая
теорема.

Теорема 4. Каков бы ни был элемент f£H, его ряд
Фурье сходится к некоторому элементу	причем,

для /о выполняется уравнение замкнутости.

Доказательство. Пусть

СО

У ал

А=1

есть ряд Фурье элемента /,	—последовательность его*

частных сумм. Тогда

л+Р

£=л+1

и, учитывая, что {«>*}— ОНС, получаем

так как ряд сходится. Итак, последовательность част-
ных сумм ряда (*) сходится в себе, и потому в силу полноты»
Н этот ряд сходится к некоторому элементу /0. Поскольку
при ti~^k (sn, <s)k) — ak, то и (/0, ^k)~ab т- е- РЯД (*) явля-
ется одновременно рядом Фурье и элемента /0, а так как он
сходится к /0, то по теореме 3 для /0 выполнено уравнение-
замкнутости 

Теорема 5. Пусть {<ол} — некоторая ОНС. Следующие утвер-
ждения равносильны.

А. Для любого элемента \С.Н относительно {сол} выполнено
Уравнение замкнутости.

Б. Множество линейных комбинаций элементов системы
{(Ой} всюду плотно в Н.

В. Не существует такого элемента g С Н, отличного от нуле-
вого, который был бы ортогонален всем элементам системы
{со/?} (т. е. (g, ok) =0 при k = 1, 2, . ..).
Доказательство. 1) Из А следует Б, так как по теоре-
:ме 3 при выполнении А любой элемент f € Н сколь угодно точно
.-приближается частными суммами его ряда Фурье.

2)	Из Б следует В. Согласно теореме Теплера

(g)=6 g ii2 - 2	•

Если (g, «>ь) = 0 для всех /г, то Ен (g) = ||g]| при всех п. Но
п

в силу Б U Нп плотно в //, и потому Е н (g) ->0. Итак, jjg1=О,
п	«

.g = о.

3)	Из В следует А. Действительно, если А не выполнено, то
.найдется такой /' £ И, что для него уравнение замкнутости не
^выполнено. Тогда ряд Фурье f сходится к fo^f и является од-
новременно рядом Фурье для f0 (см. доказательство теоремы
4). Поэтому при всех k (f, e)k) — (fo> и элемент g^f—f0
ортогонален всем элементам од, что противоречит В 

ОНС {tt>fe}> удовлетворяющая одному из условий А, Б, В
>(а значит, и двум другим), называется полной.

Требования Б и В можно точно так же, как это сделано вы-
:ше, формулировать для произвольной (не обязательно ортонор-
мальной) линейно-независимой системы {(p/J. Если систему {<р&}
мы подвергнем ортонормализации, то очевидно, что выполнение
каждого из этих двух требований для {<$>&} равносильно выпол-
нению того же требования для полученной ОНС {шД. Поэтому
•требования Б и В для произвольной системы также равносиль-
ны, и удовлетворяющая им система {<р;} также называется
полной.

Существование полных систем в пространстве И следует из
^сделанного предположения о его сепарабельности.

§ 2. Общие свойства ортогональных многочленов

Пусть на промежутке [а, &] задана неотрицательная сум-
мируемая функция р(х), отличная от нуля на множестве по-
..ложительной меры. Эта функция дальше будет именоваться
весовой или просто весом. Обозначим через Lpoo множество
тех функций /(х), для которых функция j/p”(x) f (х) сумми-
руема с квадратом на [а, д]. Условимся при этом отождест-
влять две функции (х) и /2 С*)» если VР

почти всюду на [а, й]. Множество £р(Х) линейно и с введе-
нием скалярного произведения

ь

(f, g)= \p{x)f(x)g(x)dx

а

(f, g^Lp (X))

Ч 06
й нормы ||/|| = ]/(/, /) превращается в гильбертово простран-
ство, причем полнота этого пространства устанавливаетсятак же,
как это обычно делается для L2.

В пространстве Lp (х) полной является система степеней
1, х, х2, л*3, ... Это доказывается точно так же, как полнота
этой системы в пространстве L2.

Пусть <о0(х), юх(х), <d2(x), ... —система, полученная орто*
пенализацией системы степеней в пространстве	Члены

этой последовательности называются ортогональными много-
членами (по весу р(х)) и обладают следующими свойствами:

а)	®п(х) есть многочлен степени /г;

б)	любой полином Рп(х) степени не выше и может быть

представлен в виде Рп(х) — У’айа>А(х);

в)	полином о>п (х) ортогонален в Lp(x) всем многочленам
степени меньше т. е.

ь

f Р (*)	(х) Яп-х (х) dx = О

для любого многочлена <7л-1(х) степени не выше п—1.

Определитель Грама системы степеней 1, х, ... , хп имеет
ВИД

!Ао Н

!Л1	!А2	• • • !Ая+1

V'n P'zz+l • • » й’З/г

где

$p(x)xkdx — моменты веса. Поэтому ортогональные

многочлены <ол(х) могут быть записаны в форме (см. с. 101)

(х) = сп

?0 Н	••• Рл-1	1

Р*2 • • • V'n

(*)

V'n Рл+1 • • • Нзл—1 Х

где сп 0— произвольные множители. Среди всех систем орто-
гональных многочленов (отличающихся выбором множителей сй)
выделим две специальные. Символом (х) будем обозначать
Дот ортогональный многочлен степени п, старший коэффици-
ент которого равен единице. Этот многочлен получается по
формуле (*), если положить c„=l/Aw_x. Символом (х) будем
обозначать нормированный ортогональный многочлен с поло-
жительным старшим коэффициентом, т. е. ортогональный мно-
гочлен, обладающий свойством

УЧ	Ь	УЧ

l«W = [Л(х)[«й(х)]Мх = 1.
p(.v) J

Как ясно из сказанного на с. 102, многочлен шп(х) предста-
вляется формулой (*) при гя=1; 1/Гд«Дп-1- Система {<»й (х) } есть
полная ОНС в Арин Системы {«й(х)} и {<ой(х)} определяются
весом р(х) однозначно, и связь между ними устанавливается
формулой

^п(х) — V Дп-1/Дп (х ).

Эта формула остается в силе и при /г = 0 (так же, как и опре-
деление <о0 и ‘*;0 по формуле (*) при указанном выше выборе
с0), если положить по определению A_j —1.	1

Установим еще два важных свойства ортогональных мно-
гочленов.

Теорема 1. Три последовательных ортогональных мно-
гочлена и>й+2(х), <ой+1(х) и <лЙ (х) связаны рекуррентной фор-
мулой

®п+~ С^) ’—	®л+з) ^л+1 («^)	^л+1<йл С^)»

где

^л+2 С (^ i д ",

(“л, «л)	Лп

, о < An+i<niax(a2, b’\

Доказательство. Многочлен х юй+1 (х), как и всякий
многочлен степени «4~2, может быть представлен в виде

л-|-2

х и)= 2 сь<°м-

k=0

Взяв скалярные произведения левой и правой частей этой
формулы на со, (х), при j п—1 получим

<о;) = (Х<Ой+1, 10у) = (ш«+Ь А'шу) = 0, Cj — O,

так как многочлен шй+1 ортогонален всем многочленам степе
ни, меньшей лг—1. При j = n, /г-f-l

Сп (^Л» <Ол)   (•^°-’л+1 > <9л)’ ^л+1 (^n+l? ш Л + 1)   (^^ЛН»

Итак, х юл+1

(х) — Сп+2шп+2 (х) + fw+i<onn (х)

-К сп^)п (х). Сравнивая
коэффициенты левой и правой частей при хп+2, получаем, что
с 2=1. Этим рекуррентная формула доказана, причем

„	___„	___ (л-'°Л4-Ь <0Л+1)	1	____ „ __ *°л/

ал4-2---Cn+1 , -	~	> ,чл<-1 -СЛ---	/'	~ \	•

\<о/г+1» <ол+1/	0>л)

Поскольку р (л) [о)Л+1 (х)]: >0, то по теореме о среднем
_	~ ъ

(•^Шл+П ш/г+1) — Р (^) [0) л+1	" X =

а
b	_	_	_

== 5 J р (х)	(х)] dx — ? (10п+1» wn+l)»

а

где £6(я, Ь). Итак, ал+2 = £€(#, &}• Перейдем к вычислению
ллН. Учитывая связь между и шя, имеем

(“л, 0)/г)=-^_-(а> Ш ) = -А—.
an-l	Q/z-l

Далее, (x<Dn,t, <«„) = (а)л+1, хо)л) = (а>я+1, о>л+1) — (о>л+1, о)л+1 —хш„).
Вычитаемое в правой части равно нулю, так как о>л+1 —х<лп есть
многочлен степени не выше п. Поэтому, применяя те же
соображения, что и выше, имеем

(ХО>Л^.|, 0>rtJ (ton+l> W«4-l'	‘ а •

Итак, формула

/1-1-1

доказана. Из этой формулы ясно, что ^л+х>0, и осталось лишь
•оценить Хл+1 сверху. Действительно,

(Х(Ол+1, ^л)“	(yj«+l,	"^ (1,)л-И> ^л+1) (хо^л,

Как было показано выше, (wn+1, wZH-i) — (Хшп+и wn)- Поэтому
из полученного неравенства следует, что (хо>л+], «л)<^(ха)п, хо>л).
Но ясно, что (хюл, хо>л) шах (<22, Ь2)(<оп, о>л), и этим требу-
емая оценка сверху для ал+1 установлена И

Теорема 2. Все корни ортогонального многочлена а>п(х)
вещественные, простые и принадлежат промежутку (а, Ь).

Доказательство. Поскольку многочлен соп(х) ортого-
нален единице, он меняет знак хотя бы в одной точке проме-
жутка (а, Ь). Пусть Xi, хг, ... , хт — все точки перемены знака
С'Ж(х) на (а, Ь). Теорема будет доказана, если установить, что
т = п (заведомо ясно, что т^п). Допустим противное: пусть
m<n, и построим полином qm(x) — (x—х})(х—х2) ... (х—хт)
•степени пг. Этот полином, как и (»п(х), меняет знак во всех
точках X], Xz, ... , хт и только в них, и потому произведение
(dn(x)qm(x) либо во всех точках промежутка [а, /?] неотрица-
тельно, либо во всех точках неположительно, обращаясь в пуль,
лишь в конечном числе точек. Следовательно,
ь

J р (х) <»„ (х) qm (х) dx 0.
а

А это неравенство противоречит тому, что (х) ортогоналей
всем многочленам степени меньше п 

Перейдем теперь к рассмотрению рядов Фурье по ортого-
нальным многочленам %(х). Каждой функцииможно
поставить в соответствие ее ряд Фурье
со	Ь

ak = (fy Qk)= \p(t)f(t) Uk(t)dt.

fc=0	a

Частную сумму ряда Фурье функции f будем обозначать сим-
волом Snf, а ее значение в точке х —

п

if ’	(•^'J•

Л=0

Символ Sn обозначает оператор, который функции f ставит в
соответствие частную сумму ее ряда Фурье. Очевидно, что
оператор Sn аддитивен и однороден и обладает тем свойством,
что для любого полинома Рп(х) степени не выше п Sn (Рп; х) =
= Рл(х). Нетрудно убедиться, что Sn — интегральный опера-
тор. Действительно, подставляя в выражение для Srt(/; х) зна-
чения коэффициентов Фурье функции /и меняя порядок сум-
мирования и интегрирования, получаем

Sn(f;

ь

Х) = \p(t)
а
b

k-0

f(t)dt=

=	di,

a

где через Kn(t, x) обозначено ядро
п

Кп (С х) = 2	(х) “А & )•

fc=0

Можно дать другое представление этого ядра.

Теорема 3 (формула Кристоффеля — Дарбу). Справедливо
равенство

д' х)______j/"x ~ (х)ц>я (t) — <оп (х) <оп+1 (/)

acte Хл+1 — коэффициент рекуррентной формулы (см. тео-
рему 1).
Доказательство. Выберем и зафиксируем произволь-
ную точку х£[а, £>]. Функция (х—l)Kn(t, х) есть полином сте-
пени не выше п+1 (относительно t). Покажем, что этот поли-
ном ортогонален с весом р всем полиномам степени п—1 и ни-
же. Действительно, для каждого такого полидома qn-\, исполь-
зуя представление частной суммы ряда Фурье через ядро и учи-
тывая, что (х—l)qn_}(t)— многочлен степени не выше п, полу-
чаем

((х — t)Kn(t, X), qn^)= \p{t)Kn{t, x)(x — t)qn_l(t)dt =
= Sn ((x — /) qn.t, x) = (x — 0 qn_r (t) |/вД. = 0.

Из доказанного свойства ортогональности сразу же следует,,
что (х — t)Kn(t, х) есть линейная комбинация многочленов;
юп+1 (/) и <он (t) (разумеется, с коэффициентами, зависящими
от зафиксированной точки х):

(х — Z)Кп(t, х) = с(п (х) шл+1 (/) + Сп'(х)(t).

(*)

Для определения коэффициента с^ умножим скалярно это-
равенство на a>rt+1(/). Учитывая ортогональность <«п+1 всем мно-
гочленам меньшей степени, а также равенство (в)„+ь ®йн) = 1*
имеем

411 (х) = j р (0 (х — t) Кп {t, х) со й+1 (/) dt =
а
b	хч /ч

= J р (О (* — t) [х) «)я {t} con+1 (t) dt —
а
Ъ

= —	(*) J Р (0t % (0 w„+1 (0 dt.

a

Произведение twn{t) может быть представлено в форме
ton (0 = У^^п-ll^n t^n (0 =	(0	^л(0»

где r (t) — некоторый полином степени не выше п. Поэтому
ь	_________ _________

(' р (t) t (о “n+i (0 dt = y ап-1Дл+1;а2 =

и Cnl) — — VA/i+i (%(х). Переходя к вычислению с„' (х), умно-
жим (*) скалярно на w/2(£). Из полученного таким путем вы-
ражения для с!? (х) сразу же станет ясно, что (х) есть мно-
гочлен степени не выше zz-f-l. Для вычисления этого много-
’члена проще всего положить в формуле (*) t — x. Тогда по-
..лучим

О = —	Qn(х)<%+1 (х) + с{п}(х)Zn(х),

откуда c„} (х) = У<оя+1 (х). Последнее равенство доказано
пока только для тех значений х, при которых cy,(x)^0. Но
так как левая и правая его части — полиномы, оно верно для
всех х. Подстановка в формулу (*) полученных выражений
для с„- (х) и Сп (х) и дает нам формулу Кристоффеля—Дарбу 

Задача. Показать, что если а = — b и вес р(х) есть четная функция,
то ортогональный многочлен (х) при четном п будет четным, а при не-
счетном п — нечетным.

§ 3. Вопросы сходимости рядов Фурье
по ортогональным многочленам

Из полноты системы степеней 1, х, х2, ... в пространстве
£р(Х) и результатов § 1 немедленно следует такое утвер-
ждение.

Теорема 1. Какова бы ни была функция f^Lp(X), ряд
Фурье по ортогональным многочленам (х) сходится к ней
V	Г 2

самой в метрике пространства Lp т. е.

ь
а

Из результатов § 1 следует также, что если ak—коэффи-
циенты Фурье функции	относительно системы ор-

тогональных многочленов, то

:||/||д2 (равенство Парсеваля)
р(х)

р(л) г	р(х)

В дальнейшем нас будут интересовать вопросы сходимости
ряда Фурье функции f в некоторой точке х промежутка [а, Ь]
и равномерной сходимости ряда на всем [cz, 6]. Сформулируем
прежде всего один отрицательный результат.

Теорема. (В. Ф. Николаев). Какова бы ни была весовая
функция р(х), найдется такая непрерывная на [а, Ь] функция
j(x), что ее ряд Фурье по системе ортогональных многочленов
{on}, соответствующей весу р, не сходится к ней равномерно.

Эта теорема будет получена в § 2 гл. 6 как следствие более
общей теоремы Лозинского—Харшиладзе.

Следующая теорема о сходимости ряда Фурье в некоторой
точке Xq .непосредственно связана с формулой Кристоффеля —
Дарбу (см. теорему 3 предыдущего параграфа).
Теорема 2. Пусть ортогональные многочлены, ограни-
чены в точке xQ£[a, &]:

I	I	п — ъ, 1, 2,...

Если функция Lp(x) такова, что функция

® (X) = /W-/U»)

* v 7	X — х0

суммируема с квадратом с весом р(х) (<р £ Ар(х))> то ряд
Фурье функции f по полиномам сходится в точке х0 к
значению самой, этой функции'. Sn(f; х0) -+ f(x0).

Доказательство. Очевидно, что

Поэтому /(x0) — Sn(/; х0) ~ ^р (t) Kn(t, х0) [f (x0) — f (£)] dt
и по формуле Кристоффеля—Дарбу

f (*o)	( У» ^o)	P (f) [ °Jn+i (*o) (0

'A'o) wn+l (01 ? (0 dt == l^^n+l [ wn+l (^o) dn w/tC^o) ^n+1. »

где dn и

dn+1— коэффициенты Фурье функции <f>. Так как

то ряд

2Z.0d* сходится

и потому dn -> 0. А так как

ЧяЫК-М, I Ш„ (х0) I < М и V\,+1<max(|a|, | b | ), то

f (х„) - Sn(f; —О 

При исследовании сходимости рядов Фурье непрерывных
функций часто применяется метод функций и постоянных Ле-
бега.

Зафиксируем некоторую точку х (Да, 6] и будет рассматри-
вать при заданном п частные суммы рядов Фурье Sn(f; х) раз-
личных непрерывных функций f. Тем самым в пространстве С
мы задаем некоторый линейный функционал 5П(‘; х).

Определение. Функцией Лебега L п (х) системы ортого -
нальных полиномов {<оД называется функция, заданная на
I#, й], значением которой в точке х является норма функцио-
нала £„(♦; х), рассматриваемого в пространстве С:

=	^)||= sup •*)!•

II/IL=1

Постоянной Лебега Ln называется норма оператора Sn, рас-
сматриваемого в пространстве С:

£« = I|S«II= sup

II/IL=1
I

Как следует из этого определения, для каждой не прерии
ной функции f выполняются неравенства

!•$„(/; Л)| <£„(х)1|/||с,



Функционал Sn(«; л) имеет интегральное представление

S„ (/; х) = J [/>(t)К„(t, Л)| f (t) dt.

а

Поэтому, как известно из функционального анализа,

L„(x)=\\S„(-, х)| =

j Р (ОI K„ (t, x) I dt.

a

Используя известное представление нормы интегрального опе-
ратора в пространстве С, получим также

ь

4i = ||S«ll= max [p(t)\Кn(t, x)\dt = max Ln(x).
ле[я, ft] J	хъ[а, ft]

Применение функций и постоянных Лебега к вопросам схо-
димости рядов Фурье основано на следующей теореме.

Теорема 3. Пусть f(x)— непрерывная на [а, Ь\ функция.
Если в некоторой топке х0£[а, Ь} выполняется соотноше-
ние L п (xQ) Еп (/) -> 0, то ряд Фурье функции f сходится &
точке х0 к f(x0). Если же LnEn(f) ->0, то ряд Фурье функ-
ции f сходится к ней равномерно на всем [а, Ь\.

Доказательство. Обозначим через Рп полином наилуч-
шего приближения функции/. Тогда, так как Sn{Pn', х) =Рп(х\

]f(x0) — S„(f; Хо)|<|/(хо)-Р„(х<,)| + IS,.(Л,; xo)-s„(f; Л-,Ж

C£„(/) + |S„ (₽„-/: х.)| <£„(/) + i„О») Т„-/|с=

= (1+Л„(л„)) £„(/),

и ввиду £„(х„)£„(/)-> 0 S„(f; х0)->/(х0).

Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы.
Как показано выше, для любого х£[а, Ь]

I / (х) - $„ (/; х) К (1 + L„ (Л-)) Еп (/)<(!+ £„) £„(/).

Итак,	(! + £„)£„(/) И

Заметим, что при доказательстве теоремы получены нера-
веиства

I/(Х„) - s„ (/; Х„Ж (I + £»(X)) £„ (/),
И- s„/llc< (!+£„)£„(/),

которые характеризуют быстроту сходимости ряда Фурье и по-
тому интересны сами по себе.

В следующих трех теоремах даются некоторые оценки функ-
ций и постоянных Лебега.
Теорема 4. Пусть весовая функция р(х) на [а, 6] ограничена
снизу положительным числом: p(x)^-mj>0. Тогда для постоян-
ной Лебега, соответствующей этому весу системы ортогональ-
ных многочленов, выполняется оценка (п^ 1)

Доказательство. Возьмем произвольную функцию С.
Очевидно, что Snf есть многочлен степени не выше /г, и по
теореме 2 (см. с. 98) при р — '2 для него получаем оценку

iw

По

Собрав вместе полученные оценки, придем к неравенству



где с имеет выписанное в условии теоремы значение. Ввиду
произвольности функции f отсюда немедленно следует, что
Ln = \\Snl<cn И

Следствие. Если, как и в условиях шеопемы, р(х)р>
^т2>0, иго для любой непрерывно дифференцируемой на
[а, &] функции f ее ряд Фурье по ортогональным много-
членам равномерно на [а, Ь] сходится к самой этой функ-
ции.

Доказательство. Для функции	по доказанной

ранее лемме (см. с. 84)	Так

Еп_х (fr) ->0, то ввиду доказанной в теореме 4 оценки
->0, и остается воспользоваться теоремой 3 

Для ортогональных многочленов {<о„ (х)} введем величину
Ап (х) = щах | Zk (х) |.

Теорема 5. Для функции Лебега ортогональных много-

членов I юй) выполняется оценка

Ln(x) ^сАДх}Уп-\-\, где с—
Доказател ьство. Пусть f£C— произвольная непре-
рывная функция. Обозначая через ah ее коэффициенты Фурье
и применяя неравенство Коши—Буняковского, получаем

1(/; х) | =

п

\akuk(x)

k=0

Но по неравенству Бесселя

1 2

1,2

Ис,

а в силу определения Ап(х)

п

2[“Их)Р<(« + 1)[А„(х)Р.

k=^0

Таким образом, для любой функции f£C

I (/; х) |

<M„(x)K«+l ||/|с 

Замечание. Если положить	Ап — max Ап (х) =

л •	л€[<7, £]

= max (t)k |то, естественно, при том же с, что и в теореме 5,

. 0<Ь<л	___

Ln^cAnYnA~ 1-

Если ортогональные многочлены <вл(х) ограничены в сово-
купности в некоторой окрестности точки x0£[6Z, Z>], то (при
одном дополнительном условии) в точке х0 можно получить
лучшую оценку функции Лебега, чем дает теорема 5.

Теорема 6. Пусть л0£[а, Ь], и пусть нашлось такое чи-
сло h > 0, что для всех х£[хе— h, xQ -J- h\ П [a, b] выполня-
ются оценки	I

|wn(x)|<M (/?=0, 1,2, ... ), p(x)<P.

Тогда для функции Лебега в точке х0 верно неравенство

£ (-4) С ci + с21п

где сА и с2 — некоторые постоянные.

Доказательство требуемой оценки можно проводить,
разумеется, лишь для достаточно больших п. Поэтому будем
предполагать, что 1 п < h. Значение функции Лебега в точке

хь есть

ь

LnM=\p(t)\Kn{t, xQ)\dt.
а
Интеграл, стоящий в 'Правой части этого равенства, разобьем
на пять интегралов по схеме

обозначив их соответственно 'через Ц, Р, /3, h и /5. Если точка
Х( лежит близко к одному из концов промежутка [а, &] (или со-
впадает с ним), часть этих интегралов может отсутствовать
или браться по промежутку меньшей длины, чем указано. Это
приведет лишь к улучшению оценки, которая строится ниже.
Оценим каждый из интегралов Д. Используя для представления
ядра Kn(t, х) формулу Кристоффеля—Дарбу, получаем

Хо—h

I p{t)

а

40П4-1 U)) шп	WH+1

dt.

х0 — /

Отсюда, если учесть, что ]/kn41^c=max(i<2 , b ), |<оя+1 (x0);<jW,
(•*<>)' =С АГ, хо — t~^h, следует оценка

-л'о—/г	х0— h

J P(0h«(0l^+ J p{t)\^n+s{t)\dt
- a	a

Интегралы, стоящие в квадратных скобках, оцениваются оди-
наково. Рассмотрим первый из них. По неравенству Коши —
Буняковского

—л

О)

Итак,

V2

b

dt

2сМ

1 *

h

Совершенно аналогично	Перейдем к оценке /2:

х0— 1/п	л.	Л	ZV хч .

/2 = УГГ С p(t) '°(*о)(/) ~ 7(л'с) Ldt.

J	-^о — *

хв—л

Здесь, как и выше, 1Ахя4.1<;с, ' юп (а'о) | 7И, |	(х0)|<7И,

Кроме того, |<ол(О1С^» I 0)л+1 (О I -М и p(t)^P. Поэтому

2 < 2сРМ2

х0—Цп

—-л=2сРМ2 (In п 4~ In h) — In n -ф- c5
Xq I
Точно так же /4<^с41пя-{-с5. Для оценки /3 воспользуемся
тем, что при — 1/ft, х0-ф- 1/л)С [х0— А, х04-А] р(Т)^Рц

! АГ„(Л х0)| =

(,)£ (Х0) Wk (О

<(« + 1)ЛГ,

и потому

Л < 4 (« +1) pm2 < ьрм2=с6.

Остается сложить полученные для Ik оценки 

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 6, и
пусть функция f удовлетворяет условию Дини — Липшица
(f С DL). Тогда Sn(f; x0)-+f(x0).

Доказательство. Напомним, что условие Дини—Лип-
шица для функции f означает, что <•>(/; /)1п/—-*0. Так как

по теореме Джексона (с. 82) £„(/)<w

(Ь — а) г. \

2(«+ I) )’ Т° ДЛЯ

такой функции En(f) 1п« — ->0, и потому в силу доказанной

теоремы ЬДх0)Еп{/) ->О. Остается воспользоваться теоремой Зв

Замечание. Если условия теоремы 6 выполняются для
всех точек некоторого промежутка (с, d]c[a, А] с одними и
теми же постоянными А, 7И, Р, то и в оценке функции Лебега

на этом промежутке

Ln(x)<ct -}-г2 In П (х£ [с, б/])

постоянные и с2 от х не зависят. Поэтому для функции /,
удовлетворяющей на [а, Ь] условию Дини—Липшица, ряд
Фурье будет сходиться к ней равномерно на [с, d\. Это видно
из оценки

I Sn (/; %) -/(*) | < (1 + Ln (х)) Еп (/) <

4~g +с2 Inn) Еп (/) -» 0 (x£ [с, d]).

В теоремах 2, 5 и 6 сходимость ряда Фурье в точке х свя-
зывается с поведением в этой точке (или ее окрестности) са-
мих ортогональных многочленов. Поэтому определенный ин-
терес представляет следующая теорема, в которой на основа-
нии поведения многочленов, ортогональных с одним весом,
делается вывод о поведении многочленов, соответствующих
другому весу, при условии, что эти веса связаны специаль-
ным образом. Пусть {<*>«}—система ортонормальных многочле-
нов по весу р(х), а {<рй} — по весу q (х) = а (х) р (х). Пусть,
как и раньше, Ап(х) = max |о>я(х)|.

0<А<л

Теорема 7. Пусть <з£КН,Г* и а(х)> /п > 0. Тогда выпол-
няется неравенство

I(х)К(х), где с{ = --±.?КС , с = тах (|а|, | А|).
тут
Доказательство. Как и любой многочлен степени /г,

J (х) можно записать в виде

• “	Ь

?я(л) = $й(фя; х) = \p(t)Kn(t, x)^n{t)dt —

V
а

•Оценим сначала второй из этих интегралов. Так как ф«(7) ор-
тогонален с весом	всем многочленам меньшей степе-

ни, то

Ь	/ч

f Р (О а (0 ^-1 (t, X) <?п (t) dt — О,
а

b

•и потому 12 =	. . С (л?)	з (01 ^Gz-i	х) (0 dt.

5 \л) J

а

Воспользовавшись для ядра	х) формулой Кристоффе-

ля— Дарбу» получим

ь

К'^7. Jр(t) ~Лх^{—ЬИ“»-• (П-

а



Так как	то |(<з(а:) — a(t))(x — t)

о(х)>/?г, |<»п(х)|<Дп(х), |и>п-1

К. Кроме
(*)К Л, 00-

ТОГО

этому

ь

%АП(Х) р(0|

%-. (О I • I V) I м +

ь

а

Оба интеграла, стоящие в квадратных скобках, оцениваются
одинаково. Оценим, для определенности, второй из них:

[/Д0К(0Н<Рп (01^

1
Итак,

2сК

тут

'—Ап(х). Перейдем к оценке Д:

ь

а

Ап (х) j7> (*) I (О I • I ?и (О Idt-
а

Для последнего интеграла выше уже была получена оценку
1/Ут. Поэтому IAI<j4n(XWw' 'и остается сложить полученные
для /1 и оценки 

Доказанная теорема, грубо говоря, означает, что в каждой
точке х порядки роста (с возрастанием п) многочленов ып(х)
и (рп(х) совпадают.

Задача. Показать, что в любой точке [а, £>] для функции Лебега

Ln(x) выполняется неравенство Ln(x) > 1.	•= •

§ 4. Многочлены Якоби

Определение. Многочленами Якоби Jn' ^(х) называют-
ся многочлены, ортогональные на промежутке [— 1, 1J с весом
/>(х) —(1 — х)“(1 4-х),<5, где а, р> — 1.

Многочлены ./л“’ и)(х), соответствующие случаю р = а, назы-
ваются ультрасферическими.

Согласно сказанному многочлены Якоби J„’определены
с точностью до постоянных множителей. Используя обозначе-
ния, аналогичные введенным ранее, считаем, что	есть,

многочлен Якоби со старшим коэффициентом, равным едини-
це, и 7л“’₽)(х) есть нормированный многочлен Якоби (с поло-
жительным старшим коэффициентом):

( (1 -л)"(1 + *)₽ [Л”- n(x)]>dx = 1.

-1

Для многочленов Якоби можно дать явное представление.

Теорема 1 (формула Родрига). Справедливо представление

Л’ ” W = К„ (1 - X) (1 + x)-f	[(1 - х)"+“ (1 + х)"+? ],

где — произвольная постоянная.

Прежде чем доказывать эту теорему, условимся в следую-
щих обозначениях: zzn(x) —(1—х)л+° (1 4~х)й+р, ул(х) =
= [^(х)]”1»У’)(х) (напомним, что /?(х) = (1—х)а(1-}-х)? —
весовая функция). В этих обозначениях формула Родрига
принимает вид ’₽)(х) = Кпуп (х). Введенные обозначений
будут использоваться не только при доказательстве теоремы Г,
но и ниже.

Доказательство теоремы сводится к доказательству?
двух утверждений: 1) уп(х) есть многочлен степени не выше п;-
2) этот многочлен уп ортогонален с весом р(х) всем многочле-
нам степени п—1 и ниже.

1)	Для вычисления воспользуемся формулой Лейбницах

п

«‘">(х) = 2 (-1)‘с‘(л + «)(и + «-1) ...

... (»4-a —*+!)(!—x)”+-s(» + ?)(» + ? —1) •••

... (А + ₽ + 1)(1+х)‘+₽,
откуда
л

уп(х) = {р{х)}~'и^(х) =2 (-1)‘СЦ« + «) ...

£«0

... („ + а_л+1)(1_лГ-»(„ + р) ... (fe + p + i)(i +х)\

Так как в этой сумме каждое слагаемое есть многочлен сте-
пени п, то Уп(х) есть многочлен степени не выше я.

2)	Заметим прежде всего, что если, как и выше, вычис-
лять производные с помощью формулы Лейбница, то легко»
убедиться, что при k<Ln — 1 а(пк} (1) == и(к) (—1) = 0. Пусть,
теперь Pn-i(x) — произвольный многочлен степени не выше*
п— 1. Тогда

1	1

J Р(*)Рп-1 (х)Уп(*) dx = J Рп^ (х)и{п}(х)dx.
-1	-1

Будем вычислять последний 'интеграл интегрированием по ча-
стям, п раз последовательно перенося производную со второго
множителя на первый. Ввиду только что отмеченного свойства»
производных и(к)(х) все внеинтегральные члены при этом обра-
тятся в нуль, и потому

J p(x)Pn.1(x)yn(x)dx = (~ 1)« J Р(пп2

21 (х) ип (х) dx — 0.

Последнее равенство следует из того, что P(n-i (х) есть тож-
дественный нуль .

Наша ближайшая цель — выяснить, как следует распоря-
диться постоянной Кп, чтобы формула Родри га дала нахь
многочлен 7(х) или ₽)(х). Соответствующие постоян-
ные обозначим через К„ и Кт так что 7л“’(х) = Кпуп (х),
(х) —Кпуп(х). В тех случаях, когда потребуется под-
черкнуть, что эти постоянные соответствуют данным а и
•будем писать и К{п' Для нахождения Кп достаточно
определить старший коэффициент многочлена у„(х). В даль-
нейшем нам потребуется также второй по старшинству коэффи-
циент этого полинома. Поэтому докажем теорему.

Теорема 2. Старшие члены многочлена уп(х) определяются
равенством

Доказательство. Для значений х> 1 многочлен у,Ах)
•может быть записан в форме

у„ (х) = (- !)' (х - 1)-“ (х +1)-’	[(X - 1 Г" (х + 1)’+’].

Чтобы в этом убедиться, достаточно вычислить производную
порядка п от выражения, стоящего в квадратных скобках, по
формуле Лейбница. Тогда мы получим выражение для правой
"части написанной формулы в виде той же самой суммы, кото-
рая выписывалась для уп(х) при доказательстве теоремы 1. Для
нахождения старших членов уп(х) требуется выяснить асимпто-
тическое поведение уп(х) при х->-Ьоо:

= (2/г4-а + 13)(2л + а + В —1) ...	+	+

+ (p-a)(2«4-a4-p-l)(2« + a + ?-2) ...

... (tl -f- a-j- p) X«--l+a+3 -f- ...

Или, если использовать формулу

a(a —1)(я —2) ... (a — v) =	,

__ г (2n + Я + P 4- 1) „_|_a+p Г1 , (P-a)(n4-a + p) . 1	,
Г (n -|- a -f- + I)	2л -f“ a 4* P X 1

Умножая это равенство на (*), получаем

1 4-

(a — Р) 4-

(Й — a) (п + a -J- р)
2п -р а + р
Следствие 1, Справедливо равенство

^п=(-1)Л

7(«. Р)

г («4- а 4- (j 4, 1)

Г (2п 4- а 4- 4- 1 j •

Следствие 2. Старшие члены многочлена
каковы:

коэффициент

Перейдем теперь к вычислению Кп.

Теорема 3. Выполняется равенство

f> _/__ 1 Vz 1	9~(2л+а+₽+1) Г(п4-а 4- р + 1)(2и + а4- 3 4- 1)

п 1	4 F	г (л + а4-1) Г (Л 4- {* 4-1) nf

Доказательство. Учитывая, что старший
многочлена уп(х) имеет знак (— 1)", имеем

н доказательство теоремы сводится к вычислению интеграла

J Р (*) [ Уп (*) ]2 dx = J уп (х) и(п ' (х) dx =
Л	-1

= (— 1)" J y{nn4x)un(x)dx.

-1

Так как уп(х) есть многочлен степени п со старшим коэффи-
циентом Кп\ то у'“) (х) — КпХп\ и

= (— \}nKnxtt\ J un(x)dx =

—1

1

= (- \)пКпХп\ [ (Г—х)л+“ (1 4-х)”+1\/х.

-1

Делая в последнем интеграле подстановку х = 2£—I, полу
чаем

/ = (— i)nKnln\ 22л+й+3+1

tn+? ([-t)n+adt^

= (— 1)яК^/г!22я+“+жВ(/г + а+ 1,

‘где В(р, q) — интеграл Эйлера первого рода. Используя связь
Функции В с Г-функцией:

В (А 9) = Г(/7)Г(^)Г(р-|-^,
а также вычисленное ранее значение Кп, получаем

__ г (2л + а 4- р -Ь 1) . 92л+а + ₽+1 г (л 4-а 4- 1)Г(л + р+1)

— Г(П4-а4-34-1)	•	Г(2л+ <х 4-Р + 2)

__п2П н а+₽+1 Г (л + а + 1) Г (п + Р + 1) л!

2	Г(/г + а + р+1)(2л + а 4-р+1) "

Теорема 4. Многочлены Якоби связаны рекуррентной,
формулой

•+? w=(* - J)	w -	w.

где

^2 — а2

а«+2 ~ (2л + а + р + 2) (2л + а + р + 4) ’

4 (л + а + Р 4- 1) (л + а + 1) (л + р + 1) (л + 1)
(2л + а + р + 1) (2л + а + Р + 2)J (2л 4- а + Р + 3)

Доказательство. Ввиду теоремы 1 § 2 (см. с. 108) дока-
зательству подлежат лишь выписанные выше формулы для
коэффициентов ал+2 и Хи+1. Используя следствие 2 (см. с. 123)
и сравнивая коэффициенты при xn+i в левой и правой частях
рекуррентной формулы, получаем

(а-3)(л+2) _ (а—Р)(л4- 1)

2л 4- а + Р + 4 2л + а -Ь р + 2

откуда для ал+2 и получается требуемое выражение. Далее,,
—	к

учитывая,- что	^Цх)	(х), имеем

Кп

Подставив в эту формулу полученные выше выражения для
Kj и Кр придем к требуемому 

Замечание. Для ул ьтр асферических многочленов (при
Р = а) выражения для коэффициентов рекуррентной формулы*
упрощаются:

„ _п	г	_ (л + 2я+1)(лД-1)

rt+2 — и, Ал+1 — (2л + 2а + 1) (2л + 2а 4- 3) '

Из рекуррентной формулы в этом случае нетрудно усмотреть,,
что ультрасферические многочлены Jn ' содержат лишь чет-
ные или лишь нечетные степени х в зависимости от четности*
или нечетности п. Впрочем, это ясно и непосредственно (см. за-
дачу к § 2).
Теорема о. При п < выполняются асимптотические
равенства '

Доказательство. Вычислим прежде всего уя(±1).

Согласно выведенной ранее формуле (см. с. 121)

п



... (» + a-A+l)(l-x)“-‘(« + ?) ... (А> + ?+1)(1+*)‘

ясно, что

Л(1) = (-!)"(« +°)

(1 + а) 2" = (- 1)” Г (t"Д-+' > 2",

У„(- !) = (» + ₽) ... (1 + Р)2» = Г(г(Дj)1 >2".

Дальнейшие вычисления для точек +1 и — 1 проводятся
одинаково. Ограничимся вычислением 5>(1):

Л’’Й(1)=Ъ„(1)=

__	1	1/"р— (а.4-Я+1) Г|п4-я + |) + 1) Г (л ч- а 4- 1) (2л 4-« Ч- 3 + I)
— 1(1 а) V Z	Г (л + [1 ч- 1) и!

Учитывая асимптотическую формулу (см. приложение)

яолучаем

Г(л+ « + 3 + 1)
г (Л + ? + 1)

Г(л + а+1) ___ Г(л4-« + 1) а

nl	Г (л 4-1) ,г

/Кроме того, 2/г 4-яР-J-1 ~ 2//. Подставив все это в напи-
санную выше формулу для ?)(1), получим требуемое

.асимптотическое равенство 

Теорема 6. Выполняются следующие правила дифферен
дарования многочленов Якоби:

а)	[(1 -л)’(1 +^’Л“-И(х)]' = - (« + « + ?)(! -х)“-‘ X

X (1 + хД'ДД (х) (а, ₽ > 0, л > 0);

б)	[7^й(х)]' = л7К ж,(х) (а, ?> —1, л>1).

*) Как обычно, запись ая « 8Л (л -> оо) означает, что ап1^п—~^ К
Доказательство, а) Из формулы Родрига непосред-

ственно следует, что

и остается заметить, что Кп’ ®lKn+i*р !) =— (лаР).

б) Покажем, что [7!Г'ортогонален с весом (1—х)а+1х
X (1 4- х/11 всем многочленам степени п — 2 и ниже. Пусть
— такой многочлен. Интегрируя по частям, получаем

[ (1 -х)“+,(14-х)?+1Р„.2(х)[7'1',’й(х)]'йх =
-1

= - / [(1-лТ+,(1+х)|,+1Р„_2 (л-)]'7‘“’ 'f>(x)dx =
-1

= - j (1—л)“(1 +х)Д(?-«-(« + ? + 2)х)Р„_,(х)-|-

+ (1 - Х-) Р'п-2 (х)] 7!,“ Й (х) dx = 0.

Равенство нулю следует из того, что в квадратных скобках
под знаком последнего интеграла стоит полином степени не
выше п—1. Из доказанного свойства ортогональности выте-
кает, что многочлен [7?’,о) (л)]' пропорционален ?+1) (л):

(*)]' = с п1

(«+1, ₽+1)
п—1



Сравнивая коэффициенты при л"-1 в левой и правой частях
этого равенства, получаем сп — п Я

Замечание. Из формул а) и б) легко можно получить
формулы дифференцирования нормированных многочленов
Якоби:

&

=-(«+«+₽) XX(I -	<’+а') у &' |5’1|(х)=

к (“» р)

*' п


пли, после подсчета коэффициента в правой части равенствах
[(1 -х)"(1 + х)еЛ“-в’(х)]' =

= - У(П + 1) (П + а + ?) (1 - х)"-1 (1 + х)₽~‘ Jfo1- ’-*> (X).

Совершенно аналогично

(а-Н. ₽+1)

/^(« + 1, ₽+1)

Л П-1

$(а-Н, р+1)

J п—1

(х) =

= V11 («+ а + р -4- 1) /К’ ?+,) (А

Теорема 7. Многочлен Якоби	является ретением-

линейного однородного дифференциального уравнения второ-
го порядка

(1 — х2) у" + — г — (т. -f- 3 -f- 2) х] у' + п (п + а + р + 1) у = 0.

Доказательство. Ввиду однородности уравнения доста-
точно показать, что ему удовлетворяет многочлен J^’ ’ '• При
п = 0 утверждение теоремы очевидно. Считая п^1 и исполь-
3} я предыдущую теорему, преобразуем выражение

{(1 — х)“+1(1 +х)ж [7!Г’ ?)(х)]'}' =

= п {(1 — х)“’н (1 4- х)т7Й1’?+1) (X)}' =
= _ п (п +1 3 4-1) (1 — х)“ (1 4- *)Р 7<Г₽) (х).

Итак,

Остается разделить это равенство на (1 — х)а(1+х)р, заметив:
при этом, что [(1—х)“+1(1 4-х)₽+1]' = (1—х)а(1 +х)'4р—« —
— (а 4- 34-2) х] 

Оценим теперь многочлен J1T’на промежутке [—1, 1].

Лемма. Пусть а = max (а, 3)^>— 1/2. Тогда многочлен
Ип’^{х) достигает максимального по абсолютной величине
значения на [—1, 1] в одном из концов этого промежутка.

Доказательство. Поскольку в утверждении леммы
нормирующий множитель многочлена Якоби не играет ника-
кой роли, будем доказывать это утверждение для многочлена
Уп(х). Рассмотрим функцию

9 (х)=(x)j=+[У; (х)]<
-Ясно, что [уп(х)р<ф(л) и [у„(± 1)]2 = ф(± 1). Поэтому
.достаточно доказать, что функция ф(х) достигает своего мак-
симального значения в одном из концов промежутка [—1, 1].
Для этого продифференцируем ф(х):

ф'W=2ЛУ; —я(я + „Д+1) (X,)2 +

п ___1 -X-___	,	- _

1	п (п + а + 3 + 1) УпУп

= „(„-Дй-Ц; 1(1 ~^)у; -•*/,+«(« + * + ? +1)У„Ь

По предыдущей теореме

X1 —л')у; + л(« + а + ?+ 1)у„=[-

? + а 4- (а + ’3 + 2) *]

Поэтому

Ф' (х) =

п (п -|- « + Р + 1)

[ — 3 4- а 4- 4- 3 4” 1) х].

Стоящий перед квадратной скобкой множитель неотрицателен,
и знак производной ф'(х) определяется поэтому знаком выра-
жения 1(х), стоящего в квадратных скобках. Возможны следую-
щие три случая.

а)	Если а+р+1=0, то 1(х) постоянная, ф'(х) знака не ме-
няет, ф (х) монотонна и, следовательно, достигает максимально-
го значения .в одном из концов промежутка [—1, 1].

При а-|~Р4"1	0 положим х0 — а j---------корень функ-

ции Z(x).

б)	Если a4-8-pi>0, то, даже если х0£(— 1, 1), 1(х)
может менять знак лишь с минуса на плюс, т. е. на [ — 1, х0]
ф'(х)<Д и ф(х) не возрастает, а на [х0, 1] ф'(Л)^0 и ф(х)
не убывает. Ясно, что и в этом случае ф (х) достигает макси-
мального значения в одной из точек + 1.

в)	Наконец, пусть a + 31 < 0. Если a =	— 12, то

2a Д—1, —a^l-f-a, 3— a^l-{-a-|-p и хэ = (3— a) (l-j-a-f-
+ Р)^>1; если же р = а^>—1/2, то 23	— 1, р—	— 1 —

— a — р и х0 = (р— я)/(1 4“a 4" Р) — 1- В обоих случаях
х06(—1, 1), Ф'(х) на (—1, 1) знака не меняет, ф(х) монотон-
на и достигает максимума в одной из точек + 1 

Теорема 8. Пусть а = шах (а, 3)Д—1 2. Тогда выполняет-

ся оценка

п к? ([-1, ip Д \,ь

где постоянная р зависит лишь от а и р.

Доказательство следует непосредственно из доказанной лем-
мы и теоремы 5.

Если применить к многочленам Якоби теорему 5 § 3 с уче-
том замечания (см. с. 115) и использовать только что указан-
fjvio оценку нормы этих полиномов, то получится следующая
теорема.

Теорема 9. Для постоянной Лебега многочленов Якоби
Jn’') при о = max (а, Р)/>— 1/2 выполняется оценка
L,.^.cn°+l (п^1).

I Следствие. Если r-J-T > 3 +1» то для любой функции
([—1, 1]) ее ряд Фурье по многочленам Якоби
j{“’131 равномерно сходится к ней самой на всем промежут-
ке [— 1,1].

Это следствие вытекает немедленно из оценки постоянной
Лебега, если воспользоваться теоремой 3 § 3 (см. с. 114) и вто-
рой теоремой Джексона (см. с. 85).

Замечание. Доказанная в теореме 9 оценка постоянной
Лебега не является точной. Может быть доказано более силь-
ное неравенство (см. [1]):

,	. г/га+1/2, если с > — 1 2,

L п <	'

clnzz, если — 12.

Однако доказательство этих неравенств выходит за рамки на-
шего курса. Ниже они будут доказаны лишь в двух частных
случаях: а=р = 0 (многочлены Лежандра) и а=|3 = —1/2 (мно-
гочлены Чебышева). В связи с этим'и оценками допускает уточ-
нение и сформулированное выше следствие.

Задача 1. Пусть 5^' (/; х) есть частная сумма рята Фурье функ-
ции f(x\ по многочленам Якоби Зп * (х). Доказать, что если функция /(х)
непрерывно дифференцируема, то

Задача 2. На основании тождества, указанного в предыдущей задаче,

сформулировать и доказать теорему о возможности почленного дифферен-
цирования ряда Фурье но многочленам Якоби.

Задача 3. Показать, что при а > О

(«.
п

31 (/; л) =	» (/; х) - Л<,“-	М,

(*)

где	— коэффициент Фурье функции f относительно ДДр ", а чис-
ла А%’ от f не зависят и таковы, что 0 < А^’	<4.

Задача 4. Используя формулу ($)» а также аналогичную связь между
х) и 5	х), доказать оценку постоянной Лебега, указан-
ную в последнем замечании, для случая с = шах (а,	> 1/2.

§ 5. Ультрасферические многочлены

В этом параграфе будут приведены некоторые дополнитель-
ные сведения об ультрасфсрических многочленах, а именно
оценка Бернштейна и некоторые ее следствия. Подобные ре-
зультаты верпы и в случае р=Да (подробнее об этом будет ска.
зано пиже), но доказательства в этом случае становятся суще-
ственно более громоздкими. Именно по этой причине изло-
жение в этом параграфе ведется для ультрасферического слу.
чая.

Приведем сначала некоторые вспомогательные сведения из?
теории дифференциальных уравнений.

Лемма 1. Пусть у(х) tt Y (х)— ненулевые решения диф-
ференциальных уравнений

У' + ^(^)^ = 0,

У" + П (х) Г=0,

причем функции g и G непрерывны и g(x)^G(x). Если
у (z-j) = у (х2) = то на промежутке [хь х2] функция Y (х)
имеет хотя бы один корень.

Доказательство. Допустим противное, пусть Y(х) паз
[х , х2] в нуль не обращается. Тогда непрерывная функция

во-первых, такова, что

х2

| ср(х) rfx = 0, и,

X,

во-вторых,.

Следовательно, на
и Y(х)-су(х'). Но

[хь х2] Дх) = О. Значит, у Y=yYf
тогда /(х.) —су(хД = 0, и мы пришли*

к противоречию №

Лемма 2. Пусть Y(х) есть решение дифференциального’
уравнения Y Д- G (х) Y — 0. Если на промежутке [а, а4~А]<
G (х) А > 0, причем h > 2я |/ А, то на том же промежут-
ке [а, а-\- h] найдутся корень функции Y(x} и корень ее'
производной Yf(x).

Доказательство. Рассмотрим дифференциальное урав-
нение у -|~Ду = 0. Его решениями являются функции у{(х)~
= sin \Y А (х — а) и j2 (х) — sin У А (х — а — Е). Так каю
Yi (а) — У1 (# + K/V А) = 0 и у2 (а 4- h — - f/A) =у2 (a-j-Л) = 0,
то каждый из промежутков [a, a-j-iz/^A] и [a-f-A— к’]/А,,
a-j-k] по лемме 1 содержит по корню функции Y. Ввиду
a-j- тс ]/А <ZaA~h — tt J/A эти корни различны, и по теореме-
Ролля между ними лежит корень производной Y' 

Лемма 3. Пусть Y х) — решение дифференциального урав-
нения Y" 4- G (х) Y = 0, причем функция G(x) непрерывно-
дифференцируема и G (х) > 0. Пусть Xi < х2 < ... < х
(Xj£(a, b))—точки максимума У(х)'. Если функция G(x) на
(а, Ь) не убывает, то ' Y(xj ' ' Y(х2) |	. Д- j Y(x;Y) |, если же

О (х) не возрастает, то । Y (xj | <;. Y (х2) | < ... < | Y х v j

Доказательство. Рассмотрим функцию

Щл) = [rwp + ^lr'W]2.

Так как [У(х;)р = U(xy, достаточно показать, что если G(x)
не убывает, то U(x) не возрастает, а если G(x) не возрастает,
то U (х) не убывает. Продифференцируем функцию U:

Если G (х) не убывает, то l,G(x) не возрастает, и потому
(1 G(x))' <С0, £/'(х)<^0, и функция U не возрастает. Точно
так же если О(х) не возрастает, то \<G(x) не убывает,
(1/С?(х))гО, U' (х)^>0 и U(х) не убывает 

В связи с последней доказанной леммой полезно сделать

одно замечание. Если Y — ненулевое решение уравнения
Y"GY=0 (G(x)>0) и в некоторой точке х0 }/' (хо)=О,
то, так как Y(х0) Y' (х0) < 0, х0 — непременно точка макси-
мума | Y (х) |.

Будем считать а> — 1,2 и введем следующие обозначения:

а+Д хч

Fn (б) = fn (C0S 6) = Sin * 6 • J п’

(*е[-1, И),

(cos G) (6 £ [0, it]).

Лемма 4. Функция Еп(0) удовлетворяет дифференциале''
ному уравнению

Рп + К (6) Еп = О,

где \|(°) = (л+“4-4-у + зп7в(« + Ц-)(4--а)-

Доказательство. Обозначим для краткости J а) (х) ==
=у(х) и положим в дифференциальном уравнении для мно-
гочлена (см. с. 127) х = cos 6:

sin2 0 - у" (cos 6) — 2 (а 4~ 1) cos 6j/ (cos 0)4- /г (ft4_2x4-l)j'(cos0)=O»

У нас

у (cos G)=sin

sin 6«у (cos 0) =

sin
sin2 в-у" (cos 0) — cos 0 -j'(cosG) —

I i A

— I О'-J------I

sin ? 2;б.Лл(б)

Ч //

Поэтому	о Fn (0)]" + (2a + 1) ^l[sin-<"+W e.r„(0)]' +

&1J1 V	J I

+ n (fl + 2a -j- 1) sin-(a+1/2)e. pn (G) = Q, или

Рис. 8.

Здесь коэффициент при ЛДО) очевидно равен нулю. Подсчи-
тывая коэффициент при Fп (6), легко убедиться, что он равен
X„(6)sin 7	9. Поэтому, умножив выписанное выше равенство

на sin“: 1-О, придем к нужному результату 

Заметим, что график функции Хл(6) (рис. 8) симметричен
относительно прямой 0 =тг 2. Если — 1/2 < а < 1/2, то Хя (6) > О,
на промежутке (0, к/2) Хй(0) убывает и Хй(0)__> + оо. Если

а > 1/2, то в малой окрестности точки О Хй(0) < О, Хя(0)_> — со

м

и на промежутке (0, тс/2) Х„(0) возрастает.

Теорема 1 (С. Н. Бернштейн). При а> — 1/2 для ультра-
сферических многочленов J а) (х) справедлива оценка

(«. «)

п

(х) I < с

UCI- 1, 1]),

где постоянная £ зависит лишь от а.

Прежде чем доказывать эту теорему, сформулируем ее
очевидное следствие.
Следствие. При 0-12 и Л > О
[— 1 -J-	1 —h\ выполняется оценка

\Jn‘a\x)\^Ch,

на промежутке

где постоянная ch зависит лишь от а и h.

Доказательство теоремы. Нам требуется оцепить
функцию \fn{x) , что равносильно оценке |F„(0) . Поскольку
функция \fn(x) четная, функцию |F„(0)| достаточно оценить
на промежутке [0, тг/2]. Рассмотрим два случая.

а)	Пусть сначала а ^-1/2. Положим

Тогда

sin а

и потому

0,

2>-г-лЛ При а

Г па

функция ХД0) не убывает. Поэтому по Лем-

8

ме 2 промежуток [a, a-j-/z], где h= —

Д-7С

ясно, что 8>—т=

содержит хоть один корень 0* произ-

и потому Л>ТШ'

водной Fn(0), Т. е. точку максимума |Ftt(6)|. Так как ХП(В) не
убывает, то по лемме 3 во всех точках максимума бу функ-

ции |F„(6)|, принадлежащих [a-\-h, к.

[О, a^-h]

Но а-\- h^adn, cx — ^V (а —1 2) (а-f~1/2) 4- 8. Используя
для [0, a -j- h\ оценки

|^“>(cos0)]<||Za'’!L([_i,1|> <А«“+12

(см. теорему 8, с. 128) и

sina + 1'26 < В“+1,2 < с“+1'Дг~(а+1/2),
получаем

тах | Fn (6) | = max |F„(6) |<c“+ 12f2 = C

|0. я/2]	10, a-Ri

и для а^>1/2 теорема доказана.

б)	Пусть теперь — 1/2 < а < 1/2. Тогда

К (6) > К (*/2) >(« + « + 1/2)2 > «2.
По лемме 2 промежуток [^/2 — 2^1 п, ^/2] содержит хоть один
корень 0" функции Fn (0) и хоть один корень ее производ-
ной Лл(0). Считая, что 6* — максимальный корень F„(0) на
этом промежутке и используя лемму 3, имеем -

max|F„(6)| = jFw(0.x.)j.

[О, тс/2]

Переходя от переменной 0 к переменной х, получаем
тах|/„(х)(==|/„ (х*)|,

где х* — cos 0$ £ [0, 2к/7г], причем последний промежуток со-
держит также точку x = cos О такую, что/л(х) = 0. Очевидно,
что J п а}(х) = 0. Считаем дальше п 7, так что 2тс//г 2тс/7 < 1
(неравенство, указанное в формулировке теоремы, можно,
разумеется, доказывать лишь для достаточно больших п).
Тогда

1Л WICI Д' (х„) | = | Д’ “> (X) + (х, -х) [Д’”(?)]' I =
= |х4-х| |Д *>«)]'|.

Здесь £ £ [0, 2тг//г]. Отсюда

l/»(xt)|<-^- max |[Д",)(х)]'|.
П [0, 2я,'л]

Но (см. с. 127)

[/«’я) (х)]' = J/«(/z-H2a-f-1)?^/’а+1) (х).

Учитывая, что (при л>7) К n(zi-f-2a + 1) < 2п и что для
параметра а -|- 1 > 1/2 теорема, а значит, и следствие из нее
уже доказаны, получаем

max | ДД(х) | < max | ДД “+” (х) | < с3,
Лб[0, 2к/л]	Хб[0, 2г/7]	7

I fn (x.J I <(2тс/ц) 2nc.A — c



Из доказанной теоремы и теоремы 6 § 3 (см. с. 116) вы-
текает следующая теорема.

Теорема 2. Для любого h'c>0 на промежутке [— 1 -f-Л,
1 —Л] для функции Лебега ультрасферических многочленов
Jn ФД> — 1/2) выполняется оценка

Ln (х) < с In п (п^- 2),
где с зависит лишь от h и а.

Следствие. Если функция, f(x) на промежутке [— 1, 1]
удовлетворяет условию Дини—Липшица (f£DL), то ее
ряд Фурье по у лътрасферическим многочленам Jlna-а) (а __ i ,о\
сходится к самой 'этой функции во всех точках открытого
промежутка (—1, 1), причем сходимость равномерна на
каждом промежутке [— 1 + A, 1 — h} (А > 0).

Замечание. Результаты, аналогичные полученным выше
для ультрасферических многочленов, справедливы и для про-
извольных многочленов Якоби. Оценка Бернштейна тогда
имеет вид: если а, рД— 1/2 и xf [— 1, 1], то

<'2+1/4

(l+x)₽/2 + 1/4^’l3)

(х) I Д с,

где постоянная с зависит лишь от а и (3. Отсюда, как и в
ультрасферическом случае, немедленно следуют ограничен-
ность в совокупности многочленов 7 ,, на любом проме-
жутке [— 14-А, 1—А] (Л 2> 0) и оценка функции Лебега
Ln(x) -^.с\пп на этом промежутке. Из последней оценки не-
медленно вытекает равномерная сходимость па [— 1 -\-h, 1 —h]
ряда Фурье любой функции, удовлетворяющей условию
Дини — Липшица.

Займемся теперь оценкой функции Лебега ультрасферичес-
ких многочленов в точке х=1.

Лемма 1. Справедливо равенство

J п

(х)=' “+,)

(х) + М Й’-’+1’(X),

яде

п

"I f п 4- 2а + 2
V 2п 4- 2а-|-3

1/_____"___

Г 2п 4- 2а 4- 1

11 дп

Доказательство. Для любого полинома Р„_2 (л) степени
:П — 2 или ниже

Г(1 - х2)"+'Д’+1' "> (X) Р„-2 (х) dx =

(1 + х)”7

(х) [(1 +л)^-2 (•*)] dx — 0,

(«4-1, а)
п

поскольку в квадратных скобках стоит полином степени не
выше п — 1. Итак, многочлен 7,г ортогонален с весом
(1—х2)а+1 всем многочленам степени п — 2 и ниже и потому
представим в форме (*). Остается лишь вычислить коэффици-
енты ап и Ьп. Сравнивая коэффициенты при хп в левой и пра-
вой частях формулы (*), получаем

п

К (а4~Ц а+1)
/\ п

I/” П 4- 2а 4- 2

V 2/2 4-2а-1-3 *
Сравнивая коэффициенты при х 1 и учитывая следствие 2
(см. с. 123), имеем

Лемма 2. При а> — 1/2 верна оценка

JLj (1—

где постоянная с зависит лишь от я. ’

Доказательство. Воспользуемся предыдущей леммой
и оценкой Бернштейна (теорема 1):

JLa	-^)“|Ло'’“+,)(Ч1л +

+ Д (1 - И’Рn-V-<‘+" (<)Л|<2с jl, (1 -

Поскольку последний интеграл конечен (я > — 1/2!), лемма
доказана И

Теорема 3. Пусть а —12. Для функции Лебега Ln(x)
ультрасферических многочленов Jn ’а) справедлива оценка

L, (1)<^ с па+ i'2 (и А 1),
где постоянная с зависит лишь от а.

Доказательство. Как известно (см. с. 114),

^(0 = у,(1 - И"Iк»(*,niл,

гле	КАС 1) = Х-о^“’',(ОЛ“’”,(1)

есть многочлен степени /г, причем он может быть представлен
также по формуле Кристоффеля — Дарбу:

К At, \)=V\n+1

Из последней формулы сразу же ясно, что многочлен К (/, 1)
ортогонален с весом (1—/)(1—/2)“ всем многочленам степени
не выше п — 1, и потому

Кn{t,

Постоянная сп здесь легко находится из сравнения коэффи-
циентов при хп:
откуда

/. „ (1) < J п' ” (1) JL, (1 -О“ IJ«+1- (О \dt.

Итак,

Остается воспользоваться леммой 2 и асимптотическим равен-

ством

?(«,«)

J п

(1)

р — а

г (1 + а) п

ос 4- 1/2

(см. с. 125) 

Замечание. Подчеркнем то обстоятельство, что сформу-
лированная без доказательства в конце предыдущего пара-
графа оценка постоянной Лебега, имеющая в ультрасферическом
случае вид

+ 1,2 (а > — 1/2,	1),

’Ч

не является простым следствием теорем 2 и 3.

Задача 1. Доказать, что

J а) (*)

dx < с*

J In п,

если — 1/2 < я < 3/2,
если а = 3/2,
если а > 3/2.

Указание: при я >3,2 разбить интеграл по схеме

J— 1	J—1	' J—1-г1;'Ла	J1—

Задача 2. Оценить интеграл (я > — 1/2, и > — 1)

j1 (1 — х-*)!Х | 'j а) | dx-

§ 6. Многочлены Лежандра

Определение. Многочленами Лежандра X п (%) назы-
ваются многочлены, ортогональные с весом р(х) — 1 на про-
межутке [—1, 1].

Согласно этому определению многочлены Лежандра част-
ный случай многочленов Якоби: Хп (х) — Jn’ °;(-£)• Перечислим
простейшие свойства многочленов Лежандра, которые полу-
чаются из соответствующих свойств общих многочленов Якоби.

1.	Многочлены Лежандра могут вычисляться по формуле
Родри га
2.	Многочлен Лежандра Хп (х) со старшим коэффициентом
1 получается при

К = К —	1? —-

1Хп \ А/ (2/?)! *

Нормированный многочлен Лежандра А\(х)

получается при

3. Многочлены Лежандра связаны рекуррентной формулой

4. Многочлен Лежандра на [—1, 1] достигает максималь-
ного по абсолютной величине значения в точках ± 1, причем

Х(1)=‘|/^

(для установления последнего равенства следует обратиться к
доказательству теоремы 5 § 4 (см. с. 125)).

Основной результат, который будет получен в этом парагра-
фе, заключается в том, что функция Лебега для многочленов
Лежандра достигает максимального значения в точке х=1. Тем
самым в силу последней теоремы предыдущего параграфа бу-
.дет получена оценка постоянной Лебега для многочленов Ле-
.жандра. Доказательство этого результата 'связано с рассмотре-
нием рядов Лапласа.

Пусть 2— сфера (поверхность) с единичным радиусом в
трехмерном пространстве. Точки сферы 2 будем обозначать
через 2, !'; С (2)— пространство непрерывных функций, за-
. данных на 2. Пусть в нашем трехмерном пространстве выбрана
.декартова система координат(х,у, z) с началом в центре сферы 2.
Если / (х, у, z)— непрерывная функция трех переменных, то
можно рассмотреть непрерывную на 2 функцию £Г(£), значе-
ния которой совпадают со значениями на 2 функции /. В та-
ком случае мы будем писать ЯГ	у, z). Если рп(х, у, z)

есть полином степени не выше п от трех переменных, то функ-
цию 3~п (£) — рп (х, у, z) также будем называть полиномом сте-
пени не выше п, и подпространство всех полиномов степени
не выше п обозначим через С„(2)сС(2). Разумеется, это
подпространство Сп (2) нс зависит от того, каким именно обра-
зом мы выбрали декартову систему координат.

Определение. Пусть & (0 £ С (2). Рядом Лапласа функ-
ции SP (?) называется ряд

]/J (X, (cos 7) dS’.

*2
.Здесь ; есть угол между радиус-векторами точек £ и £'£2,
направленными из центра сферы, и потому каждый член ряча
есть функция точки ££ 2. Частные суммы этого ряда будем
обозначать через

г) = У VJ JО'И> (cos-()rfS'.
2

Будем использовать также символ з,г&~, понимая под ап опера-
тор, ставящий в соответствие каждой функции £F£C(2) част-
ную, сумму ее ряда Лапласа.

Пусть в пространстве выбрана система декартовых коорди-
нат с началом в центре сферы. Если В = (х, у, z), В = (х'.у, z'),
то cos 7 = хх' -f-уу' -ф- zz‘. Если на сфере 2 ввести „географи-
ческую" систему координат (9, 6) (?6(—^], $Е[0, к])

х = sin 0 cos с, 1 х' = sin 6' cos 9', 1

у — sin 0 sin 9, ? у' — sin б' sin 9', У

z — cos 0, J z' = cos 6', J

TO

cos= sin 0 sin 6' cos (9 — 9') -ф* cos 6 cos 6',

6ZS, = sin0'fiT0,£Z9'.

Отметим теперь основные свойства оператора оп.

1°. Оператор ол линеен. Это свойство очевидно.

2°. Какова бы ни была функция £Г£С(2), ая<Г есть поли-
пом степени не выше п (уп&~ £ Сп (2)). Действительно, Х> (cos 7) =
= Xv(xx -j-yy zz') есть полином степени v от переменных
х, у, z с коэффициентами, зависящими от Г. Умножая этот
полином на 5Г(? ) и интегрируя по 6, мы получаем полином
степени не выше > от х, у, z.

Зо. Если &п (?) Е Сп (2), то а/п=<

Доказательство этого утверждения начнем с того, что вы-
берем и зафиксируем произвольную точку 50, в которой тре-
буется доказать равенство	Во) —^(£,4. Далее, систем}*

декартовых координат выберем так, чтобы оказалось £0 —
— (О, О, 1). Любой полином степени не выше п от трех пере-
менных может быть представлен как линейная комбинация
полиномов вида xlyJXk (г), где i -\~j -f- k ti. Поэтому

0<l+J-l-k<n

^ijkQijk (?)»

где Qijk^) — xiyjXk{z), и нам достаточно доказать равенства
ап (Qijki **0)== Qijk (?о) при “ЬУ 4~

Переходя к „географическим" координатам и учитывая, что
для нашей точки |0 6 = (>, а также что V (2> + 1)2 = Х,(1),
получаем

X X v (cos 6') dWdy' = ~

j cos4' ф' sin-7 y'dy'

—к

(0 fsmz+>+i 6'-A\(cos O') x, (cosO') dt)',

v-0	6

Рассмотрим теперь три возможных случая.

a'l /-{-> нечетно. В этом случае Qt^($o) = O. Далее,

f cos4 ф' sin-7 v'd<?r — f sinz ф cos-7'ф d-Ъ = 0.

(Здесь ф = iT/2 — <р', и равенство нулю вызвано тем, что либо/,
либо j нечетно, и тогда под знаком первого или второго ин-
теграла стоит нечетная функция.) Поэтому on(Qijk; £о)=О,
т. е. требуемое равенство доказано.

б)	Сумма /+/ четна и положительна. Опять Q-jk^o} = O,
Если в интеграле по О' сделать замену переменной, положив
cos 0' = t, то окажется

VXv(l) С sinz+-7+10'A>ft (cos 6') Xv(cos 6')dO'=

v=O	(J

” J i+j

2-V.(l)J(l-O 2 Л (О X, (t) dt - S„ (p,.; 1)=Л(1) = 0.

Здесь через Sn(pn, x) обозначена частная сумма ряда Фурье
i+j

функции Рп(х) = (1—х2) Xk(x) по многочленам Лежандра.

Так как /-Т/ четно, то рп{х) есть многочлен степени
и потому Sn(pn; х) =рп(х). Таким образом, и в
этом случае требуемое равенство получено.

в)	Оба индекса Z, j равны нулю, Qijk (?) = Xk (z). В этом

случае Qijk (Q = Xk (1) и -

п.	TZ

ап (Qijk\ Во) = Xv (1) sin 6' Xk (cos б4) Xv (cos O') db' =

M—0	o

n	1 л

=2X«(>) ixk(t)X,(t)dt = xk{\)u

v— 0	— 1
Свойства 1° —3° означают, что с,г есть проекционный опе-
ратор, проектирующий С (2) на С„(2).

4°. Для любых функций

(<Г, Е)» (Е) dS = J J ЕГ(Е) о„ (!?; Е) dS.

2

Это равенство получается немедленно, если в интеграл, на-
писанный слева, подставить представление ая(<Г;€) и поменять
местами интегрирования по В и S'.

5°. Если	и	то

f ( [ЕГ (Е) - а„ (iT; E)]^„(E)tfS = O.

*2

Действительно, в силу свойств 4Л и 3(

ffa„(gr; у 9п (?) dS = J Jet (Е) о„ (Л; t)dS = JJ^(E)^„(E)rf5.

2	&

Доказанное свойство означает, что сп есть оператор орто-
гонального в Л2($) проектирования.

6°. Пусть/(г) — непрерывная на [—1, 1] функция, (S) =
= f (г). Тогда on (ЗД S) =рп (z), где рп (z) = Sn (f; z) — частная
сумма ряда Фурье функции f по многочленам Лежандра.

Доказательство. Заметим прежде всего, что
П ТС тс

v=U	—к б

X X? (V1 — z2, sin 0' cos (ср — ср') z cos 6') dWd^' =
п____________________п

=4гУ/^Р<со8е')х
^шял
v=0	О

11 Д —z2 sin 0'sin Ф

\-z cos 0') dtydW,

где ф = ?с/2 + </ — <р. Поскольку при интегрировании по Ф все
нечетные степени аргумента У 1 — z sin 6' sin пропадут, ясне,
что оп(^“; S)=/7rt(z), где рп (г) — некоторый полином степени
не выше п. Возьмем произвольный полином qn (z) степени
не выше п, положим (?) =	(^) и вычислим, используя 5°,

f UW—PnW Qn^}dz =

—1

J (/(cos б") — jPn(cos 0')) qn (cos O') sin 6 ' dbr =

= (ST (E) - a„ (гг; ;)) Q„(E) dS = 0.

1 2
1

Поскольку равенство С (f(z) — рп (г)) qn(z)dz — Q выполнено.

-1

для любого потинома qAz) степени не выше /г, р (Л—J
= SAf\ z) 

Определим теперь функцию Лебега ця ряда Лапласа.

Определение. Функцией Лебега щя ряда Лапласа на-
зывается функция ^„(1), значение которой в точке « есть,
норма линейного функционала з„(-; £), действующего в про-
странстве С (£2):	||а„(.; £)||.

Поскольку

dS',

то

dS'.

7 . Для любой точки выполняется равенство
^Л(;О) = £Д1),

где Ln(x)— функция Лебега для многочленов Лежандра.

Доказательство. Выберем декартову систему коорди-
нат так, что L>=(0, 0, 1). Тогда

(’б) —

dS —

sin 6'

(1) АЛ (cos О')

d0' =

п

V А(1)А(0

^ = £Д1)И

Теорема 1. Пусть Lп(х) — функция, a Ln — постоянная
Лебега для многочленов Лежандра. Тогда

Ln= max Ln(x) — La(\).

l-i. 1]

Доказательство. Заметим, что равенство Ln = max Ln\x}
отмечалось ранее для любых ортогональных многочленов,
так что доказательству подлежит лишь неравенство

(zf<[ — 1, 1]). Пусть /£С([— 1, 1]) — произвольная
непрерывная функция. Положим Р'(£) = /(?). Тогда ^££(2)
11	— И Hcu-i. ip- Если выбрать точку (х, у, z) = t(A\

то по свойствам 6° и 7°

1Ш

*)1

<S’««)HIC(S)=in(i)l/lC(1_1,1B


' Ч> “НЯ-

= 1.5,( ; Z)1K Jd) 	* )И’С(1-'-‘’1” " "°ТОМУ Л”('')==

Как непосредственное следствие этой теоремы и теоремы 3
предыдущего параграфа (см. с. 136), получается стедлюше'.’
утверждение.

Теорема 2. Для постоянной Лебега многочленос Леж тд-
ра выполняется оценка Ln^c\ п (/г^>1).

Следствие. Если функция f(x) на [—1, 1] удовлетво-

ряет условию Липшица с показателем а > 12
то она разлагается в равномерно сходящийся на [— 1, 1]
ряд Фурье по многочленам Лежандра.

Задача 1. Показать, что сред» всех многочленов степени п со стар-
шим коэффициентом 1 минимальную норму в пространстве £2([~ Ь Ц)
имеет многочлен Лежандра Хп (х\

Задача 2. Уточнить при р = 2 утверждение теоремы 2 §5 гл. 3.
(см. с. 98), показав, что для промежутка [—1, lj выполняется равенство

3 а д а ч а 3. Построив аналог ряда Лапласа для единичной сферы в
m-мерном пространстве, доказать, что функция Лебега ультрасфсрических
многочленов	при аИ(»г — 3)/2 достигает максимального значения

при х = 1.

§ 7. Многочлены Чебышева

Напомним, что многочлены Чебышева были ранее (см. с 29)
определены как

Тп (х) = cos (и arccos х).

Оказывается, они обладают также некоторым свойством орто-
гональности.

Теорема 1. Многочлены Чебышева ортогональны на про-
межутке [—1, 1] с весом р (х) ==!/)< 1—х2.

Доказательство. Делая подстановку х — cosG, полу-
чаем
1

f 1	- Тп (х) Т (х) dx — f cos /гб cos mMfi =

J У 1 — x2	J

-i	о

О, если m n,
tzI2, если m = n 1,
к, если m = n = 0 

C cos nO cos ndklb =

Таким образом, многочлены Чебышева также представляют
собой частный случай многочленов Якоби при а = р = —1/2:
Т (х) = Л~12’-12*(х)« Заметим, что при доказательстве теоре-
мы 1 попутно было выяснено, что нормированные многочле-
ны Чебышева представляются формулами

j/к, Тп (х) — У2 . тс cos (п arccos х) (п^1).

Наша главная цель — оценить постоянную Лебега для
многочленов Чебышева.

Лемма. При натуральном п 2 выполняется неравенство

sin (2/г + 1) t
sin t

2 4- In /г

2

Доказательство. Представим интеграл I в виде суммы
/ = /1Д-/2, где /3 — интеграл по промежутку [О, <(4« + 2)],
а /2— по [тс (4/z —J—2), тг/2]. Тогда, используя неравенство

I sin (2п Д- 1) 11	(2/z Д- 1) | sin t

имеем

г.!(4п+2}

I	С

К	I

О

sin (2п + 1) t
sin t

r_/(4/i+2)

f (2/г+ 1)^ = 4-

о

Используя оценки | sin (2/z Д- 1)Z j 1 и | sin i | 2t ~t получаем

r.'(4n+2)

sin (2n + 1) t
sin t

T. 2

1	r dt

2	J T

k,'(4«4-2)

1п(2/гД-1)<-Д

In (ne) ~

(1 Д- In n).

2

Сложив полученные оценки для Д и /2, придем к требуемой 

Теорема 2. Для постоянной Лебега многочленов Чебы-
шева при п^>2 выполняется оценка £л<12 Д-1п/г.

Доказательство. Нам достаточно убедиться, что для
любого х(Д—1,1] будет Ln2-f-inп. Полагая x = cos;
и делая в интеграле замену переменной Z = c.ost, получаем

Воспользуемся тем, что подынтегральная функция четная по
и формулой

2 cos k~ cos Лс == cos k (' В) -f- cos k(~ — £).
Тогда получим

dx=<%.

к

п

/г=1

cos k (" — с)

Сделаем в первом интеграле замену переменной -4-ь = ?»
а во втором т — * = ? и учтем, что подынтегральные функ-
ции 2~-периодические:

cos k'3

Но

причем последнее неравенство следует из леммы 

Доказанная теорема, в частности, означает, что частные
суммы ряда Фурье по многочленам Чебышева — это хороший
аппарат приближения непрерывных функций. Действительно,
из оценки



(1+£„)£-„(/)<(3 + In

видно, что при не слишком больших п эти суммы доставляют
функции приближение, лишь в несколько раз большее наилуч-
шего. Ряды Фурье по многочленам Чебышева сходятся для
очень широкого класса функций.

Следствие. Если функция f(x) на промежутке [—1, 1]
удовлетворяет условию Цини — Липшица, то ее ряд Фурье
по многочленам Чебышева сходится к ней самой равномерно
на всем промежутке [—1, 1].
паоаграфа заметим, что многочлены Якобн,
в заключение napaip ч ражепы через тригонометрии
та^ЧХвиХно по. теореме 6 § 4 (см. с. 125),
ческие функции. Деистви	f

jw. ./2) (х) = _J_ [ J <~,'г 11 (*)]'= -уПТПТ Т"+1 (х) ~

1 sin (и + 1) arccos х _ 1 sm (к + 1 > 6.

= ^-—7г=?	7 ~2" si«c

ft_ЯГГСОсг Эти многочлены называются многочленами

где 6 — arccos х. о Напомним что о них упоминалось.
Чебышева второго рода. Напомним, чю	j

в задаче к § 6 гл. 1.

§ 8. Об п-поперечниках множеств
в гильбертовом пространстве

В этом параграфе доказывается одна общая теорема об-
«-поперечниках некоторых множеств в гильбертовом простран-
стве. Далее устанавливается, что в пространстве L2([a, 6]) по-
следовательность подпространств полиномов экстремальна по-
порядку для ряда классов функций.

При изложении общей теоремы будут использованы некото-
рые известные свойства симметричных вполне непрерывных
операторов в гильбертовом пространстве Н. Напомним эти свой-
ства (доказательства см., например, в [8, гл. IX]).

Итак, пусть А — симметричный вполне непрерывный опера-
тор. Его ненулевые собственные числа могут быть перенумеро-
ваны в порядке убывания абсолютных величин:



Все эти собственные числа вещественны и имеют конечную-
кратность, и в написанной цепочке неравенств каждому из них
присвоено столько номеров, какова его кратность. Если число-
ненулевых собственных чисел оператора А бесконечно, то

Если число N отличных от нуля собственных чисел опе-
ратора конечно, то 0 есть собственное число бесконечной крат-
ности, и мы будем считать, что Хп=0 при n>N. Собственные
векторы epi, ф2, фз, •.соответствующие собственным числам’
М, Л2, Аз • • •, можно выбрать так, что {ф/J есть ортонормальная
система. В дальнейшем всегда будем считать собственные чис-
ла оператора А перенумерованными в порядке убывания абсо-
лютных величин, а систему собственных векторов ортонормаль-
ной. Тогда для любого [ С Н справедливо равенство

со

л-учел

/г=1

Заметим, что (/, <рй) — ak — коэффициенты Фурье элемента f
относительно ортонормальной системы {<?Д, и если эта система
полна (это так, если 0 не есть собственное число оператора А),
то сам элемент f представим в виде

ОО

®k-

/г = 1

Обозначим через М множество элементов g пространства
Н, представимых в виде g = Af, где

A4 = {g|g6/-/, g = A/, ll/KK}.

Теорема 1. Справедливо равенство
dnm=K\K+x\.

Экстремальным подпространством для М является под-
пространство Ф,г CZ Н, натянутое на собственные векторы
?1»	• • • , ?п оператора А.

Доказательство теоремы сводится к установлению
двух неравенств, а именно неравенства «ВД (/И) << /С| Хп+1 |
и неравенства dn (М) К | Д+i|.

1)	Покажем, что &ф (А/)<Ж| Д+t |» Пусть g£M, т. е.

ОО

ё == kfl

/г=1

где ,|/||-< К. По теореме Теплера (см. с. 102)

X 1/2

(g,

ОО

По неравенству Бесселя V (/,

Поэтому Еф (g)<I|> и так

?J2<I!/II2<k2.

как g — произвольный эле-
мент множества 7И, то Ефп (7И)^/<| Хп+1|.

2)	Перейдем к доказательству неравенства ^я(Л1)Ж|^п+11*
Пусть Нп — произвольное «-мерное подпространство простран-
ства И и (фъ ф2» ... , ф„) — его ортонормальный базис. Систе-
ма п линейных однородных уравнений с («Д-1) неизвест-
ными 1аД
К If J

а1Д(^Ь <Р1) "HzM'Pb ?г) + ••• + «л+Лн-i ('Рь ?пм)=0’

(Р2, <Р1) + а2Х2 (^2, ?2) + • • • + %+Л+1 (<?2, ?П+1) =0’	(*)

(’Рп' Т1) Д’ а2^'2 (’Рп, Тз) ~Н • • • Д" ап+1^п+1 (Уп’ 'Pn+l) 0
заведомо имеет ненулевое решение aj, о^,	</ 15 которое

будем считать нормированным таким образом, что 2”+*
Положим f — ai'r,z. Ясно, что ||/|( = К, и потому элемент
g = Af = 2”^принадлежит множеству М. Числа я- удо-
влетворяют системе уравнений (*); это означает, что (g,	= 0

при k — 1, 2, ... , п и

Отсюда немедленно следует, что &н (М) Ен (g) >/С| Xn+i I,
и ввиду произвольности «-мерного подпространства Н
dn (М) > /<| хп+11 в

Покажем теперь, что последовательность подпространств
полиномов является экстремальной по порядку для некоторых
классов функций в пространстве А, ([а, #]). Будем обозначать
через /Ат>([а, &]) ’или просто подмножество L>([a, #|),
состоящее из т — 1 раз непрерывно дифференцируемых функ-
ций f (х), у которых почти везде существует производная
порядка т	причем £ L2 ([«, #]) и

(m—1)

(х)=/

(т-1)

(I) dt.

а

Через будем обозначать подмножество тех функций
из Лг \ для которых ||/(	Обозначим через &п подпро-

странство пространства А2, состоящее из многочленов степени
нс выше п.

Теорема 2. Справедлива оценка

а п	\ £ /	' {п I -р т)!	'	7

Доказательство проведем для промежутка [—1, 1].
Пусть	Из теоремы Теплера и полноты системы мно-

гочленов сразу же следует, что

1 л

где	ak— j f(t)Xk(t)dt
— коэффициенты Фурье функции / относительно системы мно-
гочленов Лежандра. Вспомним правила дифференцирования
многочленов Якоби (см. с. 127):

о - '2> (о=-	«' -<2)2 «>]'.

(0=

2 7П—1 r(m—1, тп — 1)
к—тп 4-1

2\m f[m, m) /y\w
) J h-m (‘J] ,

и будем вычислять ak m-кратным интегрированием по частям.
Тогда получим

а,г = /*(* +1) ’ V(£- 1)(Л +Ж

где

1	А __ 1 / (k — m} ! ,

... р=====»4-„- у (л + га)|

Р('"’ (0 0

— коэффициенты Фурье функции / относительно системы
многочленов Якоби ’/п }. Итак,

со	\ 1/2	/	\ 1/2

(k — m}\ ,2	| I (п + 1 — т}\ ХЧ .2	\

X ТлТ^ГГ Ьк-т < (л+1+^yi h'm ’
Й«=Л4-1	'	'	fc — rt+l

Но по неравенству Бесселя

Поскольку /—произвольная функция класса KL{™\ то

{KLT}) = Slip

"	feKL^

tn4~

(n + 1 + w)!

(/)<]/



Из доказанной теоремы вытекает очевидное следствие.
Следствие. Справедлива оценка

{п^т — 1),

г^е ст — постоянная, зависящая лить от т.
Замечание. Утверждение теоремы 2 допускает некото-
рое усиление. Именно, если обозначить через КЗ?2П} класс
т— 1 раз непрерывно дифференцируемых на (— 1, 4-1) функ-
ций /, для которых

У1”-1’ (Л) = у””-1’ (0) + J у(га| (/) dt
0

и

то ясно, что КЗ?2П> О KL2n\ и в то же время из доказатель-
ства теоремы можно усмотреть*', что



Теорема 3. Для класса К1Ат} справедлива оценка

(1г j й”) 1 >>(Ь — а\т	{<

п+1	я I (я_|_2)/и •

Доказательство. Система функций

vk (х) — 1/"— sin r.k -%——
« ' ' V b — а	b — а

представляет из себя полную ортонормальную систему в про-
странстве L2. Поэтому любая функция /б L2 представима
в виде сходящегося (в Л2) ряда Фурье по этой системе:

у= у"

Введем в рассмотрение оператор Д, который функции / =

= lakvk ставит в соответствие функцию

ОО

Л VI ( Ь — а\т
g = Af=\	akVk'

k=l

Очевидно, что оператор А симметричен и вполне непрерывен,
причем vk являются его собственными функциями, соответ-

ствующими собственным числам Д,

Ь — а\т	.

.—) , и других соб-

ственных чисел и функций оператор А не имеет. Рассмотрим
множество

.'w = |g-|gei2. g=Af, jyf£j<K|.

*! Некоторого обоснования при доказательстве формулируемого утвер-
ждения потребует интегрирование по частям. Останавливаться на этом мы
не будем.
«Согласно теореме 1

(AI) = К | >,+21 = (^)"	.

Покажем теперь, что /ИсЛХг"0. Действительно, если g^M
то это означает, что

Л=1	k=d

g т раз, получаем

Дифференцируя функцию

1/ 2	. Л , х — а\

-г--sin т--------I,

Ь — а . b — a j ’

если т четно (/n = 2v),

1 /	2	/ , х — а\

ab V ~i---cos т-------- ’

R г b — а \ b — а /

если т нечетно (ттг = 2v —1).

Написанные здесь ряды сходятся но меньшей мере в сред-
_,«>	9^1	f 1	2	.1.x— д й

нем, так как \ а~ь < 4- оо, а <1 -т----------sin —/г —--- >

’	й=1 я 1	’ IF Ь — а \ Ь — а)\

11	1 у-£— cos । -/?	‘'—ортонормальные системы в £•>.

Поэтому почленное дифференцирование ряда, представляюще-

го функцию g, было законным, и g^Lv. При этом

и потому g^KLv'1. Итак, мы показали, что MgLKL'l' .
довательно,

(«СР) > d„„ (AI) =	

Сле-

Из теоремы 2 (точнее, из ес следствия) и теоремы 3 сразу
же вытекает теперь следующая теорема.

Теорема 4. Последовательность подпространств полино-
мов ^г11 в пространстве L2 является экстремальной по
порядку, для классов

Задача. Доказать, что



К (п > т — 1)

(см. замечание к теореме 2).
Глава 5

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

§ 1. Общие вопросы интерполяции

Напомним некоторые известные факты теории интерполяции.

Пусть на промежутке [а, &] задана непрерывная функция
/(%) и даны различные точки хг, х2.,	, хп этого промежут-

ка, называемые узлами интерполяции. Тогда существует един-
ственный полином Pn-i(x) степени не выше п— 1 такой, что

Лг-i (*/) =/(*/) (/ = 1, 2,	, /г).

Этот полином называется интерполяционным полиномом
функции f (х) и может быть записан в форме Лагранжа:

Pn-v (х) =

/г-1

п

^j4(x)/(xfe),

А —1

где со (л) ~(х — xj (х — л*2) ... (х — хп). Многочлены

/у\______________w (-*-)_______

k''	~ (s — *k) w' (xk)

степени n—1 называются многочленами влияния Лагранжа..
Они удовлетворяют равенствам

. , .	1, если £ = /?,

(А'*;)--

О, если Z /?,

г
и зависят лишь от заданных узлов л\, но не от интерполи-
руемой функции.

Если функция /(л) на [я, Ь] п раз непрерывно дифферен-
цируема, то остаток интерполирования f(x)—Pn-iAx) может
быть представлен в форме

f(x) — Pn-t (х) =

(О,
где g — некоторая точка промежутка (а, Ь). Эта формула ино-
гда позволяет оцепить отклонение 'интерполяционного полинома-,
от интерполируемой функции.

В этой главе интерполяция будет интересовать пас главным
образом как один из способов построения многочлена, прибли-
жающего функцию на данном отрезке. Наибольшее внимание
будет уделено вопросам сходимости интерполяционных полино-
мов к приближаемой функции. При этом, конечно, нужно счи-
тать, что число узлов интерполяции стремится к бесконечности.

Определение. Будем говорить, что на промежутке [а, &}'
задан интерполяционный процесс, если дана бесконечная тре-
угольная матрица узлов

Л'<2>

4” 44	w

(л)	д-(л)	. ' j-(ll)

1	2	п

такая, что в каждой ее строке расположены различные точки
промежутка [ау £]:	[а> G=l, 2,	п),	x(f\_

если i =# j.

Взяв элементы п-й строки этой матрицы в качестве узлов
интерполяции, для каждой непрерывной функции f (х) мы
сможем построить ее интерполяционный полином

п

QnO', X) =2/*’(>:)/W"’),

Л-1

п

Подчеркнем, что Q„(/; х) есть многочлен степени не выше-
п — 1.

Будем говорить, что интерполяционный процесс сходится
для функции f в точке х£[а, Ь], если Qn (f; х) f (х).
Будем говорить, что интерполяционный процесс для функции
f сходится равномерно, если многочлены Qn х) сходятся,
к f (х) равномерно на [«, Ь\.

Теорема (Фабер). Не существует такой треугольной матри-
цы узлов, чтобы соответствующий ей интерполяционный процесс
сходился равномерно для любой непрерывной функции.

Эта теорема будет доказана позднее (см. § 2 гл. 6) как след-
ствие теоремы Лозинского — Харшиладзе. Вместе с тем верна
следующая теорема.

Теорема 1 (Марцинкевич). Для любой непрерывной на
[а, 6] функции f найдется такая матрица узлов, что соответст-
вующий ей интерполяционный процесс для функции f сходится
равномерно'.

Доказательство. Пусть { Рп (х)} — последовательность
полиномов наилучшего приближения функции f. По теореме
о чебышевском альтернансе (см. с. 25) при каждом п найдутся
такие точки (e<)z1<z,<... < zn^ «/?), что |/(^)—Рп.у (zt-)|=
=	(/) и разность /(z)— Pn-i(z) при переходе от zt к zi+1

меняет знак. Из последнего обстоятельства следует, что при
каждом Z=l, 2, ... , п найдется такая точка xp)^(zz, z/+1),
.для которой Pn-1{x\n}}=f[x(i4}. Эти точки х\п) мы и возьмем
в качестве элементов /z-п строки матрицы узлов. Тогда
Qn (/; а) — Рп-х(х), и остается заметить, что Рп(х), будучи
полиномами наилучшего приближения /, сходятся к f(x) рав-
номерно на [а, /?] 

Как и в теории рядов Фурье по ортогональным многочле-
нам при исследовании сходимости интерполяционных процессов
существенную роль играют функции и постоянные Лебега.
Строка с номером п матрицы (*) задает некоторый оператор,
действующий в пространстве С ([а, Ь]), который каждой непре-
рывной функции f ставит в соответствие ее интерполяционный
лолином Qn(t; х). Обозначать этот оператор мы будем уже вве-
денным символом Qn- Тогда Qnf—интерполяционный полином
функции f, рассматриваемый как элемент пространства
С([ал 6]). Оператор Qn очевидно линеен и обладает тем свойст-
вом, что если f есть многочлен степени не выше п—1, то Qnf=h
Если мы зафиксируем точку й], в которой вычисляются
значения интерполяционных многочленов, то получим линей-
ный функционал, заданный в пространстве С: Qn( •; х).

Определение. Функцией Лебега с номером п интерполя-
ционного процесса («) называется функция ?.п(х), заданная па
[а, 6], значение которой в точке х есть норма функционала в
пространстве С([а, Ь]), ставящего в соответствие каждой не-
прерывной функции f значение ее интерполяционного многочле-
на в точке х:

W=(<?„(•; *)J|.

Постоянной Лебега называется норма оператора Qn в про-
странстве С([а, Ь]), который каждой непрерывной функции ста-
вит в соответствие ее интерполяционный многочлен:

>„ = IIQ,, 1-

Из определения немедленно следует, что для любой функ-
ции f £ С выполняются неравенства

!<?„(/; •*)I<М*) 1/"с (*61«, *1),

||0п/1с<Х»||/'С-
Нетрудно найти явное выражение Хл(х) и Хл через узлы интер-
поляции х\п}. Действительно, из интерполяционной формулы
Лагранжа следует, что

h 1

fe=i

В то же время, если построить непрерывную функцию / (х)
так, что7(xfen))=sign/^(х) и для всех х£ [a, b] |/(х)'< 1, то
,|171'с = 1 и Qn (7 *) = 214и)И1 откУда х)11>
к-1

п

k^-1

Из этой формулы, в частности, видна непрерывность функции
•Хл(х). Из неравенства | Qn(f; х) j Хл (х) ||/||с сразу же следует,

что

X = О„
1 п

max Х/2 (%).

Если х —та точка, для которой шах лл (х) = лл (х), то для ука
занной выше функции f

II Qnf(c > О* (7 И= тах	171'с ’

откуда вытекает, что

Хл = max Хл(х).
а<х<Ь

Вполне аналогична доказанной ранее теореме о сходимости
рядов Фурье по ортогональным многочленам (см. с. 114) сле-
дующая теорема.

Теорема 2. Если для функции f в некоторой точке х
выполняется соотношение

Е„-1 (/) >•„ (х) -> О,

то интерполяционный процесс для функции f сходится
в точке х. Если же

^(Ж^О,

то интерполяционный процесс сходится для f равно мерно.

Доказательство. Пусть Рп\—последовательность по-
линомов наилучшего приближения функции/. Учитывая, что»
Qn (Рп-Г, *) = P„.t (%), получаем

I/ (х) - Q„ (/; х) |< | / (х)	(х) I + IQ,, (Ра.,:х) -

-Q„(/; х)I = |/(х)-Р,^(х)I + IQ„{P^-f; х)I<
<11/- Р„-111с + < (х) [/- Р„_, Не =(1 + < (х))	(/),

откуда и следует первое утверждение теоремы. В приведенной
выше цепочке неравенств точку х можно было считать 'произ-
вольной. Поэтому для любой точки х

I/(X) - Q„ (/; X) I < (1 + Х„ (X))	(/)<(!+ <)	(/),

и потому

II/-Q„/ic <(1 + <) £„-!(/)•

Этим доказано и второе утверждение 

Заметим, что полученные при доказательстве

оценки

/(x)-Q„(/; х) |<(1+>.„(х)) £„_, (/) и ||/-Q„/’C<(1+O

интересны и сами по себе, так как позволяют судить о бы-
строте сходимости интерполяционных многочленов к функции.
Первая из этих оценок позволяет, в частности, заключить, что
если X-i(x) (/) равномерно стремится к нулю на некото-
ром промежутке С [a, Z?], то интерполяционные полино-
мы Qn(/; х) сходятся к /(х) равномерно на \aif 6J.

Помимо вопросов сходимости функция и постоянная Лебе-
га связаны еще с одним вопросом теории интерполяции. До-
пустим, что значения функции /(х) в узлах интерполяции
х1^ вычислены не точно, а с некоторыми погрешностями гА,
про которые нам известно лишь, что	Пусть Qn(f', х) —

построенный по этим значениям интерполяционный полином;

п

Qn (/; х) = J 4"’ (х) (/ (х!“>) +

/г = 1 '

Требуется оценить отклонение этого полинома от истинного ин-
терполяционного. Поскольку

_	п

Qnlf; X) - Q„ (/; х) = V /<»"’(х) es,

Л-1

из полученной выше формулы для функции Лебега непосредст
венно следует, что

I х)x)|<X„(x)s,

I Qnf~ Qnf’ic < V.

причем эти оценки обращаются в равенства при некоторых на-
борах ошибок Ek таких, что |еЛ<^е. Таким образом, функция и
постоянная Лебега позволяют, в частности, судить о влиянии
па интерполяционный многочлен ошибок округления, допущен-
ных в значениях функции.

Задача 1. Показать, что Хн(х)>1 во всех точках х. причем при
п 3 знак равенства достигается здесь лишь в узлах интерполяции.

Задача 2. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, доказать,
что если все корни многочлена Рп (х) степени п (п > 2) различны и суть
Ац Х2> • • • > *П, ТО

Vn 1

—7-----= 0.

^□*-1 Pn(xk)

§ 2. Интерполяционный процесс
по корням ортогональных многочленов

В этом параграфе будет рассмотрен тот случай, когда
в качестве узлов интерполяции берутся корпи многочленов,
ортогональных на промежутке [а, с некоторым весом р(х).
Итак, пусть р(х)— весовая функция, заданная на [л, #],
и	—соответствующая ей система ортогональных мно-

гочленов. Напомним, что корни каждого многочлена а>п(х)
вещественны, различны и принадлежат промежутку (а, Ь).
Будем считать, что х^— корци многочлена % (а); о>п^л^г). = 0
=	2, ..., /г). ;Тогда в представлении многочленов влия-

ния Лагранжа

/(«) / v\_ ____(0П (-У)

\л/	!	ГпМ ' /	(/П\

% (а) и есть п-й ортогональный многочлен, соответствующий
весу р(х). То обстоятельство, что его старший коэффициент
может быть отличен от единицы, несущественно, поскольку
умножение юп(а) на постоянный множитель приводит к умно-
жению на него и числителя и знаменателя в выражении для

Лемма I. Полиномы- влияния Лагранжа 1я’(х) и
при k=^= j ортогональны с весом р(х).

Доказательство. По определению полиномов влияния
ь

I р (х)	(а) /;я) (a) d х =

Но последний интеграл есть 0, так как	--

(а —Ah Да —a) J

многочлен степени п—-2 Га^'й и а(п) — корни а “>„(а) орто-
гонален с весом р (а) всем многочленам степени не выше
п — 1 И
Лемма 2. Справедливо равенство

п b

2 С р w [/Ppopdx

b

С р (л) dx.

а

а

Доказательство. Построив интерполяционный много-
член для функции, тождественно равной единице, получим
равенство

п

Возведем это равенство в квадрат, умножим на р(х) и проин-
тегрируем ио [а, Ь]. В силу леммы 1 интегралы от удвоенных
произведений, полученных при возведении левой части в квад-
рат, обратятся в нуль, и мы придем к требуемому равенству й

Интерполяционный полином Qnf функции f можно, разу-
меется, рассматривать нс только как элемент пространства
С ([<2, &]), но и как элемент пространства Z2W.

Лемма 3. Справедливо неравенство

Wnf\ 2

LP (X)

Доказательство. Возводя в квадрат равенство

QH/;

п

о = v № о) f (Д'”)

k=l

и интегрируя результат по [а, д! с весом р (х), в силу лемм 1
и 2 получаем

п	b

= У (/ С4Я)))2 С р(х) [zl'2) (х)]2 dx <
/г—1	а

п b	ь

С|/1'с 2 J №Л)(Л)]2^ = f Р&) dx-"'ffc Н

Л = 1 а	а

Теорема 1. Для любой, непрерывной функции f(x) ее
интерполяционные многочлены Qnf сходятся к ней самой
в среднем с весом р(х) (т. е. в метрике пространства Lp(X)}.

Доказательство. Пусть {PJ—последовательность по-
линомов наилучшего приближения функции f. Используя
тождество

f - Qnf = (/ - Pn-l) + Qn (Рп-! - /)
и неравенства

у J p(x)dxy — Р„..4С,
а

< у J p(*)dx —f\\c

II Qn (Рп-! - /) II 2
Lp (•*)

(первое из них очевидно, а второе верно по лемме 3), полу-
чаем

I/-Q./L <2
Lp (Л-)

Г ь

]/ J Р (*) dx Еп_х (/) а
а

Замечание. Утверждение леммы 3 означает, что
рассматриваемые как операторы из С в ограничены в сово-
купности. Поэтому доказанная теорема может быть получена
ссылкой на теорему Банаха—Штейнхауса, которая позволяет
установить сильную сходимость операторов Qn к оператору
вложения из С в (приведенное выше доказательство в сущ-
ности повторяет соответствующую часть доказательства теоре-
мы Банаха—Штейнхауса). Однако оценка

Vf-Qnf\\

2 <2
LP (X)

полученная при доказательстве, может представлять интерес-
сама по себе, так как она характеризует быстроту сходимости.

Докажем теперь две теоремы, аналогичные теоремам § 3
гл. 4, в которых даются оценки постоянных и функций Лебега
рассма гриваемого интерполяционного процесса^

Теорема 2. Если для весовой функции р(х) на [а, Ь] вы-
полнено неравенство (л) m > О, то

Xrt<c(/z — 1),

(/г >2).

Доказательство. Напомним, что для любого полинома
Рп (л) степени не выше п (/г>-1) выполняется неравенство
<(см. с. 98). применяя это неравенство к Q„/ и учитывая, что
для любой функции g. при сделанных предположениях

получаем

Из леммы 3 теперь следует, что

S 1с	<« - 1) J/ f Р (•'') rfx 1/|с = с (« -1) t/t.

'Поскольку в этом неравенстве непрерывная функция f произ-
вольна, теорема доказана н

Следствие. В условиях доказанной теоремы интерполя-
ционный процесс равномерно сходится для любой непрерывно
дифференцируемой функции.

Доказательство. Для непрерывно дифференцируемой
функции f En(f)n -> 0 (см. лемму 2 на с. 84), и в силу до-
казанной теоремы М:я-1 (/)-> 0. Равномерная сходимость сле-
дует теперь из теоремы 2 предыдущего параграфа И

Вспомним введенное в § 3 гл. 4 обозначение

АЛ-*) = max |<оЛ (•*)!•

Теорема 3. Iля функции Л'ебега рассматриваемого интер-
поляционного процесса справедливо неравенство

К (-*) < j/4 J р (х) dx Ап_' (х) ] и.
а

Доказательство. Взяв произвольную непрерывную
функцию /, разложим многочлен Q / по ортогональным мно-
гочленам

где ck — коэффициенты Фурье Qnf относительно системы ;
ясно, что

и	р(х)

Применяя неравенство Буняковского и лемму 3, получаем

I Qn (/;*) I = |	(х) < /ууЧ КV»-; р, (А-))2 <

<1$ЯЛ1Л2 Ап-М /«<1/ \p{x)dxAn_. (х)//7||Лс-
Р(х)	'а

Ввиду произвольности f теорема доказана И
Как и в предыдущей главе, положим

Ап~ шах Ддх) = max
[л, &]

Следствие. Для постоянной Лебега рассматриваемого
интерполяционного процесса справедлива оценка

У \p{x)dx Ап_хУп.
а

Это следствие позволяет, используя теорему 8 § 4 гл. 4
(см. с. 128), получить оценку постоянной Лебега интерполяци-
онного процесса по корням многочленов Якоби.

Теорема 4. Пусть о = max (я, 3)^> —1/2. Тогда для по-
стоянной Лебега интерполяционного процесса по корням
многочленов Якоби J(n\x) выполняется оценка

\п А сп^1.

Замечание. Доказанная в теореме 4 оценка не является
точной. Если -з — 1/2, то в действительности выполняется
более сильное неравенство с п° + 1/2. Как и для рядов Фурье
по многочленам Якоби, на любом внутреннем по отношению
к (— 1, 4-1) промежутке для функции Лебега интерполяцион-
ного процесса по корням многочленов Jn'₽) выполняется оценка

А(х)<сй1п/г (х£[_ 1 +//, 1 —/?]).

Поэтому для любой функции, удовлетворяющей на {—1, 1]
условию Дини—Липшица, такой интерполяционный процесс
сходится во всех точках открытого промежутка (—1, 1), при-
чем сходимость равномерна на каждом промежутке [а, Ь]С
С(—1, 1). Более точная характеристика поведения функции Ле-
бега интерполяционного процесса по корням многочленов Яко-
би содержится в работе [13].

Задача. Доказать, что корни полинома (1 —х")	(-*) (— 1 =xt <

<Х/<х < — <хл=1), взятые в качестве узлов интерполяции обла-
дают тем замечательным свойством, что точка хь (при k — 2, 3. ... , п — 1)
является точкой максимума полинома влияния Лагранжа Ik (*) с тем же
номером.

§ 3. Интерполяционный процесс по узлам Чебышева

Узлы Чебышева являются решением одной экстремаль-
ной задачи о выборе узлов интерполяции.

Пусть на промежутке [а, Ь] выбраны узлы интерполяции
х]г х2,  и пусть Qnf — интерполяционный полином непре-
рывной функции построенный по этим узлам. Положим
Rn(f) = \\f~Qnf\\c - максимальное отклонение иптерполяцион

161
1 ] Зак. 65
ного полинома от функции. Пусть Uc.C([a, Ь])—некоторый
класс непрерывных функций. Обозначим через Rn(U) макси-
мальное отклонение интерполяционных многочленов на классе U.

= sup/?„(/).

feU

При заданном п и заданном классе U Rn(U) есть функция
узлов интерполяции л'ь х2, ... хп. Можно поставить задачу та-
кого выбора узлов, для которых Rn(U) минимальна.	;

Определение. Будем говорить, что узлы х2, .. хп
оптимальны для класса U, если для них функция Rn(U) дости-
гает своего минимального значения.

Теорема 1. Для класса КС11) опта иальными
узлами являются корни полинома Чебышева Т. (х), причем
для этих узлов (мы будем называть их узлами Чебышева)

Доказательство. Пусть х2, ..., хл£[— 1, 1]—
некоторые узлы интерполяции, ю(х) = (л'— xv)(x — х2) ...

(х — хп). Дтя любой функции f^_KC(

И потому

Rn (/) < I« L, R„ (/<с("’) ш к •

Так как для функции /0 (х) —-~хп £ КС1'^ выполняется равен-

ство /оя) (х) == А', то

/о — Qn (/о;	«> (-*)	, Rn (/о) = тгН1w !!с,

Я потому



Поскольку полиномы Чебышева—эго полиномы, наименее
уклоняющиеся от нуля (см. с. 29), то при любом выборе
узлов интерполяции ^>(| 7Д|С, причем знак равенства до-
стигается в том и только в том случае, когда хг, х2, ... , хп —
корпи многочлена Чебышева ТДх) (тогда м'х)=Гп(х)). Этим
показана оптимальность узлов Чебышева для рассматриваемого
Класса. Так как [' ТДС — 2~ n_1), то для узлов Чебышева

/?»(/<с<">) = -Д=гИ

С интерполяцией по узлам Чебышева связана следующая
георема о наилучших приближениях функций класса
KCw(\a, b\).
Теорема 2. Справедливо равенство

ё„.г (КС[п} (\а, /,)))= sup £•„_,(/) =

К / Ь — а \ «

2п - 1/2! \ 2 ) ’

Доказательство проведем для промежутка [—1, 1]„
Если Qnf— интерполяционный полином функции f£KCn по
узлам Чебышева (его степень не выше п—1), то, как следуем
из теоремы 1,

И ПОТОМУ



В то же время £n_1(jt")=2	°, и для

функции

/о (*) =*

= JL хп £ /<С(Я)
п\

выполняется равенство С/о) —	--

Отсюда

£«-1

(КС0!’([-1, !]))>£„-,(Л) = -оДтт

Замечание 1. Как видно из доказательства теоремы, для
каждой функции / £ КО-п> ([—1, 1]) указанное в формулировке
теоремы приближение доставляет интерполяционный полином
по узлам Чебышева. Для произвольного промежутка [а, Ь]
требуемое приближение доставит интерполяционный полипом
по узлам, 'полученным «приведением» (с помощью линейной за-
мены переменных) узлов Чебышева к промежутку [а, Ь].

Замечание 2. Недостатком доказанной теоремы является
то, что класс функций КСЮ связан со степенью п—1 прибли-
жающих полиномов. Однако в ряде случаев теорема 2 может
эффективно применяться. Например, для промежутка [0, 1]

А (И < —г/-гт- < 0-000 002.

04 7	211 - 61

Это приближение, доставляемое соответствующим интерполяци-
онным многочленом, почти в 1000 раз лучше того, которое дае
отрезок ряда Маклорена.	* В

Узлы Чебышева замечательны еще и тем, что постоянная Ле-
бега для них растет медленно, и поэтом}7 интерполяционный
процесс по узлам Чебышева равномерно сходится для широко
го класса функций.	I В

Прежде чем получать оценку постоянной Лебега в случае
узлов Чебышева, отметим, что эти узлы таковы:	В

A-ft=cosOA, 0А =	(k—\, 2, ... , it).

II*
Лемма. При 0	6 справедлива оценка

1 cos пО . о о
х =— -----„----т—sin 6а -<2.

п cos 6 — cos 0fc R

Доказательство. Поскольку cosцОА = 0, то

| cos nO j — j cos nft — cos nbk | — 2

0 — Oft .	0	0,

sin n —sin n-

sin n

Далее,

| cos 6 — cos 6 J = 2

и, учитывая, что

sin Oft

0 ft -f-0
sin —к—

sin

• sin

sin n

, получаем

sin

sin Oft -|- sin 0

Теорема 3. Для постоянной Лебега интерполяционного
процесса по узлам Чебышева справедлива оценка

К < 8 + (4/к) In п.

Доказательство. Возьмем произвольную точку
— 1, 1) и оценим 1п(х). Если х совпадает с одним из уз-
лов Чебышева х/г, то \п(х)= \ . Поэтому впредь будем считать,
что точка х не совпадает ни с одним из узлов, и потому если
положить х — cos0 (0<6^к), то G^Oft (Лг = 1, 2, ... , п),

(х) = 1п

п

(х - Xk) т'п (Xk)

Т п (-4

cos и0

COS 6 — COS 0ft

sin 6ft.

Здесь мы воспользовались тем, что (х6) ==(—l)ft+1/i(sin
Пусть 6 лежит между 6т и 0„z+1 (6,я < 6 < 0,яИ). Сумму, стоя-
щую в правой части (*), разобьем на три суммы по схеме

1CV72 -г2

и в соответствии с этим Хя (х) = 4- о2 + ай. Если 6<63, то в
представлении Хя (х) будет отсутствовать сумма <з,; если 6 > 6Я_2,
то не будет суммы з3; кроме того, в этих случаях сумма а2
может содержать не четыре, а меньшее число слагаемых.
Используя доказанную лемму, мы сразу же получаем оценку
для аг:

<з2	8. -
Суммы
ленности

и os оцениваются одинаково. Оценим для опреде-
ли этом, разумеется, т^>3):

тп—2

П

°1“

/1 = 1

cos пО. . й .1

---4-----*—г- Sin 9ft <С —
COS 0k — COS О к ' tl

к-1

т —2

sin Oft

COS Oft — cos 6 ’

Учитывая, что

sin a

cos a — cos 6

__ 1 — cos U • COS ® \ Q

(COSU— COS 0,2	'

при	имеем

sin Ofe

sin и

COS Ofc — COS 6 COS и — cos 6 '

Интегрируя это неравенство по и от до 0л+1
все такие неравенства при & = 1, 2, ... , т — 2.

и складывая
получаем

/П—2

б 1

тп-1

n

л==1

sin Ok

COS 0ft — COS 6

О .
/П—1

sin и

cos и — cos 6

du,

Но

sin и .

------------s— du —

COS U — COS 0

1 — cos 6

COS O,„_1 — cos 0

Z-----In-------Z-----------Г—

" 7С	COS 0те_1 — COS 0т

^m-1	. T 1

Sin------2----- S,n-----9-----

2п

и sin

^-—2^- > __. Далее

2п

Итак,

т-1

2п

sin

т-1

sin -у-

2п

Поэтому

111 и.

Точно так же

°3

2 1

— In п.



о

'*7/2	^/П-Л ____________

2

* rn T ®m—1

’ и/П—1

2

2

п

к

Окончательно

3

In п.

Так как правая часть этой оценки не зависит от точки

то и
Следствие. Если, функция f(x) на промежутке [—1, 1]
удовлетворяет, условию Дини — Липшица, то интерполя-
ционный процесс по узлам Чебышева сходится для нее рав-
номерно на. всем промежутке [— 1, 1].

Задача 1. Пусть КС — сфера в пространстве С:

KC=z{f\f£C, ||/||с </<}.

Доказать, что для любых узлов интерполяции xlt х2, ... , хп £ [a, ft] выпол-
няется равенство Rn (КС) — К (1 + г^е ~ постоявная Лебега.

Задача 2. Для промежутка [—- 1, 11 построить узлы интерполяции
х2. х3, минимизирующие постоянную Лебега л3. Обратить внимание на не-
единственность таких узлов.

Задача 3. Доказать для //-поперечника множества КС[ ([a, ft]) в
пространстве С ([«, ft]) равенство



§ 4. Интерполяционный процесс
по равноотстоящим узлам

В этом параграфе мы рассмотрим интерполяционный про-
цесс па промежутке [—1, 1] по равноеiстоящим узлам

, , 2ft ,,	„ ,

*k — ~ 1 + — (k = 0, 1, ... , ri).	(*)

Число узлов здесь и4-1, н в соответствии с введенными ранее
обозначениями интерполяционный полином функции f (он име-
ет степень не выше п) будем обозначать через Qn+if> а функ-
цию Лебега для узлов (*) —через Хп+1(х).

Результаты, которые будут изложены в этом параграфе,
имеют двоякий характер. С одной стороны, будет показано, что
во всех точках промежутка [—1, 1], кроме точек —1, 0 и 4-1,
функция Лебега процесса растет чрезвычайно быстро (с быстро-
той геометрической прогрессии). Это означает, что интерполя-
ционный процесс по равноотстоящим узлам мало пригоден
для приближения функций, так как, во-первых, ввиду быстрого
роста постоянной Лебега его сходимость следует ожидать лишь
для довольно узкого класса функций, и, во-вторых, очень силь-
но влияние ошибок округления в значениях функции на интер-
поляционный многочлен. С другой стороны, как будет показа-
но, в сужающейся (с ростом п) окрестности нуля функция Ле-
бега такого процесса растет медленно, и это оправдывает (сточ-
ки зрения влияния ошибок округления) широко применяемые
при работе с таблицами функций интерполяционные формулы
с равноотстоящими узлами.

Укажем удобное для дальнейшего представление полино-
мов влияния Лагранжа I (л) (у —0, 1, ... , п) системы узлов (*).
Лемма 1. Для полинома влияния 1Дх) справедливо пред-
ставление

Доказательство. Очевидно, что полином /Да) может
быть записан в виде (х) — (л)(л,), где

«V(л) = [(л — Ло) (х — л,) ... (х — лм)] X
X [(лл — л)(л^ — х) ... (лу+1 — л)] =

п ,	ч п [	, , 2v \ п . ч ,	,

Гак как (х — л.,) =л + 1-— 1 =	(1л)— го

Точно так же ~ (лЛ_>—	=	—х) —v и

где

(1 — л) — п +/+ 1

Л (л) = Г

Учитывая, что Д(лу) = Г(1)Г(1) = 1, получаем
Для завершения доказательства остается лишь преобразовать
Л(х):

/2

где — (1—х)— e-J-y-J-1. Использовав формулу

я

sin ~z

Г (г) Г(1

— г) —

sin

(1 — х) — п 4- / -р 1

= (-

sin

придем к требуемому И

Лемма 2. Для каждого х(Д—1, 1) найдется такая
следовательность натуральных чисел п, -> оо, что

по-

(k=\, 2, ...).

Доказательство. Так как при натуральном nk левая и
правая части доказываемого неравенства — четные функции,
а при х = 0 оно очевидно при любом пг,, можно считать, что
О х<Д. Возьмем натуральное k и рассмотрим промежуток

~k х ' Длина этого промежутка равна 2, и по-

тому он содержит хоть одно натуральное число nk. Так как

nk

k-^ со. В то же время неравенство
2k 4-х _	9 k 4-2 — X

nk

равносильно такому:

-4-< ^(i -*)—r.k< Т.--К

А	&

откуда

Лемма 3. Для любого х такого, что 0 < 1 л: j < 1, выпол-
няется неравенство'

Доказательство. Функция © (х) четная, поэтому мэжн о
ограничиться рассмотрением лишь точек х > 0. Далее, <р (0) = 1,
и так как [In у (x)]z = -у-1н -j Д > 0 при х > 0, то функция

<f(x) на [0, 1] строго возрастает н
Теорема 1. Пусть Хл(х) — функция Лебега интерполя-
ционного процесса по равноотстоящим узлам. Для каждой
точки х такой, что 0	|х| < 1, найдется последователь-

ность номеров nk-^co, для которых выполняются неравен-
ства

Здесь с(х)>Ои<? (х) > 1 —функция, определенная в лемме 3.
Доказательство. Пусть число п таково, что

Тогда, используя лемму 1, получаем
п

\+г (*) = £ I h । =

;=о

Используя формулу Стирлинга для 1 -функции (см. приложе-
ние), нетрудно найти, что

Остается сослаться па лемму 2, согласно которой натуральных
чисел п, для которых выполняется неравенство («*), бесконеч-

но много 
Замечание 1. В доказанной теореме быстрый рост
функции Лебега гарантируется лишь для некоторой подпосле-
довательности индексов, и это вызвано существом дела. На-
пример, если точка х рациональна, то она бесконечное число
раз будет совпадать с одним из узлов, а значение функции Ле-
бега в любом узле равно единице.

Замечание 2. В теореме говорится обо всех точках про-
межутка [—1, 1], кроме трех: —1, 0, +1. Точки —1 и 4-1 всегда
входят в число узлов, и потому при всех п лте(—1) =	(1) = 1.

Точка 0 попадает в число узлов лишь при нечетном п. Ниже
будет показано, что лп(0) растет медленно (см. теорему 2).

Замечание 3. Быстрый рост функции Лебега заставля-
ет предполагать, что интерполяционный процесс по равноот-
стоящим узлам сходится лишь для узкого класса функций. Дей-
ствительно, можно показать (см. [16]), что даже для таких
гладких функций, как

О при
хг при х^О

(здесь г — любое натуральное, /г6	этот процесс рас-

ходится во всех точках промежутка [—1, 1], за исключением
точек — 1,0, + 1.

Теорема 2 (Рунк). Для каждого г>0 найдется такая
постоянная АТ, что при п'^><2

max ая>1 (х) Ar In п.

| х |<г 1 п

f, (л) =

Здесь Х„+1 (х) —функция Лебега интерполяционного процесса

по равноотстоящим узлам.

Доказательство. Имея в виду использовать лемму Ц
оцепим величину

Применяя неравенство Г (а) Г (Z?) (г f д (см* приложе-
ние), получаем

и потому

Применим формулу Стирлинга в логарифмической форме (си,
приложение):

lnw(x)<c -J- -^-(l+x)lnf^-(l-|-x)') — -£(l+%) +4-ln^-(.l+x)4-
— n In -L	n — In -J- =

= c+4-[(l Ч-x) hi(14-x)+(l — Л)1п (1 — x)] + Ц-in (l-x2)<

<c + 4(^W-2'?(0) + 'i(-A')|,

где Ф (x) = (1 + x) in (1-f-x), причем ф(0) = 0. Выражение
6(x) —2ф(0) + r4>(—x) есть конечная разность второго порядка
функции ф(х). вычисленная с шагом х в точке 0. Поэтому

| (х) - 2-V (0) + ’> (- х) | = х216" (;) | < сгх\

Здесь

<< и

имеем

|В|<|х|. Учитывая, что х1 r-jn, получим lnw(x)^
w(x) <сг. Используя лемму 1 и последнюю оценку,

Считая, что xfe_j < х < xk+1 (если х совпадает с одним из уз-
лов, то, как всегда, X„ri(x) = l), разобьем сумму по схеме

У"	।	_1_ул	_j_o

^/=0	^=h-l 1 ^J/ = h+l

Суммы и о3 оцениваются одинаково. Оценим, для примера, аг:

Точно так же о3<1-|-1пп. Сумма о2 содержит два слагаемых.
Оба они оцениваются одинаково. Оценим второе:

°2

2тг. Складывая полученные
. „ л   ^сг 1 1 } + 	»

так как |sin
оценки, имеем Хл+1

Заметим, что промежуток, на котором в этой теореме оцени-
вается функция Лебега, стягивается в точку при /г->оо. Иначе
и быть не может в силу теоремы 1. Однако число узлов, кото-
рые попадают в этот промежуток, стремится к бесконечности.
Глава 6

ДВЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

§ 1. Теорема Бернштейна

о наилучшем приближении аналитической функции

Как было показано в § 2 гл. 3, если функция f(x) бесконеч-
ное число раз дифференцируема па промежутке [а, 6], то при
любом р выполняется соотношение nvEn(f) „у, 0, т. е. наилучшие
приближения такой функции стремятся к нулю быстрее, чем
любая степень 1/я. В этом параграфе будет получена более
точная характеристика убывания наилучших приближений
функции f, которая не только бесконечно дифференцируема, но
и регулярна в некоторой окрестности того отрезка, на котором,
производится приближение. Впредь мы будем считать, что
этот отрезок есть [—1, 1].

Введем некоторые обозначения. Пусть р>1. Обозначим че-
рез эллипс на комплексной плоскости с фокусами в точках
± 1 и суммой полуосей, равной р:

Через 0Р будем обозначать область, ограниченную эллипсом с?р.

Рассмотрим функцию и (z) = z -ф- ]/"z2—1. ' При z =
=4-	+-у *"*) £

Выберем ту ветвь этой функции, которая на каждом эллипсе
принимает значение w(z) = pe'°. Эта ветвь регулярна на
комплексной плоскости с разрезом по отрезку вещественной
оси от —1 до 4- 1, причем для z£<Tp | u(z) [ = р.
Лемма. Если полином (z) степени не выше п на от-
резке — 1, 1] вещественной оси удовлетворяет неравенству
\Pn(z) то при |Рл(г)|<Лр«.

Доказательство. Рассмотрим функцию

v(z} = Pn(z)/[u(z)]n.

При z -> оо ц(г)^2г, и потому v (z) —«0/2", где а, — старший
коэффициент многочлена Pn(z). Итак, v (г) регулярна в бес-
конечно удаленной точке, и так как функция u(z) в нуль не
обращается, функция v регулярна в расширенной комплексной
плоскости с разрезом по отрезку [— 1, 1]. Таким образом,
функция v максимального по абсолютной величине значения
достигает на берегах этого разреза. Но на берегах разреза
| и(z) | = 1, v(z)~^L, и потому при всех z t,v(z)\^.L, т. е.

Р( (г)	(г)Остается заметить, что при zQ |w(2!)| = p,

и воспользоваться принципом максимума модуля 

Теорема (С. Н. Бернштейн). Если функция f(z) регулярна
в области и на ее границе ^с0 имеет хоть одну особую
точку, то для ее наилучших приб лижений на промежутке
[—1, 1] En(f) справедливо равенство

lim у En(J) — 1;р0.

П->СО

Доказательство. 1) Покажем сначала, что

lim j/ En(f) < 1/р0.	(*)

/1-> со

Разложим функцию /(х) на промежутке [—1, 1] в ряд Фурье
по многочленам Чебышева:

V?00
f

Tk

где при k 1

q=4 f—'	=

J у 1 — Г"

-1

71

С/(COS ср) COS Лер t/cp.

п

Если положить Рп(х) = ^ckTk (х), то

со

II/	ЛЛсн-1,ц)2 I*7*!’

и потому

ОО

л + 1
Для оценки коэффициента ck в интеграле по <?, которым он
представляется, сделаем замену переменной, положив z = e'?.
Тогда

Здесь — окружность на комплексной плоскости с центром в
точке 0 и радиусом 1. Вообще через Сг будем обозначать
окружность с центром в нуле и радиусом г. При р> 1 функ-
ция w(z) = — + — ^-переводит окружности Ср и Сцр в эл-
липс ^р. Поэтому функция f z + регулярна в кольце
1 Ро < ^|<р0, и в пределах этого кольца мы можем менять в
интегралах и /2 контуры интегрирования. Возьмем доста-
точно малое s>0 (s<Cpo—О и положим

Ms = max

!/(*)

Тогда, переходя в интегралах Д и А к новым контурам, как
указано ниже, и оценивая подынтегральные функции по мо-
дулю, получаем
Пользуясь тем, что достаточно малое г здесь произвольно, и
переходя в полученном неравенстве к пределу при г-> О, по-
лучим (*).

2) Покажем теперь, что

Пт }/'£„(/) > 1/р0.	(**)

Допустим противное, пусть lim] En(f) < 1/р0. Тогда найдутся
такое число pt > р0 и такое N, что при всех /г N выполняются
неравенства
/7	.

(/) < 1 /о, и £„(/)< 1 X.

Обозначим через Рп(х)' последовательность полиномов наи-
лучшего приближения функции f(x) на промежутке [—1, 1].
Тогда на этом промежутке

со

f (х) = РЛ(Л) + 2 (₽„« (х) - Р„ (х)).

Рассмотрим ряд

ОО

р„(2) + 2(₽«1<2’-"р«(г))-	(**»)

п=Лг

В той части комплексной плоскости, где он равномерно схо-
дится, его сумма есть аналитическое продолжение функции f.
Выберем число р2 так, что pt > р2 > р0, и покажем, что ряд («*«)
равномерно сходится в области Действительно, на про-
межутке [—1, 1] полином Pn+i(x) — PfAx) допускает оценку

I(х) - Р„ (х) I < I Р„+1 (X) - /(X) I + | / (X) - Р„ (X) I <
< £«> (/)+е„ </) < i;pf+1 +1 ;?i < 2 ₽«.

Тогда по доказанной лемме при z^S)^,

Итак, в области 0Pt ряд («**) мажорируется сходящимся
числовым рядом

и потому равномерно сходится. Таким образом, функция f до-
пускает аналитическое продолжение в область	что

противоречит тому, что на эллипсе имеется хоть одна ее
особая точка. Ввиду полученного противоречия неравенство (**)
доказано Н

Замечание. Доказанная теорема означает, что наилуч-
шие приближения функции, удовлетворяющей ес условию, стре-
мятся к нулю, грубо говоря, как общий член геометрической
прогрессии со знаменателем 1/ро- Точное утверждение состоит
в следующем. Если число q таково, что <7>/1ро, то



т. е. наилучшие приближения функции f стремятся к нулю
быстрее, чем общий член геометрической прогрессии со зна-
менателем q > 1/р0. Если же 0 < q < 1/р0, то

lim (Е„(/)/^) = + со,

т. е. наилучшис приближения функции f стремятся к нулю
медленнее, чем общий член геометрической прогрессии со
знаменателем q < 1 р0.

Отметим еще, что из теоремы Бернштейна вытекает сте-
дующее утверждение.

Следствие. Если f (z) — целая функция, то для сколь
угодно малого <7 > О



т. е. наилучшие приближения целой функции стремятся к ну-
лю быстрее общего члена геометрической прогрессии со сколь
угодно малым знаменателем ^>0.

Задача. Сопос гавн гь
с. 33) выражением для Еп

теорему

\х — а

Бернштейна с полученным ранее (см.

§ 2. Теорема Лозинского — Харшиладзе

В гл. 4, 5 были сформулированы теоремы Николаева и Фа-
бера, в которых утверждалось, что не существует такой систе-
мы ортогональных многочленов, которая обеспечивала бы рав-
номерную сходимость ряда Фурье любой непрерывной функции,
и не существует интерполяционного процесса, равномерно схо-
дящегося для всех непрерывных функций. В этом параграфе
будет доказано подобное утверждение для некоторого класса
линейных операторов. Это утверждение содержит в себе как
частные случаи теоремы Николаева и Фабера.

Докажем предварительно несколько лемм.

Лемма 1. Для любых натуральных т и п (т^п) и для
х £ (0, -к) выполняется неравенство

1 sin (х 2).

Доказательство. Очевидно, что

V" sinbc = ImV eikx,
и потому

Лемма 2. При любых вещественных х выполняется не-
равенство

Доказательство достаточно провести для значений
х£(0, »), так как левая часть доказываемого неравенства есть
четная 2”-периодическая функция, и при х = 0 и х — ~ нера-
венство очевидно.

Итак, пусть 0 < х < Выберем целое число т так, что
т -Д гЛх < т 1,

и представим оцениваемую сумму в виде

Конечно, в зависимости от значения т одна из этих сумм
может отсутствовать. При оценке суммы воспользуемся не-
равенством \sinkx\^kx. Тогда получим

т

1

Для оценки суммы а2 применим преобразование Абеля. Именно,,
положим при j = m-{-].,	—]—2,   и

i
Sj= V s*n

k т -I-1

Тогда  „ _ s_m±\ ; X?  2	/П4-1 1  k=m-\-2  j	п	п— 1  ,	х 1	XI S*	X? Sfr 	  (sk sk~i)	~ x [ k	k 4-1  h=rn.4-l	£~7zz4“l  n —1  V e /J	  7.1 k\k k 4- 11 ' n ’  k—m+1
По лемме 1 при всех k [sj 1/sin (х/2), и потому

sin (л'/2)

L k=m+l

__________1__________

(т -f- 1) sin (х/2)

Так как л; (ДО, -), то sin (л/2) > х'>~ и

1

<т + I) sin (x/2)

.в силу выбора числа т 

Введем теперь в рассмотрение следующие две функции:
п

л / v\_ cos х . cos 2х .	cos пх	cos (n 4- 1 — k) x

л W ——+ ТГ=Й t- • • • 4---------T—= 2j-----------k-------

k=l

B(x) =

cos (п Ц- 2) х . cos (п 4- 3) х

cos (2n 4- 1) x

n

k

Лемма

>венство

3. При всех вещественных x выполняется нера-

Доказательство. Действительно,

А (х) — В

cos (п 4- 1 -

k) х — cos (п 4- 1 + k) х
k

п

о • /	। < \ ’ЖТ sin kx

= 2sm(n + l)x V ——,

k=A

и остается воспользоваться леммой 2 

Напомним, что символом Сх. обозначалось пространство
непрерывных четных 2it-периодических функций с обычной
нормой 11/11- = max |/(z) Обозначим через класс линей-
ных операторов Unt действующих в пространстве С.х. и обла-
дающих следующими двумя свойствами:

а)	для любой функции	функция Unf есть четный

тригонометрический полином порядка не выше п\

б)	если сама функция / есть четный тригонометрический
полином порядка не выше п, то Unf—f.

Свойства а) и б) означают, что Un есть проекционный опе-
ратор, проектирующий пространство на подпространство
•четных тригонометрических полиномов данного порядка п.
Лемма 4. Для каждого оператора Un^r3ll выполняется
неравенство

Доказательство. Возьмем произвольное число у и по-
строим функцию

gy (х) — В(х Д-у) + В(х-у) =

— 2	— cos (п -f- k -j- 1) X • e°S (n + k + 1) у.

/?=l

Это непрерывная четная 2~-периодическая функция, и к ней
применим оператор Un. Положим
п

Qy (х) = Un (gy; х) = 2	(*) cos (п + k + 1) у,

k=\

где

2

vk (*) =z-~kUn (cos (л + k 4- 1) х; л).

По свойству а) оператора Un vk(x) есть четный тригонометри-
ческий полином порядка не выше п. Учитывая, что cos(/z-f-

k4-i)y (*>D ортогонален на промежутке [0, -] всем
таким полиномам, получаем

Jo Qy(y)dy = o.

Кроме того, очевидно, что

j’A(2y)dy = O и у И(2у)-(?,(>))Л’ = 0.

Поэтому найдется такая точка а С [0, ^], что

А (2а) — Qa (а) = 0.

Выбрав а из этого условия, построим функцию

/(л) = [Д(^4-а)4- А(х — а)] — [В(х + а) + В(х — «)].

-Здесь

А (х 4- а) 4- А (х — а) =
п

— 2	-j- cos (п 4~ 1 — k) а • cos (п 4-1 — k) х

k=i

есть четный тригонометрический полином порядка не выше п.

Функция f (х) непрерывная, четная, 2тс-периодическая, и по
лемме 3

1/IL <8/г.

Положим v=Unf. Используя свойство б) оператора Un, имеем
v (х) ~ Un(f; л-) = [А (х 4~ а) 4~ А (х — <т)] Qa (а).
Согласно выбору параметра а

v (а) = А (0) = V

Л 1

hi /г

и

с*

11*4Л~
Итак,

Перейдем теперь к рассмотрению пространства С=С([я, &])
и обозначим через множество линейных операторов Pni
действующих в пространстве С и таких, что

А) для любой функции fQC Pnf есть алгебраический мно-
гочлен степени не выше п\

Б) если сама функция / есть многочлен степени не выше п,
то Pnf£f.

Таким образом, Д\г ость множество проекционных опера-
торов, проектирующих С на подпространство полиномоз сте-
пени не выше п.

Теорема (С. М. Лозинский—Ф. II. Харшиладзе). Для каж-
дого оператора Рп £ ф/2 выполняется неравенство

II о II	п

Доказательство. Напомним, что в § 1 гл. 3 был вве-
ден оператор У, который каждой функции ф£С ставит в со-
ответствие ее индуцированную. Как было показано, этот опе-
ратор обладает такими свойствами:

1)	<7 есть линейный оператор, действующий из С в Сфу
причем существует обратный оператор

2)	Н1 = 1^‘|1=1;

3)	если рп есть алгебраический многочлен степени п, то
3^рп — четный тригонометрический полином порядка я;

4)	если <?,г есть четный тригонометрический полином поряд-
ка /г, то — алгебраический многочлен степени п.

Пусть теперь Рп—некоторый оператор класса По-
строим линейный оператор Uп = $РпУ~х, действующий в про-
странстве С*. Из свойств А) и Б) оператора Рп и свойств 3)
и 4) оператора У следует, что	Тогда согласно лемме

4 и свойству 2) оператора У имеем

1ПЛ /II Т г и .«п	« in/-.. iin.i _

Следствие. Пусть {PJ — последовательность линей-
ных операторов таких, кто Рп^с^п. Найдется такая функ-
У11" что последовательность многочленов {Р f\ не
сходится равно черно.

Доказательство. В силу доказанной теоремы Рп ' со.
Но по теореме Банаха— Штейнхауса ограниченность в сово-
купности норм операторов Рп является необходимым усло-
вием сходимости последовательностей \Pnf\ для всех /£С 

Оператор S„, который каждой функции f^C ставит в соот-
ветствие частную сумму ее ряда Фурье по некоторой системе
ортогональных полиномов очевидно, принадлежит классу
Точно так же оператор который функции f£C ставит
в соответствие ее интерполяционный полином, построенный по
узлам {л4п)}, принадлежит классу Поэтому сформулиро-
ванные ранее теоремы Николаева и Фабера можно рассматри-
вать как частные случаи доказанного выше следствия.

Сделаем еще одно замечание. Согласно теореме Лозинско-
го — Харшиладзе, последовательность норм операторов {PJ
я) имеет не менее, чем логарифмический порядок роста.
Вместе с тем операторы Sfl, которые функциям/£ С([—1, 1])
ставят в соответствие частные суммы их рядов Фурье по мно-
гочленам Чебышева, и операторы ставящие в соответствие
функциям f их интерполяционные полиномы по узлам Чебы-
шева, таковы, что их нормы оцениваются через In и. Поэтому
последовательности указанных операторов имеют минимальный
возможный порядок роста нормы.
ПРИЛОЖЕНИЕ.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА Г-ФУНКЦШ1

Доказательства этих свойств можно найти в [22].

1°. Определяется Г-функция с помощью интеграла

Г (z) = J^00 е~Нг~АсИ.

Здесь Rez>0. С правой полуплоскости функция Г (z) может
быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость,,
причем точки 0, —1, — 2, ... оказываются ее полюсами.
Впрочем, у нас аргумент функции Г вещественный.

2°. Г(1) = 1, Г (1/2) = У.

3°. Основное функциональное соотношение для Г-функции

Г(г+1) = 2Т (г).

Из этого соотношения, в частности, немедленно вытекает, что
для натурального п Г (п -ф 1) — п\ Основное функциональное
соотношение используется также для свертывания произведе-
ний вида a (a-j- 1) (а 4-2) ... (а 4- п) = Г (а 4- п-\- 1)Т (а).

4°. Значения Г-функции в точках z и 1 —z связаны равен-
ством	Г (z) Г (1 — z) = -/sin ~z.

5°. Формула Стирлинга: Г (х 4-1) = е~хххУ2~х( 1 -R s(x)), где
£ (х) -> 0 при х->4-со. Если формулу Стирлинга прологариф-
мировать, то In Г (х 4-1) = xlnx— x-j- (1 2) 1пх+ Дх), где
-Дх)-> (1/2) In (2-) при х-> Д-оо.

6°. При п -> оо Г (/г 4- а),Г	^па~ь.

Действительно,

Г (п + а)	е ^п''(п + а)п^а ]^2г, (п + а)

Г (n-j-b)	е~ («+*)• (Л ц_ /,)«+*> у2-. {п + Ь)

I [ п 4- а

Г п + Ь

— еь~“ +	4

а — Ь
п-\- b

Учитывая, что

y^-d}a~b^na~\ (1 4-	^ea~b I/!L±dL

'	1	'	’ \	1 п -р b /	’ г «-j- ь

получим требуемое.

7°. Справедливо следующее представление:

[In Г (х)]"

Хг (X -f- 1 )2

1

(х + 2Ё

Отсюда ясно, что [In Г (х)]" > 0 (при/х > 0), и потому In Г(х) —
«выпуклая вниз» функция, т. е.

In Г	[,n г (ft) + 1,1 г Ж

Потенцируя это неравенство, получаем Г(<х)Г(^)^ р 2‘ *
8°. Интеграл Эйлера первого рода В (/;, (/)=JJx7?-1 (1 — x)q~Adx
связан с Г-фуикцией соотношением

В(А ?) = г W (7)/11 (/> + ?)-

182
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Аг а'ханов С. А., Натансон Г. И. Функция Лебега сумм Ф\рье—
Якоби.-— «Вести. Леиингр. ун-та, сер. мат., мех., астрой.», 1968, № 1, вып. 1,

2.	Алберт Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее
приложения. М., 1972. ЗГ6 с.

3.	А х и е з е р Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965. 408 с.

4.	Бернштейн С. II. Обобщение одного результата С. М Николь-
ского.— Сочинения. М., 1954, т. 2, с. 399—401.

5.	Бернштейн С. II. О предельных зависимостях между константа-
ми теории наилучшпх приближении. — Сочинения. М., 1954, т. 2, с. 413—415.

6.	Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функ-
ций. М„ 1954. 328 с.

7.	Зуховицкий С. И. О приближении действительных функций в
смысле II. Л. Чебышева. — «Успехи мат. паук», 1956, т. 11, № 2, с. 125—160.

8.	Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в
нормированных пространствах. М., 1959. 684 с.

9.	К о л м о г о р о в A. II. Замечание ио поводу многочленов П. Л. Че-
бышева, наименее уклоняющихся от заданной функции. — «Успехи мат.
наук», 1948, т. 3, № 1, с. 216—221.

10.	Корнейчук Н. II. О наилучшем приближении непрерывных функ-
ций.— «Изв. АН СССР, сер. мат.», 1963, т. 27, № I, с. 29—44.

И. Корнейчук II. П. Точная константа в теореме Д. Джексона о
наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функ-
ций.— «Докл. АН СССР», 1962, т. 145, № 3, с. 514—515.

12.	Корнейчук Н. П. Экстремальные значения функционалов и наи-
лучшее приближение на классах периодических функций. — «Изв. АН СССР,,
сер. мат.», 1971, т. 35, № 1, с. 93—124.

13.	Натансон Г. И. Двусторонняя оценка функции Лебега интерпо-
ляционного процесса Лагранжа с узлами Якоби. — «Изв. вузов, сер. мат.»,
1967. № II, с. 67—74.

14.	Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.—Л., 1949. 688 с.

15.	Никольский С. М. Наилучшие приближения многочленами функ-
ций, удовлетворяющих условию Липшица. — «Докл. АН СССР», 1946, т. 52,
№ 1, с. 7—9.

16.	Рабкин Е. Л., Ш а и и р о Е. П. Об одном расходящемся интерпо-
ляционном процессе. — «Изв. вузов, сер. мат.», 1971, № 8, с. 103—ПО.

17.	Сеге Г. Ортогональные многочлены. М., 1962. 550 с.

18.	Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных
функций. — «Изв. АН СССР, сер. мат.», 1951, т. 15, № 3, с. 219—242.

19.	Тима н А. Ф. Теория приближения функций действительного пере-
менного. М., 1960. 624 с.

20.	Т и м ан А. Ф. Деформация метрических пространств и некоторые
связанные с ней вопросы теории функций. — «Успехи мат. наук», 1965, т. 20,
№ 2, с. 53—87.

21.	Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных про-
странствах и теория наилучших приближений. — «Успехи мат. наук», I960,,
т. 15, № 3, с. 81—120.

22	Уиттекер Э. Т„ Ватсон Дж. Н. Курс ебвременного анализа.
Т. 2. М.. 1963. 516 с.	.	,,

23.	F a v а г d J. Sur i’approximation des functions. — «Bull. Sci. Math.»,.
1938, t. 62, p. 338—351.

24.	(ir on wa 11 T. II. Uber die Laplacesche Reihe. — «Math. Ann.», 1913,

Bd. 74, S. 213—270.

23.	Lorentz G. Approximation of functions. N. Y., 1966.

26.	Rau H. Ober die .Lebesgueschen Konstantcn der Reihenentwicklungen-
nach jacobischen Polynomcn.—«J. fur Math.», 1929, Bd. 161, S. 237 — 254.

27.	R u n c k P. O. Uber Konvergenzfragen bei Polynominterpolation mit
aquidistanten Knoten. I—II. — «J. reine angew. Math.», 1961, Bd. 208, N 1 2,
S. 51—69; 1962, Bd. 210, N 3—4, S. 175-204,
ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение	........................................... .....	3

Глава 1. Наилучшие приближения........................  .

§ 1.	Основные понятия................................—

§ 2.	Наилучшие приближения в пространстве C(7Q. Теорема

Хаара............................................12

§ 3.	Теоремы Чебышева................................18

§ 4.	Алгебраические полиномы иаилучшего приближения. Много-
члены Чебышева................................27

§ 5.	Пространство С. Тригонометрические полиномы	иаилучшего

приближения......................................33

§ 6.	Некоторые вопросы наилучшего приближения в	пространст-
ве L. Теорема Маркова	37

Глава 2. Прямые и обратные теоремы в периодическом случае .	42

§ 1.	Характеристики гладкости функции	—

§ 2.	Теорема Тимана..................................48

§ 3.	Теорема Ахиезсра—Крейна—Фавара...................

§ 4.	Прямые теоремы..................................57

§ 5.	Об n-поперечниках некоторых классов 2л-периодических

функций..........................................62

§ 6.	Обратные теоремы................................72

Глава 3. Прямые и обратные теоремы в алгебраическом случае

§ 1.	Метод индуцированных функций ........................

,	§ 2. Прямые теоремы .........	82

§ 3.	Обл-поперечниках некоторых классов непрерывных функций	86

§ 4.	Обратные теоремы.............................

§ 5.	Неравенство Маркова..........................................95

Глава 4. Ортогональные многочлены.....................................100

§ 1.	Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве .	.	—

§ 2,	Общие свойства ортогональных многочленов .	.	.	106

§ 3.	Вопросы сходимости рядов Фурье	по	ортогональным	много-
членам 	112

§ 4.	Многочлены Якоби........................................120

§ 5.	Ультрасферические многочлены............................129

§ 6.	Многочлены Лежандра.....................................137

§ 7.	Многочлены Чебышева .	.	.	.	.	.	.	143

§ 8.	Об «-поперечниках множеств в	гильбертовом	пространстве	146

Глава 5.	Интерполяция............................................152

§ 1,	Общие вопросы интерполяции................................. —

§ 2.	Интерполяционный процесс по корням ортогональных много-
членов ..............................................157

§ 3.	Интерполяционный	процесс	по	узлам	Чебышева	.	.	161

§ 4.	Интерполяционный	процесс	по	равноотстоящим	узлам .	.	166

Глава 6.	Две замечательные	теоремы............................172

§ 1.	Теорема Бернштейна о наилучшем приближении аналити-
ческой функции ..................................... —

§ 2.	Теорема Лозинского—Харшиладзе .	.	.	.	.	.176

Приложение. Некоторые свойства Г-фупкции.......................182

Указатель литературы ...........	183